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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
DIVISIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO
“ANÁLISIS DE DIFERENTES POLÍTICAS DE UBICACIÓN DE
UNA INSTALACIÓN EN AMBIENTES COMPETITIVOS”
POR
LETICIA TORRES DÍAZ
TESIS
EN OPCIÓN AL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS
EN INGENIERÍA DE SISTEMAS
San Nicolás de los Garza, N. L. Enero de 2006
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
DIVISIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO
“ANÁLISIS DE DIFERENTES POLÍTICAS DE UBICACIÓN DE
UNA INSTALACIÓN EN AMBIENTES COMPETITIVOS”
POR
LETICIA TORRES DÍAZ
TESIS
EN OPCIÓN AL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS
EN INGENIERÍA DE SISTEMAS
San Nicolás de los Garza, N. L. Enero de 2006
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN
Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
División de Estudios de Posgrado
Los miembros del Comité de Tesis recomendamos que la tesis “ANÁLISIS DE
DIFERENTES POLÍTICAS DE UBICACIÓN DE UNA INSTALACIÓN EN
AMBIENTES COMPETITIVOS”, realizada por la alumna Leticia Torres Díaz,
matrícula 00191001, sea aceptada para su defensa como opción al grado de Maestro en
Ciencias en Ingeniería de Sistemas.
El Comité de Tesis
Ciudad Universitaria, Enero de 2006
Dr. Guadalupe Alan Castillo Rodríguez Subdirector
División de Estudios de Posgrado
Dra. Ada M. Álvarez Socarrás Asesor
Dr. Mauricio Cabrera Ríos Revisor
Dr. Fernando López IrarragorriRevisor
DEDICATORIA
Quiero dedicar este trabajo de todo corazón a mi familia que siempre me ha apoyado
incondicionalmente y que es mi más preciado tesoro.
AGRADECIMIENTOS
Quiero agradecer de manera general a todos los profesores y compañeros de PISIS,
pues de una u otra forma todos ellos me han ayudado para poder concluir mis estudios.
De manera muy especial quiero agradecer a la Dra. Ada M. Álvarez, asesora de esta
tesis y una gran amiga. Al Dr. Mauricio Cabrera por sus recomendaciones que fueron
importantes para realizar este trabajo. Al Dr. Fernando López por sus observaciones que
me ayudaron a presentar de una manera más clara los resultados de esta tesis
RESUMEN
Leticia Torres Díaz
Candidato para el Grado de Maestro en Ciencias en Ingeniería de Sistemas
Universidad Autónoma de Nuevo León
Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Título del Estudio:
ANÁLISIS DE DIFERENTES POLÍTICAS DE UBICACIÓN DE UNA
INSTALACIÓN EN AMBIENTES COMPETITIVOS
Número de Páginas: 107
Objetivos y Método de Estudio
En este estudio se analizó el desempeño de tres políticas de ubicación que considera
una firma para decidir el lugar en el que ha de establecer su instalación. El punto de
ubicación correspondiente a cada política se obtuvo al resolver en cada caso un modelo
de la teoría de ubicación de instalaciones, luego de establecer los supuestos pertinentes.
El desempeño de cada política se estableció en base al mercado capturado por la nueva
instalación al ser ubicada en el punto correspondiente a dicha política.
Se diseñó e implementó un experimento computacional con el objetivo de determinar
si hay factores que influyen en el desempeño de las políticas de ubicación. Para ello se
definió un conjunto de instancias con características específicas.
Se buscó asimismo determinar qué política conviene más aplicar en cada una de las
instancias definidas, con el propósito de poder enunciar resultados que sirvan de apoyo a
las compañías que planean ubicar una instalación en ambientes competitivos afines a los
considerados en el presente trabajo.
Contribuciones y Conclusiones
Se plantearon políticas de ubicación acordes a situaciones observables en la realidad
y se buscaron los modelos matemáticos que pudieran representarlos de la mejor manera.
Se definieron instancias con características que se pueden observar en diferentes
ámbitos comerciales, y se encontraron resultados en cada una de ellas. Con dichos
resultados se validaron algunas hipótesis que se plantearon acerca del desempeño de las
políticas y se refutaron otras.
Para cada tipo de instancia fue posible determinar la política que era más conveniente
aplicar. Es conveniente considerar estos resultados al tomar la decisión de dónde ubicar
una nueva instalación, al estar en alguna de las situaciones consideradas en este estudio.
FIRMA DEL ASESOR:__________________________
ÍNDICE DEDICATORIA iv
AGRADECIMIENTOS v
RESUMEN vi
1. INTRODUCCIÓN......................................................................................................1
1.1 Descripción del problema.......................................................................................1
1.2 Relevancia..............................................................................................................5
1.3 Objetivo de la tesis.................................................................................................5
1.4 Alcance...................................................................................................................6
1.5 Estructura de la tesis...............................................................................................6
2. ANTECEDENTES HISTÓRICOS .........................................................................8
2.1 Desarrollo de la Teoría de Ubicación.....................................................................8
2.2 Modelos de Ubicación Competitiva.....................................................................12
2.2.1 La competencia............................................................................................13
2.2.2 El mercado...................................................................................................14
2.2.3 Espacio de ubicación...................................................................................16
2.3 El Problema de Weber..........................................................................................17
2.4 El Problema de Weber con Atracción y Rechazo................................................21
2.5 El Problema de la Mediana Condicional..............................................................23
3. MODELACIÓN MATEMÁTICA..........................................................................26
3.1 Supuestos..............................................................................................................26
3.2 Políticas de Decisión............................................................................................27
3.2.1 Política 1: Modelo de Weber.......................................................................28
3.2.2 Política 2: Modelo de Weber con atracción y rechazo................................29
3.2.3 Política 3: Modelo de 1-mediana condicional.............................................30
3.3 Evaluación de las Diferentes Políticas ................................................................32
4. EXPERIMENTACIÓN............................................................................................33
4.1 Descripción del Experimento...............................................................................34
4.1.1 Experimentos para la clase aleatoria...........................................................34
4.1.2 Experimentos para la clase agrupada .........................................................37
4.1.3 Experimentos para la clase reducida...........................................................40
4.2 Variable de Respuesta o Índice de Desempeño...................................................42
4.3 Ajuste de Peso de Rechazo..................................................................................43
4.3.1 Clase aleatoria.............................................................................................44
4.3.2 Clase agrupada.............................................................................................45
4.3.3 Clase reducida.............................................................................................46
4.4 Implementación Computacional...........................................................................46
4.4.1 Generación de instancias.............................................................................46
4.4.2 Evaluación de la variable de respuesta........................................................47
4.4.3 Análisis de los resultados............................................................................48
5. RESULTADOS.........................................................................................................49
5.1 Resultados para la Clase Aleatoria.......................................................................49
5.1.1 Desempeño de las políticas en base a los factores......................................50
5.1.1.1 Política de Weber............................................................................50
5.1.1.2 Política de Rechazo.........................................................................57
5.1.1.3 Política de Condicional....................................................................59
5.1.2 Evaluación del desempeño individual de cada política...............................60
5.1.3 Comparación del desempeño de las tres políticas.......................................61
5.2 Resultados para la Clase Agrupada......................................................................63
5.2.1 Desempeño de las políticas en base a los factores......................................63
5.2.1.1 Política de Weber............................................................................64
5.2.1.2 Política de Rechazo.........................................................................64
5.2.1.3 Política de Condicional....................................................................65
5.2.2 Evaluación del desempeño individual de cada política...............................66
5.2.3 Comparación del desempeño de las tres políticas......................................66
5.3 Resultados para la Clase Reducida......................................................................67
5.3.1 Subclase aleatoria.......................................................................................68
5.3.1.1 Desempeño de las políticas en base a los factores.........................68
5.3.1.1.1 Política de Weber............................................................69
5.3.1.1.2 Política de Rechazo.........................................................69
5.3.1.1.3 Política de Condicional...................................................70
5.3.1.2 Evaluación del desempeño individual de cada política...................70
5.3.1.3 Comparación del desempeño de las tres políticas...........................70
5.3.2 Subclase agrupada.......................................................................................72
5.3.2.1 Desempeño de las políticas en base a los factores..........................72
5.3.2.1.1 Política de Weber.............................................................72
5.3.2.1.2 Política de Rechazo..........................................................73
5.3.2.1.3 Política de Condicional....................................................73
5.3.2.2 Evaluación del desempeño individual de cada política..................74
5.3.2.3 Comparación del desempeño de las tres políticas..........................75
5.4 Comparación de Políticas en Clase Reducida y Clase de Procedencia...............76
5.4.1 Subclase aleatoria........................................................................................77
5.4.1.1 Política de Weber............................................................................77
5.4.1.2 Política de Rechazo.........................................................................77
5.4.1.3 Política de Condicional...................................................................78
5.4.2 Subclase agrupada.......................................................................................79
5.4.2.1 Política de Weber............................................................................79
5.4.2.2 Política de Rechazo.........................................................................80
5.4.2.3 Política de Condicional ...................................................................81
6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.....................................................82
6.1 Conclusiones.........................................................................................................82
6.2 Recomendaciones y Trabajo Futuro.....................................................................84
BIBLIOGRAFÍA............................................................................................................86
LISTA DE TABLAS......................................................................................................89
LISTA DE FIGURAS....................................................................................................91
APÉNDICE A: PROGRAMAS EN C..........................................................................94
APÉNDICE B: PROGRAMAS EN GAMS.................................................................98
APÉNDICE C: TABLAS DE HSU Y DE MOOD.....................................................101
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN
Descripción del problema
Desde los albores de la humanidad el hombre se ha enfrentado problemas de
ubicación en los cuales el objetivo dónde ubicar algo de acuerdo con determinadas
políticas. Al tratar de resolver este problema se pueden hacer diferentes consideraciones,
como puede ser la interacción del objeto a ubicar con otros objetos similares o con
personas a quienes se pretende brindar un bien o un servicio.
Así por ejemplo, si se pretende ubicar una planta de basura, que representa un riesgo
potencial para la salud de los seres humanos, la mejor ubicación debe estar alejada del
centro de la ciudad y a la vez cerca de la planta recicladora de basura.
Economistas, matemáticos, geógrafos, administradores, entre otros, se han dado a la
tarea de estudiar, plantear y tratar de resolver el problema general de ubicación de
instalaciones. En este sentido hay dos tipos de enfoques principales: cuantitativos y
cualitativos.
En un enfoque cualitativo las consideraciones que se hacen se basan en gran medida
en el punto de vista de un grupo de personas. Este grupo debe decidir, mediante una
discusión previa, qué factores se tomarán en cuenta para escoger el sitio dónde se hará la
ubicación.
Algunos factores considerados en el enfoque cualitativo son: disponibilidad de
tierras, condiciones climáticas, disponibilidad de mano de obra capacitada,
disponibilidad de medios adecuados de transporte, regulaciones gubernamentales,
cultura de los habitantes de la región en la cual se ubicará la instalación, etc.
Sule (2001) en su libro “Logistics of Facility location and Allocation” menciona que
una forma de evaluar las ubicaciones potenciales es dando a cada factor una valor de 0 a
100 de acuerdo a su importancia. Luego para cada ubicación potencial se evalúan cada
uno de los factores de 0 al valor máximo posible. La evaluación final de una ubicación
es la suma de las evaluaciones de cada factor.
En un enfoque cuantitativo, la ubicación se selecciona basándose en la optimización
de una función objetivo definida de forma matemática y que describe costos o ganancias
cuantificables [Sule, 2001].
El desarrollo de metodologías que con este enfoque buscan resolver de manera
óptima los problemas de decisión de ubicaciones es lo que ha dado lugar a la teoría de
ubicación, la cual cuenta actualmente con muchas y muy variadas ramas. Como ilustran
Bramel y Simchi-Levi en su libro “The Logic of Logistics”, el análisis de la ubicación
ha jugado un rol central en el desarrollo de la investigación de operaciones.
En los problemas de ubicación de instalaciones se busca determinar, además de la
ubicación, el número de instalaciones y su diseño; el diseño está relacionado con la
planeación del tamaño y de las características físicas de las nuevas instalaciones.
Así, los problemas se pueden clasificar en varias categorías, teniendo en cuenta
diferentes consideraciones entre las que se pueden mencionar: la fuerza impulsora u
objetivos que se pretenden, el número de instalaciones, el espacio de decisión a
considerar, la cantidad de información disponible y el horizonte de tiempo [Ballou,
2004].
Para ejemplificar la clasificación que puede hacerse en base a la fuerza impulsora u
objetivos que se pretenden, considérese la ubicación de centros de servicio de
emergencia, de materiales tóxicos y de facilidades competitivas, entre otros. Al ubicar
centros de emergencia es primordial asegurar accesos a los centros, mientras que con los
materiales tóxicos se busca afectar a la menor cantidad posible de personas y en el caso
de facilidades competitivas se busca asegurar el servicio a la mayor cantidad de clientes.
Los modelos de ubicación competitivos son aquellos en los que se considera de
manera explícita que en el espacio en que se ubicará una instalación se encuentran, o se
encontrarán en un futuro próximo, otras instalaciones con las cuales se competirá por el
mercado de clientes existente [Plastria, 2001].
En este trabajo de tesis se estudia el problema de una firma que trata de ubicar una
instalación en un área específica, en la cual se encuentran previamente establecidas
instalaciones del mismo tipo, así como clientes a los que pretende servir. Se asume que
los clientes eligen siempre la facilidad más cercana y que se conocen las ubicaciones de
los clientes y de las instalaciones ya establecidas. Como se considera que las
instalaciones competirán por los clientes, se puede clasificar como un problema de
ubicación competitiva.
Para un cliente la única consideración al elegir dónde servirse es la cercanía de las
instalaciones. Situaciones como ésta se dan, por ejemplo, en instalaciones que ofrecen
productos básicos, cuya calidad y precio es el mismo en toda instalación, por lo que lo
único que distingue una instalación de otra es su ubicación.
La firma que pretende ubicar su instalación puede considerar diversas políticas, como
pueden ser: no instalarse a menos de una cierta distancia de ninguna facilidad existente,
o por el contrario, instalarse justo a un lado de la instalación que sirva al mayor número
de clientes. Otras políticas podrían ser el considerar solamente ubicaciones con medios
de transporte adecuados o con buenas perspectivas de desarrollo a futuro.
La firma puede además listar los clientes más insatisfechos con su servicio, esto es,
aquellos cuyas distancias de servicio son las mayores, y buscar la ubicación en que se
pueda brindar un mejor servicio a la mayor cantidad de estos clientes.
En este trabajo se escogieron tres políticas que la firma puede considerar a la hora de
de decidir dónde ubicar su instalación. Se analiza el desempeño de cada política en
instancias particulares para comparar los resultados de las políticas y tratar de
determinar si en esos casos es preferible usar una política en particular.
Las políticas a considerar son las siguientes:
• No tomar en cuenta las instalaciones establecidas, es decir, pretender que se entra
a un mercado virgen y buscar entonces un punto estratégico, que esté lo más
cerca posible de todos los clientes.
• Considerar las ubicaciones de la competencia y asegurarse de no instalarse a un
lado de ninguna ellas, pero al mismo tiempo tratar de establecerse lo más cerca
posible de los clientes.
• Considerar a las instalaciones de la competencia como propias, y buscar entonces
la ubicación de una nueva instalación que en conjunto con las ya establecidas
minimice las distancias de los clientes a la instalación de servicio.
A cada política se le asocia un modelo específico de la teoría de ubicación de
instalaciones. Así, la ubicación correspondiente a cada política se encuentra al resolver
el modelo correspondiente.
Una vez encontrada la ubicación correspondiente a cierta política, se contabiliza el
número de clientes que la nueva instalación atrae para sí en caso de ubicarse ahí. Es este
mercado capturado el que determina la evaluación de la política considerada.
En el presente trabajo se considera que la firma que planea la ubicación de una nueva
instalación:
a) Considera las tres políticas arriba descritas para tomar su decisión.
b) Para cada política o modelo elige la mejor ubicación.
c) Evalúa cada política de acuerdo al mercado capturado en cada caso y
d) Ubica su instalación en base a la política que obtenga mejor resultado.
Esto sobre la base de que es común que una firma considere algunas políticas
específicas cuando busca un sitio dónde ubicar su instalación. Para cada política debe
haber una ubicación candidata, y la firma elige aquella que le reditúe la mayor ganancia,
la cual está dada por el mercado capturado.
Se eligieron las políticas anteriores porque hasta donde se ha podido investigar no se
han analizado en forma conjunta y porque es razonable considerarlas como posibles
políticas de ubicación.
1.2 Relevancia
Para las personas que en una firma son las encargadas de escoger la ubicación de una
instalación, es una ayuda el poder contar con guías que indiquen que en algunas
situaciones particulares es más conveniente guiarse por alguna política de ubicación en
particular.
El decidir la ubicación donde habrá de establecerse una instalación es un problema de
suma importancia, ya que la ubicación juega un papel determinante a la hora en que un
cliente decide qué instalación lo habrá de servir. Además de que debido a los altos
costos de construcción y de reubicación de una instalación se tiene que una vez
establecida una instalación en un lugar específico, ésta debe permanecer ahí por largo
tiempo.
Aunque los clientes pueden considerar muchos factores a la hora de escoger una
instalación, la ubicación es uno de los principales. Los resultados que puedan
encontrarse al considerar sólo la ubicación como factor determinante para el cliente
pueden servir de base al considerar modelos más complejos.
1.3 Objetivo de la tesis
En síntesis, el objetivo general de esta tesis consiste en estudiar el problema de
ubicación en el que se consideran las tres políticas arriba mencionadas: i) no considerar
las instalaciones que se encuentren establecidas, ii) no ubicar la instalación cerca de
instalaciones previamente establecidas y iii) considerar las instalaciones establecidas
como propias.
Para poder lograr este objetivo se enuncian los siguientes objetivos particulares
• Definir una serie de instancias con características específicas en las cuales se
comparen las políticas.
• Diseñar y realizar un experimento computacional que valide dicha comparación
y que ayude a determinar qué factores influyen en el desempeño de cada política.
• Determinar posibles relaciones entre el tipo de instancia considerada y la política
que conviene seguir para poder enunciar guías que sirvan a quienes toman
decisiones de ubicación de instalaciones en un ambiente competitivo.
• Justificar la necesidad de hacer un estudio teórico que fundamente o en su
defecto refute la existencia de las relaciones entre el tipo de instancia
considerada y la política que conviene seguir.
1.4 Alcance
En este trabajo se evalúan los resultados que los tres modelos de ubicación o políticas
de decisión arrojan en un gran número de instancias. Con esto se pretende encontrar si
existe evidencia estadística de que sea más conveniente aplicar determinada política
cuando se tienen ciertas características particulares en las instancias. Se abarca una gran
cantidad de instancias buscando considerar un buen número de situaciones específicas,
sin embargo, los resultados obtenidos se aplican solamente al tipo de instancias
consideradas en la experimentación.
1.5 Estructura de la Tesis
Esta tesis se estructura de la siguiente forma:
En el capítulo uno se da un panorama muy general de los problemas de ubicación de
instalaciones y en particular de los modelos considerados en la solución del problema de
estudio en esta tesis. Se describe de manera general el problema de estudio así como su
relevancia y se enuncian los objetivos y los alcances de esta tesis.
Los antecedentes históricos, definiciones y conceptos básicos de la teoría de
ubicación en general y de la teoría de la ubicación competitiva se presentan en el
capítulo dos. Se incluyen también los antecedentes de los modelos correspondientes a las
políticas consideradas.
En el capítulo tres se enuncian los supuestos del problema de esta tesis, se describen
cada una de las políticas consideradas y se plantean sus modelos correspondientes. Se
explica, además, la forma de evaluar cada política.
En el capítulo cuatro se describen las instancias consideradas en la experimentación y
los objetivos que en ellas se pretenden así como el experimento desarrollado con el
propósito de lograr tales objetivos. Se plantean hipótesis acerca del desempeño de las
políticas en cada uno de los tipos de instancias. Se explica cómo se asignaron los pesos
negativos en el modelo de Weber con atracción y rechazo y se describe cómo se llevó a
cabo la implementación computacional.
Tablas con los resultados encontrados al llevar a cabo la experimentación en cada una
de las instancias definidas se presentan en el capítulo 5. En él se analizan e interpretan
dichos resultados y se hacen las observaciones pertinentes.
Finalmente en el capítulo seis se presentan las conclusiones que se deducen de los
resultados obtenidos en el capítulo anterior y se hacen recomendaciones acerca de
trabajo.
CAPÍTULO 2
ANTECEDENTES HISTÓRICOS
La teoría de ubicación de instalaciones o facilidades es relativamente reciente, a pesar
de que los problemas relacionados con la ubicación de diferentes tipos de instalaciones
han acompañado al hombre a lo largo de la historia.
En este capítulo se pretende dar un panorama general de los antecedentes históricos
de la teoría de ubicación, y en particular de la ubicación competitiva.
Se describen tres de los problemas más importantes en la teoría de ubicación, que se
han mencionado: el problema de Weber, el problema de Weber con atracción y rechazo
y el problema de la mediana condicional.
En lo sucesivo se usarán de manera indistinta los términos “facilidades” e
“instalaciones”.
2.1 Desarrollo de la Teoría de Ubicación
A través de su historia, el hombre se ha enfrentado a problemas en los que tiene que
decidir dónde ubicar instalaciones, teniendo en cuenta la relación que éstas tendrán con
otras instalaciones o con los clientes a los que se pretende servir. La formulación de
estos problemas puede incluir consideraciones geográficas, políticas, sociales,
personales etc. Algunos ejemplos de tales consideraciones son: cercanía a fuentes de
materia prima, disponibilidad de tierras, existencia de competidores, buen clima, etc.
Sin embargo el diseño, desarrollo y solución de modelos simbólicos que representen
de manera adecuada la realidad y que sirvan de herramienta para tomar la mejor decisión
de ubicación es relativamente reciente [Scaparra et al., 2001].
Los inicios de la ciencia de la ubicación se remontan a principios del siglo XVII,
cuando Pierre de Fermat, Evangelista Torricelli y Battista Cavallieri, cada uno por su
cuenta, proponen y en cierta forma resuelven de manera independiente el problema de la
mediana espacial [Hale y Trevor, 2003]. A pesar de haber sido enunciado de una manera
puramente matemática, el problema de Weber se considera el problema clásico de la
teoría de ubicación [Drezner y Hamacher, 2002].
El enunciado de Fermat es el siguiente: hallar el punto que minimice las sumas de
las distancias de tres puntos fijos. Como puede apreciarse, el enunciado es meramente
geométrico y muy simple de entender, y sin embargo a dado lugar a muchas y muy
variadas generalizaciones [Drezner et al., 2002].
Otro de los principales problemas en la teoría de ubicación, el problema de cobertura
total con el menor radio posible, fue propuesto por Sylvester (1857) de la siguiente
forma: “Se requiere encontrar el menor círculo que contenga un conjunto dado de
puntos en el plano”. De acuerdo con Love et al. (1988), esto equivale a un problema de
ubicación bajo el criterio minimax. Para un conjunto de puntos dado, se llama punto
minimax al punto que minimiza la mayor de sus distancias a dichos puntos, lo que
corresponde al centro del círculo de cobertura con el menor radio [Love et al., 2002].
Hasta entonces los problemas de ubicación que habían sido estudiados se enunciaron
como problemas matemáticos, y no fue sino hasta 1909 que Alfred Weber formula el
primer modelo de ubicación como una aplicación de la ingeniería industrial. En él se
pretende ubicar una firma que usa materia prima y produce un producto, cuando se
tienen dos puntos de fuente de materia prima y un punto de mercado de consumo del
producto.
A cada uno de estos puntos se le asigna un peso que representa el costo de
distribución por unidad de distancia. Tal distribución se hace desde los puntos demanda
al punto de ubicación de la firma y desde éste al punto de mercado. Debido a las
diferentes características físicas de la materia prima y del producto terminado, el costo
de distribución es diferente para los puntos fuente de materia prima y para el punto de
mercado.
El punto de ubicación de la firma se conoce como punto minisuma, ya que minimiza
el costo de transportación de la firma a los puntos fuente de materia prima y al punto de
mercado [Tönu Puu, 1997].
Sin embargo, después del planteamiento de Weber no hubo avances sustanciales en el
campo de la teoría de la ubicación, debido principalmente a las dificultades para realizar
el gran número de cálculos geométricos que este tipo de problemas requieren.
Así, a pesar de que en 1937 Endre Vaszonyi Weiszfeld desarrolla un creativo método
iterativo para encontrar el punto minisuma o mediana espacial para un número grande de
puntos con pesos diferentes, éste permanece prácticamente sin uso hasta ser
redescubierto a finales de 1950´s y principios de 1960’s.
En este período se da un crecimiento dramático en la teoría de ubicación, gracias a
que el desarrollo de la computadora facilitó el desarrollo de los procesos iterativos y
permitió el desarrollo de la geometría computacional.
Leon Cooper en 1963 desarrolla una investigación sobre métodos exactos y
heurísticos en problemas que buscan ubicación de varias instalaciones en el espacio
continuo y la asignación de los puntos demanda con la facilidad que lo ha de servir. A
estos problemas se les llama problemas de ubicación y asignación. En ellos se busca la
ubicación de facilidades o servicios de tal forma que se optimice uno o varios objetivos,
generalmente relacionados con la eficiencia del sistema o la asignación de recursos,
[Marianov et al., 2002].
En 1964 Hakimi publica resultados acerca del problema de la p-mediana en redes que
despertaron el interés de diversos investigadores. El problema de la p-mediana consiste
en ubicar un número fijo p de instalaciones en una red, que servirán a un conjunto de
puntos demanda de tal forma que se minimice la suma ponderada de las distancias de los
puntos demanda a su facilidad asignada. Hakimi prueba que las ubicaciones óptimas se
encuentran en los nodos de la red cuando ésta es conexa [Marianov et al., 2002].
Hakimi formula su modelo al trabajar en un problema aplicado al campo de las
telecomunicaciones, sin embargo actualmente el problema de la p-mediana se aplica
principalmente a problemas de ubicación relacionados con el sector público, donde los
objetivos que se buscan son la minimización del costo social de la ubicación, la
eficiencia y equidad.
A partir de entonces se ha experimentado un crecimiento explosivo en los modelos de
ubicación que involucran situaciones muy diversas, así como una gran variedad de ideas
creativas en las metodologías de solución de tales problemas. Hale (2003) afirma que la
literatura en la ciencia de ubicación de facilidades ha crecido dramáticamente en los
últimos 35 años.
Los elementos básicos en todo problema de ubicación son las instalaciones, los
clientes y las ubicaciones posibles. Una forma muy general de enunciar un problema de
ubicación es la siguiente: se requiere determinar la ubicación de una o más
instalaciones con el fin de satisfacer la demanda de un cierto número de clientes, que se
encuentran ubicados en un área geográfica específica, a un costo mínimo y sujeto a un
conjunto de restricciones.
Actualmente se estudia una gran variedad de modelos pertenecientes a la teoría de
ubicación. Tal variedad de modelos se debe a las muchas características especiales que
cada uno de los elementos básicos pueden tener y a todas sus posibles combinaciones.
Es por ello que los modelos de ubicación de instalaciones se usan en una gran
variedad de aplicaciones, entre las que se encuentran: la ubicación de almacenes de
material peligroso de tal forma que se minimicen riesgos de exposición a personas, la
ubicación de unidades de emergencia que minimicen el mayor tiempo de respuesta, la
ubicación de carreteras que minimicen las distancias a ciertos poblados, etc.
Así, los modelos de ubicación difieren no sólo en su función objetivo, sino en la
forma, tamaño y número de facilidades a instalar, así como el espacio de ubicación y la
métrica utilizada. En consecuencia, con el propósito de evitar ambigüedades al plantear
problemas de ubicación, han surgido diferentes propuestas de esquemas de clasificación.
Uno de los esquemas de clasificación de los modelos de ubicación más populares se
debe a Hamacher et al., (1998). Ellos proponen una clasificación con cinco posiciones
que puede incluir a todos los problemas de ubicación. Cada posición corresponde a una
información específica del problema clasificado. Utilizando este esquema el problema
de Weber se clasifica como 1/P/*/l2/∑ porque se quiere ubicar 1 instalación en el
Plano, * indica que el problema no tiene características especiales y l2 que se considera
la distancia euclidiana mientras que ∑ indica que la función objetivo es una suma.
Una bibliografía muy completa de artículos del análisis de ubicación se debe a Hale,
(2004), donde se puede encontrar un listado de alrededor de 3400 referencias de
publicaciones sobre ubicación de facilidades. En la actualidad, a pesar de los avances, la
teoría de ubicación sigue siendo un área de estudio debido a la amplia gama de
aplicaciones que cubre, así como la complejidad en la solución de muchos de sus
modelos.
Además de lo mencionado anteriormente, al tratar de ubicar una instalación se debe
tomar en cuenta si ya se encuentran instaladas facilidades del mismo tipo en el espacio
de ubicación con las cuales se competirá por los clientes. La existencia de tales
facilidades afecta el modelo que habrá de usarse. A este tipo de modelos se les conoce
como modelos de ubicación competitiva, y debido a su importancia en el desarrollo de la
presente tesis se describen a continuación.
2.2 Modelos de Ubicación Competitiva
Tradicionalmente a la hora de ubicar una instalación se ha asumido una posición
monopolista, en la que no se considera que pueda haber competencia y en la que se
asume que la ganancia depende sólo de lo que se ofrezca a los clientes, sin considerar
que éstos pudieran tener otra opción [Plastria, 2000]. En este caso se suele considerar
que los clientes tienen una distancia máxima que están dispuestos a recorrer para
satisfacer su demanda, y el objetivo normalmente consiste en ubicar la instalación en la
posición que se encuentre dentro de esa distancia máxima del mayor número de clientes.
Sin embargo esta posición no es la adecuada si en el espacio de ubicación se
encuentran de antemano instalaciones pertenecientes a otras firmas. Esto se debe a que
la decisión de ubicación afecta no solamente a la firma que ubicará la nueva instalación,
sino a sus competidores y los clientes que tenían asegurados, pues cuando un cliente
decide servirse por una nueva facilidad, éste se convierte en un cliente que pierde la
instalación en la cual se servía con anterioridad.
Es por ello que cuando se encuentra más de una facilidad en el espacio de ubicación,
el correspondiente modelo de ubicación requiere de una regla que asigne los clientes a
las facilidades en las cuales habrán de satisfacer su demanda. Esto da lugar a la aparición
de modelos de asignación y modelos de elección. En los primeros la asignación de
clientes a facilidades la hace la persona encargada de la planeación, mientras que en los
modelos de elección el cliente es quien elige libremente la facilidad que ha de servirlo,
[Drezner et al., 2002].
Al tratar con modelos de ubicación competitiva Drezner y Eiselt recomiendan
trabajar con los modelos de elección, debido a que es de gran importancia comprender el
comportamiento de los clientes potenciales, y el proceso que siguen al hacer la elección
de las facilidades. Dichos autores señalan que diferentes estudios al respecto revelan que
la distancia no es el único factor que los clientes consideran a la hora de decidir dónde
habrán de servirse.
Sin embargo, en un ambiente de negocios competitivos en los cuales los bienes o
servicios ofrecidos no se distinguen entre las diferentes compañías, la ubicación juega un
papel fundamental [Mc Garvey et al., 2005].
Como se ha mencionado anteriormente, en todo modelo de ubicación los factores
básicos son el conjunto de las posibles ubicaciones, la demanda o mercado y las
facilidades.
Estos tres elementos dan lugar a las diferentes clasificaciones de los modelos de
ubicación competitiva, Plastria (2000) menciona las clasificaciones que serán
comentadas a continuación.
2.2.1 La competencia
Al considerar la competencia, los modelos de ubicación competitiva se clasifican en:
• modelos con competencia estática
• modelos dinámicos o de equilibrio competitivo y
• modelos con previsión a futuro
En los modelos de competencia estática se sabe de antemano que hay competencia en
el mercado en el que se desea ubicar una instalación. Se asume que el costo y esfuerzo
de la competencia para reaccionar ante la aparición de una instalación en su área de
servicio son grandes, por lo que tal reacción no afectará a la nueva instalación. Son los
modelos competitivos más simples, pero sirven de base para modelos más complejos.
En los modelos dinámicos se considera que al haber competencia el ambiente
cambia, por lo que se describen los ciclos de acción-reacción entre los competidores.
Una de las preguntas básicas en estos modelos es si es posible que existan situaciones de
equilibrio hacia las que el sistema tiende. Hotelling sentó las bases de los modelos de
equilibrio competitivo al estudiar en 1929 la ubicación de dos instalaciones a lo largo de
una línea [Scaparra et al., 2001].
En el caso de competencia con previsión se asume que se entra a un mercado
sabiendo que habrá competencia en el futuro. Problemas representativos de esta clase
son los denominados modelos secuenciales o de tipo Stackelberg, que consideran la
solución del modelo de optimización del competidor en cada evaluación [Plastria, 2000].
2.2.2 El mercado
El mercado está formado por todos los clientes junto con su demanda por un producto
o servicio. Cliente es una persona o grupo de personas que poseen un comportamiento
de demanda y ubicación específicos, por lo que suele llamarse punto-demanda [Plastria,
2000].
Una simplificación comúnmente utilizada consiste en dividir un área en secciones
homogéneas y usar el centro de gravedad de cada sección como la ubicación del punto
demanda que representa dicha sección [Sule, 2001]. La demanda de tal punto demanda
es la suma de los volúmenes de demanda que se generan en la sección que representa el
punto demanda.
Uno de los objetivos que generalmente se persigue al ubicar una instalación en un
mercado en el cual hay competencia es el de maximizar la demanda capturada por la
nueva instalación. Dicha demanda capturada comúnmente se expresa como la suma del
volumen de su demanda de cada uno de los clientes que será satisfecho por la nueva
facilidad.
La distribución, las características y el comportamiento de la demanda dan lugar a
diferentes clasificaciones de los modelos de ubicación, que a continuación se describen.
1. De acuerdo con la distribución de la demanda se clasifica a los modelos en:
• modelos de demanda puntual cuando se especifica el volumen de demanda en
cada punto-demanda
• modelos de demanda regional cuando la demanda está dada por una distribución
espacial continua.
2. Teniendo en cuenta las características de la demanda se clasifica a los modelos en
• modelos con demanda elástica si ésta depende de la calidad del producto
• modelos con demanda inelástica cuando no depende de la calidad, como es el
caso de los productos básicos.
• Modelos con demanda estocástica si la demanda varía debido a circunstancias
inciertas.
3. Por otra parte, como ha sido mencionado anteriormente, es muy importante entender
el comportamiento de los clientes al elegir la facilidad donde habrán de satisfacer su
demanda. Una forma comúnmente empleada para modelar este comportamiento consiste
en definir para cada cliente una función de atracción hacia las facilidades [Drezner et al.,
2002]
Considerando la forma de definir la función de atracción se tienen la siguiente
clasificación de modelos:
• modelos de proximidad, que asumen que el cliente satisface toda su demanda en
la facilidad más cercana
• modelos aditivos, que consideran que hay más atributos que se toman en cuenta
aparte de la distancia, y se incorporan aditivamente a la función de atracción
• modelos multiplicativos, si se consideran más atributos aparte de la distancia, y
se incorporan de forma multiplicativa a la función de atracción
Una vez que se tiene definida la función de atracción se distinguen dos modelos de
acuerdo con la forma en que los clientes satisfacen su demanda:
• modelo determinístico
• modelo probabilístico
El enfoque determinístico considera que los clientes eligen la facilidad que los atrae
más para satisfacer toda su demanda y en caso de haber empate entre dos o más
facilidades, se cuenta con reglas de desempate. En este caso el cliente siempre escoge la
misma facilidad, la que ejerce la atracción máxima sobre él. El conjunto de todos los
clientes que se sienten más atraídos hacia una facilidad que a cualquier otra se le llama
el área de mercado de dicha facilidad.
En el enfoque probabilístico se considera que la demanda se distribuye entre las
diferentes facilidades en base a una probabilidad que está dada en razón a la atracción
que el cliente siente por cada una de las facilidades. Esta es la única alternativa actual a
la regla de todo o nada que constituye el modelo determinístico.
2.2.3 Espacio de ubicación
El conjunto de localidades donde es posible establecer la nueva instalación
constituye el espacio de ubicación. De acuerdo al tipo de espacio de ubicación
considerado los modelos se clasifican en:
• modelos discretos cuando hay un número finito de ubicaciones candidatas donde
ubicar la instalación y se conoce la ubicación de los puntos-demanda. En estos
casos se conocen las distancias de punto-demanda a punto-candidato de manera
muy precisa y real
• modelos en redes, si tanto las demandas como las facilidades se pueden encontrar
en cualquier lugar a lo largo de las aristas, y la distancia que se considera es la de
la ruta más corta. Por lo general la ubicación de las nuevas facilidades se
restringe a una parte específica de la red
• modelos continuos cuando la ubicación se determina por las coordenadas del
sistema coordenado en cuestión. La distancia que generalmente se utiliza en
estos modelos es la euclidiana.
A continuación se describen tres de los problemas más importantes en la teoría de
ubicación y que son los que representan a cada política de ubicación bajo estudio en el
presente trabajo.
2.3 El Problema de Weber
El problema de Weber es considerado como el modelo básico en la teoría de
ubicación. A pesar de la sencillez de su formulación, tiene muchas variantes, por lo que
hay un gran número de generalizaciones, extensiones y modificaciones de este
problema.
Desde el siglo XVII hasta el siglo XX ha habido muchas personas que han propuesto,
resuelto y redescubierto el problema de Weber. Es por esto que un problema común al
que se han enfrentado quienes se han dedicado a estudiarlo es cómo llamarlo. Algunos
de los nombres con que se conoce a este problema son: problema de Fermat, de Steiner,
de Weber, de Fermat-Torricelli, de Steiner-Weber, de Fermat-Weber, de mediana
espacial, de uno-mediana, de minisuma y de punto de traslado agregado.
Es usual dar el crédito de la propuesta básica al matemático francés Pierre de
Fermat,: “dados tres puntos en el plano, encontrar un cuarto punto de tal forma que la
suma de sus distancias a los tres puntos dados es un punto minisuma” [Drezner,et al,
2002]. Sin embargo también se le acredita al matemático italiano Evangelista Torricelli,
a quien se debe una solución geométrica del problema. Lo mismo se dice del
matemático italiano Battista Cavalieri: que él lo propuso y resolvió geométricamente.
El planteamiento general del problema de Weber es el siguiente: dados n puntos fijos
en el plano, cada uno con un peso asociado, encontrar el punto que minimice la suma
de las distancias ponderadas a los puntos fijos.
El planteamiento del problema dual aparece en el diario de las damas o almanaque de
la mujer en el año 1755. En él se plantea el siguiente problema: se tienen 3 árboles
situados a distancias de 10, 12 y 16 cadenas entre ellos. Encontrar el mayor contenido
de un terreno equiangular de tres lados que tiene en cada lado uno de estos árboles. De
forma matemática el problema dual se propone así: dado cualquier triángulo,
circunscribir el mayor triángulo equilátero posible. Esta propuesta aparece por primera
vez en los anales de matemática pura y aplicada, volumen 1 de 1810-11 [Drezner et al,
2002].
Como se ha mencionado anteriormente, Alfred Weber propone la primera aplicación
del problema en 1909 sin embargo Tönu Puu (1997), afirma que Wilhelm Launhardt
publica los mismos resultados en 1882.
Considérese la propuesta de Alfred Weber en la que una firma busca la ubicación
óptima que minimice los costos de transportación cuando se tienen dos puntos fijos que
son fuente de materia prima y un tercer punto que representa al mercado. Es fácil intuir
que la ubicación óptima no puede estar fuera del triángulo formado por los tres puntos
fijos, pues estando en un punto exterior a dicho triángulo es posible moverse a algún
lugar dentro del triángulo disminuyendo al mismo tiempo las distancias a los tres
vértices.
En la figura 2.1 se muestra esta situación con un punto P cuyas distancias a los
puntos fijos son D1, D2 y D3. Al mover a P hacia el interior del triángulo se observa que
las distancias d1, d2 y d3 son menores que D1, D2 y D3, respectivamente.
Sin embargo una vez estando dentro del triángulo en alguna ubicación fija para la
firma, no es posible cambiar tal ubicación sin que se incremente alguno de los tres
costos de transportación.
En el punto óptimo las fuerzas se encuentran balanceadas, por lo que al moverse en
alguna dirección se tendrían ganancias y pérdidas en los costos de transportación, lo que
no es conveniente hacer movimiento alguno.
Figura 2.1 La ubicación óptima no puede estar fuera del triángulo
Varignon propuso un método de solución basado en un aparato mecánico conocido
como máquina de Varignon [Tönu Puu, 1997]. Su idea básica es el balance de fuerzas
que se ejemplifica en la figura 2.1. La máquina de Varignon consta de un marco de
material muy liso, con tres hoyos en la ubicación de las fuentes de materia prima y del
mercado.
Si se amarran con un nudo tres listones, luego se pasa cada extremo por los hoyos y
se suspende de ellos el peso correspondiente a cada punto, entonces el nudo quedará en
reposo en el lugar correspondiente a la ubicación óptima de la firma. Esto se debe a que
el costo de transportación o peso de los puntos corresponde a la energía potencial de este
sistema. Ver figura 2.2
De manera análoga se puede afirmar que para que la ubicación óptima ocurra en
alguno de los hoyos, es suficiente que la fuerza neta que ejercen los pesos en los otros
hoyos sea igual al peso del listón en ese hoyo [Tönu Puu, 1997].
Figura 2.2 Máquina de Varignon para encontrar el punto de Weber.
En los años 30 se puso de manifiesto un error que duró alrededor de 20 años: la
oficina de censos de EUA calculaba el centro de gravedad de poblaciones y le atribuía a
éste las propiedades del punto de mínimo traslado agregado, es decir, de la mediana
espacial de los puntos [Drezner et al, 2002]. Este sigue siendo un error común en sentido
contrario: al tratar de encontrar el punto de la mediana espacial, equivocadamente se
encuentra el centro de gravedad.
En 1936 el joven húngaro Endre Vaszonyi Weiszfeld propone un método iterativo
para hallar la mediana espacial para un número grande de puntos con pesos diferentes.
En él se propone derivar la función objetivo e igualarla a cero para obtener las
condiciones de optimalidad y de ellas separar parcialmente el punto (x, y).
Posteriormente se usa un proceso iterativo que mejora cada vez las soluciones
resultantes.
Debido a las dificultades de los cálculos involucrados en el proceso, este método
permanece sin ser usado hasta 1958, año en que Miehle lo redescubre al trabajar en un
problema derivado del problema de Steiner, y más tarde, en 1963, Cooper utiliza sus
ideas principales como parte de su famoso algoritmo de ubicación y asignación.
2.4 El problema de Weber con Atracción y Rechazo
Hay ocasiones en que se tiene un conjunto de puntos demanda y se busca la
ubicación para una instalación pero la cercanía de esta instalación a algunos de los
puntos demanda es favorable, mientras que para otros puntos la cercanía es
desfavorable. Ejemplos de esto son la instalación de instalaciones deportivas o de
centros de recreación que pretenden estar accesibles a los usuarios potenciales, pero que
por otra parte producen ciertos efectos negativos como ruido y congestionamientos. Esta
situación da lugar a una variante del problema de Weber conocida como problema de
Weber con atracción y rechazo.
En este problema el objetivo consiste, al igual que en el problema de Weber, en
encontrar la ubicación de una instalación de manera que se minimice la suma ponderada
de sus distancias a los puntos demanda. La diferencia con el problema tradicional es que
a algunos de los puntos se les asigna un peso negativo.
El estudio del problema de Weber con atracción y rechazo es muy reciente. El primer
problema de ubicación que tiene que ver con pesos positivos y negativos es el llamado
problema complementario. Este problema fue propuesto por vez primera en el libro
“What is Mathematics?” que en 1941 escriben Courant y Robbins.
La propuesta del problema complementario es la siguiente: dados tres puntos en el
plano, dos de los cuales tienen un peso de +1 y el tercero tiene peso -1, encontrar un
cuarto punto de tal forma que la suma de las distancias euclidianas sea mínima. Krarup
(1998) muestra que Courant y Robbins resolvieron de manera incorrecta este problema
y propone un procedimiento geométrico para encontrar la solución correcta. Más tarde
Jalal y Krarup (2003) generalizan este procedimiento para cualquier combinación de
pesos positivos y negativos asociados a los vértices del triángulo.
El primero en considerar el problema de Weber en general con algunos pesos
negativos fue Tellier. Tellier estudió este problema en 1985, sin embargo publicó sus
resultados cuatro años más tarde junto con Polanski [Jalal et al., 2003]. Más tarde
Drezner y Wesolowski estudiaron el problema de Weber usando algunos pesos
negativos. En su trabajo la cercanía a algunos de los puntos involucrados era
desventajosa, y eso lo reflejaron asignándoles un peso negativo.
Cuando se quiere ubicar una instalación y se asignan pesos negativos a algunos de los
puntos demanda, estos pesos se pueden interpretar como el grado de desaprobación de
los clientes hacia la instalación. Los clientes que están representados por los puntos
demanda con pesos negativos pueden no desear que la instalación esté cerca de ellos por
el riesgo que ésta representa, o bien debido al ruido que produce o al vandalismo que
genera, etc
En la situación extrema de que todos los pesos sean negativos la ubicación de la
facilidad se alejará de todos los puntos demanda. En este caso los costos de
transportación son irrelevantes debido al riesgo que la ubicación de tales instalaciones
conlleva. A este tipo de facilidad se le llama completamente indeseable, [Drezner et al,
2002].
Uno de los objetivos más comunes en los problemas de ubicación de facilidades
indeseables es el de minimizar el riesgo que provocan. Estos problemas tienen entre
otras aplicaciones la ubicación de plantas nucleares y de lugares de almacenamiento de
desechos tóxicos.
En 1981 Hansen, Peeters y Thisse proponen su famoso método de optimización
global conocido como cuadrado grande cuadrado pequeño o BSSS por sus siglas en
inglés. Este método se aplica para resolver problemas grandes de Weber con atracción y
rechazo y problemas de facilidades indeseables y fue generalizado por Plastria, (1992).
Drezner y Suzuki (2003) proponen una variante a este método. En ella triangulan la
región factible para resolver problemas no convexos, y prueban su método, triángulo
grande, triángulo pequeño, con problemas de facilidades indeseables y problemas de
Weber con atracción y rechazo. Resuelven problemas desde 10 hasta 10000 puntos
demanda, con pesos generados uniformemente en el intervalo [0, 1].
Los casos que encuentran más difíciles de resolver son precisamente aquellos en que
la mitad de los pesos son positivos y la mitad negativos, lo cual coincide con lo que
Maranas y Floudas reportan en 1994: que los problemas más fáciles de resolver son
aquellos en los que predominan ya sea los pesos positivos o los negativos.
Con el desarrollo de la optimización global se ha avanzado en la solución de
problemas “d-c”, que son aquellos en que su función objetivo y restricciones pueden
escribirse como diferencia de funciones convexas. Pertenecen a esta clase el problema
de Weber con atracción y rechazo y el problema de la p-mediana condicional.
El problema de Weber con atracción y rechazo está relacionado en cierta forma con
la ubicación de facilidades semi-indeseables, esto es, facilidades que con algunos puntos
demanda tienen interacciones positivas, por lo que se desea su ubicación cerca de ellos,
pero por otra parte hay otros puntos demanda con los que tiene interacciones negativas y
se desea la ubicación lo más alejada posible de ellos.
Este tipo de problemas se modelan generalmente como problemas biobjetivo.
Carrizosa y Conde (2000) trabajan este problema en ambiente de redes y utilizan una
función agregada que depende de los costos de transportación y de la utilidad ambiental.
Muestran que cuando esta función agregada es la diferencia de la utilidad ambiental y
los costos de transportación, el problema se convierte en el problema de la p-mediana
con atracción y rechazo, y que bajo ciertas condiciones es posible afirmar que existe
solución óptima, con las p facilidades ubicadas en los nodos.
En la actualidad se sabe que si la suma de los pesos es positiva, el problema tiene
solución óptima [Carrizosa et al., 1999].
2.5 El problema de la Mediana Condicional
En el problema de la mediana condicional se encuentran establecidas de antemano
una serie de facilidades que sirven a un conjunto de puntos demanda, y se desea ubicar
una o más instalaciones con el propósito de mejorar el servicio a los clientes. El cliente
escogerá la nueva instalación para satisfacer su demanda sólo si está más cerca que la
facilidad que lo satisfacía anteriormente. Esta es una variante del problema de ubicación
y asignación conocido como problema de Weber de fuentes múltiples.
En el problema de Weber de fuentes múltiples se tiene un conjunto de clientes cuyas
ubicaciones y demandas se conocen. Se pretende ubicar varias instalaciones que
satisfagan las demandas de los clientes pero además se desea asignar a cada cliente una
facilidad. El objetivo es minimizar la suma ponderada de las distancias de los clientes a
su facilidad asignada. Como las facilidades no tienen restricciones de capacidad, cada
cliente satisface su demanda en la facilidad que le resulte más cercana [Brimberg et al,
2000].
Cooper (1963) estudia ampliamente el problema de ubicación y asignación y propone
su famosa heurística de ubicación y asignación siguiendo muy de cerca el método
iterativo de Weiszfeld. Estudia además las propiedades de su función objetivo, como la
no convexidad y el hecho de que puede tener un gran número de óptimos locales
[Cooper, 1964].
En el problema de la mediana condicional se asume que se encuentra ubicado
previamente un conjunto de facilidades que sirven a un conjunto conocido de puntos
demanda, donde cada punto demanda tiene asignado un peso de acuerdo con su
demanda.
Se considera la construcción de facilidades adicionales de tal manera que se minimice
la suma ponderada de las distancias de los clientes a su facilidad más cercana, la cual
puede ser la que lo servía anteriormente, o alguna de las recién ubicadas. Esto es, se
buscan las ubicaciones que reduzcan lo más posible la suma ponderada de las nuevas
distancias de servicio de cada uno de los clientes.
Cuando el número de las nuevas facilidades a ubicar es p, el problema se conoce
como problema de la p-mediana condicional.
Lin estudia por vez primera este problema en 1975 al tratar de ubicar una nueva
instalación de emergencia en una red, [Chen et al, 1998]. El término “condicional” es
usado por primera vez por Minieka, al trabajar con centros y medianas en un grafo,
[Chen, 1988].
Un problema de centro es aquel en que se tiene un conjunto de puntos demanda, cada
uno de ellos con una distancia crítica y se considera cubierto si la nueva instalación esta
dentro de dicha distancia. Cada punto demanda tiene además asignado un peso y se
desea ubicar una instalación de tal manera que se maximice el peso total de puntos
demanda que son cubiertos por la instalación.
Minieka llama centro condicional al centro que junto con una serie de centros ya
establecidos maximiza el peso total de puntos cubiertos por todas las instalaciones,
incluyendo a la nueva.
En su trabajo de 1988, Chen resuelve problemas condicionales minisuma y minimax
con hasta 200 clientes, tres facilidades existentes y de una a seis nuevas facilidades en el
espacio euclidiano. Propone una solución heurística que da buenos mínimos locales y es
una variante de su método de aproximación para el problema de Weber de fuentes
múltiples.
Más tarde, en 1998, Chen et al aplican el método de programación d-c, minimización
cóncava y la enumeración de vértices de politopos para resolver problemas de Weber
con fuentes múltiples, problemas de p-mediana condicional y de ubicación de
facilidades con distancias limitadas.
Trabajan con problemas de una nueva facilidad, desde 20 hasta 1000 clientes y desde
una hasta 20 facilidades existentes y con problemas de dos nuevas facilidades en
problemas de 10 a 200 clientes y desde una hasta 10 facilidades existentes.
Un algoritmo heurístico para problemas de p-mediana condicional es propuesto por
Drezner, (1995). Dicho algoritmo resuelve en cada iteración un problema de p-mediana.
En su trabajo, Drezner propone además un algoritmo óptimo para el problema de
1-mediana condicional.
Se presentan resultados computacionales del algoritmo heurístico aplicado a un
problema de 100 puntos demanda, 7 facilidades establecidas y una nueva instalación por
ubicar. Se usan 100 soluciones iniciales y se llega en total a 29 óptimos locales
diferentes.
CAPÍTULO 3
MODELACIÓN MATEMÁTICA
El problema de decisión que se aborda en el presente trabajo considera tres políticas
asociadas a igual número de modelos matemáticos dentro de la teoría de ubicación de
instalaciones.
En este capítulo se presentan los supuestos del problema, se describen de manera
detallada cada una de las políticas y se plantean los modelos asociados.
Asimismo, se explica la manera en que se evalúa cada política considerando su
modelo correspondiente.
3.1 Supuestos
Como se ha mencionado con anterioridad, el problema que se aborda es el siguiente:
Una firma que planea ubicar una instalación en un mercado considera tres
políticas diferentes para tomar su decisión. En el espacio de ubicación se encuentran de
antemano establecidas otras facilidades con las cuales la nueva instalación competirá.
La firma desea evaluar las tres políticas con el fin de tomar su decisión utilizando la
política que le reditué la mayor captura de mercado.
Con el propósito de estudiar el problema de una manera sistemática se hacen las
siguientes consideraciones:
El mercado al cual planea entrar la firma está compuesto de n clientes representados
por las coordenadas de n puntos demanda en el espacio ( ) ( )1 ,01 ,0 × . Se tiene una
demanda puntual e inelástica o fija, en la que cada cliente demanda una unidad del
producto que ofrecen las instalaciones.
Se eligió este espacio de ubicación porque se observó que es común considerarlo al
trabajar con problemas de ubicación. Esto sucede porque en cualquier espacio que se
tenga puede hacerse una normalización que resulte en el que aquí se considera.
El que la demanda de cada cliente sea implica que para la firma que planea la
ubicación todos los clientes tienen el mismo valor. Se puede pensar que esto ocurre con
instalaciones que brindan un servicio al cliente y donde una de las políticas es brindar el
mejor servicio a todos y cada uno de los clientes.
En el espacio de ubicación se encuentran previamente establecidas m instalaciones
del mismo tipo que el de la instalación que la firma desea ubicar. Se conocen las
coordenadas de ubicación de los puntos demanda y de las instalaciones establecidas.
Se asume que se tiene competencia estática, por lo que se considera que la
competencia no reacciona ante la nueva instalación. Se asume además que los clientes
satisfacen toda su demanda en la facilidad más cercana, y en caso de empate eligen la
nueva instalación. Cuando esto último sucede se dice que los clientes tienen una
orientación por la novedad [Plastria, 2001].
Se considera entonces un modelo de proximidad y determinístico en el espacio
continuo, en el cual la cercanía está determinada por la distancia euclidiana.
Se asume que la nueva instalación no tiene restricciones de capacidad, por lo que
puede satisfacer la demanda de todos los clientes que lo requieran.
Con estos supuestos cuando la firma establece su instalación, capturará a todos los
puntos demanda para los que la distancia a la nueva instalación es menor o igual que la
distancia de servicio que tenían.
3.2 Políticas de Decisión
A continuación se explica a detalle en qué consiste cada una de las políticas
consideradas y se plantean los modelos que se asociaron a cada una de ellas.
3.2.1 Política 1: Modelo de Weber
Esta política no tiene en cuenta a la competencia a la hora de ubicar la instalación, es
decir, asume que se entra a un mercado virgen en el cual todos los clientes satisfacen su
demanda en la nueva instalación.
Se considera entonces solamente la ubicación de los clientes que forman el mercado
y se busca brindar un buen servicio estableciendo la instalación en el lugar que se
encuentre de manera integral lo más cerca posible de todos los clientes.
Una manera de asegurar tal cercanía consiste en instalarse en el lugar que minimice la
suma de las distancias de la instalación a cada uno de los clientes, por lo que se utiliza el
planteamiento del problema de Weber:
Dadas las posiciones de n clientes en el espacio continuo, así como sus demandas,
¿dónde se debe ubicar una instalación de tal forma que se minimice la suma de las
distancias ponderadas de la instalación a cada uno de los clientes?
El modelo del problema de Weber es el siguiente:
∑=
n
iiiyx yxdw
1, ),(min
donde
),( ii ba = coordenadas del i -ésimo cliente.
iw = peso asociado al i -ésimo cliente.
),( yxdi = 22 )()( ii byax −+− = distancia del i-ésimo cliente al punto (x, y).
Generalmente el peso asociado a cada cliente corresponde a su demanda y como se
asume en este problema que la demanda de cada cliente es uno, se tiene que iw =1 para
todo cliente i .
La política uno, a la que en adelante se hará referencia indistintamente como primera
política o política de Weber, se representa entonces por el siguiente modelo:
∑=
n
iiyx yxd
1, ),(min (3.1)
Se describe enseguida la segunda política que la firma considera para ubicar su
instalación.
3.2.2 Política 2: Modelo de Weber con atracción y rechazo
Esta política pretende determinar la ubicación para la instalación en la que se brinde
un buen servicio a todos los clientes y en la cual se asegure además que no habrá cerca
competidores. Se consideran las ubicaciones tanto de clientes como de facilidades ya
establecidas, pero de manera diferente.
Al igual que en el caso anterior, una forma de modelar el hecho de que se desea
brindar un buen servicio es minimizando la suma de las distancias de la nueva
instalación a cada uno de los clientes. Sin embargo, se debe asegurar que la nueva
instalación no se ubicará cerca de las instalaciones ya establecidas.
Una manera en que se puede modelar esta situación consiste en asignar un peso
negativo a cada una de las instalaciones previamente establecidas e incorporar los
términos resultantes en la suma de distancias que se pretende minimizar.
Esta idea coincide con el planteamiento del problema de Weber con atracción y
rechazo, que como se ha mencionado ya, es una variante del problema original de
Weber. Es por ello que se decidió asociar este modelo a la segunda política.
El planteamiento del problema de Weber con atracción y rechazo es el siguiente:
Se tiene un conjunto de puntos demanda en el espacio continuo los cuales tienen
asociados pesos que pueden ser positivos o negativos. El objetivo es encontrar el punto
que minimice la suma ponderada de sus distancias a cada uno de los puntos demanda.
En el problema de estudio a los n puntos demanda que corresponden a los clientes se
les asigna un peso igual uno, mientras que a los puntos correspondientes a las m
facilidades previamente establecidas se les asigna un peso negativo, que es igual para
toda instalación. Al final del siguiente capítulo se explica cómo se asignaron los pesos
negativos de las facilidades en las instancias de la experimentación.
Se tiene entonces el siguiente modelo:
+ ∑∑
==
m
jC
n
iAyx yxdwyxd
ji11
, ),(),(min (3.2)
donde
A i = ),( ii ba = coordenadas del i -ésimo cliente.
C j = ),( jj dc = coordenadas de la j -ésima instalación ya establecida.
w = valor negativo asociado a cada instalación ya establecida.
),( yxd P = distancia del punto P al punto (x, y).
{ }ni ,...,2,1∈ y { }mj ,...,2,1∈ .
En adelante se hará referencia a la política 2 como segunda política o política de
rechazo.
A continuación se describe en qué consiste la tercera política y se presenta el
planteamiento de su modelo correspondiente.
3.2.3 Política 3: Modelo de 1-mediana condicional
Esta política consiste en considerar a las instalaciones ya establecidas como propias y
buscar entonces la ubicación donde la nueva instalación, en conjunto con las
instalaciones previamente establecidas, mejore lo más posible el servicio a los clientes.
De alguna forma esta política muestra especial interés por aquellos clientes que están
más inconformes con el servicio que reciben de las instalaciones ya establecidas, y busca
satisfacer la demanda de la mayor cantidad de ellos.
Como se ha supuesto que todo cliente satisface su demanda en la facilidad más
cercana, y que en caso de empates optan por la nueva instalación, los clientes que
capturará la nueva instalación son aquellos para los cuales su distancia a la nueva
instalación resulte ser menor o igual a su actual distancia de servicio.
El problema de la 1-mediana condicional, también conocido como problema
condicional de Weber, se utiliza comúnmente cuando una firma con facilidades
establecidas en el mercado planea una expansión, con el objetivo de mejorar el servicio a
los clientes. Es por ello que se seleccionó este modelo para asociarlo a la tercera política,
a la que en adelante se hará referencia como tercera política o política de condicional.
El planteamiento del problema de la 1-mediana condicional es el siguiente:
Se tienen establecidas m instalaciones que sirven a un conjunto de n clientes y se
busca la ubicación para una nueva facilidad de tal forma que se minimice la suma de
las distancias de servicio de cada uno de los clientes. Cada cliente será servido por la
instalación que resulte más próxima a él, que puede ser la que lo servía originalmente o
bien la nueva instalación.
El modelo matemático que refleja la situación anterior es el siguiente:
}{[ ]
∑=
),(,minmin11
, yxdD ii
n
yx (3.3)
donde
),( ii ba = coordenadas del i -ésimo cliente.
),( jj dc = coordenadas de la j-ésima instalación ya establecida.
),( yxdi = 22 )()( ii byax −+− = distancia del punto (x, y) al i-ésimo cliente.
22 )()(),( jijiiij dbcabad −+−= = distancia de la instalación j al cliente i .
),(min1 iijmji badD
≤≤=
{ }ni ,...,2,1∈ y { }mj ,...,2,1∈
A continuación se describe la forma evaluar cada una de las políticas usando sus
modelos correspondientes, para poder tomar la decisión sobre dónde ubicar la nueva
instalación.
3.3 Evaluación de las Diferentes Políticas
La evaluación de una política está directamente relacionada con la demanda
capturada por la nueva instalación al ser ubicada en el punto que resulta al resolver el
modelo asociado a dicha política. La política mejor evaluada es aquella que logra la
mayor captura de demanda.
Debido a los supuestos de este problema, la captura de una nueva instalación consiste
en el total de clientes capturados, es decir, el total de clientes para los cuales la distancia
a la nueva instalación es menor o igual que su distancia de servicio.
Por otra parte, conviene recordar que la distancia de servicio de un cliente es la
menor de las distancias del cliente a cada una de las facilidades existentes.
Resumiendo, para evaluar una política es necesario resolver su modelo asociado y
contar el número de clientes para los cuales su distancia al punto solución es menor que
su distancia de servicio.
CAPÍTULO 4
EXPERIMENTACIÓN
En este capítulo se describe el experimento que se diseñó con el propósito de evaluar
las tres políticas de ubicación que una firma considera al buscar la ubicación para su
instalación en un mercado con competencia.
Se definieron tres tipos de instancias en las que se enunciaron los objetivos
particulares que se esperaba lograr. Se diseñó en cada caso un experimento para tratar de
determinar si algunas características de estas instancias sugieren que es más conveniente
aplicar una política sobre las otras
Se tenían algunas hipótesis de que en instancias con ciertas características específicas
alguna política en particular pudiera ser la que tuviera el mejor desempeño. Ello dio
lugar a la definición de los tres tipos de instancias con los que se trabajó en la
experimentación.
Como se mencionó en el capítulo anterior, se puede hacer referencia como política de
Weber a la primera política, política de Rechazo a la segunda y política de Condicional a
la tercera.
4.1 Descripción del experimento
Luego de discutir las diversas situaciones que se pueden observar en la realidad en el
ámbito de las instalaciones competitivas, se decidió definir las siguientes clases de
instancias para obtener información acerca del desempeño de las tres metodologías:
• Instancias en las que tanto los clientes como las facilidades se encuentran
aleatoriamente ubicados de manera uniforme en el área ( ) ( )1 ,01 ,0 × . Se hace
referencia a esta clase de instancias como la clase aleatoria.
• Instancias con las facilidades y la mayoría de los clientes aleatoriamente
ubicados de manera uniforme en el área ( ) ( )1 ,01 ,0 × y donde el resto de los
clientes se encuentran agrupados en un área menor que se localiza a cierta
distancia de ( ) ( )1 ,01 ,0 × . Esta se denomina la clase agrupada.
• Instancias donde los clientes se encuentran ubicados como en las dos clases
anteriores pero que sus facilidades se están aleatoriamente ubicadas de manera
uniforme en un área reducida situada alrededor del centro de ( ) ( )1 ,01 ,0 × . Se
llama a esta clase de instancias la clase reducida.
Para cada clase se diseñó un experimento específico con el fin de obtener
información que permitiera afirmar que las características de dicha clase influyen en el
desempeño de las políticas y para tratar de establecer la ventaja de alguna política sobre
las otras dos.
A continuación se describen los experimentos que se diseñaron para cada clase.
4.1.1 Experimentos para la clase aleatoria
En este caso los clientes y las facilidades se encuentran aleatoriamente ubicados de
manera uniforme en el área ( ) ( )1 ,01 ,0 × , como se muestra en el ejemplo de la figura 4.1.
Como se recordará, en este estudio se asume que se conoce el número n de puntos
demanda y el número m de facilidades establecidas, así como sus coordenadas de
ubicación, que en esta clase aleatoria se hallan ubicados de manera aleatoria. Se desea en
esta clase de instancias determinar si los números n y m afectan el desempeño de las
metodologías.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
Eje x del espacio de ubicación
Eje
y de
l esp
acio
de
ubic
ació
n
ClientesFacilidades
Figura 4.1 Instancia con 40 clientes y 4 facilidades aleatoriamente ubicados.
Debido a lo anterior se decidió considerar al número n de clientes y el número m de
facilidades establecidas como las variables controlables de este experimento.
Se enunciaron los siguientes objetivos para la clase aleatoria:
• Para cada política determinar si el número de clientes y de facilidades
establecidas afectan su desempeño.
• Evaluar el desempeño individual de cada política.
• Comparar el desempeño de las tres políticas con el fin de determinar si alguna de
ellas tiene el mejor desempeño en esta clase de instancias.
En la clase aleatoria se planteó la hipótesis de que la política de Weber sería la mejor
evaluada de las tres políticas.
Para tratar de lograr los objetivos y validar la hipótesis planteada, se diseñaron los
experimentos que se describen a continuación. En todos ellos la variable de respuesta o
índice de desempeño es una normalización de la captura resultante al instalar la nueva
instalación en el punto solución de cada metodología. Más adelante se explica a detalle
en qué consiste tal normalización.
Experimento I-1: Para determinar si el número de clientes y de facilidades
establecidas afectan el desempeño de cada política, se utilizó un diseño factorial de 2
factores a tres niveles con las siguientes características:
1. Niveles para el número de clientes: 20, 40 y 60.
2. Niveles para el número de facilidades: 1, 2 y 4. Ello equivale a que las
facilidades competidoras capturan originalmente el total, la mitad y la cuarta
parte de la demanda total en promedio, respectivamente.
3. Se hicieron 20 réplicas del experimento para cada una de las 32 = 9 corridas
experimentales.
Una vez hecho el diseño, se analizó el modelo general lineal con dos factores y con
interacciones con el fin de determinar la significancia estadística de cada uno de los
factores así como de su interacción. Sin embargo, no se pudieron enunciar los resultados
que dicho modelo arrojó porque no se cumplieron los supuestos requeridos por esta
prueba, como se explica a detalle en el capítulo 6.
Por consiguiente, se trabajó de manera individual con cada factor, determinando su
significancia mediante las pruebas no paramétricas de igualdad de medianas de
Kruskal-Wallis y de Mood [Gibbons, 1976]. Se realizó además el correspondiente
análisis de varianza, (ANOVA), al relajar los supuestos, para determinar si había
concordancia en todos resultados.
En caso de que alguna política tuviera significancia estadística en un factor, se
comparó el desempeño de cada nivel mediante los intervalos de confianza para la
mediana. Asimismo se relajaron los supuestos de la prueba de comparación múltiple de
Hsu [Hsu, 1996], esperando encontrar concordancia en ambos resultados.
Experimento I-2: Se evaluó el desempeño individual de cada política haciendo en
cada caso una prueba de hipótesis sobre el valor de la mediana del índice de desempeño
correspondiente.
Debido a la definición del índice de desempeño, la cual se explica más adelante, el
obtener un valor mayor que uno resulta en un buen desempeño de la política. Por ello en
la prueba de hipótesis se investigó si la mediana de los valores del índice de desempeño
es mayor que uno.
Experimento I-3: Se pretendía comparar los desempeños de las tres políticas
mediante la comparación múltiple de Hsu, sin embargo, no se cumplieron los supuestos
requeridos. Por ello se compararon los desempeños de las políticas mediante las pruebas
de Kruskal-Wallis y de Mood y se validaron los resultados obtenidos al compararlos con
los que arrojó la prueba de Hsu al relajar los supuestos.
En todas las etapas del experimento se utilizaron las instancias descritas para el
diseño factorial.
4.1.2 Experimentos para la clase agrupada
En este tipo de instancias las facilidades y la mayoría de los clientes se encuentran
ubicados aleatoriamente y distribuidos de manera uniforme en el área ( ) ( )1 ,01 ,0 × , a la
que se hace referencia como área original de ubicación. El resto de los clientes se
encuentran agrupados al este del área original a una cierta distancia. El agrupamiento se
ubica en un cuadrado cuya área es proporcional al área original, con respecto a la
cantidad de clientes en cada una de las áreas.
Se decidió tomar el agrupamiento de esta forma pensando en la situación en que la
densidad de clientes en el espacio original se conservara en el agrupamiento. Aunque
esto puede no cumplirse siempre, es razonable para una primera aproximación del
problema.
La figura 4.2 muestra una instancia con un agrupamiento de 10 clientes que se
encuentra ubicado en un área de 1/6 unidades cuadradas, ya que en el área original hay
60 clientes.
En esta clase de instancias, a diferencia de la clase aleatoria, no se esperaba que el
número de clientes y de facilidades establecidas afectaran el desempeño de las
metodologías consideradas.
Las características que se esperaba que pudieran afectar tal desempeño corresponden
a las siguientes propiedades del agrupamiento:
a) su distancia del área original de ubicación ( ) ( )1 ,01 ,0 × y
b) la cantidad de clientes en él, pero no vista de forma aislada, sino comparada con
el promedio de captura de clientes por facilidad existente.
Se definió la distancia del agrupamiento al área original como la mínima distancia
horizontal entre puntos del área de ubicación del agrupamiento y el área ( ) ( )1 ,01 ,0 × . Se
definió de esta forma para facilitar la construcción de las instancias.
Así por ejemplo considérese una instancia cuyo agrupamiento está ubicado en el
cuadrado ( ) ( )eddecc +×+ , , y tiene 1n clientes, mientras que en el área original hay n
clientes. En este problema la distancia del agrupamiento al área original es 1−c y
debido a la proporción que el área en que se ubica el agrupamiento debe cumplir, se
tiene que nn
e 12 = .
La instancia que muestra la figura 4.2 tiene un agrupamiento que se ubica en
( ) ( )582.0 ,174.0908.1 ,5.1 × a una distancia de 0.5 del área original.
En lo que respecta al tamaño del agrupamiento, se hizo referencia a él mediante el
porcentaje que el número de clientes en dicho agrupamiento representa del promedio de
captura por facilidad. En el ejemplo de la figura 4.2 el agrupamiento tiene tantos clientes
como el promedio de captura por facilidad.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.5 1 1.5 2Eje x del espacio de ubicación
Eje
y de
l esp
acio
de
ubic
ació
n
Clientes en (0, 1)X(0, 1) Clientes agrupados Facilidades
Figura 4.2 Instancia con 7 facilidades y 70 clientes, 10 de ellos agrupados.
Se consideraron instancias con un número fijo de 72 clientes, 6 de los cuales estaban
agrupados. Se variaron las distancias horizontales del agrupamiento al espacio original
de ubicación ( ) ( )1 ,01 ,0 × y se consideraron diferentes porcentajes de clientes en el
agrupamiento. Cabe hacer notar que los porcentajes de clientes en el agrupamiento, una
vez que se ha fijado el número de clientes y el número de ellos en el agrupamiento, se
obtiene variando el número de facilidades.
Las variables controlables que se consideraron en esta clase son la distancia del
agrupamiento al área original y el porcentaje de clientes en el agrupamiento con respecto
al número total de clientes.
Como se esperaba encontrar resultados análogos a los de la primera clase se
utilizaron experimentos similares, adecuándolos a la situación particular de la clase
agrupada. Se definió de la misma forma la variable de respuesta o índice de desempeño
para cada política, ésta se explica en el punto 4.2.
En esta clase se tenía la hipótesis de que la política de Condicional sería la política
con el mejor desempeño.
Experimento II-1: Para el primer objetivo se utilizó un diseño factorial de 2 factores a
tres niveles. Las características correspondientes a este diseño fueron:
1. Niveles para el porcentaje de clientes en agrupamiento: 25, 50 y 100. Esto quiere
decir que se consideraron 3, 6 y 12 facilidades, ya que como se mencionó, todas
las instancias tenían 72 clientes, 6 de los cuales estaban agrupados.
2. Distancias horizontales del agrupamiento a ( ) ( )1 ,01 ,0 × : 0, 0.25 y 0.5 unidades.
3. Al igual que en la primera clase, se hicieron 20 réplicas del experimento.
Se pretendía analizar el modelo general lineal con interacción, pero al igual que en la
clase aleatoria, no se cumplió con los supuestos, por lo que se trabajó de la misma
forma que se describe en el experimento I-1.
Experimentos II-2 y II-3: La evaluación del desempeño individual de cada una de las
políticas y la comparación de dicho desempeño entre ellas se realizaron de la misma
manera que en el caso de la clase aleatoria.
4.1.3 Experimentos para la clase reducida
En esta clase se trabajó con instancias con las mismas características de los clientes
que en las dos clases anteriores, pero cuyas facilidades se encontraban aleatoriamente
ubicadas y distribuidas de manera uniforme en un área reducida de 1/16 unidades
cuadradas situada alrededor del centro del área ( ) ( )1 ,01 ,0 × .
Se pretendía comparar los resultados obtenidos en estas instancias con los
correspondientes resultados obtenidos en las primeras dos clases, por lo que se utilizaron
las mismas instancias de las clases anteriores, a las que se les cambió la ubicación de las
facilidades por otras situadas en un área menor. Se descartaron únicamente las instancias
de la clase aleatoria con una sola facilidad.
Se consideran entonces en esta clase dos subclases de instancias:
• La subclase 3 aleatoria consiste de instancias con clientes aleatoriamente
distribuidos de manera uniforme en ( ) ( )1 ,01 ,0 × .
• La subclase 3 agrupada consta de instancias con la mayoría de los clientes
ubicados aleatoriamente y distribuidos de manera uniforme en el área
( ) ( )1 ,01 ,0 × , y el resto de ellos agrupados al este del área original a una cierta
distancia.
Ambas subclases tienen en común que las facilidades se encuentran ubicadas en un
área reducida. La figura 4.3 muestra un ejemplo de cada subclase.
Figura 4.3 a) Ejemplo de una instancia de la subclase 3 aleatoria.
b) Ejemplo de una instancia de la subclase 3 agrupada.
Para cada subclase de instancias se pretendía lograr objetivos similares a los de la
clase de la cual provienen, por lo que en estas instancias se realizaron los mismos
experimentos que se hicieron en la clase de donde provienen.
Para efectos de claridad en la discusión de los resultados, los experimentos realizados en
la subclase 3 aleatoria y en la subclase 3 agrupada se renombran como III-1A, III-2A ,
III-3A y III-1B, III-2B y III3B, respectivamente.
Experimentos III-4A y III-4B: En cada subclase se comparó el desempeño de cada
política con el desempeño que dicha política obtuvo en la clase anterior mediante una
comparación de medianas de las correspondientes variables de respueta..
Para esta clase de instancias se tenía la hipótesis de que en la subclase aleatoria el
mejor desempeño fuera para la política de Rechazo y que en la subclase agrupada la
política de Condicional fuera la mejor evaluada.
4.2 Variable de respuesta o índice de desempeño
En cada una de las fases del experimento era necesario evaluar los resultados que
arrojan cada una de las tres políticas. Como se mencionó anteriormente, la evaluación de
cada política está directamente determinada por la captura que la nueva instalación
obtiene al ser ubicada en el punto solución de la metodología asociada a dicha política.
Por otra parte, el mercado capturado por la nueva facilidad consiste en el conjunto de
clientes o puntos demanda para los cuales la nueva instalación resulta estar más cerca de
ellos que cualquier otra facilidad existente.
Teniendo en cuenta lo anterior se decidió considerar como medida de desempeño
para cada una de las fases del experimento a una normalización de la captura de mercado
de la nueva instalación. Si se tiene una instancia con m facilidades establecidas y n
puntos demanda y se encuentra que la nueva instalación captura p puntos demanda,
entonces el índice de desempeño I está dado por ( )1+
= m
npI
Esta medida de desempeño representa la proporción del promedio de captura que
obtiene la nueva facilidad considerando que luego de instalarse habrá m+1 facilidades
que se disputarán el total del mercado presente. Así por ejemplo, si la nueva facilidad
obtiene un índice de desempeño de 1 o mayor, se puede decir que su desempeño es
bueno, pues ello significa que obtuvo tanto o más demanda que el promedio de captura
de las facilidades ya instaladas.
Teniendo en mente la idea de una sociedad justa y equitativa es sensato pensar que la
firma estaría satisfecha con la política que obtuviera al menos 1 como índice de
desempeño, pues ello implicaría que la captura al ubicar la instalación en el punto
correspondiente sería al menos igual al promedio de captura por facilidad. Se recuerda
que en este estudio la ubicación de la instalación se basa en tres políticas particulares
que la firma puede considerar.
4.3 Ajuste de peso de rechazo
Como ya se ha mencionado, en el problema de Weber con atracción y rechazo se
busca minimizar la suma ponderada de las distancias a un conjunto de puntos dados. En
el problema de estudio, los puntos demanda tienen asociado un peso de 1, que
corresponde a su demanda, mientras que las facilidades existentes tienen un peso
negativo.
El peso negativo asociado a las facilidades existentes determina en cierta forma el
nivel de rechazo que dichas facilidades sienten por la nueva facilidad. Enseguida se
explica cómo se determinó el peso negativo para de las instancias en las tres clases
consideradas.
4.3.1 Clase aleatoria
Al resolver las instancias bajo la segunda política, correspondiente al modelo de
Weber con atracción y rechazo, en un principio se dio un peso de -1 a cada una de las
instalaciones establecidas. Sin embargo al resolver instancias con 40 y 60 puntos
demanda, se observó que las soluciones encontradas resultaban estar muy cerca de las
soluciones halladas bajo la primera política.
Ello sugería que el peso de rechazo debía estar dado en función del tamaño de la
instancia considerada. Se pensó que el valor negativo que se debía asignar a las
facilidades establecidas debía estar en función del promedio de captura de cada una de
estas facilidades.
Con el propósito de establecer el peso de rechazo que debía asignarse a cada tamaño
de instancia se intentó hacer un análisis de varianza donde el factor es el peso negativo,
al cual se le asignaron diferentes valores.
Se consideraron instancias con 40 clientes y 4 facilidades establecidas, en las cuales
el promedio de captura por facilidad es 10. Se utilizaron los niveles de 2, 4, 6 y 8 para
los pesos negativos que se usaron en el planteamiento de la segunda política. Los pesos
seleccionados corresponden al 20, 40, 60, 80 % del promedio de captura por facilidad.
Como no fue posible justificar los supuestos del análisis de varianza, se realizaron las
pruebas no paramétricas de Kruskal-Wallis y de Mood cuya hipótesis nula es que las
medianas en los diferentes niveles de un tratamiento son iguales.
Los resultados de ambas pruebas mostraron que no había diferencia significativa en
la mediana de la variable de respuesta, por lo que era posible usar cualquiera de los
pesos considerados.
Se decidió tomar el peso -2 por ser el peso en que se encontró el mayor valor para la
mediana. Este valor representa el 20% del promedio de captura por instalación
previamente establecida. Por eso se dio al peso de rechazo el valor que corresponde al
20% del promedio de captura por facilidad establecida. La tabla 4.1 muestra los pesos
asignados a las instancias de esta clase de acuerdo al número de clientes y de
instalaciones establecidas.
Tabla 4.1 Pesos asignados a las instancias de la clase aleatoria
4.3.2 Clase agrupada
En esta clase se realizaron también las pruebas de Kruskal-Wallis y de Mood para
determinar el peso que se debía asignar a las instancias de esta clase en el modelo de
Weber con atracción y rechazo. Se trabajó con las instancias de 72 puntos demanda, 6 de
ellos agrupados a una distancia de 0.25 del área original de ubicación, y con 6
facilidades existentes. En estas instancias el promedio de captura por facilidad es de 12.
Se usaron los valores de 2, 6 y 10 para los niveles del peso de rechazo. Los resultados
mostraron que no había diferencia significativa en los valores de la mediana del índice
de desempeño con los niveles seleccionados y que el mayor valor para la mediana se
obtuvo cuando w = - 6.
Ya que 6 es la mitad del promedio de captura por facilidad, se decidió tomar el 50%
del promedio de captura por facilidad en todas las instancias de la clase agrupada. La
tabla 4.2 muestra los valores del peso negativo para las instancias de esta clase.
Tabla 4.2 Pesos asignados a las instancias de la clase reducida.
4.3.3 Clase reducida
Las instancias de esta clase provienen de la clase aleatoria y la clase agrupada, por lo
que los pesos asignados son los mismos que se utilizaron en las clases respectivas.
4.4 Implementación computacional
Para llevar a cabo los experimentos descritos en el presente capítulo, era necesario
generar en cada clase un conjunto de instancias con las características correspondientes a
dicha clase.
Luego, para cada instancia se debía encontrar la variable de respuesta para cada una
de las políticas. Como se ha mencionado, se requiere en cada caso evaluar la captura que
se obtiene en el punto solución que arroje la metodología asociada a cada política.
Enseguida se describe la manera en que se llevó a cabo proceso mediante el cual se
realizó lo anterior.
4.4.1 Generación de instancias
Las instancias para cada una de las clases que se utilizaron en el experimento fueron
generadas mediante programas en C++. En cada caso se hizo un programa que generaba
dos tipos de archivos de texto: uno para ser utilizado por el software GAMS [Brooke et
al., 1992] y otro para ser utilizado por un programa en C++. Ambos archivos
representaban las coordenadas de los clientes y las facilidades existentes en el formato
correspondiente para ser leído por GAMS y por el programa escrito en C++ para evaluar
la captura.
4.4.2 Evaluación de la variable de respuesta
El punto solución que arroja cada política de ubicación se obtuvo mediante la
utilización del optimizador “dnlp” del GAMS para resolver el programa correspondiente
a cada caso. Dicho optimizador es utilizado para resolver programas no lineales con
derivadas discontinuas, como resultan ser cada uno de los modelos considerados para las
políticas de ubicación.
GAMS requiere un formato específico para los datos que utiliza y puede leerlos de
archivos de texto que cumplan con este formato. Por consiguiente, el generador de
instancias fue diseñado de modo que generara los datos de manera conveniente para ser
leídos por GAMS.
Una vez encontrado el punto solución correspondiente a cada política, los tres puntos
obtenidos se anexan al segundo archivo que generó el programa en C++. Se hizo un
segundo programa en C++ que evalúa la captura de cada punto solución.
Cabe hacer notar que al resolver las instancias con los modelos del problema de
Weber y el problema de Weber con atracción y rechazo se obtuvo en cada caso siempre
la misma respuesta, sin importar la solución inicial de la cual se parta en GAMS. Es por
ello que se fijó el punto (0,0) como solución inicial para todas las instancias al
considerar las primeras dos políticas.
Para la tercera política, para la cual las instancias se resuelven utilizando el modelo
de la 1-mediana condicional, se encontraron diferentes óptimos locales dependiendo de
la solución inicial de la cual se partía. Es por ello que se utilizaron 50 puntos iniciales
generados aleatoriamente de manera uniforme en el área de ubicación y se tomó la mejor
solución encontrada.
Una vez obtenida la captura de cada solución, se evalúa el desempeño de cada
política encontrando la medida de desempeño descrita arriba y se vacían estos datos a
una tabla de resultados.
4.4.3 Análisis de los resultados
Para cada clase de instancias se vaciaron los datos correspondientes a la variable de
desempeño de cada una de las políticas a una tabla de resultados. Se utilizó el software
MINITAB release 14.12.0 (2004) como herramienta estadística para poder analizar los
datos mediante las pruebas descritas en este capítulo y así poder establecer conclusiones.
CAPÍTULO 5
RESULTADOS
Se describen a continuación los resultados que se obtuvieron en cada etapa de la
experimentación descrita en el capítulo anterior. Asimismo, se presentan comentarios y
observaciones acerca de dichos resultados.
5.1 Resultados para la clase aleatoria
Como se mencionó en el capítulo anterior, la clase aleatoria se compone de instancias
con facilidades y puntos demanda aleatoriamente distribuidos de manera uniforme en el
espacio ( ) ( )1 ,01 ,0 × . En esta clase de instancias se construyó un diseño factorial cuyos
factores son el número de puntos demanda y el número de facilidades existentes. Los
niveles de los puntos demanda fueron 20, 40 y 60, y para las facilidades los niveles
seleccionados fueron 1, 2 y 4.
Las capturas que se obtuvieron en cada una de las tres políticas fueron muy variables.
Así por ejemplo, en una instancia con 1 facilidad y 40 puntos demanda, se encontró con
la política de Weber que la nueva instalación capturaba 35 puntos demanda, quedando 5
solamente para la facilidad existente, mientras que en otra instancia del mismo tamaño,
Weber capturó solamente 6 puntos demanda, dejando 34 para la facilidad existente.
Los objetivos en esta clase eran:
• Para cada metodología determinar si los factores definidos afectan su
desempeño.
• Comparar el desempeño de las tres metodologías con el fin de determinar si
alguna de ellas tiene el mejor desempeño en esta clase de instancias.
• Evaluar el desempeño individual de cada metodología.
A continuación se describen los resultados que se encontraron al llevar a cabo los
experimentos I-1, I-2 y I-3 diseñados con el fin de lograr tales objetivos.
5.1.1 Desempeño de las políticas en base a los factores
5.1.1.1 Política de Weber
Con el propósito de lograr el primer objetivo se realizó en Minitab el análisis
estadístico del modelo de efectos fijos
ijkijjiijky ετββτµ ++++= )(
En él µ representa el efecto promedio global, iτ es el efecto del i-ésimo nivel del
primer factor, jβ es el nivel j-ésimo nivel del segundo factor, ( )ijτβ es la interacción
entre iτ y jβ y ijkε es el error aleatorio. Este modelo tiene como supuesto la normalidad
de los residuos y varianza constante, aunque desconocida.
Tabla 5.1 Resultados del modelo general lineal con dos factores.
Los resultados mostrados en la tabla 5.1 indican que el número de facilidades es
significativo, es decir, afecta el desempeño de la política de Weber, no así el número de
puntos demanda ni la interacción puntos demanda – facilidades.
Se observa que los valores de R2 y R2 ajustada son muy pequeños, y como se sabe, en
general se esperan valores mayores a 60% para R2 ya que ésta representa
totalvariaciónLa variaciónla deexplicar puede se que Lo . Los valores encontrados pueden justificarse en
parte por el tipo de problemas que se está manejando, pero para poder establecer
seriamente que es así, se buscó una cota superior R2upper con la cual comparar los
resultados.
Para ello, para cada ijky se utilizó un error ijke = ijky - .ijy , se calculó el valor de R2
upper como 1-SS ijke /SS ijky y se encontró que R2 upper fue 5.908%. Con ello se
comprobó que a pesar de lo pequeño del número, este es un buen valor para R2. Como el
error utilizado es el promedio de todas las observaciones, R2 upper es una buena cota.
En relación a los supuestos, se trató de verificarlos mediante las gráficas de los
residuales que se muestran en la figura 5.1
Residual
Por
cent
aje
210-1-2
99.9
99
90
50
10
1
0.1
Valores Ajustados
Res
idua
l
1.71.61.51.41.3
1
0
-1
Residual
frec
uenc
ia
1.20.80.40.0-0.4-0.8-1.2
30
20
10
0
Orden de Observación
Res
idua
l
180160140120100806040201
1
0
-1
Gráfica de Probabilidad Normal de los Residuales Residuales Contra Valores Ajustados
Histograma de los Residuales Residuales contra el Orden de los Datos
Gráfica de Residuales para Weber en Aleatorios
Figura 5.1 Gráfica de residuales de la política de Weber en la clase 1.
Por otra parte, y como se tenía tanta variación, se hizo una prueba para determinar si
se contaba con el supuesto de varianza constante, aunque desconocida. En la figura 5.2
se muestran los resultados de Minitab para las pruebas de Bartlett y de Levene de
igualdad de varianzas.
95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs
P D Facilidades
60
40
20
4
2
1
4
2
1
4
2
1
1.41.21.00.80.60.40.20.0
Bartlett's Test
0.000
Test Statistic 64.21P-Value 0.000
Levene's Test
Test Statistic 5.68P-Value
Prueba de Igualdad de Varianza, Residuales de Weber, clase 1
Figura 5.2 Pruebas de igualdad de varianzas para los residuales
Se observa que el p-valor en ambas pruebas es 0.000, por lo que se rechaza la
hipótesis nula de igualdad de varianzas, es decir, no se cumple el supuesto de varianza
constante.
Con el fin de salvar este problema, se buscó una transformación en las observaciones
que lograra estabilizar la varianza, para poder seguir con el análisis del modelo de los
efectos fijos. Sin embargo, a pesar de intentar con diferentes transformaciones como el
logaritmo o la raíz cuadrada de las observaciones, no se consiguió estabilizar la varianza.
Volviendo con los supuestos del modelo de los efectos fijos, se hizo una prueba
formal de normalidad a los datos y se encontró que los datos no cumplen con los
supuestos de normalidad. Ello indica que es necesario recurrir a pruebas no paramétricas
para tratar de encontrar resultados de la variable de respuesta, que es la normalización de
la captura, pero ahora respecto a la mediana de los datos. La figura 5.3 muestra los
resultados de la prueba de normalidad.
RESI1
210-1-2
99.9
99
95
80
50
20
5
1
0.1
Mean
<0.005
-1.78252E-16StDev 0.4996N 180AD 1.361P-Value
Prueba de normalidad de residuales de Weber, clase 1
Figura 5.3 Prueba de normalidad para los residuales
El equivalente al análisis de varianza de dos factores de las pruebas paramétricas es la
prueba de Friedman [Hollander et al., 1999]. La prueba de Friedman analiza un
experimento aleatorizado en bloques que considera sólo un número de datos igual al
número de corridas experimentales y sustituye las 20 réplicas por el promedio de éstas.
Los resultados que arroja la prueba de Friedman sirven para determinar si hay
diferencia significativa en las medianas considerando un factor cada vez, es decir, para
poder concluir en los dos factores debe bloquearse cada vez en cada factor.
En caso de haber empates en los valores de la medida de desempeño, como sucede en
las instancias que aquí se consideran, esta prueba puede ser muy conservadora o muy
liberal. Debido a lo anterior se decidió determinar si el número de puntos demanda y de
facilidades son significativos, haciendo cada vez un análisis de varianza de un sólo
factor, (ANOVA), relajando los supuestos requeridos, con el fin de comparar los
resultados que se obtengan acerca de las medias con los resultados en las medianas que
se obtengan con las pruebas no paramétricas equivalentes. Las hipótesis nulas son
igualdad de medias en el ANOVA y de medianas en las pruebas no paramétricas para los
diferentes niveles de los factores.
Minitab permite hacer dos pruebas no paramétricas para determinar o refutar la
igualdad de medianas bajo diferentes niveles de un tratamiento o factor:
• La prueba Kruskal-Wallis, cuyos supuestos son que las muestras de los
diferentes niveles son muestras aleatorias e independientes de distribuciones
continuas que tienen la misma forma.
• La prueba de Mood, cuyos supuestos son los mismos que la prueba anterior.
La prueba de Mood es más robusta que la Kruskal-Wallis contra valores atípicos y
proporciona intervalos de confianza al 95% para las medianas de los diferentes niveles
del tratamiento, pero es menos poderosa para los datos de muchas distribuciones, por lo
que se usaron ambas pruebas.
En caso de haber significancia en un factor, se pretende comparar el desempeño de la
política en los diferentes niveles de dicho factor. Para ello existen comparaciones
múltiples no paramétricas, sin embargo, su ejecución está fuera del alcance del presente
trabajo.
Por consiguiente, se usó la prueba de Hsu de comparación múltiple de medias,
relajando los supuestos de normalidad e igualdad de varianza de residuos, y con los
intervalos de confianza de las medianas que proporciona la prueba de Mood, se trató de
justificar si se cumplían o no los resultados análogos para las medianas.
Para cada nivel del factor, la prueba de Hsu da como resultado los intervalos de
confianza simultáneos al 95% de la diferencia de la media del nivel, menos la mayor
media de los otros niveles. Asimismo, la prueba de Mood da los intervalos de confianza
individuales para las medianas. Por consiguiente, los resultados de la prueba de Hsu,
confirmados por la prueba de Mood, se enunciaron con las reservas correspondientes. En
caso de que los resultados no coincidan, se enunciaran solamente los resultados que
arroja la prueba de Mood.
Cabe mencionar que si para algún nivel el intervalo de confianza de Hsu tiene como
valor extremo derecho a cero, entonces la mejor media de los otros niveles es mayor que
la del nivel en cuestión. Si se tiene que el extremo izquierdo del intervalo es cero,
entonces la media de dicho nivel tiene la mejor media de todos los niveles. En general, si
ninguno de los extremos del intervalo es cero, entonces los extremos derecho e izquierdo
representan qué tanto la media de dicho nivel puede ser mejor o peor, respectivamente,
que la mejor media de los otros niveles.
Al investigar la igualdad de medias y medianas para la política de Weber en los
diferentes niveles de los puntos demanda y de las facilidades se obtuvieron los
resultados que se muestran en la tabla 5.2.
Tabla 5.2 P-valores de pruebas para la política de Weber.
El ANOVA muestra que no hay evidencia para rechazar la igualdad de medias y en
concordancia con ello las pruebas Kruskal-Wallis y Mood muestran que no hay
evidencia para rechazar la igualdad de medianas, por lo que se puede afirmar que el
número de puntos demanda no es significativo para la política 1.
En lo que respecta al número de facilidades, se observa que de cumplirse los
supuestos, se podría afirmar que las medias de los diferentes niveles de las facilidades
son diferentes, es decir, el número de facilidades es significativo. Las figuras 5.4 y 5.5
muestran los resultados de la comparación múltiple de medias de Hsu y los intervalos de
confianza de las medianas de la prueba de Mood.
Figura 5.4 Prueba de Hsu: Weber contra facilidades
Figura 5.5 Prueba de Mood: Weber contra facilidades.
Como el extremo derecho del intervalo para el nivel de 1 facilidad es cero, la media
de este nivel no puede ser mejor que la mejor de los otros niveles. Por otra parte, los
intervalos de los niveles de 2 y de 4 facilidades indican que la media de 2 facilidades
puede ser 0.1 mejor que la de 4 facilidades, pero ésta última es a su vez 0.25 mejor que
la de 2 facilidades. Podría decirse que la media del nivel 4 es la mejor, sin embargo, es
comparable a la del nivel 2.
En consecuencia, de acuerdo a la prueba Hsu, se puede afirmar que la media para el
nivel de 4 facilidades es mayor que la de 1 facilidad y las medias de los niveles 2 y 4 son
comparables.
Por otra parte, los intervalos de confianza de la prueba de Mood de la figura 5.5
permiten afirmar que la mediana de 4 facilidades es mayor que la mediana de 1
facilidad, y que las medianas de 2 y de 4 facilidades son comparables. Con esto se
confirman los resultados de la prueba de Hsu.
Resumiendo, se encontró que el índice de desempeño de la política de Weber no se
ve afectado por el número de puntos demanda, pero sí por el número de facilidades
establecidas en las instancias de la clase aleatoria. La política de Weber tiene un mejor
desempeño en instancias con 4 facilidades establecidas que en las que hay un sola
facilidad establecida. No hay diferencia en el desempeño de la política de Weber en
instancias con 2 y con 4 facilidades establecidas.
Para las dos políticas restantes se realizó un análisis similar, pues se encontraron
resultados análogos en cuanto a los supuestos de las pruebas paramétricas.
5.1.1.2 Política de Rechazo
En la tabla 5.3 se muestran los resultados de las pruebas de igualdad de medias y de
medianas para la variable de respuesta con la política 2.
Tabla 5.3 P-valores de pruebas aplicadas a la política de Rechazo
Los resultados indican que ambos factores son significativos, y esto es válido tanto
para las medias como para las medianas.
Para tratar de comparar los desempeños en los diferentes niveles de facilidades y
puntos demanda se realizaron las pruebas de Hsu y de Mood y sus resultados se
muestran en las figuras 5.6 y 5.7.
Figura 5.6 Prueba de Hsu: Rechazo contra puntos demanda.
Figura 5.7 Prueba de Mood: Rechazo contra puntos demanda.
De acuerdo con la prueba de Hsu, al tener 20 puntos demanda se obtiene un mejor
desempeño de la política de Rechazo que cuando se tienen 40 puntos demanda. Con 20 y
60 puntos demanda se tienen resultados comparables.
En concordancia con lo anterior, los resultados de la prueba de Mood indican que en
instancias con 20 o 60 puntos demanda la mediana del índice de desempeño de la
política de Rechazo es mayor que la de instancias con 40 puntos demanda.
Esto significa que se tiene un mejor desempeño para la política de rechazo en
instancias con 20 o con 60 puntos demanda que en las que tienen 40 puntos demanda. El
desempeño de la política de rechazo en instancias con 20 puntos demanda es comparable
al desempeño en 60 puntos demanda.
Al considerar como factor el número de facilidades previamente establecidas se
obtuvieron los resultados que se muestran en la figura 5.8.
Figura 5.8 Prueba de Hsu: Rechazo contra número de facilidades.
Figura 5.9 Prueba de Mood: Rechazo contra número de facilidades.
Los resultados muestran que la política de Rechazo tiene su mejor desempeño en
instancias con 4 facilidades previamente establecidas.
5.1.1.3 Política de Condicional Se procedió de manera similar a las dos políticas anteriores. La tabla 5.4 muestra los
p-valores que se encontraron al aplicar las pruebas de igualdad de medias y medianas en
la variable de respuesta de la política de condicional en cada uno de los factores.
Tabla 5.4 P-valores de pruebas aplicadas a la política de Condicional
En este caso se observa que a pesar de que el ANOVA no acusa significancia en el
factor puntos demanda, las pruebas no paramétricas sí. Con relación al número de
facilidades, todas las pruebas indican que es un factor significativo.
Figura 5.10 Prueba de Hsu: Condicional contra número de puntos demanda.
Figura 5.11 Prueba de Mood: Condicional contra número de puntos demanda.
Los resultados de la prueba de Hsu que se muestran en la tabla 5.10 indican que la
media cuando hay 60 puntos demanda es mayor que la media cuando hay 20 puntos
demanda y los desempeños de los niveles de 60 y 40 puntos demanda son comparables.
Resultados similares pueden deducirse de la prueba de Mood cuyos resultados se
muestran en la figura 5.11: la mediana del nivel de 60 es mayor a la mediana del nivel de
20 puntos demanda, pero los resultados de los niveles 40 y 60 puntos demanda son
comparables.
Figura 5.12 Prueba de Hsu: Condicional contra número de facilidades.
Figura 5.13 Prueba de Mood: Condicional contra número de facilidades.
La figura 5.12 indica que al relajar los supuestos podemos afirmar que el mejor
desempeño de la política condicional en el factor facilidades se obtiene en instancias con
4 facilidades. En cuanto a las medianas, se puede afirmar que se obtienen mejores
resultados con la política 3 en instancias con 4 facilidades que en aquellas que tienen una
sola facilidad. Los resultados que se obtienen en instancias con 2 y con 4 facilidades son
comparables entre sí.
5.1.2 Evaluación del desempeño individual de cada metodología
Como se recordará, la evaluación de una ubicación para la nueva instalación es buena
si la variable de respuesta, que es la normalización de la captura, es mayor que uno. Por
ello, y debido a que no se satisfacen los supuestos de las pruebas t para los intervalos de
confianza de las medias, se utilizó su equivalente no paramétrica para las medianas, que
es la prueba de signos de una muestra. Los resultados se muestran en la tabla 5.5.
Tabla 5.5 Prueba de los signos para mediana de las tres políticas
Los resultados indican que para cada una de las tres políticas se rechaza la hipótesis
nula de que la mediana es 1 en favor de la hipótesis alternativa de que la mediana es
mayor que uno, por lo que podemos afirmar que todas las políticas tienen en general un
buen desempeño.
5.1.3 Comparación del desempeño de las tres metodologías o políticas
Con el propósito de comparar el desempeño de las tres metodologías, se pretendía
hacer una comparación múltiple del desempeño de la variable de respuesta en las tres
políticas. Sin embargo como al considerar los resultados de las tres políticas tampoco se
cumplió con los supuestos, esto no fue posible.
Como se mencionó anteriormente, las comparaciones múltiples no paramétricas
quedan fuera del alcance de este trabajo, por lo que se utilizaron las pruebas de
Kruskal-Wallis y de Mood, considerando ahora a las políticas como los diferentes
tratamientos. Al igual que en cada una de las políticas, se hizo primero la prueba
paramétrica correspondiente, que es el ANOVA de un factor, para comparar los
resultados que se obtienen acerca de las medianas de las diferentes políticas con los
resultados de las medias que arroja el ANOVA.
Tabla 5.6 Prueba de igualdad de medias y medianas de la clase 1 contra políticas
En todas las pruebas se obtuvo un p-valor de 0.000, lo que indica que sí hay
diferencia en la captura de los puntos de ubicación que se obtienen al considerar las
diferentes políticas.
Las figuras 5.14 y 5.15 muestran los resultados que se obtienen con la prueba de Hsu
y de Mood con respecto a los intervalos de confianza de las diferencias de la media de
cada política menos la mejor de las otras dos políticas y de las medianas de las diferentes
políticas, respectivamente.
Figura 5.14 Prueba de Hsu: Variable de respuesta contra política.
Figura 5.15 Prueba de Mood: Variable de respuesta contra política.
De acuerdo con los resultados que se muestran en las figuras 5.14 y 5.15 es posible
afirmar que en la clase de instancias aleatorias la política de Weber es la que tiene el
mejor desempeño. Esto confirma la hipótesis que se tenía al definir la clase aleatoria.
5.2 Resultados para la clase agrupada
Como se recordará, la clase agrupada consiste de instancias con un número fijo de 72
puntos demanda, 6 de los cuales se encuentran agrupados a una cierta distancia del área
original de ubicación. En ella se diseñó un factorial en el cual los factores son la
distancia horizontal del agrupamiento al área original de ubicación y el número de
facilidades establecidas.
Se tienen los mismos objetivos que los de la clase aleatoria, por lo que se hicieron
experimentos análogos. Al igual que en la clase aleatoria no se cumplió con los
supuestos de las pruebas paramétricas en ninguna de las fases de la experimentación, por
lo que se procedió de manera similar, utilizando el ANOVA correspondiente relajando
supuestos y comparando sus resultados con las pruebas correspondientes no
paramétricas.
Enseguida se muestran los resultados que se obtuvieron en la clase agrupada con la
experimentación.
5.2.1 Desempeño de las políticas en base a los factores
La tabla 5.7 muestra los resultados de los p-valores de las pruebas de igualdad de
medias y medianas aplicadas a cada política en cada uno de los factores.
Las figuras con las comparaciones múltiples de Hsu y los intervalos de confianza
para las medianas de la prueba de Mood para cada una de las políticas en la clase
agrupada se encuentran en el apéndice C.
Tabla 5.7 p-valores de pruebas. A= ANOVA, K= Kruskal-Wallis, M= Mood
5.2.1.1 Política de Weber
De acuerdo con los p-valores de la prueba de igualdad de medias, no hay diferencia
en las medias de los diferentes niveles de la distancia del agrupamiento al área original,
y la prueba de Kruskal-Wallis arroja el mismo resultado para las medianas. Sin embargo,
la prueba de Mood indica que distancia sí es un factor significativo. De acuerdo con los
intervalos de confianza de las medianas que arroja esta prueba, se observa un mejor
desempeño en la política de Weber cuando la distancia del agrupamiento al área original
de ubicación es 0 que cuando es 0.25 y que el desempeño cuando la distancia es 0.5 es
comparable a los desempeños en los otros dos niveles.
Por otra parte, los p-valores cuando el factor es el número de facilidades establecidas
indican que el desempeño de la política de Weber sí varía con este factor. Las pruebas de
Hsu y de Mood indican que en instancias con 3 facilidades se obtiene un mejor
desempeño que en las cuales hay 12 facilidades establecidas.
5.2.1.2 Política de Rechazo
Los resultados de la tabla 5.7 correspondientes a la política de Rechazo indican que el
número de facilidades no es un factor significativo, pero la distancia sí lo es, con un
nivel de significancia de al menos el 6.6%.
Al relajar los supuestos de la prueba de comparación múltiple de Hsu se podría
afirmar que la política de Weber proporciona la mejor captura en la clase agrupada. Sin
embargo, de acuerdo con la prueba de Mood todo lo que se puede afirmar es que la
política de rechazo tiene mejor desempeño cuando la distancia del agrupamiento al área
original de ubicación es 0 que cuando es 0.25.
5.2.1.3 Política de Condicional
De acuerdo con los resultados de la tabla 5.7, la distancia del agrupamiento al área
original de ubicación es un factor significativo. Por otra parte, tanto la prueba de Hsu
como la de Mood indican que la política Condicional está mejor evaluada cuando la
distancia del agrupamiento al área de ubicación es cero que a cualquier otra distancia.
Al considerar como factor el número de facilidades establecidas, ni el ANOVA ni la
prueba Kruskal-Wallis muestran que este sea un factor significativo. La prueba de Mood
indica lo contrario, pero los intervalos de confianza de las medianas que esta prueba
arroja no permiten afirmar que haya diferencia en el desempeño de la condicional en los
diferentes niveles de la distancia.
Aquí resulta oportuno comentar lo siguiente: al definir la clase agrupada se
sospechaba que la política Condicional tendría un muy buen desempeño, dependiendo
de la interacción de la distancia del agrupamiento y el número de facilidades
establecidas. Sin embargo, como los resultados enunciados se apoyan en las pruebas de
Kruskal-Wallis y de Mood, no es posible determinar interacción entre los factores.
En muchas de las instancias cuya distancia del agrupamiento al área original era 0.25
o 0.5 el punto de ubicación de la política de condicional fue el punto de Weber del
agrupamiento. Ello representa un desempeño bueno de 1.08 en el caso de haber 12
facilidades establecidas, pero francamente malo si el número de facilidades establecidas
es 3, pues el desempeño es de 0.33.
5.2.2 Evaluación del desempeño individual de cada política.
Al igual que en la clase aleatoria, se evaluó el desempeño de cada política haciendo
una prueba de hipótesis sobre el valor de su mediana. Los resultados que se muestran en
la tabla 5.9 indican que todas las políticas tienen en general un buen desempeño.
Tabla 5.9 Prueba de los signos para mediana de las tres políticas
5.2.3 Comparación del desempeño de las tres políticas
Al hacer pruebas de hipótesis de igualdad de medias y medianas bajo los 3 niveles
del factor política se obtienen los p-valores que se muestran en la tabla 5.10. Dichos
valores indican que hay diferencia significativa en el desempeño de la variable de
respuesta entre las diferentes políticas.
Tabla 5.10 Prueba de igualdad de medias y medianas de la clase 2 contra políticas
De acuerdo con los resultados de la figura 5.16, que corresponden a las pruebas de
Hsu y de Mood se puede afirmar que el mejor desempeño en la clase agrupada lo tiene la
política de Rechazo.
Como se recordará, se tenía la hipótesis de que en la clase agrupada la política de
Condicional sería la que obtuviera el mejor desempeño, pero esta hipótesis resultó ser
falsa.
Figura 5.16 Pruebas de Hsu y de Mood: Clase agrupada contra políticas
5.3 Resultados para la clase reducida
La clase reducida consiste de instancias con las mismas características de los clientes
que en las dos clases anteriores, pero las facilidades se encuentran en un área reducida
situada alrededor del centro del área original de ubicación.
Se distinguen aquí dos subclases: la subclase 3 aleatoria cuyas instancias provienen
de la clase aleatoria y la subclase 3 agrupada que proviene de la clase agrupada. En
ambas subclases se pretenden objetivos similares a los de la clase de la cual provienen.
Como se tienen los mismos objetivos, se procedió de forma análoga a las clases
anteriores. A continuación se muestran los resultados.
5.3.1 Subclase 3 aleatoria
Los factores a investigar en esta subclase son el número de puntos demanda y de
facilidades establecidas. Los niveles del primer factor son 20, 40 y 60, sin embargo, para
el segundo factor, se consideran sólo dos niveles: 2 y 4.
Al llevar a cabo los experimentos III-1A, III-2A y III-3A, se encontró que al igual
que en las clases anteriores, no se cumple con los supuestos de las pruebas paramétricas,
así es que se procedió como en las clases anteriores.
5.3.1.1 Desempeño de las políticas en base a los factores
La tabla 5.11 muestra los resultados de los p-valores de las pruebas de igualdad de
medias y medianas aplicadas a cada política en cada uno de los factores.
Subclase aleatoria Política1: Weber Política 2: Rechazo
Política 3: Condicional
Factor A K M A K M A K MDistancia 0 0 0 0.012 0.008 0.002 0.147 0.197 0.356Facilidad 0.037 0.009 0.011 0 0 0 0 0 0
Tabla 5.11 p-valores de pruebas. A= ANOVA, K= Kruskal-Wallis, M= Mood
Para establecer los resultados de una política se utilizan los resultados
correspondientes a dicha política en la tabla anterior, así como las figuras con las
comparaciones múltiples de Hsu y los intervalos de confianza para las medianas de la
prueba de Mood correspondientes a la subclase aleatoria, los cuales se encuentran en el
apéndice C.
5.3.1.1.1 Política de Weber
La tabla 5.11 muestra que hay diferencias en las medias y medianas de los diferentes
niveles de los puntos demanda, así como en los diferentes niveles de las facilidades. Para
cada factor, al relajar los supuestos de la prueba de comparación múltiple de Hsu y
comparar los resultados que ésta arrojó con aquellos que se obtuvieron de la prueba de
Mood se encontró que lo siguiente:
• Teniendo en consideración los puntos demanda, la política de Weber obtiene el
mejor desempeño en instancias con 60 puntos demanda.
• De acuerdo a la prueba de Hsu, al considerar el factor facilidades, se obtiene
mejor desempeño al haber 4 facilidades establecidas, sin embargo, los intervalos
de confianza de la prueba de Mood no permiten confirmar tal afirmación.
5.3.1.1. 2 Política de Rechazo
Los resultados de la tabla 5.11 correspondientes a la política de Rechazo muestran
que tanto el número de puntos demanda como el de facilidades establecidas afectan su
desempeño en la subclase aleatoria.
Tanto la prueba de Hsu como la de Mood permiten afirmar que hay un mejor
desempeño en la política de Rechazo en instancias con 60 puntos demanda que en las
que tienen 40 puntos demanda.
Por otra parte, sin lugar a dudas el mejor desempeño de la política de Rechazo en la
subclase 3 aleatoria se obtiene en instancias con 4 facilidades establecidas.
5.3.1.1.3 Política de Condicional
Como se deduce de los resultados de la tabla 5.11, el desempeño de la política de
Condicional en los diferentes niveles del factor puntos demanda es comparable. Por otra
parte, se puede afirmar que hay diferencia significativa en dicho desempeño cuando el
factor considerado es el número de facilidades establecidas.
El mejor desempeño de la política de Condicional se obtiene en instancias en las
cuales hay 4 facilidades establecidas.
5.3.1.2 Evaluación del desempeño individual de cada política
Los resultados de la prueba de signos aplicada a cada una de las tres políticas en la
subclase aleatoria se muestran en la tabla 5.12. Ya que todas las políticas tienen una
mediana mayor que uno es posible afirmar todas que tienen un buen desempeño.
Tabla 5.12 Prueba de los signos para mediana de las tres políticas
5.3.1.3 Comparación del desempeño de las tres políticas
La tabla 5.13 muestra los p-valores que se obtuvieron al hacer las pruebas de
igualdad de medianas y de medias considerando como factor la política. Todas las
pruebas indican que hay diferencia significativa en el desempeño de la variable de
respuesta que se obtiene con las diferentes políticas en la subclase 3 aleatoria.
Tabla 5.13 Desempeño de subclase 3 aleatoria contra políticas
En la figura 5.17 se muestran los resultados de las pruebas de Hsu y de Mood
aplicadas a los resultados de la subclase 3 aleatoria cuando el factor es la política. De
ellos se puede afirmar que la política de Weber tiene un mejor desempeño que la política
de condicional en esta subclase de instancias y que los desempeños de Weber y Rechazo
son comparables. Se puede afirmar también de acuerdo con la prueba de Mood que la
política de rechazo tiene mejor desempeño que la política de condicional.
Figura 5.17 Pruebas de Hsu y de Mood: Clase 3 aleatoria contra política
Al definir esta clase de instancias se tenía la hipótesis de que la política de rechazo
sería la política mejor evaluada. Sin embargo, de acuerdo con los resultados que se
encontraron dicha hipótesis no se pudo confirmar.
5.3.2 Subclase agrupada
Las instancias de esta subclase provienen de aquellas de la clase agrupada, y al igual
que en ella los factores en esta subclase son las distancia del agrupamiento y el número
de facilidades establecidas.
Los niveles que se tienen son 0, 0.25 y 0.5 para la distancia y 3, 6 y 12 para las
facilidades.
Se trabajó de la misma forma que en las clases anteriores ya que al llevar a cabo los
experimentos III-1B, III-2B y III-3B tampoco se cumplió con los supuestos de las
pruebas paramétricas.
5.3.2.1 Desempeño de las políticas en base a los factores
Tabla 5.14 p-valores de pruebas. A= ANOVA, K= Kruskal-Wallis, M= Mood
Las figuras con las comparaciones múltiples de Hsu y los intervalos de confianza
para las medianas de la prueba de Mood para cada una de las políticas en la subclase
agrupada se encuentran en el apéndice C.
5.3.2.1.1 Política de Weber
Los resultados que muestra la tabla 5.14 indican que la distancia no es un factor
significativo en el desempeño de la política de Weber en la subclase agrupada. En lo que
respecta al factor número de facilidades, el ANOVA muestra que las medias de sus
diferentes niveles son iguales, sin embargo, las dos pruebas no paramétricas indican que
este factor es estadísticamente significativo.
De acuerdo con la prueba de Mood, la política de Weber tiene un mejor desempeño
en instancias con 3 facilidades que en aquellas con 12 facilidades establecidas. Cabe
mencionar que el desempeño de la política de Weber es francamente malo en instancias
con 6 y 12 facilidades, ya que la nueva instalación obtiene una captura menor al
promedio de captura por facilidad.
5.3.2.1.2 Política de Rechazo
De acuerdo con los resultados de las pruebas que se muestran en la tabla 5.14 la
distancia no es un factor significativo en el desempeño de la política de Rechazo en la
subclase agrupada, pero el número de facilidades establecidas sí lo es.
Luego de realizar las pruebas de Hsu y de Mood se puede afirmar que la política de
Rechazo en la subclase agrupada tiene su mejor desempeño en instancias con 12
facilidades establecidas, y que este desempeño es mejor por mucho al de los otros dos
niveles.
La mediana para la política de Rechazo aplicada a las instancias con 12 facilidades es
mayor de tres, lo cual indica que en estas instancias se tiene un muy buen desempeño ya
que la nueva instalación obtiene más del triple del promedio de captura por facilidad
establecida.
5.3.2.1.3 Política de Condicional
Los resultados de la tabla 5.14 correspondientes a la política de condicional indican
que tanto la distancia del agrupamiento como el número de facilidades establecidas son
factores significativos.
Relajando los supuestos de la prueba de Hsu es posible afirmar que la política
condicional tiene el mejor desempeño en la subclase agrupada cuando la distancia
horizontal del agrupamiento al área original es de 0, lo cual se confirma con la prueba de
Mood.
Cuando el factor es el número de facilidades establecidas los resultados de la prueba
de Hsu y los de la prueba de Mood no coinciden. Si se cumplieran los supuestos de la
prueba de Hsu podría afirmarse que la política de condicional tiene el mejor desempeño
en instancias en las cuales hay establecidas 12 facilidades. Sin embargo, la prueba de
Mood indica que el desempeño de la política de condicional es comparable en los tres
niveles del número de facilidades establecidas.
Al igual que en la clase agrupada, que es de donde proviene esta subclase, en este
caso sería particularmente útil poder determinar si hay interacción entre los factores
considerados.
A continuación se pretende determinar si alguna política tiene el mejor desempeño en
esta subclase de instancias.
5.3.2.2 Evaluación del desempeño individual de cada política
Se aplicó la prueba de signos a cada una de las políticas en la subclase agrupada. Los
resultados se encuentran en la tabla 5.15.
Tabla 5.15 Prueba de los signos para mediana de las tres políticas
De acuerdo con estos resultados, se puede decir que la política de Weber tiene un mal
desempeño en las instancias de la subclase agrupada. Se observa además que el
desempeño de la política de Condicional es bueno y por mucho el mejor desempeño en
esta subclase agrupada lo tiene la política de Rechazo.
5.3.2.3 Comparación del desempeño de las tres políticas
La tabla 5.16 muestra los p-valores de las pruebas de igualdad de medias y medianas
cuando se considera como factor la política. Dichos valores indican que hay diferencia
significativa en la captura del punto de ubicación de acuerdo con la política que
determina dicho punto.
Tabla 5.16 Desempeño de la subclase 3 agrupada contra políticas
Tanto los resultados de la prueba de Hsu como los de la prueba de Mood se muestran
en la figura 5.18. Ambos resultados indican una clara ventaja de la política de Rechazo
sobre las otras dos.
Debido a lo anterior, se puede afirmar que el mejor desempeño en la subclase
agrupada lo obtiene la política de Rechazo. Esto indica que la hipótesis de que la política
de condicional sería la mejor evaluada es falsa.
Figura 5.18 Prueba de Hsu: Clase 3 agrupada contra política
5.4 Comparación de políticas en clase reducida y clase de procedencia
Se recuerda que un objetivo único de la clase reducida consiste en comparar el
desempeño de las políticas en cada una de las subclases con el correspondiente
desempeño en la clase de la cual proviene.
Para ello en cada subclase y para cada política se hicieron pruebas de ANOVA de un
solo factor, de Kruskal-Wallis y de Mood, donde el factor es la clase. Los niveles del
factor son la subclase correspondiente y la clase de la cual dicha subclase proviene.
En caso de encontrar evidencias de que el desempeño de una política cambia con la
clase, se muestran los resultados que se obtienen en la prueba de Hsu al relajar los
supuestos y el intervalo de confianza al 95% para la diferencia de medianas que arroja la
prueba de Mood.
5.4.1 Subclase aleatoria
Para esta subclase, que en tablas y figuras se denota como clase 3A, se compara el
desempeño de cada política con el desempeño correspondiente en la clase aleatoria.
5.4.1.1 Política de Weber
Los resultados que se muestran en la tabla 5.17 indican que no hay diferencia en el
desempeño de la política de Weber en la clase1 y la clase 3A.
Tabla 5.17 P-valores de pruebas aplicadas a la política de Weber
5.4.1.2 Política de Rechazo
De acuerdo con los resultados del ANOVA que se muestran en la tabla 5.18, el
desempeño de la política de Rechazo varía en las clases 1 y 3A, el p-valor de la prueba
de Kruskal-Wallis confirma esta afirmación. Sin embargo, la prueba de Mood difiere de
las dos anteriores.
Tabla 5.18 P-valores de pruebas aplicadas a la política de Rechazo
Como se ha mencionado, la prueba de Mood es más robusta contra puntos atípicos
que la prueba Kruskal-Wallis, y como en los datos que se manejan existen muchos
puntos de este tipo, no se muestra en este caso los resultados de la comparación múltiple
de Hsu.
Para tener una mejor idea de lo que ocurre con los datos encontrados en este caso
especial se muestran las gráficas de caja para la política de Rechazo en la figura 5.19.
C la se s
Rec
haz
o
3 AA le a to r ia
3 .0
2 .5
2 .0
1 .5
1 .0
0 .5
0 .0
D ia g r a m a d e c a j a p a r a R e c h a zo c o n tr a C la se s
Figura 5.19 Comparación del desempeño de la política de Rechazo contra las clases
Como se puede observar, no es posible establecer diferencia alguna en el desempeño
de la política de Rechazo en la clase aleatoria y la subclase aleatoria.
5.4.1.3 Política de Condicional
La tabla 5.19 muestra que con un grado de significancia de 5% no es posible
establecer que haya diferencia en los desempeños de la política de Condicional en las
clases consideradas.
Tabla 5.19 P-valores de pruebas aplicadas a la política de Condicional
La figura 5.20 muestra los diagramas de caja correspondientes, los cuales confirman
que no hay diferencia significativa en el desempeño de la política de Condicional.
Clases
Con
dici
onal
3AA leatoria
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
Diagrama de caja para Condicional contra clases Clases
Figura 5.20 Comparación del desempeño de la política de Condicional contra las clases
5.4.2 Subclase agrupada
Enseguida se compara el desempeño de cada una de las políticas en la clase agrupada
y en la subclase agrupada que aquí llamamos clase 3B.
5.4.2.1 Política de Weber
De acuerdo con los resultados que se muestran en la tabla 5.20, hay diferencia en el
desempeño de la política de Weber en ambas clases.
Tabla 5.20 P-valores de pruebas aplicadas a la política de Weber
En la figura 5.21 se muestran los resultados de la prueba de Hsu y de Mood, de ellos
es posible afirmar que la política de Weber tiene un mejor desempeño en la clase 2 que
en la clase 3B.
Figura 5.21 Resultados de las pruebas Hsu y Mood: Weber contra Clase
En base a las características de ambas clases, lo que se afirma es que la política de
Weber tiene mejor desempeño en instancias con un agrupamiento de clientes cuando las
facilidades se encuentran aleatoriamente ubicadas en el espacio original de ubicación
que cuando se encuentran en un área reducida de este espacio.
5.4.2.2 Política de Rechazo
La tabla 5.20 muestra que al igual que la política de Weber, hay evidencia estadística
de que la política de Rechazo se comporta de manera diferente en la clase agrupada que
en la clase 3B.
Tabla 5.21 P-valores de pruebas aplicadas a la política de Rechazo
La figura 5.22 muestra los resultados de la comparación múltiple de Hsu y de la
prueba de Mood. Ambos permiten afirmar que la política de Rechazo se desempeña
mejor en la subclase agrupada de la clase reducida que en la clase agrupada.
Figura 5.22 Resultados de las pruebas Hsu y Mood: Rechazo contra Clase
Esto quiere decir que la política de Rechazo tiene un mejor desempeño en instancias
con agrupamiento de clientes cuando las facilidades existentes se encuentran en un área
reducida que cuando se encuentran en todo el espacio original de ubicación.
5.4.2.3 Política de Condicional
La tabla 5.22 muestra los resultados de las pruebas de igualdad de medias y medianas
para el desempeño de la política Condicional en las clases consideradas.
Tabla 5.22 P-valores de pruebas aplicadas a la política de Condicional
De acuerdo con los resultados, se tiene el mismo desempeño de la política
Condicional en instancias de la clase agrupada que en las de la subclase agrupada de la
clase reducida.
CAPÍTULO 6
CONCLUSIONES Y
RECOMENDACIONES
En el presente trabajo se planteó el problema de evaluar tres políticas para la
ubicación de una instalación en ambientes competitivos. A cada política se le asignó un
modelo de ubicación cuya solución es el punto de ubicación correspondiente a tal
política. La evaluación de cada política se hizo en base al objetivo que pretende toda
empresa dedicada a buscar el beneficio económico: obtener la mayor captura de
mercado.
Se diseñaron tres clases diferentes de instancias en las cuales se esperaban buenos
resultados para los desempeños de las políticas consideradas. A continuación se
presentan las conclusiones de este trabajo, así como algunas recomendaciones de trabajo
futuro.
6.1 Conclusiones
Las políticas consideradas en este trabajo se plantearon en base a situaciones que se
consideraron hasta cierto punto razonables a la hora de decir la ubicación de una
instalación, teniendo la información de la ubicación de los clientes y facilidades
establecidas que forman el mercado en el cual se desea ingresar.
Se encontró que en un mercado donde tanto clientes como instalaciones se han ido
ubicando sin considerar la situación que en ese momento de dicho mercado, es sin duda
la política de ignorar las instalaciones la mejor alternativa para la ubicación. El modelo
de Weber proporciona las ubicaciones que obtienen la mejor captura de mercado sobre
las otras dos políticas consideradas.
Una hipótesis que se formuló fue que la política 3, que considera las facilidades
establecidas como propias, pudiera ser particularmente buena en instancias con un
agrupamiento de clientes fuera del área original de ubicación. Dicha hipótesis resultó ser
falsa, pues se probó en instancias en las cuales el agrupamiento representaba el 25, 50 y
100% del promedio de captura por facilidad establecida, y en todos ellos resultó estar
muy por debajo de la política de Rechazo, que fue la mejor evaluada en estos casos.
Más aún, esta política resultó ser como una especie de metodología voraz respecto a
la disminución de las distancias de servicio consideradas, ya que arroja en mayoría de
los casos como punto de ubicación el punto minisuma del agrupamiento. Es por ello que
su desempeño fue francamente malo en instancias en las cuales el agrupamiento estaba a
0.5 del área original de ubicación y representaba el 25% del promedio de captura por
facilidad establecida. En estos casos la captura que se obtiene es la mayor parte de las
veces el agrupamiento, lo que representa únicamente la tercera parte del promedio de
captura.
Por otra parte, la mejor evaluación para una política se obtuvo cuando las instancias
consideradas tenían un agrupamiento de clientes y las instalaciones se encontraban
ubicadas en un área pequeña alrededor del centro del espacio de ubicación original.
La política 2, que considera a las facilidades y les da un valor de rechazo fue la que
obtuvo tal evaluación. Se puede concluir en base a ello que la asignación del peso de
rechazo para las facilidades resultó ser buena.
Estos resultados tienen implicaciones prácticas, pues es posible aconsejar a las
empresas dónde ubicar sus nuevas instalaciones en caso de que el mercado donde
planean ingresar tenga las características de alguna de las clases que se consideraron.
Hasta donde se ha podido investigar, no se había hecho este tipo de trabajo, es decir,
no se habían planteado modelos de ubicación reconocidos como metodología de apoyo a
las políticas planes de acción que consideran las empresas cuando debe tomar la decisión
de dónde ubicar una nueva instalación.
6.2 Recomendaciones y trabajo futuro
En la actualidad no es raro ver cómo se establecen nuevas tiendas de conveniencia
por diferentes rumbos de la ciudad, en lugares que pareciera fueron elegidos sin un poco
de sentido común. Algunas consideraciones sin duda se debieron haber hecho, por lo
que sería muy importante hacer una conexión con las empresas para tener una mejor
idea de las políticas que en algunos casos consideran para elegir tales ubicaciones, y
evaluar de una manera formal tales políticas para poder hacer comentarios al respecto
con bases científicas.
Otro trabajo interesante en esta línea sería investigar las características de diferentes
mercados de ubicación para instalaciones de algún giro específico, por ejemplo las
tiendas de conveniencia tipo OXXO. Determinar si existe alguna topología de mercado
común en este tipo de tiendas, y de ser así hacer el planteamiento de políticas o modelos
de ubicación que fuera conveniente considerar.
Se podría considerar el caso en el cual los clientes tengan diferentes demandas y
aplicar las políticas aquí planteadas o bien plantear nuevas políticas, como por ejemplo
el buscar de manera primordial capturar aquellos clientes con mayor demanda, o ubicar
la nueva instalación a un lado de la instalación con mayor mercado capturado.
La asignación de pesos negativos para las facilidades es un punto que puede mejorar
aún más el desempeño de esta política, pues en este caso se consideró solamente un
porcentaje del promedio general de captura por facilidad como el peso a asignar a cada
instalación. Una variante interesante sería el asignar los pesos en base a la captura real
que tienen cada una de las instalaciones.
Se sugiere hacer un análisis estadístico no paramétrico más completo, como puede se
la comparación múltiple racional [Hollander et al., 1999] con el fin de justificar de una
forma más contundente los resultados enunciados.
Por último, consideramos que será de mucha utilidad una investigación acerca de las
bases teóricas que justifiquen por qué una política pueda ser mejor en cierto tipo de
instancias. Esto podría servir de ayuda para la comprensión de los problemas de
ubicación bajo la óptica de las empresas que buscan la ubicación de instalaciones en un
mercado competitivo, considerando políticas particulares.
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LISTA DE TABLAS
4.1 Pesos asignados a las instancias de la clase aleatoria 45
4.2 Pesos asignados a las instancias de la clase reducida 46
5.1 Resultados del modelo general lineal con dos factores 50
5.2 P-valores de pruebas para la política de Weber 55
5.3 P-valores de pruebas aplicadas a la política de Rechazo 57
5.4 P-valores de pruebas aplicadas a la política de condicional 59
5.5 Prueba de los signos para mediana de las tres políticas 61
5.6 Prueba de igualdad de medias y medianas de la clase 1 contra políticas 62
5.7 P-valores de pruebas 64
5.8 Prueba de medianas 65
5.9 Prueba de los signos para la mediana de las tres políticas 66
5.10 Prueba de igualdad de medias y medianas de la clase 2 contra políticas 66
5.11 P-valores de pruebas 68
5.12 Prueba de los signos para mediana de las tres políticas 70
5.13 Desempeño de subclase 3 aleatoria contra políticas 71
5.14 P- valores de pruebas 72
5.15 Prueba de los signos para mediana de las tres políticas 74
5.16 Desempeño de la subclase 3 agrupada contra políticas 75
5.17 P-valores de pruebas aplicadas a la política de Weber 77
5.18 P-valores de pruebas aplicadas a la política de Rechazo 77
5.19 P-valores de pruebas aplicadas a la política de Condicional 78
5.20 P-valores de pruebas aplicadas a la política de Weber 79
5.21 P-valores de pruebas aplicadas a la política de Rechazo 80
5.22 P-valores de pruebas aplicadas a la política de Condicional 81
LISTA DE FIGURAS
2.1 La ubicación optima no puede estar fuera del triángulo 19
2.2 Máquina de Varignon para encontrar el punto de Weber 20
4.1 Instancia con 40 clientes y 4 facilidades aleatoriamente ubicados 35
4.2 Instancia con 7 facilidades y 70 clientes, 10 de ellos agrupados 39
4.3a Ejemplo de una instancia de la subclase 3 aleatoria 41
4.3b Ejemplo de una instancia de la subclase 3 agrupada 41
5.1 Gráfica de residuales de la política de Weber en la clase 1 51
5.2 Pruebas de igualdad de varianzas para los residuales 52
5.3 Prueba de normalidad para los residuales 53
5.4 Prueba de Hsu: Weber contra facilidades 55
5.5 Prueba de Mood: Weber contra facilidades 56
5.6 Prueba de Hsu: Rechazo contra puntos demanda 57
5.7 Prueba de Mood: Rechazo contra puntos demanda 57
5.8 Prueba de Hsu: Rechazo contra número de facilidades 58
5.9 Prueba de Mood: Rechazo contra número de facilidades 58
5.10 Prueba de Hsu: Condicional contra número de puntos demanda 59
5.11 Prueba de Mood: Condicional contra número de puntos demanda 59
5.12 Prueba de Hsu: Condicional contra número de facilidades 60
5.13 Prueba de Mood: Condicional contra número de facilidades 60
5.14 Prueba de Hsu: Variable de respuesta contra política 62
5.15 Prueba de Mood: Variable de respuesta contra política 62
5.16 Pruebas de Hsu y de Mood: Clase agrupada contra políticas 67
5.17 Pruebas de Hsu y de Mood: Clase 3 aleatoria contra política 71
5.18 Prueba de Hsu: Clase 3 agrupada contra política 76
5.19 Comparación del desempeño de la política de Rechazo contra las clases 78
5.20 Comparación del desempeño de la política de Condicional contra las clases 79
5.21 Resultados de las pruebas Hsu y Mood: Weber contra Clase 80
5.22 Resultados de las pruebas Hsu y Mood: Rechazo contra Clase 81
A1 Programa que genera instancias de la clase aleatoria 94
A2 Programa que genera instancias de la clase agrupada 95
A3 Programa generador de instancias de la clase reducida 96
A4 Programa que evalúa la captura de las tres políticas 97
B1 Programa que resuelve el problema de Weber 98
B2 Programa que resuelve el problema de Weber con atracción y rechazo 99
B3 Programa que resuelve el problema de la 1-mediana condicional 100
C1 Clase agrupada, Weber contra distancia 101
C2 Clase agrupada, Weber contra facilidades 101
C3 Clase agrupada, Rechazo contra distancia 102
C4 Clase agrupada, Condicional contra distancia 102
C5 Clase agrupada, Condicional contra facilidades 103
C6 Subclase aleatoria, Weber contra puntos demanda 103
C7 Subclase aleatoria, Weber contra facilidades 104
C8 Subclase aleatoria, Rechazo contra clientes 104
C9 Subclase aleatoria, Rechazo contra facilidades 105
C10 Subclase aleatoria, Condicional contra facilidades 105
C11 Subclase agrupada, Weber contra facilidades 106
C12 Subclase agrupada, Rechazo contra facilidades 106
C13 Subclase agrupada, Condicional contra distancia 107
C14 Subclase agrupada, Condicional contra facilidades 107
APÉNDICE A Programas en C++
La figura A1 muestra el programa en C++ que genera instancias de la clase aleatoria
con 20 puntos demanda y 4 facilidades establecidas
Figura A1. Programa que genera instancias de la clase aleatoria
En la figura A2 se muestra el programa que genera instancias de la clase agrupada
con 72 puntos demanda y 6 facilidades. Hay 6 puntos demanda agrupados a una
distancia horizontal de 0 unidades del área original de ubicación.
Figura A2. Programa que genera instancias de la clase agrupada.
En la figura A3 se muestra el programa que genera instancias de la clase reducida,
subclase aleatoria, o subclase 3Acon 60 puntos demanda y 4 facilidades establecidas.
Figura A3. Programa generador de instancias de la clase reducida.
La figura A4 muestra el programa que evalúa la captura de cada una de las tres
políticas en una instancia con 72 puntos demanda y 3 facilidades establecidas.
Figura A4. Programa que evalúa la captura de las tres políticas.
APÉNDICE B. Programas en GAMS
A continuación se presentan los códigos fuente de los programas en GAMS que
arrojan los puntos de ubicación de las tres políticas e imprimen los puntos solución en un
archivo .out en el fólder de GAMS.
La figura B1 muestra el programa en GAMS que resuelve el problema de Weber para
una instancia con 60 puntos demanda y una facilidad establecida.
Figura B1. Programa que resuelve el problema de Weber.
En la figura B2 se muestra el programa que resuelve el problema de Weber con
atracción y rechazo para una instancia con 60 puntos demanda y una facilidad
establecida. El peso de rechazo de la facilidad es 12.
Figura B2. Programa que resuelve el problema de Weber con atracción y rechazo.
En la figura B3 se muestra el programa en GAMS para resolver el problema de la uno
mediana condicional en una instancia con 60 puntos demanda y una facilidad
establecida.
Figura B3. Programa que resuelve el problema de la 1-mediana condicional.
APÉNDICE C Pruebas de Hsu y de Mood
Clase Agrupada La figura C1 muestra los resultados para la clase agrupada, en ella se observa un
mejor desempeño en la política de Weber cuando la distancia del agrupamiento al área
original de ubicación es 0 que cuando es 0.25 y que el desempeño cuando la distancia es
0.5 es comparable a los desempeños en los otros dos niveles.
Figura C1. Clase agrupada, Weber contra distancia
Los resultados de la figura C2 indican que en instancias de la clase agrupada con 3
facilidades la política de Weber obtiene un mejor desempeño que en aquellas instancias
con 12 facilidades establecidas.
Figura C2. Clase agrupada, Weber contra facilidades
De acuerdo con la figura C3, a pesar de que la prueba de Hsu indica que el mejor
desempeño de la política de Rechazo en esta clase se da cuando la distancia del
agrupamiento es cero, la prueba de Mood indica que sólo se puede afirmar que hay
mejor captura cuando la distancia del agrupamiento al área original de ubicación es 0
que cuando es 0.25.
Figura C3. Clase agrupada, Rechazo contra distancia
Como se observa en la figura C4, tanto la prueba de Hsu como la prueba de Mood
indican que el mejor desempeño de la política de Condicional en la clase agrupada se
obtiene cuando la distancia del agrupamiento al área original es cero.
Los resultados de la prueba de Mood en las distancias 0.25 y 0.50 no muestran
intervalos pues como se mencionó en el capítulo 5, en estos casos muchos de los
resultados fueron iguales.
Figura C4. Clase agrupada, Condicional contra distancia
Para la política de Condicional nada puede afirmarse en el caso de que el factor
considerado sea el número de facilidades, como se observa en la figura C5.
Figura C5. Clase agrupada, Condicional contra facilidades
Subclase aleatoria La figura C6 muestra que para la subclase aleatoria la política de Weber tiene su
mejor desempeño en instancias con 60 puntos demanda cuando el factor considerado es
el número de puntos demanda.
Figura C6. Subclase aleatoria, Weber contra puntos demanda
Al considerar el factor número de facilidades, los resultados de la política de Weber
son comparables, de acuerdo con los resultados de la prueba de Mood de la figura C7.
Figura C7. Subclase aleatoria, Weber contra facilidades
De acuerdo con la figura C8, la política de Rechazo tiene mejor desempeño en
instancias con 60 puntos demanda que en aquellas con 40 puntos demanda.
Figura C8. Subclase aleatoria, Rechazo contra clientes
La figura C9 muestra que el mejor desempeño de la política de Rechazo se obtiene en
instancias con 4 facilidades establecidas.
Figura C9. Subclase aleatoria, Rechazo contra facilidades
El mejor desempeño de la política de Condicional en instancias de la subclase
aleatoria se obtiene cuando hay 4 facilidades establecidas, como lo muestra la figura
C10..
Figura C10. Subclase aleatoria, Condicional contra facilidades
Subclase agrupada De acuerdo con la tabla C11, pesar de que la prueba de Hsu no muestra información
acerca de las comparaciones del desempeño de la política de Weber, la prueba de Mood
indica que hay un mejor desempeño cuando hay 3 facilidades que cuando hay 12
facilidades establecidas.
Figura C11. Subclase agrupada, Weber contra facilidades
Los resultados de la figura C12 se puede afirmar que la política de Rechazo en la
subclase agrupada tiene su mejor desempeño en instancias con 12 facilidades
establecidas, y que este desempeño es mejor por mucho al de los otros dos niveles.
Figura C12. Subclase agrupada, Rechazo contra facilidades
De acuerdo con la figura C13, al considerar el factor distancia, la política de
Condicional tiene el mejor desempeño en la subclase agrupada en instancias cuyo
agrupamiento está a una distancia de cero del área original de ubicación.
Figura C13. Subclase agrupada, Condicional contra distancia.
Cuando el factor considerado es el número de facilidades establecidas, la prueba de
Hsu indica que en instancias con 12 facilidades se tiene el mejor desempeño de la
política Condicional. Sin embargo, de acuerdo con la prueba de Mood, en la subclase
agrupada no hay diferencia en el desempeño de la política Condicional en los diferentes
niveles del número de facilidades establecidas.
Figura C14. Subclase agrupada, Condicional contra facilidades
FICHA AUTOBIOGRÁFICA
Leticia Torres Díaz
Candidata para el grado de maestro en Ciencias en Ingeniería de Sistemas
Universidad Autónoma de Nuevo León
Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Tesis
“Análisis de Diferentes Políticas de Ubicación de una Instalación en
Ambientes Competitivos”
Nace en Monterrey, Nuevo León. Hija del Sr. Crescencio Torres de la Cruz y de la
Sra. María Guadalupe Díaz Alba. Se gradúa de la Facultad de Ciencias Físico
Matemáticas (1979-1983) como Licenciado en Matemáticas. Trabaja en la entonces
Escuela de Ciencias Físico Matemáticas de la UAP (1984-1990) y en el departamento de
Matemáticas de la Prepa Tec Campus Eugenio Garza Sada, (1991-1996) y Campus
Santa Catarina (1996-2004). En Febrero de 2004 ingresa a la Maestría en Ciencias en
Ingeniería de Sistemas con apoyo económico por parte de CONACYT.
