Unidad VI: Balances MacroscópicosUnidad VI: Balances Macroscópicos

Prof. Pedro José Tineo Figueroa Prof. Pedro José Tineo Figueroa

Al finalizar esta unidad el estudiante debe ser capaz de: Analizar y

Calcular hidráulicamente Sistemas de Conducción de Fluidos a Través

de Tuberías.

Al finalizar esta unidad el estudiante debe ser capaz de: Analizar y

Calcular hidráulicamente Sistemas de Conducción de Fluidos a Través

de Tuberías.

Desarrollar el balance global de energía mecánica para la deducción de la ecuación de Bernoulli.Desarrollar el balance global de energía mecánica para la deducción de la ecuación de Bernoulli.

Emplear la ecuación de energía mecánica para el cálculo de pérdidas por fricción.Emplear la ecuación de energía mecánica para el cálculo de pérdidas por fricción.

Establecer los criterios de aplicación de la ecuación de energía mecánica.Establecer los criterios de aplicación de la ecuación de energía mecánica.

Desarrollar las ecuaciones para flujo en conductos.Desarrollar las ecuaciones para flujo en conductos.

Establecer la forma de incluir las bombas hidráulicas en la ecuación de Bernoulli.Establecer la forma de incluir las bombas hidráulicas en la ecuación de Bernoulli.

Relacionar las ecuaciones de flujo con las características físicas del sistema.Relacionar las ecuaciones de flujo con las características físicas del sistema.

1. Balance Global de Energía Mecánica.1. Balance Global de Energía Mecánica.

2. Ecuación de Bernoulli.2. Ecuación de Bernoulli.

3. Pérdidas de carga en Tuberías.3.1 Por Fricción3.2 Por Accesorios

3. Pérdidas de carga en Tuberías.3.1 Por Fricción3.2 Por Accesorios

5. Aplicaciones.5. Aplicaciones.

4. Trabajo Mecánico y Potencia de BombasHidráulicas.

4. Trabajo Mecánico y Potencia de BombasHidráulicas.

Bibliografía:• Mott R. MECÁNICA DE FLUIDOS APLICADA. Prentice-

Hall, 1996.• Streeter V. MECÁNICA DE FLUIDOS. Mc Graw Hill

2002.• Welty, Wicks y Wilson. FUNDAMENTOS DE

TRANSFERENCIA DE MOMENTO CALOR Y MASA. Segunda edición, Limusa Wiley, 2001

Bibliografía:• Mott R. MECÁNICA DE FLUIDOS APLICADA. Prentice-

Hall, 1996.• Streeter V. MECÁNICA DE FLUIDOS. Mc Graw Hill

2002.• Welty, Wicks y Wilson. FUNDAMENTOS DE

TRANSFERENCIA DE MOMENTO CALOR Y MASA. Segunda edición, Limusa Wiley, 2001

Ecuación de Euler a lo largo de una línea de Corriente.

Ecuación de Euler a lo largo de una línea de Corriente.

Uno de los enfoques para obtener la ecuación de Bernoulli y establecer la ecuación de conservación de la energía mecánica entre cualquier par de puntos a lo largo de una línea de corriente es mediante la integración de la ecuación de Euler

Uno de los enfoques para obtener la ecuación de Bernoulli y establecer la ecuación de conservación de la energía mecánica entre cualquier par de puntos a lo largo de una línea de corriente es mediante la integración de la ecuación de Euler

Consideraciones:• Flujo a lo largo de una

línea de corriente• Flujo sin fricción• Volumen de control muy

pequeño.

Consideraciones:• Flujo a lo largo de una

línea de corriente• Flujo sin fricción• Volumen de control muy

pequeño.

s A

pA

p’A

gAs

pp' p s

s

Expansión en Serie deTaylor

Balance de Fuerzas:Balance de Fuerzas:

s sF p p' A mgsen ma

s s

s

Sustituyendo p' y m :

pF p p s A A sgcos A sa

s

Simplificando A y reordenando :

psa s sgcos 0

s

Balance de Fuerzas: (cont.)Balance de Fuerzas: (cont.)

as representa la aceleración, y esta a su vez de define como:as representa la aceleración, y esta a su vez de define como:

s

s

dva

dsDonde v f(s,t) una función de la posición

y el tiempo.

Entonces

v vdv ds dt Dividiendo por dt se obtiene :

s t

dv v ds v v ves decir : a v

dt s dt t s t

ESTADO ESTACIONARIO

zz scos ó cos

s

Además si se considera la variable z, como la diferencia de altura entre dos puntos de la línea de corriente, se puede comprobar:

Además si se considera la variable z, como la diferencia de altura entre dos puntos de la línea de corriente, se puede comprobar:

Sustituyendo y simplificando se tiene:Sustituyendo y simplificando se tiene:

v p zv g 0

s s sAl ser todos función solo de s las derivadas parciales

se transforman en totales y se puede simplificar s

El resultado dividido por el peso específico se conoce como la ecuación de Euler para una línea de corriente:El resultado dividido por el peso específico se conoce como la ecuación de Euler para una línea de corriente:

dp vdvdz 0

g

2p vz C

2g

La ecuación de Bernoulli se obtiene por integración de la Ecuación de Euler:La ecuación de Bernoulli se obtiene por integración de la Ecuación de Euler:

C se conoce como la constante de Bernoulli, cuyo valor no varía a lo largo de la línea de corriente, lo que hace particularmente útil está ecuación, cuya aplicación entre dos puntos establece el principio de conservación de la energía mecánica:

C se conoce como la constante de Bernoulli, cuyo valor no varía a lo largo de la línea de corriente, lo que hace particularmente útil está ecuación, cuya aplicación entre dos puntos establece el principio de conservación de la energía mecánica: 2

1 11 2 2

1 2 1 21 22

2 22

1 2

1 2

2 21 2

p vz C

2g p p v vz z 0

2gp vz C

2g

Donde :

z z : Cambio de Energía Potencial

p p: Cambio de Energía Mecánica

v v: Cambio de Energía Cinética

2g

2 21 1 1 2 2 2

2 1

2 22 1 2 1 2 1 2 1

1 1I Ley : Q m h v gz m h v gz 0

2 2

QII Ley : m s s 0

TSustituyendo y reordenando :

1h h v v g z z T s s 0

2

Este resultado también se puede obtener aplicando la primera y segunda ley de la termodinámica a un flujo de un fluido incompresible sin fricción:

Este resultado también se puede obtener aplicando la primera y segunda ley de la termodinámica a un flujo de un fluido incompresible sin fricción:

Por otra parte, la relación termodinámica: dh=Tds+vdp se puede integrar fácilmente para este proceso reversible, isotérmico y con un fluido incompresible.

Por otra parte, la relación termodinámica: dh=Tds+vdp se puede integrar fácilmente para este proceso reversible, isotérmico y con un fluido incompresible.

v2 1 2 1 2 1h h T s s (p p )

Sustituyendo: (v=1/)Sustituyendo: (v=1/)2 2

1 2 1 21 2

p p v vz z 0

2g

1 1 2 2 1 2

1 2

1 2

Solución :

De la Ecuación de Continuidad :

Q A v A v v v16 36

Al aplicar el Balance de Bernoulli de 1 a 2, con z z

z z

2 21 2 1 2

3 31 2

22 2 3

2

p p v v0

2g

p p 3 144 432lb pie ; 0,90 62,4 56,16lb pie

En términos de Q :

432 Q 116 36 0 Q 2,2pies s

56,16 2g

Ejemplo: Un medidor Venturi se utiliza para determinar el caudal en una tubería. El diámetro en la sección 1 es 6 pulg, y en la sección 2 es 4 pulg. Encontrar el caudal a través de la tubería cuando fluye aceite con densidad relativa 0,9 y p1-p2=3 psi.

Ejemplo: Un medidor Venturi se utiliza para determinar el caudal en una tubería. El diámetro en la sección 1 es 6 pulg, y en la sección 2 es 4 pulg. Encontrar el caudal a través de la tubería cuando fluye aceite con densidad relativa 0,9 y p1-p2=3 psi.

1 2

La ecuación de Bernoulli también es aplicable en las siguientes condiciones:La ecuación de Bernoulli también es aplicable en las siguientes condiciones:

Cuando todas las líneas de corriente se originan en un embalse, donde el contenido energético es el mismo en todas partes, la constante de Bernoulli no cambia de una línea a otra, entonces los puntos 1 y 2 pueden seleccionarse arbitrariamente.

Cuando todas las líneas de corriente se originan en un embalse, donde el contenido energético es el mismo en todas partes, la constante de Bernoulli no cambia de una línea a otra, entonces los puntos 1 y 2 pueden seleccionarse arbitrariamente.

En el flujo de un gas, cuando el cambio de presión es una pequeña fracción de la presión absoluta, se puede considerar el gas como incompresible.

En el flujo de un gas, cuando el cambio de presión es una pequeña fracción de la presión absoluta, se puede considerar el gas como incompresible.

Para un flujo no estacionario en condiciones que cambian gradualmente, se puede aplicar Bernoulli si un error apreciable.

Para un flujo no estacionario en condiciones que cambian gradualmente, se puede aplicar Bernoulli si un error apreciable.

Esta ecuación es útil en el análisis preliminar de casos de flujo de fluidos reales, despreciando la fricción. Luego se pueden obtener los resultados de diseño utilizando una forma generalizada de la ecuación de Bernoulli donde los donde otros efectos incluyendo la fricción sean tomados en cuenta.

Esta ecuación es útil en el análisis preliminar de casos de flujo de fluidos reales, despreciando la fricción. Luego se pueden obtener los resultados de diseño utilizando una forma generalizada de la ecuación de Bernoulli donde los donde otros efectos incluyendo la fricción sean tomados en cuenta.

Esta ecuación no es más que una expansión de la ecuación de Bernoulli. Mediante ésta es posible resolver problemas en los que se presentan pérdidas y adiciones de energía.

Esta ecuación no es más que una expansión de la ecuación de Bernoulli. Mediante ésta es posible resolver problemas en los que se presentan pérdidas y adiciones de energía.

hT

Hb

HT

2' 1 11 1

p vE z

2g

2' 2 22 2

p vE z

2g

En este sistema la ecuación general de la energía queda:En este sistema la ecuación general de la energía queda:

' '1 b T T 2E H H h E

Donde E´ representa la energía del fluido por unidad de peso en cada punto.Donde E´ representa la energía del fluido por unidad de peso en cada punto.

La ecuación queda entonces:La ecuación queda entonces:

Donde:hT: Pérdidas de energía por parte del sistema, debidas a

la fricción en los conductos, ó pérdidas menores debidas a la presencia de válvulas y conectores. [m]

Hb: Energía añadida o agregada al fluido mediante un dispositivo mecánico como puede ser una bomba. [m]

HT: Energía removida o retirada del fluido mediante un dispositivo mecánico como podría ser un motor de fluido. [m]

Donde:hT: Pérdidas de energía por parte del sistema, debidas a

la fricción en los conductos, ó pérdidas menores debidas a la presencia de válvulas y conectores. [m]

Hb: Energía añadida o agregada al fluido mediante un dispositivo mecánico como puede ser una bomba. [m]

HT: Energía removida o retirada del fluido mediante un dispositivo mecánico como podría ser un motor de fluido. [m]

2 21 2 1 2

1 2 b T T

p p v vz z H H h

2g

Las Pérdidas de Energía (hT): se deben a la fricción (hf) y los accesorios (he) presentes en el sistema.Las Pérdidas de Energía (hT): se deben a la fricción (hf) y los accesorios (he) presentes en el sistema.

Pérdidas por Fricción o Mayores (hf): Se deben exclusivamente a la fricción del fluido con las paredes de la tubería. Éstas se estiman a partir de la ecuación de Darcy-Weisbach (Unidad V):

Pérdidas por Fricción o Mayores (hf): Se deben exclusivamente a la fricción del fluido con las paredes de la tubería. Éstas se estiman a partir de la ecuación de Darcy-Weisbach (Unidad V):

2

f

L vh

D 2g

Pérdidas por Accesorios o Menores (he): Son las pérdidas que ocurren en las tuberías debidas a codos, uniones, válvulas, etc. En la mayoría de los casos las pérdidas menores se determinan experimentalmente, sin embargo una excepción importante es la pérdida debida a la expansión brusca en una tubería.

Pérdidas por Accesorios o Menores (he): Son las pérdidas que ocurren en las tuberías debidas a codos, uniones, válvulas, etc. En la mayoría de los casos las pérdidas menores se determinan experimentalmente, sin embargo una excepción importante es la pérdida debida a la expansión brusca en una tubería.

En general estas pérdidas son proporcionales a la cabeza de velocidad (v2/2g), y la constante de proporcionalidad (K) depende del accesorio en cuestión.

En general estas pérdidas son proporcionales a la cabeza de velocidad (v2/2g), y la constante de proporcionalidad (K) depende del accesorio en cuestión. 2

e

vh K

2g

Expansión Súbita: Las pérdidas debidas a la expansión súbita en una tubería pueden calcularse utilizando tanto la ecuación de energía como la de momentum, obteniéndose el siguiente resultado:

Expansión Súbita: Las pérdidas debidas a la expansión súbita en una tubería pueden calcularse utilizando tanto la ecuación de energía como la de momentum, obteniéndose el siguiente resultado:2 2

1 1e

2

2 221 1

22 2

A vh 1

A 2g

Es decir :

A DK 1 1

A D

Expansiones Graduales: Ha sido estudiada experimentalmente, incluyendo la fricción a lo largo de la expansión, uno de estudios se resume en la gráfica siguiente:

Expansiones Graduales: Ha sido estudiada experimentalmente, incluyendo la fricción a lo largo de la expansión, uno de estudios se resume en la gráfica siguiente:

1v

2v

1 2

eh

2 21 2

e

v vh K

2g

Contracción Súbita: En este caso la constante K depende de un coeficiente de contracción (Cc) determinado experimentalmente, cuyos valores se muestran en la tabla.

Contracción Súbita: En este caso la constante K depende de un coeficiente de contracción (Cc) determinado experimentalmente, cuyos valores se muestran en la tabla.

2 22

ec

2

c

v1h 1

C 2g

Es decir :

1K 1

C

Entrada a una tubería: La constante K depende del tipo de entradaEntrada a una tubería: La constante K depende del tipo de entrada

1v

2v

1 2

A1/A20,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Cc0,624 0,632 0,643 0,659 0,681 0,712 0,755 0,813 0,892 1,00

Otros Accesorios: Datos experimentales muestran una amplia variación en los coeficientes para accesorios especiales. Para efectos prácticos se considerarán los valores reportados en la siguiente tabla:

Otros Accesorios: Datos experimentales muestran una amplia variación en los coeficientes para accesorios especiales. Para efectos prácticos se considerarán los valores reportados en la siguiente tabla:

Accesorio K

Válvula de Globo (Completamente abierta) 10

Válvula de ángulo (Completamente abierta) 5

Válvula de retención (Completamente abierta) 2,5

Válvula de Compuerta (Completamente abierta) 0,19

Codo en U 2,2

Tee Estándar 1,8

Codo Estándar 0,9

Codo de radio medio 0,75

Codo de radio largo 0,6

Bombas: Son dispositivos cuya función es suministrarle energía al fluido. Esta energía por unidad de peso suministrada, se conoce como altura de carga de la bomba (Hb) y se puede deducir en términos de la energía neta suministrada por la bomba.

Bombas: Son dispositivos cuya función es suministrarle energía al fluido. Esta energía por unidad de peso suministrada, se conoce como altura de carga de la bomba (Hb) y se puede deducir en términos de la energía neta suministrada por la bomba.

b

b

3

3

Energía W WH

Peso mg Q g

WH

Q

Donde :

W :Energía Suministrada al fluido[W]

Q :Flujo Volumétrico[m s]

:Peso Específico[N m ]

La diferencia entre la energía que consume el motor de la bomba y la que efectivamente llega el fluido se expresa en términos de eficiencia:

La diferencia entre la energía que consume el motor de la bomba y la que efectivamente llega el fluido se expresa en términos de eficiencia:

b

b

W100% Donde :

PP :Potencia nominal del motor de la bomba[W]

:Eficiencia dela bomba[adim]

En el caso de las bombas centrífugas, esta información es suministrada por el fabricante en gráficos como el que se muestra a continuación:

En el caso de las bombas centrífugas, esta información es suministrada por el fabricante en gráficos como el que se muestra a continuación:

Funcionamiento de una bomba centrífuga de 11/2 x 3-6 a 1750 rpm.Funcionamiento de una bomba centrífuga de 11/2 x 3-6 a 1750 rpm.

Para evitar esto se debe garantizar una altura neta de succión positiva (NPSHR), cuyo valor mínimo es suministrado por el fabricante, el valor disponible se puede calcular por la siguiente expresión:

Para evitar esto se debe garantizar una altura neta de succión positiva (NPSHR), cuyo valor mínimo es suministrado por el fabricante, el valor disponible se puede calcular por la siguiente expresión:

Además de los requerimientos de Altura de Carga, Caudal, potencia y Eficiencia, en la especificación de una bomba necesario considerar aspectos como las condiciones de admisión del fluido bombeado. Estas condiciones deben garantizar la no formación de burbujas de vapor en la centrífuga de la Bomba. Este fenómeno se llama Cavitación

Además de los requerimientos de Altura de Carga, Caudal, potencia y Eficiencia, en la especificación de una bomba necesario considerar aspectos como las condiciones de admisión del fluido bombeado. Estas condiciones deben garantizar la no formación de burbujas de vapor en la centrífuga de la Bomba. Este fenómeno se llama Cavitación

D sp s f pv

D R

NPSH h h h h

NPSH NPSH

Donde:hsp: Cabeza de presión estática aplicada el

fluido [m]hs: Diferencia de altura desde el nivel del

fluido en el depósito hasta la admisión de la bomba [m]

hf: Pérdida por fricción en la tubería de succión [m]hpv: Presión de vapor del líquido a la

temperatura de bombeo [m]

Donde:hsp: Cabeza de presión estática aplicada el

fluido [m]hs: Diferencia de altura desde el nivel del

fluido en el depósito hasta la admisión de la bomba [m]

hf: Pérdida por fricción en la tubería de succión [m]hpv: Presión de vapor del líquido a la

temperatura de bombeo [m]

En este caso la potencia y la eficiencia de éste equipo se expresa de acuerdo con las siguientes expresiones:En este caso la potencia y la eficiencia de éste equipo se expresa de acuerdo con las siguientes expresiones:

En este caso la eficiencia es la relación entre la potencia que sale del motor y la potencia transmitida por el fluidoEn este caso la eficiencia es la relación entre la potencia que sale del motor y la potencia transmitida por el fluido

Motores de Fluido: También llamados turbinas, son dispositivos diseñados para extraer energía de un flujo de fluido y transformarla en otro tipo de energía (Mecánica, eléctrica, …).

Motores de Fluido: También llamados turbinas, son dispositivos diseñados para extraer energía de un flujo de fluido y transformarla en otro tipo de energía (Mecánica, eléctrica, …).

T TT

TT

T

W WEnergíaH

Peso mg Q g

WH

Q

Donde :

W :Energía Disponible en el fluido[W]

TT

T

T

T

P100%

W

Donde :

:Eficiencia del motor [adim]

P :Potencia desalida del Motor [W]

“ Cuando vayan mal las cosas como a veces suelen ir… y procure tu camino, muchas

cuestas por subir…descansar acaso debes, pero nunca desistir ya que al final del camino hay un hermoso tesoro por descubrir.”

“ Cuando vayan mal las cosas como a veces suelen ir… y procure tu camino, muchas

cuestas por subir…descansar acaso debes, pero nunca desistir ya que al final del camino hay un hermoso tesoro por descubrir.”

AnónimoAnónimo