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i
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y POSGRADO (II P)
PROPUESTA METODOLÓGICA PARA MEJORAR EL NIVEL DE
CONOCIMIENTOS DE MATEMÁTICA EN LOS ESTUDIANTES QUE
INICIARÁN EL OCTAVO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA EN LOS
COLEGIOS DE LA CABECERA CANTONAL DE OÑA EN EL AÑO
LECTIVO 2015-2016, MEDIANTE UN TALLER DE NIVELACIÓN DE
CONOCIMIENTOS.
Sonia Edith Hurtado Armijos
Tutor: Dr. Jorge Daniel Ortiz Herrera. M Sc.
Trabajo presentado como requisito parcial para la obtención del grado de:
MAGISTER EN DOCENCIA MATEMÁTICA.
QUITO – ECUADOR
2015
ii
DEDICATORIA
El presente trabajo de investigación lo dedico en especial a Dios por
otorgarme la salud y vida, brindándome la fortaleza para continuar cuando
estaba cansada, la paciencia y el valor para culminar esta meta.
A mi familia que me brindo sus palabras de aliento y apoyo cuando lo
necesitaba, a mis padres por inculcarme valores que siempre estarán
presentes como el amor, la amistad, y la comprensión.
iii
AGRADECIMIENTO
Los resultados de esta tesis, están dedicados a todas aquellas personas
que, de alguna forma, son parte de su culminación. Mí sincero
agradecimientos están dirigidos a todos los docentes quien con su ayuda
desinteresada, me brindaron información relevante, próxima, pero muy
cercana a la realidad de nuestras necesidades. A los estudiantes de
séptimo año de básica, los cuáles plasmaron el resultado investigativo. A
mi familia por siempre brindarnos su apoyo, tanto sentimental, como
moral. Pero, especialmente mis más sinceros agradecimientos están
dirigidos a mi tutor Dr. Jorge Ortiz Herrera, quien fue el pilar fundamental
para el desarrollo del presente trabajo, brindándome sus sabios
conocimientos y dirigiendo la presente tesis para una exitosa culminación.
iv
AUTORIZACIÓN DE LA AUTORÍA INTELECTUAL
Yo, Sonia Edith Hurtado Armijos, en calidad de autora del trabajo de
investigación realizada sobre “PROPUESTA METODOLÓGICA PARA
MEJORAR EL NIVEL DE CONOCIMIENTOS DE MATEMÁTICA EN LOS
ESTUDIANTES QUE INICIARÁN EL OCTAVO AÑO DE EDUCACIÓN
BÁSICA EN LOS COLEGIOS DE LA CABECERA CANTONAL DE OÑA
EN EL AÑO LECTIVO 2015-2016, MEDIANTE UN TALLER DE
NIVELACIÓN DE CONOCIMIENTOS”, por la presente autorizo a la
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR, hacer uso de todos los
contenidos que me pertenecen o de parte de los que contienen esta obra,
con fines estrictamente académicos o de investigación.
Los derechos que como autora me corresponden, con excepción de la
presente autorización, seguirán vigentes a mi favor, de conformidad con lo
establecido en los artículos 5, 6, 8; 19 y demás pertinentes de la Ley de
Propiedad Intelectual y su Reglamento.
Quito, 15 de Diciembre del 2015
Lic. Sonia Edith Hurtado Armijos
C.C. 1102660832
v
CERTIFICACIÓN DEL TUTOR
En mi calidad de Tutor del Trabajo de Grado, presentado por la
Licenciada Sonia Edith Hurtado Armijos, para optar el Título Académico
de Magister en Docencia Matemática, cuyo tema es: “PROPUESTA
METODOLÓGICA PARA MEJORAR EL NIVEL DE CONOCIMIENTOS
DE MATEMÁTICA EN LOS ESTUDIANTES QUE INICIARÁN EL
OCTAVO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA EN LOS COLEGIOS DE LA
CABECERA CANTONAL DE OÑA EN EL AÑO LECTIVO 2015-2016,
MEDIANTE UN TALLER DE NIVELACIÓN DE CONOCIMIENTOS”.
Considero que dicho trabajo reúne los requisitos y méritos suficientes para
ser sometido a la presentación pública y evaluación por parte del jurado
examinador que se designe.
El tutor certifica que el presente trabajo fue revisado en el programa anti
plagió URKUND
En la ciudad de Quito, a los 15 días del mes de Diciembre del 2015.
Dr. Jorge Daniel Ortiz Herrera
TUTOR
vi
CONTENIDO
AGRADECIMIENTO _____________________________________________ iii
AUTORIZACIÓN DE LA AUTORÍA INTELECTUAL ___________________ iv
CERTIFICACIÓN DEL TUTOR ________________________________ v
CONTENIDO ______________________________________________ vi
LISTA DE GRÁFICOS _______________________________________ x
ABSTRACT _______________________________________________ xii
CAPÍTULO I _______________________________________________ 1
1.1. PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA _____________________ 1
1.1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA __________________ 1
1.1.2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA ____________________ 2
1.1.3. DELIMITACIÓN DEL PROBLEMA _____________________ 2
1.2. JUSTIFICACIÓN ____________________________________ 2
1.3. FACTIBILIDAD DEL TRABAJO. ________________________ 4
1.4. OBJETIVOS _______________________________________ 4
1.4.1. OBJETIVO GENERAL ______________________________ 4
1.4.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS _________________________ 5
1.5. METODOLOGÍA ____________________________________ 5
CAPITULO II ______________________________________________ 7
2. MARCO TEÓRICO ______________________________________ 7
2.1. TEORÍAS DEL APRENDIZAJE Y MODELOS PEDAGÓGICOS 7
2.1.1. El conductismo y el modelo pedagógico tradicional bajo un
análisis crítico. _________________________________________ 7
2.1.1.1. El conductismo ________________________________ 7
2.1.1.2. El modelo pedagógico tradicional _________________ 10
2.1.1.3. Realidad actual de la problemática en la enseñanza de la
matemática en la educación básica. ______________________ 12
2.1.1.4. Crítica al conductismo y a la escuela tradicional. _____ 14
2.1.2. El constructivismo. ________________________________ 17
2.2. EL COGNOSCITIVISMO Y EL MODELO PEDAGÓGICO
CONCEPTUAL __________________________________________ 22
vii
2.2.1. El cognoscitivismo ________________________________ 22
2.2.2. El modelo pedagógico conceptual ____________________ 23
2.2.3. Crítica a la concepción cognoscitiva y al modelo pedagógico
conceptual ___________________________________________ 23
2.3. ENFOQUE HISTÓRICO CULTURAL Y EL MODELO
PEDAGÓGICO MARXISTA ________________________________ 24
2.3.1. El enfoque histórico cultural del aprendizaje ____________ 24
2.3.2. El modelo pedagógico Marxista ______________________ 25
2.4. ESTRATEGIAS EDUCATIVAS PARA EL APRENDIZAJE
ACTIVO. _______________________________________________ 26
2.4.1. El aprendizaje visual ______________________________ 26
2.4.2. El aprendizaje colaborativo. _________________________ 26
2.4.3. Organizadores gráficos. ____________________________ 27
2.4.4. Base conceptual de los organizadores gráficos __________ 28
2.4.5. Elementos técnicos. _______________________________ 28
2.6. METODOLOGÍA PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
________________________________________________ 28
2.6.1. Variables facilitadoras del aprendizaje _________________ 28
2.6.2. Ideas sobre metodología didáctica en la enseñanza de la
matemática ___________________________________________ 29
2.6.3. Aspectos importantes en el aprendizaje de la matemática _ 30
2.6.4. La programación. _________________________________ 32
2.7. IMPLEMENTACIÓN DE HERRAMIENTAS DIDÁCTICAS
INTERACTIVAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA. ___ 34
2.7.1. Las nuevas tecnologías informáticas en la enseñanza. ____ 34
CAPITULO III _____________________________________________ 36
3. TALLER PEDAGÓGICO DE NIVELACIÓN DE CONOCIMIENTOS. 36
3.1. EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA ________________________ 36
3.2. LOS NÚMEROS NATURALES ________________________ 40
3.2.1. ACTIVIDAD Nº 1. ______________________________ 40
3.2.1.1. Adición de números naturales. ___________________ 40
3.2.1.2. Propiedades. _________________________________ 41
3.2.1.3. Taller de clase. _______________________________ 42
viii
3.2.1.4. Trabajo extra clase. ___________________________ 44
3.2.2. ACTIVIDAD Nº 2 _______________________________ 45
3.2.2.1. Sustracción de números naturales ________________ 45
3.2.2.2. Taller de clase. _______________________________ 46
3.2.3. ACTIVIDAD Nº 3 _______________________________ 47
3.2.3.1. Polinomio aritmético ___________________________ 47
3.2.3.2. Taller de clase ________________________________ 47
3.2.4. ACTIVIDAD Nº 4 _______________________________ 48
3.2.5. ACTIVIDAD Nº 5 _______________________________ 48
3.2.5.1. Multiplicación de números naturales. ______________ 48
3.2.5.2. Actividad individual en clase _____________________ 49
3.2.5.3. Trabajo académico individual nº5 _________________ 50
3.2.6. ACTIVIDAD Nº 6 _______________________________ 52
3.2.6.1. Propiedades de la multiplicación __________________ 52
3.2.6.2. Actividad Individual de clase. ____________________ 54
3.2.8.1. Operaciones combinadas _______________________ 58
3.2.7.1. Actividad individual de clase _____________________ 58
3.2.7.2. Actividad de refuerzo __________________________ 59
3.3. SUBCONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES
POSITIVOS ____________________________________________ 60
3.3.1. Definición.-
3.3.2. Interpretación de las fracciones. _____________________ 60
3.3.3. Interpretación gráfica ______________________________ 60
3.3.4. Fracción Impropia. ________________________________ 61
3.3.5. ACTIVIDAD Nº 9 _________________________________ 61
3.3.6. ACTIVIDAD DE REFUERZO ______________________ 63
3.3.7. Principio fundamental de las fracciones ______________ 64
3.3.7.1. Fracciones equivalentes. _______________________ 64
3.3.8. Amplificación de fracciones _________________________ 65
3.3.9. Simplificación de fracciones _________________________ 65
3.3.10. Fracción irreducible. _____________________________ 66
3.3.11. TALLER DE CLASE Nº 10 ________________________ 66
3.3.12. ACTIVIDAD DE REFUERZO Nº 11 _________________ 67
ix
3.4. GEOMETRÍA Y MEDIDA _____________________________ 68
3.4.1. Historia de la geometría. ___________________________ 68
3.4.2. Definición _______________________________________ 68
3.4.3. Expresiones _____________________________________ 68
3.4.4. Clasificación de los ángulos _________________________ 69
3.4.5. TALLER DE CLASE N°12 __________________________ 73
3.4.6. ACTIVIDAD DE REFUERZO N°13 ___________________ 73
3.4.7. Polígonos _______________________________________ 73
3.4.7.1. Elementos de un polígono.- sus elementos básicos son los
siguientes __________________________________________ 73
3.4.8. Triángulo _______________________________________ 74
3.4.8.1. Teorema importante ___________________________ 74
3.3.8.2. Clasificación de los triángulos ____________________ 74
3.4.9. ACTIVIDAD DE CLASE.N°14 _______________________ 75
3.4.10. ACTIVIDAD DE REFUERZO. ______________________ 75
3.4.11. Congruencias de triángulos. _______________________ 75
3.5. ESTADÍSTICA _____________________________________ 76
3.5.1. ACTIVIDAD DE CLASE.N°15 ______________________ 76
3.5.2. Población y muestra estadística. _____________________ 76
3.5.2.1. Población ___________________________________ 76
3.5.2.2. Muestra _____________________________________ 77
3.5.3. ACTIVIDAD DE CLASE N°16 _______________________ 77
3.5.4. Frecuencias absoluta y relativa ______________________ 77
3.5.5. Organización de datos _____________________________ 78
3.5.6. Gráfico de barras _________________________________ 78
3.5.7. Histogramas _____________________________________ 78
3.5.7.1. Grafico poligonal ______________________________ 79
3.5.8. ACTIVIDAD DE REFUERZO ________________________ 81
3.6. EVALUACIÓN DEL TALLER DE NIVELACIÓN ___________ 83
CAPÍTULO IV _____________________________________________ 85
4. RESULTADOS ________________________________________ 85
4.1. ANÁLISIS DE LA REFORMA CURRICULAR _____________ 85
4.1.1. Bloque Curricular _________________________________ 86
x
4.1.2.1. Destrezas ___________________________________ 86
4.1.2.2. Contenidos __________________________________ 86
4.1.2.3. Estrategias metodológicas ______________________ 87
4.1.2.4. Material didáctico _____________________________ 87
4.1.2.5. Evaluación __________________________________ 87
4.2. RESULTADOS DE LAS ENCUESTAS __________________ 88
4.2.1. Resultados de las encuestas realizadas a docentes.______ 88
4.2.2. Resultados de las encuestas realizadas a estudiantes ____ 94
6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ________________ 104
6.1. Conclusiones _____________________________________ 104
6.2. Recomendaciones _________________________________ 104
7. BIBLIOGRAFÍA _______________________________________ 106
8. ANEXOS ____________________________________________ 107
8.1. CUESTIONARIO A DOCENTES ______________________ 107
8.2. CUESTIONARIO PARA ALUMNOS ___________________ 109
8.3. ANEXOS AMIE ___________________________________ 113
8.3.1. ARCHIVO MAESTRO AMIE – ESCUELA FISCAL JOSÉ
SERRANO __________________________________________ 113
8.3.2. ARCHIVO MAESTRO AMIE –ESCUELA BÁSICA EMILIO
ARÉVALO ___________________________________________ 118
8.3.3. ARCHIVO MAESTRO AMIE –ESCUELA ESTHER ULLAURI _
______________________________________________ 123
8.3.4. ARCHIVO MAESTRO AMIE –UNIDAD EDUCATIVA OÑA 128
LISTA DE GRÁFICOS
GRÁFICO 1 DIAGRAMA DE DESARROLLO 18
GRÁFICO 2 CONJUNTO 40
xi
RESUMEN
PROPUESTA METODOLÓGICA PARA MEJORAR EL NIVEL DE
CONOCIMIENTOS DE MATEMÁTICA EN LOS ESTUDIANTES QUE
INICIARÁN EL OCTAVO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA EN LOS
COLEGIOS DE LA CABECERA CANTONAL DE OÑA EN EL AÑO
LECTIVO 2015-2016, MEDIANTE UN TALLER DE NIVELACIÓN DE
CONOCIMIENTOS
La propuesta referente a proponer metodologías que sirvan para mejorar
el nivel de conocimientos en los estudiantes que iniciarán el octavo año
de educación básica, tiene por finalidad dotar al docente de herramientas,
que permitan que sus estudiantes que iniciarán el 8° año de Educación
General Básica (EGB) el conseguir el aprendizaje de matemática que
homogenice los requerimientos mínimos y garantice el éxito educativo y
que sirvan de manera significativa en su vida.
Por esta razón el trabajo docente está pensado y desarrollado desde la
aspiración de que los estudiantes adquieran conocimientos significativos
de matemática, para un mejor desenvolvimiento académico en el que
hacer educativo en esta disciplina, contribuyendo de esta manera al buen
desempeño académico en el proceso enseñanza aprendizaje. Así
también se debe tener la certeza de análisis de conceptos, comprensión,
y resolución de problemas por parte del estudiante, lo cual ayudará a un
desenvolvimiento adecuado a su entorno educativo y social.
DESCRIPTORES
DOCENCIA MATEMÁTICA/ PROPUESTA METODOLÓGICA/
NIVELACIÓN DE CONOCIMIENTOS/ ESTUDIANTES QUE INICIARÁN
EL OCTAVO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA/ MEJORAR EL
RENDIMIENTO ACADÉMICO/ SER PARTE DEL CAMBIO/.
xii
ABSTRACT
PROPOSED METHODOLOGY FOR IMPROVING THE KNOWLEDGE
OF MATHEMATICS IN LEVEL STUDENTS TO BEGIN THE EIGHTH
YEAR OF BASIC EDUCATION IN SCHOOLS OF CANTONAL HEAD
ONA IN THE SCHOOL YEAR 2015-2016, WORKSHOP BY LEVEL OF
KNOWLEDGE
The proposal conceming methodologies to improve the level of knowledge
of student entering the eighty year of basic education, aims to provide the
teaching tools that allow students entering the 8th year of General Basic
Education (E.G.B) acquiring mathematical knowledge homogenize the
minimum requirements and ensure educational success.
For this reason the teacher is working as designed and developed from
the desire in students to gain significant knowledge of mathematics, for
better academic performance in the school to do this field, thus
contributing to good academic performance in the process teaching and
learning. This also must be certain adaptation UNDERSTANDING
concepts and problem solving by students, which will help a development
suited to their educational and social environment.
WORDS
MATHEMATICS TEACHING/ METHODOLOGICAL PROPOSAL
KNOWLEDGE LEVELING/ STUDENTS BEGIN THE EIGHTH YEAR OF
BASIC EDUCATION/ IMPROVE STUDENT ACHIEVEMENT/ BE PART
OF CHANGE.
1
CAPÍTULO I
1.1. PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA
1.1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
La actividad educativa se desarrolla atendiendo a principios generales,
que son fundamentos Filosóficos, conceptuales y constitucionales; que
sustentan, definen y rigen las decisiones y actividades en el ámbito
educativo, garantiza el derecho de las personas a una educación de
calidad y calidez, pertinente, adecuada, contextualizada y articulada en
todo el proceso educativo, en sus sistemas, niveles, subniveles o
modalidades; y que incluyan evaluaciones permanentes. Así mismo
garantiza la concepción del educando como el centro del proceso
educativo, con una flexibilidad y propiedad de contenidos, procesos y
metodologías que se adapte a las necesidades y realidades
fundamentales. Promueve condiciones adecuadas de respeto, tolerancia
y afecto, que generan un clima escolar propicio en el proceso de
aprendizajes y el buen vivir en la sociedad en que nos desenvolvemos.
Así en el Ecuador a partir del año 1996 se implementó las pruebas
APRENDO, cuya finalidad es medir destrezas tanto en “Lenguaje y
Comunicación”, como en “Matemática”, lo que permite conocer el estado
de desarrollo de las habilidades y conocimientos de los estudiantes en
tercero, séptimo y décimo Años de Educación General Básica EGB.
Del análisis de los resultados de las pruebas APRENDO a nivel nacional
se determina que los aprendizajes en matemática son muy bajos, con el
promedio de 5,9 puntos sobre veinte para el Séptimo Año de Básica en el
año 2007. (Educación, 2007)
Con la finalidad de mejorar la situación académica de los estudiantes, el
gobierno ha entregado textos escolares para la EGB desde el año 2008 y
así suplir ausencia de material mínimo que garantice un nivel de base, a
dicho material hay que darle, por parte del docente, un uso adecuado
para mejorar los niveles de aprendizaje.
Las labores que desempeñan los docentes en las Instituciones educativas
del cantón Oña de la provincia del Azuay, permite al presente trabajo
2
conocer el nivel de aprendizaje que tienen los estudiantes que ingresan al
octavo año y con ello hacer una propuesta de un taller que permita la
nivelación de conocimientos para mejorar el desempeño académico en los
procesos de aprendizajes.
Con los resultados obtenidos, de una muestra a jóvenes de séptimo y
octavo año de educación básica, de las escuelas Esther Ullauri de Malo,
José Serrano, Emilio Arévalo de la comunidad de Morasloma, Unidad
Educativa Oña, instituciones educativas que pertenecen a la Provincia del
Azuay del Cantón Oña, se realizó una encuesta a mediados del mes de
noviembre del año 2014, con fines investigativos para la culminación de la
presente tesis y tabulando los datos, se interpreta que hay una
inclinación de un 72% por el gusto de la disciplina de matemática, seguido
de un 16% de la asignatura de lengua y literatura, seguido de un 6% de
ciencias naturales y Estudios Sociales.6%.
1.1.2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
El afán de mejorar la enseñanza de la matemática, se propone la
elaboración de un taller de nivelación de conocimientos para los alumnos
que iniciarán el octavo año de Educación General Básica, para contribuir
al mejoramiento del proceso de aprendizaje de las destrezas de esta
área, para los estudiantes del Cantón Oña de la Provincia del Azuay.
1.1.3. DELIMITACIÓN DEL PROBLEMA
Campo: Educación Regular
Nivel: Séptimos y Octavos años de Educación General Básica (EGB)
Aspecto: Nivelación de aprendizaje en la asignatura de matemática para
los estudiantes que iniciarán el octavo año de EGB, con la finalidad de
mejorar sus resultados en el estudio.
1.2. JUSTIFICACIÓN
A mediados de la última década del siglo pasado se estableció en el
Ecuador la Reforma Curricular para la Educación Básica, determinando
de esta manera los diez años de educación que se extienden desde el
antiguo Jardín de Infantes hasta su culminación en lo que se conocía
como Ciclo Básico.
3
A excepción de las Unidades Educativas que permiten la promoción de
los estudiantes del 7mo al 8vo año de Educación General Básica dentro del
mismo establecimiento, la mayoría de planteles de Nivel Medio reciben a
sus estudiantes para el 8vo año de las diferentes escuelas, los estudiantes
no son solo de la localidad sino de diferentes lugares del país, esta
realidad conlleva a diversos problemas al momento de desarrollar la
actividades de aprendizaje; el problema se encuentra en el nivel
heterogéneo de conocimientos de matemática con lo que los estudiantes,
culminan el último año de mano del docente generalista y al llegar a
octavo año se les dificulta el trabajo con un docente especialista en la
asignatura.
Por esta razón se hace necesario que los maestros tomen partido en la
solución de esta problemática y de forma particular los maestros que
trabajan en la asignatura de matemática en octavo año en la Unidad
Educativa Oña.
El presente trabajo de investigación se justifica porque se refiere a
proponer una solución a un problema local con alcance nacional, por tanto
la propuesta se puede extender a otros Planteles con la consideración de
sus particularidades.
El cambio de un docente generalista, a un docente especialista, en octavo
año, tiene diferentes implicaciones, evidenciándose de forma más
marcada las deficiencias de los contenidos en matemática abordados en
años anteriores, lo que se pretende reducir la reprobación del año escolar,
la deserción en octavo año de básica, según los datos obtenidos de los
archivos maestros de las instituciones encuestadas en el cantón Oña, de
los cinco años lectivos anteriores a la investigación, que se promedian a
un 9,09%, los archivos maestros de las Instituciones Educativas, son
documentos que registran información de la población estudiantil al
finalizar el año lectivo, en la que consta la ubicación e identificación de la
institución, número y formación del personal docente y descripción de los
grados, alumnos nuevos, desertores y repetidores como los totales de los
estudiantes de cada año lectivo, estos documentos son abalizados por el
distrito, en este caso el Distrito Nabón Oña 01D05 (ver anexos AMIE)
4
Frente a esta problemática surge la necesidad de estructurar un taller de
nivelación de conocimientos de matemática con la finalidad de mejorar y
homogenizar el nivel de conocimientos en los estudiantes que ingresen al
octavo año con las destrezas básicas necesarias en la matemática y
garantizar así un aprendizaje esperado.
1.3. FACTIBILIDAD DEL TRABAJO.
El trabajo a desarrollarse es factible en vista de que el recurso humano de
la institución que pertenecen a el área, están interesados y dispuestos en
aportar a la solución del problema. Están definidas las destrezas y Macro
destrezas para séptimo año de Educación General Básica, la cual permite
recopilar la información a corto plazo, puesto que los currículos emitidos
por el Ministerio de Educación son la base de lo requerido por los
estudiantes previo a su ingreso a octavo año de EGB.
El financiamiento está al alcance, garantizado por la investigadora.
1.3.1. HIPÓTESIS INVESTIGATIVA
Se ha planteado la siguiente hipótesis en el presente trabajo,
fundamentándose en el desarrollo de las actividades a realizarse y de
acuerdo a los resultados obtenidos de las encuestas realizadas.
“EL NIVEL DE CONOCIMIENTOS DE MATEMÁTICA DE LOS
ESTUDIANTES QUE INICIARÁN EL OCTAVO AÑO DE EDUCACIÓN
BÁSICA MEJORARÍA MEDIANTE UN TALLER DE NIVELACIÓN DE
CONOCIMIENTOS CUYA PROPUESTA METODOLÓGICA ESTÁ
LISTA”.
1.4. OBJETIVOS
1.4.1. OBJETIVO GENERAL
Elaborar e implementar una propuesta de “Taller de nivelación de
conocimientos, para contribuir al desarrollo del proceso de enseñanza
aprendizaje de la matemática, en los colegios de la cabecera cantonal
Oña, dirigida a los estudiantes que iniciarán el octavo año de Educación
General Básica”
5
1.4.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Homogenizar los conocimientos de los estudiantes de la Unidad
Educativa Oña, que ingresen a octavo año de EGB.
Mejorar el rendimiento de matemática de los estudiantes del octavo
Año de EGB de la Unidad Educativa del Cantón Oña de la
Provincia del Azuay.
Reconocer la importancia de los elementos del Actualización y
Fortalecimiento Curricular de EGB como herramienta para la
planificación del proceso enseñanza aprendizaje de los números
enteros.
Desarrollar en los estudiantes las destrezas con criterios de
desempeño relativas al conocimiento de conceptos, aplicación de
procesos y resolución de problemas relacionados con la vida
cotidiana previo al octavo año de Educación General Básica.
1.5. METODOLOGÍA
Dada la naturaleza de la investigación en la que es fundamental recoger
información:
1. Se realizará un enfoque sobre las teorías del aprendizaje,
dificultades en el aprendizaje de la matemática, metodologías de
enseñanza, herramientas didácticas interactivas.
2. Se realizará un análisis referido al bloque curricular de la
A.F.C.E.G.B. Propuesta por el Ministerio de Educación.
3. Se construirán los instrumentos que permitan realizar un
diagnóstico de la realidad situacional. Este diagnóstico estará
orientado a determinar el nivel de conocimientos en matemática
que tienen los estudiantes que ingresan a octavo año de educación
básica.
6
4. Con la información se procederá a su organización y análisis, lo
que permitirá estructurar los contenidos de la propuesta a ser
aplicada.
5. Con el fin de aportar en el desarrollo del proceso enseñanza se
elaborará la propuesta del taller de nivelación de conocimientos de
matemática para los estudiantes que iniciarán el octavo año de
Educación Básica, en el mismo se desarrollara los diferentes
momentos que estructuran el ciclo de aprendizaje, además de los
refuerzos correspondientes mediante las tareas extra clase.
7
CAPITULO II
2. MARCO TEÓRICO
2.1. TEORÍAS DEL APRENDIZAJE Y MODELOS PEDAGÓGICOS
2.1.1. El conductismo y el modelo pedagógico tradicional bajo un
análisis crítico.
2.1.1.1. El conductismo
Esta teoría manifiesta que las constantes prácticas experimentales
permitieron desarrollar en un organismo cambios en el aprendizaje de un
individuo.
Por consiguiente, esta teoría señala que lo primordial en el ser humano es
“saber hacer, sin pensar como lo hace, argumentando la observación,
reacción externa ante la influencia de estímulos en los procesos de
aprendizaje para su adaptación al medio.
En la doctrina conductista representada por Watson y Skinner, quienes
realizaron experimentos de laboratorio con animales para comprobar la
conducta que genera los individuos frente a los estímulos, físicos,
químicos, ambientales sobre organismos cuando estos emiten reacciones
para explicar y transferir la conducta humana.
En base a los experimentos realizados por sus creadores, como Watson
y Skinner apoyan a esta teoría los investigadores Thorndike, Bandura, a
través de la relación Estímulo- Respuesta. (E-R), procuran entender la
conducta del individuo.
Watson (1878-1958) Autor principal del conductismo en 1913, da a
conocer un ensayo teórico, en la que define a la psicología como “Ciencia
que estudia la conducta” en la que sostiene que los fenómenos psíquicos
no pueden ser estudiados científicamente por lo que no pueden ser
comprobados y ni demostrados.
Argumentando que en experimentos realizados con animales en las que
observaba sus reacciones externas llega a concluir que lo fundamental
en materia psicológica consiste en predecir y controlar la conducta del
animal.
8
Además indica que las conexiones entre E-R pueden mantenerse y
fortalecerse, cuando más frecuentes y recientes se establece tal relación.
En múltiples experimentos con niños a quienes les planteaba un
problema, Watson observaba que realizaban numerosas pruebas con
resultados negativos antes de llegar a una solución correcta.
De los muchos intentos fallidos los niños no repetían los procesos
incorrectos, y buscaban otras alternativas satisfactorias frente al mismo
problema u otro similar.
Frente a los resultados de las observaciones realizadas, el conductismo
estructura otro principio sobre el aprendizaje humano, llamándolo
“Aprendizaje por tanteo, ensayo y error” en la que el aprendiz emite una
serie de respuestas exploratorias con el fin de alcanzar el objetivo
propuesto.
En este proceso de ensayo y error el aprendiz, se adueña de los
aprendizajes satisfactorios, que le permitieron desarrollar la conducta
adecuada para que el resultado del aprendizaje sea positivo, descartando
las conductas inadecuadas que no le dejan alcanzar el objetivo.
Skinner (1904-1990) Aporta a la teoría conductista manifestando que los
comportamientos voluntarios, casuales que manifiestan los individuos y
que son influenciables una vez que han sido ejecutados, a esto le llama
teoría sobre la Conducta Operante.
Propuesta esta conducta y ante la conexión E- R, se encuentra con
estímulos o reforzadores positivos o negativos que ayudan a aumentar o
disminuir la conducta deseada.
Estímulos reforzadores positivos son aquellos que generan respuestas
satisfactorias, a conductas deseadas mediante estímulos positivos, por
ejemplo buen rendimiento laboral aumento de salario, dedicación al
estudio buenas calificaciones.
Estímulos o Reforzadores Negativos consiste en reducir efectos
desagradables frente a situaciones adversas que se presentan en el
proceso de aprendizaje por ejemplo cuando un estudiante no cumple a
cabalidad con sus tareas en cierta asignatura, el recurrirá a justificaciones
9
sin fundamento, o a escaparse de la hora de clase, para evitar las
sanciones correspondientes.
Según el autor lo clasifica al condicionamiento, bajo la conceptualización
del reforzador negativo y estos son el condicionamiento de escape y el de
evitación.
Condicionamiento de escape.- el sujeto para evitar una situación
desagradable y que no le afecte o repercuta una llamada de atención u
observación, escapara al problema y no lo enfrentará.
Condicionamiento de evitación.- la persona ante situaciones adversos
en su conducta aprenderá evitar y corregir errores en el transcurso de su
trabajo o aprendizaje, así por ejemplo para evitar que le llamen la
atención en su trabajo por impuntualidad, llegara más temprano de lo
acostumbrado.
E. Thorndike (1874-1949). Utilizando animales domésticos, realizo
experimentos, y comprobó que un animal al ser encerrado en una
pequeña jaula, éste buscaba la forma para escapar y poder llegar al
alimento, en el proceso de su cometido realizaba varios intentos hasta
que uno de ellos le daba resultado.
Al volver realizar el anterior experimento con los animales que tuvieron
éxito en su objetivo de llegar al alimento, el Autor se dio cuenta que éstos
se demoraban menos tiempo en alcanzar su objetivo eliminando intentos
inútiles.
De esta manera el autor contribuye a la psicología humana, estructurando
ciertas leyes de aprendizaje.
a) Ley del efecto.- el proceso de la relación E- R, si esta es
agradable tendrá una reacción satisfactoria y a su vez si es
desagradable la respuesta generada ante el estímulo será
insatisfactoria.
b) Ley del ejercicio.- La relación será más consistente si, el estímulo
es muy frecuente
c) Ley de la disposición.- El estado anímico del individuo es
primordial para que la relación E-R tenga mejores resultados.
10
Bandura (1925) No supera el paradigma E-R para la aplicación del
aprendizaje del ser humano.
El autor sostiene que la adquisición de conductas sociales, se adquieren
por observación e imitación de modelos que pueden ser agresivos que
comúnmente pueden ser aprendidos por adolescentes, para reproducirlas
con sus amigos; y la conducta por imitación consiste en copiar y hacer
ajustes a las ya aprendidas con el fin de activarlas, fortalecerlas e
inhibirlas, según si las conductas copiadas son recompensadas o
castigadas, esto es a lo que se refiere dentro de una sociedad.
Para el aprendizaje el autor lo explica mediante el condicionamiento
vicario, que consiste en la observación de conductas de otros individuos y
si estas son recompensadas o castigadas el sujeto tiende a modificarlas
de acuerdo a las conveniencias o necesidades que se presente en cada
situación.
Los elementos que el autor considera necesarios para aprender por
observación e imitación son los siguientes.
1. Atención.- el modelo a imitar la conducta debe ser de un
personaje que produzca admiración, importancia, atractivo, para
que el sujeto logre parecerse al modelo escogido, que pueden ser
sus padres, profesores, artistas famosos, personajes de la
televisión etc.
2. Retención.- Es fundamental las representaciones mentales de las
conductas que realiza el modelo para imitarlo.
3. Producción.- La constante practica en reproducir la conducta del
modelo elegido las diferentes acciones en forma precisa y
detallada.
4. Motivación.- El incentivo es fundamental para que una conducta
sea aprendida y ejecutada sin ningún inconveniente.
2.1.1.2. El modelo pedagógico tradicional
Este modelo consiste en las amenazas que los estudiantes recibían
en sus bajas calificaciones para que cumplan sus tareas académicas y
11
así controlar la disciplina mediante bajas notas y sanciones así como
repetir varias veces los ejercicios matemáticos y conceptos hasta que
el estudiante lo memorice o aprenda bien.
En algunos casos estas concepciones tradicionalistas son utilizadas a
pesar que en la mayoría de los casos no se expliquen su fundamento
científico.
Principios educativos entre el conductismo y la escuela
tradicional.
a) El fin de la escuela es la de formar hombres que acepten los
saberes específicos y la valoraciones socialmente aceptadas.
La enseñanza de la educación tradicional lo primordial era la formación
de la personalidad, que se estructura en función de los intereses
creados y el maestro para lograrlo debía ser autoritario y vertical, para
conseguir obediencia y fidelidad de sus estudiantes.
Para el conductismo el ser humano es considerado como un objeto de
influencia en su conducta, por medio de aplicación de estímulos
mediante sus respuestas y así moldearlo de acuerdo a las
circunstancias y al entorno en que se desarrolla, obteniendo como
resultado conductas aceptables por la sociedad.
b) Los contenidos curriculares contemplan las normas y las
informaciones socialmente aceptadas.
La obligación del docente es cumplir con los contenidos curriculares, y
lograr que el estudiante acate y memorice mecánicamente, para
conseguir el objetivo deseado, y si no lo conseguía, utilizaba estrategias
de refuerzo y repetición para que las conductas no se pierdan.
c) La metodología tradicional se fundamenta en el verbalismo, la
repetición y la severidad.
Bajo esta perspectiva, aprender se resumía en oír, ver, memorizar y
repetir. No podían preguntar, dudar, peor aún refutar al profesor.
Y sí cometían cualquier acto de indisciplina o baja de rendimiento
escolar se acudía al insulto, a los improperios, al azote con la finalidad de
12
generar sentimientos de culpa sobre los estudiantes. Bajo el siguiente
proverbio “La letra con sangre entra y ayuda a respetar a los
mayores”
La teoría del conductismo, justificaba las formas más punitivas hasta las
formas más refinadas, para lograr modificar la conducta indeseada por el
sujeto y empleaba castigos tales como:
El castigo positivo: llamado así por aplicar un estímulo desagradable con
la finalidad de cambiar una determinada conducta y no vuelva a ocurrir.
El castigo negativo.- se aplica estímulos adversos, para que la conducta
desagradable tienda a desaparecer.
d) Los recursos didácticos son ayudas educativas para facilitar su
percepción de manera que su presentación reiterada facilita el
aprendizaje.
El material didáctico en el quehacer educativo lo utilizaban a sus intereses
con la finalidad de facilitar la retención y evitar el olvido, es necesario que
copie lo que indica, escriba en sus cuadernos lo que dicta el maestro, o a
su vez repase una y otra y lo repita con punto y coma lo enseñado.
e) La evaluación consiste en determinar cuánto de la información
transmitida ha retenido el alumno.
Las pruebas y exámenes consistía en reproducir satisfactoriamente lo
asimilado para constatar si los alumnos han asimilado, el contenido y
considerarlos como buenos estudiantes y fieles seguidores de las
instrucciones del profesor, se valoraba el aprendizaje como exitoso
mediante la calificación respectiva, y si no se conseguía esta conducta,
los alumnos, reprobaban, obtenían una sanción y pocas veces tenían
nuevas oportunidades y sistemas de trabajo.
2.1.1.3. Realidad actual de la problemática en la enseñanza de la
matemática en la educación básica.
La enseñanza de la matemática hace varios años se ha detectado
debilidades en el proceso de enseñanza aprendizaje, debido a la falta de
comprensión de conceptos, la relación de los contenidos con el entorno
13
en que vive el estudiante, la reproducción de procesos que ayudan a la
memorización limitando el desarrollo del pensamiento.
La asignatura de matemática al considerarla compleja, se debe estar
constantemente atentos y abiertos a los cambios que se presenten día a
día y el sistema lo exija
El estudio y enseñanza de la matemática se debe concebir como un
proceso de inmersión en la que el estudiante internalice sus
concepciones y vea las cosas, de manera distinta, el aprendizaje y la
enseñanza de la matemática deben estar enfocados en el desarrollo de
las destrezas con criterio de desempeño, que es saber hacer,
estimulándolo para que el estudiante sea capaz de resolver problemas
cotidianos, a la vez que se fortalece el pensamiento crítico constructivo.
Aprender y saber matemática, es necesario y satisfactorio, para poder
interactuar con fluidez y eficacia en la sociedad en que vivimos y aportar
de mejor manera los cambios que se pueden presentar en un mundo
dinámico y exigente. Y así resolver las actividades cotidianas que
requieren de decisiones basadas en esta área.
El aprender matemática y saber transferir estos conocimientos a los
diferentes ámbitos de la vida del estudiante, genera resultados positivos
en el plano personal y profesional y por ende en la sociedad en que vive.
El aprendizaje de la matemática es uno de los pilares primordiales, que
se debe enfocar en lo cognitivo, psicomotriz y sensoperceptivo que se
aplican día a día en todos los entornos, tales como el razonamiento
lógico, el pensamiento crítico, la argumentación fundamentada y la
resolución de problemas.
Seguros que la enseñanza en matemática para nuestros estudiantes
debe ser la más apropiada, para que les permita cumplir sus objetivos
trazados tanto en el ámbito personal como en el profesional, y así
desenvolverse adecuadamente en la sociedad que se desarrolla; por tal
razón es necesario de aunar esfuerzos de toda la comunidad educativa,
trabajando en forma coordinada para obtener espacios apropiados para
14
que el proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática sea optimo
y se obtenga mejores resultados.
2.1.1.4. Crítica al conductismo y a la escuela tradicional.
La teoría conductista y la escuela tradicional consideran al sujeto como un
ser mecánico, sin sentimientos y pensamientos por que no son
importantes para desarrollar una conducta aceptable para la sociedad.
Por esta razón Watson creador de la teoría conductista decía “Denme un
grupo de niños y la facilidad para manipular su espacio circundante
y podré desarrollar adultos capaces de desarrollar cualquier función
en la sociedad” considerando al estudiante como un objeto de
influencias y dependiente de las circunstancias externas, con esta
concepción la educación sería sencilla si los estudiantes se mostraran
pasivos a los diferentes estímulos externos y ante sus reacciones, ser
modelada la conducta a capricho del maestro.
Tomando en cuenta que los seres humanos, son activos ante cualquier
estímulo externo, y enfrentan, aceptan o rechazan mandatos, normas y
conocimientos por tal razón las reacciones son distintas debido a que la
personalidad de cada individuo es diferente.
Al transferir los resultados de los experimentos de los animales a la vida
humana, el conductismo no toma en cuenta la conciencia, que es
propia en el ser humano, y gracias a ella se puede planificar su trabajo,
estudios, asumir responsabilidades, rectificar errores oportunamente,
prever y superar dificultades, sin necesidad que le apliquen estímulos.
La escuela tradicional lo que pretendía que la educación como elemento
constitutivo de la sociedad, obtener seres llenos de poder y aumentar la
discriminación, negando las capacidades psíquicas superiores tales como
el razonamiento, el pensamiento abstracto, la inteligencia y el juicio crítico.
Lo principal en la escuela tradicional es desarrollar la memoria mecánica
y que los estudiantes expliquen cosas que no entendían, y se remitan a
15
acatar órdenes sin ningún tipo de cuestionamiento, porque no ha sido
estrenado previamente para enfrentar estas situaciones
El principio de Maquiavelo referente a que el fin justifica los medios, es
aplicado por la educación conductista tradicional, y utilizar cualquier
artificio con la finalidad de que el sujeto cumpla con las normas
establecidas.
Las diferentes formas de castigo como; el enojo, la correa, la promesa, la
amenaza, el chantaje son utilizados una y otra vez para presionar al
alumno, y obtener un comportamiento aceptable si resulta quedarán
teóricamente confirmadas por estas corrientes utilitarias como verdaderas
o prácticas, y si no consiguen la conducta, se buscara nuevas formas de
argumentar y educar con absoluta incomprensión de lo que se hace en la
escuela en general de esta manera se condicionan los comportamientos
de los alumnos.
Por ejemplo decimos: ¡Sino se portan bien no salen a recreo!; ¡Al niño que
trabaje le doy un premio!; ¡Si siguen haciendo bulla les mando una tarea
especial! El daño que hacemos al estudiante radica en su personalidad, e
inconscientemente estamos disminuyéndoles su capacidad y seguridad
en sí mismos, y el estudiante se acostumbra a adoptar actitudes falsas
para conseguir fines egoístas, lo que se debe conseguir en el estudiante
es la formación de valores e incentivar que no hay nada más satisfactorio
que realizar las actividades y trabajos porque debemos hacerlo sin
necesidad de un premio o castigo, enriqueciendo de manera significativa
la personalidad de cada individuo.
Al contrario si se utiliza los maltratos, los insultos, las ofensas, tiene
repercusiones nocivas en los individuos; ya que al pretender eliminar con
violencia cierta conducta no deseada lo que ocurre es más bien, el
fortalecimiento de la misma.
Educarse bajo la represión genera desencadenar sentimientos de culpa,
frustración, inseguridad, ansiedad y otras series de situaciones que hacen
sentir al estudiante, incapaz, inútil, que no puede, que no sabe y otras
16
situaciones derrotistas que perjudican su desarrollo personal y multiplica
en ellos la mentira, el miedo y hasta la crueldad.
El conductismo y la escuela tradicional al medir las conductas observables
no representan el éxito educativo y el aprendizaje del estudiante.
El resultado de la memorización mecánica inculcada por la escuela
tradicional en sus estudiantes han logrado que el aprendizaje sea para el
momento, porque luego de presentarse a una prueba o lección se olvide
después de un tiempo, debido a que su aprendizaje no era aplicada en
situaciones de la vida diaria por lo tanto no era significativo.
La escuela tradicional enfatiza la formación de valores morales
orientados por el conductismo, y lo más importante son los actos externos
y las reacciones que podían generar, sin considerar lo más fundamental
para el desarrollo de la personalidad como son las necesidades y los
motivos.
Un acto externo se adquiere según los motivos de que parte y los
objetivos que persigue, un sentido totalmente distinto y a veces
contradictorio respecto a su valor pedagógico. Actos externos
aparentemente conscientes pueden encerrar intensiones inconscientes e
inmorales, en la misma medida en que motivos conscientes y bien
intencionados a veces se manifiestan en actos aparentemente negativos.
El modelo conductista según Delcourt, niega al ser humano toda la
capacidad de manifestar sus propias conductas y la posibilidad de darle
sentido a una acción provocada por un estímulo y las respuestas
generadas.
Es así, para el conductismo las personas no son responsables de sus
actos pues la actividad humana, al no ser más que una mezcla de reflejos
condicionados forzados, moldeados por su entorno, no obedece sino a
fuerzas que escapan a su poder de elección y de decisión. Peligrosa
consideración teórica que a nivel educativo y en el plano de la moral se
pretende justificar la dominación del ser humano por el ser humano
conforme a los intereses del mercado y del sistema social pudiente.
17
EL CONSTRUCTIVISMO Y EL MODELO PEDAGÓGICO ACTIVISTA
2.1.2. El constructivismo.
Esta teoría reconoce, que el medio en que se desenvuelve y la
experiencia que tiene un individuo, es la base para obtener aprendizajes
significativos, y de esta manera va adquiriendo y desarrollando sus
propios modelos mentales, coadyuvando al estudiante a ser una persona
participativa, crítica, colaborativo, reflexivo en el proceso de enseñanza y
aprendizaje.
La función del docente en esta teoría es considerada como; promotor,
facilitador, guía, apoyo a las críticas positivas.
El constructivismo tiene como finalidad que los estudiantes se apropien de
aquellos conocimientos, contenidos que les permitan participar y poner en
práctica de una manera creativa y crítica demostrando sus habilidades,
capacidad e ingenio los resultados de su aprendizaje con el fin de
adaptarse a la sociedad en que viven.
Mediante una interacción entre el docente y los estudiantes, se debe
llegar a un acuerdo, para favorecer la participación, investigación, y el
espíritu crítico a la reflexión, y enseñar nuevas estrategias, tomando en
cuenta los siguientes elementos:
Accesibles a los cambios que presente el sistema.
Es primordial desarrollar sus capacidades e intereses, y habilidades,
tomando en cuenta la Zona de Desarrollo Próximo.
Que involucren a toda la persona con sus necesidades, de
conocimiento, experiencia, sentimientos, y valores en general.
Que concedan el mismo valor a los procesos y a los resultados
18
Gráfico 1 Diagrama de Desarrollo
Fuente: Investigación Elaboración: Lic. Sonia Hurtado En la enseñanza y aprendizaje de la matemática, debe estar enfocado en
el desarrollo de las Destrezas con Criterio de Desempeño, y potenciar los
caracteres como la reflexión, autocrítica que le van a permitir convertirse
en sujetos proactivos y positivos frente a problemas que se presenten en
la vida cotidiana.
En este proceso de enseñanza aprendizaje se debe contemplar a la
didáctica como parte indispensable de la Pedagogía, por lo cual es
conveniente analizar las siguientes etapas:
Etapa en la aplicación del modelo didáctico
Si se logra desarrollar las Destrezas con Criterio de Desempeño en el
estudiante será capaz de desenvolverse por sí solo, frente a problemas
que se le susciten en la vida, de esta manera fortalece el pensamiento
lógico crítico.
En este mundo dinámico y apurado es preciso interactuar con facilidad y
eficacia los conocimientos y procesos matemáticos, tomando en cuenta
las acciones necesarias que debe el estudiante estar predispuesto, para
conseguir el fin deseado, y estas pueden ser:
19
Aplicar conceptualizaciones matemáticas utilizando herramientas
adecuadas, en contextos diferentes y de acuerdo al entorno en que se
desarrollan.
Entregar un sin número de problemas matemáticos a los estudiantes,
para desarrollen y puedan encontrar la solución, demostrando
capacidad y seguridad en ellos.
Desarrollar el nivel de comprensión de conceptos, para construir
modelos matemáticos, que le fortalecerán el pensamiento lógico y
critico frente a problemas cotidianos que se puedan presentar
Los métodos y técnicas de aprendizaje en la matemática, deben
orientarse al cumplimiento de los objetivos, del plan curricular anual, de
acuerdo a los contenidos propuestos por el currículo nacional, tomando
en cuenta el aprendizaje individual como colectivo.
El sistema educativo Nacional, ofrece un mapa de conocimientos de las
diferentes áreas y lo que debe saber el estudiante desde el primero a
décimo año de Educación General Básica, constituyendo la base para el
desarrollo de la asignatura de matemática.
Los principios matemáticos necesarios en la enseñanza y aprendizaje de
la matemática, se basa en determinar lo más relevante y de acuerdo al
entorno en que se desarrolla el estudiante, basándose en el Currículo
Nacional.
Utilizar estrategias, metodologías y herramientas adecuadas con los
estudiantes para plantear y resolver problemas, desarrollando en ellos la
habilidad y seguridad en sí mismos.
Mediante la exploración de los conocimientos previos, el docente da a
conocer el tema e indica los objetivos de clase de una manera motivadora
para despertar en los estudiantes la curiosidad e interés en el tema a
tratarse y de acuerdo a un plazo determinado.
Los protagonistas principales para el desarrollo de estos objetivos son los
estudiantes, quienes deben de trabajar en equipo y coordinar acciones
para cumplir a cabalidad los objetivos trazados
20
Los objetivos de aprendizaje que deben estar relacionados con las
destrezas con criterio de desempeño, para aprender y cumplir con la
tarea, en los tres momentos como son la comprensión de conceptos,
conocimientos de procesos y la resolución de problemas debe estar
íntimamente ligados para tener éxito en el proceso de enseñanza de la
matemática y lograr en los estudiantes aprendizajes significativos, que le
ayudaran en la adaptación sin inconvenientes en la sociedad en que se
desarrollan.
La evaluación es una herramienta que permite comprobar si la tarea se
cumplió en un cien por ciento, o necesita reforzar.
Las características más importantes que el constructivismo sostienen
que, para que el estudiante adquiera conocimientos son a través de la
experiencia, en la que cumple una serie de fases tales como; razona,
compara, abstrae, y generaliza determinados datos.
La construcción mental es el resultado de la interacción del conocimiento
y el aprendizaje por ende sujeto- objeto, el constructivismo considera que
un aprendizaje significativo es cuando el estudiante logra modificar su
estructura mental con los conocimientos previos, con el fin de alcanzar
niveles de complejidad, variedad e integración, aportando como
aprendizaje significativo aquel que ayuda al desarrollo de la persona en
sus diferente ámbitos.
En el proceso enseñanza aprendizaje los conocimientos se reconstruyen
en las diversas actividades estudiantiles, contribuyendo a enriquecer y
mejorar conceptos científicos con sus propias palabras, según su
comprensión.
2.1.3. El modelo pedagógico activista
Julián de ZUBIRÍA Samper, creador de la escuela activa o nueva, afirma
que el estudiante es el protagonista principal de su propio aprendizaje, en
el contexto de su medio lo toma como inicio de un proyecto y objetivo de
aprendizaje, considerando la labor educativa de preparar a los
estudiantes para la vida, y enseñar a los niños los medios necesarios para
que se introduzcan en el mundo social adulto, sin inconvenientes.
21
La función del docente se limita a ser un auxiliar y se responsabiliza por
aportar con material concreto para que los estudiantes, operen con
facilidad, convirtiéndose el docente en un facilitador. (Lima, 2009)
2.1.4. Crítica al constructivismo y a la escuela activa
a) Al sostener que las edades de los infantes y los adolescentes no
difieren en la acción y manipulación de los objetos, se argumentan
erróneamente, porque la experiencia es importante para la adquisición
de sus conocimientos, y de acuerdo al nivel de madurez que tiene el
individuo
b) Para la adquisición de conocimientos, el constructivismo explica que
es necesario la experiencia del individuo, pero en la práctica el
estudiante debe razonar, comparar, abstraer y generalizar datos
concretos en el proceso de aprendizaje.
c) Para el activismo el conocimiento es algo empírico y desconoce el
pensamiento del ser humano, que es el que permite descubrir lo
importante de los fenómenos y sucesos de la realidad, concluyendo
que el pensamiento está íntimamente ligada al conocimiento sensorial,
que es el comienzo de los conocimientos sobre la creación externa
d) El conocimiento científico, no se fortalece con excursiones, visitas de
museo, sino investigando y reconstruyendo los conocimientos,
aportando de manera significativa un aprendizaje, y si se quiere
formar las cualidades psíquicas del educando se debe realizar
actividades a campo abierto o las descritas anteriormente.
e) Las semejanzas de los aprendizajes en el activismo y constructivismo,
así: el receptivo con el mecánico, el activo con el significativo, sin
embargo si se dejara de utilizar la metodología de enseñanza
tradicional, con la concepción estimulo respuesta, se podría tornar en
aprendizaje significativo
f) La experiencia histórico social de muchos años atrás, se la puede
remplazar por la experiencia de las primeras generaciones, según
Federico Engels la experiencia del individuo ya no hace falta, debido
22
que hay muchas formas de conocimientos que resumen en las teorías
de la experiencia.
g) El conocimiento sobre las cosas no garantiza la manera, como se
concibe el activismo y constructivismo de forma que es relativa su
incidencia en su quehacer educativo.
Según el pensamiento de Julián de Subiría, es espontáneo y trivial la
concepción del mundo, en la cual la opinión es primero antes que la
convicción, por tal razón esta teoría activista con lleva a la
“INDIFERENCIACIÓN ENTRE EL CONOCIMIENTO CIENTÍFICO Y
EL COTIDIANO”
h) Según el materialismo dialéctico, el conocimiento no es construido por
el alumno, sino lo reconstruye pues el estudiante obtiene logros
científicos, por medio de la actividad de estudio pudiendo en lo
posterior mejorar su concepción científico global.
i) La escuela activa y el constructivismo, permiten un mejor ambiente en
la escuela para el estudiante, reconoce al sujeto como un ente activo,
para aprender de diferente manera, participando, jugando y
cuestionando de acuerdo a la oportunidad que se le presente.
2.2. EL COGNOSCITIVISMO Y EL MODELO PEDAGÓGICO
CONCEPTUAL
2.2.1. El cognoscitivismo
Esta teoría está representada por varios autores, tales como Piaget,
Ausubel, Vygotsky la cual explican que el alumno adquiere conocimientos
en etapas mediante esquemas mentales reestructuradas.
Según Piaget el estudiante llega a un estado estable a través de etapas
tales como asimilación, adaptación y acomodación manifestando una
actitud positiva ante lo aprendido, el papel del docente consiste en buscar
estrategias de aprendizaje por medio de hechos reales.
La función del cognoscitivismo consiste en analizar los procesos de
aprendizaje, para que el estudiante se desenvuelva de mejor manera.
23
El planteamiento de la teoría en la enseñanza desde el punto de vista
cognitivo, no son los estímulos externos sino la influencia pensante de los
docentes, como protagonismo a la reflexión de la enseñanza
¿Qué es la enseñanza cognitiva y cómo se ha desarrollar para alcanzar
una práctica reflexivo-indagadora y un aprendizaje formativo?
Considera la enseñanza como un nexo mediador y estimula un
aprendizaje activo por parte del profesor, como coprotagonista en la
reflexión de la enseñanza (Antonio Medina Rivilla, 2007)
2.2.2. El modelo pedagógico conceptual
La Pedagogía conceptual, de Julián de ZUBIRÍA, plantea los siguientes
principios educativos.
a) El primer principio de la pedagogía conceptual, es preparar al
estudiante, para que pueda enfrentar sucesos con sus habilidades que
ha desarrollado en el transcurso de su aprendizaje, volviéndose
fundamental que el alumno cuente con una buena calidad de
conceptos y cualidades que accedan al estudio de cualquier ciencia,
como también su comprensión de lo global, social y físico, de acuerdo
a la época contemporánea y al enfoque que se tenga de ella.
b) El conjunto de conceptos básicos de las ciencias junto con las
habilidades propias de cada área y los valores, determinan los
contenidos que deben impartirse en las escuelas.
c) El aprendizaje en la etapa nocional se debe utilizar métodos de
enseñanza por descubrimiento, para continuar con la etapa de
asimilación de contenidos científicos, abstractos, en el aprendizaje
receptivo significativo, estos tipos de aprendizaje es recomendado en
la pedagogía conceptual.
d) La herramienta principal de una Institución educativa, es la evaluación,
cuya finalidad es tomar decisiones para mejorar o revisar deficiencias
que se presenten en el proceso de enseñanza.
2.2.3. Crítica a la concepción cognoscitiva y al modelo
pedagógico conceptual
Para readaptar la educación, el modelo pedagógico conceptual imagina
que el desarrollo del futuro social es un elemento básico.
24
Un aprendizaje es significativo cuando está íntimamente relacionado con
lo cognitivo del sujeto entre conocimientos previos y los nuevos,
transformándose los conocimientos en convicciones, de manera que
reconstruye los conocimientos adquiridos, predispuesto y adoptando el
nuevo conocimiento en función de sus representaciones mentales, y está
en capacidad de aceptar o no permitir injusticias.
Al descubrir la naturaleza propia de las cosas, sin advertir el
desenvolvimiento de los fenómenos como parte de un sistema integral se
está describiendo del modelo pedagógico conceptual. (Educación,
Reforma Curricular Ecuatoriana, 2010)
Al separar el objeto del estudio, no se puede reflejar su verdadera esencia
ni las leyes a los que se hayan sujetado el campo educativo, permite
reflejar los fenómenos en movimiento y en sus conexiones internas, es
importante demostrar la práctica de una teoría, explicar lo concreto como
unidad de lo diverso y explicar el origen de la historia de los
conocimientos.
2.3. ENFOQUE HISTÓRICO CULTURAL Y EL MODELO
PEDAGÓGICO MARXISTA
2.3.1. El enfoque histórico cultural del aprendizaje
La incorporación de la experiencia histórica social es definida como el
enfoque es definida como el enfoque de la historia y cultura.
El ser humano por alcanzar el objetivo trazado, posibilitar alcanzar logros
que van de la mano con la evolución biológica.
Durante su evolución el ser humano y de acuerdo a las necesidades que
se iba presentando día a día, y al descubrir que la naturaleza era
generosa, en el desarrollo de la agricultura, le enseño a proveerse de
alimentos, cuando la naturaleza no lo proveía, considerando la relación
hombre medio, va desenvolviendo sus problemas del diario vivir.
Protegiéndose de las inclemencias del tiempo, actuando de acuerdo a los
fenómenos naturales que se presentan se ha ido evolucionando y
convirtiéndose en un ser racional y más inteligente del universo.
25
2.3.2. El modelo pedagógico Marxista
Karl Marx, pedagogo del siglo XIX su teoría se fundamenta en las
observaciones de la sociedad laboral, y su cultura bajo un régimen
capitalista imperialista, formulo distintas ideas que le permitían al ser
humano mejorar las condiciones del grupo social obrero y de las clases
menos favorecidas, con el fin de establecer las bases de la sociedad
socialista y comunista.
Muchas personas favorecían las ideas de Marx, sobre la calidad de
educación que debía de tener los obreros, que era la clase menos
favorecida, en recibir una educación adecuada, ya que esta era la
herramienta que utilizaban para diferenciar las clases sociales.
Fue el primer autor que sostenía que la educación debía ser pública, laica
y gratuita para todas las personas.
La formación educativa consistía en la formación integral de los individuos
desarrollados por medio de bases científicas, en una relación entre
hombre, naturaleza y pensamiento e intentaba encontrar la necesidad de
formar la mano de obra calificada para todas las etapas del sistema
capitalista.
Según Marx y Engels propusieron que la educación debe conceder el
desenvolvimiento total del hombre en todos los aspectos laborales y
culturales, considerando tres ámbitos que son; la educación intelectual,
física y politécnica, para enseñar al estudiante en los procesos de
producción y poner a consideración el funcionamiento y manejo de los
instrumentos que existen en la industria.
Así mismo como aspecto importante en la formación educativa en la
enseñanza de la moral socialista y colectiva para que haya un mejor
emprendimiento socialista, con el fin de aportar al manejo de métodos
avanzados de trabajo y fortalecer la disciplina laboral.
26
Es así que la teoría Marxista, se orienta a todos los obreros y su relación
con su trabajo y sociedad en la que vive, además considera la igualdad,
porque no consideraba correcto que se lo explote o limite en el trabajo,
independientemente de su nivel de estudio.
El objetivo de esta teoría es mejorar la clase social en todos los aspectos,
tales como lo social, cultural, laboral, político y económico. (Las teorias
pedagógicas y su aplicación, 2011)
2.4. ESTRATEGIAS EDUCATIVAS PARA EL APRENDIZAJE
ACTIVO.
2.4.1. El aprendizaje visual
El factor primordial es la vista, se utiliza herramientas fundamentales
como organizadores gráficos, videos, e imágenes que el docente para
representar información, además se puede trabajar con ideas y conceptos
para hacer del proceso aprendizaje más efectivo.
Así mismo el estudiante está en capacidad de representar, dibujar sus
ideas para transferir sus conocimientos y transformar su pensamiento a
otras personas, con el fin de mantener una buena comunicación y
comprensión de los temas de estudio.
(Organizando, procesando y priorizando información nueva o ya
conocida) e identificar conceptos erróneos. (Carrión Duran & Lozada,
2004)
2.4.2. El aprendizaje colaborativo.
Permite hacer y desarrollar trabajos grupales planificadas, cuyo objetivo
principal es aprender una misma dirección, realizar y desarrollar
actividades de una forma coordinada, analizando sus conclusiones y
plasmarlas en un solo resultado para que este aprendizaje sea más eficaz
y la interacción entre docente y estudiante sea complementario y la
participación de los integrantes del grupo es más comunicativo, y reforzar
el conocimiento con investigaciones y análisis de los resultados obtenidos,
para luego socializarlos y ponerlos en común.
Con esta metodología se promueve el aprendizaje a través de
experiencias y bajo normativas de interacciones social, de esta manera el
27
profesor utilizará este método como un recurso útil en el proceso de
aprendizaje y hacer de esta forma un aprendizaje dinámico, y así
contribuir de manera conjunta al enriquecimiento del aprendizaje, sin
pretender que la tecnología sea la base imprescindible del aprendizaje.
En el aprendizaje colaborativo se utiliza algunas estrategias, en la que el
educador debe planificar tareas, actividades para entregar al grupo, en las
que cada trabajo debe presentar con sus aportes individuales y
socializarlos en debate y llegar a una conclusión consensuada de todos
los miembros, reforzando los conocimientos.
Al definir la acción educativa del docente en el trabajo colaborativo, como
una relación bidireccional en el proceso de aprendizaje, es una
responsabilidad correcta en el proceso de aprendizaje de sus estudiantes
tomando en cuenta que las técnicas a utilizar deben ser las más
adecuadas y tiene como finalidad de otorgarle dirección y sentido en
función de los objetivos propuestos, como parte fundamental de la
planificación en el quehacer educativo en grupo.
La función principal del trabajo colaborativo es la planificación de
actividades y control de tareas en la que el docente tendrá la posibilidad
de asignar tareas para que cada grupo de trabajo llegue al objetivo
propuesto.
La propuesta del taller se tomara en cuenta ambas estrategias para
cristalizar los objetivos propuestos y ayudar a los estudiantes en la
nivelación de los conocimientos impartidos. (Ayala, Fuentes, Galán, &
Martínez, 2006)
2.4.3. Organizadores gráficos.
Son esquemas que se utilizan para presentar un tema de estudio de
manera innovadora, despertando la curiosidad y presentarlos de forma
resumida, dichas de otra manera como un conjunto de imágenes y
palabras visuales, que son útiles para todos los estudiantes, y en
ocasiones para aquellos que tienen dificultad en el aprendizaje.
28
2.4.4. Base conceptual de los organizadores gráficos
Son esquemas visuales en la que se presenta la información y el
estudiante puede organizar y procesar de manera más sencilla el
conocimiento otorgado por el docente en curso.
Según varios autores las ideas que fundamentan la utilización de los
esquemas son comunes casi en todos ellos:
1) Al procesar la información mediante un esquema tiene como
finalidad identificar las ideas principales y secundarias y procesar
de mejor manera la información.
2) Buscan establecer estructuras simples sobre la base de la
figuración gráfica.
3) Facilita el valor de los conceptos clave.
4) Inician desde los conocimientos previos que tenga el estudiante
5) Las representaciones mentales que pueda tener el cerebro pueden
ser utilizadas en los esquemas que se pretenda, pudiendo ser
imágenes, color, palabras, creatividad etc.
6) Están predispuestos al trabajo individual o grupal como también el
intercambio de significados, a través de trabajo colaborativo.
7) Los conceptos debe mantener una jerarquía, iniciando por lo
general, hasta llegar a los contenidos u objetivos específicos.
2.4.5. Elementos técnicos.
Los elementos técnicos y fundamentales de los organizadores gráficos
son los siguientes:
Los Conceptos
Las palabras de conexión
Los signos gráficos
Estos elementos son necesarios para relacionar y conectar los diferentes
conceptos y palabras de enlace, líneas, flechas, dibujos y color.
2.6. METODOLOGÍA PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
2.6.1. Variables facilitadoras del aprendizaje
Entre las más destacadas son las que favorecen el desarrollo del
pensamiento lógico matemático.
29
a) La observación.- es una técnica que el docente debe utilizar,
despertando en el estudiante curiosidad, atención que debe ser
analizada libremente respetando la acción del estudiante, con el fin
que al observar sin presión, ésta está en capacidad de aumentar su
observación y este predispuesto a aprender según el tema u objetivo
propuesto.
b) La imaginación.- es una actividad que consiste en presentar una
variedad de alternativas creativas que ayudan en el aprendizaje de la
matemática, en situaciones diferentes, cuando esta requiere una
interpretación adecuada.
c) La intuición.- es una actividad que consiste en llegar a la verdad, sin
necesidad de razonamiento lógico, aceptando todo aquello como
verdad
d) El razonamiento lógico.- es una técnica que consiste en partir de
varias premisas, llegando a reglas de inferencia o conclusiones con la
ayuda de la capacidad intelectual que es capaz de generar ideas y
estrategias ante un determinado problema o reto, además la relación
escolar y familiar afectan en los resultados. (Gonzalez, 2007)
2.6.2. Ideas sobre metodología didáctica en la enseñanza de la
matemática
a) Dominar la matemática que se está enseñando.- Es esencial, saber
el contenido que se está impartiendo a los estudiantes, debe ser
interpretada de acuerdo a los conceptos transmitidos, la notación
utilizada y su simbología.
b) Dominar el arte de preguntar.- Es una técnica que permite explorara
los conocimientos previos, la construcción del conocimiento del tema
que se está trabajando, para de esta manera canalizar y fomentar el
diálogo constructivo, y así el estudiante se dé cuenta del error
cometido o afirme sus aciertos en el proceso de aprendizaje.
c) Evidenciar la realidad, necesidad y curiosidad.- estas
características son necesarias en el proceso de enseñanza
aprendizaje de la matemática, por lo que no debemos olvidar que los
materiales a utilizar pueden favorecer en la metodología empleada con
30
la finalidad de reafirmar los conocimientos y consolidarlos a través de
ejemplos y contraejemplos.
d) Utilizar modelos didácticos.- es una estrategia muy útil, y la
aplicación del modelo científico que a modo de recurso permite el
descubrimiento de los conceptos para facilitar que el alumno llegue al
saber matemático con precisión de resultados y sin equivocación
alguna debido a que debe de seguir un proceso ordenado.
e) Presentar al alumno actividades matemáticas.- todas las
actividades que el profesor planifique, serán utilizadas en el proceso
de enseñanza aprendizaje, siendo estas de cualquier clase o modelo,
siguiendo un orden jerárgico en la aplicación de ejercicios o problemas
sencillos a las más complejas, cuando el alumno tenga bastantes
elementos de auto corrección.
f) Motivar al aprendizaje de la matemática.- en los distintos momentos
como son, hacia el saber, sentir y querer. Relacionándolos con
medios del entorno y problemas de la sociedad en que viven.
2.6.3. Aspectos importantes en el aprendizaje de la matemática
a) Es recomendable el apoyo de la tecnología básica para la enseñanza
de la matemática, se considera una herramienta útil, tanto para el que
enseña como para el que aprende. Además posibilita mejorar los
procesos de abstracción, transformación y demostración de algunos
conceptos matemáticos, en el desarrollo de los temas de estudio.
b) La evaluación es una herramienta más que debemos tomar en
consideración en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Ella debe
centrarse en el aprendizaje del estudiante, en lo que debe saber y en
lo que debe ser capaz de hacer, respondiendo a un proceso coherente
y sistemático, en el que sus resultados proporcionan una
retroalimentación para el docente y el estudiante en los temas
tratados, para luego continuar con la siguiente unidad o tema de
estudio, esta herramienta se considera como remedial del proceso
educativo.
c) El Currículo se considera otro factor importante y necesario en el
aprendizaje y la enseñanza de la matemática, que está enfocado en
31
los principios matemáticos más relevantes, consistente en cada año de
Educación General Básica.
d) Fomentar en los estudiantes la habilidad de plantear y resolver
problemas ofreciéndoles una variedad de estrategias, metodologías
activas y recursos, que enfoque de manera general la aplicación de
todas las etapas del proceso de enseñanza – aprendizaje en esta
área.
El eje curricular integrador del área de la matemática se apoya en
los siguientes ejes del aprendizaje:
a) El razonamiento matemático.- consiste en presentar diferentes tipos
de argumentos, ya sean estos reales o hipotéticos generando la
capacidad de razonar y pensar analíticamente, convirtiéndose en es
un hábito mental. Promoviendo en el estudiante, en buscar
conjeturas, patrones, regularidades en diversos contextos con la
finalidad que los estudiantes vayan incrementando su razonamiento.
b) La demostración matemática.- El seleccionar el método adecuado
de demostración de un argumento matemático ayuda a comprender de
una mejor forma los hechos matemáticos, este proceso debe ser
empleado tanto por estudiantes como docentes. Además se concibe
como la manera formal de expresar tipos particulares de
razonamiento, argumentos, y justificaciones propios para cada año de
Educación Básica.
c) La comunicación.- Es la capacidad de realizar suposiciones, aplicar
información, manifestar y comunicar ideas. Es fundamental lograr en
los estudiantes desarrollar la capacidad de cuestionar y explicar los
procesos utilizados en la resolución de un problema, de exponer su
pensamiento lógico matemático y de interpretar fenómenos y
circunstancias que se presentan a diario.
d) La representación.- consiste en seleccionar, organizar, registrar, o
comunicar situaciones o ideas matemáticas, a través de material
concreto, semiconcreto, virtual o de modelos matemáticos. Para
explicar de manera correcta un tema de estudio.
32
Los docentes de matemática de los diferentes años contiguos
determinarán dentro de su planificación los temas más significativos y las
destrezas con criterio de desempeño relevantes en los cuales deberán
trabajar, para que los estudiantes al ser promovidos puedan aplicar sus
saberes previos en la construcción de nuevos conocimientos y la
consolidación de los mismos.
2.6.4. La programación.
Llamada también planificación de las actividades que se va a trabajar
durante el año con los estudiantes, o elaboración de un proyecto de lo
que se piensa hacer con un curso de estudiantes y desarrollarlo durante
el proceso de enseñanza aprendizaje y evitar improvisaciones del
profesor en el aula.
La programación consiste en coordinar de la manera más efectiva con los
estudiantes y profesores, para reglamentar y ordenar el trabajo en el aula,
de manera planificada las actividades educativas, tomando en cuenta sus
características, estrategias, recursos, metodologías, etc.
Entre las principales características de una programación didáctica se
definen las siguientes:
Coherencia.- consiste en la relación que debe existir entre el
esquema de la planificación con el desarrollo de las actividades en el
aula, guardando una mutua dependencia e información de la
programación.
Contextualización.- o contenido de la programación educativa se
debe regir a la malla curricular propuesta por el Ministerio de
Educación, tomando en cuenta las particularidades del grupo de clase.
Utilidad.- la planificación o programación debe ir en beneficio de los
estudiantes que reciben la información y transferencia de
conocimientos.
Realismo.- a más de ser práctico debe estar enfocado a los intereses
del medio y del alumno, para de esta manera apoyar en el desarrollo
de la sociedad en que viven, y lo planificado sea realizable.
Colaboración.- la educación como un sistema organizado, planificado
necesita trabajar en equipo para obtener mejores resultados, dejando
33
de lado el individualismo, fomentar la cooperación y el trabajo
compartido para ser miembros activos al cambio y de un mejor
porvenir.
Flexibilidad.- La programación y su carácter flexible permitirá que
pueda ser ajustada a las exigencias de cada jornada, está pensada
para orientar la práctica educativa, no para condicionarla.
Diversidad.- Las diferentes técnicas didácticas de aula puede
articularse en forma coordinada, las tareas pueden organizarse en
torno a proyectos de trabajo, centros de interés, asuntos etc.
Componentes básicos.- Incluye una serie de elementos esenciales;
los objetivos, los contenidos, la metodología (actividades), los recursos
didácticos y la evaluación.
Los contenidos, informaciones tales como datos,, sucesos,
conceptos, procedimientos, normas, etc. que se enseñan y se
aprenden a lo largo del proceso educativo
La metodología.- Indica el cómo enseñar, el cual se pretenden
conseguir los objetivos previstos. Incluye pues las actividades, (tareas)
o actuaciones de toda índole que los alumnos deben realizar para
llegar a alcanzar las metas propuestas y dominar los contenidos
seleccionados. Considerando tres tipos de actividades como son:
Actividad de iniciación cuyo objetivo será generar interés y
motivación por el tema, así como explorar los conocimientos previos y
explicar las ideas de los alumnos en relación con los contenidos
trabajo.
Actividades de desarrollo.- Orientada a la construcción y adquisición
significativa del conocimiento, de conceptos y procedimientos,
elaboración e interpretación de representaciones gráficas, resolución
de problemas, realización de trabajos prácticos, manejo de bibliografía,
elaboración de informes, etc.
Actividades finales.-Orientadas a la elaboración de síntesis,
esquemas, mapas conceptuales, y evaluación de los aprendizajes de
los alumnos en los temas propuestos.
34
Los medios y recursos didácticos.- son de gran utilidad para el
desarrollo de la planificación, o proyecto educativo, estos materiales se
los debe obtener con anticipación para el desarrollo del trabajo en el
aula.
La evaluación.- es una herramienta muy eficaz para determinar el
avance de la programación y la comprensión de los temas en estudio,
es un indicador que permite tomar decisiones a tiempo, si los
alumnos no han logrado alcanzar la meta propuesta, se realizara una
retroalimentación del caso.
IMPLEMENTACIÓN DE HERRAMIENTAS DIDÁCTICAS
INTERACTIVAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA.
En la presente propuesta metodológica de nivelación de conocimientos,
para los estudiantes que ingresan al octavo año de Educación General
Básica, se utilizara los tres momentos básicos para la enseñanza
aprendizaje, como son revisión de conocimientos previos, en la que se
realizará un diagnóstico de los conocimientos que el estudiante sabe,
para de ahí partir y construir un nuevo conocimiento, para continuar con la
fase de consolidación en la que el estudiante pondrá en práctica las
resoluciones de actividades que se indicarían en el interaprendizaje.
Se trabajará con las actividades propuestas en el taller después de cada
tema, actividades de refuerzo.
Para continuar con la evaluación formativa y prever la participación de los
estudiantes con precisión de los resultados de aprendizajes, que se
esperan en los diferentes niveles de desarrollo en el aprendizaje, mismas
que serán el resultado de las actuaciones emprendidas y comportamiento
mantenidos en situaciones específicas.
2.6.5. Las nuevas tecnologías informáticas en la enseñanza.
En el proceso educativo, es muy importante las tecnologías de la
información y la comunicación, el internet y sus aplicaciones son
herramientas muy útiles, que pueden conducir a mejorar el aprendizaje y
la enseñanza sea más interactiva, y muy probable que el rendimiento
escolar aumente significativamente y sea este un factor positivo en el
proceso de enseñanza aprendizaje.
35
La utilización de las Tic en la enseñanza nos permite diferenciar las
ventajas y desventajas en el proceso educativo, así por ejemplo las
imágenes a utilizar en el aula ayudan a retener y mejorar la memoria en
los estudiantes, los profesores pueden explicar fácilmente los procesos
complicados y asegurar la comprensión del tema a tratar, al crear clases
interactivas los estudiantes van a tener mayor capacidad de
concentración.
En lo que se refiere a las desventajas de las Tic en la educación, sería el
alto costo de los dispositivos a utilizar, la configuración de los dispositivos,
puede ser muy conflictiva al momento de ser utilizada, difícil su utilización
si el profesorado no ha sido capacitado, o no puede utilizar debido a su
falta de experiencia.
En el sistema educativo los docentes deben promover experiencias y
cambios innovadores, en el proceso de enseñanza aprendizaje, apoyados
en las tecnologías de la comunicación, pues abarca muchos campos de
actividades de aprendizaje y no se limita a las aplicaciones a través del
internet.(Loureiro, 2014)
La sociedad actual ha sido participe de una trasformación con el
desarrollo de las tecnologías, es así como el internet ha cambiado los
métodos de enseñanza renovando los procesos de aprendizaje. Cabe
indicar que es imprescindible la planificación pedagógica, integrando el
funcionamiento cotidiano la utilización de las Tic en el proceso de
enseñanza aprendizaje.
Las TIC han de ser consideradas en dos aspectos importantes como es;
su conocimiento y su uso.
El conocimiento es consecuencia directa de la cultura o saber de la
sociedad en la que se desenvuelve, y es muy necesario tener un mínimo
de conocimiento informático y sus elementos básicos; de cómo se genera,
como se transforma, como se almacena, como se transmite, y como se
accede a la información en sus múltiples expresiones, como puede ser
texto, gráficos, audio, hay que ser partícipes y mantenerse actualizados
en esta cultura.
36
CAPITULO III
3. TALLER PEDAGÓGICO DE NIVELACIÓN DE CONOCIMIENTOS.
3.1. EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA
Previo a la realización del Taller de nivelación de conocimientos, para
contribuir al desarrollo del proceso de enseñanza aprendizaje de la
matemática, en los colegios de la cabecera cantonal Oña, dirigida a los
estudiantes que iniciarán el octavo año de Educación General Básica, se
realizará una evaluación diagnóstica, con el objetivo de determinar las
deficiencias en la asignatura descrita.
INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN DIAGNOSTICA
Página 1 de 2
Nivel: Básica Media Área: Instrumental
Asignatura: Matemática Año Lectivo 2015-2016
Curso: octavo Paralelos: A Y B
Quimestre :
Docente: Lic. Sonia E. Hurtado A. Nivelación de conocimientos
INDICADORES ESENCIALES DE EVALUACIÓN:
Escribe y denota el conjunto de los números naturales
aplica las propiedades de los naturales
resuelve operaciones combinadas con los naturales
Representa e interpreta gráficos estadísticos.
ESTUDIANTE: Fecha: DESTREZAS CON
CRITERIOS DE DESEMPEÑO
ÍTEMS Valo
r
Identifica y denota el conjunto de los números naturales Aplica mediante ejemplos las propiedades
1. Escribe el conjunto de los números naturales:
:{________________________________}
2. Aplica las propiedades del conjunto de los números naturales, si se sabe qué; a=3, b=5 y c=2.
Propiedad Clausurativa:
Propiedad Conmutativa:
1. 1
37
del conjunto de los números naturales opera con números naturales Identifica las sucesiones y aplica los procesos correspondientes Encuentra el perímetro de algunas figuras geométricas del entorno Grafica e interpreta cuadros estadísticos
Propiedad Asociativa:
Propiedad Modulativa:
3. Une con una flecha las operaciones y los resultados que corresponden
a) 4
b) ( ) 5 c) 1
d) ( ) 10 e) ( ) 6
4. A una reunión del barrio asistieron 52 personas el
primer día, y cada uno de los días siguientes acudía el doble de personas que el día anterior. ¿Cuál es la sucesión de personas que llegaron a la reunión en los primeros cuatro días? Encierre en un círculo la correcta
a) 52, 54, 56, 58 b) 52, 104, 208, 416 c) 52, 156, 213, 227 d) 42, 84, 168, 336
5. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde al
resultado de 63? a) b) c) ( ) ( ) d) ( ) ( )
6. La base de la pileta del parque central es cuadrada y
tiene aproximadamente una superficie de 16m2 ¿Cuánto mide el lado de la base? a) 2m b) 4m c) 6m d) 8m
7. Según la tabla ¿Cuántas personas visitaron el cantón
Oña el fin de semana?
Visitantes Número de personas
Niñas y Niños 10
Adultos 29
Adultos mayores 2
a) 12 personas b) 41 personas c) 14 personas d) 40 personas
1 1 1 1 1
38
Efectúa en forma jerárgico las operaciones combinadas con los números naturales
8. Completa el diagrama de barras que representa los
datos de la tabla.
Número de vehículos vendidos durante una semana
Día Número de Vehículos
Lunes 5
Martes 7
Miércoles 4
Jueves 3
Viernes 9
9. Resuelva las siguientes operaciones combinadas
a) ( ) b) ( ) ( ) c) ( )
10. Marque Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda.
a) ( ) ( ) V F
b) ( ) ( ) ( ) V F
c) ( ) ( ) ( ) V F
d) V F
1 1 1 1 1
TOTAL 10
EQUIVALENCIA 10/10 .../10
39
ELABORADO VALIDADO VISTO BUENO
DOCENTE:
DIRECTORA DE ÁREA:
VICERRECTOR
Firma:
Fecha: Oña, septiembre 2015
Firma:
Fecha: Oña, septiembre
del 2015
Firma:
Fecha: Oña septiembre del
2015
40
3.2. LOS NÚMEROS NATURALES
3.2.1. ACTIVIDAD Nº 1.
3.2.1.1. Adición de números naturales.
Introducción.
El conjunto de los números naturales, los denotaremos con la letra
= {0, 1, 2, 3, 4,5,..}
Los símbolos (numerales) 0, 1, 2, 3, 4, 5…, que representan a una
respectiva idea de cantidad (número), los mismos que se constituyen en
objetos abstractos o indefinidos, fueron inventados o creados por la
necesidad natural de contar, por lo cual se denominan Números
Naturales.
Este conjunto de números naturales no tiene fin, a cada número natural le
sigue otro, por consiguiente no existe un último número natural. En
conclusión, los números naturales, es un conjunto infinito.
Ahora que conocemos el conjunto de los números naturales, conviene
reforzar sobre las distintas operaciones en este conjunto de números,
dichas operaciones son: Adición, sustracción, multiplicación, división,
potenciación y radicación.
Gráfico 2 Conjunto
Fuente: Investigación
Elaboración: Lic. Sonia Hurtado
La adición de números naturales es una operación que relaciona un par
de números naturales con un tercero al cual se lo llamado suma o total.
Los términos de la adición son:
Sean a, b, y c números naturales analíticamente se definen como:
41
a + b = c Sumando Sumando Suma total
Ejemplo:
8 + 15 = 23 Sumando Sumando Suma total
Nota 1:
No debe confundir la palabra adición con la palabra suma. Adición es
la operación y suma es el resultado de la operación.
El cero (0) representa la ausencia de cantidad, o que representa al
número de elementos del conjunto vacío.
3.2.1.2. Propiedades.
Entre las más destacadas en la adición de números naturales son.
Clausurativa, conmutativa, asociativa, Modulativa o del elemento neutro.
Sean a, b, c
a) Propiedad Clausurativa.- La suma de dos números naturales es otro
número natural
a + b = c
5 + 2 = 7
b) Propiedad Conmutativa.-En una adición de números naturales, el
orden de los sumandos no altera la suma total.
Sea a, b , entonces a + b
a + b = b + a
7 + 9 = 16 igual suma
9 + 7 = 16
c) Propiedad Asociativa.-En la adición de tres o más números
naturales, se los puede asociar de diferente forma, se obtiene el
mismo resultado.
Sea a, b, c entonces (a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b
Ejemplo
2 + 6 + 8 = 16 ( )
= 16
( ) = 16
(2+ 6) + 8 = 2 + (6+ 8)
42
d) Propiedad Modulativa.-Existe el número natural cero, llamado
módulo de la adición, de tal forma que si se adiciona con cualquier
número natural, se obtiene como suma total al mismo número natural.
Ejemplo:
a + 0 = A
8 + 0 = 8
3.2.1.3. Taller de clase.
Los números naturales son aquellos que nos sirven para contar 1, 2, 3,
4,5,..Los números naturales forman un conjunto que se nota con:
El conjunto de números naturales es ordenado, es decir, dados dos
naturales diferentes uno de ellos es menor que otro. Los símbolos que se
utilizan para establecer la relación de orden entre dos números son:
1. ( )
2. ( )
3. ( )
4. ( )
5.
Se define que el conjunto vacío es un número natural que se lo denota
por (0), y que cada número natural tiene un sucesor, denotado como ( n+)
De esta manera, cada elemento de algún número natural es un número
natural, a saber, un antecesor de él. Por ejemplo.
Por definición 0 = { } (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores)
1 es el sucesor de 0, entonces 2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0}, entonces y en general
Cada número natural consta de sus antecesores. Así si y sólo sí . Con las indicaciones antes anotadas resuelva.
43
1) Ordena de menor a mayor los siguientes naturales:
15 3 7
2) Ordena de menor a mayor los siguientes naturales:
15 27 24
3) Ordena de menor a mayor los siguientes naturales:
10 6 14
4) Ordena de mayor a menor los siguientes naturales:
37 57 108
5) Ordena de mayor a menor los siguientes naturales:
126 789 1027
6) Ordena de mayor a menor los siguientes naturales:
105 69 140
Una vez definidas las propiedades con los naturales, resuelva las
propiedades indicadas.
Sea, a, b entonces a + b = b + a
7) Aplique la propiedad conmutativa de la adición y verifique la suma.
38674 + 2378 =
+ =
23 + 12 =
+ =
15 + =
+ =
8) Si: a=12, b=9 y c= 17; compruebe las propiedades Modulativa y
asociativa de la adición de los números naturales.
Propiedad Modulativa:
a + 0 = a
+ 0 =
0 + b = b
0 + =
c + 0 = c
44
+ 0 =
Propiedad Asociativa
(a + b) + c =
(12 +….) + …. =
+
a + (b + c) =
12 + (….+ 17)
+
9) Complete la siguiente tabla con las adiciones propuestas
0 12 24 36 48 60 72 84
1
26 312
44
59
70 5 880
80
25
10) Un señor dispone de $ 79 000 para construir su casa:
Si en hierro gasta $ 25 728 en material pétreo $6 009 en otros
materiales $ 5 800 y en mano de obra $ 35 750 determine si el
dinero que dispone es suficiente.
3.2.1.4. Trabajo extra clase.
1. Sean a= 197, b= 183, compruebe la propiedad conmutativa de la
adición de números naturales.
2. Un comerciante compre un toro en $ 456 y una vaca $ 567 y un
terreno en $ 25 000. En el transporte a su finca gasta $265 Si el
préstamo del banco fue de $35 000, determine si dicho préstamo es
suficiente para esa actividad.
3. Escriba las cifras que completan y hacen correctas las siguientes
adiciones:
5 8 6 5 2
+ 3 6 + 3 1 3
4 2 1 2 2
1 2 1 6 1 6 0 5 2
4. coloque los números del 1 al 16, de tal manera que las filas, las
columnas, y las diagonales sumen 34 (ningún número debe repetirse).
45
1 4
12 7 6
11
2 16
5. Calcule el perímetro de las siguientes figuras:
Figura A
347 cm
296 cm
Respuesta, el perímetro de la figura Aes de______
Figura B
Respuesta, el perímetro de la figura B es de______
3.2.2. ACTIVIDAD Nº 2
3.2.2.1. Sustracción de números naturales
B - a = c
La sustracción de números naturales es una operación binaria, contraria a
la adición que relaciona un par de números con un tercero llamado
diferencia.
Los términos de las sustracciones son:
A - b = c
Minuendo Sustraendo Diferencia
Ejemplo:
16 - 7 = 9
39
cm
39,5
cm
430 mm
46
Minuendo Sustraendo Diferencia
Según el algoritmo de la resta
( )
Es decir que la sustracción es la operación inversa (contraria) a la adición
Ejemplos:
22 – 9 = 13 porque 13 + 9 = 22
540 – 375 = 165 porque
Nota 2
En la sustracción de números naturales el minuendo debe ser mayor
al sustraendo, caso contrario la operación es imposible en los números
naturales.
7-3 = 4 porque 3+4 = 7
Ejemplo:
3 – 7 = x (es imposible en los números naturales) porque no existe x
que pertenezca a los naturales. 7 + x = 3.
9-4 = 5 porque 4+5 = 9
4-9 = x, porque no existe un número (x) que pertenezca a los
Naturales 9 + x = 4.
3.2.2.2. Taller de clase.
1. Halle la diferencia y compruebe con el proceso de la adición.
9 – 7 = 2 porque 7 + 2 = 9
82 – 78 = porque
2. Encuentre el valor de X para que se cumpla la igualdad.
1309 + X = 2453
El valor de X lo obtenemos al restar 1309 de la suma 2453
2453 - 1309 = __________
3. Halle la diferencia y compruebe con el proceso de la adición.
964 – 199 = porque
214 – 167 = porque
9 876 – 6 789 = porque
4. Encuentre el valor de X para que se cumpla la igualdad
47
8 + x = 18; x = __________
20 + x = 60; x= ___________
23789 + x = 40 500; x = __________
297085 + x = 350223; x= __________
3.2.3. ACTIVIDAD Nº 3
3.2.3.1. Polinomio aritmético
Se denomina polinomio aritmético a la combinación de adiciones y
sustracciones de números naturales.
Para encontrar el valor de un polinomio aritmético, podemos resolver de
dos maneras
A. Primer Proceso.-se procede a sumar los dos primeros términos,
que se encuentran dentro del paréntesis el resultado de éste con el
tercer término, y este a su vez con el cuarto término y así
sucesivamente hasta terminar todos los sumandos que se
encuentre en el ejercicio. Ejemplo:
Determinemos el valor correspondiente al siguiente polinomio aritmético
(7+2) + (-5) + 3 + (-4) = 3
[ (9 )+(-5)] + 3 + ( -4) = 3
( 4 + 3) + ( -4 ) = 3
7 + ( -4 ) = 3
3 = 3
B. Segundo Proceso.- de la suma de los minuendos, se resta la
suma de los sustraendos.
Segundo proceso: -
Adicionamos los números precedidos con signo positivos (+)
Adicionamos los números con signo negativos (-)
Restamos los resultados obtenidos de los positivos (+) y negativos (-).
3.2.3.2. Taller de clase
1) Halle el valor de los siguientes polinomios aritméticos.
48
2) Cierto comerciante tiene en su bodega 4 sacos de papas que pesan
46,58, 69 y 73 kg respectivamente. Si luego vende un total de 209kg
de papas. ¿cuántos kg le quedan?
3.2.4. ACTIVIDAD Nº 4
1. Halle el valor de los siguientes polinomios aritméticos
16 - 13 + 9 +16 -4 + 5 - 3 =
2 + 7 - 8 + 6 + 3 - 5 - 4 =
4 + 13 - 10 - 4 -12 -4 + 9 =
230 + 975 - 679 - 129 - 138 + 477 + 248 =
2. Un padre de familia deja de herencia $ 48 800 para sus tres hijos. Si al
primero le asigna $ 18 248, al segundo $ 3 245 menos que al primero
¿cuánto le corresponde al tercero?.
3.2.5. ACTIVIDAD Nº 5
3.2.5.1. Multiplicación de números naturales.
Es una operación que consiste en sumar uno de ellos (factor) consigo
mismo, tantas veces como indica el otro número (factor)
Ejemplo:
2 ×5 = 2+2+2+2+2 = 10
2 ×5 = 5 + 5 = 10
Sean a, b, N entonces a . b = c
Los términos que actúan en la multiplicación de números naturales se
denotan a y b se nombran como factores y (c) el resultado se nombra
como producto
El producto de dos números naturales cualesquiera, representados por
las letras a y n, es la suma abreviada de n(llamado factor) sumandos
iguales a a(llamado factor).
Denotado simbólicamente tenemos:
a × n = a + a + a + a + ... + a
n veces
Ejemplo: 7× 3 = 7 + 7 + 7 = 21
49
Los términos que se identifican en la multiplicación de números naturales
son:
a × b = c
FACTOR FACTOR PRODUCTO
Durante el proceso de enseñanza aprendizaje del conjunto de los
números naturales, en la operación de la multiplicación, es necesario
interpretar las diferentes formas de escritura que se pueden presentar en
diferentes textos, según varios autores.
a ×b a.b a (b) (a)b (a)(b) a ×b
Ejemplo:
5 ×3 4.9 2(7) (6)5 (6)(8) 6 ×3
18
En su cuaderno de trabajo resuelva:
En la parte inferior del ejercicio propuesto, se encuentran varios
resultados escoge el que le corresponde a cada operación y ubícalos
correctamente en los espacios correspondientes.
Ejemplo
7 × 7 = 49
9 ×43 = _____
1 ×23 = _____
76 ×0 = _____
77 × 4 = _____
52 × 1 = _____
57 ×12 = _____
308 52 0 23 387 49 684
3.2.5.2. Actividad individual en clase
Las multiplicaciones de dos o más cifras se las puede desarrollar de
manera vertical, como se expresa a continuación, que consiste en
multiplicar cada factor por cada número de la primera cifra o término
llamado multiplicando, a continuación sumamos los productos obteniendo
el producto total de todos los factores del (multiplicador).
50
a) Resuelva las siguientes operaciones
746 5786 7098
×89 × 479 × 87
87678 9487 94 780
× 126 × 478 × 809
18 970 16 822 23 987
× 135 × 3007 × 632
b) Encuentre el factor, de los espacios en blanco, de los ejercicios
propuestos, si el producto de las operaciones es:
8 × _____ = 106
6 x 10 × _____ = 300
____× 12 × 5 = 540
10 ×____ × 850 × 1 736 353 = 0
235×_____ = 2350
3.2.5.3. Trabajo académico individual nº5
1) Complete las siguientes series que se describen a continuación
6 12 ...___....____ 30 ____ ____ _____...60
7 14 ___...____...___...____...49...____...___...___...77
8…___...___...32....___....___...___...___....72...___...___...96
9 ------ ------- ------- 45 ----- ------ ------- ------- 99 ------
2) Desarrolle la multiplicación y luego compruebe con una
calculadora.
375 468 46 589 123 456
× 789 × 679 ×897
51
23 435 35 984 1234567
× 345 × 767 ×968
3) Complete los factores correctos para obtener el siguiente producto
y obtenga el producto de los factores correspondientes.
9×____ = 72
9 × 5 ___ = 4 500
8 × 12 × 10 = _____
13 × 109 × 127 × 0 = ___
4) Se han colocado en una caja, 30 cajas más pequeñas y cada una
de estas contiene a la vez 40 cajas. Determine el número total de
cajas.
5) En condiciones normales, el corazón de un ser humano, late
aproximadamente 70 veces por minuto ¿cuántas veces late en un
día?
6) Un atleta tardó 32 segundos en recorrer cierta distancia. Si se
desplazó a una velocidad de 4 metros por segundo (m/s).
Determine la distancia recorrida.
52
7) Complete la tabla de doble entrada de la multiplicación.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 4 14 24
3 0 15 27
4 4 12 48
5 10 40
6 24
7 42
8 80
9 99
10 0 120
11 55
12 12 120
3.2.6. ACTIVIDAD Nº 6
3.2.6.1. Propiedades de la multiplicación
Las propiedades más importantes de la multiplicación de números
naturales son: Clausurativa, conmutativa, asociativa, Modulativa y la
propiedad distributiva.
Sean a, b, c
a) Propiedad Clausurativa.- en una multiplicación de números
naturales, el producto de 2 o más números naturales, es otro
número natural.
Ejemplo:
4 x 8 X 5 = 160
b) Propiedad conmutativa.- Es una operación binaria de números
naturales, en la que el orden de los factores no altera o varia el
producto de la operación, simbólicamente tenemos.
Sean a, b si a.b = b. a
Ejemplo:
Multiplicando Verificando
Igual
producto
53
c) Propiedad Asociativa.- consiste en multiplicar tres o más
factores, y a su vez se los puede asociar de diferentes formas,
multiplicando el primer factor por el tercero y el producto
multiplicando por el segundo factor de tal manera que el producto
total no altera indistintamente el orden de los factores en los que
se pueda iniciar.
Sean a, b, c si a. b. c = (a.b).c =a. (b. c)
a b c = (a b) c = a (b c).
Ejemplo:
8 4 7 = 224 8 (4x 7 ) = 224
(8 x4) 7 8 28
32 7
224 224
d) Propiedad Modulativa.- En la multiplicación del conjunto de los
números naturales la unidad (1) es el elemento neutro, por lo
tanto el producto no altera.
a 1 = a
5 1 = 5
e) Propiedad distributiva.- consiste en multiplicar un número natural
por cada sumando de la adición para luego sumar los resultados.
Ejemplo.
8 x ( 5 + 4 ) 8 x ( 5 + 4 ) = 8 x 5 + 8 x 4
= 40 + 32 = 72
Verificación: se procede a realizar la adición y la suma obtenida se
Multiplica por el factor correspondiente.
8 x (5 + 4) 8 x (9) = 72
Ejemplo
7 x (15 – 3) = 7 x 15 - 7 x 3
54
= 105 - 21 = 84
Verificación: se procede a realizar la sustracción y la diferencia
Obtenida se multiplica por el factor correspondiente
7 x (15- 3) 7 x (12) = 84
3.2.6.2. Actividad Individual de clase.
1. Compruebe la propiedad conmutativa de la multiplicación de los
números naturales
5, 10 y 8.
2. Compruebe la propiedad asociativa de la multiplicación con los
siguientes números naturales 3, 4 y 2.
3. Aplique la propiedad distributiva de la multiplicación y realice la
comprobación de la siguiente operación: 8 ( 6 +9)
3.2.6.3 Actividad de refuerzo
1. Compruebe la propiedad conmutativa de la multiplicación de los
siguientes números naturales 8, 10 12
2. Compruebe la propiedad asociativa de la multiplicación con los
números naturales 7, 9 y 10
3. Aplica la propiedad distributiva y realice la verificación:
7 x ( 8 + 6 ) =
3.2.7. ACTIVIDAD Nº7
3.2.7.1 POTENCIACIÓN DE NÚMEROS NATURALES
Definición.- Es una operación que resulta de la suma de varios
sumandos iguales, o también como una multiplicación abreviada, que
consiste en el producto de varios factores iguales.
Simbólicamente lo escribimos:
an = a x a x….a
factores
= B
Numéricamente lo describimos de la siguiente manera:
55
23 = 2 x 2 x 2 = 8
Los términos de la potenciación de los números naturales son, base,
exponente, factores y potencia.
4 Exponente
2 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16
Base Factores Potencia
3.2.7.2 PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN DE NÚMEROS
NATURALES
1. Un número natural elevado a la cero es igual a uno ( 1)
a0 = 1 80 = 1
2. Un número natural elevado a la unidad es igual al mismo número.
b1 = b 51 = 5
3. Producto de potencias con la misma base, es otra potencia con su
misma base y cuyo exponente resulta de la suma de sus exponentes.
am. an = am+n 64. 63 = 64+3 = 67.
4. División de potencias con la misma base, se escribe la misma base y
se restan los exponentes.
b6÷ b2 = b6-2 = b4 24 ÷ 22 = 22
5. Potencia de una potencia, se conserva la misma base, y se multiplica
los exponentes.
(am)n = am x n (132)3 = 132 x 3 = 136
6. Producto de potencias con el mismo exponente.- es otra potencia con
el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.
an. bn = (a. b)n 23. 43 = (2.4)3 = 83
7. Cociente de potencias con el mismo exponente.- es otra potencia con
el mismo exponente y la base es el cociente de las bases.
an ÷ bn = (a ÷ b )n 62 ÷ 32 = (6 ÷ 3)2 = 22.
3.2.7.3. ACTIVIDADES EN CLASE.
Escribe en forma de una sola potencia
56
Realizar las siguientes operaciones con potencias aplicando las
propiedades estudiadas.
3.2.7.4. El mínimo común múltiplo y máximo común divisor de los
Números Naturales
3.2.7.4.1 Mínimo Común Múltiplo de dos o más números naturales, es
el número múltiplo común de todos los números que están conformando
un ejemplo. Para calcular el m.c.m. de los números naturales, se
descompone en sus factores primos, luego se los expresa como producto
de factores primos, y el mínimo será el resultado de multiplicar los
factores comunes y no comunes elevados a su mayor potencia.
Ejemplo
m.c.m. = 23.32.52 = 8.9.25 = 1800
1. 33.34. 3 = 33+4+1 = 38 2. 57 ÷ 53 = 57-3 =
3. (53)4 = = 4. (5.2.3)4 = =
5. 27 ÷ 26 = = 6. (83)2 = =
7. (22)4 = = 8. (4.2.3)4 = =
9. [(24)3]0 = = 10 [(53)4]2 = =
1. 33.34. 3 = 33+4+1 = 38 2. 57 ÷ 53 = 57-3 =
3. (53)4 = = 4. (5.2.3)4 = =
5. 27 ÷ 26 = = 6. (83)2 = =
7. (22)4 = = 8. (4.2.3)4 = =
9. [(24)3]0 = = 10 [(53)4]2 = =
1. (2)2. ( 2 )3. (2 )4 =
2. (2)2. ( 2 )0. (2 )1 =
3 22 ÷ 23 =
4. [ (2)2 ]3.(2)3 (2)4 =
5. [(3)6 ÷(3)3]3.(3).(3)4 =
1. 33.34. 3 = 33+4+1 = 38 2. 57 ÷ 53 = 57-3 =
3. (53)4 = = 4. (5.2.3)4 = =
5. 27 ÷ 26 = = 6. (83)2 = =
7. (22)4 = = 8. (4.2.3)4 = =
9. [(24)3]0 = = 10 [(53)4]2 = =
1. 33.34. 3 = 33+4+1 = 38 2. 57 ÷ 53 = 57-3 =
3. (53)4 = = 4. (5.2.3)4 = =
5. 27 ÷ 26 = = 6. (83)2 = =
7. (22)4 = = 8. (4.2.3)4 = =
9. [(24)3]0 = = 10 [(53)4]2 = =
57
3.2.74.2. Máximo Común divisor (M.C.D) de dos o más números
naturales, será los factores primos comunes con su menor exponente
número natural mayor que los divide exactamente.
Para calcular el máximo común divisor de los números naturales, se lo
puede determinar por la descomposición factorial de los números,
tomando los factores comunes elevados al menor exponente, y el
producto de los factores será el MCD.
Calcular el MCD, de los siguientes números por descomposición de
factores primos.
a) 36, 48. 60.
36
18
9
3
1
2
2
3
3
48
24
12
6
3
1
2
2
2
2
3
60
30
15
5
1
2
2
3
5
36= 22.32 48= 24.3 60= 22.3.5
MCD: 22.3= 12
Trabajo Académico Individual
Calcular el MCD de (20,40,60)
Calcular el MCD de (48,72, 84)
Determinar el mcm de (4,6)
Encontrar el mcm de (9,10,15)
Nota: para resolver problemas de aplicación con los números naturales
debemos de tomar en cuenta, ciertas características, para saber si
debemos sacar el m.c.m. o el M.C.D.
Así por ejemplo cuando en el problema soliciten algún dato que coincidan,
repetir, encontrar se aplicara el m.c.m.
Cuando se necesite encontrar el máximo, mayor, el más grande, más
amplio, se debe sacar el M.C.D.
Resuelva los siguientes problemas aplicando el m.c.m. y el M.C.D.
58
1. Laura Rosa y Antonia compran 60m, 80m y 100m de tela, y deben
distribuir a 12 personas en cantidades iguales, determine ¿cuantos
metros le corresponde a cada persona? Sol: 20m.
2. Cuatro atletas recorren una pista de 1000m, el primero recorre 8
vueltas en 10 minutos, el segundo atleta recorre 12 vueltas en 16
minutos, el tercer atleta recorre 18 vueltas en 16 minutos y el
cuarto atleta recorre 22 vueltas en 20 minutos. ¿En qué tiempo
coincidirán todos los atletas en la línea de salida. Sol:48
3. Seis campanas tocan a intervalos de 3, 5, 7, 8, 9, 19 segundos,
respectivamente. ¿Qué tiempo pasará entre dos toques
simultáneos de todas las campanas? Sol: 40
4. De cuántas maneras se pueden colocar en rectángulo de varias
filas 24 árboles?, ¿y 30 árboles?, ¿y 42 árboles? Sol: 35
3.2.8. ACTIVIDAD Nº 8
3.2.8.1. Operaciones combinadas
Llamadas así, por la variedad de operaciones básicas que se presentan
en un mismo ejercicio planteado, y para resolver debemos considerar un
orden jerárgico de resolución, iniciando por eliminar los paréntesis y
corchetes, si es que los hubiere, seguidamente efectuar las
multiplicaciones, divisiones y finalmente adiciones y sustracciones.
Ejemplos:
[4 + (3 x 2)] = 4 + 6
= 10
[13 –( 2 x 4)] = 13 – 8
= 5
[(3 x 2) – 4 + 5] = (6 – 4) + 5
= 7
3.2.7.1. Actividad individual de clase
1. Halle el valor de:
10 + (8 x 6) + 12=
80 –( 5 x 6) + 4=
(5 x 4) + (8 x 9) – (7 x 5)=
2. Si a = 3; b = 4; c = 5. Halle el valor de:
a + b – c=
59
a x b – c=
a x c – b=
3. Un comerciante compra 4 docenas de chompas. Si cada chompa le
cuesta$ 85 ¿Cuánto es la inversión que realiza?
4. Nuestro colegio desea adquirir 13 computadoras que cuestan $ 697
cada una, 345 sillas a $ 8 cada una y 3 hornos para procesar pollo
ahumado a $ 175 cada horno. Para esto se dispone de $ 13567
Determine si es posible realizar dicha operación comercial.
3.2.7.2. Actividad de refuerzo
1. Halle el valor de:
38 – (3 x 12) =
(4x 3) - 4 + 2 =
6 + (3 x 5) + (4 x 7) =
2. Si a = 2, b=5 y c= 6, halle:
a x b + c =
a + c x b =
3. Para la biblioteca del colegio se compran 96 libros a $ 48 cada uno; 8
libros a $ 73 cada uno; 9 libros a $ 57 cada uno y 19 equipos de
computación a $987 cada equipo ¿cuánto se debe pagar?
4. Un automóvil recorre 88 km cada hora ¿cuántos kilómetros recorrerá
en 12 horas?
5. En un terreno rectangular, se desea sembrar ordenadamente y
equidistante plantas de tomate, 8 plantas a un lado (frente) y 9 por el
otro lado(fondo).Si el primer año, cada planta produjo
aproximadamente 2320 tomates, determine el número de tomates que
se cosecharán
8 plantas 9 plantas
60
6. Resolver el mismo problema anterior si el terreno es de forma de un
rombo
3.3. SUBCONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES POSITIVOS
3.3.1. Definición.- fracción es una división indicada de dos números,
donde el divisor es diferente de cero.
Elementos
rdenominado5
numerador4 Raya de fracción
3.3.2. Interpretación de las fracciones.
Primero recordemos de los años anteriores, la forma utilizada en la lectura
de las Fracciones.
Para leer un número fraccionario, se nombra primero el numerador y
luego el denominador, si este es menor a 11 debemos decir medios,
tercios, cuartos, etc. Si el denominador es mayor a 10, se nombra el
número seguido de la terminación avo (Gonzales, Palacios, & Ponce,
2001)
Ejemplos. Fracción Lectura
Un medio
Un quinto
Tres séptimos
Ocho treceavos
Once veinte y treceavos.
3.3.3. Interpretación gráfica
Tomemos una figura cualquiera, por ejemplo un rectángulo y dividámoslo
en 7 partes iguales.
1 2 3 4 5 6 7
Si de estas siete partes iguales, tomamos 2 de ellas, estamos
interpretando la fracción 2/ 7.
1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7
2
1
5
1
7
3
13
8
23
11
61
7
2
Ejemplos:
Observemos la interpretación gráfica en un círculo.
8
6 5
4 3
2 6
5
También podemos interpretar gráficamente en diferentes polígonos así
tenemos:
3
2 4
3 5
3
3.3.4. Fracción Impropia.
Es aquella fracción cuyo numerador es mayor que el denominador.
ejemplo:
15
73 ,
3
18 ,
5
7 ,
3
4
Para interpretar gráficamente una fracción impropia, se debe considerar 2 o más figuras.
Ejemplo: Interpretar gráficamente la fracción 3
7
3
7
3.3.5. ACTIVIDAD Nº 9
1. Escriba la lectura de las siguientes fracciones:
62
Fracción Lectura
3
4
7
3
35
13
375
143
68
19
2. Indique el significado de las siguientes fracciones propias.
Fracción Significado
5
2 El número
significa que una unidad se ha dividido en 5
partes iguales (denominador) y de éstas se han tomado 2 (numerador)
Fracción Significado
8
3
17
12
13
9
3. Indique el significado de las siguientes fracciones impropias:
Fracción Significado
El número 7/3 indica que se toma 3 unidades divididas en 3 partes iguales en las dos primeras unidades se han tomado las tres partes y en la tercera unidad se ha tomado una parte.
Fracción Significado
3
4
5
7
6
9
3
7
63
4. En cada uno de los gráficos propuestos, escriba la fracción
correspondiente a)
b)
5. Interprete gráficamente las fracciones dadas.
6
3 (utilice un triángulo)
4
9 (utilice dos círculos)
4
1 (utilice un rombo)
8
4 (utilice dos triángulos)
3.3.6. ACTIVIDAD DE REFUERZO
Escriba 5 fracciones propias y 5 fracciones impropias.
A la derecha de las fracciones dadas, escriba la respectiva lectura:
Fracción Significado
2
3
17
23
9
11
5
8
65
38
1. Realice la interpretación gráfica de cada una de las fracciones
dadas.
64
6
7
3
7
9
17
5
9
2. Interpreta gráficamente las siguientes fracciones ( utilice cualquier figura).
5
3
6
8
4
13
8
5
8
5
7
18
6
7
3.3.7. Principio fundamental de las fracciones
3.3.7.1. Fracciones equivalentes.
Dos fracciones son equivalentes si los productos en “cruz” son iguales.
Ejemplos:
65
1. :que puesto es,equivalentson 12
3
8
2y 3 x 8 12 x 2
2. :que puesto es,equivalentson 5
10
3
6y 10 x 3 5 x 6
3.3.8. Amplificación de fracciones
Definición.- Se multiplica los dos términos de una fracción por un mismo
número, se obtiene una fracción equivalente a la primera
Ejemplos:
1. De la fracción 5
3 , obtener la fracción equivalente a 10
6 .
10
6
25
23
5
3
x
x
5x6 3x10 porque es,equivalentson 10
6
5
3y .
2. De la fracción 3
1 , obtener la fracción equivalente a 9
3 .
9
3
33
31
3
1
x
x
3x3 1x9 porque es,equivalentson 9
3
3
1y .
3.3.9. Simplificación de fracciones Si se dividen dos o más términos de una fracción por un mismo número,
se obtiene una fracción equivalente a la primera.
Ejemplos:
1. Simplifique y halle la fracción equivalente a 24
18 .
Para simplificar una fracción se debe dividir sucesivamente, tanto el numerador como el denominador, para un mismo número divisor.
Entonces 12
9
224
218
24
18
4
3
312
39 :luego
que puesto es,equivalentson 4
3y
24
18
3 x 24 4 x 18 .
2. Simplifique y halle la fracción equivalente a 120
32 .
,60
16
2120
232
120
32
,30
8
260
216 :luego
15
4
230
28 finalmente
66
4 x 120 15 x 32
3.3.10. Fracción irreducible.
Una fracción se denomina irreducible cuando no puede ser simplificada,
es decir cuando el numerador y denominador, son primos entre sí.
Ejemplos: 7
31,
4
3,
23
9,
11
13,
7
5,
2
1 etc.
3.3.11. TALLER DE CLASE Nº 10
NOTA CURIOSA: existen dos tipos de fracciones cuyos resultados se obtienen, decimales finitos e infinitos que se obtienen al dividir dos números naturales así por ejemplo:
Números decimales finitos.- Son aquellos que provienen al dividir una fracción y se los puede escribir como fracción decimal así por ejemplo.
5/2 = 2.5 50/100= 0.5 2/5 = 0.4
Números decimales Infinitos.- considerados así porque su parte decimal se repite infinitamente una o más cifras decimales
10/3 = 3.3333…… 22/3 = 7.33333333… 725/3 =241.6666667…
Números decimales periódicos.- después de la coma hay números que se repiten infinitamente. o (periodo) ejemplos. 7/11 = 0.63636363…. 11/30 = 0.366666…
1. Determine si las siguientes pares de fracciones son equivalentes.
12
8
3
2y
....................................:cuantopor es,equivalentson si
6
45
2
15y
....................................:cuantopor es,equivalentson si
117
52
12
8y
....................................:cuantopor es,equivalent ..........
42
16
34
12y
....................................:cuantopor es,equivalentson No
2. Simplifique las siguientes fracciones, hasta obtener una fracción
irreducible en cada caso.
45
180
60
48
120
64
67
48
36
180
224
324
504
050
7001
3.3.12. ACTIVIDAD DE REFUERZO Nº 11 1. En los ejemplos siguientes compruebe si son fracciones equivalentes.
13
8y
5
2
52
160y
3
8
27
18y
6
4
84
42y
20
10
36
48y
3
4
21
9y
7
3
2. Simplifique las fracciones siguientes y obtenga una fracción
irreducible.
99
55
64
48
72
40
160
120
3
33
3. Conteste a las siguientes interrogantes:
¿Cuántos medios equivalen a un entero?
¿Cuántos tercios equivalen a un entero?
68
¿Cuántos tercios equivalen a dos enteros?
¿Cuántos octavos equivalen a 2 enteros?
3.4. GEOMETRÍA Y MEDIDA
3.4.1. Historia de la geometría.
Aproximadamente 3000 A.C. los egipcios debido a las constantes
inundaciones de sus terrenos que se encontraban cerca del rio Nilo, los
habitantes necesitaban medir nuevamente sus terrenos, y construir las
pirámides y monumentos que les caracterizaba a estos habitantes
necesitaban conocimientos sobre la geometría, después de siete siglos la
geometría pasa a los griegos. (Samaniego & Freile, 2007)
3.4.2. Definición
Los griegos le dieron su significado a la geometría, en dos vocablos que
significa medición de la tierra, (geo- Metrón) y se encarga del estudio de
las propiedades y relaciones de las figuras geométricas
3.4.3. Expresiones
Las figuras básicas de la geometría son:
Punto geométrico, llamado así porque no tiene ninguna dimensión, se
simboliza convencionalmente mediante un punto ortográfico, de la
dimensión menor posible.
Cada punto se representa mediante una letra mayúscula situada a uno de
los lados del punto.
A
Recta es una figura geométrica formada por un conjunto infinito de
puntos, que salen en la intersección de dos puntos
Plano Es el espacio de dos dimensiones, consideradas como
superficies formada por un conjunto infinitos de puntos, sin espesor.
69
Ángulos es la figura formada por la unión de dos líneas, trazadas
desde un mismo punto, los elementos básicos del ángulo son, el
vértice y los lados
3.4.4. Clasificación de los ángulos
a) POR SU MEDIDA:
Ángulo Agudo llamado asi por que su medida no supera los 90º
(menos de 90º)
Ángulo Recto se lo define por que su medida es exactamente de
(90º)
Y su símbolo en el ángulo es un cuadrado similar a una caja
70
Ángulo Obtuso es aquel que mide más de de 90º, pero menos de
180º
Ángulo Llano se lo describe asi por que su medida es de 180º
Ángulo Cóncavo llamados asi por que su medida es mayor a 180º
71
b) POR SU POSICIÓN:
Ángulo adyacente.- se definen así a dos ángulo consecutivos cuyos lados no comunes son rayos opuestos.
Ángulos complementarios.- La suma de dos ángulos dan como resultado 90º.
α + β = 90º
Ángulos suplementarios.- si se suma dos ángulos se obtiene un ángulo llano de 180º.
α + β = 180º
Ángulos opuestos.- la unión de dos líneas que se interceptan en un
punto generan ángulos opuestos por el vértice.
72
Ángulos formados por una secante.
Ángulos correspondientes entre paralelas.
Ángulos alternos entre paralelas.
1 = 5 2 = 6 3 = 7 4 = 8 1 = 7 2 = 8 3 = 5 4 = 6
Ángulos contrarios o conjugados Son suplementarios (suman 180°)
1<6 2<5 3<8 4<7 1<8 2<7 3<6 4<5
73
3.4.5. TALLER DE CLASE N°12
1. Contesta las siguientes interrogantes que detallamos a
continuación:
Cuántos puntos determinan un plano?
Cuál es la intersección de dos planos
Cuál es la intersección de dos rectas
Cuántos puntos determinan una recta y como se lo escribe
Indica cuántos puntos como mínimo necesitas para determinar un
plano
Escribe tres objetos de tu casa que te den la noción de recta, punto
y plano.
3.4.6. ACTIVIDAD DE REFUERZO N°13
Identifica la mejor definición para el término vértice.
a) Es el conjunto de todos los puntos-----------------------------
b) Semirrecta que divide al ángulo en dos partes iguales------------------
c) Es el punto en común que es origen de los lados-------------------------
d) Unión de dos segmentos ------------------------------------------
e) Construye un ángulo agudo y determina su medida exacta.
f) Construye un ángulo obtuso y determina su medida exacta
g) Construye un ángulo recto y determina su medida exacta.
3.4.7. Polígonos
Son figuras geométricas que tiene tres o más ángulos y tres o más lados,
se caracterizan por que las rectas que lo unen siempre están conectadas
3.4.7.1. Elementos de un polígono.- sus elementos básicos son los
siguientes
Vértices : A, B, C, D
Lados : a, b, c, d
Ángulos :α, β, γ, δ
Diagonales : e, f
Los vértices se los escribe con letras
mayúsculas, los lados con letras minúsculas, los ángulos se los
representa con letras del alfabeto griego y las diagonales se las escribe
con líneas discontinuas.
74
3.4.7.2. Clasificación de los polígonos.- los polígonos se clasifican
de acuerdo al número de lados y se lo describe en el siguiente
cuadro.
NÚMERO DE LADOS
NOMBRE
3 Triángulo
4 Cuadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octágono
9 Nonágono
10 Decágono
3.4.8. Triángulo
Es un polígono que tiene tres lados, tres ángulos y la medida del ángulo
interior es de 60º
3.4.8.1. Teorema importante
En todo triángulo rectángulo, la suma de los ángulos interiores es 180º
Sus elementos son:
3 ángulos:α, γ, β.
3 vértices: A, B, C.
3 lados: a, b, c.
3.3.8.2. Clasificación de los triángulos
Se clasifica:
Según sus lados (a, b, c)
Equilátero: Es un triángulo que todos sus lados son iguales a = b = c
Isósceles: La figura se presenta, con un lado distinto Ejemplos: a = b ≠ c
75
Escaleno: Todos los lados del triángulo son desiguales a ≠ b ≠ c
Según sus ángulos interiores (α, γ, β)
Acutángulo: Tres ángulos agudos (menor a 90°)
Rectángulo: Se denomina así porque está formado por ángulo recto igual
a 90°
Obtusángulo: Formado por un ángulo obtuso (mayor a 90°)
3.4.9. ACTIVIDAD DE CLASE.N°14
1. Construye un triángulo rectángulo y anota la simbología respectiva,
luego mide cada uno de los ángulos y comprueba la suma del teorema
de la suma de los ángulos internos.
2. Construya un triángulo equilátero, anota la simbología respectiva y
luego mide en centímetros cada uno de sus lados
3. Grafica ene le sistema cartesiano los puntos P (-4,4), Q(4,-2) y R(-3,-
2), luego une los puntos y forma un triángulo, mide los ángulos
interiores comprobando que la suma es 180º, finalmente anota que
tipo de triángulo es.
4. Escribe el nombre de cada triángulo según sus lados.
3.4.10. ACTIVIDAD DE REFUERZO.
1. Construye un triángulo de 3cm de lado, escribe su simbología y halla
el perímetro
2. Traza un triángulo isósceles, un triángulo equilátero y un triángulo
escaleno. Escribe su simbología, mide sus lados y calcula el perímetro
de cada uno de ellos.
3.4.11. Congruencias de triángulos.
Dos triángulos son congruentes, cuando tienen la misma forma y tamaño,
el símbolo para denotarlos es que significa es congruente. (Licido,
2013)
76
3.5. ESTADÍSTICA
Es la parte dela matemática, encargada de recolectar, clasificar, describir
e interpretar los datos.
3.5.1. ACTIVIDAD DE CLASE.N°15
1. En tu salón de clase y con la ayuda de tus compañeros, toma los datos
y completa los cuadros:
Deportes preferidos.
Variable Estadística Conteo Frecuencia
Fútbol
Básquet
Tenis
Voleibol
Ciclismo
Total
2. Contesta las siguientes preguntas.
¿Cuál es el deporte preferido en tu clase?
¿Cuál otro deporte tiene buena aceptación?
¿Cuál es el deporte de menos aceptación?
Equipos preferidos
VARIABLE ESTADÍSTICA
CONTEO FRECUENCIA
Barcelona
L.D.U
Emelec
El Nacional
Deportivo cuenca
Deportivo Quito
Total
¿Cuál es el equipo es el más popular en tu clase?
¿Qué equipo tiene buena aceptación?
¿Cuál es el equipo menos popular en tu clase?
3.5.2. Población y muestra estadística.
3.5.2.1. Población
Es el conjunto de datos, en donde tomamos toda la información sujeta de
análisis de la investigación.
Ejemplos:
77
Los alumnos de clase.
La vía láctea
3.5.2.2. Muestra
Es un subconjunto de la población a investigar. Ejemplos
Los planetas del sistema solar.
Los colores que inician con la letra a
3.5.3. ACTIVIDAD DE CLASE N°16
Observa el siguiente cuadro estadístico y responde V o F, según
corresponda.
Variable estadística (x) preferencias de ritmos musicales de un grupo de
29 personas
X CONTEO f * ¿Cuál es la música que este grupo escucha con mayor frecuencia? *¿Cuál es la música que este grupo escucha con menor frecuencia? *¿Cuál es la población? *¿Qué significa el conteo?
Rock IIIIIIII 8
Salsa II 2
Romántica IIII 4
Jazz IIIII 5
merengue IIIIIII 7
vallenato III 3
Total 29
3.5.4. Frecuencias absoluta y relativa
Frecuencia Absoluta de una variable es el número de veces que
aparece dicha variable.
Ejemplo. En la siguiente tabla, observa la distribución de frecuencias.
Variable estadística: colore preferidos de un grupo de 42 personas
X F.
ABSOLUTA * el número de personas que prefiere cada color se llama Frecuencia absoluta.
Rojo 10
Verde 5
Blanco 8 *la frecuencia absoluta de las personas que prefieren el color azul es 6.
Negro 4
amarillo 9
Azul 6 *El color que tiene la mayor frecuencia es el rojo
Total 42
78
Frecuencia relativa: Es el cociente entre la frecuencia absoluta y
el número total de datos.
( ) ( )
x absoluta F. Relativa
* la frecuencia relativa del color
Rojo 10 0,238 Blanco es o,190
Verde 5 0,119
Blanco 8 0,190
*la menor frecuencia relativa es la de
Negro 4 0,0952 Color negro
amarillo 9 0,214
azul 6 0,742 *La sumatoria de todas las frecuencias
Total 42 1,00 Es 1.
3.5.5. Organización de datos
Organizar un grupo de datos significa contabilizarlos, procesarlos y
presentarlos en una tabla de distribución de frecuencia
3.5.6. Gráfico de barras
Permiten interpretar y analizar con mayor facilidad de los datos obtenidos,
para realizar este grafico se utiliza el primer cuadrante del plano
cartesiano, en el eje de las abscisas, se ubica la variable estadística y en
las ordenadas los valores de la frecuencia absoluta o relativa.
Ejemplo.
3.5.7. Histogramas
Se usan histogramas cuando los datos de los variables estadística vienen
expresados en intervalos, como las variables representan intervalos, las
barras se construyen una a continuación de la otra
Variable
estadísticaFa
A 5
B 10
C 25
D 20
E 10
Total
79
Ejemplo; elabora el histograma de la siguiente tabla.
Variable estadística
fa
2 - 4 6
4 - 6 2
6 – 8 4
8 – 12 10
10 - 12 8
Total 30
3.5.7.1. Grafico poligonal
También llamado polígono de frecuencias y se dibuja a partir de un
histograma, uniendo la parte terminal con líneas rectas, permitiendo
apreciar de manera global el comportamiento de un evento, o la
interpretación de los datos investigados.
Ejemplo
3.5.7.2. Gráfica de la Ojiva
O polígonos de frecuencias acumuladas, tiene como objeto mostrar la
distribución de frecuencias de un conjunto de datos, se construye en un
sistema de ejes de las coordenadas, se registra la escala de las
frecuencias acumuladas y en el de las abscisas los valores de las
variables expresadas en x, los límites de los intervalos.
80
Ejemplo en la presente encuesta observamos la medida de estatura de 40
personas en cm, elaborar una tabla de frecuencia y representar
gráficamente en una ojiva.
Los datos son los siguientes:
175 173 181 169 195 196 177 174 170 168 185 173 170 168 172
179 184 183 176 188 179 177 172 180 193 195 178 187 190 192
188 180 172 169 171 176 184 183 180 179
Rango de variación.
R = Xmax – Xmin. ( valor máximo de los datos menos el valor mínimo)
R = 196 – 168
R= 28
Se determina la amplitud de los intervalos:
C = R/K = 28/7 = 4
Nº intervalos f.ab f. acum
f. relativa %
1 168-172 10 10 0,25 25%
2 172-176 6 16 0,15 15%
3 176-180 9 25 0,225 22,50%
4 180-184 5 30 0,125 12,50%
5 184-188 4 34 0,1 10%
6 188-192 2 36 0,05 5%
7 192-196 4 40 0,1 10%
total 40 100%
Para encontrar la frecuencia relativa se encuentra el cociente entre la
frecuencia acumulada y el número total de casos.fr= 10/40 = 0.25
% = fr.100
01020304050
fre
cue
nci
a ac
um
ula
da
Intervalos
Grafica de la ojiva
Series1
81
3.5.7.3. Grafico circular
Es otra forma de presentar los datos, se la conoce como grafico pastel. El
total de los datos corresponde a 360º, el valor de la frecuencia
corresponderá a la parte proporcional, y se calcula a través de una simple
relación de la frecuencia acumulada entre el número de datos.
Ejemplo
3.5.8. ACTIVIDAD DE REFUERZO
Con los datos de la tabla, elabora un diagrama de barras, un histograma,
un polígono de frecuencia y un gráfico circular.
Variable estadística
Frecuencia absoluta
2- 6 10
7-11 25
12- 16 15
17- 21 20
22-26 30
Total 100
Diagrama de barras
Variable
EstadísticaFa ángulo
A 10 36
B 25 90
C 40 144
D 5 18
E 20 72
Total 100 360
82
Histograma
Polígono de frecuencia
Con los datos de la tabla anterior, determine los datos de la frecuencia,
relativa,, frecuencia acumulado y el porcentaje, luego represente
gráficamente en el sistema de coordenadas la ojiva.
83
3.6. EVALUACIÓN DEL TALLER DE NIVELACIÓN
INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN SUMATIVA Página 1 de 2
Nivel: Básica Media Área: Instrumental
Asignatura: Matemática Año Lectivo 2015-2016 Curso: octavo
Paralelos: A Y B
Quimestre :
Docente: Lic. Sonia E. Hurtado A. Nivelación de conocimientos
INDICADORES ESENCIALES DE EVALUACIÓN: Resuelve Operaciones combinadas con números naturales Identifica las propiedades de los naturales Ordena de mayor a menor los números naturales
ESTUDIANTE: Fecha: DESTREZAS
CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
ÍTEMS Valor
Aplicar las propiedades de la adición de números naturales Aplica la relación de orden en la escritura de números naturales Efectúa en orden jerárgico las operaciones combinadas
1.ESCRIBE UN EJEMPLO DE LAS PROPIEDADES:
a. conmutativa b. Modulativa
c).Aplica la propiedad asociativa en la siguiente adición 8 + 7 + 3 = _________________________ 2. QUE PROPIEDADES DE LA ADICIÓN SE CUMPLEN EN LA SUSTRACCIÓN. MARCA CON UNA (X) a). Clausurativa ( ) b).Conmutativa ( ) c.)Modulativa ( ) 3. Dado el siguiente conjunto de los Números Naturales ordene de menor a mayor A = {4, 12. 1, 0, 16, 7, 13, 34, 45, 17, 10,}
4- REALIZA LO INDICADO EN CADA LITERAL. a. Efectúa primero las operaciones que están entre los paréntesis. Resuelve. 12 × (7+3) -11=----------------------------------------------------- 9×(8-3) + 45 = __________________________________ (6×9)+ (24+15) +60=______________________________ (12×5)-(17-24)-14 = ______________________________ b. Expresa cada producto como una potencia. 3 3 3 3 3 3 3 5 5 3 5 3 5 5= _______________ 7 3 7 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 32 5= ________________ c. ¿Cuál es la medida del lado de cada cuadrado, si su área es de 81 cm
2? _____________
5. COLOCA EN LOS ESPACIOS EN BLANCO LOS SIGNOS ( +, -, ,÷),PARA QUE SE CUMPLAN LAS SIGUIENTES IGUALDADES.
.
1.5 0.5 0.5 2 1,5
84
Resuelve operaciones con números racionales Grafica e interpreta cuadros estadísticos Identifica la clasificación de los polígonos regulares
6.RESUELVE a. El continente americano ocupa 3/10 de la superficie terrestre y el continente africano ocupa11/50. ¿Qué superficie terrestre ocupan entre los dos? b. Si Oceanía ocupa3/50 de la superficie terrestre, ¿cuál es la diferencia entre las fracción es de superficie continental que ocupan América y Oceanía? c. La edad de Sebastián es 1/2 de 2/3 de la edad de David. ¿Qué fracción de la edad de David tiene Sebastián? Si David tiene 24 años, ¿cuántos años tiene Sebastián? d. El producto de dos números es 5/21. Si uno de los factores es ,3/7 ¿cuál es el otro factor? 7. REPRESENTA EN UN DIAGRAMA DE BARRAS O EN UN DIAGRAMA POLIGONAL LA INFORMACIÓN DE LA TABLA.
Asistencia a la clase de música durante una semana
Día Número de asistentes
Lunes 12
Martes 10
Miércoles 15
Jueves 7
viernes 18
8. INDICA SI LA AFIRMACIÓN ES VERDADERA (V) O FALSA ( F).
a. Un triángulo equilátero es un polígono regular.__
b. Un polígono es regular si tiene lados de la misma longitud y ángulos de la misma medida. ___
c. Si el perímetro de un hexágono regular mide 42 cm, entonces su lado mide 6 cm. ____
d. Las medidas de los ángulos de un cuadrilátero son: 120º, 85º, 53º, 102º,entonces el cuadrilátero es regular ____
1.5 1.5 1
TOTAL 10
EQUIVALENCIA 10/10 …..../10
ELABORADO VALIDADO VISTO BUENO
DOCENTE:
DIRECTORA DE ÁREA:
VICERRECTOR
Firma:
Fecha: Oña, septiembre 2015
Firma:
Fecha: Oña, septiembre
del 2015
Firma:
Fecha: Oña septiembre del
2015
85
CAPÍTULO IV
4. RESULTADOS
4.1. ANÁLISIS DE LA REFORMA CURRICULAR
La Reforma Curricular pretende desarrollar en el estudiante las destrezas
con criterio de desempeño que serán útiles en el proceso de enseñanza
aprendizaje, que deben estar relacionadas con el currículo de cada área,
utilizando los recursos y materiales que permitan dar cumplimiento a lo
planificado por el docente, y estar en concordancia con los criterios
pedagógicos del pensum de estudio.
De manera general, la propuesta impulsa al docente a poner énfasis en el
tratamiento de los contenidos de las áreas, trabajando con materiales,
situaciones y experiencias de la vida cotidiana. Añade el empleo de
materiales propios del medio, los que deben ser orientadores en la
selección o producción de los recursos didácticos. Bajo un marco legal
que dan sustento a los cambio realizados.
Al hacer referencia a la actualización de la Reforma Curricular de
Educación General Básica, y conscientes de la necesidad de que los
docentes de Educación General Básica, se preparen permanentemente
para brindar una educación de calidad a los niños y niñas de nuestro
cantón y con el propósito de contribuir al mejoramiento del proceso de
aprendizaje de las destrezas de esta área, permite el desarrollo de
ciudadanos competentes y puedan servir como método de inclusión en la
sociedad.
El aprendizaje de la matemática debe ser contextualizado y realista de
acorde a las necesidades y entorno de la sociedad en que se lleva la
enseñanza.
La matemática debe ser representativa, interesante y motivadora, a fin de
conseguir que los estudiantes se involucren emotivamente en la actividad
y pongan interés.
A través de la presente propuesta y con el afán de mejorar la enseñanza
dela asignatura de matemática se propone la aplicación de la presente
guía metodológica pensando en los estudiantes que iniciarán el octavo
86
año de Educación General Básica, en los colegios de la cabecera
cantonal de Oña.
Mediante la presente propuesta se desea enriquecer las estrategias
pedagógicas del docente, para que la enseñanza de esta área permita el
desarrollo de las destrezas, razonamiento lógico y abstracto.
4.1.1. Bloque Curricular
Es el instrumento que permite poner en marcha los contenidos propuestos
por la reforma, está identificado a través de un título, denominado eje
integrador. El nombre asignado comúnmente le corresponde dar al
docente. Encargado de la elaboración de este plan. El tiempo previsto
para dar cumplimiento a lo planificado, están planeados con una duración
de cuatro a seis semanas, lo que dan como resultado 6 planificaciones al
año.
4.1.2. Objetivos del bloque curricular
Son indicadores concretos, de que es lo que quiere alcanzar, con el
tratamiento del bloque curricular, además sirve para integrar, unificar el
proceso de enseñanza aprendizaje, concentrar los esfuerzos del docente
y establecer relaciones entre aspectos, teóricos, prácticos de interés y
necesidad de los alumnos.
4.1.2.1. Destrezas
Se trata de una habilidad que hay que desarrollar en los estudiantes y se
trabaja mediante la aplicación de los contenidos de cada área.
Se considera también como un saber hacer, como la capacidad por la
cual una persona puede transferir un conocimiento, de manera autónoma,
cuando la situación lo requiera y saberlo reproducir en el momento más
oportuno, demostrando un aprendizaje significativo.
4.1.2.2. Contenidos
Constituyen los conocimientos científicos que en cada área han sido
seleccionados, como los medios adecuados para permitir que los
estudiantes logren el desarrollo de sus destrezas generales.
87
En la práctica el fin es la apropiación de los contenidos a través del
ejercicio o la manipulación, de objetos concretos y el análisis de
contenidos abstractos, integrándolos con la asimilación intelectual del
estudiante.
4.1.2.3. Estrategias metodológicas
Es el dominio en el manejo de ciertas técnicas, procedimientos y
métodos pedagógicos, que constituyen en herramientas necesarias en el
proceso de enseñanza aprendizaje, reconociendo que las experiencias le
han permitido alcanzar los resultados logrados.
En el área de matemática se procede a seguir, una secuencia basada en
las siguientes etapas, concreta, gráfica, simbólica y complementaria.
En la asignatura de matemática muchos textos resuelven el problema
didáctico en el siguiente método: exploración de prerrequisitos,
planteamiento del concepto, argumentos fundamentales, representación
si es necesario, descripción del algoritmo, evaluación de contenidos
asimilados y tarea de refuerzo.
El proceso descrito se basa en la transmisión de conocimientos mediante
la intervención del docente o de sus experiencias al estudiante, éste
último termina aplicando los procedimientos aprendidos en la resolución
de varios ejercicios
4.1.2.4. Material didáctico
Es el material empleado por los docentes y el estudiante, como son
textos y cuadernos de trabajo, algunos materiales son elaborados por los
mismos estudiantes con el fin de manipular material concreto y consolidar
de mejor manera los conceptos teóricos del tema tratado.
4.1.2.5. Evaluación
Es un elemento integral del currículo, se considera un proceso
permanentemente y sistemático. Es decir toda actividad por más pequeña
que sea es evaluada y de esta manera se va tomando los correctivos
necesarios a lo largo del proceso, lo que evidencia claramente la intención
del profesor de integrar la evaluación al proceso y emplear los resultados
88
obtenidos, para tomar decisiones que le permitan mejora la evaluación
pretende comprobar cuánto recuerda el estudiante del tema tratado y que
destrezas hay que reforzar con los estudiantes que no han comprendido
en su totalidad.
4.2. RESULTADOS DE LAS ENCUESTAS
Resultados de las encuestas realizadas en la cabecera cantonal Oña a
Docentes y Estudiantes. Se realizaron un total de 65 encuestas, 15
encuestas a docentes y 50 encuestas a estudiantes.
4.2.1. Resultados de las encuestas realizadas a docentes.
1. ¿En qué nivel realiza su labor docente?
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Primario 2 13%
Medio 13 87%
Total 15 100%
INTERPRETACIÓN: A través de la interrogante propuesta se ha podido
determinar que el 13% corresponde a docentes que laboran en el sector
primario y el 87% al sector secundario.
2. ¿Qué título posee?
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Bachiller 1 7%
Profesor de segunda enseñanza
1 7%
Lic. CC. EE. 12 80%
Dr. CC. EE. 1 7%
Otras 0 0%
Total 15 100%
INTERPRETACIÓN: De acuerdo a la pregunta se pudo obtener que el 7%
de los profesores que ejercen como tal son bachilleres, mientras que los
profesores de segundo orden y los Dr. CC EE conforman un 7%
independientemente y el 80% restante lo conforman Lic. CC EE
3. ¿El lugar de trabajo es adecuado?
a) Resultados b) Representación gráfica
89
Variable Frecuencia Porcentaje
Muy bueno 1 7%
Bueno 1 7%
Regular 12 80%
Malo 1 7%
Total 15 100%
INTERPRETACIÓN: en la interrogante propuesta se obtuvo los siguientes
porcentajes, el 6% respondió que es muy bueno, un 7% bueno, otro 7%
malo y casi en su mayoría respondió que las condiciones donde labora
son regulares.
4. ¿Qué relación laboral tiene con la institución?
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Nombramiento titular
8 53%
Contrato 7 47%
Total 15 100%
INTERPRETACIÓN: De un total de 15 docentes encuestados 8 que
representan el 53% cuentan con nombramiento y el 47% que son 7
encuestados mantienen contrato laboral.
5. ¿Considera que es importante la matemática en el nivel
primario?
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Si 15 100%
No 0 0%
Total 15 100%
INTERPRETACIÓN: Con dos opciones de respuesta la pregunta a
interpretar se define a un 100% a la opción si, considerando necesarias e
indispensables las matemáticas en el nivel primario.
6. ¿Realiza cursos de capacitación en el área de matemáticas?
a) Resultados b) Representación gráfica
90
Variable Frecuencia Porcentaje
Siempre 9 60%
A veces 3 20%
Pocas veces
2 13%
Nunca 1 7%
Total 15 100%
INTERPRETACIÓN: De acuerdo a la gráfica que se muestra se puede
observar que el 7% no se capacita, el 13% pocas veces, un 20% a veces
y un 60% siempre está en constante capacitación.
7. ¿En el proceso enseñanza aprendizaje usted utiliza?
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Exposición 5 33%
Computadora 4 27%
Cartelógrafos 2 13%
Mapas Conceptuales
3 20%
Calculadora 1 7%
Total 15 100%
INTERPRETACIÓN: De acuerdo al proceso de enseñanza aprendizaje
aplicado por los encuestados se pudo apreciar que el 7% utiliza
calculadoras, un 13% cartelografos, el 20% mapas conceptuales y el 27%
restante computadora.
8. ¿Realiza ejercicios de cálculo mental con sus estudiantes, en
que momento?
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Frecuentemente
6 40%
Rara vez 4 27%
Pocas veces 2 13%
Nunca 3 20%
Total 15 100%
INTERPRETACIÓN: La grafica presentada demuestra que el 13% pocas
veces realiza cálculos mentales, el 20% nunca, el 27% rara vez y un 40%
frecuentemente.
9. Cumple Ud. Con la programación planificada para el año
lectivo?
a) Resultados b) Representación gráfica
91
Variable Frecuencia Porcentaje
0 – 25% 0 0%
26 – 50% 0 0%
51 – 75% 12 80%
76 – 100 3 20%
Total 15 100%
INTERPRETACIÓN: Con respecto a la programación planificada para el
año lectivo y su cumplimiento, se ha podido determinar que el 20%
corresponde entre el 76 y 100% de cumplimiento y el 80% restante entre
el 51 y 75% de cumplimiento.
10. ¿Con qué frecuencia evalúa Ud. El aprendizaje de sus
estudiantes?
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Permanentemente 3 20%
Al final de cada unidad
6 40%
Trimestralmente 6 40%
Cuando el caso lo amerite
0 0%
Total 15 100%
INTERPRETACIÓN: La grafica que se muestra a continuación demuestra
que las evaluaciones realizadas a los estudiantes se dividen en el 20%
evalúan de forma permanente, un 40% de forma trimestral y el 40%
restante al final de cada unidad.
11. ¿Cuál de las siguientes actividades usted realiza para reforzar
el aprendizaje?
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Preguntas y respuestas
3 20%
Resolución de ejercicios
5 33%
Planteamiento de ejercicios
3 20%
Tareas extra clase
4 27%
Total 15 100%
INTERPRETACIÓN: Como método para reforzar el aprendizaje de sus
estudiantes, los docentes encuestados dijeron que el 20% aplican
preguntas y respuestas, otro 20% planteamiento de ejercicios, el 27%
92
realiza tareas en casa y con un porcentaje mayor el 33% resolución de
ejercicios.
12. ¿Cuál de las siguientes actividades realiza con mayor
frecuencia para motivar a sus estudiantes
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Contar fábulas 2 13%
Hace la lectura de un texto
3 20%
Plantea Ejercicios
4 27%
Dinámica grupal.
3 20%
Proyecta videos, diapositivas
3 20%
Total 15 100%
INTERPRETACIÓN: a través de la siguiente pregunta se pudo delimitar la
siguientes respuestas, el 135contar fabulas, el 20% dinámica grupal, otro
205% hace la lectura de un texto y un 27% plantea ejercicios con el fin de
motivar a los estudiantes.
13. Para la asignación de la calificación trimestral en que
porcentaje influye los siguientes parámetros?
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Actuación clase
2 13%
Pruebas 6 40%
Tareas extra clase
3 20%
Talleres en grupo
2 13%
Trabajos de investigación
2 13%
Total 15 100%
INTERPRETACIÓN: para la siguiente pregunta aplicada se demostró que
las siguientes opciones de respuesta que son actuación en clase, talleres
en grupo, trabajos de investigación, tareas extra clase y las pruebas
presentan un 20% para cada opción de respuesta.
14. En el tratamiento de un tema de clase las tareas extra clase
son de acuerdo:
a) Resultados b) Representación gráfica
93
Variable Frecuencia Porcentaje
A lo planificado con el autor del texto
7 47%
Ejercicios adicionales hasta 10
4 27%
Adicionales más de 10-20
3 20%
Adicionales más de 20
1 7%
Total 15 100%
INTERPRETACIÓN: Las tareas extra clase se realizan de acuerdo a
adicionales más de 20 representan el 7%, adicionales más de 10 a 20 un
20%, ejercicios adicionales hasta 10 un 27% y de acuerdo a lo planificado
con el texto del autor del texto el 46%.
15. ¿Hace conocer la planificación de matemática a sus alumnos
al inicio del año lectivo?
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Si 15 100%
No 0 0%
Total 15 100%
INTERPRETACIÓN: De acuerdo a la pregunta sobre la socialización de la
planificación al inicio del año con los alumnos se obtuvo en el sí un 100%.
16. Sus estudiantes cumplen oportunamente con sus tareas extra
clase
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Siempre 9 60%
A veces 3 20%
Pocas veces 2 13%
Nunca 1 7%
Total 15 100%
INTERPRETACIÓN. En lo que comprende al cumplimiento oportuno de
las tareas extra clases se obtuvo los siguientes porcentajes; 7% dijo
nunca, el 13% pocas veces, un 20% a veces y el 60% siempre
17. ¿Revisa usted a diario las tareas extra clase?
94
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Siempre 3 20%
A veces 9 60%
Pocas veces 3 20%
Nunca 0 0%
Total 15 100%
INTERPRETACIÓN. Según la gráfica el 20% dijo que siempre, otro 20%
pocas veces y el 60% a veces revisan a diario las tareas extra clase.
18. ¿Qué actividades realiza usted en el proceso de recuperación
pedagógica para mejorar el rendimiento de los alumnos?
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Tareas extra clase
2 13%
Exposiciones de temas consultados
3 20%
Trabajos de investigación
3 20%
Trabajos de grupo
6 40%
Miscelánea de ejercicios
1 7%
Total 15 100%
INTERPRETACIÓN: Con el objetivo de que la recuperación pedagógica
mejore el rendimiento académico se presenta como resultados los
siguientes porcentajes; el7% miscelánea de ejercicios, el 13% tareas extra
clase, un 20% exposiciones de temas consultados otro 20% trabajos de
investigación y el 405 trabajos de grupo.
4.2.2. Resultados de las encuestas realizadas a estudiantes
1. De las siguientes asignaturas enliste de mayor a menor según
sean de su preferencia.
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Matemáticas 36 72%
Lenguaje 8 16%
Ciencias naturales
3 6%
Estudios sociales
3 6%
Total 50 12%
95
INTERPRETACIÓN: Según la gráfica de muestra que las materias de
mayor y menor preferencia varían en los siguientes porcentajes el 6%
estudios sociales, otro 6% ciencias naturales el 16% lenguaje y
matemáticas el 72%.
2. ¿Cree que es importante el aprendizaje de la matemática?
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Si 50 100%
No 0 0%
Total 50 100%
INTERPRETACIÓN: De un total de 50 estudiantes encuestados la
pregunta demuestra que el 100% delos encuestados considera que las
matemáticas forman un papel indispensable en su vida diaria.
3. ¿Cómo motiva su profesor las clases de matemática?
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Contando fábulas
8 16%
Mediante la lectura de un texto
15 30%
Con una Dinámica
18 36%
Propone algún ejercicio interesante
7 14%
Proyecta videos, diapositivas
2 4%
Total 50 100%
INTERPRETACIÓN: La grafica demuestra la motivación por parte del
docente en sus clases, el 4% proyecta videos diapositivas, el 14%
propone algún ejercicio interesante un 16% contando fabulas, el 30%
lectura de un texto y el 36% con una dinamice.
96
5. ¿En qué forma realiza las evaluaciones su profesor?
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Pruebas escritas al final de cada unidad.
33 66%
Lecciones orales diarias.
4 8%
Resolviendo ejercicios en la pizarra.
2 4%
Desarrollando talleres de auto evaluación
4 8%
Examen trimestral
7 14%
Total 50 100%
INTERPRETACIÓN: Las evaluaciones realizadas por el profesor constan
de los siguientes porcentajes, 4% resuelve ejercicios, un 8% lecciones
orales diarias, el 8% desarrollo de talleres de auto evaluación, el 14%
examen trimestral y las pruebas escritas al final de cada unidad un 66%.
5. ¿Cree que la matemática sirve para la resolución de problemas
en la vida diaria.- qué tipo de problemas?
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Si 38 76%
No 12 24%
Total 50 100%
INTERPRETACIÓN: Mediante la gráfica presentada se puede determinar
q el 24% considera q no es necesario las matemáticas en su vida diaria, y
el 76% restante considera que es indispensable para su vida diaria.
6. ¿Su profesor de matemática hace conocer la planificación al
inicio del año lectivo?
97
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Si 43 86%
No 7 14%
Total 50 100%
INTERPRETACIÓN: Con respecto a la socialización de la planificación d
la programación anual, el 14% dijo que no y el 86% respondió que sí.
7. ¿Las tareas y deberes de matemática son revisados
oportunamente por su profesor/a?
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Siempre 28 56%
A veces 13 26%
Pocas veces 9 18%
Nunca 0 0%
Total 50 100%
INTERPRETACIÓN: La revisión oportuna de tareas y deberes se muestra
de la siguiente manera; pocas veces un 18% , a veces 26% y siempre un
56%
8. ¿Es puntual en el cumplimiento de sus tareas?
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Siempre 36 72%
A veces 9 18%
Pocas veces 4 8%
Nunca 1 2%
Total 50 100%
INTERPRETACIÓN: Según la gráfica un 2% dijo nunca, el 8% pocas
veces, el 18% a veces y un 72% siempre se muestra puntual en el
cumplimiento de sus tareas
9. ¿Participa Ud. Activamente en el desarrollo de la clase?
a) Resultados b) Representación gráfica
98
Variable Frecuencia Porcentaje
Siempre 34 68%
Casi siempre 11 22%
Pocas veces 5 10%
Nunca 0 0%
Total 50 100%
INTERPRETACIÓN: Con el objetivo de demostrar la participación activa
de la clase se elaboró la siguiente grafica; el 10% dijo pocas veces el 22%
casi siempre y el 68% siempre.
10. ¿Es colaborador con sus compañeros en trabajos de grupo?
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Siempre 45 90%
A veces 3 6%
Pocas veces 2 4%
Nunca 0 0%
Total 50 100%
INTERPRETACIÓN: A través del presente grafico se demuestra que, el
4% pocas veces, 6% a veces y 90% siempre colaboran con sus
compañeros de grupo.
11. ¿Dispone del tiempo necesario para elaborar tareas extra
clase?
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Si 48 96%
No 2 4%
Total 50 100%
INTERPRETACIÓN: De acuerdo a la pregunta planteada sobre la
disponibilidad de tiempo a la hora de realizar tareas extra clase los
estudiantes respondieron no 4% y si el 96%.
12. ¿Cuáles son los miembros que forman su hogar?
a) Resultados b) Representación gráfica
99
Variable Frecuencia Porcentaje
Papá, mamá y hermanos
15 30%
Mamá y hermanos
10 20%
Papá y hermanos
9 18%
Abuelos y tíos
7 14%
Hermanos 8 16%
Otros 1 2%
Total 50 100%
INTERPRETACIÓN: Los resultados muestran que 2% otros, un 14%
abuelos y tíos, 16% hermanos, 18% papá y hermanos, 20% mamá y
hermanos y el 30% papá mamá y hermanos.
13. ¿Cuál de las personas que viven en su casa se interesa en
ayudar y revisar sus tareas escolares?
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Mamá 16 32%
Papá 9 18%
Hermanos 24 48%
Tíos 1 2%
Abuelos 0 0%
Otros 0 0%
Total 50 100%
INTERPRETACIÓN: A través de la pregunta realizada se demuestra que
el 2% son tíos, 18% papá, 32% mamá y 48% hermanos muestran mayor
interés por ayudar a realizar y revisar sus tareas.
14. ¿Son fáciles de entender las clases de matemáticas?
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Siempre 44 88%
A veces 3 6%
Pocas veces 2 4%
Nunca 1 2%
Total 50 100%
100
INTERPRETACIÓN: Son entendibles las clases de matemáticas en los
siguientes porcentajes 2% nunca 4% pocas veces, 6% a veces y 88%
siempre
15. ¿Cuándo un tema no ha sido comprendido cuál es su actitud?
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Investiga el tema tratado
25 50%
Pide ayuda a los compañeros que si entendieron
11 22%
Solicita al profesor una nueva explicación
14 28%
Pasa por alto
0 0%
Total 50 100%
INTERPRETACIÓN: La siguiente pregunta muestra los porcentajes el
22% pide ayuda a los compañeros que si entendieron, un 28% solicita al
profesos una nueva explicación y el 50%investiga el tema tratado.
16. ¿Cuál es su forma de participación en clase?
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Desarrollando ejercicios
25 50%
Lecciones Orales
11 22%
Trabajos grupales
14 28%
Pidiendo ayuda al profesor
0 0%
Total 50 100%
INTERPRETACIÓN: La forma de participación en clase de los estudiantes
muestra el 28% trabajos grupales, el 22% lecciones orales y el 50%
desarrollo de ejercicios.
101
17. ¿Dentro del proceso enseñanza aprendizaje como califica
usted el ambiente de aula?
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Muy Buena 43 86%
Buena 6 12%
Regular 1 2%
Total 50 100%
INTERPRETACIÓN: de acuerdo al ambiente de trabajo dentro de clases
muestra que el 2% es regular, 12% buena y 86% muy buena.
18. ¿En las explicaciones del tema de clase, su profesor/a le da
confianza suficiente para plantear preguntas sobre aquello q no se
comprendió?
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Siempre 41 82%
A veces 7 14%
Pocas veces 2 4%
Nunca 0 0%
Total 50 100%
INTERPRETACIÓN: Respecto a lo aprendido en clases cual es el
porcentaje de confianza que da el maestro a lo aprendido, el 4%pocas
veces, 14%a veces y el 82% respondió que siempre
19. ¿Quién le ayuda en las tareas?
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Padres 17 34%
Hermanos 33 66%
Profesor Particular
0 0%
Otros 0 0%
Total 50 100%
102
INTERPRETACIÓN: Tenemos que el 34% la ayuda proviene de los
padres y 66% de los hermanos.
20. ¿En las tardes que actividades realiza?
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
Hacer tareas
18 36%
Trabajar con mis papas
23 46%
Jugar. 3 6%
Trabajar para otras personas
6 12%
Total 50 100%
INTERPRETACIÓN: de la encuesta realizada, tenemos que las
actividades que realiza el estudiante en la tarde son; jugar el 6%, trabajar
con otras personas 12%, hacer las tareas el 36%, y el 46% se dedica a
trabajar con los papás
21. ¿Qué partes de la matemática le resultan difícil comprender y
por qué?
a) Resultados b) Representación gráfica
Variable Frecuencia Porcentaje
División 18 36%
Proporciones 23 46%
Suma 3 6%
Números enteros 6 12%
Total 50 100%
INTERPRETACIÓN: a los estudiantes les resulta difícil con el 6% la suma,
los números enteros el 12%, la división el 36 % y la mayor dificulta la se
presenta en las proporciones con un 46%.
22. ¿Según lo aprendido en matemáticas que parte usted aplica en
su vida diaria cómo lo hace?
a) Resultados b) Representación gráfica
103
Variable Frecuencia Porcentaje
Comprando en la tienda
18 36%
Para hacer cálculos con las cuatro operaciones básicas
23 46%
Para saber el valor del IVA
3 6%
Para realizar tareas
6 12%
Total 50 100%
INTERPRETACIÓN: los estudiantes encuestados coincidieron que el
aprendizaje de las matemáticas les ha servido para realizar los cálculos
con un 46%, para adquirir un producto en una tienda el 36%, para realizar
tareas el 12% y el 6% final lo realiza para sacar el valor del IVA de un
producto.
104
6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
6.1. Conclusiones
La deficiencia en la formación de la asignatura de matemática, se
ve reflejada en la dificultad para comprender los temas en el
proceso enseñanza aprendizaje.
La heterogeneidad de los estudiantes que ingresan al 8º año de
diferentes lugares aledaños al cantón provenientes de escuelas
Pluridocente.
El desarrollo del Taller de nivelación de conocimientos, está
elaborado con actividades que representan la base, que el
estudiante necesita para comprender de mejor manera la temática
a desarrollarse el octavo año de Educación General Básica, el cual
nos permitirá superar las falencias que traen los estudiantes de
sus anteriores establecimientos educativos.
Los resultados determinarán, las dificultades de los temas tratados
para iniciar una educación personalizada con aquellos estudiantes
que no logren comprender los temas de estudio en cambio los
resultados positivos de los estudiantes generaran nuevos
aprendizajes sin dificultad en su comprensión.
6.2. Recomendaciones
Se recomienda el desarrollo del “Taller de nivelación de
conocimientos, para contribuir al desarrollo del proceso de
enseñanza aprendizaje de la matemática, en los colegios de la
cabecera cantonal Oña, dirigida a los estudiantes que iniciarán el
octavo año de Educación General Básica” que será una estrategia
de mejoramiento en el desempeño de los estudiantes y mejorará el
rendimiento académico.
El taller propuesto se incorporar antes de iniciar el año lectivo, de
tal manera que el proceso de nivelación de conocimientos tenga
gran impacto en los estudiantes que ingresan al octavo año de
Educación General Básica
Para facilitar el presente taller se recomienda reducir el tiempo de
dedicado a la exposición de contenido teórico, es necesario poner
105
mayor énfasis en el desarrollo de actividades de clase y trabajos
grupales para reforzar el conocimiento adquirido.
Es necesario modificar los actuales métodos de impartición de
clase, seleccionando métodos de enseñanza y estrategias o
alternativas metodológicas, así como los medios didácticos que
motiven el aprendizaje de la disciplina de la matemática,
permitiendo que los estudiantes generen un pensamiento crítico, a
ser sujetos de su propio aprendizaje y agentes activos de su
formación.
Es de gran importancia que el Taller de nivelación de
conocimientos se desarrolle con un grupo de estudiantes no mayor
a 25 por docente.
106
7. BIBLIOGRAFÍA
1. Las teorias pedagógicas y su aplicación. (21 de julio de 2011).
Obtenido de http://ceujasociales.blogspot.com/2011/07/la-
educacion-y-pedagogia-marxista.html
2. Acosta, V. (02 de 03 de 2008). Historia de las Ideas Pedagogicas.
Obtenido de
http://historiadelasideaspedagogicas.blogspot.com/2008/04/karl-
marx-y-anton-makarenko.html
3. Antonio Medina Rivilla, F. S. (2007). Didáctica General. En
Didáctica General (pág. 45). Madrid España: Pearson Prentice Hall.
4. Ayala, A., Fuentes, P., Galán, J., & Martínez, P. (2006). En
Técnicas de trabajo en grupo. Madrid: Pirámide.
5. Carrión Duran, J., & Lozada, V. (2004). Estrategias educativas para
el aprendizaje activo.
6. Educación, M. d. (2007). Sistema Nacional de Evaluación y
Rendición social de Cuentas Ecuador.
7. Educación, M. d. (2010). Reforma Curricular Ecuatoriana. Quito,
Pichincha, Ecuador: El Telégrafo .
8. Gonzales, C., Palacios, N., & Ponce, C. (2001). Mateática Básica .
Santillana.
9. Gonzalez, M. (2007). Metodología de Investigación Educativa.
Investigación Educativo, 58.
10. Licido, S. (2013). Slideshare. Obtenido de Introducción a la
Geometría: http://es.slideshare.net/silviaslmamani/introduccin-a-la-
geometra?next_slideshow=1
11. Lima, A. (14 de 7 de 2009). Modelos pedagógicos. Obtenido de
Unitolima: http://modelospedagogicos.webnode.com.co/modelo-
ped-activista
12. Loureiro, M. (07 de 12 de 2014). EducaconTic. Obtenido de
http://www.educacontic.es/blog/eso-de-la-tecnologia
13. Samaniego, P. S., & Freile, S. M. (2007). Mátematicas para
séptimo año de básica. Norma.
107
8. ANEXOS
8.1. CUESTIONARIO A DOCENTES
1. ¿En qué nivel realiza su labor docente?
( ) Primario
( ) Medio
2. ¿Qué título posee?
( ) Bachiller
( ) Profesor de segunda enseñanza
( ) Lic. CC. EE.
( ) Dr. CC. EE.
( ) Otras
3. ¿El lugar de trabajo es adecuado?
( ) Muy bueno
( ) Bueno
( ) Regular
( ) Malo
4. ¿Qué relación laboral tiene con la institución?
( ) Nombramiento titular
( ) Contrato
5. ¿Considera que es importante la matemática en el nivel
primario?
( ) Si
Por qué?----------------------------------------------------------------------------------
( ) No
Por qué?----------------------------------------------------------------------------------
6. ¿Realiza cursos de capacitación en el área de matemáticas?
( ) Siempre
( ) A veces
( ) Pocas veces
( ) Nunca
7. ¿En el proceso enseñanza aprendizaje usted utiliza?
( ) Exposición
( ) Computadora
( ) Cartelografos
( ) Mapas Conceptuales
( ) Calculadora
8. ¿Realiza ejercicios de cálculo mental con sus estudiantes, en
que momento?
( ) Frecuentemente
( ) Rara vez
( ) Pocas veces
( ) Nunca
108
9. Cumple Ud. Con la programación planificada para el año
lectivo?
( ) 0 – 25%
( ) 26 – 50%
( ) 51 – 75%
( ) 76 – 100%
10. ¿Con qué frecuencia evalúa Ud. El aprendizaje de sus
estudiantes?
( ) Permanentemente
( ) Al final de cada unidad
( ) Trimestralmente
( ) Cuando el caso lo amerite
11. ¿Cuál de las siguientes actividades usted realiza para reforzar
el aprendizaje?
( ) Preguntas y respuestas
( ) Resolución de ejercicios
( ) Planteamiento de ejercicios
( ) Tareas extra clase
12. ¿Cuál de las siguientes actividades realiza con mayor
frecuencia para motivar a sus estudiantes
( ) Contar fábulas
( ) Hace la lectura de un texto
( ) Plantea Ejercicios
( ) Dinámica grupal.
( ) Proyecta videos, diapositivas.
13. Para la asignación de la calificación trimestral en que
porcentaje influye los siguientes parámetros?
( ) Actuación clase......%
( ) Pruebas.......%
( ) Tareas extra clase........%
( ) Talleres en grupo........%
( ) Trabajos de investigación......%
14. En el tratamiento de un tema de clase las tareas extra clase
son de acuerdo:
( ) A lo planificado con el autor del texto
( ) Ejercicios adicionales hasta 10
( ) Adicionales más de 10-20
( ) Adicionales más de 20
15. ¿Hace conocer la planificación de matemática a sus alumnos
al inicio del año lectivo?
( ) Si( ) No
16. Sus estudiantes cumplen oportunamente con sus tareas extra
clase
109
( ) Siempre
( ) A veces
( ) Pocas veces
( ) Nunca
17. ¿Revisa usted a diario las tareas extra clase?
( ) Siempre
( ) A veces
( ) Pocas veces
( ) Nunca
18. ¿Qué actividades realiza usted en el proceso de recuperación
pedagógica para mejorar el rendimiento de los alumnos?
( ) Tareas extra clase
( ) Exposiciones de temas consultados.
( ) Trabajos de investigación
( ) Trabajos de grupo
( ) Miscelánea de ejercicios
GRACIAS
8.2. CUESTIONARIO PARA ALUMNOS
1. De las siguientes asignaturas enliste de mayor a menor
según sean de su preferencia.
( ) Matemáticas
( ) Lenguaje
( ) Ciencias naturales
( ) Estudios sociales
2. ¿Cree que es importante el aprendizaje de la matemática?
( ) Si
Por qué?----------------------------------------------------------------------------------
( ) No
Por qué?----------------------------------------------------------------------------------
3. ¿Cómo motiva su profesor las clases de matemática?
( ) Contando fábulas
( ) Mediante la lectura de un texto
( ) Con una Dinámica
( ) Propone algún ejercicio interesante
( ) Proyecta videos, diapositivas
4. ¿En qué forma realiza las evaluaciones su profesor?
( ) Pruebas escritas al final de cada unidad.
( ) Lecciones orales diarias.
( ) Resolviendo ejercicios en la pizarra.
( ) Desarrollando talleres de auto evaluación
( ) Examen trimestral
110
5. ¿Cree que la matemática sirve para la resolución de
problemas en la vida diaria. qué tipo de problemas?
( ) Si
Qué tipo de problemas--------------------------------------------------------------------
-
( ) No
6. ¿Su profesor de matemática hace conocer la planificación
al inicio del año lectivo?
( ) Si
( ) No
7. ¿Las tareas y deberes de matemática son revisados
oportunamente por su profesor/a?
( ) Siempre
( ) A veces
( ) Pocas veces
( ) Nunca
8. ¿Es puntual en el cumplimiento de sus tareas?
( ) Siempre
( ) A veces
( ) Pocas veces
( ) Nunca
9. ¿Participa Ud. Activamente en el desarrollo de la clase?
( ) Siempre
( ) Casi siempre
( ) Pocas veces
( ) Nunca
10. ¿Es colaborador con sus compañeros en trabajos de
grupo?
( ) Siempre
( ) A veces
( ) Pocas veces
( ) Nunca
11. ¿Dispone del tiempo necesario para elaborar tareas extra
clase?
( ) Si
( ) No
Por qué?----------------------------------------------------------------------------------
12. ¿Cuáles son los miembros que forman su hogar?
( ) Papá, mamá y hermanos
( ) Mamá y hermanos
( ) Papá y hermanos
( ) Abuelos y tíos
( ) Hermanos
111
( ) Otros
13. ¿Cuál de las personas que viven en su casa se interesa en
ayudar y revisar sus tareas escolares?
( ) Mamá
( ) Papá
( ) Hermanos
( ) Tíos
( ) Abuelos
( ) Otros
14. ¿Son fáciles de entender las clases de matemáticas?
( ) Siempre
( ) A veces
( ) Pocas veces
( ) Nunca
15. ¿Cuándo un tema no ha sido comprendido cuál es su
actitud?
( ) Investiga el tema tratado
( ) Pide ayuda a los compañeros que si entendieron
( ) Solicita al profesor una nueva explicación
( ) Pasa por alto
16. ¿Cuál es su forma de participación en clase?
( ) Desarrollando ejercicios
( ) Lecciones Orales
( ) Trabajos grupales
( ) Pidiendo ayuda al profesor
17. ¿Dentro del proceso enseñanza aprendizaje como califica
usted el ambiente de aula?
( ) Muy Buena
( ) Buena
( ) Regular
18. ¿En las explicaciones del tema de clase, su profesor/a le da
confianza suficiente para plantear preguntas sobre aquello
q no se comprendió?
( ) Siempre
( ) A veces
( ) Pocas veces
( ) Nunca
19. ¿Quién le ayuda en las tareas?
( ) Padres
( ) Hermanos
( ) Profesor Particular
( ) Otros
112
20. ¿En las tardes que actividades realiza?
( ) Hacer tareas
( ) Trabajar con mis papas
( ) Jugar.
( ) Trabajar para otras personas.
21. ¿Qué partes de la matemática le resultan difícil comprender
y por qué?
---------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------
22. ¿Según lo aprendido en matemáticas que parte usted aplica
en su vida diaria cómo lo hace?
-----------------------------------------------------------------------------------------------
GRACIAS
113
8.3. ANEXOS AMIE
8.3.1. ARCHIVO MAESTRO AMIE – ESCUELA FISCAL JOSÉ
SERRANO
114
115
116
117
118
8.3.2. ARCHIVO MAESTRO AMIE –ESCUELA BÁSICA EMILIO
ARÉVALO
119
120
121
122
123
8.3.3. ARCHIVO MAESTRO AMIE –ESCUELA ESTHER ULLAURI
124
125
126
127
128
8.3.4. ARCHIVO MAESTRO AMIE –UNIDAD EDUCATIVA OÑA
129
130
131
132
133
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BIOGRAFÍA
Sonia Edith Hurtado Armijos, nace el 19 de julio de 1968, en la provincia
de Loja Cantón Paltas parroquia San Antonio, es la quinta hija de un
matrimonio sólido y lleno de virtudes.
Sus estudios primarios los realizo en la provincia de Loja Cantón Loja en
la Escuela Fiscal Filomena Mora de Carrión, sus estudios secundarios los
realizo en el Instituto Técnico Superior Daniel Álvarez Burneo en el año de
1986 termina sus estudios secundarios.
Se casó en el año de 1987 en el que procrearon dos hijos, posteriormente
inicio sus estudios en la Universidad Técnica Particular de Loja que
obtuvo el Título de Licenciada en Físico Matemáticas.
Ingreso al Magisterio en el año 2000, en la provincia del Azuay en el
Cantón Oña, en el colegio Nacional mixto Oña en el que continúa
trabajando hasta la fecha.
