Unidad5

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 5: Expresiones algebraicas

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5Expresiones algebraicas

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ACTIVIDAD

Las expresiones algebraicas son un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de las operaciones aritméticas.


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Historia del álgebra

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Biografía de Al-Khwarizmi

¿Por qué llamamos x a la incógnita?


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Esquema de contenidos

Expresiones algebraicas

Lenguaje algebraico

Monomios Concepto Operaciones


Factor común

Polinomios

Concepto

Suma y resta

Multiplicación y división

Igualdades notables


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El lenguaje numérico sirve para expresar operaciones en las que solo aparecen números.

El lenguaje que utiliza letras y números unidos mediante los signos de las operaciones aritméticas, se denomina lenguaje algebraico.

Lenguaje algebraico

LENGUAJE USUAL LENGUAJE ALGEBRAICO

La suma de dos números

Un número aumentado en tres unidades

El triple de un número más otro número

La mitad de un número

yx

3x

yx 3

2

x


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Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos por signos de las operaciones aritméticas.


El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las letras por los números determinados y realizar las operaciones aritméticas que se indican.

Ejemplo: calcular el valor numérico de la siguiente expresión algebraica cuando x = -1 y x = 2.xx 32

SIGUIENTE


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431)1(3(-1) -1 x 2 Para

SIGUIENTE


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431)1(3(-1) -1 x 2 Para

264)2(3(2) 2 x 2 Para


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Monomios

Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número y una o varias letras.

El número recibe el nombre de coeficiente, y las letras con sus exponentes son la parte literal.

El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las letras que lo forman.

612324 23 grado

monomio

literalparteecoeficientzyx

615780.2 5 grado

monomio

literalparteecoeficient

ph

SIGUIENTE


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Monomios

Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número y una o varias letras.

MONOMIO COEFICIENTE PARTE

LITERAL

GRADO

26x 6 2x

zyx 324 zyx 324 6

2

zy 3

31 4

31 zy 3

SIGUIENTE


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Monomios

Monomios semejantes. Llamamos monomios semejantes a los monomios que tienen la misma parte literal.

Monomios opuestos. Decimos que dos monomios son opuestos si son semejantes y sus coeficientes son números opuestos.

SEMEJANTES OPUESTOS

SÍ NO

NO NO

SÍ SÍ

SÍ NO

2323 147 bcacba y

22 43 yxyx y

cabcba 22 44 - y

yx yx3

13 y

SIGUIENTE


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Operaciones con monomios. Suma y resta

La suma (o resta) de monomios semejantes se realiza sumando (o restando) los coeficientes y dejando la misma parte literal.

En la suma (o resta) de monomios no semejantes, la suma o la resta se deja indicada.

cbba 57 3

2332 211 abba

zyxyx3

1

SIGUIENTE


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La suma (o resta) de monomios semejantes se realiza sumando (o restando) los coeficientes y dejando la misma parte literal.

3232

32322332

9)211(

211)2(11

baba

babaabba

Los monomios son semejantes, entonces:

3211 ba 232 ab

SIGUIENTE


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bcab 57 3

xyzxy3

1

Los monomios no son semejantes, entonces lo dejamos indicado:

En la suma (o resta) de monomios no semejantes, la suma o la resta se deja indicada.

SIGUIENTE


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Operaciones con monomios. Multiplicación y división

Para multiplicar dos monomios, por un lado multiplicamos los coeficientes y, por otro lado, sus partes literales.

Para dividir dos monomios, por un lado dividimos los coeficientes y, por otro lado, sus partes literales.

Es lo mismo:

Recuerda:

xx

xxx

xxxnmnm

nmnm

1 x1

:0

xx

xx

)43(

4

3

43

4

3

SIGUIENTE


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Ejemplos:

a)

b)

c)

d)

SIGUIENTE


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41333 43

12)()

3

26()

3

2()6( aaaaaa

Ejemplos:

a)

b)

c)

d)

SIGUIENTE


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Ejemplos:

a)

b)

c)

d)

41333 1010)()25()2()5( xxxxxx

41333 43

12)()

3

26()

3

2()6( aaaaaa

SIGUIENTE


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Ejemplos:

a)

b)

c)

d)

aba

baabaaba

2

7

2

7):()2:7()2(:)7(

2

32323

41333 1010)()25()2()5( xxxxxx

41333 43

12)()

3

26()

3

2()6( aaaaaa

SIGUIENTE


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Ejemplos:

a)

b)

c)

d)x

y

x

y

x

yxxyxxyx

888):()1:8()(:)8(

3

23232

41333 43

12)()

3

26()

3

2()6( aaaaaa

41333 1010)()25()2()5( xxxxxx

aba

baabaaba

2

7

2

7):()2:7()2(:)7(

2

32323


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Polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o la resta de dos o más monomios no semejantes.

Cada uno de los monomios se llama término, y si no tiene parte literal, término independiente.

El grado del polinomio es el mayor grado de todos sus términos.

polinomio

ostér

yxyxxyyx

min

2222 535154

término independiente

SIGUIENTE


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Polinomios

Un valor numérico de un polinomio, P(x), para un valor de x = a, lo expresamos como P(a) y se obtiene sustituyendo la variable por el valor a en el polinomio y operando.

Ejemplo: calcular el valor numérico del polinomio para x = 2 y x = -1.

324)( 23 xxxxP

233-28-32 32)2(2)2(4)2( 23P

103)1()1(2)1(4)1( 23 -31--2-4 P

SIGUIENTE


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Operaciones con polinomios. Suma y resta

Para sumar polinomios sumamos sus monomios semejantes, dejando indicada la suma de los monomios no semejantes.

Para restar sumamos al primero el polinomio opuesto del segundo.

Sumar: 324)( 23 xxxxP

2352)( 234 xxxxxQ

SIGUIENTE


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2352)( 234 xxxxxQ

23x 5x x 2x-

3-x 2x- 4x 234

2 3

+

SIGUIENTE


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2352)( 234 xxxxxQ

143

x2 34

234

2 3

x5x 2x-

23x 5x x 2x-

3-x 2x- 4x +

SIGUIENTE


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2352)( 234 xxxxxQ

143

x2 34

234

2 3

x5x 2x-

23x 5x x 2x-

3-x 2x- 4x +

14352)()( 234 xxxxxQxP

SIGUIENTE


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Restar: 324)( 23 xxxxP

2352)( 234 xxxxxQ

SIGUIENTE


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2352)( 234 xxxxxQ

2352)( 234 xxxxxQ

Calculamos el opuesto de Q(x)

SIGUIENTE


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2352)( 234 xxxxxQ

23x 5x x 2x

3-x 2x- 4x 234

2 3

+

2352)( 234 xxxxxQ


Sumamos P(x) y - Q(x)

SIGUIENTE


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2352)( 234 xxxxxQ

52

x2 34

234

2 3

7x3x 2x

23x 5x x 2x

3-x 2x- 4x +

2352)( 234 xxxxxQ



SIGUIENTE


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2352)( 234 xxxxxQ

52

x2 34

234

2 3

7x3x 2x

23x 5x x 2x

3-x 2x- 4x +

52732))(()()()( 234 xxxxxQxPxQxP

2352)( 234 xxxxxQ



SIGUIENTE


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Operaciones con polinomios. Multiplicación y división

Para multiplicar un polinomio por un monomio multiplicamos el monomio por cada uno de los términos del polinomio.

Para multiplicar dos polinomios multiplicamos cada uno de los términos de un polinomio por el otro, y sumamos después los polinomios obtenidos en las multiplicaciones.

Para dividir un polinomio entre un monomio dividimos cada término del polinomio entre el monomio.

SIGUIENTE


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Dados los siguientes polinomios, realizar las operaciones que se indican:

234

2

234

25)(

53)(

323)(

xxxxR

xxQ

xxxxP

a) )(2 2 xPx

2456

2

234

6462

2

323

xxxx

x

xxx

SIGUIENTE


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234

2

234

25)(

53)(

323)(

xxxxR

xxQ

xxxxP

b) )()( xQxP

1515

1510155

5

323

234

24

234

2

234

19x x 9x3x-

9x 6x- 9x3x-

3

56

56

x

xxx

x

xxx

SIGUIENTE


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234

2

234

25)(

53)(

323)(

xxxxR

xxQ

xxxxP

c)x

xR

2

)(

xxx

xxx

xxxxxx

xxxx

2

1

2

52

1)1(

2

5

)2:()2:)2(()2:5(

)2(:)25(

23

23

234

234


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Factor común

Sacar factor común consiste en transformar una expresión de suma o resta en producto.

)( cbacaba

Factor común

Propiedad distributiva

)( cbacaba

Factor común

Propiedad distributiva

SIGUIENTE


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Factor común


)247(24814

22274814

223

2323

xxxxxx

factor

xxxxxxxxx

2x común

SIGUIENTE


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Factor común


)432(6241812

6)24,18,12.(..

241812

222

222

yyxxyxyxyxy

factordcm

xyxyxy6xy común


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Igualdades notables

El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

222 2)( bababa

El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero menos el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

222 2)( bababa

El producto de una suma por una diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados.

22))(( bababa SIGUIENTE


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Igualdades notables

222 2)( bababa

222 2)( bababa

22 ))(( bababa

SIGUIENTE


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Igualdades notables

222 2)( bababa

222 2)( bababa

22 ))(( bababa

44222)2( 2222 xxxxx

SIGUIENTE


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Igualdades notables

222 2)( bababa

222 2)( bababa

22))(( bababa

44222)2( 2222 xxxxx

1691132)3()13( 2222 xxxxx

SIGUIENTE


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Igualdades notables

222 2)( bababa

222 2)( bababa

22))(( bababa

44222)2( 2222 xxxxx

1691132)3()13( 2222 xxxxx

93)3)(3( 222 xxxx


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Enlaces de interés

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Actividad: Descubriendo fórmulas matemáticas

Dirección: http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad2aa.htm

En la sección chilena de la Editorial Santillana, esta actividad se refiere al lenguaje algebraico.

Para desarrollarla, sigue este enlace.

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