UnilesteMG – Centro Universitário do Leste de Minas

Máquinas Síncronas Prof. Genésio G. Diniz

1

UnilesteMG – Centro Universitário do Leste de Minas

Departamento de Engenharia Elétrica

Máquinas Elétricas & Dinâmica de Máquinas

Máquinas

Síncronas

Análise de regime permanente e dinâmica da

Máquina Síncrona

Prof. Genésio G. Diniz


2

Índice

Lista de símbolos e nomenclaturas ....................................................................... 5

Máquinas Síncronas: Regime permanente e Dinâmica ......................................... 7

1. Introdução ........................................................................................................ 7

1.1. Princípios Gerais de Operação ................................................................. 7

1.2. Baixo Custo Inicial ..................................................................................... 9

1.3. Alto Rendimento ...................................................................................... 10

1.4. Aplicação dos Motores Síncronos ........................................................... 12

1.5. Classificação ........................................................................................... 13

2. Revisão bibliográfica ...................................................................................... 14

2.1. Circuitos Magnéticos .............................................................................. 14

Simulação: Rodar arquivos “Circuito Magnético_1.exe”, “Circuito

Magnético_1.exe” e “Magnetização de Transformadores.exe” ................ 14

2.1.a. Conjugado em Máquinas de Rotor Cilíndrico ........................................ 14

2.2. Campo Magnético Girante ...................................................................... 15

Simulação: Simulação Campo Magnético Girante do MIT e MS.............. 18

2.3. Análise construtiva – Métodos de Enrolamento de máquinas AC ........... 18

2.3.1. Tipos de enrolamento: ...................................................................... 20

3. Máquinas Síncronas: Condições Transitórias e de Regime Permanente ..... 21

3.1. Classificação conforme o tipo do Rotor .................................................. 22

3.2. Ondas de fluxo e FMM em máquinas síncronas ..................................... 23

Proposta de Prática de Laboratório: .......................................................... 27

3.3. A Máquina síncrona como uma impedância ........................................... 30

3.4. Características de curto-circuito e de circuito aberto ............................... 33

3.5. Características de funcionamento em regime permanente ..................... 39


3.6. Características de Ângulo de Carga em Regime Permanente ................ 44

3.7. Determinação do triângulo das potências e do Círculo de capabilidade da

Máquina Síncrona ............................................................................................ 48

3.7.1. Potências e Capabilidade do Gerador síncrono ............................... 48

3.7.2. Potências e Capabilidade do Motor síncrono ................................... 50

3.8. Fluxo de Potência e Regulação de tensão .............................................. 51

3.8.1. Conclusões deste item:..................................................................... 51

3.9. Efeitos de Pólos Salientes. Introdução à teoria das duas Reatâncias..... 52


3

3.9.1. Ondas de Fluxo e FMM .................................................................... 52

3.9.2. Aspectos de Circuito Equivalente ..................................................... 55

3.10. Características de ângulo de carga de Máquinas de pólos salientes .... 58


3.11. Características transitórias das reatâncias da Máquina Síncrona ......... 63

3.12. Geradores Síncronos interligados ......................................................... 65

3.13. Resumo do Capítulo .............................................................................. 68

4. Modelagem Vetorial da MS ........................................................................... 70

4.1. Representações nos Planos Complexos „dq‟ .......................................... 70

4.1.1. Plano Referencial Estacionário ( ou deqe) =0 ........................ 70

4.1.2. Plano Referencial Síncrono (dq): =síncrono ..................................... 72

a) Matriz de Transformação de Park ........................................................ 72

Simulação: Simular em MatLab/Simulink a matriz de transformação ABC -

- dq Arquivo: “Transf_ABCdq.mdl”.. .................................................... 72

4.1.3. Desenvolvimento da forma polar de representação: ........................ 73

4.2. Determinação do Conjugado a partir de Vqd e Iqd .................................... 74

4.2.1. Determinação de q e d diretamente do trifásico (forma alternativa) . 75

4.2.2. Determinação do conjugado do Motor de Indução no modelo Vetorial

...................................................................................................................... 78

5. Teoria para análise da máquina síncrona no plano vetorial dq ...................... 81

6. Princípios do controle vetorial e Orientação de Campo em M.S. ................... 97

6.1. Conceito de controle de torque baseado na máquina CC ....................... 97

6.2. Controle vetorial na Máquina Síncrona ................................................... 99

6.3. Controle de torque e escolha de . ........................................................ 101

6.4. Modelo Vetorial (regime permanente) ................................................... 102

6.4.1. Diagramas vetoriais das variáveis d e f .......................................... 103

6.5. Implantação do Controle de Torque nas Máquinas Síncronas. ............. 104

6.5.1. Controle de torque usando orientação de campo com CSI ............ 104

6.5.2. Controle de torque usando CRP WM (CURRENT REGULATED

PWM) .......................................................................................................... 105

6.5.3. Conversor vetorial (resolver) em inversores CSI com controle de

torque ......................................................................................................... 107

6.5.4. Requisitos para controle de torque na MS. ..................................... 108

6.5.5. Medição elétrica do ângulo do campo rotórico - r.......................... 110


4

8. Bibliografia ........................................................ Erro! Indicador não definido.

Anexos ............................................................................................................... 111


5

Lista de símbolos e nomenclaturas

M.S. - Máquina Síncrona;

FMM - Força Magneto Motriz;

CA - Máquina de Corrente Alternada;

CC - Máquina de Corrente Contínua;

- eixo real;

- eixo imaginário;

- ângulo espacial;

m - fluxo de magnetização;

r - vetor de fluxo do rotor em dq;

rd - fluxo do rotor no eixo d;

rq - fluxo do rotor no eixo q;

s - vetor de fluxo de estator em dq;

sd - fluxo de estator no eixo d;

sq - fluxo de estator no eixo q;

- coeficiente de dispersão magnética;

r - constante de tempo do rotor;

- velocidade angular elétrica;

r - velocidade angular elétrica do rotor;

f - frequência de alimentação das tensões;

im - corrente de magnetização;

ir - vetor corrente do rotor em dq;

ird - corrente do rotor no eixo d;

irq - corrente do rotor no eixo q;

i'r - corrente do rotor transformada;

is - vetor corrente do estator em dq;

isd - corrente de estator no eixo d;

isq - corrente de estator no eixo q;

J - momento de inércia;

k - razão entre as indutâncias de dispersão de estator e de rotor;

Llr - indutância de dispersão de uma bobina do rotor;

Lls - indutância de dispersão de uma bobina do estator;

Lm - indutância mutua entre uma bobina do estator e uma bobina do rotor;


6

Lr - indutância própria de uma bobina do rotor;

Ls - indutância própria de uma bobina do estator;

P - potência;

P - número de pares de pólos;

R - resistência elétrica;

Re ou Rs - resistência de uma bobina do estator;

Rr - resistência de uma bobina do rotor;

Tem - conjugado eletromagnético;

Tc - conjugado resistente de carga;

Ef - Tensão de entreferro;

vr - vetor de tensão do rotor em dq;

vrd - tensão do rotor em eixo d;

vrq - tensão do rotor em eixo q;

vs - vetor de tensão de estator;

vsd - tensão de estator no eixo d;

vsq - tensão de estator no eixo q;

Vt - tensão terminal;

rdsv - tensão estatórica de eixo d no referencial rotórico.

Subscritos e Sobrescritos:

0 - sequência zero;

1 - sequência positiva;

2 - sequência negativa;

a - fase “A”;

b - fase “B”;

c - fase “C”;

s, e - grandeza de estator;

r - grandeza de rotor;

d, q - eixos direto e quadratura, respectivamente;


7

Máquinas Síncronas: Regime permanente e Dinâmica

1. Introdução

O motor síncrono é um tipo de motor elétrico muito útil e confiável com uma

grande aplicação na indústria. Entretanto, pelo fato do motor síncrono ser

raramente usado em pequenas potências, muitos que se sentem bem

acostumados com o motor de indução por causa de suas experiências com

acionadores menores, se tornam apreensivos quando se deparam com a

instalação de um motor síncrono nos seus sistemas. O motor síncrono é bastante

semelhante ao motor de indução no seu aspecto geral, embora usualmente os

motores síncronos possuem potência elevada e/ou rotação muito baixa quando

comparado com o motor de indução normal. Tipicamente, o motor síncrono tem

um comprimento de núcleo pequeno e um diâmetro grande quando comparado

com o motor de indução.

1.1. Princípios Gerais de Operação

Os motores síncronos polifásicos têm estatores e enrolamentos de estator

(enrolamentos de armadura) bastante similares aos dos motores de indução.

Assim como no motor de indução polifásico, a circulação de corrente no

enrolamento distribuído do estator produz um fluxo magnético com polaridade

alternada norte e sul que progride em torno do entre-ferro numa velocidade

diretamente proporcional a freqüência da fonte de alimentação e inversamente

proporcional ao número de pares de pólos do enrolamento. O rotor do motor

síncrono difere consideravelmente do rotor do motor de indução. O rotor tem

pólos salientes correspondentes ao número de pólos do enrolamento do estator.

Durante operação normal em regime, não há nenhum movimento relativo entre os

pólos do rotor e o fluxo magnético do estator; portanto não há indução de tensão

elétrica no rotor pelo fluxo mútuo e portanto não há excitação proveniente da

alimentação de corrente alternada (ca). Os pólos são enrolados com muitas

espiras de fio de cobre isolado, e quando a corrente continua (cc) passa pelos

enrolamentos, os pólos se tornam alternativamente pólos magnéticos norte e sul.

Até o escovas e dos anéis coletores. Entretanto, atualmente, um sistema de


8

excitação sem escova com controle eletrônico é freqüentemente usado. Se o rotor

estiver parado quando for aplicada a corrente contínua no enrolamento de campo,

a interação do fluxo do estator e o fluxo do rotor causará um grande conjugado

oscilante mas o rotor não gira. Para se dar partida num motor síncrono, é

necessário inserir um número de barras na face de cada polo e curto-circuitar

essas barras nas extremidades para formar uma gaiola de esquilo semelhante

àquela existente no motor de indução. Alem disso, o enrolamento de campo deve

ser desconectado da alimentação cc e curto-circuitado, usualmente através de um

resistor apropriado ou do circuito da excitatriz sem escovas. Pela seleção

adequada das dimensões, material e espaçamento das barras na gaiola de

esquilo (freqüentemente chamado enrolamento amortecedor) consegue-se

desenvolver conjugado próximo ao encontrado no motor de indução suficiente

para acelerar o rotor até a rotação próxima da nominal. Se o rotor tiver alcançado

velocidade suficiente e então se aplica corrente continua no enrolamento de

campo, o motor entrará em sincronismo com o fluxo magnético rotativo do estator.

O conjugado de sincronização (pull-in) de um motor síncrono é o conjugado

máximo de carga resistente constante contra o qual o motor levará a inércia (GD2)

da carga conectada ao sincronismo quando a excitação nominal de campo cc é

aplicada. O conjugado médio de sincronização é uma função primariamente das

características do enrolamento amortecedor. Entretanto, o efeito secundário do

resistor de descarga e da resistência do enrolamento de campo contribui

significativamente para a velocidade que pode ser atingida pelo rotor com um

dado conjugado resistente aplicado ao motor. Por causa do efeito de pólo saliente

, o conjugado de sincronização instantâneo varia de algum modo em relação ao

conjugado médio dependendo do ângulo entre os eixos dos pólos do rotor e os

pólos do estator. Existem diferenças no controle e proteção do motor síncrono às

quais estão relacionadas à construção do rotor. Sendo que a excitação cc é uma

necessidade para a operação em rotação síncrona, fundamental para o motor

síncrono, proteção contra falta de campo e perda de sincronismo é necessária.

Durante a partida, o equipamento de controle deve assegurar automaticamente e

precisamente, que a velocidade do rotor alcançou um determinado valor e

também, a maioria dos casos, assegurar que o ângulo adequado entre os fluxos

do rotor e do estator exista antes que a excitação cc seja aplicada. Uma vez que o

enrolamento amortecedor do motor síncrono necessita somente acelerar o


9

conjugado resistente da carga e seu GD2, mas não fornecer um conjugado

nominal continuamente, a capacidade térmica do enrolamento, e portanto seu

tempo de rotor bloqueado são muito inferiores aqueles comparados aos dos

motores de indução e portanto proteção especial para o enrolamento é

necessária.

Entretanto, uma vez que o estator, enrolamentos do estator, mancais, e demais

proteções são essencialmente as mesmas do motor de indução, os esquemas de

proteção para essas partes são basicamente os mesmos.

Simulação: Máquina Síncrona de pólos permanentes (Brushless ou PM Motor).

Arquivo: MS_PM MOTOR.exe.

Porque Motores Síncronos ?

A economia está por trás do uso de motores síncronos em muitas das aplicações

deste tipo de motor na indústria. As cinco razões mais comuns para se especificar

motores síncronos são:

1. Baixo custo inicial.

2. Obter altos rendimentos.

3. Obter correção de fator de potência.

4. Obter características de partida especiais.

5. Obter características especiais do motor síncrono.

Destas cinco vantagens, as quatro primeiras tem um impacto direto no custo

geral de operação da instalação.

1.2. Baixo Custo Inicial

De um modo geral o custo de um motor síncrono com excitatriz e controle

pode se provar ser bem inferior àquele de qualquer outro motor de corrente

alternada quando a potência é igual ou maior que duas vezes a rotação (rpm). É

claro que não é possível traçar uma linha divisória porque muitas modificações

elétricas e mecânicas (assim como requisitos de controle) entram na avaliação.

Alto Rendimento Embora o custo inicial possa ser substancial, em muitos casos


10

ganhos ainda superiores podem ser obtidos pelos baixos custos operacionais do

motor síncrono. Quando o rendimento do motor torna-se a consideração básica

na escolha do motor, um motor síncrono com fator de potência (FP) unitário (1.0)

é usualmente a solução. Uma vez que potência reativa (KVAR) não é necessário,

e sim somente potência real (KW), a corrente de linha é minimizada, resultando

em menor perda I2R no enrolamento do estator. Também, uma vez que a

corrente de campo requerida é a mínima praticável, haverá menor perda I2R no

enrolamento de campo da mesma forma. Excetuando-se situações onde alto

conjugado é requerido, a baixa perda em ambos os enrolamento de estator e de

campo permitem ao motor síncrono com FP 1.0 ser construído em tamanhos

menores que motores síncronos com FP 0.8 de mesma potência. Assim, os

rendimentos do motor síncrono FP 1.0 são geralmente superiores aos do motor

de indução de potência correspondente. A figura 1 mostra rendimentos

padronizados nominais para motores síncronos FP 1.0 e FP 0.8 típicos, assim

como os de motores de indução. A figura 2 traz os mesmos valores para motores

de baixa rotação.

1.3. Alto Rendimento

Embora o custo inicial possa ser substancial, em muitos casos ganhos ainda

superiores podem ser obtidos pelos baixos custos operacionais do motor

síncrono. Quando o rendimento do motor torna-se a consideração básica na

escolha do motor, um motor síncrono com fator de potência (FP) unitário (1.0) é

usualmente a solução. Uma vez que potência reativa (KVAR) não é necessário, e

sim somente potência real (KW), a corrente de linha é minimizada, resultando em

menor perda I2R no enrolamento do estator. Também, uma vez que a corrente de

campo requerida é a mínima praticável, haverá menor perda I2R no enrolamento

de campo da mesma forma. Excetuando-se situações onde alto conjugado é

requerido, a baixa perda em ambos os enrolamento de estator e de campo

permitem ao motor síncrono com FP 1.0 ser construído em tamanhos menores

que motores síncronos com FP 0.8 de mesma potência. Assim, os rendimentos do

motor síncrono FP 1.0 são geralmente superiores aos do motor de indução de

potência correspondente. A figura 1 mostra rendimentos padronizados nominais


11

para motores síncronos FP 1.0 e FP 0.8 típicos, assim como os de motores de

indução. A figura 2 traz os mesmos valores para motores de baixa rotação.

Figura 1 - Rendimentos Típicos à Plena Carga para Motores de Alta Rotação

Correção de Fator de Potência Muitos sistemas de potência são baseados não

somente em potência ativa em KW fornecida, mas também no fator de potência

na qual ela é fornecida. Uma penalidade pode ser aplicada quando o fator de

potência está abaixo de valores especificados. Isto é devido ao fato de que baixo

fator de potência representa um aumento da potência reativa (KVAR) requerida e

consequentemente, num aumento dos equipamentos de geração e transmissão.

Plantas industriais geralmente possuem predominância de cargas reativas

indutivas tais como motores de indução de pequeno porte ou de baixa velocidade

de rotação as quais requerem considerável quantidade de potência reativa

(KVAR) consumida como corrente de magnetização. Embora seja possível usar-

se capacitores para suprir a necessidade de potência reativa, havendo a

possibilidade, é freqüentemente preferível a utilização de motores síncronos para

este objetivo.

Por causa da sua fonte separada de excitação, os motores síncronos podem

tanto aumentar o KW de base sem KVAR adicional (motor com FP 1.0), como não

somente aumentar o KW de base mas também fornecer o KVAR necessário

(motor com FP 0.8 ou sobre-excitado). A figura 3 mostra a quantidade de KVAR


12

em avanço corretivo fornecido pelos motores com FP 1.0 e 0.8 quando a

excitação é mantida constante e a potência útil (KW) requerida do motor pela

carga é diminuída. A figura abaixo traz curvas que mostram como o fator de

potência decresce quando a excitação é mantida constante com a redução da

potência em HP. Assim, é aparente que o motor síncrono pode, em muitos casos,

fornecer a potência útil de acionamento necessária com a redução benéfica da

potência total do sistema.

Figura 3 - Variação da Potência Reativa (KVAR) Corretiva com a Carga

1.4. Aplicação dos Motores Síncronos

Os motores síncronos são utilizados em praticamente toda a industria. A tabela da

figura 9 não esta completa tanto pelas atividades industriais como pelas

aplicações apresentadas, mas sugere o grande emprego desses motores.

Enquanto a tabela indica os diversos usos para um motor padrão, muitos motores

síncronos podem ser feitos na medida certa da necessidade. Em muitos casos um

motor com valores de conjugados inferiores ao padrão podem ser utilizados. Isto

traz redução vantajosa da corrente de partida do motor o que implica em menor

distúrbio no sistema elétrico durante o ciclo de partida e em redução nas tensões

mecânicas resultantes nos enrolamentos do motor.


13

1.5. Classificação

MOTOR C.A.

Trifásico

Especiais Assíncrono

(de Indução)

Capacitor Permanente +

de Partida

Capacitor Permanente

Pólos

Lisos Pólos Salientes

Síncronos

Monofásicos

Assíncrono

(de Indução)


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2. Revisão bibliográfica

2.1. Circuitos Magnéticos

Apresentação do Arquivo “Circuitos Magnéticos.ppt”

Simulação: Rodar arquivos “Circuito Magnético_1.exe”, “Circuito

Magnético_1.exe” e “Magnetização de Transformadores.exe”

2.1.a. Conjugado em Máquinas de Rotor Cilíndrico

Neste trabalho as equações serão deduzidas a partir do ponto de vista de

campo magnético, no qual considera a máquina como dois grupos de

enrolamento, um no rotor e outro no estator, produzindo campos magnéticos no

entreferro conforme mostrado na Figura 1.1.

Com hipóteses apropriadas, o conjugado e a tensão gerada podem ser

calculados em função de fluxos concatenados e da energia do campo magnético

no entreferro em termos de grandeza de campo. O conjugado é expresso como a

tendência para dois campos magnéticos se alinhar, e a tensão gerada é

expressa como o resultado do movimento relativo entre o campo e o

enrolamento.

Na Figura 1.1 temos um diagrama vetorial das FMM do estator (Fs) e do

rotor (Fr), ambas são ondas espaciais senoidais sendo o angulo de fase em

relação ao seus eixos magnéticos. A FMM resultante é a soma vetorial de Fs e Fr,

das relações trigonométricas, obtemos a expressão:

Figura 3 – Máquina de 2 Pólos Simplificada (a) Modelo

elementar (b) Diagrama Vetorial da Onda de Fluxo (FITZGERALD et al., 1978)


15

srrsrssr FFFFF cos222222

(1.1)

O campo radial resultante H é uma onda espacial cuja o valor de Hpico é obtido

como:

g

FHHlFMM sr

pico2

(1.2)

onde Hpico é a força magnetomotriz no entreferro sobre duas vezes o

comprimento do entreferro (gap).

Sabe-se que a energia armazenado no entreferro é também conhecida

como Co-energia:

2H

0

H2

1'WHdH'W (1.3)

Substituindo a Equação 1.1 e Equação 1.2 na Equação 1.3 temos:

)cosFFFF(g

'W rsrso

2222

22

8 (1.4)

Sabe-se que conjugado é /PT então:

)senFF(g

'W

dt

ddt

dW

T srrso

srsr

2

8 2

(1.5)

portanto :

srrso FF

gT

sen

4 2 (1.6)

2.2. Campo Magnético Girante

Devido a forma física das máquinas rotativas, a disposição geométrica das

bobinas na armadura faz com que se tenha a formação de um campo magnético

girante. O campo magnético girante pode ser definido, como uma distribuição

espacial da densidade de fluxo magnético cujo vetor, representativo dessa onda,

tem um módulo constante e gira a uma velocidade angular constante

determinada pela freqüência das correntes que o produzem.(FITZGERALD et al.,

1978).


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Para maior compreensão do referido efeito, será analisado a natureza do

campo magnético produzido por enrolamentos polifásicos em uma máquina

trifásica de dois pólos, onde os enrolamentos das fases individuais estão

dispostos ao longo da circunferência do entreferro deslocados uns dos outros de

120º graus elétricos, como mostrado pelas bobinas a, - a ; b, -b e c, -c na

Figura 1.3.

Cada enrolamento está alimentado por uma corrente alternada variando

senoidalmente com tempo. Para um sistema balanceado, as correntes

instantâneas são:

)ºtcos(Ii

)ºtcos(Ii

)tcos(Ii

Mc

Mb

Ma

240

120

(1.7)

Onde IM e o valor máximo de corrente e a seqüência de fases é tomada

como sendo abc. Como conseqüência, tem-se três componentes de FMM, sendo

a onda de FMM resultante representada por um vetor espacial oscilante que gira

na periferia do entreferro a uma velocidade t, com comprimento proporcional

às correntes de fases instantâneas, esta FMM resultante é a soma vetorial das

componentes de todas as três fases dada por :

)cos(2/3),( tt (1.8)

Para uma melhor visualização deste efeito, considere a Figura 1.1 no

momento em que t = 0, t = /3 e t = 2 /3.

0 2 4 6 8 10 12 14-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 4 – Correntes Trifásicas Instantâneas

Ia Ib Ic

t =o t = /3 t =2 /3


17

Para t = 0, a fase a está em seu valor máximo IM, portanto, a FMM que é

proporcional a corrente, tem seu valor máximo, Fa = FMAX. Observando o sentido

das correntes na bobina a podemos determinar o sentido do vetor Fa, mostrado

na Figura 1.3a. Neste mesmo instante as correntes ib e ic são ambas de módulo

IM/ 2 na direção negativa. Observando os sentidos das correntes instantâneas,

representados com pontos e cruzes, as FMM correspondentes a fase b e c, são

mostradas pelos vetores Fb e Fc, ambos de módulo igual a FMAX/ 2, desenhados

na direção negativa ao longo dos eixos magnéticos das fases b e c

respectivamente. A resultante, é obtida pela soma vetorial das contribuições

individuais das três fases, é um vetor de modulo F=3/2 FMAX alinhado no eixo da

fase a.

Para o instante t= /3, as correntes instantâneas na fase a e b são de IM /2

positivas e a corrente na fase c é de IM negativo. As componentes individuais de

FMM e sua resultante são mostradas na Figura 1.3b. A resultante possui a

mesma amplitude que no instante anterior, 3/2FMAX , porem deslocada de 60º

graus em sentido anti-horário.

No instante t = 2/3, note que o mesmo acontece, a corrente na fase b esta no

seu máximo negativo e nas fases a e c á metade de seu valor máximo negativo,

a resultante é novamente de modulo igual a 3/2FMAX , mas ela girou mais 60

graus elétricos no sentido anti-horário, alinhando-se com o eixo magnético da

fase b, como mostra a Figura 1.3c.

Como visto, conforme o tempo passa, a onda de FMM resultante desloca-se ao

longo do entreferro com módulo constante, caracterizando, este comportamento,

Figura 5 – Campo Magnético Resultante no Entreferro de uma Máquina de Indução Trifásica

(FITZGERALD et al., 1978)

(a) (b

)

(c)


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como campo magnético girante. Tal comportamento pode ser modelado

matematicamente pela equação de Forstescue:

C

2

BAT IaaIII

Onde: IT = Componente resultante ou simplesmente vetor resultante;

a = Operador de avanço de 120°.

a2 = Operador de avanço de 240°.

Desta equação nasce o coeficiente 3/2, pois o vetor resultante é 1.5 vezes maior

que cada vetor de fase.

Simulação: Simulação Campo Magnético Girante do MIT e MS.

Arquivos: “Demonstração Campo Girante.exe” e “Campo Girante do MIT_v1.exe”

2.3. Análise construtiva – Métodos de Enrolamento de máquinas AC

A maneira mais conveniente de associar os vários condutores de um enrolamento é

distribuí-los em bobinas, e a distribuição das bobinas deve ser feita de tal modo que

formem grupos. As bobinas de cada grupo são ligadas entre si, apresentando cada

grupo um princípio e um fim, e colocadas uniformemente nas ranhuras do núcleo do

estator para criar o campo magnético.

Um campo magnético no estator de um motor de indução polifásico obtém-se

dispondo-se de um bobinamento trifásico, ou seja, três circuitos idênticos

eletricamente independentes uns dos outros, isto é, um enrolamento separado para

cada fase da rede de alimentação. Cada fase (ou enrolamento) tem um número

determinado de bobinas deslocadas umas em relação as outras de 120º elétricos.

Ao serem alimentados os três enrolamentos por um sistema trifásico simétrico de

correntes, cada bobina do estator considerada isoladamente atua como o

enrolamento primário de um transformador, produzindo um campo magnético

alternado de direção fixa.

A composição de todos os fluxos parciais dá origem a um giratório de magnitude

constante, de tantos pares de pólos quantos grupos de três bobinas tenha o estator,

e este fluxo rotativo produzido de valor constante dependerá do número de pólos. As

bobinas colocam-se dentro das ranhuras do estator e devem ser ligadas de modo

que suas forças eletromotrizes se somem.

O nº de ranhuras por pólo e por fase do rotor é diferente do estator, de preferência

primos entre si, porque se fossem iguais, ao coincidir em repouso as ranhuras do


19

rotor com a posição das ranhuras do estator haveria um ponto de mínima relutância

e na partida não se poderia pôr em marcha, o motor, limitando-se a funcionar como

transformador.

Figura 14 – Formação do bobinado do estator

Freqüentemente são empregados no rotor dos motores de indução ranhuras

inclinadas com relação a seu eixo geométrico, porque com este arranjo melhora-

se o problema da relutância, obtém-se forças eletromotrizes induzidas que se

aproximam mais da forma senoidal, reduz alguns harmônicos e ruídos de

indução magnética, etc.

Figura 15 – Estrutura estatórica mostrando a disposição das ranhuras

As ranhuras dos motores de indução podem ser divididas em em ranhuras

abertas e semifechadas. As ranhuras semi fechadas são as mais utilizadas

porque a maior área efetiva da face dos dentes reduz a intensidade da corrente

magnetizante e a relutância do entreferro, apresentando uma eficiência maior e

fator de potência melhor, reduz os binários motores de partida e parada, além de


20

que ganham termicamente uma certa reserva na potência, podendo ser

carregado mais, o que permite usar modelos menores. Nos tipos de ranhuras

semifechada, cada condutor deve ser colocado separadamente no seu lugar, um,

dois ou vários de cada vez, o que é demorado e mais difícil a aplicação do

isolamento.

2.3.1. Tipos de enrolamento:

Os enrolamentos(ou bobinamentos) das máquinas de corrente alternada

classificam-se em dois tipos: Espiral e Imbricado.

Enrolamento em Espiral

Enrolamento em espiral ou espiralado é aquele no qual as bobinas de

cada grupo ligam-se de modo a formar um bobinamento em espiral. É

pouco usado;

Bobinamento Imbricado:

Também conhecido pelo nome de Diamante ou coroa (figura 16), é aquele

no qual se usam bobinas em tipo de losango. Este tipo é o que se adota

quase que exclusivamente e é classificado como Imbricado a passo

pleno e a passo fracionário.

figura 16 – Enrolamento Imbricado de dupla camada


21

3. Máquinas Síncronas: Condições Transitórias e de Regime Permanente

Uma máquina síncrona é uma máquina de c.a., cuja velocidade em

condições de regime permanente é proporcional à freqüência da corrente na

armadura. A velocidade síncrona, o campo magnético girante criado pelas

correntes da armadura caminha à mesma velocidade que o campo criado

pela corrente de campo, e resulta um conjugado constante. Um quadro

elementar de como trabalha uma máquina síncrona já foi dado no item 4-1,

com ênfase na produção de conjugado em termos das interações entre seus

campos magnéticos.

Neste capítulo serão desenvolvidos métodos analíticos do exame do

desempenho de máquinas síncronas polifásicas em regime permanente. As

considerações iniciais serão restritas às máquinas de rotor cilíndrico, e os

efeitos de pólos salientes serão tratados nos Itens 3-6 e 3-7.


22

3.1. Classificação conforme o tipo do Rotor

a) Pólos Lisos b) Pólos salientes


23

3.2. Ondas de fluxo e FMM em máquinas síncronas

As figuras 3-1 e 3-2 fornecem esboços dos enrolamentos desenvolvidos

de armadura e campo de um gerador de rotor cilíndrico. No que se refere ao

enrolamento de armadura, estes são do mesmo tipo de enrolamento usados

na discussão de campos magnéticos girantes no Item 3-4. Os resultados,

bem como as hipóteses fundamentais deste item, aplicam-se aos dois casos.

Nas duas figuras, a fmm espacial fundamental produzida pelo enrolamento

de campo é mostrada pela senóide F. Como designado pela designação

alternativa Bf , esta onda pode também representar a onda de indução

magnética componente correspondente. As Figs. 3-1a e 3-2b mostram a onda

F no instante específico em que a fem de excitação da fase a tem seu valor

máximo. O eixo do campo então está 90º à frente do eixo da fase a, a fim de

que a taxa de variação no tempo dos fluxos concatenados com a fase a seja

máxima. A fem de excitação é representada pelo fasor girante no tempo Ef

nas Figs. 3-1b e 3-2b. A projeção deste fasor no eixo de referência para a

fase a é proporcional a fem instantânea na direção das setas definidas pelos


24

pontos e cruzes (representando as pontas e caudas de setas) nos condutores

da fase a.

A onda de fmm criada pela corrente de armadura, comumente chamada a

fmm de reação de armadura, pode ser suposta agora através do uso dos

princípios apresentados no Item 3-4. Queremos lembrar que as correntes

polifásicas equilibradas em enrolamentos polifásicos simétricos criam uma

onda de fmm cuja componente espacial fundamental gira à velocidade

síncrona. Relembramos também que a onda de fmm está diretamente oposta

à fase a no instante em que a corrente da fase a tem seu valor máximo. A Fig.

3-1a está desenhada com Ia e Ef em fase; assim a onda de reação de

armadura A é desenhada oposta à fase a porque neste instante, Ia e Ef têm

seus valores máximos. A Fig. 3-2a é desenhada com Ia atrasada em relação a

Ef pelo ângulo de fase no tempo Φatr ; assim, A é desenhada atrás de sua

posição na Fig. 3-1a pelo ângulo de fase espacial Φatr porque Ia não atingiu

ainda o seu valor máximo. Nas figuras, a onda de reação de armadura leva a

designação alternativa Bra para indicar que, na ausência de saturação, a onda

de indução magnética de reação de armadura é proporcional à onda A.

O campo magnético resultante na máquina é a soma das duas

componentes produzidas pela corrente de campo e pela reação de armadura.

As ondas de fmm resultantes R (também rotuladas Br para indicar que a onda

de indução magnética resultante pode ser similarmente representada) nas

Figs. 3-1a e 3-2a, são obtidas por adição gráfica das ondas F e A. Como

senóides podem ser adicionadas convenientemente por métodos de fasores,

a mesma soma pode ser efetuada por meio dos diagramas de fasores das

figuras 3-1c e 3-2b. Nestes diagramas, há fasores também para representar o

fluxo fundamental por pólo, Φf , Φra , e Φr , produzido, respectivamente, pelas

fmm‟s F, A, e R e proporcionais a estas fmm‟s com um entreferro uniforme e

nenhuma saturação.


25

Figura 3.1.a – Ondas espaciais de FMM e de indução magnética em um gerador

síncrono de rotor cilíndrico. Corrente de armadura em fase com a tensão de

excitação. b) Diagrama fasorial no tempo. c) Diagrama fasorial no espaço.

As condições de fluxo e fmm de entreferro em uma máquina síncrona podem,

portanto, ser representadas por diagramas fasoriais como aqueles das Figs.

3-1c e 3-2b, sem preocupação com o desenho dos diagramas de ondas. Por

exemplo, os diagramas fasoriais correspondentes para funcionamento como

motor são dados na Fig. 3-3 para fator de potência unitário em relação à

tensão de excitação, e na Fig. 3-4 para fator de potência atrasado em relação

aquela tensão.


26

Figura 3.2. a) Campos magnéticos em um gerador síncrono. Corrente de armadura

atrasada em relação à tensão de excitação. b) Diagrama fasorial combinado no

espaço e no tempo.

Para manter as mesmas convenções das Figs. 3-1 e 3-2, o fasor -Ia , e não

Ia, deve estar em fase ou estar atrasado em relação a Ef .

Estes diagramas fasoriais mostram que a posição de fase espacial da

onda de fmm da armadura em relação aos pólos de campo depende do

ângulo de fase no tempo entre a corrente de armadura e tensão de excitação.

Eles são úteis também na correlação do simples quadro físico da produção

de conjugado, com o modelo pelo qual a corrente de armadura se ajusta às

condições de funcionamento.

Figura 3.3. Diagrama fasorial de um motor síncrono. Fator de potência unitário em

relação à tensão de excitação.

Inverter a corrente para manter a notação de gerador. Pois p/ potencial Positivo: Gerador: Ia saindo; Motor: Ia entrando.

Atenção!!


27

O conjugado eletromagnético no rotor age em uma direção para forçar os

pólos do campo ao alinhamento com as ondas de fluxo de entreferro e fluxo

da reação de armadura resultantes como mostrado pelas setas rotuladas T

associadas aos eixos de campo nas Figs. 3-1 a 3-3.

Se os pólos do campo se adiantam à onda de fluxo de entreferro

resultante, como nas Figs. 3-1 e 3-2, o conjugado eletromagético no rotor age

em oposição à rotação – em outras palavras, a máquina deve estar agindo

como um gerador. Por outro lado, se os pólos do campo se atrasam em

relação à onda de fluxo de entreferro resultante, como na Fig. 3-3, o

conjugado eletromagnético, age na direção de rotação – i.e., a máquina deve

estar agindo como um motor. Dito de outro modo, para funcionamento como

gerador, os pólos do campo precisam ser movidos à frente da onda de fluxo

de entreferro resultante pelo conjugado de um motor primário, enquanto que

para funcionamento como motor, os pólos do campo precisam ser arrastados

atrás do fluxo resultante no entreferro pelo conjugado resistente de uma

carga no eixo.

O valor do conjugado pode ser expresso em termos do fluxo fundamental

do entreferro resultante por pólo Φr e do valor de pico F da onda fundamental

no espaço de fmm no campo. Em correspondência à Eq.4-1

RFr Fpólos

T

sin22

2

(3-1)

onde δRF é o ângulo de fase espacial em graus elétricos entre as ondas de

fluxo resultante e fmm do campo. Quando F e Φr são constantes, a máquina

se ajusta às solicitações variáveis do conjugado pelo ajuste do ângulo de

carga δRF.

Proposta de Prática de Laboratório:

Acionar a máquina síncrona através de uma máquina CC shunt, Alimentar o

enrolamento de campo com uma tensão CC fixa. Amostrar a tensão de

estator através do Sistema de Aquisição de dados com LabView, variar a

velocidade, observando a amplitude da tensão gerada e sua freqüência.


28

EXEMPLO

Considere-se uma máquina síncrona com resistência de armadura e

reatância de dispersão desprezíveis, perdas desprezíveis, ligadas a um

barramento infinito (i.e., a um sistema tão grande que sua tensão e freqüência

permanecem constantes independentemente da potência entregue ou

absorvida). A corrente de campo é mantida constante no valor que determina

corrente de armadura nula em vazio.

Com auxílio de diagramas fasoriais, descrever como a máquina se

reajusta às solicitações variáveis de conjugado. Incluir os funcionamentos

como motor e como gerador.

Solução

O fluxo de entreferro resultante ΦR gera a tensão ER em cada fase da

armadura. É usualmente chamada de tensão de entreferro. Na ausência de

resistência e reatância de dispersão, ER precisa permanecer constante, no

valor da tensão do barramento infinito. Em vazio, o conjugado e δRF são

nulos. Com Ia também nula, A é nula e o diagrama fasorial é o da Fig. 6-5a.

Quando é acrescentada carga no eixo tornando a máquina um motor, o

rotor momentaneamente torna-se ligeiramente mais lento sob a influência do

Figura 3.5. Diagramas fasoriais mostrando os efeitos de conjugado no eixo. a) Em

vazio; b) funcionando como motor; c) Funcionando como gerador.

conjugado resistente e os pólos do campo se atrasam em fase espacial em

relação à onda de fluxo de entreferro resultante; isto é, δRF aumenta, e a

máquina desenvolve conjugado motor. Após um período transitório, o


29

funcionamento em regime permanente à velocidade síncrona é retomado

quando δRF toma o valor exigido para suprir o conjugado de carga, como

mostrado pelo ponto m na característica de ângulo de carga na Fig.3-6.

Figura 3.6. Característica conjugado-ângulo.

O diagrama fasorial é agora como mostrado na Fig. 3-5b. A fmm do campo

não está mais em fase com a onda de fluxo resultante, e a discrepância em

fmm precisa ser compensada pela reação da armadura, aumentando assim a

corrente de armadura necessária para suprir a entrada de potência elétrica

correspondente à potência mecânica de saída. Note-se que

rRF AF cossin

como indicado pela linha tracejada ab, onde Φr é o ângulo do fator de

potência da corrente de armadura em relação à tensão de entreferro Er. Mas

AcosΦr é proporcional à componente de potência ativa IacosΦr da corrente

de armadura, e da Eq. 3-1, FsinδRF é proporcional ao conjugado. Isto é, a

potência elétrica ativa de entrada é proporcional ao conjugado mecânico de

saída como, naturalmente, devia ser.

Se, em lugar de ser carregado como motor, o eixo é acionado pelo

conjugado de um motor primário, os pólos do campo avançam em fase à

frente da onda de fluxo resultante, de um ângulo – δRF para o qual o

conjugado resistente – T desenvolvido pela máquina iguala o conjugado do

motor primário, como mostrado pelo ponto g na Fig. 3-6. Os efeitos na reação


30

de armadura e corrente de armadura são mostrados no diagrama fasorial da

Fig. 3-5c. A máquina tornou-se agora um gerador.

Na Fig. 3-5b e c, note-se que, para as componentes de F e A em fase

com R,

RAF rRF sincos

Isto é, não somente a componente de potência ativa IasinΦr precisa ajustar-se

de modo que a componente correspondente AcosΦr da fmm de reação de

armadura combine com a componente FcosδRF da fmm do campo para

produzir a fmm resultante exigida R. A potência reativa pode portanto ser

controlada por ajuste da excitação do campo.

3.3. A Máquina síncrona como uma impedância

Um circuito equivalente muito útil e simples, que representa o comportamento

em regime permanente de uma máquina síncrona de rotor cilíndrico em

condições polifásicas equilibradas, pode ser obtido se o efeito do fluxo de

reação de armadura for representado por uma reatância indutiva. Para o

objetivo desta discussão preliminar, considere-se uma máquina de rotor

cilíndrico não saturada. Embora desprezar a saturação magnética possa

parecer uma simplificação drástica, será mostrado que os resultados que

procuramos obter possam ser modificados de modo a levar em conta a

saturação.

O fluxo de entreferro resultante na máquina pode ser considerado como a

soma fasorial dos fluxos componentes criados pelas fmm‟s do campo e da

reação da armadura, respectivamente, como mostrado pelos fasores Φf , Φra ,

e Φr , na Fig. 3-7.


31

Figura 3.7. Diagrama fasorial de fluxos componentes e correspondentes tensões.

Do ponto de vista dos enrolamentos de armadura, estes fluxos se manifestam

como fem‟s geradas. A tensão de entreferro resultante Er pode então ser

considerada como fasor soma da tensão de excitação Ef gerada pelo fluxo do

campo e a tensão Era gerada pelo fluxo de reação da armadura. As fem‟s

componentes Ef e Era são proporcionais às correntes de campo e armadura

respectivamente, e cada uma se atrasa em relação ao fluxo que a produz de

90º. O fluxo de reação de armadura Φra está em fase com a corrente de

armadura Ia, e consequentemente a fem de reação de armadura Era se atrasa

em relação à corrente de armadura em 90º. Assim,

raf ExjIE (3-2)

onde xφ é a constante de proporcionalidade, que relaciona os valores eficazes

de Era e Ia. A Eq. 3-2 também se aplica à porção do circuito da Fig. 3-8a à

esquerda de Er. O efeito da reação de armadura, portanto, é simplesmente o

de uma reatância indutiva xφ representando a tensão componente gerada

pelo fluxo espacial fundamental criado pela reação da armadura. Esta

reatância é comumente chamada reatância magnetizante, ou reatância da

reação de armadura.

A tensão de entreferro Er, difere da tensão terminal pelas quedas de

tensão na resistência de armadura e na reatância de dispersão, como

mostrado à direita de Er na Fig. 3-8a, onde ra é a resistência da armadura, x é

a reatância de dispersão da armadura, e Vt é a tensão terminal. Todas as

grandezas são por fase (de linha a neutro em um máquina ligada em Y). A

reatância de dispersão da armadura leva em conta as tensões induzidas

pelos fluxos componentes que não estão incluídas na tensão de entreferro Er.

Estes fluxos incluem não somente aqueles de dispersão através das ranhuras


32

da armadura e ao redor das extremidades da bobina, mas também aqueles

associados aos campos espaciais harmônicos por ser a onda real de fmm de

armadura diferente de uma senóide perfeita.

Finalmente, o circuito equivalente para uma máquina de rotor cilíndrico

não saturado sob condições polifásicas equilibradas se reduz à forma

mostrada na Fig. 3-8b, na qual a máquina é representada, em uma base por

fase, pela tensão de excitação Ef em série com uma impedância simples.

Esta impedância é chamada impedância síncrona. A reatância xs é chamada

a reatância síncrona.

Figura 3.8. Circuitos equivalentes.

Em termos das reatâncias magnetizantes e de dispersão

Ls xxx (3-3)

A reatância síncrona xs leva em conta todo o fluxo produzido por correntes de

armadura polifásicas equilibradas, enquanto a tensão de excitação leva em

conta o fluxo produzido pela corrente de campo. Numa máquina de rotor

cilíndrico não saturado, a freqüência constante, a reatância síncrona é

constante. Além disso, a tensão de excitação é proporcional à corrente de

campo, e é igual à tensão que aparecerá nos terminais se a armadura estiver

em circuito aberto, a velocidade e corrente de campo sendo mantidas

constantes.

É útil ter uma idéia grosseira quanto à ordem de grandezas das

componentes de impedância. Para máquinas acima de umas centenas de

KVA, a queda de tensão na resistência de armadura sob corrente nominal

usualmente é menor do que 0,01 da tensão nominal; i.e., a resistência da

armadura usualmente é menor do que 0,01 por unidade, tomando as


33

especificações nominais como base. ( O sistema por unidade está descrito no

Cap. 1, Art. 1-10). A reatância de dispersão da armadura usualmente está na

faixa de 0,1 a 0,2 por unidade, e a reatância síncrona está na vizinhança de

1,0 por unidade. Em geral, a resistência de armadura por unidade aumenta a

reatância síncrona por unidade diminui com diminuição no tamanho da

máquina. Em máquinas pequenas, como aquelas em laboratórios de escolas,

a resistência de armadura pode estar na vizinhança de 0,05 por unidade e a

reatância síncrona na vizinhança de 0,5 por unidade. Com exceção de

máquinas pequenas, a resistência de armadura usualmente é desprezada, a

não ser no que se refere a seu efeito sobre perdas e aquecimento.

3.4. Características de curto-circuito e de circuito aberto

Dois conjuntos básicos de curvas características para uma máquina síncrona

são necessários para levar em conta os efeitos de saturação e a

determinação de constantes de máquina. Estes conjuntos são discutidos

aqui. Exceto por umas poucas observações sobre o grau de validade de

certas suposições, as discussões aplicam-se a máquinas de rotor cilíndrico e

de pólos salientes.

a. Características de Circuito Aberto e Perdas Rotacionais em Vazio

Como a característica de magnetização para uma máquina de c.c., a

característica de circuito aberto de uma máquina síncrona é um gráfico da

tensão terminal de armadura em circuito aberto em função da excitação de

campo quando a máquina está girando à velocidade síncrona, como

mostrado pela curva cca na Fig. 3-9a. A característica freqüentemente é

traçada em termos por unidade, como na Fig. 3-9b, onde a tensão unitária é a

excitação correspondente à tensão nominal na linha de entreferro.

Essencialmente, a característica de circuito aberto representa a relação entre

a componente espacial fundamental do fluxo de entreferro e a fmm no circuito

magnético, quando o enrolamento de campo constitui a única fonte de fmm.

Quando a máquina já existe, a característica de circuito aberto usualmente é


34

determinada experimentalmente acionando-a mecanicamente à velocidade

síncrona, com os terminais de armadura em aberto, e medindo a tensão

nominal correspondente a uma série de valores de corrente de campo. Se se

medir a potência mecânica necessária para mover a máquina síncrona

durante o ensaio de circuito aberto, obtém-se as perdas rotacionais em vazio.

Estas perdas compreendem atrito, ventilação e perdas no ferro

correspondentes ao fluxo na máquina em vazio. As perdas por atrito e

ventilação à velocidade síncrona são constantes, enquanto as perdas no ferro

e em circuito aberto são uma função do fluxo, que é aproximadamente

proporcional à tensão de circuito aberto.

Figura 3.9. Característica de circuito aberto. a) Em termos de Volts e Ampères de

campo; b) em por unidade

A potência mecânica exigida para mover a máquina à velocidade síncrona

e sem excitação corresponde às perdas por atrito e ventilação. Quando o

campo é excitado, a potência mecânica é igual à soma das perdas por atrito,

ventilação, e no ferro, em circuito aberto. As perdas no ferro em circuito

aberto, portanto, podem ser encontradas pela diferença entre estes dois

valores de potência mecânica. Uma curva de perdas no ferro em circuito

aberto em função da tensão de circuito aberto é mostrada na Fig. 3-10.

b. Característica de Curto-circuito e Perdas de Curto-circuito


35

Se os terminais de armadura de uma máquina síncrona que está sendo

acionada como gerador à velocidade síncrona são curto-circuitados através

de amperímetros apropriados, como mostrado na Fig. 3-10a, e a corrente de

campo é gradualmente aumentada até que a corrente de armadura atinja um

valor máximo seguro ( talvez o dobro da corrente nominal), podem ser obtidos

dados a partir dos quais a corrente de armadura de curto-circuito pode ser

traçada em função da corrente de campo.

Figura 3.10. a) Ligações para o teste de curto-circuito; b) Características de circuito

aberto e de curto-circuito.

Esta relação é conhecida como característica de curto-circuito. Uma

característica de circuito aberto cca e uma característica de curto-circuito ccc

são mostradas na Fig. 3-10b.

A relação fasorial entre a tensão de excitação Ef e a corrente de armadura

em regime permanente Ia sob condições de curto-circuito polifásico é

)( saaf jxrIE (3-4)

O diagrama fasorial é mostrado na Fig. 3-11. Como a resistência é menor do

que a reatância síncrona, a corrente de armadura se atrasa à tensão de

excitação de aproximadamente 90º. Conseqüentemente, a onde de fmm da

reação de armadura está aproximadamente em linha com o eixo dos pólos de

campo, e em oposição à fmm do campo, como mostrado pelos fasores A e F


36

que, representam as ondas espaciais de fmm da reação de armadura e do

campo, respectivamente.

A fmm resultante cria o fluxo de entreferro resultante que gera a tensão de

entreferro Er igual a tensão consumida na resistência de armadura ra e

reatância de dispersão x; ou, na forma de equação:

)( jxrIE aaf (3-5)

Figura 3.11. Diagrama fasorial para condições de curto circuito.

Na maioria das máquinas síncronas a resistência de armadura é desprezível,

e a reatância de dispersão está entre 0,10 e 0,20 por unidade – um valor

representativo é cerca de 0,15 por unidade. Isto é , a corrente de armadura

nominal, a queda de tensão na reatância de dispersão está em torno de 0,15

por unidade. Da Eq. 3-5, portanto, a tensão de entreferro a corrente de

armadura nominal em curto-circuito é cerca de 0,15 por unidade; isto significa

que o fluxo de entreferro resultante é somente cerca de 0,15 do seu valor

para tensão nominal. Conseqüentemente, a máquina está funcionando em

uma condição não-saturada. A corrente de armadura de curto-circuito,

portanto, é diretamente proporcional à corrente de campo, na faixa de zero

até bem acima da corrente de armadura nominal.

A reatância síncrona não saturada pode ser encontrada a partir dos dados

de circuito aberto e curto-circuito. Numa excitação de campo qualquer, como

Of na Fig. 3-10b, a corrente de armadura em curto-circuito é O’b , e a tensão

porque a máquina está funcionando em curto-circuito em condição não de


37

excitação para a mesma corrente de campo corresponde a Oa lido na linha de

entreferro. Note-se que deverá ser usada, a tensão na linha de entreferro,

saturada. Se a tensão por fase correspondente a Oa é Ef(etf) e a corrente de

armadura por fase correspondente a O’b é Ia(cc) , então da Eq. 3-4, com

resistência de armadura desprezada, o valor não saturado xs(etf) da reatância

síncrona é

)(

)(

)(

cca

etff

etfsI

Ex (3-6)

onde os índices (etf) indicam condições de linha de entreferro. Se Ef(etf) e Ia(etf)

são expressos em por unidade, a reatância síncrona será obtida em por

unidade. Se Ef(etf) e Ia(etf) são expressos em volts por fase e ampères por fase,

respectivamente, a reatância síncrona será em ohms por fase.

Para funcionamento em tensão nominal ou perto delas, às vezes supõe-se

que a máquina é equivalente a outra não saturada, cuja característica de

magnetização é uma linha reta passando pela origem e o ponto de tensão

nominal na característica de circuito aberto, como mostrado pela linha

tracejada Op na Fig. 3-13. De acordo com esta aproximação, o valor saturado

da reatância síncrona sob tensão nominal Vt é

)(' cca

t

sI

Vx (3-7)

onde I’a(cc) é a corrente de armadura O’c lida na característica de curto circuito

à corrente de campo Of correspondente a Vt na característica de circuito

aberto, como mostrado na Fig. 3-13. Este método de manipular os efeitos da

saturação usualmente dá resultados satisfatórios, quando não se quer grande

precisão.

A relação de curto-circuito é definida como a relação entre a corrente de

campo para obter uma tensão nominal em circuito aberto, e a corrente de

campo necessária para a corrente nominal de armadura em curto-circuito. Isto

é, na Fig. 3-13, a relação de curto-circuito RCC é


38

''

'

Of

OfRCC (3-8)

Pode ser demonstrado que a relação de curto-circuito é o inverso do valor

por unidade da reatância síncrona saturada dada pela Eq. 3-7.

Se a potência mecânica necessária para acionar a máquina é medida

durante o ensaio de curto-circuito, obtém-se alguma informação quanto às

perdas provocadas pela corrente de armadura. A potência mecânica para

acionar a máquina síncrona durante o teste de curto-circuito é igual à soma

do atrito e ventilação mais as perdas da corrente de armadura. As perdas

provocadas pela corrente de armadura podem então ser calculadas

subtraindo o atrito e ventilação da potência motora. As perdas produzidas

pela corrente de armadura em curto-circuito são conhecidas coletivamente

como as perdas de curto-circuito.

As perdas de curto-circuito compreendem perdas no cobre no

enrolamento de armadura, perdas locais no ferro por fluxo disperso de

armadura, e uma perda no ferro muito pequena por fluxo resultante. A perda

por resistência em c.c. pode ser calculada se a resistência em c.c. é medida e

corrigida, quando necessário, para temperatura dos enrolamentos durante o

ensaio de curto-circuito.

Para condutores de cobre

t

T

r

r

t

t

5,234

5,234 (3-9)

onde rT e rt são as resistências a temperaturas centígradas T e t,

respectivamente. Se esta perda por resistência em c.c. é subtraída das

perdas de curto-circuito, a diferença será a perda devida a efeito pelicular e

correntes parasitas nos condutores da armadura, mais as perdas locais no

ferro produzidos pelo fluxo disperso da armadura. (As perdas no ferro

produzidas pelo fluxo resultante em curto-circuito são de costume

desprezadas). Esta diferença entre as perdas de curto-circuito e a perda por

resistência em c.c. é a perda adicional causada pela corrente alternada na


39

armadura. São as perdas suplementares descritas no Item 4-8, e são

comumente consideradas com o mesmo valor sob condições de carga

normais e em curto-circuito. São uma função da corrente de armadura, como

mostrado pela curva da Fig. 3-14.

Como em qualquer dispositivo para c.a., a resistência efetiva da armadura

é a perda de potência atribuível à corrente de armadura dividida pelo

quadrado da corrente. Na suposição de que as perdas suplementares são

uma função somente da corrente de armadura, a resistência efetiva ra(eff) da

armadura pode ser determinada a partir das perdas curto-circuito; assim,

2)()____(

__

circuitocurtoemarmaduradecorrente

circuitocurtodeperdasr effa

(3-10)

Se as perdas de curto-circuito e a corrente de armadura estão em por

unidade, a resistência efetiva estará em por unidade. Se elas estão em watts

por fase e ampères por fase, respectivamente, a resistência efetiva estará em

ohms por fase. Usualmente é suficientemente exato determinar o valor de

ra(eff) à corrente nominal e depois supor que é constante.

3.5. Características de funcionamento em regime permanente

As principais características de funcionamento em regime permanente são as

relações entre a tensão terminal, a corrente de campo, a corrente de

armadura, o fator de potência e o rendimento. As curvas características que

são de importância em aplicações práticas de máquinas são apresentadas

aqui. Todas elas podem ser calculadas pelos métodos apresentados neste

capítulo.


40

Figura 3.15 Curvas compostas de gerador.

Considere-se um gerador síncrono alimentando a freqüência constante

uma carga, cujo fator de potência é constante. A curva que mostra a corrente

de campo necessária para manter a tensão terminal nominal conforme é

alterada a carga, mantendo o fator de potência constante, chamamos curva

composta. Três curvas compostas a vários fatores de potência constantes

são mostradas na Fig. 3-15.

Se a corrente de campo for mantida constante enquanto a carga varia, a

tensão terminal variará. As curvas características de tensão terminal, traçadas

em função da corrente de armadura, para três fatores de potência constantes,

são mostradas na Fig. 3-16. Cada curva é desenhada para um valor diferente

de corrente de campo. Em cada caso, a corrente de campo é igual ao valor

necessário para dar tensão terminal nominal à corrente de armadura nominal,

e corresponde ao valor de corrente de armadura nominal lido nas curvas

compostas (Fig. 3-15).


41

Figura 3.16. Características tensão corrente de gerador, a corrente de campo

constante.

Os geradores síncronos são usualmente especificados em termos da máxima

carga em KVA e o fator de potência determinados (freqüentemente 80, 85, ou

90 por cento indutivo) que podem suportar continuamente, sem

sobreaquecimento. A potência ativa de saída do gerador é usualmente

limitado a um valor dentro das especificações de potência aparente pela

capacidade do motor primário. Em virtude do sistema de regulação de tensão,

a máquina normalmente funciona a uma tensão constante cujo valor está

dentro de ± 5 por cento da tensão nominal. Quando a potência ativa de carga

e a tensão são fixadas, a potência reativa de carga permitida é limitada pelo

aquecimento da armadura ou do campo.

Um conjunto típico de curvas de capacidade de potência reativa para um

grande turbogerador é mostrado na Fig. 3-17. Elas dão os valores máximos

de potência reativa correspondentes a diversos valores de potência, com

funcionamento a tensão nominal. O aquecimento da armadura é o fator que

limita na região de fator de potência unitário até nominal (0,85). Para fatores

de potência mais baixos, a limitação é dada pelo aquecimento do campo.

Tal conjunto de curvas é um guia valioso no planejamento e operação do

sistema do qual o gerador é uma parte.

O fator de potência ao qual um motor síncrono funciona, e portanto a

corrente de armadura, pode ser controlado por ajuste da excitação de campo.

A curva que mostra a relação entre a corrente de armadura e a corrente de

campo a uma tensão terminal constante e com uma carga constante no eixo,


42

é conhecida como a curva V, devido a sua forma característica. Uma família

de curvas V é mostrada na Fig. 3-18.

Para potência de saída constante, a corrente de armadura é, naturalmente,

mínima a fator de potência unitário, a aumenta conforme o fator de potência

decresce. As linhas tracejadas correspondem aos pontos de fator de potência

constante. Elas são as curvas compostas para o motor síncrono, mostrando

como a corrente de campo deve ser alterada conforme a carga varia, a fim de

manter o fator de potência constante.Os pontos à direita da curva composta

de fator de potência unitário correspondem à sobreexcitação e a corrente

adiantada na entrada; pontos à esquerda correspondem à subexcitação e

corrente atrasada na entrada

De fato, se não fosse pelos pequenos efeitos da resistência de armadura,

as curvas compostas para motor e gerador seriam idênticas, exceto que as

curvas de fator de potência indutivo e capacitivo seriam trocadas.

Como em todas as máquinas eletromagnéticas, as perdas nas máquinas

síncronas compreendem perdas I²R nos enrolamentos, perdas no ferro e

perdas mecânicas. O rendimento convencional é calculado de acordo com um

conjunto de regas determinadas pela ANSI.


Acionar o motor síncrono (curto-circuitar o rotor), observar sentido de giro.

Acionar a máquina síncrona através de um motor cc shunt, à uma velocidade

próxima à velocidade síncrona. Alimentar o estator através da bancada (ou

painel de sincronismo). Excitar o enrolamento de campo, com a fonte regulável.

f.p.=1

Indutivo Capacitivo

If

I1

Figura 3.18. Curvas V do motor síncrono


43

Regular a excitação de campo, observando o fator de potência através de VI do

LabView.

Simulação: Simular em MatLab/Simulink o arquivo “vcurves.m”


44

3.6. Características de Ângulo de Carga em Regime Permanente

Figura 3.19. Efeito de Hunting, Oscilação pendular e ângulo de carga.

A máxima sobrecarga momentânea, que uma máquina síncrona pode

suportar, é determinada pelo máximo conjugado que pode ser aplicado sem

perda de sincronismo. O objetivo deste item é deduzir expressões, para os

limites de potência em regime permanente, de sistemas simples com cargas

aplicadas gradualmente. Os efeitos de impedância externa, desprezados até

aqui, serão também incluídos.

Desde que a máquina pode ser representada por uma simples

impedância, os estudos dos limites de potência tornam-se meramente um

caso especial do problema mais geral das limitações no fluxo de potência

através de uma impedância reativa. A impedância pode incluir a de uma linha

e banco de transformadores, assim como a impedância síncrona da máquina.

Considere o circuito simples da Fig. 3-20a compreendendo duas tensões

alternadas E1 e E2 ligadas por uma impedância Z através da qual a corrente é

I. O diagrama fasorial é mostrado na Fig. 3-20b. A potência P2 entregue

através da impedância aos terminais de carga E2 é

222 cosIEP (3-11)

onde Φ2 é o ângulo de fase de I em relação a E2 . A corrente fasorial é


45

Z

EEI 21 (3-12)

figura 3.20. a) Impedância interligando duas tensões; b) Diagrama fasorial.

Se as tensões fasoriais e a impedância forem expressas em forma polar,

ZZ

Z Z

E

Z

E

Z

EEI

2121 º0/

(3-13)

onde E1 e E2 são os módulos das tensões, δ é o ângulo de fase pelo qual E1

se adianta a E2 , Z é o módulo da impedância, e Φz é o seu ângulo em forma

polar. A parte real da equação fasorial 3-13 é a componente de I em fase com

E2 , donde

)cos()cos(cos 212 zz

Z

E

Z

EI (3-14)

Substituindo a Eq. 3-14 na Eq. 3-11, e notando que

ZRzz /cos)cos(

resulta

90Fazendo

Z

RE)cos(

Z

EEP

ZZ

2

2

2Z

212

(3-15)


46

2

2

221

2

2

2212 )sin()90sin(

Z

RE

Z

EE

Z

RE

Z

EEP Zz (3-16)

onde

X

RZZ

1tan90

e usualmente é um ângulo pequeno.

Da mesma forma, a potência P1 nos terminais de entrada E1 da

impedância pode ser expressa como

2

2

1211 )sin(

Z

RE

Z

EEP Z (3-18)

Se a resistência for desprezível, como freqüentemente é o caso,

sin2121

Z

EEPP (3-19)

Se a resistência for desprezível e as tensões forem constantes, a potência

máxima será

X

EEPP

MÁXMÁX

21

_2_1 (3-20)

e ocorre quando = 90°.

Quando a eq. 3-19 é comparada com a eq. 3-1 para conjugado em termos de

ondas de fluxo e fmm que interagem, vê-se que elas são da mesma forma.

Isto não é coincidência. Primeiro, devemos lembrar que conjugado e potência

são linearmente proporcionais quando, como aqui, a velocidade é constante.

Então, o que nós estamos realmente dizendo é que a eq. 3-1, quando

aplicada especificamente à máquina idealizada de rotor cilíndrico e traduzida

a termos de circuito, torna-se a eq. 3-19. Uma rápida revisão mental dos

fundamentos de cada relação mostrará que elas vêm das mesmas

considerações fundamentais.

Uma forma alternativa de determinar as potências ativa e reativa é

através da representação polar [12]:

d

j

ft

jX

eEVI


47

d

j

ft

d

t

d

j

ft

jX

eEV

jX

V

jX

eEVV

VIjQP

2

*

*

d

ft

X

senEVP

d

ft

d

t

X

EV

X

VQ

cos2

na notação de motor.

d

t

d

ft

X

V

X

EVQ

2cos

na notação de gerador (ver figura 3.21.a)

Simulação: Simular em MatLab/Simulink os arquivos “Diagrama Fasorial_Pólos

lisos.m”


48

3.7. Determinação do triângulo das potências e do Círculo de

capabilidade da Máquina Síncrona

3.7.1. Potências e Capabilidade do Gerador síncrono

Figura 3.21(a). Diagrama das tensões e das potências

Observar que na notação de gerador, fluxo de potência positivo,

significa saindo do gerador . Portanto, para análise de FP, parte-se do

calculo da corrente, como sendo (EF – VT)/jXs e não (VT - EF)/jXs, que é

referência para motor. Assim sendo, o FP inverte-se comparativamente.

Como exemplo, calcule o fp, considerando δ=0.

Observando o triângulo de quedas de tensões, e multiplicando-as

por (3Vt/Xs), obtêm-se o círculo de Capabilidade ou simplesmente

Capacidade:

jXsIA

jXsIa Cos

jXsIa Sen

Ef Sen

IA

EF

d

t

d

ft

X

V

X

EVQ

2cos


49

- Q

Vt IA Vt Ia Cos

Vt Ia Sen

S P

Q

senX

EV

s

ft

Potência Ativa

Depende da carga

d

t

d

ft

X

V

X

EVQ

2cos

d

t

X

V2

d

tf

X

VE2

Absorve reativo. Considerando Q

negativo.

F.P. Capacitivo

Limite da Turbina ou

Força motriz primária

jXsIA

jXsI

a C

os

jXsIa Sen

Ef S

en

IA

EF

Q

P

S

- Q Figura 3.21 (b). Círculos de Capabilidade ou Capacidade da Máquina Síncrona. Gerador subexcitado.


50

3.7.2. Potências e Capabilidade do Motor síncrono

a) Motor sobreexcitado

Figura 3.21(c). Motor Síncrono sobrexcitado.

Figura 3.21(d). Capabilidade do Motor Síncrono.

jXsIA

jXsI

a C

os

jXsIa Sen

Ef S

en

IA

EF

Q

P S

EFmáx Limite de Potência

reativa: Aquecimento

do Rotor.

Vt

F.P. Capacitivo F.P. Indutivo

jXsIA

jXsIa Sen

Ef S

en

-IA

EF

Vt

IA Causa

desmagnetização


51

3.8. Fluxo de Potência e Regulação de tensão

Figura 3.21 (e) Barras interligadas por linha de transmissão

jQPjQPIVSjX

VVI

LT

**

121

LT

LT

jXV

jQPVVV

jX

VVjQP

1

21121

11

12

11

21V

QX

V

PjXVV

V

QX

V

PjXVV LTLTLTLT

Figura 3.21 (f). Diagrama fasorial de tensões e potências

3.8.1. Conclusões deste item:

O aumento do fluxo de potência reativa pela linha de transmissão, ou

simplesmente pela reatância da máquina síncrona (a analogia é perfeita),

produz, principalmente, queda na tensão do barramento de destino (no caso da

MS, queda na tensão terminal). O aumento do fluxo de potência ativa produz

aumento da defasagem da tensão de destino (V2).

MS

Cargas

ZLT XLT

V10º V2º

S* = P jQ

1V

PjX LT

1V

QX LT

V1

V2


52

3.9. Efeitos de Pólos Salientes. Introdução à teoria das duas Reatâncias

Figura 3.21 (g). Detalhe de estator e rotor de máquina síncrona.

Gerador de Guilman Amorin. Gentileza Cemig.

3.9.1. Ondas de Fluxo e FMM

O fluxo produzido por uma onda de fmm em uma máquina de entreferro

uniforme é independente do alinhamento espacial da onda em relação aos

pólos do campo. A máquina de pólos salientes, por outro lado, tem uma

direção preferencial de magnetização determinada pela saliência dos pólos

de campo. A permeância ao longo do eixo polar, ou direto, é apreciavelmente

maior do que ao longo do eixo interpolar, ou em quadratura.

Nós vimos que a onda de fluxo de reação de armadura se atrasa em

relação a onda de fluxo do campo de um ângulo espacial de 90° + atr, onde

atr , é o ângulo de fase no tempo pelo qual a corrente de armadura na

direção da fem de excitação se atrasa em relação à fem de excitação. Se a

corrente de armadura Ia se atrasa em relação à fem de excitação Ef de 90°,

a onda de fluxo de reação da armadura ra , é diretamente oposta aos polos

do campo e na direção oposta ao fluxo do campo f ,como mostrado no

diagrama fasorial da Fig. 3-22a. As ondas de indução magnética

componentes correspondentes na superfície da armadura, produzidas pela

corrente de campo e pela componente espacial fundamental da fmm de

reação da armadura girando sincronamente, são mostradas na Fig. 3-22b, na

Pólos salientes

Enrolamento do Estator


53

qual os efeitos das ranhuras são desprezados. As ondas consistem de uma

fundamental espacial uma família de componentes harmônicas ímpares. Os

efeitos harmônicos usualmente são pequenos (veja o Item 3-3a) Consequen-

temente, somente as componentes espaciais fundamentais serão consi-

deradas. São as componentes fundamentais que são representadas pelos

fasores de fluxo por polo f e ra na na Fig. 3-22a.

As condições são inteiramente diferentes quando a corrente de

armadura esta em fase com a fem de excitação, como mostrado

Fig. 3.22. Fluxos de entreferro no eixo direto em uma máquina síncrona

Fig. 3.23 Fluxos de entreferro no eixo em quadratura em uma máquina síncrona

dos pólos salientes.

No diagrama fasorial da Fig. 3-23a. O eixo da onda de reação de armadura

então é oposto ao espaço interpolar, como mostrado na Fig. 3-23b. A onda


54

de fluxo de reação da armadura e fortemente distorcida, compreendendo

principalmente uma fundamental e uma proeminente terceira harmônica

espacial. A onda de fluxo de terceira harmônica gera fems de terceiras

harmônicas nas fases da armadura, mas estas tensões não aparecem entre

os terminais de linha.

Devido a alta relutância do entreferro entre os pólos, a onda espacial

fundamental do fluxo de reação de armadura quando a reação de armadura

esta em quadratura com os pólos de campo (Fig. 3-23) é menor do que a

onda espacial fundamental do fluxo de reação de armadura que seria criado

pela mesma corrente de armadura se a onda do fluxo de armadura fosse

diretamente oposta aos pólos de campo (Fig. 3-22). Assim, a reatância

magnetizante é menor quando a corrente de armadura está em quadratura

no tempo com respeito à fem de excitação (Fig. 3-22a). .

Os efeitos de pólos salientes podem ser levados em conta resolvendo a

corrente de armadura Ia em duas componentes, uma em quadratura no

tempo e outra em fase no tempo, em relação a tensão de excitação Ef ,

como mostrado no diagrama fasorial da Fig. 3-24. Este diagrama é

desenhado para um gerador de pólos salientes não saturado, funcionando a

um fator de potência indutiva. A componente Id da corrente de armadura, em

quadratura no tempo com a tensão de excitação, produz um fluxo de reação

de armadura fundamental componente ad, ao longo dos eixos dos pólos do

campo, como na Fig 3-22. A

Fig. 3-24. Diagrama fasorial de um gerador síncrono de pólos salientes.


55

componente Iq , em fase com a tensão de excitação, produz um fluxo de

reação de armadura fundamental componente aq, em quadratura espacial

com os pólos do campo, como na Fig. 3-23. Os índices d e q referem-se à

fase espacial dos fluxos de reação da armadura, e não à fase no tempo das

correntes componentes que os produzem. Assim uma grandeza de eixo

direto e uma grandeza cujo efeito magnetizante esta centrado nos eixos dos

polos do campo. As Fmms de eixo direto agem sobre o circuito magnético

principal. Uma grandeza de eixo em quadratura é uma grandeza cujo efeito

magnético está centrado no espaço interpolar. Para uma maquina não

saturada, o fluxo de reação da armadura ra é a soma dos componentes ad

e aq . Como na Fig. 3-5, o fluxo resultante r , é a soma de ra e do fluxo do

campo principal f .

3.9.2. Aspectos de Circuito Equivalente

A cada uma das correntes componentes Id e Iq está associada uma

queda de tensão na reatância síncrona componente, jIdxd e jIqxq res-

pectivamente, as reatâncias xd e xq são, respectivamente, as reatâncias

síncronas de eixo direto e em quadratura. As reatâncias síncronas levam em

conta os efeitos indutivos de todos os fluxos geradores de freqüência

fundamental, criados pelas correntes de armadura, incluindo os fluxos

dispersos da armadura e de reação da armadura. Assim, os efeitos indutivos

das ondas de fluxo de reação da armadura nos eixos direto e em quadratura

podem ser levados em conta por reatâncias magnetizantes de eixo direto e

em quadratura xad e xaq respectivamente, de modo similar à reatância

magnetizante x, da teoria de rotores cilíndricos. As reatâncias síncronas de

eixo direto e em quadratura então, são:

qq

dd

xxx

xxx

onde x e a reatância de dispersão da armadura e é considerada a mesma

para correntes de eixo direto e em quadratura. Compare-se com a Eq. 3-3.

Como mostrado no diagrama fasorial para gerador (Fig. 3-25), a tensão de

excitação Ef é igual à soma fasorial da tensão terminal Vt, com a queda de

tensão na resistência de armadura Iara e com as quedas componentes na


56

reatância síncrona jldxd + jIqxq.

A reatância xq é menor do que a reatância xd devido à maior relutância

do entreferro no eixo em quadratura. Usualmente, xq está entre 0,6 e 0,7 de

xd. Note-se que um pequeno efeito de polos salientes esta presente em

turboalternadores, mesmo sendo máquinas de rotor cilíndrico, devido ao

efeito das ranhuras do rotor sobre a relutância no eixo em quadratura.

No uso do diagrama fasorial da Fig. 3-25, a corrente de armadura precisa

ser decomposta em suas componentes de eixo d e eixo q. Esta

decomposição supõe que o ângulo de fase + ,da corrente,

Figura 3.25. Diagrama fasorial para gerador síncrono.

Figura 3.26. Relação entre tensões componentes em diagrama fasorial.

de armadura em relação a tensão de excitação, é conhecido. Frequen-

temente, entretanto, e o ângulo de fator de potência aos terminais da

máquina que é conhecido explicitamente, em lugar do ângulo de fator de

potência interno + δ. O diagrama fasorial da Fig. 3-25 é repetido pelos


57

fasores em linha cheia na Fig. 3-26. O estudo deste diagrama fasorial mostra

que o fasor tracejado o'a', perpendicular a Ia, é igual a jIaxq. Este resultado

segue geometricamente do fato de que os triângulos o'a'b' e oab são

semelhantes, pois seus lados correspondentes são perpendiculares. Assim

qaa

q

qq''

''

''''

xjIII

xjIoa

ba

abao

ba

ab

oa

ao

A soma fasorial Vt + Iara + jIaxq, então, estabelece a posição angular da

tensão de excitação Ef e portanto os eixos d e q. Fisicamente deve ser

assim, pois toda a excitação do campo em uma máquina normal esta no eixo

direto. O exemplo 3-6 ilustra um uso destas relações na determinação da

excitação para condições de funcionamento especificadas nos terminais de

uma máquina de pólos salientes.

Na teoria simplificada do Item 3-2, a máquina síncrona é considerada

representável por uma única reatância, a reatância síncrona , da eq. 3-3. É

legítima a dúvida, naturalmente, quanto a seriedade da aproximação

envolvida, quando uma maquina de pólos salientes é tratada neste modo

simples. Suponha-se que a máquina de pólos salientes das figs. 3-26 e 3-27

fosse tratada pela teoria de rotor cilíndrico como se ela tivesse uma única

reatância síncrona igual a seu valor de eixo direto xd. Para as mesmas

condições nos seus terminais, a queda na (reatância síncrona jIa xd seria o

fasor o´a´´, e a tensão de excitação equivalente seria E´f como mostrado

nestas figuras. Como ca" é perpendicular a Ef, há pouca diferença em

módulo entre o valor correto Ef e o valor aproximado E´f para uma máquina

excitada normalmente. Recalculando a tensão de excitação nesta base para

o exemplo 3-6 obtemos um valor de 1,79 / 26,6°.

No que se refere as inter-relações entre tensão terminal, corrente de

armadura, potência, e excitação, sobre a faixa de Funcionamento normal, os

efeitos de polos salientes usualmente são de Menor importância, e tais

características de uma máquina de pólos salientes podem ser calculadas


58

com exatidão satisfatória pela teoria simples para rotor cilíndrico. Somente

quando a excitação é pequena, as diferenças entre a teoria de rotor cilíndrico

e polos salientes tornar-se-ão importantes.

Há, entretanto, considerável diferença nos ângulos de fase de Ef e E´f

nas Figs. 3-26 e 3-27. Esta diferença é provocada pelo conjugado de

relutância em uma máquina de pólos salientes. Este efeito é examinado no

item seguinte.

3.10. Características de ângulo de carga de Máquinas de pólos salientes

Limitaremos a discussão ao sistema simples mostrado no diagrama

esquemático da Fig. 3-28a compreendendo uma máquina síncrona de pólos

salientes M S ligada a um barramento infinito de tensão Ee através de uma

impedância em serie de reatância xe por fase. A resistência

Figura 3.28. Máquina síncrona de pólos salientes e impedância série. a)

Diagrama unifilar; b) Diagrama fasorial.

será desprezada, porque usualmente ela é pequena. Considere-se a ma-

quina síncrona funcionando como gerador. O diagrama fasorial é mostrado

pelos fasores em linha cheia na Fig. 3-28b. Os fasores tracejados mostram a

queda de tensão na reatância externa decomposta em componentes devidas

a Id e Iq. O efeito da impedância externa é meramente o de adicionar sua

reatância às reatâncias da máquina; i.e., os valores total de reatância

interpostos entre a tensão de excitação Ef e a tensão de barramento Ee são


59

leqq

ledd

xxx

.xxx

Sendo lex a reatância de dispersão estatórica.

Se a tensão do barramento Ee é decomposta em componentes Ee sen

cos em fase com Id e Iq , respectivamente, a potência P entregue ao

barramento por fase é

cosEIsenEIP eqed (3-27)

Também,

q

eq

d

efd

X

senEI

X

cosEEI

Substituindo 3.28 e 3.29 em 3.27, e sabendo-se que

cossen22sen

obtemos

2senXX2

XXEsen

X

EEP

qd

qd2

e

d

ef (3.30)

Uma forma alternativa de determinação das potências[12]:

senqda cos

Em condições de regime permanente, se dtdV aa / e = t + ,

cosqda senV

dq

qd

V

V

Se a máquina é linear,

qqq

fmfddd

IL

ILIL


60

Neste caso, em regime, não há contribuição do enrolamento

amortecedor.

cosVV

VsenV

q

d

ou,

cosVILILV

VsenILV

fmfdddq

qqqd

q

q

d

f

d

X

VsenI

X

EVI

cos

Onde:

fmffqqdd ILELXLX

Estas variáveis podem ser colocadas facilmente no plano complexo:

qda

qdt

jIII

jVVV

A potência complexa será”,

qddqqqdd IVIVjIVIVVIjQP *

ou,

V

Vd

Vq


61

211

2

2

senXX

Vsen

X

VEP

dq

t

d

tf

cos2cos11

2

11

2

22

d

ft

dq

t

qd

t

X

EV

XX

V

XX

VQ

Esta característica de ângulo de carga é mostrada na Fig. 3-29. O primeiro

termo é o mesmo da expressão obtida para uma máquina de rotor cilíndrico.

Este termo é simplesmente uma extensão dos conceitos básicos do Cap. 3

para incluir os efeitos de reatância série. O segundo termo introduz o efeito

de pólos salientes. Ele representa o fato de que a onda de fluxo de entreferro

cria conjugado tendendo a alinhar os pólos do campo na posição de mínima.

relutância. Este termo e a potência correspondente ao conjugado de

relutância e é da mesma natureza geral do conjugado de relutância discutido

no Item 2-6. Note-se que o conjugado de relutância é independente da

excitação do campo. Note-se, também, que se Xd = Xq, como em uma

maquina de entreferro uniforme, não há direção preferencial de

magnetização, o conjugado de relutância é nulo, e a Eq. 3-30 se reduz a

equação de angulo de carga para uma maquina de rotor cilíndrico cuja

reatância síncrona é Xd .

A Fig. 3-30 mostra uma família de características de angulo de carga a

vários valores de excitação e tensão terminal constante. Somente são

mostrados valores positivos de . As curvas para valores negativos de são

as mesmas exceto por uma inversão no sinal de P. Isto é, as regiões de

funcionamento como gerador e motor são semelhantes, se os efeitos de

resistência são desprezíveis. Para funcionamento de gerador, Ef se adianta

em relação a Ee ; para funcionamento como motor, Ef se atrasa em relação a

Ee. O funcionamento em regime permanente é estável sobre a faixa onde a

inclinação da característica de ângulo de carga é positiva. Devido ao

conjugado de relutância, uma máquina


62

Figura 3.29. Característica de ângulo de carga de uma máquina síncrona de pólos

salientes, mostrando a componente fundamental, devida à excitação do campo, e a

componente de segunda harmônica, devida ao conjugado de relutância.

A máquina de pólos salientes é mais "dura" do que uma com rotor

cilíndrico ie, para iguais tensões e iguais valores de Xd, uma máquina de

pólos salientes desenvolve um dado conjugado a um menor valor de , e o

conjugado máximo que pode ser desenvolvido e um pouco maior.

O efeito de pólos salientes sobre o limite de potência aumenta conforme a

relação de potencia de relutância Pr max / Pf max aumenta, como mostrado na

Fig. 3-32. Para uma máquina excitada normalmente, o efeito de pólos

salientes usualmente chega a uns poucos por cento, no máximo. Somente

com excitação baixa o conjugado de relutância se torna importante. Fora os

casos de baixa excitação, ou quando são exigidos resultados

excepcionalmente exatos, uma máquina de pólos salientes usualmente pode

ser tratada pela teoria simples válida para rotor cilindrico.


Determinação de Xd e Xq.

Acionar o rotor da MS a uma velocidade próxima à velocidade síncrona

através de outra máquina, medir a corrente e tensão de fase, aplicadas ao

motor. Aplicar tensões menores que a nominal, para evitar a saturação.


63

máxmín a

tq

a

td I

VX

I

VX ==

3.11. Características transitórias das reatâncias da Máquina Síncrona

A máquina Síncrona pode ser chamada de “Circuito dinâmico”, porque seus

parâmetros e consequentemente sua impedância, variam de acordo com a

posição do rotor. Assim sendo, quando sugeita às diversas condições dinâmicas,

como variação instantâniea de carga, da tensão aplicada ou mesmo curto-

circuito, a máquina apresentará diferentes características ou comportamento

frente à estas condições ou faltas [6].

Figura 3.30. caminhos dos fluxos de armadura (estator) nas condições de regime

permanente, transitória e subtransitória.


64

Efeito das ranhuras na geração de harmônicas nas máquinas de pólos lisos e

salientes:

Efeito das saliências na geração de harmônicas (principalmente a terceira)

Obs.: Mostrar como as ondas de 3ª harmônica estão em fase (seq. Zero).

A onda de fluxo de 3ª harmônica produz um campo girante com velocidade 3

vezes maior que a do campo girante de freqüência fundamental, e por isto, induz

tensão no enrolamento amortecedor (Dumper). A ação do dumper é contrariar os

efeitos de tais harmônicas.

Simulação: Simular em MatLab/Simulink os arquivos “FFT_Pólos salientes.m”,

“FFT_Pólos Lisos.m” .

3ª Harm.

+ + .

Estator

Pólos rotóricos


65

3.12. Geradores Síncronos interligados

Os geradores síncronos podem funcionar em paralelo e, de fato, os

sistemas de fornecimento de eletricidade de países industrializados podem

ter totais de até centenas de alternadores funcionando em paralelo,

interligados por centenas de quilômetros de linhas de transmissão, e

fornecendo energia elétrica a cargas espalhadas por áreas de centenas de

milhares de quilômetros quadrados. Estes enormes sistemas tem crescido,

apesar da necessidade de projetar o sistema de modo que o sincronismo

seja mantido mesmo após perturbações, e dos problemas, técnicos e

administrativos, que precisam ser resolvidos para coordenar a operação de

um tal complexo sistema de máquinas e pessoal. As principais razões para

estes sistemas interligados são a continuidade de serviço e economias no

investimento em instalações e em custos operacionais.

Para ilustrar as características básicas de funcionamento em paralelo em

escala simples, considere-se um sistema elementar compreendendo dois

geradores trifásicos idênticos G1 e G2 com seus motores primários OP1 e

OP2, suprindo potência a uma carga C, como mostrado no diagrama unifilar

da Fig. 3-34. Suponha-se que o gerador G1 está suprindo a carga a tensão e

freqüência nominais, com o gerador G2 desligado. O gerador G2 pode ser

posta em paralelo com

G1, acionando-o à velocidade síncrona, e ajustando o reostado de campo

de modo que sua tensão iguale a do barramento. Se a freqüência da

maquina que entra não for exatamente igual a do barramento, a fase entre a

sua tensão e a do barramento variara a uma freqüência igual à diferença

entre as freqüências das duas tensões - talvez uma fração de ciclo por

segundo. A chave S2 deverá ser fechada quando as duas tensões estiverem

momentaneamente em fase e a tensão na chave for nula. Um dispositivo


66

para indicar o momento apropriado e chamado sincroscópio. Depois que G2

foi sincronizado desta maneira, cada máquina pode ser controlada para

tomar sua parte da carga de potencia ativa e reativa por ajustes apropriados

das válvulas dos motores primários e dos reostatos de campo.

Em contraste com geradores de c.c., os geradores síncronos em

paralelos precisam girar a exatamente a mesma velocidade de regime

permanente (para o mesmo número de. pólos). Consequentemente, o modo

no qual a potência ativa se divide entre eles depende quase inteiramente das

características de velocidade-potência dos seus acionadores primários. Na

Fig. 3-35, as linhas inclinadas cheias OP1 e OP1 representam as

características de velocidade-potência dos dois motores primários, para

abertura de válvulas constante. Todos os motores primários da pratica tem

características inclinadas de velocidade-potência,

isto é, a velocidade decresce com o aumento de potência. A carga total

Pc mostrada pela linha tracejada horizontal AB, para a qual as potencias de

saída dos geradores P1 e P2 (sendo desprezadas as perdas). Agora,

suponha-se que a abertura da válvula de OP2 é aumentada, fazendo a

translação de sua curva velocidade-potência para cima, na linha tracejada

OP´2. A linha pontilhada A'B' agora representa a potência de carga. Note-se

que a potência de saída do gerador 2 agora aumentou de P2 para P'2

enquanto a do gerador 1 decresceu de P1 para P'1 . Ao mesmo tempo, a

Freqüência do sistema aumentou. A freqüência pode voltar ao normal com

uma transferência adicional de carga do gerador 1 ao gerador 2 por

fechamento da válvula do gerador 1, baixando sua curva de velocidade-

potência até a linha pontilhada OP´12. A potencia de carga é agora

3.35 – Características de velocidade –potência em órgãos primários


67

representada por A"B", e as potencias de saída dos geradores P1´´ e P2´´

.Assim, a freqüência do sistema e a divisão de potencia ativa entre os

geradores pode ser controlada por meio das válvulas dos motores primários.

As mudanças na excitação afetam a tensão terminal e a distribuição de

potência reativa. Por exemplo, sejam os dois geradores idênticos da Fig. 6-34

ajustados para dividir as cargas ativa e reativa igualmente. O diagrama

fasorial é mostrado pelas linhas cheias na Fig. 6-36, onde Vt, é a tensão

terminal, Ic é a corrente de carga, Ia é a corrente de armadura em cada

gerador, e Ef é a tensão de excitação. A queda na reatância síncrona em

cada gerador e jIaxs, e as quedas nas resistências são desprezadas. Agora,

suponha-se que a excitação do gerador 1 é aumentada. A tensão do

barramento Vt, aumentara. Ela pode voltar ao normal, se for diminuída a

excitação do gerador 2. A condição final é mostrada pelos fasores

pontilhados na Fig. 3-36. A tensão terminal, a corrente de carga, e o fator de

potência da carga não mudaram.

Figura 3.36. Efeitos de mudanças nas excitações de dois geradores síncronos

em paralelo..

Desde que as válvulas dos motores primários não foram tocadas, a

potência de saída e as componentes em fase das correntes de armadura dos

geradores não foram mudadas. As tensões de excitação Ef1 e Ef2 foram

deslocadas em fase de modo que Ef sen permanece constante. O gerador

com a excitação aumentada toma agora uma parte maior da potência reativa

indutiva da carga. Para a condição mostrada pelos fasores pontilhados na


68

Fig. 6-36, O gerador 1 está suprindo toda a potência reativa e o gerador 2

está funcionando a fator de potência unitária. Assim, a tensão terminal e a

distribuição de potência reativa entre geradores podem ser controladas par

meio dos reostatos de campo.

Usualmente as válvulas dos motores primários são controladas por

reguladores de freqüência automáticos, de modo que a freqüência da do

sistema é mantida muito aproximadamente constante, e a potência é dividida

apropriadamente entre os geradores. A tensão e o fluxo de Potência reativa

frequentemente são regulados automaticamente por reguladores de tensão

atuando sobre os circuitos de campo dos geradores, e por transformadores

equipados com comutadores automáticos.

3.13. Resumo do Capítulo

O quadro físico do funcionamento interno de uma máquina síncrona em

termos de campos magnéticos girantes e bastante simples. E o do Item 3-5;

interação dos campos componentes do rotor e estator quando os dois estão

estacionários, um em relação ao outro. Para as máquinas de rotor cilíndrico e

de pólos salientes, os campos e fmms componentes, junto com as tensões e

correntes associadas, podem ser representados em diagramas fasoriais

semelhantes aqueles das Figs. 3-2b e 3-24. Os diagramas fasoriais, par sua

vez, levam ao conceito das reatâncias síncronas xs, xd e xq. Estas reatâncias

são deduzidas substituindo o efeito da onda girante de reação de armadura

por reações magnetizantes x ou xd e xq.

A reatância síncrona não saturada xs ou xd pode ser calculada a partir

dos resultados de um ensaio de circuito aberto e outro ensaio de curto-

circuito. Estes métodos de ensaio são uma variação de uma técnica de

ensaio aplicável não somente a maquinas síncronas, mas também a todo

equipamento cujo comportamento pode ser aproximado por um circuito

equivalente linear, e ao qual se aplica o teorema de Thèvenin. Do ponto de

vista do teorema de Thévenin, um ensaio de circuito aberto fornece a fem

interna, e um ensaio de curto-circuito dá informações referentes a impedância

interna. Do ponto de vista mais específico de maquinaria eletromagnética, um


69

ensaio de circuito aberto da informações sobre excitação, perdas no ferro, e

(para máquinas rotativas) perdas por atrito e ventilação, e um ensaio de

curto-circuito fornece as informações sobre as reações magnéticas da

corrente de carga, impedâncias de dispersão, e perdas associadas a corrente

de carga, como perdas no ferro e perdas suplementares. A única

complicação real vem dos efeitos da não-linearidade magnética, efeitos que

podem ser levados em conta aproximadamente, considerando a maquina

equivalente a outra não saturada cuja característica de magnetização e a

linha reta Op da Fig. 3-13, e cuja reatância síncrona e empiricamente

ajustada para saturação, como na Eq. 3-7.

A determinação das características de regime permanente de maquinas

síncronas, então, torna-se meramente um estudo de fluxo de potência

através de uma impedância simples, com tesão constante, ou facilmente

determinável, nos seus terminais. O estudo dos limites de potência máxima

para sobrecargas momentâneas é simplesmente um caso especial das

limitações sobre o fluxo de potência através de uma impedância indutiva. O

fluxo de potência através de tal impedância pode ser expresso

convenientemente em termos das tensões terminais de entrada e saída e dos

ângulos de fase associados a estas tensões, como na Eq. 3-19 para uma

maquina de rotor cilíndrico e 3-30 para uma maquina de pólos salientes.

Estas análises mostram que saliência tem efeito relativamente pequeno nas

inter-relações entre excitação do campo, tensão terminal, corrente de

armadura, e potência; mas as características de ângulo de carga são

afetadas pela presença de uma componente de conjugado de relutância.

Devido ao conjugado de relutância, uma maquina de pólos salientes e mais

"dura" do que outra com rotor cilíndrico.


70

4. Modelagem Vetorial da MS

Na modelagem de máquinas síncronas trifásicas algumas considerações

devem ser feitas sem afetar a validade das analises [3]:

- A máquina possui entreferro uniforme;

- Os enrolamentos do estator são idênticos e distribuídos de maneira a

produzirem ondas espaciais senoidais de força magnetomotriz;

- são desprezadas os efeitos de saturação e histerese, portanto, o circuito

magnético é linear;

- o motor é alimentado por correntes equilibradas, ou seja, componente de

seqüência zero são desprezadas.

4.1. Representações nos Planos Complexos ‘dq’

4.1.1. Plano Referencial Estacionário ( ou deqe) =0

Matriz de Transformação de Clarke

Após feita a representação da máquina trifásica em termos de vetor

resultante podemos facilmente representar este vetor em um plano complexo ,

no qual é o eixo real em fase com o eixo da fase a e eixo imaginário

Sendo o vetor resultante discriminado conforme a Equação.4.1, onde:

Figura 4.1 – Vetor Resultante Representado

no Plano Complexo


71

2

3

2

1)3/4()3/4cos(

2

3

2

1)3/2()3/2cos(

3/42

3/2

jjsenea

jjsenea

j

j

(4.1)

Então pode-se obter a matriz transformação “ABC / ” como sendo:

ce

be

ae

e

e

i

i

i

2

3

2

30

2

1

2

11

i

i (4.2)

Obs.: Implementar em Matlab/Simulink esta matriz de transformação.

Fazendo uma analogia à máquina de corrente contínua, podemos dizer que o

eixo direto corresponde ao eixo do campo principal e o eixo em quadratura

corresponde ao eixo armadura.

Da matriz 4.2 obtemos que,

2

i

2

iii cebe

aee (parte real) (4.3)

cebee i2

3i

2

3i (parte imaginária) (4.4)

No plano rotórico, o vetor direto (r) está alinhado com o fasor fase Ar.

Outra forma de representação do referencial estacionário é através dos eixos

qe e de, alusivos à matriz de Park (ver no próximo item), porém com defasamento

da parte imaginária. o plano deqe será:

Assim a matriz de transformação de ABC para deqe será:

ce

be

ae

qe

de

i

i

i

2

3

2

30

2

1

2

11

i

i

Figura 2.3- Plano Referencial

ou

ae qe

ou de


72

Obs.: Implementar em Matlab/Simulink esta matriz de transformação. Verificar

que o comportamento de deqe e é variante no tempo, ou seja, senoidal. Ver

também o defasamento entre os vetores de fase.

4.1.2. Plano Referencial Síncrono (dq): =síncrono

a) Matriz de Transformação de Park

A matriz de Park pressupõe a transformação dos vetores trifásicos ABC em dois

eixos, ou duas fases, numa análise de máquina síncrona de pólos salientes, ou

seja, num referencial síncrono. Assim, a matriz de Park foi a princípio, utilizada

para transportar as variáveis do estator de uma máquina síncrona ao plano

rotórico, onde o eixo d positivo é alinhado com os pólos do campo principal, e o

eixo q positivo alinhado com a tensão de entreferro Ef = LfIf. Assim sendo o

eixo d estaria adiantado de q em 90° elétricos.

Porém, esta técnica pode ser também usada para transformação dos

vetores de fase do estator e/ou rotor de uma máquina de indução para um plano

girante, síncrono. Assim sendo, para o MIT, o vetor q deve estar adiantado de d,

para que o eixo d esteja alinhado com o fluxo rotórico e q alinhado com a tensão

de magnetização (ver diagrama fasorial do MIT).

Como a analogia é feita com a máquina síncrona, os vetores ou eixos serão

chamados d e q, sejam no referencial estacionário seja no referencial síncrono,

onde os subíndices definirão se é relativo ao estator ou rotor.

Simulação: Simular em MatLab/Simulink a matriz de transformação ABC - - dq. Arquivo: “Transf_ABCdq.mdl”.

ae

qe

ou

de de

q

qe

d

Figura 4.4 – Plano Referencial (a) Estator como Referencial (b) Referencial Síncrono

ou -


73

4.1.3. Desenvolvimento da forma polar de representação:

A representação vetorial determina que:

j

ee

ee

ee

ee

eeee

eeee

ejdqjdq

senjcosjdqjdq

senjcosjdsenjcosqjdq

senj

cosjdsenjcosqjdq

cosdjsenqjsendcosqjdq

)cosdsen(qjsendcosqjdq

1

θ

(4.5)

Concluindo,

)polarforma(ecossen

sencosT j

se

(4.11)

Desta forma, as variáveis complexas dq podem ser expressas como:

abce

j

cebeae

j

qd

fe

fafafef

2

3

2

(4.6)

Onde “f” pode significar qualquer variável estatórica ou rotórica, como tensão,

corrente ou fluxos.

Pela análise anterior, podemos afirmar que:

j

deqedq

deqedq

deqedq

deqedq

deqedeqedq

deqedeqedq

ejiijii

jsenjiijii

jsenjijsenijii

senj

jijsenijii

jisenjiseniijii

isenijseniijii

)(

))(cos(

coscos

1coscos

coscos

)cos(cos

(4.7)

Logo a matriz transformação “ / dq” é dada como:

de

qe

d

q

i

i

i

i

cossen

sencos (4.8)


74

Pode-se obter a matriz transformação “ABC / dq” através das equações 4.7 e

4.14, o que resulta em:

c

b

a

d

q

i

i

i

///

)/sen()/sen(cos

)/cos()/cos(cos

i

i

i

212121

3232

3232

0

(4.9)

Note que a matriz “ABC/dq” possui muitas operações com seno e coseno.

Em sistemas de tempo real os atrasos, ocasionados por estas operações, podem

afetar o seu comportamento. É conveniente, ao implementar

computacionalmente esta conversão, utilizar o modo indireto, utilizando

primeiramente a matriz “ABC / “ e depois a matriz “ /dq”, desta forma

reduziremos o número de operações com senos e cosenos.

Simulação: Exercício para Fixação:

Implementar em Matlab/Simulink esta matriz de transformação deqe para dq

e direta ABC para dq. Verificar agora o comportamento de d e q, veja que

são contínuos no tempo, em regime permanente. Varie o ângulo , como

fosse devido a uma variação de carga (o rotor se atrasa

momentaneamente), veja o que acontece com os vetores dq. O que lhe

parece este comportamento? Qual máquina tem comportamento parecido?

4.2. Determinação do Conjugado a partir de Vqd e Iqd

Na transformação de referencial, as variáveis como tensão, corrente e fluxo

podem ser tomados como vetores acoplados num plano síncrono, de forma que

são contínuos, quando referenciados a este plano para um sistema trifásico não

equilibrado, além dos vetores dq síncronos, há ainda os componentes de

sequências zero, que em sistemas de potência são aquelas que circulam para a

terra, a partir do neutro em sistemas conectados em estrela e desequilibrados ou

em situações de curto-circuito. Pode-se dizer que esta componente é normal ao

plano dq. Em máquinas de indução, conectadas em triângulo ou em estrela sem

neutro, não haverá circulação destas correntes.


75

Para determinação das variáveis dq a partir das variáveis trifásicas, deve-se

lembrar que a transformação trifásica para referencial estacionário é definida

pela resultante vetorial dos vetores da sequência positiva das fases abc.

E, a transformação do referencial estacionário para rotórico (síncrono), é

definido pela matriz:

de

qe

d

q

i

i

sen

sen

i

i

cos

cos (4.10)

A representação da matriz acima para a exponencial de Euler (forma polar)

pode ser verificada como a seguir, a partir da matriz de transformação .

4.2.1. Determinação de q e d diretamente do trifásico (forma

alternativa)

Outra forma de determinação dos vetores girantes(síncronos), diretamente

das variáveis trifásicas começa pela análise do diagrama vetorial mostrado a

seguir:

Figura 4.11. Vetores trifásicos das variáveis rotóricas e estatóricas em dq.

Desta análise podemos definir as componentes de abc sobre d e q:

3

2

3

2

3

2

cosfcosfcosff cebeaeqe

(4.11)

3

2

3

2

3

2

senfsenfsenff cebeaede

(4.12)


76

Desta forma pode-se determinar o vetor resultante rotativo, multiplicando

todos os termos por e-j:

)/(j

ce

)/(j

be

j

aedeqeqdefefefjfff 3232

3

2 (4.13)

Onde: a = 3

2j

e

e a2 = 3

4j

e

;

Da mesma forma, as variáveis rotóricas podem ser transformadas para o

plano rotativo(síncrono) através da exponencial complexa:

abcr

)(j

crbrar

)(j

qdr

fe

fafafef

r

r

2

3

2

(4.14)

Pode-se agora utilizar as equações acima para transformar as equações

vetoriais complexas da máquina para o plano referencial síncrono (rotativo);

)ei(peLipe)LL(ierveV rj

abcr

j

mabce

j

mleabce

j

eabce

j

qde

(4.15)

Entretanto pela regra da cadeia para a diferenciação:

ydt

dx)xy(

dt

d

dt

dyx

(4.16)

Desta forma podemos reescrever a equação 2.16,

]eiL)ie)LL[(j

]ei[dt

dL)ie(

dt

d)LL(ierve

)(j

abcrmabce

j

mle

)(j

abcrmabce

j

mleabce

j

eabce

j

r

r

(4.17)

Utilizando-se das equações 2.15 e 2.16, pode-se determinar:

]idt

dLi)LL[(ji

dt

dLi

dt

d)LL(irV

´

qdrmqdemle

´

qdrmqdemleqdeeqde

(4.18)

De forma similar, pode-se determinar as equações do circuito rotórico em

coordenadas do plano rotativo:

]idt

dLi)LL)[((ji

dt

dLi

dt

d)LL(irv qdem

´

qdrm

´

lrrqdem

´

qdrm

´

lr

´

qdr

´

r

´

qdr

(4.64)

)jII(dt

dL)jII(

dt

d)LL()jII(rjVVV drqrmdqmledqedqqd

)]jII(L)jII(L)jII(L[j drqrmdqmdqle (4.19)

dt

dIjL

dt

dIL

dt

dI)LL(j

dt

dI)LL(IjrIrV dr

m

qr

md

mle

q

mledeqeqd


77

drmqrmdmqmdleqle ILILjILILjILILj (4.20)

dq

qedrmdmleq

qe

drmdmdleqr

mq

mleqe

dt

dIr]ILI)LL[(

dt

dIr

ILILILdt

dIL

dt

dI)LL(Ir:alReParte

(4.21)

qd

dsddqd

de

qrmqmqledr

md

mlede

dt

dIrVjVj

dt

djIjr

]ILILIL[jdt

dIjL

dt

dI)LL(jIjr:agináriaImParte

(4.22)

Logo, de

qe

qeeqedt

dIrV

(4.23)

qe

dedeede

dt

´dIrV

(4.24)

Re

mm LjX

jLle lrLj

Vqe

Iqe

Em

Iqr

Rr

de (-r)dr

Eixo q

Figura 4.11.a). Modelo elétrico do MI no plano vetorial dq síncrono.

Para rotor gaiola, Vqr e Vdr são nulas (curto no rotor).

Eixo d Vdr

Re

mm LjX

jLle lrLj

Vde

Ide

Em

Idr

Rr

qe (-r)qr

Se rotor em

curto, Vqr é

nulo.

Se rotor em

curto, Vdr é

nulo.


78

4.2.2. Determinação do conjugado do Motor de Indução no modelo

Vetorial

O conjugado pode ser expresso a partir das potências de estator e rotor:

Para o sistema trifásico:

WiViViVP cecebebeaeaein Potência de estator (4.25)

WiViViVP crcrbrbrararin Potência de rotor (4.26)

Para sistema nos planos dq

WiV2iViViV2iViV2

3P r0r0drdrqrqre0e0dedeqeqein

(4.27)

Porém, Para o caso do motor de indução tipo Gaiola de esquilo, o rotor está

em curto, logo, as tensões Vqr e Vdr são nulas. Assim,

WiViV2

3P dedeqeqein

Usando as equações 4.23 e 4.24 em 4.27, substituindo as tensões, obtêm-se

os seguintes tipos de termos (Ver Fitzgerald cap. 2):

deqe

qe

deeqede

qe

qee idt

´dIri

dt

dir

2

3Pin

deqe

qe

de

2

deeqede

qe

qe

2

qeein idt

´diiri

dt

diir

2

3P

(4.28)

Onde:

.mecânicotrabalhoemconvertida)coenergia(energiadetaxaatasenreprei

;ãomagnetizaçdeenergiaosenrolamententreenergiadeciatransferêndetaxaatasenrepredt

di

;joulicasperdastasenrepreri 2

i, fmm

λ

i

dλ/

dt CO-ENERGIA

ENERGI

A


79

Logo, a potência útil a ser transformada em trabalho será:

deqeqedein ii

2

3P

(4.75)

deqeqedeemem ii

2

3T

PTComo

(4.76)

Sabendo-se que,

qrmqelemqedrmdelemde ILI)LL(eILI)LL( (4.29)

qemqrlsmqr'

dsmdrlsmdr' ILI)LL(eILI)LL(

(4.30)

rotoreestatordetotaissindutânciaassãoque,LLLeLLLseFazendo rlrmelem

deqrmqeeqedrmdeedeqeqede IILILIILILII (4.31)

deqrqedrmdeqrmdeqeeqedrmqedee IIIILIILIILIILIIL (4.32)

dredr'

demqreqr'

qem ILILeILIL:Como (4.33)

drqr'

qrdr'

qrdr'

drqr'

qrdreqrdr'

drqredrqr'

deqrqedrm

IIII

IILIIILIIIIIL

(4.34)

Logo,

drqr'

qrdr'

deqeqede IIII (4.35)

Então, voltando à equação 2.76, e substituindo as variáveis de estator por

variáveis do rotor, tem-se:

deqeqede

r

IIP

2

3T

drqr'

qrdr'

r

IIP

2

3

drqr

'

qrdr' IIP

2

3

qrdr

'

drqr'

em IIP2

3T

(4.36)


80

Caso se considere que as tensões rotóricas não sejam nulas, ter-se-á:

drqr'

qrdr'

rdeqeqede

r

IIIIP

2

3T

drqr'

qrdr'

rdrqr'

qrdr'

r

IIIIP

2

3

rdrqr'

qrdr'

r

IIP

2

3

drqr

'qrdr

' IIP2

3

qrdr

'drqr

' IIP2

3


81

5. Teoria para análise da máquina síncrona no plano vetorial dq

A extensa família de máquinas síncronas levou ao desenvolvimento das

mais diversas aplicações de acionamentos, principalmente a velocidade variável.

Para a análise de regime permanente e da dinâmica da máquina faremos

primeiramente a análise no plano dq extendida à máquina síncrona de pólos

salientes incluindo os efeitos das não uniformidades do gap e da não simetria

dos enrolamentos.

Figura 5.1. Eixos magnéticos na máquina síncrona de pólos salientes.

Como o gap de ar do pólo saliente da máquina síncrona varia ao longo da

circunferência interna do estator, a máquina não é simétrica quando comparada

com a máquina de indução. Em particular as auto-indutâncias de estator variam

de acordo com a posição do rotor. Referindo-se à figura 5.1 fica claro que as

auto-indutâncias de qualquer enrolamento, de qualquer fase, deve ser pulsante

de acordo com o movimento do rotor. Desconsiderando as harmônicas de ordem

mais elevadas, as auto-indutâncias do estator têm componentes harmônicas de

segunda ordem. Por exemplo, a auto-indutância da fase a é:

rsslsasas LLLL 2cos20, (5-1)


82

Onde Lls representa a indutância de dispersão da fase.

maxmin

2

00

11

8 ggrlNL Ss

(5-2)

e,

maxmin

2

02

11

8 ggrlNL ss

(5-3)

Indutâncias de outras fases são determinadas de maneira similar,

3/22cos20, rsslsbsbs LLLL (5-4)

3/22cos20, rsslscscs LLLL (5-5)

As indutâncias mútuas entre fases do estator são:

3/22cos2

120,, rssasbsbsas LLLL (5-6)

3/22cos2

120,, rssascscsas LLLL (5-7)

rssbscscsbs LLLL 2cos2

120,, (5-8)

As indutâncias correspondentes ao fluxos concatenados do enrolamento de

campo com as três fases do estatorpodem ser escritas como:

rsfdasfdfdas LLL cos,, (5-9)

3/2cos,, rsfdbsfdfdbs LLL (5-10)

3/2cos,, rsfdcsfdfdcs LLL (5-11)

Onde,

min

0

1

4 gNrlNL fdssfd

(5-12)

Da mesma maneira, as indutâncias correspondentes ao fluxo concatenado de

eixo d do enrolamento amortecedor e cada uma da três fases do estator será:


83

rskdaskdkdas LLL cos,, (5-13)

3/2cos,, rskdbskdkdbs LLL (5-14)

3/2cos,, rskdcskdkdcs LLL (5-15)

Onde,

min

0

1

4 gNrlNL kdsskd

(5-16)

Finalmente, as indutâncias correspondentes ao fluxo concatenado de eixo q do

enrolamento amortecedor com os enrolamentos estatóricos são:

rskqaskqkqas sinLLL ,, (5-17)

rskqbskqkqbs sinLLL ,, (5-18)

3/2,, rskqcskqkqcs sinLLL (5-19)

Onde,

max

0

1

4 gNrlNL kqsskq

(5-20)

Estas indutâncias podem ser agrupadas em uma matriz para representar todos

os fluxos concatenados do estator. As tensões sobre os enrolamentos das fases

do estator da máquina síncrona podem ser escritas como:

cs

bs

as

cs

bs

as

s

cs

bs

as

p

i

i

i

r

v

v

v

(5-21)

Onde,


84

kq

kd

fd

rskqrskdrsfd

rskqrskdrsfd

sfdsfdsfd

cs

bs

as

rs2s0lsrs2s0rs2s0

rs2s0rs2s0lsrs2s0

rs2s0rs2s0rs2s0ls

cs

bs

as

i

i

i

3

2cosL

3

2cosL

3

2cosL

3

2cosL

3

2cosL

3

2cosL

cosLcosLcosL

i

i

i

3/22cosLLL2cosLL2

13/22cosLL

2

1

2cosLL2

13/22cosLLL3/22cosLL

2

1

3/22cosLL2

13/22cosLL

2

12cosLLL

(5-22)

As tensões sobre o campo, enrolamento amortecedor de eixo d e de eixo q são:

fdfdfdfddt

dirv (5-23)

kdkdkdkddt

dirv (5-24)

kdkdkdkddt

dirv (5.25)

Onde,

3/2cos3/2coscos' rcsrbsrassfdkdfkdfdmfdlfdfd iiiLiLiLL

(5.26)

3/2cos3/2coscos rcsrbsrasskdfdfkdkdmkdlkdkd iiiLiLiLL

(5-27)

3/23/2 rcsrbsrasskqkdmkdlkdkd sinisinisiniLiLL

(5-28)


85

Nestas equações, pode-se mostrar que:

min

2

0

1

4 grlNL fmfd

(5-29)

min

0

1

4 gNrlNL kdfkfd

(5-30)

min

2

0

1

4 grlNL kdmkd

(5-31)

max

2

0

1

4 grlNL kqmkd

(5-32)

Os parâmetros Llfd, Llkd, Llkq são as indutâncias do campo, eixo d e eixo q

do enrolamento amortecedor, respectivamente.

Pode-se escrever as equações do fluxo concatenado para os

enrolamentos do estator na seguinte forma:

cs

bs

as

s0lss0s0

s0s0lss0

s0s0ls

cs

bs

as

i

i

i

.

LLL2

1L

2

1

L2

1LLL

2

1

L2

1LL

cs

bs

as

rs2rs2rs2

rs2rs2rs2

rs2rs2rs2

i

i

i

.

3/22cosL2cosL3/22cosL

2cosL3/22cosL3/22cosL

3/22cosL3/22cosL2cosL

kq

kd

fd

rskqrskdrsfd

rskqrskdrsfd

rskqrskdrsfd

i

i

i

.

3/2cosL3/2cosL3/2cosL

3/2cosL3/2cosL3/2cosL

sinLcosLcosL

(5-33)

Estas equações podem ser escritas na forma complexa como:


86

cs

bs

as

slsss

sslss

sssls

cs

bs

as

i

i

i

LLLL

LLLL

LLLL

.

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

000

000

000

cs

bs

as

jjj

jjj

jjj

jjj

jjj

jjj

s

i

i

i

aeeea

eeaae

eaaee

eaeae

eaeea

aeeaeL

rrr

rrr

rrr

rrr

rrr

rrr

.2

2222

2222

2222

2222

2222

2222

2

kd

j

j

j

j

j

j

skdfd

j

j

j

j

j

j

sfdi

ea

ae

e

ae

ea

eL

i

ea

ae

e

ae

ea

eL

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

2

2

2

2

22

kq

j

j

j

j

j

j

skqi

ea

ae

e

ae

ea

e

j

L

r

r

r

r

r

r

2

2

2 (5-34)

Multiplicando a segunda linha por a e a terceira linha por a2 e somando-se o

resultado na primeira linha, obtêm-se após algumas simplificações,

22

2

2

2

0

2

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

rrrr

j

kqskq

j

kdskd

j

fdsfd

j

csbsasscsbsasslscsbsas

eiLeiLeiLe

aiiaiLiaaiiLLaa

(5-35)

Usando as definições básicas para os vetores complexos e seu conjugado,

teremos a seguinte expressão:

22

202

3

2

3

2

3

2

3

2

3

rrrr

j

kqskq

j

kdskd

j

fdsfd

j

abcssabcsslsabcs eiLeiLeiLeiLiLL


87

(5-36)

Não é difícil de se mostrar que as equações diferenciais das tensões estatóricas

são as mesmas para o motor de indução. Podem ser expressas na forma de

vetores espaciais complexos.

abcsabcssabcs λdt

dirv += (5-37)

O conceito de vetores espaciais tem permitido expressar as equações da

máquina de forma simplificada. No caso da máquina de indução é possível

transformar as equações de vetores complexos em eixos rotativos livres,

simplesmente multiplicando as equações de fluxo concatenado do estator por e-

j. Entretanto, neste caso a simetria necessária não existe. Simplificações ,

entretanto continuam sendo possíveis se considerarmos = r. Isto é, se

fixarmos o plano referencial para o rotor da máquina, então neste caso as

equações 5-36 e 5-37 podem se escritas como:

abcsθjθj

abcssθj

abcs λdt

de+eir=ev rrr

(5-38)

220

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

j

kqskqkdskdfdsfd

j

abcss

j

abcssls

j

abcs eiLiLiLeiLeiLLe rrr

(5-39)

Multiplicando por 2/3, usando a regra da cadeia para derivação, e definindo,

rj

abcs

r

ds

r

qs

r

qds evjvvv

3

2 (5-40)

rj

abcs

r

ds

r

qs

r

qds ej

3

2 (5-41)

rj

abcs

r

ds

r

qs

r

qds eijiii

3

2 (5-42)


88

Chega-se a seguinte equação:

rqdsr

rqds

rqdss

rqds λωjλ

dt

dirv ++= (5-43)

Onde,

kqskqkdskdfdsfd

r

qdss

r

qdssls

r

qds ijLiLiLiLiLL

20

2

3

2

3 (5-44)

Note que o uso da letra sobrescrita r, caracteriza referência rotórica.

Uma próxima simplificação é obtida se novamente referenciarmos o

circuito rotórico para o estator utilizando-se a relação de transformação. Se

definirmos as indutâncias de eixos direto e quadratura Lmd e Lmq, pode-se

mostrar que,

skd

kd

ssfd

sssmd L

N

NL

Nd

NLLL

2

3

2

3

2

320 (5.14-45)

skq

kq

sssmq L

N

NLLL

2

3

2

320 (5.14-46)

Usando-se a mesma manipulação usada para a máquina de indução, a equação

5.14-44, torna-se:

'''

2

3

22

3

2kqmq

r

qds

mqmd

kdfdmd

r

qds

mqmd

ls

r

qds ijLiLL

iiLiLL

L

(5.14-47)

Onde o primeiro termo é usado para designar a relação de transformação.

Não é difícil mostrar que as equações de fluxo concatenado são também

simplificadas pelo uso de vetores espaciais complexos. Entretanto o ganho neste

caso é apenas marginal porque vetores complexos não podem ser utilizados

para representar as variáveis rotóricas porque o rotor não é simétrico. Isto é, as

indutâncias e resistências dos circuitos de eixo d e q não são as mesmas.

r

qds

r

qds

sfd

kdfkdfdmfdlfdfd iiL

iLiLL 4

3 (5.14-48)


89

r

qds

r

qdsskd

fdfkdkdmkdlkdkd iiL

iLiLL 4

3 (5.14-49)

r

qds

r

qds

skq

kqmkqlkdkq iiL

jiLL 4

3 (5.14-50)

Entretanto, desde que,

sfd

fd

sskd

kd

sfkd

kdfd

smkd

kd

smfd

fd

sssmd L

N

NL

N

NL

NN

NL

N

NL

N

NLLL

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

32

2

2

2

2

20

(5.14-51)

skq

kq

smkq

fq

sssmq L

N

NL

N

NLLL

2

3

2

3

2

32

2

20 (5.14-52)

Quando as equações 5.14-48 a 5.14-50 são referenciadas às espiras estatóricas,

elas se tornam:

r

qds

r

qdskdfdmdfdlfdfd iiiiLiL2

1''''' (5.14-53)

r

qds

r

qdsfdkdmdkdlkdkd iiiiLiL2

1''''' (5.14-54)

r

qds

r

qdskqmqkqlkdkd iijiLiL2

1'''' (5.14-55)

Neste caso, entretanto, torna-se necessário definir,

kd

s

kdkd i

N

Ni

2

3' (5.14-56)

fd

s

fd

fd iN

Ni

2

3' (5.14-57)

kq

s

kq

kq iN

Ni

2

3' (5.14-58)

por que, neste caso, aparece o fator 3/2 nas indutâncias transformadas e a

ausência do fator 3/2 nas equações 2.14-48 e 2.14-50. Também,

2

2'

2

3

fd

slfdlfd

N

NLL (5.14-59)


90

2

2'

2

3

kd

slkdlkd

N

NLL (5.14-60)

2

2'

2

3

kq

slkqlkq

N

NLL (5.14-61)

O fluxo concatenado ser definido como,

kd

kd

skd

N

N ' (5.14-62)

fd

fd

sfd

N

N ' (5.14-63)

kq

kq

skq

N

N ' (5.14-64)

As equações 5.14-10 a 5.14-25 podem ser referidas ao estator pela

mesma taxa de transformação.

Quando as equações 5.14-23 a 5.14-25, 5.14-43, 5.14-44 e 5.14-48 a

5.14-50 são escritas na forma escalar, tornam-se a base para as equações de

Park.

rqsr

rds

rdss

rds λωλ

dt

dirv += (5.14-65)

rdsr

rqs

rqss

rqs λωλ

dt

dirv ++= (5.14-66)

'''' += fdfdfdfd λdt

dirv (5.14-67)

'''' += kdkdkdkd λdt

dirv (5.14-68)


91

'''' += kqkqkqkq λdt

dirv (5.14-69)

Onde,

'''

kdfd

r

dsmddsls

r

ds iiiLiL (5.14-70)

''

kq

r

qsmqqsls

r

qs iiLiL (5.14-71)

r

dskdfdmdfdlfdfd iiiLiL ''''' (5.14-72)

r

dsfdkdmdkdlkdkd iiiLiL ''''' (5.14-73)

r

qskqmqkqlkqkq iiLiL '''' (5.14-74)

Desde que o desacoplamento necessário é apenas obtido no plano referencial

rotórico, o uso das letras sobrescritas para as variáveis estatóricas d e q é

desnecessário para as máquinas síncronas e o sobrescrito r é omitido.

É importante mencionar que o enrolamento amortecedor é equivalente à gaiola

de esquilo na máquina de indução, então, as tensões V‟rd e V‟kg são

identicamente zero.

Nota-se também que devido ao uso do termo 2/3 na definição das correntes

rotóricas, tem sido necessário definir as resistências rotóricas referidas ao estator

como fd

'

fdkq

'

kqkd

'

kd r3

2 rr

3

2r ;r

3

2 r e . Finalmente, deve-se ter o cuidado de

utilizar as variáveis como (‟) para indicar quando o rotor é referido ao estator,

pela taxa de transformação.

Usando procedimento similar ao usado para as máquinas de indução não é difícil

demonstrar que as equações da potência de entrada e do torque de saída para

as máquinas síncronas são:

''

2

3fdfd

r

qs

r

qs

r

ds

r

dse ivivivP (5.14-75)


92

r

ds

r

qs

r

qs

r

dse iip

T 22

3 (5.14-76)

Relembrando:

senqda cos

Em condições de regime permanente, se dtdV aa / e = t + ,

cosqda senV

dq

qd

V

V

Se a máquina é linear,

qqq

fmfddd

IL

ILIL

Neste caso, em regime, não há contribuição do enrolamento

amortecedor.

cosVV

VsenV

q

d

ou, como nas equações 4.23, 4.24, ou 5-43 ou 5.14-65 e 5.14-66,

considerando regime permanente:

cosVILILV

VsenILV

fmfdddq

qqqd

V

Vd

Vq


93

q

q

d

f

d

X

VsenI

X

EVI

cos

Onde:

fmffqqdd ILELXLX

Estas variáveis podem ser colocadas facilmente no plano complexo:

qda

qdt

jIII

jVVV

A potência complexa será”,

qddqqqdd IVIVjIVIVVIjQP *

ou,

qqdd

dq

t

d

tfIVIVsen

XX

Vsen

X

VEP

2

11

2

2

qddq

d

ft

dq

t

qd

t IVIVX

EV

XX

V

XX

VQ

cos2cos

11

2

11

2

22

Detalhamento:

Pelo diagrama fasorial do motor síncrono de pólos salientes,

qqddfmt

qaqddaaft

ILjILjILjV

IjXIjXIREV

af

a

qd

qadf

jj

jjj

= dq ωλjV ou seja se avança dλ de 90°, este se direciona em q.

dd jV


94

qddqt jjVVV então qd

t

j

V

Se há orientação de campo,

f

tVf

2 considera-se aquí R1=0.

Pois, jq estará no eixo –d, devido o operador j. Como não existirá componente

de corrente ou fluxo no eixo d (campo orientado), então só haverá f.

afd

aap

faaatpentd

IEP

IRP

EIRIVPPP

2

2

qd

qda

jVVV

jIII

)]()[(2

3*

qddqqqdd IVIVjIVIVVIJQP

qddq

qqdd

IIP

IVIVP

qqdd

qddq

IIQ

IVIVQ

Lembrando que dsfd

dqqd IIP

como

PT ,

dqqd IIT


95

Se o motor está sendo alimentado por inversor CSI ou por cicloconversor, onde

se pode garantir que o ângulo entre a corrente de armadura e o vetor Ef seja

nulo, o motor pode ser considerado como um motor cc com comutador

eletrônico. Assim não haverá componente de Ia, nem do fluxo criado pela

armadura, no eixo d. Logo,

qf IT

A expressão de potência assume que as tensões do circuito de eixo d e f

do enrolamento amortecedor são zero.

Quando a equação de torque é expandida, usando-se as equações 5.14.65 e

5.14.66, pode-se escrever que:

r

dskqmq

r

qskdmd

r

qsfdmd

r

ds

r

qsqsdse iiLiiLiiLiiLLp

T '''

22

3 (5.14-77)

''' = fdmdmf iLλ (2.15-1)

r

qsr

r

ds

r

dss

r

ds pirv (2.15-2)

r

dsr

r

qs

r

qss

r

qs pirv (2.15-3)

'''' += kdkdkdkd λdt

dirv (2.15-4)

'''' == kqkqkqkq λdt

dirv (2.15-5)

( ) ''' +++= mfkdrdsmddsls

rds λiiLiLλ (2.15-6)

''

kq

r

qsmqqsls

r

qs iiLiL (2.15-7)

( ) ''''' +++= mfrdskdmdkdlkdkd λiiLiLλ (2.15-8)


96

r

qskqmqkqlkqkq iiLiL '''' (6.15-9)


97

6. Princípios do controle vetorial e Orientação de Campo em M.S.

6.1. Conceito de controle de torque baseado na máquina CC

Neste capítulo os conceitos básicos de controle de torque e orientação de

campo são introduzidos basicamente em considerações de regime permanente

para as máquinas síncronas. Os controladores são geralmente referidos como

controladores vetoriais porque eles controlam tanto a amplitude como a fase da

excitação AC. O controle vetorial de correntes e tensões resulta em controle de

orientação espacial do campo eletromagnético na máquina, o qual recebe o

nome de orientação de campo. Usualmente este termo é reservado para

controladores que mantém a ortogonabilidade (90º) espacial entre os

componentes de campo e de torque.

Controle de toque da máquina de corrente contínua antes de prosseguir

com o desenvolvimento do controle vetorial e orientação de campo, faremos uma

breve revisão do controle de torque da máquina CC, para que se possa verificar

o quão parecidos são os controles físicos de torque na máquina CC e o controle

vetorial. Como se pode verificar na figura abaixo, o fluxo de campo e a FMM de

armadura são mantidos perpendiculares independentes da velocidade rotórica. O

comutador é responsável por esta perpendicularidade. O Resultado desta

ortogonabilidade é que o fluxo não é afetado pela corrente de armadura, exceto

por efeito não lineares de segunda ordem.

Fig. 6.1 (a) – Orientação entre a FMM de armadura e o fluxo de campo


98

Fig. 6.1 (b) – Modelo elétrico da máquina CC

A interação eletromagnética entre o fluxo de campo e a força magnetomotriz

de armadura em duas saídas básicas: A tensão induzida proporcional à

velocidade do rotor

aafeaf

affafaf

IP

TtesimplesmenouNP

KondeIKT

PTeNComoIN

PIE

PP

22

22

rmaff

PE

2 (6.2-1)

e o conjugado eletromagnético proporcional a corrente de armadura:

aafe IP

T 2

Controle analítico (não vetorial) (6.2-2)

O fluxo concatenado com a armadura af (fluxo rotórico que alcança o

estator) relacionado ao fluxo total de campo f pela expressão:

f

f

af

f

aflf

af

afL

L

LL

L

(6.2-3)

onde Lsf, Llf e Lf são a indutância mútuas entre o campo e o enrolamento da

armadura, a indutância dispersa do campo e a auto indutância do campo,

respectivamente. O torque pode ser expressa da forma alternativa:

af

f

af

e IL

LPT

2 (6.2-4)

Parte do fluxo rotórico que alcança o estator


99

Se a perpendicularidade sofrer algum distúrbio, duas complicações podem

correr:

1. O fluxo principal não mais será independente da corrente de

armadura, ou seja, haverá componente de FMM de armadura no eixo do

campo principal.

2. As equações da tensão induzida e do torque serão

modificados, inserindo-se o seno do ângulo entre a corrente de armadura e

eixo do campo.

6.2. Controle vetorial na Máquina Síncrona

A máquina síncrona acionada por inversor como fonte de corrente (CSI) é o

ponto de partida natural, desde que combine um n.º fatores os quais sugerem

controle vetorial e controle de ângulo, isto inclui:

1. CSI é uma fonte de corrente que pode controlar a amplitude e a fase;

2. O enrolamento de campo é acessível e pode ser controlados com na máquina

CC e,

3. A posição espacial do campo rotórico é claramente localizado através da

posição física do rotor.

Devido a grande semelhança entre as estratégias de controle, a máquina

síncrona também é conhecida como “Bushless dc machine” e “comutatorless dc

machine”, principalmente no Japão.

O inversor de corrente (CSI) é ilustrado na figura 6.3. Este pode ser de

comutação forçada ou, em altas potências é comutado por carga através da

operação da máquina síncrona com corrente em avanço (sobreexcitada). Em

ambos os casos o conceito de feedback de posição do rotor para localizar o eixo

de enrolamento de campo e usar esta informação para controle do ângulo de

disparo dos tiristores no inversor, controlando o ângulo (fase) do campo, é

largamente empregado. Assim pode-se produzir um ângulo especial fixo entre o

campo principal (rotórico) e a FMM de armadura (estator).


100

Figure 5.3 CSI – Inversor de corrente para motores síncronos.

Figure 6.4 - Commutatorless dc motor utilizando feedback direto da posição do rotor

para controle de fase da corrente estatórica.

A performance em regime permanente pode ser analisada através do circuito

equivalente de máquinas de pólos lisos, para maior simplificação. Fig. 6.5

Figure 6.5 – Diagrama fasorial e equação do torque do MS.

afrmafrea

PE

2 (6-4.1)


101

Assim como a FCEM na máquina CC, a fase de Ea é diretamente

relacionada à posição do rotor. Logo, o controle deve visar controlar o ângulo

entre Ea e Ia.

re

aa

e

IEPT

cos

23 (6-4.2)

Substituindo Ea da equação 5-4.1, resulta:

cos2

3 aafe IP

T (6.4-3)

O que corresponde de forma idêntica à equação da máquina CC, se é

zero. Nota-se que pode-se otimizar (maximizar) o torque para superior se se

controla em zero. Entretanto, se a comutação por carga é desejada, pode-se

trabalhar com altos valores de , para se ter fator de potência em avanço.

Figure 6.6 – Diagrama fasorial mostrando alto valor de e corrente capacitiva.

6.3. Controle de torque e escolha de .

Para o controle direto de torque, assim como na máquina CC, é

necessário o controle da corrente estatórica Ia. Como mostrado anteriormente, a

escolha de = Oº, é atrativa para maximizar o torque na superfície. Porém isto

acarretará fator de potência indutivo nos terminais da máquina. Isto é inaceitável

em acionamentos de alta potência onde a comutação por carga é necessária por

outras razões, logo valores relativamente altos de (40º ~ 60º) são normalmente

usados. A figura 6.8 resume as propriedades do ângulo .


102

Figure 6.8 Influência do ângulo interno.

6.4. Modelo Vetorial (regime permanente)

Para facilitar a transição para a análise dinâmica, é interessante que se faça

a análise de regime permanente no plano dq

dsqsqsdse iiP

T 22

3 (6.5.1)

Ou através de substituição dos fluxos concentrados pelas correntes:

qsdsqsdsdsqrmqqsdrfrmd

b

e iiXXiiXiiiXP

T

1

22

3 (6.5-2)

onde se considerou a máquina de pólos salientes. Desde que as correntes no

enrolamento amortecedor são iguais a zero, o tanque em regime permanente

torna-se:

qsdsqsdsqsfmd

b

e IIXXIIXP

T

1

22

3 (6.5-3)

O qual consiste no torque produzido pelo enrolamento de campo

Torque de reação = qsf

b

md IIXP

22

3 (6.5-4)

E o torque de relutância

Torque de Relutância = qsds

b

qsdsII

XXP

22

3 (6.5-5)

Os fluxos concatenados do estator, em regime permanente são:


103

qsqsqs IL (6.5-6)

fmddsdsds ILIL (6.5-7)

e as components de tensão do estator, em regime, são (d/dt = 0)

fmddsds

b

e

qssqs IXIXIrV

(6.5-8)

qsqs

b

edsds IXrIV

(6.5-9)

6.4.1. Diagramas vetoriais das variáveis d e f

As equações de tensão estão ilustradas na figura 6.9 nos eixos d e f

A componente de tensão,

Fig. 6.9 – Diagrama vetorial de regime permanente mostrando a tensão de entreferro e a

tensão terminal Vqds assim como o ângulo interno .


104

fmd

b

ea IXE

(6.5-10)

é a tensão induzida Ea, da teoria de estado estacionário e a figura 6.9 para

máquina de pólos lisos (Xds = Xqs, Xnd = Xng) e durante o mesmo diagrama fatorial

apresentado na seção anterior.

Figure 6.10 – Diagrama vetorial para orientação de campo 0,0 dsI

6.5. Implantação do Controle de Torque nas Máquinas Síncronas.

Os conceitos de implementação do controle de ângulo e orientação de campo

desenvolvidos anteriormente devem adotar o controle da magnitude e fase das

correntes estatóricas com o objetivo de localizar, sempre, o eixo do enrolamento

de campo. Em geral, o controle vetorial das correntes estatóricas deve ser

sempre mantido, tanto para regime permanente como em condições transitórias.

Algumas implementações esquemáticas são apresentadas as seguir.

6.5.1. Controle de torque usando orientação de campo com CSI

A figura a seguir sugere uma implementação direta da orientação de campo, com

= 0, usando sensor de posição absoluta do rotor, com o CSI. Com = 0, a

corrente estatórica (resultante de fortercue) está alinhada com o eixo q e é

equivalente à referência de corrente de torque. A informação de posição do rotor

é utilizada diretamente para setar = 0, através do controle dos ângulos de

disparo do inversor. Devido ao atraso de comutação inerente à etapa de potência


105

do inversor CSI, alguma compensação para manter = 0, é necessária,

observando-se os diferentes níveis de corrente e freqüências de operação.

Figure 6.11 - Controle de Torque via Orientação de campo, usando inversor CSI.

Tal compensação pode ser efetuada adicionando um bloco regulador de fase.

Neste caso, a corrente de entrada deve representar os componentes de torque e

fluxo, ou seja, de eixo q e d, respectivamente.

6.5.2. Controle de torque usando CRP WM (CURRENT REGULATED

PWM)

A regulação de corrente estatórica por meio de conversor de potência de

chaveamento rápido utiliza um conceito simples para implementação do controle

de torque com as entradas de corrente ortogonais d e q. A figua 6.12 mostra um

sistema típico chaveado “Current Regulated Pulse Width Modulated (CRPWM)

Inverter”. Em essência, todas as informações de posição do rotor são utilizadas

para converter os comandos de torque (Iqs) e campo (Ids) para o plano referencial

estatórico. Assim, as correntes referidas ao estator à freqüência estatórica,

tornam-se as referências de comando para o CRPWM. Para o controle de campo

orientado, faz-se com que Ids=0. Outros valores, diferentes de zero, tornando-se

referência p/ corrente de eixo direto, quando se deseja fazer controle de fator de

potência. Para transformação do referencial rotórico para o estatórico, utiliza-se a

mesma matriz, utilizada na teoria do controle vetorial do motor de indução.


106

Figure 6.12 – Controle de Torque usando CPRWM. Orientação de campo requer dsi*

= 0,

(= 0)

O propósito é converter os sinais DC que representam a referência de torque (Iqs)

e a referência de campo (Ids) em sinais AC, os quais serão utilizados com

referência para o inversor. A forma vetorial de transformação é.

qdsrj

qdss iei r **

(6.6-1)

Esta transformação é necessária porque as variáveis de comando estão

referenciadas ao rotor (pois é lá que acontece a interação que resulta em força

de giro), e devem ser refletidas ao estator, pois são deste as variáveis que

podem ser controladas pelo inversor. E após reflexão no estator Iqs e Ids são

convertidas em referências das correntes trifásicas Las, Lbs, e Lcs, e então

solicitadas ao inversor. As equações implementares no bloco transferencia

rotorico para estatorico da figura 6.12 também representa a transformação

bifásica para trifásica as quais são representadas a seguir :

r

r

dsr

r

qs

s

as iii sincos *** (6.6-2)

r

*r

ds

*r

qsr

*r

ds

*r

qs

sb

bs sini2

1i

2

3cosi

2

3i

2

1i

(6.6-3)

r

r

ds

r

qs

r

ds

r

qs

s

cs iiiii sin2

1

2

3cos

2

3

2

1 *****

(6.6-4)


107

para a orientação de campo (=0) a referencia de corrente de fluxo *r

dsideveria ser

zero.

Simulação: Simular o controle de torque do motor síncrono, em MatLab/Simulink os arquivos “Acionamento MS PM.m”

Acionamento por cicloconversor

Um motor síncrono alimentado por cicloconversor pode ser usado como

um drive de alta potência com rápidas respostas dinâmicas.

Cicloconversores com comutação natural disponibilizam ondas de corrente

de alta qualidade em baixas frequências de saída. Consequentemente a

performance em baixas freqüências é muito superior à do LCI com corrente de

link DC e torque pulsativo com motor parado ou em baixas velocidades. O

cicloconversor pode ser fonte de tensão como de corrente, e ainda permite

regeneração para rede, caracterizando operação em 4 quadrantes, com

transição suave através de velocidade zero.

“O motor síncrono e o inversor são equivalentes ao motor DC no qual o

comutador mecânico é substituído por um comutador eletrônico com vantagens

óbvias”.

Não corre o risco de pull out, pois varía-se a freqüência.

No comutador mecânico o ripple é proporcional ao n.º de pares de lâminas.

No comutador eletrônico o ripple é proporcional ao n.º de pares de tiristores

ou IGBTs.

Em baixas velocidades (ou parado), não há Ef. logo não haverá diferença de

potencial suficiente p/ polarizar os tiristores ou IGBTs – comutação por carga.

6.5.3. Conversor vetorial (resolver) em inversores CSI com controle

de torque

O controle de torque mostrado na figura 6.11 pode ser generalizado caso os

eixos que desejam independentes com a intenção do conceito de conversão


108

vetorial. O conceito e ilustrado na figura 6.13 e é facilmente entendido no

contexto em que são tidos como fatores.

Figure 6.13 - Conversor (resolver) d-q para amplitude-ângulo

Nesta perspectiva, o resolver simplesmente expressa duas formas de resolver

em vetor: como componente ortogonais ou na forma polar.

Usando um Resolver como elemento de entrada para o CSI da figura 6.11

permite o tratamento das entradas *r

dsi e

*r

qsi como na figura 6.12. A saída de

amplitude do Resolver tornaria a referência de corrente para o inverso. A saída

de ângulo ( fase ) tornar-se-ia a referência alfa e alimentaria o regulador de fase

para ser combinada com a infração de posição do roto . A combinação do sinal r

e do sinal do Resolver setaria o ângulo de referência da corrente para

posicionar o vetor iqds no plano referencial rotatório. Com esta aproximação o

sistema CSI pode ser totalmente equivalente no sistema da figura 6.12.

Novamente a compensação para o atraso de comutação seria necessário para

obter performance equivalente para os dois sistemas. Em os casos, fazendo

0* r

dsi, resultaria na orientação no campo (=0) que seria a opção preferida para

controle de torque, a não ser que seja necessário fazer regulação de fator de

potência.

6.5.4. Requisitos para controle de torque na MS.

Os sistemas de vetores controlados das figuras 6.11 e 6.12 podem ser

interpretados com base nos requisitos básicos para controle de torque

apresentados anteriormente (seção 6.2).

Para a orientação de campo, caso em que =0, e examinando a figura 6.11,

verifica-se que:


109

O regulador de amplitude de corrente provê a corrente controlada no requisito 1;

O enrolamento de campo tem exatamente a mesma função do enrolamento de

campo da máquina cc;

O loop de controle de posição do rotor controlando o ângulo (fase) da corrente

estatórica provê a orientação de campo requerida no item 3.

O sistema é análogo à máquina cc. O MS com controle de torque com orientação

de campo, é de fato uma maquina com “comutador eletrônico” provido pôr

inversor controlador de posição. O comutador físico da maquina cc tem a mesma

função do sistema de controle de corrente e posição rotórica. Todos os requisitos

de controle de torque são providos da mesma forma como da máquina cc.

A única diferença conceitual entre o sistema da figura 6.12 e o CSI da figura 6.11

é que os controles separados de amplitude e fase do CSI são combinados em

um controlador único de corrente e ambas as funções são simultâneas. Então o

inversor CRPWM controla tanto a corrente de excitação e a orientação de campo

necessárias para o controle de torque. Neste sistema não e possível isolar o

comutador eletrônico e a função de controle de corrente, na mesma

configuração da figura 6.11.

As expressões de corrente nas equações 6.6-2 a 6.6-4, entretanto, oferece um

novo ponto de vista o qual provê outros focos em conceitos de controle de

torque. Considere que para qualquer velocidade fixa r, o ângulo rotórico pode

ser expresso como:

trr

Onde é simplesmente a posição rotórica em t=0. Usando este resultado as

equações 6.6-2 a 6.6-4 indicam claramente a freqüência e a fase das referencias

de corrente e de mostra que as correntes estatóricas estão sempre à freqüência

síncrona e a fase fixa com respeito ao eixo de campo.

Nota-se que à velocidade zero as correntes são dc sem problema de

performance. Nota-se também, que quando a velocidade está variando, a

freqüência (e fase) das correntes estão também variando de forma a manter um

ângulo espacial fixo entre a FMM de armadura e o eixo de campo.


110

6.5.5. Medição elétrica do ângulo do campo rotórico - r.

Há varias situações que o uso de Encoder ou Resolver no eixo da máquina é

indesejável devido a custo ou outras razões.

É possível evitar a necessidade do sensor de posição, utilizando-se medições

das variáveis elétricas, a partir das quais a posição rotórica, mais

especificamente a posição do fluxo, pode ser calculada. Tais medições

geralmente requerem processamento de sinais para obter a informação desejada

e tal calculo requer conhecimento dos parâmetros estatóricos do motor. Tal

esquema de medição e determinação será apresentado posteriormente.

A figura 5.14 ilustra a natureza do sistema de controle de ângulo ou orientação

do campo( 0* r

dsi ) baseado na determinação elétrica do ângulo do campo

rotórico. Tal ilustração mostra um sistema baseado no inversor CSI, mas a

mesma técnica pode ser aplicada ao inversor PWM. Muitos inversores de

comutação por carga (LCI) de alta potência utiliza a medição e o esquema

computacional ilustrado na figura 5.14 e não utiliza Encoder ou Resolver.

Figure 6.14 Orientação de campo 0* dsi ou controle de ângulo na máquina síncrona

usando estimação estimação do ângulo do fluxo rotórico.


111

Anexos

Anexo 1. Acionamento de motor síncrono a partir de Cicloconversor.

Kazmierkowski, M. P.; Tunia, H. “Automatic Control of Converter Fed Drives”


112

Centro Universitário do Leste de Minas Gerais Engenharia Elétrica

1ª Lista de Exercícios de Máquinas Elétricas – Máquinas Síncronas - Pólos

Lisos(pólos cilíndricos)

1. Para um gerador síncrono de 60Hz, liste seis combinações possíveis de nº de

pólos e velocidade.

2. A distribuição de densidade de fluxo produzido em um gerador síncrono pelo

enrolamento de campo principal é:

B(,t) = Bm sen1t cos

Determine a tensão induzida nas N espiras da armadura, se o rotor gira à

velocidade 2(rad/s). Comente o caso especial em que 1=2=.

3. Uma máquina síncrona 3 � , 2300 V, 60 Hz, tem uma reatância síncrona de

0.9__pu e resistência de estator desprezível. A máquina é conectada ao

barramento infinito. Se Vt=2300 V e Ef= 3450∟-20º V.

a) A máquina está operando como motor ou como gerador? Porque?

b) Determine a potência ativa e o fator de potência. Desenhe o diagrama

fasorial.

4. Um gerador síncrono conectado em estrela, de pólos lisos, com valores

nominais de 10KVA, 230V, tem reatância síncrona de 1,2 por fase e uma

resistência de armadura de 0,5 por fase. Calcule a regulação percentual de

tensão à plena carga com fator de potência de 0,8 m atraso.

Resposta: 21,8%

5. Repita o exercício 4, para um fator de potência de 0,8 em avanço (capacitivo),

considerando inalterados os demais dados.

Resposta: -3,1%


113

6. Para o gerador acima, determine o fator de potência para o qual a regulação

de tensão é zero à plena carga.

Resposta: 0,869 capacitivo

7. Um motor síncrono, 2300V, 3, , rotor de pólos lisos tem Xs=2 por fase e

Ra=0,1 por fase. Esta máquina opera com fator de potência de 0,866

capacitivo enquanto absorve uma corrente de linha de 350 A. Determine o

valor eficaz da tensão induzida por fase e o ângulo de carga.

8. As máquinas síncronas também tem larga aplicação nos setores de geração

de energia elétrica e na indústria. Em ambos os casos, seja gerador ou motor,

sua aplicação envolve acionamentos onde se necessita sincronismo entre a

freqüência da tensão gerada ou aplicada e a velocidade rotórica. Outra

grande aplicação é como capacitor síncrono. Como aplicação deste

raciocínio, tomemos uma máquina de pequeno porte, trabalhando como

motor. Suas características nominais são: 440 V, 3, Y, 10 kVA, 60 Hz, 6

pólos. Através do ensaio de curto circuito, foi determinado uma indutância

síncrona não saturada de 0.134 H. Considera-se, ainda, perdas no estator,

perdas rotacionais e saturação desprezíveis. Uma corrente de campo de 6 A

é requerida para produzir tensão estatórica terminal nominal, a vazio.

Responda:

a) Velocidade rotórica e do campo magnético girante em rad/s;

b) Se a potência mecânica de saída é 13.5 HP, qual corrente de campo

será necessária para suprir fator de potência unitário?

c) Se a carga é removida e a corrente de campo é mantida inalterada, qual

será a corrente estatórica e o fator de potência?

d) Qual o máximo conjugado que o motor poderá fornecer com a corrente

de campo determinada na letra a)?


114

9. Um motor síncrono de 2000 HP, trifásico, ligado em estrela, 2300 V, 30

pólos, 60 HZ, tem reatância síncrona de 2 ohms por fase. Desprezando-se as

perdas, calcular o fasor Ef e o fator de potência, sabendo-se que o máximo

conjugado total desenvolvido é 123000 Nm.

10. Descreva a máquina síncrona:

a) trabalhando como gerador;

b) Trabalhando como motor;

c) Trabalhando como capacitor síncrono.


115

Centro Universitário do Leste de Minas Gerais

Engenharia Elétrica

2ª Lista de Exercícios de Máquinas Elétricas - Pólos Salientes

1) Represente o diagrama fasorial da máquina síncrona à partir dos vetores dq,

e descreva cada fasor.

2) Defina reatância magnetizante de eixo direto e de quadratura, descreva suas

origens e diferenças;

3) Comente a afirmação: “A reatância magnetizante é menor quando a corrente

de armadura está em fase com a fem de excitação (tensão de entreferro)”;

4) As reatâncias de eixo direto e quadratura de um determinado gerador

síncrono de pólos salientes são 1,00 e 0,60 pu (por unidade),

respectivamente. A resistência de armadura pode ser considerada

desprezível. Calcule a tensão gerada quando o gerador fornece sua potência

nominal em kVA, com fator de potência indutivo de 0,8 e tensão terminal

nominal. (Exercício resolvido no livro texto, pág. 277).

5) Se o gerador descrito no exercício anterior, fosse equacionado como de rotor

de pólos lisos(também chamado rotor cilíndrico), representado por uma única

reatância síncrono, igual à reatância de eixo direto, quão razoável seria esta

simplificação? Investigue.

6) Resolva o exemplo 5.11, do livro texto.

7) Leia as observações do efeito dos pólos salientes sobre a capacidade de

máxima potência, na página 283(2º parágrafo), do livro texto.

8) Resolva os exercícios 5.1 e 5.19 (pags 287 e 290), do livro.

9) Seja o gerador síncrono com reatância de eixo direto de 0.9 pu, reatância de

quadratura 0.55 pu e resistência estatórica desprezível, determinar a

amplitude e fase da tensão de entreferro, considerando que o mesmo esteja


116

suprindo potência nominal c/ fp = 0.87 indutivo e tensão terminal nominal.

Determine o que deve ser feito para que o FP seja unitário (calcule).

10) Um gerador síncrono, trifásico, de pólos salientes, 20 KVA, 440 V, conectado

em estrela, supre carga nominal com fator de potência de 0.707 em atraso.

As reatâncias por fase são Xd = 2Xq = 4. Desprezando-se a resistência de

armadura, determine:

a) Ângulo de carga;

b) Potência desenvolvida devido à saliência.

8) Um gerador síncrono de pólos salientes, trifásico, 440 V, estrela, opera com

ângulo de carga de 20° elétricos, desenvolvendo potência de 36 KW. Os

parâmetros da máquina são:

Xd = 2.5; Xq = 5; R = 0.

Calcule a regulação de tensão. 9) Um gerador síncrono de pólos salientes 100 KVA, 400 V, estrela, trabalha à

plena carga com fp 0.8 em avanço. Se Xd = 2Xq = 1.1/fase e Ra

desprezível. Calcule:

a) Regulação de tensão;

b) Ângulo de carga;

c) Potência desenvolvida.


117

8. Bibliografia

[1] Diniz, Genésio. “Apostila de Acionamentos Elétricos”.

[2] AE Fitzgerald; Kingsley C.; Kusko, Alexander. “Máquinas Elétricas – 6ª

edição”.

[3] McPherson, George; Laramore, Robert. “An Introduction to Electrical

Machines and Transformers”.

[4] Novotny, D.W.; Lipo, T. A. "Vector Control and Dynamics of AC Drives"

[5] Caminha, M. W. “Estratégia de Controle de Velocidade do Motor de

Indução” – Mestrado Engenharia Elétrica UFMG, pp 138, Belo Horizonte,

1989.

[6] Anderson, Paul M. “Analysis of Faulted Power Systems”

[7] Boldea, I. ; NASAR, S. A. “Vector Control of AC Drives” – CRC Press, pp

237, Florida, 1992.

[8] Bose, B. K. “Power Eletronic and Variable Frequency Drives: Technology

and Aplications” – IEEE Press, pp 640, New York ,1996.

[9] Kazmierkowski, M. P.; Tunia, H. “Automatic Control of Converter Fed

Drives” – Polish Scientific Publishers PWN, pp 559, Warszawa, Poland

1994.

[10] Leonard, W. “Control Electric Drives” – Springer-Verlog Berlin Hudelberg,

pp Germany 1996.

[10] JMD Murphy & FG Turnbull, “Power Electronic control of AC motors”.

[11] Synchronous Machines

Documents

UnilesteMG – Centro Universitário do Leste de Minas