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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE INGENIERÍA CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO (IIP)
“GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Y DEL ESPACIO CON ÁLGEBRA LINEAL Y SU
METODOLOGÍA DE ENSEÑANZA”
Trabajo presentado como requisito para la obtención del grado de:
MAGISTER EN DOCENCIA MATEMÁTICA.
Ing. Héctor Oswaldo Salcedo López
TUTOR: PhD Danilo Gortaire Játiva
Quito – Ecuador
2015
ii
DEDICATORIA
Este trabajo lo dedico a mis padres: Jaime Arturo (+) y Rosa Elvira, ejemplo de honorabilidad y
trabajo, quienes siempre me inculcaron a ser hombre de bien.
A mis adorados hijos Jaime Oswaldo y Rosa Karina, la razón de mi vida.
A Cecilia del Cisne, la compañera de siempre.
A mis hermanos, que siempre me brindaron su apoyo.
Héctor Oswaldo Salcedo López
iii
AGRADECIMIENTO
Un agradecimiento especial al PhD Danilo Gortaire Játiva, por la magnífica dirección del
presente trabajo, entregando su valiosa experiencia y formación matemática.
A mi amigo y extraordinario maestro Mat. Jorge Lara Prado quien siempre estuvo presto a
brindar sus conocimientos y experiencia, para poder culminar el presente trabajo.
Héctor Oswaldo Salcedo López
iv
AUTORIZACIÓN DE LA AUTORÍA INTELECTUAL
Yo, Héctor Oswaldo Salcedo López, en calidad de autor del trabajo de tesis titulada
“GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Y DEL ESPACIO CON ÁLGEBRA LINEAL Y SU
METODOLOGÍA DE ENSEÑANZA”, por el presente autorizo a la UNIVERSIDAD
CENTRAL DEL ECUADOR, hacer uso de todos los contenidos que me pertenecen o de parte de
los que contiene esta obra, con fines estrictamente académicos o de investigación.
Los derechos que como autor me corresponden, con excepción de la presente autorización,
seguirán vigentes a mi favor, de conformidad con lo establecido en los artículos 5,6,8,19 y demás
pertinentes de la Ley de propiedad Intelectual y su Reglamento.
Quito, 25 de noviembre del 2015
Héctor Oswaldo Salcedo López
C.I.: 1102167242
v
CERTIFICACIÓN
Certifico que el presente trabajo fue realizado en su totalidad por el señor Héctor Oswaldo
Salcedo López, como requisito parcial a la obtención del título de MAGISTER EN DOCENCIA
MATEMATICA.
El documento elaborado superó el control antiplagio Urkund.
Quito, 26 de noviembre de 2015
vi
CONTENIDO
DEDICATORIA ……………………………………………………………… ........... ii
AGRADECIMIENTO…………………………………………………………… ........ iii
AUTORIZACIÓN DE LA AUTORÍA INTELECTUAL…………………………….. iv
CERTIFICACIÓN……………………………………………………………… ......... v
CONTENIDO…………………………………………………………………… ......... vi
RESUMEN……………………………………………………………………… ......... xii
ABSTRACT……………………………………………………………………… ....... xiiii
CAPÍTULO I …………………………………………………………………………. 1
1.1 INTRODUCCIÓN …………….…………………………..….……………..…… 1
1.2 PROBLEMÁTICA ….……………………………………….…………………… 2
1.3 PROBLEMA ….………………………………………………………………… 3
1.4 HIPÓTESIS ….…………………………………..………………………………. 3
1.5 OBJETIVOS ….……………………………………………………………….… 4
1.5.1 Objetivo General ….……………………………….………………….……… 4
1.5.2 Objetivo Específico ….………………………………………………….…… 4
1.6 JUSTIFICATIVO DEL PROYECTO ….………………..……………….…… 4
1.7. RESULTADOS ESPERADOS ….…………………………………………… 5
CAPÍTULO II ……………………………………………………..……………….. 7
2. ESPACIO VECTORIAL Y EUCLIDEO ……………………………….….... 7
2.1 FUNCIONES …………………………………………………………………. 7
2.1.1. Tipos de funciones .………………………………………………………… 8
2.1.1.1. Funciones inyectivas ………………………..……………………………. 8
vii
2.1.1.2. Funciones sobreyectivas …………….………………………………..….. 8
2.1.1.3. Funciones biyectivas. ..………..………………………………………….. 9
2.1.1.4.Extensión de una función a los conjuntos de partes……………………….. 9
2.2. OPERACIONES. …………………………………………………………….. 13
2.2.1. Ley de composición interna. ……………………………………………….. 14
2.2.2. Ley de composición externa. ……………………………………………….. 14
2.2.3. Grupo ….…………………………………………………………….……… 15
2.2.4. Estructura de cuerpo ….……………………………………………………. 16
2.3. ESPACIO VECTORIAL ………………………………………………… 17
2.4. COMBINACIONES LINEALES. VECTORES COLINEALES. …………… 23
2.4.1. Subespacios vectoriales. ……………………………………………………. 23
2.4.2. Operaciones con subespacios. ………………………………………………. 26
2.4.2.1. Intersección de subespacios. ……………………………………………… 26
2.4.2.2. Unión de subespacios. ………….………………………………………… 26
2.4.2.3. Suma de subespacios. ……………………………………………………. 27
2.5. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL. .………………………… 28
2.5.1. Conjunto linealmente independiente ……………………………………….. 28
2.5.2. Conjunto linealmente dependiente …………………………………………. 28
2.6. SISTEMA DE GENERADORES ………..………………………………….. 30
2.7. BASE Y DIMENSIÓN ……………………………………………………… 31
2.7.1. Base de un Espacio Vectorial …….………………………………………… 31
2.7.2. Dimensión de un Espacio Vectorial ………………………………………. 32
2.8. PRODUCTO ESCALAR ….…….……………………………………………. 33
2.9. LONGITUD O NORMA DE UN VECTOR ..……………………………….. 35
2.10. ORTOGONALIDAD Y BASES ORTOGONALES ……………………….. 36
viii
2.10.1. Ortogonalidad ……………………………………………………………… 36
2.11. RECTAS E HIPERPLANOS .…….………………………………………… 37
2.12. CÓNICAS …………………………………………………………………….... 40
2.12.1. Las Cónicas .……………………………………………………………….. 42
2.12.1.1. Definiciones fundamentales ……………………………………………... 42
2.12.2. Ecuación General de las cónicas ….……………………………………… 44
2.12.3. Ecuaciones cartesianas de las cónicas …………………………………….. 45
2.12.3.1. El círculo ……………..………………………………………………….. 45
2.12.3.2. La parábola …………………………………………………………………. 47
2.12.3.3. La elipse ……………………………………..……………………………... 48
2.12.3.4. La hipérbola ……………………………………………………………….. 51
CAPÍTULO III ….………………………………………………………………….. 53
TRANSFORMACIONES LINEALES DE EN . REPRESENTACIÓN
MATRICIAL . ….……………………………………………………………….. 53
3.1. TRANSFORMACIONES LINEALES DE EN . ALGEBRA
DE TRANSFORMACIONES LINEALES ….……………………………… 53
3.1.1 Núcleo e imagen de una aplicación lineal ………………………………... 56
3.1.2. Dimensión del núcleo y de la imagen ……………………….……………. 61
3.1.3. Operadores en . Algebra de operadores. ……………………………… 61
3.1.4. Algebra de operadores lineales ….………………………………………… 62
3.2. ISOMORFISMO ………………………………………………………….. 63
3.2.1. Aplicaciones Lineales Inyectivas o Monomorfismos ………….……….. 63
3.2.2. Aplicaciones Lineales Suprayectivas o Epimorfismos …………………….. 63
3.2.3. Aplicaciones Lineales Biyectivas ……………………………………………. 64
3.2.4. Isomorfismo ………………………………………………………………….. 64
ix
3.3. SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO A UNA RECTA EN EL PLANO….. 66
3.4. SIMÉTRICO DE UN PUNTO CON RESPECTO A UN PLANO………………. 69
3.5. ROTACIÓN EN UN ÁNGULO …….….…………………………………… 74
3.6. PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UNA RECTA
EN EL PLANO DE ECUACIÓN CARTESIANA ………………… 76
3.7. REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE APLICACIONES LINEALES ..………. 92
3.8. MATRIZ DE CAMBIO DE BASE Y MATRICES SEMEJANTES ………. 95
3.8.1. Matriz de cambio de base ……………………..………………………….. 95
3.8.2. Matrices Semejantes ……………………………………………………….. 96
3.9. OPERADORES NORMALES Y AUTOADJUNTOS …………………….. 98
3.9.1. Operadores adjuntos y traspuestos ……………………………………….. 98
3.9.2. Operadores hermitianos y simétricos …………………………………….. 98
3.10. OPERADORES UNITARIOS Y ORTOGONALES …………………….. 99
3.11. PROYECCIONES ORTOGONALES ………………………………….. 101
3.12. APLICACIONES. MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS …………. 102
3.12.1. Líneas de mínimos cuadrados .………………………………………… 102
3.12.2. Módelo lineal general ….…………………………………………………. 104
3.12.3. Ajuste de otras curvas por mínimos cuadrados. ……………………….... 105
CAPÍTULO IV …………………………………………………………………... 108
DIAGONALIZACIÓN DE FORMAS CUADRÁTICAS ……………………….. 108
4.1. VALORES Y VECTORES PROPIOS ……………………………………... 108
4.2. POLINOMIO CARACTERÍSTICO ………………………………………….. 111
4.3. MÉTODO DE NEWTON PARA CÁLCULO NUMÉRICO DE VALORES PROPIOS
DE MATRICES DE ORDEN 3X3 …….……………………………………… 114
4.4. DIAGONALIZACIÓN ………………………………………………………… 116
x
4.5. MATRICES SIMÉTRICAS. MATRICES DEFINIDAS POSITIVAS ………..….. 118
4.5.1. Matriz simétrica …………………………………………………………….. 118
4.5.2. Matriz antisimétrica ……………………………………………………….. 119
4.5.3. Matriz Hermitiana …………………………………………………………. 120
4.5.4. Matriz definida positiva ……………………………………………………. 120
4.6. FORMAS CUADRÁTICAS EN Y EN ……………………………….. 121
4.6.1. Formas cuadráticas con dos variables ……………………………………… 122
4.6.2. Formas cuadráticas con tres variables ……………………………………... 127
4.6.3. Formas Cuadráticas con n variables ………………………………………… 128
CAPÍTULO V ……..……………………………………………………………… 132
METODOLOGÍA DE ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL
BACHILLERATO…………..….………………………………………………….. 132
5.1. IMPORTANCIA DEL ESTUDIO DE LA MATEMATICA……….. ………. 134
5.2. PROBLEMAS DE APRENDIZAJE DE LA MATEMATICA………………. 135
5.3. METODOLOGÍA DE ENSEÑANZA ……………….……………………... 135
5.4. APLICACIONES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA EN O EN
A PARTIR DE LAS PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES,
VALORES Y VECTORES PROPIOS…………….…………………………..…… 159
5.4.1. Espacios afines ……………………………………………………………. 159
5.4.2. Sistema de referencia …………………………………………………………. 161
5.4.3. Ecuación de una recta en un sistema de referencia ..………………………. 163
5.4.4. Ecuación de un plano en un sistema de referencia ………………………… 164
5.4.5. Traslación de un punto ……………………………………………………….. 168
5.4.6. Cambio de sistema de referencia ….. ……………………………….……….. 170
5.4.7. Rectas en el espacio afín ………………………………………….……… 172
xi
5.4.8. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos …..………………………… … 173
5.4.9. Distancia en ……………………………………………………..… 176
5.4.9.1. Distancia entre dos puntos ………………………………………………. 176
5.4.9.2. Distancia entre un punto y una recta en …………………………………. 177
5.4.10. Angulo entre dos rectas ……………………………………………………. 178
5.4.11. Diagonalización de formas cuadráticas …………………………..………… 178
5.4.12. Secciones cónicas …………………………………………………………… 181
5.4.13. Eliminación del término de producto cruzado ……………………………… 184
5.4.14. Invariante de una curva …….……………………………………………….. 188
5.4.15. Ecuaciones reducidas de las cónicas ………………………………………… 197
5.4.16. Clasificación general de las cónicas …………………………………….…. 198
5.4.17. Superficies cuadráticas ………………………………………………. 201
5.4.17.1. Eliminación de los términos de producto cruzado….…………………….. 206
6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES …………..…………………….. 211
7. GLOSARIO DE TÉRMINOS ….…..……………………………………….. 212
8. BIBLIOGRAFÍA..……………….…………………………………………… 214
9 BIOGRAFÍA DEL AUTOR…………………………………………………… 217
xii
RESUMEN
“GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Y DEL ESPACIO CON ALGEBRA LINEAL Y SU
METODOLOGÍA DE ENSEÑANZA”
Tiene la finalidad de incorporar a los procesos de enseñanza-aprendizaje , una nueva temática y
sus aplicaciones del Algebra Lineal y la Geometría Analítica y ,, para estudiantes del
Bachillerato en el Ecuador, cuya metodología escrita en un lenguaje sencillo, permite obtener
aprendizajes de alto contenido matemático, los mismos que anteriormente se alcanzaban en
cursos superiores de matemáticas. El desarrollo de la investigación, tiene un enfoque práctico, en
la que se utiliza los postulados de espacios vectoriales, subespacios vectoriales, funciones,
transformaciones lineales de en , valores y vectores característicos y formas cuadráticas
con sus respectivos ejercicios, soluciones y sus demostraciones, lo que le permite a estudiantes y
docentes alcanzar mejores niveles de comprensión y afrontar nuevos retos de estudios superiores.
Los resultados de la investigación, fue el de romper paradigmas en el aprendizaje de la
matemática, al demostrar que con un nuevo lenguaje y metodología apropiada se puede impartir
esta temática a mayor profundidad en la asignatura de Algebra Lineal, a estudiantes que cursan el
Bachillerato.
Es necesario que los resultados de la investigación, se consideren dentro los programas de estudio
del Algebra Lineal, en las instituciones educativas a nivel nacional.
DESCRIPTORES
ESPACIOS VECTORIALES/ SUBESPACIOS VECTORIALES/ TRANSFORMACIONES
LINEALES/ROTACIONES/TRASLACIONES/ FORMAS CUADRÁTICAS/ SUPERFICIES
CUADRÁTICAS/ APLICACIONES VARIAS/ BACHILLERATO.
xiii
ABSTRACT
ALGEBRA AND SPACE WITH LINEAR AND TEACHING METHODS"
Is intended to incorporate the teaching-learning process, a new theme and applications of Linear
Algebra and Analytical Geometry and , for students of high school in Ecuador, whose
written in simple language, learning methodology allows for high mathematical content, the same
as above were achieved higher grades in math. The development of research has a practical
approach, which postulates used vector spaces, vector subspaces, functions, linear
transformations from to , values and characteristic vectors and quadratic forms with their
exercises, solutions and demonstrations, which allows students and teachers to achieve better
levels of understanding and addressing new challenges of higher education.
The results of the research was to break paradigms in learning mathematics by demonstrating that
with a new language and appropriate methodology for teaching this subject more deeply into the
subject of linear algebra to students in the high school.
It is necessary that the results of the investigation, are considered within the curricula of Linear
Algebra, in educational institutions nationwide.
KEY WORDS
VECTOR SPACES / SUBSPACES VECTOR / LINEAR TRANSFORMATIONS /
ROTATIONS / TRANSLATIONS / QUADRATIC FORMS / QUADRATIC SURFACES /
VARIOUS APPLICATIONS / BACHELOR.
xiv
CAPÍTULO I
1.1 INTRODUCCIÓN
El modelo educativo ecuatoriano, en la actualidad no ha evolucionado en el ámbito de los
procesos de enseñanza- aprendizaje en el área de la matemática para los estudiantes de
bachillerato; de ahí que surge la necesidad de incorporar al sistema educativo nuevos
enfoques en la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. Ante esta realidad, la presente
investigación desarrolla un nuevo enfoque de enseñanza, en la que relaciona la ciencia del
Algebra Lineal, con la Geometría Analítica en y , en la solución de problemas de
esta temática.
En este contexto, en el presente trabajo se presenta contenidos de Algebra Lineal los
cuales aplicados a la Geometría Analítica Plana y del Espacio, escritos en un lenguaje
sencillo, ofrece una alternativa práctica y sencilla en la solución de este tipo de
problemas, que le permitirán al estudiante continuar sus estudios universitarios sin
mayores inconvenientes.
La investigación inicia, ofreciendo un enfoque y conceptualización de los espacios
vectoriales en y ; a continuación se hace un análisis de las transformaciones
lineales, diagonalizaciones de formas cuadráticas, y su aplicabilidad.
2
A continuación, se presenta la propuesta metodológica en la resolución de problemas de
superficies cuadráticas, ofreciendo ejercicios didácticos para su comprensión.
Se finaliza, ofreciendo al lector, las principales conclusiones y sus respectivas
recomendaciones.
1.2 PROBLEMÁTICA
El estudio de la matemática está dirigido al desarrollo de la inteligencia, fortalece el
razonamiento, se construye el lenguaje con el que se expresa las leyes y principios de las
ciencias fundamentales, sirven para identificar y resolver problemas mediante la
elaboración de modelos y métodos de solución en las otras ciencias, las ingenierías, las
industrias y el comercio. Los avances de las matemáticas puras y aplicadas constituyen
una contribución fundamental y permanente al desarrollo de la humanidad.
En el estudio de la matemática no debe conceptualizarse que se trate únicamente de
fórmulas, trucos y artificios, que se debe aprender de memoria o simplemente de realizar
ejercicios de acuerdo a ciertos patrones establecidos. La matemática se aprende haciendo
y para ello se debe pensar, razonar, reflexionar, por ello es necesario un correcto uso del
lenguaje matemático, la simbología, notaciones y el uso y aplicación de resultados que se
van obteniendo.
3
De acuerdo a la reforma curricular educativo del ecuador, en la actualidad, no se ha
previsto la necesidad de incorporar al sistema educativo nuevos enfoques en el proceso de
enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. Ante esta realidad, surge la necesidad de
generar nuevos enfoques de enseñanza de la matemática e incorporar una nueva temática
y sus aplicaciones en el proceso de enseñanza aprendizaje del Algebra Lineal, para
estudiantes del Bachillerato en el Ecuador, escrita en una forma sencilla con alto
contenido matemático, el mismo que le permitirá al bachiller ecuatoriano alcanzar
competencias significativas.
1.3 PROBLEMA
La impartición de Algebra Lineal, aplicado a la Geometría Plana y del Espacio, en la
actualidad en el modelo educativo ecuatoriano, no le permite generar capacidades en el
área de la matemática para continuar los estudios universitarios.
1.4 HIPOTESIS
La impartición de Algebra Lineal aplicado a la Geometría Plana y del Espacio, contribuye
a la formación del estudiante de bachillerato y le permite generar capacidades para
continuar los estudios universitarios.
4
1.5 OBJETIVOS
1.5.1. Objetivo General
Relacionar la Geometría Analítica en y , con las propiedades de los
espacios vectoriales, transformaciones lineales, valores y vectores propios, que
servirán de material bibliográfico y de enseñanza para estudiantes y docentes de
bachillerato.
1.5.2. Objetivos Específico
Aplicar las transformaciones lineales en el estudio de Geometría Analítica Plana y
del Espacio, que servirán de material bibliográfico para estudiantes de bachillerato.
Utilizar los espacios vectoriales, valores y vectores propios, como proceso
alternativo a la solución de problemas de la Geometría Analítica en y .
1.6 JUSTIFICACION Y ALCANCE DEL PROYECTO
La Reforma Curricular Ecuatoriana, permite incorporar y contribuir en el desarrollo
curricular y mejoramiento de la malla académica para el bachillerato, siempre que cumpla
5
con los objetivos de la Educación Nacional, por lo que los resultados de la presente
investigación, tienen como finalidad mejorar los contenidos educativos a nivel de
bachillerato.
En la actualidad, la impartición de la unidad del Algebra Lineal y sus contenidos son muy
básicos, tratando temáticas como matrices, determinantes y solución de sistemas de
ecuaciones lineales con enfoques tradicionales, por lo que la investigación propuesta,
pretende brindar un nuevo enfoque en el desarrollo de problemas de la temática de
Geometría en y , con un lenguaje claro y sencillo a objeto de que docentes y
estudiantes puedan aplicarlos sin mayores inconvenientes.
La investigación pretende contribuir a generar estudiantes con mayores posibilidades
profesionalizantes, que en su momento, serán los que contribuyan al desarrollo del país
desde todas las ramas de las ciencias.
1.7 RESULTADOS ESPERADOS
Al ser incorporado los temas que se analizan en esta tesis, dentro de la impartición del
Algebra Lineal, el estudiante estará en condiciones de afrontar mayores retos en el estudio
de matemática superior, sin complicaciones en su comprensión y desarrollo.
6
Así mismo el nivel de formación del bachiller en el Ecuador en el campo del Algebra
Lineal y de la Geometría plana y del espacio, será de calidad, con lo que se aseguraría
éxitos en su vida universitaria.
7
CAPÍTULO II
2. ESPACIO VECTORIAL Y EUCLIDEO
Este capítulo recopila la teoría básica de espacio y subespacio vectorial, combinaciones lineales,
dependencia e independencia lineal. De igual manera los conceptos de producto escalar, norma
de un vector, ortogonalidad, rectas e hiperplanos y teoría de las cónicas, todo lo descrito
acompañado de recomendaciones didácticas, metodológicas para su mejor comprensión. En este
contexto el concepto de función es fundamental por lo que iniciamos con este.
2.1 FUNCIONES.
El concepto de función es uno de los más importantes de matemática. Por lo que nuestro estudio
iniciamos con una revisión de conceptos y resultados fundamentales de función.
Funciones.
Definición 1
Sean dos conjuntos no vacíos, diremos que es función o aplicación de en , si y solo si,
para cada , existe un único elemento , tal que .
Para indicar que es función de en utilizamos la siguiente notación
A B
8
El conjunto se llama conjunto de salida o dominio de la función denotado por se
llama conjunto de llegada de . El conjunto se llama recorrido de y se denota
En algunos libros, al recorrido se le nota también .
2.1.1. Tipos de funciones.
2.1.1.1.Funciones inyectivas.
Definición 2
Sean dos conjuntos no vacíos. Se dice que una aplicación de en es inyectiva o uno a
uno si y solo si se verifica la siguiente condición.
Definición equivalente
Sean dos conjuntos no vacíos. Se dice que una aplicación de en es inyectiva o uno a
uno si y solo si se verifica la siguiente condición.
2.1.1.2.Funciones sobreyectivas.
Definición 3
Sean dos conjuntos no vacíos. Se dice que una aplicación de en es sobreyectiva si y
solo si .
9
2.1.1.3.Funciones biyectivas.
Definición 4
Sean dos conjuntos no vacíos. Se dice que una aplicación de en es biyectiva si y solo
si es inyectiva y sobreyectiva.
2.1.1.4.Extensión de una función a los conjuntos de partes
Sean A, B dos conjuntos no vacíos cualesquiera. Primeramente, todo subconjunto M de A se
llama parte de A; se escribe . El conjunto de partes de A se denota y se define
como:
Se tiene la siguiente equivalencia
Definición
Sean dos conjuntos no vacíos cualesquiera, una función .
El conjunto se llama imagen directa de por .
El conjunto se llama imagen inversa de por
Observación. No debe confundirse con la imagen directa de la función inversa ,
siempre que esta exista, designa simplemente un subconjunto de ,A que existe para toda
función , en cambio la función inversa existe solo si es biyectiva.
De la definición se sigue que:
tal que ,
10
Notemos que , donde denotan los conjuntos de partes de
, respectivamente. Se tiene que . Este hecho motiva
extender la función de en a las partes de en las partes de , que por abuso de lenguaje a
esta nueva función se la nota también con esto es:
De la definición de imagen directa, se sigue que una función es sobreyectiva si
Ejemplo:
Sean , la función definida por
Determinemos las imágenes directas
Observe las imágenes inversas
Teorema 1. Sean dos conjuntos no vacíos cualesquiera, una función,
Se verifican las siguientes propiedades:
i) y si entonces
ii) Si entonces
iii)
iv)
v)
11
Demostración.
i) Puesto que es equivalente a y . La primera inclusión es
obvia. Probemos la segunda. Sea , existe tal que . Pero
implica es una proposición verdadera. Luego implica o sea
.
Si , existe . Como es función , es decir que
ii) Sea Existe tal que . Como y se sigue que
y en consecuencia Luego implica esto es
iii) Debemos probar , esto equivale a su vez a probar las dos
inclusiones siguientes:
Puesto que , por la parte ii) se sigue que
, por lo tanto
Probemos que . Sea Existe tal que
. De la equivalencia resulta que:
Luego
Así,
esto es,
iv) Supongamos que , entonces con por tanto y
pero también y por tanto se puede concluir
12
que y . El ejemplo siguiente muestra que no
se tiene en general igualdad. Tomemos y
.
Entonces
v) Se deja como ejercicio
Teorema 2. Sean dos conjuntos no vacíos cualesquiera, una función de en
. Se verifican las siguientes propiedades:
i) Si entonces
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
Demostración.
i) Si existe tal que Por hipótesis y , se sigue
que y en consecuencia Se tiene: o sea
ii) Sea Existe tal que Se tienen las siguientes
equivalencias:
Así
13
Lo que prueba que
iii) Sea Existe tal que Se tienen las siguientes
equivalencias:
Así
Lo que prueba que
iv) Se tiene las siguientes equivalencias:
es decir que
v) Sea , entonces y en consecuencia ( ) Luego,
implica
vi) Se propone como ejercicio.
2.2. OPERACIONES.
Las operaciones son una parte de las funciones, tienen un rol dominante al desarrollo de la
matemática, particularmente en la elaboración o construcción de las estructuras algebraicas.
En este contexto, las operaciones son de suma importancia en el álgebra lineal,
consecuentemente dentro del trabajo que nos compete presentarnos algunos resultados
básicos. Más detalles se encuentran en [ ] [ ].
14
2.2.1. Ley de composición interna.
Definición 5
Sea un conjunto no vacío, llamaremos ley de composición interna definida en , a toda función
o aplicación de en .
EJEMPLOS
1. La adición o la multiplicación son leyes de composición internas en
2. La sustracción define una ley de composición interna en pero no en .
3. Se nota el conjunto de funciones de en la función
( está definida por , ) es una ley de composición
interna.
2.2.2. Ley de composición externa.
Definición 6
Sean dos conjuntos . Una ley de composición externa definida en A, con operadores en es
toda función de . Normalmente se denota mediante y se llama producto de
operadores de por elementos de A.
15
Mediante esta función, la imagen del par se escribe o simplemente
2.2.3. Grupo
Definición 7
Se dice que un conjunto no vacío es un grupo si y solo si en él está definida una ley de
composición interna que cumple con las siguientes propiedades:
i) Asociativa: para todo
ii) Existencia de elemento neutro: existe tal que para todo
iii) Existencia de inversos u opuestos: para toda , existe
tal que
A un grupo se lo denota por .
Un grupo se dice conmutativo o abeliano si la operación verifica la propiedad
conmutativa: para todo .
Teorema 3.
i) El elemento neutro es único-
ii) El inverso de un elemento es único.
iii) El inverso del inverso de es es decir,
iv) Para todo , ,x y G
v) Para todo si entonces
Demostración.
i) Sean dos elementos neutros de Aplicando la propiedad de un elemento
neutro a y ',e e se obtiene:
16
De donde
ii) Sea tal que . Se tiene entonces lo que
implica que (puesto que ).
iii) Sea el inverso del inverso de se tiene Puesto que y
de acuerdo a la segunda propiedad de este teorema, se tiene
iv) Se tiene
Consecuentemente
v) Se tiene
2.2.4. Estructura de cuerpo
Definición 8
A un conjunto se lo llama campo o cuerpo si en están definidas dos leyes de
composición interna (suma y producto) y además verifican siguientes propiedades:
i) Conmutativa: Para todo a, b
ii) Asociativa: Para todo a, b, c
iii) Existencia de elemento nulo o cero:
iv) Existencia de opuestos aditivos: Para todo a existe –a
17
Producto: .
i) Conmutativa: Para todo a, b
ii) Asociativa: Para todo a, b, c
iii) Existencia de unidad:
iv) Existencia de opuestos inversos:
Para todo a
v) Distributiva del producto respecto a la suma:
Para todo a, b, c
A los elementos de se llamará escalares.
El conjunto de los números reales , los números racionales con las operaciones de adición y
producto son cuerpos.
No son cuerpos los conjuntos y , por no existir el inverso de todo elemento.
2.3. ESPACIO VECTORIAL .
En lo que sigue consideramos el cuerpo de los números reales
18
Definición 9
Se dice que es un espacio vectorial sobre el cuerpo si y solo si en se han definido dos
operaciones:
1) Una operación interna, la adición “+”:
y satisface las siguientes propiedades:
i) La operación de adición es conmutativa en para todo
ii) La operación adición es asociativa en V: para todo
iii) Existencia de elemento neutro: existe el elemento tal que para todo , 0 .x x
iv) Existencia de opuestos aditivos en :V para cada existe tal que Al
elemento y de se lo denota
19
3. Una operación externa, el producto con escalares en
.
que satisface las siguientes propiedades:
p1) El producto satisface la asociatividad mixta: para todo y para todo
p2) El producto es distributivo respecto a la suma en para todo y para
todo
p3) El producto es distributivo respecto de la suma en para todo y para
todo x
p4) La unicidad del cuerpo es neutro para el producto.
Teorema. Sean en un espacio vectorial, un elemento de y un escalar, entonces:
i)
ii)
iii)
iv) Si , entonces
Apliquemos estos conceptos al caso concreto del espacio vectorial que lo hacemos, por
cuestiones metodológicas en varias etapas.
20
Una operación en A es una función de en :
Si
Operación adición:
+
Operación producto:
.
Si y en V se define las siguientes operaciones:
Operación adición:
+
Operación producto de escalares por elementos de
.
Sea y , en V se define las siguientes operaciones:
Es inmediata la verificación que es un espacio vectorial real [6], [7].
Sea un conjunto no vacío cualesquiera , el producto cartesiano de con se denota
definido como Se designa con al conjunto
y se define como
De manera general:
21
En se define la igualdad de sus elementos como sigue:
Sean Decimos
Particularmente, si se tiene
ix
estos conjuntos son los que utilizaremos en lo sucesivo.
Como una aplicación de la geometría analítica tenemos:
,
( )
22
23
2.4.COMBINACIONES LINEALES. VECTORES COLINEALES.
Definición 10
Sean se dice que es combinación lineal de si y solo si existen
tales que: 1
.n
i i
i
x x
A continuación definimos los vectores colineales que corresponde cuando se tiene dos vectores
de .V
Definición 11
Sean con . Se dice que los vectores A y B son colineales si y solo si existe un
número real tal que .
2.4.1. Subespacios vectoriales.
Definición 12
Sea con , se dice que es un subespacio de si y solo sí es un espacio
vectorial sobre el mismo cuerpo K .
Cualquiera que sea el espacio vectorial K , tanto V como son subespacios de
llamados triviales, los otros si existen se llaman sub-espacios propios de
24
Teorema 4. El subconjunto S de es un subespacio de si y solo si:
i) .
ii) S es cerrado respecto de la adición:
iii) S es cerrado respecto a la multiplicación por escalar: K
Corolario. Sea un espacio vectorial y un subconjunto de Si verifica las condiciones i)
y ii) siguientes, entonces es un subespacio vectorial de :
i) es no vacío ( contiene el elemento neutro de ).
ii)
entonces
Apliquemos estos resultados a la geometría analítica:
Sean
A y B son colineales tal que
colineales
es un espacio vectorial, más exactamente, un subespacio vectorial.
A, B no son colineales
Toda recta que pasa por el origen se identifica con un subespacio vectorial de y
recíprocamente.
Sean no nulos,
25
Se prueba inmediatamente que es un subespacio vectorial de . Este subespacio se representa
como un plano que pasa por el origen.
Recomendaciones metodológicas
1. Considerar ejemplos concretos de subespacios vectoriales de tales como el siguiente:
Es importante que el estudiante demuestre formalmente que este es un subespacio de .
Luego que represente geométricamente a este conjunto.
2. Dados dos elementos no nulos de S, pruebe que son colineales.
3. Dado con , probar que y todo elemento de S no son colineales.
4. En realizar consideraciones semejantes.
| | | |
( ) . El Grafo de que se identifica con un subespacio
de , cuya representación gráfica coincide con un plano que pasa por el origen.
26
2.4.2. Operaciones con subespacios.
2.4.2.1.Intersección de subespacios.
Teorema 5. Sea un espacio vectorial sobre un cuerpo y subespacios
vectoriales de entonces la intersección
1
n
i
i
W W es un subespacio vectorial de
Demostración. Para toda se tiene por tanto Sean y
entonces para todo se tiene por tanto está en la intersección de todos
los .
2.4.2.2.Unión de subespacios.
Sean y los subespacios de entonces , por lo general no es un subespacio vectorial
de como se verifica en el siguiente ejemplo.
Tomemos en los subespacios de la figura.
La unión de ambos es el par de rectas y eligiendo distintos del vector nulo, se
tiene.
27
2.4.2.3.Suma de subespacios.
Tomemos dos subespacios de . El conjunto está definido por:
Llamamos al conjunto suma de los subespacios y se indica como
. Se prueba fácilmente que la suma de dos subespacios de es un subespacio de
Un caso particular se presenta cuando dos subespacios son disjuntos, es decir, si
. En este caso, el subespacio recibe el nombre de suma directa de , y
es denotado por:
Se tiene la siguiente proposición:
Apliquemos estos resultados a la geometría analítica
planos que pasan por el origen
se identifica como subespacio de
Si
es una recta que pasa por el origen y es un subespacio de
28
2.5. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL.
2.5.1. Conjunto linealmente independiente.
Sea una familia de vectores del espacio vectorial
Definición 13
La familia es linealmente independiente si y solo si la combinación lineal de nula
tiene por única solución: .
El conjunto es linealmente independiente 1
0 0, 1, , .r
i i i
i
v i n
2.5.2. Conjunto linealmente dependiente.
Definición 14
La familia es un conjunto linealmente dependiente de vectores de y solo si no
es linealmente independiente.
El conjunto es linealmente dependiente 1
0r
i i
i
v
para algún
Ejemplo. En consideremos el conjunto . Este es linealmente
dependiente. En efecto, estudiemos la combinación lineal nula:
de donde con , lo que muestra que existen infinitas soluciones.
29
La independencia lineal geométricamente puede ser interpretada en 2 y 3
como:
i) En o dos vectores son linealmente independientes si y solo si los vectores no están
en la misma recta cuando se colocan sus puntos iniciales en el origen.
ii) En tres vectores son linealmente independientes si y solo si los vectores no están en el
mismo plano cuando se colocan con sus puntos iniciales en el origen.
30
2.6. SISTEMA DE GENERADORES.
Definición 15
La familia es un sistema de generadores de si y solo si todo elemento de
puede expresarse como combinación lineal de los vectores de .
Así, si y solo si existen 1
.r
i i
i
x x
Ejemplo:
( ) (
) (
) determine si está en el espacio generado por los
vectores , esto es,
Solución: Partiendo de la combinación lineal
2 =
3 = 2
cuya solución es
Luego:
(
) ( ) (
) y por tanto es generado por .
31
2.7. BASE Y DIMENSIÓN.
2.7.1. Base de un Espacio Vectorial.
Definición 16
Sea una familia de vectores del espacio vectorial La familia es una
base de si y solo si es un conjunto linealmente independiente y genera a
Ejemplo:
Determinar una base del subespacio de definido por:
Podemos escribir:
.
.
Esto significa que los vectores de
constituyen un sistema de generadores de . Además son linealmente independientes, ya que
.
De la definición de igualdad de elementos de se obtiene: , y que
se verifica trivialmente. Por tanto, constituyen una base de .
32
2.7.2. Dimensión de un Espacio Vectorial.
Un espacio vectorial diferente del espacio nulo es de dimensión finita si contiene un conjunto
finito de vectores que forman una base.
Definición 17
La dimensión está denotada por y se define como el número de vectores que hay en una
base de
Además por definición, el espacio vectorial nulo es de dimensión cero.
Ejemplo: Determinar una base y la dimensión del sistema homogéneo de ecuaciones lineales:
La resolución de este sistema nos conduce al resultado siguiente:
Matricialmente este sistema se escribe como:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
33
Definición 18
Sea 𝑉 un espacio vectorial real. Un producto escalar en 𝑉 es una función de 𝑉𝑥𝑉 en
notada <.,.>, que satisface las siguientes propiedades:
i) < 𝑥 𝑦 < 𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 𝑉
ii) < 𝑥 𝑦 𝑧 < 𝑥 𝑧 < 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝑉
iii) < 𝜆 𝑥 𝑦 𝜆 < 𝑥 𝑦 λ 𝑉
iv) < 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑉,
< 𝑥 𝑥 𝑥 .
La función <.,.> se dice simplemente producto escalar y < 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑉, se dice
producto escalar de x con y.
Por lo tanto los vectores
(
)
(
)
, son linealmente independientes y generan
el espacio solución, por tanto es una base y el espacio salida es de dimensión 2.
2.8. PRODUCTO ESCALAR.
Al producto escalar también se le denomina producto punto, producto interior.
Note que:
<
<
Dados los vectores y de . Un producto escalar en se denota
por < y se define como:
< ∑
34
Este producto escalar también se lo nota .
Nótese que el producto escalar o producto punto de dos vectores es un número real.
Todo espacio vectorial en el que se puede obtener el producto escalar se llama espacio vectorial
euclídeo o también espacio prehilbertiano.
Ejemplo: Determinar si la función < definida como:
< , con , , , es un
producto escalar en .
i) Probemos que < <
En efecto < < .
ii) Verifiquemos si cumple la propiedad < < < .
Tenemos <
< <
iii) Probemos que < <
En efecto:
<
<
iv) Finalmente <
Por tanto es una función producto escalar.
35
2.9. LONGITUD O NORMA DE UN VECTOR.
Definición 19
Sea un espacio vectorial euclídeo, para cualquier vector , se define la norma del vector ,
denotada por ‖ ‖, como
‖ ‖ √<
La norma tiene las siguientes propiedades:
i) ‖ ‖ .
ii) ‖ ‖
iii) ‖ ‖ | |‖ ‖
iv) |< | ‖ ‖‖ ‖
v) ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ (desigualdad Minkowski o desigualdad triangular)
La distancia entre dos puntos (vectores) se denota por:
‖ ‖
Definición. Sean El ángulo entre dos vectores , está dado por:
<
‖ ‖‖ ‖
Ejemplo:
Si encontrar y [ ] ángulo que forman los vectores .
Tenemos
36
‖ ‖ ‖ ‖ √ √
Además √ √ .
<
<
‖ ‖‖ ‖
Luego
2.10. ORTOGONALIDAD Y BASES ORTOGONALES.
2.10.1. Ortogonalidad.
Definición 20
Sea un espacio vectorial sobre el cuerpo provisto de un producto interior. Dos vectores
son ortogonales si y solo si < .
El símbolo se lee: es ortogonal a .
Definición 21
i) Una base ortogonal de es una base cuyos vectores son ortogonales dos a dos.
ii) Si los vectores son de norma unitaria, se dice que la base es ortonormal.
En un espacio vectorial euclideo , los vectores ortogonales dos a dos son linealmente
independientes, por lo que: “todo conjunto de n vectores ortogonales dos a dos es una base para
el espacio de dimensión ”
37
No pueden existir más de vectores que sean ortogonales dos a dos en un espacio de dimensión
Ejemplo:
Los vectores son ortogonales. En efecto
<
Teorema de Pitágoras: Sea V un espacio euclidiano, , ,x y V entonces:
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ .
Apliquemos a la geometría analítica: Caso de la bisectriz del ángulo formado por dos rectas.
Sean: ,
2.11. Rectas e hiperplanos.
Sea un elemento del espacio vectorial y sea cualquier elemento de al conjunto
38
se conoce como la recta que pasa por el punto P en la dirección de , donde recorre todos los
números reales, como se indica en la figura de abajo.
Si se trabaja en tenemos: . Entonces en términos de las coordenadas
se puede expresar:
Eliminando el parámetro se obtiene la ecuación usual que relaciona con
A continuación describiremos planos mediante una ecuación semejante a la sencilla ecuación de
la recta en el plano, tal como se indica a continuación.
39
Sea un punto y considérese un vector localizado .
Se define el plano que pasa por y que es perpendicular a como el conjunto de todos puntos
tales que el vector localizado es perpendicular a , es decir que cumple.
< < <
Donde este plano es perpendicular a y que consta de los vectores tales que es
perpendicular a . En el gráfico anterior consta una situación típica en el espacio de 3
dimensiones.
Sea , el conjunto de puntos tales que
<
Este conjunto coincide con el conjunto de puntos , tales que
<
Por tanto para hallar la ecuación del plano se podría emplear cualquier vector
en lugar de .
40
En la siguiente ecuación de la recta el vector es perpendicular a la indicada
recta. Análogamente en el espacio tridimensional el vector es perpendicular al plano
determinado por la ecuación .
Si vamos a dimensiones mayores diremos que un hiperplano en el espacio es el conjunto de
puntos en que satisface la ecuación lineal en las variables
Donde el vector no nulo es un vector normal al hiperplano. Más aún si , los
vectores de este hiperplano constituyen un subespacio de .
En geometría un hiperplano es una generalización del concepto de plano.
En un espacio de una dimensión (como la recta), un hiperplano es un punto que divide a la recta
es dos líneas. En un espacio bidimensional (como el plano xy) un hiperplano será una recta que
divide al plano en dos mitades. En un espacio tridimensional, un hiperplano es un plano que
divide al espacio en dos mitades.
Generalizando para el espacio , los objetos divisores simplemente se llaman hiperplanos.
Un hiperplano constituyen un subespacio de el cual tiene dimensión para así
los subespacios de dimensión 1 se denominan rectas vectoriales.
2.12. CÓNICAS.
Definición. La ecuación general de segundo grado tiene la forma
en la cual no son cero a la vez.
41
Las ecuaciones de segundo grado representan a secciones cónicas, esto es, curvas formadas por la
intersección de un cono circular recto con un plano.
Las secciones cónicas son la elipse, la parábola y la hipérbola; el círculo es un caso especial de la
elipse , los demás casos se llaman cónicas degeneradas .
Las secciones cónicas se prolongan independientemente en ambas direcciones debido a que el
cono tiene dos porciones o troncos, separados entre sí por el vértice y no tienen base o extremo.
42
2.12.1. Las Cónicas.
Se establecerán las ecuaciones de las cónicas y sus propiedades, dando una definición general de
las cónicas, considerando una propiedad característica como lo es la excentricidad.
2.12.1.1. Definiciones fundamentales
a) Foco – Directriz - Excentricidad
Sean F un punto fijo dado llamado Foco, H la proyección ortogonal de M sobre una recta L que
es la directriz asociada a F, el cociente
, real y positivo, es denominado excentricidad
de la cónica correspondiente.
Definición 22
La cónica de foco F, de directriz L y de excentricidad e, es el conjunto de puntos cuya relación
de distancias a F y a la recta L es igual a e.
Donde:
‖ ‖
Pero, es la distancia del punto M a la recta L, pudiendo decir que:
43
‖ ‖
b) Eje Focal. Vértice. Parámetro
Sea el eje perpendicular a la recta L y que pasa por el punto F, y M’ es el simétrico de
M con respecto a la recta , ; donde la recta es eje de simetría de el cual se
conoce como eje focal de la cónica.
Por otra parte, si K es la proyección de F sobre la recta L, y si existe un punto A sobre el eje
tal que
; es decir que y este punto es llamado vértice de la cónica . Si se tiene
dos puntos 0M y 0'M ubicados en la recta que pasa por F y es paralela a la recta L; para
dichos puntos se tiene que:
‖ ‖
‖ ‖; pero como
se puede escribir:
El segmento es llamado semicuerda focal de , su longitud que la notaremos por , es
el parámetro de la cónica. Se tiene entonces:
Si , la cónica se denomina una parábola.
Si < , la cónica se denomina una elipse, y,
Si , la cónica se denomina una hipérbola.
44
2.12.2. Ecuación general de las cónicas
Considerando el sistema de referencia , es decir el origen está en el punto F. En dicho
sistema de referencia la recta L tiene la siguiente ecuación.
Si es un punto cualquiera del plano, se tiene que:
F
Parábola Elipse
F
L
Hipérbola
F
L L
45
de donde:
que es la ecuación general de la cónica con respecto al sistema de referencia .
2.12.3. Ecuaciones cartesianas de las cónicas
2.12.3.1. El círculo.
Definición 23
Sea un punto del plano y r un número real positivo, el conjunto de puntos M del plano, tales
que se denomina el círculo de centro y de radio .
Si, por definición se tiene que:
H
K
x’ F
𝑗
𝑖
M(x,y)
x
y
L
46
𝑘 Ω
r
y
x
h
.
La ecuación: se denomina la ecuación de círculo de centro
y radio .
Si , la ecuación del círculo de centro en el origen de coordenadas de radio es:
x
y
𝑥 𝑦 𝑟
o
r
-r
-r
r
47
2.12.3.2. La parábola.
La parábola es una cónica de excentricidad igual a uno . Se tiene en este caso que:
El sistema de referencia será: es decir el origen se encuentra en el punto , entonces
es la recta de ecuación:
y (
), por tanto, la parábola de foco el punto
(
) y de directriz la recta de ecuación
es el conjunto de puntos que
verifican la ecuación:
.
De donde: ( ) (
)
(
)
x x’
F
A 𝑖
𝑗
y
K
L M = (x, y)
𝑥 𝑝
𝑝
𝑝
𝑥 𝑝
48
que es la ecuación cartesiana de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y cuyo eje
coincide con el eje x.
Se denomina distancia focal a la distancia del vértice al foco. Para este caso la distancia focal,
que la llamaremos , está dada por
, por tanto la ecuación , se escribirá como:
,
que es la ecuación canónica de la parábola.
2.12.3.3. La elipse.
La elipse es una cónica de excentricidad menor que 1 (e < 1).
Localización de los vértices:
Considerando la ecuación general de la cónica en el sistema de referencia
:
Si hacemos , tenemos que:
de donde obtenemos dos soluciones para :
y
< ,
es decir existen dos puntos de la elipse ubicados en el eje focal, dichos puntos son:
49
Si se designa como el punto del segmento [ ], y designando como sistema de referencia
, se tiene que los puntos y verifican las siguientes relaciones:
1. y,
2.
Si es el punto medio de verifica las relaciones:
3. .
4. .
La demostración está en (5) pág. 340. De (3) y (4) se deduce que:
.
Es usual denominar: ‖ ‖ y ‖ ‖, resultando y
Como para la
elipse < , entonces < , ‖ ‖
𝐴 𝑥 𝐴 𝑥
M
L
H
A’ F’ F A K
x x’
0
y
50
Además la ecuación de la directriz será
o también
, entonces deduzcamos la
ecuación cartesiana de la elipse de foco el punto y de directriz la recta
de ecuación
, en el sistema de referencia .
(
)
(
)
Observaciones:
1. El punto medio entre [ ] es el centro de la elipse.
2. La recta ortogonal en se llama eje no focal.
3. Sobre el eje no focal, de ecuaciones , existe dos puntos de ; y tales que:
√ .
Generalmente se denota . Como < se tiene que:
<
esto justifica el por qué a los ejes y se los denomina eje mayor y eje menor de la elipse,
es decir, eje mayor igual a y eje menor .
Por tanto la ecuación canónica de la elipse se escribirá como:
51
𝑥
𝑎
𝑦
𝑏
P1’ P1
P1’ P1
-a a c
F 0 F
-c
b
-b
L1 L2
𝑃 𝑃 longitud de la recta
y
x 1
1
2.12.3.4. La hipérbola
La hipérbola es la cónica de excentricidad mayor que uno (e >1)
El eje focal corta a la recta en el punto y posee en común el punto medio de ,
definida por:
M
L
H
F’ A’ F A K
x x’
0
L’
52
y, .
De forma semejante como se hizo con la elipse, notaremos: y ,
y
.
Tratándose de la hipérbola tenemos que , por tanto y <
En el sistema de referencia , con origen en el punto medio O de , la hipérbola
tiene la misma ecuación que la elipse; es decir:
Como , entonces < ; por tanto, haciendo √ se puede escribir la
ecuación como:
que es la ecuación canónica o reducida de la hipérbola H. Se debe aclarar que para este caso:
y las ecuaciones de las directrices son:
y
.
53
CAPÍTULO III
TRANSFORMACIONES LINEALES DE EN . REPRESENTACIÓN MATRICIAL.
Dentro de los espacios vectoriales nos interesa conservar las estructuras algebraicas (operaciones
como: +, .) por lo que la transformación debe ser tal que conserve las dos operaciones indicadas.
Las transformaciones lineales son importantes, debido a que buena parte de la matemática está
dedicada a resolver interrogantes relacionadas con las transformaciones lineales, cuya definición
se debe a Peano [23].
Las transformaciones lineales desempeñan un papel preponderante en matemática, física,
ingeniería y muchas otras áreas de la ciencia y de la vida diaria.
3.1. TRANSFORMACIONES LINEALES DE EN . ALGEBRA DE
TRANSFORMACIONES LINEALES.
Definición. Sean y dos espacio vectoriales sobre el cuerpo .
La función es una transformación lineal u homomorfismo, si y solo sí:
i) La imagen de la suma de dos vectores cualesquiera de es igual a la suma de sus
imágenes en
54
ii) La imagen del producto de cualquier escalar por todo vector de es igual al producto del
escalar por la imagen del vector.
Las condiciones i) y ii) se pueden reducir a una única condición, de la siguiente manera:
La función o es una transformación lineal si cualesquiera que sean x, y
en y los escalares en se verifica:
La transformaciones lineales de en son funciones entre dos conjuntos, con la propiedad
de mantener la linealidad. También se puede afirmar que las transformaciones lineales preservan
las combinaciones lineales.
Observación. Si es una transformación lineal entonces notemos que
Consecuentemente, y la imagen de por una transformación
V W
55
lineal es siempre En cambio la recíproca es falsa, es decir que existen aplicaciones lineales
tales que y
Ejemplo:
Determine si la función definida por es una
transformación lineal.
Procedemos a verificar si se cumplen las propiedades i) y ii).
Sean y entonces:
Es decir, Por tanto se cumple i)
.
Es decir . Por lo tanto la función es una
transformación lineal.
Observación. Se utiliza frecuentemente la linealidad de la derivación, de la integral; traducida en
términos de espacios vectoriales ello significa que, por ejemplo la función que a una
función asocia su derivada es lineal (del espacio de funciones derivables en el espacio de
funciones), que la función ∫
es lineal (del espacio de funciones continuas en
por ejemplo).
56
Veamos cómo la transformación lineal actúa sobre los subespacios vectoriales:
Proposición. Sean espacios vectoriales sobre un cuerpo y una transformación lineal de
en la imagen de un subespacio vectorial de por es un subespacio vectorial de La
imagen recíproca de un subespacio vectorial de por es un subespacio vectorial de
Demostración. Sea un subespacio vectorial de sean entonces existen
tales que , luego en consecuencia
es un subespacio vectorial. Por otra parte si es un subespacio vectorial de y si
entonces y por tanto
y consecuentemente es un subespacio vectorial.
Definición. Sean espacios vectoriales sobre un cuerpo
1. Una transformación lineal de en se denomina un endomorfismo. Se nota
el conjunto de los endomorfismos de
2. Una transformación lineal biyectiva es llamada un isomorfismo.
3. Una transformación lineal biyectiva de un espacio vectorial en si mismo se denomina
un automorfismo. El conjunto de los automorfismos de se nota
3.1.1 Núcleo e imagen de una aplicación lineal
Consideremos la transformación lineal .
57
v W
v
Definición 23
El núcleo de una transformación lineal , entre dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo,
es el conjunto de los vectores del dominio cuyas imágenes por son el vector nulo del
codominio.
Denotado por , se lee: núcleo de . Por definición es:
Un vector perteneciente a es un elemento del núcleo si y solo si su imagen es el vector nulo de
.
Definición 24
La imagen de una transformación lineal , es el conjunto imagen del dominio, o sea, son
todas las imágenes de los vectores del primer espacio.
N(f)
Ow
58
Denotado por se lee: imagen de .
o también
Ejemplo:
Determinar el núcleo y la imagen de la transformación lineal definida por:
(
).
Solución:
1)
) = (
) (
) (
)
(
) (
) (
)
V W
OW
𝐼 𝑓
59
Luego:
2)
(
) (
) (
)
Luego: (
)
Teorema. Sean espacios vectoriales sobre un cuerpo y una transformación lineal de
en
1. e son subespacios vectoriales respectivamente de
2. es inyectiva si y solo si
3. es sobreyectiva si y solo si
Demostración.
1. Mostremos que es un subespacio vectorial. Como se tiene ya
Debemos ahora probar que, dados e cualesquiera en y
cualquiera, tenemos Para ello calculemos:
Ello prueba que y por tanto que es un subespacio vectorial
de
Mostremos que es un subespacio vectorial. Se tiene por tanto
Debemos ahora probar que, dados e cualesquiera en y
cualquiera, tenemos Puesto que e están en , ellos
60
poseen antecedentes por Existen entonces dos vectores e en tales que
y Podemos notar que:
Lo que prueba que posee un antecedente por (a saber el vector ) y
por tanto o que muestra que es un subespacio vectorial de
2. Supongamos primero que es inyectiva. Como y que todo elemento del
espacio de llegada tiene a lo más un antecedente en el espacio de partida (definición
de inyectividad), se ve entonces que 0 es el único antecedente de 0 por En
consecuencia,
Supongamos ahora que para probar que es inyectiva, es necesario
mostrar que, si dos elementos del espacio de salida tienen la misma imagen, entonces
ellos son iguales. En consecuencia, es necesario mostrar que si son tales que
entonces Calculemos Como la función es una
transformación lineal, se tiene Como
ello impone que y por tanto que Se ha mostrado entonces que es
inyectiva.
3. Por definición de la sobreyectividad, es sobreyectiva si y solo si cada elemento del
conjunto de llegada tiene al menos un antecedente por Como es justamente
el conjunto de los elementos del conjunto de llegada que poseen al menos un
antecedente por se ve entonces que es sobreyectiva si y solo si
61
3.1.2. Dimensión del núcleo y de la imagen.
Definición 25
La dimensión del núcleo está dada por el número máximo de vectores linealmente independientes
que contenga el conjunto de partida.
Definición 26
La dimensión de la imagen será el número máximo de vectores linealmente independientes que
contenga el conjunto de llegada.
La relación entre la dimensión del núcleo y de la imagen es:
Sean espacios vectoriales de dimensión finita y una transformación lineal. La
dimensión del dominio de la aplicación lineal está dada por la suma de las dimensiones de la
imagen y del núcleo de la transformación lineal T
Dimensión del núcleo =
Dimensión de la imagen =
Dimensión del espacio inicial
3.1.3. Operadores en Algebra de operadores.
Las transformaciones lineales , del espacio vectorial en sí mismo, se llaman
operadores lineales en .
62
Si , usaremos la notación en vez de , donde,
3.1.4. Algebra de operadores lineales
Si V es un espacio vectorial en el cual se ha definido una operación de multiplicación que
satisface, para todo y todo , tenemos:
La composición de transformaciones lineales se puede definir de la siguiente manera:
Sean y , dos transformaciones lineales entre espacios vectoriales sobre un
mismo cuerpo . La función compuesta está definida por:
( ) .
La composición de las transformaciones lineales, es una transformación lineal.
Ejemplo:
Sean definidas por: y
. Determinar .
63
Solución:
g
f
2R 3R
2R
( )
3.2. ISOMORFISMO
3.2.1. Aplicaciones Lineales Inyectivas o Monomorfismos
Definición 27
Una aplicación lineal es inyectiva si y solo sí 0 o sea
implica
que .
3.2.2. Aplicaciones Lineales Suprayectivas o Epimorfismos
Definición 28
Sea , donde es de dimensión finita, es suprayectiva si y solo sí, el rango de es
igual a la dimensión de , o sea , es sobreyectiva si y solo sí .
64
3.2.3. Aplicaciones Lineales Biyectivas
Definición 29
Se dice que es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva, es decir, si todo elemento de
es la imagen de un elemento de . Si es biyectiva, entonces la aplicación de ,
que a cada le corresponde el único tal que
3.2.4. Isomorfismo
Definición 30
Se denomina isomorfismo a una función , entre dos espacios vectoriales sobre un
mismo cuerpo , que sea lineal y biyectiva.
Un isomorfismo , de un espacio vectorial en sí mismo, recibe el nombre de
automorfismo.
Una aplicación lineal es isomorfismo si y solo si:
0
Ejemplo:
¿Es la aplicación definida por: un automorfismo en
?
65
Solución:
1. T es una transformación lineal, ya que verifica:
i)
[ ]
Se demuestra entonces que la imagen de la suma es igual a la suma de las imágenes.
ii)
[ ]
Se concluye entonces que T es una transformación lineal.
2. T es inyectiva. En efecto:
Sean y tales que: o sea
por lo que , luego
3. T es sobreyectiva.
Cualquiera que sea en el codominio, existe en el dominio, tal que:
Por 1, 2 y 3 se concluye que es un automorfismo en .
66
3.3 SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO A UNA RECTA EN EL PLANO
Consideremos la recta de ecuación Dado un punto cualquiera Queremos
encontrar el punto simétrico de respecto a dicha recta y como a cada punto del plano
corresponde un único simétrico estableceremos de esa manera una función .
Notemos en primer lugar que un vector normal a la recta de ecuación cartesiana es
el vector
La ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos y es: con Es
decir que
Por otra parte, veamos para qué valor del real se verifica que donde es el
punto medio del segmento [ ] y que por definición de simétrico de un punto, está en la recta
de ecuación Como se sigue que:
67
Reemplazando en la ecuación de la recta se tiene:
de donde,
Es decir que:
(
)
(
)
Por otra parte:
Luego
[
]
[
]
[
]
[
]
Es decir que el simétrico del punto ,P x y con respecto a la recta de ecuación cartesiana
y mx b es el punto ' ', ' ,P x y donde
68
Podemos entonces ahora definir la función que nos da el simétrico de cualquier punto con
respecto a la recta de ecuación de la siguiente manera:
(
)
Casos particulares: Si y , se trate de la simetría respecto a la recta de ecuación
cartesiana (es decir respecto al eje en cuyo caso se tiene que
Si y se trata de la simetría respecto a la recta de ecuación Se obtiene
entonces que:
Si
Por otra parte, si se tendrá
[
]
[(
)
(
)
]
que constituye una transformación lineal de en .
Es decir que únicamente las simetrías con respecto a una recta que pasa por el origen,
constituyen transformaciones lineales.
La matriz asociada, considerando las bases canónicas es:
69
[
] ó también [
]
Si 1,m se trata de la simetría respecto a la recta de ecuación .y x La matriz correspondiente es
[
]
Si , se trata de la simetría respecto a la recta de ecuación es decir la simetría
respecto al eje .Y La matriz correspondiente es
[
]
Si se trata de la simetría respecto a la recta de ecuación La matriz correspondiente
es
[
]
3.4 SIMÉTRICO DE UN PUNTO CON RESPECTO A UN PLANO
Dado el plano de ecuación cartesiana , se trata de encontrar el
simétrico de cualquier punto con respecto a dicho plano. Notemos con
dicho punto simétrico. Sabemos que con vector normal a dicho plano es el vector
70
Además, la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos y es:
Determinemos ahora para qué valor de se tiene que: , es decir
que:
Por otra parte
de donde se obtiene que
Por otra parte, como es el punto medio del segmento [ ] se verifica que:
71
es decir:
[
]
[
]
[
]
Es decir que el simétrico del punto con respecto al plano de ecuación cartesiana
es el punto tal que
Podemos entonces definir una función de en que nos dé el simétrico de cualquier punto
con respecto al plano de ecuación cartesiana como
( )
Casos particulares. Si consideramos el plano de ecuación cartesiana se sigue que
72
Por otra parte, si consideramos el plano pasa por el origen; es decir un plano de ecuación
cartesiana (es decir ), entonces se obtiene
( )
Dicha función, constituye una transformación lineal. Es decir que únicamente la simetría
respecto a un plano que pasa por el origen constituye una transformación lineal.
La matriz asociada a dicha transformación lineal, considerando las bases canónicas está dada por:
[
]
[
]
La simetría con respecto al plano de ecuación tiene por matriz:
[
]
Es decir que el simétrico del punto , ,P x y z es:
[
] [ ] [
]
La simetría con respecto al plano de ecuación 0x tiene por matriz:
[
]
73
Es decir que el simétrico del punto es:
[
] [ ] [
]
La simetría con respecto al plano de ecuación 0y tiene por matriz:
[
]
Es decir que el simétrico del punto es:
[
] [ ] [
]
La simetría con respecto al plano de ecuación tiene por matriz:
[
]
Es decir que el simétrico del punto es:
[
] [ ]
[
]
[
]
Verifiquemos que el punto medio del segmento [ ] pertenece al plano de ecuación
En efecto, las coordenadas del punto medio de y son:
74
[
] [
]
Además es inmediato que las coordenadas de dicho punto satisfacen la ecuación del plano
0.x y z En efecto:
2 2 20.
3 3 3
x y z y x z z x y
3.5 ROTACIÓN DE ÁNGULO
Dado un punto , queremos hacer rotar dicho punto un ángulo considerando como centro
de la rotación al origen de coordenados. Supongamos entonces que el vector geométrico
tiene una magnitud igual a y que forma un ángulo con respecto al semieje positivo de las
Como la rotación no cambia la magnitud del vector, ‖ ‖ y el ángulo que forma el vector
75
con el semieje positivo de las x será entonces . Considerando los triángulos
rectángulos 0H′P′ y M=HP se sigue entonces que
y
Luego
[ ]
[ ] ó también
Y reemplazando
se obtiene
Si notamos por R a la función "rotación de ángulo , se sigue que
la misma que constituye una transformación lineal.
La matriz de dicha transformación considerando las bases canónicas es:
(
)
76
Para una rotación de ángulo
la matriz asociada es:
(
) (
)
Para una rotación de ángulo
la matriz asociada es:
[
]
[ √
√
√
√
]
3.6 PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UNA RECTA EN EL PLANO
DE ECUACIÓN CARTESIANA
De acuerdo a los resultados obtenidos anteriormente, un vector normal a la recta es el vector
. Por otra parte,
77
Como H L , se sigue que:
En consecuencia
[
]
Luego
(
)
Dicha función constituye una transformación lineal únicamente si en cuyo caso se tiene
que
(
)
78
Si consideramos por ejemplo la proyección sobre la recta de ecuación cartesiana se
obtiene que pues 0.m
La proyección de un punto sobre la recta de ecuación cartesiana está dada por
(
)
La matriz de la transformación lineal (
) considerando las bases
canónicas es
[
]
Si proyectamos sobre la recta de ecuación se tiene y la matriz se reduce a:
(
). De tal manera que la protección del punto está dada por:
(
) (
) (
)
Si proyectamos sobre la recta de ecuación se tiene que y la matriz se reduce a:
(
). De tal manera que la protección del punto está dada por:
(
) (
) (
)
Si proyectamos sobre la recta de ecuación se tiene que y la matriz se reduce a:
(
) De tal manera que la protección del punto está dada por:
79
(
)(
) (
)
APENDICE
Simétrico de un punto respecto a una recta. Considere la recta de ecuación .y mx b Dado
un punto cualquiera pruebe que el punto simétrico de P respecto a dicha
recta está caracterizado por:
Se puede entonces definir la función que nos da el simétrico de cualquier punto con
respecto a la recta de ecuación de la siguiente manera:
(
)
Casos particulares: Si y se trata de la simetría respecto a la recta de ecuación
(es decir respecto al eje X ), en cuyo caso se tiene que
Si y se trata de la simetría respecto a la recta . Se obtiene entonces que:
80
Si .
Por otra parte, si se tendrá que
[
]
[[
] [
] [
] [
] ]
que constituye una transformación lineal de Es decir que únicamente las simetrías con
respecto a una recta que pasa por el origen, constituyen transformaciones lineales.
La matriz de dicha transformación lineal considerando las bases canónicas está dada por:
[
]
[
]
Si se trata de la simetría respecto a la recta de ecuación
La matriz correspondiente es:
[
]
Si se trata de la simetría respecto a la recta de ecuación , es decir la simetría
respecto al eje .Y La matriz correspondiente es
[
]
81
Si se trata de la simetría respecto a la recta de ecuación
La matriz correspondiente es
[
]
Simétrico de un punto con respecto a un plano. Dado el plano II de ecuación cartesiana
Probar que el simétrico del punto con respecto al plano de ecuación cartesiana
es el punto tal que
Podemos entonces definir una función de que nos dé el simétrico de cualquier punto
con respecto al plano de ecuación cartesiana de la siguiente
manera:
(
)
( )
82
Casos particulares: Si consideramos el plano de ecuación se sigue que
Por otra parte, si consideramos el plano que pasa por el origen; es decir un plano de ecuación
entonces se obtiene
( )
Dicha función, constituye una transformación lineal. Es decir que únicamente la simetría
respecto a un plano que pasa por el origen constituye una transformación lineal.
La matriz asociada a dicha transformación lineal, considerando las bases canónicas está dada por:
[
]
[
]
Rotación de ángulo : Pruebe que la imagen del punto por la rotación de centro el
origen y ángulo es el punto donde:
Es decir que si notamos por a la función "rotación de ángulo ”, se sigue que
83
la misma que constituye una transformación lineal.
Pruebe además que la composición de las rotaciones de ángulos y es la rotación de ángulo
y que la inversa de la rotación de ángulo es la rotación de ángulo
Proyección ortogonal de un punto sobre una recta de ecuación
Pruebe que la proyección ortogonal del punto sobre la recta de ecuación ,
es el punto donde
(
)
Podemos entonces definir la función
(
)
Dicha función constituye una transformación lineal únicamente si en cuyo caso se tiene
que
(
)
84
Si consideramos por ejemplo la proyección sobre la recta de ecuación cartesiana se obtiene
que pues
La proyección de un punto sobre la recta de ecuación cartesiana está dada por
(
)
85
Algunas Aplicaciones Lineales Importantes en
Operadores de Reflexión
Operador Ilustración Ecuaciones Matriz estándar
Reflexión respecto al
eje y
xw 1
yw 2
(
)
Reflexión respecto al
eje x
xw 1
yw 2
(
)
Reflexión respecto a
la recta y = x
yw 1
xw 2
(
)
Fuente: Introducción al Algebra Lineal, HOWARD ANTON
86
Operadores de Reflexión
Operador Ilustración Ecuaciones
Matriz
estándar
Reflexión
respecto al
plano xy
xw 1
yw 2
zw 3
(
)
Reflexión
respecto al
plano xz
xw 1
yw 2
zw 3
(
)
Reflexión
respecto al
plano yz
xw 1
yw 2
zw 3
(
)
Fuente: Introducción al Algebra Lineal, HOWARD ANTON
87
Operadores de Proyección
Operador Ilustración Ecuaciones
Matriz
estándar
Proyección
ortogonal sobre
el eje x
xw 1
02 w
(
)
Proyección
ortogonal sobre
el eje y
01 w
yw 2
(
)
Fuente: Introducción al Algebra Lineal, HOWARD ANTON
Operadores de Proyección
Operador Ilustración Ecuaciones
Matriz
estándar
Proyección
ortogonal sobre
el plano xy
xw 1
yw 2
03 w
(
)
88
Proyección
ortogonal sobre
el plano xz
xw 1
02 w
zw 3
(
)
Proyección
ortogonal sobre
el plano yz
01 w
yw 2
zw 3
(
)
Operadores de Rotación
Operador Ilustración Ecuaciones Matriz estándar
Rotación a
través de un
ángulo
senyxw cos1
cos2 yxsenw (
)
Fuente: Introducción al Algebra Lineal, HOWARD ANTON
89
Operadores de Rotación
Operador Ilustración Ecuaciones Matriz Estándar
Rotación en
sentido contrario
al movimiento
de las manecillas
del reloj a través
de un ángulo
respecto al eje x
positivo.
xw 1
zsenyw cos2
cos3 zysenw (
)
Rotación en
sentido contrario
al movimiento
de las manecillas
del reloj a través
de un ángulo respecto al eje y
positivo.
zsenxw cos1
yw 2
cos3 zxsenzw (
)
Rotación en
sentido contrario
al movimiento
de las manecillas
del reloj a través
de un ángulo respecto al eje z
positivo.
ysenxw cos1
cos2 yxsenw
zw 3
(
)
Fuente: Introducción al Algebra Lineal, HOWARD ANTON
90
Operadores de Dilatación y Contracción en
Operador Ilustración Ecuaciones
Matriz
estándar
Contracción
con factor k en
kxw 1
kyw 2
(
)
Dilatación con
factor k en
kxw 1
kyw 2
Operadores de contracción y dilatación en
Operador Ilustración Ecuaciones
Matriz
estándar
Contracción
con factor k en
xw 1
yw 2
03 w
(
)
Dilatación con
factor k en
xw 1
02 w
zw 3
(
)
Fuente: Introducción al Algebra Lineal, HOWARD ANTON
91
Ejemplo
Dada la función definida por:
( ) (
)
Verificar si T es transformación lineal de en .
Se tiene:
[(
) (
)] (
) (
)
(
) (
) (
) (
)
Por lo tanto:
[(
) (
)] (
) (
)
Así mismo:
[ ( )] (
) (
) (
) ( )
Se concluye entonces que T es una transformación lineal.
92
3.7. REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE APLICACIONES LINEALES Y
OPERADORES
Consideremos una transformación lineal entre los espacios vectoriales de
dimensiones finitas: .
Fijemos una base en cada espacio vectorial.
[ ] [ ] .
Si entonces existen escalares únicos tales que:
∑
y las coordenadas de x respecto a la base [ ] son:
[ ]
(
)
Si la imagen de , se tiene .
Como , se puede expresar de modo único como combinación lineal de la base W o sea:
∑
93
En consecuencia
[ ]
(
)
Por el teorema fundamental de las transformaciones lineales, queda caracterizada unívocamente
por los valores que toma un vector cualquiera de la base de , es decir:
( ) ∑
Asignando a cada escalar un doble subíndice; el primero, asociado a cada vector de la
base , y el segundo en correspondencia con el vector de la base[ ].
Así:
Los n m escalares que constan en las combinaciones lineales de los vectores que son
imágenes de los elementos de la base [ ] constituyen una matriz que recibe el nombre de matriz
de la transformación lineal respecto de las bases [ ] [ ]
O sea:
94
(
)
La matriz de la transformación lineal es del tipo m n donde m es la dimensión del segundo
espacio y n la del primero.
Si es la matriz de la transformación lineal respecto de las bases [ ] [ ] y si es la matriz
columna correspondiente al vector , cuyos elementos son las coordenadas de éste respecto
de la base [ ] entonces la imagen de expresada en términos de la base de se obtiene
multiplicando por al vector columna [ ] o sea [ ] [ ].
Ejemplo:
Consideremos la transformación lineal definida por:
Hallar la matriz de respecto de las bases:
[ ] y [ ]
Solución
95
Por tanto la matriz de respecto a las bases dadas es:
(
)
3.8. MATRIZ DE CAMBIO DE BASE Y MATRICES SEMEJANTES
3.8.1. Matriz de cambio de base
Sean , dos bases ordenadas de , , que
supondremos que es ordenada. Si existen dos isomorfismos de en sí mismo, tales que:
( ie ) iu
Sea entonces
( ie ) ( ( ie ))
Denotamos con [ ] la matriz asociada a relativa a las bases [ ]
, la
matriz asociada a relativa a las bases [ ]
, la matriz asociada a con
respecto a las bases .
Además, [ ]
=[ ]
[ ]
[ ]
.
96
Que es la matriz de cambio de base de .
3.8.2. Matrices Semejantes
Sea un endomorfismo, siendo y la matriz de respecto de la base
[ ] [ ] en cada espacio.
Si se efectúa un cambio a la nueva base [ ] [ ] con matriz de pasaje , entonces se
tiene donde es la matriz de respecto de la nueva base [ ].
Las matrices , que representan el mismo endomorfismo respecto de las bases
[ ] [ ], se llaman semejantes, por lo que diremos que:
A es semejante a no singular tal que .
Teorema. La semejanza de matrices es una relación de equivalencia.
Ejemplo:
Sea la transformación lineal definida por:
i) Determinar la matriz de f , respecto de la base canónica [ ] en cada espacio:
Luego la matriz de es:
97
(
)
ii) Obtengamos la matriz P de pasaje de la base canónica [ ] a la base
[ ]
Luego
(
)
iii) Utilizando los resultados anteriores calculemos la matriz B de , respecto de la base
[ ] en cada espacio.
Se sabe que .
Empleando Gauss Jordan se encuentra la inversa de P
(
).
Luego
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
98
3.9. OPERADORES NORMALES Y AUTOADJUNTOS
3.9.1. Operadores adjuntos y traspuestos
Una transformación lineal será llamada también operador lineal o simplemente
operador en
Sea V un espacio vectorial sobre de dimensión finita con producto interior, y si es un
operador en , entonces existe y es único un operador *f que verifica:
⟨ ⟩ ⟨ *f ⟩
El operador *f , se llama adjunto de
Si el cuerpo es , el operador *f se llama transpuesto de y se denota por:
* .tf f
Si el operador se puede conmutar con sus adjuntos, esto es *f , dichos operadores se
llaman operadores normales.
3.9.2. Operadores hermitianos y simétricos
Sea un operador lineal sobre ,V de dimensión finita, con producto interior, y sea el operador
adjunto.
99
En el caso complejo, es un espacio unitario; y en el caso real es euclidiano.
Definición 31
Un operador sobre un espacio unitario se llama hermitiano si y solo sí es igual a su adjunto.
es hermitiano ⟨ ⟩ ⟨ ⟩
La matriz asociada a un operador hermitiano respecto de una base ortonormal es hermitiana.
Definición 32
El operador sobre un espacio euclidiano se llama simétrico si y solo sí es igual a su traspuesto.
La matriz asociada a un operador simétrico respecto de una base ortogonal es simétrica.
Los operadores simétricos y hermitianos se llama también autoadjuntos.
3.10. Operadores unitarios y ortogonales
Sea un espacio unitario de dimensión finita, y un operador sobre .
Definición 33
El operador es unitario si y solo sí conserva el producto interior.
es unitario ⟨ ⟩ ⟨ ⟩
Sea un espacio euclidiano de dimensión finita y un operador en
100
Definición 34
El operador es ortogonal si y solo sí conserva el producto interior.
Ejemplo:
El operador definido por:
es ortogonal, considerando el producto interior usual.
El producto interior entre ) y es:
⟨ ⟩
Mientras que el producto interior entre sus imágenes es:
⟨ ⟩ ⟨ ⟩
⟨ ⟩
Donde representa una rotación del plano de ángulo , con centro en el origen.
101
3.11. Proyecciones ortogonales
Dados dos vectores en un plano o en el espacio, el vector se puede expresar como
suma de los vectores ortogonales, y
,
donde
= proyección ortogonal de sobre o a lo largo de
= componente de ortogonal a .
puede calcularse en función del producto punto como sigue:
⟨ ⟩
⟨ ⟩
⟨ ⟩
⟨ ⟩
102
Definición 35
Sea un vector y sea un subespacio de con una base ortogonal kv
Entonces, la proyección ortogonal de sobre es el vector
⟨ ⟩
⟨ ⟩
⟨ ⟩
⟨ ⟩
3.12. APLICACIONES. MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
3.12.1. Líneas de mínimos cuadrados
La relación más sencilla entre dos variables y es la ecuación lineal . Los datos
experimentales a menudo producen puntos que al graficarse, parecen quedar
cerca de una línea recta. Debe determinarse los valores de y que dejen a la recta tan cercana
a los puntos como sea posible.
Supongamos que y están fijas y consideremos la recta de la figura. Pues
para cada punto de datos hay un punto correspondiente sobre la recta con la
misma coordenada ; se le llama el valor observado de , y a ; el valor pronosticado de
(determinado en la recta). La diferencia entre un valor de observado y uno pronosticado se
denomina residual.
103
xj,yj
Punto de datos
xy 10
1x jxnx
Existen varias maneras de medir qué tan “cercana” está la recta a los datos. La elección
acostumbrada por su sencillez, es sumar los cuadrados de los residuales. La recta de mínimos
cuadrados es la recta que minimiza la suma de los cuadrados residuales.
Si los puntos de datos, estuvieran sobre la recta, los parámetros satisfacen la ecuación.
Valor de y
pronosticado
Valor de y
observado
Sistema que se puede escribir como:
(
) (
) (
)
Punto sobre
la recta
Residual P+tA
Residual
X
Y
104
Con frecuencia en las aplicaciones, la ecuación no tiene solución, por tratarse de un
sistema inconsistente, dado que los puntos no son colineales. Cuando se necesita una solución lo
que se hace es encontrar una que deje a tan cerca a “y” como sea posible. Cuanto más
pequeña sea la distancia entre “y” y , dado por ‖ ‖ será mejor la aproximación, es decir,
el problema de mínimos cuadrados es encontrar una que haga a ‖ ‖ tan pequeño como
sea posible.
3.12.2 Modelo lineal general.
La ecuación matricial es = y, pero la forma específica de cambia de un problema a otro. Los
estadísticos introducen con frecuencia un vector residual , definido mediante , y
escriben:
.
Toda ecuación de esta forma se denomina modelo lineal; una vez que se determinan, el
objetivo es minimizar la longitud de lo cual equivale a encontrar una solución por mínimos
‖𝑦 𝑥𝛽 ‖ < ‖𝑦 𝑥𝛽‖
Definición 36:
Si X es la matriz de orden 𝑚𝑥𝑛 y, “y” está en 𝑚, una solución por mínimos
cuadrados de 𝑥𝛽 𝑦 es una 𝛽 en 𝑛 tal que:
para toda 𝛽 en 𝑛.
105
cuadrados de . Por lo tanto la solución por mínimos cuadrados es una solución de las
ecuaciones normales.
3.12.3. Ajuste de otras curvas por mínimos cuadrados.
Cuando los puntos de datos de un “diagrama de dispersión” no están cerca
de ninguna recta, podría considerarse alguna otra relación funcional entre , que se puede
ajustar a los datos por medio de curvas que tienen la forma general.
Donde son funciones conocidas y los son parámetros que deben determinarse
de manera que minimicen la suma de los cuadrados residuales.
Ejemplo:
Suponga que se desea aproximar datos mediante una ecuación de la forma:
Describir el modelo lineal de un “ajuste por mínimos cuadrados” de los datos.
Solución: Las coordenadas del primer punto de datos 11, yx satisfacen una ecuación de la
forma:
106
Donde es el error residual entre el valor observado y el valor y pronosticado
Para cada uno de los puntos de datos se determina una ecuación de características semejantes:
. .
: :
Sistema que se puede escribir en la forma:
(
) (
)(
) (
)
Es decir:
Ejemplo:
Hallar la solución del problema de mínimos cuadrados, si:
(
) (
) (
)
107
Solución:
Se procede a calcular:
(
) (
) (
)
(
) ( ) (
)
Las ecuaciones normales son:
(
) (
) (
).
La solución del sistema de ecuaciones es (
⁄
⁄
) por lo que la recta de regresión por
mínimos cuadrados es:
El error de mínimos cuadrados, de la solución por mínimos cuadrados de , es:
( ) (
)(
⁄
⁄)
(
⁄
⁄
⁄ )
( )
(
⁄
⁄
⁄ )
(
⁄
⁄
⁄ )
‖ ‖ √(
)
(
)
(
)
√
Es decir la distancia entre y el vector es al menos √
.
108
CAPÍTULO IV
DIAGONALIZACIÓN DE FORMAS CUADRÁTICAS.
4.1. VALORES Y VECTORES PROPIOS.
Consideremos un espacio vectorial y un endomorfismo
Definición 37
El escalar es un vector propio de si y solo si existe un vector no nulo tal que
.
Todo vector no nulo que satisface lo anterior, se llama vector propio de , asociado al valor
propio .
El valor propio se denomina también valor característico o auto valor, mientras que el vector
propio se lo puede denominar vector característico o autovector.
Se llama espectro de y se nota y se nota el conjunto de todos sus vectores propios.
Para todo , el subespacio vectorial ker (está formado del vector nulo y de los
vectores propios asociados si existen. Así, es un valor propio si y solo si no es
inversible. El conjunto de valores propios de son las raíces del polinomio
Ejemplo:
Sea un espacio vectorial y la transformación lineal definida por
, el escalar es un valor propio de , ya que el vector no nulo es tal que:
109
donde es el vector propio asociado al valor propio 2. Se ve
claramente que cumple
Lema. Toda familia de vectores propios asociados a valores propios distintos
es libre.
Demostración. Supongamos que existe una combinación lineal no trivial
Supongamos que . Como es transformación lineal, se tiene también
Sustrayendo veces la primera ecuación para eliminar el término en
Aplicando nuevamente se encuentra
de la cual se puede sustraer 2 veces la ecuación precedente para eliminar el término en
Luego de iteraciones, se encuentra:
Como los son distintos y que ello contradice la hipótesis de que
Consecuentemente todos los tienen que ser nulos.
Cuando una transformación lineal admite el máximo de valores propios distintos, entonces toda
n-upla de vectores propios asociados es una base.
Corolario. Un endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión n admitiendo n valores
propios distintos tiene por determinante y por traza
110
Demostración. Recordemos que ni el determinante ni la traza de una aplicación lineal dependen
de la base en la cual se escribe la matriz. Tomemos entonces como base una familia
de vectores propios asociados a los valores propios . La matriz es
entonces
[
],
de donde se sigue el resultado.
Este resultado tiene un fuerte interés teórico, cuando un endomorfismo no admite n valores
propios distintos, la situación es menos evidente.
Ejemplo
Para calcular la traza y el determinante de la simetría de eje en el plano, antes que
escribir la matriz, se puede buscar dos vectores propios asociados a valores propios diferentes.
Subespacios propios.
Más arriba, hemos podido escribir la matriz de un endomorfismo diagonalmente en una base dada
por vectores propios asociados a valores propios distintos. Cuando se relaja esta última
condición, aquello se puede a veces hacer mediante una descomposición del espacio vectorial de
manera más rigurosa.
Definición. Sea un valor propio de un endomorfismo El subespacio vectorial
se llama el espacio propio de para Dicho espacio contiene todos los vectores propios de
asociados a así como al vector nulo.
Se puede mostrar, que esos espacios vectoriales están en suma directa.
111
Teorema. Cuando en una base compuesta de bases de los
la matriz de se escribe.
y se dice entonces que es diagonalizable.
4.2. POLINOMIO CARACTERÍSTICO
Definición 38
Polinomio característico de una matriz es el determinante de la matriz .
Es decir:
(
)
Desarrollando los elementos de la primera columna y reiterando el procedimiento en los
sucesivos cofactores, se obtiene una suma de las siguientes características.
112
donde los términos, a partir del primero, son de grado menor que .n
Por lo tanto:
Propiedad 1
El escalar es valor propio de si y solo si es raíz del polinomio característico de .
Si entonces es un valor propio de si y solo si es singular, por tanto
también lo es, o sea , en consecuencia, es un cero del polinomio
característico.
La determinación de los valores propios de una matriz, es decir, de las raíces de su polinomio
característico, no es tarea fácil, para ello los métodos adecuados son a través del análisis
numérico.
Ejemplo:
Encontrar los valores y vectores propios de siendo:
(
)
El polinomio característico es
(
)
113
Los valores propios de son:
Para encontrar el vector propio asociado a , resolvemos el sistema lineal.
En efecto, si X es un vector propio asociado a , se tiene:
donde:
Utilizando la propiedad distributiva, tenemos:
1. Vector propio asociado a .
(
) (
) (
)
Su vector propio será: ( )
2. Vector propio asociado a .
(
) (
) (
)
Su vector propio será: ( )
114
4.3. MÉTODO DE NEWTON PARA CÁLCULO NUMÉRICO DE VALORES PROPIOS
DE MATRICES 3X3
Determinamos el polinomio característico de la matriz , siendo
(
)
(
)
Aplicando el Método de Newton:
donde:
115
Iniciando con ,
es una solución. Entonces el nuevo polinomio
será
Al cual nuevamente le aplicamos el método de Newton:
Iniciando nuevamente con
Entonces:
116
Por último, el nuevo polinomio será:
Aplicando nuevamente Newton:
Iniciando nuevamente con tenemos:
de donde
Por lo tanto los valores propios serán:
4.4. DIAGONALIZACIÓN
Definición 39
Sea, se dice que es diagonizable si y solo si, existe una base con respecto a la
cual la matriz de , es diagonal.
117
Observación:
1. Una matriz es diagonizable si y solo si: es diagonal.
2. Si es diagonizable, entonces es semejante a una matriz diagonal
3. Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico y en consecuencia los
mismos valores propios. (La recíproca no es cierta).
4. Si, y es diagonizable, si y solo si tiene vectores propios
linealmente independientes.
Ejemplo:
Dada la matriz A=(3 -1
-2 2) determinar una matriz ortogonal que diagonalice a la matriz
1) Cálculo de los valores propios de
|
|
Entonces son los valores propios. Luego:
D= (1 0
0 4)
2) Cálculo de vectores propios asociados a los valores propios.
a.
( 2 1
2 1) (
) (
) 1 2 2 12 0 2 .x x x x
118
Luego el vector propio es: (
) (
)
b.
(1 1
2 2) (
) (
)
2 1.x x
El vector propio es: 2= (x1
-x1
)= (1
-1)
Por lo que es la matriz cuyas columnas son los vectores propios.
P = (1 1
2 1) P 1=(
1
3
1
32
3 1
3
)
y,
P-1AP =(
1
3
1
3
2
3-1
3
)(3 -1
-2 2) (1 1
2 -1)=(
1
3+1
3
3-4
3
)(1 1
2 -1)= (1 0
0 4);
es decir, D=P-1AP. Luego A es una matriz diagonizable.
4.5. MATRICES SIMÉTRICAS. MATRICES DEFINIDAS POSITIVAS
4.5.1. Matriz simétrica
Definición 40
Una matriz cuadrada es simétrica si y solo sí es igual a su transpuesta.
es simétrica .
119
(
)
4.5.2. Matriz antisimétrica
Definición 41
Una matriz cuadrada es antisimétrica si y solo sí es igual a la opuesta de su transpuesta.
es antisimétrica .
Los elementos de la diagonal son nulos, pues
(
)
Propiedad
i) El producto de toda matriz por su transpuesta es una matriz simétrica.
ii) La suma de toda matriz cuadrada y de su transpuesta es simétrica.
Sea ,
iii) La diferencia de toda matriz cuadrada con su transpuesta es anti simétrica.
iv) Toda atriz cuadrada es la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica.
120
es simétrica, y es antisimétrica
es simétrica y
es antisimétrica.
4.5.3. Matriz Hermitiana.
Definición 42
La matriz es Hermitiana si y solo sí es igual a la transpuesta de su conjugada.
A es Hermitiana
Los elementos de la diagonal de toda matriz Hermitiana son números reales, por lo que:
es Hermitiana
La matriz (
) es hermitiana
4.5.4. Matriz definida positiva
Definición 43
Una matriz simétrica es positiva definida si y solo sí los valores característicos de son
positivos.
121
Una matriz simétrica es definida positiva si y solo sí el determinante de toda submatriz
principal es positivo; es decir para todo
Propiedades:
i) Toda matriz definida positiva es invertible.
ii) Si A es definida positiva y es un número real, entonces A es definida positiva.
iii) Si son matrices definidas positivas, entonces la suma de también lo es.
Además si entonces es también definida positiva.
iv) Toda matriz definida positiva tiene al menos una matriz raíz cuadrada tal que
4.6. FORMAS CUADRÁTICAS EN Y EN
En el estudio de las formas cuadráticas es necesaria la siguiente definición:
Definición 44
Sea F una función de . Se dice que F es una forma lineal en si y solo F es lineal
respecto a cada variable, es decir, se verifican las siguientes condiciones:
Para todo entonces
i. ( )
ii. ( )
Hasta el momento se han estudiado ecuaciones lineales, de la forma:
122
donde es una función de variables denominada forma lineal.
En esta expresión las variables están elevadas a la primera potencia y no existen productos
de variables.
Pero pueden encontrarse funciones en que los términos son cuadrados de variables o
productos de dos variables, mismas que tienen muchas aplicaciones en la geometría,
vibraciones de sistemas mecánicos, estadística e ingeniería eléctrica.
4.6.1. Formas cuadráticas con dos variables
Una forma cuadrática de dos variables , y puede escribirse como:
donde son tales que y | | | | y la ecuación pertenece a una
cónica centrada en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas en el espacio
bidimensional. En aplicaciones diversas es necesario identificar la clase de cónica que
representa esta ecuación, ya sea una elipse, una parábola, una hipérbola, o cualquier forma
degenerada de la elipse o hipérbola, tales como círculos y rectas.
Una técnica usada es rotar a los ejes e (o cambio de coordenadas) para obtener un
nuevo conjunto de ejes e en el cual el término no forma parte de la ecuación y en
estas condiciones podemos identificar la clase de cónica en forma más fácil.
123
El primer miembro de la ecuación: puede escribirse en forma
matricial como:
(
) ( ).
Ejemplo:
1) (
) ( ).
2) (
) ( )
El tipo de soluciones que tenga la ecuación:
,
dependerá del valor de , ya sea o . Para el efecto definimos la forma
cuadrática , de la siguiente manera.
(
) ( )
La matriz de la forma canónica relativa a la base canónica de se define
como (
).
La hipótesis y | | | | implica y claramente es simétrica, por lo que
siempre se cumple que .
124
Calculemos los valores propios de , es decir determinemos los tales que
es decir.
|
|
,
donde los valores propios de la matriz A son soluciones de la ecuación de segundo grado:
La solución será
√
si: las raíces son reales, y
si: < las raíces son complejas.
Como la matriz es simétrica, las raíces de la ecuación:
son reales. En efecto, el discriminante de esta ecuación es no negativo pues:
125
.
Por la hipótesis y | | | | significa que al menos dos de estos números son no
nulos, luego . Entonces:
√
√
que son los valores propios de la matriz .
Ahora, determinaremos los vectores propios asociados a los valores propios y , es
decir hallamos las soluciones de los sistemas de ecuaciones y , que es
equivalente al sistema de ecuaciones.
Para obtenemos (
) tal que ‖ ‖ y para obtenemos (
)
tal que ‖ ‖ .
126
Estos dos vectores propios de A son ortogonales, esto es 0,u v consecuentemente
forma una base de , es decir, .
Recuerde que:
‖ ‖
‖ ‖
por ser ‖ ‖ y ‖ ‖ la forma bilineal simétrica está definida como
De la definición de la forma cuadrática se tiene.
.
Así que la matriz bilineal simétrica relativa a la base está definida como:
[ ] (
) a lo que denotamos , esto es, (
).
La matriz de cambio de base de a está definida como (
) y se verifica
que la matriz P es ortogonal, por lo que .
127
Por tanto la forma cuadrática referida a la base se escribe como:
(
) ( )
y
Como , se presentan los siguientes casos:
i) ,
ii) ,
iii) ,
iv) ,
v)
vi)
En conclusión, dependiendo de los valores de , se obtendrá la cónica correspondiente, ya
sea elipse, circunferencia, parábola e hipérbola.
4.6.2. Formas cuadráticas con tres variables.
Una forma cuadrática de tres variables y se puede escribir como:
donde y .
128
La solución es cambiar los ejes por los ejes y para eliminar los términos
, e .
La forma sería:
(
)( )
Ejemplo:
(
)
( )
4.6.3. Formas Cuadráticas con n variables
Las formas cuadráticas no se limitan a dos variables, por lo que se definirá una forma
cuadrática general.
Definición 45
Una forma cuadrática con n variables es una expresión la cual se puede escribir
como
(
)
donde A es una matriz simétrica de orden
129
Si se hace:
(
)
entonces la ecuación (1) se puede escribir abreviadamente como:
(2)
Si se multiplican, la expresión resultante es de la forma:
∑
El término:
∑
denota la suma de los términos de la forma , donde y son las variables
diferentes. Los términos denotan términos de producto cruzado de la forma
cuadrática.
Para representar formas cuadráticas en notación matricial, son muy útiles las matrices
simétricas. Así por ejemplo para la forma cuadrática el coeficiente del
término de producto cruzado se podría separar en ó y se escribiría así:
(
) ( )
o
130
(
) ( )
Cuando una forma cuadrática se denota por se entenderá que es simétrica, es
decir se asegura que por lo que (2) se puede expresar en términos del producto
interior euclidiano mediante:
⟨ ⟩ ⟨ ⟩
Ejemplo de forma cuadrática en 3
La siguiente expresión es una forma cuadrática de las variables .
(
)(
)
Nótese que los coeficientes de los términos al cuadrado aparecen sobre la diagonal
principal de la matriz 3 3 y que los coeficientes de los términos de producto cruzado
aparecen fuera de la diagonal como sigue:
131
Coeficiente de A Posiciones en la matriz A
132
CAPÍTULO V
METODOLOGÍA DE ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL
BACHILLERATO.
Se propone ayudas didáctica gráficas donde se visualizará el comportamiento de las
transformaciones lineales de y .
De igual manera se ha puntualizado los problemas en el aprendizaje de la matemática a nivel de
estudiantes de bachillerato, que de superarse los mismos, darían grandes conocimientos a los
estudiantes de la matemática en general.
Finalmente se puntualizan aplicaciones de la geometría analítica ya sea a o en , utilizando
concepto de espacios vectoriales, valores y vectores propios.
5.1. IMPORTANCIA DEL ESTUDIO DE LA MATEMÁTICA
La matemática constituye parte de la cultura del individuo. Es un medio de comunicación de
información cualitativa y cuantitativa entre personas y organizaciones.
El estudio de la matemática está dirigido al desarrollo de la inteligencia, fortalece el
razonamiento, se construye el lenguaje con el que se expresa las leyes y principios de las ciencias
fundamentales, sirven para identificar y resolver problemas mediante la elaboración de modelos y
133
métodos de solución en las otras ciencias, las ingenierías, las industrias y el comercio. Los
avances de las matemáticas puras y aplicadas constituyen una contribución fundamental y
permanente al desarrollo de la humanidad.
La elaboración de modelos basados en información experimental que se dispone, nos servirá para
dar soluciones a problemas de la vida real como: problemas de desarrollo urbano, ambientales,
problemas en la biología y la medicina, en el sector industrial, desarrollo de las ingenierías,
comunicación, etc.
En el estudio de la matemática no debe conceptualizarse que se trate únicamente de fórmulas,
trucos y artificios, que se debe aprender de memoria o simplemente de realizar ejercicios de
acuerdo a ciertos patrones establecidos. La matemática se aprende haciendo y para ello se debe
pensar, razonar, reflexionar, por ello es necesario un correcto uso del lenguaje matemático, la
simbología, notaciones y el uso y aplicación de resultados que se van obteniendo.
La parte fundamental de la matemática la constituyen los teoremas con sus respectivas
demostraciones, la elaboración de estructuras y modelos matemáticos.
Deberá siempre considerar, que la matemática se constituye con cuatro componentes esenciales e
inseparables como son: la lógica matemática, los conjuntos, el sistema de números reales y las
funciones.
134
Se debe indicar que el sistema de los números reales junto con las funciones han permitido
desarrollar, la geometría analítica, el cálculo diferencial, el cálculo integral, el álgebra lineal y
muchas otras áreas de la matemática, por lo que sin lugar a dudas en el estudio de las funciones
se debe poner mucha atención.
5.2. PROBLEMAS DE APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA.
Los problemas en el aprendizaje, sobre todo a nivel de bachillerato serían los siguientes, mismos
que de superarles, el aprendizaje de la matemática y particularmente el álgebra lineal sería muy
sencillo obtener el conocimiento de esta temática.
1) No se proponen metas, ya sea diarias, semanales, mensuales que sea posible cumplir. Los
estudiantes que tienen dificultades en aprender matemática deben reforzar estas metas a
calendarios de estudio.
2) No hacen énfasis en comprender los aspectos conceptuales de la teoría.
3) No discuten sobre resultados obtenidos y aplicaciones de la teoría.
4) Se conforman con saber únicamente lo expuesto por el profesor.
135
5) Realizan solo un aprendizaje memorístico, no se familiarizan con la utilización
sistemática de las definiciones, axiomas, teoremas, conclusiones de ejemplos y ejercicios.
6) No seleccionan ejercicios de acuerdo a la comprensión alcanzada en cada temática.
7) Cuando no logran comprender ciertos resultados, pese al esfuerzo realizado, no son
capaces de comunicar al profesor de las dificultades encontradas para su aclaración, por
falta de una comunicación efectiva entre profesor y alumno.
5.3. METODOLOGÍA DE ENSEÑANZA.
- El Método Creativo.
- Sistema de Enseñanza.
- Problemas de Aprendizaje.
- Asignación de Tareas.
- Evaluación.
- Ayudas Didácticas
EL MÉTODO CREATIVO.
Etimológicamente la palabra método viene del griego metá hacia o a lo largo y odos que equivale
a camino; así, en una primera noción, método significa hacia el camino que se recorre.
136
En un sentido un poco más amplio, el método significa “el camino más adecuado para llegar a un
fin” (Corrientes, métodos y técnicas de investigación Educativa, Miguel González Sarmiento,
pág. 25) o un modo ordenado para proceder a hablar o desarrollar una actividad consiente,
deliberada y planificada.
El método es un medio para alcanzar un objetivo, el objetivo de un método científico es la
descripción, explicación y predicción de los fenómenos y su esencia es obtener con mayor
facilidad el conocimiento científico.
El método constituye un proceso regular, explícito y repetible para lograr algo ya sea material o
conceptual.
El método es necesario porque el resultado de la educación no está determinado unívocamente
por la estructura humana. Se busca un resultado y no otro en función de las razones que el
hombre y la investigación descubren para justificar la conveniencia de este efecto específico
frente a otros posibles.
Generalmente se distingue entre métodos de investigación o llamados heurísticos y métodos de
enseñanza, conocidos como métodos didácticos. Los primeros se centran en descubrir, justificar y
explicar qué y cómo se han producido, se producen y/o deben producirse cualesquiera estados de
cosas, acontecimientos y acciones. Los segundos se centran en organizar y descubrir las
137
actividades convenientes para guiar a un sujeto en el aprendizaje en cualesquiera estados de
cosas, acontecimientos y acciones.
Históricamente los grandes métodos del pensamiento son: deductivo, inductivo, analítico,
sintético, fenomenológico, histórico, estructural, semiótico, dialéctico, activo, científico, clínico,
comparativo, etc. En todo caso, es oportuno recordar el aporte que Sócrates (470 – 399 AC.) dio
al desarrollo del pensamiento. Dedicó gran parte de su vida y de su actividad a la formación de
los jóvenes, a los que concedía gran importancia como ciudadanos del mañana. En todo momento
pretendía que olvidaran los principios aprendidos de manera rutinaria y procuraran pensar por sí
mismos mediante la reflexión. El método empleado por Sócrates era el DIALOGO, en el que
utilizaba sobre todo dos formas: empezaba por lo que se ha llamado ironía socrática, es decir,
fingía no saber nada de lo que se estaba hablando, llegando a convencer a su interlocutor de su
propia ignorancia; luego pasaba a una segunda parte o mayéutica, en la que partiendo de cosas ya
conocidas llegaba a descubrir definiciones o conceptos generales.
Este crear y recrearse de nuevas ideas, conceptos, argumentos, criterios y opiniones, teniendo
como base lo limitado que son nuestros conocimientos y de la necesidad de lo mucho que falta
por aprender, tiene plena vigencia y es el filósofo que más influencia ha tenido en el campo de la
educación.
138
El hombre, desde épocas remotas, se ha visto impelido a encontrar soluciones a sus problemas
más vitales y atención a sus necesidades más elementales, para lo cual, hacía de sus
conocimientos primarios nuevos conocimientos, cada vez más complejos, determinando de esta
manera su capacidad creativa. Haciendo de su vida cotidiana sea más llevadera. Es de colegir,
por lo tanto, que sus manifestaciones en busca de algo nuevo y bueno para su vida, eran de
acciones lúdicas, de recreación, de buen vivir.
Es imposible pensar que la creatividad no ha existido, “pero realmente es lo que nos ha hecho
evolucionar a lo largo de la historia bajo mil tipos de técnicas o saberes que captan la realidad a
otro nivel o usan la intuición como sistema de creación y de respuesta”, nos participa una fuente
de información vía internet.
Las nuevas interpretaciones del mundo social y natural, concepciones nuevas del universo,
manejo de técnicas innovadoras, acciones del hombre encaminadas a desentrañar los secretos de
la naturaleza, son orientadas por un instinto gregario y de supervivencia, introduciendo nuevas
operaciones y cambios por más pequeños que parezcan, pero que transforman a posteriori su
convivencia y estructuras sociales.
El valor de la innovación siempre ha estado presente, como una acción intuitiva o preestablecida,
espontánea o deliberada; bajo criterios de selección, siempre hemos ido al encuentro de lo nuevo.
139
Por consiguiente, lo que provoca un cambio o explica la realidad de forma diferente, se lo hace
con el buen uso y manejo del Método Creativo. Dialécticamente, el hombre mismo es agente de
cambio, y no un mero espectador de su entorno social y natural.
SISTEMA DE ENSEÑANZA.
Comencemos por explicar ¿qué es un Sistema Educativo? En su apreciación más concreta, es una
“forma peculiar y objetiva en la que un país planifica y desarrolla la educación del pueblo en un
momento determinado de su historia.
Todo sistema educativo está condicionado por la historia de los pueblos, la estructura de su
sociedad, la mentalidad política, los niveles de desarrollo logrado en las distintas esferas de la
vida, la religión, la cultura, las ciencias y las artes, los avances pedagógicos y las influencias
extranjeras” (Diccionario de las Ciencias de la Educación, pág. 1298
Todos estos hechos actúan sobre el sistema educativo a manera de categorías fácilmente
detectables, si bien la acción de cada uno de ellos puede, según los casos, alcanzar índices de
resonancia muy variados.
De hecho un sistema educativo es un espacio de gran importancia en una sociedad, inserto en el
contexto de la organización política, cultural, social y económica de un país, su estructura o
disposición interna está fuertemente vinculado a estos factores. De esta manera, la planificación,
140
modelos pedagógicos, técnicas de trabajo y toda una malla curricular, ha de guardar, para
asegurar la supervivencia, una fuerte coherencia con las grandes líneas de organización
establecidas en el proceso de los pueblos y sociedades.
El Art. 27 de la Constitución de la República del Ecuador establece que la educación debe estar
centrada en el ser humano y garantizará su desarrollo holístico, en el marco del respeto a los
derechos humanos, al medio ambiente sustentable y a la democracia; será participativa,
obligatoria, intercultural, democrática, incluyente y diversa, de calidad y calidez; impulsará la
equidad de género, la justicia, la solidaridad y la paz, estimulará el sentido crítico, el arte y la
cultura física, la iniciativa individual y comunitaria, y el desarrollo de competencia y capacidades
para crear y trabajar.
Se puede apreciar sin mayor esfuerzo, que la enseñanza es integral, no está orientada en el
aprender meros conocimientos, conceptos y esquematizaciones, se da énfasis en la aprehensión
de nuevos conocimientos, de valores y una concepción de creatividad teórica-práctica, en procura
de una nueva sociedad, “de un país soberano, y constituye un eje estratégico para el desarrollo
nacional”, concluye en artículo en mención.
El Art. 343 establece un sistema nacional de educación que tendrá como finalidad el desarrollo de
capacidades y potencialidades individuales y colectivas de la población, que posibilite el
aprendizaje, y la generación y utilización de conocimientos, técnicas, saberes, artes y cultura. El
141
sistema tendrá como centro al sujeto que aprende, y funcionará de manera flexible y dinámica,
incluyente, eficaz y eficiente.
Esto y más lo señala la nueva Constitución de la República del Ecuador, por consiguiente, la
Ley Orgánica de Educación Intercultural, teniendo como principios : la universalidad, la
Educación para el cambio, la Libertad, interés superior de los niños, niñas y adolescentes,
atención prioritaria, desarrollo de procesos, aprendizaje permanente, interaprendizaje y
multiaprendizaje, igualdad de género, educación para la democracia, comunidad de aprendizaje,
participación ciudadana, corresponsabilidad, motivación, investigación, construcción y desarrollo
permanente de conocimientos, equidad e inclusión, calidad y calidez, integralidad, laicismo,
interculturalidad y plurinacionalidad, identidades culturales, plurilinguismo, pluralismo político e
ideológico, articulación, unicidad y apertura, obligatoriedad, gratuidad, acceso y permanencia,
etc.
Para que se hagan realidad todos los principios anotados, en gran medida depende del Diseño y
Planificación de la Enseñanza. En una perspectiva constructivista, el diseño y planificación de
la enseñanza debe prestar atención simultáneamente a cuatro dimensiones:
1. Los contenidos de la enseñanza. Se sugiere que un ambiente de aprendizaje ideal debería
contemplar no sólo factual, conceptual y procedimental del ámbito en cuestión, sino también las
estrategias de planificación, de control y de aprendizaje que caracterizan el conocimiento de los
expertos en dicho ámbito.
142
2. Los métodos y estrategias de enseñanza, deben ser bien seleccionados y articulados, por
lo tanto, ofrecer a los estudiantes la oportunidad de adquirir los conocimientos y practicarlos en
un contexto de uso lo más realista posible.
3. Secuenciación de los contenidos, de acuerdo a los principios que se deriven del
aprendizaje significativo, se comienza por los elementos más generales y simples para ir
introduciendo, progresivamente, los más desarrollados y complejos.
4. La organización social, explotando adecuadamente los efectos positivos que pueden
tener las relaciones entre los alumnos sobre la construcción del conocimiento, especialmente las
relaciones de cooperación y de colaboración.
PROBLEMAS DE APRENDIZAJE
La pedagogía tradicional ha dominado la mayor parte de las instituciones educativas a lo largo de
la historia humana y aun así sólo ha recibido unas pocas líneas de sustentación. No han contado
con defensores teóricos, aunque se encuentran por millares sus defensores de hecho.
Este poder oculto se presenta bajo el propósito de enseñar conocimientos y normas, el maestro
cumple la función de transmisor. El maestro “dicta la lección” a un estudiante que en su mente
guarda la información y normas que serán devueltas al profesor a través de las evaluaciones. La
férula y el castigo físico medieval y moderno, en la época contemporánea ha pasado a ser el
castigo psicológico no solamente de aprender, sino el de respetar, convirtiéndose el aprendizaje
en un acto de autoridad, aunque hoy en día persisten maestros en prácticas medievales de crear
condiciones de “aprendizaje” e imponer su autoridad mediante actos humillantes, pellizcos, y
maltratos físicos. Garantizadas de esta manera la atención y la disciplina, la exposición del
143
maestro debe conducir al aprendizaje de sus estudiantes; una falla en dicho proceso indicará, por
lo tanto, indisciplina, desatención y nulidad total de cambios de comportamiento.
La imitación cumple un papel fundamental en la enseñanza tradicional, orientando al estudiante
en acercamientos a los grandes modelos o paradigmas, para que, llegado su momento estar en
condiciones de crear; en consecuencia, se propone como única posibilidad del aprendizaje escolar
la copia sucesiva de lo dicho por el profesor por parte del estudiante.
Con este paradigma tradicional se convierte al niño, al adolescente y al joven en una tabla rasa
sobre la que se van imprimiendo desde el exterior saberes específicos y las valoraciones
aceptadas socialmente. La función de la escuela consiste en dirigir esta transmisión de una
manera sistemática y acumulativa, el estudiante es identificado como un receptor, que gracias a la
imitación y reiteración logrará reproducir los saberes que le facilitaron. La información que
recibe es enciclopedista y parcelada entre sí, imponiéndose lo particular sobre lo general.
Es una realidad a voces que, los aprendizajes actuales se basan en la percepción, la memoria, la
reiteración, la transmisión y la reproducción de los contenidos, convirtiéndole en un sujeto
pasivo, acrítico y dependiente y reproduccionista de conocimientos en la medida que son
impartidos por el profesor. Es mucho más que un método, es una manera de comprender al
hombre y su propósito educativo, es una forma de entender los propósitos, los contenidos, las
secuencia, la metodología y la evaluación.
144
Con este breve estudio de cómo se presenta el proceso de enseñar y aprender en instituciones de
educación formal, evidenciamos problemas múltiples y complejos presentes en el aula
contemporánea. El aprender no es un aprehender en el estudiante que adquiere la función de un
elemento pasivo en la medida que el profesor “dicta” las clases desde su óptica de ser poseedor
del saber y éste debe ser trasladado a un individuo que no sabe. Se abandona el pensamiento, la
creatividad, concentrando su esfuerzo en los aprendizajes mecánicos obtenidos mediante la
reiteración de la exposición y la práctica. La escuela poca aporta para que los aprendizajes sean
de entender, comprender, reflexionar y aplicar de acuerdo a las condiciones socioeconómicas del
lugar donde se desenvuelve el educando, desconociendo cuáles son sus necesidades reales.
En la actualidad, el alumno que dude, pregunte, cuestiones, opine, en la mayoría de los casos se
le considera un indisciplinado, que lo que hace es interrumpir el proceso, condenándolo al
ostracismo, apagando sus iniciativas, sus capacidades argumentativas, de criticidad, generando de
esta manera el desinterés y la incomprensión de la ciencia.
El aprendizaje se torna estéril cuando aprende las operaciones básicas y los rudimentos de la
lectoescritura, pero no aportó luces en la formación de un pensamiento científico; reducen las
matemáticas a la aritmética y ésta a los algoritmos; las ciencias sociales se reducen a la
historiografía y la geodescriptiva; con ella las ciencias naturales perdieron su carácter conceptual
y se transforman en listado de plantas, huesos y átomos.
145
Persiste la actitud del maestro en ser quien concentra las funciones de elegir los contenidos,
prescribir, hablar, disciplinar y educar, mientras que el educando es el receptor que sigue las
prescripciones, escucha, acata las normas y recibe la educación en forma pasiva e incuestionable.
Julián de Zubiría nos dice en su obra Modelos Pedagógicos, pág. 64: “Desde una óptica
psicológica, la concepción instruccional presupone que el estudiante carece de nociones o
representaciones de lo real” Esta presunción de “tabula rasa” en la estructura del pensamiento del
estudiante desconoce los grandes avances en la investigación psicológica y genética de los
tiempos actuales y convirtiéndose en un factor de gran incidencia de la escuela en el desarrollo
del pensamiento y la creatividad en la edad escolar y colegial. Es un problema de aprendizaje
cuando el niño y adolescente pierde la posibilidad de cualificar su representación del mundo por
cuanto, las ciencias enseñadas pierden su carácter abstracto y explicativo de su entorno social y
natural.
Otras de las dificultades en el aprender, es el desconocimiento de los períodos evolutivos,
aplicando una enseñanza lineal y continuo, siendo inaplazable comprender que en sujeto de
aprendizaje existen ciclos diferenciados y que de este hecho se derivan implicaciones
pedagógicas significativas y necesarias para el desarrollo del pensamiento innovador, creativo,
crítico, dinámico, participativo y reflexivo.
146
Pareciese que tiene poco peso apreciativo, de análisis y reflexión otros factores que inciden en
que los aprendizajes tropiecen con dificultades a ser consideradas para que, en la práctica docente
sean motivos de tratamiento: El trabajo compartido de los padres de familia conlleva a que sus
hijos no tengan guía, control, orientación y estímulo afectivo en el cumplimiento de tareas y
consultas, que en algunos casos deben realizarlas en sus hogares.
Padres de familia que al desconocer o conociendo no tienen la suficiente paciencia para impartir
buenos hábitos en el desenvolvimiento diario y desde la edad parvulario, asumir gradualmente el
sentido de responsabilidad, cumplimientos y maduración positiva gradual de su personalidad. Los
medios de comunicación masiva, al no saberlos leer – en especial la internet- acometen como una
herramienta de desorientación y falsas informaciones que les conducen a perder su identidad,
alienándola gradualmente.
En los hogares actuales poco se hace para desarrollar—desde temprana edad- las habilidades y
destrezas consustanciales a su desarrollo psicoemocional, en especial la lectura comprensiva y
bien entendida, como una actividad noble que permite el desarrollo del pensamiento y de un ser
con criterios de desempeño.
ASIGNACION DE TAREAS
La sociedad ha cambiado cualitativamente y la escuela actual no responde a sus expectativas, que
ha realizado una profunda revolución en las telecomunicaciones introduciendo el fax, las redes, la
147
fibra óptica, el celular, internet y otros, la predominancia de la biotecnología y la conformación
de una economía única mundial en la que predominará el cambio libre. En consecuencia el siglo
XXI le exigen nuevos y profundos cambios al sistema educativo, siendo principio básicas de las
futuras escuelas: “El favorecimiento de las operaciones básicas, la formación de un pensamiento
sistémico global, el desarrollo de la habilidad para trabajar cooperativamente con los compañeros
y la exigencia de formar individuos más creativos” propone Reich.
Durante el presente siglo se han producido importantes avances en la comprensión de las
variables, las características y la naturaleza del aprendizaje. Son significativos los aportes
brindados por Piaget, Vigotsky, Ausubel y Bruner. La reflexión y la investigación adelantadas
por las teorías cognitivas han permitido avanzar de manera significativa, resolviendo
interrogantes del aprendizaje y el olvido, el papel de la comprensión en este proceso y la
posibilidad que tienen de ser transferidos los conocimientos adquiridos en un área particular del
conocimiento.
Otro lineamiento en el que se trabaja, tiene que ver con las bases neuropsicológicas de los
procesos de aprendizaje, investigaciones que han girado en torno a la identificación de las áreas
activas de la corteza cerebral, que luego serán aprendidos los instrumentos del conocimiento y
queden registrados estos aprendizajes, así como los que se realicen en el desarrollo de las
operaciones intelectuales y las habilidades y destrezas procedimentales.
148
El tercer aspecto guarda relación con las variables del aprendizaje, en especial la incidencia de la
práctica, la motivación y la resonancia familiar, entre otros.
El aprendizaje puede ser repetitivo o significativo según lo aprendido se relacione arbitraria o
sustancialmente con la estructura cognoscitiva. Se hablará de un aprendizaje significativo cuando
“los nuevos conocimientos se vinculen de una manera clara y estable con los conocimientos
previos de los cuales disponía el individuo.
Metodológicamente podemos decir que no debemos entregar al alumno el contenido en su
versión final, sino que éste debe ser descubierto e integrado antes de ser asimilado, caso en el
cual estaremos ante un aprendizaje por descubrimiento.
Para potencializar el aprendizaje significativo debemos proveer de contenidos que guarden
relación con los conocimientos previos que tiene el estudiante, de manera que el nuevo
conocimiento pueda vincularse con el anterior; en todo caso, el estudiante debe demostrar una
actitud positiva hacia el aprendizaje.
El tema a darse al estudiante debe interesar y producir resonancia afectiva, ser posibilidad de
polémica, de oposición o apoyo a diferentes opciones; que los que trabajen el tema se
“enganchen” con él porque les diga algo en relación a lo que ellos pueden hacer, a opciones que
debe tomar, a utilizaciones que debe practicar.
149
Los temas deben ser orientados para que el sujeto participe oralmente del tema a partir de su
peculiaridad personal y profesional; que exista un compromiso a través de las palabras.” La
palabra es expresión prioritaria de lo humano, es la vía para decidir tanto qué hacer como qué
interpretar de lo que se ha dicho” nos dice Esteban Soms, El Aprendizaje: una función activa. Si
uno escucha hablar a otros, pero no pone su propia palabra sobre un tema, es esperable que éste le
resulte ajeno. Al hablar del problema de que se trate, quien lo hace cumple a la vez varias
funciones muy importantes: ordena sus ideas personales, organizándose conceptualmente; ocupa
un lugar ante los demás al socializar un problema que supera la dimensión de lo individual.El
tratamiento de un tema debe comprometer a terceros, que obligue a tomar posiciones frente a
otros, deje sellada una impronta más allá de sí, que se produzca un espacio donde se ha
intervenido. El tema por lo tanto, deber tener la característica de ser relevante socialmente y
objetivo, es decir se tomará en serio el aprendizaje si advierte que servirá realmente en el plano
práctico, en una esfera real y que tendrá repercusiones de utilidad e importancia.
Cada unidad de enseñanza-aprendizaje, además de los objetivos, debe incluir contenidos, o sea
los temas a estudiarse y, actividades. El profesor puede dar una clase expositiva teórica o
magistral, desde luego sin caer en la rutina, por cuanto corre el riesgo de perder en el interés en
aprender. La exposición debe ser una síntesis facilitadora, de introducción simplificada, de
aclaración de detalles que no encuentran resolución asequible en los textos y, por otras vías se
logrará la participación activa, la destreza por criterio de desempeño, la orientación a la
resolución de problemas prácticos, la capacidad de organización temática, el trabajo en equipo y
otros. Es aquí donde aparece el valor de la clase práctica, que hace posible aprender teóricamente
habilidades prácticas. La clase práctica, es por tanto necesaria, sin que esto implique caer en el
150
pragmatismo, asociada a una base teórica a la cual se ligue para conceptualizar ese hacer; debe
concebirse como un complemento necesario en el proceso del conocimiento para su fijación y sea
potencialmente significativo el aprendizaje.
EVALUACIÓN
Cuando hablamos de evaluación enfrentamos una actividad compleja, pero al mismo tiempo
constituye una actividad necesaria y fundamental en la labor docente. Particularmente compleja
porque dentro del proceso educativo puede evaluarse prácticamente todo, lo cual implica
aprendizajes, enseñanza, acción docente, contexto físico y educativo, programas, currículo,
aspectos institucionales, metodologías, técnicas de trabajo, procedimientos, la misma evaluación,
etc.; por consiguiente, exige al docente analizar este proceso muchas aristas y enfrentarse a una
serie de asuntos y problemas difíciles de abordarlos de carácter psicopedagógico, técnico,
práctico, administrativo e institucional.
Al desempeñar sus funciones en alguna institución educativa, cualquier docente debe tener una
concepción explícita del modo en que se aprende y enseña, de igual, sobre cómo, cuándo y por
qué y para qué evaluar, con el fin de poder asegurarse que la experiencia educativa que proponga
en el acto de enseñanza produzca resultados satisfactorios.
El profesor debe poseer un cierto conocimiento teórico y práctico más o menos preciso de un
todo de instrumentos y técnicas para evaluar los aprendizajes de los alumnos en los momentos
151
pertinentes en que decida hacerlo, sea porque él lo considere así o porque la institución o el
currículo se lo exijan.
La evaluación del proceso de aprendizaje y enseñanza es una tarea necesaria, en tanto que aporta
al profesor un mecanismo de autocontrol que le regula y le permite conocer las causas de los
problemas u obstáculos que se suscitan y la perturban. De no haber la actividad educativa
difícilmente podríamos asegurarnos que ocurra algún tipo de aprendizaje, cualquiera que éste
fuera o nos costaría mucho saber apenas sobre los resultados y la eficiencia de la acción docente
y de los procedimientos de la enseñanza utilizados. Sin la información que nos proporciona la
evaluación, tampoco tendríamos argumentos suficientes para proponer correcciones y mejoras.
Cuando hablamos del concepto de evaluación de inmediato lo asociamos a la tarea de realizar
mediciones sobre la importancia de las características de un objeto, hecho o situación particular.
Sin duda, la evaluación incluye actividades de estimación cuantitativa o cualitativa, las cuales se
consideran imprescindibles, pero al mismo tiempo, involucra otros factores que van más allá y
que en cierto modo lo define.
Para que podamos analizar la evaluación escolar en toda su dimensión, Coll y Martín (1993)
consideran que debe hacerse teniendo en cuenta tres importantes dimensiones, las mismas que
son:
1. La dimensión psicopedagógica y curricular.
2. La dimensión referida a las prácticas de evaluación.
152
3. La dimensión normativa.
En la primera dimensión se involucra directamente todos aquellos aspectos relacionados con un
modelo o marco de referencia teórico y un planteamiento curricular determinado.
En la dimensión de las prácticas de evaluación puede incluirse lo relativo al conjunto de
procedimientos, técnicas, instrumentos y criterios para realizar las actividades de evaluación. Los
procedimientos e instrumentos en particular sirven para la evaluación de las distintas capacidades
y contenidos aprendidos por los alumnos, así como de todas aquellas actividades de enseñanza y
gestión realizadas por el docente. Por último, dentro de la dimensión normativa se implicaría los
asuntos los asuntos relacionados con fines administrativos e institucionales. Estas actividades
tienen que ver con factores como la acreditación, la promoción, los documentos de evaluación,
las evaluaciones sobre la institución y la evaluación del profesorado.
Las tres dimensiones mencionadas mantienen una relación de influencia recíproca entre sí. Sin
embargo, considero que, el referente psicopedagógico y curricular asumido es el que desempeña
un papel determinante en todas las actividades evaluativas, de no ser así las actividades de
evaluación pueden convertirse en prácticas con un fuerte sesgo tecnicista o prácticas que
privilegien lo burocrático – administrativo sobre lo académico. Sin un marco conceptual las
prácticas evaluativas también pueden reducirse a cuantificaciones simplistas y perder toda su
riqueza interpretativa, aportando muy poco al proceso de aprendizaje – enseñanza.
153
El interés del profesor al evaluar los aprendizajes -dice Frida Días Barriga A. en
“Constructivismo y evaluación psicoeducativa- debe recibir en:
El grado en que los alumnos han construido, gracias a la ayuda pedagógica recibida y al uso de
sus propios recursos cognitivos, interpretaciones significativas y valiosas de los contenidos
revisados.
El grado en que los alumnos han sido capaces de atribuirle un sentido funcional (no sólo
instrumental, también en relación a la utilidad que estos aprendizajes puedan tener para otros
futuros) a dichas interpretaciones.
Por consiguiente, valorar el grado de significatividad de un aprendizaje es una actividad
progresiva, que sólo puede valorarse cualitativamente. Después, es necesario tener una cierta
claridad sobre el grado y modo de significatividad con que se requiere que aprenda algo. Por
último, es necesario plantear y seleccionar de forma estratégica y correcta las tareas o
instrumentos de evaluación pertinentes que proporcionen información valiosa. No hay que
olvidar que desde el marco constructivista, la enseñanza debe entenderse como una ayuda
ajustada y necesaria a los procesos de construcción que realizan los alumnos sobre los contenidos
programados. En ese sentido la actividad de evaluación puede considerarse como una condición
sine que non para proporcionar la ayuda correspondiente. De ese modo, la información aportada
por la actividad evaluativa le permite al docente realizar observaciones continuas sobre la
situación didáctica en un doble sentido, hacia atrás y hacia adelante y, desde luego no hay que
dejar de insistir en la función de retroalimentación que debe proveer la evaluación por el docente
154
y para el alumno, este instancia en el proceso de aprendizaje, ayuda e informa sobre el valor,
importancia y grado de éxito de su ejecución antes de ponerlo al tanto sólo respecto o sí fue o no
exitoso el resultado.
Para concluir daré a conocer algunas técnicas a utilizarse de acuerdo a la complejidad de los
contenidos y a los niveles de aprendizaje de los alumnos:
Técnicas informales que tiene una duración breve y se presenta en los momentos de enseñanza
(observación de las actividades realizadas y exploración a través de preguntas formuladas por el
profesor durante la clase)
Técnicas semi - informales, se refieren a trabajos que los profesores encomiendan a los alumnos
y que deberán ser retomadas en el contexto de enseñanza con la finalidad de que tenga sentido el
proceso.
Técnicas formales, este rubro exige un proceso de planeación y elaboración más sofisticado y se
aplican en situaciones que demandan un mayor grado de control. Este tipo de técnica se aplica en
forma periódica o al finalizar un ciclo completo de enseñanza – aprendizaje, siendo las más
practicadas: pruebas o examen tipo test, mapas conceptuales, pruebas de ejecución; y, lista de
cotejo o verificación o escalas. No debemos olvidar que hay tipos de evaluación conocidas:
inicial o diagnóstica; formativa; y, sumativa.
155
Para concluir diremos, que el proceso de evaluación no es una formalidad ni un apéndice
educativo, es un elemento nuclear de la enseñanza y el aprendizaje. La evaluación de hoy es una
actividad facilitadora del cambio educativo, porque orienta la adaptación curricular, define los
problemas educativos y acomete acciones concretas bajo estos principios:
- Adoptará un carácter procesual y continuo, que le permite estar presente, de forma
sistemática, en el desarrollo de todo tipo de actividades y no sólo en eventos puntuales.
- Considerará la totalidad de elementos del hecho educativo y atenderá globalmente a todos
los ámbitos de la persona, y no sólo los aspectos cognitivos.
- Tomará en cuenta la singularidad de cada individuo, analizando su propio proceso de
aprendizaje, sus características y sus necesidades específicas.
AYUDAS DIDACTICAS
A pesar de los múltiples esfuerzos que se hacen para desarrollar herramientas de Estudio
efectivas en poblaciones de alumnos de distintos niveles, estos fracasan con frecuencia, por
cuanto, en dichos esfuerzos se observa un desconocimiento de los procesos cognitivo, afectivo y
meta cognitivo implicados en el aprendizaje significativo y, sobre todo, en la forma de
enseñarlos. Como resultado, la mayor parte de los cursos de “hábitos de estudio”, “círculos de
lectura”, “talleres de creatividad” y otras técnicas que faciliten la comprensión, reflexión y
aplicación de lo aprendido, han sido muy restringidos, poco perdurables y difícilmente
transferibles a las situaciones de estudio cotidiano. Lo que quiere decir que poco conocimiento
tenemos sobre la didáctica como herramienta de trabajo docente en procura de aprendizajes
156
significativos en el alumnado. Debemos comenzar diciendo que la didáctica es una disciplina
pedagógica encargada de analizar, explicar y orientar el proceso de enseñanza – aprendizaje.
Para que los resultados sean cualitativamente aceptables y de pronto la enseñanza sea activa, el
profesor o facilitador o mediador de procesos elabora un plan de trabajo y vigila su
cumplimiento, evitando posibles desviaciones, fomentando la participación activa de todos los
integrantes de grupo y para que éste logre su meta, debe procurarse que exista un clima favorable
de trabajo, una eficiente dirección, objetivos claros y precisos, adaptabilidad y buena
predisposición entre sus miembros.
Como ayudas didácticas se presentan varias técnicas de apr4ndizaje individual y/o grupal
dependiendo en aquellos aspectos relacionados con los costos y las condiciones de su
administración para poder determinar con mayor certeza cuál o cuáles serán las idóneas a
emplear. Las ayudas didácticas pueden variar según la disciplina, las circunstancias y los
objetivos previstos en el aprendizaje grupal, por lo tanto, no se puede especificar cuál es la mejor,
señalando entre otras las siguientes:
- Lectura comentada (exegética), que consiste en leer comprensivamente un texto y luego
comentarlo, partiendo de sus ideas principales.
- Lectura comprensiva, lograr que el alumno interprete inteligente y emotivamente
pensamientos y sentimientos.
- Subrayado, se selecciona las ideas principales para la mejor comprensión de la lectura o
un tema de estudio.
157
- Cuadro sinóptico, es la presentación esquemática de la información y se lo hace cuando
el tema trae divisiones y subdivisiones.
- Mapas conceptuales, se representa esquemáticamente relaciones significativas entre
conceptos en forma de proposiciones unidas entre sí para formar unidad semántica.
- Palabra clave, se resume o sintetiza los aspectos importantes de un tema, valiéndose de
palabras claves.
- Crucigrama, se selecciona las palabras claves para colocarlas horizontalmente con dos o
más distractores, igual se lo hace en forma vertical.
- Cotejo, la palabra clave se utiliza para confrontar, comparar, igualar palabras con sus
significados.
- Antónimos, consiste en colocar al frente las palabras claves, su significado opuesto o
contario.
- Ensalada de letras, con una hoja cuadriculada se escribe a voluntad vertical, horizontal u
oblicuamente las palabras claves.
- Moralejas, permite al alumno reflexionar y elaborar moralejas basándose en lo aprendido
en la lectura, se deber inducirlas.
- Dramatización, dos o más personas representan una situación de la vida real, asumiendo
roles del caso, para ser comprendida y tratada en el grupo.
- Entrevista, es una conversación seria que se propone un fin determinado, se pide
opiniones sobre un tema previamente seleccionado.
- Flujograma, consiste en reconstruir secuencialmente las acciones de un relato.
- Collage, es una ayuda didáctica que permite crear en base a diferentes materiales
recuperables, figuras bidimensionales, tridimensionales de diferente significado.
158
- Lluvia de ideas, promoción de ideas, torbellino o tormenta de ideas, es “pensar en voz
alta” sobre un problema determinado y en un tiempo estimado para dar solución al mismo.
- El debate, se estructura alrededor de una discusión que tiene lugar ante un grupo, en
donde dos personas dialogan sobre un tema específico de tipo controvertido, siguiendo un
esquema previsto y dirigido por un moderador.
- La Rejilla, se tratan temas con grupos grandes, en los cuales participan activamente todos
sus integrantes, cruzando luego la información en forma horizontal y vertical, aprovechando el
tiempo al máximo.
- El interrogatorio, consiste en el uso de preguntas para obtener información y puntos de
vista de aplicación de lo aprendido.
- Guía de estudio, consiste en formular preguntas que permiten generalizar, reafirmar y
autoevaluar el aprendizaje.
- Caminata de la lectura, a partir de un texto apropiado, el maestro incentiva a los
alumnos a desarrollar la imaginación aportando alternativas de continuación del relato, que
expresen abiertamente cómo se les ocurre, cómo podría continuar la historia y cómo terminaría.
Además, es importante todo medio y materiales audiovisuales posibles a utilizarse en el aula, de
esta manera el alumno se siente motivado en el seguimiento de una temática y facilitando en lo
posible el aprendizaje y sus contenidos fijándolos y propiciando su transferencia.
159
5.4. APLICACIONES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA EN O EN A PARTIR DE
LAS PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES, VALORES Y
VECTORES PROPIOS
5.4.1. Espacios afines
Definición 46
Sean: un conjunto de elementos llamados puntos. un espacio vectorial sobre .
La operación tal que a cada punto , le hace corresponder un punto que se
denota .
Por lo que un espacio afín E asociado al espacio vectorial, V dotado de la operación + será tal, si
y solo si:
i)
ii)
P
Q
𝑣
Q = P +
160
Ley de Chasles:
Definición 47
Sea E un espacio afín asociado al espacio vectorial de , se dirá que es de dimensión si es
de dimensión .
Definición 48
Sea E un espacio a fin asociado al espacio vectorial V, Se denomina subespacio afín (s. e. a) de E
determinado por un punto y un subespacio vectorial W de V, al conjunto:
Definición 49
Se denomina recta de un espacio afín a todo sub espacio afín de , de dimensión 1.
La ecuación paramétrica de la recta que pasa por un punto P y tiene de vector director , es:
<
Se denomina plano de un espacio afín E a todo subespacio afín P+W de E, de dimensión 2.
La ecuación paramétrica del plano que pasa por un punto P, tiene por dirección <
, se escribe:
.
161
Observaciones:
1) Las rectas P+W1 y Q+W2 son paralelas si W1 = W2.
2) Las recta P+W1 y el plano Q+W2 son paralelas si W1 W2.
3) Los planos P+W1 y Q+W2 son paralelas si W1 = W2.
5.4.2. Sistema de referencia
Definición 50
Sean: E un espacio afín asociado a un espacio vectorial V de dimensión n, O un punto de E y
una base ordenada de V. Se llama sistema de referencia de E al par formado por O
y B
Notaciones:
1) El sistema de referencia se denota por o
2) Al punto O se le llama origen del sistema de referencia
3) Se denomina ejes de referencia a las rectas que pasan por O y tienen por direcciones sub
espacios vectoriales < < < es decir los ejes de referencia son:
< < <
Definición 51
Sea un sistema de referencia de un espacio afín E asociado a un espacio vectorial V.
Se denomina coordenadas de a las coordenadas del vector respecto a la base B.
162
-5
Ejemplo:
Sea el espacio afín sobre el espacio vectorial y un sistema de referencia de
, donde:
| (
) (
)|
Determinar las coordenadas del punto |
Desarrollo:
Tenemos que [ ] [ ]
|
| (
)
Como (
) ( ) (
)
b = -1; a = -5, o sea:
(
) ( ) (
)
[ ] (
)
Por lo que [ ] |
[ ]
X
-1
-1
-3
-4
X’
y´
y
y
(4, -3)
-1
-2
-3
163
|
Note que el punto es fijo en el espacio afín, pero las coordenadas de en el sistema de
referencia canónico y en el sistema de referencia son diferentes.
5.4.3. Ecuación de una recta en un sistema de referencia
Sean un sistema de referencia de un espacio afín E el cual está asociado a un espacio
vectorial V de dimensión n.
[ ] |
< [ ] (
)
Si
Pero como
Que es la ecuación paramétrica de la recta L que pasa por el punto P y tiene la dirección del
vector en el sistema de referencia Esta ecuación puede escribirse como:
[ ] [ ]
[ ]
164
ó
[ ] [ ] [ ]
5.4.4. Ecuación de un plano en un sistema de referencia
Sean: un sistema de referencia de un espacio afín E asociado al espacio vectorial V
de dimensión n, y un plano de E.
Si
[ ] |
< [ ] (
) [ ] (
)
Si
pero como
que es la ecuación paramétrica del plano que pasa por el punto P y tiene la dirección <
en el sistema de referencia . Esta ecuación puede también escribirse como:
[ ] [ ]
[ ] [ ]
O también
[ ] [ ] [ ] [ ]
165
Ejemplo:
Dado el sistema de referencia [ |
( ) (
)|] en el espacio afín , y la
recta L que pasa por el punto |
y |
con dirección P hacia Q. Hallar la ecuación
de L en la referencia
Desarrollo:
|
|
(
)
(
) (
) ( )
(
) (
) (
) (
) (
)
[ ] (
) dirección de L en la referencia
Para hallar [ ] que es igual a | |
| | |
|
( )
( ) (
) ( )
166
( )
( ) (
) (
)
| |
(
)
en el sistema referencia
Ejemplo:
Con el sistema de referencia [[ |
( ) (
) (
)]] en el espacio
afín . Dado el plano que pasa por los puntos |
|
y |
. Determinar las
ecuaciones de en el sistema de referencia
Desarrollo:
Sean ( ) (
) las direcciones de y con
Ahora, encontremos las direcciones y un punto en el sistema de referencia , es decir:
[ ] [ ] [ ]
Para ello calcularemos las coordenadas de un vector respecto a la base .
167
(
| )
(
|
|
)
Pero
[ ] [ ]
[
]
[ ] [ ]
[
]
[ |
[ ] [ ]
[
]]
La ecuación del plano [ ]en el sistema de referencia R es:
168
5.4.5. Traslación de un punto
Dado < un sistema de referencia en un espacio afín E asociado a un espacio
vectorial V de dimensión finita.
La traslación de un punto x de E, respecto de un vector es una función definida como
sigue:
:v
v
T E E
X T X X v
para cierto vector fijo
Resumiendo tenemos:
[v
T ]
[ ] [ ]
o
[ ] [ ]
[ ]
vT
Ejemplo:
Dado el sistema de referencia [ |
( ) (
)] en el espacio afín y dado el
punto |
(
)
1) Determinar la traslación de P respecto a en C.
2) Determinar la traslación de P respecto a en .
a. Partiendo de | | [ ] [ ]
169
[ ] |
(
) |
|
|
es la traslación de respecto a en el sistema de coordenadas
b. De manera semejante| | [ ] [ ] [ ] | |
|
|
(
)
Calculemos las coordenadas de un vector (a, b) respecto a la base B:
(
| ) (
|
) (
|
) (
|
) (
|
)
(
) [ ] (
) (
) [ ] (
)
[ ] |
(
) |
Es la transformación de P respecto a en el
sistema ortogonal
170
5.4.6. Cambio de sistema de referencia
Si tenemos un espacio afín E asociado a un espacio vectorial V, y sean < y
< dos sistemas de referencia de E. La relación entre las coordenadas de un punto X
en el sistema viene dado por:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
O también se puede escribir:
[ ] [ ] [ ] [ ]
De manera similar:
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
Que también se puede escribir
[ ] [ ] [ ] [ ]
Ejemplo:
Dada la ecuación de la recta en el sistema canónico. Determinar la
ecuación paramétrica y general de L en el sistema de referencia
[|
( ) (
)]
Desarrollo:
1) Cálculo del sistema canónico.
171
Es la ecuación paramétrica de L en el sistema canónico C
es la ecuación general de L en el sistema canónico C.
2) Cálculo en el sistema de referencia
Tenemos que:
[ ] [ ] [ ]
[ ]
| |
( )
i. Cálculo de las coordenadas de un vector (a,b) respecto a la base B.
(
| ) (
|
) (
|
) (
|
)
( ) [ ]
(
)
ii. Cálculo de [ ]
[ ] [ ]
(
)
(
).
172
Por lo que:
[ ] |
(
)(
)
[ ] |
[ ] |
Entonces
ecuación paramétrica de L en el sistema de referencia .
Eliminando t, tenemos: que es la ecuación general L en el sistema de referencia
.
5.4.7. Rectas en el espacio afín
En un sistema de referencia en <
< recta en donde [ ] |
[ ] (
)
Si con [ ] | , la ecuación paramétrica de la recta L, está dada por:
=
.
Como < | | es linealmente dependiente, es decir:
|
|
173
es la ecuación de la recta L, en forma de determinante de segundo orden. Resolviendo el
determinante, se tiene:
que es la ecuación general de la recta L, donde:
5.4.8. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
En un sistema de referencia < del espacio afín y P y Q dos puntos del espacio
afín .
[ ] |
[ ] |
, entonces[ ]
|
es el vector director de la recta en el
sistema .
Así mismo [ ] | , entonces la ecuación paramétrica de la recta es:
( 1 o )
( 1 o )
=
En forma de determinante es 0 1 0
0 1 0
0.x x x x
y y y y
174
Pero |
| es la ecuación de la recta que pasa por P y Q, en forma de determinante
de tercer orden.
[ ] |
Sean: < un sistema de referencia de
base ortonormal de
< una recta de
Si es la ecuación general de L, entonces el vector con [ ] ( ) es
ortogonal a la recta L.
.; o
b bL x P u u
a a
L
[𝑃]𝑅 |𝑥
𝑦
[𝑄]𝑅 |𝑥 𝑦
175
Ejemplo:
Encontrar la ecuación general de la recta L que pasa por |
y tiene de vector normal
[ ] ( ) en el sistema de referencia.
a) Canónico
b) ( |
(
) ( ))
Desarrollo:
a) [ ] ( ) (
) es el vector director de L.
Entonces
, que es la ecuación paramétrica de L en C y la
ecuación general de L en C.
b) Para hallar un punto de L en [ ] , se utiliza la siguiente fórmula: [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ]
| |
(
).
y,
(
) (
) ( )
[ ] (
).
[ ] | (
)
(
) |
(
) (
)
176
[ ] |
(
) (
)
Pero [ ] |
es la ecuación paramétrica de L en el sistema de referencia
Despejando tenemos: que es la ecuación general de L en el sistema
5.4.9. Distancia en
Para trabajar con distancias, producto escalar, proyección ortogonal, norma de un vector,
ortogonalidad, la base del sistema de una referencia debe ser ortogonal, por lo que en esta sección
se trabajará con la base canónica de .
5.4.9.1.Distancia entre dos puntos
Si P, la distancia entre P y Q será: ‖ ‖.
177
5.4.9.2. Distancia entre un punto y una recta en
[ ] ( ).
La distancia del punto Po a la recta L está dada por la distancia del punto 0P a lo
que es igual a la norma del vector . Pero es paralelo al vector normal [ ] por tanto,
.
Entonces: d( ‖ ‖ ‖ ‖ | |‖ ‖
Encontremos el valor de t, para encontrar la distancia 0P a L, como entonces
< < , de donde
‖ ‖ y
Efectuando los cálculos:
< <
y
x
178
Entonces d | |
‖ ‖
| |
√
5.4.10. Angulo entre dos rectas
Dadas las rectas L1 y L2 del espacio afín , con vectores directores | | | | el ángulo entre L1
y L2 se define como:
i) Si L1 es paralela a L2, entonces o 180°
ii) Si L1 no es paralela a L2, entonces
<
‖ ‖‖ ‖
5.4.11. Diagonalización de formas cuadráticas
Sea:
(
)(
) (1)
Una forma cuadrática asociada a una matriz simétrica A. P una matriz ortogonal que convierte a
A en una matriz diagonal es decir:
(
)
179
Donde son los vectores característicos de A. Si se hace:
[
]
Donde son variables nuevas, y si en (1) se sustituye tenemos:
.
Pero
(
)(
)
∑
Que es una forma cuadrática sin término de producto cruzado, donde los son los valores
característicos de la matriz A.
Observación:
La transformación lineal reduce la forma cuadrática a una forma diagonal
Ejemplo:
Hallar una matriz ortogonal P que reduzca la forma cuadrática: a una
forma diagonal.
La matriz asociada a (
).
Los valores propios son:
180
|
|
Luego: y .
Vectores característicos
:
(
) (
) (
)
.
(
)
√ (
).
(
) (
) (
) .
√ ( ).
La base ortogonal de
√ (
) matriz ortogonal, y la forma diagonal correspondiente es:
(
) ( ) ,
donde
√ (
) ( )
√ (
)
√
√
181
5.4.12. Secciones cónicas
Una forma cuadrática es una ecuación de la forma donde
son todos números reales y por tanto uno de los números a, b, c son diferentes de cero.
La ecuación cuadrática en y se denomina forma cuadrática asociada.
Las gráficas de ecuaciones cuadráticas en se llaman cónicas. Las más importantes son las
elipses, circunferencias, hipérbolas y parábolas, las mismas que se denominan cónicas no
degeneradas. Las demás cónicas se denominan degeneradas que incluyen los puntos simples y los
pares de rectas.
Se dice que una cónica no degenerada está en posición normal con respecto a un eje de
coordenadas si su ecuación se expresa en una de las siguientes formas:
Elipse y circunferencia
.
y
(0,b)
(0,-b)
(a,0) (-a,0)
a<b
x
(0,b)
(0,-b)
(a,0) (-a,0)
y
x
(0,b)
(0,-b)
(a,0) (-a,0)
y
x
a>b a=b
182
Hipérbola
.
.
Parábola
y
x (-a,0) (a,0)
y
x
(0,-a)
(0,a)
k>0 K<0
y y
x x
y x
y
x k>0 K<0
183
De las gráficas se observa que ninguna cónica en posición normal tiene término en xy (término de
producto cruzado) en su ecuación. La presencia del término xy en la ecuación de una cónica no
degenerada indica que la cónica no está rotada en la posición normal y ha girado fig1. También,
ninguna cónica en posición normal tiene a la vez un término x2 y un término x o un término y
2 y
un término y. al no existir término de producto cruzado, entonces la aparición de cualquiera de
estas parejas en la ecuación cónica no degenerada significa que la cónica está trasladada fuera de
la posición normal fig2.
Para identificar la gráfica de una cónica no degenerada que no esté en posición normal, consiste
en girar y trasladar los ejes de coordenadas xy a objeto de encontrar un sistema de coordenada
x´y´ con respecto a buscar que la cónica esté en posición normal.
y y y
x x x
Rotación
Fig1
Traslación
Fig2
Rotación y
Traslación
Fig3
184
5.4.13. Eliminación del término de producto cruzado
La ecuación , se puede escribir en forma matricial como:
(
) ( ) (
) .
O también, donde ( ) (
) .
Ejemplo 1
Describir la cónica C cuya ecuación es ,
Solución: Matricialmente se escribe:
donde:
(
).
La ecuación característica de A es:
|
| .
Los vectores característicos correspondientes a los valores característicos son:
Para (
√
√
)
185
Para (
√
√
)
La base ortonormal de
(
√
√
√
√
).
Diagonaliza ortogonalmente a . Sabemos que det(P) = 1, por lo que la transformación
ortogonal de coordenadas es una rotación. Sustituyendo ,
tenemos:
o
Como
(
)
la ecuación se escribiría como:
(
) ( ) o también
.
Finalmente,
. Que es la ecuación de la elipse, donde los vectores V1 y V2 son los
vectores columna de P.
186
Ejemplo 2:
Describir la cónica cuya ecuación es:
√
√ .
Matricialmente se escribe como , donde:
(
) (
√
√ ).
(
√
√
√
√
) Por ser igual al ejercicio anterior
Diagonalizar ortogonalmente a . Sustituyendo se obtiene:
.
O también
.
Como
187
(
) (
√
√ )(
√
√
√
√
) .
Por lo que quedará:
.
Trasladando a los ejes x´y´
.
.
.
Donde las ecuaciones de traslación son: y .
Por lo que la ecuación de la elipse queda:
o también
.
y
x
Y´
X´´
X´
Y´´
188
5.4.14. Invariante de una curva
Se llama invariante de una curva a la expresión formada por los coeficientes de su ecuación, las
cuales no varían al cambiar su sistema de referencia “ortogonal” a otro semejante, es decir no
varía al realizar rotación y translaciones paralelas a los ejes de coordenadas.
En la curva: las expresiones invariantes son:
(
) (
).
a.- Traslación del origen al punto (h, k)
La traslación está dada por la relación
.
Sustituyendo en la curva tenemos:
. (2)
Donde S, A y M de esta ecuación (2) son las mismas que la ecuación inicial.
Observaciones:
Si , se obtiene:
i) El coeficiente en es,
.
189
ii) El coeficiente en es,
.
iii) El coeficiente término independiente es, .
iv) Por lo que puede escribirse como:
.
Para esta ecuación el determinante es:
(
).
(
)
.
Por tanto M es invariante ante la traslación.
b. Rotación de los ejes de coordenadas.
La matriz de cambio de base (
) la cual es ortogonal, y será la matriz de
rotación en .
La matriz asociada a la forma cuadrática (
)
Si ( ) (
) ( ).
entonces:
190
.
.
reemplazando en: , nos queda:
( )
. (3)
Pero sabemos que: , es decir:
(
)
(
) (4)
Reemplazando estos datos en la ecuación (3), tenemos:
.
donde:
1b .
2b .
Sea .
analicemos:
, según los valores de A.
a) .
191
Luego la ecuación sería:
(
)
(
)
, donde
Sea
correspondiente a la traslación del origen de coordenadas al punto
|
.
a.1. Si
- Si c y son de signo apuesto, C es una elipse
- Si , C se reduce a un punto
- Si c y son de signo igual, C es Vacío
a.2. si <
- Si C es una hipérbola
- Si C se reduce a dos rectas que se cortan
b) Sea y supóngase que , entonces la ecuación será:
Si (
)
(
) .
192
, se tiene
(Ecuación canónica de una parábola)
pero si , tenemos:
(
)
,
haciendo la traslación
, se tiene .
Si < es dos rectas paralelas
Si es una recta (dos rectas confundidas)
Si es el conjunto vacío.
De la ecuación (4) también podemos decir que para que a12 sea cero, debe cumplir que:
.
.
resultando que:
siempre que , donde es el ángulo de rotación.
En resumen se tiene el comportamiento de S, A y M, que determina el tipo de curva C.
193
A > 0
C curva de tipo elíptico
S. M < 0, C es una elipse
S.M > 0, C es el vacío
C es un punto, o el vacío
A < 0
C curva tipo hiperbólico
C es una hipérbola
C son dos rectas que se cortan
A = 0
C curva tipo parabólico
C es una parábola
C son dos rectas paralelas, una recta
o el vacío
Observaciones:
1) Para la traslación del origen de coordenadas, se debe resolver el sistema de ecuaciones:
Tomar en cuenta que si se realiza primero la traslación, los coeficientes de x´ y y´ deben
ser cero.
2) Al realizar la rotación de los ejes, se considera la matriz diagonal D de los valores propios
de la matriz A de la forma cuadrática, la matriz P formada por los vectores característicos
ortonormales de A, y se considera la transformación lineal .
3) Si primero se realiza la rotación, y luego la traslación, para encontrar el origen del nuevo
sistema se hará , y posteriormente encontrar x´, y´ por las traslación, pero
por último determinar x, y por la transformación
194
4) Las direcciones de los ejes del sistema de referencia, donde se tiene la ecuación canónica
de la cónica; son los vectores característicos de la matriz A asociada a la forma cuadrática.
5) Cuando la cónica es parabólica, es aconsejable primero realizar la rotación y luego la
traslación.
Ejemplo:
Dada la curva
Determinar:
a) Gráfico de la cónica determinada por .
b) El sistema de referencia, de la ecuación canónica de la cónica.
c) Las ecuaciones de los nuevos ejes.
a. Gráfico de la cónica
Realicemos primero la traslación, para ello encontraremos el origen , .h k
.
|
.
Y como , la ecuación original queda:
195
O lo que es lo mismo .
b. Realicemos la rotación, utilizando la transformación , cuyas nuevas variables
serán:
(
) ( ).
.
.
Cálculo de valores y vectores propios de la matriz (
).
un vector propio correspondiente es
√ (
)
un vector propio correspondiente es
√ ( )
Entonces:
Que es la ecuación canónica de la hipérbola sobre un sistema de referencia O´´ y ejes x´´ y
y´´.
196
El sistema de referencia será:
[ |( ) (
√
√
) (
√
√
)].
c. Las ecuaciones de las direcciones a los vectores propios y respectivamente.
La ecuación paramétrica de es
Y la ecuación general es:
La ecuación paramétrica de es
Y la ecuación general es:
y
Y´´
X´´
X
197
5.4.15. Ecuaciones reducidas de las cónicas
Consideremos la cónica en un sistema de referencia cartesiana rectangular, cuya matriz es M, y
, siendo A la submatriz de los términos cuadráticos y sean y los valores
característicos de A.
Entonces existe algún sistema de referencia cartesiana rectangular (coordenadas x, y) en la que la
ecuación de la cónica es de uno de los siguientes tipos (ecuaciones reducidas).
CASO ECUACIÓN REDUCIDA TIPO DE CÓNICA
Elipses o hipérbolas
(referidas a sus ejes) y
pares de rectas
concurrentes (referidas a
sus bisectrices)
con
√
Parábolas referidas a su eje
(eje x) y a su tangente en el
vértice (eje y)
Pares de rectas paralelas
198
Ejemplo.
Hallar la ecuación reducida de la cónica dada por:
.
Se tiene:
(
); (
), y .
La ecuación característica de la matriz A es de donde y , y la
ecuación reducida será:
√
√ .
√ La cónica es una parábola.
5.4.16. Clasificación general de las cónicas
Sea M la matriz de la cónica y A la submatriz de los términos cuadráticos, en un sistema de
referencia cartesiana rectangular cualquiera.
199
A M TIPO DE CÓNICAS
Elipse (real)
El vacío (elipse imaginaria)
Un punto (dos rectas
imaginarias que se cortan
en el punto)
<
Hipérbola
Dos rectas que se cortan
(rectas reales)
Parábola
Dos rectas paralelas
Para entender este cuadro es necesario conocer el significado de , lo cual se refiere a la
signatura.
Definición 51
Signatura:
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita y una forma cuadrática (real). Sus
números p y q de elementos positivos y negativos de cualquiera de las matrices asociadas a , en
las correspondientes bases, esto es, los mismos p y q sólo dependen de . Se llama signatura de
al par1
1 Algebra Lineal y Geometría Castesiana, Juan de Burgos pag., 244
200
Se llama signatura de una matriz real simétrica A de tamaño n x n a la signatura de la forma
cuadrática asociada a la matriz A en la base canónica. Se verifica que:
1) La signatura de una matriz es , donde p y q son los números de elementos
positivos y negativos respectivamente de cualquier matriz diagonal congruente con A.
2) La signatura de una matriz real y simétrica A es invariante por congruencia, es decir igual
al de cualquier matriz , donde P es regular y congruente con A.
Ejemplo: determinar la signatura de la siguiente matriz simétrica A:
(
) (
)
# de elementos positivos en D=1
# de elementos negativos en D=2
la signatura será
Ejemplo:
Clasificar la curva cónica, en función del valor que tome el parámetro
Se tiene:
(
) (
) |
|
Analizando valores de tenemos:
201
(1) Si < 0, < y hipérbola
(2) Si = 0, y rectas paralelas
(3) Si 0 < < 2, y elipse real
(4) Si = 2, y parábola
(5) Si > 2, < y hipérbola
Observación:
Las cónicas se pueden clasificar, en función de la signatura de la siguiente forma:
y Elipse imaginaria
y Elipse real
y Hipérbola
y Parábola
5.4.17. Superficies cuadráticas
Una ecuación de la forma:
(1)
donde no todos los coeficientes son cero, se denomina ecuación cuadrática en
La expresión:
202
se denomina forma cuadrática asociada.
La ecuación (1) matricialmente se puede escribir como:
(
) ( ) (
) .
o lo que es lo mismo:
donde:
( ) (
)
Ejemplo
La forma cuadrática asociada con la ecuación cuadrática
es: .
La gráfica de ecuaciones cuadráticas con variables x, y y z se denomina cuadráticas o superficies
cuadráticas, las ecuaciones más simples de estas superficies son cuando éstas se colocan en
posiciones normales con respecto a los ejes de coordenadas.
203
(1) El elipsoide:
.
(2) El hiperboloide de un manto:
.
204
(3) El hiperboloide de dos mantos:
.
(4) El paraboloide elíptico:
.
205
(5) El paraboloide hiperbólico:
(6) El cono cuádrico o elíptico:
206
5.4.17.1. Eliminación de los términos de producto cruzado.
El procedimiento es similar al de las cónicas, sea Q una superficie cuadrática cuya ecuación es:
Para girar en ejes de coordenadas a un nuevo sistema y no contenga términos de
producto cruzado y se puede proseguir como:
(1) Encontrar la matriz P que diagonalice ortogonalmente a .
(2) Si asegura que la transformación ortogonal de coordenadas
( ) (
)
(3) Al sustituir , resulta:
cuya ecuación cuadrática está en coordenadas x´y´z´.
Es decir la ecuación de una cuadrática Q:
207
y sea
la forma cuadrática asociada. Los ejes se pueden girar de modo que la ecuación de Q en el
sistema de coordenadas x´ y´ z´ sea de la forma:
donde son sus valores característicos de la matriz A. La notación puede
efectuarse por medio de la sustitución donde P diagonaliza ortogonalmente
.
Ejemplo:
Analizar la siguiente superficie cuadrática cuya ecuación es:
Su forma matricial será:
donde
(
)
Se tiene:
|
|
208
de donde los valores característicos son: con lo que se procede
a calcular sus respectivos vectores característicos:
1) El vector característico para ,
(
) (
)
(
) (
) (
) (
) (
)
de donde
(
) (
)
2) El vector característico para
(
) (
)
x2 = x3
2x1 = x2 + x3
2x1 = 2x2
X1 = x2
X1 = x2 = x3
209
(
) ( ) (
),
por lo que aplicando el proceso de Gram – Schmidt tenemos:
<
<
<
<
<
<
210
Por tanto (
) , forman una base ortogonal para ,
en tanto que:
(
√
√
√
√
√
√
√
√ )
Es una base ortonormal para .
La transformación ortogonal de coordenadas es una rotación, por lo que:
,
,
,
(
)
de modo que , se transforma en:
(
)(
)
que es la ecuación de un elipsoide.
211
6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
6.1. CONCLUSIONES
Se rompió paradigmas, al demostrar que con lenguaje apropiado y metodología adecuada
se puede impartir temas de mayor profundidad en la asignatura de Algebra Lineal, a
estudiantes que cursan el Bachillerato.
Al tratarse temas relacionados a espacios vectoriales, subespacios vectoriales, funciones,
transformaciones lineales, método de Newton para resolver matrices de 3x3, valores y
vectores característicos, formas cuadráticas, no hay duda que el nuevo bachiller se
encontrará en un nivel superior, para afrontar su carrera universitaria.
6.2. RECOMENDACIONES
Recomendar el presente trabajo para que la temática tratada se incorpore dentro de los
programas de estudio de Algebra Lineal en el Bachillerato que se lleva a cabo en el
Ecuador.
Que esta tesis sirva de texto de consulta y guía de docentes y estudiantes ya sea para el
bachillerato y para quienes inician sus estudios universitarios.
212
7. GLOSARIO DE TÉRMINOS
Aplicación: Una relación entre A y B de grafo G es una aplicación de A en B si para
cada x perteneciente a A sólo existe un elemento y perteneciente a B tal que el par (x,y)
pertenece a G.
Cónica: Curva que resulta al cortar un cono de revolución mediante un plano.
Corolario: Es un teorema cuya verdad se deduce de otra ya demostrada.
Demostración: Razonamiento mediante el cual se llega a establecer la verdad de una
proposición a partir de cierta hipótesis.
Definición: Proposición que expone con claridad y exactitud los aspectos
consustanciales y diferenciables de una cosa.
Deducción: Conclusión basada en un conjunto de proposiciones verdaderas.
Ecuación: Es toda igualdad válida sólo para algún (os) valor (es) de la (s) variable (s).
Hipótesis: Enunciado o proposición que se toma como base de un razonamiento
matemático.
Matriz: Conjunto de cantidades dispuestas en filas y columnas para formar un arreglo
rectangular.
Método: Procedimiento sistemático utilizado por las ciencias para conseguir datos de la
realidad y enseñarla.
Metodología: Análisis sistemático de los métodos o procedimientos.
Modelo: Modelo de una teoría es la estructura que realizan los axiomas de esa teoría.
Observación: es el valor observado de una variable o característica de un objeto.
213
Operación: Conjunto de reglas matemáticas que, partiendo de uno o varios datos,
permite obtener resultados.
Operador: Símbolo o signo sujeto a reglas o leyes que representan una determinada
operación matemática.
Plano: Intuitivamente se lo define como un conjunto de puntos.
Polinomio: Expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos.
Punto: Señal pequeña y circular, perceptible en una superficie.
Recta: Camino más corto entre dos puntos situados en el plano.
Rotación: Giro alrededor de un eje considerado fijo.
Simetría: Correspondencia de posición, forma o dimensiones de las partes de un cuerpo
o figura, o de un conjunto a uno y otro lado de un plano transversal.
Superficie: En geometría se considera la extensión en la que solo se consideran dos
dimensiones.
Teorema: Proposición que para ser evidente necesita demostración. Consta de dos
partes: hipótesis y tesis.
214
8. BIBLIOGRAFÍA.
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ingeniería”, 2da. Edición, Lima-Perú
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[12] HERNÁN BENALCÁZAR GÓMEZ (2013), “Fundamentos de Matemática”, Quito.
[13] HOWARD ANTON, (199 ), “Introducción al Álgebra lineal”, Segunda Edición,
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[15] JAMES STEWART (2002) “Cálculo trascendentes tempranas”, cuarta edición, Editorial
color SA, México.
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de Matemática Universidad Central del Ecuador.
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[19] JUAN DE BURGOS, (2000), “Algebra Lineal Y Geometría Cartesiana”, Segunda
edición, McGraw-Hill.
[20] LARA, J. y ARROBA. J. (2003), “Análisis Matemático”, Ecuador, Centro de
Matemática- Universidad Central, 6ta Ed.
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[22] MOISÉS LÁZARO C. (2005), “Algebra Lineal”, segunda edición, Editorial Moshera
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[24] ROJO. A, (1995) “Algebra II”, Argentina: El ateneo, 13ª. Ed.
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[27] RON LARSON, ROBERT P. HOSTETLER, BRUCE H. EDWARDS, (2006) “Cálculo
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México.
[30] V. V. VOEVODIN (19 6). “Algebra Lineal”, Editorial Mir. Moscú.
[31] WILLIAM L. PERRY, “Algebra Lineal con aplicaciones” McGrawHill
217
9. BIOGRAFIA DEL AUTOR
Héctor Oswaldo Salcedo López, nace en Loja el 15 de enero de 1960, hijo de Jaime
Arturo Salcedo Ortega y Rosa Elvira López Loaiza.
Los estudios primarios los realizó en la Escuela Fiscal “José Angel Palacio”.
Los estudios secundarios en el Colegio Experimental “Bernardo Valdivieso”,
obteniendo el Título de Bachiller en Físico Matemático.
Sus estudios universitarios los realizó en la Universidad de Cuenca obteniendo el Título
de Ingeniero Eléctrico. CONESUP 1007-07-758168.
En el 2008, cursa estudios de cuarto nivel en la Universidad Nacional de Loja,
obteniendo el Diplomado Superior en: “Técnologías de Diseño en Electromecánica”,
CONESUP 1008-09-688258.
En el 2006, cursa estudios de cuarto nivel en el Instituto de Investigación y Posgrado de
la Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Matemática de la Universidad Central del
Ecuador, en la Maestría en Docencia Matemática.
Docente en la Universidad Nacional de Loja, Área de Energía, la Industria y los
Recursos Naturales no Renovables, desde 1996 a 2011.
En la Empresa Eléctrica Regional del Sur, desde febrero de1988 a abril de 2014,
desempeñando las funciones de: Ingeniero 1, Superintendente de Redes y Líneas,
Gerente de Comercialización y finalmente Gerente de Operación y Mantenimiento.
