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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO
FACULTAD DE CIENCIAS
LABORATORIO DE PTICA PRCTICA 3
LENTES DELGADAS
PROFESOR: DR. REV. NAT. DIPL. PHYS.MSC.FIS OMAR G. MORALES
SAAVEDRA
INTEGRANTES
DE JESS LUIS DANIEL
HERNNDEZ RAMREZ EFRN
TAPIA URZA IRIS ITZEL
VARGAS GALICIA YESSICA NOEMI
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1. Objetivo
1.1 Verificar las ecuaciones que relacionan la distancia imagen
y amplificacin transversal en
una lente delgada con la distancia del objeto y focal de dicha
lente.
1.2 Determinar la distancia focal de una lente, as como aprender
a alinear correctamente un
sistema de lentes en un arreglo ptico.
2. Introduccin
Una lente es un sistema ptico compuesto de dos o ms superficies
refractoras no paralelas
(comnmente esfricas), con la propiedad de que al observar un
objeto a travs de ella se forma
una imagen de dicho objeto.
2.1 Lentes delgadas
Una lente delgada es aquella en el que su grosor aproximadamente
un dcimo de su distancia
focal. Se clasifican en convergentes (positivas) y divergentes
(negativas); ver figura 1
Para las primeras se tiene que al incluir un conjunto de rayos
paralelos sobre la lente convergen a un
punto, dicho punto se le conoce como punto focal y para las
segundas cuando un conjunto de rayos
paralelos inciden sobre la lente, estos divergen.
Las imgenes formadas por las lentes se pueden clasificar reales
y virtuales. Una imagen real es
aquella que puede ser observada sobre una pantalla que est en la
posicin adecuada, son formadas
por lentes convergentes. Una imagen virtual es aquella que no
puede ser proyectada, se forman por
lentes divergentes. [2]
La relacin entre distancia objeto (s0) y distancia imagen (si)
est relacionada por la ecuacin de
Gauss para lentes delgadas
Figura 1: Diagrama que muestra los diferentes tipos de lentes
delgadas.
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(1)
Donde s0 es la distancia del objeto a la lente, si la distancia
de la imagen formada a la lente y f la
distancia de la lente al punto focal.
De la ecuacin anterior se puede deducir que el aumento lineal
(m) que produce una lente delgada
est dado por:
(2)
Donde y y y son la alturas del objeto e imagen respectivamente.
Si M>0 la imagen tiene la misma
orientacin que el objeto, M1 la imagen
est aumentada respecto al objeto y si M
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b) Para L1 (que se nombr lente auxiliar) se midieron entre cinco
y seis valores (variando en
mltiplos enteros de f (f, 2f, 3f,, 6f) y posteriormente para
posiciones intermedias entre f y
2f (f+f/N, f+2f/N,, f+(N-1)f/N), de la distancia s0 y la
correspondiente distancia si, adems
para cada posicin se midi el tamao horizontal de la imagen
formada. Conociendo estos
datos se calcul la amplificacin transversal para cada posicin
del objeto. Los
procedimientos a) y b) se repitieron para una lente L2.
3.3 Formacin de un objeto real e imagen virtual.
Descripcin del experimento:
a) Se repiti el procedimiento expuesto en 3.2 pero ahora para un
sistema de dos lentes; ver
figura 3, colocando L2 entre L1 y el objeto, esto como mtodo de
medicin al hacer variar la
distancia objeto-lente en cantidades menores a la distancia
focal de L2, ya que la imagen
producida por L2 ser virtual, pero al utilizar a L1, la imagen
se convierte en real y es
posible medirla. Se realizaron mediciones para los valores
correspondientes a la variacin
de la distancia entre lentes considerando tambin las posiciones
intermedias entre el foco y
la lente.
3.4 Formacin de un objeto virtual e imagen real
Descripcin del experimento:
Figura 2: Arreglo experimental del experimento 3.2
Figura 3: Arreglo experimental del experimento 3.3
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a) Repitiendo el mismo proceso descrito en 3.3 pero ahora para
objetos virtuales, se proyect
una imagen real sobre la pantalla a travs de L1, posteriormente
se coloc la lente bajo
estudio L2 intermedia entre L1 y la pantalla, se midi entonces
para L2 la distancia s0
(distancia entre esta lente y la pantalla). Al agregar esta
lente la imagen se desenfoc, por lo
que fue necesario mover la pantalla hasta encontrar una posicin
en la que la imagen de la
diapositiva nuevamente fuera ntida. La posicin de la segunda
lente se tom a propsito
con los valores submltiplos y enteros de la distancia focal de
dicha lente. Se tomaron los
valores correspondientes para la distancia del objeto virtual y
la imagen virtual de la
segunda lente.
Figura 4: Arreglo experimental del experimento 3.4
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4. Anlisis de resultados
4.1 A continuacin se muestran los resultados obtenidos al
realizar el procedimiento descrito en la
seccin 3.2.
La tabla 1 muestra las mediciones realizadas para determinar las
distancias focales para cada una
de las lentes usadas, N es el nmero de medicin, se nombr a la
primer lente para la que se realiz
la medicin como L1 y a la segunda como L2; se repiti la medicin
5 veces para cada lente y de los
valores obtenidos se realiz un promedio para fijar el foco de
cada una, estos valores se muestran en
la tabla 2, donde f1 es el foco para L1 y f2 es el foco para
L2
Tabla 1: Datos de primer instancia
Medicin experimental del foco para cada lente
N [cm]
[cm]
1 13 22.7
2 12 23.5
3 13 23.7
4 12.4 23.1
5 12.7 23.4
Tabla 2: Datos de segunda instancia
Distancias focales
[cm]
[cm]
12.62 23.28
Lo siguiente fue analizar a cada lente individualmente, la tabla
3 registra las mediciones realizadas
para L1, donde s0 y si son las distancias mostradas en la figura
2, yi es la amplificacin lateral, el
sigo se debe a que la lente nos generaba una imagen real e
invertida.
Tabla 3: Datos de primer instancia
Valores para L1 N
[cm]
[cm]
[cm]
1 25.2 25.4 -2.42
2 37.9 19.7 -1.25
3 63.1 17.5 -1.05
4 20.2 35.8 -4.22
5 22.7 29.2 -3.00
6 14.7 93.2 -14.5
-
Lo siguiente es comprobar que los datos de la tabla anterior al
graficarlos satisfacen la ecuacin (1)
para lo cual definimos un cambio de variable:
y
donde si y s0 son las distancias lente-imagen y lente-objeto,
respectivamente.
Tabla 4: Datos de segunda instancia
[cm]
[cm]
A continuacin se muestra la grfica de u vs v, ver grfico 1, se
observa un comportamiento lineal,
aplicando un ajuste tenemos la siguiente ecuacin v= -1.09u
+0.08, que podemos reescribir como:
Que es una forma parecida a la ecuacin de Gauss a excepcin del
factor que multiplica a 1/si. De
modo que para que sea idntica ese factor debera ser 1, por lo
que tendremos que la ecuacin
obtenida es un 91 % parecida a la que buscamos.
Lo anterior nos dice que es una buena aproximacin a la ecuacin
de Gauss, de forma que si
consideramos la ecuacin
Tendremos que el valor experimental para el foco dictado por
esta ecuacin (fe=12.43) difiere un
1.5% del foco medido para L1.
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
V [
cm]
u [cm]
Grfico 1
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Los datos de la tabla 3, fueron trabajados con las ecuaciones
(1) y (2), los valores obtenidos estn
registrados en la tabla 5, donde fue calculado con la
relacin
, mientras que
fue calculado con
, yo es la medida original de diapositiva usada con un
valor de . es el error porcentual al comparar los valores de
M.
El grfico muestra el comportamiento de con respecto a , su
comportamiento es casi lineal, al ajustarlo a una recta tenemos
la siguiente ecuacin, que describe
la variacin de uno respecto al otro:
La tabla 5 muestra el valor terico que toma el foco de L1,
calculado con la relacin
, se
tom un promedio de estos valores y se compar con el medido
experimentalmente obteniendo su
error porcentual.
Tabla 5: Valores de segunda instancia
Amplificacin lateral para L1
9
8.77
3.57
8.29
6.57
4.37
0
2
4
6
8
0 1 2 3 4 5 6 7
Mte
ri
co
Mexperimental
Grfico 2
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Tabla 5: valores de segunda instancia
Distancia focal calculada tericamente
Tenemos que , al compararlo con
tenemos un error de que es bastante aceptable para los
resultados de esta prctica.
Se repiti todo el anlisis pero ahora para L2 obteniendo las
siguientes tablas y grficas.
Tabla 6: Datos de primer instancia
Valores para L2 N
[cm]
[cm]
[cm]
1 46.5 37.1 -1.97
2 93 27 -0.73
3 139.5 24.2 -0.44
4 30.2 59.4 -4.6
5 37.2 43.1 -2.79
6 44.1 37.7 -2.2
Tabla de cambio de variable para el anlisis grfico de los datos
de L2
Tabla 7: Datos de segunda instancia
[cm]
[cm]
-
De la aproximacin lineal del grfico 3 tenemos la siguiente
expresin
Tomamos la ecuacin
como la aproximacin a la ecuacin de Gauss, tenemos que el
foco experimental para L2 (fe=19.6cm) difiere un 18.73 % con el
medido.
A continuacin se muestra la relacin entre y , se aprecia un
comportamiento lineal, al ajustarlo a una recta tenemos la
siguiente ecuacin, que describe la
variacin de uno respecto al otro:
y = -1.0815x + 0.0513 R = 0.997
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
V[c
m]
u[cm]
Grfico 3
Tabla 8: Valores de segunda instancia
Amplificacin lateral para L2
12.2
12.12
15
6.67
9.44
15
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Tabla 9: valores de segunda instancia
Distancia focal calculada tericamente
De los valores registrados en la tabla 9 tenemos que, , al
compararlo con tenemos un error de .
4.2 Para los desarrollos experimentales siguientes se utilizaron
lentes distintas, dado que esta parte
se realiz en una sesin de laboratorio distinta. L1 tena un foco
de 7 cm y L2 un foco de 42 cm.
Para L2 se realizaron mediciones cuando la distancia objeto es
menor que la distancia focal de L2, lo
que nos da una imagen real cuyo objeto ser la imagen virtual de
la lente 2, se tomaron datos de la
distancia objeto s02 y distancia imagen si1, manteniendo siempre
contante la separacin entre las
lentes d=25.28 cm, estos datos se muestran en la tabla 10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Mte
ri
co[c
m]
Mexrimental[cm]
Grfico 4
Tabla 10: Datos de primer instancia
Para el arreglo experimental mostrado en la figura 3
1 21 10.4 -1.22
2 14 11.6 -1.79
3 10.5 12.7 -2.06
4 8.4 15.8 -3.6
5 7 20.4 -5.01
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De la ecuacin de Gauss para la lente 1 tendremos que
Pero de la imagen del montaje tenemos que se cumple que , que al
sustituir la
expresin anterior en esta tenemos
De forma que tenemos los datos completos de distancia imagen y
distancia objeto. Por convencin
tendr signo negativo por tratarse de una imagen virtual.
Tabla 11: datos de segunda instancia para el arreglo de la
figura 3
N [cm]
[cm]
[cm]
1 2 3 4 5
A continuacin se muestra la grfica de v vs u para el anlisis
geomtrico y comprobar que nuestro
sistema cumple con la funcin de Gauss.
y = -1.9949x + 0.2442 R = 0.9818
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
v [c
m]
u [cm]
Grfico 5
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Al analizar el grfico 5 vemos que su comportamiento es lineal,
al realizar el ajuste de rectas no da
la ecuacin
Se observa claramente un error de casi 100% al hacer la
aproximacin con la ecuacin de Gauss, lo
cual indica un error a la hora de tomar las mediciones.
En la tabla 11 el valor para fue obtenido a travs del despeje de
la ecuacin 1, con
y medidos experimentalmente, fue encontrado con la relacin
, donde
son los focos de las lentes utilizadas en el arreglo
experimental, mostrado al final de la primer
columna, es el foco promedio de los valores obtenidos para , por
ultimo es el error
en porcentaje al comparar con
4.3 Para el caso objeto virtual e imagen real, se realiz el
desarrollo descrito en la seccin 3.4, los
datos recabados se muestran en la tabla 12, donde quedan
registrados los valores de s02 y si2
Tabla 11: Valores de segunda instancia
6.00 15.88 6.00 5.66
6.00 4.16
6.00 8.66
6.00 13.16
6.00 1.00
Tabla 4: Datos de primer instancia
Datos medidos para el caso objeto virtual e imagen real
1 -31.4 11.75 0.81
2 -57.1 23.5 0.86
3 -87.8 35.25 0.87
4 -85.4 47 1.2
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Se realiz el cambio de variable para poder hacer el anlisis
grafico del comportamiento de las
mediciones
Tabla 13: Datos de segunda instancia
N
[cm]
[cm]
1 2 3 4
A continuacin se muestra la grfica v vs u, que claramente tiene
un comportamiento lineal, al
ajustarlo nos queda la ecuacin
Que claramente tiene un error porcentual muy elevado al
aproximar la expresin a una Gaussiana y
el foco del sistema no tiene mucha lgica tampoco, por lo tanto
las mediciones de esta parte de la
prctica fueron erradas.
5. Conclusiones
Como pudimos observar para el caso de imgenes reales, para las
dos lentes utilizadas, el
comportamiento de los datos medidos y calculados era consistente
con lo predicho, cumplan la
relacin de Gauss con variaciones pequeas, que hasta cierto punto
podran justificarse por el
material con el que se realiz el experimento o la precisin de
los aparatos usados.
Se present una situacin diferente para los experimentos
posteriores, por ejemplo en el caso de
objeto real e imagen virtual, aunque los datos fueron analizados
correctamente, los resultados no
concuerdan con lo que en teora deba pasar, lo cual hace pensar
en errores al tomar las mediciones
o al montar los dispositivos.
El anlisis de los ltimos dos casos nos sirven para darnos cuenta
que aunque la ecuacin se ajuste
adecuadamente a la teora, los valores predichos por esta pueden
no concordar en su totalidad con
los obtenidos experimentalmente.
6. Apndice
Al realizar cualquier medicin, intervienen una serie de factores
que alteran o modifican el
resultado de la medicin. Uno de esos factores se atribuye a los
instrumentos de medicin, en donde
la ltima cifra significativa est relacionada a la mnima divisin
de la escala en que estn
graduados.
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Comnmente la medicin de una cantidad fsica no se realiza
directamente con un instrumento, sino
que se calcula a partir de otros parmetros medidos directamente
con otros instrumentos. De manera
que la incertidumbre asociada al clculo final debe ser calculada
tambin por un procedimiento
definido, que involucre tanto a las cantidades directamente
medidas como a sus correspondientes
incertidumbres; esto se conoce con el nombre de propagacin de
incertidumbres.
La regla general para el clculo de la propagacin de errores de
una expansin h=f(x1, x2, ... , xn)
est dada por:
|
|
(3)
Siendo si la distancia de la imagen a la lente, s0 la distancia
del objeto a
la lente, yi el tamao vertical
de la imagen y y el tamao del objeto.
Para la ecuacin
, la propagacin de incertidumbre est dada por:
Para la ecuacin
, la propagacin de incertidumbre est dada por:
( ( )
( ) ) (
( ) ( )
)
Para la ecuacin
, la propagacin de incertidumbre viene dada por:
( )
( )
7. Bibliografa
[1] Hecht E. y Zajac A. Optics. First edition. Addison-Wesley
Publishing Company Inc. United
States of America 1974.
[2] Francis A. Jenkins y Harvey E. White, "Fundamentals of
optics", Fourth edition. McGraw-Hill
book company Inc. 1976.
