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GRM. Física I. Semestre 2014-1 1
UNIDADES 2 y 3
MECÁNICA
MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES
Tomados de Physics, Serway, e-book, 2005
Fisica, Vol. 1 Ohanian/Markert, 2009
Tipler/Mosca 2005
Bauer, 2011
MOVIMIENTO EN UNA
DIMENSIÓN
GRM. Física I. Semestre 2011-1 2
Usain Bolt gana su segundo oro
en Moscú, en la carrera de 200 m
hizo un tiempo de 19.66 segundos,
le falta una medalla para superar
a Carl Lewis
Problemas para clase: Dependencia de
la velocidad con respecto al tiempo
Durante el intervalo de tiempo de 0.0 a 10.0 s, el
vector de posición de un automóvil en la carretera
está dado por
x(t) = a + b t + c t 2 ,
con a = 17.2 m, b = - 10.1 m/s y c = 1.10 m/s2.
¿Cuál es la velocidad del automóvil como función
del tiempo?
¿Cuál es la velocidad media durante el intervalo?
GRM. Física I. Semestre 2011-1 3
Suponga que una nadadora termina los primeros 50 m
de los 100 m en estilo libre en 38.2 s. Una vez que
llega al extremo opuesto de la piscina de 50 m de
largo, se vuelve y nada de regreso al punto de partida
en 42.5 s
¿Cuál es la velocidad media y cuál es la rapidez
media de la nadadora para
a) el tramo desde la salida hasta el lado opuesto
de la piscina
b) el tramo de regreso
c) la distancia total recorrida? GRM. Física I. Semestre 2011-1 4
Problemas para clase:
Rapidez y velocidad
GRM. Física I. Semestre 2011-1 5
Rapidez promedio
Pero es una
determinación
relativa…
GRM. Física I. Semestre 2011-1 6
Velocidad promedio para
movimiento rectilíneo
Un automóvil que se mueve en línea recta. El eje x coincide con esta línea recta.
GRM. Física I. Semestre 2011-1 7
Gráfica de posición contra tiempo de un automóvil que acelera y luego se detiene.
Velocidad promedio para
movimiento rectilíneo
Velocidad promedio para el intervalo de
t1 = 8.0 s a t2 es la pendiente de la línea recta P1 y P2
GRM. Física I. Semestre 2011-1 8
Velocidad instantánea
Gráfica de posición contra tiempo para un automóvil que se mueve con velocidad variable
En un intervalo de tiempo puede aproximarse a la gráfica por una línea recta corta (azul)
GRM. Física I. Semestre 2011-1 9
Velocidad instantánea
Velocidad instantánea
como derivada de x
con respecto a t
• Para hallar las velocidades
instantáneas a tiempos diferentes,
se trazan las tangentes a la gráfica
en estos tiempos y se miden sus
pendientes.
GRM. Física I. Semestre 2011-1 10
Aceleración: es un cambio en la velocidad
• Aceleración promedio
La aceleración promedio para
el intervalo de
t1 = 0 a t2 = 10.0 s es la
pendiente de la línea recta
Q1Q2
GRM. Física I. Semestre 2011-1 11
Aceleracion instantánea
• La aceleración instantánea es el límite de la
aceleración promedio conforme t se
aproxima a 0
2
20lim x x
xt
v dv d xa
t dt dt
• La pendiente del gráfico de velocidad vs. tiempo es la aceleración
• La línea verde representa la aceleración instantánea
• La línea azul es la aceleración promedio
GRM. Física I. Semestre 2011-1 12
Aceleración
La aceleración instantánea
en t = 4 s es la pendiente de
la tangente en ese punto.
GRM. Física I. Semestre 2011-1 13
Aceleración
instantánea
como función del
tiempo
• Aceleración
instantánea como
derivada de v con
respecto a t
EJEMPLO: Cuando se está viajando en
automóvil en un camino recto, se puede estar
viajando en sentido positivo o negativo, y se
puede tener una aceleración positiva o
negativa. Asocie las siguientes combinaciones
de velocidad y aceleración
GRM. Física I. Semestre 2011-1 14
a) Vel (+), acel (+)
b) Vel (+), acel (-)
c) Vel (-), acel (+)
d) Vel (-), acel (-)
1. Desacelerando en el
sentido positivo.
2. Acelerando en el
sentido negativo.
3. Acelerando en el
sentido positivo.
4. Desacelerando en el
sentido negativo.
GRM. Física I. Semestre 2011-1 15
Aceleración y Velocidad
• Cuando la velocidad y la aceleración de un objeto están
en la misma dirección, el objeto incrementa su rapidez.
• Cuando la velocidad y la aceleración de un objeto están
en dirección opuesta, el objeto desacelera.
• El carro se mueve con velocidad constante positiva (mostrada por las
flechas rojas que se mantienen del mismo tamaño).
La aceleración es igual a cero.
Observe el Bat-móvil:
GRM. Física I. Semestre 2011-1 16
• La velocidad y la aceleración están en la misma dirección.
• La aceleración es uniforme (las flechas azules se mantienen en la misma longitud)
• La velocidad se incrementa (flechas rojas más largas)
Esto muestra una aceleración positiva y una velocidad positiva.
• La aceleración y la velocidad están en direcciones opuestas.
• La aceleración es uniforme (las líneas azules se mantienen en la misma longitud)
• La velocidad decrece (las flechas rojas se hacen más cortas)
La velocidad es positiva y la aceleración negativa.
Observe :
17
Ejercicio para practicar:
En los campeonatos mundiales de pista y
campo de 1991 de Tokio, Japón, Carl Lewis
estableció un nuevo record mundial de los
100 m planos. A continuación se muestra una
lista de los tiempos en los que llegó a las
marcas de 10 m, 20 m, etc.
Determine la velocidad promedio para cada
intervalo de 10 s.
Determine también la aceleración promedio
considerando dos valores de
velocidad promedio y vea el desempeño del
atleta durante la carrera.
¿es constante su velocidad?
Trace los gráficos de posición vs. tiempo y
velocidad promedio vs tiempo.
t (s) x (m)
0.00 0
1.88 10
2.96 20
3.88 30
4.77 40
5.61 50
6.46 60
7.30 70
8.13 80
9.00 90
9.87 100
GRM. Física I. Semestre 2011-1 18
Ecuaciones cinemáticas para el caso
especial de movimiento con aceleración
constante, donde t0 = 0 (tiempo inicial)
Además vx prom = ½ (vxf + vxi)
GRM. Física I. Semestre 2011-1 19
Movimiento con aceleración constante
a) Aceleración contra tiempo para movimiento con aceleración constante; esta gráfica muestra un valor constante de 2.0 m/s2
b) Velocidad contra tiempo; esta gráfica es una línea recta de pendiente de 2.0 m/s2
c) Gráfica de posición contra tiempo; la gráfica es una parábola.
GRM. Física I. Semestre 2011-1 20
Ejemplo 1: Movimiento con
aceleración constante
Mientras un avión se desplaza por la pista para alcanzar la rapidez de
despegue, se acelera por sus motores de propulsión a chorro. En un
vuelo específico se ha determinado que la aceleración promedio es de
ax = 4.3 m/s2. Bajo la suposición de aceleración constante y partiendo
del reposo,
a) ¿cuál es la velocidad de despegue del avión después de 18.4 s?
b) ¿qué distancia ha recorrido el avión en la pista hasta el momento
del despegue?
Respuesta: Vx = 79 m/s x = 7.3 x102 m
21
Ejemplo 2: Movimiento con
aceleración constante
Ahora, como reto sencillo para Ud., considere el siguiente
problema, también de portaaviones:
Un jet aterriza en un portaaviones a 63 m/s.
a) ¿Cuál es su aceleración (constante) si se detiene en 2.0 s
debido a un cable de arresto que traba el jet y lo deja en
reposo?
b) Si el jet toca al portaaviones en x0 = 0, ¿cuál es su posición
final?
Respuesta para Ud.: ax = - 32 m/s2 xf = 63 m
GRM. Física I. Semestre 2011-1 22
Gráfico de la curva de movimiento:
desplazamiento vs. tiempo
• La pendiente de la
curva es la
velocidad.
• La línea curva indica
que la velocidad es
cambiante
– Y por lo tanto, hay
aceleración !
GRM. Física I. Semestre 2011-1 23
Gráfico de la curva de movimiento:
curva velocidad vs. tiempo
• La pendiente da la
aceleración.
• La línea recta indica
aceleración
constante.
GRM. Física I. Semestre 2011-1 24
• La pendiente cero
indica aceleración
constante.
Gráfico de movimiento: curva
aceleración vs. tiempo
25
Ejemplo 3: Movimiento con aceleración
constante
Un automóvil que viaja con rapidez constante de 45.0 m/s
pasa por donde un patrullero en motocicleta está oculto
detrás de un anuncio espectacular. Un segundo después
de que el automóvil pasa el anuncio, el patrullero sale de su
escondite para detener al automóvil, y acelera
constantemente a 3.00 m/s2.
¿Cuánto tiempo tarda
en darle alcance al
automóvil?
Respuesta para Ud.: t = 31 s
26
Un automóvil frenando. El origen de las coordenadas está en el punto en el que el conductor detecta un accidente
Ejemplo 4: Movimiento con aceleración constante
Un automóvil viaja a 86 km/h en un camino recto cuando el conductor detecta un accidente que está adelante y frena repentinamente. El tiempo de reacción del piloto, es decir, el intervalo de tiempo entre ver el accidente y pisar el pedal de freno, es de 0.75 s. Una vez que se aplican los frenos, el automóvil desacelera a 8.0 m/s2
¿Cuál es la distancia total para detenerse?
Respuesta para Ud.: x = 54 m
GRM. Física I. Semestre 2011-1 27
• EJEMPLOS DE MOVIMIENTO EN
UNA DIMENSIÓN: CAÍDA LIBRE
La aceleración de la
caída libre Fotografía estroboscópica de una
manzana y de una pluma en caída libre en una cámara en vacío parcial.
La manzana y la pluma se soltaron simultáneamente desde la escotilla en la parte superior.
La fotografía se hizo dejando abierto el obturador de la cámara y disparando un flash de luz a intervalos regulares
GRM. Física I. Semestre 2011-1 28
Objetos en caída libre
• Un objeto en caída libre es cualquier objeto que se mueva libremente, solamente bajo la influencia de la gravedad.
• No depende del movimiento inicial del objeto.
Ejemplos:
– Objetos liberados desde el reposo
– Lanzados hacia abajo
– Lanzados hacia arriba
GRM. Física I. Semestre 2011-1 29
Aceleración de objetos en caída libre
• La aceleración de un
objeto en caída libre se
dirige hacia abajo, sin
importar su movimiento
inicial.
• La magnitud de la
aceleración de la caída
libre es g = 9.80 m/s2
– g varia con la latitud
– g se reduce al
incrementarse la altitud
– 9.80 m/s2 es el promedio
en la superficie terrestre
• Se desprecia la resistencia
del aire
• El movimiento de caída
libre es un movimiento con
aceleración constante en
una dimensión
• Por conveniencia se fija
como positivo el eje
ascendente (hacia arriba)
• Se emplean las ecuaciones
de movimiento con ay = g =
-9.80 m/s2
30
A una piedra que se lanza desde lo alto de un
edificio se le da una velocidad inicial de 20.0
m/s directo hacia arriba. El edificio tiene 50.0
m de alto y la piedra apenas libra el borde del
techo en su camino hacia abajo, como se
muestra en la siguiente figura.
i) Use tA = 0 como el tiempo cuando la piedra
deja la mano del lanzador en la posición (A) y
determine el tiempo en el que la piedra llega a su
altura máxima.
ii) Encuentre la altura máxima de la piedra
iii) Determine la velocidad de la piedra cuando
regresa a la altura desde la que se le lanzó.
iv) Encuentre la velocidad y posición de la
piedra en t = 5.0 s
Ejemplo 1. (Serway)
31
Análisis del Ejemplo 1.
• La velocidad inicial en A es hacia
arriba (+) y la aceleración es g (-9.8
m/s2).
• En B, la velocidad es 0 y la
aceleración es g (-9.8 m/s2).
• En C, la velocidad tiene la misma
magnitud que en A, pero es en
dirección opuesta.
• El desplazamiento es –50.0 m
(termina 50.0 m por debajo de su
punto inicial)
Respuestas para Ud. tB = 2.04 s yB = 20.4 m vyC = -20.0 m/s
vyD = -29.0 m/s yD = -22.5 m
32
En Acapulco, clavadistas profesionales
divierten a los turistas saltando al mar desde
un risco de 36 m de altura (ver figura).
a) ¿Durante cuánto tiempo caen?
b) ¿Cuál es la velocidad de impacto en el
agua?
Ejemplo 2. (Ohanian/Markert)
Salto de un
clavadista.
El cambio de
posición es negativo
(x-x0 < 0)
Respuestas para Ud. t = 2.7 s vx = -26 m/s
GRM. Física I. Semestre 2011-1 33
Un arco potente, como los que se usan para
establecer récords mundiales de arquería,
puede lanzar una flecha a una velocidad de
90 m/s.
¿A qué altura subirá una flecha si se dispara
verticalmente hacia arriba?
¿Cuánto tardará en regresar al suelo?
¿Cuál será la velocidad al tocar tierra?
Por simplicidad ignore la fricción del aire y
trate la flecha como una partícula ideal.
Ejemplo 4. (Ohanian/Markert)
34
Año 2018: Un estudiante de física del grupo 3,
contento por su graduación, lanza su
birrete hacia arriba con una velocidad
inicial de 14.7 m/s. Considerando que su
aceleración es 9.81 m/s2 hacia abajo
(desprecie la resistencia del aire).
a) ¿Cuánto tiempo tarda el birrete en
alcanzar su punto más alto?
b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?
c) Suponiendo que el birrete se retoma a la
misma altura de la que ha salido ¿Cuánto
tiempo permanece en el aire?
0
y
y0
ymáx
v0
v
EL BIRRETE VOLADOR (Tipler/Mosca)
35
1) Juan trepa a un árbol para escuchar mejor al conferenciante
de su ceremonia de graduación que se celebra al aire libre.
Desgraciadamente olvidó sus prismáticos abajo. María lanza
los prismáticos hacia Juan, pero su fuerza es mayor que su
precisión. Los prismáticos pasan a la altura de la mano
extendida de Juan 0.69 s después del lanzamiento y vuelven
a pasar por el mismo punto 1.68 s más tarde.
1a) ¿A qué altura se encuentra Juan?
1b) Determinar la velocidad inicial de los prismáticos y la
velocidad que llevan cuando pasan a la altura de Juan en su trayectoria
descendente.
Tarea 4 parte 1 (se entrega el martes 10 sept)
Resuelva el siguiente problema y conteste las
preguntas que se plantean:
36
2) Suponga que se arroja una piedra directamente hacia arriba de modo que alcanza una altura máxima y luego cae de regreso. En el instante en que la piedra alcanza la altura máxima ¿su velocidad es positiva, negativa o cero? ¿su aceleración es positivo, negativa o cero? Suponga que el eje x se dirige hacia abajo
3) Se deja caer un vaso lleno de agua desde lo alto de un edificio ¿Se derramará el líquido fuera del vaso mientras este cae? ¿Por qué?
Tarea 4 parte 1 (se entrega el martes 10 sept)
Continúa….
GRM. Física I. Semestre 2011-1 37
• El sistema de
• coordenadas x’ y y’
• (azul) del barco se
• mueve en relación
• con el sistema de
coordenadas x – y
• (verde) de la costa
La relatividad del movimiento y la suma
de velocidades
GRM. Física I. Semestre 2011-1 38
Regla de la suma para las velocidades,
también conocida como
transformación galileana de
velocidades
La relatividad del movimiento y la suma de
velocidades
La velocidad en los dos marcos de referencia difiere
sólo por una constante Vo. Por lo que las
aceleraciones en los dos marcos de referencia son
iguales:
PARA MARCOS DE REFERNCIA EN MOVIMIENTO
UNIFORME EN RELACION MUTUA, LA
ACELERACIÓN ES UNA CANTIDAD ABSOLUTA.
GRM. Física I. Semestre 2013-1 39
Componentes de la velocidad y la aceleración
Trayectoria de un automóvil
por las calles de la ciudad de
Nueva York
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES
GRM. Física I. Semestre 2011-1 40
a) En un pequeño intervalo de tiempo dt, el desplazamiento es P1P2 y los cambios en las coordenadas x y y son dx y dy
b) Los desplazamientos dx y dy son los catetos de un triángulo rectángulo
Componentes de la velocidad
y la aceleración
GRM. Física I. Semestre 2011-1 41
Componentes
de la velocidad
instantánea
Componentes de la velocidad
y la aceleración, 2D
Magnitud de la velocidad en
términos de los componentes
Componentes
de la aceleración
instantánea
GRM. Física I. Semestre 2011-1 42
Automóvil tomando una curva. Las flechas indican las direcciones del movimiento
Componentes de la velocidad
y la aceleración
GRM. Física I. Semestre 2011-1 43
En un pequeño intervalo de
tiempo dt, los cambios en las coordenadas x y y son dx y dy. El vector de desplazamiento es
dxi + dxj.
Este vector es tangente a la trayectoria de la partícula, como lo es también el vector de la velocidad
v = (dxi + dyj)/dt
Los vectores velocidad y aceleración
GRM. Física I. Semestre 2011-1 44
(b) la posición de una partícula
que se mueve con una aceleración
constante a.
Representaciones vectoriales y de
componentes de (a) la velocidad
GRM. Física I. Semestre 2013-1 45
Extensión de las ecuaciones cinemáticas
para dos dimensiones
GRM. Física I. Semestre 2012-1 46
Vectores velocidad de un proyectil en diferentes instantes
Los vectores velocidad y aceleración
GRM. Física I. Semestre 2011-1 47
GRM. Física I. Semestre 2011-1 48
a) Una “bomba volcánica” después
del impacto en el suelo
Los vectores velocidad y aceleración
b) El vector de velocidad inicial
de la “bomba volcánica” y
sus componentes
GRM. Física I. Semestre 2012-1 49
Trayectoria de una
bomba volcánica con
una velocidad inicial
v0+
Movimiento de proyectiles
GRM. Física I. Semestre 2011-1 50
Trayectoria de una bomba soltada por un bombardero.
La componente vertical inicial de la velocidad es cero y la componente horizontal inicial es la misma que la del bombardero
Movimiento de proyectiles
GRM. Física I. Semestre 2011-1 51
Ejemplo para resolver:
El final del salto con esquíes (Serway, 2005)
Una esquiadora deja la rampa y se desliza en la dirección
horizontal con una rapidez de 25.0 m/s. El plano de aterrizaje bajo
ella cae con una pendiente de 35°.
¿Dónde
aterrizará
en el plano?
GRM. Física I. Semestre 2011-1 52
Tarea 5 (se entrega):
EL COYOTE Y EL CORRECAMINOS
GRM. Física I. Semestre 2011-1 53
Tarea 5 (se entrega):
Un decidido coyote está nuevamente en persecución del elusivo
correcaminos. El coyote usa un par de patines (marca ACME), con
ruedas de propulsión, que proporcionan una aceleración horizontal
constante de 15 .0m/s2. El coyote parte del reposo a 70.0 m de la orilla
de un risco en el instante en que el correcaminos lo pasa en la
dirección del risco.
a) Si se supone que el correcaminos se mueve con rapidez
constante, determine la rapidez mínima que debe tener para
alcanzar el risco antes que el coyote.
En el borde del risco, el correcaminos escapa al hacer un giro
repentino mientras el coyote continúa de frente. Los patines del
coyote permanecen horizontales y continúan funcionando mientras el
coyote está en vuelo, de modo que su aceleración, mientras está en el
aire es (15.0 i – 9.80 j) m/s2.
b) El risco está a 100 m sobre el suelo plano de un cañón. Determine
dónde aterriza el coyote en el cañón.
c) Determine las componentes de la velocidad de impacto del coyote.
GRM. Física I. Semestre 2011-1 54
Una piedra es lanzada hacia
arriba desde lo alto de un
edificio,
a un ángulo de 30.0° con la
horizontal y con una rapidez
inicial
de 20.0 m/s. La altura del
edificio es de 45.0 m
a) ¿Cuánto tarda la piedra en
llegar al suelo?
b) ¿Cuál es la rapidez de la
piedra justo antes de golpear
el suelo?
Ejemplo para resolver:
¡Vaya brazo ! (Serway, 2005)
GRM. Física I. Semestre 2011-1 55
ALCANCE HORIZONTAL Y ALTURA MÁXIMA
EN UN PROYECTIL
Revise en un texto de Física I
Universitaria la deducción de estos
casos particulares de movimiento
en dos dimensiones.
56
Ejemplo para resolver: Salto de longitud (Serway, 2005)
Un atleta que participa en salto de longitud deja el suelo a
un ángulo de 20.0° sobre la horizontal y con una rapidez
de 11.0 m/s.
a) ¿Qué distancia salta en la dirección horizontal?
b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza?
En la Universiada Mundial de Kazán 2013,
obtuvo la medalla de oro con un salto de
8.46 metros
El atleta mexicano Luis Rivera ganó una
histórica medalla de bronce en la prueba
de salto de longitud, en el Mundial de
Atletismo Moscú 2013, con un registro de
8.27 metros.
GRM. Física I. Semestre 2011-1 57
Movimiento circular uniforme
Vectores velocidad
instantánea para una
partícula en movimiento
circular uniforme
58
Movimiento circular uniforme
ACELERACIÓN CENTRÍPETA
(dirección es hacia el centro del círculo)
Una partícula en movimiento circular
uniforme, experimenta una aceleración
radial a puesto que la dirección de v
cambia con el tiempo.
PERÍODO EN EL MOVIMIENTO
CIRCULAR
Intervalo de tiempo requerido para
una revolución completa de la
partícula
GRM. Física I. Semestre 2011-1 59
Ejemplo para resolver:
Aceleración centrípeta de la Tierra (Serway, 2005)
¿Cuál es la aceleración centrípeta de la Tierra a medida que se
mueve en su órbita alrededor del Sol?
Dato: radio de la órbita de la Tierra alrededor del Sol = 1.496x1011 m.
GRM. Física I. Semestre 2011-1 60
Aceleraciones tangencial y radial
Aceleración total
Si el vector velocidad v
(siempre tangente a la trayectoria)
cambia en dirección y magnitud,
las componentes de la aceleración a
son una componente tangencial at y
otra componente radial ar
La componente de aceleración
radial surge de una cambio en
dirección del vector velocidad.
La componente de aceleración
tangencial causa un cambio en
la rapidez v de la partícula.
GRM. Física I. Semestre 2011-1 61
Ejemplo para resolver:
En la cumbre (Serway, 2005)
Un automóvil muestra una aceleración constante de 0.300 m/s2 paralela
a la autopista. El automóvil pasa sobre una elevación en el camino tal
que, lo alto de la elevación tiene forma de círculo con 500 m de radio.
En el momento en que el automóvil está en lo alto de la elevación, su
vector velocidad es horizontal y tiene una magnitud de 6.00 m/s.
¿Cuáles son la magnitud y dirección del vector aceleración total
para el automóvil en ese instante?