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UNIVERSIDAD SALESIANA DE BOLIVIA CARRERA DE INGENIERIA DE SISTEMAS

DOSSIER SIMULACION Y MODELOS

Miguel Angel Flores Chumacero

Gestión II 2012

La Paz – Bolivia

La Simulación consiste básicamente en construir modelos informáticos que describen la

parte esencial del comportamiento de un sistema de interés, así como en diseñar y

realizar experimentos con el modelo y extraer conclusiones de sus resultados para apoyar

la toma de decisiones. Típicamente, se utiliza en el análisis de sistemas tan complejos que

no es posible su tratamiento analítico o mediante métodos del análisis numérico.

La Simulación ha crecido como una metodología de experimentación fundamental en

campos tan diversos como la Economía, la Estadística, la Informática o la Física, y con

enormes aplicaciones industriales y comerciales, como los simuladores de vuelo, los

juegos de simulación, o la predicción bursátil o meteorológica.

En este texto, se describen los principales métodos y aplicaciones de la Simulación.

Contenido

I. Principios y Propiedades de Los Modelos y de Simulación ............................................ 1

A. Definición De Modelo .................................................................................................. 1

B. Funciones Del Modelo ................................................................................................. 1

C. Estructura Del Modelo................................................................................................. 2

D. Propiedades De Los Modelos ...................................................................................... 2

E. Clasificación De Los Modelos ...................................................................................... 5

F. Clasificación De Los Modelos De Simulación .............................................................. 5

G. Ventajas Y Desventajas De La Simulación ................................................................... 7

H. Criterios Para Que Un Modelo De Simulación Sea Bueno .......................................... 8

I. Pasos Para La Construcción De Modelos De Simulación En Computadora ................ 9

II. Generación de números pseudo aleatorios .................................................................. 11

A. Los números pseudo aleatorios ................................................................................ 11

B. Generación de números pseudo aleatorios .............................................................. 12

C. Pruebas estadísticas para los números pseudo aleatorios ....................................... 17

III. Generación de Variables Aleatorias .......................................................................... 25

A. Definición de variable aleatoria................................................................................. 25

B. Tipos de variables aleatorias ..................................................................................... 26

C. Determinación del tipo de distribución de un conjunto de datos ............................ 29

IV. Autómatas Celulares.................................................................................................. 34

A. Definición ................................................................................................................... 34

B. Descripción ................................................................................................................ 34

C. Aplicaciones ............................................................................................................... 37

D. Autómata celular unidimensional ............................................................................. 37

E. Autómata celular bidimensional ............................................................................... 38

V. Simulación de sucesos discretos ................................................................................... 45

A. Verificación y validación de los modelos de simulación ........................................... 45

B. Modelos de simulación .............................................................................................. 48

VI. Bibliografía ................................................................................................................. 70

VII. Glosario ...................................................................................................................... 71

Competencia

Al final del curso el estudiante debe lograr:

- Construir un modelo.

- Generar números y variables pseudo aleatorias.

- Comprobar la validez de números y variables pseudo aleatorias.

- Simular sucesos y modelos discretos.

- Simular con promodel.

Universidad Salesiana de Bolivia Ingeniería de Sistemas

1 Dossier de Simulación y Modelos

I. Principios y Propiedades de Los Modelos y de Simulación

A. Definición De Modelo

Modelo es una representación de un objeto, sistema o idea de forma diferente a la de la

identidad misma.

Por lo general el modelo nos ayuda a entender un sistema.

El modelo de un objeto puede ser una réplica exacta de este. Con la diferencia del

material que lo compone o de su escala, inclusive puede ser una abstracción de las

propiedades dominantes del objeto.

B. Funciones Del Modelo

- Comparar

- Predecir

- Entrenar

- Experimentar

- Comunicar

Ej:

- La pintura es una réplica de algo que existe

- Un carro de madera es la réplica de un original.



C. Estructura Del Modelo

El modelo se puede escribir de tal forma

E = F(Xi, Yi)

Donde

E: Es el efecto del comportamiento del sistema

Xi: Son las variables y parámetros que nosotros podemos controlar

Yi: Las variables y los parámetros que nosotros no podemos controlar

F: Es la función con la cual relacionamos Xi con Yi con el fin de modificar o dar origen a E

D. Propiedades De Los Modelos

1. COMPONENTES:

Son las partes de un conjunto que forman el sistema

2. VARIABLES:

Pueden ser de dos tipos (Exógenos, Endógenos)

- Exógenas: Entradas son originadas por causas externas al sistema

- Endógenas: Son producidas dentro del sistema que resultan de causas internas,

las cuales pueden ser de Estado o de Salida

i. Estado: Muestran las condiciones iniciales del sistema

ii. Salida: Son aquellas variables que resultan del sistema

Estadísticamente a las variables exógenas se las denomina como variables

independientes



3. PARAMETROS:

Son cantidades a las cuales el operador del modelo puede asignarle valores arbitrarios lo

cual se diferencia de las variables.

Los parámetros una vez establecidos se convierten en constantes.

4. RELACIONES FUNCIONALES:

Describen a los parámetros de tal manera que muestran su comportamiento dentro de un

componente o entre componentes de un sistema.

Las relaciones funcionales pueden ser de tipo determinísticos o estocásticos.

- Determinísticas: Sus definiciones que relacionan ciertas variables o

parámetros donde una salida del proceso es singularmente determinada

por una estrada dada.

- Estocásticas: Cuando el proceso tiene una salida indefinida, para una

entrada determinada las relaciones funcionales se representan por

ecuaciones matemáticas y salen del análisis estadístico matemático.

5. RESTRICCIONES:

Estas son limitaciones impuestas a valores de las variables las cuales pueden ser de dos

formas:

- Autoimpuestas: Asignadas por el mismo operador.

- Impuestas: Cuando son asignadas manualmente por el mismo sistema.



6. FUNCIONES DE OBJETIVO:

Son las metas del sistema o el cómo evaluar al sistema, existen retentivas por ejemplo: la

conservación de tiempo, energía y adquisitivas ejemplo: Ganancia en algo.

Ejemplo de aplicación:

Determinar las propiedades de un colegio.

- PROPIEDADES DE UN COLEGIO:

Componentes: profesores, estudiantes

Variables: Exógenas: libros, enfermedades, transporte

Endógenas: Número de alumnos, costos

Parámetros: notas

Relaciones Funcionales: libros-estudiantes (buenos libros, buenos resultados)

Restricciones: cantidad de profesores

Función Objetivo: prueba anual de estado



E. Clasificación De Los Modelos

Los modelos se pueden clasificar en forma general, pero los modelos de simulación se

pueden clasificar en forma más específica.

- MODELOS FISICOS:

Son los que más se asemejan a la realidad, se encargan de modelar procesos

- MODELOS ANALOGICOS:

Se encargan de representar una propiedad determinada de un objeto o sistema

- MODELOS DENOMINADOS JUEGOS ADMINISTRATIVOS:

Ya empieza a involucrarse al ser humano el comportamiento del ser humano

Ej: modelos de planeación, estrategias militares

- MODELOS ABSTRACTOS (simulación):

Viene hacer una herramienta ya que se convierte en algo abstracto

- MODELOS MATEMATICOS:

Se tiene en cuenta las expresiones materia y lógicas ejemplo: representar un

objeto.

Aquí se debe hacer muchas suposiciones

F. Clasificación De Los Modelos De Simulación

Dentro de los modelos de simulación están:



1. MODELOS DETERMINISTICOS

Ni las variables endógenas y exógenas se pueden tomar como datos al azar. Aquí se

permite que las relaciones entre estas variables sean exactas o sea que no entren en

ellas funciones de probabilidad. Este tipo determinístico quita menos de cómputo

que otros modelos.

2. MODELOS ESTOCASTICOS

Cuando por lo menos una variable es tomada como un dato al azar las relaciones

entre variables se toman por medio de funciones probabilísticas, sirven por lo

general para realizar grandes series de muestreos, quitan mucho tiempo en el

computador son muy utilizados en investigaciones científicas.

3. MODELOS ESTATICOS

Es que en ellos no se toma en cuenta el tiempo dentro del proceso, por ejemplo: los

modelos de juegos, modelos donde se observa las ganancias de una empresa.

Ejemplo: Arquitectónicos: líneas de teléfono, tubos de agua

4. MODELOS DINAMICOS

Si se toma en cuenta la variación del tiempo, ejemplo: la variación de la

temperatura, del aire durante un día, movimiento anual de las finanzas de una

empresa. Ejemplo: Laboratorio de química: reacción entre elementos

En estos modelos físicos podemos realizar modelos a escala o en forma natural, a

escala menor, e escala mayor, sirven para hacer demostraciones de procesos como

para hacer experimentos nuevos.



5. MODELOS A ESCALA

Son los modelos sencillos de maquetas -> casa -> baño, cuartos, etc. También se

pueden tener a tamaño natural a menor o mayor escala, bidimensional,

tridimensional.

G. Ventajas Y Desventajas De La Simulación

DESVENTAJAS

1. Al empezar a simular podemos interferir en las operaciones del sistema.

2. En los sistemas entran a jugar las personas, cambiar el comportamiento natural de

las personas que se relacionan con el sistema.

3. No todas las condiciones son continuas para el sistema.

4. Difícil obtener siempre el mismo tamaño de muestra, estos sistemas toman

muestras tan grandes que pueden ser mucho más costosos

5. Explorar todas las alternativas o todas las variantes que pueden existir dentro del

sistema.

6. Los modelos de simulación no generan soluciones ni respuestas a ciertas preguntas

¿CUÁNDO SE DEBE UTILIZAR LA SIMULACIÓN?

1. Cuando no se tiene el modelo matemático definido.

2. Formulación exacta del sistema.

3. Cuando se tienen las fórmulas analíticas y se necesita un modelo para ponerlas a

funcionar.

4. El costo o la corrida de un modelo no es costosa.



5. Cuando al ver un proceso físico, el cual nosotros queremos conocer, la simulación es

la única forma (posibilidad) que tenemos para conocer el comportamiento de un

proceso real, ejemplo: fenómeno climático.

6. Cuando se requiere acelerar o retrasar el tiempo de los procesos dentro de un

sistema.

7. cuando se quiere por medio de la simulación encontrar o hacer estudios y/o

experimentos.

H. Criterios Para Que Un Modelo De Simulación Sea Bueno

1. Fácil de entender por el usuario

2. Tenga el modelo metas y objetivos

3. Modelo no me dé respuestas absurdas

4. Que sea fácil de manipular, la comunicación entre el usuario y la computadora

debe ser sencilla

5. Que sea completa, tenga por lo menos las partes o funciones más importantes del

sistema

6. Sea adaptable que podamos modificar, adaptarlo, actualizarlo

7. Que sea evolutiva. Al principio sea simple y poco a poco empezamos a volverla

compleja dependiendo de las necesidades de los usuarios



I. Pasos Para La Construcción De Modelos De Simulación En Computadora

FORMULACION

DEL PROBLEMA

DEFINICION DEL

SISTEMA

USO DE LA

SIMULACION

FORMULACION DEL

MODELO

PREPARACION DE

DATOS

Observamos que tipo de sistema

estamos viendo

1

2

NO

Se toma al sistema real, lo analizamos y

hacemos abstracción

Encontrar algunas de las desventajas

SI



Buena

VALIDACIÓN

DEL MODELO

EXPERIMENTACION

INTERPRETACION

2

DOCUMENTACION

Tomar esos resultados y buscar la

Sensibilidad del modelo como afecto al

cambio de una determinada variable o

condición al modelo

Empezar a inferir con la base en los datos

generados a qué clase de sistema diferido

podemos atribuir lo que pasa con este

Combinar a unas con otras situaciones,

se va a explicar para que sirve, datos

entrada, etc.

1

2

Malo

UTIL



II. Generación de números pseudo aleatorios

A. Los números pseudo aleatorios

Para poder realizar una simulación que incluya variabilidad dentro de sus eventos, es

preciso generar una serie de números que sean aleatorios por sí mismos, y que su

aleatoriedad se extrapole al modelo de simulación que se está construyendo. Como puede

comprender, en la construcción del modelo los números aleatorios juegan un papel

relevante.

Así, una de las primeras tareas que es necesario llevar a cabo Consiste en determinar si los

números que utilizaremos para “correr” o ejecutar la simulación son realmente aleatorios

o no; por desgracia, precisar lo anterior con absoluta certidumbre resulta muy

complicado, ya que para ello tendríamos que generar un número infinito de valores que

nos permitiera comprobar la inexistencia de correlaciones entre ellos. Esto sería muy

costoso, volviendo impráctico el uso de la simulación aun con las computadoras más

avanzadas.

A pesar de lo anterior, podemos asegurar con altos niveles de confiabilidad que el

conjunto de números que utilizaremos en una simulación se comportan de manera muy

similar a un conjunto de números totalmente aleatorios; por ello es que se les denomina

números pseudo aleatorios. Casi todas las aplicaciones comerciales tienen varios

generadores de números pseudo aleatorios que pueden generar un conjunto muy grande

de números sin mostrar correlación entre ellos. En el presente capítulo discutiremos

algunos de los métodos de generación de números pseudo aleatorios, y precisaremos qué

características deben tener para emplearlos como una fuente confiable de variabilidad

dentro de los modelos. Asimismo se mostrarán algunas de las pruebas más comunes para

comprobar qué tan aleatorios son los números obtenidos con dichos generadores.



B. Generación de números pseudo aleatorios

Para realizar una simulación se requieren números aleatorios en el intervalo (0,1), a los

cuales se hará referencia como ri, es decir, una secuencia ri = { r1, r2, r3,….. rn} que contiene

n números, todos ellos diferentes; n recibe el nombre de periodo o ciclo de vida del

generador que creó la secuencia ri.

Los ri constituyen la parte medular de la simulación de procesos estocásticos, y

generalmente se usan para generar el comportamiento de variables aleatorias, tanto

continúas como discretas. Debido a que no es posible generar números realmente

aleatorios, consideramos los ri como números pseudo aleatorios, generados por medio de

algoritmos determinísticos que requieren parámetros de arranque.

Para simular el comportamiento de una o más variables aleatorias es necesario contar con

un conjunto suficientemente grande de ri que permita, por ejemplo, que la secuencia

tenga al menos un periodo de vida de n=231 = 2 147 483 648. De acuerdo con L’Ecuyert[4]

una secuencia de ri con periodo de vida de n=231 es relativamente pequeña; de hecho,

incluso una secuencia de ri que contenga un ciclo de vida de n=264 se considera pequeña.

En la actualidad contamos ya con generadores y procesadores capaces de construir una

secuencia de ri con periodo de vida de n=2200.

Probablemente el lector se preguntará por qué debe interesarnos construir una secuencia

de números ri suficientemente grande. A continuación ilustraremos la razón mediante un

ejemplo. Suponga que queremos simular el tiempo de atención a clientes en un banco que

tiene 5 cajeros en paralelo, cada uno de los cuales atiende aproximadamente 50 clientes

diarios. Para simular el tiempo de atención se requiere un generador de variable aleatoria

en función de ri, por ejemplo Ti= 5 + 2ri, expresado minutos para toda i =1,2,3, ..., n. Si

simulamos el tiempo de atención de manera aislada, es decir, sin considerar el tiempo

transcurrido desde la llegada de éstos, serán necesarios 5 x 50 = 250 números ri para



simular un día; si deseáramos simular 5 días se necesitarían 250 x 5= 1250 ri. Ahora bien, si

consideramos el tiempo desde la llegada de los clientes, precisaríamos de 250 ri para

simular el tiempo transcurrido desde la llegada al banco de los 250 clientes por día, y 250

x 5 = 1250 ri para simular el correspondiente al total de clientes atendidos durante 5 días.

Por lo tanto, se requerirán 2500 números pseudo aleatorios ri para simular la operación

del banco durante 5 días.

Como se mencionó antes, los resultados no pueden basarse en una sola simulación del

sistema; por el contrario, es necesario realizar varias réplicas de la misma, corriendo cada

una de ellas con números pseudo aleatorios diferentes. Retomando el ejemplo del banco,

simular 5 días otra vez significa que necesitamos otros 2500 números pseudo aleatorios

en el intervalo (0,1). En consecuencia, se requieren 5000 ri para realizar la simulación del

sistema de atención a clientes con dos réplicas.

Imagine cuántos números serán necesarios para simular la operación del banco durante

un año con 9 réplicas, o cuántos números ri se requieren para simular un sistema

productivo durante un año, con varias líneas de producción, y cada línea de producción

con varias estaciones, y cada estación con uno o más procesos.

Dada la importancia de contar con un conjunto de ri suficientemente grande, en esta

sección se presentan diferentes algoritmos determinísticos para obtenerlo. Por otra parte,

es conveniente señalar que el conjunto de ri debe ser sometido a una variedad de pruebas

para verificar si los números que lo conforman son realmente independientes y

uniformes. Una vez generado el conjunto ri mediante un algoritmo determinístico, es

necesario someterlo a las pruebas, si las supera, podrá utilizarse en la simulación; de lo

contrario, simplemente deberemos desecharlo.

Un conjunto de ri debe seguir una distribución uniforme continua, la cual está definida

por:



( ) {

Generar un conjunto de ri es una tarea relativamente sencilla; para ello tiene que diseñar

su propio algoritmo de generación. Lo que resulta difícil es diseñar un algoritmo que

genere un conjunto de ri con periodo de vida suficientemente grande (N), y que además

pase sin problema las pruebas de uniformidad e independencia, lo cual implica evitar

problemas como estos:

Que los números del conjunto ri no estén uniformemente distribuidos, es

decir, que haya demasiados ri en un subintervalo y en otro muy pocos o

ninguno.

Que los números ri generados sean discretos en lugar de continuos.

Que la media del conjunto sea muy alta o muy baja, es decir, que esté por

arriba o por debajo de 1/2.

Que la varianza del conjunto sea muy alta o muy baja, es decir, que se localice

por arriba o por debajo del 1/12.

En ocasiones se presentan también anomalías como números ri seguidos por arriba o por

debajo de la media; secuencia de ri por arriba de la media, seguida de una secuencia por

debajo de la media, y viceversa, o varios ri seguidos en forma ascendente o descendente.

A continuación se presentan diferentes algoritmos determinísticos para generar los ri, los

cuales se clasifican en algoritmos no congruenciales y congruenciales. Los algoritmos no

congruenciales son cuadrados medios, productos medios y multiplicador constante. Entre

los algoritmos congruenciales se encuentran los algoritmos congruenciales lineales y los

no lineales. Abordaremos los algoritmos congruenciales lineales —tales como algoritmo



congruencial lineal, multiplicativo y aditivo—, y los algoritmos no lineales, como el

algoritmo de Blum, Blum y Shub, y el congruencial cuadrático.

Algoritmo de cuadrados medios

Este algoritmo no congruencial fue propuesto en la década de los cuarenta del siglo XX por

Von Neumanny Metropolis. Requiere un número entero detonador (llamado semilla) con

D dígitos, el cual es elevado al cuadrado para seleccionar del resultado los D dígitos del

centro; el primer número ri se determina simplemente anteponiendo el “0” a esos dígitos.

Para obtener el segundo ri se sigue el mismo procedimiento, sólo que ahora se elevan al

cuadrado los D dígitos del centro que se seleccionaron para obtener el primer ri. Este

método se repite hasta obtener n números ri. A continuación se presentan con más

detalle los pasos para generar números con el algoritmo de cuadrados medios.

1. Seleccionar una semilla (X0) con D dígitos (D> 3).

2. Sea X0 = resultado de elevar X0 al cuadrado; sea X₁= los D dígitos del centro, y sea ri = 0.D

dígitos del centro.

3. Sea Yᵢ= resultado de elevar Xᵢ al cuadrado; sea Xᵢ₊₁= los D dígitos del centro, y sea =

0.D dígitos del centro para toda i = 1, 2, 3, …..n.

4. Repetir el paso 3 hasta obtener los n números deseados.

Algoritmo de productos medios

La mecánica de generación de números pseudo aleatorios de este algoritmo no

congruencial es similar a la del algoritmo de cuadrados medios. La diferencia entre ambos

radica en que el algoritmo de productos medios requiere dos semillas, ambas con D

dígitos; además, en lugar de elevarlas al cuadrado, las semillas se multiplican y del

producto se seleccionan los D dígitos del centro, los cuales formarán el primer número



pseudo aleatorio = 0.D dígitos. Después se elimina una semilla, y la otra se multiplica

por el primer número de D dígitos, para luego seleccionar del producto los D dígitos que

conformarán un segundo número . Entonces se elimina la segunda semilla y se

multiplican el primer número de D dígitos por el segundo número de D dígitos; del

producto se obtiene el tercer número . Siempre se irá eliminando el número más

antiguo, y el procedimiento se repetirá hasta generar los n números pseudo aleatorios. A

continuación se presentan con más detalle los pasos del método para generar números

con el algoritmo de productos medios.

1. Seleccionar una semilla (X0) con D dígitos (D > 3).

2. Seleccionar una semilla (X₁) con D dígitos (D > 3).

3. Sea Y0 = X0 * X₁; sea X₂ = los D dígitos del centro, y sea r1= 0.D dígitos del centro.

4. Sea Yᵢ=Xᵢ* Xᵢ₊₁; sea Xᵢ₊₂= los D dígitos del centro, y sea ₊₁ = 0.D dígitos del centro para

toda i =1, 2, 3, …, n.

5. Repetir el paso 4 hasta obtener los n números sea deseados.

Algoritmo congruencial multiplicativo

El algoritmo congruencial multiplicativo surge del algoritmo congruencial lineal cuando c =

0. Entonces la ecuación recursiva es:

( ) ( )

En comparación con el algoritmo congruencial lineal, la ventaja del algoritmo

multiplicativo es que implica una operación menos a realizar. Los parámetros de arranque

de este algoritmo son X0, a y m, todos los cuales deben ser números enteros y mayores

que cero. Para transformar los números Xᵢ en el intervalo (0,1) se usa la ecuación

( ). De acuerdo con Banks, Carson, Nelsony Nicol[1], las condiciones que



deben cumplir los parámetros para que el algoritmo congruencial multiplicativo alcance su

máximo periodo son:

m= 2g

a = 3 + 8k o a = 5 + 8k

k = 0, 1, 2, 3,...

X0 debe ser un número impar

g debe ser entero

A partir de estas condiciones se logra un periodo de vida máximo

Algoritmo congruencial aditivo

Este algoritmo requiere una secuencia previa de n números enteros ,

para generar una nueva secuencia de números enteros que empieza en

Su ecuación recursiva es:

( ) ( )

Los números pueden ser generados mediante la ecuación

( )

C. Pruebas estadísticas para los números pseudo aleatorios

A continuación se analizarán las pruebas estadísticas básicas que se emplean

generalmente para determinar si un conjunto de números pseudo aleatorios entre 0 y 1

cumplen con las propiedades básicas de independencia y uniformidad. El objetivo, en



otras palabras, es validar que el conjunto realmente está conformado por números

aleatorios. Es importante mencionar que las pruebas que se discutirán no son las únicas.

Prueba de medias

Una de las propiedades que deben cumplir los números del conjunto ri, es que el valor

esperado sea igual a 0.5. La prueba que busca determinar lo anterior es la llamada prueba

de medias, en la cual se plantean las siguientes hipótesis:

La prueba de medias consiste en determinar el promedio de los n números que contiene

el conjunto mediante la ecuación siguiente:

∑

Posteriormente se calculan los límites de aceptación inferior y superior con las ecuaciones

siguientes:

(

√ )

(

√ )

Si el valor de encuentra entre los límites de aceptación, concluimos que no se puede

rechazar que el conjunto tiene un valor esperado de 0.5 con un nivel de aceptación de

. En caso contrario se rechaza que el conjunto tiene un valor esperado de 0.5.



Para el cálculo de los límites de aceptación se utiliza el estadístico , el cual se

determina por medio de la tabla de la distribución normal estándar.

Prueba de varianza

Otra de las propiedades que debe satisfacer el conjunto es que sus números tengan una

varianza de 1/12. La prueba que busca determinar lo anterior es la prueba de varianza,

que establece las siguientes hipótesis:

La prueba de varianza consiste en determinar la varianza de los n números que contiene el

conjunto mediante la ecuación siguiente:

( ) ∑ ( )

Después se calculan los límites de aceptación inferior y superior con las ecuaciones

siguientes:

( )

( )

( )

( )



Si el valor de ( ) se encuentra entre los límites de aceptación, decimos que no se puede

rechazar que el conjunto tiene una varianza de 1/12, con un nivel de aceptación de

; de lo contrario, se rechaza que el conjunto tiene una varianza de 1/12.

Pruebas de uniformidad

Una de las propiedades más importantes que debe cumplir un conjunto de números es

la uniformidad. Para comprobar su acatamiento se han desarrollado pruebas estadísticas

tales como las pruebas Chi-cuadrada y de Kolmogorov-Smirnov. En cualquiera de ambos

casos, para probar la uniformidad de los números de un conjunto es necesario formular

las siguientes hipótesis:

( )

no son uniformes

Veamos a continuación cómo funciona cada una de estas pruebas.

Prueba Chi-cuadrada

La prueba Chi-cuadrada busca determinar si los números del conjunto se distribuyen

uniformemente en el intervalo (0,1). Para llevar a cabo esta prueba es necesario dividir el

intervalo (0,1) en m subintervalos, en donde es recomendable √ . Posteriormente se

clasifica cada número pseudo aleatorio del conjunto en los m intervalos. A la cantidad

de números que se clasifican en cada intervalo se le denomina frecuencia observada

( ), y a la cantidad de números que se espera encontrar en cada intervalo se le llama

frecuencia esperada ( ); teóricamente, la es igual. A partir de los valores de y se

determina el estadístico mediante la ecuación



∑

( )

Si el valor del estadístico es menor al valor de tablas de entonces no se puede rechazar

que el conjunto de números sigue una distribución uniforme. En caso contrario, se

rechaza que sigue una distribución uniforme.

Prueba Kolmogorov-Smirnov

Propuesta por Kolmogorov y Smirnov, ésta es una prueba estadística que también nos

sirve para determinar si un conjunto cumple la propiedad de uniformidad. Es

recomendable aplicarla en conjuntos pequeños por ejemplo, . El procedimiento

es el siguiente:

1. Ordenar de menor a mayor los números del conjunto .

2. Determinar los valores de: D, D y O con las siguientes ecuaciones:

{

}

{

}

* +



3. Determinar el valor crítico de acuerdo con la tabla de valores críticos

de Kolmogorov-Smirnov para un grado de confianza α y según el tamaño

de la muestra n.

4. Si el valor D es mayor que el valor crítico , se concluye que los

números del conjunto no siguen una distribución uniforme; de lo

contrario se dice que no se ha detectado diferencia significativa entre la

distribución de los números del conjunto y la distribución uniforme.

Pruebas de independencia

Recuerde que las dos propiedades más importantes que deben satisfacer los números de

un conjunto son uniformidad e independencia. A continuación hablaremos de las

pruebas estadísticas que tratan de corroborar si los números en el intervalo (0,1) son

independientes o, en otras palabras, si son pseudo aleatorios.

Para probar la independencia de los números de un conjunto primero es preciso formular

las siguientes hipótesis:

Prueba de corridas arriba y abajo

El procedimiento de esta prueba consiste en determinar una secuencia de números (S)

que sólo contiene unos y ceros, de acuerdo con una comparación entre y .

Posteriormente se determina el número de corridas observadas, (una corrida se

identifica como la cantidad de unos o ceros consecutivos). Luego se calcula el valor

esperado, la varianza del número de corridas y el estadístico , mediante las ecuaciones:



|

|

Si el estadístico es mayor que el valor crítico de se concluye que los números del

conjunto no son independientes. De lo contrario no se puede rechazar que el conjunto

de sea independiente.

Considere el siguiente conjunto de 21 números:

={0.89,0.26,0.01,0.98,0.13,0.12,0.69,0.11,0.05,0.65,0.21,0.04,0.03,0.11,0.

07,0.97,0.27,0.12,0.95,0.02,0.06}

La secuencia de unos y ceros se construye de esta manera: se coloca un cero si el número

es menor que o igual al número anterior; en caso de ser mayor que el número

anterior, se pone un uno. Considerando la secuencia de los 21 números del conjunto

que se dio arriba, la secuencia de unos y ceros es:

= {0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1}

Observe que la secuencia S contiene n - 1 números, en este caso 20. Esto se debe a que el

primer número no tiene número anterior con el cual compararlo. Recuerde que

una corrida se forma con unos consecutivos o ceros consecutivos. Por ejemplo los

primeros dos ceros de la secuencia forman la primer corrida, la cual se dice que tiene una

longitud de dos; el tercer número de la secuencia, uno, forma la segunda corrida con



longitud de uno; después siguen dos ceros, los cuales forman la tercera corrida con

longitud de dos; después sigue un uno, el cual forma la cuarta corrida con longitud de uno,

etc. Siguiendo el proceso anterior se determina que el número de corridas de la secuencia

es



III. Generación de Variables Aleatorias

A. Definición de variable aleatoria

A lo largo de los capítulos anteriores hemos mencionado que un modelo de simulación

permite lograr un mejor entendimiento de prácticamente cualquier sistema. Para ello

resulta indispensable obtener la mejor aproximación a la realidad, lo cual se consigue

componiendo el modelo a base de variables aleatorias que interactúen entre sí. Pero,

¿Cómo podemos determinar qué tipo de distribución tiene una variable aleatoria? ¿Cómo

podemos usarla en el modelo, una vez que conocemos su distribución asociada? En este

capítulo comentaremos los métodos y herramientas que pueden dar contestación a estas

interrogantes clave para la generación del modelo.

Podemos decir que las variables aleatorias son aquellas que tienen un comportamiento

probabilístico en la realidad. Por ejemplo, el número de clientes que llegan cada hora a un

banco depende del momento del día, del día de la semana y de otros factores: por lo

general, la afluencia de clientes será mayor al mediodía que muy temprano por la

mañana; la demanda será más alta el viernes que el miércoles; habrá más clientes un día

de pago que un día normal, etc. Dadas estas características, las variables aleatorias deben

cumplir reglas de distribución de probabilidad como éstas:

La suma de las probabilidades asociadas a todos los valores posibles de la

variable aleatoria x es uno.

La probabilidad de que un posible valor de la variables x se presente siempre

es mayor que o igual a cero.

El valor esperado de la distribución de la variable aleatoria es la media de la

misma, la cual a su vez estima la verdadera media de la población.



Si la distribución de probabilidad asociada a una variable aleatoria está

definida por más de un parámetro, dichos parámetros pueden obtenerse

mediante un estimador no sesgado. Por ejemplo, la varianza de la población

puede ser estimada usando la varianza de una muestra que es . De la

misma manera, la desviación estándar de la población , puede estimarse

mediante la desviación estándar de la muestra .

B. Tipos de variables aleatorias

Podemos diferenciar las variables aleatorias de acuerdo con el tipo de valores

aleatorios que representan. Por ejemplo, si habláramos del número de clientes que

solicitan cierto servicio en un periodo de tiempo determinado, podríamos encontrar

valores tales como 0, 1, 2,..., n, es decir, un comportamiento como el que presentan

las distribuciones de probabilidad discretas. Por otro lado, si habláramos del tiempo

que tarda en ser atendida una persona, nuestra investigación tal vez arrojaría

resultados como 1.54 minutos, 0.028 horas o 1.37 días, es decir, un comportamiento

similar al de las distribuciones de probabilidad continuas. Considerando lo anterior

podemos diferenciar entre variables aleatorias discretas y variables aleatorias

continuas.

Variables aleatorias discretas. Este tipo de variables deben cumplir con estos

parámetros:

( )

∑



( ) ∑

Algunas distribuciones discretas de probabilidad son la uniforme discreta, la de

Bernoulli, la hipergeométrica, la de Poisson y la binomial (vea la figura). Podemos

asociar a estas u otras distribuciones de probabilidad el comportamiento de una

variable aleatoria. Por ejemplo, si nuestro propósito al analizar un muestreo de

calidad consiste en decidir si la pieza bajo inspección es buena o no, estamos

realizando un experimento con dos posibles resultados: la pieza es buena o la pieza

es mala. Este tipo de comportamiento está asociado a una distribución de Bernoulli.

Por otro lado, si lo que queremos es modelar el número de usuarios que llamarán a

un teléfono de atención a clientes, el tipo de comportamiento puede llegar a

parecerse a una distribución de Poisson. Incluso podría ocurrir que el

comportamiento de la variable no se pareciera a otras distribuciones de

probabilidad conocidas. Si éste fuera el caso, es perfectamente válido usar una

distribución empírica que se ajuste a las condiciones reales de probabilidad. Esta

distribución puede ser una ecuación o una suma de términos que cumplan con las

condiciones necesarias para ser consideradas una distribución de probabilidad.



Variables aleatorias continuas. Este tipo de variables se representan mediante una

ecuación que se conoce como función de densidad de probabilidad. Dada esta

condición, cambiamos el uso de la sumatoria por la de una integral para conocer la

función acumulada de la variable aleatoria, Por lo tanto, las variables aleatorias

continuas deben cumplir los siguientes parámetros:

( )

( )

∫ ( )

( ) ( ) ∫ ( )

Entre las distribuciones de probabilidad tenemos la uniforme continua, la

exponencial, la normal, la de Weibull, la Chi-cuadrada y la de Erlang (vea la figura).

Al igual que en el caso de las distribuciones discretas, algunos procesos pueden ser

asociados a ciertas distribuciones.



Por ejemplo, es posible que el tiempo de llegada de cada cliente a un sistema tenga

una distribución de probabilidad muy semejante a una exponencial, o que el tiempo

que le toma a un operario realizar una serie de tareas se comporte de manera muy

similar a la dispersión que presenta una distribución normal. Sin embargo, debemos

hacer notar que este tipo de distribuciones tienen sus desventajas, dado que el

rango de valores posibles implica que existe la posibilidad de tener tiempos infinitos

de llegada de clientes o tiempos de ensamble infinitos, situaciones lejanas a la

realidad. Por fortuna, es muy poco probable de se presenten este tipo de eventos,

aunque el analista de la simulación debe estar consciente de cómo pueden impactar

valores como los descritos en los resultados del modelo. En las siguientes secciones

revisaremos algunas herramientas útiles para lograr ese objetivo.

C. Determinación del tipo de distribución de un conjunto de datos

La distribución de probabilidad de los datos históricos puede determinarse mediante las

pruebas Chi-cuadrada, de Kolmogorov-Smirnov y de Anderson-Darling. En esta sección se

revisarán los procedimientos de cada una de estas pruebas, así como la forma de

realizarlas a través de Stat: :Fit, una herramienta complementaria de ProModel.

Prueba Chi-cuadrada

Se trata de una prueba de hipótesis a partir de datos, basada en el cálculo de un valor

llamado estadístico de prueba, al cual suele comparársele con un valor conocido como

valor crítico, mismo que se obtiene, generalmente, de tablas estadísticas. El

procedimiento general de la prueba es:

1. Obtener al menos 30 datos de la variable aleatoria a analizar.

2. Calcular la media y varianza de los datos.

3. Crear un histograma de √ intervalos, y obtener la frecuencia observada

en cada intervalo .



4. Establecer explícitamente la hipótesis nula, proponiendo una distribución de

probabilidad que se ajuste a la forma del histograma.

5. Calcular la frecuencia esperada, , a partir de la función de probabilidad

propuesta.

6. Calcular el estadístico de prueba:

∑( )

7. Definir el nivel de significancia de la prueba, , y determinar el valor crítico de

la prueba, (k es el número de parámetros estimados en la

distribución propuesta).

8. Comparar el estadístico de prueba con el valor crítico. Si el estadístico de

prueba es menor que el valor crítico no se puede rechazar la hipótesis nula.

Prueba de Kolmogorov-Smirnov

Esta prueba permite —al igual que la prueba Chi-cuadrada— determinar la distribución de

probabilidad de una serie de datos. Una limitante de la prueba de Kolmogorov-Smirnov

estriba en que solamente se puede aplicar al análisis de variables continuas. El

procedimiento general de la prueba es:

1. Obtener al menos 30 datos de la variable aleatoria a analizar.

2. Calcular la media y la varianza de los datos.

3. Crear un histograma de √ intervalos, y obtener la frecuencia observada

en cada intervalo .

4. Calcular la probabilidad observada en cada intervalo , esto es,

dividir la frecuencia observada entre el número total de datos, n.

5. Acumular las probabilidades para obtener la probabilidad observada hasta

el i-ésimo intervalo, .


probabilidad que se ajuste a la forma del histograma.



7. Calcular la probabilidad esperada acumulada para cada intervalo, , a partir

de la función de probabilidad propuesta.


| |

9. Definir el nivel de significancia de la prueba α, y determinar el valor crítico de la

prueba, (consulte la tabla de valores críticos de la prueba de Kolmogorov-

Smirnov en la sección de apéndices).

10. Comparar el estadístico de prueba con el valor crítico. Si el estadístico de


Prueba de Anderson-Darling

Esta prueba tiene como propósito corroborar si una muestra de variables aleatorias

proviene de una población con una distribución de probabilidad específica. En realidad se

trata de una modificación de la prueba de Kolmogorov-Smirnov, aunque tiene la virtud de

detectar las discrepancias en los extremos de las distribuciones. La principal desventaja de

la prueba de Anderson-Darling estriba en que es necesario calcular los valores críticos

para cada distribución. La prueba es muy sensible en los extremos de la distribución, por

lo que debe ser usada con mucho cuidado en distribuciones con límite inferior acotado, y

no es confiable para distribuciones de tipo de discreto. Actualmente es posible encontrar

tablas de valores críticos para las distribuciones normal, lognormal, exponencial, log-

logística, de Weibull y valor extremo tipo I. El procedimiento general de la prueba es:

1. Obtener n datos de la variable aleatoria a analizar.

2. Calcular la media y la varianza de los datos.

3. Organizar los datos en forma ascendente:

4. Ordenar los datos en forma descendente:




probabilidad.

6. Calcular la probabilidad esperada acumulada para cada número , ( ), y

la probabilidad esperada acumulada para cada número, ( ), a partir

de la función de probabilidad propuesta.


8. Ajustar el estadístico de prueba de acuerdo con la distribución de probabilidad

propuesta.

[

∑( )[ ( ) ( ( ))]

]

9. Definir el nivel de significancia de la prueba α, y determinar su valor crítico,

(vea la tabla).

10. Comparar el estadístico de prueba con el valor crítico, Si el estadístico de






IV. Autómatas Celulares

A. Definición

Un autómata celular (A.C.) es un modelo matemático para un sistema dinámico que

evoluciona en pasos discretos. Es adecuado para modelar sistemas naturales que puedan

ser descritos como una colección masiva de objetos simples que interactúen localmente

unos con otros.

Son sistemas descubiertos dentro del campo de la física computacional por John von

Neumann en la década de 1950. La teoría de los autómatas celulares se inicia con su

precursor John von Neumann a finales de los década de 1940 con su libro Theory of Self-

reproducing Automata (editado y completado por A. W. Burks).

Aunque John von Neumann puso en práctica los AA.CC., estos fueron concebidos en los

años 40 por Konrad Zuse y StanislawUlam. Zuse pensó en los “espacios de cómputo”

(computingspaces), como modelos discretos de sistemas físicos. Las contribuciones de

Ulam vinieron al final de los 40, poco después de haber inventado con Nicholas Metropolis

el Método de Montecarlo.

B. Descripción

No existe una definición formal y matemática aceptada de Autómata Celular; sin embargo,

se puede describir a un A.C. como una tupla, es decir, un conjunto ordenado de objetos

caracterizado por los siguientes componentes:

Una rejilla o cuadriculado (lattice) de enteros (conjunto) infinitamente extendida, y

con dimensión. Cada celda de la cuadrícula se conoce como célula.

Cada célula puede tomar un valor en a partir de un conjunto finito de estados k.

Cada célula, además, se caracteriza por su vecindad, un conjunto finito de células en

las cercanías de la misma.

De acuerdo con esto, se aplica a todas las células de la cuadrícula una función de

transición ( f ) que toma como argumentos los valores de la célula en cuestión y los



valores de sus vecinos, y regresa el nuevo valor que la célula tendrá en la siguiente

etapa de tiempo. Esta función f se aplica, como ya se dijo, de forma homogénea a

todas las células, por cada paso discreto de tiempo.

Condiciones de frontera

Topología del autómata celular de 2D plegado en 3D para el caso de frontera periódica.

Por definición, un A.C. consiste de una retícula infinita de enteros. Sin embargo, para

cuestiones prácticas (como en modelos de sistemas físicos llevados a cabo en ordenadores

de memoria finita), se requiere tomar ciertas consideraciones a la hora de implementar un

A.C. Por ello, la definición original se modifica para dar cabida a retículas finitas en las que

las células del A.C. interactúen. Esto conlleva la consideración extra de lo que debe de

suceder con aquellas células que se encuentren en los bordes de la retícula. A la

implementación de una o varias consideraciones específicas se le conoce como condición

de frontera.

Dentro del ámbito de los A.C., se pueden implementar numerosas condiciones de

frontera, en función de lo que el problema real requiera para su modelado. Por ejemplo:

Frontera abierta. Se considera que fuera de la lattice residen células, todas con un

valor fijo. En el caso particular del juego de la vida y de otros A.C. con dos estados

en su conjunto k, una frontera se dice fría si las células fuera de la frontera se

consideran muertas, y caliente si se consideran vivas.



Frontera periódica. Se considera a la lattice como si sus extremos se tocaran. En

una lattice de dimensión 1, esto puede visualizarse en dos dimensiones como una

circunferencia. En dimensión 2, la lattice podría visualizarse en tres dimensiones

como un toroide.

Frontera reflectora. Se considera que las células fuera de la lattice "reflejan" los

valores de aquellas dentro de la lattice. Así, una célula que estuviera junto al borde

de la lattice (fuera de ella) tomaría como valor el de la célula que esté junto al

borde de la lattice, dentro de ella.

Sin frontera. Haciendo uso de implementaciones que hagan crecer dinámicamente

el uso de memoria de la lattice implementada, se puede asumir que cada vez que

las células deben interactuar con células fuera de la lattice, esta se hace más

grande para dar cabida a estas interacciones. Obviamente, existe un límite

(impuesto por la memoria disponible) para esta condición. Es muy importante no

confundir esta condición de frontera con la definición original de A.C. cuya lattice

es inicialmente infinita. En el caso de un A.C. sin frontera, la lattice comienza con

un tamaño definido y finito, y conforme se requiera va creciendo en el tiempo, lo

cual no lo hace necesariamente un modelo más cercano a la realidad, pues si se

inicializara la lattice aleatoriamente, con esta condición sólo se pueden inicializar

las células dentro de la lattice inicial finita, mientras que en el caso de la definición

original, en teoría todas las células de la lattice infinita deberían ser inicializadas.

[editar] Variaciones

Los A.C. pueden variar en alguna de las características antes mencionadas, derivando en

autómatas celulares no estándar.

Por ejemplo, un A.C. estándar tiene una cuadrícula donde se asume que las células son

cuadros; es decir, que la retícula tiene una geometría cuadrada. Esto no es

necesariamente un requisito, y se puede variar el A.C. para presentar una geometría

triangular o hexagonal (en A.C. de 2 dimensiones, el cuadrado, el triángulo y el hexágono

son las únicas figuras geométricas que llenan el plano).



También puede variarse el conjunto de estados k que cada célula puede tomar, la función

de transición f de forma que ya no sea homogénea, utilizar elementos estocásticos

(aleatoriedad) en f (lo que se conoce como A.C. probabilístico), variar las vecindades de

cada célula, etc.

C. Aplicaciones

El caparazón de Conustextile muestra un patrón caracterizable en términos de autómatas

celulares.

Los autómatas celulares pueden ser usados para modelar numerosos sistemas físicos que

se caractericen por un gran número de componentes homogéneos y que interactúen

localmente entre sí. De hecho, cualquier sistema real al que se le puedan analogar los

conceptos de "vecindad", "estados de los componentes" y "función de transición" es

candidato para ser modelado por un A.C.

Las características de los autómatas celulares harán que dichos modelos sean discretos en

tiempo, espacio o ambos (dependiendo de la variante de la definición de A.C. que se use).

Algunos ejemplos de áreas en donde se utilizan los autómatas celulares son:

Modelado del flujo de tráfico y de peatones.

Modelado de fluidos (gases o líquidos).

Modelado de la evolución de células o virus como el VIH.

Modelado de procesos de percolación.

D. Autómata celular unidimensional

El AC no trivial más simple consiste en una retícula unidimensional de células que sólo

pueden tener dos estados (« 0 » o « 1 »), con un vecindario constituido, para cada célula,

de ella misma y de las dos células adyacentes (23=8 configuraciones posibles). Existen



28=256 modos de definir cuál ha de ser el estado de una célula en la generación siguiente

para cada una de estas configuraciones, luego existen 256 AC diferentes de este tipo.

Consideremos el AC definido por la tabla siguiente, que nos da la regla de evolución:

Motivo inicial 111 110 101 100 011 010 001 000

Valor siguiente de la célula central 0 0 0 1 1 1 1 0

E. Autómata celular bidimensional

El juego de la vida

El juego de la vida es el mejor ejemplo de un autómata celular, diseñado por el

matemático británico John HortonConway en 1970.

Hizo su primera aparición pública en el número de octubre de 1970 de la revista Scientific

American, en la columna de juegos matemáticos de Martin Gardner. Desde un punto de

vista teórico, es interesante porque es equivalente a una máquina universal de Turing, es

decir, todo lo que se puede computar algorítmicamente se puede computar en el juego de

la vida.

Desde su publicación, ha atraído mucho interés debido a la gran variabilidad de la

evolución de los patrones. Se considera que la vida es un buen ejemplo de emergencia y

autoorganización. Es interesante para los científicos, matemáticos, economistas y otros

observar cómo patrones complejos pueden provenir de la implementación de reglas muy

sencillas.

La vida tiene una variedad de patrones reconocidos que provienen de determinadas

posiciones iniciales. Poco después de la publicación, se descubrieron el pentaminó R, el

planeador o caminador (en inglés glider, conjunto de células que se desplazan) y el

explosionador (células que parecen formar la onda expansiva de una explosión), lo que

atrajo un mayor interés hacia el juego. Contribuyó a su popularidad el hecho de que se

publicó justo cuando se estaba lanzando al mercado una nueva generación de



miniordenadores baratos, lo que significaba que se podía jugar durante horas en

máquinas que, por otro lado, no se utilizarían por la noche.

Para muchos aficionados, el juego de la vida sólo era un desafío de programación y una

manera divertida de usar ciclos de la CPU. Para otros, sin embargo, el juego adquirió más

connotaciones filosóficas. Desarrolló un seguimiento casi fanático a lo largo de los años

1970 hasta mediados de los 80.

El juego de la vida es en realidad un juego de cero jugadores, lo que quiere decir que su

evolución está determinada por el estado inicial y no necesita ninguna entrada de datos

posterior. El "tablero de juego" es una malla formada por cuadrados ("células") que se

extiende por el infinito en todas las direcciones. Cada célula tiene 8 células vecinas, que

son las que están próximas a ella, incluso en las diagonales. Las células tienen dos estados:

están "vivas" o "muertas" (o "encendidas" y "apagadas"). El estado de la malla evoluciona

a lo largo de unidades de tiempo discretas (se podría decir que por turnos). El estado de

todas las células se tiene en cuenta para calcular el estado de las mismas al turno

siguiente. Todas las células se actualizan simultáneamente.

Las transiciones dependen del número de células vecinas vivas:

Una célula muerta con exactamente 3 células vecinas vivas "nace" (al turno

siguiente estará viva).

Una célula viva con 2 ó 3 células vecinas vivas sigue viva, en otro caso muere o

permanece muerta (por "soledad" o "superpoblación").

Ejemplos de patrones

Existen numerosos tipos de patrones que pueden tener lugar en el juego de la vida, como

patrones estáticos ("vidas estáticas", en inglés stilllifes), patrones recurrentes

("osciladores", oscillators, un conjunto de vidas estáticas) y patrones que se trasladan por

el tablero ("naves espaciales", spaceships). Los ejemplos más simples de estas tres clases

de patrones se muestran abajo. Las células vivas se muestran en negro y las muertas en



blanco. Los nombres son más conocidos en inglés, por lo que también se muestra el

nombre de estas estructuras en dicho idioma.

El bloque y el barco son vidas estáticas, el parpadeador y el sapo son osciladores y el

planeador y la nave espacial ligera (LWSS, lightweightspaceship) son naves espaciales que

recorren el tablero a lo largo del tiempo.

Los patrones llamados "Matusalenes" (Methuselahs) pueden evolucionar a lo largo de

muchos turnos, o generaciones, antes de estabilizarse. El patrón "Diehard" desaparece

después de 130 turnos, mientras que "Acorn" tarda 5206 turnos en estabilizarse en forma

de muchos osciladores, y en ese tiempo genera 13 planeadores.

En la aparición original del juego en la revista, Conway ofreció un premio de 50 dólares

por el descubrimiento de patrones que crecieran indefinidamente. El primero fue

descubierto por Bill Gosper en noviembre de 1970. Entre los patrones que crecen

indefinidamente se encuentran las "pistolas" (guns), que son estructuras fijas en el

espacio que generan planeadores u otras naves espaciales; "locomotoras" (puffers), que

se mueven y dejan un rastro de basura y "rastrillos" (rakes), que se mueven y emiten

naves espaciales. Gosper descubrió posteriormente un patrón que crece cuadráticamente



llamado "criadero" (breeder), que deja atrás un rastro de pistolas. Desde entonces se han

creado construcciones más complicadas, como puertas lógicas de planeadores, un

sumador, un generador de números primos y una célula unidad que emula el juego de la

vida a una escala mucho mayor y una velocidad menor.

El primer planeador que se ha descubierto sigue siendo el más pequeño que se conoce:

Pistola de planeadores de Gosper (GosperGliderGun)

Se han hallado posteriormente patrones más simples que también crecen

indefinidamente. Los tres patrones siguientes crecen indefinidamente. Los dos primeros

generan un motor interruptor que deja bloques, mientras que el tercero genera dos. El

primero tiene una población mínima de 10 células vivas, el segundo cabe en un cuadrado

5 × 5 y el tercero sólo tiene un cuadrado de altura:



Es posible que los planeadores interactúen con otros objetos de forma interesante. Por

ejemplo, si se disparan dos planeadores hacia un bloque contra el que chocan de la forma

correcta, el bloque se acercará al origen de los planeadores, pero si se disparan tres

planeadores de forma correcta el bloque se alejará. Esta "memoria del bloque deslizante"

se puede emplear para simular un contador. Es posible construir puertas lógicas AND (y,

conjunción), OR (o, disyunción) y NOT (no, negación) mediante el uso de planeadores.

También se puede construir una estructura que actúe como una máquina de estados

finitos conectada a dos contadores. Esto tiene la misma potencia computacional que una

máquina universal de Turing, así que el juego de la vida es tan potente como un

ordenador con memoria ilimitada: por ello es Turing-completo.

Además, una estructura puede contener un conjunto de pistolas que se combinen para

construir nuevos objetos, incluso copias de la estructura original. Se puede construir un

"constructor universal" que contenga un ordenador Turing-completo y que pueda generar

muchos tipos de objetos complejos, incluso nuevas copias de sí mismo. (Vienen

descripciones de estas construcciones en Winning Ways for your Mathematical Plays de

Conway, Elwyn Berlekamp y Richard Guy)



Variantes

Desde la creación del juego se han desarrollado nuevas reglas. El juego estándar, en que

nace una célula si tiene 3 células vecinas vivas, sigue viva si tiene 2 o 3 células vecinas

vivas y muere en otro caso, se simboliza como "23/3". El primer número o lista de

números es lo que requiere una célula para que siga viva, y el segundo es el requisito para

su nacimiento.

Así, "16/6" significa que "una célula nace si tiene 6 vecinas y vive siempre que haya 1 o 6

vecinas". HighLife ("Alta Vida") es 23/36, porque es similar al juego original 23/3 sólo que

también nace una célula si tiene 6 vecinas vivas. HighLife es conocida sobre todo por sus

replicantes. Se conocen muchas variaciones del juego de la vida, aunque casi todas son

demasiado caóticas o demasiado desoladas.

/3 (estable) casi todo es una chispa

5678/35678 (caótico) diamantes, catástrofes

1357/1357 (crece) todo son replicantes

1358/357 (caótico) un reino equilibrado de amebas

23/3 (caótico) "Juego de la Vida de Conway"

23/36 (caótico) "HighLife" (tiene replicante)

235678/3678 (estable) mancha de tinta que se seca rápidamente

245/368 (estable) muerte, locomotoras y naves

34/34 (crece) "Vida 34"

51/346 (estable) "Larga vida" casi todo son osciladores

Parte de la lista que hay en Life32

Se han desarrollado variantes adicionales mediante la modificación de otros elementos

del universo. Las variantes anteriores son para un universo bidimensional formado por

cuadrados, pero también se han desarrollado variantes unidimensionales y



tridimensionales, así como variantes 2-D donde la malla es hexagonal o triangular en lugar

de cuadrada.



V. Simulación de sucesos discretos

A. Verificación y validación de los modelos de simulación

Gracias al avance tecnológico, en la actualidad existen en el mercado aplicaciones con

interfaces gráficas tan poderosas que permiten a muchos usuarios con inclinaciones

técnicas desarrollar modelos en el área de la simulación. Por desgracia, en general dichos

usuarios aprenden a usar el lenguaje relacionado y manejan algunos de los conceptos

básicos, pero ponen muy poca atención al análisis correcto de los resultados. Así, muchos

estudios son interpretados de manera errónea y es muy probable que conduzcan, en

consecuencia, a malas decisiones.

Entre otras, el fenómeno que acabamos de describir ocurre por razones como éstas:

en primer lugar, el falso sentido de seguridad que desarrolla el usuario por el simple

hecho de conocer el lenguaje utilizado en el área; la facilidad de uso del software de

simulación actual y su capacidad para desarrollar gráficos y animaciones y, sobre todo, la

dificultad implícita en el análisis estadístico de la información. Es muy común encontrar

personas que después de simular un sistema estocástico aseguran de manera bastante

ingenua que el resultado de la variable de respuesta es un valor único —por ejemplo, que

el número de piezas que se acumulan ante una máquina es tan sólo el promedio de la

variable—, dejando de lado un completo análisis estadístico de dicha variable. Para evitar

que el lector se convierta en uno de esos usuarios, a continuación se discutirán los

aspectos mínimos que deben cuidarse en el análisis de las variables de salida.

Para empezar debemos distinguir dos categorías entre los modelos de simulación:

modelos de categoría terminal y modelos no terminales o de estado estable. A

continuación se explica esta clasificación con más detalle.



Simulaciones terminales

Los modelos de tipo terminal tienen como característica principal la ocurrencia de un

evento que da por terminada la simulación. Un ejemplo sería el siguiente: digamos que

nos interesa conocer el tiempo que llevaría procesar un lote de 10 piezas, el tiempo

requerido para vender 100 periódicos, o el número de clientes que se atiende en una

cafetería entre las 8:00 y 9:00 a.m. El análisis estadístico recomendado para este tipo de

simulaciones involucra la utilización de intervalos de confianza y la determinación de la

distribución de probabilidad de la variable de salida.

- Intervalos de confianza

Debido a la naturaleza aleatoria de los resultados de este tipo de modelos, es

necesario determinar su distribución de probabilidad y su intervalo de confianza en

las diferentes réplicas. En la sección del capítulo anterior se discute cómo obtener

la distribución de probabilidad de una variable aleatoria; por lo tanto, aquí nos

ocuparemos de los intervalos de confianza.

Si la variable aleatoria sigue una distribución normal, el intervalo de confianza está

dado por:

[

√ ( )

√ ( )]

En caso de que la variable aleatoria siga otro tipo de distribución, el intervalo de

confianza es relativamente más amplio, y se calcula como:

[

√

√ ]



En ambas ecuaciones:

r = Número de réplicas

α = Nivel de rechazo

∑

(

∑( )

)

Simulaciones no terminales o de estado estable

A diferencia de los modelos anteriores, las simulaciones no terminales o de estado estable

no involucran una ocurrencia en el tiempo en que tengan que finalizar. Por ejemplo, si

deseáramos conocer el número de máquinas que deben instalarse en un sistema de

producción cuya operación tiene que mantenerse activa continuamente durante todo el

año, podríamos modelar el sistema hasta que la variable de interés llegara a un estado

estable. En este caso surge la necesidad de determinar la longitud de la corrida para

asegurar la estabilización de los resultados del modelo. Veamos cómo satisfacer dicho

requisito.

- Longitud de las réplicas

Para que el resultado de una variable aleatoria llegue al estado estable en una

simulación no terminal, es necesario garantizar que la longitud de la réplica, n, sea

lo suficientemente grande para que la variación entre réplicas no difiera de cierta

exactitud, ϵ, el ( ) de las veces.



En caso de normalidad el tamaño de corrida de la simulación se calcula como:

(

)

B. Modelos de simulación

Con el propósito de dar una idea de cómo desarrollar un modelo de simulación y

de qué manera emplear los conceptos expuestos a lo largo del presente capítulo, a

continuación se presentan algunos ejemplos programados en un programa de hoja

de cálculo.

- Modelo de una línea de espera con un servidor

Ejemplo

El tiempo que transcurre entre la llegada de ciertas piezas a una estación de

inspección sigue una distribución exponencial con media de 5 minutos/pieza. El

proceso está a cargo de un operario, y la duración de la inspección sigue una

distribución normal con media de 4.0 y desviación estándar de 0.5 minutos/pieza.

Calcular el tiempo promedio de permanencia de las piezas en el proceso de

inspección.

Para solucionar el problema anterior se debe:

1. Construir una tabla de eventos en la que se describa la relación entre las

variables involucradas en el proceso. Para la construcción de dicha tabla es

preciso identificar los elementos que se listan a continuación.



Los números entre paréntesis indican la columna que ocupa cada elemento en las tablas

siguientes

2. Definir las relaciones lógico-matemáticas entre los elementos; de la

siguiente tabla se describen, por ejemplo, las siguientes relaciones:

a. El tiempo entre llegadas es una variable aleatoria, simulada utilizando el

generador RAND( ) o ALEATORIO( ) de la hoja de cálculo de Excel y la

función generadora de variables exponenciales ( ).

b. El evento tiempo de llegada de la pieza corresponde al valor acumulado

de la columna (1).

c. Tomando en cuenta que solamente existe un operario encargado de la

tarea, el inicio de la inspección puede ocurrir cuando la pieza entra al

sistema, en caso de que el operario esté ocioso (2), o bien cuando

termina de inspeccionar la pieza anterior (5).

d. El tiempo de inspección es una variable aleatoria normal con media 4 y

desviación estándar 0.5, generada mediante la función interna normal



acumulada inversa (NORMINV o DISTNORMINV) y como probabilidad el

generador de números aleatorios RAND( ) o ALEATORIO( ).

e. El fin de la inspección se calcula sumando el tiempo de inspección (4) al

tiempo de inicio de la inspección (3).

f. La variable tiempo en inspección se calcula, finalmente, como la

diferencia entre el tiempo de llegada (2) y el fin de la inspección (5).

g. Si bien no forma parte del objetivo del ejemplo, también es posible

determinar el tiempo de espera de una pieza antes de ser inspeccionada,

ya que es igual a la diferencia entre el tiempo de inicio de inspección (3)

y el tiempo de llegada de la pieza (2).

h. Esta última columna permite calcular el tiempo promedio de inspección

como promedio móvil: cada vez que una nueva pieza es simulada, el

tiempo promedio de inspección se recalcula.

Tabla a. Relación entre los eventos y actividades involucradas en el proceso



3. Una vez definidas las relaciones se simula el proceso, teniendo cuidado de que el

tamaño de la réplica o experimento sea lo suficientemente grande para asegurar la

estabilidad del resultado final. La réplica cuyos resultados se ilustran en la tabla 4.2

se realizó con 1500 piezas; la información nos indica que el tiempo promedio de

espera es de 15.05 minutos/pieza. Además de este resultado, la columna 8 permite

visualizar la estabilización del sistema mediante una gráfica de líneas.



Tabla b. Simulación del proceso de inspección (en una hoja de cálculo de Excel)



La gráfica de estabilización que se obtuvo a partir de la columna 8 (Tiempo

promedio en inspección) se muestra en la gráfica. Dicha gráfica nos indica que

el tamaño de la réplica es lo suficientemente grande para asegurar la

convergencia del resultado. Cabe señalar que esta gráfica de estabilización

corresponde a una réplica diferente a la de la tabla de eventos.

Al trabajar con procesos donde se involucran variables, actividades y eventos

aleatorios, las variables de estado o variables de respuesta serán, en

consecuencia, aleatorias. La gráfica siguiente muestra las gráficas de

estabilización de 5 diferentes réplicas del mismo modelo. Si bien la

estabilización está asegurada, el resultado final nunca es el mismo; es evidente

que replicar el experimento debe ser una práctica común en cualquier

simulación.



Al replicar el experimento 50 veces se obtienen los resultados que se listan en

la siguiente tabla. Para comprender el comportamiento de la variable es

necesario analizar estadísticamente esta información.

Tabla Resultados de 50 réplicas del experimento



El análisis estadístico de la réplicas —realizado en este caso con la herramienta Stat: :Fit

de ProModel— permite concluir, a través de una prueba de bondad de ajuste, que el

tiempo promedio de espera en el proceso de inspección sigue una distribución de Erlang

con los siguientes parámetros: localización 9, forma 3 y escala 1.06; además tenemos los

siguientes estadísticos básicos:

Media: 12.18 minutos/pieza.

Desviación estándar: 1.76 minutos/pieza.

Intervalo de confianza con , - minutos/pieza.

Valor mínimo en la muestra: 9.69 minutos/pieza.

Valor máximo en la muestra: 17.09 minutos/pieza.

Coeficiente de asimetría (skewness):0.08177.

Curtosis: -0.071.

- Modelo de un proceso de ensamble e inspección

Ejemplo

Dos barras metálicas de diferente longitud son unidas mediante un proceso de

soldadura para formar una barra de mayor longitud. La longitud del primer tipo de

barra sigue una distribución uniforme entre 45 y55 cm. La longitud del segundo tipo



de barra sigue una distribución 4-Erlang con media de 30 cm. Las especificaciones

del producto final son de 80±10 cm. Determinar el porcentaje de barras fuera de

especificación.

Para la solución del ejemplo se requiere:

Identificación de los elementos:

Variable de

estado

Cantidad de barras fuera de

especificación

Entidades Barras

Evento Comparación contra

especificaciones

0: Dentro de especificaciones

1: Fuera de especificaciones

Actividades Medición de la longitud de la barra

1

Medición de la longitud de la barra

2

Soldadura de las barras 1 y 2

Construcción de la tabla de eventos.



Tabla Inicial: Relación entre los elementos

C D E F G H I K

Ensamble Longitud

barra 1

(cm) (1)

Longitud

barra 2 (cm)

(2)

Longitud

total

(cm) (3)

Ei

(4)

Es (5) Estado de la

barra (6)

Probabilidad

de estar fuera

de

especificacion

es (7)

1 =(55-

45)*RAN

D ( )+45

= -

(30/4)*LN(RA

ND( )

=D5+E5 70 90 =IF(F5<G5,1,IF(F

5>H5,1,0))

=SUM($I$5:I5)

/C5

2 =(55-

45)*RAN

D (

)+45

= -

(30/4)*LN(RA

ND(

)

=D6+E6 70 90 =IF(F6<G6,1,IF(F

6>H6,1,0))

=SUM($I$5:I6)

/C6

3 =(55-

45)*RAN

D ( )+45

= -

(30/4)*LN(RA

ND( )

=D7+E7 70 90 =IF(F7<G7,1,IF(F

7>H7,1,0))

=SUM($I$5:I7)

/C7

4 =(55-

45)*RAN

D (

)+45

= -

(30/4)*LN(RA

ND(

)

=D8+E8 70 90 =IF(F8<G8,1,IF(F

8>H8,1,0))

=SUM($I$5:I8)

/C8

La tabla anterior muestra la relación matemática entre las diferentes variables o

elementos del sistema; fue desarrollada en una hoja de cálculo y el significado de cada

columna es el siguiente: 1.



1. La longitud de la barra 1 es una variable aleatoria con distribución uniforme entre

45 y 50 cm. Fue simulada con el generador RAND( ) o ALEATORIO( ) de la hoja de

cálculo, y CON la ecuación generadora de variables uniformes Ui = α + (b – α)ri.

2. La longitud de la barra 2 es una variable aleatoria simulada con la función RAND( )

o ALEATORIO( ), y CON la ecuación generadora de eventos Erlang:

(∏

)

3. Longitud total: Esta columna representa el proceso de soldadura, y se obtiene

sumando las longitudes de las barras pequeñas de las columnas (1) y (2).

4. La variable Ei simula el límite inferior de las especificaciones.

5. La variable Es simula el límite superior de las especificaciones.

6. Se asigna el atributo de calidad a cada pieza, denominado Estado de la barra,

mediante la comparación de la longitud total de la barra y los límites de

especificación.

7. Para determinar la Probabilidad de estar fuera de especificaciones se divide el

número de piezas defectuosas entre el número de piezas totales. Esto permite

obtener la probabilidad como promedio móvil, de manera que cada vez que es

simulado un nuevo ensamble la probabilidad se recalcula.

Simulación de sistema.

Una réplica con los resultados numéricos de las ecuaciones se muestra en la tabla

siguiente.

A partir de la información de la variable aleatoria Estado de la barra (columna 6) y

mediante una prueba de bondad de ajuste, es posible demostrar que esa variable

sigue una distribución de probabilidad de Bernoulli con media 0.5.

Tabla resultante: Simulación del proceso (en Excel)



Construcción de la gráfica de estabilización.



La gráfica de estabilización siguiente de la información de la Probabilidad (columna 7) de

la tabla resultante permite visualizar que la réplica entra a la zona de estado estable

después de 200 ensambles, y se mantiene oscilando alrededor de 0.5 hasta el final de la

simulación, Ésta nos permite comprobar visualmente que el experimento tiene las

dimensiones suficientes para asegurar la convergencia del resultado.

Réplicas.

Al replicar el experimento 42 veces, modificando sólo la secuencia de números pseudo

aleatorios, se obtienen los resultados de la tabla siguiente.



Tabla Resultados de 42 réplicas del experimento

Análisis estadístico de la variable de estado:

El análisis del resultado de las réplicas de la tabla —realizado con ayuda de la herramienta

Stat: :Fit de ProModel— permite concluir, a través de una prueba de bondad de ajuste,

que la Probabilidad de que un ensamble esté fuera de especificaciones sigue una

distribución de Erlang con estos parámetros: localización, 0, forma 31.5, y escala, 0.517.



Además, la variable de respuesta tiene los siguientes estadísticos:

Media: 0.509.

Desviación estándar: 0.0175.

Intervalo de confianza con 1 – α [0.504,0.514] minutos/pieza.

Valor mínimo en la muestra: 0.46.

Valor máximo en la muestra: 0.54.

Coeficiente de asimetría: -0.124.

Curtosis: 0.014.

- Modelo de un sistema de inventarios

Ejemplo

La demanda de azúcar en una tienda sigue una distribución exponencial con media de

100 kg/día. El dueño de la tienda revisa el inventario cada 7 días, y hace un pedido a la

planta igual a la capacidad de la bodega menos la cantidad de azúcar que tiene

disponible en ese momento; la entrega es inmediata. La demanda no surtida por falta

de existencias representa ventas perdidas. La capacidad de almacenamiento de la

bodega es de 700 kg. El costo de ordenar es de $1000/orden. El costo de faltante es

de $6/kg, y el costo de llevar el inventario es de $1/kg. Determinar el

comportamiento del inventario a lo largo del tiempo y el costo promedio/día para un

horizonte de dos meses. Para la solución del ejemplo se requiere:



Identificación de los elementos:

Variable de estado Cantidad de barras fuera de

especificación

Entidades Clientes

Evento Demanda

Ventas

Entrega de material por parte del

proveedor

Actividades Cálculo de los costos

Construcción de la tabla de eventos.

Tablas de eventos para el ejemplo

9 B C D E F G

1

0 Día

Entregas del

proveedor

Inventa

rio

inicial

Demanda Ventas Inventario

Final

1

1 0 700 =C11

= -100*LN(1-

RAND( ))

=IF(D11>=E11,

E1 1,D11)

=MAX(0,$D11-

$E11)

1

2

=B11

+1

=IF(MOD(B12,7)=0,7

0 0-G11,0)

=G11+C

12

= -100*LN(1-

RAND( ))

=IF(D12>=E12,

E1 2,D12)

=MAX(0,$D12-

$E12)

1

3

=B12

+1

=IF(MOD(B13,7)=0,7

0 0-G12,0)

=G12+C

13

= -100*LN(1-

RAND( ))

=IF(D13>=E13,

E1 3,D13)

=MAX(0,$D13-

$E13)

1

4

=B13

+1

=IF(MOD(B14,7)=0,7

0 0-G13,0)

=G13+C

14

= -100*LN(1-

RAND( ))

=IF(D14>=E14,

E1 4,D14)

=MAX(0,$D14-

$E14)



1

5

=B14

+1

=IF(MOD(B15,7)=0,7

0 0-G14,0)

=G14+C

15

= -100*LN(1-

RAND( ))

=IF(D15>=E15,

E1 5,D15)

=MAX(0,$D15-

$E15)

(a) Relación entre los elementos

9 H I J K L

1

0 Costo de ordenar

Costo de

llevar

inventario

Costo faltante Costo total Costo Promedio

1

1

=IF(MOD(B11,7)=

0

,1000,0)

=1*(D11+

G

11)/2

=IF(D11<=E11,6*(E1

1

-D11),0)

=SUM(J11:

L11)

=AVERAGE($M$1

1 :M11)

1

2

=IF(MOD(B12,7)=

0 ,1000,0)

=1*(D12+

G 11)/2

=IF(D12<=E12,6*(E1

2 -D12),0)

=SUM(J12:

L12)

=AVERAGE($M$1

1 :M12)

1

3

=IF(MOD(B13,7)=

0 ,1000,0)

=1*(D13+

G 11)/2

=IF(D13<=E13,6*(E1

3 -D13),0)

=SUM(J13:

L13)

=AVERAGE($M$1

1 :M13)

1

4

=IF(MOD(B14,7)=

0 ,1000,0)

=1*(D14+

G 11)/2

=IF(D14<=E14,6*(E1

4 -D14),0)

=SUM(J14:

L14)

=AVERAGE($M$1

1 :M14)

1

5

=IF(MOD(B15,7)=

0 ,1000,0)

=1*(D15+

G 11)/2

=IF(D15<=E15,6*(E1

5 -D15),0)

=SUM(J15:

L15)

=AVERAGE($M$1

1 :M15)



(b) Relación entre los costos

Las tablas (a) y (b) muestran la relación matemática entre las diferentes variables o

elementos del sistema; la tabla está desarrollada en un programa de hoja de

cálculo, y el significado de cada columna es el siguiente:

B: Contador de los Días transcurridos.

C: En esta columna se simulan las Entregas de material: cada siete días se

restablece el inventario en un nivel de 700 kg. Los valores se calculan como

la diferencia entre la Capacidad del almacén y el Inventario final del día

anterior. El uso de la función residuo o módulo (MOD) permite controlar

que la entrega se realice cada vez que el Día (columna B) sea múltiplo de

siete.

D: El Inventario al inicio del día se calcula sumando el Inventario final del

día anterior y las Entregas de material por parte del proveedor.

E: La Demanda es una variable aleatoria con distribución exponencial y

media de 100 kg. Se simula mediante el generador RAND( ) o ALEATORIO( )

de la hoja de cálculo y la ecuación generadora

F: Las Ventas representan la cantidad que le fue entregada al cliente, y se

calcula como el valor mínimo entre el Inventario al inicio del día y la

Demanda.

G: El Inventario al final del día se calcula restando las Ventas (columna F)

del Inventario inicial del día (columna D), verificando previamente que no

exista faltante.

H: En esta columna la función residuo o módulo (MOD) permite

incrementar en $ 1000 el Costo de ordenar cada vez que llegue una orden a

la tienda.

I: Se calcula el inventario promedio durante el día, y el resultado se

multiplica por $1/kg. J: En caso de no cubrir la Demanda, el Costo de

faltante se calcula multiplicando la demanda no surtida en ese día por el

costo de faltante por unidad, que en el ejemplo es de $6/kg.



K: El Costo total se determina mediante la suma de las columnas Costos de

inventario, Faltante y Ordenar.

L: La forma de calcular esta columna permite tener el Costo total como

promedio móvil: cada vez que se simula un nuevo día, el costo se recalcula.

Con esta columna se analiza la estabilidad de la variable inventario

promedio.

Simulación de sistema:

La tabla 4.8 muestra que los resultados es una réplica de 14 días de la simulación del

sistema, utilizando las ecuaciones de las tablas (a) y (b).



Tabla de eventos del sistema de inventarios



Resultados:

La figura 4.11 muestra el comportamiento del inventario al inicio del día (columna C) a lo

largo del tiempo, para el periodo simulado de 60 días.

El análisis del costo promedio de operación de la tienda incluye primeramente las gráficas

de estado estable de cinco réplicas independientes de los resultados de la tabla anterior.

El resultado nos permite observar la convergencia del costo respecto del tiempo.

Los valores finales del costo de operación de estas cinco réplicas son 592.55, 527.45,

506.13, 605.59 y 597.85. Con esta información calculamos un valor promedio de 565.9 y



una desviación estándar de 45.7. Debido a que esta información es insuficiente para

demostrar la normalidad de los datos, el cálculo del intervalo de confianza con un nivel de

significancia de 90% se realiza mediante el teorema de Tchebycheff:

[

√

√ ]

[

√( )( )

√( )( )]

, -



VI. Bibliografía

- Ríos Insua David – Ríos Insua Sixto – Martin Jacinto, “Simulación Métodos y

aplicaciones”, Alfaomega, primera edición, 2000.

- García Dunna Eduardo – García Reyes Heliberto – Cárdenas Barrón Leopoldo,

“Simulación y análisis de sistemas - Promodel”, Pearson Prentice Hall, primera

edición, 2006.



VII. Glosario

Distribución de probabilidad, es una función que asigna a cada suceso definido sobre la

variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra.

Discretos, un modelo en el cuál las variables de estado cambian en un número entero de

puntos en el tiempo.

Continuos, las variables de estado cambian continuamente en el tiempo.

Estáticos, representación de un Sistema en un instante particular de tiempo.

Dinámica, representación de un Sistema que se desarrolla a lo largo del tiempo.

Determinístico, simulación que no usa variables aleatorias.

Estocástica, simulación que contiene una ó más variables aleatorias.

Variable Aleatoria Discreta, variable aleatoria que puede asumir un número finito o a lo

más una cantidad numerable de valores posibles.

Locaciones, representan lugares fijos en el sistema, las Entidades son ruteadas a estas

locaciones para el procesamiento, almacenamiento ó cualquier actividad ó toma de

decisiones.

Entidades, cualquier cosa que el Modelo procesa es llamada Entidad.

Procesamiento, describe las operaciones que toman lugar en una locación.



Llegadas, cada vez que una nueva Entidad es introducida en el Sistema, se le conoce como

llegada.

Contador, despliega los contenidos numéricos de la locación.

Calibrador, despliega gráficamente los contenidos de la locación.

Atributos, son entes similares a las variables, pero estas están ligadas a las entidades

específicas y usualmente contiene información acerca de esa entidad.

Recurso, es una persona , pieza de equipó algún otro dispositivo que es utilizado para

hacer una ó más actividades.

Interfaces, le dicen a PROMODEL donde interactúa un recurso con una locación, las

entidades también pueden viajar en las redes.

Documents

UNIVERSIDAD SALESIANA DE BOLIVIA - AULA …virtual.usalesiana.edu.bo/web/contenido/dossier/22012/1577.pdf · parte esencial del comportamiento de un sistema de interés, así como