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7/25/2019 Unidad Temática VII.pdf http://slidepdf.com/reader/full/unidad-tematica-viipdf 1/25   C   O    P    Y Unidad Temática VII. Electrocinética Arturo González Thomas - Física - ISI - FRRe - UTN. Pág. 1 de 25 UNIDAD TEMATICA VII Electrocinética. CONTENIDOS Capacidad. Capacitores. Asociación de capacitores. Dieléctricos. Energía de un capacitor. Corriente eléctrica. Intensidad y densidad de corriente eléctrica. Circuitos eléctricos. Corriente continua. Conductividad y resistividad. Ley de Ohm. Resistencia eléctrica. Resistencias en serie y n paralelo. Ley de joule. Fuerza electromotriz. Diferencia de potencial entre los bornes de un generador. Diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito. Redes. Leyes de Kirchhoff. Puente de Wheatstone. Potenciómetro. OBJETIVOS DE LA UNIDAD  Que el alumno logre:  Comprender el concepto de capacitancia.  Calcular capacitancias.  Comprender la utilidad y aplicaciones de los capacitores en circuitos eléctricos como elemento de almacenamiento de energía.  Comprender las propiedades y comportamiento de los materiales dieléctricos.  Calcular la capacitancia equivalente en asociaciones de capacitores en serie y en paralelo.  Comprender y relacionar los conceptos de corriente, resistencia y diferencia de potencial (macroscópicos).  Comprender y relacionar los conceptos de densidad de corriente, resistividad y campo eléctrico (microscópicos)  Aplicar la ley de Ohm a situaciones problemáticas.  Calcular la resistencia equivalente en asociaciones de resistores en serie y en paralelo.  Calcular la energía eléctrica disipada por un resistor utilizando la ley de Joule.  Reconocer las diferentes fuentes de fuerza electromotriz.  Comprender y aplicar las leyes de Kirchhoff a circuitos de una y varias mallas.  Reconocer y utilizar los dispositivos para la medición de corrientes, resistencias y diferencias de tensión en circuitos (multímetros).  Analizar circuitos sencillos (RC) y plantear y resolver las ecuaciones diferenciales correspondientes.

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UNIDAD TEMATICA VIIElectrocinética.

CONTENIDOS

Capacidad. Capacitores. Asociación de capacitores. Dieléctricos. Energía de uncapacitor. Corriente eléctrica. Intensidad y densidad de corriente eléctrica. Circuitoseléctricos. Corriente continua. Conductividad y resistividad. Ley de Ohm. Resistenciaeléctrica. Resistencias en serie y n paralelo. Ley de joule. Fuerza electromotriz.Diferencia de potencial entre los bornes de un generador. Diferencia de potencialentre dos puntos de un circuito. Redes. Leyes de Kirchhoff. Puente de Wheatstone.

Potenciómetro.

OBJETIVOS DE LA UNIDAD

• Que el alumno logre:• Comprender el concepto de capacitancia.• Calcular capacitancias.• Comprender la utilidad y aplicaciones de los capacitores en circuitos eléctricos

como elemento de almacenamiento de energía.• Comprender las propiedades y comportamiento de los materiales dieléctricos.

• Calcular la capacitancia equivalente en asociaciones de capacitores en serie yen paralelo.• Comprender y relacionar los conceptos de corriente, resistencia y diferencia de

potencial (macroscópicos).• Comprender y relacionar los conceptos de densidad de corriente, resistividad y

campo eléctrico (microscópicos)• Aplicar la ley de Ohm a situaciones problemáticas.• Calcular la resistencia equivalente en asociaciones de resistores en serie y en

paralelo.• Calcular la energía eléctrica disipada por un resistor utilizando la ley de Joule.

• Reconocer las diferentes fuentes de fuerza electromotriz.• Comprender y aplicar las leyes de Kirchhoff a circuitos de una y varias mallas.• Reconocer y utilizar los dispositivos para la medición de corrientes, resistencias

y diferencias de tensión en circuitos (multímetros).• Analizar circuitos sencillos (RC) y plantear y resolver las ecuaciones

diferenciales correspondientes.

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1. INTRODUCCION

El condensador es uno de los diferentes tipos de dispositivos que se utilizan encircuitos eléctricos de los aparatos de radio, los ordenadores y otros aparatos.

Los condensadores proporcionan un almacenamiento temporal de energía encircuitos. Están hechos para almacenar y ceder energía eléctrica de acuerdo con lasnecesidades de cada circuito. La propiedad que caracteriza las posibilidades dealmacenamiento de energía de un condensador es su capacidad eléctrica.

Cuando se almacena energía en un condensador aparece un campo eléctrico ensu interior. Esta energía almacenada puede asociarse al campo eléctrico. De hecho todocampo eléctrico lleva asociada una energía. El estudio de los condensadores y la

capacidad nos acerca a un importante aspecto de los campos eléctricos: la energía de uncampo eléctrico.

Este estudio también nos servirá de base para aprender algunas propiedades delos aislantes. Debido a su comportamiento en el seno de campos eléctricos, los aislantesse denominan frecuentemente dieléctricos.

2. CONDENSADORES Y CAPACIDAD

Un condensador es un dispositivo formado por dos conductores cercanos yaislados entre sí, los que independientemente de su forma son denominados "placas" del

condensador. En la Figura se muestra un condensador deplacas plano-paralelas.

Los alambres conductores que salen de cada unade las placas se usan para conectar las placas delcondensador a otros componentes de los circuitos. En sufuncionamiento normal, las dos placas poseen el mismovalor de carga pero de signos contrarios. La carga estádistribuida de manera superficial, en su mayor parte sobrelas superficies que se encuentran enfrentadas.

Un condensador puede ser cargado conectando los

alambres de sus placas a los terminales de una batería,como se representa esquemáticamente en la Figura 2.Dejaremos el funcionamiento de una batería para más

adelante, ya que por ahora lo único que necesitamos saber esque cuando se conecta una batería a un condensador, losportadores de carga se mueven de una placa a la otra. Si labatería permanece conectada hasta que se establece el

equilibrio, es decir hasta que cesa el flujo de portadores de carga, la diferencia depotencial V entre las placas del condensador es la misma que entre los terminales de labatería.

En el equilibrio, la batería habrá transferido una carga positiva +Q a la placaconectada al terminal positivo y una carga -Q a la placa conectada al terminal negativo.

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Las placas poseerán cargas iguales pero de signos contrarios, por lo que la carga netadel condensador será cero. Cuando hablemos de la carga Q de un condensador nosreferiremos al valor de la carga en cada una de sus placas y no a la carga neta en elconjunto.

Consideremos la relación existente entre la carga Q de un condensador y ladiferencia de potencial V entre sus placas. Supongamos que cargamos el condensadorcon una batería de 1.5 V y encontramos que Q vale 4.5 nC. Si cargamos el mismocondensador con una batería de 3.0 V, obtenemos Q = 9.0 nC, es decir que el cocienteQ/V es igual en ambos casos: Q/V = 4.5 nC/l.5 V = 9.0 nC/3.0 V = 3.0 nC/V. Unainvestigación más detallada conduce a la conclusión de que Q/ V es una característica decada condensador: cuando aumentamos V en cierto factor, Q aumenta en el mismo factortal que el cociente se mantiene constante. Llamaremos a este cociente capacidad C deun condensador:

V

Q

C = (1)

Por convenio todas las magnitudes de la Ecuación (1) se toman positivas, Q es elvalor de la carga en cada placa y V la diferencia de potencial entre ellas. Por tanto lacapacidad C será siempre positiva.

La palabra capacidad utilizada para C nos indica que el condensador contiene opuede contener algo. ¿Qué es lo que contiene un condensador? Un condensadorcontiene cargas de signos opuestos en sus placas. La capacidad de un condensador esla medida de sus posibilidades para almacenar estas cargas. Mediante la Ecuación (1)vemos que cuanto mayor es la capacidad de un condensador mayor es la carga quepuede almacenar para el mismo valor de diferencia de potencial. Veremos luego que uncondensador también almacena energía.

Por su definición, las dimensiones de capacidad son carga dividido por potencial, yla unidad SI es el culombio dividido voltio (C/V); a esta unidad se la denomina faradio (F) :1 F = 1 C/V. Un faradio es una unidad de capacidad bastante grande, de forma que loscondensadores que usualmente se encuentran en los circuitos tienen capacidades entre10-12 F = 1 picofaradio (pF), y 10-6 F = 1 microfaradio (µF).

Determinaremos ahora la expresión de la capacidad para un condensador deplacas plano-paralelas. Primero calcularemos la diferencia de potencial V que apareceentre las placas cuando el condensador tiene una carga Q, y después dividiremos Q por

la expresión obtenida para V. Como hemos visto en un ejemplo de la Unidad VI, si lasdimensiones laterales de las placas del condensador plano-paralelo son mucho mayoresque la separación entre placas, se verifica que:

la densidad superficial de carga sobre las superficies interiores es uniforme AQ /=σ el campo en el espacio entre placas es uniforme AQE 00 // ε ε σ == , y el

potencial varía linealmente con la distancia desde una placa a la otra.

Teniendo esto en cuenta, la diferencia de potencial entre las placas delcondensador es

A

d Qd E V

==

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Como podíamos esperar, la diferencia de potencial es proporcional a Q, de formaque en el cociente C = Q/V la carga Q se cancela. Por tanto

d

A

Ad Q

Q

V

QC 0

0/

ε

ε

=== (2)

La capacidad de un condensador plano-paralelo depende del área de sus placas yde la separación entre ellas, que son parámetros constructivos. Para diseñar uncondensador plano-paralelo que tenga una gran capacidad debemos hacer que el área delas placas sea grande y su separación pequeña. La expresión de C también contiene 0ε ,

la permitividad eléctrica del vacío, lo cual implica que C depende del medio que hay entrelas placas, que en este caso hemos supuesto vacío. Más adelante discutiremos el efectode un material aislante entre las placas del condensador. Note que la ecuación (2)muestra que las unidades SI de 0ε pueden tomarse como F/m al igual que C2/(N . m2),

que se obtienen de la ley de Coulomb.

3. CONDENSADORES EN SERIE Y EN PARALELO

Los componentes de los circuitos pueden ser conectados de muy diferentesformas; las más simples de éstas son las conexiones en serie y en paralelo.

Condensadores en serie. La Figura 3 nos muestrados condensadores de capacidades C 1 y C 2 conectados enserie, es decir uno tras otro. En condiciones electrostáticasel potencial es constante a lo largo de cada conductor.Obsérvese que la diferencia de potencial entre los

extremos del conjunto, ab V V V −= es igual a la suma delas diferencias de potencial entre las placas de cadacondensador: 21 V V V += . Este es un ejemplo de lasiguiente regla general: La diferencia de potencial entre losextremos de un cierto número de dispositivos eléctricos

conectados en serie es la suma de las diferencias de potencial entre los extremos decada dispositivo individual.

Si suponemos que los condensadores se encontraban descargados antes de serunidos entre sí y cargados con una batería, el conductor central aislado contenido en laregión sombreada en la Figura 3 no posee una carga neta, de forma que Q1 = Q2 = Q.

Igualmente para cualquier número de condensadores conectados entre si en serie (einicialmente descargados), la carga de cada uno será la misma que en los demás.

Encontraremos ahora la capacidad equivalente eqC de esta combinación de los

condensadores C 1 y C 2 en serie. La capacidad equivalente de un conjunto de conden-sadores conectados entre si es la capacidad de un único condensador que cuandosustituye al conjunto produce el mismo efecto exterior. Para producir el mismo efectoexterior que los condensadores C 1 y C 2 conectados en serie, este único condensadordeberá poseer una carga Q en cada una de sus placas cuando la diferencia de potencialentre sus extremos sea V. Es decir

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eqeq

C

QV

V

QC =⇒=

Además 21 V V V += donde 11 C

Q

V = y 22 C

Q

V = . Sustituyendo en la ecuación previaobtenemos

21 C

Q

C

Q

C

Q

eq

+=

Por tanto

21

111

C C C eq

+=

En general, la capacidad equivalente de n condensadores conectados en serieviene dada por

∑=

=n

i i eq C C

1

11 (3)

Condensadores en paralelo. La Figura 4 nosmuestra esquemáticamente dos condensadores concapacidades C 1 y C 2 conectados en paralelo, es decir unoal lado del otro. Por la figura puede notarse que ladiferencia de potencial entre los extremos de los dos

condensadores es la misma: 21 V V V V V ab ==−= .

Este es un ejemplo de una regla general: Ladiferencia de potencial entre los extremos de varioscomponentes de un circuito conectados en paralelo es lamisma para todos ellos.

Para conseguir con un único condensadorequivalente eqC la misma capacidad que los

condensadores 1C y 2C conectados en paralelo, éste debe tener una carga 21 QQQ +=

cuando la diferencia de potencial entre sus extremos sea V . Es decir

V

Q

V

Q

V

QQ

V

QC eq

2121 +=+==

Pero las capacidades individuales de los condensadores sonV

QC 1

1 = yV

QC 2

2 = ,

remplazando en la ecuación previa se obtiene

21 C C C eq +=

En general, la capacidad equivalente de cualquier número de condensadoresconectados en paralelo viene dada por

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∑=

=n

i

i eq C C

1

(4)

4. ENERGÍA ELÉCTRICA Y DENSIDAD DE ENERGIA

Desarrollaremos el concepto de energía eléctrica mediante consideraciones sobrela energía potencial de las cargas en las placas de un condensador cargado. Una vezobtenida la energía potencial discutiremos la energía eléctrica en términos de camposeléctricos, e introduciremos el concepto de densidad de energía eléctrica.

Energía eléctrica almacenada en un condensador. Cuando se carga uncondensador con una batería, la batería realiza un trabajo al transportar portadores decarga desde una placa hasta la otra, elevando así la energía potencial de los portadores.Este aumento de la energía potencial de los portadores constituye la energía eléctrica

almacenada en un condensador.Representaremos con U la energía de un condensador una vez que ha sido

cargado con una carga Q y ha adquirido una diferencia de potencial V , mientras que U’,'Q y V’ representarán estas magnitudes cuando varían durante el proceso de carga. En

un cierto instante durante el proceso de carga, la variación en la energía potencial delsistema de cargas dU’ cuando la batería transfiere una carga dQ’ será

dU’ = V’ dQ’

ya que V’ es la energía potencial por unidad de carga. Para obtener la energía U,acumulada en el condensador cuando se carga desde cero hasta una carga Q, debemos

integrar d U’:

∫=Q

dQV U 0

''

La diferencia de potencial V’ varia a medida queQ’ aumenta. De hecho V’ (= Q’/C) aumenta linealmentecon la carga del condensador, como se muestra en laFigura 5. Por tanto,

C

QdQQ

C

dQ

C

QU

QQ 2

00 2

1''

1'

'===

∫∫

La energía de un condensador depende delcuadrado de su carga. La obtención de este resultadopor integración se muestra gráficamente en la Figura 5.La energía viene dada por el área bajo la curva de V’en función de Q’ , y como V’ aumenta linealmente conQ’ la integral es el área de un triángulo de altura Q/C y

base Q.

Usando la definición de capacidad, C = Q / V , podemos expresar la energía de uncondensador cargado en función de cualquiera de las tres magnitudes, Q, C y V:

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222

22 V QV C

C

QU === (5)

Como breve ejemplo supongamos que un condensador de 5.5 pF tiene una

diferencia de potencial dc 42 V; su energía será

mJ V F V C U 9.4)42()5.5(2

1

2

1 22 === µ

Densidad de energía de un campo eléctrico. En la discusión anterior asociamos laenergía de un condensador con la energía potencial de sus cargas. Un punto de vistaalternativo es atribuir esta energía al campo eléctrico que existe entre las placas. Para uncondensador de placas plano-paralelas (con placas de gran superficie y pequeñaseparación entre ellas) d AC /0ε = y d E V = , así que

( ) ( ) Ad E d E d

AV C U

20

202

2

1

2

1

2

ε

=

==

El factor Ad es el volumen que hay entre las placas, que corresponde con volumenocupado por el campo eléctrico (despreciando los efectos de borde). Como la energía esproporcional al volumen ocupado por el campo, podemos obtener la densidad de energía(o energía por unidad de volumen) u en el espacio que ocupa el campo:

( )2

0

20

2

12

1

E Ad

Ad E

Ad

U u ε

ε

===

De forma que2

02

1E u ε = (6)

La Ecuación (6) es algo más que otra forma de expresar la energía de uncondensador de placas plano-paralelas cargado, sugiere que podemos atribuir la energíaeléctrica de una distribución de carga al campo eléctrico producido por la distribución. Aunque no lo probaremos aquí, la ecuación (6) es válida en general, y nos da la densidadde energía que hay en cualquier punto del espacio debido al campo eléctrico que existeen dicho punto, cualquiera que sea la distribución de carga que lo produzca. La densidadde energía eléctrica es un ejemplo de campo escalar.

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5. PROPIEDADES ELECTROSTÁTICAS DE LOS AISLANTES

Hasta ahora sólo hemosestudiado casos en que no habíamaterial alguno en el espacio entre lasplacas de un condensador, ahoraestudiaremos el efecto que tiene llenareste espacio con un aislante (dieléctrico).Esto nos proporcionará una manera deinvestigar las propiedades de losaislantes.

Para examinar las propiedades deun material aislante como el vidrio o elplástico seguiremos el siguiente proceso:Tomamos primero un condensadorplano-paralelo vacío entre sus placas, locargamos conectándolo a una batería, y

desconectamos de ésta una vez cargado. Medimos la diferencia de potencial entre susplacas como se muestra en la Figura 6(a), y a este valor lo llamaremos V 0 . Ahoraintroducimos entre las placas el material aislante que queremos .estudiar y medimos denuevo la diferencia de potencial (Fig. 6(b)).

Este tipo de experimentos revelan que la diferencia de potencial cambia a un valorV, tal que V < V 0 en todos los casos.

La disminución de la diferencia de potencial, de V0 a V, al insertar el aislante nopuede ser atribuida a una reducción de la carga en las placas, ya que si el aislante esretirado la diferencia de potencial vuelve de nuevo a ser V0. Esto no ocurriría si lacantidad de carga en las placas hubiese cambiado con la inserción del aislante.

Cuando se realiza este experimento con diferentes materiales aislantes se obtieneque el cociente V0/V depende del tipo de material. Los aislantes son comúnmentellamados dieléctricos, y este cociente se conoce como constante dieléctrica κ :

V

V 0=κ (7)

En la Tabla I se dan valores de κ , así como del límite dieléctrico para algunosmateriales representativos. Para el vacio 1=κ ya que se define respecto al vacío. Laconstante dieléctrica del aire a temperatura ambiente y presión atmosférica esprácticamente igual a la del vacío, la diferencia entre ambos valores es del orden de0.0006. En la mayoría de los casos no resulta necesario distinguir entre la constantedieléctrica del aire y la del vacío. Como 0V V < en todos los casos, 1>κ para todos los

materiales aislantes.

Examinaremos ahora cómo cambian otras magnitudes, como E, C y V, cuando secoloca un aislante entre las placas de un condensador (con la batería desconectada).Como hicimos para V pondremos un subíndice cero para designar las magnitudesmedidas cuando el condensador está vacío, y los símbolos sin subíndice cuando se ha

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introducido el dieléctrico. Considerando primero el campo entre las placas. Dado qued E V = y d E V 00 = , sustituyendo en (7)

E

E

d E

d E

V

V 000 ===κ

o bien

01

E E κ = (8)

Igual que la diferencia de potencial, el valor del campo eléctrico se reduce en unfactor κ /1 al introducir el dieléctrico entre las placas.

Ahora veremos el efecto del dieléctrico sobre la capacidad. Como C QV /= y

00 / C QV = . remplazando en (7) obtenemos

0

00

C

C

C Q

C Q

V

V ===κ

Por tanto

0C C κ = (9)

La inserción del dieléctrico produce un aumento de la capacidad en un factor κ .

Para ver como varía la energía, despejamos V de (5):Q

U V

2= yQ

U V 0

02= , y

remplazamos en (7)

U

U

QU

QU

V

V 00

02

2

===κ

Entonces

01

U U κ = (10)

La energía del condensador se reduce en un factor κ /1 al insertar el dieléctricoComo U se reduce a medida que el dieléctrico es introducido, aparece una fuerza quetiende a introducir el dieléctrico entre las placas.

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Tabla I: Propiedades de los materiales Dieléctricos (20 ºC)

Material Tipo Constante

dieléctrica κ

Límite

dieléctrico Emax, x106 V/m

Vacío 1

Aire seco (1atm)

1.00059 3

Dióxido deCarbono (1 atm)

1.00098

Helio (1atm)

1.00007

Etanol (1atm)

Gases

1.0061

Benceno 3.1

Glicerol 43

Agua

Líquidos

80

Teflón 2.1 60

poliestireno 2.6 25

Nylon 3.4 14

Papel 3.6 15

Cuarzovítreo

3.8 8

Baquelita 4.9 24

Vidrio Pirex 5 14

Neopreno 6.8 12

Alúmina 10.3

Titanio deestroncio ≈ 250 8

Titanio debario y estroncio

Sólidos

≈104

Existen varios factores a considerar a la hora de escoger un dieléctrico paraconstruir un condensador útil. En primer lugar, dado que C proporcional a κ , es preferibleuna constante dieléctrica alta de forma que para conseguir una gran capacidad nosea necesario aumentar excesivamente el área de las placas. En segundo término un

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alto límite dieléctrico E máx (*) permitirá presencia de grandes campos eléctricos en el

condensador sin que se produzca ruptura dieléctrica. Para un condensador plano-paralelo V = Ed, de forma que V max = E max d , y por tanto, si E máx es grande, d podrá serpequeño sin restringir diferencia de potencial máxima de trabajo, y un valor menor de d

significa una mayor capacidad. Por tanto se requiere un dieléctrico con un valor grandeE máx si se espera que V sea grande o si d tiene que ser pequeño. En tercer lugar unaislante sólido proporcionará un soporte rígido entre las placas, evitando que éstaspuedan llegar a estar en contacto eléctrico entre sí.

6. Corriente y Resistencia Eléctrica

Introducción

Hasta ahora hemos analizado el efecto de cargas estáticas. Analizaremos ahora el

movimiento de los portadores de carga, es decir el fenómeno de la conducción eléctrica.En electrostática, concluimos que el campo eléctrico dentro de un conductor es

nulo. Si mediante algún dispositivo mantenemos el campo diferente de cero dentro de unconductor, los portadores de carga se moverán, estableciéndose una corriente deportadores, que denominamos corriente eléctrica. En esta unidad analizaremos losefectos de las corrientes eléctricas estacionarias (constantes en el tiempo), yplantearemos un modelo sencillo que permitirá comprender el fenómeno de conduccióneléctrica en la materia.

Flujo de carga en un conductor. Corriente eléctrica.

La característica esencial de los conductores, sean éstos sólidos, líquidos o

gaseosos, consiste en que disponen departículas cargadas que puedenmoverse con bastante libertad bajo laacción de campos eléctricos. Estaspartículas se denominan portadores decarga. Podemos imaginar un metalcomo una estructura de iones positivoslocalizados en posiciones fijas queforman una red, y distribuidos entreestos los electrones libres. La carga delconjunto es nula, siendo igual el númerode iones positivos y de electrones libres.Si establecemos un campo eléctrico enel interior del metal, tanto los electronescomo los iones positivos sentirán su

influencia, pero solo los electrones pueden moverse, estableciéndose en este caso unflujo de carga negativa en el metal. Este flujo se caracteriza mediante la corrienteeléctrica.

(*)

El límite dieléctrico de un material aislante es el máximo valor del campo eléctrico Emax, que puedeexistir en dicho material sin que se produzca su ruptura eléctrica. Cuando ocurre la ruptura eléctrica de unmaterial, las moléculas que lo forman se ionizan y el material comienza a conducir.

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En la figura 1 (a) se representa un alambre conductor con portadores de cargapositivos moviéndose en la dirección del campo eléctrico.

Denominamos dQ a la carga que atraviesa la sección transversal S del alambreen un tiempo infinitesimal dt . Se define a la corriente eléctrica i en el alambre, como larapidez con que pasa la carga a través de esta sección transversal

dt

dQi = (1)

La unidad en el Sistema Internacional (SI) es el ampere (A), que es igual a uncoulomb por segundo: 1A = 1 C/s.

La corriente eléctrica es una magnitud escalar, aunque a veces especifiquemos sudirección o sentido.

En términos de potencial puede decirse que para que se mantenga una corriente

eléctrica es necesario que exista una diferencia de potencial constante entre losextremos del conductor. En un conductor metálico los portadores de carga son loselectrones (-), por lo que su desplazamiento se producirá del extremo del conductor amenor potencial hacia el extremo a mayor potencial, o en términos de signos desde elpolo negativo hacia el positivo. En una disolución salina los portadores de carga soniones tanto positivos como negativos; cuando se somete dicha disolución a unadiferencia de potencial constante, como la producida entre los bornes de una pila, segenerarán movimientos de carga de sentidos opuestos; las cargas positivas sedesplazarán por la disolución del extremo de mayor potencial al de menor potencial, o loque es lo mismo, del polo positivo de la pila al polo negativo, y las negativas en sentidocontrario. Algo semejante sucede en un medio gaseoso ionizado como el que se produce

en el interior de un tubo fluorescente o de neón sometido a una diferencia de potencialintensa.

Benjamin Franklin fue el primero en asignar un sentido de circulación a la corrienteeléctrica en los conductores metálicos. Él supuso que era la electricidad positiva la que,como un fluido sutil, se desplazaba por el interior del conductor. Según dicha suposición,la corriente eléctrica circularía del polo positivo al negativo. Más de un siglo después lamoderna teoría atómica revelaba que los electrones son los portadores de carga en losmetales, de modo que el sentido real de la corriente resulta ser justamente el opuesto alasignado por Franklin. Por razones históricas y dado que en la electrocinética el sentidode circulación de la corriente no tiene mayor trascendencia, se sigue aceptando como

sentido convencional el postulado por Franklin. Sin embargo, en otras ramas de la física,como la electrónica, la distinción entre ambos resulta importante.

Velocidad de arrastre.

Si aplicamos un campo eléctrico externo a un conductor, el campo ejerce unafuerza sobre cada uno de los portadores de carga, produciéndose el desplazamiento delos mismos a través del conductor. Si no actúa sobre ellos ninguna otra fuerza, tendríanMRUA. Pero como los portadores interactúan con las demás partículas constituyentes delconductor, el efecto combinado hace que se muevan en promedio con velocidadconstante d v , denominada velocidad de arrastre. Obtendremos la relación entre la

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corriente i y la velocidad de arrastre para unconductor cilíndrico de área transversal S (Fig.2).Sea n el número de portadores de carga q por unidadde volumen. Todos los portadores contenidos en el

cilindro de longitud dt vdl d = pasan a través de lasuperficie S en el tiempo dt . El numero total deportadores en el cilindro es n S dl, y todos pasan através de la superficie S en dt , por lo que la cargatotal que atraviesa la superficie S en el tiempo dt es

qdt vS nqdl S ndQ d ==

De la definición de corriente eléctrica (1) resulta

qvS ndt

dQi d == (2)

Densidad de corriente eléctrica

La corriente eléctrica i caracteriza el flujo de carga a través de la seccióntransversal total de un conductor, por lo que es una magnitud que describemicroscópicamente el fenómeno. Si queremos hacerlo microscópicamente, es decirdescribir el flujo de carga en puntos del interior del conductor, debemos usar la densidadde corriente j , que es una magnitud vectorial.

Si la densidad de corriente es uniforme, su modulo es igual a la corriente i divididapor la superficie S del área transversal del conductor

S

i j = (3) (para j uniforme)

Sustituyendo (2) en (3) obtenemos:

qvn j d = (4)

Este resultado puede expresarse en forma vectorial en función de la velocidad dearrastre v d .

→→= d vqn j (5)

El valor absoluto desaparece para la carga, de modo que→

j tiene el mismo

sentido que→

d v para cargas positivas y contrario para

cargas negativas. Por tanto su sentido coincide con elde la corriente.

Si la velocidad de arrastre varia de un punto aotro del material (Ver Fig. 3), la densidad de corrientevariará de la misma forma. En este caso la corriente i através de

una superficie dada puede obtenerse mediante una

integral de superficie de la densidad de corriente→ j :

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∫ →→⋅= ds ji (6)

La corriente a través de una superficie es el flujo de la densidad de corriente a

través de dicha superficie. Resistencia eléctrica y Ley de Ohm

Si aplicamos una diferencia de potencial entre los extremos de un alambreconductor se producirá una corriente eléctrica i . El valor de la diferencia de potencialpara producir una determinada corriente i dependerá del material del que este construidoel alambre. La propiedad física que determina este valor se denomina resistenciaeléctrica.

La resistencia eléctrica R se define como

i

V R = (7)

La resistencia eléctrica es una medida de la oposición que presenta un material ala circulación de carga a través de el. Para un mismo potencial, cuando mayor sea laresistencia R , menor será la corriente i que circulará. En los circuitos eléctricos una delas aplicaciones de las resistencias es la de limitar o controlar la corriente que circula. Elcomponente utilizado se denomina Resistencia, y para representarlos esquemáticamenteen un diagrama de circuito se utiliza el símbolo .

Para muchos conductores la corriente a través de un trozo de conductor esdirectamente proporcional a la diferencia de potencial aplicada entre los extremos delmismo, de manera que su resistencia es independiente de V (o de i). De manera que si

duplicamos V se duplica la corriente i que circula por el conductor. En este caso podemosescribir

RiV = (8) Ley de Ohm

Los materiales para los cuales se verifica (8) sedenominan “óhmicos”, y los que no cumplen dicha ley,no óhmicos. En el gráfico, la recta en rojo correspondea un material óhmico, y la pendiente da la resistenciaR. La curva azul corresponde a un material no óhmico.

Las resistencias (resistores) utilizadas en

circuitos llevan usualmente su valor marcado en lasuperficie mediante un código de barras de colores, ysalvo indicación contraria debemos suponer que sonóhmicas.

Resistividad

Consideremos un trozo de alambre conductor cilíndrico de longitud l y seccióntransversal S. Si aplicamos una diferencia de potencial V entre sus extremos, circularauna corriente i , y su resistencia estará dada por el cociente R = V / i . Si tomamos ahoraun trozo de longitud doble y misma sección transversal S, y aplicamos la mismadiferencia de potencial, encontramos que la corriente es la mitad, por lo que la resistencia

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se ha duplicado. Esto indica que la resistencia es directamente proporcional a la longitudl del conductor : l R ∝

Si ahora aplicamos la misma diferencia de potencial a un trozo de longitud l perode sección transversal doble (2S), encontramos que la corriente se duplica, lo que indicaque la resistencia es inversamente proporcional a la sección S transversal del conductor:

S R

1∝

La resistencia de un trozo de conductor depende además del tipo de material quelo constituya. Esta dependencia, que es característica de cada material, se representapor un factor de proporcionalidad ρ denominado resistividad del material, el que esindependiente de su forma. Concluimos entonces que la resistencia de un trozo dematerial conductor de resistividad ρ , longitud l y sección transversal S esta dada por

S

l

R ρ = (9)

Dependencia de la resistividad de los metales con la temperatura.

En general la resistividad varia con la temperatura. Para muchos materiales, paracambios de temperatura razonables, la dependencia es prácticamente lineal, y esta dadapor:

( )[ ]00 1)( T T T −+≅ α ρ ρ (10)

donde

α : coeficiente térmico de la resistividad

0 ρ : resistividad a la temperatura de referencia 0T

La dependencia de la resistividad con la temperatura para los metales se apartaclaramente de la linealidad por debajo de los 20ºK.

Para la resistencia podemos escribir una formula equivalente

( )[ ]00 1)( T T RT R −+≅ α (11)

0 R : Resistencia a temperatura 0T .

Resistencia Equivalente. Resistencias en Serie y en Paralelo.

Consideremos un circuito formado únicamente por resistores, y sean a y b lasúnicas terminales que salen del mismo. Supongamos además que por a ingresa unacorriente i , y que sale por la terminal b . Entonces habrá una cierta diferencia depotencial baab V V V −= a través del circuito. Con respecto a las terminales a y b, el circuito

completo se comporta como si fuera un único resistor, con resistencia equivalente R. Laresistencia equivalente de una combinación de resistencias es aquella que al remplazar ala combinación en el circuito produce el mismo efecto externo. Para producir el mismo

efecto externo la resistencia equivalente debe transportar la misma corriente que lacombinación, cuando la diferencia de potencial entre sus extremos sea igual a laaplicada a la combinación. Es decir que se debe verificar que

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i

V R eq = (12)

V : Diferencia de potencial entre los extremos de la combinación

i : Corriente que fluye a través de la combinación.

Las combinaciones de resistores enlos circuitos se presentan generalmenteen Serie y en Paralelo, como serepresentan en las Figuras 4.a, 4.b . LaFig. 4.c es el circuito de la resistenciaequivalente.

Resistencias en Serie

Debido a la conservación de lacarga (no hay sumideros de carga) porambas resistencias pasa la mismacorriente i (Fig. 4.a). Además la diferenciade potencial entre a y b

21 V V V V V baab +=−=

La diferencia de potencial 1V entre

los extremos de 1R es:

11 R i V =

La diferencia de potencial 2V entrelos extremos de 2R es:

22 R i V =

La diferencia de potencial entre los extremos de la resistencia equivalente es:

eqab R i V =

Remplazando en la ecuación de las tensiones

21 R i R i R i eq +=

21 R R R eq +=

En general para n resistencias en serie

∑=

=

n

i

i eq R R

1

(13)

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Resistencias en Paralelo

La Fig. 4.b muestra dos resistencias 1R y 2R en paralelo. La diferencia de

potencial entre los extremos de 1R es abV V =1 , y para 2R es abV V =2 . Es decir21 V V V ab == . La corriente que entra en a es la misma que sale por b, por lo que se

cumple que 21 i i i += . Además 111 R i V = y 222 R i V = . Para el circuito equivalente es

eqab R i V = . Despejando las corrientes de estas tres ecuaciones y remplazando en la

ecuación de las corrientes tenemos

212

2

1

121

R

V

R

V

R

V

R

V

R

V i i i abab

eq

ab +=+=⇒+=

Sacando factor común abV y simplificando

21111

R R R eq

+=

En general para n resistencias en paralelo

∑=

=

n

i i eq R R

1

11

Potencia suministrada a un resistor. Ley de Joule.

La ecuación general para la potencia suministrada a cualquier elemento de uncircuito es iV P = . Para el caso del resistor, utilizando la ley de Ohm podemos expresarlacomo

R

V RiiV P

22 ===

La ecuación 2 Ri P = se denomina Ley de Joule.

Es imposible tomar potencia eléctrica de un resistor, la potencia siempre fluye

hacia el resistor. Podemos preguntarnos que pasa con la energía ∫= dt P W suministrada

al mismo. Los resistores no almacenan energía como los capacitores, sino que la disipanen forma de calor al medio que lo rodea.

Amperímetro y Voltímetro

Dos magnitudes que siempre interesa conocer para un componente de circuito, porejemplo una resistencia, son la corriente i que circula a través del mismo, y la diferenciade potencial V aplicada entre sus extremos. El amperímetro es un dispositivo que permitemedir corrientes, y el voltímetro tensiones o diferencias de potencial.

El amperímetro mide la corriente que circula por su interior . Por tanto para medir la

corriente que pasa por un componente debe conectarse en serie con el mismo, demanera de medir la misma corriente que circula por ambos (Fig. 5.a).

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Por ser un dispositivo construido a su vez concomponentes eléctricos, siempre tendrá una ciertaresistencia interna. Para no afectar el funcionamiento

del circuito en el cual se intercala, la misma debe ser lomas pequeña posible. Tiene una escala de medida ouna pantalla digital que indica la cantidad de corrienteque circula. A través de un conmutador (llave) sepueden seleccionar diversas escalas de medida.

El voltímetro mide la diferencia de potencial quese aplica entre sus extremos.

Para medir la diferencia de potencial entre losextremos de un componente debe conectarse enparalelo con dicho componente, de manera que ladiferencia de potencial entre extremos sea la misma(Fig. 5.b). El voltímetro también posee una resistencia

interna, que constructivamente se busca que sea lo mas elevada posible, a los efectos deque por la rama “externa” al circuito que lo contiene se derive el mínimo posible decorriente eléctrica. Tiene una escala de medida o una pantalla digital que indica lacantidad de corriente que circula. A través de un conmutador (llave) se puedenseleccionar diversas escalas de medida.

Tanto el voltímetro como el amperímetro tienen una escala de medida o unapantalla digital que indica la cantidad medida. Cuentan además con una serie deresistencias que se utilizan para cambiar la escala de medidas mediante una llave

conmutadora. Frecuentemente ambos se incluyen en un único dispositivo denominadoTester o Multimetro, pudiéndose seleccionar el modo de medida y la escalacorrespondiente. Están diseñados de manera que su introducción en el circuito no afecteen forma apreciable su funcionamiento. Un voltímetro ideal tendría resistencia infinita y unamperímetro ideal resistencia nula.

Puente de Wheatstone

Es un circuito que se utiliza para medir resistencias. x R es la resistencia desconocida, 2R y 4R dos resistencia

fijas cuyo valor se conoce con precisión, 1R es unaresistencia variable cuyo valor se conoce con precisión entodo momento y G es un dispositivo detector de corrientede alta sensibilidad (p/ej. un galvanómetro). Se varía 1R hasta que G indica corriente nula. En esa condición

2

41

R

R R R x =

Si no hay corriente en la rama central ba V V = , porlo que

−=−−=−

d bd a

bc ac

V V V V

V V V V luego

==

4322

312

R i R i

R i R i x

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dividiendo miembro a miembro estas dos últimas ecuaciones

2

41

42

1

R

R R R

R

R

R

R x

x =⇒=

Energía y corriente en circuitos de corriente continua.

Introducción

Los circuitos eléctricos son en los dispositivos electrónicos el equivalente delsistema de arterias y venas del cuerpo humano. Analizaremos algunos circuitosextremadamente sencillos, limitándonos al caso en que la corriente circula siempre en elmismo sentido, es decir al caso de circuitos de corriente continua (cc). Los circuitos en losque la corriente oscila en uno y otro sentido se denominan circuitos de corriente alterna(ca), que analizaremos más adelante en otra Unidad.

Fuerza electromotriz y circuitos eléctricos.

Existen ciertos dispositivos que son capaces de mantener constante la diferenciade potencial entre dos puntos de un circuito al que están conectados, tales como baterías,pilas y generadores eléctricos. Reciben el nombre de fuentes de fuerza electromotriz ε (fem). La unidad de ε es el volt.

Estas fem proporcionan a los portadores de carga la energía eléctrica necesariapara que circule por el circuito una corriente en forma continua.

En los circuitos eléctricos se representa a las fuentes de fem por el símbolo

. La barra más corta corresponde a la conexión a menor potencial y la máslarga a la de mayor potencial.

En la figura de la izquierda es B A V V < .

Las fuentes de fem más comunes son las baterías ylas pilas. El terminal que está a mayor potencial se denominaterminal positivo (ánodo) y el que está a menor terminalnegativo (cátodo). En el circuito, por fuera de la batería la

corriente circula del terminal positivo al negativo, y en el interior de la misma del negativoal positivo. Muchas fuentes de fem presentan una resistencia interna r que debe ser

tenida en cuenta cuando se plantean las ecuaciones del circuito. La resistencia internadetermina que para la fem descargándose, la diferencia de potencial entregada al circuitosea igual a la fem menos la caída provocada por la resistencia.

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La diferencia de potencial entre los puntos A y B del circuito es: r iVab −= ε .

Podemos medir la fem ε conectando un voltímetro en paralelo. La lectura delvoltímetro nos da la fem, dado que la elevada resistencia interna del mismo hace que lacorriente sea prácticamente nula y el termino r i despreciable.

Cuando el sentido de la corriente que circula por el circuito coincide con el de lacorriente que proporciona naturalmente la batería, decimos que la misma estadescargándose a través del circuito. En el caso contrario decimos que la batería estacargándose.

LEYES DE KIRCHHOFF

Cuando trabajamos con circuitos en casos de interés práctico, las cantidades quenos interesa determinar son generalmente las corrientes que circulan en cada parte del

mismo, y tenemos como datos los valores de las fem conectadas al circuito, así como losvalores de las resistencias incluidas en el mismo. En esta unidad nos limitaremos alestudio de circuitos que conducen corrientes estacionarias, es decir a circuitos decorriente continua. Un circuito puede estar formado por varios ramales o subcircuitos. Unaposible definición de circuito sería: red de trayectorias conductoras, cada una de lascuales puede contener fuentes de fem, resistencias, etc.

Nuestro problema es, conocidas las resistencias y fuentes de fem de cadaelemento de circuito, determinar la intensidad de corriente en cada uno de estoselementos.

La ley de Ohm es fundamental para el análisis de los circuitos, pero además son

necesarias dos leyes adicionales, establecidas por el físico alemán Gustav RobertKirchhoff (1824-1887), quien fue uno de los pioneros en el análisis de los circuitoseléctricos. A mediados del siglo XIX, propuso las dos leyes que llevan su nombre.

Las leyes de Kirchhoff tienen una importancia extraordinaria, ya que mediante lasecuaciones simultaneas que con ellas se establecen, es posible determinar: corrientes,resistencias, caídas de potencial y fuerzas electromotrices en las redes de cualquiercomplejidad, cuando los datos son suficientes; además permiten verificar las soluciones.

Antes de establecer las leyes debemos definir que se entiende por nodo y pormalla: Por definición:

• Nodo (o punto de derivación) es un punto donde convergen tres o másconductores.

• Malla (lazo) es una trayectoria conductora cerrada del circuito.

Ley de las corrientes.

La ley de la conservación de la carga tiene como consecuencia que la suma detodas las intensidades de corriente que llegan a un nodo (unión, punto de derivación oempalme) de un circuito sea igual a la suma de todas las intensidades de corriente quesalen de él. La primera ley establece:

La suma algebraica de todas las intensidades de corriente en cualquier unión onodo de un circuito es igual a cero.

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0=∑ j

j I

De esta manera son de signo positivo las corrientes que ingresan a un nodo, ynegativas las que salen de él.

Ley de las mallas.

La suma algebraica de las diferencias de potencial que se encuentran al recorrercualquier malla es igual a cero.

Cuando decimos recorrer estamos diciendo que partimos de un punto (arbitrario) yfinalizamos en el mismo punto

Esta ley es un resultado del carácter conservativo del campo electrostático.Podemos verla también como una confirmación del principio de la conservación de la

energía. La energía que gana una fuente generadora de fuerza electromotriz (fem) altransformar las energías mecánica o química en eléctrica, se pierde en formas de caídasde tensión IR o bien, cuando se reconvierte la energía eléctrica en mecánica al mover elmotor.

Antes de aplicar las leyes de Kirchhoff a un problema particular, es necesarioestablecer un sentido para la corriente en cada rama o malla del circuito. Estos sentidosson arbitrarios. En base a estos sentidos se formulan las ecuaciones. Si la soluciónnumérica de las mismas da para una corriente particular un valor negativo, el sentido decorrecto de esta corriente es el opuesto al establecido.. Para recorrer una malla esnecesario establecer además un sentido, que puede ser el de las agujas de un reloj, o

contrario. En los problemas es conveniente marcar el mismo con una flecha. Una femtoma signo positivo si la fem por si misma produciría una corriente cuyo sentido coincidiríacon el del recorrido. Las caídas de potencial Ri en las resistencias se toman con signonegativo (en la primera forma de expresar la ley) si la corriente que atraviesa la mismatiene sentido coincidente con el recorrido. Los casos contrarios implican signos positivos.

Establezcamos claramente las convenciones que debemos respetar cada vez queaplicamos las reglas de Kiechhoff.

• Al atravesar una fem, esta es positiva (suma) si lo hacemos de menor a mayor potencial (– a +), caso contrario es negativa (resta).

• Una vez establecidos los sentidos de las corrientes, si al atravesar la resistencia lohacemos en el sentido de la corriente, la caída de potencial en la misma esnegativa (resta), caso contrario es positiva (suma).

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Para ejemplificar la ley de las mallasconsideremos un circuito sencillo de una sola mallaconstituido por una fem ε de resistencia interna r yuna resistencia R (Figura 1). Recorremos la malla enel sentido de las agujas del reloj comenzando por elpunto A.

0)()()()( =−+−+−+− D AC D BC A B V V V V V V V V

=−

=−

=−

−=−

0

0

D A

C D

BC

A B

V V

RiV V

V V

r iV V ε

remplazando y despejando

Rr i+=

ε

Para ejemplificar la ley de los nodos utilizaremos el circuito de la Figura 1.1.

Al nodo A llega una corriente I1 la cualse divide para formar las corrientes I2 e I3.Como en el nodo A no se ganan ni se pierdenelectrones, I1 es igual a la suma de I2 mas I3.En otras palabras, igual corriente fluye hacia un

punto como sale de el.0321321 =−−+= I I I o I I I

En el nodo B es

0132132 =−+=+ I I I oI I I

Veamos ahora unejemplo que para el cálculo de

las corrientes requiere el usosimultáneo de las dos leyes.

En la figura 1.2 vemosun circuito eléctrico que tienetres mallas, la ABEFA, laBCDEB y la malla externa ABCDEFA y dos nodos.

Al recorrer cada una de

ellas las sumas de las femaplicadas mas la suma de lascaídas de potencial en las

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resistencias debe ser igual a cero.

De acuerdo con la figura 1.2, recorriendo las mallas en los sentidos indicados (elde las agujas de un reloj) tenemos:

Malla ABEFA: 0111222 =+∗−−∗ V R I V R I (1)Malla BCDEB: 0222333 =∗−+∗− R I V R I V (2)

Malla ABCDEFA: 0111333 =+∗−∗− V R I R I V (3)

Nodo B: 0321 =−+ I I I (4)

Nodo C: 0213 =−− I I I (5)

Podemos ver que (1) + (2) = (3) y que (5) se obtiene multiplicando (4) por (-1)(dependencia lineal). Para considerar el número adecuado de ecuaciones linealmente

independientes en la resolución de un problema se procede de la siguiente manera. Lospasos a seguir son:

1.- Planteamiento de las ecuaciones de nudos.

1.1.- Se determina el numero N de nudos del circuito, con lo que el numero deecuaciones para aplicar la primera ley de Kirchhoff será de N-1.

1.2.- Se asignan con sentidos arbitrarios las corrientes en cada rama.

1.3.- Se aplica la primera ley de Kirchhoff a N-1 nudos del circuito.

2.- Planteamiento de las ecuaciones de las mallas.2.1.- Se halla el numero R de ramas en el circuito, con lo que el numero de

ecuaciones para aplicar la segunda ley de Kirchhoff es de R - N +1.

2.2.- Conforme a los convenios previamente establecidos se aplica la segunda leyde Kirchhoff a R - N +1 mallas.

Problema: En el circuito de la figura 1.2, determinar las corrientes si:

Ω=Ω=Ω=

===

63,102,11

33,102,51

R R R

V V V V V V

El número de nodos es N = 2 y el de mallas es R = 3. Consideramos un nodo y dosmallas. Tenemos tres incógnitas; las corrientes I1, I2 e I3, por lo que las tres ecuacionesresultantes son suficientes. Elegimos el nodo A y las mallas externa ABCDEFA e inferior ABEFA. Resolveremos el sistema por el método de los determinantes. Rescribimos elsistema

−=−+−

=++−

=−+

−−=−+−

−=++−

=−+

83*62*01*1

53*02*101*1

03*12*11*1

313*32*01*1

123*02*21*1

0321

I I I

I I I

I I I

V V I R I I R

V V I I R I R

I I I

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7610660

601

0101

111

−=−−−=

−−

=∆ 5080300

608

0105

110

1 −=−+=

−−

=∆ I

2313630

681

051

101

2 −=+−−=

−−−

=∆ I 9301380

801

5101

011

3 −=+−−=

−−

−=∆ I

658,076

5011 =−

−=∆

∆= I

I 556,076

2322 =−

−=∆

∆= I

I 224,176

9333 =−

−=∆

∆= I

I

Se puede resolver este problema utilizando Mathcad y el comando interno lsolve.

Circuitos RC

Los circuitos que hemos analizado solo contenían fuentes de fem y resistencias.Consideraremos ahora también la presencia de capacitores, cuya diferencia de potencialentre placas es C QV /= , donde Q es la carga en las placas y C su capacidad. Analizaremos el caso específico del proceso de carga de un capacitor inicialmentedescargado, cuando sus terminales se conectan en serie con una batería y unaresistencia en serie, y dejaremos planteado como tema de autoestudio la descarga de uncondensador inicialmente cargado cuando sus terminales se conectan a una resistencia.

Carga de un condensador.

En el circuito en la posición 0 la llave estaabierta y no circula corriente. El capacitor estáinicialmente descargado. Al llevar la llave a laposición 1, se establece una corriente en elsentido indicado en la malla abca, y el capacitorcomienza a cargarse. Por tanto la carga q seráuna función del tiempo q(t). Aplicando la ley de

las mallas tenemos

0

0)()()(

=+−−

=−+−+−

ε RiC

Q

V V V V V V cabcab

Recordando que dt dQi /= la ecuación anterior se transforma en una ecuacióndiferencial ordinaria (edo) de primer borden para la carga

ε =+⋅C

Q

dt

dQ R

Esta ecuación tiene como solución una función Q(t), que depende de lascondiciones iniciales. Es una edo relativamente sencilla de resolver. Veamos

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)1(dt

C

Q

dQ R

C

Q

dt

dQ R =

−=>−=

ε

ε

Hacemos el cambio de variable

duC dQduC

dQu

C

Q−==>=−=>=−ε

y la ecuación (1) se transforma en

dt C Ru

dudt

u

duC R

1−==>=− integrando ambos miembros

1

ln C C R

t u +−= , donde

1

C es una constante de integración.

Expresando la ecuación anterior en forma exponencial

2// 1 C eeeu C Rt C C Rt ⋅=⋅= −−

Remplazando u tenemos

C Rt eC C

Q /2−=−ε para 0=t es 0)0( =Q , por lo que ε =2C

Remplazando 2C y despejando )(t Q obtenemos

)1()( / C Rt eC t Q −−= ε

A partir de esta expresión podemos hallar la corriente haciendo la derivadadt dQi /= , quedando

C Rt e R

t i /)( −= ε

En t = 0 la corriente es igual a R/ε . No hay carga en el capacitor, por lo que entresus placas no hay diferencia de potencial, y el la caída de potencial en la resistencia debe

balancear inicialmente a la fem ε ( ) Ri=ε . Cuando ∞→t es ε C Q = y la corriente seanula, por lo que la caída de potencial a través del capacitor debe balancear a la fem( C Q /=ε ).

Se deja como tarea para la casa analizar elproceso de descarga del capacitor, si en el instante t= 0, con el capacitor cargado ( 0Q ) se lleva la llave a

la posición 2. Ayuda: Plantear la ecuación para lamalla y tener en cuenta que la carga en el capacitor

disminuye en el tiempo, por lo que

dt

dqi −= .