unina.itwpage.unina.it/agodemar/DSV-DQV/sdqv_equazioni_moto_linearizzat… · Created Date: 3/11/2007 5:14:48 PM

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2007

CopyrightA.DeMarco

Universita degli Studi di Napoli

“Federico II”

Dipartimento di Progettazione Aeronautica

Agostino De Marco

Appunti del corso di

STABILITA DINAMICA E QUALITA DI VOLO

Draft 2007

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Indice

7 Piccole perturbazioni del moto di un velivolo

7.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §7-17.2 Linearizzazione delle equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §7-2

7.2.1 Condizioni di trim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §7-77.2.2 Relazioni cinematiche linearizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §7-8

7.3 Azioni aerodinamiche linearizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §7-97.3.1 Derivate aerodinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §7-97.3.2 Derivate rispetto alle velocita lineari in assi velivolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . §7-127.3.3 Perturbazioni delle azioni esterne in assi velivolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §7-14

7.4 Formulazione linearizzata (Draft) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §7-177.4.1 Moto longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §7-197.4.2 Moto latero-direzionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §7-21

Bibliografia capitolo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §7-22

i

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Capitolo 7

Piccole perturbazionidel moto di unvelivolo

7.1 Generalita

Come si e visto, alla base dell’analisi e della simulazione del moto vario di un velivolo c’e il suo modello

matematico che comprende anche l’insieme dei modelli dei sottosistemi che lo compongono. Anche se

in prima istanza esso puo essere considerato come un corpo rigido in moto in un riferimento inerziale,

si pensi che nella realta dei fatti un velivolo non e a rigore un solido indeformabile ne si puo ignorare

il fatto che esso contenga dei sottosistemi articolati e di una certa complessita come i propulsori

e le superfici di governo. Inoltre le forze ed i momenti esterni che agiscono sul veicolo sono delle

funzioni non semplici della configurazione e del moto.

Cio e vero in particolare per le azioni aerodinamiche. Esse possono essere considerate note

se in qualche modo si conoscono i valori istantanei della velocita del vento relativo e degli angoli

d’assetto, ma solo con una certa approssimazione. Il grado di dettaglio necessario a determinarne

l’entita e il tema dominante di qualsiasi formulazione delle equazioni del moto, che sia essa destinata

all’integrazione numerica nell’ambito di simulazioni non lineari o che sia piuttosto rivolta all’analisi di

piccole perturbazioni di moti di regime stabilizzati.

Una forma particolare delle equazioni del moto, che viene usata con successo fin dai primi

tentativi di formalizzazione ed analisi del problema del moto un velivolo, e quella che corrisponde ad

un modello linearizzato valido per piccole perturbazioni intorno ad una condizione di riferimento di volo

stabilizzato lungo una traiettoria rettilinea in ipotesi di terra piatta. Questa teoria fornisce delle

chiavi di lettura ed un insieme di informazioni quantitative di notevole importanza, consentendo l’analisi

ingegneristica di un gran numero di casi applicativi. Essa e lo strumento con cui viene studiata

la stabilita e la risposta a determinate azioni sui comandi di volo in tutti quei casi in cui sono

§7-1

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Piccole perturbazioni del moto di un velivolo - Linearizzazione delle equazioni del moto §7-2

ingegneristicamente accettabili le ipotesi di piccole perturbazioni. Ovviamente ci sono situazioni in cui

tale approccio presenta delle limitazioni e cio si verifica per tutti quei moti caratterizzati da ampie

variazioni delle variabili di stato o da assetti non piccoli e da effetti aerodinamici non lineari.

L’accuratezza con cui e possibile applicare la teoria delle piccole perturbazioni al moto di un

velivolo, e dunque la sua fortuna in campo ingegneristico, si dimostra comunque accettabile in un

ampio spettro di situazioni possibili. Cio e dovuto essenzialmente a due circostanze: (i) in molti casi

le azioni aerodinamiche conservano effettivamente una dipendenza lineare dalle variabili di stato e (ii)

i moti perturbati anche di una certa ampiezza, non evidentemente infinitesima, corrispondono tuttavia

all’effetto combinato di piccole perturbazioni delle velocita lineari ed angolari del velivolo.

7.2 Linearizzazione delle equazioni del moto

Verranno in seguito linearizzate le equazioni complete del moto dell’aeromobile espresse nel sistema di

assi velivolo. Le equazioni generali della traslazione del baricentro sono

Wg

(u + q w − r v

)= XG + XA + XT

Wg

(v + r u − p w

)= YG + YA + YT

Wg

(w + p v − q u

)= ZG + ZA + ZT

(7.1)

avendo indicato con XG , XA , XT , rispettivamente le componenti secondo l’asse velivolo longitudinale

delle azioni dovute alla gravita (G), alle azioni aerodinamiche (A) ed alle azioni propulsive (T) ed

analogamente i contributi alle altre componenti della forza totale agente sul velivolo.

Le equazioni alla rotazione sono invece date dalle

Ix p − Izx(r + p q

)−(Iy − Iz

)q r = ℓ

Iy q − Izx(r2 − p2

)−(Iz − Ix

)r p = m

Iz r − Izx(p + q r

)−(Ix − Iy

)p q = n

(7.2)

Inoltre, le equazioni cinematiche ausiliare che forniscono la variazione dell’orientamento (Gimble

Equations) sono le seguenti

φ = p +(q cosφ + r cosφ

) sin θcos θ

θ = q cosφ − r sinφψ =

(q sinφ + r cosφ

)1cos θ

(7.3)

A. De Marco - Appunti di Stabilita Dinamica e Qualita di Volo

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che vengono accoppiate alle

xGe

yGe

zGe

=[Leb]·

u

v

w

(7.4)

equazioni che descrivono la traiettoria del baricentro nel sistema inerziale solidale alla terra.

Ci si riferisce adesso ad una condizione di equilibrio, volo stazionario, intorno alla quale si intende

linearizzare le equazioni del moto. Per essa, indicata nel seguito con il pedice ( )0 , le derivate temporali

delle incognite fondamentali sono nulle e si ha

Wg

(q0 w0 − r0 v0

)= XG0 + XA0 + XT0

Wg

(r0 u0 − p0 w0

)= YG0 + YA0 + YT0

Wg

(q0 v0 − q0 u0

)= ZG0 + ZA0 + ZT0

(7.5)

−Izx p0 q0 −(Iy − Iz

)q0 r0 = ℓA0 + ℓT0

−Izx(r20 − p20

)−(Iz − Ix

)r0 p0 = mA0 + mT0

−Izx q0 r0 −(Ix − Iy

)p0 q0 = nA0 + nT0

(7.6)

I ratei di variazione degli angoli di Eulero nelle condizioni di equilibrio considerate sono dunque

φ0 = p0 +(q0 cosφ0 + r0 cosφ0

) sin θ0cos θ0

θ0 = q0 cosφ0 − r0 sinφ0ψ0 =

(q0 sinφ0 + r0 cosφ0

)1cos θ0

(7.7)

mentre le equazioni della traiettoria, valutando la matrice di trasformazione nelle condizioni iniziali,

diventano

xGe0 = u0 cos θ0 + v0 sin θ0 sinφ0 + w0 sin θ0 cosφ0

yGe0 = v0 cosφ0 − w0 sinφ0zGe0 = −u0 sin θ0 + v0 cos θ0 sinφ0 + w0 cos θ0 cosφ0

(7.8)

Allo scopo di linearizzare le equazioni del moto si suppone che le variabili fondamentali possano

essere scritte come

u = u0 + ∆u , v = v0 + ∆v , w = w0 + ∆w

p = p0 + ∆p , q = q0 + ∆q , r = r0 + ∆r(7.9)

Nel seguito si adoperera un cambio di notazione. Come e abitudine diffusa in letteratura,

nel contesto della trattazione delle equazioni linearizzate si indichera con lettera minuscola la

perturbazione della generica grandezza, ad esempio u al posto di ∆u , v al posto di ∆v e cosı via. Si

denoteranno invece con lettera maiuscola i valori delle variabili corrispondenti alle condizioni equilibrate


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iniziali, ad esempio U0 invece che u0 , V0 invece che v0 e cosı via. Analogamente si fara per i valori

iniziali Φ0 , Θ0 , Ψ0 , e Φ0 , Θ0 , Ψ0 . Cio che interessa nello studio delle equazioni linearizzate e, come si

intuisce, l’andamento nel tempo (time history) delle perturbazioni delle variabili fondamentali, piuttosto

che il valore totale, dato banalmente dalla sovrapposizione

U0 + u , V0 + v , W0 + w

P0 + p , Q0 + q , R0 + r(7.10)

Con questa simbologia ha senso indicare il valore totale della generica variabile, somma di quello iniziale

e della perturbazione istantanea, con una lettera maiuscola senza pedice, ad esempio U = U0 + u ,

V = V0 + v e cosı via. Dunque le lettere minuscole corrispondenti ai valori totali delle diverse variabili

del moto nelle equazioni scritte fino ad ora sono da sostitursi con le rispettive lettere maiuscole.

Per definizione di condizioni iniziali stazionarie si ha

dU0dt=dV0dt=dW0dt= 0 (7.11)

Sostituendo le (7.10) nelle equazioni complete (7.1) e tenendo conto delle (7.5) si ottengono le

equazioni alla traslazione linearizzate

Wg

(u + W0 q + Q0 w − R0 v − V0 r

)= ∆XG + ∆XA + ∆XT

Wg

(v + U0 r + R0 u − P0 w − W0 p

)= ∆YG + ∆YA + ∆YT

Wg

(w + V0 p + P0 v − Q0 u − U0 q

)= ∆ZG + ∆ZA + ∆ZT

(7.12)

nelle quali alcuni termini infinitesimi di ordine superiore sono stati trascurati (qw , rv , e tutti gli altri

prodotti di perturbazioni detti termini di secondo ordine). A secondo membro delle (7.12) compaiono

le perturbazioni delle azioni gravitazionale, aerodinamica e propulsiva dovute al moto perturbato. Ad

esempio i termini di natura aerodinamica sono da intendersi come

∆XA = XA − XA0 , ∆YA = YA − YA0 , ∆ZA = ZA − ZA0 (7.13)

Analogamente si intenderanno le perturbazioni delle altre componenti di forza.

Lo stesso modo di procedere applicato alle (7.2) porta alle equazioni alla rotazione linearizzate

Ix p − Izxr − Izx(P0 q + Q0 p

)−(Iy − Iz

)(Q0 r + R0 q

)= ∆ℓA + ∆ℓT

Iy q − Izx(2 R0 r − 2 P0 p

)−(Iz − Ix

)(R0 p + P0 r

)= ∆mA + ∆mT

Iz r − Izx p + Izx(Q0 r + R0 q

)−(Ix − Iy

)(P0 q + Q0 p

)= ∆nA + ∆nT

(7.14)

Senza perdere di generalita e possibile semplificare le equazioni della traiettoria del baricentro e


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dell’orientamento assumendo un valore iniziale nullo dell’angolo di rotta, Ψ0 = 0. Nelle corrispondenti

espressioni, in cui compariranno i valori istantanei degli angoli di Eulero(Φ0 + φ

),(Θ0 + θ

)e ψ ,

anch’essi nella forma di perturbazioni sovrapposte ai valori di equilibrio, sara possibile ritenere valide

le tipiche approssimazioni delle funzioni trigonometriche

cos(Φ0 + φ

)≃(cosΦ0

)·1 − φ sinΦ0 , . . . , sin

(Θ0 + θ

)≃ sinΘ0 + θ cosΘ0 , ecc. (7.15)

potendo approssimare ad esempio cosφ ≃ 1, sin θ ≃ θ . Ne consegue che, esplicitando la matrice

di trasformazione[Lbe]nel prodotto

[Lbe]· We , si ottengono le perturbazioni delle componenti

dell’azione del peso in assi velivolo

∆XG = −Wg(cos θ0

)θ

∆YG = +Wg[−(sin θ0 sinΦ0

)θ +(cos θ0 cosΦ0

)φ]

∆ZG = +Wg[−(sin θ0 cosΦ0

)θ −(cos θ0 sinΦ0

)φ]

(7.16)

dalle quali si riconosce il solo contributo delle sole perturbazioni dell’angolo di elevazione e dell’angolo

di inclinazione laterale.

La linearizzazione delle equazioni di trasformazione dell’orientamento risulta agevole se le (7.3) si

scrivono nella forma matriciale

1 0 − sin(Θ0 + θ

)

0 cos(Φ0 + φ

)cos(Θ0 + θ

)sin(Φ0 + φ

)

0 − sin(Φ0 + φ

)cos(Θ0 + θ

)cos(Φ0 + φ

)

·

Φ0 +φ

Θ0 +θ

Ψ0 + ψ

=

P0 + p

Q0 + q

R0 + r

(7.17)

dove si riconosce la matrice[M]espressa in termini delle perturbazioni degli angoli di Eulero. Si

consideri ad esempio la prima delle (7.17)

(Φ0 +φ

)− sin

(Θ0 + θ

)(Ψ0 + ψ

)= P0 + p

Se si operano i prodotti e si applicano le approssimazioni trigonometriche (7.15), trascurando i termini

di ordine superiore e tenendo conto delle identita (7.7) valide in condizioni di equilibrio, si ottiene

−ψ sinΘ0 +φ = p + Ψ0(cosΘ0

)θ

Questo modo di procedere, esteso alle altre due equazioni, permette di arrivare ad un’approssimazione


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delle (7.17) che puo essere scritta in forma matriciale come

1 0 −SΘ00 CΦ0 CΘ0SΦ0

0 −SΦ0 CΘ0 CΦ0

·

φ

θ

ψ

=

p

q

r

+

0 Ψ0 CΘ0 0

−Ψ0 CΘ0 CΦ0 + Θ0 SΦ0 −Ψ0 SΘ0SΦ0 0Ψ0 CΘ0SΦ0 + Θ0 CΦ0 −Ψ0 SΘ0 CΦ0 0

·

φ

θ

ψ

(7.18)

La (7.18) puo scriversi in maniera compatta come

[C]· x =

[A]· x +

[B]· u con x =

φθψ

ed u =

pqr

(7.19)

essendo[B]=[I]e[C]ed[A]le matrici che contengono i termini linearizzati. Dall’inversione

della[C]e dalla moltiplicazione a sinistra per il secondo membro della (7.19) si ottiene dopo alcuni

passaggi

φ

θ

ψ

=

(Q0CΦ0 − R0SΦ0

)1CΘ0

(Q0SΦ0 + R0CΦ0

) SΘ0C2Θ0

0

−(Q0SΦ0 + R0CΦ0

)0 0

(Q0CΦ0 − R0SΦ0

) SΘ0CΘ0

(Q0SΦ0 + R0CΦ0

)1C2Θ0

0

·

φ

θ

ψ

+

0SΦ0CΘ0

CΦ0CΘ0

0 CΦ0 −SΦ01

SΦ0SΘ0CΘ0

CΦ0SΘ0CΘ0

·

p

q

r

(7.20)

La (7.20) e una equazione matriciale del tipo: x =[A]· x +

[B]· u , in cui gli elementi

delle matrici che compaiono nelle matrici[A]e[B]non dipendono dalle derivate Ψ0 e Θ0 poiche nei

passaggi si e tenuto conto delle (7.7).

Le equazioni della traiettoria del baricentro vengono linearizzate seguendo un procedimento analogo.

Se si assume che le derivate temporali delle coordinate istantanee del centro di massa del velivolo

nel riferimento fisso abbiano la forma

XeG = XeG0 + xeG , YeG = YeG0 + yeG , ZeG = ZeG0 + zeG (7.21)


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e si va a linearizzare le (7.4) tenendo conto delle condizioni di equilibrio si ottiene

xeG

yeG

zeG

=

CΘ0 SΘ0SΦ0 SΘ0 CΦ0

0 CΦ0 −SΦ0−SΘ0 CΘ0SΦ0 CΘ0 CΦ0

·

u

v

w

+

(V0SΘ0 CΦ0 − W0SΘ0 SΦ0

)−(U0SΘ0 − V0CΘ0 SΦ0 − W0CΘ0 CΦ0

)−(V0CΦ0 − W0SΦ0

)

−(V0SΦ0 + W0CΦ0

)0

(U0 CΘ0 + V0SΘ0 SΦ0 + W0SΘ0 CΦ0

)

−(V0CΘ0 CΦ0 − W0CΘ0 SΦ0

)−(U0CΘ0 + V0CΘ0 SΦ0 + W0SΘ0 CΦ0

)0

·

φ

θ

ψ

(7.22)

A questo punto si hanno a disposizione 12 equazioni linearizzate che descrivono il moto perturbato

del velivolo a partire da una condizione di equilibrio stabilizzata. Le prime 6 equazioni date dalle (7.12)

e (7.14) permettono di integrare le perturbazioni delle variabili fondamentali. Le rimanenti 6 equazioni

ausiliarie date dalle (7.20) e (7.22) permettono di integrare le perturbazioni dell’orientamento e della

traiettoria del velivolo nel riferimento fisso. Restano da specificare le espressioni delle perturbazioni

delle azioni aerodinamiche e propulsive. Quelle corrispondenti all’azione del peso sono date dalle (7.16).

7.2.1 Condizioni di trim

E istruttivo osservare che le equazioni cardinali delle forze e dei momenti (7.1) e (7.2) che reggono il

moto vario di un velivolo possono essere linearizzate utilizzando direttamente la loro forma vettoriale.

Inoltre, assumendo valide delle particolari condizioni di equilibrio iniziali che chiameremo condizioni di

trim si perviene ad una formulazione notevole delle equazioni linearizzate.

Posto infatti, con evidente significato dei simboli

~VG = ~V0 +~v ~Ωb = ~Ω0 + ~ω

~F = ~F0 + ∆~F ~MG = ~M0 + ∆~M(7.23)

e sostituendo nelle equazioni del generali del moto, si ottiene

Wg

(vG +

[Ω0]· v +

[ω]· V0

)= ∆F (7.24)

[I]· ω +

[Ω0]·([

I]· ω

)+[ω]·([

I]· Ω0

)= ∆M (7.25)

dove si riconoscono gli operatori tilde che esprimono il prodotto vettoriale con componenti nel sistema

di assi velivolo. Le (7.24)-(7.25) sono ricavabili trascurando dei termini del secondo ordine come

Wg ~ω ∧~v ed

[ω]·([I]· ω

)e tenendo conto del fatto che nelle condizioni iniziali si verificano le


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identita di equilibrioWg

[Ω0]· V0 = F0 (7.26)

[Ω0]·([

I]· Ω0

)= M0 (7.27)

A questo punto si definisce condizione di trim una condizione di volo iniziale di volo rettilineo

orizzontale stabilizzato, con ali livellate, vettore velocita appartenente al piano di simmetria del velivolo

ed angolo di imbardata nullo. In tali condizioni si ha

~Ω0 = 0 , Φ0 = Ψ0 = 0 ,(~V ·~b

)0≡ V0 = 0 (7.28)

la prima delle quali implica anche che P0 = Q0 = R0 = 0. La condizione di volo orizzontale puo essere

anche generalizzata ad una di volo rettilineo con un angolo di rampa stabilizzato iniziale non nullo

Γ0 = Θ0 6= 0. Per le condizioni di trim (7.28) le equazioni linearizzate (7.24)-(7.25) si riducono alleseguenti

Wg

(vG +

[ω]· V0

)= ∆F (7.29)

[I]· ω = ∆M (7.30)

Si noti come le (7.29) e (7.30) rappresentino delle particolarizzazioni delle (7.12) e (7.14), rispettiva-

mente. Queste ultime sono chiaramente da utilizzarsi per lo studio delle piccole perturbazioni di moti

equilibrati ma su traiettoria iniziale non rettilinea come, ad esempio, una richiamata o una virata

stabilizzate.

7.2.2 Relazioni cinematiche linearizzate

Per le condizioni di trim suddette le trasformazioni cinematiche ausiliarie (7.20) diventano

φ

θ

ψ

=

0 0 1CΘ0

0 1 0

1 0SΘ0CΘ0

·

p

q

r

(7.31)


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Piccole perturbazioni del moto di un velivolo - Azioni aerodinamiche linearizzate §7-9

ed infine le equazioni del moto del baricentro linearizzate diventano

xeG

yeG

zeG

=

CΘ0 0 SΘ0

0 1 0

−SΘ0 0 CΘ0

·

u

v

w

+

0 −U0SΘ0 + W0CΘ0 0

−W0 0 U0CΘ0 + W0SΘ0

0 −U0CΘ0 − W0SΘ0 0

·

φ

θ

ψ

(7.32)

Nelle (7.32) si sono appositamente riportati i termini in cui compare W0 dal momento che esse sono

valide anche per moti inizialmente stabilizzati su traiettorie rettilinee non orizzontali, cioe con angolo

di rampa iniziale Γ0 = tan−1(W0/U0

)non nullo.

7.3 Azioni aerodinamiche linearizzate

Si osservi che e soprattutto l’ingrediente aerodinamico che distingue questa particolare formulazione

della teoria delle piccole perturbazioni da quelle applicabili in altre branche della meccanica. In

questa parte si andra ad analizzare il ruolo delle diverse grandezze aerodinamiche nella formulazione

linearizzata mettendo in evidenza la necessita di ricorrere in definitiva all’uso di coefficienti aerodi-

namici reperibili, a seconda delle applicazioni, da stime numeriche o semiempiriche e dai risultati di

sperimentazioni in galleria del vento o di volo.

7.3.1 Derivate aerodinamiche

Quando interessa studiare un moto dato da piccole perturbazioni intorno a delle condizioni di volo

stabilizzate e possibile pensare di ottenere analiticamente le perturbazioni delle azioni aerodinamiche

di equilibrio attraverso le cosiddette derivate aerodinamiche o derivate di stabilita.

Le forze ed i momenti aerodinamici sono, a rigore, dei funzionali delle variabili di stato. Esse cioe

sono delle quantita che dipendono dall’aspetto delle funzioni u(t), v(t), . . . , p(t), p(t), e cosı via, in un

dato intervallo di variazione della variabile indipendente.

Si consideri ad esempio il valore istantaneo L(t) della portanza di un’ala che percorre un moto

vario ad angolo d’attacco variabile nel tempo, α(t). Dal momento che (i) l’ala possiede una scia

vorticosa, (ii) che quest’ultima produce un campo di velocita indotte che ha effetti anche nella

posizione stessa occupata dall’ala a partire dall’istante considerato, (iii) che in generale, specialmente

ad alte incidenze, sono presenti dei fenomeni di isteresi aerodinamica nei processi di separazione

della vena fluida, si puo concludere che il campo aerodinamico che globalmente determina l’entita della


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portanza in un qualsiasi istante dipende effettivamente non solo dal valore istantaneo di α ma, a

rigore, dall’intera storia degli assetti fino a quello considerato. Questa relazione funzionale e espressa

matematicamente dalla

L(t) = L α(τ) , per −∞ < τ ≤ t (7.33)

Pertanto se la funzione α(τ) e esprimibile in un intorno sinistro del valore t come somma della

serie di Taylor

α(τ) = α(t) + α(t)(τ − t) + 12α(t)(τ − t)2 + . . . (7.34)

la dipendenza (7.33) puo essere pensata come una funzione degli infiniti valori α(t), α(t), α(t), . . . ,

secondo la

L(t) = L(α, α, α , . . .

)(7.35)

e la portanza in questo caso e determinata dall’angolo d’attacco e da tutte le sue derivate temporali

all’istante t . Cio posto, una successiva espansione in serie della funzione L data dalla (7.35), intorno

ai valori α(0), α(0), α(0), . . . che le variabili indipendenti assumono per t = 0, porta alla seguente

espressione della perturbazione della portanza per istanti prossimi a quello iniziale

∆L(t) ≡ L(t) − L(0) = Lα∆α +1

2Lαα (∆α)

2 + . . .+

+ Lα∆α +1

2Lαα (∆α)

2 + . . . (7.36)

In questa somma dove si e posto, ad esempio, Lα ≡(∂L/∂α

)α=0, compaiono in generale anche prodotti

incrociati e potenze degli incrementi ∆α , ∆α , ∆α , . . . e cosı via.

L’assunzione classica delle moderne teorie aerodinamiche consiste nell’accettare che la variazione

di una forza o di un momento aerodinamico sia esprimibile attraverso un’espansione del tipo (7.36)

anche quando, ad esempio nel caso della portanza come funzione dell’angolo d’attacco, la variazione

∆α(t) puo non essere una funzione analitica cosı come richiesto invece dal fatto che α(t) nella (7.36)

e la somma della serie (7.34). In pratica si accetta l’espressione convenzionale

∆L(t) = Lα∆α + Lα∆α + Lα∆α + . . . (7.37)

nella quale le derivate come Lα , Lα e cosı via, prendono il nome di derivate di stabilita o piu in

generale di derivate aerodinamiche. In molti casi di un’espansione come la (7.37) vengono considerati

non nulli solo i primi termini, se non soltanto il primo. In alcuni casi l’esperienza suggerisce di

conservare i termini fino a quelli con derivata aerodinamica rispetto al rateo di variazione della

variabile indipendente, come ad esempio Lα , ed a volte anche quelli con derivata seconda del tipo12Lαα (∆α)2 ≡ Lα2 (∆α)2 . Cio consente di estendere l’applicabilita della linearizzazione (7.37) e delle

equazioni del moto a regimi in cui le caratteristiche aerodinamiche e propulsive sono non lineari.

Ugualmente efficace a tale scopo e assumere per assetti non piccoli che le derivate aerodinamiche


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siano non costanti, ponendo ad esempio Lα = Lα(α).

0.5

1.0

1.5

−0.5

5 10 15 20−5 α [deg]

CL

post-stallo

pre-stallo

aerodinamica stazionaria

aerodinamica instazionaria

Figura 7.1 Esempio di fenomeno tipico dell’aerodinamica instazionaria detto stallo dinamico.Le curve riportate rappresentano il coefficiente di portanza complessivo di unvelivolo del tipo Cessna C172 Skyhawk. Quando l’assetto del velivolo cresce neltempo, in fase pre-stallo la curva del CL e quella superiore, con valoriistantanei maggiori di quelli tipici corrispondenti a medesimi assetti maraggiunti in modo quasi-statico. Quando l’assetto decresce a partire da unadata condizione post-stallo la curva del CL e quella inferiore.

Si tenga presente che quella su esposta corrisponde ad una prassi ben consolidata della teoria

delle piccole perturbazioni applicata al moto dei velivoli che si fonda su una motivazione di tipo

matematico. Essa origina formalmente dall’espansione (7.34) che porta alla dipendenza funzionale

(7.35). Il fatto che la (7.36) sia comunque accettata anche se rigorosamente non consentita e

confortato dai soddisfacenti risultati che la teoria esprime, se comparati con i dati sperimentali. In

fig. 7.1 e riportato un fenomeno tipico dell’aerodinamica instazionaria che costituisce un esempio in

cui, per alcune fasi di volo, non vale α(t) un’espansione del tipo (7.34).

Dal punto di vista dell’interpretazione fisica le derivate di stabilita hanno un significato chiaro

sebbene per alcune di esse e necessaria una certa cautela e vanno comunque ricondotte alla loro

definizione matematica. Si pensi ad esempio alla possibile interpretazione della due derivate Fu o Fu

di una generica azione aerodinamica F . Per la prima e abbastanza intuitivo ricondursi al rapporto trala variazione di F ed una variazione della variabile indipendente u , a partire dalla condizione u = 0 eper variazioni nulle delle rimanenti variabili,

Fu ≡(∂F∂u

)

u = 0, δv = δw = δu = . . . = 0


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Per la seconda invece

Fu ≡(∂F∂u

)

u = 0, δu = δv = δw = . . . = 0

si dovrebbe immaginare una variazione della F in corrispondenza di un incremento di u che al tempostesso lasci invariato il valore della u . Si intuisce che cio e di difficile interpretazione fisica.

La ricerca nel campo dell’aerodinamica si e concentrata negli ultimi decenni nel tentativo di

fornire, attraverso la teoria e la sperimentazione, gli strumenti piu adeguati per la determinazione

delle derivate aerodinamiche necessarie alle applicazioni di meccanica del volo. Una significativa mole

di dati e risorse e reperibile oggi dalla letteratura specialistica e raccolta in libri di testo classici

come [7.1] o [7.3].

7.3.2 Derivate rispetto alle velocita lineari in assi velivolo

La linearizzazione delle equazioni del moto, come si vede dalle (7.29)-(7.30), richiede la valutazione

degli incrementi delle forze gravitazionali e delle forze e dei momenti aerodinamici e propulsivi. Le azioni

del peso linearizzate sono gia state ricavate ed espresse tramite le (7.16) e verranno considerate

a parte perche non dipendenti dall’orientamento del vento relativo al velivolo. Le azioni aerodinamiche

linearizzate cosı come quelle propulsive saranno ricavate in termini delle derivate aerodinamiche delle

varie componenti di forza e momento rispetto a variabili come le tre componenti U , V e W della

velocita lineare in assi velivolo. Tali derivate saranno messe in relazione con le derivate aerodinamiche

classiche, cioe con variazioni rispetto a variabili come gli angoli d’assetto e la velocita della corrente.

Quando si studiano e si misurano sperimentalmente le azioni aerodinamiche e conveniente

esprimere forze e momenti in termini

• della velocita del vento relativo V∞, ovvero della pressione dinamica q∞ = 12ρV2∞ ,

• di alcune grandezze geometriche, in particolare una superficie Sref ed una lunghezza lref di

riferimento opportunamente scelte,

• e degli angoli d’attacco α e derapata β .

Le espressioni convenzionali della generica forza FA e del generico momento MA di natura

aerodinamica sono date come e noto dalle

FA = q∞ Sref CF , MA = q∞ Sref lref CM (7.38)

Riguardo ai momenti, si sottintende che essi, quando non specificato altrimenti, sono da considerarsi

dei momenti intorno ad assi baricentrali.

In ipotesi di aria calma, cioe in assenza di moti di regioni dell’atmosfera rispetto alla terra, la


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velocita del vento relativo e anche la velocita di avanzamento del baricentro del velivolo

V∞ =√U2 + V 2 + W2 (7.39)

Da essa dipendono esplicitamente FA ed MA tramite la pressione dinamica ed implicitamente tramite

i coefficienti aerodinamici CF e CM , funzioni dei numeri di Mach M∞ = V∞/a∞ e di Reynolds

Re∞ = V∞ lref/ν∞ , con a∞ la velocita del suono ed ν∞ la viscosita cinematica della corrente.

I coefficienti aerodinamici CF e CM dipendono inoltre dagli angoli d’attacco e derapata

α = tan−1(W

U

)≃(W

U

)(7.40)

β ≃ tan−1(V

U

)≃ sin−1

(V√

U2 + V 2 + W2

)≃(V

U

)(7.41)

Si puo dunque pensare ad FA o MA come ad una funzione F(V∞ , α, β

), le cui derivate rispetto alle

componenti di velocita U , V e W sono deducibili dall’applicazione della regola di derivazione di funzioni

composte. Per variazioni di velocita assiale si ha

∂F∂U=∂F∂V∞

∂V∞∂U+∂F∂α

∂α

∂U+∂F∂β

∂β

∂U(7.42)

In ipotesi di piccole perturbazioni le variazioni di velocita trasversale V non danno luogo a variazioni di

angolo d’attacco, ∂α∂V = 0, e si ha dunque

∂F∂V=∂F∂V∞

∂V∞∂V+∂F∂β

∂β

∂V(7.43)

Analogamente, le variazioni di velocita trasversale W non danno luogo a variazioni di angolo di

derapata,∂β∂W = 0, e si ha

∂F∂W=∂F∂V∞

∂V∞∂W+∂F∂α

∂β

∂W(7.44)

Dalle (7.39), (7.40), (7.41) si deduce che

∂V∞∂W=

U√U2 + V 2 + W2

,∂V∞∂V=

V√U2 + V 2 + W2

,∂V∞∂W=

W√U2 + V 2 + W2

(7.45)

∂α

∂U≃ − W

U2,

∂α

∂V= 0 ,

∂α

∂W≃ 1U

(7.46)

∂β

∂U≃ − V

U2,

∂β

∂V≃ 1U,

∂β

∂W= 0 (7.47)

A questo punto si sceglie come riferimento solidale al velivolo il cosiddetto sistema di assi

stabilita Ts , del tutto simile al sistema di assi velivolo Tb , ma scelto in modo tale che in condizioni


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di equilibrio iniziali si abbia

Vs ≡

Us

Vs

Ws

=

U0

0

0

(7.48)

Per brevita ed anche per sottolineare che il sistema di assi stabilita e una particolare terna di assi

velivolo si continuera ad indicare le componenti di ~V in Ts con U , V e W . Il vantaggio di scegliere

un tale riferimento, illustrato in fig. 7.2, e quello di avere, per la (7.40), un valore nullo dell’angolo

d’attacco iniziale ed una conseguente semplificazione delle formule di derivazione (7.42), (7.43), (7.44).

Ed infatti, sostituendo in queste ultime le (7.45), (7.46) e (7.47) valutate nelle condizioni iniziali

(7.48) si ottiene∂V∞∂U= 1 (7.49)

∂α

∂W≃ ∂β

∂W≃ 1U0

(7.50)

∂V∞∂V=∂V∞∂W=∂α

∂U=∂β

∂U= 0 (7.51)

Tenendo conto delle espressioni cosı ricavate le (7.42), (7.43) e (7.44) diventano semplicemente

∂F∂U=∂F∂V∞

,∂F∂V=1

V∞

∂F∂β

,∂F∂W=1

V∞

∂F∂α

(7.52)

Le (7.52) permettono di concludere che le derivate delle azioni aerodinamiche rispetto alle tre variabili

indipendenti U , V e W , necessarie per la linearizzazione dei secondi membri delle equazioni del moto

del velivolo, sono direttamente collegate alle derivate aerodinamiche cosı come tipicamente determinate

nelle sperimentazioni in galleria del vento, ∂F∂V∞ ,∂F∂α ,

∂F∂β .

7.3.3 Perturbazioni delle azioni esterne in assi velivolo

Si prendano in esame le figg. 7.2 e 7.3. Nella prima sono mostrate le azioni aerodinamiche, propulsive

e gravitazionali in condizioni di trim, nella seconda e rappresentato il moto perturbato del velivolo nel

piano longitudinale xszs in un istante generico. In fig. 7.4 infine e rappresentato un generico istante

del cosiddetto moto perturbato latero-direzionale.

Dalla fig. 7.3 si deduce la seguente espressione matriciale delle componenti della forza e del

momento totali nel sistema di assi stabilita

F ≡ FA,T + W = 12ρV2∞Sw

CX

CY

CZ

+ T

cos µT

0

− sin µT

+W

− sinΘsinΦ cosΘ

cosΦ cosΘ

(7.53)


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orizzonte

verticale locale

xs

zs

Zero-Liftline

G

W

mT0

mA0

D0

L0

V0

traiettoria iniziale

T0

µTΘ0 ≡ Γ0

PT

Figura 7.2 Velivolo in condizioni iniziali di trim su traiettoria in salita. Gli assi di stabilitaxs , ys , zs sono assi velivolo definiti con riferimento a tale situazione enell’evoluzione futura subiranno eventualmente delle variazioni di orientamentoessendo solidali all’aeromobile.

MA,T =1

2ρV2∞Sw

bwCℓ

cwCm

bwCn

+ T

0

zT cos µT + xT sin µT

0

(7.54)

dove xT e zT sono le coordinate nel sistema di assi stabilita del punto di applicazione PT della spinta,

µT e l’angolo che essa, assunta simmetrica, forma con l’asse longitudinale xs ed infine Sw , bw e

cw sono la superficie, l’apertura e la corda media dell’ala. Il significato dei coefficienti aerodinamici

CX , CY , CZ , Cℓ , Cm , Cn e evidente. Essi esprimono in termini adimensionali le forze aerodinamiche

longitudinale XA , laterale YA e trasversale ZA , ed i momenti aerodinamici di rollio ℓA , di beccheggio

mA e di imbardata nA .

A sua volta la forza aerodinamica risultante puo essere generalmente scomposta con riferimento

agli assi aerodinamici cioe in portanza L , resistenza D e forza laterale al vento (cross force) C detta

anche devianza. Quelle che attengono alle perturbazioni nel piano longitudinale xszs , come si deduce

dalla fig. 7.3 dipendono dall’angolo d’attacco riferito agli assi stabilita, quindi dalle perturbazioni α di

quello iniziale. Quella che attiene invece al moto perturbato latero-direzionale, come si deduce dalla

fig. 7.4 dipende dall’angolo di derapata β . Il primo addendo della somma (7.53) si puo esprimere


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orizzonte

verticale locale

xs

zs

G

Θ

W

mA0 + ∆mA

α

D0 + ∆D

L0 + ∆L

α

Θ0 + γU = U0 + u w

~V~V0

traiettoria iniziale

T0 + ∆T

µT

Θ = Θ0 + ϑ

Figura 7.3 Condizioni del moto perturbato longitudinale al generico istante t .L’orientamento degli assi di stabilita xs , ys , zs ha seguito l’evoluzione delvelivolo. Le azioni aerodinamiche, L , D ed mA , e le azioni dovute alla propulsione,T ed mT , dipendono dalla perturbazione α dell’angolo d’attacco ovvero dalleperturbazioni di velocita u e w .

pertanto come

1

2ρV2∞Sw

CX

CY

CZ

=1

2ρV2∞Sw

CL sin α − CD cos αCY

−CL cos α − CD sin α

(7.55)

Nella seconda delle (7.55) si usa mantenere il coefficiente CY di forza trasversale (laterale al velivolo,

side force) anziche quello di forza laterale al vento CC . Si osservi che le due forze laterali sono

differenti. La forza laterale al vento C e quella che viene tipicamente misurata in sperimentazioni di

galleria del vento du modelli tridimensionali ed e chiaramente una forza ortogonale tanto alla portanza

quanto alla resistenza. La forza trasversale YA e invece la componente lungo l’asse velivolo yb o

ys della forza aerodinamica risultante. Quando si analizzano le piccole perturbazioni del moto di un

velivolo, in particolare quelle del moto latero-direzionale, e possibile approssimare la perturbazione ∆YA

come la proiezione della perturbazione ∆C lungo l’asse velivolo ys . Come si vede dalla fig. 7.4 i rispettivi

coefficienti aerodinamici sono legati a mezzo della: CY = −CC cos β , in cui compare l’angolo di derapata.In tale approssimazione si trascura il contributo alla ∆YA della perturbazione di resistenza, ∆D sin β .

Per un moto vario qualunque del velivolo, la relazione approssimata tra devianza e forza trasversale


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Piccole perturbazioni del moto di un velivolo - Formulazione linearizzata (Draft) §7-17

orizzontale

xsys

zs

β∆YA∆C

G U ≈ U0

v~s~V

~V0traiettoria iniziale

xeorizzontale

ψ < 0

Θ0 ≡ Γ0Θ ≈ Θ0

ψφ

ye

zeverticale locale

p, ∆ℓA

r, ∆nA

Figura 7.4 Condizioni del moto perturbato latero-direzionale al generico istante t . Leazioni aerodinamiche sono la forza laterale (cross force) ∆C , il momento dirollio ∆ℓA e quello di imbardata ∆nA . Alla componente di forza ∆YA siaggiungono le componenti dovute alla spinta, ∆YT , ed al peso, ∆YG . Analogodiscorso vale per i momenti totali di rollio ed imbardata. Tali perturbazionidipendono dalla perturbazione v della componente trasversale di velocita linearee dalle perturbazioni p ed r delle componenti della velocita angolare del velivolo.

deve essere sostituita con quella piu generale che deriva dalle trasformazioni tra le componenti di un

vettore in assi aerodinamici ed assi velivolo.

Inserire relazioni per ∆Xj, ∆Yj, ∆Zj, ∆Lj, ∆Mj, ∆Nj, con j = u, v, w, p, q, r, w, . . . ed introdurre la

formulazione semplificata classica come particolarizzazione di quella fin qui discussa.

7.4 Formulazione linearizzata (Draft)

[ILON]xLON =

[ALON

]· xLON +

[BLON]· uLON (7.56)

[ILD]xLD =

[ALD]· xLD +

[BLD]· uLD (7.57)


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u

Fxv

Fxw

Fxp

Fxq

Fxr

Fx

no

u

Fyv

Fy

no

w

Fyp

Fy

no

qFy

r

Fy

u

Fzv

Fzw

Fzp

Fzq

Fzr

Fz

no

uℓ

v

ℓ

no

w

ℓp

ℓ

no

qℓ

r

ℓ

u

m

no

v

m

w

mp

mq

m

r

m

no

u

n

v

n

no

w

np

n

no

qn

r

n

Figura 7.5 Tipici andamenti delle azioni aerodinamiche. Le derivate corrispondono allederivate di stabilita.


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7.4.1 Moto longitudinale

V 0 0 0

0 (V − Zα) 0 00 −Mα 1 0

0 0 0 1

u/V

α

q

θ

=

V Xu Xα 0 −g cosΘ0VZu Zα (V + Zq) −g sinΘ0VMu Mα Mq 0

0 0 1 0

u/V

α

q

θ

(7.58)

+

XδeV

ZδeV − Zα

Mδe +MαZδeV − Zα

0

δe (7.59)


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Tabella 7.1 Derivate di stabilita dimensionali del moto longitudinale.

Derivata Descrizione Unita

Xu − qSmV

(2CD + MCDM

)s−1

XαqS

mV

(CL − CDα

)ms−2

Xα − qSmV

( c2V

)CD ˆα

ms−1

Xq − qSmV

( c2V

)CDq ms−1

Xδe − qSmV

CDδe ms−2

Zu − qSmV

(2CL + MCLM

)s−1

Zα − qSmV

(CD − CLα

)ms−2

Zα − qSmV

( c2V

)CL ˆα

ms−1

Zq − qSmV

( c2V

)CLq ms−1

Zδe − qSmV

CLδe ms−2

MuqSc

IyyVMCmM m−1s−1

MαqSc

IyyCmα s−2

MαqSc

Iyy

( c2V

)Cm ˆα

s−1

MqqSc

Iyy

( c2V

)Cmq s−1

Mδe

qSc

IyyCmδe s−2

Cξ ˆα=

∂Cξ

∂( αc2V

) Cξq =∂Cξ

∂( qc2V

) (7.60)

per ξ = D, L, m.


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7.4.2 Moto latero-direzionale

V 0 0 0

0 1 −Ixz/Ixx 00 −Ixz/Izz 1 0

0 0 0 1

β

p

r

φ

=

Yβ Yp (Yr − V) −g cosΘ0Lβ Lp Lr 0

Nβ Np Nr 0

0 1 0 0

β

p

r

φ

(7.61)

+

Yδa Yδr

Lδa LδrNδa Nδr

0 0

δa

δr

(7.62)


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Piccole perturbazioni del moto di un velivolo - Bibliografia capitolo 7 §7-22

Tabella 7.2 Derivate di stabilita dimensionali del moto latero-direzionale.

Derivata Descrizione Unita

YβqS

mVCYβ ms−2

YpqS

mV

( b2V

)CYp ms−1

YrqS

mV

( b2V

)CYr ms−1

YδaqS

mVCYδa ms−2

YδrqS

mVCYδr ms−2

LβqSb

IxxCℓβ s−2

LpqSb

Ixx

( b2V

)Cℓp s−1

LrqSb

Ixx

( b2V

)Cℓr s−1

LδaqSb

IxxCℓδa s−2

LδrqSb

IxxCℓδr s−2

NβqSb

IzzCnβ s−2

LpqSb

Izz

( b2V

)Cnp s−1

LrqSb

Izz

( b2V

)Cnr s−1

LδaqSb

IzzCnδa s−2

LδrqSb

IzzCnδr s−2

Cξp =∂Cξ

∂( pb2V

) Cξr =∂Cξ

∂( rb2V

) (7.63)

per ξ = Y, ℓ, n.

Bibliografia capitolo 7

[7.1] Roskam J., Airplane Flight Dynamics and Automatic Flight Controls, DARcorporation, 2001.


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Piccole perturbazioni del moto di un velivolo - Bibliografia capitolo 7 §7-23

[7.2] McCormick B. W., Aerodynamics, Aeronautics, and Flight Mechanics, John Wiley & Sons, 1979.

[7.3] Etkin B., Dynamics of Flight, Stability and Control, John Wiley & Sons, 1982.

[7.4] M. Calcara, Elementi di dinamica del velivolo, Edizioni CUEN, Napoli, 1988.

[7.5] Mangiacasale L., Flight Mechanics of a µ-Airplane, Edizioni Libreria CLUP, Milano, 1998.

[7.6] Phillips W. F., Mechanics of Flight, John Wiley & Sons, Inc., 2004.

[7.7] Schmidt L. V., Introduction to Aircraft Flight Dynamics, AIAA Education Series, 1998.

[7.8] Mengali G., Elementi di Dinamica del Volo con Matlab, Edizioni ETS, Pisa, 2001.

[7.9] Nelson R., Flight Stability and Automatic Control, McGraw-Hill, 1989.


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