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UNIVERSIDAD AUTONIMA DE SINALOA
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GUIA DE APOYO PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS III
Conceptos básicos de Geometría y cálculo de ángulos 1. Realiza los siguientes ejercicios sobre los conceptos básicos de la geometría
2. De acuerdo con la figura, contesta las siguientes preguntas
a) ¿Cuáles son tres rectas concurrentes?
b) ¿En qué punto concurren esas rectas?
c) ¿Qué recta interseca a la recta GH?
d) Indica tres puntos que sean colineales
3. En la siguiente figura, M es el punto medio del segmento AB, entonces, ¿Cómo son los
segmentos 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ y 𝑀𝐵̅̅ ̅̅̅?
4. ¿Cuáles son las rectas que se encuentran en el mismo plano y por más que se prolonguen
nunca se interceptan? Responde la pregunta e indica un ejemplo
5. ¿Cuáles son las rectas que al intersecarse forman ángulos iguales? Responde la pregunta
e indica un ejemplo
6. En la siguiente figura, ¿qué puntos son coplanares?, ¿qué puntos no son coplanares?
Puntos H,
Rectas
Segmentos 𝐽𝐾̅̅ ̅,
Rayos
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7. ¿Qué tipo de ángulo es el ángulo a respecto al ángulo de 47°?, determina su medida
8. Plantea y resuelve una ecuación para determinar
a) El complemento de un ángulo de 33°
b) El suplemento de un ángulo de 91°
c) El suplemento de un ángulo de 16°
d) El complemento de un ángulo de 89°
e) El suplemento de un ángulo recto
9. Calcula la medida de los ángulos que se indican
10. ¿Cuál es el ángulo que mide más de 90° y menos de 180°?
11. Calcula la medida de los ángulos que se indican
12. Nombre que recibe el ángulo que mide 180°
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13. Determina el valor del ángulo a
14. Determina el valor de los ángulos a y b
Ángulos entre paralelas y construcciones geométricas con Geogebra
1. Encuentra la medida de todos los ángulos, L1 y L2 son paralelas
2. La recta R1 es paralela a la recta R2, determina la medida del ángulo x
3. Las rectas R1, R2 y R3 son paralelas, determina la medida de los ángulos indicados
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4. Las rectas R1 y R2 son paralelas, determina el valor de x y las medidas de todos los ángulos
que se forman
5. El ángulo marcado mide 289°, L1 paralela a L2, determina la medida de los demás ángulos
que se forman
6. El siguiente trapecio es isósceles, AD//BC, ∢ BAD = ∢CDA = 37° determina la medida de los
cuatro ángulos internos
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Tipos de triángulos – Rectas y puntos notables del triángulo
1. Completa el cuadro escribiendo Sí cuando los triángulos cumplen
simultáneamente las propiedades indicadas y No en caso contrario.
Ángulos
Lados
Acutángulo Rectángulo Obtusángulo
Equilátero
Isósceles
Escaleno
2. En Geogebra construye un triángulo acutángulo, un triángulo
obtusángulo y uno rectángulo.
3. Traza en cada uno de ellos las cuatro rectas notables
4. Marca los puntos de intersección de las rectas notables
5. Comprueba (midiendo) que la distancia de cada vértice del triángulo al
baricentro es 2/3 de la mediana respectiva.
6. Comprueba (midiendo) que el circuncentro es equidistante de los tres
vértices.
7. Comprueba (midiendo) que la mediana de un triángulo rectángulo
trazada desde el ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa.
8. Contesta lo siguiente
a) Es la intersección de las alturas de un triángulo ___________
b) Al punto de intersección de las medianas se le denomina ________
c) Es la intersección de las mediatrices ____________
9. Los triángulos por sus lados se clasifican en:
10. Los triángulos por sus ángulos se clasifican en:
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11. Del ejercicio 2.4 de la página 62 de tu libro de texto, resuelve los
ejercicios 3 y 4 que se muestran en la figura. En el inciso b) las marcas
iguales indican lados iguales.
Congruencia de triángulos
1. Explica en que consiste el criterio de congruencia AAL y anota un ejemplo.
2. Indica que par de triángulos son congruentes justificando con el criterio correspondiente
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3. Realiza los ejercicios 4,5,6,7,8 y 9 del ejercicio 2.7 de la página 75 de tu libro de texto
correspondientes a triángulos congruentes.
4. Explica en que consiste el criterio de congruencia LAL y anota un ejemplo
5. Explica en que consiste el criterio de congruencia ALA y anota un ejemplo
Semejanza de triángulos
Nota importante: para realizar los ejercicios y problemas de esta actividad deberás
revisar los conceptos y ejemplos resueltos de las páginas 80 – 94 de tu libro de
texto. Además de los apoyos teóricos que están en la sección de Recursos.
1. Demuestra que los siguientes triángulos son semejantes e indica cual es el criterio
que corresponde.
2. Demuestra que los triángulos son semejantes y a través de la proporcionalidad de los
lados encuentra el valor de x.
3. Las longitudes de los lados de un triángulo son: 130m, 120m, y 50m. Las medidas
de los lados de otro triángulo son: 13m, 12m y 5m. ¿Los triángulo son semejantes?,
realiza la demostración con el criterio correspondiente.
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4. Un triángulo tiene dos ángulos que miden 50° y 79°, otro triángulo tiene dos ángulos
que miden 51° y 79°, ¿los triángulos son semejantes?, si es así indica el criterio
correspondiente. Justifica tu respuesta.
5. Un triángulo tiene dos lados de longitud 10 cm y 6 cm y el ángulo comprendido entre
ellos de 100° . Otro triangulo tiene lados de 5cm y 3cm y el ángulo entre ellos dos es
de 100°. Demuestra si los triángulos son semejantes indicando el criterio
correspondiente y la razón de semejanza.
6. Las medidas respectivas de los lados de un triángulo son 12 cm, 14 cm y 9 cm. Si el
lado correspondiente en otro triángulo (semejante al primero) al lado de 14 cm, mide
35 cm, determina la medida de los otros dos lados.
7. Problema 5 de la página 93 del libro de texto
8. Problema 6 de la página 93 del libro de texto
9. Problema 10 de la página 94 del libro de texto
10. Demuestra que, en todo triángulo rectángulo, si se traza la altura a la hipotenusa desde
el vértice del ángulo recto se forman dos triángulos semejantes.
Semejanza de triángulos Nota importante: para realizar el ejercicio 1 de esta actividad deberás revisar los conceptos y
ejemplos resueltos de las páginas 94 y 95 de tu libro de texto. Además de los apoyos teóricos
que están en la sección de Recursos.
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1. Ejercicios del libro de texto. En los ejercicios siguientes despeja x utilizando el
Teorema de Tales. Los segmentos marcados con flecha son paralelos.
Nota importante: para realizar los ejercicios y problemas de esta actividad deberás revisar los
conceptos y ejemplos resueltos de las páginas 97 al 101 de tu libro de texto. Además de los
apoyos teóricos que están en la sección de Recursos.
2. Ejercicios del libro de texto. Obtén el lado desconocido en cada triángulo utilizando
el teorema de Pitágoras y el concepto de media proporcional.
3. Problemas del libro de Texto. Resuelve los siguientes problemas utilizando el
Teorema de Pitágoras.
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Razones trigonométricas
Nota importante: para realizar el ejercicio 1 de esta actividad deberás revisar los
conceptos y ejemplos resueltos de las páginas 107 a 115 de tu libro de texto.
Además de los apoyos teóricos visuales (videos) que están en la sección de
Recursos.
1. Realiza los ejercicios 1 al 11 correspondientes al ejercicio 4.1 de la página 116 del
libro de texto.
2. Con base en las medidas del triángulo de ángulos agudos de 45° como se muestra en
la figura, determina las razones trigonométricas indicadas. Los resultados deben ser
exactos (no usar calculadora). Puedes basarte en la información de la página 117.
a) 𝑠𝑒𝑛(45°)
b) 𝑐𝑜𝑠(45°)
c) 𝑡𝑎𝑛(45°)
d) 𝑐𝑜𝑡(45°)
e) 𝑠𝑒𝑐(45°)
f) 𝑐𝑠𝑐(45°)
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3. Con base en las medidas del triángulo de ángulos agudos de 30° y 45° como se
muestra en la figura, determina las razones trigonométricas indicadas. Los resultados
deben ser exactos (no usar calculadora). Puedes basarte en la información de la página
117.
a) 𝑠𝑒𝑛(30°) g) 𝑠𝑒𝑛(60°)
b) 𝑐𝑜𝑠(30°) h) 𝑐𝑜𝑠(60°)
c) 𝑡𝑎𝑛(30°) i) 𝑡𝑎𝑛(60°)
d) 𝑐𝑜𝑡(30°) j) 𝑐𝑜𝑡(60°)
e) 𝑠𝑒𝑐(30°) k) 𝑠𝑒𝑐(60°)
f) 𝑐𝑠𝑐(30°) l) 𝑐𝑠𝑐(60°)
4. Determina las siguientes razones trigonométricas con ayuda de tu calculadora
a) cos (132°)
b) sen (47°)
c) tan (88°)
d) csc (40°)
e) sec (70°)
f) ctg (65°)
g) cos (132°)
h) cos (27° 30´)
i) sen (31° 25´)
Además de apoyarte en tu libro de texto, en la siguiente dirección electrónica encontrarás
la forma en que puedes determinar triángulos rectángulos con ángulos de 30 y 60 grados
agudos, y de 45 grados.
Aplicaciones de la Trigonometría (resolución de triángulos rectángulos)
Nota importante: para realizar el ejercicio I de esta actividad deberás revisar los conceptos y
ejemplos resueltos de las páginas 125 y 126 de tu libro de texto. Además de los apoyos
teóricos visuales (videos) que están en la sección de Recursos.
Los ejercicios 1 y 2 son de resolución de triángulos rectángulos. Ejercicio 4.5 de la página
127 de tu libro de texto.
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1. Encuentra la medida indicada
2. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos (determina lo faltante, lados o ángulos)
3. Si en el triángulo ABC, 𝑠𝑒𝑛𝐴 =1
5, determina la medida de los lados del triángulo
4. En un triángulo PQR, el cos(𝑄) =2
3, determina la medidas de los lados del triángulo.
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5. En un triángulo MNL, la tan(𝑀) =7
5, determina la medidas de los lados del
triángulo
Aplicaciones de la trigonometría (problemas con triángulos rectángulos)
Para realizar los ejercicios de esta actividad deberás revisar los conceptos y
ejemplos resueltos de las páginas 128 y 129 de tu libro de texto. Además
de los apoyos teóricos visuales (videos) que están en la sección de Recursos.
En estas páginas de tu libro de texto se revisa el concepto de ángulo de
elevación y ángulo de depresión, los cuales son necesarios para la resolución
de problemas de este apartado.
1. Una cometa queda atorada en las ramas de la copa de un árbol. Si el hilo de 90 pies de
la cometa forma un ángulo de 22° con el suelo, estime la altura del árbol, calculando la
distancia de la cometa al suelo.
2. Un edificio proyecta una sombra de 20 m de longitud. Si el ángulo de la punta de la
sombra a un punto en la parte alta del edificio es de 69° ¿qué altura tiene el edificio?
3. Dos árboles están en las orillas opuestas de un río, como se ve en la figura. Se mide
una línea de referencia de 100 pies del árbol T1 y de esa posición se mide un ángulo b
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a T2, que resulta de 29.7°. Si la línea de referencia es perpendicular al segmento de
recta entre T1 y T2, calcule la distancia entre los dos árboles.
4. Una torre de 50 pies está a la orilla de un río. El ángulo de elevación entre la orilla
opuesta y la punta de la torre es de 37°. ¿Qué anchura tiene el río?
5. Con base en el siguiente ejemplo resuelto.
Determina la altura de la montaña
Referencia:https://www.cimat.mx/ciencia_para_jovenes/bachillerato/libros/Zill-
Dewar/%5BZill,Dewar%5DAlgebra_trigonometria_y_geometria_analitica(cap10).pdf
Razones trigonométricas
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1. ¿En qué cuadrante se encuentra el lado final de cada uno de los siguientes ángulos
dibujados en posición normal? Compruébalo haciendo el dibujo. Indica también en cada
caso, un ángulo coterminal con el ángulo dado.
53° 460° 500°
253° 405° 800°
-126° -32° 365°
-373° 290° -6°
2. Realiza el siguiente ejercicio (página 153 de tu libro de texto)
Utiliza la tabla de valores exactos para ángulos notables, para hallar los valores de
la función trigonométrica de los ángulos que se indican.
Ángulo Seno Coseno tangente cotangente secante cosecante
150°
210°
310°
135°
225°
3. Convierte a radianes los ángulos de 30° 𝑦 120°
4. Realiza los ejercicios del 1 al 5 de la página 146 de tu libro de texto
a) R(5,8) es un punto del lado final de un ángulo A, y S(3,6) es un punto del lado
final de un ángulo B, ¿Qué ángulo es mayor?
b) Las coordenadas del punto P del lado final de un ángulo A son (3,7). Determina
las funciones trigonométricas y la medida de A.
c) La abscisa de un punto P del lado final de un ángulo B del primer cuadrante es 2,
y su distancia al origen es 10. Determina las funciones trigonométricas y la
medida de B.
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d) La coordenada de un punto P del lado final de un ángulo B del primer cuadrante
es 4, y su distancia al origen es 9. Determina las funciones trigonométricas y su
medida de B.
e) Un punto P del lado final de un ángulo B se encuentra a 10 unidades del origen.
Si B=45°, halla las coordenadas de P.
5. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas sencillas de la página 159 de tu
libro de texto. Para resolver los siguientes ejercicios debes revisar los conceptos de
las páginas 154 – 159 de tu libro de texto. Puedes utilizar calculadora.
1. 𝑐𝑜𝑠 ∝= 0.6921 8. 2𝑠𝑒𝑛 ∝ −√3 = 0
2. 𝑠𝑒𝑛 ∝= 0.8965 9. 2𝑐𝑜𝑠 ∝ +√3 = 0
3. 𝑐𝑜𝑠 ∝= 0.9648
10. 3𝑡𝑎𝑛 ∝ −√3 = 0
4. 𝑡𝑎𝑛 ∝= 1.37
11. 3𝑡𝑎𝑛 ∝ +√3 = 0
5. 𝑐𝑜𝑠 ∝= 0.5140
12. 2𝑠𝑒𝑛 ∝ −√2 = 0
6. 𝑡𝑎𝑛 ∝= 5.005
13. 2𝑐𝑜𝑠 ∝ −√2 = 0
7. 2𝑠𝑒𝑛 ∝ −1 = 0
Gráficas de funciones trigonométricas Para realizar la actividad, además de los apoyos que están al final, puedes apoyarte en las
páginas 160-164 de tu libro de texto.
1. Realiza la gráfica de las funciones (a mano) indicando los puntos por donde la
gráfica corta al eje x.
a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
b) 𝑦 = cos (𝑥)
c) 𝑦 = tan (𝑥)
2. En geogebra realiza las siguientes gráficas
a) 𝑦 = 3𝑐𝑜𝑠(𝑥)
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b) 𝑦 = −2𝑠𝑒𝑛(𝑥)
c) 𝑦 = 4𝑠𝑒𝑛(𝑥)
d) 𝑦 = −5 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
e) 𝑦 = 2 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
f) 𝑦 = −𝑡𝑎𝑛(𝑥)
g) 𝑦 = 2 + 𝑡𝑎𝑛(𝑥)
Identidades trigonométricas – ley de senos y cosenos 1. Demuestra las identidades de los ejercicios 1 a 8 de la página 176 de tu libro de texto
Realiza los ejercicios 1 y 2 de la página 183 del libro de texto. En cada caso resuelve cada
triángulo oblicuo determinando todos los lados y ángulos.
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Aplicaciones de las leyes de senos y cosenos
Resuelve los ejercicios de aplicaciones de las Leyes de Seno y Coseno de la página 183 de
tu libro de texto
Polígonos
Para realizar esta actividad, debes revisar los conceptos, problemas y
ejercicios resueltos de las Páginas 187 – 216 de tu libro de texto.
1. Define polígono convexo
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2. Define polígono cóncavo
3. Escribe la definición de diagonal y proporciona un ejemplo para polígono cóncavo y
otro para convexos.
4. Indica la clasificación de los cuadriláteros
5. Define rombo y romboide, indicando su diferencia
6. Realiza el ejercicio 6.3 de la página 196 (ejercicios del 1 al 7) de tu libro de texto
7. Realiza el ejercicio 6.4 de la página 201 (ejercicio 1) de tu libro de texto
8. Segmentos de la circunferencia. Define los siguientes conceptos
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a) Cuerda
b) Radio
c) Diámetro
9. Realiza el ejercicio 6.4 de la página 214 de tu libro de text
Perímetro, área y volume
Todos los resultados debes indicarlos en las unidades correspondientes
1. Determina el área de un triángulo equilátero que mide como lado 4 cm.
2. Encuentra el área de un pentágono regular de lado 5 cm.
3. Determina el volumen de un prisma rectangular, recuerda que el volumen es:
V=(área de la base)(altura)
4. Resuelve los ejercicios de los incisos a), b), c) y d) de la página 221 de tu libro de
texto.
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5. Realiza los ejercicios de los incisos a, b, c, d y e del ejercicio 6.11 página 224 de tu
libro de texto