UNIDAD DIDÁCTICA

DESCUBRIENDO LA FUNCIÓN LINEAL Y AFÍN

Autores: Mauricio Motoa Luis Hernando Carmona R.

Área: Matemáticas básicas

1. Objetivos:

Identificar la ecuación, y la gráfica propias de la función lineal y afín.

Establecer la distinción entre la función lineal y afín.

Comprender el significado de la pendiente m y el corte en el eje de las y u ordenada del origen.

Graficar la función lineal dada la ecuación explicita.

Analizar los diferentes registros de la función lineal y de la función afín (proporcionalidad, crecimiento y decrecimiento)

Precisar el Dominio y Rango de la función lineal y afín.

Relacionar la función lineal con problemas de proporcionalidad directa.

Representar y resolver problemas cotidianos a través de la función lineal y función afín, mostrando su

utilidad práctica.

Valorar el uso de las nuevas tecnologías en el aprendizaje.

2. Materiales:

En el desarrollo de esta unidad se empleará el buscador electrónico como apoyo a la búsqueda de cibergrafía en las siguientes direcciones:

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal

http://www.sectormatematica.cl/funciones.htm

http://www.x.edu.uy/lineal.htm

Utilización del software libre Geogebra por medio de un Laboratorio virtual de matemáticas de la función lineal.

3. Metodología: Para la realización de esta unidad didáctica y haciendo referencia al enfoque ontosemiótico, se

realizará la secuencia didáctica

3.1 Exploración de conceptos previos o preguntas activadoras: Se realizará un cuestionario con preguntas activadoras para ser respondido de forma individual, este cuestionario servirá como instrumento de exploración de las ideas previas sobre la función lineal y afín.

3.2 Aspectos históricos y epistemológicos sobre la función lineal: Al inicio de la unidad didáctica los

estudiantes leerán un texto corto sobre la historia y utilización de la función lineal en la cultura egipcia y del cual construirán un mapa conceptual en el que se dé cuenta de las ideas principales que se esbozan en dicho documento.

3.3 Discusión por pequeños grupos y socialización con el docente sobre los conceptos fundamentales y aprendizajes durante la realización de la unidad didáctica, también es el espacio para que el docente aclare o refuerce los conceptos que quedan con alguna vaguedad o no se han comprendido de manera eficaz.

3.4 Reflexión metacognitiva en cada uno de los procesos realizados en los cuales los estudiantes vayan

explicando cómo realizaron cada proceso mental para llegar las respuestas, gráficas, o aplicación de algoritmos y raciocinios lógicos.

3.5 Laboratorio virtual o práctica por medio del software geogebra en la que se desarrollarán varios

enjunciados en los que se puedan entender gráficamente que es la pendiente, la ordenada y las razones de cambio.

3.6 Procesos de transferencia de los conceptos para que durante la realización de la unidad los

estudiantes puedan hacer diferentes sistemas de representación semiótica de un mismo objeto matemático.

4. Desarrollo de la unidad: 4.1 ¿Qué nos dice la historia? Desde épocas remotas, hace más de 3000 años, los egipcios consignaron en sus papiros problemas

relacionados con la vida cotidiana. En los papiros Rhind y de Moscú se encuentran problemas que se refieren al reparto de grano, de animales y alimentos, a la fermentación del pan y de la cerveza entre otros.

La mayoría de esos problemas los resolvían haciendo uso de la aritmética o utilizando ecuaciones

lineales de la forma x ax b , en la notación de hoy. Ellos representaban lo desconocido con la palabra aha ó h, la cual significa cantidad. Para hallar la solución de una ecuación lineal aplicaron un método llamado de falsa posición.

Los egipcios ya usaban las propiedades conmutativa y distributiva y estaban familiarizados con el inverso de un número, como se observa en el desarrollo de algunos de los problemas encontrados en los papiros.

En la matemática antigua cada ecuación se estudiaba por separado, pues no existían métodos para resolverlos. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes. En 1694 el matemático alemán Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valora X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y.

Actividad # 1: Realiza un mapa mental destacando cinco conceptos claves y extractando las ideas principales

4.2 Concepto de función lineal y afín

La diferencia entre una función lineal y una afín; es que la primera es una recta que pasa por

el origen (0,0) y la segunda es una recta que pasa por cualquier punto o pareja de coordenadas

(x,y) diferente del origen.

4.3 La función lineal o afín

La función más simple en la matemática es la función lineal o de primer grado, donde la incógnita “ x” aparece sólo elevada a la primera potencia. Su forma general es:

Y = m.x + b

Ordenada Pendiente

Actividad # 2: De acuerdo con los enunciados de la Función completa la tabla escribiendo en cada cuadro el número o las letras que correspondan.

Función Pendiente “m” Corte en “y” (Ordenada

Tipo de función

y = -2x

y = x + 1/2

y = -0,5 + 0,4x

y = x/2

La representación gráfica de esta función es una línea recta. Donde “m” es un número constante

llamado "pendiente de la recta" y “b” es otro número constante llamado "ordenada al origen".

4.4 Significado matemático de la pendiente “m”

La pendiente "m" indica la variación de la función "y" por unidad de variación de la variable independiente "x"

En conclusión: La pendiente “m”, como su nombre lo indica, refleja e l grado de la inclinación de la recta.

4.5 Significado matemático de la ordenada al origen “b”

Gráficamente la ordenada al origen "b" es el punto donde la recta corta al eje "y".

O sea que es la ordenada que le corresponde al origen de las abscisas (x = 0).

4.6 Representación de la gráfica de una recta sin hacer tabla de valores

Siempre es posible representar una recta sin necesidad de hacer la tabla de valores. Para ello se procede así:

Se ubica la ordenada al origen "b" en el eje “y”, con lo cual se obtiene un punto de la recta o sea (0,y)

A partir de este punto se (0,y) se mueven tantas unidades como marca el denominador de la pendiente "Δx" hacia la derecha y luego se suben o bajan tantas unidades como marca el numerador de la pendiente "Δy" dependiendo del signo positivo o negativo de la misma, de esta forma se halla el segundo punto de la recta, que al unirse con el primero permite trazar la recta de la función.

Ejemplo: Grafique la función

Actividad # 3: Grafique las siguientes funciones empleando el corte en la ordenada y la pendiente.

¿Cuál fue el proceso que llevaste a cabo para hacer las gráficas?. Enúncialos.

El signo de la pendiente determina si la recta es creciente o decreciente:

Si la pendiente es positiva (+) la función es creciente, lo cual significa que si aumentamos la “x” en un cierto "Δx", la “y” también aumentará en un cierto "Δy".

Si la pendiente es negativa (-) la función será decreciente y por tanto ante un aumento de la “x” habrá una disminución de la “y”.

Algunas rectas son de la forma “y = b”, lo cual implica que la pendiente “m” es cero pues no aparece el término “mx”. Esta es la llamada función constante y su gráfica es una recta horizontal la cual no es ni creciente ni decreciente sino estacionaria.

Por último se puede considerar a las rectas verticales, si bien no son funciones desde el punto de vista matemático (pues no cumplen las condiciones de existencia y unidad). Tienen la forma “x = c”, siendo “c” un número constante cualquiera.

4.7 Ceros de la función lineal

Se llaman ceros de una función a los valores de “x” que hacen cero a la función, en una función lineal sólo puede haber un cero. Gráficamente son los puntos donde la línea de la función corta al eje de la “x”. Para obtener los ceros de una función, se reemplaza la “y” por cero y se despeja el valor de “x”. En éste ejemplo:

4)

Actividad # 4: De acuerdo con las funciones lineales que se indican, graficarlas usando los conceptos de pendiente y ordenada del origen, hallar el cero de la función e indique si es creciente o decreciente.

5) De acuerdo con las gráficas hallar la ecuación de la función lineal correspondiente

4.8 Actividad complementaria sobre aplicación y modelación de una función lineal

El uso de la función lineal es de variable aplicabilidad en problemas de la vida cotidiana, en los que se desarrollan situaciones de proporcionalidad. A continuación se esboza una situación de su uso en particular y se expone otra como ejercicio para ser desarrollado dentro de las situaciones que se proponen.

1

Situación 1: “Planes de telefonía prepago”

1. Indique las funciones que modelan los planes de las compañías A y B.

Compañía A

Compañía B

2. Grafique ambas funciones en el plano cartesiano, la compañía A con rojo y la B con azul.

Una compañía A de telefonía móvil ofrece un plan nocturno para los teléfonos de prepago a un costo de $ 0,5 el segundo más un cargo fijo de $ 40 por llamada. La compañía B ofrece otro plan para los teléfonos de prepago a un costo de $ 0,6 el segundo sin cargo fijo en llamada.

Se requiere saber cuál es el plan más conveniente (más económico) para poder tomar la decisión de contratarlo.

2

3. ¿Qué compañía elegirías si se habla en promedio cinco minutos por llamada?

En la compañía A se gastaría un total de $190, en cambio en la compañía B se gastaría un total de $180, lo cual la hace más conveniente por lo menos por 5 minutos

4. ¿Conviene la misma compañía si se habla más de diez minutos en promedio?

¿Por qué?

No conviene, porque luego de hablar 400 segundos (poco más de 6 minutos) cambia la situación y es más conveniente la compañía A

5. ¿En qué momento, en términos de segundos, se paga lo mismo en ambas compañías?

Cuando transcurren 400 segundos

Actividad #5:

Situación 2. “Compañías de taxis”

La compañía de taxis “Flota El Ruíz” cobra a sus pasajeros $50 por cada 100 metros recorridos, con un valor inicial obligatorio de $250. La compañía “Tax La Feria ” cobra $60 por cada 100 metros recorridos, pero con un valor inicial obligatorio de $200.

1. ¿Cuál de estas dos compañías será la más conveniente?

2. Indique las funciones que modelan los planes de las dos compañías de taxis”.

3. Realice las gráficas de cada una de las funciones.

4. Indique qué empresa de taxis es más conveniente. Si una empresa conviene más que la otra en un tramo significativo señale dicho tramo, o si considera que una es la más conveniente siempre indique por qué.

3

¿Qué estrategias usaste para resolver los enunciados de la situación 2. “Compañía de taxis”? ¿Qué dificultades encontraste en la realización de esta situación 2? ¿Con que situación de la vida diaria relacionarías la función lineal? ¿Explica por qué?

5. Laboratorio Virtual (Lav – Math). Modelando la Función Lineal con Geogebra.

Actividad #6: Para la realización de dicho laboratorio se puede ingresar a la siguiente dirección electrónica https://tube.geogebra.org/student/m1033075

Esta la actividad le permitirá reflexionar de una forma diferente y empleando las TIC sobre el comportamiento de la pendiente “m”, y la ordenada al origen. Por otra parte empleará el uso de una tabla de valores de la gráfica en el que podrás observar cómo crece o decrece dicha función. Preguntas a desarrollar en el laboratorio que conllevan a afianzar los conceptos aprendidos durante la unidad didáctica y desarrollan o potencian la metacognición.

1. Ubique el deslizador PENDIENTE en PENDIENTE = 1 el de ORDENADA, en ORDENADA = 0. ¿Cómo se comporta la gráfica? ¿Qué tipo de función lineal es? ¿La gráfica es creciente o decreciente, por qué? 2. En la vista hoja de cálculo puedes observar los valores de "x" y de "f(x)".

¿Por qué son idénticos o tienen el mismo valor? 3. Cambie el valor de la ORDENADA = 1 ¿Qué comportamiento o que ocurrencia tiene ahora el gráfico? ¿Por qué cambiaron los valores de "f(x)" en la vista hoja de cálculo? ¿Qué tipo de gráfica se observa y cuál es ahora su función? ¿En qué se diferencian y en qué se relaciona esta gráfica con la anterior? 4. Cambie la pendiente PENDIENTE = -1 ¿Cuál es la ecuación de la función? ¿Cuál es el comportamiento de ésta gráfica respecto a la anterior? ¿Por qué los valores de f(x) son positivos, sabiendo que la función es decreciente? 5. Cambie la ORDENADA en ORDENADA = 3 ¿Qué comportamiento presenta ahora la gráfica, que tipo de función es?

6. Actividades de coevaluación Esta actividad es un proceso de coevaluación que debe realizarse en grupos de a cuatro estudiantes de la siguiente forma:

En la columna de la izquierda entre los integrantes del grupo escriben que actividades serían capaces de realizar para la evaluación del tema de la función lineal.

En la columna del centro cada estudiante debe responder que tanto sabe del tema escrito en la columna de la izquierda. 1) Lo sabe bien (SB). 2) Lo sabe a medias (SM). 3) No lo sabe (NS)

En la columna de la derecha escriban las propuestas del grupo con las que creen puedan mejorar la comprensión de los temas vistos.

Pensamos que para demostrar que hemos aprendido sobre la función lineal somos capaces de:

Est 1

Est 2

Est 3

Est 4

Nuestras propuestas para mejorar en el aprendizaje de estos temas son:

¡Has concluido todas las actividades propuestas en esta guía, felicitaciones!