UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ÁNDRES

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ÁNDRES FACULTAD DE TECNOLOGÍA

DEPARTAMENTO DE MATERIAS BÁSICAS

CARRERAS DE LA

FACULTAD DE TECNOLOGÍA Electromecánica

Electrónica y Telecomunicaciones

Electricidad Industrial

Aeronáutica

Química industrial

Mecánica Industrial

Mecánica Automotriz

Geodesia Topografía y Geomática

Construcciones Civiles

DOCENTES DEL LABORATORIO

DE FÍSICA BÁSICA I Samuel Pujro Vito

Eduardo Huayta C.

Diego Mariaca C.

Marcos Helguero A.

Mirtha Ramírez A.

Rolando Salinas

René Conde G.

Javier Calderón G.

La Paz – Bolivia 2021

PRESENTACIÓN

La Universidad Mayor de San Andrés, Facultad de Tecnología “Departamento de Materias

Básicas”, apunta a la calidad académica en ciencias básicas, implica complementar la teoría con

la práctica. Especialmente en la enseñanza de la Física Mecánica es importante la observación, la

experimentación y el manejo de habilidades motoras como apoyo para la compresión de sus

conceptos y leyes. En concordancia se ha elaborado esta guía de laboratorio de Física Básica I,

tomando en cuenta el currículo de las nueve Carreras. El departamento implementa el modelo

pedagógico en competencias, planteado y aprobado en el Segundo Congreso Interno de la

Facultad.

En esta guía se encuentran los experimentos más actualizados, con las nuevas tecnologías, para

experimentar todo lo avanzado en la teoría y cumplir con las competencias propuestos en cada

una de las prácticas de laboratorio. Es así que el Estudiante, a través de su adecuado seguimiento

debe asegurar la adquisición de las competencias correspondientes; y el Docentes podrá

organizar, supervisar y evaluar sin mayores inconvenientes todos los procesos a desarrollar.

Además, en este guía contiene fundamentos teóricos de cada experimento que explica paso a

paso el procedimiento a realizar y las tablas de toma de datos.

También, al final de este guía se encuentran anexos.

Por lo anterior se espera que este guía sea de gran ayuda, al crecimiento y formación de los

estudiantes en la Facultad de Tecnología.

Palabras claves: Laboratorio de Física Básica I, prototipos experimentales, observación y

competencias.

“Persistencia, paciencia y perseverancia”

Samuel PUJRO VITO

JEFE DEL DEPARTAMENTO DE MATERIAS BÁSICAS

UMSA – FACULTAD DE TECNOLOGÍA

PROPIEDAD :Departamento de Materias Básicas

PRIMERA EDICIÓN :febrero de 2021

DEPOSITO LEGAL :X – X – XXX – 21

REGISTRO ISBN

DISEÑO DE LA TAPA :Samuel Pujro Vito

IMPRESO EN :La Paz - Bolivia

ADVERTENCIA Prohibida la reproducción total de esta Guía de Laboratorio de Física Básica I por

cualquier método de publicación y/o copia de la información, como de logotipos

y/o ilustraciones sin autorización escrita de los Autores Docentes del

Departamento de Materias Básicas. Caso omiso se procederá a denunciar al

infractor a SENAPI Y DERECHOS DEL AUTOR, ESTADO

PLURINACIONAL DE BOLIVIA MINISTERIO DE CULTURAS

REPOSITORIO NACIONAL y serán sancionados de acuerdo a la ley del

Código Penal vigente en la Constitución Plurinacional de Bolivia.

SUGERENCIA Y COMENTARIOS A:

MECÁNICA DE LA PARTÍCULA

LABORATORIO No 1 Metrología “longitud, volumen y densidad” 1

LABORATORIO No 2 Cinemática de la partícula “movimiento en una dimensión” 9

LABORATORIO No 3 Cinemática de la partícula “caída libre” 14

LABORATORIO No 4 Cinemática de la partícula “movimiento en el plano” 19

LABORATORIO No 5 Cinemática de la partícula “movimiento de proyectiles” 23

LABORATORIO No 6 Dinámica de la partícula “segunda ley de Newton” 28

LABORATORIO No 7 Dinámica de la partícula “máquina de Atwood” 32

LABORATORIO No 8 Dinámica de la partícula “rozamiento” 39

LEYES DE LA CONSERVACIÓN

LABORATORIO No 9 Trabajo energía y potencia “Conservación de la energía mecánica” 45

LABORATORIO No 10 Cantidad de Movimiento “Colisión en una dimensión” 50

LABORATORIO No 11 Cantidad de Movimiento “Péndulo balístico” 55

LABORATORIO No 12 Cantidad de Movimiento “Colisiones en dos dimensiones” 60

DINÁMICA DE CUERPO RÍGIDO

LABORATORIO No 13 Dinámica de cuerpo rígido “movimiento de rotación” 65

LABORATORIO No 14 Dinámica de cuerpo rígido “movimiento de rodadura” 73

LABORATORIO No 15 Equilibrio estático “Teorema de Varignon” 78

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

LABORATORIO No 16 Movimiento armónico simple “Resorte mecánico” 81

LABORATORIO No 17 Movimiento armónico simple “péndulos simple” 87

LABORATORIO No 18 Movimiento armónico simple “péndulos físico” 92

1

COMPETENCIAS En el presente experimento de medición de longitud, masa, volumen y densidad, el estudiante:

Reconoce los instrumentos de medida y sus partes para la medición directa.

Calibra los instrumentos de medición como ser: regla. vernier, micrómetro, balanza y otros.

Desarrolla destreza manual en la medición de los cuerpos geométricos (largo, diámetro, ancho y altura)

Calcula el valor promedio, su error en las mediciones directas e indirectas.

Realiza habilidad cognitiva en la propagación de errores.

Utiliza cifras significativas y notación científica para simplificar cálculos matemáticos.

FUNDAMENTO TEÓRICO. La importancia de las mediciones crece permanentemente en todos los campos de la ciencia y la técnica. ¿Qué es Medir? Medir es comparar dos cantidades de la misma magnitud o comparar con un patrón de medida. La medición es directa e indirecta.

EXPRESIONES DE LA MEDICIÓN INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN 1. Regla. Instrumento para medir y trazar líneas rectas que consiste en una barra rectangular y plana graduada

en centímetros y milímetros. Las reglas en la mayoría de los casos, permiten apreciar hasta milímetros, existiendo sin embargo, reglas cuyas precisiones alcanzan a 0,5mm.

2. Calibrador. El vernier consiste en una regla principal sobre la que se desliza una regla secundaria o nonio.

La apreciación del vernier varía según el tipo de vernier.

Medición

Medición directa El valor de la magnitud a medir se obtiene por comparación con un patrón de medida.

Medición indirecta El valor se obtiene calculando a partir de las fórmulas matemáticas, vinculando con las medidas directas

22

D

( D)D

n

n 1

/2

DD tn

n 1

. .1

100

2 2

N C

DD

n

x x x

D D D

Error o incertidumbre

Medida experimental

Valor medio o valor probable

2

a) Vernier con apreciación 0,02mm

En la figura mostrada la apreciación de la escala principal inferior, Ap es 1mm y como la escala correspondiente

del nonio tiene N = 50 divisiones, la apreciación del vernier es.

1 0,02

50

p

v p v

ANA A A mm

N

Dónde: AP: Apreciación en la escala de la regla principal

N: Número de divisiones en el nonio

AV: Apreciación del vernier

Ejemplo. Lea correctamente la medida mostrada en el vernier con una aproximación de 0,02mm

21,00

0,70

0,08

21,78mm

a) Vernier con apreciación 0,05mm

El vernier de la figura, tiene dos escalas principales con sus correspondientes graduaciones en el nonio. La

apreciación de la escala principal inferior, Ap es 1mm y como la escala correspondiente del nonio tiene N = 20

divisiones, la apreciación del vernier es.

1 0,05

20

p

v p v

ANA A A mm

N

3

Ejemplo. Lea correctamente la medida mostrada en el vernier con una aproximación de 0,05mm

21,00

0,40

0,05

21,45mm

La marca cero del nonio coincide con la marca cero de la división de la regla cuando están cerradas las patillas.

c) Vernier de caratula. En la carátula, el puntero da media vuelta (180º) el avance es un milímetro, si da una vuelta completa (360º) el avance es 2mm y su caratula tiene cien divisiones.

El vernier de caratula en la figura, La apreciación de la escala principal, Ap es 1mm cuando barre 180º, como la

escala correspondiente a la media vuelta de la caratula tiene N = 50 divisiones, la apreciación del vernier es.

1 0,02

50

p

v p v

ANA A A mm

N

Ejemplo. Lea correctamente la medida mostrada en el vernier de caratula con una aproximación de 0,02mm

Ejemplo. Lea correctamente la medida mostrada en el vernier de caratula con una aproximación de 0,02mm

4

3. El tornillo micrométrico. Es un instrumento de medición de lectura directa, es decir, proporciona

directamente el valor de la longitud medida. Este instrumento permite realizar mediciones con una precisión

de 0.01 mm y en algunos modelos hasta con 0.001mm

El micrómetro, también consta de dos escalas una figa llamado escala principal que esta graduada en milímetro

(cada milímetro tiene dos divisiones, una hacia arriba 1mm y otro hacia abajo 0.5mm) y una móvil llamado

tambor. Cada rotación completa del tambor equivale a 0,5mm, estando divido el tambor en 50 divisiones

(centésimas de mm). La apreciación del micrómetro es:

0,5 0,01

50m m

P mmA A mm

N

Siendo: N; Número de divisiones del tambor.

P: Apreciación de la escala principal

Am: Apreciación del micrómetro

Ejemplo. Lea correctamente las medidas mostradas en los micrómetros, con una aproximación de 0,01mm

CASO 1. En la parte inferior de la ecala principal, aparece una linea de apreciación.

20,00

0,50

0,03

20,53mm

CASO 2. En la parte inferior de la ecala principal, no aparece la linea

de apreciación.

5

9,00

0,00

0,32

9,32mm

4. La balanza. La balanza es un instrumento cuya función principal es la de medir la masa de un cuerpo. Por

masa entendemos la medida de un cuerpo en relación con la inercia, es decir, con la resistencia que pone un sistema físico a cualquier cambio o modificación.

EQUIPOS Y MATERIALES

Cuerpos geométricos de acero, aluminio, cobre, madera y material PLA.

Micrómetro, Vernier y regla

Balanza analógica o digital

PROCEDIMIENTO. 1. Verifica si los instrumentos de medida (regla, vernier, micrómetro y balanza) que estén bien calibrados.

2. Observa las magnitudes a medir de los cuerpos geométricos, con diferentes instrumentos de medición

tales como la altura, el diámetro, ancho, etc...

3. Mide las magnitudes de los cuerpos geométricos (cilindro, cono, cono truncado, paralelepípedo, esfera,

etc..), obteniendo una muestra de 5 a 6 veces con un instrumento de medición y anota las medidas en las tablas.

4. Mide la masa de cada uno de los cuerpos geométricos con balanzas analógica y digital.

CALCULOS Y RESULTADOS. 1. Para cada cuerpo geométrico y de cada instrumento de medida empleado en las tablas, calcula el valor

medio o probable, la desviación estándar, el error de las medidas por la distribución de t de student y

expresándolos en la forma: x x x con un nivel de confianza de 95%. Analiza la precisión de los

instrumentos

2. Con las medidas obtenidas en 1. Calcula los volúmenes promedio y sus errores por propagación de

errores de cada uno de los cuerpos geométrico expresándolos en la forma: V V V y calcule el error

relativo porcentual.

3. Mide la masa de cada cuerpo geométrico, y determina el error por la apreciación de la balanza (precisión

o resolución) y expresa en la forma: m m m

4. Calcula la densidad y su error para cada uno de los cuerpos y expréselo en la forma: y

calcula el error relativo porcentual.

5. La densidad obtenida de los cuerpos geométricos (acero, cobre, madera, etc..) de manera experimental

debe comparar con el valor teórico obtenido de las tablas, debiendo encontrarse en el intervalo de competencia, solo así se certifica las habilidades y destreza desarrollada en el experimento.

6. Si la densidad experimental no se encuentra en el intervalo de referencia, repita el proceso de medición

corrigiendo posibles errores sistemáticos.

7. Siga los mismos pasos 1, 2, 3, 4 y 5 para otros cuerpos geométricos

CUESTIONARIO. 1. ¿Un conjunto de medidas precisas, indica necesariamente que éstas sean exactas?, ¿por qué?

2. ¿Un conjunto de medidas exactas, indica necesariamente que éstas sean precisas?, ¿por qué?

6

3. ¿Luego de haber realizado la práctica, cómo se califica Ud.? Un experimentador exacto?, preciso?, por

qué? 4. Si en la práctica experimental se realizan 20 medidas, ¿qué consideraciones deben tomar en cuenta en el

procesamiento de datos? Explique.

5. Indique ¿cómo se corrige el error sistemático? Y ¿cómo se podía minimiza el error fortuito? Mencione un

ejemplo para cada caso.

6. A parte de las medidas directas e indirectas que ha realizado en esta práctica, mencione por lo menos

cinco medidas directas e indirectas; para las medidas directas, mencione el correspondiente instrumento de medida, para las medidas indirectas anote sus ecuaciones.

7. Lea correctamente las medidas mostrada en los micrómetros, con una apreciación de 0,01mm.

La medida = ……………..mm




8. Lea correctamente las medidas mostrada en el vernier, con una apreciación de 0,02mm.

La medida = …………………mm


7



9. Lea correctamente las medidas mostrada en los vernieres, con una apreciación 0,05mm.





10. Lea correctamente las medidas mostrada en las reglas, con una apreciación 0,5mm.

8

METROLOGIA LONGITUD, VOLUMEN Y DENSIDAD

ESTUDIANTE. …………………………………………..……………CARRERA. …………………………………..

FECHA …………………………………………………………. VºBº Docente ……………………………….

TABLAS DE DATOS.

1. Un cuerpo geométrico, se debe medir con dos instrumentos para determinar la precisión.

INSTRUMENTO: ………………………… INSTRUMENTO: ………………………… Masa

n D (mm) H (mm) d (mm) n D (mm) H (mm) d (mm) m (g)

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5


INSTRUMENTO: ………………………… INSTRUMENTO: ………………………… Masa

n D (mm) H (mm) d (mm) n D (mm) H (mm) d (mm) m (g)

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5


INSTRUMENTO: ………………………………. INSTRUMENTO: ………………………………….

n .. (mm) .. (mm) .. (mm) .. (mm) n .. (mm) .. (mm) .. (mm) .. (mm)

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

Masa: ………………………… Masa: …………………………

4. Si tienes otros cuerpos geométricos con más magnitudes a medir, agregue otra tabla igual que las anteriores

RESULTADOS Y CALCULOS

9

COMPETENCIAS. En el presente experimento de movimiento en una dimensión, el estudiante:

Reconoce los equipos y las partes a ser utilizados en el movimiento en una dimensión “eje x”.

Desarrolla destreza manual en el armado y la nivelación del equipo.

Conecta todos los sensores de movimiento a la computadora.

Determina la relación entre la posición y el tiempo en un movimiento uniforme.

Analiza las relaciones posición vs tiempo, velocidad vs tiempo en un movimiento acelerado.

Realiza el ajuste de curvas por el método de mínimos cuadrados.

Verifica las leyes del movimiento uniforme y uniformemente acelerado en una dimensión.

Realiza las gráficas de x vs t, v vs t en Microsoft Excel

FUNDAMENTO TEORICO. La cinemática es el estudio del movimiento relativo de una partícula independiente de las causas que la

originan. El desplazamiento de una partícula es el cambio de posición, a medida que pasa el tiempo, con

respecto a otro punto de referencia.

a) Movimiento uniforme.

Si una partícula se desplaza a lo larga del eje x con una velocidad constante, “v” partiendo de una posición

tomando como cero, su posición en función del tiempo “t” está dada por.

x vt Δ

Δ

xtag v

t (1)

b) Movimiento acelerado

Se caracteriza por que su trayectoria es una recta, la velocidad es variable y la aceleración permanece

constante, es decir una variación uniforme de velocidad en el transcurso del tiempo. El movimiento

acelerado considerando xo =0 y to =0, queda definido por los gráficos y relaciones siguientes.

10

f ov v a t f ov v x a 2 2 2 ox v t a t 21

2 (2)

a) Relación: . x vs t

Analizando movimiento unidimensional horizontal: ox v t a t x a t 2 21 1

2 2 (3)

De la ecuación (3), tenemos la siguiente relación

x a t 21

2 Cambio de variable:

k a

n

1

2

2

(4)

La ecuación queda de la siguiente forma:

nx k t (5)

Por ajuste de curvas obtenemos la siguiente ecuación experimental:

exp

exp n

x k t (6)

Por regresión lineal por el método de mínimos cuadrados determinamos las constantes experimentales.

( )2 2

n xy x yB

n x x

y B xA

n

(7)

Teniendo las constantes experimentales, calculamos la aceleración constante.

k a a k 1

22

(8)

El coeficiente de correlación es un indicador de la calidad del ajuste y toma valores en la práctica, debido a

errores aleatorios se tiene: – 1 < r < 1.

( ) ( )

n xy x yr

n x x n y y

2 2 2 2

(9)

Las constantes experimentales, B es la pendiente de la recta y A la ordenada en el origen, siguiendo el

procedimiento que se detalla a continuación.

b) Relación: v . vs t

La partícula parte del reposo ( ov o ) y a medida que aumenta el tiempo de la partícula en dirección

horizontal, aumenta también su velocidad de acuerdo a la ecuación.

0

11

f o fv v a t v a t (10)

Esta ecuación es una recta cuya pendiente es la aceleración.


Detector de movimiento Go!Motio + varilla de aluminio con rosca + cable para el USB.

Carro deslizador + reflector

Un soporte universal + Una varilla de acero 50cm + Un nuez

Un carril de colchón de aire + compresora + nivel de líquido = (sistema de flotación lineal)

PROCEDIMIENTO.

Figura

1. Arma el equipo de la figura mostrada. Conecte el detector de movimiento GO!MOTION a una entrada

USB de la computadora. Al sistema de flotación lineal, nivele con sus tornillos de soporte hasta que la

burbuja del nivel quede en el centro; para verificar si el sistema esta horizontal, enciende la compresora y

el deslizador no debe moverse; en caso contrario, ajustar los tornillos de soporte del riel de aire de

manera que el deslizador no se mueva.

MOVIMIENTO UNIFORME.

2. Inicia el programa Logger Pro de la línea Vernier, siempre y cuando haya cumplido el punto 1.

3. Coloca el deslizador a aproximadamente 40cm del detector de movimiento GO!MOTION y ubicar la

posición cero en ese lugar activando el botón Cero en la barra de herramientas.

4. Coloca el deslizador a aproximadamente 25cm del detector de movimiento. Activar el botón Tomar Datos

de la barra de herramienta y, después de que este botón se convierta en el botón Detener, dar un

pequeño empujón hacia la derecha al deslizador. La toma de datos efectiva se iniciará automáticamente

cuando el deslizador pasa por la posición escogida como cero. En la pantalla de Logger Pro se llenará la

tabla t-x los puntos correspondientes se ubicarán en el gráfico adyacente. El empujón debe ser tal que en

10s el deslizador debe llegar aproximadamente a la posición 1m; de no ser así, repetir la toma de datos.

5. Llena la Tabla 1 de la hoja de datos con los datos correspondientes de la tabla de Logger Pro.

MOVIMIENTO ACELERADO.

6. Eleva con el tornillo 30,0 a 40mm verticalmente del extremo izquierdo del sistema de flotación lineal.

7. Inicia el programa Logger Pro de la línea Vernier y encienda el compresor. Sujeta el deslizador a

aproximadamente 25cm del detector de movimiento y ubicar la posición cero en ese lugar en la barra de

herramienta. Activar el botón Tomar Datos y, después de que aparezca un mensaje, simultáneamente

0

12

soltar el deslizador y acelera. Evitar que el deslizador choque con el extremo derecho del sistema. En la

pantalla de Logger Pro se llenará la tabla t-v-x y los puntos (t,v) y (t,x) se ubicarán en los gráficos

adyacentes.

8. Llena la tabla 2 y la tabla 3 de la hoya de datos con los datos correspondientes de la tabla de Logger Pro.

CALCULOS Y GRÁFICAS.


1. En base a la Tabla 1 construya la gráfica, desplazamientos iguales y tiempos también iguales x vs t

2. Mediante ajuste de curvas determina la ecuación experimental (grafica utilizando Microsoft Excel).

3. Determina la velocidad experimental de la gráfica y compara con la ecuación (1)

4. Mediante ajuste de curvas determina el coeficiente de correlación, ecuación (9).


a) Relación: . x vs t

5. En base a la tabla 2, construya la gráfica x = f(t). “utilizando Microsoft Excel”

6. Mediante ajuste de curva, determina la ecuación experimental x= f(t). Ecuación (6)

7. Determina la aceleración experimental mediante la ecuación (8)

8. Mediante ajuste de curvas determine el coeficiente de correlación (9).


9. En base a la tabla 3, construya la gráfica v = f(t).

10. Mediante ajuste de curvas, determina la ecuación experimental, ecuación (10)

CUESTIONARIO.

1. ¿Qué significa ajuste de curvas en un experimento de movimiento acelerado? Explicar.

2. ¿Qué nos indica el coeficiente de correlación? Explicar

3. ¿Cómo serán las gráficas x vs t; v vs t; a vs t en el movimiento variado? Explicar

4. ¿Se verificó que el movimiento estudiado en el experimento es uniformemente acelerado? Explicar

5. Dos puntos PQ miden 15m. La partícula A parte del reposo del punto P con una aceleración constante

2,6m/s2, en ese instante otra partícula B también parte del reposo del punto Q con una aceleración

constante de 1,8m/s2. ¿En qué momento alcanza la partícula A a la partícula B?

6. Describir el movimiento de un cuerpo cuya posición varia en el tiempo como muestra la figura.

7. El movimiento de una partícula se describe mediante su gráfica x vs t a partir de ello, bosqueje las

relaciones “v vs t” y “a vs t”

13

CINEMÁTIC A DE LA PARTÍCULA

MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO

ESTUDIANTE. ………………………………………..……………………CARRERA. …………………………………..

FECHA …………………………………………. VºBº Docente. …………………………………………………………..


TABLA 1

n t (s) x (m)

1

2

3

4

5

6

7

8


TABLA 2 TABLA 3

n t (s) v (m/s) n t (s) x (m)

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

CALCULOS Y RESULTADOS

……………………………………………………………………………………………………………………………..

14

COMPETENCIA. En el presente experimento de caída libre, el estudiante:

Reconoce los equipos y las partes a ser utilizados en movimiento en una dimensión “eje y”.

Calibra los equipos y los patrones de medida para evitar los errores sistemáticos.

Desarrolla destreza manual en el armado y la nivelación vertical del equipo.

Comprende que todo movimiento vertical está en base a un sistema de referencias.

Verifica que la aceleración no depende de la masa de los cuerpos en caída libre.

Realiza ajuste de curvas por el método de mínimos cuadrados (habilidad cognitiva).

Efectúa medidas de la pendiente en una gráfica realizada en papel milimetrado.

Utiliza cifras significativas para simplificar cálculos matemáticos.

FUNDAMENTO TEÓRICO. La tierra atrae hacia su centro a los cuerpos que se encuentran en su entorno; este fenómeno se conoce como

gravedad (g = 977,5cm/s2). En este experimento la resistencia del aire se considera despreciable y además

todos los cuerpos caen con la misma aceleración en un mismo punto de la superficie terrestre aun cuando sean

muy diferentes en peso y tamaño.

a) Relación: y . vs t

La velocidad que adquiere un cuerpo en caída libre, en función del tiempo es:

f o f fv v gt v gt v gt (1)

El desplazamiento vertical es:

g g o oy v t a t y v t t y t 2 2 21 1 1

2 2 2 (2)


g y t 21

2 Cambio de variable:

k g

n

1

2

2

(3)


ny k t (4)


exp

exp n

y k t (5)

Teniendo las constantes experimentales, calculamos la gravedad.

g g1

22

k k (6)

El coeficiente de correlación es un indicador de la calidad del ajuste y toma valores en la práctica, debido a

errores aleatorios se tiene: – 1 < r < 1.

( ) ( )

n xy x yr

n x x n y y

2 2 2 2

(7)

0

0

15

Las constantes experimentales, B es la pendiente de la recta y A la ordenada en el origen, siguiendo el

procedimiento que se detalla a continuación.


La partícula parte del reposo ( ov o ) y a medida que aumenta el tiempo de la partícula en dirección vertical,

aumenta también su velocidad de acuerdo a la ecuación.

f o f o fv v g t v v g t v g t (8)

Esta ecuación es una recta cuya pendiente es la aceleración.


Un fotopuerta + varilla de aluminio con rosca + cable RJ45 para DIG 1.

Un Interfaz LABQUEST 2 + cargador de batería

Una prensa en U + Una varilla de acero 50cm + Un nuez

Una caja amortiguadora.

Una rejilla de Galileo G.

Una balanza digital o analógico

Disparador graduado 0 a 90º + una esfera metálica + cronómetro

PROCEDIMIENTO. Para el estudio experimental del fenómeno de caída libre, nivele verticalmente el soporte universal de la figura.

1. Mide la masa de la varilla de Galileo Galilei.

2. Conecte la fotopuerta a través de su conector de tipo telefónico o RJ45, a la entrada DIG 1 del interfaz

LABQUEST 2. La caja amortiguadora tiene la finalidad de evitar el daño a la varilla al final de su caída.

3. Inicia el programa en el interfaz LABQUEST 2.

0

16

4. Sujeta la varilla de Galileo en la parte superior del fotopuerta ubicándola como muestra la figura. Activar el

botón tomar datos en el interfaz y después soltar la varilla de forma vertical. En la pantalla de LABQUEST

2 se llenará la tabla tiempo versos posición y velocidad versos tiempo.

5. Copia en la tabla 1 de la hoja de datos con los datos correspondientes de la tabla de LABQUEST 2.

6. Adiciona una masa a la varilla de Galileo, mide la masa total y repita los pasos 3, 4.

7. Llenar la tabla 2 en forma similar a la tabla 1.

8. Arma el equipo del disparador mostrado en la figura y observa el movimiento que describe la partícula

9. Engatilla el disparador, en el instante que suelta el seguro del disparador, en ese instante pulse el botón

NC del cronómetro, luego observe la partícula que describe y en el instante que impacta al piso pulse el

botón NO,

10. Es el tiempo que emplea desde que abandona el disparador hasta que impacta al piso y resetea con el

pulsador R.

11. Observa y mide la altura h que alcanza desde que abandona el disparador

12. Nuevamente cargue la partícula en lanza proyectil, repita 10 veces y llene la tabla 3

13. Arma el equipo mostrado en la figura y construya su tabla

17

CALCULOS Y GRÁFICAS a) Relación: y . vs t

1. En base a la tabla 1, construya la gráfica y vs. t. “con Microsoft Excel” o en papel milimetrado

2. Mediante ajuste de curva, determina la ecuación experimental de la ecuación. (5).

3. Calcula la aceleración de la gravedad experimental mediante la ecuación. (6)

4. Determinar el coeficiente de correlación del ajuste de curva de la ecuación (7).


5. En base a la tabla 1, construya la gráfica v vs t. “con Microsoft Excel” o en papel milimetrado

6. Calcula la gravedad por regresión lineal de la ecuación (8)

7. Para la masa adicional a la rejilla de Galileo, siga los mismos pasos de 1 a 6.

c) La velocidad con que abandona el disparador

8. En base a la tabla 3, calcula el valor medio o probable, la desviación estándar, el error de las medidas por

la distribución de t de student y expresándolos en la forma: t t t y h h h con un nivel de

confianza de 90%.

9. Calcula la velocidad vo con que abandona el disparador y la velocidad final con que impacta al piso con

las ecuaciones (2) y (8)

10. Calcula la altura h teórica con la siguiente ecuación: f o

v v gh2 2 2

CUESTIONARIO.

1. ¿Se verificó que la aceleración de la gravedad no depende de la masa de los cuerpos en caída libre?

Explicar

2. ¿En aire por qué una pluma cae más lentamente que una esfera de acero? Explicar

3. ¿De los dos valores de la aceleración de la gravedad calculados, cuál le parece el más confiable? ¿Por

qué?

4. Se dejan caer desde la misma altura y al mismo tiempo, tres objetos A de 20g de masa, el objeto B de

120g de masa y el objeto C de 900g de masa. Considerando caída libre ¿Cuál de los objetos llega

primero al piso?

5. En comparación con la gravedad de la tierra, ¿Cómo son las gravedades de la luna y del sol?, ¿Menores

al de la tierra?, ¿mayores?, ¿Por qué?. Podría citar sus valores de gravedad.

6. El nevado de Illimani tiene una altura aproximadamente de 6400m sobre el nivel del mar, ¿Cuál sería el

valor de “g” en el pico de este nevado?

7. Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad vo alcanza una altura H. Si el objeto se

lanza con doble velocidad, su altura alcanzada será también el doble?, ¿El triple?, ¿La mitad?, ¿Por qué?

8. Desde el techo de un edificio se suelta una esfera A, luego de 2 segundos se suelta otra esfera B.

Durante la caída, la distancia que los separa al momento de soltarse la esfera B, ¿permanecerá

constante?, ¿disminuyera?, ¿irá en aumento?, ¿por qué?

9. Desde el techo de un edificio se lanza verticalmente hacia arriba un objeto A con velocidad vo. En ese

mismo instante se lanza hacia abajo un segundo objeto B con la misma velocidad vo. ¿Cuál de ellos

llegará al suelo con mayor velocidad? ¿Por qué?

18

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

CAÍDA LIBRE ESTUDIANTE. …………………………………………………CARRERA. …………………………………..


TABLA 1

Masa de la varilla de Galileo Galilei: m =…………………

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t (s)

v (m/s)

y (m)

TABLA 2 Masa adicional + la masa de la varilla. ……………………………………………..

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t (s)

v (m/s)

y (m)

TABLA 3

Masa de la esfera: m = . ………………… H = ………………………..

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t (s)

h (m)


Ecuación experimental: 21

2

ny g t k t

Aceleración de la gravedad: 2g k

19

COMPETENCIA. En el presente experimento del movimiento en el plano, el estudiante:

Reconoce el equipo de disparador y las partes a ser utilizados en un movimiento en el plano.

Calibra el equipo y los patrones de medida para evitar los errores sistemáticos.

Desarrolla destreza manual en el armado y la nivelación del equipo.

Comprende que todo movimiento está en base a un sistema de referencias.

Observa el desplazamiento horizontal y vertical en un tiro parabólico de una partícula. Desarrolla habilidad cognitiva en ajuste de curvas por el método de mínimos cuadrados.

Efectúa las medidas de la pendiente en una gráfica realizada en papel milimetrado.


FUNDAMENTO TEÓRICO.

Los movimientos curvilíneos en el plano son de naturaleza diversa y existen muchos ejemplos, tales como, el movimiento de proyectiles, de aviones, chorros de agua lanzadas por mangueras y otros.

Al abandonar la esfera por el lanza proyectil, inicia un movimiento parabólico en el plano x e y. por la

independencia de movimientos, en el eje “x” se tiene un movimiento uniforme, mientras que en el eje “y” un

movimiento uniformemente acelerado o movimiento de caída libre.

Figura 1

Analizando movimiento horizontal: o

o

xx v t t

v (1)

Analizando movimiento vertical: 2 21 1

2 2oy

y v t g t y g t (2)

Reemplazando la ecuación (1) en (2), tenemos la siguiente relación

2 2 2

2

1 1 ( ) ( )

2 2 2o o

x gy g t y g y x

v v Cambio de variable:

2 (3)

2

2

o

gk

v

n


ny k t (4)


0

20

exp

exp n

y k t (5)

Por mínimos cuadrados determinamos las constantes experimentales.

2 2( )

n xy x yB

n x x

y B xA

n (6)

a) Teniendo las constantes experimentales, calculamos la velocidad que abandona la partícula del disparador.

2

2

2 2 2o o

o

g g gk v v

v k k (7)

b) Calculando la velocidad experimental por el siguiente análisis.

22 2

2

1 1 ( )

2 2 2 2o

o o

D gD gH gt H g H v D

v v H (8)

MATERIALES Y EQUIPOS

Disparador graduado de 0º a 90º

Prensa.

Esfera de acero y plástico.

Regla metálica de un metro

Plomada + un nivel.

Tablero para impacto.

Pliego de papel blanco y papel carbónico

Una balanza analógico

PROCEDIMIENTO. Para el estudio experimental del fenómeno del movimiento en el plano, arma el equipo como ve en la figura.

Figura 2

1. Asegura con la prensa en C el lanza proyectil y bien nivelado con la mesa.

2. Ajuste el disparador a 0º y que esté nivelado horizontalmente.

21

3. Utiliza la plomada y marca la posición xo que debe quedar verticalmente debajo de la salida del disparador

4. Mide las masas de las esferas en diferentes balanzas, tanto digital y analógica.

5. Engatilla el disparador y observa que la esfera hará un vuelo hasta colisionar con el piso. Marca el lugar

de impacto en el piso.

6. Fija una hoja de papel sábana y carbónico en el piso con la parte carbonada hacia arriba, en el punto de

impacto.

7. Sin el tablero, realice 7 impactos sobre el piso, para determinar H=y y D (observa la figura 2)

8. Con el origen xo, y la huella de los impactos del anterior paso, construya el eje horizontal.

9. Coloca el tablero de impacto a una distancia x1 del origen xo, y sobre este, realiza 5 impactos

consecutivos. De las huellas de los impactos, determina la altura de la caída vertical.

10. Repite el anterior inciso para diferentes distancias xn del tablero de impacto y en cada caso, determina

las alturas de caída yn, como muestra la figura 1

CALCULOS Y GRÁFICOS

1. Con el conjunto de puntos (x,y), construya la gráfica y vs. x.

2. Mediante ajuste de curvas por mínimos cuadrados, determina la ecuación experimental de la trayectoria,

dada por la ecuación (5) y calcula el coeficiente de correlación.

3. Empleando el valor de ajuste k, determina la velocidad vo mediante la ecuación (7).

4. Con los datos experimentales de H=y, D y empleando la ecuación (8), determina la velocidad vo con la

que la esfera abandona el disparador.

CUESTIONARIO.

1. ¿Se verificó que la velocidad no depende de la masa de los cuerpos en caída libre? Explicar

2. De los tres valores de la velocidad calculados, ¿Cuál le parece el más cercano al verdadero? y ¿Por qué?

3. Tres objetos A, B y C con masas 0,1kg, 1kg y 10kg respectivamente, se sueltan a partir del reposo, al

mismo tiempo y de la misma altura, respecto del piso. ¿Cuál de ellos llega al piso con mayor velocidad? Justifique su respuesta.

4. Una esfera de 200g de masa es lanzada horizontalmente desde una altura H sobre el piso con una

velocidad de 9,0m/s, logrando un alcance horizontal de 20,0m en La Paz. Si el objeto es lanzado desde

la misma altura H con la misma velocidad inicial pero en la luna. ¿El alcance horizontal logrado en la luna

será mayor o menos?, considere la aceleración de la gravedad en la luna de 1,62m/s2. Justifique su

respuesta.

5. Con referencia a la pregunta 3, si el objeto se lanza desde la misma altura con la misma velocidad inicial,

pero en Santa Cruz que está a nivel del mar. ¿En cuánto cambiará el desplazamiento horizontal?

6. Considere dos partículas A y B lanzados horizontalmente desde la misma altura H y al mismo tiempo, el

primero con una velocidad de 2m/s y el segundo con 10pies/s. ¿Cuál de ellos llegará antes al suelo?

22

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA MOVIMIENTO EN EL PLANO

ESTUDIANTE. …………………………………………………CARRERA. …………………………………..


TABLA 1 Impacto sobre el piso (sin tablero).

Altura total de la caída: H = y =…………………………… Radio de la esfera: R = …………

Masa m1 de la esfera. ………………………………………..

n Distancia que se desplaza

D (cm)

1

2

3

4

5

6

Promedio

TABLA 2 Impacto sobre el tablero.

Altura de caída (cm)

Desplazamiento horizontal (cm) 1

y 2

y 3

y 4

y 5

y Pr omedio

y

1x

2x

3x

4x

5x

CALCULOS Y RESULTADOS:

Ecuación: ny k t

Velocidad de la esfera: 2o

gv

k

Velocidad de la esfera: 2o

gv D

H

23

COMPETENCIA. En el presente experimento del movimiento de proyectiles, el estudiante:

Reconoce el equipo disparador y las partes a ser utilizados en un movimiento de proyectiles.

Calibra el disparador, para el estudio del movimiento parabólico y evitar los errores sistemáticos

Desarrolla destreza manual en el armado del equipo.

Comprende que todo movimiento está en base a un sistema de referencias.

Observa el desplazamiento horizontal y vertical en un tiro parabólico de una partícula para diferentes .ángulos

Conceptúa energía potencial gravitatorio y energía cinética en un movimiento parabólico

Verifica la validez del principio de la conservación de la energía mecánica en un lanzamiento de

proyectil.

Desarrolla habilidad cognitiva con los conceptos estadísticos y aplica el nivel de confianza.


Al abandonar la esfera por el disparador inicia un movimiento parabólico en el plano x e y hasta el lugar

donde hace impacto con el piso. Por el principio de la independencia tenemos los movimientos, en el eje “x”

que es un movimiento uniforme y en el eje “y” un movimiento uniformemente acelerado o movimiento de

caída libre.

Donde el desplazamiento horizontal es indipendiente de la vertical.

x ox v t x v t cos (1)

El desplazamiento vertical es indipendiente de la horizontal.

y oy v t g t y v t sen g t2 21 1

2 2 (2)

Cuando la partícula pasa sobre el eje x, el tiempo que demora es:

o

o o o

v seny v tsen gt v tsen gt v sen gt t

g

2 2

21 1 1

2 2 2 (3)

Reemplazando la ecuación (3) en (1) tenemos el alcance horizontal máximo y considerando

sen cos sen 2 2

o o

x o o

o

v sen v sen cosx v t x v t cos x v cos x

g g

v senx

g

2

2

2 2

24

Para determinar el ángulo para el cual se logre el máximo alcance horizontal, se deriva la ecuación (4) respecto al ángulo e igualando a cero.

0

24

o ov sen v cosdx d dx

cosd d g d g

cos º

2 2

1

2 22 0 2 0

2 0 45 5

Reemplazando el ángulo a la ecuación (4) el alcance máximo horizontal es:

o o o

max

v sen v sen º vx x

g g g

2 2 22 2 456

Cuando la partícula es lanzada desde una altura sobre el piso, el alcance máximo se determina diferenciando la ecuación de la trayectoria.

La ecuación de la trayectoria es:

o

gy xtg x

v cos

2

2 27

2

Diferenciando e igualando a cero la ecuación (7), condición para el máximo y mínimo. Tenemos el alcance máximo.

o o

o

o o

o

g gx sentg dx x sec d xdx d

v cos v cos

gx senx sec

v cosgx sen g dxd x sec d tg dx xdx

gv cos v cos dtg

v cos

22

2 2 2 3

22

2 322

2 3 2 2

2

02

2

2

o o

o

x

gx senx sec

v cos v x

g g tantg x

v cos

2

22

2 3 2

2 2

0

20 8

La ecuación (8) en (7) y despejando el ángulo se tiene:

o o

o o

o o

max

o o

v vg gy xtg x y tg

v cos g tan v cos g tan

v gy v sen

sen v v g y

22 2

2

2 2 2 2

2 2

1

2 2 2

2 2

29

2 2

25

LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA EN UN LANZAMIENTO DE PROYECTILES “la energía no se crea ni se destruye solo se transforma” Galileo Galilei

o fo f o PG f PG o A x max

Em Em Ec E Ec E mv mgh mv mg y2 21 1 (10)

2 2

MATERIALES Y EQUIPOS Disparador graduado de 0º a 90º

Prensa.

Esfera de acero y plástico.


Plomada + un nivel.



PROCEDIMIENTO Para el estudio experimental del fenómeno del movimiento en el plano se usará el equipo mostrado en la figura. ¡Atención! No mire hacia adentro del cañón disparador para verificar si el disparador está cargado, observe la posición del gatillo que no esté cargado.

1. Arma el equipo sobre una mesa nivelado horizontalmente.

2. Ajusta el disparador de lanza proyectil a una inclinación de 10º

3. Utilice la plomada para marca la posición xo desde el centro de la esfera.

4. Realiza un disparo para localizar el lugar donde hará impacto.

5. En el lugar del impacto, coloque papel blanco y sobre ella un papel carbónico.

6. Realice por lo menos 5 lanzamientos

7. Mida la distancia horizontal alcanzada

8. Incremente el ángulo de 10º en 10º hasta 80º y repita los pasos de 2 a 7.


1. Con los datos del alcance máximo determine x x x y y y y con un nivel de confianza del

95%

2. Calcula la rapidez inicial con que abandona la esfera del proyectil con la ecuación (7)

3. Calcula el alcance máximo justo cuando pasa sobre el eje x, con la ecuación (6)

4. Calcula el alcance máximo justo cuando impacta al piso, con la ecuación (8)

5. Con los datos experimentales de la tabla II, construya el gráfico i

x vs. i

26

6. Con ayuda del gráfico determine el ángulo para el alcance máximo.

7. Calculo el porcentaje de diferencia entre el alcance máximo experimental y el teórico, para ello emplee la

expresión % max exp max Teo

Mmax Teo

x xdiferencia

x

. . .

. .

100 donde max Teo

x. .

es el alcance máximo calculado con

la ecuación (8)

8. Por el principio de la conservación de la energía mecánica, determinar la altura máxima ymax que la esfera

alcanzó, ecuación (10).

9. Calcula el tiempo que demora desde que abandona la esfera hasta que impacte al suelo, para diferentes

inclinaciones 10º, 20º, 30º, 40º, 50º, 60º, 70º y 80º

10. Calcula la velocidad final cuando la partícula impacta al piso, con las ecuaciones de cinemática. También

calcula la velocidad final con que impacta al piso por la conservación de la energía.

CUESTIONARIO. 1. Un lanza proyectil dispara una partícula con una velocidad inicial de 5,3m/s. ¿A qué ángulo se debe

ajustar el lanza proyectil, para que la altura máxima del proyectil sea igual a su alcance horizontal?

2. Para un proyectil disparado en un movimiento parabólico, ¿Puede su altura máxima ser mayor que su

alcance horizontal?, ¿A partir de qué ángulo de disparo?

3. ¿En qué parte de la trayectoria de un proyectil en movimiento parabólico se tiene la misma rapidez? Y

¿Qué tipo de conservación de energía es?

4. Sin contar el tiro de proyectiles, ¿qué otros movimientos parabólicos puedes mencionar?

5. Una partícula es lanzada con una velocidad vo y forma un ángulo de 35º con el eje x, logrando un alcance

máximo xmax, ¿con que otro alcanzará el mismo alcance horizontal xmax al ser lanzado con la misma

velocidad vo?

6. En tierra una persona lanza una partícula y luego pasa sobre el eje x, el alcance horizontal máxima es de

32m. De haber lanzado en la luna ¿Cuál habría sido su alcance?

7. Para un proyectil disparado en movimiento parabólico,, demuestre que el alcance horizontal, xmax puede

expresarse en función de la altura máxima ymax, según max

max

yx

tan

4

8. ¿En qué otra forma de energía se transforma la energía disipada? Explique

27

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA MOVIMIENTO DE PROYECTILES



TABLA I

Masa de la esfera: m = …………

n 1 2 3 4 5 Promedio

x (cm)

y (cm)

TABLA II

Altura de lanzamiento: y1 = …… y2 = …… y3 = …… y4 = …… y5 = ……

x (cm) Ángulo de inclinación de lanza proyectiles

10º 20º 30º 40º 50º 60º 70º 80º

x1

x2

x3

x4

x5

x


28

COMPETENCIA. En el presente experimento de la segunda ley de Newton, el estudiante:

Reconoce los equipos y las partes a ser utilizados.


Calibra y nivela los equipos para evitar los errores sistemáticos.

Comprueba la relación entre la fuerza y la aceleración.

Comprueba la relación entre la aceleración y la masa.

Desarrolla habilidad cognitiva en propagación de errores y ajuste de curvas por el método de mínimos

cuadrados.

FUNDAMENTO TEÓRICO. La aceleración de un cuerpo es proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él, e inversamente proporcional a su masa. Una fuerza neta que actúa sobre un cuerpo le produce una aceleración. Es una relación de causa y efecto. Fuerza neta es la causa y la aceleración es el efecto.

La fuerza que acelera el sistema es el peso del porta pesas, es decir,

2F m g (1)

Por la segunda ley de Newton, puede escribirse como:

Para la masa m1:

F ma T m a1

(2)

Para la masa m2:

F ma m g T m a2 2

(3)

Sumando ecuación (2) y (3) tenemos:

T1

2

m a

m g T2

2

2 1 2

1 2

( ) (4)

m a

m g Fm g m m a a a F Ma

m m M

Si M se mantiene constante, la relación entre F y “a” puede estudiarse variando F y observando cómo varia la

aceleración “a”. Para variar F, una parte del peso de m2, se lleva sobre m1, para mantenerse M constante.

Si F se mantiene constante (mantiene constante m2) la relación entre “a” y M puede estudiarse variando M,

mediante la variación de m1 y observando como varia “a”

La tensión del cable inextensible se tiene de las ecuaciones (2) y (4)

29

2 1 2

1 1

1 2 1 2

m g m m gT m a T m T

m m m m (5)

MATERIALES Y EQUIPOS Un fotopuerta + cable para DIG 1 o RJ45 + cable mini USB a USB de la computadora.


Una prensa en U o soporte universal + Una varilla de acero 50cm + Un nuez

Un deslizador + detector de movimiento.

Una polea + varilla de aluminio con rosca.

Un porta peso + 10 pesas de 1g + 2 pesas de 50g + 4 pesas de 10g

Una balanza digital o analógico


PROCEDIMIENTO

En el sistema de flotación lineal de la figura mostrada, el porta pesas de masa m2 esta unido al carro deslizador,

de masa m1, con un hilo inextensible que pasa por la polea. Se asume que son despreciable las masa del hilo,

así como el rozamiento en el carril de aire y en la polea. Si el sistema se libera, éste acelera, la polea gira y sus rayos obsturyen el haz infrarrojo de la fotopuerta en forma sucesiva. Con esto y con las caracteristicas geométricas de la polea, la computadora con la que trabaja la fotopuerta calcula la aceleración lineal del sistema.

a) Masa constante.

1. Arma el arreglo de la figura, nivelando previamente el sistema de flotación lineal con sus tornillos de

soportes; para verificar que esté horizontal, luego encender la compresora del carril y el deslizador no debe moverse; en caso contrario, ajustar los tornillos de soporte de manera que el deslizador no se mueva. También debe estar horizontal el hilo entre la polea y el deslizador. Finalmente, debe verificar que la fotopuerta esté aliniado con la polea de 10 ranuras que gira, para que los rayos obstruyan el haz infrarrojo en forma sucesiva (debe observar la intermitencia del led rojo en la fotopueta cuando gira la polea).

2. Conecta el conector tipo telefónico de la fotopuerta, a la entrada de DIG 1 del LABQUEST 2 y el mini USB

en el interfaz a la entrada de USB de la computadora

3. Inicia el programa Logger Pro Vernier que esta en la pantalla del Windows.

4. Coloca todas las pesas disponibles en el porta pesas. Mide la masa del deslizador y el porta pesas juntos

y registrar como M = m1 + m2.

5. Mide la masa total de m2 y anota su valor en la tabla 1 de la hoja de datos a medida que varia la F = m2g.

30

6. Sujeta el deslizador a aproximadamente 30cm del extremo derecho del carril y de manera que el haz

infrarrojo de la fotopuerta pase entre dos rayos de la polea sin ser obstruido (LED apagado). Activar el botón Tomar Datos de la barra de herramientas y, después de que este botón se convierta en el botón Detener, soltar el deslizador. Detener el deslizador antes de que choque con el extremo izquierdo del carril.

7. Escoge aleatoriamente el valor de la aceleración que muestra la tabla de Logger Pro, anota en la tabla 1

de la hoja de datos y a medida que varia la fuerza F anote la aceleración aleatoriamente en la tabla 1.

8. Quita dos pesas del porta pesas m2 y colocarlas en el deslizador m1 (una a cada lado). De esta manera

no se altera el valor de M, pero si el valor de la fuerza F.

9. Volver al punto 5, hasta llenar la tabla 1.

b) Fuerza constante.

10. Colocar todas las pesas disponobles en el porta pesas y mide su masa m2.

11. Mide la masa del deslizador, m1 y anotar su valor en la tabla 2.

12. Escoge aleatoriamente el valor de la aceleración que muestra la tabla de Logger Pro, anota en la tabla 2

de la hoja de datos y repita asi sucecivamente

13. Incrementa al deslizador m1 más 50 g a cada lado y luego 20g a cada lado y asi sucecivamente.

14. Volver al punto 11 hasta llenar la tabla 2.

CALCULOS Y GRÁFICAS

a) Masa constante.

1. Teniendo la m1 y m2; resuelve teoricamente la aceleración del sistema con las ecuaciones (2) y (3)

2. En base a la tabla 1, elabora una tabla a vs. F. Mediante ajuste de curva, determina la relación

experimental F = f(a) y dibujar junto con los puntos experimentales. Tomar gravedad 977,5 cm/s2.

3. Determina la masa M de la pendiente.

4. Calcula la tensión del cable inextensible con la ecuación (5)

b) Fuerza constante.

5. En base a la tabla 2, elevora una tabla M vs. a. Mediante ajuste de curva, determina la relación

experimental a = f(M).

6. Determina la fuerza F de la pendiente (M-1

,a).

CUESTIONARIO.

1. ¿Se verificó la ecuación (2); es decir, la segunda ley de Newton? ¿Se probó la hipótesis de que el

coeficiente de la ecuación (2) es M a un nivel de confianza del 98%?. Explicar.

2. De acuerdo con este experimento, ¿cómo podría definirse la masa?

3. Si usted estuviera en el espacio y un gran bloque de piedra flota en su entorno, ¿le costaria empujarlo y

hacer que se acelere? Explicar.

4. Propagar: a) m m g

Tm m

1 2

1 2

b)

m m a m m gm

g a

1 2 1 24 2

2 4

31

DINÁMICA DE LA PARTÍCULA SEGUNDA LEY DE NEWTON



TABLA 1 Masa constante. M = m1 + m2 =…………………………………..

n m2 (kg) a1 (m/s2) a2 (m/s

2) a3 (m/s

2) aProm (m/s

2)

1

2

3

4

5

6

TABLA 2 Fuerza constante. m2 = ……………………………………………..

n m1 (kg) a1 (m/s2) a2 (m/s

2) a3 (m/s

2) aProm (m/s

2)

1

2

3

4

5

6


La aceleración a vs F:

tanCons te

Fa

M

La aceleración a vs F: tanCons te

Fa

M

La tensión del cable inextensible: 1 2

1 2

m m gT

m m

32

COMPETENCIA. En el presente experimento de máquina de Atwood, el estudiante:

Reconoce los equipos, las partes a ser utilizados y calibra.


Observa el movimiento uniformemente acelerado unidimensional sobre el eje y.

Determina la aceleración de una máquina de Atwood, mediante análisis dinámica y cinemática.

Realiza propagación de errores y ajuste de curvas por el método de mínimos cuadrados (habilidad

cognitiva).

Grafica en papel milimetrado las variables (h,t) y determina la aceleración experimental de la pendiente.

Analiza la relación del desplazamiento lineal, la aceleración y ganancia de peso en polipastos.

FUNDAMENTO TEÓRICO. La máquina de Atwood es una máquina inventada en 1784 por George Atwood como un experimento de laboratorio para verificar las leyes mecánicas del movimiento uniformemente acelerado. a) ANALISIS DINÁMICO.

Si las masas m1 y m2 son iguales, el sistema no se mueve, es decir está en equilibrio estático, cumpliendo

de esta manera con la primera ley de Newton. Si la masa m1 es mayor que m2, entonces el sistema se

mueve logrando que el bloque m1 desciende mientras que el bloque m2 asciende, como muestra la figura.

1º Paso. Asignando el sentido de movimiento considerando que m1

es mayor que m2 a1 = a2 = a

2º Paso. Hacer el diagrama de cuerpo libre de cada cilindro.

3º Paso. Aplicando la segunda ley de Newton, tenemos.

Para el cilindro de masa m1.

1 1

F ma m g T m a (1)

Para el cilindro de masa m2.

2 2

F ma T m g m a (2)

Sumando ecuación (1) y (2), tenemos la aceleración.

1m g T

1m a

T2 2

1 2

1 2 1 2

1 2

( ) (3)

m g m a

m mm g m g m a m a a g

m m

33

Las masas m1 =M + m, m2 = M , están conectados con un hilo inextensible y una masa “m” adicional colocado

sobre el cilindro m1.

Reemplazando a la ecuación (3) se tiene:

1 2

1 2

( ) (m m M

a gm m

m M) ( )

2

mg a g

M m M M m (4)

b) ANALISIS CINEMÁTICO.

Los cilindros m1 y m2 del sistema, parte del reposo, se mueven con movimiento acelerado, entonces debe

cumplir que: “el módulo del desplazamiento es directamente proporcional al cuadrado de los tiempos empleados”.

1. Relación de desplazamiento vertical en función del tiempo: . h vs t

Analizando movimiento vertical y el sistema parte del reposo:

2 21 1

2 2oh v t a t h at Cambio de variable:

1

2

2

k a

n

(5)

La ecuación queda de la siguiente forma: nh kt (6)


exp

exp n

h k t (7)

Teniendo las constantes, calculamos la aceleración.

exp exp

1 2

2k a a k (8)

2. Relación de velocidad en función del tiempo: v . vs t

Por otro lado, en un movimiento acelerado, también se cumple que las velocidades adquiridas son directamente proporcionales a los tiempos empleados.

f o f

v v at v a t (9)

c) POLIPASTO CON UNA POLEA MÓVIL.

La longitud de la cuerda es: si l1, l2 l3 son constantes como muestra la figura

0

34

1 1 2 2 2 3 1 1 2 2 3

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2 1 2

2

2 20 0 0 0 0 2

2 2 2 (10)

x l x l x l constante x l x l l cte

dx d x dx d xv v

dt dt dt dt

dv dva a a a

dt dt

El desplazamiento del sistema de polipasto es: 2 2

1 2

2 21 2 1 22 2 2

d x d xa a x x

dt dt (11)

La masa de la polea móvil si considera ideal, la ganancia de la masa m1 se tiene en la figura:

La relación de tensiones en la polea móvil: 2

2T T (*)

Cuando está en equilibrio la masa m1: 1 1

0 0 F m g T T m g (**)

Cuando está en equilibrio la masa m2: 2 2 2 2

0 0 F m g T T m g (***)

Reemplazando ecuación (**) y (***) en (*) tenemos la ganacia de masa.

2 22 T T m g

12m g 2

2 1 1 2

2

mm m m (12)

Analizando la ecuación (*) tenemos la ganancia de la fuerza y es:

2

2 2 1 2 1 12 2 2

2

WT T m g m g W W W (13)

d) POLIPASTO CON DOS POLEAS MÓVILES.

La relación de las aceleraciones es: siendo “n =

número de poleas móviles”

1 22na a (14)

El desplazamiento de los bloques es:

1 22nx x (15)

La ganancia del peso es:

2

2 1 12

2

n

n

WW W W (16)

MATERIALES Y EQUiPOS

Un fotopuerta + cable para DIG 1 + cable mini USB a USB de la computadora.


Una prensa en U o soporte universal + Una varilla de acero de 50cm + una varilla de 25cm + tres nuez

Dos porta pesas de 10g + 2 pesas de 2g + 2 pesas de 20g. + 3 pesas de 50g

Dos poleas con 10 ranuras + hilo inextensible + dos poleas móviles + una polea grande

Un cilindro de m2 = 400g, un cilindro de m1 = 200g y m1 = 100g

Una balanza digital

Caja amortiguadora

35

PROCEDIMIENTO. Máquina de Atwood. Cuando el sistema de la figura está en movimiento, las poleas giran y los rayos de la polea obstruyen el haz infrarrojo de la fotopuerta en forma sucesiva. Con esto y con las características geométricas de la polea, la computadora con la que trabaja la fotopuerta calcula la velocidad lineal del sistema para diferentes instantes de tiempo, pero tomando como tiempo cero el instante en que se produce la primera, obstrucción del haz infrarrojo.

1. Mide en una balanza las pesas y las porta pesas que sean iguales (m1 = m2 = 20g), en caso contrario,

igualar sus masas utilizando cinta adhesiva.

2. Mide la masa adicional "m" (masas de m = 2g).

3. Conecta RJ45 tipo telefónico de la fotopuerta a la entrada DIG 1 del interfaz LABQUEST 2 y el USB MINI

al USB de la computadora.

4. Prende el ON del interfaz del LABQUEST 2

5. Instala en la parte inferior una caja amortiguadora para amortiguar las masas M y m.

6. Sujeta el sistema de pesas M + m de la derecho a aproximadamente 90,0cm del fondo de la caja

amortiguadora y de manera que el haz infrarrojo de la fotopuerta pase entre dos rayos de la polea derecha sin ser obstruido (LED apagado). Activar el botón Tomar Datos de la barra de herramientas, después de que este aparece el botón Detener y suelta el sistema. En la pantalla del interfaz

LABQUEST 2 se llenará la tabla t vs. x y t vs v. también se mostrará la gráfica de estos.

7. Llenar la tabla 1 de la hoja de Datos con los datos correspondientes de la tabla de LABQUEST 2 de la

computadora.

Polipasto con una polea móvil.

8. Arma el sistema de polipasto con una polea móvil mostrado en la figura y sega los pasos de 3 a 6.

9. Mide en una balanza las masas m2 = 2m1 coloca en las porta pesas observa el equilibrio y luego agregue

2g sobre m1 para el sistema se mueva y llenar la tabla 2.

10. Arma el sistema de polipasto con una polea móvil mostrado en la figura y compare los desplazamientos

con el anterior sistemas serán iguales o diferentes.

36

11. Mide en una balanza las masas m2 = 2m1 coloca en las porta pesas observa el equilibrio y luego

agregue 2g sobre m1 para el sistema se mueva y llenar la tabla 3.

Polipasto con dos poleas móviles.

12. Arma el sistema de polipasto con dos poleas móviles mostrado en la figura y sega los pasos de 3 a 6.

13. Mide en una balanza las masas m2 = 4m1 coloca en las porta pesas observa el equilibrio y luego

agregue 2g sobre m1 para el sistema se mueva y llenar la tabla 4.


Máquina de Atwood

1. Calcula la aceleración teórica de la máquina de Atwood mediante la ecuación (3) y (4).

2. Por propagación de errores la ecuación (3), calcula el error de la aceleración y expresa en la forma:

a a a

3. Con el conjunto de puntos de la tabla 1, construya el gráfico x vs. t 4. Por ajuste de curva determina la ecuación experimental del movimiento de la máquina de Atwood dada

por la ecuación (7)

5. Calcula la aceleración de máquina de Atwood mediante la ecuación (8)

6. Con el conjunto de puntos (v,t) construya la gráfica v vs. t.

7. Elige dos puntos en la gráfica ajustada v vs. t, calcule la pendiente que representa la aceleración de la

máquina de Atwood.

8. Por ajuste de curvas de la ecuación (9) calcula la aceleración “a” de la máquina de Atwood.

37

Polipasto con una polea móvil.

9. Verifica el desplazamiento de los bloques cuando está en equilibrio con la ecuación (11), cuando los

bloques están en equilibrio al bloque m1 aumenta 2g luego observa las aceleraciones de los bloques y

compara con la ecuación (10). También puede observar la ganancia de peso con la ecuación (13)

10. Analiza el desplazamiento de los dos tipos de polipastos que se muestran en la figura,

Polipasto con dos poleas móviles.

11. Analiza el desplazamiento de dos poleas móviles cuando está en equilibrio, observa el desplazamiento y

la ganancia de peso comparando con las ecuaciones (15) (16).

12 Calcula la aceleración m2 si aumenta 2g sobre el bloque m1 y compara con la ecuación (14)

CUESTIONARIO.

1. ¿Se verificó que el movimiento en una máquina de Atwood es uniformemente acelerado? Explique

2. De las tres aceleraciones calculadas ¿Cuál le parece más cercano al verdadero? y ¿Por qué?

3. En el ajuste de la ecuación tav f

cuya forma general es y = A + Bx, ¿Por qué el término

independiente A no es cero? ¿Qué significado físico le asigna Ud. A ese término?

4. ¿En qué casos los cilindros de la máquina de Atwood pueden moverse con una aceleración igual al de la gravedad? ¿mayor al de la gravedad?

5. En la máquina de Atwood, el peso de los bloques y las tensiones respectivas en las cuerdas son parejos de fuerzas acción – reacción y ¿Por qué?

6. Demuestre los desplazamiento en polipastos con tres y cuatro poleas móviles

7. ¿Qué errores sistemáticos son posibles de cometerse en esta práctica? ¿Cuál el más significativo?

8. ¿Qué es un aparejo diferencia y como se determina la ganancia de peso? Dibuje y explique

9. ¿Qué es un aparejo factorial y como se determina la ganancia de peso? Dibuje y explique

DINÁMICA DE LA PARTÍCULA

MAQUINA DE ATWOOD ESTUDIANTE. …………………………………………………CARRERA. …………………………………..


TABLA 1 Maquina de Atwood m1 = ……………. m2 = …………..

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t (s)

x (m)

v (m/s)

38

TABLA 2 Polipasto con una polea móvil m1 = ……………. m2 = …………..

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a1 (m/s2)

x1 (m)

x2 (m)

Polipasto con una polea móvil m1 = ……………. m2 = …………..

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a1 (m/s2)

x1 (m)

x2 (m)

TABLA 3 Polipasto con dos poleas móviles m1 = ……………. m2 = …………..

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a1 (m/s2)

x1 (m)

x2 (m)

RESULTADOS Y CALCULOS

Aceleración por método dinámico: 2 1

1 2

( )m m

a gm m

La ecuación experimental: n

exh k t

La aceleración por el método dinámico: 2ex

a k

39

COMPETENCIA. En el presente experimento de rozamiento estático y cinético, el estudiante:

Reconoce los equipos de rozamiento y las partes a ser utilizados.



Hace los diagramas de cuerpo libre y propagación de errores (habilidad cognitiva).

Realiza el efecto que tiene el ángulo de inclinación sobre un cuerpo en un plano inclinado y determina el coeficiente de rozamiento estático para diferentes áreas y superficies en contacto.

Determina el coeficiente de rozamiento cinético entre dos cuerpos sólidos en un plano horizontal.

Verifica que ambos coeficientes son funciones de la naturaleza de las superficies en contacto.

FUNDAMENTO TEORICO. Consideremos un cuerpo en reposo sobre el cuál actúa la fuerza T, como muestra en la figura. Si observamos que el cuerpo aún continúa en reposo, debemos concluir que en la superficie de contacto de ambos cuerpos se genera una fuerza de igual magnitud pero de sentido contrario a la fuerza aplicada T. esta fuerza generada, que anula a la

fuerza T, se llama fuerza de rozamiento estático frs, y

es una consecuencia de las rugosidades de ambos

superficies. La magnitud de frs es variable y crece

desde cero hasta un valor máximo que es igual a la mínima fuerza necesaria para iniciar el movimiento del cuerpo. Por otro lado, cuando el cuerpo está en movimiento, la fuerza generada por las rugosidades de la superficie en

contacto, se llama fuerza de rozamiento cinético frk, su magnitud es constante y su sentido es siempre contrario

al sentido del movimiento.

DETERMINACIÓN DE COEFICIETE DE ROZAMIENTO ESTÁTICO s

Si consideramos un cuerpo de masa “m” en reposo sobre un plano inclinado como muestra en la figura, el balance de fuerza resulta.

Figura 1

Aplicando la segunda ley de Newton, tenemos la relación de coeficiente de rozamiento estático.

0 cos cos

(1)cos

s s s

s s

F ma mgsen N mgsen mg sen

sen ytg

x

0

40

DETERMINACIÓN DE COEFICIETE DE ROZAMIENTO CINÉTICO k

El sistema de la figura mostrado el bloque m1 se desplaza con una aceleración “a” sobre una superficie horizontal rugosa bajo la acción de la tensión T, que a su vez, es producto del peso del cuerpo m2 sujeto en el otro extremo del hilo.

Aplicando la segunda ley de Newton, tenemos el coeficiente de rozamiento cinético.

Para m1. k 1 k 1 1 T- T- (*)F ma N m a m g m a

Para m2. 2 2 (**)F ma m g T m a

Sumando ecuaciones (*) y (**), tenemos el coeficiente de rozamiento cinético.

Tk 1 1

2

T

m g m a

m g

2

2 1 2

2 k 1 1 2 2 1 2 k 1 k

1

( ) ( ) (2)

m a

m g a m mm g m g m a m a m g a m m m g

m g

La aceleración “a” del sistema se determina por cinemática, el sistema de bloques parte del reposo, se mide el

tiempo “t” que emplea en desplazarse una altura y

con movimiento uniformemente acelerado, entonces.

f o f

v v at v at (3)

k ES INDEPENDIENTE DEL ÁREA DE CONTACTO.

La fuerza de rozamiento surge entre dos cuerpos puestos en contacto cuando uno se mueve respecto al otro. Sobre cada uno de ellos aparece una fuerza de rozamiento que se opone al movimiento. El valor de la fuerza de rozamiento depende de:

a) Tipo de superficies en contacto (madera, metal, plástico/granito, etc), b) Del estado de la superficies, que pueden ser pulidas, rugosas, etc. (madera compacta finamente lijada,

acero inoxidable) c) De la fuerza de contacto entre ellas. d) La fuerza de fricción es independiente del área de contacto, vale decir, la fuerza de fricción será lo misma

de cualquier lado de sus caras A o B.

0

41

Con las ecuaciones (1) y (2) determina coeficiente de rozamiento cinético del lado A y B, se calculará la diferencia de estos valores mediante la siguiente expresión.

% 100A B

A

k k

k

diferencia

(4)

MATERIALES Y EQUIPOS. Plano inclinado con escala + una volanda y eje + bloques de madera, metal, goma

Porta pesa de 10g + dos pesas de 10g + dos pesas de 2g


Dos prensa en U o soporte universal + dos barras de 50cm + dos nuez

Una regla de 100cm

Un fotopuerta + dos varillas de aluminio con rosca + cable tipo telefónico para DIG 1 + cable mini USB a USB de la computadora.


Una polea de 10 ranuras + un declinómetro

PROCEDIMIENTO.

DETERMINACIÓN DE S

Para el estudio experimental del fenómeno de rozamiento estático se usará el equipo mostrado en la figura.

PARA LA DETERMINACIÓN DE k

a) k es de función de la naturaleza de la superficie en contacto.

Para el estudio experimental del fenómeno de rozamiento cinético que se usará el equipo mostrado en la figura.

1. Arma el equipo de la figura mostrada, nivelando previamente el bloque de la madera y la mesa

horizontalmente. También debe estar horizontal el hilo entre la polea y el bloque de madera. Finalmente, debe verificar que la fotopuerta está a una altura tal que cuando la polea gira, sus rayos obstruyan el haz infrarrojo de forma sucesiva.

42

2. Conecta el conector tipo telefónico del fotopuerta a la entrada de DIG 1 del interfaz LABQUEST 2 y

conectar mini USB del interfaz a una entrada USB de la computadora

3. Inicia el programa Logger Pro Vernier que esta en la pantalla del Windows.

4. Coloca todas las pesas disponibles en el porta pesas hasta que el movimiento sea muy apreciablre, mide

las masas m1 y m2.

5. Sujetar el bloque de madera, aproximadamente 90cm del extremo derecho de la mesa y de manera que el

haz infrarrojo de la fotopuerta pase entre dos rayos de la polea sin ser obstruido (LED apagado). Activar el botón Tomar Datos de la barra de herramientas y, después de que este botón se convierta en el botón Detener, soltar el bloque de madera. Detener el deslizador antes de que choque con el extremo izquierdo de la mesa.

6. Anota el valor del t vs. v en la tabla de la hoja de datos

b) k es independiente del área de contacto.

7. Sobre la superficie horizontal de deslizador, dispone el bloque apoyado sobre la cara A y despues sobre

la cara B. A continuación determina A

k y luego determina

Bk

c) k en un plano inclinado con una polea móvil.

8. Arma el equipo con una polea móvil de la figura mostrada y siga los mismos pasas de 1 a 4

9. Sujetar el bloque de madera, aproximadamente 60cm del extremo izquierdo del plano inclinado a 30º y de

manera que el haz infrarrojo de la fotopuerta pase entre dos rayos de la polea sin ser obstruido (LED apagado). Activar el botón Tomar Datos de la barra de herramientas y, después de que este botón se convierta en el botón Detener, soltar el bloque de madera el sistema empieza a moverse en el sentido

horario. Detener el contrapesa m2 antes de que choque con el piso.

10. Copiar los datos aleatoriamente de la aceleración experimental en la tabla de Logger Pro Vernier y

anotar en la tabla del hoja de datos


DETERMINACIÓN DE S

1. Para los cuerpos ensayados determina S mediante la ecuación (1) y expréselo en la forma

S S S Para el cálculo de errores considere un nivel de confianza del 90%.

2. Sigue los mismos pasos para determinar el coeficiente de rozamiento estático para otros materiales

DETERMINACIÓN DE k

3. Con el conjunto de puntos (v,t), construya la gráfica v vs. t.

43

4. Mediante ajuste de curvas por mínimos cuadrados, determina de la pendiente la aceleración experimental.

5. Empleando la ecuación (2), determina el coeficiente de rozamiento cinético para la cara A.

6. Determina el coeficiente de rozamiento cinético para la cara B

DETERMINAR EL k EN UN PLANO INCLINADO CON UNA POLEA MÓVIL.

7. Calcula el coeficiente de rozamiento cinético explerimental en un plano inclinado a 30º, con una polea

móvil y compare con el anterior experimento

CUESTIONARIO.

1. ¿En qué casos los coeficientes de rozamientos pueden ser inferiores a cero?

2. En qué casos los coeficientes de rozamientos pueden ser mayores a uno?

3. ¿Serán iguales los rozamientos en un plano horizontal y en un plano inclinado? Demuestre experimentalmente

4. ¿De qué factores depende los valores de los coeficientes de rozamiento estático y cinético?

5. ¿Qué importancia le asigna Ud. Al rozamiento estático y cinético en la vida diaria?

6. Un bloque de masa 55,5gr, inicia su movimiento cuando es 45º. ¿Cuál el coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y la superficie?

7. Propagar: a) k

m g m m a

m g 2 1 2

1

b) k

m sen m g m m a

m g cos

2 1 1 2

2

DINÁMICA DE LA PARTÍCULA

ROZAMIENTO ESTUDIANTE. …………………………………………………CARRERA. …………………………………..


Determinación de S

Cuerpo 1

………….

Promedios

x (cm)

...........s

ytg

x y (cm)

(º)

Cuerpo 2

………….

Promedios

x (cm)

...........s

ytg

x y (cm)

(º)

a) “μk” es función de la naturaleza de las superficies en contacto.

44

Madera - madera Madera - goma

n t (s) v (m/s) n t (s) v (m/s)

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

b) “μk” es independiente del área de contacto.

Cara A Cara B

n t (s) v (m/s) n t (s) v (m/s)

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

c) k en un plano inclinado a 30º con una polea móvil.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t (s)

a1 (m/s2)

CALCULOS Y RESULTADOS. …………………………………………………………………………………………………………………….

45

COMPETENCIA. En el presente experimento de la conservación de la energía mecánica, el estudiante:




Determina el trabajo realizado por una fuerza conservativa utilizando el teorema trabajo - energía.

Determina la energía cinética, potencial y la conservación de la energía mecánica.

Observa la variación de la energía cinética en función de la energía potencial gravitacional de una

partícula.

FUNDAMENTO TEORICO. No es posible la realización de un trabajo si no existe energía que se ha de transformar. Todo cuerpo, sustancia

o cualquier otro ente tiene energía si tiene capacidad para realizar trabajo.

La energía es una magnitud física escalar que expresa la capacidad para realizar trabajo, en consecuencia la

energía se mide en las mismas unidades que las del trabajo.

TRABAJO ENERGIA

El trabajo se define como la transferencia de energía debido a una fuerza externa.

( )s

W F dx F x mgsen x (1)

PRINCIPIO DE ENERGIA TRABAJO

Si se aplica una fuerza conservativa el trabajo neto es igual a la variación de la energía cinética

2 2

2 21 1

2 2 2

f o

N f o f o N k

v vF ma F x ma x W m mv mv E E W E (2)

a) Energía cinética. Es la energía que caracteriza el estado de movimiento de un cuerpo, la energía que este

posee por el simple hecho de encontrarse en movimiento.

BE mv21

2 (3)

b) Energía potencial. Es la que caracteriza la posición de un cuerpo con respecto a un sistema de referencia.

AU mgh (4)

c) Energía potencial elástico. La energía queda almacenada en las espiras del resorte hasta que se quita la

fuerza y el objeto elástico regresa a su forma original, haciendo un trabajo en el proceso

21

2PEE kx (5)

46

ENERGÍA MECÁNICA.

La energía se puede presentar de muchas formas, por ejemplo energía química, eléctrica, luminosa, eólica,

solar, hidráulica, térmica, etc. En este experimento nos limitaremos a estudiar a la energía mecánica, la cual se

manifiesta de dos formas: energía cinética y energía potencial gravitatoria.

21

2A A A A A A

E K U E mv mgh (6)

CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA MECÁNICA. Si las fuerzas conservativas que actúan sobre un cuerpo, la energía mecánica inicial es igual a la energía

mecánica final. Esta relación representa el “teorema de la conservación de la energía mecánica para fuerzas

conservativas”. También puede expresarse, que bajo la acción de las fuerzas conservativas, la energía cinética

aumenta mientras su energía potencial disminuye en la misma cantidad o viceversa.

Apliquemos fuerzas conservativas a un cuerpo, denominado W al trabajo de las fuerzas conservativas a lo largo

de la trayectoria del cuerpo.

2 2 2 21 1 1 1

2 2 2 2

A B

A A PEA B B PEB A A A B B B

E E

K U E K U E mv mgh kx mv mgh kx (7)

Si el arreglo de la figura se conoce x,h puede calcularse por propiedades trigonométrica (triangulo semejante) y

tenemos:

h H H

sen h xx L L

(8)

POTENCIA MECÁNICA

La potencia es aquella que nos indica la rapidez de hacer un trabajo determinado. Su valor nos informa la

cantidad de trabajo promedio realizado en cada unidad de tiempo. En una sociedad industrializada, las

máquinas se seleccionan por la potencia que desarrollan.

La potencia útil se define:

( )

(9)

Útil

Útil

dW F dxP F v F r Fr

dt dt

P M

Una forma de medir torque es utilizando un dinamómetro estilo freno por fricción mecánica. Éste, en su forma

báscia, consiste de un sistema de acople a la máquina a prueba, un rotor, una cubierta y un brazo de torque

como muestra la figura.

Momento se define:

M F r (10)

El rendimiento es:

100Útil

Entregada

P

P (11)

47

EQUIPOS Y MATERIALES Detector de movimiento Go!Motio + varilla de aluminio con rosca + cable de USB.

Carro deslizador + hilo inextensible + resorte

Un soporte universal + Una varilla de acero de 50cm + Un nuez


Un declinómetro

Una polea con 10 ranuras + el soporte de goma

Cuatro pesas de 50g

PROCEDIMIENTO. Para el estudio experimental del fenómeno de la conservación de la energía mecánica se usará el equipo

mostrado en la figura.

1. Mide la masa del deslizador “m” en una balanza digital

2. Arme el arreglo de la figura, para lo cual, primero debe nivelarse el carril adecuadamente y luego, con sus

tornillos de soporte, debe hacerse ascender su extremo izquierdo unos 120mm, sin embargo, esta

distancia, que es la altura H, debe ser medida con un regla graduada.

3. Mide la distancia L desde el extremo izquierdo del carril de aire hasta el lugar donde se ubica el soporte

de la derecha.

4. Iniciar el Programa Logger Pro en la computadora y abrir el archivo vernier.

5. Coloca el deslizador a aproximadamente 40cm del lado derecho y ubicar la posición cero en ese lugar

activando el botón cero en la barra de herramienta.

6. Activa el botón Tomar datos de la barra de herramienta y, después de que este botón se convierta en el

botón detener, suelta el deslizador. La toma de datos efectiva se iniciará automáticamente cuando el

deslizador pase por la posición inicial y final escogida. En la pantalla de Logger Pro se llenará la tabla x

vs v en función del tiempo.

7. Llena la tabla 1 de la hoja de datos escogidos aleatoriamente con los datos de la tabla de Logger Pro.

Conservación de la energía para fuerzas conservativas (resorte – bloque)

8. Arma el equipo de la conservación de la energía para fuerzas conservativas (resorte – bloque) de la figura

mostrada y eleve con el tornillo soporte hasta que el declinómetro marque 18º.

48

9. Conecta con un hilo inextensible el deslizador y el resorte de constante elástica “k”. Sujeta el carro

deslizador en una posición inicial sin que el resorte este deformado, luego enciende la compresora, suelta

el carro, observa la máxima deformación del resorte y es valor anota en la tabla 2 de la hoja de datos.

10. Método Ley de Hooke, este mismo resorte cuelgue verticalmente, coloca en el contrapeso una masa de

100g. Mide la deformación y el peso. Calcula la constante del resorte estático F k x W k x. .

Potencia mecánica.

11. Arma el sistema de freno, utilizado para medir el par de giro de los motores como muestra la figura.


1. Calcula el trabajo, con la ecuación (1)

2. Calcula el trabajo neto, con la ecuación (2)

3. Calcula la energía cinética y potencial con las ecuaciones (3) y (4)

4. Calcula la energía mecánica inicial y final con la ecuación (7)

5. Determina h con la ecuación (8).

6. En un gráfico energía vs. altura ubicar los puntos correspondientes a los valores de K, U y E de la tabla

obtenida en el punto anterior.

Conservación de la energía para fuerzas conservativas (resorte – bloque)

7. Calcula la altura “h” y expresa en la forma: h h h con un nivel de confianza de 90%

49

8. Calcula la constante del resorte, por la conservación de la energía para fuerzas conservativas y compare

con el método estático.

Potencia mecánica.

9. Calcula la potencia útil, la potencia entregada con la ecuación (9)

10. Calcula el rendimiento del motor DC, con la ecuación (11)

CUESTIONARIO.

1. ¿Se verificó que la energía mecánica total del carrito se conserva? Explicar

2. ¿De dónde proviene la energía mecánica del carrito? Explicar

3. Si no se altera su velocidad pero se incrementa su masa, ¿Cómo cambiará la máxima altura alcanzada

por el carrito? Explicar

4. A un bloque ubicado sobre sobre una superficie horizontal se le da cierta velocidad inicial, pero como

ocurre en la realidad, después de recorrer cierta distancia, el bloque se detiene. ¿Qué ocurre con la

energía cinética inicial del bloque? Explicar

5. Una persona que sostiene una pesada piedra (y que se cansará muy pronto) ¿realiza algún trabajo?

Explicar

TRABAJO Y ENERGÍA

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA

ESTUDIANTE. ……………………………………………….………… CARRERA. …………………………………..

FECHA ………………………………………………………….………. VºBº Docente ……………………………….

TABLA 1, Trabajo - energía

m (g) xo (m) xf (m) a (m/s2) vo (m/s) vf (m/s) θ (º) H (m) L (m)

TABLA 2. Conservación de la energía para fuerzas conservativas (resorte – bloque)

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x (m)

θ (º)


……………………………………………………………………………………………………………………………..

50

COMPETENCIA. En el presente experimento de la colisión en una dimensión, el estudiante:

Reconoce los equipos y las partes a ser utilizados. Calibra y nivela los equipos para evitar los errores sistemáticos. Desarrolla destreza manual en el armado del equipo. Verifica que la energía mecánica se conserva en ausencia de las fuerzas externas. Realiza el cálculo de coeficiente de restitución. Utiliza cifras significativas para simplificar cálculos matemáticos.


Si un cuerpo de masa m se traslada con velocidad v, su cantidad de movimiento lineal es.

P mv (1)

Si se aplica una fuerza neta F a un cuerpo, confiriéndole un movimiento de traslación, la cantidad de

movimiento lineal del cuerpo varía según.

dPF ma

dt (2)

Entonces, si no existe fuerza externa neta, la cantidad de movimiento lineal de un cuerpo no cambia, es decir, se conserva. Esto también se aplica a un sistema o grupo de cuerpos en traslación cuya cantidad de movimiento lineal es igual a la suma vectorial de las cantidades de movimiento lineal de los cuerpos individuales. La cantidad de movimiento lineal inicial del sistema es.

1 1 1P m v (3)

La cantidad de movimiento final es.

1 2f fP m m v (4)

La conservación de la cantidad de movimiento se define:

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

de la c de la cde movimiento antes del choque de movimiento despues del choque

´ ´ ´ ´

Conservación antidad Conservación antidad

m v m v m v m v m v m v m v m v (5)

Por otra parte, en una colisión, la energía cinética total puede o no conservarse; si la energía cinética se conserva, la colisión se denomina elástica; en caso contrario, inelástico o plástico.

CLASIFICACIÓN DE LOS CHOQUES Los choques se clasifican de acuerdo a que se conserve o no, durante el choque, está íntimamente vinculado

con la pérdida de energía cinética. Así entonces las colisiones según el valor de coeficiente de restitución “e”

pueden clasificarse en: a) Colisiones plásticas o completamente inelástico.

Se les llama también choques plásticos y se caracterizan porque los cuerpos durante la colisión reciben un trabajo por parte de las fuerzas internas que los obliga a mantenerse unidos y continuar su movimiento.

51

Figura 1

Por la conservación de la cantidad de movimiento.

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2´ ´ ´ ´ ´m v m v m v m v m v m v m v m v v m m (6)

b) Colisiones elástica.

Llamados así cuando se conserva la energía cinética y la cantidad de movimiento. Asimismo, la deformación experimentada por los cuerpos durante el choque solo es temporal, observándose que cada uno recupera su forma original terminada la colisión.

Figura 2

Por la conservación de la cantidad de movimiento.

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2´ ´ ´ ´m v m v m v m v m v m v m v (7)

“e” Se le denomina coeficiente de restitución o percusión, y viene a ser un número adimensional propuesto por

Isaac Newton para poder relacionar las velocidades relativas de dos cuerpos antes y después de chocar. Así, el coeficiente de restitución en un choque elástico es uno.

2 1

2 1

´ ´ 1

v v Velocidad relativa de alejamientoe

v v Velocidad relativa de acercamiento (8)


Detector de movimiento Go!Motio + varilla de aluminio con rosca + cable de USB.

Dos carro deslizador + reflector

Dos soporte universal + Dos varilla de 50cm + dos nuez


Un LabQuest 2 + dos cables + varilla de Galileo + Una fotopuerta + varilla de aluminio con rosca

Cuatro pesas de 50g

Nivel de líquido o declinómetro + Varios accesorios de colisiones

PROCEDIMIENTO.

a) Colisión plástica o completamente inelástico.

Para el estudio experimental de una colisión plástica en una dimensión, se emplea dos deslizadores como cuerpos que colisionan, como muestra la figura 3. El estudio del movimiento se realiza con el detector de

movimiento Go!Motion y el reflector colocado en el deslizador m1. El deslizador m2 inicialmente está en reposo

y el deslizador m1 se dirige hacia él con una velocidad v1. En los deslizadores se colocan accesorios que hacen

que, después de la colisión, los deslizadores queden unidos y moviéndose con velocidad v´.

0

0

0

52

Figura 3

1. Mide las masas m1 y m2 con todos los accesorios en una balanza digital o analógico

2. Arma el arreglo de la figura 3, colocando dos masas, de aproximadamente 50g, en el deslizador m2 (una

en cada lado). Conecta el detector del movimiento Go!Motion a la entrada de USB de la computadora. El flotador lineal debe nivelarse adecuadamente.

3. Iniciar el programa Logger Pro y abrir el archivo Vernier en la pantalla de Windows.

4. Coloque el deslizador m1 a aproximadamente 30cm del detector de movimiento y ubicar la posición cero

en ese lugar activado el botón cero en la barra de herramientas.

5. Coloque el deslizador m1 a aproximadamente 20cm del detector de movimiento y el deslizador m2

aproximadamente en el centro del carril. Activar el botón tomar datos en la barra de herramientas y, después de este botón se convierta en el botón detener, dar un pequeño empujón hacia la derecha el

deslizador m1. En la pantalla de Logger Pro se llenará la tabla t vs x y los puntos correspondientes se

ubican en el gráfico adyacente. La posición variará en función del tiempo en dos tramos lineales con diferentes pendientes antes y después de colisión. El empujón debe ser tal que la colisión se produzca entre 0,5s y 1,0s; de no ser así, repetir la toma de datos.

6. Escoge aleatoriamente los valores de t vs x de la tabla de Logger Pro antes del choque. Con estos datos

llenar la tabla 1 de la hoja de datos. Del mismo modo, escoger aleatoriamente siete puntos del tramo lineal después del choque y llenar la tabla 2.

b) Colisión elástica.

En este caso se usan accesorios que hacen que los deslizadores colisionen elásticamente. El deslizador m2

inicialmente está en reposo y el deslizador m1 se dirige hacia él con una velocidad v1. Después de la colisión,

los deslizadores se mueven con velocidades 1

´v y 2

´v , respectivamente y para estudiar el movimiento del

deslizador m2 se le coloca una rejilla que interactúa con la fotopuerta.

Figura 4

7. En base al arreglo de la figura 4 ya armado, el deslizador m2 debe quedar aproximadamente en el centro

del carril y la fotopuerta un poco a su derecha. Conectar la fotopuerta mediante el conector tipo telefónico a la entrada del interfaz DIG 1 del LABQUEST 2.

8. Abre el archivo Vernier que está en la pantalla de Windows.

9. Coloca el deslizador m1 a aproximadamente 20cm del detector de movimiento. Activar el botón tomar

datos en la barra de herramientas e, inmediatamente después de que este botón se convierta en el botón

detener, dar un pequeño empujón hacia la derecha al deslizador m1. En la pantalla Logger Pro se llenará

la tabla t-x para m1 antes y después del choque y en el interfaz LABQUEST 2 se llena la tabla t-x para

53

m2 después del choque. El empujón debe ser tal que la colisión se produzca entre 0,5s y 1,0s; de no ser

así, repetir la toma de datos.

10. Llena las tablas 3 y 4 para m1 antes y después del choque que se ha generado en el programa Logger

Pro. Llena la tabla 5 con la tabla que se ha generado en el interfaz LABQUEST 2.


a) colisiones plásticos o completamente inelástico.

1. En base a la tabla 1 y 2 de la hoja de datos, mediante ajuste de curva, determina las velocidades

después del choque

2. Con los resultados del punto anterior y las ecuaciones (3) y (4) calcular Pi y Pf calcular la diferencia

porcentual de Pf respecto de Pi. 3. Con la ecuación (6) verifica la conservación de la cantidad de movimiento.

4. Calcula la energía cinética del sistema antes de la colisión Ki, y la energía cinética del sistema después

de la colisión Kf. Calcula la diferencia porcentual de Kf respecto de Ki.

b) Colisión elástica.

5. En base a la tablas 3, 4 y 5 de la hoja de datos, mediantes ajuste de curva, determina las velocidades v1,

v´1, y v´2 antes y después del choque.

6. Con la ecuación (7) verifica la conservación de la cantidad de movimiento.

7. Determina el coeficiente de restitución del choque elástico, ecuación (8).

5. Calcula la energía cinética del sistema antes de la colisión, Ki y la energía cinética del sistema después

de la colisión, Kf Calcular la diferencia porcentual de Kf respecto de Ki.

CUESTIONARIO.

1. En la colisión completamente inelástica, ¿se verificó que la cantidad de movimiento lineal se conserva?

Explicar.

2. En la colisión completamente inelástico, ¿se verificó que la energía cinética no se conserva? Explicar.

¿Qué ocurre con la energía cinética “faltante”?

3. En la colisión elástica, ¿se verificó que la cantidad de movimiento lineal se conserva? Explicar.

4. En la colisión, ¿se verificó que la energía cinética se conserva? Explicar.

5. En la colisión elástica de este experimento, ¿Qué ocurriría si las masas de los deslizadores fueran

iguales? Explicar.

54

CANTIDAD DE MOVIMIENTO COLISION EN EL UNA DIMENSIÓN



TABLA 1 DE DATOS.

Masa total del deslizador: m1 = ………………….g

Masa total del deslizador: m2 = …………………..g

a) Colisiones Platicos o completamente inelástico. Antes de la colisión Después de la colisión TABLA 1 TABLA 2

n t (s) x (cm) n t (s) x (cm)

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

b) Colisiones elástico. Antes de la colisión Después de la colisión TABLA 3 TABLA 4 TABLA 5

n t (s) x (cm) n t (s) x (cm) n t (s) x (cm)

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

5 5 5

6 6 6

7 7 7

CALCULOS Y RESULTADOS: ……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………

55

COMPETENCIA. En el presente experimento de colisiones, el estudiante:

Reconoce los equipos del péndulo balístico y las partes a ser utilizados.



Aplica correctamente el principio de la conservación de la cantidad de movimiento y el principio de la

conservación de la energía.

Determina la velocidad de disparo de un proyectil utilizando los métodos aproximados y el método exacto


FUNDAMENTO TEORICO. El Péndulo Balístico es un método clásico para determinar la velocidad de un proyectil. Este sirve también para demostrar algunos principios fundamentales de la física. La bola es lanzada dentro del péndulo, el cual luego oscila entre un ángulo medible. De la altura alcanzada por el péndulo podemos calcular su energía potencial. Esta energía potencial es igual a la energía cinética del péndulo al final de la oscilación, justo después del choque con la bola.

No podemos igualar la energía cinética del péndulo después del choque con la energía cinética de la bola antes del choque, ya que el choque entre la bola y el péndulo es inelástico y la energía cinética no se conserva en un choque inelástico. Hay dos maneras de calcular la velocidad del proyectil. El primer método (método aproximado), asume que el péndulo y la bola actúan juntos como una masa puntual localizada en su centro de masas combinado, este método no toma en consideración la inercia rotacional. El segundo método (método exacto), utiliza la inercia rotacional del péndulo en los cálculos. Las ecuaciones son un poco más complicadas, y es necesario tomar más datos para encontrar el momento de inercia del péndulo; los resultados obtenidos son generalmente mejores. a) Método aproximado para calcular la velocidad de disparo del proyectil

Por la conservación de la cantidad de movimiento, tenemos la siguiente ecuación.

m v m v m v m v m v m v m v m v m v v m m

m vm v Mv v

M

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2

1 1

1 1

´ ´ ´ ´ ´

´ ´ (1)

Por la conservación de la energía para fuerzas conservativas después del choque

0

56

m v m gh m v m gh M v Mgh Mv Mgh

M

22 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2

1 1 1 1 ´

2 2 2 2

1

2v M

2´ gh v gh v gh

21 ´ ´ 2 (2)

2

Igualando ecuación (1) y (2) tenemos: Si C M

h L cos. .

1

C M

m v M Mgh v gh v gR cos

M m m1 1

1 1 . .

1 1

2 2 2 1 (3)

b) Método exacto para calcular la velocidad de disparo del proyectil

La velocidad tangencial despues del choque es:

C M

C M

vv R

R

. .

. .

´´ (4)

La cantidad de momento angular se define:

LL I

I 0

0 (5)

La cantidad de momento angular en el instante que choque es:

C M

L I L m R. .

2

0 0 1

C M

v

R

1

. .C M

L m R v. .

0 1 1 (6)

La energía cinética después de choque es:

k k C M C M kE Mv E M R MR E I

22 2 2 2

. . . .

1 1 1 1´

2 2 2 2 (7)

Reemplazando las ecuaciones (5), (6) en (7) se tiene:

k k

L IE I E I

I

2

2 01 1 1

2 2 2

L

I

2

0

2

C M

k

m R vE

I

. .

2

1 1

2 (8)

Por la conservación de la energía para fuerzas conservativas, se tiene:

. .

. .

. .

. .

2

1 1 2

1 1 1

1

1 . .

1

1 2 2

2

12 1 (9)

C M

C M

C M

C M

k PG

C M

m R vE E Mgh m R v IMgh v IMgh

I m R

v I M g R cosm R

Siendo: I: Momento de inercia

57

Ahora necesitamos encontrar I, el momento de inercia del péndulo y la bola. Para hacer esto comenzaremos con el equivalente rotacional de la segunda ley de Newton. El torque en el péndulo es:

C M

C M

R MgsenI R Mgsen I

I

. .

0 . . (10)

Esta ecuación tiene la misma forma que la ecuación para movimiento armónico simple lineal.

xF kx (11)

Por la ecuación de la segunda ley de Newton.

x x x x

d x k kF Ma kx Ma a x x x

dt M M

22

2 x2

k

M 2 (12)

Igualando la ecuación (10) y (12) estas dos ecuaciones, lineal y angular, vemos que el péndulo exhibe un movimiento armónico simple.

C M C M C M C MR Mgsen R Mgsen R Mgsen R MgT sen

I II

T

2

2 . . . . . . . .

22 2

42 (13)

Mida el tiempo para 10 oscilaciones, con este tiempo, calcule el periodo aproximado, según.

10 10

n

n

t tt nT T

n (14)



Péndulo balístico con torre vertical graduado

Cronómetro.

Prensa.

Esfera de acero de 18mm de diámetro.


PROCEDIMIENTO Para el estudio experimental del fenómeno de péndulo balístico usará el equipo mostrado en la figura.

1. Determina la masa del péndulo en el manual del usuario del equipo y la masa total “M”.

2. Mide la distancia RC.M. entre el eje de giro (punto de articulación) y el centro de masa del péndulo y de la

esfera.

58

3. Arma el equipo horizontalmente verificando con un nivel de burbujas y carga la esfera de 18mm de

diámetro al disparador, calibra el disparador y la torre del péndulo.

4. El péndulo cuelga libremente en la torre y mueve el indicador del ángulo para ponerlo en cero grados.

5. Dispara el lanzador y anota el ángulo alcanzado. Quite la esfera del péndulo y cargue nuevamente al

disparador. Repita esta prueba hasta que usted esté satisfecho.

6. Observa la medida del ángulo alcanzado por el péndulo y anota este valor en la tabla 1

7. Coloque el disparador a 90º para que el péndulo pueda oscilar libremente. Con la bola en el péndulo,

desplaza hasta 5º o menos y observa la oscilación. Usa el cronómetro, toma el tiempo por lo menos de diez oscilaciones, y anote en la tabla 2.

CALCULOS Y GRÁFICAS. a) Método aproximado para calcular la velocidad de disparo del proyectil

1. Calcula el valor medio o probable, la desviación estándar, el error de las medidas por la distribución de t

de student y expresándolos en la forma: con un nivel de confianza de 95%.

2. Mide la masa del péndulo incluido la esfera, y como error de la medida determina la aproximación

(precisión o resolución) de la balanza. M M M

3. Calcula el valor medio de la distancia entre el eje de giro y el centro de masa del péndulo, expresa en la

forma C M C M C M

R R R. . . . . . con un nivel de confianza de 95%

4. Calcula la velocidad después del choque con la ecuación (2)

5. Calcule la velocidad del proyectil antes del choque con la ecuación (3)

6, Verifica la conservación de la cantidad de movimiento con la ecuación (1).

b) Método exacto para calcular la velocidad de disparo del proyectil

7. Calcula el valor medio del periodo de oscilación y expresa en la forma T T T con un nivel de

confianza de 95%

6. Calcula el momento de inercia del péndulo con la ecuación (13)

7. Determina la velocidad del proyectil antes del choque con la ecuación (9)

5. Calcula la aceleración angular con la ecuación (10)

CUESTIONARIO. 1. ¿Hay otra manera de medir la velocidad del cañón, para que usted pueda verificar sus resultados? Usted

puede usar otro método y comparar las dos respuestas.

2, ¿Qué fuentes de error están presentes en este experimento? ¿Qué tanto afectan a sus resultados estos

errores? 3. ¿Se simplificarían los cálculos si se conservara la energía cinética en la colisión entre la esfera y péndulo?

¿Qué porcentaje de la energía cinética se ha perdido en la colisión entre la esfera y el péndulo? ¿Sería válido asumir que esa energía se conservó en dicha colisión?

4. ¿Cómo calcularía el ángulo alcanzado cambiando el péndulo; si la esfera no fuera capturada por el

péndulo? Usted puede probar esto dándole la vuelta al péndulo para que la esfera golpee la parte de atrás del capturador de la esfera. ¿Hay más energía o menos energía transferida al péndulo?

5. ¿Aumentando la masa del péndulo, disminuye la eficacia de la energía transferida en la colisión? ¿Por

qué?

6. ¿Hay una diferencia significativa entre los valores calculados de los dos métodos? ¿Qué factores

aumentarían la diferencia entre estos dos resultados? ¿Cómo usted construiría un péndulo balístico para que la ecuación aproximada diera buenos los resultados?

59

CANTIDAD DE MOVIMIENTO PÉNDULO BALÍSTICO



TABLA 1

a) Método aproximado para calcular la velocidad de disparo del proyectil

Diámetro de la esfera: D =

Masa de la esfera: m1 = 24,0g Masa de la varilla: m = 37,0g

Masa del acoplador de proyectil + contrapesos: m = 137,0g

Aceleración gravitacional: g =

Medida “n” 1 2 3 4 5 Promedio

θ (º)

Medida “n” 1 2 3 4 5 Promedio M

M (g)

Medida “n” 1 2 3 4 5 Promedio C M

R . .

RC.M. (cm)

TABLA 2 b) Método exacto para calcular la velocidad de disparo del proyectil

Tiempo para n oscilaciones n

t1

nt

2

nt

3

nt

4

nt

5

nt n

tT

n

t (s)

CALCULOS Y RESULTADOS. ………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………

60

COMPETENCIA. En el presente experimento de colisiones en dos dimensiones, el estudiante:




Verifica la conservación de la cantidad de movimiento lineal en el choque bidimensional de dos

partículas.

Determina si se conserva o no la energía cinética durante el choque.

Determina el coeficiente de restitución de choque.


FUNDAMENTO TEORICO. Se estudiará el choque inelástico y bidimensional de dos esferas metálicas. Para ello, dispondremos de

una esfera incidente m1, que sale del disparador y la

esfera m2 sobre un punto del eje como muestra la

figura 1.

Figura 1

CALCULO DE v1.

Si realizamos lanzamientos sucesivos solamente de la esfera incidente, m1 como se muestra en la figura 2.

Figura 2

Analizando el movimiento horizontal, es movimiento continuo.

xx v t v

t1 1 (*)

Analizando movimiento vertical que es un movimiento variado.

2 2 21 1 1 2

2 2 2oy oy

yy v t gt y v t gt y gt t

g (**)

Reemplazando la ecuación (**) en (*), tenemos la velocidad con que la esfera abandona el disparador.

0

61

x x gv v v x

t yy

g

1 1 1

22 (1)

La ecuación (1) señala que la velocidad v1 con que la esfera de m1 impacta a la esfera de m2 se calcula

midiendo el alcance horizontal y la altura total de caída y.

CALCULO DE ´ ´ ´ ´

1 1 2 2 ; ; ;

x y x yv v v v

Las figuras 3 muestran las trayectorias y alcances de las esferas después del impacto o choque.

Figura 3

Entonces de manera semejante al anterior caso, las componentes de las velocidades inmediatamente después del choque serán.

x x

gv x

y

´

1 1

2 (2)

x x

gv x

y

´

2 2

2 (4)

y y

gv x

y

´

1 1 2 (3)

y y

gv x

y

´

2 2

2 (5)

Donde, ´ ´ ´ ´

1 1 2 2 ; ; ;

x y x yx x x x son los promedios de varios impactos.

¿Se conserva la Energía Cinética? Si el choque es elástico, la energía cinética se conserva, entonces debe verificarse que:

2 2 ´2 ´2 2 ´2 ´2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2

2 ´2 ´2 2 ´2 ´2

1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2

1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2

1 1( ) (6)

2 2

m v m v m v m v m v m v m v

m v m v m v m v m v m v

Donde las velocidades después del choque tenemos:

Para la esfera m1: ´ ´2 ´2

1 1 1x yv v v (7)

Para la esfera m2: ´ ´2 ´2

2 2 2x yv v v (8)

Si el choque es inelástico, la ecuación de balance de energía resulta:

0

62

2 ´2 ´2

1 1 1 1 2 2

1 1 1

2 2 2m v m v m v k (9)

Dónde: k es la energía mecánica transformada en otras formas de energía como calor, luz, sonido, etc.

DETERMINACIÓN DE e.

Proyectando las velocidades ´ ´

1 1 2, v v y v sobre la línea de impacto, la ecuación para el cálculo del coeficiente

de restitución para el choque bidimensional resulta.

´ ´

2 1 1 2

1 2

cos( )

cos

v ve

v

(10)



Dos prensas.

Dos esferas de acero de 18mm y 25mm.


Plomada + un nivel.



Una balanza digital

Eje de sujeción para soportar m2

PRODEDIMIENTO. Para el estudio experimental del fenómeno de lanzamiento horizontal usará el equipo mostrado en la figura 4.

Figura 4

1. Arma el equipo horizontalmente verificando con un nivel de burbujas y carga la esfera de 18mm de

diámetro al disparador calibrando a 0º el disparador.

2. Mide las masas de las esferas m1 y m2.

3. Inicia el experimento del movimiento en el plano con la esfera m1 y llenar la tabla 1.

63

4. Arma el equipo horizontalmente verificando con un nivel, para un choque central directo de las partículas

m1 y m2.

Figura 5

5. Realiza el proceso de medición para determinar los resultados de los valores de los desplazamientos de

ambas partículas x1x y x2x.

6. Repite los pasos de 1 a 4 y ajuste la esfera m2 en el punto de colisión en dos dimensiones.

7. Inicia el experimento del movimiento bidimensional con las esferas m1 y m2. Llenar la tabla 2.

CALCULOS Y GRAFICOS.

1. Con la ecuación (1) y los valores promedios de x y H=y, Calcula la velocidad 1v de la esfera de m1 en

el instante antes del choque.

2. Propaga la ecuación (1), calcula el error de la velocidad 1v y exprese en la forma: 1 1 1v v v

3. Con las ecuaciones (2), (3), (4) y (5) calcula las velocidades de ambas esferas inmediatamente después del choque.

4. Con las ecuaciones (7) y (8) calcule las velocidades totales después del choque de ambas esferas.

5. Por propagación de errores de las ecuaciones (7) y (8) determina: ´ ´ ´

1 1 1v v v y ´ ´ ´

2 2 2v v v

6. Mediante la ecuación (6) verifique si se cumple la conservación de la energía cinética.

7. Con la ecuación (9) verifique porcentaje de energía se ha disipado al ambiente.

8. Con la ecuación (10) calcule el coeficiente de restitución y determine el tipo de choque.

CUESTIONARIO. 1. Mencione ejemplos concretos en los cuales no se conserva la cantidad de movimiento.

2. Considere un choque en una dimensión ¿cómo será las velocidades de las esferas después del choque

en los siguientes casos? Si m1 = m2 y m1 es mucho menor que m2.

3. ¿En qué casos el coeficiente de restitución puede adoptar valores mayores a uno?

4. De qué factores depende el valor del coeficiente de restitución.

5. Si la velocidad de una partícula de masa m se duplica, su energía cinética también se duplica?, ¿se

triplica?, ¿por qué?

6. En qué casos puede adoptar valores negativos: La energía cinética?, la energía potencial elástica? Y la energía potencial gravitatorio?

64

CANTIDAD DE MOVIMIENTO COLISIONES EN DOS DISENSIONES



TABLA 1 DE DATOS.

Masa de la esfera incidente (esfera mayor): m1 = ………………….g

Masa de la esfera blanco (esfera menor): m2 = ………………….. g

Altura de caída: y H = ........................cm

LANZAMIENTO DE LA ESFERA m1.

n 1 2 3 4 5 x

xn

(cm)x

TABLA 2 DE DATOS.

COLISIONES DE m1 Y m2.

n 1 (cm)xx 1 (cm)yx 2 (cm)xx 2 (cm)yx

1

2

3

4

5

6

Promedio

CALCULOS Y RESULTADOS. ………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………

65

COMPETENCIA

En el presente experimento de movimiento de rotación, el estudiante:



Determina la posición, velocidad y aceleración.

Determina el torque en la polea, que producen el bloque.

Determina el momento de inercia del disco, cilindro hueco y varilla

Realiza propagación de errores (habilidad cognitiva)

FUNDAMENTO TEORICO

CINEMÁTICA DE ROTACIÓN. Posición, velocidad y aceleración

El vector unitario del vector de posición es:

2 2 1r r

u cos i sen j u cos sen

El vector unitario del vector desplazamineto es:

2 2 1u sen i cos j u cos sen

El vector de posición es:

r r

ru r r u

r

La velocidad tangencial y derivando por la regla de la cadena tenemos: r r

( ) ( )

r

La velocidad es tangentea la trayectoria circular

d r udr d cos i sen j d dv r r sen i cos j

dt dt dt dt dt

dv r sen i cos j v r u

dt

(1)

66

Aceleración tangencial:

2

( ) ( )

r r

Aceleracióntan

d r u d u d udv d d sen i cos ja r r u r r u r

dt dt dt dt dt dt

d d da r u r cos i sen j r u r cos i sen j

dt dt dt

a r u r u r u r u a r u

2

r

Aceleración centrípetase dirige al centrogencial

r u

La aceleración tangencial es tangente a la trayectoria circular:

ta r (2)

La aceleración centrípeta, el signo negativo indica que está

orientado al centro del disco

2 22

2c

v va r r

r r r

22

c

va r

r (3)

El resultado de la aceleración es:

2 2

t ca a a

a) Movimiento circular uniforme. Es cuando la velocidad angular se mantiene constante.

t Δ

Δtag

t

(4)

b) Movimiento circular variado. Se caracteriza por que su trayectoria es una circunferencia, la velocidad

angular es variable y la aceleración angular permanece constante, es decir una variación en el transcurso

del tiempo. El sistema parte del reposo θo=0 y to =0 que definido por las siguientes relaciones.

67

f oat 2 2 2

f o

21

2ot t

a) Relación: . vs t

Analizando el desplazamiento angular:

2 21 1

2 2ot t t (5)


2 21 1

2 2t t Cambio de variable:

1 (6)

2

2

k

n


nk t (7)


extn

extk t (8)

b) Relación: . vs t

La disco parte del reposo ( o o ; to = 0) y a medida que aumenta el tiempo el disco aumenta su velocidad

angular de acuerdo a la ecuación.

f f

o o

t

f o f o f

t

dd dt t t t

dt

(9)

0 0

68

DINÁMICA DE ROTACIÓN.

El momento de inercia es una medida de la resistencia de un objeto a experimentar cambios en su movimiento de rotación respecto de un eje. Es el análogo rotacional de la masa. Cuanto más lejos está la masa del eje, mayor es el momento de inercia. Así, al contrario que la masa de un objeto, que es una propiedad del mismo objeto, su momento de inercia depende de la localización de su eje de rotación así como de la distribución de la masa del objeto.

El momento de inercia “I” es una cantidad que depende del eje de rotación, el tamaño y la forma del objeto. En la siguiente tabla se dan los momentos de inercia teórica respecto al centro de masa de cuerpos geométricos conocidas, de distribución de masa homogénea, cuando giran en torno al eje que se indica.

Cilindro macizo

21

2cm

I MR

Cilindro hueco

2 21( )

2cm

I M R r

Cilindro hueco de pared delgada

2

cmI MR

Esfera hueca de pared delgada

22

3cm

I MR

Esfera macizo

22

5cm

I MR

Varilla delgada eje por el extremo

21

3cm

I ML

Varilla delgada eje por el centro

21

12cm

I ML

Cilindro sólido respecto a un diámetro

2 21 1

4 12cmI MR ML

Un cuerpo rígido tiene movimiento de rotación y se tiene.

La aceleración lineal de los bloques es igual a la aceleración tangencial de los discos.

a r (10)

Se observa la rotación de los discos, debidos al descenso del bloque m2. Aplicando la segunda ley de Newton al movimineto lineal y rotación, resulta:

Para el bloque m: 1 1

F m a T m g m a (11)

Para los discos: I T r I (12)

69

Sumando ecuación las ecuaciones (11) y (12) y reemplazando ecuaciones (10) en (11) tenemos.

1 m g r Tr 2

1 rm r

Tr

2 2 1

1 1 1 1

r r r (13)

I

m r gm g r m I I m g r m I

MATERIALES Y EQUIPOS Un fotopuerta + rotary motion y un disco de aluminio + una varillas de aluminio con rosca + cable tipo

telefónico para DIG 1 + cable mini USB a USB de la computadora + motor DC.


Una polea de 10 ranuras

Una fuente variable DC + tester + cables

Dos porta pesa de 10g + cinco pesas de 2g + hilo inextensible + nivel de línea

Un sistema de poleas de diferentes diámetros + Un vernier digital y analógico

PROCEDIMIENTO.

CINEMÁTICA DE ROTACIÓN

a) Movimiento circular uniforme.

1. Arma el sistema de la figura mostrada, el disco de aluminio debe ser horizontal. Conecte el sensor de

Rotary Motion a la entrada DIG 1 de LABQUEST 2, del MINI USB al USB de la computadora y el motor DC

a los terminales positivo - negativo de la fuente voltaje. Las poleas del Rotary Motion y motor DC

(corriente directa) tienen que estar alineados horizontalmente, no debe moverse.

2. Inicia el programa de LABQUEST 2 y Logger Pro Vernier en la computadora.

3. Calibra el voltaje de la fuente DC a 11,00V, enciende el ON (botón encendido) de la fuente voltaje.

4. Activar el botón Tomar Datos en Logger Pro Vernier en la pantalla de Windows. En la pantalla se llenará

la tabla θ vs. t.

5. Llena la Tabla 1 con los datos aleatoriamente escogidos de la tabla de Logger Pro Vernier.

b) Movimiento circular acelerado.

6. Mide las masas m1, m2, las masas de las portapesas, la masa m1 debe descender y la polea F debe girar

en el sentido horario.

70

7. Arma el sistema de poleas mostrada en la figura. Conecta el Fotogate a la entrada DIG 1 de LABQUEST

2, y el conector MINI USB de LABQUEST 2, al USB de la computadora.

8. Mide los radios nominal de las poleas A, B, C, D, E, y F.

9. Llene la tabla 2, con los datos del tiempo y la aceleración elegidos aleatoriamente de la tabla de Logger

Pro Vernier

10. Luego de tomar datos del movimiento circular acelerado. Arma este sistema de discos para un

movimiento circular uniforme con un motor DC y calcula la velocidad angular de cada polea

c) Dinámica de rotación.

11. Arma el equipo, nivela el disco y el hilo horizontalmente. Conecte el sensor Rotary Motion a la entrada

DIG 1 de LABQUEST 2, y el conector MINI USB de LABQUEST 2, al USB de la computadora. Sobre la

polea del Rotary Motion instale un hilo inextensible, conecte sobre la polea y al contrapeso de masa m.

12. Mide las masas del disco y el contra peso.

13. Inicia el programa de LABQUEST 2 y Logger Pro Vernier en la computadora

14. Ubicar la posición cero en ese lugar activando el botón Cero en la barra de herramienta. Activar el botón

Tomar Datos y, después de que aparezca un mensaje, simultáneamente soltar el bloque. En la pantalla

de LABQUEST 2 se llenará la tabla t - θ - ω y se ubicarán en los gráficos adyacentes.

15. Llena la tabla 3 y la tabla 4 con los datos elegidos aleatoriamente de la tabla t vs. θ y t vs. ω de Logger

Pro Vernier


71

CINEMÁTICA DE ROTACIÓN

a) Movimiento circular uniforme.

1. En base a la Tabla 1 construya la gráfica θ vs t y ω vs. t

2. Analiza y observa los datos obtenidos en el Microsoft Excel. Mediante ajuste de curvas determina la

ecuación experimental de la velocidad angular constante y compara con la ecuación (1)

3. Mediante ajuste de curvas determina el coeficiente de correlación que está en la misma gráfica.

4. Calcula el número de vueltas de los discos

b) Movimiento circular acelerado.

5. En base a la tabla 2, construya la gráfica θ vs t “en Microsoft Excel”

6. Observa las gráficas del movimiento acelerado y calcula la aceleración tangencial del bloque m2 con la

ecuación (2) y la aceleración tangencial del bloque m1.

7. Calcula el número de vueltas de los discos C y A

8, Calcula el tiempo de encuentro de los bloques m1 y m2

9. Calcula la aclaración centrípeta de cada disco con la ecuación (3)

DINÁMICA DE ROTACIÓN

a) Relación: . vs t

10. Mediante ajuste de curva, determina la ecuación experimental y compara con la ecuación (8).

11. Determina la aceleración angular experimental mediante la ecuación (6)

12. Mediante ajuste de curvas determine el coeficiente de correlación.

b) Relación: . vs t

13. En base a la tabla 3, construya la gráfica ω vs. t

14. Mediante ajuste de curvas, determina la aceleración angular experimental

15. Calcula la aceleración angular del disco de aluminio con la ecuación (10)

16. Con la ecuación (13), y los valores experimentales, calcula el momento de inercia y expresar en la

forma: I I I

CUESTIONARIO.

1. En una polea concéntrica las velocidades angulares y las aceleraciones angulares son iguales. ¿Por qué

no son iguales las velocidades tangenciales y aceleraciones tangenciales? Explique.

2. Mencione diez aplicaciones del sistema de poleas

3. Investigue el momento de inercia de masa y momento de inercia de la superficie

4. Explique cómo varia el tiempo de descenso con el radio de los discos.

5. ¿En qué casos el momento de inercia adopta valores negativos? ¿Por qué?

6. ¿Las cantidades rotacionales velocidad angular y aceleración angular son vectores? Si fuera así cual su

dirección y sentido.

7. Con la finalidad de calcular el momento de inercia de un cuerpo, ¿se puede considerar que su masa está

concentrada en su centro de masa? ¿Por qué?

8. Para lograr un mayor torque, qué es más importante, ¿La fuerza aplicada?, ¿el brazo de la palanca? ¿Por

qué?

9. Una aplicación del torque se da en el uso de palancas. Exponga las características de las palancas de

primer, segundo y tercer género.

72


MOVIMIENTO DE ROTACIÓN



MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME. TABLA 1

Radio del disco de aluminio: R = ……………. Radio de la polea: r = …………………

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t (s)

θ (rad)

ω (rad/s)

MOVIMIENTO CIRCULAR ACELERADO.

TABLA 2

rA = ……….. rB = ……….. rC = ……….. rD = ………. rE = ………. rF = ……….

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t (s)

a (m/s2)

DINÁMICA DE ROTACIÓN

TABLA 3 TABLA 4

n t (s) ω (rad/s) n t (s) θ (rad)

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8


73

COMPETENCIAS En el presente experimento de movimiento de rotación, el estudiante:

Estudio de las causas del movimiento de un cuerpo rígido para determinar el momento de inercia de cuerpos rígidos homogéneos de manera teórica y experimental.

Analiza los parámetros a medir para calcular el momento de inercia de manera teórica y experimental.

Determina el momento de inercia teórica mediante simulación y animación del evento con el uso del programa INTERACTIVE PHYSIC.

Determina el intervalo de referencia para el momento de inercia experimental.

Mediante mediciones experimentales determina el momento de inercia experimental. 7.1. FUNDAMENTO TEÓRICO El momento de inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a rotar en torno a un eje que en la mayoría de los casos, pasa por su centro de masa. Para cuerpos de forma geométricas regulares, el momento de inercia se obtiene integrando la ecuación.

S

I r dm2 (1)

Para determinar el momento de inercia teórico se recurre a tablas de momento de inercia, de donde

Para un cilindro: I mR21

2 (2)

Para una esfera: I mR22

5 (3)

Si una esfera desciende con rodadura pura por un plano inclinado como muestra la figura 1, y aplicamos la segunda ley de Newton para los dos tipos de movimientos, tenemos.

Figura 1

Asignación del sentido de movimiento:

C M

C M

aa R

R . .

. . (4)

Para movimiento de traslación:

C M C M C MF ma mg sen N ma mg sen mg cos ma

. . . . . . (5)

74

Para el movimiento de rotación:

I NR I mg cos R I (6)

Sumar las ecuaciones (5), (6) y reemplazar la ecuación (4) en (6), tenemos:

Rmg sen mg cos R C M

Rma

mg cos R

. .

C M

C M C M

C M C M

C MC M

C M C M C M

aI

R

a aRmg sen Rma I Rmg sen Rma I

R R

R m g sen aR mg sen R ma g senI I mR

a a a

. .

. . . .

. . . .

22 2

2. .. .

. . . . . .

1 (7)

Análisis cinemático con vA =0 como muestra la figura 1.

B

B A C M C M

vv v a x a

x

2

2 2

. . . .2

2 (8)

Por trigonometría, se tiene: h

sen h x senx

(9)

Reemplazando la ecuación (8) en la (7) se tiene.

BC M B B

g sen g sen g xsen g hI R m R m R m I mR

va v v

x

2 2 2 2

2 2 2

. .

2 2 1 1 1 1

2

(10)

Ecuación que nos permite calcular el momento de inercia de un cuerpo en función de su masa “m”, su radio R y

la velocidad vB con que abandona el cuerpo en el punto B

Otro método, se analizando por la conservación de la energía en los puntos A y B, si B B

v R

B

B B B

B

v g hmgh mv I mgh mv I I mR

R v

2

2 2 2 2

2

1 1 1 1 2 1

2 2 2 2 (10)

La aceleración del centro de masa, el análisis será al punto de contacto instantáneo: si 2

CMI I mR

2

2

2

( )

(11)

CM

CM

CM

CM

aI mgsen R I mgsen R I mR

R

R mgsena

I mR

DETERMINACIÓN DE vB, SALIDA HORIZONTAL.

Para calcular la velocidad horizontal, consideramos un cuerpo de masa “m” que se suelta del punto A de un plano inclinado con salida horizontal, como muestra la figura 2. Cuando llega al punto B, el cuerpo sale con una

velocidad horizontal “vB” que originará un movimiento parabólico con las siguientes ecuaciones.

75

Figura 2

Movimiento horizontal “eje x” B

B

xx v t t

v (12)

Movimiento vertical “eje y” y g t21

2 (13)

Reemplazando la ecuación (12) en (13) se tiene la velocidad en el punto B.

B

B

x gy g t y g v x

v y

2

2 2 21 1

2 2 2 (14)

Esta ecuación (14) reemplazamos en la ecuación (10) se tiene el momento de inercia.

B

gg hI mR

v

2

2

22 1

h

g

y hmR I mR

xx

y

2 2

2

2

4 1 1

2

(15)

DETERMINACIÓN DE vB, SALIDA OBLICUA.

La velocidad con que abandona la esfera el plano inclinado está dada por:

Figura 3

B

gv x

y x tan cos 22 (16)

El ángulo se determina por trigonometría y se tiene.

h htan tan

d d 1 (17)

76

MATERIALES Y EQUIPOS Plano inclinado con salida horizontal y oblicua + declinómetro.

Cuerpos geométricos de sección transversal circular (cilindro, esfera, cilindro hueco, etc..)

Pliego de papel blanco y papel carbónico.

Regla milimétrica + vernier.

Prensa.

Balanza.

Plomada.

PROCEDIMIENTO a) Plano inclinado con salida horizontal.

1. Mide las masas y las dimensiones necesarias de cada cuerpo geométrico (cilindro y esfera). 2. Mediante una prensa, fija el plano inclinado. 3. Coloca en el piso un pliego de papel blanco y en el punto de impacto coloca el papel carbónico.

4. Mediante una plomada, determina el origen del eje .

5. Fija en el plano inclinado, el punto “A” a partir del cual los cuerpos iniciaran su movimiento de rodadura.

6. Suelta 5 veces uno de los cuerpos (cilindro macizo, cilindro hueco y esfera) desde el punto “A” prefijado

en el plano y observa el impacto al piso.

7. Con una regla, mide las alturas “h”, “y” de caída y el alcance horizontales “x”.

b) Plano inclinado con salida oblicua.

8. Coloca el plano inclinado cuya salida es oblicua y mide el ángulo “θ” 9. Repite los pasos 1 a 7 para los diferentes cuerpos geométricos

CALCULOS Y RESULTADOS. a) Plano inclinado con salida horizontal.

1. Calcule la velocidad salida “vB” del movimiento de los cuerpos geométricos (cilindro macizo, cilindro

hueco y esfera), mediante la ecuación (14) y expresa en la forma B B B

v v v

2. Calcule el momento de inercia experimental y su error mediante la ecuación (15). Expresa en la forma

I I I 3. Calcula el momento de inercia teórica de los cuerpos geométricos, usando las ecuaciones (2) y (3) 4. Mediante una prueba de hipótesis y un nivel de confianza de 90% valida el momento de inercia

experimental y teórico. Considera una hipótesis nula y una hipótesis alternativa. 5. Si el momento de inercia experimental no se encuentra en el intervalo de referencia, repita el proceso

de medición corrigiendo posibles errores sistemáticos 6. Calcula la aceleración del centro de masa con la ecuación (11) 7. Repite los puntos 1, 2, 3, 4, 5 y 6 para otros cuerpos geométricos.

b) Plano inclinado con salida oblicua.

8. Considerando las ecuaciones (10), (16) y (17). Realiza los cálculos exigidos en los puntos 1, 2, … y 6 para cada uno de los cuerpos ensayados.

9. El momento de inercia experimental debe encontrarse en el intervalo de referencia, solo así se certifica las habilidades desarrolladas en el experimento.

10. Si el momento de inercia experimental no se encuentra en el intervalo de referencia, repita el proceso de medición corrigiendo posibles errores sistemáticos.

CUESTIONARIO. 1. Una esfera y cilindro de masa y radios iguales, desciende rodando por un plano inclinado. ¿Cuál de los

cuerpos llegará primero a la base del plano? 2. ¿En qué casos el momento de inercia puede ser menor a cero? Explique con demostraciones 3. Para la presente práctica, cuál cree usted que sea el caso más favorable: a) ¿Qué la esfera descienda

con rodadura pura? b) ¿con deslizamiento pura? c) ¿Una combinación de rodadura y deslizamiento? 4. ¿Con qué equipo de la presente práctica, es posible determinar el momento de inercia de un cubo? 5. Demostrar la ecuación (16)

77


MOVIMIENTO DE RODADURA



PRIMERA PARTE: Rampa con salida horizontal.

Altura del plano inclinado: h = ……… Altura del piso al plano inclinado: y = ………

CUERPO 1. Esfera

m = ………………

D = ………………

H = ………………

DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL (cm)

x1 x

2 x

3 x

4 x

5 x

CUERPO 1. Cilindro

m = ………………

D = ………………

H = ………………


x1 x

2 x

3 x

4 x

5 x

CUERPO 1. Cilindro hueco

m = ………………

D = ………………

H = ………………


x1 x

2 x

3 x

4 x

5 x

SEGUNDA PARTE: Rampa con salida oblicua.

h = ……… y = ……… d = ……… “θ” = ………

CUERPO 1. Esfera

m = ………………

D = ………………

H = ………………


x1 x

2 x

3 x

4 x

5 x

CUERPO 1. Cilindro

m = ………………

D = ………………

H = ………………


x1 x

2 x

3 x

4 x

5 x

CUERPO 1. Cilindro macizo

m = ………………

D = ………………

H = ………………


x1 x

2 x

3 x

4 x

5 x

78

COMPETENCIA. En el presente experimento de equilibrio del cuerpo rígido, el estudiante:



Verifica las condiciones de equilibrio del sistema estático.

Desarrolla habilidad cognitiva en calcular las fuerzas y los momentos con respecto a un punto.

Utiliza cifras significativas y notación científica para simplificar cálculos matemáticos.

FUNDAMENTO TEORICO. El centro de masas de un cuerpo rígido permanece en reposo si la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo

es cero. Sin embargo, aunque su centro de masa se encuentre en reposo, un cuerpo puede girar. Si hay

rotación alrededor de cualquier punto, el cuerpo no está en equilibrio estático. Así, para que el equilibrio estático

exista, el momento resultante que actúa sobre un cuerpo debe ser cero respecto a cualquier eje.

Se logra descubrir que la capacidad de rotación de una fuerza, llamada momento, es directamente proporcional

al brazo de palanca y a la intensidad de la fuerza,

El diagrama de cuerpo libre es:

Por lo tanto, las dos condiciones necesarias para que un cuerpo rígido se encuentre en equilibrio estático son:

1. La fuerza externa resultante que actúa sobre el cuerpo debe ser cero.

F 0

Para el eje x. x x

F R Tcos0 0 (1)

Para el eje y. y y A B Viga

F R m g m g m g Tsen0 0 (2)

2. El momento externo resultante respecto a cualquier punto debe ser cero.

79

oM 0

Tomando el punto de la articulación:

o A B Viga

LM x x m g x m g x m g x Tsen

1 2 2 3 30 ( ) 0

2 (3)

MATERIALES Y EQUIPOS. Un cuerpo rígido graduado cada 5cm

Cilindros de mB = 20g, mA = 150g + tres porta pesas + dos pesas de 50g


Tres prensas en U + tres varillas de acero de 50cm + tres nuez

Una regla de 100cm

Un cable del sensor de fuerza al CH1 del LABQUEST 2 + cable mini USB a USB de la computadora.


Un sensor force

Una polea

Un transportador graduado + indicador + un eje de articulación

Un dinamómetro

PROCEDIMIENTO.

a) Equilibrio del cuerpo rígido

1. Arma el equipo del cuerpo rígido horizontalmente verifique con un nivel. Conecte el sensor force a la

entrada CH1 de LABQUEST 2, y el conector MINI USB de LABQUEST 2, al USB de la computadora.

.

2. Mide las masas de los contrapesos mA, mB, en una balanza graduada (mA >> mB).

3. Conecta un hilo inextensible del cuerpo rígido al contrapesa mA que pase por la polea fija.

4. Suspende las pesas mB en los puntos indicados por el Docente de laboratorio.

5. Pone el cuerpo rígido en equilibrio y en la posición horizontal .

6. Inicia el programa de LABQUEST 2 y Logger Pro Vernier en la computadora

7. Presiona en la pantalla de LABQUEST 2 para cambias las unidades del Sensor de force

8. Mida las distancias x1, x2 y x3 sobre el cuerpo rígido.

9. Finalmente con un transportador mida el ángulo “θ”

b) Mesa de fuerza.

10. Arma la mesa de fuerza horizontalmente, conecte sobre un anillo en el centro de la mesa tres cables

inextensibles y estos a los contrapesas

11. Coloca las masas m1, m2 y m3 al contrapesa hasta que el anillo quede en el centro de la mesa y esto

nos indica que el sistema de fuerzas concurrentes está en equilibrio.

80

12. Llena la tabla de hoja de datos con los angulos alfa, beta y tita

CALCULOS Y GRÁFICAS. a) Equilibrio del cuerpo rígido

1. Con las medidas de ángulo “θ” determine con un nivel de confianza de 95%

2. Calcula las tensiones T teórico aplicando la primera ley sobre las componentes x e y compara con el valor

experimental obtenido (ecuación 3).

3. Calcula el error de la tensión ΔT por propagación de errores

4. Con las ecuaciones (1) y (2), calcula las reacciones del cuerpo rígido en la articulación.

b) Mesa de fuerza.

5. Calcula las tensiones en los cables T1, T2 y T3 por el método Lame

6. Calcula aplicando la primera ley de Newton o método de descomposición en el ejes x e y

7. Compare los resultados por ambos métodos

CUESTIONARIO.

1. Explique tres aplicaciones prácticas de la aplicación de torque o

momento en la vida diaria, realizando en cada caso su diagrama

de fuerzas.

2. Si las fuerzas están en el espacio. ¿Cuál es el método de

solución? Explique

3. Determinar el momento resultante respecto al punto O, en la

figura mostrada si la fuerza de 30N está en el medio.

81

EQUILIBRIO ESTÁTICO

EQUILIBRIO DEL CUERO RÍGIDO



TABLA 1 DE DATOS.


MAGNITUD Y UNIDAD

CANTIDAD

1 2 3 4 5 Promedio

x1 (cm)

x2 (cm)

x3 (cm)

L (cm)

L/2 (cm)

mA (g)

mB (g)

mViga (g)

T (N)

θ (º)

b) Mesa de fuerza.

................ ................ ................

m1 =……………. m2 =……………. m3 =…………….



…………………………………………………………………………………………………………………….

b) Mesa de fuerza. Teorema de Lame

TT T

sen sen sen

31 2

………………...........................................................................................................................................

82

COMPETENCIA. En el presente experimento del resorte mecánico, el estudiante:




Observa el equilibrio estático de una masa-resorte en base a un sistema de referencias.

Aplica los conocimientos de la Ley de Hooke para calcular la constante rigidez de un resorte por el método estático y dinámico.

Realiza ajuste de curvas por el método de mínimos cuadrados y propagación de errores.

Efectúa medidas de pendiente en una gráfica realizada en papel milimetrado.


FUNDAMENTO TEORICO. MÉTODO ESTATICO. Un resorte se construye de un alambre de sección uniforme arrollada en forma de hélice cilíndrica, la característica principal de este dispositivo es que, cuando se ejerce una fuerza sobre el resorte, éste puede sufrir deformaciones, al cesar la fuerza el resorte recupera su longitud natural.

La primera figura 1 muestra a un resorte de longitud natural Lo

colgado verticalmente del soporte P. Si en el extremo inferior del

resorte se cuelga un bloque de masa M, la segunda figura, el

resorte sufrirá un alargamiento “x” dado por la ley de Hooke.

F kx (*)

A su vez, el resorte ejerce una fuerza recuperadora que es proporcional y opuesto al desplazamiento.

´F kx

Donde la fuerza deformadora F es el peso del bloque.

F = w (**)

Figura 1

Reemplazando la ecuación (**) en (*), tenemos:

F w mg kx (1)

Si colgamos bloques de distintos pesos “w”, para cada uno de ellos podemos medir la respectiva elongación “x”,

con el conjunto de valores experimentales (w,x) es posible realizar la gráfica w vs x, los cuales deben seguir la

tendencia de una recta cuya pendiente es la constante de rigidez “k”. Por otro lado, por regresión lineal de la

ecuación (1), cuya forma es w = A + Bx, el término experimental A debe ser cero o muy próximo a cero, pues,

debido a errores experimentales (errores aleatorios), el término A puede ser distinto de cero; sin embargo, a través de una prueba de hipótesis debe verificarse que no difiere significativamente de cero, con la cual se validará la ecuación (1).

83

MÉTODO DINAMICO. La constante de elasticidad del

resorte “k” puede también

determinarse por el método conocido como dinámico. Para esto considere

un objeto de masa M unido a un

resorte de constante “k” y masa m

despreciable, cuando el objeto está en equilibrio estático, las fuerzas que actúan sobre el son, su peso “w” y la

fuerza del resorte, F=k x, donde x

representa la elongación del resorte. De donde la ecuación del periodo es:

2

2

2 222 2 2

( )24 (2)

m mmM MM

T T kk Tk

mM

kT

Ecuación que nos permitirá determinar la constante de elasticidad del resorte a través de las medidas de masa y periodo de oscilación. MEDIDA DEL PERIODO. Desafortunadamente, el tiempo de una sola oscilación es lo suficientemente corto para que el error al pulsar el

cronómetro (e = 0,20s) resulta significativa. Para evitar este problema, es decir, para que el error en la

determinación de periodo sea lo más pequeño posible, es conveniente medir el tiempo para n oscilaciones, tn.

nt nT (3)

A la expresión (2), aplicando logaritmos naturales, diferenciando y transformando las diferenciales en errores se

obtiene el error relativo del periodo Tε se escribe:

1 1

12 22 1 12

2 2

T

M m M mk T T k

T Tk kM m M m

(4)

CALCULO DE n. Mida el tiempo para 10 oscilaciones, con este tiempo, calcule el periodo aproximado, según.

10 10

n

n

t tt nT T

n (5)

A continuación, para un error prefijado de la constante de rigidez k, es de 2 a 2,5%, y mediante propagación de

errores de la ecuación (2), se ha obtenido Tε y se tiene en la ecuación (4). Por otro lado, el error relativo del

periodo es:

T

T

T e en

T nT T

(6)

EQUIPOS Y MATERIALES Detector de movimiento Go!Motio + varilla de aluminio con rosca + cable de USB + cable mini USB a

USB de la computadora.

84

Sensor de fuerza

Una regla de 100cm

Una varilla de 50cm + dos nuez

Tres resortes de diferente constante elástico

Un Interfaz LABQUEST 2 + cargador de batería + cronómetro con 5 cifras significativas

PROCEDIMIENTO. a) Método estático.

1. Cuelgue verticalmente el sensor forcé (sensor de fuerza), una regla y el resorte. Conecta el conector al

CH1 de LABQUEST 2, y mini USB a USB de la computadora.

2. Si la separación de las espiras no es uniforme (el resorte está torcido) cuelgue una carga inicial de modo de corregir esta dificultad.

3. Señala la posición de equilibrio estático en la parte inferior del resorte como el cero.

4. Coloca una masa m inicial en el resorte.

5. A partir del cero mida las elongaciones x.

6. Retira la pesa y verifique que la parte inferior retorne a cero, es decir, que el resorte no sufra deformación permanente.

7. Para distintas masa, determine su elongación. b) Método dinámico. Para el estudio experimental del fenómeno de los resortes mecánicos se usará el equipo mostrado en la figura.

1. Coloca en la parte inferior el detector de movimiento GO!MOTION unos 15cm hacia abajo, mediante el conector de energía, conecta a un USB de la computadora.

2. Elije la masa del cuerpo oscilante de tal modo que las oscilaciones del resorte no sean demasiado rápidas.

85

3. Desplaza con la mano la masa oscilante una pequeña distancia hacia abajo y suelta.

4. Mida dos veces el tiempo para 10 oscilaciones, t10, obtenga el promedio y a partir de ecuación (5)

estime el periodo.

5. Mide la masa del resorte, m, y la masa del cuerpo oscilante M, registre además la precisión o

resolución de la balanza.

6. Empleando la ecuación (4) y el error prefijado para k por el instructor ( %5,2 a 2ε k% ) calcula el error

relativo del periodo.


a) Método estático. Tabla 1

1. Con las masas obtenidas las diferentes deformaciones, calcula sus respectivos pesos.

2. Con el conjunto de valores experimentales (w,x) y ajustando por mínimos cuadrados, obtenga la

ecuación experimental de la ley de Hooke.

3. Comparando la ecuación ajustada con la ecuación (1) determina el constante elástico del resorte.

4. Representa en un gráfico w vs. x el conjunto de valores experimentales y elija dos puntos de la gráfica y

determine la pendiente de la gráfica que es la constante rigidez del resorte.

b) Método dinámico. Tabla 2

1. Muestre el cálculo del número de oscilaciones n.

2. Con el tiempo promedio para n oscilaciones, calcule el periodo de la ecuación (5).

3. Calcule el valor de k mediante la ecuación (2).

4. Por propagación de errores de la ecuación (2), calcule el error de k y expréselo en la forma:

k k k

CUESTIONARIO.

1. De los cuatro valores de k calculados, cual le parece el más confiable y ¿Por qué?

2. En el ajuste de la ecuación w =k x, cuya forma general es y = A + Bx, la constante B representa la

constante rigidez del resorte. ¿Qué significado físico le asigna usted a la constante A?

3. ¿Cuál es el físico del área bajo la curva w vs x?

4. Si un resorte de longitud L y constante de rigidez k se parte por la mitad. ¿Cómo será el valor de la

constante de rigidez de cada una de las partes?

5. Si el experimento se realiza en la luna, el valor de k obtenido sería igual al obtenido en la tierra? Menor? Mayor? Y ¿Por qué?.

86

RESORTE MECANICO ESTUDIANTE. …………………………………………………CARRERA. …………………………………..


TABLA 1 DE DATOS.

a) Método estático.

Longitud natural del resorte: Lo = ……………………..

No Masa M (g) Elongación x (cm)

1

2

3

4

5

b) Método dinámico. TABLA 2 DE DATOS.

Error prefijado para k: %

100 .................k

k

k

Masa del cuerpo oscilante: M =………….. Masa del resorte: m =……….

Tiempo de 10 oscilaciones t10 segundos Periodo aproximado

segundos

1 2 Promedio T

Calculando el error relativo del periodo

1 1

12 22 .................. .........1 12

2 2

T T

M m M mk T T k

T Tk kM m M m

Calculando número de oscilaciones (desviación en la manipulación del cronometro) e = 0,2s significativo.

....................... ......T

T

T e en n

T nT T

Error relativo del periodo: .................εT Número de oscilaciones: n = …...

Tiempo de oscilaciones tn segundos

tn1 tn2 tn3 tn4 tn5 omedioPrnt

Calculando el periodo. ................... ....................n

n

tt nT T T

n

Calculando la constante rigidez del resorte mecánico mediante análisis dinámico.

22 k ?

mM

Tk

87

COMPETENCIA. En el presente experimento del péndulo simple, el estudiante:




Observa el movimiento armónico simple y determinar la aceleración de la gravedad.

Verifica las leyes del péndulo.

Realiza propagación de errores y ajuste de curvas por el método de mínimos cuadrados (habilidad

cognitiva).


FUNDAMENTO TEORICO. El péndulo simple es aquel dispositivo que ésta constituido por una masa de pequeñas dimensiones, suspendida de un hilo inextensible y de peso despreciable. Cuando la masa se desvía hacia un lado de su posición de equilibrio y se abandona, oscila alrededor de esa posición con un movimiento oscilatorio, cuya trayectoria es casi una línea recta si el ángulo entre la posición extrema y la posición de equilibrio no sobrepase los 15º. Analizando la dinámica del movimiento oscilatorio,

la fuerza recuperadora de Hooke (Fe = -k x) en la

posición A, se tiene.

Por trigonometría tenemos:

x

senL

Figura 1

Por la tercera ley de Newton, tenemos.

e

x mgF mgsen kx mgsen kx mg k

L L (*)

Sabemos el periodo de movimiento armónico del resorte mecánico y reemplazamos la ecuación (*), tenemos.

2 2m m

Tk

m

2 L

Tgg

L

(1)

DETERMINACIÓN DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD. De la ecuación tenemos:

2

2

42 2 2

L L L LT g g

g T Tg

(2)

La ecuación (2) permite calcular el valor de la gravedad “g” a partir de las medidas experimentales de la longitud

de la cuerda L y el período de oscilación T. La medición de la longitud no ofrece dificultad, en cambio, en la

medida del periodo, el tiempo de una sola oscilación es lo suficiente corto para que el error en la manipulación

del cronómetro (e = 0,20s) sea significativo. Para lograr que el error en la determinación del período sea lo más

pequeño posible. Es conveniente medir el tiempo de n oscilaciones y el periodo resulta:

88

n

n

tnT t T

n (3)

Con el fin de obtener medidas representativas, conviene efectuar por lo menos 5 repeticiones (n = 5) en las

medidas de tn, entonces el error en la determinación de tn resulta.

2

tn

nt t

n

(4)

En donde 2

t

se obtiene de las tablas para n – 1 grados de libertad (probabilidad del 95%). Finalmente,

mediante propagación de errores de la ecuación (3), tenemos el error del periodo.

nt

Tn

(5)

LEYES DEL MOVIMIENTO OSCILATORIO. Primera ley. “El movimiento oscilatorio tiene un periodo independiente de la amplitud”. Esto es cierto siempre que ésta no exceda de los 10º. Segunda ley. “El periodo de un péndulo es independiente de la masa pendular” Tercera ley. El período es directamente proporcional con la raíz cuadrada de la longitud pendular”

1 1

2 2

T L

T LT L

(6)

Cuarta ley. “EL período de un péndulo es inversamente proporcional con la raíz cuadrada de la gravedad local”.

1 2

2 1

1

T gT

T gg (7)

En el laboratorio deseamos verificar experimentalmente tales leyes. Entonces, de acuerdo a la ecuación (1), si aumentamos el ángulo de separación θ, digamos al doble, la

amplitud de oscilación “x´” aumenta también al doble, ya que x´ = θ´L, sin embargo el periodo del péndulo

debe permanecer constante. Por otro lado, si reducimos la masa m del péndulo, digamos a la mitad m´=1/2m,

el periodo del péndulo, por ser independiente de la masa, de nuevo debe permanecer constante.

Finalmente se reducimos la longitud del hilo L, digamos a la mitad L´=1/2L, entonces el periodo del péndulo

debe también reducirse.

EQUIPOS Y MATERIALES Detector de movimiento Go!Motio + varilla de aluminio con rosca + cable de USB.

Una regla de 30cm + un transportador de 180º

Un cronómetro con cinco cifras significativa + una balanza digital

PROCEDIMIENTO. Para el estudio experimental del fenómeno del movimiento armónico simple “MAS” se usará el equipo mostrado en la figura.

Figura 2

89

DETERMINACIÓN DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD.

1. Arma el péndulo mostrado en la figura 2, con una longitud aproximado de L = 90cm

2. Para un ángulo fijado por el instructor, digamos θ = 4º, calcule la amplitud lineal x = θL

3. Desplace la esfera de la posición de equilibrio hasta que su centro de masa coincida con el punto de amplitud θ = 4º.

4. Suelte el péndulo y mediante un cronometro, determínese el tiempo de n = 15 oscilaciones.

5. Conecta el sensor de movimiento GO!MOTION a la entrada USB de la computadora.

6. Inicia el programa Logger Pro y abrir el archivo Vernier que está en la pantalla de la computadora.

7. Coloca el sensor de movimiento GO!MOTION a una distancia de 20cm de “x” como muestra la figura 2

y ubicar la posición cero en ese lugar activando el botón Cero en la barra de herramientas. Activar el

botón Tomar Datos de la barra de herramienta y, después de que este botón se convierta en el botón

Detener, suelta la esfera y empieza a oscilar. En la pantalla de Logger Pro se muestra un onda senoidal

8. Repítase los pasos 1 a 4 cinco veces.

9. Mídase la masa y el diámetro de la esfera.

LEYES DEL PÉNDULO. a) El periodo es independiente de la amplitud.

7. Manteniendo constante la longitud del hilo L =90cm y la masa de la esfera m, aumente la amplitud de

oscilación a θ´ = 2θ = 8º, calcule luego la nueva amplitud lineal x´. 8. Desplace la esfera de la posición de equilibrio hasta que su centro de masa coincida con el punto de

amplitud θ´ =8º.

9. Suelte el péndulo y para el número de oscilaciones elegido anteriormente (n = 15), determine el tiempo tn por lo menos tres veces.

b) El periodo es independiente de la masa.

10. Seleccione una esfera de distinta masa a la usada en el apartado (a) por ejemplo m´=1/4m.

11. Manteniendo constantes la longitud del hilo L = 90cm, la amplitud de oscilación θ = 4º, y el número de

oscilaciones n = 15, mida el tiempo tn por lo menos tres veces.

c) El periodo es proporcional a la longitud del hilo.

12. Reduzca la longitud del hilo a la mitad de la usada en el apartado (a), es decir: L´=1/2L.

13. Empleando la esfera del apartado (a), y manteniendo constantes la amplitud de oscilación θ = 4º, y el

número de oscilaciones n = 15, mide el tiempo tn por lo menos tres veces.

CALCULOS Y GRÁFICAS DETRMINACIÓN DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD.

1. Con las medidas de tn, y para una probabilidad del 95%, exprese tn en la forma n nt t

2. Mediante las ecuaciones (4) y (6) calcule el periodo y su error. Escriba en la forma: T T

3. Calcule el valor de la gravedad “g” empleando la ecuación (2).

4. Propagando la ecuación (2), Calcule el error de “g”, y exprese la gravedad en la forma: n

g g

5. Compare el valor experimental obtenido g con el valor teórico de “g” reportado en la ciudad de La Paz.

¿En qué porcentaje difiere?, ¿Por qué?. Para la comparación emplee la siguiente expresión:

exp.% 100

teo

teo

g gdiferencia

g Se sugiere que esta diferencia sea alrededor de 0,5%.

6. Mediante un test de hipótesis, y un nivel de confianza del 95%, informe si el valor experimental gexp difiere significativamente o no del valor teórico gteo reportado en la ciudad de La Paz. Para ello

considere Ho: gexp = gteo como hipótesis nula, y H1: exp teo

g g como hipótesis alternativa.

90

LEYES DEL PÉNDULO. a) El periodo es independiente de la amplitud.

7. con las medidas de ´n

t , para la amplitud θ´ = 2θ, calcule el valor medio ´n

t

8. Empleando la ecuación (4), calcule el periodo ´T

9. Compare el nuevo periodo ´T con el periodo T calculando en el punto 2 del apartado. ¿En qué

porcentaje difiere?. Para la comparación emplee la expresión: ´

% 100T T

diferenciaT

10. ¿Es el periodo independiente de la amplitud de la masa del péndulo? b) El periodo es independiente de la masa.

11. Calcule el nuevo periodo ´T para la masa del péndulo m´ y compárelo con él con el periodo T

calculado en el punto (2) del apartado. ¿En qué porcentaje difieren? Para la comparación emplee la

expresión: ´

% 100T T

diferenciaT

12. ¿Es el periodo independiente de la masa del péndulo? c) El periodo es proporcional a la longitud del péndulo.

13. Calcule de nuevo periodo ´T para la longitud del péndulo L´= 1/2L y compárelo con el periodo

T calculado en el punto 2 del apartado. ¿En qué porcentaje difieren?. Para la comparación emplee la

expresión: ´

% 100T T

diferenciaT

14. ¿Es el periodo independiente de la longitud del péndulo?

CUESTIONARIO. 1. ¿En qué casos puede considerarse un movimiento pendular como movimiento armónico simple?

2. ¿Qué características debe tener un péndulo para considerarse péndulo simple?

3. ¿De qué factores depende el valor de la aceleración de la gravedad? Calcule su valor teórico en la ciudad de La Paz.

4. ¿A qué altura respecto la superficie de la tierra la gravedad terrestre se ha reducido a la mitad?

5. Si el valor de la gravedad en la superficie de la tierra es de 9,81m/s2, ¿cómo será su valor en el centro

de la tierra?, ¿menor?, ¿mayor?, ¿por qué?

6. Explique cómo se ha minimizado uno de los errores sistemáticos al medir la longitud del cable inextensible y la medición del cronometro.

7. Indique otros errores sistemáticos que operan en este experimento en las tablas 1 y 2.

8. Para el péndulo de esta práctica, ¿En qué punto la energía cinética es máxima?, ¿Cuál su valor?

9. Un péndulo tiene un periodo de oscilación de 2,84s, ¿cuál la longitud del péndulo?

10. Un péndulo de longitud L, posee un periodo de oscilación T. ¿En cuánto se deberá reducir la longitud del péndulo, para que su periodo de oscilación disminuya a la mitad?

11. Para un péndulo de oscilación, bosqueje los gráficos de x vs t, v vs t y a vs t. 12. Si un reloj de péndulo adelanta, ¿se debe aumentar o disminuir la longitud del péndulo para corregir la

desviación? Razona la respuesta.

13. ¿Hasta qué valor del ángulo, el periodo cumplirá con las condiciones de un péndulo simple? Explíquelo matemáticamente.

14. ¿Por qué es necesario que la amplitud de oscilación para cada longitud es siempre menor que un décimo de la longitud usada? explique

15. ¿En qué puntos de su oscilación, el péndulo tiene la mayor velocidad y la mayor aceleración? Explique.

91

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE PENDULO SIMPLE



TABLA 1 DE DATOS.

DETERMINACIÓN DE LA GRAVEDAD.

Diámetro de la esfera: D = ………………

Masa de la esfera: m = ………………

Longitud del hilo: L = ………………

Amplitud de oscilación: θ = ………………

Número de oscilaciones: n = ………………

Tiempo para n

oscilaciones 1nt

2nt

3nt

4nt

5nt

nt n

tT

n

(s)

TABLA 2 DE DATOS LEYES DEL PÉNDULO

a) T es independiente de la longitud.

θ2θ́ =

m =

L =

n =

1nt

2nt

3nt

nt n

tT

n

b) T es independiente de la masa.

´m

θ =

L =

n =

1nt

2nt

3nt

nt n

tT

n

c) T es dependiente de la longitud del hilo.

L´ = 1/2L =

m =

θ =

n =

1nt

2nt

3nt

nt n

tT

n

92

COMPETENCIA. En el presente experimento del péndulo físico, el estudiante:


Calibra los equipos y los patrones de medida para evitar los errores sistemáticos (destreza manual)

Estudia del movimiento armónico simple y el péndulo físico

Determina la aceleración de la gravedad

Estudia las propiedades del péndulo físico

Determina el radio de giro

FUNDAMENTO TEORICO. El pédulo físico está formado por un sólido rígido que puede oscilar libremente de un punto fijo sin rozamineto.

En el exprimento, emplearemos una varilla de longitud L, masa m y centro de masa M.C.. El péndulo físico de

la figura 1, se halla suspendido de un punto O; cuando el péndulo se desplaza un ángulo “θ” respectode un eje

vertical el momento de inercia rotacional o torque recuperadora debido al peso se define:

Figura 1

El torque restauradora es: si sen

b mg sen b mg (1)

Aplicando la segunda ley de Newton en cuerpos rígidos.

o o

o

o

d b mg dI b mg I

dt I dt

d b mg

dt I

2

2 2

2 2

2

2

0 (2)

Según la ecuación diferencial, se tiene:

93

o

o o o

o

Ib mg b mg b mg T

I I T I b mg

IT

b mg

2 2

2

2 (3)

Por teorema de ejes paralelos, se tiene en momento de inercia:

o C MI I m b2

. . (4)

Reemplazando la ecuación (4) en (3) tenemos la ecuación que describe el movimiento armónico simple.

o C MI I m b

T Tb mg b mg

2

. .

2 2 (5)

Siendo: b: radio de giro

IC.M.: Momento de inercia del centro de masa

Ecuación que permite ver que el periodo de oscilación es independiente de la masa del sólido rígido y del

ángulo de oscilación, siempre y cuando este sea pequeño.

a) Determina experimentalmente la aceleración de la gravedad en una varilla.

Figura 2

Para una varilla uniforme: C M

I mL2

. .

1

12 (6)

Reemplazando la ecuación (6) en (5) tenemos el periodo para una varilla

o C M

mmL m bI I m bT T

b mg b mg b mg

2 22

. .

1 122 2 2 2

L b

b m

2 21

12

g

L b

Tbg

2 21

2 12 (7)

No hacer ruido ni sonido para este experimento

94

Haciendo un cambio de variable, se tiene la ecuación (7)

L b

kb

2 21

12

L b

T T kbg g

2 21

2 212 (8)

Ecuación que permite calcular la aceleración de la gravedad, midiendo el tiempo de oscilación para diversos

puntos de suspensión, en consecuencia se disponen de pares de datos Ti y ki. La ecuación (8) puede

linealizarse aplicando logaritmos.

T logT

A logg

logT log k logT log logk C Vg g

B

k lcogk

T A Bk

*

2

2 2 1 . .

2 1

2

*

* * (9)

Los pares de datos experimentales Ti y ki deben transformarse a i

T * y

ik *

estos últimos por regresión lineal

conducen a la ecuación experimental.

E ET A B k* * (10)

A partir de la ordenada en el origen experimental (AE) la medida experimental de la aceleración de la gravedad

resulta:

E

E E

A

A AEA log g g

g g

2

2

2 2 2 4 10

10 10 (11)

b) Determina experimentalmente la aceleración de la gravedad en un disco.

Figura 3

Por teorema de ejes paralelos, se tiene en momento de inercia para un disco:

o C M oI I m b I mR m b2 2 2

. . (12)

De la ecuación (3) si tiene el periodo de un disco

95

oI mR m b m

T Tb mg b mg

2 2 2 2 2

R b

b m

2 2

g

R b R bT T

b g bg

2 2 2 222 (13)

Siendo: b: radio de giro

R.: Radio del disco

Ecuación que permite ver que el periodo de oscilación es independiente de la masa del sólido rígido y del ángulo de oscilación, siempre y cuando este sea pequeño.


Detector de movimiento Go!Motio + varilla de aluminio con rosca + cable de USB.

Una regla de 100cm + un transportador de 180º

Un cronómetro con cinco cifras significativa

Una balanza analógica o digital

PROCEDIMIENTO. Para el estudio experimental del fenómeno del movimiento armónico simple “péndulo físico” se usará el equipo mostrado en la figura 2. Determina experimentalmente la aceleración de la gravedad en una varilla.

1. Arma el péndulo físico mostrado en la figura 2.

2. Mide tres veces la longitud de la varilla del péndulo físico.

3. Mide la distancia b, del centro de masa al punto de suspensión O

4. Para un ángulo fijado por el instructor, digamos θ = 10º, calcule la amplitud lineal x = θL

5. Desplace la varilla de la posición de equilibrio hasta que su centro de masa coincida con el punto de amplitud θ = 10º.

6. Suelte el péndulo físico y mediante un cronometro, determínese el tiempo de n = 10 oscilaciones (t10).

7. Conecta el sensor de movimiento GO!MOTION a la entrada USB de la computadora.

8. Inicia el programa Logger Pro y abrir el archivo Vernier que está en la pantalla de la computadora.

9. Coloca el sensor de movimiento GO!MOTION a una distancia de 20cm de “x” como muestra la figura 2

y ubicar la posición cero en ese lugar activando el botón Cero en la barra de herramientas. Activar el

botón Tomar Datos de la barra de herramienta y, después de que este botón se convierta en el botón

Detener, suelta la varilla del péndulo físico y empieza a oscilar. En la pantalla de Logger Pro se muestra

un onda senoidal

10. Repite los pasos 3 a 6 tres veces.

11. Repite los pasos de 3 a 9 para cada punto de suspensión de la varilla. Determina experimentalmente la aceleración de la gravedad en un disco.

12. Arma el péndulo físico mostrado en la figura 3.

13. Para determinar la aceleración de la gravedad de un disco repita los puntos de 2 a 11

CALCULOS Y GRÁFICOS.

Determina experimentalmente la aceleración de la gravedad en una varilla.

1. Calcula L y los respectivos b de cada punto de suspensión

2. Calcula el promedio de t10 para cada punto de suspensión.

3. Con t10

determina el periodo de oscilación, mediante: i

tT 10

10 para cada punto de suspensión

4. Calcula i

T * mediante

i iT logT*

96

5. Determina los respectivo i

k * mediante

i

i

Lb

k logb

2

* 12

6. Ajuste el conjunto de puntos i

T * y

ik *

mediante el método de mínimos cuadrados.

7. Determina la aceleración de la gravedad empleando la ecuación (11)

8. Mediante propagación de errores de la ecuación (11) y con el error de la ordenada en el origen, determina el error de la aceleración de la gravedad

9. Con los datos experimentales, efectúa una gráfica i

T vs. b

10. De la gráfica obtenga todos los valores experimentales buscados

Determina experimentalmente la aceleración de la gravedad en un disco.

11. Determina la aceleración de la gravedad empleando la ecuación (13)

12. Mediante propagación de errores de la ecuación (13) y con el error de la ordenada en el origen, determina el error de la aceleración de la gravedad

13. Repita los pasos de 1 a 10 para el disco.

CUESTIONARIO. 1. ¿Cuál es la diferencia entre el péndulo simple y péndulo físico? Explique

2. Demuestre el periodo de un péndulo simple y un péndulo físico de un aro ¿En qué se diferencian los periodos?

3. Efectúa las correcciones necesarias en la ecuación (13) para el caso en que el ángulo de oscilación no sea muy pequeño

4. ¿Cuál la magnitud del periodo de oscilación de un péndulo físico, si este se suspende del centro de masa?

5. Calcula el periodo de oscilación de un cilindro (en La Paz y a nivel del mar) de un péndulo físico, en el

cual D = 44cm y b = 20cm

6. Considere un sólido rígido que puede oscilar alrededor de un eje horizontal, a) ¿el periodo de oscilación depende la masa del sólido rígido? b) ¿el periodo de oscilación de la forma del sólido rígido? c) ¿el periodo de oscilación depende del tamaño del sólido rígido? d) ¿el periodo de oscilación depende de la posición del eje con respecto a su centro de masa? Explique sus respuesta

97

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE PENDULO FÍSICO



TABLA 1 DE DATOS.

Determina experimentalmente la aceleración de la gravedad en una varilla.

Masa de la varilla del péndulo físico: m = ………………

L1 L2 L3 L4 L

n b1 b2 b3 b t1

10 t

210

t3

10 t

110

T

1

2

3

4

5

6

Determina experimentalmente la aceleración de la gravedad en un disco.

Masa de un disco del péndulo físico: m = ………………

D1 D2 D3 D4 D

n b1 b2 b3 b t1

10 t

210

t3

10 t

110

T

1

2

3

4

5

6

98

BIBLIOGRAFIAS.

TEXTOS SUGERIDOS

SERWAY, Raymond. FISICA tomo I, Quinta edición. Ed. McGraw Hill.

EDUARDO Huayta C. Medidas y Errores. Edición 2014

EDUARDO Huayta C, Practicas de Física I 4ta Edición 2007

MANUEL R. Soria R. Física Experimental 3ra

Edición 2011

TEXTOS COMPLEMENTARIOS

Tipler Mosca, Física para la ciencia y tecnología, ”Tomo I” Editorial McGraw - Hill, 1999

Sears y Zemansky, Física General, Editorial Aguilar S.A., España, 1980

99

MEDIDA Y MEDICIÓN

El redondeo, deberá mostrar la calidad de las medidas, la altura tiene tres cifras significativas es de menor calidad, el diámetro tiene cuatro cifras significativas que es de mayor categoría, el resultado de la operación matemática no puede poseer mayores atributos, por lo tanto el resultado debe mostrar la menor calidad (246,1mm

3) que es la altura

CIFRAS SIGNIFICATIVAS.

Los valores numéricas que se escriben delante de la unidad de medida, deben expresar la calidad del instrumentos empleado en la medición.

EXPRESIÓN DE LA MEDIDA.

REDONDEO DE VALORES.

a) Cuando el dígito a eliminar es mayor a cinco, al dígito retenido se suma más uno.

b) Cuando el dígito retenido es menor a cinco, el dígito retenido no cambia.

100

c) Cuando el dígito a eliminar es igual a cinco, al dígito retenido se le aplica el criterio de preferencias al número impar, si es impar se sumas +1 al digito retenido y si es par el dígito retenido no cambia.

DATOS FISICOS TEÓRICOS.

CANTIDAD SÍMBOLO VALOR APROXIMADO

Constante de gravitación universal G 2

211

kg

Nm1067,6

Velocidad de la luz c 3x108 m/s = 300000km/s

Constante de Boltzmann k 1,38x10-23

J/K

Número de Avogadro NA 6,02x1023

mol-1

Constante de un gas R=NAk 8,31J/mol-K = 1,99cal/mol-K

Constante de la ley de Coulomb k=1/4o 9x109N-m

2/C

2

Carga de un electrón e 1,60x10-19

C

Permisividad del espacio libre o 8,85x10-12

C2-N-m

2

Permeabilidad del espacio libre o 4x10-7

T-m/A = 1,26x10-6

T-m/A

Unidad de la masa atómica u 1,66x10-27

kg = 931MeV/c2

Constante de Plank h

h=h/4

6,63x10-34

J-s 1,05x10

-34J-s

Masa de un electrón en reposo me 9,11x10-31

kg=5,49x10-4

u0,511MeV

Masa de un protón en reposo mp 1,672x10-27

kg=1,007267u938,28MeV

Masa de un neutrón en reposo mn 1,674x10-27

kg=1,008665u939,57MeV

Radio de Bohr de un átomo de hidrogeno ao 0,053nm

FUENTE: Física, Jerry D. Wilson DATOS DEL SISTEMA SOLAR

CANTIDAD VALOR APROXIMADO

Velocidad del sonido 340m/s

Velocidad de la luz 3x108m/s

Gravedad de la luna 1,67m/s2

Gravedad del sol 274m/s2

Gravedad de la Tierra en La Paz Bolivia 9,775m/s2 = 977,5cm/s

2

Radio del sol 6,96x1015

km

Radio ecuatorial de la Tierra 6,378x103km = 3963 milla

Radio polar de la Tierra 6,357x103km = 3950 milla

Masa de la Tierra 5,98x1024

kg

Diámetro de la Luna 3500km milla

Masa de la Luna 7,4x1022

kg = 1/81 masa de la Tierra

Distancia promedio de la Luna a la Tierra 3,8x105km = 2,4x10

5 milla

Diámetro del Sol 1,4x106km 864000 milla

Masa del Sol 2x1030

kg

Distancia promedio de la Tierra al Sol 1,5x108km = 93x10

6 milla

FUENTE: Física, Jerry D. Wilson

101

FACTORES DE CONVERSIÓN TEÓRICOS. 1m/s = 1.9425 nodos

LONGITUD 1km = 1000m 1m = 100cm 1cm = 10mm 1pie = 30.48cm 1pie = 12pulg 1pulg = 2,54cm 1milla terrestre = 1,609km 1milla náutica = 1,852km 1yarda = 3pie 1yarda = 91,44cm 1legua = 5km 1 toesa = 5,03m 1 estadio = 10 cadenas 1 milla = 8 estadios 1 var = 0,866m 1 var = 16,5 pies 1 legua = 30 millas 1 braza = 6 pies 1 °A = 10

-10m

MASA 1 kg = 1000gr 1 kg = 2,205lb 1 UTM = 9,81kg 1 slug = 14,59kg 1 Ton larga = 1016kg 1 Ton larga = 2240lb 1 Ton corta = 2000lb 1 ton métrica = 1000kg 1 arroba = 25lb 1 qq = 100lb 1 qq = 4 arrobas 1 onza troy = 31,11gr

1 onza = 28,35gr

TIEMPO 1 min = 60 s 1 hr = 60 min = 3600 s 1 día = 24hr 1 semana = 7 días 1 año = 12 meses 1 año = 365,6 días 1 milenio = 1000 años 1 siglo = 100 años 1 década = 10 años 1 años bisiesto = 366 días

VOLUMEN 1 m

3 = 1000 lt

1lt = 1000 ml 1galonUSA=3,785lt 1galonIngles = 4,546lt 1 pecks = 16 pintas áridas 1 pecks = 8cuartos áridas

1 barril petróleo = 159 lt 1 barril liquido = 119,240 lt 1 pie

3 = 28,32lt

PRESIÓN 1Pa = 0,209 lb-f/pie

2

1atm = 1,013x105 Pa

1atm = 760 mmHg 1atm = 760 torr 1atm = kg-f/m

2

1Pa = 9,26x10-6

atm 1atm =1,01325 bar 1atm = 14,7PSI 1atm = 10,353 mH2O

POTENCIA MECÁNICA 1kw = 1000W 1C.V. = 735W 1HP = 746 W 1HP = 550lbf pie/s 1 BTU/h = 0,293W 1 HP = 746x10

7 erg/s

1 CV = 35kgf-m/s 1cal/s = 3,087lbf pie/s

FUERZA 1 N = 10

5 dina

1 N = 0,225 lbf 1 kp = 9,81 N 1 kg-f = 9,81 N 1 dina = 10

-5 N

TRABAJO ENERGÍA Y CALOR 1 J = 10

7 erg = 0,101972kgf-m = 0,73754 lbf-pie

1 J = 0,239 cal = 9.478x10-3

BTU = 10197,2grf-c 1 BTU = 252 cal 1 kw-h = 3,6x10

6 J

AREA O SUPERFICIE 1 m

2 = 10

4 cm

2 = 10,764 pie

2 1 ha = 2,47 acre

1 plg2 = 6,452 cm

2 1 yarda

2 = 0,8361 m

2

1 acre = 43600 pie2 1 ha = 10000 m

2

1 acre = 4046,86m2 1 milla

2 = 640 acres

FIGURAS GEOMÉTRICAS

ÁREAS

MAGNITUDES SÍMBOLO (S.I.) FORMULA

FÍSICA ECUACIÓN

DIMENSIONAL

m2

P: Perímetro A: Área h: Altura b: Base

TRIANGULO RECTANGULO

1A bh; P b h c

2 A = m

2 = L

2

P = m = L

m2

b: Lado

CUADRADO

2A b ; P 4b A = m

2 = L

2

P = m = L

m2

D: Diámetro R: radio P: Perímetro A: Área

CIRCULO

DR2P

RA D4

A 22

ππ

ππ

A = m2 = L

2

P = m = L

m2

P: Perímetro A: Área. h: Altura b: Base

RECTANGULO

bhA

b2h2P

A = m2 = L

2

P = m = L

102

m2

P: Perímetro A: Área. h: Altura A, b, c: Lados S: Semiperímetro

TRIANGULO OBLICUANGULO

bh2

1A

2

cbaS

cbaP

A = m2 = L

2

S = m = L P = m = L

m2

R: Radio s: Arco

CUADRANTE

2R4

1A π

R2R2

1P π

A = m2 = L

2

P = m = L

m2

a: Lados d1, d2: Diagonales P: Perímetro

ROMBO

)dd(2

1A 21

222

21 a4dd a4P

A = m2 = L

2

P = m = L

m2

P: Perímetro A: Área. h: Altura a, b, c, d: Lados

TRAPECIO

mh2

h)da(A

)da(

2

1m

dcbaP

A = m2 = L

2

m = m = L P = m = L

m2

a, b, c, d: Lados d1, d2: Diagonales P: Perímetro

TRAPEZOIDE

22222221 )dcba()dd(4

2

1A

dcbaP

A = m2 = L

2

P = m = L

m2

R: Radio h: Altura c: Cuerda

SEGMENTO CIRCULAR

2360

2 )hR(c

ºRA

A = m

2 = L

2

m2

s: Arco R: Radio P: Perímetro θ: Grados

SECTOR CIRCULAR

ºRA

360

2

s R R2sP Rs5,0A

A = m2 = L

2

s = m = L P = m = L

m2

a, b: Lados h: Altura P: Perímetro

PARALELOGRAMO CUALQUIERA

ahA αabsenA

b2a2P

A = m2 = L

2

P = m = L

D: diámetro mayor d: diámetro menor R: Radio mayor r: Radio menor P: Perímetro

CORONA CIRCULAR

)rR(A 22 )dD(A 22

4

DPext π dPint π )dD(PTotal π

A = m2 = L

2

P = m = L

VOLÚMENES

MAGNITUDES SÍMBOLO (S.I.) FORMULA

FÍSICA ECUACIÓN

DIMENSIONAL

m3

d: Aristas

CUBO

2 3A 6d ; V d V = m3 = L

3

103

m3

PARALELEPIPEDO

)hdbhbd(2A

bdhV

t

h)db(2AL

V= m3 = L

3

m3

CILINDRO

HD4

V 2π HrV 2π

rH2AL π

)rH(r2AT π

V = m3 = L

3

m3

r: Radio H: Altura mayor h: Altura menor D: Díametro

CILINDRO TRUNCADO

)2

hH(D

4V 2 π

)2

hH(rV 2

π

V= m3 = L

3

m3

g: Generatriz H: Altura D: Díametro r: Radio

CONO

HD12

V 2π Hr

3

1V 2π

rgAL π 2t rrgA ππ

V= m3 = L

3

m3

D: Díametro R: Radio

ESFERA

DV

2 34A 4 R ; V R

3

V = L3

A= m2 = L

2

m3

g: Generatriz H: Altura D: Díametro mayor D: Díametro menor r: Radio menor R: mayor

CONO TRUCADO

H)DddD(12

V 22 π

H)RrrR(3

1V 22 π

)rR()rR(gA 22t ππ

)rR(gAL π

A= m2 = L

2

V= m3 = L

3

m3

x, y, z: Lados

CUÑA TRIANGULAR

xyz2

1V V= m

3 = L

3

mmm=m3

P: Perímetro de la base a: Apotema H: Altura Ab: Área de la base

PIRÁMIDE RECTANGULAR

HA3

1bcH

3

1V base

Pa2

1AL bcPa

2

1A t

V= m3 = L

3

A= m2 = L

2

g

104

m3

a: Arista

TETRAEDRO 3a1178,0V

2a 3A 2a7321,1A

V= m3 = L

3

A= m2 = L

2

m3

H: Altura P: Perímetro de la base Ab: Área de la base

PRISMA RECTO

HAV b

PHAL

2t A2PHA

V= m3 = L

3

A= m2 = L

2

m3

H: Altura c: Perímetro de la sección recta Ab: Área de la base

g: Generatriz

CILINDRO OBLICUO

HrV 2π

cgAL

bt A2cgA

V= m3 = L

3

A= m2 = L

2

m3

a: Arista

OCTAEDRO 3a4714,0V

V= m3 = L

3

DISTRIBUCIÓN DE LAS MEDIDAS Y ERRORES

MEDIDA DE PRECISIÓN

xxx DDD HHH VALOR PROMEDIO

n

x..xxxx n321

n

ii 1

H

Hn

ó

n

ii 1

D

Dn

DESVIACIÓN ESTANDAR

n

ii 1

(x x)

Sn 1

RELACIÓN DE VALOR PROMEDIO Y DESVIACIÓN ESTANDAR

2n

n2 i 1

i 1

x

xn

n 1

2n

n2 i 1

i 1

H

H

Hn

n 1

DEFINICIÓN DE ERRORES

a) Error absoluto. x x Es el mínimo valor de magnitud que podemos apreciar mediante un instrumento

determinado al momento de realizar la medida.

b) Error absoluto de a función. Si F=f(x,y,z,….) Para medidas indirectas

Δ Δ Δ Δ .....F F F

F x y zx y z

22 2

2 2 2 Ejempla para cilindro: HDV 2

4

22

22

HH

VD

D

VV

c) Error relativo porcentual. r%

x V100% 100%

x V

Comprueba la fiabilidad de la medida. Cuanto

mayor sea este error más inexacto será la medida y cuanto más pequeño sea su valor, más precisa será la medición.

105

NÚMERO DE

MEDICIONES

1)x

(n 2

σ

ERROR DEL VALOR MEDIO

)1n(n

)xx(

1n

2i

σε

INTERVALO DE CONFIANZA PARA MEDICIÓN DIRECTA.

Distribución de t de student

Grado de libertad: ѵ = n-1

Nivel de confianza: 1 N. Confianza

2 2

La distribución de t de student.

El error absoluto es:/2

x tn

Desviación estándar de la media: x

n

ERRORES SEGÚN ORIGEN

ERRORES SEGÚN CARACTER

Errores introducidos por el Instrumento

ERRORES SISTEMÁTICOS

Errores de interacción

Al medir repetidas veces una magnitud siempre se comete

el mismo error, estos afectan al resultado

Debido a cálculos

Empleo de una ecuación en su forma más simple

Uso de un valor constante equivocado

Error de cero

Error de calibración

Debido a los instrumentos de medida

Error de paralaje

Debido a las características del observador

ERRORES FORTUITO

S

ERRORES GRUESOS

ERRORES ILEGÍTIMOS

Son errores que ocurren

casualmente y solo se puede

minimizar realizando

varias medidas

Es debido al observador por la mala toma de

datos 5,3g puede anotar 3,5g o el uso de una

ecuación equivocado.

ecuación

equivocado

Falta de definición en el objeto

Ecuación equivocada o homogenización de

unidades equivocado. 9,775m/s

2 ≠32,2Pulg/s

2

CL

AS

IFIC

AC

IÓN

DE

ER

RO

RE

S

g = 9,81m/s2 a nivel del mar

g= 9,775m/s2 en La Paz

HHH

n

σHH H

2

αn

σHH H

2

α

106

TABLA DE VALORES DE t/2

50% 80% 90% 95% 98% 99% 99,5% 99,8% 99,9%

0,25 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0025 0,001 0,0005

1 1,000 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 127,3 318,31 636,62 2 0,816 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 14,089 23,326 31,598 3 0,765 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 7,453 10,213 12,924 4 0,741 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5,598 7,173 8,610 5 0,727 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 4,773 5,893 6,869

6 0,718 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 4,317 5,208 5,959 7 0,711 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,029 4,785 5,408 8 0,706 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 3,833 4,501 5,041 9 0,703 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 3,690 4,297 4,781

10 0,700 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 3,581 4,144 4,587

11 0,697 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 3,497 4,025 4,437 12 0,695 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,428 3,930 4,318 13 0,694 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,372 3,852 4,221 14 0,692 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,326 3,787 4,140 15 0,691 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,286 3,733 4,073

16 0,690 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,252 3,686 4,015 17 0,689 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,222 3,646 3,965 18 0,688 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,197 3,610 3,922 19 0,688 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,174 3,579 3,883 20 0,687 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,153 3,552 3,850

21 0,686 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,135 3,527 3,819 22 0,686 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,119 3,505 3,792 23 0,685 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,104 3,485 3,767 24 0,685 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,091 3,467 3,745 25 0,684 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,078 3,450 3,725

26 0,684 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,067 3,435 3,707 27 0,684 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,057 3,421 3,690 28 0,683 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,047 3,408 3,674 29 0,683 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,038 3,396 3,659 30 0,683 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,030 3,385 3,646

40 0,681 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 2,971 3,307 3,551 60 0,679 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 2,915 3,232 3,460 120 0,677 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 2,860 3,160 3,373

0,674 1,282 1,645 1960 2,326 2,576 2,807 3,090 3,291

PROPAGACIÓN DE ERRORES PARA MEDICIONES INDIRECTAS

Determinando el error del volumen por propagación de errores:

derivadas Aplicando

logaritmo Aplicando HDV 2

4

Aplicando logaritmo:

HlnDlnlnVln

24

Aplicando derivada:

Δ ΔΔ

2 D HV V

D H

PROPIEDADES DIFERENCIALES

y AB d(A.B) BdA AdB

2

A A BdA AdBy d( )

B B B

n n n 1y x d(x ) nx dx

y A B d(A B) dA dB

y c d(c) 0 c = cte

Regla de la cadena

(v) (v)y u d(u ) dudv

PROPIEDADES DE LOGARITMO Log(A.B) = logA + logB

BlogAlog)B

Alog(

AlognAlog n

Alogn

1AlogAlog n

1

n

107

A) Prueba bilateral.

1. Formulación de hipótesis:

Hipótesis nula: μx:H0

Hipótesis alternativa: μx:H0

2. Selección de estadística:

n/σ

μxt

n

σtxμ calc

3. Determinando de tabla II: 1n,2/αt

4. Decisión:

Se acepta: 1n,2/αcalc tt

Se rechaza: 1n,2/αcalc tt

B) Prueba unilateral.

1. Formulación de hipótesis:

Hipótesis nula: μx:H0

Hipótesis alternativa: μx:H0

2. Selección de estadística:

n/σ

μxt

n

σtxμ calc

3. Determinando de tabla II: 1n,2/αt

4. Decisión:

Se acepta: 1n,2/αcalc tt

Se rechaza: 1n,2/αcalc tt

DESCARTE DE DATOS

Q de Dixon Calculado

Valor sospechoso valor más cercanoQ

Valor más grande valor más pequeño La hipótesis es aceptada:

Calculado críticoQ Q

TABLA: valores de Q

No 90% (1-cola)

80% (2-colas) 95% (1-cola)

90% (2-colas) 98% (1-cola)

96% (2-colas) 99% (1-cola)

98% (2-colas) 99,5% (1-cola) 99% (2-colas)

3 0,396 0,941 0,976 0,988 0,994

4 0,679 0,765 0,846 0,889 0,926

5 0,567 0,642 0,729 0,780 0,821

6 0,482 0,560 0,644 0,698 0,740

7 0,434 0,507 0,586 0,637 0,680

8 0,399 0,468 0,543 0,590 0,634

9 0,370 0,437 0,510 0,555 0,598

10 0,349 0,412 0,483 0,527 0,568

11 0,332 0,392 0,460 0,502 0,542

12 0,318 0,376 0,441 0,482 0,522

13 0,305 0,361 0,425 0,465 0,503

14 0,294 0,349 0,411 0,450 0,488

15 0,285 0,338 0,399 0,438 0,475

16 0,277 0,329 0,388 0,426 0,463

18 0,265 0,313 0,370 0,407 0,442

20 0,252 0,300 0,356 0,391 0,425

25 0,230 0,277 0,329 0,362 0,393

30 0,215 0,260 0,309 0,341 0,372

TIPOS DE FUNCIONES

BxAy Función lineal

BAxy Función potencial

Función exponencial xABy Bx10Ay

BxAey BxAcy

Función logarítmica

xlogBAy xlnBAy

xlogBAy c

REGRESIÓN LINEAL: por método de mínimos cuadrados: BxAy

108

i i i i

2 2

i i

n x y x yB

n x ( x ) i i

y B xA

n

LÍMITES DE CONFIANZA DE LAS ESTIMACIONES DE REGRESIÓN.

La ecuación lineal: y A Bx

La estimación de la desviación estándar de “y” con relación “x”

n

ii 1

y/x

A Bx y

sn 2

La desviación estándar media es:

y/x

y/x

ss

n

El valor verdadero de la media de “y” es:

y/x

,n 22

y y t s

La estimación de la desviación estándar de la pendiente “B” es:

y/x

B2n n

2

i ii 1 i 1

ss

1x x

n

El intervalo de confianza es:

B

,n 22

B B t s

La desviación estándar de la ordenada en el origen “A” es:

n2

ii 1

A 2n n2

i ii 1 i 1

x

s

n x x

El intervalo de confianza para “A” es:

A

,n 22

A A t s

El intervalo de confianza de un

solo valor estimado de i

" y " la

desviación es:

2

i

yi y/x n2

ii 1

(x x)1s s 1

n(x x)

El intervalo de confianza para un solo valor será:

yi

,n 22

y y t s

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

i i i i

2 2 2 2

i i i i

n x y x yr

(n x ( x ) ) (n y ( y ) )

El coeficiente de correlación es un indicador de la

calidad de ajuste 1r1

TABLAS: VALORES CRÍTICOS DE r

Nivel de significancia del 5% Número total de variables

Nivel de significancia del 1% Número total de variables

v 2 3 4 5 2 3 4 5 v

1 0,997 0,999 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1

2 0,950 0,975 0,983 0,987 0,990 0,995 0,997 0,998 2

3 0,878 0,930 0,950 0,961 0,959 0,976 0,983 0,987 3

4 0,811 0,881 0,912 0,930 0,917 0,949 0,962 0,970 4

5 0,754 0,836 0,874 0,898 0,874 0,917 0,937 0,949 5

6 0,707 0,795 0,839 0,867 0,834 0,886 0,911 0,927 6

7 0,666 0,758 0,807 0,838 0,798 0,855 0,855 0,904 7

8 0,632 0,726 0,777 0,811 0,765 0,827 0,860 0,882 8

9 0602 0,697 0,750 0,786 0,735 0,800 0,836 0,861 9

10 0,576 0,671 0,726 0,763 0,708 0,776 0,814 0,840 10

11 0,553 0,648 0,703 0,741 0,684 0,753 0,793 0,821 11

12 0,532 0,627 0,683 0,722 0,661 0,732 0,773 0,802 12

13 0,514 0,608 0,664 0,703 0,641 0,712 0,755 0,785 13

14 0,497 0,590 0,646 0,686 0,623 0,694 0,737 0,768 14

15 0,482 0,574 0,630 0,670 0,606 0,677 0,721 0,752 15

16 0,468 0,559 0,615 0,655 0,590 0,662 0,706 0,738 16

17 0,456 0,545 0,601 0,641 0,575 0,647 0,691 0,724 17

18 0,444 0,532 0,587 0,628 0,561 0,633 0,678 0,710 18

19 0,433 0,520 0,575 0,615 0,549 0,620 0,665 0,698 19

20 0,423 0,509 0,563 0,604 0,537 0,608 0,652 0,685 20

21 0,413 0,498 0,552 0,592 0,526 0,596 0,641 0,674 21

22 0,404 0,488 0,542 0,582 0,515 0,585 0,630 0,663 22

23 0,396 0,479 0,532 0,572 0,505 0,574 0,619 0,652 23

24 0,388 0,470 0,523 0,562 0,496 0,565 0,609 0,642 24

25 0,381 0,462 0,514 0,553 0,487 0,555 0,600 0,633 25

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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ÁNDRES