Unidad IV Algebra Boleana

7/23/2019 Unidad IV Algebra Boleana

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Unidad IV

Algebra Booleana

Conocer y aplicar los postulados y teoremas fundamentales del lgebra booleana adems

de relacionarlos y aplicar los operadores lgicos bsicos en circuitos elctricos,

electrnicos, neumticos e hidrulicos.

Representar las formas cannicas SOP y POS. Reducir funciones booleanas utilizando

los teoremas del lgebra de oole.

Simplificar funciones booleanas mediante los mtodos de mapas de !arnaugh y

"cClaus#y.

$mplementar las funciones con diferentes compuertas lgicas.

$mplementar funciones lgicas utilizando solo compuertas %OR o %&%' y con circuitos

hidrulicos y neumticos.

(.) *eoremas y postulados fundamentales

Cuando se trabaja con circuitos digitaleses muy comn que al final de un diseo se tenga

un circuitocon un nmero de partes mayor al necesario.

Para lograr que el circuito tenga la cantidad de partes correcta (la menor posible) hay que

optimizar (reducir).

Un diseo ptimo causar! que"

#l circuito electrnico sea m!s simple #l nmeros de componentes sea el menor

#l precio de proyecto sea el m!s bajo

$a demanda de potencia del circuito sea menor

#l mantenimiento del circuito sea m!s f!cil

#l espacio necesario ( en el circuito impreso) para la implementacin del circuito

ser! menor

#n consecuencia que el diseo sea el m!s econmico posible. Una herramienta para reducir

las e%presiones lgicas de circuitos digitales es la matem!ticas de e%presiones lgicas&

('eorge oole en *+,) $a herramienta se conoce como !lgebra de oole.

#l !lgebra booleana es un sistema matem!tico deducti-o centrado en los -alores cero y uno

(falso y -erdadero). Un operador binario / definido en 0ste juego de -alores acepta un

par de entradas y produce un solo -alor booleano& Para cualquier sistema algebraico e%isten

una serie de postulados in1ciales& de aqu1 se pueden deducir reglas adicionales& teoremas y


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otras propiedades del sistema& el !lgebra booleana a menudo emplea los siguientes

postulados"

#l !lgebra booleana es una estructura algebraicaque rigorizan las operacioneslgicas2& 3

y 43& as1 como el conjunto de operaciones unin& intersecciny complemento.

$os postulados de un sistema matem!tico constituyen los supuestos b!sicos a partir de los

cuales es posible deducir las reglas& teoremas y propiedades del sistema. $os postulados

comunes que se utilizan para formular di-ersas algebraicas son"

Un conjunto de elementos es cualquier coleccin de objetos con alguna propiedad en

comn. 5i 5 es un conjunto y 6 y son ciertos objetos.

7 Cerradura o Cerrado. #l sistema booleano se considera cerrado con respecto a un

operador binario si para cada par de -alores booleanos se produce un solo resultado

booleano. #l !lgebra booleana es cerrada bajo las operaciones 648& 39 y 43:

7 Elemento Identidad. Un -alor booleano ; se dice que es un elemento de identidad con

respecto a un operador binario < si 6 < ; = 6. 8ecimos que un conjunto 5 tiene un

elemento de identidad respecto a una operacin binaria < sobre 5 si e%iste un elemento e 5

con la propiedad. e < 6 = 6 < e = e para todos % 5

#l elemento de identidad con respecto a > es uno y con respecto a ? es cero. 4o e%iste

elemento de identidad para el operador 43:. #l conjunto de los nmeros naturales 4& no

tiene elemento de identidad porque @ no pertenece al conjunto.

7 Conmutativo. 5e dice que un operador binario < sobre un conjunto 5 es conmutati-o

si 6 < = < 6 para todos los posibles -alores de 6 y 5. $os operadores > y ? son

conmutati-os.

7 Asociativo. 5e dice que un operador binario < sobre un conjunto es asociati-o si (6

y ? son ambos asociati-os& esto es& (6)C = 6(C) y (6?)?C

= 6?(?C).(a) % ? (y ? z) = (% ? y) ? z (b) % (y z) = (% y) z

7Inverso. Un -alor booleano ; es un elemento in-erso con respecto a un operador booleano

< si 6 < ; = & y es diferente de 6& es decir& es el -alor opuesto de 6. 8ecimos que

un conjunto 5& que tiene el elemento de identidad e respecto a un operador


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7 Distributivo. 8os operadores binarios < y sobre un conjunto 5& decimos que & forman el campo de los nmeros reales. #ste campo es la base de la

aritm0tica y el !lgebra ordinaria. $os operadores y postulados significan lo siguiente"

#l operador binario ? define la suma.

$a identidad aditi-a es @.#l in-erso aditi-o define la resta.

#l operador binario > define la multiplicacin.

$a identidad multiplicati-a es .#l in-erso multiplicati-o de a = Ea define la di-isin& es decir& a>Ea=

$a nica ley distributi-a -!lida es la de > sobre ?"a>(b ? c) = (a > b) ? (a > c)

> y ? son distributi-os uno con respecto al otro& esto es& 6>(?C) = (6>)?(6>C) y 6?(>C)

= (6?)>(6?C).

#n la :abla se presentan los postulados por paresF cada relacin es el dual de su pareja

4u

m

Postulado a) b)

Cerradura ? operaciones suma >operacin multiplicacion

G #lemento

;dentidad

% ? @ = % % > = %

H Conmutati-as % ? y = y ? % %y = y%

, 6sociati-a % ? (y ? z) = (% ? y) ? z =%?y?z (%>y)>z=%>(y>z)=%yz

+ ;n-erso % ? %A = % > %A = @

D 8istributi-o %(y ? z) = %y ? %z

(I ? %)(y ? z)= Iy ?%y ? Iz ? %z

% ? yz = (% ? y)(% ? z)

:eoremas fundamentales del !lgebra booleanaPara continuar con nuestro estudio del !lgebra booleana -amos a in-estigar los di-ersos

teoremas booleanos (tambi0n conocidos como reglas booleanas) que pueden ayudarnos a

simplificar las e%presiones lgicas y los circuitos lgicos. #n cada teorema& % es una

-ariable lgica que puede ser @ o un .


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#s posible probar todos los teoremas del !lgebra booleana utilizando 0stos postulados&

adem!s es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas m!s importantes de los

cuales podemos mencionar los siguientes"

Expresiones duales. 8os e%presiones se dicen duales una de la otra& si una se puede

obtener de la otra cambiando los operadores binarios (operaciones) ( ? ) por (>) y -ice-ersay cambiando los elementos de identidad 3Js por Js y -ice-ersa.

Ejemplo.

$a e%presin 6 ? = es dual de la e%presin 6> = 3&:odas las e%presiones de los incisos (a) de los postulados del !lgebra booleana son duales

de las e%presiones de los incisos (b) correspondientes.

El teorema 1a): % ? % = %

% ? % = (% ? %) > Por el postulado Gb) x 1 = x

= (% ? % )(% ? %A) +a) x + x = 1

= % ? %%A Db) el producto de una-ariable por su complemento da @ x + yz = (x + y)(x + z)

= % ? @ +b) una -ariable m!s el

neutro no se altera x x = 0= % Gb) x 1 = x

Puede probarse si se comprueban ambos -alores de %" @ ? @ = @ y ? =

Teorema 1b): % > % = %

% >% = %% ?@ Por el postulado Ga) @ es el neutro de lasuma x + 0 = x

= %% ? %%A +b) % > %A = @

= %(% ? %A) Da) %(y ? z) = %y ? %z= % > +a) % ? %A =

= % Gb) % > = %

Puede demostrarse si se prueba cada caso. 5i % = @& entonces @ > @ = @F si % = entonces

>= . Por lo tanto % > % = %

3bser-e que el teorema b) es el dual del teorema a) y que cada uno de los pasos de la

demostracin en la parte b) es el dual de la parte a). Cualquier teorema dual se puede

deducir de forma similar& partiendo de la demostracin de su par correspondiente.

#ste teorema implica que cuando e%isten trminos semejantes en una e%presin& basta con

escribir uno de ellos& o bien& que un t0rmino puede KdesdoblarseK tantas -eces como se

quiera. 3bs0r-ese que tambi0n esto implica que 6n = 6 para cualquier nmero n enteropositi-o.

Ejemplos:

$a e%presin (L?2)(L?2) por idempotencia es igual a L?2

$a e%presin L2ML2L por idempotencia es igual a L2M$a e%presin L2?M? L2 por idempotencia es igual a L2?M


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Teorema 2a): % ? =

% ? = > (% ? ) Por el postulado" Gb) x 1 = x

= (% ? %A)(% ? ) +a) x + x = 1

= % ? %A> Db) x + yz = (x + y)(x+ z)

=% ? %A Gb)x 1 = x

=

#stablece que si se aplica un 39 entre cualquier -ariable y & el resultado siempre ser! .

Comprobamos esto para ambos -alores de %" @ ? = y ? =

Teorema 2b): % > @ = @ por dualidad.

5i se aplica una multiplicacin entre cualquier -ariable y @& el resultado es @ es como la

multiplicacin ordinaria& en donde sabemos que cualquier cantidad multiplicada por @ es

igual a @.

8emostracin del inciso (b)% > @ = % > @ ? @ Por el postulado F Ga) x + 0 = x

= % > @ ? %>%A +b) x x = 0

= % >(@ ? %A) Da) x(y + z) = xy + xz= % > %A +b) x x = 0

= @ una -ariable por su complemento da @

Teorema 3in-olucin" ( %A)A = %. 8el postulado +& tenemos % ? %A = y % > %A = @& lo que

define al complemento de %. #l complemento de %A es % y tambi0n es (%A)A. Por tanto& dado

que el complemento es nico tenemos que (%A)A = %.

6ntes de presentar m!s teoremas& debemos recalcar que cuando se aplican los teoremas la

-ariable % puede llegar a representar una e%presin que contiene m!s de una -ariable. Por

ejemplo" % > yA(% > yA)A = @

$os teoremas en que inter-ienen dos o tres -ariables se pueden demostrar algebraicamente

a partir de los postulados y los teoremas que ya demostramos.

Teorema :asociati-o

a) % ? (y ? z) = (% ? y) ? zb) %(y z) = (%y)z


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Teorema !" 8eNorgan

a) (% ? y)A = %AyA

b) (%y)A = %A ? yA

Teorema ":6bsorcin

a) % ? %y = %

% ? %y = %> ? %y por el postulado" Gb) x 1 = x

= %( ? y) Da) x(y + z) = xy + xz

= % (y ? ) Ha)

= % > Ga) x + 0 = x

= % Gb) x 1 = x

b) %(% ? y) = % por dualidad

este teorema se puede usar en di-ersos casos de simplificacin& basta con usar identificar en

una suma& una e%presin que se repite primero en forma aislada y luego multiplicando aotra e%presin.

#jemplos.

$a e%presin L2 ? L2M por absorcin es igual a L2$a e%presin 6A? 6A por absorcin es igual con 6A

Teorema #:

a) % ? %Ay = % ? y

b) %A ? %y = %A ? y

Ejemplos+

a e-presin& / &C / C por consenso es igual a& / &Ca e-presin 012 / 3014 5 / 25 por consenso es igual a 012 /3 014 5

Teorema 12: A (A + B) = AB Teorema 1: AB + AB = A Teorema 1!: (A +

B) (A + B) = A

Ejemploser-ir!n para ilustrar cmo pueden aplicarse los teoremas booleanos.

5implifique la e%presin y = 6A8 ? 6O8A

actorice las -ariables comunes 6A mediante el uso del teoremas por el postulado Da)

%(y ? z) = %y ? %z

y = 6A(8 ? 8A)5i utilizamos el postulado +a& el t0rmino entre par0ntesis es equi-alente a . 6s1

y = 6A > utiliza el postulado Gb) % > = %

= 6A

5implifique la e%presin z = (6A ? )(6 ? )


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Podemos e%pandir la e%presin si multiplicamos los t0rminos postulado Da (I ? %)(y ? z)

= Iy ? %y ? Iz ? %zz = 6A>6 ? 6A> ? >6 ? >

5i in-ocamos el postulado +b) % > %A = @ 6dem!s& el teorema a) % > % = %

z = @ ? 6A > ? >6 ? = 6A ? 6 ?

5i factorizamos la -ariable postulado Da) %(y ? z) = %y ? %z tenemos que"z = (6A ? 6 ?)

Por ltimo& utilizando el postulado Gb) %> = % y teorema Ga) % ? =

z =

5implifique % = 6C8 ? 6AC8

5i factorizamos las -ariables comunes C8& tenemos que% = C8(6 ? 6A)

Utilizando el teorema Qa) % ? %Ay = % ? y& de manera que

% = C8(6 ? )

= 6C8 ? C85implificar y = 6CA ? 6CA Use los teoremas D y postulado D

5implificar y = 6AAC8A ? 6AACA8A Use los postulado D y +

5implificar y = 6A8 ? 68 Use los teoremas Q y postulado D5implifique la e%presin z = ((6A ? C)>( ? 8A))A en una en la que slo haya -ariables

indi-iduales in-ertidas.

5i utilizamos el teorema +b) y tratamos a (6A ? C) como % y a ( ? 8A) como y& tenemosque z = (6A ? C)A ? ( ? 8A)A

6hora el t0rmino (6A ? C)A puede simplificarse mediante la aplicacin del teorema +a)

z = (6AA>CO) ? A>8AAsi utilizamos el teorema H

z = 6CA ? A8

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