Unidad I Progresiones Progresiones Aritméticas finales 2015/Matematicas... · Academia(de(Matemáticas,(Física(e(Informática( Guía Anual Matemáticas 6 – Área 3 y 4(Unidad

Academia de Matemáticas, Física e Informática Guía Anual Matemáticas 6 – Área 3 y 4

Unidad I Progresiones

Progresiones Aritméticas 1. Calcula el término que ocupa el lugar 100 de una progresión aritmética

cuyo primer término es igual a 4 y la diferencia es 5. Respuesta:

2. Obtener a13 de una progresión aritmética si a1 es 12 y la diferencia es

de -¼ Respuesta:

3. El décimo término de una progresión aritmética es 45 y la diferencia es

4. Halla el primer término. Respuesta:

4. Obtener el primer término de una progresión aritmética sabiendo que el

vigésimo primer término es igual a 25 y la diferencia es de 3 unidades. Respuesta:


5. Sí que el primer término de una progresión aritmética es -5, la diferencia 4 y el término n-ésimo es 71, halla el número de términos.

Respuesta:

6. Obtener n de una progresión aritmética sabiendo que a1 es ½ ; an es

igual a 15/2 y la diferencia es de ¼ unidades. Respuesta:

7. Halla la diferencia, sabiendo que a3 = 24 y a10 = 66. Respuesta:

8. Halla la diferencia, sabiendo que a7 = 14 y a27 = 814. Respuesta:

9. Obtener octavo término de una progresión aritmética sabiendo que el

vigésimo primer término es igual a 25 y la diferencia es de 3 unidades. Respuesta:


10. Obtener el quinto término de una progresión aritmética sabiendo que el vigésimo octavo término es igual a 53 y la diferencia es de 2 unidades.

Respuesta:

11. Obtener a32 de una progresión aritmética sabiendo que a6 es igual a -

12 y la diferencia es de ½ de unidad. Respuesta:

12. Interpola cuatro medios aritméticos entre los

números 7 y 27. 7,____,____,_____,____,27

13. Interpola cinco medios aritméticos entre los

números -2 y 26. -2,____,____,_____,____,____,26

14. Halla la suma de los 20 primeros términos de la progresión sabiendo

que los primeros términos son: 5,8,11,14,... Respuesta:


15. Encuentra la suma de los primeros 13 términos de la progresión: 15, 11.5, 8, ….

Respuesta:

16. Calcula los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que sus medidas,

expresadas en metros, están en progresión aritmética de diferencia 3. Respuesta:

17. Calcula tres números sabiendo que están en progresión aritmética, que

su suma es 18 y que la suma del primero y del segundo es igual al tercero disminuido en dos unidades.

Respuesta:

18. Sabiendo que las medidas de los tres ángulos de un triángulo están en

progresión aritmética y que uno de ellos mide 100º, calcula los otros dos.

Respuesta:


Progresiones Geométricas 1. Calcula el término undécimo de una progresión geométrica cuyo primer

término es igual a 1 y la razón es 2. Respuesta:

2. Determina el 7° término de la progresión 200, 100, 50, … Respuesta:

3. Obtener el valor de a15 si a1 es 24 y r es igual a ¼ Respuesta:

4. En una progresión geométrica la razón es de ½ y el octavo término es

1/8. Calcula el 1er término. Respuesta:

5. Determina el primer término de una progresión geométrica si sabemos

que la razón es de -2 y el vigésimo término es 64 Respuesta:


6. Determina el primer término de una progresión geométrica si sabemos que la razón es de -2/3 y el décimo término es de 16/81

Respuesta:

7. Obtener el número de elementos de la progresión:

-2, -6, …, -162 Respuesta:

8. ¿De cuántos términos está formada una progresión geométrica cuyo

primer término es 1, el último es 512 y la razón es de igual a 2? Respuesta:

9. Si en una progresión geométrica el quinto término es 3 y el noveno

término es 3/16 ¿Cuál es el valor de la razón? Respuesta:

10. Si a4 es igual a 4 y a7 es igual a 32 ¿Cuál es el valor de la razón? Respuesta:


11. Interpola cinco medios geométricos entre ½ y 32 Respuesta:

12. Interpola tres medios geométricos entre 12 y 4/27 Respuesta:

13. Encuentra la suma de los primeros 6 términos de la progresión

-9,-3,-1,… Respuesta:

14. Encuentra el número de términos de una progresión geométrica, si la

suma es de 255, el 1er término es -3 y la razón es -2 Respuesta:

15. En una progresión geométrica a2 es 6 y r es de 0,5; calcula la suma de

todos sus términos. Respuesta:


16. Un muchacho piensa ahorrar durante todos los días de un mes. Un peso el primer día, 2 pesos el día 2, 4 el día 3, 8 el cuarto día, y así sucesivamente hasta llegar a día 30. ¿Cuánto ahorraría en el mes?

Respuesta:

17. Una fábrica de caramelos vende 7000 Kg de caramelos el primer año

que se instaló y cada año triplica sus ventas, ¿cuántos Kg venderá el noveno año de su existencia? ¿cuántos años habrán pasado para que sus ventas superen el millón de Kg?

Respuesta:

18. Al construir un edificio se estima que el costo de cada piso es 1.42

veces el costo del piso anterior. Si la planta baja de un edificio destinado a oficinas se estima en $ 96,000.00, ¿cuál será el costo total del edificio, el cual tendrá 4 pisos?

Respuesta:


Progresiones Armónica 1. ¿Cuál es el valor del 9° término de la progresión armónica cuyo primer

término es igual a 1 y el valor de d es 2? Respuesta:

2. Calcula el décimo término de la progresión armónica:

13 ,16 ,19 ,…

Respuesta:

3. Determina el 8° término de la progresión armónica:

14 ,

314 ,

316 ,…

Respuesta:


5,107 ,

56 ,…

Respuesta:


23 ,12 ,25 ,…

Respuesta:


Unidad II Funciones

Expresar una función 19. Un rectángulo tiene un perímetro de 20m. Exprese el área del rectángulo como función de la longitud

de uno de sus lados. 20. Un rectángulo tiene un área de 16 m2. Exprese su perímetro como función de la longitud de uno de

sus lados. 21. Una ventana “normanda” tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Si el

perímetro de la ventana es de 30 pies, exprese el área “A” como función del ancho “x”.

Dominios 1.

𝑓 𝑥 = 𝑥³ + 2𝑥² − 3𝑥 − 1

𝑥 ∈ _____________________

2.

𝑓 𝑥 = 𝑥! − 2𝑥² − 3𝑥

𝑥 ∈ _____________________

3.

𝑓 𝑥 = 2𝑥! − 3𝑥! − 3𝑥

𝑥 ∈ _____________________

1.

𝑓 𝑥 =2𝑥 − 1𝑥 − 5

𝑥 ∈ _____________________

2.

𝑓 𝑥 =2𝑥

4𝑥 − 5

𝑥 ∈ _____________________

3.

𝑓 𝑥 =2𝑥 − 16𝑥 − 5

𝑥 ∈ _____________________


4.

𝑓 𝑥 = 4𝑥! − 𝑥

𝑥 ∈ _____________________

5. 𝑓 𝑥 = 𝑥! + 2𝑥

𝑥 ∈ _____________________

6. 𝑓 𝑥 = 𝑥! + 6𝑥 + 5

𝑥 ∈ _____________________

7.

𝑓 𝑥 =𝑥 − 2𝑥 + 4

𝑥 ∈ _____________________

8.

𝑓 𝑥 =𝑥 + 1𝑥 − 5

𝑥 ∈ _____________________

9.

𝑓 𝑥 =2− 𝑥𝑥 − 6

𝑥 ∈ _____________________


Rangos 1.

𝑓 𝑥 =3𝑥 + 23𝑥 + 4

𝑦 ∈ _____________________

2.

𝑓 𝑥 =6𝑥 − 32− 3𝑥

𝑦 ∈ _____________________

3.

𝑓 𝑥 =3𝑥 + 24𝑥 − 4

𝑦 ∈ _____________________

4. 𝑓 𝑥 = − 2− 𝑥 + 2

𝑦 ∈ _____________________

5. 𝑓 𝑥 = − 𝑥 + 2− 3

𝑦 ∈ _____________________

6. 𝑓 𝑥 = 𝑥! + 1

𝑦 ∈ _____________________

7.

𝑓 𝑥 =𝑥 − 2𝑥 + 4

𝑦 ∈ _____________________

8.

𝑓 𝑥 =𝑥 + 1𝑥 − 5

𝑦 ∈ _____________________

9.

𝑓 𝑥 =2− 𝑥𝑥 − 6

𝑦 ∈ _____________________


Función inversa 1. ( ) 3−= xxf

( )=− xf 1

2. ( ) 23 += xxf

( )=− xf 1

3. ( ) 2xxf =

( )=− xf 1

4. ( ) 1+= xxf

( )=− xf 1

5. ( ) 32 +−= xxf

( )=− xf 1

6. ( ) 212 −−= xxf

( )=− xf 1


Límites

1. =→ 72lim

0x

2. =−∞→

2

32lim e

x

3. ( )=−

→32lim

2x

x 4. ( )=−−

−→12lim 2

2xx

x

5. =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−

−→ xxxx

x 2

2

1

23lim 6.

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−++

→ 238lim 2

2

1 xxx

x

7. =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−++

→ 422lim 2

2

2 xxx

x 8. =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−−

→ 945lim 2

2

3 xxx

x


9. =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

++→ xx

xxx 2

2

1

23lim 10.

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−+

→ 232lim 2

2

2 xx

x

11. =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−−

→ 81435lim 3

2

2 xxx

x

12. =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−+

−→ 4253lim 2

2

2 xxx

x

13.

=−

−−→ 8

445lim 3

2

2 xx

x

14.

=−

−+→ 9

516lim 2

2

3 xx

x


15. ( )=−−∞→

42lim xxx

16. ( )=−+∞→

xxx

3lim

17. =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−−

∞→ 2343lim 2

2

xxx

x

18.

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−+∞→ 12

232lim24

2

xxxx

x

19. =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−

∞→ 23324lim

2

xxx

x 20. =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−+−∞→ 43

34lim36

23

xxxxx

x


Continuidad

1. Determinar el intervalo donde ( )41

2 −−

=xxxf

es continua.

2. Determinar el intervalo donde

( )311

523 +−−−

=xxx

xxf es continua.

3. Determinar el intervalo donde ( ) 3−= xxf es continua.

4. Determinar el intervalo donde ( ) 1522 −−= xxxf es continua.


( )⎩⎨⎧

≥

<=

2422

xsixsixxf es continua.


( )⎩⎨⎧

>−

≤−=

032012

xsixxsixxf es continua.


( )⎩⎨⎧

≥−

<+=

21221

xsixxsix

xf es continua

8. Determina el intervalo donde

( )⎩⎨⎧

≥−

<−=

1132

xsixxsix

xf es continua


Derivada por definición (Método de los 4 pasos)

1. 54)( 2 −−= xxxf

2. 52)( 3 +−= xxxf

3. 12)( += xxf

4. xxxf 1)( −

=


Unidad III Derivada

1. =

−=

)('43)(

xf

xf 2. =

=

)(')( 2

xfexf

3. =

=

)x('fx)x(f

4. =

=

)y('fy)y(f

5. =

=

)z('qz)z(q

6. =

=

)t('rt)t(r

7. =

=

)(')( 4

θ

θθ

WW

8. =

= −

)(')( 2

rQrrQ

9. =

=−

)(')( 3

1

tTttT

10. =

=

)(')( 2

5

rPrrP

11. =

=

)(')(xf

xxf

12. =

=

)(')( 3 4

ygyyg

13. =

=

)x('fx)x(f 23

14. =

=

)x('fx)x(f 52

15. =

−+= −

)x('fxxx)x(f 32 253

16. =

−+=−

−

)('432)( 4

3312

xfxxxxf


17. =

++=

)('

242)( 33 2

xfxx

xxf

18. =

−−=

)('

243)( 5

2

3 2

xfxx

xx

xxf

19.

( )=

+=−

)x('fxx)x(f 32 23

20. ( )

=

−+=

−+=

)x('fxx)x(f

xx)x(f21

432

4322

2

21. ( )=

++=

++=

)('23)(

23)(21

23

23

xfxxxf

xxxf

22.

( )( )=

−−=

−−=

)('14)(

14)(32

2

3 22

xfxxxf

xxxf

23. ( ) ( )=

+−=

)x('fxx)x(f 53 23 24. ( ) ( )

=

−+=

)x('fxx)x(f 54 4352


25. ( )=

−+=

)x('fxx)x(f 25

26.

( )=

+−=

)x('fxx)x(f 432

27.

=−

+=

)x('fxx)x(f

21

28. =

+=

)('

4)(

xfxxxf


29. ( ) =

+=

xfxsenxf

')18()( 2

30. ( )==

xfsenxxf

')( 4

31. ( ) =

+=

xfxxf

'24cos)( 32.

( )==

xfxxf

'2cos)( 3

33. ( ) =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

=

xfxxxf

'26tan)(

34. ( ) =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

xfxxxf

'

12tan)(

35. ( ) =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

=

xfxxxf

'32cot)(

36. ( )=

+=

xfxxxf

'926cot)(

37. ( )=

+=

xfxxf

'36sec)(

38. ( )=

=

xf

xxf

'46sec)(


39. ( )

( )=+=

xfxxxf

'223csc)(

40. ( ) ==

xfxxf

'6csc)( 7 6

41. ( ) ==

xfxxf

'6ln)(

42. ( )

( ) =−=

xfxxf

'98ln)(

43. ( ) =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

x'fx92x8ln)x(f

44. ( ) =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+

=

xfxxxf

'9987ln)(

45. ( )==

xfxxf

'8log)( 5

46. ( )

( ) =−=

xfxxf

'811log)( 6

47. ( )

( ) =−+=

xfxxxxf

'2log)( 23

48. ( )( ) =

−=

xfxxf

'9log)( 3

2


49. =

= −

)(')(

23

xfexf xx

50. =

= −

)(')(

23

xfexf xx

51. ( )

=

= +

)(')(

3 222

xfexf xx

52. =

= −

)(')( 2

xfexf xx

53. ( ) == −

+

xfxf x

x

'4)( 59

26

54. ( ) == +

xfxf x

'3)( 26


Derivada de funciones Implícitas 55. 2522 =+ yx 56. 3649 22 =+ yx

57. 122 =++ yxyx 58. 01252 22 =−−++ yxyx

59. xyyx =+ 22 60. 1522

3 =+− xyxxy

x


61. ( ) ( )

=

=

)('22)(

xfxCosxSenxf

62. ( )

=

=

)('2)( 2

xfxCosxf

63. ( )

=

=

)('3)( 23

xfxTanxf

64. ( ) ( )

=

=

)('32)(

xfxCosxSenxf

65. ( ) ( )

=

=

)('22)( 2

xfxCosxSenxf

66. ( )( )

=

=

)('22

)(2

xfxCosxSen

xf


Aplicaciones de la Derivada

Regla de L’Hopital

1. =+++

+−→ 222

11 xx

xx lnlim

2. =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

→ senxxx

110

lim 3. =−

→ xsenxxx

x

coslim0

4. =−

→ x

xx

x 436lim

0

5. =−→ 221 eex

xx

lnlim 6. =−−

→ 11

0 xx ex )ln(lim


Obtener La Ecuación de la Recta Tangente y la Ecuación de la Recta Norma de la Curva en el punto indicado.

1. Curva ( )2142 2 −−= ,enxy

2. Curva ( )7253 2 ,enxy −−=


3. Curva ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−=

51

27

42 ,en

xxy

Curva 0162 22 =−++ yxx En el punto (3,1)


Máximos y Mínimos 1. Función

196)( 23 ++−= xxxxf

Operación

2. Función

24 6)( xxxf −= Operación


1. Función

2636152 23 −+−= xxxxf )(

2. Función

5223

41)( 24 ++−= xxxxf


Optimización 1. ¿Un hombre quiere sembrar un jardín utilizando un lado de su casa

como muro del jardín y colocando una cerca de alambre en los tres lados restantes. Encuentra las dimensiones del jardín más grande que pueda rodear utilizando 40 pies de malla de alambre?

Respuesta:

2. En el estacionamiento de una tienda se construirá un anexo rectangular que tenga un área de 600 pies2. Las paredes de tres lados se construirán en madera que tiene un costo de $7 el pie lineal. La cuarta se construirá con tabique que tiene un costo de $14 el pie lineal. Encuentre las dimensiones del anexo de mayor tamaño y menor costo.

Respuesta:


3. Se tiene una caja rectangular de base cuadrada cuyos lados miden x y de altura h. Determina las dimensiones para que la caja tenga un volumen de 320 cm3 y el área total de su superficie sea mínima.

Respuesta:

4. En la construcción de un recipiente cilíndrico de hojalata se emplean 100 in2, esta cantidad incluye las tapas. ¿Cuál es el mayor volumen posible que podría tener la lata?

Respuesta:


Razón de Cambio La posición de una partícula que se mueve sobre una recta horizontal es dada por

28182293

31 +−+−= tttts )( . Determinar la aceleración de la partícula cuando la velocidad es igual a cero.

Una escalera de 13m de largo está apoyada sobre una pared. Encuentra la rapidez con que baja el extremo superior de la escalera cuando su extremo inferior dista 5m del muro y se separa a razón de 5m/s.

Una persona está parada en un muelle y jala una lancha por medio de una cuerda. Sus manos están a 2m por encima del amarre de la lancha. Si la persona jala la cuerda a razón de 70cm/s. ¿Con qué rapidez se aproxima la lancha al muelle cuando se encuentra a 5m de él?

Un globo de forma esférica está siendo inflado a razón de 0.16 m3/min. ¿Cuál es el volumen del globo cuando su radio está aumentando a razón de 0.2 m/min?


Aplicaciones en la Economía

1. Una empresa estima que el costo por producir x artículos es de C(x)=0.02x2+3x+12000; ¿Cuál es el costo marginal de producir

600 artículos?

2. En una Empresa, la función de ingreso y la función de costo son I(x)=-‐2x2+340x y C(x)=3x2+600. Determina la utilidad máxima.

3. El costo estimado para producir “x” artículos está dado por C(x)=0.004x2+5x+6000; Encuentra el nivel de producción para obtener el costo promedio mínimo.


Unidad IV Integrales

1. dxxx

x∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−432

2. dxxx

x∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

333 32

3. dxx

x232∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

4. dxx

x2

3

3∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−


5. ( )∫ =− xdxx 32 23

6. ∫ =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ − dxx

xx

x 3

3

22 11

7. ( )

∫ =− dxx

x 22

8. ( ) ( )∫ =−− dxxxx 1436 32

9. ( )( )∫ −− dxxxx 42316

10. ( )( ) dxxxxx8232 34612∫ −−


11. dxxsen∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −π

2

12. dxxcos∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −π3

13. ( )dxxtanx∫ 2

14. ( )dxxcot∫ −π23

22. ( )dxxsecx∫ − π32 32

23. ( ) ( )∫ −− dxxxcscx 21 2


Integral por Partes 1. dx)xln(x∫ 22

2. dx)xln(x∫ 3

3. ∫ =+ xxdx1

4. ( )∫ =+ 3

2

1 x

dxx


24. ∫ =+ xxdx1

25. ( )∫ =+ 3

2

1 x

dxx

26. ∫ =dxxa x

27. ∫ =− dxex x2


28. ∫ =xdxsinx

29. ∫ =dxxsinx2

30. ∫ =dy)y(siny 32

31. ∫ =xdxsinx2

32. ∫ =senxdxex

33. ( ) =∫ dxxsene x 23


Integración por fracciones Parciales

1. =−−

+∫ dx

xxx

12434

2

2. =−+

−+∫ dx

xxxxx329134

23

2

3. ( )

=−

−+∫ dx

xxxx

2

2

33610

4. ( )

=−

+∫ dxxx

2132


Obtener la función

1. 20)6(653)(' 2 −==−+= fxxxxf

2. 0)2(24)(' 3 ==−= fyyyyf

3. 2

22cos)(' =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=+=ππ

θθθθ fsenf


Obtener el Área bajo la Curva

1. ( ) 623 21 ==−= xxxxf

34. ( ) 3x3x3xxf 21

3

=−==


Unidad V Matrices 1. Obtener los valores de las incógnitas para que las matrices sean iguales:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

7621

32266ywzx

2. Dada las matriz A y B; obtener 2B-A

A=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 014263

B=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

143610

3. Dada las matriz; obtener AB o BA.

A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

012345

B=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

022112

4. Determinar por el método de Gauss-Jordan los valores de las incógnitas:

2x – 5y = 13

4y + z = -8

1x – y – z = - 2

Documents

Unidad I Progresiones Progresiones Aritméticas finales 2015/Matematicas... · Academia(de(Matemáticas,(Física(e(Informática( Guía Anual Matemáticas 6 – Área 3 y 4(Unidad