FACULTAD DE CONTADURÍA Y CIENCIAS

ADMINISTRATIVAS

PROFESOR:

Dr. Fernando Ávila Carreón

MATERIA:

Estadística I

Morelia, Mich., a 17 de diciembre de 2009

UNIVERSIDAD MICHOACANA DE SAN NICOLÁS

DE HIDALGO

Prefacio

Este material está dirigido a los alumnos de tercer semestre de la Facultad de

Contaduría y Ciencias Administrativas de la Universidad Michoacana de San

Nicolás de Hidalgo.

El propósito es brindar de una manera sencilla los temas que comprenden el

contenido del programa de la materia de Estadística I.

Los libros mejor escritos que abordan estos temas son aquellos dirigidos al área de

ingeniería y por ello requieren de un soporte mayor en cuanto al conocimiento de

las herramientas matemáticas.

En estos apuntes se hace una recopilación de una serie de ejercicios que abarcan los

temas de la materia, y procurando abarcar a su vez la mayor variedad en cuanto a

dificultad y secretos se refieren para llegar a su solución. Haciendo uso de las

técnicas más sencillas y gráficas para una solución comprensible.

Espero que conforme estas notas tomen forma en los próximos años los resultados

se vean reflejados en el mejor aprovechamiento de mis alumnos.

1.1 La estadística, Clasificación y Objetivos

La estadística estudia los métodos científicos para recoger, organizar, resumir y

analizar datos, así como para sacar conclusiones válidas y tomar decisiones

razonables basadas en tal análisis.

La estadística es la ciencia que trata de la recolección, clasificación y presentación

de los hechos sujetos a una apreciación numérica como base a la explicación,

descripción y comparación de los fenómenos.

Estadística Descriptiva:

Tienen por objeto fundamental describir y analizar las características de un

conjunto de datos, obteniéndose de esa manera conclusiones sobre las

características de dicho conjunto y sobre las relaciones existentes con otras

poblaciones, a fin de compararlas. No obstante puede no solo referirse a la

observación de todos los elementos de una población (observación exhaustiva) sino

también a la descripción de los elementos de una muestra (observación parcial).

En relación a la estadística descriptiva, Ernesto Rivas Gonzáles dice; "Para el

estudio de estas muestras, la estadística descriptiva nos provee de todos sus

medidas; medidas que cuando quieran ser aplicadas al universo total, no tendrán la

misma exactitud que tienen para la muestra, es decir al estimarse para el universo

vendrá dada con cierto margen de error; esto significa que el valor de la medida

calculada para la muestra, en el oscilará dentro de cierto límite de confianza, que

casi siempre es de un 95 a 99% de los casos.

Estadística Inductiva:

Está fundamentada en los resultados obtenidos del análisis de una muestra de

población, con el fin de inducir o inferir el comportamiento o característica de la

población, de donde procede, por lo que recibe también el nombre de Inferencia

estadística.

Según Berenson y Levine; Estadística Inferencial son procedimientos estadísticos

que sirven para deducir o inferir algo acerca de un conjunto de datos numéricos

(población), seleccionando un grupo menor de ellos (muestra).

El objetivo de la inferencia en investigación científica y tecnológica radica en

conocer clases numerosas de objetos, personas o eventos a partir de otras

relativamente pequeñas compuestas por los mismos elementos.

1.2 Escalas de Medida

Escala Nominal:

La escala de medida nominal, puede considerarse la escala de nivel más bajo, y

consiste en la asignación, puramente arbitraria de números o símbolos a cada una

de las diferentes categorías en las cuales podemos dividir el carácter que

observamos, sin que puedan establecerse relaciones entre dichas categorías, a no

ser el de que cada elemento pueda pertenecer a una y solo una de estas categorías.

Se trata de agrupar objetos en clases, de modo que todos los que pertenezcan a la

misma sean equivalentes respecto del atributo o propiedad en estudio, después de

lo cual se asignan nombres a tales clases, y el hecho de que a veces, en lugar de

denominaciones, se le atribuyan números, puede ser una de las razones por las

cuales se le conoce como "medidas nominales".

Escala Ordinal:

En caso de que puedan detectarse diversos grados de un atributo o propiedad de un

objeto, la medida ordinal es la indicada, puesto que entonces puede recurrirse a la

propiedad de "orden" de los números asignándolo a los objetos en estudio de modo

que, si la cifra asignada al objeto A es mayor que la de B, puede inferirse que A

posee un mayor grado de atributo que B.

La asignación de números a las distintas categorías no puede ser completamente

arbitraria, debe hacerse atendiendo al orden existente entre éstas.

Los caracteres que posee una escala de medida ordinal permiten, por el hecho

mismo de poder ordenar todas sus categorías, el cálculo de las medidas estadísticas

de posición, como por ejemplo la mediana.

Ejemplo:

Al asignar un número a los pacientes de una consulta médica, según el orden de

llegada, estamos llevando una escala ordinal, es decir que al primero en llegar

ordinal, es decir que al primeo en llegar le asignamos el nº 1, al siguiente el nº 2 y

así sucesivamente, de esta forma, cada número representará una categoría en

general, con un solo elemento y se puede establecer relaciones entre ellas, ya que

los números asignados guardan la misma relación que el orden de llegada a la

consulta.

Escalas de intervalos iguales:

La escala de intervalos iguales, está caracterizada por una unidad de medida común

y constante que asigna un número igual al número de unidades equivalentes a la de

la magnitud que posea el elemento observado. Es importante destacar que el punto

cero en las escalas de intervalos iguales es arbitrario, y no refleja en ningún

momento ausencia de la magnitud que estamos midiendo. Esta escala, además de

poseer las características de la escala ordinal, encontramos que la asignación de los

números a los elemento es tan precisa que podemos determinar la magnitud de los

intervalos (distancia) entre todos los elementos de la escala. Sin lugar a dudas,

podemos decir que la escala de intervalos es la primera escala verdaderamente

cuantitativa y a los caracteres que posean esta escala de medida pueden

calculársele todas las medidas estadísticas a excepción del coeficiente de variación.

Ejemplo:

El lapso transcurrido entre 1998-1999 es igual al que transcurrió entre 2000-2001.

Escala de coeficientes o Razones:

El nivel de medida más elevado es el de cocientes o razones, y se diferencia de las

escalas de intervalos iguales únicamente por poseer un punto cero propio como

origen; es decir que el valor cero de esta escala significa ausencia de la magnitud

que estamos midiendo. Si se observa una carencia total de propiedad, se dispone de

una unidad de medida para el efecto. A iguales diferencias entre los números

asignados corresponden iguales diferencias en el grado de atributo presente en el

objeto de estudio. Además, siendo que cero ya no es arbitrario, sino un valor

absoluto, podemos decir que A. Tiene dos, tres o cuatro veces la magnitud de la

propiedad presente en B.

Ejemplo:

En una encuesta realizada en un barrio de esta localidad se observó que hay

familias que no tienen hijos, otras tienen 6 hijos que es exactamente el doble de

hijos que aquellas que tienen 3 hijos.

Clasificación de los datos

Los datos estadísticos pueden ser clasificados en cualitativos, cuantitativos,

cronológicos y geográficos.

Datos Cualitativos: cuando los datos son cuantitativos, la diferencia entre ellos

es de clase y no de cantidad.

Ejemplo:

Si deseamos clasificar los estudiantes que cursan la materia de estadística I por su

estado civil, observamos que pueden existir solteros, casados, divorciados, viudos.

Datos cuantitativos: cuando los valores de los datos representan diferentes

magnitudes, decimos que son datos cuantitativos.

Ejemplo:

Se clasifican los estudiantes del Núcleo San Carlos de la UNESR de acuerdo a sus

notas, observamos que los valores (nota) representan diferentes magnitudes.

Instrumentos para la recolección de datos:

Cuestionarios:

Cualquiera que sea el método por el que se decida el investigador para recabar

información, es necesario elaborar un estudio de preguntas.

Los cuestionarios en general, constan de las siguientes partes:

La identificación del cuestionario: nombre del patrocinador de la encuesta,

(oficial o privada), nombre de la encuesta, número del cuestionario, nombre del

encuestador, lugar y fecha de la entrevista.

Datos de identificación y de carácter social del encuestado: apellidos,

nombres, cédula de identidad, nacionalidad, sexo, edad o fecha de nacimiento,

estado civil, grado de instrucción, ocupación actual, ingresos, etc.

Datos propios de la investigación, son los datos que interesa conocer para

construir el propósito de la investigación.

Como es natural, estas partes, así como las preguntas, varían de acuerdo a la

finalidad de la encuesta. En algunos tipos de investigación, la parte referente a los

datos personales es eliminada por no tener ningún tipo de interés para el estudio.

1.4 La población, Muestra, Tipos de muestreo

POBLACION: es el conjunto formado por todas las unidades elementales que

proporcionarán las mediciones de interés. Pueden ser personas, cosas, objetos

abstractos.

CENSO: Cuando se estudia la totalidad de las unidades elementales que componen

la población.

Desventaja: errores de observación. Ej.: omisiones, duplicaciones, no-ubicación (no

medibles) del encuestado, volumen de información.

MUESTRA: se estudia una parte representativa de la población

Desventaja: errores de observación (no medibles) errores de estimación (medible,

cuantificable)

Tipos de muestreo

Existen dos métodos para seleccionar muestras de poblaciones; el muestreo no

aleatorio o de juicio y el muestreo aleatorio o de probabilidad. En este último todos

los elementos de la población tienen la oportunidad de ser escogidos en la muestra.

Una muestra seleccionada por muestreo de juicio se basa en la experiencia de

alguien con la población. Algunas veces una muestra de juicio se usa como guía o

muestra tentativa para decidir como tomar una muestra aleatoria más adelante.

Las muestras de juicio evitan el análisis estadístico necesarios para hacer muestras

de probabilidad.

Estadística descriptiva

objetivos generales

Al término del estudio y desarrollo de la presente asignatura los alumnos estarán

en capacidad de:

1. Obtener datos a partir de una población o muestra sobre diferentes tipos de

fenómenos, como: económicos, sociales, políticos, educativos.

2. Representar, analizar e interpretar datos en cuadros estadísticos.

3. Graficar e interpretar un determinado fenómeno.

4. Aplicar y calcular diferentes medidas en el proceso de una investigación.

Medidas de tendencia central

Son medidas que se obtienen para ser representativas de todos los datos, por

ejemplo cuando en la escuela nos piden el promedio de las calificaciones, que no es

otra cosa que la media arimética, ésta se utiliza para representar todo el conjunto

de calificaciones de un período escolar.

La media arimética es la medida de tendencia más utilizada, su cálculo es sencillo:

Esta medida de tendencia central es afectada en forma importante por los valores extremos. La mediana, es una medida de tendencia central que se encuentra justo en el centro

de todos los datos.

La moda es el valor que aparece en más ocasiones.

La raíz media cuadrática se calcula de la siguiente manera:

La media armónica se calcula de la siguiente manera:

La media geométrica

Las medidas de tendencia central pueden complementarse al contar con

información adicional respecto de los datos, estas se conocen como medidas de

dispersión.

La varianza que se calcula de la siguiente manera:

La desviación estándar es:

Técnicas de contar

ESTADÍSTICA.

Uno de los problemas más comunes en el área de la probabilidad y la

estadística es el determinar el número de los elementos de que consta

evento o suceso tema reestudio, así que entre las técnicas destacamos

al principio fundamental del conteo del cual se deriva:

las permutaciones y las combinaciones entre otras.

1. La asignación de las placas vehiculares, éstas disponen de 3 letras y 4

números.

Determine el número de placas distintas que se pueden

elaborar:

a. Sin ninguna restricción

b. Las de Michoacán inician P

c. De Michoacán y que sean pares.

a.

0 0 . 0 . 9 a 0 . 9 a . 1 9 a . z 2 b z 3 c 4 . 5 . 6 . 7 . 8 Z 9 _______________________________________ 27 x 27 x 27 10 x 10 x 10 x 10 = 196, 830,000

b.

0

0 .

0 . 9

a 0 . 9 a . 1 9 p . z . z 9 _______________________________________ 1 x 27 x 27 x 10 x 10 x 10 x 10= 7, 290,000

c.

0

0 2

0 . .

a 0 . 9 8 a . 1 9 p . z . z 9 _______________________________________ 1 x 27 x 27 x 10 x 10 x 10 x 5 = 3, 645,000

2. Se resuelve un examen de tipo opción múltiple de 20 preguntas y con

4 respuestas opcionales por cada una de ellas.

Determina cuántas formas distintas se puede resolver el examen.

1 2 3 4 20 4, 4, 4, 4... 4

20 12 4 = 1.099511628

3. Seis individuos se sientan en sillas formadas en hilera, determine de

cuántas formas distintas se pueden sentar si:

a. Se tiene ninguna restricción

b. Dos de los 6 deben estar en asientos contiguos

c. Dos no deben estar en asientos contiguos

a) nPx = n!

(n – x)

nPx = 6! = 720 ósea 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

(6 – 6)!

b)

4! (10) = 240

c)

En relación a (a) = (4!) (10) = 240 En relación a (b) = (4!) (10) = 240 480

4. Se va a realizar un viaje de 15 individuos y disponen de 4 vehículos

para trasladarse. La primera condición es que se utilicen los 4

vehículos; sin embargo cada uno tiene diferentes capacidades. El

primero de ellos tiene la capacidad para 6, el segundo tiene capacidad

para 5, el tercero de 4 y el cuarto de 2.

a. ¿De cuantas formas distintas se puede hacer el recorrido?

b. Dos personas deben ir en un mismo vehículo

c. Dos personas no deben ir en el mismo vehículo.

Capacidad por auto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 formas distintas

6 6 6 6 6 6 5 5 5 4

5 5 5 4 4 3 4 5 5 5

4 3 2 4 3 4 4 4 3 4

2 1 2 1 2 2 2 1 2 2

15 15 15 15 15 15 15 15 15

a.

Primera forma

n!

_________ = x! (n – x) !

15! ________ = 5005 6! (15 – 6)!

9! ________ = 126 5! (9 – 5)!

4! ________ = 4 3! (4 – 3)! 1! ________ = 1 1! (1 – 1)!

1ª. Forma 5005 x 126 x 4 x 1 = 2, 522,520

2ª. Forma 5005 x 126 x 6 x 1= 3, 783,780

3ª. Forma 5005 x 126 x 5 x 1= 3, 153,150

4ª. Forma 5005 x 126 x 10 x 1= 6, 306,300

5ª. Forma 5005 x 84 x 15 x 1 = 6, 306,300

6ª. Forma 3003 x 210 x 15 x 1 = 9, 459,450

7ª. Forma 3003 x 252 x 5 x 1 = 3, 783,780

8ª. Forma 3003 x 252 x 10 x 1 = 7, 567,560

9ª. Forma 1365 x 462 x 15 x 1 = 9, 459,450

___________

R = 52, 342,290 Formas distintas

b. 15!

________ = 105 2! (15 – 2)!

13! ________ = 715 4! (13 – 4)!

9! ________ = 126 5! (9 – 5)!

4! ________ = 1 4! (4 – 4)!

105 x 715 x 126 x 1 = 9, 459,450 y así sucesivamente como el

inciso a.

c.

15! ________ = 15 1! (15 – 1)!

14! ________ = 3003 6! (14 – 6)!

8! ________ = 56 5! (8 – 5)!

3! ________ = 1 3! (3 – 3)!

15 x 3003 x 56 x 1 = 2, 522,520 y así sucesivamente como en el

inciso a.

5. ¿Cuántas ensaladas distintas se pueden hacer con 5 verduras?

5 (0+5 (1+5(2+5(3+5(4+5(5=

5+ 10 + 10 + 5+1 = 31

25 = 32 - 1

____ 31

PROBABILIDAD (Utilización de axiomas).

6. Determina si los eventos A y B son mutuamente excluyentes

Determina los valores de:

P (A U B) = P ( A) + P (B) - P ( A n B)

P(A U B) = 1/2 + 1/3 - 1/4 = 6 + 4 - 3 = 7/12

12

P (A B) = P (A) P(B)

P (A B) = (1/2) (1/3) = 1/6

P (B / A) = P (A n B) P (B)

P (B / A) = 1/4 / 1/3 = 3/4

P (AC n BC) = P (AC U BC) = 1 – P (A U B)

P (AC n BC) = 1 – (1/4) = 3/4

P (AC) = 1 – P (A)

P (AC) = 1 – (1/2) = 1/2

P ( BC) = 1- P (B)

P (BC) = 1 – (1/3) = 2/3

Sean:

P (A) = 1/2

P (B) = 1/3

P (A U B) = 1/4

7. Determina la posibilidad de obtener 10 en un examen de falso y

verdadero que se conteste al azar, constando de 10 preguntas.

P (A n B) = P (A) P (B)

P (A n B) = (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) =

(1/2)10

Es decir, las formas que tiene de contestar el examen son de 210

P (E) = n = 1 NOTA: Existe la probabilidad de que un examen esté N 1024 totalmente correcto

8. Un cliente consuetudinario de una tienda de ropa tiene una

probabilidad de 0.20 de comprar un traje, sabiendo que ha comprado

una corbata. La probabilidad de que compren una corbata es de 0.40.

Determine la probabilidad de que compre un traje y una corbata

C = [Qué compre una corbata] = 0.40

T = [Qué compre un traje sabiendo que compro una corbata] = 0.20

P (T / C) = P (T n C) P (C)

P (T n C) = P (T / C) P (C)

P (T n C) = (0.20) (0.40) = 0.08

P (T n C) = (0.20/ 0.40) (0.40) = 0.20

.160 x .240 = .0384 Probabilidad de que compre ambas cosas.

.12 .08 .32

9. En una carrera participan 5 caballos, Sentimiento, Filemón, Lucero,

Fierra Brass, Palomo.

Fierra Brass tiene 1/3 de probabilidad de ganar más que

Sentimiento.

Palomo tiene la misma probabilidad que Sentimiento.

Lucero tiene el doble de Fierra Brass de ganar.

Filemón el cuádruple de Fierra Brass.

Determina la probabilidad de ganar de cada uno de los caballos.

H = [Que gane Fierra Brass]

F = [Qué gane Filemón]

S = [Qué gane Sentimiento]

P = [Qué gane Palomo]

L = [Qué gane Lucero]

P (H U F U L U P U S) = P (H) + P (F) + P (L) + P (P) + P (S) = 1

P (H) = 1/3 P (S) P (S) = 3 P (H)

P (P) = P (S) P (P) = 3 P (H)

P (L) = 2 P (H)

P (F) = 4 P (H)

Por lo tanto, lo que predomina es P (H) así que de ahí se parte dando así: P (H U F U L U P U S) = P (H) + 4 P (H) + 2 P (H) + 3 P (H) + 3 P (H) = 1

13 P (H) = 1 P (H) = 1 / 13

P (S) = 3 P (H) = 3 / 13

P (P) = P (S) = 3 / 13

P (L) = 2 P (H) = 2 / 13

P (F) = 4 P (H) = 4 / 13

10. Se extraen 3 cartas de una baraja común, determina la probabilidad

de que las tres sean de color rojo.

a) Con reemplazo

b) Sin reemplazo

R = [Que sea Rojo]

B = [Que el 2° sea Rojo]

D = [Que el 3° sea Rojo]

a) P (R n B n D) = P (R) * P (B) * P (D)

26 26 26 1 EXCLUYENTES 52 52 52 8

b) P (R n B n D) = P (R) * P (B / R) * P (C / R n D)

26 25 24 2 NO EXLUYENTES 52 51 50 17

11. Se lanzan 2 dados legales, determina la probabilidad de obtener 7

E = [Que caiga 7]

P = [Que caiga lo que sea en el 1°]

D = [Que caiga la diferencia en el 2°]

P (E) n P (E) 6 N 36 P (P n D) = 6 1 6 6 6 36

12. Se extrae una carta de una baraja común, determina que sea reina.

Determina la probabilidad de que sea figura.

Determina la probabilidad de que sea de color rojo

Determina la probabilidad de que sea reina o de color rojo.

R = [Que sea Rojo] F = [Que se a Figura] Q = [Que sea Reina] P (R) = n P (R) = 4 N 52 P (F) = 3 3 3 3 12 52 52 52 52 52 P (R) = 13 + 13 26 52 52 52

P (Q o R) = 4 + 26 - 2 = 28 = 7 52 52 52 52 13

13. El 60% del alumnado de una facultad es femenino. El 15% del

alumnado son chicas que ven telenovelas. Determina la probabilidad de

que al elegir un alumno al azar de dicha facultad vea telenovelas,

sabiendo que se trata de una chica.

C = [Que sean chicas] 60%

T = [Que vean telenovelas] 15%

P (T / C) = P (T n C) P (C)

P (T/C) = 0 .15 = 0.25 0.60

.45 .15 14. Un ensamble consiste de 3 piezas A, B, C cuyas probabilidades de

falla son 0.50, 0.10, 0.15 respectivamente.

Para que el ensamble falle debe fallar alguna de las piezas.

Determina la probabilidad de falla del ensamble.

P (A) = [Que falle la primera pieza] 0.05

P (B) = [Que falle la segunda pieza] 0.10 F = [Que falle el

ensamble]

P (C) = [Que falle la tercera pieza] 0.15 E = [Que tenga éxito]

(0.05) (0.10) (0.15) = 0.00075 FFF

(0.05) (0.10) (0.85) = 0.00425 FFE

(0.05) (0.90) (0.15) = 0.00675 FEF

(0.05) (0.90) (0.85) = 0.03825 FEE

(0.95) (0.10) (0.15) = 0.01425 EFF

(0.95) (0.10) (0.85) = 0.08075 EFE

(0.95) (0.90) (0.15) = 0.12825 EEF

P (F) = 0.27325

O BIEN:

P (AC n BC n CC) = (0.95) (0.90) (0.85) = 0.72675

1 – (0.72675) = 0.27325 probabilidad de fallo.

15. Un cazador hace 7 disparos certeros a un tigre, cada uno de los

cuales tiene una probabilidad de 0.60 de causarle la muerte al tigre.

Determina la probabilidad de que el cazador continúe con vida.

M1 = [Que el tigre muera a causa del 1er disparo]

M2 = [Que el tigre muera a causa del 2° disparo]

M3 = [Que el tigre muera a causa del 3er disparo]

M4 = [Que el tigre muera a causa del 4° disparo]

M5 = [Que el tigre muera a causa del 5° disparo]

M6 = [Que el tigre muera a causa del 6° disparo]

M7 = [Que el tigre muera a causa del 7° disparo]

P (M1C

n M2C

n M3C n M4

C n M5

C n M6C n M7

C) =

(0.40)(0.40)(0.40)(0.40)(0.40)(0.40)(0.40) = (0.40)7

1- .0016384 = .9983616

16. Tenemos 3 urnas que contienen bolas de colores A, B, C, la

probabilidad de elegir la urna A es el doble de otras.

La urna A contiene 5 bolas rojas y 2 blancas

La urna B contiene 7 bolas rojas y 1 blanca

La urna C contiene 3 bolas rojas y 3 blancas

a) Determine la probabilidad de sacar una bola roja.

b) Dado que la bola elegida fue roja, determina la probabilidad que

se haya extraído de la urna A

5/7 R

A

2/7 B

1/2

7/8 R

1/4

B

1/8 B

1/4

R

3/6

C

3/6 B

A = [Que se haya extraído de la urna A]

B = [Que se haya extraído de la urna B]

C = [Que se haya extraído de la urna C]

R = [Que sea bola roja]

B = [Que sea bola blanca]

a).-P (R) = P (A) P (R / A) + P (B) P (R / B) + P (C) P (R / C)

P (R) = 1 5 1 7 1 3 157 = .70 2 7 4 8 4 6 224

b).- P (A /R) = P (A n R) P (R) P (A /R) = P (A) P (A / R) .

P (A) P (R / A) + P (B) P (R / B) + P (C) P (R / C)

P (A /R) = 5 / 14 . 80 = .50955 157 / 224 157

TEOREMA DE BAYES.

17. Fulano suele llegar ebrio a su casa. La probabilidad de que llegue

ebrio a su casa una noche cualquiera es de 0.80.

La señora de fulano acostumbra a dejar encendida la luz de la entrada

todas las noches; si fulano llega ebrio la probabilidad de que apague la

luz es de 0.05. Mientras que si llega sobrio la probabilidad de que

apague la luz es de 0.90.

a) Determina la probabilidad de que fulano apague la luz una noche

cualquiera.

b) Sabiendo que fulano ha apagado la luz. Determina la probabilidad

de que haya llegado sobrio.

a).-

E = [Que llegue ebrio]

A = [Que apague la luz]

A

0.05

E AC

0.80 0.95

0.90 A

0.20 EC

0.10 AC

P (A) = P (E) P (A / E) + P (EC) P (A / EC)

P (A) = (0.80) (0.05) + (0.20) (0.90)

P (A) = 0.04 + 0.18 = 0.22

b).-

P ( EC / A) = P (EC n A) P (A) P ( EC / A) = P (EC) P (A / EC) . P (E) P (A / E) + P (EC) P (A / EC) = (.20) (.90) . (0.80) (0.05) + (0.20) (0.90)

P ( EC / A) = 0.18 = 0.818 0.22

18. Sutano no suele estudiar para los exámenes la probabilidad de que

estudie para un examen cualquiera es de 0.25.

En el caso que estudie la probabilidad que apruebe es de 0.70, sin

embargo en caso de no estudiar la probabilidad de aprobar es de 0.05.

a) Determine la probabilidad de que Sutano apruebe un examen

cualquiera.

b) Sabiendo que ha aprobado, determina la probabilidad de que

haya estudiado.

E = [Que estudie]

A = [Que apruebe]

A

0.70

E AC

0.25 0.30

0.05 A

0.75 EC

0.95 AC

P (A) = P (E) P (A / E) + P (EC) P (A / EC)

P (A) = (0.25) (0.70) + (0.75) (0.05)

P (A) = 0.2125

P ( E / A) = P (E n A) P (A) P ( E / A) = P (E) P (A / E) . P (E) P (A / E) + P (EC) P (A / EC) (0.25) (0.70) = ___________________________ (0.25) (0.70) + (0.75) (0.05)

P ( EC / A) = 0.175 = 0.823 0.2125

19. Mengano reconocido fondista local espera participar en la próxima

media maratón a realizar en la Ciudad de Morelia. Es su deseo

acérrimo contrincante no participe.

La probabilidad de que Perengano participe en dicho evento es de

0.30. En caco dado que Perengano no participe la probabilidad de que

Mengano gane es de 0.25, mientras que si Perengano no participa la

probabilidad de que Mengano gane es de 0.85

a. Determina la probabilidad de que Mengano gane la carrera.

b. Dado que Mengano ha ganado ola carrera, determine la

probabilidad de que Perengano no ha participado.

G = [Que gane]

M = [Que haya participado]

G

0.25

M GC

0.30 0.75

0.85 G

0.70 MC

0.15 GC

P (G) = P (M) P (G / M) + P (MC) P (G / MC)

P (A) = (0.30) (0.25) + (0.70) (0.85)

P (A) = 0.075 + 0.595 = 0.67

P ( MC / G) = P (MC n G) P (G)

P ( MC / G) = P (MC) P (G / MC) . P (M) P (G / M) + P (MC) P (G / MC)

(0.30) (0.25) = _________________________________________

(0.30) (0.25) + (0.70) (0.85)

P (MC / G) = 0.595 = 0.89 0.67

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DISCRETA.

20. Se extraen 5 cartas de una baraja común.

X = No. De Reyes

CON REEMPLAZO

n ( 1 – P) n - x

x

P (X = 0) = (48 / 52) (48 / 52) (48 / 52) (48 / 52) (48 / 52) = 0.67017

7! . 0! (7 – 0)! 0.67017 = 0.67017

P (X = 1) = (48 / 52)4 (4 / 52) = 0.05584

7! . 1! (7 – 1)! 0.05584 = 0.2792

P (X =2) = (48 / 52)3 (4 / 52)2 = 0.004654

7! . 2! (7 – 2)! 0.004654 = 0.04654

P (X =3) = (48 / 52)2 (4 / 52)3 = 0.00038783

7! . 3! (7 – 3)! 0.00038783 = 0.0038783 P (X =4) = (48 / 52) (4 / 52)4 = 0.000032319

7! . 4! (7 – 4)! 0.000032319 = 0.00019159

P (X =5) = (4 / 52)5 = 0.0000029329

7! . 4! (7 – 4)! 0.0000029329 = 0.00000269329

TOTAL: 0.999952

7

6

5 4 3 2 1 0

0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5

SIN REEMPLAZO

n ( 1 – P) n - x

x

P (X = 0) = (48 / 52) (47 / 51) (46 / 50) (45 / 49) (44 / 48) = 0.65884

7! . 0! (7 – 0)! 0.65884 = 0.65884

P (X = 1) = (48 / 52) (47 / 51) (46 / 50) (45 / 49) (4 / 48) = 0.59894

7! . 1! (7 – 1)! 0.59894 = 0.2994736

P (X =2) = (48 / 52) (47 / 51) (46 / 50) (4 / 49) (3 / 48) = 0.00399298

7! . 2! (7 – 2)! 0.00399298 = 0.00399298

P (X =3) = (48 / 52) (47 / 51) (4 / 50) (3 / 49) (2 / 48) = 0.0001736079

7! . 3! (7 – 3)! 0.0001736079 = 0.001736079 P (X =4) = (48 / 52) (4 / 51) (3 / 50) (2 / 49) (1 / 48) = 0.00000369378

7! . 4! (7 – 4)! 0.00000369378 = 0.0000184689

TOTAL: 0.9999979

7

6 5 4 3 2 1 0 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5

21. Una familia tiene 7 hijos, la variable aleatoria X = No. De mujeres

1/2 = De éxito 1/2 = De fracaso

P (X = 0) = 1 / 2 7 7! . = 0.078125 0! (7 – 0)!

P (X = 1) = 1 / 2 7 7! . = 0.0546875 1! (7 – 1)!

P (X = 2) = 1 / 2 7 7! . = 0.1640625 2! (7 – 2)!

P (X = 3) = 1 / 2 7 7! . = 0.2734375 3! (7 – 3)!

P (X = 4) = 1 / 2 7 7! . = 0.02734375 4! (7 – 4)!

P (X = 5) = 1 / 2 7 7! . = 0.1640625 5! (7 – 5)!

P (X = 6) = 1 / 2 7 7! . = 0.0546875 6! (7 – 6)!

P (X = 7) = 1 / 2 7 7! . = 0.0078125

7! (7 – 7)!

TOTAL: 1.0000

2.8

2.4

2 1.6 1.2 0.8 0.4

0 0.5 1.5 2.5 3.5 4.4 5.5 6.5 7.5

DISTRIBUCION NORMAL

22. Si el largo de 300 varillas tiene distribución normal con media 68.0 cm y desviación estándar de 3.0 cm, ¿cuántas varillas tendrán largo

a) mayor de 72 cm b) menor o igual a 64 cm c) entre 65 y 71 cm, inclusive, d) igual a 68 cm? Suponga que las medias se anotaron aproximando el cm más cercano. a) Z = X - U o

Z = 72.5 – 68 1.5 3

P (X>72.5) 0.5 – 0.4332 0.0668 x 300 = 20 VARILLAS

b) Z = X - U o

Z = 64.5– 68 1 .17 3

P ( X>64) 0.5 – 0.3790 0.121 x 300 = 36 VARILLAS

c) Z = X - U o

Z = 64.5 - 68 -1 .17 3

P ( X>65) = 0.3790

Z = 71.5 - 68 1 .17 3

P ( X>71) = 0.3790

P(65 X 71) 0.3790 +0.3790 0.758 X 300 = 227

d)

Z = X - U o

Z = 68 - 67.5 .17 3

P ( X =68) .0675

68.5 - 68 .17 = .0675 3 .0675 + .0675 = .135 (.135) (300) = 40.5

23. Los diámetros de ciertas balineras tienen distribución normal con media 0.6140 cms. Y desviación estándar 0.0025 cms., determine el porcentaje de balineras con diámetros :

a) Entre 0.610 y 0.618 cms., inclusive, b) Mayores que 0.0617 cms. c) Menores que 0.608 cms., d) Iguales que 0.615 cms.

a)

Z= U= 0.6140 cm o =0.0025 cm

X= 0.610 Y 0.618 Z= 0.6095 – 06140 =1.8 0.0025 P(X>0.610)= 0.4641 Z= 0.6185 – 06140 =1.8 0.0025 P(X>0.610)= 0.4641

P(0610<X<0618) 0.4641+0.4641= 0.93X100= 93%

b) Z= 0.6175 – 0.6140 =1.4 0.0025 P(X>0.610)= 0.4192

P ( X>0.617) 0.5 – 0.4192 .0808 x 100 = 8.10%

c)

Z= 0.6075 – 0.6140 = 2.6 0.0025 P(X>0.610)= 0.4953

P ( X>0.610) 0.5 – 0.4953 .0047 x 100 = 0.47%

d) Z= 0.615 – 0.614 =0.4 0.0025

P(X>0.615) 0.1554 x 100 = 15.54%

24. La nota promedio en un examen final fue 72 y la desviación estándar fue 9. El 10% de los mejores estudiantes recibirán A. ¿Cuál es la nota mínima necesaria para que un estudiante obtenga una A? Z = 10% U = 72 o = 9 X = Z = X-U o

X = U + Z(o) 0.50-0.10 0.40 0.3997= 1.28 X = 72 + 1.28(9) = 83.52

25. Supongamos que los pesos de 2000 alumnos se distribuyen normalmente con media u = 155 libras y desviación típica o = 20 libras. Hallar el número de alumnos cuyos pesos: a) Sean menores o iguales a 100 libras b) Estén entre 120 y 130 libras ambos inclusive c) Estén entre 150 y 175 libras ambos inclusive d) Sean mayores o iguales a 200 libras

a) Z = X = 2000

U = 155 libras Z = X - U o = 20 libras o

Z = 100-155 2.75 20 Z = 2.75

P ( x < 100 ) 0.5 – 0.4970 0.003 x 2000 = 6

b)

Z1 = 120-155 - 1.75 Z2 = 130-155 -1.25 20 20

Z1 = -1.75 Z2 = -1.25

P ( x > 120 ) = 0.4599 P ( x > 130 ) = 0.3944 P (120 < x > 130) = P ( -1.75 < Z > -1.25) = P (0.4599 – 0.3944)

P = 0.0655 x 2000 = 131

c)

Z1 = 150-155 0.25 Z2 = 175-155 1 20 20

Z1 = -0.25 Z2 = 1

P ( x > 150 ) = 0.0987 P ( x > 175 ) = 0.3413 P (150 < x > 175) = P ( 0.25 < Z > 1) = P (0.0987 + 0.3413)

P = 0.44 x 2000 = 880

d)

Z1 = 200-155 2.25 20

Z1 = 2.25

P ( x > 200 ) = 0.5 - 0.4878 = 0.0122 P = 0.0122 x 2000 = 24

26. Supongamos que los diámetros de los frascos fabricados por una empresa se distribuyen normalmente con media u = 0.25 pulgadas y desviación típica o =0.02 pulgadas. Se considera que un frasco es

defectuoso si d 0.20 pulgadas o d 0.28 pulgadas. Hallar el porcentaje de frascos defectuosos fabricados por dicha empresa.

U = 0.25 pulgadas o = 0.02 Pulgadas

Z1 = 0.20 - 0.25 2.5 0.02 Z1 = -2.05

P ( x 0.20 ) = 0.5 - 0.4938 = 0.0062

Z2 = 0.28 - 0.25 1.5 0.02 Z2 = 1.5

P ( x 0.28 ) = 0.5 - 0.4332 = 0.0668

P (0.20 < x > 0.28) = P ( 0.0062 + 0.0668) P = 0.73

27. Supongamos que las puntuaciones de un examen se distribuyen normalmente con media u = 76 y desviación típica o =15. Al 15% de alumnos con mayores puntuaciones se les da un sobresaliente y al 10% con menores puntuaciones se les da un suspenso. Hallar:

a. La puntuación mínima para sacar sobresaliente (A) y b. La puntuación mínima para aprobar ( es decir no sacar un

supuesto o F).

a) Z = X-U o

0.50-0.15 0.35 0.3508= 1.04

X = Z + U X = (15)(1.04)+76= 91.6

b)

0.50-0.10 0.40 0.3997= 1.28

X = Z - U X = (15)(1.28)-76= 56.8

28. Se tira una moneda 10 veces. Hallar la probabilidad de sacar entre 4 y 7 caras ambas incluidas usando: a) La distribución binomial b) La aproximación normal a la distribución binomial a)

P (x) = n P x ( 1 – P) n - x

x

4 610 1 1

( 4) 1 0.2050781254 2 2

P X

5 51 1

( 5) 252 1 0.246093752 2

P X

6 41 1

( 6) 210 1 0.2050781252 2

P X

7 3

1 1( 7) 120 1 0.1171875

2 2P X

(4 7) 7734375P X

b) Aproximación Z = X – U o

u = n = 10 1 = 5

2

o = n (1- ) = 10 1 1 - 1 2 2 = 5 1 2 = 1.12

Z = 5 – 4 = 0.892857142 1.12 Z = 0 .3133 Z = 7 – 5 = 1.785714286 1.12 Z = 0.4625 Z = 0.3133 + .4625 = 0.7758

29. Se tira una moneda 400 veces. Hallar la probabilidad de que el número de caras que se saquen sea diferentes de 200 en a) Más de 10 b) Más de 25 Z = x - u o

u = n

400 1 = 200 2

o = n (1- )

o = 400 1 1 - 1 2 2

= 10 189.5 ,210.5

Z = 200 –189.5 = 1.05 0.3531 10

Z = 210.5 –200 = 1.05 0.3531 10 2 ( 0.3531 ) = 0.7062 1 - 0.7062 = 0.2938

b)

Z = 200 –174.5 = 2.55 0.4946 10

Z = 200 –225.5 = 2.55 0.4946 10 2 ( 0.4946 ) = 0.9892 1 - 0.9892 = 0.0108

30. Se tira un dado 720 veces. Hallar la probabilidad de que salga 6:

a) Entre 100 y 125 veces ambas incluidas b) Más de 150 veces

a)

Z = x - u o

u = n

720 1 = 120 6

o = n (1- )

o = 720 1 1 - 1 6 6 = 10

x = número de veces que sale 6

Z = 99.5 –120 = 2.05 0.4798 10

Z = 125.5 –120 = 0.55 0.2088 10 0.4798 + 0.2088 = 0.6886

b)

Z = 150.5 –120 = 3.05 0.4989 10 Z = 0.5 – 0.4989 = 0.0011

31. Entre 625 números aleatorios, hallar la probabilidad de que salga el 7: a) Entre 50 y 60 veces ambas incluidas, b) Entre 60 y 70 veces ambas incluidas. REGRESION LINEAL

JUSTIFICACIÓN DEL PROBLEMA

1. Se piensa que el número de libras de vapor utilizadas por el mes

por una planta química, está relacionada con la temperatura

ambiente promedio (° F) de ese mes. En la tabla siguiente se

muestran el uso de vapor y la temperatura del mes

correspondiente.

MES

TEMPERATURA

USO / 1000

X

Y

XY

X

Enero 21 185.79 3,901.59 441

Febrero 24 214.47 5,147.28 576 Marzo 32 288.03 9,216.96 1,024 Abril 47 424.84 19,967.48 2,209 Mayo 50 454.58 2,2729 2,500 Junio 59 539.03 31,802.77 3,481 Julio 68 621.55 42,265.4 4,624

Agosto 74 675.06 49,954.44 5,476 Septiembre 62 562.03 34,845.86 3,844

Octubre 45 452.93 20,381.85 2,025 Noviembre 41 369.96 15,168.36 1,681 Diciembre 30 273.98 8,219.4 900

558 5,062.25 263,600.39 28,781

y = 9.2083x - 6.339

R2 = 0.9933

180

280

380

480

580

680

20 30 40 50 60 70 80

TEMPERATURA

US

O /

1000

INTERPOLACIÓN

y = 9.2083x – 6.3339

y = 9.2083 (24) – 6.3339

y = 220.9992 – 6.3339

y = 214.66

EXTRAPOLACIÓN

y = 9.2083x – 6.3339

y = 9.2083 (85) – 6.3339

y = 782.7055 – 6.3339

y = 776.3716

MES

TEMPERATURA

USO / 1000

febrero 24 214.47

APORTACIÓN

La conclusión a la cual llegue fue que entre más aumente la

temperatura, mayor será el uso de vapor. Sin embargo en época de

invierno el uso de vapor disminuye de acuerdo a que baja la

temperatura.

JUSTIFICACIÓN DEL PROBLEMA

2. En un artículo se presentan datos sobre la concentración de licor

verde Na2S y la producción de papel máquina. Los datos

obtenidos se muestran en la siguiente tabla.

NÚMERO DE OBSERVACIÓN

PRODUCCIÓN (ton / día)

CONCENTRACIÓN DE LICOR VERDE Na2S

(g / l) X Y XY X2

1 825 40 33,000 680,625 2 830 42 34,860 688,900 3 890 49 43,610 792,100 4 895 46 41,170 801,025 5 890 44 39,160 792,100 6 910 48 43,680 828,100 7 915 46 42,090 837,225 8 960 43 41,280 921,600 9 990 53 52,470 980,100 10 1,010 52 52,520 1’020,100 11 1,012 54 54,648 1’024,144 12 1,030 57 58,710 1’060,900 13 1,050 58 60,900 1’102,500

12,207 632 598,098 11’529,419

y = 0.0694x - 16.509

R2 = 0.8001

35

40

45

50

55

60

820 845 870 895 920 945 970 995 1020 1045

PRODUCCIÓN

CO

NC

EN

TR

AC

IÓN

DE

LIC

OR

INTERPOLACIÓN EXTRAPOLACIÓN

y = 0.0694x – 16.509 y = 0.0694x – 16.509

y = 0.0694 (825) – 16.509 y = 0.0694 (1,060) – 16.509

y = 57.255 – 16.509 y = 73.564 – 16.509

y = 40.74 y = 57.055

3. Se realiza una encuesta para determinar las horas de estudio que

el alumnos de la Facultad de Contaduría y Ciencias

Administrativas utiliza para la acreditación de las materias.

De acuerdo con lo anterior expuesto se obtiene la siguiente tabla

de datos:

TIEMPO DE ESTUDIO (horas /

semana)

PREDICCIÓN DEL PROMEDIO DE

CALIFICACIONES X Y XY X2

ELENA 8 7.4 59.2 59.2 NOEMÍ 10 8 80 80 ROSARIO 6 6.8 40.8 40.8 DAVID 13 8.6 111.8 111.8 GONZALO 14 9 126 126 SERGIO 6 6 36 36 DALILA 3 5.8 17.4 17.4 VANNESA 1 4.5 4.5 4.5 VIANEY 12 8.4 100.8 100.8 ARTURO 11 8 88 88 RICARDO 5 5.8 29 29 89 78.3 693.5 693.5

y = 0.3316x + 4.4356

R2 = 0.9609

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 5 10 15

TIEMPO DE ESTUDIO

PR

OM

ED

IO D

E

CA

LIF

ICA

CIO

NE

S

Serie1

Lineal (Serie1)

INTERPOLACAIÓN EXTRAPOLACIÓN

y = 0.3316 x + 4.4356 y = 0.31916 x +4.4356

y = 0.3316 (10) + 4.4356 y = 0.3316 (18) + 4.4356

y = 7.756 y = 10.40

Bibliografía

González, F. (2001): “Probabilidad y Estadística para la Gestión Empresarial”.

FEGOSA Ingeniería Administrativa.

Weimer, R. (1996) “Estadística “. Compañía Editorial Continental.

Levin, R. (2004) “Estadística para Administración y Economía”. Pearson

Educación México.