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i
Ingeniera Cecilia Salazar Pinto
Ao 2015
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE CIENCIAS ECONMICAS
FUNDAMENTOS BSICOS DE LA MATEMTICA
APLICADOS A LA ECONOMA
ii
DEDICATORIA
A mis hijos, Ana y Pablo, a los estudiantes quienes necesitan comprender los
fundamentos matemticos para relacionarlos con otras ciencias.
Cecilia Salazar
iii
PRLOGO
Los procesos complejos de la mente, por siglos estudiados, estn gobernados por
mecanismos que de alguna manera se logran formalizar en la lgica, la cual nos permite
comprender muchas herramientas intelectuales, como los razonamientos deductivos
e inductivos, es decir nos permite manejar un buen pensamiento, lo cual da base al
pensamiento racional, lo fundamenta y permite evaluarlo.
Por todo ello, iniciar los cursos de matemtica, con un estudio concienzudo de Lgica,
permite a las jvenes generaciones adquirir poderosas herramientas del razonamiento,
las mismas que les permitirn comprender los conceptos de conjuntos y funciones,
que son el espritu mismo del anlisis matemtico, de algoritmos para la
programacin en ordenadores, de la ciencia y sobre todo de s mismos, para el
progreso propio y de la colectividad.
iv
PREFACIO
La experiencia que he tenido como docente me ha permitido cubrir diferentes ramas de
la Matemtica tales como: clculo, estadstica e investigacin operativa, que los he
desarrollado a travs de los aos.
Los conocimientos obtenidos fueron los autores para elaborar este libro, que se ajuste a
los programas de estudio, mi objetivo es cubrir con didctica los contenidos, tratando de
llegar a una enseanza personalizada.
Este libro es para las personas que inician sus estudios de Matemtica, les servir para
auto-formarse mediante la actualizacin de los cambios tecnolgicos.
Estructura
El libro consta de 7 captulos que son tratados en secuencia, cada captulo tiene el fin de
facilitar el anlisis de los temas, en cada tema consta: definiciones, teoremas, grficos,
ejemplos modelo en los que se desarrollan todos los pasos para facilitar su comprensin,
las definiciones de frmulas que estn en un recuadro para facilitar la consulta, los
ejercicios propuestos estn acompaados de la respuesta al final del captulo, con el fin
de que el estudiante pueda verificar los resultados obtenidos y alcance el dominio de
cada tema, adems existen algunas aplicaciones de la economa.
A continuacin detallo el contenido de cada unidad:
Unidad I. Ecuaciones e inecuaciones. Usadas para la modelacin de problemas de la
vida real, que son el espritu mismo del anlisis matemtico, adems de la
comprensin de algoritmos que necesariamente estn involucrados en las diferentes
operaciones y modelos matemticos. Incluyen el lenguaje y teoremas de la matemtica,
as como operaciones algebraicas.
Unidad II. Funciones. La funcin como estudio inicial para el clculo, siendo lo
fundamental, que las matemticas constituyen una herramienta bsica, fundamental de
trabajo para todo buen profesional, pues a travs de la lectura correcta y la
interpretacin adecuada de las respuestas obtenidas en los diferentes procesos, permitir
v
tomar las mejores decisiones, ya que stas se encuentran respaldadas por todo un
proceso sistmico y sistemtico, para bien de toda la Empresa. Permite a los estudiantes
adquirir poderosas herramientas de razonamiento, las mismas que les permitirn
comprender con mayor claridad los conceptos, criterios y anlisis.
Unidad III. La funcin lineal y sistemas de ecuaciones lineales En la prctica
tenemos muchos ejemplos en los que el valor de una cantidad depende de otra definida
por f(x)= ax2 + bx + c, tena un valor extremo en el punto x=
2 . Si a > 0 el valor
extremo es un mnimo, si a < 0, el valor extremo es un mximo, as en todas las ciencias
usamos el valor mximo y el mnimo en diferentes circunstancias, como, peso, altura
precios, costos, utilidades, etc. Adems, cuando una situacin debe resolverse
matemticamente por un conjuntos de dos, tres o ms ecuaciones.
Unidad IV. Funcin exponencial y logartmica. Se estudia la funcin exponencial
cuyas aplicaciones en el rea econmico y administrativo son variados porque esta
funcin no sigue la tendencia, lineal, cuadrtico polinomiales, sino ms bien usada para
demostrar variables crecientes o decrecientes.
La funcin Logartmica, tiene que ver con las demostraciones graficas en aplicaciones
que se requiere determinar el logaritmo de un nmero con una base diferente de 10 o el
logaritmo natural (e), cuando b > 1 es creciente y cuando 0 < b < 1 es decreciente
Unidad V. Matrices y determinantes. La importancia de uso de matrices como
arreglos de cantidades en filas y columnas, el uso de las matrices ha transcendido en el
hbito netamente matemtico como una potencial aplicacin de matrices, se puede
determinar el requerimiento de insulina como un proceso lineal.
Respecto a programacin lineal determinamos la cuantificacin de problemas
complicados de la vida cotidiana, con este enfoque usamos la llamaba investigacin de
operaciones que detalla cuando un problema se puede describir usando ecuaciones y
desigualdades que son todas lineales y representamos en forma geomtrica la solucin
de una desigualdad lineal con dos variables.
Unidad VI. Calculo de una variable. En la vida cotidiana existen problemas de
cualquier actividad humana, ya que tienen los mismos elementos en un problema
vi
matemtico, por tanto primero se debe comprender el problema, buscar el tipo de
solucin, emplear los modelos matemticos y un pensamiento lgico que lleva a un
ptimo resultado.
Existen muchas situaciones que pueden resolverse mediante el uso de lmites, de la recta
tangente a una curva, del clculo de derivadas, en muchos ejemplos de la medicina, y de
la economa.
Igualmente el desarrollo de un problema matemtico convierte al estudiante en una
persona dotada de cualidades como: la paciencia, inteligencia, dominio, creatividad,
formacin de valores que son aspectos esenciales para obtener xito personal.
vii
INDICE DEL CONTENIDO
DEDICATORIA ............................................................................................................... ii
PRLOGO ....................................................................................................................... iii
PREFACIO ...................................................................................................................... iv
Capitulo 1 .......................................................................................................................... 1
1.1 Igualdades y ecuaciones ..................................................................................... 1
1.2 Ecuaciones lineales de una variable ................................................................... 4
1.3 Ecuaciones cuadrticas con una variable ............................................................ 6
1.4 Aplicacin de las ecuaciones a la economa ........................................................ 9
1.5 Desigualdades lineales y cuadrticas con una variable ..... Error! Marcador no
definido.
1.6 Aplicaciones economicas de las desigualdades ................................................. 18
1.7 Resumen. ........................................................................................................... 24
1.8 Ejercicios propuestos. ........................................................................................ 25
1.9 Respuestas a los ejercicios propuestos. ............................................................. 27
Capitulo 2 ........................................................................................................................ 27
2.1 Relaciones y funciones ............................................................................................ 28
2.1.1 Representacin del sistema de coordenadas cartesianas ........................................ 28
2.1.2 Relaciones .............................................................................................................. 29
2.1.3 Representacin grfica de la relacin .................................................................... 30
2.1.4 Constantes y variables ........................................................................................... 30
2.2 Funcin. .................................................................................................................... 31
2.2.1 Dominio y rango .................................................................................................... 32
2.3 Tipos de funciones .................................................................................................... 39
2.3.1 Funcin lineal ........................................................................................................ 39
2.3.2 Funcin cuadrtica ................................................................................................. 40
viii
2.3.3 Funciones polinomiales. ........................................................................................ 44
2.3.4 Funcin racional .................................................................................................... 45
2.3.5 Funcin inversa ...................................................................................................... 45
2.3.6 Funcin implcita ................................................................................................... 49
2.3.7 Funcin logartmica ............................................................................................... 49
2.3.8 Funcin exponencial .............................................................................................. 50
2.4 Combinacin de funciones ........................................................................................ 51
2.4.1 Funcin compuesta ................................................................................................ 52
2.5 Resumen .................................................................................................................... 59
2.6 Ejercicios popuestos ................................................................................................ 60
2.7 Respuestas a los ejercicios propuestos ...................................................................... 62
Capitulo 3 ........................................................................................................................ 63
3.1 Estudio de la funcin lineal ............................................................................... 63
3.2 Sistemas de ecuaciones lineales simultneas con dos y tres incgnitas. ........... 69
3.3 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones. ..................................................... 81
3.4 Resumen ........................................................................................................... 91
3.5 Ejercicios propuestos ......................................................................................... 91
3.6 Respuestas a los ejercicios propuestos .............................................................. 96
Captulo 4 ........................................................................................................................ 98
4.1 Funciones exponenciales .......................................................................................... 98
4.2 Grfica de funciones exponenciales ....................................................................... 100
4.3 Funciones exponenciales con base "e" ................................................................... 102
4.4 Aplicaciones ........................................................................................................... 105
4.5 Resumen. ................................................................................................................. 112
4.6 Ejercicios propuestos. ............................................................................................. 113
4.7 Respuesta a ejercicios propuestos ........................................................................... 114
ix
4.7.1 En los numerales del 1 al 5, identifique los elementos constitutivos de la funcin
respectiva e indique si la grfica es creciente o decreciente: ........................................ 114
4.7.2 Ejercicios: ............................................................................................................ 114
Captulo 5 ...................................................................................................................... 115
5.1 Funcin logartmica ................................................................................................ 115
5.2 Grfica de la funcin logartmica ........................................................................... 117
5.3 Propiedades de los logaritmos ................................................................................ 120
5.4 Aplicaciones ............................................................................................................ 121
5.5 Resumen .................................................................................................................. 125
5.6 Ejercicios propuestos ............................................................................................. 125
5.7 Respuestas ejercicios propuestos ........................................................................... 127
Capitulo 6 ...................................................................................................................... 128
6.1 Matrices y determinantes ........................................................................................ 129
6.1.2 Igualdad de matrices ............................................................................................ 130
6.1.3 Tipos de matrices ................................................................................................. 131
6.1.3.1 Matriz vector columna ...................................................................................... 131
6.1.3.2 Matriz rengln ................................................................................................... 131
6.1.3.3 Matriz rectangular ............................................................................................. 131
6.1.3.4 Matriz cuadrada ................................................................................................ 132
6.1.3.5 Matriz nula ........................................................................................................ 132
6.1.3.6 Matriz diagonal ................................................................................................. 132
6.1.3.7 Matriz identidad ................................................................................................ 133
6.1.3.8 Matriz transpuesta ............................................................................................. 133
6.1.3.9 Matriz simtrica ................................................................................................ 133
6.2 Operaciones con matriz .......................................................................................... 134
6.2.1 Suma y resta de matrices ..................................................................................... 134
6.2.2 Propiedades de suma y resta ................................................................................ 135
x
6.2.3 Multiplicacin de una matriz por un escalar ........................................................ 135
6.2.4 Propiedades de la multiplicacin ......................................................................... 136
6.2.5 Multiplicacin de matrices ................................................................................... 137
6.3 Resolucin de sistemas de ecuaciones por reduccin ............................................. 140
6.3.1 Matriz reducida: se denomina matriz reducida a una matriz que cumple con los
siguientes requisitos: ..................................................................................................... 143
6.4 Inversa de las matrices- matriz insumo-producto ................................................... 145
6.4.1 Requisitos para obtener la inversa de una matriz ................................................ 146
6.4.2 Procedimiento para la eliminacin gaussiana ...................................................... 147
6.4.3 Matriz insumo producto como aplicacin a la economa ................................. 151
6.5 Determinantes ......................................................................................................... 155
6.5.1 Determinante de una matriz (1x1) ...................................................................... 155
6.5.2 Determinante de una matriz (2x2) ................................................................... 156
6.5.3 Determinante de la matriz (3x3) ........................................................................ 156
6.6 Regla de cramer ...................................................................................................... 157
6.7 Resumen .................................................................................................................. 162
6.7.1 Ejemplos sobre determinantes. ........................................................................... 165
6.8. Ejercicios propuestos ............................................................................................. 168
6.9 Respuestas a los ejercicios propuestos .................................................................... 174
Capitulo 7 ...................................................................................................................... 178
7.1 Lmites de una funcin ........................................................................................... 179
7.1.1. Definicin infinita de lmite de una funcin ....................................................... 181
7.2 Propiedades de los lmites ....................................................................................... 181
7.3 Indeterminacin ...................................................................................................... 183
7.3.1 Indeterminacin en lmites trigonomtricos ...................................................... 184
7.3.2 Lmites laterales ................................................................................................... 185
7.3.3 Lmites infinitos ................................................................................................... 187
xi
7.3.4 Teorema del snduche ......................................................................................... 189
7.3.5 Indeterminacin .................................................................................................. 190
7.3.6 Indeterminacin .................................................................................................. 190
7.4 Continuidad de funciones ....................................................................................... 192
7.4.1 Continuidad en un punto ...................................................................................... 192
7.4.2 Propiedades .......................................................................................................... 192
7.4.3 Teorema del valor medio ..................................................................................... 192
7.4.4 Teorema de bolzano ............................................................................................. 193
7.5 La derivada ............................................................................................................. 193
7.5.1 Rectas tangentes ................................................................................................... 193
7.5.2 Notacin para la derivada .................................................................................... 195
7. 6 Tcnicas de derivacin ........................................................................................... 196
7.7 Regla de la cadena .................................................................................................. 197
7.7.1 Derivacin implcita ............................................................................................ 197
7.8 Derivada de orden superior ..................................................................................... 199
7.9 La Integral ............................................................................................................... 210
7.10 Resumen ................................................................................................................ 215
7.11 Ejercicios propuestos ............................................................................................ 233
7.12 Respuesta a los ejercicios propuestos ................................................................... 238
Netgrafia. ...................................................................................................................... 239
Bibliografa. .................................................................................................................. 240
xii
INTRODUCCIN
El mayor problema que enfrenta un ser humano es el de entenderse a s mismo.
En todos los campos del saber humano, la comprensin de conceptos y la
abstraccin de propiedades de los entes y fenmenos sujetos de estudio, son la
actividad intelectual primordial que permiten el desarrollo de la ciencia y a partir de
sta, el desarrollo de la tecnologa.
La presente obra privilegia la imprescindible e impostergable tarea de ensear a pensar,
pues ya no es hora de la simple trasmisin de conocimientos a los estudiantes, porque
viven en una poca donde la creatividad es la rectora de todas las actividades; entonces,
una de las tareas fundamentales, es tener la capacidad de resolucin de problemas y es
precisamente esta funcin donde se fundamenta la enseanza de la matemtica.
El presente libro comienza con un estudio elemental de funciones, lo que faculta a las
jvenes generaciones adquirir poderosas herramientas de razonamiento, las mismas que
les permitirn comprender con mayor claridad los conceptos, criterios y anlisis que
siguen en los diferentes captulos que contiene este documento, tales como: funciones,
teora de ecuaciones e inecuaciones, logaritmos, y calculo, que son el espritu mismo
del anlisis matemticos, comprensin de algoritmos que necesariamente estn
involucrados en las diferentes operaciones matemticas, adems se puede sealar como
objetivos, los que se observa en el siguiente grfico.
GRFICO 1: Objetivos para ensear matemtica.
PENSAMIENTO Lgico-Crtico Lateral
VALORES Responsabilidad honestidad, persistencia, organizacin
SABER Y PODER resolver problemas, base para otras ciencias
Enseanza Perfecta
xiii
Fuente y Elaboracin: Ing. Cecilia Salazar
1
CAPITULO 1
Ecuaciones e inecuaciones
1.1 Igualdades y ecuaciones
1.2 Ecuaciones lineales con una variable
1.3 Ecuaciones cuadrticas con una variable
1.4 Aplicacin de las ecuaciones
1.5 Desigualdades lineales y cuadrticas con una variable
1.6 Aplicaciones de las desigualdades
1.7 Resumen
1.8 Ejercicios propuestos
1.9 Respuesta a ejercicios propuestos
Objetivos del captulo.
Comprender las propiedades de las igualdades.
Resolver problemas del mbito administrativo y econmico, asociando modelos
matemticos que involucran ecuaciones o desigualdades que pueden representar
a tales problemas.
Interpretar correctamente las respuestas obtenidas en los problemas.
1.1 Igualdades y ecuaciones
Igualdad es una expresin que representa la equivalencia entre dos cantidades. La
cantidad que se halla a la izquierda de la equivalencia se le denomina primer miembro y
la que est a la derecha segundo miembro. En las igualdades se definen axiomas que nos
permiten trabajar con nmeros reales, las principales son:
Junto con estos axiomas utilizaremos las propiedades vistas en las operaciones con
nmeros reales, sobre todo, la propiedad cancelativa de la suma y multiplicacin, que
sern muy utilizadas en la resolucin de ecuaciones. Adicionalmente debemos
,matemtico enunciado cualquier
en a"" por sustituirpuede se x"" a x si :nsustitucide Axioma
g e g f yf e si :dadtransitivide Axioma
m nn m si :simetrade Axioma
b b :reflexinde Axioma
2
considerar que, con los dos miembros de una igualdad puedo realizar la misma
operacin con una misma cantidad y sin embargo la igualdad se mantiene. Excepto
multiplicacin y divisin por cero.
Ecuacin: Es una igualdad que contiene cantidades desconocidas llamadas
comnmente incgnitas, a las que se debe encontrar un valor que haga verdadera la
igualdad, se usan generalmente como incgnitas las ltimas letras del alfabeto, t, v,
w, x, y, z.
Ejemplos.
1.
2.
3.
Todos los valores de las incgnitas, para las cuales se verifica la igualdad, se los conoce
como soluciones o races de la ecuacin, as:
Para la primera ecuacin: x = 1 es la solucin porque al sustituir se obtiene la igualdad:
En ; tenemos 2 races o soluciones,
Vemos que al sustituir en ambos miembros la solucin y tenemos la
igualdad.
En ; una posible solucin es:
x+ 2y=6
2+2(2)=6
2 1 x
0 6 5x x2
6 2y x
2 2
2 1 1
2 1 x
0 6 5x x2 2- y x 3- x
0 0
0 6 15 - 9
0 6 (-3) 5 (-3)
0 6 x 5 x
2
2
0 0
0 6 10 - 4
0 6 (-2) 5 )(-
0 6 x 5 x
2
2
-2y x 3 x
6 2y x 2 y y 2 x
3
Miembro 2do Miembroer 1
4 -x 3 2x
Si recordamos que la ecuacin es una igualdad, entonces el primer miembro de una
ecuacin, es la expresin que est a la izquierda del signo igual y el segundo miembro,
la expresin a la derecha del igual,
Ejemplo.
1.1.1 Grado de la ecuacin y nmero de soluciones
El grado de la una ecuacin est dado por el mayor exponente de la variable, y el
nmero de soluciones mximas es igual al grado de la misma.
Ejemplo.
Grado Ejemplo # Soluciones
mximas
En la resolucin de ecuaciones es fundamental tener en consideracin, en que el
conjunto numrico est/n definida o definidas la solucin o soluciones de la misma,
sobre todo en las aplicaciones reales es de suma importancia tal situacin. Ej. Si la
ecuacin: 2x 3 = 6, est definida sobre los nmeros naturales, es claro observar que la
ecuacin no tiene solucin.
El desarrollo operativo de una ecuacin se fundamenta en ir realizando operaciones de
tal forma que se obtengan paso a paso ecuaciones equivalentes ms simplificadas hasta
obtener finalmente la ltima ecuacin donde la variable (incgnita) se encuentra
(lineales) Grado1er
Grado Segundo
GradoTercer
Grado Quito
3x- 6 -2x
0 10 7x - x2
2- 1 2x - x3
3 2x - x 5
1
2
3
5
Observacin:
Debemos recordar que races son nmeros que anulan a un polinomio, es decir su
resultado es igual a cero.
4
miembro) cada a3x (sumamos3x 10 3x - 3x2-x
10 3x - 2 - x
miembro) cada a 2 (sumamos 2 10 2 2 -4x
10 2-4x
miembro) cada a 4por (Dividimos 4
12
4
4
x
ecuacin la de raz osolucin 3 x
despejada. Recordemos que ecuaciones equivalentes son aquellas en las que la solucin
de una de ellas es tambin solucin para la otra.
Ejemplo.
Las ecuaciones: 3x 2 = 7 y 3x = 9, son equivalentes, toda vez que x = 3, es solucin
para ambas.
1.2 Ecuaciones lineales de una variable
Ecuacin lineal de una variable: La ecuacin lineal , tiene una solucin
; la determinacin de las races de la ecuacin, se basa en la aplicacin de
algunas propiedades de las igualdades.
Resolucin de la forma general de la ecuacin de primer grado con una variable.
Ejemplo.
0 bax
a
bx
)(
,:
)()(
V
bb
ba
ba
igualdad.
de condicin la cumplirse debe n), sustitucide (axioma
original ecuacin la en reemplazar ala
bxsiNVERIFICACI
miembroprimerenfactoresdecinsimplificaa
bx
cinmultiplicaladeacancelativpropiedadba
axa
1
trminos de reduccinbax
sumaladeacancelativpropiedadbbbax
dadaecuacinbax
00
0
0
1
0
0
5
2 = x
5 - 7 = x
7 = 5 +x
7 = 2 + x - 7 + 6 -2x +3x + 2 +3x -
7 = 2 + x - ] 7 - 6 +2x -3x - [ - 2 +3x -
1.2.1 Ejemplos de ecuaciones lineales.
1.
Primero destruyamos los signos de agrupacin
2.
3 3x - x -1
4 4x
1 3 3x x
14
4x
7 ) 2 -(x - ] 7 - ) 6 -(2x -3x - [ - 2 -3x
Observacin:
En ecuaciones fraccionarias es recomendable eliminar los
denominadores obteniendo el mnimo comn mltiplo (mcm) de ellos.
Este mcm se divide para cada denominador y se multiplica por su respectivo
numerador, eliminndose as todos los denominadores.
Observaciones:
En una ecuacin lineal el exponente de la o las incgnitas es uno.
Resolver ecuaciones es usar los axiomas de las igualdades, hasta despejar la
incgnita, luego comprobar la ecuacin sustituyendo la solucin encontrada en la
ecuacin inicial.
Normalmente se acostumbra a concentrar en el segundo miembro de la ecuacin
los trminos numricos y en el primer miembro los trminos que contienen la
variable.
6
1xy2xo1X
X3
2X
X
;
3.
Mcm. De 2, 3 y 4 = 12
1.3 Ecuaciones cuadrticas con una variable
Ecuaciones cuadrticas: Estas ecuaciones se presentan en la forma estndar:
donde a, b, c son constantes que pertenecen a los nmeros
reales.
Las siguientes ecuaciones son ecuaciones cuadrticas
3x2 - 5x + 6 = O
4x 3 = 5x2 + 6x 3
De las tres ecuaciones anteriores, solo la primera est en la forma estndar, en las otras
dos, se tienen que ejecutar las operaciones necesarias a fin de obtener tal presentacin,
ya que con cualquier mtodo que se utilice para resolverlas, ser necesario que se
escriban en esta forma.
La solucin a estas ecuaciones, si existe, siempre estar conformada por dos races.
1.3.1 Identificacin de las constantes o parmetros de la ecuacin cuadrtica
Ecuacin
Cuadrtica Parmetros
a b C
42 + 8 2 = 0 4 8 - 2
2 38 = 0 1 0 -38
2 + 6 = 0 -1 6 0
2
5 27 = 0 1 0 -135
4
42
3
2
2
xx
4) (2x 3 , 3 4
12
8 2 . 4 , 4 3
12
6x x . 6 , 6 2
12
3
1-
12
4- x
4- 12x
12- 8 6x 6x
12 -6x - 8 6x
4) 2x ( 3 - 8 6x
, 0 c bx ax 2 0a
7
o
Factorandooxx
oxx
oxx
ox
,7
13 - cs
linealecuacin de Resolucin 13/7 - x o 13 7x
cerofactor del Propiedad o 13 7x o, x
miembroprimer el )137(
1372
3/2 , 4 - cs
4 - x o 4 x
lineales ecuaciones de Resolucin 3/2 x o 3 -2x
cerofactor del Propiedad o 4 x o; 3 -2x
miembroprimer el Factorando )4)(32(
1252x 1
2
2
Los mtodos ms utilizados para resolver estas ecuaciones son por el mtodo de
factorizacin y por la frmula cuadrtica. El mtodo por factorizacin requiere que la
ecuacin est en forma estndar y la expresin algebraica de la ecuacin sea fcilmente
factorable. Aplicamos la propiedad del factor cero (sean m y n dos nmeros reales,
si mn = o, entonces m = o, n = o, ambos)
Ejemplos.
Resolver las siguientes ecuaciones por factorizacin.
En el mtodo de la frmula cuadrtica, usaremos la expresin que resulta al resolver la
ecuacin ax2 + bx + c = o, mediante la completacin de cuadrados, que arroja el
siguiente resultado:
X =
Trabajo de investigacin: Consultar en cualquier libro de Algebra Bsica, sobre la
resolucin de la ecuacin ax2 + bx + c = o; a por completacin de cuadrados.
La cantidad subradical: b2 - 4ac, se denomina discriminante y puede tomar tres posibles
valores; los mismo que determinan la naturaleza de las races, esto lo podemos observar
en el siguiente cuadro:
DISCRIMINANTE RAICES
b2 - 4ac > o 2 races reales diferentes
b2 - 4ac = o 2 races reales iguales
b2 - 4ac < o 2 races complejas diferentes*
)( cuadrticaFrmulaa2
ac4bb 2
,o
8
6332 2 xx
(*) En este estudio no se analizara, este tipo de races.
Ejercicios.
1.
La misma ecuacin factorizada tenemos:
Vemos que en las dos formas se obtiene el conjunto solucin igual a
2.
En En este caso el discriminante es
14
5
1
0145
18944
2
2
c
b
a
xx
xxx
2
56255
12
141455
2
4
2
2
x
x
a
acbbx
22
4
2
95
72
14
2
95
2
1
x
x
270207027
01452
xyxxxxx
zx
2,7
12207 2 xx
012207 2 xx
64
336400
127420422
acb
Observacin:
En este tipo de ecuaciones es necesario realizar siempre la comprobacin de las
soluciones, ya que al multiplicar la variable por s misma, se pueden obtener soluciones
extraas a la ecuacin original.
9
Como el discriminante es mayor que cero existe dos races, veamos:
Reemplazamos en la formula general.
3.
1.4 Aplicacin de las ecuaciones a la economa
La aplicacin que se da a las ecuaciones, est dirigida de manera especial a resolver
problemas y a tener un manejo adecuado de frmulas matemticas.
En la vida cotidiana y en el mbito econmico, se presentan problemas que pueden ser
resueltos mediante el planteamiento de ecuaciones, para que dicho planteamiento sea el
adecuado es necesario seguir los siguientes pasos:
1. Leer comprensivamente los problemas.
2. Determinar las cantidades conocidas y las incgnitas que se plantean y las relaciones
que tienen entre ellas.
3. Expresar la informacin que tenemos, en una ecuacin matemtica.
4. Encontrar la Solucin a la ecuacin y verificar si la respuesta es coherente con el
problema.
5. Ejemplos.
1. Un almacn de ropa de caballero por su aniversario rebaja su precio en un 20%. Si
el precio de una corbata es de U.S. $15 Cunto vala el artculo antes del
aniversario?
7
6
14
12
14
820
214
28
14
820
14
810
72
12742020
2
1
2
x
x
x
x
52
4
2
64
x
x
x
x 2 xMCD
6
122
610454
105464
x
x
xxx
xxx
10
Solucin.
x
El precio desconocido antes del aniversario
del almacn
0.20x Descuento
15 Precio actual
Precio inicial descuento = precio actual
Entonces sabemos que el precio de la corbata antes del aniversario del almacn era de
US$ 18,75
2. Una panadera produce diariamente 1.250 panes: tipo integral y de maz. Los panes
integrales se vendes a US$ 13 ctvs. cada uno, y los de maz a US$ 10 ctvs., si los
ingresos en el da fueron de US$ 12524 ctvs. Cuntos panes de cada tipo se
vendieron?
Solucin.
x Cantidad de pan integral vendido
(1.250-x) Cantidad de pan de maz vendido
Ingreso es igual a la cantidad vendida por el precio de venta de cada unidad.
13x Ingreso por la venta de pan integral
10(1.250- x) Ingreso por la venta de pan de maz
13 + 10(1250 ) = 12524
13x+12500-10x = 12524
3x = 24
x = 8
Cantidad de pan integral vendido: 8
Cantidad de pan de maz vendido: 1250 8 = 1242
3. El costo de producir un traje militar es de US$ 378. El costo depende de materia
prima y de la mano de obra. Si el costo de la materia prima es el doble del costo de
la mano de obra. Cul es el costo de cada una?
1520.0 xx
1580.0 x
75,18x
11
Ejemplo.
Segunda propiedad productiva
Si se divide o se multiplica la misma cantidad positiva a los dos miembros de la
desigualdad el signo de la desigualad no se altera.
a > b
Introducimos la c, siendo c>0
Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide por una misma
cantidad negativa, el signo de la desigualdad cambia.
Ejemplo.
8 > 6
c = - 2
8(- 2) < 6 (-2)
- 16 < - 12
Tercera propiedad transitiva
y
Entonces
y
Cuarta propiedad
Si los dos lados de una desigualdad son positivos, sus recprocos cambian la
desigualdad en el otro sentido.
cbda
dcba
58
1426
2146
cb
ca
10 31038
3/14/134
/1/1
baba
c
b
c
a
c b c a
b a
34 ;2/62/8
1212 ;2628
2
68
c
12
Quinta propiedad
Si se cambia el orden de los smbolos la desigualdad cambia su signo.
As: si
Sexta propiedad
Si los dos miembros de una igualdad se igualan a una misma potencia, el signo de la
desigualdad no cambia, si ambos son positivos.
Ejemplo.
Pero: no se cumple
Sptima propiedad
Si son positivos los dos miembros y se elevan a una misma potencia el signo de la
desigualdad no cambia.
y
Ejemplo.
Pero si elevamos a una potencia negativa la desigualdad cambia:
Octava propiedad
La expresin involucra dos desigualdades
y y
Esta propiedad aplicamos en la suma, resta, producto, divisin.
a)
b)
9779
abba
36 64 6 8 2 2 2 2 b a
25 9
5 3
5 3 2 2
n n b a b a n n b a
5 7 25 49 25 49
4
1
5
1
64
1
125
1 125 64 125
3 3 3 1
b x a
x a b x a a x b x b x
2 3 2 6 3 6
1 4
26 3 2 6
5 8
36 81 3 6 3 9 x x
2 3 3
6
3
9
13
Observacin:
Las inecuaciones llamados tambin desigualdades, en los que hay varias cantidades
desconocidas o incgnitas, pueden presentarse los siguientes casos:
a) > mayor que b) mayor o igual que
c) < menor que d) menor o igual que
e) < < significa x es mayor que a y menor que b
f) significa x es mayor o igual que a y menor o igual que b.
Para resolver las inecuaciones debemos aplicar las propiedades de las desigualdades y
obtener los valores de la variable que satisfagan las desigualdades.
Ejemplos.
1.
Ya que , entonces
El conjunto solucin son todos los valores de x menores que 4 cuya representacin es el
intervalo abierto ], 3[, 3 no est incluido en la solucin, se ha considerado la
propiedad de adicin de las desigualdades.
2.
ya que
8 1 4 x
4 8 4 4 4
8 4 4
x
x
12 4 x 0 4
3
4
12
4
4
x
x
8 3 2 x
6 3
2 8 3
x
x
3
9
x
0 2
2 x
14
La solucin son los valores de , el intervalo va desde el -2 incluido, hasta el
infinito
3.
Si
Observaciones:
Hemos visto que cualquier trmino de una inecuacin se puede pasar de un miembro
a otro con el signo contrario y el sentido de la inecuacin no cambia.
Cuando un nmero negativo multiplica o divide o ambos miembros de la inecuacin
su sentido cambio.
1.6 Aplicaciones econmicas de las desigualdades
Veremos a continuacin ejemplos aplicados a la economa con inecuaciones.
Ejemplo.
Un productor de fosforeras vende cada una en US$ 40 y gasta US$ 25 en costos
variables y US$ 3100 en costos fijos semanalmente. Si desea obtener una utilidad de por
lo menos U.S. $ 2450 semanalmente, qu cantidad de fosforeras debe producir y
vender a la semana?
Sea x la cantidad de fosforeras que debe producir y vender a la semana, entonces:
2x
,2
4 7 3 x x
5 , 5
2
11
11 2
7 4 3
x
x
x
x x
6 x
10 11
10 7 18
4 6 7 6 3
15
Ingresos = 40 (x), Costos = CF + CV Utilidad = Ingresos - Costos
= 3100 + 25(x)
Se observa que el productor debe vender por lo menos 370 fosforeras para obtener el
mnimo de la utilidad requerida.
a) Un productor puede vender x unidades de un producto al precio de p dlares por
unidad, donde: p = 140 - x Cuntas unidades debe vender para obtener ingresos
mnimo de US$ 6800?
Como conclusin tenemos que, para obtener los ingresos de 4.800 debe venderse entre
80 y 60 unidades.
Ejemplo.
Un fabricante para poder embalar sus productos, mantiene un contrato con una empresa
que le provee las cajas de cartn que necesita a un costo de $ 0.75 por unidad. Est
viendo la posibilidad de fabricar el mismo sus envases de cartn, eso le significa
incrementar los costos fijos en $ 1000 mensuales a ms del costo unitario de cada caja
que asciende a $ 0.50. A partir de cuntas cajas mensuales le ser ms conveniente
implementar esta posibilidad?
Planteamiento: para que se implemente la fabricacin propia, es necesario que los
costos de fabricacin propios sean menores a los costos de adquisicin
del producto.
Sea q la cantidad de cajas de cartn a fabricar o comprar, entonces:
370
15
550 . 5
550 . 5 15
450 . 2 100 . 3 25 40
x
x
x
x x
4800 140
4800 140
2
x x
x x
0 60 80 0 800 140 x
(-1) por mos multiplica 0 4800 140
2
2
x x
x
x x
16
Costos fabricacin < Costos de adquisicin.
0.50 + 1000 < 0.75
1000 < 0.25
4000 < > 4000 Cajas
Conclusin: Si el fabricante necesita ms de cuatro mil cajas mensuales, se justifica
la fabricacin en la misma empresa de las cajas.
Quinta propiedad
Si se cambia el orden de los smbolos la desigualdad cambia su signo.
As: si
Sexta propiedad
Si los dos miembros de una igualdad se igualan a una misma potencia, el signo de la
desigualdad no cambia, si ambos son positivos.
Ejemplo.
Pero: no se cumple
Sptima propiedad
Si son positivos los dos miembros y se elevan a una misma potencia el signo de la
desigualdad no cambia.
y
Ejemplo.
Pero si elevamos a una potencia negativa la desigualdad cambia:
Octava propiedad
La expresin involucra dos desigualdades
y y
Esta propiedad aplicamos en la suma, resta, producto, divisin.
c)
9779
abba
3664 68 2222 ba
259
53
53
22
nn baba nn ba
5725492549
4
1
5
1
64
1
125
112564125
33
3
1
bxa
xabxa axbx bx
232636
17
6
d)
Observacin:
Las inecuaciones llamados tambin desigualdades, en los que hay varias cantidades
desconocidas o incgnitas, pueden presentarse los siguientes casos:
a) > mayor que b) mayor o igual que
c) < menor que d) menor o igual que
e) < < significa x es mayor que a y menor que b
f) significa x es mayor o igual que a y menor o igual que b.
Para resolver las inecuaciones debemos aplicar las propiedades de las desigualdades y
obtener los valores de la variable que satisfagan las desigualdades.
Ejemplos.
4.
Ya que , entonces
El conjunto solucin son todos los valores de x menores que 4 cuya representacin es el
intervalo abierto ], 3[, 3 no est incluido en la solucin, se ha considerado la
propiedad de adicin de las desigualdades.
5.
14
2326
58
36813639 xx
233
6
3
9
814 x
48444
844
x
x
124 x 04
3
4
12
4
4
x
x
832 x
18
ya que
La solucin son los valores de , el intervalo va desde el -2 incluido, hasta el
infinito
6.
Si
Observaciones:
Hemos visto que cualquier trmino de una inecuacin se puede pasar de un miembro
a otro con el signo contrario y el sentido de la inecuacin no cambia.
Cuando un nmero negativo multiplica o divide o ambos miembros de la inecuacin
su sentido cambio.
1.6 Aplicaciones econmicas de las desigualdades
Veremos a continuacin ejemplos aplicados a la economa con inecuaciones.
Ejemplo.
Un productor de fosforeras vende cada una en US$ 40 y gasta US$ 25 en costos
variables y US$ 3100 en costos fijos semanalmente. Si desea obtener una utilidad de por
63
283
x
x
3
9
x 02
2x
2x
,2
473 xx
5,5
2
11
112
743
x
x
x
xx
6x
1011
10718
46763
19
lo menos U.S. $ 2450 semanalmente, qu cantidad de fosforeras debe producir y
vender a la semana?
Sea x la cantidad de fosforeras que debe producir y vender a la semana, entonces:
Ingresos = 40 (x), Costos = CF + CV Utilidad = Ingresos - Costos
= 3100 + 25(x)
Se observa que el productor debe vender por lo menos 370 fosforeras para obtener el
mnimo de la utilidad requerida.
b) Un productor puede vender x unidades de un producto al precio de p dlares por
unidad, donde: p = 140 - x Cuntas unidades debe vender para obtener ingresos
mnimo de US$ 6800?
Como conclusin tenemos que, para obtener los ingresos de 4.800 debe venderse entre
80 y 60 unidades.
Ejemplo.
Un fabricante para poder embalar sus productos, mantiene un contrato con una empresa
que le provee las cajas de cartn que necesita a un costo de $ 0.75 por unidad. Est
viendo la posibilidad de fabricar el mismo sus envases de cartn, eso le significa
incrementar los costos fijos en $ 1000 mensuales a ms del costo unitario de cada caja
que asciende a $ 0.50. A partir de cuntas cajas mensuales le ser ms conveniente
implementar esta posibilidad?
370
15
550.5
550.515
450.2100.32540
x
x
x
xx
06080
0800140 x
(-1)por mosmultiplica 04800140
2
2
xx
x
xx
4800 140
4800 140
2
x x
x x
20
Planteamiento: para que se implemente la fabricacin propia, es necesario que los
costos de fabricacin propios sean menores a los costos de adquisicin
del producto.
Sea q la cantidad de cajas de cartn a fabricar o comprar, entonces:
Costos fabricacin < Costos de adquisicin.
0.50 + 1000 < 0.75
1000 < 0.25
4000 < > 4000 Cajas
Conclusin: Si el fabricante necesita ms de cuatro mil cajas mensuales, se justifica
la fabricacin en la misma empresa de las cajas.
Quinta propiedad
Si se cambia el orden de los smbolos la desigualdad cambia su signo.
As: si A > B B < A
10 > 8 8 < 10
Sexta propiedad
Si los dos miembros de una igualdad se igualan a una misma potencia, el signo de la
desigualdad no cambia, si ambos son positivos.
Ejemplo.
D2
> E2 7
2 > 4
2 49 > 16
Pero: 2 > - 4 no se cumple
22 < (- 4)
2
4 < 16
Sptima propiedad
Si son positivos los dos miembros y se elevan a una misma potencia el signo de la
desigualdad no cambia. A > B An > B
n y
>
Ejemplo.
81 > 36 81 > 36 9 > 6
Pero si elevamos a una potencia negativa la desigualdad cambia:
81 > 16 811/3
1
813 <
1
163
1
9 <
1
4
Octava propiedad
La expresin a < x < b involucra dos desigualdades
a < x < b a < x y x < b x >a y x < b
21
Esta propiedad aplicamos en la suma, resta, producto, divisin.
e) 8 > 5 8 +3 > 5+3
13 > 8
8 3 > 5 3
5 > 2
f) 9 x 3 > 6 x 3 81 > 36
9
3 >
6
3 3 > 2
Observacin:
Las inecuaciones llamados tambin desigualdades, en los que hay varias cantidades
desconocidas o incgnitas, pueden presentarse los siguientes casos:
a) > mayor que b) mayor o igual que
c) < menor que d) menor o igual que
e) a < x < b significa x es mayor que a y menor que b
f) a x b significa x es mayor o igual que a y menor o igual que b.
Para resolver las inecuaciones debemos aplicar las propiedades de las desigualdades y
obtener los valores de la variable que satisfagan las desigualdades.
Ejemplos.
7. 6 (x 1 ) < 24
6x -6 < 9
6x -6 +6 < 24+6
6x < 30 ya que 6 > 0, entonces
6
6 <
30
6
x < 5
El conjunto solucin son todos los valores de x menores que 6 cuya representacin es el
intervalo abierto ], 5[, 5 no est incluido en la solucin, se ha considerado la
propiedad de adicin de las desigualdades.
<
>
0 1 2 3 4 5
- +
22
8. 2 3x 11
-3x 11 -2
-3x 9
x 9
3 ya que -2 < 0
x -3
La solucin son los valores de x - 3, el intervalo va desde el -3 incluido, hasta el
infinito [-3; )
<
>
-3 -2 -1 0
- +
9. 3x 8 > x +4
3x x > 8 + 4
2x > 12
x > 6
Si x = 6
3(6) 8 > 3 +4
18 8 > 7
10 > 7
<
>
2 3 4 5 6
Observaciones:
Hemos visto que cualquier trmino de una inecuacin se puede pasar de un miembro
a otro con el signo contrario y el sentido de la inecuacin no cambia.
Cuando un nmero negativo multiplica o divide o ambos miembros de la inecuacin
su sentido cambio.
1.6 Aplicaciones econmicas de las desigualdades
Veremos a continuacin ejemplos aplicados a la economa con inecuaciones.
23
Ejemplo.
Un productor de fosforeras vende cada una en US$ 40 y gasta US$ 25 en costos
variables y US$ 3100 en costos fijos semanalmente. Si desea obtener una utilidad de por
lo menos U.S. $ 2450 semanalmente, qu cantidad de fosforeras debe producir y
vender a la semana?
Sea x la cantidad de fosforeras que debe producir y vender a la semana, entonces:
Ingresos = 40 (x), Costos = CF + CV Utilidad = Ingresos - Costos
= 3100 + 25(x)
= 40x 25x 3100 2450
15x 5550
x 5550
15
x 370
Se observa que el productor debe vender por lo menos 370 fosforeras para obtener el
mnimo de la utilidad requerida.
c) Un productor puede vender x unidades de un producto al precio de p dlares por
unidad, donde: p = 140 - x Cuntas unidades debe vender para obtener ingresos
mnimo de US$ 6800?
x( 140 x ) 48000
140x x2
= 48000
-x 2
+140x -4800 0 multiplicamos por ( -1 )
x2 -140x -4800 0
(x 80 ) ( x 60 ) 0
Como conclusin tenemos que, para obtener los ingresos de 4.800 debe venderse entre
80 y 60 unidades.
Ejemplo.
Un fabricante para poder embalar sus productos, mantiene un contrato con una empresa
que le provee las cajas de cartn que necesita a un costo de $ 0.75 por unidad. Est
viendo la posibilidad de fabricar el mismo sus envases de cartn, eso le significa
incrementar los costos fijos en $ 1000 mensuales a ms del costo unitario de cada caja
que asciende a $ 0.50. A partir de cuntas cajas mensuales le ser ms conveniente
implementar esta posibilidad?
24
Planteamiento: para que se implemente la fabricacin propia, es necesario que los
costos de fabricacin propios sean menores a los costos de adquisicin
del producto.
Sea q la cantidad de cajas de cartn a fabricar o comprar, entonces:
Costos fabricacin < Costos de adquisicin.
0.50 + 1000 < 0.75
1000 < 0.25
4000 < > 4000 Cajas
Conclusin: Si el fabricante necesita ms de cuatro mil cajas mensuales, se justifica la
fabricacin en la misma empresa de las cajas.
1.7 Resumen.
Las igualdades estn compuestas por dos miembros el de la izquierda del sino
igual se lo denomina primer miembro, mientras que el que se halla a la derecha
se le llama segundo miembro.
Las igualdades cumplen tres propiedades fundamentales: reflexiva (a = a),
simtrica (si: a = b, entonces b = a), transitiva (si: a = c y b = c, entonces
a = b).
Si con los dos miembros de una igualdad se efecta la misma operacin con la
misma cantidad (excepto multiplicacin o divisin por cero), el signo de la
igualdad se mantiene.
Las ecuaciones cuadrticas 2 + + = 0, se resuelven, bsicamente
utilizando dos mtodos: por factorizacin y utilizando la frmula cuadrtica
=24
2.
Si a los dos miembros de una ecuacin se multiplica por una expresin que
contiene la variable, es posible que aparezcan soluciones extraas, por lo tanto
se debe siempre verificar las soluciones encontradas.
25
La solucin, si existe, a una inecuacin lineal o cuadrtica siempre ser un
intervalo, que bien puede ser abierto, semiabierto o cerrado.
Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide por una
cantidad negativa, el signo de la desigualdad se invierte.
1.8 Ejercicios propuestos.
Resolver las siguientes ecuaciones:
1. 4x 3 (x + 4) = 2 ( 3 x )
2. (x+4)2 ( 3x + 4)2 (2 3x) = 10 (x + 1) (x 2)
3. 3
1+
2
2= 0
4. (2x 1 )2 + ( 3 x )2 = 5
5. 10x2 +7x =12
6. 12x3 29x2 +15x =0
7.
+1+
2
+2= 3
8. 6x4 7x2 +2 =0
9. 5x 3 + 1 =1
10. 1 + + 2 = 2
Resolver las siguientes inecuaciones:
11. 2 + 3( 1) 3 + 1
12. ( 4) + 3( 5) < 2 + 10
13. 3 4 < 2 4 + 5
14. 3 1
5
2 + 3
4
15. 2 5 + 6 0
26
Ejercicios para economa
Resuelva los siguientes problemas:
1. El costo de un producto al menudeo es de $ 4.20. Si se desea obtener una ganancia
del 25% sobre el precio de venta, a qu precio debe venderse el producto?
2. La directora administrativa y financiera de una empresa desea conocer cuntas
unidades deber producir y vender anualmente si debe obtener utilidades de cien mil
dlares $100000). Cuenta con la siguiente informacin: precio de venta de cada unidad
veinte dlares ($20), costos fijos seiscientos mil dlares $600000) y costo variable por
unidad quince dlares ($15).
3. Una compaa de confites, produce una barra de chocolate de forma de prisma
rectangular cuyas dimensiones son 10 cm de largo, 4 cm de ancho y 2 cm de espesor.
Por motivos de incrementos en los costos de materia prima, la empresa debe reducir el
volumen del producto, ya que no quiere aumentar el precio de venta a fin de mantenerse
en el mercado. Esta reduccin la establecer en un 20% del volumen actual. Cules
deben ser las nuevas dimensiones del dulce, si se mantiene el mismo espesor y la
reduccin en el largo debe ser igual a la reduccin en el ancho?
4. Una fbrica de pantalones produce una determinada cantidad con un costo promedio
de mano de obra de $1.25 por cada unidad y un costo promedio por pantaln en
materiales de $3.25. Se conoce adems que los costos fijos mensuales de la planta son
de $3000. A partir de cuntos pantalones la empresa tendr utilidades, si cada uno se
vende en promedio en $15?
4. Una empresa financiera invierte $60000 de sus fondos excedentes a dos tasas de
inters anual del 5.5% y 7%. Desea un rendimiento mnimo de $4000, cunto debe
invertir por lo menos a la tasa del 7%?
27
1.9 Respuestas a los ejercicios propuestos.
Resolver las siguientes ecuaciones
1. 6 2. 26
27 3.
8
5 4.
521
2 5. (-3/2 , 4/5)
6. (0 , , 5/3) 7. 6 8 (1/22/3) 9. (0 , 7/25) 10. 17/16
Resolver las siguientes inecuaciones
11. [ , +[
12. ], 15/2[
13. [5
2, 4[
14. ], 19 2 ]
15. [2 , 3]
Resolver los siguientes problemas
1. $ 5.60 2. 140000 u 3. ~0.6 4. > 261 u 5. >46666.67
CAPITULO 2
Funciones lineales
Objetivos del captulo.
Conceptualizar lo que es: funcin, dominio y rango.
Determinar dominio y rango de una funcin.
Determinar valores de una funcin
Estudiar los principales tipos de funciones: constantes, polinomiales, racionales
y aplicaciones que se tienen de ellas.
Graficar las funciones en coordenadas rectangulares.
2.1 Relaciones y funciones
2.2 Funcin
2.3 Tipos de funcin
2.4 Combinacin de funciones
2.5 Resumen
2.6 Ejercicios propuestos
2.7 Respuesta a los ejercicios propuestos
28
2.1 Relaciones y funciones
Relacin y funcin: Es la relacin de dependencia entre dos variables en un par
ordenado, donde x es la variable independiente, y es la variable dependiente.
Un par ordenado puede representarse grficamente en un sistema de ejes coordinados
que constituyen dos lneas perpendiculares entre si llamada abscisa y ordenada la
primera horizontal y la segunda vertical as: yx, es el par ordenado.
Si tenemos los conjuntos U = (a, e, i) V= (3, 6, 9, 12)
Tenemos que U x V=
(a,3),(a,6),(a,9),(a,12),(e,3),(e,6),(e,9),(e,12),(i,3),(i,6),(i,9),(i,12)
A esta operacin se le da el nombre de producto cartesiano.
2.1.1 Representacin del Sistema de Coordenadas Cartesianas
Como se dijo las lneas que se cortan, representan un sistema de ejes coordenados. A
cada elemento del conjunto R x R le corresponde de un punto en el plano cartesiano y
viceversa R x R = R2 espacio bidimensional.
R y
x o x eje de abscisas
y o y eje de la
ordenada
2 1 x R
3 4
x < 0 y 0 x < 0 y 0
x < 0 y 0 x < 0 y 0
29
En el producto de los conjuntos AxB representamos:
A= o, u B= 2, 4, 6
A B 2 4 6
o
(o ,
2)
( o,
4) (o, 6)
u
( u,
2)
( u,
4) (u, 6)
Ejercicios.
1. Determine A x A si A = 3, 6, 9
A x A= (3,3), (3,6), (3,9), (6,3), (6,6), (6,9), (9,3), (9,6), (9,9)
A= 3, 5, 7 ,9 B= 1, 2, 4, 6, 8
Realice la tabla del producto A x B
A B 1 2 4 6 8
3 (3,1) (3,2) (3,4) (3,6) (3,8)
5 (5,1) (5,2) (5,4) (5,6) (5,8)
7 (7,1) (7,2) (7,4) (7,6) (7,8)
9 (9,1) (9,2) (9,4) (9,6) (9,8)
2.1.2 Relaciones
El producto cartesiano define una relacin si los conjuntos C x S formado por los pares
ordenados (x, y), el primer elemento (y) pertenece al conjunto S.
r = (x, y)/x c, y S
Es importante el orden de los elementos, y la relacin es un subconjunto de un
producto cartesiano. En general C x S S x C. Los elementos que en el par ordenado
pertenece
a(x) o al primer elemento se llama dominio y el segundo elemento a(y) se denominan
rango.
Ejemplo.
J= (3,6), (4,5), (2,1)
D=3, 4, 2 Dominio
R= 6, 5, 1 Rango
30
2.1.3 Representacin grfica de la relacin
Podemos representar a los pares ordenados en los ejes cartesianos, en los cuatro
cuadrantes, para el eje de las abscisas (x) los valores positivos se colocan a la derecha
del origen y a la izquierda del origen se ubican los valores negativos, en forma similar
para el eje de las ordenadas (y) los valores positivos se colocan hacia arriba de origen y
hacia abajo del origen se ubicaran los valores negativos.
A Grfica de la relacin
r = (3,2);(4,5),(6,7)
(y) ordenadas
10
8
6
4
2
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-4
-6
-8
-10
10
9
8
7
6
5
4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
1 2 3 4 5 6 7 8 9
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2
x
y
Del grfico anterior se deduce que es un subconjunto de los pares ordenados de que
cumple una relacin dada. En este caso x . Existe formas o cnicas en el plano como se ve a
continuacin.
r AxB
31
2.1.4 Constantes y variables
Constantes.- Son valores Fijos y Determinados.
Variable.- Son valores que pueden cambiar.
Ejemplo.
Si un automvil desarrolla una velocidad de 9 m por segundo el espacio que recorrer
depender del tiempo, en este caso de la velocidad es constante y el espacio y tiempo
son variables.
Si resumimos:
Velocidad Constante
Espacio Variable dependiente y se representa por y
Tiempo Variable independiente y se representa por x
Entonces concluimos que una constante puede ser un nmero as. -3, 2, 5, , etc., que
una vez definido queda fijo y lo representamos con las primeras letras del alfabeto a, b,
c, d, eAl contrario una variable puede tomar cualquier valor y se lo representa por
las ltimas letras del alfabeto y los ms usados y .
2.2 Funcin.
La funcin indica dependencia es decir la relacin que fija a las variables por medio de
la ley de dependencia.
Funcin: Es la relacin de dos variables, como varia y (variable dependiente) y
cuanto varia x (variable independiente) es decir donde a cada elemento de entrada o
dominio, le corresponde un elemento de salida o rango.
Ejemplos.
El costo variable de producir cualquier artculo depende del nmero de unidades.
La devolucin monetaria depende del ndice de costo de vida.
Las tarifas de impuestos que fija el gobierno depende de los gastos municipales.
La utilidad de una empresa depende de la produccin y el precio.
El rea de cuadrado depende del valor de cada lado.
El ingreso por ventas depende del precio y el nmero de unidades demandadas.
,,,,,,,, wvutsrqp x y
yx,
32
Funcin
2 3 4
7 6
Se ajust a la definicin de funcin, porque a cada elemento del dominio, le corresponde un elemento de rango.
Ejemplo: 8,7,6,5,4,3
Si se ajusta a la definicin de funcin hay un elemento del rango que es imagen, de dos elementos del dominio.
Ejemplo: 6,4,7,3,7,2
No se ajusta a la definicin de funcin, porque a un elemento del dominio, le corresponde ms de un elemento en el rango.
Dominio Rango
Dominio
x y
x y
x y
Notacin de Funciones El valor de la variable y o variable de salida
depende del valor de la variable x, o variable de entrada.
Variable de Entrada Variable de Salida
Dominio X Y Rango
2.2.1 Domingo y rango
Dominio y rango: Dominio de una funcin son las variables x o, el conjunto de
valores de entrada. Rango de una funcin son los valores de salida o de y, y se llama
tambin imagen, recorrido.
Diagramas de funciones
Figura 1
.
xfy
5
3
7
6
4
8
0
0
0
0
0
Observacin:
Concluimos que cuando a cada valor de x le corresponde unos o ms valores de
estamos frente a una funcin
y
33
Ejercicios para economa
Ejemplo.
1. Un negocio paga a sus empleados en el departamento de ventas, de acuerdo al
nmero de unidades vendidas en el mes, y tiene la poltica de que no pagar ms de
$8.000.
= sueldo en sucres
= unidades vendidas en el mes
La ecuacin que tiene para determinar el sueldo es:
a) Se quiere calcular el sueldo de un vendedor que ha venido 450 unidades, tenemos:
=
=
Si
Como se puede verse, basta sustituir el valor de en la ecuacin donde aparezca
la variable independiente , de este modo daremos valores de venta mensual para
obtener el suelo.
b) Si el empleado ha vendido 340 unidades, se estima que el sueldo ser:
c) De igual forma la venta de 125 unidades
Entonces: Multiplicamos el sueldo por las unidades vendidas y sumar $ 135
y
x
13512 xxf
y 13545012
x 5535
5535450 yx
450x
x
340fc
4215$
13534012
125fc
13512512
1635$
34
Como se indic el dominio de la funcin es el conjunto formado por los valores de
entrada, para las cuales el rango resuelta un nmero real, merecen atencin las
funciones que constituyen cociente ya que ; y en las races con ndice por la parte
subradical debe ser mayor o igual a cero. Ej.
Ejemplo.
Puede ser sustituido por cualquier valor, menos por el cero, que ser excluido
del dominio, por lo tanto .
Ejemplo.
En la funcin
.
Ejemplo.
.
En el contexto de las aplicaciones, se debe restringir que x adopte valores negativos,
porque en el caso del ejemplo 1, no existen sueldos negativos, dependiendo del caso.
La poltica del negocio de que no pagar al vendedor sueldos ms de $8000 al mes,
entonces est restringido a:
Ejercicios Resueltos.
1. En las funciones 1-3 determina: a)
a)
b)
c)
0
c
ixxx 22,202;2
x
xf3
x
xD 0; x
1
12
x
xf
x
xD 1; x
7 xxf
x
xD 7; x
80000 y
kjfff ,3,0
152 xxxf
1515000 2 f
9153915333 2 f
152 kjkjkjf
152
152
22
22
kkjkjj
kjkjkj
Observacin:
Se debe recordar que un cociente cero es el denominador o una raz negativa nos resulta un rango indefinido.
35
Entonces el dominio es: Dominio y el rango es el resultado de las operaciones
algebraicas.
2.
a)
b)
c) Dominio
3.
a)
b)
c) Dominio
Obtenga el dominio de cada funcin
4. .
5.
6.
7.
Para obtener el dominio factoramos el trinomio y as obtenemos los
valores que haran el denominador.
8.
9.
10.
11.
x
3xxf
00 f
273 f
32233 33 kjkkjjkjf x
2xxf
00 f
33 f
kjkjf x
x
xf6
x
xD 0; x
9 xxf x
xD 9; x
x
xf1
x
xD 0; x
158
32
xx
xxf
xxD 35; xx
35 xx
75 2 ttf t
tD
73
15
x
xxf
xxD
3
7; x
45 xxf x
xD5
4; x
xx
xf
2
5 x
xD 10; xx
36
12.
Porque factorando
13.
14.
Factorando
15.
16. En la Panificadora Moderna la mquina amasadora de $45.000 se deprecia en un 3%
de su valor original cada ao, determine una funcin que expresa el valor de la
mquina V despus de t aos.
Solucin.
La depreciacin al final de 1 ao s entonces el valor de V de la mquina es
17. Sean q las unidades de cobijas vendidas, la utilidad u esta dada por la ecuacin
a) Es u la una funcin de ?
b) Cul es la variable dependiente y cul es la independendiente?
363
92
2
tt
ttf
ttD 414.041.2; tt
3
6
3
c
b
a
723636
33462
d
d
414.06
726
41.26
726
6
726
2
1
x
x
1
39
2
yy
yy
D
78
22
ss
ssh
17 ss s
sD 17; ss
4
34
x
xxf
xxD 4; x
f
4500003.0
4500003.045000 ttfV
ttf 135045000
qu 35,1
q
37
Solucin.
1.35 entonces es una funcin de
La variable dependiente es y la independiente es
18. La Facultad de Economa de la Universidad Central examinar al grupo de
estudiantes inscritos para el ingreso del nuevo ao, se encontr que un nmero de
estudiantes de quienes haban aprobado el examen al final del curso preuniversitario
est dado por dnde.
Estudiantes.
Evalu a) b) y c) d) al final del curso cuantos estudiantes
habrn aprobado al 0,799 del grupo.
Solucin.
a)
b)
c)
d)
19. Un almacn de trajes est en oferta de liquidacin y tiene las siguientes rebajas:
Precio por unidad cantidad
p q
1 300
2 290
7 230
20 200
q u q
u q
tf
3
200
2001
ttf
t
,0f 100f 200f
0110 f
27
19
27
81
3
21
300
2001100
33
f
8
7
8
11
2
11
400
2001200
33
f
3
200
2001799.0
t
3
3
201.0200
200
201.0200
200
t
t
78.401
448.0180
448.020200
t
t
t
38
34
034
012
0
012
2
2
xx
xx
xx
x
xxx
a) Si enliste los nmeros en el dominio de t determine (290) y
b) Si enliste los nmeros en el dominio de g determine , y
c) Solucin.
a) Dominio:
b) Dominio
20.
i) ii)
21.
i)
ii)
qfp 200f
pgq 2g 7g
200,230,290,300
20200,2290 ff
20,7,2,1
2307,2902 gg
xxx
xxf
12
923
2
092 x 01223 xxx
33
3
92
xx
x
x
4,33 xxxDom
3
x
xxg
3
x
xxg 0x 30: xxDom
03 x 3: xDom
3x
0 3
-4 -3 0 3 x
39
16
3
1
c
b
a
73649
161432
d
d
3
3
030
03
2
2
2
x
x
xx
xx
-4 0 4 3
22.
i) ii)
23.
i) ii)
2.3 Tipos de funciones
Las funciones pueden clasificarse de acuerdo a su estructura y analizaremos los ms
usados.
2.3.1 Funcin lineal
La Funcin lineal: Est representada analticamente por una ecuacin de primer grado
y su grfica es la recta, donde son constantes.
163
2542
xx
xxf
0254 x 01632 xx
77.52
733
77.22
733
2
1
x
x
4
25: xDom
xx
xxf
3
163
2
0122 x 033 xx
44
4
162
xx
x
x
44: xxDom
bmxy bm,
3.13
-5.77 0 2.77
13.3
4
25
x
x
40
Ejemplo.
Para grfica esta funcin se toma al azar valores de entrada o dominio x de la cual, nos
resulta y, o rango, usamos 2 puntos para trazar la recta.
X Y
0
1
-1
2
-2
6
9
3
12
0
Podemos ver que el producto cruza al eje x y el punto cruza a y trazamos la
recta.
2.3.2 Funcin cuadrtica
Funcin cuadrtica: Una funcin es cuadrtica cuando tiene la forma
donde son constantes , su grfica es una parbola con eje vertical.
Ejemplo.
Resolviendo la ecuacin con la frmula cuadrtica
63 x
0,2 6,0
cbxaxy 2
c b, a, 0a
0583 2 xxxf
5,8,3 cba
6
60648
2
42
a
acbbx
y
41
X Y
-1 1.66
1 0
0
16 5
La grfica de la funcin se obtiene dibujamos todos los puntos donde x
corresponde al dominio de y .
Vrtice ; punto mnimo.
66,13
5
6
10
6
28
16
28
2
1
x
x
yx,
f y xf
xfyx
85563316501821
432101234
5
8
3
c
b
a
4
6064
5348
4
2
2
d
d
d
acbd
0583 2 xx
Races"" 66.1
1
2
1
x
x
50
165831
5181312
f
f
f
33.0
3
1
34
4
4
33.13
4
32
8
2
a
dy
xa
bx
v
vv
33.0,33.1
Observacin:
La parbola abre hacia arriba con el vrtice
La funcin cuadrtica tiene el valor extremo donde: si el valor extremo es
mnimo, y si el valor extremo es un mximo.
0a 33.0,33.1
a
bx
2 0a
0a
42
si x=0
y=5
si y=0
x= -1
x2= 1.66
Ejercicio para economa
Ejemplo.
Un sastre puede confeccionar pantalones a un costo de $20 cada uno. Si vende los
pantalones a x dlares cada uno, se estima que vender unidades mensuales; x
son unidades.
a) Determine la utilidad mensual cuando el precio de venta es de $115 por pantaln.
b) Determine el precio de venta de cada pantaln que le produzca al sastre la mayor
utilidad mensual.
Solucin
a)
Costo
x-200
)()( xCxRxP
xxxP 200
xxc 20020
xxxP
xxxxP
xCxRxP
xx
20020)(
20020200)(
)()(
200
80758595
11520020115115
P
16 15 14 13 12 11 10 9
-4 -3 -2 -1.66 1 2 3 4 5 6
x
Raz
Raz
Vrtice
43
b)
Ejercicios.
Halle las races de las siguientes funciones:
1.
2.
3.
4.
Obtener el valor mximo o mnimo de la funcin
5.
xxxP 20020
110
2
220
12
220
2
40002202
a
bx
xxxP
0432 xxxf
1,4
014
xx
xx
0132 xxxf
2
53
2
493
x
0233 2 xxxf
2
3
3
c
b
a
33
249
23432
d
d
d
6
333
6
333
6
333
1
1
1
x
x
x
0242 xxxf
22
22
2
84
2
8164
2
1
x
x
x
x
9105 2 xxxf
44
El valor mximo o mnimo es el vrtice de la parbola.
6.
7. la suma de 2 nmeros es 20 y el producto sea el mximo. Determine los nmeros.
Producto
2.3.3 Funciones Polinomiales.
Funciones Polinomiales: Estas funciones tienen la forma
donde el exponente es un entero no negativo.
Ejemplo.
Funcin polinomial de 5to grado
Funcin cbica
Funcin cuadrtica
Funcin lineal
9
10
5
c
b
a
80180100
954102
d
d
4,1min420
80
54
80
110
10
v
v
y
x
273 xxxf
372 xx
3
7
1
c
b
a
61
1249
31472
d
d
d
25.15 ,5.3max25.15
4
61
14
61
5,32
1
12
7
v
v
y
x
xy
yx
20
20
xxyx 20
10y 10son nmeros Los 1010
100
10010102010
1012
20
20
1
20
2
2
y
xyf
a
b
a
xx
aaxaxaxxfy nn .....1 0a
5xxfy
aaxaxaxxfy 23
aaxaxxfy 2
aaxxfy
45
7
0
1
c
b
a
2.3.4 Funcin racional
Funcin racional: Es cuando una funcin polinomial se divide entre otra;
Ejercicio para economa
Ejemplo.
En el hospital del da de la Universidad Central un grupo de terapistas y estudiantes han
determinado la frmula de rehabilitacin para una incapacidad particular. La funcin
matemtica que describe el costo C de un programa de este tipo en funcin del
porcentaje de la funcionalidad x.
Cul es el costo de la terapia para obtener una recuperacin del 40%.
2.3.5 Funcin inversa
Funcin inversa: Es la funcin que es el conjunto de los pares ordenados .
Ejercicios.
1.
a) Indique el rango
b) Determine
c) Determine el dominio
0xh
xhug
xfy
x
xxfc
150
3
40150
40340
f
dlares de miles 09,1110
120
1f yx,
xfyyfxSsi
1
0,72 xxxf
1f
74
28
287140
yr
d
46
4
0
1
c
b
a
Solucin.
a)
b)
c) Dominio es
2.
a) Cul es el rango
b) Determine
c) Cul es el dominio
Solucin
a)
b)
c) El dominio de es
3.
a) Rango=?
b) , dominio? Dom
Solucin
a) Rango
b)
c) Dominio
4.
a) Determine el rango
b) =?
c) Dominio =?
,7
0,72 xxxf
7,7
7,7
7
7
1
2
2
xxxf
yyx
yx
xy
,7
0,4 2 xxxf
1f
44
16
164140
yr
d
4,
xxfyfyxyxxy 4;4;4;4 1122
1f 4,
4,162 xxxf
,0y
1f x
,0
1616 2222 yxxy
0,16
0,16
21
2
xxxf
yyx
x xx ,0162
42 xxf 2x
1f
47
Solucin
a) Rango es
b)
c) Dominio f es
Dominio de
5.
a) Determine el rango
b) =?
c) Determine el dominio
Solucin
a) Rango es
b)
c) Dominio de es
6.
a) Obtenga
0,
422 xy
4
4
4
21
12
22
xxf
yfyx
yx
2
x 042 x x;
3
1
3
1,13
3 xxxf
1f
8,0
313 yx
13
1
13
1
13
31
13
3
xxf
yfyx
yx
1f ,0
73 xxf
xf 1
48
a) Grfico
7.
a) Obtenga
b) Trace los grficos de f y en el mismo sistema
Solucin.
a) 1 a 1
b)
xxf2
18
xf 1
1f
xxf2
18
xy2
18
xxf
yx
yx
216
216
82
1
1
-10
10
10 -10
7
7
-10
10
8 -10
16
49
2.3.6 La funcin implcita
Funcin implcita: Es una ecuacin que relaciona a x y y pero no est resuelta para y.
Ejemplo.
Implcita
Explicita
Ejemplo.
El gerente de una empresa comercial reconoce que la relacin entre dos variables, casi
siempre es una relacin inversa. As el precio que se cobra por ciertos artculos cuando
es mayor tenemos una menor demanda, en la relacin.
F. Implcita
El precio es funcin explcita de la cantidad q.
La cantidad es funcin explcita del precio p
Ejemplo.
Esta funcin no puede expresarse explcitamente.
2.3.7 Funcin logartmica
Ejemplo.
062 yx
6
2xy
0800105 qp
5
10800 qqfp
10
5800 pphq
042 33 yxyx
1f
1;0;log1 axxaxfx
Funcin logartmica: Busca la potencia
xf basea x exponente
Observacin:
Una funcin implcita produce dos funciones explcitas:
No siempre es posible o prctico convertir una funcin implcita en explcita.
0, yxf ygxxfy
50
1 1
y
x
y
x
0 0
Grfico
Propiedades de Logaritmos
1.
2.
3.
2.3.8 Funcin exponencial
Funcin exponencial: La funcin f definida por: donde es
cualquier nmero real si , entonces no es funcin exponencial.
Grficos
1
log
a
xaxf 10
log
a
xaxf
lobnbmmnb loglog
bnmn
mb logloglog
bmrbmr loglog
xbxf xbb ,1,0
1b xxf 1
10
a
axf x 1, aaxf x 38log82 23
1 1
y
x
y
x 0
Observaciones:
51
Reglas de exponentes
1. 5.
2. 6.
3. 7.
4. 8.
Propiedades de la Funcin Exponencial
1. El dominio de una funcin exponencial es el conjunto de todos los nmeros reales.
El rango es el conjunto de todos los nmeros positivos.
2. La grfica tiene intercepcin con el eje , no existe intercepcin con
el eje x.
3. Si , la grfica asciende de izquierda a derecha. Si , la grfica desciende
de izquierda a derecha.
4. Si , la grfica se aproxima al eje x conforme x toma valores negativos cada vez
ms grandes en valor absoluto. Si , la grfica se aproxima al eje x conforme
x toma valores positivos cada vez ms grandes.
2.4 Combinacin de funciones
Son las funciones y , estas funciones pueden combinarse algebraicamente para
formar otras nuevas, usando operaciones algebraicas: suma, diferencia, producto y
cociente de funciones.
Suma
Diferencia
Producto
Cociente
Ejemplo.
Si y encuentre:
, , y
Solucin.
a)
nmnm aaa n
nn
b
a
b
a
nm
n
m
aa
a aa 1
mnnm aa 10 a
nabn
n
aa
1
xbxf
xbxf 1,0y
1b 10 b
1b
10 b
f g
xgxfxgf
xgxfxgf
xgxfxgf
0, gxg
fx
g
f
34 xxf 2xxg
xgf xgf xgf xg
f
xgf 3434 22 xxxxxgxf
52
b)
c)
d)
Ejemplo.
Si determine
, , y e indique los dominios de las funciones.
Solucin.
a)
b)
c)
d) y
2.4.1 La funcin compuesta
Funcin compuesta: Una funcin compuesta existe, cuando una funcin depende de
otra f o g de dos funciones f y g se define por:
condicin
El dominio de f o g es el conjunto de toda x en el dominio de g tal que este en el
dominio de f
xgf 3434 22 xxxxxgxf
xgf 232 3434 xxxxxgxf
xg
f 2
34
x
x