UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LA MIXTECAjupiter.utm.mx/~tesis_dig/13070.pdf · 2019. 6. 12. · largo del trabajo; de igual forma se describe el modelo bajo estudio. En el segundo cap

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LA MIXTECA

“ESTUDIO DE LAS PROPIEDADES ESPECTRALES Y DE AUTOESTADOS

DE REDES CON PÉRDIDAS Y GANANCIAS”

TESIS

QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:

INGENIERO EN FÍSICA APLICADA

PRESENTA:

CLAUDIA TERESA MARTÍNEZ MARTÍNEZ

DIRECTORES DE TESIS

DR. JOSÉ ANTONIO MÉNDEZ BERMÚDEZ

LIC. GUSTAVO JIMÉNEZ SANTANA

HUAJUAPAN DE LEÓN, OAXACA, MÉXICO

JULIO 2016

©2016 - Claudia Teresa Martınez Martınez

Derechos Reservados

En memoria de mi padre,

Jose Alfredo Martınez Moscoso.

Agradecimientos

Quiero expresar mis mas sinceros agradecimientos,

A mi madre Julia Isabel Martınez Cruz, por su apoyo incondicional en todo momento,su amor y su paciencia, ademas de las ensenanzas que me ha dado a lo largo de mivida.

A mi padre Jose Alfredo Martınez Moscoso, que aunque ya no esta fısicamente unagran parte de este logro es suyo, ya que el fue quien siempre me motivo a estudiar yme apoyo hasta el ultimo momento.

A mi hermana Tania Ivette Martınez Martınez, porque siempre ha creıdo en mı,siempre ha estado para escucharme y darme animos cuando mas lo he necesitado, meha apoyado incondicionalmente y por todo el amor que me demuestra.

A mi abuela Teresa Moscoso Cruz, por apoyarme siempre y darme buenos consejos.

A Nathalia por los grandes momentos de alegrıa que ha traıdo a mi vida.

A mis asesores, el Dr. Jose Antonio Mendez Bermudez por darme la oportunidad detrabajar con el en este proyecto, por dedicarme una parte de su tiempo y por todoel apoyo que me brindo durante esta etapa; al Lic. Gustavo Jimenez Santana por suapoyo y comentarios para mejorar este trabajo.

A mis sinodales Dr. Jorge Gonzalez Garcıa, Dr. Hugo David Sanchez Chavez y Dr.Ricardo Rosas Rodrıguez por su colaboracion en la revision de este trabajo, ya quecon sus comentarios este trabajo pudo mejorarse.

A mis profesores de la universidad, quienes fueron muy importantes en mi formacion

vi Agradecimientos

profesional, especialmente Dr. Raul Juarez Amaro, M.C Luciano Moyotl Coyomani,Dr. Domingo Salazar Cruz, Dr. Rafael Martınez Martınez y M. C Mario LomelıHaro.

Al Instituto de fısica Luis Rivera Terrazas, por el apoyo bridado para realizar estetrabajo.

A la Universidad Tecnologica de la Mixteca por cobijar mis estudios durante todosestos anos.

A mis amigos que me acompanaron durante estos anos en la Universidad: Vıctor,Artemisa, Tono, Cesar y Divanni y finalmente a mis companeros de IFUAP,especialmente a mi amigo Josue.

Estudio de las propiedades espectrales yde autoestados de redes con perdidas y ganancias.

Resumen

En el presente trabajo estudiamos las propiedades espectrales y de autoestados deredes aleatorias, con la finalidad de estudiar un modelo de referencia que considereredes con perdidas y/o ganancias, que pueda ser aplicado a redes realistas con perdidasy/o ganancias tales como redes electronicas, redes electricas, redes de potencia, etc.En el primer capıtulo se introducen los conceptos y tecnicas que se utilizaran a lolargo del trabajo; de igual forma se describe el modelo bajo estudio. En el segundocapıtulo se reproducen los resultados reportados en la literatura sobre las propiedadesespectrales de redes de tipo Erdos-Renyi; esto con la finalidad de utilizarlos comoreferencia para el analisis del modelo con perdidas y ganancias. Posteriormente, enel tercer capıtulo, se estudian las propiedades espectrales y de autoestados de redesde tipo Erdos-Renyi pero introduciendo perdidas y ganancias de manera ordenaday en el cuarto capıtulo se realiza el mismo estudio pero esta vez las perdidas yganancias son introducidas en la red de manera desordenada. Finalmente, despues deaplicar un analisis de escalamiento, encontramos un parametro que fija las propiedadesespectrales y de autoestados de nuestro modelo de redes con perdidas y ganancias.

Contenido

1 Introduccion 31.1 Redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Clasificacion de redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Modelo de Erdos-Renyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Matriz de adyacencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Teorıa de matrices aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 Propiedades estadısticas en la banda central . . . . . . . . . . 9

1.3 Modelo de enlace fuerte de Anderson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Planteamiento del problema y objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Modelo de Erdos-Renyi con desorden maximo 152.1 Propiedades espectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Propiedades de autoestados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Modelo de Erdos-Renyi con perdidas y ganancias. Caso regular. 253.1 Descripcion del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Propiedades de autoestados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3 Propiedades espectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Modelo de Erdos-Renyi con perdidas y ganancias. Casodesordenado. 414.1 Descripcion del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Propiedades de autoestados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3 Propiedades espectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5 Conclusiones 49

A Figuras Complementarias 51

Bibliografıa 57

1

Capıtulo 1

Introduccion

En este capıtulo se presentan conceptos y definiciones que se utilizaran a lo largode la Tesis. Tambien se enuncian los objetivos de la misma.

1.1 Redes

Una red es un conjunto de nodos o vertices que se unen mediante aristas. Las redesson utilizadas para representar sistemas complejos como redes sociales, la internet yecosistemas. Dependiendo de la aplicacion, los vertices y aristas tienen diferentessignificados [1]. En la Fig. 1.1 se presentan algunos ejemplos de redes. En el casode una red neuronal [ver Fig. 1.1(a)] los vertices son las neuronas y las aristas lassinapsis, por otra parte en la red del metro de la ciudad de Mexico [ver Fig. 1.1(b)]los vertices son las estaciones y las aristas las lıneas que conectan una estacion conotra, mientras que en el caso de una red social [ver Fig. 1.1 (c)] los vertices son laspersonas y las aristas distintas relaciones que puede haber entre ellas como amistades,colaboraciones de trabajo, etc.

El estudio de las redes, en la forma matematica de teorıa de grafos, es uno de lospilares fundamentales de las matematicas discretas. El origen de la teorıa de grafos

(a) Red neuronal (b) Red del metro (c) Red social

Figura 1.1: Ejemplos de redes (imagenes tomadas de internet).

3

4 Capıtulo 1: Introduccion

Figura 1.2: Ejemplos de redes (a) deterministas, (b) fractales y (c) aleatorias. Imagen tomada

de [3].

se remonta al siglo XVIII con el problema de los puentes de Konigsberg. El trabajode Leonhard Euler sobre el problema titulado “Solutio problematis ad geometriamsitus pertinentis”, en 1736, se cita a menudo como la primera prueba verdadera dela teorıa de redes. Durante el siglo XX la teorıa de grafos se ha convertido en unaimportante area de conocimiento [2].

En los ultimos anos el interes en estudiar las propiedades estructurales ydinamicas de las redes complejas ha crecido considerablemente. Durante las ultimasdecadas se han publicado cientos de artıculos sobre este tema en revistas deinvestigacion cientıfica de diferentes disciplinas que abarcan muy distintas areas comofısica, biologıa, sociologıa, neurologıa, economıa y medicina, por mencionar algunosejemplos. El interes en las redes complejas radica en que nos hemos dado cuentade que dichas redes abundan en la naturaleza, son parte de nuestra vida diaria y sepresentan en diferentes niveles de organizacion. Por ejemplo, algunas redes biologicasque encontramos en el nivel microscopico son las redes de regulacion genetica, redesde proteınas, redes neuronales, redes metabolicas. Por otro lado, a un nivel deorganizacion mucho mayor, encontramos redes de comunicacion e informaticas (lared de internet, la red informatica mundial –www por sus siglas en ingles, redestelefonicas, etc.), redes sociales (amistades, colaboradores cientıficos, propagacionde enfermedades, etc.), redes ecologicas (interacciones troficas en un ecosistema).Podemos ver entonces que las redes complejas son ubicuas.

1.1.1 Clasificacion de redes

Existen diversas clasificaciones de redes, pero en esta Tesis elegimos la que lasclasifica como deterministas, fractales y aleatorias [3]. Las redes deterministasy fractales se pueden construir siguiendo reglas especıficas, ver por ejemplo lasFigs. 1.2(a-b). Mientras que las redes aleatorias se construyen al fijar un conjuntode parametros propios de la red (por ejemplo el numero de nodos y/o el numero dearistas) pero la distribucion de las aristas es aleatoria, ver un ejemplo en la Fig. 1.2(c).

Capıtulo 1: Introduccion 5

Figura 1.3: Red de tipo Erdos-Renyi con (a) α = 0, (b) 0 < α < 1 y (c) α = 1.

En este ultimo caso no tiene sentido estudiar una sola red aleatoria, en lugar de esto sedebe realizar el estudio estadıstico de un conjunto de redes con las mismas propiedadesen promedio, como son el tamano de la red, el numero de nodos que la componen,etc.

Los modelos de redes aleatorias mas estudiados son: el modelo de redes de escalalibre de Barabasi y Albert [4], el modelo de grafos aleatorios de Erdos y Renyi [5] y lasredes de mundo pequeno de Watts y Strogatz [6]. Estos modelos han sido utilizadospara modelar, y a su vez entender, la organizacion de redes del mundo real como lainternet, redes de transmision electrica, redes sociales y biologicas, entre otras.

Por el hecho de que las redes aleatorias se encuentran presentes en muy diversasaplicaciones, su estudio resulta muy interesante, es por eso que en esta Tesis setrabajara con redes aleatorias, particularmente se estudiara el modelo de Erdos-Renyi.

1.1.2 Modelo de Erdos-Renyi

El modelo de Erdos-Renyi (ER) representa a una red aleatoria compuesta porN nodos. Al inicio los N nodos estan totalmente desconectados y distribuidos deforma aleatoria; N es el tamano de la red. Posteriormente cada par de nodos seconecta entre sı con una probabilidad α, donde α se conoce como la conectividad dela red [5]; ver Fig. 1.3. El parametro α puede tomar valores entre 0 y 1. Cuando α = 0todos los nodos estan aislados [ver Fig. 1.3(a)], a medida que α va de cero a uno, elnumero de nodos conectados va aumentando, como se muestra en la Fig. 1.3(b), hastaque cuando α = 1 todos los nodos estan conectados [ver Fig. 1.3(c)].


Figura 1.4: Ejemplo de una red compuesta por 6 nodos.

1.1.3 Matriz de adyacencia

Una forma matematicamente aceptada de representar a una red es la matriz deadyacencia que se define como la matriz real y simetrica de tamano N × N conelementos Aij tales que [1]

Aij =

{1 si existe una arista entre el nodo i y el nodo j0 si no existe una arista entre el nodo i y el nodo j

. (1.1)

Debido a que esta Tesis se basa en el estudio de redes desordenadas a traves desus matrices de adyacencia, es importante definir su contruccion. Para ello se utilizael siguiente ejemplo. Sea la red compuesta por 6 nodos de la Fig. 1.4. La matriz deadyacencia es de tamano 6×6. Primero se numeran los nodos (aunque la numeracionde nodos es arbitraria, esto no afecta las propiedades espectrales o de autoestados1

de la red correspondiente). Despues se colocan unos en las entradas (i, j) de la matrizdonde exista una arista entre el nodo i y el j; de acuerdo con la Fig. 1.4 estas entradasson: (1,2), (1,4), (1,6), (2,5), (4,6) y (2,1), (4,1), (6,1), (5,2), (6,4) (ya que la red noes dirigida, si el nodo i esta conectado con el nodo j entonces tambien el nodo j estaconectado con el nodo i). Finalmente, la matriz de adyacencia de la red de la Fig. 1.4

1Las propiedades espectrales a las que nos referimos son: la densidad de autovalores y ladistribucion de probabilidad de espaciamiento entre energıas consecutivas; esta ultima sera analizadacon detalle en esta Tesis. Por el lado de propiedades de autoestados podemos mencionar la entropıade Shannon y la longitud de localizacion entropica; ambas se definiran en el Capıtulo 2.


es

A =

0 1 0 1 0 11 0 0 0 1 00 0 0 0 0 01 0 0 0 0 10 1 0 0 0 01 0 0 1 0 0

. (1.2)

Ademas, como en esta Tesis nos especializamos en redes de tipo Erdos-Renyicaracterizadas por la conectividad α, es relevante recordar que: cuando α = 0, A = 0(A es la matriz nula); mientras que cuando α = 1, A es una matriz con todos suselementos no diagonales iguales a uno.

Una vez que la matriz de adyacencia de una red se construye, es natural tratar deobtener sus propiedades espectrales y de autoestados, lo cual es el objetivo principalde este trabajo. Para ello aplicaremos como referencia modelos y tecnicas utilizadascomunmente en la teorıa de matrices aleatorias. De aquı en adelante, como escostumbre en la literatura especializada, nos referimos a las propiedades espectralesy de autoestados de la matriz de adyacencia como a las propiedades espectrales y deautoestados de la red correspondiente.

1.2 Teorıa de matrices aleatorias

Durante la decada de 1950, debido al desarrollo de las centrales electricasnucleares, los fısicos de esa epoca estaban involucrados en la medicion de lasresonancias de fision de varios nucleos. Wigner estudiaba cuidadosamente laspropiedades estadısticas de los espectros nucleares de nucleos pesados, pero el grannumero de resonancias estaba haciendo su analisis muy difıcil. Estaba claro quelos espectros de resonancias eran demasiado complejos para ser analizados por losmodelos existentes, como el modelo nuclear de capas. Esto llevo a Wigner a buscarmetodos estadısticos que pudieran hacer frente a tal complejidad. Mas tarde, lacomprension de que la distribucion estadıstica de las energıas de resonancia nuclearcomparte las mismas propiedades que los valores propios de matrices aleatorias, lellevo a estudiar un modelo de matriz aleatoria en el que una matriz simetrica realcon elementos identicamente distribuidos tienen los valores cero en la diagonal y +1o −1 fuera de ella, de modo que todos los signos eran igualmente probables. Con estemodelo Wigner mostro que la distribucion de los autovalores de la matriz, es decir,la densidad de estados (DOS por sus siglas en ingles: “Density Of States”) es unsemicırculo y tambien que los autovalores se repelen unos a otros. De ahı en adelantemostro sus resultados en diversos congresos atrayendo mas personas al estudio deesta area [7]. Ası, la teorıa de matrices aleatorias (RMT por sus siglas en ingles:“Random Matrix Theory”) fue aplicada por Wigner, Dyson y Mehta a problemas defısica nuclear hacia finales de los anos cincuenta y principios de los sesenta [8].


La idea inicial fue, dado el desconocimiento de los detalles de la interaccionnuclear, prescindir de los mismos y realizar una descripcion estadıstica, es decir,renunciar al estudio en detalle de un nucleo concreto y tratar de encontrar propiedadesque caractericen a un conjunto de espectros nucleares. De hecho, la RMT sepuede interpretar como una “clase” de fısica estadıstica en donde un conjunto dehamiltonianos (dados en forma matricial) describen a un mismo sistema (en estecaso, un nucleo complejo). El nucleo complejo se modela como una caja negra enla que las partıculas interaccionan de modo desconocido. Esto nos lleva a escribira las matrices hamiltonianas del nucleo complejo como matrices cuyos componentesson elegidos al azar, considerando como unica restriccion las simetrıas del nucleo eimponiendo a los elementos de la matriz una distribucion de desorden maximo. Eneste sentido se dice que la RMT describe sistemas que se encuentran en el lımite dedesorden maximo. La teorıa de matrices aleatorias tambien se ha aplicado en losultimos anos a problemas de caos cuantico, pero no es su unica aplicacion, hasta elpunto en que hoy en dıa se considera una disciplina en sı misma. Otra rama de la fısicaen la que la RMT juega un papel predominante es la teorıa de solidos desordenados.

En general, la RMT se utiliza para estudiar el comportamiento estadıstico desistemas complejos mediante la definicion de ensambles que consideran todas lasposibles leyes de interaccion dentro del sistema [7]. Los sistemas mas simplesestudiados por RMT consideran ensambles de matrices llenas que son determinadasunicamente por su simetrıa. Se considera que los elementos de estos ensamblesprovienen de una distribucion gaussiana no correlacionada. Las propiedadesestadısticas de estos ensambles dependen principalmente de dos factores: invarianciaante inversion temporal e interacciones entre espines.

Los tres ensambles de matrices aleatorias mas estudiados son:

• GOE: Una matriz de tamano N×N pertenece al ensamble Gaussiano ortogonal(GOE, por sus siglas en ingles: “Gaussian Orthogonal Ensemble”) si essimetrica, real y ademas sus elementos son numeros aleatorios con distribuciongaussiana de media cero y varianza 1 en la diagonal, mientras que fuera de ladiagonal sus elementos son numeros aleatorios con distribucion gaussiana demedia cero y varianza 1/2.

• GUE: Una matriz de tamano N ×N pertenece al ensamble Gaussiano unitario(GUE, por sus siglas en ingles: “Gaussian Unitary Ensemble”) si es hermitiana ylos elementos en la diagonal principalmjj son variables aleatorias independientescon distribucion Gaussiana con media cero y desviacion estandar 1/2 y loselementos fuera de ella se escriben como mjk = ujk + ivjk, donde ujk y vjktambien son variables aleatorias independientes con distribucion Gaussiana conmedia cero y desviacion estandar 1/2.

• GSE: Una matriz de tamano N×N pertenece al ensamble Gaussiano simplectico


(GSE, por sus siglas en ingles: “Gaussian Symplectic Ensemble”) si suselementos son variables aleatorias cuaternionicas independientes. Los elementosde la diagonal son reales y tienen distribucion gaussiana con media cero yvarianza 1/2, mientras que aquellos fuera de la diagonal son de la formazjk = ujk + ivjk y wjk = u′jk + iv′jk, donde ujk,vjk, u

′jk y v′jk tienen distribucion

Gaussiana de media cero y desviacion estandar 1/2√

2.

Los ensambles GOE y GUE no incluyen interaccion entre espines, el ensamble GOEpreserva inversion temporal y el GUE no. Las matrices de estos ensambles soninvariantes bajo las transformaciones de los grupos ortogonal, unitario y simplectico,respectivamente [9].

La pregunta importante abordada por la RMT es: Dado un conjunto dematrices aleatorias, ¿cuales son las leyes de probabilidad que rigen sus autovalores oautofunciones? Esta pregunta es de interes para numerosas areas de la fısica y lasmatematicas, por ejemplo, para tratar de entender o predecir el comportamiento delnucleo compuesto, la conductividad de los metales desordenados, el comportamientode los sistemas caoticos o los ceros de la funcion zeta de Riemann; o en general, paratratar de entender o predecir el comportamiento de sistemas complejos que puedenser representados por matrices.

Debido a que las redes aleatorias producen matrices de adyacencia A que puedenser consideradas como matrices aleatorias, es posible aplicar un enfoque de RMT alestudio de redes como se mostro recientemente en [10]. Ademas, como las matricesde adyacencia del modelo de Erdos-Renyi que estudiaremos inicialmente en esta Tesisson matrices reales y simetricas, utilizaremos al GOE como referencia.

1.2.1 Propiedades estadısticas en la banda central

En el marco de la RMT, dos cantidades comunmente utilizadas para caracterizarmodelos de matrices aleatorias son [8]:

1. La distribucion de probabilidad del espaciamiento entre autoenergıasconsecutivas P (s). P (s) es util para distinguir sistemas integrables desistemas completamente caoticos; la fenomenologıa del espaciamiento deniveles puede usarse para interpolar entre sistemas integrables, caoticos y paracaracterizar la localizacion del modelo de Anderson. La P (s) proporciona ladensidad de probabilidad de encontrar dos autovalores vecinos a una distancias. Dado que la densidad de estados depende de la energıa, comunmente setrabaja en una pequena banda de energıa alrededor de la banda central dondela densidad de estados es aproximadamente constante. Cuando los autoestadosson localizados, es razonable asumir que los autovalores estan totalmentedescorrelacionados; en este caso, con argumentos estadısticos elementales semuestra en [4] que P (s) toma la forma de la distribucion de Poisson,

P (s) = exp(−s) , (1.3)


Para sistemas caoticos o desordenados la P (s) puede aproximarse por ladistribucion de Wigner-Dyson, que para el GOE esta dada por:

P (s) =π

2s exp

(−π

4s2). (1.4)

2. La longitud de localizacion de los autoestados (obtenida mediante los numerosde participacion promedio `). La longitud de localizacion es una medida de laextension espacial de los autoestados dentro de un sistema dado. Puede usarsepara describir propiedades de transporte de sistemas finitos. Para medir lalocalizacion especıfica de autoestados para muestras de tamano finito requerimosuna longitud generalizada que indique cuantitativamente el grado de localizacionpara un autoestado de la muestra. Esto nos lleva a utilizar la longitud delocalizacion entropica,

`N = N exp[−(SGOE − 〈S〉)], (1.5)

donde SGOE ≈ ln(N/2.07) es la entropıa de una autofuncion aleatoria conamplitudes caracterizadas por una distribucion de probabilidad normal. En1.5, S es la entropıa de Shannon, que para la autofuncion ψm esta dada por:

S = −N∑n=1

(ψmn )2 ln(ψmn )2 . (1.6)

En el caso del GOE, los autoestados son normalizados y reales, al igual que loscuadrados de sus componentes. Esencialmente, la entropıa de Shannon puedeentenderse como el logaritmo del numero de sitios significativamente habitadospor un autoestado dado. Con esto en mente, se puede interpretar la longitudde localizacion entropica como proporcional al numero efectivo de componentesprincipales. Esto da una indicacion del grado de localizacion del autoestadoespecıfico alrededor de algun sitio.

1.3 Modelo de enlace fuerte de Anderson

Anderson busco sentar las bases teoricas del problema de transporte en mecanicacuantica, usando el modelo mas simple que puede representar una situacion fısicareal.

Se considera la dinamica de partıculas cuanticas en una cadena formada poriones positivos con un espaciamiento periodico. Debido a la configuracion de estosiones el electron estara sujeto a la accion de un potencial periodico en el espaciode coordenadas. Este potencial puede ser visto como una secuencia de barreras,las cuales poseen maximos precisamente en la posicion de los iones. En el caso enque estas barreras sean infinitas, como en el caso de barreras tipo delta, el estado


base del sistema puede ser tomado como el orbital atomico para el ion ubicadoen el enesimo sitio, al cual denotamos como |n〉 y sera infinitamente degenerado.Considerando una situacion mas realista en donde las barreras no son infinitas, sinembargo suficientemente grandes, podemos esperar una interaccion entre orbitalesatomicos vecinos. En este caso los elementos diagonales del hamiltoniano del sistema,H, en la base de orbitales atomicos |n〉, son todos iguales:

E0 = 〈n|H |n〉 , (1.7)

sin embargo este no sera una matriz diagonal. Considerando que la interaccion entreorbitales atomicos se da solamente entre primeros vecinos, la cual se conoce comoaproximacion de enlace fuerte, podemos establecer a los elementos fuera de la diagonalcomo

νn+1 = 〈n|H |n+ 1〉 y νn−1 = 〈n|H |n− 1〉 . (1.8)

Ası el Hamiltoniano de enlace fuerte con interaccion a primero vecinos sera

H =

{∑n

εn |n〉〈n|+ νn,n+1 |n〉〈n+ 1|+ νn,n−1 |n〉〈n− 1|} (1.9)

Donde εn son los sitios de energıa de los orbitales atomicos |n〉 y νn,n±1 son loselementos de matriz de salto (tambien llamados integrales de transferencia) queconectan con los vecinos inmediatos. De aquı en adelante supondremos que νn,n±1 esreal y no depende del ındice del sitio n, por lo que νn,n±1 = ν = ν∗.

La ecuacion de Schrodinger correspondiente al Hamiltoniano 1.9, teniendo encuenta la interaccion restringida a primeros vecinos, es:

idψndt

= εnψn + νn,n+1ψn+1 + νn,n−1ψn−1. (1.10)

Por lo tanto, el hamiltoniano de enlace fuerte que estamos considerando puede serrepresentado por una matriz tridiagonal con elementos:

〈m|H |n〉 = Hmn = εnδmn − ν(δm,n+1 + δm,n−1). (1.11)

De ahora en adelante se hara referencia al conjunto de orbitales {|n〉} como los sitiosbase. Los sitios base es un conjunto completo ortonormal que expande el espacio deHilbert. Usando la relacion de completez,

∑n |n〉〈n| = 1, los autoestados de H se

pueden escribir como:|ψ〉 =

∑n

ψn |n〉 . (1.12)

Ası, podemos escribir la ecuacion estacionaria discreta de Schrodinger para lasfunciones de onda ψn ≡ 〈n| |ψ〉 como∑

m

Hmnψm = εnψn − νψn+1 − νψn−1 = Eψ. (1.13)


Se considera que la red discreta tiene puntos localizados en x = na donde n es unentero y a es la distancia entre sitios. La funcion de onda discreta puede entendersecomo una transformacion de la funcion de onda continua a su contraparte discreta;ψ(x = na)→ ψn.

La interpretacion fısica de este modelo puede resumirse como: Se considera quelos electrones de un atomo en un solido estan localizados alrededor de los iones. Lafuncion de onda de un electron puede expresarse como una combinacion lineal deautofunciones (orbitales) de un atomo localizado en el sitio n. El elemento de matrizde salto esta dado por la integral de superposicion de los orbitales de dos sitios n ym diferentes. Donde el electron esta localizado alrededor de un sitio particular, laaproximacion de enlace fuerte ignora todas las integrales de superposicion exceptoaquellas donde n y m son diferentes por uno [11].

Si las energıas en el sitio εn no son constantes, pero en lugar de esto siguen unasecuencia aleatoria, se dice entonces que este modelo tiene desorden diagonal. Elmodelo de Anderson consiste en elegir εn aleatoriamente en un intervalo continuofinito con una distribucion de probabilidad constante.

La descripcion del modelo de enlace fuerte de Anderson dada arriba se aplica enparticular para representar alambres unidimensionales. Sin embargo el modelo sepuede extender para representar solidos en dos o mas dimensiones.

1.4 Planteamiento del problema y objetivos

Es importante mencionar que existe una correspondencia uno a uno entre la matrizde adyacencia A de una red de tipo Erdos-Renyi (caracterizada por la conectividadα y el tamano N) y la matriz hamiltoniana correspondiente a una red electronicaξ-dimensional (donde ξ = αN) descrita por el modelo de enlace fuerte de Anderson[10]. Por lo que las propiedades espectrales y de autoestados de las matrices deadyacencia de cualquier modelo de redes (deterministas, fractales o aleatorias) sontambien las propiedades espectrales y de autoestados de redes electronicas con latopologıa correspondiente.

Por ello, en esta tesis se estudia redes electronicas imperfectas descritas por elmodelo de Erdos-Renyi. Se seguira la metodologıa propuesta recientemente en [10];es decir, se utilizaran tecnicas de la RMT para tratar de encontrar las propiedadesuniversales del sistema. En particular, se centrara la atencion en las propiedadesespectrales y de autoestados de las redes electronicas cuando se incorporan perdidasy/o ganancia en sitios especıficos de la red. Esto con el fin de extender los resultadosreportados en [10] en donde se consideraron redes electronicas perfectas (sin perdidasni ganancias).

Ademas, como en [10], aquı exploraremos el modelo de redes de tipo Erdos-Renyicon desorden maximo. En este modelo se considera que (i) cada una de las aristasde la red tiene un peso especıfico representado por un numero aleatorio (obtenido de


una distribucion normal con media cero y varianza uno); esta hipotesis se justifica siconsideramos que los pesos de las aristas corresponden a distancias entre nodos, queen este caso son aleatorias y (ii) cada nodo esta representado por un potencial de sitioque tambien es un numero aleatorio. De esta forma, cuando α = 0 se obtiene unamatriz aleatoria diagonal (conocida como lımite de Poisson en RMT) y cuando α = 1se obtiene una matriz aleatoria completamente llena (conocida como lımite GOE enRMT). Ası, el uso de las cantidades comunmente utilizadas para caracterizar modelosde matrices aleatorias (como la distribucion de probabilidad del espaciamiento entreautoenergıas consecutivas P (s) y la longitud de localizacion de los autoestados) quedaampliamente justificado.

Una forma de considerar perdidas y/o ganancias en sistemas descritos por elmodelo de enlace fuerte de Anderson es mediante el uso de potenciales de sitiocomplejos, ver por ejemplo [12].2 Cuando un sistema perfecto (sistema sin perdidasni ganancias) se utiliza como blanco en un arreglo dispersivo, el flujo ρ a traves de else conserva: ρ = 1. Los potenciales complejos hacen que el flujo no se conserve:Si ρ < 1 el sistema presenta perdidas y si ρ > 1 el sistema produce ganancia.Incluir potenciales de sitio complejos en la red electronica ξ-dimensional con desordenmaximo que estudiaremos en esta Tesis se traduce en anadir el termino

εn = iγ (1.14)

a los elementos Ajj de la matriz de adyacencia A del modelo de redes de tipoErdos-Renyi con desorden maximo introducido en [10]; donde γ > 0 produceperdida y γ < 0 produce ganancia [12]. De esta manera, es posible introducirperdidas/ganancias de manera local (anadiendo terminos de tipo iγ a algunoselementos Ajj), global (anadiendo terminos de tipo iγ a todos los elementos Ajj),ordenada (por ejemplo, anadiendo terminos de tipo iγ a todos los elementos Ajj consignos alternados), desordenada (por ejemplo, anadiendo terminos de tipo iγ a todoslos elementos Ajj con signos elegidos al azar), etc.

Resumiendo, los objetivos de este trabajo son:

1. Implementar el modelo de Erdos-Renyi con desorden maximo y estudiarsus propiedades espectrales y de autoestados mediante la distribucion deespaciamiento entre energıas consecutivas P (s) y los numeros de participacionpromedio, respectivamente. Con esto se pretende reproducir los resultadosreportados en [10] para tenerlos como referencia.

2. Incorporar perdidas y ganancias de manera regular (es decir, perdida, ganancia,perdida, ganancia, etc.) a los nodos del modelo de Erdos-Renyi con desorden

2En este trabajo se estudian las propiedades de autoestados del modelo de enlace fuerte deAnderson con perdidas y ganancias en la misma proporcion. En particular se considera un alambreunidimensional sin desorden. Utilizando el metodo de la matriz de transferencia se identifica elmecanismo que localiza a los autoestados debido a la presencia de las perdidas y ganancias.


maximo y estudiar sus propiedades espectrales y de autoestados. Estudiarlos efectos de incorporar las perdidas y ganancias con respecto al modeloErdos-Renyi perfecto.

3. Incorporar perdidas y ganancias de manera desordenada a los nodos del modelode Erdos-Renyi con desorden maximo y estudiar sus propiedades espectrales yde autoestados. Estudiar los efectos de incorporar las perdidas y ganancias demanera irregular.

1.5 Aplicaciones

En teorıa de redes existen modelos que se utilizan como referencia en el estudiode redes realistas. A estos modelos se les conoce en ingles como null models peronosotros les llamamos modelos de referencia.

Por ejemplo, los modelos de redes de Erdos y Renyi [5], de escala libre deBarabasi y Albert [4] y de mundo pequeno de Watts y Strogatz [6] se utilizan comomodelos de referencia de redes realistas desordenadas. Claro, se debe elegir el modelode referencia mas apropiado para la red realista bajo estudio dependiendo de suestructura, simetrıa, dimensionalidad, etc. Por ejemplo, las redes sociales tienencomo modelo de referencia al modelo de Watts y Strogatz; la internet tiene comomodelo de referencia al modelo de Barabasi y Albert; y cuando la red no tiene unaestructura definida y el unico parametro relevante es la conectividad, se utiliza elmodelo de Erdos y Renyi. Otro modelo de referencia fue propuesto por Newman yGirvan [13] y consiste en una version aleatoria de la red original en donde los nodosse reconectan de forma azarosa tal que el numero de vertices de cada nodo de la redaleatoria coincide con el numero de vertices de la red original.

En la literatura no existen modelos de referencia que consideren redes con perdidasy/o ganancias. Por ello, esperamos que el modelo que estudiaremos en esta Tesis sirvacomo modelo de referencia y pueda ser aplicado a redes realistas con perdidas y/oganancias tales como redes electronicas, redes electricas, redes de potencia, etc.

Capıtulo 2

Modelo de Erdos-Renyi condesorden maximo

En este capıtulo se presenta el estudio de redes de tipo Erdos-Renyi con desordenmaximo con el objetivo de reproducir algunos de los resultados reportados en“Universality in the spectral and eigenfunction properties of random networks” [10].Para realizar este estudio se elaboraron programas computacionales que construyenensambles de matrices de adyacencia correspondientes a redes de tipo Erdos-Renyi,caracterizadas por los parametros α (conectividad de la red) y N (tamano de la red).Una vez obtenidas estas matrices se utilizo un programa de diagonalizacion numericapara obtener los autovalores Em y las autofunciones ψm (m = 1, 2, ..., N) de cadauna de ellas para ası estudiar la distribucion de probabilidad de espaciamiento entreenergıas consecutivas, P (s), la entropıa de Shannon promedio 〈S〉 de autoestados yla longitud de localizacion entropica de autoestados `N como funcion del parametroα. Se muestra que P (s), 〈S〉 y `N son cantidades invariantes para un valor fijo delgrado promedio ξ = αN . Tambien se muestra que la distribucion de Brody, cuyoparametro es β, describe bien la P (s) en la transicion de vertices aislados a redescompletamente conectadas.

2.1 Propiedades espectrales

Para el estudio de las propiedades espectrales de redes de tipo Erdos-Renyi condesorden maximo se utilizo la distribucion de probabilidad de espaciamiento entreniveles de energıa consecutivos P (s). Se construyeron histogramas de P (s) utilizando500× 103 espaciamientos

sm =Em+1 − Em

∆(2.1)

alrededor del centro de la banda de 103 matrices de adyacencia. ∆ es el espaciamientopromedio de cada espectro, calculado como la pendiente de la curva Em vs. m al

15

16 Capıtulo 2: Modelo de Erdos-Renyi con desorden maximo

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000m

-6

-4

-2

0

2

4

6

Em

Figura 2.1: Autovalores ordenados de una matriz de adyacencia de tamano N = 4000

correspondiente a una red de tipo Erdos-Renyi con desorden maximo. Se puede observar que al

centro de la banda la densidad de estados es practicamente constante. La lınea roja discontınua es

un ajuste lineal al 50% de los autoestados al centro de la banda cuya pendiente es el espaciamiento

promedio ∆.

centro de la banda, como se observa en Fig. 2.1, donde la densidad de estados esaproximadamente constante. Al procedimiento de normalizar los autovalores de unamatriz aleatoria con el espaciamiento promedio se le conoce, en Teorıa de MatricesAleatorias, como desdoblamiento del espectro.

Inicialmente se trabajo con matrices de tamano N = 1000 y diferentes valores deα con los cuales se construyeron los histogramas de P (s) mostrados en los panelesde la Fig. 2.2. Para redes de otros tamanos siempre se construyo P (s) utilizando lamitad del total de los autovalores al centro de la banda donde la densidad de estadoses practicamente constante.

Para α = 0, es decir, cuando los vertices de la red estan todos aislados, lasmatrices de adyacencia correspondientes son matrices aletorias diagonales. En estecaso la P (s) se caracteriza por la distribucion exponencial, [ver ecuacion 1.3], conocidaen teorıa de matrices aleatorias como distribucion de Poisson o regla de espaciamientopara niveles aleatorios [14]. Por el contrario cuando α = 1, es decir, cuando la redesta totalmente conectada, las matrices de adyacencia correspondientes son matricestotalmente llenas, simetricas y reales, que reproducen el ensamble GOE, en este casola P (s) se caracteriza por la distribucion de Wigner-Dyson [14], [ver ecuacion 1.4].A medida que α va de cero a uno, la forma de P (s) transita entre la distribucionde Poisson y la distribucion de Wigner-Dyson. Esta transicion puede observarse enla Fig. 2.2, donde tambien se han graficado las ecuaciones 1.3 y 1.4 como referencia.Esta transicion de Poisson a Wigner-Dyson esta tambien reportada para matrices deadyacencia correspondientes a otros modelos de redes complejas; ver por ejemplo las

Capıtulo 2: Modelo de Erdos-Renyi con desorden maximo 17

0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

P(s)

0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4s

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

P(s)

0 1 2 3 4s

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

α = 0.00194

β = 0.1018

α = 0.00245

β = 0.3241

α = 0.00426

β = 0.00194

α = 0.00297

β = 0.56

Figura 2.2: Distribucion de probabilidad de espaciamientos entre energıas consecutivas P (s) para

las matrices de adyacencia de redes de tipo Erdos-Renyi con desorden maximo formadas por N =

1000 vertices y distintos valores de conectividad α (histogramas en color rojo), las lıneas punteadas

en color negro corresponden a las distribuciones de Poisson y Wigner-Dyson, ecuaciones 1.3 y 1.4

respectivamente, las lıneas azules corresponden a ajustes a los histogramas con la distribucion de

Brody de la ecuacion 2.2, donde los valores del parametro de Brody β obtenidos de dichos ajustes se

muestran en cada panel. Las graficas se obtuvieron de un ensamble de 5× 105 espaciamientos.


Refs. [15–22].

En este trabajo, para caracterizar la forma de la P (s) de nuestro modelo deredes desordenadas, utilizamos la distribucion de Brody [23, 24]. La distribucionde Brody fue derivada originalmente para contar con una interpolacion paraP (s) en la transicion de Poisson a Wigner-Dyson mediante la propuesta P (s) =c1s

β exp(−c2sβ+1) (donde c1 y c2 dependen de β). Una vez normalizada, ladistribucion de Brody tiene la forma

P (s) = (β + 1)aβsβ exp(−aβsβ+1) , (2.2)

donde aβ = [Γ(β + 2)/(β + 1)], Γ(·) es la funcion gamma y β es el parametro deBrody que toma valores entre cero y uno. Cuando β = 0 la distribucion de Brodyreproduce la distribucion de Poisson, mientras que cuando β = 1 la distribucion deBrody reproduce la distribucion de Wigner-Dyson. Aunque la distribucion de Brodyse ha utilizado para caracterizar P (s), el parametro de Brody no tiene significadofısico, solo sirve como una medida de la transicion entre la distribucion de Poissony la distribucion de Wigner-Dyson. En este caso particular, el parametro de Brodypuede ser util para identificar la transicion a la delocalizacion y la transicion al lımiteGOE en nuestro modelo de matrices.

En la Fig. 2.2 la lınea azul representa el ajuste de los histogramas de la P (s)con la ecuacion 2.2. Los valores de β que se obtienen de los ajustes se muestranen los paneles correspondientes. Es importante notar que eligiendo correctamente elvalor de β, la distribucion de Brody da una aproximacion muy buena para la P (s)para matrices de adyacencia correspondientes al modelo de Erdos-Renyi de redes condesorden maximo. La distribucion de Brody tambien da una muy buena aproximacionpara otros modelos de redes complejas; ver las Refs. [28–30].

Una vez generadas las graficas de la Fig. 2.2 se procedio a construir histogramasde P (s) para muchas combinaciones de α y N para obtener con ellos, de manerametodica, el valor correspondiente de β. Este valor se obtuvo utilizando ajustesnumericos.

En la Fig. 2.3 se reportan los resultados encontrados al graficar β para cuatrotamanos diferentes de redes. En la Fig. 2.3(a) reportamos β como funcion de α.Notamos que en los cuatro casos el comportamiento de β es similar: β muestra unatransicion suave de cero (regimen de Poisson) a uno (regimen de Wigner-Dyson oregimen del GOE) cuando α se incrementa desde α � 1 (vertices mayoritariamenteaislados) a uno (redes completamente conectadas). Notamos tambien que entre masgrande es el tamano de la red, mas pequeno es el valor de α necesario para que la redse encuentre en el regimen del GOE, es decir, entre mas grande es la red mas pequenoes el porcentaje de conexiones necesarias para que las autofunciones se extiendansobre toda la red. Notese que en la Fig. 2.2 la P (s) es muy cercana a la distribucionde Wigner-Dyson aun para α = 0.00426� 1.

En la literatura especializada ξ se conoce como el grado promedio de una red y se


0.001 0.01 0.1 1α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

β N=250N=500N=1000N=2000

(a)

0.1 1 10 100 1000

ξ

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

β

(b)

Figura 2.3: Parametro de Brody β como funcion de (a) el parametro de conectividad α y (b) el

grado promedio ξ = αN para redes de tipo Erdos-Renyı con desorden maximo y tamanos N = 250,

500, 1000 y 2000.

define como:

ξ = α×N . (2.3)

Desde un punto de vista fısico-matematico, y en el marco de la Teorıa de MatricesAleatorias, en 1988 Rodgers y Bray [25] propusieron un ensamble de matricesaleatorias dispersas caracterizadas por el grado promedio ξ. Este parametro fija ladensidad de estados de espaciamiento de matrices aleatorias, que es equivalente a ladensidad de conexiones en la matriz de adyacencia que nosotros estudiamos. Ademas,en [26], ξ ha sido definido como la dimension efectiva de un solido de tipo enlace fuertecon la topologıa de una red desordenada con grado promedio ξ. Adiconalmente, se hamostrado [27] que las propiedades de transporte y dispersion del modelo de redes detipo Erdos-Renyı con desorden maximo son universales cuando se fija el parametroξ. Es por esta razon que en este trabajo se estudian propiedades espectrales y deautoestados caracterizados por el grado promedio ξ. Esto hace que tenga sentidoexplorar la dependencia de β como funcion de ξ, y en efecto, en la Fig. 2.3(b) sepuede apreciar esta dependencia. Se observa que las curvas que corresponden a redesde diferentes tamanos N caen una sobre otra definiendo ası una curva universal. Estosignifica que una vez que el parametro ξ se fija, la forma de P (s) es tambien fija, sinimportar el tamano N de la red. Tambien se observa que la transicion en la formade la P (s) tiene lugar en el intervalo 1 < ξ < 7, ya que cuando ξ < 1, P (s) tienela forma de la distribucion de Poisson, cuando ξ > 7 P (s) esta practicamente dadapor la distribucion de Wigner-Dyson, mientras que cuando 1 < ξ < 7 P (s) se puedecaracterizar por la distribucion de Brody con valores de 0 < β < 1. Ası, ξ = 1 yξ = 7 marcan el comienzo de la transicion de delocalizacion y el comienzo del lımiteGOE, respectivamente.

Para verificar la invariancia de la forma de P (s) para valores fijos de ξ se eligieroncuatro valores representativos de β (0.25, 0.5, 0.75 y 0.98), posteriormente de la curvade la Fig. 2.3(b) se obtuvo el valor de ξ correspondiente a cada valor de β y se


0

0.3

0.6

0.9

P(s)

0 1 2 3 4s

0

0.3

0.6

0.9

P(s)

0 1 2 3 4s

ξ= 2.33

ξ= 3.64

ξ= 2.87

ξ= 5.69

β= 0.25 β= 0.50

β= 0.75 β= 0.98

Figura 2.4: Distribucion de probabilidad de espaciamiento entre energıas consecutivas (histogramas

de colores) P (s) para las matrices de adyacencia de redes de tipo Erdos-Renyi con desorden maximo

con tamanos N = 500, 1000, 2000 y 4000 para varios valores del grado promedio ξ (indicado en

cada panel). Las lıneas punteadas corresponden a las distribuciones de Brody con el valor de β que

se indica en cada panel. Estos histogramas se obtuvieron de 5× 105 espaciamientos desdoblados.

construyeron histogramas para ensambles de redes de diferentes tamanos para cadauno de estos valores. Los resultados se reportan en la Fig. 2.4 en donde se observaque, efectivamente, una vez que el parametro ξ esta fijo, la forma de P (s) tambien loesta, se muestra tambien la curva de la distribucion de Brody en cada caso.

2.2 Propiedades de autoestados

Para caracterizar cuantitativamente la complejidad de autofunciones de matricesaleatorias (y de matrices Hamiltonianas de sistemas caoticos cuantizados) se utilizanprincipalmente dos cantidades:

1. Entropia de informacion o entropıa de Shannon.


2. Numero de particion.

Estas medidas proveen el numero de componentes principales de una autofuncionen una base dada. Ambas cantidades han sido muy utilizadas para caracterizar lasautofunciones de matrices de adyacencia de modelos de redes complejas; ver porejemplo las Refs. [16,21,29–34].

En esta Tesis se utiliza la entropıa de Shannon, (ecuacion 1.6), y a su vez, Snos permite calcular la llamada longitud de localizacion entropica de la autofuncion,(ecuacion 1.5).

Calculamos el promedio en la ecuacion 1.5 sobre todas las autofunciones de unensamble de matrices de adyacencia de tamano N . Con esta definicion, cuando α =0, como las autofunciones de una matriz de adyacencia diagonal tienen solo unacomponente diferente de cero y magnitud uno, 〈S〉 = 0 y `N ≈ 2.07. En el otro casolımite, cuando α = 1, 〈S〉 = SGOE y las autofunciones se extienden sobre toda la basedisponible de tamano N , es decir, `N ≈ N .

Las Figs. 2.5(a) y 2.6(a) muestran 〈S〉 /SGOE y `N/N , respectivamente, comofuncion de la conectividad α para matrices de adyacencia de redes de tipo Erdos-Renyicon desorden maximo de tamanos N = 500, 1000, 2000 y 4000. Observamos que lascurvas de 〈S〉 /SGOE y `N/N tienen una forma funcional similar como funcion deα (notese que tal comportamiento tamben fue observado para β en la Fig. 2.3(a)).Tambien es claro que las curvas de 〈S〉 /SGOE y `N/N se desplazan a la izquierdaal incrementarse N , esto significa que para un tamano mayor de red la transicion aestados delocalizados ocurre de forma mas rapida. Ademas, al graficar 〈S〉 /SGOE y`N/N como funcion del grado promedio ξ observamos que todas las curvas caen sobrecurvas universales [ver las Figs. 2.5(b) y 2.6(b)]. Adicionalmente, note que el puntoen el que cada red de tipo Erdos-Renyi con desorden maximo se conecta de maneraglobal (en el sentido de que no exiten mas vertices aislados), α = (lnN)/N [35],ocurre cuando `N/N ≈ 1/2 (ver las lıneas discontınuas verticales en la Fig. 2.6(b)).

De la Fig. 2.6(b) es claro que el comportamiento de la curva `N/N como funcionde ξ se puede describir facilmente de la siguiente forma:

1. `N/N transita de ≈ 2.07/N ∼ 0 a uno al mover ξ desde cero hasta N ;

2. para ξ<∼ 2 las autofunciones estan practicamente localizadas ya que `N ∼ 1;

por lo tanto la transicion al regimen delocalizado tiene lugar aproximadamenteen ξ = 2, que es un valor cercano a estimaciones teoricas y numericas previas;y

3. para ξ > 200 las autofunciones son practicamente caoticas y completamenteextendidas ya que `N ≈ N .

Aunque la region de transicion para `N/N , que esta definida en el rango 2 < ξ <200, es muy grande con respecto a la region de transicion para el parametro de Brody


0.0001 0.001 0.01 0.1 1α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

N=500N=1000N=2000N=4000

(a)

0.01 0.1 1 10 100 1000

ξ

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

(b)

Figura 2.5: Entropıa de Shannon promedio 〈S〉 normalizada con SGOE como funcion de (a) la

conectividad α y (b) el grado promedio ξ = αN para redes de tipo Erdos-Renyi con desorden maximo

de tamanos N = 500, 1000, 2000 y 4000. Cada punto se obtuvo de un promedio sobre 5 × 105

autofunciones.


0.0001 0.001 0.01 0.1 1α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ι N/N

N=250N=500N=1000N=2000

(a)

0.01 0.1 1 10 100 1000

ξ

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ι N/N

(b)

Figura 2.6: Longitud de localizacion entropica de autofunciones `N normalizada con N como

funcion de (a) la conectividad α y (b) el grado promedio ξ para redes de tipo Erdos-Renyi con

desorden maximo y tamanos N = 250, 500, 1000 y 2000, cada punto se obtuvo de un promedio

sobre 5× 105 autofunciones. Las lıneas verticales en (a) indican el valor α = (lnN)/N en el que las

redes se vuelven globalmente conectadas. Las lıneas verticales en (b) en ξ = 2 y ξ = 200 indican el

punto de transicion al regimen de delocalizacion y al regimen GOE, respectivamente.


β, ambas cantidades estan fuertemente correlacionadas y caracterizan de maneraconsistente la transiscion de Poisson a Wigner-Dyson en las propiedades espectralesy de autoestados de las matrices de adyacencia de redes de tipo Erdos-Renyi condesorden maximo como funcion de ξ.

Una vez que se han reproducido de manera satisfactoria los resultados reportadosen [10] (que se incluye como referencia en el Apendice) para redes de tipo Erdos-Renyicon desorden maximo,1 en los Capıtulos siguientes se investigaran los efectos de incluirperdidas y ganancias en las propiedades espectrales y de autoestados de nuestromodelo de redes desordenadas.

1Compare las Figuras 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6 de la Tesis con FIG. 1, FIG. 2, FIG. 3, FIG. 4 yFIG. 5 de [10]

Capıtulo 3

Modelo de Erdos-Renyi conperdidas y ganancias. Caso regular.

En este capıtulo se presenta el estudio de redes de tipo Erdos-Renyi condesorden maximo introduciendo perdidas y ganancias de manera regular. Pararealizar este estudio, de manera similar al capıtulo anterior, se elaboraronprogramas computacionales que construyen los ensambles de matrices de adyacenciacorrespondientes, de manera que ahora la redes estan caracterizadas por losparametros α (conectividad de la red), N (tamano de la red) y γ (magnitud delas perdidas y las ganancias). Una vez obtenidas estas matrices se implementoun programa de diagonalizacion numerica para obtener los autovalores Em y lasautofunciones ψm (m = 1, 2, ..., N) de cada una de ellas para ası estudiar laspropiedades espectrales y de autoestados con el fin de encontrar un parametrouniversal que fije estas propiedades.

3.1 Descripcion del modelo

Para realizar el estudio de las propiedades espectrales y de autoestadoscorrespondientes a este modelo se construyeron ensambles de matrices de adyacenciade redes de tipo Erdos-Renyi que incluyen perdidas y ganancias de manera regular.Estas perdidas y ganancias se refieren a potenciales de sitio complejos en la redelectronica ξ- dimensional con desorden maximo. Incluir estas perdidas y gananciasse traduce en anadir el termino

iγ (3.1)

a los elementos Ajj de la matriz de adyacencia A; donde γ > 0 produce perdida yγ < 0 produce ganancia [12]. De esta manera introducimos perdidas/ganancias demanera regular, anadiendo terminos de tipo iγ a todos los elementos Ajj con signosalternados:

Akl = nkl(1− δkl) +mklδkl + (−1)kiγδkl, (3.2)

25

26 Capıtulo 3: Modelo de Erdos-Renyi con perdidas y ganancias. Caso regular.

donde nkl son numeros aleatorios de una distribucion gaussiana de media cero yvarianza 1/

√2, mkl son numeros aleatorios de una distribucion gaussiana de media

cero y varianza 1/2 , γ representa la magnitud de perdidas y ganancias y δkl es ladelta de Kronecker, ademas nkl = nlk y mkl = mlk para todo k, l. Ası, los elementosde las matrices de adyacencia fuera de la diagonal principal son numeros aleatorioscon distribucion gaussiana de media cero y varianza uno que ademas son simetricos.Mientras que los elementos de la diagonal principal son numeros complejos con partereal correspondiente a numeros aleatorios con distribucion gaussiana de media ceroy varianza 1/2. Podemos ver entonces que las matrices de adyacencia ahora sonsimetricas pero no hermitianas, por lo tanto sus autovalores no son reales. Recordemostambien que dado que la matriz A corresponde a la matriz de adyacencia de una redde tipo Erdos-Renyi los elementos fuera de la diagonal principal pueden o no serdiferentes de cero de acuerdo al parametro de conectividad α.

Por conveniencia, a diferencia del capıtulo anterior, comenzaremos el analisis delos autoestados de nuestro modelo de redes con perdidas y ganancias.


Se calculo la entropıa de Shannon para varios ensambles cambiando el tamano delas matrices entre N = 250 y 2000 y ademas variando la magnitud de las perdidas ylas ganancias (parametro γ). El anadir el termino iγ a los nodos de una red descritapor el modelo de enlace fuerte de Anderson tiene dos interpretaciones: la primera essimular perdida y/o ganancia dependiendo del signo que se le asocie a γ y la segundaes simular acoplamiento con el exterior para realizar experimentos de transporte. Enla segunda interpretacion se sabe que el valor γ = 1 produce un acoplamiento optimocon el exterior, ver por ejemplo [12]. Por ello, en estudios de sistemas con perdidasy/o ganancias es comun utilizar un rango de valores simetrico alrededor de γ = 1como rango de prueba. Ademas, como estamos interesados en incluir el valor γ = 0en nuestro analisis (red perfecta) entonces elegimos el intervalo simetrico (alrededorde γ = 1), es decir, γ = [0, 2].

En la Fig. 3.1 se muestran los resultados obtenidos al calcular la entropıa deShannon para redes de tipo Erdos-Renyi con desorden maximo con perdidas yganancias. Cada panel corresponde a un tamano fijo de red y diferentes valoresde γ. Cabe mencionar que la magnitud de γ es fija en cada curva, sin embargoel signo se alterna para producir los efectos de las perdidas y ganancias en la red,como se puede ver de la ecuacion 3.2, y siempre se mantienen N/2 perdidas y N/2ganancias. Podemos notar que la forma de las curvas correspondientes a la entropıade Shannon de redes con perdidas y ganancias no varıa mucho en relacion con lascurvas reportadas para el modelo que no incluye perdidas y ganancias (ver la lıneapunteada en cada panel de la Fig. 3.1), se observa que al anadir perdidas y gananciasel valor maximo de la curva aumenta un poco y que las curvas se desplazan hacia la

Capıtulo 3: Modelo de Erdos-Renyi con perdidas y ganancias. Caso regular. 27

0.0001 0.001 0.01 0.1 1α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

γ=0γ=0.2γ=0.5γ=1γ=1.5γ=1.7γ=2

(a) N=250

0.0001 0.001 0.01 0.1 1α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

γ=0γ=0.2γ=0.5γ=1γ=1.5γ=1.7γ=2

(b) N=500

0.0001 0.001 0.01 0.1 1α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

γ=0γ=0.2γ=0.5γ=1γ=1.5γ=1.7γ=2

(c) N=1000

0.0001 0.001 0.01 0.1 1α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

γ=0γ=0.2γ=0.5γ=1γ=1.5γ=1.7γ=2

(d) N=2000

Figura 3.1: Entropıa de Shannon promedio 〈S〉 normalizada a SGOE como funcion de α para redes

de tipo Erdos-Renyi con desorden maximo con perdidas y sin ganancias para varios valores de γ.

Cada panel corresponde a un tamano de red fijo (a) N = 250, (b) N = 500, (c) N = 1000 y (d)

N = 2000. Cada punto se obtuvo de un promedio sobre 5×105 autofunciones. Las lıneas discontinuas

representa la entropıa de Shannon promedio para redes de tipo Erdos-Renyi con desorden maximo

sin perdidas y sin ganancias.


derecha al incrementarse γ, esto significa que para valores mayores de γ la transiciona estados delocalizados ocurre de forma mas lenta.

Posteriormente se realizo el mismo estudio pero ahora manteniendo fija lamagnitud de γ en cada panel y variando el tamano de la red entre N = 250 y2000. En la Fig. 3.2 se observan algunas de las graficas obtenidas realizando esteprocedimiento para diferentes valores de γ. En la Fig. 3.2 se observa que las graficasse desplazan hacia la izquierda al incrementar N pero la forma de la curva siemprese mantiene igual para un valor de γ fijo.

Ya que se buscaba encontrar un reescalamiento para estas graficas (es decir,encontrar un parametro universal para nuestro modelo de redes), se aplico unprocedimiento por el cual se encontro una curva que se ajustara a las graficas dela entropıa mostradas en las Fig. 3.1 y 3.2. La curva que se ajusta mejor a los datoscorresponde a una curva logıstica de la forma:

S(x) =a

1 + bx−c. (3.3)

Para realizar el reescalamiento de las graficas elegimos hallar el punto de inflexionXc de la curva de ajuste. Este punto Xc se encuentra aplicando el criterio de lasegunda derivada a la Ecuacion 3.3: Como

dS

dx=

abcxc−1

(b+ xc)2, (3.4)

yd2S

dx2= −abcx

c−2(b− bc+ (1 + c)xc)

(b+ xc)3, (3.5)

haciendod2S

dx2= 0 (3.6)

se obtiene

Xc =c

√b(c− 1)

1 + c. (3.7)

Entonces, se ajusto cada una de las curvas numericas 〈S〉/SGOE vs. α con una curvalogıstica para obtener los valores de los coeficientes a, b y c, y al sustituirlos en laEcuacion 3.7 obtuvimos el valor del punto de inflexion Xc correspondiente.

Con la finalidad de observar la relacion de los puntos de inflexion Xc con γ, segraficaron estos datos para cuatro tamanos de red N = 250, 500, 1000 y 2000; estascurvas se presentan en la Fig. 3.3.

En la Fig. 3.3 se observa que para diferentes tamanos de red, las curvas son muysimilares entre si, pero a medida que el tamano de la red es mayor, Xc(γ) tomavalores mas pequenos. Numericamente se realizaron ajustes cubicos a estas curvas yse obtuvo que para N = 250, los valores de Xc pueden hallarse usando:

Xc = 0.0078401 + 0.0043133γ − 0.0018014γ2 + 0.00037323γ3, (3.8)


0.0001 0.001 0.01 0.1 1α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

N=250N=500N=1000N=2000

(a) γ = 0.2

0.0001 0.001 0.01 0.1 1α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

N=250N=500N=1000N=2000

(b) γ = 0.5

0.0001 0.001 0.01 0.1 1α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

N=250N=500N=1000N=2000

(c) γ = 1

0.0001 0.001 0.01 0.1 1α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

N=250N=500N=1000N=2000

(d) γ = 1.5

0.0001 0.001 0.01 0.1 1α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

N=250N=500N=1000N=2000

(e) γ = 1.8

0.0001 0.001 0.01 0.1 1α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

N=250N=500N=1000N=2000

(f) γ = 2

Figura 3.2: Entropıa de Shannon promedio 〈S〉 normalizada a SGOE como funcion del parametro

de conectividad α, con tamano de red N = 250, 500, 1000 y 2000 para valores de γ fijos (a)γ = 0.2,

(b)γ = 0.5, (c)γ = 1, (d)γ = 1.5 ,(e)γ = 1.8 y (f)γ = 2. Cada punto se obtuvo de un promedio sobre

5× 105 autofunciones.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

γ0

0.00125

0.0025

0.00375

0.005

0.00625

0.0075

0.00875

0.01

0.01125

0.0125

Xc

N=250N=500N=1000N=2000

Figura 3.3: Valores para Xc en funcion del valor de γ para diferentes tamanos de red, N =

250, 500, 1000, 2000. Datos obtenidos por ajuste numerico

para N = 500,

Xc = 0.0041144 + 0.003181γ − 0.0017136γ2 + 0.00040658γ3, (3.9)

para N = 1000,

Xc = 0.0020939 + 0.0015892γ − 0.00075585γ2 + 0.00017047γ3 (3.10)

y finalmente para N = 2000,

Xc = 0.0011425 + 0.00086177γ − 0.00044214γ2 + 0.00010412γ3 (3.11)

Tambien se realizo una grafica para observar el valor de Xc en funcion del tamano dela red N , para un valor de γ fijo.

De acuerdo a la grafica mostrada en la Fig. 3.4 se busco una expresion para Xc

en funcion de N con valor de γ constante, para esto se hizo un ajuste de acuerdo ala siguiente expresion

Xc = a0Na1 . (3.12)

Utilizando el programa graficador y de analisis de datos de acceso libre Grace,1 sehallaron los coeficientes para diferentes valores de γ, los cuales se muestran en laTabla 3.1.

1http://plasma-gate.weizmann.ac.il/Grace/


0 500 1000 1500 2000

N0

0.0025

0.005

0.0075

0.01

0.0125

0.015

Xc

γ=0γ=0.01γ=0.1γ=0.5γ=0.8γ=1γ=1.3γ=1.8γ=2

Figura 3.4: Valores para Xc segun el tamano de la red para valores de γ fijos. Datos obtenidos

por ajuste numerico

γ a0 a1

0 1.51226 −0.9571690.1 1.27554 −0.9086040.2 1.27723 −0.9009560.4 1.30173 −0.8937590.6 1.33127 −0.8889490.8 1.36557 −0.8854261 1.39951 −0.8824741.2 1.43347 −0.8802321.4 1.46236 −0.8781951.6 1.48548 −0.8763481.8 1.50273 −0.8746512 1.51431 −0.873066

Tabla 3.1: Valores de las constantes a0 y a1 del ajuste correspondiente a la Ecuacion 3.12 para

valores seleccionados de γ.

Con los valores de Xc obtenidos de las Ecuaciones 3.8, 3.9,3.10 y 3.11 se reescalaronlas curvas de entropıa, es decir, se grafico 〈S〉/SGOE vs α/Xc, como se muestra en laFig. 3.5. Primero se mantuvo fijo el parametro N y se vario γ (ver Figs. 3.5(a) y (b)),despues se realizo el reescalamiento manteniendo fijo γ y variando N (ver Fig. 3.5(c))


0.0001 0.001 0.01 0.1 1α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

γ=0γ=0.5γ=1γ=2

0.01 0.1 1 10 100

α/Xc

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

γ=0γ=0.5γ=1γ=2

(a) N = 250 y diferentes valores de γ

0.0001 0.001 0.01 0.1 1α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

γ=0γ=0.5γ=1γ=2

0.01 0.1 1 10 100

α/Xc

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

γ=0γ=0.5γ=1γ=2

(b) N = 1000 y diferentes valores de γ

0.0001 0.001 0.01 0.1 1α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

γ=0γ=0.5γ=1γ=2

0.01 0.1 1 10 100

α/Xc

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

γ=0γ=0.5γ=1γ=2

(c) γ = 1.5 y diferentes valores de N

1e-005 0.0001 0.001 0.01 0.1 1α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

N=250, γ=0.2N=500, γ=0.6N=1000, γ=1.4N=2000, γ=2

0.01 0.1 1 10 100

α/Xc

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

N=250, γ=0.2N=500, γ=0.6N=1000, γ=1.5N=2000, γ=2

(d) Diferentes valores para γ y N

Figura 3.5: Entropıa de Shannon promedio 〈S〉 normalizada a SGOE como funcion de α (parte

superior de cada panel) y como funcion de α/Xc (parte inferior de cada panel), para matrices de

adyacencia de redes de tipo Erdos-Renyi con perdidas y ganancias de manera regular y diferentes

combinaciones de N y γ. En el panel (a) tamano fijo N = 250 y valores de γ variados, panel (b)

tamano fijo N = 1000 y valores de γ variados, panel (c) valor γ = 1.5 fijo y distintos tamanos de

red N y panel (d)distintas ombinaciones de valores de γ y N . Cada punto se obtuvo de un promedio

sobre 5× 105 autofunciones. Se utilizo el valor de Xc correspondiente a cada curva.


y finalmente se reescalaron curvas con diferentes tamanos N y diferentes valores deγ (ver Fig. 3.5(d)). Podemos observar entonces que α/Xc nos proporciona un buenreescalamiento en todos los casos, es decir para valores de γ fijo, tamanos N fijos, obien, cuando combinamos valores de γ y de N .

De la Figura 3.4 se observa que Xc tiene una dependencia con N aproximadamentecomo

Xc ∼ Na1 . (3.13)

Entonces se prueba ahora un reescalamiento que siga esta proporcionalidad, sepropone reescalar α como αNa1, y similarmente al caso anterior (α/Xc), se realizanreescalamientos para N fijo y γ variable (ver Fig. 3.6(a) y (b)), γ fijo y N variable(ver Fig. 3.6(c)) y combinaciones de γ y N (ver Fig. 3.6(d)). Podemos observar de laFig. 3.6 que tambien αNa1 es un buen reescalamiento.

Observando los resultados registrados en la Fig. 3.6, y los valores para a1registrados en la Tabla 3.1 podemos notar que a1 ≈ −1 y que a1 se acerca mas a−1 cuando γ → 0, esto nos lleva a considerar un reescalamiento de la forma αN taly como se utilizo en el Capıtulo 2. Para verificar la utilidad de este reescalamientose realizaron graficas similares a las presentadas en las Figs. 3.5 y 3.6, los resultadosobtenidos se reportan en la Fig. 3.7.

En la Fig. 3.7 observamos que el reescalamiento αN solamente es bueno cuandoel valor γ es fijo.


0.001 0.01 0.1 1

α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

γ=0γ=0.5γ=1γ=2

0.01 0.1 1 10 100

αN-a1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

γ=0γ=0.5γ=1γ=2


0.0001 0.001 0.01 0.1 1

α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

γ=0γ=0.5γ=1γ=2

0.1 1 10 100

αN-a1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

γ=0γ=0.5γ=1γ=2


0.0001 0.001 0.01 0.1 1

α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

N=250N=500N=1000N=2000

0.1 1 10 100

αN-a1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

N=250N=500N=1000N=2000


0.0001 0.001 0.01 0.1 1

α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

N=250, γ=0N=500, γ=0.6N=1000, γ=1.5N=2000, γ=2

0.01 0.1 1 10 100 1000

αN-a1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

N=250, γ=0N=500, γ=0.6N=1000, γ=1.5N=2000, γ=2



superior de cada panel) y como funcion de αN−a1 (parte inferior de cada panel), para matrices de


combinaciones de N y γ. En el panel (a) tamano fijo N = 250 y valores de γ variados, panel

(b) tamano fijo N = 1000 y valores de γ variados, (c)γ = 1.5 y distintos tamanos de red N y

(d)Combinaciones de valores de γ y N como se indica en el panel. Cada punto se obtuvo de un

promedio sobre 5× 105 autofunciones. Se utilizo el valor de a1 de la Tabla3.1.


0.001 0.01 0.1 1

α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

γ=0γ=0.5γ=1γ=2

0.01 0.1 1 10 100

αN

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

γ=0γ=0.5γ=1γ=2


0.0001 0.001 0.01 0.1 1

α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

γ=0γ=0.5γ=1γ=2

0.1 1 10 100

αN

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

γ=0γ=0.5γ=1γ=2


0.0001 0.001 0.01 0.1 1

α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

N=250N=500N=1000N=2000

0.1 1 10 100

αN

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

N=250N=500N=1000N=2000


0.0001 0.001 0.01 0.1 1

α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

N=250, γ=0N=500, γ=0.6N=1000, γ=1.5N=2000, γ=2

0.01 0.1 1 10 100 1000

αN

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

N=250, γ=0N=500, γ=0.6N=1000, γ=1.5N=2000, γ=2



superior de cada panel) y como funcion de αN (parte inferior de cada panel), para matrices de


combinaciones de N y γ. En el panel (a) tamano fijo N = 250 y valores de γ variados, panel (b)

tamano fijo N = 1000 y valores de γ variados, panel (c)valorfijoγ = 1.5 y distintos tamanos de red

N y (d)Combinaciones de valores de γ y N como se indica en el panel. Cada punto se obtuvo de un

promedio sobre 5× 105 autofunciones.



En el caso analizado en el capıtulo anterior se estudiaron las propiedadesespectrales de la red utilizando P (s), pero como en este caso las matrices noson hermitianas y sus autovalores son complejos se estudiara la densidad deautovalores graficados en el plano complejo. De acuerdo con las distintas formasde reescalar la curva de entropıa, se encontro que podrıamos tener valores fijosen las propiedades espectrales de la red de 3 maneras, sin embargo se encontroque el mejor reescalamiento esta dado por α/Xc, por tal motivo se estudiola densidad de autovalores de acuerdo con este reescalamiento. Se realizo unprograma computacional que implementara el modelo para posteriormente calcularsus autovalores y obtener la densidad de estos para valores fijos de α/Xc, se presentanalgunos de los resultados obtenidos:

Re(z)

Im(z

)

N=250

−6 −4 −2 0 2 4 6−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−3

Re(z)

Im(z

)N=500

−6 −4 −2 0 2 4 6−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−3

Re(z)

Im(z

)

N=1000

−6 −4 −2 0 2 4 6−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−3

Re(z)

Im(z

)

N=2000

−6 −4 −2 0 2 4 6−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−3

máx

mín

Figura 3.8: Densidad de autovalores en el plano complejo para redes de tipo ER con perdidas

y ganancias de manera regular para diferentes tamanos de red (N = 250, 500, 1000 y 2000) con

α/Xc = 2.33 y γ = 0.001.

Se utilizo el valor de γ constante en todos los casos ya que se observo que eseste valor el que fija el valor maximo de la componente compleja del autovalor. Enla Fig. 3.8 no se observa que la densidad de estados tome la misma forma paralos distintos valores de N , pero esto es debido a que el espacio que tienen paradistribuirse es muy pequeno, sin embargo, en el caso de las Figs. 3.9, 3.10, 3.11,3.12 y 3.13, se observa que para un valor fijo de α/Xc la densidad de autovalores semantiene fija sin importar el tamano de la red. Todas estas graficas se realizaronutilizando 250, 000 autovalores.


Re(z)

Im(z

)

N=250

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.5

0

0.5

Re(z)

Im(z

)

N=500

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.5

0

0.5

Re(z)

Im(z

)

N=1000

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.5

0

0.5

Re(z)

Im(z

)

N=2000

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.5

0

0.5

máx

min



α/Xc = 2.33 y γ = 0.5.

Re(z)

Im(z

)

N=250

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.5

−0.25

0

0.25

0.5

Re(z)

Im(z

)

N=500

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.5

−0.25

0

0.25

0.5

Re(z)

Im(z

)

N=1000

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.5

−0.25

0

0.25

0.5

Re(z)

Im(z

)

N=2000

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.5

−0.25

0

0.25

0.5

máx

mín



α/Xc = 2.87 y γ = 0.5.


Re(z)

Im(z

)

N=250

−6 −4 −2 0 2 4 6−1

−0.5

0

0.5

1

Re(z)

Im(z

)

N=500

−6 −4 −2 0 2 4 6−1

−0.5

0

0.5

1

Re(z)

Im(z

)

N=1000

−6 −4 −2 0 2 4 6−1

−0.5

0

0.5

1

Re(z)

Im(z

)

N=2000

−6 −4 −2 0 2 4 6−1

−0.5

0

0.5

1

máx

mín



α/Xc = 3.64 y γ = 1.

Re(z)

Im(z

)

N=250

−6 −4 −2 0 2 4 6−2

−1

0

1

2

Re(z)

Im(z

)

N=500

−6 −4 −2 0 2 4 6−2

−1

0

1

2

Re(z)

Im(z

)

N=1000

−6 −4 −2 0 2 4 6−2

−1

0

1

2

Re(z)

Im(z

)

N=2000

−6 −4 −2 0 2 4 6−2

−1

0

1

2

máx

mín



α/Xc = 3.64 y γ = 2.


Re(z)

Im(z

)

N=250

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Re(z)

Re(

z)

N=500

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Re(z)

Im(z

)

N=1000

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Re(z)

Im(z

)

N=2000

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

máx

mín



α/Xc = 5.69 y γ = 0.2.

Podemos concluir que, ası como las propiedades espectrales y de autoestados delmodelo de redes de tipo Erdos-Renyi con desorden maximo son invariantes paravalores de ξ = αN fijos, al introducir perdidas y ganancias de manera regular almodelo de redes, este acepta como parametro universal a la razon α/Xc. DondeXc ≡ Xc(γ,N), con Xc ∝ Na1 (a1 ∼ −1) y Xc es un polinomio de orden cubico enγ. Es decir, las propiedades espectrales y de autoestados del modelo de redes de tipoErdos-Renyi con desorden maximo y perdidas y ganancias distribuidas de maneraregular, son invariantes para valores de α/Xc fijos.


.

Capıtulo 4

Modelo de Erdos-Renyi conperdidas y ganancias. Casodesordenado.

En este capıtulo se presenta el estudio de redes de tipo Erdos-Renyi condesorden maximo introduciendo perdidas y ganancias de manera desordenada.Para realizar este estudio, de manera similar al capıtulo anterior, se elaboraronprogramas computacionales que construyen ensambles de matrices de adyacenciacorrespondientes a redes de tipo Erdos-Renyi incluyendo perdidas y ganancias, peroahora de forma desordenada, esto significa que en lugar de alternar los signos comoen el caso anterior para generar perdidas y ganancias de manera simetrica, ahora lossignos asociados a γ se distribuyen de manera aleatoria en la diagonal de la red, perosiempre se conserva el mismo numero de perdidas que de ganancias. Nuevamente lasredes estan caracterizadas por los parametros α (conectividad de la red), N (tamanode la red) y γ (magnitud de las perdidas y las ganancias). Una vez obtenidas estasmatrices se implemento un programa de diagonalizacion numerica para obtener losautovalores Em y las autofunciones ψm (m = 1, 2, ..., N) de cada una de ellas paraası estudiar las propiedades espectrales y de autoestados con el fin de encontrar unparametro universal que fije estas propiedades.

4.1 Descripcion del modelo

Para realizar el estudio de las propiedades espectrales y de autoestadoscorrespondientes a este modelo se construyeron ensambles de matrices de adyacenciacorrespondientes a redes de tipo Erdos-Renyi que incluyen perdidas y ganancias demanera aleatoria. Se construyeron programas que implementaran el nuevo modelo aestudiar. Los elementos fuera de la diagonal principal de las matrices de adyacenciasiguen siendo los mismos, mientras que los elementos en la diagonal principal son

41

42 Capıtulo 4: Modelo de Erdos-Renyi con perdidas y ganancias. Caso desordenado.

ahoraAjj = nj + iγ, (4.1)

oAjj = nj − iγ, (4.2)

de manera aleatoria pero conservando la condicion de que hay N/2 perdidas y N/2ganancias. Entonces podemos ver que se trata basicamente del mismo modelo que enel capıtulo anterior, pero sin conservar la simetrıa de las perdidas y ganancias en ladiagonal principal.


Nuevamente se inicio el estudio del sistema calculando la entropıa de Shannondel nuevo modelo. Para realizar una comparacion directa con los resultados del casoanterior se consideraron los mismo parametros, es decir, los mismos valores de γ yN que en la Fig. 3.1 para el caso de perdidas y ganancias de manera ordenada. Enla Fig. 4.1 se muestran estos resultados. Ambas figuras (Fig. 3.1 y Fig. 4.1) son tansimilares que es imposible detectar alguna diferencia entre ellas.

Se observa que incluir perdidas y ganancias de forma ordenada o desordenadano produce ningun efecto en las curvas de la entropıa de Shannon como funcion deα, motivados por esto repetimos la Figura 3.5 pero introduciendo las perdidas yganancias de manera aleatoria y utilizando los mismos valores de Xc calculados en elcaso anterior, los resultados se muestran en la Figura 4.2.

Al comparar las Figuras 3.5 y 4.2 confirmamos que los resultados no dependen dela forma en que se incorporen las perdidas y ganancias.

Esto nos lleva a concluir que el parametro universal del modelo es la razon α/Xc.

Capıtulo 4: Modelo de Erdos-Renyi con perdidas y ganancias. Caso desordenado. 43

0.0001 0.001 0.01 0.1 1α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

γ=0γ=0.2γ=0.5γ=1.5γ=2

(a) N=250

0.0001 0.001 0.01 0.1 1α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

γ=0γ=0.2γ=0.5γ=1.5γ=2

(b) N=500

0.0001 0.001 0.01 0.1 1α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

γ=0γ=0.2γ=0.5γ=1.5γ=2

(c) N=1000

0.0001 0.001 0.01 0.1 1α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

γ=0γ=0.2γ=0.5γ=1.5γ=2

(d) N=2000

Figura 4.1: Entropıa de Shannon promedio 〈S〉 normalizada a SGOE como funcion del parametro

de conectividad α para redes de tipo Erdos-Renyi con desorden maximo y perdidas y ganancias

anadidas de manera aleatoria con valores de γ distintos (γ = 0.2, 0.5, 1.5 y 2). Con tamano de red

fijo (a) N = 250,(b)N = 500, (c) N = 1000 y (d) N = 2000. Cada punto se obtuvo de un promedio

sobre 5 × 105 autofunciones. Las lıneas discontinuas representa la entropıa de Shannon promedio

para redes de tipo Erdos-Renyi con desorden maximo sin perdidas y sin ganancias


Una vez que hemos concluido que la razon α/Xc fija las propiedades de autoestadosdel modelo de redes de tipo Erdos-Renyi con desorden maximo con perdidas yganancias introducidas de manera desordenada, ahora verificamos la invarianza delas propiedades espectrales del modelo graficando las densidades de autovalores en elplano complejo para valores fijos de α/Xc, los resultados obtenidos se muestran enlas siguientes figuras.


0.0001 0.001 0.01 0.1 1α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

γ=0γ=0.5γ=1γ=2

0.01 0.1 1 10 100

α/Xc

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

γ=0γ=0.5γ=1γ=2


0.0001 0.001 0.01 0.1 1α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

γ=0γ=0.5γ=1γ=2

0.01 0.1 1 10 100

α/Xc

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

γ=0γ=0.5γ=1γ=2


0.0001 0.001 0.01 0.1 1α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

γ=0γ=0.5γ=1γ=2

0.01 0.1 1 10 100

α/Xc

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

γ=0γ=0.5γ=1γ=2


1e-005 0.0001 0.001 0.01 0.1 1α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

N=250, γ=0.2N=500, γ=0.6N=1000, γ=1.4N=2000, γ=2

0.01 0.1 1 10 100

α/Xc

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<S>

/SG

OE

N=250, γ=0.2N=500, γ=0.6N=1000, γ=1.5N=2000, γ=2



superior de cada panel) y como funcion de α/Xc (parte inferior de cada panel), para matrices de

adyacencia de redes de tipo Erdos-Renyi con perdidas y ganancias incorporadas de manera aleatoria

y diferentes combinaciones de N y γ. En el panel (a) tamano fijo N = 250 y valores de γ variados,

panel (b) tamano fijo N = 1000 y valores de γ variados, panel (c) valor γ = 1.5 fijo y distintos

tamanos de red N y panel (d)distintas ombinaciones de valores de γ y N . Cada punto se obtuvo de

un promedio sobre 5× 105 autofunciones. Se utilizo el valor de Xc correspondiente a cada curva.


Re(z)

Im(z

)

N=250

−6 −4 −2 0 2 4 6−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−3

Re(z)

Im(z

)

N=500

−6 −4 −2 0 2 4 6−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−3

Re(z)

Im(z

)

N=1000

−6 −4 −2 0 2 4 6−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−3

Re(z)

Im(z

)

N=2000

−6 −4 −2 0 2 4 6−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−3

máx

mín


y ganancias de manera aleatoria para diferentes tamanos de red (N = 250, 500, 1000 y 2000) con

α/Xc = 2.33 y γ = 0.001.

Re(z)

Im(z

)

N=250

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.5

−0.25

0

0.25

0.5

Re(z)

Im(z

)

N=500

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.5

−0.25

0

0.25

0.5

Re(z)

Im(z

)

N=1000

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.5

−0.25

0

0.25

0.5

Re(z)

Im(z

)

N=2000

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.5

−0.25

0

0.25

0.5

0

100

200

300

400

500

600

700

800 máx

mín



α/Xc = 2.33 y γ = 0.5.


Re(z)

Im(z

)N=250

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.5

−0.25

0

0.25

0.5

Re(z)

Im(z

)

N=500

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.5

−0.25

0

0.25

0.5

Re(z)

Im(z

)

N=1000

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.5

−0.25

0

0.25

0.5

Re(z) Im

(z)

N=2000

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.5

−0.25

0

0.25

0.5

máx

mín



α/Xc = 2.87 y γ = 0.5.

Re(z)

Im(z

)

N=250

−6 −4 −2 0 2 4 6−1

−0.5

0

0.5

1

Re(z)

Im(z

)

N=500

−6 −4 −2 0 2 4 6−1

−0.5

0

0.5

1

Re(z)

Im(z

)

N=1000

−6 −4 −2 0 2 4 6−1

−0.5

0

0.5

1

Re(z)

Im(z

)

N=2000

−6 −4 −2 0 2 4 6−1

−0.5

0

0.5

1

máx

mín



α/Xc = 3.64 y γ = 1.


Re(z)

Im(z

)

N=250

−6 −4 −2 0 2 4 6−2

−1

0

1

2

Re(z)

Im(z

)

N=500

−6 −4 −2 0 2 4 6−2

−1

0

1

2

Re(z)

Im(z

)

N=1000

−6 −4 −2 0 2 4 6−2

−1

0

1

2

Re(z)

Im(z

)

N=2000

−6 −4 −2 0 2 4 6−2

−1

0

1

2

máx

mín



α/Xc = 3.64 y γ = 2.

Re(z)

Im(z

)

N=250

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Re(z)

Im(z

)

N=500

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Re(z)

Im(z

)

N=1000

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Re(z)

Im(z

)

N=2000

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

máx

mín



α/Xc = 5.69 y γ = 0.2.


De las Figs. 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7 y 4.8 podemos concluir que la razon α/Xc

tambien fija las propiedades espectrales del modelo de redes de tipo Erdos-Renyi condesorden maximo con perdidas y ganancias introducidas de manera desordenada.

Es importante anadir que aunque las Figs. 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7 y 4.8 no sonexactamente iguales a sus analogas para el caso ordenado, las diferencias se debena fluctuaciones estadısticas por lo que se puede decir que son estadısticamenteequivalentes.

Observando estos resultados y los resultados mostrados en el Capıtulo anteriorpodemos notar que las propiedades del sistema son invariantes ante el orden odesorden de las perdidas y ganancias, siempre y cuando se preserve el mismo numerode perdidas y ganancias como N/2 para una red de N nodos.

Capıtulo 5

Conclusiones

En esta Tesis se estudiaron numericamente las propiedades espectrales y deautoestados de tres modelos de redes de tipo Erdos-Renyi con desorden maximo.

Inicialmente se analizo el modelo de Erdos-Renyi con desorden maximointroducido en [10], en el que las matrices de adyacencia son hermitianas y estancaracterizadas por los parametros α (conectividad de la red) y N (tamano de la red).Para estas redes se verificaron los resultados reportados en [10] en los que se observaque la distribucion de probabilidad de espaciamiento entre energıas consecutivas,P (s), la entropıa de Shannon promedio 〈S〉 de los autoestados y la longitud delocalizacion entropica de los mismos `N son cantidades invariantes para un valor fijodel grado promedio ξ = αN [ver Figs. 2.4, 2.5(b) y 2.6(b)]. Tambien se verifico quela distribucion de Brody describe bien a la P (s) en la transicion de vertices aisladosa redes completamente conectadas [ver Figs. 2.4 y 2.2].

Posteriormente se realizo una variacion al modelo introduciendo perdidas yganancias de manera regular, es decir, anadiendo el termino ±iγ a los elementos de ladiagonal principal de las matrices de adyacencia (alternando el signo). Ahora las redesestan caracterizadas por los parametros α (conectividad de la red), N (tamano de lared) y γ (magnitud de las perdidas y las ganancias). De esta manera las matrices deadyacencia son matrices simetricas pero no hermitianas, por lo que ahora se estudiola entropıa de Shannon promedio 〈S〉 de autoestados y la densidad de autovaloresen el plano complejo. Mediante analisis numericos se encontro que para diferentescombinaciones de tamanos de red N y magnitud de perdidas y ganancias γ podemosencontrar un valor Xc (ver Fig. 3.3) que reescala las propiedades espectrales y deautoestados, es decir, que si fijamos para la red el valor de α/Xc, la entropıa deShannon promedio 〈S〉 de los autoestados y la densidad de autovalores en el planocomplejo son cantidades invariantes [ver panel inferior de las Figs. 3.5(a), 3.5(b),3.5(c) y 3.5(d)].

En el ultimo caso se estudiaron redes con perdidas y ganancias anadidas de maneraaleatoria, es decir con signos positivos o negativos elegidos de forma aleatoria perofijando la cantidad de positivos igual a la de negativos (misma cantidad de perdidas

49

50 Capıtulo 5: Conclusiones

que de ganancias). Se encontro que las propiedades espectrales y de autoestados noson sensibles a esta aleatoriedad, ya que los resultados son equivalentes al regular.Por lo tanto la cantidad que fija las propiedades espectrales y de autoestados estatambien dada por α/Xc (ver Figs. 3.7, 3.8, 3.9, 3.10, 3.11, 3.12 y 3.13). Con estosresultados hemos construido el modelo de referencia que es aplicable a redes conperdidas y ganancias, como es el caso de redes electronicas.

Finalmente, es relevante recordar que en esta Tesis solo se considero el caso deN/2 perdidas y N/2 ganancias incluidas en una red de tamano N . El caso en el que elnumero de perdidas es diferente al de ganancias requiere de un parametro adicional:la razon entre perdidas y ganancias. Este caso puede ser el tema de una investigacionfutura.

Apendice A

Figuras Complementarias

Se anexan las Figuras de “Universality in the spectral and eigenfunction propertiesof random networks”, para tener una referencia de los resultados que fueronreproducidos en el Capıtulo 2.

Figura A.1: FIG 1 de “Universality in the spectral and eigenfunction properties of random

networks” .

51

52 Apendice A: Figuras Complementarias


networks” .

Apendice A: Figuras Complementarias 53

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networks” .

54 Apendice A: Figuras Complementarias



networks” .

Apendice A: Figuras Complementarias 55



networks” .

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Documents

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LA MIXTECAjupiter.utm.mx/~tesis_dig/13070.pdf · 2019. 6. 12. · largo del trabajo; de igual forma se describe el modelo bajo estudio. En el segundo cap