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  • ngulos

    Ante la necesidad de medir el tiempo, las antiguas civilizaciones se guiaban por el da y la noche o los ciclos de la luna. El primer reloj creado por el hombre fue el solar, que indicaba los momentos del da por la sombra del sol. Estos relojes tenan el inconveniente de no servir en el amanecer, crepsculo, das nublados y en la noche. Los romanos marcaban velas en forma de regla para medir el tiempo en la noche.

    Ms adelante surgi el reloj de arena, que consista en dos recipientes esfricos de vidrio unidos con un estrecho canal; con este instrumento, llegaban a medir todo un da. Luego, naci un mecanismo con movimiento rotatorio continuo y regular, que se ha modificado y perfeccionado con la finalidad de medir el tiempo con mayor exactitud. En la actualidad hay diferentes tipos de relojes y una gran cantidad de modelos.

    Si observas las manecillas del reloj, vers que se forman diferentes ngulos entre ellas. Y esto, qu relevancia tiene?, justamente para ejemplificar cmo en la medida de un ngulo se utiliza el plano cartesiano con ayuda de una semirrecta. Si la semirecta tiene su punto inicial sobre el plano y se desplaza en sentido antihorario, es decir, en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el signo del ngulo es positivo. Si la semirrecta se desplaza en sentido horario, o a favor del movimiento de las manecillas, entonces el signo es negativo.

    Entonces, hay ngulos positivos y negativos?

    La medida de un ngulo se representa por el signo () que indica grados. El smbolo se utiliza para indicar ngulo, por ejemplo si escribimos w=67, estamos diciendo que el ngulo w mide 67.

    Cuando un ngulo mide entre 0 y 90 grados entonces el ngulo pertenece al primer cuadrante. Los ngulos ubicados en el segundo cuadrante miden entre 90 y 180 grados. Los ngulos que miden entre 180 y 270 grados estn en el tercer cuadrante. Por ltimo, si un ngulo se encuentra en cuarto el cuadrante, entonces el ngulo debe medir entre 270 y 360 grados; siempre y cuando la medicin de estos ngulos sea en sentido

  • antihorario. Si el ngulo mide ms de 360 grados, significa que el ngulo ya dio al menos una vuelta en el plano.

    Por ejemplo, si son las 3:00 p.m., el ngulo formado entre la manecilla que marca la hora y la manecilla que indica los minutos es de 90, si es medido en senti do antihorario (como debe hacerse, aunque podemos decir que forma un ngulo de -270 en sentido horario).

    Del mismo modo, cuando el reloj marque las 9:00, el ngulo formado entre las manecillas tambin es de 90.

    Hay que tener cierto cuidado para interpretar los ngulos que se pueden observar en un reloj, ya que las divisiones que vemos en la cartula tienen un uso diferente segn la manecilla. Por ejemplo, la manecilla ms pequea indica las horas y su posicin en 5 indicara las 5 horas, aunque la manecilla ms larga, tambin en el 5 indica 25 minutos.

    Como sabemos que el movimiento de las manecillas de un reloj es circular, utilizaremos una circunferencia como auxiliar para hacer el anlisis de los ngulos. Adems, realizaremos un anlisis por separado para no confundirnos.

  • Empezaremos con el movimiento del minutero. De acuerdo a la imagen, el minutero tiene 60 posiciones y cada una de ellas es un minuto que corresponde a una hora. Por otro lado, una circunferencia tiene un ngulo interno de 360. Si lo dividimos entre las 60 posic iones del minutero obtenemos 6. Por lo tanto, cuan do el minutero avanza un minuto, se desplaza 6.

    Colocaremos un eje coordenado para tener una referencia de los ngulos, de manera que podamos indicar cuntos grados se ha desplazado el minutero despus de cierto tiempo. Si el minutero se encuentra en el minuto 36, indica cul es el valor del ngulo positivo y del ngulo negativo. (Considera el ngulo positivo desde 3 en sentido antihorario y el ngulo negativo desde 3 en sentido horario).

    Ahora escribe el ngulo positivo y negativo si el minutero est sealando al nmero 10.

  • Ahora pensemos en la manecilla que indica la hora. Sabemos que el reloj incluye 12 horas, es decir, cada 12 horas la manecilla del reloj da una vuelta completa. Considerando nuevamente la circunferencia como referencia, al dividir 360 entre 12 horas, tenemos que 360/12 = 30. Esto significa que cada hora est separada por 30. Por otro lado, entre cada hora hay otras 4 marcas, lo que significa que dividimos 30 en 5 partes igua les. Esto equivale a decir cada marca tiene una separacin de 6, como ya lo habamos mencionado en el anlisis del minutero, te acuerdas?

    Adems, la distancia entre dos nmeros indica que ha transcurrido una hora, eso implica que entre dos nmeros debe haber 60 minutos. Como entre 2 nmeros hay 4 marcas, podemos deducir que cada marca comprende 12 minutos. Si entre cada marca hay 6 y adems hay 12 minutos, significa que cada minuto se desplaza 0.5, o sea, si la manecilla se desplaza 1 han transcurrido 2 minutos .

    Si la manecilla est como se muestra en la figura anterior, dirigida hacia la segunda marca, que se encuentra entre el 9 y el 10, indica que son las 9:24. Aydame a encontrar el ngulo positivo y negativo de la manecilla.

    Ya que estamos en esto, encuentra los ngulos que se forman, si la manecilla que indica la hora seala el punto medio entre el 1 y la primera marca de la derecha.

    Bien, ahora que ya te ests volviendo un experto en medir los ngulos generados por las manecillas de un reloj, qu tal si combinamos las manecillas y me dices cul es el ngulo comprendido entre ambas, as como el que forma con los ejes? Para facilitar un poco el trabajo, slo vamos a indicar los ngulos positivos, al fin que ya sabemos que el ngulo negativo siempre es el complemento de 360.

  • Si el reloj marca las 2:30, el minutero se encuentra apuntando hacia el 6, y la manecilla ms pequea est dirigida a la mitad entre 2 y 3. (Para indicar el ngulo que forman las manecillas, debes considerar la manecilla del minutero como inicio del ngulo en sentido antihorario).

    Un ngulo puede medir desde 0 hasta 360. El signo negativo es para indicar la direccin en que se mide el ngulo. Si alguna vez te encuentras un ngulo mayor a 360, significa que el indicador del ngulo dio ms de una vuelta en los ejes. Por ejemplo, podemos representar el ngulo de 400 como: 360+ 40 = 400 , esto es, el indicador dio una vuelta en sentido antihorario una vez, y al llegar al punto inicial sigui girando 40 ms.

    Existen ngulos que tienen ciertas caractersticas y de acuerdo a stas se han clasificado. A continuacin hay una tabla que indica el nombre que se ha asignado a un ngulo de acuerdo a su medida.

    En el siguiente reloj son las 3:00. Si observamos el ngulo del minutero con respecto al eje coordenado, es 90. Por otro lado, el ngulo entre la manecilla de la hora y el eje es 0. Si sumamos los ngulos de las dos

  • manecillas obtenemos que 90 + 0 = 90. Cuando ten emos este resultado se dice que los ngulos son complementarios. Otro ejemplo de ngulos complementarios ser si a = 46 y b = 44, y como a + b = 90, por lo tanto, los ngulos complementarios suman 90.

    Ahora observemos el reloj que marca las 10:45. El ngulo positivo formado entre la manecilla de la hora y el eje es de 121.5, y el ngulo formado entre las dos manecillas es 58.5. Al sumar los dos ngulos, ten emos que 121.5+58.5 = 180. Este resultado es conocido como ngulos suplementarios. Siempre que la suma de dos ngulos sea 180 diremos que los ngulos son suplementarios. Por ejemplo, si:

    x = 15 y = 165

    al sumar x+ y = 180. Entonces los ngulos x y y son suplementarios.

    De acuerdo a los siguientes datos a = 30, b = 80, c = 90, d = 70, e = 100 y f = 10, relaciona las columnas al escribir en los parntesis los nmeros que correspondan.

    Tringulos

    A continuacin te vamos a mostrar algunas imgenes de zonas arqueolgicas que se encuentran en Mxico. Estos tesoros representan uno de los muchos atractivos tursticos de nuestro pas.

    Palenque se encuentra situado en el borde del este del Ro Usumacinta en las colinas de la Sierra Madre Oriental, 130 kilmetros al sur del golfo de Mxico. Palenque representa la variante regional occidental de la civilizacin clsica Maya.

    La ciudad de Teotihuacan, tambin conocida como La ciudad de los Dioses, data del ao 200 a .C. y sobrevivi hasta alrededor de los aos 750 d.C. Contaba con unos 20 km2. y aproximadamente 150 mil habitantes en su poca de florecimiento1. Se encuentra ubicada a unos 50 km al norte de lo que hoy conocemos como la Ciudad de Mxico.

  • Chichn Itz es una ciudad arqueolgica maya del estado mexicano de Yucatn. El nombre de Chichn-Itz tiene raz maya y significa "en la orilla del pozo de los itzes". Se estima que Chichn-Itz fue construida alrededor de los aos 435 y 455 de nuestra era.

    Las construcciones son impresionantes, pero te imaginas la cantidad de trabajo que hay detrs de estas construcciones? Ms an si pensamos que en el tiempo en que fueron hechas no contaban con las herramientas que tenemos actualmente. Estas construcciones tienen caractersticas similares. Asombrosamente, las construcciones tienen formas geomtricas casi perfectas, y para nosotros es un verdadero misterio de cmo es que se llevaron a cabo tales obras de arte. Como te podrs dar cuenta, los arquitectos antiguos tenan una visin espacial impresionante: algunas figuras que nosotros alcanzamos a diferenciar son tringulos, rectngulos, trapecios y cuadrados. Observa con cuidado las imgenes y dinos si identificas alguna figura ms

    Despus de tus observaciones, te sugerimos que te fijes en las cosas que te rodean e identifiques figuras geomtricas.

    Me imagino que encontraste una gran cantidad de objetos con formas geomtricas. La Geometra es muy importante; justamente una de sus aplicaciones es el diseo de objetos. Por eso es interesante conocer las caractersticas de algunas figuras