UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - … · c. Aplicar el teorema de Rolle y calcular el valor x = c que lo verifica en el ... c. Aplicar el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA

NACIONAL

FACULTAD REGIONAL PARANÁ

CÁTEDRAS ANÁLISIS MATEMÁTICO I

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

CURSO DE PROMOCIÓN 2011

TRABAJO PRÁCTICO INTEGRADOR № I

Parte C Profesores: Titular Ing. Celestino Benito Brutti (AM I) Titular Ing. Felicia Dora Zuriaga (AyGA)

J.T.P. Ing. Gabriela Martinez (AyGA) J.T.P. Ing. María Alicia Gemignani (AM I)

Alumnos: …………………………………..

………………………………….

Grupo Nº: ……

AÑO 2011

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Facultad Regional Paraná

Análisis Matemático I y Algebra y Geometría Analítica Trabajo Práctico Integrador Nº1 Parte C – Año 2011

CURSO DE PROMOCIÓN PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE ESTUDIOS DE FUNCIONES Y SISTEMAS DE

ECUACIONES LINEALES

Ing. Celestino Benito Brutti – Ing. Felicia Dora Zuriaga

Ejercicio 1 Dados los cuatro puntos:

a. Graficar los puntos. b. Determinar la ecuación de la parábola cúbica cuya gráfica pasa por los cuatro

puntos. c. Determinar los ceros de la función racional entera. d. Graficar conjuntamente la función y los cuatro puntos. e. Aplicar el Teorema de Rolle en el intervalo [a;b] tal que f(a) = f(b) = 0 siendo

x=a y x=b los ceros de menor valor y determinar el valor de x = c que verifica el teorema.

f. Determinar la ecuación de la recta tangente en Q(a; 0) y en Q2[c; f(c)] g. Graficar conjuntamente la función y las dos rectas tangentes.

Nº P1(x1,y1) P2(x2,y2) P3(x3,y3) P4(x4,y4) 1 ( -5 , -8 ) ( -1 , 1 ) ( 2 , -3 ) ( 4 , 7 ) 2 ( -6 , -9 ) ( -2 , 3 ) ( 3 , -4 ) ( 6 , 9 ) 3 ( -3 , 7 ) ( -1 , -1 ) ( 2 , 2 ) ( 4 , -9 ) 4 ( -3 , 9 ) ( -1 , -2 ) ( 2 , 3 ) ( 5 , -9 ) 5 ( -4 , 11 ) ( -2 , -3 ) ( 2 , 4 ) ( 5 , -10 ) 6 ( -4 , 10 ) ( -2 , -2 ) ( 2 , 4 ) ( 5 , -12 ) 7 ( -5 , 9 ) ( -1 , -1 ) ( 3 , 3 ) ( 4 , -7 ) 8 ( -6 , 8 ) ( -2 , -3 ) ( 2 , 4 ) ( 6 , -10 )




ECUACIONES LINEALES


Ejercicio 2

a. Determinar la ecuación de la parábola cúbica cuya gráfica pasa por los tres puntos y es tangente al eje x en P2

b. Graficar los puntos y la parábola cúbica. c. Aplicar el teorema de Rolle en el intervalo [x1;x2] y encontrar el valor de x=c

que lo verifica. d. Calcular la ecuación de la recta tangente a y = f(x) en el punto P1 y en el punto

C[c;f(c)] e. Graficar conjuntamente la función y las dos rectas tangentes.

Nº P1(x1,y1) P2(x2,y2) P3(x3,y3) 1 (2, 0) (6, 0) (0, 8) 2 (-5, 0) (1, 0) (0, 6) 3 (-3, 0) (6, 0) (0, 9) 4 (-4, 0) (7, 0) (0, -9) 5 (-5, 0) (2, 0) (0, -7) 6 (-2, 0) (7, 0) (0, -6) 7 (-2, 0) (5, 0) (0, -9) 8 (3, 0) (10, 0) (0, 10)




ECUACIONES LINEALES


Ejercicio 3 Dado la función racional entera y = f3(x)

a. Graficar. b. Calcular los ceros de y = f3(x) c. Aplicar el teorema de Rolle y calcular el valor x = c que lo verifica en el

intervalo definido por el cero de multiplicidad dos de y = f3(x) y el cero de signo contrario más próximo a él.

d. Hallar la ecuación de la recta tangente a y = f3(x) en P1[c, f3(c)] e. Hallar la ecuación de la recta tangente a y = f3(x) en el cero simple seleccionado

en el punto b. f. Graficar conjuntamente y = f3(x) y ambas rectas tangentes.

1- y = -12+25x-13x2-x3+x4 2- y = -15+32x-18x2+x4 3- y = -18+39x-23x2+x3+x4 4- y = -60-68x-19x2+2x3+x4 5- y = -72-84x-26x2+x3+x4 6- y = -18-39x-23x2-x3+x4 7- y = -12-28x-19x2-2x3+x4 8- y = -10-23x-15x2-x3+x4




ECUACIONES LINEALES


Ejercicio 4 Dada la función y = f4(x)

a. Graficar. b. Determinar la intersección con los ejes coordenados. c. Aplicar el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial en el intervalo

[a, b] y determinar el o los valores de x = c que lo verifican. d. Determinar la ecuación de la recta secante a y = f4(x) que pasa por los puntos

P1[a; f4(a)] y P2[b, f4(b)] e. Determinar las ecuaciones de la o las rectas tangentes a y = f4(x) y que sean

paralelas a la recta secante determinada en d. f. Graficar conjuntamente y = f4(x) y las rectas obtenidas en los puntos d y e.

1- y=x3-7x2-33x+135 [4;10] 2- y=x3-11x2+3x+135 [-5;-4] 3- y=x3-3x2-46x-72 [-3;10] 4- y=x3+5x2-4x-20 [-1;3] 5- y=x3-4x2-2x+8 [2;5] 6- y=x3+4x2-2x-8 [-1;5/2] 7- y=x3-5x2+4x+20 [-1;3] 8- y=x3+6x2+4x-24 [3;7]




ECUACIONES LINEALES


Ejercicio 5 Dada la función y = f5(x)

a. Graficar la función y =f5(x) en [a;b] b. Determinar las intersecciones con los ejes coordenados. c. Determinar si es continua en [a;b] y derivable (a;b) d. Si es posible aplicar el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial en el

intervalo [a;b] y determinar el o los valores de x = c que lo verifican. e. Determinar la ecuación de la recta secante a y =f5(x) que pase por los puntos

P1[a, f5(a)] y P2[b, f5(b)] f. Determinar la ecuación de la recta tangente a y =f5(x) en el punto Q[c, f5(c)] g. Graficar conjuntamente y = f5(x) y las rectas tangentes y secante.

1- )23log()2.0(10 += xxseny [3;13]

( )4cos6 15.0 xey x= [7;23]

2- ( )3cos143 2 xxy +−= [6;16]

)25.0(14 xsenxy += [14;28] 3- )25.0cos(8 12.0 xey x= [7;23]

( )38)2(2 xsenxseny += [3;7]

4- 432 12121827 xxxxy +−−+= [-4;-1] )2.0(726 xsenxy += [2;13]

5- ( ) )cos(248 xxseny −= [2;9]

)3.0cos()21(2 xxy −= [6;13]

6- ( ) )(339 xsenxseny += [3;7]

)63()9( 2 +−= xLnxxy [1;10]

7- ( )33 xsenxy = [10;20]

( )4cos8 15.0 xey x−= [7;23]

8- ( )3cos33 2 xxy = [6;16]

)25.0(8)cos(2 xsenxy −= [2;9]




ECUACIONES LINEALES


Ejercicio 6 Dados los cinco puntos:

a. Graficar los puntos. b. Determinar la ecuación de la función racional entera

y = P6(x) = a0x4 + a1x3 + a2x2 + a3x + a4 que pasa por los cinco puntos. c. Determinar los ceros de la función racional entera. d. Graficar la función racional entera y los puntos. e. Aplicar el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial (T. de Lagrange) en

el intervalo [a;b] tal que a = x1 y b = x3 y determinar el valor de x = c que verifica el teorema.

f. Determinar la ecuación de la recta tangente a y = P6(x) en el punto Q[c; P6(c)] g. Determinar la ecuación de la recta secante a y = P6(x) que pasa por los puntos P1

y P3 h. Graficar conjuntamente y = P6(x) y las rectas tangente y secante.

Nº P1(x1,y1) P2(x2,y2) P3(x3,y3) P4(x4,y4) P5(x5,y5) 1 ( -1 , -4 ) ( 2 , 6 ) ( 4 , -5 ) ( 6 , 5 ) ( 9 , -5 ) 2 ( -1 , -5 ) ( 2 , 5 ) ( 4 , -4 ) ( 7 , 7 ) ( 10 , -7 ) 3 ( -2 , -8 ) ( 2 , 4 ) ( 4 , -6 ) ( 7 , 9 ) ( 10 , -9 ) 4 ( -2 , -9 ) ( 2 , 5 ) ( 4 , -7 ) ( 7 , 10 ) ( 10 , -10 ) 5 ( -2 , -10 ) ( 2 , 6 ) ( 4 , -5 ) ( 7 , 9 ) ( 10 , -9 ) 6 ( -2 , -10 ) ( 2 , 7 ) ( 4 , -6 ) ( 7 , 8 ) ( 10 , -8 ) 7 ( -3 , -12 ) ( 2 , 8 ) ( 4 , -8 ) ( 8 , 2 ) ( 11 , -10 ) 8 ( -3 , -13 ) ( 2 , 9 ) ( 4 , -9 ) ( 8 , 13 ) ( 11 , -11 )




ECUACIONES LINEALES


Ejercicio 7 Dada la siguiente tabla

a. Graficar la nube de puntos. b. Determinar aplicando el método de mínimos cuadrados la función racional

entera f(x)= a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4 c. Determinar la bondad del ajuste calculando R2 d. Graficar y = f(x) conjuntamente con la nube de puntos. e. Calcular los ceros de y = f(x) f. Aplicar el teorema de Rolle en el intervalo dado por los dos ceros de mayor

valor y determinar el valor de x = c1 que lo verifica. g. Aplicar el teorema del Valor Medio en un intervalo [a;b] a seleccionar y

determinar el valor de x = c2 que lo verifica. h. Determinar la ecuación de la recta secante que pase por los puntos P1[a;f(a)] y

P2[b;f(b)] i. Determinar la ecuación de la recta tangente a y = f(x) en el punto P2[c2;f(c2)] j. Determinar los máximos y mínimos relativos de y = f(x) k. Graficar conjuntamente y = f(x) y las dos rectas obtenidas en los puntos h e i.

1- 011 x y -5 290 -4 10 -3 -95 -2 -91 -1 -47 0 -13 1 6 2 -7 3 8 4 70 5 286




ECUACIONES LINEALES


2- 012 x y -7 1000 -6 300 -5 22 -4 -170 -3 -190 -2 -130 -1 -60 0 -14 1 2 2 -7 3 2 4 80 5 320

3- 013 x y -7 638 -6 31 -5 -286 -4 -348 -3 -290 -2 -180 -1 -80 0 -17 1 8 2 -14 3 12 4 90 5 350




ECUACIONES LINEALES


4- 014 x y -5 182 -4 35 -3 -6 -2 6 -1 -10 0 -61 1 -140 2 -240 3 -300 4 -250 5 15 6 570

5- 015 x y -5 200 -4 40 -3 -9 -2 8 -1 -13 0 -70 1 -180 2 -318 3 -445 4 -500 5 -390 6 29 7 800




ECUACIONES LINEALES


6- 016 x y -5 350 -4 88 -3 -10 -2 -28 -1 10 0 -16 1 -60 2 -150 3 -250 4 -320 5 -190 6 20 7 500

7- 017 x y -5 530 -4 180 -3 35 -2 -12 -1 20 0 -10 1 -80 2 -145 3 -240 4 -300 5 -250 6 40 7 550




ECUACIONES LINEALES


8- 018 x y -5 480 -4 160 -3 30 -2 -8 -1 12 0 -8 1 -50 2 -110 3 -160 4 -140 5 40 6 350 7 1000




ECUACIONES LINEALES


Ejercicio 8

a. Dado el polinomio y = f(x) desarrollarlo en polinomio de Taylor en potencias de (x-a) y obtener y = Pn(x)

b. Graficar en el intervalo [a-3; a+3] el polinomio y = Pn(x) e y = f(x) superpuestos en un solo gráfico, con colores distintos.

1 y= 0,016 x8 -0,021 x7 +0,04 x5 -0,9 x3 +4 x2 +6 en (x = -0,5) 2 y= 0,012 x8 -0,026 x7 +0,09 x5 -0,1 x3 +2 x2 +5 en (x = +0,4) 3 y= 0,018 x8 -0,027 x7 +0,08 x5 -0,7 x3 +8 x2 +4 en (x = +1) 4 y= 0,017 x8 -0,023 x7 +0,03 x5 -0,1 x3 +5 x2 +8 en (x = +0,2) 5 y= 0,013 x8 -0,022 x7 +0,07 x5 -0,2 x3 +2 x2 +5 en (x = +0,4) 6 y= 0,012 x8 -0,024 x7 +0,01 x5 -0,6 x3 +7 x2 +2 en (x = +0,3) 7 y= 0,016 x8 -0,027 x7 +0,07 x5 -0,3 x3 +5 x2 +9 en (x = -0,6) 8 y= 0,019 x8 -0,025 x7 +0,02 x5 -0,8 x3 +9 x2 +6 en (x = +0,3)




ECUACIONES LINEALES


Ejercicio 9 Dada la función y = f(x)

a. Calcular las derivadas. b. Determinar la expresión de la derivada enésima. c. Calcular las derivadas en x = a d. Desarrollar y = f(x) en polinomio de Taylor o Mc Laurin en x = a. e. Escribir la expresión del resto Rn(x) que corresponde al desarrollo de la función

y = f(x) f. Graficar conjuntamente y = f(x) y el polinomio de Taylor o Mc Laurin

considerando solo los cuatro primeros términos del mismo, en el intervalo [a-2; a+2]

1) 2352

−=+

= xx

en y ; 4en )cos(y π== xx

2) 2234

−=+

= xx

en y ; 0en )(y == xxsen

3) 122

−=+

= xx

en y ; 0en )cos(y == xx

4) 1211

+=−

= xx

en y ; 4en )2(y π== xxsen

5) 1211

−=+

= xx

en y ; 0en )2cos(y == xx

6) 112

3−=

+= xx

en y ; 0en )2(y == xxsen

7) 113

4−=

+= xx

en y ; 0en )(y == xxsenh

8) 123

1−=

+= xx

en y ; 0en )cosh(y == xx




ECUACIONES LINEALES


Ejercicio 10 Realizar el estudio completo de la función. Para realizar el estudio completo se deben realizar los siguientes pasos:

a. Intersección con los ejes coordenados. b. Determinar todos los valores de la variable para los cuales la función es

discontinua, si hay saltos calcularlos y clasificar las discontinuidades. c. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. d. Determinar los máximos y mínimos relativos. e. Determinar los máximos y mínimos absolutos en un intervalo cerrado que

contenga como mínimo a los valores de x donde se dan los máximos y mínimos relativos.

f. Determinar los intervalos de concavidad y convexidad. g. Determinar los puntos de inflexión y hallar la ecuación de la recta tangente a la

curva en ellos. h. Determinar las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. i. Realizar la representación gráfica. j. Determinar dominio y rango.

1- ( ) ( )32 1751

−−= xxy ; xexy −= 2 ; 4

2 2

−

+=xxxy

2- ( ) ( )32 3121

−+= xxy ; xexxy −++= )12( 2 ; xxxy4

1682 +−=

3- ( ) ( )32 4281

−+= xxy ; xexxy −++= )23( 2 ; 12

3 2

−

+=

xxxy

4- ( ) ( )32 2391

−+= xxy ; xexxy −++= )44( 2 ; xxxy 122 +−

=

5- ( ) ( )32 1421

−+= xxy ; )2(2 )2( +−−= xexy ; 3

8 2

−

+=xxxy

6- ( ) ( )32 2581

−+= xxy ; xexy −−= )2( 3 ; 13

2 −

−=xxy

7- ( ) ( )32 1641

−+= xxy ; 23 )3(x

exxy−

−= ; 211−

+−=x

xy

8- ( ) ( )32 27161

++= xxy ; )2(2 )23( +−++= xexxy ; x

xy3112 ++=




ECUACIONES LINEALES


Ejercicio 11 Dada la función indicada, determinar:

a. Intersección con los ejes coordenados. b. Todos los valores de la variable para los cuales la función es discontinua; si hay

saltos, calcularlos y clasificar las discontinuidades (si hay un dominio definido en los datos, hacerlo en ese dominio; si no lo hay hacerlo para todo x є R).

c. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d. Máximos y mínimos relativos. e. Máximos y mínimos absolutos en un intervalo cerrado de longitud ρ = 10.

Ejemplo: [-5,5] o [0,10]. f. Intervalos de concavidad y convexidad. g. Puntos de inflexión. h. Ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. i. Representación gráfica de la función y las asíntotas (mostrar detalles que puedan

interesar para visualizar mejor la gráfica). j. Dominio y rango.

Realizar el estudio aplicando un software.

1- ( )( )( )59151 22 −−−= xxxy ;

[ ]13;0 sen(x)xy = ;

( )( )( )( )4115

25922

22

−−

−−=

xxxxy

2- ( )( )( )48141 22 −−−= xxxy ;

[ ]10;0 )2cos()2( xxLny += ;

( )( )( )( )1412

16922

22

−−

−−=

xxxxxy

3- ( )( )( )6104201 22 +−−= xxxy ;

[ ]12;0 )2()32( xsenxLny += ;

( )( )( )( )41120

362522

22

−−

−−=

xxxxy

4- ( )( )( )6104101 22 −−−= xxxy ;




ECUACIONES LINEALES


[ ] [ ]20;20 )()2/(315.0 −+= xsenxseney x ;

( )( )( )( )169

143222

22

−−

−−=

xxxxy

5- ( )( )( )48141 22 +−−= xxxy ;

( )[ ] [ ]30;0 )2(2)4(53 xsenxsenxy −= ;

( )( )( )( )415

16922

22

−−

−−=

xxxxy

6- ( )( )( )116441 22 +−−= xxxy ;

[ ]15;0 )2()(8 xsenxarctgy = ;

( )( )( )( )9116

491622

22

−−

−−=

xxxxxy

7- ( )( )( )51421 22 −−−= xxxy ;

( ) [ ]15;0 )2()(28 xsenxsenxseny +−= ;

( )( )( )( )9132

162522

22

−−

−−=

xxxxy

8- ( )( )( )51421 22 +−−= xxxy ;

( ) [ ]15;0 )2()(236 xsenxsenxseny +−= ;

( )( )( )( )1912

361622

22

−−

−−=

xxxxxy




ECUACIONES LINEALES


Ejercicio 12 Calcular los siguientes límites aplicando la regla de L’Hospital

1. xx exsen

xarctg−+→ 1)()(lim

2

0;

4limxe x

x ∞→;

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

→ 331

)(1lim 30 xx exsen

;

)ln()(lim0

xxsenx +→

;

x

xsenx)(lim

0→;

2

2

))((limπ

π

−

→−

x

xxtg ;

xx

x1

0))(cosh(lim

→

2. 1)(lnlim 3

3

1 −→ xx

x;

xx exx

2

)ln(lim∞→

;

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−→ )1ln(1

)1ln(lim

2

2 xxx

x;

)ln(lim 2

0xx

x→;

)2(

0lim xsen

xx

→;

xxx1

lim∞→

;

)(/1 )(lim xsenhx

xe

∞→

3. )(

)(lim0 xsenx

xxtgx −

−→

;

3

)2ln(limxx

x ∞→;

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

→ xex xx )1(1

21lim

0;

)(cos3lim0

xecxx→

;

x

xx

0lim→

;

xx

x 21))(ln(lim

∞→;




ECUACIONES LINEALES


)(

2

))((coslim xtg

xxec

−→π

4. 12

)1(lim 2

3

1 +−

−→ xx

xx

;

453lim

24

+

++∞→ xx e

xxx ;

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−→ xe xx 3

11

1lim0

;

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+→ 4

)2(lim2

xtgxx

π ;

x

xxtg ))((lim

0→;

)1ln(

0 21lim

+

+→⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛x

x x;

xe

xx

/1

))(cosh(lim0+→

5. xxsen

x

)2(lim0→

;

)ln(2))ln(ln(limxx

x ∞→;

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−→ )12ln(1

222lim

1 xxx

x;

)ln(lim 21

0xx

x +→;

)(

0lim xsen

xx

→;

)(sec)(lim xhx

xe

∞→;

)ln(

0

)(limx

x xxsen⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛→

6. )(2lim

0 xsenxxee xx

x −

−+ −

→;

xx ex2

32lim∞→

;

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−−→ 4

523lim 22 xxx

;

)(cot2lim0

xgxx +→

;

)(

0)((lim xtg

xxsen

→;

xx

x2)2(lim +

∞→;




ECUACIONES LINEALES


)sec(

2

)(coslim x

xxec

−→π

7. ( )( )xarctgxsen

x 1

1lim

∞→;

xx ex )ln(lim2

∞→;

)()(seclim 22

2

xtgxx

−+→π

;

)1ln()ln(lim1

−→

xxx

;

)(cot

2

)][cos(lim xg

xx

π→

;

)(

20

1limxsen

x xx⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+→

;

)(cos

0)3(1(lim xec

xxsen+

+→

8. 23

34

0 23lim

xxxx

x +

+→

;

2

3

4483limxexe

x

x

x +

+∞→

;

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

→ 1)sec(23lim 30 xxx

;

)(2

lim2

xtgxx

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −→

ππ

;

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

−∞→

xx

xe

1

][lim ;

)(

0))((cotlim xsenh

xxgh

+→;

)(cot

0))(cosh(lim xg

xx

+→




ECUACIONES LINEALES


Ejercicio 13 Resolver los siguientes problemas Grupo 1

a. La pared de un edificio va a ser apuntalada por una viga apoyada sobre una pared paralela de 12 m de altura, situada a 9 m del edificio. Hallar la longitud L de la viga más corta que puede utilizarse.

b. Un cable de 280m de longitud se corta en dos partes formando con una de ellas un círculo y con la otra un triángulo equilátero. Cómo debe cortarse el cable para que: a) la suma de las áreas de las dos figuras sea máxima y b) la suma de las áreas de las dos figuras sea mínima.

c. Un campo rectangular, uno de cuyos bordes limita con un río en línea recta, va a ser cercado con alambre. Si no se necesita cercar a lo largo del río, mostrar la cantidad mínima de alambre que se necesitará, si la longitud del campo es dos veces su ancho.

d. Los puntos P1 y P2 están ubicados enfrentados en los márgenes opuestos de un río recto de 420m de ancho. El punto P3 está a 1000m de P2 y en el mismo margen del río. La empresa de energía debe tender un cable desde P1 a P3. La instalación del cable bajo el río es del 25% más caro que por tierra. ¿Qué recorrido debe tener el tendido del cable para que el costo total sea un valor mínimo?

e. Con una lámina cuadrada de hojalata, de 1.2 metros de lado, se hace una caja sin tapa cortando un pequeño cuadrado de dicho material en cada esquina y doblando los lados hacia arriba, ¿qué tamaño ha de tener el cuadrado cortado en cada esquina para que la caja tenga el mayor volumen posible?

Grupo 2 a. El costo total de producir x radios por día es $(6.22x2 + 34x + 26) y el precio por

unidad para la venta es $(52-0.48x). ¿Cuál debería ser la producción diaria con el fin de obtener una utilidad total máxima? Mostrar que el costo de producir un radio es un mínimo relativo de dicha producción.

b. Un rectángulo de dimensiones x cm por y cm gira alrededor de uno de sus lados de longitud y engendrando el cilindro. ¿Qué valores de x e y darán ahora el cilindro de volumen máximo?¿Cuál es ese volumen?

c. Dado un vaso cilíndrico circular de capacidad 1500cm cúbicos. Determinar sus dimensiones para que el área del material utilizado para construir el vaso sea mínima.

d. Con una lámina cuadrada de hojalata, de 1.2 metros de lado, se hace una caja sin tapa cortando un pequeño cuadrado de dicho material en cada esquina y doblando los lados hacia arriba, ¿qué tamaño ha de tener el cuadrado cortado en cada esquina para que la caja tenga el mayor volumen posible?




ECUACIONES LINEALES


e. Los puntos P1 y P2 están ubicados enfrentados en los márgenes opuestos de un río recto de 190m de ancho. El punto P3 está a 540m de P2 y en el mismo margen del río. La empresa de teléfono debe tender un cable desde P1 a P3. La instalación del cable bajo el río es del 46% más caro que por tierra. ¿Qué recorrido debe tener el tendido del cable para que el costo total sea un valor mínimo?

Grupo 3 a. Una caja rectangular con base cuadrada ha de contener 5m cúbicos. El material de la

tapa cuesta $100 por metro cuadrado, el material de las caras laterales cuesta $150 por metro cuadrado, y el material de la base cuesta $250 por metro cuadrado. Halle las dimensiones de la caja más económica.

b. Un cable de 80m de longitud se corta en dos partes formando con una de ellas un cuadrado y con la otra un triángulo equilátero. Cómo debe cortarse el cable para que: a) la suma de las áreas de las dos figuras sea máxima y b) la suma de las áreas de las dos figuras sea mínima.

c. Los puntos P1 y P2 están ubicados enfrentados en los márgenes opuestos de un río recto de 300m de ancho. El punto P3 está a 800m de P2 y en el mismo margen del río. La empresa de energía debe tender un cable desde P1 a P3. La instalación del cable bajo el río es del 20% más caro que por tierra. ¿Qué recorrido debe tener el tendido del cable para que el costo total sea un valor mínimo?

d. Se quiere construir un contenedor cilíndrico de metal de base circular que tenga una capacidad de 13000cm cúbicos. Hallar sus dimensiones de manera que la cantidad de metal requerido (área de la superficie) sea mínima cuando el contenedor es (a) un contenedor abierto y (b) un contenedor cerrado.

e. Con una lámina cuadrada de hojalata, de a metros de lado, se hace una caja sin tapa cortando un pequeño cuadrado de dicho material en cada esquina y doblando los lados hacia arriba, ¿qué tamaño ha de tener el cuadrado cortado en cada esquina para que la caja tenga el mayor volumen posible?

Grupo 4 a. Cortando en dos un alambre de longitud 2m, una parte se dobla para formar un

cuadrado y con la otra se forma un triángulo equilátero. ¿Cómo habría que cortar el alambre para que la suma de las dos áreas a) sea mínima, y b) sea máxima?

b. Un cartel debe incluir un grabado de 4 m2 con márgenes de 25cm, en la parte superior e inferior, y 18cm a los lados. Hállense las dimensiones totales si el área total del cartel es mínima.




ECUACIONES LINEALES


c. Dos pasillos de 3.2m y 4.3m de ancho están unidos en un ángulo recto. Determine la longitud de la varilla más larga que puede pasarse horizontalmente de un pasillo a otro por esa esquina.

d. Si se cortan 4 cuadrados congruentes en las esquinas de una chapa de forma cuadrada que tiene 75cm de lado, y se doblan sus cuatro lados, se obtiene un cajón sin tapa ¿Cuál es el tamaño de los cuadrados que se cortan para obtener un cajón de máximo volumen?

e. Sean AC y BD dos postes de 20m y 10m de altura respectivamente distanciados entre sí 35m (AB = 35m). Al poste BD se le colocan dos riendas de cables de acero de 16$/m y al poste AC se le colocan dos riendas de cables de acero de 22$/m. Determinar la posición del punto E de anclaje de los cables para el costo de los cables utilizados sea el mínimo.




ECUACIONES LINEALES


Grupo 5 a. Un canal de riego, hecho de concreto, debe tener una sección en forma de trapezoide

isósceles con tres de sus lados de 4 metros. ¿Cuál debería ser la forma del trapezoide si se desea que tenga el área máxima? Considere el área como una función de x y resuelva.

b. Una hoja de papel para un cartel debe tener 16m cuadrados de área. Las márgenes superior e inferior deben tener 0.4m, y las márgenes de los lados, 0.3m. ¿Cuáles deberían ser las dimensiones de la hoja para maximizar el área impresa?

c. Se va a construir una caja rectangular abierta de chapa con extremos cuadrados para que tenga una capacidad de 240m cúbicos a un costo de $430/m cuadrado para la base y $290/m cuadrado para los lados. Hallar las dimensiones más económicas.

d. Se quiere construir un contenedor cilíndrico de metal de base circular que tenga una capacidad de 9000cm cúbicos. Hallar sus dimensiones de manera que la cantidad de metal requerido (área de la superficie) sea mínima cuando el contenedor es (a) un contenedor abierto y (b) un contenedor cerrado.

e. Los puntos P1 y P2 están ubicados enfrentados en los márgenes opuestos de un río recto de 500m de ancho. El punto P3 está a 900m de P2 y en el mismo margen del río. La empresa de teléfono debe tender un cable desde P1 a P3. La instalación del cable bajo el río es del 28% más caro que por tierra. ¿Qué recorrido debe tener el tendido del cable para que el costo total sea un valor mínimo?

Grupo 6 a. Una persona dispone de 100m de alambre tejido para cercar una huerta en tres de sus

lados, dado que el cuarto lado da a un tapial. La huerta es rectangular o cuadrada. ¿Qué medidas se deben seleccionar en el ancho y largo para que el área encerrada sea máxima?

b. Una ventana tiene forma de rectángulo con un semicírculo encima. El rectángulo es de vidrio claro y el semicírculo de vidrio coloreado, que transmite sólo la mitad de luz por pie cuadrado que el claro, y el perímetro total es fijo. Determínense las proporciones de la ventana que admitirán más luz.

c. Se quiere construir un contenedor cilíndrico de metal, de base circular que tenga una capacidad de 830m cúbicos. Hallar sus dimensiones de manera que la cantidad de metal requerido (área de la superficie) sea mínima cuando el contenedor es (a) una lata abierta y (b) una lata cerrada.

d. Un cable de 4 m de longitud se corta en dos partes formando con una de ellas un cuadrado y con la otra un hexágono regular. Cómo debe cortarse el cable para que: a) la suma de las áreas de las dos figuras sea máxima y b) la suma de las áreas de las dos figuras sea mínima.




ECUACIONES LINEALES


e. Un cartel debe incluir un grabado de 3 m2 con márgenes de 18cm, en la parte superior e inferior, y 13cm a los lados. Hállense las dimensiones totales si el área total del cartel es mínima.

Grupo 7 a. Una compañía ofrece el siguiente plan de cargos: $32 por mil pedidos de 40,000 o

menos, con un descuento de 35% por cada mil que esté por encima de los 40,000. Hallar el tamaño del pedido que consiga que los recibos de la compañía sean un máximo.

b. En la ribera de un río de 1 km de ancho hay una planta eléctrica; en la otra ribera, a x km corriente arriba, hay una fábrica. Tender cables por tierra cuesta 20 dólares por cada m y hacerlo bajo el agua cuesta 29 dólares por cada m. ¿Cuál es la forma más económica de tender un cable desde la planta a la fábrica?. Sin usar cálculo, ¿Cuál sería (aproximadamente) la mejor ruta si x fuera muy grande?, ¿si x fuera muy pequeña?. Resuelva el problema con la ayuda del cálculo y trace las rutas para x=1/2, x=3/4, x=1 y x=2.

c. Un recipiente cilíndrico está diseñado para contener 5m3. El material de la base y de la tapa cuesta el 60% más que el de su cara lateral. Halle el radio y la altura del recipiente más económico.

d. Una caja rectangular de base cuadrada ha de contener 1850cm cúbicos. El material de las caras laterales cuesta el doble que el de la tapa y el de la base. Si la base tiene lado b y la altura es h, ¿cuánto cuesta la caja? Halle las dimensiones de la caja más económica.

e. Una mujer camina 3 millas por hora en el césped y a 5 millas por hora sobre la acera. Ella quiere andar desde el punto A hasta el punto B, como se muestra en la figura, en el menor tiempo posible. ¿Qué ruta debería seguir si s (a)l/2?, (b) 3/4?, (c) 1?

Grupo 8 a. Entre todos los recipientes cilíndricos sin tapa y de 5m cúbicos de volumen. ¿Cuál

requiere menos material?

b. Una viga de longitud L tiene un extremo empotrado en un muro, mientras que el otro se mantiene en el aire. Si la viga pesa p kilos por unidad de longitud, su flexión a una distancia x del extremo empotrado satisface la ecuación 48EIy = p(2.1x4 – 4.9Lx3 + 2.95L2x2), donde E e I son constantes que dependen del material de la viga y la forma de su sección transversal. ¿A qué distancia del extremo empotrado se da la máxima flexión?

c. Entre todos los recipientes cilíndricos sin tapa y de 2m cúbicos de volumen. ¿Cuál requiere menos material?

d. Un cable de 200m de longitud se corta en dos partes formando con una de ellas un cuadrado y con la otra un hexágono regular. Cómo debe cortarse el cable para que: a)




ECUACIONES LINEALES


la suma de las áreas de las dos figuras sea máxima y b) la suma de las áreas de las dos figuras sea mínima.

e. Se trata de construir una caja rectangular abierta a partir de una chapa de 1m de ancho y 3m de largo cortándole un cuadrado en cada esquina y doblando los lados hacia arriba. Hállense las dimensiones de la caja de volumen máximo.

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