Universidad del valle de México

Trabajo

Tema:Serie de potenciasIntegrantes: Garduño Ayala Yohnni Jiménez Caballero Marel No. de cuenta: 08143398 08103392Participación: 50% 50%Materia: Ecuaciones diferenciales

•Determinar una definición de serie en general antes de entrar de lleno a serie de potencias, para poder comprender mejor este tema.•También conocer ¿Cuál como se resuelven las series de potencias y en que se pueden aplicar? Con este trabajo esperamos dar un conocimiento perfecto de serie de potencias.•Identificar que temas pueden relacionarse con este tema y como ayudan a resolver la serie de potencias, con los ejemplos mostrados en este trabajo, no esperamos que alguien comprenda al 100 % como se resuelven sino como que empiecen a tener una noción de la resolución del tema.

OBJETIVO:

En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como:

donde N es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir,

.

Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si

no existe o si tiende a infinito; converge si para algún

.INTRODUCCION:

Una serie suyos términos son monomios de potencias enteras, positivas y ascendentes de una variable, digamos x, de la forma

SERIE DE POTENCIASa + a x + a x + a x + ....,

10

2

2 3

3

en donde los coeficientes a , a , a , ...., 10 2

serie de potencia en x. Tales series son de la mayor importancia en el Análisis matemático.

Una serie de potencias de x puede converger para todos los valores de x, o para ningún valor con excepción de x = 0, o puede converger para algunos valores de x distintos de cero y ser divergente para otros valores.

Vamos a examinar la serie (1) sólo para el caso de ser los coeficientes tales que

son independientes de x, se llama una

limn→ ∞

a + 1 0

an

= L,

siendo L un número determinado. Para ver el motivo de esto, apliquemos el criterio de D’Alembert a la serie (1), omitiendo el primer término. Entonces tenemos

U + 1 n

Un

=

a + 1x0

n+1

xa x

n

n

a + 1 n

an

=

Tenemos dos casos:•Si L = 0, la serie (1) será convergente para todos los valores de x, puesto que ą = 0.•Si L no es cero, la serie será convergente cuando XL (= ą) es numéricamente menor que 1, es decir, para valores de x en el intervalo 1

|L|< x <

1

|L|-

que se llama intervalo de convergencia o campo de convergencia, y será divergente para valores de x fuera de este intervalo.

Los extremos del intervalo deben formarse la razón de D’Alembert y determinarse el intervalo de convergencia aplicando el criterio de D’Alembert.

A una serie que contenga potencias enteras no negativas de una variable x se le llama SERIE DE POTENCIAS en x.

DESARROLLO SERIE DE POTENCIAS

    

  

+ x + + + . . .

Ejemplo:

Puntos ordinarios y singulares

Se dice que un punto x0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial

si P(x) y Q(x) en la forma estándar son

analíticas en x0.Un punto que no es un punto ordinario es un punto singular de la ecuación.

0012 yxayxayxa )(´)(´´)(

0 yxQyxPy )(´)(´´

Soluciones respecto a puntos ordinarios

Si x=x0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial , siempre es posible hallar dos soluciones linealmente independientes en la forma de una serie de potencias centrada en x0, es decir . Una solución en serie converge por lo menos en un intervalo definido por |x-x0|<R, donde R es la distancia desde x0 al punto singular más próximo.

0 yxQyxPy )(´)(´´

0

0n

nn xxCy )(

Soluciones respecto a puntos singulares

Un punto singular x0 de una ecuación diferencial linealse clasifica como regular o irregular. La clasificación depende de las funciones P(x) y Q(x) en la forma estándar

Se dice que un punto singular x0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial si ambas funciones: p(x)=(x-x0)P(x) y q(x)=(x-x0)Q(x) son analíticas en x0. Un punto que no es regular es un punto singular irregular de la ecuación.

0012 yxayxayxa )(´)(´´)(

.)(´)(´´ 0 yxQyxPy

Soluciones respecto a puntos singulares…

Teorema de Frobenius:Si x=x0 es un punto singular de la ecuación diferencial, entonces por lo menos existe una solución de la forma:

donde el número r es una constante por determinar. La serie converge por lo menos en algún intervalo 0<x-x0<R.

0012 yxayxayxa )(´)(´´)(

00

0n

rnon

n

non

r xxCxxCxxy )()()(

Ejemplo 1...

...

y

:que significa que lo

,, , , kCCrkrk

Crr

xCCrkrkxCrrx

xCxCrkrkxCrrx

xCxCrnrnxCrrx

xCxCrnrn

xCxCrnxCrnrn

xCxCrnxCrnrn

xCxCrnxCrnrnxyyxy

kk

k

nkk

r

k

kk

k

kk

r

n

nn

n

nn

r

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

321001331

023

0133123

133123

23323

233

333

13

133

1

0

0

11

10

001

10

01

110

00

1

00

1

0

1

00

1

0

1

00

1

0

2

))((

)(

]]))([()([

]))(()([

]))(()([

))((

)())((

)())((

)())((´´´

Ejemplo 1…

Aquí se encuentra algo que no sucedió cuando se obtuvieron soluciones respecto a un punto ordinario; se tiene lo que parecen ser dos conjuntos de coeficientes diferentes, pero cada conjunto contiene al mismo múltiplo C0. Si se omite este término, las soluciones en serie son:

n

n

n

n

xnn

xxy

xnn

xxy

1

02

1

321

23741

11

231185

11

)(****)!*()(

)(****)!*()( /

Ejemplo 2

Encontrar la solución general de la ecuación: 2xy´´-y´+2y=0

Partiendo de la sustitución de

en la ecuación diferencial, tenemos:

0n

rnn xCy

0

2

0

1 1n

rnn

n

rnn xCrnrnyxCrny ))((´´)(´ y

Ejemplo 2…

02

3

0032

012

0212

0212

0212

21222

21

02

0

00

11

00

1

0

1

00

00

1

0

1

00

1

0

2

rrentonces

CComorrC

rCCrr

xCxCrkxCrkrk

xCxCrnxCrnrn

xCxCrnxCrnrn

xCxCrnxCrnrnxyyxy

indicialEcuación

k

rkk

rk

kk

rk

kk

nk

n

rnn

nk

n

rnn

nk

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

,:

)(

])([

)())((

)())((

)())((

)())((´´´

:índices los igualar para sumatorias primeras dos las de término un Tomando

:ecuación la de lados ambos x por ndoMultiplica

Ejemplo 2…

Como las raíces no difieren en un entero (Caso I) la soluciones deben ser de la forma:

La ecuación de recurrencia para k=1,2,3,… es:

0

0

00

2

00

1

2

1

bxbxy

cxcxy

rn

nn

rn

nn

)(

)(

))(( 322

2 1

rkrk

CC k

k

Ejemplo 2…

.

:,

indicadateinicialmenformalaaecorrespondque

xxxxbxxxxCy

yyy

esldiferenciaecuaciónladesoluciónlaelloCon

4320

4320

21

45

2

9

4221

10395

2

945

2

35

2

5

21

La fórmula o relación de Euler, atribuida a Leonhard Euler, establece que:

para todo número real x. Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria y senx y cosx son funciones trigonométricas.

Esta función tiene, tanto simetría par como impar sabido que este tipo de simetrías desempeñan un papel muy importante en la física moderna, razón por la cual en la mecánica cuántica los números complejos son esenciales.

Fórmula de Euler

La fórmula puede interpretarse geométricamente como una circunferencia de radio unidad en el plano complejo, dibujada por la función eix al variar x sobre los números reales. Así, x es el ángulo de una recta que conecta el origen del plano y un punto sobre la circunferencia unidad, con el eje positivo real, medido en sentido contrario a las agujas del reloj y en radianes. La fórmula sólo es válida si también el seno y el coseno tienen sus argumentos en radianes.La fórmula de Euler fue demostrada por primera vez por Roger Cotes en 1714, y luego redescubierta y popularizada por Euler en 1748. Es interesante notar que ninguno de los descubridores vio la interpretación geométrica señalada anteriormente: la visión de los números complejos como puntos en el plano surgió unos 50 años más tarde (ver Caspar Wessel).

Demostración

Demostración de las Series de Taylor

La fórmula de Euler ilustrada en el plano complejo

Sabiendo que:

y así sucesivamente. Además de esto, las funciones ex, cos(x) y sin(x) (asumiendo que x sea un número real) pueden ser expresadas utilizando sus series de Taylor alrededor de cero.

Para una z compleja definimos cada una de estas funciones por las series anteriores, remplazando x por i·z. Esto es posible porque el radio de convergencia es infinito en cada serie. Entonces encontramos que:

El reordenamiento es posible debido a que cada serie es absolutamente convergente. Remplazando z = x como un número real resulta en la identidad original tal como la descubrió Euler.

(En la serie geométrica infinita) a + ar + ar + ... ar + ar +...n+12 n

Criterio de D’Alembert

Teorema. Seau + u + u + ... + u + ...

21 3 n+1

Razón de D’Alembert = UUn

n + 1

U n + 1Un

una serie infinita de términos positivos. Consideremos dos términos generales consecutivos y , y formaremos la razón de un término cualquiera al anterior, o razón de D’Alembert:

Hallemos ahora el límite de esta razón de D’Alembert cuando n tiende a infinito. Sea este límite

limn → 唴

_

U + 1

n

Un

ą =

Entonces:•Cuando ą < 1, la serie es convergente.•Cuando ą >, 1, la serie es divergente.•Cuando ą = 1, el circuito falla.

U + 1

n

Un

Demostración. I.- Cuando ą <. Según la definición de límite podemos elegir n tan grande digamos n = m, que cuando n >= m la razón diferirá, diferirá tan poco de ą como queramos, y, en consecuencia, será menor que una fracción propia r. LuegoU < U r; U < U r < U r ; U < U r ;m + 1 m

2

m

3

m + 3m + 1 m m + 2

y así sucesivamente.

CONCLUSIONLa aportación fundamental de este trabajo fue poner de manifiesto la serie de potencias que son un tema complejo, pero esto no amerita que sea difícil y/o imposible de entender, por lo que creemos que los ejemplos que compartimos con ustedes al final son fáciles de entender ya que al final de cuentas lo importante es poder resolverlos.•Por tanto, esperamos que la investigación ayude a los demás como nos ayudo a ver como un ese tipo de series pueden aplicarse de verdad y que no se necesita ser un mega dotado para que podamos hacerlo, es cierto que si ahora mismo no pusieran hacer un ejercicio de este tipo a la mejor no podríamos pero creo que por lo menos lo empezaríamos.• Aun que para complementar este trabajo que la verdad es medio difícil de localizar en la Web y en algunos libros pues esta medio confuso y para nosotros fue toda osadía para complementar el trabajo.