unidad II (Determinantes y sistemas) para blog.doc

ALGEBRA II “La matemática honra el espíritu humano” Leibnitz UNIDAD N° 1

UNIDAD II

DETERMINANTE Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

En esta sección estudiaremos funciones reales de variables matricial, es decir funciones que a una matriz A la asocian un numero real F(A).La función determinante es una de estas funciones y al estudio de ella se centrara nuestra atención. Tiene aplicación muy importante en la teoría de sistemas de ecuaciones lineales y también nos conducirá a plantear una formula explícita para calcular la inversa de una matriz. Para poder definir la función determinante es necesario definir algunos conceptos preliminares relativos a permutaciones.

1.1.- Concepto de Permutación:Una permutación del conjunto de enteros {1,2,3,...,n} es un arreglo de estos enteros sin repeticiones, generalmente le presentamos por Pn al numero total de permutaciones que se pueden realizar con n elementos y una permutación genérica cualquiera por.

J1 = primer entero de la permutación.J2 = segundo entero de la permutación.J3 = tercer entero de la permutación....Jn = n-ésimo entero de la permutación.

Ejemplo.- Expresar la lista de todas las permutaciones de los enteros {1, 2, 3}

1 = {1,2,3} 2= {1,3,2}3= {2,1,3}4= {2,3,1}5= {3,2,1}6= {3,1,2}

Autor: Elio Romero Cuéllar Página 1


Método practico para determinar cada una de las permutaciones.-(ARBOL DE PERMUTACIONES)

Vamos a construir el árbol de permutaciones para un conjunto de cuatro enteros {1,2,3,4}.

Nos da:

1={1,2,3,4}, 2={1,2,4,3},......., 23={4,2,1,2}, 24={4,3,2,1}

Inversión en una permutación.- Se dice que ocurre una inversión en una permutación siempre que un entero se encuentre precedido por un entero mayor (>).

Ejemplo.- Determinar cuantas inversiones tienen las siguientes permutaciones.

1={4,2,1,3} El número de inversiones es 4.2={3,2,1} El número de inversiones es 3.3={4,3,5,1,2} El número de inversiones es 7.

Paridad de una permutación.- Es par una permutación si el número total de inversiones que tiene es un número par.Una permutación es impar si el número total de inversiones es impar (considerar el cero como par). Producto elemental de una matriz cuadrada (nxn).- Un producto elemental de una matriz cuadrada de orden (nxn) es el producto de n elementos de la matriz, en el que cada uno de los n elementos está en diferente fila y también en diferente columna.

Ejemplo.- Expresar tres productos elementales de una matriz genérica de3x3.

¿Cuantos productos elementales tiene una matriz (3x3)?

Sabemos que cada producto esta formado por tres elementos donde cada uno esta en fila y columna diferente.Vamos a tratar de expresar un producto elemental genérico, de entrada vamos a fijar que los elementos estarán en filas diferentes.


1

2 3 4

3 4 2 4 2 3

4 3 4 2 3 2

2

1 3 4

3 4 1 4 1 3

4 3 4 1 3 1

3

1 2 4

2 4 1 4 1 2

4 2 4 1 2 1

4

1 2 3

2 4 1 4 1 2

4 2 4 1 2 1


Para colocar en la posición columna nosotros tendríamos que rellenar con toda las permutaciones que se pueden hacer con tres enteros, es decir.

Una matriz de (3x3) tiene 6 productos elementales.Generalizando decimos que una matriz A de forma (nxn) tiene tantos productos elementales como permutaciones se pueden formar con el número de columnas.

Producto Elemental con Signo.- Si la permutación que define a un producto elemental es impar, entonces este tendría signo negativo (-), y si fuera par este tendría signo positivo (+).

Ejemplo.- Expresar todos los productos elementales con signo de una matriz de (3x3) genérica.

Definición de Función Determinante.-

Sea La matriz A perteneciente a los reales de forma (nxn), entonces la función determinante de A o el determinante de A se define como la suma de todos los productos elementales con signo.

Generalmente se denota por det(A), Det(A), IAI.

Ejemplo.- Determinar el determinante de una matriz de (3x3) genérica y luego el de la matriz A.



Métodos Prácticos Para Calcular el Determinante de una Matriz de (3x3)

Primer Método.- Consiste en repetir las dos primeras filas en la parte inferior de la matriz.

Segundo Método.- Consiste en repetir las dos primeras columnas a la derecha de la matriz.

Tercer Método.-

Propiedades de Determinantes:

Teorema 2.1.- Sea la matriz A(nxn), entonces el determinante es igual al determinante de la transpuesta, es decir:

Ejemplo.- Verificar el teorema 1.8 para la siguiente , matriz:

NOTA.- Debido a esta propiedad es que para la función determinante se pueden aplicar operaciones elementales de filas y de columnas con forma indistinta.

Teorema 2.2.- Para cualquiera matriz cuadrada se puede afirmar lo siguiente:

a) Si A tiene una columna o fila nula, entonces el det(A)=0.b) Si A tiene dos filas o columnas iguales, entonces el det(A)=0.



c) Si A es una matriz triangular superior o inferior, entonces el determinante de A es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

Ejemplo.- Calcular el determinante de las siguientes matrices usando el teorema 1.9 y verificar el resultado por cualquier otro método.

Teorema 2.3.- Si B es una matriz obtenida a partir de A aplicando:

a) B=A det(B)= - det(A)

P a,b

b) B=A det(B)=k·det(A)

M a·(k)

c) B=A det(B)=det(A)

A a,b·(k)

Teorema 2.4.- Sea A una matriz cuadrada, entonces las siguientes proposiciones son equivalentes.

a) A es inversible,b) A es no singular,c) el det(A)≠0

Teorema 2.5.- La función determinante es multiplicativa, es decir que el determinante de un producto de matrices es igual al producto de sus determinantes:

det(A·B)=det(A)·det(B)

Sin embargo la función determinante no es aditiva en el sentido que el determinante de la suma de dos matrices no es igual a la suma de los determinantes.

det(A+B)≠det(A)+det(B)

Menores y Cofactores

Definición de un menor de un elemento.- Si consideramos que aij pertenezca a una matriz A(nxn), entonces el menor de este elemento es el Autor: Elio Romero Cuéllar Página 5


determinante de la matriz que se forman al suprimir la fila “i” y la columna “j” de la matriz A generalmente se denota por:

|Mij|

Definición del cofactor de un elemento.- El cofactor de un elemento es el menor de ese elemento con signo o (menor con signo de ese elemento, se simboliza y define de la siguiente forma:

Teorema 2.6 (Desarrollo de Laplace) .- El determinante de una matriz A(nxn) se puede calcular multiplicando los elementos de una fila o columna por sus respectivos cofactores y sumando los productos resultantes o sea:

Calculo de la inversa de una matriz usando determinantes

Matriz Adjunta o Adjunta Clásica.- Sea la matriz A(nxn) si Cof(aij) es el cofactor del elemento aij de la matriz A, entonces:

La transpuesta de la matriz Cof(A) se denomina matriz adjunta de A y se denota y define por:

Adj(A)=[Cof(A)] t

Ejemplo.-

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

INTRODUCCION.-

DEFINICION Y GENERALIDADES.- Una ecuación lineal sobre el cuerpo de los números reales es una expresión de la siguiente forma:

a1. x1 + a2. x2 + ................ + an. xn = b (1)Donde:

a1, a2, ....... , an R se denominan coeficiente de las variables o incógnitas de la ecuación.

b R y se denomina termino independiente o constante de la ecuación.

x1, x2,............., xn R y se denominan variables o incógnitas de la ecuación.Autor: Elio Romero Cuéllar Página 6


Un conjunto de valores: x1 = k1, x2 = k2, ......., xn = kn que satisfacen la ecuación (1), se denomina solución de la ecuación.

Al tratar de encontrar una solución para una ecuación lineal se pueden presentar tres casos:

1er. Caso.- Si todos los coeficientes son iguales a cero y el término independiente es diferente de cero, entonces la ecuación no tiene solución.

Ejemplo.- 0.x1 + 0.x2 = 5

a1 a2 b

x1= , x2= En este caso la ecuación no tiene solución.

2do. Caso.- Si todos los coeficientes de las variables son iguales a cero y el término independiente es igual cero, entonces la ecuación tiene infinitas soluciones.

Ejemplo. 0.x1 + 0.x2 = 0

a1 a2 bx1R, x2 R

En este caso la ecuación tiene muchas o infinitas soluciones.

3er. Caso.- Si alguno de los coeficientes es no nulo, diferente de cero, entonces la variable correspondiente se puede despejar en función de las demás variables.

Ejemplo.- 0.x1 + 4.x2+ 3.x3= 4 a1 a2 a3 b

, es indeterminada, sin embargo,

Definición de sistemas de ecuaciones lineales.-

Un conjunto de ecuaciones lineales, es un sistema de ecuaciones lineales, por ejemplo un conjunto de “m” ecuaciones con “n” incógnitas, es un sistema de ecuaciones lineales.

La ecuación matricial de un sistema de ecuaciones lineales es la siguiente:



Matriz de los Matriz Matriz Columna Coeficientes de Columna de los términos las variables de las independientes o

variables constantes,

A. X = BEcuación matricial del sistema de ecuaciones lineales.

- Despejando X tenemos:

A . X = B A-1. A . X = A-1.B I . X = A-1.B

X = A-1.B

Ejemplo.-Resolver el sistema

Solución.-

Ejemplo.- Resolver del sistema

Solución.-

La matriz A no tiene inversa. 1No se puede resolver por este método

Matriz Aumentada de un sistema.- Se denomina así a la matriz de los coeficientes del sistema seguido de la matriz coeficientes del sistema seguido de la matriz de los términos independientes o constantes es decir:

[AIB]



Sistemas homogéneos y no homogéneos.- Un sistema se llama homogéneo si todos los términos independientes de las ecuaciones que lo componen son iguales a cero, es decir la matriz B es nula.

Un sistema se llama no homogéneo si algún término independiente es diferente de cero.

NOTA: Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneo, siempre tiene solución.

Teorema 2.7.-Si A1 y A2 son matrices R (mxn) y además equivalentes por filas entonces los sistemas A1X = 0 y A2X = 0, tienen las mismas soluciones.

Demostración.Si A1 A2, entonces existen, entonces existen matrices elementales E1, E2,........ En tales que:A2 = En,.............E2.E1,A1

A2=C.A1

C-1.A2=A1

Suponemos que la matriz X (A1) sea una solución del sistema I es decir:A1 + X (A1) = 0

Si pre-multiplicamos por C ambos miembros.C. A1 . X (A1) =C.0

Vemos claramente de X(A1) es también solución del sistema II.Si suponemos que la matriz X (A1) es una solución del sistema II es decir.

A2 * X(A1) = 0Si multiplicamos ambos miembros por C1 tenemos:

C1 * A2 * X (A2) = C-1 * 0

A1 X (A2) = 0

Se vé claramente que X .(A2) es solución del sistema I

Los sistemas A1.X=B1 y A2.X=B2 , tienen las mismas soluciones si y solo si A1A2 y B1B2. De aquí tenemos que A1= C. A2 y también A2= C-1.A1.Lo mismo ocurre con B1= C.B2 y también B2= C-1.B1. Con lo que tenemos: A1.X1=B1 A2.X2=B2

C.A1.X1=C.B1 C-1.A2.X2=C-1.B2

A2.X1=B2 A1.X2=B1

Con lo que demostramos la afirmación anterior.Sistemas compatibles e incompatibles.- Un sistema es compatible o consistente si y sólo si tiene solución y será incompatible o inconsistente si y sólo si no tiene solución.

Métodos de análisis de sistemas de Ecuaciones Lineales.-

1er. Método.Método de eliminación de Gauss o método matricial.- Si tenemos un sistema A.X = B, tomando la matriz aumentada de este sistema, trataremos Autor: Elio Romero Cuéllar Página 9


por este método y a través de operaciones elementales de fila transformar la matriz A de la matriz aumentada en una matriz equivalente, es colocando o escalón reducida y lógicamente toda operación elemental que apliquemos para este efecto también la debemos aplicar sobre la matriz B de la matriz aumentada:

Inicio del proceso [A|B]Final de proceso [A|B]

escalonada o E. R.

El sistema equivalente que nos da la 2da. Matriz aumentada es un sistema mucho más simple que el original y la solución del mismo, es solución del sistema original ya que ambas son equivalentes por filas.

Ejemplo.- Resolver por el método de gauss el siguiente. Sistema.

Solución.-

La solución del sistema es: (x1= 9/4; x2= 21/20; x3=-1/5)- Otra manera: Continuando hasta AE12

¿Cuando un sistema es incompatible?

Es incompatible o no tiene solución cuando es el sistema o en su equivalente existe alguna ecuación con todos los coeficientes iguales a cero, y el independiente diferente de cero. Si esto no sucede el sistema tiene solución y es compatible.

¿Cuando un sistema es compatible determinado, o sea tiene única solución?

Esto se determina a través de un parámetro llamado números de variables libres.

Nº V.L. = n - r

n = nº de filas no nulas de la matriz aumentada escalonada.r = nº de incógnitas.

Si el número de V.L. es igual a cero entonces el sistema tiene única solución.



¿Cuando un sistema es compatible indeterminado, o sea tiene infinitas soluciones?

Si el Nº V.L. >0 entonces el sistema tiene muchas soluciones

Ejemplo.- Resolver por el método de Gauss el siguiente sistema:

2)

Determinar los valores de y para que el sistema:a) Tenga solución única

b) Tenga muchas soluciones

c) No tenga solución.

Solución:

A) Tenga solución única.

B) Muchas soluciones

c) Sin solución



Ejemplo: Idem Anterior

Solución

a) Unica solución b) Muchas soluciones

Si = 29/6 el sistema es incompatible.

2do. Método (REGLA DE CRAMER).-

Sea el sistema de “n” ecuaciones con “n” incognitas.

Si A0, entonces la solución del sistema será:

Donde:

A es el determinante de la matiz de los coeficientes del sistema.



A1 es el determinante de la matriz a que se forma el reemplazar en la matriz de los coeficientes la columna “i” por la matriz de los términos independientes.

Ejemplo.-

Resolver el sistema por Cramer

Solución.-

Solución del Sistemax1= 17/15, x2=44/15, x3=2/3

“Cuando det (A) = 0, se puede afirmar que el sistema no tiene solución única”.

Trabajo de investigación.- Definir los métodos numéricos para resolver S.E.L.:

- Método Numérico Método Jacobi- Método de Gauss - Seidel.

Bibliografia para consultar - H. Antón- Grossman- Kolman.


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