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UNIDAD No. 1El proceso de integración
Area bajo la curva
AREA BAJO LA CURVA DE UNA FUNCIÓN Considérese una función f(x) finita,
continua y positiva en todo punto de algún intervalo [a,b].
Sea R la región limitada por la curva de f(x), el eje x y las rectas x=a y x=b.
¿Cuál es el valor del área de la Región R [área bajo la curva de la función f(x)]?
AREA BAJO LA CURVA
Restringiendo a f(x) como una función creciente:
AREA BAJO LA CURVA...
Es posible aproximar el valor del área de la región R mediante el valor del área del rectángulo de altura f(a) y base dada por(b-a). (Rectángulo INSCRITO en la región R).
También es posible aproximar el valor del área de la región R mediante el área del rectángulo de altura f(b) y base dada por(b-a). (Rectángulo CIRCUNSCRITO en la región R).
AREA BAJO LA CURVA...
][*)]([1
abaf
AAR
][*)]([
1
abbf
AAR
][*)]([1
abaf
AAR
][*)]([
1
abbf
AAR
A1
A1
AREA BAJO LA CURVA...
Podemos mejorar la aproximación dada en el proceso anterior, considerando en lugar de uno, ahora DOS rectángulos de igual base inscritos en la región R, esto nos conduce ahora a lo siguiente:
AREA BAJO LA CURVA...
2
1
21
*))1((
]2
[*)]2
([]2
[*)]([
iii
R
xxiaf
ababaf
abaf
AAA
A1 A2
AREA BAJO LA CURVA...
Podemos mejorar aún más la aproximación dada en el proceso anterior, considerando en lugar de dos, ahora TRES rectángulos de igual base inscritos en la región R, esto nos conduce ahora a lo siguiente:
AREA BAJO LA CURVA...
A1 A2 A3
3
1
321
*))1((
]3
[*)]3
2([]3
[*)]3
([]3
[*)]([
iii
R
xxiaf
ababaf
ababaf
abaf
AAAA
AREA BAJO LA CURVA...
Considerando un gran número (n) de rectángulos inscritos en la región R es posible mejorar aún más la aproximación del área de la región R y esto nos conduce a lo siguiente:
AREA BAJO LA CURVA...
][*)])1(([
*))1((
][*)]2([][*)]([][*)]([
1
321
n
ab
n
abnaf
xxiaf
n
ab
n
abaf
n
ab
n
abaf
n
abaf
AAAAA
n
iii
nR
A1 . . . An
AREA BAJO LA CURVA...
Es claro que esta aproximación puede ser cada vez mejor entre mayor sea el número de rectángulos considerados pero será igual sólo considerando el valor límite cuando el número de rectángulos sea infinito. Así:
n
iiiR xf
n
LimA
1
)(
AREA BAJO LA CURVA...
¿De qué manera cambia lo descrito hasta ahora si en lugar de considerar rectángulos INSCRITOS a la región consideramos rectángulos CIRCUNSCRITOS?
¿De qué manera cambia lo descrito hasta ahora si en lugar de considerar una función CRECIENTE consideramos una función DECRECIENTE?
PROBLEMAS
Determinar el valor del área limitada por la gráfica de la función, el eje x y las rectas indicadas usando para ello la suma de las áreas de los rectángulos indicados:
1)(.1 2 xxf x=2, x=3, Rectángulos inscritos
310)(.2 xxf x=1, x=2, Rectángulos circunscritos
22)(.3 xxf x=3, x=6, Rectángulos circunscritos
INTEGRAL DEFINIDA
Sea f una función definida en un intervalo cerrado [a,b]. Entonces la integral definida de f desde un valor a hasta un valor b, denotada por
se define como:
dxxfb
a )(
k
n
k
k
b
a
xxfP
Limdxxf
)(0
)(1
*
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Sea f continua en [a,b] y F cualquier función para la cual F´(x)=f(x).Entonces:
)()()( aFbFdxxfb
a
