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UNIDAD III
Aproximación numérica de las ecuaciones de flujo
mediante diferencias finitas
UNIDAD III
Aproximación numérica de las ecuaciones de flujo
mediante diferencias finitas
Al finalizar esta unidad el alumno debe lograr aproximar las
ecuaciones de flujo mediante diferencia finita.
Al finalizar esta unidad el alumno debe lograr aproximar las
ecuaciones de flujo mediante diferencia finita.
OBJETIVO TERMINAL DE UNIDAD
OBJETIVO TERMINAL DE UNIDAD
3.1 Dar a conocer las distintas consideraciones para aproximar las ecuaciones de flujo.3.1 Dar a conocer las distintas consideraciones para aproximar las ecuaciones de flujo.
3.4 Describir la Formulación Explícita e Implícita .3.4 Describir la Formulación Explícita e Implícita .
OBJETIVOS ESPECÍFICOSOBJETIVOS ESPECÍFICOS
3.2 Demostrar la aproximación de la serie de Taylor.3.2 Demostrar la aproximación de la serie de Taylor.
3.3 Discretizar las ecuaciones de flujo para dos direcciones:3.3 Discretizar las ecuaciones de flujo para dos direcciones:
Las ecuaciones de flujo son diferenciales no lineales que se resuelven por diferencia finitas.
Las ecuaciones diferenciales En dos variables independientes se pueden expresar:
Las ecuaciones de flujo son diferenciales no lineales que se resuelven por diferencia finitas.
Las ecuaciones diferenciales En dos variables independientes se pueden expresar:
Simulación de yacimientos - Aproximación numérica de ecuaciones de flujoSimulación de yacimientos - Aproximación numérica de ecuaciones de flujo
::.....,.,....;;),..),..,,,,,,,,((
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2222
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depdepuuindindyyxxyy
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xx
uuyyxxAA
Simulación de yacimientos - solución numérica ecuaciones de flujoSimulación de yacimientos - solución numérica ecuaciones de flujo
• Depende de a, b y c la ecuación será elíptica, parabólica e hiperbólica. Si:
(b2 - 4ac) es menor que 0, elíptica.; Igual a cero parabólica. Y mayor que
cero hiperbólica. Ejemplos:
• Depende de a, b y c la ecuación será elíptica, parabólica e hiperbólica. Si:
(b2 - 4ac) es menor que 0, elíptica.; Igual a cero parabólica. Y mayor que
cero hiperbólica. Ejemplos:
..parabólicaparabólica 11
elípticaelíptica 00 ,,aahiperbólicahiperbólica
22
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22
22
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mm//SSXXmm//SSXXmm//SSXXtt..BoBo
11
q x Bo q x Bo zz
KKKKmm
XXzz
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yyKKKK
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mmXX
xx
3.1 Consideraciones para aproximar las ecuaciones de flujo.Recordemos:
3.1 Consideraciones para aproximar las ecuaciones de flujo.Recordemos:
Además de las ecuaciones de flujo, se tienen las siguientes relaciones auxiliares:
So + Sw + Sg = 1
Krw = Krw(Sw)
Krg = Krg(Sg)
Kro = Kro(So, Sw, Sg)
Pcow = Po - Pw = Pcow(Sw)
Pcgo = Pg - Po = Pcgo(Sg)
Además de las ecuaciones de flujo, se tienen las siguientes relaciones auxiliares:
So + Sw + Sg = 1
Krw = Krw(Sw)
Krg = Krg(Sg)
Kro = Kro(So, Sw, Sg)
Pcow = Po - Pw = Pcow(Sw)
Pcgo = Pg - Po = Pcgo(Sg) Pg - Pw = Pcgw = Pcow + PcgoPg - Pw = Pcgw = Pcow + Pcgo
r, m, Bf, Rs son funciones de presión
-Quedan 3 ecuaciones diferenciales con 3 incógnitas: Po, Sw, Sg
- Las demás cantidades dependen de éstas y de las relaciones vistas
r, m, Bf, Rs son funciones de presión
-Quedan 3 ecuaciones diferenciales con 3 incógnitas: Po, Sw, Sg
- Las demás cantidades dependen de éstas y de las relaciones vistas
Solución numérica de las ecuaciones por diferencia FinitasSolución numérica de las ecuaciones por diferencia Finitas
• Diferencias finitas consiste en resolver para las variables dependientes,
presión y saturación. De cada fase, en puntos discretos que definen una malla
en el yac. Para cada uno de los niveles de tiempo en los cuales se divide la
simulación.
• Se aproximan las derivadas en espacio y tiempo por diferencias finitas.
• Error puede aproximarse matemáticamente por el desarrollo en serie de
Taylor.
• En la práctica se estima el error variando los intervalos de espacio y tiempo
para estimar su efecto en los resultados
• Formulación en diferencia finita, debe conservar el balance de materiales.
• Las mallas pueden ser regulares, irregulares, cartesianas, polares, cilíndricas.
• Diferencias finitas consiste en resolver para las variables dependientes,
presión y saturación. De cada fase, en puntos discretos que definen una malla
en el yac. Para cada uno de los niveles de tiempo en los cuales se divide la
simulación.
• Se aproximan las derivadas en espacio y tiempo por diferencias finitas.
• Error puede aproximarse matemáticamente por el desarrollo en serie de
Taylor.
• En la práctica se estima el error variando los intervalos de espacio y tiempo
para estimar su efecto en los resultados
• Formulación en diferencia finita, debe conservar el balance de materiales.
• Las mallas pueden ser regulares, irregulares, cartesianas, polares, cilíndricas.
ii i+1i+1i-1i-1 i-1/2i-1/2 i+1/2i+1/2
ΔxΔx
11 6622 33 44 55
Función continuaFunción continua
Pendiente que representa aproximación hacia atrásPendiente que representa aproximación hacia atrás
Pi+1
Pendiente exacta Pendiente exacta
Pendiente que representa aproximación centradaPendiente que representa aproximación centrada
Pendiente representa aprox. hacia adelante Pendiente representa aprox. hacia adelante
i-1 i i+1
Δx
Pi
Pi-1
Aproximación de la presiónpor diferencias finitas
Aproximación de la presiónpor diferencias finitas
PP
xxxxPP
3.2 Demostrar la aproximación de la serie de Taylor.3.2 Demostrar la aproximación de la serie de Taylor.
La serie de Taylor expandida:La serie de Taylor expandida:
···························································· PP==PPii
PP11ii
ii
++ PP 2!2! 22
2222
ii
PP 3!3! 33
3333
ii
PP n!n! nn
nnnn
ii
···························································· PP==PPii
PP11ii
ii
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PP n!n! nn
nnnn
ii
···························································· PP==PPii
PP--11ii
ii
++ PP 2!2! 22
2222
ii
PP 3!3! 33
3333
ii
PP n!n! nn
nnnn
ii
Ahora restamos I. y II.Ahora restamos I. y II.
I.I.
II.II.
despreciabledespreciable
==PP PPii 11ii
PP
ii
++ PP 2!2! 22
2222
ii
PP 11ii -- PPii--
PP
ii
-- PP 2!2! 22
2222
ii
++ ΔΔ
La serie de Taylor expandida:La serie de Taylor expandida:
==
PP
ii
PP 11ii PP 11ii -- ++ ΔΔ
PP
ii
==PP 11ii PP 11ii --
++ ΔΔ
PP
ii
==
++ ΔΔPP 11ii PP 11ii ++ 2P2P
ii--
Ahora para la segunda derivada partimos de la serie expandida y multiplicamos por (-1) la ecuación II. y restamos I. con II. nos queda:Ahora para la segunda derivada partimos de la serie expandida y multiplicamos por (-1) la ecuación II. y restamos I. con II. nos queda:
ii i+1i+1i-1i-1 i-1/2i-1/2 i+1/2i+1/2
x xx
22
1122
11
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ii
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PP
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1111
111111
2211
2211
iiii
ii
rrxxiiii
ii
rrxx PPPPxxBBKKKK
PPPPxxBB
KKKK
xx
Recordemos ahora los términos discretizados de las ecuaciones de flujo (los términos espaciales, los del lado izquierdo):Recordemos ahora los términos discretizados de las ecuaciones de flujo (los términos espaciales, los del lado izquierdo):
3.3 Discretizar las ecuaciones de flujo para dos direcciones:3.3 Discretizar las ecuaciones de flujo para dos direcciones:
i+1/2 e i-1/2 representan las fronteras entre dos bloques.
Entonces, cómo calcular Kx, Kr, μ y B en esa frontera?
- Las soluciones propuestas:
- Kx(i-1/2) como promedio armónico entre de Kx(i-1) y Kx(i)
- Kx(i+1/2) como promedio armónico entre de Kx(i) y Kx(i+1)
- Kr, μ y B en ambas fronteras se calculan como:
- Promedio aritmético de los valores en las celdas adyacentes
i+1/2 e i-1/2 representan las fronteras entre dos bloques.
Entonces, cómo calcular Kx, Kr, μ y B en esa frontera?
- Las soluciones propuestas:
- Kx(i-1/2) como promedio armónico entre de Kx(i-1) y Kx(i)
- Kx(i+1/2) como promedio armónico entre de Kx(i) y Kx(i+1)
- Kr, μ y B en ambas fronteras se calculan como:
- Promedio aritmético de los valores en las celdas adyacentes
Flujo de una sola fase incomprensible con un componente (petróleo). Flujo de una sola fase incomprensible con un componente (petróleo).
Asumiendo: flujo es lineal en las direcciones (X y Y), Medio poroso homogéneo, Fluido incomprensible y despreciando las fuerzas gravitacionales.Asumiendo: flujo es lineal en las direcciones (X y Y), Medio poroso homogéneo, Fluido incomprensible y despreciando las fuerzas gravitacionales.
DDPP ρ / 144 ρ / 144
oororoxx
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iiq x Bo q x Bo
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SS
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Si hacemos Mo = Kro/Bomo, (y similarmente Mw = Krw/Bwmw, Mg = Krg/Bgmg) y, para
simplificar, consideramos sólo las 2 direcciones horizontales e ignoramos el
término gravitacional, la ecuación para el petróleo queda así:
Si hacemos Mo = Kro/Bomo, (y similarmente Mw = Krw/Bwmw, Mg = Krg/Bgmg) y, para
simplificar, consideramos sólo las 2 direcciones horizontales e ignoramos el
término gravitacional, la ecuación para el petróleo queda así:
))(())(( ooooyy
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PPMMKK
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2, j2, j//11
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ii
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PoPoPoPo
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, j, j /2/211
,j+1,j+1
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ii ++, j, j /2/211
Aplicando para las condiciones de frontera:Aplicando para las condiciones de frontera:
nn
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BB
SS
BB
SS
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11
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11 ==
Y entonces la discretización queda así, ahora sin suponer que Δx y Δy sean constantes:Y entonces la discretización queda así, ahora sin suponer que Δx y Δy sean constantes:
(KxMo)i+1/2,j[(Po)i+1,j - (Po)i,j](KxMo)i+1/2,j[(Po)i+1,j - (Po)i,j]
xi+1 - xixi+1 - xi
- - (KxMo)i-1/2,j[(Po)i,j - (Po)i-1,j](KxMo)i-1/2,j[(Po)i,j - (Po)i-1,j]
xi - xi-1xi - xi-1
++
(KyMo)i,j+1/2[(Po)i,j+1 - (Po)i,j](KyMo)i,j+1/2[(Po)i,j+1 - (Po)i,j]yj+1 - yjyj+1 - yj
- - (KyMo)i,j-1/2[(Po)i,j - (Po)i,j-1](KyMo)i,j-1/2[(Po)i,j - (Po)i,j-1]
yj - yj-1yj - yj-1
xi+1/2 - xi-1/2xi+1/2 - xi-1/2
yj+1/2 - yj-1/2yj+1/2 - yj-1/2==
= =
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jj
nn
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BBSS
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11
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11
Multiplicamos la ecuación anterior por Δxi ΔyjΔz:Multiplicamos la ecuación anterior por Δxi ΔyjΔz:
(KxMo)i+1/2,j[(Po)i+1,j - (Po)i,j](KxMo)i+1/2,j[(Po)i+1,j - (Po)i,j]
xi+1 - xixi+1 - xi
- - (KxMo)i-1/2,j[(Po)i,j - (Po)i-1,j](KxMo)i-1/2,j[(Po)i,j - (Po)i-1,j]
xi - xi-1xi - xi-1
++
(KyMo)i,j+1/2[(Po)i,j+1 - (Po)i,j](KyMo)i,j+1/2[(Po)i,j+1 - (Po)i,j]yj+1 - yjyj+1 - yj
- - (KyMo)i,j-1/2[(Po)i,j - (Po)i,j-1](KyMo)i,j-1/2[(Po)i,j - (Po)i,j-1]
yj - yj-1yj - yj-1
xi+1/2 - xi-1/2xi+1/2 - xi-1/2
yj+1/2 - yj-1/2yj+1/2 - yj-1/2==
= =
xiyjzkxiyjzk
xiyjzkxiyjzk
nn
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BBSS
BBSS
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11
,,
,,
DEFINIMOS:DEFINIMOS:
(Kx)i+1/2,jΔyjΔzk (Kx)i+1/2,jΔyjΔzk
xi+1 - xixi+1 - xi(Tx)i+1/2,j =(Tx)i+1/2,j = , transmisibilidad en dirección x, transmisibilidad en dirección x
(Ky)i,j+1/2ΔxiΔzk (Ky)i,j+1/2ΔxiΔzk
yj+1 - yjyj+1 - yj(Ty)i,j+1/2 =(Ty)i,j+1/2 = , transmisibilidad en dirección y, transmisibilidad en dirección y
(Tox)i+1/2,j =(Tox)i+1/2,j = (Tx)i+1/2,j (Tx)i+1/2,j (Mox)i+1/2,j (Mox)i+1/2,j
(Toy)i,j+1/2 =(Toy)i,j+1/2 = (Ty)i,j+1/2 (Ty)i,j+1/2 (Moy)i,j+1/2 (Moy)i,j+1/2
Entonces la ecuación anterior queda:Entonces la ecuación anterior queda:
(Tox)i+1/2,j(Tox)i+1/2,j [(Po)i+1,j - (Po)i,j][(Po)i+1,j - (Po)i,j] - - (Tox)i-1/2,j(Tox)i-1/2,j[(Po)i,j - (Po)i-1,j] +[(Po)i,j - (Po)i-1,j] +
+ + (Toy)i,j+1/2(Toy)i,j+1/2 [(Po)i,j+1 - (Po)i,j][(Po)i,j+1 - (Po)i,j] - - (Toy)i,j-1/2(Toy)i,j-1/2[(Po)i,j - (Po)i,j-1] =[(Po)i,j - (Po)i,j-1] =
= =
(t = tn+1 - tn )(t = tn+1 - tn )
Quedando por definir en qué nivel de tiempo se evalúa la expresión del lado izquierdo.Quedando por definir en qué nivel de tiempo se evalúa la expresión del lado izquierdo.
nn
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11
,,
,,
Introduciendo el aporte de los pozos:Introduciendo el aporte de los pozos:(qo)i,j en el bloque i,j(qo)i,j en el bloque i,j
(qo)i,j (qo)i,j
positivo, si se inyectapositivo, si se inyecta
negativo, si se produce negativo, si se produce
entonces la ecuación anterior (para el petróleo) queda:entonces la ecuación anterior (para el petróleo) queda:
(Tox)i+1/2,j(Tox)i+1/2,j [(Po)i+1,j - (Po)i,j][(Po)i+1,j - (Po)i,j] - - (Tox)i-1/2,j(Tox)i-1/2,j[(Po)i,j - (Po)i-1,j] +[(Po)i,j - (Po)i-1,j] +
+ + (Toy)i,j+1/2(Toy)i,j+1/2 [(Po)i,j+1 - (Po)i,j][(Po)i,j+1 - (Po)i,j] - - (Toy)i,j-1/2(Toy)i,j-1/2[(Po)i,j - (Po)i,j-1] +[(Po)i,j - (Po)i,j-1] +
= = ++ (qo)i,j(qo)i,j
nn
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nn
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BBSS
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,,
11
,,
,,
En el caso de inyección, las tasas qo, qw o qg son especificadas por el usuario
(o el BHP máximo) En el caso de producción las tasas son proporcionales a su movilidad a. Si el usuario específica qo (y esta restricción está activa):
En el caso de inyección, las tasas qo, qw o qg son especificadas por el usuario
(o el BHP máximo) En el caso de producción las tasas son proporcionales a su movilidad a. Si el usuario específica qo (y esta restricción está activa):
El simulador calcula Δpo El simulador calcula Δpo
Luego calcula Pw y qw α Mw(Pwb - Pwf)Luego calcula Pw y qw α Mw(Pwb - Pwf)
[Δpo = (Pob - Pwf)],[Δpo = (Pob - Pwf)],
y similarmente para qgy similarmente para qg
b. Si se específica qL = qo + qw y la restricción está activa, entonces el simulador calcula:
b. Si se específica qL = qo + qw y la restricción está activa, entonces el simulador calcula:
qo α Mo(Pob - Pwf)qo α Mo(Pob - Pwf)
qw α Mw(Pwb - Pwf)qw α Mw(Pwb - Pwf)
tal que qo + qw = qL tal que qo + qw = qL
Finalmente, entonces, tomando en cuenta también los pozos y la gravedad, la ecuación discretizada final queda: Finalmente, entonces, tomando en cuenta también los pozos y la gravedad, la ecuación discretizada final queda:
- Similarmente para el agua (sustituyendo el subíndice o por w) - Y para el gas (tomando en cuenta el gas libre y el gas en solución)- Similarmente para el agua (sustituyendo el subíndice o por w) - Y para el gas (tomando en cuenta el gas libre y el gas en solución)
(Tox)i+1/2,j(Tox)i+1/2,j [(Po)i+1,j - (Po)i,j - og(Di+1,j - Di,j)] -[(Po)i+1,j - (Po)i,j - og(Di+1,j - Di,j)] -
- - (Tox)i-1/2,j(Tox)i-1/2,j[(Po)i,j - (Po)i-1,j - og(Di,j - Di-1,j)] +[(Po)i,j - (Po)i-1,j - og(Di,j - Di-1,j)] +
+ + (Toy)i,j+1/2(Toy)i,j+1/2 [(Po)i,j+1 - (Po)i,j - og(Di,j+1 - Di,j)] -[(Po)i,j+1 - (Po)i,j - og(Di,j+1 - Di,j)] -
- - (Toy)i,j-1/2(Toy)i,j-1/2[(Po)i,j - (Po)i,j-1 - og(Di,j - Di,j-1)] +[(Po)i,j - (Po)i,j-1 - og(Di,j - Di,j-1)] +
= = ++ (qo)i,j(qo)i,j
nn
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BBSS
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1. Recordemos que las ecuaciones discretizadas quedan así: 1. Recordemos que las ecuaciones discretizadas quedan así:
(Tox)i+1/2,j(Tox)i+1/2,j [(Po)i+1,j - (Po)i,j - og(Di+1,j - Di,j)] -[(Po)i+1,j - (Po)i,j - og(Di+1,j - Di,j)] -
- - (Tox)i-1/2,j(Tox)i-1/2,j[(Po)i,j - (Po)i-1,j - og(Di,j - Di-1,j)] +[(Po)i,j - (Po)i-1,j - og(Di,j - Di-1,j)] +
+ + (Toy)i,j+1/2(Toy)i,j+1/2 [(Po)i,j+1 - (Po)i,j - og(Di,j+1 - Di,j)] -[(Po)i,j+1 - (Po)i,j - og(Di,j+1 - Di,j)] -
- - (Toy)i,j-1/2(Toy)i,j-1/2[(Po)i,j - (Po)i,j-1 - og(Di,j - Di,j-1)] +[(Po)i,j - (Po)i,j-1 - og(Di,j - Di,j-1)] +
= = ++ (qo)i,j(qo)i,j
Y similares para el agua y para el gas, en 2 dimensionesY similares para el agua y para el gas, en 2 dimensiones
nn
jjiioo
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BBSS
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,,
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Formulación explícita: Solución para la presión con una sola fase.Formulación explícita: Solución para la presión con una sola fase.
3.4 Describir la Formulación Explícita e Implícita .3.4 Describir la Formulación Explícita e Implícita .
En la formulación totalmente explícita la discretización espacial se evalúa en
el tiempo n. Por tanto queda:
En la formulación totalmente explícita la discretización espacial se evalúa en
el tiempo n. Por tanto queda:
(Tox)i+1/2,j(Tox)i+1/2,j [(Po)i+1,j - (Po)i,j][(Po)i+1,j - (Po)i,j] - - (Tox)i-1/2,j(Tox)i-1/2,j[(Po)i,j - (Po)i-1,j] +[(Po)i,j - (Po)i-1,j] +
+ + (Toy)i,j+1/2(Toy)i,j+1/2 [(Po)i,j+1 - (Po)i,j][(Po)i,j+1 - (Po)i,j] - - (Toy)i,j-1/2(Toy)i,j-1/2[(Po)i,j - (Po)i,j-1] +[(Po)i,j - (Po)i,j-1] +
= = ++ (qo)i,j(qo)i,j
nn
nn
nn nn
nn
nnnnnn
nn
nnnnnnnn
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BBSS
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11
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,,
Es decir, consiste en buscar los ceros de estas funciones. Por ser funciones no lineales, suele aplicarse el método de Newton, o Newton-Raphson.Es decir, consiste en buscar los ceros de estas funciones. Por ser funciones no lineales, suele aplicarse el método de Newton, o Newton-Raphson.
Sólo falta despejar:Sólo falta despejar:
Son 2 ecuaciones y 4 incógnitas: So, Sw, Po, PwSon 2 ecuaciones y 4 incógnitas: So, Sw, Po, Pw
Ahora bien, sabemos que: a) So + Sw = 1
b) f n+1 = f n [1 - CrΔPo]
Ahora bien, sabemos que: a) So + Sw = 1
b) f n+1 = f n [1 - CrΔPo] po= Po - Po ) po= Po - Po ) n+1n+1 nn
c) Bo = Bo [1 - CoDPo ] c) Bo = Bo [1 - CoDPo ]n+1n+1 nn
d) Pcwo = Po - Pwd) Pcwo = Po - Pw
Por tanto podemos expresar las 2 ecuaciones con sólo 2 incógnitas: So y Δpo (o Po ). Resolviendo, luego se obtienen Sw, Pw, etc.
Por tanto podemos expresar las 2 ecuaciones con sólo 2 incógnitas: So y Δpo (o Po ). Resolviendo, luego se obtienen Sw, Pw, etc. n+1n+1
n+1n+1n+1n+1 n+1n+1n+1n+1
n+1 n+1
= + (Tox)i+1/2,j [(Po)i+1,j - (Po)i,j]n nn
= + (Twx)i+1/2,j[(Pw)i+1,j - (Pw)i,j]n nn
1
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n
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n
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1
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n
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w
B
S
n
jiw
w
B
S
,
Vtji ,
Formulación implícita: Solución para la presión con una sola fase.Formulación implícita: Solución para la presión con una sola fase.
Para este caso tomamos la ecuación de petróleo (So = 1) que, discretizada, queda así:
Para este caso tomamos la ecuación de petróleo (So = 1) que, discretizada, queda así:
Observar que ahora la expresión del lado izquierdo está tomada al tiempo n+1Observar que ahora la expresión del lado izquierdo está tomada al tiempo n+1
(Tox)i+1/2(Tox)i+1/2 [(Po)i+1 - (Po)i ][(Po)i+1 - (Po)i ] - - (Tox)i-1/2(Tox)i-1/2[(Po)i - (Po)i-1 ] +[(Po)i - (Po)i-1 ] +
n+1n+1 n+1n+1 n+1n+1n+1n+1n+1n+1n+1n+1
= = ++ (qo)i(qo)in+1n+1
nn
iioo
oo
nn
iioo
oo
BBSS
BBSS
ttVV ii
11
Entonces, dividiendo por Vi = (ΔxΔyΔz)i y recordando queEntonces, dividiendo por Vi = (ΔxΔyΔz)i y recordando que
x2oBo e-CoPox2oBo e-CoPonn
KK [(Po)i+1 - 2(Po)i + (Po)i-1 ] = [(Po)i+1 - 2(Po)i + (Po)i-1 ] = n+1n+1 n+1n+1n+1n+1
tt[[
Bo e-CoPoBo e-CoPonn11 - - 11
BoBonn ]]
(po = Po - Po )(po = Po - Po )n+1n+1 nn
(Tox)i+1/2 =(Tox)i+1/2 =(Kx)i+1/2yizi (Kx)i+1/2yizi
xi+1 - xixi+1 - xi
Kro)Kro)oBooBo
))i+1/2i+1/2
((
la ecuación queda:la ecuación queda:
Para un análisis más simple, tomemos Δx, f, K, mo constantes, Para un análisis más simple, tomemos Δx, f, K, mo constantes,
Bo = Bo e-CoDPo Bo = Bo e-CoDPo
n+1n+1 nnqo = 0 y hagamosqo = 0 y hagamos (ignorando las variaciones (ignorando las variaciones
espaciales de Bo)espaciales de Bo)
Ahora, multiplicando en cada lado por Ahora, multiplicando en cada lado por Bo e-CoDPoBo e-CoDPonnqueda:queda:
x2ox2o
KK [(Po)i+1 - 2(Po)i + (Po)i-1 ] = [(Po)i+1 - 2(Po)i + (Po)i-1 ] = n+1n+1 n+1n+1n+1n+1
tt[[ 1 - 1 - ]]e-CoPoe-CoPo
tt
[(Po)i - (Po)i ] [(Po)i - (Po)i ] n+1n+1 nnCoCo
x2ox2o
KK [(Po)i+1 - 2(Po)i + (Po)i-1 ][(Po)i+1 - 2(Po)i + (Po)i-1 ]n+1n+1 n+1n+1n+1n+1
3. Este esquema es estable para todo tamaño de Δt y se llama implícito
porque hay una relación implícita (en el tiempo n+1) entre las presiones en los
puntos i+1, i, i-1.
4. Para expresar el problema de manera completa, debemos escribir esta
ecuación tantas veces como bloques tengamos (NX) y resolver el sistema de
NX ecuaciones con las NX incógnitas simultáneamente.
3. Este esquema es estable para todo tamaño de Δt y se llama implícito
porque hay una relación implícita (en el tiempo n+1) entre las presiones en los
puntos i+1, i, i-1.
4. Para expresar el problema de manera completa, debemos escribir esta
ecuación tantas veces como bloques tengamos (NX) y resolver el sistema de
NX ecuaciones con las NX incógnitas simultáneamente.
Consideremos el caso 1D siguiente:Consideremos el caso 1D siguiente:
1 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8
xxP1P1
P8P8
Condiciones de borde: P1 y P8 conocidosCondiciones de borde: P1 y P8 conocidos
tt[(Po)i - (Po)i ] [(Po)i - (Po)i ] n+1n+1 nnCoCo
x2ox2o
KK [(Po)i+1 - 2(Po)i + (Po)i-1 ][(Po)i+1 - 2(Po)i + (Po)i-1 ]n+1n+1 n+1n+1n+1n+1
La ecuación:La ecuación:
puede re-escribirse como:puede re-escribirse como:
tt[(Po)i - (Po)i ] [(Po)i - (Po)i ] ==
n+1n+1 nnCoCo[(Po)i+1 - 2(Po)i + (Po)i-1 ][(Po)i+1 - 2(Po)i + (Po)i-1 ]n+1n+1 n+1n+1n+1n+1 x2ox2o
Llamemos Llamemos ttCoCo x2ox2o = =
Entonces la ecuación queda re-escrita como:Entonces la ecuación queda re-escrita como:
(Po)i+1 - (2+)(Po)i + (Po)i-1 (Po)i+1 - (2+)(Po)i + (Po)i-1 n+1n+1 n+1n+1n+1n+1
= - (Po)i= - (Po)inn
o, eliminando el subíndice o y cambiando signos: o, eliminando el subíndice o y cambiando signos:
- Pi+1 + (2+)Pi - Pi-1 - Pi+1 + (2+)Pi - Pi-1 n+1n+1 n+1n+1n+1n+1
= Pi= Pinn
Si tenemos P1 y P8 conocidos y fijos, el sistema completo queda:Si tenemos P1 y P8 conocidos y fijos, el sistema completo queda:
Nodo i=2: (2+)P2 - P3 = P2 + P1Nodo i=2: (2+)P2 - P3 = P2 + P1
n+1 n+1 n
Nodo i=3: - P2 + (2+)P3 - P4 = P3 Nodo i=3: - P2 + (2+)P3 - P4 = P3 n+1 n+1 nn+1
Nodo i=4: - P3 + (2+)P4 - P5 = P4 Nodo i=4: - P3 + (2+)P4 - P5 = P4 n+1 n+1 nn+1
Nodo i=5: - P4 + (2+)P5 - P6 = P5 Nodo i=5: - P4 + (2+)P5 - P6 = P5 n+1 n+1 nn+1
Nodo i=6: - P5 + (2+)P6 - P7 = P6 Nodo i=6: - P5 + (2+)P6 - P7 = P6 n+1 n+1 nn+1
Nodo i=7: - P6 + (2+)P7 = P7 + P8 Nodo i=7: - P6 + (2+)P7 = P7 + P8 n+1 nn+1
El lado derecho es conocido y el izquierdo relaciona todas las presiones desconocidas al tiempo n+1El lado derecho es conocido y el izquierdo relaciona todas las presiones desconocidas al tiempo n+1
En forma matricial quedaría:En forma matricial quedaría:
(2+) -1 0 0 0 0 (2+) -1 0 0 0 0 P2P2
P3P3
P4P4
P5P5
P6P6
P7P7
-1 (2+) -1 0 0 0 -1 (2+) -1 0 0 0
0 -1 (2+) -1 0 0 0 -1 (2+) -1 0 0
0 0 -1 (2+) -1 0 0 0 -1 (2+) -1 0
0 0 0 -1 (2+) -1 0 0 0 -1 (2+) -1
0 0 0 0 -1 (2+) 0 0 0 0 -1 (2+)
n+1n+1
==
P2P2
P3P3
P4P4
P5P5
P6P6
P7P7
nn
+ +
P1P1
00
00
00
00
P8P8
AP = P + bAP = P + bn+1n+1 nn
Matriz de coeficientesMatriz de coeficientes
Vector de incógnitas,presiones al tiempo n+1Vector de incógnitas,presiones al tiempo n+1
Valores conocidos depresión al tiempo nValores conocidos depresión al tiempo n
Condicionesde bordeCondicionesde borde
B. En dos dimensiones:B. En dos dimensiones:
99 1010 1111 1212
11 22 33 44
55 66 77 88
A B C D A B C D
K L M N K L M N
EE
GG
II
FF
HH
JJ
El caso ahora es de 1sola fase, pero en 2DEl caso ahora es de 1sola fase, pero en 2D
1. Haciendo las mismas suposiciones que para el caso 1D (Kx, Ky, φ, μ o, Δx, Δy constantes), la ecuación discretizada queda ahora:
1. Haciendo las mismas suposiciones que para el caso 1D (Kx, Ky, φ, μ o, Δx, Δy constantes), la ecuación discretizada queda ahora:
x2ox2o
KxKx[(Po)i+1,j - 2(Po)i,j + (Po)i-1,j ][(Po)i+1,j - 2(Po)i,j + (Po)i-1,j ]
n+1n+1 n+1n+1n+1n+1++
++ y2oy2o
KyKy[(Po)i,j+1 - 2(Po)i,j + (Po)i,j-1 ][(Po)i,j+1 - 2(Po)i,j + (Po)i,j-1 ]
n+1n+1 n+1n+1n+1n+1== tt
[(Po)i,j - (Po)i,j ] [(Po)i,j - (Po)i,j ] n+1n+1 nnCoCo
xx
yy
2. También este esquema es estable para todo tamaño de Δt. Para el caso simplificado en que Δx = Δy, Kx = Ky, el sistema de ecuaciones para un problema como el de la figura anterior quedaría así (eliminando el subíndice o):
2. También este esquema es estable para todo tamaño de Δt. Para el caso simplificado en que Δx = Δy, Kx = Ky, el sistema de ecuaciones para un problema como el de la figura anterior quedaría así (eliminando el subíndice o):
[Pi+1,j - 2Pi,j + Pi-1,j ] + [Pi+1,j - 2Pi,j + Pi-1,j ] + n+1n+1 n+1n+1n+1n+1[Pi,j+1 - 2Pi,j + Pi,j-1 ] = [Pi,j+1 - 2Pi,j + Pi,j-1 ] = n+1n+1 n+1n+1n+1n+1
[Pi,j - Pi,j ] [Pi,j - Pi,j ] n+1n+1 nn
Pi,j-1 + Pi-1,j - 4Pi,j + Pi,j-1 + Pi-1,j - 4Pi,j + n+1n+1 n+1n+1n+1n+1Pi+1,j + Pi,j+1 = Pi+1,j + Pi,j+1 = n+1n+1n+1n+1
Pi,j - Pi,j Pi,j - Pi,j n+1n+1 nn
Pi,j-1 - Pi-1,j + (4+)Pi,j - Pi,j-1 - Pi-1,j + (4+)Pi,j - n+1n+1 n+1n+1n+1n+1
Pi+1,j - Pi,j+1 = Pi+1,j - Pi,j+1 = n+1n+1 Pi,j Pi,j
n+1n+1 nn--
Concretamente, el sistema completo quedaría como se muestra en la lámina siguiente:Concretamente, el sistema completo quedaría como se muestra en la lámina siguiente:
Nodo 1:
Nodo 2:
Nodo 3:
Nodo 4:
Nodo 5:
Nodo 6:
Nodo 7:
Nodo 8:
Nodo 9:
Nodo 10:
Nodo 11:
Nodo 12:
P2 - P5 + (4+)P6 - n+1 n+1n+1
P7 - P10 = n+1
P6 n+1 n
-
+ (4+)P1 - n+1
P2 - P5 = n+1
P1 + A + E n+1 n
- P1 + (4+)P2 - n+1 n+1
P3 - P6 = n+1
P2 + B n+1 n
- P2 + (4+)P3 - n+1 n+1
P4 - P7 = n+1
P3 + C n+1 n
- P3 + (4+)P4 n+1 n+1
- P8 = n+1
P4 + D + F n
P1 + (4+)P5 - n+1n+1
P6 - P9 = n+1
P5 + G n+1 n
-
P3 - P6 + (4+)P7 - n+1 n+1n+1
P8 - P11 = n+1
P7 n+1 n
-
P4 - P7 + (4+)P8 n+1 n+1n+1
- P12 = n+1
P8 + H n
-
P5 + (4+)P9 - n+1n+1
P10 = P9 + I + K n+1 n
-
P6 - P9 + (4+)P10 - n+1 n+1n+1
P11 = P10 + L n+1 n
-
P7 - P10 + (4+)P11 - n+1 n+1n+1
P12 = P11 + M n+1 n
-
P8 - P11 + (4+)P12 n+1 n+1n+1
= P12 + J + N n
-
En forma matricial:En forma matricial:
(4+)-1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0
-1 (4+)-1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0
0 -1 (4+)-1 0 0 -1 0 0 0 0 0
0 0 -1 (4+) 0 0 0 -1 0 0 0 0
-1 0 0 0 (4+)-1 0 0 -1 0 0 0
0 -1 0 0 -1 (4+)-1 0 0 -1 0 0
0 0 -1 0 0 -1 (4+)-1 0 0 -1 0
0 0 0 -1 0 0 -1 (4+) 0 0 0 -1
0 0 0 0 -1 0 0 0 (4+)-1 0 0
0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 (4+)-1 0
0 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 (4+)-1
0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 (4+)
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
P10
P11
P12
P + bn
n+1
Ejercicio: Igual que el anterior, pero ahora las condiciones de borde son dP/dx = 0 (Se supone que los bloques virtuales que bordean la frontera tienen presiones iguales a la de los bloques fronterizos - Ver Figura)
Ejercicio: Igual que el anterior, pero ahora las condiciones de borde son dP/dx = 0 (Se supone que los bloques virtuales que bordean la frontera tienen presiones iguales a la de los bloques fronterizos - Ver Figura)
2 9 5 12
1 8 4 11
7 3 10 6
1 8 4 11
2 9 5 12
1
7
2
11
6
12
