Universidad Nacional del Litoral Escuela Industrial Superior Ingreso

Universidad Nacional del Litoral

Escuela Industrial Superior

Ingreso a Primer Año

2015

Material de Apoyo Área Matemática

Prof. Dallia, Natalia Prof. Maumary, Carina Prof. Santarrone, María Alejandra Prof. Zanabria, Claudia

AUTORIDADES Rector de la Universidad Nacional del Litoral Abog. Albor Cantard Decano de la Facultad de Ingeniería Química Dr. Enrique Mammarella AUTORIDADES DE LA ESCUELA INDUSTRIAL SUPERIOR Director Ing. Mario Luis Alliot Vicedirector Prof. José Carletti Secretaria Académica Arq. María Lucila Latorre Jefa del Área Matemática Prof. María Alejandra Santarrone Fecha de catalogación: 02/08/2012

Material para ingresantes : área matemática / Natalia Dallia ... [et.al.]. - 1a ed. - Santa Fe : Ediciones UNL, 2012. 90 p. ; 30x21 cm. - (Cátedra. Ingreso) ISBN 978-987-657-797-7 1. Matemática. 2. Enseñanza Universitaria. I. Dallia, Natalia CDD 510.711

Escuela Industrial Superior Material de Apoyo: Matemática Página 3

3

INDICE GENERAL INDICE GENERAL .............................................................................................................. 3 HISTORIA DE ESTE MATERIAL ...................................................................................... .5 INTRODUCCIÓN................................................................................................................ .7 PROGRAMA ...................................................................................................................... .9 I - Números racionales no negativos ............................................................................ 11 II - Proporcionalidad entre magnitudes ...................................................................... 23 III - Figuras geométricas en el plano ……………………………………………………… 27 IV - Otras figuras planas ................................................................................................. 33 V - Cuerpos poliedros y redondos ................................................................................. 47 Para seguir repasando .................................................................................................... 59 Anexo Clasificación de los triángulos y de los cuadriláte ros ................................................ 67 Clasificación de los cuerpos .......................................................................................... 68 Fórmulas de perímetros y áreas de figuras planas ..................................................... 69 Fórmulas de áreas de cuerpos y de volúmenes de cuer pos ...................................... 70 Tablas de Equivalencias ................................................................................................ .71 Imágenes para actividad: Teorema de Pitágoras …………………………………………72 Respuestas a las actividades

I – Números racionales no negativos................................................................................ 73

II- Proporcionalidad entre magnitudes .............................................................................. 75

III - Figuras geométricas en el plano................................................................................. 76

IV - Otras figuras planas.................................................................................................... 77

V - Cuerpos poliedros y redondos..................................................................................... 78

Para seguir repasando ...................................................................................................... 79

Bibliografía para el alumno ............................................................................................ 83 Bibliografía consultada ................................................................................................... 83

Escuela Industrial Superior Material de Apoyo: Matemática

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HISTORIA DE ESTE MATERIAL

Históricamente la Escuela Industrial Superior ha gozado de prestigio fundado en su

nivel académico y en las competencias técnicas desarrolladas por sus egresados, que se

ponen de manifiesto en trabajos jerarquizados, carreras universitarias, emprendimientos

productivos propios e investigación y desarrollo.

Actualmente nuestra escuela ofrece formación técnica con salida laboral en las

especialidades “Construcciones”, “Química” y “Mecánico-Eléctrica”.

Es importante considerar que el logro de estas competencias requieren de un

profundo conocimiento de los saberes matemáticos.

Desde que el alumno ingresa a la escuela pretendemos “educar matemáticamente al

futuro técnico” para que luego pueda seleccionar y aplicar convenientemente sus propios

conocimientos en la resolución de cualquier situación problemática específica de Matemática,

de otra disciplina o de la especialidad que elija.

La Matemática constituye una actividad de resolución de situaciones

problemáticas que pueden estar referidas al mundo natural y social o bien pueden ser

internas a la propia Matemática.

A los efectos de facilitarle al aspirante su preparación en matemática para el ingreso,

desde hace muchos años la escuela le ha ofrecido una guía de problemas, cuya recopilación

y selección ha sido realizada por los entonces profesores de matemática de la misma.

Periódicamente se ha ido modificando teniendo en cuenta las dificultades detectadas en los

alumnos que ingresan.

Desde el ingreso 2007, se consideró conveniente agregar conceptos, resúmenes de

fórmulas, figuras explicativas y sugerencias, con el propósito de orientar al aspirante en las

estrategias de resolución, y además recomendar una bibliografía de consulta para que pueda

ampliar o aclarar los conceptos que crea necesarios. En esa producción, participaron todas

las profesoras del área matemática de la EIS.

Para el material de ingreso, desde el año 2012 el equipo de trabajo, ha incorporado

actividades tendientes a reforzar aquellos conceptos que, para los ingresantes de años

anteriores, han presentado dificultades en su aprendizaje.

Para esto se tuvo en cuenta:

� Aportes de los tutores de los cursos de apoyo para los aspirantes a ingresar.

� Informe de las profesoras coordinadoras de los cursos de apoyo.

� Dificultades que se presentan con mayor frecuencia, en la resolución de los ejercicios

y problemas de los exámenes de Ingreso.

� Debilidades observadas en los alumnos de 1er año, en lo que se refiere a

conocimientos previos correspondientes a contenidos de la escuela primaria.

Con esta obra pretendemos que el ingresante nivele, profundice y jerarquice sus

conocimientos matemáticos, de acuerdo con las exigencias requeridas para el desarrollo de

las competencias necesarias para alcanzar el nivel académico mencionado inicialmente.

Agradecemos a todos aquellos docentes que hicieron sus aportes en las distintas

producciones para el ingreso y que hoy se reflejan en este material.


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INTRODUCCIÓN

Ésta es solamente una guía de actividades orientadoras que intenta facilitar tu

preparación. En ella se plantean distintas secciones diagramadas a partir de los contenidos

dados en el programa para ingreso a primer año, correspondiente a la Escuela Industrial

Superior.

En cada sección encontrarás actividades o juegos para que hagas durante las clases

del curso de apoyo. Al realizarlas, se persigue que logres comprender, aprender o simplemente

recordar aquellos conceptos claves para la resolución de los ejercicios y problemas que luego

tendrás que resolver. Las actividades y juegos se presentan en el texto a continuación de los

íconos:

Actividad ¿Jugamos?

En algunos casos, al final de las actividades propuestas, tú mismo tendrás que concluir

acerca de lo aprendido, en el texto se te pedirá que completes oraciones para tal fin. En dichos

lugares encontrarás el ícono:

Completa

Cuando aparezca el ícono:

Ejercicios y problemas

tendrás que poner a prueba tus conocimientos sobre los conceptos de dicha sección.

Recuerda:

Un problema es un desafío. Resolverlo es un proceso en el que se puede tener éxito o no; pero

vale la pena intentarlo; nada se consigue sin esfuerzo.

Ante la pregunta: “¿Qué es lo que tengo que hacer frente a un problema que debo

resolver?”, he aquí algunas sugerencias:

� Lee atentamente el enunciado para comprenderlo. Si hay algún término que no

conoces, búscalo en el diccionario.

� Puedes consultar en el anexo algunos conceptos, clasificaciones de figuras planas y

cuerpos, fórmulas de perímetros, áreas y volúmenes y equivalencias entre unidades.

� Puedes tener en cuenta las recomendaciones que te presentamos, cuando las hubiere.

� Señala en el enunciado el o los verbos que indican lo que se pide.

� Si la situación lo permite, realiza:

� Una figura de análisis consignando en la misma los datos e incógnita.

� Un diagrama o un gráfico.

� Piensa qué relaciones y/o propiedades matemáticas vinculan los datos con lo que se

quiere obtener; en caso de no recordarlas o sentirte inseguro en su aplicación, recurre a tus

manuales, a tus carpetas o a la bibliografía sugerida.


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� Ten en cuenta que no es necesario que te esfuerces en aprender a resolver ecuaciones

complicadas, ya que los problemas que te proponemos los puedes resolver con otras

estrategias.

� Realiza tu propio plan de trabajo y resuelve la situación planteada. Debes registrar

paso a paso y de manera ordenada el procedimiento que te permite llegar al resultado y

aunque algunos cálculos sean obvios, escríbelos igual.

� Verifica si la solución obtenida satisface las condiciones del problema. En caso

afirmativo escribe la respuesta en forma completa , consignando las unidades si

correspondiere; y en caso negativo vuelve atrás, revisa lo planteado y si no dio resultado,

intenta otro camino.

� Para avanzar más seguro, puedes controlar tus resultados con las

respuestas consignadas al final.

� Trata de no usar calculadora . Recuerda que en el examen de ingreso no

se permitirá su uso.

Esperamos que puedas resolver lo presentado, valorar tu esfuerzo y tu trabajo, sentir el

goce del descubrimiento y el placer de hacer Matemática.


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PROGRAMA DE MATEMÁTICA DE INGRESO A 1 er AÑO I: Números racionales no negativos . Adición, sustracción, multiplicación y división de números racionales no negativos. Interpretación gráfica y orden. Expresión decimal y fraccionaria de un número racional no negativo. Potenciación de exponente natural y radicación. Divisibilidad en el conjunto de los números naturales. Divisor común mayor y múltiplo común menor de dos o más números naturales. Conteo. Problemas. II: Proporcionalidad entre magnitudes. Magnitudes directamente proporcionales: propiedades. Regla de tres simple directa. Porcentajes. Escala. Problemas. Unidades de medida de tiempo. Problemas. III: Figuras geométricas en el plano (espacio en dos dimensiones)

Plano, semiplano, recta, semirrecta, segmento de recta. Ángulo. Rectas paralelas. Rectas secantes: perpendiculares y oblicuas. Mediatriz de un segmento. Longitud de un segmento: unidad de medida (S.I.M.E.L.A), múltiplos y submúltiplos. Reducciones. Ángulos convexos y cóncavos. Clasificación de los ángulos convexos: agudos, recto, obtusos y llano. Bisectriz de un ángulo. Ángulos consecutivos. Amplitud de un ángulo. Sistema de medición sexagesimal: unidad y submúltiplos. Operaciones. Ángulos complementarios y suplementarios. Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice. Propiedades. Construcciones. Problemas. IV: Otras figuras planas.

Polígonos convexos. Elementos. Clasificación según el número de lados. Polígono regular. Triángulos . Clasificación según sus lados y según sus ángulos. Alturas. Suma de las amplitudes de los ángulos interiores de un triángulo. Ángulos exteriores. Teorema de Pitágoras. Cuadriláteros. Clasificación. Paralelogramos: propiedades. Clasificación: rectángulo, rombo y cuadrado. Propiedades de lados, ángulos y diagonales. Trapecios. Clasificación. Propiedades de lados, ángulos y diagonales. Trapezoide. Romboide. Propiedades de lados, ángulos y diagonales. Circunferencia y Círculo. Elementos. Construcciones. Superficie de una figura : concepto. Unidades de medida de superficie (S.I.M.E.L.A): múltiplos y submúltiplos. Reducciones. Cálculo de perímetros y área de figuras . Problemas. V: Cuerpos poliedros y redondos (espacio en tres dimensiones) Poliedros. Elementos. Clasificación: prismas, pirámides y poliedros regulares. Redondos. Elementos. Clasificación: cilindro, cono y esfera. Superficie lateral y total . Cálculo. Volumen de un cuerpo : concepto. Unidades de medida de volumen (S.I.M.E.L.A): múltiplos y submúltiplos. Reducciones. Cálculo de volumen de un cuerpo. Relación entre las unidades de medida de volumen y capacidad. Unidades de medida de capacidad y peso (S.I.M.E.L.A). Problemas.

Escuela Industrial Superior 11 Material de Apoyo: Matemática

I. Números racionales no negativos. DIVISIBILIDAD Y CONTEO EN EL CONJUNTO DE LOS NATURA LES

¿Jugamos? Juega con un compañero a eliminar “los parientes”

Reglas: 1) El primer jugador tacha en el tablero un número par. 2) A continuación y por turno, cada jugador debe tachar un número pariente (un múltiplo o

divisor) del número que ha elegido su compañero y que no haya sido aún tachado. 3) Si un jugador elimina un número que no es pariente y el contrario lo descubre, la jugada no

tiene validez y el jugador pierde. 4) Cuando un jugador no encuentra ningún número que suprimir, pierde la partida.


1) Tomás quiere vallar una parcela rectangular que mide 52 metros de largo y 40 metros de ancho colocando estacas a igual distancia unas de otras. ¿Cuál será la mayor distancia en metros entre las estacas? ¿Cuántas tendrá que poner? 2) Agustín, Juan y Lito son viajantes de comercio y se encontraron en San Javier el 12 de marzo de este año. Agustín viaja a San Javier cada 24 días, Juan lo hace cada 20 días y Lito cada 30 días. ¿En qué fecha se encontrarán nuevamente en San Javier?

3) Dado el número 7322 ⋅⋅ , ¿cuántos divisores tiene? Enuméralos.

4) La empresa Ford fabrica durante este trimestre dos modelos de autos en promoción: Ka y Fiesta. Cada uno de estos modelos viene Standard y full. Todos los autos se presentan en tres colores: blanco, azul y gris. ¿Cuántas opciones tiene un comprador que elige esta promoción? Justifica tu respuesta.

5) Con los dígitos 1, 2, 3 y 9, sin repetirlos, forma todos los números de cuatro cifras que sean múltiplos de 6.

Sugerencia: Repasa los procedimientos posibles para hallar: -Múltiplo común menor (m.c.m) entre dos o más números naturales -Divisor común mayor (d.c.m) entre dos o más números naturales.


6) La mamá de Ariel tiene entre 90 y 100 fotos que decidió colocar en un álbum. Si pone 3 por página, le quedan sólo 2 para la última página y si pega 4 por página, también le quedan 2 para la última página. ¿Cuántas fotos tiene?

7) ¿Por qué cifra hay que sustituir m para que el número 3m7m sea divisible por 3 siendo m par? 8) En la cantina de una escuela, se ofrece un menú que incluye un plato principal, una bebida y un postre. Como plato principal, se puede elegir milanesas con papas fritas, arroz con pollo, ravioles con salsa o canelones. Entre los postres, se puede optar por flan, mousse de chocolate o ensalada de frutas. Para beber, se ofrece agua mineral o gaseosa. José, que siempre almuerza en esa cantina, decidió comer los días hábiles una combinación diferente del menú. ¿Después de cuántos días hábiles José tendrá que repetir la elección del menú? 9) ¿Verdadero o Falso? Revisa los criterios de divisibilidad antes de responder. a- 10 es divisor de 93410 b- 5 divide a 93410 c- 93410 es divisible por 3 d- 624 es múltiplo de 6

e- 2 es divisor de 980 f- 150 es divisible por 6 g- 927330 es divisible por 4

10) ¿Cuál es el menor número natural por el que debes multiplicar 124 para obtener un número cuadrado? Justifica. 11) Durante media hora suenan tres campanas en una iglesia. Una campana suena dando un repique cada 10 segundos, otra, cada 2 segundos y una tercera campana, cada 24 segundos. Si dan el primer golpe simultáneamente, a) ¿cuánto tiempo deberá pasar para que vuelvan a coincidir los repiques? b) ¿cuántas veces suenan juntas las tres campanas en esa media hora?

12) Luis, Martín y Alejandro descargan un camión que contiene 6535 ladrillos. Si la tarea se realiza cíclicamente comenzando Luis, siguiendo Martín y luego Alejandro; y si cada vez Luis descarga 6 ladrillos, Martín 5 y Alejandro 4, ¿quién descarga los últimos ladrillos del camión? 13) En la ciudad de Santa Fe, Anibal conoció a una chica el fin de semana. Ella le dio su número de teléfono celular, pero él perdió el papel donde lo anotó. Se acuerda que las cifras que conforman dicho número telefónico son: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, pero no se acuerda en qué orden. ¿Cuántos números diferentes deberá marcar si le interesa mucho volver a contactarse con ella?

¿Reflexionamos? Revisa los ejercicios y problemas que has resuelto hasta el momento. ¿Te animas a escribir qué contenidos del programa has utilizado para resolverlos? Recuerda que el programa se encuentra en la página 9.

Para tener en cuenta: Los números cuadrados son aquellos números naturales que resultan de elevar al cuadrado otro número natural. Por ejemplo, son números cuadrados: 1 = 12 4 = 22 9 = 32 16 = 42 = 22 . 22 25 = 52

36 = 62 = 22.32 ...


FRACCIONES

Ejercicios y problemas 14) ¿Qué parte de cada figura representa la región pintada? Indica una fracción que la representa.

Una fracción no negativa es una forma de expresar un número racional no negativo. Un número racional no negativo es el cociente entre un número natural o cero y otro número natural.

Completa Observa los gráficos, compáralos, completa los numeradores y denominadores de las fracciones según corresponda.

¿Cuál o cuáles de las fracciones anteriores son equivalentes a 4

2? ¿Por qué?

..................................................................................................... ¿Cuál es irreducible? ¿Por qué? ................................................................ Escribe otras tres fracciones equivalentes a las dadas. ............................................................................................... ¿Qué procedimiento realizaste para obtenerlas? ................................................................................ Relaciona las palabras: simplificación, amplificación, fracción equivalente , fracción irreducible, completando el siguiente texto:

Recuerda:

La expresión a

b es

una fracción no negativa, si a es un número natural o cero y b es un número natural.


Es posible obtener una ………………………….......a otra fracción dada, mediante los procesos de …………………………….. y …………………… Para obtener la.......................................equivalente a una dada se debe aplicar el proceso de simplificación.

¿Jugamos? Juega al “Laberinto de Fracciones” y descubre la frase escondida. Sólo puedes transitar por fracciones que estén en su expresión irreducible (los movimientos sólo pueden ser horizontales o verticales).

Ejercicios y problemas 15) Indica tres fracciones que representen la región sombreada.


¿Reflexionamos? Un jugador de básquet ha encestado 3 veces de 4 tiros mientras otro logró 5 veces de 6. Un periodista dijo que los dos tuvieron igual rendimiento porque erraron uno del total. a) ¿Estás de acuerdo con su opinión? ¿Por qué? b) Suponiendo que ambos jugadores mantienen sus respectivos rendimientos, ¿cuántos tiros

encestarán cada uno de 24? c) Expresa mediante fracciones el rendimiento de cada jugador en ambas situaciones.

Conclusión: Las fracciones con igual denominador facilitan su comparación. Basta sólo comparar sus numeradores


16) Señala con una cruz los dibujos en los que la parte pintada corresponda a 4

1 del dibujo.

17) Dibuja en cada caso cómo puede ser el entero si:

a) representa 3

1

b) representa 4

3

c) representa 5

4

d) representa6

1

18) ¿Es lo mismo comer la mitad de un cuarto de torta que un cuarto de la mitad de la torta? Justifica tu respuesta.

19) a) ¿Qué fracción de la semana representan 4 días?

b) ¿Qué porcentaje del día constituyen 6 horas?

Sugerencia: Para el 19(b) puedes buscar una fracción equivalente de denominador 100. Ejemplo: 18 representa el 36% de 50 porque

==10036

5018 36%


c) ¿Cuántos décimos entran en 2

1?

20) Completa con el signo > o <, según corresponda.

5

3

4

1....... )a

9

12

7

10....... )b

5

265....... )c

5

6

6

5....... )d

OPERACIONES CON FRACCIONES. SUMAS Y RESTAS

Actividad Los chicos observan el siguiente esquema de bloques y juegan a formar un entero usando sumas y restas de fracciones; pero representadas por los bloques.

Por ejemplo, Lucas usó los siguientes:

a) Escribe las fracciones correspondientes y el resultado que se obtiene al sumarlas. ………………………………………………………………………………………………….. María le dijo que eso era muy sencillo y expuso los siguientes ejemplos:

b) Escribe las fracciones correspondientes y el resultado que se obtiene al sumarlas en cada caso. …………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………….


Lucas, que se animó a más, presentó:

c) Escribe las fracciones correspondientes y el resultado que se obtiene al restarlas. ………………………………………………………………………………………………………… Marcos, para no ser menos y complicarla un poco más, escribió directamente lo siguiente:

2 2 11

6 8 2+ + =

d) ¿Está bien lo que escribió Marcos? ¿Por qué? ………………………………………………………………………………………………………….

Completa En general: - La suma o resta de dos fracciones de igual denominador es otra fracción de igual denominador cuyo numerador se obtiene ……………………… o ………………………… los numeradores anteriores. - Si sumamos o restamos fracciones de distinto denominador, podemos transformar cada fracción en otras equivalentes de igual denominador y proceder como se escribió anteriormente.

Ejercicios y problemas 21) Realiza las siguientes operaciones, expresa el resultado como fracción irreducible:

a) 13 5 1

2 7 14− + = b) =−+

18

1

6

1

2

1

22) Responde las siguientes preguntas indicando la operación correspondiente.

a) ¿Cuánto le falta a 1

3para llegar a formar una unidad? ¿Y dos unidades?

b) ¿Cuánto le falta a 5

4para llegar a formar dos unidades?

c) ¿Cuánto le falta a 2

5para llegar a formar tres unidades?

OPERACIONES CON FRACCIONES. MULTIPLICACIÓN Y DIVIS IÓN

Al número 1

2 se lo puede interpretar como la mitad del entero.

Al número 3

2 se lo puede interpretar como tres veces la mitad de un entero, pues

1 1 1 1 33.

2 2 2 2 2+ + = =

Si se quiere multiplicar 3 4.

2 5 esto puede leerse: “tres medios por cuatro quintos”, aunque no


diga mucho del proceso de solución. ¿Pero si lo leemos: “tres veces la mitad de cuatro quintos”?

Primero representemos 4

5 de un entero

Luego la mitad de 4

5 , lo que representa 4

10

Por último, tres veces 4

10 :

Vemos que tres veces la mitad de cuatro quintos es 12/10.

3 4 4 12. 3.

2 5 10 10= =

Completa En general: El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador se obtiene ……………………………………………….y cuyo denominador es ………………………………… …………………………………………….

Supongamos ahora que se necesita resolver la división: 2 1:

3 6

Dividir 2

3entre 1

6 equivale a preguntarse: ¿Cuántos 1

6 caben en 2

3?

Visualmente, observamos que cabe …….veces


Si ahora queremos que ambos rectángulos queden divididos en la misma cantidad de partes, una posibilidad es que los enteros queden divididos en 18 partes.

La pregunta ahora es:

¿Cuántos 3

18 caben en 12

18?

Escribamos las operaciones correspondientes a la situación anterior:

2 1 12 3 12: : 4

3 6 18 18 3= = =

Veamos que: 2 1 2 6 12: . 4

3 6 3 1 3= = =

Completa

En general: Si a es un natural o cero y b, c y d son números naturales

a c a d a.d: = . =

b d b c b.c

La división de fracciones se puede realizar transformándola en una…………………en la cual el primer factor es el dividendo y el segundo factor es el recíproco del……………………………….

Ejercicios y problemas 23) Resuelve las siguientes operaciones y expresa el resultado como fracción irreducible:

13 8 5 2 1 6 2a) . b) . . c) :

2 26 6 3 10 4 5= = =

24) Escribe una operación entre fracciones que sirva para contestar las siguientes preguntas, luego respóndelas:

a) ¿Cuánto es la mitad de 7

5? ¿Y las dos terceras partes?

b) ¿Cuántos cuartos kilos de pan hay en dos kilos? c) ¿Cuántas botellas de medio litro se pueden llenar con una gaseosa de dos litros y medio?

Recuerda: La recíproca de la

fracción a

b es

b

a,

siendo a y b números naturales


EXPRESIONES DECIMALES Cada número racional no negativo puede expresarse como fracción o en su expresión decimal, por ejemplo: 1

2 puede expresarse como 0,5.

4


10


Para obtener la expresión decimal de un número racional, dada una fracción que lo representa, basta con dividir el numerador por el denominador. A continuación te proponemos ejercicios donde se combinan estos dos tipos de expresiones. Te recomendamos que repases la operatoria con expresiones decimales y analices en cada caso con qué expresiones es más conveniente trabajar.


25) A María de los Ángeles le han regalado una balanza de platillos y para jugar con ella comenzó a colocar distintos productos en un platillo y las pesas de metal en el otro.

Indica hacia qué lado se inclina la balanza en cada uno de los casos siguientes:

a) 3

2kg. de azúcar con una pesa de 0,5 kg.

b) 256 g de té con una pesa de 2

1 kg.

c) 3

6kg. de harina con dos pesas de 1 kg. cada una.

d) 1

15

kg. de sémola con pesas que suman 3,5 kg.

26) Completa cada casillero con un número, de forma que la suma de los números de cada columna y de cada fila sean iguales.

2 0,25 21

1

4

5

4

2

27) Coloca bien o mal a la derecha de cada expresión. Si está mal, escribe la expresión correcta.


a) 2,1=21

b) 23

=49

c) ( ) 16,1=4,1 2

d) 5,2=25,6

e) :42 + 9=32

:6=32

f) 85

=53

+32

28) Resuelve:

a) =31

+21

3.223

−− b) =9:32,8+11 3−

c) =41

+143

12

− d) =0,2+)3+2(:7

e) =21

+2:4

f) ( ) =2:12:23 −⋅

29) Completa las siguientes tablas:

+ 5

3 2 0,5 0

5

1

4

1

a b 2b3 a + 2b 3a

3 a - b

a

4 1,5

4

1

5

2

54 436

Presta atención: En los ejercicios combinados, el orden en que debes realizar las operaciones es: 1º : las potencias y raíces 2º : las multiplicaciones y divisiones 3º : las sumas y las restas Si hubiera símbolos de agrupación (paréntesis, corchetes o llaves), primero se resuelven éstos, respetando dentro de ellos el orden dado anteriormente.


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RAZÓN Y PROPORCIÓN Frecuentemente escuchamos o utilizamos expresiones como las siguientes:

a) En esta ciudad hay 1 auto por cada 5 personas. b) Votaron 6 mujeres por cada 7 hombres. c) Mi moto gasta 3 litros de nafta por cada 100km que recorro.

En todos los casos estamos comparando dos magnitudes.

Se llama razón entre las cantidades de dos magnitudes a y b ,siendo 0≠b , al cocienteb

a.

Teniendo en cuenta el ejemplo a) completa la siguiente tabla:

Cantidad de Autos Cantidad de Personas Personas de Cantidad Autosde Cantidad

2 25

10 70

Teniendo en cuenta el ejemplo c) completa la siguiente tabla:

Cantidad de Litros Cantidad de Kilómetros Kilómetros de Cantidad

Litros de Cantidad

6 50

15 Observa que las razones obtenidas en cada una de las tablas son iguales. Dos magnitudes son directamente proporcionales si la razón entre una cantidad de una magnitud y la correspondiente de la otra magnitud, es siempre constante.

¿Reflexionamos? ¿La relación entre dos magnitudes es siempre directamente proporcional?

Imagen extraída de:

http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomate

maticas/1quincena6/1quincena6.pdf

Recuerda: Una magnitud es todo aquello que podamos cuantificar o medir. La longitud, el precio, la temperatura, la velocidad, la altura, se pueden medir, son por lo tanto magnitudes.

II: Proporcionalidad entre magnitudes

La edad y la altura no son magnitudes directamente proporcionales.


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A la igualdad entre dos razones la llamamos proporción .

d

c

b

a = con 0≠b y 0≠d

La propiedad fundamental de las proporciones se simboliza: a d b c⋅ = ⋅

Actividad En la realización de dibujos animados interviene mucha gente: dibujantes, guionistas, fotógrafos, personas que hacen las voces de los personajes, además de los técnicos y editores que compaginan animaciones y música. Para tres segundos de animación hacen falta 72 dibujos. Sabiendo que existe una relación de proporcionalidad directa entre el tiempo de animación y la cantidad de dibujos podemos comenzar a completar la tabla siguiente planteando:

43

72 x=

Aplicando la propiedad fundamental: 72.4 = 3.x 288 = 3.x 288:3 = x 96 = x

Completa

Ejercicios y problemas 1) Teniendo en cuenta que Densidad de población es la razón entre el número de habitantes de una región, y su superficie, responde: a) En la provincia de Tucumán, la densidad es 59,4 hab/km2. Si la superficie de la provincia es 22.524 km2. ¿Cuántos habitantes tiene? b) La provincia de Santa Fe tiene 133.007 km2 y 3.000.701 habitantes. ¿Cuál de las dos provincias está más poblada? (Datos referidos al año 2001) 2) La siguiente receta alcanza para una docena de galletitas: 2 tazas de harina, 1 taza de azúcar, 1 litro de leche, 3 huevos y 5 cc de vainilla, 100 g de manteca y 2 cucharaditas de polvo de hornear. Teniendo en cuenta que en cualquier receta se deben mantener las proporciones, completa los siguientes ítems: a) Para hacer 6 galletitas se usarían sólo________tazas de harina. b) Para hacer 24 galletitas se necesitarán________huevos. c) Para hacer 30 galletitas necesitarás_______litros de leche.

Observa: De este procedimiento surge la Regla de tres simple directa: 3 __________72 4___________x

x = 963

724 =⋅

Cantidad de dibujos 72 216 264

Tiempo de animación 3 4 7


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3) Las balanzas electrónicas de los comercios muestran simultáneamente el peso de un artículo y su precio, el cual se calcula automáticamente teniendo en cuenta el precio unitario. Completa la siguiente tabla que relaciona las dos magnitudes directamente proporcionales, suponiendo que son leídas de una balanza electrónica. 4) Un niño a los 6 años pesaba 21kg, actualmente tiene 12 años y pesa 40kg. ¿Puedes afirmar que las dos magnitudes (edad y peso) son directamente proporcionales? 5) ¿Puedes afirmar que el lado de un cuadrado es directamente proporcional al perímetro del mismo? ¿Por qué? 6) La distancia entre dos ciudades A y B es 160km y están representadas en un mapa por dos puntos que distan 3,2cm.

a) ¿Cuál es la escala en que se hizo el mapa? b) Si dos ciudades se encuentran a 400 km de distancia, ¿Cuál será la longitud del segmento que las une en el mapa?

c) ¿Cuál es la distancia real entre dos ciudades C y D, si en el mapa las une un segmento de 4,8cm?

7) Un puente colgante atraviesa un río de 420m de ancho. El 12% del puente se apoya en la costa izquierda del río y el 18% en la costa derecha. Calcula la longitud del puente.

8) El precio de un producto aumenta el 15 % y a la semana siguiente vuelve a aumentar el 10 %, ¿se puede afirmar que ha aumentado el 25 %?

Precio($) 0,4 3 Peso(kg) 0,5 1,2 4

Escala… Decir que la escala de un mapa es 1: 18.000.000 significa que 1 cm en el mapa representa 18.000.000 cm en la realidad, es decir 180 km.

Recuerda… Un porcentaje se puede expresar con una fracción de denominador 100, es decir, como una cantidad de centésimos. La expresión "45%" ("45 por ciento") podemos indicarla con la fracción 45/100.


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III: Figuras geométricas en el plano

Actividad

La primera actividad que te proponemos en esta sección tiene el objetivo que revises los elementos básicos de geometría en el plano. Observando el plano de la ciudad de Santa Fe en las cercanías a la Escuela Industrial Superior:

Extraído de http://maps.google.com.ar/

a) Señala con un punto en el plano dónde está ubicada la EIS.

b) ¿Con qué concepto geométrico identificas a las calles? ¿Por qué?

c) Habrás escuchado decir por ejemplo: “yo vivo de Bv. Pellegrini hacia el norte” o “yo vivo de Bv. Pellegrini hacia el sur”. ¿En cuántas partes divide Bv. Pellegrini al plano? ¿Cómo se denominan dichas partes?

d) Nombra dos calles que en esta parte del plano que se muestra, son paralelas y dos que se intersectan.

e) ¿Qué calles puedes asociar a un segmento? ¿Por qué?

f) Nombra dos calles que al cruzarse formen un ángulo obtuso.

g) Nombra dos calles que al cruzarse formen un ángulo recto.

h) Nombra dos calles que al cruzarse formen un ángulo agudo.

i) ¿Qué indicaciones le darías a alguien que está en el Paraninfo de la Universidad Nacional del Litoral para que llegue, caminando la menor cantidad de cuadras, a la EIS? ¿Son las únicas posibles? ¿Por qué?

j) ¿Con qué concepto geométrico identificas al recorrido realizado en el ítem anterior?


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Para realizar las siguientes actividades es conveniente que te confecciones un pequeño glosario con definiciones y propiedades involucradas en las actividades que debes resolver. También presta atención al simbolismo, las cuestiones de notación son convenios y por ello es útil familiarizarse con ellas para simplificar y precisar los procedimientos y justificaciones, que empleamos cuando resolvemos un problema. Algunas definiciones las encontrarás al margen y te ayudarán a realizar las actividades propuestas, otras que no recuerdes búscalas en tus carpetas de la escuela primaria o libros.

1) Dado el gráfico:

I)Colorea:

a) El Semiplano de borde BC que no contiene al punto D.

b) El ángulo cóncavo ADC ˆ .

II) Nombra (si es posible):

a) Dos semirrectas opuestas

b) Dos rectas perpendiculares

c) Dos rectas paralelas

d) Un ángulo agudo, un ángulo recto, un ángulo obtuso y un ángulo llano

III) Une con flechas según corresponda:

son segmentos consecutivos OCBBCE ˆy ˆ

son ángulos opuestos por el vértice BCDOAD ˆy ˆ

son ángulos suplementarios iguales ωα ˆy ˆ

son ángulos complementarios ωδ ˆy ˆ

son ángulos adyacentes distintos ωβ ˆy ˆ

son ángulos adyacentes iguales OBAO y

Algunas letras griegas: α : alfa β : beta π : pi δ : delta γ : gamma ρ : rho ε : épsilon ϖ : omega µ : mu

Convenio de notación Los puntos los nombraremos con letras mayúsculas A, B, C, etc. Los ángulos los podemos nombrar utilizando letras

griegas δβα ˆ,ˆ,ˆ , etc. o

también utilizando tres puntos, por ejemplo π = ADC ˆ

Con BC anotamos la recta que pasa por los puntos B y C.

Con FG anotamos el segmento cuyos extremos son los puntos F y G.

Con DE anotamos la semirrecta de origen en el punto D y que contiene al punto E.

Segmentos consecutivos: Se dice que dos segmentos son consecutivos cuando tienen sólo un extremo en común.


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IV) Calcula la amplitud de los ángulos indicados con letras griegas, si se sabe que la amplitud de

α es ´´10´2532� . Justifica cada paso, indicando las relaciones utilizadas. 2) Traza en cada Geoplano de 3X3:

a) Dos segmentos consecutivos de dos unidades de longitud cada uno. ¿Cuántos trazados distintos puedes realizar? b) Dos segmentos paralelos que tengan diferentes longitudes y que éstas no sean ni de una ni de dos unidades.

c) Un ángulo agudo.

d) Un ángulo obtuso.

3) Divide el segmento AB en cuatro segmentos de igual longitud utilizando solamente compás y regla no graduada.

Geoplano de 3x3 Es un tablero cuadriculado que consta de 9 puntos y éstos se utilizan para trazar elementos o figuras geométricas. La unidad de medida que se toma es como se muestra en la siguiente figura:

Para recordar: La bisectriz de un ángulo es la semirrecta interior al mismo que lo divide en dos ángulos de igual amplitud. La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al mismo en su punto medio.


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4) Divide al ángulo convexo ABC∧

en cuatro ángulos de igual amplitud utilizando solamente compás y regla no graduada.

5) a) Dibuja un ángulo α agudo y su adyacente. b) Traza la bisectriz de cada uno de ellos, utilizando regla y compás. c) Clasifica el ángulo formado por las bisectrices trazadas. d) Repite el procedimiento de los incisos anteriores cambiando la amplitud de α . Extrae alguna conclusión. 6) Realiza las siguientes construcciones utilizando regla, transportador y compás (sin borrar sus trazas).

a) Dado el segmento AB , determina su punto medio y llámalo M.

b) Construye la mediatriz del segmento AM , llámala h.

c) Dibuja un ángulo OBA ˆ de 50º y traza su bisectriz utilizando compás. d) Llama P al punto de intersección entre la bisectriz y la mediatriz h.

7) Completa cada expresión con “a veces”, “siempre” o “nunca” de modo que resulten expresiones verdaderas.

a) Los ángulos adyacentes......................................son suplementarios.

b) Los ángulos suplementarios................................son adyacentes.

c) Los ángulos opuestos por el vértice.....................tienen la misma amplitud.

d) Los ángulos complementarios.............................son consecutivos.

e) Los ángulos opuestos por el vértice…………….. son adyacentes. 8) a) Dibuja dos ángulos suplementarios que no sean adyacentes. b) Dibuja dos ángulos que sean opuestos por el vértice y suplementarios. c) Dibuja dos ángulos que sean consecutivos y complementarios.

Para tener en cuenta... Al efectuar las construcciones, no borres los trazos realizados. Éstos dan cuenta de tus procedimientos.


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9) Responde a cada pregunta justificando tu respuesta:

a) Dos ángulos opuestos por el vértice, son suplementarios. ¿Cuál es la amplitud de cada uno de ellos?

b) Dos ángulos adyacentes, son congruentes. ¿Cuál es la amplitud de cada uno de ellos?

c) Si dos ángulos son congruentes y complementarios. ¿Cuál es la amplitud de cada uno de ellos?

10) Completa el siguiente cuadro:

11) Considerando que ´46º28ˆ =α y "29º66ˆ =β , completa la siguiente tabla.

( )αβ ˆˆ2 −⋅ Complemento de β Suplemento de ( )β+α ˆˆ Suplemento de ( )α−β ˆˆ

12) ¿Cuál es la amplitud del ángulo que recorre el minutero de un reloj de agujas cuando pasa 0,4 horas?

13) En una maratón popular el primer clasificado ha llegado a las 12:10:15 horas. Si la salida se dio a las 09:58:35 horas, ¿cuánto tiempo ha empleado en llegar a la meta?

14) Calcula en cada caso las amplitudes de los ángulos nombrados sabiendo que:

a) La amplitud de α es 40º mayor que la de β y ambos

ángulos son suplementarios.

b) La amplitud de ω es el triple de la de ε y ambos son complementarios.

15) a) La diferencia entre las medidas de dos ángulos suplementarios es 145º 43’. Determina las medidas de ambos ángulos. b) Halla las medidas de dos ángulos complementarios sabiendo que uno de ellos mide la cuarta parte del otro.

α β βα ˆˆ + βα ˆˆ − α3 ⋅ 2ˆ ÷β

80º 15´

55º

20º

60º 20´50´´

60º 30´

9º

Atención: Observa que horas, minutos y segundos se simbolizan con h, min y s respectivamente. No debes confundir esta notación con la que corresponde a unidades de medidas angulares (º , ´ , ´´ )


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16) Calcula la amplitud del ángulo α de la figura dada sabiendo que:

� OP es la bisectriz del ángulo AÔB

� OP es la bisectriz del ángulo llano RÔS

Fundamenta todas las operaciones que has realizado.

17) En la figura: ºˆˆ 90== SONROM , OR bisectriz de SON ˆ y βα ˆˆ ⋅= 2 ; OA y OB

semirrectas opuestas.

Halla la amplitud de α y β

Para tener en cuenta… Cuando resuelvas problemas donde aparecen representaciones gráficas, no vale medir, debes resolverlo haciendo cálculos numéricos, estableciendo las relaciones posibles entre los datos.


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IV: Otras figuras planas Quizás te parezca que las figuras geométricas, planas o espaciales, sólo aparecen en los libros de matemática, pero ¿te detuviste a mirar a tu alrededor?

Actividad Observa las imágenes, y siguiendo las líneas que las definen, traza segmentos siguiendo su contorno, como se muestra en el ejemplo.

Observando detenidamente lo que has trazado, ¿encuentras diferencias?, ¿cuáles? En todos los casos, se trata de líneas poligonales.


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Si se unen dos o más segmentos consecutivos de a dos, no alineados, se forma una poligonal. Las diferencias entre todas las imágenes dadas, pueden agruparse según la siguiente clasificación: Si los segmentos no alineados que se unen no se cruzan, la poligonal es simple ; en caso contrario, es cruzada. En ambos casos, pueden ser a su vez, abiertas o cerradas . El siguiente esquema visualiza la anterior clasificación:

La poligonal determinada en el primer ejemplo es simple y cerrada. ¿Te animás a clasificar las demás?

Completa Son poligonales simples y cerradas, las correspondientes a las imágenes……………………….. Son poligonales simples y abiertas, las correspondientes a las imágenes………………………...

Actividad Ahora analicemos con detenimiento sólo las poligonales simples y cerradas. En las imágenes anteriores colorea el borde y la región interior que éste delimita. Un polígono es el conjunto de los puntos del plano formado por una poligonal simple cerrada y todos los puntos interiores. Como podrás notar, si comparamos todos los polígonos que han quedado determinados en las imágenes, vemos que difieren en la cantidad de lados y algunos son convexos y otros cóncavos.

Completa Los polígonos convexos son los determinados en las imágenes:……………………… y los cóncavos son los correspondientes a:……………………………………………..

abierta abierta

cerrada cerrada

poligonal simple

poligonal cruzada


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Para cada polígono convexo podemos determinar sus elementos. Dado el polígono ABCDE:

• Los puntos A, B, C, D y E son los vértices

del pentágono.

• Los segmentos EADECDBCAB ,,,,

son los lados del polígono. • Los ángulos convexos

BAEAEDEDCDCBCBA ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ

son ángulos interiores.

• Los ángulos εδγβα ˆ,ˆ,ˆ,.ˆ,ˆ son ángulos

exteriores.

Un polígono es regular cuando todos sus lados tienen igual longitud y todos sus ángulos interiores tienen igual amplitud .

Actividad Observa las siguientes figuras.

a) Agrúpalas de modo que cada una pertenezca sólo a un grupo y que ninguna quede sin formar parte de algún grupo.

b) ¿Qué nombre le pondrías a cada grupo? Escribe las características que tienen en común las figuras de cada uno.

c) Compara tu clasificación con la de tus compañeros y en conjunto elaboren una lista con las distintas maneras de clasificar las figuras que surgieron, considerando las características que cada uno tuvo en cuenta.


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d) ¿Qué elementos de las figuras se tuvieron en cuenta en las clasificaciones? e) ¿Qué propiedades de esos elementos se consideraron?

TRIÁNGULOS

Ejercicios y problemas 1) ¿Puedes construir un triángulo cuyos lados midan 10cm, 5cm y 4cm respectivamente? Justifica tu respuesta. 2) Dibuja todos los triángulos isósceles posibles que cumplan las siguientes condiciones: la longitud de un lado sea 5 cm y la amplitud de uno de sus ángulos interiores sea 120º. Luego: a) En cada triángulo, traza la bisectriz de cada ángulo interior. b) En cada triángulo, traza la mediatriz de cada lado. 3) Construye, utilizando los elementos de geometría, triángulos que cumplan las siguientes condiciones.

a) De lados 3=AB unidades, 4=AC unidades y el ángulo

.BAC °= 120

b) De lado 4=AB unidades, ángulos °= 30CAB y .ABC °= 60

c) De lado cm,AB 53= , CBAC = y la altura correspondiente al lado

AB es de 5cm.

d) De lado cmAB 5= , ángulos °= 30CAB y °= 60ACB .

e) Traza la altura correspondiente al lado AB en los triángulos construidos en los ítems a) y b) y d). 4) ¿Cuántos triángulos puedes construir que tengan dos lados iguales de 0,5 dm cada uno y un ángulo interior cuya amplitud sea de 30º? Constrúyelos. TEOREMA DE PITÁGORAS Este teorema es uno de los más conocidos en matemática y se le atribuye al matemático y filósofo griego Pitágoras de Samos.

Actividad Selecciona uno de los modelos que se encuentran en la página 72 del anexo y cálcalo. Recorta el cuadrado pequeño y el cuadrado mediano en las regiones en que estén subdivididos (en algunos casos verás que el cuadrado pequeño no tiene subdivisiones). Con todas las piezas trata de cubrir la superficie del cuadrado mayor. Con el procedimiento anterior has comprobado la relación entre las superficies de los tres cuadrados mencionados:

Para recordar… Propiedad de los lados : la medida de cada lado es menor que la suma de las medidas de los otros dos, y mayor que su diferencia (entre la medida del mayor y la del menor). Propiedad de los ángulos interiores: En todo triángulo la suma de las amplitudes de los ángulos interiores es igual a 180°.

Sugerencia: Si no recuerdas la clasificación de triángulos según sus lados y ángulos, o alguna propiedad, puedes buscarla en el anexo o en la bibliografía sugerida para el alumno.


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Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la medida la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos.

a2 + b2 = c2

Según sus ángulos, ¿cómo se clasifica el triángulo ABC? ¿Qué nombre reciben los lados de este tipo de triángulo?

Completa Teniendo en cuenta la figura de análisis anterior:

* Si la longitud de AB es c unidades, el área del cuadrado de lado AB es..................

* Si la longitud de AC es b unidades, el área del cuadrado de lado AC es...................

* Si la longitud de BC es a unidades, el área del cuadrado de lado BC es................... Expresa simbólicamente la relación comprobada entre las áreas de los cuadrados.

…………………………………………

Ejercicios y problemas 5) Traza un triángulo, en cada caso, con las condiciones dadas y verifica si se cumple el teorema:

• Sus lados miden 6cm, 5cm y 9cm. • Dos lados miden 3cm y 4cm. El ángulo comprendido tiene una amplitud de 90º. • Sus lados miden 9cm, 7cm y 6cm.

6) El tío de José tiene un terreno de forma rectangular de 30 metros de frente por 40 metros de fondo. Si lo quiere dividir siguiendo la diagonal del terreno, ¿cuántos metros de tejido de alambre necesita? CUADRILÁTEROS Las actividades que te presentamos a continuación requieren un repaso de clasificación y propiedades de lados y ángulos de cuadriláteros. Puedes recurrir a tu carpeta de séptimo o consultar algunos de los libros citados en la bibliografía para el alumno. 7) María afirma que un cuadrado siempre es un rombo. Juan opina que si es cuadrado, no es un rombo. Lorena expresa que si un cuadrilátero no es rectángulo, no puede ser un cuadrado. Ana afirma que todos los rombos son paralelogramos. ¿Qué opinas de estas afirmaciones? Justifica su verdad o falsedad por escrito y gráficamente (dibujos de figuras, diagramas de Venn, diagramas de árbol, tabla de doble entrada, etc.).


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8) Si es posible, dibuja un cuadrilátero MNRO que reúna las siguientes condiciones:

cm 5

cm 3 cm 5

cm 3 cm 4

=

==

==

MO

ROMR

NRMN

9) Dibuja un rombo de manera que una de sus diagonales tenga igual longitud que el lado del mismo. ¿Cuál es la amplitud de los ángulos interiores del rombo? 10) En la figura de análisis:

ABEF es un rectángulo, AD es perpendicular a DF ,

ˆ 60AFD = ° , AC es bisectriz de ˆBAD .

¿Cuánto miden los ángulos interiores del cuadrilátero ACEF? ¿Cuánto miden los ángulos interiores del cuadrilátero ADEF? Justifica el procedimiento. MEDIDA. PERÍMETRO.

Actividad Observa los números que aparecen en el aviso de propaganda “DÍA DE CAMPO”. Algunos han sido usados para contar cosas y otros, para representar medidas. -¿Qué expresiones del texto representan medidas? -¿Qué magnitud mide cada una de ellas? -¿Qué otras unidades conoces que puedan usarse para medir las mismas magnitudes? Medir es comparar una cantidad de magnitud (longitud, superficie, volumen, capacidad, peso, etc.) con otra cantidad de la misma magnitud considerada unidad. La medida es el número que indica la cantidad de veces que está contenida la unidad.

Aplica la anterior definición para resolver la siguiente actividad.

Actividad Mide el contorno de tu mesa utilizando cualquier elemento disponible, que no sea regla, escuadra ni cinta métrica. (Puede ser una varilla, un trozo de hilo o cualquier otro instrumento que elijas como unidad). a) ¿Cuántas unidades mide el contorno de tu mesa? b) Compara con tus compañeros las distintas medidas que obtuvieron.

Para tener en cuenta… Cuando tengas que hacer gráficos, utiliza los instrumentos adecuados de geometría.


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Completa Piensa, comenta con tu compañero y responde: ¿A qué nos referimos cuando hablamos del perímetro de una figura? .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. En el primer inciso, calculaste entonces el perímetro de tu mesa.

El perímetro de cualquier figura es la longitud de su contorno. ¿Obtuviste la misma medida que otro compañero con la misma mesa? ¿A qué crees que se deben las similitudes o diferencias? ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Podemos concluir que el perímetro de una figura es único y su medida varía dependiendo de la unidad elegida. ¿Cuál es la ventaja de usar una unidad de medida convencional? .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ¿Cuál es la unidad de medida convencional para medir longitud? .........................................................................................................................................................

Ejercicios y problemas 11) Utilizando solamente el compás, determina cuál de las dos figuras tiene mayor perímetro. 12) Encuentra el perímetro de la siguiente figura

Aclaración: ten en cuenta que la unidad de medida de los lados de la figura es el cm y que la figura sombreada es un semicírculo de diámetro 10 cm. 13) El perímetro de un triángulo es de 9 unidades y las longitudes de sus lados son números naturales. ¿Cuántos triángulos hay que verifiquen estas condiciones? Clasifícalos según sus lados. Constrúyelos.


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14) Calcula el perímetro del triángulo isósceles RST, sabiendo que RS ST= , 10RT cm= y

la altura correspondiente a la base RT mide 12cm de longitud. Realiza figura de análisis.

15) En la siguiente figura de análisis, el rectángulo ABCD está formado por cuadrados de varios tamaños. Los lados de los cuadraditos más chicos miden 1 cm. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo ABCD?

16) El perímetro de un romboide es de 102cm y la longitud de uno de sus lados es el doble de la longitud del lado consecutivo. Determina la longitud de los lados del romboide.

17) El cuadrado ABCD y el triángulo isósceles BCE ( CEBE = ) tienen igual perímetro. El

polígono ABECD tiene 72 cm de perímetro. ¿Cuál es la longitud de BC ?

18) El diámetro de la rueda delantera de una antigua bicicleta es de 50 cm.

Ha dado 1000 vueltas mientras recorrió cierta distancia en línea recta.

a) ¿Cuál es esa distancia en metros? b) ¿Qué número de vueltas dio la rueda trasera cuyo diámetro es

de 10cm?

SUPERFICIE Dada una figura plana, además de calcular su perímetro podemos calcular también la medida de su superficie, teniendo en cuenta que:

El área de una figura plana es la medida de la superficie limitada por su contorno.

Para tener en cuenta… Si no recuerdas las fórmulas para el cálculo de perímetros y áreas, en el Anexo puedes encontrar las más utilizadas.

Recuerda… El número π tiene infinitas cifras decimales, pero para resolver los problemas lo puedes aproximar a 3,14.


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Para medir una superficie, o sea, para hallar su área, hay que elegir otra superficie como unidad para poder compararla. Por ejemplo, si se elige como unidad la superficie del cuadrado de lado u: El área de la primera figura es………..………y área de la segunda figura es…………….. � Observemos las siguientes figuras: a) b) Aunque son diferentes están formadas por...………… cantidad de cuadraditos iguales. Es decir, su área es la misma.

Ejercicios y problemas 19) Entre las siguientes figuras hay una que tiene distinta área respecto de las demás.

a) ¿Cuál es? ¿Por qué? b) ¿Cuál es el área de cada una de ellas? ¿Qué unidad elegiste?

2u


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Actividad Imaginemos que queremos cubrir un patio cuadrado de 3 m de lado con baldosas enteras e iguales entre sí. Se puede conseguir baldosas de distintas formas y tamaños, como indican las figuras:

a) ¿Cuántas baldosas se necesitarían en cada caso? b) ¿Qué representa cada número obtenido? c) ¿Cuál es la unidad de medida convencional del S.I.M.E.L.A. que usamos para medir la superficie?

Completa a) Dado el cuadrado de la siguiente figura, realiza las subdivisiones que consideres conveniente y completa.

Si cubrimos el cuadrado con figuras de esta forma el área del cuadrado es…………………………………………. Si la cubrimos con esta figura el área es de……………………………….. Esto prueba que: La misma superficie puede ser medida con distintas unidades y su medida varía de acuerdo a la unidad escogida.

Unidades convencionales de superficie En el sistema métrico decimal se toma como unidad de medida de superficie el metro cuadrado (m2), sus múltiplos (km2, hm2, dam2) y submúltiplos (dm2, cm2, mm2).


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Actividad Para desarrollar esta actividad vas a necesitar dos papeles satinados, regla, escuadra y tijera. Sobre cada papel realiza las divisiones que se muestran en la figura anterior. Recorta por las líneas marcadas. Con las piezas obtenidas, arma otras dos figuras, compara las tres y responde. ¿Las tres figuras tienen igual superficie? ¿Por qué? ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Utilizando el método ya empleado en el ejercicio 11 página 39, encuentra el perímetro de cada una. ¿Es el mismo para las tres? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ¿Qué conclusiones puedes extraer? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ÁREA DEL RECTÁNGULO.

Actividad En una hoja cuadriculada dibuja 3 rectángulos distintos que ocupen 12 cuadraditos. Para cada uno de ellos cuenta el número de columnas y de filas y responde. ¿Cuántos cuadrados forman una fila? ¿ y una columna? A partir de esto podemos notar, en todos los casos, dos cuestiones: - por un lado, la medida de la superficie de los tres rectángulos es 12 unidades de área, aunque todos tienen distinta medida de base y distinta medida de altura; - y por otro, el lado de un cuadradito es la unidad de longitud de los lados del rectángulo. Esta situación se representa en este ejemplo, siendo las unidades consideradas las siguientes:

Área de la superficie: 212u Longitud de la altura: 3u Longitud de la base: 4u


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Observando el gráfico vemos que la medida de la superficie de un rectángulo tiene relación con la cantidad de veces que el lado de un cuadrado está contendido en la base y en la altura. ¿Te parece necesario entonces realizar este procedimiento cada vez que debamos calcular la medida de la superficie de un rectángulo? Evidentemente no, podemos calcularla multiplicando las medidas de la base y altura. Entonces: ÁREA DEL PARALELOGRAMO.

Actividad Para deducir la fórmula para calcular el área del paralelogramo, podemos proceder así: Tomamos un paralelogramo de papel, trazamos su altura como muestra la imagen y lo recortamos siguiendo esta línea. Obtenemos así dos triángulos. Unimos ambos haciendo coincidir las piezas como se muestra en la imagen. Por lo visto anteriormente, ambas figuras tienen la misma área. Además, la base y la altura de ambos tienen igual longitud respectivamente.

Luego:

Ejercicios y problemas 20) Calcula el área y el perímetro de las figuras sombreadas en cada caso: a) El radio de la circunferencia de centro O es 10 cm, y el radio de la circunferencia de centro M es 7 cm. b) A, B, C y D son puntos medios de los respectivos lados del cuadrado.

Sugerencia: Si no recuerdas las fórmulas para el cálculo de perímetros y áreas, en el Anexo puedes encontrar las más utilizadas.

Siendo: b: longitud de la base h: longitud de la altura

Área del rectángulo hb ⋅=

Siendo: b: longitud de la base h: longitud de la altura

Área del paralelogramo hb ⋅=


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a) b) 21) De una cartulina rectangular lisa de 1,32 m por 0,98 m se quieren cortar tarjetas rectangulares de 15 cm por 12 cm. ¿Cuál es el mayor número de tarjetas que se puede obtener? 22) La traza de un pueblo del Departamento las Colonias tiene forma rectangular de 20 cuadras de largo por 10 cuadras de ancho. a) ¿Cuántas manzanas tiene el pueblo? Dibuja la traza del pueblo. b) Comprueba si la siguiente afirmación es verdadera: “Si se triplica el número de cuadras a lo largo y a lo ancho, también se triplica el número de manzanas” 23) Una alfombra rectangular de 2,4m de largo y 20 dm de ancho cubre 2/9 de un salón de 7,2m de largo. ¿Cuál es el ancho del salón si éste también es de forma rectangular?

24) En la figura AD = 12 cm, todos los arcos son semicircunferencias, C es el punto medio de

AD y B es el punto medio de AC . Calcula el perímetro y el área de la figura sombreada.

25) Para armar un barrilete con forma de romboide (como el de la figura), Bruno necesita “papel barrilete” de dos colores, caña, goma de pegar, y paciencia. Sabe que la longitud de la diagonal mayor es 90cm y que la

diagonal menor mide 3

2de la mayor.

a) ¿Cuántos metros de caña tiene que comprar? b) Si quisiera bordearlo con una cinta de flecos, ¿cuántos

metros de cinta tendría que comprar como mínimo? c) ¿Qué parte del total del papel a utilizar, representa el

más oscuro?

Cuidado…

La cantidad de tarjetas debe ser un número natural y con los desperdicios no puedes hacer otra tarjeta.


V: Cuerpos poliedros y redondos En tu entorno de tres dimensiones, te rodean cuerpos en los que observándolos detenidamente puedes identificar partes de cuerpos geométricos que has definido y estudiado sus propiedades. Antes de comenzar a trabajar con las actividades propuestas, repasa la clasificación de cuerpos que se encuentra en el anexo página 68, posteriormente busca en tu casa objetos cuyas formas llamen tu atención y trata de identificar en ellos cuerpos o parte de cuerpos geométricos. Te sorprenderás …

¿Jugamos? Con tus compañeros juega al GEOFORMIS Para ser el más veloz revisa: -Clasificación de poliedros. -Clasificación de cuerpos redondos. -Cuerpos cóncavos y convexos. ¿Sabías que en Grecia, en el siglo IV a.C. Platón relacionaba los cinco poliedros regulares con los “cinco elementos fundamentales” que eran: el fuego, el aire, el agua, la tierra y el cosmos? El fuego estaba representado por el tetraedro, el aire por el octaedro, el agua por el icosaedro, la tierra por el hexaedro (cubo) y el cosmos por el dodecaedro.

Para trabajar con éxito las actividades que te proponemos, te sugerimos tener en cuenta lo siguiente:

• Revisa el resumen de fórmulas de superficie y volumen de cuerpos del anexo.

• Realiza una figura de análisis indicando en la misma los datos e incógnitas.

• Lee atentamente qué debes calcular y selecciona la/s fórmula/s apropiada/s.

• No olvides reducir todas las cantidades a una misma unidad, antes de comenzar a reemplazar los datos en las fórmulas.

• Recuerda expresar las respuestas con las unidades correspondientes.

Para tener en cuenta Los POLIEDROS REGULARES son cuerpos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cada vértice concurre el mismo número de aristas.

Recuerda Elementos de los poliedros:


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1) En los siguientes cuerpos geométricos hay aristas que no se ven. Dibújalas con líneas de puntos.

2) Clasifica los siguientes poliedros, colocando una cruz en el casillero correspondiente.

1 2 3 4 5 6 7

Prisma Pirámide Ni prisma ni pirámide

Recto Oblicuo Recta Oblicua 1 2 3 4 5 6 7

3) Adriana va apilando cubitos para formar un cubo más grande. Ya colocó varios cubitos como se ve en la figura (hay dos cubitos que están tapados y los cubos que están colocados no se pueden mover). ¿Cuántos cubitos le hace falta colocar para completar un cubo? (halla la menor cantidad posible).

4) La figura siguiente muestra un apilamiento de cubos. Dibuja en el plano, la figura que percibes con la vista que indica la flecha.


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5) Cada uno de los siguientes cubos está seccionado por un plano. ¿Cuál es la figura que resultó de cada sección? Dibújalas y escribe su nombre.

6) a) Un prisma recto tiene cinco caras laterales iguales. ¿Qué figura geométrica es su base? ¿Cuántos vértices y aristas tiene el prisma?

b) Dibuja un posible desarrollo plano para el prisma dado en a).

c) En el desarrollo de una pirámide hay un hexágono. ¿Cuántas aristas y vértices tiene la pirámide?

d) Si se sabe que el desarrollo plano de un cilindro está formado por un rectángulo cuyos lados miden 8cm y 10cm respectivamente y los círculos correspondientes a las bases. ¿Cuántos cilindros distintos se corresponden con dicho desarrollo? ¿Por qué?

7) Completa con un único rectángulo el desarrollo plano de la derecha para que se forme un cuerpo. ¿Qué nombre recibe dicho cuerpo?

8) Relaciona cada desarrollo plano con el nombre correspondiente al cuerpo geométrico:

Desarrollo plano de un cuerpo geométrico: Es la representación en el plano de las superficies que lo limitan, de tal manera que al plegarlas, puedan formarlo.

a) b) c)

d) e) f)

1- Prisma recto de base hexagonal 2- Cilindro 3- Pirámide recta de base cuadrada

4- Prisma recto de base rectangular 5- Prisma recto de base triangular 6- Cono recto


50

9) Agustín desea envolver un perfume para regalarle a su papá. La caja del mismo tiene forma cilíndrica cuya altura es de 6,5 cm y el diámetro de la base es de 4cm. ¿Qué cantidad, como mínimo, de papel de regalo necesitará? 10) Un cubo tiene 100cm2 de área lateral. ¿Cuál es la longitud de su arista?

11) Para confeccionar una pirámide recta de base cuadrada se usaron: para la base, un cartón cuadrado de 169 cm2 de superficie y para las otras caras 221 cm2 de cartulina. ¿Cuánto miden las aristas de la base y la apotema de la pirámide si el cartón y la cartulina se utilizaron en su totalidad?

¿Pensaste alguna vez cómo pueden generarse algunos cuerpos redondos? Observa la siguiente figura. Si el triángulo, el semicírculo y el rectángulo giran alrededor del eje indicado, se genera un cono, una esfera y un cilindro, respectivamente.

12) ¿Cuántos cm2 de cáscara se le podrá sacar a una naranja de forma aproximadamente esférica de 7cm de diámetro?

13) ¿Cuál es aproximadamente el área de la superficie terrestre, si la consideramos de forma esférica y con un radio de 6.381km? 14) ¿Cuántos metros cuadrados de masa aproximadamente son necesarios para hacer 60 cucuruchos como los de la figura? 15) Si el área de la base de un cono es de 28,26cm2 y la generatriz es tres veces mayor que el radio de la base, ¿cuál es el área total del cono?

Recuerda: h: altura de la pirámide Ap: apotema de la pirámide.

Atención: No confundas la generatriz con la altura del cono.


51

VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

Actividad Los siguientes cuerpos están compuestos con las siguientes piezas: con una de la primera y cuatro de la segunda. ¿Son iguales? ¿Tienen algo en común? Estos cuerpos son equivalentes en cuanto al espacio que ocupan. Se dice que estos cuerpos tienen el mismo volumen.

El volumen de un cuerpo es el espacio que ocupa.

Medida del volumen Teniendo en cuenta el objeto que se ha de medir, lo primero es elegir la unidad de medida. Un mismo volumen puede ser medido con distintas unidades. Tengamos en cuenta los siguientes cuerpos: Vamos a medir el volumen del cuerpo A, considerando los volúmenes de B, C y D como distintas unidades. El volumen de A es dos veces el volumen de B. El volumen de A es cuatro veces el volumen de C. El volumen de A es ocho veces el volumen de D. Como vemos, la medida del volumen de A cambia dependiendo la unidad de volumen elegida

Recuerda: El volumen de un cuerpo es único, su medida varía dependiendo de la unidad elegida.


52

Actividad

16) Tomando como unidad el volumen del cubo , calcula el volumen de los siguientes cuerpos. Teniendo en cuenta que no hay huecos en las partes no visibles de los cuerpos.

VOLUMEN DE UN PRISMA Armemos un paralelepípedo con 6 cubos de igual tamaño. Donde cada

representa la unidad de volumen ( u3);

cada cara del cubo representa la unidad de superficie(u2);

y cada arista del cubo la unidad de longitud (u).

Recuerda: Los cuerpos están incluidos en el espacio de tres dimensiones, esto es, el espacio donde existen el ancho, el largo y el alto.

2u: longitud del ancho Dimensiones 3u: longitud del largo del cuerpo 1u: longitud del alto


53

Para calcular la medida del volumen podemos decir que el paralelepípedo ocupa el mismo espacio que seis cubos, por tanto:

Volumen del cuerpo = 6 veces u3 = 6u3

Otra forma de ver esto y de experimentarlo es la siguiente: Cubrimos la base de un paralelepípedo cuyas dimensiones coinciden con la del cuerpo anterior con algún material (harina, arena, aserrín, etc.) ¿Qué concepto matemático podemos relacionar cuando cubrimos la base del cuerpo con el material elegido? Ahora continuemos llenando el cuerpo con el material elegido, ¿hasta dónde lo podemos llenar? Hasta que llegue al borde superior del cuerpo. Cuando llega al borde, es decir hasta donde lo permite la altura, podemos decir que el material elegido ocupa el mismo espacio que el paralelepípedo, esto es, tienen el mismo volumen. ¿Qué fue necesario hacer? Cubrir la base del cuerpo y llenar hasta que lo permite la altura del cuerpo. ¿Cuántas veces entra la superficie de la base en el cuerpo? La misma cantidad que la longitud de la altura. Entonces podemos decir que el volumen del cuerpo es el producto entre el área de la base y la longitud de la altura. Volumen del cuerpo = área de la base .longitud de altura = (longitud del ancho . longitud del largo) . longitud de la altura = (2u . 3u) . 1u = 6u2 . 1u = 6u3 Generalizando: En particular: La experiencia se puede realizar también con un cilindro.

Unidades convencionales de volumen La unidad convencional para medir volumen es el metro cúbico , sus múltiplos y submúltiplos Km3, hm3, dam3, m3, dm3, cm3,mm3 Un m3 es el volumen que tiene un cubo de 1 m de arista.

Volumen de un prisma = Área de la base . longitud de la altura

Volumen de un cubo = Área de la base . longitud de la altura = (longitud de arista)3

Volumen de un cilindro = Área de la base . longitud de la altura


54

Ejercicios y problemas 17) Calcula el volumen de los siguientes cuerpos. Expresa los resultados en cm3 y dm3.

18) Se ha construido un cubo de cartulina y se han forrado todas las aristas con 240cm de cinta adhesiva. ¿Cuánto mide cada arista?, ¿Cuál es el volumen del cubo construido? 19) Obtiene el volumen de un cilindro, a) cuya base tiene un área de 28,26cm2 y mide 12 cm de altura. b) cuya base es un círculo de 8cm de diámetro y tiene una altura de

15cm. c) cuya base tiene un perímetro de 12,56cm y tiene una altura de

70mm. VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE

Actividad Construye un prisma recto de base cuadrada y una pirámide de base cuadrada de igual área que la del prisma, ambos cuerpos con la misma longitud de altura y vacíos. Con algún material (harina, arena, aserrín, etc.) llena la pirámide y verifica que para colmar el prisma se necesita volcar tres veces el contenido de la pirámide en el prisma. ¿Qué volumen es mayor? ¿Cuánto mayor? ¿Qué volumen es menor? ¿Cuánto menor? ¿Qué relación podemos establecer entre los volúmenes de estos cuerpos? El volumen de la pirámide es la tercera parte del volumen del prisma. Generalizando:

Volumen de una pirámide:

( )altura de longitud . base la de reaÁaltura de longitud . base la de reaÁ ⋅=

3

1

3

Sugerencia:

En el anexo encontrarás una tabla con fórmulas para calcular el volumen de distintos cuerpos.


55

Ejercicios y problemas 20) a) Obtiene el volumen de una pirámide de 12cm de altura, si la base es un cuadrado de 4cm de lado. b) Obtiene el volumen de una pirámide de 9cm de altura cuya base es un rectángulo de 4cm de largo y 2,5cm de ancho. VOLUMEN DE UN CONO Se puede repetir la experiencia anterior con un cilindro y un cono cuyas bases tengan igual área y su altura igual longitud. Se verifica que el cilindro ocupa tres veces el espacio que ocupa el cono, o que el cono ocupa la tercera parte de lo que ocupa el cilindro. Generalizando:

Volumen de un cono:

( )altura de longitud . base la de reaÁaltura de longitud . base la de reaÁ ⋅=

3

1

3

VOLUMEN DE UNA ESFERA

Actividad Para realizar la siguiente experiencia vas a necesitar: - una semisuperficie esférica (la mitad de una pelota de plástico por ejemplo) - un cono cuyo radio sea de igual longitud que su altura y que, además, ese radio tenga igual longitud que el radio de la semiesfera. - material para introducir en los cuerpos. Llena de material el cono y trasvasa en la semiesfera. Repite la experiencia hasta colmar la semiesfera. ¿Cuántas veces fue necesario realizar el procedimiento? ¿Qué relación hay entre los volúmenes de la semiesfera y el cono? Recordemos la fórmula para calcular el volumen de un cono, en este caso es:

Volumen del cono 33

3R..R .R2 π=π=

El volumen de la semiesfera es:

Volumen de la semiesfera = 2 veces el volumen del cono 3

23R.π⋅=

Por lo tanto, ¿cuál es el volumen de la esfera?


56

Volumen de la esfera = 4 veces el volumen del cono 33

3

4

34 R.

R. π⋅=π⋅=

Ejercicios y problemas 21) Calcula el volumen de los siguientes cuerpos según los datos dados en las siguientes figuras de análisis. a) b) ¿ES LO MISMO VOLUMEN QUE CAPACIDAD? Como habrás observado a tu alrededor, en tu casa, en la escuela, algunos objetos, por su forma, pueden contener sustancias; esos objetos se llaman recipientes y de ellos se puede medir tanto su capacidad como su volumen . La capacidad indica cuánto puede contener o guardar un recipiente. Generalmente se expresa en litros (l). Por ejemplo, una taza vacía tiene un volumen, ocupa un lugar en el espacio y, como es un recipiente, también se puede medir su capacidad y el volumen del líquido que contenga. En cambio, de otros objetos, por ejemplo una piedra, sólo se puede medir su volumen. La piedra no es un recipiente. Podemos establecer una equivalencia si se toma como unidad de capacidad el litro y como unidad de volumen el metro cúbico.

0,001m3 = 1 dm3 = 1 litro

Este hecho puede verificarse experimentalmente de la siguiente manera:

Actividad Vierte el contenido de una botella de agua de 1l de capacidad en un cubo de 1dm de arista y observa que cabe exactamente. Un litro es la capacidad que tiene un cubo de 1dm3 de volumen.

Ejercicios y problemas 22) Un depósito de agua tiene forma cilíndrica. El diámetro de la base es 1,8m y su altura 4,5m. Calcula el volumen del depósito y la cantidad de litros que caben en él.


57

23) Un grupo de amigos está organizando una fiesta. Para servir bebidas cuentan con jarras y vasos (ambos de forma cilíndrica). Las medidas interiores de la jarra son: diámetro 12cm y altura 25cm y las del vaso son: diámetro 6cm y altura 8cm. ¿Cuántos vasos llenos al ras, se podrán llenar con los cuatro quintos del contenido de la jarra?

VOLUMEN Y SUPERFICIE DE CUERPOS La imagen de la derecha representa un cubo dibujado en “perspectiva isométrica”. Debes tener en cuenta que las caras del cubo son cuadrados iguales entre sí.

Actividad a) Sabiendo que los cuerpos representados en las siguientes figuras están formados por

cubitos iguales, cuenta cuántos cubitos componen cada uno de ellos, si no quedó ninguno

escondido.

b)Considerando que cada cubito representa 1u3 (una unidad cúbica), expresa el volumen de

cada cuerpo.

V(F 1) =. ………… V(F 4) =. ………… V(F 7) =. …………

V(F 2) =. ………… V(F 5) =. …………

V(F 3) =. ………… V(F 6) =. …………

c) Cuenta la cantidad de caras visibles, la cantidad de caras ocultas y la cantidad total de

caras.

d) Considerando que la superficie de cada cara mide 1u2 (una unidad cuadrada), expresa la

superficie total de cada cuerpo.

S(F 1) =. ………… S(F 4) =. ………… S(F 7) =. …………

S(F 2) =. ………… S(F 5) =. …………

S(F 3) =. ………… S(F 6) =. …………

e) Compara la superficie y el volumen de los distintos cuerpos. Anota tus observaciones.

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………..


58

f) Calcula el volumen de cada cuerpo dibujado tomando como unidad de volumen dos cubitos.

Al cambiar la unidad de medida, ¿se modifica el espacio que ocupa cada cuerpo?

g) Si cambias de lugar uno o más cubitos,

� ¿puedes lograr que aumente o disminuya el volumen? Explica.

� ¿y que aumente o disminuya el área total? Explica.

h) Si agregas cubitos ¿puedes lograr que aumente el volumen y disminuya el área total?

Explica.

i) Si quitas cubitos ¿puedes lograr que aumente el área total y disminuya el volumen? Explica.


24) Calcula cuántos litros de capacidad tiene un depósito cilíndrico de 4m de altura, sabiendo que su superficie lateral es igual a la superficie de la base. 25) El siguiente sólido está formado por cubos pequeños iguales, apilados como se muestra en la figura. El volumen del sólido es de 320 cm3. ¿Cuál es el área total del cuerpo? 26) Con cubos de madera todos iguales Cristian armó esta torre de 864cm2 de superficie total. (No hay cubos ocultos) Con todos los cubos que Cristian usó se llena una caja con forma de prisma recto cuya base es un rectángulo de 16 cm de largo y 8 cm de ancho. ¿Cuál es la altura de esa caja?


59

PARA SEGUIR REPASANDO… 1) Considerando como unidad el hexágono regular de la figura, dibuja utilizando distintos

colores, 12

1y

3

2 de ella.

2) Completa con el número que corresponda.

a) En 50 gramos de manteca hay 45 gramos de grasa, entonces el porcentaje de materias grasas en la manteca es.......... %.

b) Por la compra de una camisa que costaba $…………., pago $68 porque me descuentan el 15%.

3) Calcula la altura a la que ha llegado el líquido en la probeta si el diámetro de la misma (suponiendo que su grosor es despreciable) es de 2cm. 4) Héctor cambia las bujías de su auto cada 15.000 km, el aceite cada 6000 km. y las pastillas de freno cada 25000 km. Si un día hace los tres cambios juntos, ¿después de cuántos kilómetros volverá a hacerlo simultáneamente? 5) Completa la siguiente tabla escribiendo las amplitudes de los ángulos pedidos.

α β Complemento

de β βα ˆˆ + βα ˆˆ − 2ˆ ÷α

Opuesto por el vértice

de α

Adyacente

de β

29º 35’ 6’’

87º 20’

6) Después de recibir un aumento del 20% una persona percibe un sueldo de $1440 al mes. ¿Cuál era su sueldo antes del aumento? 7) Las casas de Juan y Martín están ubicadas sobre un camino recto. La Ruta 11 corta al camino perpendicularmente a igual distancia de las casas. Una Estación de Peaje está sobre la Ruta 11 a 500 m del cruce. ¿Puede ser que la estación de peaje esté a una distancia de 400 m de la casa de Martín? ¿Por qué?

Sugerenc ia Consulta la tabla de equivalencias del anexo.


60

8) En el triángulo ABC , β es exterior a ˆABC ; δ es exterior a

ˆACB y β + δ =218° 45’ 30’’ ¿Cuánto mide el ángulo interior ˆBAC ? 9) Calcula la amplitud de los ángulos α y β.

Datos: ABCD rectángulo,

ADHA = , ε = 55º30’ 10) En el plano de una casa, realizado a escala de 1:120, queda un hueco de 5mm por 6mm en el sector correspondiente al lavadero. ¿Cabrá allí un lavarropas de 52 cm de frente por 75cm de profundidad? ¿Por qué?

11) De una hoja de papel rectangular se quiere cortar una figura formada por un semicírculo y un triángulo como muestra la figura.

a) ¿Cuál es el área del papel que se desperdicia? b) ¿Cuántos dm2 de papel se pierden? c) ¿Qué porcentaje de hoja se utilizó para construir la figura?

12) Expresa como fracción irreducible, en metros, el espesor de la tubería metálica cuya representación es la de la figura.

Para recordar… Cuando resuelvas problemas donde se hacen representaciones gráficas, no vale medir, debes resolverlo haciendo cálculos numéricos, estableciendo las relaciones posibles entre los datos.

0,9 m

80 c

m


61

13) En el supermercado, 600 gramos de chupetines cuestan lo mismo que 900 gramos de caramelos. Cada caramelo cuesta 5 centavos y cada chupetín 30 centavos. Si los chupetines pesan 8 gramos cada uno ¿Cuánto pesa un caramelo? 14) Un microscopio electrónico puede aumentar hasta 250 000 veces el tamaño de un objeto. ¿De cuántos cm se verá el diámetro de un átomo de 0,0000001mm? 15) Un negocio anuncia en la vidriera que rebaja todos los precios un 20%. Si compramos una camisa que costaba $ 40:

a) con el descuento la pagaremos.....................................................; b) el descuento es la ....................................parte del precio original; c) el precio de compra es................................del precio original.

16) En un lavadero, donde se debe pagar por adelantado el servicio, el precio de ropa a secar es de $1,60 por Kg. Cada prenda pierde al secarse un 45% de su peso. Si luego del secado el conjunto de prendas pesa 9kg, ¿cuánto se abonó por el servicio? 17) Una de las dietas macrobióticamente equilibradas requiere que cada comida esté compuesta por:

*65% de cereales *25% de vegetales cocidos * y el resto de frutas.

Si el círculo representa el plato de comida, divídelo en sectores, de modo tal que cada uno de ellos represente el porcentaje requerido. Fundamenta tu elección.

18) Para comprarse una bicicleta que cuesta $810, Laura ahorra durante 3 meses. El primer mes ahorró tres quintos del precio y el segundo mes un tercio de lo que le faltaba. ¿Cuánto deberá ahorrar el tercer mes? 19) Cintia va a la pollería, compra 2 docenas de huevos y le sobra $1,20. Pero no puede comprar 3 docenas porque le falta $3,20.

a) ¿Cuál es el precio de la docena de huevos? b) ¿Cuánto dinero llevó Cintia a la pollería?

20) En cada uno de los rectángulos ABCD, ADGH y DEFG, se cumple la siguiente propiedad: “la longitud de uno de sus lados es la mitad de la longitud del otro”. El rectángulo ABCD tiene 54cm de perímetro. Calcula el perímetro del polígono de vértices BCDEFH.


62

21) Para trasladar su producción mensual un industrial necesita 35 contenedores de base cuadrada y 2 metros de altura. El transportista le avisa que los nuevos contenedores son de base cuadrada igual a los anteriores, pero de 1,75 metros de altura. ¿Cuántos contenedores deberá utilizar este mes, si la producción se mantiene?

22) Las dimensiones de un depósito, cuya forma es la de un paralelepípedo recto, son de 5m, 9m y 4m respectivamente. Se desea guardar en dicho depósito cajas prismáticas rectangulares del mismo tamaño entre sí y de manera tal que el depósito quede totalmente cubierto con ellas. Escribe todas las dimensiones posibles para las cajas, si admitimos números enteros de metros como medidas de sus lados. 23) ¿Cuál es la longitud del largo de un rectángulo de 1,5 dm de ancho y 58 cm de perímetro?

24) En el triángulo ABC el ángulo CAB mide 30º 40’ y el ángulo CBA mide 70º. Sobre la

semirrecta AC se determina el punto D, exterior al triángulo ABC, de manera que el segmento

CD sea igual al segmento CB . Halla la medida de los ángulos interiores del triángulo DCB. 25) Dos hormigas caminan desde A hasta B.

Una recorre la semicircunferencia más grande y la otra camina por las dos semicircunferencias más pequeñas (que son iguales). Si las dos hormigas parten en el mismo momento y van ambas a la misma velocidad, ¿cuál llega primero? Justifica tu respuesta.

26) En la siguiente figura se aplicó la siguiente escala:

equivale a 1 cm. a) Calcula el área de la superficie sombreada. b) ¿Qué porcentaje representa el área de la parte sombreada respecto del área del cuadrado ABCD? 27) Del total de alumnos de una escuela de Formosa, la mitad nació en Formosa, un tercio en otra provincia argentina y los restantes son extranjeros. ¿Cuántos alumnos formoseños hay en la escuela si se sabe que son 83 los extranjeros?

Sugerencia: Ten en cuenta los divisores de cada una de las dimensiones del depósito.


63

28) Con triángulos isósceles iguales se forma la siguiente figura:

El perímetro del cuadrilátero ABCD es 39m y en cada triángulo isósceles la base BM mide las

dos terceras partes de lo que mide el lado BA . Calcula el perímetro del triángulo ABM.

29) Un rectángulo tiene 3

2m de base y 6,5 dm de altura. Calcula su perímetro y su área

expresando el resultado en 2 cm o cm según corresponda.

30) De un trapecio se conoce la longitud de su base menor que es 14

1m, la de su base mayor

que es 2m y se sabe que su altura es el doble de la base mayor. Calcula su área expresándola:

a) como fracción irreducible en 2m

b) como número decimal en 2hm

31) Las longitudes de las aristas de un prisma recto de base rectangular son 1,2m; 2,5m y

5

4m respectivamente.

a) Calcula su volumen expresándolo como fracción irreducible. b) Si este prima es utilizado como recipiente, ¿cuánto litros puede contener? 32) El triángulo ABC es rectángulo en B y tiene 48cm2 de superficie.

D es el punto medio de BC ;

AB = 8cm.

Los arcos�BC y �CD son semicircunferencias.

a) Calcula el área de la zona rayada. b) Calcula el perímetro del triángulo ADB.

33) El perímetro del trapecio isósceles ABCD es

78,50cm; AB es 3

1de la base menor y la longitud de AD es 25,2 cm. ¿Cuántos mm mide la

base mayor?

34) Escribe todos los números posibles de 2, 3 y 4 cifras que sean múltiplos de 6 utilizando solamente los dígitos 7542 −−− sin repetir.


64

35) Completa la siguiente tabla:

Diámetro d

Radio r

Longitud circunferencia de radio r

Superficie círculo de radio r

…..cm dm

5

4

……mm

…….. 2cm

dm5

6

…. cm

…….cm

..…… 2dm

…cm

…..m

18,84 m

..…… 2m

36) Una máquina vial tarda 5875 segundos en recorrer un lado de un terreno cuadrado. ¿Cuántas horas, cuántos minutos y cuántos segundos tardará esta máquina, en recorrer con la misma velocidad, los cuatro lados del terreno? 37) Un comerciante desea comprar un local edificado sobre un terreno rectangular, totalmente

cubierto, que tiene 6,75m de frente por 10m de fondo. Si el m 2 cubierto tiene un costo de $2000, a) ¿Cuál es el costo del local? b) Si el comprador debe pagar el 3% del valor del inmueble en concepto de comisión a la inmobiliaria, ¿cuánto deberá pagar por la compra del local, incluyendo los gastos de inmobiliaria? 38) Remarca con un mismo color aquellas expresiones que representan el mismo número racional

39) De 39 alumnos de un curso, 6 no aprobaron matemática. En otra división de 45 alumnos, 38, si aprobaron. ¿Qué curso tuvo mejor rendimiento? 40) ¿Se puede formar un triángulo con tres segmentos cuyas longitudes son 10cm, 7cm y 3cm respectivamente? Justifica tu respuesta. 41) ¿Cuál es el volumen de una pirámide recta de base cuadrada, sabiendo que la medida del lado de la base es 5 metros y la altura de dicha pirámide, es un 40% más larga que el lado de la base? 42) Una mesa rectangular mide 1m de ancho y 195cm de largo. Se quiere hacer un mantel que sobrepase 40cm en cada lado.

a) ¿Qué medida tendrá el largo y el ancho del mantel? b) Para terminar los bordes, se coloca, sin hacer dobladillos, una puntilla alrededor

del mantel. ¿Cuántos metros de puntilla se utilizarán? c) Para confeccionarlo se dispone de una tela de forma cuadrada de 3m de lado.

¿Qué cantidad de la misma se desperdiciará? 43) En la tienda del barrio están liquidando su mercadería y todos los precios están rebajados el 20 %. Compré un pantalón y una camisa y pagué $120.

a) ¿Cuánto hubiera pagado por la misma compra antes de la liquidación? b) Si el pantalón cuesta las dos terceras partes de la camisa, ¿cuál era el precio

original, sin descuento, de cada prenda?

4

32,40,1,

10

14,

4

5,

100

125,

8

10,250,1,4,1,25,1,

4

11


65

44) Una caja Tetra Brik tiene 4

3litros de jugo multifrutal. Se sirven 5 vasos que contienen 13cl

de jugo, cada uno. a) ¿Qué cantidad de jugo quedó en la caja? b) Si la caja es un prisma recto de base cuadrada, y se sabe que su altura mide 2 dm y el lado de la base mide 7cm. ¿Qué volumen de la misma quedó vacía después de servir el jugo?

45) Un grupo de alumnos, pertenecientes al último año de las distintas carreras, formaron un equipo de trabajo para realizar un microemprendimiento escolar que le deje un beneficio económico a la escuela. El mismo consistió en confeccionar 6 docenas de mates artesanales. Para la compra del material la Cooperadora invirtió $540. Si posteriormente vendieron a $12 cada mate:

a) ¿Qué ganancia le quedó a la escuela por cada mate vendido, teniendo en cuenta que los alumnos no cobraron la mano de obra? b) ¿Qué porcentaje representa la ganancia respecto del precio de venta?

46) Julio, el dueño del quiosco de la esquina, retira del banco $1200, para lo cual le pide al

cajero que le entregue la mitad en billetes de $100, y las 4

3partes del resto, en billetes de $50.

Como necesita monedas para dar vueltos en su quiosco, le solicita que el dinero que aún le queda se lo dé en monedas de 50 centavos. ¿Cuántos billetes de cada valor y cuántas monedas retira Julio del banco? 47) Dieguito tiene un juego de 40 cubos de madera de 2,5 cm de arista. Para que aprenda a guardar sus juguetes, su papá le confeccionó una caja con tapa, con forma de prisma recto de base rectangular, cuya altura tiene una longitud de 7,5 cm y los lados de la base miden 12 cm y 8 cm respectivamente. ¿Cuál es la mayor cantidad de cubos que podrá guardar Dieguito en la caja y cerrarla con la tapa? 48) El propietario de la parrillada El asadito sabroso ha comprado un freezer con forma de prisma recto que se abre por su parte superior. La base es un rectángulo, cuya superficie es 1,44m2. Se sabe además, que la capacidad del freezer es 1440 litros.

a) ¿Cuál es la altura del freezer? b) Para instalarlo en el local, se dispone de una superficie cuadrada de 1,20m de lado

donde se pretende apoyarlo. Si el largo de la base del freezer es 80cm, ¿cabrá en dicho espacio? ¿Por qué? 49) Completa:

48.320dm3 + 770.000cm3 + 0,2dam3 =………………… m3

0,4dm3 - 11 × 34.000 mm3 =…………………. cm3 50) Juan Ignacio quiere envasar 250 litros de aceite de oliva, 150 litros de aceite de girasol y 100 litros de aceite de maíz sin mezclarlos. Quiere utilizar el menor número posible de envases, de manera tal que todos contengan la misma cantidad de aceite.

a) ¿Cuántos envases va a utilizar? b) ¿Qué cantidad de aceite tendrá cada envase?

51) La abuela de Fernanda cuenta que su abuela hizo un largo viaje por todo el continente.

La mitad del tiempo, por tierra; después de descansar tres días, reinició la travesía en un bote, allí empleó la quinta parte del tiempo total. Esta vez necesitó descansar cuatro días para emprender la parte más breve y ardua que representó el ascenso a una montaña, que sólo le llevó la octava parte del tiempo total.


66

¿Cuántos días duró el viaje?

52) Aurora sale de su casa con $330. Gasta 1

3 en libros y después,

4

5 de lo que le quedaba

en ropa. ¿Con cuánto dinero vuelve a casa? 53) En un rectángulo, la base es 5cm más larga que la altura, y el perímetro es 7dm. Calcula el área del mismo. 54) Calcula la longitud de la circunferencia de centro 0 de la figura, sabiendo que la longitud de

AB es 6 cm, la longitud de BC es 8 cm y que BCAB ⊥ . (No vale medir)

OA

B

C

55) Se desea construir un depósito metálico con forma de prisma recto de base rectangular (sin tapa) de 2m de largo por 15dm de ancho y 1m de alto, para almacenar glicerina. a) Calcula la cantidad de planchas rectangulares de metal de 80cm por 1,40m que se necesitan comprar para construirlo, teniendo en cuenta que se venden enteras pero se pueden cortar y soldar para añadirlas como sea necesario. b) Calcula los litros de glicerina que se pueden almacenar en él, si sólo debe llenarse hasta

las 5

4 partes de su altura.

56) Completa: a) En una semana hay ……………. horas.

b) En 3 hectolitros hay ……………. centilitros.

c) 2,5 kg de carne pesan …………. gramos.

d) La cuarta parte de una bolsa llena con 240g de semillas pesa ……… kg.

e) El doble de ……………. es 71.

f) En 2

12 horas la aguja del minutero de un reloj da ……. vueltas completas y la del segundero

da ………. vueltas.

g) Con un litro y medio de jugo puedo llenar ……… vasos de 125ml

h) La mitad de un ángulo de 25º15’ mide…… º…….’……’’

i) Para llenar un recipiente de 950 cm3 se necesitan………. litros


67

Los triángulos son polígonos convexos que tienen tres lados.

Clasificación de triángulos Según sus lados Según sus ángulos

Equilátero Isósceles Escaleno Acutángulo Rectángulo Obtusángulo

Tiene los tres ángulos agudos.

Tiene un ángulo recto.

Tiene un ángulo obtuso.

Tiene los tres lados de

igual longitud.

Tiene por lo menos dos lados de

igual longitud.

Tiene los tres lados de distinta

longitud.

Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. Clasificación de cuadriláteros convexos. Cuadriláteros Casos especiales

Rombo Cuatro lados iguales

Paralelogramos Dos pares de lados paralelos

Rectángulo Cuatro ángulos iguales

Cuadrado Cuatro lados y cuatro ángulos iguales

Trapecio rectángulo Un ángulo recto

Trapecios Un solo par de lados paralelos

Trapecio isósceles El par de lados no paralelos, iguales

Trapezoides Ningún par de lados paralelos.

Romboide Dos lados consecutivos iguales y los otros dos lados también iguales y distinto a los anteriores.

Anexo


68

Clasificación de cuerpos geométricos Prisma recto Prismas Prisma oblicuo Cuerpos poliedros Tienen todas sus caras planas.

Pirámide recta

Pirámides Pirámide oblicua Cilindro recto Cilindros Cilindro oblicuo Cuerpos redondos Toda su superficie o parte de ella es curva. Cono recto

Conos

Cono oblicuo

Esfera


69


70

l

2B

l B

ˆ2.π.G.αL=

360ºL.G

A = =π.r.G2

A =π.r

A=A +A

Ap. de la pirámide


71

TABLA DE EQUIVALENCIAS

UNIDADES DE MEDICIÓN DE MASAS

Kilogramo Hectogramo Decagramo Gramo Decigramo Centigramo Miligramo

1kg 1 hg 1 dag 1g 1 dg 1 cg 1 mg

1000 g 100 g 10 g 0,1 g 0,01 g 0,001 g

1 tonelada = 1000 kg 1 quintal = 100 kg

UNIDADES DE MEDICIÓN DE CAPACIDAD

Kilolitro Hectolitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Mililitro

1 kl 1 hl 1 dal 1 l 1 dl 1 cl 1 ml

1000 l 100 l 10 l 0,1 l 0,01 l 0,001 l

UNIDADES DE MEDICIÓN DE LONGITUD

Kilómetro Hectómetro Decámetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro

1 km 1 hm 1 dam 1 m 1 dm 1 cm 1 mm

1000 m 100 m 10 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m

UNIDADES DE MEDICIÓN DE SUPERFICIE

Kilómetro cuadrado

Hectómetro cuadrado

Decámetro cuadrado

Metro cuadrado

Decímetro cuadrado

Centímetro cuadrado

Milímetro cuadrado

1 km2 1 hm2 1 dam2 1 m2 1 dm2 1 cm2 1 mm2

1.000.000 m2 10.000 m2 100 m2 0,01 m2 0,0001 m2 0,000001 m2

UNIDADES AGRARIAS/ RELACIÓN ENTRE LAS UNIDADES AGRARIAS Y DE ÁREA

Hectárea (ha)

Área (a)

Centiárea (ca)

1 ha = 1 hm2 1 a = 1 dam2 1 ca = 1 m2

UNIDADES DE MEDICIÓN DE VOLUMEN

Kilómetro cúbico

Hectómetro cúbico

Decámetro cúbico

Metro cúbico

Decímetro cúbico

Centímetro cúbico

Milímetro cúbico

1 km3 1 hm3 1dam3 1 m3 1 dm3 1 cm3 1 mm3

1.000.000.000 m3 1.000.000 m3 1.000 m3 0,001 m3 0,000001 m3 0,000000001 m3

RELACIÓN ENTRE LAS UNIDADES DE CAPACIDAD Y VOLUMEN

1 kl 1 l 1 ml

1 m3 1 dm3 1 cm3


72

Imágenes para actividad: Teorema de Pitágoras

Imágenes extraídas de http://teoremadepitagoraslunastephanie.blogspot.com.ar/p/demostraciones-del-teorema-de-

pitagoras.html


73

RESPUESTAS DE LAS ACTIVIDADES

I: Números Racionales no negativos

1- Cada 4 metros, 46 estacas

2- Se encontrarán después de 120 días, esto es el 10 de julio

3- Tiene 12 divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84

4- Tiene 12 opciones.

5- 1392-1932-3192-3912-9312-9132

6- 98

7- m = 4 8- 24

a)V b) V

c) F d) V

e) V f) V

9-

g) F

10- 31

11- a)120seg b) 16 veces

12- Martín descarga los últimos 4 ladrillos 13- 1440

FRACCIONES

14- a) 4

1 b)

4

1 c)

6

1

15- 8

5;

16

10 ;

24

15

16- Las figuras son: 1ra – 2da.- 4ta- 6ta

a)

b)

17-

c)

d)

18-

Si, porque:


74

19- a) 7

4 b) 25% c) Entran 5

20- 5

3

4

1 < )a 9

12

7

10 > )b 5

265 < )c

5

6

6

5 < )d

21- a)7

41 b)

18

11

22- a) A 3

1le faltan

3

2 para una unidad: 1 -

3

1=

3

2. Y

5

3 para dos unidades: 2 -

3

1=

5

3.

b) A 4

5 le faltan

4

3 para llegar a 2 unidades: 2 -

4

5=

4

3

c) A 5

2 le faltan

5

13para llegar a 3 unidades: 3 -

5

2=

5

13

23- a) 2 b)18

1 c)

4

15

24- a) 7

10 Operación:

10

7

5

7

2

1 =⋅ ; 14

15 operación:

15

14

5

7

3

2 =⋅

b) Hay 8 cuartos en 2 Kg. Operación: 1

2 : 2.4 84

= =

c) 5 botellas. Operación: 1 25 50

2,5 : .2 52 10 10

= = =

EXPRESIONES DECIMALES

a) Desciende el platillo que contiene azúcar.

b) Desciende el platillo que contiene la pesa.

c) Platillos a la misma altura.

25-

d) Desciende el platillo que contiene las pesas.

26- 2 0,25 211

4

3

4

5

4

7

1 4

9

4

2

a) Mal 502

1,= b) Mal

4

3

4

9 = c) Mal ( ) 96141 2 ,, = 27-

d) Bien

e) Mal 2+ 4: 8623

2 =+= f) Mal 15

19

5

3

3

2 =+

28- a) 6

7 b)

5

54 c) 1 d)

5

8 e)

5

8 f) 4


75

II: Proporcionalidad entre magnitudes

a) 1.337.925 habitantes 1-

b) La provincia más poblada es Tucumán, ya que la densidad poblacional de Santa Fe es 22,56 hab/km2

a) 1 taza de harina

b) 6 huevos

2-

c) 2,5 litros de leche

3-

Precio($) 0,4 0,96 3 3,2 Peso(kg) 0,5 1,2 3,75 4

4- No son directamente proporcionales ya que 6 21

12 40≠ .

5- Sí, ya que el perímetro de un cuadrado es 4. l , luego la razón de proporción entre el perímetro y el lado es constante e igual a 4.

6- a) 1: 5.000.000 b) 8 cm c) 240km

7- La longitud del puente es 600m.

8- No, porque aumenta el 26,5 %.

29-

a b 2b3 a + 2b 3a

3 a - b

a

4 1,5 4

27 7 12

2

21 2

4

1

5

2

125

16

20

21

4

3

20

7

2

1

4

9 3 54

4

33 6

4

3

4

15

2

3

+ 5

3 2 0,5 0

5

1

5

4

5

11

10

7

5

1

5

17 4

5

27

10

39

5

17

2

1

10

11

2

5 1

2

1


76

III: Figuras geométricas en el plano

1- IV) ''10'25º32ˆˆ == πα ''50'34º57ˆˆ == ωβ

''50'34º147ˆ =µ ''10'25º122ˆ =δ

2- a)

b)

c) Por ejemplo d) Por ejemplo

3- Sugerencia: recuerda la definición de mediatriz de un segmento.

4- Sugerencia: recuerda la definición de bisectriz de un ángulo.

5-d En todos los casos las bisectrices forman un ángulo recto.

6-

7- a) siempre b) a veces c) siempre d) a veces e) nunca

9- a) 90º b) 90º c) 45º

10-

α β βα ˆˆ + βα ˆˆ − α3 ⋅ 2ˆ ÷β

80º 15´ 55º 135º 15´ 25º 15´ 240º 45´ 27º 30´ 40º 20´ 50” 20º 60º 20´ 50´´ 20º 20´ 50” 121º 2´30” 10º

20º 10´ 18º 38º 10´ 2º 10´ 60º 30´ 9º

11-

( )αβ ˆˆ2 −⋅

Complemento

de β

Suplemento

de ( )βα ˆˆ +

Suplemento

de ( )αβ ˆˆ −

74º 28´ 58” 23º 59´31” 85º 13´31” 142º 45´31”

12- 144º


77

13- 2h 11min 40seg.

14- a) º110ˆ =α , º70ˆ =β b) '30º67ˆ =ω , '30º22ˆ =ξ

15- a) 162º 51’ 30” y 17º 8’ 30” b) 18º y 72º

16- α = 64º 39’

17- º30ˆ =α º15ˆ =β

IV: Otras figuras planas.

TRIÁNGULOS

1- No es posible porque la suma de los lados que miden 5cm y 4cm no es mayor al tercer lado de 10cm.

4- 2 triángulos

6- 50 metros.

CUADRILÁTEROS

7- Las afirmaciones de María, Lorena y Ana son verdaderas y la de Juan es falsa

8- El cuadrilátero queda formado por un triángulo rectángulo MNR y un triángulo isósceles ROM.

9- Dos ángulos opuestos tienen una amplitud 60º cada uno y los otros dos tienen una amplitud de 120º c/u.

10- En el cuadrilátero ACEF: º120ˆ =ECA º90ˆˆ =≅ AFEFEC º60ˆ =CAF

En el cuadrilátero ADEF: º150ˆ =EDA º90ˆˆ =≅ AFEFED º30ˆ =DAF

MEDIDA. PERÍMETRO

11-

12- 51,70cm

13- Hay tres triángulos que cumplen esas condiciones: equilátero (isósceles): 3, 3, 3. Isósceles: 4, 4, 1. Escaleno: 3, 2, 4.

14- 36cm

15- El perímetro es de 42cm

16- La longitud de los lados son 17cm y 34cm

17- El lado BC mide 12cm.

a) La distancia es aproximadamente 1570m. 18-

b) La rueda trasera dio 5000 vueltas.


78

SUPERFICIE

19- Figura 4) tiene área distinta.

a) Área= 160,14 cm2 Perim = 106,76 cm 20-

b) Área = 18 cm2 Perim = 40.9 cm

21- Se pueden obtener 70 tarjetas

a) El pueblo tiene 200 manzanas 22-

b) La afirmación es falsa

23- El ancho del salón es de 3m

24- El perímetro del área sombreada es aproximadamente 37,68 cm y su área es aproximadamente 42,39 cm2.

25- a) 1,50m b) 2,17m c) 9

5

V: Cuerpos Poliedros y Redondos

2- Prisma Pirámide Ni prisma ni

pirámide Recto Oblicuo Recta oblicua 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X

3- Faltan 51 cubitos.

4-

5- a) cuadrado b) cuadrado c) rectángulo d)triángulo equilátero

a) Pentágono regular. 15 aristas y 10 vértices.

c) 12 aristas y 7 vértices. 6-

b)

d) Dos, ya que los círculos correspondientes a las bases pueden encontrarse sobre el lado que mide 8cm o sobre el que mide 10cm.

a) 6 b) 1 c) 5 8-

d) 4 e) 3 f) 2


79

9- 106,76 cm2

10- Arista: 5cm

11- Las aristas de la base miden 13cm y la apotema mide 8,5cm

12- 153,86 cm2

13- 511 407 542,2 Km2

14- 0,5652m2

15- 113,04 cm2

VOLUMEN

Para seguir repasando…

1-

2- a) 90% b) 80%

3- 31,85cm

4- Coinciden a los 150.000km

5- β= 2o 40´ ; α+ β= 32o15´6´´; α- β= 26o55´6´´; α:2= 14o47´33´´ ; opuesto por el vértice de

a) 8 cubos b) 8 cubos c) 12 cubos

16-

d) 12 cubos e) 24 cubos f) 36 cubos

17- a) 12 cm3 = 0,012 dm3 b) 628cm3= 0,628dm3 c)18cm3 = 0,018dm3

18- Cada arista mide 20cm. El volumen es 8000cm3

19- a) 339,12cm3 b) 753,6cm3 c) 87,92cm3

20- a) 64cm3 b) 30cm3

21- a) 147,45cm3 b) 133,68cm3

22- El volumen es 11,4453m3 y entran 11445,3 litros de agua

23- 10 vasos

24- 803.840 litros

25- El área total del cuerpo es 336 cm 2.

26- La altura de la caja es de 8 cm


80

α= 29o35´6´´; adyacente de β= 177o20´

6- $1200

7- No, porque la hipotenusa de un triángulo rectángulo no puede tener menor longitud que un

cateto.

8- ''30'45°38=A

9- == βα ˆˆ 17° 15’

10- No, porque las dimensiones del hueco del lavadero son de 60 cm y 72 cm.

11- El área de papel desperdiciada es 26,88 dm2 .El porcentaje de hoja utilizada es 62,67 %.

12-250

1m

13- Cada caramelo pesa 2 gr.

14- Se verá de 0,0025 cm.

15- a) $ 32 b) quinta c) el 80 % o los 54

.

16- $26,20.

17-

10%

25%

65%

frutas

vegetales cocidos

cereales

18- Deberá ahorrar $216.

19- a) La docena cuesta $ 4,40 b) Llevó $10

20- El perímetro es 270 cm

21- 40 contenedores. 22- Hay 18 posibilidades: (1-1-1) (1-1-2) (1-1-3) (1-1-4) (1-1-9) (1-4-3) (1-9-4)

(2-1-3) (2-9-1) (5-1-1) (5-1-2) (5-1-3) (5-3-2) (5-4-1)

(5-4-3) (5-9-1) (5-9-2) (9-5-4)

23- 14cm.

24- DCB = 100º40’, == CDBCBD 39º40’

25- Las dos hormigas llegan al mismo tiempo.

26- a) La superficie de la parte sombreada es 32 cm2.


81

b) Representa el 50%.

27- Hay 249 alumnos formoseños. 28- 12m. 29- a) Perímetro: 430cm; Área: 9.750cm2.

30- a) 2

2

13m b) 0,00065 2

hm

31- a) 3

5

12m b) 2400 l

32- a) El área de la zona rayada es aprox. 66,39 cm2; b) El perímetro del triángulo ADB es 24cm 33- 365mm 34- 24 – 42 – 72 – 54 – 5472 – 5742 – 5274 – 5724 – 7452 – 7542 – 7254 – 7524 – 2574 – 2754 – 4572 – 4752. 35- Diám. Radio Long. Circunf. Sup. círculo

16 cm dm5

4 502,4 mm 200,96 2

cm

dm5

6 6 cm 37,68 cm 1,1304 2

dm

600cm 3 m 18,84 m 28,26 2m

36- 6h 31 min 40 s 37- a) $135.000, b) $139.050

38- 4

32

4

11 = ; 1,25=1,250=8

10

4

5

100

125 == ; 1,4=1,40=10

14

39- El curso de 39 alumnos. 40- No, ya que las longitudes de los segmentos no cumplen con una de las propiedades de los lados de un triángulo (por ejemplo, el lado de 10cm no es menor que la suma de los otros dos). 41- 58,33m3

42- a) Largo: 275cm; ancho: 180cm b) 9,10m c) 4,05m 2 43- a) $150 b) Camisa: $90; pantalón: $60.

44- a) 10cl = 0,1 l = 1dl b) 880cm 3 = 0,88 3dm

45- a) La ganancia por mate vendido es $4,50. b) La ganancia representa el 37,5% del precio de venta. 46- Retira 6 billetes de $100, 9 billetes de $50 y 300 monedas de 50 centavos.


82

47- 36 cubos. 48- a) 1m b) No, porque el ancho del freezer es 1,8 m. 49- 249,09m3 26 cm3 50- a) 10 envases b) 50 litros cada uno. 51- 40 días. 52- $44 53) 300 cm2 54) 31,4cm. 55) a) Se necesitan comprar 9 planchas rectangulares. b) Se pueden almacenar 2400 litros de glicerina.

56) a) En una semana hay 168 horas.

b) En 3 hectolitros hay 30000 centilitros.

c) 2,5 kg de carne pesan 2500 gramos.

d) La cuarta parte de una bolsa llena con 240g de semillas pesa 0,06 kg.

e) El doble de 35,5 es 71.

f) En 2

12 horas la aguja del minutero de un reloj da 2 vueltas completas y la del segundero da

150 vueltas.

g) Con un litro y medio de jugo puedo llenar 12 vasos de 125ml

h) La mitad de un ángulo de 25º15’ mide 12º 37’ 30’’

i) Para llenar un recipiente de 950 cm3 se necesitan 0,95 litros


83

BIBLIOGRAFÍA PARA EL ALUMNO

Si necesitas consultar o ampliar conceptos, puedes recurrir a:

• AURUCIS, P. Y OTROS. Matemática 7. Tinta Fresca. Buenos Aires. 2004

• AURUCIS, P. Y OTROS. Matemática 8. Tinta Fresca. Buenos Aires. 2004

• LÓPEZ Y PELLET. Matemática en red 8. EGB 3er ciclo. Editorial A-Z. Buenos Aires.,

2000.

• R. ALONSO Y OTROS. Matemática 7 EGB. Santillana. 1997

• SEMINO, ENGLEBERT Y PEDEMONTI. Matemática 8 EGB. Editorial A-Z. 1997.

• SEMINO, ENGLEBERT Y PEDEMONTI. Matemática 9 EGB. Editorial A-Z. 1997.

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA PARA LA ELABORACIÓN DEL MAT ERIAL

• ANDRÉS Y OTROS. Matemática 9 EGB. Editorial Santillana. 2001

• ANDRÉS Y OTROS. Matemática 6. Editorial Santillana. 2004

• DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DE LA ESCUELA INDUSTRIAL SUPERIOR.

Curso de apoyo ingresantes a primer año - 2010 – Matemática –.

• GARAVENTA Y OTROS. Carpeta de 8vo, cuadernillos 2, 3, 4 y 5. Editorial Aique. 2001

• http://www.ceibal.edu.uy/contenidos/areas_conocimiento/mat/midiendocapacidades/me

didas_de_capacidad_y_volumen.html 03/07/2012

• http://www.iesprofesorjuanbautista.es/IMG/pdf_12-Volumenes.pdf 03/07/2012 • KACZOR. Matemática EGB 8. Editorial Santillana. 2002.

• LAROTONDA Y OTROS. Matemática 8 EGB. Editorial Kapelusz. 1997.

• LATORRE Y OTROS. Matemática 9 EGB. Editorial Santillana. 1998



• M. C DE MOCCHIUTTI Y M. C. P DE ACÁNFORA GRECO. Curso de apoyo

ingresantes a primer año 1995 – Matemática – Escuela Industrial Superior.

• M.CASTAGNOLA, G. SAUCEDO, A. MARZIONI. Curso de apoyo ingresantes a 8º

EGB - 2001 – Matemática – Escuela Industrial Superior.

• Matemática EGB1. Para seguir aprendiendo. Material para el alumno. Ministerio de

Educación – educ.ar. 2001

• Matemática EGB2. Para seguir aprendiendo. Material para el alumno. Ministerio de

Educación – educ.ar. 2001.

• PARDO DE SANDE. Didáctica de la Matemática para la Escuela Primaria. Ateneo.

1992.

• RODRIGUEZ Y OTRO. Matemática 8vo EGB. Editorial Mc Graw Hill. 1998

• ROJO Y OTROS. Ejercicios y Problemas de Matemática. Editorial El Ateneo. 1981

• S. ALTMAN y Otros. Matemática Polimodal Probabilidad y Estadística. Ed. Longseller.

2001


95

Documents

Universidad Nacional del Litoral Escuela Industrial Superior Ingreso