FUNDAMENTOS DE TERMODINMICA

Unidade I: Fluidos (Parte III) Equao da Continuidade e

Equao de Bernoulli

Engenharia de Energias

1

Dinmica dos Fluidos

O modelo de fluido Ideal pressupe trs hipteses bsicas:

O fluido incompressvel (escoamento incompressvel; O fluido no viscoso (escoamento no-viscoso); O fluxo estacionrio (escoamento laminar);

Alm disso, pode-se considerar que:

O fluxo irrotacional (escoamento irrotacional);

2

Dinmica dos Fluidos

Streamline

Como podemos observar o escoamento de um fluido?

Fazendo uso de traadores que podem ser constitudos por gotas de corante injetadas em vrios pontos de um lquido ou por partculas de fumaa misturadas a um gs.

Cada gota ou partcula de um traador torna visvel uma linha de fluxo, que a trajetria seguida por um pequeno elemento do fluido.

3

Dinmica dos Fluidos

1. Streamlines never cross.

2. Fluid particle velocity is tangent to the streamline.

3. The speed is higher where the streamlines are closer together.

v

A velocidade v de um elemento do fluido sempre tangente a uma linha de fluxo:

Dessa forma, duas linhas de fluxo jamais se cruzam.

4

Dinmica dos Fluidos

Um feixe de linhas de fluxo vizinhas constitui um tubo de fluxo :

Como as linhas nunca se cruzam, todas as que atravessam o plano 1, de rea A1, posteriormente passaro pelo plano 2, de rea A2.

a)

Plane 1

b)

The speed of the fluid at this point is v1.

Plane 2 Flow tube defined by four streamlines.

Area A1

Area A2

The same volume of fluid crosses both planes during t.

The speed of the fluid at this point is v2. The fluid is

incompressibe, so these volumes must be equal.

Volume v1A1t

Volume v2A2t

x1 = v1t

A1

A2

x2 = v2t v1

v2

The fluid moves this distance during t.

The fluid is incompressibe, so these volumes must be equal.

Volume v1A1t

Volume v2A2t

x1 = v1t

A1

A2

x2 = v2t v1

v2

The fluid moves this distance during t.

5

Equao da Continuidade

A figura ao lado mostra o fluxo passando por A1 durante um curto intervalo de tempo t;

Fazendo a mesma anlise para o fluido que passa por A2 com velocidade v2, temos que:

Se a velocidade do fluido nesta regio v1, o fluido se movimentar uma curta distncia para a frente x1 = v1t e ocupar o volume V1 = A1x1;

Logo: (1)

(2)

Os dois volumes so iguais, portanto: (3)

A equao da continuidade nos diz que a velocidade de escoamento aumenta quando a rea da seo reta atravs da qual o fluido escoa reduzida.

The fluid is incompressibe, so these volumes must be equal.

Volume v1A1t

Volume v2A2t

x1 = v1t

A1

A2

x2 = v2t v1

v2

The fluid moves this distance during t.

6

Equao da Continuidade

A equao da continuidade tambm pode ser escrita na forma de vazo:

(4)

A equao (4) mostra uma nova forma de expressar o significado da equao da continuidade: a taxa de fluxo do volume constante em todos os pontos de um tubo de fluxo.

na qual Rv a vazo do fluido (volume que passa por uma seo reta pelo tempo).

A unidade de vazo no SI m3/s.

Se a massa especfica do fluido uniforme, podemos multiplicar a Eq. (4) por essa massa especfica para obter a vazo mssica Rm (massa por unidade de tempo):

(5)

7

Exemplo 1: Uma refinaria de petrleo bombeia gasolina para um tanque de armazenamento de 1000 L atravs de um cano de 8,0 cm de dimetro. O tanque pode ser inteiramente enchido em 2 min. (a) Qual a velocidade da gasolina ao passar pelo cano?

(b) Mais adiante no fluxo, o dimetro do cano de 16 cm. Qual a velocidade de fluxo

nesta seo do cano?

8

Equao de Bernoulli

O volume inteiro do fluido que escoa pelo tubo constitui o sistema;

t + t

(b)

(a)

Sada

Entrada

v2

p2

y2

y

v1

p1

y

t

L

y1

x

x

Apliquemos a lei da conservao de energia ao fluido quando ele se move do estado inicial (Fig. a) para o estado final (Fig. b);

O fluido que est entre os dois planos verticais separados por uma distncia L no muda suas propriedades durante o processo;

A lei da conservao da energia na forma do teorema do trabalho e energia cintica diz que;

(6)

A variao da energia cintica uma consequncia da variao da velocidade do fluido entre as extremidades do tubo, e dada por:

(7)

9

Equao de Bernoulli

Na eq. (7) m = V a massa do fluido que entra em uma extremidade e sai pela outra, durante um pequeno intervalo de tempo t;

t + t

(b)

(a)

Sada

Entrada

v2

p2

y2

y

v1

p1

y

t

L

y1

x

x

O trabalho realizado sobre o sistema tem duas origens:

1. o trabalho Wg realizado pela fora gravitacional sobre o fluido de massa m durante a subida da massa do nvel da entrada at o nvel da sada e;

2. o trabalho realizado sobre o sistema para empurrar o fluido para dentro do tubo e pelo sistema para empurrar o fluido que est mais adiante no tubo.

O trabalho Wg dado por:

(8)

10

Equao de Bernoulli

t + t

(b)

(a)

Sada

Entrada

v2

p2

y2

y

v1

p1

y

t

L

y1

x

x

O trabalho realizado por uma fora de mdulo F, agindo sobre uma amostra do fluido contida em um tubo de rea A para mover o fluido a uma distncia x ;

O trabalho realizado sobre o sistema p1V e o trabalho realizado pelo sistema p2V. A soma deles :

(9)

Assim a eq. (5) se torna:

Combinando as eqs. (7), (8) e (9), tem-se:

(10)

11

Equao de Bernoulli

t + t

(b)

(a)

Sada

Entrada

v2

p2

y2

y

v1

p1

y

t

L

y1

x

x

Cancelando V e reagrupando os termos da eq. (10), obtemos:

(11)

na qual o termo v2 chamado de energia cintica especfica (energia por unidade de volume) do fluido.

As vezes conveniente expressar a equao de Bernoulli na forma:

(12)

A equao (12) mostra que a quantidade p + v2 + gy permanece constante ao longo das linhas de fluxo.

12

Equao de Bernoulli

t + t

(b)

(a)

Sada

Entrada

v2

p2

y2

y

v1

p1

y

t

L

y1

x

x

Para aplicar a equao de Bernoulli (eq. 11) a um fluido em repouso fazemos v1 = v2 = 0. O resultado :

(13)

Um previso importante da equao de Bernoulli (eq. 10) surge quando supomos que y constante (y = 0, digamos). Nesse caso, temos:

(14)

De acordo com a eq. (14), se a velocidade de um fluido aumenta quando ele se move horizontalmente ao longo de uma linha de fluxo, a presso do fluido diminui e vice-versa.

Isso significa que nas regies nas quais as linhas de fluxo esto mais concentradas a presso menor e vice-versa.

13

Exemplo 2: A gua flui pelos canos mostrados na figura abaixo. A velocidade da gua pelo cano mais baixo de 5,0 m/s e um manmetro marca 75 kPa. Qual a presso no cano superior? Qual o valor mostrado no manmetro do cano superior?

14

Exemplo 3: Pequenas usinas hidreltricas em montanhas s vezes trazem gua de um reservatrio para a usina de energia atravs de tubos embutidos. Em uma dessas usinas, o tubo de captao de 100 cm de dimetro, na base da represa, localiza-se 50 m abaixo da superfcie do reservatrio. A gua desce 200 m atravs do tubo antes de entrar na turbina por um bocal de 50 cm de dimetro. a) Qual a velocidade da gua na turbina?

b) Em quanto a presso de entrada difere da presso hidrosttica quela profundidade?

250

200

0

y(m)

100 cm

50 cm

Dam

Streamline

1

2

3

15

Gabarito dos Exemplos

1- a) v= 1,66 m/s b) v= 0,41 m/s

2 - P = 4,6 kPa

3 - a) V = 70,0 m/s b) 153,0 kPa