UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ … · GRADO DE PRIMARIA EN INSTITUCIONES EDUCATIVAS ... Objetivos 94 A. Objetivo ... Ejemplos de representación concreta Modelo Chirinos

UNIVERSIDAD NACIONAL

JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN

ESCUELA DE POST GRADO

DOCTORADO EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

UTILIZACIÓN DE LA YUPANA COMO MATERIAL DIDÁCTICO EN

LA ENSEÑANZA DE MATEMÁTICA EN ALUMNOS SEGUNDO

GRADO DE PRIMARIA EN INSTITUCIONES EDUCATIVAS

DE HUACHO EN EL PERÍODO 2012

Tesis presentada por:

Ricardo Vilchez Chumacero

Para optar el Grado de Doctor en

Ciencias de la Educación

HUACHO – PERÚ

2013

Vilchez Chumacero, Ricardo

2

ÍNDICE

Pág

INTRODUCCIÓN 2

CAPÍTULO I: MARCO TEÓRICO 4

1.1. BASES FILOSÓFICAS 5

1.2. BASES HISTÓRICAS 7

1.3. EL MATERIAL DIDÁCTICO 10

1.3.1. Conceptos 10

1.3.2. La importancia del material didáctico 12

1.3.3. Tipología de los materiales didácticos 13

1.3.4. El material didáctico manipulativo 13

1.3.5. Criterios para la elaboración del material didáctico 15

1.4. YUPANA 15

1.4.1. Etimología 15

1.4.2. Definición 15

1.4.3. Yupana en la actualidad 17

1.4.4. Yupana y quipus 18

1.4.5. Yupana Nueva Corónica (NC) 19

1.5. MODELOS DE YUPANA DEL LIBRO El Primer Nueva Corónica

y Buen Gobierno

1.5.1. Modelo Wassén (NC1) 22

1.5.2. Modelo Burns (NC2) 24

A. Suma 27

B. Resta 29

C. Multiplicación 30

D. División 34

1.5.3. Modelo Radicati (NC3) 38

A. Suma 38

B. Resta 40


1.5.4. Modelo Ansión (NC4) 43

A. Suma 44

B. Resta 46


3


D. División 51

1.5.5. Modelo Pereyra (NC5) 52

A. Suma 53

B. Resta 54


1.5.6. Modelo Rivas (NC6) 59

1.5.7. Modelo Chirinos (NC7) 61

A. Suma (Aumentar, resumir y convertir en suma) 67

B. Resta (Extender, convertir y quitar en la resta) 69


D. División 69

1.5.8. Modelo Moscovich (NC8) 73

A. Suma 79

B. Multiplicación 82

C. Resta 83

D. División 84

1.6. YUPANAS EXSUL INMERITUS (EI-1, EI-2, EI-3, EI-4) 85

CAPÍTULO II: MATERIALES Y MÉTODOS 92

2.1. EL DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN 92

2.1.1. Justificación 92

2.1.2. Objetivos 94

A. Objetivo general 94

B. Objetivos específicos 94

2.1.3. Hipótesis 95

2.2. DISEÑO Y DESARROLLO DE LA INVESTIGACIÓN 96

2.2.1. Diseño metodológico de la investigación 96

A. Enfoque de la investigación 97

B. Diseño de la investigación 97

C. Población y muestra 99

2.3. EL DESARROLLO DEL ESTUDIO 100

2.3.1. Institución Educativa 1 100



4


2.4. TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DE LA RECOLECCIÓN DE DATOS

2.4.1. Cuestionario ECE 102

2.4.2. Cuestionario SUS 103

2.5. VALIDEZ DE LOS INSTRUMENTOS 103

2.6. CONFIABILIDAD DE INSTRUMENTOS 104

2.7. APLICACIÓN Y CORRECCIÓN DE LA PRUEBA ECE 106

2.7.1. Aplicación de Prueba ECE 106

2.7.2. Corrección de las pruebas 106

2.7.3. Significado de las puntuaciones 107

A. Descripciones del Bloque B1 107

B. Descripciones del Bloque B2 107

2.7.4. Significado de las puntuaciones de SUS 107

2.8. ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE LOS DATOS 108

2.9. PROPUESTA DEL MATERIAL DIDÁCTICO YUPANA 109

2.9.1. Material Didáctico Yupana 109

A. Descripción y Diseño 109

B. Logros de Aprendizaje 110

C. Modelos Derivados del Material Didáctico Yupana 110

2.9.2. Aplicaciones de La Yupana como Material Didáctico 111

A. Representación de numerales con la yupana 111

B. Suma usando el material didáctico yupana 113

CAPÍTULO III: RESULTADOS 127

3.1. DESCRIPCIÓN DE LA MUESTRA 128

3.1.1. Por Institución Educativa 128

3.1.2. Por grupo experimental 128

3.2. RESULTADOS DEL TEST ECE 129

3.2.1. GRUPO CONTROL PRE-TEST 129

A. BLOQUE B1 130

B. BLOQUE B2 130

3.2.2. GRUPO CONTROL POST-TEST 131

A. BLOQUE B1 131

B. BLOQUE B2 132


5

3.2.3. GRUPO EXPERIMENTAL PRE-TEST 133

A. BLOQUE B1 133

B. BLOQUE B2 134

3.2.4. GRUPO EXPERIMENTAL POST-TEST 134

A. BLOQUE B1 135

B. BLOQUE B2 135

3.3. ANÁLISIS 136

3.3.1. PRUEBA ECE 136

A. Hipótesis de Investigación ECE 137

B. Planteamiento de la Hipótesis ECE 138

3.4. RESULTADOS POR GRUPO 138

3.5. RESULTADOS POR BLOQUES 141

3.5.1. Bloque B1 141

3.5.2. Bloque B2 143

3.6. RESULTADOS DE CUESTIONARIO SUS 145

CAPITULO IV: DISCUSIÓN 148

CONCLUSIONES 151

RECOMENDACIONES 152

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 153

ANEXOS

ANEXO 1. Asistencia de alumnos durante la investigación 156

ANEXO 2. Tablas de recogida de datos cuantitativos por grupo 157

ANEXO 3. Tablas de frecuencia 161

ANEXO 4. Cálculo DE “Z” 165

ANEXO 5. Test SUS 168

ANEXO 6. Diseño de yupana 171

ANEXO 7. Fotografías de yupanas 172

Operaciones con la Yupana

Instrumento ECE-2011 Matemática Cuadernillo 1

Instrumento ECE-2011 Matemática Cuadernillo 2


6

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1.1. Página 360 de Nueva Corónica 20

Figura 1.2. Yupana del libro El Primer Nueva Corónica y Buen Gobierno 22

Figura 1.3. Yupana Wassén y el valor de los nudos de quipu. 23

Figura 1.4. Yupana modelo Burns 24

Figura 1.5. Representación de números de 1 a 10 25

Figura 1.6. Ejemplos de representación de números modelo Burns 26

Figura 1.7. Proceso de memoria de Burns 27

Figura 1.8. Proceso inverso de memoria de Burns 27

Figura 1.9. Proceso suma 629 + 582 modelo Burns 27

Figura 1.10: Resta 135 – 91 modelo Burns 29

Figura 1.11. Tabla de apoyo de multiplicación modelo Burns 33

Figura 1.12. Proceso de multiplicación modelo Burns 33

Figura 1.13. Esquema de la división modelo Burns 34

Figura 1.14. Operación de la división modelo Burns 35

Figura 1.15. Proceso de la división modelo Burns 35

Figura 1.16. Tabla de Apoyo de división modelo Burns 36

Figura 1.17. Proceso de división (1) modelo Burns 36

Figura 1.18. Proceso de división (2) modelo Burns 37

Figura 1.19. Suma del modelo Radicati 39

Figura 1.20. Proceso de simplificación (I) y Modelo Grande de Radicati (II) 40

Figura 1.21. Proceso de resta Radicati 41

Figura 1.22. Proceso de multiplicación Radicati 42

Figura 1.23. Modelo Ansión de yupana 44

Figura 1.24. Número 3593 Ansión 44

Figura 1.25. Suma, traslado y simplificación de fichas Ansión 45

Figura 1.26. Simplificación en una resta Ansión 46

Figura 1.27. Ejemplo 9 x 5 simplificando el resultado pasando a la fila

superior Ansión 47

Figura 1.28. Proceso de multiplicación Ansión 48

Figura 1.29. Lo que se lee 6216 Ansión 49

Figura 1.30. Multiplicando 139x20 50

Figura 1.31. Multiplicando 139 x5 Ansión 50


7

Figura 1.32. Proceso de división Ansión(1) 51



Figura 1.35. Modelo Pereyra(I) y representación de numerales 352 y

6394 (II) 52

Figura 1.36. Ejemplos de reducciones Pereyra 53

Figura 1.37. Sumar 352 y 6394 Pereyra 54

Figura 1.38. Resta de 25 menos 14 Pereyra 55



Figura 1.41. Tabla de multiplicar Pereyra 56

Figura 1.42. Multiplicación por 10 y 100 Pereyra 57

Figura 1.43. Multiplicación por 10 y luego por 2 Pereyra 58

Figura 1.44. Multiplicación por 5 Pereyra 58

Figura 1.45. Resultado de la multiplicación Pereyra 58

Figura 1.46. Valores de la primera columna modelo Rivas 59

Figura 1.47 Armazón de un quipu obtenido de la yupana modelo Rivas 60

Figura 1.48. Modelo Rivas y valores en un quipu 60

Figura 1.49. Valor máximo del Modelo Rivas y su traslado al quipu 61

Figura 1.50. Valores del Modelo Chirinos 62

Figura 1.51. Valores de segunda fila por columnas y cuadrantes Modelo

Chirinos 62

Figura 1.52. Valores de la segunda fila por partes Modelo Chirinos 63

Figura 1.53. Casillero central y emparejado de la segunda fila Modelo

Chirinos 63

Figura 1.54. Ejemplo de representación pareada y despareada Modelo

Chirinos 64

Figura 1.55. Valores usados en la representación concreta Modelo

Chirinos 65

Figura 1.56. Representación “concreta” de números 1, 2, 3, 4, 5 y 6

Modelo Chirinos 65

Figura 1.57. Representación “concreta” de números 7, 8, 9 y 10 Modelo

Chirinos 65

Figura 1.58. Ejemplos de representación concreta Modelo Chirinos 66


8

Figura 1.59. Forma de representar 9999 con “piedritas” en el suelo

usando piedras guía 67

Figura 1.60. Guías para la suma Modelo Chirinos 68

Figura 1.61. Proceso de suma Modelo Chirinos 69

Figura 1.62. Extender 50 y Restamos 5 Modelo Chirinos 66

Figura 1.63. Guías para la resta en yupana Modelo Chirinos 70

Figura 1.64. Multiplicación de 316 x 4 Modelo Chirinos 71

Figura 1.65. Guías para la división de la yupana Modelo Chirinos 72

Figura 1.66. Ejemplo de la División desarrollado en gráfico Modelo

Chirinos 73

Figura 1.67. Modelo Moscovich 75

Figura 1.68. Primera fila del Modelo Moscovich 78

Figura 1.69. Cantidad de hoyos de cada fila y columna Modelo

Moscovich 79

Figura 1.70. Esquematización de la yupana para el cálculo sagrado de

Sumac Ñusta 86

Figura 1.71. Quipu para registrar cálculos holísticos para alcanzar el

número de Sumac Ñusta (5 o múltiplos) 86

Figura 1.72. Esquematización de la yupana para multiplicaciones 88

Figura 1.73. Esquema del quipu de los ceques y de la respectiva yupana 90

Figura 1.74. Esquematización de yupana para el cálculo sagrado canto

Pachamama 91

Figura 2.1. Esquema del diseño de la investigación 98

Figura 2.2. Matriz de Análisis de Juicio de Expertos 104

Figura 2.3. Propiedades Psicométricas ECE 2011 105

Figura 2.4. Modelos del material didáctico yupana 111

Figura 2.5. Representación de los numerales en la yupana Y1 112

Figura 2.6. Representación de la desigualdad en la yupana Y1 112

Figura 2.7. Representación de la desigualdad en la yupana Y1 113

Figura 2.8. Representación de una igualdad en la yupana Y1 113

Figura 2.9. Representación de numerales de dos cifras en la yupana Y2 113

Figura 2.10. Representación de numerales de tres cifras en la yupana Y3 114

Figura 2.11. Representación de numerales de cuatro cifras en la yupana

Y4 114


9

Figura 2.12. Representación de numerales de cinco cifras en la yupana

Y5 114

Figura 2.13. Comparación de numerales de hasta cinco cifras 115

Figura 2.14. Escribir numerales de una cifra en la yupana Y1 115

Figura 2.15. Escribir <, > ó = en la yupana Y1 116

Figura 2.16. Representación de numerales en la yupana 116

Figura 2.17. Representación de dos sumandos en la yupana Y1 117

Figura 2.18. Operación de suma en la yupana Y1 (1) 117



Figura 2.21. Resultado de operación de suma en la yupana Y1 118

Figura 2.22. Numerales de dos cifras en la yupana Y2 118





Figura 2.27. Numerales de dos cifras para suma “llevando” en la yupana

Y2 120

Figura 2.28. Operación de suma “llevando” en la yupana Y2 (1) 120




Figura 2.32. Resultado de operación de suma “llevando” en la yupana Y2 121

Figura 2.33. Numerales de tres cifras para suma en la yupana Y3 121







Figura 2.40. Numerales de tres cifras para suma “llevando” en la yupana

Y3 123




10




Figura 2.46. Resultado de operación de suma “llevando” en la yupana Y3 126

Figura 3.1. Valores de Z de Prueba ECE 140

Figura 3.2. Valores de Z de Bloque B1 143

Figura 3.3. Valores de Z de Bloque B2 145

Figura 3.4. Escala Likert del Cuestionario SUS 147

ÍNDICE DE GRÁFICOS

Gráfico 3.1. Descripción de la muestra por Institución educativa 128

Gráfico 3.2. Descripción de la muestra por grupo experimental 128

Gráfico 3.3: Descripción del Grupo Control por puntuación Pre-test 129

Gráfico 3.4. Descripción del Grupo Control por puntuación Pre-test en el

bloque B1 130

Gráfico 3.5. Descripción del Grupo Control por puntuación Post-test en el

Bloque B2 130

Gráfico 3.6. Descripción del Grupo Control por Puntuación Post-test 131


Bloque B1 131


Bloque B2 132

Gráfico 3.9. Descripción del Grupo Experimental por puntuación Pre-test

132

Gráfico 3.10. Descripción Grupo Experimental por puntuación Pre-test en

bloque B1 133

Gráfico 3.11. Descripción Grupo Experimental Post-test en el Bloque B2

133

Gráfico 3.12. Descripción del Grupo Experimental por Puntuación

Post-test 134

Gráfico 3.13. Descripción Grupo Experimental por puntuación Post-test

en Bloque B1 134

Gráfico 3.14. Descripción Grupo Experimental por puntuación Post-test


11

en Bloque B2 135

Gráfico 3.15. Descripción del Grupo de docentes por puntuación del

Test SUS 146

ÍNDICE DE DIAGRAMAS

Diagrama 3.1. Comparación de las medias pre(1)-post(2) en grupos

de estudio 138

Diagrama 3.2. Comparación de las medias pre(1)-post(2) en ambos

grupos 142

Diagrama 3.3. Comparación de las medias pre(1) y post(2) en ambos

grupos 143

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 3.1. Resultados de la Prueba ECE 2011 por grupos de estudio 139

Tabla 3.2: Medias de los puntajes del bloque B1 142

Tabla 3.3: Medias de los puntajes del bloque B2 144


12

INTRODUCCIÓN

Las fuentes en el estudio de la yupana la constituyen dos libros: la primera

fuente es El Primer Nueva Corónica y Buen Gobierno tomada como base por

varios autores y proponen ocho modelos de yupanas. Por otro lado el libro

Exsul Inmeritus Blas Valera Populo Suo e Historia et Rudimenta Linguae

Piruanorum presenta cuatro yupanas.

Dentro del estudio de la yupana del libro El Primer Nueva Corónica y Buen

Gobierno se consideran los modelos de Wassen (1990), Radicati (2006), Burns

(2002), Ansión (1990), Pereyra (1990), Rivas (2010), Chirinos (2010),

Moscovich (2007). En esta tesis se analizan los algoritmos de cada autor de las

operaciones aritméticas de los ocho modelos y los valores que proponen para

cada fila, columna, casillero y circulo de la yupana de la página 360 mostrando

al contador del Tahuantinsuyo sosteniendo un quipu sin nudos, debajo del cual

una yupana de 20 casillas.

El libro Exsul Inmeritus Blas Valera Populo Suo e Historia et Rudimenta

Linguae Piruanorum muestra cuatro yupanas Suma Ñusta (20 casillas),

Multiplicar (25 casillas), Ceques (20 casillas) y Pachamama (30 casillas).

Emplea piedrecillas de colores diferentes para los órdenes del sistema decimal

(unidades, decenas, centenas, millares, unidades de millar). Menciona la suma

y resta, mostrando un esquema de yupana para multiplicaciones.

Este trabajo tiene como propósito hacer un análisis y diseño del material

didáctico yupana, utilizando el modelo Radicati en la representación de

numerales y las operaciones de suma y resta, ahora puede realizar importantes

aportes cuando se los utiliza en las clases de matemática de la Educación


13

Primaria como material didáctico concreto. Además interesa reconocer las

habilidades matemáticas que tales materiales permiten desarrollar al ser

aplicados. Para la construcción de yupanas se utilizó Etileno Vinil Acetato

(EVA), sus características son: fácil de pegar, cortar y pintar, baja absorción de

agua, es lavable, no es tóxico, no es dañino al medio ambiente y se puede

reciclar o incinerar.

En concreto, el aporte de nuestro estudio, consiste en la aplicación de material

didáctico concreto yupana, y verificar si mejora la enseñanza de matemática,

con alumnos de segundo grado de Educación Primaria y la usabilidad de la

yupana en profesores de educación primaria. En este marco de ideas surge las

siguiente interrogante: ¿El material didáctico yupana apoya la enseñanza de

matemática en el segundo grado de educación primaria?

La aplicación del material didáctico concreto yupana contribuye a aumentar la

atención y la concentración, a la mejora del razonamiento lógico, memoria,

percepción, discriminación, creatividad, expresión verbal, imaginación e

intuición; fundamenta y refuerza los hábitos de estudio, se potencian del cálculo

numérico, análisis y síntesis. Asimismo el tema elegido está muy poco

estudiado y faltan referencias bibliográficas como material didáctico.

Todas las razones expuestas anteriormente, me han llevado a la realización del

trabajo de investigación para la mejora metodológica de la enseñanza de

matemática utilizando material didáctico con código del Perú antiguo, dirigido a

la mejora de la enseñanza de matemática.


14

CAPÍTULO I

MARCO TEÓRICO

En un inicio la filosofía y la matemática están relacionadas, sus tendencias son

analizadas por diferentes autores, asimismo la ciencia, tecnología y

construcción de los números. Se hace un estudio por la Cultura del

Tahuantinsuyo, su economía, los sistemas de notación inca. Asimismo el

sistema educativo en el Tahuantinsuyo abarca: escuelas, los maestros, la

geometría y aritmética, sistemas de medición y ordenamiento demográfico.

Los depósitos de alimentos en el Tahuantinsuyo eran un seguro de

supervivencia, una posibilidad de afrontar los desastres climáticos, pero al

mismo tiempo surgía la necesidad de conocer los montos de las especies

reunidas, hacía falta contabilizar las existencias, conocer las cifras exactas de

las materias guardadas. Los quipus constituyeron un sistema basado en

cuerdas anudadas, mediante las cuales se registraron información cuantitativa

y cualitativa. En el caso de la información numérica, las operaciones

matemáticas eran realizadas en yupanas. Estos podían ser de piedra tallada o

de barro, tenían casilleros que correspondían a las unidades decimales y se

contaba con la ayuda de piedrecillas o granos de maíz o quinua.

La yupana, podrían utilizarse en la actualidad como material didáctico concreto

que sirve para desarrollar y evaluar los logros de aprendizaje. De esta manera

la matemática se presentan como algo de lo que se disfruta al mismo tiempo

que se hace uso de ellas. Hay que señalar que existen otros elementos de la

cultura del Perú antiguo que pueden usarse como materiales didácticos entre

los cuales mencionaremos a los quipus y tocapus.


15

1.7. BASES FILOSÓFICAS

El origen de la filosofía es la Matemática. En sus orígenes estuvieron unidas la

filosofía y la matemática. Lakatos(1981) y Badiou(2002) analizan sus

tendencias. Por otro lado Agazzi(1996) relaciona ciencia y tecnología. Por su

parte, Hofstadter(1992) y Hawking(2010), señalan la pureza y construcción de

los números. Y por último, Chávez(2007) y Burns(2010) nos hablan de aportes

incas.

Lakatos (1981) sostuvo que necesitamos una filosofía cuya inspiración

provenga del estudio del desarrollo de la matemática informal en vez de

inspirarse en el estudio de los fundamentos y de los sistemas formales, que

constituyen la tendencia general en la filosofía de las matemáticas.

Por otro lado, el estado actual de la relación entre la filosofía y matemática está

dado por tres tendencias: el análisis gramatical y lógico de los enunciados, el

estudio epistemológico de los conceptos, considerados generalmente en su

historia, y el comentario de “resultados” actuales, mediante generalizaciones

analógicas que extraen sus categorías de los filosofemas clásicos (Badiou,

2002).

La epistemología como la disciplina que tiene por objeto estudiar cómo se

forman y se transforman los conceptos científicos; como se intercambian los

conceptos de una ciencia a otra, y cómo se constituye el campo de una ciencia;

según qué reglas se reorganizan dichos conceptos a través de mutaciones

sucesivas y cómo se hallan referidos a sus propia reglas, por lo cual una

práctica científica se vuelve consciente de su método. Agazzi (1996) afirma

que:

Han existido civilizaciones dotadas de una técnica muy

desarrollada para su tiempo y de una ciencia muy pobre (como

las del antiguo Egipto, China e Imperio inca), y otras dotadas de

una ciencia rica y de una técnica más rudimentaria (como la

misma civilización griega clásica). (1996, p.97).


16

Hofstadter (1992) señaló que las muy precisas reglas que rigen los números

“ideales” constituyen la aritmética, y sus extensiones más avanzadas han dado

lugar a la teoría de los números. No hay más que una sola pregunta pertinente

acerca del tránsito desde los números como cosas prácticas, hacia los

números como cosas formales: una vez que hemos resuelto tratar de

encapsular la teoría de los números integra en un sistema ideal, ¿nos será

realmente posible cumplir por completo?, ¿los números son tan puros,

cristalinos y armoniosos que su naturaleza puede ser enteramente encuadrada

por las reglas de un sistema formal?

Hawking (2010) expresó que los números son creaciones libres del espíritu

humano, sirven como medio para concebir más fácil y claramente la diversidad

de las cosas. Mediante la construcción puramente lógica de la ciencia de los

números, y mediante el dominio numérico continuo que con ella se obtiene, nos

encontramos por primera vez en situación de investigar con precisión nuestras

representaciones (de espacio y tiempo), relacionándolas con este dominio

numérico creado en nuestra mente. Considerando atentamente lo que

hacemos al contar una cantidad o número de cosas, nos vemos llevados a

observar la capacidad mental de relacionar cosas con cosas, hacer

corresponder una cosa a otra, o representar una cosa mediante otra, facultad

sin la cual sería absolutamente imposible el pensamiento.

Chávez (2007) considera los aportes fundamentales de los Incas en la filosofía

están en los campos que se denominan filosofía política y filosofía en la

historia. Es un sistema filosófico que se caracteriza por su jerarquía valorativa

donde por encima de todo está la vida humana. Al respecto Burns (2010)

refiere:

El estudio del tiempo y el espacio llegó a ocupar un rol

importante por lo que fueron creados el concepto de número

como instrumento para expresar mejor cantidad que

eventualmente se llevaron a la geometría y el álgebra que


17

permitió la toma de decisiones con lógica y razonamiento.

(p.402)

1.2. BASES HISTORICAS

A continuación se muestran algunas propuestas sobre el sobre la cultura del

Tahuantinsuyo

Stewart (1987) sostiene que la palabra “cultura” tiene dos significados

diferentes, y ambos son aplicables a lo que él quería decir sobre la ciencia. En

el primer sentido, se considera que la cultura significa “desarrollo intelectual,

desarrollo de la mente”, de manera que podemos decir: “tal individuo es culto o

cultivado”. El segundo sentido con que se aplica la palabra “cultura”. Se trata

de su uso antropológico, que describe a un grupo de personas viviendo en el

mismo sitio.

Chávez ( 2007) propone que la cultura incaica fue una cultura integral. Es

decir, que los hombres que la forjaron, lograron organizar un Estado que

alcanzó alto nivel de eficiencia, como una gran empresa para el bienestar de

los hombres. Una de las bases de este Imperio fue el sistema socioeconómico,

crearon una economía equilibrada por una sociedad equilibrada. Los incas no

solo construyeron monumentos, palacios, fortalezas, templos o edificios. No

sólo crearon una arte maravilloso; no sólo penetraron en los secretos de la

naturaleza, sino que utilizaron esos recursos para el servicio del hombre.

Además, lograron conocer determinadas leyes astronómicas. Tuvieron un

sistema de pensamiento, vale decir, una filosofía que sólo orientaba su

conducta y labro la base sobre la cual radicó toda su obra cultural. Es decir,

que toda su acción transformadora se sustentaba, por una parte, en un sistema

socioeconómico, y por otra, en un bien fundado sistema filosófico.

Los arqueólogos han comprobado que la formación de estados con una

compleja diferenciación social y una jerarquía de poder van acompañadas de

sistemas de notación. El estado inca se ajusta perfectamente a esta

apreciación. Aparte de la compleja diferenciación social y jerárquica y política,


18

sabemos por las fuentes españolas y por los hallazgos arqueológicos que en

tiempos de los incas hubo en la región andina dos conocidos sistemas de

notación, que no tenían nada en común con la escritura alfabética europea ni

con los soportes de ella. Se trata de los llamados tocapus y de los quipus,

usados ampliamente. Un tercer sistema, la pintura de escenas, es poco

mencionado en la literatura moderna porque en este caso sólo existen escasas

referencias en las crónicas (Pease et al, 1999).

El sistema educativo en el Tahuantinsuyo que abarca escuelas, los cuatro

maestros, la geometría y aritmética, sistemas de medición, ordenamiento

demográfico, sistema de información es propuesto por diferentes autores.

Garcilaso (2009) señala:

Inca Roca fue el primero que puso escuelas en la real ciudad del

Cuzco, para que los amautas enseñasen las ciencias que

alcanzaban a los príncipes Incas y a los de su sangre real y a los

nobles de su imperio. Les enseñaban poesía, música, filosofía y

astrología, eso poco que de cada ciencia alcanzaron. A los

maestros llamaron amautas, los cuales eran tenidos en suma

moderación (p.221).

El primer maestro enseñaba al principio la lengua del Inca, que era la particular

que él hablaba, diferente de la quechua y de la aymara, que son las dos

lenguas generales de este reino. Otro maestro les enseñaba a adorar los

ídolos y sus huacas, a hacerles reverencia y las ceremonias. Al tercer año

entraban a otro maestro, que les declaraba en sus quipus los negocios

pertenecientes al buen gobierno y autoridad suya, y a las leyes y la obediencia

que se había de tener al Inca y a sus gobernadores. El cuarto año, con otro

maestro aprendían en los mismo cordeles y quipus muchas historias y sucesos

antiguos, y trances de guerras acontecidas en tiempos pasados y las astucias

de sus Incas y capitanes, y el modo con que conquistaron las fortalezas y

vencieron a sus enemigos (Martín de Murua, 2001).


19

Garcilaso (2009) considera que de la geometría supieron mucho, porque les

fue necesaria para medir sus tierras, para ajustarlas y partirlas entre ellos. Mas

esto fue materialmente, no por altura de grados ni por otra cuenta especulativa

sino por sus cordeles y piedrecitas, por las cuales hacen sus cuentas y

particiones. De la aritmética supieron mucho y por admirable manera. Que por

nudos dados en unos hilos de diversos colores daban cuenta de todo lo que en

el reino del Inca había de tributos y contribuciones, por cargo y descargo.

Sumaban, restaban y multiplicaban por aquellos nudos. Y para saber lo que

cabía a cada pueblo hacían las particiones con granos de maíz y piedrezuelas,

de manera que les salía cierta su cuenta.

En 1981, Rostworowski afirmo que los trabajos hidráulicos, la construcción de

andenes y caminos; la edificación de santuarios, templos y palacios indican que

poseían conocimientos de medición indispensables para realizar las obras de

gran envergadura. La organización económica basaba sus estructuras en el

almacenamiento de productos. Los depósitos colmados de alimentos y de

objetos manufacturados eran el cimiento de una política distributiva, ya fuese

del inca o de los curacas locales. Los depósitos eran igualmente un seguro de

supervivencia, una posibilidad de afrontar los desastres climáticos, pero al

mismo tiempo surgía la necesidad de conocer los montos de las especies

reunidas, hacía falta contabilizar las existencias, conocer las cifras exactas de

las materias guardadas. En los Andes se emplearon sistemas de medición y de

contabilidad. En el ordenamiento demográfico idearon una división poblacional

basada en un cómputo decimal que facilitaba un conocimiento aproximado del

número de habitantes por regiones. Una de las características de las culturas

andinas fue una clasificación poblacional de acuerdo con los ciclos vitales de

las personas y no en el cómputo de años transcurridos. El cuerpo humano fue,

como en otros lugares del mundo, el punto de partida para la medición; se

puede sugerir también que el número de dedos en las dos manos dio inicio al

incipiente sistema decimal existente en el mundo andino.

Los quipus constituyeron un sistema mnemotécnico basado en cuerdas

anudadas, mediante las cuales se registraron todo tipo de información

cuantitativa o cualitativa. En el caso de la información numérica, las


20

operaciones matemáticas eran realizadas previamente en ábacos o yupanas.

Estos podían ser de piedra tallada o de barro, tenían casilleros que

correspondían a las unidades decimales y se contaba con la ayuda de

piedrecillas o granos de maíz o quinua. Para conocer la cantidad de

trabajadores disponibles se precisaba de un sistema de contabilidad eficiente

para censar a los habitantes del Incario. Es sorprendente constatar como los

naturales lograron esas metas sin haber conocido la escritura, simplemente

apelando a sus ábacos o yupanas y sus quipus, donde se registraban sus

cómputos finales. Existieron unos especialistas en llevar la contabilidad

llamados quipucamayoc. Ellos podían informar al Inca, en el momento

deseado, acerca de las cifras poblacionales que existían en cada una de las

regiones del Tahuantinsuyo. Además también llevaban la contabilidad de las

reservas de productos que se encontraban almacenados en los depósitos

estatales (Rostworowski, 2004).

1.3. EL MATERIAL DIDÁCTICO

1.3.1. Conceptos

El término didáctica viene del griego didactékene que significa didas-enseñar y

tékene-arte, es entonces literalmente el arte de enseñar. Es considerada una

disciplina que “estudia e interviene en el proceso de enseñanza-aprendizaje

con el fin de conseguir la formación integral del educando” (Mallart, 2000). Bajo

este concepto, el objeto didáctico es entonces aquel objeto usado en el

proceso de enseñanza, que facilita la instrucción de un determinado aspecto o

tema, y responde a unos determinados criterios de utilidad.

En este trabajo hemos decidido englobar ambos términos en materiales

didácticos al considerar que los recursos se convierten en materiales

educativos en el momento en que el profesor de manera consciente los utiliza

en su aula con una finalidad didáctica.

La expresión “material didáctico” es definida de modos diversos según los

distintos autores. Varía también la terminología para definir la misma realidad,


21

así se habla de “objeto”, “recurso”, “medio”…. En esta tesis nos referimos al

mismo concepto indistintamente como material didáctico. Álvarez (2004)

entiende como materiales didácticos,

Aquellos objetos, juegos, juegos, medios técnicos, etc.,

capaces de ayudar al alumno a suscitar preguntas, sugerir

conceptos o materializar ideas abstractas. Deben ser sencillos

y próximos al mundo del alumno (p.220).

Existen diversas concepciones sobre el material curricular:

Abiertas, consideran como recurso cualquier proceso o instrumento para

la enseñanza.

Restrictivas, sólo consideran como recurso los aparatos o materiales.

En esta tesis usamos el término material didáctico referido a todo tipo de

materiales, aparatos o artilugios que sirvan para planificar, desarrollar y

evaluar el currículum.

Según lo expresado por Galdames, Riveros, & Alliende (1999), se debe tener

presente de donde provienen los materiales educativos y los propósitos por los

cuales fueron creados. Algunos materiales educativos provienen de la vida

diaria; otros son especialmente creados con fines educativos, como es el caso

de los materiales didácticos, entre estos se pueden distinguir los creados con

un fin específico y los que se crean con propósitos variados.

Con el fin de evitar una dispersión excesiva en este trabajo entendemos como

material didáctico o curricular cualquier tipo de material destinado a ser

utilizado por el alumnado y los materiales dirigidos al profesorado que se

relacionen directamente con aquellos, siempre y cuando estos materiales

tengan por finalidad ayudar al profesorado en el proceso de planificación

y/o desarrollo y/o de evaluación del currículum.


22

1.3.2. La importancia del material didáctico

El material didáctico, en la enseñanza, es el nexo entre las palabras y la

realidad. Lo ideal sería que todo aprendizaje se llevase a cabo dentro de una

situación real en la vida, pero esto no es posible en la mayoría de las

ocasiones, por lo que el material didáctico debe representar a la realidad de la

mejor forma posible, de cara a una consecución óptima de la objetivación.

El material didáctico desempeña un papel destacado en la enseñanza de todas

las materias, ha de estar presente en las aulas en el momento adecuado por

razones, que según (Condemarín, Medina, Mitrovich, & Venegas, 2002), serían

las siguientes:

Contribuye a la implementación de un ambiente letrado y numerado; es

decir, a un entorno donde los alumnos acceden a materiales escritos,

cuya cercanía y utilización los lleva a familiarizarse con las

características del lenguaje escrito y con sus diversas formas de

utilización.

Permite que el profesor ofrezca situaciones de aprendizaje entretenidas

y significativas para sus alumnos, dado su carácter lúdico, desafiante y

vinculado con su mundo natural.

Contribuye a la participación activa y autónoma de los alumnos en sus

propios procesos de aprendizaje, dado que los desafía a plantearse

interrogantes, a hacer descubrimientos, a crear y anticipar situaciones, a

efectuar nuevas exploraciones y abstracciones.

Estimula la interacción entre pares y el desarrollo de habilidades

sociales tales como establecer acuerdos para el funcionamiento en

grupo, escuchar al otro, respetar turnos, compartir, integrar puntos de

vista, tomar decisiones, saber ganar y perder, etc.

Proporciona un acercamiento placentero y concreto hacia los

aprendizajes de carácter abstracto, como es el caso del lenguaje escrito

o la matemática.


23

1.3.3. Tipología de los materiales didácticos

Existen muchas maneras de clasificar los materiales curriculares según los

criterios aplicados, entre las clasificaciones más extendidas están aquellas que

lo hacen en relación al área con el que está relacionado, así se suele hacer:

materiales de psicomotricidad, de matemáticas, verbal. Esta clasificación es útil

para el profesorado pero tiene el inconveniente de que se utiliza de una manera

muy disciplinar y no tiene en cuenta el enfoque globalizador, dado que un

material se puede utilizar en diferentes disciplinas.

1.3.4. El material didáctico manipulativo

La comprensión de los conceptos se asocia cada vez más a la manipulación de

materiales capaces de generar ideas válidas sin desnaturalizar el contenido

matemático. A este afán de comprensión hay que añadir la necesidad de

extensión de los conceptos adquiridos en el entorno inmediato en el que el

niño se desenvuelve, con el claro objetivo de aplicar correctamente las

relaciones descubiertas y descubrir otras nuevas que aporten al

conocimiento amplitud intelectual.

El planteamiento didáctico a la hora de utilizar material manipulativo se dirige al

utilizar el contenido como medio para obtener el conocimiento (Fernandez

Bravo, 1995). Por eso aprender no consiste en repetir las informaciones

escuchadas o leídas, sino en comprender las relaciones básicas mediante la

contrastación de ideas.

La utilización de materiales y recursos manipulativos es consecuente en su

hacer didáctico con la interpretación que se tenga de la matemática. Que los

materiales didácticos se apliquen para el buen desarrollo del pensamiento

lógico-matemático, no significa que se cubran los desafíos educativos para la

intelectualización y aplicación de los conceptos y relaciones. La didáctica nos

llevará al cumplimiento o no de tales objetivos.

Por lo tanto la utilización de material manipulativo se nos antoja si no

imprescindible, sí más que necesario. Este material ha de ser utilizado, no

solamente mostrado y debemos de guiar el conjunto de ideas que su


24

manipulación genera en la mente del alumno así como canalizarlas en el

procedimiento matemático.

Una cosa es enseñar una situación matemática y que el niño aprenda, y otra

muy distinta es permitir que el niño manipule, observe, descubra y llegue a

elaborar su propio pensamiento. No debemos imponer ningún modo particular

para la realización de las distintas actividades. De esta manera las

matemáticas se presentan como algo de lo que se disfruta al mismo tiempo que

se hace uso de ellas.

1.3.5. Criterios para la elaboración del material didáctico

La adquisición de material en un centro educativo supone un estudio de las

necesidades generales que debería pasar por las exploraciones realizadas al

ingresar los alumnos.

Si se trata de comprar el material hemos de tener en cuenta que su diseño

haya sido asesorado por psicólogos y pedagogos y por tanto sea realmente

educativo, para ello el niño ha de tener una participación directa en su

funcionamiento.

Otro criterio para que los materiales sean educativos es que ha de contribuir a

que el niño pueda realizar experiencias y pueda realizar alguna habilidad,

reconocer formas, colores, tamaños, clasificar, e incluso realizar algunas

creaciones personales con el mismo material.

Un tercer criterio para que el material sea realmente educativo es que sirvan

para desarrollar la imaginación, la afectividad y otras cualidades que forman

parte de la personalidad infantil, como por ejemplo los juegos de las tiendas, el

zoológico.

El cuarto criterio lo podemos relacionar con la edad y hace referencia al tamaño

del material, procurar que para edades tempranas el material sea de mayor

tamaño para facilitar la manipulación y a medida que aumenta la edad ir

reduciéndolo.


25

1.4. YUPANA

1.4.1. Etimología

En el 2010, Rivas sostiene que el termino yupana es un vocablo Quechua que

ese deriva del verbo yupay = contar, yupana es un sustantivo que además de

designar a un objeto, ordena que para que sea totalmente útil es necesario

contar. Asimismo el termino yupana, con la acepción de “tablero de cálculo”

resulta ser un neologismo tanto en quechua como en castellano. Es decir existe

la raíz yupa que, aplicada como verbo significa “contar” en sentido de hacer

cuentas, calcular. Al respecto Chambi (2003) refiere que:

Yupa palabra aymara que significa el que empalma, el que

enlaza algo con otro, y “na” subfijo en el lugar de … o de en el

sitio de …, otros términos como yupan, yupanya, yupanki. Este

instrumento consta de un tablero principal dividido en celdas

cuadriculadas bidimensionales, donde las celdas sirven para

depositar unidades de pequeñas piedrecillas, semillas u objetos

similares como: wayruros, huesos, etc. Yupan, ábaco andino,

pueden ser de piedra, madera e incluso tejido cuadricular

(p.242).

1.4.2. Definición

Algunas propuestas sobre definición de yupana de reconocidos autores o

fuentes:

En el 2011, Espinoza definió la yupana como un tablero rectangular de cálculo

de los matemáticos andinos, quienes se colocaban en la parte más alta de la

tabla, al lado de los casilleros con más círculos para evitar movimientos

innecesariamente largos. Lo usaban utilizando piedrecillas y granos (quinua,

maíz), movilizándolos de unos hoyuelos a otros, según sus colores (blanco y

negro). Con la yupana llevaban a cabo operaciones de suma, resta,

multiplicación y división.


26

En el 2007, Laurencich sostiene que la yupana era la representación de

Pachamama, la Tierra antropizada, que permitía ordenar ya sea a la

administración del territorio del Tahuantinsuyo, ya sea a sus dioses,

antepasados y fuerzas sagradas (en forma de números sacros)

transformándolos en huacas fijas en el territorio. Las yupanas en forma de

damero son un instrumento y un sistema de escritura al mismo tiempo, que con

los demás sistemas de escritura andinos (quipu, capacquipu y tocapu), utilizan

signos y materiales distintos, pero perfectamente integrados, también en sus

reglas de práctica y lógicas que varían entre la lógica lineal y la lógica holística.

En esta tesis usamos el termino yupana referido a un tablero de cálculo para

ser empleado como material de enseñanza de matemática en niños de colegios

primarios. Existen muchas maneras de clasificar las yupanas. Al respecto

Radicati (1990) refiere:

En relación con su uso, las tablas de escaques fueron

interpretadas en tres maneras: como maquetas arquitectónicas,

como yupanas o ábacos y como taptanas o tablas empleadas en

el juego de azar, especialmente aquellos que se practicaban en

cumplimiento de ciertos preceptos o ritos funerarios. Con el

tiempo la hipótesis arquitectónica fue prácticamente abandonada

y se impuso más bien la creencia de que los tableros sirvieron

para la realización de operaciones de cálculo y fueron, por

consiguiente, verdaderos contadores o ábacos. Creemos que

después de haberse y usado por cierto tiempo la tabla de juego,

surgió la idea de ella podía ser empleada también con fines

contables (p.231).

Moscovich (2006) considera las diferencias morfológicas entre los tableros de

escaques/taptanas/ábaco ancestral y la yupana de Guamán Poma son

notables: los tableros de escaques y el ábaco ancestral tienen, en su mayor

parte, varios niveles, escaques (cuadrados que dividen el tablero), un número

de casillas variable, cuando a veces las casillas son hundidas y a veces están

simplemente marcadas con líneas, y en general no se ven casillas de colores.


27

A continuación se muestran algunos estudios relacionado al material de que

estaban construidas las yupanas:

En el 2009, Christie, sostuvó que las yupanas son tablas de calculación

andinas; la mayoría de los ejemplares arqueológicos son esculturas en piedra

de tres dimensiones mostrando filas de plataformas pequeñas. Quiero proponer

un patrón que algunas esculturas inca geométricas formando filas de

plataformas, asientos o peldaños que se parecen a al yupana eran no sólo

lugares donde ofrendas fueron recogidas, sacrificadas, y quemadas pero

también lugares administrativos donde las cantidades de esas ofrendas fueron

contadas. Posiblemente fueron usadas como mecanismos de calculación y

registración. Al respecto Wassen (1990) sostiene que:

No hay más que imaginar que un ábaco peruano tuviese que ser

invariablemente de un material más o menos sólido como piedra,

madera, etc. Es muy probable que a veces consistiese nada más

que la figura de un ábaco delineada rápidamente sobre la arena,

etc. Y el resultado final anudado en el quipu (p.218).

1.4.3. Yupana en la actualidad

La yupana aún es empleada. Así lo plantean en su investigación Aitken-Soux y

Ccama (1990)

Muchos pueblos de la antigüedad han desarrollado instrumentos

que facilitan el cálculo matemático, como tenemos el ábaco

chino y otros, en el caso del Perú se tiene la yupana tradicional y

la calculadora ancestral. En algunas áreas remotas del que fuera

la cultura incaica, aún subsiste el uso de estos instrumentos, y

son usados para el cálculo de transacciones comerciales que

realizan particularmente los pastores de llamas y alpacas. Un

modelo de calculadora ancestral fue mostrado a los autores en


28

el pueblo de Itujata, cantón de Santa Lucía, provincia de Frías,

departamento de Potosí, Bolivia (p.267).

En Bolivia, en regiones aymaras como Italaque, Humanata, poblaciones de la

provincia de Camacho del departamento de la Paz, el quipu y la yupana

subsisten como sistemas para llevar la contabilidad, utilizan para los cálculos

matemáticos, como auxiliares operativas. El cultivo de la matemática por parte

de los amautas aymaras probablemente obligó a razonar de manera lógica, y

segura, porque el encanto lógico que nos muestra la multiplicación en el

sistema quipu-yupana, subraya la poesía de los números: la invención de este

sistema ha posibilitado en su momento histórico, un poderoso método de

análisis en el campo de los números (Chambi, 2003).

1.4.4. Yupana y quipus

La yupana se usaba para realizar operaciones aritméticas y luego almacenar la

información en quipus. Al respecto Moscovich (2006) sostiene:

La yupana era un instrumento del contador o administrador

durante el empadronamiento, pero no estaba necesariamente

ligada morfológicamente a la división de las personas en

diferentes calles. La división en calles debía ser elaborada en el

quipu. No obstante, es con la yupana, una vez registradas las

personas en el quipu, que debían seguramente calcularse las

cifras totales del censo, o sea cuántas personas había en la

calle, cuantas personas había en total en el pueblo, cuantas

personas eran tributarias, y podían una vez terminado el censo

calcular los porcentajes adecuados del tributo. La yupana y el

quipu eran instrumentos estandarizados e imperiales, con una

morfología y un modus operandi único y estandarizado, como lo

eran otros instrumentos imperiales como los almacenes, los

vestidos y la administración de los puentes y de las rutas. Como

instrumentos imperiales de cómputo, éstos eran utilizados por la

administración del imperio a través de sus administradores,

contadores y tesoreros en toda el área del imperio (p.124).


29

Otros autores relacionan la yupana con los quipus:

En 1999, Pease et al, (1999) señalan que el hecho de que fuentes

documentales asocien los quipus con cuentas de piedra y el ábaco andino

puede llevar a algunos a la conclusión de que también fueron utilizados para

hacer cálculos matemáticos.

Pärssinen (2003) sostiene que no me ha sido posible definir la conexión exacta

entre los textos de quipu y la –así llamada- „pizarra de contabilidad inca‟. Dicha

„pizarra de contabilidad‟ estaba compuesta de guijas o cuentas de piedra, y fue

asociada por Guamán Poma -en uno de sus dibujos- con la imagen de un

hombre que sostenía un quipu. Aunque varias interpretaciones acerca de su

uso matemático han sido planteadas. Tenemos evidencia que estas pizarras se

usaban simultáneamente con el quipu durante la lectura del texto.

En el 2005, Christie manifestó que la yupana servía como instrumento de

calcular la cantidad de cualesquiera objetos, productos o personas y después

de total era traducido y registrado en el quipu. La complejidad es analizada por

Chirinos (2010)

Los quipus del Tahuantinsuyo fueron instrumentos altamente

complejos: si bien hasta ahora una buena parte de su código no

ha sido descifrado ha habido avances importantes. A partir de

las descripciones de los cronistas indios, mestizos y españoles y

basados en los estudios de investigadores de nuestros días

podemos saber que en los números se representan números.

Pero además, que dichos números provenían de cálculos

complejos y precisos que tenían en la yupana (en tablero o solo

con piedrecillas) como principal instrumento (p.329).

1.4.5. Yupana Nueva Corónica (NC)

Las fuentes más importantes en el estudio de la yupana la constituyen dos

libros: la primera fuente es El Primer Nueva Corónica y Buen Gobierno tomada

como base por varios autores y cada uno propone un modelo de yupana. Por

otro lado el libro Exsul Inmeritus Blas Valera Populo Suo e Historia et


30

Rudimenta Linguae Piruanorum muestra cuatro yupanas: Sumac Ñusta,

Ceques, Multiplicar y Pachacamac.

Hay muchos autores basándose en el libro El Primer Nueva Corónica y Buen

Gobierno han escrito sobre la yupana:

En el 2006, Moscovich manifestó que en la página 360 muestra no solamente

una yupana, sino también a un contador con su quipu. Es de notar que ambos

instrumentos, el quipu como la yupana están vacíos. El quipu que tiene el

contador no tiene nudos. Parece que el autor hubiese querido demostrar de

esta forma que los dos instrumentos son modelos vacíos que están listos para

ser utilizados por los contadores del imperio. Al respecto Burns (2002)

considera:

Figura 1.1. Página 360 de Nueva Corónica.

Basándonos en la Figura 1.1, lo primero que pudimos advertir es

que la distribución de los círculos obedecía a una

sistematización programada; por lo tanto bien podría tratarse de

destacar en el dibujo, el método que empleaban los incas en el

cálculo de sus operaciones. Y efectivamente esta visión llevo a

despejar la incógnita de los círculos: era una tabla de apoyo para

operaciones complejas. La zona de dibujo del tesorero en la


31

centramos mayor atención fue la de los círculos de los casilleros,

algunos pintados y otros en blanco. Wassen también informó de

esta disposición: los círculos negros indican un lugar ocupado y

los blancos un lugar vacío, planteamiento corroborado por

nuestra investigación, empero como en el dibujo los círculos

negros no seguían una sistematización y sobre la base de la

compenetración en el trabajo anterior de la mente andina

pensamos que podían estar trasmitiendo un mensaje. Sumamos

entonces los círculos oscuros de cada fila y se obtuvo los

siguientes números: 5–3–6–3–6 que convirtiéndolos en letras

equivalían a R–M–S–M–S. Interpolando el significado el

resultado es RIMAISIMASI, mensaje que en español significa lo

que ayuda a hablar (p.42).

En el 2010, Chirinos sostiene que la lógica interna de la yupana se armoniza

con conceptos indígenas de mitad complementaria y opuesta, jerarquía, par-

impar, paralelismo, inversión, lateralidad (derecha-izquierda, abajo-arriba,

cruzada de arriba hacia abajo, de la derecha hacia la izquierda; o al contrario),

simetría. Estos conceptos están presentes en la lógica de los mitos, en los

diseños, en la organización y en muchos otros aspectos de la vida cotidiana de

los indígenas hasta el presente.

En el 2009, Ruiz señaló que la yupana es una especie de tetractis de valor 11,

(1+2+3+5=11) En este caso la filosofía aplicada, es mucho más profunda, por

ser una construcción numérica netamente prima (1, 2, 3, 5 y 11 son números

primos). La serie de 1, 1, 2, 3, 5 es también considerada como la serie básica

de Fibbonaci y es importante mencionar que los números primos son los

bloques constructores de todo sistema numérico. En consecuencia con la

yupana se construye todo el sistema numérico infinito y conjeturamos que

también se construye todo el sistema simétrico.


32

Figura 1.2. Yupana del libro El Primer Nueva Corónica y Buen Gobierno (NC)

1.5. MODELOS DE YUPANA DEL LIBRO El Primer Nueva Corónica y Buen

Gobierno (NC).

Dentro del estudio de la yupana del libro El Primer Nueva Corónica y Buen

Gobierno se consideran los aportes de Wassen(1990), Radicati(2006),

Burns(2002), Ansión(1990), Pereyra(1990), Rivas(2010), Chirinos(2010),

Moscovich(2007). En esta tesis se analizan los algoritmos, los numerales, las

operaciones aritméticas y los valores que proponen para cada fila, columna,

casillero y circulo de la yupana de la página 360.

1.5.1. Modelo Wassén (NC1)

Muestra el ábaco andino y la relaciona con el quipu, describiéndola como un

rectángulo de 4x5 cuadrados con 5, 3, 2 y 1 agujeros. Utiliza el sistema decimal

con coeficientes: 1(columna A), 5 (columna B), 15(columna C) y 30 (columna

D) (Figura 1.3).


33

5x10000 3x50000 2x150 000

300 000

10 000

5x1 000 3x5 000 2x15 000

30 000

1 000

5x100 3x500 2x1 500

3 000

100

5x10 3x50 2x150

300

10

5x1 3x5 2x15

300

1

A. B. C. D.

1 5 15 30

a.

b.

c.

d.

e.

8 9 9

99

1

89 90 99 100

Figura 1.3. Yupana Wassén y el valor de los nudos de quipu.

El funcionamiento Wassen lo describe de la forma siguiente:

De los dos ejes del rectángulo, opera el vertical, por ejemplo la

línea A, de acuerdo con el sistema decimal que según esta

probado para las cuentas en quipu, y que cada línea vertical

representa un hilo de quipu con nudos de unidades, decenas,

centenas, etc. principiando de abajo. Si esta línea vertical A

contiene 5 cuadrados todos los números en la línea horizontal a

son múltiplos de 10,000. En lo concerniente al valor nominal de

las líneas horizontales, supongo que está basado en el número 5,

o sea los dedos de una mano. Pongamos por ejemplo, 3

piedrecitas u otras marcas en el cuadrado Ae para simbolizar el

número 3 de cualesquiera objetos. Si quisiéramos agregar tres

unidades más el cuadrado se llenaría; pero cambiando una piedra

el cuadrado se llenaría, pero cambiando una piedra al cuadrado

Be podemos reducir el número de marcas a dos y determinar la

cifra 6 si marcamos 1 en Ae y un 5 en Be. Del mismo modo

podemos continuar marcando y reduciendo (1990, p.214).

En cuanto a las operaciones aritméticas solo las menciona:

Además de sumar, también las otras tres simples operaciones

aritméticas pueden ser ejecutadas en un ábaco de esta clase.

Para multiplicar por ejemplo, se marca simplemente el más alto

de los 2 factores en el tablero tantas veces como indica el


34

multiplicador. Después se hace la suma y reducción del mismo

modo que la adición. Para la división probablemente se usaba

un método parecido aunque invertido. Sin embargo es muy poco

probable que el uso de las divisiones fuera muy propagado en el

Perú antiguo. En lo que se refiere a una sustracción, se puede

efectuar muy fácilmente en uno de estos ábacos, en el caso de

no ser necesario tomar prestado de otros factores. Siendo así se

tendrá que hacer primero una reducción hasta tener un grupo de

unidades de las cuales se pueda tomar prestado (1990, p.215).

1.5.2. Modelo Burns (NC2)

Es la representación de un ábaco con memoria rotado 90°, la yupana de la

figura 2, en sentido antihorario. Tiene 4 filas y 5 columnas. Estas últimas

representan las unidades, decenas, centenas, millares y unidades de millar

(Figura 1.4). Utiliza el sistema decimal sin coeficientes para cada cuadricula.

UnidadesDecenasCentenasMillaresDecenas

de millar

MEMORIA

Figura 1.4. Yupana modelo Burns

El funcionamiento de la yupana y ejemplos concretos de cómo utiliza la yupana

para sumas, restas, multiplicaciones y divisiones demuestra Burns (2010) lo

cual es analizado en forma detallada a continuación:

Las fichas sugerimos ubicarlos como hemos señalado en la Figura 1.4. Así la

lectura de los órdenes va desde la columnas altas hasta lo menor igual con la

dirección de las fichas en los órdenes. Cada círculo representa una unidad del

orden en que esté ubicado. O sea, puede representar una unidad o una decena


35

o una centena o un millar o una decena de millares de acuerdo con la posición

especifica en los órdenes. Los puntos de vista hay que tener presente en este

estudio son:

a) Colocación de la yupana en posición de trabajo (horizontal).

b) El valor de cada circulo es “uno” adquiriendo otros valores de acuerdo con la

columna que indica el orden numérico.

c) El sistema de numeración es el sistema decimal.

d) Los círculos de la primera fila de la yupana representaban la memoria

artificial, las otras filas, con casilleros de 2, 3, 5 son posiciones para ubicar

los numerales.

e) La progresión 1, 2, 3, 5 en la tabla de apoyo sirve para la función del método

que llamamos Calculación por Partes.

f) La estricta conservación del esquema de la yupana trazada en la Figura 1.1.

Método de computación

En nuestro primer caso para demostrar el procedimiento usado en el imperio

incaico para hacer sus cálculos, veamos muy atentamente, como registraron

sus números: pues, esto es esencial para conceptuar el enfoque incaico.

Empleamos una sola columna que puede ser cualquiera de las distintas

órdenes unidades, decenas, centenas, etc. En ella anotaremos los números del

1 al 10 en la siguiente forma: (Figura 1.5)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figura 1.5. Representación de números de 1 a 10 modelo Burns

Las cifras mayores a 10 se representaron y expresaron como se puede

apreciar en los siguientes ejemplos que presentamos en la Figura 1.6.


36

26 7,923 10,401 11,282

Figura 1.6. Ejemplos de representación de números modelo Burns

En el sistema de los incas, al igual que en el nuestro, como vemos la base es

10 lo que significa que diez unidades de un orden cualquiera constituyen una

unidad del orden inmediato superior y viceversa, una unidad de un orden

cualquiera está formada por diez unidades del orden inferior.

Para transferir un orden a otro inmediato superior o inferior, los matemáticos

del antiguo Perú crearon la memoria artificial poniendo un elemento en el

círculo de la primera fila de la yupana, lo que permitió al operador transportar

órdenes con seguridad sin recurrir a confiar en la memoria humana, lo que no

ocurre en el método que adoptamos en la actualidad, en que la transposición

se lleva a la memoria, dando lugar a perpetrar gruesos errores. En la operación

de transferir un orden a uno inmediato superior se adoptaba el método

siguiente: cuando un orden tenía diez hoyos llenos y era necesario convertir las

diez unidades en una unidad de orden inmediato superior (siguiendo los

principios del sistema decimal) se colocaba una ficha o piedra en la memoria

artificial.

La presencia de la ficha en ese casillero que contenía como ya se ha dicho un

solo círculo u hoyo, era una señal al operario que tenía: a) los elementos

necesarios para efectuar la transferencia y b) que estaba en proceso de

hacerlo. Con la ficha colocada en la memoria se retiraban los otros elementos

de los hoyos del orden que era objeto dela transferencia y enseguida se

traspasaba la ficha de memoria inmediata superior, quedando concluida la

transferencia al orden superior. (Ver Figura 1.7)


37

UnidadesUnidadesUnidadesDecenas

Memoria Arficial

Figura 1.7. Proceso de memoria de Burns

Cuando era necesario convertir una unidad en un orden superior a diez

elementos de un orden inferior el proceso era a la inversa de la transferencia al

orden superior y, se colocaba en la memoria del orden inferior. Enseguida, se

llenaba la ficha de la memoria como podemos apreciarlo en la Figura 1.8.

UnidadesUnidadesUnidadesDecenas

Figura 1.8. Proceso inverso de memoria de Burns

A. SUMA

Tomemos un ejemplo: 629 + 582 que graficamos en la figura 1.9. Para

simplificar el dibujo omitimos las posiciones vacías.

+ 629 + 582 629 – 8 = 621

(a) (b) (c)

582 + 8 = 590 621 – 21 = 600 590 + 21 = 611

(d) (e) (f)

600 – 621 = 1211

(g)

Figura 9. Proceso suma 629 + 582 modelo Burns


38

Para registrar la suma de los dos números 582 y 629 empezamos colocando

en la tabla para aumentar el primer número que es 582 y el 629 colocamos

temporalmente en la tabla de restar en sus respectivas órdenes que son

unidades, decenas y centenas.

a. Al iniciar el cálculo, empezamos a transferir las nueve unidades de las dos

unidades de la tabla de sumar, pero ya hay dos registrados en esta posición.

Solo podemos colocar ocho unidades, en vista que todos los lugares serán

ocupados y tenemos que transferir diez unidades en una decena de la orden

inmediatamente superior.

b. Estando ocupadas las vacantes de las unidades, se colocaba una piedrecilla

en la memoria de la yupana y se retiraba el resto de la columna.

c. La piedra de la memoria que representaba diez unidades se transferida a la

próxima posición vacante de las decenas. Se procedía entonces a mover la

piedra de afuera de la yupana a la primera posición vacante de la columna

de las unidades de la tabla.

d. Una de las piedras de decenas que estaba afuera de la yupana se le

ubicaba en la posición vacante de la tabla, columna de decenas, quedando

la otra siempre afuera por estar tapados todos los lugares.

e. Otra vez de dejaba una en la memoria y se retiraban las piedras de las

decenas.

f. Se transfería la piedra de la memoria de la columna de la decena a la de las

centenas. La piedra de la decena afuera de la yupana entraba a ella a

ocupar la posición vacante de la columna de decena.

g. Al proceder a transferirse las 6 piedrecillas de las centenas de fuera de la

yupana a ella, sólo se podía ubicar en las posiciones vacantes cuatro.

Quedaban dos afuera.

h. Estando todas las posiciones de las centenas ocupadas se dejaba una en la

memoria y se retiraban las piedrecillas.

i. La piedra de la memoria de las centenas pasaba a la columna de los miles y

las dos piedras de las centenas de las centenas se ubicaban en su

respectiva columna.


39

Una cuenta de la suma se leía así: Un mil, dos centenas, un diez y uno. O

como decimos nosotros: Mil doscientos once.

B. RESTA

Hay en las referencias de algunos cronistas información de que los antiguos

peruanos registraron números en los quipus y que en la entrega de mercadería

todo lo anotaban sacando nudos de una parte de los quipus y amarrando otros

nudos en otra parte. Esto ha sido comparado con los asientos de libros de

contabilidad de HABER y DEBE. Es razonable entonces suponer que el

sistema de resta y que la yupana fue el artefacto que facilito la información

precisa para expresar numéricamente los montos que resultaban después de

restar un número de otro.

Esta operación la vamos a ver en la Figura 1.10, por ejemplo, de 135

restamos 91 según el sistema incaico.

+135

a

b

c

e

f

g

d h

+135-1

+134

+104

10

+(10x10)+4

31

A

- B

A

- B

A

- B

A

- B

100+4

i

j

k

l

91

+44

A

- B

A

- B

31

Figura 1.10: Resta 135 – 91 modelo Burns

a) Colocamos las piedrecillas 1, 3 y 5 en las columnas de las centenas,

decenas y unidades, respectivamente.

b) Teniendo que retirar el equivalente a 91 de la tabla sacamos fuera de la

columna de las unidades, una.


40

c) De la columna de las decenas debemos retirar nueve piedras, pero solo

sacamos 3.

d) Para permitir seguir sacando las piedras fuera de la yupana, de la columna

de decenas se transfirió una unidad de un orden superior hacia la memoria

del orden inferior.

e) Colocamos diez piedrecillas en su columna de decenas y la quitamos de la

memoria.

f) Como de la columna de las decenas se sacaron ya tres piedras, se retiró el

número necesario para completar las nueve.

Quedo en la yupana: cuatro decenas y cuatro.

C. MULTIPLICACIÓN

Al enfocar el método usado por los incas para multiplicar tenemos que volver a

tratar la distribución de los círculos en el esquema de la yupana de la figura 2,

que sigue una progresión: 1, 2, 3, 5. Esta progresión, basada en números

primos constituye la clave del sistema de multiplicación. Para llevar a cabo la

operación de multiplicar se debían realizar cálculos previos consistentes en

repetir unos de los factores tantas veces como lo indicaba la progresión,

hallándose así cuatro sumas parciales. Se debió luego descomponer el otro

factor en partes que concordarán con la progresión. El producto de la

multiplicación se obtenía mediante la suma de los productos parciales del factor

disociado.

Ponemos un ejemplo del sistema incaico multiplicando 139 x 27. Para una

rápida captación primero operamos usando los signos de nuestro propio

sistema para luego presentarlo en la manera como lo hicieron los

“matemáticos” peruanos de la antigüedad, es decir mediante el uso de fichas.

Hallar el producto de 139 x 27

1. Preparación:

139 x 1 = 139 Este producto representa 139 una vez

139 x 2 = 278 Este producto representa 139 dos veces

139 x 3 = 417 Este producto representa 139 tres veces

139 x 5 = 695 Este producto representa 139 cinco veces


41

Se puede observar que se ha multiplicado (139) por 1, por 2 y por 5,

conforme a la progresión del sistema. Estos productos parciales, que en

buena cuenta constituyen una tabla de apoyo, se reservan al lado de la

yupana.

2. Método:

139 x 2 (del segundo orden)= 139 x 20 = 2780

139 x 5 unidades = 139 x 5 = 695

139 x 2 unidades = 139 x 2 = 278

139 x (20 veces + 5 veces + 2 veces = 27 veces) 3753

Podemos observar así que sea considerado:

La progresión incaica aplicada al multiplicador.

La suma de productos parciales encontrados en la tabla preparatoria

que nos el producto total.

Antes de pasar a tratar de la operación en la yupana es necesario conceptuar

un enfoque distinto al nuestro, basado en la visualización del número la

posición de las piedras.

Al referirnos al método de computación se hizo hincapié en la necesidad de

captar la forma cómo el habitante del imperio incaico registró sus números

pues se está frente a una creación inteligente en que la posición de elementos

juega un papel primordial.

Si tomamos por ejemplo el número 7 quisiéramos representarlo con círculos

tendríamos varias opciones entre las cuales podemos señalar:

a) 6 + 1 b) 5 + 2 c) 4 + 3

Pero la forma particular adoptada por los incas fue 5 + 2 :

de forma vertical (subiendo)+


42

Permite resaltar la subdivisión de dos grupos en los que se distinguen 5

círculos y 2 círculos en una yupana, que veremos más claramente:

= 2

= 5 O si queremos tomar el número 9

= 3

= 5

= 1

Es decir podemos apreciar que la aplicación es específica de la ubicación de

las piedras contenidos en el esquema de la Figura 1 que servía para

descomponer ciertos números de elementos relacionados con 1-2-3-5.

La descomposición se hace pues en forma obvia, cosa que no hubiera ocurrido

si los incas hubieran adoptado una de nuestras alternativas que señalamos en

el número 7. Igualmente no debemos perder de vista la importancia del

significado de las columnas para indicar unidades, decenas, centenas, miles,

etc.

La ubicación específica de las posiciones en la columna además de ser

indicativa de la progresión en la tabla preparatoria sirve para descomponer el

multiplicador. Veamos:

El número 27 se descompone en:

a) 20 ----

b) 2 ----

c) 5 ----

DECENAS

UNIDADES

Se observa entonces que es necesario olvidar nuestros métodos de visualizar

los números para entender el método incaico que no depende de la

memorización de las tablas de calculación.

Vemos ahora la multiplicación en la yupana:


43

1. Preparación de la tabla de apoyo (Figura 1.11)

Se registra el valor del

multiplicando en la yupana.

Este equivale a 139 una vez

más.

Al 139 ya registrado se agrega otro

139 = 278. Así tenemos 139 dos

veces.

(El lector debe remitirse al

procedimiento ya explicado de sumar)

Al 278 ya registrado hay

que agregar otro 139. Así

tenemos tres veces: 417

Al 417 se añade 139 dos

veces para dar 139 cinco

veces o sea 695

(a) (b) (c) (d)

Figura 1.11. Tabla de apoyo de multiplicación modelo Burns

Las sumas parciales se reservan al lado de la yupana respetando su forma,

posición relativa de las columnas y manteniendo los valores parciales en línea

con las filas corresponden al 1, 2, 3 y 5.

2. Operación de multiplicar

Empecemos refiriéndonos al factor multiplicador (27) que tenemos que

relacionar con la tabla de apoyo. Vemos que en el segundo orden tenemos dos

fichas, lo que tomamos en cuenta al referirnos a la tabla de apoyo. La tabla

indica que 139 dos veces es 278 y siendo del segundo orden, tenemos que

colocar en la yupana dos fichas en la columna de los miles, siete en las

centenas y ocho en las decenas, así lo que tenemos es lo siguiente (Figura

1.12)

2780 139x5=695

(a) (b)

2780+695=3475 3475+278 = 3753

(c) (d)

Figura 1.12: Proceso de multiplicación modelo Burns

Hemos registrado 2780 en la yupana y para anotar que ya se ha multiplicado

por 20, colocamos dos fichas de la yupana (Figura 1.12a).

Ahora nos dedicaremos a las unidades del multiplicador.

Podemos ver que por disociación de sus componentes da (5) y (2).


44

Buscando en la tabla de apoyo (Figura 1.12b) el resultado de 139 cinco veces,

podemos apreciar que es 695. Este número lo sumamos al que está en la

yupana.

Siguiendo el método de sumar ya explicado colocamos 695 en la yupana de

Figura 1.12b y luego procederemos a transferir las fichas a las posiciones en la

yupana de la Figura 1.12c.

Buscamos en la tabla de apoyo por 139 dos veces que es el segundo

componente de las unidades del multiplicador y obtenemos 278 que colocamos

en la yupana de la Figura 1.12c en posición para sumar.

Al terminar se sumar se obtiene la totalidad que representa el producto de la

multiplicación, en este caso 3753 (Figura 1.12d).

Los lectores que vienen siguiendo la exposición de este estudio podrán

percatarse que el método incaico de multiplicación adopta un método de

operaciones parciales de sumas abreviadas por los que no necesitó recurrir a

sumar 139 veintisiete veces para obtener el producto.

D. DIVISIÓN

En la operación de división en lugar de sumar valores parciales como en el

caso de la multiplicación, restamos más bien valores parciales del dividendo.

Así, la división es una manera sencilla de hacer la operación de restar donde el

cociente equivale a las veces que el dividendo contiene el divisor.

Antes de describir el método queremos señalar en forma esquemática la

ubicación de los distintos registros: (Figura 1.13)

Tabla de

apoyo

Registro de cocientes

Yupana Reserva

Restas

A

B

C

D

E

PLANO ESQUEMÁTICO

Figura 1.13. Esquema de la división modelo Burns

Para demostrar el método de dividir tomemos como ejemplo 3753 entre 139

usando nuestros símbolos. Como se apreciará, los valores de la tabla de apoyo

son idénticos a los usados en el ejemplo para multiplicar.


45

LA DIVISIÓN (DIVIDENDO ENTRE DIVISOR = CUOCIENTE)

La tabla de apoyo

1) Divisor UNA vez

2) Divisor DOS veces

3) Divisor TRES veces

4) Divisor CINCO veces

La yupana

Divisor 139

Dividendo 3753

Cuociente Respuesta

Reserva de

ficha

Figura 1.14. Operación de la división modelo Burns

¿Cuántas veces está 139 contenido en 3753?

Ejemplo: 3753 entre 139 El dividendo es 3753 y

EL divisor es 139

El divisor

1 139 una vez 139

2 139 Dos veces 278

3 139 Tres veces 417

4 139 Cinco veces 695

La metodología

Bajar los valores en el orden del dividendo y compararlo con el valor de divisor

de la tabla de apoyo.

Figura 1.15. Proceso de la división modelo Burns

Saldo de la resta es cero

Así el dividendo contiene el divisor

2 decenas de veces 20

5 unidades de veces 5

2 unidades de veces 2 veces


46

Que sumando son 27 veces

Resultado de dividir 3753 entre 139 = 27

Considerando ahora la misma división pero aplicada en la yupana (Figura

1.16)

139 cinco veces = 695139 una vez = 139 139 dos veces = 278 139 tres veces 417

Figura 1.16. Tabla de Apoyo de división modelo Burns

Enseguida registramos el dividendo 3753 en los casilleros de la yupana

respetando sus respectivas órdenes o sea millares, centenas y unidades. Ver

Figura 1.17(a).

3753 - 2780 = 973

(a) (b) (c)

Figura 1.17. Proceso de división modelo Burns(1)

En el ejemplo presentado con el método convencional, observamos que el

mínimo valor en la yupana no está contenido en el valor de los millares ni de

las centenas, pero sí las decenas, por lo cual procederemos a restar el divisor

dos veces (278 decenas en esta etapa) de 375 decenas. Ver Figura 1.17(b).

Hay que registrar 2 decenas en el registro de cocientes. Además confirmada la

exactitud de la resta se retira las fichas que corresponden al valor 278, a la

reserva de fichas o piedrecillas. El resultado de esta resta deja un saldo de 97

decenas y tres unidades, el valor del nuevo dividendo parcial es 973 unidades.

Procederemos de nuevo a dividir, encontrando que el máximo valor registrado

en la tabla de apoyo está contenido en el 973. Restamos el divisor cinco veces

(que es igual a 695 unidades en esta etapa) del valor 973 de la yupana. El

resultado de la resta es 278. Ver Figura 1.17(c).

Hay que anotar cinco unidades en el registro de cocientes. El resultado de la

resta de esta etapa es 278. Confirmada la exactitud de la resta se retiran las


47

fichas que corresponden al valor 695 a la reserva de fichas. Aplicando de

nuevo la tabla de apoyo observamos que este monto de 278 corresponde al

divisor dos veces (278 unidades en esta etapa). Ver Figura 1.18(d).

- 695 278 - 278 = 0

(d) (e) (f)

Figura 1.18. Proceso de división modelo Burns(2)

Hay que anotar dos unidades en el registro de cocientes. Confirmada la

exactitud de la resta se retiran las fichas restadas a las reservas de fichas.

Quedamos sin valores para seguir la operación de división:

Así el resultado es el siguiente: 3753 entre 139 = 27 veces.

Las características de la yupana o tabla de cálculo de los incas:

Los números los representaban con elementos concretos: piedras, granos,

fichas, etc.

Atribuimos a la yupana la función del ábaco: servir como mesa de calcular o

artefacto para realizar en él cálculos. El propósito de la yupana era evitar el

uso de la memoria que es tan frágil para hacer calculaciones, y usar un

sistema en el que se podía tener confianza en la precisión y validez de los

resultados. En las operaciones de multiplicar y dividir no dependía de las

tablas de calculación que eran una amenaza y por eso incorporan una

técnica que dejaría de lado la memorización. Los cronistas observando a los

oficiales haciendo calculaciones en la yupana en cumplimiento de sus

deberes administrativos expresaron su asombro con la rapidez con que

obtuvieron sus resultados que admitieron eran mejores que los métodos

usados por los invasores europeos.

La base de la numeración era decimal.

Lo fundamental del sistema estaba constituido por estas creaciones:

a) La distribución de sus elementos visuales de acuerdo a las posiciones

predeterminadas facultando la visualización y disociación de números.


48

b) Representación de la memoria artificial, permitiendo la transferencia de

una orden a otra.

c) Utilización de una tabla de apoyo basada en la progresión de números

primos 1-2-3 y 5 capacitada para efectuar operaciones complejas. (Burns,

2010)

1.5.3. Modelo Radicati (NC3)

Es un ábaco con escaques de 5 filas x 4 columnas con amontonamiento de

fichas en algunos casilleros. Este modelo puede realizar sumas de hasta 4

sumandos de 5 cifras. Propone un modelo grande de 7 filas x 6 columnas para

realizar operaciones aritméticas de millones. La resta se realiza con el

minuendo en una columna y el sustraendo en otra. La multiplicación se realiza

en una yupana cuadrada de 6x6, después de realizar la operación emplea un

proceso de simplificación para mostrar el resultado. Calcula el valor de la

yupana de la Figura 2, proponiendo que se trata de la suma de 4 números cuya

resultado es 53,636. Radicati (2006) a continuación comenta y explica con

detalle el procedimiento, explicando la realización de tres operaciones

aritméticas.

A. SUMA

La operación más sencilla es la suma, que los incas ejecutaban disponiendo

las fichas correspondientes a los varios sumandos en los respectivos casilleros

de cada una de las columnas del ábaco. A fin de comprender el procedimiento

que se debió seguir para sumar con la yupana, escogeremos las mismas cifras

del ábaco de Guamán Poma, representadas por los puntos negros de los

casilleros (21512, 11013, 20110 y 1001) que sumadas horizontalmente, de

acuerdo con el sencillo método de agrupación de fichas en un solo casillero,

arrojan un total de 53,636. El planteamiento de la operación y la manera de

realizarla es como sigue:

1. Comenzando por la primera columna de escaques de la izquierda (A), se

colocan dos fichas en la casilla de la primera posición (unidades), una ficha


49

en la segunda posición (decenas), una ficha en la cuarta posición (millares)

y dos fichas en la quinta posición (decenas de millares), con lo cual se

consigna la cantidad de 21,512.

Igual procedimiento se sigue para representar las otras tres cantidades o

números (11013, 20110 y 1001) en las restantes tres columnas (B, C y D).

2. Enseguida se reúnen en la columna D todas las fichas de los otros

casilleros, de acuerdo con la respectiva altura o posición. El resultado será

el siguiente: seis fichas en el casillero de primera posición, tres en el de la

segunda, seis en el de la tercera, tres en el de la cuarta y cinco en el de la

quinta; numeración que, leída verticalmente de arriba hacia abajo, resulta

53,636 y representa el total de la suma.

A B C D

5

3

3

6

6

5 Posición: decenas de

millares

4 Posición: millares

3 Posición: centenas

2 Posición: decenas

1 Posición: unidades

A B C D

21512 11013 20110 1001

Figura 1.19. Suma del modelo Radicati.

No esta demás advertir que, debido al sistema de posición como determinador

del valor de los números, los casilleros del ábaco que no contienen fichas

indican precisamente el vacío, o sea el cero, tres cifras de nuestra suma

presentan esta particularidad y son: 11013, 20110 y 1001.

Preciso es también recordar que los incas conocieron el proceso de

simplificación, aunque en el caso de la operación planteada en el ábaco de

Guamán Poma no haya sido necesario practicarlo. Pero si supusiéramos que

los cuatro sumandos hubiesen sido por ejemplo, 10568, 8389, 4265 y 4434,

comprobaríamos que el quipucamayoc, después de haber distribuido

debidamente las fichas en las respectivas casillas y haberlas juntado en las

casillas de la columna D, se habría visto obligado a simplificarlas comenzando

por el casillero de primera posición, en el cual, de las fichas reunidas (26)

dejaría sólo aquéllas de las unidades (6) y trasladaría las restantes (20) al


50

casillero superior de segunda posición, pero convertidas en decenas, o sea,

dos fichas. Igual procedimiento de reducción de fichas y su traslado hacia

arriba, que muy bien podría ser definido con el término de llevar, tan usado en

nuestra práctica aritmética, seguirá el quipucamayoc empleando hasta llegar al

último casillero, que corresponde a la quinta posición, y con ello obtendría el

total de 27,656.

A B C D

1(+1) = 2

16(+1-10) =7

23(+2-20) = 5

14(+2-10) = 6

26(-20) = 6

10,568 8,389 4,265 4,434

A B C D E F

7 POSICION MILLONES

6 POSICIONCENTENAS DE

MILLAR

5 POSICIONDECENAS DE

MILLAR

4 POSICION MILLARES

3 POSICION CENTENAS

2 POSICION DECENAS

1 POSICION UNIDADES

(II)(I)

Figura 1.20. Proceso de simplificación (I) y Modelo Grande de Radicati (II)

Es de suponer también que entre los incas existieron ábacos más grandes de

aquel que Guamán Poma representó en su esquema, los cuales, por disponer

de una mayor cantidad de columnas de escaques, hicieron posible el cálculo

con un número mayor de cifras; y que, por incluir en cada columna más

casilleros dispuestos en posiciones superiores (6° y 7°) permitieron igualmente

calcular con cifras más elevadas, con los centenares y los millones. En efecto,

con un ábaco cuyo esquema presentamos a continuación, es posible, por

ejemplo sumar hasta seis cifras, calculando inclusive los millones.

B. RESTA

Por lo que toca a la resta, podríamos imaginarnos que fuera preciso restar

1665 de 16222 unidades. Para la realización de una operación semejante se

debería emplear la yupana de la siguiente manera.

1. Se principiaría por plantear la operación mediante la colocación en la

columna A de las fichas que forman el minuendo (16222) y en la columna B

de aquellas que indican el sustraendo (1665).

2. A continuación se retiraría del casillero de primera posición de la columna A

(minuendo), un numero de fichas igual al de la columna B (substraendo),


51

pero como esto resulta imposible, pues no se pueden retirar cinco fichas

donde sólo hay dos, se tendría que “tomar prestada” una ficha del casillero

de segunda posición de la columna A, que, al descender al de primera

posición, quedaría convertido en diez fichas propias de este casillero, las

cuales agregadas a las dos originales, sumarían doce: de ellas se retirarían

la cinco del substraendo, permaneciendo siete fichas en el casillero.

Enseguida se aplicaría el mismo procedimiento para la resta de los casilleros

de segunda y tercera posición: de cada uno de ellos se haría descender una

ficha que, convertida en diez y agregada a las originales haría posible retirar el

número indicado en el substraendo; en otras palabras de las once fichas de

cada uno de estos casilleros se retirarían seis, quedando solamente cinco.

En la cuarta posición, en que no se precisa “pedir prestada” ninguna ficha, se

retiraría simplemente una del conjunto original de cinco, quedando en el

casillero cuatro fichas. Por último, en la quinta posición, la ficha del minuendo

permanecería en su mismo casillero porque el casillero de la columna del

substraendo, por estar vacío, indica cero fichas.

1

4

5

7

A B

5 POSICIÓN

4 POSICIÓN

3 POSICIÓN

2 POSICIÓN

1 POSICIÓN

A B

16 222 1 665

(I) (II)

Figura 1.21. Proceso de resta Radicati

Para hacer más comprensible la operación, hemos, en este Figura 1.21(II),

rodeado con un circulo los puntos negros que indican las fichas que han

descendido al casillero inmediatamente inferior, y tarjado aquellos que, por

corresponder a la cantidad del substraendo, señalan las fichas que han sido

retiradas del casillero inmediatamente inferior, y tarjando aquellos que, por

corresponder a la cantidad del substraendo, señalan las fichas que han sido

retiradas del casillero. Como ya se habrá comprendido, los casilleros de la

columna A, que al inicio de la operación indican el minuendo, se convierten al


52

final de ella, en casilleros que marcan el resultado de la resta (14557), la cual

resulta ser, precisamente, de carácter residual.

C. MULTIPLICACION

La yupana era utilizada de la siguiente manera, en el caso, por ejemplo, de que

se quisiera multiplicar 254 x 137:

A B C D E F A B C D E F

4

5

2

4

5

2

12

15

6

28

35

14

0

0

28

47

33

11

2

8

9

7

4

3

1 3 7

Figura 1.22. Proceso de multiplicación Radicati

Antes de pasar a explicar el procedimiento seguido para el desarrollo de la

operación de multiplicación que hemos propuesto, diremos que el presente

esquema de ábaco (cuya replica con numeración arábiga reproducimos al

mismo tiempo), una ficha blanca, o redondela, representa diez fichas negras,

esto es puntos negros; y que en los casilleros de la columna E están las fichas

que se han agrupado al sumarlas diagonalmente con el fin de obtener el

resultado de la multiplicación, el cual, luego de las requeridas simplificaciones,

es consignado en la columna F.

El cálculo se realizaba colocando primeramente a lo largo del margen izquierdo

del tablero, los marcadores o fichas correspondientes al multiplicando y, a lo

largo del margen superior, los del multiplicador, de tal manera que las primeras

posiciones se mayor rango quedasen más cerca de la esquina superior

izquierda. Es evidente que cuando se empleaba el ábaco para multiplicar o

dividir, la primera columna vertical izquierda y la primera fila horizontal superior

de escaques, se destina exclusivamente para consignar multiplicando y

multiplicador o el dividendo y el divisor. Luego se procedía a llenar los

casilleros con el producto parcial de los guarismos correspondientes a su


53

propia fila y columna. Esto se hacía de un modo muy sencillo: juntando en la

respectiva casilla tantos grupos de fichas del multiplicador (fila superior de

escaques). Por ejemplo, en las columnas B, C y D, las 2, 6 y 14 fichas de los

casilleros de tercera posición (unidades) indican que en ellos se han colocado

uno, tres y siete grupos de dos, cinco y cuatro fichas. Una vez establecido en

las casillas el producto parcial de cada termino del multiplicando y del

multiplicador, se juntaban en los compartimientos de la columna E todas las

fichas que resultaren de la reunión realizada a través de los casilleros en forma

diagonal y ascendente. Por último, dichas fichas, ya distribuidas por altura en

los casilleros de la columna E, eran simplificadas y reducidas en los de la

columna F como resultado definitivo de la operación que, para el ejemplo de

multiplicación que hemos puesto, es 34798.

El principal inconveniente que debió presentarse fue el excesivo

amontonamiento de fichas en algunos casilleros. Sin embargo, estamos

seguros de que este obstáculo fue superado fácilmente mediante el empleo de

fichas de color distinto a las corrientes, para señalar conjuntos de estas últimas;

no sería extrañar, por ejemplo, que se indicase con valor de diez frijoles o

maíces negros a uno blanco o viceversa, tal como lo hicieron los mayas al

conceder valor de cinco marcas (frijoles o maíces) a una barra o palito de

madera. (Radicati, 2006)

1.5.4. MODELO ANSIÓN (NC4)

Los valores propuestos por Wassen son tomados para crear algoritmos de las

operaciones aritméticas cuyos resultados son simplificados. Las operaciones

de suma y resta usan dos columnas, además se requiere mucha práctica para

la multiplicación y división. Tiene un carácter formativo que permite al operador,

según su nivel ir pasando de lo concreto hasta un uso más abstracto de la

tabla.

Utilizaremos la yupana de la Figura 1.2. Para continuar, recomiendo al lector

se fabrique su propia yupana. Para ello, basta con trazar en cualquier hoja un

rectángulo de por ejemplo 25x20 cm, dividido en cuadrados de 5 cm. De lado,

de acuerdo al dibujo siguiente:


54

5

4

3

2

1

A B C D

Figura 1.23. Modelo Ansión de yupana

A. SUMA

Para sumar y restar, bastan las columnas A y B. Cada ficha colocada en A

representa 1 unidad, con un total de 5. Cada ficha colocada en B representa 5,

con un total de 15.

La fila 1 representa las unidades.

La fila 2 representa las decenas.

La fila 3 representa las centenas, y así sucesivamente.

Hagamos la suma 3593 + 8754 = 12347.

Colocamos primero el número 3593 en la tabla (para aligerar el dibujo, sólo

representaremos con un punto negro las fichas colocadas, no así los vacíos).

A B

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

A1 B1

5

4

3

2

1

C1 D1B2 A2D2 C2

(I) (II)

Figura 1.24. Número 3593 Ansión

La anotación (5 puntos) en A3 puede, según la conveniencia en Figura 24(I),

ser reemplazada, por un punto en B3. Si el operador lo estima conveniente,

puede colocar el número 8754 fuera de la yupana. Esto puede hacerse con

ayuda de otra yupana. Aunque no es imprescindible, como lo veremos más


55

adelante. Propongo que se coloque esta segunda yupana en simetría con la

primera, de manera siguiente (donde la tabla de la izquierda ha sido invertida,

ver Figura 1.24(II)).

Se procede entonces a trasladar las fichas de la yupana de la izquierda a la

yupana de la derecha, colocándolas en su respectiva columna. Se puede

trabajar en cualquier orden, aunque el más natural es el que empieza desde

arriba, sobre todo si el número a sumar no ha sido colocado al lado de la

primera yupana, y se suma mentalmente.

Traslademos primero todo lo que puede serlo sin problema: las fichas B2 a B1, y

las A2 a A1, hasta completar el número máximo permitido (de acuerdo al

número de círculos blancos) en cada casilla de la tabla de la derecha.

Obtenemos: (a) Nos damos cuenta de inmediato que la representación de 5

centenas en la fila 3 no fue la más conveniente, pues no nos permitió agregar

dos fichas en el respectivo casillero. Pero esto no es problema, porque ahora

vamos a simplificar todos los casilleros que estén completos, en este caso

todos los de la columna A1 que tengan 5 fichas: éstas son reemplazadas por

una ficha de la columna B1, en las filas respectivas, del modo siguiente: (b)

A1 B1B2 A2

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

(a)

A1 B1B2 A2

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

(b)

A1 B1B2 A2

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

(c)

A B

5

4

3

2

1

(d)

Figura 1.25. Suma, traslado y simplificación de fichas Ansión

Terminamos ahora la suma, trasladando el resto de las fichas de la yupana de

la izquierda: (c). Y simplificamos, reemplazando 2 fichas de la columna B por 1

ficha en la columna A de la fila superior: (d) que se lee: 12347.

Es notorio que con este procedimiento, podemos seguir sumando otros

números sin necesidad de simplificar de inmediato “hacia arriba”, es decir

pasando a un rango superior. En efecto, asumiendo los valores propuestos por

Wassén, una vez llenado el casillero B con 3 fichas, lo simplificamos

reemplazando estas fichas por 1 ficha en C (equivalente a 15), y lo mismo se

hace de C a D (15 x 2 = 30). Con estos valores, cada fila horizontal nos da un

máximo de 80.


56

B. RESTA

Para restar se procede de manera similar: Hagamos ahora la resta

12347 – 8754 = 3593

Colocamos 12347 en la yupana, y a la izquierda el número 8754 (hagámoslo

ahora sin la segunda yupana, colocando simplemente las fichas en las

posiciones correspondientes). Tenemos: (a) Restemos primero todo lo que

podamos, sacando igual número de fichas dentro y fuera de la yupana, de

acuerdo a las respectivas posiciones. (b)

A1 B1B2 A2

5

4

3

2

1

(a) (b)

A1 B1B2 A2

5

4

3

2

1

4

3 4

A B A B

(c) (d)

Figura 1.26. Simplificación en una resta Ansión

Observamos que por ejemplo obtenemos así, en la fila 4, lo siguiente:

(2-6) = (0-6), puesto que no queda nada en A, 4, y quedan 6 en A24 + B24.

Para proseguir, tenemos que hacer la operación inversa la simplificación.

Cambiamos así la ficha A5 por dos fichas B4, y luego una de éstas por 5 fichas

en A4, (c). Luego de restar, nos queda: (d) Tenemos que cambiar luego 1 ficha

de A4 por 2 fichas de B3 para poder hacer la resta en este nivel, y así

sucesivamente. Dejo al lector atento el cuidado de terminar la operación con la

yupana.

Observamos así que en el caso de la resta y la suma, el nivel de abstracción

requerido es algo mayor que en la explicación de Burns, pero el uso del

sistema quinario (base 5) no es complicado y permite una gran economía en el

empleo y manipulación de fichas. Verticalmente, se lee de arriba abajo,

mientras horizontalmente se lee de derecha a izquierda, pero también se puede

leer de izquierda a derecha si se coloca la yupana en “espejo”. Constatamos

además que para las operaciones de suma y resta bastan dos columnas, salvo

si queremos seguir sumando varios números sin previa simplificación.


57

C. MULTIPLICACIÓN

Utiliza la propuesta de Wassén para quien los valores son los siguientes:

A: Son 5 fichas de 1 unidad. Total: 5

B: Son tres fichas de 5 unidades. Total: 15

C: Son 2 fichas de 15 unidad. Total: 30

D: Es 1 ficha de 30 unidades. Total: 30

En la operación de multiplicación el numero 5 tiene una papel preponderante.

1. Para multiplicar un número de 1 a 9 por 5:

Toda ficha de la columna A es cambiada por una ficha de la columna B.

Toda ficha de la columna B es cambiada por: 1 ficha en C, y 2 fichas en

B.

(Esto último puede parecer algo complicado, pero con un poco de práctica

se vuelve muy fácil; y en caso de duda siempre se puede recurrir al método

más largo: llenar el casillero B, simplificar hacia la derecha, terminar de

colocar las 2 fichas restantes en B).

Para proceder a la multiplicación, se empieza por un casillero A. Cada vez

que se llena el casillero B, se simplifica, cambiando las 3 fichas por una ficha

en C.

A B

1

C D A B C D A B

1

C D

2

Figura 1.27. Ejemplo 9 x 5 simplificando el resultado pasando a la fila superior Ansión

En efecto en C1 con 2 fichas = D1 con 1 ficha= A2 con 3 fichas; y 2 fichas

de B1 = 1 ficha de A2.


58

2. Para multiplicar un número de 1 a 9 por un número de 1 a 4: se procede de

manera similar, haciendo pasar las fichas al casillero que está a su derecha

cada vez que es necesario.

3. Para multiplicar un número de 1 a 9 por un número de 6 a 9: Se multiplica

primero por 5, y se vuelve a multiplicar el número inicial por la diferencia

entre el multiplicador y 5, sumándolo.

Por ejemplo: 9 x 7

(9 x 5) es un resultado ya obtenido:

A B

1

C D A B C D

(9 x 5) + (9 x 2)

Multiplicando B por 2

A B

1

C D

2

A B

1

C D A B C D

Simplificando

Figura 1.28. Proceso de multiplicación Ansión

Para multiplicar A por 2, agarrar en la mano un número igual a A, es decir 4

fichas. Completar A. Quedan 3 fichas en la mano. Cambiar las 5 fichas de A

por 1 ficha de B. Colocar en A las 3 fichas sobrantes en la mano:

Es ahora fácil multiplicar cualquier número (hasta de 5 cifras con una sola

yupana, y de más si se agrega otra yupana en la prolongación de la primera)

por un número de 1 a 9, pues basta repetir la operación en cada fila horizontal,

y proceder a la simplificación general al final. Para mayor seguridad, es bueno

colocar el número a multiplicar fuera de la yupana, como lo hemos hecho para

la suma. Esto es indispensable cuando el multiplicador tiene 2 o más dígitos.

CASOS PARTICULARES

1) Si se multiplica por 9 un número que contiene 9 a su vez, se tendrá que ir

simplificando en algún momento “hacia arriba” en el transcurso de la

operación horizontal, salvo que se prefiera multiplicar el número, primero por

10 (elevando todas las fichas a la fila superior) y luego restar una vez ese

número.


59

2) Cuando se repite una misma cifra en el número por multiplicar (salvo en el

caso particular anterior), se facilita la operación, pues basta hacer una sola

vez el cálculo de los casos repetidos, y reproducirlo.

Ejemplo: 888 x 7 nos da: (a)

Simplificado: (b)

3

2

1

4

3

2

1

C DA B C DA B

(a)

(b)

Figura 1.29. Lo que se lee 6216 Ansión

VARIANTES POSIBLES

Para multiplicar por 8, sugiero multiplicar por (5 + 3), pero también se podría

multiplicar por (4x2) o por (2x2x2). Del mismo modo, con 9: (5 + 4) ó (3x3) ó

(10 – 1), con 6: (5 + 1) ó (3x2), con 4: (2 + 2) ó (2x2).

Me parece más fácil multiplicar por 5 y luego agregar la multiplicación por lo

sobrante, pero en casos particulares la otra forma puede ser más directa. A

partir de los principios ya expuestos, se puede también multiplicar por números

mayores.

Retomemos el ejemplo propuesto por Burns: 139x27=3753. Se empieza

multiplicando por 20. Una vez colocado 139 fuera de la yupana, se hace correr

ésta hacia abajo, de modo que las unidades se encuentren frente a las

decenas: colocando en su lugar respectivo las mismas fichas en la yupana, se

hace correr ésta hacia abajo, de modo que las unidades se encuentren a las

decenas: colocando en su lugar respectivo las mismas fichas en la yupana,

hemos multiplicado ya por 10. Se procede entonces a multiplicar cada una de

las cifras por 2, duplicando las fichas de cada casillero, y haciendo las

simplificaciones horizontales que sean necesarias. Obtenemos:


60

4

3

2

1

C DA B

4

3

2

1

C DA B

Simplificando: 2780

Figura 1.30. Multiplicando 139x20 Ansión

Hacemos correr nuevamente la yupana hacia arriba, de modo de hacer

coincidir el 9 de 139 (fuera de la yupana) con las unidades de la yupana, y

procedemos a multiplicar por 7, como hemos explicado (primero por 5 y luego

por 2).

Obtenemos así: (139 x 20) + (139 x 5)

4

3

2

1

C DA B

4

3

2

1

C DA B

4

2

1

C DA B

Simplificando: 3753

3

(I) (II) (III)

Figura 1.31. Multiplicando 139 x5 Ansión

Sin necesidad de simplificar, sumamos ahora (139 x 2). Obtenemos 3753.

Figura 31(III). También se puede proceder multiplicando sucesivamente cada

rango por el número 27, es decir (1 centena por 27) + (3 decenas por 27) + (9

unidades por 27). En este caso, es imprescindible partir siempre desde arriba.

De este modo, nos damos cuenta que quedan espacios en blanco como en la

tabla de la Figura 1.2. Y no necesitamos utilizar tablas de apoyo.

Es interesante observar que la tabla puede ser utilizada con un nivel mínimo de

abstracción, por una persona relativamente inexperta que hace las operaciones

con un desplazamiento concreto de fichas, sin necesidad de conocer las tablas

de multiplicar, pero por otro lado, conforme el operador se va familiarizando con

el procedimiento y tiene mayor agilidad mental, es muy fácil sacar etapas, y en

este caso las operaciones se vuelven muy rápidas.

Tomemos el ejemplo de 4 x 5.


61

Procedimiento más seguro y más lento: agarrar en la mano las cuatro fichas

A para colocarlas en B; colocar primero 3 de ellas; simplificar

reemplazándolas por una ficha en C; colocar la última ficha en B.

Procedimiento más rápido: colocar de frente 1 ficha en C y una ficha en B,

sabiendo que 4x5 = (5x3) + 5 = 15 + 5.

D. DIVISIÓN

La división es también perfectamente factible mediante este sistema, y no

requiere tampoco tablas de apoyo. En realidad se procede de una manera

similar a la que conocemos. Tomemos el ejemplo 3753:27 = 139.

Colocamos el numerador en la yupana. En la fila superior (A4), tenemos 3, que

no es divisible entre 27. Pasamos entonces a la fila siguiente. Entre las filas 3 y

4, tenemos 37. Visualmente, sacamos 27 una vez (2 “decenas” de A4, y 7

“unidades” de A3 y B3). Nos queda una ficha en A4, y colocamos 1 ficha como

respuesta en el lugar de las centenas, fuera de la yupana.

Se cambia entonces la ficha de A4 por dos fichas de B3, y una de estas por

cinco fichas en A3:

4

3

2

1

C DA B

4

3

2

1

C DA B

4

3

2

1

C DA B

Figura 1.32. Proceso de división Ansión(1)

Se reemplaza 1 ficha de A3 por 2 fichas en b2. Salen 2 veces 27 en el nivel de

las decenas. Se reemplaza B3 por 5 unidades en A3, y se cambia 1 ficha de A3

por 2 fichas de B2.

4

3

2

1

C DA B

4

3

2

1

C DA B

4

3

2

1

C DA B



62

Aquí surge un problema, porque para obtener 7 en la fila 2, sería necesario

llenar A2 con 5 fichas, pero esto no es posible por la presencia de una ficha,

salvo que se haga una operación mental, o que se rompa la regla de no llenar

los casilleros con más fichas de las previstas. Si se quiere evitar ambas cosas,

es necesario cambiar la ficha de A2 por dos fichas en B1. Una vez procedido

así, y colocadas las 5 fichas en A2, se resta una vez más 27, y se coloca una

ficha más en la respuesta de decenas:

4

3

2

1

C DA B


En la filas 2 y 3, quedan 23 decenas que ya no pueden ser divididas. Bajando a

las unidades, observamos de inmediato un 27 que puede ser restado (2 fichas

de A2 + 1 ficha de B1 + 2 fichas en A1). Se sacan las fichas correspondientes y

se coloca una ficha en la respuesta de las unidades. Y así sucesivamente. En

algún momento, volveremos a encontrar a nivel de la fila 1 la dificultad con que

tropezamos anteriormente, es decir la imposibilidad de cambiar una ficha B por

5 fichas A. Nada nos impide bajar entonces a un nivel inferior, con otra yupana

o sin ella, para volver luego a colocar las fichas en su sitio cuando haya

espacio. De este modo en la división se va restando sucesivamente, en cada

nivel, el valor del divisor, el número de veces que sea necesario. (Ansión,

1990).

1.5.5. Modelo Pereyra (NC5)

La cantidad de círculos existentes en una casilla indica el valor que se dará a

cualquier ficha colocada en dicha casilla. Describe la realización de tres

operaciones aritméticas con reducciones y simplificaciones. En la suma hay

que escribir en la yupana los sumandos sucesivamente, en la resta hay que


63

usar dos colores para el minuendo y sustraendo y para la multiplicación hay

que utilizar una tabla de 36 productos.

Pereyra (1990) presenta su modelo en la Figura 1.35-I. En este sistema los

números 352 y 6394 se escribirían como en la figura 1.35-II

5 3 2 1 5 3 2 1

102

10

1

5 3 2 1

103

104

(II)(I)

Figura 1.35. Modelo Pereyra(I) y representación de numerales 352 y 6394 (II)

Veremos ahora la forma en que pueden efectuarse las operaciones aritméticas

con la yupana interpretada de esta manera.

A. SUMA

La operación de sumar responde al principio general de reunir cosas. Así,

como por ejemplo, la suma 2 + 7 corresponde a la idea

XXXXXXXXXXXXXX =

Para sumar con la yupana seguiremos las siguientes reglas:

1. Escribir los sumandos sucesivamente, cada uno de ellos sin eliminar lo

escrito anteriormente.

2. Lo anterior dará como resultado que en varias casillas haya más de una

ficha y/o que exista una simplificación posible.

3. Hacer las reducciones necesarias hasta conseguir que haya a lo sumo una

ficha por casilla, y que no quede pendiente simplificación alguna.

4. Algunos ejemplos de las reducciones son:


64

2 15 3 2 15 32 15 3 2 15 3

Figura 1.36. Ejemplos de reducciones Pereyra

Ejemplo: Efectuar la suma 352 + 6394 = 6746

5 3 2 1 5 3 2 1 5 3 2 1 5 3 2 1 5 3 2 1

Figura 1.37. Sumar 352 y 6394 Pereyra

B. RESTA.

En la suma no existe ninguna necesidad de diferenciar a los sumandos unos de

otros. En cambio, en la resta precisamos distinguir el minuendo del sustraendo.

Aquí con el propósito indicado, usaremos círculos negros para minuendo y

círculos blancos para el sustraendo.

Ejemplo 1: 8 – 2 = 6

5 3 2 1 5 3 2 1

Observando el primer diagrama, apreciamos que se puede efectuar la resta 3 –

2 = 1. Por lo tanto, la ficha negra de valor 3 y la ficha blanca de valor 2 las

reemplazamos por una ficha negra de valor 1.

Ejemplo 2: 8 – 6 = 2

5 3 2 1 5 3 2 1

Como la primera casilla hay una ficha negra y una blanca, las eliminamos

(5 - 5 = 0), y luego efectuamos la resta 3 – 1 = 2.

Ejemplo 3. 33 - 22 = 11


65

5 3 2 1 5 3 2 1

Ejemplo 4. 25 – 14 = 11

5 3 2 1 5 3 2 1 5 3 2 1

Figura 1.38. Resta de 25 menos 14 Pereyra

Nótese en los dos ejemplos que: (a) las restas se hacen fila por fila, y (b) la

resta en una fila es posible cuando la ficha negra está a la izquierda de la ficha

blanca (el minuendo el mayor que el sustraendo).

Ejemplo 5. 12 – 3 = 9

5 3 2 1 5 3 2 1 5 3 2 1


La resta de la primera fila no se puede realizar porque la ficha blanca está a la

izquierda de la ficha negra. Para superar esta situación, reemplazaremos la

ficha negra de valor 10 por dos fichas negras de valor 5. Efectuando la resta 5

– 3 = 2 se obtiene el resultado final.

Obsérvese que el segundo paso se puede obviar si efectuamos directamente la

resta 10 – 3 = 7.

En general, se puede simplificar mucho nuestro procedimiento casi mecánico

de resta si se efectúan directamente las restas tales como 10 – 1 = 9, 100 - =

99, 100 – 2 = 98, 500 – 1 = 499, etc.

Ejemplo 6. 8235 – 6736 = 1499


66

5 3 2 1 5 3 2 1 5 3 2 1 5 3 2 1 5 3 2 1


Resumiendo el procedimiento de la resta consta de los siguientes pasos:

1. Escribir en la yupana el minuendo y el sustraendo con fichas de colores

distintos (representados por ● y ○).

2. Retirar las dos fichas cuando en la casilla hay una ficha negra y una blanca.

3. En cada fila, efectuar las restas posibles (hay una ficha negra a la izquierda

de una ficha blanca.

4. Simplificar cuando sea necesario.

5. La resta termina cuando quedan en la yupana solamente fichas negras.

C. MULTIPLICACION

Utiliza una tabla de por lo menos 36 productos que son los que se indican en el

siguiente gráfico:

2 3 4 5 6 7 8 9

2

4

3

5

7

6

9

8

x

Figura 1.41. Tabla de multiplicar Pereyra

1. En cuanto a las sumas parciales, excepto el posible congestionamiento de

fichas, parece viable el procedimiento indicado por Radicati, que consiste en

juntar en las casillas de la columna E los contenidos de las casillas ligadas

por flechas.

2. Todo proceso de la multiplicación se efectúa en un tablero que ya no es la

yupana.


67

Ahora mostraremos la forma de realizar la multiplicación según nuestro modelo;

pero, como cosa previa, indicaremos dos cosas:

a) Estando un número representado en la yupana, para multiplicarlo por 10

basta con correr todas las fichas un lugar hacia arriba. Se procede

análogamente para multiplicarlo por 100, 1000, etc.

Ejemplo.

5 3 2 1 5 3 2 1 5 3 2 1

371 3710 37100 Figura 1.42. Multiplicación por 10 y 100 Pereyra

b) Para multiplicar con la yupana resulta muy cómodo retener en la memoria

una pequeña tabla de multiplicar de sólo 6 productos, indicados en el

siguiente esquema:

2 3 5

2

5

3

x

En realidad no es necesario memorizar esta tabla, ni siquiera tenerla

registrada, pues basta mirar la yupana con la que operamos para conocer de

inmediato todos los valores de la tabla. En efecto, para saber el resultado de

3x5 basta mirar la primera columna y contar el número de círculos que hay en

tres de sus casillas, y así para los demás productos.

Teniendo en cuenta lo anterior y recordando que en nuestro modelo los

números se escriben en base a la sucesión 1, 2, 3, 5, podemos efectuar el

producto 384x25 indicando primero los pasos en nuestra notación habitual:

384 x 25 = (300 + 50 + 30 + 3 + 1) x (20 + 5)

= (300 + 50 + 30 + 3 + 1) x 20 + (300 + 50 + 30 + 3 + 1) x 5


68

Para hacer la multiplicación primero por 10 (operación antes descrita) y luego

por 2 (según la tabla de multiplicar). Esta operación está indicada en la

siguiente secuencia:.

5 3 2 1 5 3 2 1 5 3 2 1

384 384 x 10 = 3840 384 x 10 x 2 = 7680 Figura 1.43. Multiplicación por 10 y luego por 2 Pereyra

Para efectuar la multiplicación por 5, procedemos así:

5 3 2 1 5 3 2 1 5 3 2 1

384 384 x 5 1920

Figura 1.44. Multiplicación por 5 Pereyra

Sumando 7680 + 1920, obtenemos el resultado que buscamos.

5 3 2 1 5 3 2 1

7680 + 190 9600

Figura 1.45. Resultado de la multiplicación Pereyra

Consideramos importante recalcar que la más indispensable tabla de

multiplicar usada en nuestros días (que es también la usada en el modelo

Radicati) contiene 36 productos; en cambio, la tabla necesaria de nuestro


69

modelo incluye solamente 6 productos que, además, son de los números más

pequeños. Es, pues, apreciable la ventaja ya que los tamaños de las dos tablas

están en la relación de 1/6. (Pereyra, 1990)

1.5.6. Modelo Rivas (NC6)

Presenta una yupana girada 90° sentido horario, con valores diferentes para

cada uno de los círculos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10 y 55. Con estos valores

puede llegar a representar numerales de más de un millón. No describe

ninguna operación aritmética.

Según Rivas (2010) menciona si cada circulo tuviera el mismo valor sería

suficiente un solo espacio donde los círculos (oquedades) se colocarían sin

orden ni disposición alguna, el hecho de que hay un escalonamiento, significa

que existe un orden creciente de avalores asignados a cada círculo (oquedad).

Nosotros asignaremos un valor de menos a más siguiendo una dirección

horaria. Los valores que se asignaron a cada circulo (oquedad), sería de la

siguiente forma.

40 unidades

12 unidades

3 unidades

10 9 8

7 6

5 4

3

2 1

¿?

Memoria

Total = 110 unidades

10 9 8

7 6

5 4

3

2 1

55

(a) (b)

Figura 1.46. Valores de la primera columna modelo Rivas

Recordemos que 55 es: 5 veces 11; por lo tanto en cada columna habría que

colocar 11 círculos, 1 más de los 10 necesarios. Esta dificultad fue

transformada en ventaja, pues cada círculo del dibujo (en realidad es una

oquedad labrada en la superficie de la yupana) servía para alojar un grano de

quinua o piedrecitas, representando el valor descargado a partir de quipu. Al

llenar todas las oquedades con valores de 1 a 10, como ya se dijo, la suma es


70

de 55 unidades, este resultado probablemente fue trasladado a la oquedad que

se halla al pie de la yupana, de este modo, esta oquedad había tomado la

función de Memoria, de modo que las oquedades superiores (del 1 al 10)

quedaban nuevamente libres, duplicando de este modo su capacidad esto: 55

+ 55 = 110 unidades (Figura 1.46b).

Las columnas hacia la izquierda tienen valores, cada vez, diez veces

superiores a las que las anteceden. Si separamos a la Figura 1 la yupana.

Borramos todos los círculos y los trazos horizontales b, c, d y e, de la yupana

nos quedamos con el armazón de un quipu. (Figura 1.47)

a

b

c

d

e

Figura 1.47 Armazón de un quipu obtenido de la yupana modelo Rivas

100000

90000

80000

70000 60000

50 00040 000

30 000

20000 10000

550000

840 000

10000

9000

8000

7000 6000

5000 4000

3000

2000 1000

55000

14 000

1000

900

800

700 600

500 400

300

200 100

5500

4 100

100

90

80

70 60

50 40

30

20 10

550

730

10

9

8

7 6

5 4

3

2 1

55

21 = 858 851

21

730

4100

14 000

840 000

8 5 88 5 1

Ce

nte

na

de

mill

ar

De

ce

na

s

de

mill

ar

Mill

ar

Ce

nte

na

s

De

ce

na

s

Un

ida

de

s

Figura 1.48. Modelo Rivas y valores en un quipu

Los valores obtenidos de la yupana que aparece al costado del Curaca Condor

Chahua (Figura 1.1). Estos valores son trasladados al quipu, columna por


71

columna, ahorrando el esfuerzo mental que manejamos nosotros, como “llevo

por cantidad a la siguiente columna”. Sumemos los valores que representan los

círculos con fondo oscuro y trasladamos los resultados al quipu de la Figura

1.48. La lectura de la yupana de la Figura 1.1 representa 858 851 unidades. El

valor límite que se puede calcular en la yupana es 1‟222,210 unidades.

100 000

90 000

80 000

70 000 60 000

50 000 40 000

30 000

20 000 10 000

550 000

1100 000

10 000

9000

8000

7000 6000

5000 4000

3000

2000 1000

55 000

110 000

1000

900

800

700 600

500 400

300

200 100

5 500

11 000

100

90

80

70 60

50 40

30

20 10

550

1 100

10

9

8

7 6

5 4

3

2 1

55

110 = 1'222 210

110

1100

11 000

110 000

1'100 000

1 2 22 2 1

Ce

nte

na

de

mill

ar

De

ce

na

s

de

mill

ar

Mill

ar

Ce

nte

na

s

De

ce

na

s

Un

ida

de

s

0

Mill

ón

Figura 1.49. Valor máximo del Modelo Rivas y su traslado al quipu

1.5.7. Modelo Chirinos (NC7)

La yupana no tiene uniformidad de valores para todos los casilleros de una fila.

Los valores de su modelo empiezan con decimales (0.1), continua con una

serie aritmética cuya razón es 0.1 y termina la primera fila con 1.1. Analiza la

estructura básica de la yupana en columnas, cuadrantes y partes. Diferencia

tipos de casilleros: centrales, emparejados y pareada. En el uso de fichas

propone dos representaciones: diagonal y concreta. Describe una forma de

representar la yupana con piedras en el suelo usando piedras guía. Explica la

realización de las cuatro operaciones aritméticas usando tablas guía.


72

11000

10000

9000

8000

7000

6000

5000

4000

3000

2000

1000

1100

1000

900

800

700

600

500

400

300

200

100

110

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1.1

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

Figura 1.50. Valores del Modelo Chirinos

Chirinos (2010) utiliza los valores empezando con decimales (0.1). También

podría empezarse desde 1, pero el concepto de “la representación pareada de

números”, que explicaremos más adelante, justifica a partir de 0.1.

Estructura básica de la yupana: Columnas, Cuadrantes y partes

1. Columnas o “huachus”. Si sumamos verticalmente los valores asignados

para la segunda fila nos dan como resultado seis valores todos múltiplos de 5

(a excepción del 1, que es múltiplo de 0.5). Ver Figura 51-I

2. Cuadrantes o “suyus”. Si sumamos los valores de los cuadrantes tendremos

de derecha a izquierda: 1, 5, 15, 45.(Figura 51-II)

3.

11

10

9

8

7

5

6

4

3

2

1

Cuadrante Izq.

Segunda

fila por

cuadrantes

45 15 5 1

Cuadrante Dch. Cuadrante Izq.Cuadrante Dch.

11

10

9

8

7

5

6

4

3

2

1

4 columnas 2 columnas

Segunda

fila por

columnas

30 15 10 5 5 1

(I) (II)

Figura 1.51. Valores de segunda fila por columnas y cuadrantes Modelo Chirinos

4. Partes o “sayas”. Finalmente sumemos las dos mitades de la fila, la parte

derecha por un lado y la parte izquierda por otro: Una primera conclusión es

que el valor de la parte izquierda es 10 veces superior a la parte derecha.


73

11

10

9

8

7

5

6

4

3

2

1

Parte Izq.

Segunda

fila por

partes

60 6

Parte Dch.

Figura 1.52. Valores de la segunda fila por partes Modelo Chirinos

La yupana en Diagonal

Podemos apreciar que por filas la yupana tiene una base sexagesimal (66,

660, 6600, 66000). Los sumerios, de los que se dice inventaron el primer

sistema de escritura, usaron una base sexagesimal. Los incas usaron una base

decimal, pero al mismo tiempo parece que combinaron usos donde el 5, el 6 y

el 12 tuvieron un papel importante, como se puede apreciar en la yupana. En la

cultura occidental, aun cuando tenemos una base predominantemente decimal

usamos muchas medidas de base sexagesimal o duodecimal. Por ejemplo las

horas, los meses, pies, picas, etc. Cuando vemos la yupana en forma diagonal,

observamos que cada diagonal tiene un valor duodecimal o sexagesimal si

contamos solo la mitad de la diagonal.

Tipos de casilleros de las yupanas: centrales y emparejados

Casilleros centrales o “únicos” – “chulla”

Consideremos la perspectiva al interior de la propia fila para fijarnos en la

ubicación de cada casillero. Desde esta perspectiva hay tres casilleros

centrales, que se caracterizan por ser los “únicos” que pueden ir solos, sin par

que los acompañe (Figura 1.53-I)

Los casilleros “emparejados” – “pitu”

Los demás casilleros son el lado superior o inferior en su respectiva columna.

Podemos considerarlos cuatro pares de casilleros cuyos valores son todos

múltiplos de cinco. (Figura 1.53-II)

11

10

9

8

7

5

6

4

3

2

1Casilleros

emparejados

20 10 515

11

10

9

8

7

5

6

4

3

2

1

Casilleros

centrales

o “únicos”

10 5 1

(I) (II)

Figura 1.53. Casillero central y emparejado de la segunda fila Modelo Chirinos


74

Representación pareada

Consideremos representación pareada de números cuando utilizamos los dos

casilleros de un par (superior e inferior) y/o algún(os) casillero(s) centra(es).

Ver Figura 54-I. Por otro lado, una representación como la que utilizamos en la

figura abajo sería considerada desparejada. (Figura 1.54-II)

11

10

9

8

7

5

6

4

3

2

1Representación

despareada del 36

11

10

9

8

7

5

6

4

3

2

1Representación

pareada del 36

(I) (II)

Figura 1.54. Ejemplo de representación pareada y despareada Modelo Chirinos

Es la forma utilizada en el dibujo de Guaman Poma (Figura 1.1). La experiencia

pedagógica que hemos tenido nos ha hecho ver que bajo esta forma hay

demasiadas posibilidades diferentes de poner los números y la automatización

de los procesos de cálculo sería difícil. La dificultad aumentaría de no utilizarse

el tablero: Sin embargo no hay que descartarla, las formas no pareadas pueden

tener utilidad en juegos y otros procesos que aún desconocemos.

Representación concreta

Llamamos representación “concreta” a la representación que implica usar un

máximo de 5 fichas para los números del 1 al 9; sean unidades, decenas,

centenas, miles o decenas de miles: La única diferencia con la representación

diagonal es que para la representación del 5 utiliza solamente una ficha (el

casillero del 5 en el medio). De esa manera, se sale de la diagonal que definen

las dos mitades de la yupana. Aun así la representación del número se da en

dos trazos uno recto y otro diagonal que por comodidad llamaremos también

trazo diagonal. La representación concreta es la forma que permite realizar

cálculos con mayor rapidez y es la que más se adapta al uso con piedritas o

semillas en el suelo, sin tablero.

La simplificación de valores en la representación concreta

A fin de facilitar el aprendizaje de las operaciones, podemos “simplificar” los

valores de la yupana que hemos presentado. Así consideremos el promedio de

todos los valores próximos a 1 como que si tuvieran valor de 1 y así

sucesivamente en cada diagonal. (Es decir el 0.9 y el 1.1 los “promediamos” y


75

les damos valor de 1). Mostramos también los valores promedio o simplificados

que adquieren en la yupana los números próximos a 1, 10, 100 y 1000: Lo que

antes mencionamos con valores de 9, 10 y 11 los podemos promediar en 10 y

así sucesivamente las demás potencias de 10.

10000

10000

10000

5000 1000

1000

1000

1000

500 100

100

100

100

50 10

10

10

10

5 1

1

1

1

0.5 0.1

Figura 1.55. Valores usados en la representación concreta Modelo Chirinos

1 2 3

4 5 6

Figura 1.56. Representación “concreta” de números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 Modelo Chirinos

9 107 8

Figura 1.57. Representación “concreta” de números 7, 8, 9 y 10 Modelo Chirinos


76

47694802 2427

Figura 1.58. Ejemplos de representación concreta Modelo Chirinos

LA YUPANA: QUIPO DE PIEDRECILLAS

A fines del año 2009, después de unos dos años de práctica, comenzamos a

utilizar la forma como ahora denominamos “concreta”. Hasta esa fecha,

utilizamos una representación cuya única diferencia fue utilizar dos fichas para

el 5, es decir, la forma que ahora denominamos “representación diagonal”. La

“representación diagonal” puede parecer más lógica si es que se usa el tablero.

Resaltamos esta condición, puesto que por testimonios del siglo XVI parece

que era más frecuente usar solo las piedrecitas (maíces o frijoles) en el suelo.

La representación concreta tiene dos importantes ventajas:

1. Se pueden acelerar notablemente los cálculos, ya que hay que mover menos

fichas o piedritas.

2. Después de alguna práctica se facilita prescindir de usar el tablero, ya que

se pueden colocar las piedras en el suelo bastando cinco puntos guías a

cada lado del tablero imaginado. Las piedras guía pueden ser de un color,

forma o tamaño diferente. Por ejemplo


77

guías guías

Figura 1.59. Forma de representar 9,999 con “piedritas” en el suelo usando piedras guía

Lo dicho sobre la mayor rapidez en los cálculos usando la representación

concreta no significa que la representación diagonal carezca de utilidad. Por un

año hemos comprobado que es posible usar dicha representación para hacer

los cálculos y es posible que sea la más recomendada para niños o adultos que

están poco habituados aún al uso de los números. Las formas de operar

mediante la representación diagonal son menos simbólicas y por tanto,

pedagógicamente, puede emplearse como un paso previo antes de la

representación que llamamos concreta.

A. SUMA (Aumentar, resumir y convertir en suma)

1. Aumentar (a). Se refiere al proceso mediante el cual, para sumar, solo es

necesario añadir fichas en la llamada “representación concreta”. Es el

proceso de suma más sencillo. No es necesario usar ninguna guía para este

proceso.

2. Convertir (→). Se refiere al proceso mediante el cual un número se

convierte en otro por efecto de la suma. Al convertirse pueden permanecer la

misma cantidad de fichas, disminuir o también aumentar. Se pueden

combinar los procesos de aumentar y convertir, por ejemplo 5 + 7, donde

hay que convertir 5 en 10 y aumentar 2. Las conversiones son siempre en 5

ó en 10, en su orden decimal respectivo. También hay que señalar que las

conversiones no dan el resultado de la suma, sino sólo muestran el proceso

que debemos aplicar. El resultado de la suma lo apreciamos al “leer” el

resultado en la yupana después de la conversión aplicada, incluyendo los


78

casilleros con fichas que no se han tocado. Para este proceso de

conversiones hay 17 guías que debemos conocer y memorizar.

3. Convertir y resumir. Por ejemplo, cuando sumamos 45+5 lo que haremos

en la yupana es convertir la ficha que vale 5 en 50 y retirar (resumir) cuatro

fichas equivalentes a 4 decenas. De manera similar si sumamos si sumamos

95+5: convertimos 5 en 100 y retiramos las cinco fichas equivalentes a

nueve decenas. Aunque las guías son casi las mismas que señalamos al

hablar de conversiones, debemos considerar que “convertir y resumir” es

una pequeña diferencia que hay que tener en cuenta. Las guías para este

proceso están en la Figura 60.

Guías para la suma en la yupana.

El orden de los sumandos es clave para elegir el procedimiento para realizar la

operación. Las guías que presentamos que presentamos abajo son los

procedimientos que usaremos para realizar las sumas. Habrá distintas sumas

que sin embargo usaran el mismo procedimiento. Parte del trabajo lo hacemos

nosotros, otra parte del trabajo lo hace la misma yupana, ya que las fichas que

no movemos también nos ayudarán a ver el resultado.

Figura 1.60. Guías para la suma Modelo Chirinos

La flecha → indica que el número que antecede es una de las fichas puestas

en yupana y el número tras la flecha indica que es el número al que debe

transformar. Por ejemplo:

1 → 5 significa “uno se convierte en cinco” es decir, que la ficha que está en el

casillero del 1 pasará al casillero del 5. Cuando decimos que “4 se convierte en

5” significa que retiramos las 3 fichas que corresponden al 3 fichas 1ue

corresponden al 3 y la ficha restante la movemos a la posición del 5.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 → 5 1 → 10

2 2 → 5 1 → 5 2 → 10 1 → 10

3 3 → 5 2 → 5 1 → 5 3 → 10 2 → 10 1 → 10

4 4 → 5 3 → 5 2 → 5 1 → 5 4 → 10 3 → 10 2 → 10 1 → 10

5 5 → 10 5 → 10 + 1 5 → 10 + 2 5 → 10 + 3 5 → 10 + 4

6 6 → 10 5 → 10 5 → 10 + 1 5 → 10 + 2 5 → 10 + 3 1 → 10

7 7 → 10 6 → 10 5 → 10 5 → 10 + 1 5 → 10 + 2 2 → 10 1 → 10

8 8 → 10 7 → 10 6 → 10 5 → 10 5 → 10 + 1 3 → 10 2 → 10 1 → 10

9 9 → 10 8 → 10 7 → 10 6 → 10 5 → 10 4 → 10 3 → 10 2 → 10 1 → 10


79

“7 se convierte en 10” significa que retiramos dos fichas del 7, y la ficha que

está ocupando el lugar del 5 pasa a ocupar la posición del 10.

Para hacer estos movimientos deberemos acostumbrarnos a usar las dos

manos, a fin de que ganemos agilidad y rapidez.

3 + 4 1 → 5 3 + 7 3 → 10

Figura 1.61. Proceso de suma Modelo Chirinos

B. RESTA (Extender, convertir y quitar en la resta)

1. “Extender y quitar”. Se refiere al proceso mediante el cual una cantidad

como 50 ó 100, (o un múltiplo decimal de estas cantidades), representadas

con una ficha, se extiende” en más fichas. Por ejemplo si restamos 50-5 lo

que haremos será extender el 50. Para extender un número se sigue la

dirección contraria al resumen (Ver Figura 1.62-I)

Una vez hecho así, convertimos el 10 (que está extendido) en 5. (Figura

1.62-II)

50 45

restamos 5

50 50

extendemos 50

(I) (II)

Figura 1.62. Extender 50 y Restamos 5 Modelo Chirinos

El par de casilleros con valor de 4 y 6 para la decena (igualmente para 100 ó

1000) es útil en algunas restas. “Extender y convertir” es el proceso opuesto

a “convertir y resumir” que aplicamos en la suma.

2. Convertir (→). Se refiere al proceso mediante el cual un número se

convierte en otro por efecto de la resta. Al convertirse pueden permanecer la

misma cantidad de fichas, disminuir o también aumentar. Igual que en el

caso de la suma, hay 17 guías de conversión que debemos comprender y

memorizar.


80

3. Quitar (q). Se refiere al proceso mediante el cual solo es necesario quitar

fichas en la llamada “representación concreta”. Es el proceso más sencillo

de la resta. No necesita guías.

Figura 1.63. Guías para la resta en yupana Modelo Chirinos

En la resta hay también 17 guías que nos orientan los procesos que debemos

aplicar. En algunos procesos que involucran al 6, 7, 8 y 9 hay que realizar dos

operaciones mentales descomponiendo cada uno de esos números en 5+1,

5+2, 5+3 y 5+4. Por ejemplo, si tenemos 12-7 diremos 10 → 5,q2 lo que

significa “10 se convierte en 5 y quitamos dos”.

C.MULTIPLICACIÓN

Repasemos lo términos de la multiplicación: El multiplicando es el número

multiplicado y el multiplicador es el número que muestra cuántas veces hay que

aumentar el multiplicando.

El requisito fundamental para operar la multiplicación en yupana es el

conocimiento de la tabla de multiplicar del 1 al 9. A fin de facilitar el progreso,

por conveniencia, el multiplicador lo pondremos al costado derecho de la

yupana, con fichas (o semillas o piedras) fuera del tablero. El multiplicando lo

pondremos en el tablero de la yupana, pero dejando la diagonal más arriba que

la posición que le correspondería. La diagonal libre servirá para colocar las

unidades resultantes del producto.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

5 5 → 4 5 → 3 5 → 2 5 → 1

6 5 → 3 5 → 2 5 → 1

7 5 → 2 5 → 1

8 5 → 1

9

10 10 → 9 10 → 8 10 → 7 10 → 6 10 → 5 10 → 4 10 → 3 10 → 2 10 → 1

11 10 → 8 10 → 7 10 → 6 10 → 5 10 → 5,q1 10 → 3 10 → 2 10 → 1

12 10 → 7 10 → 6 10 → 5 10→ 5,q1 10→ 5,q2 10 → 2 10 → 1

13 10 → 6 10 → 5 10 → 5,q1 10→ 5,q2 10→ 5,q3 10 → 1

14 10 → 5 10 → 5,q1 10→ 5,q2 10→ 5,q3 10→ 5,q4

15 5 → 4 5 → 3 5 → 2 5 → 1 10 → 4 10 → 3 10 → 2 10 → 1

16 5 → 3 5 → 2 5 → 1 10 → 3 10 → 2 10 → 1

17 5 → 2 5 → 1 10 → 2 10 → 1

18 5 → 1 10 → 1

19

En la columna de la izquierda: Minuendo en Yupana

En la fila superior: sustraendo


81

Multiplicador

en fichas 4 x 6

Multiplicado: Una

diagonal más arriba 4 x 34 x 1

Producto o

resultado

Figura 1.64. Multiplicación de 316 x 4 Modelo Chirinos

La colocación del multiplicador siempre la aconsejamos hacer en el costado de

la yupana y, siendo que es un número del que no vamos a mover ninguna

ficha, no es necesario utilizar una yupana en tablero (lo podemos hacer

siguiendo el modelo cuando nos referimos a la forma de usar la yupana con

piedras en el suelo).

Multiplicación de dos dígitos

Cuando el multiplicador tenga dos dígitos colocaremos el multiplicando,

dejando libres las dos diagonales de la parte baja de la yupana (unidades y

decenas), de manera que las unidades del producto las iremos colocando a

dos diagonales de distancia de las unidades del multiplicando.

Cuando señalamos estas distancias, es importante fijarnos que estamos

hablando de dos diagonales de distancia entre las unidades del multiplicando

con las unidades donde colocaremos el producto. Cuando multipliquemos esas

mismas unidades con las decenas del multiplicador, reduciremos esa distancia

a una sola diagonal de distancia. Lo mismos será cuando multipliquemos las

demás posiciones. Los productos siempre los colocaremos a dos diagonales de

distancia del multiplicando que estemos operando (sea este decena, centena,

millar, decena de millar, etc.) con la unidad del multiplicador y a una diagonal

de distancia cuando operemos con la decena del multiplicador.

Cuando el producto de unidades del multiplicador con unidades del

multiplicando sea de dos dígitos, por ejemplo 4x5=20, colocamos el valor de “2”

a una sola diagonal de distancia puesto que es como si estuviéramos

colocando un “0” a dos diagonales de distancia. La guía para ubicarnos son las

unidades del producto. Resolviendo en la misma práctica nos daremos cuenta


82

que no es tan difícil, lo importante es fijarse atentamente en qué diagonal

estamos trabajando.

Hay otras formas de multiplicar, e incluso muchos juegos de multiplicación que

se pueden hacer en yupana. Las formas que presentamos son solo las que

mejor resultado nos han dado, especialmente en el nivel de principiantes.

D. DIVISIÓN

Para la división en la yupana hay que considerar tres reglas básicas: A) Todos

los dividendos, del 1 al 9, los debemos imaginar como si tuvieran un 0 más. B)

De lo anterior se sigue que debemos colocar el cociente una fila por encima de

su valor, puesto que estamos añadiendo un “cero”. C) Por tanto, al leer el

cociente en la yupana debemos “quitarle” (mentalmente) el cero añadido.

Figura 1.65. Guías para la división de la yupana Modelo Chirinos

En las guías para la división, cada vez que decimos “es” significa que queda

ese número en la misma diagonal. Cada vez que decimos + significa que hay

que añadir el valor que corresponda (o sea el resto) en la fila inferior a donde

estaba la cifra que hemos dividido, es decir en el dividendo pendiente: de

manera que podemos leer el cuadro por columnas. Por ejemplo en la columna

del divisor 1 diremos:

1 entre 1 sube 1. (debajo:) 2 entre 2 sube 2. Explicación:

En la columna de la izquierda: El Dividendo. En la fila superior: El Divisor. Al interior del cuadro:

El Cociente y restos que deben añadirse

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 sube 1 es* 5 es 3, +1 es 2, +2 es 2 es 1, +4 es 1, +3 es 1, +2 es 1, +1

2 sube 2 sube 1 es 6, +2 es 5 es 4 es 3, +2 es 2, +6 es 2, +4 es 2, +2

3 sube 3

sube 1 es 7, +2 es 6 es 5 es 4, +2 es3, +6 es 3, +3

4 sube 4 sube 2

sube 1 es 8 es 6, +4 es 5, +5 es 5 es 4, +4

5 sube 5

sube 1 es 8, +2 es 7, +1 es 6, +2 es 5, +5

6 sube 6 sube 3 sube 2

sube 1 es 8, +4 es 7, +4 es 6, +6

7 sube 7

sube 1 es 8, +6 es 7, +7

8 sube 8 sube 4

sube 2

sube 1 es 8, +8

9 sube 9

sube 3

sube 1


83

Como todos sabemos, cualquier número dividido por 1 es igual al mismo

número que se divide. Por eso podría parecer innecesario dar esta regla. Pero

debe aplicarse si se tiene en cuenta que el divisor puede ser un numero de

varios dígitos, y el número que estamos dividiendo es solamente el digito que

está situado más a la izquierda (por ejemplo si el divisor es 12). En este caso,

el cociente puede no ser igual al dividendo (ver guías de división cuando el

divisor tiene más de un digito). Cuando decimos el término “sube” significa que

debemos poner el cociente en la diagonal que está justo arriba del número que

dividimos, al mismo tiempo que “sacamos” el número dividido. De esta manera

el cociente quedará una diagonal más alto que su verdadero valor.

Cuando decimos 1 entre 2 es 5 significa que cambiamos el 1 del dividendo por

un 5 en las misma diagonal. Cuando decimos 1 entre 3 es 3, +1. Significa que

el 1 del dividendo cambia por 3 en la misma diagonal y que además se le suma

1 (que es el resto) al dividendo, en la diagonal que está justo debajo del

cociente. (Chirinos Rivera, 2010, págs. 177-198)

Dividendo: 26204 6/3 sube 22/3 es 6, +2

3/3 sube 1

2/3 es 6, +2

1/3 es 3, +11/3 es 3, +1

Divisor:

3 ( en

fichas o

en

cordel)

3/3 sube 1 y

residuo es 2

Residuo

Figura 1.66. Ejemplo de la División desarrollado en gráfico Modelo Chirinos

1.5.8. Modelo Moscovich (NC8)

Propone una yupana en imagen espejo e invertida con hoyos negros y blancos

organizados siguiendo conceptos andinos. Describe un algoritmo para construir

la yupana de la Figura 2. Explica la realización de las cuatro operaciones

aritméticas.


84

La yupana según Moscovich (2006) representaría una tabla de contar en su

estado inicial –es decir, sin haber sido utilizada- y ya preparada para colocarle

encima/dentro piedras o granos y comenzar a contar. El análisis estructural

interno parecería indicar más bien que las marcas negras y blancas están

organizadas de una forma específica, en número y forma, lo que no parece

corresponder con la idea de piedras o semillas colocadas en la tabla en forma

aleatoria, o que representan un cálculo realizado con la tabla. Estos puntos

parecen ser más bien marcadores/hoyos en los cuales se colocaban piedras,

porotos, granos de quinua o de maíz para hacer cálculos. Como se ve en la

Figura 1.1, la yupana tiene 55 círculos en total, 23 negros y 32 blancos. Si se

cuentan las cuerdas colgantes de este quipu, se llega a la cuenta exacta de 55

cuerdas. No solamente esto, sino que si comparamos este quipu con otros

dibujados por Guamán Poma, vemos que este quipu esta subdividido en dos

partes. La primera, desde nuestra izquierda hasta el codo del contador, que es

el lugar de donde sale la cuerda colgante 23, tiene una cuerda principal más

gruesa: en este mismo lugar, en la cuerda principal, se ve un numero de mayor

tamaño. La cuerda colgante 23 en sí se ve más gruesa que las anteriores y

que las posteriores a ella, y se parece en su morfología a la “cola” de la cuerda

principal del quipu. Esto sugiere que Guaman Poma dividió este quipu en dos

partes, una con 23 cuerdas y otra con 32, teniendo un total de 55 cuerdas

colgantes.

Este tablero está basado según Moscovich (2007) en los conceptos andinos de

la complementariedad Hanan-Hurin. El negro y el blanco no son solamente

hoyos de un tablero, sino que este caso representan la idea andina de que en

una construcción debe tener una división en dos partes complementarias y

opuestas, en este caso entre los hoyos de color negro y los de color blanco.

Las 5 filas horizontales de Yupana tampoco son un azar. Estas simbolizan un

universo en sí donde las dos líneas de arriba (1ra y 2da) representan una

división Hanan-Hurin, alrededor de un centro que sirve como síntesis y

complemento a estas dos partes. Estas dos Hanan-Hurin (cuadripartición).


85

(50000)(500)(50)(5)

(40000)(400)(40)(4)

(30000)(300)(30)(3)

(20000)(200)(20)(2)

(10000)(100)(10)(1)

Figura 1.67. Modelo Moscovich

La línea gruesa a la derecha del casillero con un círculo estaría puesta

intencionalmente allí para determinar que este es el lugar desde donde

empieza a construirse el orden interno de la tabla dibujada, y seguramente

también desde donde empieza a contar. Que la línea continúe hacia abajo

significaría simplemente que el orden sigue hacia abajo y no hacia el costado.

Las columnas de la tabla están construidas de la siguiente manera:

1. Se empieza por arriba, por el círculo negro de la izquierda (demarcado en el

original por una línea negra a su derecha más gruesa que en el original llega

hasta la mitad de la casilla siguiente hacia abajo).

Un circulo = las unidades, empezando por el número 1. Se baja hasta el 5

que es blanco.

●↓○

● = 1

○ = 5 (“A”)

Aquí podemos nuevamente observar el elemento de la complementariedad

andina en acción: el número 1 es un círculo negro mientras que el 5, al

extremo opuesto del tablero, es blanco. El 5 y el 1 son complementarios y

opuestos.


86

2. Se vuelve hacia arriba otra vez, a la primera casilla de la segunda columna

donde se agrega un círculo del mismo color de este último ( en este caso

blanco), obteniendo así las decenas:

○↗○○ (A+1 círculo del mismo color= decenas)

5+5 = ○ + ○ = ○○ = 10

Se va hacia abajo hasta el quinto lugar (=50) donde ahora tenemos dos

círculos negros (su contrario/complementarios)

○○↓●●

○○ = 10

●● = 50 (“B”)

Notemos también la complementariedad/oposición negro-blanco entre la

primera casilla de la primera columna (contando desde arriba) y la primera

casilla de la segunda columna:

● (1ra columna-primera casilla) → ○○ (2da columna-primera casilla)

También, la oposición- complementariedad, en sentido contrario, entre la

última casilla de la primera columna y el último de la segunda columna:

○ (1ra columna, última casilla) → ●● (2da columna-última casilla)

3. Se va arriba a la primera casilla de la tercera columna donde se agrega un

círculo más del mismo color (3 círculos = 100), que se traduce en centenas:

●●↗●●● (=B+1 círculo del mismo color = centenas)

●● = 50

●●● = 100

Veamos ahora la complementariedad/oposición entre la primera casilla de la

primera, segunda y tercera columna vertical:

● (1ra columna) → ○○ (2da columna) → ●●● (3ra columna)

Y su contrario entre las últimas casillas de estas mismas columnas:

○ (1ra columna) → ●● (2da columna) → ○○○ (3ra columna)

Se va abajo hasta la quinta casilla donde tenemos 2 blancas y una negra

(=500):

●●●↓●○○ (mezcla)

●●● = 100

●○○ = 500 (“C”)

4. Se va arriba a la primera casilla de la cuarta columna donde se agregan dos

círculos, uno de cada color. Esto ocurre dado que la figura de tres círculos


87

(el número 500) es compleja en forma, contiene dos colores. Para seguir el

modelo de construcción establecido en esta yupana, en que se agrega cada

vez un círculo del mismo color, se debe entonces agregar un círculo de cada

color, o sea un circulo blanco y uno negro, resultando así en 5 círculos, que

se traduce por el número 10.000 (100x10x10):

●○○↗●●○○○ (=C + 1 círculo de cada color = decenas de mil)

O sea que, según esta serie, cada vez que agregamos un círculo, para pasar

a la próxima columna vertical, multiplicamos el primer número de la columna

anterior por 10. Al agregar 2 círculos hay que multiplicar por cien o dos

veces 10 (10x10). La cifra final es entonces: (10x10)x100 = 10.000.

Mientras que las casillas de la primera fila horizontal está construida en

forma simétrica con sus opuestos-complementarios:

● (1ra columna) → ○○ (2da columna) → ●●● (3ra columna)

(Aquí la casilla de la segunda columna es el contrario del de la primera, y el

de la tercera columna es el contrario del de la segunda).

Las casillas de la última fila (5ta fila) dan:

○ (1ra columna) → ●● (2da columna) → ●○○ (3ra columna)

El sistema Hanan Hurin no trabaja siempre de la misma manera. A veces los

opuestos son complementarios, y a veces son simplemente opuestos, o crean

una síntesis, al revés, de lo que había anteriormente. En el caso de la última

casilla de la tercera columna (●○○), esta no funciona como el contrario y

complementario de la última casilla de la segunda columna, sino como una

síntesis, en negativo, de las dos casillas anteriores:

○ (1ra columna) → ●● (2da columna) → ●○○ (3ra columna = síntesis en

negativo de las dos primeras).

Observamos ahora el concepto de la complementariedad/oposición andina

entre la primera casilla de la primera, segunda, tercera y cuarta (última)

columna vertical (o sea entre las casillas de la primera fila horizontal):

● (1ra columna) → ○○ (2da columna) → ●●● (3ra columna) → ○○○●● (4ta

columna)


88

Aquí también, la primera casilla de la cuarta columna actúa como una síntesis,

en negativo, o al revés, de la primera casilla de la segunda y la tercera

columnas.

Al observar nuevamente los números citados por Guaman Poma: 100.000,

10.000, 100, 10, 1, resalta la omisión del número 1.000 en su descripción y en

la tabla, como también la omisión del número 100.000 en la tabla. En realidad

puede decirse que el número 1000 está implícito, al ser el resultado de la

multiplicación 10x100, que puede ser marcado aunque no esté presente

físicamente en la tabla. Lo mismo pasa con el 100.000 , al que es fácil llegar

multiplicando 10x10.000. O sea que si tomamos las casillas de la línea superior

de la Yupana (la primera línea desde arriba/fila horizontal) y las multiplicamos

entre si obtenemos:

1 x 10 = 10 (1 x 100 = 100; 1 x 10.000 = 10.000)

10 x 100 = 1000

10 x 10.000 = 100.000

100 x 100.000 = 1.000.000

(10000)(100)(10)(1)

Figura 1.68. Primera fila del Modelo Moscovich

Recordemos que en quechua, al multiplicar, siempre el número menor está

delante del número mayor. Así, se contará: 10x100 y nunca 100x10. Esto

corresponde a lo que encontramos en la Yupana donde el orden es 1, 10, 100,

10000. Si queremos multiplicar haremos: 10x100 y no 100x10 que sería invertir

el orden establecido e inherente a esta tabla.

La tabla contiene 55 hoyos: 32 blancos y 23 negros. Estos números no son

aleatorios. Son dos números iguales, idénticos en el sistema de la Yupana, que

a su vez se complementan para crear una entidad compleja.


89

Una vez que se sabe la cantidad de hoyos en cada fila y en cada columna, y la

evolución entre las columnas verticales. La tabla no es difícil de armar. En

principio, de seguro el contador debía conocer de memoria ciertos elementos

de la tabla, como por ejemplo la fila horizontal del medio, el eje, el centro. Esta

fila se distingue de todas las otras en que sus casillas contienen menos

mezclas de hoyos blancos y negros. Es por esta razón que es muy fácil

recordar.

(50000)(500)(50)(5)

(40000)(400)(40)(4)

(30000)(300)(30)(3)

(20000)(200)(20)(2)

(10000)(100)(10)(1)

3 /8

3 /8

6 /5

5 /6

N° de hoyos

6 /5

11 /146 /94 /62 /3

Figura 1.69. Cantidad de hoyos de cada fila y columna Modelo Moscovich

No cabe duda de que la figura de la Yupana tal como está dibujada representa

su estado original, su estructura inicial, que concuerda con el sistema aritmético

y la numeración explicada en el texto anexo. Los círculos no son granos de

cómputo colocados en ella, sino hoyos meticulosamente programados, según

el sistema andino de la complementariedad/oposición Hanan-Hurin. Estos

hoyos negros y blancos son los que construyen la yupana, los que construyen,

primero que todo, sus columnas y sus ejes numerales, de acuerdo al sistema

andino decimal, y luego toda la tabla en general.

A. SUMA


90

La suma se hace simplemente poniendo el grano o la piedra en los lugares

correspondientes a los números a sumar y reemplazando varias de ellas por

una sola al llegar a ciertas cifras.

Ejemplo: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

Utilizaremos para esta cuenta solamente la primera y segunda columnas

verticales de la yupana.

1+2+3+4+5 = ponemos un grano (digamos la quinua perlada = “●”) en los

hoyos del 1 al 5 (1grano en cada hoyo).

2+3=5, entonces sacamos dos granos de esos lugares y los reemplazamos por

1 en el 5, quedando:

Dado que 5+5=10, sacaremos estos dos granos de allí y pondremos uno en el

lugar del 10, quedando:

Y dado que 4+1 son cinco sacaremos esos dos granos y pondremos uno en el

lugar del 5:

Una vez simplificados los números podemos seguir con la cuenta:

+6+7+8+9+10

“1” ● (+1) “10”

“2” ● (+2) “20”

“3” ● (+3) “30”

“4” ● (+4) “40”

“5” ● (+5) “50”

“1” ● (+1) “10”

“2” “20”

“3” “30”

“4” ● (+4) “40”

“5” ● ●(+(5+5)) “50”

“1” ● (+1) “10”● (+10)

“2” “20”

“3” “30”

“4” ● (+4) “40”

“5” “50”

“1” “10”● (+10)

“2” “20”

“3” “30”

“4” “40”

“5” ● (+5) “50”


91

+6 = 5+1. Otra vez agregamos un grano de quinua en los lugares adecuados:

↓ (simplificación)


+7=5+2

+8=5+3



“1” ● (+1) “10”● (+10)

“2” “20”

“3” “30”

“4” “40”

“5” ● ●(+5) “50”

“1” ● (+1) “10”●● (+10+10)

“2” “20”

“3” “30”

“4” “40”

“5” “50”

“1” ● (+1) “10”

“2” “20” ● (+20)

“3” “30”

“4” “40”

“5” “50”

“1” ● (+1) “10”

“2” ● (+2) “20” ● (+20)

“3” ● (+3) “30”

“4” “40”

“5” ● ●(+5+5) “50”

“1” ● (+1) “10” ● (+10)

“2” ● (+2) “20” ● (+20)

“3” ● (+3) “30”

“4” “40”

“5” “50”

“1” ● (+1) “10” ● (+10)

“2” “20” ● (+20)

“3” “30”

“4” “40”

“5” ● (+5) “50”


92

+9=5+4

+10



= 55

Por supuesto, el método de simplificación es personal de cada uno. Podríamos

haber simplificado primero los 2x10 en 20 y no tener 3x10 en el penúltimo

paso.

De todas formas, una vez acostumbrados a utilizar este método, la cuenta se

hace muy rápido.

B. MULTIPLICACIÓN

La multiplicación no es muy diferente de la suma, dado que es al mismo tiempo

añadir números en ciertas cantidades unos a otros. Por eso, la multiplicación es

como la suma, solamente utilizando granos acumulados.

Ejemplo: 4x5 = 20


“1” ● (+1) “10” ●● (+10+10)

“2” “20” ● (+20)

“3” “30”

“4” ● (+4) “40”

“5” ●● (+5+5) “50”

“1” ● (+1) “10” ●●● (+10+10+10)

“2” “20” ● (+20)

“3” “30”

“4” ● (+4) “40”

“5” “50”

“1” “10”

“2” “20”

“3” “30”

“4” “40”

“5” ● (+5) “50” ● (+50)

“1” “10”

“2” “20”

“3” “30”

“4” “40”

“5” ●●●● (4 veces 5) “50”


93


=20

C. RESTA

Al contrario de lo que se hace en la suma y la multiplicación, para la resta y la

división no se simplifica sino, como lo llamaremos aquí: “desimplifica”. Si antes,

en la suma y la multiplicación, cuando llegábamos a una cifra determinada

reemplazábamos varios números por uno solo (por ejemplo: 5+4+1=10, en vez

de dejar los granos en el lugar del 5 del 4 y del 1 ponemos 1 solo grano en el

del 10), aquí haremos exactamente lo contrario. La cifra 10 la dividiremos en

unidades lo más pequeñas posibles para facilitar luego la resta de otras

unidades.

Ejemplo: 100 – 75 = 25

Para hacer la resta no nos queda más que sacar 7 unidades de 10 y una de 5.

Lo que nos queda es:

↓ (Desimplificación)

“1” “10”●● (2 veces 10)

“2” “20”

“3” “30”

“4” “40”

“5” “50”

“1” “10”

“2” “20” ● (20)

“3” “30”

“4” “40”

“5” “50”

“1” “10”●●●●●●●●●●

(100 = 10x10)

“100” “10,000”

“2” “20” “200” “20,000”

“3” “30” “300” “30,000”

“4” “40” “400” “40,000”

“5” “50” “500” “50,000”


94

= 25

De esta forma, “desimplificando” los números grandes en unidades adaptadas

a las que deseamos restar y cómodas para el cálculo, y podemos hacer

cualquier resta.

D. DIVISIÓN

En la división utilizamos el mismo método que para la resta: la

“desimplificación”. Así como la multiplicación es considerada como una

acumulación de cantidades (unión de números), la división es una desunión de

números.

Ejemplo: 10/2, o sea cuantas veces entra el 2 en el 10.

Dado que 10 es primero que todo 2 veces 5, como todo contador imperial lo

sabe, en vez de un grano en el lugar del 10 se pondrán 2 granos en el número

5, o sea:

Al dividirlo entre 2, o sea si cada 2 unidades resulta una sola unidad, nos queda

una sola unidad de 5, el resultado final.

“1” “10”●●●●●●●●●

(90 = 9x10)

“100” “10,000”

“2” “20” “200” “20,000”

“3” “30” “300” “30,000”

“4” “40” “400” “40,000”

“5” ●●

(2 veces 5=10)

“50” “500” “50,000”

“1” “10”●●

(2 veces 10 =20)

“100” “10,000”

“2” “20” “200” “20,000”

“3” “30” “300” “30,000”

“4” “40” “400” “40,000”

“5” ● “50” “500” “50,000”

“1” “10 “100” “10,000”

“2” “20” “200” “20,000”

“3” “30” “300” “30,000”

“4” “40” “400” “40,000”

“5” ●● (2x5) “50” “500” “50,000”


95

Resumiendo, con la Yupana todas las cuentas, las cuatro operaciones, al

hacerlas, se ven en el tablero, las operaciones están basadas en un método

práctico, visual, moviendo granos de un lado para el otro en la tabla, como está

especificado en las crónicas, y utilizando solamente las casillas de la tabla y no

dejando granos fuera de ésta.

La Yupana, como presenta hasta ahora, es un instrumento que integra dos

elementos, dos dimensiones, el primero cosmológico (1) y el segundo práctico

(2):

1. Los hoyos negros y blancos que la construyen bajo el principio de Hanan y

Hurin.

2. Los granos de diferentes tamaños que son utilizados para el cálculo y para

marcar números que no tienen una representación física de la tabla.

(Moscovich, 2007)

1.6. YUPANAS EXSUL INMERITUS (EI-1, EI-2, EI-3, EI-4)

El libro Exsul Inmeritus Blas Valera Populo Suo e Historia et Rudimenta

Linguae Piruanorum muestra cuatro yupanas Suma Ñusta (20 casillas),

Multiplicar (25 casillas), Ceques (20 casillas) y Pachamama (30 casillas).

Emplea piedrecillas de colores diferentes para los órdenes del sistema decimal

(unidades, decenas, centenas, millares, unidades de millar). Menciona la suma

y resta, mostrando un esquema de yupana para multiplicaciones.

Laurencich (2009) la describe como una plantilla de mallas cuadradas, se

calculaba por medio de piedrecillas o semillas y que se leían como un quipu

numérico de posición donde una columna de cuadrados corresponde a un

cordel de quipu – es decir la posición del número, como en el quipu, se leía

desde abajo (las unidades) hacia arriba (decenas, centenas, etc. ). Estos

números que se “escribían” luego a través de nudos en el quipu.


96

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

87 37 46 23 2346

Decena, bola negra/unidad, bola blanca

Figura 1.70. Esquematización de la yupana para el cálculo sagrado de Sumac Ñusta (EI-1).

La yupana permite la comprobación de que el capacquipu se ha construido de

la mejor manera: es decir que tanto los ticcisimis (ideogramas o palabras

claves) como las sílabas que se extrapolan expresan el número sagrado del

canto: el número 5 o un múltiplo de éste. Las bolitas negras que indican

ticcisimis del canto de hecho son 23, (es decir, según el cálculo holístico

2+3=5) y las bolitas blancas, que indican el número de sílabas del capacquipu,

junto con las bolitas blancas con una cruz (correspondientes a los adornos

necesarios) para alcanzar el mejor número, dan 32 (siendo 3+2=5).

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7

87 37 46 4623 23 15 10 10 5 10 5 55

a b

Figura 1.71. Quipu para registrar cálculos holísticos para alcanzar el número de Sumac Ñusta


97

Figura 1.71a: en los cordeles de quipu números 1, 2, 3, 4, 5, 6, están anotados

los números calculados en las columnas correspondientes (núm. 1-6) de la

yupana de la figura 70, dando el valor de 10 a las bolitas negras y el valor 1 a

las bolitas blancas o blancas con una cruz. Los resultados del 4° y del 6° son

ya óptimos porque, según los cálculos holísticos 23 corresponde a 5 (2 + 3 = 5)

pero se interviene en los demás cordeles de la siguiente manera: 87 + 37 =

124; 46 + 46 = 92; la piedrecilla rectangular entre los cordeles 2 y 3 indica la

resta, así pues 124 – 92 = 32 que corresponde a 5, ya que 3 + 2 = 5.

Figura 1.71b: En los cordeles de quipu números 1-6 se anotan los números

calculados en las columnas correspondientes de la yupana de la figura 70

dando el valor de 1 a todas las bolitas sean blancas o negras: los resultados

son óptimos porque dan siempre el número 5 o un múltiplo de éste.

Para Laurencich & Rossi (2007) con la yupana la resta y la suma resultan muy

fáciles porque, al levantarla por la base, parece un quipu con muchos cordeles

en el cual las casillas de la tabla corresponden a los cordeles colgantes y las

piedras de variados colores y formas a los nudos; de hecho como en el quipu el

cero es un cordel sin nudos, del mismo modo en la yupana la casilla queda

vacia. Precisamente igual de fácil con la multiplicación, cuyos expertos eran los

quipucamayoc [contables de los quipus] y los churapuquen, [custodios (de los

quipus)] quienes llevaban el total a parte en el quipu.

De aquí se deduce:

1) Que la yupana por ej. De 3x3 casillas, se lee como si fuera un quipu de tres

cordeles y que hay que leer cada columna desde arriba para abajo – en este

caso de arriba para abajo se cuentan: centenas, decenas y unidades –

2) Que se usaba la yupana para sumas, restas y multiplicaciones, cuyos

resultados se anudaban en quipu.


98

Laurencich (2009) muestra un ejemplo de multiplicación en yupana, 326x183

Cero: NadaUnidades: piedrecilla blancaDecenas: piedrecilla negraCien: piedrecilla rosaMiles: piedrecilla verdeDecenas de millar: piedrecilla roja

Figura 1.72. Esquematización de la yupana para multiplicaciones (EI-2)

El autor anota la leyenda para explicar el significado de los colores de las

piedrecillas. Anota la multiplicación de 326x183: escribe en el sentido de las

manecillas del reloj y empezando desde arriba en las casillas exteriores, el

multiplicando, el multiplicador y el resultado, mediante piedrecillas.

Existía una yupana específica para las multiplicaciones: se trata de la yupana

en forma de damero cuyas casillas centrales están partidas por una diagonal.

Arriba se “escribe” el multiplicando (326) y en el lado derecho, desde arriba

para abajo, el multiplicador (183). Se multiplica el primer número arriba del

multiplicador (el 1) por cada cifra del multiplicando y los resultados se ponen en

la primera fila de casillas con las decenas en la parte alta de la diagonal (en

este caso no hay decenas), luego se multiplica la segunda cifra del

multiplicador (el 8) por cada cifra del multiplicando y los resultados se ponen en

la segunda fila de casillas con las decenas (piedras negras) en la parte alta de


99

la diagonal, luego lo mismo con la tercera cifra del multiplicador (el 5). Al final

se suman las piedrecillas que están en una faja de diagonales, a inicial con las

de la diagonal inferior de la casilla más baja, y los resultados se ponen en la

casilla respectiva al final de cada diagonal: se obtiene 59.685, identificado con

piedrecillas de colores distintos.

En el yachayhuasi, además de la tejedura y del bordado, se enseñaba a los

vástagos reales y a los de los hombres notables la práctica de la yupana y de

los quipus y su reciproca relación; en fin, ellos anudaban las piedrecillas y de

las piedras hacían los nudos, ocupándose de ambos y llevando el uno a la otra

y viceversa.

Para Laurencich & Rossi (2007) la yupana en forma de damero, está

representada varias veces en Exsul Inmeritus y con funciones distintas que

aquí enumero.

1. Como ábaco para indicar el número sagrado de las huacas de los cuatro

suyos en el cequecuna (el quipu sagrado de los ceques). Es un abaco de

5x4 casillas, es decir 20 casillas en total: la primera columna registra 85

huacas del Chinchaysuyu, la segunda las 85 huacas del Collasuyu, la

tercera las 78 huacas del Antisuyu, la cuarta las 80 huacas del Cuntisuyu y

la quinta proporciona el total, es decir 328 huacas. (Figura 1.73).

2. Cómo ábaco cuadrado para calcular las multiplicaciones (Figura 1.72). El

cuadrado central cuenta con nueve casillas (3x3) cada una de las cuales

esta partida por una diagonal (para facilitar la cuenta) alrededor de las

cuales hay 16 casillas abiertas a un lado utilizadas para “escribir” con las

piedritas el multiplicador: es decir se cuentan 9+6=25 casillas en total.

3. Como palabra llave, dicha ticcisimi en quechua, a la cual corresponde el

sonido: “yupana”. Este ticcisimi es utilizado para escribir cantos sagrados de

manera fonética silábica, es decir mediante el quipu dicho capacquipu. Esta

dibujada constantemente en forma de cuadrado de 9 casillas (3x3).

4. Cómo ábaco para indicar el número de silabas que hay que extrapolar de un

texto breve escrito, no mediante capacquipu sino mediante ticcisimi sueltos,

es decir, que no están insertados en la cuerda del capacquipu.


100

5. Cómo ábaco para calcular el número sagrado que corresponde a los cantos

escritos mediante el capacquipu fonético silábico Sumac Ñusta y

Pachamama. La yupana de Suma Ñusta es un ábaco de 5x4 casillas (20

casillas en total) mientras que la yupana de Pachamama es un ábaco de 5x6

casillas (30 casillas en total). La yupana en estos dos casos es rectangular

(Ver Figs. 1.70 y 1.74).

En síntesis, parece que la forma preferida de la yupana/damero sea cuadrado y

que la forma del rectángulo sea utilizada en el ámbito de los números

sagrados.

CH CO AN CU

85 85 78 80 328

CH

CO

ANCU

Figura 1.73. Esquema del quipu de los ceques y de la respectiva yupana (E3)


101

Figura 1.74. Esquematización de yupana para el cálculo sagrado del canto Pachamama (EI-4)


102

CAPITULO II

MATERIALES Y MÉTODOS

Este capítulo se divide en dos partes bien diferenciadas. La primera trata del

diseño de la investigación y una segunda parte del desarrollo del estudio de

campo. En la primera parte, después de justificar el estudio, formular el

problema y realizar las preguntas de la investigación, formulamos los

objetivos y las hipótesis, mostramos el diseño metodológico, damos los datos

generales de la población y de la muestra.

En la segunda parte especificamos el desarrollo del estudio, para lo cual

concretizamos la población y la muestra, explicamos las técnicas y los

instrumentos utilizados en la investigación. Finalmente se muestran un

modelo de tabla de recogida de los datos cuantitativos de las pruebas pre-test y

post-test aplicadas a los grupos experimental y control en los tres instituciones

educativas (se pueden ver los datos completos en el Anexo 2).

2.1. EL DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN

2.1.1. Justificación

Además de los argumentos expresados en la introducción, sobre las razones

para el desarrollo de esta tesis doctoral, justificamos y concretizamos a

continuación algunos aspectos del estudio de campo, planteados en forma

interrogativa:

• ¿Por qué desarrollamos el estudio de campo en el segundo grado de la

Educación Primaria?:

El segundo grado de Primaria es una etapa comprendida entre los 6 y los 8

años en la que el niño o niña se encuentra en el estadio de operaciones


103

concretas, lo que supone la necesidad de manipular para llegar a la adquisición

de los conceptos. El material aplicado es manipulativo y facilita la evolución

progresiva hacia la lógica, a la vez que faciliten la atención y la observación,

características propias de la evolución de los alumnos de este ciclo educativo.

• ¿Por qué material didáctico concreto manipulativo?: Es conocida la

inclinación de los alumnos del segundo grado de Educación Primaria hacia

materiales concretos, así como a la manipulación de los materiales para la

comprensión de los conceptos en general y matemáticos en particular. La

aplicación de los materiales didácticos manipulativos favorece el desarrollo

del razonamiento matemático. El material aplicado permite que los niños

manipulen, observen, descubran y lleguen a elaborar su propio pensamiento.

• ¿Por qué introducimos la yupana?: El uso de la yupana interesa a los más

pequeños, introducirlos en el material presentado, valoramos que

incrementaría la curiosidad y el interés por el árido aprendizaje matemático. Lo

novedoso y original de la propuesta, pensamos que facilitaría la metodología

matemática haciendo más fácil el aprendizaje de los conceptos matemáticos.

• ¿Por qué se ha aplicado en tres grupos de tres centros educativos

diferentes?: El entorno en que el investigador ha desarrollado su vida

profesional y sus experiencias educativas como docente universitario han sido

poderosas razones para la elección de los centros. Por una parte la proximidad

de los centros elegidos ha sido argumento que justifica la elección.

PROBLEMA PRINCIPAL

En qué medida se incrementa el aprendizaje de matemática con la aplicación

del material didáctico yupana en alumnos del segundo grado de primaria de las

instituciones educativas de Huacho en el período 2012.

PROBLEMAS ESPECÍFICOS

1. En qué medida se incrementa el aprendizaje de Comprensión del

número y del Sistema de Numeración Decimal con la aplicación del

material didáctico yupana.


104

2. En qué medida se incrementa el aprendizaje de Nociones aditivas y la

resolución de problemas con la aplicación del material didáctico yupana.

3. Cuál es el nivel de aceptación de los docentes, para la aplicación del

material didáctico yupana para la enseñanza de matemática en

profesores de las instituciones educativas de primaria en Huacho.

2.1.2. Objetivos

A. Objetivo general

Determinar la medida de incremento de aprendizaje de matemática con la

aplicación del material didáctico yupana de los alumnos de segundo grado

de Primaria en instituciones educativas de Huacho en el período 2012.

Se trata del análisis cuantitativo y cualitativo de los efectos de la aplicación de

material manipulativo yupana, sobre los alumnos de tres grupos de segundo

de primaria de tres instituciones educativas del distrito de Huacho. En el

aspecto cuantitativo, pretendemos verificar si existen diferencias significativas

en el rendimiento matemático entre los grupos control y experimental de las

tres instituciones educativas, si hay diferencia entre instituciones en la

aplicación del material.

En la vertiente cualitativa, intentamos averiguar la usabilidad de la yupana por

el profesorado, recogidos con un instrumento: el cuestionario SUS.

Además del objetivo general, nos proponemos los objetivos específicos

siguientes.

B. Objetivos específicos

Formulamos a continuación los objetivos específicos del estudio de campo:

1. Comprobar la medida de incremento de aprendizaje de Comprensión del

número y del Sistema de Numeración Decimal con la aplicación del



105

2. Estimar la medida de incremento de aprendizaje de Nociones aditivas y

la resolución de problemas con la aplicación del material didáctico

yupana.

3. Evaluar el nivel de aceptación del docente del material didáctico yupana

para la enseñanza de matemática en profesores de las instituciones

educativas de primaria en Huacho.

Para conseguir estos objetivos, nos basamos en algunas acciones concretas

como las siguientes:

Pasar las pruebas ECI 2011-Matemática Segundo Grado (Encuesta

Censal de Estudiantes. Cuadernillo 1) al principio de la investigación.

Aplicar el material didáctico al grupo experimental de las tres

instituciones educativas.

Aplicar las pruebas ECI 2011-Matemática Segundo Grado (Encuesta

Censal de Estudiantes. Cuadernillo 2) después de la aplicación del


Realizar el estudio estadístico aplicando el software SPSS y Excel.

Aplicar cuestionario SUS (System Usability Scale), adaptado al material

didáctico yupana, a profesores de los centros educativos, objeto de

estudio.

2.1.3. Hipótesis

Las hipótesis son guías para la obtención de datos en función de los

interrogantes planteados o también para indicar la forma como deben ser

organizados según el tipo de estudio. De ahí que las hipótesis bien formuladas

guíen y orienten una investigación, y, luego de su comprobación contribuyan a

la generación del conocimiento.

Una hipótesis pues, sugerirá donde buscar con más provecho los hechos y de

qué manera identificar sus interrelaciones más importantes. Igualmente cabe

considerar que las hipótesis formulan los resultados previsibles del estudio;

constituyen por tanto sus objetivos.


106

En nuestro caso concreto, la contrastación de los resultados nos han de

permitir plantear algunas hipótesis que se puedan aceptar o rechazar, en

relación tres grupos específicos de estudiantes de tres instituciones educativas

del distrito de Huacho.

En esta parte aplicada de la tesis, planteamos las siguientes hipótesis:

HIPOTESIS GENERAL

El aprendizaje de matemática se incrementa con la aplicación del material

didáctico yupana de los alumnos de segundo grado de primaria en

instituciones educativas de Huacho en el período 2012.

HIPOTESIS ESPECÍFICAS

1. El aprendizaje de la comprensión del número y del sistema de

numeración decimal se incrementa con la aplicación del material

didáctico yupana.

2. El aprendizaje de las nociones aditivas y la resolución de problemas se

incrementa con la aplicación del material didáctico yupana.

3. Los profesores de las instituciones educativas primarias de Huacho

están de acuerdo con el uso de la yupana como material didáctica para

la enseñanza de matemática.

2.2. DISEÑO Y DESARROLLO DE LA INVESTIGACIÓN

2.2.1. Diseño metodológico de la investigación

Tipo de Investigación: Aplicada

Diseño específico

M1: GE O1 O2

M2: GC O3


107

OPERACIONALIZACIÓN DE VARIABLES

Variables Indicador Medidas

Variable Independiente

Uso del Material didáctico yupana en la enseñanza de matemática

Operaciones de Suma y resta

- Buena - Mala

Variable Dependiente

Niveles de Aprendizaje

- Comprensión del número y del sistema de numeración decimal Puntaje de Prueba ECE

- Nociones aditivas y la resolución de problemas

Variable Complementaria

Nivel de Aceptación del Docente

Actitud de los docentes hacia la

yupana

- En completo desacuerdo

- En desacuerdo

- A veces de acuerdo

- De acuerdo

- Completamente de acuerdo

A. Enfoque de la investigación

El modelo de investigación es de carácter experimental.

B. Diseño de la investigación

El material didáctico utilizado se denomina yupana, es un material de apoyo

en la fase intuitivo concreta del proceso de enseñanza aprendizaje de

Matemática, que facilita la formación de conceptos relacionados con el valor

posicional de la cifras en la escritura de los números, relaciones y

operaciones aritméticas. La yupana es aplicable tanto para niños de

procedencia rural como urbana. Su construcción es simple, pudiendo

confeccionarse en microporoso, papel, cartón, triplay, madera o arcilla y

piedrecitas o granos como ayudas artificiales.


108

Material Didáctico

APLICACIÓN

Institución Educativa 1


Grupo de Control 1 Grupo de Control 3

Grupo Experimental 1 Grupo Experimental 3

PO

BLA

CIÓ

NM

UES

TRA

CONTEXTO ESCOLAR(I.E. profesores, alumnos y material)

VALORAR EFECTOS DE APLICACIÓN DE MATERIAL DIDACTICO MANIPULATIVO

YUPANA

VALORACIÓN CUANTITATIVATest ECE 2011

(Evaluación Censal de Estudiantes)

VALORACIÓN CUALITATIVATest SUS

(System Usability Scale)

USA

BIL

IDA

D

PROFESORES

APORTAR EL MATERIAL DIDÁCTICO YUPANA, A LA METODOLOGÍA DE LA ENSEÑANZA DE MATEMÁTICA EN EL SEGUNDO GRADO DE

EDUCACIÓN PRIMARIA

YUPANADocente

YUPANAAlumno

2°

Pri

mar

ia

mediante

para

INST

RU

MEN

TOS


Grupo de Control 2

Grupo Experimental 2

Figura 2.1. Esquema del diseño de la investigación


109

Se enseñó el manejo del material didáctico yupana a una muestra de alumnos

del segundo grado de primaria, correspondientes a tres Instituciones

Educativas. Dentro de cada Institución Educativa se formó un grupo control y

un grupo experimental. Al grupo control y experimental se le aplicó, al principio

del estudio, una prueba ECE-Matemática Cuadernillo 1 (pre-test) y al final de la

investigación la prueba ECE-Matemática Cuadernillo 2 (post-test). La prueba se

denomina ECE 2011(Evaluación Censal de Estudiantes 2011) de la cual hemos

aplicado los cuadernillos correspondientes a Matemática. El grupo experimental

se enseñó matemática usando el material didáctico con las correspondientes

actividades, a razón de tres sesiones semanales de una duración de 1 hora. Se

comprobó si hay diferencias significativas entre el grupo control y el grupo

experimental en dos Bloques: Comprensión del número y del Sistema de

Numeración Decimal, y Nociones aditivas y la Resolución de Problemas.

Cabe señalar que además de aplicar la prueba ECE 2011, se realizó un una

medición de la usabilidad de la yupana a los docentes mediante el instrumento

SUS, de valoración cualitativa.

Los instrumentos que se utilizaron en el estudio de campo fueron:

Los cuadernillo 1 y 2 de Matemática. Segundo Grado de la prueba ECE

2011 (Evaluación Censal de Estudiantes) para obtener datos

cuantitativos en el pretest y el postest. (Ver Anexos 9 y 10).

Cuestionario SUS (System Usability Scale) se utiliza generalmente

después de que un usuario ha tenido la oportunidad de utilizar un

sistema.

C. Población y muestra

a. Población: Constituida por alumnos y profesores de tres Instituciones

Educativas estatales del Distrito de Huacho, Provincia de Huaura. Las

instituciones educativas Julio C. Tello y Mercedes Indacochea son Colegios de

Educación Primaria y Secundaria; y José Mc Namara es de Primaria.


110

b. Muestra: La muestra de los casos investigados estará formada por 199

alumnos de segundo grado de Educación Primaria de cada uno de los centros,

97 corresponderán al grupo control y otros 102 al grupo experimental al que se

aplicará el material didáctico yupana para la enseñanza de matemática.

También formarán parte de la muestra los profesores, tanto del grupo control

como del grupo experimental. (Ver Anexo I).

La muestra es de carácter no probabilístico y no aleatoria, ya que tanto la

elección de los grupos de alumnos con sus profesores fue de tipo voluntario.

Las instituciones educativas elegidas para realizar la presente investigación

presentan la característica común de que son estatales. Otro criterio de

elegibilidad es el hecho de que dispongan de, al menos, dos secciones en el

segundo grado de Primaria para poder adjudicar el grupo control y

experimental, aleatoriamente teniendo en cuenta el criterio del equipo docente

de esta etapa educativa contando con el permiso del Director de institución

educativa. Quedarán entonces excluidas las instituciones educativas de una

sola sección. Es importante señalar que los tres centros elegidos están en la

ciudad de Huacho.

2.3. EL DESARROLLO DEL ESTUDIO

2.3.1. Institución Educativa 1: Grupo control y experimental

Institución Educativa 1: Institución Educativa Julio C. Tello

El grupo control formado por 32 alumnos (18 niños y 14 niñas).

Tanto en las pruebas de pretest como de postest se mostraron

estimulados y participativos.

El grupo experimental formado por 33 alumnos (18 niños y 15 niñas).

Se mostraron dinámicos, espontáneos y movidos, con interés por

aprender y experimentar con el material aplicado. En las pruebas de

pretest y de postest se mostraron estimulados y participativos.


111


Institución Educativa 2: Mercedes Indacochea Lozano



interesados y participativos.

El grupo experimental formado por 37 alumnos (20 niños y 17 niñas).

Se mostraron dinámicos y muy interesados por aprender y experimentar

con el material aplicado. En las pruebas de pretest y de postest se

mostraron interesados y participativos.


Institución Educativa 3: José Mc Namara.



emocionados y participativos.

El grupo experimental formado por 31 alumnos (12 niños y 19 niñas)

Se mostraron dinámicos y espontáneos, con interés por aprender y

experimentar con el material aplicado. En las pruebas de pretest y de

postest se mostraron emocionados y participativos.

2.4. TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DE LA RECOLECCIÓN DE DATOS

En la presente investigación, el investigador asume protagonismo en la

recolección de datos como instrumento primario, el cual reúne evidencias a

través de un estudio de campo, usando técnicas y análisis de carácter

cuantitativo y cualitativo, como las siguientes:


112

2.4.1. Cuestionario ECE

Prueba de carácter cuantitativo se denomina ECE (Evaluación Censal de

Estudiantes 2011) que nos permitió conocer las respuestas de los alumnos

tanto del grupo control como del grupo experimental, con el fin de comprobar si

la aplicación del material didáctico yupana ejerce un efecto positivo o no en el

rendimiento del grupo experimental en los bloques de la Comprensión del

número y del Sistema de Numeración Decimal y las Nociones aditivas y la

resolución de problemas.

La prueba de Matemática de la ECE 2011 se elaboró de acuerdo al Diseño

Curricular Nacional (DCN) vigente. Tomó en cuenta las competencias y

capacidades previstas para el final del tercer ciclo en el organizador de

Número, relaciones y operaciones, Particularmente, se evaluaron asociadas al

sentido numérico. En la ECE, el sentido numérico se entiende como la

comprensión que tiene una persona de los números y la habilidad para dar

significado a situaciones que involucran números y cantidades. Una persona

que ha desarrollado su sentido numérico podrá realizar juicios matemáticos y

desarrollar estrategias útiles para resolver diversos problemas, así como

estimaciones y cálculos de manera reflexiva. (Ministerio de Educación, 2013)

El tiempo efectivo de trabajo es de 30 minutos. En esta tesis se utilizaron

los Cuadernillo 1 y Cuadernillo 2, de Matemática Segundo Grado, por ser lo

que mejor se adaptan a los objetivos del trabajo.

Veamos a continuación sus características:

Cuadernillo 1 consta de 21 preguntas que los alumnos deberán de contestar

en 30 minutos. Se inicia con indicaciones y dos ejemplos para que el alumno

adquiera la dinámica de la prueba. En cada pregunta se pide que marquen la

solución correcta de tres posibilidades sugeridas. Se utiliza como pretest en

los grupos control y experimental.

Cuadernillo 2 consta de 21 preguntas que los alumnos deberán de contestar

en 30 minutos. Se inicia con indicaciones y dos ejemplos para que el alumno

adquiera la dinámica de la prueba. En cada pregunta se pide que marquen la


113

solución correcta de tres posibilidades sugeridas. Se utiliza como postest en

los grupos control y experimental.

2.4.2. Cuestionario SUS

El cuestionario SUS fue desarrollado en 1986 como parte de la introducción de

la ingeniería de usabilidad a los sistemas de oficina de Digital Equipment Co.

Ltd. Su propósito era proporcionar un test fácil de completar (número mínimo

de cuestiones), fácil de puntuar y que permitiera establecer comparaciones

cruzadas entre productos.

Para el seguimiento de la usabilidad de la yupana, en la enseñanza-

aprendizaje, se adaptó el Cuestionario SUS, el cual se determinó su validez y

confiabilidad.

2.5. VALIDEZ DE LOS INSTRUMENTOS

La validez se refiere al grado en que un instrumento realmente mide la variable

que pretende medir. La validez de expertos se refiere al grado en que

aparentemente un instrumento de medición mide la variable en cuestión, de

acuerdo con expertos en el tema. (Hernandez, Fernandez, & Baptista, 2010)

Los instrumentos a utilizar y la información obtenida se contrastaron de

acuerdo a los siguientes criterios:

a) El test de Evaluación Censal de Estudiantes 2011 (ECE), que se aplicó a

los alumnos del segundo grado de Educación Primaria al principio (pretest)

y al final de la investigación (postest), para comprobar los efectos del

material didáctico yupana sobre el grupo experimental y poder establecer

relaciones con los resultados obtenidos. Se considera ya validado por sus

autores (Ministerio de Educación) y las distintas aplicaciones que se han

realizado a partir de su utilización en múltiples estudios.

b) El cuestionario SUS fue validada pidiendo a 5 jueces expertos su opinión

sobre diferentes aspectos y los resultados se muestran a continuación:


114

Figura 2.2. Matriz de Análisis de Juicio de Expertos

Ta = Total de Acuerdo

Td = Total de desacuerdo

Validez= TA * 100 = 88.57 %

(TA+TD)

Es un coeficiente de validez ACEPTABLE.

2.6. CONFIABILIDAD DE INSTRUMENTOS

Grado en que un instrumento produce resultados consistentes y coherentes.

Existen diversos procedimientos para calcular la confiabilidad de un

instrumento de medición. Todos utilizan procedimientos y fórmulas que

producen coeficientes de fiabilidad. La mayoría de éstos pueden oscilar entre

cero y uno, donde un coeficiente cero significa nula confiabilidad y uno

representa un máximo de confiabilidad (fiabilidad total, perfecta). Cuanto más

se acerque el coeficiente a cero (0), mayor error habrá en la medición.

Actualmente el coeficiente Alfa de Cronbach es a estadística preferida para

obtener una medida de confiabilidad. (Hernandez et al., 2010)

CONFIABILIDAD DE ECI 2011

Las pruebas fueron analizadas aplicando el modelo Rasch, cuyos indicadores

se presentan a continuación:

N1 N2 N3 N4 N51 1 1 1 0 1 1

2 1 1 1 1 1 0

3 0 1 1 0 1 2

4 1 1 1 1 1 0

5 1 1 1 1 0 1

6 1 1 1 1 1 0

7 1 1 1 1 1 0

6 7 7 5 6

Total

TdJueces

El instrumento recoge informacion que permite dar respuesta al problema de investigacion.

El instrumento propuesto responde a los objetivos de estudio.

La estructura del instrumento es adecuada.

Totalmente Acuerdo (TA)

N Preguntas

Los items del instrumento responde a los objetivos del estudio.

La secuencia presentada facilita el desarrollo del instrumento.

Los items son claros y entendibles.

El número de items es adecuado para su aplicacion.

314


115

Figura 2.3. Propiedades Psicométricas ECE 2011

En resumen las pruebas tienen:

Alta confiabilidad

Ajuste adecuado al modelo psicométrico

Evidencia a favor de un modelo unidimensional. (Ministerio de

Educación, 2012)

CONFIABILIDAD DE SUS

El instrumento SUS consta de 10 preguntas y se realizó la encuesta a 20

profesores de docentes de educación primaria de los colegios seleccionados.

Se obtiene un valor Alfa de Cronbach de 0.889, que es elevado, lo que significa

que la medida de la usabilidad con el instrumento SUS es sumamente confiable

o tiene una excelente confiabilidad.

Estadísticos de fiabilidad

Alfa de

Cronbach

N de elementos

,889 10


116

2.7. APLICACIÓN Y CORRECCIÓN DE LA PRUEBA ECE

2.7.1. Aplicación de Prueba ECE

Las pruebas, tanto de pretest como de postest, se aplicaron a primera hora de

la mañana o de la tarde, por lo cual los examinandos no se encontraban

cansados ni en situaciones de tensión.

Se controlaron los factores sorpresa, como requerimientos externos para evitar

cualquier tipo de interrupción.

Se aplicaron coincidiendo con las sesiones dedicadas al área de matemáticas

para facilitar la concentración y motivación de los alumnos.

El lugar donde se pasaron las pruebas fue en la misma aula pero disponiendo

el mobiliario de manera que se garantizara el trabajo individualizado y con las

condiciones de ventilación, luminosidad y temperatura adecuados para evitar

distracciones.

Al comienzo de las pruebas, se buscó la motivación de los sujetos induciéndolo

a que pusieran el máximo interés y atención siguiendo las normas explicadas.

También se realizaron todas las aclaraciones pertinentes y se explicaron con

todo tipo de detalles los ejemplos previos al inicio de la prueba para garantizar

que no haya ningún tipo de duda.

Se respetó escrupulosamente el tiempo destinado a cada prueba y se

realizaron discretas observaciones para garantizar que todos los alumnos

dieran las respuestas en el lugar y la forma conveniente.

Al finalizar cada prueba se recogieron las pruebas por parte del investigador,

con la amable colaboración de los profesores, comprobando la correcta

escritura de los datos de identificación.

2.7.2. Corrección de las pruebas

La corrección de las pruebas se realizó por parte del investigador de forma

manual. Para facilitar la corrección, el investigador marco una prueba


117

solucionario. Después se corrige cada pregunta escribiendo 1 para la respuesta

correcta y cero en la incorrecta.

2.7.3. Significado de las puntuaciones de ECE

Cada cuadernillo de la prueba de Matemática ECE 2011 Segundo Grado

comprende dos bloques: La comprensión del número y del Sistema de

Numeración Decimal (Bloque 1), y las nociones aditivas y la resolución de

problemas (Bloque 2).

Las puntuaciones directas de los bloques (B1 y B2, en nuestro estudio) son

simplemente el número de aciertos obtenidos por el sujeto.

A. Descripciones del Bloque B1

El niño inicia la comprensión del número y del Sistema de Numeración

Decimal a partir de las experiencias que le ofrece su entorno. En la escuela

donde formaliza sus ideas intuitivas, alcanzando una comprensión reflexiva

de estas nociones. En cada cuadernillo hay 7 preguntas de comprensión del

número y del Sistema de Numeración Decimal. En el cuadernillo 1 las

preguntas de este bloque son: 5, 6, 8, 17, 18, 19, 21 y las del cuadernillo 2

son: 5, 6, 8, 11, 14, 16, 20.

B. Descripciones del Bloque B2

La resolución de problemas aritméticos en la ECE 2011 se evaluó mediante

situaciones referidas a las nociones aditivas. Estas fueron presentadas en

distintos tipos de texto y formatos, y con significados (acciones) de juntar,

separar, agregar, quitar comparar e igualar, así como doble, triple y mitad.

En cada cuadernillo hay 14 preguntas de nociones aditivas y la resolución de

problemas. En el cuadernillo 1 las preguntas de este bloque son: 1, 2, 3, 4,

7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 20 y las del cuadernillo 2 son: 1, 2, 3, 4, 7, 9,

10, 12, 13, 17, 18, 19, 21.

2.7.4. Significado de las puntuaciones de SUS


118

La escala SUS es una escala de estilo Likert que genera un único número,

representando una medida compuesta de la usabilidad del sistema global

sometido a estudio. Hay que advertir que las puntuaciones independientes no

son significativas por sí mismas. Para calcular la puntuación del SUS, hay que

sumar primero las contribuciones de cada punto. La contribución de cada punto

valdrá entre 0 y 4. Para los puntos 1, 3, 5, 7 y 9, la contribución será la posición

de la escala menos 1. Para los puntos 2, 4, 6, 8 y 10, la contribución será 5

menos la posición en la escala. Se multiplica la suma de los resultados por 1.5

para obtener el valor global del SUS. El resultado estará entre 0 y 100. (Floría,

2000)

2.8. ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE LOS DATOS

El análisis de los datos se trabajó de acuerdo con los siguientes parámetros:

A. Datos cuantitativos

a. Recoger y analizar los datos codificándolos con el programa informático

SPSS.

b. Calcular las frecuencias absolutas y relativas de los diferentes ítems del

prueba ECE 2011 en los factores: comprensión del número y del Sistema

de Numeración Decimal (B1), y nociones aditivas y la resolución de

problemas (B2).

c. Utilizar gráficos y tablas para tener una visión gráfica y sintética.

d. Realizar tablas con frecuencias globales comparándolas por el factor

B1 como en el factor B2

e. Aplicar las pruebas estadísticas que correspondan: comparación de

medias, desviación típica, prueba de hipótesis, prueba de la diferencia

entre dos medias utilizando la distribución normal, etc.

B. Datos cualitativos

a) Ordenar y revisar el material recogido con el instrumento SUS.

b) Interpretar los datos en función de las preguntas, los objetivos y las

hipótesis de la investigación.


119

2.9. PROPUESTA DEL MATERIAL DIDÁCTICO YUPANA

2.9.1. Material Didáctico Yupana

El modelo de yupana elegido como material didáctico, es el modelo Radicati

(NC3). Porque es un modelo sencillo puede realizar sumas de hasta 5 cifras,

fácil de implementar y se adapta a los contenidos curriculares de matemática

de segundo grado de primaria.

La yupana es un material de apoyo en la fase intuitivo concreta del proceso de

enseñanza aprendizaje de Matemática, que facilita la formación de conceptos

relacionados con el valor posicional de las cifras en la escritura de los números,

relaciones y operaciones numéricas fundamentales.

La Yupana es aplicable tanto para niños de procedencia rural como urbana. Su

construcción es simple, pudiendo confeccionarse en microporoso, cartón,

triplay, madera o arcilla y piedrecitas o granos como ayudas artificiales.

D. Descripción y Diseño

Yupana alumno: Un tablero (de 25 x 20 x 0.7 cm), de diferentes colores,

con 20 casillas (5 x 5 cm), cada casilla con agujeros circulares (1/2 pulgada

de diámetro). El número de agujeros se basa en la Figura 2. La utiliza cada

alumno en su carpeta. Esta construido en Etileno Vinil Acetato

(microporoso). Ver anexo VI.

Yupana docente: Un tablero (de 65 x 52 x 0.7 cm), de diferentes colores,

con 20 casillas (13 x 13 cm), cada casilla con agujeros circulares (1/2

pulgada de diámetro). El número de agujeros se basa en la Figura 2. La

utiliza el docente en la pizarra. Para la construcción de yupanas se utilizó

Etileno Vinil Acetato o EVA o Goma EVA es un polímero tipo termoplástico.

Sus características más resaltantes son: fácil de pegar, cortar y pintar, baja

absorción de agua, es lavable, no es tóxico, no es dañino al medio ambiente

y se puede reciclar o incinerar.


120

E. Logros de Aprendizaje

Interpreta, codifica y representa gráficamente números de cinco dígitos:

Unidades, Decenas, Centenas, Millares, Unidades de Millar

Establece relaciones “mayor”, menor”, “igual” y ordena números naturales

menores o iguales que 10000.

F. Modelos Derivados del Material Didáctico Yupana

De la yupana original (NC·3) se han derivado seis modelos:

i. Modelo Y

Es una yupana girada 90° en sentido antihorario. Tiene 20 casilleros.

Puede ser utilizada por alumnos de todos los grados de primaria. Es

la yupana de base 12 o duodecimal.

ii. Modelo Y1

Es una yupana simplificada. Tiene una sola columna y tres filas.

Utiliza casilleros de uno, tres y cinco agujeros. Puede ser utilizada por

alumnos de inicial.

iii. Modelo Y2

Es una yupana simplificada. Tiene dos columnas y tres filas. Utiliza

casilleros de uno, tres y cinco agujeros. Puede ser utilizada por

alumnos de inicial.

iv. Modelo Y3

Es una yupana simplificada. Tiene tres columnas y tres filas. Utiliza


alumnos de primer grado de primaria.

v. Modelo Y4

Es una yupana simplificada. Tiene cuatro columnas y tres filas. Utiliza


alumnos de primer grado de primaria.

vi. Modelo Y5 es la yupana decimal. Tiene cinco columnas y tres filas.

Utiliza casilleros de uno, tres y cinco agujeros. Puede ser utilizada por

alumnos de todos los grados de primaria.


121

Y1 Y2 Y3

Y5

Y4Y

Figura 2.4. Modelos del material didáctico yupana

2.9.2. Aplicaciones de La Yupana como Material Didáctico

A. REPRESENTACIÓN DE NUMERALES CON LA YUPANA

Un numeral es la representación simbólica o figurativa de un número

mediante determinados símbolos o guarismo convencionales.

En la descomposición de los números también es utilizada la yupana, así

los alumnos descubren los conceptos de Unidad, Decena, Centena, Unidad

de Millar, Decena de Millar a nivel concreto y a nivel simbólico (tablero de

valor posicional): la primera columna de la derecha corresponde a las

unidades, la segunda a las decenas, la tercera a las centenas, la cuarta a las

unidades de millar y la quinta a las decenas de millar.


122

a) NUMERALES DEL 0 AL 9 CON LA YUPANA Y1

Figura 2.5. Representación de los numerales en la yupana Y1

b) DEL 0 AL 9 COMPARACIÓN DE NÚMEROS

Se pide a los niños que “por pareja” uno e ellos representa en la yupana el

número 9 y el otro el número 3. El profesor representa en la pizarra. Y a

continuación coloque el símbolo <, > ó = según corresponda.

39

U U

NUEVE ES MAYOR QUE TRES

Figura 2.6. Representación de la desigualdad en la yupana Y1

El docente pide que represente en su Yupana el número 2 y el otro el número

7, él dibujará y escribirá en la pizarra:


123

2 7

U U

DOS ES MENOR QUE SIETE

Figura 2.7. Representación de la desigualdad en la yupana Y1

Se pide a los niños que represente 8 en cada tablero.

8 8

U U

8 ES IGUAL A 8

Figura 2.8. Representación de una igualdad en la yupana Y1

c) REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS DEL 10 AL 99 CON Y2

1 1

D U

1 5 2 3 3 8

5 5

6 4 7 7 8 0

9 2 9 9

D U D U D U

D U

D U D U D U

D U D UD U

1 7

D U

1 0

Figura 2.9. Representación de numerales de dos cifras en la yupana Y2


124

d) NUMERACIÓN DEL 100 AL 999 USANDO Y3

C D U

1 0 0 3 5 2 4 7 8

7 9 1 9 9 9

C D U C D U

C D U C D U

7 3 3

C D U

Figura 2.10. Representación de numerales de tres cifras en la yupana Y3

e) NUMERACIÓN DEL 1000 AL 9999, EN BASE DIEZ EN Y4

UM C D U

1 0 0 1 1 0 0 2

1 0 0 3 9 9 9 9

UM C D U

UM C D U UM C D U

Figura 2.11. Representación de numerales de cuatro cifras en la yupana Y4

f) NUMERACIÓN DEL 10000 AL 99999, EN BASE DIEZ EN Y5

DM UM C D U DM UM C D U

10 000 13 200

50 206 23 259

Figura 2.12. Representación de numerales de cinco cifras en la yupana Y5


125

g) COMPARACIÓN DE NÚMEROS DE DOS, TRES, CUATRO Y CINCO

CIFRAS

7 3 3 9 6 2

C D U C D U

1 7 1 2

D U

8 5 1 9 7 3 6 2

UM C D U

56 276 83 219

UM C D U

D U

Figura 2.13. Comparación de numerales de hasta cinco cifras

h) Realizan ejercicios con la Yupana

Escribe los números que representa cada yupana

...... ......... ......... ...

U U U U U U U U U

Figura 2.14. Escribir numerales de una cifra en la yupana Y1

Compara la relación de los siguientes números y escribe el signo que le

corresponde del 0 al 9. (> , < ,=)


126

U U U U U U

... ... ...

Figura 2.15. Escribir <, > ó = en la yupana Y1

Representa los números en los tableros

1 2 3 4 7 5 5 2 4 7

C D U

1 0 4 1 0 9 1 4 5 2 6 9

UM C D U

2 4 6 7 7 0 9 5 4 7 0 3

D UD U D U D U D U

C D U C D U C D U

UM C D U UM C D U

56 407 17 891

Figura 2.16. Representación de numerales en la yupana


127

B. SUMA USANDO EL MATERIAL DIDÁCTICO YUPANA

B1. Adición de números cuya suma es menor que 10

53

Figura 2.17. Representación de dos sumandos en la yupana Y1

a) Se vuelve a representar el primer sumando

53

Figura 2.18. Operación de suma en la yupana Y1 (1)

b) Se coloca las fichas del segundo sumando en la parte superior de la

yupana

53


c) Se dejan las fichas caer por gravedad


128

53


d) Se cuentas las fichas y se escribe el numeral

53 8

Figura 2.21. Resultado de operación de suma en la yupana Y1

B2. Adición de números cuya suma es menor que 100 “Sin llevar”

a) Representamos los numerales en la yupana Y2

3 4

D U

5 2

D U

Figura 2.22. Numerales de dos cifras en la yupana Y2

b) Se vuelve a representar el primer sumando

3 4

D U

5 2

D U



129

c) Se coloca las fichas del segundo sumando en la parte superior de la

yupana

3 4

D U

5 2

D U


d) Se dejan las fichas caer por gravedad, primero las fichas de las

unidades y luego las decenas

3 4

D U

5 2

D U


e) Se cuentas las fichas y se escribe el numeral

8 63 4

D U

5 2

D U



130

B3. Adición de números cuya suma es menor que 100 “llevando”


4 6 1 7

D U D U

Figura 2.27. Numerales de dos cifras para suma “llevando” en la yupana Y2


4 6 1 7

D U D U

Figura 2.28. Operación de suma “llevando” en la yupana Y2 (1)


yupana

4 6 1 7

D U D U


d) Se dejan las fichas caer por gravedad las fichas de las unidades hasta

llenar los agujeros en blanco.


131

4 6 1 7

D U D U


e) Se cuentas las fichas totales de las unidades. En nuestro caso tenemos

13 fichas. Luego se agrega una ficha a las decenas y se retiran 10 fichas

de las unidades, quedando 3 fichas en las unidades.

4 6 1 7

D U D U


f) Se dejan caer las fichas de las decenas. Y se cuentas las fichas y se

escribe el resultado.

6 34 6 1 7

D U D U

Figura 2.32. Resultado de operación de suma “llevando” en la yupana Y2

B4. Adición de números cuya suma es menor que 1000 adición “sin

llevar”


C D U

4 0 6 3 2 1

C D U

Figura 2.33. Numerales de tres cifras para suma en la yupana Y3


132


3 2 1

C D UC D U

4 0 6



yupana

3 2 1

C D UC D U

4 0 6


d) Se dejan las fichas caer por gravedad las fichas de las unidades.

3 2 1

C D UC D U

4 0 6 Figura 2.36. Operación de suma en la yupana Y3 (3)

e) Se dejan las fichas caer por gravedad las fichas de las decenas.

3 2 1

C D UC D U

4 0 6



133

f) Se dejan las fichas caer por gravedad las fichas de las centenas.

3 2 1

C D UC D U

4 0 6


g) Se cuentas las fichas y se escribe el numeral

C D U

7 2 7

3 2 1

C D UC D U

4 0 6


B5. Adición de números cuya suma es menor que 1000 adición “llevando”


C D U

4 5 8 3 1 7

C D U

Figura 2.40. Numerales de tres cifras para suma “llevando” en la yupana Y3


134


C D U

4 5 8 3 1 7

C D U



yupana

C D U

4 5 8 3 1 7

C D U


d) Se dejan las fichas caer por gravedad las fichas de las unidades hasta


C D U

4 5 8 3 1 7

C D U


e) Se cuentas las fichas totales de las unidades. En nuestro caso tenemos

16 fichas. Luego se agrega una ficha a las decenas y se retiran 10 fichas

de las unidades, quedando 5 fichas en las unidades.


135

C D U

4 5 8 3 1 7

C D U


f) Se dejan las fichas caer por gravedad las fichas de las decenas hasta


C D U

4 5 8 3 1 7

C D U


g) Se dejan las fichas caer por gravedad las fichas de las centenas hasta



136

7 7 5

C D U

C D U

4 5 8 3 1 7

C D U

Figura 2.46. Resultado de operación de suma “llevando” en la yupana Y3


137

CAPÍTULO III

RESULTADOS

En este capítulo presentamos los resultados y el análisis de los resultados de la

investigación. Por una parte, en su vertiente cuantitativa, mediante la

aplicación del paquete estadístico SPSS a los datos del trabajo de campo, de

tres Instituciones Educativas del distrito de Huacho con grupo control y grupo

experimental. Se realiza un análisis de los resultados obtenidos con la

aplicación del test ECE 2011-Matemática (Evaluación Censal de Estudiantes),

en las pruebas pretest (aplicada a principio de la investigación) y postest

(pasada a final de la investigación), a los alumnos de las Instituciones

Educativas aplicados a los factores objeto de estudio: Comprensión del número

y del Sistema de Numeración Decimal (Bloque B1) y Nociones aditivas y la

resolución de problemas (Bloque B2).

Realizamos, por otra parte, un análisis cualitativo de la usabilidad de la yupana

de opiniones de los profesores de aula, con los datos obtenidos de las

reuniones de los grupos focales aplicadas a los profesores de las Instituciones

Educativas utilizando el instrumento SUS.

Se tiene tres hipótesis de investigación relacionada con la prueba ECE

Matemática 2011. En nuestro caso las hipótesis de investigación sobre la

utilización de la yupana como material didáctico en la enseñanza de

matemática en alumnos de segundo grado de primaria, el criterio de efectividad

con que se van a comparar los dos grupos: Grupo Control: enseñanza de

Matemática sin la utilización de la yupana. (Pre-test y Post-test). Asimismo

Grupo Experimental: enseñanza de Matemática utilizando la yupana. (Pre-test

y Post-test).


138

3.1. DESCRIPCIÓN DE LA MUESTRA

3.1.1. Por Institución Educativa

Gráfico 3.1. Descripción de la muestra por Institución educativa

La muestra es diferente entre las tres instituciones educativas. (IE1: 65, IE2:

70, IE3: 64). Se debe a la asistencia de los alumnos fue diferente al momento

de tomar las pruebas ECE 2011, posteriormente, tomamos precauciones a la

hora de hacer comparaciones entre instituciones educativas. En Anexo 1 se

muestra Cuadro de Asistencia.

3.1.2. Por grupo experimental

Gráfico 3.2. Descripción de la muestra por grupo experimental


139

A pesar de que no haya sido posible una asignación aleatoria simple dadas las

características de la muestra (aprovechando secciones ya definidos en la

escuela), el número de sujetos por grupo (experimental: 102, control: 97)

muestra que no hay paridad entre grupos.

3.2. RESULTADOS DEL TEST ECE

A continuación se presentan los resultados del conjunto de la muestra en los

dos grupos (control y experimental) bajo estudio, obtenidos mediante el test

ECE. De cada uno de los grupos se presentan por separado los resultados

antes (pre-test) y después (post-test) de la aplicación. La información

detallada de los grupos experimentales por institución educativa se muestra en

las tablas del Anexo 2.

Mostramos la información graficada para facilitar un primer análisis visual.

3.2.1. GRUPO CONTROL PRE-TEST

Los resultados de la Prueba ECE Matemática Cuadernillo 1, que se utilizó

como Pre-Test se muestran a continuación. Las tablas de frecuencias se

muestran en el Anexo 3.

Gráfico 3.3: Descripción del Grupo Control por puntuación Pre-test


140

Las puntuaciones se acumulan en torno a los 12 puntos. La media es de 12,61.

Poco más de la mitad de los alumnos (51,1%) tienen valores que oscilan entre

ocho y doce puntos.

A. BLOQUE B1

Gráfico 3.4. Descripción del Grupo Control por puntuación Pre-test en el bloque B1

Podemos observar cómo las puntuaciones directas en el bloque B1 se

acumulan en torno a los cuatro puntos, en concreto la media de las

puntuaciones es de 4.36. Prácticamente tres cuartas partes de los alumnos

(74%) han obtenido puntajes entre tres y seis puntos.

B. BLOQUE B2

Gráfico 3.5. Descripción del Grupo Control por puntuación Pre-test en el Bloque B2


141

Se puede apreciar cómo las puntuaciones se acumulan en siete puntos, la

media es de 8,25. La mitad de los alumnos (50%) obtuvo valores entre cinco y

ocho puntos.

3.2.2. GRUPO CONTROL POST-TEST

Gráfico 3.6. Descripción del Grupo Control por Puntuación Post-test

Podemos observar que cuatro de cada diez alumnos (40,4%) tiene valores

entre los nueve y los doce puntos con una media de 13,59.

A. BLOQUE B1

Gráfico 3.7. Descripción del Grupo Control por puntuación Post-test en el Bloque B1

Encontramos picos de acumulación de sujetos tanto en los cuatro como en los

seis puntos quedando una media de 4,6 para el total de la muestra. Casi la


142

tercera parte de los alumnos (34%) ha obtenido valores entre tres y cuatro

puntos.

B. BLOQUE B2

Gráfico 3.8. Descripción del Grupo Control por puntuación Post-test en el Bloque B2

Los valores se concentran alrededor de los siete puntos con una media de

8,25. Casi la tercera parte de alumnos (33%) lograron valores entre seis y ocho

puntos.

3.2.3. GRUPO EXPERIMENTAL PRE-TEST

Gráfico 3.9. Descripción del Grupo Experimental por puntuación Pre-test


143

Las puntuaciones se acumulan en torno a los 10 puntos. La media es de 12,28.

Poco menos de la mitad de los alumnos (49,5%) tienen valores que oscilan

entre ocho y doce puntos.

A. BLOQUE B1

Gráfico 3.10. Descripción del Grupo Experimental por puntuación Pre-test en el bloque B1

Podemos observar cómo las puntuaciones directas en el bloque B1 se

acumulan en torno a los cuatro puntos, en concreto la media de las

puntuaciones es de 4,2. Prácticamente una cuarta parte de los alumnos (25%)

han obtenido cuatro puntos.

B. BLOQUE B2

Gráfico 3.11. Descripción del Grupo Experimental Post-test en el Bloque B2


144

Se puede apreciar cómo las puntuaciones se acumulan alrededor de siete y

ocho puntos, la media es de 8,08. Poco menos de la mitad de los alumnos

(49,5%) obtuvo valores entre cinco y ocho puntos.

3.2.4. GRUPO EXPERIMENTAL POST-TEST

Gráfico 3.12. Descripción del Grupo Experimental por Puntuación Post-test

Podemos observar que las puntuaciones se acumulan en 19 puntos. La media

es de 16,23. La mitad de los alumnos tiene valores entre 18 y 21 puntos.

A. BLOQUE B1

Gráfico 3.13. Descripción del Grupo Experimental por puntuación Post-test en el Bloque B1


145

Las puntuaciones se acumulan alrededor de los seis puntos, siendo la media

5,34. Siete de cada diez alumnos (70%) tiene valores de cinco, seis y siete

puntos.

B. BLOQUE B2

Gráfico 3.14. Descripción del Grupo Experimental por puntuación Post-test en el Bloque B2

Los valores se concentran alrededor de los trece puntos con una media de

10,89. Un poco más de la mitad de los alumnos (52%) tiene valores de doce,

trece y catorce puntos.

3.3. ANÁLISIS

A continuación se parte de un análisis visual de las puntuaciones para llegar a

concluir que se requiere la creación de hipótesis estadísticas para poder llevar

a cabo el análisis de la intervención propiamente dicha. La explicación se

desarrolla en torno a la puntuación de la Prueba ECE y sus dos bloques (B1 y

B2).


146

3.3.1. PRUEBA ECE

Se tiene tres hipótesis de investigación relacionada con la prueba ECE

Matemática 2011. En nuestro caso las hipótesis de investigación sobre la

utilización de la yupana como material didáctico en la enseñanza de

matemática en alumnos de segundo grado de primaria, el criterio de efectividad

con que se van a comparar los dos grupos:

Grupo Control: enseñanza de Matemática sin la utilización de la yupana.

(Pre-test y Post-test).

Grupo Experimental: enseñanza de Matemática utilizando la yupana.

(Pre-test y Post-test).

La hipótesis nula apropiada (Ho) consistirá en afirmar que no hay ninguna

diferencia en la puntuación promedio del Post-test y Pre-test (Prueba ECE),

Podemos expresar la hipótesis nula en la forma más compacta como:

Si la hipótesis nula se rechaza, decimos que los datos particulares de la

muestra sí dan suficiente evidencia como para hacernos concluir que la

hipótesis nula es falsa y que la segunda hipótesis es verdadera. Esta segunda

hipótesis, de la que hemos concluido es verdadera si la hipótesis nula es

rechazada, se denomina hipótesis alterna y se designa con el símbolo H1.

Generalmente la hipótesis alterna y la hipótesis de investigación son la misma.

A. Hipótesis de Investigación ECE

La media de la puntuación del Post-test es mayor que la media del Pre-test

de los alumnos de segundo grado de primaria.

(Las dos medias son iguales)

(Post-test da un puntaje promedio mayor que

el Pre-test)


147

Cuando se establecen las hipótesis indicadas anteriormente se procura

generalmente que las hipótesis nula y alterna se complementen entre sí y

para esto se incluye una desigualdad en la hipótesis nula que vaya en

dirección opuesta a la hipótesis alterna. Por ejemplo, podríamos escribir las

hipótesis anteriores como:

B. Planteamiento de la Hipótesis ECE

a) Los rendimientos en matemática en alumnos de segundo grado, la

puntuación promedio del Post-Test es superior al Pre-test.

Hipótesis nula

Hipótesis alterna

b) Las puntuaciones de Comprensión del número y del Sistema de

Numeración Decimal (Bloque B1), de alumnos de segundo grado, el

promedio del Post-Test es superior al Pre-test.

Hipótesis nula

Hipótesis alterna

c) Los puntajes de Nociones aditivas y la Resolución de problemas (Bloque

B2), en alumnos de segundo grado, la del Post-Test es superior al Pre-

test.

Hipótesis nula

Hipótesis alterna


148

3.4. RESULTADOS POR GRUPO

Teniendo en cuenta que el objetivo final del análisis que se realiza a

continuación es comprobar si el hecho de la utilización de la yupana como

material didáctico en la enseñanza de matemática mejora las puntuaciones en

los grupos objeto de estudio, podemos empezar observando los datos a través

de un gráfico que nos ofrezca una idea a partir de la cual podamos profundizar.

Dado que queremos caracterizar a todo el grupo, usaremos como descriptivo

de los grupos a la media, esto será lo habitual durante todo el análisis.

Diagrama 3.1: Comparación de las medias pre(1)-post(2) en grupos de estudio.

Observamos que es más pronunciado el crecimiento del grupo experimental

(de 12,28 a 16,23) contra el crecimiento del grupo de control (12,61 a 13,59).

Así mismo se aprecia una diferencia en cuanto al número de alumnos de los

grupos de control y experimental no es igual. Otra observación que quizás no

se deduce directamente de los gráficos pero sí surge inmediatamente si

pretendemos explicarlos es que, por lo que lo primero que debemos hacer es

valorar otra medida más “estandarizada” (y por lo tanto más explicable y

generalizable) como es la prueba de hipótesis.

12

12.5

13

13.5

14

14.5

15

15.5

16

16.5

17

1 2

Me

dia

Control

Experimental


149

La diferencia entre grupos en ambos instantes. No obstante antes debemos

empezar escrutando la primera impresión que hemos tenido, es decir, el

aumento que se produce “con el paso del tiempo” en las puntuaciones, ya

que será importante para encarar el análisis.

Esta primera impresión hace que se intuya un fuerte efecto de aprendizaje, es

decir, que solamente el hecho de realizar la misma prueba una segunda vez

hará que aumenten los resultados de ésta. Esta hipótesis se confirma al

comparar las medias del grupo control antes y después de la ausencia, en este

caso, de intervención. Dicha comparación se ha realizado con la prueba de la

diferencia entre dos medias utilizando la distribución Normal. Estas medias

difieren significativamente como muestran la siguiente tabla.

TIPO DE GRUPO Pre-test Post-test Zc

Control

Media 11.61 13.59

+ 1.516 N 96 94

Desv. Tip. 4.428 4.48

Experimental

Media 11.28 16.23

+ 6.358 N 101 100

Desv. Tip. 4.65 4.146

Tabla 3.1. Resultados de la Prueba ECE 2011 por grupos de estudio

Según los valores de la tabla, los grupos control y experimental, consideramos

que la puntuación promedio del Post-Test es mayor que el Pre-Test. Con el

objeto de someter la hipótesis a una prueba crítica, se da el beneficio de la

duda a la posibilidad contraria y se plantea la hipótesis nula de que la

puntuación promedio del Pre-Test es igual o menor que el experimental. Se

prueba la hipótesis, con nivel de significancia del 5% de la siguiente manera:


150

Hipótesis nula

Hipótesis alterna

Z Crítica (α = 0.05) = ± 1.96

El cálculo de Z de los grupos y bloques se muestra en el anexo 4.

En el grupo de control el valor calculado de Z de +1,516 es menor que el valor

crítico de +1,96 para esta prueba del extremo superior, tal como se muestra en

la figura 3.1. Por ello, se acepta la hipótesis nula y se rechaza la hipótesis

alterna. La puntuación promedio del Post-Test es menor o igual que la

puntuación promedio del Pre-Test en los alumnos del grupo control.

En el grupo experimental el valor calculado de Z de +6,358 es mayor que el

valor crítico de +1,96 para esta prueba del extremo superior, tal como se

muestra en la figura 3.1. Por ello, se rechaza la hipótesis nula y se acepta la

alternativa de que la puntuación promedio del Post-Test es mayor que la

puntuación promedio de los alumnos del Pre-Test.

Región de aceptación

Región de Rechazo

+ 1.96z

f(z)

+ 1.516 + 6.358

Figura 3.1. Valores de Z de Prueba ECE


151

3.5. RESULTADOS POR BLOQUES

3.5.1. Bloque B1

Este gráfico nos muestra cómo han puntuado cada uno de los dos grupos

(experimental y control representados en las dos líneas distintas). Los

momentos 1 y 2 se refieren a las tomas de datos pre-test y post-test

respectivamente.

Diagrama 3.2. Comparación de las medias pre(1)-post(2) en ambos grupos

Alguno de los aspectos que más llaman la atención de este primer

acercamiento son las siguientes:

- Los grupos parten de medias ya distintas sólo por el hecho de pertenecer a un

grupo clase que será el grupo control (media = 4.36) u otra clase (grupo

experimental con media de = 4.20) y esta diferencia entre grupos aumenta en

el último registro (los grupos pasan a tener medias de 4.6 y 5.34

respectivamente)

4

4.2

4.4

4.6

4.8

5

5.2

5.4

5.6

1 2

Me

dia

Control

Experimental


152

- Ambos grupos mejoran considerablemente sus puntuaciones en el segundo

momento como podemos observar los valores en la Tabla 2.

TIPO DE GRUPO

Pre-test Post-test Zc

Control

Media 4.36 4.6

+0.995 N 96 94

Desv. Tip. 1.629 1.693

Experimental

Media 4.20 5.34

+4.587 N 101 100

Desv. Tip. 1.849 1.671

Tabla 3.2: Medias de los puntajes del bloque B1







Hipótesis nula

Hipótesis alterna

Z Crítica (α = 0.05) = ± 1.96


crítico de +1,96 para esta prueba del extremo superior tal como se muestra en



puntuación promedio del Pre-Test en el grupo control.


153


valor crítico de +1,96 para esta prueba del extremo superior tal como se



puntuación promedio del Pre-Test.


Región de Rechazo

+ 1.96z

f(z)

+0.995 +4.587

Figura 3.2. Valores de Z de Bloque B1

3.5.2. Bloque B2

Para entrar a analizar el bloque B2 seguiremos exactamente el mismo

procedimiento que hemos utilizado para el otro bloque. Nuevamente

comenzaremos por el análisis visual.

Diagrama 3.3. Comparación de las medias pre(1) y post(2) en ambos grupos

8

8.5

9

9.5

10

10.5

11

1 2

Me

dia

Control

Experimental


154

De la misma manera que en el referente al bloque B1, el gráfico anterior nos

muestra las medias de cada uno de los dos grupos (experimental y control

representados en las dos líneas distintas) antes y después de la intervención (o

la ausencia de ésta). Los momentos 1 y 2 se refieren a las tomas de datos pre-

test y post-test respectivamente.

A simple vista o con la ayuda de la siguiente tabla

TIPO DE GRUPO Pre-test Post-test Zc

Control

Media 8.25 8.99

1.632 N 96 94

Desv. Tip. 3.156 3.095

Experimental

Media 8.08 10.89

6.358 N 101 100

Desv. Tip. 3.113 1.729

Tabla 3.3: Medias de los puntajes del bloque B2







Hipótesis nula

Hipótesis alterna

Z Crítica (α = 0.05) = ± 1.96


crítico de +1,96 para esta prueba del extremo superior tal como se muestra en


155



puntuación promedio del Pre-Test en el grupo control.


valor crítico de +1,96 para esta prueba del extremo superior tal como se



puntuación promedio del Pre-Test.


Región de Rechazo

+ 1.96z

f(z)

+1,632 +6,358

Figura 3.3. Valores de Z de Bloque B2

3.6. RESULTADOS DE CUESTIONARIO SUS

Para realizar el análisis de las opiniones de los docentes de las tres

instituciones educativas, antes se presentó el material didáctico yupana con el

objeto de recordar su funcionamiento, se dejan cinco minutos para que lo

practiquen. A continuación se les toma el Test SUS, este se muestra en el

Anexo 5.


156

Gráfico 3.15. Descripción del Grupo de docentes por puntuación del Test SUS

Prácticamente ocho de cada diez docentes (78,9%) tienen valores entre 70 y

80 puntos en el Test SUS. La media es 77.05.

La escala Likert es, en sentido estricto una medición ordinal; sin embargo, es

común que se trabaje como si fuera intervalo. Creswell (2005) señala que debe

considerarse en un nivel de medición por intervalos porque ha sido probada en

múltiples ocasiones.

Se obtienen los siguientes resultados:

Variable: usabilidad de la yupana

Moda: 75

Mediana: 77,5

Media: 77,58

Desviación Típica: 5,978

Puntuación más alta observada (max): 92,5

Puntuación más baja observada (min): 70


157

Rango = 22,5

Siendo que la media es mayor que la mediana y la moda, resulta evidente que

la distribución de valores tiene simetría positiva. Es decir esta sesgada a la

derecha.

En completo desacuerdo

50 75 1000

Completamente de acuerdo

Media =77.58Mediana =77.5

25

Moda=75

Min=70 Max=92.5

Rango Desviación Típica 5,978

Figura 3.4. Escala Likert del Cuestionario SUS

Los profesores tienen una actitud favorable en la usabilidad de la yupana. La

categoría que más se repitió es 75 (De acuerdo). Cincuenta por ciento de los

profesores está por encima del valor 77,5 y el restante 50% se sitúa por debajo

de este valor (mediana). Asimismo, se desvían de 77.58, en promedio 5,978

unidades de la escala. Ningún profesor califico la usabilidad de la yupana en

completo desacuerdo. Las puntuaciones tienden a ubicarse en valores medios

o elevados.

Es importante destacar la actitud favorable de los docentes en la usabilidad de

la yupana.


158

CAPITULO IV

DISCUSIÓN

Hemos compartido con los autores más representativos (Wassen, Radicati,

Burns, Ansión, Pereyra, Rivas, Chirinos, Moscovich entre otros) en las

propuestas de modelo de yuapana objeto de este estudio, como es la yupana

del libro El Primer Nueva Corónica y Buen Gobierno, que es la más estudiada;

las condiciones y características más importantes para aplicar al material

didáctico yupana para el aprendizaje de las matemáticas. Se escogió el modelo

Radicati porque aproxima al alumno a los conceptos matemáticos que se

enseña en segundo grado de primaria y también facilita en los alumnos

estrategias de resolución de problemas.

Hemos aplicado material didáctico yupana para la enseñanza de las

matemáticas y constatado sus efectos en la mejora del rendimiento

matemático y en la satisfacción de los usuarios (alumnos y profesores) en

usabilidad de yupana. Se obtuvo un conjunto de puntuaciones que dicha

muestra obtuvo en nuestro instrumento para evaluar la efectividad de la

intervención realizada: los factores de comprensión del número y del Sistema

de Numeración Decimal, y las nociones aditivas y la resolución de problemas

de la Prueba ECE 2011 de Matemática. Para acercarnos a estos resultados y

ver cómo habían contestado los sujetos, se procedió a un análisis visual del

primer tipo de puntuación: las directas.

Mediante las pruebas estadísticas adecuadas (Prueba de la diferencia de dos

medias utilizando la distribución normal), se pudo comprobar que éstas

diferencias intuidas eran estadísticamente significativas lo cual nos permite

afirmar por un lado que ambos grupos mejoran sus puntuaciones con el tiempo

(maduración, etc.) y el aprendizaje (tanto el efectuado en el aula sobre dichas

capacidades como el de la propia prueba) así que no debemos tomar como

indicadores de eficacia las puntuaciones post-test de manera aislada.


159

Dado que el objetivo final del estudio era valorar la eficacia de una intervención

y para tales efectos se habían definido un grupo control (que no iba a recibir

ningún tipo de instrucción) y otro experimental (que participaría en una serie de

prácticas educativas con vías a mejorar su rendimiento en los dos factores

mencionados más arriba), el primer análisis pretendía visualizar la evolución de

los dos grupos por separado y para cada factor (de manera paralela).

Consideramos que la hipótesis de investigación: la media del Post-Test es

mayor que el Pre-Test. Con el objeto de someter la hipótesis a una prueba

crítica, se plantea la hipótesis nula de que la puntuación promedio del Pre-Test

es igual o menor que el experimental. Se prueba la hipótesis, con nivel de

significancia del 5%. En el grupo de control el valor calculado de Z de +1,516

es menor que el valor de +1,96; por ello, se acepta la hipótesis nula y se

rechaza la hipótesis alterna. La puntuación promedio del Post-Test (13.59) es

menor o igual que la puntuación promedio del Pre-Test (11.61). En el grupo

experimental el valor calculado de Z de +6,358 es mayor que el valor +1,96; por

ello, se rechaza la hipótesis nula y se acepta la alternativa de que la puntuación

media del Post-Test (16.23) es mayor que la puntuación media del Pre-Test

(11.28). Los resultados de la comparación de grupos experimentales de los dos

factores dan resultados similares.

Estos resultados confirman a Chirinos (2010) la yupana tiene una valor

pedagógico es un hecho que se ha demostrado en los talleres de capacitación

de los años 2008 y 2009 donde participaron más de mil profesores indígenas y

mestizos. Tras una breve presentación de la yupana, los maestros quedaban

fascinados y casi inmediatamente lo consideraron un instrumento propio. Estos

procesos de capacitación docente forman parte del Proyecto de Educación

Intercultural Bilingüe de las Regiones Loreto y Amazonas. Por tanto, más allá

de la polémica que pueda generar, esta yupana es ya un instrumento que está

contribuyendo a la mejora de la práctica pedagógica en muchas escuelas

bilingües de la Amazonía Peruana.

Completamos y matizamos, no obstante, que el uso del material ha de

ser consensuado por el equipo docente de profesores para definir cuál ha de


160

ser la forma óptima de aplicación: grupos flexibles o individualizado. Del

material didáctico yupana se puede pasar a usar progresivamente recursos de

la cultura del Perú antiguo como quipus y tocapus. Se pueden usar el modelo

Pereyra para grados superiores de primaria. Aunque los objetivos de la

investigación han sido cumplidos no se estudió el vector comercial del producto

Material didáctico yupana, construido en tableros de 7 mm de Etileno Vinil

Acetato (microporoso), que está relacionado con el empaque, la distribución, la

comercialización, el punto de venta, la comunicación y la publicidad del

producto, entre otros aspectos, puesto que excedía los límites del trabajo, sin

embargo es un aspecto importante que puede dar continuidad a esta

investigación.

En función de los argumentos esgrimidos en esta discusión, nos preguntamos:

¿es viable la aplicación del material didáctico yupana en el funcionamiento

ordinario de las clases de matemáticas?, ¿están abiertos los profesores a

entrar en la dinámica de utilización de este material en sus clases?, ¿se podría

generalizar la aplicación del material a una muestra más amplia de centros

educativos y de grupos, teniendo en cuenta los resultados de esta

investigación?


161

CONCLUSIONES

1. Los rendimientos en Matemática de los alumnos de segundo grado de

primaria mejoran un 24% después de aplicar el material didáctico

yupana.

2. Las puntuaciones en Comprensión del número y del Sistema de

Numeración Decimal, de alumnos de segundo grado de primaria que

utilizaron la yupana en clases de Matemática, el promedio mejora un

14%.

3. Los puntajes de Nociones aditivas y la Resolución de problemas, de

alumnos de segundo grado de primaria que utilizaron la yupana en

clases de Matemática, el promedio mejora un 22%.

4. Los profesores tienen una actitud favorable en la usabilidad de la

yupana. La categoría que más se repitió es 75 (de acuerdo). Cincuenta

por ciento de los profesores está por encima del valor 77,5 y el restante

50% se sitúa por debajo de este valor (mediana).


162

RECOMENDACIONES

1. En todos las instituciones educativas primarias debería utilizar la

yupana como material didáctico para la enseñanza de matemática

2. Promover Cursos de capacitación del uso de la yupana como

material didáctico a los docentes de primaria.

3. Realizar nuevas investigaciones sobre el aprovechamiento de la

yupana para otros niveles es educativos.

4. Utilizar otros materiales del Perú antiguo como; quipus y tocapus

para su utilización como material didáctico.


163

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166

ANEXO 1

Asistencia de alumnos durante la investigación

Institución Educativa

GRUPO CONTROL GRUPO EXPERIMENTAL Total

Alumnos PRE-TEST POS-TEST PRE-TEST POS-TEST

Asistió Faltó Asistió Faltó Asistió Faltó Asistió Faltó

IE-1 32 0 31 1 33 0 32 1 65

IE-2 33 0 31 2 36 1 37 0 70

IE-3 31 1 32 0 32 0 31 1 64

Total Alumnos

96 1 94 3 101 1 100 2 199

97 97 102 102


167

ANEXO 2

PRETEST- CONTROLP1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 P13 P14 P15 P16 P17 P18 P19 P20 P21 B1 B2 ECE

Alumn1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 4 5 9

Alumn2 2 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 5 4 9

Alumn3 3 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 5 6 11

Alumn4 4 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 4 6 10

Alumn5 5 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 4 6 10

Alumn6 6 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 6 5 11

Alumn7 7 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 4 4 8

Alumn8 8 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 2 9 11

Alumn9 9 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 4 1 5

Alumn10 10 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 3 6 9

Alumn11 11 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 5 10 15

Alumn12 12 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 2 6 8

Alumn13 13 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 3 7 10

Alumn14 14 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 5 7 12

Alumn15 15 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 2 3 5

Alumn16 16 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 5 7 12

Alumn17 17 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 6 14 20

Alumn18 18 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 6 14 20

Alumn19 19 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 3 6 9

Alumn20 20 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 10 16

Alumn21 21 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 6 8 14

Alumn22 22 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 5 7 12

Alumn23 23 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 4 8 12

Alumn24 24 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 4 8 12

Alumn25 25 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 6 10 16

Alumn26 26 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 14 21

Alumn27 27 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 7 13 20

Alumn28 28 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 6 11 17

Alumn29 29 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 5 8 13

Alumn30 30 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 5 14 19

Alumn31 31 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 5 8 13

Alumn32 32 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 4 13 17

Alumn1 33 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 5 10 15

Alumn2 34 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 2 6 8

Alumn3 35 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 3 7 10

Alumn4 36 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 5 7 12

Alumn5 37 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 2 3 5

Alumn6 38 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 6 11 17

Alumn7 39 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 13 20

Alumn8 40 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 5 10 15

Alumn9 41 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 4 6 10

Alumn10 42 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 6 11 17

Alumn11 43 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 14 21

Alumn12 44 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 4 4 8

Alumn13 45 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 3 6 9

Alumn14 46 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 4 7 11

Alumn15 47 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 5 6 11

Alumn16 48 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 4 8 12

Alumn17 49 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 6 11 17

Alumn18 50 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 2 4 6

Alumn19 51 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 7 12 19

Alumn20 52 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 12 18

Alumn21 53 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 6 12 18

Alumn22 54 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 5 7 12

Alumn23 55 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 4 9 13

Alumn24 56 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4

Alumn25 57 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 4 4

Alumn26 58 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 6 11 17

Alumn27 59 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 4 6 10

Alumn28 60 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 3 6 9

Alumn29 61 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 4 4 8

Alumn30 62 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 2 6 8

Alumn31 63 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 3 8 11

Alumn32 64 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 4 9 13

Alumn33 65 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 4 7 11

Alumn1 66 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 4 4 8

Alumn2 67 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 4 8 12

Alumn3 68 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 2 5 7

Alumn4 69 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 5 6

Alumn5 70 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 2 8 10

Alumn6 71 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 7 13 20

Alumn7 72 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 3 7 10

Alumn8 73 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 4 5 9

Alumn9 74 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 3 7 10

Alumn10 75 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 8 10

Alumn11 76 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 2 7 9

Alumn12 77 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 4 13 17

Alumn13 78 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 3 7 10

Alumn14 79 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 3 9 12

Alumn15 80 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 3 7 10

Alumn16 81 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 5 7 12

Alumn17 82 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 6 14 20

Alumn18 83 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 6 14 20

Alumn19 84 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 3 6 9

Alumn20 85 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 10 16

Alumn21 86 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 6 8 14

Alumn22 87 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 5 7 12

Alumn23 88 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 4 8 12

Alumn24 89 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 4 8 12

Alumn25 90 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 6 10 16

Alumn26 91 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 14 21

Alumn27 92 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 7 13 20

Alumn28 93 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 6 11 17

Alumn29 94 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 5 8 13

Alumn30 95 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 5 14 19

Alumn31 96 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 5 8 13

SUMA 79 67 86 55 83 70 74 41 65 28 36 34 44 43 68 58 65 42 70 55 48 4.36 8.25 12.61

F1 = La Comprensión del Número y el Sistema de Numeración Decimal (Preg 5,6,8,17,18,19,21)

F2= Nociones Aditivas y la Resolución de Problemas (Preg 1,2,3,4,7,9,10,11,12,13,14,15,16,20)

PROMEDIO

JULIO C. TELLO

IE-1

MERCEDES

INDACOCHEA

IE-2

JOSE MC

NAMARA

IE-3


168

POST-TEST- CONTROLP1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 P13 P14 P15 P16 P17 P18 P19 P20 P21 B1 B2 ECE

Alumn1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 6 9 15

Alumn2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2

Alumn3 3 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 4 10 14

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Alumn27 27 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 2 10 12

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Alumn29 29 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 14 21

Alumn30 30 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 6 14 20

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Alumn5 36 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 2 7 9

Alumn6 37 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 3 5 8

Alumn7 38 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 3 5 8

Alumn8 39 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 3 8 11

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Alumn14 45 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 14 21

Alumn15 46 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 3 6 9

Alumn16 47 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 5 11 16

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Alumn19 50 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 7 12 19

Alumn20 51 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 7 13 20

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Alumn24 55 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 6 11 17

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Alumn26 57 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 14 21

Alumn27 58 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 4 6 10

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Alumn18 80 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 14 21

Alumn19 81 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 6 14 20

Alumn20 82 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 5 12 17

Alumn21 83 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 14 21

Alumn22 84 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 7 12 19

Alumn23 85 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 12 18

Alumn24 86 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 6 12 18

Alumn25 87 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 2 9 11

Alumn26 88 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 3 9 12

Alumn27 89 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 7 10 17

Alumn28 90 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 2 4 6

Alumn29 91 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 7 12 19

Alumn30 92 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 12 18

Alumn31 93 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 6 12 18

Alumn32 94 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 2 10 12

Suma 79 70 89 60 83 76 77 57 68 40 42 36 44 49 71 67 57 41 57 58 56 4.60 8.99 13.59



JULIO C. TELLO

IE-1

MERCEDES

INDACOCHEA

IE-2

JOSE MC

NAMARA

IE-3

PROMEDIO


169

PRE-TEST EXPERIMENTALP1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 P13 P14 P15 P16 P17 P18 P19 P20 P21 B1 B2 ECE

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Alumn8 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 14 21

Alumn9 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 7 13 20

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Alumn11 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 14 21

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Alumn26 59 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 6 14 20

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Alumn15 84 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 13 20

Alumn16 85 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 5 10 15

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Alumn19 88 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 5 10 15

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JULIO C. TELLO

IE-1

MERCEDES

INDACOCHEA IE-2

JOSE MC NAMARA

IE-3

PROMEDIO


170

POST-TEST EXPERIMENTALP1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 P13 P14 P15 P16 P17 P18 P19 P20 P21 B1 B2 ECE

Alumn1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 14 21

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Alumn7 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 14 21

Alumn8 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 14 21

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Alumn27 27 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 5 6 11

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Alumn5 37 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 6 10 16

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Alumn7 39 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 6 10 16

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Alumn9 41 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 4 9 13

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Alumn11 43 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 6 8 14

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Alumn14 46 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 14 21

Alumn15 47 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 14 21

Alumn16 48 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 14 21

Alumn17 49 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 14 21

Alumn18 50 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 7 13 20

Alumn19 51 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 4 4 8

Alumn20 52 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 6 8 14

Alumn21 53 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 13 20

Alumn22 54 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 12 17

Alumn23 55 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 4 9 13

Alumn24 56 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 3 7 10

Alumn25 57 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 12 19

Alumn26 58 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 4 11 15

Alumn27 59 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 2 4 6

Alumn28 60 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 4 10 14

Alumn29 61 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 6 12 18

Alumn30 62 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 4 10 14

Alumn31 63 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 5 7 12

Alumn32 64 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 5 6 11

Alumn33 65 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 5 11 16

Alumn34 66 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 12 19

Alumn35 67 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 14 21

Alumn36 68 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4

Alumn37 69 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 13 19

Alumn1 70 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 3 9 12

Alumn2 71 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 6 13 19

Alumn3 72 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 6 13 19

Alumn4 73 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 4 10 14

Alumn5 74 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 6 10 16

Alumn6 75 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 6 10 16

Alumn7 76 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 6 10 16

Alumn8 77 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 6 12 18

Alumn9 78 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 4 9 13

Alumn10 79 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 6 12 18

Alumn11 80 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 6 8 14

Alumn12 81 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 12 18

Alumn13 82 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 5 11 16

Alumn14 83 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 12 19

Alumn15 84 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 14 21

Alumn16 85 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 13 20

Alumn17 86 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 13 19

Alumn18 87 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 2 6 8

Alumn19 88 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 6 10 16

Alumn20 89 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 2 9 11

Alumn21 90 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 13 20

Alumn22 91 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 6 13 19

Alumn23 92 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 3 9 12

Alumn24 93 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 12 18

Alumn25 94 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 13 20

Alumn26 95 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 14 20

Alumn27 96 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 4 11 15

Alumn28 97 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 13 19

Alumn29 98 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 3 10 13

Alumn30 99 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 6 13 19

Alumn31 100 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 14 20

Suma 96 78 94 60 97 86 90 67 92 62 52 60 82 72 91 77 59 61 85 83 79 5.34 10.89 16.23



JULIO C. TELLO

IE-1

MERCEDES

INDACOCHEA

IE-2

JOSE MC NAMARA

IE-3

PROMEDIO


171

ANEXO 3

GRUPO CONTROL PRE-TEST

Tabla de frecuencia Bloque B1 – PRUEBA ECE

Puntuación Frecuencia Porcentaje Porcentaje válido

Porcentaje acumulado

0 2 2,1 2,1 2,1

1 1 1,0 1,0 3,1

2 11 11,5 11,5 14,6

3 13 13,5 13,5 28,1

4 23 24,0 24,0 52,1

5 19 19,8 19,8 71,9

6 19 19,8 19,8 91,7

7 8 8,3 8,3 100,0

Total 96 100,0 100,0 Bloque B2 – PRUEBA ECE



1 1 1,0 1,0 1,0

3 2 2,1 2,1 3,1

4 8 8,3 8,3 11,5

5 5 5,2 5,2 16,7

6 14 14,6 14,6 31,3

7 16 16,7 16,7 47,9

8 15 15,6 15,6 63,5

9 4 4,2 4,2 67,7

10 7 7,3 7,3 75,0

11 6 6,3 6,3 81,3

12 3 3,1 3,1 84,4

13 6 6,3 6,3 90,6

14 9 9,4 9,4 100,0

Total 96 100,0 100,0 PRUEBA ECE – CUADERNILLO 1



4 2 2,1 2,1 2,1

5 3 3,1 3,1 5,2

6 2 2,1 2,1 7,3

7 1 1,0 1,0 8,3

8 7 7,3 7,3 15,6

9 9 9,4 9,4 25,0

10 12 12,5 12,5 37,5

11 7 7,3 7,3 44,8

12 14 14,6 14,6 59,4

13 6 6,3 6,3 65,6

14 2 2,1 2,1 67,7

15 3 3,1 3,1 70,8

16 4 4,2 4,2 75,0

17 8 8,3 8,3 83,3

18 2 2,1 2,1 85,4

19 3 3,1 3,1 88,5

20 8 8,3 8,3 96,9

21 3 3,1 3,1 100,0

Total 96 100,0 100,0


172

GRUPO CONTROL POST-TEST




1 1 1,1 1,1 1,1

2 11 11,7 11,7 12,8

3 17 18,1 18,1 30,9

4 17 18,1 18,1 48,9

5 14 14,9 14,9 63,8

6 18 19,1 19,1 83,0

7 16 17,0 17,0 100,0

Total 94 100,0 100,0

Bloque B2 – PRUEBA ECE



1 1 1,1 1,1 1,1

2 1 1,1 1,1 2,1

4 4 4,3 4,3 6,4

5 5 5,3 5,3 11,7

6 12 12,8 12,8 24,5

7 12 12,8 12,8 37,2

8 9 9,6 9,6 46,8

9 6 6,4 6,4 53,2

10 11 11,7 11,7 64,9

11 9 9,6 9,6 74,5

12 10 10,6 10,6 85,1

13 6 6,4 6,4 91,5

14 8 8,5 8,5 100,0

Total 94 100,0 100,0

PRUEBA ECE – CUADERNILLO 2



2 1 1,1 1,1 1,1

4 1 1,1 1,1 2,1

6 2 2,1 2,1 4,3

7 1 1,1 1,1 5,3

8 4 4,3 4,3 9,6

9 8 8,5 8,5 18,1

10 14 14,9 14,9 33,0

11 3 3,2 3,2 36,2

12 13 13,8 13,8 50,0

13 2 2,1 2,1 52,1

14 5 5,3 5,3 57,4

15 3 3,2 3,2 60,6

16 7 7,4 7,4 68,1

17 9 9,6 9,6 77,7

18 5 5,3 5,3 83,0

19 3 3,2 3,2 86,2

20 7 7,4 7,4 93,6

21 6 6,4 6,4 100,0

Total 94 100,0 100,0


173

GRUPO EXPERIMENTAL PRE-TEST




0 4 4,0 4,0 4,0

1 2 2,0 2,0 5,9

2 14 13,9 13,9 19,8

3 14 13,9 13,9 33,7

4 25 24,8 24,8 58,4

5 13 12,9 12,9 71,3

6 16 15,8 15,8 87,1

7 13 12,9 12,9 100,0

Total 101 100,0 100,0




1 1 1,0 1,0 1,0

2 2 2,0 2,0 3,0

3 2 2,0 2,0 5,0

4 8 7,9 7,9 12,9

5 7 6,9 6,9 19,8

6 12 11,9 11,9 31,7

7 16 15,8 15,8 47,5

8 15 14,9 14,9 62,4

9 4 4,0 4,0 66,3

10 11 10,9 10,9 77,2

11 5 5,0 5,0 82,2

12 6 5,9 5,9 88,1

13 7 6,9 6,9 95,0

14 5 5,0 5,0 100,0

Total 101 100,0 100,0 PRUEBA ECE – CUADERNILLO 1



2 2 2,0 2,0 2,0

4 2 2,0 2,0 4,0

5 3 3,0 3,0 6,9

6 3 3,0 3,0 9,9

7 2 2,0 2,0 11,9

8 7 6,9 6,9 18,8

9 9 8,9 8,9 27,7

10 14 13,9 13,9 41,6

11 7 6,9 6,9 48,5

12 13 12,9 12,9 61,4

13 2 2,0 2,0 63,4

14 4 4,0 4,0 67,3

15 6 5,9 5,9 73,3

16 4 4,0 4,0 77,2

17 6 5,9 5,9 83,2

18 3 3,0 3,0 86,1

19 4 4,0 4,0 90,1

20 7 6,9 6,9 97,0

21 3 3,0 3,0 100,0

Total 101 100,0 100,0


174

GRUPO EXPERIMENTAL POST-TEST

Tabla de frecuencia




0 2 2,0 2,0 2,0

2 5 5,0 5,0 7,0

3 8 8,0 8,0 15,0

4 15 15,0 15,0 30,0

5 8 8,0 8,0 38,0

6 34 34,0 34,0 72,0

7 28 28,0 28,0 100,0

Total 100 100,0 100,0




4 6 6,0 6,0 6,0

6 3 3,0 3,0 9,0

7 2 2,0 2,0 11,0

8 4 4,0 4,0 15,0

9 11 11,0 11,0 26,0

10 16 16,0 16,0 42,0

11 6 6,0 6,0 48,0

12 16 16,0 16,0 64,0

13 20 20,0 20,0 84,0

14 16 16,0 16,0 100,0

Total 100 100,0 100,0

PRUEBA ECE – CUADERNILLO 2



4 2 2,0 2,0 2,0

6 2 2,0 2,0 4,0

8 3 3,0 3,0 7,0

10 1 1,0 1,0 8,0

11 4 4,0 4,0 12,0

12 5 5,0 5,0 17,0

13 8 8,0 8,0 25,0

14 9 9,0 9,0 34,0

15 3 3,0 3,0 37,0

16 10 10,0 10,0 47,0

17 3 3,0 3,0 50,0

18 9 9,0 9,0 59,0

19 16 16,0 16,0 75,0

20 12 12,0 12,0 87,0

21 13 13,0 13,0 100,0

Total 100 100,0 100,0


175

ANEXO 4 CALCULO DE “Z”

GRUPO CONTROL X1 = 13.59 S1 = 4.480 N1 = 94

X2 = 12.61 S2 = 4.428 N2 = 96

= 4.4800 = 0.46207672

9.69535971

= 4.4280 = 0.45193086

9.79795897

0.64634077

CALCULO DE z

0.9800 = 1.51622804

0.64634077

GRUPO EXPERIMENTAL X1 = 16.23 S1 = 4.146 N1 = 100

X2 = 12.28 S2 = 4.65 N2 = 101

= 4.1460 = 0.4146

10

= 4.6500 = 0.46269229

10.0498756

0.62127073

CALCULO DE z

3.9500 = 6.35793675

0.62127073


176

GRUPO CONTROL (Bloque B1)X1 = 4.6 S1 = 1.693 N1 = 94

X2 = 4.36 S2 = 1.629 N2 = 96

= 1.6930 = 0.17461962

9.69535971

= 1.6290 = 0.16625912

9.79795897

0.24111015

CALCULO DE z

0.2400 = 0.99539567

0.24111015

GRUPO EXPERIMENTAL (Bloque B1)X1 = 5.34 S1 = 1.671 N1 = 100

X2 = 4.2 S2 = 1.849 N2 = 101

= 1.6710 = 0.1671

10

= 1.8490 = 0.18398238

10.0498756

0.24853958

CALCULO DE z

1.1400 = 4.58679451

0.24853958


177

GRUPO CONTROL (Bloque B2)X1 = 8.99 S1 = 3.095 N1 = 94

X2 = 8.25 S2 = 3.156 N2 = 96

= 3.0950 = 0.31922488

9.69535971

= 3.1560 = 0.3221079

9.79795897

0.45349534

CALCULO DE z

0.7400 = 1.63176981

0.45349534

GRUPO EXPERIMENTAL (Bloque B2)X1 = 10.89 S1 = 2.726 N1 = 100

X2 = 8.08 S2 = 3.113 N2 = 101

= 2.7260 = 0.2726

10

= 3.1130 = 0.30975508

10.0498756

0.41262449

CALCULO DE z

2.8100 = 6.81006601

0.41262449


178

ANEXO 5. TEST SUS

Yupana La yupana es un material de apoyo en la fase intuitivo concreta del proceso

de enseñanza aprendizaje de Matemática, que facilita la formación de

conceptos relacionados con el valor posicional de las cifras en la escritura

de los números, relaciones y operaciones numéricas fundamentales.

La Yupana es aplicable tanto para niños de procedencia rural como urbana.

Su construcción es simple, pudiendo confeccionarse en cartón, triplay,

microporoso, madera o arcilla y piedrecitas o granos como ayudas

artificiales.

INSTRUCCIONES:

1. La información que Ud. Nos brinde es personal, Sincera y Anónima.

2. Marque sólo una de las respuestas de cada pregunta, que Ud. Considere

la opción correcta.

3. Debe contestar todas las preguntas.

ASPECTOS GENERALES

1. SEXO a) Masculino b) Femenino 2. EDAD:

a) 15 a 20 años b) 21 a 25 años c) 26 a 30 años

d) 31 a 35 años e) 36 a 40 años f) 41 a más años

3. NIVEL DE INSTRUCCIÓN COMPLETA:

a) Primaria b) Secundaria c) Universitaria

d) Maestría e) Doctorado

CUESTIONARIO

1. Creo que me gustará con frecuencia usar la yupana.

De acuerdo

4


5

A veces de acuerdo

3

En desacuerdo

2

En Completo desacuerdo

1

2. Encontré complicado el uso de la yupana.

De acuerdo

4


5

A veces de acuerdo

3

En desacuerdo

2


1

3. Pensé que era fácil utilizar la yupana.

De acuerdo

4


5

A veces de acuerdo

3

En desacuerdo

2


1

4. Creo que necesitaría del apoyo de un experto para usar la yupana.

De acuerdo

4


5

A veces de acuerdo

3

En desacuerdo

2


1

5. Encontré las diversas posibilidades de la yupana bastante bien integradas.

De acuerdo

4


5

A veces de acuerdo

3

En desacuerdo

2


1

6. Pensé que había demasiada inconsistencia en la yupana.

De acuerdo

4


5

A veces de acuerdo

3

En desacuerdo

2


1

7. Imagino que la mayoría de los alumnos aprenderán muy rápidamente a

utilizar la yupana.

De acuerdo

4


5

A veces de acuerdo

3

En desacuerdo

2


1

8. Encontré la yupana muy difícil su uso para los alumnos.

De acuerdo

4


5

A veces de acuerdo

3

En desacuerdo

2


1

9. Me sentí muy confiado en el manejo de la yupana.

De acuerdo

4


5

A veces de acuerdo

3

En desacuerdo

2


1

10. Necesito aprender muchas cosas antes de usar la yupana.

De acuerdo

4


5

A veces de acuerdo

3

En desacuerdo

2


1

179

VALOR GLOBAL DEL TEST SUS

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 Suma FACTOR SUS

IE-1

Prof1 4 4 2 1 4 4 4 4 3 3 33 1.5 81.50

Prof2 3 3 3 2 3 3 3 3 3 4 30 1.5 75.00

Prof3 3 2 3 3 3 4 3 3 4 3 31 1.5 77.50

Prof4 3 3 3 3 2 2 2 3 3 4 28 1.5 70.00

Prof5 2 3 3 4 3 3 3 4 3 3 31 1.5 77.50

Prof6 3 3 3 3 4 4 3 3 3 2 31 1.5 77.50

Prof7 3 3 3 3 4 4 4 3 4 3 34 1.5 85.00

Prof8 3 3 3 3 4 3 3 4 3 4 33 1.5 81.50

Prof9 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 30 1.5 75.00

Prof10 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 30 1.5 75.00

Prof11 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 30 1.5 75.00

Prof12 3 3 3 4 3 4 4 4 3 3 34 1.5 85.00

Prof13 4 3 3 2 3 3 3 3 2 2 28 1.5 70.00

Prof14 3 3 3 1 4 3 4 3 3 1 28 1.5 70.00

Prof15 3 3 2 3 3 3 4 4 3 3 31 1.5 77.50

IE-2

Prof16 3 4 4 4 4 3 4 4 3 3 36 1.5 90.00

Prof17 3 3 3 4 2 2 3 2 3 3 28 1.5 70.00

Prof18 3 3 1 3 3 3 4 3 3 3 29 1.5 71.50

Prof19 3 3 0 3 3 3 4 3 3 3 28 1.5 70.00

Prof20 3 4 0 4 4 1 4 4 4 4 32 1.5 80.00

Prof21 3 3 4 3 3 4 4 4 3 4 35 1.5 87.50

Prof22 3 3 2 3 4 2 3 3 3 3 29 1.5 71.50

Prof23 3 4 1 3 3 3 4 4 3 4 32 1.5 80.00

Prof24 3 3 3 3 3 3 4 4 3 3 32 1.5 80.00

Prof25 3 3 3 3 3 3 4 3 3 2 30 1.5 75.00

Prof26 2 4 3 3 3 3 4 4 4 3 33 1.5 81.50

Prof27 3 4 3 3 3 2 4 3 4 3 32 1.5 80.00

IE-3

Prof28 3 4 3 4 4 4 4 4 4 3 37 1.5 91.50

Prof29 4 4 3 4 4 1 4 4 0 4 32 1.5 80.00

Prof30 3 3 3 2 3 3 3 4 3 3 30 1.5 75.00

Prof31 2 3 3 3 3 3 3 3 2 4 29 1.5 71.50

Prof32 3 3 3 2 3 3 4 3 2 3 29 1.5 71.50

Prof33 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 29 1.5 71.50

Total 99 106 84 98 107 97 115 111 99 101

Media= 77.05

180

RESULTADOS DEL TEST SUS



70,00 5 15,2 15,2 15,2

72,50 5 15,2 15,2 30,3

75,00 6 18,2 18,2 48,5

77,50 4 12,1 12,1 60,6

80,00 5 15,2 15,2 75,8

82,50 3 9,1 9,1 84,8

85,00 2 6,1 6,1 90,9

87,50 1 3,0 3,0 93,9

90,00 1 3,0 3,0 97,0

92,50 1 3,0 3,0 100,0

Total 33 100,0 100,0

Estadísticos

SUS

N Válidos 33

Perdidos 0 Media 77,5758 Mediana 77,5000 Moda 75,00 Desv. típ. 5,97798 Rango 22,50 Mínimo 70,00 Máximo 92,50

181

ANEXO 6. DISEÑO DE YUPANA

YUPANA ALUMNO

20

cm

5 c

m

5 cm

25 cm

YUPANA DOCENTE

65

cm1

3 c

m

13 cm

52 cm

182

ANEXO 7. FOTOGRAFIAS DE YUPANAS

183

DOCENTE Y YUPANA

184

Documents

UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ … · GRADO DE PRIMARIA EN INSTITUCIONES EDUCATIVAS ... Objetivos 94 A. Objetivo ... Ejemplos de representación concreta Modelo Chirinos