1

Unidade 5

5.1 Noção de Matriz Uma matriz A , m n× (m por n) é uma tabela de mn números dispostos em m linhas e n colunas

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

=

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

⋯

.

Usamos a notação ( ) , 1,2,..., ; 1,2,...,ij m nA a i n j m×= = = .

Por exemplo,

2 3

2 1 5

3 4 9A

×

= −

é a matriz 2 3× e

3 3

2 4 5

1 3 7

3 9 2

B

×

− =

é a matriz 3 3× .

Tipos das Matrizes

Seja ( ) , 1,2,..., ; 1,2,...,ij m nA a i n j m×= = = uma matriz dada. A seguir apresentaremos alguns

tipos especiais de matrizes.

• Matriz linha É uma matriz que possui uma linha só. A i − ésima linha da matriz A é

[ ]1 2 ... , 1,2,...,i i in i na a a i m

×= .

Por exemplo, [ ]1 4

2 3 4 9A×

= .

• Matriz Coluna É uma matriz que possui uma coluna só. A j-ésima coluna de A é

2

1

2

.

.

j

j

mj m j

a

a

a×

,

para 1,2,...,j n= , por exemplo

A =

5 1

2

3

.7

8

5×

−

• Matriz nula É uma matriz na qual todos os elementos são iguais a zero, por exemplo,

3 2

0 0

0 0

0 0

A

×

=

,

é uma matriz nula. • Matriz quadrada Se m = n na matriz A, dizemos que A é uma matriz quadrada de ordem n. Ou seja, uma matriz quadrada tem o número de linhas e colunas iguais. Dizemos também que os elementos a11, a22, ..., ann formam a diagonal principal, por exemplo,

(a) A = 22

12

03

x

−

, A é matriz quadrada de ordem 2;

(b) B =

33254

322

913

x

−

−

, B é uma matriz quadrada de ordem 3.

Exercícios. 1) Escreva a matriz do tipo 3 2× tal que ija i j= + .

2) Escreva a matriz de ordem 4 tal que

1,

0,

1,ij

se i j

a se i j

se i j

>= =− <

3

• Igualdade de Matrizes Duas matrizes A e B de mesma ordem são iguais quando seus elementos correspondentes são iguais. Isto é, se A e B são de ordem n m× , então A B= se e somente se, ij ija b= para todo

i e j .

Exemplo 1.Obtenha , ,a b x e y de modo que 2 6 10

2 12 18

a b a

x y x y

+ = + −

.

Resolução.

Exemplo 2. Obtenha , ,a b x e y de modo que 2

3

2 4

a b bI

x y x y

− = − −

.

Resolução. Observação. A matriz quadrada tem algumas características particulares dadas a seguir:

o Matriz identidade: É a matriz quadrada, onde 0ija = para i j≠ e 1ija = para

i j= , ou seja

=

≠=

ji

jiaij ,1

,0,

por exemplo,

I3 =

100

010

001

.

4

• Transposta

A transposta de uma matriz ( )ij m nA a

×= é definida pela matriz ( )ji n m

B b×

= obtida

trocando-se as linhas pelas colunas, ou seja ji ijb a= , 1, 2, , 1, 2, ,i m e j n= =… … .

Escrevemos a matriz transposta como:

tB A= ,

Isto é, tA é obtida transformando-se ordenadamente cada linha de A em colunas.

Por exemplo,

(a) Se A =

−

452

331, então sua transposta é At =

− 43

53

21

;

(b) Se

2 3 1

5 2 1

3 2 0

A

= −

, então sua transposta é

2 5 3

3 2 2

1 1 0

tA

= −

.

• Matriz simétrica Uma matriz A é simétrica quando tA A= , ou seja, a matriz e sua transposta são iguais, por exemplo, se

2 3 1

3 4 9

1 9 4

A

=

,

então, 2 3 1

3 4 9

1 9 4

tA

=

,

isto é, tA A A= ⇒ matriz A é simétrica.

• Matriz anti-simétrica

Uma matriz A é anti-simétrica, quando tA A= − , por exemplo, se

A =

0 1 2

1 0 3

2 3 0

A

− = − −

,

então,

5

0 1 2

1 0 3

2 3 0

tA

− = − −

,

isto é, tA A= − ⇒ A matriz A é anti-simétrica. Determinante de uma Matriz Determinante de uma matriz é um valor numérico, e é obtido somente quando a matriz é quadrada. Seu cálculo segue no exemplo a seguir:

Seja

2 2 1

5 2 3

2 0 1

A

= −

,

então,

2 2 1

det( ) 5 2 3

2 0 1

A = − = 2 3

20 1

−⋅

5 32

2 1− ⋅

5 21

2 0

−+ ⋅

= 2(−2 − 0) − 2(5 − 6) + 1(0 + 4) = 2.

• Propriedades do Determinante

Seja A uma matriz quadrada. O determinante da matriz quadrada A, det( ) | |A A= satisfaz algumas propriedades. Veja a seguir: (i) O determinante de A e de sua transposta tA são iguais, ou seja, | | | |tA A= ;

(ii) Se uma matriz B é obtida de uma matriz A trocando-se duas linhas (ou colunas) de A,

então det( ) det( )B A= − ; (iii) Se uma matriz B é obtida de A multiplicando-se uma linha (ou coluna) de A por um

número real c, entào )det( )det( AcB = ;

(iv) Se ][ ijbB = é obtida de ][ ijaA = somando-se a cada elemento da r−ésima linha

(respectivamente, coluna) de A uma constante c, vezes o elemento correspondente a s−ésima linha (respectivamente, coluna) de A, sr ≠ , então )det()det( AB = ;

(v) Se uma matriz ][ ijaA = é uma matriz triangular superior (ou inferior), então )det(A é

igual ao produto dos elementos da diagonal principal, ou seja, o determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal;

6

(vi) O determinante de um produto de matrizes é igual ao produto de seus determinantes,

isto é, )det()det()det( BAAB ⋅= . Nesse caso é necessário que as matrizes sejam

quadradas; (vii) Se A tem uma linha (ou coluna) de zeros, então | | 0A = ; (viii) Se A tem duas linhas (ou colunas) idênticas, então | | 0A = ; (ix) Se A é triangular, isto é, A tem zeros acima ou abaixo da diagonal principal, então, o

valor do determinante de A é o produto dos elementos diagonais. Assim, em particular | | 1I = , onde I é a matriz identidade.

5.2 Operações Matriciais

Apresentaremos a seguir três tipos de operações em matrizes. Adição de matrizes, multiplicação de uma matriz por escalar e multiplicação de duas matrizes.

Adição de Matrizes

Definição. A soma ou adição de duas matrizes do mesmo tamanho ( )ij m nA a ×= e ( )ij m nB b ×= ,

1,2,..., ; 1,2,...,i m j n= = é definida como sendo a matriz ( )ij m nC c ×= obtida somando-se os

elementos correspondentes de A e B , ou seja,

ij ij ijc a b= + ,

para 1,2,..., ; 1,2,...,i m j n= = . Escrevemos

C A B= + . Por exemplo, (a) Se

2 2

2 4

3 5A

×

=

e 2 2

3 2

4 1B

×

− − =

,

então,

2 2

2 3 4 2

3 4 5 1A B

×

− − + = + + 2 2

1 2

7 6×

− =

.

(b) Se

3 2

3 2

5 4

9 3

A

×

=

e

3 2

5 7

9 3

2 1

B

×

= −

,

então,

7

3 2

3 5 2 7

5 9 4 3

9 2 3 1

A B

×

+ + + = + + + − 3 2

8 9

14 7

11 2×

=

.

• Propriedades da Operação de Adição Sejam A , B , C e D matrizes da ordem da mesma ordem, nm× . Então valem as seguintes propriedades: (i) Comutativa: ABBA +=+ ;

(ii) Associativa: CBACBA ++=++ )()( ;

(iii) Existência do elemento neutro: Existe uma única matriz nm× O tal que AOA =+ , para todas as matrizes A, nm× . A matriz O é chamada de matriz nula ou elemento

neutro para a soma de matrizes de ordem nm× ; (iv) Existência do inverso aditivo: Para cada matriz A existe uma única matriz da mesma

ordem D, tal que: ODA =+ . Denotamos D por A− , então podemos escrever OAA =−+ )( . A matriz A− é chamada de matriz inversa aditiva ou negativa de A.

Multiplicação de uma Matriz por Escalar

Definição. A multiplicação de uma matriz ( )ij m nA a ×= por um escalar α é definida pela

matriz ( )ij m nB b ×= obtida multiplicando-se cada elemento da matriz pelo escalar α, ou seja,

ij ijb aα= , 1,2,..., ; 1,2,...,i m j n= = . Então, escrevemos B Aα= .

Por exemplo, o produto da matriz

3 2

2 5

3 7

1 5

A

×

= − −

pelo escalar −2 é dada por

3 2

2 5

( 2) ( 2) 3 7

1 5

A

×

− = − − − 3 2

4 10

6 14

2 10×

− − = − −

.

• Propriedades da Multiplicação de uma Matriz por Escalar

Sejam A e B duas matrizes da mesma ordem. Se r e s são números reais então valem as seguintes propriedades:

(ii) ArssAr )()( = ;

8

(ii) sArAAsr +=+ )( ;

(iii) rBrABAr +=+ )( .

Por exemplo, se 2 3 5

2 1 6A

− − = −

, 1 2 4

3 7 2B = −

e 2r = − , então temos

2 10 2

2( )10 12 8

A B−

− + = − e

2 10 22 2

10 12 8A B

− − − = −

,

o que verifica a propriedade (iii).

Produto de Duas Matrizes

Definição. O produto de duas matrizes só é possível se o número de colunas da primeira

matriz for igual ao número de linhas da segunda. Ou seja, o produto de ( )ij m nA a ×= e

( )jk n pB b ×= é definida pela matriz ( )ik i pC c ×= e é obtida da seguinte forma:

1 1 2 21

...n

ik i k i k in nk ij jk

j

c a b a b a b a b=

= + + + =∑ ,

para todo 1,2,..., ; 1,2,....,i m k p= = . Então, escrevemos C AB= .

Por exemplo, se 2 3

1 2 3

5 3 0A

×

= −

e

3 3

3 2 0

4 5 3

1 2 2

B

×

= − − −

, então o produto de duas matrizes A

e B é dada por

2 3

1.3 2.4 3( 1) 1.2 2.5 3.2 1.0 2( 3) 3( 2)

5.3 ( 3)4 0( 1) 5.2 ( 3)5 0.2 5.0 ( 3)( 3) 0( 2)AB

×

+ + − + + + − + − = + − + − + − + + − − + −

2 3

8 18 12

3 5 9×

− = −

.

Observe que neste caso o produto BA não está definido. Entretanto, mesmo quando está definido, BA não será necessariamente igual a AB. • Propriedades da Operação da Multiplicação A seguir apresentaremos algumas propriedades da multiplicação entre matrizes. (i) Sejam A , B e C três matrizes da ordem nm× , kn× e pk × respectivamente, então

CABBCA )()( = .

(ii) Sejam A , B e C três matrizes da ordem nm× , kn× e kn× respectivamente, então

9

ACABCBA +=+ )( .

(iii) Sejam A , B e C três matrizes da ordem nm× , nm× e kn× respectivamente, então

BCACCBA +=+ )( .

(iv) Sejam A e B duas matrizes da ordem nm× e kn× respectivamente. Seja r um

número real, então BrAABrrBA )()()( == .

Veja o exemplo a seguir.

Se 1 2

2 0A = −

e 2 5

3 1B

− =

, então

2 6 5 2

4 10AB

+ − + = −

8 3

4 10

− = −

,

e 2 10 4

3 2 6BA

+ = −

12 4

1 6

=

.

Logo, AB BA≠

Exemplo 1. (a) Sejam

−

−=

751

312A ,

−−

−

−−

=

1531

4322

1252

B e

−

−

−

−

=

912

124

435

521

C

três matrizes. Então,

−

−−=

1377635

761084)(BCA e

−

−−=

1377635

761084)( CAB ,

o que verifica a propriedades (i).

(b) Sejam

−

−=

122

321A ,

−

−

−

=

53

32

25

B e

−

−

−

=

81

35

52

C

três matrizes. Então,

−−

−=+

310

63)( CBA e

−−

−=+

310

63BCAC ,

10

o que verifica a propriedade (ii).

(c) Sejam

−−

−=

125

123A e

−

=

01

42

12

B

dois matrizes. Seja 3−=r , então

−

−=−

3915

339)3( BA e

−

−=−

3915

339))(3( AB ,

o que verifica a propriedade (iv).

Exemplo 1. Obtenha a matriz [ ]X a b= tal que [ ]0 1

7 07 3

X−

⋅ =

.

Exemplo 2. Calcule a e b sabendo-se que 0AB = (matriz nula), onde

1 2

3 1

aA e B

b

= = −

.

Resolução.

11

Exemplo 3. Obtenha o número k tal que [ ] [ ]0 2

1 1 1 12 4

k

− ⋅ = ⋅ − − .

Resolução.

Exemplo 4. Seja a matriz 2 1

3 2A

− = −

. Obtenha 2 3A e A .

Resolução.

Exemplo 5. Dadas as matrizes 3 1 1 1 2 0

,4 5 2 3 1 1

A B e C−

= = = − − , determine a

matriz X , tal que

a) ( )2 12 3

3tX AB C X BC A− + = − + − .

b) 3X B A C= − + − .

c) 1

22

X A B C X− + = − + .

12

Propriedades da Transposta da Matriz

Vimos acima a definição da matriz transposta. Agora apresentaremos algumas propriedades da matriz transposta.

Sejam A e B duas matrizes. Seja r um número real, então a transposta de uma matriz satisfaz as seguintes propriedades:

(i) AA tt =)( ;

(ii) ttt BABA +=+ )( , onde A e B são matrizes da mesma ordem;

(iii) ttt ABAB =)( , onde A e B são matrizes da ordem nm× e kn× respectivamente;

(iv) tt rArA =)( .

Exemplo 2.

(a) Se

−

−=

352

232A e

−=

130

233B , então

−−

=+

44

80

21

)( tBA e

−−

=+

44

80

21tt BA ,

13

(b) Se

−

−=

423

321A e

−

−−

=

03

20

43

B são matrizes, então

−

=80

36)( tAB e

−

=80

36ttAB ,

Atividade 1

1) Considerar as seguintes matrizes:

−=

12

52A ,

−

−=

42

30B ,

−

−−=

420

013C ,

−

−−

=

401

032

123

D e

−

=

1103

922

415

E .

Se possível, calcular

(i) AB BA− ; (ii) DE ED− ; (iii) C D− ; (iv) 2B A− ; (v) 2D E− .

2) Dadas as matrizes

−=

12

32A ,

−

−=

2604

1231B e

−

=

45

31

02

C ,

se possível, determine: (i) a segunda linha da matriz CA; (ii) a primeira linha da matriz AB; (iii) a terceira linha da matriz BC; (iv) a quarta linha da matriz CB.

3) Dadas as matrizes

=

512

735A ,

−−

−

=

15

31

42

B ,

−−

−−

−

=

413

621

732

C ,

−=

37

25D ,

−−−=

327

543

581

E e

−

−=

74

32F ,

14

se possível, calcule: (i) AB ; (ii) BA ; (iii) AAC + ; (iv) FAB− ;

(v) CEBA + ; (vi) )(BDA ; (vii) DAB)( ; (viii) )( ECA + ;

(ix) AEAC + ; (x) ADF )( + .

4) Sejam

−

=51

32A e

−

=23

14B . Encontre

(i) AA 22 + ; (ii) ABBA 222 ++ ; (iii) 2)( BA+ ; (iv) BAAB+ ;

(v) 223 233 IAAA +++ ; (vi) 2

23 432 IBBB +−− . 5) Calcular os valores de a, b, c e d para:

(i)

−=

++

−−

34

21

22 badc

dcba,

(ii)

−

−=

++

−−

25

14

2

22

badc

dcba

6) Sejam

−

−=

xA

03

412 e

−

=

3

x

y

B . Se

−

=6

2AB , encontre x e y .

7) Encontre k tal que 1)()( =kAkA t , onde

−=

1

2

2

A .

1) Encontre um escalar r tal que rXAX = , onde

−=

14

26A e

−

=1

2X .

9) Sejam

−

−=

215

423A ,

−

−

=

31

53

42

B ,

−

−−=

204

432

152

C ,

−

=34

52D ,

−

−=

031

424

752

E e

=

30

42F .

Calcule, se possível: (i) DFD t)3( − ; (ii) )( FDAt + ; (iii) ttAB ;

(iv) tAC)2( ; (v) tt AAB )( + .

15

5.3 Operações Elementares

A seguir apresentaremos três tipos de operações elementares numa matriz A, onde iL ,

jL , etc.

representam as linhas da matriz. Estas operações são utilizadas posteriormente nas aplicações, especificamente na resolução de equações lineares.

1

a Operação: Permuta de linha, ou seja, a troca de duas linhas uma pela outra na matriz,

isto é, i jL L↔ , onde ,i jL L etc. representam as linhas da matriz.

Por exemplo, se considerarmos a matriz

2 3 1 0

1 5 3 7

3 2 0 1

A

=

,

então, trocando a linha 1L por 2L , ou vice-versa, obtemos

1 5 3 7

2 3 1 0

3 2 0 1

B

=

.

Está operação é chamada, permuta de linha ou troca de linhas.

2

a Operação: Multiplicação de uma linha por um escalar não nulo.

Por exemplo, se considerarmos a matriz

1 0 1 3

2 1 5 8

3 3 2 4

A

− =

−

,

então, multiplicando a segunda linha por 2, isto é, 22L , obtemos

1 0 1 3

4 2 10 16

3 3 2 4

B

− =

−

.

Está operação, chamamos de multiplicação de uma linha por um escalar.

3

a Operação: Substituição de uma linha pela soma com outra previamente multiplicada por

um escalar não nulo, ou seja, substituição de linha iL por i jL cL+ , onde c é um escalar não

nulo.

Por exemplo, se considerarmos a matriz

16

1 0 1 0

1 2 3 4

3 2 2 3

A

− = − −

,

então, efetuando a operação 1 3( 1)L L− + , isto é, multiplicando a primeira linha por (−1) e somando na terceira, obtemos

B =

1 0 1 0

1 2 3 4

2 2 2 3

− − −

.

As três operações dadas acima são fundamentais para definir a equivalência entre matrizes, definida a seguir:

Definição. (Matrizes equivalentes). Sejam A e B duas matrizes de mesma ordem, dizemos

que B é equivalente a A, se B é obtida de A através de um número finito de operações

elementares entre as linhas. Denotamos por B A∼ .

Observações

(i) As operações elementares definidas acima em relação às linhas, também podem ser

definidas em relação às colunas. Mas por uma questão prática, por exemplo, em

cálculo de inversa e resolução de sistema de equações sempre formamos a matriz

aumentada em relação às linhas, por isso sempre utilizamos as operações elementares

em relação às linhas.

(ii) Qualquer matriz quadrada A, de ordem n, não singular (det( ) 0A ≠ ), pode ser

transformada na matriz equivalente nI , de mesma ordem, por meio de uma sucessão

finita de operações elementares, isto é, AIn ~ .

5.4 Matriz Inversa

Nesta seção apresentaremos a matriz inversa e seus cálculos usando o processo de operações elementares e a matriz aumentada.

Definição. Dada uma matriz A quadrada de ordem n. Chamamos inversa de A, a matriz B tal

que

nAB BA I= = ,

onde nI é a matriz identidade de ordem n. Neste caso, dizemos que A é uma matriz inversível

(ou não singular). Denotamos por 1B A−= .

Observe que nem toda matriz quadrada sempre é inversível. A seguir apresentaremos um resultado que garante a existência da inversa da uma matriz.

17

Teorema 1.1. Uma matriz A quadrada é inversível se, e somente se, A é não singular

(oudet( ) | | 0A A= ≠ ).

Teorema 1.2. Se a matriz A admite inversa então esta inversa é única. Teorema 1.3. Uma matriz quadrada nn× é inversível se e somente se é equivalente por

linhas a nI .

Propriedades da Matriz Inversa A seguir apresentamos algumas propriedades da matriz inversa. (i) Se A e B são inversíveis, então

1 1 1( )AB B A− − −= .

(ii) Se A é inversível, então 1 1( )A A− − = .

(iii) Se A é não singular, então 1A− também é não singular.

(iv) Se A é inversível, então 1 1( ) ( )t tA A− −= .

Exemplo 4. Calcular a inversa da matriz

2 1

3 2A =

.

Resolução. Temos

det( )A =2 1

det( ) 4 3 1 03 2

A = = − = ≠ ⇒ existe a inversa de A.

Sabemos que

1AA I− = . Seja

1 a bA

c d

− =

,

então

23

12

dc

ba

1 0

0 1

=

,

ou,

++

++

dbca

dbca

2323

22 1 0

0 1

=

.

18

2 1

2 0

3 2 0

3 2 1

a c

b d

a c

b d

+ = + =

⇒ + =

+ =

2, 1, 3a b c⇒ = = − = − e 2d =

1 2 1

3 2A− −

⇒ = − .

Cálculo de Matriz Inversa Usando Operações Elementares – Método de

Jordan

O método para calcular a inversa da matriz A usando as operações elementares é o seguinte: 1

o Passo: Calcular det( )A . Se det( ) 0A ≠ , então existe a inversa da matriz, se det( ) 0A = ,

então não existe a inversa. Caso exista a inversa, seguir o próximo passo.

2o Passo: Escrever a matriz aumentada nn 2× na forma ][ nIA⋮ , onde A é a matriz de ordem

n e nI é a matriz identidade de ordem n, ou seja, colocar lado a lado a matriz A e nI

formando uma matriz aumentada.

3

o Passo: Transformar a matriz A, escrita no segundo passo, em matriz identidade, usando as

operações elementares nas linhas, e aplicando as mesmas operações em nI , dadas no

segundo passo, nas linhas correspondentes, assim obtemos ][ 1−AIn ⋮ .

Observação. A mesma seqüência de operações que leva a matriz A à sua identidade faz com

que a identidade chegue à inversa, ou seja, formando a matriz aumentada ][ nIA⋮ , e

aplicando as operações elementares chegamos a ][ 1−AIn ⋮ , isto é,

][ nIA⋮ ∼ ∼ ∼ ... ∼ ][ 1−AIn ⋮ .

Exemplo 5. Encontrar a inversa da matriz usando as operações elementares

1 1 2

2 3 1

1 3 5

A

− = − −

.

Resolução: det( ) 1 0A = − ≠ . Logo, existe a inversa da matriz A.

Vamos escrever a matriz A e a matriz identidade lado a lado na forma de matriz aumentada

−

−

−

100531

010132

001211

⋮

⋮

⋮

19

O objetivo agora é aplicar as operações elementares nas linhas de A e as mesmas operações na matriz 3I . Queremos chegar à matriz A como 3I , e a matriz 3I transformada passa a ser

inversa de A. Veja os passos a seguir.

−

−

−

100531

010132

001211

⋮

⋮

⋮

133

122 )2(

LLL

LLL

+→

−+→

~

−−−

−

101720

012310

001211

⋮

⋮

⋮

22 )1( LL −→

~

−

−

101720

012310

001211

⋮

⋮

⋮

233 )2( LLL −+→

~

−

−

−

123100

012310

001211

⋮

⋮

⋮

121 LLL +→

~

−

−

−

123100

012310

013501

⋮

⋮

⋮

322 )3( LLL −+→

~

−

−−

−

123100

3711010

013501

⋮

⋮

⋮

311 )5( LLL −+→

~

−

−−

−−

123100

3711010

51118001

⋮

⋮

⋮

Logo,

1

18 11 5

11 7 3

3 2 1

A−− −

= − − −

.

Exemplo 6. Determinar a inversa da matriz usando método de Jordan.

20

A =

−

−−

573

732

143

.

Resolução. det( ) 63 0A = − ≠ . Logo, existe a inversa da matriz A.

Vamos escrever a matriz A na forma aumentada com a matriz 3I .

[ ]33 4 1 1 0 0

2 3 7 0 1 0

3 7 5 0 0 1

A I

− − = −

⋮

⋮ ⋮

⋮

.

Fazendo as seguintes operações elementares na matriz acima,

[ ]33 4 1 1 0 0

2 3 7 0 1 0

3 7 5 0 0 1

A I

− − = −

⋮

⋮ ⋮

⋮

11 )3

1( LL −→

4 1 13 3 31 0 0

2 3 7 0 1 0

3 7 5 0 0 1

− − − −

⋮

∼ ⋮

⋮

133 )3( LLL −+→

4 1 13 3 31 0 0

2 3 7 0 1 0

0 3 6 1 0 1

− − − −

⋮

∼ ⋮

⋮

122 )2( LLL −+→

4 1 13 3 3

19 213 3

1 0 0

0 1 1 0

0 3 6 1 0 1

− − −

−

⋮

∼ ⋮

⋮

22 3LL →

4 1 13 3 31 0 0

0 1 19 2 3 0

0 3 6 1 0 1

− − − −

⋮

∼ ⋮

⋮

233 )3( LLL −+→

4 1 13 3 31 0 0

0 1 19 2 3 0

0 0 63 5 9 1

− − − −

− −

⋮

∼ ⋮

⋮

33 )63

1( LL −→

4 1 13 3 3

5 1 163 7 63

1 0 0

0 1 19 2 3 0

0 0 1

− − −

− −

−

⋮

∼ ⋮

⋮

211 )3

4( LLL −+→

5 1 163 7 63

1 0 25 3 4 0

0 1 19 2 3 0

0 0 1 − −

− − −

⋮

∼ ⋮

⋮

322 19LLL +→

21

31 19263 7 63

5 1 163 7 63

1 0 25 3 4 0

0 1 0

0 0 1 − −

− −

⋮

∼ ⋮

⋮

311 )25( LLL −+→

64 3 2563 7 63

31 19263 7 63

5 1 163 7 63

1 0 0

0 1 0

0 0 1

− − −

− −

⋮

∼ ⋮

⋮

respectivamente, obtemos

64 3 251 0 0

63 7 6331 2 19

0 1 063 7 635 1 1

0 0 163 7 63

− − − − −

⋮

⋮

⋮

.

Logo,

1

64 3 25

63 7 6331 2 19

63 7 635 1 1

63 7 63

A−

− − − = − −

.

Atividade 2

1) Calcular o valor do determinante das seguintes matrizes:

;

1371

034

321

−

−

=A ;

5342

4345

0123

39111

−

−

−

−−

=B .

120

051

372

−=C

2) Por meio de operações elementares, transformar as seguintes matrizes quadradas em

matrizes identidades equivalentes:

;

162

043

321

−−

−

=A ;

4004

2351

3010

2532

−

−−

−=B ;

43

31

−=C .

120

051

372

−=D

3) Se possível, encontrar as inversas das seguintes matrizes:

22

;

310

423

212

−−−=A ;

1130

421

521

−=B ;42

21

=C

;

411

132

122

−

−=D ;

4) Se

e 12

211

=−A

−

=−

23

121B ,

encontrar A, B, 1( )AB − e 1( )BA − .

5) Encontrar todos os valores de x para os quais a matriz

(i)

−

31

132

12

x

x

tem inversa;

(ii)

−−

−

01

32

321

x

x não tem inversa;

6) Encontre o valor de x nas seguintes equações:

(i) 1

532

141

22

−=

−

−

− xx

;

(ii) 2

0

41

523

−=−−

−

xx

x .