UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA …razonaya.weebly.com/uploads/2/5/6/3/25637582/documento_de_deriva… · Teorema de Rolle ... Derivada del coseno de x . ... exponente por la base

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA DERIVADAS

LIC. JOSE LUIS RAMOS TEJEDA

-1-

INDICE

I . CONCEPTO DE DERIVADA………………………………………..2

1. Der ivada en un punto……………………………………………….2

2. In terpretac ión de la der ivada……………………………………8

3. Función der ivada……………………………………………………10

I I . DERIVADAS INMEDIATAS……………………………………….20

1. Fórmulas de der ivadas……………………………………………20

2. Der ivada de una constante……………………………………...20

3. Der ivada de x…………………………………………………………20

4. Der ivada de una potencia………………………………………..20

5. Der ivada de una raíz………………………………………………20

6. Der ivada de una suma…………………………………….………21

7. Der ivada de un producto…………………………………………21

8. Der ivada de un coc iente…………………………………………21

I I I . DERIVADAS EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS…..…21

1. Der ivada de la func ión exponencia l…………………………21

2. Der ivada de la func ión logar ítmica…………………………..22

3. Der ivac ión logar ítmica……………………………………………22

http://www.dervor.com/derivadas/derivada.html�

http://www.dervor.com/derivadas/interpretacion_derivada.html�

http://www.dervor.com/derivadas/derivadas_funciones.html�

http://www.dervor.com/derivadas/tabla_derivadas.html�

http://www.dervor.com/derivadas/derivada_constante.html�

http://www.dervor.com/derivadas/derivada_x.html�

http://www.dervor.com/derivadas/derivada_potencia.html�

http://www.dervor.com/derivadas/derivada_raiz.html�

http://www.dervor.com/derivadas/derivada_suma.html�

http://www.dervor.com/derivadas/derivada_producto.html�

http://www.dervor.com/derivadas/derivada_cociente.html�

http://www.dervor.com/derivadas/derivada_exponencial.html�

http://www.dervor.com/derivadas/derivada_logaritmo.html�

http://www.dervor.com/derivadas/derivacion_logaritmica.html�



-2-

IV. DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS…………………………..22

1. Der ivada del seno…………………………………………………22

2. Der ivada del coseno……………………………………………..22

3. Der ivada de la tangente………………………………………...22

4. Der ivada de la cotangente……………………………………..22

5. Der ivada de la secante…………………………………………23

6. Der ivada de la cosecante……………………………………..23

V. DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS……………23

1. Der ivada del arcoseno………………………………………….23

2. Der ivada del arcocoseno………………………………………23

3. Der ivada del arcotangente……………………………………23

4. Der ivada del arcocotangente………………………………..23

5. Der ivada del arcosecante…………………………………….23

6. Der ivada del arcocosecante…………………………………24

VI . OTRAS DERIVADAS…………………………………………..24

1. Reg la cadena……………………………………………………..24

2. Der ivada de la func ión inversa……………………………..63

3. Der ivadas sucesivas……………………………………………64

http://www.dervor.com/derivadas/derivada_seno.html�

http://www.dervor.com/derivadas/derivada_coseno.html�

http://www.dervor.com/derivadas/derivada_tangente.html�

http://www.dervor.com/derivadas/derivada_cotangente.html�

http://www.dervor.com/derivadas/derivada_secante.html�

http://www.dervor.com/derivadas/derivada_cosecante.html�

http://www.dervor.com/derivadas/derivada_arcoseno.html�

http://www.dervor.com/derivadas/derivada_arcocoseno.html�

http://www.dervor.com/derivadas/derivada_arcotangente.html�

http://www.dervor.com/derivadas/derivada_arcocotangente.html�

http://www.dervor.com/derivadas/derivada_arcosecante.html�

http://www.dervor.com/derivadas/derivada_arcocosecante.html�

http://www.dervor.com/derivadas/regla_cadena.html�

http://www.dervor.com/derivadas/derivada_inversa.html�

http://www.dervor.com/derivadas/derivada_segunda.html�



-3-

4. Der ivac ión impl íc i ta……………………………………………….67

5. Di ferencia l de una func ión……………………………………..69

6. Der ivabi l idad…………………………………………………………74

VI I . APLICACIONES DE LAS DERIVADAS……………………..80

1. Recta tangente……………………………………………………..80

2. Recta normal………………………………………………………..85

3. Crec imiento y decrec imiento………………………………….87

4. Máximos y mínimos……………………………………………….93

5. Opt imizac ión………………………………………………………...100

6. Concavidad y convexidad………………………………………111

7. Punto de inf lexión…………………………………………………116

VI I I . TEOREMAS……………………………………………….……..120

1. Teorema de Rol le………………………………………..………..120

2. Teorema de Lagrange…………………………………..……….125

3. Teorema de Cauchy……………………………………..……….128

4. Reg la de L 'Hôpi ta l……………………………………….……….130

Ejerc ic ios………..………………………………………………………..135

http://www.dervor.com/derivadas/derivacion_implicita.html�

http://www.dervor.com/derivadas/diferencial.html�

http://www.dervor.com/derivadas/derivabilidad.html�

http://www.dervor.com/derivadas/recta_tangente.html�

http://www.dervor.com/derivadas/recta_normal.html�

http://www.dervor.com/derivadas/crecimiento.html�

http://www.dervor.com/derivadas/maximos_mimimos.html�

http://www.dervor.com/derivadas/optimizacion.html�

http://www.dervor.com/derivadas/concavidad.html�

http://www.dervor.com/derivadas/punto_inflexion.html�

http://www.dervor.com/teoremas/teorema_rolle.html�

http://www.dervor.com/teoremas/teorema_valor_medio.html�

http://www.dervor.com/teoremas/teorema_cauchy.html�

http://www.dervor.com/teoremas/regla_lopital.html�

http://www.dervor.com/teoremas/ejercicios.html�



-4-

Derivada

I . CONCEPTO DE DERIVADA

1. Derivada en un punto

La derivada de una func ión f (x) en un punto x = a es e l valor

del l ímite , s i exis te, del cociente incremental cuando e l

incremento de la var iable t iende a cero .

Ejemplos

Calcular la derivada de la func ión f (x) = 3x2 en e l punto x =

2.



-5-

Hal lar la derivada de la func ión f (x) = x2 + 4x − 5 en x = 1.

Calcular la derivada de en x = −5.

Hal lar la derivada de en x = 1.



-6-

Determinar la derivada de en x = 2.

Calcula e l va lor de la derivada en x = 2.



-7-

Hal lar la derivada de en x = 3.

A. Derivadas laterales

Der ivada por la izquierda

Der ivada por la derecha



-8-

Una función es der ivable en un punto s i , y só lo s i , es

der ivable por la izquierda y por la derecha en d icho punto y

las derivadas laterales coinciden .

Ejemplo

Estudiar e l va lor de la derivada de en x

= 0

Como no coinc iden las derivadas laterales la func ión no

t iene der ivada en x = 0.

2. Interpretación de la der ivada

Interpretación geométrica de la derivada



-9-

Cuando h t iende a 0, e l punto Q t iende a confundirse con e l

P. Entonces la recta secante t iende a ser la recta

tangente a la función f (x) en P, y por tanto e l ángulo α

t iende a ser β .

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual

a la derivada de la func ión en ese punto.



-10-

m t

Ejemplos

= f ' (a)

Dada f (x) = x2 , ca lcu lar los puntos en los que la recta

tangente es para le la a la b isect r iz del pr imer cuadrante.

La ecuación de la b isect r iz del pr imer cuadrante es y = x,

por tanto su pendiente es m= 1.

Como las dos rectas son para le las tendrán la misma

pendiente, así que:

f ' (a) = 1 .

Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a

la der ivada en e l punto x = a.



-11-

Dada la curva de ecuación f (x) = 2x2 − 3x − 1, hal la las

coordenadas de los puntos de d icha curva en los que la

tangente forma con e l e je OX un ángulo de 45°.



-12-

Determinar los va lores del parámetro b, para qué las

tangentes a la curva de la func ión f (x) = b2x3 + bx2 + 3x + 9

en los puntos de absc isas x = 1, x = 2 sean para le las.

Para que sean para le las se t iene que cumpl i r que las

der ivadas en x = 1 y x = 2 sean iguales.

f ' (1) = f ' (2)

f ' (x) = 3b2 x2 + 2bx + 3

f ' (1) = 3b2 + 2b + 3

f ' (2) = 12b2 + 4b + 3

3b2 + 2b + 3 = 12b2 + 4b + 3

9b2

A. Interpretación f ísica de la derivada

+ 2b = 0

b = 0 b = −2/9

Veloc idad media

La velocidad media es e l coc iente ent re e l espacio

recorrido (Δe) y e l t iempo transcurr ido (Δt) .



-13-

Veloc idad instantánea

La velocidad instantánea es e l l ím i te de la ve loc idad

media cuando Δt t iende a cero, es decir , la derivada del

espacio respecto al t iempo .



-14-

Ejemplo

La re lac ión ent re la d is tanc ia recorr ida en metros por un

móvi l y e l t iempo en segundos es e( t ) = 6t2 . Calcular :

1 la ve loc idad media entre t = 1 y t = 4.

La veloc idad media es e l coc iente incremental en e l

in tervalo [1, 4] .

2 La veloc idad instantánea en t = 1.

La veloc idad instantánea es la der ivada en t = 1.

¿Cuál es la ve loc idad que l leva un vehículo se mueve según

la ecuación e( t ) = 2 − 3t 2 en e l quinto segundo de su

recorr ido? El espacio se mide en metros y e l t iempo en

segundos.



-15-

Una poblac ión bacter iana t iene un crec imiento dado por la

func ión p(t ) = 5000 + 1000t ² , s iendo t e l t iempo met ido en

horas. Se p ide:

1. La veloc idad media de crec imiento.

2. La veloc idad instantánea de crec imiento.

3. La veloc idad de crec imiento instantáneo para t 0 = 10

horas.

B. Derivadas de funciones

La función derivada de una función f(x) es una función que

asocia a cada número real su der ivada , s i ex is te. Se expresa

por f ' (x) .



-16-

Ejemplos

Determinar la func ión der ivada de f (x) = x2 − x + 1.

Calcular f ' (−1) , f ' (0) y f ' (1)

f ' (−1) = 2(−1) − 1 = −3

f ' (0) = 2(0) − 1 = −1

f ' (1) = 2(1) − 1 = 1

C. Derivada de las funciones a t rozos

En las funciones def inidas a trozos es necesar io estudiar

las derivadas laterales en los puntos de separac ión de los

d is t in tos t rozos .

Estudiar la derivabil idad de la func ión f (x) = |x | .



-17-

Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son dist intas ,

la func ión no es der ivable en d icho punto.

Las derivada laterales no coinc iden en los p icos n i en los

puntos angulosos de las func iones. Por tanto en esos

puntos no exis te la der ivada.



-18-

No es der ivable en x = 0.

Hal lar e l punto en que y = |x + 2| no t iene der ivada.

Just i f icar e l resul tado representando su gráf ica.

La func ión es cont inua en toda .

f ' (−2) − = −1f '(−2) + = 1

No será der ivable en: x= -2.



-19-

En x = -2 hay un p ico, por lo que no es der ivable en x= -2.

Hal lar los puntos en que y = |x 2 − 5x + 6| no t iene

der ivada. Just i f icar e l resul tado representando su gráf ica.

La func ión es cont inua en toda .

f ' (2) - = −1f ' (2) + = 1

f ' (3) - = −1f ' (3) +

Como no coinc iden las der ivadas la tera les la func ión no

será der ivable en: x=2 y x=3.

= 1



-20-

Podemos observar que en x = 2 y en x = 3 tenemos dos

puntos angulosos, por lo que la func ión no será der ivable en

e l los.

I I . DERIVADAS INMEDIATAS

1. Formulas de der ivadas

2. Der ivada de una constante

3. Der ivada de x

Der ivada de func ión af ín

4. Der ivada de una potencia

5. Der ivada de una raíz



-21-

Der ivada de una raíz cuadrada

6. Der ivada de suma

Der ivada de de una constante por una func ión

7. Der ivada de un producto

Der ivada de constante par t ida por una func ión

8. Der ivada de un coc iente

I I I . DERIVADAS EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

1. Der ivada de la func ión exponencia l



-22-

Der ivada de la func ión exponencia l de base e

2. Der ivada de un logar i tmo

3 . Der ivada de un logar i tmo neper iano

IV. DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS

1. Der ivada del seno

2. Der ivada del coseno

3. Der ivada de la tangente

4. Der ivada de la cotangente



-23-

5. Der ivada de la secante

6. Der ivada de la cosecante

V. DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

1. Der ivada del arcoseno

2 . Der ivada del arcocoseno

3. Der ivada del arcotangente

4 . Der ivada del arcocotangente

5. Der ivada del arcosecante



-24-

6. Der ivada del arcocosecante

VI . OTRAS DERIVADAS

Derivada la función potencial-exponencial

1. Regla de la cadena

Fórmula de der ivada implícita

Derivada de una constante

La derivada de una constante es cero .

Ejemplo

Derivada de x



-25-

La derivada de x es igual a 1 . Es decir , la der ivada de la

func ión ident idad es igual a la unidad.

Derivada de una potencia de base x

Derivada de una raíz de radicando x

Derivadas exponenciales y logarí tmicas

Derivada de la función exponencial de exponente x

Derivada del logaritmo de x



-26-

Derivadas tr igonométricas

Derivada del seno de x

Derivada del coseno de x

Derivada de la tangente de x

Derivada de la cotangente de x

Derivada de la secante de x

Derivada de la cosecante de x



-27-

Derivadas tr igonométricas inversas

Derivada del arcoseno de x

Derivada del arcocoseno de x

Derivada del arcotangente de x

Derivada del arcocotangente de x

Derivada del arcosecante de x

Derivada del arcocosecante de x

Derivada de una potencia



-28-

La derivada de una potencia o función potencial , es igual a l

exponente por la base e levada a l exponente menos uno y por la

der ivada de la base.

Si la base es la func ión ident idad, la der ivada es igual a l

exponente por la base e levada a l exponente menos uno.

f (x) = xk f ' (x)= k · x

Ejemplos

k− 1



-29-



-30-



-31-

Derivada de una raíz

La derivada de la raíz enésima de una func ión es igual a la

der ivada del radicando par t ida por la n veces la ra íz enésima de

la func ión radicando e levada a n menos uno.

Derivada de la raíz cuadrada

La derivada de la raíz cuadrada de una func ión es igual a la

der ivada del radicando part ida por e l duplo de la raíz.

Ejemplos



-32-



-33-



-34-

Derivada de una suma

La derivada de una suma de dos func iones es igual a la suma

de las derivadas de d ichas func iones.

Esta reg la se ext iende a cualquier número de sumandos, ya sean

posi t ivos o negat ivos.

Ejemplos

Der ivada de un producto



-35-

La derivada del producto de dos func iones es igual a l pr imer

factor por la der ivada del segundo más e l segundo factor por la

der ivada del pr imero.

Derivada de una constante por una función

La derivada de l producto de una constante por una función es

igual a l producto de la constante por la der ivada de la func ión.

Ejemplos



-36-

Derivada de un cociente

La derivada del cociente de dos func iones es igual a la

der ivada del numerador por e l denominador menos la der ivada

del denominador por e l numerador, d iv id idas por e l cuadrado del

denominador .

Derivada de una constante part ida por una función

Ejemplos



-37-



-38-

Derivada de la función exponencial

La derivada de la función exponencial ea igual a la misma

func ión por e l logar i tmo neper iano de la base y por la der ivada

del exponente.

Derivada de la función exponencial de base e

La derivada de la función exponencial de base e ea igual a la

misma func ión por la der ivada del exponente.

Ejemplos



-39-



-40-

Derivadas logarí tmicas

La derivada de un logari tmo en base a es igual a la der ivada

de la func ión d iv id ida por la func ión, y por e l logar i tmo en base a

de e.



-41-

Como , también se puede expresar así:

Derivada de un logari tmo neperiano

La derivada del logari tmo neperiano es igual a la der ivada de

la func ión d iv id ida por la func ión.

En a lgunos e jerc ic ios es conveniente ut i l izar las propiedades de

los logar i tmos antes de der ivar , ya que s impl i f icamos e l cá lcu lo.

Ejemplos



-42-

Apl icando las propiedades de los logarítmos obtenemos:




-43-





-44-

Apl icando las propiedades de los logar i tmos tenemos:

Apl icando las propiedades de los logar i tmos tenemos:



-45-


Derivación logarítmica

Con determinadas func iones, especia lmente para la función

potencial -exponencial , es aconsejable e l empleo de la

derivación logarítmica , ya que fac i l i tan bastante e l cá lculo.

.

.



-46-

.

.

.

Ejemplos

.

.

.

.



-47-

Apl icamos la definición de logari tmo :

http://www.vitutor.net/1/12.html�



-48-

Der ivada del seno

La derivada del seno de una func ión es igual a l coseno de la

func ión por la der ivada de la func ión.



-49-

Ejemplos



-50-



-51-

Derivada del coseno

La derivada del coseno de una función es igual a menos e l

seno de la func ión por la der ivada de la func ión.

Ejemplos



-52-

Derivada de la tangente

La derivada de la función tangente es igual a l cuadrado de la

secante de la func ión por la der ivada de la func ión.



-53-

Ejemplos

Derivada de la cotangente

La derivada de la función cotangente es igual a menos e l

cuadrado de la cosecante de la func ión por la der ivada de la

func ión.

Ejemplos



-54-

Derivada de la secante

La derivada de la secante de una func ión es igual a la secante

de la func ión por la tangente de la func ión, y por la der ivada de

la func ión.

Ejemplos



-55-

Derivada de la cosecante

La derivada de la cosecante de una func ión es igual a menos la

cosecante de la func ión por la cotangente de la func ión, y por la

der ivada de la func ión.

Ejemplo

Derivada del arcoseno



-56-

La derivada del arcoseno de una función es igual a la der ivada

de la func ión d iv id ida por la raíz cuadrada de uno menos e l

cuadrado de la función.

Ejemplos



-57-

Derivada del arcocoseno

La derivada del arcocoseno de una func ión es igual a menos la

der ivada de la func ión d iv id ida por la raíz cuadrada de uno

menos e l cuadrado de la func ión.

Ejemplos

Derivada del arcotangente



-58-

La derivada del arcotangente de una func ión es igual a la

der ivada de la función d iv id ida por uno más e l cuadrado de la

func ión.

Ejemplos



-59-

Derivada del arcocotangente

La derivada del arcotangente de una func ión es igual a menos

la der ivada de la func ión d iv id ida por uno más e l cuadrado de la

func ión.



-60-

Derivada del arcosecante

La derivada del arcosecante de una func ión es igual a la

der ivada de la func ión d iv id ida por la función mul t ip l icada por la

raíz cuadrada del cuadrado de la func ión menos 1.

Derivada del arcocosecante

La derivada del arcocosecante de una func ión es igual a menos

la der ivada de la func ión d iv id ida por la func ión mul t ip l icada por

la raíz cuadrada del cuadrado de la func ión menos 1.

OTRAS DERIVADAS

Regla de la cadena

La regla de la cadena es la fórmula resul tante de la derivada

de la composición de funciones .



-61-

Ejemplos



-62-



-63-

2. Derivada de la función inversa

S i f y g son func iones inversas, es decir .

Entonces



-64-

Der ivar , usando la der ivada de la func ión inversa: y = arc sen x

Der ivar , usando la der ivada de la func ión inversa: y = arc tg x

3. Derivadas Sucesivas

Derivada pr imera, segunda, . . . , enésima

Al der ivar la der ivada de una func ión, derivada pr imera ,

obtenemos una nueva func ión que se l lama derivada segunda,

f ' ' (x) .

S i vo lvemos a der ivar obtenemos la derivada tercera, f ' ' ' (x) .

S i der ivamos ot ra vez obtenemos la cuarta derivada f ' v

Ejemplos

y as í

sucesivamente.



-65-

Derivada enésima

En algunos casos, podemos encontrar una fórmula general para

cualquiera de las der ivadas sucesivas (y para todas e l las) . Esta

fórmula rec ibe e l nombre de derivada enésima, f ' n

Ejemplos

(x) .



-66-



-67-

4. Derivación implíci ta

Para hal lar la der ivada en forma impl íc i ta no es necesario

despejar y . Basta derivar miembro a miembro , u t i l izando las

reg las de der ivac ión y teniendo presente que:

x'=1 .

En general y'≠1 .



-68-

Por lo que omit iremos x' y dejaremos y' .

Ejemplos

Cuando las func iones son más comple jas vamos a ut i l i zar una

reg la para fac i l i tar e l cá lcu lo:



-69-

Ejemplos

5. Diferencial de una función

S i f (x) es una func ión der ivable, la diferencial de una función

cor respondiente a l incremento h de la var iable independiente, es

e l producto f ' (x) · h .

La diferencial de una función se representa por dy.



-70-

Interpretación geométrica

La diferencial en un punto representa e l incremento de la

ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la

var iable.



-71-

Ejemplos



-72-

Apl icamos la definición de logari tmo :

Un cuadrado t iene 2 m de lado. determínese en cuánto aumenta

e l área del cuadrado cuando su lado lo hace en un mi l ímet ro.

Calcúlese e l er ror que se comete a l usar d i ferencia les en lugar

de incrementos.




-73-

Hal lar la var iac ión de volumen que exper imenta un cubo, de

ar is ta 20 cm, cuando ésta aumenta 0.2 cm su long i tud.

Calcula e l er ror absoluto y re lat ivo comet ido en e l cá lcu lo del

vo lumen de una esfera de 12.51 mm de d iámetro, medido con un

inst rumento que aprec ia mi lés imas de cent ímetro.

S i e l lugar de se hal la . ¿Cuáles son las

aproximaciones del er ror absoluto y re lat ivo?



-74-

6. Derivabi l idad

S i una func ión es derivable en un punto x = a , entonces es

cont inua para x = a .

E l rec iproco es fa lso, es decir , hay func iones que son cont inuas

en un punto y que, s in embargo, no son der ivables.

Ejemplos

Estudiar la cont inuidad y der ivabi l idad de las func iones:

En pr imer lugar estudiamos la cont inuidad en x = 0.

La func ión no es cont inua, por tanto tampoco es der ivable.



-75-

En pr imer lugar estudiamos la cont inuidad en x = 0.

La func ión es cont inua, por tanto podemos estudiar la

der ivabi l idad.

Como no coinc iden las der ivadas la tera les no es der ivable en x =

1.

f (x) = x2 en x = 0.

La func ión es cont inua en x= 0, por tanto podemos estudiar la

der ivabi l idad.

En x = 0 la func ión es cont inua y der ivable.



-76-

Dada la func ión:

¿Para qué valores de a es der ivable?



-77-

Estudiar para qué valores de a y b la func ión es cont inua y

der ivable:

Determinar los valores de a y b para quien la s iguiente func ión

sea der ivable en todos sus puntos:



-78-

Para qué una func ión der ivable t iene que ser cont inua En este

caso la func ión no es cont inua para x = 0 cualesquiera que sean

a y b, es decir , no exis ten va lores de a y b que hagan cont inua

la func ión.

Por tanto, no exis ten a y b para los cuales la func ión sea

der ivable.

Estudiar para qué valores de a y b la func ión es cont inua y

der ivable:



-79-

Estudiar la cont inuidad y der ivabi l idad de la func ión def in ida por:

La func ión no es cont inua en x = 0 porque no t iene imagen. Por

tanto tampoco es der ivable.



-80-

Por lo que es cont inua, veamos s i es der ivable mediante las

fórmulas de der ivadas t r igonómetr icas inmediatas.

Como las der ivadas la tera les no coinc iden no es der ivable en e l

punto.

VI I . APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

1. Recta tangente

Pendiente

La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es

la derivada de la func ión en d icho punto.



-81-

Ecuación de la recta tangente

La recta tangente a a una curva en un punto es aquel la

que pasa por e l punto (a, f (a) ) y cuya pendiente es igual a f

' (a) .

Problemas

Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x3 −

3x2 − 9x + 5 es parale la a l e je OX.

y ' = 3x2 − 6x − 9; x2 − 2x − 3 = 0 (s impl i f icando por 3)

x 1 = 3 y 1 = −22

x 2 = −1y 2 = 10



-82-

A(3, −22) B(−1, 10)

Se ha t razado una recta tangente a la curva y= x3 , cuya

pendiente es 3 y pasa por e l punto (0,−2). Hal lar e l punto

de tangencia.

Sea e l punto de tangencia (a, f (a))

f ' (x)= 3x2 f ' (a)= 3a2

3a2=3a = ±1

Las ecuaciones de la rectas tangentes son:

a = 1 f (a) = 1

y − 1 = 3(x − 1) y = 3x−2

a = −1 f (a) = −1

y + 1= 3(x + 1) y = 3x + 2

El punto (0, −2) per tenece a la recta y = 3x−2.

Por tanto e l punto de tangencia será (1, 1) .

Encont rar los puntos de la curva f (x) = x4 + 7x3 + 13x2 + x

+1, para los cuales la tangente forma un ángulo de 45º con

OX.

m = 1



-83-

f ' (x) = 4x3 + 21x2 + 26x +1

4x3 + 21x2 + 26x +1 = 1

x = 0 x = −2 x z= 13/4

P(0, 4) Q(−2, 4) R(13/4, 1621/256)

Dada la func ión f (x) = tg x, hal lar e l ángulo que forma la

recta tangente a la gráf ica de la func ión f (x) en e l or igen,

con e l eje de absc isas.

f′ (x) = 1 + tg² x f′ (0) = 1 = m

y = x

α = arc tg 1 = 45º

Hal lar los coef ic ientes de la ecuación y = ax2 + bx + c,

sabiendo que su gráf ica pasa por (0, 3) y por (2, 1) . , y en

este ú l t imo punto su tangente t iene de pendiente 3.

Pasa por (0, 3) 3 = c

Pasa por (2, 1) 1= 4a + 2b + c

y ' = 2ax + b 3 = 4a + b

Resolv iendo e l s is tema se obt iene:

a = 2 b = −5 c = 3



-84-

La gráf ica de la func ión y = ax2 + bx + c pasa por los puntos

(2, 3) y (3, 13) . s iendo la tangente a la misma en e l punto

de absc isa 1 para le la a la b isect r iz del pr imer cuadrante.

Hal lar e l va lor numér ico de a, b y c .

Pasa por (2, 3) 3 = 4a + 2b + c

Pasa por (3, 13)13 = 9a + 3b +c

y ' = 2ax + b 1 = 2a + b

Resolv iendo e l s is tema se obt iene:

a = 3 b = −5 c =1

Dada la func ión f (x) = ax3 + bx 2

+ cx + d, determina a, b, c

y d; sabiendo que la curva pasa por los puntos (−1, 2) (2,

3) , y que las tangentes a e l las en los puntos de absc isa 1 y

−2 son para le las a l e jes de absc isas.

f (−1) = 2 −a + b − c + d = 2

f (2) = 3 8a + 4b + 2c + d = 3

f′ (−1) = 0 3a + 2b + c = 0

f′ (2) = 0 12a − 4b + c = 0

a = − 2 /9 b = − 1 /3 c = 4/3 d = 31/9



-85-

2. Recta normal

Pendiente

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto

es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta

tangente , por ser rectas perpendiculares entre s í.

La pendiente de la recta normal es la opuesta de la

inversa de la derivada de la func ión en d icho punto.

Ecuación de la recta normal



-86-

La recta normal a a una curva en un punto a es aquel la

que pasa por e l punto (a, f (a) ) y cuya pendiente es igual a

la inversa de la opuesta de f ' (a) .

Ejemplos

Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la

curva f (x) = ln tg 2x en e l punto de absc isa: x = π/8.

Hal lar la ecuación de la recta tangente y normal a la

parábola y = x2 + x + 1 para le la a la b isect r iz del pr imer

cuadrante.



-87-

Sea el punto de tangencia (a, b)

m = 1

f ' (a) = 2a + 12a + 1 = 1 a = 0

Punto de tangencia:(0, 1)

Recta tangente:

y − 1 = x y = x +1

Recta normal :

m= 1P(0, 1)

y − 1 = −x y = −x + 1

3. Crecimiento y decrecimiento

Crecimiento

Si f es der ivable en a:

Decrecimiento

Si f es der ivable en a:

Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento



-88-

Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento

de:

f (x) = x3 − 3x + 2

Para hal lar su crec imiento y decrec imiento vamos a real izar

los s iguientes pasos:

1. Derivar la función.

f ' (x) = 3x2 −3

2. Obtener las raíces de la der ivada pr imera, para el lo

hacemos: f ' (x) = 0.

3x2 −3 = 0 x = -1 x = 1

3. Formamos intervalos abier tos con los ceros ( raíces) de la

der ivada pr imera y los puntos de d iscont inuidad (s i los

hubiese)

4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hal lamos el

signo que t iene en la derivada pr imera.

Si f ' (x) > 0 es creciente.

Si f ' (x) < 0 es decreciente.

Del in tervalo (−∞, −1) tomamos x = -2, por ejemplo.



-89-

f ' ( -2) = 3( -2)2 −3 > 0

Del in tervalo (−1, 1) tom amos x = 0, por e jemplo.

f ' (0) = 3(0)2 −3 < 0

Del in tervalo ( 1, ∞) tomamos x = 2, por e jemplo.

f ' (2) = 3(2)2 −3 > 0

5. Escr ib imos los in tervalos de crec imiento y decrec imiento:

De crec imiento: (−∞, −1) (1, ∞)

De decrec imiento: (−1,1)

Ejercicios



-90-



-91-



-92-



-93-

4. Máximos y mínimos

Máximos

Si f y f ' son der ivables en a, a es un máximo relat ivo o

local s i se cumple:

1. f ' (a) = 0

2. f ' ' (a) < 0

Mínimos

Si f y f ' son der ivables en a, a es un mínimo relat ivo o

local s i se cumple:

1. f ' (a) = 0

2. f ' ' (a) > 0

Cálculo de los máximos y mínimos relat ivos



-94-

f (x) = x3 − 3x + 2

1. Hallamos la derivada pr imera y calculamos sus raíces.

f ' (x) = 3x2 − 3 = 0

x = −1 x = 1.

2. Real izamos la 2ª der ivada, y calculamos el signo que

toman en el la los ceros de der ivada pr imera y si :

f ' ' (x) > 0 Tenemos un mínimo.

f ' ' (x) < 0 Tenemos un máximo.

f ' ' (x) = 6x

f ' ' (−1) = −6 Máximo

f ' ' (1) = 6 Mínimo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos

relat ivos.

f (−1) = (−1) 3 − 3(−1) + 2 = 4

f (1) = (1)3

Ejercicios

− 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(−1, 0)



-95-



-96-



-97-

Problemas



-98-

Determinar a, b y c para que la func ión f (x) = x 3 + ax 2 + bx

+ c tenga un máximo para x=−4, un mínimo , para x=0 y

tome el va lor 1 para x=1.

f (x) =x3 + ax 2 + bx + c f′ (x) = 3x 2 + 2ax + b

1 = 1 + a + b + c a + b + c = 0

0 = 48 − 8a +b 8a − b = 48

0 = 0 − 0 + b b = 0

a = 6 b = 0 c = −6

Determinar e l va lor de a, b, c y d para que la func ión f (x) =

ax 3 + bx 2 + cx + d tenga un máximo en (0, 4) y un mínimo

en (2, 0) .

f (x) = ax 3 +bx 2 +cx +df′ (x) = 3ax 2 + 2bx + c

f (0) = 4 d = 4

f (2) = 0 8a + 4b + 2c = 0

f′ (0) = 0 c = 0

f′ (2) =0 12a + 4b + c = 0

a = 1 b = −3 c = 0 d = 4

Dada la func ión:



-99-

Calcula a, b y c , de modo que f (x) tenga en (2, −1) un

ext remo local y que la curva pase por e l or igen de

coordenadas.

Hal lar a y b para qué la func ión: f (x) = a · ln x + bx 2 + x

tenga ext remos en los puntos x 1 = 1 y x 2 = 2. Para esos

valores de a y b, ¿qué t ipo de ext remos t ienen la func ión en

1 y en 2?



-100-

5. Optimización

En la resoluc ión de problemas de opt imización de

func iones seguiremos los s iguientes pasos:

1. Plantear la función que hay que maximizar o

minimizar.

2. Plantear una ecuación que relacione las distintas

var iables del problema , en e l caso de que haya más de

una var iable.

3. Despejar una var iable de la ecuación y sust i tuir la en la

función de modo que nos quede una sola var iable .

4. Derivar la función e igualarla a cero , para hal lar los

ext remos locales.

5. Real izar la 2ª der ivada para comprobar e l resul tado

obtenido.

Problemas de opt imización



-101-

De todos los t r iángulos isósceles de 12 m de per ímetro,

hal lar los lados del que tome área máxima.

La func ión que tenemos que maximizar es e l área de l

t r iángulo:

Relac ionamos las var iables:

2 x + 2 y = 12

x = 6 − y

Sust i tu imos en la func ión:

Der ivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.



-102-

Real izamos la 2ª der ivada y sust i tu imos por 2, ya que la

soluc ión y = 0 la descar tamos porque no hay un t r iángulo

cuyo lado sea cero.

Por lo que queda probado que en y = 2 hay un máximo.

La base (2y) mide 4m y los lados obl icuos (x) también

miden 4 m, por lo que e l t r iangulo de área máxima ser ía un

t r iangulo equi lá tero.

Recor tando convenientemente en cada esquina de una

lámina de car tón de d imensiones 80 cm x 50 cm un

cuadrado de lado x y dob lando convenientemente (véase

f igura), se construye una caja. Calcular x para que volumen

de d icha caja sea máximo.



-103-

Una hoja de papel debe tener 18 cm2 de texto impreso,

márgenes super ior e in fer ior de 2 cm de a l tura y márgenes

la tera les de 1 cm de anchura. Obtener razonadamente las

d imensiones que min imizan la superf ic ie del papel .



-104-

Descomponer e l número 44 en dos sumandos ta les que e l

quíntuplo del cuadrado del pr imero más e l séxtuplo del

cuadrado del segundo sea un mínimo.

E l va lor de un d iamante es proporc ional a l cuadrado de su

peso. Divide un d iamante de 2 g en dos partes de forma que



-105-

la suma de los valores de los dos d iamantes formados sea

mínima.

E l d iamante se ha de d iv id i r en dos partes iguales de 1 g .

Una boya, formada por dos conos rectos de h ier ro unidos

por sus bases ha de ser const ru ido mediante dos p lacas

c i rcu lares de 3 m de radio. Calcular las d imensiones de la

boya para que su volumen sea máximo.



-106-

Se pretende fabr icar una la ta de conserva c i l índr ica (con

tapa) de 1 l i t ro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus

d imensiones para que se ut i l ice e l mín imo posib le de metal?

Se t iene un a lambre de 1 m de long i tud y se desea d iv id i r lo

en dos t rozos para formar con uno de e l los un c írcu lo y con



-107-

el ot ro un cuadrado. Determinar la long i tud que se ha de

dar a cada uno de los t rozos para que la suma de las áreas

del c írcu lo y del cuadrado sea mínima.

Un sector c i rcu lar t iene un per ímetro de 10 m. Calcular El

radio y la ampl i tud del sector de mayor área.



-108-

Recor tando convenientemente en cada esquina de una

lámina de car tón de d imensiones 80 cm x 50 cm un

cuadrado de lado x y dob lando convenientemente (véase

f igura), se construye una caja. Calcular x para que volumen

de d icha caja sea máximo.



-109-

Obtener e l t r iángulo isósceles de área máxima inscr i to en

un c írcu lo de radio 12 cm.



-110-

Un t r iángulo isósceles de per ímetro 30 cm, g ira a l rededor

de su a l tura engendrando un cono. ¿Qué valor debe darse a

la base para que e l vo lumen del cono sea máximo?



-111-

6. Concavidad y convexidad



-112-

Estudio de los intervalos de concavidad y convexidad

f (x) = x3 − 3x + 2

1. Hal lamos la der ivada segunda y calculamos sus raíces.

f ' ' (x) = 6x 6x = 0x = 0.

2. Formamos intervalos abier tos con los ceros ( raíces) de la

der ivada segunda y los puntos de d iscont inuidad (s i los

hubiese) .

3. Tomamos un valor de cada intervalo , y hal lamos e l s igno

que t iene en la der ivada segunda.

Si f ' ' (x) > 0 es cóncava.

Si f ' ' (x) < 0 es convexa.

Del in tervalo (− ∞, 0) tomamos x = −1, por ejemplo.

f ' ' (−1) = 6(−1) < 0 Convexa.

Del in tervalo (0, ∞) tomamos x =1, por e jemplo.

f ' ' (1) = 6 (1) > 0 Cóncava.



-113-

4. Escr ib imos los in tervalos:

Concavidad: (0, ∞)

Convexidad: (− ∞, 0)

Ejercicios



-114-



-115-



-116-

7. Puntos de inflexión

En los puntos de inflexión hay cambio de concavidad a

convexidad o viceversa.

Cálculo de los puntos de inf lexión

f (x) = x3 − 3x + 2

1. Hal lamos la der ivada segunda y calculamos sus raíces.

f ' ' (x) = 6x 6x = 0 x = 0.

2. Real izamos la der ivada tercera, y ca lculamos e l s igno

que toman en e l la los ceros de der ivada segunda y s i :

f ' ' ' (x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.

f ' ' ' (x) = 6 Será un punto de inf lexión.

3. Calculamos la imagen (en la función) del punto de

inflexión.

f (0) = (0)3

Punto de inflexión: (0, 2)

− 3(0) + 2 = 2



-117-

Cálculo de los puntos de inf lexión conociendo los

intervalos de concavidad y convexidad

Los puntos de inflexión son los puntos de la func ión en

que ésta pasa de cóncava a convexa o vicecersa.

Ejercicios

Tenemos un punto de inflexión en x = 0 , ya que la func ión

pasa de convexa a concava.

Punto de inflexión (0, 0)



-118-

Dominio

Problemas

Obtener la ecuación de la tangente a la gráf ica de f (x) = 2x3

− 6x 2 + 4 en su punto de inf lexión .

f′ (x) = 6x 2− 12xf ′ ′ (x) = 12x − 121

2 x − 12 = 0x = 1

f′ ′ ′ (x) = 12 f ′ ′ ′ (1) ≠ 0 f (1) = 0

Punto de inf lexión: (1, 0)

f′ (1) = 6 − 12= − 6 = m



-119-

y − 0 = −6(x − 1) y = −6x + 6

La curva f (x) = x 3 + a x2 + b x + c corta a l e je de absc isas

en x = 3 y t iene un punto de inflexión en (2/3, 1/9) . Hal lar

a, b y c .

Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su

punto de inf lexión a la curva: f (x) = x³ − 3x² + 7x + 1.

f′ (x) = 3 x 2 − 6x+ 7

f′ ′ (x) =6 x − 6

6 x − 6 = 0 x= 1

f′ ′ ′ (x) =12 f ′ ′ ′ (1) ≠ 0 f (1)= 6



-120-

Punto de inf lexión: (1, 6)

m t = f′ (1) = 4 m n = −1/4

Recta tangente: y − 6 = 4 (x − 1) 4x − y + 2 = 0

Recta normal: y − 6 = − 1/ 4 (x − 1) x + 4 y − 25 = 0

Sea f (x) = x3 + ax2 + bx + 7. Hal lar a y b de manera que la

gráf ica de la func ión f (x) tenga para x= 1 un punto de

inflexión , y cuya recta tangente en ese punto forme un

ángulo de 45° con el e je OX.

f ' (x) = 3 x2

1. Teorema de Rolle

+ 2 ax + b f′ ′ (x) = 6x + 2a

f′ (1) = 1 3 + 2a + b = 1

f′ ′ (1) = 0 6 + 2a = 0

a = − 3 b = 4

VI I I . TEOREMAS

El teorema de Rol le d ice que:

Si f es una func ión cont inua en [a, b] y derivable en (a, b) ,

ta l que f (a) = f(b) , hay a lgún punto c (a, b) en e l que f ' (c)

= 0 .



-121-

La interpretación gráf ica del teorema de Rol le nos d ice

que hay un punto en e l que la tangente es para le la a l e je de

absc isas.

Ejemplos

1. ¿Es apl icable e l teorema de Rol le a la func ión f (x) = |x −

1| en e l in tervalo [0, 2]?

La func ión es cont inua en [0, 2] .

No es apl icab le e l teorema de Rol le porque la soluc ión no

es der ivable en e l punto x = 1.



-122-

2. Estudiar s i la func ión f (x) = x − x 3 sat is face las

condic iones del teorema de Rolle en los in tervalos [−1, 0] y

[0 , 1 ] . en caso af i rmat ivo determinar los valores de c.

f (x) es una func ión cont inua en los in tervalos [−1, 0] y [0, 1]

y der ivab le en los in tervalos abier tos (−1, 0) y (0, 1) por ser

una func ión pol inómica.

Además se cumple que:

f (−1) = f (0) = f (1) = 0

Por tanto es apl icable e l teorema de Rol le .

3.¿Sat isface la func ión f (x) = 1 − x las condic iones del

teorema de Rol le en e l in tervalo [−1, 1]?

La func ión es cont inua en e l in tervalo [−1, 1] y der ivable en

(−1, 1) por ser una func ión pol inómica.

No cumple teorema de Rolle porque f (−1) ≠ f (1) .

4.Probar que la ecuación 1 + 2x + 3x2 + 4x3 = 0 t iene una

única soluc ión.



-123-

Vamos a demostrar lo por reducción a l absurdo.

Si la func ión tuviera dos raíces d is t in tas x 1 y x 2 , s iendo x 1 <

x 2 , tendr íamos que:

f (x 1 ) = f (x 2 ) = 0

Y como la func ión es cont inua y der ivable por ser una

func ión pol inómica, podemos apl icar e l teorema del Rolle ,

que d i r ía que exis te un c (x 1 , x 2 ) ta l que f ' (c) = 0.

f ' (x) = 2 + 6x + 12x2 f ' (x) = 2 (1+ 3x + 6x2

Pero f ' (x) ≠ 0, no admite soluc iones reales porque el

) .

discr imínante es negat ivo:

Δ = 9 − 24 < 0.

Como la der ivada no se anula en n ingún valor está en

cont radicc ión con e l teorema de Rol le , por lo que la

h ipótes is de que exis ten dos raíces es fa lsa.

5.¿Cuántas raíces t iene la ecuación x3 + 6x2 + 15x − 25 =

0?

La func ión f (x) = x3 + 6x2 + 15x − 25 es cont inua y der ivable

en ·

Teorema de Bolzano .

f (0) = −25

f (2) = 37

http://www.ditutor.com/ecuaciones_grado2/discriminante.html�

http://www.vitutor.com/fun/3/c_3.html�



-124-

Por tanto la ecuación t iene a l menos una soluc ión en e l

in tervalo (0, 2) .

Teorema de Rolle .

f ' (x) = 3x2

Dado que la der ivada no se anula, ya que su

+ 12x +15

discr iminante

es negat ivo, la func ión es est r ic tamente crec iente y posee

una única raíz.

6. Demostrar que la ecuación 2x3 − 6x + 1 = 0 una única

soluc ión real en e l in tervalo (0, 1) .

La func ión f (x) = 2x3 − 6x + 1 es cont inua y der ivable en ·


f (0) = 1

f (1) = −3


in tervalo (0, 1) .

Teorema de Rolle.

f ' (x) = 6x2 - 6 6x2 - 6 = 0 6(x − 1) (x + 1) = 0

La der ivada se anula en x = 1 y x = −1, por tanto no puede

haber dos raíces en e l in tervalo (0, 1) .

http://www.ditutor.com/ecuaciones_grado2/discriminante.html�




-125-

2. Teorema de Lagrange o Teorema del valor medio

El teorema del valor medio o de Lagrange d ice que:

Sea f es una func ión cont inua en [a, b] y der ivable en (a,

b) , exis te un punto c (a, b) ta l que:

La in terpretac ión geométr ica del teorema del valor medio

nos d ice que hay un punto en e l que la tangente es para le la

a la secante.

El teorema de Rol le es un caso par t icu lar del teorema del

valor medio , en e l que f (a) = f (b) .

Ejemplos

1. ¿Se puede apl icar e l teorema de Lagrange a f (x) = 4x2 −

5x + 1 en [0, 2]?



-126-

f (x) es cont inua en [0, 2] y der ivable en (−1, 2) por tanto se

puede apl icar e l teorema del valor medio :

2. ¿Se puede apl icar e l teorema de Lagrange a f (x) = 1/ x2

en [0, 2]?

La func ión no es cont inua en [−1, 2] ya que no def in id a en x

= 0.

3. En el segmento de la parábola comprendido ent re los

puntos A = (1, 1) y B = (3, 0) hal lar un punto cuya tangente

sea para le la la cuerda.

Los puntos A = (1, 1) y B = (3, 0) per tenecen a la parábola

de ecuación y = x2 + bx + c .

Por ser la func ión pol inómica se puede apl icar e l teorema

del va lor medio en e l in tervalo [1, 3] .



-127-

4. Calcular un punto del in tervalo [1, 3] en e l que la

tangente a la curva y = x3 − x2 + 2 sea para le la a la recta

determinada por los puntos A(1, 2) y B(3, 20) . ¿Qué

teorema garant iza la exis tenc ia de d icho punto?

Hal lamos la ecuación de la recta que pasa por los dos

puntos.

Por ser y = x3 − x2 + 2 cont inua en [1, 3] y der ivable en (1 ,

3) se puede apl icar e l teorema del valor medio :

5.Determinar a y b para que la func ión



-128-

cumpla las h ipótes is del teorema de Lagrange en e l

in tervalo [2, 6] .

En pr imer lugar se debe cumpl i r que la func ión sea cont inua

en [2, 6] .

En segundo lugar se debe cumpl i r que la func ión sea

der ivable en (2, 6) .

3. Teorema de Cauchy

El teorema de Cauchy o teorema del valor medio

general izado d ice que:

Si f y g son func iones cont inuas en [a, b] y der ivables en (a,

b) , exis te un punto c (a, b) ta l que:

Ejemplos



-129-

1. Apl icar e l teorema de Cauchy a las func iones f (x) = sen

x y g(x) = cos x en e l in tervalo [0, π/2] .

Las func iones f (x) = sen x y g(x) = cos x son cont inuas y

der ivables en toda la recta real .

Y en par t icu lar son cont inuas en el in tervalo [0, π/2] y

der ivables en (0, π/2) .

g(π/2) ≠ g(0)

Por lo tanto podemos apl icar e l teorema de Cauchy :

g ' (c) ≠ 0 −sen(π/4 ) ≠ 0.

2.Anal izar s i e l teorema de Cauchy es apl icable en e l

in tervalo [1, 4] a las func iones:

f (x) = x2 − 2x + 3 y g(x) = x3 − 7x2 + 120x − 5.

En caso af irmat ivo, apl icar lo .



-130-

Las func iones f (x) y g (x) son cont inuas en [1, 4] y

der ivables en (1, 4) por ser pol inómicas, además se cumple

que g(1) ≠ g(4).

Por lo tanto se ver i f ica e l teorema de Cauchy :

4. Regla de L'Hôpital

Sean f y g func iones der ivables en a lgún in tervalo abier to

que cont iene a l punto a. Si f (a) = g(a) , y exis te,

entonces:

La regla de L'Hôpital se apl ica d i rectamente en las

indeterminaciones:

Ejemplos



-131-

S i comparamos infinitos observamos que e l numerador es

un in f in i to de orden infer ior a l denominador , por tanto el

l ími te es 0.

Indeterminación inf ini to menos inf ini to

En la indeterminación inf inito menos infinito , s i son

f racc iones, se ponen a común denominador .

http://www.vitutor.com/fun/3/a_12.html�



-132-

Indeterminación cero por inf ini to

La indeterminación cero por in f in i to , se t ransforma del

s iguiente modo:

Indeterminaciones

En las s in determinaciones cero e levado cero, inf in i to

e levado a cero y uno e levado a in f in i to ; se real iza en pr imer

lugar las s iguientes operac iones:



-133-

Ejemplos



-134-



-135-

Ejercicios



-136-



-137-



-138-

Apl icando las propiedades de los logari tmos en e l

segundo miembro tenemos:

Ejercicios de los teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy. Regla de

L'Hôpital




-139-

1. Estudiar s i se ver i f ica e l teorema de Rol le en e l

in tervalo [0, 3] de la func ión:

En pr imer lugar comprobamos que la func ión es cont inua en

x = 1.

En segundo lugar comprobamos s i la func ión es der ivable

en x = 1.

Como las der ivadas la tera les no coinc iden, la func ión no es

der ivable en e l in tervalo (0, 3) y por tanto no se cumple e l

teorema de Rol le .

2.¿Es apl icable e l teorema de Rol le a la func ión f (x) = ln (5

− x2 ) en e l intervalo [−2, 2]?

En pr imer lugar ca lculamos e l dominio de la func ión.



-140-

La func ión es cont inua en e l in tervalo [−2, 2] y der ivable en

(−2, 2) , porque los in tervalos están contenidos en

.

Además se cumple que f (−2) = f (2) , por tanto es apl icable e l

teorema de Rol le .

3.Comprobar que la ecuación x7 + 3x + 3 = 0 t iene una

única soluc ión real .

La func ión f (x) = x7 + 3x + 3 es cont inua y der ivable en ·


f (−1) = −1

f (0) = 3


in tervalo (−1, 0) .

Teorema de Rolle .

f ' (x) = 7x6 + 3

Como la der ivada no se anula en n ingún valor está en

cont radicc ión con e l teorema de Rolle , por tanto sólo t iene

una raíz real .




-141-

4.¿Se puede apl icar e l teorema de Lagrange a f (x) = x3 en

[−1, 2]?

f (x) es cont inua en [−1, 2] y der ivab le en (−1, 2) por tanto

se puede apl icar e l teorema del valor medio :

5.Comprobar s i se cumplen las h ipótes is del teorema de

Cauchy para las func iones f (x) = x3 y g(x) = x + 3 en el

in tervalo [0, 2] .

Las func iones f (x) y g (x) son cont inuas en e l in tervalo [0, 2]

y der ivables en (0, 2) , por ser func iones pol inómicas.

Y además g(0) ≠ g(2) .

Como g ' (0) = 0 no se puede apl icar e l teorema de Cauchy .

Resolver los siguientes l ímites

1.



-142-

2.

S i comparamos infinitos observamos que e l numerador es

un in f in i to de orden infer ior a l denominador , por tanto el

l ími te es 0.

http://www.vitutor.com/fun/3/a_12.html�



-143-

3.

4.

6.



-144-

7.

8.

9.



-145-

10.

11.



-146-

Apl icando las propiedades de los logari tmos en e l

segundo miembro tenemos:

12.




-147-

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