UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Departamento de Matemática

Tesis de Licenciatura

Teoremas de isomorfismos para clases de operadores

Maŕıa Eugenia Di Iorio y Lucero

Director: Dr. Esteban Andruchow

Marzo de 2007

Para ellos, obvio.

Índice general

Introducción 4

1 Preliminares 81.1 Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Operadores de rango finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Teorema espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Automorfismos del conjunto de los operadores autoadjuntos 182.1 Operadores positivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Automorfismos de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Ciertos tipos de automorfismos de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Automorfismos del conjunto de las isometŕıas parciales 313.1 Isometŕıas Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Automorfismos de PI(H) continuos en un punto . . . . . . . . . . . . . . 343.3 P -automorfismos de P1(H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Automorfismos locales 454.1 Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2 Automorfismos locales de B(H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3 Automorfismos locales del grupo unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.4 Automorfismos locales del grupo general

lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Bibliograf́ıa 60

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Introducción

En relación a cualquier estructura, la importancia del estudio de automorfismos no ne-cesita justificación. En este trabajo estudiaremos automorfismos de conjuntos los cualesfueron dotados de diversas relaciones, tal es el caso del conjunto de los operadores au-toadjuntos en un espacio de Hilbert dotado con la relación de orden usual para dichosoperadores y el conjunto de las isometŕıas parciales, dotado de una relación de orden yortogonalidad. También, se estudiará una noción relativamente nueva de automorfismossobre una estructura algebraica: los automorfismos 2-locales. Se intentará responder lapregunta sobre cuándo un automorfismo 2-local de una cierta estructura es un automor-fismo.

En la formulación matemática rigurosa de la mecánica cuántica, desarrollada porDirac y von Neumann, los sistemas cuánticos son descriptos por operadores y vectoresen un espacio de Hilbert separable (llamado el espacio de estados). La naturaleza deeste espacio depende del sistema; por ejemplo, el espacio de estados para los estados deposición y momento es el espacio de funciones de cuadrado integrable.

Los posibles estados de un sistema cuántico están representados por vectores unitariosde dicho espacio de Hilbert. Dos vectores corresponden al mismo estado si y sólo sidifieren en un número complejo de módulo uno. Un observable es toda propiedad delestado de un sistema que puede ser determinada (“observada”) por alguna secuencia deoperaciones fsicas. Algunos observables posibles sobre un sistema dado son la enerǵıa,posición, momento y momento angular.

Los observables de un sistema están representados por operadores lineales y autoad-juntos. Si H es el espacio de Hilbert subyacente, entonces estos operadores forman unconjunto en el cual varias operaciones y relaciones son consideradas. Los automorfismosde este conjunto con respecto a esas operaciones y/o relaciones son de gran importancia.

Si se considera al conjunto de los operadores autoadjuntos como un álgebra de Jordan,se puede leer en [1] que los correspondientes automorfismos son implementados poroperadores unitarios o antiunitarios.

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Una consideración también interesante es dotar a dicho conjunto con la relaciónde orden. En la mecánica cuántica un observable A se dice que es menor o igual queun observable B si el valor esperado de A en cualquier estado es menor o igual al valoresperado de B. Sin duda la relación de orden es de gran importancia entre los observables.Seŕıa interesante poder determinar la forma de los automorfismos del conjunto de losoperadores autoadjuntos visto como un conjunto parcialmente ordenado.

Además de los operadores autoadjuntos, el conjunto de las proyecciones en un espaciode Hilbert, denotado por P (H), juega un rol fundamental en los fundamentos matemáti-cos de la mecánica cuántica. P (H) dotado del orden parcial usual y la ortogonalidadrepresenta el aspecto probabiĺıstico de dicha teoŕıa y el conjunto de las proyecciones derango uno, denotado por P1(H), con la noción de probabilidad de transición es el objetodel teorema de Wigner.

Dos de los resultados más importantes sobre estas estructuras, P (H) y P1(H), son:el que establece la forma de todas las transformaciones biyectivas de P (H) las cualespreservan el orden y la ortogonalidad en ambas direcciones, y el teorema de Wigner, elcual determina todas las transformaciones biyectivas de P1(H) que preservan las proba-bilidades de transición. Ambos resultados, se pueden encontrar en [1] y en las referenciasalĺı mencionadas.

Debido al hecho de que las proyecciones pueden ser caracterizadas como isometŕıasparciales positivas, cabe hacerse la pregunta si se pueden encontrar teoremas análogos alos recién enunciados que involucren a las isometŕıas parciales.

Teniendo presente el conjunto de las proyecciones visto como un conjunto parcial-mente ordenado ortomodular, en [2] se probó que todo automorfismo 2-local, esto es unmapa que coincide con un automorfismo en cada par de puntos, es un autmorfismo.

En una serie de trabajos ([3], [4] y las referencias alĺı mencionadas) , se investigó elsorprendente hecho de cuándo los automorfismos locales de un álgebra de Banach son au-tomorfismos. Debido a que las estructuras ah́ı estudiadas fueron meramente C∗-álgebras,nos preguntamos sobre qué otras estructuras podremos obtener resultados positivos.

Dedicaremos los siguientes caṕıtulos a intentar responder las preguntas antes men-cionadas. Es por esto que a continuación detallaremos cómo está organizado nuestrotrabajo.

El primer caṕıtulo está dedicado a dar un breve paseo por los conocimientos previosque se requieren para entender estas notas.

En el segundo caṕıtulo nos dedicaremos a estudiar los mapas biyectivos del conjuntoparcialmente ordenado de los operadores autoadjuntos y acotados. Basándonos principa-lemente en [5], estudiaremos la forma de estos mapas. En primer lugar nos restringiremosa trabajar con los operadores positivos (Teorema 2.2.3), y veremos que los automorfismos

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del conjunto de los operadores positivos que respetan el orden en ambos sentidos sonimplementados por operadores inversibles, acotados, lineales o conjugados lineales. Deeste hecho, deduciremos la forma de los mapas biyectivos del conjunto de los operadoresautoadjuntos que respetan el orden en ambas direcciones (Teorema 2.2.4). Finalemente,repasaremos una serie de corolarios interesantes que se deducen de este último teorema.

En el tercer caṕıtulo consideraremos al conjunto de las isometŕıas parciales provistode un orden parcial y de una relación de ortogonalidad. Siguiendo la misma ĺınea ybasándonos en [6], estudiaremos los mapas biyectivos del conjunto de las isometŕıasparciales que respetan la relación de ortogonalidad y el orden en ambas direcciones yque cumplen con la hipótesis de ser continuas en un punto distinto de cero. Además,estudiaremos la forma de los mapas biyectivos del conjunto de las isometŕıas parciales derango uno que preservan las probabilidades de transición (Teorema 3.3.2). Este teoremanos brinda afirmaciones análogas a las que brinda el teorema de Wigner para el conjuntode las proyecciones de rango uno.

El cuarto y último caṕıtulo, es a mi criterio el más interesante. En él nos ocupa-remos de los automorfismos locales, más precisamente los automorfismos 2-locales. Lanoción de localidad fue introducida en un pricipio por Kadison ([7]) y Larson y Sourour([8]), quienes se preguntaron cuándo vale que un automorfismo local, esto es una trans-formación lineal que punto a punto coincide con un automorfismo, es un automorfismo.Debido a que la condición de linealidad es bastante ŕıgida, se introdujo una nueva noción,la 2-localidad. Basándonos en [9] y [10] probaremos que los automorfismo 2-locales delálgebra de los operadores acotados en un espacio de Hilbert, del grupo de los operadoresunitarios (visto como un grupo topológico) y del grupo general lineal, son automorfis-mos. De esto podremos deducir que las acciones locales del grupo de automorfismos dedichas estructuras determinan el grupo por completo.

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Agradecimientos:

Quiero agradacer a cada persona a la que conoćı en mi vida,

De cada uno de ellos pude aprender cosas

Cosas, que sin duda, me ayudaron a llegar hasta donde estoy hoy,

A cada uno de ellos,

Gracias...

Totales.

Caṕıtulo 1

Preliminares

En este caṕıtulo haremos un repaso sobre conceptos propios del análisis funcional con elobjetivo de fijar la notación que será usada y brindar los requisitos previos para entenderel resto de los caṕıtulos. Se prescindirá de la mayoŕıa las demostraciones ya que escapande nuestro objetivo, y además, a estas se las puede encontrar en cualquier libro de análisisfuncional. No olvidar que el que empieza, no debe desalentarse si descubre que no tienelos prerrequisitos para leer los prerrequisitos.

1.1 Definiciones básicas

Comencemos fijando un poco de notación. A lo largo de todo el trabajo, H denotará unespacio de Hilbert complejo y separable, y B(H) denotará el álgebra de todos los ope-radores lineales y acotados en H.

Diremos que un mapa A : H → H es aditivo si A(x+ y) = A(x) +A(y). El conjuntode los mapas aditivos en H será denotado por A(H).

Diremos que un mapa A es conjugado lineal si es aditivo y A(λx) = λA(x)

Si A es un operador lineal acotado, ImgA denotará su imagen. El rango de A es, pordefinición, la dimensión algebraica de ImgA y es denotada por rgA.

En la mayaŕıa de los resultados que expondremos a lo largo del trabajo los opera-dores unitarios y los antiunitarios jugaran un papel fundamental. Tengamos presente ladefinición de dichos operadores.

Definición 1.1.1 Un operador unitario es una biyección lineal de H que preservanormas. Mientras que un operador antiunitario es una biyección conjugada lineal deH que preserva normas.

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Notaremos con U(H) al grupo multiplicativo de los operadores unitarios en H.

Diremos que un operador A ∈ B(H) es positivo si 〈Ax, x〉 ≥ 0 para todo x ∈ H.Observar que si un operador es positivo, entonces es autoadjunto. Notar que esto esfalso si consideramos un espacio de Hilbert real, ya que no se puede recuperar 〈Ax, y〉conociendo 〈Ax, x〉 para todo x.

Para cualquier operador positivo A ∈ B(H),√A denotará el único operador lineal

positivo cuyo cuadrado es A.

Observar que como para todo A ∈ B(H) A∗A ≥ 0, tenemos definido al operador√A∗A. Luego, dado A ∈ B(H), definimos |A| :=

√A∗A

A continuación definiremos un operador con el que trabajaremos en el tercer caṕıtulo.Más allá de que estos operadores juegan un rol importante en el análisis funcional, ahoralo utilizaremos en un resultado tan importante como conocido (del cual obviaremos suinteresante demostración) que tiene también much́ısimas aplicaciones, en el cual estosoperadores juegan un papel fundamental.

Definición 1.1.2 Sean H1 y H2 dos espacios de Hilbert. Un mapa lineal y continuoU : H1 → H2 es una isometŕıa parcial si U actúa como isometŕıa en KerU⊥. Esdecir, si ‖U(x)‖ = ‖x‖ para todo x ∈ KerU⊥.

Llamaremos espacio inicial de U a KerU⊥ y espacio final de U a la imagen deU .

De la misma manera que podemos escribir a un número complejo como el productoentre un unitario, es decir un número de módulo uno, y un número no negativo, el últimoteorema de esta sección nos dice que podemos hacer algo similar con los operadores.

Teorema 1.1.3 Descomposición Polar. Sea A un operador lineal y continuo en unespacio de Hilbert H. Entonces existe una isometŕıa parcial U ∈ B(H) con KerA⊥ comoespacio inicial y ImgA como espacio final tal que

A = U |A|

Más aún, U∗A = |A|. Además, si A = WP con P ≥ 0 y W una isometŕıa parcial conKerW = KerP , entonces P = |A| y W = U .

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1.2 Operadores de rango finito

Si H es un espacio de Hilbert, notaremos con F (H) al conjunto de los operadores derango finito de B(H).

Comenzaremos con una definición que nos será de gran utilidad.

Definición 1.2.1 Sea H un espacio de Hilbert y sean x e y dos elementos en H. Sedefine el operador x⊗ y: H → H como

(x⊗ y)(z) = 〈z, y〉x.

Este operador cumple con una serie de propiedades cuyas demostraciones no daremosya que se siguen de la definición, pero debido a que serán utilizadas a lo largo de todoel trabajo, es conveniente presentarlas.

Proposición 1.2.2 Sea H un espacio de Hilbert y sean x e y dos elementos en H. Setiene que

(a). ‖x⊗ y‖ = ‖x‖ ‖y‖

(b). El rango de x⊗ y es uno si x e y son no nulos.

(c). Si x, x′, y, y′ ∈ H y U ∈ B(H) se tiene que:

(i) (x⊗ x′) (y ⊗ y′) = 〈y, x′〉 (x⊗ y′)

(ii) (x⊗ y)∗ = y ⊗ x

(iii) U(x⊗ y) = U(x)⊗ y

(iv) (x⊗ y)U = x⊗ U∗(y)

(d). El operador x⊗ x es una proyección de rango uno si y sólo si ‖x‖ = 1

(e). Toda proyección de rango uno es de la forma x ⊗ x para algún vector de normauno.

Supongamos que tenemos un operador de rango uno U ∈ B(H). Elijamos un elementono nulo de su imagen, digamos x. Si h ∈ H, se tiene que U(h) = l(h)x para algún escalarl(h) ∈ C. Observar que el mapa l : H → C dado por h 7→ l(h) es un funcional linealacotado. Luego por el teorema de Representación de Riesz, existe un y ∈ H tal quel(h) = 〈h, y〉 para todo h ∈ H, o sea, U(h) = 〈h, y〉x para todo h ∈ H, es decir,U = x⊗ y. Luego tenemos la siguiente

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Observación 1.2.3 Si U ∈ B(H) es un operador de rango uno, entonces U es de laforma x⊗ y, donde x es un elemento no nulo de su imagen e y ∈ H.

A continuación veremos un teorema que nos dice que si tenemos un operador derango finito, entonces lo podemos escribir como una combinación lineal de proyeccionesde rango uno. En su demostración usaremos el siguiente resultado conocido del cual nodaré demostración.

Proposición 1.2.4 Si T ∈ B(H) es un operador autoadjunto, entonces existen únicosA,B ∈ B(H) positivos tales que T = A−B y AB = BA = 0.

Los operadores A y B del lema anterior serán denotados, respectivamente, por T+ yT−.

Si A ∈ B(H), entonces A se puede escribir como combinación lineal de dos ope-radores autoadjuntos. Más espećıficamente, A = B + iC, donde B = (A + A∗)/2 yC = (A−A∗)/2i. Los operadores B y C se llaman las partes real e imaginaria de A ,respectivamente.

Teorema 1.2.5 Si H un espacio de Hilbert, entonces F (H) está linealmente generadopor las proyecciones de rango uno.

Demostración. Tomemos un U ∈ F (H) y veamos que lo podemos escribir como unacombinación lineal de proyecciones de rango uno. U puede ser escrito como U = A+Bi,donde A y B son las partes real e imaginarias, y como U es de rango finito entonces U∗

es de rango finito. Además como U∗ = A − Bi y F (H) es lineal se tiene que U+U∗2 yU−U∗

2 son de rango finito, luego A y B son de rango finito. Por lo tanto, ya que A y Bson de rango finito y autoadjuntos, se puede suponer que U es autoadjunto. Ahora Use puede escribir como U = U+ − U− con U+ y U− positivos, y por la descomposiciónpolar |U | está en F (H), luego U+ y U− también lo están. Por lo tanto podemos suponerque U ≥ 0. La imagen de U es de dimensión finita, luego es un espacio de Hilbert conuna base ortonormal e1, . . . , en. Sea P =

∑nj=1 ej ⊗ ej , o sea, P es la proyección de H en

ImgU . Entonces U = PU = U1/2PU1/2, de lo que se deduce que U =∑n

j=1 xj⊗xj dondexj = U1/2ej . Ahora xj = λjfj para algún escalar λj y algún vector fj con ‖fj‖ = 1,luego U =

∑nj=1 |λj |

2 fj ⊗ fj , y como los operadores fj ⊗ fj son proyecciones de rangouno, tenemos lo que necesitábamos. 2

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1.3 Teorema espectral

Esta sección está dedicada a hacer un breve repaso sobre el teorema espectral paraoperadores normales y algunas de sus aplicaciones, las cuales serán utilizadas en lossiguientes caṕıtulos.

Definición 1.3.1 Sea X un conjunto, Ω una σ-álgebra de subconjuntos de X, y H unespacio de Hilbert. Una medida espectral para (X,Ω,H) es una función E : Ω → B(H)tal que:

(a). para cada ∆ en Ω, E(∆) es una proyección;

(b). E(∅) = 0 y E(X) = 1;

(c). E(∆1 ∩∆2) = E(∆1)E(∆2) para ∆1 y ∆2 en Ω;

(d). si {∆n}∞n=1 es una colección de conjuntos disjuntos dos a dos de Ω, entonces

E(∞⋃n=1

∆n) =∞∑n=1

E(∆n).

Veamos un poco el ı́tem (d) de la definición anterior. Sabemos que si {En} es unasucesión de proyecciones ortogonales dos a dos en H, entonces para cada h ∈ H la∑∞

n=1En(h) converge en H a E(h), donde E es la proyección ortogonal de H sobre elsubespacio cerrado generado por {En(H) : n ≥ 1}. Ahora si ∆1 ∩∆2 = ∅ entonces, por(b) y (c) se tiene que E(∆1) y E(∆2) tienen imágenes ortogonales. Luego si {∆n}∞n=1 esuna sucesión de conjuntos disjuntos dos a dos en Ω, se tiene que las imágenes {E(∆n)}son disjuntos dos a dos. Por lo tanto la ecuación E(

⋃∞1 ∆n) =

∑∞1 E(∆n) en (d) tiene

el sentido antes discutido.

Sea M ⊆ H definimos por∨M a la intersección de todos los subespacios cerrados

de H que contienen a M . Llamaremos a∨M el subespacio cerrado generado por M .

Observar que∨M es el subespacio cerrado más chico de H que contienen a M , más

aún,∨M es la clausura de {

∑nk=1 αkfk : n ≥ 1, αk ∈ C, fk ∈M}.

Luego en el párrafo anterior, E es la proyección ortogonal de H sobre∨{En(H) : n ≥ 1}.

Veamos algunos ejemplos de medidas espectrales para fijar ideas.

Ejemplo 1.3.2 Sea X un compacto, tomemos como Ω a los borelianos de X, como µa una medida en Ω y H a L2(µ). Para cada ∆ en Ω definamos, E(∆) como la multipli-cación por χ∆, la función caracteŕıstica de ∆. Entonces E es una medida espectral para(X,Ω,H).

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Ejemplo 1.3.3 Sea X un conjunto, Ω los subconjuntos de X y H un espacio de Hilbertseparable. Fijemos una sucesión {xn} en X. Si {e1, e2, . . .} es una base ortonormal deH, definir E(∆) como la proyección sobre

∨{en : xn ∈ ∆}. Entonces E es una medida

espectral para (X,Ω,H).

El siguiente lema es de gran utilidad al estudiar las medidas espectrales ya que nospermite probar afirmaciones sobre las medidas espectrales usando resultados conocidosde las medidas complejas.

Lema 1.3.4 Si E es una medida espectral para (X,Ω,H) y g, h ∈ H entonces

Eg,h(∆) := 〈E(∆)g, h〉

define una medida numerablemente aditiva en Ω con variación total ≤ ‖g‖ ‖h‖.

La siguiente proposición nos dice como integrar con respecto a una medida espectral.

Proposición 1.3.5 Si E es una medida espectral para (X,Ω,H) y φ : X → C es unafunción Ω-medible y acotada, entonces existe un único operador A ∈ B(H) tal que siε > 0 y {∆1, . . . ,∆n} es una Ω-partición de X con sup {|φ(x)− φ(y)| : x, y ∈ ∆k} < εpara 1 ≤ k ≤ n, entonces para cualquier xk en ∆k,∥∥∥∥∥A−

n∑k=1

φ(xk)E(∆k)

∥∥∥∥∥ < ε.El operador A obtenido en la proposición anterior se llama la integral de φ respecto

a E y se denota por ∫φ dE.

Luego si g, h ∈ H y φ es una es una función Ω-medible y acotada en X, la proposiciónanterior implica que 〈(∫

φ dE

)g, h

〉=

∫φ dEg,h. (1.1)

Ya estamos en condiciones de enunciar el teorema espectral en śı. Este teorema esde extrema importancia en la teoŕıa de los operadores en un espacio de Hilbert. Entreotras cosas nos permite responder la mayoŕıa de las preguntas sobre la naturaleza y laestructura de los operadores normales, es por esto, que dichos operadores forman unade las más estudiadas y entendidas clases de operadores.

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Recordemos que el teorema espectral para operadores normales en un espacio deHilbert de dimensión finita, digamos d, dice que un operador normal N es diagonaliza-ble. Esto es, si α1, . . . , αd son sus autovalores repetidos con multiplicidad, entonces suscorrespondientes autovectores forman una base ortonormal para H. Como en dimensióninfinita un operador normal puede no tener autovalores, habŕıa que intentar generalizarla afirmación anterior.

Observar que si N es un operador normal en H de dimensión d

Denotemos con B(X,Ω) al conjunto de todas las funciones φ : X → C, Ω-mediblesy acotadas; y sea ‖φ‖ = sup {|φ(x)| : x ∈ X}.

Si φ es una función boreliana acotada en σ(N), definir φ(N) como

φ(N) :=∫φ dE,

donde E es la medida espectral para N .

Observar que (1.1), puede ser reescrito como

〈φ(N)g, h〉 =∫φ dEg,h (1.2)

para φ en B(σ(N)) y g, h ∈ H. Si φ ∈ B(C), entonces la restricción de φ a σ(N)pertenece a B(σ(N)). Como el soporte de cada medida Eg,h está contenido en σ(N), setiene que (1.2) vale para toda función boreliana y acotada φ en C.

Observar que φ 7→ φ(N) =∫φ dE es un *-homorfismo de B(C) en B(H). Luego

se tiene que(∫φ dE

) (∫ψ dE

)=

∫φψ dE y

∥∥∫ φ dE∥∥ ≤ sup {|φ(z)| : z ∈ σ(N)}, siφ, ψ ∈ B(C).

Proposición 1.3.7 Si N es un operador normal y N =∫z dE(z), entonces N es

compacto si y sólo si para todo ε > 0, E ({z : |z| > ε}) tiene rango finito.

Observación 1.3.8 Si N =∫z dE(z) y ε > 0, se tiene que ImgE ({z : |z| > ε}) ⊆

ImgN . Luego se deduce que si N es un operador normal no compacto, existe una pro-yección P de rango infinito tal que ImgP ⊆ ImgN .

Veamos a continuación algunos resultados sobre el espectro de un operador normallos cuales se deducen a partir teorema espectral.

Observar que si N es un operador normal, λ es un autovalor de N si y sólo siE({λ}) 6= 0. Más aún, si λ es un autovalor de N entonces E({λ}) es la proyecciónortogonal sobre Ker(N − λ).

Observación 1.3.9 Sea N ∈ B(H) un operador normal. Si λ ∈ σ(N) es un puntoaislado, entonces λ es un autovalor de N .

Demostración. Sea N =∫zdE(z) la descomposición espectral de N . Como λ es un punto

aislado, existe un entorno A deλ tal que A∩σ(N) = {λ}. Luego, {λ} es un abierto relativode σ(N), con lo cual E({λ})(H) 6= 0. Esto nos dice que Ker(N − λI) 6= 0, o sea, λ es unautovalor de N. 2

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Lema 1.3.10 Sea N ∈ B(H) un operador normal. Si λ ∈ σ(N) no es un autova-lor de N , entonces existe una sucesión (xn) de vectores ortonormales en H tales que〈Nxn, xn〉 → λ.

Demostración. Sea N =∫zdE(z) la descomposición espectral de N . Como λ no es un

autovalor, entonces no es un punto aislado. Luego hay una sucesión (rn) de números realespositivos estrictamente decreciente tal que rn → 0 y tal que el conjunto definido porRn = {z ∈ C : rn+1 < |λ− z| < rn} tiene intersección no vaćıa con σ(N). ConsiderarAn = Rn ∩ σ(N), luego E(An)(H) 6= 0. Elegir xn ∈ E(An)(H) tal que ‖xn‖ = 1. Como

‖Nxn − λxn‖2 = ‖(N − λI)xn‖2 =∫An

‖z − λ‖2dExn,xn(z) ≤ r2n → 0

Se tiene que

|〈Nxn, xn〉 − λ| = |〈Nxn − λxn, xn〉| ≤ ‖Nxn − λxn‖ → 0

O sea, 〈Nxn, xn〉 → λ.

Además, observar que los xn son ortogonales dos a dos ya que An ∩Am = ∅. 2

La demostración anterior nos da pie a definir

Definición 1.3.11 Si N ∈ B(H), se define el espectro puntual aproximado de N ,denotado por σap(N), como el conjunto formado por los λ ∈ C para los cuales hay unasucesión (xn) ∈ H tal que ‖xn‖ = 1 para todo n y ‖(N − λ)xn‖ → 0.

Una manera equivalente de definir al espectro puntual aproximado, es decir que esel conjunto de los λ ∈ C tales que N − λ no es acotado inferiormente.

Observar que el conjunto de autovalores de N está contenido en σap(N). Y si N esnormal se tiene,

Observación 1.3.12 Si N ∈ B(H) es un operador normal, entonces σ(N) = σap(N).

Demostración. Observar que como λ está en σap(N) entonces (N − λ) no es acotadoinferiormente. De esto se deduce que σap(N) ⊆ σ(N). Veamos la otra contención. Siλ ∈ σ(N) es un autovalor, entonces λ está en σap(N), y si λ ∈ σ(N) no es un autovalor,en la demostración del Lema 1.3.10, se ve que está en σap(N). 2

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De la misma manera que sucede para dimensión finita se tiene que,

Teorema 1.3.13 Sea N ∈ B(H) un operador normal, entonces se tiene que

(a). N es autoadjunto si y sólo si σ(N) ⊆ R

(b). N es positivo si y sólo si σ(N) ⊆ [0,∞)

(c). N es unitario sy y sólo si σ(N) está contenido en el ćırculo unidad

Hasta aqúı fueron los preliminares. Esperamos haber cumplido con el objetivo derepasar de manera clara y no abrumadora todos los resultados que se necesitan para eldesarrollo de los futuros caṕıtulos.

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Caṕıtulo 2

Automorfismos del conjunto de

los operadores autoadjuntos

En este caṕıtulo, describiremos la forma de todos los mapas biyectivos, no necesariamentelineales o continuos, del conjunto de los operadores lineales, acotados y autoadjuntos deH, los cuales preservan el orden ≤ en ambas direcciones.

Sea H un espacio de Hilbert, denotemos por BS(H) al conjunto de los operadoreslineales, acotados, y autoadjuntos de H. Dotemos a BS(H) con el orden usual entreoperadores autoadjuntos. Este es, para cuales quiera A,B ∈ BS(H) escribimos A ≤ Bsi 0 ≤ B −A, lo que es equivalente a decir que 〈Ax, x〉 ≤ 〈Bx, x〉 vale para todo x ∈ H.

Recordar que como B(H) es una C∗-álgebra, entonces B(H)+ es un cono cerrado.Denotaremos con B(H)+ al cono de todos los operadores positivos en H.

Nota: En lo que sigue vamos a considerar a BS(H) como un conjunto parcialmenteordenado con la relación ≤.

2.1 Operadores positivos.

A lo largo de toda esta sección enunciaremos resultados auxiliares propios de los opera-dores positivos que nos serán de gran utilidad en la siguiente sección.

Observar que si A y B son operadores positivos tales que el A ≤ B y el rango de Bes finito, entonces ImgA ⊆ ImgB. En el siguiente lema, vemos una especie de rećıproco.

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Lema 2.1.1 Sean A,B ∈ B(H)+ tales que rgA = 1, rgB 0 y un x ∈ H tal que A = α x ⊗ x. Si vemos que el ImgB = Img√B

habremos terminado, pero como B es un operador de rango finito se deduce del teoremaespectral que vale la igualdad. 2

Lema 2.1.2 Sea A ∈ B(H)+ y n ∈ N. Se tiene que el rgA > n + 1 si y sólo sihay operadores E,F ∈ B(H)+ tales que E,F ≤ A, rgE = n, rgF > 1 y no hay unG ∈ B(H)+ de rango uno con G ≤ E,F .

Demostración. Veamos primero que existe un operador de rango finito A′ ∈ B(H)+

tal que A′ ≤ A y rgA′ > n + 1. Si A es de rango finito, no hay nada que hacer. SiA es compacto y de rango infinito podemos usar el teorema espectral para operadorescompactos y autoadjuntos para garantizar la existencia es A′. Por último, si A no escompacto entonces el teorema espectral para operadores normales nos dice que podemosencontrar un proyección P en H de rango infinito y un escalar positivo λ tal que λP ≤ A,luego, la existencia de A′ está garantizada. Observar que A′ puede ser escrita como lasuma finita

∑k λkPk donde los λk’s son escalares positivos y las Pk’s son proyecciones

de rango uno ortogonales dos a dos. Llamar E a la suma de los primeros n terminos deesa suma y F a la suma de los restantes. Con esto se tiene que E,F cumplen con lo quequeremos y la no existencia de G la podemos deducir del Lema 2.1.1, ya que si existieseG, la imagen de G estaŕıa en la imagen de E y en la imagen de F , cosa que no puedesuceder.

Veamos la vuelta. Si el rango de A es infinito, no hay nada que probar. Supongamosque el rango de A es finito y consideremos E,F ∈ B(H)+ con las propiedades delenunciado. Como E,F ≤ A se deduce que ImgE, ImgF ⊂ ImgA y que E,F son derango finito. Como no hay un operador positivo de rango uno con G ≤ E,F , se deduceusando el lema 2.1.1 que ImgE ∩ ImgF = {0}. Luego la imagen de A contiene dossubespacios con intersección trivial, y la suma de sus dimensiones es más grande quen+ 1, luego el rgA > n+ 1. Con esto tenemos el lema probado. 2

19

Observación 2.1.3 Un operador no nulo A ∈ B(H)+ es de rango uno si y sólo si elintervalo de operadores [0, A] dos elementos cualesquiera son comparables bajo el orden≤.

Durante la demostración del Teorema 2.2.3 haremos referencia a un resultado clásicodel análisis funcional, cuya demostración se puede leer de [12, Teorema 4.1.1].

Este resultado pone en evidencia una de las ventajas que tiene la topoloǵıa fuerte deoperadores, ya que establece la “completitud del orden” en dicha topoloǵıa, la cual espropia de R.

Teorema 2.1.4 (Vigier) Sea (Aλ)λ∈Λ una red de operadores autoadjuntos en un espa-cio de Hilbert H. Entonces (Aλ)λ∈Λ converge en la topoloǵıa fuerte de operadores si escreciente y acotada superiormente, o si es decreciente y acotada inferiormente.

El siguiente lema establece que B(H)+ es la clausura en norma del subespacio gene-rado por las proyecciones en B(H)+.

Lema 2.1.5 Si A ∈ B(H)+ entonces A es el ĺımite en norma de una sucesión monótonacreciente de operadores de la forma

∑i λiPi donde la suma es finita, los λi’s son números

positivos y las Pi’s son proyecciones.

Demostración. Sea (α, β) un intervalo abierto que contiene a σ(A) Si ε > 0, entonceshay una partición {α = t0 < . . . < tn = β} tal que

∣∣t−∑nk=1 tkχ[tk−1;tk)(t)∣∣ < ε parat ∈ σ(A). Luego, por el teorema espectral∥∥∥∥∥A−

n∑k=1

tkE [tk−1; tk)

∥∥∥∥∥ < ε.Si llamo Sε =

∑nk=1 tkE [tk−1; tk) los Sε son de la forma deseada. Dado m ∈ N, tomando

εm = 1/m, se tiene que ‖A− Sm‖ < 1/m. Además observar que como la partición quecorresponde a εm−1 está contenida (o es igual) en la que corresponde a εm, luego se tieneque Sm−1 ≤ Sm. Luego tenemos una sucesión creciente de elementos del tipo deseado(Sm)m∈N tales que Sm → A en norma pues, si η > 0, entonces existe un n0 ∈ N tal que1/n0 < η entonces si n ≥ n0 se tiene que ‖A− Sn‖ ≤ 1/n ≤ 1/n0 < η. 2

Para terminar esta sección enunciaremos el siguiente resultado conocido, cuya de-mostración puede leerse en [13, Corolario 5] y será utilizado para el caso particular endonde la C∗-álgebra es B(H).

20

Teorema 2.1.6 (Kadison) Un isomorfismo lineal que respeta el orden en ambas di-recciones entre dos C∗-álgebras y que manda la identidad de una en la identidad de laotra, es un C∗-isomorfismo.

2.2 Automorfismos de orden

Como ya se mencionó en la introducción, BS(H) con respecto a la suma usual, la mul-tiplicación por un escalar y el producto de Jordan

A ·B = AB +BA2

(A,B ∈ BS(H))

forma un álgebra conmutativa, más espećıficamente un álgebra de Jordan.

Se puede leer en [1] que los automorfismos de BS(H), si se lo considera equipadocon las operaciones recién mencionadas, son implementados por un operador unitario oantiunitario de H.

Nuestro objetivo principal es determinar todos los automorfismos de BS(H) vistocomo un conjunto parcialmente ordenado.

Empezaremos primero estudiando algunas propiedades que tienen los automorfismosde B(H)+ para luego sacar consecuencias sobre su forma.

En primer lugar veamos que un mapa biyectivo de B(H)+ que respeta el orden enambas direcciones, también tiene que preservar los rangos de los operadores.

Lema 2.2.1 Sea φ : B(H)+ → B(H)+ un mapa biyectivo con la propiedad que

A ≤ B ⇐⇒ φ(A) ≤ φ(B)

vale siempre que A,B ∈ B(H)+. Entonces φ preserva el rango de los operadores.

Demostración. Veamos que

rgA = k ⇐⇒ rg φ(A) = k

(k = 1, . . . , n) vale para todo n ∈ N.

El caso n = 1 se deduce de que si el rango de A es 1 entonces el intervalo [0, A] estotal, y como φ preserva el orden esto implica que el intervalo [0, φ(A)] es total, luego elrg φ(A) = 1. Como φ−1 tiene las mismas propiedades que φ, vemos que vale la vuelta.

21

Supongamos que nuestra hipótesis vale para n ∈ N y veamos que vale para n + 1.Sea A ∈ B(H)+ de rango n+ 1. Por la hipótesis inductiva se tiene que rg φ(A) ≥ n+ 1.Suponer que rg φ(A) > n + 1. Usando el Lema 2.1.2 y el hecho de que φ preserva elorden, se deduce que rgA > n + 1 lo que es una contradicción. Luego se tiene querg φ(A) = n+1. Una vez más, como φ−1 tiene las mismas propiedades que φ, vemos quevale la vuelta. 2

Sean S1, . . . , Sn subespacios de dimensión 1 en H. Decimos que los {Si}ni=1 son li-nealmente independiente si no pueden ser inclúıdos en un subespacio de dimensión(n− 1).

Veamos que si φ es una biyección de B(H)+ que respeta el orden en ambas direc-ciones, entonces φ respeta la independencia lineal de las imágenes de los operadorespositivos de rango uno en ambas direcciones. Más precisamente,

Lema 2.2.2 Sea φ : B(H)+ → B(H)+ un mapa biyectivo que respeta el orden en ambasdirecciones y sean A1, . . . , An ∈ B(H)+ operadores de rango uno. Entonces sus imágenesson linealmente independientes si y sólo si lo son las imágenes de φ(A1), . . . , φ(An).

Demostración. Hagamos inducción en n. En el caso n = 1 no hay nada que hacer.Supongamos que vale para n y probemos que vale para n + 1. Sean A1, . . . , An, An+1operadores de rango uno con imágenes linealmente independientes y supongamos que lasimágenes de φ(A1), . . . , φ(An), φ(An+1) no lo son. Entonces estas imágenes pueden serinclúıdos en un subespacio de dimensión a lo sumo n, luego hay un operador B ∈ B(H)+

de rg n tal que φ(A1), . . . , φ(An), φ(An+1) ≤ B. Como φ preserva el orden en ambossentidos, se tiene que A1, . . . , An, An+1 ≤ φ−1(B). Por el Lema 2.1.1, esto implica queImgA1, . . . , ImgAn, ImgAn+1 ⊆ Img φ−1(B). Como rg φ−1(B) = n, se tiene que lasimágenes de A1, . . . , An, An+1 pueden ser inclúıdas en un subespacio de H de dimensiónn, lo que es una contradicción. La vuelta se deduce del hecho de que φ−1 tiene las mismaspropiedades que φ. Luego, tenemos el lema probado. 2

22

Determinemos, a continuación de todos los mapas biyectivos en B(H)+ que preservanel orden ≤ en ambas direcciones (L. Molnar, [5, Teorema 1]).

Teorema 2.2.3 Sea H un espacio de Hilbert con dimH > 1. Sea φ : B(H)+ → B(H)+

un mapa biyectivo con la propiedad que

A ≤ B ⇐⇒ φ(A) ≤ φ(B)

vale siempre que A,B ∈ B(H)+. Entonces existe un operador acotado inversible lineal oconjugado lineal T : H → H tal que φ es de la forma

φ(A) = TAT ∗ (A ∈ B(H)+).

Rećıprocamente, si una biyección de B(H)+ es de la forma recién mencionada, entoncespreserva el orden en ambas direcciones.

Demostración. La demostración se basa en el conocido resultado de Rothaus [14] sobre laautomática linealidad de los mapas biyectivos entre conos convexos cerrados en espaciosnormados que preservan el orden en ambas direcciones. En ese paper ese resultado fuealcanzado bajo hipótesis bastante restrictivas. Sin embargo, cuando el espacio normadoen cuestión es un álgebra de operadores, estas hipótesis se cumplen cuando el espaciode Hilbert H subyacente es de dimensión finita. Por lo tanto, la parte central de lademostración será reducir nuestro problema al caso de dimensión finita. Primero observarque φ(0) = 0 y que por los lemas 2.2.1 y 2.2.2, φ preserva el rango de los operadoresy si A1, . . . , An ∈ B(H)+ son operadores de rango uno, sus imágenes son linealmenteindependientes si y sólo si lo son las imágenes de φ(A1), . . . , φ(An).

Fijemos ahora operadores de rango uno A1, . . . , An ∈ B(H)+ con imágenes lineal-mente independientes que generan un subespacio Hn de H de dimensión n. DenotemosporH ′n al subespacio n-dimensional deH generado por las imágenes de φ(A1), . . . , φ(An).Observar que un operador positivo de rango finito T actúa en Hn si y sólo si para todooperador de rango uno A para el cual las imágenes de A1, . . . , An, A son linealmenteindependientes se tiene que A � T .

En efecto, suponer que T actúa en Hn. Si A ≤ T se tiene que ImgA ⊆ Img T ⊆ Hn loque implica que las imágenes de A1, . . . , An, A no pueden ser linealmente independientes.Veamos la vuelta, supongamos que T no actúa en Hn, entonces existe un vector denorma uno x en la imagen de T que no está en Hn. Por otro lado, como x ∈ Img T , porel Lema 2.1.1, sabemos que existe un λ tal que λx ⊗ x ≤ T . Es decir, encontramos unoperador A de rango uno que cumple que las imágenes de A1, . . . , An, A son linealmenteindependientes y que A ≤ T . Luego tenemos probada nuestra observación.

De esta observación se deduce que un operador T ∈ B(H)+ actúa en Hn si y sólo siφ(T ) actúa en H ′n.

23

Luego, para cualquier subespacio n-dimensional Hn de H, existe un subespacion-dimensional H ′n de H tal que para todo T ∈ B(H)+, T actúa en Hn si y sólo siφ(T ) actúa en H ′n. Esto induce una transformación biyectiva ψ en el cono Mn(C)+ detodas las matrices complejas de n × n positivas que preserva el orden en ambas dire-cciones. Cabe aclarar que la “positividad” está usada en el sentido de operadores, luegonuestro concepto de positividad es el mismo que el de semidefinida positiva en la teoŕıade matrices.

Como φ preserva el rango, se tiene que ψ preserva las matrices de rango n en ambasdirecciones. Por otro lado, el conjunto de esas matrices es justo el interior de Mn(C)+

en el espacio real normado de las matrices de n× n hermitianas. Luego, ψ es respeta elorden en ambas direcciones en el interior de Mn(C)+, por lo tanto, aplicando el resultadoantes mencionado sobre la linealidad de los mapas biyectivos entre conos convexos [14,Proposición 2],se tiene que ψ es lineal en el conjunto de las matrices de rango n deMn(C)+.

Ahora veamos que ψ es lineal en todo Mn(C)+. Elegir A,B ∈ Mn(C)+. Sabemosque existen (Ak) y (Bk) dos sucesiones de elementos de rango n en Mn(C)+ monóto-nas decrecientes con respecto al orden ≤, tales que Ak → A,Bk → B. Observar queA = ı́nfk Ak, B = ı́nfk Bk y A+B = ı́nfk (Ak +Bk). Debido a que ψ preserva el orden,se tiene que ψ(A) = ı́nfk ψ(Ak), ψ(B) = ı́nfk ψ(Bk) y ψ(A+B) = ı́nfk ψ (Ak +Bk). Lassucesiones ψ(Ak), ψ(Bk) y ψ (Ak +Bk) son monótonas decrecientes y acotadas inferio-mente, luego por el teorema de Vigier sabemos que convergen en la topoloǵıa fuerte a suı́nfimo. Además, por lo visto antes, sabemos que ψ (Ak +Bk) = ψ(Ak) + ψ(Bk). Luegotenemos que,

ψ(A+B) = ĺımkψ (Ak +Bk) = ĺım

kψ(Ak) + ĺım

kψ(Bk) = ψ(A) + ψ(B)

Luego, ψ es aditiva en Mn(C)+ y, análogamente, se ve que saca escalares positivos afuera.Como todo par de elementos en B(H)+ de rango finito puede ser mirado en un espaciomatricial Mn(C)+, se deduce que

φ(λA+B) = λφ(A) + φ(B)

Con A y B elementos de B(H)+ de rango finito y λ > 0. Veamos que esto vale paratodo A,B ∈ B(H)+

Por el Lema 2.1.5, sabemos que todo operador en B(H)+ es el ĺımite en norma deuna suceción monótona creciente de operadores de la forma

∑i λiPi, donde los λi’s son

números positivos y las Pi’s son proyecciones. Como toda suma finita∑

i λiPi dondelos λi’s son números positivos y los Pi’s son proyecciones de rango no necesariamentefinito, es el ĺımite fuerte de una red monótona creciente de elementos de rango finitode B(H)+, uno puede probar de la misma manera que antes que φ es aditiva y saca

24

escalares positivos afuera en el conjunto de tales sumas finitas. Ahora haciendo lo mismoque antes, se obtiene que φ separa sumas en sumas y saca escalares positivos afuera entodo B(H)+.

A continuación extendamos φ de B(H)+ a B(H)S . Por el Lema 1.2.4, sabemos quedado T ∈ B(H)S existen únicos A,B ∈ B(H)+ tales que T = A−B, luego defininamosφ̃(T ) = φ(A)− φ(B), para todo T ∈ B(H)S con T = A − B, A,B ∈ B(H)+. Observarque φ̃ es una transformación lineal. Además, φ̃ respeta el orden en ambas direcciones.

En efecto, como φ̃ es lineal, sólo basta ver que 0 ≤ T ⇔ 0 ≤ φ̃(T ). La ida es fácil yaque si 0 ≤ T entonces φ̃(T ) = φ(T ). Ahora supongamos que T ∈ B(H)S , con T = A−B,A,B ∈ B(H)+ son tales que 0 ≤ φ̃(T ) = φ(A)− φ(B), esto implica que φ(B) ≤ φ(A) ycomo φ preserva el orden se tiene que B ≤ A, lo que nos da que 0 ≤ A−B = T .

Por lo tanto tenemos que φ̃ respeta el orden en ambas direcciones. De esto se deduceque φ̃ es inyectiva. Además, también es suryectiva ya que B(H)+ está inclúıdo en suimagen. Luego, φ̃ es biyectiva.

Extendamos ahora φ̃ de B(H)S a B(H). Sabemos que dado A ∈ B(H) existen únicosB,C ∈ B(H)S tales A = B + iC, luego definamos ˜̃φ(A) = φ̃(B) + iφ̃(C). Observar que˜̃φ es una transformación lineal biyectiva de la C∗-álgebra B(H) que preserva el orden enambas direcciones. Considerar la transformación lineal

A 7−→√φ(I)

−1 ˜̃φ(A)

√φ(I)

−1

Por el teorema de Kadison esta transformación es un C∗-automorfismo de B(H). Es-te tipo de transformaciones de B(H) son implementadas por operadores unitarios oantiunitarios (ver por ejemplo [1]), es decir, existe un operador U ∈ B(H) unitario oantiunitario tal que, √

φ(I)−1 ˜̃φ(A)

√φ(I)

−1= UAU∗

para A ∈ B(H). Como si A ∈ B(H)+ se tiene que ˜̃φ(A) = φ(A), entonces se deduce queφ(A) = TAT ∗, donde T =

√φ(I)U .

Por lo tanto, tenemos teorema probado. 2

25

Finalmente veamos el resultado más importante del caṕıtulo, el cual establece laforma de los mapas biyectivos de BS(H) que preservan el orden en ambas direcciones(L. Molnar, [5, Teorema 2]).

Teorema 2.2.4 Sea H un espacio de Hilbert con dimH > 1. Sea φ : BS(H) → BS(H)un mapa biyectivo con la propiedad que

A ≤ B ⇐⇒ φ(A) ≤ φ(B)

vale siempre que A,B ∈ BS(H). Entonces existe un operador X ∈ BS(H) y un operadoracotado inversible lineal o conjugado lineal T : H → H tal que φ es de la forma

φ(A) = TAT ∗ +X (A ∈ BS(H)).

Rećıprocamente, si una biyección de BS(H) es de la forma recién mencionada, entoncespreserva el orden en ambas direcciones.

Demostración. Empecemos reduciendo nuestro problema a las condiciones del teoremaanterior. Llamemos X = φ(0) y consideremos la transformación

ψ : A 7→ φ(A)−X.

Observar que como ψ es una biyección de BS(H) que preserva el orden en ambas di-recciones, se puede suponer sin pérdida de generalidad que φ(0) = 0. Ahora, al serφ(0) = 0, si restringimos φ a B(H)+ tenemos una biyección de B(H)+ que preserva elorden en ambas direcciones. Luego podemos aplicar el Teorema 2.2.3, del cual deducimosque existe un operador acotado inversible lineal o conjugado lineal T : H → H tal que

φ(A) = TAT ∗ (A ∈ B(H)+). (2.1)

Luego para terminar la demostración solamente tenemos que probar que esta igualdadvale para todo A ∈ BS(H). Con este fin, fijemos un B ∈ BS(H) arbitrario y veamos queφ(B) = TBT ∗. Consideremos la constante K = −‖B‖ ∈ R. Observar que como B esautoadjunto se tiene que KI ≤ B. Consideremos la transformación

ψB : A 7→ φ(A+K)− φ(K)

en B(H)+. Observar que ψB es una transformación biyectiva en B(H)+ que preser-va el orden en ambas direcciones, luego existe un operador acotado inversible lineal oconjugado lineal S = S(B) : H → H tal que

φ(A+K)− φ(K) = SAS∗ (A ∈ B(H)+). (2.2)

26

Si A ≥ −K, 0, entonces por (2.1) se tiene

T (A+K)T ∗ − φ(K) = SAS∗ (2.3)

Considerando esta igualdad para otro operador A′ con A′ ≥ −K, 0, se ve que

T (A−A′)T ∗ = S(A−A′)S∗.

Ahora si C es un operador autoadjunto cualquiera, tomando A ≥ −K, 0, C − K yA′ = A− C, se ve que TCT ∗ = SCS∗. Luego, se deduce de (2.3) que

T (A+K)T ∗ − φ(K) = SAS∗ = TAT ∗

donde A ∈ BS(H), A ≥ −K, 0. Esto nos dice que

φ(K) = TKT ∗.

Deducimos de (2.2) que

φ(A+K) = SAS∗ + φ(K) = TAT ∗ + TKT ∗ = T (A+K)T ∗

vale para todo A ∈ B(H)+. Tomando A = B −K ≥ 0, tenemos que

φ(B) = TBT ∗.

que es lo que se queŕıa ver. 2

2.3 Ciertos tipos de automorfismos de orden

El Teorema 2.2.4, más allá de la importancia que en śı mismo tiene, tiene algunas con-secuencias interesantes que merecen ser mencionados.

Además del orden ≤ entre dos operadores, en BS(H) se pueden definir otras re-laciones. En esta sección nos dedicaremos a estudiar mapas biyectivos de BS(H) quepreservan el orden y una cierta relación en ambas direcciones. Del Teorema 2.2.4 podre-mos deducir, a manera de corolario, la forma de dichos mapas.

Empecemos suponiendo que en BS(H) tenemos definido, además de la relación deorden, la relación de conmutatividad. Nuestro primer resultado determina la forma detodas las transformaciones biyectivas en BS(H) que preservan el orden y la relaciónde conmutatividad en ambas direcciones. Donde preservar la conmutatividad en ambasdirecciones quiere decir que, AB = BA si y sólo si φ(A)φ(B) = φ(B)φ(A).

27

Corolario 2.3.1 Sea H un espacio de Hilbert con dimH > 1. Sea φ : BS(H) → BS(H)un mapa biyectivo que preserva el orden y la conmutatividad en ambas direcciones. En-tonces existen un operador unitario o antiunitario U : H → H y números reales λ y µ,con λ positivo, tales que φ es de la forma

φ(A) = λUAU∗ + µI (A ∈ BS(H)).

Rećıprocamente, si una biyección de BS(H) es de la forma recién mencionada, entoncespreserva el orden y la conmutatividad en ambas direcciones.

Demostración. Por el Teorema 2.2.4, sabemos que hay un operador inversible lineal oconjugado lineal T en H tal que φ es de la forma

φ(A) = TAT ∗ + φ(0) (A ∈ BS(H)).

Como el operador 0 conmuta con todo A ∈ BS(H), lo mismo le pasa a φ(0), luego hayun operador µ ∈ R tal que φ(0) = µI. Lo mismo sucede con la identidad, luego comoφ(I) = TT ∗ + φ(0) tenemos un λ ∈ R tal que TT ∗ = φ(I) − φ(0) = λI. Como TT ∗ espositivo, λ tiene que ser positivo. Tomando U = T/

√λ tenemos el operador unitario o

antiunitario del enunciado. Finalmente como TAT ∗ + φ(0) = λUAU∗ + µI, se llegó a laforma de φ que se queŕıa. 2

Antes de seguir adelante con los resultados, hagamos una breve definición.

Diremos que dos operadores autoadjuntos son complementarios si la imagen deuna proyección no trivial de la imagen de la medida espectral del primer autoadjuntotiene intersección cero con la imagen de cualquier proyección no trivial de la imagen dela medida espectral del segundo observable.

Nuestro siguiente corolario describe la forma de todos los mapas biyectivos en BS(H)que preservan el orden y la omplementariedad en ambas direcciones.

Corolario 2.3.2 Sea H un espacio de Hilbert con dimH > 1. Sea φ : BS(H) → BS(H)un mapa biyectivo que preserva el orden y la complementariedad en ambas direcciones.Entonces existen un operador unitario o antiunitario U : H → H y números reales λ yµ, con λ positivo, tales que φ es de la forma

φ(A) = λUAU∗ + µI (A ∈ BS(H)).

Rećıprocamente, si una biyección de BS(H) es de la forma recién mencionada, entoncespreserva el orden y la complementariedad en ambas direcciones.

28

Demostración. Primero observar que un operador A ∈ BS(H) es complementario contodo B ∈ BS(H) si y sólo si hay un µ ∈ R tal que A = µI. Si ahora seguimos de lamisma manera que en la demostración del Corolario 2.3.1 llegaremos a la forma de φdeseada. 2

Como último resultado, describiremos la forma de todos los mapas biyectivos enBS(H) que preservan el orden y la ortogonalidad en ambas direcciones, donde dos ope-radores autoadjuntos son ortogonales si AB = 0 lo que es equivalente a decir que lasimágenes de A y B son mutuamente ortogonales.

Corolario 2.3.3 Sea H un espacio de Hilbert con dimH > 1. Sea φ : BS(H) → BS(H)un mapa biyectivo que preserva el orden y la ortogonalidad en ambas direcciones. Enton-ces existen un operador unitario o antiunitario U : H → H y un número real positivo λtal que φ es de la forma

φ(A) = λUAU∗ (A ∈ BS(H)).

Rećıprocamente, si una biyección de BS(H) es de la forma recién mencionada, entoncespreserva el orden y la ortogonalidad en ambas direcciones.

Observar que de esto se deduce que si φ es un mapa biyectivo que preserva el orden y laortogonalidad en ambas direcciones, entonces también va a preservar la conmutatividaden ambas direcciones.

Demostración. Por el Teorema 2.2.4, sabemos que hay un operador invertible lineal oconjugado lineal T en H tal que φ es de la forma

φ(A) = TAT ∗ + φ(0) (A ∈ BS(H)).

Como el operador 0 es ortogonal a todo A ∈ BS(H), lo mismo le pasa a φ(0), y como eloperador 0 es el único operador en BS(H) que es ortogonal a todo operador, se deduceque φ(0) = 0. Luego φ(A) = TAT ∗ vale para todo A ∈ BS(H). Supongamos que T eslineal. La demostración para T conjugada lineal se puede hacer de la misma manera.Sean x, y vectores no nulos y ortogonales en H, considerar los operadores autoadjuntosA = x⊗ x y B = y⊗ y. Como A y B son ortogonales, se tiene que φ(A)φ(B) = 0 lo queimplica que AT ∗TB = 0. Luego

0 = AT ∗TB = (x⊗ x)T ∗T (y ⊗ y) = x⊗ Tx · Ty ⊗ y = 〈Ty, Tx〉x⊗ y

Lo que nos dice que 〈Ty, Tx〉 = 0. Es decir, tenemos que 〈T ∗Tx, y〉 = 0 si 〈x, y〉 = 0. Loque implica que para cada x ∈ H hay un λx ∈ R tal que T ∗Tx = λxx. De esto podemos

29

deducir que existe un λ ∈ R tal que T ∗T = λI. Por las mismas razones que antes, λtiene que ser positivo y tomando U = T/

√λ, se termina la demostración. 2

30

Caṕıtulo 3

Automorfismos del conjunto de

las isometŕıas parciales

En este caṕıtulo estudiaremos la forma de todas las biyecciones del conjunto de lasisometŕıas parciales en un espacio de Hilbert, las cuales preservan el orden y la ortogo-nalidad en ambas direcciones y son continuas en un sólo punto. Además, daremos unteorema que involucra las isometŕıas parciales de rango uno, el cual es el análogo alfamoso teorema de la mecánica cuántica de Wigner.

3.1 Isometŕıas Parciales

En el Caṕıtulo 1 introdujimos a las isometŕıas parciales motivados por la necesidadpresentar un resultado para operadores continuos análogo al de la descomposición polarde los números complejos. Más allá de que se mencionó el hecho de que estos operadoresson de gran importancia y utilidad, es en este caṕıtulo donde se les dará un uso másrelevante.

Esta sección la dedicaremos a fijar notaciones y estudiar algunas propiedades de estosoperadores.

El conjunto de las isometŕıas parciales en H será denotado por PI(H) y el de lasisometŕıas parciales de rango uno por PI1(H). El conjunto de los números complejosde módulo 1 será denotado por T y la funcional traza usual definida en la clase de losoperadores traza se denotará por tr.

Recordar que P (H) denota el conjunto de las proyecciones en un espacio de Hilberty P1(H) denota el conjunto de las proyecciones de rango uno.

31

Dotaremos a PI(H) del siguiente orden parcial: dadas dos P,Q ∈ PI(H) decimosque P ≤ Q si IP ⊂ IQ, FP ⊂ FQ y P|IP = Q|IP

También le daremos una relación de ortogonalidad: decimos que P ∈ PI(H) esortogonal a Q ∈ PI(H) si P ∗Q = PQ∗ = 0. Es decir, si los espacios iniciales sonortogonales entre śı y los espacios finales son ortogonales entre śı.

Observar que si P es una proyección, entonces P es una isometŕıa parcial conIP = FP . Caber resaltar que la relación de ortogonalidad y el orden parcial introdu-cidos en PI(H), cuando se los restringe a P (H), coinciden con el orden y la relación deortogonalidad usuales de este conjunto.

Supongamos que P es una proyección. Como IP = FP , se tiene que P|IP = I|IP , osea P ≤ I. Y si P es una isometŕıa parcial con P ≤ I, se tiene que P (x) = x para todox ∈ IP , luego P es una proyección. Por lo tanto podemos observar que

Observación 3.1.1 Una isometŕıa parcial P es una proyección si y sólo si P ≤ I.

La siguiente observación nos será de gran utilidad ya que nos va a permitir usar laspropiedades ya conocidas de las proyecciones a la hora de probar resultados sobre lasisometŕıas parciales.

Observación 3.1.2 Sea R ∈ B(H). Son equivalentes,

(a). R es un isometŕıa parcial;

(b). R∗ es un isometŕıa parcial;

(c). R∗R es una proyección;

(d). RR∗ es una proyección;

(e). RR∗R = R;

(f). R∗RR∗ = R∗

Más aún, si R es una isometŕıa parcial, entonces R∗R es la proyección sobre el espacioinicial de R y RR∗ es la proyección sobre el espacio final de R.

Consideremos A un operador de rango finito, por la descomposición polar A = W |A|,donde W es una isometŕıa parcial con (kerA)⊥ como espacio inicial y ImgA comoespacio final. Como |A| es compacto y normal, por el teorema espectral podemos escribira |A| como una suma finita |A| =

∑k λkQk, donde los Qk’s son las proyecciones en

32

Ker(|A| − λkI). Luego, A =∑

k λkWQk. Observar que WQk es una isometŕıa parcial.En efecto, KerW = KerA = Ker |A| ⊆ KerQk ⊆ Ker(WQk). Luego si consideramos x ∈(Ker(WQk))⊥, tenemos que Qkx = x y ‖Wx‖ = ‖x‖, luego ‖WQkx‖ = ‖Wx‖ = ‖x‖,luego WQk es una isometŕıa parcial de rango finito, más aún son ortogales dos a dos. Esdecir, escribimos a A como una combinación lineal de isometŕıas parciales ortogonalesdos a dos.

En el Caṕıtulo 1, Teorema 1.2.5, vimos que si U es un operador de rango finito,entonces lo podemos escribir como una combinación lineal de proyecciones de rangouno. Debido a que las proyecciones son isometŕıas parciales, podŕıamos haber obviadoel comentario anterior y simplemente reescribir el Teorema 1.2.5 diciendo que,

Observación 3.1.3 Sea A ∈ F (H) un operador de rango finito. Entonces A puede serescrito como una suma finita

A =∑k

λkPk

donde los Pk’s son isometŕıas parciales de rango finito ortogonales dos a dos y los λk’sson escalares.

Sea Pn ∈ P (H) un conjunto de proyecciones ortogonales dos a dos. Considerar Pla proyección sobre

∨{PnH : n ∈ N}. Se mencionó en el caṕıtulo uno que si h ∈ H,

entonces∑

n Pnh converge en H a Ph. Es decir,∑

n Pn converge en la topoloǵıa fuertede operadores (SOT) a la proyección P . Veamos que para las isometŕıas parciales pasalo mismo.

Lema 3.1.4 Si Rn ∈ PI(H) es un conjunto de isometŕıas parciales ortogonales dos ados, se tiene que la serie

∑nRn es convergente en la topoloǵıa fuerte de operadores y

su suma R es una isometŕıa parcial.

Demostración. Como Rn ∈ PI(H), se tiene que R∗nRn es una proyección. Más aún, elhecho de que las Rn sean ortogonales dos a dos implica que las proyecciones R∗nRn sonortogonales dos a dos. Luego,

∑nk=1R

∗kRk es una proyección. Considerar Pn =

∑nk=1Rk.

Pn es una isometŕıa parcial ya que P ∗nPn =∑n

k=1R∗kRk es una proyección. Más aún,

(Pn)n es un conjunto de isometŕıas parciales que cumplen que Pn ≤ Pn+1, luego existeuna isometŕıa parcial R tal que Pn converge SOT a R. Lo que es equivalente a decir que,∑n

k=1Rk converge SOT a R. 2

33

3.2 Automorfismos de PI(H) continuos en un punto

En el caṕıtulo introductorio se hizo referencia a la importancia que tiene el conjunto delas proyecciones en un espacio de Hilbert, P (H), en la mecánica cuántica. También semencionaron los resultados más importantes sobre P (H) y el conjunto de las proyeccionesde rango uno, denotado P1(H).

En esta sección y en la siguiente nos dedicaremos a dar resultados análogos para elconjunto de las isometŕıas parciales y el de las isometŕıas parciales de rango uno.

El teorema principal de esta sección describe la forma de todas las biyecciones dePI(H) las cuales preservan el orden y la ortogonalidad en ambas direcciones y soncontinuas en un punto.

Antes de dedicarnos a la demostración de dicho teorema, veamos un interesanteresultado que se utilizará alĺı.

Considerar A una subálgebra de B(H). Decimos que A es autoadjunta si A ∗ = A ,donde A ∗ = {A∗ : A ∈ A }. Decimos que una subálgebra autoadjunta A es un álgebrade operadores estándar si contiene a F (H).

Definición 3.2.1 Sean A y A ′ dos álgebras de operadores estándar. Una biyecciónlineal Φ : A → A ′ se llama isomorfismo triple si satisface

Φ(AB∗A) = Φ(A)Φ(B)∗Φ(A) (A,B ∈ A ).

El siguiente teorema, cuya demostración no será dada y que se puede leer en [15], nosda la forma general de los isomorfismos triples entre álgebras de operadores estándar.

Teorema 3.2.2 Sean A y A ′ dos álgebras de operadores estándar en H. Si Φ : A → A ′

es un isomorfismo triple, entonces o bien hay operadores unitarios U, V en H tales queΦ es de la forma

Φ(A) = UAV (A ∈ A )

o bien hay operadores antiunitarios U ′, V ′ en H tales que Φ es de la forma

Φ(A) = U ′AV ′ (A ∈ A ).

Veamos dos propiedades que cumplen las biyecciones de PI(H) que preservan elorden y la ortogonalidad en ambas direcciones.

34

Lema 3.2.3 Sea H un espacio de Hilbert con dimH ≥ 3. Sea φ : PI(H) → PI(H) unatransformación biyectiva que preserva el orden parcial y la ortogonalidad entre isometŕıasparciales en ambas direcciones. Entonces φ es completamente ortoaditiva y respeta elrango de los operadores, es decir, cumple que P ∈ PI(H) es una isometŕıa parcial derango n si y sólo si φ(P ) lo es.

Demostración. Veamos primero que una isometŕıa parcial P tiene rango n si y sólo siφ(P ) tiene rango n. Para esto, hagamos inducción en n. Para n = 0 no hay nada quehacer ya que como φ preserva el orden en ambas direcciones φ(0) = 0.

Supongamos que vale para k = 0, . . . , n y veamos que vale para k = n+1. Para esto,observar que P ∈ PI(H) tiene rango n+1 si y sólo si para toda Q ∈ PI(H) con Q 6= P ,Q ≤ P se tiene que el rango de Q es menor o igual que n y hay una de estas cuyo rangoes n. Usando esto más la hipótesis inductiva, se ve que rango de P es n+ 1 si y sólo si,lo es el de φ(P ).

Ahora veamos que φ es completamente ortoaditiva. Sea Rα ∈ PI(H) un conjunto deisometŕıas parciales ortogonales dos a dos. Por una lado, la serie

∑αRα es convergente en

la topoloǵıa fuerte de operadores a una isometŕıa parcial R, además la suma∑

α φ(Rα)es también otra isometŕıa parcial, entonces por la biyectividad de la φ sabemos que hayuna Q ∈ PI(H) tal que ∑

α

φ(Rα) = φ(Q)

Observar que como Rα ≤ R para todo α y como φ preserva el orden se tiene queφ(Q) =

∑α φ(Rα) ≤ φ(R). Por otro lado, como φ(Rα) ≤ φ(Q) y φ preserva el orden en

ambas direcciones se tiene que Rα ≤ Q para todo α y por lo tanto, R =∑

αRα ≤ Q.Esto nos da que φ(R) ≤ φ(Q), luego

φ(∑α

Rα) =∑α

φ(Rα)

Lo que nos dice que φ es completamente ortoaditiva. 2

En nuestro siguiente teorema, el principal de esta sección, bajo la hipótesis de conti-nuidad en un sólo punto describiremos la forma de las biyecciones de PI(H) las cualespreservan el orden y la ortogonalidad en ambas direcciones (L. Molnar, [6, Teorema 1]).

35

Teorema 3.2.4 Sea H un espacio de Hilbert, dimH ≥ 3. Sea φ : PI(H) → PI(H) unatransformación biyectiva que preserva el orden parcial y la ortogonalidad entre isometŕıasparciales en ambas direcciones. Si φ es continua en norma de operadores en un únicoelemento de PI(H) no nulo, entonces φ puede ser escrita en alguna de las siguientesmaneras:

(i). hay operadores unitarios U, V en H tales que

φ(R) = URV (R ∈ PI(H));

(ii). hay operadores antiunitarios U, V en H tales que

φ(R) = URV (R ∈ PI(H));

(iii). hay operadores unitarios U, V en H tales que

φ(R) = UR∗V (R ∈ PI(H));

(iv). hay operadores antiunitarios U, V en H tales que

φ(R) = UR∗V (R ∈ PI(H)).

Demostración. Primero observar que por el lema anterior sabemos que φ es completa-mente ortoaditiva y que P ∈ PI(H) es una isometŕıa parcial de rango n si y sólo si φ(P )lo es.

Sea ahora λ ∈ T y R ∈ PI(H) de rango uno, entonces φ(λR) es un múltiplo escalarde φ(R), con el escalar de módulo uno.

En efecto, como φ preserva la ortogonalidad en ambas direcciones, se tiene que unaisometŕıa parcial es ortogonal a φ(λR) si y sólo si es ortogonal a φ(R). Como además,λR es una isometŕıa parcial de rango uno, se tiene que φ(λR), φ(R) son ambas de rangouno. De esto se deduce que φ(λR) = αφ(R), con |α| = 1 ya que αφ(R) es isometŕıaparcial.

Sea n ≥ 3, n ∈ N. Sean M , N subespacios n-dimensionales de H. Denotemos conPI(M,N) el conjunto de todos las isometŕıas en H cuyo espacio inicial está contenidoen M y cuyo espacio final está contenido en N . Sea P una isometŕıa parcial en H cuyoespacio inicial es M y cuyo espacio final es N . Entonces φ(P ) es una isometŕıa parcial derango n. Sean M ′ = Iφ(P ) y N ′ = Fφ(P ). Observar que Q ∈ PI(H) está en PI(M,N) si ysólo si para toda R ∈ PI(H) que es ortogonal a P se tiene que es ortogonal a Q. Luego,como φ preserva la ortogonalidad, se tiene que φ mapea PI(M,N) en PI(M ′, N ′).

36

Por lo tanto φ induce una transformación ψ en el espacio PI(Hn) de todas lasisometŕıas parciales en un espacio de Hilbert n-dimensional Hn, ya que PI(M,N) yPI(M ′, N ′) son isomorfos a PI(Hn). Observar que ψ tiene las mismas propiedades queφ y que ψ(I) es unitario. Además, multiplicando ψ por un unitario fijo de B(Hn),se puede suponer que ψ(I) = I. Esto junto con el hecho de que ψ preserva el ordenen ambas direcciones nos dice que ψ manda proyecciones en proyecciones. Entoncestenemos que ψ es una transformacioón biyectiva del conjunto de todas las proyeccionesen B(Hn) que preserva el orden y la ortogonalidad en ambas direcciones. La forma deesas transformaciones es conocida, por ejemplo de [1] se sigue que existe un operadorunitario o antiunitario U en Hn tal que

ψ(P ) = UPU∗ (3.1)

para toda proyección P en B(Hn).

Veamos ahora que si λ ∈ T entonces ψ(λI) es un múltiplo escalar de la identidad.Para esto primero observar que una isometŕıa parcial A ∈ PI(Hn) es igual a la identidadmultiplicada por un escalar de T si y sólo śı para toda proyección P de rango uno setiene que λP ≤ A para algún λ ∈ T. Luego sabiendo esto y que φ(λP ) es un múltiploescalar de φ(P ) para toda P proyección de rango uno se deduce lo que queŕıamos ver.Luego, existe una función f : T → T tal que

ψ(λI) = f(λ)I.

Sabemos que si P ∈ B(Hn) es una proyección de rango uno y λ ∈ T, existe un µ ∈ Ttal que ψ(λP ) = µψ(P ), veamos que µ = f(λ). Como ψ preserva el orden parcial setiene que ψ(λP ) ≤ ψ(λI), o sea, µψ(P ) ≤ f(λ)I, lo que nos dice que µ = f(λ). Luegotenemos,

ψ(λP ) = f(λ)ψ(P )

para toda P ∈ B(Hn) proyección de rango uno y λ ∈ T. Pero como ψ es ortoaditiva, yaque φ lo es, se deduce que esto vale para toda P ∈ B(Hn) proyección.

Ahora veamos qué pasa con las isometŕıas parciales. Sea R ∈ PI(Hn), entonces hayun unitario U y una proyección P tal que R = UP .

En efecto como R es isometŕıa parcial, se tiene que R∗R es proyección. Luego, definoP como R∗R. Ahora definamos U de a trozos.

Primero defino a U en el espacio inicial de R. Si w está en IR, defino Uw = Rw.Observar que como IR = Img(P ) se tiene que Rw = Uw = UPw. Con esta definición,U es lineal en donde está definida. Ahora defino a U en el Ker(R). Como

dim(KerR) + dim(ImgR) = n = dim((ImgR)⊥) + dim(ImgR),

37

se tiene que dim(KerR) = dim((ImgR)⊥). Luego hay un isomorfismo isométricoU0 : KerR→ (ImgR)⊥. Defino U en Ker(R) como U0. O sea, si h ∈ Hn entoncesh = w + v con w ∈ IR y v ∈ KerR defino entonces Uh = Rw + U0v. U es lineal.Además es unitaria ya que

〈Uh,Uh〉 = 〈Rw + U0v,Rw + U0v〉 = 〈Rw,Rw〉+ 〈U0v, U0v〉 =

〈w,w〉+ 〈v, v〉 = 〈h, h〉

Luego U es unitaria y se tiene que Rh = UPh.

Observar que si U es unitario y Q es una isometŕıa parcial, entonces ψ(U) es unitarioy UQ es isometŕıa parcial.

Dado R ∈ PI(Hn) con R = UP , U unitario y P proyección, considerar la trans-formación ψR en PI(Hn), donde ψR(Q) = ψ(U)∗ψ(UQ). Como ψR cumple con lomismo que ψ, aplicando lo que vimos antes, se ve que hay una fR : T → T tal queψR(λP ) = fR(λ)ψR(P ) de lo que se deduce que ψ(λR) = fR(λ)ψ(R).

La función fR depende de R ya que la función f de arriba depende de ψ. De todasmaneras, veamos que fR = f para toda isometŕıa parcial R ∈ PI(Hn).

Sea R ∈ PI(Hn) una isometŕıa parcial de rango uno y sea P ∈ B(Hn) una proyecciónde rango uno ortogonal a R. Por la ortoaditividad de ψ, para cualquier λ ∈ T se tiene,

ψ(λR+ λP ) = fR+P (λ)ψ(R+ P ) = fR+P (λ)(ψ(R) + ψ(P ))

Por otro lado,

ψ(λR+ λP ) = ψ(λR) + ψ(λP ) = fR(λ)ψ(R) + f(λ)ψ(P )

Lo que nos dice que fR+P = fR = f . Por lo tanto tenemos,

ψ(λR) = f(λ)ψ(R) (λ ∈ T) (3.2)

para toda R ∈ PI(Hn) isometŕıa parcial de rango uno.

Como toda isometŕıa parcial es la suma de isometŕıas parciales de rango 1 ortogonalesdos a dos, por la ortoaditividad de la ψ se tiene que la igualdad anterior vale paracualquier isometŕıa parcial R ∈ PI(Hn).

Como para todo λ, µ ∈ T se tiene que

f(λµ)I = ψ((λµ)I) = ψ(λ(µI)) = f(λ)f(µ)I,

se deduce que f : T → T es una biyección multiplicativa. Veamos que es continua.

38

Por hipótesis φ es continua en un punto R ∈ PI(H) con R 6= 0. Sean Rα isometŕıasparciales de rango 1 ortogonales dos a dos tales que

∑αRα = R. Por la ortoaditividad

de la φ tenemos que ∑α

φ(λRα) = φ(λR)

Sabemos que φ(λRα) es un multiplo escalar de φ(Rα) para todo λ ∈ T. Sea λn unasucesión en T que converge a 1. Esto implica que φ(λnR) converge a φ(R). Como∑

α φ(λnRα) = φ(λnR) se tiene que φ(λnRα)n→∞−→ φ(Rα) para todo α.

Veamos que f es continua. Elegir un α0 y suponer que Rα0 ∈ PI(M,N). SeaR0 ∈ PI(Hn) el que le corresponde a Rα0 ∈ PI(M,N). Sea λn una sucesión en T queconverge a 1, por lo que se vio de recién para φ, tenemos que ψ(λnR0)

n→∞−→ ψ(R0) y por(3.2), se tiene que ψ(λnR0) = f(λn)ψ(R0) y ψ(R0) = f(1)ψ(R0), luego f(λn) −→ f(1),o sea, f es continua en 1. Como f es multiplicativa, se deduce que f es un caractercontinuo de T. Como los caracteres continuos de T son las funciones z 7→ zn (n ∈ Z) yf es biyectiva, se deduce que f es o bien la identidad, o bien la conjugación.

Supongamos que el operador U en (3.1) es unitario y supongamos que f es la conju-gación en T.

Sea R ∈ B(Hn) un operador unitario. Por el teorema espectral, R puede ser es-crito como R =

∑n λnPn, con λn los autovalores de R y Pn las proyecciones sobre el

Ker(R− λn). Luego como ψ es ortoaditiva, de (3.2) se obtiene que

ψ(R) =∑n

ψ(λnPn) =∑n

f(λn)ψ(Pn) =

∑n

λnUPnU∗ = UR∗U∗

Si R ∈ PI(Hn), sabemos que existe una isometŕıa parcial Q en Hn que es ortogonala R y tal que R+ λQ es unitario para todo λ ∈ T. Observar que como R es ortogonal aQ se tiene que R ≤ R+ λQ. Luego se tiene,

ψ(R) ≤ ψ(R+ λQ) = U(R+ λQ)∗U∗ = UR∗U∗ + λUQ∗U∗

para todo λ ∈ T. Esto implica que ψ(R) ≤ UR∗U∗. Como rgψ(R) = rgR = rgUR∗U∗

se tiene que ψ(R) = UR∗U∗. Resumiendo, si U es unitario y f es la conjugación en T,se tiene que ψ(R) = UR∗U∗.

Viendo que pasa con el resto de las posibles elecciones entre U y f y siguiendo losmismos pasos, vemos que si el operador U en (3.1) es unitario y f es la identidad en Tentonces ψ(R) = URU∗. Si el operador U en (3.1) es antiunitario y f es la conjugaciónen T entonces ψ(R) = URU∗. Si el operador U en (3.1) es antiunitario y f es la identidaden T entonces ψ(R) = UR∗U∗.

Resumiendo, ψ es de alguna de las siguientes maneras.

39

(i1). Existe un operador U unitario en Hn tal que

ψ(R) = URU∗ (R ∈ PI(Hn));

(ii1). Existe un operador U unitario en Hn tal que

ψ(R) = UR∗U∗ (R ∈ PI(Hn));

(iii1). Existe un operador U antiunitario en Hn tal que

ψ(R) = URU∗ (R ∈ PI(Hn));

(iv1). Existe un operador U antiunitario en Hn tal que

ψ(R) = UR∗U∗ (R ∈ PI(Hn)).

Volviendo a nuestro mapa original φ, vemos que en PI(M,N) φ tiene que ser dealguna de las siguientes formas:

(i2). Existen operadores U, V unitarios en H tales que

φ(R) = URV (R ∈ PI(M,N));

(ii2). Existen operadores U, V unitarios en H tales que

φ(R) = UR∗V (R ∈ PI(M,N));

(iii2). Existen operadores U, V antiunitarios en H tales que

φ(R) = URV (R ∈ PI(M,N));

(iv2). Existen operadores U, V antiunitarios en H tales que

φ(R) = UR∗V (R ∈ PI(M,N)).

Veamos que esto lo podemos extender a todo PI(H). Con este fin, elijamos ahorados vectores ortonormales x, y ∈ H y consideremos las isometŕıas parciales R1 = x⊗ x,R2 = ix ⊗ x y R3 = x ⊗ y. Notemos con [x, y] el subespacio generado por x e y. EnPI([x, y] , [x, y]) φ es de alguna de las formas de arriba. Supongamos que es de la forma(ii2). Se sigue que

φ(R2) = UR∗2V = −i UR∗1V = −i φ(R1);

φ(R3)∗φ(R1) = (UR∗3V )∗UR∗1V = V

∗(x⊗ y)(x⊗ x)V = 0;

40

y por último,φ(R3)φ(R1)∗ = U(x⊗ y)∗V (U(x⊗ x)∗V )∗ =

U(y ⊗ x)(x⊗ x)U∗ = U(y ⊗ x)U∗ 6= 0.

Consideremos el subespacio de dimensión finita H0 de H que contiene todos los subes-pacios iniciales y finales de Rα0 , R1, R2 y R3. Mirando las relaciones entre φ(R1), φ(R2)y φ(R3) vemos que en PI(H0,H0) φ tiene que ser de la forma (ii2).

En efecto, si φ fuese de la forma (i2) se tendŕıa que φ(R3)∗φ(R1) 6= 0; si φ fuese dela forma (iii2) se tendŕıa que φ(R3)φ(R1)∗ = 0; y si φ fuese de la forma (iv2) se tendŕıaque φ(R2) = iφ(R1). Luego en PI(H0,H0) φ tiene que ser de la forma (ii2).

Tomemos un operador de rango finito A ∈ F (H).Por la Observación 3.1.3, A puedeser escrito como una suma finita

A =∑k

λkPk (3.3)

donde los Pk’s son isometŕıas parciales de rango finito y los λk’s son escalares. Definimos

Φ(A) =∑k

λkφ(Pk).

Veamos que Φ está bien definida. Sea A =∑

l µlQl otra escritura de A similar a la quesi dio en (3.3). Sea H1 un subespacio de dimensión finita de H que contiene los espaciosiniciales y finales de todas las Pk, Ql y a H0. Se sigue que en PI(H1,H1) φ tiene que serde la forma (ii2). Luego, podemos escribir∑

k

λkφ(Pk) =∑k

λkUPkV = UA∗V =∑l

µlUQlV =∑l

µlφ(Ql)

Lo que nos dice que Φ está bien definida.

Observar que Φ : F (H) → F (H) es una transformación conjugada lineal que extiendela restricción de φ en el conjunto de las isometŕıas parciales de rango finito. Usando laforma local (ii2) de φ vemos que Φ(AB∗A) = Φ(A)Φ(B)∗Φ(A) (A,B ∈ F (H)), o sea Φes un isomorfismo triple conjugado lineal. Como toda isometŕıa parcial de rango finitoestá en la imagen de Φ, se sigue que Φ es suryectiva. Si A 6= 0 entonces A puede ser escritaen la forma (3.3) donde las Pk’s son isometŕıas parciales de rango finito ortogonales dos ados. Como φ preserva la ortogonalidad tenemos que Φ(A) 6= 0. Luego, la transformaciónA 7→ Φ(A∗) es un automorfismo triple lineal de F (H). Aplicando el Teorema 3.2.2obtenemos que en el conjunto de las isometŕıas parciales de rango finito, φ es de una delas formas (ii2) o (iii2). Sabiendo que φ es completamente ortoaditiva, deducimos queesto vale para todo el conjunto PI(H).

41

La última parte de la demostración se inición suponiendo que φ es de la forma (ii2)en un cierto subconjunto PI(H0,H0) del conjunto de las isometŕıas parciales. Si φ es dealguna de las otras formas, trabajando de manera análoga, se llega al resultado deseado.2

Observación 3.2.5 Si por hipótesis, φ fuese continua solamente en 0, esto no nos diŕıanada ya que 0 es un punto aislado de PI(H). Recalcamos que seŕıa interesante demostrar(si es que es verdad) que el resultado recién probado sigue valiendo sin la hipótesis decontinuidad.

3.3 P -automorfismos de P1(H)

El teorema de Wigner puede ser formulado de varias maneras, en la ref [1] se puedeencontrar la versión que describe la forma de los P -automorfismos.

Más precisamente, supongamos que dotamos a P1(H) de una probabilidad de tran-sición, esto es:

P1(H)× P1(H) −→ [0, 1](P1, P2) 7−→ trP1P2

y consideramos las funciones biyectivas φ : P1(H) → P1(H) que preservan las probabi-lidades de transición, esto es las φ’s que cumplen

trφ(P )φ(Q) = trPQ (P,Q ∈ P1(H)),

Estas φ’s son llamadas P -automorfismos, y el conjunto de los P -automorfismos formaun grupo. El teorema de Wigner establece que

Teorema 3.3.1 Wigner. Si φ es un P -automorfismo. Entonces existe un operadorunitario o antiunitario U en H tal que φ es de la forma

φ(P ) = UPU∗ (P ∈ P1(H)).

A lo largo de las referencias [16] y [17], se pueden encontrar resultados de este estiloque involucran otras estructuras.

Por ejemplo, en [17] se obtiene un resultado análogo al teorema anterior para espaciosde Banach, el cual establece que si X es un espacio de Banach e I1(X) denota el conjunto

42

formado por los idempotentes en X de rango uno y φ : I1(X) → I1(X) es una biyeccióntal que trφ(P )φ(Q) = trPQ (P,Q ∈ I1(X)). Entonces o bien existe un A ∈ B(X)biyectivo tal que φ(P ) = APA−1 (P ∈ I1(X)), o bien existe un C : X ′ → X (donde X ′

denota el dual de X) tal que φ(P ) = CP ′C−1 (P ∈ I1(X))

En nuestro siguiente resultado haremos una afirmación similar al caso de P1(H) queinvolucra al conjunto de las isometŕıas parciales de rango uno (L. Molnar, [6, Teorema2]).

Teorema 3.3.2 Sea φ : PI1(H) → PI1(H) una función biyectiva con la siguiente pro-piedad

trφ(P )∗φ(Q) = trP ∗Q (P,Q ∈ PI1(H)) (3.4)

entonces φ es de una de las siguientes formas:

(a). existen unitarios U, V en H tales que

φ(R) = URV (R ∈ PI1(H));

(b). existen antiunitarios U, V en H tales que

φ(R) = UR∗V (R ∈ PI1(H)).

Demostración. Como vimos antes, si A ∈ F (H), entonces A puede ser escrito como unasuma finita A =

∑k λkPk donde los Pk’s son isometŕıas parciales de rango uno y los λk’s

son escalares. DefinimosΦ(A) =

∑k

λkφ(Pk).

Observar que Φ(A) está bien definida. En efecto, si A =∑

l µlQl otra escritura de Asimilar a la que si dio antes, entonces

trφ(R)∗(∑k

λkφ(Pk)) =∑k

λk trφ(R)∗φ(Pk) =

∑k

λk trR∗Pk = trR∗(∑k

λkPk) = trR∗A

y análogamentetrφ(R)∗(

∑l

µlφ(Ql)) = trR∗A

Luego, se tienetrφ(R)∗(

∑k

λkφ(Pk)) = trφ(R)∗(∑l

µlφ(Ql))

43

para todo R ∈ PI1(H). Como φ es suryectiva, se deduce que∑k

λkφ(Pk) =∑l

µlφ(Ql)

Luego, Φ está bien definida.

Observar que Φ es una transformación lineal en F (H). Como la imagen de Φ contienetodas las isometŕıas parciales de rango uno, se deduce que Φ es suryectiva. Debido a queun operador A ∈ F (H) tiene rango uno si y sólo si es un múltiplo escalar no nulo de unaisometŕıa parcial, se tiene que Φ preserva operadores de rango uno en ambas direcciones.La forma de esas transformaciones es conocida, en [18, Teorema 3.3] se probó que o bienexisten operadores biyectivos U, V ∈ H lineales tales que

Φ(x⊗ y) = Ux⊗ V y (x, y ∈ H)

o bien, existen operadores biyectivos U, V ∈ H conjugados lineales tales que

Φ(x⊗ y) = Uy ⊗ V x (x, y ∈ H)

Suponer que Φ es de la primera forma. Sean x, y, w, t ∈ H, tales que ‖x‖ ‖y‖ = 1 y‖w‖ ‖t‖ = 1. Usando (3.4) para los operadores P = x⊗ y y Q = w ⊗ t, y teniendo encuenta que para dichos operadores trΦ(P )∗Φ(Q) = trP ∗Q, trP ∗Q = 〈w, x〉 tr(y ⊗ t) ytrΦ(P )∗Φ(Q) = 〈Uw,Ux〉 tr(V y ⊗ V t), se obtiene

〈Uw,Ux〉 tr(V y ⊗ V t) = 〈w, x〉 tr(y ⊗ t) (3.5)

Observar que 〈w, x〉 = 0 si y sólo si 〈Uw,Ux〉. Lo que implica que para cada x ∈ Hexiste un λx ∈ R tal que U∗Ux = λxx. De esto deducimos que hay un λ ∈ R talque U∗Ux = λx. Observar que esto nos dice que λ > 0 y U/

√λ es unitario. Luego,

U =√λU0, con U0 unitario. Usando esto en (3.5), vemos que también 〈y, t〉 = 0 si y sólo

si 〈V y, V t〉. De lo cual, de la misma manera que antes, deducimos que existe β > 0 talque V =

√βV0 con V0 unitario. Además, mirando (3.5), deducimos que λβ = 1. Luego

tenemos que,Φ(x⊗ y) = Uy ⊗ V x = U0(x⊗ y)V ∗0

con U0 y V0 unitarios. Esto nos dice que φ(R) = SRT para R ∈ PI1(H), con S = U0 yT = V ∗0 .

Ahora, si suponemos que Φ es de la segunda forma, trabajando de manera similar,vemos que φ(R) = SR∗T con R ∈ PI1(H) y S y T antiunitarios. 2

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Caṕıtulo 4

Automorfismos locales

En este caṕıtulo probaremos que todo automorfismo 2-local de B(H) o del grupo unitarioo del grupo general lineal de un espacio de Hilbert complejo separable de dimensióninfinita es un automorfismo. De esto se deduce que este tipo de transformaciones quedandeterminadas por sus acciones locales en los subconjuntos de dos puntos de los gruposen cuestión.

4.1 Motivación

Considerar un automorfismo local, esto es, una transformación lineal la cual punto apunto coincide con un automorfismo (el automorfismo puede ser diferente en cada punto).Más precisamente, un automorfismo local es una transformación φ : A → A de unaestructura algebraica A tal que para todo x ∈ A , hay un automorfismo φx de A talque φ(x) = φx(x). Esta noción, junto con la de derivación local, fueron introducidas porKadison [7] y por Larson y Sourour [8]. De hecho, sus definiciones erán más ŕıgidas, yaque asumı́an que esos mapas eran lineales.

La condición de linealidad es bastante estricta, y si se la quita, la afirmación puedeya no ser válida.

Larson y Sourour probaron en [8] que toda derivación local de B(X), el álgebra delos operadores lineales y acotados en un espacio de Banach X, es una derivación, y si Xes de dimensión infinita, entonces todo automorfismo local lineal y suryectivo de B(X)es un automorfismo. Bresar y Semrl probaron en [19] que la condición de suryectividadpuede ser omitida si X es un espacio de Hilbert separable.

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Como se puede leer en [20] si θ es un funcional lineal en una álgebra de Banach Acon unidad tal que θ(e) = 1 y tal que para todo a ∈ A existe un homeomorfismo deálgebras θa : A → C con la propiedad que θ(a) = θa(a), entonces θ es multiplicativa.Luego, si un funcional lineal se comporta como un caracter localmente en cada punto,entonces el funcional es un caracter. Una extensión interesante de esto fue obtenidapor Kowalski y Slodkowsi [21], la cual muestra que a costa de pedir que se comportecomo caracter localmente en cada par de puntos, se puede prescindir de la condición delinealidad [20, Corolario 3.7]. Más precisamente si θ : A → C es una función que tienela propiedad que para todos a, b ∈ A existe un funcional lineal multiplicativo θa,b en Atal que θ(a) = θa,b(a) y θ(b) = θa,b(b), entonces θ es lineal y multiplicativa.

Motivados por esto, afirmamos que podemos dejar de lado linealidad y la localidad,si tenemos encuenta otra condición: la 2-localidad.

Definición 4.1.1 Un mapa φ : A → A es un automorfismo 2-local de A si para ca-da x, y ∈ A hay un automorfismo φx,y de A , que depende de x e y, tal que φ(x) = φx,y(x)y φ(y) = φx,y(y).

Observar que la condición de 2-localidad es de una gran ventaja, ya que al no necesitartener en cuenta la linealidad, la pregunta sobre cuándo un automorfismo 2-local es unautomorfismo, puede ser hecha en cualquier estructura algebraica. Tal es el caso delgrupo unitario y del grupo general lineal. Estudiaremos que pasa con los automorfismos2-locales de esas estructuras en las dos últimas secciones, pero para comenzar, veremosque los automorfismos 2-locales de B(H) son automorfismos.

4.2 Automorfismos locales de B(H)

Fue probado en [22] que todo automorfismo de B(H) es interior. Es decir, si φ es unautomorfismo de B(H), entonces existe un S ∈ B(H) invertible tal que φ(A) = SAS−1

para todo A ∈ B(H).

En esta sección demostraremos que todo automorfismo 2-local ψ de B(H), ni linea-lidad, suryectividad ni continuidad de ψ son asumidas, es un automorfismo (P. Semrl,[9, Teorema 1]).

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Teorema 4.2.1 Sea H un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita. Entoncestodo automorfismo 2-local ψ : B(H) → B(H) es un automorfismo de B(H).

Demostración. En primer lugar fijemos una base ortonormal {en : n = 1, 2, . . .} en H.Ahora definamos dos operadores A ∈ B(H) como

A =∞∑n=1

12nen ⊗ en

y N ∈ B(H) como

Ne1 = 0

Nen = en−1, n = 2, 3, . . .

Observar que T ∈ B(H) conmuta con A si y sólo si es diagonal con respecto a la base{e1, e2, . . .}. Más precisamente, para cualquier sucesión acotada de números complejosΛ = (λn), definimos DΛ ∈ B(H) como DΛen = λnen, n ∈ N. Luego T conmuta con A siy sólo si T es de la forma T = DΛ para alguna sucesión acotada Λ.

Afirmamos que T ∈ B(H) conmuta con N si y sólo si existe una sucesión acotada denúmeros complejos Γ = (γn) tal que T es de la forma T = UΓ, donde UΓ está definidopor

UΓen = γne1 + γn−1e2 + . . .+ γ1en, n = 1, 2, . . .

En efecto, observar que si T es de la forma UΓ, entonces T conmuta con N . Para verla ida, asumamos que T conmuta con N . Entonces tenemos que 0 = TNe1 = NTe1,lo que implica que tenemos un número complejo γ1 tal que Te1 = γ1e1. Aplicando unargumento inductivo, encontramos una sucesión Γ = (γn) tal que T = UΓ.

Como todo automorfismo de B(H) es interior y ψ es un automorfismo 2-local,va a existir un operador inversible S ∈ B(H), que depende de A y de N , tal queψ(A) = SAS−1 y ψ(N) = SNS−1. Reemplazando ψ por el mapa T 7→ S−1ψ(T )S, sifuese necesario, se puede asumir sin pérdida de generalidad que ψ(A) = A y ψ(N) = N .

Sea Pn la proyección ortogonal sobre∨{e1, . . . , en}, n ∈ N. Considerar T ∈ B(H)

un operador de rango n que satisfaga PnTPn = T . Por hipótesis, sabemos que existe unoperador R ∈ B(H) tal que ψ(A) = RAR−1 y ψ(T ) = RTR−1. Pero como ψ(A) = A, setiene que R conmuta con A. Luego R es de la forma DΛ para alguna sucesión acotadade números complejos Λ, lo cual a su vez implica que

Pnψ(T )Pn = ψ(T ). (4.1)

Si ahora consideramos los operadores N y T llegamos, de la misma manera, a queψ(T ) = UΓTU−1Γ para alguna sucesión acotada de números complejos Γ = (γn). El

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operador U−1Γ , también conmuta con N , y por ende, tiene que ser de la forma U∆ paraalguna sucesión acotada de números complejos ∆ = (δn). Aplicando (4.1), se obtieneque

PnUΓTU∆(I − Pn) = PnUΓPnTPnU∆(I − Pn) = 0

Pero como rg(PnUΓPnT ) = n se tiene que PnU∆(I − Pn) = 0. Esto nos dice que δk = 0para todo k > 1. Luego tenemos que UΓ = γ1I. Como consecuencia se obtiene que

ψ(T ) = T

para toda T de rango n que satisface PnTPn = T .

En el siguiente paso, vamos a probar que ψ(P ) = P para todo operador P idempo-tente de rango uno que satisfaga PnPPn = P para algún n ∈ N. Un operador aśı tieneque ser de la forma x ⊗ y con Pnx = x, Pny = y y 〈x, y〉 = 1. Observar que ψ(P ) esidempotente de rango uno, lo que implica que existen u, v ∈ H tales que ψ(P ) = u ⊗ vcon 〈u, v〉 = 1. Ahora bien, podemos encontrar un operador B ∈ B(H) de rango n talque PnBPn = B, Bx = x y la dimensión del núcleo de B − I sea uno. Como BP = P ,se tiene

ψ(P ) = ψB,P (P ) = ψB,P (BP ) = ψB,P (B)ψB,P (P ) = Bψ(P ),

lo que nos dice que Bu = u. Pero como la dimensión del núcleo de B − I es uno, ysabemos que Bx = x, se tiene que u = λx para algún número complejo λ. Similarmente,se obtiene que v = µy para algún µ ∈ C. Luego, 1 = 〈u, v〉 = 〈λx, µy〉 = λµ, de lo que sesigue que ψ(P ) = P .

Sea ahora T un operador cualquiera en B(H). Elijamos dos vectores x, y cualesquieraen

∨{e1, . . . , en} que satisfagan 〈x, y〉 = 1 o 〈x, y〉 = 0. Como en los párrafos anteriores

probamos que ψ(x⊗ y) = x⊗ y, obtenemos que

〈ψ(T )x, y〉x⊗ y = x⊗ y ψ(T ) x⊗ y =

ψ(x⊗ y) ψ(T ) ψ(x⊗ y) = ψT,x⊗y(x⊗ y) ψT,x⊗y(T ) ψT,x⊗y(x⊗ y) =

〈Tx, y〉ψT,x⊗y(x⊗ y) = 〈Tx, y〉ψ(x⊗ y) = 〈Tx, y〉x⊗ y.

De lo que se deduce que Pnψ(T )Pn = PnTPn para todo n ∈ N. Luego ψ(T ) = T paratodo T ∈ B(H), que es lo que queŕıamos probar. 2

Comentario Interesante. Cuando se publicó [9] en 1997 el autor, P. Semrl, dejó enclaro que el teorema anterior vaĺıa también para el caso en el que H sea de dimensiónfinita. Pero debido a que sólo pudo dar una demostracio�