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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZULA 1 UNIVERSIDAD PEDAGOGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR Limites y Continuidad INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO EXTENCION MERIDA Curso: Introduccin al Clculo
Lmites y ContinuidadUnidad II
Elaborado por: MARICHAL, Francisco V.- 17.340.996 MARTINEZ, Irwuim V.- 16.655.876 PEA, Rossana V.- 20.432.370LULO, Idmon V.- 8.010.048 MarichaF [Escribir el nombre de la compaa] Especialidad: Informtica [Seleccionar fecha]
Mrida, Enero de 2012
Limites y Continuidad
2
TABLA DE CONTENIDO
Introduccin Limites Limites Unilaterales Lmites Infinitos Limites Laterales Operaciones Algebraicas Lmites de Funciones Racionales Sucesiones Lmites de Sucesiones El numero E Teoremas sobre Lmites Asntotas Continuidad Resumen Referencias Consultadas 15 17 20 27 30 09 10 04 06
Limites y Continuidad
3
INTRODUCCION
Manteniendo la secuencia del contenido programtico del curso del cual en la Unidad I se abord de manera general algunas caractersticas de las graficas en el plano, en el desarrollo del presente informe correspondiente a la Unidad II se abordar un poco ms en profundidad lo que al contenido de Lmites y Continuidad se refiere tomando en cuenta algunos teoremas y definiciones prcticas para el anlisis y compresin de los enunciados.
As mismo se puede sealar que debido al conglomerado de formulas fueron encontradas incorporadas a lo largo de la de investigacin, grficas que unas series
permitirn mejor la comprensin de cada uno de los puntos abordados.
Limites y Continuidad
4
LIMITES:
En
matemtica,
el
lmite
es
un
concepto
que
describe la tendencia de una sucesin o una funcin, a medida que los parmetros de esa sucesin o funcin se acercan a determinado valor. En clculo (especialmente en anlisis real y matemtico) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivacin, integracin, entre otros.
Para frmulas, el lmite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha () como en an a.
LIMITES UNILATERALES: Hay casos en que las funciones no estn definidas (en los reales) a la izquierda o a la derecha de un nmero determinado, por lo que el lmite de la funcin cuando x tiende a dicho nmero, que supone que existe un intervalo abierto que contiene al nmero, no tiene sentido.
Ejemplo: f no esta definida para valores menores que 0; por lo que no tiene sentido; no obstante, se
pueden tomar valores suficientemente cercanos a 0 pero mayores que 0. En este caso x se aproxima a 0 por la derecha, lo cual permite definir el lmite unilateral por la derecha.
Limites y Continuidad
5
Para el lmite por la izquierda la situacin es similar, en ese caso la variable independiente se aproxima al nmero por la izquierda.
Lmite
unilateral
por
la
derecha:
Sea
f
una
funcin
definida en todos los nmeros del intervalo abierto (a, c). Entonces, el lmite de f (x), cuando x se aproxima a a por la derecha es L, y se escribe
Lmite unilateral por la izquierda: Sea f una funcin definida en todos los nmeros de (d, a). Entonces, el lmite de f (x), cuando x se aproxima a por la izquierda es L, y se escribe
Limites y Continuidad
6
LIMITES INFINITOS: Una funcin f(x) tiene por lmite + cuando x a, si fijado un nmero real positivo K>0 se
verifica que f(x)>k para todos los valores prximos a a.
Una funcin f(x) tiene por lmite - cuando x < k para todos los valores prximos a a.
a, si
fijado un nmero real negativo K < 0 se verifica que f(x)
LIMITES LATERALES: Hasta el momento hemos visto lmites de funciones cuyo trazo es continuo, sin cortes o saltos bruscos. presentan Sin embargo, existen algunas funciones que algunas discontinuidades, llamadas funciones
discontinuas y que estudiaremos en el tema continuidad de funciones. Nos dedicaremos ahora a estudiar los lmites en este tipo de funciones.
Limites y Continuidad
7
Consideremos la siguiente representacin grfica de una funcin : , en la que existe una discontinuidad cuando
Definicin de lmite por la derecha Se dice existe que tal si que y solo si si para cada
entonces en
es el lmite por la derecha de "a".
Limites y Continuidad
8
Observe que no hay barras de valor absoluto alrededor de , pues es mayor que cero ya que .
Definicin de lmite por la izquierda Se dice existe que tal si que y solo si si para cada
entonces en
es el lmite por la izquierda de "a".
Note que la expresin lo que .
es mayor que cero, pues
por
En adelante determinaremos los lmites laterales a partir de la representacin grfica de una funcin cuya ecuacin se da.
Limites y Continuidad
9
OPERACIONES ALGEBRAICAS DE LMITES:
Adicin
Sustraccin
Multiplicacin
Divisin
Races
Con constante
Limites y Continuidad
10
Potenciacin
Logaritmos
LIMITES
DE
FUNCIONES
RACIONALES:
Para estudiar el lmite de una funcin racional, se distinguirn dos casos:
Puesto que una funcin racional es el cociente de dos polinomios, para calcular su lmite puede aplicarse la regla para el clculo del lmite de un cociente de dos funciones:
Tanto
el
lmite son
del
numerador de
como
el
del
denominador
lmites
funciones
polinmicas,
cuyo clculo se explic en el apartado anterior.
Limites y Continuidad
11
Al
efectuar
estos
lmites
pueden
darse
varias
situaciones.
Se calculan en este caso los lmites de P(x) y Q(x) como funciones polinmicas y se halla su cociente.
Si el denominador se anula en x0, puede ocurrir que el numerador tambin se anule en x0, o que el numerador no se anule en x0.
Para resolver esto basta con tener en cuenta que si Q(x0) = 0 y P(x0) = 0, x0 es raz
Una
vez
hecha
la
simplificacin,
bien
dividiendo
P(x) y Q(x) entre x - x0 bien aplicando la regla de Ruffini, se vuelven a calcular los lmites de los polinomios ya simplificados. A.2.2. El lmite del numerador no es cero.
Limites y Continuidad
12
Para
resolver los
esta
indeterminacin
es
necesario de la
estudiar
lmites
laterales
Si ambos lmites laterales son iguales, la funcin tiene por lmite su valor. Si no son iguales, la funcin no tiene lmite.
Limites y Continuidad
13
SUCECIONES:
En
trminos
generales
una
sucesin
es
un
conjunto o coleccin de nmeros reales listados de forma ordenada. A los nmeros de la sucesin se les conoce como elementos de la sucesin. Una sucesin numrica es un conjunto ordenado de nmeros. Toda sucesin tiene una propiedad o ley de formacin de sus elementos.
Ejemplos de sucesiones:
A:
2,4,6,8,...
es
una
sucesin
infinita,
el
primer
trmino es 2 como ley de formacin los siguientes se obtiene sumando 2 en cada cada paso.
B: 0,5,4,2,9,8,6,7,3,1. Es una sucesin finita. Se trata de las cifras numricas ordenadas alfabticamente.
C: 1,2,3,4,5,... es la sucesin infinita de los nmeros naturales. Es la sucesin fundamental, pues nos sirve para ordenar las dems.
D: 1,4,9,16,25,... es la sucesin de los cuadrados de los nmeros naturales.
Limites y Continuidad
14
E:
1,1,2,3,5,8,13,...
esta
se
llama
Sucesin
de
Fibonacci. El primer y segundo elementos son 1,1. Los siguientes se obtienen sumando los dos anteriores.
F: 4,2,1, 0'5, 0'25, ... es una sucesin infinita en que el primer elemento es el cuatro y cada uno de los siguientes se obtiene dividiendo por 2 el anterior. G: 3,3,4,6,5,4, ... es una sucesin infinita. Cada
elemento es el nmero de letras que tiene la palabra que designa al correspondiente nmero natural.
Hay sucesiones numricas de muchos tipos, dependiendo de la ley de formacin. Puedes ponerte ejemplos t mismo: primero piensa en la ley de formacin y en el primer trmino y luego vete obteniendo otros trminos.
Para designar los trminos de una sucesin cualquiera utilizaremos la misma letra con subndices a1, a2, a3, a4,...,an, indicando que a1 es el primer trmino, a2 es el segundo, ... y an es el trmino de orden n -n es cualquier sucesin. nmero Por naturalen o trmino la general de la ejemplo, sucesin 2,4,6,8,...
pondremos a1=2, a2=4, a3=6, a4=8, ... , an=2n.
Limites y Continuidad
15
A
veces
el en
trmino funcin
general de
de
una
sucesin
se
puede
expresar
los
trminos
inmediatamente
anteriores. Por ejemplo, en la sucesin E de Fibonacci, se verifica an = an-2+an-1. Estas sucesiones se llaman recurrentes.
Otras veces no es posible encontrar un expresin para el trmino general y debemos conformarnos con la descripcin de la sucesin; por ejemplo, las sucesiones B y G.
LIMITES antiguos
DE
SUCECIONES: anlisis hacia y que un la
Es
uno
de
los El
conceptos mismo da Si
ms una una al
del
matemtico. punto se llamado dice que
definicin rigurosa a la idea de una sucesin que se va aproximando sucesin convergente, lmite. es una o tiene lmite, sucesin tiende
sucesin
converge
lmite. En caso contrario, la sucesin es divergente.
La al
definicin valor
significa La
que
eventualmente que impone
todos que
los los
elementos de la sucesin se aproximan tanto como queramos lmite. condicin elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesin tenga un lmite (Vase sucesin de Cauchy).
Limites y Continuidad
16
Qu
se
entiende
por
prximo
da
lugar
a
distintas
definiciones de lmite dependiendo del conjunto donde se ha definido la sucesin.
Una sucesin tiende a un valor
tal que
tiene lmite
, cuando
, si para todo valor
por pequeo que sea, hay tenemos que la
a partir del cual si es menor que
distancia de a
, es decir: .
Notacin
o bien o tambin
o simplemente
Ejemplos
La
sucesin
1/1,
1/2,
1/3,
1/4,
...
converge al
lmite 0.
La sucesin 1, -1, 1, -1, 1, ... es oscilante.
Limites y Continuidad
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La sucesin 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge al lmite 1. Si a es un nmero real con valor absoluto |a| < 1, entonces la sucesin an posee lmite 0. Si 0 < a 1, entonces la sucesin a1/n posee lmite 1.
EL NUMERO E: e} es el nico nmero a, tal que la derivada de la funcin exponencial f(x) = ax (curva azul) en el punto x = 0 es igual a 1. En comparacin, las funciones 2x (curva a puntos) y 4x (curva a trazos) son mostradas; no son tangentes a la lnea de pendiente 1 (rojo).
La constante matemtica e es uno de los ms importantes nmeros reales. Se relaciona con muchos interesantes resultados. Por ejemplo, la derivada de la funcin exponencial f(x) = ex es esa misma funcin. El logaritmo en base e se llama logaritmo natural o neperiano.
El nmero e, conocido a veces como nmero de Euler o constante de Napier, fue reconocido y utilizado por
Limites y Continuidad
18
primera vez por el matemtico escocs John Napier, quien introdujo matemtico. el concepto de logaritmo en el clculo
Est considerado el nmero por excelencia del clculo, as con como su lo es de la que geometra la e i del anlisis se complejo. El simple hecho de que la funcin ex coincida derivada hace funcin exponencial de encuentre frecuentemente en el resultado de ecuaciones diferenciales describe el sencillas. Como de consecuencia esto, fsicos comportamiento acontecimientos
regidos por leyes sencillas, como pueden ser la velocidad de vaciado de un depsito de agua, el giro de una veleta frente a una rfaga de viento, el movimiento del sistema de amortiguacin metlico de en un automvil de o el cimbreo De la de un edificio caso terremoto. misma
manera, aparece en muchos otros campos de la ciencia y la tcnica, describiendo fenmenos elctricos y electrnicos (descarga de un condensador, amplificacin de corrientes en transistores BJT, etc.), biolgicos (crecimiento de clulas, etc.), qumicos (concentracin de iones, periodos de semidesintegracin, etc.), y muchos ms.
El nmero e, al igual que el nmero , es un nmero trascendente, directamente es decir, la que no puede de ser una obtenido ecuacin mediante resolucin
algebraica. Por lo tanto, es un irracional y su valor
Limites y Continuidad
19
exacto no puede ser expresado como un nmero finito de cifras decimales o con decimales peridicos. Su valor aproximado (truncado) es: e 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995... La definicin ms comn de e es como el valor lmite de la serie
que se expande como
Otra
definicin
habitual3
dada
a
travs
del
clculo
integral es como solucin de la ecuacin:
que implica
es decir que se define e como el nmero para el que
o lo que es lo mismo, el nmero para el que
Limites y Continuidad
20
TEOREMAS SOBRE LMITES
Unicidad del lmite de una funcin: Si una funcin tiene lmite es nico.
H) T) b es nico
Existe
limx->af(x)=b
Demostracin La demostracin x se hace por tiende reduccin a al absurdo. a.
Suponemos que f(x) tiene dos lmites distintos b y c, cuando Suponemos que b > c.
limx->af(x)=b => (por def. de lmite) para todo Eb, existe un E*a,1 / para todo x perteneciente al E*a,1 f(x) pertenece al Eb,.
limx->af(x)=c => (por def. de lmite) para todo Ec, existe un E*a,2 / para todo x perteneciente al E*a,2 f(x) pertenece al Ec,.
Consideremos un tal que Eb, Ec, = .
Limites y Continuidad
21
Queremos que c+ < b- => < (b - c)/2 Sea = min {1,2} Para todo x perteneciente al E*a, se cumple
f(x) pertenece a Eb, f(x) pertenece a Ec,
Absurdo, pues f(x) no puede pertenecer a dos entornos disjuntos.
Absurdo
de
suponer
b
c.
Por lo tanto b = c.
Limites y Continuidad
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Lmites laterales
Lmite de f(x) en el punto a por la derecha: limx>a+f(x)=b para todo > 0 existe > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + ) |f(x) - b| < .
Lmite de f(x) en el punto a por la izquierda: limx>a-f(x)=b para todo > 0 existe > 0 / para todo x perteneciente a (a - ,a) |f(x) - b| < .
Nota: x->a+ indica que x tiende a a por la derecha, es decir que x pertenece al entorno (a,a + ).
x->a- indica que x tiende a a por la izquierda, es decir que x pertenece al entorno (a - ,a).
A
veces
las
funciones
son
discontinuas
o
no
estn
definidas en un punto a, pero son continuas a uno y otro lado. En estos casos, el lmite por la izquierda puede ser distinto del lmite por la derecha.
Ejemplo f(x) = x2 si x 2
Limites y Continuidad
23
limx->2-f(x)=4 limx->2+f(x)=-3 No existe limx->2f(x)
Existe
el
lmite
finito
de
una
funcin
los
lmites laterales son iguales: H) limx->af(x)=b T) limx->a+f(x) = limx->a-f(x) = b
Demostracin: Directo: limx->af(x)=b => (por def. de lmite) para todo > 0 existe > 0 / para todo x perteneciente al E*a, f(x) pertenece al Eb,.
Limites y Continuidad
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=>
para
todo
>
0
existe
>
0
/
para
todo
x
perteneciente a (a - ,a) f(x) pertenece al Eb, => (por def. de lmites laterales) limx->a-f(x)=b. y para todo > 0 existe > 0 / para todo x
perteneciente a (a,a + ) f(x) pertenece al Eb, => (por def. de lmites laterales) limx->a+f(x)=b.
Recproco:
limx->a+f(x)=b
=>
(por
def.
de
lmites
laterales) para todo > 0 existe 1 > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + 1) f(x) pertenece al Eb,.
limx->a-f(x)=b => (por def. de lmites laterales) para todo > 0 existe 2 > 0 / para todo x perteneciente a (a 2,a) f(x) pertenece al Eb,. Sea = min {1,2} Para todo x perteneciente a E*a, f(x) pertenece al Eb,. => (por def. de lmite) limx->af(x) = b.
Ejemplo: en la funcin del ejemplo anterior, no existe limx->2f(x), pues limx->2-f(x) limx->2+f(x).
Limites y Continuidad
25
Conservacin
del
signo:
Para
valores
de
x
suficientemente prximos al valor de tendencia, la funcin tiene el mismo signo que su lmite.
H) limx->af(x)=b > 0 T) Existe > 0 / para todo x perteneciente al E*a, f(x) > 0
Demostracin: limx->af(x)=b => (por def. de lmite) para todo > 0 existe > 0 / para todo x perteneciente al E*a, f(x) pertenece al Eb,.
Es decir, b - < f(x) < b + . Consideremos < b => 0 < b - < f(x) => f(x) > 0.
As, basta considerar un menor que b, para tener un entorno de a donde f(x) es mayor que 0.
Limites y Continuidad
26
Nota:
El
teorema
tambin
se
cumple
para
valores
negativos.
Si la funcin tiene distinto signo en la mitad izquierda del entorno de a que en la mitad derecha, entonces su lmite en a vale 0.
Limites y Continuidad
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ASINTOTAS
Las
a s n t o tas a las
verticales cuales la
son funcin
rectas se va
verticales
a c e r c a n d o i n definidamente sin llega r nunca a cortarlas.
Las
a s n t o t as
verticales
son
rectas
de
e c u a c i n : x = k.
K
son
los de
p untos la
que
no (en
pertenecen las
al
dominio
funcin
funcione s
racionales).
Ejemplos
Limites y Continuidad
28
Las
a s n t o t as
horizontales
son
rectas
h o r i z o n t a l e s a las cuales la funcin se va a c e r c a n d o i n definidamente.
Las
asntotas
horizontales
son
rectas
de
e c u a c i n : y = k.
Limites y Continuidad
29
Ejemplos
Limites y Continuidad
30
CONTINUIDAD Una idea intuitiva de funcin continua se tiene al considerar que su grfica es c o n t i n u a , e n el sentido que se puede dibujar s i n l e v a n t a r e l lpiz de la hoja de papel.
En matemticas, una funcin continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeas variaciones en los valores de la funcin. Si la funcin no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una funcin continua es aquella cuya grfica puede dibujarse sin levantar el lpiz del papel.
Continuidad
de
una
funcin
en
un
punto:
Se
dice que una funcin f(x) es continua en un punto x = a si y slo si se cumplen las tres c o n d i c i o n e s siguientes:
1. Q u e e l p u n t o x = a tenga imagen.
Limites y Continuidad
31
2.
Que
exista el
lmite
de la
funcin
en
el
punto x = a.
3.
Que
la
imagen
del
punto
coincida
con
el
l m i t e d e l a f u ncin en el punto.
Una funcin f es continua por la izquierda en el punto x = x1 si el lmite lateral por la izquierda y el valor de la funcin en el punto son iguales. Es decir:
Una funcin f es continua por la derecha en el punto x = x1 si su lmite lateral por la derecha y el valor de la funcin en el punto son iguales. Es decir:
Limites y Continuidad
32
Una funcin f es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua por la derecha. Esto es:
Un
valor
c,
pertenece
a
un
intervalo
abierto
I,
de
extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= (a,b) si:
Una funcin, f es continua en un intervalo abierto I= (a,b), si y solo si la funcin es continua en todos los puntos del intervalo, es decir:
Un
valor
c,
pertenece
a
un
intervalo
cerrado
I,
de
extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= [a,b] si:
Una funcin f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si la funcin es continua en el intervalo abierto (a,b) y
Limites y Continuidad
33
es
continua
por
la
derecha
de
a
y
continua
por
la
izquierda de b:
Limites y Continuidad
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RESUMEN
En matemtica, el lmite es un concepto que describe la tendencia de una sucesin o una funcin, a medida que los parmetros de esa sucesin o funcin se acercan a determinado valor. En clculo este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivacin, integracin, entre otros.
Una
funcin
continua para
es
aquella cercanos en los
para del
la
cual, se la de
intuitivamente, producen
puntos
dominio
pequeas
variaciones
valores
funcin. Si la funcin no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una funcin continua es aquella cuya grfica puede dibujarse sin levantar el lpiz del papel.
Finalmente el tema
se
puede lo
sealar cual
que
existen prctico
un
sinfn
de
consideracin y teoremas que permiten profundizar sobre tratado sera abordar para enriquecer los conocimientos sobre la materia sin embargo y por motivos de diseos programticos en el curso no se podran asignado. abordar ya que no tomara mas del tiempo
Limites y Continuidad
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REFERENCIAS CONSULTADAS
Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3a edicin) por Bruce H Edwards, Robert P. Hostetler, y Ron Larson (2003).
Calculus (2a edicin) por Michael Spivak.
Calculus Early Trascendentals (6a edicin) por James Stewart.
Principios de Anlisis Matemtico por Enrique Lins Escardo.
Introduccin al anlisis Matemtico" de Serge Lang (1990), Wilmington Delaware
Topologa de James R. Munkres (2002) Madrid.
Buscadores WEB: WIKIPEDIA