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UNIVERSIDAD DE CASTILLA - LA MANCHA

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES

CIUDAD REAL

PROYECTO FIN DE CARRERA Nº 10-12-200419

ESTUDIO VIBRACIONAL DE UNA ESTRUCTURA SOPORTE EMPLEADA EN LA EXPERIMENTACIÓN DE LA ESTABILIZACIÓN DINÁMICA DE LA INESTABILIDAD DE RAYLEIGHT-TAYLOR

Autora: GEMA Mª TRUJILLO MUÑOZ

Director: GONZALO RODRÍGUEZ PRIETO

Julio 2010

A mis padres, Encarni y Antonio, por su apoyo diario e incondicional.

A mi hermana, Olga, por su gran comprensión y momentos tan amenos.

Al resto de familiares, abuelos y tíos por su ánimo.

A mis compañeros de clase por su gran ayuda.

A mis amigos por estos grandes años de amistad.

A Gonzalo, por confiar en mí.

Índice

ÍNDICE

CAPITULO 1: INTRODUCCIÓN………………………………………………………....2

1.1. Antecedentes históricos en el estudio de la inestabilidad de

Rayleight-Taylor…………………………………………………………………...3

1.2. Estabilización dinámica de la inestabilidad de Rayleigh-Taylor en la interfaz

líquido-gas…………………………………………………………………………4

1.3. Objetivos de este proyecto……………………………………………………...….8

CAPITULO 2: MEDIDAS EXPERIMENTALES Y CÁLCULOS SOBRE LA

ESTRUCTURA………………………………………………………..…10

2.1. Variación de la viscosidad con la temperatura. Método y medidas……..10

2.1.1. Viscosidad en fluidos. Definición y principales características……10

2.1.2. Descripción del viscosímetro empleado y fundamentos técnicos….11

2.1.3. Método básico de medida…………………………………………..14

2.1.4. Medidas experimentales. …………………………………………..15

2.1.5. Justificación de las medidas………………………………………..17

2.2. Modelado y cálculos sobre la estructura…………………………………20

2.2.1. Descripción de la estructura………………………………………..20

2.2.2. Modelado de la estructura………………………………………….21

2.2.2.1. Modelo de barras……………………………………………...21

2.2.2.1.1. Breve introducción a la teoría de estructuras…………24

2.2.2.1.2 Modelo de la estructura como conjunto de vigas……...26

2.2.2.1.3 Derivación de las ecuaciones empleadas………………26

2.2.2.2 Estudio de la estructura mediante el método de elementos

finitos…………………………………………………………..49

2.3. Resultados de las frecuencias de vibración naturales……………………53

2.3.1. Modelado de la estructura con barras……………………………….53

2.3.2. Estructura como sistema de elementos finitos………………………55

CAPÍTULO 3: CONCLUSIONES……………………………………………………….59

ANEXO I: PROGRAMA REALIZADO MEDIANTE MATLAB……………………... 61

ANEXO II: EJEMPLOS OBTENIDOS MEDIANTE EL SOLID WORKS…………..…67

ANEXO III: BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………71

Gema Mª Trujillo Muñoz I

Lista de figuras

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1. Interfaz entre dos fluidos incompresibles y viscosos……………………….………6

Figura 1.2. Estructura a estudiar, diferenciando las partes de las que consta…………......7

Figura 2.1. Viscosímetros rotacionales…………………………………………………………..12

Figura 2.2. Elementos que componen el viscosímetro con el vaso del fluido……………….13

Figura 2.3. Variación de la viscosidad dinámica )/( 2 smm frente a temperatura

(ºC ) para el aceite SAE 140………………………………………………………….16

Figura 2.4. Variación en el aceite con jabón de la viscosidad dinámica

)/( 2 smm frente a la temperatura (ºC)……………………………………………...17

Figura 2.5. Correspondencia de las barras empleadas en el modelado con

las partes de la estructura real……………………………………………………….22

Figura 2.6. Nudos de los que consta la estructura……………………………………………...23

Figura 2.7. Reacciones pertenecientes a los apoyos y se indica también la………………...25

fuerza que ejerce el vibrador sobre el eje.

Figura 2.8. Grados de libertad de la estructura…………………………………………………26

Figura 2.9. Barra de extremos i y j………………………………………………………………..28

Figura 2.10. Barra con los valores de tracción………………………………………………….30

Figura 2.11. Barras con los esfuerzos para construir la segunda columna

de la matriz de rigidez en coordenadas locales…………………………………..31

Figura 2.12. Barra con la aplicación del principio de fuerzas virtuales a la segunda

columna………………………………………………………………………………..32

Figura 2.13. Barra para construir la quinta columna de la matriz de rigidez en

coordenadas locales………………………………………………………………….33

Figura 2.14. Barras para construir la tercera columna de la matriz de rigidez en


Figura 2.15. Barras con la aplicación del principio de las potencias virtuales…………….35

Figura 2.16. Barra para construir la sexta columna de la matriz de rigidez en


Figura 2.17. Sistema global de referencia……………………………………………………….38

Figura 2.18. Superposición necesaria para obtener 1δ , 2δ en función de 1∆ y 2∆ ………

39

Figura 2.19. Matriz de rigidez global. Cambio de ejes de locales (x’, y’)…………………...41

a globales (x ,y).

Figura 2.20. Cuadrículas representado la matriz rigidez o de masa de la estructura……..43

Figura 2.21. Matriz de rigidez local de la barra 1 con la subdivisión especificada………..45

Figura 2.22. Estructura por colores con los cuatro bloques diferenciados………………….51

Gema Mª Trujillo Muñoz II

Lista de figuras

Figura 2.23. Frecuencias de resonancia………………………………………………………….54

Figura A.1. Diámetro del eje giratorio reducido a 6 mm……………………………………....68

Figura A.2. Diámetro aumentado en 40 mm……………………………………………………..69

Figura A.3. Longitud del eje aumentada al doble……………………………………………….69

Figura A.4. Se aumenta en 200 mm la longitud de la barra vertical………………………....70

Gema Mª Trujillo Muñoz III

Lista de tablas

LISTA DE TABLAS

Tabla 1.1. Partes que forman la estructura………………………………………………………...8

Tabla 2.1. Sistemas de unidades de la viscosidad dinámica……………………………………11

Tabla 2.2. Partes de las que consta el viscosímetro……………………………………………..14

Tabla 2.3. Funciones exponenciales de la viscosidad en función de la temperatura……….15

Tabla 2.4. Viscosidades y desviación típica en función de la temperatura…………………..18

Tabla 2.5. Longitudes de las barras de la estructura expresadas en (mm)…………………..23

Tabla 2.6. Nudos que componen la estructura…………………………………………………...24

Tabla 2.7. Diversas modificaciones realizadas en la estructura de barras original………..48

Tabla 2.8. Diversas modificaciones realizadas en la estructura……………………………....51

Tabla 2.9. Frecuencias de resonancia obtenidas mediante el modelo de vigas……………..53

Tabla 2.10. Frecuencias de resonancia obtenidas mediante el método de elementos……...55

finitos.

Tabla 3.1. Modificación de la estructura que genera las mejores frecuencias……………..59

de vibración de la misma.

Gema Mª Trujillo Muñoz IV

Introducción

CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN

Gema Mª Trujillo Muñoz 1

Introducción

1. INTRODUCCIÓN

En este proyecto se pretenden caracterizar y calcular los modos de vibración de una

estructura compuesta por un soporte con forma de escuadras metálicas usada como una mesa

vibratoria con un recipiente cilíndrico fijo en su superficie. Esta estructura se emplea en el

estudio de la estabilización dinámica de la inestabilidad de Rayleigh-Taylor en una interfaz

líquido-gas.

Esta inestabilidad aparece en la superficie de separación entre dos fluidos de distintas

densidades sometidos a la acción de la gravedad, si el fluido más denso se apoya sobre el

menos denso. Es quizá una de las inestabilidades hidrodinámicas más cercanas a nuestra vida

cotidiana, ya que, se presenta en procesos tan familiares como el vaciado de un vaso de agua

cuando se invierte y tan espectaculares como la difusión del polvo cósmico tras la explosión

de una supernova. En principio, en un vaso de agua, la presión atmosférica es equivalente a

unos 10 m de columna de agua, por lo que, una presión de una atmósfera debería ser capaz de

soportar los escasos centímetros de altura que un vaso almacena, sin embargo, el agua cae.

Esto es debido a la citada inestabilidad, que provoca una ruptura de la interfaz superficial

entre el agua y el aire, al invertir el vaso del agua provocando la caída de ésta.

El estudio de los modos de vibración de la estructura se fundamenta en el intento de

minimización del impacto de las frecuencias naturales de vibración de la estructura por las

oscilaciones. Como se verá en párrafos posteriores, una forma de lograr la estabilización de

la inestabilidad de Rayleigh-Taylor es dinámicamente, mediante el uso de una fuerza

sinusoidal de dirección perpendicular a la interfaz entre los dos fluidos. Si la frecuencia de

esta onda es cercana a alguna frecuencia de resonancia de la estructura, además de producirse

distorsiones indeseables en la señal sinusoidal, es posible que la propia estructura se dañe. Es

necesario conocer y predecir estas frecuencias de vibración para poder tenerlas en cuenta

cuando se realicen los experimentos. La excitación de la estructura por una onda se aborda

con dos métodos distintos: considerando los elementos de la estructura como vigas y

realizando los cálculos numéricos necesarios para poder hallar las frecuencias de vibración

de la estructura (Argüelles, 2005), mediante el programa de MATLAB y mediante el método

estandar de elementos finitos usando el software incluido en SOLID WORKS.


Introducción

Como parte inicial del trabajo se ha caracterizado experimentalmente la variación de la

viscosidad de los líquidos empleados con la temperatura dado que la viscosidad es un

parámetro básico en el estudio desarrollado y su variación con la temperatura muy alta.

Gracias a los cálculos de los modos de vibración se realizaron cambios en la estructura de

soporte variando las longitudes, diámetros y áreas de las barras que componen la estructura.

Recalculamos entonces los modos de vibración de tal forma que podemos minimizar el

impacto de las frecuencias naturales de vibración en la estructura que empleamos.

La estructura de este trabajo es la siguiente: en este capítulo se hace una introducción

general tanto a la inestabilidad de Rayleigh-Taylor como a su estabilización dinámica. En los

siguientes se aborda el trabajo experimental de medida de la variación de la viscosidad con la

temperatura, junto con el dispositivo experimental empleado. Posteriormente se describirá

mecánicamente la estructura y los modos de vibración hallados según dos métodos distintos.

En el último capítulo se extraerán algunas conclusiones de los datos presentados.

1.1 Antecedentes históricos en el estudio de la inestabilidad de Rayleigh-

Taylor

En el Siglo XVII Torricelli mostró que la presión atmosférica era capaz de ejercer una

fuerza equivalente al peso de una columna de agua de 10 metros de largo, pero la presión

atmosférica no puede sujetar unos pocos centímetros de agua cuando invertimos un vaso. La

razón de esta inestabilidad está basada en el equilibrio de la interfaz entre el agua y el aire

donde la densidad del fluido que está encima es más grande que la del fluido que está debajo.

Inestabilidades como estas son muy comunes en cualquier sistema físico alejado del punto de

equilibrio, resultando uno de los campos más fértiles de estudio de la física de los últimos

años, debido al interés en su eliminación por la disipación de energía que suponen.

A finales de los años setenta y durante las décadas de los ochenta y noventa, una serie de

científicos llevaron a cabo una intensa investigación dedicada al mejor entendimiento de las

inestabilidades hidrodinámicas aplicadas tanto a campos tecnológicos como militares

esencialmente por la disipación de energía que supone su aparición


Introducción

La inestabilidad de un fluido soportado por otro menos denso fue estudiada por Lord

Rayleigh y por Geoffrey Taylor. Estos científicos demostraron cómo la influencia de la

aceleración de la gravedad es determinante a la hora de hacer que la inestabilidad crezca.

Uno de los primeros experimentos donde se pudo observar tal inestabilidad se llevó a cabo

por (Lewis, 1950). Una de las razones principales para el estudio de las inestabilidades

estriba en el deseo de eliminarlas, debido a sus efectos perniciosos en multitud de sistemas de

gran importancia, como la fusión por confinamiento inercial. En estos sistemas la cantidad de

energía necesaria para iniciar la fusión se incrementa enormemente por la disipación de

energía debido a la inestabilidad de Rayleigh-Taylor.

Una de las forma más interesantes de evitarla, es decir, la manera de lograr la

estabilización, es mediante el uso de fuerzas vibratorias perpendiculares a la superficie de la

interfaz, un sistema empleado por primera vez experimentalmente por (Wolf, 1970) .

En la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales se está estudiando el mismo

proceso y de hecho es posible observar como un pequeño vaso de aceite invertido no cae si

está sometido a una fuerza sinusoidal en la misma dirección de la gravedad pero de magnitud

mayor.

1.2 Estabilización dinámica de la inestabilidad de Rayleigh-Taylor en la

interfaz líquido-gas

En esta sección trataremos de exponer brevemente los fundamentos teóricos de la

estabilización dinámica. La interfaz líquido-gas con el líquido arriba es inestable debido a las

irregularidades en su superficie, que en un intervalo de tiempo muy corto van creciendo hasta

que el líquido penetra el gas.

Estas irregularidades pueden aparecer en cualquier punto de la interfaz y si pudiéramos

obtener una superficie totalmente lisa, el sistema sería estable. Las inestabilidades de

Rayleigh-Taylor surgen en fenómenos naturales de múltiples escalas y aplicaciones, como la

geofísica y astrofísica. También cuando los materiales están sometidos a fuertes

aceleraciones. La inestabilidad de Rayleigh-Taylor en un líquido viscoso en contacto con el


Introducción

aire puede estabilizarse dinámicamente con una fuerza que oscila perpendicularmente a la

superficie de contacto de ambos fluidos.

Para estudiarlo teóricamente, supongamos que tenemos dos fluidos incompresibles y

viscosos situados según el dibujo de la figura 1.1, en planos semiinfinitos con el más denso

arriba, sometidos a la acción de la gravedad. Consideramos g=g ez, p=p(z), ρ=ρ(z). Entonces

para que se establezca la condición de equilibrio donde el fluido más denso se sostiene sobre

el más ligero:

gdz

dp ρ−= (1.1)

Cuando se introduce una perturbación en la superficie de contacto entre los dos líquidos o

interfaz, el líquido 2 desciende, pasando a ocupar un volumen ocupado por el líquido 1.

Recíprocamente, el líquido 1, ha ascendido, pasando a ocupar el volumen ocupado por el

líquido 2. El equilibrio es inestable si ρ2> ρ1 pues la porción del líquido 1 que ha subido, al

hallarse rodeada de un fluido más denso, experimenta una fuerza neta hacia arriba, mientras

que la porción del líquido 2 que ha bajado y está dentro de un medio menos denso está

sometida a una fuerza neta hacia abajo, por lo tanto, estas fuerzas tienden a incrementar la

amplitud de la perturbación. La porción del líquido 2 que ha descendido ha sufrido una

disminución de su energía potencial, mientras que la porción del líquido 1 que ha ascendido

ha aumentado su energía potencial, por lo que si un líquido más denso está encima de otro

menos denso el equilibrio es inestable y se rompe espontáneamente, el líquido más pesado

baja y el líquido menos denso, por lo tanto más ligero, sube.

Cuando la superficie entre ambos fluidos es lisa tenemos que P1=P2=P0. Si introducimos

una perturbación ξ(x), para ξ>0 existe una presión mayor que P0 y para los elementos de ξ<0

la presión es menor que P0, como se observa en la figura 1.1. Tal diferencia de presiones es la

que causa al final el crecimiento de la perturbación hasta que provoque la caída del fluido

más denso sobre el menos denso.


Introducción

Figura 1.1. Interfaz entre dos fluidos incompresibles y viscosos, el más denso arriba y el

menos denso abajo, donde: (a) la superficie plana está en equilibrio, (b) se presenta una

perturbación. (A.R. Piriz, 2006).

Un modelo simple de la dinámica de la interfaz lleva a la siguiente ecuación para su

comportamiento:

ξρ

σξρ

µµξξ2

32

2

21

2

)1()1(

)( TTgT

AKKAKA

+−++−=

(1.2)

Donde:

AT es el número de Atwood;

K el número de onda de la perturbación;


Introducción

μi las viscosidades del fluido 1 y 2;

ρi sus densidades y

σ la tensión superficial entre ambos.

De esta ecuación es posible obtener el crecimiento de la inestabilidad y además, observar

como con la aplicación de una fuerza paralela a la gravedad que se repita en tiempo, es

posible estabilizar la interfaz (A. R. Piriz, 2006)

Para poder estudiar este fenómeno se ha creado una estructura que permite tanto la

vibración vertical como el giro de un recipiente cilíndrico, figura 1.2. En esta estructura la

que es el objeto de estudio por parte de este proyecto. La estructura aparece en reposo, no

está en funcionamiento el vibrador y tampoco la reductora.

Figura1.2. Estructura a estudiar, diferenciando las partes de las que consta, a) reductora,

b) vibrador, c) recipiente, d) soporte, e) plataforma mecánica.


Introducción

En la tabla siguiente se anotan las diferentes partes de las que consta la estructura, según

las letras de la figura 1.2. para su mejor indentificación.

a Reductora b Vibrador

c Vaso con el fluido d Barras que componen la estructura

e Plataforma metálica

Tabla 1.1. Partes que forman la estructura.

1.3 Objetivos de este proyecto

Los objetivos del presente proyecto son los siguientes:

1. Caracterizar los líquidos empleados en los experimentos.

2. Estudiar mecánicamente el diseño de la estructura mediante los modos de vibración de

la misma por dos métodos distintos, para establecer qué ventajas e inconvenientes tiene cada

método.

3. Por los estudios anteriores, sugerir cambios en el diseño original tendentes a evitar las

interferencias de las frecuencias de vibración naturales en los trabajos experimentales.


Introducción

CAPÍTULO 2:

MEDIDAS EXPERIMENTALES Y CÁLCULOS SOBRE LA

ESTRUCTURA


2. MEDIDAS EXPERIMENTALES Y CÁLCULOS SOBRE LA

ESTRUCTURA

En este capítulo se presentan resultados de medidas experimentales sobre los líquidos

empleados en el estudio de la estabilización dinámica de la inestabilidad de Rayleigh-Taylor

y cálculos numéricos sobre la dinámica de la estructura empleada, basadas en dos métodos

distintos aplicados a un modelo simplificado.

2.1 Variación de la viscosidad con la temperatura. Método y medidas

Es esta sección se describen los métodos empleados para medir la viscosidad de algunos

fluidos y los resultados obtenidos. Primero, se exponen brevemente las razones para el

estudio de la viscosidad de los dos fluidos, para continuar con la exposición de los resultados

experimentales.

2.1.1 Viscosidad en fluidos. Definición y principales características

Se llama viscosidad a una propiedad de los fluidos relacionada con su resistencia al

movimiento relativo de sus moléculas. Cuanto mayor sea esa resistencia, más grande será la

viscosidad y viceversa. Además del tipo de fluido, la mayor dependencia de la viscosidad se

presenta con la temperatura.

En general, se denominan líquidos Newtonianos a aquellos cuya viscosidad es

independiente de la velocidad, una característica muy útil cuando se trata de modelizarlos. El

nombre proviene de las pioneras investigaciones de Isaac Newton sobre la fuerza o tensión

de corte ejercida por fluidos sobre superficies en movimiento. Newton demostró que tal

fuerza en el caso de dos cilindros concéntricos si uno de ellos está rotando era proporcional a

la superficie entre ambos cilindros, la velocidad de giro y una constante dependiente

únicamente del fluido: su viscosidad.

Dentro de los factores que afectan a la viscosidad, uno de los más importantes es la tem-

peratura. Su relación con la viscosidad de gases y líquidos es inversa. Así, si en los líquidos

la viscosidad generalmente disminuye con la temperatura, con los gases sucede lo contrario.

Por otra parte, es fácil entender que las condiciones de medida, y especialmente la tempe-

ratura, han de mantenerse lo más fijas posible. Para lograrlo se ha usado un baño térmico que

estabiliza la temperatura a un valor fijo, siempre superior al ambiente.

2.1.2 Descripción del viscosímetro empleado y fundamentos técnicos

En este proyecto se va a utilizar un viscosímetro rotacional para realizar las medidas de

viscosidad dinámica a unos valores de temperatura dados. Su viscosidad dinámica está direc-

tamente relacionada con la tensión de corte o para fluidos Newtonianos, dado que es el pro-

ducto de viscosidad cinemática por densidad. Se puede definir a la tensión de corte (τ) como

la fuerza requerida para deslizar una capa de área unitaria de una sustancia sobre otra capa de

la misma sustancia.

En el sistema internacional (SI), la unidad de viscosidad dinámica es el Pascal por segun-

do (Pa.s), que se puede expresar también como Newton por segundo dividido por metro cua-

drado (N.s/m2). La unidad correspondiente en el sistema CGS es el Poise pero el Centipoise

(10-2 poises) es la unidad más utilizada para expresar la viscosidad dinámica dado que la ma-

yoría de los fluidos poseen una baja viscosidad que se adapta bien a los bajos valores del

Centipoise.

La tabla siguiente presenta un resumen de las unidades de viscosidad dinámica en tres

sistemas de unidades, con la equivalencia entre ellas:

Sistema de Unidades Viscosidad Dinámica

Sistema Internacional(SI) 2m

sN ⋅sPa ⋅

Sistema Británico de Unidades 2pies

slb −spies

slug

−

Sistema cgs 2m

sdinaPoise

⋅=

Tabla 2.1. Sistemas de unidades de la viscosidad dinámica.

Para medir la viscosidad se pueden usar diversos métodos: fórmulas empíricas como las

de Eyring, Van Velzen y mediante el uso de dispositivos experimentales especializados en esa

medida. En este proyecto se ha usado un viscosímetro rotacional tipo SMART, que se

explicará a continuación.

Los viscosímetros rotacionales están basados en el principio de medida del torque de un

husillo girando en una muestra de líquido a una velocidad determinada. Existen dos tipos de

viscosímetros rotacionales los relativos, usados sólo para líquidos newtonianos, que emplean

husillos para realizar las medidas de viscosidad y los rotacionales absolutos que se emplean

para todo tipo de líquidos y pastas. La figura 2.1 muestra los dos tipos de viscosímetro

rotacionales. El empleado en estas medidas ha sido un viscosímetro rotacional relativo.

En la figura 2.2 se muestra el viscosímetro empleado con sus diversas partes. Así, en la

pantalla (1) se muestra información sobre la medida que se está realizando, bien la medida,

bien datos sobre la configuración de la misma.

Figura 2.1. Viscosímetros rotacionales, a) relativo: usados solo para líquidos

newtonianos y b) absoluto: empleado para todo tipo de líquidos y pastas.

Estos últimos se introducen usando el teclado (2), mientras que el conjunto de la nuez (3),

la varilla de sujeción (5), el pie (8) y los soportes de nivelación (9) permiten el ajuste

mecánico del viscosímetro y el husillo (6) en el contenedor (7).

El husillo (6) es un eje que permite medir la viscosidad del fluido mediante la resistencia

que opone el líquido al chocar con las paredes del eje dado que es proporcional a la

viscosidad del fluido. El husillo gira a las revoluciones por minuto marcadas, el par de

torsión es proporcional a la resistencia viscosa sobre el eje sumergido y a la viscosidad del

fluido. Para poder medir la viscosidad con una elevada precisión es conveniente medir bien

la resistencia viscosa. Para ello, es conveniente en el aparato cambiar de husillo en función

del valor esperado de la viscosidad.

La tabla 2.2 lista las partes de las que consta el viscosímetro.

Figura 2.2. Elementos que componen el viscosímetro con el vaso del fluido. Ver

tabla 2.2 para el significado de los números.

Número Partes del viscosímetro 1 Pantalla

2 Teclado de membrana 3 Nuez

4 Protector de husillos 5 Varilla de sujeción

6 Husillo 7 Contenedor de la muestra 8 Pie (soporte del viscosímetro)

9 Pomo de nivelación 10 Sonda de temperatura

Tabla 2.2. Partes de las que consta el viscosímetro

2.1.3 Método básico de medida

A la hora de llevar a cabo la medida de la viscosidad en los fluidos empleados, es

imprescindible fijar la temperatura del fluido, pues es respecto a ésta que vamos a ver la

variación de la viscosidad. Para ello se hace uso de un baño térmico con agua como

transmisor de la temperatura, el cual se fija a la temperatura a la que se desea medir la

viscosidad.

Una vez estabilizada la temperatura, se mide la viscosidad del fluido tomando unas diez

medidas, de las que la media es el valor tomado como real y su desviación típica el error de

la misma.

La medida de la temperatura del fluido se obtiene de los valores de la sonda PT-100

conectada al viscosímetro y sumergida en el fluido.

2.1.4 Medidas experimentales

Procediendo como se describe, se obtienen unas series de valores como la de la siguiente

tabla 2.4 para los fluidos en estudio, de donde se pueden producir las gráficas de las figuras

2.3 y 2.4, con las variaciones de la viscosidad con la temperatura para los dos líquidos

estudiados en este proyecto, un aceite SAE 140 escogido por su alta viscosidad, esencial para

lograr la estabilización dinámica, y una mezcla de este aceite con jabón; esta última un

intento de lograr un fluido de una viscosidad similar pero menor tensión superficial.

Se ha tenido que medir la densidad de ambos líquidos, observándose que ambos son muy

parecidos, con un valor de 0.85 g/cm3 ó 850 Kg/m3.

Como se observa en la figuras del aceite y aceite-jabón, la viscosidad de ambos fluidos

sigue una ley exponencial con la temperatura pero de distinto exponente, como demuestra la

tabla 2.3.

Líquido Viscosidad en función de la temperatura (mm2/s)Aceite SAE 140 X93,005,5320 ⋅Mezcla Aceite-jabón X94,026,5155 ⋅

Tabla 2.3. Funciones exponenciales de la viscosidad en función de la temperatura.

En la figura 2.3 se muestran los datos recogidos para el aceite SAE 140, junto con la

función que los ajusta. La figura 2.4 presenta los mismos datos para la mezcla. Obsérvese

que la variación de la viscosidad entre ambos líquidos es muy pequeña.

Figura 2.3. Variación en el aceite de la viscosidad dinámica )/( 2 smm frente a temperatura

(ºC) para el aceite SAE 140.

Figura 2.4. Variación de la viscosidad dinámica )/( 2 smm frente a la temperatura (ºC), para

la mezcla SAE 140- jabón.

Ambos líquidos siguen una ley de decaimiento exponencial de la viscosidad con la

temperatura.

Este es el comportamiento habitual de los aceites, de lo que podemos inferir que la

adición del jabón al aceite no alteró de forma notable su estructura química, al menos en lo

concerniente a la viscosidad.

2.1.5 Justificación de las medidas

Se detallan los valores de viscosidad y viscosidad media, que se han tomado para cuatro

valores de temperatura distintos y los dos líquidos, de forma que se observan los valores en

bruto y el resultado final después de hacer el tratamiento de datos adecuado.

SAE 140 a 25 ºC

Viscosidad (mm2/s) 986

986,4 986,1 984,8 Viscosidad media (mm2/s) Desviación típica 985,4 986 2,2 986 984,9 986,4 985 985,9

SAE 140 a 27,5 ºCViscosidad (mm2/s)

850,7 848,7 849,2 849,5 850,1 Viscosidad media (mm2/s) Desviación típica 850,5 850 6,2 847,7 848 850,2 850,3

MEZCLA A 26,3 ºCViscosidad (mm2/s)

905 904,8 905,1 904,8 905 Viscosidad media (mm2/s) Desviación típica 904,4 905 0,25 904,6 904,4 904,6 904,2

MEZCLA A 28,6 ºCViscosidad (mm2/s)

748,2 748,1 747,6 747,8 747,6 Viscosidad media (mm2/s) Desviación típica 748 748 0,2 748,1 747,8 747,6 747,8

Tabla 2.4. Viscosidades y desviación típica en función de la temperatura. Con diez

valores de viscosidad a una temperatura dada, se realiza la viscosidad media y finalmente se

obtiene la desviación típica de estos valores, que se toma como error de la medida.

2.2. Modelado y cálculos sobre la estructura

En esta sección se describen los elementos o partes de las que consta la estructura soporte

para proceder después a los cálculos sobre una versión simplificada de la misma. Lo primero

que se explicará serán las partes de la estructura y finalmente se señalarán los nudos y sus

correspondientes grados de libertad, a tener en cuenta para posteriores cálculos.

2.2.1 Descripción de la estructura

Dentro de la estructura podemos diferenciar dos partes, una puramente mecánica de

soporte y movimiento de la segunda: la mesa osciladora electromecánica. Dado que el

objetivo de este proyecto es la caracterización dinámica de la estructura, la descripción de la

parte electromecánica no se realizará de forma exhaustiva.

Por la parte mecánica, la estructura está formada por dos escuadras simétricas atornilladas

con una placa en la parte superior de su base ver figura 1.2. Sobre estas escuadras descansa

un eje encastrado en dos rodamientos. El eje está atornillado a la mesa vibratoria, en cuya

superficie se coloca el vaso con la muestra de fluido a estudiar.

El eje gira libremente uno de sus extremos, mientras que el otro está unido a una

reductora de tornillo sin fin y de relación 40:1. Fue necesario el uso de una reductora para

tener un control fino sobre el giro de la plataforma vibratoria, y se escogió del tipo sin fin

para evitar que las vibraciones de la plataforma pudieran alterar la posición deseada.

El vibrador o mesa vibratoria basa su funcionamiento en la generación de un campo

magnético mediante una corriente controlada por el usuario que en su interacción con un

imán permanente genera el movimiento y vibración deseado.

La forma adoptada en la mesa vibratoria es la de un cilindro con uno de los lados

terminado en un cono truncado: la plataforma donde se fijan los elementos que se desean

vibrar, como se ve en la figura 1.2.

2.2.2 Modelado de la estructura

Para poder realizar cálculos sobre la estructura se precisa realizar una simplificación de la

misma que permitan obtener resultados numéricos significativos.

Se han empleado dos formas de modelado distintas, una basada en considerar la

estructura como una serie de vigas sujetas en puntos fijos a lo largo de su extensión y que

sufren diversas fuerzas que deben equilibrarse. En otras palabras, se modeló la estructura

usando un modelo de barras. El otro método de modelado empleado fue el de elementos

finitos, donde las características de la estructura se suponen concentradas en diversos puntos

discretos, de tal forma que podemos realizar cálculos muy precisos usando un determinado

conjunto de puntos tridimensionales en lugar de la extensión continua del objeto real.

2.2.2.1 Modelo de barras

A continuación se explica en que está basado el estudio de la estructura considerando los

elementos que la componen como vigas. Se expondrá un esquema de la estructura

distinguiendo los correspondientes nudos y grados de libertad y también se incluye la

ecuación de rigidez de las barras empleada en el modelado.

El modelo se compone de una serie de barras de acero de distintas secciones unidas

mediante enlaces rígidos. Los elementos de unión entre barras o entre una barra y el suelo y

los extremos de las barras se consideran nudos o zonas nodales, por lo tanto, los nudos se

sitúan en las intersecciones de los elementos que concurren a él, de tal forma que la retícula

que modela el objeto de estudio es una estructura formada por barras unidas en los nudos.

Éstos se consideran rígidos y transmiten los momentos de inercia de una barra a otra.

Para poder resolver esta retícula y hallar las frecuencias naturales de vibración, hay que

determinar primero las leyes y formas concretas de los momentos flectores y de los esfuerzos

cortantes y axiles.

Para el modelado de la estructura de este proyecto, se consideró el elemento vibrador

como una masa puntual en el centro del eje simétrico formado por las escuadras,

despreciando la influencia de la masa y volumen de la reductora como no importante.

En la figura 2.5 se pueden observar a qué parte de la estructura real corresponde cada

barra del modelo.

Figura 2.5. Correspondencia de las barras empleadas en el modelado con las partes de la

estructura real, con las 6 barras que componen la estructura, el vibrador y la reductora.

Las longitudes reales de cada barra son las dadas en la tabla 2.5:

Barra Longitud (mm)L1 284L2 41L3 42L4 284L5 53L6 53

Tabla 2.5. Longitudes de las barras de la estructura.

Todas las barras son prismas de superficie 41 × 110 cm2, menos la 2 y 3 que son cilindros

de 16 mm de diámetro.

Los nudos que se han considerado en el modelado de la estructura son siete como se

puede ver en la figura 2.6.

Figura 2.6. Nudos de los que consta la estructura en color verde y enumerados siguiendo

el orden de las barras de la estructura.

La tabla que se muestra a continuación presenta el número de nudos y su posición dentro

del modelo. Como se especifica, el nudo 3 corresponde a la posición del vibrador, que se

considera como masa puntual, mientras que los nudos 2 y 4 son las intersecciones, entre el

eje y las barras de la escuadra de soporte. Los nudos 1 y 5 se consideran fijos, pues

representan la conexión de la estructura de soporte con el suelo.

Nudos que componen la estructura1 Punto en común entre la barra 1 y la plataforma,

considerada fija.

2 Punto en común entre las barras 1, 2 y 5.

3Punto en común entre las barras 2 y 3,

donde se sitúa la masa de la plataforma vibradora.

4 Punto en común entre la barra 3, 4 y 6.5 Punto en común entre la barra 4 y la plataforma.6 Extremo libre de la barra 5.7 Extremo libre de la barra 6.

Tabla 2.6. Nudos que componen la estructura

2.2.2.1.1 Breve introducción a la teoría de estructuras

Gracias a la ley de Hooke sabemos que cualquier fuerza genera un desplazamiento

proporcional, con una constante de proporcionalidad que depende esencialmente del material

sobre el que generamos la fuerza. Si utilizamos un lenguaje matricial y después de algunas

operaciones sencillas, llegaremos a la conclusión de que es posible hallar las frecuencias de

vibración naturales mediante la expresión:

0)det( =− MK λ (2.1)

Donde K es la matriz de rigidez, M la de masa globales de la estructura y λ el vector

cuyas componentes elevadas al cuadrado nos darán las frecuencias de vibración naturales.

La matriz de rigidez se relaciona con las constantes de proporcionalidad entre el

desplazamiento y las fuerzas, mientras que la de masa especifica la importancia de los

momentos de inercia.

Para poder emplear la ecuación anterior, una serie de condiciones deben cumplirse para

asegurar que el cálculo se realiza de forma correcta. Estas condiciones se pueden resumir

como:

• Condiciones de apoyo: la deformación tiene siempre que cumplir las limitaciones

al movimiento impuestas por los apoyos.

• Continuidad en los nudos: Los extremos de las barras que concurren en un nudo

tienen que moverse según las trabas de la propia estructura bajo la acción de la fuerza.

• Continuidad en las barras: dentro de las propias barras no se pueden producir rotu-

ras cuando se apliquen las fuerzas.

Se muestran en la figura 2.7 las reacciones y fuerzas que existen en la estructura:

Figura 2.7. Equilibrio de la estructura reticulada: equilibrio global, en la cual se señalan las

reacciones pertenecientes a los apoyos y se indica también la fuerza que ejerce el vibrador

sobre el eje.

En el sistema deformado con estas premisas se mantiene la continuidad de los

desplazamientos de los extremos de las barras en los nudos y condiciones de apoyo,

manteniendo tanto la deformación como la estructura en continuo. (Argüelles Álvarez. R,

2005) y (Cervera Ruiz y otros, 2002)

2.2.2.1.2 Modelo de la estructura como conjunto de vigas y cálculos

Las cargas aplicadas para lograr el equilibrio serán en nuestro modelo las producidas en

el centro del eje por la masa de la mesa vibratoria, mientras que las reacciones serán las

producidas en los nudos de conexión de la estructura con el suelo, nudos 1 y 5, como muestra

la figura 2.7 de forma esquemática.

Definimos el movimiento en cada nudo por tres desplazamientos en tres ejes

perpendiculares centrados en el mismo nudo: los eje x , y , z , también llamados axil,

cortante y flector. Dado que hay siete nudos, habrá en principio veintiún ecuaciones o grados

de libertad que serán necesarios para describir el sistema. En el modelo, como indica la

figura 2.8, están nombradas consecutivamente siguiendo el orden de los nudos.

2.2.2.1.3 Derivación de las ecuaciones empleadas

De la expresión (2.1) vista anteriormente es evidente que para conocer las frecuencias

naturales de vibración tendremos que encontrar expresiones tanto para la matriz de rigidez

como para la de masa. Para ello, se deben expresar ambas matrices para cada una de las

barras de la estructura, realizar luego un cambio de base desde el origen de coordenadas de

cada barra hasta uno global, las coordenadas globales, y sumar los resultados.

Figura 2.8. Grados de libertad de la estructura nombrados según el orden de los nudos.

Para poder hacer estos cálculos son necesarias algunas magnitudes globales que se

detallan a continuación:

• Considerando como material único de construcción el acero, necesitaremos su densi-

dad ρ = 7850 3/ mkg y su módulo de Young o de elasticidad E = 2,11 2/ mN .

• Las secciones transversales de las barras de las escuadras 1,4,5 y 6 son rectángu-

los macizos, luego sus secciones se expresan como:

A1= A4= A5=A6 =b×h =40 mm×110 mm= 4400 mm2= 2610044,0 m−⋅

• Las barras que forman el eje tienen una sección transversal y circular con un diá-

metro de 16 mm, por lo que su sección vale:

24232 1001,2 mrAA −⋅=×== π

• Dadas las formas de las barras, los momentos de inercia de las mismas son:

Barras rectangulares y macizas: 4736541 1086,5

12

1mbhIIII −⋅=====

Barras cilíndricas y macizas: 49432 10215,3

64mII ext

−⋅=== φπ

Se va a construir a partir de una barra cuyos extremos son i y j, la matriz de rigidez en

coordenadas locales siguiendo la figura 2.9. En los extremos de la barra se colocarán los

esfuerzos de las secciones de la barra y separados por coma se indican los desplazamientos.

Los subíndices 1, 2 y 3 nos indican los ejes axil, cortante y flector en el nudo i, y los

subíndices 4, 5 y 6 nos indican los esfuerzos en el extremo j. El sentido positivo de los

esfuerzos es el mostrado en el dibujo.

Figura 2.9. Barra de extremos i y j.

El principal objetivo es encontrar la matriz encargada de relacionar los esfuerzos y los

desplazamientos mediante la relación:

(2.2)

Que separada en sus componentes se expresa:

=

6

5

4

3

2

1

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

''''''

''''''

''''''

''''''

''''''

''''''

δδδδδδ

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

q

q

q

q

q

q

(2.3)

Para calcular los coeficientes de la matriz de rigidez hay que tener en cuenta que los

seis elementos pertenecientes a la primera columna de representan a cada uno de los seis

esfuerzos ( ) .

Según la Ley de Hooke, se deduce que cuando un desplazamiento ε conlleva una

deformación σ, se pueden relacionar mediante:

L

xE

A

FE

∆×==×= εσ (2.4)

xL

AEF ∆×=

(2.5)

Donde Δx es el desplazamiento en un eje, L la longitud del mismo, A el área transversal y

E el módulo de elasticidad del material de la barra.

Por lo tanto, el desplazamiento δ, equivale a una compresión lo que lleva a los siguientes

valores de las componentes de k :

L

AEk =11' (2.6)

0'' 4111 =+kk

(2.7)

L

AEkk −=−= 1141 '' (2.8)

0'''' 61513121 ==== kkkk

(2.9)

El desplazamiento es parecido al anterior que se ha calculado y por lo tanto se impiden el

resto de desplazamientos. En la figura 2.10 se muestran los valores correspondientes a la tracción

cuya solución es:

L

AEk =44'

(2.10)

L

AEkk

−=−= 4414 ''

(2.11)

0'''' 64543424 ==== kkkk

(2.12)

Figura 2.10. Barra con los valores de tracción.

Los elementos que constituyen la segunda columna de la matriz se muestran en la

figura 2.11 donde se observa que se ha tenido en cuenta 2δ =1, un movimiento axil.

Figura 2.11. Barra con los esfuerzos para construir la segunda columna de la matriz de

rigidez en coordenadas locales.

De la ecuación de compatibilidad-comportamiento del esfuerzo axil podemos escribir:

AE

xN

dx

xdu xxo )'(

'

)'( = (2.13)

CxAE

xNxu x

xo += ')'(

)'( (2.14)

Una de sus condiciones de contorno es 0)0( =xou , por lo que la constante será cero.

Teniendo en cuenta que los deslazamientos en los extremos de la barra son cero, podemos

escribir:

0')(0)(

0)( 42 ==⇒=⇒= kLNLAE

LNLu x

xxo

Y por las relaciones de simetría:

0' 4212 =−= kk

(2.15)

Además el equilibrio de la barra nos obliga a escribir:

2252 '' kk −= (2.16)

Lkkk 526232 ''' −−= (2.17)

Para conocer el resto de componentes de la columna 2, se aplica el principio de potencias

virtuales, que permite obtener la fuerza o momento del mecanismo, según la figura 2.12 b),

podemos llegar a la siguiente expresión que une 32'k y 22'k .

Figura 2.12. Barra con la aplicación del principio de potencias virtuales a la segunda

columna.

Teniendo en cuenta esta ecuación obtenida de la ecuación del principio de las potencias

virtuales:

322

232 '2'36 LkLkEI +−= (2.18)

Y sabiendo que el giro en el nodo i es nulo y aplicando el principio de las fuerzas

virtuales en la figura 2.12 b):

∫ +−=⋅L

z

dxxkkEI 0

2232 ')'''(11

01 (2.19)

Se obtiene mediante las operaciones realizadas:

2232 '2

' kL

k = (2.20)

Al resolver el sistema formado por las ecuaciones (2.18) y (2.20) obtenemos:

322

12'

L

EIk z=

(2.21)

232

6'

L

EIk z= (2.22)

Y por lo tanto:

352

12'

L

EIk z−=

(2.23)

22262

6126'

L

EI

L

EI

L

EIk zzz =+−= (2.24)

Figura 2.13. Barra para construir la quinta columna de la matriz de rigidez en coordenadas

locales.

Los elementos que forman la quinta columna de , se pueden encontrar examinando la

figura 2.13.

0'' 4515 =−= kk (2.25)

32555

12''

L

EIkk z=−=

(2.26)

26535

6''

L

EIkk z−== (2.27)

Para determinar los elementos de la tercera columna se resolverá la barra de la figura

2.16, donde el único giro a tener en cuenta es el en el nudo i y el resto de los

desplazamientos quedan anulados:

Figura 2.14. Barra para construir la tercera columna de la matriz de rigidez en coordenadas

locales.

Se considera otra vez el desplazamiento axil nulo, por lo que se deduce, como pasaba en

el caso descrito en la figura 2.13:

0'' 4313 =−= kk (2.28)

Teniendo en cuenta el equilibrio de la barra:

2353 '' kk −= (2.29)

Lkkk 233363 ''' +−= (2.30)

Figura 2.15. Barra con la aplicación del principio de las potencias virtuales.

Para calcular estos coeficientes se aplicará el principio de las potencias virtuales, teniendo

en cuenta la figura 2.15 a) y sabiendo que =1:

')'''()1(1

11 2333

0

dxxkkEI

L

z

+−−=⋅ ∫

(2.31)

De manera que si integramos la expresión anterior se obtiene:

22333 ''22 LkLkEI z −= (2.32)

Si se vuelve a aplicar el principio de las potencias virtuales, pero ahora teniendo en

cuenta la figura 2.15 b) y considerando que =0:

')'''('1

010

2333 dxxkkxEI

L

z∫ +−=⋅ (2.33)

Integrando se obtiene:

2333 '3

2' Lkk = (2.34)

Resolviendo el sistema de ecuaciones (2.32) y (2.34):

223

6'

L

EIk z= (2.35)

L

EIk z4

'33 = (2.36)

Y como consecuencia:

253

6'

L

EIk z−=

(2.37)

L

EIk z2

'63 = (2.38)

Figura 2.16. Barra para construir la sexta columna de la matriz de rigidez en coordenadas

locales.

Los coeficientes de la sexta columna son iguales a los de la tercera columna, puesto que

sus desplazamientos son iguales, ver la figura 2.16:

0'' 4616 =−= kk (2.39)

L

EIk z2

'36 = (2.40)

L

EIk z4

'66 = (2.41)

226

6'

L

EIk z= (2.42)

256

6'

L

EIk z−= (2.43)

Por lo tanto, la matriz de rigidez elemental en coordenadas locales, se puede expresar como:

−

−−−

−

−

−

−

=

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

AE

L

AEL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

AE

L

AE

k

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

'

22

2323

22

2323

(2.44)

Donde,

A, el área de la sección transversal de la viga

L, la longitud de la viga

E, el módulo de elasticidad del material

I, momento de inercia de la viga

El sistema global de referencia tiene una expresión del tipo:

donde y son los vectores que contienen las componentes globales de los

desplazamientos y de los esfuerzos, sobre los nudos de la barra, figura 2.17.

Figura 2.17. Sistema global de referencia.

Comenzaremos por transformar los desplazamientos. En la figura 2.18 se muestra la

superposición necesaria para obtener 1δ y 2δ en función de 1∆ y 2∆ . En la figura 2.18 a)

se considera 2∆ =0 y en la 2.18 b) 1∆ =0.

Superponiendo los dos problemas, observamos que:

yxyx λλθθδ 21211 coscos ∆+∆=∆+∆= (2.45)

xyxy λλθθδ 21212 coscos ∆+∆−=∆+∆−= (2.46)

Donde xx θλ cos= y yy θλ cos= .

De forma similar, para los desplazamientos 4δ y 5δ :

yx λλδ 544 ∆+∆= (2.47)

xy λλδ 555 ∆+∆−= (2.48)

Capítulo 2. Medidas experimentales y cálculos sobre la estructura

Figura 2.18. Superposición necesaria para obtener 1δ y 2δ en función de 1∆ y 2∆ . a)

2∆ =0; 1∆ =0.

En cuanto a los desplazamientos de giro:

33 ∆=δ (2.49)

66 ∆=δ (2.50)

Estos cambios de coordenadas se escriben en la matriz de cambio de base T, que por lo

tanto representa el paso de fuerzas y desplazamientos de ejes globales a locales:

−

−

=

100000

0000

0000

000100

0000

0000

xy

yx

xy

yx

T

λλλλ

λλλλ

(2.51)

Por lo tanto:

(2.52)


con la matriz de cambio de base antes referida y , las coordenadas globales y

locales, respectivamente.

El principal objetivo es encontrar la proyección de los esfuerzos 621 ,...,, QQQ sobre

los ejes globales de los seis esfuerzos 621 ,..., δδδ . Teniendo en cuenta la ecuación (2.52) se

puede establecer la siguiente relación:

(2.53)

Como T es una matriz ortogonal, , lo que simplifica notablemente los cálculos.

En el caso de los esfuerzos, las ecuaciones de superposición equivalentes a las (2.45) y

(2.46) para los desplazamientos se escriben:

yx QQq λλ 211 += (2.54)

xy QQq λλ 212 +−= (2.55)

Despejando 1Q y teniendo en cuenta que 122 =+ yx λλ se obtiene:

xy qqQ λλ 212 += (2.56)

Sustituyendo este resultado en la expresión de 1Q :

yx qqQ λλ 211 −= (2.57)

Las ecuaciones de esfuerzos para las componentes 4 y 5 son:

yx qqQ λλ 544 −= (2.58)

xy qqQ λλ 545 −= (2.59)


Y dado que los ángulos globales son iguales a los locales:

33 qQ = (2.60)

66 qQ = (2.61)

Y como antes se puede escribir:

(2.62)

Y por lo tanto de la matriz de rigidez local, podemos deducir la matriz de rigidez global,

obteniendo como resultado la figura 2.19:

Figura 2.19. Matriz de rigidez global, cambio de ejes locales (x’,y’) a globales

(x,y). (Garrido J.A y Foces. A, 1999)

Para obtener la matriz elemental de rigidez en coordenadas globales, partimos de la

ecuación 2, y usando la matriz de transformación T , obtenemos la expresión:

(2.63)


Para cada una de las siete barras que componen la estructura a estudiar, hay siete

ecuaciones como la última donde las matrices 721 ',...,',' kkk , varían en función de la

geometría y modos de la barra que estudiemos:

1111 'TkTk T= ,2222 'TkTk T= ,… 6666 'TkTk T=

Para hallar estas matrices es importante tener en cuenta la orientación de las barras, lo que

se expresa en el valor del par yx λλ , de cada barra. Las barras del eje, la 2 y 3, son

horizontales mientras que las otras barras son verticales.

Así considerando xθ el ángulo del eje local x’ con el global x y yθ el ángulo del x’ con

el eje y, podemos escribir las matrices de cambio de base de cada barra basándonos en la

forma de la matriz de cambio de base, si recordamos que xx θλ cos= y yy θλ cos= .

Así, las matrices cambio de base según la orientación de las barras son:

Para las barras del eje tenemos:

==

100000

010000

001000

000100

000010

000001

32 TT (2.64)

Y para las barras verticales:

−

−

====

100000

001000

010000

000100

000001

000010

1654 TTTT

(2.65)


Para sumar las submatrices de las barras que forman la matriz de rigidez completa K de

una estructura de n nudos se construye una retícula de n ×n cuadrículas, figura 2.20. A

continuación, se procede al ensamblaje de las submatrices de las barras mediante una serie de

operaciones:

Figura 2.20. Cuadrículas representando la matriz, ya sea de rigidez o de masa de la

estructura.

-Colocación de las 4 submatrices de la barra ij en la cuadrícula correspondiente:

)( ijiiK en la fila i columna j

)( ijijK en la fila i columna j

)( ijjiK en la fila i columna j

)( ijjjK en la fila i columna j

Esta operación se realiza con cada una de las barras de la estructura.

-Suma de las submatrices que ocupan la misma cuadrícula. Estas sumas hay que

efectuarlas únicamente en las cuadrículas de la diagonal principal.


-Colocación de submatrices nulas en las cuadrículas vacías. Esto sucede con las

submatrices )( ijK cuyos subíndices corresponden a dos nudos no contiguos de la estructura.

Al realizar todas estas operaciones en la estructura, se ensamblan las submatrices de sus

barras y se obtiene la matriz de rigidez completa de la estructura, que es una matriz cuadrada

de orden 21.

Renombrando los términos de la matriz, en la barra 1, se llama 1ak a la submatriz:

(2.66)

Las submatrices 1bk , '1

bk y 1ck para la barra 1 toman la forma:

(2.67)


(2.68)

(2.69)

De una manera análoga podemos dividir las matrices de rigidez locales del resto de las

barras, siguiendo la forma de la figura 2.21.

(2.70)

Figura 2.21. Matriz de rigidez local de la barra 1 con la subdivisión especificada.


Con la ayuda de las matrices de rigidez de cada barra y el procedimiento previamente

descrito, se forma la matriz de rigidez de la estructura con ayuda de la numeración de los

nudos:

(2.71)

Esta matriz de rigidez posee las siguientes propiedades:

-Es una matriz cuadrada de orden 3n siendo n el número de nudos de la estructura.

-Es simétrica

-Todos los elementos de la diagonal principal son positivos y nunca nulos.

-La matriz de rigidez es una matriz singular. Ha sido obtenida estableciendo las

condiciones de equilibrio de todos los nudos de la estructura como si en la misma no hubiese

enlaces externos. En el caso de no existir equilibrio entre las cargas aplicadas, el sistema de

ecuaciones es incompatible. Tanto en un caso como en el otro K=0, la matriz K de ser

singular.

La matriz de masa local m es una matriz en la cual los coeficientes correspondientes a

desplazamientos lineales y de torsión son iguales a la mitad del total de la inercia del

segmento de viga, mientras que los coeficientes correspondientes a las rotaciones de flexión

se suponen iguales a cero. Dicha matriz es simétrica.


Para calcular los términos de la matriz de masa, se usan los polinomios de Hermite,

polinomios interpoladores de grado m de una función f. Sin entrar en muchos detalles, el

resultado final es:

−−−

−

−

−

=

3232

22

3232

22

420

4

420

220

420

3

420

130

420

22

420

1560

420

13

420

540

003

006

420

3

420

130

420

4

420

220

420

13

420

540

420

22

420

1560

006

003

'

ALALALAL

ALALALAL

ALAL

ALALALAL

ALALALAL

ALAL

m

ρρρρ

ρρρρ

ρρ

ρρρρ

ρρρρ

ρρ

(2.72)

Que representa la matriz de masa local de una barra general. Después se calcula la matriz

de masa global empleando la matriz de cambio de base T. Posteriormente, se calculará la

matriz de masa de la estructura, siguiendo las mismas indicaciones que se han empleado para

obtener la matriz de rigidez. Así la matriz de masa de una barra en coordenadas globales se

expresa:

(2.73)

Para hallar la matriz de masa global de la estructura se vuelve a dividir la matriz m en

cuatro submatrices, teniendo en cuenta que las submatrices no nulas son sólo las diagonales y

se suman con las mismas reglas de la matriz de rigidez.

Al final del proceso se obtiene la matriz de masa de la estructura en coordenadas locales :


(2.74)

Dado que ya sabemos K y M , empleando la ecuación 0)det( =− MK λ se pueden

hallar los autovalores λ , que elevados al cuadrado darán las frecuencias naturales de

vibración de la estructura.

Al modificar algunos parámetros de la misma modifico los valores de las frecuencias de

vibración, pudiendo por lo tanto escoger un conjunto de elementos que minimicen la

importancia de estas frecuencias naturales mediante su alejamiento de la región de

frecuencias donde se realizan las medidas.

Las modificaciones realizadas en el modelo han sido las expresadas en la tabla siguiente:

Modificación Valores modificados en el modeloMatrices

modificadasSe alarga la longitud de los

extremos de las barras

horizontales al doble.

mmmmLL 10653265 =×==

'' 65 kk =

'' 65 MM =

Se acorta la longitud de los

extremos de las barras a la

mitad.

mmmmLL 5.262/5365 ===

'' 65 kk =

'' 65 MM =

Se aumenta el diámetro del

eje a 40 mm.

47432 1026.1

64mII ext

−⋅=== φπ

232

232 10.25,1

2

04.0mRAA −=

=== ππ

'2k

'3k

Se disminuye el diámetro 4124

32 10976,364

mII ext−⋅=== φπ '2k

'3k


del eje a 3mm. 26

232

32 10068.72

103mRAA −

−

⋅=

⋅=== ππ

Cambio del diámetro del

eje a 6mm.

411432 1036.6

64mII ext

−⋅=== φπ

252

232 10827.2

2

006.0mRAA −⋅=

=== ππ

'2k

'3k

Cambio del diámetro del

eje a 26mm.

48432 10243.2

64mII ext

−⋅=== φπ

242

232 10309.5

2

026.0mRAA −⋅=

=== ππ

'2k

'3k

Reducción de la sección

transversal de las barras

horizontales a la mitad.

Largo 20 mm

486541 1033.7 mIIII −⋅====

236541 102.202.011.0 mmmAAAA −⋅=×====

'' 41 kk =

'' 65 kk =

'' 41 MM =

'' 65 MM =

Aumento de la sección

transversal de las barras

horizontales al doble.

Largo 80 mm

466541 107.4 mIIII −⋅====

236541 108.811.008.0 mmmAAAA −⋅=×====

'' 41 kk =

'' 65 kk =

'' 41 MM =

'' 65 MM =

Tabla 2.7. Diversas modificaciones realizadas en la estructura de barras original.

2.2.2.2 Estudio de la estructura mediante el método de elementos finitos

Si usando el método de barras se considera la estructura como una unión de sólidos de

geometrías simples, en el método de elementos finitos se modela la realidad mediante un

conjunto discreto y finito de puntos tridimensionales donde se concentran las características

del sólido.

Así, como resultado a resolver obtenemos una gran cantidad de matrices muy grandes, de

la que sólo con métodos numéricos podemos extraer información útil. Dado que hay que

emplear algoritmos bastante sofisticados para resolver las ecuaciones de modelización, es

normal el uso de programas especializados, en los cuales se introduce la estructura a estudiar

como diversos sólidos unidos y luego se genera el mallado y frecuencias naturales de

vibración sobre ese modelo.


El programa que se decidió usar en este proyecto es el SOLID WORKS, tanto por su

facilidad de manejo como por su rápida adopción en la industria actual.

Para introducir la estructura se optó por dos modelos distintos de la misma. Un primer

modelo considerando la estructura como una pieza única y un segundo en el que dos

escuadras simétricas formadas por planchas gruesas sostenían el eje central y el vibrador. Es

está última la que es más cercana a la realidad.

Para dibujar la estructura como pieza única se comenzó con la plataforma de apoyo, don-

de se hicieron crecer las barras verticales. Sobre ellas se dibujó el eje y el vibrador en el me-

dio, mientras que una caja simulando la reductora se añadió al final.

Un segundo modelo consta de cuatro partes bien diferenciadas, ver figura 2.22. Los blo-

ques rojo y morado se corresponden con las escuadras reales de la estructura, pero modeladas

como una sola pieza. Las dos piezas están formadas por planchas de 40 mm de ancho solda-

das en una canaladura de la base, pero para propósitos de modelado es mejor considerarlas

una pieza única. El bloque negro se forma con la unión del eje y la mesa vibradora, mientras

que el bloque azul corresponde a la reductora.

Para unir y fijar los cuatro bloques se emplearan las relaciones de posición del SOLID

WORKS: las escuadras se unieron por una arista de la plataforma, mientras que el bloque

formado por el eje y la mesa vibradora se unieron a las escuadras haciendo concéntricos los

huecos de las mismas con el eje, estrategia que también se siguió para unir el bloque de la re-

ductora.


Figura 2.22. Estructura con los cuatro bloques diferenciados por colores. El bloque rojo y

morado se corresponden con las escuadras reales de la estructura, el bloque negro se forma

con la unión del eje y la mesa vibradora, mientras que el bloque azul es la reductora.

Con la intención de estudiar qué cambios de la estructura alteran las frecuencias naturales

de vibración y cómo se han realizado, unas modificaciones en las dimensiones de las piezas

que forman los bloques, como en el apartado anterior, de manera que se obtengan distintos

modos de vibración para posteriormente elegir el más conveniente, ver la tabla 2.8.

Modificación Bloques y piezas modificadas Cambio en la dimensiónAumento del

diámetro del eje.

Todos los bloques, barras

del eje.

Del original a 40 mm.

Reducción de la parte

final de la escuadra.

Bloques de la escuadra,

barras finales horizontales.Paso de la longitud de las

barras 5 y 6 a 26.5 mm

Aumento de la parte

final de la barra al

doble.


barras finales horizontales.Paso de la longitud de las

barras 5, 6 a 106 mm.

Reducción de la

longitud de la

escuadra por debajo

del eje en 20 mm.


barras iniciales en

horizontal de la misma.

Paso de la longitud de las

barras a 264 mm.

Aumento de la

longitud de la


barras iniciales en


barras a 304 mm.


escuadra por debajo

del eje en 20mm.horizontal de la misma.

Doblado de la

longitud del eje.

Bloque de la mesa

vibradora, barras del eje.

Longitud asimétrica del

eje: 82 mm frente a 84

mm.

Reducción de la

longitud del eje.

Bloque de la mesa

vibradora, barras del eje.

Longitud asimétrica del

eje: 20,5 mm frente a 21

mm.Aumento de la

longitud de la

escuadra por debajo

del eje en 200 mm.


barras iniciales en

horizontal.


barras a 484 mm.

Aumentando el

diámetro y la longitud

del eje, aumentando

la sección transversal

de las escuadras por

encima y por debajo

del eje por último se

aumenta la longitud

de las escuadras

debajo del eje.

Todos los bloques

Todas las barras

Diámetro del eje=40mm;

Leje=20mm;

L1=484mm

Las realizadas en la

anterior casilla y

además la longitud de

la barra 5 se aumenta.

Todos los bloques

Todas las barras

Diámetro del eje=40mm;

Leje=20mm;

L1=484mm;

L5=30mm

Tabla 2.8. Diversas modificaciones realizadas en la estructura.

2.3 Resultados de las frecuencias de vibración naturales.

En esta sección se presentan los resultados obtenidos tanto de la estructura con valores

reales, como con las modificaciones realizadas en ella. Su finalidad es compararlas para así


elegir el modelo de estructura más idóneo, de manera que en la estructura se minimice el

efecto producido por las frecuencias de vibración.

2.3.1 Modelado de la estructura con barras.

Usando la ecuación 2.1, se han calculado las frecuencias de vibración de la estructura,

tanto con las dimensiones de la misma como con las alteraciones presentadas en la tabla 2.8.

Las frecuencias que están por debajo de 1KHz se presentan en la tabla 2.9.

Parámetro

Frecuencia de

resonancia<10000

λ (Hz)Valores reales de la estructura 692,2Se alarga la longitud de los extremos de

las barras horizontales al doble. 619,9Se acorta la longitud de los extremos de

las barras a la mitad. 690,8Se aumenta el diámetro del eje a 40 mm. 1623,2Cambio del diámetro del eje a 3 mm. 20,2 108,5Cambio del diámetro del eje en 6 mm. 91 309.6 882,5Cambio del diámetro del eje en 26 mm. 614,8Reducción de la sección transversal de

las barras horizontales a la mitad. 582

Aumento de la sección transversal de las

barras horizontales al doble. 733,4

Tabla 2.9. Frecuencias de resonancia obtenidas mediante el modelo de vigas, según la

dimensión modificada en la estructura se obtienen unas u otras frecuencias de resonancia.

Independientemente de las variaciones en las frecuencias obtenidas al variar las

dimensiones de la estructura, se observa que los valores teóricos están muy lejos de los

valores reales, figura 2.23 puesto que realmente hay dos picos muy claros, en torno a los 20 y

100 Hz que no se muestran en la tabla. Sólo considerando un diámetro del eje sensiblemente

más pequeño que el original podemos recoger algún dato parecido, cuando se impone que el

diámetro del eje llegue a los 3 ó 6 milímetros.


Figura 2.23. Frecuencias de resonancia.

Aceptando de todas maneras la validez del modelo de vigas como sistema testigo de los

resultados de alterar la estructura, parece evidente que el modificar el largo de las barras

horizontales después del eje no supone grandes cambios en la frecuencia de resonancia, pues

sólo se obtiene una variación de un 10% en la frecuencia de resonancia (619,9 a 690,8)

variando un factor cuatro la longitud de la barra.

Una variación superior se obtiene al alterar el área de las barras de soporte de la escuadra,

pues con el mismo factor cuatro de cambio se obtiene una variación del 25 % en la

frecuencia, al pasar ésta de 582 a 733,3 Hz. Pero los cambios más significativos se producen

al variar el diámetro del eje, pues el mismo factor de cambio de cuatro en su diámetro (al

pasar de 6 a 26 mm) la frecuencia de resonancia cambia un factor casi de diez; de 91 a 614,8

Hz.

Por lo tanto, con el uso de este modelo se puede afirmar que si se quiere trasladar la

frecuencia natural de resonancia a valores más altos, se hace necesario aumentar el diámetro

del eje.


2.3.2 Estructura como sistema de elementos finitos

De la misma forma que para el método de barras obtenemos frecuencias de vibración para

compararlas entre sí y elegir el modelo que minimice el efecto de las frecuencias de

vibración en las medidas experimentales.

Las frecuencias de vibración obtenidas y la variación en la estructura que dio lugar a ellas

se muestra en la tabla 2.10.

Parámetro Parámetros de

resonancia (Hz)Valores reales de la estructura. 164 186,4Estructura: ensamblaje de los cuatro

bloques.165,7 185 358,1

Aumento de la sección transversal de las

barras verticales a la mitad.63,321 65,724

Reducción de la sección transversal de las

barras verticales a la mitad.83,4 164,7

Se disminuye el diámetro del eje a 6 mm. 24,7 102,5Se aumenta el diámetro del eje a 26 mm. 203,8 365,1Se aumenta el diámetro del eje a 40 mm. 255,5 372,2Se acorta la longitud de los extremos de las

barras a la mitad.39,5 40,6

Se alarga la longitud de los extremos de las

barras verticales al doble.152,7 165,2

Se acorta la longitud de la base de las

barras verticales a 240mm.165,2 207,1

Se aumenta la longitud de la base de las

barras verticales a 280 mm. 165,2 207,2

Se aumenta la longitud de las barras

horizontales al doble. 120,4 182,3

Se acorta la longitud de las barras

horizontales a la mitad. 138,1 183,4

Se aumenta la longitud de la base de las

barras verticales a 460 mm. 79,2 163

Se aumenta el diámetro de la barra

horizontal a 40 mm, se aumenta la sección

144,5 190,5 334,9 709,8


de las barras verticales a 5500 mm2, se

aumenta la longitud del eje a 20 mm2 y se

aumenta la longitud de la base de las barras

verticales a 460 mm.Se aumenta el diámetro de la barra

horizontal a 40 mm, se aumenta la sección

de las barras verticales a 5500 mm2, se

aumenta la longitud del eje a 20 mm2, se

aumenta la longitud de la base de las barras

verticales a 460 mm y se aumenta la

longitud del extremo de las barras

verticales a 30 mm.

153,1 203,91 355,7

731,1 885,7

Tabla 2.10. Frecuencias de resonancia obtenidas mediante el método de elementos finitos,

variando las dimensiones de las barras que componen la estructura se obtienen diversos

parámetros de resonancia.

Los valores obtenidos con el método de elementos finitos son valores más cercanos a la

realidad, comparan con la figura 2.23 puesto que, se obtienen valores muy pequeños de

frecuencia cuando se disminuye el diámetro del eje a 6mm, 24,8 Hz y también cuando la

longitud del tramo final disminuye a la mitad, 39,5 Hz. El aumento de la frecuencia de

vibración se observa con el aumento del diámetro del eje, como en el caso anterior.

En general, las conclusiones sobre la construcción y diseño de la estructura no difieren de

forma significativa de las realizadas con el modelo anterior, con una salvedad: el modelo de

elementos finitos predice con mayor exactitud los valores de las frecuencias de vibración.

Capitulo 3. Conclusiones

CAPÍTULO 3: CONCLUSIONES

3. CONCLUSIONES

Capitulo 3. Conclusiones

• Han sido realizadas curvas de viscosidad frente a la temperatura de un aceite SAE

140 y su mezcla con jabón, para bajar su tensión superficial. Ambos líquidos poseen

una viscosidad muy similar, con pequeñas variaciones.

• También hay que señalar que de los métodos utilizados para el estudio de modos

de vibración de la estructura, el que más se aproxima a la solución exacta es el méto-

do de los elementos finitos. En el método de barras se ha obtenido una modificación

de la estructura con unos valores adecuados de frecuencia. Usando el método de ele-

mentos finitos, se obtuvieron valores de frecuencias bastante adecuados para el traba-

jo experimental:

( 153,1 ; 203,9 ; 355,7 ; 731,1 ; 885, 7 ) Hz, por la existencia de una gran zona libre de

resonancias entre los 200 y 359 Hz aproximadamente. Las alteraciones en las dimen-

siones están listados en la tabla 3.1.

Dimensión modificada ValorDiámetro del eje 40 mm Ancho de las escuadras 50 mmLongitud del eje (desde la pared de la escuadra

hasta a la pared de la mesa vibradora). 20 mm

Longitud del extremo de la barra vertical (desde el

centro del eje hasta el extremo).30 mm

Longitud de la base de la barra vertical (desde el

centro del eje hasta la plataforma).460 mm

Tabla 3.1. Modificación de la estructura que genera las mejores frecuencias de vibración de

la misma.

Anexos

ANEXOS

Anexos

ANEXO I: PROGRAMA REALIZADO MEDIANTE

MATLAB

En esta sección se presenta una aplicación programada en MATLAB como ayuda para la

realización del proyecto. En primer lugar se realizan una serie de cálculos de las

componentes que forma cada matriz, para posteriormente introducir las matrices de masa y

de rigidez de cada barra en coordenadas locales. Las matrices cambio de base T2 y T4 son

aquellas que nos permiten obtener las matrices de rigidez y de masa globales de cada barra.

Seguidamente, se construye la matriz de rigidez y de masa global de la estructura y a partir

de éstas se procede al cálculo de los modos de vibración de la estructura, mediante la

siguiente ecuación ya comentada:

0)det( =− MK λ

En primer lugar se introducen las matrices de cambio de base, según la orientación de las

barras.

T2=[1 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0;

0 0 1 0 0 0; 0 0 0 1 0 0;

0 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 1]

%La matriz T3=T2.

T4=[0 1 0 0 0 0; -1 0 0 0 0 0;

0 0 1 0 0 0; 0 0 0 0 1 0;

0 0 0 -1 0 0; 0 0 0 0 0 1]

%La matriz T4=T1=T5=T6.

Anexos

% A continuación se introducen las matrices de masa locales de

cada barra:

M1p=[3.27 0 0 1.635 0 0;

0 3.64 0.146 0 1.26e-3 -0.086;

0 0.146 7.35e-3 0 0.086 -0.0198;

1.635 0 0 3.27 0 0;

0 1.26e-3 0.086 0 3.64 -0.146;

0 -0.086 -0.0198 0 -0.146 7.53e-3 ]

M2p=[0.021 0 0 0.01 0 0;

0 0.024 1.38e-4 0 8.31e-3 -8.209e-5;

0 1.38e-4 1.035e-6 0 8.209e-5 -7.76e-7;

0.01 0 0 0.021 0 0;

0 8.31e-3 8.209e-5 0 0.024 -1.38e-4;

0 -8.209e-5 -7.76e-7 0 -1.38e-4 1.035e-6]

M3p=[0.022 0 0 0.011 0 0;

0 0.0246 1.45e-4 0 8.52e-3 -8.61e-5;

0 1.45e-4 1.11e-6 0 8.61e-5 -8.35e-7;

0.011 0 0 0.022 0 0 ;

0 8.52e-3 8.61e-5 0 0.0246 -1.45e-4;

0 -8.61e-5 -8.35e-7 0 -1.45e-4 1.11e-6]

M5p=[0.61 0 0 0.305 0 0;

0 0.68 5.082e-3 0 0.235 -3e-3;

0 5.082e-3 4.89e-5 0 3e-3 -3.67e-5;

0.305 0 0 0.61 0 0;

0 0.235 3e-3 0 0.68 -5.082e-3;

0 -3e-3 -3.673e-5 0 -5.082e-3 4.89e-5]

% La matriz de masa M4p=M1p.

% La matriz de masa M6p=M5.p

Anexos

% De igual forma se anotan las matrices de rigidez local de

cada barra:

k1p=[3.253e9 0 0 -3.253e9 0 0;

0 64.46e6 9.15e6 0 -64.46e6 9.15e6;

0 9.15e6 1.733e6 0 -9.15e6 866.619e3;

-3.253e9 0 0 3.253e9 0 0;

0 -64.46e6 -9.15e6 0 64.46e6 -9.15e6;

0 9.15e6 866.619e3 0 -9.15e6 1.733e6]

k2p=[1.029e9 0 0 -1.029e9 0 0;

0 117.5e6 2.4e6 0 -117.5e6 2.4e6;

0 2.4e6 65.86e3 0 -2.4e6 32.93e3;

-1.029e9 0 0 1.029e9 0 0;

0 -117.5e6 -2.4e6 0 117.5e6 -2.4e6;

0 2.4e6 32.93e3 0 -2.4e6 65.86e3]

k3p=[1.005e9 0 0 -1.005e9 0 0;

0 109.3e6 2.296e6 0 -109.3e6 2.296e6;

0 2.296e6 64.3e3 0 -2.296e6 32150;

-1.005e9 0 0 1.005e9 0 0;

0 -109.3e6 -2.296e6 0 109.3e6 -2.296e6;

0 2.296e6 32150 0 -2.296e6 64.3e3]

k4p=[3.253e9 0 0 -3.253e9 0 0;

0 64.46e6 9.15e6 0 -64.46e6 9.15e6;

0 9.15e6 1.733e6 0 -9.15e6 866.619e3;

-3.253e9 0 0 3.253e9 0 0;

0 -64.46e6 -9.15e6 0 64.46e6 -9.15e6;

0 9.15e6 866.619e3 0 -9.15e6 1.733e6]

Anexos

k5p=[1.74e10 0 0 -1.74e10 0 0;

0 9.919e9 262.85e6 0 -9.919e9 262.85e6;

0 262.85e6 9.28e6 0 -262.85e6 4.64e6;

-1.74e10 0 0 1.74e10 0 0;

0 -9.919e9 -262.85e6 0 9.919e9 -262.85e6;

0 262.85e6 4.64e6 0 -262.85e6 9.28e6]

% La matriz de rigidez local de la barra 6 es igual a la de la

barra 5:

k6p=k5p

% La matriz de rigidez k6p=k5p.Se ponen las matrices de

rigidez globales de cada barra, teniendo en cuente la matriz

cambio de base correspondiente a su barra:

k1=T4'*k1p*T4

k2=T2'*k2p*T2

k3=T2'*k3p*T2

k4=T4'*k4p*T4

k5=T4'*k5p*T4

k6=k5

% Posteriormente se anotan las matrices de masa globales de

cada barra con sus correspondientes matrices de masa en

función de la barra seleccionada:

M1=T4'*M1p*T4

M2=T2'*M2p*T2

M3=T2'*M3p*T2

M4=T4'*M5p*T4

M5=M4

M6=M5

Anexos

% Se crea una matriz completa de ceros para la matriz de

rigidez y para la matriz de masa, K=zeros(21,21),

M=zeros(21,21), posteriormente mediante una secuencia de

acuerdo con las componentes que ocupan la matriz, se

relacionan los grados de libertad con los nudos de las barras

para obtener dichas matrices.

K=zeros(21,21);

% En la primera secuencia en las componentes de la primera a

la tercera fila y de la primera a la tercera columna se

coloca en dicha posición 1ak que corresponde a k1(1:3,1:3), el

subíndice 1 corresponde a la barra 1 de la matriz de rigidez de

coordenadas locales.

K(1:3,1:3)=k1(1:3,1:3);

K(1:3,4:6)=k1(1:3,4:6);

K(4:6,1:3)=k1(4:6,1:3);

K(4:6,4:6)=k1(4:6,4:6)+k2(1:3,1:3)+k5(1:3,1:3);

K(4:6,7:9)=k2(1:3,4:6);

K(4:6,16:18)=k5(1:3,4:6);

K(7:9,4:6)=k2(4:6,4:6);

K(7:9,7:9)=k2(4:6,4:6)+k3(1:3,1:3);

K(7:9,10:12)=k3(1:3,4:6);

K(10:12,7:9)=k3(4:6,1:3);

K(10:12,10:12)=k3(4:6,4:6)+k4(1:3,1:3)+k6(1:3,1:3);

K(10:12,13:15)=k4(1:3,4:6);

K(10:12,19:21)=k6(1:3,4:6);

K(13:15,10:12)=k4(4:6,1:3);

K(13:15,13:15)=k4(4:6,4:6);

K(16:18,4:6)=k5(1:3,4:6);

K(16:18,16:18)=k5(4:6,4:6);

Anexos

K(19:21,10:12)=k5(4:6,4:6);

K(19:21,10:12)=k6(4:6,1:3);

K(19:21,19:21)=k6(4:6,4:6)

% Se realiza lo mismo con la matriz de masa, inicialmente se

construye completa de ceros para posteriormente rellenarla

según una secuencia lógica, hay que tener en cuenta la masa

del vibrador que es 0.09072Kg.

M=zeros(21,21)

% En la primera secuencia la posición de la primera a la

tercera fila y de la primera a la tercera columna 1aM que

corresponde a M1(1:3,1:3).

M(1:3,1:3)=M1(1:3,1:3);

M(4:6,4:6)=M1(4:6,4:6)+M2(1:3,1:3)+M5(1:3,1:3);

M(7:9,7:9)=M2(4:6,4:6)+M3(1:3,1:3)+0.09072;

M(10:12,10:12)=M3(4:6,4:6)+M4(1:3,1:3)+M6(1:3,1:3);

M(13:15,13:15)=M4(4:6,4:6);

M(16:18,16:18)=M5(4:6,4:6);

M(19:21,19:21)=M6(4:6,4:6

Anexos

ANEXO II: EJEMPLOS OBTENIDOS MEDIANTE EL SOLID

WORKS

Las modificaciones realizadas en la estructura se llevaron a cabo a partir de los valores

reales de los bloques, obteniéndose otros modos de vibración distintos. A la hora de obtener

estos modos de vibración siguiendo el método estándar de elementos finitos se han empleado

los siguientes pasos:

1. Se forman los nuevos ensamblajes con los cuatro bloques que componen la estructu-

ra.

2. Se utiliza la simulación del programa SOLID WORK, que permite definiendo un ma-

terial de la estructura, en este caso acero y definiendo las sujeciones, en este caso, la

base como superficie fija, obtener unos resultados de los modos de vibración de la

estructura.

Los pasos a seguir dentro del programa son los siguientes:

Productos Office > Solid Work Simulation > Estudio > Nuevo Estudi > Estudio de

frecuencia > Elijo un material > Sujeciones > Geometría Fija de la Base > Ejecuta >

Resultados de modos de vibración de la estructura.

Se muestran algunas estructuras que han sufrido las modificaciones más destacables:

Anexos

• Diámetro del eje de 6mm.

Figura A.1. Diámetro del eje giratorio reducido a 6mm

• Diámetro del eje igual a 40mm.

Anexos

Figura A.2. Diámetro aumentado en 40mm

• Doblado de la longitud del eje.

Figura A.3. Longitud del eje aumentada al doble

Anexos

• Aumento en 20 cm de la longitud vertical de la escuadra.

Figura A.4. Se aumenta el 200mm la longitud de la barra vertical.

Anexos

ANEXO III: BIBLIOGRAFÍA

[1] R. Argüelles Álvarez, “Cálculo matricial de estructuras”, teoría y problemas, Ed.

Bellisco (Ediciones técnicas y científicas), Madrid, 2005.

[2] M. Cervera Ruiz y Elena Blanco Díaz, “Mecánica de estructuras”.Libro 2. Método

de análisis, Ed UPC, Barcelona, 2002.

[3] J. A. Garrido y Antonio Foces, “Resistencia de materiales”, segunda edición,

secretariado de publicaciones e intercambio científico universidad de Valladolid.1999.

[4] A. R. Piriz, O.D. Cortázar, J.J. López Cela y N. T. Tahir “The Rayleight-Taylor

instability”, American Journal of Physics, Vol.74, No 12, Dec 2006, pp 1095-1098.

[5] D. J Lewis, “The instability of liquid surfaces when accelerated in a direction

perpendicular to their planes. II”. Proceeding of the Royal Society of London. Series A,

Mathematical and Physical Sciences, Vol. 202, No 1068, (Junio. 22, 1950), pp. 81-96.

[6] G. Taylor, “The instability of liquid surfaces when accelerated in a direction

perpendicular to their planes, I”. Proccedings of the Royal Society of London. Series A,

Mathematical and Physical Sciences, Vol. 201, No 1065, (Mar 22, 1950), pp. 192-196.

Material también consultado:

[7] M. C. Serna, “Inestabilidad de Rayleight-Taylor”, Doctorado, ETSII, Septiembre 2006.

[8] G. H. Wolf, “Dynamic stabilization of the interchange instability of a liquid-gas

interface”, physical Mariew Setters, Vol. 24, No 0, (Mar 1970), pp. 444-446.

Anexos

[9] M. Vázquez, “Cálculo matricial de estructuras”, segunda edición, 1999, Colegio de

ingenieros técnicos de obras públicas de Madrid.

[9] Wikipedia, http://www.wikipedia.org

[10] Quantotec, www.quantotec.com/sp/ Viscosimetros .htm

http://www.quantotec.com/sp/Viscosimetros.htm

http://www.wikipedia.org/

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