Unidad6

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 6: Ecuaciones de primer y segundo grado

ANTERIOR SALIR

6Ecuaciones de primer y segundo grado

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ACTIVIDAD

Podemos encontrar en el día a día muchas situaciones donde se utilicen ecuaciones de primer y segundo grado. Por ejemplo, calcular el espacio que recorre un vehículo.


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Epitafio de Diofanto

Busca en la web

Enlace a la historia de Diofanto de Alejandría

Enlace para resolver el epitafio

Diofanto de Alejandría planteó un problema

de ecuaciones de primer grado en su

epitafio.

¿Te atreves a resolverlo?


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Esquema de contenidos

Ecuaciones de primer

y

segundo grado

Ecuación de primer grado

Identidad y ecuación

Elementos

Soluciones de una ecuación

Resolución de ecuaciones de primer grado

Ecuaciones sencillas

Ecuaciones con paréntesis

Ecuaciones con denominadorResolución de problemas

con ecuaciones de primer

grado

Ecuaciones de 2º grado

Concepto

Resolución caso 1

Resolución caso 2

Resolución caso 3


ANTERIOR SALIR

Una igualdad algebraica está formada por dos expresiones algebraicas separadas por un signo igual ( = ).


Una igualdad algebraica es:

• Una identidad cuando es cierta para cualquier valor de las letras.

•Una ecuación si sólo es cierto para algunos valores de las letras.

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR


¿Son igualdades o ecuaciones?

a) xxx 325

b) 062 xx

c) 56 x

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR



a) xxx 325

b) 062 xx

c) 56 x

Identidad, es cierta para cualquier valor de x

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR



a) xxx 325

b) 062 xx

c) 56 x


99 3,332-35 3

3-3- ,)1-(3)1-(2-)1-(5 -1x

66 2,322-25 2

x

x

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR



a) xxx 325

b) 062 xx

c) 56 x


99 3,332-35 3

3-3- ,)1-(3)1-(2-)1-(5 -1x

66 2,322-25 2

x

x

ecuación

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR



a) xxx 325

b) 062 xx

c) 56 x


99 3,332-35 3

3-3- ,)1-(3)1-(2-)1-(5 -1x

66 2,322-25 2

x

x

06- ,0611 1

00 ,06)2((-2) 2

00 ,0633 3

2

2

2

x

x

x

ecuación

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR



a) xxx 325

b) 062 xx

c) 56 x


99 3,332-35 3

3-3- ,)1-(3)1-(2-)1-(5 -1x

66 2,322-25 2

x

x

06- ,0611 1

00 ,06)2((-2) 2

00 ,0633 3

2

2

2

x

x

x

ecuación

ecuación

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR



a) xxx 325

b) 062 xx

c) 56 x


99 3,332-35 3

3-3- ,)1-(3)1-(2-)1-(5 -1x

66 2,322-25 2

x

x

06- ,0611 1

00 ,06)2((-2) 2

00 ,0633 3

2

2

2

x

x

x

ecuación

57 5,6(-1)- -1x

54 5,62- 2

55 5,6(1)- 1x

x

ecuación


ANTERIOR SALIR

Elementos de una ecuación de primer grado

Miembro: en una ecuación hay dos expresiones separadas por un signo igual. La expresión situada a la izquierda es el primer miembro y la expresión de la derecha es el segundo miembro.

Término: es cada uno de los sumandos de los miembros.

Término independiente: es el miembro formado por un solo número.

Incógnitas: son las letras cuyos valores desconocemos.

Grado: Es el mayor de los exponentes con los que figura la incógnita.

72575

min

miembro

2

ostér

segundomiembroprimer

xxx Incógnita x

Grado 2


ANTERIOR SALIR

Soluciones

Soluciones. Son los valores de la incógnita que hacen que la igualdad sea cierta.

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR

Soluciones


Resolver una ecuación es encontrar su solución o sus soluciones.

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR

Soluciones



Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR

Soluciones




SUMAR +

RESTAR -

Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o les resta el mismo número se obtiene otra ecuación equivalente.

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR

Soluciones




Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o les resta el mismo número se obtiene otra ecuación equivalente.

Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o divide por el mismo número (distinto de cero) se obtiene otra ecuación equivalente.

SUMAR +

RESTAR -

MULTIPLICAR X

DIVIDIR :


ANTERIOR SALIR


Resolución de ecuaciones sencillas

xx 2534

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR


xxpasa

25343 como

Agrupamos los números en el 2º miembro


SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR


xxpasa

25343 como

32542

xcomopasa

xx


Agrupamos las x en el 1er miembro


SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR


xxpasa

25343 como

32542

xcomopasa

xx



3524 xx


SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR


32542

xcomopasa

xx



3524 xx

42

882 xx

Operamos

Agrupamos los términos en x en

un miembro y los números en

el otro.


SIGUIENTE

xxpasa

25343 como


ANTERIOR SALIR


Seguimos estos pasos:

1. Eliminar paréntesis.

2. Agrupar las x en un miembro y los números en el otro.

3. Reducir términos semejantes, si los hubiera.

4. Despejar x y hallar la solución.

Resolución de ecuaciones con paréntesis

xxx 4)2(15)13(10


ANTERIOR SALIR


xxx 4153010130







xxx 4)2(15)13(10

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR


xxx 4153010130




3013041510 xxx



xxx 4)2(15)13(10

SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR


xxx 4153010130




3013041510 xxx

3. Reducir términos semejantes, si los hubiera.15626 x



xxx 4)2(15)13(10

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR


xxx 4153010130




3013041510 xxx

3. Reducir términos semejantes, si los hubiera.15626 x


626

156

x


xxx 4)2(15)13(10

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR


Seguimos estos pasos:3

1

5

1

2

2

xxxResolución de ecuaciones con denominadores

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR



1. Eliminar denominadores.3

1

5

1

2

2


SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR




1

5

1

2

2


30)3 ,5 ,2.(.. mcm

)3

1(30)

5

1(30)

2

2(30

xxx

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR




1

5

1

2

2


)3

1(30)

5

1(30)

2

2(30

xxx)1(10)1(6)2(15 xxx

SIGUIENTE

30)3 ,5 ,2.(.. mcm


ANTERIOR SALIR




1

5

1

2

2



)3

1(30)

5

1(30)

2

2(30

xxx)1(10)1(6)2(15 xxx

SIGUIENTE

30)3 ,5 ,2.(.. mcm


ANTERIOR SALIR




1

5

1

2

2



)3

1(30)

5

1(30)

2

2(30

xxx)1(10)1(6)2(15 xxx

1010663015 xxx

SIGUIENTE

30)3 ,5 ,2.(.. mcm


ANTERIOR SALIR




1

5

1

2

2

xxx


Resolución de ecuaciones con denominadores


)3

1(30)

5

1(30)

2

2(30

xxx)1(10)1(6)2(15 xxx

1010663015 xxx

SIGUIENTE

30)3 ,5 ,2.(.. mcm


ANTERIOR SALIR




1

5

1

2

2

xxx




)3

1(30)

5

1(30)

2

2(30

xxx)1(10)1(6)2(15 xxx

1010663015 xxx

1063010615 xxx

SIGUIENTE

30)3 ,5 ,2.(.. mcm


ANTERIOR SALIR




1

5

1

2

2

xxx





)3

1(30)

5

1(30)

2

2(30

xxx)1(10)1(6)2(15 xxx

1010663015 xxx

1063010615 xxx

SIGUIENTE

30)3 ,5 ,2.(.. mcm


ANTERIOR SALIR




1

5

1

2

2

xxx





)3

1(30)

5

1(30)

2

2(30

xxx)1(10)1(6)2(15 xxx

1010663015 xxx

1063010615 xxx

341 x

SIGUIENTE

30)3 ,5 ,2.(.. mcm


ANTERIOR SALIR




1

5

1

2

2

xxx






)3

1(30)

5

1(30)

2

2(30

xxx)1(10)1(6)2(15 xxx

1010663015 xxx

1063010615 xxx

341 x

SIGUIENTE

30)3 ,5 ,2.(.. mcm


ANTERIOR SALIR




1

5

1

2

2

xxx






)3

1(30)

5

1(30)

2

2(30

xxx)1(10)1(6)2(15 xxx

1010663015 xxx

1063010615 xxx

341 x

341

34

x

30)3 ,5 ,2.(.. mcm


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Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado

Para resolver problemas mediante ecuaciones seguimos estos pasos:

1. Leer atentamente el enunciado e identificar la incógnita.

2. Plantear la ecuación.

3. Resolver la ecuación.

4. Comprobar que la solución es

válida e interpretarla.

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR


SIGUIENTE

Una madre tiene 40 años y su hijo 10. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad de la madre sea el triple que la del hijo?


ANTERIOR SALIR


La incógnita es x, los años que van a pasar.

SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR


Hoy Dentro de x años

Edad madre 40 40 + x

Edad hijo 10 10 + x


SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR




Edad hijo 10 10 + x


)10(340 xx

SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR




Edad hijo 10 10 + x


)10(340 xx xx 33040

SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR




Edad hijo 10 10 + x


)10(340 xx xx 33040

40303 xx

SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR




Edad hijo 10 10 + x


)10(340 xx xx 33040

40303 xx 102 x

SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR




Edad hijo 10 10 + x


)10(340 xx xx 33040

40303 xx 102 x

2

10

x

SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR




Edad hijo 10 10 + x


)10(340 xx xx 33040

40303 xx 102 x

2

10

x 5x

SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR




Edad hijo 10 10 + x


)10(340 xx xx 33040

40303 xx 102 x

2

10

x 5x

Dentro de 5 años, la edad de la madre será 45 años y la edad del hijo será 15 años.



ANTERIOR SALIR

Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica con las siguientes características: • Tiene una única incógnita.

• Alguno de sus términos es de grado 2 y no contiene términos de grado mayor que 2.

02 cbxax a, b y c son números conocidos y 0a

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR

Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica con las siguientes características: • Tiene una única incógnita.

• Alguno de sus términos es de grado 2 y no contiene términos de grado mayor que 2.

02 cbxax a, b y c son números conocidos y 0a

0352 2 xx 3c 5b 2 a

Ecuación Coeficientes

0422 xx 4-c 2b 1 a

0c 9b 3 a093 2 xx

SIGUIENTE


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Resolución de ecuaciones de segundo grado

CASO 1: b = 0 02 cax

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR



044 2 xa)Despejamos x

44 2 x

14

42 x 12 x 11 x

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR



044 2 xa)Despejamos x

44 2 x

14

42 x 12 x 11 x

0105 2 xb)Despejamos x

105 2 x

25

102

x 22 x 2x

No hay solución


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CASO 2: c = 0 02 bxax

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR



a) 036 2 xxFactor común

0)12(3 xx

0)12(3 xx

2

1 x 012

0 x 03

x

x

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR



a) 036 2 xxFactor común

0)12(3 xx

0)12(3 xx

2

1 x 012

0 x 03

x

x

b) 0102 2 xxFactor común

0)5(2 xx

5 x 05

0 x 02

x

x0)5(2 xx


ANTERIOR SALIR


CASO 3: 02 cbxax

a

acbbx

2

42

0652 xxa) 6c 5b 1 a

32

15

22

15

2

15

2

15

2

24255

12

61455 2

x

Las soluciones son x = -2 y x = -3.SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR


CASO 3: 02 cbxax

a

acbbx

2

42

0962 xxb) 9c 6-b 1 a

32

06

32

06

2

06

2

06

2

36366

12

914)6()6( 2

x

La solución es doble: x = 3.SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR


CASO 3: 02 cbxax

a

acbbx

2

42

0232 2 xxc) 2-c 3b 2 a

4

73

4

1693

)2(2

)2()2(433 2

x

No existe ninguna solución.


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Enlaces de interés

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Actividad: Buscando el error

Dirección: http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad2f.htm

En la sección chilena de la Editorial Santillana, esta actividad se refiere a las ecuaciones de primer grado y la búsqueda de errores en su resolución.

Para desarrollarla, sigue este enlace.

Documents

Unidad6