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UNIVERSIDAD FERMIN TOROESCUELA DE INGENIERIA
CABUDARE ESTADO LARA
UNIDAD I
MATEMATICA IIHERNAN ARCAYA
UNIVERSIDAD FERMIN TORO1
INTEGRAL DEFINIDAEl rectángulo inscrito sobre el i-esimo termino sub intervalo xi-1, xi tiene altura f (xi-1), mientras que el i-esimo rectángulo circunscrito tiene una altura f(x i). Como la base de cada rectángulo tiene una longitud x las áreas de estos rectángulos son f (x i-1) x y f (xi) x.
y
f(xi)
x a=x0 xi-1 xi xn=b
Al sumar las áreas de los rectángulos inscritos para i = 1, 2, 3 ….. n obtenemos la
subestimación del área real A
De manera análoga la suma de las áreas de los rectángulos circunscritos es la
sobreestimación
La desigualdad implica que An A An , entonces
Las desigualdades se invierten si f`x fuera decreciente. Si el número n de subintervalos es muy grande, de modo que x sea muy pequeño, entonces la diferencia entre las áreas An y An de los polígonos inscritos y circunscritos será muy pequeña. Por tanto ambos valores serán muy cercanos al área real A de la región R.
UNIVERSIDAD FERMIN TORO2
f (xi-1)
Pero , cuando
El área de la región R está dada por:
Al aplicar la fórmula o Ecuación recordemos que y
para i=0, 1, 2, …..n pues xi está a i pasos de longitud a la derecha de
Ejemplos.
1) Determinar el área bajo la gráfica de f(x)=x2 en el intervalo .
Solución:
Si dividimos 0, 3 en n subintervalos, de la misma longitud.
Por tanto: sustituimos
aplicando propiedad de sumatorias,
UNIVERSIDAD FERMIN TORO3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
= aplicamos la fórmula de sumatoria
aplicamos límite cuando
pues y tienden a cero cuando
... A = 9u2
y = x2
A = 9u2
Ejemplo:
2) Determine el área bajo la gráfica de f(x):100-3x2 de x=1 a x=5
Solución: El intervalo es 1 , 5
Ahora apliquemos la fórmula
UNIVERSIDAD FERMIN TORO4
xi-1 xi
x
aplicamos fórmulas correspondientes a cada caso.
Simplificamos (n)
-
Aplicamos límite
A=276 u2
SUMAS DE RIEMANN
Las sumas de aproximación en la ecuación y son ambas de la
forma donde xi* es un punto seleccionado en el iésimo subintervalo
UNIVERSIDAD FERMIN TORO5
,00
,10
,20
,30
,40
,50
,60
,70
,80
,90
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
2,10
2,20
2,30
2,40
2,50
2,60
2,70
2,80
2,90
3,00
X
-4,0
-2,0
0,0
2,0
4,0
6,0
F(x)
a = x0 x1 x2 …… xi-1 xi xn = b
Una función f definida en a , b que no necesariamente es continua o positiva. Una partición P de a , b es una colección de subintervalos x0, x1, x1, x2, x2, x3,….xn-1, xn de a , b de modo que a = x0 x1 x2 x3 ….. xn-1 xn = b
La NORMA de la partición P es el máximo de las longitudes de los subintervalos en P y se denota .
Para obtener una suma como , necesitamos un punto en el iésimo
subintervalo para cada i, 1 i n. Una colección de puntos donde *,ix en (para cada i) es una selección para la partición P.
Esto define la suma de Riemann para una función f en un intervalo a
, b , S una selección para P, entonces la suma de Riemamn
En la siguiente gráfica de la función en el intervalo 0, 3
Suma según los extremos izquierdos
UNIVERSIDAD FERMIN TORO6
,00
,10
,20
,30
,40
,50
,60
,70
,80
,90
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
2,10
2,20
2,30
2,40
2,50
2,60
2,70
2,80
2,90
3,00
X
-4,0
-2,0
0,0
2,0
4,0
6,0
F(x)
,00
,10
,20
,30
,40
,50
,60
,70
,80
,90
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
2,10
2,20
2,30
2,40
2,50
2,60
2,70
2,80
2,90
3,00
X
-4,0
-2,0
0,0
2,0
4,0
6,0
F(x)
Según los extremos derechos Según los puntos medios
R= Rmed = ,
LA INTEGRAL DEFINIDA SEGÚN RIEMANN
El matemático alemán G . F. B Riemann (1826 -1866) Proporcionó una definición rigurosa de la integral.
Definición: La integral definida de la función f de a a b es el número
UNIVERSIDAD FERMIN TORO7
Siempre que el límite exista, en cuyo caso decimos que f es integrable en [a, b]. La ecuación significa que, para cada número > 0, existe un número > 0 tal que
<
Para cada suma de Riemann asociada con una partición arbitraria P de [a, b] para la que <
Nota: La palabra límite se usa para denotar el número mínimo y el número máximo del intervalo [a, b] y no tiene nada que ver con las definiciones de límite dadas anteriormente.
La notación usual para la integral de f de a a b, debida al filósofo y matemático alemán G. W Leibniz, es:
Esta notación integral no solo es altamente sugerente, sino que también es útil, en extremo para el manejo de las integrales. Los números a y b son el limite inferior y el limite superior de la integral, respectivamente, son los extremos del intervalo de integración.
La variable x se puede reemplazar por cualquier otra variable sin afectar el significado de la Ecuación.
Así si f es integrable en [a, b] , entonces
; es el integrando.
La integral dada, de la integral definida, se aplica solamente cuando a < b, pero es conveniente incluir, cuando a > b y a = b.
* Si a = b
UNIVERSIDAD FERMIN TORO8
* Si a > b
Definición: Se llama integral definida entre a y b de f(x), y se denota al área de
la porción del plano limitado por la grafica de la función f(x), el eje x y las rectas x = a y x = b.
TEOREMA DE EVALUACIÓN DE INTEGRALES
“ Si G es una primitiva de la función continua f en G(b) – G(a) se abrevia generalmente [
G(x) ]ab entonces
Ejemplo: Evaluar
1)
= - (-1) – (-1) = +1 + 1 = 2
2)
3)
Propiedades de las Integrales Definidas
Sea f una función integrable en :
UNIVERSIDAD FERMIN TORO9
Propiedad 1:
Es decir, si la base del área de la región bajo la curva
es cero, el área es cero.
Propiedad 2:
> 0 , x y f(x) > 0, Es decir, el área de la región bajo la curva siempre
será positiva si f(x) es positiva.
Propiedad 3:
< 0, x y f(x) < 0, Es decir, el área de la región bajo la curva siempre
será negativa si f(x) es negativa.
Propiedad 4:
= + , Si f es una función integrable en un intervalo que contiene
los puntos a, b, c talque a < b < c.
Propiedad 5:
Si f y g son funciones integrables en [a,b].
Propiedad 6:
para toda constante k
Propiedad 7:
UNIVERSIDAD FERMIN TORO10
= - Al intercambiar los limites de integración cambia el signo de la
integral.
Propiedad 8:
Si f y g son funciones integrables [a,b] y si f(x) g(x).
Propiedad 9:
Es decir, si la función es constante su integral es el producto de la
constante por la diferencia de los límites de integración.
Ejemplos
Calcular la integral definida de las siguientes funciones:
1)
Solución : como es una constante, entonces: = 7(5-2) = 7(3) = 21 (Por prop. 9)
2) y entonces calcular
Solución:
=
UNIVERSIDAD FERMIN TORO11
= 5(4) – 3(2) + 8 Sustituyendo = 20 – 6 + 8 = 22
3) Calcular el área bajo la gráfica aplicando la integral definida.
4 3 2 1
1 2 3 4 5
Solución:
4) Evalúe
reescribimos
Solución:
integrando obtenemos
UNIVERSIDAD FERMIN TORO12
Sustituimos aplicando la definición
=
Ejercicios Propuestos
a) R/ = 2025/4
b) R/ = -1661/12
c) R/ = 6
d) R/ = 8.2
e) y dy R/ = 1
f) R/ = 192
g) R/ = 1/4
h) R/ = 1/2
i) R/ = 1/4
j) R/ = 4/
UNIVERSIDAD FERMIN TORO13
k) R/ = 23.37
l) R/ = 3/2 e (e2-1)
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] y F es una primitiva de f en [a, b],
entonces = F(b) – F(a); la diferencia F(b) – F(a) se denota por el símbolo
o por .
Estrategia para usar el teorema fundamental del cálculo
1. Supuesta conocida una primitiva de f, disponemos de un nuevo recurso para calcular integrales definidas que no requiere hallar el límite de una suma.2. Use la siguiente notación para aplicar el teorema fundamental del cálculo
= = F(b) – F(a).
Nota: No es necesario incluir una constante de integración C en la primitiva.
Ocurren los siguientes casos:
1) Si a > b se tiene
=- [F(a) – F(b)] = F(b) – F(a)
2) a = b se tiene
Ejemplos
UNIVERSIDAD FERMIN TORO14
Evaluar
a)
b)
c)
* Aplicación del teorema fundamental del cálculo para hallar un área.
d) Calcular el área de la región acotada por la gráfica f(x) = x2 en el intervalo nótese que y 2.
UNIVERSIDAD FERMIN TORO15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
Área = .
Nota: Este ejercicio esta resuelto al inicio de la unidad usando sumatoria.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES DEFINIDAS
Si f es continua en el intervalo cerrado , entonces existe un número “c” en tal
que , c puede ser cualquier punto de .
Si despejamos f(c) tendríamos:
obteniéndose así la definición del valor medio de una función en un
intervalo cuyo teorema es:
“Si f es integrable en el intervalo cerrado , el valor medio de f en a,b) es
f med ”
Ejemplo
a) Halle el valor medio de en el intervalo 1,4 en este caso a =1, b = 4
f med
UNIVERSIDAD FERMIN TORO16
GRAFICO f(x) = 3x2-2x
x Y1 12 83 234 40
La figura muestra que el área de la región bajo la grafica de f es igual al área del rectángulo cuya altura es el valor medio.
b) Encuentre un número c que satisfaga la conclusión del teorema del valor medio para la
siguiente integral definida
Recordemos que esta ya es un área conocida igual a 9 unidades cuadradas, por tanto
Como f(x) = x2 entonces c2 = 3
UNIVERSIDAD FERMIN TORO17
c = que es valor que satisface la conclusión del teorema.
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
En varias ciencias, como las ciencias sociales, frecuentemente aparecen funciones en las que se conocen de ellas solo su gráfica o algunos puntos de la misma. En estos casos no es posible calcular la antiderivada de la función para determinar el área de la región limitada por dicha función. Existe un método que proporciona una aproximación al valor del área y que se conoce con el nombre de “INTEGRACIÓN NUMÉRICA”. Este método se utiliza en los casos en que es muy complicado o imposible obtener la antiderivada de la función.
Para aproximar el área de una región usaremos los siguientes métodos:
1) Método del Trapecio
Una forma de aproximar el valor de una integral definida es usar “n” trapecios como lo muestra la figura:
x = 0 x1 x2 x3 x4 = b
UNIVERSIDAD FERMIN TORO18
En este método se supone que f es continua y positiva en de manera que la integral
representa el área de la región limitada por la grafica de f y el eje x, entre x=a y x=b.
En primer lugar partimos en n subintervalos, cada uno de anchura tales que
a= = b
A continuación formamos un trapecio sobre cada subintervalo como lo muestra la figura
f(x0)
f (x1)
x0 x1
donde el área del i-ésimo trapecio = por tanto la suma de las áreas
de los n trapecios es:
Área =
que es la regla del trapecio para
aproximar
Ejemplo:
1) Use la regla de los trapecio para estimar con n=5
UNIVERSIDAD FERMIN TORO19
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
Primero calcular
Segundo aplicar la ecuación
=
=
=
y = x2
A = 9.18 u2
2) Use la regla del trapecio para estimar con n=4 y n=8
Cuando n=4
=
Cuando n=8
UNIVERSIDAD FERMIN TORO20
GRAFICA
como vemos
y
Por tanto tenemos
Utilizando la calculadora obtenemos 1.974 u2 que se aproxima al área exacta que es 2u2
Ejercicios Propuestos
Aproxime el valor de la integral para el “n” que se especifique usando la regla del trapecio.
UNIVERSIDAD FERMIN TORO21
a) R/ = 8/3 u2
b) R/ = 416/3 u2
c) R/ = 38/3 u2
d) R/ = 2/3 u2
e) R/ = 0.089 8.9 * 10-2
UNIVERSIDAD FERMIN TORO22