Universidad Técnica Nacional · Universidad Técnica Nacional Área de Matemáticas Trigonometría 3 Conceptos preliminares para el módulo Para el estudio de este material, de que

Universidad Técnica Nacional Área de Matemáticas

Trigonometría 1

Contenido Conceptos preliminares para el módulo...................................................................................... 3

Sesión N°17............................................................................................................................... 4

17.1 MEDIDA DE UN ÁNGULO EN GRADOS O EN RADIANES ..................................................... 4

Actividad 17.1.1 ................................................................................................................. 8

17.2 Trigonometría del triángulo rectángulo........................................................................... 9

Actividad 17.2.1 ................................................................................................................11

Actividad 17.2.2 ................................................................................................................12

Sesión N°18..............................................................................................................................14

18.1 Valor de la razón trigonométrica asociada a un ángulo específico ....................................14

Actividad 18.1.1 ................................................................................................................15

18.2 El círculo Trigonométrico ...............................................................................................16

Actividad 18.2.1 ................................................................................................................18

Actividad 18.2.2 ................................................................................................................19

Sesión N°19..............................................................................................................................20

19.1 Ángulos en posición estándar y signo .............................................................................20

Actividad 19.1.1 ................................................................................................................23

Actividad 19.1.2 ................................................................................................................26

Actividad 19.1.3 ................................................................................................................26

Actividad 19.1.4: Razones trigonométrica para ángulos negativos ........................................27

Actividad 19.1.8 ................................................................................................................31

Sesión N°20..............................................................................................................................33

20.1 Ángulos de referencia....................................................................................................33

Actividad 20.1.1 ................................................................................................................36

Actividad 20.1.2 ................................................................................................................37

Actividad 20.1.3 ................................................................................................................38

20.2 Razones trigonométricas a partir de ángulos de referencia ..............................................39

Actividad 20.2.1 ................................................................................................................44


Trigonometría 2

........................................................................................................................................44

Actividad 20.2.2 ................................................................................................................47

Actividad 20.2.3 ................................................................................................................47

Sesión N°21..............................................................................................................................48

21.1 Ecuaciones trigonométricas ...........................................................................................48

Actividad 21.1.1 ................................................................................................................55

Actividad 21.1.2 ................................................................................................................60

Actividad 21.1.3 ................................................................................................................61

Actividad 21.1.4 ................................................................................................................61

Sesión N°22..............................................................................................................................62

22.1 Proyecto construcción y uso de un teodolito...................................................................62

22.2 Ley de senos .................................................................................................................63

Actividad 22.2.1 ................................................................................................................63

BIBLIOGRAFÍA.......................................................................................................................69


Trigonometría 3

Conceptos preliminares para el módulo

Para el estudio de este material, de que un círculo es el conjunto de puntos

que equidistan (que están a la misma distancia) de un punto llamado

centro. Así, un círculo divide al plano en tres regiones de importancia a

saber: Región Interior del Círculo (conjunto de puntos que quedan dentro

del círculo, están a menor distancia con respecto al centro), el círculo y la

Región Exterior del Círculo (todos los puntos que quedan fuera del círculo, es

decir, que están a una distancia mayor con respecto al centro). La siguiente

figura, ilustra estos conceptos:

Para el estudio del círculo, se pueden considerar algunas medidas de

importancia:

1. La medida de la Región Interior del Círculo le llamaremos Área del

Círculo

2. La medida del perímetro del círculo, le llamaremos Circunferencia

Así, de lo anterior, deberá tenerse en cuenta que, tanto el área como la

circunferencia son números, pues representan medidas en sus respectivas

unidades de medición.

Exterior del círculo

Interior del círculoCírculo

CENTRO


Trigonometría 4

Sesión N°17

17.1 MEDIDA DE UN ÁNGULO EN GRADOS O EN RADIANES

La forma más común de medir ángulos que nos enseñan en la primaria y

secundaria es el GRADO. Su origen, es incierto, pero hay varias teorías que

intentan explicarlo. Por ejemplo, los matemáticos de la antigüedad se dieron

cuenta de que un año tenía aproximadamente 360 días y por tanto,

dividieron al círculo (entendido como el borde) en 360°, un número que

además posee interesantes propiedades matemáticas debido a la gran

cantidad de factores que posee y facilita la división. Por otra parte, se les

atribuye a los babilonios que idearon un sistema numérico que tenía a 60

como base, lo que explicaría por qué una medida angular se puede

subdividir en minutos y segundos. Cualquiera que sea la explicación, en la

actualidad podríamos decir que un grado equivale a la fracción de dividir

la circunferencia en 360 partes iguales.

Puede consultar los siguientes enlaces:

http://www.nationalgeographic.es/ciencia/descubriendo-los-secretos-de-

las-ilusiones-y-la-memoria

Vídeo de curiosidades:

https://www.youtube.com/watch?v=56HmcqFq1h4

Para explorar:

https://www.geogebra.org/m/WextNs4f

Cuando trazamos un ángulo central en un círculo, este delimita o subtiende

una porción del círculo que llamamos arco, como se muestra en la figura:

http://www.nationalgeographic.es/ciencia/descubriendo-los-secretos-de-las-ilusiones-y-la-memoria

http://www.nationalgeographic.es/ciencia/descubriendo-los-secretos-de-las-ilusiones-y-la-memoria

https://www.youtube.com/watch?v=56HmcqFq1h4

https://www.geogebra.org/m/WextNs4f


Trigonometría 5

Figura 17.1.1 :Ángulo central versus arco subtentdido

El círculo como tal es una figura plana que t iene área y perímetro, así el

perímetro o recorrido de cualquier círculo de radio 𝑟 se calcula con la

fórmula 2𝜋𝑟. Con lo anterior, podríamos decir que un círculo mide 360°, lo

que equivale también a 2𝜋𝑟.

Part iendo de que 2𝜋𝑟 corresponde al círculo completo, es posible pensar

que para un arco cualquiera subtendido por un ángulo central, además de

medirlo en grados, sea posible hacer una medición de su perímetro, como

se muestra en la figura, siendo 𝑠 la longitud del arco:

Figura 17.1.2: Ángulo central versus longitud de arco subtendido

Cuando la longitud del arco es igual a la medida del radio del círculo, es

decir, 𝑠 = 𝑟 , entonces decimos que el ángulo que subtiende al arco 𝑠

equivale a un RADIÁN, así, la medida de cualquier ángulo podría hacerse a

part ir de dos unidades de medidas: grados o radianes. Los radianes son más

ut ilizados a nivel universitario por la versat ilidad de manejar las medidas

angulares como números reales, de esta manera cualquier número real

Arco que

subtiende

S


Trigonometría 6

podría representar una medida en radianes de un ángulo. La siguiente figura

muestra el planteamiento explicado en este párrafo:

Figura 17.1.3 :Representación de visual de radián

Cabe hacerse la pregunta, ¿cómo podemos hacer las conversiones para

un ángulo dado en grados a radianes y viceversa?. Partamos del hecho de

que un círculo puede ser medido de dos maneras dist intas, usando grados

y su circunferencia (longitud). En el primer caso, el valor en grados es

conocido: 360°, pero para saber el equivalente en radianes, debemos

determinar cuántas veces cabe la medida del radio del círculo en su

circunferencia. Para hacer este cálculo, basta con simplificar la siguiente

expresión, siendo 𝑟 la medida del radio del círculo:

2𝜋𝑟

𝑟= 2𝜋

Por lo que podríamos decir que la siguiente igualdad es válida para la

medida de la circunferencia (usando grados y radianes):

360° = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑

Si tanto 360° como 2𝜋𝑟 son considerados como el total de longitud de un

círculo (longitud del arco completo), entonces, cualquier ángulo central

subtiende un arco que representa un parte de ese total. Si tomamos un

ángulo cualquier de longitud R radianes, con su equivalente medida en

grados G, la siguiente proporción sería válida:

r

r


Trigonometría 7

𝐺

360°=

𝑅

2𝜋

Mult iplicaremos por 2 en ambos lados de la igualdad para simplificar la

expresión:

2𝐺

360°=

2𝑅

2𝜋

𝐺

180°=

𝑅

𝜋

Por ejemplo, si un ángulo corresponde a la mitad de la circunferencia, es

decir, 180°, ¿cuál sería su medida equivalente en radianes?. Lo obtenemos

de la siguiente manera:

180°

180°=

𝑅

𝜋

1 =𝑅

𝜋

𝜋 = 𝑅

Es decir, 𝜋 radianes.

Si el ángulo midiese 𝜋

4 radianes, ¿cuán sería su medida equivalente en

grados?. Lo obtenemos de la siguiente manera:

𝐺

180°=

𝜋4𝜋

𝐺 =1

4180°

𝐺 = 45°

Es decir, 45° grados.


Trigonometría 8

En resumen, podemos ut ilizar las fórmulas del siguiente cuadro para hacer

las conversiones:

Fórmula base: 𝑮

𝟏𝟖𝟎°=

𝑹

𝝅

De grados a radianes (sust ituye G) De radianes a grados (Sust ituye R)

𝜋𝐺

180°= 𝑅 𝐺 =

𝑅

𝜋180°

Actividad 17.1.1

1. Realice la conversión de grados a radianes de cada uno de los

siguientes ángulos:

a) 120º

g) 300º

b) 74º

h) 150º

c) 130º

i) −600º

d) 800º

j) 240º

e) −60º

k) −45º

f) 45º l) 135º 2. Realice la conversión de radianes a grados de cada uno de los

siguientes ángulos:

a) 3𝜋

4

g) 5𝜋

4

b) −5𝜋

36

h) 𝜋

45


Trigonometría 9

c) 2𝜋

3

i) 2𝜋

9

d) −13𝜋

12

j) −4𝜋

3

e) 7𝜋

6

k) 5𝜋

6

f) 150𝜋 l) 𝜋

60

17.2 Trigonometría del triángulo rectángulo. Aunque algunas propiedades relacionadas con razones trigonométricas

podrían tener alcance para trabajar con triángulos de todo t ipo, daremos

un trato especial en esta sección a la trigonometría que aplica en los

t riángulos rectángulos.

Primeramente, vamos a poner en consenso algunos términos importantes a

los que estaremos haciendo referencia a lo largo del texto.

Todo triángulo rectángulo está

conformado por dos ángulos

internos agudos y un ángulo interno recto o de medida 90°, a los cuáles

se oponen lados del t riángulo. Estos

lados reciben el nombre de hipotenusa al lado de mayor

medida y catetos a los otros dos lados menores.

En la Figura 1, se muestran los

diferentes elementos indicados en el párrafo anterior. Por convenio, el

ángulo recto o de 90°, se acostumbra a representarlo con un

cuadrado, aunque no es algo que

sea obligatorio, solamente ayuda a identificarlo de manera más rápida

Figura 17.2.1:Part es de un t riángulo

rect ángulo

CatetoHipotenusa

Cateto

Ángulo recto: 90

Ängulo

agudo

Ángulo

agudo


Trigonometría 10

Diremos que el lado opuesto a un

ángulo, es aquél lado que está

enfrente de este y su lado

adyacente es aquél lado que está

sobre uno de los rayos que forma el ángulo.

Para el ángulo de 90°, su lado

opuesto es la hipotenusa y sus lados adyacentes ambos catetos.

Para los ángulos agudos, el cateto opuesto es el lado que está en

frente de este y el cateto

adyacente es el lado que forma parte del ángulo. Como se aprecia

en la figura, el cateto opuesto al

ángulo 𝐴 es 𝑎 y su cateto adyacente es 𝑏. Análogamente

para el ángulo 𝐵 sus catetos opuestos y adyacentes,

respectivamente son 𝑏 𝑦 𝑎

Figura 17.2.2:Cat et os y ángulos

int ernos de un t riángulo rect ángulo

Tomando como referencia lo anterior, vamos a definir las siguientes razones

trigonométricas que se aplican a los t riángulos rectángulos. Primeramente,

definimos las razones trigonométricas básicas:

1. 𝑺𝒆𝒏𝒐(𝒔𝒆𝒏) 𝑑𝑒 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜:𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

2. 𝑪𝒐𝒔𝒆𝒏𝒐(𝒄𝒐𝒔) 𝑑𝑒 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜: 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

3. 𝑻𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆(𝒕𝒂𝒏) 𝑑𝑒 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜:𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜

Si respectivamente en cada una de las razones intercambiamos de posición

al numerador y el denominador entre sí, obtenemos las siguientes razones

trigonométricas de gran importancia, conocidas como las Recíprocas:

1. 𝑪𝒐𝒔𝒆𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆 (𝒄𝒔𝒄) 𝑑𝑒 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜:ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜

2. 𝑺𝒆𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆(𝒔𝒆𝒄) 𝑑𝑒 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜: ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜

3. 𝑪𝒐𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆(𝒄𝒐𝒕) 𝑑𝑒 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜:𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜

b

a

B

A


Trigonometría 11

Para una mejor comprensión, el siguiente dibujo ilustraremos de manera

gráfica estas razones trigonométricas:

Cuadro 17.1: Razones t rigonométricas para cada ángulo agudo de un t riángulo rect ángulo dado

Razones trigonométricas

básicas

Razones trigonométricas

recíprocas

𝑠𝑒𝑛(𝛼) =𝑎

𝑐

𝑐𝑜𝑠(𝛼) =𝑏

𝑐

𝑡𝑎𝑛(𝛼) =𝑎

𝑏

Figura 17.2.3:Catetos, hipot enusa y ángulos

internos de un t riángulo

rect ángulo

𝑐𝑠𝑐(𝛼) =𝑐

𝑎

𝑠𝑒𝑐(𝛼) =𝑐

𝑏

𝑐𝑜𝑡(𝛼) =𝑏

𝑎

𝑠𝑒𝑛(𝛽) =𝑏

𝑐

𝑐𝑜𝑠(𝛽) =𝑎

𝑐

𝑡𝑎𝑛(𝛽) =𝑏

𝑎

𝑐𝑠𝑐(𝛽) =𝑐

𝑏

𝑠𝑒𝑐(𝛽) =𝑐

𝑎

𝑐𝑜𝑡(𝛽) =𝑎

𝑏

Actividad 17.2.1

¿Encuent ras algunas similitudes ent re los valores de las razones

t rigonométricas dadas en las dos columnas ant eriores?. Discute

con t u profesor y compañeros, has las anot aciones respect ivas.

a

b

c


Trigonometría 12

Actividad 17.2.2 De acuerdo con el siguiente triángulo, conteste lo que se solicita en

cada caso:

1. Determine las razones trigonométricas que se solicitan del siguiente triángulo:

Qué se puede concluir al comparar las razones de los dos ángulos:

___________________________________________________________________

sen (𝛼): ______ sen (𝛽): ______

cos (𝛼): ______ cos (𝛽): ______

tan (𝛼): ______ tan (𝛽): ______

Use la letra asociada a cada

lado del t riángulo:

1) Cateto adyacente al

Ða:

_______

2) Cateto adyacente al Ðb :

_______

3) Cateto opuesto al

Ða: _______

4) Cateto opuesto al Ðb :

_______

5) Lado opuesto al ∠𝐸: _________

D

E F


Trigonometría 13

2. De acuerdo con el siguiente triángulo, determine las razones que se

solicitan simplificadas al máximo:

¿Se verifican las similitudes discut idas anteriormente?. Just ifique con

ejemplos:

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

sen (𝛼): ______ csc (𝛼): ______ sen (𝛽):______ csc (𝛽):______

cos (𝛼): ______ sec (𝛼): ______ cos (𝛽):______ sec (𝛽):______

tan (𝛼): ______ cot (𝛼): ______ tan (𝛽): ______ cot (𝛽):______

12cm

5cm13 cm

𝜃


Trigonometría 14

Sesión N°18

18.1 Valor de la razón trigonométrica asociada a un ángulo específico

Habiendo practicado el cálculo de las razones trigonométricas a part ir de

algunos triángulos dados, surgen algunas preguntas interesantes de analizar.

Veamos primero, existen muchos triángulos de diferentes tamaños que

t ienen en común el hecho de que a pesar de que sus lados sean de

diferente medida, sus ángulos internos t ienen igual medida y es por esta

razón que se les conoce como triángulos semejantes. Cómo las razones

trigonométricas se basan en las medidas de los lados de sus respectivos

triángulos, cabe preguntarse: ¿para cualesquiera par de triángulos

rectángulos semejantes, podría considerarse que el valor de las razones

trigonométricas para sus ángulos agudos internos tienen el mismo valor o

difieren?. La respuesta es sí mantienen el mismo valor, es decir, a todo ángulo

le corresponde un único valor para cada razón trigonométrica estudiada.

En la siguiente ilustración podemos ver lo que ocurre, donde se muestran dos

triángulos rectángulos semejantes y el cálculo de algunas de las razones

trigonométricas, las restantes quedan como ejercicio para el estudiante:

Triángulo 1 Triángulo 2


Trigonometría 15

𝑠𝑒𝑛 (𝜋

6) =

1

2

1=

1

2

𝑡𝑎𝑛 (𝜋

3) =

√3

21

2

=2√3

2= √3

𝑠𝑒𝑛 (𝜋

6) =

5

10=

1

2

𝑡𝑎𝑛 (𝜋

3) =

5√3

5= √3

Figura 18.1.1:Triángulos rectángulos semejantes y razones trigonométricas

De lo anterior, podríamos entonces asumir de ahora en adelante, que el

valor de 𝑠𝑒𝑛 (𝜋

6) siempre será

1

2, de igual forma para 𝑡𝑎𝑛 (

𝜋

3) que siempre

tendrá como valor √3.

Actividad 18.1.1

Triángulo 1 Triángulo 2

𝑠𝑒𝑛 (𝜋

2) =

3

√18=

3√18

18=

√2

2

𝑠𝑒𝑛 (𝜋

2) =

15

√450=

15√450

450=

√2

2

Verifique que se cumplen la misma igualdad en las demás

razones en cada triángulo:

𝑐𝑜𝑠 (𝜋

2) = _________ 𝑐𝑜𝑠 (

𝜋

2) = _________

𝑡𝑎𝑛 (𝜋

2) = _________ 𝑡𝑎𝑛 (

𝜋

2) = _________


Trigonometría 16

18.2 El círculo Trigonométrico

Por otra parte, vale la pena preguntarse si esta unicidad del valor, t iene

alguna relación con algún otro elemento y la respuesta es sí: con el Círculo

Trigonométrico.

El círculo trigonométrico es un

círculo especial, que cumple con las siguientes condiciones:

1. Su centro coincide con el origen del sistema de

coordenadas cartesianas o el

punto (0,0)

2. Su radio mide una unidad

Además, note que el sistema de coordenadas divide el plano en

4 porciones de equivalentes o de

igual tamaño, a las cuáles llamaremos cuadrantes.

Figura 18.2.1: círculo t rigonomét rico

En la siguiente figura, se identifican los nombres respectivos de estos

cuadrantes:

Figura 18.2.2: círculo trigonométrico y cuadrantes

1,6

1,4

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,4

-1,6

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 2,5 3

CÍRCULO TRIGONOMETRICO

A

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5

Cuadrante 4

Cuadrante 2

Cuadrante 3

Cuadrante 1


Trigonometría 17

¿Qué relación tiene este círculo especial con la trigonometría?

Si vemos cada uno de los puntos del círculo trigonométrico como un par

ordenado (𝑥, 𝑦) del sistema de coordenadas cartesianas, entonces,

notaremos que los valores de las componentes 𝑥 e 𝑦, coinciden con los

valores de algunas de estas razones trigonométricas estudiadas

previamente, y, ¿cómo es eso posible?.

Seguidamente, se detalla una analogía que nos permit irá llegar a

conclusiones interesantes:

En la figura 7, se muestra un

triángulo rectángulo en el I Cuadrante del sistema de

coordenadas cartesianas. Note

que en este caso la hipotenusa de dicho triángulo posee dimensión

una unidad pues equivale a un

radio del círculo trigonométrico,

que por definición, posee radio de

una unidad. Esta hipotenusa va desde el origen del sistema de

coordenadas (que también es el

centro del círculo trigonométrico)

hasta un punto SOBRE el círculo

trigonométrico el cual hemos denotado como (𝐱, 𝐲).

El eje 𝒙 en conjunto con la

hipotenusa forma un ángulo agudo

cuya dimensión la hemos

denotado con 𝛼. La longitud del

cateto adyacente a 𝛂 coincide con

el valor de la componente 𝐱 del par

ordenado (𝐱, 𝐲).

Figura 18.2.3: propiedades del

círculo t rigonomét rico

Análogamente, la longitud del cateto opuesto a 𝛂 coincide con el valor de

la componente 𝐲 del par ordenado (𝐱, 𝐲). Para el ángulo 𝛼 diremos que el

eje 𝑥 es el lado inicial y su lado final es la hipotenusa del t riángulo rectángulo.

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1 -0,5 0,5 1

1y

x

(x,y)


Trigonometría 18

Actividad 18.2.1

Tomando como referencia la Figura 18.2.3, realice los siguientes cálculos:

𝑠𝑒𝑛(𝛼): __________ 𝑐𝑜𝑠(𝛼): ___________ 𝑡𝑎𝑛(𝛼): __________

Con base en lo anterior, contesta:

¿Qué relación exist e entre el valor del seno, coseno y t angente

de un ángulo del círculo t rigonométrico y las component es "𝑥"

e "𝑦" del punt o donde el lado final de est e cort a o int erseca al

círculo t rigonomét rico?

Retomando el ejemplo de los t riángulos semejantes, habíamos conjeturado

que el valor de la razón trigonométrica para un ángulo en específico,

parece mantenerse invariante, independientemente de las dimensiones del

t riángulo que lo contiene. Para darle más fuerza a este argumento, vamos a

superponer estos triángulos en al primer cuadrante del círculo

trigonométrico, como se muestra en la siguiente figura:

Para el ángulo 𝜋

3

Para construir la figura, se tomaron

los t riángulos de la Figura 4, a quiénes se les hizo una rotación

apropiada. Recordemos que estos triángulos

rectángulos son semejantes, por

tanto sus t res ángulos internos son congruentes.

Note que la hipotenusa de ambos triángulos const ituyen el lado final

del ángulo 𝜋

3 así, ambas hipotenusas

intersecan o cortan al círculo

trigonométrico en un mismo punto y

como previamente se concluyó, la componente 𝑥 de este par

ordenado corresponde al coseno

del ángulo en cuest ión, así como el

Figura 18.2.4:Triángulos rectángulos semejantes en el círculo trigonométrico

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8

10

(x,y)=1

2,

3

2

13

2

1

25

5 3

A


Trigonometría 19

la componente 𝑦 corresponde con

el valor del seno del mismo, lo que nos permite concluir que para

ambos triángulos, el valor de las

razones trigonométricas se mantienen invariantes para un

mismo ángulo. En resumen:

(𝒙, 𝒚) = (𝟏

𝟐,

√𝟑

𝟐) = (𝑠𝑒𝑛 (

𝜋

3) , 𝒄𝒐𝒔 (

𝝅

𝟑))

Actividad 18.2.2

Para los mismos t riángulos de la Figura 18.1.1 y t rabajando

con el ángulo 𝜋

6, realice una rot ación apropiada para cada

uno de ellos, colóquelos superpuest os en el círculo

t rigonométrico t al y como se ilustra en la figura 8. Ut ilice su

figura para calcular los valores de seno y coseno de dicho

ángulo. ¿Cuál debería ser el par ordenado del círculo

t rigonométrico a ut ilizar en est e caso?. Discut a con tus

compañeros de clase.


Trigonometría 20

Sesión N°19

19.1 Ángulos en posición estándar y signo

Una vez estudiado las razones trigonométricas para ángulos agudos, a partir

de triángulos rectángulos, vamos a generalizar más el concepto intentando

en esta nueva sección, dar respuesta a las preguntas: ¿es posible calcular

el valor de alguna razón trigonométrica para un ángulo que no sea agudo?,

¿qué pasaría si tenemos ángulos

negativos?.

Uno de los principales atractivos

turíst icos de la capital de Inglaterra,

Londres, es el conocido Big Ben.

Big Ben es el nombre de la campana

del reloj de cuatro caras ubicado en la

Torre Isabel (Elizabeth Tower). Este reloj

de agujas es el más grande del mundo

y empezó a funcionar en 1859.

Retomando nuestro tema, ¿Qué

importancia tienen los relojes de agujas para la trigonometría?.

Vamos a definir movimiento horario como aquel movimiento que siguen de

las agujas de un reloj y movimiento anti-horario, la dirección opuesta al

movimiento estándar de las agujas. Las siguientes imágenes nos ayudarán a

ilustrar mejor la idea:

Movimiento horario Movimiento Anti-horario

Figura 19.1.1: Dirección de movimientos horario y anti-horario


Trigonometría 21

Cuando medimos un ángulo, la forma tradicional de hacerlo es siguiendo

un movimiento anti-horario y cada ángulo que sea medido siguiendo este

orden, diremos que es un ángulo positivo. Si cambiamos la dirección de la

medición del ángulo, siguiendo el movimiento de las agujas del reloj,

entonces diremos que el ángulo es negativo. Veamos las siguientes

imágenes que nos muestran de forma concreta esta idea:

Ángulo positivo: movimiento anti-

horario

Ángulo negativo: movimiento

horario

Figura 19.1.2: Dirección de movimientos horario y ant i-horario

Siguiendo nuest ro trabajo en el círculo trigonométrico y su respectivo sistema

de coordenadas que lo contiene, y si tomamos el centro del círculo como

el vért ice del ángulo que queremos trabajar, podríamos encontrar varios

formas en las que los ángulos podría representarse. Veamos las siguientes

imágenes donde los ángulos de las ilustraciones, son todos posit ivos.

Caso 1:

Caso 2:

Lado final

Lado inicial

Lado final

Lado inicial

1,5

1

0,5

-0,5

-1

-2 -1 1 2

1,5

1

0,5

-0,5

-1

-2 -1 1 2


Trigonometría 22

Caso 3:

Caso 4:

Figura 19.1.3: ángulos en diferentes posiciones en el círculo trigonométrico y sistema de coordenadas cartesianas

De los cuatro casos anteriores, interesa para efectos de este curso, darle un

tratamiento especial a los ángulos que t ienen la forma del Caso1 a quiénes

llamaremos Ángulos en Posición Estándar, que t iene la característ ica de que

su lado inicial coincide con el semieje posit ivo de las abscisas (la parte

posit iva del eje “x”) y el lado final puede estar en cualquier otro lugar.

Seguidamente mostramos algunos ejemplos de ángulos en posición

estándar:

1,5

1

0,5

-0,5

-1

-2 -1 1 2

1,5

1

0,5

-0,5

-1

-2 -1 1 2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2

Lado final

Lado inicial

4

C

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2

Lado final

Lado inicial

3

4

C


Trigonometría 23

Figura 19.1.4: ángulos en posición est ándar

Como se puede apreciar, en el sistema de coordenadas cartesianas es

posible generar ángulos de cualquier tamaño.

Actividad 19.1.1

Un ángulo en posición estándar cuya medida sea 2𝜋 , representa un círculo,

es decir, un giro o revolución completa. Al respecto y considerando los

ejemplos de la Figura 11, ¿cómo dibujarías el ángulo 2𝜋?, ¿existirán ángulo

mayores que 2𝜋?, en caso de existir, ¿podrías dar algunos ejemplo y

dibujarlos? Discuta con tus compañeros de clase y tu profesor.

Cada uno de los ángulos dibujados anteriormente es posit ivo porque fueron

medidos en sentido anti-horario, pero si cambiásemos la dirección de la

medida usando el sent ido horario, podríamos tener otra manera de

representar al mismo ángulo, pero, con signo negativo. Seguidamente se

muestran los 4 ángulos de la Figura 19.1.4, a part ir de su medición en

dirección horario, es decir, siguiendo las manecillas del reloj:

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2

Lado final

Lado inicial

5

4

C

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2

Lado final

Lado inicial

7

4

C


Trigonometría 24

Figura 19.1.5: ángulos negativos en posición estándar

Para cerrar esta sección, presentamos Figura 13, un compendio ángulos

especiales dentro del estudio de la Trigonometría, cuyo nombre

corresponde a Ángulo Cuadrantales:

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2

Lado final

Lado inicial

-7

4

C

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2

Lado final

Lado inicial

-5

4

C

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2

Lado final

Lado inicial

-3

4

C

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2

Lado final

Lado inicial

-

4

C


Trigonometría 25

Figura 19.1.6: ángulos cuadrantales en posición estándar

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2

Lado final

Lado inicial

C

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2

Lado final Lado inicial

C

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2

Lado final

Lado inicial

C

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2Lado final

Lado inicial

C


Trigonometría 26

Actividad 19.1.2

En cada una de imágenes de la Figura 13, anot a el valor

del ángulo cuadrant al señalado. Con t us compañeros y

profesor, discut a las siguient es pregunt as: ¿por qué estos

ángulos reciben el nombre de ángulos cuadrant ales?,

¿qué propiedad compart en entre sí? (t ome en cuent a la

posición del lado final de cada ángulo y la relación que

est e podría t ener con el sist ema de coordenadas

cart esianas).

Actividad 19.1.3

1) De acuerdo con las siguientes medidas de ángulos en posición

estandar, conteste en qué cuadrante se ubica su lado final:

2) Ubique en el sistema de coordenadas cartesianas el lado final de

cada uno de los ángulos en posición estandar que se indican:

Ángulo Cuadrante Ángulo Cuadrante

𝜋

4 7𝜋

4

4𝜋

5

𝜋

4

5𝜋

4

2𝜋

7


Trigonometría 27

Actividad 19.1.4: Razones trigonométrica para ángulos negativos

En esta actividad vamos a explorar algunos valores de los operadores seno,

coseno y tangente, a part ir tanto de ángulos posit ivos como negativos. El

objet ivo que nos proponemos, es poder encontrar algunos patrones que nos

permitan establecer algunos resultados entre expresiones del t ipo

𝑠𝑒𝑛(𝑥),𝑠𝑒𝑛(−𝑥),cos(𝑥) , cos(−𝑥) , tan(𝑥) 𝑦 tan (−𝑥).

Antes de iniciar, verifica que cuentas con los siguientes materiales:

𝜋

9

−5𝜋

9

7𝜋

6

Lado inicial Lado inicial

−5𝜋

4

Lado inicial Lado inicial


Trigonometría 28

1. Lámina de papel periódico

2. Marcador o pilot

3. Compás y regla (de preferencia

grande)

4. Cartulina de dos colores o papel

construcción de dos colores

Indicaciones generales:

1. Trabaje en grupos de 3 o 4 personas

2. En lámina de papel periódico, construya

un sistema de coordenadas cartesianas y su respectivo círculo trigonométrico.

3. De las cartulinas de colores o las láminas

de papel construcción, recorte dos flechas de longitud igual al radio del círculo

trigonométrico, con un grosor de unos 2 cm. Cada flecha deber ser de diferente

color. Elija uno de los colores para

representar los ángulos posit ivos y el otro para representar los ángulos negativos.

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5


Trigonometría 29

4. Recorte un par de puntos de 1 cm de

radio, uno de cada color usando los dos colores de las flechas.

Al igual que en el punto anterior, uno de los

puntos se usará para señalar la ubicación en el círculo trigonométrico del lado

terminal (que va a estar representado por las flechas construidas en el punto 3) para

cada ángulo posit ivo y el otro color para

los ángulos negativos. Conserve la elección de color para ángulo posit ivos y

negativos escogidos en el punto 3.

5. Elija un punto cualquier sobre el círculo

trigonométrico que esté ubicado en el

primer cuadrante. (no es necesario que le dé un valor numérico, solo tome alguna

ubicación que cumpla las restricciones

para 𝑥 𝑒 𝑦 SOBRE el círculo).

Llame a ese valor de 𝑥 escogido como 𝑥0 y

análogamente para 𝑦, asígnele 𝑦0 . Represente en su círculo trigonométrico el

par ordenado (𝑥0,𝑦0 ).

6. Tomando los valores escogidos en el punto 5, marque en el sistema de coordenadas

los siguientes puntos: (𝑥0,𝑦0 ),(−𝑥0, 𝑦0), (−𝑥0,−𝑦0 ),(𝑥0,−𝑦0 ).

Asegúrese de que queda uno en cada

cuadrante. En la imagen de la izquierda se muestran unas líneas de alineamiento

como guías, es opcional dibujarlas.

Continúa siguiente página

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5

x0,y0

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1 -0,5 0,5 1

x0,-y0 -x0,-y0

-x0,y0 x0,y0


Trigonometría 30

7. Considere los siguientes ángulos en posición estándar sobre los cuáles

vamos a trabajar:

Nombre del

ángulo

Símbolo Posición del lado

final

Alfa 𝛼 (𝑥0,𝑦0 )

Beta 𝛽 (−𝑥0,𝑦0 )

Gamma 𝛾 (−𝑥0,−𝑦0 )

Zeta 𝜃 (𝑥0,−𝑦0 )

8. Para cada uno de los siguientes ángulos, complete las columnas vacías

respectivamente con el par ordenado del círculo trigonométrico

asociado a lado final de dicho ángulo y el cuadrante donde esté

ubicado dicho lado final del ángulo. Trabaje cada par de ángulos

(posit ivo y negativo) por separado y complemente este cálculo

representando gráficamente cada ángulo en el círculo trigonométrico

construido en el paso 2, haciendo uso de los puntos y las flechas

construidas en los puntos 3 y 4 (recuerde que un color representa ángulos

posit ivos y el otro negativos).

Ángulo Par

ordenado

Cuadrante Ángulo Par

ordenado

Cuadrante

𝜶 𝛾

−𝜶 −𝛾

𝜷 𝜃

−𝜷 −𝜃

9. Seguidamente, en la siguiente tabla, calcule los valores que cada una

de las razones trigonométricas alcanza para cada ángulo y anótelos en

los espacios vacíos que corresponda.

Para: 𝜶

Resultado

Para: −𝜶

Resultado

Para: 𝜷

Resultado

Para: – 𝜷

Resultado

𝒔𝒆𝒏(𝜶) 𝑠𝑒𝑛(−𝛼) 𝑠𝑒𝑛( 𝛽) 𝑠𝑒𝑛(− 𝛽)

𝒄𝒐𝒔(𝜶) 𝑐𝑜𝑠(−𝛼) 𝑐𝑜𝑠( 𝛽 𝑐𝑜𝑠(− 𝛽)

𝒕𝒂𝒏(𝜶) 𝑡𝑎𝑛(−𝛼) 𝑡𝑎𝑛( 𝛽) 𝑡𝑎𝑛(− 𝛽)


Trigonometría 31

Para: 𝛄

Resulta

do

Para: – 𝛄

Resulta

do

Para: 𝛉

Resulta

do

Para: −𝛉

Resulta

do

𝒔𝒆𝒏(𝜸) 𝑠𝑒𝑛(−𝛾) 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑠𝑒𝑛(−𝜃)

𝒄𝒐𝒔(𝜸) 𝑐𝑜𝑠(−𝛾) 𝑐𝑜𝑠(𝜃) 𝑐𝑜𝑠(−𝜃)

𝒕𝒂𝒏(𝜸) 𝑡𝑎𝑛(−𝛾) 𝑡𝑎𝑛(𝜃) 𝑡𝑎𝑛(−𝜃)

Analizando los datos obtenidos en las cuatro tablas anteriores, consideras

que: ¿existe alguna relación entre el valor de una razón trigonométrica para

un ángulo posit ivo y su correspondiente ángulo negativo (también se le

puede llamar ángulo opuesto)?. Anote una respuesta para el caso de seno,

otra para el caso de coseno y otra para el caso de tangente.

Actividad 19.1.8

1) Represente los ángulos indicados en cada sistema de coordenadas

cartesianas dibujando el lado final y señalando el sentido de la

revolución:


Trigonometría 32

2) De acuerdo con las siguientes medidas de ángulos en posición

estándar, conteste en qué cuadrante se ubica su lado final:

Ángulo Cuadrante Ángulo Cuadrante

7𝜋

4

7𝜋

3

−7𝜋

4

−17𝜋

9

6𝜋

5

4𝜋

3

−9𝜋

4

8𝜋

3

−15𝜋

9

3𝜋


Trigonometría 33

Sesión N°20

20.1 Ángulos de referencia

Cada ángulo en posición estándar que tracemos en un sistema de

coordenadas cartesianas, t iene un ángulo agudo representativo de este el

cuál llamaremos Ángulo de Referencia y este ángulo de referencia a su vez,

depende de la posición o ubicación del lado final del ángulo en posición

estándar que se esté analizando con respecto a los cuatro cuadrantes.

Seguidamente se muestra de manera visual los ángulos de referencias para

cada caso:

Posición del lado final del ángulo Ángulo de referencia

correspondiente

I Cuadrante

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2

Lado final

Lado inicial

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2

Lado final

Lado inicial


Trigonometría 34

II Cuadrante

III Cuadrante

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2

Lado final

Lado inicial

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2

Lado final

Lado inicial

Ángulo de referencia

A

B

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2

Lado final

Lado inicial

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2

Lado final

Lado inicial Ángulo de referencia

A

B


Trigonometría 35

IV Cuadrante

Figura 20.1.1: ángulos en posición est ándar según cuadrant e y su respect ivo

ángulo de referencia

Haciendo una inspección a las imágenes de la Figura 14, podemos inducir

que el ángulo de referencia siempre corresponde al ángulo agudo que se

forma entre el lado terminal o final del ángulo dado y el eje de las abscisas.

Note que para el caso en el que:

El lado final esté en el primer o cuarto cuadrante, el ángulo de

referencia que le corresponde es el que se forma entre el lado final

de este y el semieje posit ivo de las abscisas. Como nota curiosa, en el

caso part icular cuando el lado final esté en el primer cuadrante, el

valor de este coincide con su ángulo de referencia.

Lado final está en el segundo o tercer cuadrante, entonces su ángulo

de referencia es el ángulo entre el lado final y el semieje negativo de

las abscisas. En el caso de que el lado final esté en el segundo

cuadrante, su ángulo de referencia es lo que falte para llegar al

semieje negativo y en el caso del I I I Cuadrante, sería el sobrante.

Cómo previamente vimos en la sección anterior, existen ángulos

cuadrantales asociados a los semiejes de las abscisas, así, podríamos decir

que los ángulos cuadrantales que cumplen este requisito con 𝜋 𝑦 2𝜋. Cabe

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2

Lado final

Lado inicial

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2

Lado final

Lado inicial



Trigonometría 36

preguntarse: ¿tienen estos dos ángulos cuadrantales alguna utilidad

práctica para calcular ángulos de referencia?.

Desde luego, veamos los siguientes casos, donde calcularemos los ángulos

de referencia para los ángulos dados a continuación:

Cuadro 20.1.1: Ángulo de referencia, según ubicación del ángulo dado

Ángulo dado Ángulo de referencia

𝛼 =𝜋

3 Ubicación: I Cuadrante 𝛼𝑟𝑒𝑓 =

𝜋

3

𝛽 =2𝜋

3

Ubicación: I I Cuadrante 𝛼𝑟𝑒𝑓 = 𝜋 −2𝜋

3=

𝜋

3

𝛾 =10𝜋

7

Ubicación: I I I Cuadrante 𝛼𝑟𝑒𝑓 =10𝜋

7−

𝜋 =3𝜋

7

𝜃 =19𝜋

10

Ubicación: IV Cuadrante 𝛼𝑟𝑒𝑓 = 2𝜋 −19𝜋

10=

𝜋

10

Actividad 20.1.1

Con t us compañeros de clase y profesor, discut a sobre diferentes

maneras para poder ubicar el cuadrant e en el que quedaría el

lado final de un ángulo cualquiera dado. ¿Conoces alguna

est rat egia?. Has t u propuest a en la discusión.


Trigonometría 37

Actividad 20.1.2 Tace cada uno de los ángulos del ejercicio anterior, así como sus respectivos

ángulos de referencia.

En resumen, podríamos decir que para calcular los ángulos de referencia

para un ángulo dado, debemos seguir dos pasos:

1. Identificar el cuadrante de su lado final

2. Aplicar alguna de las siguientes fórmulas según el cuadrante

determinado en el paso 1.

𝜋

3

2𝜋

3

19𝜋

10

10𝜋

7


Trigonometría 38

Cuadro 3:Fórmula para calcular ángulo de referencia, según ubicación del

ángulo dado

Cuadrante Ángulo dado


I

𝜃

𝜃𝑟𝑒𝑓 = 𝜃

II 𝜃𝑟𝑒𝑓 = 𝜋 − 𝜃

III 𝜃𝑟𝑒𝑓 = 𝜃 − 𝜋

IV 𝜃𝑟𝑒𝑓 = 2𝜋 − 𝜃

Actividad 20.1.3

1) Calcule el ángulo de referencia de cada uno de los siguientes ángulos

2) En

cada uno de los siguientes casos, determine un ángulo que tenga

como ángulo de referencia el que se indica y según el cuadrante:

𝑎) 𝐼𝐶. 𝜋

9: ____________

𝑐) 𝐼𝐼𝐼𝐶. 2𝜋

3: ____________ 𝑒) 𝐼𝐶.

𝜋

6: ____________

𝑏) 𝐼𝐼𝐶. 2𝜋

5: ____________ 𝑑) 𝐼𝑉𝐶.

𝜋

5: ____________ 𝑓)𝐼𝐼𝐶.

𝜋

3: ____________

Ángulo Ángulo de

referencia

Ángulo Ángulo de

referencia

𝜋

6 2𝜋

5

7𝜋

6

𝜋

4

7𝜋

4

8𝜋

6


Trigonometría 39

20.2 Razones trigonométricas a partir de ángulos de referencia

Hemos venido trabajando con varios conceptos importante relacionados

con los ángulos dentro del sistema de coordenadas cartesianas, tales como

ángulos en posición estándar, ángulos de referencia y hemos dejado un

poco de lado la idea de las razones trigonométricas.

En esta sección, vamos a ut ilizar todos estos conceptos de manera

integrada y además, generalizaremos el concepto de seno, coseno,

tangente y sus recíprocas, para ángulos de cualquier medida. Para realizar

este trabajo, vamos a dividir esta sección en casos según el cuadrante

donde quede ubicado el lado terminal del ángulo en estudio.

Caso1: el lado terminal del ángulo dado, se encuentra en el I Cuadrante.

Previamente en la Sesión 17, vimos que al ángulo 𝜃 =𝜋

3 le corresponde el

punto (1

2, √3

2) en el círculo trigonométrico, por lo que podríamos concluir que:

𝑠𝑒𝑛(𝜃) =√3

2

𝑐𝑠𝑐(𝜃) =2

√3

=2√3

3

𝑐𝑜𝑠(𝜃) =1

2 𝑠𝑒𝑐(𝜃) = 2

tan(𝜃) =𝑠𝑒𝑛(𝜃)

cos (𝜃)=

√3212

= √3

cot(𝜃) =1

√3=

√3

3

NOTA: para t ener una idea gráfica, recuerde que un ángulo de

𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 equivale a 180°, por lo que 𝜋

3 equivale a

180°

3= 60°.


Trigonometría 40

El ángulo de referencia es un recurso importante para calcular los valores de

las razones trigonométricas para cualquier ángulo en posición estándar, que

son los que interesa trabajar en este material, pero en este caso como el

valor de 𝜃 =𝜋

3 corresponde a un ángulo que está ubicado en el primer

cuadrante, t iene la part icularidad de que su ángulo de referencia, es él

mismo, así:

𝜃 =𝜋

3= 𝜃𝑟𝑒𝑓

Por esa razón, los ángulos que estén en el primer cuadrante, no t ienen

problemas para el cálculo de las razones trigonométricas de forma directa,

pues se ut ilizaría el mismo valor del ángulo.

Caso2: el lado terminal del ángulo dado, se encuentra en el II

Cuadrante.

Vamos a proponernos un nuevo reto intentando calcular el valor de las

razones trigonométricas para el ángulo en posición estándar 𝜃 =2𝜋

3.

Representemos gráficamente este ángulo para ver su relación con el círculo

trigonométrico:

Figura 20.1.2: ángulo en el II cuadrant e y su respect ivo ángulo de

referencia

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2

ref=

3

-1

2,

3

2

=2

3


Trigonometría 41

Note que el lado terminal de esté ángulo se encuentra en el segundo

cuadrante, ¿qué propiedades podríamos determinar para este?.

Vamos haciendo una lista de datos importantes:

1. Al estar el lado terminal de 𝜃 en el segundo cuadrante, note que los

valores de las coordenadas de los puntos que están sobre el círculo

trigonométrico en ese cuadrante cumplen con la propiedad de que

el signo de la componente de las abscisas (eje 𝑥) es negativo mientras

que la componente 𝑦 (de las ordenadas) es posit ivo.

2. Como la componente 𝑥 está asociada con el valor del coseno, esto

hará que esta razón trigonométrica y sus dependientes (tangente,

secante, cotangente) tengan también signo negativo. Dado que la

componente 𝑦 es posit iva, entonces, solo la función seno y su

recíproca cosecante, serán posit ivas. La siguiente tabla, resume esta

idea de los signos para cualquier ángulo 𝜃 que esté en el segundo

cuadrante:

𝑠𝑒𝑛(𝜃) → + 𝑐𝑠𝑐(𝜃) → +

𝑐𝑜𝑠(𝜃) → − 𝑠𝑒𝑐(𝜃) =

1

cos (𝜃)→

+

−= −


cos (𝜃)→

+

−= −

cot(𝜃) =cos (𝜃)

𝑠𝑒𝑛(𝜃)→

−

+= −

3. Para calcular los valores de las razones trigonométricas para 𝜃 =2𝜋

3,

tomaremos el par ordenado del círculo trigonométrico asociado al

lado final del ángulo, como se muestra en la siguiente tabla:


Trigonometría 42

𝑠𝑒𝑛 (2𝜋

3) =

√3

2 𝑐𝑠𝑐 (

2𝜋

3) =

2

√3=

2√3

3

𝑐𝑜𝑠 (2𝜋

3) = −

1

2 𝑠𝑒𝑐 (

2𝜋

3) = −2

tan (2𝜋

3) =

𝑠𝑒𝑛(2𝜋3 )

cos (2𝜋3

)=

√32

−12

= −√3

cot (2𝜋

3) = −

1

√3

= −√3

3

4. Al conocer de previo el punto donde el lado final del ángulo 2𝜋

3 corta

al círculo trigonométrico, el cuál es (−1

2, √3

2) , resulta sencillo completar

los datos de la tabla anterior, no obstante, si observamos con

detenimiento la tabla obtenida para ángulo 𝜋

3 que se trabajó en el

caso 1, se puede notar que la tabla es prácticamente la misma,

excepto los signos negativos para los resultados asociados a las

razones coseno, tangente, secante y cotangente. Como dato

curioso, resulta que 𝜋

3 también coincide con el ángulo de referencia

para 2𝜋

3, entonces, cabe preguntarse, ¿Podría saber el valor de una

razón trigonométrica para un ángulo que esté en el segundo

cuadrante a partir del valor que estas razones tienen para el ángulo

de referencia respectivo?.

La respuesta es sí y eso se puede just ificar bajo el siguiente argumento:

Si 𝜃 es un ángulo en posición estándar ubicado en el segundo

cuadrante, el valor de cualquier razón trigonométrica para este, se

puede calcular a part ir del valor que esta razón trigonométrica t iene

para su ángulo de referencia más el signo de esta razón en el

cuadrante donde quede ubicado el lado final de 𝜃.

El siguiente resumen nos muestra de manera algebraica la idea

anterior para el ángulo 2𝜋

3:


Trigonometría 43

𝑠𝑒𝑛 (2𝜋

3) = 𝑠𝑒𝑛 (

𝜋

3) =

√3

2 𝑐𝑠𝑐 (

2𝜋

3) = 𝑐𝑠𝑐 (

𝜋

3) =

2√3

3

𝑐𝑜𝑠 (2𝜋

3) = − cos (

𝜋

3) = −

1

2 𝑠𝑒𝑐 (

2𝜋

3) = −𝑠𝑒𝑐 (

𝜋

3) = −2

tan (2𝜋

3) = −𝑡𝑎𝑛 (

𝜋

3) = −√3 cot (

2𝜋

3) = −𝑐𝑜𝑡 (

𝜋

3) = −

√3

3

Caso3: el lado terminal del ángulo dado se encuentra en el III

Cuadrante.

Para este nuevo caso, vamos a trabajar con un ángulo en posición estándar

ubicado en el I II Cuadrante, el cual será 𝜃 =4𝜋

3. Representemos

gráficamente este ángulo para ver su relación con el círculo trigonomét rico:

Figura 20.1.3: ángulo en el III cuadrant e y su respect ivo ángulo de

referencia

Note que el lado terminal de esté ángulo se encuentra en el tercer


1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2

ref=

3

-1

2,

- 3

2

=4

3

B

A


Trigonometría 44

Vamos haciendo una lista de datos importantes, los cuáles se resumen en el

siguiente cuadro:

Cuadro 4: Procedimient o para det erminar el signo de la razón t rigonomét rica, según cuadrant e del ángulo dado

Relación Observado

Ángulo dado 𝜃 =

4𝜋

3

Ángulo de referencia 𝜃𝑟𝑒𝑓 =𝜋

3

Lado final del ángulo dado I I I cuadrante

Corte con el círculo trigonométrico (−

1

2, −

√3

2)

Signo de la componente 𝑥 Negativo

Signo de la componente 𝑦 Negativo

Razones trigonométricas posit ivas en el

cuadrante Tangente y cotangente

Razones trigonométricas negativas en el cuadrante

Seno, coseno, cosecante y secante

Actividad 20.2.1

Con t us compañeros de clase y profesor, discut a sobre los aspectos

que expliquen el signo de las razones t rigonométricas, dados en el

cuadro 4.


Trigonometría 45

Ahora, un resumen donde se nos muestra los valores de las razones

trigonométricas para el ángulo 4𝜋

3, a part ir de su ángulo de

referencia 𝜋

3:

𝑠𝑒𝑛 (4𝜋

3) = −𝑠𝑒𝑛 (

𝜋

3) = −

√3

2 𝑐𝑠𝑐 (

4𝜋

3) = −𝑐𝑠𝑐 (

𝜋

3) = −

2√3

3

𝑐𝑜𝑠 (4𝜋

3) = − cos (

𝜋

3) =

−1

2 𝑠𝑒𝑐 (

4𝜋

3) = −𝑠𝑒𝑐 (

𝜋

3) = −2

tan (4𝜋

3) = 𝑡𝑎𝑛 (

𝜋

3) = √3 cot (

4𝜋

3) = 𝑐𝑜𝑡 (

𝜋

3) =

√3

3

Caso4: el lado terminal del ángulo dado se encuentra en el IV

Cuadrante.

Finalmente, nos resta trabajar con un ángulo en posición estándar ubicado

en el IV Cuadrante, el cual estará dado por 𝜃 =5𝜋

3. Representemos

gráficamente este ángulo para ver su relación con el círculo trigonométrico:

Figura 20.1.4: ángulo en el IV cuadrant e y su respect ivo ángulo de

referencia

Note que el lado terminal de esté ángulo se encuentra en el cuarto


1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2

ref=

3

1

2,

- 3

2

=5

3


Trigonometría 46

Vamos haciendo una lista de datos importantes, lo cuáles se resumen en la

siguiente tabla:

Cuadro 20.2.1: Procedimient o para det erminar el signo de la razón t rigonomét rica, est ando en el cuadrant e 4 del ángulo dado

Relación Observado

Ángulo dado 𝜃 =

5𝜋

3

Ángulo de referencia 𝜃𝑟𝑒𝑓 =𝜋

3

Lado final del ángulo dado IV cuadrante

Corte con el círculo trigonométrico (

1

2, −

√3

2)

Signo de la componente 𝑥 Posit iva

Signo de la componente 𝑦 Negativo

Razones trigonométricas posit ivas en el

cuadrante Coseno y secante

Razones trigonométricas negativas en el

cuadrante

Seno, tangente, cosecante y

cotangente


Trigonometría 47

Actividad 20.2.2

Con t us compañeros de clase y profesor, discut a sobre los

aspect os que expliquen el signo de las razones t rigonométricas,

dados en el cuadro 5.

La siguiente tabla nos muestra los valores de las razones trigonométricas para el

ángulo 5𝜋

3, a partir de su ángulo de referencia

𝜋

3:

𝑠𝑒𝑛 (4𝜋

3) = −𝑠𝑒𝑛 (

𝜋

3) = −

√3

2 𝑐𝑠𝑐 (

4𝜋

3) = −𝑐𝑠𝑐 (

𝜋

3) = −

2√3

3

𝑐𝑜𝑠 (4𝜋

3) = cos(

𝜋

3) =

1

2 𝑠𝑒𝑐 (

4𝜋

3) = 𝑠𝑒𝑐 (

𝜋

3) = 2

tan (4𝜋

3) = −𝑡𝑎𝑛 (

𝜋

3) = −√3 cot (

4𝜋

3) = −𝑐𝑜𝑡 (

𝜋

3) = −

√3

3

Actividad 20.2.3

Realiza los cálculos de seno, coseno y t angente para los ángulos: 𝜋

6,

5𝜋

6,

7𝜋

6,

11𝜋

6 . ¿Cómo crees que se comport an las razones seno, coseno

y t angente en cada uno de los ángulos cuadrant ales?. Has los

cálculo que cada una de las razones t rigonométricas indicadas,

t oma para los ángulos 0,𝜋

2, 𝜋,

3𝜋

2, 2𝜋 . Discut e t us result ados con tus

compañeros y profesor.


Trigonometría 48

Sesión N°21

21.1 Ecuaciones trigonométricas

Hasta el momento venimos trabajando con ejercicios donde a part ir de un

ángulo dado, calculamos el valor que cada razón trigonométrica para

dicho ángulo, es decir, el ángulo es dado y la incógnita es el valor que

obtendría al aplicar el operador seno, coseno o tangente.

Por otra parte, podríamos hacer la variante de tener un valor predefinido

para una razón trigonométrica cualquiera, en este caso, el interés se

enfocaría en saber cuál o cuáles son los ángulos que sat isfacen dicho valor.

A este nuevo planteamiento cuando se t iene un valor para una razón

trigonométrica conocido y la incógnita es el ángulo, es lo que conocemos

como Ecuaciones Trigonométricas.

Consideremos el caso de 𝒔𝒆𝒏(𝜽) =𝟏

𝟐

El reto consiste en determinar el valor del ángulo cuyo valor de seno equivale

a 1

2. Como el valor del seno de un ángulo, según hemos visto, equivale a la

componente 𝑦 de un punto que esté sobre el círculo trigonométrico,

podríamos replantearnos el reto inicial de otra manera, es decir, ahora el

objet ivo consiste en determinar el valor del ángulo (podrían ser varios) cuyo

lado final corta al círculo trigonométrico en un punto (𝑥, 𝑦), donde su

componente 𝑦 =1

2= 0,5, es decir, nuestra atención se debe centrar en

buscar un punto de la forma (𝑥,1

2).

Para ilustrar la situación, vamos a trazar una recta horizontal al eje de las

abscisas que pase por el valor de 𝑦 =1

2:


Trigonometría 49

Figura 21.1.1: punto del círculo trigonométrico con coordenada “y=0,5”

Note que la recta 𝑦 =1

2, es una recta horizontal que corta al círculo

trigonométrico en dos puntos, lo que nos hace pensar que el reto inicial no

tendrá solución única, sino, al menos dos soluciones: 𝜃1 , 𝜃2, como se muestra

en la Figura 18. Si tomamos en consideración los signos que toman las

razones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes, podríamos verificar

que para la ecuación 𝑠𝑒𝑛(𝜃) =1

2, al ser el valor de 𝑠𝑒𝑛(𝜃) posit ivo, resulta que

esto ocurre solamente en el I y I I cuadrante, es decir, exactamente donde

se ubica el lado final de los ángulos que podrían ser soluciones, según se

muestra en la figura anterior, por lo que observando el signo desde el inicio,

podríamos determinar dónde se van a encontrar los ángulos solución de la

ecuación por resolver.

Otro detalle que no podemos obviar, es el hecho de que para un mismo

punto se pueden generar infinitos ángulos en posición estándar, como

anteriormente se estudió, entonces, esto nos lleva no solo a considerar dos

posibles ángulo como solución de la ecuación, sino que para cada ángulo

𝜃1, 𝜃2 existen infinitas soluciones, ahora, este escenario nos pone a pensar

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2

y=0,5

- 3

2,

1

2

2

3

2,

1

2

1


Trigonometría 50

sobre cómo podríamos hacer para dar de manera explícita esas soluciones.

Una a una, no sería una buena opción porque son infinitas, a lo mejor

debemos pensar en alguna fórmula que para ciertos valores que podamos

darle a esta, nos genere la solución que se desee. Vamos a tratar de explicar

cómo se puede inducir dicha fórmula.

Vamos a tomar, a manera de

ilustración el ángulo 𝜃2 = 𝜃.

Tenemos la primera solución como se muestra en la figura

de la derecha

Vamos a rotar a 𝜃2 una

revolución completa, lo que

equivale a sumarle 2𝜋, así tendríamos el nuevo ángulo

𝜃2 = 𝜃 + 2𝜋, como se muestra

en la figura. Note que este ángulo comparte el mismo

lado inicial y terminal de 𝜃2 .

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2

- 3

2,

1

2

2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2

- 3

2,

1

2

+ 2


Trigonometría 51

Realizamos el mismo

procedimiento, rotando ahora

el nuevo ángulo 𝜃2 una revolución completa más, es

decir, le sumamos 2𝜋. De esta manera, se tendría:

𝜃2 = 𝜃 + 2𝜋 + 2𝜋 = 𝜃 + 4𝜋

Figura 21.1.2: generación de ángulo en posición estándar de diferente medida, pero igual lado terminal.

Analizando con detalle las t res representaciones anteriores, podríamos de

manera análoga o similar, continuar generando ángulos que sean

soluciones continuando el procedimiento de sumar 2𝜋 las veces que se

desee, así y tomando en cuenta este patrón de seguir sumando 2𝜋,

podríamos inducir una fórmula general que nos permita concentrar todas

las soluciones en ella. Veamos el siguiente análisis:

Caso base, con cero

revoluciones

𝜽𝟐

= 𝜽 + 𝟐 ∙ 𝟎 ∙ 𝝅

Primera revolución

completa

𝜃2

= 𝜃 + 2 ∙ 𝟏 ∙ 𝜋

Segunda revolución completa

𝜃2

= 𝜃 + 2 ∙ 𝟐 ∙ 𝜋

Tercera revolución 𝜃2

= 𝜃 + 2 ∙ 𝟑 ∙ 𝜋

Cuarta revolución 𝜃2

= 𝜃 + 2 ∙ 𝟒 ∙ 𝜋

Quinta revolución 𝜃2

= 𝜃 + 2 ∙ 𝟓 ∙ 𝜋

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2

- 3

2,

1

2

+ 4


Trigonometría 52

Aunque todos los ángulos anteriores son soluciones de la ecuación original,

note que la diferencia entre una solución y otra, es ese número que aparece

destacado en negrita en la secuencia anterior, el cual semeja una cadena

de número naturales. Si creamos una variable 𝑘 de manera que 𝑘 =

0,1,2,3,4,5, …, podríamos escribir la solución general para el caso 𝜃2de la

siguiente manera:

𝜃2 = 𝜃 + 2𝒌𝜋

NOTA: Análogamente est a fórmula funciona para dar las soluciones

para aquellas ecuaciones dadas en t érminos de cosenos.

El ángulo de referencia es un recurso importante para calcular los valores de

las razones trigonométricas y por ende, será un gran aliado para resolver

ecuaciones de este t ipo.

Retomemos nuestra ecuación original y vamos a definir una estrategia para

resolver ecuaciones trigonométricas usando toda la información que hemos

venido estudiando hasta el momento.

Recordemos, el ejercicio consiste en determinar los ángulos 𝜃 que sat isfagan

𝑠𝑒𝑛(𝜃) =1

2:

Cuadro 21.1.1: Procedimient o para resolver la ecuación 𝑠𝑒𝑛(𝜃) =1

2

Aspecto a analizar Resultado Conclusión

Signo de la razón trigonométrica

Posit ivo Solución en el I y II cuadrante

Despeje del ángulo de referencia en

𝑠𝑒𝑛(𝜃𝑟𝑒𝑓) =1

2

𝜃𝑟𝑒𝑓 =𝜋

6 El ángulo encontrado

es el ángulo de

referencia que se usa

para determinar las verdaderas soluciones

para 𝜃 de acuerdo con


Trigonometría 53

el cuadrante donde se

encuentre este.

La explicación de

cómo despejar el

ángulo, aparece al final de la tabla.

Solución para el I Cuadrante

𝜃1 =𝜋

6+ 2𝒌𝜋

El ángulo de referencia en el primer cuadrante

es equivalente al

ángulo solución.

Solución para el II

Cuadrante 𝜃2 =

5𝜋

6+ 2𝒌𝜋

El ángulo solución para

el segundo cuadrante se obtiene a part ir del

ángulo de referencia

de la siguiente manera:

𝜋 −𝜋

6=

5𝜋

6.

𝑠 = {𝜋

6+ 2𝒌𝜋,

5𝜋

6+ 2𝒌𝜋} , 𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 0,1,2 …

Posiblemente la pregunta que ahora se están haciendo, es cómo fue que

se encontró el ángulo de referencia. Veamos el siguiente proceso:

Situación inicial Razón trigonométrica

aplicada

Resultado

𝜃 =𝜋

6 𝑠𝑒𝑛 (

𝜋

6) 1

2

Siguiendo el orden de izquierda a derecha, vemos que primeramente

tenemos un ángulo, le aplicamos operador trigonométrico que en este caso

es un seno y esta nos devuelve un valor único que es 1

2 , entonces, ¿Qué

pasaría si pensamos el mismo proceso en dirección contraria o a la inversa?.


Trigonometría 54

En ese caso, tendríamos la siguiente situación:

Situación inicial Razón trigonométrica

aplicada

Resultado

1

2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (

1

2) = 𝑠𝑒𝑛−1 (

1

2) 𝜃 =

𝜋

6

Es decir, iniciamos con un valor, le aplicamos un proceso inverso al seno que

llamaremos arcoseno (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (1

2)) o seno inverso (𝑠𝑒𝑛−1 (

1

2)) y así obtenemos

como resultado el valor del ángulo que al aplicarle seno, nos da como

resultado 1

2 . El Cuadro 6 resume operaciones inversas para cada las t res

razones trigonométricas básicas, tomando en cuenta a 𝜃 como el ángulo y

𝑧 un número válido para la razón trigonométrica en estudio:

Cuadro 21.1.2: Operadores inversos para las razones t rigonomét ricas

Razón

trigonométrica

Operador inverso

𝒔𝒆𝒏(𝜽) = 𝒛 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (𝑧) = 𝑠𝑒𝑛−1(𝑧)

= 𝜃

𝒄𝒐𝒔(𝜽) = 𝒛 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (𝑧) = 𝑐𝑜𝑠−1(𝑧)= 𝜃

𝒕𝒂𝒏(𝜽) = 𝒛 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (𝑧) = 𝑡𝑎𝑛−1 (𝑧)

= 𝜃


Trigonometría 55

Actividad 21.1.1

En el Cuadro 6 t enemos ecuaciones t rigonométricas de tres

formas dist intas 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑧, 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 𝑧 y 𝑡𝑎𝑛(𝜃) = 𝑧. Para que cada

una de est as ecuaciones t enga sent ido, ¿será posible que z

pueda t omar cualquier valor real o exist en rest ricciones?. Analice

cada ecuación por separado y discut e t us result ados con tus

compañeros y el profesor.

NOTA: para despejar los ángulos a part ir de un valor dado, puede

usar t u calculadora. Por ejemplo, en el caso de la ecuación

previamente resuelt a 𝑠𝑒𝑛(𝜃) =1

2, se podría despejar 𝜃 en la

calculadora, siguiendo los siguient es pasos para las t eclas:

Shift + sin +1

2.

Seguidamente, resolveremos otro ejemplo de ecuación 𝐜𝐨𝐬(𝜽) = −𝟏

𝟐.

Cuadro 21.1.3: Procedimient o para resolver la ecuación 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = −1

2


Signo de la razón

trigonométrica

Negativo Solución en el I I y III

cuadrante

Despeje del ángulo

para: 𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑟𝑒𝑓 ) =1

2 (ojo

que para encontrar el

ángulo de referencia, t rabajamos el valor en

posit ivo. El signo

negativo cumplirá solamente la función

de indicarnos el cuadrante donde

estaría la solución)


3 Valor del ángulo de

referencia


Trigonometría 56

Solución para el II

Cuadrante 𝜃1 =

2𝜋

3+ 2𝒌𝜋

Para el I I cuadrante, el

ángulo solución sería:

𝜋 −𝜋

3=

2𝜋

3.

Solución para el III

Cuadrante 𝜃2 =

4𝜋

3+ 2𝒌𝜋

El ángulo solución para

el tercer cuadrante:

𝜋 +𝜋

3=

4𝜋

3.

𝑠 = {2𝜋

3+ 2𝒌𝜋,

4𝜋

3+ 2𝒌𝜋} , 𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 0,1,2 …

Un tercer y último ejemplo de esta sección a resolver, es 𝒕𝒂𝒏(𝜽) = 𝟏

Vamos a trabajar este ejercicio con más detenimiento, porque el caso de

las ecuaciones que involucran tangentes no se resuelven exactamente de

la misma manera que aquellas que involucran senos o cosenos, de este

modo, estas ameritan un trato especial.

Recordemos que las razones seno y coseno, toman sus valores de las

componente "𝑦" y "𝑥" de los puntos que se ubican sobre el círculo

trigonométrico y eso hace que una vez que se encuentre el punto donde el

lado terminal del ángulo corte al círculo trigonométrico, para volver a repetir

dicho punto, se requiere rotar el lado terminal una revolución completa de

2𝜋, como hemos visto en los ejemplos anteriores. Con esto, podríamos decir

que las razones seno y coseno tienen período 𝟐𝝅.

Por otra parte, para el caso de la razón tangente, se debe tomar en cuenta

que el valor de la tangente para un ángulo dado, no se puede observar en

las componentes de un punto que esté sobre el círculo trigonométrico, sino

que los valores de esta razón se construyen a part ir del cociente de dichas

componentes, como recordaremos:


cos (𝜃)=

𝑦

𝑥

Donde (𝑥, 𝑦) = (cos(𝜃) , 𝑠𝑒𝑛(𝜃)) es un punto sobre el círculo trigonométrico.


Trigonometría 57

Con lo anterior, cabe preguntarse: ¿qué combinaciones de valores para

seno y coseno deben darse para generar un mismo valor para la tangente?.

Veamos el siguiente análisis:

Consideremos el punto (√2

2, √2

2), un

punto sobre el círculo trigonométrico. A este punto se le

asocia un ángulo que llamaremos 𝜃1, como se aprecia en la imagen

de la derecha.

Si se desea calcular:

tan(𝜃1) =𝑠𝑒𝑛(𝜃1)

cos (𝜃1)=

√22

√22

= 1

¿Qué pasaría si rotas 𝝅 radianes a

𝜽𝟏?

Para rotar a 𝜃1 una cantidad de 𝜋

radianes, lo que debemos hacer es

movilizar el lado terminal de 𝜃1 al

punto (− √2

2, − √2

2), como se muestra

en la imagen de la derecha. Con

estos nuevos valores del punto, calculemos el valor de la tangente

en ese punto:

tan(𝜃1 + 𝜋) =𝑠𝑒𝑛(𝜃1 + 𝜋)

cos (𝜃1 + 𝜋)=

−√22

−√22

= 1

Lo que nos da como resultado el

mismo valor de la tangente para el caso del ángulo 𝜃

Figura 21.1.3: ángulos en círculo t rigonomét rico que compart en un mismo

valor t angencial.

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2

2

2,

2

2

1

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2

- 2

2,

- 2

2

1+


Trigonometría 58

En resumen, hemos logrado encontrar otro ángulo a part ir de un ángulo

dado que se encuentra a una distancia de 𝝅 radianes y que comparte el

mismo valor para la tangente del ángulo original. Lo anterior, es una

part icularidad de la razón tangente, lo que hace que para ella su período

sea de 𝝅, a diferencia de seno y coseno cuyo período es de 2𝜋.

Haciendo un análisis inductivo, podemos ver el siguiente comportamiento

de ángulos que podría ser solución dentro de las ecuaciones tangentes:

Caso base, con cero revoluciones

𝜽𝟏 = 𝜽 + 𝟎 ∙ 𝝅

Primera media revolución 𝜃1 = 𝜃 + 𝟏 ∙ 𝜋

Segunda media

revolución

𝜃1 = 𝜃 + 𝟐 ∙ 𝜋

Tercera media revolución 𝜃1 = 𝜃 + 𝟑 ∙ 𝜋

Cuarta media revolución 𝜃1 = 𝜃 + 𝟒 ∙ 𝜋

Quinta media revolución 𝜃1 = 𝜃 + 𝟓 ∙ 𝜋

Para todas las soliciones anteriores, se hizo una rotación de 𝝅 radianes y esto

va generando una secuencia de número naturales, que si creamos una

variable 𝑘, donde que 𝑘 = 0,1,2,3,4,5, …, podríamos escribir la solución general

para el caso 𝜃2de la siguiente manera:

𝜃2 = 𝜃 + 𝒌𝜋

Por lo que diremos que la razón tangente tiene período 𝝅.

Retomando nuestro ejercicio inicial, procedemos a resolver la ecuación

𝑡𝑎𝑛(𝜃) = 1:

Cuadro 21.1.4: Procedimient o para resolver la ecuación 𝑡𝑎𝑛(𝜃) = 1


Signo de la razón

trigonométrica

Posit ivo Solución en el I y III

cuadrante.

Despeje del ángulo

para: 𝑡𝑎𝑛(𝜃𝑟𝑒𝑓 ) = 1 𝜃𝑟𝑒𝑓 =

𝜋


referencia


Trigonometría 59

Solución base para el I Cuadrante

𝜃1 =𝜋

4

La primera solución coincide con el ángulo

de referencia. No es

necesario generar la solución para el III

cuadrante, porque esta automáticamente

está contemplada en

la fórmula ut ilizada para dar las solución, a

part ir del período 𝜋.

Todas las soluciones en el I y I I I Cuadrante

𝜃2 =𝜋

4+ 𝒌𝜋

Al aumentar 𝒌𝜋, se van generando todas las

soluciones en ambos cuadrantes donde esto

podría ocurrir.

𝑠 = {𝜋

4+ 𝒌𝜋} , 𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 0,1,2 …

Finalmente, resolvamos el siguiente caso: 𝒕𝒂𝒏(𝜽) = −𝟏.

Cuadro 21.1.5: Procedimient o para resolver la ecuación 𝑡𝑎𝑛(𝜃) = −1


Signo de la razón

trigonométrica

Negativo Solución en el II

cuadrante y IV. Trabajaremos como

ángulo base el del II cuadrante.

Despeje del ángulo

para: 𝑡𝑎𝑛(𝜃𝑟𝑒𝑓 ) = 1

(Trabajamos en posit ivo).



referencia


Trigonometría 60

Solución base para el II Cuadrante

𝜃1 = 𝜋 −𝜋

4=

3𝜋

4

La primera solución coincide con el ángulo

de referencia.

Todas las soluciones en

el I I y IV Cuadrante 𝜃2 =

3𝜋

4+ 𝒌𝜋

Al aumentar 𝒌𝜋, se van

generando todas las

soluciones en ambos cuadrantes I I y IV.

𝑠 = {3𝜋

4+ 𝒌𝜋} ,𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 0,1,2 …

Actividad 21.1.2

En los Cuadros 5 y 7, se t rabajaron ecuaciones usando como base los

operadores seno y coseno, not e que a part ir del signo de est os se

det erminaban dos posibles soluciones según los cuadrant es donde el

signo para dicho operador fuese válido. Luego, una vez que se

det ermina cada ángulo en cada cuadrant e donde hay una solución,

se debe generar una solución general por separado, algo que NO

ocurrió en los Cuadros 8 y 9 donde el operador era t angente. Para

discut ir con t us compañeros est os argument os t rata de responder la

pregunt a, ¿t endrá algo que ver los cuadrant es donde est arían las

soluciones en los casos de los operadores seno o coseno, con respect o

a los cuadrant es sugeridos cuando el operador es t angente?. Anote

en su cuaderno los cuadrant es que se propondrían en el caso en el

que una ecuación t rigonométrica con seno, coseno y t angente sea

posit iva y de igual manera cuando es negat iva.


Trigonometría 61

Actividad 21.1.3 Dejar asignado el proyecto de construcción del Teodolito con el resto de

medición incluido. En esta sesión se deben explicar claramente las reglas

del juego.

La actividad detallada se encuentra al inicio de la Sesión N°22

Actividad 21.1.4

1) Determine si cada uno de los siguientes puntos pertenecen al círculo

trigonométrico:

a) (√2

2, √2

2) b) (√5

2, √3

2) c) (

−√2

2, √2

2) d) (

−1

2,

−√3

2)

e)

f) (√3

2,

1

2) g) (

7

3,

−√3

2) h) (−1,0) i) (0,1)

¿Qué se puede concluir de los puntos de los ejercicios g y h con

respecto al ángulo comparándolos con los demás?

2) Encuentre las coordenadas de cada uno de los puntos sobre el círculo

trigonométrico de cada ángulo:

a) 𝜃 =−𝜋

2 b) 𝜃 =

5𝜋

2 c) 𝜃 = −𝜋 d) 𝜃 = 3𝜋

e) 𝜃 =13𝜋

4 f) 𝜃 =

−𝜋

4 g) 𝜃 =

11𝜋

4 h) 𝜃 =

−7𝜋

4

3) Reseulva las siguientes ecuaciones, exprese el resultado considerando

todas las posibles soluciones:

a) tan 𝜃 = 0 b) sen 𝜃 =−1

2 c) cos 𝜃 =

1

2

d) cos 𝜃 =−√3

2

e) tan 𝜃 = √3 f) sen 𝜃 =√2

2


Trigonometría 62

Sesión N°22

22.1 Proyecto construcción y uso de un teodolito

Objetivo: Aplicar los conceptos trigonométricos aprendidos, en la

construcción de un instrumento de medición llamado Teodolito, y su

posterior uso para resolver casos part iculares del contexto.

Indicaciones:

1. Investiga qué es un Teodolito, así como posibles modelos a seguir para

construir uno.

2. Define cuál modelo vas a ut ilizar y haz un listado de materiales a

emplear.

3. Una vez que cuentes con los materiales e instrumentos a ut ilizar, inicia

su construcción. En esta sección debes documentar con fotografías y

capturas de vídeos todo el proceso de construcción del teodolito.

4. Cuando lo hayas construido, ut iliza algunos elementos u objetos

relat ivamente pequeños (bicicleta, banca, una pequeña planta,

etc), de los que t ienes en casa, para realizar mediciones y compara si

los resultados obtenidos son muy cercanos a los verdaderos.

5. El profesor les asignará en la clase el objeto a medir con el instrumento

construido. Toma en cuenta que el profesor sí conoce la medida del

objeto designado a medir, por lo que al final de la actividad, se tendrá

como objet ivo comparar tus resultados con los reales.

6. Realiza un vídeo donde se recolecten todas las imágenes de los

procedimientos anteriores.

7. Prepare una exposición de su trabajo. Proyecte el vídeo al resto del

grupo y al profesor.


Trigonometría 63

22.2 Ley de senos

Para un triángulo cualquiera, como el que se muestra en la figura adjunta,

se cumple las proporciones indicadas:

El siguiente enlace te

conduce a

una guía en la que podrás

conocer qué es la ley de

los senos.

https://es.kha

nacademy.or

g/math/trigonometry/trig-

with-general-t riangles/law-

of-

sines/v/law-of-sines

Actividad 22.2.1

1. Determine la medida de x en el siguiente triángulo:

https://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-with-general-triangles/law-of-sines/v/law-of-sines










Trigonometría 64

2. Determine en forma aproximada, la medida del ángulo 𝛼 y la medida

de x en el siguiente triángulo:

3. En el t riángulo 𝑀𝑁𝑄, las longitudes de dos de sus lados son 𝑛 = 9 𝑐𝑚 y

𝑚 = 6 𝑐𝑚. Calcular la medida de ∠𝑄𝑀𝑁 y ∠𝑀𝑁𝑄.

4. Dos futbolistas corren tras el balón, en el momento en que el balón

deja de rodar, dichos futbolistas se encuentra a una distancia entre ellos de 7 metros, formando ángulos entre las líneas que se trazan entre

ellos y entre el balón y ellos de 35º y 40º como se muestra en la figura. Determine cuál de los dos futbolistas está más cerca del balón,

calculando la distancia a la que se encuentra cada uno de dicho

balón. (valor 6 puntos)


Trigonometría 65

5. En el lanzamiento del mart illo se puede demostrar que la distancia

máxima se alcanza con un ángulo de lanzamiento 𝜃 (medido desde

la horizontal) que sat isfaga

𝑐𝑜𝑠2𝜃 =𝑔ℎ

𝑣02 + 𝑔ℎ

donde ℎ es la altura del mart illo sobre el suelo, en el lanzamiento, 𝑣0

es la velocidad inicial y 𝑔 es la aceleración de la gravedad. Para 𝑣0 =

13.7 𝑚/𝑠 y ℎ = 2.25 𝑚, calcule el ángulo óptimo de lanzamiento. Use

𝑔 = 9.81 𝑚/𝑠2.

40º

35º

7 m


Trigonometría 66

𝜃

𝑅

6. En el diseño de las carreteras y los ferrocarriles, las curvas t iene un

peralte para producir una fuerza centrípeta que proporcione seguridad. El ángulo 𝜃 óptimo para un peralte se define con tan 𝜃 =𝑣2/𝑅𝑔, donde 𝑣 es la velocidad del vehículo, 𝑅 el radio de la curva y

𝑔 es la aceleración de la gravedad. Ver Figura.

Como indica la fórmula, para determinado radio no hay un ángulo

que sea correcto para todas las velocidades. En consecuencia las

curvas t ienen peralte para la velocidad promedio del t ráfico en ellas.

Calcule el ángulo correcto de peralte para una curva de 600 pies de

radio, en una carretera secundaria donde las velocidades son de

30 𝑚𝑝ℎ en promedio. Use 𝑔 = 32 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠2. (Sugerencia: use unidades

consistente).

7. Visto desde un costado, un cono de cenizas volcánicas se ve como

un trapezoide isósceles. Los estudios de conos de ceniza que t ienen

menos de 50 000 años indican que la altura 𝐻𝑐𝑜 del cono y el ancho

𝑊𝑐𝑟 del cráter se relacionan con el ancho 𝑊𝑐𝑜 del cono mediante las

ecuaciones:

𝐻𝑐𝑜 = 0.18 𝑊𝑐𝑜 y 𝑊𝑐𝑟 = 0.40 𝑊𝑐𝑜

Si 𝑊𝑐𝑜 = 1.00, con estas ecuaciones determine el ángulo 𝜙 de la base

del t rapezoide como se muestra en la figura:


Trigonometría 67

8. Un globo sobrevuela un terreno plano; el piloto del globo observa a

varias personas situadas en los punto 𝐴 y 𝐵 en el terreno, cuya

distancia entre ellos es de 75 m, con un ángulo de depresión de 61º 24′, respecto al punto 𝐴 y 43º 15′, respecto al punto 𝐵. ¿A que

distancia del globo se encuentra cada punto sobre el terreno? ¿Cuál

es la altura a la que se encuentra el globo?

9. Para medir la anchura de un río, se sitúan los puntos 𝐴 y 𝐵 en la orilla

separados entre ellos por una distancia de 12.16 m, al otro lado del río

B A


Trigonometría 68

se localiza el punto C sobre un árbol. ¿Cuánto mide el ancho del río si

el ∠𝐴𝐵𝐶 = 47º y ∠𝐵𝐴𝐶 = 112º. (Realice un bosquejo del problema)

10. Un leñador situado en la falda del volcán Arenal observó una

fumarola de 1500 m según el reporte presentado en un noticiero. Determine a qué distancia del cráter se encuentra situado el leñador

si lo observa con un ángulo de elevación de 13º y el punto máximo de

la fumarola lo observó con un ángulo de elevación de 65º. (Realice un bosquejo del problema)


Trigonometría 69

BIBLIOGRAFÍA

Guzmán, J. Nuñez, J. (2004). Álgebra y Trigonomet ría. Toluca, México.

Porras, V y Gamboa, G.A.(2006). Mat emáticas 11º. Ed. San José. Costa

Rica.

Porras, V y Porras, J.(2014). Mat emát icas 9º. Ed. San José. Costa Rica.


Trigonometría 70

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Universidad Técnica Nacional · Universidad Técnica Nacional Área de Matemáticas Trigonometría 3 Conceptos preliminares para el módulo Para el estudio de este material, de que