UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE

CAMINOS, CANALES Y PUERTOS

SOBRE LA RESPUESTA DINÁMICA DEL TERRENO BAJO LA ACCIÓN DEL OLEAJE EN CAJONES FONDEADOS EN

SUELOS ARCILLOSOS

TESIS DOCTORAL

MIGUEL MARTÍN STICKLE

Licenciado en Matemáticas

Madrid, 2010

DEPARTAMENTO DE MECÁNICA DE MEDIOS CONTINUOS Y TEORÍA DE ESTRUCTURAS

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE

CAMINOS, CANALES Y PUERTOS

SOBRE LA RESPUESTA DINÁMICA DEL TERRENO BAJO LA ACCIÓN DEL OLEAJE EN CAJONES FONDEADOS EN

SUELOS ARCILLOSOS

MIGUEL MARTÍN STICKLE

Licenciado en Matemáticas

DIRECTORES DE TESIS:

D. PABLO DE LA FUENTE MARTÍN

Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos

D. CARLOS OTEO MAZO

Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos

Madrid, 2010

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos

Arcillosos.

Tesis Doctoral

Universidad Politécnica de Madrid

Madrid, 2010

Miguel Martín Stickle

Licenciado en Matemáticas

Director: D. Pablo de la Fuente Martín

Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos

Director: D. Carlos Oteo Mazo

Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos

Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos

Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras

Universidad Politécnica de Madrid

Profesor Aranguren s/n

Madrid 28040

Teléfono: (+34) 913366700 ext.21

Correo electrónico: miguelstickle@caminos.upm.es

© Miguel Martín Stickle

ISBN: 978-84-693-8054-3

D. 15

Tribunal nombrado por el Mgfco. y Excmo. Sr. Rector de la Universidad Politécnica

de Madrid, el día ………………………………….

Presidente D. …………………………………………………………..

Vocal D. …………………………………………………………..

Vocal D. …………………………………………………………..

Vocal D. …………………………………………………………..

Secretario D. …………………………………………………………..

Suplente D. …………………………………………………………..

Suplente D. …………………………………………………………..

Realizado el acto de defensa y lectura de la Tesis el día …... de ............................ de 2010

en la E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de la U.P.M.

Calificación: ............................................................................

EL PRESIDENTE LOS VOCALES

EL SECRETARIO

A mis padres, Jose María y Sandra

VII

AGRADECIMIENTOS

Quiero empezar este apartado de la Tesis agradeciendo sinceramente a mis Directores de Tesis, Carlos Oteo Mazo y Pablo de la Fuente Martín, su apoyo, consejo, amistad, paciencia y confianza, brindada a lo largo de estos años de desarrollo de la Tesis Doctoral. Me siento afortunado de poder haber disfrutado de esta codirección de Tesis, sin la cual no se podrían haber alcanzado de una forma tan clara los objetivos marcados en la investigación. No se podía continuar esta sección de agradecimientos sin mencionar a la empresa Dragados por la financiación económica prestada en el tramo inicial de la presente Tesis Doctoral en el marco del proyecto de investigación “Respuesta dinámica del terreno bajo acciones del oleaje en cajones fondeados sobre suelos blandos”, concertado entre Dragados y la Fundación Agustín de Betancourt, agradeciendo de forma especial a José Polimón su apoyo y confianza. Debido a que esta tesis se ha desarrollado entre los departamentos de Geotecnia y de Mecánica de Medios Continuos de la Escuela de Caminos de Madrid, me gustaría agradecer a todas las personas vinculadas a estos laboratorios su incondicional apoyo y amistad, aspectos que me han facilitado enormemente el desarrollo de la presente Tesis Doctoral. Especial mención se merecen Mateo Arroyo, Pachi Muñoz y Valentín Bella del laboratorio de Geotecnia, así como Pepe Torrico, Isidro García, Miguel Ángel López, Miguel Ángel Peña, del departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras. Parte esencial de este recorrido son mis compañeros de doctorado, Silmara de Asis, Manuela Posusada, Carola Sanhueza, Francisco Calvo, Álvaro Ridruejo, Javier Ezeberry, Ariel Dante, Francisco Riquelme, Luís Lacoma, Daniel Iglesias, Fernanda Defant, Sergio Espejo, Claudio García, Patricio Padilla, Els Claes, Damon Afkari, Pablo Antolín, Tobías Petschke. Especial mención se merecen Roberto Ortega y Carlos Zanuy, por su amistad y consejo. En la línea del apartado anterior, quiero agradecer a mis amigos de la facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid el haberme confortado en todo momento. Especial mención se merecen Víctor Fernandez, Bárbara Tapiador y Pablo Martínez por su sincera amistad. No puedo concluir esta sección sin agradecer a mi familia su importantísimo apoyo, ayuda y cariño, animándome en todo momento a lo largo del desarrollo de esta Tesis Doctoral. Gracias a mis padres, Jose María y Sandra, a mis hermanos, Jose, Arturo y Antonio, y a mis sobrinos Jose, Paula y María. Para finalizar mí más profundo agradecimiento a Anita. Gracias por acompañarme en todo momento. Gracias a todos.

VIII

IX

RESUMEN

El diseño de la cimentación de estructuras marinas presenta una serie de dificultades debido a la complejidad de las solicitaciones ejercidas sobre la estructura, derivadas de la acción dinámica del oleaje y transmitidas al lecho marino a través de una compleja interacción cimentación-estructura, así como al comportamiento no lineal del suelo en el que existe acoplamiento del agua intersticial con el esqueleto sólido. Estas dificultades hacen de la dinámica asociada a un lecho marino subyacente y en las inmediaciones de un dique vertical un problema formidable. Parece que dicha dinámica no puede ser reproducible a través de un único modelo sino que se necesita el acoplamiento de una serie de modelos capaces de representar adecuadamente cada uno de los aspectos relevantes involucrados, haciéndose imprescindible el empleo de técnicas numéricas. Una de las conclusiones principales a las que llegó el trabajo desarrollado en el Instituto Noruego de Geotecnia (de Groot et al., 1996), perteneciente a las investigaciones del grupo europeo multidisciplinar MASTII, estableció la interacción entre los distintos fenómenos involucrados en la respuesta de un dique vertical de cajones ante la acción del oleaje, a saber, generación instantánea de presión de poros, la acumulación residual de la presión de poros y la dinámica asociada al movimiento oscilatorio del cajón, como uno de los aspectos que no habían sido abordados hasta la fecha. Más aún, el informe final del MASTIII, publicado en 2001, seguía haciendo referencia a la necesidad de profundizar en el entendimiento de la interacción oleaje-estructura-cimentación, prestando especial atención a los estados de fallo inducidos por la inestabilidad de la cimentación. El objetivo principal de la presente Tesis Doctoral ha sido desarrollar un modelo teórico-numérico que permita analizar el comportamiento dinámico de la cimentación de un dique ante la acción cíclica del oleaje, en cajones fondeados en terrenos arcillosos, prestando especial atención a la generación y evolución de la presión intersticial con la consiguiente degradación del terreno. Atendiendo a este objetivo, en la presente Tesis Doctoral se ha desarrollado un modelo teórico que permite analizar el comportamiento dinámico de la cimentación de un dique ante la acción cíclica del oleaje en cajones fondeados en terrenos arcillosos, prestando especial atención a la generación y evolución de la presión intersticial con la consiguiente degradación del terreno. El modelo incluye: i) la formulación Generalizada de Biot

wu p− de (Zienkiewicz y Shiomi 1984) para representar la interacción esqueleto

del suelo-fluido intersticial, ii) un modelo constitutivo propuesto en la presente Tesis Doctoral enmarcado en la Teoría Generalizada de la Plasticidad (Pastor et al. 1990) para describir el comportamiento de suelos arcillosos saturados bajo carga cíclica y dinámica, iii) un modelo de contacto entre el cajón y la banqueta de apoyo basado en la compatibilidad geométrica de ambos cuerpos para poder reproducir los complejos estados tensodeformacionales asociados a interacción cajón-banqueta de apoyo.

Se muestra en la Figura 0. 1, de forma esquemática, las partes de las que se compone el modelo propuesto en la presente Tesis Doctoral para abordar la compleja interacción terreno-agua-estructura involucrada en un dique vertical de cajones instalado sobre un

X

lecho marino arcilloso y sometido a la acción del oleaje. En dicha figura, se presenta con tonos oscuros las aportaciones novedosas, relacionadas con el modelo teórico, propuestas en esta Tesis Doctoral.

Figura 0. 1 Esquema del modelo teórico propuesto en la presente Tesis Doctoral para analizar la interacción suelos arcilloso-banqueta de apoyo-cajón-Oleaje.

Ley Tensodeformacional.

Teoría Generalizada de la Plasticidad.

Pastor-Zienkiewicz (1990)

Componente elástica termodinámicamente

inconsistente. No reproduce adecuadamente carga cíclica

Aplicación de formulación de Mira et al. (2008)

termodinámicamente consistente a suelos arcillosos

Modelización Comportamiento Lecho

Marino

Modelización

comportamiento cajón.

Condiciones de Contorno

Acoplamiento fluido intersticial-esqueleto del

terreno Formulación Generalizada

de Biot u-pw (Zienkiewicz y Shiomi,

1984)

Contacto Cajón –Banqueta

de Escollera

Bordes de radiación

Acción impulsiva del oleaje

MODELO PROPUESTO PARA REPRESENTAR LA INTERACCIÓN SUELO ARCILLOSO-BANQUETA DE ESCOLLERA-CAJÓN-OLEAJE

Modelización de las condiciones de

Contorno

Aportaciones novedosas de la presente Tesis Doctoral

Houlsby et al. (2005) ley elástica no lineal

termodinámicamente consistente.

Mira et al. (2008) componente elástica termodinámicamente consistente para suelos

granulares

Modelización Comportamiento

Banqueta de Escollera

XI

Una vez planteadas las ecuaciones de gobierno, incorporando los distintos acoplamientos así como las condiciones de contorno, se resolvieron numéricamente a través del método de los elementos finitos. Tras la discretización espacial de las ecuaciones de gobierno del comportamiento del lecho marino, la banqueta de apoyo y el cajón, el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden obtenido fue complementado con los términos derivados del tratamiento numérico del contacto entre la banqueta de apoyo y el cajón así como con los asociados a los bordes de radiación. Una vez se obtuvo el sistema final de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineal de gobierno del problema dinámico global se desarrolló el proceso de integración temporal. Debido a que el fenómeno de interacción lecho marino-banqueta de apoyo-cajón-oleaje no queda circunscrito a una disciplina concreta de la ingeniería, sino que involucra varias de ellas, y teniendo en cuenta las limitaciones de los códigos comerciales para tratar fenómenos de estas características, se optó por desarrollar plenamente la resolución numérica de las ecuaciones de gobierno planteadas, realizando un programa en el lenguaje M del entorno Matlab, llamado ADÍNDICA, cuyas siglas significan Análisis Dinámico de Diques de Cajones. Este programa puede ser empleado en el diseño de la cimentación de estructuras marinas de gravedad, permitiendo el análisis de los aspectos fundamentales involucrados en el comportamiento geomecánico asociado a la cimentación de este tipo de estructuras, a saber, i) la compleja interacción cajón-banqueta de apoyo, derivada de las acciones dinámicas y cíclicas del oleaje, esencial para poder estimar las tensiones transmitidas al lecho marino, ii) el acoplamiento del agua intersticial del suelo de la cimentación con el esqueleto sólido, esencial para valorar la influencia de la variación de la presión de poros influida por la compresión elástica del fluido intersticial, así como por la compresión y dilatación elástica del esqueleto del suelo en combinación con un drenaje limitado y iii) el posible cambio gradual de resistencia y rigidez del terreno debido a la acción de cargas repetitivas y/o la consolidación, imprescindible para evaluar la degradación del lecho marino y su comportamiento a largo plazo. A continuación, en la Figura 0. 2 se presenta el diagrama de flujo esquemático del programa ADÍNDICA desarrollado en el entorno Matlab. En dicha figura, se presenta con tonos oscuros las aportaciones novedosas, relacionadas con la resolución numérica del modelo teórico, propuestas en esta Tesis Doctoral.

XII

Figura 0. 2 Diagrama de flujo del programa ADÍNDICA

INICIO

Preproceso

− Tiempo inicial y final del cálculo. Paso inicial de tiempo. − Parámetros para definir la geometría. − Se define geometría, se genera malla triangular estructurada/no estructurada de tres y seis nodos. (Matlab / GID) − Generamos puntos de Gauss. (ptogauss.m) − Declaración de Arrays de ensamblaje. − Identificamos bordes con condiciones Newman, condiciones Dirichlet y de radiación. − Parámetros para definir el Material. − Condiciones iniciales de desplazamiento, velocidades y aceleraciones, tensión y deformación del esqueleto sólido.

Condiciones iniciales de presión de poros y velocidad de presión de poros. − Inicializamos matrices de rigidez, masa, amortiguamiento, permeabilidad, compresibilidad, acoplamiento y

radiación. De igual forma se inicializa vector de fuerzas másicas, de filtración y de tensiones de contacto. Almacenamiento compacto (sparse).

− Ensamblaje de matrices de rigidez, masa, amortiguamiento, permeabilidad, compresibilidad, acoplamiento y radicación. De igual forma se ensambla el vector de fuerzas másicas.

− Establecimiento de los nodos del cajón y de la banqueta de apoyo que pueden entrar en contacto.

Cálculo

− Bucle sobre el tiempo (mientras 1n final

t t+ < )

o Ensamblaje de condiciones de borde en tensiones y/o desplazamientos dependientes del tiempo.

o Inicialización del algoritmo[ ] [ ]1

, , , , , , , ,lecho lecho banq banq cajon

n n n n n∆ ∆ ∆ ∆ ∆ = 0 0 0 0 0u p u p uɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ .

o Bucle sobre las iteraciones hasta convergencia. Newton-Raphson ( 1...i convergencia= ). Se resuelve

( )1

11

2

1

1

, , , ,i

lecho lecho banq banq cajon

n n wn n wn ni ilecho lecho

n n

lecho lecho nwn wn

esc esc

in n

esc esc

wn wn

cajon cajon

n n

++

+

−

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

Ψ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ Ψ ∆ = −

J

u u

u u

u u

u p u p u

p p

p p

ɺɺ ɺɺ

ɺɺ ɺɺ

ɺɺ ɺɺ

ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ

ɺɺɺ ɺ

ɺ ɺ

( )( )( )

3

1

4

1

5

1

, , , ,

, , , ,

, , , ,

, ,

ilecho lecho banq banq cajon

n wn n wn n

ilecho lecho banq banq cajon

n n wn n wn n

ilecho lecho banq banq cajon

n n wn n wn n

lecho lecho ba

n n wn n

+

+

+

∆ ∆ ∆ ∆

Ψ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

Ψ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

Ψ ∆ ∆ ∆

u p u p u

u p u p u

u p u p u

u p u

ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ

ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ

ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ

ɺɺ ɺ ɺɺ( ), ,i

nq banq cajon

wn n

∆ ∆ p uɺ ɺɺ

Se obtienen los desplazamientos 1

global

n+u y presión de poros 1

global

n+p a tiempo 1n

t + .

Obtención de las deformaciones en cada punto de integración. Integración de la relación tensión-deformación en cada punto de Gauss a través del

esquema de Euler Modificado para Plasticidad Generalizada con control del error. (modifiedeulerelasplas.m)

Actualización de tensiones y deformaciones plásticas. Actualización de matriz de rigidez, matriz de amortiguamiento, matriz borde de

radiación y fuerzas de contacto. o Final bucle Newton-Raphson. o Control del error global y actualización del paso de tiempo.

− Final bucle tiempo.

Post proceso

− Visualización gráfica de resultados numéricos. (postproceso.m)

FIN

INICIO

XIII

Una vez planteadas las ecuaciones de gobierno que rigen el problema de la interacción cimentación-oleaje-dique vertical, así como desarrollada la aproximación numérica e implementada en el programa ADÍNDICA fue necesario abordar las siguientes cuestiones:

1. ¿Funciona correctamente el programa ADÍNDICA? 2. ¿Es precisa la solución numérica obtenida a través del código ADÍNDICA? 3. ¿Es la solución numérica consistente con la física del problema?

En relación al primero de estos puntos, se han realizado una serie de pruebas numéricas en régimen elástico lineal isótropo para comprobar la bondad de las distintas componentes que componen el código ADÍNDICA. Los resultados numéricos obtenidos fueron confrontados con soluciones teóricas así como con las predicciones derivadas del código comercial PLAXIS. En relación a la valoración de la precisión de la solución numérica, se validaron los algoritmos de resolución de comportamientos no lineales implementados en el código ADÍNDICA. Estos algoritmos son: − Algoritmo de integración puntual de la ley constitutiva elastoplástica. − Algoritmo de integración global de la relación fuerza-desplazamiento. Para realizar la verificación del correcto funcionamiento de estos algoritmos, se realizaron una serie de pruebas numéricas, analizando en cada caso de estudio la precisión de cada uno estos algoritmos. Para establecer si la solución numérica era consistente con la física del problema, se efectuaron una serie de pruebas numéricas, confrontando los resultados obtenidos con datos experimentales. Los aspectos a validar en esta serie de simulaciones fueron: − Validación del comportamiento constitutivo, propuesto en la presente Tesis Doctoral,

modificación de ley constitutiva elastoplástica de Pastor-Zienkiewicz aplicado a suelos arcillosos.

− Validación del proceso de consolidación acoplado con el comportamiento constitutivo elastoplástico Pastor-Zienkiewicz aplicado a suelos arcillosos.

− Validación del elemento de contacto. − Validación de la relación entre las condiciones de contorno hidráulicas relacionadas

con el impacto de una ola sobre el paramento vertical de un dique de cajones y el movimiento del cajón.

− Validación de la relación entre el movimiento del cajón inducido por el impacto de una ola y la generación de presión de poros transitoria.

Los datos experimentales empleados para la validación de estos aspectos provinieron de: a) ensayos triaxiales estáticos y dinámicos, utilizados en la validación del comportamiento constitutivo y del proceso de consolidación elastoplástico, b) un ensayo a escala de una zapata rígida, utilizado para validar el comportamiento constitutivo, c) un ensayo a pequeña escala, utilizado para validar el elemento de contacto y d) ensayos a gran escala empleados para validar las relaciones presión de oleaje-movimiento del cajón-generación de presión de poros transitoria.

XIV

Entre las conclusiones más destacadas del presente trabajo de investigación cabe resaltar las siguientes: − El modelo teórico propuesto representa correctamente el acoplamiento del esqueleto

sólido del suelo y la presión de poros, bajo carga monótona y no monótona en condiciones estáticas (drenadas y no drenadas), pseudoestáticas y dinámicas. La bondad de la aproximación numérica como su implementación en el código ADÍNDICA queda verificada a la luz de los resultados numéricos obtenidos.

− Se puede concluir que tanto el algoritmo de integración puntual de la ley constitutiva

elastoplástica propuesto en la presente Tesis Doctoral como el algoritmo de integración global de la relación fuerza-desplazamiento son robustos y precisos.

− La contrastación directa de los resultados numéricos con datos experimentales ha

puesto de manifiesto la bondad del comportamiento constitutivo, propuesto en la presente Tesis Doctoral, modificación de ley constitutiva elastoplástica de Pastor-Zienkiewicz aplicado a suelos arcillosos.

− El código numérico ADÍNDICA es capaz de reproducir satisfactoriamente un

proceso de consolidación elastoplástico. − El modelo de contacto implementado en el código ADÍNDICA para representar la

interacción entre un cajón y la banqueta de apoyo reproduce correctamente los complejos estados tensodeformacionales asociados a esta interacción.

− El código ADÍNDICA permite simular de forma adecuada la respuesta dinámica de

un dique vertical de cajones ante la acción impulsiva del oleaje, reproduciendo satisfactoriamente la relación entre las condiciones de contorno hidráulicas relacionadas con el impacto de una ola sobre el paramento vertical de un dique de cajones y el movimiento del cajón.

− A través del código numérico ADÍNDICA se ha podido reproducir correctamente las

características principales de la relación entre el movimiento del cajón y la generación instantánea de presión de poros, deducidas de la experimentación (Figura 0. 3 y Figura 0. 4). Estas características son i) la magnitud de los movimientos del cajón inducidos por el impacto de ola en el lado de mar son claramente superiores a los registrados en el lado de puerto, ii) el registro temporal de presiones de poros registrado en la capa de arena bajo las esquinas del cajón es muy similar al desplazamiento vertical registrado por estas esquinas pero de signo contrario. Más aún, el relativamente menor movimiento vertical registrado por la esquina del lado de puerto del cajón induce una amplitud máxima en la presión de poros positiva muy superior a la amplitud máxima de la presión de poros negativa inducida por el movimiento vertical registrado en la esquina del lado de mar del cajón y iii) la influencia del movimiento del cajón en la generación de presión de poros disminuye al aumentar la profundidad.

XV

Figura 0. 3 Comparación entre los datos registrados experimentalmente por Kudella et al. (2006) y los obtenidos numérica a través del código ADÍNDICA en a) desplazamientos verticales y b) excesos de

presión de poros.

XVI

− El código ADÍNDICA es capaz de reproducir satisfactoriamente el carácter acumulativo de los asientos experimentados por un dique vertical, apoyado sobre un lecho arcilloso, al sufrir el impacto de un tren de olas, capturando adecuadamente la estrecha correlación existente entre estos asientos y las presiones de poros residuales (Figura 0. 4).

Figura 0. 4 Relación entre la acumulación de asientos y la presión de poros residual, en un dique vertical apoyado sobre un lecho arcilloso y sometido a la acción del oleaje. Resultado numérico ADÍNDICA.

Aplicación del oleaje

Vibración libre

Tiempo (seg)

Exceso de presión de po

ros (N

/m2 )

Desplazam

iento vertical (m)

Tiempo (seg)

XVII

ABSTRACT

The design of the foundation of marine structures presents a series of difficulties due to the complexity of the forces exerted over the structure, derived from the dynamic swell action and transmitted to the seabed through a complex foundation-structure interaction, as well as the nonlinear soil behaviour, where there is acoupling between solid skeleton and pore water. These difficulties make the dynamics associated with a seabed underlaying a vertical breakwater a uniquely complex task. It seems that the phenomena involved in these dynamics cannot be reproduced with a single model. The author of this PhD Thesis argue that it is necessary to couple a series of models to adequately reproduce each of the determinant aspects concerned, for which the use of numerical techniques become indispensable. One of the main conclusions of a Norwegian Geotechnical Institute research (De Groot et al., 1996), belonging to the multidisciplinary European group MASTII, established the interaction among the different phenomena involved in a vertical breakwater response under the sea wave actions (dynamics, instantaneous pore pressure, residual pore pressure, stability) as one of the important aspects that have not been approached to this date. Furthermore, in the MAST III final report, published in 2001, continued point out the need to increase the knowledge of the wave-structure-soil interaction related to vertical breakwaters, focusing on failures induced by the instability of the foundation. The principal objective of the present PhD Thesis is to develop a of a theoretical-numerical model that facilitates an analysis of the dynamic foundation behavior of vertical breakwater structures resting on clay like soil subjected to cyclical sea wave actions. The focus in mainly on the instantaneous pore pressure generation and its residual accumulation leading to soil strength degradation. With this objective in mind, a theoretical model of the soil-water-structure interaction involved in a breakwater structure subjected to sea wave actions resting on clay like soil is presented in this PhD Thesis. The model includes i) soil skeleton-pore fluid interaction governed by the

wu p− Generalized Biot formulation including dynamic

effects (Zienkiewicz and Shiomi 1984), ii) non-linear elastoplastic behaviour of the clay like soils described by a novel Generalized Plasticity model coupled with a conservative hyperelastic formulation for the dependence of the elastic stiffness on the stress, iii) coupling between the caisson an foundation through a non-linear contact with geometrical compatible formulation incorporating frictional behaviour. In Figure 0. 1, the main parts of the theoretical model proposed in this PhD Thesis are schematically shown in order to analyze the complex clay like-rubble mound-caisson-swell interaction. The novel theoretical contributions of this PhD Thesis appear over a dark colour box.

XVIII

Figure 0. 1 Outline of the theoretical model proposed in this PhD Thesis to analyze the clay like-rubble

mound-caisson-swell interaction.

Constitutive law

Generalized Plasticity model

Pastor-Zienkiewicz (1990)

Thermodynamically ill-founded elastic component. Not appropriate to reproduce

cyclic loading

Application of Mira et al. (2008) thermodynamically

sound constitutive formulation to clay like soils

Constitutive model for the seabed

Linear elastic constitutive model for the caisson

Boundary conditions

Soil skeleton-pore fluid interaction governed by the

wu p− Generalized Biot

formulation (Zienkiewicz & Shiomi,

1984)

Caisson-Foundation geometrical compatible contact

Absorbent boundaries

Impulsive wave forces

PROPOSED MODEL TO REPRESENT THE CLAY LIKE SOIL- RUBBLE MOUND-CAISSON-SWELL INTERACTION

Boundary conditions model

PhD Thesis novel contributions

Houlsby et al. (2005)

Non-linear elasticity law. Thermodynamically

sound

Mira et al. (2008) Thermodynamically sound constitutive

formulation for granular like soils

Constitutive model for the rubble mound

XIX

Once the governing equations are settled, including different types of coupling and boundary conditions, they have been numerically solved through the finite element method. After spatial discretization of the seabed, rubble mound and caisson governing equations, the second order ordinary differential equation system obtained has been filled with the numerical caisson-foundation contact as well as radiation boundary terms. Once the non-linear ordinary differential equation system has been finally obtained the time integration procedure took place. The soil-water-structure interaction involved in a breakwater structure subjected to sea wave actions resting on clay like soil is not restricted to a unique engineering discipline. Taking into account the limitations of commercial codes to deal with these kind of multidisciplinary phenomena, the authors of the present PhD Thesis have decided to fully develop the numerical solution of the settled governing equations. Furthermore, a program called ADÍNDICA has been created in M Matlab language. ADÍNDICA is a Spanish acronym for “Caisson breakwater Dynamic Analysis”. This program can be used to design gravity maritime structures foundations. The users of ADÍNDICA program may be able to analyze the fundamental aspects involved in the geomechanic behaviour associated with the foundation of this kind of structures. These aspects are: i) the complex caisson-rubble mound interaction derived from the swell dynamic and cyclic action, allowing an estimation of the stresses transmitted to the seabed, ii) the soil skeleton-pore fluid coupling, essential to estimate the pore pressure variation influenced by the elastic compression of the pore fluid (air), by elastic compression and dilatation of the soil skeleton in combination with limited drainage, and iii) the possible change of soil strength and stiffness with time mainly due to repetitive loading and /or consolidation, allowing a degradation estimation of the seabed and long term effects. In Figure 0. 2 it is shown the flux diagram of ADÍNDICA program. In this figure the novel numerical contributions of this PhD Thesis appear over a dark colour.

XX

Figure 0. 2 ADÍNDICA Flux diagram

Pre Procrees

− Initial and end calculation time. Initial time step. − Define geometric parameters. − Define geometry, generate structured / non structured three/ six node triangular. (Matlab / GID) − Generate Gauss points. (ptogauss.m) − State assembly Arrays. − Identification of boundaries with Newman, Dirichlet and Radiation conditions. − Material parameters. − Displacement, velocities, accelerations, stresses and strains initial conditions of soil skeleton. − Pore pressure and velocity of pore pressure initial conditions. − Initialization of stiffness, mass, damping, permeability, compressibility, coupling and radiation matrices. Compact

storage (sparse) − Initialization body forces, drainage and surface stress vectors. Compact storage (sparse) − Assembly of stiffness, mass, damping, permeability, compressibility, coupling and radiation matrices. − Assembly of body forces drainage and surface stress vectors. − Identification of possible contact caisson and rubble mound nodes.

Calculation

− Loop over the time (while1n final

t t+ < )

o Assembly of stresses and/or displacement time dependent boundary conditions.

o Initialize algorithm [ ] [ ]1

, , , , , , , ,lecho lecho esc esc cajon

n n n n n∆ ∆ ∆ ∆ ∆ =u p u p u 0 0 0 0 0ɺ ɺɺɺ ɺɺ ɺɺ .

o Loop over iterations until convergence. Newton-Raphson ( 1...i convergence= ).

Solve

( )1

11

2

1

1

, , , ,i

lecho lecho esc esc cajon

n n wn n wn ni ilecho lecho

n n

lecho lechon n

wn wn

esc esc

in n

esc esc

wn wn

cajon cajon

n n

++

+

−

∆ ∆∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

Ψ ∆ ∆ ∆ Ψ ∆ = −

u u

u u

u u

u p u p u

up p

J

p p

ɺɺ ɺɺ

ɺɺ ɺɺ

ɺɺ ɺɺ

ɺ ɺɺɺ ɺɺ ɺɺ

ɺɺɺ ɺ

ɺ ɺ

( )( )( )

3

1

4

1

5

1

, , , ,

, , , ,

, , , ,

, , ,

ilecho lecho esc esc cajon

wn n wn n

ilecho lecho esc esc cajon

n n wn n wn n

ilecho lecho esc esc cajon

n n wn n wn n

lecho lecho esc e

n n wn n wn

+

+

+

∆ ∆

∆

∆

∆

∆ ∆

Ψ ∆ ∆ ∆ ∆

Ψ ∆ ∆ ∆ ∆

Ψ ∆ ∆ ∆

p u p u

u p u p u

u p u p u

u p u p

ɺ ɺɺɺ ɺɺ

ɺ ɺɺɺ ɺɺ ɺɺ

ɺ ɺɺɺ ɺɺ ɺɺ

ɺ ɺɺɺ ɺɺ( ),i

sc cajon

n

∆ uɺɺ

Displacements 1

global

n+u and pore pressures 1

global

n+p at time 1n

t + are obtained.

Deformations are obtained in each Gauss point. Stress-Strain law integration in each Gauss point through the novel error control

Generalized Plasticity Modified Euler scheme (modifiedeulerelasplas.m) Stress and plastic strain actualization. Stiffness, damping, radiation matrices and contact forces actualization.

o End Newton-Raphson loop. o Global control error and time step actualization.

− End time loop.

Post Process

− Graphical visualization of numerical results. (postproceso.m)

BEGIN

END

XXI

Once the governing equations were settled, developped the numerical approximation and implemented in ADÍNDICA code, it was necessary to deal with the following questions:

1. Is the program ADÍNDICA doing what it claims to be doing? 2. Is the numerical solution obtained by ADÍNDICA code accurate? 3. Is the numerical solution obtained by ADÍNDICA code consistent with the

physics of the problem? Regarding the first of these points, a series of numerical tests has been carried out in isotropic linear elastic regimen in order to prove the correctness of the different components implemented in ADÍNDICA code. The obtained numerical results were compared with theoretical expressions as well as other predictions derived from PLAXIS commercial code. Regarding the accuracy of the numerical solution, the non linear behaviour resolution algorithms implemented in ADÍNDICA code was validated. These algorithms were: − Local elastoplastic integration algorithm. − Global load-displacement integration algorithm. A series of numerical tests were performed in order to verify the correctness of these algorithms, analysing in each case of study the accuracy of both algorithms. Regarding the consistence analysis of the numerical solution obtained by ADÍNDICA, a series of numerical test were performed, comparing the numerical results with experimental data. The aspects validated in these simulations were the following: − Validations of the modification to the Pastor-Zienkiewicz constitutive behaviour

apply to clay like soils proposed in this PhD Thesis. − Validation of an elastoplastic consolidation process. − Validation of the contact element. − Validation of the relation between wave impact hydraulic boundary conditions and

caisson oscillations. − Validation of the relation between the oscillations of the caisson and the

instantaneous pore pressure generation. The experimental data used in these validations came from: a) cyclic and dynamic triaxial tests, useful for the constitutive behaviour validation as well as the elastoplastic consolidation process validation , b) a model-scale footing, useful for the constitutive behaviour validation, c) a small-scale model test, useful for the contact element validation and d) large-scale test, useful for the impact hydraulic boundary conditions- caisson oscillations- instantaneous pore pressure generation relation.

XXII

The following conclusions are among the most important achieved in this PhD Thesis: − The proposed theoretical model is able to correctly represent the soil skeleton and

pore pressure coupling. This is true for monotonic and not monotonic loading in static, pseudostatic and dynamic conditions. The numerical approximation and implementation correctness have been proved.

− The local integration algorithms for elastoplastic constitutive law as well as the

global load-displacement integration algorithm are robust and accurate. − The suitability of the proposed constitutive relation applied to clay like soils has been

proven, which is a modification of the Pastor-Zienkiewicz Generalized plasticity law. − The ADÍNDICA code is able to correctly reproduce an elastoplastic consolidation

process. − The contact model implemented in ADÍNDICA code, which is used to represent the

caisson-rubble mound interaction, is able to reproduce the complex stress-strain states related to this interaction.

− ADÍNDICA code adequately simulates a vertical breakwater dynamic response

subjected to impulsive sea wave actions. It is able to satisfactorily reproduce the impact hydraulic boundary conditions and the caisson oscillations.

− ADÍNDICA code has been able to adequately reproduce the principal characteristics

of the caisson oscillations and instantaneous pore pressure generation relation experimentally deduced (Figure 0. 3 and Figure 0. 4). These characteristics are: i) the magnitude of the caisson motions induced by impact load at the seaward edge is higher than at the shoreward edge, ii) The shape of the

wp records closely follow the

shape of the vertical movement records of the caisson edges with the reverse sign. Indeed, the relatively small downward caisson motion at shoreward edge induces a much higher positive pore pressure amplitude than the negative amplitude at seaward edge, where the upward motion is higher and iii) The influence of caisson motions on pore pressure generation decreases with increasing depth.

XXIII

Figure 0. 3 Comparison between experimental data from Kudella et al. (2006) and ADÍNDICA numerical results a) vertical displacement y b) excess pore pressure.

Time (seg)

Excess po

re pressure (N

/m2 )

Time (seg)

Vertical D

isplacem

ent (m)

XXIV

− ADÍNDICA code is able to satisfactorily reproduce the accumulative settlement behaviour of a vertical breakwater structure resting on clay like soil and subjected to series of sea wave impacts. It is also able to adequately simulate the correlation between accumulated settlements and residual pore pressure, as can be seen in Figure 0. 4.

Figure 0. 4 Relation between accumulated settlement and residual pore pressure in a vertical breakwater

resting on clay like soil and subjected to series of sea wave impacts. ADÍNDICA numerical result.

Vertical d

isplacem

ent (m)

Time (seg)

Time (seg)

Excess po

re pressure (N

/m2 )

Impulsive wave action

Free motion

XXV

XXVI

XXVII

INDICE

AGRADECIMIENTOS ............................................................................................. VII

RESUMEN .................................................................................................................... IX

ABSTRACT ..............................................................................................................XVII

NOTACIÓN ............................................................................................................ XXXI

1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................ 1

1.1. Motivación .............................................................................................................. 1 1.2. Objetivos de la investigación .................................................................................. 3 1.3. Metodología ............................................................................................................ 4

2. ESTADO DEL ARTE........................................................................................... 7

2.1. Introducción. ........................................................................................................... 7 2.2. Oleaje propagándose sobre un lecho marino poroso............................................. 10

2.2.1. Generación de presión de poros sin presencia de estructuras marítimas. ......... 10 2.2.2. Propiedades relevantes del terreno relacionadas con la determinación de la

respuesta de un lecho marino ante la acción del oleaje. .................................... 11 2.2.3. Aproximaciones teóricas desarrolladas para analizar la respuesta de un lecho

marino inducida por el oleaje sin presencia de estructuras marítimas. ............. 12 2.2.4. Aplicación de técnicas numéricas para resolver los modelos teóricos existentes

para analizar la respuesta de un lecho marino inducida por el oleaje sin presencia de estructuras marítimas.................................................................... 29

2.3. Dinámica de un lecho marino subyacente y en las inmediaciones de una estructura marina.................................................................................................................... 32

2.3.1. Introducción ...................................................................................................... 32 2.3.2. Definición de Dique Vertical ............................................................................ 33 2.3.3. Procesos más relevantes asociados a la interacción oleaje-dique vertical-lecho

marino................................................................................................................ 38 2.3.4. Principales problemas en el diseño de estructuras marinas gravitatorias

cimentadas en terrenos arcillosos. ..................................................................... 41 2.3.5. Revisión de estudios recientes relacionados con la dinámica de un lecho marino

subyacente y en las inmediaciones de un dique vertical. ................................. 45 2.4. Interacción Cajón-Banqueta de apoyo inducida por la acción del oleaje. ............ 48 2.5. Comportamiento de arcillas bajo carga cíclica ..................................................... 53 2.6. Comportamiento hidráulico de diques verticales.................................................. 70 2.7. Conclusiones del estado del arte ........................................................................... 77

3. NUEVO MODELO PROPUESTO.................................................................... 81

3.1. Introducción .......................................................................................................... 81 3.2. Modelización del lecho marino............................................................................. 83

XXVIII

3.2.1. Acoplamiento fluido intersticial-esqueleto del terreno. Formulación Generalizada de Biot u-pw. ................................................................................ 83

3.2.2. Comportamiento constitutivo. Teoría Generalizada de la Plasticidad de Pastor- Zienkiewicz. ...................................................................................................... 84

3.2.3. Modificación y ampliación de la teoría Generalizada de la Plasticidad de Pastor- Zienkiewicz aplicado a suelos arcillosos. ............................................. 86

3.2.4. Teoría Generalizada de la Plasticidad de Pastor-Zienkiewicz aplicado a suelos granulares. ......................................................................................................... 97

3.3. Modelización de la banqueta de apoyo. ................................................................ 99 3.3.1. Acoplamiento fluido intersticial-esqueleto del terreno. Formulación

Generalizada de Biot u-pw. ................................................................................ 99 3.3.2. Comportamiento constitutivo. Ley elástica no lineal aplicada a suelos

granulares. ....................................................................................................... 100 3.4. Modelización del cajón. ...................................................................................... 101 3.5. Condiciones de contorno..................................................................................... 102

3.5.1. Introducción .................................................................................................... 102 3.5.2. Modelización de la interfaz de contacto cajón-banqueta de apoyo................. 102 3.5.3. Modelización de los contornos de radiación. .................................................. 110 3.5.4. Modelización de los contornos que interactúan con el oleaje. ........................ 115

3.6. Conclusiones del modelo propuesto.................................................................... 116

4. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DEL MODELO PROPUESTO. CÓDIGO

ADÍNDICA. ....................................................................................................... 123

4.1. Introducción. ....................................................................................................... 123 4.2. Discretización espacial de las ecuaciones de gobierno. ..................................... 125

4.2.1. Aspectos generales. ......................................................................................... 125 4.2.2. Discretización de las ecuaciones de gobierno del lecho marino y banqueta de

apoyo. .............................................................................................................. 128 4.2.3. Discretización de las ecuaciones de gobierno del Cajón................................. 134

4.3. Tratamiento numérico del contacto Cajón – Banqueta de apoyo. ...................... 135 4.4. Tratamiento numérico de los contornos de radiación. ........................................ 138 4.5. Integración temporal de las ecuaciones de gobierno........................................... 140

4.5.1. Introducción. ................................................................................................... 140 4.5.2. Integración temporal ....................................................................................... 140 4.5.3. Discretización temporal de las ecuaciones de gobierno.................................. 142

4.6. Integración puntual de la relación tensión-deformación. Nuevo procedimiento.154 4.6.1. Introducción. ................................................................................................... 154 4.6.2. Integración tensión-deformación..................................................................... 154 4.6.3. Esquema numérico de integración propuesto.................................................. 157

4.7. Programa ADÍNDICA. ....................................................................................... 164 4.8. Conclusiones de la resolución numérica. ............................................................ 167

5. VALIDACIÓN DEL CÓDIGO NUMÉRICO ADÍNDICA........................... 169

5.1. Objetivos de la validación................................................................................... 169 5.2. Verificación básica del programa ADÍNDICA................................................... 171

5.2.1. Introducción. ................................................................................................... 171 5.2.2. Reproducción numérica de un ensayo de compresión triaxial aplicando una

carga monótona en condiciones drenadas con control de deformación axial siendo las placas superior e inferior rígidas suaves......................................... 172

XXIX

5.2.3. Reproducción numérica de ensayo de compresión triaxial aplicando una carga monótona en condiciones no drenadas con control de deformación axial siendo las placas superior e inferior rígidas suaves. ................................................... 177

5.2.4. Reproducción numérica de un ensayo de compresión triaxial aplicando una carga monótona en condiciones drenadas con control de deformación axial siendo las placas superior e inferior rígidas rugosas. ...................................... 180

5.2.5. Reproducción numérica de un ensayo de compresión triaxial aplicando una carga monótona en condiciones no drenadas con control de deformación axial siendo las placas superior e inferior rígidas rugosas. ...................................... 187

5.2.6. Reproducción numérica de una zapata corrida rígida suave apoyada sobre un suelo elástico lineal isótropo. Contrastación con expresión analítica (Giroud, 1972) ............................................................................................................... 190

5.2.7. Reproducción numérica de una zapata corrida rígida suave apoyada sobre un suelo elástico lineal isótropo con incremento lineal del módulo tangencial con la profundidad. Contrastación con expresión analítica (Gibson, 1967). ......... 193

5.2.8. Reproducción numérica de un proceso de consolidación bajo compresión triaxial no monótona........................................................................................ 195

5.2.9. Propagación de onda en una medio semi-infinito. Problema de Lamb........... 200 5.2.10. Propagación y absorción de una onda en un medio poroso saturado. .......... 204 5.2.11. Conclusiones de la verificación básica del modelo numérico. ..................... 208

5.3. Validación de los algoritmos de resolución de comportamientos no lineales implementados en el código ADÍNDICA a través de la comparación con otros resultados numéricos. .......................................................................................... 209

5.3.1. Introducción. ................................................................................................... 209 5.3.2. Validación de los algoritmos numéricos de integración local de la ley

elastoplástica y global de la relación fuerza-desplazamiento a través del análisis de una zapata corrida rígida rugosa bajo carga vertical uniforme monótona.. 210

5.3.3. Análisis de un ensayo triaxial bajo carga cíclica sinusoidal. .......................... 219 5.3.4. Conclusiones de la Validación de los algoritmos de resolución de

comportamientos no lineales. .......................................................................... 224 5.4. Validación del Modelo constitutivo elastoplástico propuesto con ensayos de

laboratorio. .......................................................................................................... 225 5.4.1. Introducción. ................................................................................................... 225 5.4.2. Comparación con un ensayo triaxial, bajo carga monótona y con placas superior

e inferior rígidas suaves. Contrastación experimental Henkel (1956). ........... 226 5.4.3. Comparación con un ensayo triaxial, bajo carga cíclica y control de

deformación axial, con placas superior e inferior rígidas suaves. Contrastación experimental Taylor y Bacchus (1969). .......................................................... 235

5.4.4. Comparación con un ensayo triaxial, bajo carga cíclica y control de tensiones axial, con placas superior e inferior rígidas suaves. Contrastación experimental Lie y Meissner (2002). .................................................................................... 241

5.4.5. Zapata corrida rígida rugosa bajo carga vertical uniforme monótona. Contrastación experimental. Contrastación experimental Desai et al. (1981) 246

5.4.6. Conclusiones de la validación del comportamiento constitutivo aplicado a suelos arcillosos propuesto en la presente Tesis Doctoral. ............................. 254

5.5. Validación del proceso de consolidación acoplado con el comportamiento constitutivo elastoplástico propuesto en la presente Tesis Doctoral aplicado a suelos arcillosos. Contrastación experimental Henkel (1956). ........................... 255

5.6. Validación del Elemento de contacto. Contrastación experimental.................... 263

XXX

5.7. Validación del movimiento del cajón tras el impacto de una ola en fase rompiente sobre el cajón del dique vertical.......................................................................... 273

5.8. Validación cualitativa de la relación entre el movimiento del cajón y la generación de presión de poros transitoria. ........................................................................... 281

5.9. Conclusiones de la validación............................................................................. 295

6. APLICACIÓN DEL CÓDIGO ADÍNDICA AL ESTUDIO DE LA

RESPUESTA DINÁMICA DEL TERRENO ANTE LA ACCIÓN DEL

OLEAJE EN UN CASO HIPOTÉTICO DE DIQUE VERTICAL DE

CAJONES FONDEADO SOBRE SUELO ARCILLOSO. ........................... 299

6.1. Introducción ........................................................................................................ 299 6.2. Caso analizado .................................................................................................... 300

6.2.1. Descripción del dique vertical de cajones y terreno subyacente analizado..... 300 6.2.2. Descripción del oleaje empleado en el caso practico. ..................................... 301

6.3. Modelización del caso analizado a través del código ADÍNDICA..................... 303 6.3.1. Preproceso. ...................................................................................................... 303 6.3.2. Fases de cálculo............................................................................................... 307

6.4. Resultados del análisis numérico. Discusión. ..................................................... 309 6.4.1. Resultados relacionados con la fase de fondeo y lastrado del cajón. .............. 309 6.4.2. Resultados asociados a la aplicación de la carga dinámica............................. 314

7. CONCLUSIONES Y FUTURAS INVESTIGACIONES .............................. 329

7.1. Conclusiones. ...................................................................................................... 329 7.1.1. Aportaciones principales de la presente Tesis Doctoral.................................. 329 7.1.2. Conclusiones asociadas al modelo teórico propuesto en la Tesis Doctoral. ... 330 7.1.3. Conclusiones asociadas a la resolución numérica del modelo teórico propuesto

en la Tesis Doctoral......................................................................................... 336 7.1.4. Conclusiones asociadas a la validación del código ADÍNDICA. ................... 341 7.1.5. Conclusiones asociadas a la aplicación del código ADÍNDICA para analizar la

respuesta dinámica del terreno ante la acción del oleaje en un caso hipotético de dique vertical de Cajones fondeado sobre suelo arcilloso............................... 345

7.2. Futuras investigaciones ....................................................................................... 348 7.2.1. Introducción .................................................................................................... 348 7.2.2. Futuras investigaciones relacionadas con la mecánica de medios contínuos.. 348 7.2.3. Futuras investigaciones relacionadas con los métodos numéricos.................. 349 7.2.4. Futuras investigaciones relacionadas con técnicas computacionales.............. 350 7.2.5. Futuras investigaciones relacionadas con ensayos a gran escala. ................... 350 7.2.6. Futuras investigaciones a escala real............................................................... 350

8. BIBLIOGRAFÍA............................................................................................... 351

XXXI

NOTACIÓN

Se va a seguir el siguiente esquema de notación:

• Letra del alfabeto latino en mayúscula y negrita sin cursiva se corresponde con un tensor de cuarto orden.

• Letra del alfabeto latino en mayúscula y negrita en cursiva se corresponde con una matriz.

• Letra del alfabeto griego o latino en minúscula, negrita y sin cursiva se corresponden con un tensor de segundo orden.

• Letra del alfabeto griego o latino en minúscula, negrita y en cursiva se corresponden con un vector.

• Letra del alfabeto griego o latino, en minúscula o mayúscula, sin negrita se corresponde un escalar. La letra latina mayúscula sin negrita puede también denotar un cuerpo en el espacio euclídeo bidimensional 2

ℝ . • Número arábigo en negrita significa un vector o tensor con todas sus entradas

iguales al número escrito. • ⊗ representa el producto tensorial estándar. • : representa la contracción de los dos últimos subíndices. • ⋅ representa el producto escalar estándar. • La ausencia de símbolo de operación implica la acción de un tensor de segundo

orden sobre un vector o acción de un tensor de cuarto orden sobre uno de segundo orden.

• La secuencia de subíndices “ ,i j ” indica la derivada parcial de la componente i respecto a la variable j. De igual forma, la secuencia de subíndices “ ,ς ” implicará derivada parcial respecto a la variable ς .

• El símbolo d antepuesto a una letra griega o latina significa diferencial estándar, es decir, incremento infinitesimal.

• El símbolo ∂ denota derivada parcial. • ∇ es el operador diferencial nabla. • Un punto sobre una letra griega o latina significa la derivada primera respecto al

tiempo. Dos puntos sobre una letra significa derivada segunda respecto al tiempo. • Tensiones y deformaciones de signo negativo son de compresión, mientras que las

presiones de agua se signo positivo son de compresión. • En el capítulo tres se emplea una notación tensorial de las magnitudes tensoriales,

mientras que en el capítulo cuatro se emplea una notación matricial y vectorial de las magnitudes tensoriales.

XXXII

Mayúsculas latinas A∞ Asiento a largo plazo.

B Coeficiente de Skeptom.

cB Anchura del cajón.

B Matriz gradiente de funciones de interpolación uN . B ,Bbanq cajon

Cuerpo del cajón y de la banqueta de apoyo, ocupando el dominio

acotado 2,banq cajonΩ Ω ⊂ ℝ , respectivamente.

( )2C Ω Espacio de funciones dos veces continuamente diferenciables.

sobre Ω . , , banq cajon lecho

C, C C C Matriz de amortiguamiento global genérica, de la banqueta de apoyo, del cajón y del lecho marino

eC Matriz de amortiguamiento elemental.

banq

cC Contribución al sistema discretrizado de la banqueta de apoyo

debida al fenómeno de contacto. cajon

cC Contribución al sistema discretrizado del cajón debida al

fenómeno de contacto. lecho

rC Contribución al sistema discretrizado del lecho marino debida a

los bordes no reflectantes. DTOL Tolerancia para el error en desplazamientos.

rD Densidad relativa media.

eD Tensor constitutivo tangente de cuarto orden elástico. (Notación

tensorial e

ijklD = , notación matricial e

ijD = )

epD Tensor constitutivo tangente de cuarto orden elastoplástico.

(Notación tensorial ep

ijklD = , notación matricial ep

ijD = )

ep

LD , ep

UD Tensor constitutivo tangente de cuarto orden elastoplástico en

carga (L) y en descarga (U). E Módulo de Young.

mE Módulo edométrico medio.

Fτ Fuerza tangencial existente en la interfaz de contacto.

Fh, Fu Fuerza impulsiva horizontal y de subpresión derivada de un golpe de ola, respectivamente.

G Módulo de deformación tangencial.

maxG Valor máximo del módulo tangencial.

H Altura de ola. , banq lecho

H, H H Matriz de permeabilidad global genérica, del sistema discretizado de la banqueta de apoyo y del sistema discretizado de lecho marino.

eH Matriz de permeabilidad elemental.

sH Altura de ola significante.

( )1H Ω Espacio de Sobolev de orden 1.

0H Módulo plástico inicial.

, , ,s v Dm f

H H H H Funciones relacionadas con el módulo plástico en carga en suelos

granulares.

XXXIII

LH ,

UH Módulo plástico en carga (L) y en descarga (U).

2J ,

3J Segundo y tercer invariante del tensor desviador de tensiones

efectivas s , respectivamente. , , banq cajon lecho

K, K K K Matriz de rigidez global genérica, del sistema discretizado de la banqueta de apoyo, del sistema discretizado del cajón y del sistema discretizado del lecho marino, respectivamente.

eK Matriz de rigidez elemental.

0K Coeficiente de empuje en reposo.

K Módulo de deformación volumétrico. lecho

sK Módulo de deformación volumétrica del esqueleto del suelo del

lecho marino.

wK Módulo de deformación volumétrica del fluido intersticial.

iniK Pendiente inicial de la curva que representa la variación de la

tensión media efectiva, p′ , respecto a la deformación axial en un ensayo triaxial no drenado.

KR Coeficiente de reflexión. KT Coeficiente transmisión.

vL Derivada de Lie.

L∗ Longitud característica del problema físico.

cL Longitud del cajón.

L Operador no lineal que involucra derivadas parciales espaciales. , , banq cajon lecho

M M MM, Matriz de masas global genérica, del sistema discretizado de la banqueta de apoyo, del sistema discretizado del cajón y del sistema discretizado del lecho marino, respectivamente.

eM Matriz de masas elemental.

( )gM M= ,

p qM ′− Pendiente de la línea de estado crítico dependiente del ángulo de

Lode y el valor de la pendiente de la línea de estado crítico en compresión triaxial ( )30ºθ = , respectivamente.

fM Parámetro constitutivo relacionado con el tensor de dirección

discriminante de carga-descarga en suelos granulares.

kN Función de interpolación asociada al nodo k .

uN Matriz de funciones de interpolación del esqueleto sólido. Cada componente se corresponde con la funciones de interpolación u

kN

asociada al nodo k . pN Matriz de funciones de interpolación de la presión de poros

wp .

Cada componente se corresponde con la funciones de interpolación wp

kN asociada al nodo k .

OCR Grado de sobreconsolidadión. , banq lecho

Q QQ, Matriz de acoplamiento global genérica, del sistema discretizado de la banqueta de apoyo y del sistema discretizado del lecho marino, respectivamente.

eQ Matriz de acoplamiento elemental.

XXXIV

, lecho banqQ Q Módulo de deformación volumétrico combinado del fluido y del esqueleto del lecho marino y de la banqueta de apoyo, respectivamente.

1R Matriz que representa la contribución debida a los bordes no

reflectante

nR Medida adimensional del error.

STOL Tolerancia para el error en tensiones. ,banq lecho

S SS, Matriz de compresibilidad global genérica, del sistema discretizado de la banqueta de apoyo y del sistema discretizado del lecho marino. También denota un operador diferencial.

eS Matriz de compresibilidad elemental.

rS Grado de saturación.

ucS Resistencia al corte sin drenaje tras la aplicación de ciclos de

carga.

uS Resistencia al corte sin drenaje anterior a la aplicación de ciclos

de carga. T Pseudo tiempo ó el límite superior de un intervalo de tiempo.

También denota período.

,char drainT Período de drenaje característico.

TOL Tolerancia para el desequilibrio de fuerzas relativo. U Grado medio de consolidación. X Coordenadas de un punto en la configuración de referencia.

, cajon banqX X Coordenadas de la configuración de referencia del cajón, cajonΒ , y

de la banqueta de apoyo, banqΒ , respectivamente. Minúsculas latinas , a b Coeficientes de absorción.

banqa Métrica del borde banqΓ evaluado en el ponto de mínima distancia

ς .

banqb Curvatura del borde

banqΓ evaluado en el ponto de mínima

distancia ς .

b Vector de fuerzas volumétricas por unidad de masa. c Parámetro que regula la tasa a la que el coeficiente de fricción

pasa de su valor estático s

µ a su valor dinámico D

µ . También

representa la velocidad de propagación de onda. , ,

c R sc c c Velocidad de propagación de onda de compresión, de Rayleigh y

de corte.

vc Coeficiente de consolidación.

d ( )gd Dilatancia. También denota profundidad del lecho marino.

0d Dilatancia en estado tensional isótropo.

bd Profundidad de la berma.

XXXV

dλ Parámetro de consistencia.

( )d ς Distancia a mínima empleada para definir la abertura o la

penetración entre dos cuerpos que pueden entrar en contacto. e Índice de poros. e Tensor de segundo orden desviador del tensor de deformaciones

infinitesimales ε . ee Tensor de segundo orden desviador del tensor de deformaciones

infinitesimales elástico eε .

( )f η Función del grado de tensión movilizado.

g Aceleración de la gravedad.

( )g ξ Función de endurecimiento por deformación desviadora.

HARg Parámetro constitutivo relacionado con la respuesta elástica del

material. gn Condición de no penetración.

gττττ Desplazamiento relativo en dirección tangencial.

gɺ ττττ Velocidad de deslizamiento relativo.

sh Lámina de agua a pie de estructura.

ch Longitud del cajón.

k banq Tensor de segundo orden de permeabilidad de Darcy de la banqueta de apoyo.

k lecho Tensor de segundo orden de permeabilidad de Darcy del suelo marino.

HARk Parámetro constitutivo relacionado con la respuesta elástica del

material.

Lm ,

Um Tensores de segundo orden flujo plástico en carga (L) y en

descarga (U). m Representación vectorial del tensor unitario de segundo orden en

dos dimensiones. m , m , m

Lv Ls Lθ Componentes del tensor L

m en el espacio de invariantes

( ), ,p q θ′

n Tensor de segundo orden dirección discriminante de carga-descarga.

n , n , nv s θ Componentes del tensor n en el espacio de invariantes ( ), ,p q θ′

HARn Parámetro constitutivo relacionado con la respuesta elástica del

material. ,

wu pn n Número de nodos considerados para discretizar el desplazamiento

del esqueleto sólido u y la presión de agua intersticial w

p ,

respectivamente.

cn Número de nodos activos en el fenómeno de contacto entre el

cajón y la banqueta de apoyo. , , banq lechon n n Porosidad genérica, de la banqueta de apoyo y del lecho marino,

respectivamente. banqn Vector normal asociado al borde banq

cΓ de la banqueta de apoyo.

XXXVI

banqn Vector normal asociado al borde banq

cΓ , evaluado en el ponto de

mínima distancia ς p′ Tensión media efectiva.

cp′ Tensión de preconsolidación efectiva media.

ap Presión atmosférica ( 100kPa= )

0p′ Tensión media efectiva de referencia.

wp Presión de agua intersticial y sobre el lecho marino.

wp Vector de componentes nodales de la presión de poros

wp .

global

wp Vector de componentes nodales de la presión de poros global en

el que se engloba la presión de poros del lecho marino lecho

wp y de

la banqueta de apoyo banq

wp .

c

wp Presión de poros inducida por el movimiento del cajón.

h

wp Aproximación de la presión de agua intersticial a través de las

funciones de interpolación wpN .

0

wp Condición inicial en presión de poros.

wimpp Condición de contorno esencial relacionada con la presión de

poros del fluido intersticial a imponer sobrewp

Γ .

wecp Exceso de presión de poros debido a la carga cíclica.

wrp Presión de poros residual.

q Tensión equivalente de Von Mises o tensión de corte.

HARr Parámetro constitutivo relacionado con la respuesta elástica del

material. r Coordenada radial en la formulación axilsimétrica. s Tensor de segundo orden desviador del tensor de tensiones

efectivas ′σ . seg Segundos. t Variable tiempo.

0t Tiempo inicial.

t Vector de tensión ( )i ij jt nσ=

banqt Vector de tensión en la banqueta de apoyo. tτ Componente tangencial del vector de tensión t .

tττττ Vector de tensión tangencial ( )( )= − ⋅t t n n

impt Condición de contorno natural relacionada con la mezcla suelo-

fluido intersticial a imponer sobreΓt.

, , banq cajon lechou, u u u Vector desplazamiento genérico, desplazamiento del esqueleto de

la banqueta de apoyo, del cajón y del esqueleto del lecho marino, respectivamente.

, , banq cajon lechou, u u uɺ ɺ ɺ ɺ Vector velocidad genérico, velocidad del esqueleto de la banqueta

de apoyo, del cajón y del esqueleto del lecho marino, respectivamente.

XXXVII

, , banq cajon lechou, u u uɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ Vector aceleración genérico, aceleración del esqueleto de la

banqueta de apoyo, del cajón y del esqueleto del lecho marino, respectivamente.

0u Condición inicial en desplazamientos relacionada con la mezcla

suelo-fluido intersticial.

0uɺ Condición inicial en velocidades relacionada con la mezcla suelo-

fluido intersticial.

impu Condición de contorno esencial relacionada con la mezcla suelo-

fluido intersticial a imponer sobreΓu.

u Vector de componentes nodales del desplazamiento u . globalu Vector de componentes nodales del desplazamiento global en el

que se engloba el desplazamiento del esqueleto del lecho marino lechou y banqueta de apoyo banq

u así como el desplazamiento del cajón cajon

u . hu Aproximación del desplazamiento del esqueleto sólido a través de

las funciones de interpolación uN . w Vector desplazamiento promedio del fluido intersticial relativo al

esqueleto del suelo.

fw Vector desplazamiento de las partículas de fluido intersticial.

,x z Coordenada horizontal y vertical en la formulación en dos dimensiones en deformación plana. z también representa la coordenada axial en la formulación axilsimétrica

x Coordenadas de un punto en la configuración deformada. , cajon banqx x Coordenadas de un punto en la configuración deformada del cajón

( )cajon cajonϕ Β y de la banqueta de apoyo, ( )banq banqϕ Β , respectivamente.

banqx Solución del problema de distancia mínima asociado al fenómeno de contacto entre dos cuerpos ( )( )banq ς= x .

Mayúsculas griegas ∆ Incremento. Γt Parte del borde donde se imponen las condiciones Neumann ó

naturales relacionadas con la mezcla suelo-fluido intersticial.

uΓ Parte del borde donde se imponen las condiciones Dirichlet ó

esenciales relacionadas con la mezcla suelo-fluido intersticial.

wΓ Parte del borde donde se imponen las condiciones Neumann ó

naturales relacionadas con el fluido intersticial.

wpΓ Parte del borde donde se imponen las condiciones Dirichlet ó

esenciales relacionadas con el fluido intersticial. banqΓ Contorno de la banqueta de apoyo. cajonΓ Contorno del cajón.

, cajon banqueta

t tΓ Γ Parte del contorno del cajón y de la banqueta de apoyo,

respectivamente, donde se prescriben las tensiones superficiales.

XXXVIII

, cajon banqueta

u uΓ Γ Parte del contorno del cajón y de la banqueta de apoyo,

respectivamente, donde se prescriben los desplazamientos.

banq

lado marΓ Parte del contorno de la banqueta de apoyo del lado de mar.

banq

trasdósΓ Parte del contorno de la banqueta de apoyo del lado de dársena.

banq

cΓ Parte del contorno de la banqueta de apoyo que puede entrar en

contacto con el cajón. cajon

cΓ Parte del contorno del cajón que puede entrar en contacto con la

banqueta de apoyo.

cajon

lado marΓ Parte del contorno del cajón del lado de mar.

cajon

trasdósΓ Parte del contorno del cajón del lado de dársena.

lecho

lado marΓ Parte del contorno del lecho marino del lado de mar.

lecho

trasdósΓ Parte del contorno del lecho marino del lado de dársena.

3

lecho

radiaciónΓ Parte del contorno del lecho marino en el que se modeliza un

borde de radiación.

2

lecho

radiaciónΓ Parte del contorno del lecho marino en el que se modeliza un

borde de radiación.

1

lecho

radiaciónΓ Parte del contorno del lecho marino en el que se modeliza un

borde de radiación.

1 2,Π Π Índices de caracterización de la necesidad de considerar términos

dinámicos ϒ Potencial de energía de deformación elástica.

, , banq cajon lechoΩ Ω Ω Dominio ocupado por la banqueta de apoyo, el cajón y el lecho marino, respectivamente.

Ξ Potencial de velocidad de las olas. 1 2 3 4 5, , , ,n n n n n

Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Funciones de las variables 1 1 1 1 1, , , ,lecho lecho banq banq cajon

n wn n wn n− − − − −∆ ∆ ∆ ∆ ∆u p u p uɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ que

permiten definir el sistema de ecuaciones algebraico no lineal global principal de la resolución numérica del problema de interacción terreno-agua-estructura involucrado en un dique vertical de cajones.

Minúsculas griegas ,α β Coeficientes de Rayleigh. , ,α β γ Parámetros de la función de distribución log-Weibull.

α , g

α Parámetro constitutivo relacionado con la dilatancia.

fα Parámetro constitutivo relacionado con el tensor de dirección

discriminante de carga-descarga en suelos granulares.

0 1,β β Parámetros constitutivos relacionados con el endurecimiento por

deformación desviadora.

1 2 1, ,β β β Parámetros que definen el esquema numérico de integración

temporal 22GN y 11GN . χ Parámetro de regularización de la ley de fricción de Coulomb δδδδ Tensor unitario de segundo orden.

XXXIX

ijδ Delta de Kronecker.

δ Indice de degradación. ,

r zε ε Componente radial y axial de la deformación infinitesimal en la

formulación axilsimétrica. ,

x zε ε Componente horizontal y vertical de la deformación infinitesimal

en la formulación en deformación plana. ε Tensor de segundo orden de deformaciones infinitesimales.

(notación tensorialij

ε = , notación vectorial ( )jε= )

eε , pε Tensor de segundo orden de deformaciones infinitesimales elástico y plástico, respectivamente.

banqε Tensor de segundo orden de deformaciones infinitesimales de la banqueta de apoyo.

lechoε Tensor de segundo orden de deformaciones infinitesimales del lecho marino.

vε Deformación volumétrica.

e

vε , p

vε Deformación volumétrica elástica y plástica, respectivamente.

sε Deformación desviadora equivalente o simplemente desviadora.

e

sε , p

sε Deformación desviadora elástica y plástica, respectivamente.

φφφφ Vector función de las variables primitivas. φ Solución general de la ecuación de onda en una dimensión.

Iφ ,

IIφ Ondas viajeras componentes de la solución general de la ecuación

de onda φ φ′ Fricción movilizada.

fφ′ Ángulo de rozamiento del suelo.

( )cajon cajonϕ Β Configuración deformada del cajón

( )banq banqϕ Β Configuración deformada de la banqueta de apoyo ϕ Función que gobierna la regularización de la ley de fricción de

Coulomb. γ Parámetro constitutivo relacionado con la “memoria” del

material. También denota peso específico. ,

cγ γ Deformación tangencial y deformación tangencial cíclica.

wγ Peso específico del agua.

η Grado de tensión movilizado ( )q p′= . También denota la altura

vertical de la superficie libre de un fluido. κ Pendiente de la curva de recompresión en escala semilogarítmica

natural ( ), lne p′ .

λ Pendiente de la curva de consolidación normal en escala semilogarítmica natural ( ), lne p′

µ Parámetro constitutivo y el coeficiente de fricción para la ley de fricción de Coulomb.

,D s

µ µ Coeficiente de fricción dinámico y estático, respectivamente.

Extensión de la ley de Coulomb.

XL

θ Ángulo de Lode, temperatura. También representa la coordenada circunferencial.

wρ Densidad del fluido intersticial.

sρ Densidad del esqueleto sólido.

banq

sρ Densidad del esqueleto de suelo de la banqueta de apoyo.

banqρ Densidad de la mezcla esqueleto de suelo de la banqueta de apoyo y fluido intersticial.

lecho

sρ Densidad del esqueleto de suelo del lecho marino.

lechoρ Densidad de la mezcla esqueleto de suelo del lecho marino y fluido intersticial.

cajonρ Densidad media del cajón.

1 2 3, ,σ σ σ Tensiones totales principales ( )1 2 3

σ σ σ≤ ≤ . Se recuerda que las

tensiones negativas son de compresión. ′σ Tensor de segundo orden de tensiones efectivas de Cauchy

(notación tensorialij

σ ′ = , notación vectorial ( )jσ ′= )

σ Tensor de segundo orden de tensiones totales de Cauchy

(notación tensorialij

σ = , notación vectorial ( )jσ= )

lechoσ Tensor de segundo orden de tensiones totales de Cauchy del lecho marino.

banqσ Tensor de segundo orden de tensiones totales de Cauchy de la banqueta de apoyo.

cajonσ Tensor de segundo orden de tensiones totales de Cauchy del cajón.

nσ Componente normal del vector de tensión t .

fσ ′ Tensión efectiva normal en la superficie de fallo.

ς Parámetro que representa la parametrización del borde banqΓ . ς Punto solución del problema de distancia mínima definido por

( )d ς .

zxτ Tensión tangencial en el plano ,x z .

fτ Tensión tangencial en la superficie de fallo.

banqττττ Vector tangente asociado al borde banq

cΓ de la banqueta de apoyo.

0υ Función de las deformaciones.

υ Coeficiente de Poisson ω Frecuencia angular de la ola. ξ Deformación plástica desviadora acumulada. ζ Función de tensión movilizada.

maxζ Máximo de la función de tensión movilizada.

1

1. INTRODUCCIÓN

1.1. Motivación

El diseño de la cimentación de estructuras marinas presenta una serie de dificultades debido a la complejidad de las solicitaciones ejercidas sobre la estructura, derivadas de la acción dinámica del oleaje y transmitidas al fondo marino a través de una compleja interacción cimentación-estructura, así como al comportamiento no lineal del suelo en el que existe acoplamiento del agua intersticial con el esqueleto sólido. Estas dificultades hacen de la dinámica asociada a un lecho marino subyacente y en las inmediaciones de un dique vertical un problema formidable. Parece que dicha dinámica no puede ser reproducible a través de un único modelo sino que se necesita el acoplamiento de una serie de modelos capaces de representar adecuadamente cada uno de los aspectos relevantes involucrados, haciéndose imprescindible el empleo de técnicas numéricas. La lista de daños y de fallos registrados en este tipo de estructuras, asociados a la interacción entre los distintos fenómenos involucrados en la respuesta dinámica de un dique vertical de cajones ante la acción del oleaje, es a día de hoy muy numerosa, pudiéndose destacar las averías siguientes: Bizerta, Túnez (1903-1905-1915), Valencia, España (1926), Catania, Italia (1933), Niigata, Japón (1976), etc.

Figura 1. 1 Fallo registrado en un dique vertical debido a la acción de un temporal.

Una de las conclusiones principales a las que llegó el trabajo desarrollado en el Instituto Noruego de Geotecnia (De Groot et al. 1996) perteneciente a las investigaciones del grupo europeo multidisciplinar MASTII, estableció la interacción entre los distintos fenómenos involucrados en la respuesta de un dique vertical de cajones ante la acción del oleaje, a saber, generación instantánea de presión de poros, la acumulación residual de la presión de poros y la dinámica asociada al movimiento oscilatorio del cajón, como

Capítulo 1. Introducción

2

uno de los aspectos que no habían sido abordados hasta la fecha. Más aún, el informe final del proyecto MASTIII (Oumeraci et al. 2001), publicado en 2001, seguía haciendo referencia a la necesidad de profundizar en el entendimiento de la interacción oleaje-estructura-cimentación, prestando especial atención a los estados de fallo inducidos por la inestabilidad de la cimentación. Según el artículo recopilatorio de Jeng (Jeng 2003),entre las futuras investigaciones a desarrollar en el ámbito de la dinámica de un lecho marino subyacente y en las inmediaciones de una estructura marina se encuentran, i) la simulación de la interacción entre olas, lecho marino y estructura marina , ii) el desarrollo de modelos constitutivos avanzados capaces de reproducir la respuesta de un lecho marino ante la acción de cargas cíclicas y iii) la incorporación de estos modelos constitutivos en simulaciones numéricas para mejorar la respuesta ante la acción del oleaje. El objetivo principal de la presente Tesis Doctoral es desarrollar un modelo teórico-numérico que permita analizar el comportamiento dinámico de la cimentación de un dique ante la acción del oleaje, en cajones fondeados en terrenos arcillosos, prestando especial atención a la generación y evolución de la presión intersticial con la consiguiente degradación del terreno. La presente Tesis Doctoral se enmarca como continuación del trabajo desarrollado en el proyecto de investigación “Respuesta dinámica del terreno bajo acciones del oleaje en cajones fondeados sobre suelos blandos”, concertado entre Dragados y la Fundación Agustín de Betancourt. Este proyecto, surgido de la necesidad de profundizar en el análisis de la problemática geotécnica asociada a los diques verticales, constituidos por cajones, cuando estos se cimientan en terrenos marinos con deficientes características mecánicas, puso de manifiesto la importancia de considerar la interacción oleaje-estructura-cimentación a la hora de analizar la estabilidad de este tipo de estructuras.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

3

1.2. Objetivos de la investigación

El tema abordado en la presente Tesis se enmarca en el ámbito de la dinámica asociada a un lecho marino subyacente y en las inmediaciones de un dique vertical de cajones. Teniendo en cuenta las conclusiones alcanzadas en el estado del arte, los objetivos previstos, de una forma más precisa, son los siguientes:

• Desarrollar un modelo teórico que permita analizar el comportamiento dinámico de la cimentación de un dique ante la acción cíclica del oleaje en cajones fondeados en terrenos arcillosos, prestando especial atención a la generación y evolución de la presión intersticial con la consiguiente degradación del terreno. El modelo deberá incluir: i) un modelo de interacción suelo-fluido intersticial incorporando términos de inercia en la formulación, ii) un modelo constitutivo para describir el comportamiento de suelos arcillosos bajo carga cíclica y dinámica, iii) un modelo de interacción entre el cajón y la banqueta de apoyo.

• Desarrollar un programa numérico en el lenguaje M del entorno Matlab, basado

en el método de los elementos finitos, en el que se implemente el modelo teórico propuesto.

• Realizar simulaciones numéricas de problemas de contorno específicos para

validar el programa de elementos finitos desarrollado en el entorno Matlab. Entre las simulaciones a efectuar deberían encontrarse las siguientes: i) simulaciones numéricas de ensayos triaxiales bajo carga monótona y cíclica, reproduciendo condiciones drenadas y no drenadas así como procesos de consolidación incorporando y sin incorporar términos de inercia, en régimen elastoplástico, ii) simulaciones numéricas del comportamiento tensodeformacional de una zapata corrida en régimen elastoplástico, iii) simulaciones numéricas del comportamiento de la interfaz cajón – banqueta de apoyo, iv) simulaciones numéricas de modelos a gran escala de diques verticales ensayados en Canales de oleaje. Los resultados numéricos obtenidos se contrastarán con datos experimentales así como con soluciones analíticas existentes en la literatura, a fin de validar tanto el modelo teórico como su desarrollo numérico.

• Desarrollar simulaciones numéricas del comportamiento dinámico de la

cimentación de un dique ante la acción cíclica del oleaje en cajones fondeados en terrenos arcillosos, prestando especial atención a la generación y evolución de la presión intersticial con la consiguiente degradación del terreno.

Capítulo 1. Introducción

4

1.3. Metodología

La metodología empleada en esta Tesis y su relación con los diferentes capítulos sigue el esquema mostrado en la Figura 1. 2. La tesis se divide en siete capítulos, en los que se van abordando los aspectos indicados en este esquema.

Figura 1. 2 Esquema de la Tesis Doctoral

Mecánica de Medios Continuos

Métodos Numéricos

↓ − Formulación de las ecuaciones

de gobierno de la interacción suelo-fluido intersticial.

− Formulación de la ley tensodeformacional para suelos arcillosos bajo carga cíclica.

− Formulación de las ecuaciones de gobierno del fenómeno de contacto entre el cajón y la banqueta de apoyo.

− Integración numérica en el espacio.

− Integración numérica en el tiempo.

− Integración numérica de la relación tensodeformacional.

− Integración numérica de la relación fuerza-desplazamiento.

− Tratamiento numérico del contacto.

− Tratamiento numérico de los bordes de radicación.

↓

Estado del arte

↓

Implementación en lenguaje M del entorno Matlab. Código ADÍNDICA

Desarrollo de simulaciones numéricas de problemas de

contorno específicos. Validación del código ADÍNDICA

Conclusiones y futuras investigaciones

Análisis numérico, mediante el código ADÍNDICA, de la respuesta dinámica del terreno ante la acción del oleaje de un dique vertical de cajones apoyado sobre un suelo de características arcillosas

↓

↓

↓

↓

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

5

En el Capítulo 2, estado del arte, se presentan y analizan las diversas aportaciones, tanto teóricas como numéricas, realizadas con anterioridad a la presente Tesis Doctoral, en el ámbito de la dinámica asociada a un lecho marino subyacente y en las inmediaciones de un dique vertical de cajones. En el Capítulo 3, se establece el modelo teórico propuesto para representar la compleja interacción terreno-agua-estructura involucrada en un dique vertical de cajones fondeado sobre un lecho marino arcilloso y sometido a la acción del oleaje. Dicho modelo incluye: i) un modelo de interacción suelo-fluido intersticial, ii) un modelo constitutivo para describir el comportamiento de suelos arcillosos bajo carga cíclica y dinámica, iii) un modelo de interacción entre el cajón y la banqueta de apoyo. Tras obtener en el Capítulo 3 las ecuaciones de gobierno del fenómeno de interacción terreno-agua-estructura involucrado en un dique vertical de cajones instalado sobre un lecho marino arcilloso y sometido a la acción del oleaje, en el Capítulo 4, se plantea la resolución numérica de estas ecuaciones a través del método de los elementos finitos. En este capítulo se muestra la discretización tanto espacial como temporal de las ecuaciones de gobierno del fenómeno acoplado, el integrador local tensión-deformación propuesto, el integrador global fuerza-desplazamiento implementado, el tratamiento numérico requerido para incorporar el fenómeno de contacto así como el relacionado con los bordes de radiación. En el Capítulo 5, se presentan y analizan las simulaciones numéricas desarrolladas con el fin de validar tanto el modelo teórico propuesto como su desarrollo numérico. En este Capítulo, los resultados numéricos obtenidos se contrastan con datos experimentales así como soluciones analíticas existentes en la literatura. En el Capítulo 6, se muestran y discuten los resultados obtenidos tras aplicar el modelo teórico-numérico propuesto al estudio del comportamiento dinámico de la cimentación un caso hipotético de dique vertical de cajones apoyado sobre un suelo de características arcillosas. Finalmente, en el Capítulo 7 se exponen las conclusiones alcanzadas en la Tesis Doctoral así como las líneas abiertas para futuros trabajos de investigación.

Capítulo 1. Introducción

6

7

2. ESTADO DEL ARTE.

2.1. Introducción.

Las estructuras costera instaladas en medios marinos cambian el patrón de las corrientes marítimas en sus inmediaciones. Las condiciones del flujo de agua marina alrededor de la estructura no solo afecta a las presiones de ola ejercidas sobre la estructura, si no que a su vez pueden inducir instabilidad en el fondo marino. La obtención de las presiones ejercidas por el oleaje sobre las estructuras marinas ha sido una de las principales preocupaciones de los ingenieros a la hora de diseñar estructuras marítimas (Oumeraci 1994a), sin embargo, el análisis de la estabilidad del fondo marino subyacente y en las inmediaciones de estructuras marítimas ha captado la atención de los ingenieros marítimos geotécnicos más recientemente. En las últimas décadas, se ha realizado un esfuerzo considerable en el análisis de la interacción ola-terreno-estructura marina. El principal motivo por el que ha crecido este interés, se debe a que un número importante de estructuras marinas, diques verticales, cajones, gaseoductos, etc., han sido dañadas por causas derivadas de la respuesta del terreno ante la acción del oleaje en vez de por deficiencias en la construcción (Jeng 2003). El diseño de la cimentación de estructuras marinas presenta una serie de dificultades como la obtención de las fuerzas ejercidas sobre la estructura, derivadas de la acción dinámica del oleaje y transmitidas al fondo marino a través de una compleja interacción cimentación-estructura; el acoplamiento del agua intersticial de los suelos de la cimentación tanto con el esqueleto sólido como con el agua de mar así como la predicción del comportamiento de los suelos bajo un número elevado de ciclos de carga (Pastor et al. 2006). Los distintos tipos de problemas geotécnicos que puede involucrar el diseño de la cimentación de una estructura marina de gravedad, los cuales pueden desencadenar la inestabilidad de la estructura, se pueden resumir a través del diagrama de trayectorias tensionales expuesto en la Figura 2. 1 (Janbu 1985).

Figura 2. 1 Ilustración de la problemática asociada a la cimentación de estructuras marinas.

3σ ′

( )1 22σ σ′ ′−

Capítulo 2. Estado del Arte

8

En la Figura 2. 1 se puede apreciar como inicialmente, las condiciones tensionales in situ antes de la instalación del dique (punto I) suelen corresponder a estados con una tensión tangencial relativa baja implicando factores de seguridad elevados. Si el fondeo se realiza en pocos días se puede asumir un camino de carga no drenado llegando al punto U de la gráfica. Tras el fondeo, si se supone que la estructura no ha sufrido la acción del oleaje, se produce algo de drenaje y el camino tensional se mueve hasta el punto D, alcanzando un mayor coeficiente de seguridad. Si tras ese período de drenaje la estructura se ve sometida a cargas cíclicas debidas a la acción del oleaje, se pueden generar y acumular excesos de presión de poros con la consiguiente pérdida de resistencia al corte del terreno y disminución del coeficiente de seguridad (punto C). Este fenómeno de degradación con la consiguiente pérdida de resistencia tiene lugar principalmente en las zonas cercanas a las esquinas de la estructura (puntos T y H). Del análisis de la figura anterior se deduce que la cimentación de estructuras marinas presenta una serie importante de problemas debido a la naturaleza cíclica y dinámica de las acciones derivadas del oleaje, al fenómeno altamente transitorio involucrado en la interacción suelo-estructura, al comportamiento no lineal del suelo y al acoplamiento con la presión intersticial (Pastor et al. 2006). Esta complejidad ha conducido a los investigadores (De Groot et al. 1996) a distinguir cuatro grupos de fenómenos relevantes:

• Aspectos dinámicos. Influencia de la inercia de la estructura y masas añadidas (agua, terreno) sobre las cargas que se transmiten al terreno debidas a la acción del oleaje.

• Presión de poros instantánea. Variación de la presión de poros influida por la compresión elástica del fluido intersticial, así como por la compresión y dilatación elástica del esqueleto del suelo en combinación con un drenaje limitado.

• Degradación del Terreno. Cambio gradual de la resistencia y la rigidez del terreno debido a la acción de cargas repetitivas y/o la consolidación.

• Inestabilidad. Deformación permanente, pudiendo causar el fallo de la estructura por deslizamiento sobre la base del cajón, por colapso de la banqueta de escollera o del subsuelo.

Los tres primeros epígrafes del listado anterior contemplan los aspectos fundamentales que tiene que incorporar todo modelo que se desarrolle para analizar el comportamiento geomecánico asociado a la cimentación de una estructura marina de gravedad. El primero de los grupos resaltados en esta lista hace referencia a la compleja interacción cimentación-estructura, derivada de las acciones dinámicas y cíclicas del oleaje. El segundo hace referencia al acoplamiento del agua intersticial del suelo de la cimentación tanto con el esqueleto sólido como con el agua del mar. El tercer grupo hace referencia a la relación tensión-deformación del terreno, de características no lineales, dependiente de la historia de deformaciones y sensible a las cargas cíclicas. La combinación de estos aspectos provoca que la distribución de tensiones y deformaciones bajo las estructuras costeras de gravedad sea altamente no lineal. Un ejemplo de esta distribución se puede apreciar de forma esquemática en la Figura 2. 2. Tal y como se puede observar en esta figura, la concentración principal de

Variables principales

Consecuencia

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

9

deformaciones se desarrollan bajo las esquinas de la estructura, en posibles zonas débiles del terreno y alrededor de salientes en caso de haberlos.

Figura 2. 2 Estado tensional no uniforme bajo una estructura gravitatoria marina

Los primeros avances logrados en el análisis de la dinámica asociada a un lecho marino derivada de la acción del oleaje se han desarrollado sin considerar la existencia de una estructura marina en las inmediaciones. Estos avances se centraron principalmente en analizar el fenómeno del acoplamiento del agua intersticial del lecho marino tanto con el esqueleto de suelo como con el agua de mar. Estos desarrollos, a pesar de no considerar la existencia de una estructura costera, permiten comprender algunos de los aspectos básicos del comportamiento del suelo marino ante la acción del oleaje. En el presente estado del arte, se aborda en primer lugar distintas aproximaciones teóricas y experimentales propuestas para analizar la dinámica asociada a un lecho marino sobre el que no se ha instalado una estructura costera. En los últimos 30 años han aparecido estudios en los que se aborda el análisis de la interacción cimentación-oleaje en las inmediaciones de una estructura costera, considerando los distintos aspectos que gobiernan la problemática asociada a esta interacción. En el presente estado del arte, se abordan en segundo lugar distintas aproximaciones analíticas y numéricas propuestas para analizar la dinámica asociada a un lecho marino subyacente y en las inmediaciones de un dique vertical de cajones. Debido a que la presente Tesis Doctoral se centra en el análisis del comportamiento dinámico de la cimentación de un dique vertical de cajones cuando este se emplaza sobre un lecho marino arcilloso, se presta especial atención a los trabajos que han permitido profundizar en el entendimiento de la respuesta de terrenos arcillosos bajo carga cíclica y dinámica. La determinación de las presiones de ola es de una importancia fundamental a la hora de diseñar estructuras marítimas ya que son las acciones de cálculo principales. Debido a esta relevancia, en cuarto lugar del presente estado del arte se presenta una recopilación de distintas formulaciones que se han empleado para estimar las presiones ejercidas por el oleaje sobre una estructura marina. Por último, en las conclusiones del estado del arte se discuten algunos de los problemas abiertos relacionados con la interacción oleaje-cimentación-estructura marina, los cuales se ponen de manifiesto a lo largo de todo el capítulo del estado del arte y que sirven de marco básico para el resto de la presente Tesis Doctoral.

zonas de nivel

tensional elevado

salientes zonas

débiles

Capítulo 2. Estado del Arte

10

2.2. Oleaje propagándose sobre un lecho marino poroso.

2.2.1. Generación de presión de poros sin presencia de estructuras marítimas.

Cuando las olas se propagan sobre los océanos, estas generan una presión dinámica de agua sobre el lecho marino. Estas fluctuaciones en la presión inducen cambios en la presión de poros y en la tensión efectiva en el terreno que compone el fondo. En esta sección, mostraremos las diversas formulaciones existentes para describir la respuesta del terreno ante la acción del oleaje, revisando las investigaciones previas en el área de la interacción oleaje-lecho marino. En general, se han observado dos mecanismos en la respuesta del terreno inducida por la acción del oleaje tanto en ensayos de laboratorio como en medidas de campo, dependiendo de la manera en la que se genera la presión de poros en el terreno (Jeng y Seymour 2007). Uno de estos mecanismos es el causado por la naturaleza acumulativa del exceso de la presión de poros, apareciendo en los estadios iniciales de la carga cíclica. Este mecanismo provoca cambios en la rigidez y en la resistencia del terreno con el tiempo, pudiéndose generar estados de inestabilidad debido a la degradación de las características geomecánicas del fondo marino. El otro mecanismo está generado por la presión de poros oscilatoria y va acompañado por el amortiguamiento de la amplitud y el desfase temporal en cambios de la presión de poros (Madsen 1978; Yamamoto et al. 1978). Este segundo mecanismo es causado por la respuesta instantánea acoplada del esqueleto de suelo y la presión de poros. En la Figura 2. 3 se puede apreciar de forma esquemática estos dos mecanismos de generación de presión de poros.

Figura 2. 3 Esquema conceptual de los dos mecanismos de generación de la presión de poros (no está en

escala).

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

11

2.2.2. Propiedades relevantes del terreno relacionadas con la determinación de la

respuesta de un lecho marino ante la acción del oleaje.

El terreno es un material complejo y su comportamiento, observado in situ o a través de ensayos de laboratorio, depende de una gran cantidad de variables, entre ellas las más importantes son la composición del terreno (tamaño de los granos, contenido de arcilla, etc.), la historia de cargas (trayectorias de carga, grado de sobreconsolidación, etc.) y las condiciones de drenaje. El suelo es un material con varias fases. Las partículas de mineral, constituyen la fase sólida en forma de esqueleto del suelo. Los poros del terreno pueden contener las fases líquidas (agua de poros) y/o de gas (aire de poros). Cada una de estas fases se comporta de una forma diferente, interactuando entre ellas y afectando el comportamiento del terreno (Potts et al. 2002). Sin lugar a duda, de las distintas fases que componen un terreno, la modelización del esqueleto del suelo es la más compleja y la que determina el comportamiento por deformación de toda la mezcla (De Boer 1996). Debido a esta complejidad, tal y como se verá en posteriores apartados de este estado del arte, la mayoría de los modelos teóricos desarrollados hasta la fecha han considerado que el esqueleto del suelo es rígido o se rige por una ley tensodeformacional elástica lineal. La permeabilidad, que se puede describir como una medida de lo rápido que un fluido puede transmitirse a través de los poros del terreno, es una las variables más analizadas que afectan a la respuesta del terreno inducida por el oleaje en un medio poroso. Los sedimentos marinos subyacentes a la interfaz agua-lecho marino pueden sufrir consolidación debido al peso propio y a la presión de agua sobre él. Esta consolidación conlleva una disminución de la porosidad acompañada por un incremento del peso específico del terreno. Evidencias de este fenómeno a distintas profundidades del lecho marino han sido expuestas por diversos investigadores (Samarasinghe et al. 1982; Bennett et al. 1990). El módulo tangencial es otro parámetro importante en la determinación de la respuesta de un lecho marino ante la acción del oleaje. Se puede definir como el coeficiente de proporcionalidad en la relación entre la tensión tangencial y la deformación tangencial. Este coeficiente puede variar debido a la acción repetitiva del oleaje sobre la superficie del lecho marino, pudiendo inducir la inestabilidad del terreno. La rigidez del suelo en un lecho marino natural normalmente crece con la profundidad como consecuencia del aumento de la presión de confinamiento. Algunas evidencias relacionadas con la variación del módulo tangencial del terreno al aumentar la profundidad han sido expuestas en distintos artículos (Suzuki et al. 1991). En realidad, la mayoría de los sedimentos marinos muestran un cierto grado de anisotropía, manifestando distintas propiedades elásticas según si consideramos una dirección vertical u horizontal. Esta es causada por la manera en la que se depositan los sedimentos en el lecho marino, la forma particular de los granos que forman el esqueleto del suelo y de la historia tensodeformacional. Sin embargo, una gran variedad de materiales muestran formas limitadas de anisotropía. Por ejemplo, cuando un material se deposita verticalmente y es sometido posteriormente a una tensión uniforme horizontal tiende a mostrar un eje vertical de simetría mostrando una estructura transversalmente isótropa (Graham y Houlsby 1983). Es de notar que la anisotropía aquí expuesta hace referencia al comportamiento mecánico debido a cambios

Capítulo 2. Estado del Arte

12

tensodeformacionales. También se puede considerar una anisotropía hidráulica debida a una permeabilidad diferida y a cambios de la porosidad. Un lecho marino suele estar formado por diversas capas de terreno con distintas propiedades geomecánicas. Por ejemplo, los sedimentos en los campos petrolíferos de Ekofisk, en el Mar del Norte, muestran una capa superior de unos 75 m compuesta por una mezcla de arena y arcilla bajo la cual se ha detectado una capa de arcilla (Bjerrum 1973).

2.2.3. Aproximaciones teóricas desarrolladas para analizar la respuesta de un

lecho marino inducida por el oleaje sin presencia de estructuras marítimas.

A lo largo de la historia, se han empleado diversas aproximaciones teóricas para investigar los mecanismos de la respuesta del terreno inducida por el oleaje. Estas aproximaciones han permitido analizar diversos aspectos como la generación de presión de poros y su distribución espacial, el comportamiento tensional del lecho marino, el fenómeno pseudoestático de la consolidación, efectos dinámicos, etc. En el presente epígrafe se exponen los modelos más importantes para analizar la respuesta de un lecho marino poroso inducida por el oleaje. Antes de analizar las aproximaciones teóricas existentes formularemos el problema de la interacción fluido intersticial del suelo con el esqueleto sólido y con el agua de mar como un problema de contorno con ciertas condiciones iniciales. Posteriormente simplificaremos la formulación general imponiendo las distintas hipótesis que han sido empleadas en el pasado. En general, se puede decir que un lecho marino es un medio poroso cuyo esqueleto presenta un comportamiento elastoplástico. Este medio poroso puede ser no homogéneo, anisótropo y no saturado. En el caso de considerar un medio poroso saturado, el comportamiento queda gobernado a través de un sistema acoplado de tres ecuaciones en derivadas parciales y una ecuación diferencial (Zienkiewicz et al. 1999). Estas son: balance del momento lineal de la mezcla suelo-fluido intersticial (2.1), balance del momento lineal fluido intersticial (2.2), balance de masa del fluido intersticial (2.3) y una ecuación constitutiva (2.4).

, ,

0ij j i w i j i j i

u w w w bσ ρ ρ ρ − − ⋅ + ⋅ + = ɺɺ ɺɺ ɺ ɺ (2.1)

, ,

0w

w i i w i i j i j w ip R u w w w b

n

ρρ ρ − − − − ⋅ + ⋅ + = ɺɺ ɺɺ ɺ ɺ (2.2)

,

0w

i i ii

pw

Qε+ + =

ɺɺ (2.3)

ij ijkl kl

d D dσ ε′ = (2.4)

Donde i

i

ww

t

∂=∂

ɺ , etc.

En las expresiones anteriores, ij ij ij w

pσ σ δ′= − ⋅ , siendo ij

δ la función delta de

Kronecker, ij

σ son las componentes del tensor de segundo orden de tensiones totales de

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

13

Cauchy, ij

σ ′ son las componentes del tensor de segundo orden de tensiones efectivas de Cauchy y

wp la presión de poros, es decir, se considera que la presión de agua es

positiva en compresión mientras que las tensiones son positivas en tracción; ijkl

D son las

componentes del tensor constitutivo tangente de cuarto orden definido a través de la

relación tensodeformacional del terreno; ( ), ,

1

2ij i j j iu uε = ⋅ + son las componentes del

tensor de segundo orden de deformaciones infinitesimales, donde i

u es el

desplazamiento del esqueleto de suelo con i=x, z en dos dimensiones o i=x, y , z en tres dimensiones, aunque únicamente consideraremos en esta Tesis Doctoral el caso bidimensional de olas propagándose sobre un lecho marino a lo largo de la dirección x, considerando que el eje vertical z es positivo en sentido ascendente desde el lecho

marino, tal y como se puede apreciar en la Figura 2. 4; ( )i fi iw n w u= ⋅ − es el

desplazamiento promedio del fluido relativo al esqueleto del suelo, donde fi

w es el

desplazamiento de las partículas del fluido intersticial y n la porosidad; (1 )

s wn nρ ρ ρ= − ⋅ + ⋅ es la densidad combinada de la mezcla del suelo, donde ,

s wρ ρ

son las densidades del esqueleto del suelo y del fluido intersticial respectivamente; Q representa la compresibilidad combinada del fluido y del esqueleto del suelo, el cual puede relacionarse con el módulo volumétrico de cada componente a través de la

expresión 1 1

w s

n n

Q K K

−= + ; i

R representa las fuerzas viscosas de filtración asumiendo la

validez de la formulación de filtración de Darcy y viene dado por ij j i

k R w′ = ɺ , siendo

kk ij

ij

wgρ

′ =⋅ , donde k

ij es la permeabilidad de Darcy [ ] [ ]

[ ]kespacio

tiempo

=

y que en el caso

de considerar un suelo hidráulicamente isótropo adquiere un único valor k ; i

b

representa las fuerzas volumétricas por unidad de masa, siendo interesante destacar el pequeño valor relativo que tienen los términos gravitatorios ya que 5

,10

w w ig pρ −⋅ ≈ ,

pudiendo llegar a despreciar estos términos en la ecuación (2.2).

Figura 2. 4 Definición de parámetros en la interacción ola-lecho marino

Capítulo 2. Estado del Arte

14

Para poder resolver el sistema de ecuaciones (2.1)-(2.4), es necesario incorporar unas condiciones de contorno apropiadas. En la interfaz agua-lecho marino, existen cuatro condiciones de contorno: la tensión vertical efectiva normal al lecho marino se anula; la presión del fluido es continua, conservándose la masa de fluido. Respecto a la tensión tangencial, se ha llegado a demostrar (Sawaragi y Deguchi 1992) como en la interfaz agua-lecho marino la tensión tangencial es muy inferior que las demás, incluso en el caso en que la carga de la ola es altamente no lineal. Así, ignoramos la tensión tangencial debida a la acción del oleaje sobre el lecho marino. De esta forma, las condiciones de contorno consideradas en el lecho marino (z = 0) pueden ser escritas como:

0; z xz w w

pt

σ τ ρ ∂Ξ′ = = = − ⋅∂ (2.5)

Siendo Ξ el potencial de velocidad de las olas, el cual está gobernado por la ecuación de Laplace 2 0∇ Ξ = . Asumiendo que el fondo marino es impermeable y rígido, las fluctuaciones dinámicas de todas las cantidades físicas se anulan, es decir,

0,w

x y

pu u

z

∂= = =∂

para z = -h (2.6)

Hay que tener en cuanta, que si se consideran capas intermedias dentro del estrato de suelo, hay que considerar una serie de condiciones de contorno extra para asegurar la compatibilidad de las distintas cantidades físicas. Así, si se considera la interfaz de transición entre las capas j y j+1, la cual se encuentra a una profundidad de

jz h= − , las

condiciones de contorno extra serían

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

1 1

1

w w i i i ij j j j j j

z z xz xzj j j j

w w

z z

j j

p p u u w w

p pk k

z z

σ σ τ τ

+ + +

+ +

+

= = =

′ ′= =

∂ ∂ = ∂ ∂

(2.7)

En base al problema de contorno presentado, un número importante de modelos han sido propuestos desde los años 40 del siglo pasado, bajo ciertas hipótesis particulares. A continuación se presenta las investigaciones teóricas precedentes destacando las distintas hipótesis establecidas así como las ecuaciones de gobierno a las que conducen. Modelos desacoplados

Los modelos desacoplados han sido empleados como primera aproximación en el área de la interacción ola-fondo marino. En este tipo de modelos, el esqueleto del suelo y/o el fluido intersticial es considerado incompresible. Las aceleraciones de ambos medios, el fluido intersticial y el esqueleto del suelo, son ignoradas en esta aproximación. Debido a que la ecuación de gobierno es la ecuación de Laplace o la ecuación de Difusión, para las cuales se han desarrollado satisfactoriamente soluciones analíticas, la

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

15

mayoría de las investigaciones realizadas con estas hipótesis son aproximaciones de este tipo. Una de las primeras hipótesis realizadas dentro de este tipo de modelos consiste en considerar que tanto el fluido intersticial como el esqueleto del terreno son medios incompresibles, ignorando las aceleraciones tanto del fluido como del esqueleto del suelo. Esto conduce a un modelo desacoplado, la teoría potencial, en el que la ecuación de Laplace es la ecuación de gobierno, representada por 2 0

wp∇ = (2.8)

Una aproximación similar consiste en incluir la compresibilidad del fluido conduciendo a la ecuación de Difusión o de Consolidación, es decir

2k 1w

w

w

pp

g Q tρ∂∇ = ⋅

⋅ ∂ (2.9)

Con

sK = ∞ .

La primera aproximación analítica para analizar la respuesta de un lecho marino ante la acción del oleaje fue propuesta por Putman en 1949. Putman descubrió, empleando la teoría lineal del oleaje, que la variación de presión en el lecho marino debido al movimiento del olaje inducía corrientes en la capa permeable y que estas corrientes disipaban parte de la energía mecánica de las olas. El análisis necesario para estimar esta perdida de energía, debida al flujo de agua a través de la capa permeable del lecho marino y derivado de la variación de presión respecto al valor hidrostático medio, estaba basado en las siguientes hipótesis (Putman 1949): i) El material permeable tiene una permeabilidad uniforme, ii) el material permeable no se mueve, iii) el movimiento del agua es bidimensional, iv) el flujo laminar prevalece en el material permeable predominando las fuerzas de carácter viscoso, es decir, la ley de Darcy es válida y v) el fluido intersticial es incompresible. Otros investigadores (Nakamura et al. 1973; Moshagen y Torum 1975) desarrollaron un modelo desacoplado basado en la suposición de que el fluido era compresible y que el lecho marino era un medio poroso no deformable. Este enfoque condujo a la ecuación de Difusión para gobernar el desarrollo de las presiones de poros. Nakamura et al. (1973) compararon los resultados teóricos de presión de poros con datos obtenidos de ensayos de laboratorio en arenas finas y gruesas. Los resultados experimentales relacionados con las arenas gruesas no mostraban desfase de presión de poros y se ajustaban bastante bien con la solución de Laplace. Los datos obtenidos de arenas más finas mostraban una importante atenuación de la presión revelando la existencia de un claro desfase, el cual se ajustaba bastante bien a la teoría de la Difusión. Sin embargo, encontraron en sus datos experimentales una inexplicable discontinuidad en la presión cerca de la superficie del lecho marino. Más tarde, (Yamamoto et al. 1978)observó como las olas empleadas por Nakamura et al (1973) tenían una pendiente muy pronunciada. De esta forma, el estado tensional en lechos marinos arenosos bajo la cresta y el seno de la ola puede haber alcanzado el límite de inestabilidad, más conocido como estado de licuefacción. Más aún, un importante error

Capítulo 2. Estado del Arte

16

fue encontrado en los cálculos de Nakamura, ya que la compresibilidad del agua empleada era unas 980 veces superior al valor habitual del agua. Yamamoto et al. (1978) mostraron como la correlación encontrada en el trabajo de Nakamura (1973) entre los datos teóricos y experimentales a pesar de este valor excesivo en la compresibilidad del agua se podría explicar a través de la existencia de una pequeña cantidad de aire acumulada en las arenas empleadas.

Modelos de Consolidación ó quasiestáticos

El segundo tipo de modelos desarrollados para el estudio de la respuesta del lecho marino inducida por el oleaje está basado en la hipótesis de considerar compresibles tanto al fluido intersticial como al esqueleto del suelo, pero ignorando las aceleraciones debidas al movimiento tanto del fluido intersticial como del esqueleto sólido. Estas hipótesis conllevan que la ecuación de gobierno sea la ecuación de consolidación de Biot (Biot 1941) ó de almacenamiento de Verruijt (Verruijt 1969), las cuales tienen una formulación similar dada por

2k 1ii w

w

w

pp

g t Q t

ερ

∂ ∂∇ = + ⋅⋅ ∂ ∂

(2.10)

2

1 2ii w

i

i i

pGG u

x x

ευ

∂ ∂⋅∇ + =− ∂ ∂

(2.11)

Siendo G el módulo tangencial del terreno y υ el coeficiente de Poisson. Como no se consideran los términos de inercia, a este tipo de modelos también se los denota quasiestáticos. Este tipo de modelos ha sido empleado ampliamente desde 1978. La mayoría de las investigaciones basadas en la teoría poro-elástica de la consolidación de Biot han sido resueltas directamente, obteniendo tanto las presiones de poros, tensiones efectivas y desplazamientos del terreno debidos a la acción del oleaje. La primera aproximación de estas características fue desarrollada por Yamamoto (Yamamoto et al. 1978; Yamamoto 1977) y Madsen (Madsen 1978), considerando un fluido intersticial compresible en un medio poroso compresible. En estos estudios se adoptó la ecuación de consolidación de Biot (Biot 1941) así como la ecuación de almacenamiento de Verruijt (Verruijt 1969), estudiando exclusivamente el efecto de olas progresivas. De los autores antes citados, Madsen (1978), considero un lecho marino semisaturado con comportamiento hidráulico anisótropo, mientras que Yamamoto (1977) estudio un medio isótropo. Ambos consideraron el caso de un lecho marino de espesor infinito. Más aún, Yamamoto (1977) investigó la respuesta de un terreno homogéneo de espesor finito bajo condiciones isótropas y parcialmente saturadas. Sin embargo, la solución presentada por Yamamoto (1977) es semianalítica al no poder desarrollar una formulación cerrada. En 1978 Yamamoto y sus colaboradores concluyeron que en el caso en que la rigidez del terreno de un medio poroso fuera muy inferior al del fluido intersticial, por ejemplo en el caso de terrenos blandos saturados, la respuesta del terreno es independiente de la permeabilidad, no presentando desfase en la distribución de presiones de poros, siendo esta última muy similar a la solución de Putman (1949). Por otro lado, cuando la rigidez del medio poroso es muy superior a la del fluido intersticial, por ejemplo al considerar arenas densas parcialmente saturadas, se obtiene una respuesta en presión de poros

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

17

similar a la solución presentada por Nakamura en 1973. En este último caso, la presión de poros se atenúa rápidamente, aumentando el desfase linealmente con la distancia a la superficie del lecho marino. Madsen investigó en 1978 un lecho marino hidráulicamente anisótropo y parcialmente saturado. Encontró que el grado de saturación tenía un apreciable efecto en la naturaleza de la tensión efectiva inducida por acción del oleaje en arenas de grano grueso. Para el resto de suelos, el efecto del grado de saturación en la respuesta del terreno puede ser significativa. Yamamoto desarrolló en 1981 una solución semianalítica para un lecho poroso no homogéneo dividido en varias capas, verificada a través de los datos obtenidos de ensayos de campo en el del delta del río Missisipi (Yamamoto 1981). En este trabajo Yamamoto destacó el efecto significativo de la capa de bloques de hormigón en la respuesta del terreno inducida por el oleaje. Sin embargo, la hipótesis de tratar la capa de bloques de hormigón como suelo parece irreal, ya que las propiedades de los bloques de hormigón son bastante diferentes que las del propio suelo. Con posterioridad, se resumieron en un análisis semianalítico (Rahman et al. 1994) los trabajos anteriores en los que se proporcionaban soluciones analíticas directas. En el modelo presentado por Rahman en 1994 consideró un lecho marino formado por varias capas. Este modelo ha llegado a ser especialmente importante para el diseño de capas de guarda para la protección del lecho marino. Las investigaciones presentadas hasta ahora se limitan al caso ideal de un lecho marino homogéneo e isótropo. La mayor dificultad a la hora de abordar la respuesta del un lecho marino de permeabilidad variable ante la acción del oleaje radica en que los coeficientes que incorpora las ecuaciones de gobierno son variables, complicando el tratamiento matemático. En 1988 Varley y Seymour derivaron una solución analítica para este tipo de condiciones (Varley y Seymour 1988). Únicamente consideraron el comportamiento de arenas finas. En su modelo, la derivada de primer orden de la permeabilidad respecto a la distancia vertical fue excluida, sin embargo, Lin y Jen mostraron en 1997 como esta variación jugaba un importante papel a la hora de evaluar la respuesta del terreno inducida por el oleaje en terrenos granulares (Lin y Jeng 1997). Más adelante, Jeng y Seymour desarrollaron en 1997 las soluciones analíticas existentes para suelos con permeabilidad variable con espesores tanto infinitos como finitos (Jeng y Seymour 1997). Ambos autores concluyeron que la diferencia relativa entre suelos de permeabilidad variable y uniforme respecto a la presión de poros inducida por el oleaje era del orden de 23% de la amplitud de la presión de ola en la superficie del fondo marino. Uno de los primeros investigadores en derivar una solución analítica para la interacción oleaje-fondo marino considerando una anisotropía transversal fue Jeng (Jeng 1996; Jeng 1997a). Sus resultados numéricos mostraban que la solución convencional, empleando la hipótesis de un suelo con comportamiento isótropo sobreestimaba el valor de la presión de poros, pero subestima las tensiones efectivas. La consideración de la anisotropía transversal es particularmente importante a la hora de investigar los posibles desplazamientos del terreno inducidos por el oleaje. Una aproximación idéntica se debe a Yuhi e Ishida en 1997.

Capítulo 2. Estado del Arte

18

Más recientemente, Massel et al. (2005) desarrollaron una solución analítica cerrada para la presión de poros y la velocidad inducida en un fluido intersticial por la acción de un oleaje en un lecho marino poro-elástico (Massel et al. 2005). En este estudio, sólo se analizó la componente de la presión de poros oscilatoria despreciando la componente residual. Los resultados teóricos obtenidos, fueron comparados con datos experimentales recogidos durante ensayos de laboratorio en un canal de oleaje en Hannover (Massel et al. 2004), mostrando una buena correlación. Modelos dinámicos

Estos modelos se basan en la incorporación de los términos de inercia en la formulación. En el caso de incorporar exclusivamente los términos de inercia asociados al esqueleto del suelo ignorando los del fluido intersticial la aproximación se denota modelo

wu p− . Este modelo fue propuesto inicialmente por Zienkiewicz y

colaboradores en un análisis unidimensional (Zienkiewicz et al. 1980) y extendido posteriormente por Zienkiewicz y Shiomi en 1984 a un análisis en 2 y 3 dimensiones (Zienkiewicz y Mroz 1984). Este modelo fue empleado por primera vez en el análisis de la interacción oleaje-lecho marino por (Jeng et al. 1999; Jeng y Rahman 2000). Las ecuaciones de gobierno para la aproximación

wu p− , se resumen en:

( ),

,

k0ij w

w j w j w j ii

w i

pp u b

g Qρ ρ ε

ρ

⋅ − − + + + = ⋅

ɺɺɺɺ (2.12)

2

2

21 2ii w i

i

i i

p uGG u

x x t

ευ

∂ ∂ ∂⋅∇ + = +− ∂ ∂ ∂

(2.13)

Si además incorporamos los términos de inercia asociados al fluido intersticial, las ecuaciones de gobierno correspondientes son el sistema completo (2.1)-(2.4), también conocido como modelo

wu w p− − . Debido a que este último sistema es ciertamente

complejo, solo se han desarrollado hasta la fecha un número muy limitado de investigaciones empleando el sistema completo (2.1)-(2.4) (Cheng et al. 2007). Los modelos descritos en el epígrafe anterior se basan en la teoría poro-elástica pseudo-estática de Biot (Biot 1941; Biot 1956a; Biot 1956b) para modelar el acoplamiento entre el fluido intersticial y el esqueleto sólido. Esta teoría, a pesar de ser la base de desarrollos posteriores, introduce limitaciones importantes en el análisis, al no incorporar términos de inercia, asociados al movimiento del fluido intersticial y al movimiento del esqueleto del suelo, considerando que el suelo se comporta como un medio elástico lineal. Esta teoría fue generalizada por Zienkiewicz et al. (1980) y Zienkiewicz y Shiomi (1984). Extendiendo la teoría poro-elástica de Biot (1956), Zienkiewicz et al. (1980) propusieron un modelo unidimensional, denominado aproximación

wu p− , para

describir la respuesta de un medio poroso bajo la acción de una onda propagándose sobre él. Su artículo proponía una aproximación simplificada para dicho problema basada en la hipótesis de considerar compresibles tanto al fluido intersticial como al esqueleto del suelo en el que se consideraban los términos de inercia asociados al esqueleto de suelo, despreciando los términos de inercia asociados al fluido intersticial. Basándose en resultados numéricos, Zienkiewicz et al. (1980) concluyeron que la

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

19

aproximación w

u p− no se requería para el caso de olas marinas progresando sobre el

fondo. Sin embargo, cabe destacar dos aspectos que arrojan algo de duda sobre las conclusiones alcanzadas en sus ejemplos. En primer lugar la velocidad de la onda de compresión considerara era de 1000 m/s, ajustándose a un suelo saturado en el que la compresibilidad está gobernada principalmente por el fluido intersticial el cual se considera prácticamente incompresible. Así, en el caso en que en que hubiera burbujas de agua en el fluido intersticial el valor de la velocidad de la onda de compresión sería muy inferior (Jeng y Cha 2003). En segundo lugar, proponen un período representativo del oleaje de 10s, mientras que un rango admisible para el período de las olas podría ser entre 0.05s y 20s. La aproximación unidimensional

wu p− propuesta por Zienkiewicz et al. (1980) fue

extendida posteriormente al estudio de la respuesta de un medio poroso bajo la acción de un oleaje bidimensional (Jeng et al. 1999; Jeng y Rahman 2000). El fondo marino se consideró de espesor tanto finito como infinito. Se encontró que la diferencia relativa entre la aproximación

wu p− y la solución quasiestática podía alcanzar el 17 % de la

amplitud de la presión de ola. Más recientemente, Pastor et al. (2006) emplearon la aproximación

wu p− como modelo

de acoplamiento entre el fluido intersticial y el esqueleto de suelo en un estudio bidimensional de la respuesta de la cimentación de una estructura marina. En el caso analizado se consideraron suelos marinos saturados, pudiéndose extender fácilmente al estudio de suelos ligeramente no saturados. La aproximación

wu p− empleada provenía

del trabajo realizado por Zienkiewicz y Shiomi (1984), los cuales desarrollaron una formulación general tridimensional permitiendo no solo incorporar los términos de inercia, si no además tratar materiales con comportamiento no lineal. Si además de incorporar los términos de inercia asociados al esqueleto del suelo consideramos la inercia asociada al fluido intersticial obtenemos la formulación

wu w p− − . Tal y como estudió Zienkiewicz et al. (1980) y Zienkiewicz y Shiomi

(1984), la principal diferencia entre la formulación w

u w p− − y la formulación w

u p−

radica en que los resultados obtenidos por la formulación w

u p− dejan de ser precisos al

considerar procesos de carga de muy alta frecuencia, es decir, de un período inferior a 0.05seg en condiciones del terreno saturadas. Empleando un marco similar al trabajo realizado por Zienkiewicz et al. (1980), Jeng y Rahman así como Cha y colaboradores investigaron los efectos del comportamiento dinámico en la respuesta del terreno inducida por el oleaje en un análisis bidimensional. Aunque la solución dinámica proporcionaba mejores predicciones de la respuesta del terreno inducida por el oleaje, esta era muy larga y difícil de aplicar en la práctica de la ingeniería (Jeng y Rahman 2001; Cha et al. 2002). Una de las cuestiones más importantes a resolver en relación a la respuesta del terreno ante la acción del oleaje es saber cuando es necesario el empleo de términos inerciales en los modelos poro-elásticos presentados en los epígrafes anteriores. Fueron Zienkiewicz et al (1980) los que respondieron por primera vez a esta cuestión indicando que no era necesario incluir ningún término de inercia en el análisis de la respuesta de un lecho marino ante la acción del oleaje. Como ya se ha visto con anterioridad, Jeng et

Capítulo 2. Estado del Arte

20

al. (1999) así como Jeng y Cha (2003) mostraron sus dudas respecto a esta respuesta debido a que no tenía en cuanta las diversas características que podía tener un fondo marino. Jeng et al. (1999) trabajando en el marco propuesto por Zienkiewicz et al (1980) analizaron el rango de aplicación de cada uno de los modelos a la respuesta del lecho marino ante la acción del oleaje a través de los parámetros adimensionales:

2

1 2

2 2

2 2

kc

c

c

g L

L

c

β ωω

∗

∗

⋅Π =⋅ ⋅ ⋅⋅Π =

(2.14)

Donde g representa la aceleración de la gravedad, k es la permeabilidad, L∗ es la longitud característica del problema físico, considerada habitualmente como la mitad de la longitud de onda de la ola progresiva,

wβ ρ ρ= , 2 Tω π= , siendo T el período de

la ola progresiva y 2

cc la velocidad de la onda de compresión dada por la expresión

(2.15).

2

4

3w

c

KK G

nc

ρ

+ + = (2.15)

En la expresión (2.15) observamos como la velocidad de la onda de compresión

cV

depende directamente del módulo volumétrico del fluido intersticial w

K , de la

porosidad n , del módulo tangencial, G , y volumétrico, K , del terreno así como del coeficiente de Poisson υ . La velocidad de una onda de compresión depende del grado de saturación y de la profundidad del lecho marino vía el módulo de compresibilidad del fluido, ya que en el trabajo de Jeng et al. (1999) el módulo volumétrico del fluido queda definido por

0

1 1 1r

w w w

S

K K dγ−= +

⋅ (2.16)

siendo

0wK el módulo volumétrico del agua pura,

rS el grado de saturación y d la

profundidad del lecho marino. En la Figura 2. 5 se puede apreciar la dependencia de la velocidad de las ondas de compresión y el grado de saturación para varias profundidades del lecho marino.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

21

Figura 2. 5 Relación entre la velocidad de las ondas de compresión y el grado de saturación para varias

profundidades de agua

En este ejemplo los valores considerados para el resto de los parámetros relevantes fueron 3 25 10 /G kN m= ⋅ , 0.35υ = , 0.4n = . Tal y como se aprecia en esta figura, la velocidad de la onda de compresión aumenta claramente cuando las condiciones se acercan a las de un terreno saturado. El valor empleado por Zienkiewicz et al (1980) también aparece en la figura, el cual es claramente inadecuado para suelos no saturados. Es importante resaltar que en los suelos marinos, el grado de saturación puede variar entre 0.9 y 1. Para comparar los distintos modelos poro-elásticos, Jeng y Cha (2003) variaron las características del oleaje y del suelo en distintos ejemplos numéricos. Debido a que la mayoría de las características relativas al suelo y al oleaje pueden ser representados a través de los parámetros adimensionales

1Π y

2Π y sabiendo que, a través de los

cálculos numéricos realizados, la permeabilidad y el grado de saturación son los parámetros más importantes en la respuesta de un lecho poro-elástico derivado de la acción de un oleaje lineal, la relación entre

1Π y

2Π en función de estos dos parámetros

fue investigada primero, tal y como se muestra en la Figura 2. 6 a) y b).

c c (m

/seg)

Capítulo 2. Estado del Arte

22

Figura 2. 6 Relación entre 1 2 y Π Π para (a) varias permeabilidades y (b) distientos grados de

saturación.

Dado un caso particular, con unas determinas condiciones de oleaje y unos parámetros concretos de suelo, obtenemos unos valores concretos para

1Π y

2Π . Si el punto

obtenido está por encima de la curva correspondiente en la Figura 2. 6 a) y b), es necesario considerar un comportamiento dinámico del terreno. En caso contrario, un modelo quasiestático será suficiente. Es de notar que las curvas borde mostradas en la Figura 2. 6 a) y b) se basan en una diferencia relativa del 3% entre el modelo quasiestático y el dinámico. Como se puede apreciar en estas figuras, la influencia de la permeabilidad es más significativa a la hora de establecer estas curvas borde que el grado de saturación. Así, se podría emplear la permeabilidad como otro parámetro de control. Basándose en los análisis anteriores, Cha et al. (2002) expuso que el comportamiento dinámico del terreno afecta a la magnitud de la tensión efectiva inducida por el oleaje al considerar aguas someras, períodos largos y olas de gran altura, ya que estos tres casos proporcionan valores de los parámetros

1Π y

2Π por encima de la curva borde mostrada

en la Figura 2. 6 a) y b). Para poder facilitar la decisión entre emplear un modelo dinámico o quasiestático en la práctica de la ingeniería, Jeng y Cha (2003) determinaron un procedimiento para obtener estas curvas borde. Para ello examinaron la relación entre estas curvas borde y la permeabilidad a través de la expresión (2.17)

1 2

mCΠ = ⋅Π (2.17)

Los coeficientes C y m en la expresión (2.17) pueden ser ajustados respecto a la permeabilidad, tal y como se puede apreciar en la Figura 2. 7 a) y b).

kz=10-1m/seg

kz=15 ⋅ 10-2m/seg kz=10

-2m/seg kz=10

-3m/seg kz=10

-4m/seg

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

23

Figura 2. 7 Relación entre los coeficientes a) C y b) m con la permeabilidad del suelo

Tal y como se muestra en la Figura 2. 7 a) y b), el coeficiente C puede ser representado en términos de la permeabilidad a través de la expresión 0.53560.0298 ( )C k= ⋅ mientras que m puede ser considerada constante 0.5356m = − . Así, el procedimiento sugerido por Jeng y Cha (2003) para obtener las curvas borde entre el comportamiento dinámico y quasiestático del terreno sería:

1. Calcular las constantes dinámicas 1

Π y 2

Π a través de los parámetros del suelo

y del oleaje. 2. Basándonos en la permeabilidad del terreno obtener el valor de C empleando la

Figura 2. 7. 3. Sustituyendo los valores de C y m en la ecuación (2.17) determinar el límite

entre el comportamiento dinámico y quasiestático. 4. Basándonos en los valores obtenidos de

1Π y

2Π en el primer punto de esta

metodología, determinar si se necesita o no emplear un comportamiento dinámico.

Si se aplica esta metodología a una caso concreto en el que una ola de período 3T seg= progresa en aguas someras sobre un lecho marino arcilloso saturado, en el que la velocidad de la onda de compresión está gobernada por la compresibilidad del fluido intersticial, es decir 1000

cc m s≅ , y la permeabilidad es baja, 7k 10 m s−≅ , se tiene la

situación que aparece en la Figura 2. 8, por lo que sería necesario considerar un comportamiento dinámico del terreno.

0.53560.0298 kz

C = ⋅ 0.5356m = −

Capítulo 2. Estado del Arte

24

Figura 2. 8 Parámetros adimensionales 1

Π y 2

Π para oleaje propagándose en aguas someras sobre un

lecho marino arcilloso saturado.

La metodología presentada por Jeng y Cha en 2003 es de gran utilidad para la práctica de la ingeniería, sin embargo, el comportamiento supuesto para el suelo es poro-elástico, introduciendo una limitación importante en el análisis (Pastor et al. 2006). De hecho, el mismo Jeng (2003), aclara que debido a que el desarrollo de modelos poro-elastoplásticos para representar la respuesta del terreno bajo la acción de un oleaje progresivo está en su fase inicial, no los considera en sus estudios comparativos. También es interesante resaltar que en la mayoría de los trabajos presentados hasta ahora en este estado del arte, hablan de suelos arenosos con distinto tamaño de grano. Para argumentar la representación de este tipo de suelo, se basan en el valor adjudicado a los parámetros elásticos así como a los valores de la permeabilidad, sin tener en cuenta el comportamiento tensodeformacional característico de este tipo de suelos. Esta limitación en los modelos teóricos existentes es el principal motivo por el que no se ha podido abordar, hasta estos últimos años, aspectos relacionados con el deterioro de la resistencia al corte, degradación de la rigidez, acumulación de los excesos de presión de poros así como de deformaciones permanentes del lecho marino. Modelos poro-elastoplásticos

Los modelos presentados hasta ahora, se enmarcan dentro de un comportamiento poro-elástico lineal, pudiendo dar lugar a errores debido a que la respuesta habitual de un terreno es principalmente no lineal y no conservativa. Recientemente se han desarrollado diversos modelos poro-elastoplásticos aplicables al estudio de la respuesta de un lecho marino ante la acción del oleaje. Estos modelos proporcionan mejores predicciones sobre la influencia del oleaje en la estabilidad del lecho marino. El problema principal que se presenta es que la ecuación constitutiva debe ser capaz de reproducir el comportamiento del suelo bajo cargas cíclicas, es decir, debería poder reproducir la posible degradación del terreno plasmada en un cambio gradual de la resistencia y rigidez, provocado por la acción de cargas repetitivas. Esta degradación puede llegar a causar la inestabilidad no solo del lecho marino si no también, y en especial, de las construcciones costeras que yacen sobre éste. La elección del modelo constitutivo adecuado, representado por la ecuación (2.4), es un aspecto clave para conseguir una buena aproximación respecto al comportamiento del suelo ante distintos estados de carga. Los modelos más frecuentemente empleados en

1Π

2Π

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

25

los cálculos realizados en geotecnia pueden dar lugar a errores ya que incorporan limitaciones importantes para poder simular adecuadamente la respuesta del terreno. Debido a su simplicidad, el modelo elástico lineal isótropo ha sido empleado ampliamente en la mecánica de suelos convencional, permitiendo resolver analíticamente distintos problemas de contorno. Un análisis elástico, puede ser suficiente en problemas de deformación en los que los valores de tensión y deformación sean bajos, es decir, en los que la estructura geotécnica se haya bajo cargas muy inferiores a las necesarias para alcanzar condiciones de rotura (Wood 2004). Puede ser también útil para proporcionar una primera estimación de la solución y para calibrar aproximaciones numéricas a problemas con soluciones analíticas disponibles. Por otra parte, el modelo elástico lineal no es capaz de reproducir algunas de las características más importantes del comportamiento real del suelo. Estas propiedades asociadas al tensor constitutivo tangente de componentes

ijklD pueden apreciarse a

través del esquema de comportamiento de la Figura 2. 9 de un ensayo uniaxial de carga-descarga-recarga.

Figura 2. 9 Esquema del comportamiento tensodeformacional general en geomateriales.

En este caso

ijklD es un escalar igual a la pendiente en cada punto considerado de la

curva. Podemos apreciar los siguientes aspectos:

− La pendiente depende del estado tensional, siendo menor cuanto mayor es el estado tensional.

− Comparando las pendientes en los puntos A1, A2 y A3, observamos que no son

iguales, luego ijkl

D depende de la historia pasada, es decir, es

termodinámicamente no conservativo.

− Analizando el punto P, vemos que existen diferentes pendientes para la carga y para la descarga, implicando la dependencia de

ijklD respecto a la dirección de

los incrementos de tensión. Es importante destacar que esta dependencia es solo respecto a la dirección y no respecto a la magnitud del incremento de tensiones

Capítulo 2. Estado del Arte

26

ya que ijkl

D es una función homogénea1 de grado cero respecto a dicho

incremento. Los modelos elastoplásticos clásicos tipo Von Mises, Drucker-Prager, Mohr-Coulomb, etc. incorporan superficies de fluencia que en realidad no son tales, sino superficies de rotura al no definir en estos modelos una ley de endurecimiento o reblandecimiento. Estos modelos no consideran la historia de deformaciones, por lo que no podrán distinguir entre carga primaria, descarga y recarga dentro de la superficie de fluencia. Otro inconveniente de este tipo de modelos es que no pueden reproducir deformaciones plásticas o aumentos de presión intersticial bajo trayectorias de tensiones tales como carga hidrostática o edométrica. Los modelos tipo “Cam-Clay” evitan el problema de las deformaciones plásticas derivadas de una carga isótropa, al considerar una superficie de fluencia cerrada. Este tipo de modelos se han mostrado precisos a la hora de predecir el comportamiento de arcillas bajo una carga monótona en la que el nivel tensional aumenta. Sin embargo, las predicciones no llegan a ser tan satisfactorias cuando el terreno se ve sometido a cargas repetitivas. En concreto, cuando una arcilla saturada se ve sometida a ciclos de carga-descarga-recarga, las deformaciones permanentes aparecen con anterioridad a lo predicho por el modelo de Cam-Clay . Carter y colaboradores interpretaron en 1982 este aspecto indicando que la posición y la forma de la superficie de fluencia podían quedar afectadas de alguna manera por la descarga (Carter et al. 1982). Es claro que todos los modelos basados en la teoría clásica de la plasticidad no permiten reproducir las deformaciones plásticas que aparecen bajo cargas cíclicas, debido a que tras un primer ciclo de aplicación de carga, lo ciclos siguientes tienen lugar en el interior de la superficie de fluencia, y por lo tanto las deformaciones son elásticas. Para evitar esta problemática existen varias alternativas entre las que se encuentran el modelo re-modificado de Cam-Clay, la plasticidad con endurecimiento plástico-cinemático, modelos con múltiples superficies de fluencia, modelos de burbuja y la plasticidad generalizada. El modelo re-modificado de Cam-Clay propuesto por Carter et al. (1982) asume la forma de la superficie de fluencia del modelo Cam-Clay, pero el tamaño de esta se reduce de forma isótropa por la descarga elástica, disminuyendo la presión de preconsolidación en este proceso. Las predicciones realizadas con este modelo se mostraron cualitativamente correctas, sin embargo, debido a la escasa sofisticación del mismo, no pudo llegar a reproducir de una forma cuantitativamente precisa algunos de los aspectos del comportamiento real de una arcilla bajo carga cíclica. En el modelo de plasticidad con endurecimiento plástico-cinemático, el endurecimiento plástico, habitualmente isótropo, está asociado con una traslación pura de la superficie de fluencia. Este modelo permite reproducir el comportamiento irreversible del material bajo carga cíclica, sin embargo, debido a que la cinemática de la superficie de fluencia se formula a través de ecuaciones de evolución de las variables internas de estado, este

1 Una función ( )φ ⋅ definida en ( )1N NΩ⊂ ≥ℝ es homogénea de grado m si se cumple la siguiente

condición: ( ) ( )mx xφ ξ ξ φ= para todo 0ξ > y x∈Ω

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

27

modelo de plasticidad presenta dificultades de carácter numérico (Simo y Hughes 1998). En los modelos con múltiples superficies de fluencia, propuestos inicialmente por Mroz en 1967 para metales (Mroz 1967) y posteriormente extendida para suelos (Mroz y Norris 1982), se consideran un número finito de superficies de fluencia, unas dentro de otras, las cuales se van activando a medida que el camino de tensiones las va tocando y arrastrando (endurecimiento cinemático). La superficie de fluencia de menor tamaño, la cual está contenida dentro de las demás, contiene el dominio elástico. En este modelo existe una transición gradual desde el estado inicial puramente elástico al estado puramente plástico en el borde límite. Sin embargo, el elevado número de parámetros que se requieren para definir cada una de las superficies de fluencia y su movimiento llevó a los investigadores de esta especialidad a reducir el número de superficies de fluencia a dos, obteniendo los modelos de superficie frontera (Bounding surface models). En los modelos de superficie frontera (Dafalias 1975; Krieg 1975; Dafalias y Popov 1975) la superficie de fluencia interna está circundada por una superficie de fluencia frontera representando un flujo plástico puro. Esta superficie frontera conserva la mayoría de las propiedades de una superficie de fluencia convencional, sin embargo, mientras que las deformaciones plásticas se permiten dentro de esta superficie esto no es posible dentro de una superficie de fluencia convencional, tal y como sucede en la superficie interna de este modelo. Un ejemplo de este tipo de modelos es el modelo MIT-E3 (Whittle y Kavvadas 1994). Los modelos de burbuja se pueden considerar como un desarrollo subsiguiente sobre los modelos de superficie frontera. Aunque estos últimos son unos modelos muy eficientes a la hora de capturar el comportamiento del suelo, siguen mostrando ciertas deficiencias en relación con las cargas cíclicas y el comportamiento por histéresis del terreno dentro de la superficie frontera. Durante la descarga el modelo asume un comportamiento elástico, mientras que el terreno suele mostrar un comportamiento elástico muy limitado antes de que la fluencia en descarga sea alcanzada. Para poder mejorar este comportamiento, Al-Tabbaa así como Al-Tabbaa y Wood introdujeron una pequeña superficie de fluencia cinemática, llamada burbuja, dentro de la superficie frontera. El comportamiento elástico solo está definido dentro de la burbuja, y su movimiento está gobernado por una ley cinemática de endurecimiento implicando su arrastre por el estado tensional (Al-Tabbaa 1987; Al-Tabbaa y Wood 1989). En los modelos constitutivos elastoplásticos hasta ahora presentados, se asume la existencia de una superficie de fluencia y una superficie potencial, permitiendo la expansión o disminución de la primera de estas superficies a medida que el material se endurece o reblandece. Estos conceptos, son básicos en la teoría clásica de la plasticidad, sin embargo, no son entidades estrictamente necesarias, tal y como dejaron patente los trabajos iniciales de Zienkiewicz y Mroz en 1984 introduciendo la plasticidad generalizada (Zienkiewicz y Mroz 1984), posteriormente extendida por Pastor y colaboradores para reproducir el comportamiento de suelos bajo carga cíclica (Pastor et al. 1985; Pastor et al. 1987; Pastor et al. 1990). La idea básica de la teoría generalizada de la plasticidad es formular una ley en cuyo marco se puedan incorporar deformaciones plásticas dentro de la superficie de fluencia,

Capítulo 2. Estado del Arte

28

para ello no se definen explícitamente ni superficies de fluencia ni superficies de potencial plástico, si no unas direcciones en el espacio tensional que coinciden con los gradientes de estas. Los aspectos más importantes de la teoría generalizada de la plasticidad serán destacados en el tercer capítulo de la presente Tesis Doctoral, ya que debido a su sencillez y al grado de aproximación conseguido en sus predicciones, ha sido el marco teórico seleccionado para el comportamiento constitutivo incorporado en el modelo propuesto. Para una descripción más detallada de cada uno de los modelos constitutivos empleados en geomateriales se remite al lector a la literatura especializada (Potts et al. 2002; Zienkiewicz et al. 1999; Wood 2004; Zienkiewicz y Taylor 2000). Debido a que los modelos poro-elastoplásticos son mucho más complejos que los modelos poro-elásticos hasta la fecha sólo se han publicado un escaso número de investigaciones con modelos constitutivos avanzados, especialmente a la hora de abordar la problemática relacionada con la interacción oleaje-lecho marino. Sekiguchi y colaboradores pueden haber sido los primeros en derivar una solución analítica para estudiar la respuesta de un lecho marino poro-elastoplástico bajo la acción de un oleaje empleando para ello la transformada de Laplace (Sekiguchi et al. 1995). En su trabajo se demostraba claramente la diferencia entre los modelos poro-elásticos y poro-elastoplásticos. Además, los resultados proporcionados por su modelo se ajustaban bastante bien a los obtenidos a través de ensayos de centrifugado. Sin embargo, su modelo estaba basado en la suposición de considerar que el espesor del lecho marino era muy inferior que la longitud de onda de la ola, aspecto que es cuestionable. A través de un modelo constitutivo no asociativo elastoplástico de superficie frontera (bounding surface), Yang y Poorooshasb desarrollaron un código numérico para investigar la respuesta de un lecho marino ante la acción de un oleaje estacionario (Yang y Poorooshasb 1997). Su modelo demostraba la influencia significativa de la permeabilidad en la respuesta del lecho marino ante la acción del oleaje. Sin embargo, no se desarrollaron estudios comparativos entre la parte elástica y plástica del modelo, por lo que la importancia del modelo plástico no quedó aclarada. Li et al. (2002) establecieron un modelo poro-elastoplástico para analizar la respuesta de un medio poroso saturado ante la acción del oleaje, empleando el criterio de Druker –Prager para describir el comportamiento elastoplástico no lineal del esqueleto dependiente de la tensión media. Basándose en este modelo, investigaron la posible inestabilidad del lecho marino bajo la acción de una ola progresando sobre el fondo y concluyeron que la inestabilidad oscilatoria puede ocurrir con anterioridad a la discontinuidad estacionaria solo si la desviación derivada de la tensión efectiva normal a la superficie de discontinuidad es de compresión. Más recientemente, Pastor et al. (2006) propusieron un modelo poro-elastoplástico basado en la teoría generalizada de la plasticidad (Pastor et al. 1990), con el que analizaron la posible licuefacción de suelos arenosos inducida por acción del oleaje. En este estudio los resultados proporcionados por el modelo fueron comparados con ensayos de máquina centrífuga, mostrando un juste bastante bueno. Además, se

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

29

presentaba la diferencia existente entre el empleo del modelo poro-elástico y el poro-elastoplástico, dejando en evidencia las limitaciones del modelo conservativo. Aparte de los modelos poro-elastoplásticos empleados en el análisis de la respuesta de un lecho marino ante la acción del oleaje, es importante destacar la existencia de otros modelos poro-elastoplásticos desarrollados recientemente para modelar el comportamiento tensodeformacional de medios porosos, los cuales aún no han sido incorporados en estudios de la dinámica de un lecho marino. Entre estos trabajos, es importante destacar el desarrollado por Elgamal y colaboradores (Elgamal et al. 2002) desarrollaron una implementación de la formulación

wu p− incorporando el modelo

constitutivo con múltiples superficies de fluencia de Prevost (Prevost 1985).Taiebat y colaboradores incorporaron en 2007 el modelo constitutivo de Manzari y Dafalias (1997) en la formulación

wu p− , obteniendo unos resultados que estaban en

concordancia con los datos obtenidos en el proyecto VELASC (Taiebad et al. 2007). (Cheng et al. 2007) estudiaron el fenómeno de la licuefacción así como la degradación en arenas, incorporando en la formulación

wu w p− − el modelo constitutivo de estado

crítico con doble superficie de fluencia desarrollado por Dafalias y Manzari (Dafalias y Manzari 2004).

2.2.4. Aplicación de técnicas numéricas para resolver los modelos teóricos

existentes para analizar la respuesta de un lecho marino inducida por el oleaje sin

presencia de estructuras marítimas.

Los métodos numéricos, incluyendo el método de las diferencias finitas, el método de los elementos finitos y el método de los elementos borde, han sido empleados por distintos investigadores para proporcionar soluciones aproximadas a los modelos teóricos existentes desarrollados para analizar la respuesta del terreno derivada de la acción del oleaje. Respecto al método de las diferencias finitas cabe resaltar el trabajo de Magda (Magda 1990) al desarrollar un modelo unidimensional para el estudio de la presión de poros derivada de la acción del oleaje en un lecho marino saturado arenoso. Magda concluyó que el desfase temporal en la generación de la presión de poros está dominado por el grado de saturación, la compresibilidad del terreno y su permeabilidad. Zen y Yamazaki simplificaron el problema de contorno bidimensional a uno unidimensional, basándose en la hipótesis de considerar el espesor del lecho marino muy pequeño en comparación con la longitud de onda. El modelo numérico que desarrollaron, basado en el método de las diferencias finitas, sólo se podía aplicar a una única capa de lecho marino poroso (Zen y Yamazaki 1990). Basándose en las soluciones analíticas propuestas por Sumer y Cheng (Sumer y Cheng 1999), Cheng y colaboradores desarrollaron un modelo basado en el método de diferencias finitas para investigar el desarrollo de las presiones de poros en un lecho marino y debidas a la acción del oleaje (Cheng et al. 2001). Concluyeron que la evolución de las presiones de poros es más sensible a las tensiones tangenciales cerca de

Capítulo 2. Estado del Arte

30

la superficie del fondo marino al considerar una columna de suelo profunda. Cabe destacar que las ecuaciones de gobierno empleadas para la presión de poros son unidimensionales, mientras que las tensiones tangenciales requeridas para su modelo de presión de poros fueron obtenidas a través de la teoría de la consolidación de Biot bidimensional. Gatmari desarrolló un modelo simplificado basándose en el método de los elementos finitos para analizar el comportamiento de las tensiones efectivas y de las presiones de poros en un medio poroso isótropo saturado (Gatmiri 1990). Dos importantes conclusiones fueron expuestas en su trabajo. En primer lugar, existe un espesor crítico del lecho marino, alrededor de 0.2 veces la longitud de onda de la ola, en el que el movimiento horizontal del esqueleto de suelo es máximo y donde los procesos de inestabilidad tienen lugar. En segundo lugar, la respuesta del suelo depende de las características físicas del terreno incluso estando saturado en un condiciones hidráulicas isótropas con espesor finito. Este resultado completaba la solución obtenida por Okusa (1985) para lechos marinos de espesor infinito. Sin embargo, la tendencia general de la distribución de presiones respecto al espesor del lecho marino en el trabajo de Gatmari (1990) se reveló inconsistente (Jeng y Hsu 1996). Gatmari posteriormente extendió su modelo numérico para considerar la respuesta del terreno en un lecho marino saturado transversalmente isótropo (Gatmiri 1992). Los resultados numéricos obtenidos mostraban que el efecto de los parámetros del suelo que definían el comportamiento transversalmente isótropo era significativo, afectando la respuesta del terreno de varias maneras. En comparación con la anisotropía transversal, el efecto de la anisotropía hidráulica en la permeabilidad en relación a la variación de la tensión efectiva era insignificante. Un posible error puede encontrarse en los trabajos de Gatmari de 1990 y 1992 derivado de la elección de las condiciones de contorno. Las condiciones de contorno laterales empleadas en su modelo para / 0x L = y / 1x L = fueron 0; 0

z wu p= = , mientras que

xu

quedaba libre. Sin embargo, Jeng y Hsu (1996) llegaron a probar que existe un desfase temporal en la respuesta del terreno en lechos marinos de espesor finito completamente saturados. Esto implica que las condiciones de contorno laterales 0; 0

z wu p= = no son

válidas para un lecho marino de profundidad finita. Debido a este aspecto, los resultados obtenidos por Gatmari son algo dudosos. De hacho, esta problemática puede ser resuelta empleando el principio de repetitividad (Zienkiewicz y Scott 1972), tal y como han sugerido Lin y Jeng (2000). Thomas desarrolló un modelo unidimensional basado en el método de los elementos finitos para analizar un lecho marino semisaturado formado por dos capas (Thomas 1989; Thomas 1995). Sus resultados concordaban bastante bien con las soluciones analíticas obtenidas por Yamamoto et al (1987) y por Okusa (1985). A su vez sugirió que los sedimento más rígidos de la capa superior del lecho marino dominaban la respuesta de la capa inferior. En un marco similar a las investigaciones expuestas, Jeng y Lin desarrollaron una serie de modelos unidimensionales para estudiar la respuesta de un lecho marino ante la acción del olaje (Jeng y Lin 1996; Jeng y Lin 1997). Los resultados obtenidos de estos modelos numéricos concordaban satisfactoriamente con los datos experimentales y las soluciones analíticas obtenidas hasta la fecha. En estos modelos presentados por Jeng y

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

31

colaboradores, tanto la permeabilidad como el módulo tangencial se consideraban dependientes de la profundidad. Jeng y Lin (1997) consideraron la influencia de la componente no lineal del oleaje en la respuesta del terreno. Más aún, posteriormente, Jeng y Lin examinaron el efecto combinado de la anisotropía transversal y la no homogeneidad de las características del terreno (Jeng y Lin 1998; Jeng y Lin 2000). La ventaja del modelo unidimensional expuesto en los párrafos anteriores es su reducido coste computacional en relación al tiempo de cálculo. Sin embargo, estos modelos unidimensionales no pueden ser empleados para analizar una estructura marítima. Debido a esta limitación, Jeng y Lin (1998) así como Lin y Jeng (2000) desarrollaron modelos bidimensionales empleando el principio de repetitividad presentado por Zienkiewicz y Scoot (1972). Más recientemente, Pastor et al. (2006) analizaron el caso unidimensional de un estrato de suelo de extensión infinita sometido a fuerzas debidas a un oleaje lineal, a través del programa de elementos finitos GeHoMadrid. Los resultados numéricos obtenidos se ajustaban bastante bien a distintas expresiones analíticas existentes en la literatura.

Capítulo 2. Estado del Arte

32

2.3. Dinámica de un lecho marino subyacente y en las inmediaciones

de una estructura marina.

2.3.1. Introducción

Los estudios presentados en el apartado anterior están limitados a la interacción entre el oleaje y el lecho marino sin la presencia de estructuras marítimas en las inmediaciones. En el presente capítulo se aborda la problemática asociada al análisis de la respuesta de un lecho marino subyacente y en las inmediaciones de una estructura marítima e inducida por el oleaje. La protección de los entornos costeros marinos es un aspecto de vital importancia. Las estructuras marinas, como los diques verticales de cajones, son empleadas habitualmente para este tipo de protecciones. Aunque la protección de estructuras marítimas ha sido muy estudiada en años recientes, el entendimiento de la interacción de este tipo de construcciones con el oleaje y con el lecho marino está lejos de ser completo. Diversos daños en estructuras marítimas siguen ocurriendo de tanto en tanto, presentando dos modos generales de fallo. El primero de ellos está asociado con el fallo de la estructura y es causado por la fuerza del oleaje actuando sobre la estructura y dañándola. El segundo modo está asociado con el fallo de la cimentación principalmente por licuefacción o por superar la resistencia al corte del terreno, pudiendo conllevar el colapso de la estructura (Rahman 1991, 1997). Cuando el exceso de presión de poros aumenta hasta que la tensión efectiva se hace cero la liquefacción puede ocurrir, no solo en arenas sino también en suelos blandos (Galindo 2008). La liquefacción es el estado en el que el material ha perdido toda su resistencia estructural, comportándose como un fluido pesado. Debido a esto, las partículas del suelo se encuentran en un estado de suspensión, pudiendo ser transportadas por el fluido. Este fenómeno, conocido en suelos arenosos y posible en suelos arcillosos sometidos a esfuerzos cíclicos, provoca que cualquier carga externa no pueda ser soportada por el terreno. La liquefacción es una forma extrema de inestabilidad del lecho marino, el cual puede inducir asientos en el terreno. En los epígrafes subsiguientes, se define en primer lugar el concepto de dique vertical, exponiendo sus características y ventajas así como los modos de fallo principales. Seguidamente se exponen los procesos más relevantes asociados a la interacción oleaje-dique vertical-lecho marino, exponiendo a continuación los principales problemas de diseño que presentan las estructuras marinas gravitatorias cimentadas en terrenos arcillosos. Para finalizar este apartado, se presentan las aportaciones más importantes relacionadas con la dinámica asociada a los lechos marinos subyacentes y en las inmediaciones de un dique vertical.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

33

2.3.2. Definición de Dique Vertical

Básicamente existen dos tipologías de diques: los diques en Talud y los diques compuestos verticales. Los diques en Talud están constituidos por piedras con formas diversas y colocadas aleatoriamente en el talud, estando protegidas habitualmente con una capa de bloques de hormigón específicamente diseñados para resistir los envites del oleaje, estos últimos colocados ordenadamente o de forma aleatoria. En la Figura 2. 10 se pueden apreciar algunas de las tipologías más usuales de diques en talud. Funcionalmente los diques en talud disipan la energía incidente del oleaje forzando la rotura de las olas sobre la pendiente, por lo que no producen una reflexión apreciable.

Figura 2. 10 Diques en Talud

Para definir un dique vertical se puede emplear el esquema desarrollado por Suárez Bores (Bores 1979) según el cual, un dique de paramento vertical, monolítico, rígido, de pared impermeable, de comportamiento gravitatorio se caracteriza por la reflexión prácticamente total de la energía del oleaje, sin intentar variar su comportamiento, ni laminarla por transmisión o disipación del impacto, sino, solamente devolviendo como una pared rígida monolítica vertical la acción de trenes sucesivos de olas. En la Figura 2. 11 se pueden apreciar distintos tipologías de dique vertical.

Figura 2. 11 Distintos tipos de Diques Compuestos

Los diques verticales compuestos funcionan como un dique en talud cuando la marea es baja y como una pared vertical cuando la marea es alta. De acuerdo con esta apreciación, la definición de dique vertical no se limita exclusivamente a las estructuras

Capítulo 2. Estado del Arte

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que se establecen directamente sobre el lecho marino, sino que también incluye a las estructuras apoyadas sobre banquetas. El efecto principal de la banqueta de escollera en los diques verticales compuestos es la de distribuir el peso del cajón sobre el lecho marino. Así cuanto más alta sea más repartida se encontrará la carga muerta del cajón. Sin embargo, al aumentar la altura de la banqueta de escollera, se incrementa la intensidad de las presiones de ola sobre el paramento vertical del dique (Takahasi, 1999). Las ventajas del empleo de diques verticales en comparación con los diques en Talud pueden ser resumidas a través de los siguientes aspectos (Franco 1994):

• Los diques verticales suelen ocupar menos volumen por lo que requiere menos cantidad de material para su construcción. Esta es la mayor ventaja de los diques verticales que los hace más económicos, especialmente en aguas profundas.

• Los diques verticales requieren menos mantenimiento en comparación con los diques en talud. Esto es debido principalmente a que los bloques de hormigón empleados en estos últimos necesitan de mantenimiento más frecuente.

• La construcción de los diques verticales suele ser rápida, reduciendo los posibles fallos durante la construcción así como el impacto ambiental. Una vez el cajón ha sido fondeado el dique vertical queda completamente estabilizado. En el caso de los diques con talud es necesario un largo período de tiempo tras la construcción para estabilizar cada una de las capas de las que se compone, pudiendo sufrir algún daño durante dicho período. En los diques verticales se suelta sobre el lecho marino bastante menos material de cantera que el empleado en los diques en talud. De esta forma los daños medioambientales son de menor entidad.

• El proceso de desmontaje es mucho más fácil en el caso de los diques verticales. Además, una vez que el cajón ha sido quitado, los obstáculos que permanecen son menores que en el caso de los diques en talud.

• Aparte de los aspectos antes mencionados, el empleo de los diques verticales puede ser la única solución en zonas donde la disponibilidad de elementos de cantera es limitado.

Debido principalmente a estos aspectos la tipología de dique vertical es una de las más frecuentemente empleadas en la construcción de diques. Por otra parte, dependiendo del equipamiento disponible y de las exigencias medioambientales el dique en talud puede llegar a ser la tipología más adecuada. Los diques verticales generalmente se construyen con cajones flotantes de hormigón armado, los cuales se caracterizan principalmente por los siguientes aspectos:

• Estar constituido por un elemento monolítico, de gravedad, que resiste por peso propio.

• Ser apropiados para fondear en roca y suelos coherentes con elevada capacidad portante. Si el terreno es blando o incoherente, la mejora del mismo puede ser susceptible mediante dragado, vibroflotación, sustitución, precarga, columnas de grava, etc.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

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• Representar un diseño óptimo para colocarlo entre los 10 y 20 metros de lámina de agua. No compite en calados inferiores a 10 metros en los que debe sustituirse por bloques u hormigón sumergido.

• Ser una estructura reflectante que puede prevenir los problemas de agitación interior mediante la utilización de tratamientos auxiliares.

Entre los aspectos menos conocidos de los cajones, cabe destacar los siguientes (Negro 2001):

• Los cajones flotantes suelen estar aligerados mediante celdas con un 25% de hormigón y un 75% de huecos en fase naval (flotación y fondeo), y el mismo porcentaje de relleno en fase estructural.

• Son elementos armados, con una cuantía en función de la naturaleza de las celdas. En celdas rectangulares se supera los 60 Kg/m3, en celdas circulares se sitúa por encima de 40 y 45Kg por metro cúbico. La distribución no es simétrica, siendo en solera próxima a 80 Kg/m3 y en el fuste de 20 Kg/m3. Análogamente, la cuantía varía en función del uso, cajón para dique o cajón para muelle.

• La densidad media de un cajón es de 2,1 a 2,2 t/m3, siendo la del hormigón fuertemente armado de 2,5 t/m3 y la del relleno de 2,1 t/m3. El problema en flotación es extremadamente sensible a la densidad en el aspecto de la estabilidad y su brazo, expresado por la diferencia metacentro-centro de gravedad físico. No se recomiendan hormigones inferiores a HA-30/F/40/III b + Qb +E, de acuerdo con la instrucción de Hormigón Estructural del 20082.

• En España, inventariados a fecha de 1988, había 83Km de cajones. Hoy superan los 100Km de obras de cajones.

• Los cajones se deben calcular previamente a estabilidad naval, es decir, flotación, para posteriormente resistir estructuralmente los esfuerzos con correcto comportamiento geotécnico.

En la Figura 2. 12 se puede apreciar, de forma esquemática, el perfil de un dique vertical de cajones incluyendo, cajón, banqueta de apoyo y terreno de cimentación.

Figura 2. 12 Dique vertical de cajones

2 Según la EHE-08, se trata de hormigón armado de resistencia característica mínima de 30 N/mm2, consistencia fluida, tamaño mínimo de árido de 40mm y ambiente marino sumergido con agresividad química media y posibilidad de erosión.

Capítulo 2. Estado del Arte

36

Los diques verticales tienen unas formas de rotura (modos de fallo) que son específicos de este tipo de obras. A continuación se pasa a analizar aquellos modos de fallo geotécnico adscritos a Estados Límite Últimos más importantes, los cuales quedan recogidos en la Figura 2. 13.

Figura 2. 13 Modos de fallo geotécnico adscritos a Estados Límite Últimos más importantes, asociados a

los dique verticales. ROM 0.5-05.

Para la verificación de la seguridad de los diques verticales frente a los modos de fallo geotécnico, la acción variable predominante es la debida a la acción del oleaje y demás oscilaciones del mar. Los empujes sobre la estructura o cuerpo central del dique y las subpresiones en su cimiento, así como las acciones transmitidas a la banqueta de cimentación y las presiones intersticiales generadas tanto en la banqueta como en el terreno natural por el temporal de cálculo, son de difícil evaluación, siendo necesarios cálculos dinámicos específicos del conjunto suelo-estructura al ser solicitado por dicha acción. El comportamiento dinámico de los diques verticales depende del período y magnitud de la acción del oleaje y, especialmente, de la respuesta del conjunto suelo-estructura al ser solicitado por dicha acción. De acuerdo con lo señalado en la ROM 0.5-05 es particularmente significativo cuando la acción debida al oleaje tenga un período próximo a alguno de los períodos naturales de oscilación del conjunto suelo-estructura. De forma habitual, los modos principales de oscilación considerados en un dique vertical son el desplazamiento horizontal

xm y la rotación respecto a un centro elevado

mθ , tal y como se recoge en la Figura 2. 14.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

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Figura 2. 14 Modos naturales de oscilación habitualmente considerados en sistemas masa-muelle-

amortiguador asociados a un dique vertical de cajones.

Los períodos asociados a estos modos naturales de oscilación, T y T

x θ son función de la

matriz de masas simétrica de 2x2 xx x

DV

x

M MM

M M

θ

θ θθ

=

y de la matriz de rigidez diagonal

de 2x2 0

0xx

DV

KK

Kθθ

=

. La matriz de masas DV

M se obtiene al considerar la masa del

cajón,cajon

M , la masa hidrodinámica, hidro

M , y la masa geodinámica, geo

M , (Lamberti,

1999). Cuando un cajón es sometido a la acción impulsiva del oleaje, cierta cantidad de agua se ve forzada a moverse con la estructura. Esta masa de agua es conocida como masa hidrodinámica (

hidroM ) y ha de ser tenida en cuenta a la hora de calcular los períodos

naturales de oscilación, pudiéndose estimar a través de distintas expresiones teóricas (Cooker 1990) y empíricas (Oumeraci 1992). Esta masa puede llegar a ser el 50% de la masa del cajón (Oumeraci y Kortenhaus 1994). De igual forma, cuando un cajón exhibe movimientos oscilatorios, cierta cantidad de masa de suelo subyacente a la estructura se ve forzada a moverse con este. Esta masa de suelo es conocida como masa geodinámica (

geoM ) y ha de ser tenida en cuenta a la hora

de calcular los períodos naturales de oscilación, pudiéndose estimar a través de distintas expresiones teóricas (Whitman, 1976). Esta masa puede llegar a ser el 15% de la masa del cajón (Lamberti, 1999).

mθ

xm

Capítulo 2. Estado del Arte

38

Las frecuencias asociadas a cada modo de oscilación se pueden calcular a través de la expresión (2.18)

( ) ( )

( )

2 22

22

4

2

xx xx xx xx x xxx

xx x

M K M K M K M K M K K

M M M

θθ θθ θθ θθ θ θθ

θ θθ θ

ωω

+ − + = ⋅ −

∓ (2.18)

Donde

xω es la frecuencia del modo horizontal de oscilación, correspondiente al signo –

en la expresión (2.18), mientras que θω es la frecuencia del modo de giro,

correspondiente al signo + en la expresión (2.18). De esta forma, los períodos naturales asociados a las frecuencias

xω y θω pueden

estimarse a través de la formulación (2.19)

x

2 2T ; T

x

θ

θ

π πω ω

= = (2.19)

En general, los diques verticales suelen tener periodos naturales de oscilación en el rango entre 0.2 y 2 segundos, muy alejados de los periodos asociados a un oleaje estacionario. Sin embargo, son muy próximos a los correspondientes a la respuesta de la estructura frente a la acción impulsiva asociada a la acción de olajes en condiciones de rotura, por lo que únicamente en estos casos son esperables comportamientos dinámicos significativos de los diques verticales (Soriano et al. 2005b).

2.3.3. Procesos más relevantes asociados a la interacción oleaje-dique vertical-

lecho marino.

La generación y acumulación de presión de poros en un lecho marino, subyacente a un dique vertical de cajones, depende del tipo de oleaje y de las cargas inducidas por este así como de una serie de parámetros que describen el dique vertical y su cimentación. La respuesta de un lecho marino subyacente y en las inmediaciones de un dique vertical puede ser descompuesta en dos modos diferentes, a saber, un modo debido al movimiento del oleaje y otro debido al movimiento del cajón. Ambos modos pueden verse de forma esquemática en la Figura 2. 15.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

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Figura 2. 15 Procesos y parámetros asociados con la generación y acumulación de presión de poros en un

lecho marino subyacente a un dique vertical sometido a la acción del oleaje. (Kudella et. al, 2006).

La superposición de estos modos proporcionará la carga resultante en la superficie del lecho marino a través del oleaje frente a la estructura y su interacción con el dique vertical, tal y como se puede apreciar en la Figura 2. 15 (b), (e) y (g).

Capítulo 2. Estado del Arte

40

El modo debido al movimiento del oleaje, recogido en la Figura 2. 15 (b), se caracteriza por la presión de agua dependiente del tiempo ( ),0,

wp x t en la superficie del lecho

marino, gobernado principalmente por la profundidad de agua y los parámetros del oleaje, tal y como se muestra en la Figura 2. 15 (a). Para la transmisión del modo debido al oleaje a través de la banqueta de escollera, ( ),0,

wp x t dependerá a su vez de la

geometría y porosidad n de la banqueta de escollera. El modo debido al movimiento del cajón, expuesto en la Figura 2. 15 (e), está condicionado por la carga ejercida por el oleaje sobre el cajón [Figura 2. 15 (c)], así como por las características estructurales del cajón como de la cimentación [Figura 2. 15 (d)]. La fuerza ejercida por el oleaje sobre un dique vertical puede variar de cargas debidas a olas cuasiestacionarias, cíclicas y de baja frecuencia, hasta cargas impulsivas de alta frecuencia debidas a la rotura de la ola sobre el dique vertical. Dependiendo de la magnitud, duración y frecuencia de estas cargas, así como de las características dinámicas de la estructura y de la cimentación, Figura 2. 15 (d), el cajón puede llegar a experimentar movimientos oscilatorios y/o desplazamiento permanente (Oumeraci, 2001). Los movimientos oscilatorios del cajón, principalmente aquellos que se dan en dirección vertical, pueden afectar el desarrollo de la subpresión bajo el cajón y por consiguiente el desarrollo de presión de poros en la banqueta de escollera (Oumeraci, 2001). Estos movimientos del cajón son transmitidos a la superficie del lecho marino en forma tensiones totales dependientes del tiempo ( ),0,x tσ , consistentes en tensiones

efectivas ( ),0,z

x tσ ′ y presiones de poros ( ),0,c

wp x t dentro de la banqueta de escollera

inducidas por el movimiento del cajón. Los movimientos verticales y de rotación del cajón inducirán variaciones de las tensiones totales ( ),0,x tσ y tangenciales ( ),0,

zxx tτ ,

mientras que los movimientos horizontales inducirán tensión tangenciales ( ),0,zx

x tτ en

la superficie del lecho marino, tal y como se puede apreciar en la Figura 2. 15 (e). Así, las tensiones totales transitorias ( ),0,x tσ transmitidas a lo largo de la superficie

del lecho marino constan de una serie de componentes:

• Presión de ola ( ),0,w

p x t inducida por el movimiento del oleaje.

• Tensión efectiva vertical ( ),0,z

x tσ ′ inducida por el movimiento del cajón.

• Presión de poros ( ),0,c

wp x t inducida por el movimiento del cajón.

• Tensión tangencial ( ),0,zx

x tτ inducida por el movimiento del cajón.

La tensión total transitoria a lo largo de la superficie del lecho merino, ( ),0,x tσ , es

transmitida al subsuelo como tensión transitoria ( ), ,x z tσ . Esto ocurre virtualmente en

el acto. A partir de unos pocos centímetros bajo la superficie del lecho marino, la distribución de la tensión normal transitoria en dos componentes, presión de poros

( ), ,w

p x z t y tensión efectiva ( ), ,x z tσ ′ , es gobernada por la relación entre el módulo

volumétrico del agua de poros, el módulo volumétrico del esqueleto y la capacidad de

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

41

drenaje, en vez de por la distribución entre ( ),0,w

p x t y ( ),0,z

x tσ ′ en la superficie del

lecho marino. Por otro lado, el desarrollo de la presión de poros residual depende de las condiciones de carga de ola y de las características geomecánicas del terreno que compone el lecho marino, tal y como se puede apreciar en la Figura 2. 15 (f). Los parámetros de los que dependen las características geomecánicas del terreno dependerán a su vez del comportamiento constitutivo seleccionado pora modelizar la relación tensodeformacional del esqueleto del lecho marino. Estos parámetros, no solo dependen entre ellos, si no también del nivel tensional así como de la historia de tensiones. Más aún, existe una fuerte dependencia entre el desarrollo de presiones de poros y los parámetros del terreno. A parte de los movimientos oscilatorios, se pueden llegar a registrar desplazamientos permanentes causados por la acción de una única carga impulsiva de ola, inducida por la rotura de una ola sobre la estructura. Una acumulación escalonada de estos desplazamientos a lo largo de una tormenta pueden conducir a una situación de colapso del dique vertical (Oumeraci et al. 2001).

2.3.4. Principales problemas en el diseño de estructuras marinas gravitatorias

cimentadas en terrenos arcillosos.

La evaluación de la inestabilidad de un lecho marino es un aspecto sumamente importante en el diseño de la cimentación de cualquier estructura marina ya que algunas estructuras han podido llegar a fallar debido a la inestabilidad del lecho marino provocando asentamientos inaceptables (Jeng 2001). La mayoría de las estructuras costeras de hormigón que funcionan por gravedad transmiten por si solas cargas importantes al lecho marino. Estas cargas ya necesitan unas buenas condiciones del terreno para evitar asientos importantes. Sin embargo, las condiciones de carga críticas para una estructura marina de gravedad se dan cuando la carga vertical se combina con elevadas presiones de ola sobre la estructura y los momentos de giro inducidos durante una tormenta severa. En las condiciones más extremas asumidas en el diseño de estructuras de este tipo, la fuerza horizontal máxima puede llegar a ser el 30% del peso sumergido de la estructura, con períodos que varían entre 0.05seg y 20seg. En una tormenta de diseño, solo unas pocas olas ejercen una presión sobre la estructura próxima al valor máximo, siendo la distribución de las alturas de ola, es decir, de presiones de ola, similar a la que aparece en la Figura 2. 16. La aparición de una ola concreta con unas características determinadas es aleatoria, mezclándose olas de diversos tamaños y períodos.

Capítulo 2. Estado del Arte

42

Figura 2. 16 Distribución de la altura de olas, H, para un estado de mar representado por la altura de ola

significativa, Hs.

A lo largo de la vida útil de una estructura marina, violentas tormentas son seguidas por períodos de calma. La distribución de la altura de ola en períodos dilatados de tiempo puede ser descrita a través de relaciones como la que aparece en la Figura 2. 17, en la que se muestra la altura de ola mayor más probable como función del número de olas o del período de tiempo considerado. La línea en el diagrama representa la situación típica en el mar del Norte, donde la altura de ola de diseño asumida para un período de retorno de 100 años es de 30m. Es claro que la gran mayoría de las olas tienen una altura menor que la máxima.

Figura 2. 17 Distribución de la altura de ola en períodos dilatados de tiempo

Las cargas ejercidas sobre la estructura son transmitidas a la cimentación a través de una compleja interacción cimentación-estructura. La tensión transmitida al suelo de la cimentación reflejará la amplitud y la frecuencia de las fuerzas de las olas. La acción de una ola particular provoca cambios del estado tensional en el terreno, primero en una dirección (cresta de la ola) y luego en la otra (seno de la ola). Para un terreno arcilloso, la baja permeabilidad del terreno acompañada de un largo camino de drenaje impedirá la existencia de drenaje a lo largo de tormentas de corta duración. Sin embargo, entre tormentas, puede existir drenaje con el consiguiente cambio de volumen.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

43

El objetivo del análisis de la cimentación de una estructura marina es predecir el comportamiento del terreno de cimentación cuando éste es sometido a una combinación de cargas estáticas muertas y cargas cíclicas de muy diversa amplitud y frecuencia. Determinar las propiedades de resistencia y tensodeformacionales, así como su posible cambio provocado por este tipo de cargas ha de ser tenido en cuenta en el análisis de la cimentación. En la Figura 2. 18 se pone de manifiesto las diversas trayectorias tensionales que pueden seguir las distintas partes del suelo que se encuentra bajo un dique vertical y están sometidas a diversas combinaciones de tensión cíclica y estática.

Figura 2. 18 Camino de tensiones y condiciones de carga simplificadas sufridas por zonas concretas del

suelo bajo un dique vertical en una hipotética superficie de rotura (Andersen 1988).

Analizando la Figura 2. 18 se observa como los equipos de triaxial y corte simple permiten reproducir algunas de las condiciones de carga más representativas, pudiendo proporcionar una información importantísima sobre el comportamiento del terreno. Bajo una combinación ordinaria de cargas estáticas y cíclicas, se pretende conocer la magnitud de los desplazamientos en la base de la estructura. La característica más importante del terreno a este respecto es la relación tensodeformacional la cual define la rigidez y el amortiguamiento de la cimentación. Los parámetros de rigidez y amortiguamiento se emplean en análisis dinámicos del sistema terreno-estructura para predecir parámetros de respuesta dinámica como factores de amplificación de carga, frecuencia de resonancia, etc. Un modo de fallo asociado con los aspectos expuestos en el párrafo anterior puede tener lugar si la tensión tangencial media del terreno derivada de las condiciones de carga más severas, por ejemplo las derivadas de la acción de tormentas y huracanes, alcanza la resistencia al corte. En este caso, una superficie de rotura continua puede llegar a generarse, a lo largo de la cual, las deformaciones son un orden de magnitud mayor que las generadas en el fallo inducido por carga cíclica. Para este modo de fallo la magnitud de los movimientos solo quedan limitadas por la naturaleza transitoria de la carga. Este es el modo de fallo normalmente considerado en un análisis de estabilidad. Bea et al. (1983) describieron el fallo de una plataforma situada en mar abierto siguiendo el esquema del último modo mencionado. El fallo se debió a un corrimiento

Capítulo 2. Estado del Arte

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del lecho marino asociado a la acción de las fuerzas derivadas de un huracán. Tal y como pusieron de manifiesto, el fallo tuvo lugar durante el paso del huracán Camille (agosto de 1969) sobre el delta del río Mississippi. Se llegaron a medir grandes movimientos del terreno que alcanzaron profundidades de hasta 30m, detectando una traslación lateral de sedimentos marinos que excedieron los 1000m. Tres plataformas ubicadas en mar abierto fallaron como resultado de los movimientos del lecho marino y de las fuerzas ejercidas por el huracán. Compararon los resultados de los modelos existentes empleando las aproximaciones de equilibrio límite, elementos finitos y de capa borde viscosa. Tras los análisis comparativos, sugirieron la necesidad de emplear métodos de estado último así como modelos elastoplásticos para sustituir o complementar los modelos elásticos existentes permitiendo un análisis tensional más preciso. Otro problema de gran importancia es la predicción de los asientos sufridos por la estructura a lo largo de períodos dilatados de tiempo. Este tipo de asientos son causados principalmente por la disminución del volumen de la arcilla cuando la presión de poros se relaja. Para calcular este tipo de asientos por consolidación se requiere un conocimiento del tipo de acoplamiento del agua intersticial del suelo de la cimentación con el esqueleto teniendo en cuenta la capacidad de drenar, la posible compresibilidad del agua intersticial, la compresibilidad del esqueleto del suelo y cómo se ve afectada esta última cuando el terreno está sometido de forma intermitente a tensiones tangenciales no drenadas. Si el nivel de tensiones en el terreno de cimentación es elevado, el efecto de un número elevado de cargas repetitivas puede ser el de reducir sustancialmente la rigidez de la cimentación. Esta reducción puede tener lugar en condiciones no drenadas durante la acción de una única tormenta o puede desarrollarse a lo largo de un dilatado período de tiempo como consecuencia de un ablandamiento gradual del terreno. En condiciones de estado límite la rigidez puede llegar a ser tan baja y las deformaciones tan elevadas, que para situaciones prácticas se debe realizar un diseño en condiciones de rotura. Este tipo de fallo por cortante se suele denominar fallo por carga cíclica o simplemente degradación del terreno. Tal y como aclararon Mitchell y Hull (1974), la presión cíclica subyacente a la superficie del lecho marino e inducida por la acción del oleaje causaba el amasado y la consiguiente pérdida de resistencia en sedimentos submarinos de grano fino. La profundidad a la que se podía apreciar las consecuencias del amasado generalmente aumentaba al aumentar la presión bajo el lecho marino. Más aún, en sedimentos en mar abierto formando taludes, el amasado debido a la acción del oleaje conllevaba la inestabilidad de dichos taludes. La profundidad de fallo potencial por corrimiento en los taludes se incrementaba al aumentar la presión bajo el lecho marino, mostrando en general, una alta concordancia con los resultados obtenidos por Henkel (1970). Resumiendo, el análisis de la cimentación de estructuras marinas de gravedad tiene los siguientes problemas principales (Andersen, 1975):

− Riesgo de fallo por carga cíclica o por una carga extrema tras un período de carga cíclica.

− La magnitud y naturaleza de las deformaciones debidas a cargas estáticas y cíclicas.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

45

2.3.5. Revisión de estudios recientes relacionados con la dinámica de un lecho

marino subyacente y en las inmediaciones de un dique vertical.

Hsu et al. (1993) pueden haber sido los primeros en llegar a estudiar la respuesta del terreno frente a una pared vertical. Presentaron una solución analítica cerrada para un lecho marino de espesor infinito. En la solución incorporaron un parámetro que combinaba la anisotropía hidráulica y la posible dirección oblicua en la propagación del oleaje. Este marco teórico, fue extendido posteriormente a lechos marinos de espesor finito (Jeng y Hsu 1996) así como a fondos con distintas capas. Tsai y Lee (1995) midieron la presión de poros inducida por un oleaje estacionario en un lecho arenoso frente a un dique vertical. Sus datos experimentales mostraban que la solución analítica propuesta por Hsu et al. (1993), reducida a su forma en dos dimensiones, daba predicciones acertadas en la mayoría de los casos. Sin embargo, los resultados teóricos sobrestimaban la presión de poros derivada de olas de gran altura. Este error relativo, se podía deber a que la solución teórica de Hsu et al. (1993) es solo aplicable a lechos porosos de espesor infinito, mientras que los experimentos se desarrollaron en lechos marinos porosos de espesor finito. Debido a esto, la solución propuesta por Jeng y Hsu (1996) y Hsu y Jeng (1994) presentan mejores resultados. Oh et al. (2002) derivaron una solución analítica para la respuesta del terreno ante la acción de un oleaje no lineal de cresta apequeña, basándose en la teoría del oleaje de tercer orden. En esta investigación encontraron que el efecto de la no linealidad del oleaje sobre la presión de poros es parcialmente importante en las zonas cercanas a la superficie del lecho marino. Entre los estudios que se han desarrollado para analizar la cimentación bajo un dique vertical se encuentra el realizado por Zhou y Qiu (1993), que estudiaron las fuerzas de filtración actuando en la base del dique, De Groot y Kindenberg (1995) estudiaron la presión de poros debida a la acción del oleaje en banquetas de escollera, mientras que Zwanemburg et al. (1998) enfocaron el problema de la distribución de la presión de poros bajo un dique vertical. Basándose en la aproximación de la capa borde, Mynett y Mei (1982) investigaron la distribución de tensiones y de presiones de poros en un lecho marino saturado subyacente a un cajón rectangular. La solución analítica propuesta en este trabajo provee a los ingenieros de una herramienta simple de aplicación directa, sin embargo, esta se limitaba al caso de un único cajón cimentado sobre un lecho saturado. Tsai et al. (1990) extendió la aproximación de la capa borde a la investigación de diques verticales. En esta investigación se consideraron dos problemas diferentes a analizar, a saber, la influencia del peso sumergido del cajón y la inclinación en dirección del lado de mar debida a la acción del oleaje. Con un modelo de elementos finitos 2D, Mase et al (1994), investigó la presión de poros y la tensión efectiva inducida por el oleaje en las inmediaciones de un dique vertical. La distribución de la presión de poros dentro de la banqueta de escollera es uno de los aspectos analizados en este artículo. Las condiciones de contorno laterales empleadas en el modelo se corresponden con la solución analítica propuesta por Yamamoto (1977), limitando su modelo a lechos marinos isótropos y homogéneos. Para

Capítulo 2. Estado del Arte

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un análisis más realista, en el que el lecho fuera considerado anisótropo y homogéneo, su modelo no es aplicable. Una de las conclusiones principales a las que llegó el trabajo desarrollado en el Instituto Noruego de Geotecnia 47 De Groot, M. B. 1996; , perteneciente a las investigaciones del grupo europeo multidisciplinar MASTII, estableció la interacción entre los distintos fenómenos involucrados en la respuesta de un dique vertical de cajones ante la acción del oleaje, como uno de los aspectos más relevantes no abordados con suficiente profundidad hasta la fecha. Más aún, el informe final del proyecto MASTIII 77 Oumeraci, H. 2001; , publicado en 2001, seguía haciendo referencia a la necesidad de profundizar en el entendimiento de la interacción oleaje-estructura-cimentación, prestando especial atención a los estados de fallo inducidos por la inestabilidad de la cimentación. Mizutani et al. (1996) y Mostafa et al (1999) propusieron un modelo combinado en el que se acoplaban un modelo de elementos finitos con un modelo de elementos de borde. Emplearon este modelo para simular la interacción no lineal entre olas, lecho marino y dique vertical. La serie de estudios realizados por estos autores, se centró en la respuesta del lecho marino inducida por un oleaje no lineal. Con posterioridad, Jeng (2002) propuso un modelo general con el que analizar la interacción oleaje-lecho marino-estructura, aplicable a una estructura marina arbitraria. En base a este modelo, Jeng et al. (2000, 2001) investigaron la respuesta del terreno en las inmediaciones de un cajón, en un lecho marino no homogéneo anisótropo, superando las limitaciones de modelos precedentes. Sin embargo, este modelo consideraba al terreno de la cimentación como un medio poro-elástico, incorporando serias limitaciones en la respuesta de la cimentación. Kumagai y Foda (2002), propusieron una solución analítica para analizar la respuesta del terreno inducida por el oleaje en las inmediaciones de un dique vertical. Esta solución analítica requería de menor tiempo de computación que los modelos numéricos, mientras que proporcionaba una intuición de la física involucrada en la interacción oleaje-cajón-banqueta de escollera-lecho marino. Es importante mencionar, que todos los modelos relacionados con el análisis de la interacción oleaje-dique vertical hasta ahora expuestos en el presente apartado, solo han considerado el comportamiento elástico lineal de la cimentación. Este aspecto es de vital importancia, ya que estos modelos no pueden abordar problemas del terreno de cimentación derivados de la acción de oleaje como el deterioro de la resistencia, la posible degradación de la rigidez, el proceso de acumulación de excesos de presión de poros y la acumulación de deformaciones permanentes. Richwien y Wang (2000), empleando dos modelos constitutivos diferentes, el modelo remodificado de Cam-Clay (Carter et al. 1982) y el modelo con doble superficie de fluencia de Dafalias y Popov (1975), para analizar numéricamente el mecanismo de inclinación en dirección del lado de mar de un dique vertical. En esta investigación, encontraron que el fenómeno de la inclinación se debía principalmente a la oscilación de las tensiones inducidas por la acción del oleaje en el lecho marino subyacente al dique vertical, observando asientos diferidos. De esta forma, ponían de manifiesto la

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

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tendencia, por parte de un número importante de investigaciones, a magnificar la importancia de la liquefacción a la hora de explicar este tipo de fenómenos. Jeng (2001a, 2003) desarrolló estudios recopilatorios de los avances alcanzados en el estudio de la inestabilidad de lechos marinos inducidos por el oleaje, analizando tanto la problemática existente frente al dique vertical como la subyacente a este. En estos trabajos se ponía de manifiesto la deficiencia de los modelos existentes para modelar adecuadamente fenómenos asociados a la cimentación de diques verticales como la disminución de la resistencia al corte sin drenaje y la posible degradación de la rigidez. Pastor et al. (2006) propusieron un modelo poro-elastoplástico basado en la teoría generalizada de la plasticidad (Pastor et al., 1990) para suelos granulares con el que analizaron la posible licuefacción de suelos arenosos en las inmediaciones de una estructura marina e inducida por acción del oleaje. En los casos analizados por Pastor et al. (2006), llegaron a predecir la licuefacción de la capa cercana a la superficie del lecho marino de un terreno arenoso. En este estudio los resultados proporcionados por el modelo fueron comparados con ensayos de máquina centrífuga, mostrando un juste bastante bueno. Kudella et al.(2006) desarrollaron diversos experimentos a escala natural en los que se analizaba la generación oscilatoria y residual de presión de poros en un lecho marino arenoso subyacente a un dique vertical de cajones sometido a la acción de cargas derivadas tanto de olas rompiendo frente a la estructura como de olas estacionarias. En este trabajo, mostraron como la presión residual de poros era esencialmente generada por los movimientos del cajón derivados de la carga por rotura de ola frente a la estructura. Estos movimientos del cajón se hallaron íntimamente ligados a las deformaciones residuales del terreno, pudiendo generar el fallo de la estructura. En este estudio se encontró que la contribución del oleaje al proceso acumulativo de presión de poros era exclusivamente a través del movimiento del cajón, por lo que se podría despreciar la contribución directa del oleaje. De Groot et al. (2006) basándose en aspectos teóricos, en un número importante de casos en los que se registró el colapso del dique vertical y en una serie de ensayos a gran escala, concluyeron que las peores condiciones relacionadas con el colapso de la estructura por liquefacción se debían a la existencia de arena poco densa o incluso limosa en combinación con la existencia de capas de arcilla o grandes dimensiones de la estructura marítima. En este estudio, presentó como un aspecto de vital importancia en la generación de excesos de presión de poros en el lecho marino subyacente al dique vertical, el período de drenaje característico, definido por la expresión

( )2,2

char drain c w

w

nT B k

Kγ α

= ⋅ ⋅ +

, siendo c

B la anchura del cajón, k la

permeabilidad del sustrato, w

γ el peso específico del agua, α la compresibilidad elástica del terreno, n la porosidad y

wK es el módulo volumétrico del agua. De Groot

et al. (2006) concluyeron que cuanto mayor fuera la relación ,char drain load

T T siendo load

T el

periodo medio del oleaje, más susceptible será el suelo de acumular excesos de presión de poros.

Capítulo 2. Estado del Arte

48

2.4. Interacción Cajón-Banqueta de apoyo inducida por la acción del

oleaje.

La respuesta de los sistemas estructura-cimentación sometidos a cargas estáticas y/o dinámicas está influida de forma significativa por el comportamiento en la interfaz de contacto entre la estructura y la cimentación. De forma tradicional, este tipo de sistemas ha sido tratado como si la estructura no experimentara desplazamientos relativos respecto a la cimentación (Zienkiewicz y Shiomi 1984). Sin embargo, a pesar de que esta hipótesis simplifica el procedimiento de diseño, puede llegar a introducir serios errores en la predicción de las tensiones y deformaciones transmitidas a la cimentación. La inclusión de desplazamientos relativos y los mecanismos derivados de la transferencia de carga de la estructura a la cimentación y viceversa pueden llegar a introducir comportamientos fuertemente no lineales. Debido a este aspecto, las soluciones analíticas cerradas son muy complicadas de obtener, haciéndose necesario el empleo de técnicas numéricas como el método de los elementos finitos, elementos de contorno o diferencias finitas (Desai 1987).

En la Figura 2. 19, se pueden apreciar de forma esquemática los posibles modos de deformación que puede sufrir una interfaz de contacto. Durante el modo de no deslizamiento o “pegado”, la tensión tangencial τ en la interfaz de contacto, no ha alcanzado su estado último y la tensión normal

nσ es de compresión. Cuando la tensión

de cortante ha alcanzado un cierto umbral definido por un criterio como el de Mohr-Coulomb, tiene lugar el deslizamiento. En este último modo, la tensión normal

nσ sigue

siendo de compresión.

Figura 2. 19 Modos de deformación en una interfaz de contacto

La interfaz de contacto suele estar en un estado de compresión en las condiciones iniciales. Cuando la estructura se ve sometida a una carga, y en el supuesto caso de que la interfaz de contacto pueda resistir tensiones de tracción, la tensión de contacto normal

nσ puede reducirse gradualmente (Figura 2. 20), pudiendo llegar a anularse e incluso

pasando a ser de tracción. Dependiendo de la resistencia a tracción de la interfaz de contacto, los cuerpos que habían entrado en contacto pueden llegar a separarse, independientemente de la existencia o no de deslizamiento. Durante la carga

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

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subsiguiente, la tensión normal n

σ puede ser nuevamente de compresión, restableciendo

el contacto entre los cuerpos.

Figura 2. 20 Esquema de la respuesta tensodeformacional para la componente normal de la interfaz de contacto.

Existen dos técnicas principales para imponer condiciones de contacto en la dirección normal a la interfaz. Una de ellas consiste en estudiar el fenómeno de la interacción de cuerpos como un problema de compatibilidad, formulando las condiciones de no penetración como restricciones puramente geométricas conocidas como condiciones de Signorini (Rappaz, 2003). En el segundo enfoque, se desarrollan comportamientos constitutivos elásticos o elastoplásticos para aproximar la estructura micromecánica de las superficies que entran en contacto, relacionando la posición relativa de las superficies que entran en contacto con las tensiones generadas en la interfaz (Wriggers, 2006). En el caso de la dirección tangencial, tenemos de nuevo las dos opciones anteriores al considerar el modo de deformación de “pegado”, imponiendo restricciones geométricas o incorporando un comportamiento constitutivo. Sin embargo, para el modo de deformación de deslizamiento, es necesario emplear un comportamiento constitutivo que represente la fricción. Los modelos desarrollados bajo el enfoque de compatibilidad tienen el problema de establecer restricciones geométricas no diferenciables, complejas de tratar numéricamente. Por otro lado, esta técnica permite representar adecuadamente cada uno de los cuatro modos de deformación expuestos en la Figura 2. 19, en contactos en los que no se involucran fenómenos de lubricación, adhesión o desconexión de micro fibras. Por otro lado, el empleo de comportamientos constitutivos en la interfaz de contacto, permite representar contactos entre superficies con geometrías muy complejas,

Capítulo 2. Estado del Arte

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como la que se puede apreciar en la Figura 2. 21, o donde las características especiales de los materiales de los cuerpos que entran en contacto han de incorporarse en el fenómeno del contacto (Figura 2. 22). Sin embargo, esta última aproximación puede llegar a ser inadecuada a la hora de simular problemas reales de ingeniería, ya que necesita de un profundo conocimiento de la estructura micromecánica de las superficies que entran en contacto.

Figura 2. 21 Escáner de la geometría de una superficie micromecánica rugosa

Figura 2. 22 Esquema de las superficies en un terreno (Rabinowicz 1995)

Aunque la importancia del comportamiento en una interfaz de contacto y sus efectos en la interacción estructura-suelo ha sido reconocida desde hace bastante tiempo, el desarrollo de modelos realistas para la simulación de los distintos mecanismos de contacto solo ha tenido lugar en los últimos 35 años. Esto se debe principalmente a la problemática matemática asociada a la modelización de la mecánica de contacto. Más concretamente, los algoritmos asociados con el tratamiento numérico de los problemas de contacto involucran términos no diferenciables que complican dicho tratamiento. Muy a menudo, los modelos desarrollados para representar la interacción estructura-suelo provienen de otras disciplinas de la mecánica, como la problemática asociada a las juntas en rocas, fricción entre metales, etc., las cuales involucran consideraciones físicas y matemáticas similares. Ngo y Sordelis (1967) presentaron un elemento de contacto para simular las grietas en el hormigón empleando para ello muelles para representar el comportamiento normal y tangencial. Godman et al. (1968) propusieron un modelo para juntas en rocas expresando el comportamiento en base al desplazamiento relativo entre dos rocas.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

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Zienkiewicz et al. (1970) desarrollaron un modelo similar y lo implementaron en un código de elementos finitos. Ghaboussi et al. (1973) presentaron un modelo para juntas en el que el desplazamiento relativo se trataba como grados de libertad independientes. Estos modelos desarrollados en la mecánica de rocas fueron posteriormente adoptados para simular la interacción suelo-estructura por diversos autores (Clough y Duncan, 1971; Desai, 1974 y 1976; Lightner y Desai, 1979). Desai et al. (1982) desarrollaron este último modelo para estudios estáticos en los que se involucraba una interacción suelo-estructura no lineal. Herrman (1978) presentó un modelo basado en la aproximación de restricciones geométricas en el que incorporó el deslizamiento y el despegue. Isenberg et al. (1973) emplearon el elemento propuesto por Ghaboussi et al. (1973) para un análisis tridimensional de una estructura sometida a cargas impulsivas. Kausel et al. (1979) discutieron la importancia del deslizamiento y propusieron un modelo que incluía movimientos de traslación y rotación. Vaughn e Isenberg (1983) emplearon un modelo que involucraba una capa fina para representar la interfaz de contacto, consideraron los modos de deslizamiento, despegue y restablecimiento del contacto empleando un procedimiento iterativo. Toki et al. (1981), emplearon el modelo de Goodman et al. (1968) para modelizar un análisis dinámico de la fundación de una pila. Desai et al. (1985) desarrollaron el elemento capa de espesor fino (thin-layer element) para representar la interfaz de contacto, en el que incorporaban una ecuación constitutiva con componentes normal y tangencial. Este elemento permitía reproducir un comportamiento cíclico incorporando una variación del modelo de Ramberg-Osgood. Basándose en un modelo que fue diseñado para representar micro-deslizamientos entre metales, Sellgren y Olofsson (1999) desarrollaron una ley que permitía describir el comportamiento friccional entre una estructura de hormigón y un terreno arenoso. En este modelo, no emplearon la aproximación elastoplástica, si no que emplearon un coeficiente de fricción que dependía de la distancia deslizada y de la presión de contacto. Es interesante destacar que hasta hace relativamente poco tiempo, la respuesta del sistema estructura-cimentación en el ámbito de los diques verticales ha sido simplificada a través de un sistema elástico masa-muelle-amortiguador de dos grados de libertad representando el movimiento horizontal y rotacional del cajón respecto a la cimentación (Oumeraci y Kortenhaus, 1994; Goda, 1994). En este tipo de sistemas se considera unas masas añadidas, las masas hidrodinámicas y geodinámicas, representando la porción de estos medios que se mueven rígidamente con el cajón. En la Figura 2. 23 se puede apreciar de forma esquemática un sistema de estas características.

Capítulo 2. Estado del Arte

52

Figura 2. 23 Sistema masa-muelle-amortiguador y modos de desplazamiento (Houmeraci y Kortenhaus,

1994)

Las soluciones en desplazamientos horizontales y de giro proporcionadas por este tipo de modelos han sido validadas a través de ensayos a escala real, mostrando una buena concordancia. Sin embargo, al considerar el cajón como una masa puntual estos modelos no son capaces de analizar los distintos estados tensodeformacionales involucrados en la interacción estructura-cimentación. Además estos modelos representan el terreno como un medio elástico lineal, no pudiendo incorporar en el modelo la posible influencia del deterioro de la resistencia, degradación de la rigidez así como la acumulación de deformaciones permanentes, incorporando serias restricciones en el fenómeno de la interacción estructura-cimentación. Lancha y Arias (1998) desarrollaron un estudio de la respuesta dinámica de un dique vertical ante la acción del oleaje, empleando el método de los elementos finitos, tratando de caracterizar la distribución en el espacio y el tiempo de las presiones dinámicas derivadas del oleaje en la banqueta de escollera. En este estudio emplearon un elemento para representar la interfaz de contacto, basado en restricciones geométricas entre el cajón y la banqueta de escollera. Sin embargo, en este trabajo, no se analizaron las implicaciones geomecánicas derivadas de la acción del oleaje, ya que consideraron que tanto la banqueta de escollera como el terreno de cimentación tenían un comportamiento elástico.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

53

2.5. Comportamiento de arcillas bajo carga cíclica.

Uno de los aspectos de mayor importancia a la hora de analizar el comportamiento de de la cimentación de estructuras costeras gravitatorias instaladas en lechos marinos es entender el comportamiento bajo cargas cíclicas. Debido a que la presente Tesis Doctoral se centra en terrenos arcillosos, sólo nos ocuparemos de la respuesta de este tipo de suelos. Los terrenos arcillosos sometidos a cargas cíclicas pueden sufrir los siguientes fenómenos: i) disminución de la resistencia al corte sin drenaje, ii) disminución de la rigidez, iii) generación, acumulación y disipación de excesos de presión de poros y iv) acumulación de deformaciones permanentes. De entre los factores que afectan a la resistencia cíclica de las arcillas cabe destacar el nivel de tensión cíclica de la carga así como su frecuencia, el número de ciclos de carga, el estado tensional del terreno con anterioridad a la aplicación de los ciclos, la rigidez, la presión de confinamiento efectiva y el grado de sobreconsolidadión (OCR). Antes de pasar a analizar los diversos trabajos existentes hasta la fecha relacionados con el comportamiento de arcillas bajo carga cíclica, es interesante exponer los mecanismos básicos de esta respuesta. Para este análisis preliminar se empleará el criterio de Mohr-Coulomb ya que ha sido considerablemente empleado a la hora de estimar el comportamiento inducido por una carga de estas características. Aunque este criterio está basado en la teoría elástica lineal, no siendo por ello suficiente para describir con exactitud los estados de fallo, facilita un entendimiento básico del comportamiento del terreno. Para empezar, uno debe darse cuenta que la resistencia al corte en terrenos arcillosos es función de la tensión efectiva del terreno. La envolvente de rotura, la cual define la

resistencia por cortante, viene dada por la expresión ( ) tanf f faτ σ φ′ ′= + ⋅ y puede

apreciarse en la Figura 2. 24, donde f

φ′ es el ángulo de fricción interno y a es la atracción (la cohesión vendría dada por tanc a φ′ ′= ⋅ ).

fτ y

fσ ′ representan la tensión

tangencial y efectiva normal en la superficie de fallo, respectivamente

Figura 2. 24 Parámetros efectivos de resistencia al corte. Modelo Mohr-Coulomb

En esta situación, un estado de equilibrio

eτ , en un diagrama τ σ ′− viene dado por una

línea recta de ecuación ( ) taneaτ σ φ′ ′= + ⋅ donde φ′ es la fricción movilizada siendo

fφ φ′ ′≤ . Así, cuando un estado tensional alcance la envolvente de rotura, la fricción

movilizada coincidirá con el ángulo de fricción del suelo.

fφ ′

Capítulo 2. Estado del Arte

54

Si se aplica una tensión total σ a una muestra de arcilla sin permitir el drenaje del agua intersticial, esta tensión externa será sobrellevada parcialmente como tensión efectiva de contacto σ ′ entre las partículas del terreno y parcialmente como presión de agua de los poros

wp , es decir,

wpσ σ ′= + 3. El estado de tensiones para un elemento del suelo en

estas condiciones viene representado por la Figura 2. 25, donde el punto a representa las tensiones totales y el punto b las tensiones efectivas. La figura muestra un elemento del terreno que posee a su vez cierta tensión tangencial τ .

Figura 2. 25 Estados tensionales totales y efectivos

Consideremos ahora dos ensayos típicos de corte cíclico en los que la amplitud de la tensión tangencial aplicada sea constante, una elevada y otra baja. El test se considera no drenado, es decir, no disminuye la presión de poros generada a lo largo del ensayo. Los resultados de estos test se muestran de forma esquemática en la Figura 2. 26, donde N es el número de ciclos y

cγ es la amplitud de la deformación tangencial cíclica.

Figura 2. 26 Desarrollo de deformaciones cíclicas c

γ respecto al número de ciclos N para un nivel

tensional elevado y otro bajo (Andersen 1975)

En esta figura se puede apreciar como para una muestra sometida a ciclos de carga de amplitud baja, no existen cambios apreciables en la deformación cíclica desde el principio hasta el final del ensayo. En cambio si consideramos ciclos de carga de amplitud elevada, se pueden apreciar dos efectos significativos: i) La deformación de tangencial cíclica aumenta a medida que el ensayo progresa, disminuyendo así el módulo tangencial, y ii) en un cierto estado del ensayo, las deformaciones tangenciales cíclicas empiezan a incrementarse rápidamente y la muestra falla por carga cíclica.

3 En el presente apartado no se sigue la regla general de la presente Tesis Doctoral según la cual, las tensiones de signo negativo son de compresión mientras que las presiones de agua se signo positivo son de compresión.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

55

Si el ensayo se para antes de que el fallo inducido por carga cíclica halla arruinado por completo la muestra y se realiza posteriormente un ensayo de corte estático no drenado observamos un tercer efecto, puesto de manifiesto en que la resistencia al corte no drenada del terreno ha disminuido. Los resultados de este ensayo quedan bien reflejados en la Figura 2. 27 que se muestra a continuación:

Figura 2. 27 Trayectoria de tensión efectivo en muestras bajo carga cíclica (Andersen 1975)

Al aplicar una carga de amplitud baja, el camino en tensiones efectivas a lo largo del primer ciclo de carga es desde el punto a al punto b y vuelta al punto a. El detalle que aparece en la Figura 2. 27 muestra como en la descarga el camino de tensiones efectivas no vuelve exactamente al punto a, sino que una presión del fluido de poros residual

wrp permanece, y tras un elevado número de ciclos de carga el camino tensional se habrá

movido hasta a b′ ′− . Para la muestra cargada con una amplitud elevada, el camino de tensiones efectivas durante el primer ciclo va desde a hasta c y regresa. Debido al elevado nivel de tensión aplicado, la presión de poros residual es considerablemente mayor que la registrada al aplicar un nivel tensional bajo. El punto más elevado del camino tensional se moverá tanto hacia la izquierda al aplicar ciclos sucesivos hasta alcanzar la envolvente de rotura en el punto d. Al llegar a este punto, la tensión tangencial aplicada se corresponde con la resistencia al corte. La amplitud de las deformaciones se incrementa rápidamente y la muestra fallará por carga cíclica. Si un ensayo estático se desarrolla sobre la muestra tras alcanzar ésta el fallo por carga cíclica, la presión de poros se reducirá y la muestra seguirá el camino de tensiones desde el punto d al e a lo largo de la línea de fallo. El punto e se corresponde con la tensión tangencial con la que la presión de poros empieza a aumentar de nuevo y donde la tensión tangencial no puede incrementarse por encima de este punto. El punto e se encuentra muy por debajo del punto f, significando que la resistencia al corte de la muestra tras haber sufrido la acción de un número elevado de ciclos de carga es inferior a la que habríamos obtenido a través de un ensayo estático de corte no drenado, el cual viene representado por la curva discontinua c-f. Si el proceso de carga cíclica se hubiera detenido antes de que la muestra llegara a la rotura por carga cíclica, la resistencia al corte no se habría reducido tan significativamente. Los trayectorias de tensión seguidos por un ensayo estático de corte no drenado sobre la muestra antes de llegar a la rotura por carga cíclica habrían sido parecidos a alguna de las curvas discontinuas

1 1g h− o

2 2g h− . Esta descripción, muestra como las tensiones efectivas gobiernan el

comportamiento del terreno (Andersen, 1975).

wp

Capítulo 2. Estado del Arte

56

El comportamiento no drenado del terreno descrito en las líneas anteriores representa bastante bien las condiciones durante una tormenta. Entre tormentas, la presión de poros causada por la acción del oleaje severo tenderá a disiparse. Dependiendo del tipo de arcilla y del nivel tensional, la disipación de la presión de poros vendrá acompañada por consolidación o hinchamiento. Si estos efectos son significativos, la respuesta del terreno arcilloso en una nueva tormenta puede ser completamente diferente que el mostrado en la tormenta anterior. Si la arcilla ha consolidado, se podrá esperar una mejor respuesta del terreno, mientras que si la superficie de la cimentación ha sufrido una preconsolidación por erosión propiciando un efecto de hinchamiento en el terreno subyacente, las características resistentes del terreno se habrán deteriorado. En los últimos 40 años, un número considerable de investigadores han analizado el comportamiento de terrenos arcillosos sometidos a carga cíclica. Estas investigaciones se han centrado principalmente en analizar el comportamiento de la cimentación de distintas estructuras sometidas a la acción transitoria de un terremoto. Sin embargo, hay investigadores (Nataraja et al. 1980) que han indicado la posibilidad de emplear los resultados obtenidos en este tipo de estudios para analizar la respuesta de la cimentación de estructuras marinas ante la acción del oleaje. Determinación de la resistencia de un terreno arcilloso

Durante una carga cíclica sobre un terreno arcilloso se puede desarrollar un exceso de presión de poros, debido principalmente a la baja permeabilidad que presenta este tipo de suelos, causando deformaciones cíclicas importantes. Estas deformaciones pueden llegar a ser tan elevadas que el terreno puede fallar por carga cíclica. La tensión cíclica para causar el fallo del terreno puede estar asociada al número de ciclos de carga, mostrando normalmente un comportamiento típico de fatiga (Lee y Focht, 1976). El efecto de la disminución de la resistencia está relacionado con el índice de plasticidad de acuerdo con los trabajos de Ishida y Yasuda (1980), tal y como puede apreciarse en la Figura 2. 28, en la que la resistencia al corte cíclica, al considerar estados tensionales iniciales sin tensión tangencial, normalizada por la resistencia de corte estática crece con el índice de plasticidad.

Figura 2. 28 Variación de la razón de resistencia cíclica con el índice de plasticidad

(Ishida y Yasuda, 1980)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

57

Diversas expresiones experimental(Singh et al. 1978)es y teóricas se han desarrollado para relacionar la resistencia al corte sin drenaje anterior y posterior a un proceso de carga cíclica (Thiers y Seed, 1969; Sangrey y France, 1980; Van Eekelen y Poots, 1978; Singh et al., 1978; Andersen, 1975). Thiers y Seed demostraron que el deterioro de la resistencia al corte sin drenaje se minimiza cuando las deformaciones cíclicas permanecen por debajo de la mitad de las deformaciones tangenciales sin drenaje registrada en la rotura y con anterioridad a la aplicación de los ciclos de carga. Van Eekelen y Poots (1978) derivaron una expresión teórica empleando para ello los parámetros κ y λ propios de los modelos de estado crítico:

1

k

uc wec

u c

S p

S

λ

σ

= − ′ (2.20)

Donde

ucS es la resistencia al corte sin drenaje tras la aplicación de los ciclos de carga

u

S es la resistencia al corte sin drenaje anterior a la aplicación de los ciclos de

carga.

wecp es el exceso de presión de poros debido a la carga cíclica.

cσ ′ es la tensión efectiva inicial de confinamiento.

κ es el índice de recarga expresado en la escala logarítmica natural 2.3

sC =

λ es el índice de compresión en la escala logarítmica natural 2.3

cC =

Sangrey et al. (1978) sugirieron que las arcillas, limos y arenas con un comportamiento contractivo se comportan de forma similar ante las cargas repetitivas. La Figura 2. 29 muestra la correlación entre el índice de recarga y el nivel crítico de carga repetitiva (CLRL) para arcillas, limos y arenas, normalizado por la resistencia al corte sin drenaje estática. En esta figura,

0e es el índice de poros inicial y el CLRL es el nivel de

tensiones cíclicas a partir del cual el suelo pasa de un estado de equilibrio a un estado de fallo. Esta correlación muestra como las arcillas son capaces de sustentar los niveles más elevados de tensión cíclica. Esto es debido a su elevado valor de índice de recarga.

Capítulo 2. Estado del Arte

58

Figura 2. 29 Nivel crítico de carga repetitiva ( CLRL) para ensayos no drenados en suelos contractivos.

(Sangrey et al., 1978)

Meimon y Hicher (1980) establecieron una correlación entre la resistencia al corte sin drenaje de dos muestras de arcilla (una con un OCR=1 y otra con OCR=4) con la máxima deformación permanente axial tras la aplicación de los ciclos de carga. En este estudio, Meimon y Hicher encontraron que si la máxima deformación axial permanente no excedía del 5% entonces la reducción en la resistencia al corte sin drenaje era inferior al 8%. Incrementando los niveles de deformación, la reducción de la resistencia al corte sin drenaje podía alcanzar el 40%. Resultados experimentales mostraban también que esta reducción no dependía necesariamente del grado de sobreconsolidación. Generación de la presión de poros

La generación del exceso de presión de poros bajo carga cíclica se ha mostrado influyente en la reducción tanto de la resistencia al corte sin drenaje como de la rigidez de terrenos arcillosos. Hasta la fecha se han desarrollado diversas expresiones teóricas y empíricas que relacionan la presión de poros en exceso y residual con los niveles de tensión y deformación, con el número de ciclos de carga aplicados y con el grado de consolidación. Van Eekelen y Potts (1978) desarrollaron una expresión empírica sobre la tasa de generación del exceso de presión de poros. Matsui et al. (1980) desarrollaron la siguiente expresión para determinar la presión de poros residual:

( ),max

10 1

1

log1

cwr

c

p

A OCR

γβ

σ

= ⋅ + Β ′ ⋅ − (2.21)

Donde

wrp es la presión de poros residual.

c

σ ′ tensión efectiva de confinamiento.

,maxcγ amplitud máxima de la deformación tangencial cíclica.

OCR es el grado de sobreconsolidación. 0.45β = (encontrado experimentalmente)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

59

Tabla 2. 1 Valores de los parámetros A1 y B1.

PI 1

A 1

Β

20 30.4 10−⋅ 30.6 10−⋅ 40 31.1 10−⋅ 31.2 10−⋅ 55 32.5 10−⋅ 31.2 10−⋅

Los valores para

1A y para

1Β en función del índice de plasticidad fueron obtenidos de

forma experimental. Togrol y Guler (1984) sugirieron una relación empírica para arcillas normalmente consolidadas, relacionando la tensión desviadora en el momento del fallo con el exceso de presión de poros desarrollada a lo largo de la carga cíclica: 0.63 0.39

f c weq p p= ⋅ − ⋅ (2.22)

Donde

fq es la tensión desviadora en el momento del fallo.

c

p es la presión de preconsolidación aparente (cuyo valor depende de la edad

del sedimento arcilloso).

wep es el exceso de presión de poros

Empleando valores experimentales del máximo exceso de presión de poros desarrollada al aplicar una carga cíclica sobre un terreno arcilloso junto con la ecuación (2.22), Togrol y Guler encontraron que la reducción máxima de la resistencia al corte del terreno era del orden del 35% bajo la aplicación de cargas repetitivas. Singh et al. (1978) indicaron que la acumulación de los excesos de presión de poros durante la acción de una carga cíclica en suelos de grano fino producía un efecto similar al incremento del grado de sobreconsolidación. Una conclusión similar fue obtenida por Andersen (1980), quién mostró que la trayectoria de tensiones de una arcilla a la que se aplica una carga de cortante estáticamente tras la aplicación de un número de ciclos de carga era similar a la trayectoria seguida por una arcilla sobreconsolidada. Este comportamiento fue empleado para predecir la respuesta no drenada ante cargas cíclicas en arcillas ligeramente sobreconsolidadas comparando con resultados de ensayos en arcillas normalmente consolidadas (Azzouz et al. 1989). Este procedimiento mostró una buena predicción en relación al número de ciclos hasta llegar a la rotura así como en cuanto al desarrollo de excesos de presión de agua respecto al número de ciclos de carga aplicados. Egan y Sangrey (1978) desarrollaron una expresión teórica que relacionaba la presión de poros en exceso residual debido a deformaciones plásticas así como el valor máximo del exceso de la presión de poros desarrollada en suelos finos bajo cargas cíclicas con los parámetros de la mecánica de suelos de estado crítico.

Capítulo 2. Estado del Arte

60

( )0

1wr

dp e pπ κ− = − ⋅ (2.23)

( )max 0

1 13w

Mdp e p

π κ− = − − ⋅

(2.24)

Donde

wrdp es la presión de poros en exceso residual.

maxwdp es la presión de poros en exceso máxima.

κ es el índice de recarga expresado en la escala logarítmica natural 2.3

sC =

π es el potencial de cambio de volumen ( )( )lno u

p pκ= ⋅ , donde u

p es la

tensión efectiva media al alcanzar el estado crítico.

0p es la tensión efectiva media inicial.

M es la pendiente de la línea de estado crítico en el espacio p q′ − . Ansal y Erken (1989) desarrollaron un modelo empírico que relacionaba el grado de tensión cíclica y la presión de poros para distintos números de ciclos aplicados. En la Figura 2. 30 se muestra esta relación.

Figura 2. 30 Relación grado de tensión cíclica-presión de poros para números diferentes de ciclos (Ansal y Erken, 1989)

Como se puede apreciar existe un umbral en el grado de tensión cíclica, proporcionando una similitud con las observaciones realizadas por Matsui et al. (1980) y Dobry et al. (1982), este último en relación a terrenos arcillosos y en términos de deformación cíclica. Las relaciones obtenidas por Ansal y Erken fueron establecidas a través de una serie de ensayos de corte simple cíclicos sobre una arcilla constituida por kaolin normalmente consolidada. En este modelo empírico, la acumulación de presiones está expresada como:

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

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w

f

p SRT mττ

= − ⋅

(2.25)

Donde

wp es la presión de poros acumulada

fτ τ es el grado de tensión tangencial cíclica, siendo

fτ la tensión tangencial

cíclica en rotura. SRT es el umbral en el grado de tensión cíclica

m es la pendiente de la línea de presión de poros ( )( )w fp τ τ= ∆ ∆ ,

determinado de forma experimental. La influencia de la frecuencia con la que se aplican los ciclos de carga también ha sido investigada. Se ha encontrado como la disminución de la velocidad con la que se aplica la carga conlleva un aumento en la acumulación de las presiones de poros al aumentar el número de ciclos, apreciándose como la influencia de la tasa de carga disminuye tras haberse aplicado los ciclos iniciales. Unas observaciones relativas a este fenómeno fueron realizadas por Pamukcu y Suhayda (1987) en las que la degradación de la rigidez en terrenos arcillosos blandos saturados con una presión de poros inicial inducida era más notable bajo cargas monótonas lentas que bajo cargas dinámicas de alta frecuencia al considerar que la amplitud de la deformación era baja. Más recientemente, Jeng y Seymour (2007), desarrollaron una aproximación analítica para analizar el proceso de acumulación de las presiones de poros en sedimentos marinos, empleando para ello la transformada de Laplace. En este estudio, se clarificaban los rangos de aplicación de los dos mecanismos de desarrollo del exceso de presión de poros característico de los lechos marinos ante la acción del oleaje, uno oscilatorio y otro acumulativo-progresivo. Reducción y degradación de la rigidez

Durante una carga cíclica, el comportamiento tensodeformacional de las arcillas es no lineal, presentando ciclos de histéresis. Un ciclo de histéresis a lo largo de un ciclo de carga está constituido por tres estados: la carga inicial, la descarga y la recarga. La carga inicial representa la “columna vertebral” del ciclo de histéresis. En la Figura 2. 31 se puede apreciar de forma esquemática un ciclo de histéresis obtenido al someter a una muestra de suelo a una carga tangencial cíclica simétrica a lo largo de un plano libre de tensiones iniciales tangenciales.

Capítulo 2. Estado del Arte

62

Figura 2. 31 Ciclo de histéresis tensión deformación típico (Idriss et al. 1978)

La curva con forma de columna vertebral caracteriza el comportamiento no lineal tensodeformacional de las arcillas.

maxG es el valor máximo del módulo tangencial y

está definido como la pendiente de la tangente inicial de la curva con forma de columna vertebral.

sG es el módulo secante y se define como la relación

max maxτ γ , donde

maxτ y

maxγ son el valor máximo de la tensión de tangencial cíclica y el valor máximo de la

deformación tangencial, respectivamente. El criterio de Masing de 1926 es la regla más ampliamente aceptada para generar ciclos de histéresis partiendo de la curva tensión–deformación inicial (Chaney y Pamukcu 1991). Este criterio establece simplemente que los estados de descarga y recarga del ciclo de histéresis son iguales que la curva columna vertebral inicial con las escalas tanto de la tensión como de la deformación expandidas por un factor de 2 y con el origen trasladado. El módulo tangente en los extremos del ciclo ha de ser igual a

maxG .

La curva tensión-deformación inicial puede venir expresada según varias formulaciones matemáticas, incluyendo la bilineal (Thiers y Seed, 1969), multilineal, hiperbólica (Hardin y Drenevich, 1972), y la formulación de Ramberg y Osgood (1943). El grado de amortiguamiento D está definido como la razón entre la energía de deformación disipada y la energía de deformación almacenada a lo largo de un ciclo de carga. Así, D se calcula como la razón entre el área contenida dentro del ciclo de histéresis y el área bajo la línea del módulo secante. Los sistemas que satisfacen el criterio de Masing se comportan como si tuvieran un amortiguamiento viscoso independiente de la frecuencia de vibración para una amplitud de deformación dada. La reducción del módulo tangencial al aumentar la amplitud de la deformación es una de las características principales de los suelos y mostrada por la naturaleza no lineal de la relación tensodeformacional. En la Figura 2. 32 se puede apreciar de forma esquemática una curva que representa la reducción del módulo tangencial, en la que podemos estimar el valor de

maxG como la ordenada en el origen de la curva.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

63

Figura 2. 32 Curva idealizada de la variación del módulo tangencial con la deformación tangencial

Hardin y Drnevich (1972) sugirieron el empleo de la ecuación empírica (2.26) para calcular

maxG tanto para arcillas no deterioradas como para arenas:

( )

( ) ( )2

2

max

2.9731230

1

keG OCR p

e

−′= ⋅ ⋅ ⋅

+ (2.26)

Donde e es el índice de poros. OCR es el grado de sobreconsolidación. p′ es la tensión media efectiva.

maxG es el módulo tangencial máximo.

k ∗ es un valor constante que depende del índice de plasticidad PI como se indica en la tabla siguiente

Tabla 2. 2 Valores de k respecto al índice de plasticidad

PI k ∗

0 0.0 20 0.18 40 0.30 60 0.41 80 0.48 100≥ 0.5

Sin embargo esta ecuación tiende a proporcionar valores de

maxG bajos para índices de

poros que superan el valor de 2. Hardin y Drnevich (1972) relacionaron

maxG G con

hγ , la deformación hiperbólica, a

través de la siguiente expresión:

max

1

1h

G

G γ=

+ (2.27)

Donde

Capítulo 2. Estado del Arte

64

( )1 rb

h

h

a eγ γγγ

γ− ⋅

= ⋅ + ⋅

(2.28)

Siendo

rγ la deformación tangencial de referencia y a , b constantes del terreno.

La Figura 2. 33 muestra los distintos valores de deformación tangencial de referencia con relación al índice de plasticidad, OCR, y el índice de poros. Los valores sugeridos para los parámetros a y b vienen dados en la Tabla 2. 3. Tal y como se puede apreciar en esta tabla, los valores de a y b dependen de la frecuencia, f , con la que se aplican los ciclos, medida en ciclos por segundo, de la tensión efectiva media p′ , medida en 2kg cm y del número de ciclos, N.

Figura 2. 33 Deformación de referencia para arcillas (Hardin y Drnevich, 1972)

Tabla 2. 3 Valores para las constantes a y b en suelos arcillosos saturados

Aplicación a B

Módulo 1 0.25 log N+ ⋅ 1.3

Amortiguamiento 1 21 0.2 f+ ⋅ 00.2 2.25 0.3 logf e p Nσ ′− ′⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ En la Figura 2. 34 se pueden apreciar los resultados experimentales en los que se representa la tensión tangencial, el módulo tangencial, y el grado de amortiguamiento respecto a la deformación tangencial para la arcilla blanda de Shanghai.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

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Figura 2. 34 Correlaciones entre la tensión tangencial, el módulo tangencial, y el grado de

amortiguamiento (Fang et al. 1981)

Representadas en escala semilogarítmica se muestran en la Figura 2. 35 las curvas normalizadas, obtenidas por varios investigadores, de la variación del módulo tangencial respecto a la deformación tangencial para distintos suelos (Fang et al. 1981).

Capítulo 2. Estado del Arte

66

Figura 2. 35 Reducción del módulo tangencial para varios tipos de suelo (Fang et al. 1981)

Pamuckcu et al. (1983) ajustaron una curva hiperbólica sobre los resultado obtenidos del módulo tangencial normalizado respecto a la variación de la deformación tangencial en arcillas del golfo de Méjico, mostrando un buen acuerdo para el rango de deformaciones de amplitud baja normalizadas por la deformación de fluencia, tal y como se puede apreciar en la Figura 2. 36.

Figura 2. 36 Variación del módulo tangencial con la amplitud de la deformación tangencial

(Pamukcu et al. 1983)

En el caso de los sedimentos marinos arcillosos de la bahía de San Francisco, Idriss et al. (1978) obtuvieron los ciclos de histéresis que se muestran en la Figura 2. 37 para el primer ciclo de una carga dinámica obtenidos a distintos niveles de deformación controlada. En esta última figura, se puede apreciar como al aumentar el nivel de deformación aplicado se observa una clara reducción de la rigidez, ya que los ciclos se aparecen cada vez más inclinados.

G/G

max

rγ γ

G/G

max

rγ γ

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Figura 2. 37 Ciclo de histéresis medidos en el primer ciclo (Idriss et al., 1978)

En los terrenos arcillosos, la reducción del módulo tangencial viene generalmente acompañada por la degradación de la curva tensión-deformación inicial. La degradación progresiva de la rigidez del terreno al aumentar el número de ciclos de carga puede ser definida como reblandecimiento progresivo del suelo. La degradación se debe principalmente al número de ciclos de carga así como al nivel tensional al que se aplican este número de ciclos de carga (Andersen, 1975). Un ejemplo de la dependencia con el número de ciclos se puede apreciar en la Figura 2. 38, donde se muestran el primer y el décimo ciclo de histéresis con una deformación controlada.

Figura 2. 38 Ciclos de histéresis medidos en el primer ciclo y en el décimo ciclo (Idriss et al., 1978)

Los efectos de degradación suelen ser representados a través del índice de degradación δ , el cual se define como el cociente entre el módulo secante en el N-ésimo ciclo y el módulo secante inicial según Idriss et al.(1978). Así, δ es función del número N de ciclos de carga y se puede aproximar a través de la expresión (2.29) tNδ −= (2.29) Donde t es el parámetro de degradación y se define como la pendiente del módulo secante respecto al número de ciclos N en escala semilogarítmica. Mientras δ es fuertemente dependiente de la amplitud de las deformaciones, es esencialmente independiente de la tensión de confinamiento y del contenido de agua, según Idriss et al., (1978) y Stokoe (1980).

psi

Capítulo 2. Estado del Arte

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La degradación de la curva columna vertebral, correspondiente a la carga inicial, puede ser representada a través del modelo de Ramberg-Osgood. En la Figura 2. 39, se puede apreciar la aplicación de este modelo a las arcillas de la bahía de San Francisco. Si nos fijamos en esta última figura, podemos observar como la curva columna vertebral se va desplazando hacia abajo y se va aplanando progresivamente al aumentar los valores de δ .

Figura 2. 39 Ilustración esquemática de la construcción de la degradación de la curva “columna

vertebral” (Idriss et al., 1978)

En la Figura 2. 40, se puede apreciar los datos obtenidos de ensayos junto con curvas analíticas representando la degradación de la curva columna vertebral con el número de ciclos para las arcillas del golfo de Méjico (Pamukcu y Suhayda, 1984).

Figura 2. 40 Curva “columna vertebral” degradada con datos tensión deformación y la curva hiperbólica

ajustada (Pamukcu y Suhayda, 1984)

Gaulois et al., 1985 estudió la degradación cíclica de la arcilla Drammen bajo la acción de una tensión de cortante. Los efectos de la degradación tienden a disminuir al incrementar el número de ciclos de carga aplicada. Así, se puede predecir de una forma razonable el número de ciclos a partir del cual el comportamiento del material se puede asumir estacionario, en el que la degradación de la rigidez es insignificante. Tal y como han puesto de manifiesto diversos investigadores como Andersen (1975), Isenhower y Stokoe (1981), Pamukcu y Suhayda (1987), la degradación y la disminución de la rigidez habitualmente son relevantes cuando se supera un umbral en el nivel de deformaciones existentes en el terreno. Este umbral, suele colocarse habitualmente entre el 310− % y el 210 %− en el caso de arcillas. Vucetic (1988) presentó resultados que mostraban como las arcillas que exhibían un comportamiento estático respecto a la tensión de consolidación vertical, también exhibían un comportamiento cíclico similar.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

69

Tras la realización de un estudio experimental exhaustivo sobre la respuesta de terrenos arcillosos bajo carga cíclica, Andersen (1975) puso de manifiesto la importancia de resaltar la influencia que tiene el nivel de deformación al que se somete el terreno durante los ciclos de carga. Para niveles de deformación bajos, inferiores a 310 %− , la respuesta del terreno es básicamente elástica, tal y como puede apreciarse en la Figura 2. 41. Así, el módulo tangencial es elevado y la curva tensión-deformación es prácticamente recta. El amortiguamiento interno, representado por el área del ciclo de histéresis, es bajo. Sin embargo, al incrementar el nivel de deformaciones, el módulo tangencial se reduce drásticamente, llegando a ser del orden del 20% de su valor inicial para deformaciones muy elevadas del orden de 110 %− y superiores. En este caso la mayor parte de la deformación es plástica por lo que el amortiguamiento es elevado, pudiéndose apreciar este efecto en la Figura 2. 41.

Figura 2. 41 Nivel de deformación a) bajo y b) elevado

En este mismo trabajo, Andersen concluyó que mientras las deformaciones tangenciales cíclicas permanecieran por debajo del 3% a lo largo de 1000 ciclos de carga, la reducción de la resistencia al corte sin drenaje se mantendría inferior al 25%. Al igual que el módulo tangencial, el amortiguamiento interno de los suelos bajo carga cíclica está fuertemente determinado por la amplitud de las deformaciones. Este aspecto se puede apreciar en la Figura 2. 37, a través de la inclinación progresiva de los ciclos de histéresis al aumentar la amplitud de las deformaciones. Al igual que en el caso de la degradación, el amortiguamiento es independiente de la amplitud de las deformaciones hasta que este no llega a un umbral, el cual suele estar entre el 310 %− y el 210 %− para la mayoría de las arcillas. El valor del grado de amortiguamiento obtenido con esta deformación umbral suele llamarse amortiguamiento mínimo y se representa por

minD .

Como ya se ha comentado con anterioridad, la presión de poros bajo carga cíclica influye en la reducción de la resistencia al corte sin drenaje así como de la rigidez de terrenos arcillosos. En la Figura 2. 42, se puede apreciar la variación del módulo tangencial con la presión de poros para las arcillas en el golfo de Méjico (Dyvik et al., 1983).

a) b)

Capítulo 2. Estado del Arte

70

Figura 2. 42 Tensión cíclica frente a la variación en la presión de poros normalizada (Dyvik et al., 1983)

Es importante remarcar que las mediciones de laboratorio de las propiedades dinámicas en suelos blandos se ven afectadas por la alteración de las muestras. Cuny y Fry (1973) pusieron de manifiesto este efecto al encontrar una variación del 50% entre los datos obtenidos en laboratorio y a través de medidas de campo en relación al módulo tangencial. La acumulación de las presiones de poros y el deterioro de la resistencia son en parte los culpables de esta discrepancia. Para concluir este epígrafe sobre la respuesta de arcillas bajo cargas cíclicas, es importante destacar que para evaluar la respuesta de arcillas blandas ante la acción de cargas ciclas importantes, como las derivadas en terremotos o ante la acción de un oleaje severo sobre lechos marinos, es más apropiado emplear un análisis no lineal que emplear métodos lineales equivalentes (Fang, 1991). Un análisis no lineal incorpora una relación tensodeformacional no lineal considerando efectos de degradación del módulo tangencial, mientras que los métodos lineales equivalentes emplean una rigidez dependiente de la deformación y el amortiguamiento. Singh et al. (1981) emplearon un modelo no lineal que incorporaba el modelo de degradación desarrollado por Idriss et al (1978), obteniendo resultados muy satisfactorios sobre la respuesta del terreno ante la acción de un sismo.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

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2.6. Comportamiento hidráulico de diques verticales

Debido a la ecuación de balance de la energía, cuando las olas actúan sobre un dique una parte de la energía de las olas incidentes se disipa, parte se refleja en forma de olas frente al dique vertical y el resto de la energía se transmite creando olas en el trasdós del dique. La reflexión puede generar problemas al crear una agitación adicional en el lado de mar pero el objetivo principal a la hora de diseñar un dique vertical es minimizar la energía transmitida, ya que su función más importante es la de prevenir la propagación del oleaje para crear así zonas de calma. La cantidad de energía reflejada y transmitida se suelen determinar a través del coeficiente de reflexión KR y el de transmisión KT, los cuales se definen de la siguiente forma:

R

R

I

T

T

I

HK

H

HK

H

=

= (2.30)

Siendo HI la altura de ola incidente, HR la altura de ola reflejada y HT la altura de ola transmitida. Generalmente, un monolito de paramento liso impermeable refleja toda la energía que incide ( 1, 0

R TK K≅ ≅ ), si bien diferentes investigadores han intentado predecir de

forma sencilla esta respuesta. Entre estos hay que resaltar el trabajo realizado por (Goda 2000), proponiendo una ecuación para la determinación del coeficiente de transmisión, basándose en ensayos de olaje regular. Las olas que suelen existir frente a un dique vertical son olas estacionarias, reflejadas por el paramento vertical. Aunque el coeficiente de reflexión, KR, suele ser muy elevado, éste se reduce considerablemente cuando las olas incidentes son en fase de rompiente al disipar gran cantidad de energía, aparte de aumentar la posibilidad del rebase sobre el espaldón. Cabe destacar el trabajo realizado por Tanimoto (1987), el cual estableció una correlación del coeficiente de reflexión en función de los parámetros definitorios del dique y del oleaje, tras realizar una serie de ensayos con varias condiciones de olas caracterizadas por la altura de ola significante

1 3H .

Presión ejercida por el oleaje sobre el paramento de un dique vertical

La presión ejercida por el oleaje sobre una estructura marítima puede ser de muy diversa intensidad y duración. Desde la presión derivada de la acción de las mareas, regulando la profundidad de agua a pie de estructura, pasando por la presión ejercida por ondas estacionarias lineales, hasta la provocada por la rotura de una ola frente a la estructura, siendo esta última de una elevada intensidad. La presión de ola puede ser estimada a través de la teoría del oleaje de amplitud pequeña (Airy) o amplitud finita (Stokes, Russell, Boussinesq, Rayleigh, Korteweg & de Vries). Sin embargo estas acciones son en general difíciles de describir de forma determinista debido a la irregularidad inherente del oleaje, siendo necesario realizar

Capítulo 2. Estado del Arte

72

análisis estadísticos y espectrales (Aranda 2004). En los análisis de carácter estadístico se considera el tiempo como variable primitiva del estudio, mientras que en los espectrales el estudio se realiza respecto a la frecuencia. Por otro lado, las teorías clásicas del oleaje, no incluyen el proceso de rotura de una ola, siendo el causante de las mayores presiones registradas en las estructuras marítimas. Debido a estos aspectos las presiones sobre el paramento vertical son determinadas en la mayoría de las ocasiones a través de fórmulas empíricas derivadas de ensayos de laboratorion (Takahashi 1996). Las primeras medidas de presiones de ola que se tiene constancia (Stevenson 1886) fueron realizadas en 1842. Después entre los años 1890 y 1902, Gaillard realizó una serie de medidas empleando equipos dinamómetros en diques situados en los Grandes Lagos (Gaillard 1904). De esta forma pudo definir diagramas de presión para zonas de profundidades someras semejantes al efecto chorro que un fluido ejerce sobre una placa impermeable perpendicular al mismo. Sobre las mismas bases científicas, Hiroi en 1919 diseña un primer diagrama de gran utilidad definiendo una ley rectangular de presión uniforme aplicable a olas en fase de rotura en aguas relativamente someras (Hiroi 1919).Esta distribución de presiones se utilizó con enorme profusión debido a su sencillez, empleándose en el diseño de diques en Japón durante más de 60 años. La década de los años veinte y treinta representa un avance espectacular en las técnicas de diques verticales, prueba de ello es la publicación de un trabajo de notable repercusión todavía en nuestros días (Sainflou 1928).En esta obra, Sainflou introduce un diagrama de presión para olas estacionarias basado en la teoría trocoidal del oleaje, simplificando la teoría de presiones existente (Benazit 1923) y proporcionando diagramas tanto para la cresta como para el seno de la ola. Trabajos como los de Lira entre 1928 y 1933; de Larras entre 1936 y 1937, de Gourret, 1937, fueron recogidos en (Iribarren 1938). Esta obra fue objeto de una notable difusión en España, sobre todo, para el cálculo de elementos auxiliares, tipo espaldones. La máxima discusión en todos los diagramas anteriores se centra en la elección de la altura de ola de diseño. Hay que tener en cuenta que la teoría Geométrico-estadística (Longuet-Higgins 1957) es un concepto de la década de los 50, por lo que las fórmulas de Hiroi, Sainflou, Iribarren, Lira, Benezit, por citar algunas de las comentadas en este estado del arte no presentan la posibilidad de distinguir entre distintos tipos de olas representativos de un registro de olas dado (

1/ 3 1/10 max, ,H H H ). Por este motivo, los

cálculos con las fórmulas anteriores resultan complejos, si bien, por la sanción práctica se utilizaban basándose en el criterio de máxima solicitación sobre la estructura. Con anterioridad a 1979, la ingeniería de puertos ha empleado (sobre todo en Japón) un sistema dual de fórmulas de presión de ola, empleando las expresiones de Hiroi para olas en fase de rompiente sobre el paramento vertical y las fórmulas de Sainflou para olas estacionarias (Goda 2000). Aunque (Minikin 1950) propuso una fórmula para olas en fase de rotura, basada parcialmente en los datos de laboratorio de (Bagnold 1939),esta es una fórmula poco empleada en el diseño de de diques en la actualidad debido a que predice valores excesivos de presión.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

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El sistema dual de fórmulas Hiroi-Sainflou tuvo complicaciones de aplicabilidad a partir de la década de los 60. A partir de esta década, los diques verticales se fueron construyendo en franjas cada vez más extensas que van desde la misma línea de costa hasta alcanzar profundidades superiores a los 20m permitiendo el atraque de grandes buques. Este rango de profundidades implicaba que a una determinada profundidad había que cambiar de la fórmula de presión de Hiroi (fase rompiente) a la de Sainflou (fase no rompiente). En el límite en el que se podía emplear las dos expresiones de presión las predicciones cambiaban bruscamente en casi un 30% y como consecuencia directa, la sección de diseño del dique vertical debería cambiar proporcionalmente, al menos en teoría (Goda 2000). Para resolver este problema en el año 1961 Ito, basándose en modelos hidráulicos experimentales, propuso una única expresión que incluía la presión de olas en fase de rotura y en fase no rompiente, incluyendo el efecto derivado de la existencia de una banqueta de cimentación (Ito 1971). Ya en 1973, Goda extendió el trabajo realizado por Ito empleando para ello nuevas consideraciones teóricas (Goda et al 1967) así como más datos de laboratorio (Goda et al 1972). Tras examinar un gran número de diques verticales respecto al deslizamiento entre la banqueta de cimentación y la base del cajón Goda propuso un nuevo conjunto de fórmulas de presión de ola para cajones de diques verticales (Goda 1974). Es importante desatacar que el diagrama de presiones que Goda desarrolló en 1974 incluye por primera vez una estimación realista de la presión de subpresión generada por la ola en la base del cajón al inducir en el terreno una generación instantánea de presión de poros. Este diagrama, considerado hoy como el diagrama clásico para este tipo estructural, fue modificado por (Tanimoto et al 1976) para incluir el efecto de la aproximación oblicua del oleaje, apareciendo así en 1985 el modelo de Goda generalizado. Posteriormente (Takahasi 1994) readaptó este esquema de presiones incorporando coeficientes que permitían la predicción de presiones impulsivas de ola derivadas de la rotura frente al paramento vertical del dique. Cabe destacar que la mayoría de estas fórmulas de presión de ola son de característica pseudo-estática, es decir, son diagramas de presiones representativos de un oleaje caracterizado por una altura de ola determinada, pero no interviene el tiempo en sus expresiones por lo que no son útiles a la hora de realizar un estudio dinámico. Para subsanar esta deficiencia Oumeraci y Kortenhaus, basándose en la teoría de onda solitaria, propusieron en 1997 unas expresiones que, aparte de incorporar la variable tiempo en su expresión, son aplicables para cargas cuasi estacionarias, cíclicas o de impacto (Homeraci y Kortenhaus 1997). Se presenta en la Tabla 2. 4 una relación de los principales métodos para la consideración de la presión de ola ejercida sobre el paramento de un dique vertical. De forma genérica estos autores han estudiado dos tipos diferentes de presiones ejercidas sobre un dique vertical. Una de ellas es la presión ejercida por el oleaje en la parte frontal del paramento vertical y la otra es la presión ejercida en la parte inferior del cajón, conocida como subpresión dinámica. En esta tabla, los métodos presentados están agrupados en presión de ola cuasi-estacionaria e impulsiva. Las presiones de tipo cuasi-estacionario, son las que ejercen las olas cuando no llegan a romper sobre la estructura, generando cargas cuya tasa de variación es lo suficientemente baja como para no provocar efectos dinámicos. Por otra parte, las presiones de tipo impulsivo,

Capítulo 2. Estado del Arte

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provocadas por la rotura de la ola sobre la estructura, son de gran intensidad y alta tasa de variación, llegando a generar fuerzas inerciales de gran intensidad.

Tabla 2. 4 Síntesis de los métodos de diseño para presiones de ola

Autor Año Presiones Subpresiones Comentarios

Presión debida a olas Cuasi-Estacionarias Sainflou 1928 Si No Pared vertical,

sin berma Miche-Rundgren

1944 1958

Si No

Goda 1985 Si Si Método más ampliamente utilizado

Presión Impulsiva debida a la rotura de la ola Hirió 1919 Si No Paramento

vertical Bagnold 1939 - - Solo modelo

conceptual Minikin 1963 Si No Valores

excesivos Ito 1971 Si Si

Blackmore & Hewson

1984 Si No

Partenscky 1988 Si No Kirkgöz 1990

1995 Si No Solamente pared

vertical Takahashi 1994 Si Si Extensión del

modelo de Goda Allsop et al. 1996 No Si Walkden et al. 1996 No Si Relación entre

fuerzas y tiempo de ascenso

Oumeraci & Kortenhaus

1997 Si Si Aproximación dependiente del

tiempo McConnell 1998 No No Modificación de

Oumeraci & Kortenhaus, 1997

Hull & Müller 1998 Si No Modificación de O & K, 1997

Vicinanza 1998 Si No Modificación de O & K, 1997

La división de la Tabla 2. 4 en presión de ola cuasi-estacionaria e impulsiva es de vital importancia, ya que la duración e intensidad de las solicitaciones derivadas del oleaje sobre un dique varían de forma importante al considerar un tipo u otro de presión. Mc Connell, dentro del proyecto de investigación MAST III (PROVERBS), presentó en 1999 un mapa paramétrico que permitía pronosticar la posibilidad de existencia de presiones impulsivas de ola sobre un dique vertical en función de varios parámetros geométricos y del oleaje, tal y como se aprecia en la Figura 2. 43.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

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Figura 2. 43 Mapa paramétrico PROVERBS (McConnell, 1999)

Por último, hay que resaltar como en las últimas décadas se han logrado grandes avances en el área computacional, proporcionando soluciones numéricas para las ecuaciones en derivadas parciales que describen el comportamiento de un fluido con superficie libre bajo el efecto de la gravedad. La mayoría de los métodos numéricos empleados para aproximar las ecuaciones de un fluido con superficie libre consisten en discretizar tanto en el espacio como en el tiempo las ecuaciones completas de Navier-Stokes o, despreciando los efectos de la viscosidad, las ecuaciones de Euler (Zienkiewicz y Taylor 2005), incorporando una condición adecuada para la superficie libre. A la hora de resolver numéricamente fluidos con superficie libre aparecen principalmente tres tipos de problemas (Hirt y Nichols 1981). En primer lugar es necesario idear un método para describir numéricamente la posición y forma de la superficie libre. En segundo lugar se requiere de un algoritmo que describa la evolución de la superficie libre con el tiempo. Finalmente, debe haber un procedimiento para asignar las condiciones de borde deseadas en los contornos de la geometría computacional. Las dos primeras dificultades están relacionadas entre si ya que el método de descripción gobernará la elección del algoritmo de evolución. Por otra parte la aplicación de las condiciones de contorno es independiente de cómo se define la superficie libre. Dependiendo de cómo se abordan las dos primeras dificultades surgen distintas formas de tratar estos problemas numéricos.

Capítulo 2. Estado del Arte

76

Una forma de representar la superficie libre es definiendo su distancia a una línea de referencia como una función de posición a lo largo de dicha línea. Por ejemplo, en mallas rectangulares (2 dimensiones) con elementos de anchura xδ y altura yδ uno

puede definir la altura vertical de la superficie libre por ( ),f x tη = , asignando valores

de η a distintos valores discretos de x. Este método no funciona bien cuando la pendiente de la superficie libre ( )d dxη excede la razón media de las celdas ( )y xδ δ .

Además este método no es válido en absoluto en el caso de superficies multivaluadas, en las que hay más de un valor de la superficie libre para un solo valor de x dado. Debido a esta limitación el ámbito de aplicación de esta representación se circunscribe a la modelización de olas lineales y no lineales (Zienkiewiz y Taylor 2005), no pudiendo ser empleada para olas en fase de rotura. Una generalización del método anterior para representar la superficie libre consiste en el empleo de cadenas de segmentos de línea cortos, o puntos conectados por segmentos de línea (Nichols y Hirt 1971). Con este método, aunque se requiere más memoria de almacenamiento, se suprime la limitación principal al poder emplearse en superficies multivaluadas. Sin embargo, cuando la superficie libre se dobla sobre si misma la cadena de segmentos ha de ser reordenada, posiblemente añadiendo o quitando alguna cadena. En general, detectar estas intersecciones así como elegir la mejor forma de reordenamiento de las cadenas no es un asunto trivial. En vez de definir la superficie libre directamente, uno puede trabajar con la región ocupada por el fluido. Por ejemplo, se puede considerar que la región ocupada por el fluido está formada por partículas, cada una de ellas moviéndose con la velocidad que tendría el fluido en la posición que ocupa (Harlow y Welch 1965). En este caso la superficie libre se encuentra en los elementos de la malla que contengan partículas existiendo elementos adyacentes que no las contengan. Este método, conocido por las siglas MAC, presenta la ventaja respecto al anterior de no necesitar reordenar las partículas al interactuar distintas superficies libres. Por otro lado el método MAC requiere el empleo de una mayor cantidad de memoria de almacenamiento. Supongamos que definimos una función F de tal forma que su valor es 1 para cualquier punto ocupado por el fluido y cero en caso contrario. El valor medio de F en un elemento de la malla representaría la fracción de volumen del elemento ocupado por el fluido. Así si 1F = en un elemento dado, el elemento estaría ocupado por el agua y si

0F = el elemento estaría vacío. De esta forma la superficie libre se encontraría en los elementos que cumplieran 0 1F< < . Así el método de volumen de fluido (VOF) (Hirt y Nichols 1981) proporciona la misma información sobre la superficie libre que el método MAC sin embargo solo necesita almacenar un único valor para cada elemento de la malla. Comparándolo con el método MAC, el método VOF permite un tratamiento de superficies libres más complejas. Las primeras simulaciones que permitieron comprobar la aplicabilidad del método VOF para simular la rotura de olas sobre el paramento de un dique vertical, fueron llevados a cabo a través del modelo SKYLLA, desarrollado bajo el proyecto PROVERBS. Este modelo fue extendido posteriormente para simular el flujo en medios porosos dentro de estructuras marítimas permeables (Van Gent 1994), incorporándose bordes absorbentes tipo Sommerfield.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

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En la Figura 2. 44 presenta un diagrama con las mejoras más representativas realizadas en los métodos numéricos tipo VOF (Troch y De Rouck 1999).

Figura 2. 44 Visión general de los desarrollos más importantes de los modelos numéricos tipo VOF

Capítulo 2. Estado del Arte

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2.7. Conclusiones del estado del arte

El análisis expuesto en los apartados del presente estado del arte muestra como el mecanismo asociado a la dinámica de un lecho marino subyacente y en las inmediaciones de un dique vertical es un problema complejo. Dicho mecanismo parece no ser reproducible a través de un único modelo sino que se necesita el acoplamiento de una serie de modelos capaces de reproducir adecuadamente cada uno de los aspectos involucrados, haciéndose imprescindible el empleo de técnicas numéricas. Este nivel de acoplamiento entre distintos modelos apenas ha sido abordado hasta la fecha, según el análisis de diversos investigadores. Una de las conclusiones principales a las que llegó el trabajo desarrollado en el Instituto Noruego de Geotecnia (De Groot et al. 1996) perteneciente a las investigaciones del grupo europeo multidisciplinar MASTII, estableció la interacción entre los distintos fenómenos involucrados en la respuesta de un dique vertical de cajones ante la acción del oleaje, a saber, generación instantánea de presión de poros, la acumulación residual de la presión de poros y la dinámica asociada al movimiento oscilatorio del cajón, como uno de los aspectos que no habían sido abordados hasta la fecha. Más aún, el informe final del proyecto MASTIII (Oumeraci et al. 2001), publicado en 2001, seguía haciendo referencia a la necesidad de profundizar en el entendimiento de la interacción oleaje-estructura-cimentación, prestando especial atención a los estados de fallo inducidos por la inestabilidad de la cimentación. Según el artículo recopilatorio de Jeng (2003), entre las futuras investigaciones a desarrollar en el ámbito de la dinámica de un lecho marino subyacente y en las inmediaciones de una estructura marina se encuentran, i) la simulación de la interacción entre olas, lecho marino y estructura marina , ii) el desarrollo de modelos constitutivos avanzados capaces de reproducir la respuesta de un lecho marino ante la acción de cargas cíclicas y iii) la incorporación de estos modelos constitutivos en simulaciones numéricas para mejorar la respuesta ante la acción del oleaje. De los estudios que se han centrado en la problemática geotécnica asociada a la respuesta del terreno inducida por el oleaje cabe destacar que la mayoría (Yamamoto et al., 1978; Yamamoto, 1981; Madsen, 1978; lin & Jeng, 2000; Hsu & Jeng. 1993) han considerado solo el comportamiento pseudoestático del terreno empleando para ello la teoría de Biot (Biot, 1941; Biot, 1955; Verruijt, 1969) para modelar el acoplamiento entre el fluido intersticial y el esqueleto sólido. Esta teoría, a pesar de ser la base de desarrollos posteriores, introduce una limitación importante en el análisis, al no incorporar términos de inercia esenciales en todo estudio dinámico y al considerar el suelo como un medio elástico lineal. Solo unos pocos investigadores (Jeng, 2003) han incorporado en estos estudios el comportamiento dinámico del terreno (Zienkiewicz & Shiomi, 1984), demostrando que su efecto es significativo en relación al desarrollo de las tensiones efectivas inducidas por el oleaje. En el modelo que se presenta en esta Tesis Doctoral, se incorpora el acoplamiento entre el fluido intersticial y el esqueleto del suelo, incluyendo efectos dinámicos. Solo un reducido número de investigadores ( Sassa & Sekiguchi, 1999; Lu & Cui, 2004; Richwien & Wang, 2000; Pastor et al., 2006) han incorporado en sus estudios comportamientos constitutivos realistas capaces de reproducir la respuesta del terreno

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

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bajo cargas cíclicas. Este es un aspecto fundamental dentro de cualquier modelo que se desarrolle para analizar el comportamiento geomecánico asociado a la cimentación de un dique vertical ya que el proceso de acumulación del exceso de presión de poros provocado por la acción de cargas repetitivas puede causar la inestabilidad de la estructura al influir en las características resistentes así como en la rigidez del suelo (Andersen et al. 1988). Por otra parte, como ya se ha puesto de manifiesto, estos investigadores se han centrado en el estudio de terrenos arenosos, tratando de arrojar luz sobre el fenómeno de la liquefacción. En el modelo que se presenta en esta Doctoral se incorpora un comportamiento constitutivo sensible a cargas cíclicas que representa suelos arcillosos. La interacción suelo-estructura, necesaria para determinar la carga transmitida a la cimentación, ha sido investigada principalmente a través de modelos elásticos masa-muelle-amortiguador (Goda, 1994; Oumeraci & Kortenhaus 1994). Estos modelos consideran al cajón como una masa puntual por lo que no son capaces de analizar los distintos estados tensodeformacionales involucrados en dicha interacción. De las pocas investigaciones que han analizado la interacción banqueta de escollera-cajón a través de la mecánica de contacto de cuerpos deformables (Lancha et al. 1998) no se han encontrado investigaciones que hayan analizado las implicaciones geomecánicas. En el modelo que se presenta en esta Tesis Doctoral se incorpora un elemento de contacto capaz de reproducir la interacción banqueta de escollera-cajón, permitiendo el estudio de los complicados estados tensodeformacionales inducidos por el movimiento del cajón sobre la cimentación. Se muestra en la Figura 2. 45, de forma esquemática, el estado del arte de la presente Tesis Doctoral asociado a la dinámica de un lecho marino subyacente y en las inmediaciones de un dique vertical. En dicha figura, se presenta en tonos oscuros los aspectos incorporados en el modelo teórico propuesto en la presente Tesis Doctoral y que se desarrollarán pormenorizadamente en el siguiente capítulo.

Capítulo 2. Estado del Arte

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Figura 2. 45 Esquema explicativo del estado del arte de la presente Tesis Doctoral asociado a la dinámica

de un lecho marino subyacente y en las inmediaciones de un dique vertical.

Yamamoto et al. (1978) Madsen (1978) Yamamoto (1981) Hsu & Jeng. (1993) lin & Jeng (2000)

Comportamiento pseudoestático del terreno. Teoría de Biot.

Incorpora acoplamiento entre el fluido intersticial y el esqueleto del suelo, incluyendo efectos dinámicos.

MODELO PROPUESTO

MAST II (1996) MAST III (2001)

Necesidad de profundizar en el conocimiento de la interacción entre los fenómenos involucrados en la respuesta de un dique vertical ante acción del oleaje:

- Generación instantánea de presión de poros.

- Acumulación residual de la presión de poros..

- Dinámica asociada al movimiento oscilatorio del cajón.

Jeng (2003)

Investigaciones a desarrollar en el ámbito de la dinámica de un lecho marino en las inmediaciones de una estructura marina:

- Interacción oleaje, lecho marino y estructura marina.

- Desarrollo de modelos constitutivos avanzados.

- Implementación de estos modelos constitutivos en simulaciones numéricas.

Sassa & Sekiguchi (1999) Richwien & Wang (2000) Lu & Cui (2004) Pastor et al. (2006) Cheng et al. (2007)

Comportamientos constitutivos realistas capaces de reproducir la respuesta del terreno bajo cargas cíclicas. Centrados en terrenos arenosos.

Incorpora un comportamiento constitutivo sensible a cargas cíclicas. suelos arcillosos y granulares.

MODELO PROPUESTO

Goda (1994) Oumeraci & Kortenhaus (1994)

Interacción suelo-estructura mediante modelos elásticos masa-muelle-amortiguador.

Lancha et al. (1998)

Interacción suelo-estructura mediante modelos de la mecánica de contacto de cuerpos deformables. Sin implicaciones geomecánicas.

Incorpora elemento de contacto para reproducir interacción banqueta de escollera-cajón, permitiendo análisis de implicaciones geomecánicas.

MODELO PROPUESTO

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3. NUEVO MODELO PROPUESTO.

3.1. Introducción

Como ya se ha indicado en los objetivos, en esta investigación se presenta un modelo capaz de representar la compleja interacción terreno-agua-estructura involucrada en un dique vertical de cajones instalado sobre un lecho marino arcilloso y sometido a la acción del oleaje. Esta interacción parece no ser reproducible a través de un único modelo sino que se necesita el acoplamiento de una serie de modelos capaces de representar adecuadamente cada uno de los aspectos principales involucrados, haciéndose imprescindible el empleo de técnicas numéricas. Así para modelar la interacción cimentación-oleaje-dique vertical, se van a definir una serie de entidades físicas que interaccionan una con otro de tal manera que es imposible obtener la solución independiente de cualquiera de dichas entidades sin la solución simultánea de las demás. En otras palabras, la modelización se desarrolla a través de sistemas físicos acoplados. En cada caso de estudio en el que figuran sistemas acoplados, es necesario definir las entidades físicas que interaccionan y la clase de acoplamiento que sufren. En la Figura 3. 1 se pueden apreciar de forma esquemática las entidades físicas involucradas en el análisis de la interacción cimentación-oleaje-dique vertical.

Figura 3. 1 Entidades físicas involucradas en la interacción cimentación-oleaje-dique vertical

Analizando esta figura, observamos que las entidades físicas a representar son:

• Lecho Marino, subyacente y en las inmediaciones del dique vertical. En este sistema físico interactúan el esqueleto del terreno arcilloso y el fluido intersticial. El dominio ocupado por este sistema se denota por lechoΩ .

• Banqueta de apoyo. En este sistema físico interactúan el esqueleto de apoyo y el fluido intersticial. El dominio ocupado por este sistema se denota por banqΩ .

• Cajón. El dominio ocupado por este sistema físico se denota por cajonΩ . • Mar. El dominio ocupado por este sistema físico se denota por marΩ .

El acoplamiento entre el lecho marino, la banqueta de apoyo, cajón y el agua de mar, tiene lugar a través de las condiciones de contorno. El lecho marino y la banqueta de

Cajón

Lecho marino

banqueta de apoyo Mar

Capítulo 3. Nuevo Modelo Propuesto

82

apoyo son en sí sistemas físicos acoplados, ya que constan de dos fases, el esqueleto sólido y el fluido intersticial, por lo que su modelización se diferencia del cajón y el agua de mar, los cuales se consideran formados por una única fase, sólida en el caso del cajón y fluida en el caso del agua de mar. Los dominios acoplados de los que se compone cada una de las entidades físicas lecho marino y banqueta de apoyo se superponen por lo que dicho acoplamiento tiene lugar a través de las ecuaciones en derivadas parciales que gobiernan el comportamiento del esqueleto sólido y del fluido intersticial. En esta Tesis Doctoral no se va a reproducir el mar como medio físico, considerándose que las acciones que ejerce el oleaje sobre la estructura son parte de las condiciones de contorno. El comportamiento global de la interacción cimentación-oleaje-dique vertical quedará perfectamente definido al plantear las ecuaciones que gobiernan las entidades físicas lecho marino, banqueta de apoyo y cajón, incorporando los distintos acoplamientos involucrados, especificando unas condiciones de contorno y unos valores iniciales. En los epígrafes que siguen a continuación se exponen las hipótesis establecidas en relación al comportamiento de cada entidad física así como las ecuaciones de gobierno a las que conducen, conformando el modelo desarrollado en el presente trabajo de investigación para analizar la problemática asociada a la interacción lecho marino-oleaje-dique vertical. Una vez planteado el problema de contorno global, indicando las ecuaciones de las que se compone así como las condiciones de borde consideradas, se planteará en el capítulo cuatro la resolución numérica a través del método de los elementos finitos.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

83

3.2. Modelización del lecho marino.

3.2.1. Acoplamiento fluido intersticial-esqueleto del terreno. Formulación

Generalizada de Biot u-pw.

Tal y como ha quedado patente en el estado del arte, un aspecto clave en la modelización del comportamiento de las cimentaciones de estructuras marina es el acoplamiento entre el fluido intersticial y el esqueleto sólido. En general, los suelos marinos están saturados, aunque en algunos casos pueden existir burbujas de gas ocluidas en los poros, que contribuyen a aumentar la deformabilidad volumétrica del fluido intersticial. Se supondrá que el suelo está saturado ó ligeramente no saturado, pudiendo contener burbujas de gas, es decir, el fluido intersticial es compresible. A su vez se considera que el esqueleto del suelo es compresible. Las velocidades y aceleraciones del fluido relativas al esqueleto sólido son pequeñas. Esta última hipótesis a parte de facilitar los cálculos, es perfectamente válida en el estudio de la dinámica de cimentaciones marinas, ya que las aceleraciones del fluido han de ser tenidas en cuenta en fenómenos de alta frecuencia (superiores a 20Hz) no asociados con el oleaje. Así, las ecuaciones de gobierno del fenómeno de interacción entre el esqueleto del suelo y el fluido intersticial, obtenidas al considerar estas hipótesis, son las asociadas a la formulación

wu p− .

Al combinar la ecuación de conservación de masa del fluido intersticial con la de balance de la cantidad de movimiento del fluido intersticial en el lecho marino, asumiendo que el sistema de coordenadas se mueve con la fase sólida, es decir, un sistema lagrangiano, se obtiene

( ),

,

k0

lecho

ij lecho lecho w

w j w j w j ii lecho

w i

pp u b

g Qρ ρ ε

ρ

⋅ − − ⋅ + ⋅ + + = ⋅

ɺɺɺɺ (3.1)

Siendo la ecuación de balance de la cantidad de movimiento de la mezcla suelo-fluido intersticial del lecho marino: , 0lecho lecho lecho lecho

ij j i iu bσ ρ ρ− ⋅ + ⋅ =ɺɺ (3.2)

En las expresiones anteriores 2

2

lecho

lecho i

i

uu

t

∂=∂

ɺɺ , etc., lecho

iu es el desplazamiento del

esqueleto de suelo con ,i x z= , lecho

ijσ son las componentes del tensor de segundo orden

de tensiones totales de Cauchy del suelo, wp la presión de poros,

( ), ,

1

2lecho lecho lecho

ij i j j iu uε = ⋅ + son las componentes del tensor de segundo orden de

deformaciones infinitesimales del suelo, lechon la porosidad del lecho marino, (1 )lecho lecho lecho lecho

s wn nρ ρ ρ= − ⋅ + ⋅ es la densidad combinada de la mezcla del suelo,

ylecho

s wρ ρ son las densidades del esqueleto del suelo del lecho marino y del fluido

intersticial respectivamente, lechoQ representa la compresibilidad combinada del fluido y

Capítulo 3. Nuevo Modelo Propuesto

84

del esqueleto del suelo, el cual puede relacionarse con el módulo volumétrico de cada componente a través de la expresión ( ) ( ) ( )1 (1 )lecho lecho lecho lecho

w sQ n K n K= + − con

wK

el módulo volumétrico del fluido y lecho

sK el módulo volumétrico del esqueleto del suelo,

g es la aceleración de la gravedad, k lechoij es la permeabilidad de Darcy, siendo ib las

fuerzas volumétricas por unidad de masa.

3.2.2. Comportamiento constitutivo. Teoría Generalizada de la Plasticidad de

Pastor- Zienkiewicz.

El problema principal que se presenta en relación a la respuesta tensodeformacional del lecho marino es que la ecuación constitutiva debe ser capaz de reproducir el comportamiento del suelo bajo cargas cíclicas. Debería poder reproducir la posible degradación del terreno plasmada en un cambio gradual de la resistencia y rigidez, provocado por la acción de cargas repetitivas. Así, la elección del modelo constitutivo adecuado es un aspecto clave para conseguir una buena aproximación respecto al comportamiento del suelo ante distintos estados de carga. Los modelos más frecuentemente empleados en los cálculos realizados en geotecnia, como Von Mises (1913), Drucker-Prager (1952), Mohr-Coulomb (1773), Cam-Clay (1963), etc., pueden dar lugar a errores ya que incorporan limitaciones importantes para poder simular adecuadamente la respuesta del terreno, tal y como se ha indicado en el estado del arte. Para evitar esta problemática existen varias alternativas como la plasticidad con endurecimiento plástico-cinemático, modelos con múltiples superficies de fluencia, modelos de burbuja, plasticidad generalizada, etc. Esta última alternativa, presenta una buena combinación de sencillez y grado de aproximación conseguido, por lo que ha sido seleccionada como marco teórico para el comportamiento constitutivo del esqueleto del lecho marino. La Plasticidad Generalizada fue introducida por Zienkiewicz y Morz (1984) y posteriormente extendida por Pastor et al. (1985, 1987 y 1990) para reproducir el comportamiento de suelos bajo carga cíclica. La idea básica de la teoría Generalizada de la Plasticidad es formular una ley en cuyo marco se puedan incorporar deformaciones plásticas dentro de la superficie de fluencia, para ello no se definen explícitamente ni superficies de fluencia ni superficies de potencial plástico, si no unas direcciones en el espacio tensional que coinciden con los gradientes de estas. En primer lugar, esta teoría supone que la respuesta del suelo, no dependiente de la tasa de aplicación de la carga, puede caracterizarse por una relación entre los incrementos de tensión efectiva y de deformación:

( ):ep ep

ij ijkl kld D d d dσ ε′ ′= =σ D ε (3.3)

Donde el tensor constitutivo tangente de cuarto orden epD depende del nivel de tensiones, la historia del material, de las variables internas de estado y la dirección del

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

85

incremento de carga, siendo ′σ el tensor de tensiones de Cauchy y ε el tensor de deformaciones infinitesimales. Para tener en cuenta esta última dependencia, se introduce una dirección n en el espacio de tensiones tal que:

: 0 carga

: 0 descarga

e

e

d

d

′ > →′ < →

n σ

n σ (3.4)

Siendo ed ′σ es el incremento de tensión elástica, es decir, el incremento de tensiones que se observaría si el material fuera elástico. Como se puede apreciar, la dirección n introduce dos zonas en el espacio de tensiones, una de carga que denotaremos por L y otra de descarga denotada por U, en cada una de las cuales el comportamiento del material es diferente y vendrá definido por una elección del tensor elastoplástico tangente, ep

LD para el estado de carga y ep

UD para el de descarga. El caso

límite, : 0ed ′ =n σ , de los incrementos de cargar neutra está asociado a un comportamiento del material reversible, es decir, ep e=D D tensor de cuarto orden elástico tangente. Al imponer la condición de continuidad entre los estados de carga y de descarga, se obtiene la siguiente expresión:

( ) ( )1 1 1ep e

L U L U

L UH

− − = + ⋅ ⊗ D D m n (3.5)

Donde

Lm y

Um son direcciones unitarias representando el flujo plástico en carga (L) y

en descarga (U), respectivamente, mientras que L

H y U

H son dos funciones escalares

definidas como el módulo plástico en carga y descarga, respectivamente. En esta última expresión puede verse cómo el incremento de deformaciones tiene dos componentes, una elástica edε y otra plástica pdε , de tal forma que e pd d d= +ε ε ε , siendo:

( ) 1:e ed d

− ′=ε D σ (3.6)

1

:p

L U

L U

d dH

′= ⋅ ⊗

ε m n σ (3.7)

Tras manipular ligeramente la expresión (3.5), el tensor constitutivo tangente de cuarto orden epD queda:

: :

: :

e e

L Uep e

e

L U L UH

⊗= −

+D m n D

D Dn D m

(3.8)

De esta forma, en la aproximación Generalizada de la Plasticidad, el comportamiento no lineal irreversible del terreno puede ser descrito especificando los siguientes elementos:

Capítulo 3. Nuevo Modelo Propuesto

86

1. Un tensor de cuarto orden eD representando el comportamiento elástico. 2. Dos escalares

LH y

UH representando los módulos plásticos.

3. Dos tensores L

m y U

m representando las direcciones de flujo plástico.

4. Un tensor n de dirección discriminante de carga-descarga. Debido a que los módulos de endurecimiento

LH y

UH así como las direcciones de

flujo plástico L

m y U

m se determinan plenamente sin hacer referencia a ninguna

superficie de fluencia o superficie de potencial plástico, se pueden emplear distintas expresiones para estos parámetros dependiendo de si el estado es de carga o descarga. Más aún, la condición de consistencia en el sentido de la teoría clásica de la plasticidad, es decir, el requerimiento que durante la plastificación el estado tensional ha de permanecer siempre en la superficie de fluencia, no puede ser impuesto, por lo que el parámetro de consistencia dλ se define por:

: :

: :

e

e

L U L U

dd

Hλ =

+n D ε

n D m (3.9)

Es interesa destacar que aunque la superficie de fluencia como la superficie de potencial plástico no se definen explícitamente, estas pueden ser establecidas a posteriori integrando

L Um y n .

Las variables internas de estado, necesarias para capturar el carácter irreversible de la plasticidad en un medio poroso, son habitualmente la deformación plástica, p

ε y la porosidad, n . Debido a que en los suelos de características arcillosas el efecto de la variación del índice de poros sobre el valor que adquieren los parámetros del modelo es pequeño, solo se ha tenido en cuenta la deformación plástica p

ε .

3.2.3. Modificación y ampliación de la teoría Generalizada de la Plasticidad de

Pastor- Zienkiewicz aplicado a suelos arcillosos.

Respuesta elástica

Se expondrá en primer lugar la parte de la formulación asociada a la respuesta elástica del modelo, definiendo el tensor elástico tangente eD a acoplar en el comportamiento constitutivo. Tras concretar el comportamiento elástico, se definirán los parámetros que comportan la respuesta plástica del modelo. En ambos casos se analizarán el caso normalmente consolidado y el sobreconsolidado. El modelo que se propone asume una respuesta isótropa del material, por lo que las ecuaciones del comportamiento constitutivo se pueden expresar en términos de los invariantes de tensión, p′ (tensión media efectiva), y q (tensión equivalente de Von Mises), así como por sus invariantes de deformación conjugados en relación al trabajo,

vε (deformación volumétrica) y

sε (deformación desviadora). Estos invariantes quedan

definidos por las siguientes expresiones: ( )1 1

3 3iip trσ′ ′ ′= − ⋅ = − ⋅ σ ,

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

87

3 3:

2 2ij ijq s s= ⋅ = s s , donde s es el tensor desviador, el cual está relacionado con el

tensor de tensiones efectivas ′σ a través de la expresión

( )1 1

3 3ij ij ii ijs trσ σ δ′ ′ ′ ′= = − = −s σ σ δδδδ . Por otra parte, se tiene que la deformación

volumétrica viene dada por ( )v iitrε ε= − = −ε , siendo la deformación desviadora

equivalente 2

:3s

ε = e e , con ( )1 1

3 3ij ii ii ije trε ε δ= = − = − ⋅e ε ε δδδδ .

En la teoría Generalizada de la Plasticidad derivada por Pastor et al. (1990), se asumía una respuesta elástica no lineal del terreno. Este comportamiento reversible no lineal se describía a través de la aproximación hipoelástica (Fung, 1965) en la que el módulo de deformación volumétrica K se define a través de la expresión dependiente de la presión hidrostática ( )1K p e κ′= ⋅ + y el módulo tangencial G se obtiene tras asumir un

módulo de Poisson ν constante, siendo p′ el primer invariante del tensor de tensiones efectivas, e el índice de poros y κ el índice de recompresión en escala semilogarítmica. Tal y como aclararon Zytynski et al. (1978), este tipo de modelos conduce a una respuesta no conservativa. Esto significa que si se aplican a un material de estas características múltiples ciclos como el que se muestra en la Figura 3. 2 puede conducir a una producción de energía físicamente incorrecta. Un modelo numérico empleado en un análisis del comportamiento cíclico de un material que incorpore una aproximación de estas características puede conducir a resultados completamente erróneos, obteniendo una acumulación espúrea de deformaciones. Una alternativa a este problema es la de adoptar una aproximación hiperelástica basada en la existencia de un potencial de energía. Esta aproximación proporciona una respuesta conservativa elástica de forma natural, garantizando el cumplimiento de la primera ley de la termodinámica, por lo que se evita el problema de los ciclos mencionado con anterioridad (Houlsby et al. 2005).

Figura 3. 2 Ciclo de cambios de tensión los cuales no deberían generar o disipar energía al considerar un

material conservativo

Mira et al. (2009) acoplaron en un modelo elastoplástico desarrollado para suelos granulares, basado en la teoría General de la Plasticidad, una formulación hiperelástica para representar la dependencia de la rigidez elástica respecto a la tensión efectiva. En la presente Tesis Doctoral se ha propuesto el mismo tipo acoplamiento pero para un terreno de características arcillosas. De los diferentes tipos de modelos hiperelásticos para suelos recientemente propuestos en la literatura geotécnica, como los desarrollados por Borja et al. (1997), Tamagnini et al. (2002) y Houlsby et al. (2005), se ha elegido el último de estos ya que proporciona un marco general para describir la variación de la rigidez elástica como potencia de la tensión efectiva media, a demás de proporcionar

Capítulo 3. Nuevo Modelo Propuesto

88

una extensión para considerar los efectos del grado de sobreconsolidación en la rigidez de las arcillas. Una condición suficiente y necesaria para cumplir la primera ley de la termodinámica para un material elástico es que las tensiones puedan derivarse de un potencial de

energía de deformación, que denotaremos por ( )eijεϒ . Así, Houlsby et al. (2005)

proponen la siguiente expresión para este potencial:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1

01

2

HAR HARn ne a

ij HAR HAR

HAR HAR

pk n

k nε υ

− −ϒ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −

(3.10)

Donde ( ) ( ) ( )

2

0

21 1

1 1 1

e e

HAR ij ije e

ii jj

HAR HAR HAR HAR HAR HAR

g e e

k n k n k nυ ε ε

= + ⋅ + + ⋅ − ⋅ − −

y 1HARn ≠

Mientras que para 1HARn = , la expresión asintótica queda ( ) ( )e e e

HAR ii HAR HAR ij ijk g k e ee a

ij

HAR

pe

k

εε ⋅ + ⋅ ⋅ϒ = ⋅ .

, ,HAR HAR HARk g n son constantes adimensionales y

ap la presión atmosférica, adoptada

como tensión de referencia. A través del parámetro HARn , se incorpora la no linealidad

en el comportamiento elástico, ya que si 0HARn = se tiene un comportamiento elástico

lineal, mientras que si 0HARn ≠ el comportamiento es elástico no lineal. El significado

de los parámetros y HAR HARk g se puede apreciar mejor si consideramos la formulación

triaxial del potencial de energía de deformación ( ),e e

v sε εϒ , en la que se puede observar

como estos parámetros cumplen las siguientes relaciones para un estado de tensiones isótropo:

HAR

HAR

n

HAR

a a

n

HAR

a a

K pk

p p

G pg

p p

′= ⋅

′= ⋅

(3.11)

Siendo K el módulo de deformación volumétrica y G el módulo de deformación tangencial dados por las expresiones siguientes

( )

( )

( )

( )

2

2

,

,

,

,3

e e

v s

e

v

e e

v s

e

s

e e

v s

e e e

v v v

e e

v s

e e e

s s s

p

q

pK

qG

ε εε

ε εε

ε εε ε ε

ε εε ε ε

∂ϒ′ =

∂

∂ϒ=

∂

∂ ϒ′∂= =∂ ∂ ∂

∂ ϒ∂= =∂ ∂ ∂

(3.12)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

89

En el caso de considerar un estado tensional general, las tensiones efectivas vendrán

dadas por ( )eij

ij e

ij

εσ

ε∂ϒ

′ =∂

y el tensor elástico tangente de cuarto orden eD se puede

obtener a través de la expresión 2

ije

ijkl e e e

kl ij kl

Dσε ε ε

∂ ∂ ϒ= =∂ ∂ ∂

. Efectuando las derivadas

parciales mostradas en la última expresión, se obtiene la siguiente fórmula

( )0

2

0

11 2

3

HARn

ij kle

ijkl a HAR HAR HAR HAR ij kl HAR ik jl kl ij

a

pD p n k k n g

p p

σ σδ δ δ δ δ δ

′ ′ = ⋅ ⋅ ⋅ + − + −

(3.13)

Donde ( ) ( )2

0

1

9 2HAR HAR mn mnmm nn

HAR

k n s sp

g

σ σ ⋅ − ⋅′ ′= +

Dos conclusiones pueden ser extraídas de la última expresión. En primer lugar se observa como los términos del tensor elástico tangente eD dependen del estado tensional en general, no sólo de la tensión media efectiva p′ . En segundo lugar, la respuesta elástica del material puede ser anisótropa dependiendo del estado tensional generado, es decir, la expresión (3.13) es un ejemplo de anisotropía inducida por las tensiones. Esta anisotropía no tiene nada que ver con la estructura del material, el cual ha sido considerado isótropo, si no que es inducida por el campo de tensiones (Houlsby et al. 2005). Para extender la formulación anterior a arcillas sobreconsolidadas, es importante entender que la rigidez elástica está influida por el grado de sobreconsolidación. Así, si

denotamos por cp′ a la presión de preconsolidación efectiva media ( )c

OCR p p′ ′= , las

componentes del tensor de cuarto orden elástico tangente queda

( )0

2

0

11 2

3

HAR HARr n

ij kle c

ijkl a HAR HAR HAR HAR ij kl HAR ik jl kl ij

a a

p pD p n k k n g

p p p

σ σδ δ δ δ δ δ

′ ′′ = ⋅ ⋅ ⋅ + − + −

(3.14)

Respuesta plástica

Antes de determinar la respuesta plástica del modelo se van a establecer las hipótesis sobre las que se sustenta. En primer lugar, se asume la existencia de un estado crítico residual en el espacio e p q′− − siendo e el índice de poros, p′ la presión efectiva media y q una medida del desviador, estas últimas definidas con anterioridad. En segundo lugar, la razón entre el incremento de la deformación elástica volumétrica y el incremento de la deformación elástica desviadora son despreciables en comparación con la razón entre el incremento de la deformación plástico volumétrica y el incremento de la deformación plástico desviador, por lo que la dilatancia, d , se puede definir a través de la expresión:

p

v v

p

s s

d dd

d d

ε εε ε

= ≅ (3.15)

Capítulo 3. Nuevo Modelo Propuesto

90

Teniendo en cuenta estas hipótesis se observa que los incrementos totales de deformación (elásticos más plásticos) observados en el laboratorio pueden ser empleados para obtener la dirección

Lm , es decir, la regla de flujo plástico en carga.

Con este objetivo, experimentos realizados por Balasubramanian y Chaudhry (1978) en las arcillas blandas de Bangkok, empleando caminos tensionales de valor q p′ constante, sugirieron que la dilatancia podría ser aproximada por una línea recta en el plano p q′ − , tal y como se muestra en la Figura 3. 3

Figura 3. 3 Dilatancia de las arcillas blandas de Bangkok (Balasubramanian y Chaudhry, 1978)

De esta forma, la dilatancia se puede formular a través de la siguiente expresión:

( ) ( )1p

v

p qp

s

dd M

d

ε α ηε ′−= = + ⋅ − (3.16)

Donde α es una constante del material, q pη ′= es el grado de tensión y

p qM ′− es la

pendiente de la línea de estado crítico en el plano p q′ − . Así, la dirección L

m en el

espacio de invariantes ( ),p q′ viene dada por la expresión

m

mLv

L

Ls

=

m (3.17)

Donde

2

2

m11

m1

Lv

Ls

d

d

d

=+

=+

(3.18)

Respecto a la dirección discriminante de carga-descarga n , se asumirá que la regla de flujo es asociada, siguiendo el consejo de Atkinson y Richardson (1985), los cuales, tras realizar experimentos en tres suelos cohesivos diferentes encontraron poca discrepancia entre el potencial plástico y la superficie de fluencia. Así, tenemos

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

91

L=n m (3.19)

En relación al módulo plásticoH , se empieza considerando el análisis de un ensayo de consolidación isótropo sobre una arcilla normalmente consolidada, para la que los incrementos de la deformación volumétrica elástica y total, según la teoría de estado crítico, vienen dados por:

1

1

e

v

v

dpd

e p

dpd

e p

κε

λε

′= ⋅

′+′

= ⋅′+

(3.20)

Siendo κ la pendiente de la recarga y λ la pendiente de la curva de consolidación normal en escala semilogarítmica natural ( ), lne p′ mientras que e es el índice de poros.

De estas dos expresiones sacamos que según la teoría de estado crítico la deformación volumétrica plástica viene dada por:

1

p e

v v v

dpd d d

e p

λ κε ε ε ′−= − =′+ (3.21)

Teniendo en cuanta ahora la expresión general para los incrementos de deformación plástica (3.7), aplicada al caso actual en el que la regla de flujo plástico es asociada y particularizada al camino de carga considerado, obtenemos la expresión

1p

L

d dpH

′=ε (3.22)

Comparando estas dos últimas expresiones, se puede concluir que el módulo plástico en carga

LH viene dado por la expresión

0

1L

eH p H p

λ κ+ ′ ′= ⋅ = ⋅−

(3.23)

Debido a que el efecto de la disminución del volumen en esta última expresión, representado por ( )1 e+ , cuando el terreno está siendo cargado, es muy inferior que el

efecto del incremento de p′ , 0H es habitualmente considerado como una constante del

terreno. Para poder generalizar la expresión del módulo plástico a otras condiciones de carga distintas que la compresión isótropa, se asume (Zienkiewicz et al. 1999) que el módulo plástico depende del grado de tensión movilizado q pη ′= , disminuyendo cuando este último aumenta hasta anularse cuando el valor de η llega a la línea de estado crítico, es

decir, cuando p q

q p Mη ′−′= = . Así, se considera

Capítulo 3. Nuevo Modelo Propuesto

92

( )0LH H p f η′= ⋅ ⋅ (3.24)

Donde ( )f η es tal que

( )

( )

1 0

0

f si

f si M

η η

η η

= =

= = (3.25)

Pastor et al. (1990) propusieron la siguiente expresión para la función ( )f η

( ) ( )( )

2

0

2

11 1

1p q p q

df sign

M d M

µ

η ηη′ ′− −

+= − ⋅ ⋅ − +

(3.26)

Donde ( )0 1

p qd Mα ′−= + ⋅ y µ puede ser tomado como 2 para la mayoría de las arcillas.

Hasta ahora solo se ha analizado el comportamiento en el plano triaxial, pero las expresiones anteriores pueden ser generalizadas a cualquier condición tridimensional

incorporando la dependencia con el ángulo de Lode, 1 3

3 2

2

1 3 3

3 2

Jsen

Jθ −

⋅= ⋅ − ⋅

, donde

2J y 3J son el segundo y tercer invariante del tensor desviador tensiones efectivas s ,

respectivamente. De esta forma obtendríamos que la dirección L

m en el espacio de

invariantes ( ), ,p q θ′ viene dado por la expresión

m

m

m

Lv

L Ls

Lθ

=

m (3.27)

Con los valores de mLv y m

Ls arriba definidos, siendo

2

cos3m

2 1L

q M

dθ

θ⋅ ⋅= −⋅ +

, mientras

que la pendiente de estado crítico M puede ser expresado según Zienkiewicz y Pande (1977) a través de:

6

3 3f

f

senM

sen sen

φφ θ

′⋅=

′− ⋅ (3.28)

Siendo

fφ′ el ángulo de rozamiento interno. Así, si se considera 30ºθ = , es decir, al

considerar un ensayo de compresión triaxial estándar, obtenemos la pendiente de estado

crítico en el plano p q′ − , 6

3f

p q

f

senM M

sen

φφ′−

′⋅= =

′−.

En el caso de considerara cargas cíclicas, se va a considerar que la descarga se realiza de forma elástica. De esta forma, en la formulación que se presenta en el presente

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

93

trabajo de investigación, no se considera la existencia de un módulo plástico en descarga

uH ni una dirección de flujo plástico en descarga

Um .

El modelo descrito hasta ahora puede ser extendido para describir el comportamiento de arcillas sobreconsolidadas así como bajo la acción de cargas cíclicas. Para alcanzar este objetivo, se introduce una función que representa la memoria del material, denotada función de tensión movilizada, propuesta por Pastor et al. (1990)

1

11

pM

αα ηζ

α

− ′= ⋅ − ⋅ +

(3.29)

Esta función, se incorpora a la expresión del módulo plástico obteniendo

( ) ( ) max0L

H H p f g

γζη ξζ

′= ⋅ + ⋅

(3.30)

Donde ( )f η ya ha sido definida con anterioridad y

maxζ representa el máximo valor

alcanzado previamente por la función de tensión movilizada. En la expresión anterior se ha introducido una función de endurecimiento por deformación desviadora ( )g ξ ,

definida inicialmente por Pastor et al. (1990) según la expresión ( ) ( )g e

βξξ β −⋅= ⋅ ,

donde p

sd dξ ε ξ= =∫ ∫ y ( )0 max1β β ζ ζ = − . En el modelo propuesto en el

presente trabajo de investigación se propone la siguiente expresión para incorporar el endurecimiento por deformación desviadora

( ) ( )11

00g eβ ξξ β − ⋅= ⋅ (3.31)

Siendo ( )00 0 max1β β ζ ζ = − y ( )11 1 max1β β ζ ζ = − , siendo 0 1,β β parámetros

constitutivos. Como ya se ha indicado con anterioridad, la función ( )f η es una función

decreciente alcanzando el valor nulo cuando el estado tensional alcanza la línea de estado crítico. Sin embargo, al considerar arcillas sobreconsolidadas los datos experimentales de ensayos triaxiales, tanto drenados como no drenados, muestran como el estado tensional, representado en un diagrama p q′ − , corta la línea de estado crítico con pendiente no nula, es decir, con módulo plástico distinto de cero. Una vez el estado tensional a cruzado la línea de estado crítico, el módulo plástico sigue disminuyendo hasta alcanzar nuevamente la línea de estado crítico con un valor nulo. Para poder reproducir este fenómeno se introduce la función de endurecimiento por deformación desviadora ( )g ξ . Sin embargo, la expresión propuesta originalmente por Pastor et al.

(1990) no reproduce adecuadamente la variación del módulo plástico una vez que el estado tensional ha cruzado la línea de estado crítico por primera vez. Esto se debe a que el decrecimiento asintótico que predice la expresión original no es lo suficientemente acentuado para conseguir que el módulo plástico se anule nuevamente, tal y como se apreciará en el capítulo 6 de la presente Tesis Doctoral, donde se aborda la validación del modelo.

Capítulo 3. Nuevo Modelo Propuesto

94

Así, tal y como se puede apreciar en las expresiones anteriores, se requiere la incorporación de tres parámetros adicionales 0 1, yγ β β para extender el rango de

aplicación del modelo al caso de arcillas sobreconsolidadas. Aunque más adelante se desarrollarán los aspectos más relevantes de la resolución numérica de las ecuaciones de gobierno presentadas en estos epígrafes, es importante resaltar que las expresiones de

Lm , n y

LH que definen el comportamiento plástico,

están definidas en el espacio de invariantes ( ), ,p q θ′ , mientras que las simulaciones se

desarrollarán en el espacio cartesiano en el que se tienen seis componentes de tensión

ijσ con 1 , 3i j≤ ≤ . De esta forma es necesario realizar una transformación del espacio

definido por los invariantes al espacio cartesiano. Así, mientras que L

H no varía al

cambiar de espacio (Chan, 1988), L

m en el espacio tensional cartesiano queda

m m mL Lv Ls L

ij ij ij

p qθ

θσ σ σ

′∂ ∂ ∂= + +′ ′ ′∂ ∂ ∂

m (3.32)

Resumiendo, el comportamiento constitutivo que se propone para modelar la respuesta tensodeformacional del lecho marino presenta once parámetros. Cuatro constantes elásticas , , ,

HAR HAR HAR HARk g n r , la última de estas permitiendo extender la formulación a

arcillas sobreconsolidadas; la pendiente de la línea de estado crítico M, la constante α caracterizando la dilatancia, 0H que aparece en el módulo plástico, la constanteµ y

0 1, ,β β γ , estas tres últimas permitiendo extender la componente plástica del modelo al

rango de arcillas sobreconsolidadas así como para reproducir el comportamiento tensodeformacional bajo cargas cíclicas. A continuación se expone el modo de determinación de los coeficientes del modelo constitutivo propuesto en la presente Tesis Doctoral. El procedimiento que se expone a continuación es similar la propuesto por Zienkiewicz et al. (1999), variando exclusivamente en la estimación de los parámetros elásticos del modelo. El orden seguido para especificar la estimación de cada uno de los parámetros ha sido el que, en opinión del autor, ha permitido establecer resultados más precisos en relación a los datos obtenidos de los ensayos de laboratorio. En el diagrama que aparece en la Figura 3. 4 se establecen los pasos seguidos para estimar los parámetros. Como se puede apreciar, primero se estiman los parámetros elásticos y luego los de carácter plástico. Dentro de los parámetros elásticos, si se pretende estimar los parámetros asociados a una arcilla normalmente consolidada, se ajusta exclusivamente los parámetros

, ,HAR HAR HARk g n . En el caso de considerar arcillas sobreconsolidadas, en primer lugar se

ajustan , ,HAR HAR HARk g n para luego estimar el parámetro

HARr . Una vez fijado el

comportamiento elástico, el procedimiento seguido para ajustar los parámetros plásticos es similar. En primer lugar se estima M , α , µ y 0H para posteriormente ajustar

0 1, ,β β γ .

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

95

Figura 3. 4 Diagrama descriptivo de los parámetros constitutivos

1. Obtención del parámetro

HARk . Este parámetro adimensional es un indicador

del módulo volumétrico a la tensión media efectiva de referencia 0p′ . Se puede

obtener ajustando la pendiente inicial, ini

K , de la curva que representa la

variación de la tensión media efectiva, p′ , respecto a la deformación

volumétrica v

ε en un ensayo triaxial drenado. Una vez obtenida esta

pendiente, HARk se define como ( )0HAR ini

k K p′= . Este valor puede ser

ligeramente modificado para conseguir un mejor ajuste global de la curva tensión media efectiva, p′ , respecto a la deformación volumétrica

vε .

2. Obtención del parámetro

HARg . Este parámetro adimensional es un indicador

del módulo tangencial a la tensión media efectiva de referencia 0p′ . Se puede

obtener ajustando la pendiente inicial 3ini

G de la curva que representa la

variación de la tensión desviadora q respecto a la deformación desviadora s

ε

en un ensayo triaxial drenado. Una vez obtenida esta pendiente, HARg se define

como ( )0HAR inig G p′= . Este valor puede ser ligeramente modificado para

conseguir un mejor ajuste global de la curva tensión desviadora q respecto a

la deformación desviadora s

ε .

3. Obtención del parámetro

HARn . Este parámetro adimensional representa la no

linealidad del comportamiento elástico. Si 0HARn = los módulos volumétrico y

tangencial reflejan un comportamiento elástico lineal mientras que si 1HARn =

los módulos volumétrico y tangencial se corresponden a un comportamiento hipoelástico, pero en este caso la formulación es conservativa, a diferencia de la formulación hipoelástica convencional. Su valor se determina ajustando la curva p′ ó q respecto a la deformación axial.

4. Obtención del parámetro

HARr . Este parámetro adimensional representa la

influencia del grado de sobreconsolidación sobre el comportamiento elástico. Si 0

HARr = la componente elástica corresponde a una arcilla normalmente

Estimación de parámetros

Parámetros elásticos

Parámetros plásticos

Comportamiento normalmente consolidado

Comportamiento Sobreconsolidado y cíclico Comportamiento normalmente consolidado

Comportamiento Sobreconsolidado y cíclico

Capítulo 3. Nuevo Modelo Propuesto

96

consolidada. Si 1HARr = la componente elástica incorpora plenamente el grado

de consolidación. Su valor se determina ajustando la curva p′ ó q respecto a la deformación axial.

5. Obtención del parámetro

p qM ′− . Este parámetro adimensional es la pendiente

de la línea de estado crítico en el plano p q′ − . Su valor se estima

representando el tensión relativa q pη ′= respecto a la deformación

tangencial o la deformación axial. p q

M ′− se corresponde con el máximo valor

alcanzado por la tensión relativa, q pη ′= , en un ensayo triaxial no drenado. Es interesante mencionar, tal y como se ha puesto de manifiesto en la expresión (3.28),como el parámetro

p qM ′− está relacionado con el ángulo de

rozamiento interno a través de la expresión 6

3f

p q

f

senM M

sen

φφ′−

′⋅= =

′−.

6. Obtención del parámetro α . Este parámetro adimensional controla la

dilatancia y se puede obtener de la pendiente de la curva entre la dilatancia y el tensión relativa q pη ′= , este último normalizado sobre

p qM ′− . Sin embargo,

el valor usualmente asignado a este parámetro es de 0.45. 7. Obtención del parámetro 0H . Este parámetro adimensional es el módulo

plástico cuando la tensión relativa, q pη ′= , es cero. Se obtiene ajustando las curvas p′ ó q respecto a la deformación axial en una ensayo triaxial no drenado.

8. Obtención del parámetro µ . Este parámetro adimensional sirve para ajustar la

variación del módulo plástico a medida que la tensión relativa aumenta. Su valor es 2 para la mayoría de las arcillas.

9. Obtención de los parámetros 0β y 1β . Estos parámetros adimensionales

permiten incorporar una componente de endurecimiento/reblandecimiento por deformación desviadora. Se obtienen ajustando las curvas p′ ó q respecto a la deformación axial en una ensayo triaxial no drenado.

10. Obtención del parámetro γ . Este parámetro representa la disminución de la

tensión media efectiva al aplicar un número de ciclos. Se obtiene ajustando la curva q respecto a p′ en un ensayo triaxial cíclico.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

97

3.2.4. Teoría Generalizada de la Plasticidad de Pastor-Zienkiewicz aplicado a

suelos granulares.

En el apartado anterior, se ha presentado una modificación de la Teoría Generalizada de la Plasticidad de Pastor-Zienkiewicz aplicada a suelos arcillosos. En el supuesto caso de considerar suelos arenosos, incluyendo o no contenido de finos, el modelo constitutivo de la teoría Generalizada de la Plasticidad presentado en el apartado anterior no es válido, siendo necesario la consideración del modelo constitutivo de la teoría Generalizada de la Plasticidad aplicada a suelos granulares. Debido a que algunas de las validaciones presentadas en el capítulo seis consideran suelos con características arenosas, en este apartado se presenta la formulación del comportamiento constitutivo de la teoría Generalizada de la Plasticidad centrado en suelos granulares. En este caso, solo es necesario realizar unas pequeñas modificaciones al modelo presentado en el apartado anterior para suelos arcillosos a fin de que pudiera reproducir adecuadamente un comportamiento granular. Estas modificaciones son i) la dirección de flujo plástico m no tiene por que coincidir con la dirección discriminante de carga-descarga n , es decir, la regla de flujo puede ser no asociada y ii) modificar levemente la expresión del módulo plástico H . A parte de estos dos aspectos, la modelización constitutiva mediante la teoría Generalizada de la Plasticidad de suelos arcillosos y granulares es idéntica. En la línea del último párrafo, se pasa a continuación a establecer las expresiones de la dirección de flujo plástico m , el discriminante de carga-descarga n y la expresión del módulo plástico H , considerados en la formulación de la teoría Generalizada de la Plasticidad aplicada a suelos granulares (Mira et al., 2008). La dirección de flujo plástico en carga se expresa en el espacio de invariantes ( ), ,p q θ′

por:

2 2 2

mcos31

m siendo m ; m ; m1 1 2 1

m

Lv

g g

L Ls Lv Ls L

g g g

L

d q M

d d dθ

θ

θ ⋅ ⋅ = = = = − + + ⋅ +

m (3.33)

Donde ( ) ( )1g g gd Mα η= + ⋅ − es la dilatancia,

gα es una constante del material,

q pη ′= es el grado de tensión y g

M es la pendiente de la línea de estado crítico en el

plano p q′ − . El discriminante de carga se expresa en el espacio de invariantes ( ), ,p q θ′ por:

2 2 2

ncos31

n siendo n ; n ; n1 1 2 1

n

v

f f

s v s

f f f

d q M

d d dθ

θ

θ ⋅ ⋅ = = = = − + + ⋅ +

n (3.34)

Donde ( ) ( )1f f f

d Mα η= + ⋅ − , siendo f

α y f

M parámetros constitutivos.

Capítulo 3. Nuevo Modelo Propuesto

98

El módulo plástico en carga viene dado por la expresión: [ ]0L f v s Dm

H H p H H H H′= ⋅ + ⋅ (3.35)

Siendo

( )

4

0 1 0

max

1

11

1

exp

11

f

f

f

f f

v

g

s

Dm

p

s

f

f f

HM

HM

H

H

d d

pM

γ

α

αηα

η

β β β ξ

ζζ

ξ ε ξ

α ηζα

−

= − ⋅ +

= −

= −

=

= =

′= − ⋅ +

∫ ∫

Donde

0 0 1, , ,H β β γ son parámetros constitutivos, ξ es la deformación plástica

desviadora acumulada y max

ζ es el valor máximo de ζ .

En el modelo tradicional de la plasticidad Generalizada para suelos granulares, se incorpora la posibilidad de considerar un comportamiento plástico en la descarga, pero en el modelo empleado en la presente Tesis Doctoral la descarga es considerada elástica no lineal, por lo que no es necesario incorporar un módulo plástico en descarga.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

99

3.3. Modelización de la banqueta de apoyo.

3.3.1. Acoplamiento fluido intersticial-esqueleto de la banqueta de apoyo.

Formulación Generalizada de Biot u-pw.

Al igual que en el caso del lecho marino este sistema físico es acoplado, interactuando el esqueleto sólido de la banqueta de apoyo y el fluido intersticial. Respecto a las ecuaciones que rigen este acoplamiento se va a considerar la formulación

wu p− . De

esta forma las ecuaciones que rigen la interacción esqueleto de suelo-fluido intersticial de la banqueta y el lecho marino coinciden, sin embargo, en el caso de la banqueta de apoyo se emplea una permeabilidad muy superior, varios órdenes de magnitud más, que la incorporada en las ecuaciones del lecho marino. Al combinar la ecuación de conservación de masa del fluido intersticial con el balance de la cantidad de movimiento del fluido intersticial en la banqueta de apoyo se obtiene:

( ),

,

k0

banq

ij banq banq w

w j w j w j ii banq

w i

pp u b

g Qρ ρ ε

ρ

⋅ − − + + + = ⋅

ɺɺɺɺ (3.36)

De la misma forma, el balance de la cantidad de movimiento de la mezcla apoyo- fluido intersticial viene expresado por: , 0banq banq banq banq

ij j i iu bσ ρ ρ− + =ɺɺ (3.37)

En las expresiones anteriores 2

2

banq

banq i

i

uu

t

∂=∂

ɺɺ , etc., banq

iu es el desplazamiento del

esqueleto de la banqueta de apoyo con ,i x z= , banq

ijσ son las componentes del tensor de

segundo orden de tensiones totales de Cauchy de la banqueta de apoyo, wp la presión

de poros, ( ), ,

1

2banq banq banq

ij i j j iu uε = ⋅ + son las componentes del tensor de segundo orden de

deformaciones infinitesimales de la banqueta de apoyo, banqn la porosidad de la banqueta de apoyo, (1 )banq banq banq

s wn nρ ρ ρ= − ⋅ + ⋅ es la densidad combinada de la

mezcla de la apoyo y el fluido intersticial, y banq

s wρ ρ son las densidades del esqueleto

de apoyo y del fluido intersticial respectivamente, banqQ representa la compresibilidad combinada del fluido y del esqueleto sólido, el cual puede relacionarse con el módulo volumétrico de cada componente a través de la expresión

( ) ( ) ( )1 (1 )banq banq banq banq

w sQ n K n K= + − con

wK el módulo volumétrico del fluido y

banq

sK el módulo volumétrico de la banqueta de apoyo, g es la aceleración de la

gravedad, kbanqij es la permeabilidad de Darcy en la banqueta de apoyo, siendo ib las

fuerzas volumétricas por unidad de masa. Como se puede deducir de los parámetros que aparecen en las expresiones (3.36) y (3.37) las propiedades mecánicas del fluido intersticial en la banqueta de apoyo y en el lecho marino se consideran iguales.

Capítulo 3. Nuevo Modelo Propuesto

100

3.3.2. Comportamiento constitutivo. Ley elástica no lineal aplicada a suelos

granulares.

En relación al comportamiento constitutivo, se ha considerado que la banqueta de apoyo sigue una ley elástica no lineal descrita por el modelo de Houlsby et al. (2005), siendo el tensor elástico tangente de componentes

( )0

2

0

11 2

3

HARn

ij ije

ijkl a HAR HAR HAR HAR ij kl HAR ik jl kl ij

a

pD p n k k n g

p p

σ σδ δ δ δ δ δ

′ ′ = ⋅ ⋅ ⋅ + − + −

(3.38)

Donde ( )2

0

1

9 2HAR HAR mn mnmm nn

HAR

k n s sp

g

σ σ ⋅ − ⋅′ ′= +

En esta expresión , ,

HAR HAR HARk g n son constantes adimensionales que caracterizan la

respuesta elástica no lineal de la banqueta de apoyo, mientras que ap la presión

atmosférica, adoptada como tensión de referencia. Es importante mencionar que entre los modos de fallo que se pueden presentar en un dique vertical se encuentra el fallo de la banqueta de apoyo por cortante. Sin embargo, la presente Tesis Doctoral no se centra en este tipo de fallo, por lo que no se ha prestado atención a las características de resistencia al corte que puede presentar la banqueta de apoyo, modelizándola con un comportamiento elástico. Sin embargo, para no incurrir en error, se ha controlado que el nivel de deformación alcanzado por la banqueta de apoyo esté en rangos aceptables. En el caso de considerar un comportamiento tensodeformacional elastoplástico en la banqueta de apoyo a través de la teoría de Generalizada de la Plasticidad, solo sería necesario realizar unas pequeñas modificaciones al modelo arcilloso para que pudiera reproducir adecuadamente un comportamiento granular. Estas modificaciones serían i) la dirección de flujo plástico m no tiene por que coincidir con la dirección discriminante de carga-descarga n , es decir, la regla de flujo puede ser no asociada y ii) modificar levemente la expresión del módulo plástico H . A parte de estos dos aspectos, la modelización constitutiva mediante la teoría Generalizada de la Plasticidad de suelos arcillosos y granulares es idéntica.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

101

3.4. Modelización del cajón.

A diferencia del lecho marino y la Banqueta de apoyo, el cajón ha sido considerado como un medio monofásico de comportamiento constitutivo elástico lineal. Aunque entre los modos de fallo que se pueden presentar en un dique vertical se encuentra el fallo del cajón por cortante inducido por la acción de un oleaje severo, la hipótesis de comportamiento elástico se considera válida por dos motivos: En primer lugar, el cajón tiende a deformarse mucho menos que los medios que le circundan, pudiendo llegar a ser considerado incluso como un sólido rígido y en segundo lugar, la presente Tesis Doctoral no se centra en este tipo de fallo, por lo que no se ha prestado atención a las características de resistencia al corte que puede presentar el material que compone el cajón. Así, sabiendo que estamos en pequeñas deformaciones, las ecuaciones que gobiernan el comportamiento mecánico del cajón son la ecuación de continuidad, dada por la expresión 0cajonρ =ɺ , el balance de la cantidad de movimiento expresado por , 0cajon cajon cajon cajon

ij j i iu bσ ρ ρ− ⋅ + =ɺɺ (3.39)

y el comportamiento constitutivo, que se ha supuesto elástico lineal y queda definido por el tensor elástico tangente de componentes

1

23

e

ijkl a HAR ij kl HAR ik jl kl ijD p k gδ δ δ δ δ δ = ⋅ + −

(3.40)

En esta última expresión, donde ,

HAR HARk g son las constantes adimensionales que

caracterizan la respuesta elástica, se ha querido poner de manifiesto que la ley elástica propuesta por Houlsby et al. (2005), generaliza el comportamiento elástico lineal tradicional expresado por las ecuaciones generalizadas de Hooke.

En las expresión (3.39) 2

2

cajon

cajon i

i

uu

t

∂=∂

ɺɺ , etc., cajon

iu es el desplazamiento del cajón con

,i x z= , cajon

ijσ son las componentes del tensor de segundo orden de tensiones Cauchy en

el cajón, cajonρ es la densidad media del cajón, siendo ib las fuerzas volumétricas por

unidad de masa.

Capítulo 3. Nuevo Modelo Propuesto

102

3.5. Condiciones de contorno.

3.5.1. Introducción

Las ecuaciones de gobierno expuestas en los epígrafes anteriores, requieren de unas condiciones de contorno adecuadas para poder ser resueltas. En la Figura 3. 5 se muestran las condiciones de contorno que se requieren en el análisis de la interacción oleaje-dique vertical-cimentación.

Figura 3. 5 Dibujo esquemático de la localización de los contornos a considerar.

En los apartados que siguen a continuación se expresan las condiciones de contorno empleadas, describiendo su necesidad. En primer lugar se aborda la modelización de la interfaz de contacto entre el cajón y la banqueta de apoyo, seguidamente se muestra la formulación empleada para representar los bordes de radiación y por último se muestran las condiciones de borde asociadas con la acción del oleaje.

3.5.2. Modelización de la interfaz de contacto cajón-banqueta de apoyo.

Consideramos los cuerpos cajón y banqueta de apoyo, representados por cajonΒ y banqΒ , cada uno de ellos ocupando el dominio acotado 2,cajon banqΩ Ω ⊂ ℝ . Los bordes cajonΓ y

banqΓ de cada cuerpo, consisten en tres partes: , cajon banqueta

t tΓ Γ , donde quedan prescrita las

tensiones superficiales; , cajon banqueta

u uΓ Γ , donde quedan prescritos los desplazamientos y

,cajon banq

c cΓ Γ , donde los dos cuerpos cajonΒ y banqΒ pueden entrar en contacto.

La banqueta de apoyo es un medio poroso saturado existiendo acoplamiento entre el fluido intersticial y el esqueleto sólido. Al intervenir en el fenómeno de contacto dos campos acoplados, deformaciones y presión de poros, ambos deberían ser considerados en la formulación, como en el caso de un contacto termo-mecánico. Sin embargo, se considerará la no existencia de flujo hidráulico en la zona de contacto entre el cajón y la banqueta de apoyo. De esta forma, en la zona de contacto solo es necesario formular las ecuaciones de restricción así como las relaciones cinemáticas para el contacto tangencial sin necesidad de incluir términos relacionados con el fluido intersticial.

cajon

cΓ

cajon

lado marΓ

banq

lado marΓ

lecho

lado marΓ

cajon

trasdósΓ

banq

trasdósΓ

lecho

trasdósΓ

3

lecho

radiaciónΓ

2

lecho

radiaciónΓ

1

lecho

radiaciónΓ

banq

cΓ

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

103

Cuando dos cuerpos entran en contacto, la condición de no penetración vendrá dada por la ecuación (3.41). ( )cajon banq banq− ⋅ ≥ 0x x n (3.41)

Donde y cajon banq

x x denotan las coordenadas en la configuración deformada

( ), ( )cajon cajon banq banqϕ ϕΒ Β de cada uno de los cuerpos, es decir, cajon cajon cajon= +x X u y banq banq banq= +x X u donde y cajon banq

X X son las coordenadas de la configuración de

referencia del cajón, cajonΒ , y de la banqueta de apoyo, banqΒ , siendo y cajon banq

u u los campos de desplazamiento asociados al cajón y al esqueleto sólido de la banqueta de escollera, respectivamente, tal y como se puede apreciar en la Figura 3. 6.

Figura 3. 6 Configuración deformada de los cuerpos B B y cajon banq y distancia mínima.

El vector normal banq

n está asociado al cuerpo banqΒ . Asumiendo que el borde de contacto describe, al menos localmente, una región convexa, podemos relacionar con cualquier punto cajon cajon∈Γx un punto ( )banq banq banqς= ∈Γx x a través de un problema de

distancia mínima, descrito por la expresión (3.42).

( ) ( )ˆ minbanq banq

cajon banq cajon banqd ς ς⊆Γ

= − = −x

x x x x (3.42)

De esta forma, la distancia puede ser empleada para definir la abertura o la penetración entre los dos cuerpos. El parámetro ς representa la parametrización convectiva del

borde banqΓ . De esta forma, el punto banqx se obtiene de la condición necesaria de la

función mínima distancia (3.42) al diferenciar respecto a ς , tal y como se muestra en la relación (3.43)

( ) ( )( ) ( ),

ˆ 0cajon banq

banq

cajon banq

dd

dς

ςς ς

ς ς−

= ⋅ =−

x xx

x x (3.43)

La ecuación (3.43) requiere la ortogonalidad del primer y segundo término. Como

( ),

banq

ς ςx representa el vector tangente, el primer término ha de tener la misma dirección

que el vector normal banqn en el punto de mínimo ς . De esta forma se obtiene que el

( )Bcajon cajonϕ

( )banq ς•x banq

•x

cajon

•x

banqn

( )Bbanq banqϕ

banq

cΓ

ς parametrización

cajon

cΓ

Capítulo 3. Nuevo Modelo Propuesto

104

punto maestro ( )banq ςx es la proyección ortogonal de un nodo esclavo dado cajonx sobre

el borde maestro actualizado ( )banq banq

cϕ Γ .

Una vez el punto banq

x es conocido, podemos definir la restricción representada por la condición de no penetración a través de la expresión ( ) 0cajon banq banqg = − ⋅ ≥

nx x n (3.44)

Siendo banq

n el vector normal asociado al cuerpo banqΒ , evaluado en el ponto de mínima distancia ς . En la dirección tangencial de la interfaz de contacto uno generalmente distingue entre dos casos. Uno es el estado en el que no hay desplazamiento relativo en la dirección tangencial entre las superficies de contacto. El otro caso corresponde al estado de deslizamiento, el cual indica la existencia de un movimiento relativo tangencial entre las superficies de contacto. La condición matemática para representar la no existencia de desplazamiento relativo tangencial entre dos superficies que entran en contacto, puede ser derivada de la proyección (3.43). Es claro que un punto que permanece pegado a otro cuerpo no experimenta movimiento en la dirección tangencial, por lo que su valor respecto a la coordenada ς no cambiará, es decir, 0ς =ɺ . Así, se puede formular la siguiente condición: ( ),

banqgτ ς ς= ⋅ =g 0xττττ (3.45)

Donde ( ) ( ),

cajon banq banqgτ ς ς= − ⋅x x x . La expresión (3.45) expresa el desplazamiento

relativo en la dirección tangencial, el cual ha de ser cero. El deslizamiento relativo entre dos cuerpos está relacionado con el cambio del punto

cajonx relativo a la proyección banq

x . Esto significa que el punto solución ς , el cual ha sido obtenido a través del problema de distancia mínima (3.42), se moverá sobre la superficie maestra. Tal y como puede apreciarse en la Figura 3. 7, el camino seguido por el punto cajon

x sobre la superficie maestra no se conoce a priori, por lo que durante nuestros cálculos no podemos asumir nada respecto al camino seguido, solo conocemos el vector de velocidad relativa ( )tv a tiempo t. De esta forma, en un problema de

deslizamiento con fricción, uno tiene que integrar las velocidades relativas para obtener el camino de cajon

x sobre la superficie maestra.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

105

Figura 3. 7 Camino seguido por el punto cajonx relativo a la superficie maestra

En primer lugar, se determina el desplazamiento relativo del punto cajon

x en la superficie de contacto, el cual está definido en términos del cuerpo banqΒ . La diferencial del deslizamiento relativo respecto a las coordenada convectiva, vendrá dada por el vector tangente ,

banqd dς ς=g xττττ (3.46)

De la expresión (3.46) la longitud del camino friccional puede ser calculada sabiendo dg dτ = gττττ y d dtς ς= ɺ , como

,

t

banq

t

g dtτ ςς= ⋅∫0

xɺ (3.47)

Para evaluar esta última expresión, sería necesario conocer la derivada temporal de ς ,

pudiendo obtenerla derivando respecto al tiempo la relación ( ) ,

cajon banq banq

ς− ⋅ = 0x x x ,

que es válida en el punto de contacto ya que cajon banq−x x es normal a la superficie de contacto y ,

banq

ςx es el vector tangente al borde banqΓ . De esta forma, se obtiene la

siguiente expresión para ςɺ :

( ), ,

1 cajon banq banq banq banq

banq banq

ga g b

ς ςς = ⋅ − ⋅ + ⋅ − n

n

v v x n vɺ (3.48)

Donde ( ) ( ), ,

banq banq

banqa ς ςς ς= ⋅x x describe la métrica empleada y ( ),

banq banq

banqb ςς ς= ⋅x n es

la curvatura del borde. Los vectores ,cajon banqv son las velocidades en ,cajon banq

x . Así, sabiendo los cambios con el tiempo del parámetro convectivo ς , se puede definir la velocidad tangencial relativa a través de la siguiente ecuación de evolución (3.49) ( ),

banq

vL ςς ς= ⋅g xɺττττ (3.49)

Donde

vL denota la derivada de Lie.

Una vez establecidas las ecuaciones básicas que gobiernan el fenómeno de contacto, es esencial describir el comportamiento constitutivo en la interfaz de contacto, tanto en la dirección normal como en la dirección tangencial.

Capítulo 3. Nuevo Modelo Propuesto

106

Tradicionalmente, han existido dos técnicas principales para imponer las condiciones de contacto en la dirección normal, estas son i) la formulación de las condiciones de no interpenetración como restricciones puramente geométricas y ii) el desarrollo de comportamientos constitutivos elásticos o elastoplásticos para aproximar la estructura micromecánica en las superficies que entran en contacto. De estos dos enfoques, solo consideraremos el primero de ellos, ya que ha sido el empleado en la presente Tesis Doctoral. En la primera de las aproximaciones, las tensiones normales de contacto no se deducen de un comportamiento constitutivo, sino que se obtienen como reacción en la zona de contacto por lo que se derivan de las ecuaciones de restricción. Este procedimiento para tratar los problemas de contacto ha sido empleado por un número importante de investigadores, como por ejemplo Johnson (1985) o Kikuchi y Oden (1988). La condición matemática para un estado de no penetración viene dada por 0g ≥

n,

condición que impide la penetración del cuerpo cajonΒ en el cuerpo banqΒ , teniendo lugar el contacto cuando 0g =

n. En este último caso, la componente normal banq

nσ del vector

de tensión banqt en la interfaz de contacto

banq banq banq banq banq banq banq

ntτσ= = ⋅ + ⋅σt n n ττττ (3.50)

ha de ser no nula y de compresión, es decir, 0banq

nσ < . El vector de tensiones actúa en

ambos bordes de contacto, tal y como se aprecia en la Figura 3. 8, obedeciendo el principio de acción-reacción ( )banq cajonς = −t t en el punto de contacto banq

x .

Figura 3. 8 Tensiones en la interfaz de contacto

De esta forma, tenemos 0banq cajon

n nσ σ= < . Es importante resaltar que 0banqtτ = en el caso

de considerar un contacto sin fricción. Así, resumiendo, en caso de estar en contacto, las condiciones son 0g =

n y 0

nσ < . Si existe una abertura entre los cuerpos, entonces la

relación que se tiene es 0Ng > y 0

nσ = . Esto nos lleva a las condiciones de contacto

no friccional conocidas como Hertz-Signorini-Moreau 0, 0, 0

n ng gσ σ≥ ≤ ⋅ =n n

(3.51)

Es interesante remarcar, tal y como se aprecia en la Figura 3. 9 que las ecuaciones (3.51) conducen a una ley de contacto no diferenciable para la presión de contacto normal.

banq

•x

banqn

cajon

•x

banqττττ banqt

cajont

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

107

Figura 3. 9 Presión de contacto frente a abertura normal

En relación a los contactos con una componente tangencial no nula hay que incorporar una ley que gobierne el comportamiento friccional. Es importante destacar la dificultad de obtener leyes que gobiernen este fenómeno debido a su dependencia de variables termomecánicas, del comportamiento tensodeformacional de los cuerpos que entran en contacto, el estado de las superficies que entran en contacto (rugosidad, composición química, etc.), etc. Debido a que es imposible considerar todas estas variables en una única formulación matemática, en la práctica, uno trata de expresar la ley de fricción como función de los aspectos más importantes en consonancia con el contexto en el que se desarrolla el contacto. El resto de las variables, determinan el valor de los coeficientes adimensionales que aparecerán en la ley. A continuación se presenta el modelo empleado en la presente Tesis Doctoral. Para obtener una información más detallada sobre los contactos con fricción se recomienda la lectura de textos especializados (Wriggers, 2006). La ley empleada para modelar el comportamiento friccional es la regularización de la ley de Coulomb con coeficiente de fricción dependiente de la velocidad de deslizamiento. A continuación se pasa a describir el fundamento de esta ley friccional. Inicialmente, se ha considerado que el cajón y la banqueta de apoyo no experimentan un desplazamiento relativo, es decir, se encuentran en modo de no deslizamiento o “pegado”. Esta situación es equivalente a considerar que la velocidad tangencial relativa es cero. Por lo que la condición de “pegado” se puede expresar a través de la expresión siguiente = ⇔ =g 0 g 0ɺ τ ττ ττ ττ τ (3.52)

Una vez la fuerza tangencial existente en la interfaz de contacto supera cierto umbral (Figura 3. 10) entonces, las superficies que entran en contacto ya no permanecen “pegadas” entre sí, sino que experimentan un desplazamiento relativo entre ellas.

Figura 3. 10 Ley de Coulomb de fricción

nσ−

Fτ

gτ

gn

Capítulo 3. Nuevo Modelo Propuesto

108

Este movimiento relativo tangencial, denotado deslizamiento, se puede expresar por la ley de Coulomb

sin n

µ σ µ σ= − ⋅ ⋅ ≥g

gt t

ɺ

ɺ

τττττ ττ ττ ττ τ

ττττ

(3.53)

Donde µ es el coeficiente de fricción para el deslizamiento. Este coeficiente, es constante en la ley clásica de Coulomb. Su valor depende de los materiales que entran en contacto, pudiéndose ver distintos valores para este coeficiente en la Tabla 4. 1

Tabla 4. 1 Coeficientes de fricción para distintas parejas de materiales

PAREJA DE MATERIALES QUE ENTRAN EN CONTACTO

COEFICIENTE DE FRICCIÓN

Hormigón-Hormigón 0.5-1 Hormigón-Arena 0.35-0.6 Hormigón-Acero 0.2-0.4 Metal-Madera 0.3-0.65 Goma-Acero 0.15-0.65 Acero-Acero 0.2-0.8 Acero-Hielo 0.015-0.03

Madera-Madera 0.4-1

Viendo la dispersión de datos que aparecen en esta tabla se aprecia como el coeficiente de fricción ha de estar influenciado por diversos aspectos físicos y geométricos. En general, el coeficiente de fricción depende parámetros como la rugosidad de la superficie, la velocidad relativa de deslizamiento gɺ ττττ entre los cuerpos que entran en

contacto, la tensión normal de contacto n

σ , la temperatura θ , etc. Si estos efectos son

introducidos, se obtiene una variante de ley de Coulomb en la que el coeficiente de fricción es variable ( ), ,

nµ µ σ θ= gɺ ττττ .

Al estar considerando en la presente investigación un estudio dinámico, se ha estimado oportuno incorporar en la formulación del contacto entre el cajón y la banqueta de apoyo un coeficiente de fricción dependiente de la velocidad de deslizamiento relativo gɺ ττττ , siguiendo la expresión

( ) ( ) c

D s Deµ µ µ µ −= + − ⋅ g

gɺ

ɺ ττττ

ττττ (3.54)

Esta expresión depende de tres parámetros constitutivos, , ,

D scµ µ . Así, en el caso de

considerar una velocidad de deslizamiento nula ( )0=gɺ ττττ , el coeficiente de fricción

asume el valor s

µ . Para velocidades elevadas el coeficiente de fricción se aproxima a

Dµ . La tasa a la que el coeficiente de fricción pasa de su valor estático

sµ a su valor

dinámico D

µ está gobernada por el parámetro c , tal y como se muestra en la Figura 3.

11.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

109

Figura 3. 11 Ley de fricción de Coulomb dependiente de la velocidad

El principal problema que presenta la formulación de Coulomb es que introduce un comportamiento no diferenciable al existir un umbral a partir del cual empieza a haber deslizamiento entre las superficies de contacto. Este aspecto conlleva serios problemas a la hora de realizar un tratamiento numérico del contacto cuya modelización se basa en esta ley (Rappaz, 2003). En la literatura especializada (Oden y Pires, 1983; Wriggers, 2006) se han propuesto una serie de modelos que evitan esta dificultad. Estas formulaciones, se basan en la consideración de un funcional que permite una transición suave del modo de “pegado” al modo de deslizamiento, regularizando la ley de Coulomb. Así, en el caso que nos ocupa de dos dimensiones se tiene la siguiente expresión: ( ) n

t gτ τµ ϕ σ= − ⋅ ⋅ɺ (3.55)

Donde la función ϕ que regula la transición suave del modo de “pegado” al modo de deslizamiento viene definida por la expresión (3.56), puediendose apreciar el procedimiento de suavizado en la Figura 3. 12.

( )2 2

gg

g

ττ

τ

ϕχ

=+ɺ

ɺ

ɺ

(3.56)

En esta última expresión el parámetro escalar χ es la variable de regularización. Se observa que si 0χ → se obtiene como caso límite la ley clásica de Coulomb. Es importante destacar que para valores muy elevados de χ este modelo no es capaz de reproducir adecuadamente los movimientos “pegado”-deslizamiento. Por otro lado, la diferenciabilidad de la expresión (3.56) permite el empleo de algoritmos numéricos más simples y robustos.

Figura 3. 12 Regularización de la ley de fricción de Coulomb

tτ

gτɺ

( )2 2

gg

g

τ

τ

τ

ϕχ

=+

ɺɺ

ɺ

Capítulo 3. Nuevo Modelo Propuesto

110

3.5.3. Modelización de los contornos de radiación.

Al realizar un estudio dinámico, se generan ondas de tensión que se transmiten por el medio y alcanzan en algún momento los límites del domino prefijado para el estudio, a no ser que se amortigüen antes de alcanzarlo. Si no se realiza ningún tratamiento especial en estos bordes, la onda, al alcanzar uno de estos límites se reflejará pudiendo llegar a afectar a las mediciones realizadas en la zona de interés. Este efecto borde no es realista y para evitarlo hay que poner unas condiciones de contorno especiales. Este tipo de bordes reciben distintos nombres, como bordes silenciosos, absorbentes, de radiación o no reflectantes. Para un medio continuo monofásico, el primer desarrollo de bordes silenciosos locales que se conoce proviene, casi de forma simultanea, de los trabajos de Zienkiewicz y Newton (1969) así como de Lysmer y Kuhlemeyer (1969). En el trabajo de Zienkiewicz y Newton de 1969, el borde absorbente propuesto se basaba en el empleo de unos operadores diferenciales que permitían satisfacer la condición de ondas salientes del recinto de estudio. Por otro lado, Lysmer y Kuhlemeyer (1969) propusieron unos bordes viscosos, consistentes en una serie de amortiguadores incorporados a lo largo del borde. Ambas formulaciones resultaron ser idénticas. Posteriormente, Higdom (1990, 1992) propuso una mejora de los bordes anteriores, basada en una serie de operadores diferenciales de primer orden, los cuales permitían una absorción perfecta para ondas incidentes bajo ciertos ángulos. Este procedimiento, a pesar de ser aplicable a una amplia variedad de problemas en una, dos y tres dimensiones, considerando medios dispersivos y estratificados, involucraba derivadas de orden superior, haciéndolos incompatibles con el procedimiento estándar de los elementos finitos, en el que se emplean elementos 0C . Debido a las deficiencias anteriormente consideradas, algunos investigadores, entre los que destaca el trabajo desarrollado por Givoli (2001, 2003, 2006), propusieron modelos de bordes absorbentes no reflectantes de orden superior en los que no se requería el empleo de derivadas de orden superior, permitiendo una implementación eficiente en el método de los elementos finitos. En el campo de la dinámica asociada a medios porosos saturados, los modelos de borde silencioso son más recientes. Uno de los primeros trabajos fue el desarrollado por Gajo et al. en 1996, en el que desarrollaron unos bordes no reflectantes Higdom de segundo orden en un medio poroso saturado, modelizado este último bajo el esquema u U− de la formulación generalizada de Biot (Zienkiewicz y Shiomi, 1984). En la presente Tesis Doctoral se propone como modelo de borde silencioso para el medio poroso saturado una versión del modelo establecido por Gajo et al. en 1996, considerando un esquema de Higdom de primer orden asociado al esquema

wu p− de la

formulación generalizada de Biot (Zienkiewicz y Shiomi, 1984).

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

111

Para la obtención de las ecuaciones que modelan el borde silencioso se establecen unas hipótesis simplificadoras en las inmediaciones del borde a considerar. Estas son:

1. La onda incidente en el borde considerado sigue la dirección normal al eje del borde. Se va a considerar el borde inferior

1

lecho

radiaciónΓ de la geometría presentada en

la Figura 3. 5 para establecer las condiciones especiales de absorción. 2. Se considera que el comportamiento en las inmediaciones del borde es elástico

lineal isótropo. 3. No se consideran las fuerzas másicas no inerciales. 4. Se considera despreciable la permeabilidad del medio poroso, es decir, k 0≅ . 5. El fluido se considera compresible, es decir, lechoQ < ∞ .

La primera de las hipótesis, permite simplificar el problema considerando el caso unidimensional para luego generalizarlo al caso bidimensional. Ya que se ha considerado el borde

1

lecho

radiaciónΓ , los desplazamientos, tensiones, etc. no verían respecto a

la coordenada horizontal x . De esta forma todas las derivadas respecto a x son cero. La segunda de estas hipótesis es aplicable a nuestro caso de estudio, siempre que el borde esté lo suficientemente lejos del dique vertical como para que el comportamiento del lecho marino se pueda considerar elástico. La tercera de las hipótesis, aparte de simplificar la formulación, es aplicable al considerar que la acción de la gravedad juega un papel poco destacable en los efectos de transmisión de ondas de tensión. La cuarta hipótesis tiene sentido como aproximación al estar considerando un terreno arcilloso de muy baja permeabilidad, e implica la no existencia de flujo de fluido intersticial a través de los bordes, es decir, ( ) 0

wp∂ ∂ =n siendo n la dirección normal

al borde considerado. Una vez establecidas las hipótesis, se parte de las ecuaciones de gobierno asociadas al esquema

wu p− del medio poroso saturado dadas por las ecuaciones (3.57) y (3.58)

( ),

,

k0

lecho

ij lecho lecho w

w j w j w j ii lecho

w i

pp u b

g Qρ ρ ε

ρ

⋅ − − + + + = ⋅

ɺɺɺɺ (3.57)

, 0lecho lecho lecho lecho

ij j i iu bσ ρ ρ− + =ɺɺ (3.58)

Por la cuarta hipótesis la expresión (3.57) se puede expresar a través de la relación

0lecho w

ii lecho

p

Qε + =

ɺɺ (3.59)

Al considerar la quinta hipótesis y tras una integración en el tiempo se tiene lecho lecho

w iip Q ε− = ⋅ (3.60)

Imponiendo la tercera hipótesis en la ecuación (3.58) se obtiene

Capítulo 3. Nuevo Modelo Propuesto

112

, 0lecho lecho lecho

ij j iuσ ρ− =ɺɺ (3.61)

Incorporando la primera hipótesis a la expresión (3.61) se obtiene

0

0

xy

x

yy

y

uy

uy

σρ

σρ

∂− =

∂∂

− =∂

ɺɺ

ɺɺ

(3.62)

Siendo las tensiones que aparecen en esta última expresión tensiones totales. Considerando ahora las expresiones (3.60), (3.62) y teniendo en cuenta la segunda hipótesis se obtiene

2

2

2

2

0

4( ) 0

3

x

x

ylecho

y

uG u

y

uK G Q u

y

ρ

ρ

∂ − =∂

∂ + ⋅ + − = ∂

ɺɺ

ɺɺ

(3.63)

Siendo yG K el módulo tangencial y de volumétrico del terreno, respectivamente.

Las expresiones que aparecen en (3.63) corresponden a la ecuación de onda unidimensional, que tiene por expresión general

2 2

2 2 2

10

y c t

φ φ∂ ∂− ⋅ =∂ ∂

(3.64)

y que tiene como solución ( )( )

I IIy ct y ctφ φ φ= − + + (3.65)

Donde c es la velocidad de la onda mientras que

Iφ y

IIφ representan dos ondas

viajando en la dirección positiva y negativa del eje y, respectivamente. Cuando la onda incide en el borde

1

lecho

radiaciónΓ estas ondas representan la onda reflejada y la onda

transmitida.

Así, xuφ = representa una onda de corte viajando con velocidad

sc G ρ= . Mientras

que yuφ = representa una onda de compresión viajando a velocidad

4( )

3lecho

cc K G Q ρ = + ⋅ +

. Zienkiewicz y Newton (1969) observaron que la

condición a imponer en los bordes de radiación debía corresponder a la existencia exclusiva de ondas salientes, eliminando de la formulación las ondas entrantes, es decir, en el caso del borde

1

lecho

radiaciónΓ se tendría la expresión

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

113

( )IIy ctφ φ= + (3.66)

Se observa inmediatamente que esta última expresión cumple las siguientes condiciones

II

II

ct

t

φ φ

φ φ

∂ ′= ⋅∂∂ ′=∂

(3.67)

Siendo ( )

( )II

d y ct

d y ct

φφ

+′ =

+. La expresión (3.67) implica la siguiente relación

1

y c t

φ φ∂ ∂=∂ ∂

(3.68)

De esta forma, la condición de radiación en el borde

1

lecho

radiaciónΓ en relación a las tensiones

tangenciales se puede expresar por

x

x xy

s

uGt

c tσ ∂= − = − ⋅

∂ (3.69)

Mientras que respecto a las tensiones normales se puede expresar por

4( )

3lecho

y

y yy

c

K G Qu

tc t

σ

+ ⋅ + ∂ = − = − ⋅∂

(3.70)

Estas condiciones de borde de radiación son equivalentes a incorporar unos amortiguamientos en la dirección normal y tangencial. De esta forma, cuando la onda elástica llega al borde absorbente, la energía de la onda es absorbida por los amortiguadores induciendo el movimiento del contorno de radiación. Para optimizar la capacidad de absorción, se ha considerado el empleo de unos coeficientes ( )0 , 1a b≤ ≤ , siguiendo la línea argumental de Lysmer y Kuhlemeyer en

1969. De esta forma, las condiciones de contorno no reflectantes en el borde 1

lecho

radiaciónΓ

quedarían:

4( )

3lecho

y

y yy

c

x

x xy

s

K G Qu

t ac t

uGt b

c t

σ

σ

+ ⋅ + ∂ = − = − ⋅ ⋅∂

∂= − = − ⋅ ⋅∂

(3.71)

Capítulo 3. Nuevo Modelo Propuesto

114

Al considerar el caso bidimensional, se procede a aplicar el esquema desarrollado para el borde

1

lecho

radiaciónΓ al resto de bordes considerados no reflectantes del estudio numérico.

En la presente Tesis Doctoral habría que asignar las condiciones de borde de radiación en los contornos

2

lecho

radiaciónΓ y

3

lecho

radiaciónΓ , obteniendo como resultado las expresiones (3.72) y

(3.73) siguientes.

2

4( )

3, para

lecho

y lechox

xy xx radiación

s c

y x

K G Qu uG

t ac t c t

tσ σ+ ⋅ +∂ ∂

= − ⋅ = − ⋅ ⋅ Γ∂ ∂

= = (3.72)

3

4( )

3, para

lecho

c

y lechox

xy xx radiación

s

y x

K G Q

ac

u uGt

c t ttσ σ

+ ⋅ +⋅

∂ ∂= ⋅ = ⋅ Γ

∂ ∂

= − − = − − (3.73)

Es importante remarcar que la calidad de la absorción de los bordes no reflectantes considerados en la presente Tesis Doctoral depende del ángulo de incidencia con el borde. Así, cuanto mayor sea el ángulo de incidencia de la onda respecto a la normal al borde menor será la capacidad de absorción. Este aspecto se debe a que estos bordes de radiación son una extrapolación al caso bidimensional de un tratamiento unidimensional. Esta deficiencia ha sido resuelta por distintos investigadores para un medio continuo monofásico, entre los que destacan Higdon (1990, 1992), Givoli (2001, 2003, 2006). En el caso medios porosos saturados existe el modelo de Gajo et al. (1996) basado en el esquema de Higdon (1990), arrastrando las incompatibles con el procedimiento estándar de los elementos finitos ya mencionadas.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

115

3.5.4. Modelización de los contornos que interactúan con el oleaje.

Teniendo en cuanta el trabajo de Kudella et al. (2006), en el que encontraron que la contribución del oleaje al proceso acumulativo de presión de poros era exclusivamente a través del movimiento del cajón, derivado de la acción impulsiva por rotura de la ola, se va a despreciar la contribución directa del oleaje sobre el lecho marino y sobre la banqueta de apoyo, solo considerando sobre estos la presión hidrostática debida al nivel del mar en reposo

w wp gzρ= .

En primera instancia, se contemplo la posibilidad de emplear las expresiones empíricas de estimación de presión de ola, tanto horizontal como de subpresión, obtenidas en el marco del proyecto europeo PROVERS. Entre los trabajo que se recogen en este proyecto, cabe destacar los de Allsop et al. (1997) y Oumeraci y Kortenhaus (1997, 1998 y 1999). Allsop et al. (1996) investigaron una cantidad importante de datos, obtenidos en ensayos a escala 1:20, para poder obtener una expresión con la cual predecir la máxima fuerza horizontal de una ola. Más concretamente, las fuerzas investigadas correspondían al nivel 1/250, es decir, de las 500 medidas de presión de ola realizadas en cada test, se adoptó la media de presiones correspondiente a las dos olas más grandes del registro. Aunque los trabajos de Allsop et al. (1997) sirven para establecer una buena estimación de la fuerza máxima horizontal, no permiten predecir su duración. Oumeraci y Kortenhaus (1997, 1998, 1999) desarrollaron un método a través del cual se podía estimar la máxima fuerza horizontal de una ola, asociando a esta fuerza su tiempo de duración. Este método consiste en proponer una función de distribución que represente a la fuerza de impacto máxima, adimensionalizada por la altura de la ola en rotura. La función de distribución propuesta por Oumeraci y Kortenhaus corresponde a una log-Weibull de parámetros , ,α β γ . Las investigaciones desarrolladas por Oumeraci y Kortenhaus podrían servir para obtener un registro temporal de fuerzas, ya que permite estimar tanto el valor máximo de la fuerza como su duración. Sin embargo, la determinación de los parámetros , ,α β γ está influida por la tipología estructural, así como por la pendiente del fondo marino, no existiendo una expresión explícita que ligue a estos parámetros con las distintas situaciones que se pueden presentar, teniendo que deducirlos empíricamente, para cada caso particular, a través de ensayos. Este aspecto complica el empleo de la distribución log-Weibull para estimar el valor máximo de la fuerza horizontal. Este motivo condujo a los autores de la presente Tesis Doctoral a considerar registros reales de presión de ola para estimar tanto la intensidad de la fuerza horizontal y de subpresión máxima como los tiempos de aplicación de dichas fuerzas.

Capítulo 3. Nuevo Modelo Propuesto

116

3.6. Conclusiones del modelo propuesto

Se muestra en la Figura 3. 13, de forma esquemática, las partes de las que se compone el modelo propuesto en la presente Tesis Doctoral para abordar la compleja interacción terreno-agua-estructura involucrada en un dique vertical de cajones instalado sobre un lecho marino arcilloso y sometido a la acción del oleaje. En dicha figura, se presenta con tonos oscuros las aportaciones novedosas, relacionadas con el modelo teórico, propuestas en esta Tesis Doctoral.

Figura 3. 13 Esquema del modelo teórico propuesto en la presente Tesis Doctoral para analizar la

interacción suelos arcilloso-banqueta de apoyo-cajón-Oleaje.

Ley Tensodeformacional.

Teoría Generalizada de la Plasticidad.

Pastor-Zienkiewicz (1990)

Componente elástica termodinámicamente

inconsistente. No reproduce adecuadamente carga cíclica

Aplicación de formulación de Mira et al. (2008)

termodinámicamente consistente a suelos arcillosos

Modelización Comportamiento Lecho

Marino

Modelización

comportamiento cajón.

Condiciones de Contorno

Acoplamiento fluido intersticial-esqueleto del

terreno Formulación Generalizada

de Biot u-pw (Zienkiewicz y Shiomi,

1984)

Contacto Cajón –Banqueta

de Escollera

Bordes de radiación

Acción impulsiva del oleaje

MODELO PROPUESTO PARA REPRESENTAR LA INTERACCIÓN SUELO ARCILLOSO-BANQUETA DE ESCOLLERA-CAJÓN-OLEAJE

Modelización de las condiciones de

Contorno

Aportaciones novedosas de la presente Tesis Doctoral

Houlsby et al. (2005) ley elástica no lineal

termodinámicamente consistente.

Mira et al. (2008) componente elástica termodinámicamente consistente para suelos

granulares

Modelización Comportamiento

Banqueta de Escollera

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

117

En la Tabla 3. 1, Tabla 3. 2, Tabla 3. 3 se muestra de una forma más detallada las ecuaciones que constituyen el modelo propuesto para representar el problema de la interacción cimentación-banqueta de apoyo-cajón, incorporando los distintos acoplamientos involucrados. Seguidamente, en la Tabla 3. 4, se presentan las condiciones de contorno consideradas.

Tabla 3. 1 Ecuaciones que componen la parte del modelo que representa el lecho marino

Ecuaciones que gobiernan el comportamiento del lecho marino Ecuación de conservación de masa del fluido intersticial + Balance de la cantidad de movimiento del fluido intersticial .

( ),

,

k0

lecho

ij lecho lecho w

w j w j w j ii lecho

w i

pp u b

g Qρ ρ ε

ρ⋅ − − + + + =

⋅

ɺɺɺɺ

Formulación Generalizada de Biot u-pw . (Zienkiewicz & Shiomi, 1984)

Ecuación de balance de la cantidad de movimiento de la mezcla suelo-fluido intersticial.

, 0lecho lecho lecho lecho

ij j i iu bσ ρ ρ− + =ɺɺ

Ampliación de la Teoría Generalizada de la Plasticidad (Pastor & Zienkiewicz, 1990) aplicada a suelos arcillosos

: :: :

: :

e eep

ed d d

H

⊗′ = = +

D m n Dσ D ε ε

n D m

Componente elástica conservativa:

( ) ( )0

2

0

11 2

3

HARn

e ij kl

ijkl a HAR HAR HAR HAR ij kl HAR ik jl kl ij

a

pD p n k k n g

p p

σ σδ δ δ δ δ δ

′ ′= ⋅ ⋅ ⋅ + − + −

Componente plástica: − Regla de flujo plástico en carga asociativa.

( )2 2 2

1 cos3m ,m ,m , ,

1 1 2 1L Lv Ls L

d q M

d d dθ

θ= =

⋅ ⋅= −

+ + ⋅ +

mn

− Módulo plástico en carga.

( ) ( ) max0L

H H p f g

γζη ξζ

′= ⋅ + ⋅

− Descarga elástica.

Capítulo 3. Nuevo Modelo Propuesto

118

Tabla 3. 2 - Ecuaciones que componen la parte del modelo que representa la Banqueta de apoyo

Ecuaciones que gobiernan el comportamiento de la Banqueta de apoyo Ecuación de conservación de masa del fluido intersticial + Balance de la cantidad de movimiento del fluido intersticial .

( ),

,

k0

banq

ij banq banq w

w j w j w j ii banq

w i

pp u b

g Qρ ρ ε

ρ⋅ − − + + + =

⋅

ɺɺɺɺ

Formulación Generalizada de Biot u-pw ( Zienkiewicz & Shiomi, 1984) Ecuación de

balance de la cantidad de movimiento de la mezcla apoyo-fluido intersticial.

, 0banq banq banq banq

ij j i iu bσ ρ ρ− + =ɺɺ

Ley tensión-deformación elástica no lineal isótropa termodinámicamente consistente aplicada a suelos granulares. (Houlsby et al., 2005)

:ed d′ =σ D ε

Siendo :

( ) ( )0

2

0

11 2

3

HARn

e ij kl

ijkl a HAR HAR HAR HAR ij kl HAR ik jl kl ij

a

pD p n k k n g

p p

σ σδ δ δ δ δ δ

′ ′= ⋅ ⋅ ⋅ + − + −

Tabla 3. 3 Ecuaciones que componen la parte del modelo que representa el cajón

Ecuaciones que gobiernan el comportamiento del Cajón Ecuación de continuidad

0cajonρ =ɺ

Ecuación de balance de la cantidad de movimiento

, 0cajon cajon cajon cajon

ij j i iu bσ ρ ρ− ⋅ + =ɺɺ

Ley tensión-deformación elástica lineal isótropa (Lamé-Hooke, 1852)

:ed d′ =σ D ε

Siendo :

12

3

e

ijkl a HAR ij kl HAR ik jl kl ijD p k gδ δ δ δ δ δ= ⋅ + −

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

119

En relación a las ecuaciones de gobierno, cabe destacar las siguientes conclusiones: − Al suponer un fluido intersticial compresible, considerando que el fenómeno del

oleaje implica acciones de frecuencia inferior a 20Hz, la formulación Generalizada de Biot u-pw para modelizar el acoplamiento entre el fluido intersticial-esqueleto del terreno se considera la apropiada, reuniendo los requisitos necesarios de adecuación y eficiencia.

− El requisito necesario de poder reproducir un comportamiento realista del suelo bajo

cargas cíclicas ha condicionado la elección del modelo constitutivo. La elección de la Teoría Generalizada de la Plasticidad de Pastor-Zienkiewicz como marco para la ley constitutiva se ha basado en la capacidad de ampliamente demostrada de esta teoría para reproducir adecuadamente los procesos de degradación del terreno provocado por la acción de cargas repetitivas. Por otra parte, la ampliación propuesta en la presente Tesis Doctoral de la formulación de la teoría de Pastor-Zienkiewicz (1990), al aplicar, al modelo clásico considerado para suelos arcillosos, la formulación termodinámicamente consistente de Houlsby et al. (2005) se ha considerado imprescindible debido al carácter eminentemente cíclico de las acciones consideradas en el presente caso de análisis.

− Debido a que la presente Tesis Doctoral se centra en la respuesta del terreno ante la

acción del oleaje, no considerando los posibles modos de fallo asociados a la banqueta, no se ha prestado atención a las características de resistencia al corte que puede presentar la banqueta de apoyo, modelizándola con un comportamiento elástico no lineal conservativo específico de suelos granulares.

− Debido a que el cajón tiende a deformarse mucho menos que los medios que le

circundan, pudiendo llegar a ser considerado incluso como un sólido rígido, no estando el fallo del cajón dentro de los objetivos de la presente Tesis Doctoral, no se ha prestado atención a las características de resistencia al corte que puede presentar el material que constituye el cajón, modelizándolo con un comportamiento elástico lineal isótropo.

Capítulo 3. Nuevo Modelo Propuesto

120

Tabla 3. 4 Condiciones de contorno

Ecuaciones que gobiernan el contacto Banqueta de apoyo-Cajón. ( ,cajon banq

c cΓ Γ )

Componente normal del contacto. Condiciones Hertz-Signorini-Moreau.

0, 0, 0N Nn ng gσ σ≥ ≤ ⋅ =

Componente tangencial del contacto. Regularización de la ley de Coulomb con coeficiente de fricción dependiente de la velocidad de deslizamiento.

( )( )2 2

c T

D s D

T

n

gt e

gτ µ µ µ σ

χ−= − + − ⋅ ⋅ ⋅

+Tgɺ

ɺ

ɺ

Bordes de radiación. (1 2 3, ,lecho lecho lecho

radiacion radiacion radiacionΓ Γ Γ )

Componente normal y tangencial al borde

1

lecho

radiacionΓ

4( )

3

lecho

y

yy

c

x

xy

s

y

x

K G Qu

ac t

uGbc t

t

t

σ

σ

+ ⋅ + ∂= − ⋅ ⋅

∂

∂= − ⋅ ⋅

∂

= −

= −

Componente normal y

tangencial al borde 2

lecho

radiacionΓ

4( )

3

=

lecho

x

xx

c

y

y xy

s

x

K G Qu

t ac t

uG

c tt

σ

σ

+ ⋅ +∂

= − ⋅ ⋅∂

∂= − ⋅

∂

=

Versión del modelo de Gajo et al. (1996), considerando un esquema de Higdom de primer orden asociado al esquema

wu p− de la formulación

generalizada de Biot

Componente normal y

tangencial al borde 3

lecho

radiacionΓ

4( )

3 lecho

x

xx

c

y

xy

s

x

y

K G Q

ac

ut

t

uGt

c t

σ

σ

+ ⋅ +⋅

∂= − ⋅

∂

∂= − ⋅

∂

= −

= −

Contornos Hidráulicos . (

, , , ,,cajon cajon lecho banq banq lecho

lado mar trasdós lado mar lado mar trasdós trasdósΓ Γ Γ Γ Γ Γ )

Presión hidrostática debida al nivel del mar en reposo.

, , ,,cajon lecho banq banq lecho

trasdós lado mar lado mar trasdós trasdósΓ Γ Γ Γ Γ

w wp gzρ=

Presión impulsiva por rotura de la ola.

cajon

lado marΓ

Variación temporal de la fuerza impulsiva horizontal de ola (Fh) y la fuerza de subpresión (Fu) obtenidas por una integración espacial de las presiones de impacto registradas experimentalmente en el paramento vertical del cajón y bajo este

Fh

Fu

Tiempo (seg)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

121

En relación a las condiciones de contorno, cabe destacar las siguientes conclusiones: − Debido al complejo carácter friccional y dinámico de la interacción entre la banqueta

de apoyo – cajón, llegándose en casos extremos a desarrollar los cuatro posibles modos de deformación que puede sufrir una interfaz de contacto (no deslizamiento, deslizamiento, separación y restablecimiento del contacto), se considera acertado modelizar esta interfaz formulando las condiciones de no interpenetración como restricciones puramente geométricas y no incorporando comportamientos constitutivos elásticos o elastoplásticos a un material ficticio, de difícil definición, que reproduzca las características tensodeformacionales principales de este fenómeno de contacto.

− El modelo de borde silencioso propuesto permite modelizar en los bordes un

comportamiento no reflectante para un medio poroso saturado con permeabilidades bajas siendo compatible dicho modelo con el procedimiento estándar de los elementos finitos.

− Considerar registros experimentales de presión de ola para modelizar la presión

impulsiva generada por la rotura de una ola frente al cajón, permite disponer de una solicitación realista del dique vertical.

Capítulo 3. Nuevo Modelo Propuesto

122

123

4. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DEL MODELO PROPUESTO.

CÓDIGO ADÍNDICA.

4.1. Introducción.

En el capítulo tres se han obtenido las ecuaciones de gobierno del fenómeno de interacción terreno-agua-estructura involucrado en un dique vertical de cajones instalado sobre un lecho marino arcilloso y sometido a la acción del oleaje. Para ello ha sido necesario reconocer los aspectos relevantes involucrados en el fenómeno estudiado, imponiendo ciertas hipótesis simplificadoras sobre las variables físicas. Una vez planteadas las ecuaciones de gobierno que rigen el problema de la interacción cimentación-oleaje-dique vertical, incorporando los distintos acoplamientos involucrados así como las condiciones de contorno, el siguiente paso consiste en resolverlas. Las soluciones analíticas cerradas en general solo pueden ser obtenidas para un conjunto de situaciones idealizadas, en las que la caracterización del material así como la representación de las condiciones de contorno son muy limitadas. Tal y como se ha podido apreciar en el capítulo del estado del arte, en el ámbito de la dinámica de un lecho marino, este tipo de soluciones está prácticamente circunscrito a los modelos desacoplados, los cuales impiden un tratamiento solidario entre el movimiento del fluido intersticial y el movimiento del esqueleto del suelo, no proporcionando información alguna sobre la tensión efectiva ni sobre el desplazamiento del terreno en el lecho marino. De esta forma, para poder obtener soluciones del complejo problema de interacción cimentación-oleaje-dique vertical, que proporcionen información relevante desde el punto de vista de la ingeniería, parece ser necesario el empleo de técnicas numéricas. Una solución numérica implica la sustitución de una descripción continua del problema a estudiar por uno en el que la solución se obtiene únicamente en un número finito de puntos en el tiempo y en el espacio. De entre los métodos numéricos existentes para obtener soluciones aproximadas de un sistema de ecuaciones en derivadas parciales definido en un dominio espacial los más frecuentemente empleados son el método de las diferencias finitas y el método de los elementos finitos. De estos dos métodos se ha empleado el método de los elementos finitos ya que, en comparación con el método de las diferencias finitas, permite un tratamiento de las condiciones de contorno más natural, estando más capacitado para tratar problemas con geometrías complejas, permitiendo el empleo de mallas no estructuradas. En el presente capítulo, tras una breve descripción del método de los elementos finitos, se presenta la discretización espacial de las ecuaciones que gobiernan el comportamiento del lecho marino, la banqueta de apoyo y el cajón. Seguidamente, el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden obtenido con la discretización espacial del lecho marino, la banqueta de apoyo y cajón, se complementa con las incorporaciones derivadas del tratamiento numérico del contacto entre la banqueta de apoyo y el cajón así como de los bordes de radiación.

Capítulo 4. Resolución numérica del modelo propuesto. Código ADÍNDICA

124

Tras la obtención definitiva del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineal que gobierna el problema dinámico global se desarrolla el proceso de integración temporal. En todo procedimiento del método de los elementos finitos que involucre relaciones tensodeformacionales no lineales, la obtención de las tensiones asociadas a un incremento de deformaciones cualquiera es un aspecto de especial relevancia. Tras abordar el proceso de integración temporal, se presenta un novedoso algoritmo de integración puntual aplicable a leyes constitutivas elastoplásticas circunscritas a la teoría Generalizada de la Plasticidad. Por último, se presenta el diagrama de flujo, en forma esquemática, del programa ADÍNDICA fruto de la resolución numérica de las ecuaciones de gobierno que rigen el problema de la interacción cimentación-oleaje-dique vertical, desarrollado en el entorno Matlab, cuyas siglas significan Análisis Dinámico de Diques de Cajones.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

125

4.2. Discretización espacial de las ecuaciones de gobierno.

4.2.1. Aspectos generales.

Los procedimientos generales del método de los elementos finitos para resolver de forma aproximada problemas de contorno se describen en detalle en varios libros especializados (Zienkiewicz 2005; Crisfield 1991,1997; Hughes 2000; Brenner 2002; Rappaz et al. 2003). En lo que sigue se seguirá la metodología propuesta por Zienkiewicz et al. (1999). En la Figura 4. 1 se puede apreciar el proceso seguido a la hora de resolver numéricamente por medio del método de los elementos finitos un problema de contorno en el ámbito de la dinámica de medios continuos.

Figura 4. 1 Esquema ilustrativo del proceso a seguir para obtener la resolución numérica de un problema de contorno.

En primer lugar, gracias a una teoría dentro del marco de la mecánica de medios continuos planteamos el sistema de ecuaciones en derivadas parciales que gobiernan el fenómeno de estudio. Al aplicar la mecánica de medios continuos al fenómeno de estudio de la presente investigación se han obtenido ecuaciones en derivadas parciales del tipo ( ) 0+ + =A B Lɺɺ ɺφ φ φφ φ φφ φ φφ φ φ (4.1)

Donde A y B son matrices de constantes y L es un operador no lineal que involucra derivadas parciales espaciales como , ,x z etc∂ ∂ ∂ ∂ . φφφφ es un vector función de las variables primitivas que en el presente caso de estudio son el desplazamiento u y la presión de poros

wp . Los puntos sobre la variable φφφφ denotan derivación en el tiempo.

A la ecuación (4.1) con las correspondientes condiciones de contorno y condiciones iniciales se le suele denotar por formulación fuerte del problema. Una vez se obtienen las ecuaciones en derivadas parciales que gobiernan el fenómeno de estudio, el dominio espacial sobre el que están definidas estas ecuaciones se descompone en un conjunto de elementos de tamaño y forma arbitrarias. Esta

Capítulo 4. Resolución numérica del modelo propuesto. Código ADÍNDICA

126

descomposición es denotada habitualmente por malla de elementos finitos. Las únicas restricciones para la construcción de la malla es que los elementos que la componen no pueden solaparse y tienen que cubrir todo el dominio. Seguidamente las variables primitivas del problema φφφφ son discretizadas o aproximadas

a través de un conjunto finito de parámetros kφφφφ y de funciones de interpolación k

N ,

estas últimas definidas en la dimensión espacial. De esta forma se obtiene

1

n

h k

k

k

N=

≅ = ⋅∑φ φ φφ φ φφ φ φφ φ φ (4.2)

Donde las funciones de interpolación

kN , asociadas a la malla, están definidas en

términos de las coordenadas espaciales mientras que los parámetros kφφφφ son valores de las variables primitivas en ciertos puntos espaciales denotados nodos, permaneciendo dependientes del tiempo, es decir

( )( ),

k k

k k

N N x z

t

≡

≡φ φφ φφ φφ φ (4.3)

Insertando la aproximación hφφφφ de la función φφφφ en la ecuación diferencial (4.1), premultiplicando el sistema de ecuaciones por unas funciones de peso apropiadas e integrando sobre el dominio espacial Ω sobre el que se definen las funciones incógnita se obtiene la formulación variacional del problema de contorno

( )( )T 0h h h

jW d

Ω

+ + Ω =∫ A B Lɺɺ ɺφ φ φφ φ φφ φ φφ φ φ (4.4)

Tras efectuar la integración en la expresión (4.4) se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden

( )+ + =M C P 0ɺɺ ɺφ φ φφ φ φφ φ φφ φ φ (4.5)

Donde ,M C y P son matrices o vectores cuya dimensión se corresponde con el

número de parámetros kφφφφ . Una elección habitual para las funciones de peso j

W es

considerarlas iguales a las funciones de interpolación j

N . Este procedimiento, denotado

como método de Galerkin, es el empleado en el tratamiento numérico del presente trabajo de investigación. Para resolver el sistema (4.5) se requiere el empleo de alguno de los métodos monopaso o multipaso de integración temporal. Por último, si el método de integración temporal empleado es implícito será necesario resolver un sistema algebraico no lineal, obteniendo la solución de las variables primitivas en un número finito de puntos. La solución para cualquier otro punto del dominio se obtendrá vía interpolación.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

127

Desde un punto de vista más matemático, es interesante destacar que si la solución del

problema de contorno φφφφ es suficientemente suave, es decir, ( )2C∈ Ωφφφφ siendo Ω la

clausura del dominio espacial sobre el que se definen las funciones incógnita, se obtiene la equivalencia entre la formulación fuerte y la formulación débil. Al establecer la formulación variacional o débil, la solución del problema de contorno ya no se busca en el espacio de funciones diferenciables, sino en el espacio funcional de Sovolev ( )1H Ω .

Este tipo de espacio funcional es un espacio de Hilbert, cuya estructura permite enunciar teoremas de existencia y unicidad para la solución del problema variacional. Una vez establecida la existencia y unicidad de la solución del problema variacional, el método de los elementos finitos propone un procedimiento para aproximar esta solución. Uno de los aspectos básicos del método de los elementos finitos consiste en establecer funciones de interpolación de tal manera que al refinar la malla, es decir, al disminuir el tamaño de los elementos que la componen, la solución aproximada converja a la solución exacta (Huges 2000). Para conseguir este comportamiento en el límite, existen tres requerimientos de continuidad que tienen que cumplir las funciones de interpolación. En primer lugar han de ser funciones diferenciables en el interior de cada elemento, en segundo lugar han de ser funciones continuas sobre el borde de cada elemento y en tercer lugar tienen que ser capaces de representar de forma exacta los movimientos rígidos y los estados de deformación constantes. Los elementos que disponen de funciones de interpolación que cumplen las dos primeras condiciones se denotan elementos 0C . Se puede comprobar fácilmente que al emplear elementos isoparamétricos los tres criterios de convergencia se cumplen automáticamente. En este tipo de elementos las funciones de interpolación

jN coinciden con las funciones de forma

jNɶ , siendo estas

últimas las que describen la geometría del elemento a través de coordenadas locales. Debido a que las ecuaciones de gobierno obtenidas en el capítulo cuatro presentan derivadas parciales de primer orden en el espacio, es necesario emplear funciones de interpolación 0C . Para poder asegurar este requisito, se han empleado elementos isoparamétricos en la discretización de las ecuaciones de gobierno.

Capítulo 4. Resolución numérica del modelo propuesto. Código ADÍNDICA

128

4.2.2. Discretización espacial de las ecuaciones de gobierno del lecho marino y

banqueta de apoyo.

Se resumen a continuación las ecuaciones de gobierno de la formulación wu p− ,

empleando exclusivamente la forma compacta vectorial de las ecuaciones, en la que los tensores de cuarto orden se corresponden con matrices y los tensores de segundo orden con vectores. De igual forma, la doble contracción entre tensores de segundo orden

( ):ij ij

σ ε=σ ε es sustituida por el producto escalar ( )T

i iσ ε=σ ε y la doble contracción de

un tensor de cuarto orden con uno de segundo orden ( ):ijkl kl

D ε=D ε se reduce a una

transformación matricial ( )ij jD ε=Dε . Esta representación además de ser más

conveniente para la discretización por elementos finitos, nos permitirá una implementación más eficiente en el lenguaje M del entorno Matlab al estar basada en expresiones matriciales. La ecuación de balance de la cantidad de movimiento de la mezcla esqueleto de suelo-fluido intersticial puede formularse a través de la expresión T ρ ρ− + =σS u b 0ɺɺ (4.6) Donde el operador S queda definido en dos dimensiones a través de la expresión

0

0

x

z

z x

∂ ∂

∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

S (4.7)

De esta forma, el incremento de deformaciones en dos dimensiones dε viene dado por la expresión siguiente

0

0 x

x

z

z

xz

xddu

d d dduz

d

z x

εεγ

∂ ∂

∂ = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ε S u (4.8)

Donde du es el incremento de desplazamientos en dos dimensiones, ρ la densidad total de la mezcla generalmente considerada constante y viene dada por la formula

(1 )s w

n nρ ρ ρ= − ⋅ + ⋅ donde ys wρ ρ son las densidades del esqueleto sólido y del

fluido intersticial respectivamente. σ es el tensor de tensiones totales de Cauchy siendo , ,

x z xzσ σ σ las componentes que contribuyen al trabajo interno, por lo que se considerará

en el presente apartado la igualdad (4.9).

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

129

x

z

xz

σσσ

=

σ (4.9)

El tensor de tensiones efectivas de Cauchy queda definida por la expresión

wp′ = + ⋅σ σ m , siendo wp la presión de poros y ( )T1 1 0=m . La tensión efectiva ′σ

se obtiene de las deformaciones a partir de una ley constitutiva generalmente definida por incrementos a través de la expresión

para el esqueleto sólido del lecho marino

par la banqueta de apoyo

ep

e

d d

d d

′ =′ =

σ D ε

σ D ε (4.10)

No se consideran en el presente trabajo de investigación componentes viscosas ni térmicas de deformación. Este aspecto puede apreciarse al no incorporar la relación tensodeformacional (4.10) términos iniciales debidos a estos fenómenos. A parte de las expresiones (4.6) y (4.10) hay que incorporar una ecuación más, la ecuación de conservación de masa acoplada con el balance del momento lineal del fluido intersticial, expresada a través de la formula

( )( )T ww w

pp

Qρ∇ ⋅ −∇ + ⋅ + ⋅ + =k S 0b m u

ɺɺ (4.11)

Donde Q es el módulo de deformación volumétrico combinado del fluido y del

esqueleto sólido, ( )( )kij f

gρ= ⋅k es la matriz de permeabilidades siendo g la

aceleración de la gravedad, k ij las componentes de la permeabilidad de Darcy, ( )ib=b

el vector de fuerzas volumétricas por unidad de masa y uɺ el vector velocidad del esqueleto sólido. La contribución de la aceleración del suelo en esta última expresión ha sido despreciada. Su inclusión conlleva que el sistema final a resolver sea no simétrico y el efecto de su omisión, investigado por Chan (1988), es despreciable. El sistema de ecuaciones (4.6), (4.10) y (4.11) definen un sistema de ecuaciones completo del problema de asociado a la interacción esqueleto sólido-fluido intersticial, en el que las variables primitivas del problema son el desplazamiento del esqueleto de suelo u y la presión de poros wp . Para poder resolver este sistema es necesario

incorporar unas condiciones iniciales y de contorno adecuadas, estas última vienen expresadas por:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ), , para , 0,

, , para , 0,

imp

imp u

t t t T

t t t T

= ∈Γ ×

= ∈Γ ×t

t x t x x

u x u x x (4.12)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

, , , , , para ,

, , para ,

0,

0,w

w w w

w wimp p

impt t p t t t t

p t p t t

T

T

ρ⋅ = ⋅ −∇ + = ∈ Γ ×

= ∈ Γ ×

T Tn w n kx x x b x x x

x x x

q (4.13)

Capítulo 4. Resolución numérica del modelo propuesto. Código ADÍNDICA

130

Donde el borde total Γ es la unión de sus componentes, es decir,

wt u w pΓ = Γ ∪ Γ = Γ ∪ Γ . Por otro lado, ( )0,T es el intervalo de tiempo en el que quedan

definidas las variables primitivas u y wp . Por último, para terminar de definir

plenamente el problema falta por establecer las condiciones iniciales, que en el presente caso vienen dadas por la expresión

( )( )( )

0

0

0

,0 para

,0 para

,0 para w w

p p

= ∈Ω

= ∈Ω

= ∈Ω

u x u x

u x u x

x x

ɺ ɺ (4.14)

Como ya se ha indicado las variables primitivas asociadas a la formulación wu p− son

el desplazamiento u y la presión de poros wp , por lo que en este caso hay que

discretizar espacialmente ambas variables a través de unas funciones de interpolación adecuadas. Así, se puede escribir

1

1

u

p

w

n

h u k u

k

k

n

ph k p

w w k w w

k

N

p p N p

=

=

≅ = ⋅ =

≅ = ⋅ =

∑

∑

u u u N u

N p

(4.15)

Donde u y

wp tienen 2

un y

wpn componentes, respectivamente. En la ecuación (4.15)

las funciones de forma uN y wpN no tienen por que ser iguales. De hecho, según Sloan

& Randolph (1982) el orden de interpolación de la presión de poros debe ser igual al orden de la interpolación para el campo deformaciones, es decir, un orden menos que el de la interpolación de los desplazamientos. En particular, si se considera el caso cuasiincompresible, el empleo de funciones de interpolación iguales para el desplazamiento y la presión de poros conduce a la aparición de oscilaciones espaciales en la presión de poros. Este fenómeno se debe al hecho de que este tipo de elementos no satisface la condición de Babuska-Brezzi para las formulaciones mixtas. Atendiendo a requisitos de robustez en la solución, establecidos por la condición de Babuska-Brezzi, y teniendo en cuenta que se requiere una interpolación 0C para ambas variables se ha escogido para discretizar las ecuaciones de la formulación wu p− el

elemento triangular lagrangiano isoparamétrico mixto cuadrático de 6 nodos para interpolar los desplazamientos u y lineal de 3 nodos para interpolar las presiones de poros

wp . Es interesante remarcar que la tasa de convergencia de este elemento es

cuadrática, es decir optima (Hughes, 2000). Así, para obtener la primera ecuación discretizada en el espacio, se premultiplica la

ecuación (4.6) por ( )TuN e integrando el primer término por partes se obtiene:

( ) ( ) ( )T T TT u u u u

impd d d dρ ρ

Ω Ω Ω Γ

Ω + Ω = Ω + Γ

∫ ∫ ∫ ∫t

tσB N N u N b N tɺɺ (4.16)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

131

Donde la matriz B viene dada por u=B SN . Incorporando la tensión efectiva

wp′ = + ⋅σ σ m en la ecuación (4.16) se obtiene finalmente el sistema de ecuaciones

diferencial ordinaria no lineal de segundo orden

( ) ( )T TT u u

w impd d dρ

Ω Ω Γ

′+ Ω − = Ω + Γ∫ ∫ ∫t

tu σM B Qp N b N tɺɺ (4.17)

Siendo M la matriz de masas del sistema, dado por

( )Tu udρΩ

= Ω∫M N N (4.18)

Mientras que la matriz Q es la matriz que establece el acoplamiento entre el

desplazamiento u y la presión de poros wp , cuya expresión es

T pdΩ

= Ω∫Q B mN (4.19)

El cálculo de la tensión efectiva en la expresión (4.17) procederá de forma incremental, resolviendo la ecuación diferencial ordinaria de primer orden siguiente epd d′ =σ D B u (4.20) a través de algún procedimiento adecuado de integración de relaciones constitutivas elastoplásticas. Tal y como se verá en subsiguientes apartados del presente capítulo, en este trabajo de investigación se propone un nuevo algoritmo de integración basado en la técnica de subincrementación propuesta por Sloan en 1987. En general, al analizar problemas dinámicos en geomateriales el amortiguamiento introducido por el comportamiento plástico del material y los efectos viscosos derivados del flujo de fluido intersticial son suficientes para amortiguar las posibles oscilaciones espúreas que pueden aparecer al resolver numéricamente las ecuaciones de gobierno de la formulación wu p− . Sin embargo, si el rango de deformaciones en el que

se mueve el problema es bajo, la histéresis registrada será pequeña o si el comportamiento constitutivo empleado es elástico, en caso de querer obtener soluciones simplificadas, puede llegar a ser necesario incorporar al sistema una componente de amortiguamiento. En este caso la expresión (4.17) es sustituida por

( ) ( )T TT u u

w impd d dρ

Ω Ω Γ

′+ + Ω − = Ω + Γ∫ ∫ ∫t

tσMu Cu B Qp N b N tɺɺ ɺ (4.21)

En caso de no tener un conocimiento específico sobre la naturaleza del amortiguamiento, usualmente se considera un amortiguamiento tipo Rayleigh en el que la matriz de amortiguamiento del sistema C viene dada por la expresión α β= +C M K (4.22)

Capítulo 4. Resolución numérica del modelo propuesto. Código ADÍNDICA

132

Donde α y β son coeficientes cuyos valores se ajustan en función de la frecuencia que se quiera amortiguar,M es la matriz de masas del sistema (4.18) y K es la matriz de rigidez tangente dada por la expresión

T ep dΩ

= Ω∫ DK B B (4.23)

Por último se discretiza la ecuación (4.11) premultiplicando por ( )TpN e integrando por

partes. Así se obtiene la ecuación diferencial ordinaria de primer orden

( ) ( )T TT dimp

w

p p

w w w wdρ

Ω Γ

+ + = ∇ Ω + Γ∫ ∫kQ u Hp Sp N b N qɺ ɺ (4.24)

Siendo H la matriz de permeabilidad y S la matriz de compresibilidad, cuyas expresiones viene dadas por

( ) ( )Tp p

w

dgρΩ

= ∇ ∇ Ω⋅∫k

H N N (4.25)

( ) ( )T 1p p dQΩ

= Ω∫S N N (4.26)

El sistema de ecuaciones ordinarias compuesto por las expresiones (4.17), (4.20) y (4.24) conforman la discretización espacial de las ecuaciones de gobierno de la formulación wu p− , empleadas para modelizar el lecho marino y la banqueta de apoyo.

Es importante destacar que todas estas matrices, , , , ,M C Q H K y S , son globales del sistema, obtenidas a través de un procedimiento de ensamblaje de las matrices

, , , ,e e e e eM C Q H K y eS asociadas a cada elemento de la malla. Es interesante mencionar que en el caso de emplear esta formulación para representar el lecho marino, las no linealidades involucradas que se pueden presentar provienen por un lado del comportamiento elastoplástico del esqueleto del suelo, recogido en la expresión (4.20) y la posible dependencia de la permeabilidad con la deformación, haciendo que la matriz H dependa de los valores que toma el desplazamiento u . En la presente investigación solo se ha tenido en cuenta la no linealidad relacionada con el comportamiento tensodeformacional del esqueleto del suelo. Una vez obtenidas las ecuaciones generales de gobierno semidiscretizadas (4.17), (4.20) y (4.24), cada uno de los casos especiales de comportamiento observado en un geomaterial, proceso estático drenado, estático no drenado y consolidación, se pueden obtener directamente del esquema general. Para reproducir el fenómeno transitorio de la consolidación solo es necesario reducir el término dinámico Muɺɺ a un valor despreciable. Al realizar esta modificación en el esquema general la estabilidad numérica del algoritmo no varía, siempre y cuando se emplee una integración implícita.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

133

Los comportamientos estáticos no drenado y drenado pueden ser de igual forma obtenidos del esquema general de solución. Para el caso drenado, si se reescriben las ecuaciones de gobierno discretizadas espacialmente, (4.17) y (4.24), omitiendo los términos que involucran derivadas temporales, se obtiene el sistema no lineal siguiente

T 1

wd

Ω

′ Ω − − =∫ σ 0B Qp f (4.27)

2

w− = 0Hp f (4.28)

recordando que las tensiones efectivas se obtienen al integrar la ecuación diferencial ordinaria de primer orden (4.20). Se observa en primer lugar como el sistema formado por las ecuaciones (4.27) y (4.28) es un sistema desacoplado, pudiéndose resolver la ecuación (4.28) de forma independiente para obtener los excesos de presión de poros. Obteniendo

wp al resolver

(4.28), la ecuación (4.27), acoplada con la ley constitutiva (4.20), puede ser resuelta numéricamente una vez se conozcan las cargas aplicadas. El caso del comportamiento no drenado es algo más complicado. Si se considera una permeabilidad nula, =k 0 , es decir, al considerar un comportamiento totalmente impermeable, se obtiene 2 y = =0 0H f (4.29) Imponiendo esta condición a la permeabilidad, la ecuación (4.24) queda de la siguiente forma:

T

w+ = 0Q u Spɺ ɺ (4.30)

Si consideramos ahora las condiciones iniciales

0= 0u y

0w= 0p , es decir,

desplazamientos y presión de poros iniciales nulos, al integrar la ecuación (4.30) se obtiene la relación (4.31) no dependiente del tiempo T

w+ = 0Q u Sp (4.31)

Así, para el caso del comportamiento no drenado se ha de resolver numéricamente el sistema no lineal formado por las ecuaciones (4.20), (4.27) y (4.31). Por último, en relación a la resolución aproximada de las integrales que definen las matrices , , , ,e e e e e

M C Q H K y eS asociadas a cada elemento triangular de la malla, cabe mencionar el empleo de la cuadratura de Gauss, considerando 7 puntos de integración para la matriz de masas, 3 puntos para la matriz de acoplamiento, rigidez y compresibilidad, usando un único punto de integración para la matriz de permeabilidades.

Capítulo 4. Resolución numérica del modelo propuesto. Código ADÍNDICA

134

4.2.3. Discretización de las ecuaciones de gobierno del Cajón.

Empleando la forma compacta de las ecuaciones, al igual que en el apartado anterior, la ecuación de balance de la cantidad de movimiento del cajón viene dada por: T ρ ρ− + =σ 0S u bɺɺ (4.32) Donde el operador S queda definido de la misma forma que en el apartado anterior, siendo ρ la densidad media del cajón, que se supone constante, σ el tensor de tensiones de Cauchy, u el vector desplazamiento y b el vector de fuerzas volumétricas por unidad de masa. Por último, la relación constitutiva, supuesta elástica lineal e isótropa, queda representada por ed d=σ D ε (4.33) El sistema de ecuaciones (4.32) y (4.33) definen un sistema de ecuaciones completo del problema de asociado a la respuesta dinámica del cajón. Para poder resolver este sistema es necesario incorporar unas condiciones iniciales y de contorno adecuadas, estas últimas vienen expresadas por:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ), , para , 0,

, , para , 0,

imp

imp u

t t t T

t t t T

= ∈Γ ×

= ∈Γ ×tt x t x x

u x u x x (4.34)

Donde el borde total Γ es la unión de sus componentes, es decir, t uΓ = Γ ∪ Γ .

De la misma forma que en el apartado anterior, pasamos a discretizar la variable primitiva que en este caso se corresponde con el desplazamiento u , pudiendo escribir

1

un

h u k u

k

k

N=

≅ = ⋅ =∑u u u N u . Además de requerir una interpolación 0C para la variable

u , el criterio seguido para la elección del tipo de elemento ha sido la compatibilidad con la discretización empleada para la variable desplazamiento en los elementos de la banqueta de apoyo. Así, se ha empleado para la discretización del cajón un elemento triangular lagrangiano isoparamétrico cuadrático de 6 nodos para interpolar los desplazamientos u .

Así, premultiplicando la ecuación (4.32) por ( )TuN , integrando el primer término por

partes, incorporando el comportamiento constitutivo e incorporando una componente de amortiguamiento se obtiene:

( ) ( )T Tu u

impd dρ

Ω Γ

+ + = Ω + Γ∫ ∫t

tMu Cu Ku N b N tɺɺ ɺ (4.35)

Siendo M , K y C las matrices de masas, rigidez y de amortiguamiento del sistema, respectivamente, estando definidas por:

( )T T ; con u u ed dρ α βΩ Ω

= Ω = Ω = +∫ ∫M N N K B D B C M K (4.36)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

135

4.3. Tratamiento numérico del contacto Cajón – Banqueta de apoyo.

Resolver un problema de contacto con varios cuerpos deformables significa resolver las ecuaciones de equilibrio de los distintos cuerpos junto con las condiciones de contorno de contacto impuestas por la presencia del resto de cuerpos. En el presente trabajo de investigación los cuerpos deformables que entran en contacto son la banqueta de apoyo y el cajón. En ausencia de contacto, la discretización espacial de las ecuaciones de gobierno de la banqueta de apoyo y el cajón, vienen dadas por las expresiones (4.37) y (4.38), respectivamente.

( ) ( )

( ) ( )

T TT

T TT

banq banq banq

w

esc banq

pw

banq

imp

banqbanq banq banq banq banq banq esc banq u banq u banq banq

w imp

banqbanq banq banq banq banq banq p banq banq p banq

w w w p

d d d

d d

ρ

ρ

Ω Ω Γ

Ω Γ

′+ + Ω − = Ω +

+ + = ∇ Ω +

Γ

Γ

∫ ∫ ∫

∫ ∫

t

tσ

k

M u C u B Q p N b N t

Q u H p S p N b N q

ɺɺ ɺ

ɺ ɺ (4.37)

( ) ( )T T

cajon cajon

cajon cajon cajon cajon cajon cajon u cajon u cajon cajon

imp

cajond dρ

Ω Γ

+ + = Ω + Γ∫ ∫t

tM u C u K u N b N tɺɺ ɺ (4.38)

En estas últimas expresiones, banq

uɺɺ , banq

uɺ y banq

u son los vectores de aceleraciones, velocidades y desplazamientos nodales del esqueleto de la banqueta de apoyo, respectivamente. De forma similar,

wp ,

wpɺ son los vectores de presión de poros y

velocidades de presión de poros nodales del fluido intersticial de la banqueta de apoyo. Por otra parte, cajon

uɺɺ , cajon

uɺ y cajon

u representan el vector de aceleraciones, velocidades y desplazamientos nodales del cajón, respectivamente. Cuando el cajón y la banqueta de apoyo entran en contacto, tanto las fuerzas normales, derivadas de las ecuaciones de restricción Hertz-Signorini-Moreau, como las tangenciales, derivadas de la ley que gobierna el comportamiento friccional, han de incorporarse en la discretización espacial de las ecuaciones que gobiernan el problema de contorno considerado. Esta contribución a las ecuaciones de gobierno ha de considerarse exclusivamente en los bordes de la banqueta de apoyo y del cajón que entran en contacto, es decir y cajon banq

c cΓ Γ . En la Figura 4. 2 los bordes cajon

cΓ y banq

cΓ se

muestran resaltados.

Figura 4. 2 Bordes cajon

cΓ y banq

cΓ donde el cajón y la banqueta de apoyo entran en contacto

cajon

cΓ

banq

cΓ

Capítulo 4. Resolución numérica del modelo propuesto. Código ADÍNDICA

136

Una vez la interfaz de contacto es conocida y considerando la contribución del contacto, las expresiones (4.37) y (4.38) se ven modificadas por

( ) ( )

( ) ( ) ( )

T TT

T T T

banq

ba

pw

esc esc

w

esc

banqbanq banq banq banq banq banq banq u banq u banq banq

imp

banqbanq banq banq banq p banq banq p banq banq

w imp p

banq banq

w c

banq banq

w w

d d d

d d

ρ

ρ

Ω Ω Γ

Ω Γ

′+ + Ω − = Ω + Γ

+ + = ∇ Ω + Γ

+∫ ∫ ∫

∫

t

tσ

k

M u C u B Q p N b N t

Q u H p S p N b N q

ɺɺ ɺ

ɺ ɺ

C

nq

∫

(4.39)

( ) ( )T T

cajoncajon

cajon cajon cajon cajon cajon cajon u cajon u cajon cajon

imp

cajon

cd dρ

Ω Γ

+ = Ω + Γ+ +∫ ∫t

tM u C u K u N b N tɺɺ ɺ C (4.40)

Donde esc

cC y cajon

cC son las contribuciones debidas al contacto. Cabe destacar en la

expresión (4.39) como la contribución del contacto solo se incorpora en la ecuación discretizada del balance de la cantidad de movimiento de la mezcla suelo-fluido intersticial y no en la ecuación discretizada del balance del momento lineal del fluido intersticial. Este aspecto se debe a que en la presente Tesis Doctoral, el cajón se considera impermeable, no existiendo flujo de agua entre los cuerpos que entran en contacto. Si este no fuera el caso, es decir, si se considerara la existencia de flujo hidráulico en la interfaz de contacto, sería necesario desarrollar un procedimiento similar al requerido en los contactos termo-mecánicos (Wriggers, 2006). Considerando que la discretización del contacto se desarrolla nodo a nodo, siendo la formulación empleada para el tratamiento numérico el método de penalización y considerando como comportamiento friccional la regularización de la ley de Coulomb con coeficiente de fricción dependiente de la velocidad de deslizamiento, las contribuciones debidas al contacto adquieren la siguiente forma

( )( )2 2

1

c

banq banq

n

c banqi

c n i i i D s D n i i i

ii

gg A e g A

g

τ

τ

ε µ µ µ εχ

−

=

= − + −

+ ∑ g

n nn

ɺɺ

ɺ

ττττ ττττC (4.41)

( )( )2 2

1

cn

ccajon banq banqi

c n i i i D s D n i i i

ii

gg A e g A

g

τ

τ

ε µ µ µ εχ

−

=

= − + + −

+ ∑ g

n nn

ɺɺ

ɺ

ττττ ττττC (4.42)

Donde banq

in y banq

iττττ son el vector normal y tangente en el nodo i al borde banq

cΓ de la

banqueta de apoyo, respectivamente, tal y como se puede apreciar en la Figura 4. 3.

Figura 4. 3 Elemento de contacto nodo a nodo

banq

in

cajonΩ

banqΩ

banq

iττττ

i

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

137

En esta figura, también se puede apreciar el área Ai asociada al nodo i. Ya que la discretización de contacto empleada es nodo a nodo, se aprecia como en las expresiones (4.41) y (4.42) el sumatorio se establece sobre número de nodos activos

cn , que a lo

sumo se corresponden con los nodos que discretizan el borde cajon

cΓ .

En las expresiones anteriores ( )cajon banq banq

i i i ig = − ⋅n

u u n , mientras que

( )cajon banq banq

i i i igτ τ= − ⋅u u , siendo banq

iu el desplazamiento de la banqueta de apoyo del

nodo i, mientras que cajon

iu es el desplazamiento del cajón registrado en el nodo del cajón

que esté a menor distancia del nodo i de la banqueta de apoyo. n

ε es el coeficiente de

penalización. s

µ y D

µ son el coeficiente de fricción estático y dinámico,

respectivamente, mientras que c es el parámetro gobierna la tasa a la que el coeficiente de fricción pasa de su valor estático

sµ a su valor dinámico

Dµ , dependiendo de la

velocidad de deslizamiento. Por último, el parámetro χ es la variable de regularización de la ley de Coulomb.

Capítulo 4. Resolución numérica del modelo propuesto. Código ADÍNDICA

138

4.4. Tratamiento numérico de los contornos de radiación.

En el apartado anterior, la discretización espacial de las ecuaciones generales de gobierno del comportamiento de la banqueta de apoyo y el cajón ha sido completada con la contribución debida al contacto entre ambos cuerpos. En el caso de los bordes de radiación, la discretización espacial de las ecuaciones generales de gobierno del comportamiento del lecho marino es extendida para considerar la contribución de los bordes de radiación. En ausencia de bordes de radiación, la discretización espacial de las ecuaciones generales de gobierno del comportamiento del lecho marino, vienen dadas por las expresión (4.43)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

T TT

T TT

d

lecho

lecho

imp

lecho lecho

lecho

lecholecho lecho lecho lecho lecho lecho lecho lecho u lecho u lecho

w

lecholecho lecho lecho lecho lecho p lecho lecho p

w w w

lecho

d d dρ

ρ

Ω Ω Γ

Ω

′+ + Ω − = Ω + Γ

+ + = ∇ Ω +

∫ ∫ ∫

∫

t

tσ N

k

M u C u B Q p N b t

Q u H p S p N b N

ɺɺ ɺ

ɺ ɺ dlecho

pw

lecho

imp w

lecho

p

Γ

Γ∫ q

(4.43) En estas últimas expresiones, lecho

uɺɺ , lecho

uɺ y lecho

u son los vectores de aceleraciones, velocidades y desplazamientos nodales del esqueleto del lecho marino, respectivamente. De forma similar,

wp ,

wpɺ son los vectores de presión de poros y velocidades de presión

de poros nodales del fluido intersticial del lecho marino. Al considerar la existencia de bordes absorbentes, tanto las fuerzas normales como tangenciales, derivadas de la ley que gobierna el fenómeno de radiación, han de incorporarse en la discretización espacial de las ecuaciones que gobiernan el problema de contorno considerado. Esta contribución a las ecuaciones de gobierno ha de considerarse exclusivamente en los bordes del lecho marino trazados artificialmente para limitar el domino establecido para el estudio numérico. En la Figura 4. 4 se muestra la disposición de los bordes de radiación

1 2 3, ,lecho lecho lecho

radiación radiación radiaciónΓ Γ Γ .

Figura 4. 4 Disposición de los bordes de radiación

3

lecho

radiaciónΓ

2

lecho

radiaciónΓ

1

lecho

radiaciónΓ

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

139

Al incorporar los contornos de radiación la expresiones agrupadas en (4.43) quedan

( ) ( )

( ) ( )

T TT

TT

lecho

lecho

imp

lecho lecho

lecho

lecholecho lecho lecho lecho lecho lecho lecho u lecho u lecho lecho

w r

llecho lecho lecho lecho lecho p lecho lecho

w w w

lecho

d d d

d

ρ

ρ

Ω Ω Γ

Ω

′+ + Ω − = Ω + Γ

+ + = ∇ Ω

+∫ ∫ ∫

∫

t

tσ N

k

lecho

M u C u B Q p N b t

Q u H p S p N b

ɺɺ ɺ

ɺ ɺ

C

( )T

lecho

pw

lecho

imp w

echop lecho

pd

Γ

+ Γ∫ N q

(4.44)

Siendo la contribución debida a los bordes no reflectantes la que aparece en las expresiones siguientes: ( )1 2 3

lecho lecho

r= + +R R R uɺC (4.45)

Donde

( )1

T

1 14( )

3lecho

radiación

lecho

c

s

u u lecho

radiación

Gb

c

K G Q

ac

dΓ

− ⋅

=+ ⋅ +

− ⋅

Γ

∫ N NR (4.46)

( )2

T

2 2

4( )

3

lecho

radiación

lecho

c

s

u u lecho

radiación

K G Q

ac

Gb

c

dΓ

+ ⋅ +− ⋅

− ⋅

= Γ

∫ N NR (4.47)

( )3

T

3 3

4( )

3

lecho

radiación

lecho

c

s

u u lecho

radiación

K G Q

ac

Gb

c

dΓ

+ ⋅ +− ⋅

− ⋅

= Γ

∫ N NR (4.48)

En estas últimas expresiones, yG K corresponden al módulo tangencial y de

deformación volumétrica del terreno, respectivamente. lechoQ es la compresibilidad

combinada del fluido y del esqueleto del suelo. c

c es la velocidad de la onda de

compresión que se desplaza en el medio poroso saturado, mientras que s

c es la

velocidad de la onda de corte. Por último los coeficientes ,a b son los que permiten optimizar la capacidad de absorción.

Capítulo 4. Resolución numérica del modelo propuesto. Código ADÍNDICA

140

4.5. Integración temporal de las ecuaciones de gobierno

4.5.1. Introducción.

En este apartado se describe el algoritmo empleado para desarrollar la integración temporal del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineal que gobierna el problema dinámico global. Este algoritmo es una extensión del trabajo original de Newmark (1959), y es conocido como el método Generalizado de Newmark, GNpj (Katona y Zienkiewicz, 1985). En la primera parte de este apartado se expone someramente una discusión sobre los métodos de integración temporal de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales, describiendo brevemente alguno de los esquemas existentes en la literatura. Seguidamente, se expone detalladamente el esquema numérico de integración implementado, indicando el criterio de estabilidad asociado así como el procedimiento empleado para regular el paso de tiempo.

4.5.2. Integración temporal

Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, como el que se presenta en la expresión (4.49) ( ) ( )t+ + =M C P fɺɺ ɺφ φ φφ φ φφ φ φφ φ φ (4.49)

junto con unas condiciones iniciales

0φφφφ ,

0ɺφφφφ , a tiempo inicial

0t , representa un problema

de valor inicial. Dado un intervalo de tiempo 0

t t T≤ ≤ y una subdivisión del mismo en

pasos de tiempo 0n

t t n t= + ⋅ ∆ , con 0,...,n N= de tal forma que 0T t

tN

−∆ = , siendo

N ∈ℕ , existen esquemas numéricos de integración temporal que pretenden resolver de forma aproximada el sistema (4.49) sobre el intervalo de tiempo

0t t T≤ ≤ .

Los métodos de integración temporal pueden dividirse en métodos monopaso y multipaso. En los métodos monopaso, se presenta una relación recurrente asociando valores conocidos deφφφφ y sus derivadas,

nφφφφ ,

n

ɺφφφφ y n

ɺɺφφφφ , al inicio de un paso de tiempo, n

t ,

con valores desconocidos deφφφφ y sus derivadas, 1n+φφφφ ,

1n+ɺφφφφ y

1n+ɺɺφφφφ , al final del paso de

tiempo, 1n n

t t t+ = + ∆ . Por otra parte, los métodos multipaso proponen una relación

recurrente asociando valores desconocidos deφφφφ y sus derivadas, 1n+φφφφ ,

1n+ɺφφφφ y

1n+ɺɺφφφφ , al final

del paso de tiempo, 1n n

t t t+ = + ∆ , con valores conocidos de φφφφ y sus derivadas, 1

, ,...n n−φ φφ φφ φφ φ ,

1, ,...

n n−ɺ ɺφ φφ φφ φφ φ , y

1, ,...

n n−ɺɺ ɺɺφ φφ φφ φφ φ , al inicio de un paso de tiempo así como en varios pasos de tiempo

anteriores, 1

, ,...n n

t t − .

Aunque existen varios métodos multipasos disponibles (Wood, 1990), estos no son convenientes debido a que la mayoría de ellos necesitan de esquemas de integración adicionales para inicializarlos, complicando en exceso el desarrollo de estos esquemas en la práctica. Por otro lado, los métodos monopaso manejan cada paso

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

141

independientemente de los demás. Además, este último tipo de algoritmos no precisa de mucha modificación en caso de necesitar una inicialización específica. Entre las diversas familias de esquemas monopaso de integración temporal empleados en análisis dinámicos de fenómenos acoplados, cabe destacar dos familias similares. Una de ellas se basa en el concepto de residuo ponderado y de elemento finito en el dominio del tiempo, mientras que el otro, se basa en una generalización del conocido método de Newmark. El primero de estos, conocido como SSpj (Single step pth order scheme for j

th order differential equation, p j≥ ), fue propuesto inicialmente por Zienkiewicz et al. (1980, 1984) y posteriormente investigado por Wood (1984, 1985). El segundo de estos métodos, incorporado en el código numérico SWANDYNE-II (Chan, 1995), es una extensión del trabajo original de Newmark (1959), y es conocido como el método Generalizado de Newmark, GNpj (Katona y Zienkiewicz, 1985). Ambos esquemas tienen similares características en cuanto a la estabilidad. El esquema SSpj no requiere de condiciones iniciales en aceleraciones para problemas dinámicos, ni derivadas temporales de orden superior. Por otra parte, todas las cantidades involucradas en el esquema GNpj se definen para cada paso de tiempo, facilitando la transferencia de información entre las ecuaciones acopladas. En la presente Tesis Doctoral se ha seleccionado el método GNpj para realizar la integración temporal del sistema de ecuaciones diferenciales acoplado. Esta elección se debe principalmente a la combinación de simplicidad y robustez demostradas por este esquema numérico (Zienkiewicz et al., 1999).

Capítulo 4. Resolución numérica del modelo propuesto. Código ADÍNDICA

142

4.5.3. Discretización temporal de las ecuaciones de gobierno.

Antes de empezar con la discretización temporal de las ecuaciones de gobierno, se muestra en primer lugar de forma explícita a través de las expresiones (4.50)-(4.58) el sistema de ecuaciones diferenciales que gobierna el fenómeno de interacción lecho marino-banqueta de apoyo-cajón-oleaje propuesto en la presente Tesis Doctoral.

( )

T 1

2T

lecho

lecho lecho lecho lecho lecho lecho lecho lecho lecho

w

lecho lecho lecho lecho lecho lecho

w w

lecho

dΩ

′+ + Ω − =

+ + =

−

−

∫ σ 0

0

M u C u B Q p

Q u H p S p

f

f

ɺɺ ɺ

ɺ ɺ

(4.50)

( )

T

T

1

2

banq

banq banq banq banq banq banq banq banq banq

w

banq banq banq banq banq banq banq

w w

dΩ

′+ + Ω − =

+ + =

−

−

∫ σ 0

0

M u C u B Q p

Q u H p S p

f

f

ɺɺ ɺ

ɺ ɺ

(4.51)

cajon cajon cajon cajon cajon cajon cajon+ =+ − 0M u C u K u fɺɺ ɺ (4.52)

( )lecholecho ep lecho′ =σ D Buɺɺ (4.53)

( )banqbanq e banq′ =σ D Buɺɺ (4.54)

( )cajoncajon e cajon′ =σ D Buɺɺ (4.55)

Siendo

( ) ( )

( )( ) ( )

T T1

1 2 3

2T T

lecho lecho

w

lecho lechopw

lecholecho u lecho u lecho lecho lecho

imp r

lecho lecho

r

lecholecho

p plecho lecho lecho lecho

w imp p

d d

d d

ρ

ρ

Ω Γ

Ω Γ

Ω + Γ +

= + +

=

= ∇ Ω + Γ

∫ ∫

∫ ∫

t

tN

k

N b t

R R R u

f

f N b N q

ɺ

C

C (4.56)

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

1

2

T T

2 21

T T

esc banq

w

banq

pw

banq

banq

c

banq

c

esc

banqu banq u banq banq banq

imp c

banq banq

i i

banqbanq banq banq banq

w imp p

nc i

n i i s n i iD Di

i

p p

d d

gg A e g A

g

d d

τ

τ

ρ

ε µ µ µ εχ

ρ

Ω Γ

−

=

Ω Γ

Ω + Γ +

=

= − + −+

= ∇ Ω + Γ

∫ ∫

∑

∫ ∫

t

t

g

k

n n

N b N tf

n

f N b N q

ɺ ɺ

ɺ

C

Cττττ ττττ

(4.57)

( ) ( )

( )( )2 2

1

T T

c

cajon cajon

cajoncajon cajon cajon cajon cajon

imp c

n

ccajon banq banqi

c n i i i D s D n i i i

ii

u u

gg A e g A

g

d d

τ

τ

ε µ µ µ εχ

ρ

−

=

Ω Γ

− + + −+

Ω + Γ +

=

=

∑

∫ ∫t

t

g

n nn

N b N tf

ɺɺ

ɺ

C

C ττττ ττττ (4.58)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

143

Es aconsejable agrupar los desplazamientos, velocidades y aceleraciones nodales de los esqueletos sólidos así como las presiones de poros y velocidades de presión de poros

nodales a través del conjunto de variables [ ]T, , , ,lecho lecho banq banq cajon

w wu u up p . De esta

forma, el sistema de ecuaciones diferenciales (4.50)-(4.55) se pueda expresar mediante la expresión (4.59)

( )

T

T

...

lecho

banq

echolecho l

banq banq

lecho lecho

lecho lecho

w

banq banq

banq banq

w

cajon cajon

lecho

lecho

d

d

Ω

Ω

′ Ω

′ Ω + +

∫

∫

B σ

σ0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 00

0 0 0 00

0 0 0 0

-

-

Bu

u

K u

Q

H p

Q

H p

C

Q

( )

T

T

...

lecho

lecho lecho

w

banq banq

banqbanq banq

w

cajoncajon

lecho lecho

lecho

w

banq banq

b

w

cajon

+

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0

u

u

u

u

u

S p

C

pQ S

C

M

p

M

p

M

ɺ

ɺ

ɺ

ɺɺ

ɺɺ

ɺ

ɺ

ɺɺ

ɺɺ

1

2

1

2

lecho

lecho

banq

banqanq

cajoncajon

− =

0

0

0

0

0u

f

f

f

f

fɺɺ (4.59)

Esta representación además de ser más conveniente para el desarrollo de la discretización temporal de las ecuaciones de gobierno, nos permitirá una implementación eficiente en el lenguaje M del entorno Matlab al tener almacenada la información del sistema de ecuaciones diferenciales de forma matricial. Evaluando el sistema (4.59) para el paso de tiempo

1nt + , se obtiene la siguiente

expresión

Capítulo 4. Resolución numérica del modelo propuesto. Código ADÍNDICA

144

T

T

1

1

1

1

1

1

1

lecho

banq

echolecho l

n

banq banq

n

lecholecho

n

lecholecho

wn

banqbanq

n

banqbanq

wn

cajoncajon

n

d

d

Ω

+

Ω

+

+

+

+

+

+

′ Ω

′ Ω +

∫

∫

σ

σ0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

-

0

-

0

0

B

Bu

u

uK

Q

pH

Q

pH

( )

( )

1T

1

1

T

1

1

...

...

lecholecho

n

lecho lecho lecho

wn

banq banq

n

banqbanq banq

wn

cajoncajon

n

lecho

banq

cajon

+

+

+

+

+

+

+

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0

u

u

u

C

Q S p

C

pQ S

C

M

M

M

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

1

11

2

11

1

11

2

11

11

lecholecho

nn

lecholecho

nwn

banqbanq

nn

banqbanq

nwn

cajoncajon

nn

++

++

++

++

++

− =

0

0

0

0

0

u

u

u

p

p

f

f

f

f

f

ɺɺ

ɺɺ

ɺɺ

ɺɺ

ɺɺ

(4.60)

Discretizando temporalmente los desplazamientos [ ]T, ,global lecho banq cajon=u u u u y los

excesos de presión de poros [ ]T,global lecho banq

w w w=p p p a través del esquema numérico

22GN y 11GN , respectivamente, se obtienen los sistemas de ecuaciones en diferencias

1

1 1

2 2

1 2

1 1

2 2

global global global

n n n

global global global global

n n n n

global global global global global

n n n n n

t t

t t t

β

β

+

+

+

= + ∆

= + ∆ ⋅ + ⋅ ∆ ⋅ ∆

= + ∆ ⋅ + ∆ ⋅ ∆ + ∆ ⋅ ⋅ ∆

u u u

u u u u

u u u u u

ɺɺ ɺɺ ɺɺ

ɺ ɺ ɺɺ ɺɺ

ɺ ɺɺ ɺɺ

(4.61)

1

1 1

global global global

wn wn wn

global global global global

wn wn wn wnt t β

+

+

= + ∆

= + ∆ ⋅ + ∆ ⋅ ⋅ ∆

p p p

p p p p

ɺ ɺ ɺ

ɺ ɺ (4.62)

Siendo

1 2 1, ,β β β , parámetros que habitualmente se escogen en el rango de 0 a 1.

Dependiendo del valor asignado a los parámetros 1 2,β β y

1β , se pueden obtener una

amplia gama de integradores con distintas propiedades de estabilidad y precisión. En el caso de considerar

2 10β β= = , se obtiene un esquema explícito siempre y cuando la

matriz de masas M y la matriz de amortiguamiento del sistema C sean diagonales. En caso en que la matriz de amortiguamiento C sea no diagonal, se puede conseguir un esquema explícito al considerar

10β = , eliminando así la contribución de la matriz de

amortiguamiento. El esquema de diferencias centrales, se recupera de las expresiones (4.61) haciendo

10.5β = y

20β = . Esta última elección, en la que la discretización

temporal del desplazamiento u sigue un esquema explícito y la presión de poros wp un

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

145

esquema implícito fue considerado en detalle por Zienkiewicz et al. (1982) y Leung (1984). Sin embargo, los esquemas hasta ahora mencionados solo son condicionalmente estables. Para que un esquema de integración obtenido a partir de los sistemas de ecuaciones en diferencias (4.61) y (4.62) sea incondicionalmente estables, se ha de cumplir la condición siguiente:

2 1 1

1 1y

2 2β β β≥ ≥ ≥ (4.63)

En el caso de emplear la regla trapezoidal, eligiendo los parámetros 2 1

1

2β β= = y

1

1

2β = , se pueden llegar a apreciar oscilaciones espúreas si no se incorpora algo de

amortiguamiento al sistema. Habitualmente, se suele incorporar algo de amortiguamiento numérico, empleando alguna de las series de valores siguiente

2 1 1

2 1 1

0.605, 0.6 y 0.6

0.515, 0.51 y 0.51

β β β

β β β

= = =

= = = (4.64)

Dewoolkar (1996) aclaró que el empleo del primer conjunto de parámetros podía conducir a un amortiguamiento numérico algo elevado en comparación con los resultados obtenidos del aparato de centrifugado, recomendando el empleo del segundo conjunto de los parámetros mostrados en (4.64). Sin embargo, cabe mencionar, que en los casos en que se involucra un suelo, el amortiguamiento físico, ya sea histerético o viscoso, es mucho más significativo que el amortiguamiento numérico introducido por una elección de parámetros u otra, por lo que el empleo de cualquiera de los conjuntos de parámetros que aparecen en la expresión (4.64) conduce a resultados similares. Incorporando las relaciones (4.61) y (4.62) en (4.60) se obtiene el sistema de ecuaciones algebraico no lineal (4.65) a resolver para cada paso de tiempo donde

, , , ,lecho lecho banq banq cajon

n wn n wn n ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ u p u p uɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ permanecen desconocidas.

Capítulo 4. Resolución numérica del modelo propuesto. Código ADÍNDICA

146

( )1

1

T 1

1 1 1 1

2

1

, , , , ...

, , ,

lecho

lecho lecho banq banq cajon

n n wn n wn n

lecho lecho lecho lecho lecho lecho lecho lecho

n n n wn n

lecho lecho banq

n n wn n wn

t d tβ β+

+ +

Ω

+

Ψ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ≡

′∆ + ⋅∆ ⋅ ∆ + Ω − ⋅∆ ⋅ ∆ − =

Ψ ∆ ∆ ∆ ∆

∫ σ 0

u p u p u

M u C u B Q p F

u p u p

ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ

ɺɺ ɺɺ ɺ

ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ( )( )

( )

T 2

1 1 1

3

1

T

1 1

, ...

, , , , ...

banq cajon

n

lecho lecho lecho lecho lecho lecho

n wn wn n

lecho lecho banq banq cajon

n n wn n wn n

banq banq banq banq banq

n n n

t t

t d

β β

β

+

+

+

Ω

∆ ≡

⋅ ∆ ⋅ ∆ + ⋅∆ ⋅ ∆ + ∆ − =

Ψ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ≡

′∆ + ⋅∆ ⋅ ∆ +

0

σ

u

Q u H p S p F

u p u p u

M u C u B

ɺɺ

ɺɺ ɺ ɺ

ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ

ɺɺ ɺɺ

( )( )

3

1 1

4

1

T 4

1 1 1

5

1

, , , , ...

, ,

banq

banq banq banq

wn n

lecho lecho banq banq cajon

n n wn n wn n

banq banq banq banq banq banq

n wn wn n

lecho lecho ban

n n wn n

t

t t

β

β β

+

+

+

+

Ω − ⋅∆ ⋅ ∆ − =

Ψ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ≡

⋅ ∆ ⋅ ∆ + ⋅∆ ⋅ ∆ + ∆ − =

Ψ ∆ ∆ ∆

∫ 0

0

Q p F

u p u p u

Q u H p S p F

u p u

ɺ

ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ

ɺɺ ɺ ɺ

ɺɺ ɺ ɺɺ( )2 5

1 2 1

, , ...

0.5

q banq cajon

wn n

cajon cajon cajon lecho cajon cajon

n n n nt tβ β +

∆ ∆ ≡

∆ + ⋅∆ ⋅ ∆ + ⋅ ∆ ⋅ ∆ − = 0K

p u

M u C u u F

ɺ ɺɺ

ɺɺ ɺɺ ɺɺ

(4.65) obteniendo

1 1 y lecho banq

n n+ +′ ′σ σ en el paso

1nt + , a partir de las tensiones efectivas y lecho banq

n n′ ′σ σ

en el paso n

t , tras integrar los sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer

orden (4.53), (4.54), respectivamente. Las funciones 1 2 3 4 5

1 1 1 1 1, , , ,

n n n n n+ + + + +F F F F F del sistema

algebraico no lineal (4.65) quedan formuladas en la expresión (4.66).

[ ] [ ]( ) [ ] [ ]

1 1

1 1

T2 2

1 1

3

1

lecho lecho lecho lecho lecho lecho lecho lecho lecho

n n n n wn wn n

lecho lecho lecho lecho lecho lecho lecho lecho lecho

n n n wn wn wn n

banq banq

n n

t t

t t

+ +

+ +

+

= − − + ∆ ⋅ + + ∆ ⋅ +

= − + ∆ ⋅ − + ∆ ⋅ − +

= − −

F M u C u u Q p p f

F Q u u H p p S p f

F M u

ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ

ɺ ɺɺ ɺ ɺ

ɺɺ [ ] [ ]( ) [ ] [ ]

[ ]

1

1

T4 2

1 1

5

1

banq banq banq banq banq banq banq

n n wn wn n

banq banq banq banq banq banq banq banq banq

n n n wn wn wn n

cajon cajon cajon cajon cajon cajon c

n n n n n

t t

t t

t

+

+ +

+

+ ∆ ⋅ + + ∆ ⋅ +

= − + ∆ ⋅ − + ∆ ⋅ − +

= − − + ∆ ⋅ −

C u u Q p p f

F Q u u H p p S p f

F M u C u u K u

ɺ ɺɺ ɺ

ɺ ɺɺ ɺ ɺ

ɺɺ ɺ ɺɺ [ ]2

10.5ajon cajon cajon cajon

n n nt t

++ ∆ ⋅ + ∆ +⋅u u fɺ ɺɺ

(4.66) Una vez se haya resuelto el sistema no lineal (4.65), los valores de los desplazamientos

1

global

n+u y presión de poros 1

global

wn+p a tiempo 1n

t + , son evaluados a través de

las expresiones (4.61) y (4.62). El sistema no lineal (4.65) se resuelve de forma iterativa a través del algoritmo de Newton-Raphson, expresado mediante la fórmula

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

147

( )1

11

2

1

1

, , , ,i

lecho lecho banq banq cajon

n n wn n wn ni ilecho lecho

n n

lecho lecho nwn wn

esc esc

in n

esc esc

wn wn

cajon cajon

n n

++

+

−

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

Ψ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ Ψ ∆ = −

J

u u

u u

u u

u p u p u

p p

p p

ɺɺ ɺɺ

ɺɺ ɺɺ

ɺɺ ɺɺ

ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ

ɺɺɺ ɺ

ɺ ɺ

( )( )( )

3

1

4

1

5

1

, , , ,

, , , ,

, , , ,

, ,

ilecho lecho banq banq cajon

n wn n wn n

ilecho lecho banq banq cajon

n n wn n wn n

ilecho lecho banq banq cajon

n n wn n wn n

lecho lecho ba

n n wn n

+

+

+

∆ ∆ ∆ ∆

Ψ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

Ψ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

Ψ ∆ ∆ ∆

u p u p u

u p u p u

u p u p u

u p u

ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ

ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ

ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ

ɺɺ ɺ ɺɺ( ), ,i

nq banq cajon

wn n

∆ ∆ p uɺ ɺɺ

(4.67)

En la expresión (4.67), i es el número de iteración, mientras el jacobiano J viene dado por la expresión

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

3 3

1 1

n n n n n

lecho lecho esc esc cajon

n wn n wn n

n n n n n

lecho lecho esc esc cajon

n wn n wn n

n n

lecho lecho

n wn

+ + + + +

+ + + + +

+ +

∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ

∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ

=∂∆ ∂∆

J

u p u p u

u p u p u

u p

ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ

ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ

ɺɺ ɺ

3 3 3

1 1 1

4 4 4 4 4

1 1 1 1 1

5 5 5 5 5

1 1 1 1 1

n n n

esc esc cajon

n wn n

n n n n n

lecho lecho esc esc cajon

n wn n wn n

n n n n n

lecho lecho esc esc

n wn n wn

+ + +

+ + + + +

+ + + + +

∂Ψ ∂Ψ∂∆ ∂∆ ∂∆

∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ

∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆

u p u

u p u p u

u p u p

ɺɺ ɺ ɺɺ

ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ

ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺcajon

n

u

(4.68)

Con

( )

1 1

1 1 1

2 1

1 2 1 1

2 2

T1 1

1 1

0.5n n lecho

lecho lecho lecho lechonlecho lecho

nn wn lecho

n

lecho lecho lechon n

lecho lecho

n wn

t t t

t t

β β β

β β

+ +

+

+

+ +

∂Ψ ∂Ψ∂

+ ∆ ⋅ + ∆ − − ∆ ⋅∂∆ ∂∆∂∆=

∂Ψ ∂Ψ∆ ⋅ ∆ ⋅ +

∂∆ ∂∆

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

fM C K Qu p

u

Q H Su p

ɺɺ ɺɺɺ

ɺɺ ɺ

(4.69)

3 3 3

1 1 1

4 4 4

1 1 1

5 5 5

1 1 1

2

1 2

...

0.5

n n n

banq banq cajon

n wn n

n n n

banq banq cajon

n wn n

n n n

banq banq cajon

n wn n

banq banq

nt tβ β

+ + +

+ + +

+ + +

+

∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ

∂∆ ∂∆ ∂∆

∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ=

∂∆ ∂∆ ∂∆

∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ

∂∆ ∂∆ ∂∆

+ ∆ ⋅ + ∆

⋅ ⋅ ⋅

u p u

u p u

u p u

M C K

ɺɺ ɺ ɺɺ

ɺɺ ɺ ɺɺ

ɺɺ ɺ ɺɺ

( )

1 1

1 1

1 1

T

1 1

21 1

1 2 10.5

banq banq

banq banqn n

banq cajon

n n

banq banq banq

cajon cajon

cajon cajon cajonn n

nbanq cajon

n n

t

t t

t t

β

β β

β β

+ +

+ +

+

∂ ∂− − ∆ ⋅ −

∂∆ ∂∆

∆ ⋅ ∆ ⋅ +

∂ ∂− + ∆ ⋅ + ∆ −

∂∆ ∂∆

⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

0

0

f fQ

u u

Q H S

f fM C K

u u

ɺɺ ɺɺ

ɺɺ ɺɺ

(4.70)

Capítulo 4. Resolución numérica del modelo propuesto. Código ADÍNDICA

148

Siendo nulas el resto de entradas del jacobiano J . En la expresión (4.69) la derivada

parcial 1

1

lecho

n

lecho

n

+−∂∂∆f

uɺɺ representa la contribución de los bordes absorbentes a la matriz

jacobiana, incorporando valores no nulos solo en los nodos asociados a los bordes de

radiación. En la expresión (4.70) las derivadas parciales 1

1

banq

n

cajon

n

+−∂

∂∆f

uɺɺ y 1

cajon

n

banq

n

+−∂

∂∆f

uɺɺ

representan la contribución del contacto entre el cajón y la banqueta de apoyo a la matriz jacobiana, incorporando valores no nulos solo en los nodos en los que existe contacto. En las matrices anteriores,

1 1 1, , lecho banq cajon

n n n+ + +K K K representan las matrices de rigidez

tangente en el paso de tiempo 1n

t + , del lecho marino, la banqueta de apoyo y el cajón,

respectivamente, tal y como se muestra en la expresión (4.71)

T

1 1

T

1 1

T

1 1

d

d

d

lecho

banq

cajon

lecholecho lecho

n n

banqbanq banq

n n

cajoncajon cajon

n n

+ +

Ω

+ +

Ω

+ +

Ω

= Ω

= Ω

= Ω

∫

∫

∫

D

D

D

K B B

K B B

K B B

(4.71)

Es importante destacar que en el caso de considerar un análisis en el que no se admite compresibilidad de ningún tipo (esqueleto o fluido intersticial) con una permeabilidad baja (como por ejemplo, en arcillas) se obtienen las restricciones = 0S , = 0H , con la consiguiente aparición de ceros en la diagonal de la expresión del jacobiano (4.68). Para resolver el sistema no lineal (4.65) en estas condiciones se ha considerado en la presente Tesis Doctoral el empleo de elementos triangulares lagrangianos isoparamétricos mixtos cuadráticos de 6 nodos para interpolar los desplazamientos de la banqueta de apoyo y del lecho marino, siendo lineales de 3 nodos para interpolar las presiones de poros. De esta forma los elementos considerados satisfacen la condición de convergencia de Babuska-Brezzi. Para la discretización espacial del desplazamiento del cajón se han empleado elementos cuadráticos de 6 por restricciones del contacto. Integrador numérico considerado y elección del paso de tiempo.

Como ya se ha indicado en el presente apartado, se ha seleccionado el esquema numérico 22GN para integrar en el tiempo los desplazamientos

[ ]T, ,global lecho banq cajon=u u u u y el esquema 11GN para realizar la integración temporal

de los excesos de presión de poros [ ]T,global lecho banq

w w w=p p p . Así, es necesario realizar una

elección respecto a los valores asignados a los parámetros1 2 1, ,β β β .

En primer lugar habría que decidir entre el empleo de un esquema numérico de integración temporal explícito o implícito. En el caso de considerar un esquema explícito, debido a que el medio continuo de estudio (lecho marino y banqueta de apoyo) es un medio poroso saturado, la restricción del paso de tiempo sería muy severa. Esto se debe a que en un medio poroso de baja permeabilidad la onda de compresión

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

149

viaja a velocidad 4

( )3c

c K G Q ρ = + ⋅ +

, siendo Q del orden de magnitud del

inverso de la compresibilidad del fluido. Por otro lado, debido a que en el caso analizado se combinan fenómenos altamente transitorios (impacto de ola sobre dique vertical) con pesudoestáticos (consolidación del terreno), es necesario considerar pasos de tiempo grandes y pequeños, con la mayor precisión posible. Debido principalmente a estos aspectos, se ha considerado un integrador implícito, siendo el principal valor asignado a los parámetros

1 2 1, ,β β β el que se recoge en la

siguiente expresión.

2 1 10.605, 0.6 y 0.6β β β= = = (4.72)

Una vez el integrador numérico considerado es implícito, la elección del paso de tiempo dependerá de la precisión que se quiera alcanzar en los cálculos. Claramente, al considerar el caso en el que una ola impacta en décimas de segundo sobre el paramento vertical del dique, pequeños pasos de tiempo han de ser elegidos para poder reproducir fielmente los efectos de la brusca variación de presión de ola. Por otra parte, una vez han cesado las posibles oscilaciones del cajón debido al impacto de la ola, se podría emplear un paso de tiempo más amplio. El procedimiento seguido en la presente Tesis Doctoral para considerar un integrador temporal con paso de tiempo adaptativo es el que se recoge en Zienkiewicz et al. (1999). La elección del paso de tiempo se basa en el control de la norma del error cometido en el cálculo del desplazamiento global

u . Resolución numérica de los casos estáticos. Simulación de ensayos de laboratorio.

Para concluir este apartado, es importante aclarar que la resolución de los casos estáticos, drenado y no drenado, expuestos en el apartado 4.2.2, plantea ciertas dificultades. Zienkiewicz et al. (1999), consideraron la posibilidad de emplear el esquema numérico 00GN , para resolver ambos casos estáticos. Así, al aplicar este criterio al caso no drenado, se obtiene el siguiente procedimiento. El esquema numérico 00GN viene representado por las expresiones (4.73)

1

1 1 1

n n n

wn wn wn

+

+ + +

= + ∆= + ∆

u u u

p p p (4.73)

Considerando el sistema de ecuaciones (4.27), (4.31), evaluado para el paso de tiempo

1nt + ,

T 1

1 1 1

T

1 1

0n wn n

n wn

d+ + +Ω

+ +

′ Ω − − =

+ =

∫ σ

0

B Qp f

Q u Sp

(4.74)

Capítulo 4. Resolución numérica del modelo propuesto. Código ADÍNDICA

150

incorporando el esquema (4.73) en (4.74), y teniendo en cuenta que 1n+

′σ se consiguen a

partir de las tensiones efectivas n′σ en el paso

nt , tras integrar un sistema de ecuaciones

diferenciales ordinarias de primer orden del estilo de (4.53), se obtienen las expresiones:

1 T

1

T T

n n wn n n wn

n wn n wn

d+Ω

′∆ − ∆ = − Ω +

∆ + ∆ = − −

∫ σK u Q p f B Qp

Q u S p Q u Sp

(4.75)

que puestas en formato matricial resultan

1 T

1

TT

n n wnnn

wnn wn

d+Ω

′− Ω +∆− = ∆ − −

∫ σf B QpuK Q

pQ SQ u Sp

(4.76)

Se puede comprobar fácilmente que la expresión (4.76) corresponde a la aplicación del algoritmo de Newton-Raphson al sistema no lineal formado por las ecuaciones (4.20), (4.27) y (4.31). La familia de algoritmos Newton-Raphson, ampliamente utilizada en la resolución de sistemas no lineales, muestra una serie de deficiencias importantes a la hora de abordar problemas elastoplásticos generales, en los que se involucran complejos procesos de carga, donde la matriz de rigidez puede cambiar de forma discontinua. Un ejemplo en el que se encuentra esta situación es en procesos de carga-descarga en régimen elastoplástico (Bathe, 1976; Thomas, 1984). En este tipo de problemas, el empleo de la matriz global de rigidez puede proporcionar datos incorrectos o incluso no converger. Este aspecto se puede resolver empleando métodos de tensión inicial, en los que los cálculos se desarrollan son una matriz de rigidez constante. Por otra parte, el empleo de este último tipo de métodos ralentiza el proceso de convergencia, siendo necesario el empleo de técnicas aceleradores de convergencia al abordar comportamientos elastoplásticos (Nayak y ZienKiewicz, 1972; Sloan et al. 2000), complicando los procesos de resolución. Este aspecto no es un problema menor, ya que un número importante de las simulaciones desarrolladas para validar el modelo teórico propuesto en esta Tesis Doctoral, incluyen procesos de carga cíclica en régimen elastoplástico Para poder salvar esta problemática en el proceso de resolución de problemas estáticos, se propone interpretar la relación fuerza-desplazamiento, asociada a estos casos, como un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, a través de alguna de las dos opciones siguientes: − Considerar los procesos estáticos, drenado y no drenado, como casos extremos del

proceso de consolidación, discretizando temporalmente el desplazamiento u y la presión de poros

wp a través de los esquemas numérico 22GN y 11GN ,

respectivamente, y considerando una adecuada relación permeabilidad-tasa de aplicación de carga.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

151

− Empleo del algoritmo explícito con un control automático del paso de tiempo desarrollado por Abbo y Sloan (1996).

A continuación se describe en que consiste esta segunda opción, implementada en el código ADINDIA para desarrollar las simulaciones de validación relacionadas con procesos de carga cíclica, en condiciones no drenadas y régimen elastoplástico, expuestas en el Capítulo 5 de la presente Tesis Doctoral. Considerando nuevamente el sistema de ecuaciones (4.27) y (4.31), este puede ser formulado en forma incremental, diferenciando respecto al tiempo, a través de la expresión

( ) ( )

11 1

1

T T

w

t

− − ∆ − − = = ∆

0 0

fK u Q K u Qu f

Q S Q Sp

ɺɺ

ɺ (4.77)

donde

wyu pɺ ɺ son los vectores de tasas de los desplazamientos nodales y de excesos de

presión de poros desconocidos, K es la matriz de rigidez tangente y 1∆f es el vector de incrementos de fuerzas externas, aplicados sobre la mezcla, en un intervalo de tiempo

t∆ arbitrario. En problemas en los que el comportamiento constitutivo es independientes de la tasa de deformación, no viscoso, es conveniente introducir un pseudotiempo, T , definido por

0T t t t= − ∆ , siendo

0t el tiempo al inicio del

incremento de carga, 0

t t+ ∆ el tiempo al final del incremento de carga y 0 1T≤ ≤ .

Aplicando la regla de la cadena en (4.77) se obtiene

( ) 1 1

T

w

d

dT

−∆ −

= 0

u fK u Q

p Q S (4.78)

La ecuación (4.78) tiene la forma de un problema de valor inicial clásico ya que al ser

1∆f conocido, la parte derecha de la igualdad es una función dependiente de u , siendo

las condiciones iniciales 0u y

0wp , al comienzo del incremento de carga donde 0T = .

Tal y como se ha mencionado con anterioridad, la dependencia K respecto a u , tiene lugar a través del esquema de integración local tensión-deformación propuesto en el apartado 4.6.3. Para iniciar el algoritmo de integración, se considera un incremento de pseudo tiempo en el rango 0 1

nT≤ ∆ ≤ , permitiendo que el subíndice 1n − y n , denoten cantidades

evaluadas en los pseudo tiempos 1n

T − y 1n n nT T T−= + ∆ , respectivamente. Así, los

esquemas de Euler y Euler modificado aplicados al problema de valor inicial (4.78) pueden escribirse, respectivamente, por

1 1n n−= + ∆u u u (4.79)

( )1 1 2

1ˆ2n n−= + ∆ + ∆u u u u (4.80)

Donde

Capítulo 4. Resolución numérica del modelo propuesto. Código ADÍNDICA

152

( ) 11

1 1n n

−

−∆ = ∆ u K u f (4.81)

( ) 11

2 1 1n n

−

−∆ = + ∆ ∆ u K u u f (4.82)

y 1 1

n nT∆ = ∆ ∆f f es el vector subincremento de fuerza. Como el error local de

truncamiento en nu y en ˆ

nu son de orden ( ) ( )2 3O T y O T∆ ∆ , respectivamente, el

error cometido en nu puede ser estimado a través de la expresión

2 1

1

2n= ∆ − ∆E u u (4.83)

En la práctica, esta última expresión se divide por la norma del desplazamiento

nu ,

convirtiéndola en una medida adimensional del error relativo

n

n

n

R =E

u (4.84)

El subincremento de carga actual es aceptado si

nR es menor que una tolerancia, DTOL,

previamente establecida, y rechazado en caso contrario. En cualquiera de ambos casos, el tamaño del siguiente paso de pseudotiempo,

nT∆ , es encontrado a través de la

expresión

1n nT q T+∆ = ⋅∆ (4.85)

En la relación (4.85), q es un factor escogido para limitar el error de truncamiento. Siguiendo la argumentación del apartado 4.6.3, el error de truncamiento para el siguiente subincremento de carga,

1nR + , está relacionado con el error de truncamiento

del subincremento actual, n

R , a través de la expresión

2

1n nR q R+ ≈ (4.86)

Encontrando el factor q imponiendo la condición

1nR DTOL+ ≤ , para obtener finalmente

n

q DTOL R≤ (4.87)

De la misma forma que en el apartado 4.6.3, q es seleccionado de forma que se minimice el número de subincrementos rechazados a través de la formula

0.7n

q DTOL R= (4.88)

Con la restricción adicional de 0.1 1.1q≤ ≤ (4.89)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

153

El valor de 0.7q = en la expresión (4.88) asegura que la mayoría de los subincrementos son aceptados, evitando que el mecanismo de control del paso elija un subincremento de carga cuyo error de truncamiento supere la tolerancia preestablecida, pudiendo ser considerado un coeficiente de seguridad. Abbo y Sloan (1996) dieron una descripción algorítmica detallada de su proceso de integración fuerza-desplazamiento con el suficiente detalle para poder ser implementado en un código de elementos finitos, no habiendo sido necesario incorporar modificación alguna al aplicar este método a modelos constitutivos circunscritos a la teoría Generalizada de la plasticidad.

Capítulo 4. Resolución numérica del modelo propuesto. Código ADÍNDICA

154

4.6. Integración puntual de la relación tensión-deformación. Nuevo

procedimiento.

4.6.1. Introducción.

En el presente apartado se propone un algoritmo explícito de integración de leyes constitutivas elastoplásticas circunscritas a la teoría Generalizada de la plasticidad, denotado por esquema de Euler Modificado para Plasticidad Generalizada con control del error local. Dicho algoritmo se basa en el método de subincrementación inicialmente propuesto por Sloan (1987) y posteriormente mejorado por Sloan et al.(2001). El algoritmo es capaz de controlar el error cometido al calcular las tensiones, valiéndose para ello de la pareja de métodos numéricos Euler-Euler modificado. En la primera parte de este apartado se expone someramente una discusión sobre la problemática asociada a la integración local tensión-deformación, aclarando la forma que adquiere dicha integración al considerar comportamientos constitutivos circunscritos a la teoría Generalizada de la plasticidad. A continuación se expone una breve descripción de los métodos existentes en la literatura, argumentando la elección del marco en el que se engloba el algoritmo propuesto. Por último se expone detalladamente el esquema numérico de integración propuesto.

4.6.2. Integración tensión-deformación.

Durante un paso de iteración típico en un análisis elastoplástico a través del método de los elementos finitos, las fuerzas externas son aplicadas en incrementos y los incrementos de desplazamientos asociados son deducidos a partir de la ecuación de rigidez global. Una vez los incrementos de desplazamientos nodales du son conocidos, los incrementos de deformación son obtenidos en cada punto de integración a través de la expresión d d=ε B u . En el caso en que las tensiones asociadas al incremento de deformaciones causen fluencia plástica, es necesario resolver el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden (4.90)-(4.91):

: :ep ep

t

∆ ′ = = ∆

εσ D D εɺ ɺ (4.90)

p

L Udλ= ⋅ε mɺ (4.91)

a través de algún procedimiento adecuado de integración de relaciones constitutivas elastoplásticas. En las expresiones (4.90) y (4.91), el punto sobre la tensión efectiva, ′σ , la deformación, ε , y la deformación plástica, pε , representa la derivada respecto al tiempo, mientras que t∆ es el intervalo de tiempo sobre el que se a aplicado las fuerzas externas. Ya que las tensiones efectivas, ′σ , así como las deformaciones plásticas, pε , son conocidas al principio del intervalo de tiempo, y la tasa de deformación, εɺ , se asume constante a lo largo del intervalo de tiempo y de valor t∆ ∆ε , las ecuaciones (4.90) y (4.91) definen un problema de valor inicial.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

155

Para integrar esta ecuaciones numéricamente, es conveniente introducir un pseudo tiempo, T, definido por ( )0

T t t t= − ∆ , siendo 0

t el tiempo al inicio del incremento de

carga, 0

t t+ ∆ es el tiempo al final del incremento de carga y 0 1T≤ ≤ . Ya que

1dT dt t= ∆ , al aplicar la regla de la cadena a ′σɺ en (4.90) y (4.91) se obtiene

: :

: : :: :

e e

L Uep e e e

L Ue

L U L U

d

dT Hλ

⊗′ ′= ∆ = − ∆ = ∆ − ∆ +

D m n DσD ε D ε σ D m

n D m (4.92)

p

L U

d

dTλ= ∆ ⋅ε

m (4.93)

Siendo

: :

: :

e

e

L U L UH

λ ∆∆ =+n D ε

n D m (4.94)

Las ecuaciones (4.92) y (4.93) definen un problema de valor inicial clásico el cual a de ser integrado sobre el intervalo de pseudotiempo que va de 0T = a 1T = , siendo los valores conocidos el incremento de deformaciones impuesto, ∆ε , junto con las tensiones efectivas, ′σ , y las deformaciones plásticas, pε , al inicio del incremento de pseudo tiempo. Las cantidades

/y

L Um n son funciones de la tensión efectiva, mientras

que /L U

H es función de la tensión efectiva y de la deformación plástica.

Para resolver (4.92) y (4.93) a partir de las tensiones efectivas ′σ , y las deformaciones plásticas, pε , conocidas al inicio de cada intervalo de pseudotiempo, se han propuesto una gran variedad de esquemas numéricos de integración. Debido a que estas ecuaciones deben resolverse un gran número de veces a lo largo de una simulación, se hace indispensable que el método empleado no solo sea preciso, si no también eficiente y robusto. Existen dos esquemas ampliamente empleados en códigos de elementos finitos: el algoritmo explícito de Euler y el algoritmo implícito de retorno de Euler. El primero de estos suele emplearse con alguna forma de subincrementación y corrección de las tensiones. De estos métodos cabe destacar los propuestos por Wissman (1983) y Sloan (1987), basados en procedimientos numéricos desarrollados para la integración de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Estos esquemas son explícitos, incorporan un control del error automático y al aplicarlo a una relación tensodeformacional de la teoría Clásica de la plasticidad suele emplearse algún tipo de corrección para retornar el estado tensional a la superficie de fluencia. Este último aspecto no es necesario en el caso de emplear la teoría Generalizada de la plasticidad ya que dichas superficies no se definen de forma explícita, existiendo deformaciones plásticas desde el primer incremento de carga. A diferencia de los métodos implícitos, los métodos explícitos no necesitan resolver un sistema de ecuaciones no lineal para obtener las tensiones en los puntos de Gauss. Por otra parte, empleados junto a la teoría Clásica de la plasticidad, requieren el cálculo de las tensiones intermedias que yacen en la superficie de fluencia si el estado tensional pasa de elástico a plástico. Debido a que no se define una superficie de fluencia en la teoría Generalizada de la plasticidad, este último punto no es requerido en esta teoría.

Capítulo 4. Resolución numérica del modelo propuesto. Código ADÍNDICA

156

En los métodos explícitos, se emplea la forma estándar de la ley constitutiva elastoplástica, sin necesidad de emplear derivadas de orden superior a uno. Los métodos implícitos, son atractivos ya que, al emplear la teoría Clásica de la plasticidad, no necesitan calcular la intersección con la superficie de fluencia si el estado tensional cambia de elástico a plástico. Más aún, las tensiones obtenidas por este tipo de esquemas cumplirán de forma automática el criterio de fluencia excepto por una tolerancia prefijada. Cabe mencionar, que ninguno de estos dos últimos aspectos son destacables en el caso de la teoría Generalizada de la plasticidad, al no estar definida una superficie de fluencia. En la forma más general del método implícito de retorno de Euler, denominado “backward Euler”, los incrementos de tensión elastoplásticos son obtenidos resolviendo un sistema de ecuaciones no lineal en cada punto de Gauss. Debido a que estos sistemas se resuelven normalmente empleando el algoritmo de Newton-Raphson, se ha de proceder con cautela para evitar la posible no convergencia del algoritmo. El empleo de este tipo de esquemas junto con la matriz de rigidez tangente consistente (Simó y Taylor, 1985), proporciona una tasa de convergencia cuadrática para la solución global de la ecuación de rigidez, a través del método de Newton-Raphson. Aunque el método “backward Euler” es bastante robusto, es un método complicado de implementar al emplear comportamientos constitutivos complejos basados en la teoría Generalizada de la plasticidad, ya que requiere la evaluación de las derivadas segundas de la superficie de fluencia y del potencial plástico. Este aspecto, no es tan crucial al emplear la teoría Generalizada de la plasticidad, puesto que al no emplear ni la superficie de fluencia ni el potencial plástico, no se requieren ordenes de derivación tan elevados. Si bien la implementación satisfactoria de un modelo elastoplástico en un código de elementos finitos depende drásticamente del algoritmo de integración local de tensiones, hasta la fecha solo se han publicado un reducido número de comparaciones entre el empleo de esquemas explícitos o implícitos. En esta línea, cabe destacar el estudio desarrollado por Potts y Ganendra (1992), en el que compararon el algoritmo de retorno implícito de Ortiz y Simo (1986) con el esquema explícito de subincrementación de Sloan (1987). Como comportamiento constitutivo, emplearon un modelo de suelo de estado crítico. Concluyeron que el esquema de subincrementación explícito era más robusto y eficiente que el algoritmo implícito de retorno. Abbo (1997), en su trabajo de tesis doctoral, desarrolló un análisis comparativo entre el algoritmo de Sloan et al. (2001) y el algoritmo implícito backward Euler (Crisfield, 1991). En dicha comparación, analizó el comportamiento de una zapata corrida rígida sobre un suelo cuyo comportamiento constitutivo venía definido por el criterio de Tresca y de Mohr-Coulomb. Abbo concluyó que el esquema de subincrementación explícito de Sloan et al. (2001) resultaba ser más preciso y robusto que el método implícito backward Euler. En relación a la teoría Generalizada de la plasticidad, no se han encontrado estudios comparativos entre los esquemas explícitos y los implícitos. Por otra parte, si se han encontrado estudios en los que se aplican alguno de los dos tipos de esquema mencionados. Sánchez et al. (2008) propusieron una generalización del algoritmo

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

157

explicito de Sloan (1987) aplicado a un modelo basado parcialmente en la teoría Generalizada de la plasticidad, incorporando aspectos de macro y micro estructura. Los resultados obtenidos fueron considerados satisfactorios al poder reproducir comportamientos acoplados altamente no lineales. Por otra parte, Merodo et al. (2004) y Mira et al. (2008) emplearon el algoritmo de retorno implícito de Ortiz y Simo (1986), para integrar una ley constitutiva basada en la teoría Generalizada de la plasticidad, obteniendo resultados altamente satisfactorios. Debido a la falta de estudios de comparaciones entre el empleo de esquemas explícitos o implícitos en el ámbito de la teoría Generalizada de la plasticidad, no se dispone de un criterio unilateral para la elección de un tipo de esquema u otro a la hora de desarrollar la integración local del comportamiento constitutivo. Sin embargo, se ha seleccionado como base para el algoritmo propuesto en el presente apartado el método explícito de subincrementación, inicialmente propuesto por Sloan (1987), debido a los siguientes motivos: • Permite el control del error cometido en el proceso de integración numérica de la ley constitutiva. Este aspecto es de gran utilidad al analizar problemas altamente no lineales, en los que pueden aparecer grandes incrementos de deformación. • Ha demostrado ser robusto y eficiente para modelos constitutivos de estado crítico, modelos que se pueden considerar como casos particulares de la teoría Generalizada de la plasticidad. • Ha resultado ser más preciso y robusto que el método implícito backward Euler en situaciones en las que se desarrollan singularidades.

4.6.3. Esquema numérico de integración propuesto.

En el algoritmo de subincrementación de Sloan (1987), la ley constitutiva es integrada dividiendo automáticamente el incremento de deformación aplicado en un número apropiado de subincrementos. El tamaño apropiado de cada uno de estos subincrementos se deriva a través del empleo del método numérico de integración Euler modificado y del método clásico de Euler, estimando el error local cometido. Una descripción detallada de este modelo puede encontrarse en Sloan (1987). Posteriormente, Sloan et al. (2001) evolucionaron el método de Sloan (1987). Las modificaciones establecidas hacían referencia fundamentalmente al procedimiento de cálculo de las tensiones intermedias en la superficie de fluencia al cambiar el estado tensional de elástico a plástico, así como al modo de realizar la corrección del estado tensional retornándolo a la superficie de fluencia. Estas modificaciones, aunque importantes en el ámbito de la teoría Clásica de la plasticidad, no tienen fundamento al aplicar el método a la teoría Generalizada de la plasticidad, ya que no está definida de forma explícita una superficie de fluencia. Por otro lado, incorporaron la posibilidad de integrar leyes constitutivas cuya componente elástica era no lineal. Para un incremento de deformación dado, ∆ε , la relación constitutiva a integrar en cada punto de Gauss queda descrita por las ecuaciones

Capítulo 4. Resolución numérica del modelo propuesto. Código ADÍNDICA

158

: :ep e e

L U

d

dTλ

′ ′= ∆ = ∆ − ∆σD ε σ D m (4.95)

p

L U

d

dTλ= ∆ ⋅ε

m (4.96)

Donde

: :

: :

e

e

L U L UH

λ ∆∆ =+n D ε

n D m (4.97)

Considerando un pseudotiempo T , tal que 0 1T≤ ≤ . Estas ecuaciones describen un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias cuyas condiciones iniciales son

0 0, p p= =σ σ ε ε , al inicio del incremento de pseudotiempo para 0T = y

0t t= . Como

resultado de la integración numérica se obtendrán las tensiones efectivas y la deformación plástica al final del incremento de pseudotiempo para 1T = y

0t t t= + ∆ .

Para iniciar el algoritmo de integración, se considera un incremento de pseudo tiempo en el rango 0 1

nT≤ ∆ ≤ , permitiendo que el subíndice 1n − y n , denoten cantidades

evaluadas en los pseudo tiempos 1n

T − y 1n n nT T T−= + ∆ , respectivamente.

En primer lugar, se observa como las expresiones (4.95) a (4.97), incorporan la opción de carga ( )L y descarga ( )U , en el módulo plástico y en la dirección de flujo plástico.

Antes de iniciar el proceso de integración es necesario establecer la dirección del incremento de carga. Así, para el subincremento de deformaciones del paso actual

nT∆ ∆ε , se empieza calculando

( ) ( ): :e

n n nT′ ′ ∆ ∆n σ D σ ε (4.98)

Si la expresión (4.98) resulta positiva se desarrolla un proceso de carga plástica ( )L , si

es negativa se obtiene una descarga plástica ( )U y si se anula, el proceso de carga

derivado será elástico. Es importante resaltar, que para evitar problemas numéricos asociados a errores de redondeo, se considera que la expresión (4.98) se anula, siempre que

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ): :

0.002: : : :

e

n n n

e e

n n n n n n

T

T T

′ ′ ∆ ∆≤

′ ′ ′ ′⋅ ∆ ∆ ∆ ∆

n σ D σ ε

n σ n σ D σ ε D σ ε (4.99)

En el método explícito de Euler, la solución para , p′σ ε al final del paso de

pseudotiempo n

T∆ se obtiene a partir de las expresiones:

1 1

1 1

n n

p p p

n n

−

−

′ ′ ′= + ∆= + ∆

σ σ σ

ε ε ε (4.100)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

159

Donde

( )( ) ( )

1 1 1

1 1 1 1

, :

, ,

ep p

n n n

p p

n n n L U nλ

− −

− − −

′ ′∆ = ∆

′∆ = ∆ ∆ ⋅

σ D σ ε ε

ε σ ε ε m σ (4.101)

Una estimación más precisa de las tensiones efectivas, así como de las deformaciones plásticas al final del intervalo pseudo tiempo

nT∆ se obtiene al desarrollar el

procedimiento de Euler modificado, a través de las expresiones:

( )

( )

1 1 2

1 1 2

1

21

2

n n

p p p p

n n

σ σ

ε ε

−

−

′ ′ ′ ′= + ∆ + ∆

= + ∆ + ∆

σ σ

ε ε

(4.102)

Don de

1 1y p′∆ ∆σ ε se obtienen a partir del esquema explícito de Euler y

( )( ) ( )

2 1 1 1 1

2 1 1 1 1 1 1

, :

, ,

ep p p

n n n

p p p

n n n L U nλ

− −

− − −

′ ′ ′∆ = + ∆ + ∆ ∆

′ ′ ′ ′∆ = ∆ + ∆ + ∆ ∆ ⋅ + ∆

σ D σ σ ε ε ε

ε σ σ ε ε ε m σ σ (4.103)

Debido a que el error local de truncamiento (Butcher, 2003) del método de Euler y del método de Euler modificado son de orden ( ) ( )2 3O T y O T∆ ∆ , respectivamente, el

error cometido en n

σ y p

nε puede ser estimado a través de

( )

( )

2 1

2 1

1

21

2

n n

p p

p pn n

′ ′∆ − ∆ ′ ′ − =

∆ − ∆

σ σσ σ

ε εε ε

(4.104)

Al tomar la norma del vector (4.104), se puede calcular una medida del error relativo cometido a través de la expresión

2 12 11max ,

2

p p

n p

n n

R ′ ′ ∆ − ∆∆ − ∆ =

ε εσ σ

σ ε (4.105)

Cabe destacar que el error relativo (4.105) considera por separado las tensiones efectivas de las deformaciones plásticas. Siguiendo el trabajo de Sloan (1987), el subincremento de deformaciones actual es aceptado si

nR no excede una tolerancia,

STOL , previamente establecida, rechazándolo en caso contrario. Independientemente de si el subincremento es aceptado o rechazado, el siguiente paso de pseudotiempo se obtiene de la relación

1n nT q T+∆ = ⋅∆ (4.106)

Capítulo 4. Resolución numérica del modelo propuesto. Código ADÍNDICA

160

Donde q es escogido para que 1n

R + satisfaga la restricción

1nR STOL+ ≤ (4.107)

Como el error local de truncamiento del método de Euler es ( )2O T∆ , se sigue de la

expresión (4.106) la relación 2

1n nR q R+ ≈ (4.108)

Imponiendo la restricción (4.107), se obtiene finalmente

n

q STOL R≤ (4.109)

La expresión (4.109) para determinar el valor de q , se basa en una extrapolación del término de error dominante. Debido a que esta extrapolación puede no ser precisa para comportamientos fuertemente no lineales, Abbo (1997) recomendaba una elección de q más conservativa, tratando de minimizar el número de subincrementos rechazados. De esta forma, a partir de un elevado número de simulaciones numéricas de problemas involucrando plasticidad, propuso la restricción siguiente

0.9 , 0.1 1.1n

q STOL R q≤ ≤ ≤ (4.110)

El algoritmo completo, aplicado al caso de la teoría Generalizada de la Plasticidad quedaría de la siguiente forma:

1. Se empieza con la tensiones efectivas iniciales 0′σ , las deformaciones plásticas

iniciales 0

pε , el incremento de deformaciones del paso actual ∆ε y la tolerancia para el error relativo STOL .

2. Inicializamos 0T = y 1T∆ = .

3. Mientras 1T < realizar los pasos del 4 al 13. 4. Se calcula ( ) ( ): :e

n nT′ ′ ∆ ∆n σ D σ ε , de tal forma que se tiene las tres opciones

siguientes

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

: : 0 carga plástica

: : 0 descarga plástica

: : 0 carga neutra elástica

e

n n

e

n n

e

n n

T

T

T

′ ′ ∆ ∆ > →′ ′ ∆ ∆ < →

′ ′ ∆ ∆ = →

n σ D σ ε

n σ D σ ε

n σ D σ ε

Los pasos que siguen a continuación, son los mismos para cada una de estas tres opciones, salvo que se empleará la expresión

LH ó

UH , así como

Lm o

Um ,

dependiendo de si estamos en un proceso de carga o descarga.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

161

5. Si ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ): :

0.002: : : :

e

n n

e e

n n n n

T

T T

′ ′ ∆ ∆≤

′ ′ ′ ′⋅ ∆ ∆ ∆ ∆

n σ D σ ε

n σ n σ D σ ε D σ ε, se considera

que ( ) ( ): : 0e

n nT′ ′ ∆ ∆ =n σ D σ ε , por lo que el proceso de carga sería neutro. Este

punto evita problemas numéricos asociados a errores de redondeo.

6. Se calcula i′∆σ y p

i∆ε para 1,2i = empleando

: :e e

i i i i i

p

i i i

T λλ

′∆ = ∆ ∆ − ∆∆ = ∆ ⋅σ D ε D m

ε m

Donde : :

: :

e

i i

i e

i i i i

T

Hλ ∆ ∆∆ =

+n D ε

n D m, así como

in ,

im , e

iD y

iH son evaluados en

( ), p

i iσ ε , siendo

1 1

2 1 1 1

p p

T T

p p p

T T

′ ′= =′ ′ ′= + ∆ = + ∆σ σ ε ε

σ σ σ ε ε ε

7. Calcular las nuevas tensiones y deformaciones plásticas según las expresiones

( )

( )

1 2

1 1

1

21

2

T T T

p p p p

T T T

+∆

+∆

′ ′ ′ ′= + ∆ + ∆

= + ∆ + ∆

σ σ σ σ

ε ε ε ε

8. Calcular el error relativo obtenido del subincremento actual

2 12 1max , ,2 2

p p

T T p

T T T T

R EPS+∆

+∆ +∆

′ ′ ∆ − ∆∆ − ∆ =

ε εσ σ

σ ε

Donde EPS es una constante de la máquina indicando el error relativo más pequeño que puede ser calculado por la máquina.

9. Si

T TR STOL+∆ > , el subpaso actual es rechazado y se calcula un paso de

pseudotiempo menor, a través de la expresión:

max 0.9 ,0.1T T

q STOL R +∆=

estableciendo min

max ,T q T T∆ ← ∆ ∆ antes de volver al paso 6.

10. Si

T TR STOL+∆ < , el subpaso se acepta, actualizando las tensiones y las

deformaciones plásticas de acuerdo a

Capítulo 4. Resolución numérica del modelo propuesto. Código ADÍNDICA

162

T T T T

p p

T T T T

+∆ +∆

+∆ +∆

′ ′==

σ σ

ε ε

11. Se calcula el nuevo paso de tiempo de acuerdo a

min 0.9 ,1.1T T

q STOL R +∆=

si el paso anterior se consideró fallido, se impone un límite para el crecimiento del tamaño del paso de tiempo, imponiendo

min ,1q q=

Calculando el nuevo paso de tiempo y actualizando el pseudotiempo de acuerdo a

T q T

T T T

∆ ← ∆← + ∆

12. Se comprueba que el tamaño del siguiente paso no es menor que el mínimo paso

minmax ,T T T∆ ← ∆ ∆

Así como que la integración no se desarrolla por encima de 1T = , imponiendo

min ,1T T T∆ ← ∆ −

13. Salimos de la aplicación con la tensión efectiva

1′σ y la deformación plástica p

1ε

al final del incremento para 1T = . En el paso 9, el rango de valores usual en el que se mueve la tolerancia STOL suele ser de 3 610 10− −− . Cabe destacar que cuanto menor sea esta tolerancia más precisa será la integración. La constante de la máquina EPS es habitualmente de valor 1610− para una aritmética de doble precisión y una máquina de 32-bit. Un valor típico para

minT∆ está en

el orden de 510− , implicando el empleo de un máximo de 510 subincrementos en cada punto de Gauss en un solo paso de carga. En comparación con el algoritmo de Sloan (1987) y el de Sloan et al. (2001), es remarcable la ausencia del cálculo de las tensiones intermedias que yacen en la superficie de fluencia al pasar de un estado tensional elástico a plástico, así como de la corrección necesaria para retornar el estado tensional a la superficie de fluencia. La ausencia de estos dos subalgoritmos mejora claramente la eficiencia del algoritmo presentado en este apartado. Por otra parte, debido a que en la teoría Generalizada de la plasticidad no existe una región puramente elástica, la no linealidad es más acentuada en este tipo de modelos, por lo que se requiere una mayor precisión, es decir, un valor de la tolerancia TOL menor, para obtener resultados admisibles.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

163

No se puede comparar directamente la bondad del algoritmo presentado en este apartado con los propuestos por Sloan (1987) y Sloan et al. (2001), ya que estos últimos solo son válidos para integrar modelos constitutivos circunscritos a la teoría Clásica de la plasticidad y a la teoría de estado crítico. Un aspecto a destacar del presente algoritmo es su versatilidad para poder integrar comportamientos constitutivos representativos de suelos con características tanto arenosas como arcillosas. Esto es posible gracias a que este algoritmo preserva las virtudes presentes en la teoría Generalizada de la plasticidad, solo siendo necesario ajustar las expresiones

L UH y

L Um , para integrar el tipo de comportamiento que se

desee. Se explotará este último comentario en el capítulo 6 de la presente tesis doctoral a la hora de validar el modelo.

Capítulo 4. Resolución numérica del modelo propuesto. Código ADÍNDICA

164

4.7. Programa ADÍNDICA.

Los códigos numéricos comerciales suelen comportarse como una caja negra, es decir, se sabe como utilizarlos sin saber cómo funcionan. En la mayoría de los casos, estos códigos comerciales no explicitan las ecuaciones de gobierno que se resuelven, por lo que las hipótesis simplificadoras que se imponen sobre las variables físicas no siempre quedan claras. Más aún, incluso en aquellos casos en los que sí se conocen las ecuaciones de gobierno, no siempre se conoce el procedimiento numérico seguido para obtener las soluciones aproximadas. Por otra parte, los códigos comerciales incorporan una serie de capacidades muy concretas para resolver situaciones relacionadas con un ámbito específico de la ciencia, no siempre permitiendo el acceso al código interno para su modificación, imposibilitando la adecuación a fenómenos vinculados a distintas disciplinas de la ciencia. En todo proceso de resolución numérico de problemas pertenecientes a distintas áreas de la ciencia se debería seguir el esquema que se ilustra en la Figura 4. 5.

Figura 4. 5 Proceso a seguir al desarrollar un análisis numérico

Modelización matemática

Aproximación numérica

no

Respuesta válida al problema real

no

Errores conceptuales (hipótesis

simplificadoras)

Problema real

Errores derivados de la discretización y del empleo de

diversos algoritmos

Errores de máquina

¿Es la solución numérica obtenida precisa?

¿Es la solución numérica

consistente con la física del problema?

si

si

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

165

Al emplear códigos numéricos comerciales, no se puede desarrollar plenamente el proceso descrito en la Figura 4. 5 al no tener la posibilidad de establecer las hipótesis simplificadores y/o no controlar los errores derivados de la discretización espaciotemporal considerada ni del empleo de diversos algoritmos. De esta forma, al emplear códigos comerciales la aceptación de los resultados numéricos depende únicamente de la coherencia respecto a la física del problema.

Debido a que el fenómeno de interacción lecho marino-banqueta de apoyo-cajón-oleaje no queda circunscrito a una disciplina concreta de la ingeniería, sino que involucra varias de ellas, y teniendo en cuenta las limitaciones de los códigos comerciales expuestas en las líneas precedentes, se ha optado por desarrollar plenamente la resolución numérica de las ecuaciones de gobierno planteadas, realizando un programa que resuelva el problema discretrizado a través del método de los elementos finitos. Una vez tomada esta decisión, la cuestión del lenguaje de programación a considerar es crucial. De entre los lenguajes existentes para la codificación de programas basados en el método de los elementos finitos, se ha elegido el lenguaje M del entorno Matlab. Matlab es un código diseñado para trabajar de forma eficiente con matrices, facilitando las operaciones algebraicas matriciales y vectoriales desde el punto de vista numérico y de almacenamiento. Este aspecto es de vital importancia ya que en el método de los elementos finitos, una vez se ha desarrollado la discretización espacial y temporal del sistema de ecuaciones en derivadas parciales que gobiernan el fenómeno de estudio, se obtiene un sistema algebraico no lineal a resolver, haciendo que la herramienta Matlab sea muy apropiada. Por otra parte, dispone de diversas aplicaciones que permiten desarrollar de forma eficiente tanto el preproceso (geometría, malla de elementos finitos, refinamiento de la malla, etc.) como el postproceso (visualización gráfica de resultados numéricos). A continuación se presenta en la Figura 4. 6 un diagrama de flujo esquemático del programa desarrollado en el entorno Matlab y que ha sido denotado por ADÍNDICA, cuyas siglas significan Análisis Dinámico de Diques de Cajones. En dicha figura, se presenta con tonos oscuros las aportaciones novedosas, relacionadas con la resolución numérica del modelo teórico, propuestas en esta Tesis Doctoral.

Capítulo 4. Resolución numérica del modelo propuesto. Código ADÍNDICA

166

Figura 4. 6 Diagrama de flujo del programa ADÍNDICA

Preproceso

− Tiempo inicial y final del cálculo. Paso inicial de tiempo. − Parámetros para definir la geometría. − Se define geometría, se genera malla triangular estructurada/no estructurada de tres y seis nodos. (Matlab / GID) − Generamos puntos de Gauss. (ptogauss.m) − Declaración de Arrays de ensamblaje. − Identificamos bordes con condiciones Newman, condiciones Dirichlet y de radiación. − Parámetros para definir el Material. − Condiciones iniciales de desplazamiento, velocidades y aceleraciones, tensión y deformación del esqueleto sólido.

Condiciones iniciales de presión de poros y velocidad de presión de poros. − Inicializamos matrices de rigidez, masa, amortiguamiento, permeabilidad, compresibilidad, acoplamiento y

radiación. De igual forma se inicializa vector de fuerzas másicas, de filtración y de tensiones de contacto. Almacenamiento compacto (sparse).

− Ensamblaje de matrices de rigidez, masa, amortiguamiento, permeabilidad, compresibilidad, acoplamiento y radicación. De igual forma se ensambla el vector de fuerzas másicas.

− Establecimiento de los nodos del cajón y de la banqueta de escollera que pueden entrar en contacto.

Cálculo

− Bucle sobre el tiempo (mientras 1n final

t t+ < )

o Ensamblaje de condiciones de borde en tensiones y/o desplazamientos dependientes del tiempo.

o Inicialización del algoritmo[ ] [ ]1

, , , , , , , ,lecho lecho banq banq cajon

n n n n n∆ ∆ ∆ ∆ ∆ = 0 0 0 0 0u p u p uɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ .

o Bucle sobre las iteraciones hasta convergencia. Newton-Raphson ( 1...i convergencia= ). Se resuelve

( )1

11

2

1

1

, , , ,i

lecho lecho banq banq cajon

n n wn n wn ni ilecho lecho

n n

lecho lecho nwn wn

esc esc

in n

esc esc

wn wn

cajon cajon

n n

++

+

−

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

Ψ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ Ψ ∆ = −

J

u u

u u

u u

u p u p u

p p

p p

ɺɺ ɺɺ

ɺɺ ɺɺ

ɺɺ ɺɺ

ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ

ɺɺɺ ɺ

ɺ ɺ

( )( )( )

3

1

4

1

5

1

, , , ,

, , , ,

, , , ,

, ,

ilecho lecho banq banq cajon

n wn n wn n

ilecho lecho banq banq cajon

n n wn n wn n

ilecho lecho banq banq cajon

n n wn n wn n

lecho lecho ba

n n wn n

+

+

+

∆ ∆ ∆ ∆

Ψ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

Ψ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

Ψ ∆ ∆ ∆

u p u p u

u p u p u

u p u p u

u p u

ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ

ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ

ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ

ɺɺ ɺ ɺɺ( ), ,i

nq banq cajon

wn n

∆ ∆ p uɺ ɺɺ

Se obtienen los desplazamientos 1

global

n+u y presión de poros 1

global

n+p a tiempo 1n

t + .

Obtención de las deformaciones en cada punto de integración. Integración de la relación tensión-deformación en cada punto de Gauss a través del

esquema de Euler Modificado para Plasticidad Generalizada con control del error. (modifiedeulerelasplas.m)

Actualización de tensiones y deformaciones plásticas. Actualización de matriz de rigidez, matriz de amortiguamiento, matriz borde de

radiación y fuerzas de contacto. o Final bucle Newton-Raphson. o Control del error global y actualización del paso de tiempo.

− Final bucle tiempo.

Post proceso

− Visualización gráfica de resultados numéricos. (postproceso.m)

FIN

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

167

4.8. Conclusiones de la resolución numérica.

En relación a la resolución numérica de las ecuaciones que gobiernan el fenómeno de interacción lecho marino-banqueta de apoyo-cajón-oleaje propuesto en la presente Tesis Doctoral, cabe destacar las siguientes conclusiones:

− De entre los métodos numéricos existentes para obtener la solución aproximada del

sistema de ecuaciones en derivadas parciales que definen la interacción lecho marino-banqueta de apoyo-cajón-oleaje se ha empleado el método de los elementos finitos ya que permite un tratamiento natural de las condiciones de contorno, estando capacitado para tratar problemas con geometrías complejas, permitiendo el empleo de mallas no estructuradas.

− Atendiendo a requisitos de robustez en la solución, establecidos por la condición de

Babuska-Brezzi, y teniendo en cuenta que se requiere una interpolación 0C para las variables desplazamiento ( )u y presión de poros ( )wp , se ha escogido para

discretizar las ecuaciones de la formulación wu p− el elemento triangular lagrangiano

isoparamétrico mixto cuadrático de 6 nodos para interpolar los desplazamientos u y lineal de 3 nodos para interpolar las presiones de poros

wp . Este tipo de elementos

permite resolver con garantías situaciones en las que la compresibilidad de la fase fluida es despreciable y la permeabilidad del terreno muy baja.

− La discretización del contacto entre el cajón y la banqueta de apoyo se ha desarrolla

nodo a nodo, siendo la formulación empleada para el tratamiento numérico el método de penalización y considerando como comportamiento friccional la regularización de la ley de Coulomb con coeficiente de fricción dependiente de la velocidad de deslizamiento. Esta formulación permite representar el fenómeno de contacto con una gran precisión, incluso en condiciones dinámicas, siempre y cuando el desplazamiento relativo entre los nodos vinculados sea pequeño.

− El algoritmo empleado para desarrollar la integración temporal del sistema de

ecuaciones diferenciales ordinarias no lineal que gobierna el problema dinámico global es el método Generalizado de Newmark, GNpj (Katona y Zienkiewicz,

1985). Mas concretamente, los desplazamientos [ ], ,global lecho banq cajon=u u u u se

discretizan temporalmente a través del esquema numérico 22GN mientras que el exceso de presión de poros [ ],global lecho banq

w w w=p p p se descretiza mediante el esquema

11GN . En la mayoría de las situaciones analizadas, valor asignado a los parámetros que definen el integrador ha sido

2 1 10.605, 0.6 y 0.6β β β= = = .

Este integrador temporal implícito escogido se considera apropiado para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineal que gobierna el problema dinámico. Esto se debe a que en el caso analizado se combinan fenómenos altamente transitorios (impacto de ola sobre dique vertical) con pesudoestáticos (consolidación del terreno), siendo necesario considerar pasos de tiempo grandes y pequeños, con la mayor precisión posible.

− Para la integración de leyes constitutivas elastoplásticas circunscritas a la teoría

Generalizada de la plasticidad se presenta un novedoso algoritmo explícito denotado por esquema de Euler Modificado para Plasticidad Generalizada con control del error

Capítulo 4. Resolución numérica del modelo propuesto. Código ADÍNDICA

168

local. Dicho algoritmo se basa en el método de subincrementación inicialmente propuesto por Sloan (1987) y posteriormente mejorado por Sloan et al.(2001). El algoritmo es capaz de controlar el error cometido al calcular las tensiones, valiéndose para ello de la pareja de métodos numéricos Euler-Euler modificado. En comparación con el algoritmo de Sloan (1987) y el de Sloan et al. (2001), es remarcable que el algoritmo propuesto no requiere del cálculo de las tensiones intermedias que yacen en la superficie de fluencia al pasar de un estado tensional elástico a plástico, así como de la corrección necesaria para retornar el estado tensional a la superficie de fluencia. La ausencia de estos dos subalgoritmos mejora claramente la eficiencia del algoritmo propuesto.

− Matlab es un código diseñado para trabajar de forma eficiente con matrices,

facilitando las operaciones algebraicas matriciales y vectoriales desde el punto de vista numérico y de almacenamiento. Este aspecto es el que ha determinado el empleo de este entorno para resolver por el método de los elementos finitos las ecuaciones de gobierno del fenómeno estudiado. Entre los aspectos del programa ADÍNDICA cabe destacar los siguientes:

− El programa ADÍNDICA es capaz de resolver situaciones en 2D bajo las hipótesis de deformación plana y axilsimérico, dentro del ámbito de pequeñas deformaciones.

− El programa ADINDICA está codificado sobre un fichero .m principal desde el cual se llama a distintas funciones a medida va necesitando el empleo de distintos algoritmos.

− El programa ADINDICA dispone de diversas aplicaciones que permiten desarrollar de forma eficiente tanto el preproceso (geometría, malla de elementos finitos, refinamiento de la malla, etc.) como el postproceso (visualización gráfica de resultados numéricos), sin salir del código Matlab.

− Por otra parte, en relación al punto anterior, se ha acoplado al programa ADÍNDICA el programa de preproceso GID, permitiendo considerar los ficheros estándar de salida de este último como entrada de datos de la geometría y la malla.

− Incorpora elementos triangulares lagrangianos isoparamétricos mixtos. − Resuelve el fenómeno de contacto como restricciones puramente geométricas. − Incorpora un modelo de borde silencioso para un medio poroso saturado. − Tiene incorporados dos tipos de algoritmos para poder resolver los distintos

comportamientos no lineales involucrados en el estudio numérico de las ecuaciones que gobiernan la respuesta dinámica del terreno ante la acción del oleaje en diques verticales de cajones. Estos algoritmos son:

Algoritmo de integración puntual de la ley constitutiva

elastoplástica circunscrita a la teoría Generalizada de la plasticidad.

Algoritmo de integración global de la relación fuerza-desplazamiento.

169

5. VALIDACIÓN DEL CÓDIGO NUMÉRICO ADÍNDICA

5.1. Objetivos de la validación

Una vez planteadas las ecuaciones de gobierno que rigen el problema de la interacción cimentación-oleaje-dique vertical, desarrollada la aproximación numérica e implementada en el programa ADÍNDICA es necesario abordar las siguientes cuestiones:

1. ¿Funciona correctamente el programa ADÍNDICA?. 2. ¿Es precisa la solución numérica obtenida a través del código ADÍNDICA? 3. ¿Es la solución numérica consistente con la física del problema?

En relación al primero de estos puntos, es decir, realizar una verificación básica del programa ADÍNDICA, se han realizado una serie de pruebas numéricas en régimen elástico lineal isótropo para comprobar la bondad de las distintas componentes que componen el código ADÍNDICA, bajo distintas tipologías de carga y procesos temporales. Los resultados numéricos obtenidos han sido confrontados con soluciones teóricas así como con las predicciones derivadas del código comercial PLAXIS. El motivo por el que se realizan diversas comparaciones con el código comercial PLAXIS, se debe a que, siendo un código ampliamente utilizado en el ámbito de la Geotecnia, ha sido validado a través de diversas simulaciones a lo largo de los últimos 25 años, por lo que se considera apto para verificar los resultados obtenidos con el código ADÍNDICA, al menos al considerar situaciones ideales en régimen elástico lineal isótropo. Dependiendo del tipo de carga considerado, se han realizado las siguientes verificaciones básicas del programa ADÍNDICA: − Bajo carga monótona en problemas estáticos se ha comprobado el adecuado comportamiento de los siguientes aspectos:

o Modelización bajo hipótesis de deformación plana y axilsimétrico. o Malla de elementos finitos tanto a nivel global como local entorno a

puntos singulares. o Tipología de elementos empleada. o Condiciones de contorno estándar en tensiones y desplazamientos. o Condiciones de drenaje. o Ejes de simetría.

− Bajo carga no monótona en problemas psedudodinámicos se ha comprobado la adecuada reproducción de un proceso de consolidación.

− Bajo carga no monótona en problemas dinámicos se ha comprobado:

o La adecuada reproducción de un proceso dinámico. o El adecuado comportamiento de las condiciones de contorno absorbentes

en un medio poroso saturado.

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

170

En relación a la valoración de la precisión de la solución numérica, se han validado los algoritmos de resolución de comportamientos no lineales implementados en el código ADÍNDICA. Estos algoritmos son: − Algoritmo de integración puntual de la ley constitutiva elastoplástica. − Algoritmo de integración global de la relación fuerza-desplazamiento. Para realizar la verificación del correcto funcionamiento de estos algoritmos, se han realizado una serie de pruebas numéricas, analizando en cada caso de estudio la precisión de cada uno estos algoritmos. Para establecer si la solución numérica es consistente con la física del problema, se han realizado una serie de pruebas numéricas, confrontando los resultados numéricos obtenidos con datos experimentales. Los aspectos a validar en esta serie de simulaciones son: − Validación del comportamiento constitutivo, propuesto en la presente Tesis Doctoral, modificación de ley constitutiva elastoplástica de Pastor-Zienkiewicz aplicado a suelos arcillosos.

− Validación del proceso de consolidación acoplado con el comportamiento constitutivo elastoplástico Pastor-Zienkiewicz aplicado a suelos arcillosos.

− Validación del elemento de contacto. − Validación de la relación entre las condiciones de contorno hidráulicas relacionadas con el impacto de una ola sobre el paramento vertical de un dique de cajones y el movimiento del cajón.

− Validación de la relación entre el movimiento del cajón y la generación de presión de poros transitoria.

Los datos experimentales empleados para la validación de estos aspectos provienen de: a) ensayos triaxiales estáticos y dinámicos, utilizados en la validación del comportamiento constitutivo y del proceso de consolidación elastoplástico, b) un ensayo de modelo a escala de una zapata rígida, utilizado para validar el comportamiento constitutivo, c) un ensayo a pequeña escala, utilizado para validar el elemento de contacto y d) ensayos a gran escala empleados para validar las relaciones presión de olaeje-movimiento del cajón-generación de presión de poros transitoria.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

171

5.2. Verificación básica del programa ADÍNDICA.

5.2.1. Introducción.

En este apartado se pretende verificar el correcto funcionamiento del código numérico ADÍNDICA en régimen elástico lineal isótropo. Para ello se han desarrollado nueve tipos de simulación. Los resultados numéricos obtenidos han sido confrontados con distintas soluciones teóricas así como con las predicciones derivadas del código comercial PLAXIS. Los cuatro primeros tipos de análisis tienen por objeto poner de manifiesto que el código numérico ADÍNDICA es capaz de reproducir satisfactoriamente el comportamiento, en régimen elástico lineal isótropo, de una muestra cilíndrica en un ensayo de compresión triaxial bajo carga monótona en condiciones drenadas y no drenadas. El quinto y el sexto tipo de análisis tienen por objeto poner de manifiesto que el código numérico ADÍNDICA es capaz de reproducir satisfactoriamente el comportamiento de una zapata corrida rígida suave en deformación plana apoyada sobre un suelo elástico lineal isótropo. En el segundo de estos casos se considera que el módulo tangencial, G , aumenta linealmente con la profundidad. En el séptimo tipo de análisis tiene por objeto poner de manifiesto que el código numérico ADÍNDICA es capaz de resolver satisfactoriamente las ecuaciones de la formulación generalizada de Biot que reproducen la interacción entre el esqueleto del suelo y el fluido intersticial, sin incluir términos de inercia (proceso de consolidación), acoplado con un comportamiento elástico lineal isótropo. El octavo tipo de análisis tiene por objeto poner de manifiesto que el código numérico ADÍNDICA es capaz de resolver satisfactoriamente las ecuaciones de gobierno de un problema dinámico bajo la hipótesis de deformación plana. Para ello se resuelve el problema de Lamb relacionado con la propagación de ondas en una medio semi-infinito. El noveno tipo de análisis tiene por objeto poner de manifiesto que los bordes absorbentes aplicables a un medio poroso saturado, propuestos en la presente Tesis Doctoral e implementados en el código numérico ADÍNDICA funcionan correctamente.

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

172

5.2.2. Reproducción numérica de un ensayo de compresión triaxial aplicando una

carga monótona en condiciones drenadas con control de deformación axial siendo

las placas superior e inferior rígidas suaves.

Introducción

En un ensayo triaxial estándar, en el que se ensaya una muestra cilíndrica, la distribución de tensiones así como de deformaciones son de revolución, es decir, son independientes de la coordenada de revolución. Debido a este aspecto, para resolver numéricamente la realización de un ensayo triaxial es adecuado emplear una formulación axilsimétrica, en la que todas las funciones involucradas en el proceso numérico son independientes de la coordenada circunferencial θ , dependiendo exclusivamente de la coordenada radial r y de la coordenada axial z . De esta forma el problema tridimensional que implica la simulación de un ensayo triaxial se transforma en un problema bidimensional. Se ha asumido adicionalmente que uθ , componente θ del desplazamiento, es nula, implicando que las componentes ,

r zθ θε ε del tensor de deformaciones infinitesimales en

coordenadas cilíndricas sean cero, mientras que r

u rθε = . De igual forma, se ha

asumido que el comportamiento constitutivo es de tal forma que las hipótesis cinemáticas anteriores implican que las componentes ,

r zθ θσ σ′ ′ sean nulas, por lo que se ha considerado el caso axilsimétrico sin torsión. Descripción de la simulación numérica

La geometría empleada en la reproducción numérica se corresponde con un cuarto de una sección longitudinal de la probeta que contiene al eje de simetría, tal y como se muestra en la Figura 5. 1.

Figura 5. 1 Geometría empleada para simular el ensayo triaxial

50mm

Ejes de simetría

100mm

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

173

Tal y como se pues apreciar en la Figura 5. 1, las dimensiones asignadas a la probeta son de 50 100mm mm× , aunque en el presente tipo de análisis estas dimensiones no afectan al resultado al no considerar el peso de la muestra. En esta figura se puede apreciar de igual forma la malla de elementos finitos empleada en los cálculos. En la Figura 5. 2 se muestran las condiciones de contorno empleadas para la mezcla así como la deformación axial impuesta en este primer tipo de análisis.

Figura 5. 2 Condiciones de contorno para el ensayo triaxial con carga monótona drenado con control de

deformación axial con placas superior e inferior rígidas suaves. En la Figura 5. 3 se muestran las condiciones iniciales respecto a las tensiones y las presiones de agua de poros, así como las condiciones de drenaje.

Figura 5. 3 Condiciones iniciales en tensiones efectivas y presión de poros siendo p′ la tensión media

efectiva y w

p la presión de poros.

Como ya se ha indicado, el comportamiento tensodeformacional empleado para el presente tipo de verificación se corresponde con un comportamiento elástico lineal isótropo, siendo los parámetros empleados los que aparecen en la Tabla 5. 1. Como se puede apreciar en esta tabla, se proporcionan los parámetros elásticos en su versión clásica, es decir, módulo de Young E y módulo tangencial G , así como sus parámetros

2400 /r

kN mσ = −

(constante)

Se permite drenaje libre en

bordes 2 3,Γ Γ

2Γ

3Γ

Se impide drenaje en

bordes 1 4,Γ Γ (ejes de

simetría)

1Γ

4Γ

2400 /p kN m′ =

20 /w

p kN m≈ (presión de poros de referencia)

20%z

ε = −

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

174

equivalentes en la formulación de Houlby et al. (2005) empleada en la presente Tesis Doctoral, es decir, , ,

HAR HAR HARk g n .

Tabla 5. 1 parámetros empleados en el modelo elástico lineal isótropo empleado para la verificación de la

simulación del ensayo triaxial con el código ADÍNDICA

Formulación convencional Formulación Houlsby et al. (2005) E G

HARk

HARg

HARn

213320 /kN m 25000 /kN m 132 50 0 La contrastación numérica en el presente tipo se realizará a través del código comercial PLAXIS. Para los cálculos con este código se ha empleado una malla de 252 elementos finitos lagrangianos isoparamétricos triangulares cuadráticos de 6 nodos. En los cálculos desarrollados con el código ADÍNDICA se ha empleado una malla de 256 elementos finitos lagrangianos isoparamétricos mixtos triangulares cuadráticos de 6 nodos, para interpolar los desplazamientos u , y lineales de 3 nodos, para interpolar las presiones de poros

wp . En la Figura 5. 4 se pueden apreciar las mallas empleadas en los cálculos

tanto en ADÍNDICA como en PLAXIS.

Figura 5. 4 Mallas empleadas en los cálculos para ensayo triaxial con carga monótona drenado con control de deformación axial con placas superior e inferior rígidas suaves. a) ADÍNDICA, b)PLAXIS.

Resultados de la comparación.

En primer lugar se muestra el comportamiento global de las simulaciones en cuanto a los desplazamientos sufridos. En la Figura 5. 5 se muestran el campo de desplazamientos obtenidos por el código ADÍNDICA y el código PLAXIS, mientras que en la Figura 5. 6 se muestra la norma del desplazamiento total obtenido por el código ADÍNDICA y el código PLAXIS.

a) b)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

175

Figura 5. 5 Campo de desplazamientos totales para el ensayo triaxial con carga monótona drenado con control de deformación axial con placas superior e inferior rígidas suaves obtenido por el código:

a) ADÍNDICA, b) PLAXIS.

Figura 5. 6 Norma del vector desplazamiento en cada punto para el ensayo triaxial con carga monótona drenado con control de deformación axial con placas superior e inferior rígidas suaves obtenido por el

código: a) ADÍNDICA, b) PLAXIS En estas dos figuras se pone de manifiesto que los resultados obtenidos por ambos códigos numéricos coinciden en cuanto a desplazamientos. Como se puede apreciar, en la Figura 5. 5 a) y b), tanto la inclinación como la magnitud de las flechas coincide en los resultados obtenidos a través del código ADÍNDICA y el código PLAXIS. La coincidencia en la magnitud de los desplazamientos es más evidente al comparar la Figura 5. 6 a) y b).

a) b)

a) b) m

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

176

En la Figura 5. 7 se puede observar la malla inicial y deformada obtenida con el código ADÍNDICA. También se puede apreciar la posición final de los nodos que se encuentran en la esquina superior e inferior del extremo derecho de la geometría tras realizar la simulación con el código PLAXIS.

-0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

m

m

Malla inicial

Posición nodos esquina superior e inferior

extremo derecho tras simulacion con

código PLAXIS

Malla deformada ADINDICA

10mm

1.7mm

Figura 5. 7 Malla deformada obtenida con el código ADÍNDICA y posición final de nodos extremos tras simulación con código PLAXIS para el ensayo triaxial con carga monótona drenado con control de

deformación axial con placas superior e inferior rígidas suaves. Se observa en la Figura 5. 7 como la geometría deformada sigue siendo un cilindro recto, por lo que la deformación radial y axial son deformaciones principales. Debido a que las placas rígidas superior e inferior son suaves las tensiones radial y axial son tensiones principales. De igual forma, se puede apreciar que la deformación axial sufrida a lo largo de toda la geometría es de 20%

zε = − (compresión) mientras que la

deformación radial es de 6.64%r

ε = (extensión), tanto para la simulación con

ADÍNDICA como con PLAXIS. Se puede comprobar fácilmente como la variación de la deformación volumétrica

vδε ,

obtenida con el código ADÍNDICA, cumple la relación 1 2v

z

δε υδε

= − ⋅ , expresión

derivada de las ecuaciones de la elasticidad en las condiciones de un ensayo triaxial drenado convencional, siendo υ el coeficiente de Poisson de valor 0.3318. Tras realizar la simulación del ensayo con el código ADÍNDICA se obtiene un valor uniforme de tensión media efectiva cuyo valor es 21287.9 /p kN m′ = , siendo la tensión

vertical efectiva 23063.7 /z

kN mσ ′ = − (compresión) y la tensión radial efectiva 2400 /

rkN mσ ′ = − (compresión) en toda la geometría. Mientras que para el código

PLAXIS se obtiene 21287.886 /p kN m′ = siendo la tensión vertical efectiva

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

177

23063.8 /z

kN mσ ′ = − (compresión) y la tensión radial efectiva 2400 /r

kN mσ ′ = −

(compresión) en toda la geometría. En ambos códigos se observa como la presión de poros

wp permanece constante y de valor 20 /kN m en toda la geometría.

Se puede comprobar fácilmente como la variación de la tensión equivalente de Von

Mises qδ , obtenida con el código ADÍNDICA, cumple la relación z

qE

δδε

= derivada de

las ecuaciones de la elasticidad bajo las condiciones de un ensayo triaxial drenado convencional, siendo E el módulo de Young cuyo valor aparece en la Tabla 5. 1. De igual forma se cumple la relación 3 3q p pδ δ δ′= ⋅ = ⋅ , derivada de las ecuaciones de la elasticidad al imponer las condiciones de un ensayo triaxial drenado convencional.

5.2.3. Reproducción numérica de ensayo de compresión triaxial aplicando una

carga monótona en condiciones no drenadas con control de deformación axial

siendo las placas superior e inferior rígidas suaves.

Descripción de la simulación numérica

La geometría empleada, las condiciones de contorno consideradas para la mezcla así como la deformación axial impuesta son las mismas que las empleadas en el tipo de análisis 1. En la Figura 5. 8 se muestran las condiciones iniciales respecto a las tensiones y las presiones de agua de poros, así como las condiciones de drenaje.

Figura 5. 8 Condiciones iniciales en tensiones efectivas, p′ , y presión de poros siendo

wp .

Los parámetros empleados para reproducir el comportamiento elástico lineal isótropo son los mismos que aparecen en la Tabla 5. 1. Hay que incorporar en esta simulación el parámetro Q , representando la compresibilidad combinada del fluido y del esqueleto

2400 /p kN m′ =

20 /w

p kN m≈ (presión de poros de referencia)

Se impide drenaje en

bordes 2 3,Γ Γ

2Γ

3Γ

Se impide drenaje en

bordes 1 4,Γ Γ (ejes de

simetría)

1Γ

4Γ

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

178

del suelo. Para considerar una muestra completamente saturada se ha asignado a este parámetro el valor de 6 22 10 /Q kN m= ⋅ , implicando que el valor del coeficiente B de Skeptom es prácticamente 1. Resultados de la comparación.

En primer lugar se muestra el comportamiento global de las simulaciones en cuanto a los desplazamientos registrado. En la Figura 5. 9 se muestran el campo de desplazamientos obtenidos por el código ADÍNDICA y el código PLAXIS, mientras que en la Figura 5. 10 se muestra la norma del desplazamiento total obtenido por el código ADÍNDICA y el código PLAXIS.

Figura 5. 9 Campo de desplazamientos totales para el ensayo triaxial con carga monótona no drenado con

control de deformación axial con placas superior e inferior rígidas suaves obtenido por el código: a) ADÍNDICA, b) PLAXIS.

Figura 5. 10 Norma del vector desplazamiento en cada punto para el ensayo triaxial con carga monótona no drenado con control de deformación axial con placas superior e inferior rígidas suaves obtenido por el

código: a) ADÍNDICA, b) PLAXIS

b)

a) b)

a)

m

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

179

En estas dos figuras se pone de manifiesto que los resultados obtenidos por ambos códigos numéricos coinciden en cuanto a desplazamientos. Como se puede apreciar, en la Figura 5. 9 a) y b), tanto la inclinación como la magnitud de las flechas coincide en los resultados obtenidos por ADÍNDICA y por PLAXIS. La coincidencia en la magnitud de los desplazamientos es más evidencia al comparar la Figura 5. 10 a) y b). Al comparar la Figura 5. 5 con la Figura 5. 9 se aprecia como la inclinación de las flechas aumenta en el caso no drenado, haciéndose más horizontales. Esto pone de manifiesto el carácter incompresible de la muestra saturada en el ensayo no drenado debido a las condiciones de drenaje consideradas. Este efecto también se puede apreciar en las Figura 5. 6 y Figura 5. 10, ya que la excentricidad de las isolíneas que representan la norma del desplazamiento es menor en el caso no drenado que en el caso drenado. En la Figura 5. 11 se puede observar la malla inicial y deformada obtenida con el código ADÍNDICA. También se puede apreciar la posición final de los nodos que se encuentran en la esquina superior e inferior del extremo derecho de la geometría tras realizar la simulación con el código PLAXIS.

-0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

m

m

Malla inicial

Posición nodos esquina superior e inferior

extremo derecho tras simulacion con

código PLAXIS

10mm

Malla deformada ADINDICA

2.50mm

Figura 5. 11 Malla deformada obtenida con el código ADÍNDICA y posición final de nodos extremos tras simulación con código PLAXIS para el ensayo triaxial con carga monótona no drenado con control

de deformaciones con placas suaves. En la Figura 5. 11 se aprecia como la deformación axial sufrida a lo largo de toda la geometría es de 20%

zε = − (compresión) mientras que la deformación radial es de

9.98%r

ε = (extensión), tanto para la simulación con ADÍNDICA como con PLAXIS.

La variación de la deformación volumétrica registrada por el código PLAXIS es de

0.038%v

δε = , mientras que en el caso del código ADÍNDICA es de 0.039%v

δε = . En

ambos casos se puede considerar que la deformación volumétrica es despreciable. Tras realizar la simulación con el código ADÍNDICA, se obtiene un valor uniforme de tensión media efectiva cuyo valor es 2405.25 /p kN m′ = , siendo la tensión vertical

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

180

efectiva 22403.9 /z

kN mσ ′ = − (compresión) y la tensión radial efectiva 2594.1 /

rkN mσ ′ = (tracción) en toda la geometría. Mientras que para el código PLAXIS

se obtiene 2404.8 /p kN m′ = siendo la tensión vertical efectiva 22403.33 /z

kN mσ ′ = −

(compresión) y la tensión radial efectiva 2594.4 /r

kN mσ ′ = (tracción) en toda la

geometría. En cuanto al exceso de presiones de poros, se observa que en el código ADÍNDICA resulta un valor homogéneo en toda la geometría de 2994.1 /

wp kN m= (compresión)

mientras en el código PLAXIS se obtiene un valor de 2994.4 /w

p kN m= (compresión).

Cabe destacar que si se refina la malla de elementos finitos, de 252 a 578 elementos en el código PLAXIS y de 256 a 578 elementos en el código ADÍNDICA, los valores de deformación volumétrica

vδε , tensión media efectiva p′ y de presión de poros

wp no

registran variación alguna, no pudiéndose mejorar la aproximación. Debido a que el presente caso corresponde a un cálculo no drenado, teóricamente 0

vδε = implicando

0pδ ′ = y por el principio de la tensión efectiva w

p pδ δ= . Sin embargo, estas

aserciones teóricas suponen un comportamiento idealmente incompresible tanto del fluido como de los granos que componen el esqueleto del suelo, mientras que en los cálculos numéricos obtenidos con ADÍNDICA se ha considerado la existencia de una leve compresibilidad tanto del fluido intersticial como de los granos del suelo, mientras que en el código PLAXIS solo se considera una leve compresibilidad del fluido intersticial. Bajo el comportamiento no drenado, se puede comprobar fácilmente como en los resultados obtenidos por el código ADÍNDICA se cumple la siguiente relación teórica

s zδε δε≈ − derivada de la elasticidad generalizada de Hooke. De igual forma, se puede

comprobar como 214990 / 3s

q kN m Gδ δε = ≈ , siendo 25000 /G kN m= el módulo

tangencial.

5.2.4. Reproducción numérica de un ensayo de compresión triaxial aplicando una

carga monótona en condiciones drenadas con control de deformación axial siendo

las placas superior e inferior rígidas rugosas.

Descripción de la simulación numérica

La geometría empleada en el presente tipo de análisis es la misma que la considerada en el tipo de análisis anterior. En la Figura 5. 12 se muestran las condiciones de contorno empleadas para la mezcla así como la deformación axial impuesta. Al impedir el desplazamiento horizontal en el borde superior ( )3Γ se está simulando la existencia de

fricción entre la muestra de arcilla y las placas superior e inferior.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

181

Figura 5. 12 Condiciones de contorno para el ensayo triaxial con carga monótona drenado con control de

deformación axial con placas superior e inferior rígidas rugosas. Las condiciones iniciales respecto a las tensiones y las presiones de agua de poros, así como las condiciones de drenaje impuestas son las mismas que las del tipo de análisis 1, y se describen en la Figura 5. 3. Los parámetros empleados para reproducir el comportamiento elástico lineal isótropo son los mismos que aparecen en la Tabla 5. 1. Debido a que en el presente tipo de análisis se está impidiendo el desplazamiento horizontal de la parte superior de la geometría ( )3Γ , sin imponer restricciones al

desplazamiento en el borde lateral derecho ( )2Γ , existe una singularidad en la esquina

superior derecha. Debido a que esta esquina representa una zona de gran distorsión, se presentarán en este caso los cálculos empleando tres mallas diferentes en las que se alcanzan distintos grados de refinamiento alrededor de la esquina superior derecha.

Resultados de la comparación.

En la Figura 5. 13 se pueden observar las mallas inicial y deformada obtenida con el código ADÍNDICA y con el código PLAXIS. Los datos de las mallas se muestran en la Tabla 5. 2. En esta tabla figura el número de elementos empleados así como la longitud de la arista que se encuentra en el borde lateral derecho ( )2Γ del elemento más próximo

a la esquina superior derecha de la geometría.

2400 /r

kN mσ = −

(compresión constante)

20%a

ε = − 3

Γ

2Γ

4Γ

1Γ

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

182

Figura 5. 13 Mallas deformadas obtenidas con el código ADÍNDICA y PLAXIS para el Ensayo triaxial con carga monótona drenado con control de deformación axial con placas superior e inferior rígidas

rugosas. a) Malla 1 PLAXIS, b) Malla 2 PLAXIS, c) Malla 3 PLAXIS, d) Malla 1 ADÍNDICA, e) Malla 2 ADÍNDICA, f) Malla 3 ADÍNDICA

Tabla 5. 2 Datos de las mallas empleadas

ADÍNDICA PLAXIS Malla 1 Malla 2 Malla 3 Malla 1 Malla 2 Malla 3

Longitud arista elemento próximo a esquina superior

derecha (mm)

1.8

1.4

1

1.73

1.24

0.9

Numero de elementos 282 478 1094 295 636 1291 En la Figura 5. 13 se observa como los resultados en desplazamiento proporcionados por el código PLAXIS y por el código ADÍNDICA coinciden para los tres tipos de malla seleccionados. De igual forma se observa como la geometría deformada sigue siendo cilíndrica, pero el radio varía al considerar distintas alturas en la geometría. Esta distorsión provoca la rotación de las direcciones principales de tensión y deformación en las inmediaciones de la esquina superior derecha.

10mm

1.73mm

Posición nodos esquina superior e inferior

extremo derecho tras simulacion con código PLAXIS

con 295 elementos

10mm

Posición nodos esquina superior e inferior

extremo derecho tras simulacion con código PLAXIS

con 636 elementos

1.73mm

10mm

1.73mm

Posición nodos esquina superior e inferior

extremo derecho tras simulacion con

código PLAXIScon 1291 elementos

a) b) c)

d) e) f)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

183

También en la Figura 5. 13 se puede observar como en las mallas empleadas en los cálculos del código ADÍNDICA, generada a través del algoritmo de Delaunay, no hay un solo elemento que tenga dos aristas en el borde de la geometría. Este detalle es relevante en el estudio de la convergencia de los elementos mixtos empleados en el código ADÍNDICA. Esto se debe a que los desplazamientos sólo pueden ser impuestos como mucho en una única arista del elemento (Hughes, 2000). Se aprecia de igual como la malla empleada por el código PLAXIS no cumple esta propiedad. En la Figura 5. 14 se observa la variación de la tensión media efectiva p′ en el borde superior y en el lateral derecho de la geometría considerada, obtenido a través del código ADÍNDICA y el código PLAXIS empleando la Malla3 en cada código. En general se observa un acuerdo muy bueno entre las curvas obtenidas por ambos códigos, apreciándose claramente la diferencia de aumento de tensión media registrado por ambos códigos en las inmediaciones de la esquina derecha superior, tanto en el borde lateral derecho ( )2Γ como en le borde superior ( )3Γ .

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.0251

2

3

4

5

6x 10

6

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

x 106

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

PLAXIS

ADINDICA

Figura 5. 14 Tensión media registrada por el código ADÍNDICA y el código PLAXIS para el ensayo triaxial con carga monótona drenado con control de deformación axial con placas superior e inferior

rígidas rugosas en a) borde superior de la geometría, b) lateral derecho de la geometría En la Figura 5. 15 se representa un detalle de la Figura 5. 14. En esta figura, se puede apreciar como la tensión media registrada por el código PLAXIS presenta oscilaciones espúreas. Estas oscilaciones son muy evidentes en los resultados obtenidos en el lateral derecho de la geometría, no existiendo en los resultados del código ADÍNDICA. Es interesante poner de manifiesto que estas oscilaciones se presentan en los resultado obtenidos con el código PLAXIS, independientemente de la densidad de la malla empleada.

a)

b)

Tensión media efectiva, p´ (N/m

2 )

m

Tensión media efectiva, p´ (N/m2)

m

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

184

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

x 106

0.042

0.044

0.046

0.048

0.05

0.0205 0.021 0.0215 0.022 0.0225 0.023 0.0235 0.024 0.0245

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3x 10

6

Figura 5. 15 Detalle de la Figura 5.14 , a ) borde superior de la geometría, b) lateral derecho de la geometría.

Es importante destacar que tanto las oscilaciones como el valor máximo de tensión media solo afecta a los elementos adyacentes a la esquina superior derecha, obteniendo un registro de tensiones medias suave para el resto de los elementos. A medida que se refina la malla y disminuye el tamaño de los elementos, hay menos geometría afectada por estos valores anómalos, aunque el valor máximo de tensión media aumenta así como las oscilaciones, tal y como se puede apreciar en la Figura 5. 16.

a)

b)

Tensión media efectiva, p´ (N/m

2 )

Tensión media efectiva, p´ (N/m2)

m

m

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

185

Figura 5. 16 Variación de la tensión media para diversas mallas. a) borde superior ADÍNDICA, b) borde superior PLAXIS, c) borde lateral derecho ADÍNDICA, d) borde lateral derecho PLAXIS.

En la Figura 5. 17 se observa la variación de la tensión equivalente de Von Mises, q , en el borde superior y en el lateral derecho obtenido a través del código ADÍNDICA y el código PLAXIS empleando la Malla3. Se observa un acuerdo muy bueno entre las curvas obtenidas por ambos códigos. A diferencia de las curvas de tensión media, no es tan apreciable la discrepancia de aumento de tensión equivalente de Von Mises registrada por ambos códigos en las inmediaciones de la esquina derecha superior. Por otra parte, no se aprecian oscilaciones espúreas en las curvas de la tensión equivalente de Von Mises, independientemente del grado de refinamiento alcanzado en la malla, tal y como puede apreciarse en la Figura 5. 17 y en la Figura 5. 18.

0.0225 0.023 0.0235 0.024 0.0245 0.0252

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

x 106

1.5 2 2.5

x 106

0.0465

0.047

0.0475

0.048

0.0485

0.049

0.0495

Malla 2

Malla 1

Malla 3

Malla 3

Malla 1

Malla 2

0.023 0.0235 0.024 0.0245 0.025

2.5

3

3.5

4

4.5

5

x 106

1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 106

0.035

0.04

0.045

0.05

Malla 2

Malla 2

Malla 1

Malla 3

Malla 1

Malla 3

a) b)

c) d)

m

m

m

m

Tensión media efectiva, p´ (N/m

2 )

Tensión media efectiva, p´ (N/m

2 )

Tensión media efectiva, p´ (N/m2) Tensión media efectiva, p´ (N/m2)

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

186

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.0251

2

3

4

5

6

7x 10

6

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

x 106

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

ADINDICA

PLAXIS

Figura 5. 17 Tensión equivalente de Von Mises q registrada por el código ADÍNDICA y el código

PLAXIS para el ensayo triaxial con carga monótona drenado con control de deformación axial con placas superior e inferior rígidas rugosas en: a) borde superior de la geometría, b) lateral derecho de la geometría

Figura 5. 18 Variación de la tensión equivalente de Von Mises para diversas mallas. a) borde superior ADÍNDICA, b) borde superior PLAXIS, c) borde lateral derecho ADÍNDICA, d) borde

lateral derecho PLAXIS.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.0251

2

3

4

5

6

7x 10

6

2 3 4 5 6 7

x 106

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Malla 1

Malla 2

Malla 3

Malla 1

Malla 2

Malla 3

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.0251

2

3

4

5

6

7x 10

6

2 3 4 5 6 7

x 106

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Malla 1

Malla 2

Malla 3

Malla 1

Malla 2

Malla 3

a)

b)

m

m

a) b)

c) d)

m

m

m m

Tensión de equivalente de

Von Mises, q (N/m

2 )

Tensión equivalente de Von Mises, q (N/m2)

Tensión equivalente de Von Mises, q (N/m

2 )

Tensión equivalente de Von Mises , q (N/m

2 )

Tensión equivalente de Von Mises, q (N/m2) Tensión equivalente de Von Mises, q (N/m2)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

187

5.2.5. Reproducción numérica de un ensayo de compresión triaxial aplicando una

carga monótona en condiciones no drenadas con control de deformación axial

siendo las placas superior e inferior rígidas rugosas.

Descripción de la simulación numérica

La geometría empleada en el presente tipo de análisis es la misma que la considerada en los tipos anteriores. Las condiciones de contorno empleadas para la mezcla así como la deformación axial impuesta son las que figuran en el tipo de análisis anterior. Las condiciones iniciales respecto a las tensiones y las presiones de agua de poros, así como las condiciones de drenaje impuestas son las mismas que las del tipo de análisis dos, y se describen en la Figura 5. 8. Los parámetros empleados para reproducir el comportamiento elástico lineal isótropo son los mismos que aparecen en la Tabla 5. 1. De la misma forma que en el tipo de análisis dos, el parámetro Q , representando la compresibilidad combinada del fluido y

del esqueleto del suelo, tiene asignado el valor 6 22 10 /Q kN m= ⋅ . Al igual que en el tipo de análisis anterior existe, una singularidad en la esquina superior derecha. Sin embargo, debido a que en el presente caso añadimos un carácter quasincompresible de la repuesta tensodeformacional, la distorsión en esta esquina será de mayor magnitud que en el tipo anterior.

Resultados de la comparación.

En la Figura 5. 19 se observa como los resultados en desplazamiento proporcionados por el código PLAXIS y por el código ADÍNDICA coinciden, empleando la Malla 2 (Tabla 5. 2), manteniéndose esta coincidencia al emplear la Malla 1 ó Malla3 (Tabla 5. 2).

-0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

10mmMalla inicial

Malla deformada ADINDICA Posición nodos esquina superior e inferior

extremo derecho tras simulacion con

código PLAXIS

2.73mm

Figura 5. 19 Malla deformada obtenida con el código ADÍNDICA y posición final de nodos extremos tras simulación con código PLAXIS para el ensayo triaxial con carga monótona no drenado con control

de deformación axial con placas superior e inferior rígidas rugosas

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

188

En la Figura 5. 20 se puede observar el desplazamiento horizontal obtenido en toda la geometría a través del código ADÍNDICA y el código PLAXIS. En esta figura se pueda apreciar la transición gradual de los desplazamientos horizontales, pasando de desplazamiento horizontal cero en todo el borde izquierdo de la geometría ( )4Γ a una

distribución progresiva en el borde derecho de la geometría ( )2Γ , obteniendo un

máximo valor de desplazamiento horizontal de 2.77r

u mm= en el borde 2

Γ a una altura

de unos 18mm . Es interesante observar que las curvas de isolíneas respecto al desplazamiento horizontal intersecan el borde inferior ( )1Γ perpendicularmente. Este aspecto está en

consonancia con las condiciones de contorno impuestas en dicho borde, ya que se ha permitido un desplazamiento horizontal libre.

Figura 5. 20 Desplazamiento horizontal registrado en toda la geometría para el ensayo triaxial con carga monótona no drenado con control de deformación axial con placas superior e inferior rígidas rugosas

obtenido por el código: a) ADÍNDICA, b) PLAXIS. En la Figura 5. 21 se muestra una comparación entre los valores de exceso de presión de poros, en dos puntos de control específicos (A y B), obtenidos por el código PLAXIS y el código ADÍNDICA considerando placas finales tanto suaves como rugosas y simulando un ensayo no drenado. En el caso de los datos obtenidos con el código PLAXIS se ha considerado el empleo de elementos interface, los cuales permiten suavizar la respuesta tensional registrada entorno a puntos de singularidad.

a) b)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

189

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

6

Geometríarepresentativade un cuarto de lamuestra

punto de control A

punto de control B

ADINDICA placas rugosaspunto B

PLAXIS coninterfaceplacas rugosaspunto B

PLAXIS sininterface placas rugosaspunto B

PLAXIS coninterfaceplacas rugosaspunto A

ADINDICA placas rugosaspunto A

PLAXIS sininterface placas rugosaspunto A

PLAXIS sininterface placas suavespuntos A y B

PLAXIS coninterfaceplacas suevespuntos A y B

ADINDICA placas suevespuntos A y B

Figura 5. 21 Valores del exceso de presión de poros en función de la deformación axial obtenida para el ensayo triaxial no drenado con control de deformación axial con placas suaves y rugosas obtenidos con el

código PLAXIS y el código ADÍNDICA. En la Figura 5. 21 se aprecian varios aspectos del comportamiento de las presiones de poros. En primer lugar, se pone de manifiesto la distribución no uniforme de excesos de presión de poros al considerar placas finales rugosas, generándose concentración de los excesos de presión de poros en el borde superior de la geometría. Este aspecto ha sido confirmado numéricamente por diversos autores (Andersen, 1975; Carter, 1982). En segundo lugar, debido a la distorsión numérica que introduce los valores anómalos de la esquina superior derecha, los valores de exceso de presión de poros obtenidos en el punto de control B por el código ADÍNDICA y el código PLAXIS presentan una cierta dispersión no existiendo dicha dispersión en el punto de control A. Este último aspecto pone de manifiesto que la influencia de las alteraciones introducidas por el comportamiento singular de la esquina superior derecha es de carácter local. Por último, se puede apreciar como los valores de exceso de presión de poros obtenidos en ambos puntos de control, a través del código ADÍNICA y el código PLAXIS, apenas varían al considerar placas suaves, mostrando una distribución de presión de poros es uniforme.

Exceso de presión de poros (N/m

2 )

Deformación Axial zz

ε

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

190

5.2.6. Reproducción numérica de una zapata corrida rígida suave apoyada sobre

un suelo elástico lineal isótropo. Contrastación con expresión analítica (Giroud,

1972) .

Descripción de la simulación numérica

Para abordar el problema asociado a una zapata corrida rígida suave sobre un suelo elástico lineal isótropo de espesor H se va a desarrollar una simulación en deformación plana. En el presente tipo de estudio, se va a considerar que el terreno tiene un

comportamiento drenado. Se ha aplicado un desplazamiento vertical uniforme de 10mm sobre la zapata, pretendiendo analizar la reacción, F , obtenida al aplicar dicho desplazamiento. En la Figura 5. 22 se aprecia la geometría estudiada, indicando las dimensiones tanto de la zapata como del terreno analizado. De igual forma, se pueden apreciar los datos relevantes del terreno así como la malla de elementos finitos empleada en los cálculos con el código ADÍNDICA y con el código PLAXIS. Cabe destacar que se han empleado 399 elementos en el caso del código ADÍNDICA y 424 en el caso del código PLAXIS.

0 5 10 15-1

0

1

2

3

4

5

Figura 5. 22 Geometría, malla de elementos finitos y parámetros del terreno, a) PLAXIS, b) ADÍNDICA

B=2 m

20.333; 500G kN mν = =

m

m

a)

b)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

191

Resultados de la comparación.

En la Figura 5. 23 se muestra el desplazamiento vertical obtenido a través del código ADÍNDICA y del código PLAXIS tras aplicar un desplazamiento de 10mm .

Figura 5. 23 Desplazamiento vertical obtenido en a) toda la geometría PLAXIS, b) toda la geometría ADÍNDICA y c) en superficie PLAXIS, ADÍNDICA.

a)

b)

c)

m

m

m

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

192

En esta última figura, se aprecia como las isolíneas que representan el desplazamiento vertical, en toda la geometría estudiada, son prácticamente idénticas para el código PLAXIS y para el código ADÍNDICA. Es importante indicar que la escala de colores empleada por PLAXIS es la opuesta a la empleada por el código ADÍNDICA. También se puede observar en la Figura 5. 23 c), como los desplazamiento verticales en superficie obtenidos por el código PLAXIS y el código ADÍNDICA coinciden plenamente. En la Figura 5. 24 se muestra la distribución de tensiones verticales a lo largo de la zapata, obtenida a través del código ADÍNDICA y del código PLAXIS tras aplicar un desplazamiento vertical de 10mm .

Figura 5. 24 Distribución de las tensiones verticales bajo la zapata. Comparación PLAXIS, ADÍNDICA. En la Figura 5. 24 se puede apreciar como la distribución de tensiones obtenida por el código PLAXIS es claramente asimétrica, mientras que la lectura de tensiones a través del código ADÍNDICA muestra una distribución prácticamente simétrica. Esta anomalía se resuelve en el caso del código PLAXIS empleando los elementos interface para modelizar el contacto entre la zapata y el terreno, evitando así la aparición de valores espúreos de tensión. Giroud desarrolló en 1972 la expresión analítica (0.1) para poder establecer el asiento sufrido por una zapata rígida suave sobre un suelo elástico lineal isótropo de espesor H .

( ) siendo 0.88 para 42 1 0.5

F HAsiento

G B

δ δν

= = =⋅ + ⋅ ⋅

(0.1)

En la expresión anterior H es el espesor de la capa de terreno, B es la anchura de la zapata, F es la reacción debida a la deformación impuesta y δ es una constante. Para las dimensiones y propiedades del material utilizados en el presente tipo de análisis la expresión (0.1) proporciona un valor para la reacción de 15.15F kN m= . La

reacción obtenida a través del código PLAXIS es de 15.24F kN m= , cometiendo un error de 0.6% . A través del código ADÍNDICA la reacción lograda fue de

15.22F kN m= , es decir, el error cometido fue de0.46% .

m Tensión vertical, (N/m

2 )

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

193

5.2.7. Reproducción numérica de una zapata corrida rígida suave apoyada sobre

un suelo elástico lineal isótropo con incremento lineal del módulo tangencial con la

profundidad. Contrastación con expresión analítica (Gibson, 1967).

Descripción de la simulación numérica

De la misma forma que en el tipo de análisis anterior, se va a desarrollar una simulación en deformación plana para estudiar el problema asociado a una zapata corrida rígida sube sobre un suelo elástico lineal isótropo en el que existe un incremento lineal del módulo tangencial con la profundidad, es decir sobre un suelo Gibson. En el presente tipo de estudio, se va a considerar que el terreno tiene un comportamiento drenado. En este tipo de análisis, se ha aplicado una carga vertical de 210kN m uniformemente sobre la zapata, pretendiendo analizar los asientos obtenidos al aplicar dicha carga. En la Figura 5. 25 se aprecia la geometría estudiada, indicando las dimensiones tanto de la zapata como del terreno analizado. De igual forma, se pueden apreciar los datos relevantes del terreno así como la malla de elementos finitos empleada en los cálculos con el código ADÍNDICA y con el código PLAXIS. Se puede apreciar que se aplica un incremento lineal al módulo tangencial, G, con la profundidad. En la superficie se considera que el módulo de Young tiene un valor de 4 21E kN m−= .

0 5 10 15-1

0

1

2

3

4

5

Figura 5. 25 Geometría, malla de elementos finitos y parámetros del terreno, a) PLAXIS, b) ADÍNDICA Resultados de la comparación.

En la Figura 5. 26 se muestra el desplazamiento vertical obtenido a través del código ADÍNDICA y del código PLAXIS tras aplicar una carga vertical de 210kN m . En ambos casos, los resultados numéricos muestran un asiento del suelo bajo la banda de carga prácticamente uniforme. Este aspecto se aprecia gracias a que el color

0.495; 100G zν = = ⋅

m

m

a)

b)

z

B=2 m

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

194

representativo del máximo desplazamiento vertical se encuentra a lo largo de toda la banda carga.

Figura 5. 26 Desplazamiento vertical en toda la geometría a través de a) PLAXIS, b) ADÍNDICA.

La solución analítica obtenida por Gibson en 1967, es exacta solo para el caso en que el espesor de la capa de suelo estudiado fuera infinita, mientras que las soluciones numéricas obtenidas por el código PLAXIS y el código ADÍNDICA se han obtenido sobre una capa de espesor finito. Sin embargo, debido a que se pretende estudiar los asientos en superficie, es de esperar que el efecto inducido por el incremento del módulo tangencial con la profundidad sea pequeño. La solución exacta a este problema concreto, proporcionada por Gibson en 1967, establece unos asientos uniformes bajo la banda de carga de magnitud:

502 100

qAsiento mm= =

⋅ (0.2)

El asiento registrado por el código PLAXIS es de 46.44 mm, mientras que el del código ADÍNDICA es de 46.3 mm. Así, ambos códigos han proporcionado un valor 7% inferior al resultado teórico.

a)

b)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

195

5.2.8. Reproducción numérica de un proceso de consolidación bajo compresión

triaxial no monótona.

Introducción

En este tipo de análisis, se pretende mostrar que el código numérico ADÍNDICA es capaz de reproducir satisfactoriamente un proceso de consolidación desarrollado al aplicar sobre una muestra saturada un proceso de carga no monótono de compresión triaxial. Descripción de la simulación numérica

La geometría empleada en las simulaciones del código ADÍNDICA es la que aparece en la Figura 5. 27, representando un cuarto de una sección longitudinal de la probeta que contiene al eje de simetría. En la Figura 5. 28 se muestran las condiciones de contorno empleadas para la mezcla así como la deformación axial impuesta en este tipo de análisis.

Figura 5. 27 Geometría considerada en el ensayo triaxial de consolidación

Figura 5. 28 Condiciones de contorno consideradas para la reproducción del proceso de consolidación.

50mm

Ejes de simetría

100mm

2207 /r

kN mσ = −

(constante)

20%a

ε = − ( 54.2 10 mm seg−⋅ )

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

196

Al resolver numéricamente la ecuación de difusión asociado al problema de la consolidación, la tasa a la que se aplica la carga adquiere especial relevancia. Si esta es muy elevada en comparación a la permeabilidad, los excesos de presión de poros generados por el proceso de carga no se podrán disipar con lo que las condiciones del ensayo serán similares a las de un ensayo no drenado. Por otro lado, si su valor es bajo en relación a la permeabilidad los excesos depresión de poros generados en el proceso de carga tenderán a disiparse con lo que las condiciones del ensayo serán similares a las de un ensayo drenado. Se ha considerado en el presente tipo de análisis un comportamiento hidráulico isótropo en el que la permeabilidad radial y axial son iguales de valor 12k k 1.27 10 /

r zm seg−= = ⋅ . La velocidad de aplicación de la deformación axial

ha sido de 54.2 10 mm seg−⋅ . Las condiciones iniciales respecto a las tensiones y las presiones de agua de poros, así como las condiciones de drenaje son las que aparecen en la Figura 5. 29.

Figura 5. 29 Condiciones iniciales para la tensión media efectiva p′ y para la presión de poros

wp .

La contrastación numérica en el presente tipo de análisis se realizará a través del código comercial PLAXIS. Para los cálculos con este código se ha empleado una malla de 252 elementos finitos lagrangianos isoparamétricos triangulares cuadráticos de 6 nodos y 3 puntos de integración de Gauus por elemento. En los cálculos desarrollados con el código ADÍNDICA se ha empleado una malla de 256 elementos finitos lagrangianos isoparamétricos mixtos triangulares cuadráticos de 6 nodos, para interpolar los desplazamientos u , y lineales de 3 nodos, para interpolar las presiones de poros

wp .

Los parámetros empleados para reproducir el comportamiento elástico lineal isótropo son los mismos que aparecen en la Tabla 5. 3.

Tabla 5. 3 Parámetros empleados en el modelo elástico lineal isótropo

Formulación convencional Formulación Houlsby et al. (2005) E G

HARk

HARg

HARn

213320 /kN m 25000 /kN m 132 50 0 Hay que incorporar en esta simulación el parámetro Q , representando la compresibilidad combinada del fluido y del esqueleto del suelo. Se ha asignado a este

3Γ

2Γ

1Γ

4Γ

2207 /p kN m′ =

20w

p kN m≈ (presión de poros de referencia)

Se permite drenaje en

bordes 2 3,Γ Γ

Se impide drenaje en

bordes 1 4,Γ Γ (ejes de

simetría)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

197

parámetro el valor de 6 22 10 /Q kN m= ⋅ , implicando que el valor del coeficiente B de Skeptom es prácticamente 1. Para resolver el análisis transitorio asociado al proceso de consolidación se ha empleado el integrador temporal Newmark Generalizado 22GN para discretizar en el tiempo los desplazamientos u mientras que se ha considerado el integrador 11GN para discretizar en el tiempo la presión de poros

wp , siendo

2 1 10.605, 0.6 y 0.6β β β= = = los

parámetros empleados en el esquema numérico de integración, reduciendo el término dinámico a un valor despreciable.

Resultados de la comparación.

En la Figura 5. 30 se puede observar la malla inicial y deformada obtenida con el código ADÍNDICA. También se puede apreciar la posición final de los nodos que se encuentran en la esquina superior e inferior del extremo derecho de la geometría tras realizar la simulación con el código PLAXIS.

-0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

Malla inicial

Posición nodos esquina superior e inferior

extremo derecho tras simulacion con

código PLAXIS

1.69mm

1.73mm

Malla deformada ADINDICAtras aplicar el 20%

de deformación axial

Figura 5. 30 Malla deformada obtenida con el código ADÍNDICA y posición final de nodos extremos tras simulación con código PLAXIS para el ensayo triaxial de consolidación con carga monótona drenado

con control de deformación axial con placas superior e inferior rígidas suaves. Se observa en la Figura 5. 30 como la deformación radial sufrida por la muestra ya no es uniforme aunque las placas rígidas superior e inferior sean suaves, registrando una pequeña variación entre el valor de la parte superior de la muestra de 6.7%

rε = y el de

la parte inferior de 6.9%r

ε = .

El comportamiento no uniforme de la muestra queda más patente al comparar la respuesta tensional en distintos puntos de control. En la Figura 5. 31 se puede apreciar el comportamiento en tres puntos de control de la relación tensión equivalente de Von Mises -tensión efectiva media obtenida con el código PLAXIS y con el código ADÍNDICA. En esta figura se puede apreciar que los comportamientos obtenidos por

m

m

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

198

ambos códigos es muy similar, debiéndose la diferencia entre ellos a que la localización de los puntos de control no es exactamente la misma en cada código numérico.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x 105

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

6

Punto de control A (ADÍNDICA)Punto de control A (PLAXIS)Punto de control B (ADÍNDICA)Punto de control B (PLAXIS)Punto de control C (ADÍNDICA)Punto de control C (PLAXIS)

A

B

C

Figura 5. 31 Curvas tensión equivalente de Von Mises q respecto a la tensión efectiva media p′ obtenidas en distintos puntos de control con el código ADÍNDICA y el código PLAXIS.

Aunque se ha supuesto que la muestra inicialmente era homogénea y que las placas finales son consideradas rígidas y suaves, la respuesta tensional no es uniforme. Esto se debe a que las zonas cercanas a los bordes drenantes apenas experimentan un aumento de los excesos de presión de poros, por lo que se puede decir que el comportamiento de la muestra en estas zonas es prácticamente drenado. De hecho, la pendiente de la curva q p′− en el punto de control C es prácticamente 3, concretamente 3.03q p′ = . Por otro lado, cuanto más alejado se encuentre el punto de control de los bordes libres para drenar mayor es el aumento del exceso de presión de poros experimentado. Así, el punto de control A tenderá a comportarse como si fuera no drenado, hasta que los excesos de presión de poros generados no empiecen a disiparse. En la Figura 5. 31 se puede apreciar como la separación entre las curvas obtenidas en los distintos puntos de control tiende a estabilizarse, permaneciendo constante a partir de un cierto momento de la simulación. La diferencia de tensión media entre estas curvas se debe a la distintas condiciones de drenaje que experimentan las zonas asociadas a cada punto de control. Si aumentara la velocidad de aplicación de la deformación axial, aumentaría la diferencia entre curvas asociadas a puntos de control distintos. En la Figura 5. 32 se muestra el desarrollo de exceso de presión de poros obtenido para cada punto de control por el código ADÍNDICA y el código PLAXIS. Las discrepancias que se aprecian en estas curvas entre el código ADÍNDICA y el código PLAXIS se debe nuevamente a que los puntos de control no están localizados exactamente en el mismo lugar en la geometría de cada uno de los códigos.

Tensión efectiva media, p′ ( 2N m )

Tensión equivalente de Von Mises, q (N/m

2)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

199

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

2

4

6

8

10

12

14

16

18x 10

4

Punto de control A (ADÍNDICA)Punto de control A (PLAXIS)Punto de control B (ADÍNDICA)Punto de control B (PLAXIS)Punto de control C (ADÍNDICA)Punto de control C (PLAXIS)

C

A

B

Figura 5. 32 Curvas de exceso de presión de poros frente a la deformación axial obtenidas en distintos

puntos de control con el código ADÍNDICA y el código PLAXIS. En la Figura 5. 32 se puede apreciar como inicialmente a medida que se consideran puntos de control más alejados de los bordes drenantes el aumento de la presión de poros es mayor, tendiendo a estabilizarse progresivamente, hasta que su valor apenas varía al llegar a una deformación axial del 15%. Esta distribución no uniforme de los excesos de presión de poros en la geometría puede también apreciarse en la Figura 5. 33, donde se muestran las isolíneas asociadas a los excesos de presión de poros alcanzadas en toda la geometría tras aplicar el 20% de la deformación axial.

Figura 5. 33 Exceso de presión de poros en toda la geometría tras aplicar una deformación axial del 20%. a)ADÍNDICA, b)PLAXIS

Deformación axial, zz

ε

Exceso de presión de poros (N

/m2)

a) b)

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

200

5.2.9. Propagación de onda en una medio semi-infinito. Problema de Lamb.

Introducción

En este tipo de análisis, se muestra como el código numérico ADÍNDICA es capaz de reproducir satisfactoriamente un proceso dinámico desarrollado al aplicar una carga puntual dinámica sobre la superficie de un medio elástico. Lamb, estudió en 1904 la propagación de ondas en medios elásticos semi-infinitos sometidos a una fuerza impulsiva aplicada en la superficie. Desde entonces, diversos investigadores han proporcionado soluciones al problema mencionado, entre estos cabe destacar, Cagniard (1962), Miklowitz (1978) y Foinquinos & Roesset (2000). En el presente caso de análisis, se va a comparar la solución numérica, obtenida con el código ADÍNIDICA y el código PLAXIS, al problema de Lamb. El código PLAXIS ha llegado a validar su módulo dinámico a través de la comparación de la solución obtenida para el problema de Lamb con la proporcionada por Foinquinos & Roesset en el año 2000, por lo que se considera adecuado validar la respuesta obtenida con el código ADÍNDICA a través de la comparación con el código PLAXIS. Descripción de la simulación numérica

En el presente caso, el problema de Lamb ha sido modelizado bajo las hipótesis de deformación plana, considerando la geometría y malla de elementos finitos que se observa en la Figura 5. 34 para el código ADÍNDICA y el código PLAXIS. En esta figura se aprecia que se ha considerado un estrato de suelo de 30m de profundidad y 100m de longitud. La carga puntual se considera aplicada en el extremo izquierdo de la geometría. Se han empleado 1362 elementos en la malla empleada con el código ADÍNDICA y 1571 elementos en la malla del código PLAXIS.

Figura 5. 34 Geometría, malla de elementos finitos y parámetros del terreno, a) PLAXIS, b) ADÍNDICA

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

carga puntual

m

m

2 350000 , =0.25, =20kN mE kN m ν γ=

a)

b)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

201

En la Figura 5. 34 también se puede apreciar los parámetros asignados al terreno, el cual se ha considerado elástico lineal siendo el módulo de Young de 250000kN m , un

coeficiente de Poisson de 0.25 y un peso específico de 3=20kN mγ . La distribución temporal de la carga puntual aplicada se considera triangular, de duración 0.025 segundos y una amplitud de 50kN , empezando dicha carga transcurridos 0.05 segundos, tal y como se muestra en la Figura 5. 35.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Figura 5. 35 Distribución temporal de la carga puntual aplicada en superficie Para poder evitar la reflexión de las ondas de tensión salientes, se ha considerado en ambos códigos el empleo de bordes absorbentes en el borde inferior y derecho de la geometría. En el presente tipo de análisis no se examinará la influencia de estos bordes, dejando este análisis para el siguiente tipo de análisis. Se ha considerado en ambos códigos numéricos algo de amortiguamiento viscoso en forma de amortiguamiento de Rayleigh. Para ello se han considerado los siguientes valores 0.001, =0.002α β= . Por otro lado, el integrador temporal considerado en

ambos códigos es el esquema Newmark con 2 1

0.605, 0.6β β= = .

Resultados de la comparación.

En la Figura 5. 36 se muestra la comparación entre el desplazamiento vertical obtenido por el código ADÍNDICA y el código PLAXIS. Se puede observar en esta figura como el comportamiento registrado por ambos códigos es muy similar. Las diferencias que se pueden apreciar se pueden atribuir a la discretización espacial, al emplear 1571 elementos de 15 nodos en PLAXIS y 1362 elementos de 6 nodos en ADÍNDICA, así como en al paso de tiempo empleado. Por otra parte, se aprecia como ambos códigos numéricos pueden reproducir la llegada de la onda de compresión o primaria (onda P), la onda de corte o secundaria (onda S) y la superficial de Rayleigh.

Tiempo (seg)

Fuerza (kN

)

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

202

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-4

ADINDICAPLAXIS

onda P

onda S

onda Rayleigh

Figura 5. 36 Comparación entre el desplazamiento vertical obtenido con el código ADÍNDICA y el

código PLAXIS a 50m de la aplicación de la carga puntual La reproducción de la onda de Rayleigh puede apreciarse mejor en la Figura 5. 37, donde se muestra la orbita del punto material situado en la superficie y a 50 metros de la zona de aplicación de la carga. En esta figura se observa como la trayectoria de la partícula es prácticamente elíptica retrógrada, tal y como sostienen los desarrollos teóricos. En esta última figura, también se pueden apreciar las trayectorias debidas a la onda P, con un desplazamiento prácticamente horizontal y a la onda S, con un desplazamiento prácticamente vertical.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4

x 10-5

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-5

ADINDICAPLAXIS

onda S

onda P

onda Rayleigh

Figura 5. 37 Orbita casi elíptica de la partícula en superficie al paso de la onda de Rayleigh.

Tiempo (seg)

Desplazam

iento vertical (m)

Desplazam

iento vertical (m)

Desplazamiento horizontal (m)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

203

La velocidad de propagación de las ondas superficiales de Rayleigh fue objeto de estudio por parte de Knopoff (1952, 1954), llegando a facilitar la siguiente expresión para establecer dicha velocidad.

( )

( ) ( )1

0.54 siendo y 1 1 2R c c

Ec c c g

νρ γ

ν ν ρ− ⋅

= ⋅ = =+ ⋅ − ⋅

(0.3)

En la expresión anterior, E es el módulo de Young, ν es el coeficiente de Poisson, ρ es

la densidad del medio de propagación de la onda, cc sería la velocidad de las ondas P y

Rc la velocidad de las ondas de Rayleigh.

Considerando el valor de los parámetros del presente tipo de análisis y la expresión (0.3), se obtiene una velocidad teórica para la onda de Rayleigh de 92.64

Rc m seg= .

En la Figura 5. 38 se puede apreciar las perturbaciones que se originan al paso de la onda de Rayleigh en puntos concretos de la superficie, empleando el código ADÍNDICA. Si se calcula la velocidad de propagación de estas ondas a través de la relación del espacio que separa a dichos puntos y el tiempo transcurrido en pasar la onda de un punto a otro, se observa que la velocidad de Rayleigh, calculada a través de código ADÍNDICA, es de 91.4

Rc m seg= .

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-4

Punto de control a 29.808m de aplicacion de cargaPunto de control a 25 m de aplicacion de carga

Figura 5. 38 Propagación de onda de Rayleigh observada en dos puntos de control. Código ADÍNDICA. En este caso la velocidad de Rayleigh obtenida con el código ADÍNDICA difiere del valor teórico en un 1.3% .

Tiempo (seg)

Desplazam

iento vertical (m)

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

204

5.2.10. Propagación y absorción de una onda en un medio poroso saturado.

Introducción

En este tipo de análisis, se muestra como el código numérico ADÍNDICA es capaz de reproducir satisfactoriamente la propagación y absorción de una onda en un medio poroso elástico y saturado, prestando especial atención al fenómeno de absorción al llegar la onda a alguno de los límites del domino prefijado para el estudio. Al vibrar verticalmente una cimentación superficial cerca del 67% de la energía radiada es transmitida en forma de ondas de Rayleigh (Miller y Pursey, 1955), por lo que resulta de vital importancia comprobar que al llegar este tipo de ondas a los límites del domino el grado de absorción se importante. Motivados por esta reflexión, se comprueba en el presente tipo de análisis la capacidad de absorción de ondas de Rayleigh por parte de los bordes silenciosos propuestos en la presente Tesis Doctoral para un medio poroso saturado. A diferencia del tipo de análisis anterior, se va a considerar la propagación de una onda en un medio poroelástico semi-infinito sometido a una fuerza impulsiva aplicada en la superficie. En el presente caso de análisis, la fuerza impulsiva es aplicada con control de desplazamientos. Descripción de la simulación numérica

El problema de propagación y absorción ha sido modelizado bajo las hipótesis de deformación plana, considerando la geometría, malla de elementos finitos y condiciones de contorno que se observa en la Figura 5. 39. En esta figura, se aprecia como el nivel freático se ha considerado a un metro sobre la superficie del terreno.

-2 0 2 4 6 8 10

0

2

4

6

8

10

12

14

Borde absorbente

Borde absorbenteDesplazamientopuntual

1m

Figura 5. 39 Geometría, malla de elementos finitos y parámetros del terreno. Código ADÍNDICA.

m

m

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

205

Para conseguir una mayor precisión tanto en la propagación de la onda como en la absorción, se han considerado 2160 elementos finitos lagrangianos isoparamétricos mixtos triangulares cuadráticos de 6 nodos, para interpolar los desplazamientos u , y lineales de 3 nodos, para interpolar las presiones de poros

wp . En la Figura 5. 39

también se puede apreciar la ubicación de los bordes absorbentes, colocados en el borde inferior y derecho de la geometría. El esqueleto del suelo ha sido considerado elástico lineal, con un módulo de Young de

216600kN m , un coeficiente de Poisson de 0.2 y un peso específico de 3=18kN mγ . Se ha considerado en el presente tipo de análisis un comportamiento hidráulico isótropo con una permeabilidad de valor 5k 1 10 /m seg−= ⋅ . Por otra parte, hay que incorporar en esta simulación el parámetro Q , representando la compresibilidad combinada del fluido y del esqueleto del suelo. Para considerar una muestra prácticamente saturada se ha asignado a este parámetro el valor de 5 22 10 /Q kN m= ⋅ , implicando que el valor del coeficiente B de Skeptom es de 0.98B ≈ . La distribución temporal del desplazamiento puntual aplicado es sinusoidal con una frecuencia de 50 Hz, una amplitud de 1mm y una de duración 0.01 segundos, tal y como se muestra en la Figura 5. 40.

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0x 10

-3

Figura 5. 40 Distribución temporal del desplazamiento puntual aplicado en superficie. En el presente tipo de análisis, no se ha considerado amortiguamiento viscoso, de esta forma, se podrá apreciar de una forma más precisa los efectos de absorción de las ondas al llegar estas al borde. El integrador temporal considerado es el esquema de Newmark con

2 1 10.505, 0.501, 0.505β β β= = = .

Resultados de la comparación.

En la Figura 5. 41 se muestra la propagación de las distintas ondas que se transmiten por el medio poroso saturado transcurridos 0.1seg de la aplicación impulsiva del desplazamiento. En esta figura, en la que se muestra la norma del desplazamiento total, se puede apreciar como las mayores perturbaciones se aprecian al paso de la onda de Rayleigh, en consonancia con distintas observaciones anteriores (Miller y Pursey, 1955).

Tiempo (seg)

Desplazam

iento vertical(m

)

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

206

Figura 5. 41 Propagación de onda S y de Rayleigh en un medio poroso saturado

En la Figura 5. 41 se aprecia la propagación de la onda de corte S y la onda de Rayleigh. La onda de compresión P, ya no se aprecia en esta figura, ya que se propaga a una

velocidad de 4

( ) 344.783c

c K G Q m sρ = + ⋅ + =

, mientras que la onda de corte S

se desplaza a 61.73sc G m sρ= = .

En la Figura 5. 42 se muestra la comparación de los desplazamientos verticales registrados en superficie a una distancia de 5.2m de la zona de aplicación del desplazamiento impulsivo, al considerar bordes absorbentes y sin considerarlos.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

-4

ADINDICA sin borde absorbenteADINDICA con borde absorbente

2.5%

7%

Figura 5. 42 Comparación del desplazamiento vertical registrado en superficie a 5.2m de la zona aplicación del desplazamiento impulsivo, considerando y sin considerar bordes absorbentes.

m

m

Tiempo (seg)

Desplazam

iento vertical (m)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

207

En la Figura 5. 42 se observa como al considerar la existencia de bordes absorbentes la amplitud de la onda de Rayleigh reflejada es muy inferior a la amplitud de la onda de Rayleigh reflejada sin emplear bordes absorbentes. De forma más precisa, se aprecia una reducción de la amplitud del orden de 95%. En la Figura 5. 43 se muestra la comparación entre las presiones de poros registradas en superficie a una distancia de 5.2m de la zona de aplicación del desplazamiento impulsivo, al considerar bordes absorbentes y sin considerarlos

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25x 10

4

ADINDICA sin borde absorbenteADINDICA con borde absorbente

2.9%

4%

Figura 5. 43 Comparación de la presión de poros registrada en superficie a 5.2m de la zona aplicación del desplazamiento impulsivo, considerando y sin considerar bordes absorbentes.

En esta última figura, se aprecia como la existencia de bordes absorbentes permite reducir drásticamente la amplitud de la perturbación de los excesos de presión de poros al paso de la onda de Rayleigh reflejada. En este caso, la reducción es prácticamente del 97%.

Tiempo (seg)

Presión de po

ros, p

w (N/m

2)

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

208

5.2.11. Conclusiones de la verificación básica del modelo numérico.

Los nueve primeros tipos de análisis expuestos hasta ahora permiten concluir que el comportamiento elástico lineal isótropo del modelo presentado es satisfactorio. Además se aprecia como las condiciones de contorno en tensiones y desplazamientos así como las condiciones de drenaje y las asociadas a los ejes de simetría empleadas en la resolución numérica de las ecuaciones se comportan adecuadamente. Por otro lado, se aprecia como el comportamiento global de la malla así como entorno a puntos singulares es muy satisfactorio. En la línea del último comentario se aprecia que la capacidad de remallado local que presenta la malla en el código ADÍNDICA, es muy útil para poder reproducir adecuadamente el comportamiento tensodeformacional en las inmediaciones de una singularidad. De igual forma, se aprecia como la tipología de elementos empleada (elementos finitos lagrangianos isoparamétricos mixtos triangulares cuadráticos de 6 nodos, para interpolar los desplazamientos u , y lineales de 3 nodos, para interpolar las presiones de poros

wp ) es adecuada para analizar

comportamientos incompresibles. De igual forma, a quedado puesto de manifiesto como el código numérico ADÍNDICA es capaz de reproducir satisfactoriamente procesos de consolidación desarrollado al aplicar una carga no monótona sobre una muestra saturada cuyo esqueleto es gobernado por un comportamiento elástico lineal . En los epígrafes anteriores, se ha mostrado como el código numérico ADÍNDICA es capaz de reproducir satisfactoriamente un proceso dinámico desarrollado al aplicar una carga puntual dinámica sobre la superficie de un medio elástico, reproduciendo satisfactoriamente la propagación de las distintas ondas elásticas P, S y Rayleigh. Por otra parte, se ha comprobado que la propagación y absorción de ondas elásticas en un medio poroso saturado es simulada correctamente en el código ADÍNDICA. Todos estos aspectos indican que el modelo teórico propuesto para representar el acoplamiento del esqueleto sólido del suelo y la presión de poros, en régimen elástico lineal isótropo, bajo carga monótona y no monótona en condiciones estáticas (drenadas y no drenadas), pseudoestáticas y dinámicas, es correcto. La bondad de la aproximación numérica como su implementación en el código ADÍNDICA queda verificada.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

209

5.3. Validación de los algoritmos de resolución de comportamientos

no lineales implementados en el código ADÍNDICA a través de la

comparación con otros resultados numéricos.

5.3.1. Introducción.

Tal y como se ha puesto de manifiesto en el cuarto capítulo de la presente Tesis Doctoral, ha sido necesario implementar dos algoritmos para poder resolver, con la suficiente precisión, los distintos comportamientos no lineales involucrados en el estudio numérico de las ecuaciones que gobiernan la respuesta dinámica del terreno ante la acción del oleaje en diques verticales de cajones. Estos algoritmos son: − Algoritmo de integración puntual de la ley constitutiva elastoplástica. − Algoritmo de integración global de la relación fuerza-desplazamiento. En el presente apartado se validan estos algoritmos numéricos. Para realizar la verificación del correcto funcionamiento de estos algoritmos, se han desarrollado dos tipos diferentes de simulaciones. Los resultados numéricos obtenidos han sido confrontados con otros resultados numéricos existentes en la literatura. El primero de los tipos de análisis tiene por objeto poner de manifiesto que el algoritmo de integración puntual tensión-deformación, propuesto en la presente Tesis Doctoral, así como el algoritmo de resolución de análisis no lineal funcionan correctamente al reproducir numéricamente el comportamiento de una zapata corrida rígida rugosa sometida a una carga vertical uniforme. Debido a la singularidad que presenta la esquina de una zapata rígida así como la fuerte rotación que experimentan los ejes principales, este tipo de análisis supone un importante reto para los algoritmos local y global implementados en el código ADÍNDICA. El segundo de los tipos de análisis tiene por objeto poner de manifiesto que el algoritmo de integración puntual tensión-deformación, propuesto en la presente Tesis Doctoral, así como el algoritmo de resolución de análisis no lineal funcionan correctamente al reproducir numéricamente un ensayo triaxial cíclico. Los resultados numéricos obtenidos de este segundo tipo de análisis se comparan con otros resultados numéricos de análisis cíclicos triaxiales. Estos últimos resultados fueron previamente contrastados con datos experimentales (Mira et al., 2008). Un segundo aspecto abordado en este tipo de análisis ha sido el poner de manifiesto la importancia del empleo de la componente reversible hiperelástica en la formulación constitutiva propuesta. En estos dos tipos de análisis, la ley constitutiva elastoplástica considerada para representar el comportamiento tensodeformacional de la masa de suelo es el modelo de Pastor-Zienkiewicz para suelos granulares de la teoría Generalizada de la Plasticidad. El empleo de este comportamiento constitutivo, nos va a permitir validar los algoritmos numéricos comparando los resultados obtenidos a través del código ADÍNDICA con otros resultados numéricos existentes en la literatura. Por otra parte, al considerar la ley constitutiva relacionada con suelos granulares, la regla de flujo es no asociada, por lo que el tensor constitutivo tangente de cuarto orden es no simétrico, planteando un reto adicional a los algoritmos de resolución implementados en el código ADÍNDICA.

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

210

5.3.2. Validación de los algoritmos numéricos de integración local de la ley

elastoplástica y global de la relación fuerza-desplazamiento a través del análisis de

una zapata corrida rígida rugosa bajo carga vertical uniforme monótona.

Introducción

En el presente apartado, los algoritmos de integración local de la ley elastoplástica y global de la relación fuerza-desplazamiento, desarrollados en el capítulo cuatro de la presente Tesis Doctoral son empleados para analizar el comportamiento de una zapata corrida rígida rugosa. La precisión del algoritmo de integración puntual de la ley constitutiva elastoplástica será examinada a través del estimador del error

2

2

ref

errorσ

′ ′−=

′σ σ

σ (0.4)

Donde ′σ son las tensiones efectivas calculadas con el integrador local propuesto Euler Modificado para Plasticidad Generalizada con control del error local,

ref′σ son las

tensiones efectivas de referencia y 2i es la norma euclídea. La tensión efectivas de

referencia, ref′σ , se obtiene al emplear como integrador local el esquema explícito

Dorman-Prince para la Plasticidad Generalizada con control del error y una tolerancia para el cálculo de las tensiones de 910STOL −= . Las tensiones efectivas ′σ y

ref′σ , se

calculan a través de un análisis por elementos finitos empleando la misma malla, la misma secuencia de carga y el mismo esquema de solución global. La única diferencia es que la tensión de referencia es determinada de forma muy precisa. Es importante destacar que las tensiones de referencia,

ref′σ , no son las tensiones exactas, ya que

incluyen el error debido a otras fuentes como la malla empleada en la discretización y la secuencia de carga, sin embargo proporcionan un valor de tensiones que permite calcular el error en el proceso de integración local. El error calculado a través de la expresión (0.4), puede ser comparado directamente con la tolerancia STOL , permitiendo valorar el comportamiento del mecanismo de control del error local (Abbo, 1997). La expresión (0.4) nos va a permitir determinar el error cometido en la integración de la ley constitutiva elastoplástica. Para poder estimar la distribución de dicho error sobre toda la geometría de estudio, se va a considerar el mapa de errores dado por la expresión (0.4) en cada uno de los puntos de Gauss, es decir, a través de la expresión (0.5)

2

2

i i

refi

error iσ

′ ′−=

′σ σ

σ (0.5)

Donde i se refiere a cada punto de integración. La expresión (0.5) permite establecer la aportación de cada punto de Gauss al error cometido en la integración de la ley

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

211

constitutiva elastoplástica al resolver numéricamente el problema de contorno considerado. Esta forma de evaluar la precisión del algoritmo de integración puntual de la ley constitutiva elastoplástica es muy similar al procedimiento de Mapa de Isoerrores (Simó y Hughes, 1998), siendo este último método considerado como el más fiable para analizar la precisión de un algoritmo de integración puntual (Neto, Períc, Owen, 2008). Cabe considerar la siguiente diferencia entre el mapa de isoerrores y el procedimiento considerado en el presente trabajo de investigación. Dado el estado de tensiones inicial de un punto sobre la superficie de fluencia, el método de los mapas de isoerror consiste en aplicar una serie de incrementos de deformación normalizado en distintas direcciones, calculando el incremento de tensiones asociado a través del algoritmo de integración de tensiones propuesto. Los resultados que se derivan del método son presentados a través de la expresión (0.5) para ese punto concreto. Aunque los incrementos de deformación suelen cubrir un cuarto del espacio de deformaciones, estos no se derivan de un problema de contorno concreto, por lo que no suelen llegar a reproducir los estados tensodeformacionales esperables en un caso práctico. Como es bien sabido, la precisión de un algoritmo de integración depende de la no linealidad presentada en el sistema de ecuaciones diferenciales a resolver. Es por este motivo que es muy importante analizar la respuesta del integrador puntual ante problemas de contorno que reproduzcan, en la medida de los posible, estados tensodeformacionales esperables en la ingeniería practica. Por esto, en vez repetir fielmente el esquema de incrementos de deformación que permiten dibujar los mapas de isoerrores estándar, en el presente caso de análisis se va a analizar el comportamiento de una zapata corrida rígida rugosa. La precisión del algoritmo de integración global de la relación fuerza-desplazamiento será examinada a través de la comparación directa con el esquema de Newton-Raphson con mil incrementos de carga y una tolerancia para el desequilibrio de fuerzas relativo de 610TOL −= . El integrador local empleado en todos los casos de análisis es el de Euler Modificado para Plasticidad Generalizada con control del error local con una tolerancia para el cálculo de las tensiones de 610STOL −= , propuesto en la presente Tesis Doctoral. Modelo numérico Zapata-Suelo La simulación del comportamiento de la zapata rígida ha sido realizado a través del método de los elementos finitos bajo la hipótesis de deformación plana. Debido a la simetría que presenta el problema de contorno a analizar, solo la mitad del sistema zapata-suelo es representado. En la Figura 5. 44 se muestran las dimensiones del dominio considerado así como la malla de elementos finitos empleada en el análisis numérico mediante el código ADÍNDICA, consistente en 200 elementos triangulares isoparamétricos de seis nodos. Para simular el comportamiento rígido de la cimentación, la zapata es sometida a una serie de desplazamientos verticales uniformes, derivando la carga aplicada sobre la zapata al sumar las reacciones nodales registradas inmediatamente bajo la zapata dividido por el área de esta. El desplazamiento total impuesto es 5% del ancho de la zapata, siendo suficiente para causar deformaciones plásticas considerables.

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

212

Figura 5. 44 Malla de elementos finitos empleada en la simulación del código ADÍNDICA

Tanto el borde derecho de la geometría como el eje de simetría situado en el centro de la zapata han sido considerados suaves, permitiendo exclusivamente el desplazamiento vertical. En el borde inferior de la geometría los desplazamientos verticales y horizontales han sido impedidos. Estas condiciones de contorno, pueden apreciarse en la Figura 5. 44. Los valores considerados para los parámetros del modelo constitutivo Pastor-Zienkiewicz aplicable a suelos granulares se presentan en la Tabla 5. 4.

Tabla 5. 4 Valores de los parámetros ADÍNDICA

PARÁMETRO

VALOR

HARk 241.5

HARg 80.5

HARn 1

fM 1

gM 1.2

0H 130

( )g fα α= 0.4

0β 0.5

1β 0.2 γ 0

La tensión vertical inicial en la masa de suelo ha sido calculada a partir de la densidad del suelo de 32000kg m , considerando un coeficiente de empuje en reposo

01K = y

una precarga isótropa de 250kN m .

203 mm

438 mm 38 mm

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

213

Resultados

Para evaluar la precisión del esquema de integración local, la respuesta del sistema zapata-suelo ha sido analizado considerando 5, 10 y 50 incrementos iguales de carga. El integrador global es el propuesto en el capítulo cuatro de la presente Tesis Doctoral, para la resolución numérica de casos estáticos, con una tolerancia del error cometido en el desplazamiento 610DTOL −= . Los valores de tolerancia considerados para el cálculo de las tensiones fueron, 2 41,10 ,10STOL − −= , analizando en cada caso el error cometido en el cálculo de las tensiones a través de las expresiones (0.4) y (0.5). Es interesante destacar que el caso 1STOL = corresponde al esquema Modificado de Euler sin considerar subincrementación. Los resultados alcanzados en el análisis considerando 50 incrementos iguales de carga, se pueden apreciar en la Tabla 5. 5. En dicha tabla, se aprecia como la presión sobre la zapata tras aplicar 4mm de desplazamiento vertical, calculada a través del código ADÍNDICA, es muy similar para todos los valores de tolerancia de tensiones considerado, variando esta cantidad en no más del 0.5% de la presión obtenida considerando el esquema explícito de Dorman-Prince.

Tabla 5. 5 Resultados del estudio de precisión del integrador local. 50 pasos de carga.

Esquema

Tensión sobre la zapata al imponer

4mm de desplazamiento

vertical [N/m2]

% de la tensión sobre la zapata al imponer 4mm de desplazamiento vertical respecto

al valor de referencia

Error cometido en el cálculo de las tensiones [ecuación (0.4)]

1STOL =

115420

0.5%

44.4 10−⋅

210STOL −=

115880

0.1%

44.1 10−⋅

410STOL −=

115980

0.01%

41.35 10−⋅

En la Tabla 5. 5 se aprecia como el error cometido en el cálculo de las tensiones, derivado de la expresión (0.4), es para las tolerancias 21,10STOL −= varios ordenes de magnitud inferior que la tolerancia considerada, siendo del mismo orden de magnitud para la tolerancia 410STOL −= , por lo que se puede concluir que dicha tolerancia proporciona un control del error adecuado al integrar comportamientos constitutivos basados en la Teoría Generalizada de la Plasticidad. En la Tabla 5. 5 se observa como las diferencias registradas en la relación fuerza-desplazamiento no son apreciables al variar la tolerancia STOL, siendo los valores de tensión alcanzados prácticamente iguales a los obtenidos a través del esquema de Dorman-Prince. Este aspecto se aprecia más claramente en la Figura 5. 45.

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

214

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 10-3

-2

0

2

4

6

8

10

12x 10

4

Dormon-Prince STOL=1e-9Modified Euler STOL=1e-4Modified Euler STOL=1e-2Modified Euler STOL=1

Figura 5. 45 Relación fuerza-desplazamiento calculada a través del esquema Dorman-Prince y el esquema Modificado de Euler al aplicar 50 incrementos iguales de carga

En relación a la distribución de los errores cometidos en la integración local, obtenidos de la expresión (0.5), se puede apreciar en la Figura 5. 46, Figura 5. 47 y Figura 5. 48.

Figura 5. 46 Distribución de los errores cometidos en la integración puntual considerando STOL=100 , al

imponer 4mm de desplazamiento vertical.

Tensión aplicada sobre la zapata (N/m

2 )

Desplazamiento vertical de la zapata (m)

2

2

i i

refi

error iσ

−=σ σ

σ

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

215

Figura 5. 47 Distribución de los errores cometidos en la integración puntual considerando STOL=10-2 , al imponer 4mm de desplazamiento vertical.

Figura 5. 48 Distribución de los errores cometidos en la integración puntual considerando STOL=10-4, al

imponer 4mm de desplazamiento vertical. En estas figuras se aprecia como los errores cometidos en el proceso de integración local son prácticamente uniformes en toda la geometría, excepto en la esquina de la zapata rígida, donde se alcanzan los valores máximos de forma localizada. Esta distribución es consistente con el problema de contorno considerado, ya que es en esta

2

2

i i

refi

error iσ

−=σ σ

σ

2

2

i i

refi

error iσ

−=σ σ

σ

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

216

esquina donde el sistema zapata-suelo presenta una singularidad en el comportamiento tensodeformacional, perjudicando al proceso de integración. En las figuras anteriores, se aprecia como al disminuir la tolerancia el error cometido al calcular las tensiones disminuye, aumentando la precisión del proceso de integración. En cualquier caso, se observa que los valores de error alcanzados son aceptables para todo el rango de valores de tolerancia STOL considerado. Para investigar la influencia de la trayectoria de carga sobre el esquema de integración propuesto, el mismo problema de contorno ha sido analizado empleando 10 incrementos iguales de carga. Los resultados alcanzados en el análisis considerando 10 incrementos iguales de carga, se pueden apreciar en la Tabla 5. 6. En dicha tabla, se aprecia como la presión sobre la zapata tras aplicar 4mm de desplazamiento vertical, calculada a través del código ADÍNDICA, es muy similar para todos los valores de tolerancia de tensiones considerado, variando esta cantidad en no más del 0.6% de la presión obtenida considerando el esquema explícito de Dorman-Prince.

Tabla 5. 6 Resultados del estudio de precisión del integrador local. 10 pasos de carga.

Esquema

Tensión sobre la zapata al imponer

4mm de desplazamiento

vertical

[N/m2]

% de la tensión sobre la zapata al imponer 4mm de desplazamiento

vertical respecto al valor de referencia

Error cometido en el cálculo

de las tensiones,

ecuación (0.4)

1STOL =

114850

0.6%

32.2 10−⋅

210STOL −=

115320

0.14%

32.1 10−⋅

410STOL −=

115450

0.02%

42.4 10−⋅

Al igual que en el caso en el que se consideran 50 incrementos iguales de carga, en la Tabla 5. 6 se aprecia como el error cometido en el cálculo de las tensiones para 10 incrementos iguales de carga, derivado de la expresión (0.4), es claramente inferior que la tolerancia considerada para los casos con 21,10STOL −= , siendo del mismo orden de

magnitud para la tolerancia 410STOL −= , por lo que se puede concluir, al igual que en la situación anterior, que dicha tolerancia proporciona un control del error adecuado al integrar comportamientos constitutivos basados en la Teoría Generalizada de la Plasticidad. En el caso de considerar un mismo valor de la tolerancia para el cálculo de las tensiones y variamos el número de incrementos iguales en los que se aplica la carga, obtenemos los resultados que aparecen en la Tabla 5. 7. En esta tabla, se aprecia como la variación en la tensión sobre la zapata, una vez se ha alcanzado 4mm de desplazamiento vertical, al considerar 10 y 50 incrementos de carga es despreciable. La diferencia existente entre

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

217

los valores alcanzados fijando 1STOL = es de 0.49%, para 210STOL −= es de 0.48% mientras que para 410STOL −= es de 0.46%. Este último resultado, sugiere que el integrador Euler Modificado para Plasticidad Generalizada con control del error local propuesto en el presente trabajo de investigación es prácticamente independiente del número de incrementos de carga considerados. Otro resultado que respalda esta conclusión es la variación del error cometido en el cálculo de las tensiones al considerar 10 y 50 incrementos iguales de carga. Se observa que este error es en el peor de los casos, del mismo orden de magnitud para la tolerancia considerada para el cálculo de las tensiones. Tabla 5. 7 Valor de tensión alcanzada al imponer 4mm de desplazamiento vertical y error cometido en el

cálculo de las tensiones. 10 y 50 incrementos iguales de carga Tensión sobre la zapata al imponer 4mm de

desplazamiento vertical

[N/m2]

Error cometido en el cálculo de las tensiones

[ecuación (0.4)]

1STOL = 210STOL −=

410STOL −=

1STOL = 210STOL −=

410STOL −=

10

incrementos de carga

114850

115320

115450

32.2 10−⋅

32.1 10−⋅

42.4 10−⋅

50

incrementos de carga

115420

115880

115980

44.4 10−⋅

44.1 10−⋅

41.35 10−⋅

En relación a la precisión del algoritmo de integración global de la relación fuerza-desplazamiento implementado en el código ADÍNDICA, la respuesta del sistema zapata-suelo ha sido analizado empleando la malla de la Figura 5. 44, considerando 5 y 10 incrementos iguales de carga, considerando una tolerancia para el error del desplazamiento de 2 410 ,10DTOL − −= . Para la integración de la ley constitutiva se a considerado el esquema Euler Modificado para Plasticidad Generalizada con control del error local, una vez ha sido comprobado su buen funcionamiento. La tolerancia considerada para el error en el cálculo de las tensiones es de 610STOL −= . En la Figura 5. 49, se observa la respuesta fuerza-desplazamiento al considerar 5 incrementos iguales de carga. Se puede apreciar como la respuesta cualitativa alcanzada es muy similar para los distintos valores de error considerados para el desplazamiento. El error cometido respecto al valor alcanzado con el intrgrador Newton-Raphson en la tensión sobre la zapata, una vez han sido aplicados 4mm de deslazamiento, es de un 6% en el caso de considerar 210DTOL −= y de un 3% al considerar 410DTOL −= . En la Figura 5. 50, se observa como al considerar 10 incrementos iguales de carga los errores cometidos en la tensión sobre la zapata disminuyen, siendo del 3% para 210DTOL −= y de 2% al considerar 410DTOL −= .

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

218

Aunque se aprecia una cierta dependencia respecto al número de incrementos de carga considerados, esta es muy pequeña, ya que los resultados obtenidos con ambas series de incrementos son muy similares tanto cualitativa como cuantitativamente.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 10-3

0

2

4

6

8

10

12

14x 10

4

ADINDICA. Newton-Raphson 1000 incrementos de carga.TOL=10e-6ADINDICA. Euler Modificado DTOL=10e-4ADINDICA. Euler Modificado DTOL=10e-2

Figura 5. 49 Comparación de la relación fuerza-desplazamiento. 5 incrementos de carga.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 10-3

0

2

4

6

8

10

12

14x 10

4

ADINDICA. Newton-Raphson 1000 incrementos de carga. TOL=10e-6ADINDICA. Euler Modificado DTOL=10e-4ADINDICA. Euler Modificado DTOL=10e-2

Figura 5. 50 Comparación de la relación fuerza-desplazamiento. 10 incrementos de carga. Se puede concluir que tanto el algoritmo de integración puntual de la ley constitutiva elastoplástica como de integración global de la relación fuerza-desplazamiento son robustos y precisos cuando son aplicados al problema de contorno definido por una zapata corrida rígida rugosa apoyada sobre un suelo elastoplástico, modelizado este último a través de la teoría Generalizada de la Plasticidad.

Tensión aplicada sobre la zapata (N/m

2 )

Desplazamiento vertical de la zapata (m)

Tensión aplicada sobre la zapata (N/m

2 )

Desplazamiento vertical de la zapata (m)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

219

5.3.3. Análisis de un ensayo triaxial bajo carga cíclica sinusoidal.

Introducción

En el presente apartado, los algoritmos de integración local de la ley elastoplástica y global de la relación fuerza-desplazamiento, desarrollados en el capítulo cuatro de la presente Tesis Doctoral son empleados para analizar el comportamiento de una muestra cilíndrica de las arenas Adige sometidas a una carga cíclica en condiciones drenadas. Para evaluar la precisión de cada uno de los esquemas numéricos, los resultados numéricos obtenidos con el código ADÍNDICA han sido contrastados con las predicciones numéricas establecidas en el trabajo de Mira et al. (2008). El algoritmo de integración puntual tensión-deformación empleado en el trabajo de Mira et al. (2008) es el algoritmo de punto medio generalizado de Ortiz y Popov (1985). En cuanto al algoritmo global de integración de la relación fuerza-desplazamiento, Mira et al. (2008) implementaron el conocido algoritmo Newton-Raphson con la expresión consistente para la matriz elastoplástica. Descripción de la simulación

En el análisis desarrollado por Mira et al. (2008), se consideró el problema de una muestra cilíndrica de las arenas Adige en condiciones drenadas confinadas inicialmente a una presión isótropa de 2100kN m− , siendo el valor de los parámetros empleados en la simulación los que se muestran en la Tabla 5. 8.

Tabla 5. 8 Parámetros empleados para representar la arena Adige

PARÁMETRO VALOR

HARk 50

HARg 15

HARn 1

fM 1.1

gM 1.33

0H 800

( )g fα α= 0.45

0β 2

1β 0.18 γ 0

La geometría y la malla empleada en la simulación con el código ADÍNIDCA es la que aparece en la Figura 5. 51, representando un cuarto de una sección longitudinal de la probeta que contiene al eje de simetría. En la Figura 5. 52, se muestra la trayectoria de tensiones en el plano p q′ − seguido para aplicar la carga cíclica sobre la muestra

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

220

cilíndrica. En total se llegan a aplicar 8 ciclos cerrados como el que se muestra en la Figura 5. 52.

Figura 5. 51 Geometría y malla de elementos finitos empleadas para la reproducción numérica del

ensayo triaxial.

0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25

x 105

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

4

Figura 5. 52 Trayectoria de tensiones seguido para la carga cíclica sobre la muestra cilíndrica . De la Figura 5. 52 se desprende que el proceso de carga seguido en esta simulación abarca los modos de carga en compresión, descarga en compresión, carga en extensión y descarga en extensión, involucrando cargas desviadora e isótropa.

50mm

Ejes de simetría

100mm

Tensión equivalente de Von M

ises, q

(N/m

2 )

Tensión media efectiva, p′ (N/m2)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

221

Resultados de la comparación.

En la Figura 5. 53 se aprecia la comparación entre la respuesta elástica obtenida por Mira et al. (2008) y la obtenida a través del código ADÍNDICA, al emplear la formulación hiperelástica de Houlsby et al. (2005) en ambos casos, tras aplicar 8 ciclos de carga. En esta figura se aprecia como ambas respuestas son prácticamente iguales.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x 10-4

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

-3

Respuesta elástica ADÍNDICARespuesta elástica Mira et al. (2008)

Figura 5. 53 Trayectoria de deformación elástica bajo carga cíclica obtenido por Mira et al. (2008) y por el código ADÍNDICA.

En la Figura 5. 53 se aprecia como ambas respuestas elásticas siguen una trayectoria cerrada, es decir, ambas respuestas son conservativas ante la acción de un ciclo cerrado de carga. Este comportamiento se debe a que la componente elástica empleada en ambas simulaciones responde una formulación hiperelástica. Tal y como se manifestó en el capítulo tres de la presente Tesis Doctoral, la formulación inicial de la teoría Generalizada de la Plasticidad (Pastor et al.,1990), asumía una respuesta elástica a través de una aproximación hipoelástica, conduciendo a una respuesta no conservativa. Este aspecto queda expuesto de forma más clara en la Figura 5. 54, donde se muestra la comparación entre la respuesta elástica al considerar una formulación hiperelástica y otra hipoelástica. En la Figura 5. 54 se aprecia como al aplicar el ciclo de carga descrito en la Figura 5. 52, la trayectoria de deformaciones elásticas seguida al considerar la formulación hipoelástica no es cerrada, a diferencia de la respuesta hiperelástica.

Deformación Desviadora elástica, ε

se

Deformación volumétrica elástica, e

vε

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

222

-6 -4 -2 0 2 4 6

x 10-4

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10

-3

Respuesta elástica bajo formulación hiperelástica. ADÍNDICARespuesta elástica bajo formulación hipoelástica. ADÍNDICA

Figura 5. 54 Comparación entre la respuesta elástica obtenida mediante la comulación hiperelástica y la formulación hipoelástica. Código ADÍNDICA.

A diferencia de la Figura 5. 54, en la Figura 5. 55 se puede observar como el comportamiento de la componente plástica registrada al considerar una componente reversible hipoelástica e hiperelástica no muestra diferencias apreciables.

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5x 10

-3

Respuesta plástica bajo formulación hiperelástica. ADÍNDICARespuesta plástica bajo formulación hipoelástica. ADÍNDICA

Figura 5. 55 Comparación entre la respuesta plástica obtenida mediante la comulación hiperelástica y la

formulación hipoelástica. Código ADÍNDICA.

Deformación Desviadora elástica, ε

se

Deformación volumétrica elástica, e

vε

Deformación Desviadora plástica, ε

sp

Deformación volumétrica plástica, p

vε

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

223

En la Figura 5. 56 se aprecia la comparación entre la respuesta elastoplástica, tras aplicar 8 ciclos de carga, obtenida por Mira et al. (2008) y la obtenida a través del código ADÍNDICA, al emplear la formulación hiperelástica de Houlsby et al. (2005) en ambos casos para representar la componente elástica. De la misma forma que en la Figura 5. 53, en esta figura la respuesta obtenida por ambas simulaciones es prácticamente la misma.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x 10-3

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

-3

Deformación total (elástica+ plástica) ADÍNDICADeformación total (elástica+ plástica) Mira et al. (2008)

Figura 5. 56 Trayectoria de deformación total bajo carga cíclica obtenido por Mira et al. (2008) y por el código ADÍNDICA.

Las pequeñas discrepancias que se pueden apreciar en la Figura 5. 53 y en la Figura 5. 56 entre los resultados numéricos obtenidos por Mira et al. (2008) y los alcanzados por el código ADÍNDICA, se deben principalmente a que los algoritmos implementados para realizar la integración local de las ecuaciones de la plasticidad, así como el algoritmo de resolución global del análisis no lineal no son los mismos que en ambos trabajos. Regresando nuevamente a la comparación entre la respuesta al considerar una componente hipoelástica y una hiperelástica, se puede apreciar en la Figura 5. 57 como la respuesta registrada por ambas formulaciones en deformaciones totales (elásticas + plásticas) es bastante significativa. Teniendo en cuenta los resultados obtenidos en la Figura 5. 54 y Figura 5. 55, se puede concluir que la discrepancia registrada en la Figura 5. 57 se debe al carácter no conservativo de la respuesta hipoelástica.

Deformación Desviadora, ε

s

Deformación volumétrica, v

ε

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

224

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x 10-3

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

-3

Respuesta elastoplástica bajo formulación hiperelástica. ADÍNDICARespuesta elastoplástica bajo formulación hipoelástica. ADÍNDICA

Figura 5. 57 Comparación entre la respuesta elastoplástica obtenida mediante la comulación hiperelástica

y la formulación hipoelástica. Código ADÍNDICA.

5.3.4. Conclusiones de la Validación de los algoritmos de resolución de

comportamientos no lineales.

En los dos tipos de análisis abordados en el presenta aportado de la Tesis, se ha puesto de manifiesto la bondad de los algoritmos de resolución de comportamientos no lineales, local y global, implementados en el código ADÍNDICA. Se puede concluir que tanto el algoritmo de integración puntual de la ley constitutiva elastoplástica como de integración global de la relación fuerza-desplazamiento son robustos y precisos cuando son empleados para analizar el problema de contorno definido por una zapata corrida rígida rugosa así como para analizar el comportamiento de una muestra cilíndrica sometidas a una carga cíclica, ambos casos en condiciones drenadas. Por otro lado, en el presente apartado, se ha puesto de manifiesto la importancia de una componente elástica conservativo para evitar respuestas tensodeformacionales termodinámicamente inconsistentes. Una vez aclarados los aspectos de robustez y precisión de los algoritmos de resolución de comportamientos no lineales, estos han sido empleados con confianza a la hora de validar la bondad de la ley constitutiva elastoplástica aplicada a terrenos arcillosos propuesta en la presente Tesis Doctoral.

Deformación Desviadora, ε

s

Deformación volumétrica, v

ε

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

225

5.4. Validación del Modelo constitutivo elastoplástico propuesto con

ensayos de laboratorio.

5.4.1. Introducción.

En el tercer capítulo de la presente Tesis Doctoral, se ha propuesto una modificación a ley constitutiva elastoplástica de Pastor-Zienkiewicz aplicada a suelos arcillosos. En este apartado se valida este comportamiento constitutivo a través de la constrastación directa de los resultados numéricos con datos experimentales. Para realizar estas validaciones, se han desarrollado cuatro tipos de simulaciones. Los resultados numéricos obtenidos de cada uno de los tipos de análisis han sido confrontados con datos experimentales. Más concretamente, en el primer tipo de análisis los resultados numéricos se comparan con resultados de ensayos triaxiales estáticos mientras que en el segundo y el tercer tipo las comparaciones se realizan con resultados de ensayos triaxiales cíclicos. El cuarto tipo de análisis se corresponde ya a una aplicación en la que los resultados numéricos son contrastados con los datos experimentales derivados de un modelo a escala de una zapata rígida. El primer tipo de análisis tiene por objeto poner de manifiesto que la modificación a ley constitutiva elastoplástica de Pastor-Zienkiewicz aplicada a suelos arcillosos propuesta, reproduce adecuadamente el comportamiento tensodeformacional de muestras arcillosas normalmente consolidadas y sobreconsolidadas, bajo carga monótona en condiciones drenadas y no drenadas. El segundo tipo de análisis tiene por objeto poner de manifiesto que la modificación a ley constitutiva elastoplástica de Pastor-Zienkiewicz aplicada a suelos arcillosos, implementada en el código ADÍNDICA, reproduce adecuadamente el comportamiento tensodeformacional de muestras arcillosas normalmente consolidadas, en condiciones no drenadas, al aplicar una serie de ciclos con control de deformaciones. El objetivo del tercer tipo de análisis es el mismo que el del segundo, sin embargo, la serie de ciclos aplicado se efectúa con control de tensiones. El cuarto tipo de análisis tiene por objeto poner de manifiesto que la modificación a ley constitutiva elastoplástica de Pastor-Zienkiewicz aplicada a suelos arcillosos, implementada en el código ADÍNDICA, reproduce adecuadamente el comportamiento tensodeformacional del suelo situado bajo una zapata corrida rígida rugosa sometida a una carga vertical uniforme.

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

226

5.4.2. Comparación con un ensayo triaxial, bajo carga monótona y con placas

superior e inferior rígidas suaves. Contrastación experimental Henkel (1956).

Introducción

En este tipo de análisis se va a comparar los resultados numéricos obtenidos a través del código ADÍNDICA con los datos experimentales aportados por Henkel (1956), al reproducir una serie de ensayos de compresión triaxial con carga monótona, en condiciones drenadas y no drenadas, considerando como comportamiento constitutivo la modificación a ley constitutiva elastoplástica de Pastor-Zienkiewicz aplicada a suelos arcillosos propuesta en el presente trabajo de Tesis. El suelo empleado en los ensayos de laboratorio por Henkel fue una mezcla de muestras de la arcilla de Londres y la arcilla de Weald, siendo los resultados de los ensayos de clasificación los que figuran en la Tabla 5. 9.

Tabla 5. 9 Resultados de los ensayos de clasificación. Arcilla de Londres y de Weald

L

ω P

ω pI % de arcilla %arcilla

pI

Arcilla de Weald

43

18

25

40

0.6

Arcilla de Londres

78

26

52

47

1.1

La arcilla de Weald pertenece a un depósito de estuario del sistema cretácico mientras que la arcilla de Londres procede de un depósito marino eocénico. Teniendo en cuenta el valor del límite líquido y según el sistema unificado de clasificación de suelos (USCS), la arcilla Weald se corresponden con una arcilla limosa orgánica de baja plasticidad, mientras que la arcilla de Londres se corresponde con una arcilla inorgánica de plasticidad elevada. La humedad de las muestras normalmente consolidada era del 23% en el caso de la arcilla Weald y de 36% en el caso de la arcilla de Londres, proporcionando un índice de fluidez de 0.2 en ambos casos. Una descripción detallada de los procedimientos seguidos para la realización de los ensayos se puede encontrar en Henkel (1956). De los datos recopilados de la serie de ensayos triaxiales realizados se han escogido para la comparación con las predicciones numéricas aquellos que provienen de muestras normalmente consolidadas a una tensión efectiva media de 2207p kN m′ = así como los datos de los ensayos de muestras isotrópicamente comprimidas a un valor de

2

max827p kN m′ = y luego descargadas hasta alcanzar una grado de sobreconsolidación

de max

24OCR p p′ ′= = .

Descripción de la simulación numérica

La geometría empleada en las simulaciones del código ADÍNDICA es la que aparece en la Figura 5. 58, representando un cuarto de una sección longitudinal de la probeta que contiene al eje de simetría. En esta misma figura se aprecia la malla empleada en los cálculos, estando formada por 256 elementos finitos lagrangianos isoparamétricos

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

227

mixtos triangulares cuadráticos de 6 nodos, para interpolar los desplazamientos u , y lineales de 3 nodos, para interpolar las presiones de poros

wp .

En la Figura 5. 59 se muestran las condiciones de contorno empleadas para la mezcla así como la deformación axial impuesta en este tipo de análisis, aplicada esta última en pequeños incrementos de desplazamiento debido a la presencia de no linealidad material.

Figura 5. 58 Geometría empleada para la reproducción numérica de un ensayo triaxial

Figura 5. 59 Condiciones de contorno para el ensayo triaxial con carga monótona drenado y no drenado con control de deformación axial con placas superior e inferior rígidas suaves, a) OCR=1, b) OCR=24.

En la Figura 5. 60 se muestran las condiciones iniciales respecto a las tensiones y las presiones de agua de poros, así como las condiciones de drenaje empleadas en los cálculos con el código ADÍNDICA para la situación con drenaje y sin drenaje, así como para el caso normalmente consolidado como sobreconsolidado.

38.1mm

Ejes de simetría

76.2mm

2207 /r

kN mσ = −

(constante)

20%a

ε = − a)

b) 20%a

ε = −

234.5 /r

kN mσ = −

(constante)

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

228

Figura 5. 60 Condiciones iniciales de la tensión media efectiva p′ y presión de poros w

p , a) Ensayo

drenado muestra normalmente consolidada, b) Ensayo no drenado muestra normal consolidada, c) Ensayo drenado muestra sobreconsolidada (OCR=24), d) Ensayo no drenado muestra sobre consolidada

(OCR=24). Para modelizar el comportamiento tensodeformacional se ha empleado la modificación de la ley constitutiva elastoplástica de Pastor-Zienkiewicz aplicada a suelos arcillosos propuesta en el presente trabajo de Tesis. Los parámetros empleados para dicho comportamiento constitutivo aparecen en la Tabla 5. 10 y en la Tabla 5. 11 para representar la muestra normalmente consolidada y sobreconsolidada, respectivamente. Es importante mencionar que estos parámetros han sido obtenidos a través del procedimiento expuesto en el capítulo tres de la presente Tesis Doctoral. Tabla 5. 10 Valor de los Parámetros considerados para representar la muestra normalmente consolidada

a través de la modificación de la ley constitutiva elastoplástica de Pastor-Zienkiewicz.

PARÁMETRO VALOR

HARk 60

HARg 20

HARn 1

p qM ′− 0.95

α 0.45

0H 34 µ 2

2207p kN m′ =

20w

p kN m≈ (presión de poros de referencia)

Se permite drenaje libre en bordes

2 3,Γ Γ

2

Γ

3Γ

Se impide drenaje en bordes

1 4,Γ Γ

(ejes de simetría)

1Γ

4Γ

2207p kN m′ = 20

wp kN m≈ (presión de poros de referencia)

Se impide drenaje en bordes

2 3,Γ Γ

2Γ

3Γ

1Γ

4Γ

a) b)

c) d)

3Γ

3Γ

4Γ

1Γ

Se permite drenaje libre en bordes

2 3,Γ Γ

Se impide drenaje en bordes

2 3,Γ Γ

2Γ

2Γ

1Γ

4Γ

234.5p kN m′ =

20w

p kN m≈ (presión de poros de referencia)

234.5p kN m′ =

20w

p kN m≈ (presión de poros de referencia)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

229

Tabla 5. 11 Valor de los Parámetros considerados para representar la muestra sobreconsolidada (OCR=24) a través de la modificación de la ley constitutiva elastoplástica de Pastor-Zienkiewicz.

PARÁMETRO VALOR

HARk 60

HARg 20

HARn 1

p qM ′− 0.95

α 0.45

0H 34 µ 2

0β 0.15

1β 20 γ 0.9

Al considerar en el modelo el valor 1

HARn = , se está indicando que la componente

elástica del modelo se rige por la ley conservativa de Houlsby et al. (2005), en vez de emplear una componente hipoelástica o elástica lineal. Al asignar a los parámetros adimensionales elásticos los valores 60

HARk = y 20

HARg = ,

teniendo en cuenta que la tensión efectiva media inicial al considerar la muestra normalmente consolidada es de 2207p kN m′ = , el módulo edométrico asociado es de

217940kN m , mientras que al considerar la muestra sobreconsolidada, y siendo la

tensión efectiva media inicial de 234.5p kN m′ = , el módulo edométrico asociado es de 22990kN m . El valor 0.95

p qM ′− = , implica un ángulo de rozamiento interno de valor

24ºf

φ ′ ≈ .

En los ensayos no drenados hay que incorporar el parámetro Q representando la compresibilidad combinada del fluido y del esqueleto del suelo. Se ha asignado a este parámetro el valor de 6 22 10 /Q kN m= ⋅ , implicando que el coeficiente B de Skeptom es prácticamente 1. Resultados de la comparación.

Debido a que en la simulación numérica se ha supuesto que la muestra inicialmente era homogénea y que las placas finales son consideradas rígidas y suaves, la respuesta tensodeformacional es uniforme, tal y como puede apreciarse en la malla deformada que aparece en la Figura 5. 61 para el análisis normalmente consolidado.

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

230

-0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

2.5mm

1.9mm

Deformada comportamientodrenado

Deformada comportamientono drenado

Figura 5. 61 Malla deformada obtenida con el código ADÍNDICA para el ensayo triaxial con carga monótona drenado y no drenado sobre arcilla normalmente consolidada con placas rígidas suaves.

En la Figura 5. 62 así como en la Figura 5. 63 se aprecia la comparación entre las curvas experimentales obtenidas por Henkel (1956) y la predicción numérica derivada del código ADÍNDICA para muestras normalmente consolidadas y sobreconsolidadas, respectivamente.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

5

Ensayo drenado.Datos experimentales Henkel (1956).Ensayo drenado. Resultado numérico ADINDICA.Ensayo no drenado.Datos experimentales Henkel (1956).Ensayo no drenado. Resultado numérico ADINDICA.

Figura 5. 62 Comparación entre los datos experimentales obtenidos por Henkel (1956) y resultados numéricos obtenidos con el código ADÍNDICA de un ensayo de compresión triaxial drenado y no

drenado con carga monótona sobre muestras normalmente consolidadas a 2207 kN m−

m

m

Deformación axial, zz

ε

Tensión equivalente de Von M

ises, q

(N/m

2 )

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

231

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10x 10

4

Ensayo no drenado.Datos experimentales Henkel (1956)Ensayo no drenado. Resultado numérico ADINDICA.Ensayo drenado.Datos experimentales Henkel (1956)Ensayo drenado.Resultado numérico ADINDICA

Figura 5. 63 Comparación entre los datos experimentales obtenidos por Henkel (1956) y resultados numéricos obtenidos con el código ADÍNDICA de un ensayo de compresión triaxial drenado y no

drenado con carga monótona sobre muestras sobreconsolidadas ( )24OCR =

En estas dos últimas figuras se observa como el comportamiento del suelo bajo carga monótona predicho por el modelo se ajusta bastante bien a la respuesta tensodeformacional alcanzada por Henkel (1956). Se puede apreciar en estas figuras como las pendientes iniciales de las curvas

zq ε− reproducidas con el código

ADÍNDICA son muy similares a las pendientes de las curvas experimentales. De igual forma los valores máximos de tensión equivalente de Von Mises q alcanzados por las curvas numéricas y experimentales son muy similares para el caso drenado así como para el no drenado en ambos tipos de muestra, normalmente consolidada y sobreconsolidada. En la Figura 5. 63 en el caso drenado se observa una disminución de la tensión equivalente de Von Mises q tras alcanzar un máximo a una deformación axial del

8%z

ε ≅ en el caso de los datos experimentales y del 6%z

ε ≅ en la simulación

numérica. El valor máximo alcanzado es considerado como el estado tensional al cual la muestra rompe, disminuyendo posteriormente la tensión equivalente de Von Mises hasta alcanzar la línea de estado crítico. Esta situación se puede apreciar en la Figura 5. 64, donde se representa la tensión equivalente de Von Mises q respecto a la tensión media efectiva p′ para la simulación del ensayo con carga monótona de compresión triaxial no drenado sobre muestras sobreconsolidadas. En esta figura, se muestra la comparación de la curva tensión deformación obtenida al emplear en la formulación del comportamiento constitutivo la función de endurecimiento por deformación desviadora (4.31) y la propuesta por Pastor et al. (1990), observando que los resultados que se obtienen con la nueva función de endurecimiento por deformación desviadora son más precisos.

Tensión equivalente de Von Mises, q (N/m

2 )

Deformación axial, zz

ε

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

232

2 4 6 8 10 12 14

x 104

0

2

4

6

8

10

12

14x 10

4

Línea de Estado CríticoEnsayo no drenado. Resultado numérico ADINDICA.Ensayo no drenado. Resultado numérico Pastor et al. (1990)

Figura 5. 64 Comparación entre los resultados numéricos empleando la formulación de endurecimiento por deformación desviadora propuesta por Pastor et al. (1990) y resultados numéricos obtenidos con el código ADÍNDICA de un ensayo de compresión triaxial no drenado con carga monótona sobre muestras

sobreconsolidadas ( )24OCR = .

En la Figura 5. 65 y Figura 5. 66 se aprecia la comparación entre la curva experimental obtenida por Henkel (1956) y la predicción numérica derivada del código ADÍNDICA referida a la deformación volumétrica

vε versus la deformación axial

zε para el ensayo

triaxial drenado con carga monótona sobre una muestra normalmente consolidada y sobreconsolidada, respectivamente. En estas dos figuras se observa como el comportamiento volumétrico reproducido por el modelo propuesto se ajusta bastante bien a los datos obtenidos de la experimentación, tanto en el caso normalmente consolidado como el sobreconsolidado. En la Figura 5. 65 se aprecia como en el caso de normalmente consolidado la muestra se comprime a lo largo de todo el proceso tensodeformacional, llegando a disminuir su volumen un 4.5%. Por otro lado, en el caso sobreconsolidado de la Figura 5. 66, se observa como tras una pequeña disminución del volumen, la muestra experimenta un claro aumento de este. El aumento de volumen tiende a estabilizarse tras alcanzar la rotura a una deformación axial de 6.5%

zε ≅ .

Tensión de equivalente

de Von Mises, q (N/m

2 )

Tensión media efectiva, p′ (N/m2)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

233

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

Ensayo drenado.Datos experimentales Henkel (1956)Ensayo drenado. Resultado numérico ADINDICA.

Figura 5. 65 Comparación entre los datos experimentales obtenidos por Henkel (1956) y resultados numéricos obtenidos con el código ADÍNDICA de un ensayo de compresión triaxial drenado con carga

monótona sobre muestras normalmente consolidadas a 2207 kN m−

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

Ensayo drenado.Datos experimentales Henkel (1956)Ensayo drenado.Resultado numérico ADINDICA

Figura 5. 66 Comparación entre los datos experimentales obtenidos por Henkel (1956) y resultados numéricos obtenidos con el código ADÍNDICA de un ensayo de compresión triaxial drenado con carga

monótona sobre una muestra sobreconsolidada ( )24OCR = .

Deformación Volumétrica, εv

Deformación axial, z

ε

Deformación Volumétrica, εv

Deformación axial, z

ε

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

234

En la Figura 5. 67 y la Figura 5. 68 se aprecia la comparación entre la curva experimental obtenida por Henkel (1956) y la predicción numérica derivada del código ADÍNDICA referida al exceso de presión de poros versus la deformación axial

zzε para

el ensayo triaxial no drenado con carga monótona sobre una muestra normalmente consolidada y sobreconsolidada, respectivamente.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.180

2

4

6

8

10

12x 10

4

Ensayo no drenado.Datos experimentales Henkel (1956).Ensayo no drenado. Resultado numérico ADINDICA.

Figura 5. 67 Comparación entre los datos experimentales obtenidos por Henkel (1956) y resultados numéricos obtenidos con el código ADÍNDICA de un ensayo de compresión triaxial no drenado con

carga monótona sobre una muestra normalmente consolidada a 2207 kN m−

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5x 10

4

Ensayo no drenado.Datos experimentales Henkel (1956).Ensayo no drenado. Resultado numérico ADINDICA.

Figura 5. 68 Comparación entre los datos experimentales obtenidos por Henkel (1956) y resultados numéricos obtenidos con el código ADÍNDICA de un ensayo de compresión triaxial no drenado con

carga monótona sobre una muestra sobreconsolidada ( )24OCR = .

Deformación axial, z

ε

Exceso de presión de poros (N/m

2 )

Deformación axial, z

ε

Exceso de presión de poros (N/m

2 )

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

235

En la Figura 5. 67 y la Figura 5. 68 se observa como el desarrollo de las presiones de poros obtenidas numéricamente se ajustan bastante bien a las obtenidas por Henkel (1956). Se puede apreciar como el valor máximo de exceso de presión de poros en el caso normalmente consolidado, alcanzado a una deformación axial del 15%, prácticamente coincide en la simulación numérica y en los resultados experimentales. En la Figura 5. 68 se observa como inicialmente la presión de poros es de compresión. Tras alcanzar el 4% de deformación axial esta presión de poros se convierte en presión de poros negativa, es decir, de succión. A medida que el estado tensional se aproxima a la línea de estado crítico el aumento de la presión de poros de succión tiende a estabilizarse. En este tipo de análisis se observa como el comportamiento constitutivo elastoplástico propuesto en la presente tesis doctoral y basado en la teoría generalizad de la plasticidad reproduce adecuadamente el comportamiento tensodeformacional de muestras arcillosas normalmente consolidadas y sobreconsolidadas bajo carga monótona en condiciones drenadas y no drenadas.

5.4.3. Comparación con un ensayo triaxial, bajo carga cíclica y control de

deformación axial, con placas superior e inferior rígidas suaves. Contrastación

experimental Taylor y Bacchus (1969).

Introducción

Taylor y Bacchus desarrollaron en 1969 una serie de ensayos triaxiales dinámicos sobre muestras arcillosas, en condiciones no drenadas, en los que aplicaron cien ciclos sinusoidales con control de deformaciones de tal forma que se aplicó la misma deformación en compresión y en extensión. En el presente tipo de análisis se va a comparar las predicciones numéricas obtenidas a través del código ADÍNDICA con los datos experimentales proporcionados Taylor y Bacchus en 1969. De los datos recopilados de la serie de ensayos triaxiales realizados por Taylor y Bacchus, se han escogido para la comparación aquellos que provienen de muestras normalmente consolidadas a una tensión efectiva media inicial de 2441p kN m′ = , y han sido sometidos a cien ciclos de deformación sinusoidal axial de amplitud constante e igual a 0.3% y una frecuencia de 0.2 Hz .

El terreno empleado en dicho estudio estaba compuesto principalmente por mineral de haloisita, siendo los límites de Atterberg de 62% para el límite líquido y de 36% para el límite plástico, mostrando un peso específico de las partículas de 2.6. Estas propiedades proporcionan un valor del indice de plasticidad de 26%. Teniendo en cuenta el valor del límite líquido y según el sistema unificado de clasificación de suelos (USCS), las muestras se corresponden con una arcilla orgánica de plasticidad media alta.

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

236

La humedad de las muestras normalmente consolidada era del 37%, proporcionando un índice de fluidez de 0.04, pudiendo ser considerada una arcilla plástica rígida muy consistente. Descripción de la simulación numérica

La geometría empleada en las simulaciones del código ADÍNDICA es la que aparece en la Figura 5. 69, representando un cuarto de una sección longitudinal de la probeta que contiene al eje de simetría. En la Figura 5. 70 se muestran las condiciones de contorno empleadas para la mezcla así como la deformación axial cíclica impuesta en este tipo de análisis, aplicada esta última en pequeños incrementos de desplazamiento debido a la no linealidad material.

Figura 5. 69 Geometría empleada para la reproducción numérica del ensayo triaxial cíclico

Figura 5. 70 Condiciones de contorno para la simulación del ensayo triaxial sobre una muestra arcillosa normalmente consolidada con carga cíclica no drenada con control de deformación axial con placas

superior e inferior rígidas suaves.

76.2mm

Ejes de simetría

152.4mm

2441 /r

kN mσ = −

(constante)

( )( )0.3%

-0.0762 0.003 sin ( 2 0.2 )

z

zu t

ε

π π= ±

= +i i i i i

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

237

En la Figura 5. 71 se muestran las condiciones iniciales respecto a las tensiones y las presiones de agua de poros, así como las condiciones de drenaje empleadas en los cálculos con el código ADÍNDICA.

Figura 5. 71 Condiciones iniciales en tensiones efectivas p′ y presión de poros

wp

En los cálculos desarrollados con el código ADÍNDICA se ha empleado una malla de 256 elementos finitos lagrangianos isoparamétricos mixtos triangulares cuadráticos de 6 nodos, para interpolar los desplazamientos u , y lineales de 3 nodos, para interpolar las presiones de poros

wp . Dicha malla se puede apreciar en la Figura 5. 69.

Para modelizar el comportamiento tensodeformacional se ha empleado la modificación de ley constitutiva elastoplástica de Pastor-Zienkiewicz aplicada a suelos arcillosos propuesta en la presente Tesis Doctoral. El valor de los parámetros correspondientes al comportamiento constitutivo se muestra en la Tabla 5. 12. En esta tabla, se puede apreciar el rango de valores barrido para cada parámetro así como los valores óptimos con los que se ha alcanzado la mejor aproximación. Los parámetros óptimos expuestos en esta tabla, corresponden a un ajuste tras comparar los resultados numéricos con los datos experimentales proporcionados por Taylor y Bacchus en 1969. La estimación preliminar de los valores, a partir de la cual se inició el proceso de ajuste, corresponde a los valores asignados por Pastor et al. (1990). Tabla 5. 12 Parámetros empleados para representar la muestra arcillosa ensayada en el artículo de Taylor

y Bacchus (1969) a través del modelo constitutivo propuesto en la presente tesis doctoral. PARÁMETRO RANGO DE VALORES VALORES OPTIMOS

HARk 35-400 50

HARg 55-145 67

HARn 0-1 1

p qM ′−

1-2 1.6

α 0.45 0.45

0H 20-500 125

µ 1-4 2.5

0β 0.1-5 0.17

1β 0.1-5 0.17

γ 5-15 8

2441 /p kN m′ =

20wp kN m≈ (presión de poros de referencia)

3Γ

4Γ

3Γ

2Γ

Se impide drenaje en los cuatro bordes

1 2 3 4, , ,Γ Γ Γ Γ

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

238

Al considerar en el modelo el valor 1HARn = , se está indicando que la componente

elástica del modelo se rige por la ley conservativa de Houlsby et al. (2005), en vez de emplear una componente hipoelástica o elástica lineal. Al asignar a los parámetros adimensionales elásticos los valores 50

HARk = y 67

HARg = ,

teniendo en cuenta que la tensión efectiva media inicial de la muestra normalmente consolidada es de 2441p kN m′ = , el módulo edométrico asociado es de 261446kN m .

El valor 1.6p q

M ′− = , implica un ángulo de rozamiento interno de valor 39ºf

φ ′ ≈ .

Como ya se ha indicado con anterioridad, hay que incorporar el parámetro Q representativo de la compresibilidad combinada del fluido y del esqueleto del suelo. Se ha asignado a este parámetro el valor de 6 22.6 10 /Q kN m= ⋅ , implicando que el coeficiente B de Skeptom es prácticamente 1. Resultados de la comparación.

Se muestra en primer lugar, en la Figura 5. 72, la relación entre la tensión media efectiva, p′ , y la tensión equivalente de Von Mises, q , con el número de ciclos N, tras aplicar una deformación sinusoidal axial de amplitud constante e igual a 0.3% . En esta figura se muestra la zona donde se localizan las curvas obtenidas, tensión media efectiva y de tensión equivalente de Von Mises, al considerar el rango de valores de parámetros constitutivos que figuran en la Tabla 5. 12. De igual forma, se puede apreciar la evolución de la tensión media efectiva y de equivalente de Von Mises al considerar los parámetros óptimos que figuran en la Tabla 5. 12.

Figura 5. 72 Comparación entre las predicciones del código numérico ADÍNDICA y los datos experimentales obtenidos por Taylor y Bacchus (1969), en tensión efectiva media, p´, y tensión equivalente de Von Mises, q, al analizar el comportamiento de una arcilla sometida a 100 ciclos de

deformación sinusoidal axial de doble sentido y amplitud 0.3%, en un ensayo triaxial bajo condiciones no drenadas.

Número de ciclos, log( 1)N +

N/m2

Localización de curvas de tensión media efectiva por ciclo al variar valor de los parámetros constitutivos

Localización de curvas de tensión de corte por ciclo al variar valor de los parámetros constitutivos

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

239

En la Figura 5. 72 se puede apreciar como el comportamiento simulado por el código ADÍNDICA se ajusta bastante bien a los datos experimentales de Taylor y Bacchus. En los datos experimentales así como en los resultados numéricos se aprecia como al aplicar ciclos de deformación a arcillas normalmente consolidada, en condiciones no drenadas, la tensión media efectiva y la tensión equivalente de Von Mises disminuyen. La máxima diferencia entre la predicciones numérica optima y los datos experimentales de la tensión media efectiva es de un 10%, registrada en el tercer ciclo. En el caso de la tensión equivalente de Von Mises esta diferencia no supera el 20%, registrándose en el primer ciclo de carga. En ambos casos, la diferencia registrada tiende a disminuir con el número de ciclos, llegando a ser prácticamente despreciable al llegar a los 100 ciclos de carga. En ambos tipos de curvas, tensión media efectiva y tensión equivalente de Von Mises por ciclo, los valores iniciales de las predicciones numéricas están gobernados principalmente por el módulo plástico inicial,

0H , tal y como se aprecia en la Figura 5.

73.

Figura 5. 73 Evolución de la tensión media efectiva y equivalente de Von Mises con el número de ciclos

al variar el parámetro 0H

Al analizar la evolución de la tensión media efectiva en la Figura 5. 72, se observa como la tasa de decrecimiento disminuye a medida que progresa el número de ciclos, sin llegar a alcanzar un valor asintótico en el transcurso de los 100 ciclos. En el caso de la tensión equivalente de Von Mises se aprecia un decrecimiento monótono. En ambos casos, la tasa de decrecimiento de las predicciones numéricas está gobernada principalmente por los parámetros constitutivos

0 y γ β , tal y como se pone de

manifiesto en la Figura 5. 74 y Figura 5. 75. En estas figuras se observa como al aumentar el valor del parámetro, ya sea γ ó

0β , la tasa de decrecimiento disminuye.

Los valores asignados al resto de parámetros constitutivos coinciden con los valores óptimos de la Tabla 5. 12.

Número de ciclos, log( 1)N +

N/m2

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

240

Figura 5. 74 Evolución de la tensión media efectiva y equivalente de Von Mises con el número de ciclos

al variar el parámetro γ

Figura 5. 75 Evolución de la tensión media efectiva y equivalente de Von Mises con el número de ciclos

al variar el parámetro 0

β

La influencia en la evolución de tensión media efectiva y equivalente de Von Mises con el número de ciclos del resto de parámetros es menos relevante, aunque son igualmente imprescindibles en la modificación de ley constitutiva elastoplástica de Pastor-Zienkiewicz aplicada a suelos arcillosos propuesta en la presente Tesis Doctoral.

Número de ciclos, log( 1)N +

Número de ciclos, log( 1)N +

Tensión media efectiva, p’ (N/m

2 )

N/m

2

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

241

5.4.4. Comparación con un ensayo triaxial, bajo carga cíclica y control de

tensiones axial, con placas superior e inferior rígidas suaves. Contrastación

experimental Lie y Meissner (2002).

Introducción

Lie y Meissner publicaron en el año 2002 un artículo de investigación en el que proponían un modelo constitutivo para predecir el comportamiento de suelos cohesivos saturados en condiciones no drenadas bajo la acción de cargas cíclicas. Para validar el comportamiento de su modelo constitutivo, desarrollaron una serie de ensayos triaxiales cíclicos, comparando las predicciones establecidas por su modelo con los datos experimentales obtenidos. En el presente tipo de análisis se va a comparar las predicciones numéricas obtenidas a través del código ADÍNDICA con los datos experimentales que se proporcionan en el artículo de investigación de Lie y Meissner del 2002. El terreno empleado en dicho estudio estaba compuesto principalmente por mineral de Caolinita, siendo los límites de Atterberg de 70% para el límite líquido y de 25% para el límite plástico, mostrando una gravedad específica de los granos de 2.63. De los datos recopilados de la serie de ensayos triaxiales realizados por Lie y Meissner, se han escogido para la comparación aquellos que provienen de muestras normalmente consolidadas a una tensión efectiva media inicial de 2450p kN m′ = , y han sido

sometidos a una carga cíclica sinusoidal de un solo recorrido de 0.1 Hz de frecuencia y

una amplitud tal que la razón entre la tensión equivalente de Von Mises cíclica aplicada y la resistencia al corte estática era de 0.6. Descripción de la simulación numérica La geometría empleada en las simulaciones del código ADÍNDICA es la que aparece en la Figura 5. 76, representando un cuarto de una sección longitudinal de la probeta que contiene al eje de simetría.

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

242

Figura 5. 76 Geometría empleada para la reproducción numérica del ensayo triaxial cíclico

En la Figura 5. 77 se muestran las condiciones de contorno empleadas para la mezcla así como la tensión axial cíclica impuesta en este tipo de análisis.

Figura 5. 77 Condiciones de contorno para la simulación del ensayo triaxial sobre una muestra arcillosa normalmente consolidada con carga cíclica no drenada con control de deformación axial con placas

superior e inferior rígidas suaves. En la Figura 5. 78 se muestran las condiciones iniciales respecto a las tensiones y las presiones de agua de poros, así como las condiciones de drenaje empleadas en los cálculos con el código ADÍNDICA.

98mm

Ejes de simetría

110mm

( )23-116 sin ( 2 0.1 t) kN m

2z

πσ π⋅= ⋅ + ⋅ ⋅

2450 /r

kN mσ = −

(constante)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

243

Figura 5. 78 Condiciones iniciales en tensiones efectivas p′ y presión de poros

wp

En los cálculos desarrollados con el código ADÍNDICA se ha empleado una malla de 256 elementos finitos lagrangianos isoparamétricos mixtos triangulares cuadráticos de 6 nodos, para interpolar los desplazamientos u , y lineales de 3 nodos, para interpolar las presiones de poros

wp . Dicha malla se puede apreciar en la Figura 5. 76.

Para modelizar el comportamiento tensodeformacional se ha empleado la modificación de ley constitutiva elastoplástica de Pastor-Zienkiewicz aplicado a suelos arcillosos propuesta en la presente Tesis Doctoral. El valor de los parámetros correspondientes al comportamiento constitutivo se muestra en la Tabla 5. 13. En esta tabla, se puede apreciar el rango de valores barrido para cada parámetro así como los valores óptimos con los que se ha alcanzado la mejor aproximación. La estimación inicial de los valores, a partir de la cual se inició el proceso de ajuste, se realizó a través del procedimiento especificado en el capítulo tres de la presente Tesis Doctoral. Tabla 5. 13 Parámetros empleados para representar la muestra arcillosa ensayada en el artículo de Lie y

Meissner (2002) a través del modelo constitutivo propuesto en la presente Tesis Doctoral.

PARÁMETRO RANGO DE VALORES VALORES OPTIMOS

HARk 80-550 110

HARg 200-750 240

HARn 0-1 0.2

p qM ′− 0.7-0.9 0.77

α 0.45 0.45

0H 200-1400 600 µ 2-4 3.7

0β 0.1-3 0.2

1β 0.1-3 0.2 γ 5-20 7.4

2450p kN m′ =

20wp kN m≈ (presión de poros de referencia)

3Γ

4Γ

1Γ

2Γ

Se impide drenaje en los cuatro bordes

1 2 3 4, , ,Γ Γ Γ Γ

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

244

Al considerar en el modelo el valor 0.2HARn = , se está indicando que la componente

elástica del modelo se rige por la ley conservativa de Houlsby et al. (2005), en vez de emplear una componente hipoelástica o elástica lineal. Al asignar a los parámetros adimensionales elásticos los valores 110

HARk = y

240HARg = , teniendo en cuenta que la tensión efectiva media inicial de la muestra

normalmente consolidada es de 2450p kN m′ = , el módulo edométrico asociado es de 2193500kN m . El valor 0.77

p qM ′− = , implica un ángulo de rozamiento interno de valor

20ºf

φ ′ ≈ .

Como ya se ha indicado con anterioridad, hay que incorporar el parámetro Q representativo de la compresibilidad combinada del fluido y del esqueleto del suelo. Se ha asignado a este parámetro el valor de 6 22 10 /Q kN m= ⋅ , implicando que el coeficiente B de Skeptom es prácticamente 1. Resultados de la comparación Tipo 4.

Se muestra en primer lugar en la Figura 5. 79 la comparación entre los resultados experimentales de Lie y Meissner (2002) y la predicción numérica desarrollada través del código ADÍNDICA, considerando los valores óptimos de los parámetros constitutivos de la Tabla 5. 15, de la evolución de la tensión equivalente de Von Mises, q , respecto a la deformación desviadora

sε .

Figura 5. 79 Comparación entre la respuesta experimental obtenida por Lie y Meissner (2002) y las predicciones del código numérico ADÍNDICA, de una muestra arcillosa normalmente consolidada de

forma isótropa y sometida a una carga cíclica en condiciones no drenadas.

Deformación Desviadora, s

ε

Tensión equivalente de Von Mises, q (N/m

2 )

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

245

En la Figura 5. 79 se aprecia como la respuesta numérica y teórica en el primer ciclo de carga son muy similares, siendo en la rama de carga donde ambas respuestas son más parecidas. Dentro de este primer ciclo, se puede observar como en la rama de descarga experimental apenas se aprecian cambios en la deformación desviadora,

sε . Por otro

lado, en la predicción numérica, se observa una leve disminución de la deformación desviadora,

sε . Este aspecto se debe a que en el modelo propuesto en la presente tesis

doctoral la descarga se realiza de forma elástica no lineal, incorporada a través del parámetro

HARn .

Tras el primer ciclo de carga, en la predicción numérica se observa como la amplitud de la deformación desviadora,

sε , va disminuyendo con cada ciclo. La tasa de

decrecimiento de la deformación desviadora por ciclo, disminuye paulatinamente con el aumento del número de ciclos, alcanzando un valor asintótico en el transcurso de los 20 ciclos representados. En los datos experimentales, esta disminución de la deformación desviadora,

sε , se produce de forma brusca al pasar del primer al segundo ciclo,

manteniéndose prácticamente constante en el transcurso de los ciclos restantes, tal y como se puede apreciar en la Figura 5. 80.

Figura 5. 80 Comparación de la tasa de variación de la deformación desviadora por ciclo derivada de los datos experimentales y de la predicción numérica.

En la Figura 5. 81 se puede observar la evolución de los excesos de presión de poros con el número de ciclos derivados de los resultados experimentales de Lie y Meissner (2002) y los obtenidos mediante el código numérico ADÍNDICA.

Número de ciclos, N

Tasa de variación de

Deformación Desviadora, ∆ε s/∆ ciclo

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

246

Figura 5. 81 Comparación entre la evolución de los excesos de presión de poros obtenidos a través del código ADÍNDICA y los datos experimentales de Lie y Meissner (2002), para una muestra arcillosa normalmente consolidada de forma isótropa y sometida a una carga cíclica en condiciones no drenadas. En la Figura 5. 81 se aprecia como las predicciones obtenidas por el código ADÍNDICA se ajustan razonablemente bien a los datos experimentales. En los primeros ciclos, los valores experimentales de los excesos de presión de poros son sensiblemente superiores a los obtenidos numéricamente. Tras aplicar 10 ciclos de carga esta tendencia se invierte, pasando a ser algo superiores las predicciones numéricas. Tanto en los datos experimentales como en las predicciones numéricas, se observa como los excesos de presión de poros aumentan. La tasa de crecimiento disminuye a medida que progresa el número de ciclos , sin llegar a alcanzar un valor asintótico en el transcurso de los 20 ciclos. Sin embargo, la disminución de la tasa de crecimiento de los datos experimentales es más apreciable que la observada en la predicción numérica.

5.4.5. Zapata corrida rígida rugosa bajo carga vertical uniforme monótona.

Contrastación experimental. Contrastación experimental Desai et al. (1981)

Introducción

En este tipo de análisis se va comparar los resultados numéricos obtenidos a través del código ADÍNDICA con los datos experimentales aportados por Desai et al. (1981), al reproducir el comportamiento de un modelo a escala de una zapata rígida. Se describe a continuación someramente el modelo de laboratorio empleado por Desai et al. en 1981.

Número de ciclos, N

Exceso de presión de poros, pw (N/m

2 )

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

247

Modelo a escala de la zapata rígida

En primer lugar, cabe describir el suelo empleado en el ensayo de laboratorio. Este suelo es un suelo artificial compuesto en un 50% por la arena Florida Zircon y en un 50% por la arcilla de Fuego. Se incorporó a la mezcla un 10% de un aceite especial para eliminar la influencia de los cambios de humedad a lo largo de los ensayos de laboratorio. Debido a que la saturación del suelo con el aceite era muy baja los ensayos de laboratorio realizados para caracterizar el comportamiento mecánico del suelo fueron considerados drenados, presentando una alta compresibilidad y exhibiendo poca cohesión. Las densidades máxima y mínima encontradas fueron de 32650kg cm y

31000kg cm , respectivamente. En el trabajo presentado por Desai et al. 1981 se realizaron una serie de ensayos triaxiales para obtener el valor de los parámetros asociados a los modelos de Drucker-Prager, Modificado de Camclay y Cap. Los resultados de dos de los ensayos de compresión triaxial convencional se muestra en la Figura 5. 82. Los valores de los parámetros del modelo de Drucker-Prager derivados de los ensayos triaxiales se muestran en la Tabla 5. 14.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.080

1

2

3

4

5

6

7

8

9x 10

4

Datos experimetales. Confinamiento de 103000 (N/m2)

Datos experimetales. Confinamiento de 69000 (N/m2)

Figura 5. 82 Resultados de ensayos de compresión triaxial sobre suelo artificial

Tabla 5. 14 Valores de los parámetros del modelo de Drucker-Prager

Módulo de Young (E) (kN/m2)

Coeficiente de Poisson (υ ) Cohesión (c) (kN/m2)

Fricción (φ ) (º)

27600 0.35 0.00 35º El modelo a escala de la zapata rígida consistía en una caja rectangular rígida de dimensiones 114 203 876mm× × , empleada como contenedor. La caja fue rellenada con el suelo artificial anteriormente descrito y una zapata de plástico rígida de 76mm de

Tensión Octahédrica de corte (N/m

2 )

Deformación axial

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

248

ancho, 19mm de grosor y 114mm de largo se colocaba en el centro de la caja, tal y como se recoge en la Figura 5. 83. El ensayo se desarrolló aplicando incrementos de carga vertical sobre la zapata y midiendo el desplazamiento vertical sufrido por la zapata. Antes de la realización del ensayo, se llegó a compactar ligeramente el suelo empleando para ello un rodillo específico (Desai et al. 1981).

Figura 5. 83 Diseño del modelo a escala de la zapata rígida. Dimensiones en mm.

Valor asignado a los parámetros relacionados con la ley constitutiva propuesta en la

presente tesis Doctoral.

Es interesante destacar que los resultados de los ensayos convencionales de laboratorio así como del modelo a escala de la zapata rígida obtenidos por Desai et al. (1981), han sido empleados por diversos autores (Faruque et al. 1985, Altaee et al. 1992, Akhaveissy et al. 2009) para validar distintos modelos constitutivos. El modelo constitutivo propuesto por Akhaveissy et al. 2009 se circunscribe, como el empleado en la presente Tesis Doctoral, a la teoría Generalizada de la Plasticidad. Sin embargo, el modelo empleado por Akhaveissy et al. 2009 difiere del presentado en el presente trabajo de investigación al considerar un modelo aplicado a suelos granulares, empleando una componente reversible elástica lineal, considerando la pendiente de la línea de estado crítico independiente del ángulo de Lode, con una descarga elastoplástica. Debido a que el contenido en arcilla del suelo artificial considerado en el presente tipo de análisis es superior al 40%, se ha empleado para modelizar la respuesta tensodeformacional la modificación de la ley constitutiva elastoplástica de Pastor-Zienkiewicz aplicado a suelos arcillosos propuesta en la presente Tesis Doctoral. En la Tabla 5. 15 se muestran los valores asignados a los parámetros del modelo constitutivo implementado en el código ADÍNDICA.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

249

Tabla 5. 15 Valores de los parámetros para representar, a través del modelo constitutivo propuesto en la

presente Tesis Doctoral, el suelo artificial ensayado por Desai et al. 1981

PARÁMETRO

VALOR para

369kPaσ =

VALOR para

3103kPaσ =

HARk 241.5 241.5

HARg 80.5 80.5

HARn 1 1

p qM ′− 1.6 1.58

α 0.45 0.45

0H 90 75

µ 3.7 4

Al considerar en el modelo el valor 1

HARn = , se está indicando que la componente

elástica del modelo se rige por la ley conservativa de Houlsby et al. (2005), en vez de emplear una componente hipoelástica o elástica lineal. Al asignar a los parámetros adimensionales elásticos los valores 241.5

HARk = y

80.5HARg = , para una tensión efectiva media inicial de 269p kN m′ = , el módulo

edométrico asociado es de 224000kN m . Mientras que en el caso de una tensión

efectiva media inicial de 2103p kN m′ = , el módulo edométrico asociado es de 236000kN m . El valor 1.6

p qM ′− = , implica un ángulo de rozamiento interno de valor

39ºf

φ ′ ≈ .

En la Figura 5. 84 se comparan los resultados numéricos obtenidos con el código ADÍNDICA y los datos experimentales de dos ensayos de compresión triaxial realizados a una presión de confinamiento de 63kPa y 103kPa. Los resultados del código ADÍNDICA fueron alcanzados empleando los valores de los parámetros que figuran en la Tabla 5. 15.

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

250

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090

1

2

3

4

5

6

7

8

9x 10

4

Datos experimetales. Confinamiento de 103000 (N/m2)

ADINDICA. Confinamiento 103000 (N/m2)

Datos experimetales. Confinamiento de 69000 (N/m2)

ADINDICA. Confinamiento 69000 (N/m2)

Figura 5. 84 Comparación entre los datos experimentales de ensayos de compresión triaxial, las predicciones numéricas alcanzadas a través del código ADÍNDICA.

Es importante destacar que la curva numérica del código ADÍNDICA ha sido obtenida empleando cien incrementos de carga, con los integradores local y global propuestos en el capítulo cuatro del presente trabajo de investigación, empleando una tolerancia para el cálculo de las tensiones de 610STOL −= y una tolerancia para el error en el desplazamiento de 610DTOL −= . Es decir, los cálculos con el código ADÍNDICA fueron desarrollados con una gran precisión. Modelización a través del Método de los elementos finitos del ensayo de laboratorio de

la zapata rígida sobre el suelo artificial.

El modelo a escala de la zapata rígida ha sido analizado a través del método de los elementos finitos bajo la hipótesis de deformación plana. Debido a la simetría que presenta el problema de contorno a analizar, solo la mitad del sistema zapata-suelo es representado. En la Figura 5. 85 se muestra la malla de elementos finitos empleada en el análisis numérico mediante el código ADÍNDICA, consistente en 200 elementos triangulares isoparamétricos de seis nodos. Para simular el comportamiento rígido de la cimentación, la zapata es sometida a una serie de desplazamientos verticales uniformes, derivando la carga aplicada sobre la zapata al sumar las reacciones nodales registradas inmediatamente bajo la zapata dividido por el área de la zapata.

Tensión Octahédrica de corte (N/m

2 )

Deformación axial

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

251

Figura 5. 85 Malla de elementos finitos empleada en la simulación del código ADÍNDICA

Tanto el borde derecho de la geometría como el eje de simetría situado en el centro de la zapata han sido considerados suaves, permitiendo exclusivamente el desplazamiento vertical. En el borde inferior de la geometría los desplazamientos verticales y horizontales han sido impedidos. Estas condiciones de contorno, pueden apreciarse en la Figura 5. 85. La tensión vertical inicial en la masa de suelo ha sido calculada a partir de la densidad del suelo de 32000kg m , considerando posteriormente una ligera precarga tras realizar un número de pasadas de rodillo para compactarlo (Desai et al. 1981), siendo las tensiones horizontales iniciales iguales a las verticales, es decir,

01K = .

Resultados de la comparación.

La relación fuerza desplazamiento obtenida del ensayo de laboratorio del modelo a escala de la zapata rígida y las predicciones numéricas obtenidas con el código ADÍNDICA se presentan en la Figura 5. 86. Esta figura, también incluye la predicción derivada del empleo de la ley constitutiva de Drucker-Prager. Es importante mencionar que la curva numérica del código ADÍNDICA ha sido obtenida empleando cien incrementos de carga, con los integradores local y global propuestos en el capítulo cuatro del presente trabajo de investigación, empleando una tolerancia para el cálculo de las tensiones de 610STOL −= y una tolerancia para el error en el desplazamiento de

610DTOL −= .

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

252

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 10-3

0

2

4

6

8

10

12x 10

4

Datos experimentalesADINDICADrucker-Prager

Figura 5. 86 Comparación de la relación fuerza-desplazamiento. Datos experimentales y numéricos. La comparación establecida en la Figura 5. 86 muestra como el empleo de modelos circunscritos en la Teoría Generalizada permite reproducir satisfactoriamente el comportamiento del sistema zapata-suelo. Tal y como se puede apreciar en la Figura 5. 86, el empleo del modelo Drucker-Prager proporciona unos resultados poco satisfactorios comparados con los datos experimentales. Este comportamiento anómalo se debe a que el modelo Drucker-Prager tiene un comportamiento elástico lineal hasta que alcanza la carga de rotura, no incorporando en su formulación una ley de endurecimiento que permita reproducir adecuadamente el proceso tensodeformacional. Por otra parte los modelos basados en la Teoría Generalizada de la Plasticidad incorporan una ley de endurecimiento dependiente de la deformación plástica volumétrica y la deformación plástica desviadora (Pastor et al. 1990). Debido a este último aspecto, la simulación desarrollada con el código ADÍNDICA proporciona resultados muy satisfactorios. En el trabajo de Desai et al. 1981, realizaron una serie de fotografías a lo largo del ensayo del modelo a escala de la zapata rígida. En dicho documento gráfico, se mostraba como el suelo experimentaba una fuerte deformación volumétrica localizada bajo de la zapata, no observándose movimientos en zonas alejadas de esta. Esta observación se encontraba en contradicción directa con el empleo del modelo de Drucker-Prager, el cual mostraba una magnitud en el movimiento prácticamente uniforme bajo la zapata y las zonas más alejadas de ella. Este problema es corregido con el empleo de la teoría Generalizada de la Plasticidad, tal y como se puede apreciar en la Figura 5. 87, siendo capaz de reproducir la naturaleza local de la deformación del suelo observada en el experimento. En esta figura se muestran los desplazamientos registrados en toda la geometría tras aplicar una presión sobre la zapata de 102 kPa.

Tensión aplicada sobre la zapata (N/m

2 )

Desplazamiento vertical de la zapata (m)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

253

Figura 5. 87 Desplazamiento calculado a través del modelo a) Drucker-Prager, b) Teoría Generalizada de

la Plasticidad (ADÍNDICA). Para poder apreciar de una forma más clara el comportamiento simulado de la masa de suelo a través del código numérico ADÍNDICA, se muestran en las Figura 5. 88 y Figura 5. 89 el desplazamiento vertical y las deformación plástica desviadora, respectivamente, registradas en toda la geometría tras aplicar 4mm de desplazamiento vertical sobre la zapata. En la Figura 5. 89 se puede apreciar como el código ADÍNDICA es capaz de reproducir el mecanismo típico de rotura por hundimiento en condiciones drenadas, recogido por distintas formulaciones teóricas.

Figura 5. 88 Desplazamiento vertical registrado en la masa de suelo tras aplicar 4mm de desplazamiento

vertical sobre la zapata. Código ADÍNDICA.

Figura 5. 89 Deformaciones plásticas desviadoras registradas en la masa de suelo tras aplicar 4mm de

desplazamiento vertical sobre la zapata. Código ADÍNDICA.

a)

b)

Deformación Plástica

Desviadora ( )psε

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

254

5.4.6. Conclusiones de la validación del comportamiento constitutivo aplicado a

suelos arcillosos propuesto en la presente Tesis Doctoral.

En los apartados anteriores se ha puesto de manifiesto la bondad del comportamiento constitutivo, propuesto en la presente Tesis Doctoral, modificación de ley constitutiva elastoplástica de Pastor-Zienkiewicz aplicado a suelos arcillosos. En el apartado 5.4.2 se aprecia como la ley elastoplástica propuesta, reproduce adecuadamente el comportamiento tensodeformacional de muestras arcillosas normalmente consolidadas y sobreconsolidadas, bajo carga monótona en condiciones drenadas y no drenadas. En este mismo apartado, se aprecia como al considerar en la formulación del comportamiento constitutivo la función de endurecimiento por deformación desviadora (4.31) en vez de la propuesta por Pastor et al. (1990) se obtienen resultados numéricos más precisos. En los aparatados 5.4.3 y 5.4.4 se observa como la ley elastoplástica propuesta permite reproducir adecuadamente el comportamiento tensodeformacional de muestras arcillosas normalmente consolidadas, en condiciones no drenadas, al aplicar una serie de ciclos controlando deformaciones o tensiones. Por último en el apartado 5.4.5 se observa como la ley elastoplástica propuesta permite reproducir adecuadamente el comportamiento tensodeformacional de un suelo arcilloso situado bajo una zapata corrida rígida rugosa sometida a una carga vertical uniforme. Teniendo en cuenta que las trayectorias tensionales que suelen seguir las distintas partes del suelo que se encuentra bajo un dique vertical pueden ser reproducidos en su mayoría por equipos triaxiales, tal y como se pone de manifiesto en la Figura 5. 90 , se considera validada la ley constitutiva propuesta en la presente Tesis Doctoral para representar el comportamiento tensodeformacional de un terreno arcilloso subyacente a un dique vertical de cajones.

Figura 5. 90 Trayectorias de tensiones y condiciones de carga simplificadas sufridas por zonas concretas del suelo bajo un dique vertical y que se encuentran sobre una hipotética superficie de rotura. (Andersen ,

1988) Analizando esta última figura, se aprecia como las dos únicas zonas en las que un ensayo triaxial no podría reproducir correctamente las trayectorias tensionales encontrados bajo un dique vertical son en la interfaz de contacto entre el cajón y la banqueta de escollera y el mínimo de la superficie de rotura. De estas dos zonas, la interfaz de contacto cajón-banqueta de escollera ha sido analizada en la presente Tesis Doctoral como un problema de mecánica de contacto friccional.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

255

5.5. Validación del proceso de consolidación acoplado con el

comportamiento constitutivo elastoplástico propuesto en la presente

Tesis Doctoral aplicado a suelos arcillosos. Contrastación experimental

Henkel (1956).

Introducción

El objetivo de la presente validación es poner de manifiesto que el código numérico ADÍNDICA es capaz de resolver satisfactoriamente la interacción esqueleto del suelo fluido intersticial, gobernada por la formulación generalizada de Biot sin incluir términos de inercia, acoplado con el comportamiento elastoplástico para arcillas propuesto en la presente Tesis Doctoral. El procedimiento seguido para desarrollar la presente validación proviene del trabajo de Carter (1982). En los ensayos triaxiales, muestras cilíndricas de suelo son sometidas a una deformación axial controlada a través de unas placas rígidas y a una tensión radial controlada a través de una membrana de goma. Si las muestras ensayadas corresponden a arcillas saturadas, es necesario definir unas condiciones hidráulicas de contorno así como una tasa de carga para establecer si el ensayo se desarrolla de forma drenada o no drenada. En el caso del ensayo no drenado el movimiento de agua a través de los bordes de la muestra a de ser impedido. En cambio si el ensayo a considerar es drenado se debe permitir el paso de agua a través del borde y la muestra a de ser deformada a una tasa lo suficientemente baja para no generar excesos de presión de poros. La cuestión de cual es la tasa lo suficientemente baja será analizada en el presente apartado de validación. El comportamiento no homogéneo de una muestra ensayada triaxialmente puede ser inducido por la migración de la presión de poros a través de la muestra o incluso a través del borde. Debido a que el suelo tiene una permeabilidad finita, la tasa de deformación axial considerada influirá en el comportamiento no uniforme de la muestra. Así si se considera una tasa elevada de deformación, la respuesta observada externamente será muy similar a un ensayo no drenado, mientra que si se aplica una tasa lenta la respuesta tenderá a imitar un comportamiento drenado ideal. Al considerar tasas de deformación intermedias, distintas partes de la muestra seguirán distintas trayectorias de tensión. Algunos de los aspectos asociados con el comportamiento no homogéneo de una muestra ensayada en un triaxial debidas a la migración de la presión de poros son abordadas en el presente apartado, y permitirán validar la reproducción numérica del proceso de consolidación elastoplástico.

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

256

Descripción de la simulación numérica Debido a consideraciones de simetría, la geometría empleada en las simulaciones del código ADÍNDICA es la que aparece en la Figura 5. 91, representando un cuarto de una sección longitudinal de la probeta que contiene al eje de simetría. En esta misma figura se aprecia la malla empleada en los cálculos, estando formada por 209 elementos finitos lagrangianos isoparamétricos mixtos triangulares cuadráticos de 6 nodos, para interpolar los desplazamientos u , y lineales de 3 nodos, para interpolar las presiones de poros

wp .

Figura 5. 91 Malla de elementos finitos empleada en la simulación del ensayo de consolidación

elastoplástico. En la Figura 5. 92 se muestran las condiciones de contorno empleadas para la mezcla así como la deformación axial impuesta en este tipo de análisis.

Figura 5. 92 Condiciones de contorno consideradas para la reproducción del proceso de consolidación. Las simulaciones numéricas se realizaron aumentando el desplazamiento axial de la placa rígida superior en pequeños incrementos a una tasa de deformación axial constante en cada simulación. Las tasas de deformación axial consideradas fueron:

88.33 10zzsegε−⋅ , 74.17 10

zzsegε−⋅ , 78.33 10

zzsegε−⋅ , 64.17 10

zzsegε−⋅ . Estas tasas

de deformación correspondían respectivamente a las siguientes velocidades de

38mm

Ejes de simetría

2207 /r

kN mσ = −

(constante)

20%a

ε = −

77mm

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

257

deformación axial: 66.4 10 mm seg−⋅ , 53 10 mm seg−⋅ , 56.4 10 mm seg−⋅ , 43 10 mm seg−⋅ .

La muestra se suponía inicialmente uniforme y normalmente consolidada de forma isótropa a un valor de tensión efectiva media de 2207p kN m′ = . Las condiciones iniciales respecto a las tensiones y las presiones de agua de poros, así como las condiciones de drenaje son las que aparecen en la Figura 5. 93.

Figura 5. 93 Condiciones iniciales para la tensión media efectiva p′ y para la presión de poros

wp .

La muestra de suelo simulada en los ensayos representa la arcilla Weald, de la que se dispone de datos experimentales, tal y como se ha mostrado en el apartado 5.4.2, con los que poder comparar los resultados de las simulaciones desarrolladas con el código ADÍNDICA. Para modelizar el comportamiento tensodeformacional se ha empleado la modificación de la ley constitutiva elastoplástica de Pastor-Zienkiewicz aplicada a suelos arcillosos propuesta en el presente trabajo de Tesis. Los parámetros empleados para dicho comportamiento constitutivo aparecen en la Tabla 5. 10. Es importante mencionar que estos parámetros han sido obtenidos a través del procedimiento expuesto en el capítulo tres de la presente Tesis Doctoral. Por otra parte, estos valores ya han quedado validados en el apartado 5.4.2. Tabla 5. 16 Valor de los parámetros considerados para representar la muestra normalmente consolidada

a través de la modificación de la ley constitutiva elastoplástica de Pastor-Zienkiewicz.

PARÁMETRO VALOR

HARk 60

HARg 20

HARn 1

p qM ′− 0.95

α 0.45

0H 34

µ 2

3Γ

2Γ

1Γ

4Γ

2207 /p kN m′ =

20wp kN m≈ (presión de poros de referencia)

Se permite drenaje en

bordes 2 3,Γ Γ

Se impide drenaje en

bordes 1 4,Γ Γ (ejes de

simetría)

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

258

Al considerar en el modelo el valor 1HARn = , se está indicando que la componente

elástica del modelo se rige por la ley conservativa de Houlsby et al. (2005), en vez de emplear una componente hipoelástica o elástica lineal. Al asignar a los parámetros adimensionales elásticos los valores 60

HARk = y 20

HARg = ,

teniendo en cuenta que la tensión efectiva media inicial es de 2207p kN m′ = , el

módulo edométrico asociado es de 217940kN m . El valor 0.95p q

M ′− = , implica un

ángulo de rozamiento interno de valor 24ºf

φ ′ ≈ .

Se ha considerado en el presente tipo de análisis un comportamiento hidráulico isótropo en el que la permeabilidad radial y axial son iguales y de valor

121.27 10 /r zzk k m seg−= = ⋅ . Hay que incorporar en esta simulación el parámetro Q ,

representando la compresibilidad combinada del fluido y del esqueleto del suelo. Se ha asignado a este parámetro el valor de 6 22 10 /Q kN m= ⋅ . Para resolver el análisis transitorio asociado al proceso de consolidación se ha empleado el integrador temporal Newmark Generalizado 22GN para discretizar en el tiempo los desplazamientos u mientras que se ha considerado el integrador 11GN para discretizar en el tiempo la presión de poros

wp , siendo

2 1 10.605, 0.6 y 0.6β β β= = = los

parámetros empleados en el esquema numérico de integración, reduciendo el término dinámico a un valor despreciable. Las dificultades presentes a la hora de resolver numéricamente un proceso de consolidación elastoplástico son muy diversas. En primer lugar, al combinar el comportamiento elastoplástico con un proceso de difusión, la condición de la matriz global empeora respecto a la condición de la matriz global en un problema elastoplástico ordinario. En segundo lugar ciertas técnicas ampliamente empleadas en análisis elastoplásticos, como el método de longitud de arco, no pueden ser empleadas en un análisis elastoplástico de consolidación debido a la dependencia temporal del problema. En tercer lugar, tal y como han aclarado varios investigadores (Vermeer & Verruijt, 1981; Er-Xiang, 1990) a la hora de resolver numéricamente la ecuación de difusión asociada a la consolidación, si hay un borde drenante en el que se aplica un proceso de carga, existe un límite inferior para el paso de tiempo por debajo del cual los resultados dejan de ser precisos, causando oscilación espacial de la presión de poros, de la tensión efectiva y de los desplazamientos. Este límite inferior depende del tipo del elemento, del tamaño de los elementos de la malla, del coeficiente de consolidación y del integrador temporal empleado para resolver el problema elastoplástico de consolidación. Por otro lado, se necesita un paso de carga lo suficientemente pequeño para que el análisis numérico no lineal converja de forma precisa. Er-Xiang (1990) estableció unas estimaciones para el límite inferior del paso de tiempo dependiendo del tipo de elemento empleado. Entre estas estimaciones establece que para el elemento cuadrilátero de 8 nodos, para interpolar los desplazamientos u , y lineal de 4 nodos, para interpolar la presión de poros

wp , la correspondiente un límite inferior

de ( )2 6v

h cθ⋅ ⋅ , siendo h la distancia entre dos nodos de presión de poros adyacentes,

θ el parámetro empleado para la integración numérica y vc el coeficiente de

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

259

consolidación. El límite inferior para el paso de tiempo para el elemento triangular mixto 6-3, empleado en los cálculos con el código ADÍNDICA, ha de ser muy similar a este valor ya que los órdenes de interpolación empleados para la presión de poros y para el desplazamiento coinciden con los del elemento 8-4. Debido a que en el presente tipo de análisis la permeabilidad es muy baja el limite inferior para el paso de tiempo será relativamente elevado, debiéndose realizar un tratamiento especial. El empleo del elemento triangular mixto cuadrático de 6 nodos, para interpolar los desplazamientos u , y lineal de 3 nodos, para interpolar la presión de poros

wp , el cual

cumple la condición Babuska-Brezzi, permite suprimir satisfactoriamente la oscilación espacial cuando el paso de tiempo llega a ser considerablemente menor al límite inferior mencionado. A demás de este aspecto, al emplear interpoladores que cumplen el criterio de Babuska-Brezzi el límite inferior para el paso de tiempo es reducido considerablemente (Er-Xiang ,1990). En la línea del último comentario, en los cálculos se ha refinado la malla en las inmediaciones del borde drenante en el que se aplica el proceso de carga, reduciendo así este límite inferior. Por último, los parámetros empleados en el esquema de integración temporal han sido elegidos para evitar posibles anomalías derivadas del empleo de pasos de tiempo muy pequeños, como la generación de zonas con tensiones efectivas de tracción en la primera capa de elementos debajo de la superficie donde se aplica la carga. Resultados de la comparación.

En la Figura 5. 94 se muestra las curvas obtenidas con el código ADÍNDICA de la tensión equivalente de Von Mises media registrada en la parte superior de la geometría respecto a la deformación axial, determinada esta última a través del desplazamiento impuesto en el borde superior. En esta misma figura se pueden apreciar los datos experimentales de ensayos convencionales drenados y no drenados obtenidos por Henkel (1956). En esta figura se aprecia como al aumentar la tasa de deformación axial, la respuesta aparente de la muestra cambia de un comportamiento drenado a un comportamiento no drenado a medida que una menor parte de la muestra del terreno es capaza de alcanzar un equilibrio de presiones de poros. Como se puede apreciar, la curva correspondiente a la menor de las tasas aplicadas es la más próxima al comportamiento drenado ideal, mientras que la curva correspondiente a la mayor tasa aplicada es la más próxima al comportamiento no drenado ideal. En la Figura 5. 94 se observa como la velocidad de deformación axial considerada por Henkel en el ensayo no drenado experimental es ligeramente superior que la mayor velocidad de deformación axial considerada en la reproducción numérica con el código ADÍNDICA. Por otra parte, la velocidad de deformación axial considerada por Henkel en el ensayo drenado experimental es un orden de magnitud superior a la menor de las velocidades de deformación axial consideradas en la reproducción numérica con el código ADÍNDICA. Este aspecto pone de manifiesto que para una misma velocidad de deformación axial, la tensión equivalente de Von Mises registrada por el código ADÍNDICA en el instante de fallo de la muestra es menor que la experimental, por lo que los resultados numéricos quedan del lado de la seguridad.

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

260

Figura 5. 94 Curvas Tensión-Deformación obtenidas tras la simulación con el código ADÍNDICA de un ensayo de compresión triaxial sobre la arcilla Weald permitiendo el drenaje por todas las superficies

borde y aplicando distintas tasas de deformación axial. Una de las consecuencias de la Figura 5. 94 es que la resistencia aparente, definida como el máximo valor alcanzado por la tensión desviadora, depende de la tasa a la que se aplica la deformación axial. Este no es un resultado de un fenómeno viscoso del comportamiento constitutivo empleado, el cual es independiente de la tasa de deformación, sino que es debido al incremento del desequilibrio de las presiones de poros al aumentar la tasa a la que se desarrolla el ensayo. En la Figura 5. 95 se muestra la geometría deformada tras simular la aplicación del 20% de deformación axial a una velocidad de deformación axial de 56.4 10 mm seg−⋅ . Se observa en esta figura como el radio de la probeta varía al considerar distintas alturas en la geometría, obteniendo una respuesta no uniforme de la muestra.

Figura 5. 95 Malla inicial y deformada, tras aplicar una deformación del 20% con una velocidad de

deformación axial de 56.4 10 mm seg−⋅

Tensión de corte generalizada, q (N/m2)

Deformación axial, zz

ε

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

261

Esta no uniformidad de la muestra triaxial para la simulación conducida con una velocidad de deformación axial de 56.4 10 mm seg−⋅ queda corroborada a través de la Figura 5. 96, Figura 5. 97 y Figura 5. 98. En la Figura 5. 96 se muestran contornos de tensión efectiva media p′ , tensión

equivalente de Von Mises q , presión de poros w

p e índice de poros e alcanzados a una

deformación axial impuesta de 0.05zz

ε = .

Figura 5. 96 Contornos de tensión efectiva media p′ , tensión equivalente de Von Mises q , presión de

poros w

p e índice de poros e alcanzados a una deformación axial impuesta de 0.05zz

ε = .

Velocidad de deformación axial de 56.4 10 mm seg−⋅ . Código ADÍNDICA.

En esta última figura, se puede apreciar claramente el comportamiento no homogéneo de la respuesta tensodeformacional. En el caso de la presión de poros

wp así como el

índice de poros e , se aprecia claramente una concentración de estos valores en la parte central de la geometría de la probeta ensayada. Por otra parte, la tensión efectiva media p′ y la tensión equivalente de Von Mises q alcanzan los valores máximos en el borde. En la Figura 5. 97 así como en la Figura 5. 98 se pueden apreciar las trayectorias tensodeformacionales seguidos por tres puntos de control a lo largo de la simulación conducida a una velocidad de deformación axial de 56.4 10 mm seg−⋅ .

p’ (N/m

2)

q (N/m

2)

pw (N/m

2)

e

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

262

Figura 5. 97 Trayectorias tensodeformacionales obtenidos numéricamente en puntos de control al

conducir el ensayo con una velocidad de deformación axial de 56.4 10 mm seg−⋅ . Código ADÍNDICA.

Figura 5. 98 Trayectorias tensiónales obtenidos numéricamente en puntos de control al conducir el

ensayo con una velocidad de deformación axial de 56.4 10 mm seg−⋅ . Código ADÍNDICA.

En estas dos últimas figuras se vuelve a poner de manifiesto que el comportamiento no homogéneo de la muestra arcillosa. Mientras que la trayectoria de tensiones efectivas registrado en el punto de control C es muy similar a un comportamiento drenado, el punto de control A muestra una trayectoria de características más próximas a un comportamiento no drenado. Es interesante remarcar que la simulación desarrollada con el código ADÍNDICA empieza a tener problemas de convergencia cuando la deformación tangencial en el punto de control A ha registrado valores cercanos al 25%

sε = debido a que en este

punto se está alcanzando la línea de estado crítico. En cambio, los puntos de control B y C podrían seguir registrando un aumento de la tensión equivalente de Von Mises ya que se encuentran bastante alejados de la línea de estado crítico.

Ten

sión

de

corte

gene

raliza

da, q

(N/m

2)

Deformación de corte, s

ε

Ten

sión

de

corte

gene

raliza

da, q

(N/m

2)

Tensión media, p′ (N/m2)

A

B

C

A

B

C

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

263

5.6. Validación del Elemento de contacto. Contrastación

experimental.

Introducción

La validación del elemento de contacto implementado en el código ADÍNDICA se ha realizado a partir de la reproducción numérica de un ensayo de laboratorio a escala de un dique vertical formado por un cajón de hormigón apoyado sobre una banqueta de grava y sometido a la colisión de un péndulo (Goda 1994). A partir de los resultados de este ensayo, Goda desarrolló un modelo masa-muelle que le permitió reproducir los aspectos básicos de la respuesta dinámica de un dique vertical. Se describe a continuación el modelo a escala empleado por Goda en 1994, pasando a continuación a describir el modelo numérico desarrollado en el código ADÍNDICA para reproducir el ensayo experimental, comparando finalmente los resultados numéricos con los datos experimentales del modelo a escala. Modelo a escala del dique vertical

En la Figura 5. 99 se puede apreciar la descripción del modelo a escala del dique vertical empleado por Goda en 1994, en el que no se consideró la presencia de agua. Como se puede apreciar en esta figura, se trata de un dique vertical compuesto con una banqueta de grava de 190mm de alto, con una anchura en la parte superior de 400mm y una pendiente 1 a 2. La grava empleada en la banqueta estaba formada por piedras cuyo tamaño se correspondía con

5015d mm= y coeficiente de gradación de

( )0.5

75 251.16d d = . El suelo sobre el que se apoyaba la banqueta era de hormigón.

Figura 5. 99 Modelo a escala de un Dique Vertical sobre una banqueta de Grava

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

264

El cajón fue modelado a través de un bloque de hormigón de 202mm de alto, 205mm de ancho y 205mm de largo, con una densidad de 32314kg mρ = . El bloque incorporaba en la cara anterior tres tornillos metálicos a tres alturas diferentes

34, 101, 168t

mm=ℓ sobre la base del bloque. Estos tornillos fueron considerados

como puntos de impacto sobre los que colisionaba el péndulo, tal y como se puede apreciar en la Figura 5. 100.

Figura 5. 100 Disposición del péndulo y de los indicadores.

En la Figura 5. 100 se puede apreciar la disposición del péndulo empleado para colisionar con el bloque de hormigón. Este péndulo de masa 5.5M kg= fue suspendido del techo a través de una cuerda. Se consideraron tres longitudes de cuerda,

03.393, 3.46, 3.527m=ℓ , ajustadas para conseguir que el péndulo impactara sobre cada

uno de los tres tornillos metálicos. El péndulo fue situado a una distancia de

0250s mm= respecto a la cara anterior del bloque de hormigón, tal y como se puede

apreciar en la Figura 5. 100. El movimiento del bloque de hormigón fue medido a través de los indicadores de deformación situados a 41mm respecto a la parte superior e inferior del bloque de hormigón. Además, se emplearon dos medidores de desplazamiento para poder verificar el deslizamiento residual tras la colisión del péndulo. De los distintos ensayos realizados por Goda en 1994 se ha considerado para la validación del elemento de contacto aquel que se corresponde con una longitud de cuerda

03.393m=ℓ , haciendo colisionar el péndulo en el tornillo metálico situado a

168t

mm=ℓ .

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

265

Modelización a través del Método de los elementos finitos del ensayo de laboratorio a

pequeña escala de un dique vertical sometido a la colisión de un péndulo.

El modelo a escala del dique vertical ha sido analizado a través del método de los elementos finitos bajo la hipótesis de deformación plana. En la Figura 5. 101 se muestra la geometría y la malla de elementos finitos empleada en el análisis numérico mediante el código ADÍNDICA, consistente en 558 elementos triangulares isoparamétricos de seis nodos para discretizar la banqueta de grava y 156 elementos triangulares isoparamétricos de seis nodos para discretizar el cajón.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

ContactoCajón-Banqueta de Grava

Figura 5. 101 Malla de elementos finitos empleada en la simulación del código ADÍNDICA En el borde inferior de la banqueta de grava los desplazamientos verticales y horizontales han sido impedidos, permitiendo el libre movimiento en el resto de bordes de la geometría no involucrados en el contacto entre el cajón y la banqueta de grava. La parte inferior del cajón así como la zona central de la banqueta de grava son modelados a través del contacto descrito en el capítulo cuatro de la presente Tesis Doctoral, impidiendo de esta forma la interpenetración entre ambos cuerpos. Esta zona de contacto queda resaltada en rojo en la Figura 5. 101. En relación a la carga impulsiva derivada de la colisión del péndulo, la velocidad de impacto del péndulo ha sido derivada de las ecuaciones de movimiento de un péndulo, calculando el impulso de impacto a partir de dicha velocidad. Estas expresiones son:

( )

( )

1 2

0 0

01

s g

I M e

ωω

= ⋅

= ⋅ ⋅ +

ℓ (0.6)

En la expresión (0.6)

0e es el coeficiente de restitución, siendo su valor en este caso de

0.2. Incorporando los datos especificados en los párrafos anteriores, es decir,

0250s mm= ,

03.393m=ℓ y 5.5M kg= , se obtiene un impulso de 2.81I N seg= . Por

otro lado, debido a que la simulación numérica se realiza bajo la hipótesis de deformación plana, es necesario corregir el impulso I para obtener un sistema dinámico en el que la relación entre la masa del sistema y la fuerza aplicada sea igual a la del modelo a escala. De esta forma, en el modelo numérico, se considera un impulso de 13.71I N seg= . Este impulso fue aplicado a una altura de 168

tmm=ℓ sobre la base

del cajón mediante el esquema triangular de la Figura 5. 102.

m

m

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

266

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010

500

1000

1500

2000

2500

3000

Figura 5. 102 Desarrollo temporal de la fuerza puntual aplicada sobre el cajón. Tanto la banqueta de grava como el cajón han sido modelados bajo un comportamiento constitutivo elástico lineal isótropo. Los motivos por los que el comportamiento tensodeformacional del cajón y de la banqueta de grava se modelan bajo esta ley son básicamente dos. En primer lugar, Goda empleó los datos experimentales de su ensayo a escala para poder validar un modelo dinámico elástico lineal de dos grados de libertad. Al validar un modelo elástico, Goda pudo asignar adecuadamente los valores de las parámetros elásticos involucrados en su modelo dinámico lineal. Estos mismos valores han sido los considerados en el modelo constitutivo implementado en el código ADÍNDICA. En segundo lugar, al no considerar comportamientos constitutivos sofisticados se ha limitado las fuentes de no linealidad al mínimo posible, permitiendo evaluar con mayor precisión el comportamiento de los elementos de contacto implementados en el código ADÍNDICA. La rigidez horizontal considerada por Goda en su modelo masa-muelle, derivada a partir del movimiento del bloque de hormigón medido en el ensayo, era de 500 /

xK kN m≅ .

El valor asignado al módulo tangencial G para la banqueta de grava en el modelo numérico fue el asociado a esta rigidez horizontal, siendo el coeficiente de Poisson

0.25υ = . El módulo tangencial del cajón fue de 9 22 10G N m= ⋅ siendo el coeficiente de Poisson 0.2υ = . Debido a que la ley constitutiva empleada es elástico lineal, se ha incorporado un amortiguamiento de Rayleigh para poder reproducir numéricamente los efectos de la hitéresis presente en la relación tensión-deformación de la banqueta de grava. Los valores asignados a los coeficientes de Rayleigh fueron 0.023α = y 0.023β = . Para modelizar correctamente el fenómeno de contacto, se consideró un coeficiente de penalización

385 10n

N mε = ⋅ , siendo el coeficiente de fricción estático igual al

dinámico y de valor 0.65s D

µ µ= = . Por último, el parámetro de regularización de la ley

de Coulomb considerado ha sido 1010χ −= . Los valores asignados a los parámetros del

esquema numérico integración temporal 22GN ,fueron 2 1

0.605, 0.6β β= = .

Fue

rza

punt

ual a

plic

ada,

(N

)

Tiempo (seg)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

267

Resultados de la comparación.

Antes de analizar la respuesta del cajón ante el impacto del péndulo así como el comportamiento dinámico del contacto incorporado en la interface entre el cajón y la banqueta de grava, se muestra el correcto funcionamiento estático del modelo numérico, analizando la respuesta del sistema cajón –banqueta de grava al colocar el cajón sobre la banqueta de grava. En la Figura 5. 103 se puede apreciar el desplazamiento vertical del sistema cajón-banqueta de grava al colocar el cajón sobre la banqueta. En esta figura, se puede apreciar como la transición de colores del cajón a la banqueta de grava es continua, por lo que el fenómeno de la interacción entre el cajón y la banqueta de grava, desde el punto de vista de compatibilidad geométrica, ha sido simulado correctamente.

Figura 5. 103 Isolineas de desplazamiento vertical tras apoyar el cajón sobre la banqueta de grava.

Resultado numérico ADÍNDICA. Los comentarios expuestos en el párrafo anterior son corroborados en la Figura 5. 104, donde se puede apreciar la malla deformada tras colocar el cajón sobre la banqueta de grava, empleando un factor de amplificación de desplazamientos de 50.

Figura 5. 104 Malla deformada tras colocar el cajón sobre la banqueta de grava. Resultado numérico

ADÍNDICA.

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

268

Una vez analizado el fenómeno de contacto estático desde el punto de vista de la compatibilidad geométrica de mallas, se observa en la Figura 5. 105 el campo de tensiones registrado en la banqueta de grava tras apoyar el cajón. En esta figura se puede apreciar como la distribución de tensión vertical en la superficie de contacto entre el cajón y la banqueta de grava es propia de una cimentación rígida, mostrando unos valores máximos de tensión vertical en los extremos y un valor mínimo en el centro. Por otra parte, el valor medio de las tensiones en la superficie de contacto se corresponde con el peso propio del cajón 22314 9.81 0.202 4586

zN mσ = ⋅ ⋅ = .

Figura 5. 105 Isolíneas de tensión vertical registradas en la banqueta de grava tras colocar el cajón.

Resultado numérico ADÍNDICA. Un vez analizado el comportamiento del contacto entre el cajón y la banqueta de grava de forma estática, se pasa a continuación a analizar la respuesta del cajón ante el impacto del péndulo, prestando especial atención al comportamiento dinámico del contacto. En la Figura 5. 106 se muestra la comparación entre los datos experimentales obtenidos por Goda en 1994 y los resultados numéricos derivados del código ADÍNDICA al analizar la respuesta del dique vertical compuesto a escala ante la acción impulsiva de un péndulo.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

269

Figura 5. 106 Comparación entre los resultados numéricos obtenidos con el código ADÍNDICA y los

datos experimentales obtenidos por Goda en 1994. Desplazamientos horizontales del cajón. En esta figura se puede apreciar como la respuesta numérica obtenida mediante el código ADÍNDICA es bastante buena. Se observa como los desplazamientos numéricos registrados es muy similar a las mediciones experimentales, siendo la diferencia entre los datos experimentales y los numéricos inferiores al 8%. Tras aplicar el impacto, se observa como el desplazamiento horizontal no regresan a cero, si no que existe un desplazamiento residual, representando el deslizamiento sufrido por el bloque de hormigón sobre la banqueta de grava tras la colisión del péndulo. Debido a que la diferencia entre las lecturas experimentales de desplazamiento residual registradas por los indicadores es insignificante, se pudo concluir que el impacto del péndulo no causo el cabeceo del bloque de hormigón. Esta última observación se puede también derivar de los resultados numéricos obtenidos con el código ADÍNDICA, ya que tampoco existe una diferencia apreciable entre los desplazamientos residuales obtenidos de cada indicador. El desplazamiento residual registrado en los cálculos numéricos es un 20% inferior a los registrados experimentalmente. En la Figura 5. 107 se puede apreciar el desplazamiento horizontal experimentado por la esquina inferior izquierda del cajón junto con el desplazamiento horizontal del nodo de la banqueta de grava más cercano a esta esquina del cajón. Se puede apreciar claramente como tras la colisión del péndulo, el bloque de hormigón queda ligeramente desplazado respecto a su posición inicial, existiendo un deslizamiento de unos 0.4mm , valor muy similar al registrado experimentalmente.

Tiempo (seg)

Des

plaz

amie

nto

horizo

ntal

, (m

)

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

270

Figura 5. 107 Comparación entre el desplazamiento horizontal registrado en la esquina inferior derecha del cajón y el nodo de la escollera más próximo a la esquina inferior derecha del cajón.

En la Figura 5. 108 se muestra la deformada en el instante en el que se alcanza el máximo desplazamiento horizontal, empleando un factor de amplificación de desplazamientos de 20. En esta figura se aprecia claramente la pérdida de contacto entre el bloque de hormigón y la banqueta de grava derivada de la colisión del péndulo. De la misma forma, se aprecia como el contacto implementado reproduce adecuadamente la no interpenetración entre las geometrías de los cuerpos que entran en contacto.

Figura 5. 108 Deformada en el instante 0.032t seg= . Máximo desplazamiento horizontal. Resultado

numérico ADÍNDICA. Esta última afirmación queda corroborada en la Figura 5. 109, en la que se puede apreciar el campo de desplazamientos verticales registrados en el instante de tiempo

0.032t seg= . Nuevamente, la continuidad en la distribución de colores permite afirmar el correcto funcionamiento del contacto implementado desde el punto de vista de compatibilidad geométrica.

Tiempo (seg)

Des

plaz

amie

nto

horizo

ntal

, (m

)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

271

Figura 5. 109 Desplazamiento vertical registrado en toso el sistema cajón-banqueta de grava. Instante de

tiempo 0.032t seg= . Resultado numérico ADÍNDICA.

La pérdida de contacto parcial entre el bloque de hormigón y la banqueta de grava queda puesta de manifiesto con más claridad en la Figura 5. 110, en la que se reproduce el desplazamiento vertical experimentado en la esquina inferior izquierda del cajón junto con el desplazamiento vertical del nodo de la banqueta de grava más cercano a este. En esta figura se aprecia claramente como la colisión del péndulo es de suficiente intensidad para separar el bloque de hormigón de la banqueta de grava. También se aprecia como, una vez el efecto del impacto ha pasado, el peso del bloque de hormigón es el causante del restablecimiento del contacto, no existiendo interpenetración apreciable entre ambos cuerpos.

Figura 5. 110 Comparación entre el desplazamiento vertical registrado en la esquina inferior derecha del cajón y el nodo de la escollera más próximo a la esquina inferior derecha del cajón.

Tiempo (seg)

Des

plaz

amie

nto

vertic

al,

(m)

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

272

Por último, en la Figura 5. 111 se muestra el campo de tensiones registrado en la banqueta de grava tras el impacto del péndulo. En esta figura se puede apreciar como la distribución de tensión vertical en la superficie de contacto entre el cajón y la banqueta de grava representa correctamente el giro del cajón, mostrando un máximo de tensión vertical en la zona de contacto que registra una mayor deformación vertical.

Figura 5. 111 Isolíneas de tensión vertical registradas en la banqueta de grava tras el impacto del

péndulo. Instante de tiempo 0.032t seg= . Resultado numérico ADÍNDICA.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

273

5.7. Validación del movimiento del cajón tras el impacto de una ola

en fase rompiente sobre el cajón del dique vertical.

Introducción

En el último apartado del presente capítulo, se ha validado el elemento de contacto implementado en el código ADÍNDICA a través de la reproducción numérica de un ensayo de laboratorio a escala de un dique vertical sometido a la colisión de un péndulo. En dicho apartado, se comprobó el correcto funcionamiento del elemento de contacto implementado en el código ADÍNDICA, obteniendo unos desplazamientos muy similares a los datos experimentales obtenidos por Goda en 1984. Sin embargo, al no considerar un dique vertical de dimensiones reales, sin tener en cuenta la existencia de agua entorno al dique, surgen dudas respecto a la eficacia de la validación anterior para garantizar que el modelo propuesto en la presente Tesis Doctoral sea capaz de simular correctamente el movimiento de un cajón vertical, a gran escala, tras recibir el impacto de una ola en fase rompiente. Para poder asegurar que el modelo propuesto en la presente Tesis Doctoral es capaz de representar correctamente la respuesta dinámica de un dique vertical de cajones ante el impacto de una ola en fase rompiente, se ha reproducido numéricamente el ensayo a gran escala desarrollado por Oumeraci y colaboradores en el Canal de oleaje de Hannover (Oumeraci et al., 1992). A partir de los resultados de este ensayo, Oumeraci y Kortenhaus (1994) desarrollaron un modelo masa-muelle-amortiguador que les permitió reproducir los aspectos básicos de la respuesta dinámica de un dique vertical ante la acción impulsiva del oleaje. Se describe a continuación el modelo gran escala empleado por Oumeraci en 1992, pasando a continuación a describir el modelo numérico desarrollado en el código ADÍNDICA para reproducir el citado ensayo experimental, comparando finalmente los resultados numéricos con los datos experimentales del modelo. Modelo a gran escala del dique vertical (Oumeraci et al., 1992).

En la Figura 5. 112 se puede apreciar la descripción del modelo a gran escala del dique vertical ensayado en el Canal de oleaje de Hannover por Oumeraci y colaboradores en 1992. Se observa que la estructura ensayada consiste en un cajón rellenado de arena y de dimensiones 3.10m de anchura, 3.28m de longitud y 2.76m de altura, colocado sobre una banqueta de escollera formada por bloques que varían de 10 a 50 kg con un núcleo de 0.45m de espesor. Inmediatamente bajo la banqueta de escollera y separada por una malla de geotextil se hallaba una capa de 1.4m de arena. La lámina de agua considerada fue de 1.35m . También se puede apreciar en la Figura 5. 112 la instrumentación considerada en los ensayos experimentales y formada por células de presión, para medir la carga transmitida por el oleaje tanto en el paramento vertical como bajo el cajón y acelerómetros, para poder recoger la respuesta dinámica del cajón.

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

274

Figura 5. 112 Modelo a gran escala del dique vertical ensayado en el Canal de oleaje de Hannover,

(Oumeraci y Kortenhaus, 1994). Respecto a las características del oleaje generado en el canal, se indicaba en el trabajo de Oumeraci y colaboradores de 1992 que se consideraron oleajes regulares, con alturas de ola que alcanzaban 1.20m e irregulares, con períodos de hasta 7seg . De entre los distintos ensayos realizados, se ha empleado para la comparación con el código ADÍNDICA aquellos que se corresponden con un oleaje regular con una altura significante de ola 0.85

sH m= y un período de 4.38T seg= . Estas características del

oleaje junto con la geometría del dique vertical ensayado y teniendo en cuenta el mapa paramétrico PROVERBS (Oumeraci, 1997), muestran una situación en la que se generan presiones impulsivas de ola sobre el paramento vertical del dique considerado. En la Figura 5. 112 se puede apreciar el lugar de aplicación de la fuerza impulsiva horizontal de ola (Fh) y la fuerza de subpresión (Fu) derivadas de la acción del oleaje, caracterizado este último por una altura significante de ola 0.85

sH m= , un período de

4.38T seg= y una lámina de agua de 1.35sh m= . La localización de estas fuerzas fue

determinada en los ensayos de Oumeraci y colaboradores en 1992. En relación al punto de aplicación de la fuerza horizontal se encontró que este era prácticamente constante y se encontraba ligeramente por debajo del nivel de agua en reposo. En relación a la presión de subpresión se dedujo que su punto de aplicación se encontraba alejado de la esquina izquierda del cajón un cuarto de la anchura de este último. La variación temporal de la fuerza impulsiva horizontal de ola (Fh) y la fuerza de subpresión (Fu) fueron obtenidas tras una integración espacial de las presiones de impacto medidas en el paramento vertical del cajón y bajo este, respectivamente. El registro de estas fuerzas se muestra a continuación en la Figura 5. 113. Se puede apreciar en esta última figura como el máximo de la fuerza impulsiva horizontal es algo superior al doble del máximo de la fuerza de subpresión, siendo ambas prácticamente de la misma duración.

Fh

Fu

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

275

Figura 5. 113 Fuerzas exteriores horizontales (Fh) y verticales (Fu) registradas tras la acción del oleaje.

Debido a que el objetivo principal de los trabajos desarrollados por Oumeraci y colaboradores(Oumeraci et al., 1992; Oumeraci y Kortenhaus, 1994), considerando los datos experimentales obtenidos de este ensayo a gran escala, fue estudiar la transmisibilidad de las presiones impulsivas de ola y las aceleraciones del cajón inducidas (respuesta dinámica), no se tuvieron en cuenta las características geomecánicas ni de la banqueta de escollera ni del terreno subyacente. El único dato que se facilitó era la densidad del cajón relleno de arena, 32050cajon kg mρ = . Modelización a través del Método de los elementos finitos del ensayo de laboratorio a

gran escala de Oumeraci et al. (1992).

El modelo a gran escala del dique vertical ha sido analizado a través del método de los elementos finitos bajo la hipótesis de deformación plana. En la Figura 5. 114 se muestra la geometría, condiciones de contorno y malla de elementos finitos empleada en el análisis numérico mediante el código ADÍNDICA. La malla de elementos finitos está formada por 392 elementos triangulares isoparamétricos cuadráticos de seis nodos para interpolar los desplazamientos u , y lineales de 3 nodos, para interpolar las presiones de poros

wp de la banqueta de escollera y la capa de terreno subyacente. Para interpolar los

desplazamientos u del cajón se han considerado 189 elementos triangulares isoparamétricos de seis nodos.

Tiempo (seg)

Tiempo (seg)

Fue

rza

horizo

ntal

, (k

N)

Fue

rza

de sub

pres

ión,

(kN

) 0.85

4.38

1.35

s

s

H m

T seg

h m

===

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

276

0 2 4 6 8 10 12-1

0

1

2

3

4

5 Contacto Cajón-Banqueta de escollera

Fuerza impulsivahorizontal del oleaje (F

h)

Fuerza de subpresióndel oleaje (F

u)

hs

Figura 5. 114 Malla de elementos finitos y condiciones de contorno considerados en la simulación con el código ADÍNDICA.

En relación a las condiciones de contorno en desplazamientos, en el borde inferior de la capa de arena los desplazamientos verticales y horizontales fueron impedidos, permitiendo los desplazamientos verticales en los bordes laterales de esta capa. En relación a las condiciones de borde de presión de poros, tanto el borde inferior como los laterales de la capa de arena fueron considerados impermeables, imponiendo en el resto de contornos bajo el nivel del agua en reposo un valor de presión de poros constante e igual a

w wp gdρ= , siendo

wρ la densidad del agua, g la aceleración de la gravedad y d

la profundidad del punto considerado. En cuanto la fuerza impulsiva horizontal de ola (Fh) y la fuerza de subpresión (Fu) derivadas de la acción del oleaje, en la Figura 5. 114se aprecia el lugar de aplicación de ambas fuerzas. Debido a que la simulación numérica se realiza bajo la hipótesis de deformación plana, fue necesario corregir la intensidad de la fuerza externa para obtener un sistema dinámico en el que la relación entre la masa del sistema y la fuerza aplicada fuese igual a la del modelo a gran escala. Teniendo en cuenta que en el modelo a gran escala la longitud del cajón es de 3.28m , la fuerza impulsiva horizontal de ola (Fh) y la fuerza de subpresión (Fu) consideradas en la simulación numérica son las que se muestran en la Figura 5. 115.

m

m

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

277

Figura 5. 115 Fuerzas exteriores horizontales (Fh) y verticales (Fu) incorporadas en el análisis numérico. La interfaz entre el cajón y la banqueta de escollera son modelados a través del contacto descrito en el cuarto capítulo de la presente Tesis Doctoral, impidiendo de esta forma la interpenetración entre ambos cuerpos. Esta zona de contacto queda resaltada en rojo en la Figura 5. 114. El cajón ha sido modelado bajo un comportamiento constitutivo elástico lineal isótropo, mientras que la banqueta de escollera y la capa de arena han sido modelizados de dos formas diferentes: como un medio elástico lineal isótropo y como un medio elástico no lineal conservativo (Houlsby et al. 2005). En la Tabla 5. 17 se muestran los valores asignados a los parámetros geotécnicos considerados en los cálculos.

Tabla 5. 17 Valor de los parámetros geotécnicos utilizados en los cálculos. PARÁMETRO Arena Escollera Cajón

MODELO

Elástico no lineal conservativo

Suelos granulares (Houlsby et al. 2005)

Elástico no lineal conservativo

Suelos granulares (Houlsby et al. 2005)

Elástico lineal isótropo

HARk (Adimensional) 667 667 26700

HARg (Adimensional) 400 400 20000

HARn (Adimensional) 0-1 0-1 0

En esta tabla, 0

HARn = se corresponde con un comportamiento elástico lineal isótropo,

mientras que 1HAR

n = caracteriza al comportamiento elástico no lineal conservativo de

Houlsby et al. (2005).

Tiempo (seg)

Fue

rza

(N

)

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

278

Oumeraci y Kortenhaus emplearon en 1994 los datos experimentales de los ensayos a gran escala de Oumeraci y colaboradores desarrollados en 1992 para poder validar un modelo dinámico elástico lineal masa-muelle-amortiguador de dos grados de libertad. Al validar el modelo elástico, Oumeraci y Kortenhaus pudieron asignar adecuadamente los valores de los parámetros elásticos involucrados en su modelo dinámico lineal. Estos valores son los que figuran en la Tabla 5. 17 para caracterizar el comportamiento elástico lineal isótropo de la banqueta de escollera y de la capa de arena. En ninguno de los trabajos de Oumeraci, considerados para desarrollar la presente validación, se facilitaron las características geomecánicas de la banqueta de escollera ni del terreno subyacente, por lo que no fue posible establecer valores a los parámetros de un comportamiento constitutivo elastoplástico, por lo que no se ha podido considerar un comportamiento constitutivo más realista. En cuanto a la masa del sistema, en los cálculos numéricos desarrollados con el código ADÍNDICA se consideró, a parte de la masa propia del cajón, una masa hidrodinámica adicional. Esta masa proviene de la cantidad de agua que se mueven solidariamente con el cajón tras recibir la acción impulsiva del oleaje. Oumeraci y colaboradores (1992), establecieron en los ensayos a gran escala una relación que permitía cuantificar la masa hidrodinámica a considerar en función de la altura de la lámina de agua frente al cajón y la altura de este. En la situación analizada, la masa hidrodinámica considerada fur del 10% de la masa del cajón. Se ha incorporado un amortiguamiento de Rayleigh para poder reproducir numéricamente los efectos de la hitéresis presente en la relación tensión-deformación de la banqueta de grava. Los valores asignados a los coeficientes de Rayleigh fueron

1.0875α = y 0.034β = . Estos valores fueron derivados a partir de los ensayos de Oumeraci y colaboradores en 1992, tras observar que la tasa de amortiguamiento registrado era de 7%ξ ≈ . Se considero en el presente caso de validación un comportamiento hidráulico isótropo con una permeabilidad de valor 4k 1 10 /m seg−= ⋅ para el estrato de arena y de

1k 1 10 /m seg−= ⋅ para la banqueta de escollera. Por otra parte, hay que incorporar en esta simulación el parámetro Q , representando la compresibilidad combinada del fluido y del esqueleto del suelo. Para considerar una muestra prácticamente saturada se ha asignado a este parámetro el valor de 6 22 10 /Q kN m= ⋅ , implicando que el valor del coeficiente B de Skeptom cercano a 1. Para modelizar correctamente el fenómeno de contacto, se consideró un coeficiente de penalización

388 10n

N mε = ⋅ , siendo el coeficiente de fricción estático igual al

dinámico y de valor 0.65s D

µ µ= = . Por último, el parámetro de regularización de la ley

de Coulomb considerado fue 1010χ −= . Los valores asignados a los parámetros del esquema numérico integración temporal

22GN para la integración temporal de los desplazamientos y el esquema 11GN para realizar la integración temporal de los excesos de presión de poros, fueron

2 1 10.605, 0.6, 0.6β β β= = = .

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

279

Resultados de la comparación.

En la Figura 5. 116 se muestra la comparación entre las aceleraciones numéricas calculadas a través del código ADÍNDICA, considerando los comportamientos elástico lineal y elástico no lineal para la escollera y la arena simultáneamente, y las obtenidas experimentalmente por Oumeraci y Kortenhaus en 1994. En la parte superior derecha de esta figura se puede apreciar la localización del acelerómetro de registro. En la Figura 5. 116 se observa como el acuerdo entre el registro experimental y el cálculo numérico de las aceleraciones es bastante bueno, al considerar un comportamiento elástico no lineal de la escollera y la arena. Se aprecia como al considerar un comportamiento elástico no lineal, el modelo numérico tiende a subestimar el primer máximo de las aceleraciones, mientras al considerar un comportamiento elástico lineal el valor alcanzado en el primer máximo se ajusta bastante bien al valor experimental.

Figura 5. 116 Comparación entre la aceleración registrada experimentalmente por Oumeraci y Kortenhaus (1994) y la numérica calculada con ADÍNDICA.

Por otra parte, se parecía un ligero desfase entre el registro experimental y los cálculos numéricos, siendo este desfase más evidente al considerar un comportamiento elástico lineal de la escollera y la arena. Al mismo tiempo, se observa como las aceleraciones registradas experimentalmente son siempre ligeramente superiores que las obtenidas numéricamente mediante al considerar un comportamiento elástico no lineal. Al considerar el comportamiento elástico lineal, las aceleraciones calculadas en el primer ciclo son ligeramente inferiores a las experimentales, mientras que en los ciclos subsiguientes esta relación se invierte.

Tiempo (seg)

Ace

lera

ción

hor

izon

tal

(m/s

2 )

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

280

Se observa en la Figura 5. 116 como al incorporar un comportamiento no lineal en componente elástica induce una disminución del período y de la amplitud de la respuesta dinámica. Este efecto está en consonancia con el modelo hiperelástico considerado. Las diferencias que aparecen en la Figura 5. 116 entre las aceleraciones experimentales y las obtenidas numéricamente se pueden deber al comportamiento plástico de la banqueta de escollera y de la arena, el cual no ha sido tenido en cuenta en los cálculos numéricos del presente análisis debido a la falta de información respecto a las características geomecánicas de ambos componentes del sistema. En la Figura 5. 117 se muestra, la comparación del desplazamiento horizontal del centro de gravedad del cajón obtenido a través de la simulación con el código ADÍNDICA considerando el comportamiento elástico lineal y el elástico no lineal.

Figura 5. 117 Comparación entre los desplazamientos horizontales obtenidos por Oumeraci y Kortenhaus

(1994) a través de un modelo masa-muelle-amortiguador y los numéricos calculados con ADÍNDICA. Nuevamente, en esta última figura, se puede apreciar como al incorporar no linealidad en la respuesta elástica, las amplitudes y el período tienden a disminuir. Por otra parte, en ambos casos el máximo desplazamiento horizontal inducido por el golpe ola es de unos 0.3mm .

Tiempo (seg)

Des

plaz

amie

nto

horizo

ntal

(m

)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

281

5.8. Validación cualitativa de la relación entre el movimiento del

cajón y la generación de presión de poros transitoria.

Introducción

Tal y como se ha indicado en diversas partes del estado del arte de la presente Tesis Doctoral, existen dos mecanismos en la respuesta del terreno inducida por la acción del oleaje dependiendo de la manera en la que se genera la presión de poros en el terreno Uno de estos mecanismos es el causado por la naturaleza acumulativa del exceso de la presión de poros, apareciendo en los estadios iniciales de la carga cíclica, provocando cambios en la rigidez y resistencia del terreno con el tiempo, pudiéndose generar estados de inestabilidad debido a la degradación de las características geomecánicas del fondo marino. El otro mecanismo está generado por la presión de poros oscilatoria y está gobernado principalmente por la relación entre el módulo volumétrico del agua de poros, el módulo volumétrico del esqueleto y la capacidad de drenaje. En el presente apartado, se ha validado cualitativamente la relación existente entre el movimiento del cajón y la generación de poros instantánea. Para ello, se ha reproducido numéricamente el ensayo a gran escala desarrollado en el Canal de oleaje de Hannover por Kudella y Oumeraci en 2004. Kudella et al., publicaron en 2006 una discusión de los resultados derivados de este ensayo a gran escala, estableciendo relaciones entre los movimientos del cajón registrados y la generación instantánea de presión de poros desarrollada. Entre las conclusiones alcanzadas en el trabajo desarrollado por Kudella et al. (2006), las principales relacionadas con la generación instantánea de presión de poros fueron las siguientes: • La magnitud de los movimientos del cajón inducidos por el impacto de ola en el lado de mar (lado izquierdo del cajón) son claramente superiores que los registrados en el lado de puerto (lado derecho del cajón). • El registro temporal de presiones de poros registrado en la capa de arena bajo las esquinas del cajón es muy similar al desplazamiento vertical registrado por estas esquinas. Más aún, el relativamente menor movimiento vertical registrado por la esquina derecha del cajón inducía una amplitud máxima en la presión de poros positiva (compresión) muy superior a la amplitud máxima de la presión de poros negativa (tracción) inducida por el movimiento vertical registrado en la esquina izquierda del cajón. • La influencia del movimiento del cajón en la generación de presión de poros disminuye al aumentar la profundidad. Debido a que en el trabajo de Kudella et al. (2006) no se facilitaban explícitamente las presiones de ola, de las que se derivaban los movimientos registrados experimentalmente del cajón, si no que se limitaban a indicar las características generales del oleaje generado, altura significante de ola ( )s

H y período del oleaje ( )T ,

no se ha podido realizar un análisis comparativo cuantitativo entre las predicciones numéricas y los datos experimentales, limitando la comparación a un nivel cualitativo.

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

282

Se describe en primer lugar el modelo a gran escala empleado por Kudella et al. (2006), pasando a continuación a describir el modelo numérico desarrollado en el código ADÍNDICA para reproducir el citado ensayo experimental. Finalmente, se comprueba como las predicciones obtenidas a través del código ADÍNDICA, en relación a los movimientos del cajón inducidos por el oleaje y la generación de presión de poros derivada de dicho movimiento, cumplen las características principales establecidas experimentalmente por Kudella et al. ( 2006). Modelo a gran escala del dique vertical (Kudella y Oumeraci, 2004)

En la Figura 5. 118 se puede apreciar la sección transversal del modelo a gran escala del dique vertical ensayado en el Canal de oleaje de Hannover por Kudella y Oumeraci en 2004. Se observa que la estructura ensayada consiste en un cajón relleno de arena, de dimensiones 3.30m de anchura, 3.28m de longitud y 2.76m de altura y densidad

32050cajon kg mρ = . El cajón se colocó sobre una banqueta de escollera formada por bloques que variaban de 10 a 50 kg con un núcleo de 0.45m de espesor. Sabiendo que la densidad de un bloque

de escollera es del orden de 32500 /kg m , estos bloques tienen asociado un cubo equivalente de arista 270mm , siendo la permeabilidad equivalente del orden de k 0.3 /m seg≅ según la ROM 0.5-05. Inmediatamente bajo la banqueta de escollera y separada por una malla de geotextil se hallaba una capa de 2.45m de arena. La arena considerada en el ensayo era fina, con

50 10 60 100.21 , 0.13 y 1.69D mm D mm D D= = = , poco densa, con una densidad relativa

media de 0.23r

D = . Considerando la formula da Hazen (1953) y teniendo en cuenta el

valor considerado para 10

D , esto proporciona una permeabilidad de la arena de valor 4k 1 10 /m seg−≅ ⋅ . El módulo edométrico de la capa de arena se consideró que estaba

entre 30 y 80 MPa , siendo la saturación 0.99r

S ≅ .

Figura 5. 118 Modelo a gran escala del dique vertical ensayado en el Canal de oleaje de Hannover,

(Kudella y Oumeraci, 2004).

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

283

En esta figura, se aprecia la colocación de una malla impermeable de polietileno en la capa de arena, circundando la parte central de la sección del terreno de cimentación. Esta malla fue instalada para que el período de drenaje característico (De Groot et al. 2006) fuera mucho mayor que el período medio del oleaje generado. También se puede apreciar en la Figura 5. 118 la instrumentación considerada en los ensayos experimentales y formada por células de presión, para medir la carga transmitida por el oleaje tanto en el paramento vertical como bajo el cajón, instrumentación para medir los desplazamientos del cajón, para poder recoger la respuesta dinámica de la estructura y transductores de presión para poder medir la presión de agua de poros y tensiones totales en el terreno. Respecto a las características del oleaje generado en el canal, se indicaba en el trabajo de Kudella y Oumeraci en 2004 que se consideraron oleajes regulares, con alturas de ola significante que alcanzaban 0.9m , e irregulares, con períodos de hasta 8seg . En el presenta caso de validación, se ha considerado la fuerza inducida por un oleaje regular con una altura significante de ola 0.85

sH m= , un período de 4.38T seg= y una lámina

de agua 1.6sh = . Estas características del oleaje junto con la geometría del dique

vertical ensayado y teniendo en cuenta el mapa paramétrico PROVERBS (Mc Connell, 1999), muestran una situación en la que se generan presiones impulsivas de ola sobre el paramento vertical del dique considerado. Modelización a través del Método de los elementos finitos del ensayo de laboratorio a

gran escala de Kudella y Oumeraci (2004).

El modelo a gran escala del dique vertical ha sido analizado a través del método de los elementos finitos bajo la hipótesis de deformación plana. En la Figura 5. 119 se muestra la geometría y la malla de elementos finitos empleada en el análisis numérico mediante el código ADÍNDICA, consistente en 416 elementos triangulares isoparamétricos cuadráticos de seis nodos para interpolar los desplazamientos u , y lineales de 3 nodos, para interpolar las presiones de poros

wp de la banqueta de escollera y la capa de

terreno arenoso subyacente. Para interpolar los desplazamientos u del cajón se han considerado 99 elementos triangulares isoparamétricos de seis nodos.

Figura 5. 119 Geometría y malla de elementos finitos considerada en los cálculos numéricos con el

código ADÍNDICA.

m

m

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

284

En la Figura 5. 120 se pueden apreciar las condiciones de contorno empleadas en los cálculos con el código ADÍNDICA. Se puede apreciar la ubicación de los bordes absorbentes, colocados en el borde inferior y en los laterales derecho e izquierdo de la capa de arena. En los bordes laterales se ha considerado la absorción en dirección normal y tangencial, mientras que en el borde inferior solo se ha tenido en cuenta en la dirección tangencial, impidiendo los desplazamientos en la dirección normal. La interfaz entre el cajón y la banqueta de escollera ha sido modelada a través del contacto descrito en el cuarto capítulo de la presente Tesis Doctoral, impidiendo de esta forma la interpenetración entre ambos cuerpos. Esta zona de contacto queda resaltada en rojo en la Figura 5. 120.

0 2 4 6 8 10 12 14-1

0

1

2

3

4

5

6

Fuerza impulsiva horizontal del oleaje (F

h)

Fuerza de subpresión del oleaje (F

u)

Contacto entre el cajón y la banqueta de escollera

Figura 5. 120 Condiciones de contorno consideradas en el modelo numérico.

Comparando la Figura 5. 119 con Figura 5. 118, se observa como la geometría del modelo numérico no considera la parte superior de la berma situada en el lado del oleaje. Esta parte de la berma afecta principalmente a la intensidad y duración de las presiones de ola ejercidas sobre el cajón. Debido a que el modelo teórico desarrollado en la presente Tesis Doctoral no incorpora las ecuaciones de movimiento del oleaje, esta simplificación de la geometría de la banqueta de escollera se considera acertada, ya que las acciones que ejerce el oleaje sobre la estructura son parte de las condiciones de contorno, en vez de desarrollarse inducidas por la pendiente de la berma. En relación a las condiciones de borde de presión de poros, tanto el borde inferior como los laterales de la capa de arena fueron considerados impermeables, imponiendo en el resto de contornos bajo el nivel del agua en reposo un valor de presión de poros constante e igual a

w wp gdρ= , siendo

wρ la densidad del agua, g la aceleración de la

gravedad y d la profundidad del punto considerado. En cuanto la fuerza impulsiva horizontal de ola (Fh) y la fuerza de subpresión (Fu) derivadas de la acción del oleaje, en la Figura 5. 120 se aprecia el lugar de aplicación de ambas fuerzas. Al igual que en el caso de validación anterior, debido a que la simulación numérica se realiza bajo la hipótesis de deformación plana, fue necesario corregir la intensidad de la fuerza externa para obtener un sistema dinámico en el que la relación entre la masa del sistema y la fuerza aplicada fuese igual a la del modelo a gran

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

285

escala. Teniendo en cuenta que en el modelo a gran escala la longitud del cajón es de 3.28m , la fuerza impulsiva horizontal de ola (Fh) y la fuerza de subpresión (Fu) consideradas en la simulación numérica son las que se muestran en la Figura 5. 121.

Figura 5. 121 Fuerzas exteriores horizontales (Fh) y verticales (Fu) incorporadas en el análisis numérico. En el presente caso de validación es ha considerado acción de dos olas en fase rompiente, distanciando en el tiempo la acción entre ambas olas unos 5 segundos, siendo el registro temporal igual al que se muestra en la Figura 5. 122. Al aplicar dos únicos golpes de ola, se podrá analizar la respuesta del terreno ante esta solicitación, pudiendo sacar conclusiones relacionadas con la generación transitoria de presión de poros y el movimiento del cajón.

Figura 5. 122 Registro temporal de fuerzas aplicadas en el presente caso de validación. El comportamiento constitutivo considerado en el cajón se correspondía con un comportamiento elástico lineal isótropo. La banqueta de escollera, se modelizo a través del comportamiento constitutivo elástico no lineal conservativo granular, presentado en el capítulo tres de la presente Tesis Doctoral. La capa de arena se ha modelizado a través de la teoría Generalizada de la Plasticidad de Pastor-Zienkiewicz aplicada a suelos granulares. En la Tabla 5. 18 se muestran los parámetros geotécnicos empleados en los cálculos.

Tiempo (seg)

Fue

rza

(N

)

Tiempo (seg)

Fue

rza

(N

)

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

286

Tabla 5. 18 Valor de los parámetros geotécnicos utilizados en los cálculos.

PARÁMETRO Arena Escollera Cajón

MODELO Plasticidad

Generalizada Suelos granulares

(Pastor-Zienkiewicz)

Elástico no lineal conservativo

Suelos granulares (Houlsby et al. 2005)

Elástico lineal isótropo

HARk (Adimensional) 325 667 26700

HARg (Adimensional) 150 400 20000

HARn (Adimensional) 1 1 0

gM (Adimensional) 3 - -

fM (Adimensional) 0.6 - -

0H (Adimensional) 350 - -

gα (Adimensional) 0.45 - -

fα (Adimensional) 0.45 - -

0β (Adimensional) 4.2 - -

1β (Adimensional) 0.2 - -

γ (Adimensional) 0 - -

Debido a que en el trabajado de Kudella et al. (2006) no se facilitaba en su totalidad las características geomecánicas ni de la banqueta de escollera ni del terreno subyacente, no se pudieron obtener los valores de los parámetros de la Tabla 5. 18 a través de la descripción detallada en el capítulo tres de la presente Tesis Doctoral, si no que se han estimado a partir de la información proporcionada en el trabajo citado. Al considerar en el modelo de Pastor-Zienkiewicz para arenas el valor 1

HARn = , se está

indicando que la componente elástica del modelo se rige por la ley conservativa de Houlsby et al. (2005), en vez de emplear la componente hipoelástica tradicional. En el caso del cajón 0

HARn = implica que tiene un comportamiento elastico lineal.

En el trabajo de Kudella et al. (2006), se indicaba que el valor del módulo edométrico de la capa de arena se hallaba entre 30 y 80 MPa . Al asignar a los parámetros

adimensionales elásticos los valores 325HARk = y

HARg =150, el módulo edométrico

medio inicial de la capa de arena era de 56 MPa , considerando una precarga inicial de 2100kN m .

En la descripción del ensayo a gran escala, Kudella et al. (2006) indicaron que la arena considerada era poco densa. Concretamente la densidad relativa media fue de

0.23r

D = . En el comportamiento constitutivo Pastor-Zienkiewicz para arenas, la

densidad relativa puede ser estimada a través de la relación r f g

D M M= . Al considerar

los valores 0.6f

M = y 3g

M = , la densidad relativa de la arena en el modelo numérico

era de 0.2r

D = .

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

287

El valor asignado a los parámetros 0H , 0

β , 1

β son típicos de arenas poco densas

(Pastor et al. 2006), mientras que los valores asignados a gα y fα son los valores

considerados por defecto en el modelo Pastor-Zienkiewicz. En cuanto a los valores asignados a la banqueta de escollera, y teniendo en cuenta la similitud de esta con la empleada en el ensayo a gran escala desarrollado por Oumeraci en 1992, se ha optado por considerar la misma rigidez horizontal considerada por Oumeraci y Kortenhaus en su modelo masa-muelle-amortiguador, de 500 /

xK MN m≅ .

Al asignar a los parámetros adimensionales elásticos de la escollera los valores 667

HARk = y 400

HARg = , el valor del módulo tangencial asociado era de

240 G MN m= , siendo el coeficiente de Poisson 0.25υ = . Los valores 26700

HARk = , 20000

HARg = y 0

HARn = , asignados al cajón proporcionan un

módulo tangencial de 22000G MN m= siendo el coeficiente de Poisson 0.2υ = , valores habituales al considerar la rigidez de un cajón portuario. Teniendo en cuenta el tamaño de grano de arena considerado en el ensayo a gran escala (

100.13D mm= ), se consideró en el modelo numérico un comportamiento hidráulico

isótropo con una permeabilidad de valor 4k 1 10 /m seg−= ⋅ para el estrato de arena. En relación a la banqueta de escollera, se consideró una permeabilidad de k 0.3 /m seg= . Por otra parte, hay que incorporar en esta simulación el parámetro Q , representando la compresibilidad combinada del fluido y del esqueleto del suelo. Para considerar una muestra con un grado de saturación 0.99

rS ≅ , se ha asignado a este parámetro el valor

de 4 22 10 /Q kN m= ⋅ . En cuanto a la masa del sistema, al igual que en el caso de validación anterior, en los cálculos numéricos desarrollados con el código ADÍNDICA se consideró, a parte de la masa propia del cajón, una masa hidrodinámica adicional. En la situación analizada, la masa hidrodinámica considerada fue del 10% de la masa del cajón. A pesar de considerar un comportamiento elastoplástico en la arena, se ha incorporado un amortiguamiento de Rayleigh. Los valores asignados a los coeficientes de Rayleigh fueron 0.5438α = y 0.0068β = , derivados, al igual que en el caso de validación anterior, a partir de la tasa de amortiguamiento. Para modelizar correctamente el fenómeno de contacto, se consideró un coeficiente de penalización

388 10n

N mε = ⋅ , siendo el coeficiente de fricción estático igual al

dinámico y de valor 0.65s D

µ µ= = . Por último, el parámetro de regularización de la ley

de Coulomb considerado ha sido 1010χ −= . Los valores asignados a los parámetros del esquema numérico integración temporal 22GN para la integración temporal de los desplazamientos y el esquema 11GN para realizar la integración temporal de los excesos de presión de poros , fueron

2 1 10.605, 0.6, 0.6β β β= = = . En relación a

tolerancia considerada para el cálculo de las tensiones a través del algoritmo de integración puntual propuesto en la presente Tesis Doctoral, se ha empleado

410STOL −= .

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

288

Resultados del análisis numérico.

En la introducción del presente apartado de validación, se han establecido las conclusiones del trabajo experimental desarrollado por Kudella et al. (2006), relacionadas con la generación instantánea de presión de poros y el movimiento del cajón inducido por acción del oleaje. Antes de pasar a mostrar como los resultados numéricos obtenidos con el código numérico ADÍNDICA cumplen las conclusiones alcanzadas en el estudio experimental de Kudella et al. (2006), se presenta en la Figura 5. 123 la comparación de la respuesta dinámica del cajón, en cuanto a movimientos, entre el código numérico ADÍNDICA y los datos registrados experimentalmente por Kudella y Oumeraci en 2004. De igual forma, en la Figura 5. 124 se muestra la comparación entre los excesos de presión de poros inducidos por el movimiento del cajón, registrados experimentalmente por Kudella y Oumeraci en 2004 y los obtenidos numéricamente a través del código ADÍNDICA. Como ya se ha indicado con anterioridad, debido a que en el trabajo de Kudella et al. (2006) no se facilitaban explícitamente los registros temporales de presiones de ola, si no que se limitaban a indicar las características generales del oleaje generado, altura significante de ola ( )s

H y período del oleaje ( )T , no se ha podido realizar un análisis

comparativo cuantitativo entre las predicciones numéricas y los datos experimentales, limitando la comparación a un nivel cualitativo.

Figura 5. 123 Comparación entre los desplazamientos verticales registrados experimentalmente por Kudella et al. (2006) y los obtenidos numérica a través del código ADÍNDICA.

Tiempo (seg)

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plaz

amie

nto

vertic

al (m

)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

289

Figura 5. 124 Comparación entre los excesos de presión de poros registrados experimentalmente por Kudella et al. (2006) y los obtenidos numérica a través del código ADÍNDICA.

En estas dos figuras, se aprecia como a pesar de considerar condiciones de oleaje sensiblemente diferentes, la respuesta transitoria cuanto a movimientos del cajón y a generación de presiones de poros, obtenida con el código ADÍNDICA, es cualitativamente idéntica a la respuesta experimental registrada por Kudella et al. (2006). En la Figura 5. 123 y la Figura 5. 124, se aprecia claramente como el perfil de los excesos de presión de poros sigue fielmente el movimiento del cajón. Se puede observar como no hay cambios en los excesos de presión de poros hasta que el cajón no empieza a experimentar desplazamientos verticales. Al mismo tiempo que la esquina derecha del cajón se desplaza verticalmente en sentido negativo, comprimiendo el terreno subyacente, se genera un exceso de presión de poros positivo. El aumento en el exceso de presión de poros termina en el mismo instante en que la esquina derecha del cajón experimenta un desplazamiento vertical en sentido positivo. Tras una ligera oscilación del cajón, seguida fielmente por una ligera variación del exceso de presión de poros, la esquina derecha del cajón tiende a recuperar su posición original, registrándose una leve disminución de los excesos de presión de poros asociados. Comparando los perfiles numérico y experimental de la Figura 5. 123 se observa como al finalizar la oscilación del cajón los datos experimentales muestran un comportamiento más elástico que los derivados de la predicción numérica. Este aspecto se deduce al observar una mayor recuperación relativa de la posición inicial del cajón en los datos experimentales que en la predicción numérica. Por otra parte, se observa como a pesar de registrarse un mayor desplazamiento vertical en los datos experimentales que en los numéricos, el exceso de presión de poros inducido por este movimiento es menor en el registro experimental que en el numérico. Este aspecto se puede deber a que en la modelización numérica se ha considerado un

Tiempo (seg)

Exc

eso

de p

resi

ón d

e po

ros (N

/m2 )

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

290

módulo volumétrico del agua bastante elevado, pudiendo representar niveles de saturación irreales. A continuación se muestra como los resultados numéricos obtenidos con el código numérico ADÍNDICA cumplen cualitativamente las conclusiones alcanzadas en el estudio de Kudella et al. (2006). En primer lugar, en relación a la magnitud de los movimientos del cajón inducidos por el impacto de ola, Kudella et al. (2006) establecieron que los movimientos registrados en el lado de mar (lado izquierdo del cajón) eran claramente superiores a los registrados en el lado de puerto (lado derecho del cajón). En la Figura 5. 125 se aprecian los desplazamiento verticales registrados, a través del código ADÍNDICA, en las esquinas inferiores del cajón, tras aplicar la acción impulsiva representada en la Figura 5. 122. Se aprecia en primer lugar como los desplazamientos verticales registrados en el punto de control B son muy superiores a los registrados en el punto de control A tras el impacto de una ola. De forma más precisa, en el lado de mar se registra un desplazamiento vertical de unos 0.7mm , mientras que en el lado de puerto, el desplazamiento vertical registrado es de unos 0.4mm− . Esta diferencia en el desplazamiento vertical registrado en las esquinas del cajón, sugieren que, ante un impacto de ola, el punto de rotación respecto al cual el cajón gira por acción del oleaje está desplazado hacia el lado de puerto respecto a su posición inicial, tras el fondeo del cajón.

Figura 5. 125 Desplazamiento vertical de las esquinas inferiores del cajón tras dos impactos de ola. Código ADÍNDICA.

Tiempo (seg)

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vertic

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)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

291

En la Figura 5. 125 se aprecia como tras la aplicación de un único impacto de ola, el cajón no vuelve a su posición inicial, si no que se ve afectado de forma permanente por dicho impacto de ola. Esto se aprecia por dos motivos. En primer lugar, existe una deformación vertical permanente, haciendo que el cajón registre un asiento de unos 0.25mm , valor similar al registrado por Kudella y Oumeraci en (2004) en sus ensayos a gran escala. Por otra parte, este asiento parece no ser uniforme, si no que el lado de mar, punto de control B, experimenta un asiento mayor que el registrado en el lado de puerto, pareciendo ser de carácter acumulativo. En relación al registro temporal de presiones de poros registrado en la capa de arena bajo las esquinas del cajón, Kudella et al. (2006) observaron que dicho perfil era muy similar al perfil registrado por los desplazamientos verticales de las esquinas del cajón. Más aún, el relativamente menor movimiento vertical registrado por la esquina derecha del cajón inducía una amplitud máxima en la presión de poros positiva (compresión) muy superior a la amplitud máxima de la presión de poros negativa (tracción) inducida por el movimiento vertical registrado en la esquina izquierda del cajón. En la Figura 5. 126se aprecia la variación de la presión de poros registrada en la parte superior del sustrato arenoso tras la aplicación del registro temporal de fuerzas establecido en la Figura 5. 122. En esta figura se puede apreciar claramente, como debido a la rotación del cajón, inducida por la acción impulsiva de la ola, se genera un exceso de presión de poros de compresión en el punto de control A, lado puerto, mientras que en el punto de control B, lado mar, se genera una presión de poros negativa. De igual forma se observa como la amplitud máxima en la presión de poros positiva, registrada en el punto de control A, es de unos 23100kN m , mientras que la amplitud máxima de la presión de poros

negativa, registrada en el punto de control B, es de unos 21700kN m .

Figura 5. 126 Presión de poros instantánea registrada en la capa de arena tras dos impactos de ola. Código ADÍNDICA.

Tiempo (seg)

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ón d

e po

ros (N

/m2 )

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

292

Se puede apreciar en la Figura 5. 126, como tras la aplicación de un único impacto de ola, el exceso de presión de poros no llega a disiparse por completo antes de la llegada del siguiente impacto de ola, siendo el exceso de presión de poros acumulado de unos

20.25kN m , valor similar al registrado por Kudella y Oumeraci en (2004) en sus ensayos a gran escala. La relación entre el perfil exceso de presión de poros, generado por el movimiento del cajón, y los desplazamientos de las esquinas del cajón, se pone de manifiesto en la Figura 5. 127.

Figura 5. 127 Relación entre el movimiento del cajón y el exceso de presión de poros transitorio generado en la capa superior de arena. Código ADÍNDICA. a) desplazamiento vertical esquina izquierda del cajón, b) desplazamiento vertical esquina derecha del cajón, c) exceso de presión de poros generado en el sustrato arenoso bajo la esquina derecha del cajón, d) exceso de presión de poros generado en el

sustrato arenoso bajo la esquina izquierda del cajón. En la Figura 5. 127 se aprecia claramente como el perfil de los excesos de presión de poros sigue fielmente el movimiento del cajón. Si analizamos la Figura 5. 127 a) y c), se puede observar como no hay cambios en los excesos de presión de poros hasta que el cajón experimenta un desplazamiento vertical. Al mismo tiempo que la esquina derecha del cajón se desplaza verticalmente en sentido negativo, comprimiendo el terreno subyacente, se genera un exceso de presión de poros positivo. Esta variación del exceso de presión de poros deja de aumentar solo cuando la esquina derecha del cajón experimenta un desplazamiento vertical en sentido positivo. Tras una ligera oscilación del cajón, seguida fielmente por una ligera variación del exceso de presión de poros, la

Tiempo (seg)

Des

plaz

amie

nto

vertic

al (m

)

Tiempo (seg)

Tiempo (seg) Tiempo (seg)

Des

plaz

amie

nto

vertic

al (m

)

Exc

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de p

resión

de

poro

s (N

/m2 )

Exc

eso

de p

resión

de

poro

s (N

/m2 )

a) b)

c) d)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

293

esquina derecha del cajón tiende a recuperar su posición original, registrándose una leve disminución de los excesos de presión de poros asociados. Una vez el impulso de la ola ha cesado, la esquina derecha del cajón no retorna por completo a su situación inicial, si no que se sitúa cerca de 0.25mm por debajo de la situación original. A su vez, tras la acción impulsiva de la ola, los excesos de presión de poros tienden a disiparse, pero, debido a la baja permeabilidad del sustrato arenoso, este exceso no llega a anularse antes de la acción del siguiente impacto de ola. En la Figura 5. 127 se puede apreciar como la simulación desarrollada a través del código numérico ADÍNDICA, es capaz de reproducir cualitativamente el comportamiento descrito por Kudella et al. en 2006. De forma más precisa, se observa como el relativamente menor movimiento vertical registrado por la esquina derecha del cajón induce una amplitud máxima en la presión de poros positiva (compresión) muy superior a la amplitud máxima de la presión de poros negativa (tracción) inducida por el movimiento vertical registrado en la esquina izquierda del cajón. Para poder cuantificar la relación existente entre el movimiento vertical de las esquinas del cajón y la amplitud del exceso de presión de poros inducida en el sustrato arenoso, Kudella et al. (2006), establecieron el diagrama de la Figura 5. 128. En esta figura, se puede apreciar claramente, como la amplitud máxima de la presión de poros transitoria positiva es muy superior a la amplitud máxima de la presión de poros transitoria negativa, en todos los ensayos realizados por Kudella y Oumeraci en 2004. En la Figura 5. 128 se puede apreciar, a través del cuadrado rojo, la situación analizada a través del código ADÍNDICA. Se puede apreciar como los resultados obtenidos del análisis numérico desarrollado a través del código ADÍNDICA cumplen con gran exactitud el comportamiento experimental registrado por Kudella et al. en 2006.

Figura 5. 128 Relación entre el movimiento vertical del cajón y la presión de poros transitoria cerca de la

superficie del lecho marino en el sustrato arenoso bajo las esquinas del cajón (Kudella et al. 2006). Incluyendo cálculo realizado con el código ADÍNDICA.

Cálculo con ADÍNDICA

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

294

Por último, en relación a la influencia del movimiento del cajón sobre la generación de presión poros al aumentar la profundidad, Kudella et al. (2006) encontraron que esta influencia disminuía. En la Figura 5. 129 se puede apreciar el exceso de presión de poros registrado a distintas profundidades a través del código ADÍNDICA.

Figura 5. 129 Exceso de presión de poros a distintas profundidades. Código ADÍNDICA. En esta figura, se aprecia como en la zona cercana a la superficie de la capa de arena, la variación de la presión de poros, inducida por el movimiento del cajón, es mucho mayor que en la parte inferior del canal de oleaje, corroborando las conclusiones de Kudella et al. (2006). Sin embargo, se puede observar en esta última figura la influencia de la cercanía de la capa drenante. La distancia que separa al punto de control B de la superficie de la capa de arena es muy superior a la distancia que separa al punto de control A. Debido a esto, la presión de poros alcanzada en el punto de control B casi no se disipa en comparación con la disipación de presiones de poros experimentada por el punto A.

Tiempo (seg)

Exc

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ros (N

/m2 )

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

295

5.9. Conclusiones de la validación.

En los objetivos del presente capítulo de validación del código numérico ADÍNDICA se han planteado tres cuestiones respecto al correcto funcionamiento de la herramienta numérica desarrollada, cuestionando la precisión de las soluciones numéricas obtenidas así como la consistencia de estas en relación al problema físico considerado . En el presente epígrafe se establecen las conclusiones alcanzadas sobre cada una de estas cuestiones. • ¿Funciona correctamente el programa ADÍNDICA?. Los tipos de análisis desarrollados en el apartado 5.2 permiten concluir que el comportamiento elástico lineal isótropo del modelo presentado es satisfactorio. Además se aprecia como las condiciones de contorno en tensiones y desplazamientos así como las condiciones de drenaje y las asociadas a los ejes de simetría empleadas en la resolución numérica de las ecuaciones se comportan adecuadamente. Por otro lado, se aprecia como el comportamiento global de la malla así como entorno a puntos singulares es muy satisfactorio. En la línea del último comentario se aprecia que la capacidad de remallado local que presenta la malla en el código ADÍNDICA, es muy útil para poder reproducir adecuadamente el comportamiento tensodeformacional en las inmediaciones de una singularidad. De igual forma, se aprecia como la tipología de elementos empleada (elementos finitos lagrangianos isoparamétricos mixtos triangulares cuadráticos de 6 nodos, para interpolar los desplazamientos u , y lineales de 3 nodos, para interpolar las presiones de poros

wp ) es adecuada para analizar

comportamientos incompresibles. De igual forma, a quedado puesto de manifiesto como el código numérico ADÍNDICA es capaz de reproducir satisfactoriamente procesos de consolidación desarrollado al aplicar una carga no monótona sobre una muestra saturada cuyo esqueleto es gobernado por un comportamiento elástico lineal . En los epígrafes anteriores, se ha mostrado como el código numérico ADÍNDICA es capaz de reproducir satisfactoriamente un proceso dinámico desarrollado al aplicar una carga puntual dinámica sobre la superficie de un medio elástico, reproduciendo satisfactoriamente la propagación de las distintas ondas elásticas P, S y Rayleigh. Por otra parte, se ha comprobado que la propagación y absorción de ondas elásticas en un medio poroso saturado es simulada correctamente en el código ADÍNDICA. Todos estos aspectos permiten concluir que el modelo teórico propuesto representa correctamente el acoplamiento del esqueleto sólido del suelo y la presión de poros, en régimen elástico lineal isótropo, bajo carga monótona y no monótona en condiciones estáticas (drenadas y no drenadas), pseudoestáticas y dinámicas. La bondad de la aproximación numérica como su implementación en el código ADÍNDICA queda verificada a la luz de los resultados obtenidos en el apartado 5.2.

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

296

• ¿Es precisa la solución numérica obtenida a través del código ADÍNDICA? En los dos tipos de análisis abordados en el apartado 5.3, se ha puesto de manifiesto la bondad de los algoritmos de resolución de comportamientos no lineales, local y global, implementados en el código ADÍNDICA. Se puede concluir que tanto el algoritmo de integración puntual de la ley constitutiva elastoplástica como de integración global de la relación fuerza-desplazamiento son robustos y precisos cuando son empleados para analizar el problema de contorno definido por una zapata corrida rígida rugosa. Debido a la singularidad que presentan las esquinas de una zapata rígida así como la fuerte rotación que experimentan los ejes principales, este tipo de análisis ha supuesto un importante reto para los algoritmos local y global implementados en el código ADÍNDICA. De igual forma, se ha reproducido correctamente el comportamiento de una muestra cilíndrica sometidas a una carga cíclica en condiciones drenadas. Debido al carácter cíclico de la carga considerada así como al comportamientos constitutivo elastoplástico asumido en esta simulación, este tipo de análisis ha vuelto a suponer un importante desafío para los algoritmos local y global implementados en el código ADÍNDICA. Por otro lado, en este mismo apartado, se ha puesto de manifiesto la importancia de considerar una componente elástica conservativa al reproducir la respuesta de una muestra de suelo sometida a una carga cíclica, evitando respuestas tensodeformacionales termodinámicamente inconsistentes. Una vez aclarados los aspectos de robustez y precisión de los algoritmos de resolución de comportamientos no lineales, estos han sido empleados con confianza a la hora de validar la bondad de la ley constitutiva elastoplástica propuesta en la presente Tesis Doctoral y aplicada a terrenos arcillosos. • ¿Es la solución numérica consistente con la física del problema? En el apartado 5.4 se ha puesto de manifiesto la bondad del comportamiento constitutivo, propuesto en la presente Tesis Doctoral, modificación de ley constitutiva elastoplástica de Pastor-Zienkiewicz aplicado a suelos arcillosos. Los casos analizados en este apartado han sido validados a través de la constrastación directa de los resultados numéricos con datos experimentales. Entre los casos analizados en este apartado, se aprecia como la ley elastoplástica propuesta, reproduce adecuadamente el comportamiento tensodeformacional de muestras arcillosas normalmente consolidadas y sobreconsolidadas, bajo carga monótona en condiciones drenadas y no drenadas. En este mismo apartado, se aprecia como al considerar en la formulación del comportamiento constitutivo la función de endurecimiento por deformación desviadora propuesta en el capítulo tres de la presente Tesis Doctoral, se obtienen resultados numéricos más precisos que empleando la formulación tradicional. De igual forma, se ha observado como la ley elastoplástica propuesta permite reproducir adecuadamente el comportamiento tensodeformacional de muestras arcillosas

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

297

normalmente consolidadas, en condiciones no drenadas, al aplicar una serie de ciclos controlando deformaciones o tensiones. También se ha mostrado como la ley elastoplástica propuesta permite reproducir adecuadamente el comportamiento tensodeformacional de un suelo arcilloso situado bajo una zapata corrida rígida rugosa sometida a una carga vertical uniforme. Teniendo en cuenta que las trayectorias tensionales que suelen seguir las distintas partes del suelo que se encuentra bajo un dique vertical pueden ser reproducidos en su mayoría por equipos triaxiales, se considera validada la ley constitutiva propuesta en la presente Tesis Doctoral para representar el comportamiento tensodeformacional de un terreno arcilloso subyacente a un dique vertical de cajones. En el aparato 5.5 se ha validado la correcta reproducción de un proceso de consolidación elastoplástico. Para ello se ha simulado un ensayo de compresión triaxial, permitiendo el drenaje, de una muestra arcillosa saturada aplicando deformaciones a distintas velocidades de deformación. En este apartado, se ha comprobado que al aumentar la tasa de deformación axial, la respuesta aparente de la muestra cambia de un comportamiento drenado a un comportamiento no drenado a medida que una menor parte de la muestra del terreno es capaza de alcanzar un equilibrio de presiones de poros. De igual forma, se pudo apreciar como la respuesta correspondiente a la menor de las tasas aplicadas es la más próxima al comportamiento drenado ideal, mientras que la respuesta correspondiente a la mayor tasa aplicada es la más próxima al comportamiento no drenado ideal. En el apartado 5.6, se ha validado el correcto funcionamiento del modelo de contacto considerado en la presente Tesis Doctoral para reproducir la interacción entre un cajón y la banqueta de escollera. Para desarrollar esta validación se ha realizado la reproducción numérica de un ensayo de laboratorio a escala de un dique vertical formado por un cajón de hormigón apoyado sobre una banqueta de grava y sometido a la colisión de un péndulo. En este caso de validación, se ha comprobado como la respuesta dinámica numérica obtenida mediante el código ADÍNDICA es muy similar a la recogida experimentalmente por Goda en 1994, siendo despreciable la diferencia encontrada entre los desplazamientos numéricos y los experimentales. Completando el trabajo de validación desarrollado en el apartado 5.6, en el apartado 5.7 se reproduce numéricamente de forma satisfactoria la respuesta dinámica de un ensayo a gran escala de un dique vertical de cajones ante el impacto de una ola en fase rompiente. Se aprecia en este apartado de validación como el acuerdo entre el registro experimental de la respuesta dinámica del dique vertical de cajones y el cálculo numérico desarrollado con el código ADÍNDICA es bastante bueno, considerando un comportamiento no lineal tanto en la banqueta de escollera. Una vez ha sido validado la relación entre las condiciones de contorno hidráulicas relacionadas con el impacto de una ola sobre el paramento vertical de un dique de cajones y el movimiento del cajón, en el apartado 5.8 del presente capítulo se ha validado la relación entre el movimiento del cajón y la generación de presión de poros transitoria. En este último apartado se ha alcanzado a validar el buen comportamiento

Capítulo 5. Validación del código numérico ADÍNDICA

298

del código numérico ADÍNDICA, reproduciendo las características principales de la relación entre el movimiento del cajón y la generación instantánea de presión de poros. Estas características son i) la magnitud de los movimientos del cajón inducidos por el impacto de ola en el lado de mar son claramente superiores que los registrados en el lado de puerto, ii) el registro temporal de presiones de poros registrado en la capa de arena bajo las esquinas del cajón es muy similar al desplazamiento vertical registrado por estas esquinas. Más aún, el relativamente menor movimiento vertical registrado por la esquina del lado de puerto del cajón induce una amplitud máxima en la presión de poros positiva muy superior a la amplitud máxima de la presión de poros negativa inducida por el movimiento vertical registrado en la esquina del lado de mar del cajón y iii) la influencia del movimiento del cajón en la generación de presión de poros disminuye al aumentar la profundidad.

299

6. APLICACIÓN DEL CÓDIGO ADÍNDICA AL ESTUDIO DE LA

RESPUESTA DINÁMICA DEL TERRENO ANTE LA ACCIÓN DEL

OLEAJE EN UN CASO HIPOTÉTICO DE DIQUE VERTICAL DE

CAJONES FONDEADO SOBRE SUELO ARCILLOSO.

6.1. Introducción

En este capítulo, se presenta la aplicación del modelo propuesto en la presente Tesis Doctoral para representar la interacción suelo arcilloso-banqueta de escollera-cajón-oleaje a un caso hipotético de dique vertical de cajones apoyado sobre un suelo de características arcillosas. El caso reproducido numéricamente a través del código ADÍNDICA, tiene, a excepción del terreno sobre el que se apoya la estructura, las mismas características que el desarrollado en el último apartado del capítulo de validación. En el presente capítulo, se reproduce numéricamente el comportamiento de un sustrato de características arcillosas. De forma más detallada, se ha considerado la reproducción de un terreno arcilloso como el empleado por Taylor y Bacchus en 1969 para desarrollar una serie de ensayos triaxiales dinámicos. Este suelo ya ha sido considerado en esta Tesis Doctoral para validar el comportamiento tensodeformacional aplicada a suelos arcillosos propuesto en el presente trabajo de investigación. El propósito de utilizar el mismo ejemplo que el analizado en el último apartado del capítulo de validación (cajón de 3m de altura), en vez de un cajón real ha sido el intentar comparar los resultados considerando un mismo cajón apoyado en arena, caso utilizado para validar el modelo, y en arcilla, nuevo cálculo incluido en el presente capítulo. Se trata de poner de manifiesto la importancia relativa del terreno de apoyo y de la influencia relativa de un mismo oleaje en un terreno granular permeable y en otro arcilloso. A pesar de haber sido descrito parcialmente en apartados anteriores el caso de análisis tratado en el capítulo actual, se describe nuevamente la situación analizada por claridad expositiva. En los epígrafes que siguen a continuación se detalla en primer lugar el caso analizado, definiendo la geometría del dique vertical, el terreno arcilloso sobre el que se apoya, las características del oleaje considerado así como las fuerzas sobre el cajón a las que da lugar. Seguidamente se exponen las consideraciones numéricas necesarias para reproducir el comportamiento dinámico del caso analizado, indicando la geometría, condiciones de contorno e iniciales consideradas, materiales empleados y la malla de elementos finitos establecida. Una vez indicadas las características del modelo numérico se describen las fases de cálculo consideradas. Por último se muestran y discuten los resultados numéricos obtenidos.

Capítulo 6. Aplicación del Código ADÍNDICA

300

6.2. Caso analizado

6.2.1. Descripción del dique vertical de cajones y terreno subyacente analizado.

Como ya se ha indicado en la introducción del presente capítulo, se ha reproducido numéricamente el ensayo a gran escala desarrollado en el Canal de oleaje de Hannover por Kudella y Oumeraci en 2004, considerando en este caso que el terreno subyacente es de características arcillosas. En la Tabla 6. 1 se recogen los principales valores que describen la geometría estudiada. El caso analizado corresponde a una tipología estructural de dique vertical compuesto.

Tabla 6. 1 Parámetros Geométricos del dique vertical considerado DATO VALOR

[m]

PROFUNDIDAD DE LA BERMA ( )bd 0.6

PROFUNDIDAD DEL FONDO MARINO A PIE DE

ESTRUCTURA ( )sh

1.6

ANCHURA DEL CAJON ( )cB 3.3

LONGITUD DEL CAJON ( )cL 3.28

ALTURA DEL CAJÓN ( )ch 2.76

PARTE SUMERGIDA DEL CAJON ( )cd 1.15

ANCHURA DE LA BERMA ( )bB 2.5

ALTURA DE LA BERMA ( )bh 1

PENDIENTE DE LA PARTE ANTERIOR DE LA

BERMA ( )1:m

1v : 1.5h

En la Figura 6. 1 se puede apreciar la sección transversal del modelo a gran escala del dique vertical ensayado en el Canal de oleaje de Hannover por Kudella y Oumeraci en 2004. Se observa que la estructura ensayada consiste en un cajón relleno de arena, de dimensiones 3.30m de anchura, 3.28m de longitud y 2.76m de altura, siendo su densidad de 32050cajon kg mρ = . Las características facilitadas por Kudella de la banqueta de escollera se han mantenido en el presente caso de aplicación. Esta estaba formada por bloques que variaban de 10 a 50 kg con un núcleo de 0.45m de espesor. Sabiendo que la densidad de un bloque de

escollera es del orden de 32500 /kg m , estos bloques tienen asociado un cubo equivalente de arista 270mm , siendo la permeabilidad equivalente del orden k 0.3 /m seg≅ según la ROM 0.5-05.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

301

Inmediatamente bajo la banqueta de escollera se ha supuesto la existencia de una capa de 2.45m de arcilla. Esta arcilla, fue empleada por Taylor y Bacchus en 1969 en una serie de ensayos triaxiales dinámicos. Una descripción de las propiedades de esta arcilla pueden encontrarse en el apartado 5.4.3 de la presente Tesis Doctoral, donde se consideró una arcilla plástica rígida muy consistente.

Figura 6. 1 Modelo a gran escala del dique vertical ensayado en el Canal de oleaje de Hannover,

(Kudella y Oumeraci, 2004).

6.2.2. Descripción del oleaje empleado en el caso practico.

En el presenta caso de aplicación, se ha considerado la fuerza inducida por un oleaje regular con una altura significante de ola 0.85

sH m= , un período de 4.38T seg= y una

lámina de agua 1.6sh = . Estas características del oleaje junto con la geometría del dique

vertical ensayado y teniendo en cuenta el mapa paramétrico PROVERBS (Mc Connell, 1999), muestran una situación en la que se generan presiones impulsivas de ola sobre el paramento vertical del dique considerado. Siguiendo el trabajo de Oumeraci y colaboradores en 1992, la localización de la fuerza impulsiva horizontal (Fh) y la fuerza de subpresión (Fu) derivadas de la acción del oleaje suelen tener un punto de aplicación constante. En relación a la fuerza horizontal, este se encuentra ligeramente por debajo del nivel de agua en reposo, en relación a la presión de subpresión el punto de aplicación se encontraba alejado de la esquina izquierda del cajón un cuarto de la anchura de este último. La variación temporal de la fuerza impulsiva horizontal de ola (Fh) y la fuerza de subpresión (Fu) consideradas en el presente caso de aplicación son las que se muestra en la Figura 6. 2 y Figura 6. 3.

Capítulo 6. Aplicación del Código ADÍNDICA

302

Figura 6. 2 Fuerza exterior horizontal (Fh) aplicada sobre el cajón.

Figura 6. 3 Fuerza exterior vertical (Fv) aplicada bajo el cajón.

Fue

rza

hori

zont

al,

(kN

)

Tiempo (seg)

0.85

4.38

1.6

s

s

H m

T seg

h m

=

=

=

0.85

4.38

1.6

s

s

H m

T seg

h m

=

=

=

Fue

rza

vert

ical

de

subp

resi

ón,

(kN

)

Tiempo (seg)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

303

6.3. Modelización del caso analizado a través del código ADÍNDICA.

6.3.1. Preproceso.

El modelo a gran escala del dique vertical ha sido analizado a través del método de los elementos finitos bajo la hipótesis de deformación plana. En la Figura 6. 4 se muestra la geometría y la malla de elementos finitos empleada en el análisis numérico mediante el código ADÍNDICA, consistente en 416 elementos triangulares isoparamétricos cuadráticos de seis nodos para interpolar los desplazamientos u , y lineales de 3 nodos, para interpolar las presiones de poros

wp de la banqueta de escollera y la capa de

terreno arcilloso subyacente. Para interpolar los desplazamientos u del cajón se han considerado 99 elementos triangulares isoparamétricos de seis nodos.

Figura 6. 4 Geometría y malla de elementos finitos considerada en los cálculos numéricos con el código ADÍNDICA.

En la Figura 6. 5 se pueden apreciar las condiciones de contorno empleadas en los cálculos con el código ADÍNDICA. Se puede apreciar la ubicación de los bordes absorbentes, colocados en el borde inferior y en los laterales derecho e izquierdo de la capa de arcilla. En los bordes laterales se ha considerado la absorción en dirección normal y tangencial, mientras que en el borde inferior solo se ha tenido en cuenta en la dirección tangencial, impidiendo los desplazamientos en la dirección normal. La interfaz entre el cajón y la banqueta de escollera ha sido modelada a través del contacto descrito en el cuarto capítulo de la presente Tesis Doctoral, impidiendo de esta forma la interpenetración entre ambos cuerpos. Esta zona de contacto queda resaltada en rojo en la Figura 6. 5

m

m

Capítulo 6. Aplicación del Código ADÍNDICA

304

0 2 4 6 8 10 12 14-1

0

1

2

3

4

5

6

Fuerza impulsiva horizontal del oleaje (F

h)

Fuerza de subpresión del oleaje (F

u)

Contacto entre el cajón y la banqueta de escollera

Figura 6. 5 Condiciones de contorno consideradas en el modelo numérico.

Comparando la Figura 6. 1 con Figura 6. 4, se observa como la geometría del modelo numérico no considera la parte superior de la berma situada en el lado del oleaje. Esta parte de la berma afecta principalmente a la intensidad y duración de las presiones de ola ejercidas sobre el cajón. Debido a que el modelo teórico desarrollado en la presente Tesis Doctoral no incorpora las ecuaciones de movimiento del oleaje esta simplificación de la geometría de la banqueta de escollera se considera acertada, ya que las acciones que ejerce el oleaje sobre la estructura son parte de las condiciones de contorno, en vez de desarrollarse inducidas por la pendiente de la berma. En relación a las condiciones de borde de presión de poros, tanto el borde inferior como los laterales de la capa de arena fueron considerados impermeables, imponiendo en el resto de contornos bajo el nivel del agua en reposo un valor de presión de poros constante e igual a

w wp gdρ= , siendo

wρ la densidad del agua, g la aceleración de la

gravedad y d la profundidad del punto considerado. En cuanto la fuerza impulsiva horizontal de ola (Fh) y la fuerza de subpresión (Fu) derivadas de la acción del oleaje, en la Figura 6. 5 se aprecia el lugar de aplicación de ambas fuerzas. Debido a que la simulación numérica se realiza bajo la hipótesis de deformación plana, fue necesario corregir la intensidad de la fuerza externa para obtener un sistema dinámico en el que la relación entre la masa del sistema y la fuerza aplicada fuese igual a la del modelo a gran escala. Teniendo en cuenta que en el modelo a gran escala la longitud del cajón es de 3.28m , la fuerza impulsiva horizontal de ola (Fh) y la fuerza de subpresión (Fu) consideradas en la simulación numérica son las que se muestran en la Figura 6. 6.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

305

Figura 6. 6 Fuerzas exteriores horizontales (Fh) y verticales (Fu) incorporadas en el análisis numérico.

En el presente caso de aplicación, es ha considerado la acción de diez olas en fase rompiente, distanciando en el tiempo cada impulso de ola unos cinco segundos, siendo el registro temporal aplicado igual al que se muestra en la Figura 6. 7.

Figura 6. 7 Registro temporal de fuerzas aplicadas en el presente caso de aplicación. El comportamiento constitutivo considerado en el cajón se ha correspondido con un comportamiento elástico lineal isótropo. La banqueta de escollera, se modelizó a través del comportamiento constitutivo elástico no lineal conservativo granular, presentado en el capítulo tres de la presente Tesis Doctoral. La capa de arcilla se ha modelizado a través de la modificación de la ley constitutiva elastoplástica de Pastor-Zienkiewicz aplicado a suelos arcillosos propuesta en la presente Tesis Doctoral. En la Tabla 6. 2 se muestran los parámetros geotécnicos empleados en los cálculos.

Tiempo (seg)

Fue

rza

(N

)

Tiempo (seg)

Fue

rza

(N

)

Capítulo 6. Aplicación del Código ADÍNDICA

306

Tabla 6. 2 Valor de los parámetros geotécnicos utilizados en los cálculos.

PARÁMETRO Arcilla Escollera Cajón

MODELO Plasticidad

Generalizada Suelos arcillosos

(Modificación propuesta de la ley

Pastor-Zienkiewicz)

Elástico no lineal conservativo

Suelos granulares (Houlsby et al. 2005)

Elástico lineal isótropo

HARk (Adimensional) 50 667 26700

HARg (Adimensional) 67 400 20000

HARn (Adimensional) 1 1 0

p qM ′− (Adimensional) 1.6 - -

α (Adimensional) 0.45 - -

0H (Adimensional) 125 - -

µ (Adimensional) 2.5 - -

0β (Adimensional) 0.17 - -

1β (Adimensional) 0.17 - -

γ (Adimensional) 8 - -

En relación a los valores considerados en los parámetros empleados para modelizar el suelo arcilloso, estos provienen del apartado 5.4.3 de la presente Tesis Doctoral, en el que se validó la modificación de la ley constitutiva elastoplástica de Pastor-Zienkiewicz aplicado a suelos arcillosos propuesta en la presente Tesis Doctoral, al reproducir correctamente el comportamiento tensodeformacional de una muestra arcillosa normalmente consolidada, en condiciones no drenadas y aplicando una serie de ciclos con control de deformaciones. Al considerar en el modelo el valor 1

HARn = , se está indicando que la componente

elástica del modelo se rige por la ley conservativa de Houlsby et al. (2005), en vez de emplear una componente hipoelástica o elástica lineal. En el caso del cajón 0

HARn =

implica que tiene un comportamiento elástico lineal. Al asignar a los parámetros adimensionales elásticos relacionados con la arcilla los valores 50

HARk = y 67

HARg = , teniendo en cuenta que se ha considerado una precarga

isótropa inicial de 2100kN m , el módulo edométrico inicial medio asociado a la capa

de arcilla es de 215000kN m . El valor 1.6p q

M ′− = , implica un ángulo de rozamiento

interno de valor 39ºφ ′ ≈ . En cuanto a los valores asignados a la banqueta de escollera, y teniendo en cuenta la similitud de esta con la empleada en el ensayo a gran escala desarrollado por Oumeraci en 1992, se ha optado por considerar la misma rigidez horizontal considerada por Oumeraci y Kortenhaus en su modelo masa-muelle-amortiguador de valor

500 /x

K MN m≅ . Al asignar a los parámetros adimensionales elásticos de la escollera

los valores 667HARk = y 400

HARg = , el valor del módulo tangencial asociado era de

240 G MN m= , siendo el coeficiente de Poisson 0.25υ = .

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

307

Los valores 26700HARk = , 20000

HARg = y 0

HARn = , asignados al cajón proporcionan un

módulo tangencial de 22000G MN m= siendo el coeficiente de Poisson 0.2υ = , valores habituales al considerar la rigidez de un cajón portuario. En el estrato arcilloso, se ha considerado un comportamiento hidráulico isótropo con una permeabilidad de valor 9k 1 10 /m seg−= ⋅ , valor característico de este tipo de materiales. En relación a la banqueta de escollera, se consideró una permeabilidad de

0.3 /k m seg= . Por otra parte, hay que incorporar en esta simulación el parámetro Q , representando la compresibilidad combinada del fluido y del esqueleto del suelo. Se ha asignado a este parámetro el valor de 5 22 10 /Q kN m= ⋅ , implicando que el coeficiente B de Skeptom es 0.98B ≈ . En cuanto a la masa del sistema, en los cálculos numéricos desarrollados con el código ADÍNDICA se consideró, a parte de la masa propia del cajón, una masa hidrodinámica adicional. En la situación analizada, la masa hidrodinámica considerada fue del 10% de la masa del cajón. A pesar de considerar un comportamiento elastoplástico en la arcilla, se ha incorporado un amortiguamiento de Rayleigh. Los valores asignados a los coeficientes de Rayleigh fueron 0.5438α = y 0.0068β = , derivados a partir de la tasa de amortiguamiento (Oumeraci, 1992). Para modelizar correctamente el fenómeno de contacto, se consideró un coeficiente de penalización

388 10n

N mε = ⋅ , siendo el coeficiente de fricción estático igual al

dinámico y de valor 0.65s D

µ µ= = . Por último, el parámetro de regularización de la ley

de Coulomb considerado ha sido 1010χ −= . En relación a tolerancia considerada para el cálculo de las tensiones a través del algoritmo de integración puntual propuesto en la presente Tesis Doctoral, se ha empleado 410STOL −= .

6.3.2. Fases de cálculo.

La realización de los cálculos tensodeformacionales se ha llevado a cabo mediante las siguientes fases:

1. Cálculo de las condiciones iniciales. En esta primera fase se ha considerado que la banqueta de escollera ha sido construida con anterioridad sobre el terreno, habiendo permitido la completa disipación del exceso de presión intersticial. Se han llevado a cabo los cálculos suponiendo un estado isótropo de tensiones, considerando una precarga inicial de 2100kN m . Debido a que el comportamiento constitutivo considerado tanto para la banqueta de escollara como para el terreno arcilloso considera una componente elástica no lineal hiperelástica, esta precarga conduce a que el módulo edométrico inicial medio de la banqueta de escollera sea de 2120MN m mientras que para la arcilla sea de 215MN m , valores usuales dentro de la práctica de la ingeniería portuaria.

Capítulo 6. Aplicación del Código ADÍNDICA

308

Cabe destacar, que en esta fase también se genera la presión hidrostática debida a la lámina de agua considerada sobre el terreno natural, 1.6m , y sobre la banqueta de escollera 1.15m .

2. Fondeo y lastrado del cajón. En esta segunda fase se desarrolla un proceso de consolidación elastoplástico en el que se simula el fondeo del cajón sobre la banqueta de escollera y lastrado a lo largo de 24 horas, siguiendo un desarrollo lineal tal y como se aprecia en la Figura 6. 8. Una vez ha sido simulado el fondeo y lastrado del cajón, se dejan 70 días para disipar los excesos de presión de poros generados en el proceso.

Figura 6. 8 Desarrollo temporal del fondeo y lastrado del cajón. Teniendo en cuenta las propiedades elásticas del suelo arcilloso y el espesor de la capa drenante, el tiempo asignado a la disipación de excesos de presión de poros debería ser suficiente para alcanzar un grado de consolidación superior al 95% en toda la geometría considerada para la capa arcillosa. 3.- Aplicación de la carga dinámica. En esta tercera fase se desarrolla un proceso de dinámico elastoplástico en el que se simula la acción de diez olas en fase rompiente sobre el cajón, distanciando en el tiempo cada impulso de ola en cinco segundos. Los valores asignados a los parámetros del esquema numérico integración temporal

22GN para la integración temporal de los desplazamientos y el esquema 11GN para realizar la integración temporal de los excesos de presión de poros, fueron

2 1 10.605, 0.6, 0.6β β β= = = .

4. Vibración libre

Tras la acción impulsiva derivada del impacto de las diez olas, se dejan unos 80 segundos de vibración libre.

Tiempo (horas)

Alt

ura

del r

elle

no d

el c

ajón

(m

)

Final del lastrado del cajón

Final del proceso de disipación de excesos de presión de poros

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

309

6.4. Resultados del análisis numérico. Discusión.

6.4.1. Resultados relacionados con la fase de fondeo y lastrado del cajón.

Antes de entrar a exponer y discutir los resultados asociados al cálculo dinámico relacionado con la acción impulsiva del tren de olas, se muestra los resultados obtenidos relacionados con la fase de fondeo y lastrado del cajón. En la Figura 6. 9 se puede apreciar el desplazamiento vertical registrado numéricamente al colocar el cajón sobre la banqueta de escollera y lastrarlo. En esta figura, se puede apreciar como la transición de colores del cajón a la banqueta de escollera es continua, por lo que el fenómeno de la interacción entre el cajón y la banqueta, desde el punto de vista de compatibilidad geométrica, ha sido simulado correctamente.

Figura 6. 9 Isolíneas de desplazamiento vertical tras apoyar el cajón sobre la banqueta de escollera.

Resultado numérico ADÍNDICA. Los comentarios expuestos en el párrafo anterior son corroborados en la Figura 6. 10, donde se puede apreciar la malla deformada tras colocar el cajón sobre la banqueta de escollera, empleando un factor de amplificación de desplazamientos de 30.

Figura 6. 10 Malla deformada tras colocar el cajón sobre la banqueta de grava.

Resultado numérico ADÍNDICA.

Capítulo 6. Aplicación del Código ADÍNDICA

310

El asiento experimentado por la arcilla debido al lastrado del cajón queda recogido de una forma más clara en la Figura 6. 11. En esta figura se aprecia como existe un asiento inicial relativamente importante, para luego mostrar una tendencia asintótica con el tiempo, alcanzando un asiento de 5.5mm transcurridos 70 días desde la finalización del lastrado del cajón.

Figura 6. 11 Asiento registrado en la parte superior central de la capa de arcilla. Resultado numérico ADÍNDICA.

Como es bien sabido (Soriano et al. 2005b), se puede realizar una estimación de los asientos a largo plazo de un estrato de espesor L , debido al aumento de la presión P sobre su superficie a través de la expresión (6.1).

m

L PA

E∞

⋅= (6.1)

Siendo

mE el módulo edométrico del suelo que compone el estrato. En el presente caso

de análisis, incorporando el espesor de la capa de arcilla, 2.45L m= , el peso debido al cajón 255505P N m= y el módulo edométrico medio de la capa de arcilla

215mE MN m= , se obtiene un asiento a largo plazo de 9A mm∞ ≈ . Teniendo en cuenta

que al aumentar la carga estática derivada del lastrado del cajón, el módulo edométrico del terreno aumenta según la componente elástica conservativa incluida en el modelo constitutivo, se considera que el valor del asiento alcanzado transcurridos 70 días, alcanzando un grado de consolidación superior al 95%, es una aproximación bastante buena. En la Figura 6. 12 se muestra el desarrollo de los excesos de presión de poros registrado en la parte superior de la capa de arcilla. El punto elegido para la lectura de excesos de presión de poros está situado en la parte central de la geometría a una altura de 1.9 m , habiendo empleado 86400 segundos para realizar la operación de lastrado.

Tiempo (seg)

Asi

ento

en

supe

rfic

ie d

e ca

pa a

rcil

losa

, (m

)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

311

Figura 6. 12 Excesos de presión de poros en la parte superior central de la capa de arcilla. Resultado numérico ADÍNDICA.

Debido a la cercanía del punto de control considerado en la Figura 6. 12 con la superficie drenante, una vez ha concluido la fase de lastrado del cajón, la disipación de los excesos de presión de poros es muy rápida. En la Figura 6. 13 se puede apreciar el valor de los excesos de presión de poros registrados en todo el espesor de la capa de arcillas al concluir el lastrado del cajón.

Figura 6. 13 Excesos de presión de poros registrado en toda la geometría tras lastrar el cajón.

Resultado numérico ADÍNDICA

De igual forma, en la Figura 6. 14 se pueden apreciar los excesos de presión de poros registrados en todo el espesor de la capa de arcillas al alcanzar un grado medio de consolidación de 95%U = .

Tiempo (seg)

Exc

eso

de p

resi

ón d

e po

ros

, pw (

N/m

2 )

Capítulo 6. Aplicación del Código ADÍNDICA

312

Figura 6. 14 Excesos de presión de poros registrado en toda la geometría tras alcanzar un grado medio de

consolidación del 95%. Resultado numérico ADÍNDICA En esta última figura, se aprecia claramente como el cálculo numérico desarrollado con el código ADÍNDICA, reproduce correctamente el proceso de generación y disipación de excesos de presión de poros asociado al lastrado del cajón. En la Figura 6. 13, se aprecia como los excesos de presiones inducidos por el lastrado del cajón se concentran inicialmente en la parte central del estrato de arcilla, siendo esta zona la más afecta por el aumento de peso del cajón. Como se puede apreciar, debido a que el proceso de lastrado del cajón se ha desarrollado resolviendo numéricamente las ecuaciones de consolidación elastoplástica, existiendo bordes drenantes, el valor máximo del exceso de presión intersticial es muy inferior al valor teórico de 255505

wp N m∆ = , en el

supuesto caso de haber desarrollado esta fase resolviendo un comportamiento no drenado. En la Figura 6. 14 se observa como al transcurrir el tiempo suficiente para alcanzar el 95% del grado medio de consolidación, los excesos de presión de poros iniciales se han disipado casi por completo. En esta figura se aprecia como el valor máximo de excesos de presión de poros se encuentra en la zona más alejada del borde drenante de la capa superior del estrato de arcilla. En relación a los esfuerzos ocasionados por el lastrado del cajón, en la Figura 6. 15 se muestra el mapa de colores asociado a la tensión equivalente de Von Mises, q, inducida por esta fase constructiva.

Figura 6. 15 Tensión equivalente de Von Mises, q, registrada en toda la geometría al alcanzar un grado

medio de consolidación del 95%. Resultado numérico ADÍNDICA.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

313

En la Figura 6. 15 se observa como al lastrar el cajón, se registran unas tensiones de corte importantes bajo las esquinas del cajón. Los mayores valores son registrados en la banqueta de escollera. Sin embargo, la parte superior del estrato de arcilla registra unos valores bastante elevados, llegando incluso al 60% de los valores registrados en la banqueta de escollera. Asociados a estos valores de tensión equivalente de Von Mises, aparecen en la geometría estudiada unas deformaciones desviadoras de cierta importancia. Esto se puede apreciar en la Figura 6. 16.

Figura 6. 16 Deformación desviadora registrada en toda la geometría al alcanzar un grado medio de

consolidación del 95%. Resultado numérico ADÍNDICA. Se observa en la Figura 6. 16 como los esfuerzos tangenciales de menor intensidad registrados en la parte superior del estrato de arcilla provocan unas deformaciones desviadores de mayor envergadura que en la banqueta de escollera, llegando a alcanzar en esta parte de la capa de arcilla el valor de 0.0025

sε = justo debajo de las esquinas

del cajón.

Capítulo 6. Aplicación del Código ADÍNDICA

314

6.4.2. Resultados asociados a la aplicación de la carga dinámica.

Se muestra en primer lugar en la Figura 6. 17, empleando un factor de amplificación de desplazamientos de 100, la malla inicial, tras la fase de lastrado del cajón y la malla deformada tras la aplicación de los 10 impactos de ola, descritos estos últimos en la Figura 6. 7.

Figura 6. 17 Geometría inicial, tras el lastrado del cajón, y deformada, tras la acción impulsiva del tren

de 10 olas. Resultado numérico ADÍNDICA.

En esta figura se puede apreciar claramente como tras recibir los diez impactos de ola, la estructura ha experimentado unos asientos. Los asientos sufridos son de unos 4.5mm , es decir, del mismo orden de magnitud que los asientos causados por el fondeo y lastrado del cajón. En la Figura 6. 17 se puede apreciar el efecto de los bordes absorbentes implementados en el código numérico ADÍNIDCA. La onda de tensión, inducida por el impacto de ola en el cajón, al alcanzar alguno de los bordes absorbentes, provoca un incremento de tensión el cual es absorbido sin causar apenas reflexión. Estos bordes, al absorber el aumento de tensión experimentan un desplazamiento en la dirección y sentido de la onda incidente. En la Figura 6. 18 y la Figura 6. 19 se muestra la secuencia de la respuesta dinámica del sistema estrato arcilloso - banqueta de escollera – cajón, ante la acción del primer impacto de ola. En estas figuras, a través de mapas de isolíneas, se aprecian los desplazamientos verticales así como de los excesos de presión de poros registrados en toda la geometría bajo estudio, en los instantes de tiempo 0t seg= , instante inicial tras el lastrado del cajón, 1.25t seg= en el que la esquina del lado de mar del cajón experimenta el máximo desplazamiento vertical durante el primer impacto de ola,

2t seg= en el que la parte impulsiva de la presión de ola ha concluido pero no así la parte cuasiestacionaria de dicha presión y por último a los 8t seg= , justo antes del inicio del impacto del segundo golpe de ola.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

315

Figura 6. 18 Desplazamiento vertical y excesos de presión de poros. a) 0t seg= instante inicial tras el

lastrado del cajón y b) 1.25t seg= instante de máximo desplazamiento vertical de la esquina del cajón

del lado de mar. Resultado numérico ADÍNDICA.

Desplazamiento vertical 0t seg=

Exceso de presiones de poros 0t seg=

Desplazamiento vertical 1.25t seg=

Exceso de presiones de poros 1.25t seg=

b)

a)

Capítulo 6. Aplicación del Código ADÍNDICA

316

Figura 6. 19 Desplazamiento vertical y excesos de presión de poros. a) 2t seg= instante en el que la

parte impulsiva de la presión de ola ha concluido pero no así la parte cuasiestacionaria y b) 8t seg=

justo antes del inicio del segundo golpe de ola. Resultado numérico ADÍNDICA.

Desplazamiento vertical 2t seg=

Exceso de presiones de poros 2t seg=

Desplazamiento vertical 8t seg=

Exceso de presiones de poros 8t seg=

b)

a)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

317

En la Figura 6. 18 a) y b) se puede apreciar la estrecha relación existente entre los desplazamientos experimentados por el cajón y los excesos de presión de poros registrados numéricamente en el estrato de arcilla. En la Figura 6. 18 b) se aprecia claramente como la oscilación del cajón, derivada de la acción del oleaje, induce en el estrato arcilloso un respuesta compatible con esta oscilación, generándose un exceso de presiones de poros positivo en la zona situada bajo la esquina del cajón del lado de puerto y un exceso de presión de poros negativo en la zona situada en bajo la esquina del cajón del lado de mar, siendo la amplitud de los excesos de presión de poros en la zona situada bajo la esquina del cajón del lado de puerto de mayor magnitud pero de signo contrario que la registrada en la zona de lado de mar. Se aprecia como un único impacto de ola es capaz de generar una variación instantánea de presión de poros de unos 27 kN m . Una vez ha transcurrido la parte impulsiva de la presión de ola pero no así la parte cuasiestacionaria de dicha presión, se observa, en la Figura 6. 19 a), como los excesos de presión de poros negativos tienden a desaparecer, mientras que los positivos permanecen prácticamente invariables. Un vez a concluido por completo la acción del oleaje, parte impulsiva y parte cuasiestacionaria, se observa [Figura 6. 19 b)] como el cajón a experimentado unos ciertos asientos y el exceso de presión de poros adquiere una distribución prácticamente uniforme en el sustrato arcilloso bajo el cajón, siendo sensiblemente superior en el lado de mar. En la Figura 6. 20, Figura 6. 21, Figura 6. 22 y Figura 6. 23 se muestra la secuencia de la respuesta dinámica del sistema estrato arcilloso - banqueta de escollera – cajón, ante la acción del primer impacto de ola a través de mapas de isolíneas de los desplazamientos verticales así como de las deformaciones plásticas desviadores y deformaciones plásticas volumétricas. Los registros se han considerado en toda la geometría bajo estudio, en los instantes de tiempo 0t seg= , instante inicial tras el lastrado del cajón, 1.25t seg= en el que la esquina del lado de mar del cajón experimenta el máximo desplazamiento vertical durante el primer impacto de ola,

2t seg= en el que la parte impulsiva de la presión de ola ha concluido pero no así la parte cuasiestacionaria de dicha presión y por último a los 8t seg= , justo antes del inicio del impacto del segundo golpe de ola. En la Figura 6. 20 se aprecia como al fondear y lastrar el cajón, no se desarrollan deformaciones plásticas volumétricas ni desviadoras de consideración. Sin embargo, se intuyen los perfiles de las deformaciones plásticas que se desarrollan al aplicar los golpes de ola sobre el cajón. En la Figura 6. 21 se observa claramente como la oscilación del cajón hacia el lado de puerto genera, ya en el primer impacto de ola, deformaciones plásticas desviadoras y volumétricas perceptibles. Las deformaciones plásticas, desviadoras y volumétricas, tienen lugar principalmente en la parte superior del sustrato arcilloso situado bajo la esquina del lado de puerto del cajón, siendo las deformaciones plásticas volumétricas de mayor magnitud que las desviadoras.

Capítulo 6. Aplicación del Código ADÍNDICA

318

Figura 6. 20 Desplazamiento vertical, deformaciones plásticas desviadores y volumétricas para 0t seg= instante inicial tras el lastrado del cajón Resultado numérico ADÍNDICA.

Figura 6. 21 Desplazamiento vertical, deformaciones plásticas desviadores y volumétricas para 1.25t seg= instante de máximo desplazamiento vertical de la esquina del cajón del lado de mar.

Resultado numérico ADÍNDICA.

Desplazamiento vertical 0t seg=

Deformación plástica desviadora 0t seg=

Deformación plástica volumétrica 0t seg=

Desplazamiento vertical 1.25t seg=

Deformación plástica desviadora 1.25t seg=

Deformación plástica volumétrica 1.25t seg=

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

319

Figura 6. 22 Desplazamiento vertical, deformaciones plásticas desviadores y volumétricas para 2t seg= instante en el que la parte impulsiva de la presión de ola ha concluido pero no así la parte

cuasiestacionaria. Resultado numérico ADÍNDICA.

Figura 6. 23 Desplazamiento vertical, deformaciones plásticas desviadores y volumétricas para 8t seg= justo antes del inicio del segundo golpe de ola. Resultado numérico ADÍNDICA.

Desplazamiento vertical 8t seg=

Deformación plástica desviadora 8t seg=

Deformación plástica volumétrica 8t seg=

Desplazamiento vertical 2t seg=

Deformación plástica desviadora 2t seg=

Deformación plástica volumétrica 2t seg=

Capítulo 6. Aplicación del Código ADÍNDICA

320

En la Figura 6. 22, una vez la parte impulsiva de la presión de ola ha concluido pero no así la parte cuasiestacionaria de esta, el cajón tiende a recuperar su posición inicial, generando deformaciones plásticas, desviadoras y volumétricas, en el parte superior del sustrato arcilloso situado bajo la esquina del lado de mar del cajón, aumentando las deformaciones plásticas ya existentes en la parte superior del sustrato del lado de puerto. Una vez finalizada toda la acción de la ola, la estructura tiende a estabilizarse, disminuyendo las oscilaciones del cajón hasta que desaparecen. Transcurrido cinco segundos desde la finalización de la acción de la ola, la estructura ha experimentado asientos, provocados por el comportamiento plástico del sustrato arcilloso. En la Figura 6. 23 se aprecia como justo antes del inicio del siguiente golpe de ola, las deformaciones plásticas, distribuidas a lo largo de toda la base del cajón, muestra dos valores máximos, cada uno bajo una esquina del cajón, de 0.0043 en el caso de las deformaciones plásticas volumétricas y de 0.0028 en el caso de las deformaciones plásticas desviadoras. Una vez analizado el comportamiento de la estructura y del sustrato arcilloso de forma global, se pasa a continuación a cuantificar la degradación en las zonas del sustrato más dañadas por la acción del olaje, identificadas en las figuras anteriores, relacionando en todo momento el deterioro experimentado con las oscilaciones del cajón. En la Figura 6. 24 se muestran los desplazamientos verticales de las esquinas inferiores del cajón. En la Figura 6. 24 a) se muestran los asientos asociados a los 10 impactos de ola, mientras que en la Figura 6. 24 b) se muestra de una forma más detallada el movimiento vertical de las esquinas del cajón tras aplicar los dos primeros impactos de ola. En la Figura 6. 24 a) se aprecia el carácter acumulativo de los asientos experimentados por la estructura al sufrir el impacto del tren de olas. La tasa a la que se producen estos asientos es lineal, sin embargo, este último aspecto se puede deber perfectamente a que el número de impactos considerados no es muy elevado. En la Figura 6. 24 b) se aprecia como la magnitud de los movimientos del cajón inducidos por el impacto de ola en el lado de mar, punto de control B, son claramente superiores que los registrados en el lado de puerto, punto de control A. De forma más detallada, se observa como el desplazamiento vertical máximo en el punto de control B es de unos 12mm , mientras que el desplazamiento vertical máximo en el punto de control A es de unos 8mm− . En la Figura 6. 24 a) se observa como una vez han finalizado los impactos de ola, el terreno arcilloso tiende a estabilizarse, no registrándose un aumento de los asientos. Este último comentario pone de manifiesto el hecho de que la ausencia de oscilaciones del cajón, implicaría la ausencia de asientos perceptibles tras el fondeo y lastrado del cajón.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

321

Figura 6. 24 Desplazamiento vertical de las esquinas inferiores del cajón tras a) diez impactos de ola, b)

dos impactos de ola. Resultado numérico ADÍNDICA.

a)

b)

Des

plaz

amie

nto

vert

ical

(m

) D

espl

azam

ient

o ve

rtic

al (

m)

Tiempo (seg)

Tiempo (seg)

Aplicación del oleaje

Vibración libre

Capítulo 6. Aplicación del Código ADÍNDICA

322

En la Figura 6. 25 se muestra el desarrollo de los excesos de presión de poros registrados en los puntos de control A y B de la geometría. Al igual que al analizar los asientos de la estructura, en la Figura 6. 25 a) se muestran el desarrollo de los excesos de presión asociados a los 10 impactos de ola, mientras que en la Figura 6. 25 b) se muestra de una forma más detallada los excesos de presión de poros tras aplicar los dos primeros impactos de ola. En la Figura 6. 25 a), se aprecia como a causa de las oscilaciones experimentadas por el cajón, el estrato de arcilla bajo la estructura experimenta un claro aumento de la presión de poros, tanto en el lado de mar como en el lado de puerto. La tasa de aumento de los excesos de presión de poros tiende a disminuir con el número de impactos, aunque esta disminución es leve. Comparando la Figura 6. 24 a) y la Figura 6. 25 a), se observa una estrecha correlación entre las presiones de poros residuales y los asientos experimentados por el cajón. Las diferencias existentes en cuanto a la generación de presión de poros entre el lado de mar y el lado de puerto, se aprecian en la Figura 6. 25 b). En esta figura se observa como el desplazamiento vertical experimentado por el cajón en el lado de mar provoca una disminución momentánea de la presión de poros, aumentando esta presión en la zona ubicada bajo el lado de puerto. Una vez las oscilaciones del cajón han cesado, el cajón tiende a recuperar su posición inicial, generando un aumento de la presión de poros en el estrado de terreno bajo la esquina del cajón del lado de mar. En la Figura 6. 25 b), se observa como el movimiento vertical negativo registrado por la esquina del lado de puerto del cajón induce una amplitud máxima en la presión de poros positiva de mayor magnitud que la amplitud máxima de la presión de poros negativa inducida por el movimiento vertical positivo registrado en la esquina del lado de mar del cajón. En la Figura 6. 25 se aprecia como la influencia del movimiento del cajón en la generación de presión de poros disminuye al aumentar la profundidad. En la Figura 6. 25 a), se aprecia como una vez transcurridos los 10 impactos de ola, la acumulación de los excesos de presión de poros registrado en la superficie del sustrato arcilloso, es prácticamente el doble de los excesos acumulados en la parte inferior del estrato arcilloso. En la Figura 6. 25 b) se observa como, partiendo de una presión de poros ligeramente superior en la parte inferior del sustrato arcilloso, presión de poros generada en la fase de lastrado del cajón y debida a la posición de los bordes drenantes, la influencia del oleaje en el desarrollo de los excesos de presión de poros en esta parte de la capa de arcilla es claramente inferior a la experimentada por las capas superiores del sustrato arcilloso.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

323

Figura 6. 25 Acumulación de presión de poros registrada en la capa de arcilla tras a) diez impactos de

ola, b) dos impactos de ola. Resultado numérico ADÍNDICA.

Tiempo (seg)

Exc

eso

de p

resi

ón d

e po

ros

(N/m

2 )

Tiempo (seg)

Exc

eso

de p

resi

ón d

e po

ros

(N/m

2 )

a)

b)

Capítulo 6. Aplicación del Código ADÍNDICA

324

En la Figura 6. 24 a) así como en la Figura 6. 24 b) se puede apreciar como existe una tendencia a acumularse asientos de forma diferida. Transcurridos los 10 impactos de ola, se observa como esta tendencia conduce una diferencia en los asientos de 1 mm , cerca de un 15% de los asientos registrados en el punto de control B. La tendencia acumulativa de los asientos diferidos, conduce a una inclinación del cajón hacia el lado de mar, parte izquierda del cajón, tal y como se puede apreciar en la Figura 6. 26, donde se muestra un aumento de la deformada expuesta en la Figura 6. 17.

Figura 6. 26 Cabeceo del cajón hacia el lado de mar. Resultado numérico ADÍNDICA.

Tal y como se ha llegado a mencionar en el estado del arte de la presente Tesis Doctoral, cuando un terreno es sometido a un ciclo de carga, alcanzando el rango plástico de deformaciones siendo la tensión media distinta de cero, estas últimas tienden a desplazarse hacia la línea de estado crítico, describiendo una acumulación cíclica de deformaciones. Según ciertas evidencias experimentales (Andersen, 1975), cuando una muestra es sometida a un ciclo de carga con una tensión media constante, cuanto mayor es la amplitud de los ciclos de tensión aplicados, mayor es el desplazamiento del estado tensional hacia la línea de estado crítico y mayores deformaciones plásticas se acumularán. En la Figura 6. 27 se muestra la relación existente entre el desviador generalizado, q, y la tensión efectiva media, p′ , registrada numéricamente en los puntos de control A y B. En esta figura se puede apreciar claramente como las oscilaciones del cajón, derivadas de la acción del oleaje, inducen un camino tensional en el terreno arcilloso situado bajo la esquina del cajón del lado de puerto distinto que el inducido en el lado de mar. Se aprecia como el sentido de la carga de corte, q, por impacto de ola en el lado de mar es opuesto al sentido registrado en el lado de puerto. De igual forma se observa como la variación de la tensión de corte, q, por impacto de ola en el lado de mar es superior al doble de la variación de la tensión de corte por impacto en el lado de puerto. Por otra parte, la tensión media efectiva, p′ , va disminuyendo a medida que se desarrollan los impactos de ola, siendo la tasa de disminución en el lado de mar algo superior a la tasas de disminución en el lado de puerto. Se aprecia de igual forma como la tasa de disminución de tensión media efectiva, p′ , es superior durante los primeros ciclos aplicados que en los últimos. Una vez aplicados los 10 impactos de ola sobre el

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

325

cajón, el punto de control del lado de puerto registra una disminución de la tensión media efectiva, p′ , del 15% mientras que el punto de control del lado de mar registra una disminución cercana al 19%.

Figura 6. 27 Recorrido tensional experimentado por dos elementos de suelo distintos situados bajo las

esquinas del lado de puerto, punto de control A, y la esquina del lado de mar, punto de control B. Resultado numérico ADÍNDICA.

De la Figura 6. 27 se puede realizar la siguiente lectura. Debido al lugar de aplicación de la fuerza impulsiva horizontal de ola (Fh) y la fuerza de subpresión (Fu) , ambas derivadas de forma casi simultánea de la acción del oleaje, la amplitud de los ciclos de tensión aplicados en la zona del estrato de arcilla situado bajo la esquina del lado de mar del cajón es superior a la amplitud registrada en la zona del estrato de arcilla situado bajo la esquina del lado de puerto del cajón. Este comportamiento diferencial en la amplitud de los ciclos de carga es el causante de la existencia de deformaciones plásticas verticales diferenciales en la capa de terreno arcilloso, tal y como se muestra en la Figura 6. 28. En la Figura 6. 28 se observa como las deformaciones plásticas verticales alcanzadas en el estrato de arcilla situado en el lado de mar son cerca de un 13% superiores a las deformaciones verticales plásticas registradas en el lado de puerto. Este fenómeno es el causante de la existencia de asientos diferidos en la estructura.

Ten

sión

equ

ival

ente

de

Von

Mis

es, q

(N

/m2 )

Tensión media efectiva, p′ (N/m2)

Capítulo 6. Aplicación del Código ADÍNDICA

326

Figura 6. 28 Relación tensión de corte generalizada, q , deformación plástica vertical, p

zε experimentado

por dos elementos de suelo distintos situados bajo las esquinas del lado de puerto, punto de control A, y la esquina del lado de mar, punto de control B. Resultado numérico ADÍNDICA.

En esta última figura, se observa como en los procesos de descarga, no se generan deformaciones plásticas, en consonancia con las características asignadas al comportamiento constitutivo considerado en los cálculos. En la Figura 6. 29, se muestra la comparación entre los desplazamientos verticales registrados por la esquina del lado de puerto del cajón, punto de control A, al recibir la acción impulsiva de las diez olas, considerando dos sustratos distintos bajo la estructura. Por un lado se considera la arcilla empleada en el presenta caso de aplicación y por otro las arenas incluidas en el último caso de validación del capítulo cinco de la presente Tesis Doctoral. De igual forma, en la Figura 6. 30 se muestra la comparación entre los excesos de presión de poros registrados en la parte superior del suelo de cimentación, al considerar por un lado que el terreno es arcilloso y por otro que es arenoso. En la Figura 6. 29 se observa como los asientos provocados por el lastrado del cajón son prácticamente el doble al considerar el lecho arcilloso que el lecho arenoso. Por otra parte, la acción del primer impacto de ola causa, en el caso de considerar la arcilla, un asiento de la esquina del lado de puerto del cajón de unos 0.8 mm , mientras que en el caso del lecho arenoso este valor se reduce a unos 0.4 mm . Estos valores de asientos tienden a disminuir con cada impacto de ola. Así, al considerar el caso con un sustrato arcilloso, los asientos registrados tras el décimo impacto de ola son de unos 0.6 mm . Al considerar el sustrato arenoso los asientos registrados tras el décimo impacto de ola son de unos 0.3 mm . Independientemente del asiento inicial del cajón (mayor en el caso de la arcilla), puede verse como en el caso arenoso los asientos registrados en el punto de control

Ten

sión

equ

ival

ente

de

Von

Mis

es, q

(N

/m2 )

Deformación plástica vertical, p

zε

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

327

considerado aumentan un 95%, debido al oleaje, influencia que aumenta poco, entorno al 107%, en el caso arcilloso.

Figura 6. 29 Comparación entre los desplazamientos verticales registrados por la esquina del lado de puerto del cajón, punto de control A, considerando un sustrato arcilloso y otro arenoso.

Resultado numérico ADÍNDICA.

Figura 6. 30 Comparación entre los excesos de presión de poros registrados en el punto de control A, considerando un sustrato arcilloso y otro arenoso. Resultado numérico ADÍNDICA.

Des

plaz

amie

nto

vert

ical

(m

)

Tiempo (seg)

Tiempo (seg)

Exc

eso

de p

resi

ón d

e po

ros

(N/m

2 )

Capítulo 6. Aplicación del Código ADÍNDICA

328

En relación a los excesos de presión de poros, se observa en la Figura 6. 30, como a causa del primer impacto de ola se genera en el punto de control A un exceso de presión de poros positivo de unos 3 kPa , al considera el sustrato arenoso, mientras que al considerar el sustrato arcilloso, este valor asciende hasta alcanzar los 5 kPa . Una vez ha transcurrido el primer impacto de ola, se puede apreciar en la Figura 6. 30, como al considerar el caso con un sustrato arenoso el exceso de presiones de poros, generados a causa de la oscilación del cajón, tiende a disiparse acumulándose sólo 0.2 kPa de los 3 kPa generados. En el caso del sustrato arcilloso, la disipación de los excesos de presión de poros es casi inexistente tras el primer golpe de ola, de tal forma que de los 5 kPa de presión de poros generados permanecen 4.5 kPa . Es decir, en el caso arcilloso se generan incrementos de presión intersticial cercanos al doble de los generados en el caso arenoso, con el inconveniente de que se acumula prácticamente el 100% de los excesos de presión de poros en el caso arcilloso y apenas un 6% en el caso de considerar arenas. El aspecto observado en el último párrafo cambia a medida que transcurren los impactos de ola. De esta manera, al considerar los excesos de presión de poros generados tras el décimo impacto de ola, se observa como en el caso de considerar un terreno arenoso de los 3 kPa de presión de poros generados por este impacto de ola, solo permanecen 0.05 kPa. En el caso del sustrato arcilloso, de los 4 kPa de presión de poros generados por la acción del décimo impacto de ola se acumulan cerca de 2 kPa . Estos últimos párrafos ponen de manifiesto como, independientemente de considerar un sustrato arenoso o arcilloso, tanto la tasa de generación de presión de poros como la tasa de acumulación de estas presiones disminuye con el número de impactos. En la Figura 6. 30 se aprecia claramente como al considerar el sustrato arcilloso la tasa de acumulación de los excesos de presión de poros es mucho más acentuada que la registrada al considerar un sustrato arenoso. Esto se debe principalmente a la diferencia del valor de la permeabilidad de las arcillas ( )9k 10 m seg−= y el de las arenas

( )4k 10 m seg−= .

Una vez ha transcurrido la acción del oleaje, se aprecia en la Figura 6. 30, como las presiones de poros generadas al considerar el sustrato arenoso se disipan por completo en el transcurso de los 80 segundos siguientes, mientras que en el caso del terreno arcilloso, no se aprecian signos de disipación de presiones de poros en el mismo intervalo de tiempo. Comparando la Figura 6. 29 y la Figura 6. 30 se observa una estrecha correlación entre las presiones de poros residuales y los asientos experimentados por el cajón, independientemente del tipo de sustrato considerado. Si bien, el incremento de asientos para diez olas es casi el mismo respecto al asiento inicial del cajón sin oleaje, del orden deL 100%, la mayor acumulación, al considerar un sustrato arcilloso, del exceso de presión intersticial a largo plazo, considerando un mayor número de olas, parece indicar que los asientos debidos al oleaje pueden ir, poco a poco, incrementándose.

329

7. CONCLUSIONES Y FUTURAS INVESTIGACIONES

7.1. Conclusiones.

7.1.1. Aportaciones principales de la presente Tesis Doctoral.

Las aportaciones principales de la presente investigación son los siguientes: − Haber desarrollado un modelo teórico que permita analizar el comportamiento

dinámico de la cimentación de un dique ante la acción cíclica del oleaje en cajones fondeados en terrenos arcillosos, prestando especial atención a la generación y evolución de la presión intersticial con la consiguiente degradación del terreno. El modelo incluye: i) la formulación Generalizada de Biot

wu p− de Zienkiewicz &

Shiomi (1984) para representar la interacción esqueleto del suelo-fluido intersticial, ii) un modelo constitutivo propuesto en la presente Tesis Doctoral enmarcado en la Teoría Generalizada de la Plasticidad (Pastor & Zienkiewicz, 1990) para describir el comportamiento de suelos arcillosos saturados bajo carga cíclica y dinámica, iii) un modelo de contacto entre el cajón y la banqueta de escollera basado en la compatibilidad geométrica para poder reproducir los complejos estados tensodeformacionales asociados a interacción cajón-banqueta de escollera.

− Haber desarrollado un programa numérico en el lenguaje M del entorno Matlab,

basado en el método de los elementos finitos, en el que se ha implementado el modelo teórico propuesto. Este código numérico, llamado ADÍNDICA, puede ser empleado en el diseño de la cimentación de estructuras marinas de gravedad, permitiendo el análisis de los aspectos fundamentales involucrados en el comportamiento geomecánico asociado a la cimentación de este tipo de estructuras, a saber, i) la compleja interacción cajón-banqueta de escollera, derivada de las acciones dinámicas y cíclicas del oleaje, esencial para poder estimar las tensiones transmitidas al lecho marino, ii) el acoplamiento del agua intersticial del suelo de la cimentación con el esqueleto sólido, esencial para valorar la influencia de la variación de la presión de poros influida por la compresión elástica del fluido intersticial, así como por la compresión y dilatación elástica del esqueleto del suelo en combinación con un drenaje limitado y iii) el posible cambio gradual de resistencia y rigidez del terreno debido a la acción de cargas repetitivas y/o la consolidación, imprescindible para evaluar la degradación del lecho marino y su comportamiento a largo plazo.

Capítulo 7. Conclusiones y Futuras Investigaciones

330

7.1.2. Conclusiones asociadas al modelo teórico propuesto en la Tesis Doctoral.

Se muestra en la Figura 7. 1, de forma esquemática, las partes de las que se compone el modelo teórico propuesto en la presente Tesis Doctoral para abordar la compleja interacción terreno-agua-estructura involucrada en un dique vertical de cajones instalado sobre un lecho marino arcilloso y sometido a la acción del oleaje. En dicha figura, se presenta con tonos oscuros las aportaciones novedosas, relacionadas con el modelo teórico, propuestas en esta Tesis Doctoral.

Figura 7. 1 Esquema del Modelo Propuesto en la presente Tesis Doctoral para analizar la interacción suelos arcilloso-banqueta de escollera-cajón-Oleaje.

Ley Tensodeformacional.

Teoría Generalizada de la Plasticidad.

Pastor-Zienkiewicz (1990)

Componente elástica termodinámicamente

inconsistente. No reproduce adecuadamente carga cíclica

Aplicación de formulación de Mira et al. (2008)

termodinámicamente consistente a suelos arcillosos

Modelización Comportamiento Lecho

Marino

Modelización

comportamiento cajón.

Condiciones de Contorno

Acoplamiento fluido intersticial-esqueleto del

terreno Formulación Generalizada

de Biot u-pw (Zienkiewicz y Shiomi,

1984)

Contacto Cajón –Banqueta

de Escollera

Bordes de radiación

Acción impulsiva del oleaje

MODELO PROPUESTO PARA REPRESENTAR LA INTERACCIÓN SUELO ARCILLOSO-BANQUETA DE ESCOLLERA-CAJÓN-OLEAJE

Modelización de las condiciones de

Contorno

Aportaciones novedosas de la presente Tesis Doctoral

Houlsby et al. (2005) ley elástica no lineal

termodinámicamente consistente.

Mira et al. (2008) componente elástica termodinámicamente

consistente para suelos granulares

Modelización Comportamiento

Banqueta de Escollera

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

331

En la Tabla 7. 1, Tabla 7. 2 y Tabla 7. 3 se muestra de una forma más detallada las ecuaciones que constituyen el modelo propuesto para representar el problema de la interacción cimentación-banqueta de escollera-cajón, incorporando los distintos acoplamientos involucrados. Seguidamente, en la Tabla 7. 4 se presentan las condiciones de contorno consideradas.

Tabla 7. 1 Ecuaciones que componen la parte del modelo que representa el lecho marino

Ecuaciones que gobiernan el comportamiento del lecho marino Ecuación de conservación de masa del fluido intersticial + Balance de la cantidad de movimiento del fluido intersticial .

( ),

,

k0

lecho

ij lecho lecho w

w j w j w j ii lecho

w i

pp u b

g Qρ ρ ε

ρ⋅ − − + + + =

⋅

ɺɺɺɺ

Formulación Generalizada de Biot u-pw . (Zienkiewicz & Shiomi, 1984)

Ecuación de balance de la cantidad de movimiento de la mezcla suelo-fluido intersticial.

, 0lecho lecho lecho lecho

ij j i iu bσ ρ ρ− + =ɺɺ

Ampliación de la Teoría Generalizada de la Plasticidad (Pastor & Zienkiewicz, 1990) aplicada a suelos arcillosos

: :: :

: :

e eep

ed d d

H

⊗′ = = +

D m n Dσ D ε ε

n D m

Componente elástica conservativa:

( ) ( )0

2

0

11 2

3

HARn

e ij kl

ijkl a HAR HAR HAR HAR ij kl HAR ik jl kl ij

a

pD p n k k n g

p p

σ σδ δ δ δ δ δ

′ ′= ⋅ ⋅ ⋅ + − + −

Componente plástica: − Regla de flujo plástico en carga asociativa.

( )2 2 2

1 cos 3m , m , m , ,

1 1 2 1L Lv Ls L

d q M

d d dθ

θ= =

⋅ ⋅= −

+ + ⋅ +

mn

− Módulo plástico en carga.

( ) ( ) max0L

H H p f g

γζη ξζ

′= ⋅ + ⋅

− Descarga elástica.

Capítulo 7. Conclusiones y Futuras Investigaciones

332

Tabla 7. 2 Ecuaciones que componen la parte del modelo que representa la Banqueta de escollera

Ecuaciones que gobiernan el comportamiento de la Banqueta de apoyo Ecuación de conservación de masa del fluido intersticial + Balance de la cantidad de movimiento del fluido intersticial .

( ),

,

k0

banq

ij banq banq w

w j w j w j ii banq

w i

pp u b

g Qρ ρ ε

ρ⋅ − − + + + =

⋅

ɺɺɺɺ

Formulación Generalizada de Biot u-pw ( Zienkiewicz & Shiomi, 1984) Ecuación de

balance de la cantidad de movimiento de la mezcla apoyo-fluido intersticial.

, 0banq banq banq banq

ij j i iu bσ ρ ρ− + =ɺɺ

Ley tensión-deformación elástica no lineal isótropa termodinámicamente consistente aplicada a suelos granulares. (Houlsby et al., 2005)

:ed d′ =σ D ε

Siendo :

( ) ( )0

2

0

11 2

3

HARn

e ij kl

ijkl a HAR HAR HAR HAR ij kl HAR ik jl kl ij

a

pD p n k k n g

p p

σ σδ δ δ δ δ δ

′ ′= ⋅ ⋅ ⋅ + − + −

Tabla 7. 3 Ecuaciones que componen la parte del modelo que representa el cajón

Ecuaciones que gobiernan el comportamiento del Cajón Ecuación de continuidad

0cajonρ =ɺ

Ecuación de balance de la cantidad de movimiento

, 0cajon cajon cajon cajon

ij j i iu bσ ρ ρ− ⋅ + =ɺɺ

Ley tensión-deformación elástica lineal isótropa (Lamé-Hooke, 1852)

:ed d′ =σ D ε

Siendo :

12

3

e

ijkl a HAR ij kl HAR ik jl kl ijD p k gδ δ δ δ δ δ= ⋅ + −

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

333

En relación a las ecuaciones de gobierno, cabe destacar las siguientes conclusiones: − Al suponer un fluido intersticial es compresible, considerando que el fenómeno del

oleaje implica acciones de frecuencia inferior a 20Hz, la formulación Generalizada de Biot u-pw para modelizar el acoplamiento entre el fluido intersticial-esqueleto del terreno se considera la apropiada, reuniendo los requisitos necesarios de adecuación y eficiencia.

− El requisito necesario de poder reproducir un comportamiento realista del suelo bajo

cargas cíclicas ha condicionado la elección del modelo constitutivo. La elección de la Teoría Generalizada de la Plasticidad de Pastor-Zienkiewicz como marco para la ley constitutiva se ha basado en la capacidad de ampliamente demostrada de esta teoría para reproducir adecuadamente los procesos de degradación del terreno provocado por la acción de cargas repetitivas. Por otra parte, la ampliación propuesta en la presente Tesis Doctoral de la formulación de la teoría de Pastor-Zienkiewicz (1990), al aplicar, al modelo clásico considerado para suelos arcillosos, la formulación termodinámicamente consistente de Houlsby et al. (2005) se ha considerado imprescindible debido al carácter eminentemente cíclico de las acciones consideradas en el presente caso de análisis.

− Debido a que la presente Tesis Doctoral se centra en la respuesta del terreno ante la

acción del oleaje, no considerando los posibles modos de fallo asociados a la banqueta, no se ha prestado atención a las características de resistencia al corte que puede presentar la banqueta de apoyo, modelizándola con un comportamiento elástico no lineal conservativo específico de suelos granulares.

− Debido a que el cajón tiende a deformarse mucho menos que los medios que le

circundan, pudiendo llegar a ser considerado incluso como un sólido rígido, no estando el fallo del cajón dentro de los objetivos de la presente Tesis Doctoral, no se ha prestado atención a las características de resistencia al corte que puede presentar el material que constituye el cajón, modelizándolo con un comportamiento elástico lineal isótropo.

Capítulo 7. Conclusiones y Futuras Investigaciones

334

Tabla 7. 4 Condiciones de contorno

Ecuaciones que gobiernan el contacto Banqueta de apoyo-Cajón. ( ,cajon banq

c cΓ Γ )

Componente normal del contacto. Condiciones Hertz-Signorini-Moreau.

0, 0, 0N Nn n

g gσ σ≥ ≤ ⋅ =

Componente tangencial del contacto. Regularización de la ley de Coulomb con coeficiente de fricción dependiente de la velocidad de deslizamiento.

( )( )2 2

c T

D s D

T

n

gt e

gτ µ µ µ σ

χ−= − + − ⋅ ⋅ ⋅

+Tgɺ

ɺ

ɺ

Bordes de radiación. (1 2 3, ,lecho lecho lecho

radiacion radiacion radiacionΓ Γ Γ )

Componente normal y tangencial al borde

1

lecho

radiacionΓ

4( )

3

lecho

y

yy

c

x

xy

s

y

x

K G Qu

ac t

uGb

c t

t

t

σ

σ

+ ⋅ + ∂= − ⋅ ⋅

∂

∂= − ⋅ ⋅

∂

= −

= −

Componente normal y

tangencial al borde 2

lecho

radiacionΓ

4( )

3

=

lecho

x

xx

c

y

y xy

s

x

K G Qu

t ac t

uG

c tt

σ

σ

+ ⋅ +∂

= − ⋅ ⋅∂

∂= − ⋅

∂

=

Versión del modelo de Gajo et al. (1996), considerando un esquema de Higdom de primer orden asociado al esquema

wu p− de la formulación

generalizada de Biot

Componente normal y

tangencial al borde 3

lecho

radiacionΓ

4( )

3 lecho

x

xx

c

y

xy

s

x

y

K G Q

ac

ut

t

uGt

c t

σ

σ

+ ⋅ +⋅

∂= − ⋅

∂

∂= − ⋅

∂

= −

= −

Contornos Hidráulicos . (

, , , ,,cajon cajon lecho banq banq lecho

lado mar trasdós lado mar lado mar trasdós trasdósΓ Γ Γ Γ Γ Γ )

Presión hidrostática debida al nivel del mar en reposo.

, , ,,cajon lecho banq banq lecho

trasdós lado mar lado mar trasdós trasdósΓ Γ Γ Γ Γ

w wp gzρ=

Presión impulsiva por rotura de la ola.

cajon

lado marΓ

Variación temporal de la fuerza impulsiva horizontal de ola (Fh) y la fuerza de subpresión (Fu) obtenidas por una integración espacial de las presiones de impacto registradas experimentalmente en el paramento vertical del cajón y bajo este

Fh

Fu

Tiempo (seg)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

335

En relación a las condiciones de contorno, cabe destacar las siguientes conclusiones: − Debido al complejo carácter friccional y dinámico de la interacción cajón-banqueta

de escollera, llegándose en casos extremos a desarrollarse los cuatro posibles modos de deformación que puede sufrir una interfaz de contacto (no deslizamiento, deslizamiento, separación, restablecimiento del contacto), se considera acertado modelizar esta interfaz formulando las condiciones de no interpenetración como restricciones puramente geométricas y no incorporando comportamientos constitutivos elásticos o elastoplásticos a un material ficticio, de difícil definición, que reproduzca las características tensodeformacionales principales de este fenómeno de contacto.

− El modelo de borde silencioso propuesto para el medio poroso saturado,

modificación del modelo establecido por Gajo et al. en 1996 considerando un esquema de Higdom de primer orden asociado al esquema

wu p− de la formulación

generalizada de Biot (Zienkiewicz y Shiomi, 1984), permite modelizar en los bordes un comportamiento no reflectante para un medio poroso saturado con permeabilidades bajas siendo compatible dicho modelo con el procedimiento estándar de los elementos finitos.

− Considerar registros experimentales de presión de ola para modelizar la presión

impulsiva generada por la rotura de una ola frente al cajón, permite disponer de una solicitación realista del dique vertical.

Capítulo 7. Conclusiones y Futuras Investigaciones

336

7.1.3. Conclusiones asociadas a la resolución numérica del modelo teórico

propuesto en la Tesis Doctoral.

Los códigos numéricos comerciales suelen comportarse como una caja negra, es decir, se sabe como utilizarlos sin saber cómo funcionan. En la mayoría de los casos, estos códigos comerciales no explicitan las ecuaciones de gobierno que se resuelven, por lo que las hipótesis simplificadoras que se imponen sobre las variables físicas no siempre quedan claras. Más aún, incluso en aquellos casos en los que sí se conocen las ecuaciones de gobierno, no siempre se conoce el procedimiento numérico seguido para obtener las soluciones aproximadas. Por otra parte, los códigos comerciales incorporan una serie de capacidades muy concretas para resolver situaciones relacionadas con un ámbito específico de la ciencia, no siempre permitiendo el acceso al código interno para su modificación, imposibilitando la adecuación a fenómenos vinculados a distintas disciplinas de la ciencia. En la Figura 7. 2 se muestra de forma esquemática el proceso seguido para la realización de la resolución numérica del fenómeno de interacción lecho marino-banqueta de escollera-cajón-oleaje.

Figura 7. 2 Proceso seguido en el desarrollo del análisis numérico.

Modelización matemática

Aproximación numérica

no

Respuesta válida al problema real

no

Errores conceptuales

(hipótesis simplificadoras)

Problema real

Errores derivados de la discretización y

del empleo de diversos algoritmos

Errores de máquina

¿Es la solución numérica obtenida precisa?

¿Es la solución numérica

consistente con la física del problema?

si

si

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

337

Al emplear códigos numéricos comerciales, no se puede desarrollar plenamente el proceso descrito en la Figura 7. 2 al no tener la posibilidad de establecer las hipótesis simplificadores y/o no controlar los errores derivados de la discretización espaciotemporal considerada ni del empleo de diversos algoritmos. De esta forma, al emplear códigos comerciales la aceptación de los resultados numéricos depende únicamente de la coherencia respecto a la física del problema.

Debido a que el fenómeno de interacción lecho marino-banqueta de escollera-cajón-oleaje no queda circunscrito a una disciplina concreta de la ingeniería, sino que involucra varias de ellas, y teniendo en cuenta las limitaciones de los códigos comerciales expuestas en las líneas precedentes, se ha optado por desarrollar plenamente la resolución numérica de las ecuaciones de gobierno planteadas, realizando un programa que resuelva el problema discretrizado a través del método de los elementos finitos. Una vez tomada esta decisión, la cuestión del lenguaje de programación a considerar es crucial. De entre los lenguajes existentes para la codificación de programas basados en el método de los elementos finitos, se ha elegido el lenguaje M del entorno Matlab. Matlab es un código diseñado para trabajar de forma eficiente con matrices, facilitando las operaciones algebraicas matriciales y vectoriales desde el punto de vista numérico y de almacenamiento. Este aspecto es de vital importancia ya que en el método de los elementos finitos, una vez se ha desarrollado la discretización espacial y temporal del sistema de ecuaciones en derivadas parciales que gobiernan el fenómeno de estudio, se obtiene un sistema algebraico no lineal a resolver, haciendo que la herramienta Matlab sea muy apropiada. Por otra parte, dispone de diversas aplicaciones que permiten desarrollar de forma eficiente tanto el preproceso (geometría, malla de elementos finitos, refinamiento de la malla, etc.) como el postproceso (visualización gráfica de resultados numéricos). A continuación en la Figura 7. 3 se presenta un diagrama de flujo esquemático del programa desarrollado en el entorno Matlab y que ha sido denotado por ADÍNDICA, cuyas siglas significan Análisis Dinámico de Diques de Cajones. En dicha figura, se presenta con tonos oscuros las aportaciones novedosas, relacionadas con la resolución numérica del modelo teórico, propuestas en esta Tesis Doctoral.

Capítulo 7. Conclusiones y Futuras Investigaciones

338

Figura 7. 3 Diagrama de flujo del programa ADÍNDICA

Preproceso

− Tiempo inicial y final del cálculo. Paso inicial de tiempo. − Parámetros para definir la geometría. − Se define geometría, se genera malla triangular estructurada/no estructurada de tres y seis nodos. (Matlab / GID) − Generamos puntos de Gauss. (ptogauss.m) − Declaración de Arrays de ensamblaje. − Identificamos bordes con condiciones Newman, condiciones Dirichlet y de radiación. − Parámetros para definir el Material. − Condiciones iniciales de desplazamiento, velocidades y aceleraciones, tensión y deformación del esqueleto sólido.

Condiciones iniciales de presión de poros y velocidad de presión de poros. − Inicializamos matrices de rigidez, masa, amortiguamiento, permeabilidad, compresibilidad, acoplamiento y

radiación. De igual forma se inicializa vector de fuerzas másicas, de filtración y de tensiones de contacto. Almacenamiento compacto (sparse).

− Ensamblaje de matrices de rigidez, masa, amortiguamiento, permeabilidad, compresibilidad, acoplamiento y radicación. De igual forma se ensambla el vector de fuerzas másicas.

− Establecimiento de los nodos del cajón y de la banqueta de escollera que pueden entrar en contacto.

Cálculo

− Bucle sobre el tiempo (mientras 1n final

t t+ < )

o Ensamblaje de condiciones de borde en tensiones y/o desplazamientos dependientes del tiempo.

o Inicialización del algoritmo[ ] [ ]1

, , , , , , , ,lecho lecho banq banq cajon

n n n n n∆ ∆ ∆ ∆ ∆ = 0 0 0 0 0u p u p uɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ .

o Bucle sobre las iteraciones hasta convergencia. Newton-Raphson ( 1...i convergencia= ). Se resuelve

( )1

11

2

1

1

, , , ,i

lecho lecho banq banq cajon

n n wn n wn ni ilecho lecho

n n

lecho lecho nwn wn

esc esc

in n

esc esc

wn wn

cajon cajon

n n

++

+

−

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

Ψ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ Ψ ∆ = −

J

u u

u u

u u

u p u p u

p p

p p

ɺɺ ɺɺ

ɺɺ ɺɺ

ɺɺ ɺɺ

ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ

ɺɺɺ ɺ

ɺ ɺ

( )( )( )

3

1

4

1

5

1

, , , ,

, , , ,

, , , ,

, ,

ilecho lecho banq banq cajon

n wn n wn n

ilecho lecho banq banq cajon

n n wn n wn n

ilecho lecho banq banq cajon

n n wn n wn n

lecho lecho ba

n n wn n

+

+

+

∆ ∆ ∆ ∆

Ψ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

Ψ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

Ψ ∆ ∆ ∆

u p u p u

u p u p u

u p u p u

u p u

ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ

ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ

ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ

ɺɺ ɺ ɺɺ( ), ,i

nq banq cajon

wn n

∆ ∆ p uɺ ɺɺ

Se obtienen los desplazamientos 1

global

n+u y presión de poros 1

global

n+p a tiempo 1n

t + .

Obtención de las deformaciones en cada punto de integración. Integración de la relación tensión-deformación en cada punto de Gauss a través del

esquema de Euler Modificado para Plasticidad Generalizada con control del error. (modifiedeulerelasplas.m)

Actualización de tensiones y deformaciones plásticas. Actualización de matriz de rigidez, matriz de amortiguamiento, matriz borde de

radiación y fuerzas de contacto. o Final bucle Newton-Raphson. o Control del error global y actualización del paso de tiempo.

− Final bucle tiempo.

Post proceso

− Visualización gráfica de resultados numéricos. (postproceso.m)

FIN

INICIO

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

339

En relación a la resolución numérica de las ecuaciones que gobiernan el fenómeno de interacción lecho marino-banqueta de escollera-cajón-oleaje propuesto en la presente Tesis Doctoral, cabe destacar las siguientes conclusiones:

− De entre los métodos numéricos existentes para obtener la solución aproximada del

sistema de ecuaciones en derivadas parciales que definen la interacción lecho marino-banqueta de escollera-cajón-oleaje se ha empleado el método de los elementos finitos ya que permite un tratamiento natural de las condiciones de contorno, estando capacitado para tratar problemas con geometrías complejas, permitiendo el empleo de mallas no estructuradas.

− Atendiendo a requisitos de robustez en la solución, establecidos por la condición de

Babuska-Brezzi, y teniendo en cuenta que se requiere una interpolación 0C para las variables desplazamiento ( )u y presión de poros ( )wp , se ha escogido para

discretizar las ecuaciones de la formulación wu p− el elemento triangular lagrangiano

isoparamétrico mixto cuadrático de 6 nodos para interpolar los desplazamientos u y lineal de 3 nodos para interpolar las presiones de poros

fp . Este tipo de elementos

permite resolver con garantías situaciones en las que la compresibilidad de la fase fluida es despreciable y la permeabilidad del terreno muy baja.

− La discretización del contacto entre el cajón y la banqueta de escollera se ha

desarrolla nodo a nodo, siendo la formulación empleada para el tratamiento numérico el método de penalización y considerando como comportamiento friccional la regularización de la ley de Coulomb con coeficiente de fricción dependiente de la velocidad de deslizamiento. Esta formulación permite representar el fenómeno de contacto con una gran precisión, incluso en condiciones dinámicas, siempre y cuando el desplazamiento relativo entre los nodos vinculados sea pequeño.

− El algoritmo empleado para desarrollar la integración temporal del sistema de

ecuaciones diferenciales ordinarias no lineal que gobierna el problema dinámico global es el método Generalizado de Newmark, GNpj (Katona y Zienkiewicz,

1985). Mas concretamente, los desplazamientos [ ], ,global lecho banq cajon=u u u u se

discretizan temporalmente a través del esquema numérico 22GN mientras que el exceso de presión de poros [ ],global lecho banq

w w w=p p p se descretiza mediante el esquema

11GN . En la mayoría de las situaciones analizadas, valor asignado a los parámetros que definen el integrador ha sido

2 1 10.605, 0.6 y 0.6β β β= = = .

Este integrador temporal implícito escogido se considera apropiado para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineal que gobierna el problema dinámico. Esto se debe a que en el caso analizado se combinan fenómenos altamente transitorios (impacto de ola sobre dique vertical) con pesudoestáticos (consolidación del terreno), siendo necesario considerar pasos de tiempo grandes y pequeños, con la mayor precisión posible.

− Para la integración de leyes constitutivas elastoplásticas circunscritas a la teoría

Generalizada de la plasticidad se presenta una novedoso algoritmo explícito denotado por esquema de Euler Modificado para Plasticidad Generalizada con control del error local. Dicho algoritmo se basa en el método de subincrementación

Capítulo 7. Conclusiones y Futuras Investigaciones

340

inicialmente propuesto por Sloan (1987) y posteriormente mejorado por Sloan et al.(2001). El algoritmo es capaz de controlar el error cometido al calcular las tensiones, valiéndose para ello de la pareja de métodos numéricos Euler-Euler modificado. En comparación con el algoritmo de Sloan (1987) y el de Sloan et al. (2001), es remarcable que el algoritmo propuesto no requiere del cálculo de las tensiones intermedias que yacen en la superficie de fluencia al pasar de un estado tensional elástico a plástico, así como de la corrección necesaria para retornar el estado tensional a la superficie de fluencia. La ausencia de estos dos subalgoritmos mejora claramente la eficiencia del algoritmo propuesto.

− Matlab es un código diseñado para trabajar de forma eficiente con matrices,

facilitando las operaciones algebraicas matriciales y vectoriales desde el punto de vista numérico y de almacenamiento. Este aspecto es el que ha determinado el empleo de este entorno para resolver por el método de los elementos finitos las ecuaciones de gobierno del fenómeno estudiado. Entre los aspectos del programa ADÍNDICA cabe destacar los siguientes:

− El programa ADÍNDICA es capaz de resolver situaciones en 2D bajo las hipótesis de deformación plana y axilsimérico, dentro del ámbito de pequeñas deformaciones.

− El programa ADINDICA está codificado sobre un fichero .m principal desde el cual se llama a distintas funciones a medida que va necesitando el empleo de distintos algoritmos.

− El programa ADINDICA dispone de diversas aplicaciones que permiten desarrollar de forma eficiente tanto el preproceso (geometría, malla de elementos finitos, refinamiento de la malla, etc.) como el postproceso (visualización gráfica de resultados numéricos), sin salir del código Matlab.

− Por otra parte, en relación al punto anterior, se a acoplado al programa ADÍNDICA el programa de preproceso GID, permitiendo considerar los ficheros estándar de salida de este último como entrada de datos de la geometría y la malla.

− Incorpora elementos triangulares lagrangianos isoparamétricos mixtos. − Resuelve el fenómeno de contacto como restricciones puramente geométricas. − Incorpora un modelo de borde silencioso para un medio poroso saturado. − Tiene incorporados dos tipos de algoritmos para poder resolver los distintos

comportamientos no lineales involucrados en el estudio numérico de las ecuaciones que gobiernan la respuesta dinámica del terreno ante la acción del oleaje en diques verticales de cajones. Estos algoritmos son:

o Algoritmo de integración puntual de la ley constitutiva elastoplástica circunscrita a la teoría Generalizada de la plasticidad.

o Algoritmo de integración global de la relación fuerza-desplazamiento.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

341

7.1.4. Conclusiones asociadas a la validación del código ADÍNDICA.

En los objetivos del capítulo de validación del código numérico ADÍNDICA se plantearon tres cuestiones respecto al correcto funcionamiento de la herramienta numérica desarrollada, cuestionando la precisión de las soluciones numéricas obtenidas así como la consistencia de estas en relación al problema físico considerado. En el presente epígrafe se establecen las conclusiones alcanzadas sobre cada una de estas cuestiones. − Verificación básica del programa ADÍNDICA, ¿Funcionan correctamente los

aspectos básicos del código ADÍNDICA?. Los tipos de análisis desarrollados en los apartados asociados a esta parte de la validación, permiten concluir que el comportamiento elástico lineal isótropo del modelo presentado es satisfactorio. Además se aprecia como las condiciones de contorno en tensiones y desplazamientos así como las condiciones de drenaje y las asociadas a los ejes de simetría empleadas en la resolución numérica de las ecuaciones se comportan adecuadamente. Por otro lado, se aprecia como el comportamiento global de la malla así como entorno a puntos singulares es muy satisfactorio. En la línea del último comentario se aprecia que la capacidad de remallado local que presenta la malla en el código ADÍNDICA, es muy útil para poder reproducir adecuadamente el comportamiento tensodeformacional en las inmediaciones de una singularidad. De igual forma, se aprecia como la tipología de elementos empleada (elementos finitos lagrangianos isoparamétricos mixtos triangulares cuadráticos de 6 nodos, para interpolar los desplazamientos u , y lineales de 3 nodos, para interpolar las presiones de poros

wp )

es adecuada para analizar comportamientos incompresibles. De igual forma, a quedado puesto de manifiesto como el código numérico ADÍNDICA es capaz de reproducir satisfactoriamente procesos de consolidación desarrollado al aplicar una carga no monótona sobre una muestra saturada cuyo esqueleto es gobernado por un comportamiento elástico lineal. Por otra parte, se ha mostrado como el código numérico ADÍNDICA es capaz de reproducir satisfactoriamente un proceso dinámico desarrollado al aplicar una carga puntual dinámica sobre la superficie de un medio elástico, reproduciendo satisfactoriamente la propagación de las distintas ondas elásticas P, S y Rayleigh. Por otra parte, se ha comprobado que la propagación y absorción de ondas elásticas en un medio poroso saturado es simulada correctamente en el código ADÍNDICA. Todos estos aspectos permiten concluir que el modelo teórico propuesto representa correctamente el acoplamiento del esqueleto sólido del suelo y la presión de poros, en régimen elástico lineal isótropo, bajo carga monótona y no monótona en condiciones estáticas (drenadas y no drenadas), pseudoestáticas y dinámicas. La bondad de la aproximación numérica como su implementación en el código ADÍNDICA queda verificada a la luz de los resultados numéricos obtenidos.

Capítulo 7. Conclusiones y Futuras Investigaciones

342

− ¿Es precisa la solución numérica obtenida a través del código ADÍNDICA? En los dos tipos de análisis abordados los apartados asociados a esta parte de la validación, se ha puesto de manifiesto la bondad de los algoritmos de resolución de comportamientos no lineales, local y global, implementados en el código ADÍNDICA. Se puede concluir que tanto el algoritmo de integración puntual de la ley constitutiva elastoplástica como de integración global de la relación fuerza-desplazamiento son robustos y precisos cuando son empleados para analizar el problema de contorno definido por una zapata corrida rígida rugosa. Debido a la singularidad que presentan las esquinas de una zapata rígida así como la fuerte rotación que experimentan los ejes principales, este tipo de análisis ha supuesto un importante reto para los algoritmos local y global implementados en el código ADÍNDICA. De igual forma, se ha reproducido correctamente el comportamiento de una muestra cilíndrica sometidas a una carga cíclica en condiciones drenadas. Debido al carácter cíclico de la carga considerada así como al comportamientos constitutivo elastoplástico asumido en esta simulación, este tipo de análisis ha vuelto a suponer un importante desafío para los algoritmos local y global implementados en el código ADÍNDICA. Por otro lado, se ha puesto de manifiesto la importancia de considerar una componente elástica conservativa al reproducir la respuesta de una muestra de suelo sometida a una carga cíclica, evitando respuestas tensodeformacionales termodinámicamente inconsistentes. Una vez aclarados los aspectos de robustez y precisión de los algoritmos de resolución de comportamientos no lineales, estos han sido empleados con confianza a la hora de validar la bondad de la ley constitutiva elastoplástica propuesta en la presente Tesis Doctoral y aplicada a terrenos arcillosos. − ¿Es la solución numérica consistente con la física del problema? Se ha puesto de manifiesto la bondad del comportamiento constitutivo, propuesto en la presente Tesis Doctoral, modificación de ley constitutiva elastoplástica de Pastor-Zienkiewicz aplicado a suelos arcillosos. Los casos analizados han sido validados a través de la constrastación directa de los resultados numéricos con datos experimentales. Entre los casos analizados, se aprecia como la ley elastoplástica propuesta, reproduce adecuadamente el comportamiento tensodeformacional de muestras arcillosas normalmente consolidadas y sobreconsolidadas, bajo carga monótona en condiciones drenadas y no drenadas. Se observa igualmente como al considerar en la formulación del comportamiento constitutivo la función de endurecimiento por deformación desviadora propuesta en el capítulo tres de la presente Tesis Doctoral, se obtienen resultados numéricos más precisos que empleando la formulación tradicional. De igual forma, se ha observado como la ley elastoplástica propuesta permite reproducir adecuadamente el comportamiento tensodeformacional de muestras arcillosas normalmente consolidadas, en condiciones no drenadas, al aplicar una serie de ciclos controlando deformaciones o tensiones.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

343

También se ha mostrado como la ley elastoplástica propuesta permite reproducir adecuadamente el comportamiento tensodeformacional de un suelo arcilloso situado bajo una zapata corrida rígida rugosa sometida a una carga vertical uniforme. Teniendo en cuenta que los caminos tensionales que suelen seguir las distintas partes del suelo que se encuentra bajo un dique vertical pueden ser reproducidos en su mayoría por equipos triaxiales, se considera validada la ley constitutiva propuesta en la presente Tesis Doctoral para representar el comportamiento tensodeformacional de un terreno arcilloso subyacente a un dique vertical de cajones. Tras validar ley constitutiva propuesta en la presente Tesis Doctoral se ha validado la correcta reproducción de un proceso de consolidación elastoplástico. Para ello se ha simulado un ensayo de compresión triaxial, permitiendo el drenaje, de una muestra arcillosa saturada aplicando deformaciones a distintas velocidades de deformación. De igual forma, se ha comprobado que al aumentar la tasa de deformación axial, la respuesta aparente de la muestra cambia de un comportamiento drenado a un comportamiento no drenado a medida que una menor parte de la muestra del terreno es capaza de alcanzar un equilibrio de presiones de poros. Se pudo apreciar como la respuesta correspondiente a la menor de las tasas aplicadas es la más próxima al comportamiento drenado ideal, mientras que la respuesta correspondiente a la mayor tasa aplicada es la más próxima al comportamiento no drenado ideal. Seguidamente, se validó el correcto funcionamiento del modelo de contacto considerado en la presente Tesis Doctoral para reproducir la interacción entre un cajón y la banqueta de escollera. Para desarrollar esta validación se ha realizado la reproducción numérica de un ensayo de laboratorio a escala de un dique vertical formado por un cajón de hormigón apoyado sobre una banqueta de grava y sometido a la colisión de un péndulo. En este caso de validación, se ha comprobado como la respuesta dinámica numérica obtenida mediante el código ADÍNDICA es muy similar a la recogida experimentalmente, siendo despreciable la diferencia encontrada entre los desplazamientos numéricos y los experimentales. Completando el trabajo de validación del modelo de contacto considerado en la presente Tesis Doctoral se ha reproducido numéricamente de forma satisfactoria la respuesta dinámica de un ensayo a gran escala de un dique vertical de cajones ante el impacto de una ola en fase rompiente. Se aprecia en este apartado de validación como el acuerdo entre el registro experimental de la respuesta dinámica del dique vertical de cajones y el cálculo numérico desarrollado con el código ADÍNDICA es bastante bueno, considerando un comportamiento no lineal tanto en la banqueta de escollera. Una vez quedó validado la relación entre las condiciones de contorno hidráulicas relacionadas con el impacto de una ola sobre el paramento vertical de un dique de cajones y el movimiento del cajón, se abordó la validación de la relación entre el movimiento del cajón y la generación de presión de poros transitoria. En este último apartado se ha alcanzado a validar el buen comportamiento del código numérico ADÍNDICA, reproduciendo y constrastando experimentalmente, las características principales de la relación entre el movimiento del cajón y la generación instantánea de presión de poros, deducidas de la experimentación (Figura 7. 4).

Capítulo 7. Conclusiones y Futuras Investigaciones

344

Estas características son i) la magnitud de los movimientos del cajón inducidos por el impacto de ola en el lado de mar son claramente superiores que los registrados en el lado de puerto, ii) el registro temporal de presiones de poros registrado en la capa de arena bajo las esquinas del cajón es muy similar al desplazamiento vertical registrado por estas esquinas. Más aún, el relativamente menor movimiento vertical registrado por la esquina del lado de puerto del cajón induce una amplitud máxima en la presión de poros positiva muy superior a la amplitud máxima de la presión de poros negativa inducida por el movimiento vertical registrado en la esquina del lado de mar del cajón y iii) la influencia del movimiento del cajón en la generación de presión de poros disminuye al aumentar la profundidad.

Figura 7. 4 Comparación entre los datos registrados experimentalmente por Kudella et al. (2006) y los obtenidos numérica a través del código ADÍNDICA en a) desplazamientos verticales y b) excesos de

presión de poros.

Tiempo (seg)

Exc

eso

de p

resi

ón d

e po

ros

(N/m

2 )

Tiempo (seg)

Des

plaz

amie

nto

vert

ical

(m

)

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

345

7.1.5. Conclusiones asociadas a la aplicación del código ADÍNDICA para analizar

la respuesta dinámica del terreno ante la acción del oleaje en un caso hipotético de

dique vertical de Cajones fondeado sobre suelo arcilloso.

El análisis de la respuesta dinámica del terreno ante la acción del oleaje en un caso hipotético de dique vertical de cajones fondeado sobre un terreno de características arcillosas, a través del código ADÍNDICA, se desarrolló a través de la ejecución de cuatro fases de cálculo: i) cálculo de las condiciones iniciales, ii) fondeo y lastrado del cajón, iii) aplicación de la carga dinámica y iv) vibración libre. − En relación a la fase de fondeo y lastrado del cajón se puedo concluir como el

proceso de consolidación elastoplástico en el que se simula el fondeo del cajón sobre la banqueta de escollera y su posterior lastrado, ha sido desarrollado correctamente. Fue posible alcanzar esta conclusión gracias a la respuesta en asientos y desarrollo de excesos de presión de poros obtenida de los cálculos con el código ADÍNDICA y en concordancia con las estimaciones proporcionadas en la ROM 0.5-05.

− En relación a la fase de aplicación de la carga dinámica y vibración libre, se pudo

concluir como código numérico ADÍNDICA es capaza de reproducir los asientos provocados por la acción impulsiva del oleaje sobre un dique vertical de cajones fondeado sobre suelo arcilloso (Figura 7. 5).

Figura 7. 5 Geometría inicial, tras el lastrado del cajón, y deformada, tras la acción impulsiva del tren de

10 olas. Resultado numérico ADÍNDICA.

− De igual forma, el código numérico ADÍNDICA ha demostrado su capacidad a la hora de reproducir la estrecha relación existente entre los desplazamientos experimentados por el cajón y los excesos de presión de poros generados en un estrato de arcilloso (Figura 7. 6), siendo esta una de las principales características observadas experimentalmente por distintos investigadores (Oumeraci, 1992; Kudella y Oumeraci, 2004, Kudella et al., 2006) al reproducir el comportamiento dinámico en canales de oleaje de diques verticales.

Capítulo 7. Conclusiones y Futuras Investigaciones

346

Figura 7. 6 Desplazamiento vertical y excesos de presión de poros en el instante de máximo desplazamiento vertical de la esquina del cajón del lado de mar. Resultado numérico ADÍNDICA.

− En la Figura 7. 6 se observa como el código ADÍNDICA es capaz de reproducir una

respuesta en excesos de presiones de poros compatible con las oscilaciones del cajón, de tal forma que al inclinarse el cajón hacia el lado de puerto, se genera un exceso positivo en la zona situada bajo la esquina del cajón del lado de puerto y un exceso de presión de poros negativo en la zona situada en bajo la esquina del cajón del lado de mar.

− En la misma línea de los últimas conclusiones, se ha puesto de manifiesto como el

código ADÍNDICA es capaz de reproducir el carácter acumulativo de los asientos experimentados por la estructura al sufrir el impacto de un tren de olas, capturando la estrecha correlación entre estos asientos y las presiones de poros residuales (Figura 7. 7).

Desplazamiento vertical

Exceso de presiones de poros

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

347

Figura 7. 7 Relación entre la Acumulación de Asientos y presión de poros. Resultado numérico ADÍNDICA.

Aplicación del oleaje

Vibración libre

Tiempo (seg)

Exc

eso

de p

resi

ón d

e po

ros

(N/m

2 ) D

espl

azam

ient

o ve

rtic

al (

m)

Tiempo (seg)

Capítulo 7. Conclusiones y Futuras Investigaciones

348

7.2. Futuras investigaciones

7.2.1. Introducción

El trabajo desarrollado en la presente Tesis Doctoral pertenece a cuatro disciplinas diferentes: Mecánica de Medios Continuos, métodos numéricos, técnicas computacionales y ensayos de laboratorio. Debido a esta multidisciplinariedad, existen posibles desarrollos a realizar dentro de la temática de la presente Tesis Doctoral relacionados con cada una de estas disciplinas. Se pasa a continuación a exponer las posibles investigaciones futuras vinculadas a de cada una de las disciplinas mencionadas.

7.2.2. Futuras investigaciones relacionadas con la mecánica de medios continuos.

El modelo teórico propuesto en la presente Tesis Doctoral para abordar la compleja interacción terreno-agua-estructura involucrada en un dique vertical de cajones instalado sobre un lecho marino y sometido a la acción del oleaje puede ser mejorado desarrollando los siguientes trabajos de investigación: − En el modelo teórico presentado, se ha considerado la formulación Generalizada de

Biot w

u p− para modelizar el acoplamiento entre el fluido intersticial-esqueleto del

terreno. Si además de incorporar los términos de inercia asociados al esqueleto del suelo consideramos los asociados al fluido intersticial obtenemos la formulación

wu w p− − . Esta evolución del método permitiría analizar con confianza procesos de

carga de muy alta frecuencia, es decir, de un período inferior a 0.05seg. − En el modelo teórico propuesto, se ha presentado una modificación del

comportamiento constitutivo Pastor-Zienkiewicz aplicada a suelos arcillosos. Aunque se ha puesto de manifiesto la bondad de este comportamiento constitutivo a lo largo del capítulo de validación, sería interesante considerar otras leyes tensodeformacionales, como los modelos con múltiples superficies de fluencia o modelos de burbuja, para poder desarrollar estudios comparativos entre ellos y así seleccionar el más apropiado para reproducir los complejos estados tensodeformacionales presentes en el fenómeno de estudio.

− No se ha prestado atención a las características de resistencia al corte que puede

presentar la banqueta de escollera, modelizándola con un comportamiento elástico no lineal conservativo específico de suelos granulares. Sería muy deseable considerar un comportamiento elastoplástico para la banqueta de escollera, pudiendo así analizar los posibles modos de fallo asociados a esta parte de la estructura.

− En consonancia a lo expuesto en el párrafo anterior, sería interesante poder

considerar un comportamiento elastoplástico en el cajón, pudiendo así analizar los posibles modos de fallo asociados a esta parte de la estructura.

Sobre la Respuesta Dinámica del Terreno bajo la Acción del Oleaje en Cajones Fondeados en Suelos Arcillosos

349

− En relación a los bordes de radiación, el modelo de borde silencioso para el medio poroso saturado propuesto en la presente Tesis Doctoral podría mejorarse empleando un esquema de Higdom de orden superior asociado al esquema

wu p− o incluso

wu w p− − de la formulación generalizada de Biot. También sería interesante

continuar los trabajos de Givoli (2001, 2003, 2006), relacionados con bordes absorbentes no reflectantes de orden superior sin emplear derivadas de orden superior, aplicándolos a medios porosos saturados.

7.2.3. Futuras investigaciones relacionadas con el tratamiento numérico.

− La modelización de la interfaz cajón-banqueta de escollera se podría mejorar si se

empleara una discretización que permitiera un deslizamiento finito entre los cuerpos, por ejemplo, una discretización nodo a segmento o incluso segmento a segmento. Por otra parte, si se empleara el método Lagrangiano Aumentado en el tratamiento numérico del contacto, se podría tener un control directo sobre la magnitud de la interpenetración admitida.

− Para la integración de leyes constitutivas elastoplásticas circunscritas a la teoría

Generalizada de la plasticidad se ha presentado un novedoso algoritmo explícito de integración, denotado esquema de Euler Modificado para Plasticidad Generalizada con control del error local, basado en el método de subincrementación inicialmente propuesto por Sloan (1987). Sería muy interesante poder desarrollar una análisis comparativo de este procedimiento de integración con otros algoritmos de reconocido prestigio, como el algoritmo de punto medio generalizado de Ortiz y Popov (1985). De esta forma se podría seleccionar e implementar en el código ADÍNDICA el algoritmo más eficiente, robusto y de mayor precisión.

− Atendiendo a requisitos de robustez en la solución, establecidos por la condición de

Babuska-Brezzi, y teniendo en cuenta que se requiere una interpolación 0C para las variables desplazamiento ( )u y presión de poros ( )wp , se ha escogido para

discretizar las ecuaciones de la formulación wu p− el elemento triangular lagrangiano

isoparamétrico mixto cuadrático de 6 nodos para interpolar los desplazamientos u y lineal de 3 nodos para interpolar las presiones de poros

wp . Sería interesante analizar

el comportamiento de la respuesta tensodeformacional alcanzada al considerar otras tecnologías de elementos como por ejemplo el elemento cuadrilátero isoparamétrico mixto cuadrático de 9 nodos para interpolar los desplazamientos u y lineal de 4 nodos para interpolar las presiones de poros

wp .

− Para evaluar la precisión del algoritmo de integración puntual propuesto en la

presente Tesis Doctoral se ha desarrollado un procedimiento similar al de Mapa de Isoerrores (Simó y Hughes, 1998), siendo este último método considerado como el más fiable para analizar la precisión de un algoritmo de integración puntual en el ámbito de la elastoplasticidad (Neto, Períc, Owen, 2008). Sin embargo, sería muy interesante desarrollar un análisis de la estabilidad del algoritmo propuesto, para así llegar a asegurar su convergencia.

Capítulo 7. Conclusiones y Futuras Investigaciones

350

7.2.4. Futuras investigaciones relacionadas con técnicas computacionales.

− El programa ADÍNDICA ha sido implementado en lenguaje M del entorno Matlab.

Aunque Matlab es un entorno diseñado para trabajar de forma eficiente con matrices, facilitando las operaciones algebraicas matriciales y vectoriales desde el punto de vista numérico y de almacenamiento, se basa en un lenguaje script, por lo que su velocidad de ejecución es por lo general muy inferior a los lenguajes basados en código fuente. Por es motivo, sería muy interesante volcar el programa ADÍNDICA a otro formato como el C++.

− Otra posibilidad, relacionada con lo expuesto en el párrafo anterior, sería desarrollar

el código ADÍNDICA a través de una programación en paralelo.

7.2.5. Futuras investigaciones relacionadas con ensayos a gran escala.

− Todos los ensayos a gran escala desarrollados en canales de oleaje que se conocen

hasta la fecha, como el desarrollado en Hannover por Kudella y Oumeraci en 2004, se han realizado sobre estratos arenosos. Sería muy interesante realizar un ensayo de estas características sobre un sustrato arcilloso, pudiendo así obtener datos experimentales con los que comparar directamente las predicciones numéricas derivadas del código ADÍNDICA.

7.2.6. Futuras investigaciones a escala real.

− Ya que se ha desarrollado la herramienta numérica ADÍNDICA, con la que se puede

abordar el diseño de la cimentación de estructuras marinas de gravedad, permitiendo el análisis de los aspectos fundamentales involucrados en el comportamiento geomecánico asociado a la cimentación de este tipo de estructuras, sería desable emplear esta herramienta en el análisis de la respuesta del terreno subyacente a un dique vertical de cajones, de dimensiones reales, fondeado sobre un lecho marino arcilloso, siempre que se instrumente debidamente y se puedan comparar los resultados reales y numéricos.

351

8. BIBLIOGRAFÍA

Abbo, A. J. (1997). "Finite Element Algorithms for elastoplasticity and consolidation"

PhD thesis, University of Newcastle.

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