Universidad de San Carlos de Guatemala …mate.ingenieria.usac.edu.gt/archivos/CLAVE-107-2-M-1-00...ESCUELA DE CIENCIAS SEGUNDO EXAMEN PARCIAL TEMA 2: (14 PUNTOS) La ventana de un

Universidad de San Carlos de Guatemala Departamento de Matemáticas

Facultad de Ingeniería Matemática Intermedia 1 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CLAVE-107-2-M-1-00-2018

CURSO: Matemática Intermedia 1

SEMESTRE: Primer Semestre 2018

CÓDIGO DEL CURSO: 107

TIPO DE EXAMEN: Segundo Parcial

FECHA DE EXAMEN: Marzo de 2018

RESOLVIÓ EL EXAMEN: B’alam Luis Gregorio Lol

Alvarez

DIGITALIZÓ EL EXAMEN: B’alam Luis Gregorio Lol

Alvarez

REVISÓ EL EXAMEN: Inga. Silvia Hurtarte

UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA DEPARTAMENTO MATEMÁTICA

FACULTAD DE INGENIERÍA MATEMATICA INTERMEDIA 1

ESCUELA DE CIENCIAS SEGUNDO EXAMEN PARCIAL

TEMARIO AA

TEMA 1: (28 PUNTOS)

a. Calcule las integrales dadas (10 puntos c/u):

(1) ∫ 2𝑥 + 5

(𝑥2 + 1)(𝑥2 + 4)𝑑𝑥 (2) ∫

cos 𝑥

𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1𝑑𝑥

𝜋2

− 𝜋2

b. Obtenga el área de un semicírculo de radio 2 centrado en el origen, usando el método de aproximación

de la regla de Punto medio con n = 4 y cuatro decimales. (8 puntos)

TEMA 2: (14 PUNTOS)

La ventana de un observatorio de vida marina tiene la forma de una elipse con eje mayor horizontal de 6 metros

y un eje menor de 4 metros, su centro se encuentra 20 m bajo el agua. Plantee la o las integrales que calculan la

fuerza hidrostática sobre la ventana si la densidad del agua de mar es de 1027 kg/m3.

TEMA 3: (10 PUNTOS)

Calcule el centroide de la región encerrada por las curvas: 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 ; 𝑦 = 2𝑥

TEMA 4: (8 PUNTOS)

Dada la sucesión: 𝑎𝑛 =𝑒𝑛+3

𝑒2𝑛+1

a. Calcule sus primeros cinco términos y grafique.

b. Determine si la sucesión converge o diverge. (4 puntos cada inciso)

TEMA 5: (16 PUNTOS)

Determine si las series dadas convergen o divergen, si convergen calcule su suma (8 puntos c/u):

(1) ∑(1 + 3𝑛)

32𝑛

∞

𝑛=1

(2) ∑1

𝑛(𝑛 + 2)

∞

𝑛=1

TEMA 6: (14 PUNTOS)

Determine si las series dadas convergen. ( 7 puntos c/u)

A) Use la prueba de las proporciones (cociente)

∑𝑛!

𝑒𝑛2

∞

𝑛=1

B) La prueba de la serie alternante.

∑(−1)𝑛+1𝑛

1 + 𝑛2

∞

𝑛=1

TEMA 7: (10 PUNTOS)

Determine si la serie dada converge o diverge, usando la prueba de la integral y calcule 𝑆3:

∑2

𝑒𝑛 + 𝑒−𝑛

∞

𝑛=1




SOLUCIÓN

TEMA 1: (28 PUNTOS)

a. Calcule las integrales dadas (10 puntos c/u):

(1) ∫ 2𝑥 + 5

(𝑥2 + 1)(𝑥2 + 4)𝑑𝑥 (2) ∫

cos 𝑥

𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1𝑑𝑥

𝜋2

− 𝜋2

b. Obtenga el área de un semicírculo de radio 2 centrado en el origen, usando el método de aproximación

de la regla de Punto medio con n = 4 y cuatro decimales. (8 puntos)

No. Explicación Operatoria

1 a) Dado que en esta integral el

denominador esta completamente

factorizado se procede a expresar el

integrando con fracciones parciales

En este caso los numeradores de las

fracciones parciales deben ser de la forma

𝑎𝑥 + 𝑏 ya que los denominadores son

factores cuadráticos irreducibles

∫2𝑥 + 5

(𝑥2 + 1)(𝑥2 + 4)𝑑𝑥

2𝑥 + 5

(𝑥2 + 1)(𝑥2 + 4)=

𝐴𝑥 + 𝐵

𝑥2 + 1+

𝐶𝑥 + 𝐷

𝑥2 + 4

2 Se multiplica ambos lados del

planteamiento de fracciones parciales por

el denominador del integrando

Desarrollando y simplificando

2𝑥 + 5 = (𝐴𝑥 + 𝐵)(𝑥2 + 4) + (𝐶𝑥 + 𝐷)(𝑥2 + 1)

2𝑥 + 5 = 𝐴𝑥3 + 𝐶𝑥3 + 𝐵𝑥2 + 𝐷𝑥2 + 𝐶𝑥 + 4𝐴𝑥 + 4𝐵 + 𝐷

2𝑥 + 5 = 𝑥3(𝐴 + 𝐶) + 𝑥2(𝐵 + 𝐷) + 𝑥(𝐶 + 4𝐴) + 4𝐵 + 𝐷

3 A partir de la ecuación anterior se plantea

un sistema de ecuaciones en donde se

igualan los términos cúbicos, cuadráticos y

lineales de cada lado, también los términos

independientes de cada lado

Se simplifica cada ecuación para eliminar la

variable “x”

2𝑥 + 5 = 𝑥3(𝐴 + 𝐶) + 𝑥2(𝐵 + 𝐷) + 𝑥(𝐶 + 4𝐴) + 4𝐵 + 𝐷

𝐼𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑏𝑖𝑐𝑜𝑠

0 = 𝑥3(𝐴 + 𝐶)

𝐴 = −𝐶

𝐼𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠

0 = 𝑥2(𝐵 + 𝐷)

𝐵 = −𝐷

𝐼𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠

2𝑥 = 𝑥(𝐶 + 4𝐴)

2 = 𝐶 + 4𝐴

𝐼𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

5 = 4𝐵 + 𝐷




4 Se sustituye la ecuación obtenida en los

términos cúbicos en la ecuación obtenida

en los términos lineales

2 = 𝐶 + 4𝐴

𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝐴 = −𝐶

2 = 𝐶 − 4𝐶

2 = −3𝐶

𝐶 = −2

3

𝐴 = −𝐶

𝐴 =2

3

5 Se sustituye la ecuación obtenida en los

términos cuadráticos en la ecuación

obtenida en los términos independientes

5 = 4𝐵 + 𝐷

𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝐵 = −𝐷

5 = −4𝐷 + 𝐷

5 = −3𝐷

𝐷 = −5

3

𝐵 = −𝐷

𝐵 =5

3

6 Por fracciones parciales se obtiene un

equivalente de la expresión racional

Se separan los términos de las fracciones

del lado derecho para simplificar la

integración

2𝑥 + 5

(𝑥2 + 1)(𝑥2 + 4)=

23

𝑥 +53

𝑥2 + 1+

−23

𝑥 −53

𝑥2 + 4

=

23

𝑥

𝑥2 + 1+

53

𝑥2 + 1+

−23

𝑥

𝑥2 + 4+

−53

𝑥2 + 4

7 Se tienen 4 integrales más simples en

lugar de la integral racional original

En la primera y tercera integral del lado

derecho se realiza una sustitución.

∫2𝑥 + 5

(𝑥2 + 1)(𝑥2 + 4)𝑑𝑥

=2

3∫

𝑥

𝑥2 + 1𝑑𝑥 +

5

3∫

1

𝑥2 + 1𝑑𝑥

−2

3∫

𝑥

𝑥2 + 4𝑑𝑥 −

5

3∫

1

𝑥2 + 4𝑑𝑥

2

3∫

𝑥

𝑥2 + 1𝑑𝑥

𝑆𝑖 𝑢 = 𝑥2 + 1

𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥

𝑥 𝑑𝑥 =𝑑𝑢

2




2

3∫

𝑥

𝑥2 + 1𝑑𝑥 =

1

3∫

𝑑𝑢

𝑢

1

3∫

𝑑𝑢

𝑢=

1

3 𝐿𝑛|𝑢|

2

3∫

𝑥

𝑥2 + 1𝑑𝑥 =

1

3 𝐿𝑛|𝑥2 + 1|

−2

3∫

𝑥

𝑥2 + 4𝑑𝑥

𝑆𝑖 𝑣 = 𝑥2 + 4

𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑣 = 2𝑥𝑑𝑥

𝑥 𝑑𝑥 =𝑑𝑣

2

2

−3∫

𝑥

𝑥2 + 4𝑑𝑥 = −

1

3∫

𝑑𝑣

𝑣

−1

3∫

𝑑𝑣

𝑣= −

1

3 𝐿𝑛|𝑣|

−2

3∫

𝑥

𝑥2 + 4𝑑𝑥 = −

1

3 𝐿𝑛|𝑥2 + 4|

8 Para la segunda y cuarta integral del lado

derecho se usara la definición de la integral

de tangente inversa

∫𝑑𝑢

𝑎2 + 𝑢2=

1

𝑎tan−1

𝑢

𝑎

𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢 = 𝑥 𝑦 𝑎 = 1 5

3∫

1

𝑥2 + 1𝑑𝑥 =

5

3∗

11

tan−1 𝑥1

∫5/3

𝑥2 + 1𝑑𝑥 =

53

tan−1 𝑥

𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢 = 𝑥 𝑦 𝑎 = 2

−5

3∫

1

𝑥2 + 4𝑑𝑥 = −

5

3∗

12

tan−1 𝑥2

∫−5/3

𝑥2 + 4𝑑𝑥 = −

53

∗12

𝑡𝑎𝑛−1 𝑥2

9

Finalmente, la solución queda como:

1

3 𝐿𝑛|𝑥2 + 1| −

1

3 𝐿𝑛|𝑥2 + 4| +

5

3tan−1 𝑥 −

5

6𝑡𝑎𝑛−1

𝑥

2+ 𝐶




10 b) Se debe notar en este ejercicio que

existe una discontinuidad en los límites de

integración, ya que al evaluar 𝑥 = −𝜋

2 el

denominador se hace cero

Debido a esto es una integral impropia, el

primer paso será plantear el límite para

evaluar la integral en el límite de integración

que presenta la discontinuidad

∫𝐶𝑜𝑠(𝑥)

𝑆𝑒𝑛(𝑥) + 1𝑑𝑥

𝜋/2

−𝜋/2

𝑆𝑒𝑛 (−𝜋

2) + 1 = 0


𝑆𝑒𝑛(𝑥) + 1𝑑𝑥 = lim

𝑡→−𝜋/2∫

𝐶𝑜𝑠(𝑥)


𝜋/2

𝑡

𝜋/2

−𝜋/2

11 Ahora se determina la integral indefinida

para luego evaluarla en el límite planteado

al inicio

Se hace la sustitución que se muestra



𝑢 = 𝑆𝑒𝑛(𝑥) + 1

𝑑𝑢 = 𝐶𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥

∫1

𝑢𝑑𝑢 = 𝐿𝑛|𝑢| = 𝐿𝑛|𝑆𝑒𝑛(𝑥) + 1|

12

Ahora se evalúa el límite con la antiderivada

encontrada

Dado que el límite del logaritmo natural

cuando este tiende a cero es menos infinito

se concluye que la integral es divergente

lim𝑡→−

𝜋2



𝜋2

𝑡

= lim𝑡→−

𝜋2

(𝐿𝑛|𝑆𝑒𝑛(𝑥) + 1|)𝜋/2

𝑡

= lim𝑡→−

𝜋2

(𝐿𝑛 |𝑆𝑒𝑛 (𝜋

2) + 1| − 𝐿𝑛|𝑆𝑒𝑛(𝑡) + 1|)

𝐿𝑛|1 + 1| − lim𝑡→−

𝜋2

𝐿𝑛|𝑆𝑒𝑛(𝑡) + 1|

lim𝑡→−

𝜋2

𝐿𝑛|𝑆𝑒𝑛(𝑡) + 1| = −∞

lim𝑡→−

𝜋2



𝜋2

𝑡

= 𝐿𝑛|2| + ∞ = ∞

𝐿𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

13 b) Para obtener el área del semicírculo

primero se plantea la ecuación del círculo

de radio 2, centrado en el origen

𝑥2 + 𝑦2 = 4

14 Se despeja la variable "𝑦" para obtener una

función a integral como el área bajo la curva

𝑦 = ±√4 − 𝑥2




Se elige la parte positiva del semicírculo, y

se establecen los límites de integración

Debido a que se integra una función de "𝑥"

se escogen los limites en 𝑥 de la figura

𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜:

𝑦 = √4 − 𝑥2

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎:

∫ √4 − 𝑥2 𝑑𝑥2

−2

15 Para hallar el valor de esta integral por

medio del método de punto medio se utiliza

la siguiente formula

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ ∆𝑥(𝑓(𝑥1̅̅ ̅) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛̅̅ ̅))𝑏

𝑎

𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒:

𝑥𝑖 =1

2(𝑥𝑖−1 + 𝑥𝑖)

16 Se calcula el valor de "∆𝑥", con 𝑛 = 4 ∆𝑥 =

2 − (−2)

4

∆𝑥 = 1

17 Se identifica 𝑓(𝑥) como la función para la

mitad superior del circulo y se determinan

los valores de 𝑓(𝑥�̅�) como se muestra en la

tabla

𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥2

𝑖 ∆𝑥𝑖 𝑥�̅� 𝑓(𝑥�̅�)

0 -2 NA NA

1 -1 -1.5 1.323

2 0 -0.5 1.936

3 1 0.5 1.936

4 2 1.5 1.323

𝑁𝐴: 𝑁𝑜 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎

18 Se aplica la formula ∫ √4 − 𝑥2 𝑑𝑥

2

−2

≈ ∆𝑥(𝑓(𝑥1̅̅ ̅) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛̅̅ ̅))

∫ √4 − 𝑥2 𝑑𝑥2

−2

≈ 1 ∗ (1.323 + 1.936 + 1.936

+ 1.323)

∫ √4 − 𝑥2 𝑑𝑥2

−2

≈ 6.518




TEMA 2: (14 PUNTOS)

La ventana de un observatorio de vida marina tiene la forma de una elipse con eje mayor horizontal de 6 metros

y un eje menor de 4 metros, su centro se encuentra 20 m bajo el agua. Plantee la o las integrales que calculan la

fuerza hidrostática sobre la ventana si la densidad del agua de mar es de 1027 kg/m3.


1 Se escribe la ecuación de la elipse, que por conveniencia se escoge centrada en el origen,

también se hace un dibujo para entender el ejercicio

𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒:𝑥2

9+

𝑦2

4= 1

2 La figura muestra la placa con su centro sumergido 20 metros debajo de la superficie del

agua. Se necesita expresar el ancho de un diferencial de área, 𝐿(𝑦), en términos de la

ecuación de la elipse y la altura del agua que se encuentra encima de un diferencial de área,

ℎ(𝑦) en términos de la variable "𝑦". Además se tomará como densidad 𝜌 = 1027𝑘𝑔

𝑚3 y la

gravedad como 𝑔 = 9.8𝑚

𝑠2. Se usara la siguiente definición de Fuerza Hidrostática , 𝐹.

𝐹 = 𝜌𝑔 ∫ ℎ(𝑦) 𝐿(𝑦) 𝑑𝑦




3 El ancho, 𝐿(𝑦), de un diferencial de área

esta definido, por simétrica como el doble

del valor de la coordenada " + 𝑥" de un

punto en la elipse

Debido a esto se despeja, de la ecuación

de la elipse, la coordenada 𝑥

Al despejar 𝑥 se obtienen 2 ecuaciones,

una representa la mitad derecha de la

elipse, y la otra la mitad izquerda de la

elipse

Ya que se trabajará por simetría se toma la

raíz positiva y se multiplica por dos para

obtener 𝐿(𝑦)

Verificamos que, 𝐿(𝑦), proporcione el

ancho de un diferencial del área para cada

valor de 𝑦, por ejemplo verificamos que el

mayor ancho se da cuando 𝑦 = 0, el

menor ancho se da cuando 𝑦 = 2

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒

𝑥2

9+

𝑦2

4= 1

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:

𝑥 = ±√9 −9𝑦2

4

𝑥 = ±3√1 −𝑦2

4

𝐿(𝑦) = 2 ∗ 3√1 −𝑦2

4

𝐿(0) = 6

𝐿(2) = 0

4 Ahora se debe encontrar la altura, ℎ(𝑦),

que hay entre la superficie de agua y un

diferencial de área, Por ejemplo cuando

el diferencial de área está en una posición

ℎ(2) = 18

ℎ(0) = 20




donde 𝑦 = 2, la altura entre ese

diferencial de área y la superficie es de 18,

de igual forma cuando el diferencial está en

𝑦 = 0, la altura entre ese diferencial y la

superficie es de 20.

𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑦

ℎ(𝑦 ) = 20 − 𝑦

5 Ahora sustituimos los valores de

𝜌, 𝑔, ℎ(𝑦) 𝑦 𝐿(𝑦), en la fórmula para fuerza

hidrostática.

Se agregan los límites de integración,

siendo estos los valores de 𝑦 para los que

está definida la geometría de la placa, es

decir −2 ≤ 𝑦 ≤ 2

𝐹 = 𝜌𝑔 ∫ ℎ(𝑦) 𝐿(𝑦) 𝑑𝑦

𝐹 = (1027)(9.8) ∫(20 − 𝑦) (6√1 −𝑦2

4) 𝑑𝑦

𝐹 = (1027)(9.8) ∫ (20 − 𝑦) (6√1 −𝑦2

4) 𝑑𝑦

2

−2

TEMA 3: (10 PUNTOS)

Calcule el centroide de la región encerrada por las curvas: 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 ; 𝑦 = 2𝑥


1 Se usarán las siguientes

integrales para obtener las

coordenadas del centroide de

la región descrita en el

enunciado

�̅� =1

𝐴∫ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

�̅� =1

2𝐴∫(𝑓(𝑥))

2𝑑𝑥

𝑏

𝑎

𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒:

𝐴: 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑜𝑛

𝑎, 𝑏: 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑋 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒

𝑑𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑛 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑜𝑛

𝑓(𝑥): 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑜𝑛




2 Se grafican las funciones para tener un planteamiento grafico del ejercicio

3 Primero se plantea el área de la

región con una integral. Para

plantear esta integral se

utilizará un diferencial de área

de la forma 𝑑𝐴 = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑑𝑥 ,

donde 𝑑𝑥 es el ancho del

rectángulo y 𝑓(𝑥) representa la

altura del rectángulo, como se

muestra la figura

Dado que la función esta

delimitada por 2 dos funciones,

la función 𝑓(𝑥) será la resta de

dos funciones, una que delimita

la parte superior y otra que

delimita la parte inferior

𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

𝑓(𝑥) = 2𝑥 − (𝑥2 − 4𝑥)

𝑓(𝑥) = 6𝑥 − 𝑥2




4 Para encontrar los límites de

integración de la integral de

área se determinan las

intersecciones entre las

gráficas igualando ambas

ecuaciones

𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛:

𝑦 = 𝑦

2𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥

0 = 𝑥2 − 6𝑥

𝑥 = 0

𝑥 = 6

5 Se determina el valor del área

con la siguiente integral

𝐴 = ∫ 6𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥

6

0

𝐴 = 3𝑥2 −𝑥3

3|

0

6

𝐴 = 3(6)2 −(6)3

3− 0 = 36

6 Se procede a calcular la

coordenada 𝑥 del centroide. De

la misma forma a como se

trabajo con el área para esta

integral la función 𝑓(𝑥) será la

resta de dos funciones, como

se hizo en la determinación del

área.

�̅� =1

𝐴∫ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

�̅� =1

𝐴∫ 𝑥 (6𝑥 − 𝑥2)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

�̅� =1

36∫ 6𝑥2 − 𝑥3𝑑𝑥

6

0

�̅� =1

36( 2𝑥3 −

𝑥4

4|

0

6

)

�̅� =1

36( 2(6)3 −

64

4− 0) = 3

7 Se calcula la coordenada 𝒚 del

centroide, dado que la región

se encuentra delimitada por

dos funciones la el integrando

no se cambia a una diferencia

de los cuadrados de las dos

funciones que delimitan la

región

�̅� =1

2𝐴∫ [𝑓(𝑥)]2𝑑𝑥

𝑏

𝑎

�̅� =1

2𝐴∫ [𝑔(𝑥)]2 − [ℎ(𝑥)]2𝑑𝑥

𝑏

𝑎




**NOTA: es muy común

pensar, erróneamente, que al

tener dos funciones

delimitando la región lo que

debe hacerse es elevar la resta

de las funciones al cuadrado.

Se aclara que cuando se

tengan 2 funciones delimitando

la región, lo que debe hacerse

es colocar la diferencia de los

cuadrados de las funciones

dentro del integrando.

�̅� =1

2𝐴∫ [2𝑥]2 − [𝑥2 − 4𝑥]2𝑑𝑥

6

0

�̅� =1

2(36)∫ 8𝑥3 − 𝑥4 − 12𝑥2 𝑑𝑥

6

0

�̅� =1

2(36)( 2𝑥4 − 4𝑥3 −

𝑥5

5|

0

6

)

�̅� =1

2(36)( 2 ∗ 64 − 4 ∗ 63 −

65

5− 0) =

12

5

8 Las coordenadas del centroide son, se observa que las coordenadas del centroide quedan dentro de

la región de la figura

(�̅�, �̅�) = (3 ,12

5)

(3, 2.4)




TEMA 4: (8 PUNTOS)

Dada la sucesión: 𝑎𝑛 =𝑒𝑛+3

𝑒2𝑛+1

a. Calcule sus primeros cinco términos y grafique.

b. Determine si la sucesión converge o diverge. (4 puntos cada inciso)


1

Dada la sucesión 𝑎𝑛 se encuentran los

primeros 5 términos sustituyendo 𝑛 por

números enteros, dado que no se

especifica el valor inicial de 𝑛, se toma

como 1, el primer valor de 𝑎𝑛

𝐷𝑎𝑑𝑜:

𝑎𝑛 =𝑒𝑛 + 3

𝑒2𝑛 + 1

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1, 2 ,3, 4, 5

𝑎1 =𝑒 + 3

𝑒2 + 1

𝑎2 =𝑒2 + 3

𝑒4 + 1

𝑎3 =𝑒3 + 3

𝑒6 + 1

𝑎4 =𝑒4 + 3

𝑒8 + 1

𝑎5 =𝑒 + 3

𝑒 10 + 1

2 Grafica:




3 Para determinar si la sucesión es

convergente debe cumplir con dos

características:

1. Debe ser monótona decreciente

o monótona creciente

2. Debe ser acotada

Por la gráfica y los primeros 5 términos

se puede concluir que la sucesión es

monótona decreciente

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1, 2 ,3, 4, 5

𝑎𝑛 ≈ {0.6816, 0.1868, 0.057, 0.0193, 0.0068}

𝑆𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑀𝑜𝑛ó𝑡𝑜𝑛𝑎 𝐷𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

4 Para determinar si la sucesión es

acotada o no, se deben evaluar las

cotas inferior y superior, para ver, las

cotas se deben verificar de dos formas

1. Evaluando el límite de las

sucesión en el infinito

2. Verificando que los valores que

indefinen la sucesión no sean

enteros positivos

Para verificar el limite se multiplica y se

divide la sucesión por el reciproco de la

potencia más grande del la función

exponencial

Se determina asi que una de las cotas

de la sucesión es la recta 𝑦 = 0, es

decir el eje 𝑥, ya que el limite de la

sucesión en el infinito es cero

1. 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜

lim𝑛→∞

𝑒𝑛 + 3

𝑒2𝑛 + 1

lim𝑛→∞

𝑒𝑛 + 3

𝑒2𝑛 + 1∗

1𝑒2𝑛

1𝑒2𝑛

lim𝑛→∞

1𝑒𝑛 +

3𝑒2𝑛

1 +1

𝑒𝑛

𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 ∶ lim𝑛→∞

𝑘

𝑎𝑛= 0

𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 𝑦 𝑎 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

lim𝑛→∞

1𝑒𝑛 +

3𝑒2𝑛

1 +1

𝑒𝑛

=0 + 0

1 + 0= 0

5

Para determinar la otra cota de la

sucesión se analizan los valores que

indefinen la sucesión

Al ser esta una sucesión racional, los

valores que la indefinen son aquellos

que hacen cero el denominador

No es necesario resolver la ecuación

exponencial para darse cuenta de que

𝑒𝑛 + 3

𝑒2𝑛 + 1

𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜:

𝑒2𝑛 + 1 = 0

𝑒2𝑛 = −1




no existen soluciones reales, puesto

que la función exponencial nunca es

negativa, sin importar cual sea su

exponente

Puesto que no existen valores de 𝑛 que

indefinan la función, esta siempre

tendrá valores dentro de un rango

restringido.

Por la gráfica y el limite se concluye que

las cotas de la sucesión son la recta

y=0, y el primer valor en la sucesión,

puesto que no existe un valor más

grande que el primero en la sucesión

∗∗ 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 …

𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟:

𝑦 =𝑒 + 3

𝑒2 + 1

𝑃𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 …

𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟:

𝑦 = 0

Dado que la sucesión tiene cotas, es acotada y

También es monótona decreciente:

𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

TEMA 5: (16 PUNTOS)

Determine si las series dadas convergen o divergen, si convergen calcule su suma (8 puntos c/u):

(1) ∑(1 + 3𝑛)

32𝑛

∞

𝑛=1

(2) ∑1

𝑛(𝑛 + 2)

∞

𝑛=1


1 Para la primera serie dada, se procede

a separar en dos series

∑(1 + 3𝑛)

32𝑛

∞

𝑛=1

(1 + 3𝑛)

32𝑛=

1

32𝑛+

3𝑛

32𝑛

∑(1 + 3𝑛)

32𝑛

∞

𝑛=1

= ∑1

32𝑛

∞

𝑛=1

+ ∑3𝑛

32𝑛

∞

𝑛=1

2 Se aplican la siguientes leyes de los

exponentes para reescribir cada serie

con un solo exponente 𝑛

𝑆𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒:

1 = 1𝑛

𝑎𝑐𝑏 = (𝑎𝑐)𝑏 = (𝑎𝑏)𝑐

∑1

32𝑛

∞

𝑛=1

+ ∑3𝑛

32𝑛

∞

𝑛=1

= ∑ (1

32)

𝑛∞

𝑛=1

+ ∑ (3

32)

𝑛∞

𝑛=1




3 Ahora se busca llevar estas dos series a

la forma estándar de una serie

geométrica

En este ejercicio se trabajará con las

series geométricas más conocidas

con 𝑛 = 0 𝑦 𝑛 = 1

Dado que en las series que se tienen la

sumatoria inicia en 𝑛 = 1, para poder

usar el criterio de la serie geométrica se

necesita que el exponente que

actualmente es 𝑛, se convierta en 𝑛 − 1

según la forma estándar de una serie

geométrica

Para llevar amas series a su forma

estándar, se multiplica y se divide por la

base de exponente 𝑛, con exponente −1

Se simplifica y ahora se obtienen las dos

series en la forma estándar de una serie

geométrica

𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎:

∑ 𝑎 𝑟𝑛−𝑘

∞

𝑛=𝑘

𝑆𝑖 |𝑟| < 1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

𝑦 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑒𝑠: 𝑎

1 − 𝑟

∑ (1

9)

𝑛∞

𝑛=1

+ ∑ (1

3)

𝑛∞

𝑛=1

𝑆𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒:

𝑎𝑚 ∗ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 1

𝑎−𝑛= 𝑎𝑛

∑ (1

9)

𝑛

∗(

19)

−1

(19

)−1

∞

𝑛=1

+ ∑ (1

3)

𝑛

∗(

13)

−1

(13

)−1

∞

𝑛=1

∑ (1

9) (

1

9)

𝑛−1∞

𝑛=1

+ ∑ (1

3) (

1

3)

𝑛−1∞

𝑛=1

4 Se identifica el valor de 𝑟 en cada serie

y se concluye que ambas series son

convergentes, por lo tanto la serie inicial

del enunciado es convergente

∑ (1

9) (

1

9)

𝑛−1∞

𝑛=1

𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒:

𝑎1 =1

9

𝑟1 =1

9→ |

1

9| < 1

𝐿𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

∑ (1

3) (

1

3)

𝑛−1∞

𝑛=1


𝑎2 =1

3

𝑟2 =1

3→ |

1

3| < 1





5 Dado que ambas series son

convergentes se puede determinar de

forma exacta la suma

∑ (1

9) (

1

9)

𝑛−1∞

𝑛=1

+ ∑ (1

3) (

1

3)

𝑛−1∞

𝑛=1

19

1 −19

+

13

1 −13

=5

8

∑(1 + 3𝑛)

32𝑛

∞

𝑛=1

𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑦 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑒𝑠: 5

8

6 Esta serie se identifica como una serie

telescópica ya que el denominador

aparece completamente factorizado, y

el índice 𝑛 no aparece no como

exponente ni con factoriales

Se plantean las fracciones parciales,

debido a que los factores en el

denominador son lineales no repetidos,

se plantea un fracción por cada factor

con un numerador constante en cada

una

∑1

𝑛(𝑛 + 2)

∞

𝑛=1

1

𝑛(𝑛 + 2)=

𝐴

𝑛+

𝐵

𝑛 + 2

7 Se procede a encontrar los valores de

las constantes

Primero se multiplica ambos lados de la

igualdad por el denominador común

Se dan valores convenientes a la

variable 𝑛 de tal forma que se anule

alguna constante y se pueda despejar la

otra facilmente

(1

𝑛(𝑛 + 2)=

𝐴

𝑛+

𝐵

𝑛 + 2) ∗ 𝑛(𝑛 + 2)

1 = 𝐴(𝑛 + 2) + 𝐵𝑛

𝑆𝑖 𝑛 = 0

1 = 𝐴(0 + 2)

𝐴 =1

2

𝑆𝑖 𝑛 = −2

1 = 𝐴(0) − 2𝐵

𝐵 = −1

2

1

𝑛(𝑛 + 2)=

1/2

𝑛 −

1/2

𝑛 + 2

8 Para determinar la convergencia de la

serie telescópica se desarrollan algunas

sumas parciales y se analiza el patrón

que se produce

∑1

𝑛(𝑛 + 2)

∞

𝑛=1

= ∑1/2

𝑛 −

1/2

𝑛 + 2

∞

𝑛=1




Se observa en las sumas parciales que

los términos se van eliminando uno a

uno, a medida que se desarrollan mas y

mas términos, los únicos términos que

no se eliminan son, ½, ¼ y tambien se

observa que al final el ultimo termino

que quedaría si se desarrolla la suma

infinita sería −1/2

𝑛+2

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1, 2, 3, 4, 5 …

(1

2−

1

6 ) + (

1

4−

1

8 ) + (

1

6−

1

10 ) + (

1

8−

1

12 )

+ (1

10−

1

14 ) + ⋯ + (

1/2

𝑛−

1/2

𝑛 + 2 )

9 Al observar el comportamiento de las

sumas parciales, se podrá concluir que

la serie es convergente si el limite en el

infinito de enésima suma parcial,

después de que se anulan los

elementos, existe,

Se evalua el limite y se concluye que la

serie converge

𝑆 = lim𝑛→∞

( 1

2+

1

4−

1/2

𝑛 + 2)

lim𝑛→∞

(−1/2

𝑛 + 2) = 0

𝑆 =3

4


TEMA 6: (14 PUNTOS)

Determine si las series dadas convergen. ( 7 puntos c/u)

A) Use la prueba de las proporciones (cociente)

∑𝑛!

𝑒𝑛2

∞

𝑛=1

B) La prueba de la serie alternante.

∑(−1)𝑛+1𝑛

1 + 𝑛2

∞

𝑛=1


1

Para determinar la convergencia de la

serie se utilizara el criterio de la razón o

del cociente.

lim𝑛→∞

|𝑎𝑛+1

𝑎𝑛| < 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑠𝑒𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

𝐶𝑜𝑛 𝑎𝑛 = 𝑛!

𝑒𝑛2

𝑦 𝑐𝑜𝑛 𝑎𝑛+1 = (𝑛 + 1)!

𝑒(𝑛+1)2 =(𝑛 + 1)!

𝑒𝑛2+2𝑛+1

2 Se evalúa el valor absoluto de la razón

entre las dos sucesiones

|𝑎𝑛+1

𝑎𝑛

| = |𝑎𝑛+1 ∗1

𝑎𝑛| = |

(𝑛 + 1)!

𝑒𝑛2+2𝑛+1∗

𝑒𝑛2

𝑛! |




Se simplifica la expresión

|𝑎𝑛+1

𝑎𝑛| = |

(𝑛 + 1)!

𝑒𝑛2∗ 𝑒2𝑛 ∗ 𝑒

∗𝑒𝑛2

𝑛!| = |

(𝑛 + 1)!

𝑒2𝑛 ∗ 𝑒 ∗ 𝑛!|

3 Se utiliza una de las propiedades de los

factoriales para simplificar la expresión

(𝑛 + 1)! = (𝑛 + 1)𝑛!

|𝑎𝑛+1

𝑎𝑛

| = |(𝑛 + 1)𝑛!

𝑒2𝑛 ∗ 𝑒 ∗ 𝑛!|

|𝑎𝑛+1

𝑎𝑛

| = |(𝑛 + 1)

𝑒2𝑛 ∗ 𝑒| =

1

𝑒 |

(𝑛 + 1)

𝑒2𝑛|

4 El factor (𝑛 + 1) del numerador y el

denominador nunca serán negativos

porque el índice de la sumatoria inicia en

uno y se evalúa hasta el infinito positivo.

Debido a que el factor (𝑛 + 1) 𝑦 𝑒2𝑛

nunca serán negativos es posible

evaluarlo fuera del valor absoluto

∑𝑛!

𝑒𝑛2

∞

𝑛=1

|𝑎𝑛+1

𝑎𝑛

| =1

𝑒∗

(𝑛 + 1)

𝑒2𝑛

5 Se evalúa el límite al, evaluar de forma

directa se observa que se obtiene una

forma indeterminada.

Por lo tanto se puede utilizar la regla de

L’Hopital

*IMPORTANTE: La regla de L’Hopital

solo se puede aplicar a FUNCIONES

continuas y derivables, una sucesión

NO es una función continua y derivable

lim𝑛→∞

|𝑎𝑛+1

𝑎𝑛| = lim

𝑛→∞

1

𝑒∗

(𝑛 + 1)

𝑒2𝑛=

∞

∞

6 Para poder aplicar la regla de L’Hopital

se debe asociar una función a la

sucesión a evaluar, como se muestra

Luego de asociar la función a la

sucesión ya se puede aplicar la regla de

L’Hopital a la función, y el valor del este

límite será el mismo que el de a

sucesión

𝐴𝐶𝐿𝐴𝑅𝐴𝑁𝐷𝑂:

𝐷𝑎𝑑𝑎 𝑓(𝑥) =1

𝑒∗

(𝑥 + 1)

𝑒2𝑥

𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛 =1

𝑒∗

(𝑛 + 1)

𝑒2𝑛

𝑆𝑖 lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = 𝐿

𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:

lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = 𝐿




7 Ahora se evalúa el limite sobre la

función asociada a la sucesión

lim𝑥→∞

1

𝑒∗

(𝑥 + 1)

𝑒2𝑥=

∞

∞

𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝐿′𝐻𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙

lim𝑥→∞

1

𝑒∗

(𝑥 + 1)

𝑒2𝑥= lim

𝑥→∞

1

𝑒∗

𝑑𝑑𝑥

(𝑥 + 1)

𝑑𝑑𝑥

𝑒2𝑥

lim𝑥→∞

1

𝑒∗

1

2 𝑒2𝑥= 0

8 Dado que el limite de la función

asociada existe y es cero, entonces el

limite de la sucesión tambien es cero

Dado que cero es menor que uno, la

serie converge por el criterio del

cociente o de la razón

lim𝑛→∞

1

𝑒∗

(𝑛 + 1)

𝑒2𝑛= 0

lim𝑛→∞

|𝑎𝑛+1

𝑎𝑛| = 0 < 1


9 Dada la siguiente serie, se aplica el

criterio de la serie alternante, la cual

debe cumplir 2 requisitos para concluir

que la serie es convergente

∑(−1)𝑛+1𝑛

1 + 𝑛2

∞

𝑛=1

𝐶𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒

∑(−1)𝑛 𝑏𝑛

∞

𝑛=1

𝐿𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖:

𝑏𝑛 > 0 𝑦 𝑏𝑛+1 < 𝑏𝑛

𝑦 𝑎𝑑𝑒𝑚𝑎𝑠

lim𝑛→ ∞

𝑏𝑛 = 0

10 Primero se identifica el termino 𝑏𝑛, el

cual es el temino NO alternante de la

sucesión dentro de la sumatoria

∑(−1)𝑛+1𝑛

1 + 𝑛2

∞

𝑛=1

𝑏𝑛 =𝑛

1 + 𝑛2

11 El primer requisito del criterio de la serie

alterante se refiera a que la sucesión 𝑏𝑛

siempre debe ser poistiva y decreciente

Se analiza que en la sucesión que se

tiene que los únicos valores de 𝑛 que

provocarión valore negativos o cero son

𝑆𝑖 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒:

𝑏𝑛+1 < 𝑏𝑛 𝑛 + 1

1 + (𝑛 + 1)2<

𝑛

1 + 𝑛2




valores negativos o el valor 𝑛 = 0,

puesto que la serie inicia en 𝑛 = 1, la

sucesión 𝑏𝑛 nunca será cero o negativa

Para determinar si la sucesión es

decreciente se plantea la desigualdad y

se simplifica hasta obtener una

expresión que siempre sea cierta

𝑛 + 1

𝑛2 + 2𝑛 + 2<

𝑛

1 + 𝑛2

(1 + 𝑛2)(𝑛 + 1) < 𝑛(𝑛2 + 2𝑛 + 2)

𝑛3 + 𝑛2 + 𝑛 + 1 < 𝑛3 + 2𝑛2 + 2𝑛

1 < 𝑛2 + 𝑛, 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑛 > 0

𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

12 Ahora se analiza el limite de la sucesión

en el infinito

Se multiplica y se divide la sucesión por

la potencia más grande de 𝑛, y se usa

la definición de un límite en el infinito

Dado que el limite es igual a cero y

además la sucesión decreciente se

concluye que la serie es convergente

lim𝑛→∞

𝑛

1 + 𝑛2

lim𝑛→∞

𝑛

1 + 𝑛2 ∗

1

𝑛2

1

𝑛2

= lim𝑛→∞

1

𝑛1

𝑛2 + 1

𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 ∶ lim𝑛→∞

𝑘

𝑛𝑎= 0

𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 𝑦 𝑎 > 0 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

lim𝑛→∞

1

𝑛1

𝑛2 + 1 =

0

0 + 1= 0

∑(−1)𝑛+1𝑛

1 + 𝑛2 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

∞

𝑛=1

TEMA 7: (10 PUNTOS)

Determine si la serie dada converge o diverge, usando la prueba de la integral y calcule 𝑆3:

∑2


∞

𝑛=1


1 Para usar la prueba de la integral

primero se asocia una función

continua a la sucesión de la serie,

luego se plantea la integral

∑2


∞

𝑛=1

𝑎𝑛 =2


𝑆𝑖 𝑓(𝑥) =2

𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 𝐲 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛




𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∑2


∞

𝑛=1

𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑠𝑖 ∫2

𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥

∞

1

𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

2 Dado que uno de los limites de la

integral es el infinito se plantea la

integral como un integral impropia

∫2


∞

1

𝑑𝑥 = lim𝑏→∞

∫2


𝑏

1

𝑑𝑥

3 Se obtiene la integral indefinida

para luego evaluarla como el limite

de la integral impropia

Se manipula algebraicamente el

integrando para obtener un función

mas fácil de analizar

∫2

𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 𝑑𝑥

2

𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥=

2

𝑒𝑥 +1

𝑒𝑥

=2

𝑒2𝑥 + 1𝑒𝑥

=2𝑒𝑥

𝑒2𝑥 + 1

4 Se hace una sustitución y se utiliza

la definición de la derivada y

antiderivada de tangente inversa

𝑢 = 𝑒𝑥

𝑑𝑢 = 𝑒𝑥𝑑𝑥

∫2𝑒𝑥

𝑒2𝑥 + 1𝑑𝑥 = ∫

2

𝑢2 + 1𝑑𝑢

𝑈𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜: ∫𝑑𝑎

𝑏2 + 𝑎2=

1

𝑏𝑡𝑎𝑛−1 (

𝑎

𝑏)

∫2

𝑢2 + 1𝑑𝑢 = 2 𝑡𝑎𝑛−1(𝑢)

∫2𝑒𝑥

𝑒2𝑥 + 1𝑑𝑥 = 2 𝑡𝑎𝑛−1(𝑒𝑥) + 𝐶

5 Ahora se evalua el limite para

determinar si la integral impropia

converge o diverge

lim𝑏→∞

∫2


𝑏

1

𝑑𝑥 = lim𝑏→∞

( 2 𝑡𝑎𝑛−1(𝑒𝑥)|1

𝑏

)

= lim𝑏→∞

2 𝑡𝑎𝑛−1(𝑒𝑏) − 2 𝑡𝑎𝑛−1(𝑒1)


lim𝑏→∞

𝑒𝑏 = ∞

lim𝑏→∞

𝑡𝑎𝑛−1 (𝑏) =𝜋

2

lim𝑏→∞

2 𝑡𝑎𝑛−1(𝑒𝑏) − 2 𝑡𝑎𝑛−1(𝑒1) = 𝜋 − 2 𝑡𝑎𝑛−1(𝑒)

𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

6 Dado que la integral impropia

converge entonces la serie también

converge

∑2


∞

𝑛=1

𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

Dudas u observaciones al correo: [email protected]

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Universidad de San Carlos de Guatemala …mate.ingenieria.usac.edu.gt/archivos/CLAVE-107-2-M-1-00...ESCUELA DE CIENCIAS SEGUNDO EXAMEN PARCIAL TEMA 2: (14 PUNTOS) La ventana de un