UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MÉXICO

DOCENTE MARIA EUGENIA VEGA FLORES

GRUPO

EM-EMGEGA-1602-B1-001

GEOMETRÍA EUCLIDIANA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

NOMBRE DEL TRABAJO ACTIVIDAD 7

PROPIEDADES Y APLICACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA

FECHA: 17/08/2016

ALUMNO: GUILLERMO ESPINOSA RUIZ

MATRÍCULA: ES162001321

Contenido Investigación ........................................................................................................................................................................... 3

Círculo y circunferencia ....................................................................................................................................................... 3

Arco de la circunferencia ................................................................................................................................................. 3

Cuerda ............................................................................................................................................................................. 4

Diámetro.......................................................................................................................................................................... 4

Rectas y la circunferencia ................................................................................................................................................ 5

Figuras del círculo ............................................................................................................................................................ 6

Ángulos y arcos .................................................................................................................................................................... 7

Ángulo central ................................................................................................................................................................. 7

Ángulo inscrito................................................................................................................................................................. 8

Igualdad de ángulos y arcos ................................................................................................................................................ 8

Ángulos centrales y arcos ................................................................................................................................................ 8

Ángulos inscritos y arcos ................................................................................................................................................. 9

Ángulo inscrito y central .................................................................................................................................................. 9

Referencias ............................................................................................................................................................................ 10

Ejercicios ................................................................................................................................................................................ 11

Reflexión ................................................................................................................................................................................ 15

Investigación Círculo y circunferencia

Siguiendo con las ideas de Baldor (Baldor, 2008), podemos considerar las siguientes definiciones del círculo, y circunferencia y otros elementos relacionado.

La circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidista de otro punto llamado centro; los segmentos equidistantes se llaman radios.

Imagen tomada de http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/images/circle.gif

La circunferencia separa el plano en dos, considerando una región interior y una exterior; siendo el círculo el conjunto de los puntos de la circunferencia y los puntos de la región interior.

Arco de la circunferencia Es una porción de la circunferencia.

Interior

Exterior

Imagen tomada de http://app-prod-icarito.s3-us-west-1.amazonaws.com/wp-content/uploads/2010/08/01230137/668935.jpg

Cuerda Es el segmento de recta establecido entre dos puntos de la circunferencia, cada cuerda divide la circunferencia en dos arcos. Al menor de ellos se le denomina el arco correspondiente a la cuerda N.

Imagen tomada de http://matematica.cubaeduca.cu/medias/interactividades/Temas8vo/circunferenciaycirculo/res/Ma

t-I-08U2T1S1-03-cuerda.jpg

Diámetro Es la cuerda que pasa por el centro y siempre será equivalente a dos radios.

Imagen tomada de https://ma5alladeorion.files.wordpress.com/2012/07/diametro.jpg

Rectas y la circunferencia Baldor (Baldor,2008) establece las siguientes rectas asociadas a la circunferencia.

Secante A la recta que toca dos puntos de la circunferencia se le denomina secante.

Imagen tomada de http://www.wikimatematica.org/images/7/71/Recta_secante.png

Tangente A la recta que toca solamente en un punto a la circunferencia.

Imagen tomada de http://www.wikillerato.org/images/8/8d/Recta_tangente_circunferencia.png

Exterior Si la recta no toca a la circunferencia se considera que es una recta exterior.

Imagen tomada de http://narceaeduplastica.weebly.com/uploads/8/9/2/8/8928253/9658992.gif?212

Figuras del círculo Segmento circular El segmento circular se considera como el área o región comprendida entre una cuerda y su arco.

Imagen tomada de http://www.vitutor.net/2/1/images/121.gif

Sector circular A la región comprendida entre dos radios y el arco comprendido se le llama sector circular.

Imagen tomada de http://www.maspa.se/SPANSKA/Matematica4/Geometria/Circulos/Figuras/sektor.gif

Corona circular El área comprendida entre dos circunferencias céntricas se le llama corona circular.

Imagen tomada de https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/88/Annulus.svg/220px-

Annulus.svg.png

Trapecio circular Es la porción de plano limitada por dos circunferencias concéntricas y dos radios.

Imagen tomada de http://matematica.cubaeduca.cu/medias/interactividades/Temas8vo/223_C%C3%A1lculo_en_el_

c%C3%ADrculo_texto_base_web.publi/web/res/Mat-I-08U2T2S3-06.jpg

Ángulos y arcos Considerando a Hemmerling (Hemmerling, 1971) se establecen definiciones y relaciones con ángulos dentro de la circunferencia.

Ángulo central El ángulo central es aquel que tiene el vértice en el centro de la circunferencia y su arco es el comprendido entre los lados del ángulo central.

Imagen tomada de http://1.bp.blogspot.com/_xfuRldo3U3k/TGV0uTjIQGI/AAAAAAAAAC4/KZmyatQfvs0/s1600/geocabra.ggb.png

Ángulo inscrito El ángulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes.

Imagen tomada de http://2.bp.blogspot.com/_VDz3Avc-XGk/S-svSXKf5JI/AAAAAAAAAAY/2bxtSgVlvHo/s1600/20070926klpmatgeo_19.Ees.SCO.png

Igualdad de ángulos y arcos Continuando con Hemmerling (Hemmerling, 1971) se establecen criterios de igualdad entre ángulos inscritos, centrales y cuerdas.

Ángulos centrales y arcos Considerando una misma circunferencia o circunferencias congruentes podemos considerar que ángulos centrales iguales corresponden arcos iguales.

Si el arco ACB es un arco menor, entonces la magnitud del arco es igual a la medida del ángulo central correspondiente; considerando la amplitud del arco en grados y no su longitud.

Imagen tomada de http://www.aulafacil.com/uploads/cursos/756/editor/geometria390.jpg

Si arco 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴� es un arco mayor y arco 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴� es el arco menor correspondiente entonces la medida de 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴�= 360 – 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴�

Ángulos inscritos y arcos Continuando con Hemmerling, el ángulo inscrito será siempre la mitad de la medida del arco interceptado.

Imagen tomada de http://maspa.se/SPANSKA/Matematica4/Geometria/Circulos/Figuras/randvinkel.gif

Ángulo inscrito y central Considerando que el ángulo central es equivalente a la magnitud en grados de un arco, y el ángulo inscrito es la mitad de dicho arco, es posible indicar que la medida de un ángulo inscrito siempre será la mitad de la longitud del ángulo central mientras compartan el mismo arco interceptado.

Imagen tomada de http://www.profesorenlinea.cl/imagengeometria/angulos_circunferencia_image006.jpg

Referencias Baldor, J. A. (2008). Geometrıa y trigonometrıa. Mexico, D.F.: Grupo Editorial Patria.

Hemmerling, E. M. (1971). Geometria elemental. Mexico, D.F.: Editorial Limusa-Wiley

Ejercicios

Hipótesis

𝐴𝐴𝐴𝐴� = 60°

𝐴𝐴𝐴𝐴� = 104° 𝐴𝐴𝐴𝐴� = 80° Resultados Argumentos

∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 30°

El ángulo central es equivalente a la medida en grados del arco correspondiente.

El ángulo inscrito es equivalente a la mitad del ángulo central correspondiente al mismo arco.

Considerando que ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 60°, entonces ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 60°2

= 30°

∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 60° El ángulo central es equivalente a la medida en grados del

arco correspondiente. 𝐴𝐴𝐴𝐴� ≅ ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴

∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 104° El ángulo central es equivalente a la medida en grados del

arco correspondiente. 𝐴𝐴𝐴𝐴� ≅ ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐴𝐴𝐴𝐴� = 116° Considerando la cuerda AD, tenemos el arco menor 𝐴𝐴𝐴𝐴� y el

arco mayor correspondiente a 60°+104°+80°. 𝐴𝐴𝐴𝐴� = 360° − 244° = 116°

Hipótesis

𝐴𝐴𝐴𝐴� = 100°

𝐴𝐴𝐴𝐴� = 150° Resultados Argumentos

∠𝑎𝑎 = 75°

Teorema: El ángulo inscrito es equivalente a la mitad de la medida del arco correspondiente.

Considerando que 𝐴𝐴𝐴𝐴� = 150°, entonces ∠𝑎𝑎 = 150°2

= 75°

∠𝑏𝑏 = 50°

Teorema: El ángulo inscrito es equivalente a la mitad de la medida del arco correspondiente.

Considerando que 𝐴𝐴𝐴𝐴� = 100°, entonces ∠𝑏𝑏 = 100°2

= 50°

∠𝑐𝑐 = 55°

Teorema: La suma de ángulos internos de un triángulo es de 180°.

Considere ángulo a y ángulo b; 180 − 125 = 55°

∠𝑑𝑑 = 55° Teorema: ángulos opuestos por el vértice son congruentes

∠𝑒𝑒 = 50°

Teorema: El ángulo inscrito es equivalente a la mitad de la medida del arco correspondiente.

Considerando que 𝐴𝐴𝐴𝐴� = 100°, entonces ∠𝑒𝑒 = 100°2

= 50°

∠𝑓𝑓 = 75°

Teorema: El ángulo inscrito es equivalente a la mitad de la medida del arco correspondiente.

Considerando que 𝐴𝐴𝐴𝐴� = 150°, entonces ∠𝑓𝑓 = 150°2

= 75°

Hipótesis ∠𝑒𝑒 = 50° 𝐴𝐴𝐴𝐴� = 𝑥𝑥 ∠𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 = 65° 𝐴𝐴𝐴𝐴� = 𝑥𝑥 + 10° 𝐴𝐴𝐴𝐴� = 120°

Resultados Argumentos

1 ∠𝑎𝑎 = 60° Teorema: El ángulo inscrito es equivalente a la mitad de la medida del arco correspondiente. Considerando que 𝐴𝐴𝐴𝐴� = 120°, entonces ∠𝑎𝑎 = 120°

2= 60°

2 𝐴𝐴𝐴𝐴� = 30°

Teorema: El ángulo formado por dos cuerdas es equivalente a ½ de la suma del arco del ángulo y el arco del ángulo opuesto por el vértice.

∠𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 = 12

[𝐴𝐴𝐴𝐴� + 𝐴𝐴𝐴𝐴� ]; considere que ∠𝒆𝒆 es la mitad del arco interceptado, 𝑩𝑩𝑩𝑩� = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏° 65° = 1

2[100° + 𝐴𝐴𝐴𝐴� ]

130° = 100° + 𝐴𝐴𝐴𝐴� 𝐴𝐴𝐴𝐴� = 130° − 100° = 30°

3 ∠𝑏𝑏 = 15° Teorema: El ángulo inscrito es equivalente a la mitad de la medida del arco

correspondiente. Considerando que 𝐴𝐴𝐴𝐴� = 30°, entonces ∠𝑏𝑏 = 30°

2= 15°

4 X= 50°

La circunferencia es equivalente a 360°, el total de arcos es equivalente a 𝐴𝐴𝐴𝐴� = 𝑥𝑥 + 10°; 𝐴𝐴𝐴𝐴� = 100°; considere resultado 2; 𝐴𝐴𝐴𝐴� = 120°; 𝐴𝐴𝐴𝐴� = 30°; 𝐴𝐴𝐴𝐴� = 𝑥𝑥

Por lo que 260° + 2𝑥𝑥 = 360° 2𝑥𝑥 = 360° − 260° = 100°

𝑥𝑥 =100°

2= 50°

5 ∠𝑐𝑐 = 25°

Teorema: El ángulo inscrito es equivalente a la mitad de la medida del arco correspondiente.

∠𝑐𝑐 =12𝐴𝐴𝐴𝐴�

∠𝑐𝑐 = 𝑥𝑥2

= 50°2

= 25°; considere x=50° del argumento 4

6 ∠𝑑𝑑 = 30°

Teorema: El ángulo inscrito es equivalente a la mitad de la medida del arco correspondiente.

∠𝑑𝑑 =12𝐴𝐴𝐴𝐴�

∠𝑐𝑐 =𝑥𝑥 + 10°

2=

50° + 10°2

=60°

2= 30°

∠𝑎𝑎 = 60°

∠𝑏𝑏 = 15°

∠𝑐𝑐 = 25°

∠𝑑𝑑 = 30°

∠𝑒𝑒 = 50°

𝐴𝐴𝐴𝐴� = 60°

𝐴𝐴𝐴𝐴� = 100°

𝐴𝐴𝐴𝐴� = 120°

𝐴𝐴𝐴𝐴� = 30°

𝐴𝐴𝐴𝐴� = 50°

Reflexión ¿Cuál es el significado geométrico de las propiedades de la circunferencia?

La circunferencia fue considerada por los griegos como una de las formas geométricas más bellas y la consideraban perfecta; su geometría fue desarrollada por varios estudiosos, entre los que resaltan Tales, Pitágoras, Euclides y Pitágoras (Hemmerling, 1971).

Considerando las propiedades de la circunferencia podemos destacar las asociaciones con rectas y segmentos que a su vez forman distintos ángulos, todos estos guardando relaciones entre ellos.

Las fórmulas y reglas que aplicamos superficialmente en problemas sobre circunferencias, no son casualidades o ideas espontáneas son el resultado del pensamiento y desarrollo matemático de elementos de construcción.

Puedo considerar que el significado geométrico de las propiedades de la circunferencia es que cada una de ellas se obtuvieron como axiomas y postulados; y que sus características nos permiten aplicar el pensamiento deductivo para demostrar teoremas que su vez aplicamos como herramientas.