Universidad Carlos III de MadridDepartamento de Matem�ati asPerturba iones de e ua ionesde Klein-Gordon no lineales:din�ami a, resonan ias y difusi�on de kinks

Niurka Rodr��guez QuinteroMemoria para optar al grado de Do tor por la Universidad Carlos III de Madrid bajo ladire i�on del Prof. Dr. Angel S�an hez S�an hez Legan�es, Madrid, 17 enero 2000.

Portada: Figura: Kink de sG bajo una fuerza peri�odi a f(t) y on disipa i�on �.

Angel S�an hez S�an hez, Profesor Titular de Matem�ati a Apli ada de la Universi-dad Carlos III de Madrid, ertifi a que la presente Memoria, Perturba iones de e ua iones de Klein-Gordonno lineales: din�ami a, resonan ias y difusi�on de kinks, ha sido realizada por NiurkaRodr��guez Quintero bajo mi dire i�on y onstituye suMemoria para optar al gradode Do tor por el Programa de Ingenier��a Matem�ati a de la Universidad Carlos III deMadrid.Legan�es, Madrid,17 de enero del 2000

Agrade imientosLlegados a este punto tengo que de ir que esta tesis ha sido on ebida por obra ygra ia de mu has personas. Entre ellas, omienzo por agrade er a Angel que me hayares atado de la nada: porpor ion�andome desde un prin ipio un plan (todav��a lo onser-vo), fa ilit�andome trabajar on otras personas y exponer nuestros trabajos en las harlasdel GISC y en varios eventos, in luy�endome en los proye tos DGES PB96-0119 y en las\A iones Integradas Hispano-Alemanas". Que, aparte del plan me hayas dado la liber-tad de pensar, de tomarme mi tiempo y de dis utir ontigo todas mis ideas. Gra iaspor la on�anza que has tenido en mi. Por todo ello, me he sentido trabajando ontigo omo si form�asemos parte de un equipo, omo bien tu dijiste un d��a. Espero que lassesiones de gimnasio te hayan ayudado a soportar mi pa ien ia, a desentra~nar mis ideasy palabras; y tambi�en a leer esta tesis, que sin duda has mejorado onsiderablemente on tus opiniones y orre iones.En segundo lugar, agradez o a Manolo Mar os que me haya introdu ido al fortran,present�andome todas sus ventajas y ense~n�andome mu has de las osas que hoy onoz oa er a de este lenguaje. Todav��a hay l��neas en mis programas que le re uerdan. Quieroagrade er a Esteban todas las respuestas que ha dado a mis \preguntas", las horas quededi �o a revisar mis �odigos num�eri os y las que perdi�o resu itando a los ordenadoresuna y otra vez. A Franz le agradez o las harlas que hemos mantenido sobre todoslos trabajos en los uales hemos olaborado, la oportunidad que me ha brindado deinter ambiar opiniones on sus estudiantes (Till, Matthias y Edward) sobre otros temasrela ionados on los solitones y sobre todo el haber quitado las malas hierbas de algunasde mis ideas, para dar paso a otras nuevas. Gra ias a las preguntas de Matthias hesabido situar algunas osas en su lugar. Tambi�en agradez o a Jose que haya dis utido on nosotros algunos de nuestros problemas y que on sus opiniones haya puesto rumboa algunos de ellos y a Jes�us, Rafa y Juanjo por la rapidez on que me han enviado (desdeGranada) todas las referen ias que les he pedido.Agradez o al Departamento de Matem�ati as el haberme propor ionado los mediosmateriales que han he ho posible la realiza i�on de esta tesis y al Physikalis hes Institut(Universit�at de Bayreuth) por permitir que orriese mis programas en sus potentesordenadores. De no haber tenido esta posibilidad, seguramente hubiese tardado otroa~no m�as. Aprove ho tambi�en para agrede er a mis ompa~neros de do torado y a los delDepartamento que han he ho que todos estos a~nos fuesen m�as soportables, sobre todo aEnrique, Pa o, Jorge, Esteban, Renato, Jose y Angel por su ayuda on el latex, el fortrany on los ordenadores; y a Jes�us, Jorge, Bernardo, Pa o y Gabriela por los �animos y el

ari~no que me han dado (parte omplementaria de esta tesis).Si las ideas f��si as y los ono imientos matem�ati os que me han transmitido mu hasde estas personas |de una u otra forma| han sido ne esarios en la elabora i�on deesta tesis, la omprensi�on y el amor que he tenido siempre por parte de mi familia yde mis amigos han sido para m�� impres indibles. A t��, Renato, te agradez o que mehayas es u hado en mu has o asiones, a�un sin entender de lo que hablaba (unas ve esporque no era tu tema y otras porque me expli aba mal), gra ias por tus preguntas, tussugeren ias y tus r��ti as y gra ias tambi�en por ayudarme a me anogra�ar partes de latesis y a orregirla. A Migue y Siannah agradez o el soportar mis quejas, los ensayos demis harlas y el he ho de que hayan estado siempre al al an e de mi mano y tambi�en asu familia por todo lo que me han ense~nado y transmitido y por la risa de todos estosd��as. A Jorge, Arantxa, Blas, Anamari, Ram�on, Isabel y Carmen agradez o su ayudadurante estos a~nos, todos los buenos ratos que hemos pasado juntos, las tertulias y losmomentos de diversi�on, que indudablemente no podr�e en ontrar en ning�un libro. A miFamilia doy las gra ias porque me han propor ionado el \pensamiento feliz" para seguiradelante, para extraer siempre el lado bueno de las personas y de las osas, o para poder\volar", gra ias por estar a mi lado. A ella dedi o mi tesis.

A mi familia

�Indi e general�Indi e IPrefa io 31. Introdu i�on 51.1. Notas hist�ori as sobre los solitones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Sistemas de Klein-Gordon no lineales: sG y �4 . . . . . . . . . . . . . . . 111.3. Sistemas de sG y �4 perturbados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4. Leyes de onserva i�on. E ua iones para las oordenadas ole tivas . . . . 161.5. Perturba iones sobre las e ua iones de sG y �4: modo de trasla i�on, modosinterno y de radia i�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6. An�alisis num�eri o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202. Fuerzas peri�odi as sobre dos modelos de Klein-Gordon 232.1. Motiva i�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2. Aproxima i�on de M Laughlin y S ott para los modelos de sG y �4 . . . . 252.3. Simula iones. Esquema num�eri o de Strauss-V�azquez . . . . . . . . . . . 292.4. Resonan ias en la e ua i�on �4: la aproxima i�on adiab�ati a no es su� iente 332.5. Una nueva aproxima i�on: dos oordenadas ole tivas independientes . . . 372.6. Posibles resonan ias en la e ua i�on de sG . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513. A i�on de una fuerza onstante sobre las e ua iones de sG y �4 573.1. Introdu i�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2. Del GTWA a las varia iones del momento y de la energ��a y vi eversa . . 593.3. E ua iones de las oordenadas ole tivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4. Simula iones. Condi iones ini iales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.5. Dis usi�on de los resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724. sG y �4 bajo u tua iones t�ermi as: reg��menes sobreamortiguado yamortiguado 794.1. Presenta i�on del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2. Aproxima i�on te�ori a. Fun iones de orrela i�on . . . . . . . . . . . . . . 824.3. Simula iones num�eri as: m�etodo de Heun . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.4. Valor medio de la fun i�on de onda. An hura del kink . . . . . . . . . . . 90

ii �INDICE GENERAL4.5. Generaliza i�on de los resultados obtenidos para la e ua i�on de sG bajo u tua iones t�ermi as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.6. Compara i�on entre los modelos de sG y �4. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005. Con lusiones. 1035.1. Con lusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.2. Problemas abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Bibliograf��a 109Ap�endi es 117Ap�endi e A: Notas hist�ori as sobre la e ua i�on de Ermakov-Pinney . . . . . . 117Ap�endi e B: Espe tro de sG y �4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Ap�endi e C: Perturba iones sobre el modelo de sG sobreamortiguado . . . . . 121Ap�endi e D: Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Ap�endi e E: Tabla omparativa: par�ametros de sG y �4 . . . . . . . . . . . . . 123

2 �INDICE GENERAL

Prefa ioEn esta memoria estudiamos las e ua iones de sine-Gordon (sG) y �4, bajo pertur-ba iones deterministas y esto �asti as. Comenzamos presentando, en el ap��tulo 1, unaintrodu i�on muy general sobre los solitones en los sistemas integrables |entre los quese en uentra sG|, y las ondas solitarias en los no integrables, por ejemplo, �4, donde sedesta an las ara ter��sti as m�as importantes de estos modelos: simetr��as, leyes de on-serva i�on, solu iones, \des omposi i�on" del kink en sus modos de trasla i�on, interno yde radia i�on, et ; que luego se utilizan para en ontrar las solu iones aproximadas de lossistemas perturbados.Los problemas que tratamos se desarrollan en los ap��tulos 2,3 y 4, en el segundo yel ter ero analizamos la din�ami a del kink de sG y �4 bajo perturba iones deterministas(fuerzas peri�odi as y onstantes) y en el uarto estudiamos la difusi�on del kink1 de sGa ausa de las u tua iones t�ermi as sobre este sistema en los reg��menes sobreamorti-guado y amortiguado y, adem�as, estable emos una ompara i�on entre los resultados queobtenemos para sG y los obtenidos para la e ua i�on de �4 [34℄. Estos ap��tulos est�anestru turados de la siguiente forma: primero se omienza on una introdu i�on, dondemen ionamos los trabajos que se han he ho anteriormente y que guardan rela i�on on elnuestro, y, adem�as, las ausas que nos han motivado a estudiar este tipo de problemas. A ontinua i�on, des ribimos el m�etodo perturbativo que nos ayuda a en ontrar la solu i�onaproximada en los modelos perturbados. Los m�etodos perturbativos que utilizaremosredu en nuestras e ua iones en derivadas par iales2 (EDPs) a e ua iones diferen ialesordinarias (EDOs) para las oordenadas ole tivas, de este modo se estudia la evolu i�ondel per�l de la onda a trav�es de la posi i�on de su entro, de su an hura y de la amplitudde las peque~nas os ila iones que apare en en el sistema |fonones|. Posteriormente omparamos las solu iones, halladas mediante las oordenadas ole tivas, on las queobtenemos a partir de las simula iones de las EDPs. Estas ompara iones nos sirvenpara estable er la validez de los resultados, que dis utimos en la mayor��a de los asosal �nal de ada ap��tulo. De esta forma, ada ap��tulo es auto onsistente en s�� mismo.Finalmente, el ap��tulo 5 onstituye un resumen de las on lusiones a las que se han lle-gado a lo largo de esta memoria. Las e ua iones est�an enumeradas por orden de ap��tulo,1En todos los ap��tulos nos referimos a las solu iones kinks, aunque los resultados obtenidos puedenextenderse a los antikinks.2En nuestro aso estas e ua iones ser�an las de sG y �4 perturbadas.

4 �INDICE GENERALse i�on y luego el n�umero de la e ua i�on orrespondiente, por ejemplo (3;1;4) ser��a lae ua i�on n�umero 4 de la se i�on 1 del ap��tulo 3 y la bibliograf��a se rela iona en ordenalfab�eti o. Adem�as, en el �ultimo ap�endi e re ogemos los par�ametros m�as importantesde las e ua iones de sG y �4 y en el resto de los ap�endi es se en uentran los �al ulosde algunas partes de la tesis o en el aso del ap�endi e A, simplemente algunas notashist�ori as sobre la e ua i�on de Ermakov.

Cap��tulo 1Introdu i�on1.1. Notas hist�ori as sobre los solitonesEn este apartado vamos a dar una breve introdu i�on hist�ori a de los solitones, lase ua iones que admiten este tipo de solu iones, y algunas de las t�e ni as m�as omunesutilizadas para su estudio. Para m�as detalles sobre estos temas pueden onsultarse lostrabajos [30, 31, 47, 100, 121℄.En julio de 1995, los ient��� os que a ud��an al Congreso sobre ondas no lineales enf��si a y biolog��a organizado por la Universidad Heriot-Watt se reunieron en el anal de laUnion, er a de Edimburgo, para ver omo una masa de agua desplazada por un bote semov��a a trav�es del anal Jonh S ott-Russell; y es que unos 160 a~nos antes este ingenieronaval hab��a observado el mismo fen�omeno, que des ribi�o omo una onda de trasla i�onque se propagaba sin ambiar aparentemente su forma y sin variar su velo idad. JonhS ott-Russell no s�olo sigui�o la onda que vio en el anal hasta que la perdi�o de vista, sinoque estudi�o mu has de las propiedades de estas ondas que hoy se ono en, llevando a abo una serie de experimentos en unos tanques de agua que el mismo onstruy�o. Estaonda de trasla i�on a la que m�as tarde llamar��a \Gran Onda Solitaria" [19℄ ten��a la formade una ampana y se propagaba a lo largo de los tanques on una velo idad determinadapor su altura. Sin embargo, este des ubrimiento no ten��a abida en las teor��as de sus ontempor�aneos, pues seg�un Airy (1845) las ondas de amplitud �nita no pod��an propa-garse sin ambiar de forma y aunque Stokes demostr�o que tal fen�omeno s�� pod��a existir,dijo que estas ondas deb��an ser peri�odi as [100℄. Esta dis repan ia entre los resultadosanal��ti os y los experimentales surg��a b�asi amente porque los te�ori os no onsiderabanlos efe tos de la dispersi�on [100℄ y aunque el propio S ott-Russell intent�o hallar unae ua i�on que determinase la evolu i�on de la onda [30℄, s�olo pudo en ontrar su forma|la fun i�on se h2| y la rela i�on que hab��a entre la amplitud de la onda y su velo idad.

6 Introdu i�onS ott-Russell des ubri�o la solu i�on de una e ua i�on enton es des ono ida [47℄. No fuehasta 1895, on la introdu i�on de un modelo que des rib��a la propaga i�on de las ondasen una dire i�on en aguas po o profundas, que quedaron demostradas sus observa iones.Este modelo fue derivado por Korteweg y de Vries, se ono e omo la e ua i�on KdV [31℄,�u�t + u�u�x + Æ�3u�x3 = 0; Æ = onst;y pertene e a la familia de e ua iones en derivadas par iales no lineales donde la nolinealidad, que provo a en la mayor��a de los asos una onda de hoque, se ompensa on la dispersi�on de tal forma que podemos expli ar la existen ia de este tipo de ondas.Ellos en ontraron la solu i�on de esta e ua i�on |una se h2|: una onda viajera on formade ampana que se propaga a lo largo del eje x, sin ambiar su forma ni disminuir suvelo idad. Esta onda laramente representaba la que hab��a visto S ott-Russell.Este tipo de problemas, donde la no linealidad juega un papel importante dando lugara ondas que no se dispersaban ni se disipaban, queda un tanto olvidado hasta el experi-mento que llevaron a abo Fermi, Pasta y Ulam (FPU) en 1955 [41℄. Ellos investigaron unproblema lineal, donde la no linealidad se introdu ��a omo una perturba i�on al sistemay estudiaron �omo se repart��a la energ��a ini ial en una red de 64 masas iguales, one -tadas a trav�es de unos muelles de forma no lineal ( uadr�ati a y �ubi a) unas on otras.Se esperaba que la energ��a ini ial del sistema se distribuyese de forma equitativa entretodos los modos, empezando por el primero hasta los de mayor orden; de esa manera, lasdesvia iones de la linealidad expli ar��an la equiparti i�on de la energ��a que se dete ta ensistemas reales. Sin embargo, lo que observaron fue que la energ��a se repart��a s�olo entrelos in o primeros modos, y, adem�as, peri�odi amente �esta volv��a a estar on entrada enel modo ini ialmente ex itado.A ra��z de estos resultados inesperados mu hos ient��� os, entre ellos Zabusky y Krus-kal, retoman estos tipos de problemas. Estos dos investigadores analizaron la propaga i�onde las ondas solitarias, a las que llamaron \Solitones", en la e ua i�on KdV [140℄. La re-la i�on entre el problema de FPU y la e ua i�on KdV es que si tomamos el l��mite de una ierta manera transformamos el sistema dis reto (FPU) en ontinuo (KdV) [30℄. Ellosestudiaron num�eri amente la intera i�on entre los solitones partiendo de un problemade valor ini ial para la e ua i�on KdV on ondi iones de ontorno peri�odi as. En susexperimentos observaron 8 ondas solitarias |donde ada onda por separado era solu- i�on de la e ua i�on KdV| que intera ionaban sin ambiar su velo idad, ni su formadespu�es que olisionaban unas on otras, lo que onstituy�o algo sorprendente ya quese pensaba que las ondas se destruir��an al intera ionar debido a los efe tos de la nolinealidad. Adem�as, on este trabajo se demostr�o que la energ��a pod��a propagarse deforma lo alizada y estable. A partir de este momento se per�la el on epto de soliton:onda lo alizada que se propaga manteniendo su forma y sin variar su velo idad y que onserva su identidad al ho ar on otros solitones (prin ipio de superposi i�on no lineal).Este prin ipio de superposi i�on no lineal de los solitones ya se hab��a estudiado antesen otro sistema |en la e ua i�on de sine-Gordon (sG)|,�tt � �xx + sin(�) = 0: (1.1.1)

1.1 Notas hist�ori as sobre los solitones 7En 1953, Seeger y otros autores emplearon este modelo para investigar las dislo a ionesen los ristales [100℄ y des ribieron anal��ti amente las olisiones entre las ondas solitariasde sG. M�as tarde, en 1962 Perring y Skyrme tomaron la e ua i�on de sG omo un mo-delo simple de part�� ula elemental [100℄ y realizaron simula iones num�eri as en las queobservaron que los solitones de esta e ua i�on onservaban sus respe tivas velo idades ysus formas despu�es de que olisionaban.Aparte de estas dos e ua iones (KdV y sG), existen otros sistemas uyas solu ionesson solitones; algunos de ellos son:la e ua i�on modi� ada de Korteweg y de Vries (mKdV) [122℄, utilizada parades ribir ondas a �usti as en iertas redes anarm�oni as,la e ua i�on de Boussinesq [30℄, que des ribe la propaga i�on de ondas en elagua a lo largo del eje x en los dos sentidos, es de ir, ha ia la dere ha y ha iala izquierda;la e ua i�on no lineal de S hr�odinger, empleada en el ampo de la �opti a nolineal donde el per�l de la onda representa el ampo el�e tri o [121℄,la e ua i�on de Burgers, usada omo modelo de turbulen ia [128℄ y amplia-mente estudiada por Burgers en los a~nos 70.M�as extensa a�un resulta ser la lista de e ua iones no lineales en derivadas par ialesque tienen omo solu i�on ondas solitarias1, y que no se omportan omo solitones yaque emergen de las olisiones on un ligero ambio en su per�l y on menos energ��a[30℄. Ejemplos de estos sistemas son las e ua iones Double sine-Gordon (DsG) y �4 [30℄.Esta �ultima e ua i�on presenta dos solu iones (ondas solitarias) |kink y antikink|, alas que a ve es tambi�en se les llama solitones aunque estri tamente no lo son [22, 30℄.Posteriormente daremos m�as detalles de este sistema, ya que junto on el de sG ser�a elobjeto del estudio re ogido en esta memoria.Volviendo a los solitones y a las e ua iones que los representan, se ha e ne esariohablar de otra de sus ara ter��sti as m�as importantes: su integrabilidad. Para nosotrosun sistema integrable es aquel que tiene m�ultiples solu iones anal��ti as e in�nitas leyesde onserva i�on [122, 123, 124℄ del tipo,Tt[�(x; t)℄ + Fx[�(x; t)℄ = 0; (1.1.2)donde T y F son fun iones polin�omi as que dependen del per�l de la onda �(x; t) y de susderivadas par iales y representan una densidad y un ujo respe tivamente. Integrandoesta e ua i�on en la re ta in�nita bajo determinadas ondi iones de ontorno sobre el ujo obtenemos que las antidades onservadas sonI = Z +1�1 T [�(x; t)℄dx: (1.1.3)1Son ondas lo alizadas que dependen de x y t a trav�es de x� ut, siendo u la velo idad de la onda.

8 Introdu i�onAdem�as tiene que umplirse que estas in�nitas leyes de onserva i�on sean independientes[20℄. De esta manera, si un gran n�umero de solitones intera tuan entre s��, al separarselo ha en de tal forma que todas sus densidades sean onstantes [31℄.Existe una forma onstru tiva de generar las m�ultiples solu iones (multi-solitones) ylas in�nitas leyes de onserva i�on en estos sistemas si utilizamos las transforma ionesde B�a klund (TB). Estas transforma iones apare en en 1875 en problemas rela ionados on la geometr��a diferen ial [47℄ y son �utiles porque one tan las solu iones de un tipode e ua i�on no lineal on otra, que en general se ono e mejor. Por ejemplo, la trans-forma i�on de Cole-Hopf [30℄ onvierte la e ua i�on de Burgers en la e ua i�on de difusi�ony la de Miura one ta las e ua iones KdV y mKdV [20℄. De forma alternativa, tambi�entenemos que determinadas e ua iones son invariantes frente a las TB [128, 131℄, queenton es son llamadas auto-transforma iones de B�a klund (ATB) y esto signi� a quela solu i�on de ualquiera de estas e ua iones puede transformarse mediante las ATB enuna nueva solu i�on de la misma e ua i�on. Esta propiedad se utiliza para generar nuevassolu iones a partir de otras ya ono idas. Por ejemplo, si onsideremos la e ua i�on desG en las oordenadas ara ter��sti as � = (x+ t)=2 y � = (x� t)=2,��� = sin(�); (1.1.4)las TB est�an representadas por las e ua iones � = �� + 2a sin� + �2 �; � = ��� + 2a sin� � �2 �; (1.1.5)donde � y son solu iones de (1.1.4) y a es una onstante (el par�ametro de la transfor-ma i�on). Si ono emos la fun i�on �(�; �), enton es a partir de (1.1.5) podemos obtenerla nueva solu i�on (�; �; a) [122℄. Si en (1.1.5) suponemos que � = 0 (esta solu i�onrepresenta el estado de va ��o global [98℄), enton es (�; �; a) = 4 atan hexp�a� + �a�i = 4 atan"exp � x� u(0)tp1� u2(0)!#; (1.1.6)donde a = �p[1 + u(0)℄=[1� u(0)℄ y u(0) es la velo idad del soliton. En este aso ala solu i�on on signo + se le llama kink ( on signo �, antikink) y la lo aliza i�on delsoliton se entiende omo una lo aliza i�on de la densidad de su energ��a. Si ahora en(1.1.5) suponemos �(�; �) = 4 atan hexp �a� + �a�i, la nueva solu i�on que en ontramosrepresenta dos solitones [30℄. Iterando este pro eso una y otra vez podemos en ontrar lasm�ultiples solu iones (n-solitones) de la e ua i�on de sG, aunque la obten i�on de di hassolu iones puede ser mu ho m�as dire ta si se utilizan los diagramas de Bian hi [107℄.Como ya hemos men ionado, las transforma iones de B�a klund tambi�en nos permitenen ontrar las in�nitas leyes de onserva i�on. Volviendo al ejemplo de sG, si onsideramos

1.1 Notas hist�ori as sobre los solitones 9que a es un par�ametro peque~no, enton es podemos suponer que (�; �) = 1Xj=0 aj j(�; �): (1.1.7)Si sustituimos (1.1.7) en (1.1.5) e igualamos a ero todos los oe� ientes del mismo ordende a obtenemos [122℄ que 0 = �; 1 = 2�� ; 2 = 2��� ;:::: (1.1.8)Por otra parte, omo (�; �) es solu i�on de (1.1.4), umple on la siguiente e ua i�on de ontinuidad �12 2��� + [ os( )� 1℄� = 0; (1.1.9)rela ionada on la densidad de la energ��a. Si sustituimos (1.1.7) en (1.1.9), las primerasdensidades que obtenemos son T1(�; �) = 12�2�;T3(�; �) = 2������ + 2�2��; (1.1.10)y omo la e ua i�on de sG (1.1.4) es invariante si ambiamos � por � y vi eversa,T2(�; �) = os(�)� 1;T4(�; �) = �2��� sin(�)� 2�2� os(�); (1.1.11)tambi�en ser�an densidades onservadas. Estas antidades onservadas son equivalentesa las en ontradas por Steudel mediante las ATB y tambi�en a las que hall�o Lamb en1970 [72, 124℄, s�olo que, omo puntualiz�o Steudel en [124℄, en general no se ono esi todas estas leyes de onserva i�on en ontradas a partir de las TB son linealmenteindependientes; pero s�� se sabe, al menos, que las dos primeras integrales de movimientolo son.En las variables (x; t) las dos primeras antidades onservadas, si tenemos en uenta(1.1.3), (1.1.9) y los resultados (1.1.10)-(1.1.11) son:I1 � H = Z +1�1 dxn12�2t + 12�2x + [1� os(�)℄o;I2 � P = � Z +1�1 dx �x�t; (1.1.12)

10 Introdu i�ony representan la energ��a y el momento respe tivamente. Para las solu iones kink o anti-kink (1.1.6) podemos omprobar queH = 8p1� u2(0) ;P = 8u(0)p1� u2(0) ; (1.1.13)son onstantes y s�olo dependen de la velo idad ini ial u(0) del soliton. Las rela iones(1.1.13) nos indi an que la masa del kink o el antikink es igual aM0 = 8, si se interpretaal kink o al antikink omo una part�� ula puntual relativista.Aunque hemos es ogido la e ua i�on de sG para mostrar �omo pueden obtenerse las onstantes de movimiento, las primeras leyes de onserva i�on fueron des ubiertas porMiura, Gardner y Kruskal en la e ua i�on KdV [122℄. Fue Miura quien hall�o dire tamen-te algunas de estas leyes para KdV y omo las tres primeras ten��an un signi� ado f��si oa nadie sorprendi�o que existiesen; sin embargo, Miura en ontr�o mu has m�as y por esosugiri�o que deb��a haber in�nitas. Posteriormente, Miura y Kruskal, por una parte, yGardner, por otra, demostraron que la e ua i�on KdV posee in�nitas leyes de onserva- i�on2. Y es que la e ua i�on KdV ha sido pionera en lo que se re�ere a la teor��a de lossolitones: por ejemplo, la t�e ni a del Inverse S attering Transform (IST) [2℄ fue apli adaprimero a esta e ua i�on por Gardner, Greene, Kruskal y Miura para resolver problemasde valor ini ial (PVI) y luego extendida a otras mu has e ua iones no lineales [1℄. Coneste m�etodo (IST) se logra reemplazar un problema no lineal por uno lineal donde eltiempo juega el papel de un par�ametro. Con la resolu i�on de la e ua i�on KdV medianteel IST surgi�o la pregunta de u�ando otras e ua iones no lineales pod��an ser resueltas deforma an�aloga. La respuesta la en ontr�o Lax en 1968 introdu iendo un nuevo m�etodoque permit��a es ribir un PVI no lineal de forma equivalente a trav�es de los pares deLax: dos operadores lineales que a su vez se aso ian a la e ua i�on de S hr�odinger queapare e en el problema de IST, es de ir, que si una determinada e ua i�on en derivadaspar iales no lineales puede rees ribirse mediante los pares de Lax, enton es puede resol-verse a trav�es del IST. Hoy d��a ya se ono en los pares de Lax de mu has e ua ionesintegrables, entre ellas, KdV, mKdV, Burgers, Boussinesq y sG [30, 132℄; sin embar-go, no existe un m�etodo onstru tivo para en ontrar estos operadores, ni siquiera paradeterminar uando existen.El IST tambi�en es una v��a que nos permite hallar las in�nitas leyes de onserva i�on ylas m�ultiples solu iones de los sistemas integrables [2℄, pero > u�ando un sistema es inte-grable? A pesar de que los solitones han sido ampliamente estudiados durante los �ultimos40 a~nos, esta es una uesti�on que sigue estando sin resolver [70℄. Hoy s�olo tenemos la onjetura de Ablowitz, Ramani y Segur que asegura que: ualquier e ua i�on diferen ialordinaria que se obtenga al redu ir una e ua i�on en derivadas par iales integrable, po-see la propiedad de Painlev�e [28℄. Esta onjetura es una ondi i�on ne esaria, pero no2M�as tarde Kruskal y Wiley las obtuvieron para la e ua i�on de sG, pero sin utilizar las ATB.

1.2 Sistemas de Klein-Gordon no lineales: sG y �4 11su� iente; por esta raz�on se utiliza no para demostrar que un sistema es integrable, sinom�as bien para demostrar que no lo es [104℄.Los solitones no s�olo son solu iones ara ter��sti as de los sistemas ontinuos unidi-mensionales, sino que los podemos en ontrar tambi�en en algunos sistemas dis retos y ensistemas ontinuos bidimensionales (2 + 1) (2 oordenadas espa iales y una temporal)y tridimensionales (3 + 1). Como ejemplo de sistemas dis retos tenemos la red de Toda[39℄ y la e ua i�on de Ablowitz-Ladik [121℄. Junto on estos modelos se suelen estudiarotros sistemas dis retos, uyas solu iones son ondas solitarias; entre ellos en ontramosel modelo de Frenkel-Kontorova, que es la e ua i�on de sG dis retizada en el espa io yque fue propuesto para estudiar las dislo a iones en los ristales y la e ua i�on no linealde S hr�odinger dis reta apli ada en el ampo de la �opti a no lineal [53℄. Todos estossistemas dis retos y mu hos m�as son analizados en el libro de S ott [121℄ desde un puntode vista matem�ati o y tambi�en por sus numerosas apli a iones en la f��si a. En uan-to a las e ua iones de dimensi�on (2 + 1) y (3 + 1) que son integrables tenemos, porejemplo, la e ua i�on de Heisenberg en los sistemas ferromagn�eti os [39, 80℄, la e ua i�onde Kadomtsev-Petviashvili [24℄ que no es m�as que KdV en (2 + 1) dimensi�on [80℄, portanto, se utiliza para des ribir ondas en aguas po o profundas; y la e ua i�on de Davey-Stewartson (2 + 1) que representa un modelo no lineal de la din�ami a de uidos (ver[101℄ y las referen ias itadas en di ho trabajo).Entre todos los sistemas que hemos men ionado, se en uentran los que vamos a es-tudiar a lo largo de esta memoria: dos modelos de tipo Klein-Gordon no lineal (NKG)representados por las e ua iones de sG y �4.1.2. Sistemas de Klein-Gordon no lineales: sG y �4Las e ua iones no lineales de Klein-Gordon se representan mediante la e ua i�on�tt � �xx = �dUd� ; (1.2.1)donde la derivada U 0(�) es una fun i�on no lineal. Si U(�) = 1 � os(�) obtenemosla e ua i�on de sG (1.1.1), que se en uentra dentro del grupo de sistemas integrables.Esta es una de las e ua iones de Klein-Gordon m�as estudiadas, y a diferen ia de lae ua i�on KdV apare i�o en un ontexto puramente matem�ati o |en problemas de geo-metr��a diferen ial|. Despu�es se ha ido apli ando a un gran n�umero de sistemas f��si os yhasta biol�ogi os; as�� que ient��� os de todos los ampos se han bene� iado de la riquezaque es onde en s�� misma esta e ua i�on, que puede resultarnos bastante familiar si laentendemos a trav�es de su modelo an�alogo dis reto |un onjunto de masas que uelgande un eje longitudinal y que est�an one tadas mediante muelles|, propuesto por S otten 1969 [120℄; en este aso � representa el �angulo de rota i�on del p�endulo on respe toal eje longitudinal y veri� a (1.1.1).

12 Introdu i�onEn uanto a las apli a iones m�as importantes de sG tenemos que: des ribe la propaga- i�on de dislo a iones en los ristales, uya periodi idad est�a representada por el t�erminono lineal sin(�) [31℄; es un modelo tentativo de part�� ula elemental, donde � representauna variable angular hipot�eti a [119℄; y apare e rela ionada on la propaga i�on de ondasen la f��si a del laser, donde ��=�� [ver e ua i�on de sG es rita en las oordenadas ara -ter��sti as (1.1.4)℄ es el ampo el�e tri o [71℄. Adem�as, el modelo dis reto de esta e ua i�on ontribuy�o a que los ient��� os intentaran des ribir algunos fen�omenos rela ionados onla din�ami a del ADN [36℄ a trav�es de sG, uyas solu iones kink y antikink han sidoidenti� adas on los estados abierto y errado, que apare en en el ADN; sin embargo, eneste modelo tan sen illo no se toman en uenta mu has de las ara ter��sti as prin ipalesde esta mol�e ula, por lo que, las investiga iones en esta �area no han estado exentas denuevos modelos [136, 137℄ que, por una parte des riben mejor la din�ami a del ADN ypor la otra in luyen modi� a iones a la ya ono ida e ua i�on de sG3. Por �ultimo, qui-sieramos men ionar la apli a i�on quiz�a m�as importante de sG: la propaga i�on de ondasele tromagn�eti as en las uniones Josephson [87℄. En este modelo � representa el ambioen la fase de las fun iones de ondas super ondu toras, y sus varia iones on respe to at y x, ���t = 2 e~ V;���x = �2 e L~ I;est�an rela ionadas on el voltage V y la orriente longitudinal I. L representa la indu -tan ia por unidad de longitud, e es la arga del ele tr�on y ~ la onstante de Plan k.Una de las magnitudes que m�as interesa a los f��si os en las uniones Josephson es el ujomagn�eti o � = ~2 e Z +1�1 ���x dx;que es onstante para las solu iones kink y antikink. Por este motivo estas ondas eno asiones son llamadas uxones [100, 121℄.Otra de las e ua iones no lineales de Klein-Gordon que tiene omo solu i�on ondassolitarias de este tipo (kink y antikink) es la e ua i�on de �4, que se obtiene tomandoen (1.2.1) el poten ial U(�) = �(�2 � 1)2=4, donde � es una onstante. Aunque estesistema no es integrable [22, 30℄, tambi�en es importante porque des ribe el transportede ele trones en adenas de pol��meros (mol�e ula de polia etileno) [56, 103℄ y de protonesen el hielo [29℄, y se utiliza en la teor��a fenomenol�ogi a de Ginzburg-Landau para expli arlas transi iones de fase de segundo orden [22℄. Adem�as, se emplea omo modelo en f��si adel estado s�olido [14℄ y en f��si a de part�� ulas y altas energ��as [30, 96℄.Re ordando que sG es integrable y �4 no, podemos a�rmar que estos sistemas sonmuy diferentes. Sin embargo, algunas semejanzas entre ellos son4:3Una re opila i�on ompleta sobre el tema puede en ontrarse en [138℄.4Ver tambi�en la tabla que se en uentra en el Ap�endi e E, que re oge algunos de los par�ametrosfundamentales que ara terizan ambos sistemas.

1.2 Sistemas de Klein-Gordon no lineales: sG y �4 13ambas e ua iones son invariantes frente a las transformadas de Lorentzx0 = x� u(0)tp1� u2(0) ; t0 = t� u(0)xp1� u2(0);ambos sistemas est�an representados por el HamiltonianoH = Z +1�1 dxn12�2t + 12�2x + U(�)o; (1.2.2)donde U(�) = 1� os(�) para sG y U(�) = �(�2�1)2=4 para �4. Esta integralrepresenta la energ��a de estos sistemas;tienen omo solu i�on ondas solitarias llamadas kink (signo \+") y antikink(signo \�"), iguales a�k;a(x; t) = 4 ar tan exp"� x� u(0)tl0p1� u2(0)#! ; l0 = 1; (1.2.3)�k;a(x; t) = � tanh" x� u(0)tl0p1� u2(0)#; l0 =p2=�; (1.2.4)para sG y �4 respe tivamente. Debido a la ontra i�on de Lorentz la an hurade estas ondas solitarias l = l0p1� u2(0) disminuye uando la velo idadaumenta entre [0; 1);tanto la energ��a del kink (antikink), omo el momento P [ver segunda e ua- i�on de (1.1.12)℄ son onstantes,H = M0p1� u2(0) ; (1.2.5)P = M0u(0)p1� u2(0) ; (1.2.6)para las solu iones kink o antikink, (1.2.3)-(1.2.4). En (1.2.5) y (1.2.6) M0 esla masa del kink (antikink) igual a M0 = 8=l0 para sG y M0 = 4=(3l0) para�4, y ambas expresiones indi an que para una determinada velo idad ini ial,la energ��a y el momento del kink (antikink) son onstantes y, por tanto, nodependen del tiempo;otra de las antidades que se onservan en estos modelos es la arga topol�ogi a[121℄, q = Z +1�1 �xdx = �(+1; t)� �(�1; t); (1.2.7)igual a 2� para sG y 2 para �4. Como en estos asos q 6= 0, estas ondas solita-rias son topol�ogi as [96℄ y esto ha e que frente a determinadas perturba ionessean m�as estables que las no topol�ogi as (q = 0) [116℄.

14 Introdu i�onAdem�as, uando a la e ua i�on de sG se a~nade alg�un tipo de perturba i�on este sistemadeja de ser integrable, y por tanto entra dentro del mismo grupo que �4, y laro est�a,de �4 perturbado.1.3. Sistemas de sG y �4 perturbadosEn general las e ua iones en derivadas par iales |lineales y no lineales| des- riben fen�omenos f��si os. Esto quiere de ir que por ejemplo los sistemas integrables (oresolubles) se estudian no s�olo desde un punto de vista puramente matem�ati o, sinotambi�en por sus numerosas apli a iones en la vida otidiana. Sin embargo, en el mundoreal hay muy po os sistemas integrables que se mani�esten omo tal, pues asi siemprehay que tener en uenta la fri i�on del medio o la a i�on de fuerzas externas; y estoimpli a que hay que a~nadir otros t�erminos a nuestras e ua iones y enton es en la ma-yor��a de los asos �estas dejan de ser integrables (o resolubles). Si estos t�erminos sonpeque~nos, pueden onsiderarse omo perturba iones en la e ua i�on no lineal y aunquemu has ve es no podamos hallar la solu i�on anal��ti a de estos sistemas perturbados;existen diversos m�etodos [45, 46, 87, 113℄ que nos permiten al ular aproximadamentesu solu i�on o aquellas propiedades ara ter��sti as que nos puedan interesar.Por tanto, si a~nadimos disipa i�on, fuerzas peri�odi as o ruido a (1.2.1), la e ua i�on deKlein-Gordon perturbada,�tt � �xx + U 0(�) = �1F (x; t; �; �t; �x; :::); (1.3.1)en general, deja de ser integrable |en el aso de sG| o resoluble |si nos referimos asG y �4|. En este aso �1 se onsidera un par�ametro peque~no.Las perturba iones sobre los sistemas de sG y �4 podemos dividirlas en dos grandesgrupos: deterministas y no deterministas y dependen del problema en uesti�on que inte-rese estudiar, por ejemplo, si es la fri i�on del medio, el t�ermino que se suele a~nadir a lae ua i�on (1.3.1) es �1F (x; t; �; �t; �x; :::) � ���t, donde � es el oe� iente de disipa i�ono si queremos estudiar el efe to de un ampo onstante sobre las uniones Josephson,enton es �1F (x; t; �; �t; �x; :::) = onst. Entre las perturba iones deterministas que sehan onsiderado en las e ua iones de �4 y sG tenemos:las fuerzas externas onstantes (�1F = ���t� �) y peri�odi as [�1F = ���t+� sin(Æt + Æ0)℄ en la e ua i�on de sG amortiguada [46, 76, 77℄. En el primer aso se ha omprobado que el kink de sG se detiene a ausa de la disipa- i�on y se mueve on una velo idad �nal5 que depende de los par�ametros �y �. Si la fuerza externa es peri�odi a, enton es la din�ami a del kink var��a endependen ia de los par�ametros de la fuerza [90℄. Adem�as, la e ua i�on de sG on una fuerza peri�odi a tambi�en ha sido estudiada uando se le a~nade una5Estos mismos resultados pueden extenderse para la e ua i�on de �4.

1.3 Sistemas de sG y �4 perturbados 15fuerza onstante [25℄, en uyo aso se ha observado que el omportamientodel sistema pasa de ser asi peri�odi o a a�oti o. Sin embargo, estas transi- iones no dependen de la fre uen ia de la fuerza externa. Por otra parte, losbreathers de sG |solu iones lo alizadas y peri�odi as (no topol�ogi as)| de- aen hasta desapare er en presen ia de fri i�on [86, 87℄; sin embargo, puedenser autosostenidos6 por fuerzas onstantes o peri�odi as [76℄, en uyo aso sufre uen ia queda modulada,otros tipos de disipa iones en las uniones Josephson (sistema de sG) [64, 77℄;la intera i�on del kink on las inhomogeneidades espa iales [46, 63℄ y lasimpurezas. En este aso si la velo idad ini ial del kink es grande, �este atraviesala impureza y si su energ��a es peque~na queda atrapado y os ila. Tambi�enpueden o urrir fen�omenos de resonan ias rela ionados on transferen ias deenerg��as entre el modo de trasla i�on, el modo interno (en el aso de �4) yel modo de la impureza, en estos asos el kink a umula la energ��a su� iente omo para es apar de la impureza;adem�as, tambi�en se han estudiado estos sistemas perturbados param�etri a-mente on un poten ial peri�odi o espa ial. En la e ua i�on de �4 [68℄ se hanobservado fen�omenos de resonan ia, mientras que en sG la din�ami a del kink odel breather dependen de la rela i�on existente entre sus an huras y la longitudde onda del poten ial peri�odi o [114, 115℄.Las perturba iones no deterministas surgen b�asi amente al onsiderar los efe tos deldesorden [93, 105, 117℄ y de la temperatura en estos sistemas [18℄. En estos asos nosen ontramos en presen ia de ruidos aditivos y multipli ativos des orrela ionados en elespa io y/o en el tiempo; por lo tanto, nos interesan |entre otras magnitudes| lasfun iones de orrela i�on de la posi i�on o de la velo idad del entro del kink, el oe� ientede difusi�on, la movilidad del kink, la evolu i�on del kink medio [60℄, la intera i�on entreel kink y los fonones [4, 129℄ y tambi�en los pro esos de forma i�on y aniquila i�on depares kink-antikink [50℄. Cuando las perturba iones esto �asti as son peque~nas, el kinkno se destruye, sino que se difunde e intera iona on los fonones [18℄. Quiere de irque, a diferen ia de otros sistemas uyos solitones se dispersan debido al ruido [91℄,las solu iones topol�ogi as kink (antikink) de sG y �4 son estables frente a este tipo deperturba iones.Aunque estas ondas no se destruyan f�a ilmente, uando se someten a determinadasperturba iones se dete tan ambios en su forma [63℄ y adem�as en o asiones apare eradia i�on (fonones) en los sistemas [114℄.Otros tipos de perturba iones (deterministas y no deterministas) en estas e ua ionespueden en ontrarse en [8, 64, 77, 113, 116℄.6Estas solu iones tambi�en pueden ser estabilizadas uando el sistema se perturba de forma param�etri- a [49℄.

16 Introdu i�onA ontinua i�on veremos algunos m�etodos sen illos, que nos permitir�an omprender �omo puede variar la din�ami a de los kinks en los sistemas de sG y �4 perturbados.1.4. Leyes de onserva i�on. E ua iones para las oor-denadas ole tivasCuando las perturba iones, �1F (x; t; �; �t; �x; :::), son peque~nas, podemos suponerque si partimos de un kink para el problema de valor ini ial orrespondiente a (1.3.1),�este mantiene su forma, es de ir, ontinua siendo una onda solitaria. Pero, si el kinkperturbado tiene la misma forma, enton es > u�al es el efe to de la disipa i�on, de lasfuerzas o de los ampos externos sobre el sistema? En 1978, M Laughlin y S ott [87℄proponen un m�etodo perturbativo para resolver la e ua ion (1.3.1). As��, en [87℄ estosautores suponen que las perturba iones sobre el kink modulan su velo idad (�esta dejade ser onstante), y, por tanto, onsideran la solu i�on de (1.3.1) igual a�(x; t) = 4ar tan (exp [��℄) ; (1.4.1)�(x; t) = � tanh[�℄; (1.4.2)y su energ��a una fun i�on que depende del tiempo,H (t) = M0p1� u2(t) ; (1.4.3)donde � � [x � X(t)℄=(l0p1� u2(t)), y X(t) = x0(t) + R t0 u(�)d� representa el entrodel kink. Si F es una fun i�on par on respe to a �, x0(t) = X(0) [87℄, el m�etodo deM Laughlin y S ott se redu e a suponer que la varia i�on de la posi i�on del entro delkink es la dada por su velo idad,dXdt = u(t); X(t = 0) = X(0); (1.4.4)donde la varia i�on de u(t) se rige pordudt = �1(1� u2)3=2M0 Z +1�1 d�F (t; :::)��(�): (1.4.5)Esta �ultima e ua i�on se obtiene al igualar las derivadas on respe to a t de la e ua i�on(1.4.3) y del Hamiltoniano (1.2.2), onsiderando previamente en dH=dt que � veri� a lae ua i�on (1.3.1). Las e ua iones (1.4.4) y (1.4.5) representan un sistema de dos e ua io-nes diferen iales ordinarias de primer orden para las oordenadas ole tivas X(t) y u(t),que son la posi i�on y la velo idad del entro del kink respe tivamente. En primer lugar,de estas e ua iones se dedu e que si las perturba iones son peque~nas y ju(0)j � 1 las

1.5 Perturba iones sobre las e ua iones de sG y �4: modo de trasla i�on,modos interno y de radia i�on 17varia iones de X(t) y u(t) en el tiempo tambi�en lo ser�an. En segundo lugar, la e ua- i�on (1.4.5) puede rees ribirse en t�erminos del momento |podemos variar el momento(1.1.12) en lugar de la energ��a| omodPdt = ��1 Z +1�1 d� F (t; :::)��(�): (1.4.6)M�as adelante veremos que (1.4.6) suele ser una e ua i�on lineal en P y, por lo tanto,puede resolverse exa tamente. Por �ultimo, desta amos que para todos los tipos de per-turba iones que vamos a estudiar en esta memoria las e ua iones (1.4.4) y (1.4.5) puedenrees ribirse omo una �uni a e ua i�on de segundo orden para X(t),d2Xdt2 = ��Uefe �X : (1.4.7)Esta forma de es ribir las e ua iones para las oordenadas ole tivas eviden ia que el en-tro del kink se omporta en mu hos asos omo una part�� ula newtoniana. Sin embargo,este m�etodo tan sen illo resulta ser insu� iente a la hora de des ribir algunos fen�omenosque o urren al perturbar los sistemas de sG y �4. Como veremos en los ap��tulos 2, 3 y 4,las peque~nas perturba iones sobre estos sistemas afe tan no solo la din�ami a del entrodel kink; sino que tambi�en provo an una varia i�on en la an hura de la onda e in lusopueden apare er paquetes de ondas (fonones), los uales se ha en m�as visibles en las alasdel kink. Para llegar a esta on lusi�on basta on analizar el espe tro del orrespondienteproblema linealizado alrededor de la solu i�on kink (antikink) de las e ua iones de sG y�4, que dis utimos a ontinua i�on.1.5. Perturba iones sobre las e ua iones de sG y �4:modo de trasla i�on, modos interno y de radia- i�onHemos visto que, de forma g�eneri a, las perturba iones sobre los sistemas sG y �4se representan mediante la e ua i�on (1.3.1). Si no hay perturba iones sobre el sistema(1.3.1), es de ir �1F = 0, enton es las fun iones (1.2.3) y (1.2.4) ser�an solu iones de las orrespondientes e ua iones de sG y �4.Gra ias a que la e ua i�on (1.3.1) on �1F = 0 es invariante Lorentz, podemos anali-zarla en las oordenadas (x0; t0), en las que el kink se en uentra en reposo [46, 56℄. Deesta forma, y sin p�erdida de generalidad, ha emos el desarrollo en serie de la fun i�on�(x0; t0) en torno a la solu i�on est�ati a7 �0(x0), on lo que la fun i�on de onda en el sistemade referen ia en el ual el kink permane e en reposo se expresa omo�(x0; t0) = �0(x0) + �1�1(x0; t0) + �21�2(x0; t0) +O(�31); (1.5.1)7La linealiza i�on del per�l de la onda en torno al kink est�ati o ha sido analizada en [108, 120℄ on elobjetivo de hallar la estabilidad de esta solu i�on.

18 Introdu i�ondonde �0 es la solu i�on esta ionaria del problema (1.2.1), representada por (1.2.3) y(1.2.4) uando u(0) = 0 para los sistemas de sG y �4 respe tivamente. Como �1 es unpar�ametro peque~no, al sustituir (1.5.1) en (1.2.1) obtenemos una jerarqu��a de e ua ionesa �ordenes �n1 (n = 0; 1; 2; :::). A orden �01 se veri� a la e ua i�on que umple �0(x0) [la e .(1.2.1) esta ionaria℄ y a orden �1 se obtiene que �1 umple la e ua i�on de ondas�1t0t0 � �1x0x0 + p(x0)�1 = 0; (1.5.2)donde p(x0) = U 00(�0). La solu i�on de (1.5.2) es �1(x0; t0) = exp(i!t0) 1(x0), siempre y uando veri�que el siguiente problema de Sturm-Liouville, que preferimos es ribir enla variable z = x0=l0: 1zz + ���� V0 osh(z)2� 1 = 0; (1.5.3)donde �� = l20(!2 � 2), V0 = �3l20 para �4 y �� = l20(!2 � 1), V0 = �2l20 si nos referimos asG, y onsiderando la ondi i�on de ontorno de que 1(�1) y 1z(�1) tienden a ero.Este problema sobre el �al ulo de autovalores y autofun iones se ono e en Me �ani aCu�anti a [73℄ omo la e ua i�on de S hr�odinger8. Los autovalores pueden ser dis retos | orresponden a los estados ligados| y ontinuos |representan los estados de olisi�on|. El espe tro del problema (1.5.3) est�a fuertemente rela ionado on la altura V0 delpoten ial; as��, por ejemplo si V0 > 0 no hay espe tro dis reto; mientras que si V0 < 0,s�� que existe y adem�as, a medida que la altura del poten ial aumenta, es de ir, parajV0j mayores, tendremos la posibilidad de tener un mayor n�umero de estados ligados.Por ello no es de extra~nar que mientras que la e ua i�on de sG tiene un solo autovalordis reto, la e ua i�on �4 tenga dos. Las autofun iones y los orrespondientes autovaloresdel problema (1.5.3) son 1 � fT (x0) = 2 osh�x0l0� ; !T = 0; (1.5.4) 1 � fk(x0) = exp� ikx0l0 � �k + itanh�x0l0��p2� ; !k = p1 + k2; (1.5.5)para sG y 1 � fT (x0) = se h2�x0l0� ; !T = 0; (1.5.6) 1 � fI(x0) = tanh�x0l0� se h�x0l0� ; i =r32 ; (1.5.7) 1 � fk(x0) = exp� ikx0l0 � [3 tanh2�x0l0�� 3iktanh�x0l0�� 1� k2℄; !k =r2 + k22 ;(1.5.8)8Cuando el poten ial es tipo osh�2 se llama de Hylleraas [48℄.

1.5 Perturba iones sobre las e ua iones de sG y �4: modo de trasla i�on,modos interno y de radia i�on 19para �4. Las fun iones fT (x0) y fk(x0), para sG y fT (x0), fI(x0) y fk(x0), en el aso de �4,forman una base ompleta del espa io de solu iones y se puede omprobar que umplen on las siguientes rela iones de ortogonalidad para sG y �4 respe tivamente:18 Z +1�1 f 2T (x) dx = 1; Z +1�1 fT (x)fk(x) dx = 0;Z +1�1 fk(x)f �k0(x) dx = Æ(k � k0); (1.5.9)34l0 Z +1�1 f 2T (x) dx = 1; Z +1�1 fT (x)fI(x) dx = 0;Z +1�1 fT (x)fk(x) dx = 0;32l0 Z +1�1 f 2I (x) dx = 1; Z +1�1 fI(x)fk(x) dx = 0;Z +1�1 fk(x)f �k0(x) dx = 2�l0(4 + k2)(1 + k2)Æ(k � k0): (1.5.10)

Sobre el espe tro dis reto de las e ua iones de sG y �4 hay que desta ar que la fre uen ia ero, tambi�en ono ida omo el modo de Goldstone, est�a rela ionada on la trasla i�ondel entro del kink una distan ia igual a �1, puesto que �0(x0+�1) � �0(x0)+�1fT (x0), poreso se le llama modo de trasla i�on. La fre uen ia i est�a rela ionada on las os ila ionesde la an hura del kink de �4 puesto que fI(0) = 0 y fI(x0) tiende asint�oti amente a ero uando x0 ! �1 [46℄. La rela i�on entre i y la varia i�on de la an hura del kinkpuede estable erse exa tamente si repetimos el estudio he ho por Ri e en [102℄ para lossistemas de sG y �4. En este an�alisis se parte del Lagrangiano,L = Z +1�1 dx �12�2t � 12�2x � U(�)� ; (1.5.11)que representa a las e ua iones de sG y �4 (1.2.1) y se supone que las solu iones de lase ua iones no lineales de Klein-Gordon |sG y �4| (1.2.1) estan determinadas por�(x; t) = �0 �x�X(t)l(t) � ; (1.5.12)donde X(t) es el entro del kink, l(t) su an hura, y �0(x) es el kink est�ati o, solu i�on desG y �4 respe tivamente (1.2.3)-(1.2.4). Sustituyendo (1.5.12) en (1.5.11), e integrandoen ontramos que, L = 12Mi(l) _l2 + 12MT (l) _X2 � V (l); (1.5.13)donde V (l) = 12M0� l0l + ll0� ; Mi(l) = l0l �M0; MT (l) = l0l M0; (1.5.14)

20 Introdu i�ones una fun i�on de X(t), l(t) y de sus derivadas on respe to a t. En (1.5.14), � es una onstante, igual a � = �2=12, para sG, y � = (�2 � 6)=12, para �4. De las e ua ionesde Lagrange [139℄ para (1.5.13)-(1.5.14), obtenemos que la evolu i�on de las oordenadas ole tivas est�a determinada pordPdt = 0; P (t) = M0l0 _Xl ;� h _l2 � 2l�li = l2l20 �1 + P 2(t)M20 �� 1; (1.5.15)y sus solu iones son iguales a P (t) =M0 0u(0);l(t) = B2 ls + lsrB24 � 1 sin[Rt + Æ1℄; (1.5.16)donde 0 = 1=p1� u2(0), ls = l0= 0,B = l2(0)+� _l2(0), Æ1 = �ar sin�1=q1 + 4=[� _l2(0)℄�y R = 1=(p�ls). Esto quiere de ir que bajo determinadas ondi iones ini iales la an- hura del kink puede os ilar on una fre uen ia R = 1;2452 para �4 y R = 1;1026 parasG (estas fre uen ias han sido al uladas si u(0) = 0). Evidentemente R (�4) est�a muy er a de i (R �i = 0;02), y por tanto, on luimos que el modo interno est�a rela io-nado on las vibra iones de la an hura del kink en �4. En uanto a la e ua i�on de sG,no est�a muy laro on que podamos rela ionar la fre uen ia de Ri e, puesto que R eneste sistema est�a dentro del espe tro ontinuo de los fonones. Podr��a ser que la varia i�onde la an hura del kink est�e rela ionada on los modos de fre uen ia m�as baja de losfonones, aunque en prin ipio, el espe tro ontinuo afe ta a todo el kink [77℄, provo andoos ila iones lineales a lo largo de �este.Cuando las perturba iones s�olo afe tan al modo de trasla i�on del sistema, la din�ami adel entro del kink se ompara on la de una part�� ula [46℄ y en los asos en que �estasin uyen sobre los dem�as modos, el kink se onsidera un \objeto deformable" [102℄.1.6. An�alisis num�eri oCuando tenemos una e ua i�on diferen ial en derivadas par iales y no podemosen ontrar su solu i�on anal��ti a mu has ve es a udimos a los m�etodos num�eri os, quenos permiten obtener una solu i�on aproximada del sistema. Estos m�etodos se pueden omprobar primero en sistemas uyas solu iones se ono en exa tamente y despu�es seapli an a las e ua iones sin solu i�on anal��ti a. Si nos referimos a las e ua iones de sG y�4, omprobar��amos las solu iones kink (antikink) de ambos sistemas. En la implemen-ta i�on de los algoritmos en estas e ua iones tenemos que empezar por �jar un tiempo

1.6 An�alisis num�eri o 21de integra i�on (tfinal) y, adem�as, la longitud 2L del sistema que, te�ori amente, puede serin�nita, pero en la pr�a ti a no lo es. En estos asos se es oge 2L de tal forma que �estevalor sea mu ho mayor que la an hura del kink. En uanto a las ondi iones de ontornoy las ondi iones ini iales, omo veremos en los ap��tulos siguientes, dependen del pro-blema f��si o que se quiera estudiar. Otra de las uestiones m�as fre uentes que apare en uando de idimos hallar num�eri amente la solu i�on de un problema es: >qu�e m�etododebemos es oger? Realmente esto depende de mu hos fa tores, omo la estabilidad y onvergen ia del m�etodo num�eri o, el tipo de e ua i�on [30℄, el tiempo de integra i�on,et . Como por lo general la onvergen ia y la estabilidad no est�an demostradas en lossistemas no lineales, lo que se re omienda es es oger dos m�etodos num�eri os diferentesy omparar sus resultados [30℄. Nosotros lo que haremos en esta memoria ser�a ompararlas solu iones num�eri as on las en ontradas mediante los m�etodos perturbativos.Aunque los primeros esquemas num�eri os que se ono en sobre las e ua iones no li-neales se apli aron a las e ua iones integrables omo KdV [140℄ o sG [119℄ y hoy en d��a uando se des ubre un nuevo m�etodo se ha e previamente un test en este tipo de e ua io-nes, esta laro que el mayor mer ado de los esquemas num�eri os no lo onstituyen estossistemas, sino aquellos que no son resolubles (donde in luimos los sistemas integrablesy los no integrables perturbados). A este grupo pertene en en general las e ua iones desG y �4 perturbadas. Los m�etodos que se apli an a estas e ua iones on mayor fre uen- ia son los m�etodos de diferen ias �nitas [30℄, que pueden ser impl�� itos y expl�� itos.Dentro de estos m�etodos hay que desta ar el de Strauss-V�azquez, que tiene la ventajade onservar la energ��a del sistema dis reto al igual que su ede en el sistema ontinuo sino hay ningun tipo de perturba iones sobre las e ua iones de sG y �4, adem�as en estos asos al menos est�a demostrada la estabilidad y onvergen ia del m�etodo num�eri o. Sinembargo, este m�etodo es impl�� ito, y por esta raz�on mu has ve es no se utiliza, sobretodo uando las perturba iones son del tipo esto �asti o y es ne esario tomar promediossobre mu has realiza iones [13℄, porque onsume una gran antidad de tiempo en sussubrutinas; en este aso se apli an otras variantes de la e ua i�on dis retizada (m�etodosexpl�� itos, que por lo general son m�as r�apidos que los impl�� itos) omo por ejemplo, elm�etodo de Heun [111℄ o el que introdu en los autores de [13℄9. Despu�es del m�etodo deStrauss-V�azquez, que onserva la energ��a, se han desarrollado algunas nuevas variantesbasadas en los esquemas de diferen ias �nitas onservativos. Algunas de ellas son:las que est�an dirigidas a en ontrar nuevos m�etodos, que ganen en tiempo yque tambi�en sean estables y onverjan [9, 13, 40℄,las que onservan el momento, en lugar de la energ��a [57℄.Aparte de estas variantes queremos desta ar una que a nuestro pare er es la m�as ompleta y onstru tiva de todas las que itamos, ya que parte de las e ua iones de on-tinuidad (1.1.9) on el objetivo de en ontrar la versi�on dis reta apropiada del m�etodoen diferen ias �nitas que onserve la energ��a, el momento, et [74℄. Adem�as, este algo-ritmo tiene en uenta las ondi iones de ontorno junto on las densidades onservadas,9Tambi�en se emplean los m�etodos num�eri os que apare en en [95℄.

22 Introdu i�on uesti�on �esta que pasa por alto el esquema de Strauss-V�azquez [74℄. Estamos seguros deque los nuevos m�etodos que se implementen en las e ua iones de sG y �4 deben estaren aminados en esta dire i�on, es de ir, partiendo de las leyes de onserva i�on para lossistemas ontinuos, de sus simetr��as [74℄ o in luso de las mismas transforma iones deB�a klund {en el aso de la e ua i�on de sG|, es posible que puedan en ontrarse nue-vos algoritmos num�eri os, on los uales podamos obtener de forma m�as e� iente lassolu iones de nuestros sistemas.

Cap��tulo 2Fuerzas peri�odi as sobre dosmodelos de Klein-Gordon2.1. Motiva i�onEn este ap��tulo vamos a analizar las e ua iones de sG y �4 perturbadas on unafuerza peri�odi a y disipa i�on.El estudio de este problema tiene su origen en los trabajos sobre la din�ami a del kinkde sG perturbado por una fuerza onstante [46, 87℄ sobre el que volveremos a trataren el siguiente ap��tulo. En di hos trabajos pioneros, se lleg�o a la on lusi�on de que elkink puede moverse en una dire i�on on una velo idad que depende de la amplitud dela fuerza y del oe� iente de disipa i�on [46, 87, 121℄. A partir de ese momento fueronmu hos los que se preguntaron si el kink de sG, o de su orrespondiente sistema dis reto,Frenkel-Kontorova (F-K), se mov��a (y en aso a�rmativo �omo lo ha ��a) bajo la a i�onde una fuerza peri�odi a y disipa i�on.Este problema result�o ser m�as ompli ado de lo que pare ��a. En un primer art�� ulosobre el modelo F-K [16℄, los autores demuestran que para algunos valores distintos de ero de la velo idad del entro del kink, ten��a lugar un balan e de energ��a entre la fuerzaperi�odi a y el efe to de la disipa i�on por en ima de un valor r��ti o de la amplitud de lafuerza, y si este umbral se ex ed��a, el kink pod��a propagarse a lo largo de la adena. Sinembargo, las simula iones num�eri as de este sistema [21℄ no on�rmaron las predi ionesde [16℄, es de ir, el kink no se mov��a uando se in lu��a la disipa i�on junto on la fuerzaperi�odi a en el sistema F-K. M�as a�un, en [21℄ tambi�en se demuestra que los resultadosanal��ti os no oin id��an on los num�eri os porque en [16℄ no se hab��a tenido en uenta lavaria i�on del momento del sistema. Pese a todo, estudios posteriores [84℄ han mostradoque si los par�ametros del sistema umplen iertas ondi iones, enton es el kink de F-Kpuede moverse, s�olo que, en este aso, la din�ami a del kink es distinta de la des rita por

24 Fuerzas peri�odi as sobre dos modelos de Klein-Gordonlas varia iones de su energ��a o su momento estudiadas en [16, 21℄ y su movimiento esa�un m�as omplejo, e in luso a�oti o. Hasta la fe ha, el �ultimo resultado ono ido sobreeste problema es [44℄, en donde se en uentra movimiento unidire ional indu ido porfuerzas peri�odi as en F-K amortiguado, pero no para las solu iones kinks sino para otrasex ita iones que los autores onstruyen en ad ho mediante un pro edimiento bastante ompli ado.En uanto al sistema de sG, �este fue onsiderado en [90℄, donde se estudia el efe tode fuerzas peri�odi as y onstantes, f(t), sobre el kink. En este trabajo los autores tomanf(t) = � sin(Æt + Æ0), on Æ0 = 0, �=2 y Æ 6= 1, y, adem�as, suponen que las velo idadesdel kink son peque~nas. Bajo estas ondi iones, on luyen que para Æ0 = 0, el kink sindisipa i�on se mueve en una dire i�on mientras que para Æ0 = �=2 el kink os ila1. Enrela i�on on el aso disipativo, � 6= 0, s�olo a�rman que se obtienen resultados similares,lo ual no es del todo ierto si se omparan on las predi iones he has en [16℄ para elsistema ontinuo. Los resultados par iales de [90℄, junto on las ontradi iones antesmen ionadas nos ondu en una vez m�as a la pregunta original que preferimos reformularde otra manera: si sG se en uentra bajo la in uen ia de una fuerza peri�odi a y ondisipa i�on, >bajo qu�e ondi iones existe movimiento unidire ional en el kink de estesistema?A diferen ia de la e ua i�on de sG perturbada, que se ha tratado generalmente omoun sistema asi-integrable (y de ah�� que nos interesen uestiones omo las que nos hemosplanteado), las perturba iones sobre la e ua i�on de �4 han estado asi siempre rela iona-das on su modo interno y su intera i�on on los modos de trasla i�on y de radia i�on [22℄>Qu�e rela i�on puede existir entre el modo interno de �4 y la fuerza peri�odi a on queperturbamos el sistema? Pare e l�ogi o pensar que, si el modo interno est�a rela ionado on las os ila iones de la an hura del kink a una determinada fre uen ia, para algunasfre uen ias de la fuerza peri�odi a | on o sin disipa i�on|, pueda existir alg�un tipo de\resonan ia". Averiguar la vera idad de esta onjetura en lo on erniente al sistema �4 onstituye uno de los objetivos de este ap��tulo.Sobre este �ultimo modelo, quiz�a los sistemas m�as pare idos al que analizaremos sonlos estudiados en [66℄ y [126℄, respe tivamente2. As��, en [66℄, se investiga el modelo �4dis reto amortiguado, que se en uentra bajo la a i�on de una fuerza normal peri�odi apar�ametri a, y se estudia el de aimiento que sufre el kink uando las os ila iones sonr�apidas, rela ion�andose este de aimiento on la deforma i�on del poten ial. Una versi�on ontinua muy similar se onsidera en [126℄ donde se al ula la dependen ia de la velo idaddel kink en fun i�on de la fre uen ia de la fuerza. El que la e ua i�on de �4 bajo la a i�on defuerzas peri�odi as haya sido menos investigada que sG a~nade otro motivo para estudiareste sistema en el ontexto que ya hemos men ionado.A ontinua i�on vamos a exponer el an�alisis te�ori o y n�umeri o de las e ua iones de sGy �4 amortiguadas bajo la a i�on de fuerzas peri�odi as. Vamos a ver que di ho an�alisis1En ambos asos la velo idad ini ial del kink se tom�o igual a ero.2Aunque el inter�es de estos trabajos no est�a rela ionado on el modo interno.

2.2 Aproxima i�on de M Laughlin y S ott para los modelos de sG y �4 25nos ayudar�a a omprender mejor los fen�omenos que tienen lugar en ambos sistemas y nospermitir�a responder a las preguntas formuladas en esta se i�on, y a las que apare er�ana lo largo del ap��tulo.2.2. Aproxima i�on de M Laughlin y S ott para losmodelos de sG y �4Para estudiar la a i�on de las fuerzas peri�odi as sobre los modelos de sG y �4amortiguados es ne esario analizar la e ua i�on de Klein-Gordon perturbada�tt � �xx + U 0(�) = ���t + f(t); �1 < x <1; t > 0; (2.2.1) on sus respe tivas ondi iones ini iales y de ontorno, donde U(�) representa el poten- ial de sG o �4, ���t es el t�ermino disipativo y f(t) = � sin(Æt+ Æ0), la fuerza peri�odi a.Di hos t�erminos pueden tratarse omo perturba iones si onsideramos en (2.2.1) que el oe� iente de disipa i�on � y la amplitud de la fuerza � son dos par�ametros peque~nos,dejando libres los dem�as par�ametros de la fuerza |la fre uen ia Æ y la fase Æ0|. En estase i�on demostramos que el m�etodo de M Laughlin y S ott des ribe perfe tamente ladin�ami a del kink en ambos sistemas, siempre que los modos interno o de radia i�on nosean ex itados. Posteriormente, en la se i�on 2.4 apli aremos un nuevo m�etodo de oor-denadas ole tivas llamado Generalized Traveling Wave Ansatz, GTWA, on el objetivode expli ar desde un punto de vista te�ori o los fen�omenos de resonan ia que observamosen las simula iones num�eri as de �4 uando se ex ita su modo interno. Es importantese~nalar que fuera de las resonan ias, el GTWA y el m�etodo de M Laughlin y S ott sonequivalentes.Bajo este tipo de perturba iones no se ono en solu iones exa tas de los sistemas deKlein-Gordon (2.2.1), por lo que a la hora de estudiar su in uen ia es ne esario a udir alos m�etodos perturbativos (ve�ase, por ejemplo, [15, 35, 45, 51, 87, 113℄). De todos ellosel m�as f�a il de apli ar, desde el punto de vista anal��ti o, es el de M Laughlin y S ott[87℄, avalado por un sinn�umero de trabajos, [75, 86, 92, 104, 105, 112, 115, 117℄ dondese omparan los resultados te�ori os obtenidos mediante este m�etodo on las simula io-nes num�eri as de la orrespondiente e ua i�on en derivadas par iales perturbada. Comohemos visto en la se i�on 1.4, para el tipo de perturba iones que vamos a tratar en este ap��tulo, la e ua i�on que umple la velo idad del entro del kink, u(t) (1.4.5) puedeobtenerse variando la energ��a o el momento, y la evolu i�on del entro de masa del kink,X(t), queda determinada al integrar u(t) (1.4.4). Por tanto, en este problema X(t) yu(t) no deben onsiderarse omo dos oordenadas ole tivas independientes.Si utilizamos la varia i�on de la energ��a (ve�ase la se i�on 1.4), despu�es de sustituir�1F (t; :::) = ���t+� sin(Æt+Æ0) en (1.4.5) e integrar obtenemos que la velo idad veri� ala siguiente e ua i�on diferen ial ordinaria no lineal de primer orden:dudt = � 1M0 (1� u2) hq�p1� u2 sin(Æt+ Æ0) + �uM0i ; u(t = 0) = u(0); (2.2.2)

26 Fuerzas peri�odi as sobre dos modelos de Klein-Gordondonde q = 2�, para sG y q = 2, para �4. Esta e ua i�on se puede linealizar a trav�es del ambio de variable P (t) = M0u(t)p1� u(t)2 :As��, resolveremos primero la e ua i�on para el momento,dPdt = ��P � q� sin(Æt+ Æ0); (2.2.3)y luego hallaremos la velo idad del kink,u(t) = P (t)M0p1 + [P (t)=M0℄2 : (2.2.4)Alternativamente, la e ua i�on (2.2.3) tambi�en puede obtenerse al variar el momento envez de la energ��a, y su solu i�on,P (t) = q �(�2 + Æ2) [Æ os(Æt+ Æ0)� � sin(Æt+ Æ0)℄ + (2.2.5)+ exp(��t)�P (0) + q �(�2 + Æ2) [� sin(Æ0)� Æ os(Æ0)℄� ;determina la velo idad del kink, u(t) (2.2.4), ne esaria para al ular la posi i�on de su entro X(t), X(t) = X(0) + Z t0 u(�)d�; (2.2.6)que resulta ser aproximadamenteX(t) ' X(0) + q �M0Æ(�2 + Æ2) fÆ [sin(Æt+ Æ0)� sin(Æ0)℄ + � [ os(Æt+ Æ0)� os(Æ0)℄g++ [1� exp(��t)℄�P (0)M0� + q �M0�(�2 + Æ2) [� sin(Æ0)� Æ os(Æ0)℄� ; (2.2.7)expresi�on que es v�alida si ju(t)j � 1 [u(t) � P (t)=M0℄.Para interpretar estos resultados anali emos por separado los asos � = 0 y � 6= 0.En ausen ia de disipa i�on, es de ir � = 0 en (2.2.7), tenemos que X(t), dado porX(t) ' X(0) + �u(0)� q�M0Æ os(Æ0)� t+ q� [sin(Æt+ Æ0)� sin(Æ0)℄M0Æ2 ; (2.2.8)ser�a una fun i�on peri�odi a en t siempre que la velo idad ini ial del kink veri�que lasiguiente rela i�on: u(0) = q�M0Æ os(Æ0): (2.2.9)Esta igualdad rela iona uatro par�ametros: la velo idad ini ial u(0), la amplitud �, lafre uen ia Æ y la fase Æ0 de la fuerza peri�odi a. As��, podemos �jar tres de estos par�ametros

2.2 Aproxima i�on de M Laughlin y S ott para los modelos de sG y �4 27y al ular el uarto de tal forma que el kink os ile alrededor de ierta posi i�on o se muevaen una dire i�on u otra. Sin embargo, omo ju(0)j var��a entre ero y uno, al igual quej os(Æ0)j, puede darse el aso que al �jar tres de los par�ametros que rela iona (2.2.9),di ha igualdad no tenga lugar, es de ir, que la e ua i�on (2.2.9) no tenga solu i�on para losvalores permitidos del uarto par�ametro. Si no se umple (2.2.9), en la e ua i�on (2.2.8)no desapare e el t�ermino lineal en t; por tanto, si u(0) > q� os(Æ0)=(M0Æ) [u(0) <q� os(Æ0)=(M0Æ)℄ el kink se mover�a ha ia la dere ha [izquierda℄3.Ahora veremos omo estas on lusiones pueden generalizarse sin tener que imponerrestri iones a los valores de la velo idad u(t), ex epto laro est�a, ju(t)j < 1. En este aso,aunque no hemos sido apa es de resolver la e ua i�on (2.2.6) y determinar la traye toriadel entro del kink, demostraremos |a partir de las e ua iones (2.2.5) y (2.2.6)| quepara que el kink os ile es ne esario y su� iente que la integral del momento en un periodo,T = 2�=Æ, Z T0 P (t0)dt0; (2.2.10)se anule.Si sustituimos (2.2.5) [ on � = 0℄ en (2.2.10), integramos el momento e igualamos a ero la expresi�on obtenida, tenemos que la ondi i�on (2.2.10) es equivalente au(0) 0 = q�M0Æ os(Æ0); 0 � 1p1� u2(0) ; (2.2.11)por lo que tambi�en podr��amos enun iar la ondi i�on di iendo que para que el kink os ilees ne esario y su� iente que los par�ametros del sistema veri�quen la igualdad (2.2.11),que no es otra osa que (2.2.9) on una orre i�on de tipo Lorentz.Para demostrar esta a�rma i�on, vamos a suponer que el entro del kink,X(t) = X(0) + Z t0 u(t0)dt0; (2.2.12)os ila on un periodo igual a T = 2�=Æ, es de ir, X(t) = X(t + T ). Si en (2.2.12) onsideramos que X(t) = X(t + T ), enton es la fun i�on auxiliar I(a),I(a) � X(t+ T )�X(t) = Z t+Tt a + b os(Æt0 + Æ0)p1 + [a+ b os(Æt0 + Æ0)℄2dt0; (2.2.13)a = u(0)p1� u(0)2 � q� os(Æ0)M0Æ ; b = q�M0Æ ; (2.2.14)se anula. Notemos primero que I(0) = 0; segundo, que I(a) < 0 si a < �jbj, y I(a) > 0 sia > jbj, y por �ultimo que I 0(a) > 0 para todos los valores de a 6= 0. Ello indi a que I(a),3Estos resultados generalizan los obtenidos por Olsen y Samuelsen en [90℄ para dos valores parti u-lares de la fase Æ0.

28 Fuerzas peri�odi as sobre dos modelos de Klein-Gordonque es una fun i�on ontinua en a, es estri tamente re iente y tiene un �uni o ero, portanto, I(a) = 0 si y s�olo si a = 0. La ondi i�on a = 0 oin ide on la rela i�on (2.2.11),por lo que la ondi i�on ne esaria ha quedado demostrada.Para demostrar la su� ien ia, sustituimos la igualdad (2.2.11) en (2.2.4)-(2.2.5) im-poniendo � = 0. De esta forma, la velo idad del kink (2.2.4) es una fun i�on peri�odi au(t) = q�M0Æ os(Æt+ Æ0)s1 + � q�M0Æ os(Æt+ Æ0)�2 ; (2.2.15)que al integrar nos da omo resultado la posi i�on del entro del kink,X(t) = X(0) + 1Æ 266664ar sin q� sin(Æt+ Æ0)M0Æs1 + � q�M0Æ�2 � ar sin q� sin(Æ0)M0Æs1 + � q�M0Æ�2377775: (2.2.16)Claramente, X(t) es una fun i�on 2�=Æ peri�odi a.Al igual que (2.2.9), la rela i�on (2.2.11) involu ra uatro par�ametros: u(0), �, Æ yÆ0; s�olo que, en este aso, la velo idad ini ial u(0) queda multipli ada por el fa torde Lorentz 0. Si ju(0)j � 1 en (2.2.11) re uperamos la e ua i�on (2.2.9); y, aunqueno hemos impuesto ninguna restri i�on en la velo idad del kink, (2.2.11) deja de tenersentido uando ju(0)j ! 1, ya que la parte dere ha de esta e ua i�on tiende a in�nito yla �uni a forma de estable er la igualdad es ha er tender Æ ! 0 (T !1), lo que equivalea ambiar la fuerza peri�odi a en la e ua i�on (2.2.1) por una fuerza onstante, en uyo aso el kink solamente se a elera [87℄.Para on luir el an�alisis de la e ua i�on (2.2.1), vamos a demostrar que al in luirdisipa i�on en estos sistemas es imposible que el kink se mueva en una �uni a dire i�on,ya que su entro, despu�es de un tiempo transitorio, os ilar�a alrededor de una iertaposi i�on, determinada por las ondi iones ini iales del sistema. Con este objetivo, loprimero que haremos es esperar un tiempo lo su� ientemente largo, t � 1=�, de talmanera que podamos despre iar el t�ermino que de re e exponen ialmente en (2.2.5). Deesta forma, el momento y la velo idad quedan determinados, asint�oti amente, por lassiguientes expresiones:P (t) � �P (t) = q �(�2 + Æ2)hÆ os(Æt+ Æ0)� � sin(Æt+ Æ0)i; (2.2.17)u(t) � �u(t) = �P (t)M0p1 + [ �P (t)=M0℄2 ; (2.2.18)

2.3 Simula iones. Esquema num�eri o de Strauss-V�azquez 29respe tivamente. Si, adem�as, t0 es tambi�en su� ientemente largo, tal que t0 � t, el entrodel kink, X(t) � �X(t) = �X(t0) + Z tt0 u(�)d�; (2.2.19)es una fun i�on peri�odi a si Z t+Tt �u(t0)dt0 = 0; (2.2.20)siendo esta una ondi i�on muy pare ida a la que obtuvimos en el aso no disipativo [ver(2.2.10)℄. Si sustituimos (2.2.18) en (2.2.20) y al ulamos la integral podemos omprobarque la igualdad (2.2.20) siempre se umple, independientemente de los par�ametros delsistema. De este modo, si � 6= 0, el kink puede moverse ini ialmente en una dire i�on,pero a aba os ilando alrededor de un determinado punto en el espa io.2.3. Simula iones. Esquema num�eri o de Strauss-V�azquezEl he ho de que todos los resultados en ontrados en la se i�on anterior sean apro-ximados plantea iertas dudas omo, por ejemplo, >para qu�e valores de �, Æ, Æ0 y � losmodos interno y de radia i�on no son ex itados y, por tanto, el m�etodo de M Laugh-lin y S ott es v�alido?, o, >durante u�anto tiempo podremos a eptar la idea de que lasperturba iones que tratamos s�olo in uyen sobre la posi i�on del entro del kink? Pararesponder a estas preguntas se debe al ular la solu i�on de (2.2.1) num�eri amente, y onposterioridad omparar los resultados num�eri os on los anal��ti os (se i�on 2.2). Esto espre isamente lo que haremos a ontinua i�on.Para ello, dis retizamos la parte dere ha de la e ua i�on (2.2.1) seg�un el esquemanum�eri o de Strauss�V�azquez [125℄ y aproximamos la derivada temporal del t�erminodisipativo a trav�es de diferen ias �nitas entradas, es de ir,�n(t +�t)� 2�n(t) + �n(t��t)(�t)2 � �n+1(t)� 2�n(t) + �n�1(t)(�x)2 + (2.3.1)+U [�n(t +�t)℄� U [�n(t��t)℄�n(t +�t)� �n(t��t) = ���n(t+�t)� �n(t��t)�t + � sin(Æt + Æ0);�L � x � L; 0 < t � tfinal;donde la dis retiza i�on se ha llevado a abo en una red espa ial de longitud 2L, formadapor N = 2L=�x nodos (n = 1; 2; :::N) uniformemente distribuidos y separados por �x(paso espa ial). �t representa el paso temporal y tfinal el tiempo �nal de la integra i�on.La ventaja de la dis retiza i�on de Strauss�V�azquez sobre otros m�etodos [30, 57℄radi a en que si � = 0 y � = 0 en (2.2.1), el esquema num�eri o onserva la energ��a Esv(t)

30 Fuerzas peri�odi as sobre dos modelos de Klein-Gordon omo se muestra en [125℄,Esv(t)� Esv(t��t)�t = 0; (2.3.2)Esv(t) = NXn=0 �x2 (��n+1(t)� �n(t)�t �2+ (2.3.3)+ ��n+1(t +�t)� �n(t +�t)�x � ��n+1(t)� �n(t)�x �+ U [�n(t+�t)℄ + U [�n(t)℄� ;al igual que el sistema ontinuo.A pesar de que, en general, la onvergen ia y la estabilidad de (2.3.1) no est�an de-mostradas, s�� sabemos que al menos uando � = 0 y � = 0 la solu i�on �n(t) onverge yes estable [125℄ siempre que el paso temporal no supere al espa ial��t�x�2 < 1: (2.3.4)Este m�etodo tambi�en propor iona una forma [92℄ de al ular el entro del kink X m(t)y su velo idad u m(t), utilizando la energ��a Esv(t) (2.3.3) y el momento Psv(t),Psv(t) = � NXn=0�x ��n+1(t+�t)� �n�1(t +�t)2�x � ��n(t +�t)� �n(t)�t � ; (2.3.5)que no se onserva en este algoritmo num�eri o, ni siquiera uando � = 0 y � = 0. As��,se de�nen [92℄X m(t) = 1Esv(t) n=NXn=0 �x�12x(n)� (2.3.6)� ��n(t+�t)� �n(t)�t �2 + U [�n(t+�t)℄� U [�n(t)℄!++ x(n) + x(n+ 1)2 ��n+1(t+�t)� �n(t +�t)�x � ��n+1(t)� �n(t)�x �� ; on x(n) = �L + n�x y u m(t) � Psv(t)Esv(t) : (2.3.7)En uanto a las ondi iones ini iales y de ontorno: en todas las simula iones partimosde un kink |solu i�on de la e ua i�on (2.3.1) sin perturbar| on velo idad ini ial u(0)y entrado en X(0) y, adem�as, imponemos ondi iones de ontorno libres. Tanto parasG omo para �4 hemos tomado sistemas de longitud 2L = 100; 200; 400, on �x =

2.3 Simula iones. Esquema num�eri o de Strauss-V�azquez 310;1; 0;05 y �t = 0;01; 0;005. Los tiempos �nales han sido tfinal = 200; 400, ex epto enalgunas o asiones, que se se~nalar�an m�as adelante, donde se tienen en uenta tiemposm�as largos tfinal = 25 000. Los valores de X(0), u(0), junto a �, �, Æ y Æ0 se espe i� anen todas las �guras.Comenzaremos primero mostrando algunos resultados de las simula iones num�eri asde la e ua i�on de sG. En la �gura 2.1(a) se observan dos traye torias diferentes paraun kink, que parte de X(0) = �5 on velo idad ini ial ero y que se en uentra bajo laa i�on de una fuerza �0;02 sin(0;1t+ Æ0). Si Æ0 = 0, omprobamos que el kink se mueveha ia la dere ha y si Æ0 = 3�=4 ha ia la izquierda. Re ordemos que para que un kinkos ile tiene que umplirse la ondi i�on (2.2.11), por tanto, si u(0) = 0, omo en este aso, enton es Æ0 = �=2 [�gura 2.1(b)℄. En ambas �guras 2.1(a)-2.1(b) se ontrastanlos resultados anal��ti os (2.2.8), representados on l��neas ontinuas, on los num�eri os|l��neas dis ontinuas|.

0 50 100 150 200t

−40

−20

0

20

40

Cen

tro

del k

ink

(a)

0 50 100 150 200t

−6

−4

−2

0

Cen

tro

del k

ink

(b)

Figura 2.1: Traye torias del entro del kink de sG sin disipa i�on y perturbado on unafuerza f(t) = �0;02 sin(0;1t+Æ0). Compara i�on entre el entro de masa del kink obtenidonum�eri amente (l��neas dis ontinuas ), X m(t) (2.3.7), y la solu i�on aproximada X(t)(2.2.8) representada mediante l��neas ontinuas. El kink parte deX(0) = �5 on u(0) = 0.(a) Æ0 = 0 para las urvas superiores y Æ0 = 3 �=4 para las inferiores; (b) Æ0 = �=2.Para velo idades no tan peque~nas, u(0) = 0;5, en la �gura 2.2 observamos la evo-lu i�on del kink situado ini ialmente en el origen y perturbado por una fuerza f(t) =0;1 sin(0;1t+ Æ0). Variando Æ0 desde 0;61 hasta 0;89, apre iamos los dos omportamien-tos b�asi os del kink: un kink que se mueve ha ia la izquierda (dere ha) si Æ0 = 0;61(Æ0 = 0;89); y otro que os ila uando Æ0 = 0;75. Notemos que este �ultimo valor de Æ0es muy er ano al Æ0 r��ti o, igual a 0;74, que predi e (2.2.11) |para el ual el entrodel kink debe os ilar|. En la parte dere ha de la �gura 2.2 se representan on l��neasdis ontinuas las velo idades u m(t) del entro del kink orrespondientes a estas tres on-das viajeras y on l��neas ontinuas sus respe tivos valores te�ori os, obtenidos a partirde (2.2.4). Aparte de una evidente semejanza entre los resultados te�ori os y num�eri os

32 Fuerzas peri�odi as sobre dos modelos de Klein-Gordon

0 100 200 300 400t

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

Vel

ocid

ad d

el k

ink

(a)

0 100 200 300 400t

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

Vel

ocid

ad d

el k

ink

(b)

0 100 200 300 400t

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

Vel

ocid

ad d

el k

ink

(c)

Figura 2.2: Evolu iones de los kinks de sG y de las velo idades de sus entros uandoX(0) = 0, u(0) = 0;5, � = 0 y f(t) = 0;1 sin(0;1t+ Æ0), on Æ0 = 0;61 (a), Æ0 = 0;75 (b) yÆ0 = 0;89 ( ). La velo idad u m(t) num�eri a (2.3.7), representada on l��neas dis ontinuas oin ide on la predi i�on te�ori a de M Laughlin y S ott u(t) (2.2.4) [l��neas ontinuas℄.

2.4 Resonan ias en la e ua i�on �4: la aproxima i�on adiab�ati a no essufi iente 33en estas �guras, si nos �jamos en la simetr��a de las fun iones velo idades on respe to au(t) = 0, podemos ver que, el kink os ila [�gura 2.2(b)℄ si la integral de la velo idad desu entro en un periodo es aproximadamente igual a ero.Estas pautas que obede e el kink ambian dr�asti amente al in luir disipa i�on en elsistema, por ejemplo � = 0;05, [ver �gura 2.3℄, en uyo aso el kink se va frenandodurante ierto tiempo t < 1=� = 20, y, despu�es de t � 100 os ila alrededor de iertopunto en el espa io, determinado por las ondi iones ini iales del sistema, que en elejemplo de la �gura son iguales a u(0) = 0;5, X(0) = 0, on f(t) = 0;04 sin(0;5t + 0;1).Pre isamente, si � 6= 0, una nueva ele i�on de los par�ametros de la e ua i�on o de las ondi iones ini iales del modelo, s�olo lleva a que el kink �nalmente quede atrapado enuna u otra regi�on del espa io, al menos si el modo interno del kink |del que ya tendremoso asi�on de hablar| no se ex ita.Como los resultados te�ori os que hemos obtenido en la se i�on 2.2 no se restringen almodelo de sG, perm��tannos mostrarles algunas simula iones para el kink de �4 perturba-do on una fuerza peri�odi a, sin disipa i�on (ver �gura 2.4) y on disipa i�on (�gura 2.5).En la primera de estas �guras, se muestran tres traye torias de un kink que se en uentrabajo la a i�on de una fuerza f(t) = 0;02 sin(0;1t + �=6). Las tres ondas omienzan amoverse desde X(0) = �5 on diferentes velo idades ini iales u(0) = 0;34; 0;345; 0;35,para las uales el kink se dirige ha ia una dire i�on en on reto (ha ia la izquierda siu(0) = 0;34 y en sentido opuesto si u(0) = 0;35) o simplemente os ila alrededor de unpunto si u(0) = 0;345 |l��nea de puntos|. Observemos que u(0) = 0;345 es asi igualal valor r��ti o de la velo idad ini ial que se obtiene a partir de la rela i�on (2.2.11),u = 0;344, una vez �jados los par�ametros � = 0;02, Æ = 0;1 y Æ0 = �=6. Esto on�rmauna vez m�as los buenos resultados de la aproxima i�on de M Laughlin y S ott. Por �ulti-mo, para el aso amortiguado, en la �gura 2.5 hemos sele ionado los mismos par�ametrosde la fuerza peri�odi a y el mismo valor de � que en la �gura 2.3. Nuevamente las simu-la iones de la EDP on�rman los resultados anal��ti os y el kink de �4, al igual que el desG, queda on�nado en una regi�on, puesto que despu�es de un r�egimen transitorio, en unperiodo T = 2�=Æ la integral de la velo idad del entro del kink es ero (2.2.20), omose apre ia en la �gura 2.5.2.4. Resonan ias en la e ua i�on �4: la aproxima i�onadiab�ati a no es su� ienteEn la se i�on 2.3 hemos tenido la oportunidad de veri� ar la semejanza existenteentre los resultados de las simula iones num�eri as y los obtenidos mediante el m�etodode M Laughlin y S ott. Pero tanta perfe i�on tiene un l��mite y uando atravesamossus fronteras nos damos uenta de que, o bien nada es perfe to, o hay que rede�nir los on eptos para que algo que no lo es, lo sea. Aunque estamos de a uerdo on la primerade estas dos opiniones, preferimos ontinuar abordando la segunda; as��, que empezaremos

34 Fuerzas peri�odi as sobre dos modelos de Klein-Gordon

0 100 200 300 400t

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Vel

ocid

ad d

el c

entr

o de

l kin

k

Figura 2.3: Kink de sG bajo una fuerza peri�odi a f(t) = 0;04 sin(0;5t + 0;1) y ondisipa i�on � = 0;05. En la �gura inferior se representa mediante l��neas dis ontinuasla velo idad num�eri a u m(t) (2.3.7) y on una l��nea ontinua el resultado te�ori o u(t)(2.2.4).

2.4 Resonan ias en la e ua i�on �4: la aproxima i�on adiab�ati a no essufi iente 35

0 50 100 150 200t

−16

−12

−8

−4

0

4

Cen

tro

del k

ink

Figura 2.4: Veri� a i�on de las oordenadas ole tivas para �4 on f(t) = 0;02 sin(0;1t+�=6) y � = 0. Las urvas representan tres traye torias X m(t) del entro del kink,halladas num�eri amente para un kink que se en uentra ini ialmente en X(0) = �5.Si u(0) = 0;34 (u(0) = 0;35) el kink se mueve ha ia la dere ha (izquierda) |l��neas ontinuas| y si u(0) = 0;345 el kink os ila |l��nea de puntos|.por entender que es lo que falla en el m�etodo de M Laughlin y S ott. Los resultadosobtenidos en la se i�on 2.2 son v�alidos para ualquier fre uen ia Æ, y � y � peque~nos.De esta forma, dado un valor de Æ (adem�as de u(0) y Æ0) puede es ogerse un � tal quese veri�que (2.2.11) y para el ual el kink os ile, siempre y uando las os ila iones de lafuerza externa on disipa i�on o sin ella no in uyan ni en el modo interno, ni en los deradia i�on; he ho �este que no siempre o urre.Por ejemplo, uando la fre uen ia de la fuerza es er ana a la de la mitad del modointerno de �4 i=2, las simula iones num�eri as eviden ian un re imiento en la energ��a[Figura 2.6(a)℄ del sistema. Esta energ��a, al pare er, se trans�ere del modo interno almodo de trasla i�on porque el entro del kink omienza a moverse a�oti amente [�gura2.6℄, uando seg�un la teor��a de M Laughlin y S ott si u(0) = 0 y Æ0 = �=2, el kink deber��arealizar peque~nas os ila iones en torno a su posi i�on ini ial, X(0) = 0. En estas �gurasse muestran los resultados de las simula iones de �4, donde se han tomado � = 0 yf(t) = 0;01 os(Æt), on Æ = 0;608, Æ = 0;6100 y Æ = 0;6102. Para Æ = 0;608 el entro delkink os ila y apenas se mueve |de a uerdo on la predi i�on de M Laughlin y S ott|;y, a medida que Æ = 0;6102 se aproxima a i=2 = 12p3=2 = 0;6124, el kink omienzaa moverse de forma imprede ible. Para expli ar este \extra~no omportamiento" de la

36 Fuerzas peri�odi as sobre dos modelos de Klein-Gordon

0 100 200 300 400t

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

Vel

ocid

ad d

el c

entr

o de

l kin

k

Figura 2.5: Evolu i�on de la velo idad del kink de �4 bajo la a i�on de una fuerza peri�odi ay disipa i�on. Se han es ogido los mismos par�ametros del sistema que en la �gura 2.3.La diferen ia entre la velo idad num�eri a u m(t) |l��neas dis ontinuas| y u(t) (2.2.4)|l��neas ontinuas| no es ni tan siquiera apre iable.din�ami a del kink pare e l�ogi o utilizar un m�etodo te�ori o que, aparte de X(t), al menos onsidere la an hura del kink l(t), rela ionada on su modo interno [102℄. Por este motivohemos de idido apli ar el m�etodo generalizado de la ondas viajeras (GTWA) [88, 134℄ on dos variables ole tivas independientes,X(t) y l(t), para la e ua i�on de Klein-Gordon(2.2.1). Una observa i�on importante es que este m�etodo no tiene en uenta el efe to delos fonones y onsidera s�olo los modos de trasla i�on y de vibra i�on a trav�es de X(t) yl(t) respe tivamente, por lo que podr��amos asumir que omo el sistema de sG are e demodo interno no hay nada m�as que a~nadir a lo ya di ho en las se iones 2.2 y 2.3 onrespe to a este modelo. Sin embargo, omo este Ansatz puede apli arse tanto para �4 omo para la e ua i�on4 sG, en la siguiente se i�on se analizan mediante el GTWA lassolu iones tipo kink de ambas e ua iones5.4A pesar de que, omo en sG no existe el modo interno, no est�a laro on qu�e puede estar rela ionadala varia i�on de su an hura [15, 65℄.5In luso este an�alisis te�ori o podr��a extenderse a la e ua i�on Double sine-Gordon (DsG).

2.5 Una nueva aproxima i�on: dos oordenadas ole tivas independientes 37

0 5000 10000 15000 20000 25000t

0.9

1.1

1.3

1.5

1.7

Esv

(t) 0 2500 5000

t

0.9

1.1

Esv

(t)

0 5000 10000 15000 20000 25000t

−100

−60

−20

20

60

100

X(t

)

0 2500 5000t

−20

−10

0

10

X(t

)

Figura 2.6: Evolu i�on de la energ��a (2.3.3) y del entro de masa del kink (2.3.7) en �4 on � = 0, � = 0;01 y Æ = 0;6080 ( urva inferior en el gr�a� o de la energ��a y urva queos ila on peque~na amplitud en torno a la posi i�on ini ial X(0) = 0 en el gr�a� o de ladere ha) o Æ = 0;6100 (para este valor la energ��a del sistema re e y el entro del kinkse mueve a�oti amente). En el re uadro peque~no representamos las mismas fun iones,pero tomando Æ = 0;6102. Para este valor de la fre uen ia el kink abandona el sistema,de longitud, 2L = 400 antes de tfinal = 25 000.2.5. Una nueva aproxima i�on: dos oordenadas o-le tivas independientesComen emos por rees ribir la e ua i�on (2.2.1) omo un sistema de dos e ua iones,_� = ÆHÆ ; (2.5.1)_ = �ÆHÆ� + F (x; t; �; �t; :::); (2.5.2)donde = _�, F (x; t; �; �t; :::) = �� _�+ f(t) y H es el Hamiltoniano del sistema uando� y � son ero (1.2.2).El primer paso de este m�etodo perturbativo [88℄ onsiste en suponer que la solu i�onde (2.5.1) es igual a �(x; t) = � [x�X(t); l(t)℄ ; (2.5.3)y, por tanto, (x; t) = hx�X(t); l(t); _X; _li : (2.5.4)

38 Fuerzas peri�odi as sobre dos modelos de Klein-GordonComo en el m�etodo de M Laughlin y S ott, en este aso �(x; t) representa la formadel kink, s�olo que aqu�� se introdu e una segunda variable ole tiva l(t), que representa| omo ya hemos di ho| la an hura del kink, y que es independiente de la velo idad6.Una desventaja de este m�etodo es que no onsidera el efe to de la radia i�on; sin em-bargo, omo la fre uen ia i del modo interno de �4, i = p3=2, y la de los fonones!k =p2 + k2=2 [56℄ est�an separadas, esperamos que ambos modos se ex iten para dis-tintos valores de Æ; es de ir, que si Æ � i o i=2 el efe to de la radia i�on no ser�a tandeterminante y podremos pres indir de �el. El an�alisis para la e ua i�on de sG es un po om�as ompli ado, ya que este sistema are e de modo interno por lo que no est�a laro onqu�e podamos identi� ar la fre uen ia de Ri e R = 1;1026, que adem�as est�a dentro de labanda de fre uen ias de los fonones !k = p1 + k2. No obstante analizamos te�ori amentetanto �4 omo sG, para luego dis utir, por separado, los resultados que obtenemos paraambos sistemas.Para obtener las e ua iones que rigen X(t) y l(t), sustituimos (2.5.3) y (2.5.4) en(2.5.1)-(2.5.2), luego multipli amos la primera e ua i�on por � =�X y la segunda por��=�X. Si sustraemos ambas e ua iones e integramos la expresi�on �nal, tenemos queZ +1�1 dx ���X � � _X �X + Z +1�1 dx [�; ℄ _l + Z +1�1 dx ���X � � _l �l � F stat(X) == Z +1�1 dxF (x; t; �; �t; :::) ���X ; (2.5.5)donde [�; ℄ = ���X � �l � ���l � �X ; (2.5.6)F stat = � Z +1�1 dx �ÆHÆ� ���X + ÆHÆ � �X� = � Z +1�1 dx �H�X = ��E�X ; (2.5.7)y E representa la energ��a del sistema, H la densidad hamiltoniana y F stat la fuerza del ampo externo o de otros solitones, que es igual a ero para el Hamiltoniano (1.2.2).La segunda e ua i�on de movimiento se obtiene de forma an�aloga: despu�es de sustituir(2.5.3) y (2.5.4) en (2.5.1)-(2.5.2), se multipli an las e ua iones obtenidas por � =�l y��=�l respe tivamente, luego se sustraen y �nalmente se integran en x,Z +1�1 dx [ ; �℄ _X + Z +1�1 dx ���l � � _X �X + Z +1�1 dx ���l � � _l �l �Kint(X) == Z +1�1 dx F (x; t; �; �t; :::)���l ; (2.5.8)donde Kint(l; _l; _X) = � Z +1�1 dx �H�l = ��E�l : (2.5.9)6Re ordemos que en el aso del kink no perturbado l(t) = l0p1� u2(0) = onst.

2.5 Una nueva aproxima i�on: dos oordenadas ole tivas independientes 39Como lo que nos interesa es investigar la din�ami a del kink de �4 y sG, suponemosque �(x; t) = �0 [x;X(t); l(t)℄ ; (2.5.10)donde �0 [x;X(t); l(t)℄ = tanh �x�X(t)l(t) �para �4 y �0 [x;X(t); l(t)℄ = 4 atan�exp �x�X(t)l(t) ��para sG [102℄. Sustituyendo (2.5.10) en (2.5.5)-(2.5.9) e integrando se obtiene queM0l0 �Xl �M0l0 _X _ll2 = F stat(X)� �M0l0 _Xl + Fex; (2.5.11)�M0l0�ll +M0l0 _X2l2 = Kint(l; _l; _X)� ��M0l0 _ll +K; (2.5.12)siendo Fex = Z +1�1 dx f(t) ���X = �qf(t); F stat = 0; (2.5.13)K = Z +1�1 dx f(t) ���l = 0; Kint = ��E�l ; (2.5.14)E = 12 l0l M0 _X2 + 12 l0l �M0 _l2 + 12M0� l0l + ll0� ; (2.5.15)donde � = (�2� 6)=12 para �4 y � = �2=12 para sG. Lo primero que notamos es que lae ua i�on (2.5.11) puede es ribirse omodPdt = ��P � qf(t); (2.5.16)y que �esta oin ide on la e ua i�on (2.2.3), on la salvedad de que ahora el momento,P (t) � M0l0 _X=l(t), var��a on la an hura. Si es ribimos la velo idad en fun i�on delmomento, (2.5.12) se transforma en la e ua i�on de un os ilador no lineal, on disipa i�ony ex itado param�etri amente,� h _l2 � 2l�l � 2�l _li = l2l20 �1 + P 2M20 �� 1: (2.5.17)Para resolver esta e ua i�on se propone el ambio de variable [79℄ l(t) = g2(t), que onvierte (2.5.17) en una e ua i�on tipo Ermakov-Pinney ([99℄, ver ap�endi e A),�g + � _g + "�2�2 + � 2M0�2P 2# g = 14�g3 ; (2.5.18)

40 Fuerzas peri�odi as sobre dos modelos de Klein-Gordondonde = 1=p�l0 oin ide on la fre uen ia de Ri e, R = 1=p�ls, si la velo idadini ial es ero, y ls � l(0) = l0= 0.A pesar de que si � 6= 0 el ar�a ter lineal de la parte dere ha de la e ua i�on (2.5.18)no ambia, es urioso que todos los resultados anal��ti os que se ono en (ver ap�endi eA) |hasta donde sabemos| se re�eren a (2.5.18) sin disipa i�on7. Por este motivo nosvemos obligados a tratar por separado los asos � = 0 y � 6= 0. De este modo, si � = 0,el problema de valor ini ial (2.5.18) se onvierte en�g + "�2�2 + � 2M0�2 P 2# g = 14�g3 ;g(0) =pls 6= 0; _g(0) = _l(0)2pls ; (2.5.19)donde el momento,P (t) = �+ q�Æ os(Æt+ Æ0); � � M0l0ls u(0)� q�Æ os(Æ0); (2.5.20)queda bastante simpli� ado y su uadrado involu ra las fre uen ias Æ y 2Æ si � 6= 0 ysolamente 2Æ si � = 0. Notemos que la rela i�on � = 0 es ind�enti a a la ondi i�on (2.2.11)que forzaba el movimiento os ilatorio del kink.La solu i�on de (2.5.19) [94℄,g(t) = rv21 + 14�W 2v22; (2.5.21)depende de las solu iones independientes v1(t) y v2(t) de la parte lineal de (2.5.19), uyo Wronskiano, W = _v1v2� _v2v1 es onstante y puede al ularse f�a ilmente utilizandolas ondi iones ini iales para las fun iones v1 y v2: v1(0) = pls, _v1(0) = _l(0)=(2pls),v2(0) = 0 y _v2(0) = onst 6= 0. Esto quiere de ir que si en ontramos dos solu ionesindependientes de la parte lineal de (2.5.18), enton es tendremos la solu i�on exa ta parag(t), y, por tanto, para la an hura del kink l(t).Las solu iones independientes v1(t) y v2(t) se pueden hallar exa tamente si � = 0 yde forma aproximada si � 6= 0. Cuando � = 0, v1 y v2 veri� an la siguiente e ua i�on deMathieu [3℄: g00 + [a + 2� os(2�)℄g = 0;a = � 2Æ�2 �1 + q2�22Æ2M20 � ; � = � 2Æ�2 q2�24Æ2M20 ; (2.5.22)donde la derivada de g se halla on respe to a � = Æt + Æ0 y las ondi iones ini ialespara v1(�) y v2(�) se transforman en v1(Æ0) = pls, v01(Æ0) = _l(0)=(2Æpls), v2(Æ0) = 0 y7In luyendo la disipa i�on s�olo se han en ontrado resultados uando aparte de � _g se multipli a elt�ermino no lineal de (2.5.18) por exp(�2�t) [61℄.

2.5 Una nueva aproxima i�on: dos oordenadas ole tivas independientes 41v02(Æ0) = _v2(0)=Æ. Esto signi� a que las fun iones v1(�) y v2(�) pueden expresarse omo ombina i�on lineal de las fun iones de Mathieu de orden �, e�(�) y se�(�),vi(�) = Ai e� (�;��) +Bi se� (�;��) ; i = 1; 2; (2.5.23)Ai � �Ai� ; Bi � �Bi� ; (2.5.24)� = e� (Æ0;��) se0� (Æ0;��) � e0� (Æ0;��) se� (Æ0;��) ;�Ai = vi(Æ0) se0� (Æ0;��) � v0i(Æ0) se� (Æ0;��) ;�Bi = v0i(Æ0) e� (Æ0;��) � vi(Æ0) e0� (Æ0;��) ;donde el ��ndi e � es un n�umero no entero y positivo |ra ional o irra ional|. Adem�as,estas solu iones s�olo existen a lo largo de la urva ara ter��sti a a = a(�) [85℄,a(�) = �2 + 12(�2 � 1)�2 +O(�4): (2.5.25)En resumen, en ausen ia de disipa i�on, si � = 0, desha iendo el ambio de variablepropuesto para t en (2.5.23)-(2.5.25), obtenemos que la an hura del kink est�a dada porl(t) = g2(t) = v21(t) + 14�W 2v22(t); (2.5.26)vi(t) = Ai e� (Æt+ Æ0;��) +Bi se� (Æt+ Æ0;��) ; i = 1; 2; (2.5.27)donde Ai � vi(0) _se� (Æ0;��) � _vi(0) se� (Æ0;��)[ e� (Æ0;��) _se� (Æ0;��) � _ e� (Æ0;��) se� (Æ0;��)℄ ;Bi � � vi(0) _ e� (Æ0;��) � _vi(0) e� (Æ0;��)[ e� (Æ0;��) _se� (Æ0;��) � _ e� (Æ0;��) se� (Æ0;��)℄ ; (2.5.28)W = �pls _v2(0); (2.5.29)y la urva ara ter��sti a (2.5.25) puede rees ribirse omoÆ(�) = R2� � q2� os(2Æ0)2M20 20R �2 +O(�4): (2.5.30)Por supuesto, en aras de una mejor aproxima i�on de Æ = Æ(�), en la serie (2.5.30) esne esario tener en uenta los t�erminos de orden superior; por ello, en la �gura 2.7 est�anrepresentadas on l��neas ontinuas las urvas ara ter��sti as num�eri as, al uladas onla ayuda de Mathemati a 3.0 [135℄, para � = 1=2 y � = 3=28. Si � = m+ p=s es ra ional(m 2 Z, p=s es una fra i�on ra ional tal que 0 < p=s < 1), las fun iones v1(t) y v2(t)son 2�s peri�odi as, si p es impar y tienen un periodo igual a �s, si p es par. Si, por el ontrario � es irra ional, estas fun iones dejan de ser peri�odi as, aunque s�� est�an a otadas[85℄.8Estas urvas han sido al uladas para u(0) = 0 y Æ0 = �=2.

42 Fuerzas peri�odi as sobre dos modelos de Klein-Gordon

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5ε

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

δ

Figura 2.7: Algunas urvas ara ter��sti as de la e ua i�on de Mathieu (2.5.22). Las l��neas ontinuas orresponden a las solu iones estables y las dis ontinuas separan las regionesestables de las inestables (zona sombreada), donde l(t) re e.Determinados el momento (2.5.20) y la an hura l(t) (2.5.26)-(2.5.30) podemos al ularla velo idad del entro de masa del kink, _X = P (t)l(t)=(M0l0), que es propor ional aestas dos fun iones; y, dado que P (t) es peri�odi a y l(t) al menos est�a a otada, _X tambi�enestar�a a otada, al igual que la energ��a E(t) (2.5.15) del kink.Por ejemplo, si tomamos � = 1=2 en (2.5.30), la fre uen ia de la fuerza,Æ = R � q2 os(2Æ0)4M20 20R �2 +O(�4);est�a en un entorno de i � R si �� 1 y la an hura del kink ser�a igual a la superposi i�onde los uadrados de las fun iones 4�=Æ peri�odi as se1=2 y e1=2, por tanto, su velo idady su energ��a ser�an omo m��nimo fun iones a otadas a lo largo de Æ = Æ(�) (2.5.30).En la �gura 2.8 podemos omparar la velo idad del entro del kink que predi e elGTWA (representada on una l��nea ontinua) on la obtenida a partir del esquemanum�eri o de Strauss-V�azquez apli ado a la EDP (2.2.1) on el poten ial de �4, � = 0y f(t) = 0;01 os(1;21t). Aunque la velo idad est�a dibujada entre los tiempos 24 900y 25 000 se observa el mismo omportamiento (la velo idad del entro del kink os ila)

2.5 Una nueva aproxima i�on: dos oordenadas ole tivas independientes 43desde el tiempo ini ial t = 0, uando el kink se en ontraba en el origen on u(0) = 09. Latransformada de Fourier dis reta (TFD) de la velo idad u m(t) en la �gura 2.8 muestraque la fre uen ia on que os ila la velo idad del entro del kink es aproximadamenteigual a la de la fuerza Æ = 1;2099.

24900 24925 24950 24975 25000t

−0.03

−0.02

−0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

Vel

ocid

ad d

el c

entr

o de

l kin

k

Figura 2.8: Veri� a i�on de las oordenadas ole tivas uando � = 0. Los puntos son losvalores de la velo idad u m(t), al ulada a partir de la solu i�on num�eri a de (2.2.1) on� = 0 y f(t) = 0;01 os(1;21t) partiendo de un kink on X(0) = 0 y u(0) = 0. Conl��neas ontinuas representamos la velo idad _X(t) que predi e el GTWA.Hemos omprobado que uando Æ � i � R, no hay ning�un fen�omeno de resonan ia|que identi� amos on el re imiento en la energ��a del sistema|. Investiguemos ahoraque su ede si Æ � i=2 � R=2. En este aso, � ! 1 y, por tanto, las fun iones (2.5.23)-(2.5.25) no son solu iones de (2.5.22) porque la urva ara ter��sti a (2.5.25) diverge uando � tiende a un valor entero. Puede demostrarse que las fun iones de Mathieu se1y e1 (2�-peri�odi as) son solu iones de (2.5.22) ona(�) = 1 + � � �28 � �364 � �41536 + :::;9Observese que la velo idad ini ial y los par�ametros de la fuerza se han es ogido de tal forma que� = 0.

44 Fuerzas peri�odi as sobre dos modelos de Klein-Gordonpara la fun i�on par e1 ya(�) = 1� � � �28 + �364 � �41536 + :::;para la fun i�on de Mathieu impar se1; y, puesto que los valores de a(�) son diferentespara se1 y e1, estas dos fun iones no pueden ser solu i�on de la misma e ua i�on, ex epto uando � = 0. Aunque estas fun iones no nos sirvan para hallar la an hura del kink, sus urvas ara ter��sti as, rees ritas omo:Æ� = R2 � �q2 os(2Æ0)2M20 20R + q24M20 20R� �2; (2.5.31)y Æ+ = R2 � �q2 os(2Æ0)2M20 20R � q24M20 20R� �2; (2.5.32)separan las regiones estables de las inestables. Notemos que la longitud del an ho de laregi�on no a otada, �Æ � Æ+ � Æ� = q2�22M20 20R ;de re e uando la velo idad ini ial aumenta.Tanto Æ+ omo Æ� [(2.5.31) y (2.5.32)℄ est�an dibujadas en la �gura 2.7 para Æ0 = �=2y u(0) = 0, donde la zona sombreada entre ellas representa la regi�on donde l(t) noest�a a otada. An�alogamente, podemos obtener otras urvas ara ter��sti as rela ionadaso bien on las fun iones de Mathieu de orden entero sen y en (n 2 N), o on las deorden no entero se� y e� . En la �gura 2.7 hemos in luido las urvas orrespondientes ase2 y e2 rela ionadas on la resonan ia en Æ � R=4 � i=4. En este aso para poderapre iar el fen�omeno de resonan ia ser�a ne esario aumentar la amplitud de la fuerza,porque para el mismo valor de �, la regi�on donde tienen lugar las inestabilidades es m�asestre ha que uando Æ � R=2 � i=2.Hasta ahora, las oordenadas ole tivas anti ipan que l(t) y u(t) son fun iones a ota-das si Æ � i � R, y no a otadas siempre que Æ � i=2 � R=2. Si los par�ametros delmodelo son tales que nos en ontramos en algunas de las regiones estables de la �gura2.7, vemos que los resultados del GTWA oin iden bastante bien on los de la simu-la i�on de (2.2.1) [ver �gura 2.8℄ y si estamos en las zonas inestables u(t) � _X y l(t) re en, tambi�en lo ha e su energ��a (2.5.15), por ello podemos identi� ar el fen�omeno deresonan ia en estos sistemas on el re imiento de su energ��a.Pero, >q�ue le o urre al kink en las zonas inestables? >A aso su an hura y su velo idad re en hasta destruirlo? Observemos en la �gura 2.9 la evolu i�on de la velo idad de unkink, sin disipa i�on, sin velo idad ini ial y bajo la a i�on de f(t) = 0;01 os(0;6104t); queha sido obtenida mediante la integra i�on num�eri a de (2.2.1) on el poten ial de �4. Enella la velo idad del sistema no re e de forma ontinua ( omportamiento que s�� predi eel GTWA) omo lo ha e la energ��a del sistema. El espe tro de la TFD de la velo idad

2.5 Una nueva aproxima i�on: dos oordenadas ole tivas independientes 45(ver �gura 2.9) nos revela que, aparte de una fre uen ia ! = 0;6105 aproximadamenteigual a Æ, tambi�en est�an presentes una serie de fre uen ias er anas a ero, que apare enen el espe tro de la velo idad del kink uando t > 2000, momento �este en el que lavelo idad deja de ser una fun i�on os ilatoria. Adem�as, si nos en ontramos en las zonasinestables, vemos que hay un ambio notable en la velo idad (ver �gura 2.9) y en laposi i�on del kink de �4 (�gura 2.6). Esto eviden ia el omportamiento a�oti o de X m(t)y u m(t). As�� mismo, en las simula iones num�eri as de la EDP observamos que el kinkno se destruye. Probablemente esto se deba a que el ex eso de energ��a proveniente de laex ita i�on del modo interno va a parar no s�olo al modo de trasla i�on, sino tambi�en a losde radia i�on de fre uen ia m�as baja; y por eso ni la velo idad del kink, ni su an hura re en de forma ontinua omo predi e el GTWA. Esta, quiz�as, sea una de las formasque en uentra el kink de \autodefenderse" para no pere er.

0 5000 10000 15000 20000 25000t

−0.10

−0.05

0.00

0.05

0.10

u cm(t

)

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30ω/(2π)

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030A

mpl

itud

de la

TF

D d

e u m

(t)

Figura 2.9: Resonan ia del kink de �4 uando � = 0 y f(t) = 0;01 sin(0;6104t). A laizquierda representamos la evolu i�on de la velo idad del entro del kink, obtenida apartir de las simula iones num�eri as de la e ua i�on de �4 perturbada. Se parte de unkink en el origen on u(0) = 0. A la dere ha observamos la transformada de Fourierdis reta de u m(t).>Persistir�an estas resonan ias si � 6= 0? Si � 6= 0, la e ua i�on lineal orrespondiente a(2.5.19) se onvierte en la e ua i�on de Mathieu generalizada [133℄g00 + [b + 2�1�2 os(2�) + 2�2�2 os(4�)℄g = 0;b = �Æ �2 �1 + q2�22Æ2M20 + �2M20 � ;�1 = �Æ �2 �q2Æ2M20 ; �2 = �Æ �2 q24Æ2M20 ; (2.5.33)donde la derivada de g est�a al ulada on respe to a la nueva variable � = (Æt+Æ0)=2. Dea uerdo on la teor��a de Floquet [52℄ la solu i�on normal de esta e ua i�on es igual a g =

46 Fuerzas peri�odi as sobre dos modelos de Klein-Gordonexp(��)�(�), donde �(�) = �(� + �) y � es el exponente ara ter��sti o. Desarrollando�(�) en serie de Fourier g puede expresarse omog = +1Xn=�1�n exp[(� + 2ni)� ℄;donde �n son los oe� ientes de di ha serie. Por tanto, las urvas de transi i�on queseparan las zonas estables de las inestables orresponden a � = 0 (solu iones de periodo�) y � = i (solu iones de periodo 2�) [37℄ y se pueden al ular apli ando el m�etodoperturbativo propuesto en [52℄ para e ua iones de este tipo. Primero, desarrollamos lasolu i�on de (2.5.33) y sus urvas ara ter��sti as en poten ias de �2,g(�) = g0 + �2g1 + �4g2 + O(�6);b = b0 + �2b1 + �4b2 +O(�6): (2.5.34)Segundo, sustituimos (2.5.34) en (2.5.33) e igualamos a ero los oe� ientes del mismoorden en �. Enton es, obtenemos la siguiente jerarqu��a de e ua iones:Lg0 = 0; (2.5.35)Lg1 = �b1g0 � 2�1 os(2�)g0 � 2�2 os(4�)g0; (2.5.36)Lg2 = �b1g1 � b2g0 � 2�1 os(2�)g1 � 2�2 os(4�)g1; (2.5.37)donde L es el operador diferen ial lineal de segundo orden L = d2d� 2 + b0.A orden uno, la solu i�on orrespondiente a (2.5.35) esg0 = A os�pb0�� +B sin�pb0�� ; (2.5.38)donde b0 = 4n2 para las solu iones �-peri�odi as y b0 = (2n� 1)2 para las 2�-peri�odi as,n es un n�umero entero no negativo y A y B son onstantes.Para las solu iones �-peri�odi as vamos a analizar el aso n = 1, es de ir, b0 = 4 yaque n no puede ser ero por la propia de�ni i�on de b (2.5.33). Cuando b0 = 4, (2.5.38)se onvierte en g0 = A os(2�) +B sin(2�). Al sustituir esta fun i�on en la parte dere hade (2.5.36) on el objetivo de en ontrar g1, apare en algunos t�erminos se ulares, queeliminamos imponiendo b1 = �2 y A = 0 �o bien b1 = ��2 y B = 0. Es de ir, de lasolu i�on de (2.5.35) y (2.5.36) tenemos que las urvas orrespondientes ag+ = B sin(2�) +B�2 � �120 sin(4�) + �232 sin(6�)� ; (2.5.39)y g� = A os(2�) + A�2 ���14 + �112 os(4�) + �232 os(6�)� ; (2.5.40)

2.5 Una nueva aproxima i�on: dos oordenadas ole tivas independientes 47son b = 4� �2�2;o Æ+ = R2 � qu(0) os(Æ0)M0 0 � + � 3q24M20 20R + q2 os(2Æ0)2M20 20R � �2;Æ� = R2 � qu(0) os(Æ0)M0 0 �+ � 5q24M20 20R + q2 os(2Æ0)2M20 20R � �2: (2.5.41)Puesto que estas urvas omienzan en � = 0 y Æ = R=2, las fun iones (2.5.41) represen-tan las urvas ara ter��sti as, que separan las zonas estables de las inestables, uando lafre uen ia de la fuerza es er ana a R=2; y, omo era de esperar, ha iendo tender � a ero en (2.5.41) re uperamos las urvas (2.5.31)-(2.5.32) obtenidas uando � = 0. Paraun � dado, la distan ia entre estas dos urvas,q2�22M20 20R ;se ha e m�as peque~na al in rementar la velo idad ini ial, omo en el aso � = 0.Las otras urvas de transi i�on rela ionadas on la solu i�on 2� peri�odi a de (2.5.38),g0 = A os(�) + B sin(�), tienen lugar uando b0 = 1 (n = 1). En este aso g1 ser�a unafun i�on peri�odi a si b1 = �1 y A = 0 �o si b1 = ��1 y B = 0. De este modo, las urvasque parten de b = 1 son b = 1� �2�1;o, lo que es lo mismo, Æ� = R � qu(0) os(Æ0)M0 0 �++ � q22M20 20R + q2 os(2Æ0)4M20 20R � �2 � q2�2M20 20R �2; (2.5.42)y orresponden a las solu ionesg� = B sin(�) +B�2 ��1 � �28 sin(3�) + �224 sin(5�)� ; (2.5.43)g+ = A os(�) + A�2 ��1 + �28 os(3�) + �224 os(5�)� ; (2.5.44)respe tivamente. De (2.5.42) tenemos que las urvas Æ� limitan una regi�on inestable, uya an hura es propor ional a �; por tanto, si � ! 0, re uperamos la urva (2.5.30)[� = 1=2℄ y la resonan ia en Æ � R � i desapare e. Estas urvas (2.5.42) est�anrela ionadas on la fre uen ia Æ er ana a R y su an hura es igual a�Æ � Æ+ � Æ� = q2��2M20 20R :

48 Fuerzas peri�odi as sobre dos modelos de Klein-GordonEn resumen, la resonan ia uando Æ � i=2 � R=2 existe tanto si � = 0 omo si� 6= 0 y la resonan ia en Æ � i � R s�olo apare e uando � 6= 0. Lo m�as signi� ativo uando � 6= 0 es que las urvas representadas mediante l��neas ontinuas en la �gura 2.7, orrespondientes a las solu iones estables para � = 0, se bifur an en dos nuevas urvasentre las uales se en uentra una zona inestable. Es de ir que si � 6= 0 las regionesinestables partir�an de todos los puntos orrespondientes a � = 0 y a las fre uen iasÆ � R=n (n, natural y positivo).Como las fun iones de Mathieu de orden entero sen y en no pueden ser solu i�on dela e ua i�on (2.5.22), las fun iones (2.5.39)-(2.5.40) y (2.5.43)-(2.5.44) no son solu ionesindependientes de la misma e ua i�on (2.5.33) a no ser que la amplitud de la fuerzaperi�odi a sea ero. De forma an�aloga al �al ulo de estas urvas, en las regiones establespodemos hallar las dos solu iones peri�odi as e independientes (v1 y v2) de (2.5.33) quene esitamos para hallar l(t). En este aso pb0 toma valores ra ionales y positivos. As��,por ejemplo, si b0 = 25=4 en (2.5.38), las dos solu iones 4� peri�odi as de (2.5.33) ser�anaproximadamente iguales al(t) = g2(t) = v21(t) + 14�W 2v22(t); (2.5.45)v1(t) � pls os�54Æt� + 2_l(0)5Æpls sin�54Æt� ; (2.5.46)v2(t) � 4 _v2(0)5Æ sin�54Æt� ; (2.5.47)W = pls _v2(0); (2.5.48)Æ(�) = 2R5 � qu(0) os(Æ0)M0 0 � + 5q2[2 + os(2Æ0)℄8M20 20R �2 +O(�4): (2.5.49)Hasta el momento, hemos en ontrado que en la e ua i�on de �4, perturbada on unafuerza peri�odi a y sin disipa i�on, tienen lugar determinadas resonan ias dependiendo dela fre uen ia de la fuerza externa. Estos fen�omenos se identi� an en el sistema porque laposi i�on o la velo idad del entro del kink tienen un omportamiento a�oti o y, adem�asla energ��a del sistema re e (ver �guras 2.6). Esto o urre uando Æ � i=2 y tambi�en uando Æ � i y � 6= 0.Con el objetivo de on�rmar la identi� a i�on de la resonan ia obtenida en las oor-denadas ole tivas on los fen�omenos observados en la EDP, hemos representado laenerg��a media del kink, obtenida en la simula i�on de (2.2.1), para � = 0 y � = 0;001, al ulada entre 10 000 � t � 25 000 tomando diferentes valores de Æ uando � = 0;01,Æ0 = �=2, X(0) = 0 y u(0) = 0 en la e ua i�on (2.2.1). En la �gura 2.10 vemos quela energ��a media (l��neas ontinuas), en fun i�on de la fre uen ia, para � = 0;001, re e uando Æ � R=2 � i=2, aunque mu ho menos que en el sistema no disipativo � = 0(l��neas dis ontinuas). M�as a�un, si aumentamos el oe� iente de disipa i�on en un ordende magnitud, � = 0;01, on nuestras simula iones no al anzamos a ver ning�un m�aximoen las energ��as por lo que es muy posible que las urvas ara ter��sti as de la �gura2.7 que dividen regiones estables e inestables sufran una trasla i�on ha ia la dere ha

2.5 Una nueva aproxima i�on: dos oordenadas ole tivas independientes 49

0.59 0.60 0.61 0.62 0.63δ

0.92

1.00

1.08

1.16

1.24

1.32

1.40

Em

Figura 2.10: Resonan ia en �4. En esta �gura hemos representado las energ��as medias Emdel sistema en fun i�on de la fre uen ia de la fuerza peri�odi a. Los valores de Em (puntos)han sido al ulados para 10 000 � t � 25 000, � = 0;01, � = 0 (l��nea dis ontinua) y� = 0;001 (l��nea ontinua).dependiendo del valor de �. Para el rango de fre uen ias que mostramos en la �gura2.10, se observa que lejos de Æ � R=2 � i=2, la energ��a media para � = 0;001 (l��nea ontinua) est�a m�as er a de la energ��a en reposo del kink, E0 �M0. Esto se debe a que ladisipa i�on aniquila la radia i�on que surge en el sistema debido a las perturba iones. Otradiferen ia que apre iamos entre el aso disipativo y no disipativo es que, si � = 0;001, laenerg��a del sistema Esv(t) no re e onstantemente (ver �gura 2.11) omo en el aso nodisipativo (ver �gura 2.6), sino que despu�es de un r�egimen transitorio, en el ual Esv(t) omienza a re er, �esta var��a entre iertos valores de energ��a a otados.El otro rango de fre uen ias de la fuerza externa que hemos investigado num�eri a-mente es uando Æ � R � i. En este aso, en la �gura 2.12 vemos que la energ��amedia del kink re e |ligeramente| independientemente del valor que tome � uandoaumentamos Æ desde 1;21 hasta 1;26. Lo que su ede para estos valores de fre uen iasÆ es que el modo de radia i�on de fre uen ia m�as baja !1 � p2 � 1;414 se ex ita, portanto, no debemos onfundir este re imiento de la energ��a on el fen�omeno de resonan- ia, que, de he ho no observamos uando � 6= 0 [ver �gura inferior 2.12℄. El he ho deque no observemos resonan ia alguna uando � 6= 0 y la fre uen ia de la fuerza exter-

50 Fuerzas peri�odi as sobre dos modelos de Klein-Gordon

0 5000 10000 15000 20000 25000t

0.90

0.95

1.00

1.05

Esv

(t)

Figura 2.11: Resonan ia en �4 on disipa i�on (� = 0;001). Representamos la energ��aEsv(t) del sistema uando Æ = 0;6103 est�a er a de R=2 � i=2. Los dem�as par�ametrosdel sistema son � = 0;01, u(0) = 0, Æ0 = �=2. .na, er ana a la del modo interno no es de extra~nar, porque en la e ua i�on (2.2.5) |solu i�on de (2.2.3) y de (2.5.16)|, despu�es de un tiempo transitorio t� 1=� podemosdespre iar el t�ermino rela ionado on la fun i�on exponen ial, lo que lleva a que en P 2(t)desaparez an los t�erminos vin ulados a la fre uen ia Æ, rela ionados on la resonan ia uando Æ � R � i.Cuando � = 0 la resonan ia en Æ � R � i s�olo apare e si � 6= 0. Por ello, el pi oque vemos er a de Æ = 1;225 en la �gura superior 2.12 (� = 0) podr��a interpretarse omo la resonan ia que o urre en Æ � R � i uando el valor num�eri o de � esaproximadamente igual a ero. Aunque tambi�en abr��a la posibilidad de que existieseuna resonan ia m�as d�ebil uando Æ � R � i y � = 0, orrespondiente a la fre uen ia2i que apare e a segundo orden en la teor��a de perturba i�on desarrollada por HarveySegur para �4 en [118℄. Esto expli ar��a porqu�e, en este aso, vemos en las simula ionesnum�eri as que la energ��a omienza a re er a partir de tiempos m�as largos, si se omparan on los de la �guras 2.6.

2.6 Posibles resonan ias en la e ua i�on de sG 51

1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26δ

0.98

1.03

1.08

1.13

1.18

1.23

1.28

Em

Figura 2.12: Energ��a media del kink de �4 en fun i�on de la fre uen ia Æ para los mismospar�ametros que la �gura 2.10. En este aso Æ var��a en un entorno de R � i.2.6. Posibles resonan ias en la e ua i�on de sGA pesar de las diferen ias entre sG y �4, las oordenadas ole tivas uni� an hastatal punto estos dos sistemas que, al des ribir la din�ami a del kink en t�erminos de susrespe tivos entros de masas y de sus an huras, los resultados obtenidos para ambosmodelos s�olo di�eren en un n�umero �nito de onstantes. >Por qu�e enton es separamos lasresonan ias de �4 de las \resonan ias" de sG? En la se i�on anterior hemos omprobadonum�eri amente que el GTWA es apaz de expli ar las resonan ias que apare en en �4 uando se ex ita el modo interno. Te�ori amente, estas resonan ias tambi�en son posiblesen sG, es de ir, el GTWA para el kink de sG perturbado on una fuerza peri�odi af(t) = � sin(Æt + Æ0) predi e un re imiento en la energ��a del sistema en dos asos: uno,si Æ � R=2 y el otro, si Æ � R, � = 0 y � 6= 0. Pero, si en �4 la rela i�on entre lafre uen ia de Ri e R = 1=(p�l0) � 1;2452 y la de su modo interno i � 1;2247 esevidente, en sG, omo la fre uen ia de Ri e R � 1;1026 est�a dentro del espe tro ontinuode fre uen ias de los fonones, estable er una rela i�on entre la an hura del kink, R y losmodos de radia i�on es uesti�on de opiniones. Hay quien re ono e en R la fre uen iade un \ uasimodo" (quasimode) que puede en ontrarse en el espe tro de los modos deradia i�on [15℄, otros son partidarios de que los modos internos en sG pueden surgir apartir de bifur a iones de los modos de radia i�on omo onse uen ia de la dis retiza i�on

52 Fuerzas peri�odi as sobre dos modelos de Klein-Gordon[65℄ y los dem�as todav��a dudamos entre a eptar una u otra teor��a.

0.45 0.48 0.50 0.53 0.55 0.58 0.60δ

8.00

8.05

8.10

8.15

8.20

8.25

8.30

Em

Figura 2.13: Posibles resonan ias en sG sin disipa i�on uando Æ es er ana a la mitadde la fre uen ia de Ri e. En este gr�a� o hemos representado la energ��a media del kinkEm en fun i�on de Æ. Estos valores (puntos) estan al ulados a partir de Esv(t) para10 000 � t � 25 000, � = 0;01, Æ0 = �=2, u(0) = 0, X(0) = 0.Por el momento, investigando num�eri amente la posible resonan ia que predi e elGTWA en Æ � R=2 � 0;55 para � = 0 en sG, hemos en ontrado que la energ��a mediadel kink tiene varios pi os: unos apare en er a de Æ � !k(k ! 0)=2 � 0;5 y otros entre0;5 y 0;55. En la �gura 2.13 adem�as de ver la distribu i�on de estos m�aximos, tambi�enapre iamos un ligero y onstante re imiento en la energ��a media a medida que Æ aumentadesde 0;45 hasta 0;6. Esto podr��a ser onse uen ia de la ex ita i�on de los modos de losfonones de fre uen ia m�as baja, al igual que su ede en �4 uando Æ � R � i (�gura2.12). Pero si esto es as�� >porqu�e vemos que se ex itan unos modos y otros no? Nosotrospensamos que la dis retiza i�on del sistema es la que \sele iona" estas fre uen ias.Veamos ahora �omo se distribuyen las fre uen ias de los modos de radia i�on en elsistema dis reto de sG. En la segunda olumna de la Tabla 2.1 se en uentran las fre- uen ias de los o ho primeros modos de radia i�on !n orrespondientes a la e ua i�on desG dis reta, on L = 100, �x = 0;05 y �t = 0;005 omo en la �gura 2.13. Estos valores

2.6 Posibles resonan ias en la e ua i�on de sG 53de !n han sido al ulados a partir de!n =s1 + �2�nL �2; n = 1; 2; 3; :::N ; (2.6.1)donde N = L=�x es el n�umero de puntos de la red. En la ter era olumna est�an las orrespondientes mitades de estos valores on el objetivo de ompararlas on las fre- uen ias num�eri as ~!n para las uales la energ��a de la �gura 2.13 tiene un pi o. Enla olumna donde apare en rela ionadas las fre uen ias ~!n no hemos in luido el valorde la fre uen ia !d = 0;4999 para el ual apare e el primer m�aximo (si empezamos a ontar de izquierda a dere ha) en la energ��a media del sistema. Es muy probable que!d = 0;4999 est�e rela ionado on los \nuevos modos" que na en de las fre uen ias m�asbajas del espe tro de radia i�on debido a la dis retiza i�on del sistema [62, 65℄. Esto sepodr��a omprobar realizando un an�alisis, similar al que se des ribe en [17, 65℄ para lase ua iones de S hr�odinger no lineal, DsG y sG. En estos trabajos se parte de una dis- retiza i�on espa ial, en los sistemas sin perturbar, diferente a la de Strauss-V�azquez, yal tomar el l��mite �x! 0 para pasar del modelo dis reto al ontinuo, se llega a un sis-tema perturbado, donde la perturba i�on depende de los par�ametros de la dis retiza i�on.Despu�es, para estas e ua iones \perturbadas" al ulan aproximadamente �omo var��anlas fre uen ias m�as bajas del espe tro de los fonones. Por ejemplo, en la e ua i�on de sGla fre uen ia m�as baja de los fonones es !0 = 1 y el an�alisis anterior revela que estafre uen ia en el sistema \perturbado" es menor que 1, !2 � 1 � �4a, donde a es una onstante y � depende de los par�ametros de la dis retiza i�on espa ial [62℄. Si para nuestrosistema dis reto de sG, sometido a la a i�on de f(t) = � sin(Æt + Æ0) obtuviesemos unresultado similar podr��amos expli ar porqu�e en la �gura 2.13 la fre uen ia orrespon-diente al primer pi o, !d = 0;4999, est�a tan er a de la mitad de la fre uen ia del modom�as bajo de los fonones, !1=2 � 0;5. Las dem�as fre uen ias obtenidas num�eri amente~!n laramente est�an rela ionadas on !n=2, pues, omo vemos en la �ultima olumna, ladiferen ia (en valor absoluto) entre ~!n y !n=2 es siempre menor que 2;2�10�3. La mitadde la fre uen ia de Ri e R=2 � 0;5513 estar��a entre el s�eptimo y el o tavo modo paraeste sistema dis reto de sG y si hallamos la diferen ia entre R=2 y !7 y !8 �esta es iguala 5� 10�3 y 8� 10�3 respe tivamente. Si es ogemos un sistema on L = 200, enton eslos modos de radia i�on estar�an m�as er a unos de otros, por lo que habr��a que ha er lassimula iones para valores de Æ m�as er anos que los que hemos tomado en la �gura 2.13;y aunque no hemos tomado todos los puntos ne esarios, s�� hemos observado que siguenapare iendo m�aximos en las mitades de las fre uen ias orrespondientes a estos modosde radia i�on, y que di hos m�aximos est�an m�as er a los unos de los otros.Sobre el trabajo de Boes h y Willis [15℄ a er a de la existen ia de un uasimodointerno en la banda de los fonones de sG, notemos que ellos utilizaron la f�ormula (2.6.1)para al ular la fre uen ia del modo m�as bajo en este sistema y en ontraron que !1 =p1 + (2�=1000)2 = 1;00002 no estaba er a de la fre uen ia del uasimodo interno!s = 1;004; que obtuvieron en sus simula iones num�eri as. Sin embargo, ellos partieronde ondi iones ini iales, donde la velo idad del kink u(0) era diferente de ero y en este

54 Fuerzas peri�odi as sobre dos modelos de Klein-Gordon aso la fre uen ia de los fonones es igual a (ver ap�endi e B)�!k = !k � k u(0)p1� u2(0) ; !k = p1 + k2:Cuadro 2.1: Compara i�on de las fre uen ias !n de los modos de radia i�on de sG dis retay las fre uen ias num�eri as e!n (� = 0) y �!n (� = 0;001).Modos(n) !n !n2 e!n ���!n2 � e!n��� �!n� = 0 � = 0;0011 1.0019 0.5009 0.5009 8.6 10�5 0.50102 1.0079 0.5039 0.5040 7 10�5 0.50403 1.0176 0.5088 0.5090 1.9 10�4 0.50904 1.0311 0.5155 0.5161 5.5 10�4 0.51625 1.0482 0.5241 0.5250 9.1 10�4 0.52506 1.0687 0.5343 0.5356 1.3 10�3 0.53567 1.0924 0.5462 0.5479 1.7 10�3 0.54808 1.1192 0.5596 0.5618 2.2 10�3 0.5618Por �ultimo hemos repetido las simula iones para los mismos valores de Æ omprendidosentre 0;45 y 0;6 tomando � = 0;001 (ver �gura 2.14). En esta �gura ontinuamos viendounos m�aximos, ahora situados en Æ = �!n (ver �ultima olumna de la tabla 2.1, dondese re ogen los valores de �!n donde la energ��a es m�axima, sin ontar el primer pi o queapare e uando !d = 0;5), es de ir, muy er a de las fre uen ias para las uales la energ��amedia tiene pi os uando � = 0. Sin embargo, los m�aximos que vemos en la �gura 2.14representan un re imiento en la energ��a de apenas un 0;09%, quiere de ir que estasresonan ias pare en ser m�as d�ebiles (n�otese que las es alas en las �guras 2.13 y 2.14 sondistitas) que las rela ionadas on las que apare en uando se ex ita el modo interno en�4. Esto eviden ia que el uasimodo interno orrespondiente a la fre uen ia de Ri e ensG no existe, veremos m�as indi a iones de este he ho en el ap��tulo siguiente.

2.6 Posibles resonan ias en la e ua i�on de sG 55

0.45 0.48 0.50 0.53 0.55 0.58 0.60δ

8.000

8.005

8.010

8.015

8.020

Em

Figura 2.14: En este gr�a� o se representa la energ��a media del kink Em para los mismosvalores de los par�ametros que en la �gura 2.13, ex epto el oe� iente de disipa i�on quese ha tomado igual a � = 0;001.

56 Fuerzas peri�odi as sobre dos modelos de Klein-Gordon

Cap��tulo 3A i�on de una fuerza onstantesobre las e ua iones de sG y �43.1. Introdu i�onEl entro del kink de sG o �4 se omporta omo una part�� ula libre, donde ladin�ami a de su entro puede representarse mediante la e ua i�on �X(t) = 0, y, adem�as,su energ��a umple on la rela i�on de Einstein E2 = P 2+M20 , por lo que el kink de estossistemas se identi� a on una part�� ula newtoniana [46℄ o relativista [10, 46℄. Esta rela- i�on tambi�en se estable e uando los kinks son sometidos a la a i�on de fuerzas externas,disipa i�on, et . As��, por ejemplo, en [46℄ analizan la e ua i�on de sG amortiguada bajouna fuerza onstante mediante un m�etodo perturbativo general y demuestran que el kinkmantiene su forma lo alizada, omport�andose omo una \part�� ula l�asi a extendida"[46℄, uyo entro de masa obede e la ley de Newton para una part�� ula bajo la a i�onde una fuerza onstante y fri i�on; es de ir, mientras que la disipa i�on frena el kink,la fuerza externa lo a elera de tal forma que la velo idad �nal de la onda solitaria espropor ional a la magnitud de la fuerza e inversamente propor ional al oe� iente dedisipa i�on. Estos resultados que en prin ipio se obtienen para sG, pueden ser extendidospara �4, aunque en este aso hay que tener en uenta que las perturba iones no s�olopueden alterar el modo de trasla i�on, sino tambi�en a oplarse a su modo interno [46℄. Porello y por otros motivos que dis utiremos a ontinua i�on, la din�ami a del kink resultaser m�as ompli ada que la de una part�� ula.Por ejemplo, en ausen ia de disipa i�on, si la fuerza externa no es su� ientemente\peque~na", la velo idad no puede aproximarse mediante una fun i�on lineal del tiempoy el entro del kink, (aunque se onsidera omo una part�� ula) ya no se omporta omouna part�� ula newtoniana1 [10, 42℄. Posteriormente, el an�alisis te�ori o que se realiza1En [10, 42℄ s�olo se analiza la e ua i�on de sG.

58 A i�on de una fuerza onstante sobre las e ua iones de sG y �4en [102℄ para �4 y sG, demuestra que las perturba iones sobre el kink no s�olo puedena tuar dire tamente sobre el modo de trasla i�on y variar la posi i�on de su entro, sinoque tambi�en pueden ex itar el modo interno (en el aso de �4) y provo ar os ila ionesen su an hura; por lo tanto, el kink bajo determinadas perturba iones, se asemeja m�asa un \objeto deformable" que a una part�� ula.Por otra parte, estas perturba iones pueden o asionar os ila iones lineales en lasalas del kink (fonones), in luso di has os ila iones pueden intera ionar on el modo detrasla i�on (ver [43, 78℄ y las referen ias itadas en di hos trabajos) y el modo interno(en el aso de �4).En resumen que, un ampo externo onstante puede ambiar la posi i�on del entrodel kink, variar su an hura y tambi�en su forma (debido a la radia i�on). Nosotros, en este ap��tulo vamos a estudiar la a i�on de una fuerza onstante sobre las e ua iones de �4y sG sobreamortiguadas, entr�andonos sobre todo en el efe to que provo an estos tiposde perturba iones sobre la an hura del kink, que en prin ipio var��a si hay transferen iade energ��a entre el modo de trasla i�on y el modo interno (en el aso de �4) [22, 79℄. Conrespe to a sG, tendremos la oportunidad de demostrar que, en este aso, la fre uen iade Ri e no est�a aso iada a la existen ia de un uasimodo interno [15℄ y que nuevamentelas os ila iones de la an hura del kink est�an rela ionadas on las fre uen ias m�as bajasde su espe tro ontinuo (fonones).Este problema ha sido analizado anteriormente en [79℄, s�olo en t�erminos de las oor-denadas ole tivas |el entro del kink X(t) y su an hura l(t)|, obteni�endose solu ionesparti ulares para la an hura del kink de estos sistemas en el aso no disipativo. En estetrabajo se lleg�o a la on lusi�on de que la an hura del kink os ilaba debido a la energ��a quela fuerza externa inye taba en el sistema. Adem�as, hallaron que al aumentar el ampo,las fre uen ias de di has os ila iones re ��an, mientras que su amplitud disminu��a. Reto-mando este �ultimo resultado y di ho de otra forma: si disminuimos el ampo, la amplitudde las os ila iones re e. Ello nos indi a que la amplitud de las os ila iones es m�axima uando el ampo es ero y, por tanto, la magnitud de la fuerza externa ( onstante) noes la responsable de que la an hura del kink os ile.As��, el objetivo de este ap��tulo es, en primer lugar, investigar desde el punto de vistade las oordenadas ole tivas bajo qu�e ondi iones apare en las os ila iones en la an huradel kink de sG y �4 y, en segundo lugar, determinar si estas varia iones de l(t) tambi�ense en uentran en las EDPs (�4 y sG) y si en el aso de �4 �estas est�an rela ionadas onsu modo interno, y en sG, on los modos de fre uen ia m�as baja de los fonones.

3.2 Del GTWA a las varia iones del momento y de la energ��a y vi eversa 593.2. Del GTWA a las varia iones del momento y dela energ��a y vi eversaEn el estudio te�ori o de la a i�on de las fuerzas peri�odi as sobre los modelos deKlein-Gordon on disipa i�on hemos visto que el GTWA va m�as all�a del m�etodo deM Laughlin y S ott y es apaz de expli ar los fen�omenos que o urren en estos sistemasperturbados, al menos los que est�an rela ionados on la varia i�on de la an hura delkink. A ontinua i�on, lo primero que haremos ser�a demostrar que las e ua iones paralas oordenadas ole tivas X(t) y l(t), obtenidas en la se i�on 2.5 a partir del GTWA yel Ansatz de Ri e son onse uen ia de las varia iones del momento y la energ��a. He hoesto, estudiaremos �omo in uye una fuerza onstante sobre la an hura del kink.Supongamos que queremos analizar el sistema de Klein-Gordon, representado por lase ua iones (2.5.1) y (2.5.2) y de idimos apli ar el GTWA para obtener las e ua iones deevolu i�on de X(t) y l(t). Antes de llegar al resultado �nal (2.5.11)-(2.5.15), entremosnuestra anten i�on en las e ua iones intermedias (2.5.5) y (2.5.8) y tratemos de en on-trar qu�e es lo que se es onde detr�as de estas integrales. Reagrupando los tres primerost�erminos de (2.5.5) y despu�es llevar a abo algunas transforma iones tenemos que estae ua i�on puede rees ribirse omodPdt = � Z +1�1 dx�H�X + Z +1�1 dxF (x; t; �; �t; :::) ���X ;P (t) = � Z +1�1 dx�x�t: (3.2.1)Por otra parte, si en lugar de (2.5.8) es ribimos la ombina i�on lineal que se obtiene almultipli ar la e ua i�on (2.5.5), rees rita previamente omoZ +1�1 dx ���X � � _X �X + Z +1�1 dx [�; ℄ _l + Z +1�1 dx ���X � � _l �l ��F stat(X)� Z +1�1 dxF (x; t; �; �t; :::) ���X = 0;por _X y sumar a la expresi�on obtenida la e ua i�on (2.5.8) multipli ada por _l, on luimosque (2.5.8) equivale a dHdt = Z +1�1 dxF (x; t; �; �t; :::)d�dt ;H(t) = Z +1�1 dx��2x2 + �2t2 + U(�)� : (3.2.2)Esto signi� a que uando apli amos el GTWA en estos sistemas lo que ha emos demanera un tanto en ubierta es variar el momentodPdt = � ddt Z +1�1 dx�x�t = � Z +1�1 dx [�xt�t + �x�tt℄ ; (3.2.3)

60 A i�on de una fuerza onstante sobre las e ua iones de sG y �4y la energ��a dHdt = ddt Z +1�1 dx�12�2x + 12�2t + U(�)� = (3.2.4)= Z +1�1 dx f�x�xx + �t�tt + U 0(�)�tg ;donde �(x; t) = �[x�X(t); l(t)℄; �t � (x; t) = [x�X(t); l(t); _X(t); _l(t)℄: (3.2.5)Tambi�en podemos partir de (3.2.3), (3.2.4) y (3.2.5) y llegar a las e ua iones (2.5.5) y(2.5.8). S�olo hay que notar que, existen al menos dos formas diferentes de transformarestas integrales: en una de ellas se sustituye (3.2.5) en (3.2.3) y (3.2.4), on lo ualdPdt = Z +1�1 dx � ���X � � _X �X + [�; ℄ _l + ���X � � _l �l� ; (3.2.6)dHdt = _X Z +1�1 dx ��H�X + ���X � � _X �X + [�; ℄ _l + ���X � � _l �l�++ _l Z +1�1 dx �[ ; �℄ _X + ���l � � _X �X + ���l � � _l �l� ; (3.2.7)y, en la otra primero se sustituye el sistema (2.5.1)-(2.5.2) en (3.2.3) y (3.2.4) y despu�esse supone que �(x; t) y (x; t) veri� an (3.2.5). De esta forma obtenemos que:dPdt = � Z +1�1 dx �H�X + Z +1�1 dxF (x; t; �; �t; :::) ���X ; (3.2.8)dHdt = _X Z +1�1 dx F (x; t; �; �t; :::) ���X + _l Z +1�1 dx F (x; t; �; �t; :::)���l : (3.2.9)Igualando las rela iones (3.2.6) y (3.2.8) y (3.2.7) y (3.2.9) podemos omprobar que(3.2.3) y (3.2.4) se onvierten en (2.5.5) y (2.5.8) respe tivamente. Aparte del signi� adof��si o que aporta la rela i�on que a abamos de estable er entre el GTWA y las varia ionesdel momento y de la energ��a en los sistemas de Klein-Gordon, hay que desta ar que estasegunda forma permite obtener de una manera m�as dire ta las e ua iones que umplenX(t) y l(t).Adem�as, si tenemos que la solu i�on de (2.5.1)-(2.5.2) on F (x; t; �; �t; :::) = ���t +f(x; t) es un kink entrado en X(t), uya an hura l(t) var��a on el tiempo, (2.5.10), lase ua iones (3.2.3) y (3.2.4) se transforman endPdt = ��P � Z +1�1 dxf(x; t)�x; P (t) = M0l0 _X(t)l(t) ; (3.2.10)

3.3 E ua iones de las oordenadas ole tivas 61y P (t)l(t)M0l0 �dPdt + �P (t) + Z +1�1 dxf(x; t)�x�+ (3.2.11)+_l " P (t)22M0l0 + 12�M0l0 2�ll � _l2l2!+ 12M0 � 1l0 � l0l2�++��l0l _l + Z +1�1 d�f(l� +X(t); t) ���� = 0;respe tivamente. El primer or hete de la parte dere ha de (3.2.11) se anula omo on-se uen ia de (3.2.10), por lo tanto, la solu i�on de (3.2.11) es _l = 0 o�[ _l2 � 2l�l � 2�l _l℄ = l2l20 �1 + P 2M20 �� 1 + (3.2.12)+ 2l(t)2M0l0 Z +1�1 d�f [�l +X(t); t℄ ���:De este modo, (3.2.10) y (3.2.12) representan las e ua iones que umplen las oordenadas ole tivas X(t) [P (t)℄ y l(t), obtenidas a partir de dP=dt y dH=dt. Si f(x; t) = � sin(Æt+Æ0) podemos omprobar que estas e ua iones oin iden on (2.5.16) y (2.5.17), obtenidasmediante el GTWA en el ap��tulo anterior.Una vez demostrada la equivalen ia entre el GTWA y las varia iones de P (t) y H(t),analizaremos �omo a tuan las fuerzas onstantes en los sistemas de �4 y sG. El inter�esque tiene este problema est�a en determinar si fuerzas externas de esta naturaleza son apa es de provo ar os ila iones en la an hura del kink. Para ello, en la siguiente se i�onestudiaremos las solu iones anal��ti as de (3.2.10) y (3.2.12) uando f(x; t) = �� y � = 0y las solu iones num�eri as de (3.2.12) uando in luimos disipa i�on en el sistema (� 6= 0).3.3. E ua iones de las oordenadas ole tivasSi f(x; t) = �� en (3.2.10) y (3.2.12) las e ua iones diferen iales ordinarias queveri� an X(t) [P (t)℄ y l(t) son dPdt = ��P + q�; (3.3.1)y � h _l2 � 2l�l � 2�l _li = l2l20 �1 + P 2M20 �� 1: (3.3.2)Integrando (3.3.1) obtenemos que el momento,P (t) = P (0) + q�t; P (0) = M0u(0)l0ls ; ls = l0 0 ; (3.3.3)

62 A i�on de una fuerza onstante sobre las e ua iones de sG y �4es lineal en t si � = 0; mientras que si � 6= 0,P (t) = P (0)exp (��t)� q�� [exp(��t)� 1℄ ; (3.3.4)es una fun i�on que de re e exponen ialmente hasta el valor q�=�. De las rela iones (3.3.3)y (3.3.4) tenemos que el kink se a elera debido a a a i�on de la fuerza onstante y frena uando hay disipa i�on en el sistema.Con el objetivo de en ontrar l(t), ha emos el ambio de variable l(t) = g(t)2 [79℄ en(3.3.2), que se transforma en�g + � _g + �R2 �2 "�P (0) + q�tM0 �2 + 1# g = 14�g3 : (3.3.5)Aqu�� nos vemos obligados a separar el aso � 6= 0, para el ual no se ono e todav��ala solu i�on de (3.3.5), del aso no disipativo � = 0, que nos ondu e a estudiar la yafamiliar e ua i�on de Ermakov�g + �2 + ��2 �t + P (0)q� �2! g = 14�g3 ; (3.3.6)g(0) = pls; _g(0) = _l(0)2pls ;donde � = R=2, �� = q��=M0. La solu i�on de esta e ua i�on no lineal, que apare etambi�en en la se i�on 2.5, esta dada porg(t) = rv21(t) + 14�W 2v22(t); (3.3.7)donde el Wronskiano W = v1(t) _v2(t) � _v1(t)v2(t) = onst 6= 0 y las fun iones vm(t)veri� an �vm + �2 + ��2 �t+ P (0)q� �2! vm = 0; m = 1; 2v1(0) = pls; _v1(0) = _l(0)2pls ;v2(0) = 0; _v2(0) = onst 6= 0: (3.3.8)Notemos que est�a �ultima e ua i�on es la e ua i�on de Whittaker [133℄,Y 00m(�) + ���2 + �22� + 316� 2�Ym(�) = 0; (3.3.9)en las nuevas variables � e Ym [79℄� = 12 �t� P (0)q� �2 ; Ym(�) = � 1=4vm(�):

3.3 E ua iones de las oordenadas ole tivas 63Las solu iones independientes de (3.3.9) son las fun iones de Whittaker [7℄ Ym(�) =Mr;�1=4(2i���), on r = �i�2=(4 ��). Por tanto, la solu i�on de (3.3.8) puede es ribirse omo una superposi i�on lineal de estas dos fun iones,vm(t) = 1� 1=4 �AmMr;1=4(2i���) +BmMr;�1=4(2i���)� ; � = 12 �t + P (0)q� �2 ; (3.3.10)donde las onstantes Am y Bm,A1 = i� 1=40�� "plsM 0r;�1=4(2i���0)� pls4p�0 � q�P (0) _l(0)2pls!Mr;�1=4(2i���0)#;B1 = i� 1=40�� "�plsM 0r;1=4(2i���0) + pls4p�0 � q�P (0) _l(0)2pls!Mr;1=4(2i���0)#;A2 = i� 1=40�� � q�P (0) _v2(0)Mr;�1=4(2i���0)�;B2 = i� 1=40�� �� q�P (0) _v2(0)Mr;1=4(2i���0)�;�0 = 12 �P (0)q� �2;(3.3.11)

se han determinado a partir de las ondi iones ini iales de (3.3.8). Teniendo en uentalas rela iones (3.3.10) y (3.3.11) ya estamos en ondi iones de es ribir la solu i�on parala an hura del kink,l(t) = v21(t) + 14�W 2v22(t); W = pls _v2(0): (3.3.12)Aunque nos parez a que (3.3.10) y (3.3.11) divergen en �0 uando la velo idad ini ial es ero, este no es el aso ni mu ho menos. Es m�as, si u(0) = 0 [P (0) = 0 y �0 = 0℄ estasrela iones se simpli� an y pueden expresarse omovm(t) = 1t1=2 �AmMr;1=4(i��t2) +BmMr;�1=4(i��t2)� ; (3.3.13)A1 = _l(0)2pls(i��)3=4 ; B1 = pls(i��)1=4 ;A2 = _v2(0)(i��)3=4 ; B2 = 0:A partir de (3.3.3), (3.3.10)-(3.3.13) y re ordando que u(t) = P (t)l(t)=M0l0, obtenemosla expresi�on anal��ti a que predi en las oordenadas ole tivas para la velo idad del entrodel kink. La posi i�on del entro del kink s�olo podemos al ularla num�eri amente, por ello

64 A i�on de una fuerza onstante sobre las e ua iones de sG y �4a la hora de omparar los resultados te�ori os y los num�eri os (de la e ua i�on en derivadaspar iales) nos vamos a �jar en la an hura del kink y en la velo idad2. Comen emosenton es analizando las e ua iones (3.3.10)-(3.3.13) que representan la evolu i�on de laan hura del kink de �4 o sG bajo la a i�on de una fuerza onstante. Esta fun i�on, l(t),depende de la velo idad ini ial del kink u(0), de la amplitud de la fuerza onstante �y adem�as de las ondi iones ini iales l(0) y _l(0). Si la fuerza peri�odi a pod��a ex itar elmodo interno de �4 y los modos de radia i�on de sG para determinados valores de sufre uen ia y de los par�ametros del sistema, >ser�a apaz una fuerza onstante de ausartales fen�omenos en estos sistemas, dependiendo de los par�ametros que es ojamos?Para ontestar a esta pregunta, re urriremos una vez m�as a la ompara i�on entrelos resultados de las oordenadas ole tivas y los obtenidos mediante las simula ionesnum�eri as de las EDPs. Con este objetivo, estudiaremos primero en detalle la predi i�onanal��ti a para l(t), uando � = 0, y las solu iones obtenidas a partir de las simula io-nes num�eri as de la e ua i�on (3.3.2) que des riben la evolu i�on de l(t) uando � 6= 0.En los gr�a� os que presentamos a ontinua i�on tomamos u(0) = 0. Adem�as, en todaslas �guras apare en dos gr�a� os, uno arriba (�4) y otro debajo (sG) para los mismospar�ametros de los sistemas, donde se representan on l��neas ontinuas los resultados delas oordenadas ole tivas, es de ir, la fun i�on l(t) |e ua iones (3.3.10)-(3.3.13) para� = 0 y las solu iones de l(t) obtenidas mediante la integra i�on num�eri a de la e ua i�on(3.3.2) uando � = 0;001|. En estas mismas �guras tambi�en se representa |l��neas depuntos| la an hura del kink, obtenida a partir de las simula iones num�eri as de las orrespondientes e ua iones perturbadas de sG y �4; pero los resultados de las EDPs sedis utir�an en las siguientes se iones. Centr�emonos omo hemos di ho, para omenzar,en las predi iones te�ori as (l��neas ontinuas): si representamos la evolu i�on de l(t) apartir de las e ua iones (3.3.10)-(3.3.13) |ver las �guras 3.1, 3.2, 3.3|, observamosque si l(0) = ls y _l(0) = 0, omo en la �gura 3.1, la an hura del kink no os ila, sinoque de re e, por lo tanto, la energ��a que obtiene el sistema a partir de la fuerza externas�olo se utiliza en a elerar el kink y por eso su an hura de re e. Al variar las ondi ionesini iales del sistema (�guras 3.2 y 3.3), l(t) os ila on una determinada fre uen ia y al omparar l(t) en sG y �4, vemos que las oordenadas ole tivas predi en que �4 es m�assus eptible a la a i�on del ampo externo que sG, puesto que en este �ultimo sistemala amplitud de las os ila iones apenas disminuye. De estos resultados tenemos que, de-pendiendo de las ondi iones ini iales que impongamos en los sistemas de sG y �4, laan hura del kink os ilar�a (s�olo os ila si l(0) 6= ls o si _l(0) 6= 0) o no, y adem�as, estasos ila iones perdurar�an durante un periodo de tiempo m�as largo, mientras menor sea elvalor de �. Si omparamos las �guras 3.2 y 3.4 observamos que uando � aumenta, lasos ila iones se amortiguan.Con el objetivo de apre iar el efe to de la disipa i�on sobre el sistema hemos integradola e ua i�on ordinaria de segundo orden (3.3.2) utilizando un m�etodo de Runge-Kuttade uarto orden [95℄ on �t = 0;01; 0;001; aunque para representar las �guras hemos2Sobre todo en la an hura del kink puesto que uno de nuestros objetivos ser�a omprobar si la an hurakink os ila o no bajo la a i�on de una fuerza onstante.

3.3 E ua iones de las oordenadas ole tivas 65

0 20 40 60 80 100t

1.25

1.30

1.35

1.40

1.45

l(t)

0 20 40 60 80 100t

0.985

0.990

0.995

1.000

1.005

l(t)

Figura 3.1: Evolu i�on de la an hura del kink de �4 (arriba) y de sG (debajo) perturbado on una fuerza onstante f(x; t) = �0;002, l(0) = ls, _l(0) = 0, u(0) = 0. Con l��neas ontinuas se representa la fun i�on l(t) |(3.3.10)-(3.3.13)| y on l��neas de puntos lalnum(t) obtenida a partir de las simula iones num�eri as de las EDPs (�4 y sG).

66 A i�on de una fuerza onstante sobre las e ua iones de sG y �4

0 20 40 60 80 100t

1.30

1.35

1.40

1.45

1.50

l(t)

0 20 40 60 80 100t

0.90

0.95

1.00

1.05

1.10

l(t)

Figura 3.2: Os ila i�on de la an hura del kink de �4 (arriba) y sG (debajo) perturbado on una fuerza onstante f(x; t) = �0;001, l(0) = ls, _l(0) = 0;1 y u(0) = 0. En ambosgr�a� os se representan l(t) |l��neas ontinuas| y lnum(t) |l��neas de puntos|.

3.3 E ua iones de las oordenadas ole tivas 67

0 20 40 60 80 100t

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

l(t)

0 20 40 60 80 100t

0.85

0.92

1.00

1.07

1.15

l(t)

Figura 3.3: Os ila i�on de la an hura del kink de �4 (arriba) y de sG (debajo) perturbado on una fuerza onstante f(x; t) = �0;001, l(0) = ls + 0;1, _l(0) = 0 y u(0) = 0.

68 A i�on de una fuerza onstante sobre las e ua iones de sG y �4es ogido �t = 0;001. En la �gura 3.5 vemos que la disipa i�on amortigua la amplitud delas os ila iones de l(t), aunque de forma diferente a omo su ede al aumentar � (en esta�gura hemos es ogido los mismos valores de �, u(0), l(0) y _l(0) que en la �gura 3.4).Adem�as, al aumentar el valor de �, observamos que las os ila iones se amortiguan m�asr�apidamente.Despu�es de analizar estas �guras es l�ogi o preguntarse si la fre uen ia de las os ila- iones que vemos uando l(0) 6= ls y _l(0) 6= 0 est�a rela ionada on la fre uen ia de Ri eR igual a 1;2452 y 1;1026 para �4 y sG, respe tivamente. La transformada de Fourierdis reta (TFD) de las fun iones l(t) representadas en 3.2 y 3.3 nos muestra que las fre- uen ias ! que se mani�estan en estas �guras son iguales a 1;2568 (�4) y 1;1312 (sG).Estas mismas fre uen ias tambi�en se observan en el aso disipativo (�gura 3.5) pero onuna menor amplitud. Sin embargo, si aumentamos � (ver �gura 3.4), en la TFD de l(t)vemos que la amplitud de la fre uen ia se dispersa, por lo tanto, si queremos observarlas os ila iones de l(t) a una determinada fre uen ia debemos tomar valores de � pe-que~nos. De los resultados de las oordenadas ole tivas tenemos que, l(t) os ila on unafre uen ia muy pare ida [aunque mayor3 que R℄; por tanto, es de esperar que di hasos ila iones en el aso de �4 aparez an rela ionadas on la fre uen ia de su modo internoi = 1;2247. En la e ua i�on de sG, otra vez tendremos que esperar a las simula ionesnum�eri as de la EDP para poder interpretar los resultados anal��ti os obtenidos mediantelas varia iones del momento y de la energ��a del sistema. En este aso tendremos otraoportunidad de veri� ar la no existen ia del uasimodo interno en la e ua i�on de sG.Tambi�en hemos investigado que efe to produ e en l(t), la varia i�on de la velo idadini ial del kink, u(0). En este aso, si l(0) 6= ls o _l(0) 6= 0, vemos que l(t) os ila m�asr�apido si se aumenta u(0), lo ual es de esperar puesto que R = 0=(p�l0).En todas las �guras que hemos representado en esta se i�on, ex epto en la �gura 3.1,hemos tomado _l(0) = 0;1 �o l(0) = ls+0;1, on el objetivo de apre iar mejor omo ambiala evolu i�on de l(t) al variar la amplitud � de la fuerza externa o al in luir la disipa i�onen el sistema. Sin embargo, hemos omprobado que variando _l(0) entre 0;05 y 4 y l(0)entre ls+0;05 y ls+4, l(t) sigue siendo una fun i�on peri�odi a, uyas os ila iones al anzanuna mayor amplitud uando se in rementan los valores de l(0) y _l(0) [aunque el m��nimode l(t) tiende a ero al aumentar la magnitud de l(0) y _l(0)℄ >Su eder�a lo mismo en lossistemas originales de �4 y sG? Esta es una de las preguntas que responderemos en lassiguientes se iones.3.4. Simula iones. Condi iones ini ialesPara integrar num�eri amente las e ua iones de �4 y sG amortiguadas bajo laa i�on de una fuerza peri�odi a hemos utilizado el esquema de Strauss-V�azquez [125℄men ionado en la se i�on 2.3. Como ya dijimos, este m�etodo n�umeri o nos propor ionaba3Re ordemos que en [79℄, en ontraron que la fre uen ia aumentaba uando � re ��a.

3.4 Simula iones. Condi iones ini iales 69

0 20 40 60 80 100t

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

l(t)

0 20 40 60 80 100t

0.45

0.60

0.75

0.90

1.05

l(t)

Figura 3.4: Evolu i�on de la an hura del kink de �4 (arriba) y de sG (debajo) perturbado on una fuerza onstante f(x; t) = �0;02, l(0) = ls, _l(0) = 0;1, u(0) = 0.

70 A i�on de una fuerza onstante sobre las e ua iones de sG y �4

0 20 40 60 80 100t

1.30

1.35

1.40

1.45

1.50

l(t)

0 20 40 60 80 100t

0.90

0.95

1.00

1.05

1.10

l(t)

Figura 3.5: Evolu i�on de la an hura del kink de �4 (arriba) y sG (debajo) perturbado onuna fuerza onstante f(x; t) = �0;02 y on disipa i�on � = 0;1. Los dem�as par�ametrosque hemos tomado han sido l(0) = ls, _l(0) = 0;1 y u(0) = 0.

3.4 Simula iones. Condi iones ini iales 71tambi�en una forma de al ular la posi i�on y la velo idad del entro del kink a trav�es de laenerg��a y del momento. Sin embargo, uando en estos sistemas apare e radia i�on debidoa las perturba iones, hemos omprobado que al menos el entro del kink, al uladon�umeri amente mediante (2.3.6), se desv��a del verdadero entro del kink que podemosde�nir omo el punto para el ual el per�l de la onda �n(t) = 0 para �4 [�n(t) = � parasG℄. Con este objetivo, en ontramos los puntos de la red dis reta x(n) y x(n + 1) talesque �n � 0 y �n+1 � 0 para �4 [�n � � y �n+1 � � para sG℄ o vi eversa. A ontinua i�on,ha emos una interpola i�on lineal on estos puntos y obtenemos el valor del entro demasa num�eri o Xnum(t).Una vez que hemos en ontrado el entro del kink, Xnum(t), podemos al ular suan hura, lnum(t), hallando el valor de l(t) que minimi e la expresi�on4NXn=1 j�n(t)� �nteo(t)j2 ; on lmin � l(t) � lmax; (3.4.1)donde �nteo(t) = tanh �x(n)�Xnum(t)l(t) � ;para �4, y �nteo(t) = 4 ar tan �exp�x(n)�Xnum(t)l(t) �� ;para la e ua i�on de sG. En las f�ormulas anteriores �n denota la solu i�on n�umeri a delproblema, �nteo(t) es la versi�on dis reta de la solu i�on anal��ti a propuesta y lmin y lmaxson los valores entre los uales variamos l(t) on una pre isi�on de 0;001. Si tenemos en uenta el m�etodo anal��ti o que hemos utilizado para al ular la evolu i�on de l(t) en lase ua iones de �4 y sG, la f�ormula (3.4.1) para hallar num�eri amente la an hura del kinken estos sistemas pare e ser la m�as apropiada. Realmente esta rela i�on entre m�etodosperturbativos y num�eri os es muy importante, pues no siempre las diferentes formas quese proponen para en ontrar num�eri amente el valor de las oordenadas ole tivas en lasEDPs dan el mismo resultado [89℄. Tambi�en vamos a utilizar el entro de masa del kink,Xnum(t), para al ular su velo idad,unum(t) = Xnum(t+�t)�Xnum(t)�t : (3.4.2)Otra uesti�on que debemos a larar es la que se re�ere a las ondi iones ini iales delas EDPs. En vista de los resultados obtenidos en la se i�on anterior, hemos de ididopartir de un kink entrado en X(0), on una an hura l(0) y on velo idad ini ial u(0),4En esta se i�on utilizamos la misma nota i�on, n, N , �n(t), que en la se i�on 2.3 en las de�ni ionesde los algoritmos num�eri os que vamos a emplear en este ap��tulo para al ular la velo idad y la an huradel kink.

72 A i�on de una fuerza onstante sobre las e ua iones de sG y �4as��, �n(0) = tanh �x(n)�X(0)l(0) � ;�nt (0) = 1 osh2 �x(n)�X(0)l(0) � ��u(0)l(0) � x(n)�X(0)l2(0) _l(0)� ; (3.4.3)para �4, y �n(0) = 4 ar tan�exp �x(n)�X(0)l(0) �� ;�nt (0) = 2 osh �x(n)�X(0)l(0) � ��u(0)l(0) � x(n)�X(0)l2(0) _l(0)� ; (3.4.4)para sG, respe tivamente, pudiendo ser, en general, l(0) 6= ls y _l(0) 6= 0.Los par�ametros de la dis retiza i�on en ambos sistemas han sido �x = 0;1; 0;05,�t = 0;01; 0;005 y 2L = 100; 200. Adem�as, hemos variado � entre 0;001 y 0;02. Paraestos valores de �, hemos omprobado que l(0) y _l(0) no deben variar mu ho on respe toa ls y 0, pues, por ejemplo, para l(0) = ls + 1 o _l(0) = 1 se observa mu ha radia i�onen el sistema, in luso apare en breathers que se mueven en una determinada dire i�on opares de kink-antikink. El tiempo �nal de la integra i�on se puede ver en las respe tivas�guras.3.5. Dis usi�on de los resultadosComen emos por dis utir los resultados obtenidos a partir de las simula iones nu-m�eri as de las EDPs orrespondientes a los sistemas �4 y sG on una fuerza onstantey sin disipa i�on.En primer lugar, si l(0) = ls y _l(0) = 0, on�rmamos que, en ambos sistemas, laan hura del kink lnum(t) no os ila (ver en la �gura 3.1 las l��neas de puntos) tal y o-mo se predi e en la se i�on 3.3. Adem�as, la an hura del kink de re e porque la fuerza( onstante) aumenta la velo idad del entro del kink (�gura 3.6).En la �gura 3.1, las l��neas de puntos que observamos sobre las l��neas ontinuas repre-sentan la an hura del kink al ulada num�eri amente minimizando la expresi�on (3.4.1).Las os ila iones que vemos en la �gura 3.1 (arriba) se deben a la dis retiza i�on delsistema �4 y al disminuir �x y �t la amplitud de di has os ila iones disminuye. Lal��nea de puntos en la �gura 3.1 (debajo) es algo irregular debido a que hemos al uladolnum(t) on una pre isi�on de 10�3 y, adem�as, a que su an hura var��a muy po o, lo uales onse uen ia de que el kink de sG se mueve m�as despa io que el de �4 (�gura 3.6).

3.5 Dis usi�on de los resultados 73

0 20 40 60 80 100t

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

u num(t

)

0 20 40 60 80 100t

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

u num(t

)

Figura 3.6: Evolu i�on de la velo idad del entro del kink de �4 (arriba) y sG (debajo)perturbado on una fuerza onstante. Los par�ametros de los sistemas �4 y sG son losmismos que los de la �gura 3.1. En estos gr�a� os la velo idad num�eri a unum(t) (l��neasde puntos) se superpone a la velo idad anal��ti a u(t) (l��neas ontinuas).

74 A i�on de una fuerza onstante sobre las e ua iones de sG y �4En la �gura 3.6, vemos que para el tiempo �nal de integra i�on la velo idad del entrodel kink de �4 es asi igual a 0;4, mientras que la de sG es algo mayor que 0;15. Adem�as,en di ha �gura se superponen la velo idad te�ori a, u(t), y el valor n�umeri o, unum(t). Si ontinuamos omparando los resultados de las simula iones num�eri as de las EDPs onlos de las oordenadas ole tivas, observamos que si partimos de un kink deformado,es de ir l(0) 6= ls y _l(0) 6= 0, |�guras 3.2 y 3.3| la an hura del kink de sG y �4,lnum(t), os ila (ver en estas �guras las l��neas de puntos), sin embargo, la amplitud delnum(t) en �4 (l��neas de puntos en las �guras 3.2 y 3.3 superiores) es ligeramente menorque la an hura del kink que predi en las oordenadas ole tivas. En sG, las os ila ionesde lnum(t) |l��neas de puntos en las �guras 3.2 y 3.3 inferiores| se amortiguan uandoseg�un los resultados de las oordenadas ole tivas la amplitud de la an hura del kink asino var��a |l��neas ontinuas en las �guras 3.2 y 3.3 inferiores|. Adem�as, la fre uen iade las os ila iones de lnum(t) en �4, ! = 1;2177, es pare ida aunque un po o menor quei = 1;2247, pero en sG, lnum(t) os ila on una fre uen ia ! = 1;0073, que est�a m�as er a de la fre uen ia del primer modo de radia i�on !1 =p1 + (2�=100)2 = 1;0019 quea la de Ri e R = 1;1026. En la �gura 3.4 observamos que al aumentar la magnitud del ampo, las os ila iones de lnum(t) |l��neas de puntos| obtenida a partir de las simula- iones de las EDPs se amortiguan m�as r�apido que las de la fun i�on l(t). Esto se debe aque al aumentar �, en los sistemas de �4 y sG apare e radia i�on, por lo tanto, parte de laenerg��a que introdu e en el sistema la fuerza externa va a parar a los modos de radia i�on.Si, por ejemplo, en estos sistemas introdu imos disipa i�on, � = 0;1 (ver �gura 3.5), laradia i�on asi desapare e y en �4 (l��nea de puntos en la �gura 3.5 superior) vemos quelnum(t) os ila on una fre uen ia ! = 1;2177 al mismo tiempo que se amortigua debidoa la disipa i�on del sistema. En el aso de sG (l��nea de puntos en la �gura 3.5 inferior)las os ila iones de lnum(t) son m�as peque~nas que las que predi en las oordenadas ole -tivas y nuevamente al al ular la TFD de lnum(t) vemos que su fre uen ia ! = 1;0073est�a rela ionada on !1 = 1;0019 y no on R = 1;1026.Es interesante observar que, si la �uni a \perturba i�on"que imponemos a las e ua ionesde �4 y sG es tomar para t = 0 un kink \deformado", ya sea es ogiendo en (3.4.3) oen (3.4.4) l(0) 6= ls �o _l(0) 6= 0, de los resultados de las oordenadas ole tivas tenemosque l(t) os ila on una fre uen ia ! = R = 1;2452 en el aso de �4 y ! = R = 1;1026en sG (ver l��neas ontinuas en la �gura 3.7). Estas os ila iones son muy pare idas alas que obtenemos [lnum(t)℄ es las simula iones de �4, s�olo que, omo era de esperar lafre uen ia de lnum(t) de la EDP, ! = 1;2272, es m�as pare ida a la del modo internode �4. Para tiempos m�as largos, por ejemplo, tfinal = 2500, tampo o hemos observadoque la amplitud de lnum(t) de rez a (ver �gura 3.8 arriba), y adem�as lnum(t) ontinuaos ilando on la misma fre uen ia. Si � = 0, l(0) 6= ls y _l(0) = 0;3, anal��ti amente tambi�ense predi e que la an hura del kink de sG os ila on una fre uen ia R = 1;1026 sin quesu amplitud de rez a; sin embargo, en la �gura 3.7 (debajo) vemos que lnum(t) os ilano s�olo on una fre uen ia diferente, ! = 1;0058, sino tambi�en que estas os ila iones seamortiguan. Notemos, adem�as, que ! est�a m�as er a de la fre uen ia orrespondienteal primer modo de los fonones !1 = p1 + (2�=100)2 = 1;0019 que a la de Ri e R =1;1026 y que al observar tiempos m�as largos en este sistema (�gura 3.8 inferior), en

3.5 Dis usi�on de los resultados 75el espe tro de lnum(t) apare en las siguientes fre uen ias: !d = 0;9983, �!1 = 1;0034,�!2 = 1;0083, �!3 = 1;0184, �!4 = 1;0335, �!5 = 1;0511, �!6 = 1;0712, �!7 = 1;0963, et , queest�an rela ionadas on las fre uen ias de los primeros modos de radia i�on5 !1 = 1;0019,!2 = 1;0079, !3 = 1;0176, !4 = 1;0311, !5 = 1;0482, !6 = 1;0687, !7 = 1;0924; ex epto!d = 0;9983 que puede estar rela ionada on el nuevo modo interno que se bifur a apartir del modo de radia i�on de fre uen ia m�as baja en el sistema dis reto [65℄.Si � = 0 y la velo idad ini ial u(0) 6= 0, ve��amos que las os ila iones de l(t) [enlas oordenadas ole tivas℄ eran m�as r�apidas. En los resultados de las simula iones de�4 observamos que, aparte de que las os ila iones de lnum(t) son m�as lentas y no m�asr�apidas omo predi en las oordenadas ole tivas, su amplitud es menor omparada onla l(t) de las oordenadas ole tivas. En este aso lo que su ede es que uando el kinkde �4 tiene una determinada velo idad ini ial su an hura no os ila omo un todo (ver laprimera fun i�on de (B.4) en el ap�endi e B).El an�alisis de las �guras 3.1, 3.2 y 3.3 nos on�rman que la an hura del kink os ila paradeterminadas ondi iones ini iales de l(t), l(0) 6= ls y _l 6= 0, y que la fuerza onstante yla disipa i�on que a tuan en el sistema amortiguan estas os ila iones. En el aso de �4la energ��a ini ial se reabsorbe en el modo interno, y en sG, en los modos de radia i�onde baja fre uen ia; por ello para tiempos m�as largos en la �gura 3.8 observamos que enla fun i�on lnum(t) (l��neas dis ontinuas) est�an presentes varias fre uen ias. Esto signi� aque los modos de fre uen ia m�as baja en sG pueden rela ionarse on las varia iones quesufre la an hura del kink uando a tuan determinadas fuerzas externas, aunque omo elm�etodo perturbativo no onsidera el efe to de los fonones la solu i�on anal��ti a de l(t) no oin ide on la num�eri a lnum(t) (ver �guras 3.2, 3.3, 3.4, 3.5 y 3.7 inferiores).

5Se ha tomado un sistema de longitud L = 100.

76 A i�on de una fuerza onstante sobre las e ua iones de sG y �4

0 20 40 60 80 100t

1.10

1.25

1.40

1.55

1.70

l(t)

0 20 40 60 80 100t

0.65

0.85

1.05

1.25

1.45

l(t)

Figura 3.7: Evolu i�on de la an hura del kink de �4 (arriba) y de sG (debajo). En lassimula iones de las EDPs (l��nea de puntos) se parte de un kink deformado, puesto queen estas �guras l(0) = ls, _l(0) = 0;3 y u(0) = 0.

3.5 Dis usi�on de los resultados 77

0 500 1000 1500 2000 2500t

1.10

1.25

1.40

1.55

1.70

l(t)

0 500 1000 1500 2000 2500t

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

l(t)

Figura 3.8: Evolu i�on de la an hura del kink para tiempos m�as largos on los mismospar�ametros para �4 (arriba) y para sG (debajo) que hemos es ogido en la �gura 3.7.

78 A i�on de una fuerza onstante sobre las e ua iones de sG y �4

Cap��tulo 4sG y �4 bajo u tua iones t�ermi as:reg��menes sobreamortiguado yamortiguado4.1. Presenta i�on del problemaEn este ap��tulo, a diferen ia de los ap��tulos 2 y 3 donde estudiamos la a i�onde fuerzas deterministas sobre los sistemas de sG y �4, analizamos la din�ami a de loskinks de sG y �4 bajo la in uen ia de perturba iones esto �asti as. Con retamente, in-vestigamos la difusi�on del kink en la e ua i�on de sG en los reg��menes sobreamortiguado1y amortiguado2 para, �nalmente, estable er una ompara i�on entre la difusi�on del kinken los sistemas de sG y �4, esta �ultima des rita en [34℄.Puesto que la difusi�on del kink en estas e ua iones ha sido estudiada desde dos puntosde vista diferentes [55, 110℄, nos pare e onveniente, antes de pasar a la siguiente se i�on,poner en su ontexto el problema que pretendemos estudiar.En nuestra opini�on, la diferen ia ru ial entre estas dos l��neas de estudio reside en laforma en que se introdu e la temperatura (o las u tua iones t�ermi as):en la primera de ellas se estudia el kink en equilibrio on los fonones [18, 82,83, 130℄ y la temperatura se introdu e mediante la fun i�on de distribu i�onde probabilidad de los fonones [82℄. Aqu�� apare en dos reg��menes de difusi�ondiferentes: el an�omalo, en el ual el oe� iente de difusi�on es propor ional aT 2, y el vis oso, donde, debido a la existen ia de un oe� iente de disipa i�on1En este ap��tulo denotamos el oe� iente de disipa i�on on la variable �. En el r�egimen sobreamor-tiguado � es de orden unidad o mayor.2�� 1.

80 sG y �4 bajo flu tua iones t�ermi as: reg��menes sobreamortiguado yamortiguadodin�ami o, el oe� iente de difusi�on es propor ional a T�1 [83, 129℄. El r�egimenan�omalo, tambi�en ono ido omo r�egimen de \difusi�on no disipativa", esaquel en el que el kink es \transparente" uando olisiona on los fonones,es de ir, despu�es de la olisi�on mantiene su velo idad ini ial y lo �uni o quese produ e es una diferen ia de fase en sus oordenadas espa iales. Este tipode difusi�on tiene lugar a tiempos ortos y tambi�en ha sido estudiada parala e ua i�on de sG uando las peque~nas ex ita iones est�an representadas porbreathers [127℄ en lugar de fonones; y la on lusi�on es que ambas des rip iones(breathers o fonones) son equivalentes e in luso se obtiene el mismo oe� ientede difusi�on en el r�egimen an�omalo. Sin embargo, a tiempos largos (t � ��1 uando � es peque~na) la intera i�on entre el kink y los fonones omienza a serno lineal e inel�asti a (r�egimen vis oso); por una parte, la velo idad del kink ambia despu�es que olisiona on los fonones [129℄, y por la otra los fononesterminan propag�andose en las dos dire iones: ha ia la dere ha y ha ia laizquierda;la otra l��nea de investiga i�on se entra en la difusi�on del kink uando losfonones apare en omo onse uen ia de un ba~no t�ermi o. Esto signi� a quelas u tua iones t�ermi as son introdu idas lo almente en el sistema junto onla disipa i�on, luego la e ua i�on que se estudia en este aso es�tt � �xx + U 0(�) = ���t + f(x; t; �;:::); (4.1.1)siendo U(�) el poten ial orrespondiente a los sistemas sG o �4, ���t elt�ermino disipativo, � el oe� iente de disipa i�on y f(x; t; �;:::) un ruido blan- o, des orrela ionado en el espa io y en el tiempo, que veri� af(x; t; �;:::) = �pD �(x; t); h�(x; t)i = 0;h�(x; t)�(x0; t0)i = Æ(x� x0)Æ(t� t0); (4.1.2)donde el oe� iente de difusi�on D est�a rela ionado on la temperatura T atrav�es del teorema de u tua i�on-disipa i�on D = 2�kbT , siendo kb la ons-tante de Boltzmann.Desde un punto de vista ompletamente te�ori o, Kaup y Osman [60℄ estudia-ron un problema m�as general, in luyendo en la e ua i�on de sG (4.1.1) unafuerza onstante. Utilizando la teor��a de perturba iones singulares [60℄ al u-laron el oe� iente de difusi�on del kink hasta orden kbT y la energ��a orres-pondiente a los modos de trasla i�on (ET = kbT=2) y de radia i�on (ER = kbTpor modo)3 y analizaron el efe to de la temperatura en la velo idad mediadel kink y en su forma ha iendo tender el oe� iente de disipa i�on a in�nito(\r�egimen de disipa i�on fuerte"). De esta forma, obtuvieron que la velo idadmedia del kink y su an hura aumentaban on la temperatura (este �ultimoresultado fue obtenido uando la fuerza externa era ero). Era l�ogi o pensar3Estos valores de energ��a tambi�en fueron al ulados en [81℄.

4.1 Presenta i�on del problema 81que ha iendo tender el oe� iente de disipa i�on a in�nito se pudiesen re upe-rar los resultados que hab��a obtenido Kaup [59℄ al realizar el mismo an�alisiste�ori o en la e ua i�on de sG sobreamortiguada. Sin embargo, despu�es de re-solver ambas din�ami as del kink, Kaup y Osman puntualizaron que, a pesarde que los resultados ualitativos eran iguales y que las velo idades mediasen ambos asos asi oin idian, uantitativamente, ha iendo tender el oe�- iente de disipa i�on a in�nito, la din�ami a del kink de sG no reprodu ��a ladin�ami a de la e ua i�on de sG sobreamortiguada, porque la an hura del kink,en este �ultimo aso, era dos ve es mayor que la obtenida en el \r�egimen dedisipa i�on fuerte". M�as adelante demostraremos que estos resultados no sondel todo iertos. Hay que desta ar que el inter�es de este tipo de problema noradi a s�olo en saber, desde el punto de vista te�ori o, �omo se difunde el kink,si su difusi�on es omparable o no a la de una part�� ula browniana, et ., sinotambi�en en que este sistema |e ua i�on de sG (4.1.1)| representa modelostan reales omo, por ejemplo, las uniones Josephson [23, 58℄ o la evolu i�on dela altura �(x; t) en un modelo unidimensional de re imiento ristalino [69℄.Por otra parte, las u tua iones t�erminas en la e ua i�on �4 [(4.1.1) onU(�) = (�2 � 1)2=2℄ han sido analizadas en [26, 27℄. En estos trabajos se al ula el oe� iente de difusi�on del kink, su movilidad ( uando se a~nade unafuerza externa al sistema) y el fa tor de estru tura del sistema y se omparanlos resultados obtenidos on los experimentos llevados a abo en ferroel�e tri- os uniaxiales y displa ivos.Re ientemente se ha estudiado la difusi�on del kink en la e ua i�on �4 on elpoten ial U(�) = (�2 � 1)2=2 sobreamortiguada [34℄ y se ha demostrado queel oe� iente de difusi�on se aleja del ya ono ido omportamiento lineal enkbT y se torna uadr�ati o4 debido a la intera i�on del modo de trasla i�on on los modos interno y de radia i�on. La difusi�on del kink en el modelo �4amortiguado ha omenzado a estudiarse [51℄ y se augura que el oe� iente dedisipa i�on va a ser lineal y uadr�ati o en kbT . Posiblemente on este trabajose logre entender si la an hura del kink individual en �4 aumenta [32℄ o no.Por nuestra parte, nos hemos o upado en extender el estudio de la difusi�ondel kink que se ha he ho para la e ua i�on �4 sobreamortiguada, a la e ua i�onde sG (4.1.1) en los reg��menes amortiguado y sobreamortiguado.Adem�as de la literatura que a abamos de omentar, en los trabajos [8, 116℄ podemosen ontrar un an�alisis m�as exhaustivo y ompleto de estas dos formas de \entender"la difusi�on en los sistemas de Klein-Gordon. Despu�es de esta breve introdu i�on sobrelos dos problemas de difusi�on que ata~nen al kink en los sistemas de Klein-Gordon nolineales, representados por las e ua iones de sG y �4, nos resta s�olo des ribir �omo hemosestudiado la difusi�on del kink en la e ua i�on de sG. Este ser�a el prop�osito de las siguientesse iones del ap��tulo.4Esta desvia i�on omienza a ser visible a partir de kbT = 0;05, lo que representa un 4% aproxima-damente de la energ��a en reposo del kink, E0 = 4=3.

82 sG y �4 bajo flu tua iones t�ermi as: reg��menes sobreamortiguado yamortiguado4.2. Aproxima i�on te�ori a. Fun iones de orrela i�onEn esta se i�on presentamos el m�etodo te�ori o que hemos utilizado para analizarlas u tua iones t�ermi as en la e ua i�on de sG sobreamortiguada��t � �xx + sin(�) = pD�(x; t); (4.2.1)donde �(x; t) umple las rela iones (4.1.2) y adem�as se supone que pD es \peque~na".La idea prin ipal sigue siendo introdu ir determinadas oordenadas ole tivas, de talforma que la EDP (4.2.1) se pueda transformar en un sistema de e ua iones ordinariasen di has variables: para ello, supondremos que la solu i�on de la e ua i�on (4.2.1) es dela forma [96℄ �(x; t) = �0[x�X(t)℄ + Z +1�1 dk Ak(t)fk[x�X(t)℄; (4.2.2)donde fk[x � X(t)℄ son las autofun iones del espe tro ontinuo de la e ua i�on (4.2.1)sin perturbar, o sea, linealizada en torno a un kink est�ati o representado por �0(x) =4 atan[exp(x)℄, y que, junto on fT [x�X(t)℄ = ��0�x [x�X(t)℄, forman una base om-pleta de autofun iones ortogonales (ver ap�endi e C). Estas autofun iones, y sus orres-pondientes autovalores, son las mismas que las obtenidas en el problema lineal de lae ua i�on de sG en el ap��tulo 1 y pueden es ribirse de esta forma porque el problemade Sturm-Liouville (C.4) es invariante on respe to a ualquier trasla i�on en el espa- io. Adem�as, on el objetivo de evitar divergen ias en los �ordenes superiores, se asumedesde un prin ipio que X es una fun i�on de t y de esta forma el modo de trasla i�onest�a \impl�� itamente" en el primer t�ermino de esta serie [96℄, que representa el kink entrado en X(t). Si no hay ninguna perturba i�on a tuando sobre el sistema, el se-gundo t�ermino en (4.2.2), que ara teriza el espe tro ontinuo on una ierta amplituddin�ami a Ak(t) |nuestra segunda oordenada ole tiva|, de re e en el tiempo [Ak(t)es propor ional a exp(�!2kt=�)℄. Nuestro objetivo ser�a al ular la evolu i�on del en-tro del kink, adem�as de lari� ar la in uen ia que tiene el segundo t�ermino de la serie(4.2.2) en su movimiento difusivo. Por tanto, primero sustituimos el desarrollo (4.2.2)en la e ua i�on (4.2.1) y luego, utilizando las rela iones de ortogonalidad5, proye tamosla e ua i�on resultante en la base ortogonal que forman las autofun iones. Despu�es dealgunos �al ulos obtenemos el siguiente sistema de e ua iones diferen iales ordinariaspara las oordenadas ole tivas X(t) y Ak(t):_X(t) = � 1M0 _X(t) Z +1�1 dkAk(t)I1(k)� (4.2.3)� 12�M0 Z +1�1 dk Z +1�1 dk0Ak(t)Ak0(t)R3(k; k0) ++ pD�M0 Z +1�1 fT [x�X(t)℄ �(x; t) dx�5Son las mismas que hemos visto en el ap��tulo 1 para la e ua i�on de sG.

4.2 Aproxima i�on te�ori a. Fun iones de orrela i�on 83� 16�M0 Z +1�1 dk Z +1�1 dk1 Z +1�1 dk2Ak(t)Ak1(t)Ak2(t)R6(k; k1; k2);�Ak�t + !2k� Ak = _X(t) Z +1�1 dkAk(t)I3(k; k0) + (4.2.4)+ 12� Z +1�1 dk Z +1�1 dk0Ak(t)Ak0(t)R4(k0; k)�� pD� Z +1�1 f �k [x�X(t)℄ �(x; t) dx++ 16� Z +1�1 dk0 Z +1�1 dk1 Z +1�1 dk2Ak0(t)Ak1(t)Ak2(t)R7(k; k0; k1; k2);respe tivamente, donde M0 = 8 y las integrales I1(k), R3(k; k0), I3(k; k0), R4(k; k0),R6(k; k1; k2) y R7(k; k0; k1; k2) est�an de�nidas (y algunas de ellas al uladas) en el ap�endi- e C. Estas e ua iones, adem�as de ser no lineales y estar a opladas, son integro-diferen iales;por lo que, hasta ahora, la \simpli� a i�on" del problema (4.1.1) es tan s�olo aparente.Sin embargo, si pD = 0 el kink est�ati o �0 es solu i�on exa ta de la e ua i�on (4.2.1), loque signi� a que en la serie (4.2.2) ambas oordenadas ole tivas se anulan; por tanto,podemos desarrollar las fun iones Ak(t) y X(t) en poten ias de pD, ya que, adem�as, seha asumido desde un prin ipio que pD es un par�ametro peque~no.Si sustituimos las series Ak(t) = P1n=1(pD)nA(n)k (t) y X(t) = P1n=1(pD)nXn(t)en (4.2.3) y (4.2.4), en ontramos que, a orden (pD)n, los oe� ientes de estas seriessatisfa en e ua iones lineales, totalmente desa opladas, que hasta orden [pD℄3 son6:O(pD) _X1(t) = �1(t); h�1(t)i = 0; h�1(t)�1(t0)i = 1M0�2 Æ(t� t0); (4.2.5)�A(1)k�t + !2k� A(1)k = �k(t)� ; h�k(t)i = 0; h�k(t)�k0(t0)i = 1�2 Æ(t� t0)Æ(k � k0); (4.2.6)O(D) _X2(t) = � _X1(t)M0 Z +1�1 dkA(1)k (t)I1(k)�� 12�M0 Z +1�1 dk Z +1�1 dk0A(1)k (t)A(1)k0 (t)R3(k; k0); (4.2.7)�A(2)k�t + !2k� A(2)k = _X1(t) Z +1�1 dk0A(1)k0 (t)I3(k0; k) ++ 12� Z +1�1 dk Z +1�1 dk0A(1)k (t)A(1)k0 (t)R4(k; k0); (4.2.8)6Se omite la e ua i�on para A(3)k (t), pues omo veremos no se ne esita para al ular el valor medioni la orrela i�on de X(t), si trun amos las series de X(t) y Ak(t) en n = 2.

84 sG y �4 bajo flu tua iones t�ermi as: reg��menes sobreamortiguado yamortiguadoO([pD℄3)_X3(t) = � _X1(t)M0 Z +1�1 dkA(2)k (t)I1(k)� _X2(t)M0 Z +1�1 dkA(1)k (t)I1(k)� (4.2.9)� 12�M0 Z +1�1 dk Z +1�1 dk0A(2)k (t)A(1)k0 (t)R3(k; k0)�� 12�M0 Z +1�1 dk Z +1�1 dk0A(1)k (t)A(2)k0 (t)R3(k; k0)�� 16�M0 Z +1�1 dk Z +1�1 dk1 Z +1�1 dk2A(1)k (t)A(1)k1 (t)A(1)k2 (t)R6(k; k1; k2);las uales pueden resolverse de forma re urrente.A orden uno (n = 1), las e ua iones (4.2.5) y (4.2.6) pueden integrarse dire tamentey se obtiene que X1(t) es una variable esto �asti a, que representa un pro eso de Wiener, uya media y varianza sonhX(t)i � pDhX1(t)i = 0; hX(t)X(t0)i � DhX1(t)X1(t0)i = D�2M0M; (4.2.10)donde M = m��n(t; t0). Por otra parte, A(1)k (t) es un pro eso de Ornstein-Uhlenbe k [54℄ uyo valor medio es ero y su fun i�on de orrela i�on est�a determinada porhAk(t)Ak(t0)i � DhA(1)k (t)A(1)k (t0)i == D2�!2k h exp �� !2kjt0 � tj� �� exp�� !2k(t + t0)� �i: (4.2.11)Estos resultados nos permiten a�rmar que, a orden uno, el entro del kink se mueve omouna part�� ula browniana. Si aumentamos la temperatura o disminuimos el oe� iente dedisipa i�on el entro del kink se mueve m�as r�apido y su traye toria es tan \irregular" quesu velo idad no est�a determinada (4.2.5).Despu�es de resolver las e ua iones (4.2.7) y (4.2.8) en ontramos que los valores mediosde la posi i�on y la velo idad del entro del kink en los siguientes �ordenes se anulan.A partir de aqu��, las opera iones son m�as ompli adas: as��, por ejemplo, s�olo hemos al ulado el valor medio asint�oti o de A(2)k (t), igual ahjA(2)k (t)ji � 3�kbT16p2�!2k ; � = Z +1�1 dk!k osh��k2 � � 1;62386; (4.2.12) uando t tiende a in�nito. Sin embargo, �esto es su� iente para estimar la varianza dela posi i�on del entro del kink hasta orden dos, que est�a determinada por la fun i�on de orrela i�on7hX(t)X(t0)i = DhX1(t)X1(t0)i++ D2(hX2(t)X2(t0)i+ hX1(t)X3(t0)i+ hX3(t)X1(t0)i); (4.2.13)7En esta expresi�on se ha tenido en uenta que las fun iones ruzadas de orrela i�on entre X1(t) yX3(t) son del mismo orden que hX2(t)X2(t0)i, y que hX1(t)X2(t0)i = 0.

4.2 Aproxima i�on te�ori a. Fun iones de orrela i�on 85 uando t0 = t, dondehX2(t)X2(t0)i = M512�3 + �4096�2 Z +1�1 h exp�� 2!2kM=��� 1idk!2k osh2 ��k2 � ; (4.2.14)y hX3(t)X1(t0)i = hX2(t)X2(t0)i � 1256�3 Z +1�1 dk I1(k)� (4.2.15)�n�Z +1�1 dmR4(m;m)!2m � hM!2k + �(exp(�!2kM=�)� 1)!4k i�� Z +1�1 dnR4(n; n)!2n �2!2n � !2k h(exp(�2!2nM=�)� 1)2!2n � (exp(�!2kM=�)� 1)!2k io:Esta �ultima e ua i�on determina la fun i�on de orrela i�on ruzada entre X1(t) y X3(t)y para obtenerla se han utilizado las solu iones de (4.2.5), (4.2.7) y (4.2.9), respe tiva-mente.Si evaluamos las expresiones anteriores en t0 = t y ha emos tender t a in�nito, lasfun iones de orrela i�on se simpli� an notablemente y obtenemos que la varianza del entro del kink X(t),h[X(t)℄2i = kbT4� tn1 + � 332 + 3128�2�kbTo; (4.2.16)depende lineal y uadr�ati amente de la temperatura, al igual que el oe� iente de difusi�onde X(t), D(2)k � h[X(t)℄2it = kbT4� n1 + � 332 + 3128�2�kbTo: (4.2.17)Como hemos demostrado en esta se i�on, la orre i�on a orden dos en la temperaturase obtiene porque el m�etodo perturbativo que hemos utilizado onsidera el efe to dela radia i�on en el sistema (4.2.1). Adem�as, el t�ermino de orden (kbT )2 en la e ua i�on(4.2.16) se obtiene al integrar la expresi�on3(kbT )2512� t Z +1�1 dkF (k); F (k) = � osh2 ��k2 � + �!k osh��k2 � ; (4.2.18)por lo que la mayor ontribu i�on a orden dos proviene de los modos de fre uen ia m�asbaja8.Debemos desta ar que, por una parte (4.2.16) re eja el he ho de que el entro del kinkse mueve en un entorno mayor de lo que pensabamos |si omparamos (4.2.16) on la8Agradez o este omentario a Alan Bishop.

86 sG y �4 bajo flu tua iones t�ermi as: reg��menes sobreamortiguado yamortiguadorela i�on (4.2.10) evaluada en t0 = t| al aumentar la temperatura; en otras palabras, si\rede�nimos ade uadamente" el oe� iente de difusi�on (4.2.17) ontinuamos viendo unkink, uyo entro se mueve omo una part�� ula browniana. Por otra parte, la apari i�onde fonones en el sistema y su intera i�on on el entro del kink ha en que la din�ami ade la onda sea m�as ompleja y, por tanto, el movimiento del entro del kink no esestri tamente el mismo que el de una part�� ula browniana.Ahora omprobaremos num�eri amente los prin ipales resultados obtenidos en estase i�on.4.3. Simula iones num�eri as: m�etodo de HeunAunque este ap��tulo tenga mu ho que ver on el azar hemos sido ompletamentedeterministas a la hora de es oger el m�etodo num�eri o para resolver la e ua i�on (4.1.1)en los reg��menes amortiguado y sobreamortiguado. El agra iado ha sido el m�etodo deHeun [95, 111℄; o mejor di ho, hemos sido nosotros al es ogerlo, porque a diferen iadel esquema num�eri o de Biller-Petru ione [13℄, para el primero est�a demostrada su onvergen ia [111℄. El m�etodo de Strauss-V�azquez lo hemos des artado porque, aunquesu onvergen ia y estabilidad est�an demostradas uando no hay perturba iones sobre elsistema de sG, y se omporta bien en problemas esto �asti os [117℄, ne esitar��amos untiempo omputa ional muy grande para al ular promedios sobre ientos de realiza io-nes.En lugar de des ribir el m�etodo de Heun para la e ua i�on (4.1.1), lo haremos parauna e ua i�on m�as general, que representamos mediante el siguiente sistema de e ua ionesdiferen iales: �t = ; �x(�L) = 0; 0 � t � tfinal; �L � x � L;Æ t = �xx � sin(�)� � +pD�(x; t); (4.3.1)tomando, adem�as, omo ondi i�on ini ial el kink en reposo y ondi iones de ontornolibres. La e ua i�on (4.3.1) reune los asos sobreamortiguado (Æ = 0) y amortiguado(Æ = 1); �(x; t) sigue siendo un ruido blan o gaussiano y, por tanto, umple on lasrela iones (4.1.2). Este m�etodo se suele apli ar en dos pasos su esivos: el resultado �nalse al ula on la expresi�on�n(t+�t) = �n(t) + �t2 [ n(t) + ~ n(t+�t)℄; n = 1; 2; :::; N ; N = 2L�x;Æ n(t+�t) = Æ n(t) + �t2 fL�n(t)� sin[�n(t)℄� � n(t) + L~�n(t+�t)�� sin[ ~�n(t+�t)℄� � ~ n(t+�t)℄g +pDr�t�xgn(t); (4.3.2)donde �x y �t son los pasos espa ial y temporal y L�n(t) es el lapla iano dis reto queutiliza tres puntos de la malla n�1, n y n+1. El �ultimo t�ermino en la segunda e ua i�on

4.3 Simula iones num�eri as: m�etodo de Heun 87es la dis retiza i�on del ruido blan o, des orrela ionado en el espa io y el tiempo, siendogn(t) un n�umero aleatorio que se genera a partir de una distribu i�on gaussiana de media ero y varianza uno. Las e ua iones (4.3.2), omo hemos di ho, representan el segundopaso de la integra i�on num�eri a, que utiliza las fun iones ~ (t+�t) y ~�(t+�t), de�nidaspreviamente omo~�n(t+�t) = �n(t) + �t n(t); (4.3.3)Æ ~ n(t+�t) = Æ ~ n(t) + �tfL�n(t)� sin[�n(t)℄� � n(t)g+pDr�t�xgn(t);a partir de la dis retiza i�on del sistema (4.3.1) utilizando el m�etodo de Euler [95℄.Para simular la e ua i�on en derivadas par iales (4.2.1), imponemos Æ = 0 (e ua i�on desG sobreamortiguada) en (4.3.1)-(4.3.3). Bajo esta ondi i�on ada uno de estos sistemasse redu e a una e ua i�on. En las simula iones num�eri as hemos tomado � = 1, y �xy �t se han es ogido de forma tal que se garanti e la ondi i�on de estabilidad linealde von Neumann [95℄ de la parte determinista de la e ua i�on (4.2.1) [�t � �(�x)2=2℄,es de ir, �t = 0;001 y �x = 0;05; y para generar el n�umero aleatorio gn(t), en adapunto de la red y en ada instante de tiempo, utilizamos la subroutina ran4 [95℄. Ent = 0 se parte de un kink en reposo y se observa su evolu i�on en un sistema de longitud2L = 100, hasta un tiempo tfinal = 200. Todos los promedios se han al ulado sobre1000 realiza iones y la temperatura se ha variado entre 0;1 y 1;29.Despu�es de referirnos a las prin ipales ara ter��sti as del esquema n�umeri o que vamosa utilizar, pasamos a ver algunos de los resultados obtenidos. Comenzamos por represen-tar en la �gura 4.1 tres realiza iones individuales de la fun i�on de onda �(x; 200) (l��neas ontinuas �nas), que se en uentra en un ba~no t�ermi o a una temperatura kbT = 0;4.Tambi�en se representan un kink en reposo (l��neas dis ontinuas), o sea, la ondi i�on ini- ial, y el valor medio de �(x; 200) (l��nea ontinua gruesa), al ulado on los datos de1000 realiza iones. En esta �gura se observa que el kink (individual) se propaga en am-bas dire iones sin variar su longitud y que, adem�as, el efe to de la temperatura llegahasta las alas del kink, provo ando que aparez a una radia i�on en el sistema, que asidesapare e al promediar la fun i�on de onda. Otro he ho que podemos notar es que laan hura del valor medio de la fun i�on de onda es mayor que la del kink individual. Ellose debe, omo demostraremos m�as adelante, a la dispersi�on que sufren las realiza ionesindividuales del kink en su movimiento difusivo.Otra ara ter��sti a |algo m�as uantitativa| de la difusi�on del kink es la evolu i�onde la varianza del entro del kink y la dependen ia del oe� iente de difusi�on de latemperatura (4.2.16), por lo que se ha e ne esario proponer un m�etodo que nos ayude aen ontrar el entro del kink. Nuestro pro edimiento ha sido el siguiente: an�alogamentea omo en ontramos el entro del kink en la se i�on 3.4, para un tiempo dado bus amostodos los puntos de la red dis reta xi(n; t) y xi(n + 1; t) tales que �n � � y �n+1 �� o vi eversa. A ontinua i�on, ha emos una interpola i�on lineal on estos puntos y9kbT sigue siendo un par�ametro peque~no ya que es mu ho menor que la energ��a de un kink en reposo,E0 = 8.

88 sG y �4 bajo flu tua iones t�ermi as: reg��menes sobreamortiguado yamortiguado

−50 −30 −10 10 30 50x

−2

0

2

4

6

8

<Φ

(x,t

fix)>

Figura 4.1: Difusi�on del kink en la e ua i�on de sG sobreamortiguada. En esta �gurarepresentamos on l��neas ontinuas �nas 3 realiza iones individuales de la fun i�on deonda para tfix = 200, � = 1 y kbT = 0;4. La l��nea ontinua gruesa es el valor medio de�(x; 200) al ulado sobre 1000 realiza iones. Se observa que la an hura de la onda mediaes mayor que la del kink en reposo (l��neas dis ontinuas) y que la de las realiza ionesindividuales.obtenemos los valores de xi(t)10 donde la fun i�on de onda es igual a �. En el aso de queen ontremos m�as de un valor de xi(t), se es oge el xi que minimi e[2L=�x℄Xn=1 j�n(t)� �n0 (t)j2;donde �n0 (t) = 4 atan(exp[x(n)� xi(t)℄). Una vez que el entro del kink es al uladotambi�en podemos al ular su varianza h[X(t)℄2i � hX(t)i2.En las �guras 4.2(a)-( ) se muestran los resultados num�eri os (ver l��nea ontinua irre-gular) y te�ori os |mediante l��neas ontinuas y dis ontinuas de puntos| de la varianzadel entro del kink (4.2.10) [t0 = t℄ y (4.2.16) para diferentes valores de temperaturaskbT = 0;2 (a); 0;4 (b); 0;6 ( ). Podemos observar que:10i = 1; 2; :::N ; y N es el n�umero de puntos que umplen on la ondi i�on men ionada.

4.3 Simula iones num�eri as: m�etodo de Heun 89

0 50 100 150 200t

0

5

10

15

<[X

(t)]

2 > −

<X(t

)>2

(a)(a)

0 50 100 150 200t

0

10

20

30

<[X

(t)]

2 > −

<X(t

)>2

(b)

0 50 100 150 200t

0

10

20

30

40

<[X

(t)]

2 > −

<X(t

)>2

(c)(c)

Figura 4.2: Evolu i�on de la varianza del entro del kink en fun i�on de la temperatura. (a)kbT = 0;2, (b) kbT = 0;4, ( ) kbT = 0;6. La urva irregular son los resultados num�eri osde la varianza de X(t) al integrar la e ua i�on de sG sobreamortiguada on � = 1. Estosvalores se asemejan m�as a los que predi e el segundo orden para h[X(t)℄2i � hX(t)i2(4.2.16) |l��nea ontinua gruesa| que a los de primer orden (4.2.10) |l��nea dis ontinuade puntos|. Adem�as on l��neas dis ontinuas representamos los valores de la regresi�onlineal de la varianza de X(t) para t � 30.

90 sG y �4 bajo flu tua iones t�ermi as: reg��menes sobreamortiguado yamortiguadoa bajas temperaturas kbT � 0;2 apenas hay distin i�on entre el primer (l��neadis ontinua de puntos) y segundo orden te�ori o (l��nea ontinua) de la varianzade X(t);el orden en (kbT )2 omienza a ser un 10% mayor que el primero a partir dekbT = 0;6, por esta raz�on hemos llegado hasta temperaturas kbT = 1;2 enlas simula iones que, aunque nos puedan pare er temperaturas \altas", sonm�as peque~nas que la ne esaria para formar pares de kink-antikink Eka � 16;la l��nea ontinua irregular, que representa la varianza num�eri a, se a er a m�asa la predi i�on te�ori a de orden dos (4.2.16) que a la de orden uno (4.2.10); loque eviden ia la ne esidad de in luir el orden (kbT )2 en nuestras orre iones.Adem�as, para ver �omo depende el oe� iente de difusi�on de la temperatura, hemos al ulado la pendiente de h[X(t)℄2i � hX(t)i2 en las �guras 4.2(a)-( ) mediante unaregresi�on lineal para t � 30 |l��neas dis ontinuas| puesto que las predi iones obtenidashan sido para tiempos largos. Estos valores est�an representados en la �gura 4.3 onrombos, junto on los resultados te�ori os para el oe� iente de difusi�on a primer orden,D(1)k = kbT4� ;(l��nea ontinua inferior) y segundo ordenD(2)k = kbT4� n1 + � 332 + 3128�2�kbTo(l��nea ontinua superior) en kbT , respe tivamente. Si ha emos una regresi�on uadr�ati- a (l��nea dis ontinua) on los valores dis retos obtenidos para el oe� iente de difu-si�on vemos que el oe� iente de difusi�on es una fun i�on uadr�atri a de la temperatura,que pr�a ti amente oin ide on la predi i�on D(2)k , que in luye la dependen ia lineal y uadr�ati a en kbT .Finalmente, para ompletar el estudio de la difusi�on del kink, nos queda por resolverla uesti�on referente a la an hura del valor medio de la fun i�on de onda y �omo �estadepende de la dispersi�on de X(t).4.4. Valor medio de la fun i�on de onda. An hura delkinkComo vimos en la �gura 4.1, la difusi�on de un kink, que se en uentra en un ba~not�ermi o, onsiste simplemente en un movimiento aleatorio en torno a su posi i�on ini ial.Este movimiento, al igual que la genera i�on de fonones, es ausado por las u tua ionest�ermi as del sistema, u tua iones que ha en posible que el entro del kink se mueva

4.4 Valor medio de la fun i�on de onda. An hura del kink 91

0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 kb T

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Coe

ficie

nte

de d

ifusi

on

Figura 4.3: El oe� iente de difusi�on del kink en la e ua i�on de sG sobreamortiguada al ulado anal��ti amente a primer orden en kbT , D(1)k , oin ide on los valores num�eri os(rombos), obtenidos a partir de la simula i�on de la EDP, si kbT � 0;3. Al aumentar latemperatura vemos que es importante tener en uenta el segundo orden en la tempera-tura en D(2)k (l��nea ontinua superior). La l��nea dis ontinua es la regresi�on uadr�ati a apartir de los 12 valores num�eri os del oe� iente de difusi�on que se representan medianterombos. Todos los valores en ontrados orresponden a � = 1.aproximadamente entre ��d �ph[X(t)℄2i � hX(t)i2, manteniendo nulo su valor medio.Para ver la rela i�on existente entre la dispersi�on del entro del kink y la an hura delvalor medio de la fun i�on de onda �(x; t), al ulamos el valorh�(x; t)i = h�0[x�pDX1(t)℄i � Z +1�1 dX1p(X1)�0[x�pDX1(t)℄; (4.4.1) onsiderando s�olo el orden O(pD). En esta igualdad se tiene en uenta que hAk(t)i =pDhA(1)k (t)i + O(D), hA(1)k (t)i = 0 y que la fun i�on densidad de probabilidad p(X1),que se obtiene al resolver la e ua i�on de Fokker-Plan k orrespondiente a la e ua i�onesto �asti a (4.2.5), es igual ap(X1) =r 4�2�tD exp�� 4�2X21Dt �: (4.4.2)

92 sG y �4 bajo flu tua iones t�ermi as: reg��menes sobreamortiguado yamortiguado

−50 −30 −10 10 30 50x

−2

0

2

4

6

8

<Φ

(x,t

fix)>

(a)(a)

−50 −30 −10 10 30 50x

−2

0

2

4

6

8

<Φ

(x,f

fix)>

(b)

Figura 4.4: Evolu i�on de h�(x; tfix)i para dos valores de temperatura. En estas �guraspodemos ver que la an hura del kink medio re e on la temperatura (a) kbT = 0;4, (b)kbT = 0;8 y on el tiempo. Las l��neas ontinuas �nas representan los valores num�eri osde h�(x; tfix)i para tfix = 40; 200 y los puntos sus orrespondientes valores obtenidos apartir de (4.4.1). Para que puedan ompararse mejor las an huras de las ondas mediasrepresentamos on una l��nea ontinua gruesa el kink est�ati o de sG.Para al ular la integral (4.4.1) s�olo hay que dar valores al oe� iente de disipa i�on�, la temperatura kbT y �jar un tiempo t. En la �gura 4.4 se representan los valoresnum�eri os de esta integral, al ulada para � = 1, y kbT = 0;4; 0;8. Estos valores se hanrepresentado por medio de puntos para los tiempos tfix = 40 y tfix = 200. En todos los asos se observa que los puntos est�an sobre las l��neas ontinuas que representan el valormedio de la fun i�on de onda al ulado a partir de la solu i�on num�eri a de la e ua i�on(4.2.1), por lo que la de�ni i�on (4.4.1) del valor medio de �(x; t) es bastante apropiadaa pesar de que s�olo hemos onsiderado el primer orden en kbT . En esta �gura tambi�enhemos representado el kink en reposo para que se pueda apre iar mejor que la an hurade h�(x; t)i re e on el tiempo y on la temperatura.Si de�nimos la an hura de h�i omol(t) =vuuuuuutZ +1�1 x2h[�x(x; t)℄2idxZ +1�1 h[�x(x; t)℄2idx ; (4.4.3)despu�es de algunos �al ulos obtenemos quel(t) �q�l20 +Dh[X1(t)℄2i; (4.4.4)

4.5 Generaliza i�on de los resultados obtenidos para la e ua i�on de sG bajoflu tua iones t�ermi as 93donde �l20 = R +1�1 dx [x2= osh2(x)℄R +1�1 dx [1= osh2(x)℄ = 0;8225:De esta expresi�on para l(t) se dedu e que, a tiempos largos, la an hura del kink medioes propor ional a la dispersi�on de X(t), y por lo tanto �esta re e omo pt y omopkbT . Este resultado tambi�en se puede obtener partiendo de una de�ni i�on equivalentea (4.4.3)11.4.5. Generaliza i�on de los resultados obtenidos parala e ua i�on de sG bajo u tua iones t�ermi asEn las uniones Josephson [87℄ o en sistemas biol�ogi os [109, 136℄, des ritos por lae ua i�on de sG, la disipa i�on del medio suele ser \peque~na", y por tanto, el an�alisis he hopara la e ua i�on de sG sobreamortiguada en las se iones 4.2 y 4.4 no es v�alido. Por estemotivo, es interesante determinar la din�ami a del kink bajo u tua iones t�ermi as en elr�egimen amortiguado.Se parte de la e ua i�on (4.1.1) on el orrespondiente poten ial de sG y el ruidoblan o determinado por las rela iones (4.1.2). La solu i�on de esta e ua i�on tambi�enpuede bus arse omo la superposi i�on del kink est�ati o, �0(x), entrado en X(t) y losfonones on ierta amplitud Ak(t) [96℄, es de ir, se supone que�(x; t) = �0[x�X(t)℄ + Z +1�1 dk Ak(t)fk[x�X(t)℄; (4.5.1)donde fk[x�X(t)℄ y fT [x�X(t)℄ = ��0�x [x�X(t)℄ son las autofun iones del problemade Sturm-Liouville que se obtiene al linealizar la e ua i�on de sG en torno al kink enreposo. Este m�etodo, en una versi�on menos general, ha sido utilizado para hallar las so-lu iones aproximadas de la e ua i�on de sG bajo u tua iones t�ermi as [110℄ y tambi�en onsiderando inhomogeneidades espa iales [35℄. Si ahora repetimos los mismos pasos queen el aso de la e ua i�on de sG sobreamortiguada, es de ir, primero sustituimos (4.5.1)en (4.1.1), y luego proye tamos la e ua i�on resultante en la base ortogonal ompletaque forman las autofun iones fT y fk, podemos \redu ir" la EDP (4.1.1) a dos e ua io-nes diferen iales ordinarias que veri� an las oordenadas ole tivas X(t) y Ak(t). Estase ua iones son a�un m�as ompli adas que las obtenidas en la se i�on 4.2 as�� que no debesorprendernos que no sean resolubles y que, para analizarlas, tengamos que a udir otravez al desarrollo en serie |en poten ias de pD| de las fun iones X(t) y Ak(t). Deforma an�aloga al aso sobreamortiguado, obtenemos que los oe� ientes de las serieshasta orden ([pD℄3) veri� an los siguientes sistemas de e ua iones lineales11Por ejemplo, en (4.4.3) podr��amos haber utilizado h�x(x; t)i en lugar de h[�x(x; t)℄2i.

94 sG y �4 bajo flu tua iones t�ermi as: reg��menes sobreamortiguado yamortiguadoO(pD) �X1(t) + � _X1(t) = �1(t); h�1(t)i = 0; h�1(t)�1(t0)i = 1M0 Æ(t� t0); (4.5.2)�2A(1)k�t2 + ��A(1)k�t + !2kA(1)k = �k(t); h�k(t)i = 0; (4.5.3)h�k(t)�k0(t0)i = Æ(t� t0)Æ(k � k0);O(D) �X2(t) + � _X2(t) = �2(t); (4.5.4)�2(t) = ��1(t)M0 Z +1�1 dkA(1)k (t)I1(k)� 2 _X1(t)M0 Z +1�1 dk�A(1)k�t (t)I1(k)�� 12M0 Z +1�1 dk Z +1�1 dk0A(1)k (t)A(1)k0 (t)R3(k; k0); (4.5.5)�2A(2)k�t2 + ��A(2)k�t + !2kA(2)k = �1(t) Z +1�1 dk0A(1)k0 (t)I3(k0; k) + (4.5.6)+ 12 Z +1�1 dk Z +1�1 dk0A(1)k (t)A(1)k0 (t)R4(k; k0)�� _X21 (t)I1(k) + 2 _X1(t) Z +1�1 dk0�A(1)k0�t I3(k0; k);O([pD℄3) �X3(t) + � _X3(t) = �3(t); (4.5.7)�3(t) = ��1(t)M0 Z +1�1 dkA(2)k (t)I1(k)� �2(t)M0 Z +1�1 dkA(1)k (t)I1(k)�� 12M0 Z +1�1 dk Z +1�1 dk0A(2)k (t)A(1)k0 (t)R3(k; k0)�� 12M0 Z +1�1 dk Z +1�1 dk0A(1)k (t)A(2)k0 (t)R3(k; k0)�� 16M0 Z +1�1 dk Z +1�1 dk1 Z +1�1 dk2A(1)k (t)A(1)k1 (t)A(1)k2 (t)R6(k; k1; k2) ++ _X21 (t)M0 Z +1�1 dkA(1)k (t)I2(k)� 2 _X1(t)M0 Z +1�1 dk�A(2)k�t (t)I1(k)�� 2 _X2(t)M0 Z +1�1 dk�A(1)k�t (t)I1(k): (4.5.8)

4.5 Generaliza i�on de los resultados obtenidos para la e ua i�on de sG bajoflu tua iones t�ermi as 95donde M0 = 8 es la masa del kink en reposo y las fun iones I1(k), I2(k), I3(k; k0),R3(k; k0), R4(k; k0) y R6(k; k1; k2) est�an de�nidas en el ap�endi e D.Integrando las e ua iones (4.5.2) y (4.5.3)12 obtenemos queX1(t) = Z t0 e��t0 Z t00 e�� �1(�)d� dt0; (4.5.9)A(1)k (t) = e��t2 fC1(t) sin!t+ C2(t) os!tg ;C1(t) = 1! Z t0 �k(�)e��2 os!�d�; C2(t) = � 1! Z t0 �k(�)e��2 sin!�d�; on !2 = !2k � �24 ; por tanto, los valores medios de X1 y A(1)k son nulos y sus respe tivas orrela iones sonhX(t)X(t0)i = DhX1(t)X1(t0)i = D16�3he��M � e��j�tj + e��M��j�tj �� e��(t+t0) + e��t + e��t0 + 2(�M � 1)i; (4.5.10)y hAk(t)Ak(t0)i = DhA(1)k (t)A(1)k (t0)i = D!2 e��(t+ t0)2 he�M � 12� os!�t�� �e�M8!2k os!�t� !e�M4!2k sin!j�tj+ �8!2k os!(t+ t0)�� !4!2k sin!(t+ t0)i; (4.5.11)donde �t = t � t0, y M = m��n(t; t0). En la se i�on 4.2 vimos que en el aso sobrea-mortiguado la velo idad del entro del kink (o de la part�� ula browniana) no estabadeterminada. Sin embargo, si el movimiento de una part�� ula browniana se des ribe ent�erminos de su velo idad en lugar de su posi i�on, enton es, la velo idad ya no es unpro eso de Wiener sino de Ornstein-Uhlenbe k [54℄, y est�a representado por la e ua i�on(4.5.2), que puede es ribirse omo una e ua i�on de primer orden para la velo idad del entro del kink, de media ero y orrela i�onh _X1(t)i = 0; h _X(t) _X(t0)i = Dh _X1(t) _X1(t0)i = D16�he��j�tj � e��(t+t0)i: (4.5.12)A �ordenes superiores, resolviendo las e ua iones (4.5.4)-(4.5.7), se demuestra que losvalores medios de la posi i�on y de la velo idad son nulos y que las varianzas de X(t) y_X(t) a tiempos largos est�an determinadas por las siguientes expresiones:h[X(t)℄2i = D(2)k t; D(2)k = kbT4� n1 + kbT32 �1 + 9�24 �o; (4.5.13)12Estas e ua iones tambi�en fueron obtenidas en [110℄.

96 sG y �4 bajo flu tua iones t�ermi as: reg��menes sobreamortiguado yamortiguado

0 100 200 300 400t

0

100

200

300

400

<[X

(t)]

2 > −

<X(t

)>2

Figura 4.5: Evolu i�on de la varianza num�eri a (l��nea dis ontinua de puntos) del entrodel kink de sG para � = 0;1 y kbT = 0;4. Las l��neas ontinuas representan los valoreste�ori os obtenidos onsiderando el primer orden (l��nea ontinua inferior) y el primer ysegundo �ordenes en kbT (l��nea ontinua superior).y h[ _X(t)℄2i = kbT8 n1 + 3kbT128 �12 + �2�o: (4.5.14)De (4.5.13) tenemos que la onstante de difusi�on del kink de sG depende lineal y uadr�ati- amente de la temperatura y que, adem�as, el omportamiento uadr�ati o en la tempe-ratura puede expli arse porque los fonones, que apare en en el pro eso de termaliza i�ondel kink, intera ionan on su entro, provo ando que el kink se difunda m�as r�apidosi aumentamos la temperatura. Si omparamos los segundos �ordenes obtenidos para lavarianza de X(t) en los modelos amortiguado y sobreamortiguado13, obtenemos queen el aso amortiguado h[X(t)℄2i es 6% mayor que en el sobreamortiguado, lo que norepresenta una gran diferen ia entre los dos reg��menes estudiados.A ontinua i�on omparamos los resultados obtenidos en las simula iones num�eri asde la e ua i�on de sG (4.1.1). Para ello es ne esario tener en uenta que si evaluamos la13Ambos resultados a tiempos largos.

4.5 Generaliza i�on de los resultados obtenidos para la e ua i�on de sG bajoflu tua iones t�ermi as 97

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 kb T

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Coe

ficie

nte

de d

ifusi

on

Figura 4.6: Constante de difusi�on del entro del kink de sG para � = 0;1. Las l��neas on-tinuas representan los oe� ientes de difusi�on lineal en kbT D(1)k (l��nea ontinua inferior)y lineal y uadr�ati o en kbT D(2)k (l��nea ontinua superior) obtenidos anal��ti amente |e ua iones (4.5.16) y (4.5.13)|. Los rombos son los valores num�eri os, al ulados parakbT = 0;2; 0;4; 0;6 y 0;8.fun i�on (4.5.8) en t0 = t, obtenemos que la varianza de X(t)14,h[X(t)℄2i = Dh[X1(t)℄2i = D16�3h4e��t � e�2�t + 2�t� 3i; (4.5.15)para tiempos su� ientemente largos, t� 1=�, es lineal en t y en kbT [18℄ (se re omiendaver tambi�en las referen ias que se itan en [18℄)h[X(t)℄2i � D(1)k t; D(1)k = kbT4� ; (4.5.16)e igual a la varianza del entro del kink sobreamortiguado (4.2.10) [ uando t0 = t℄. Esde ir, que el kink de sG a tiempos largos se difunde del mismo modo que lo har��a su\respe tivo" kink sobreamortiguado. Sin embargo, mientras el kink sobreamortiguado sedifunde de ese modo desde el ini io de la termaliza i�on, el kink de sG omienza por unestadio, uando t� 1=�, en el que la varianza de su entro es propor ional al oe� iente14Re uperamos as�� el resultado obtenido en [60℄.

98 sG y �4 bajo flu tua iones t�ermi as: reg��menes sobreamortiguado yamortiguadode difusi�on D y a t3 y la varianza de la velo idad propor ional a D y t. Por ello, en la�gura 4.5, vemos que para kbT = 0;415 y � = 0;1 la evolu i�on de la varianza del entrodel kink que se obtiene de las simula iones de la e ua i�on de sG (l��neas dis ontinuasde puntos) oin ide asint�oti amente on la predi i�on de la varianza a segundo orden(4.5.13) |linea ontinua superior, es de ir, s�olo debemos omparar las pendientes delas varianzas de X(t) al uladas num�eri amente para t � 10 on los valores te�ori osde la varianza, al ulados a orden kbT |l��nea ontinua inferior| (4.5.16) y (kbT )2 |l��nea ontinua superior| (4.5.13). En uanto a la dependen ia del oe� iente de difusi�ondel entro del kink de la temperatura, en la �gura 4.6 se re oge la ompara i�on entrelos resultados te�ori os obtenidos a primer y segundo orden en kbT para el oe� ientede difusi�on y los que hemos en ontrado a partir de las simula iones de la e ua i�onde sG sometida a u tua iones t�ermi as |rombos|. De nuevo podemos observar unbuen a uerdo on la teor��a, los rombos se a er an m�as a la urva superior que a lainferior, aunque en este aso tenemos menos puntos num�eri os debido a la lentitud delas simula iones de la que hablaremos m�as adelante.En uanto al valor medio de la fun i�on de onda,h�(x; t)i = h�0[x�pDX1(t)℄i+O(D) == Z +1�1 dX1p(X1)�0[x�pDX1(t)℄; (4.5.17)�este se ha obtenido al ulando num�eri amente la integral (4.5.17), teniendo en uentaque la densidad de probabilidad p(X1) es la distribu i�on gaussiana,p(X1) =s 12�h[X1(t)℄2i exp ��12 (X1 � hX1i)2h[X1(t)℄2i �; (4.5.18)determinada por el primer y el segundo momento de X1. En la �gura 4.7 podemos verque los valores de h�(x; t)i para t = 100; 300, obtenidos a partir de las simula ionesnum�eri as de la e ua i�on de sG on kbT = 0;6 y � = 0;1, se a er an a los valoresmedios de la fun i�on de onda hallados mediante la integral (4.5.17) |representados porpuntos|. En esta �gura tambi�en se representa el kink en reposo para que se puedaobservar laramente que la an hura del kink medio re e on el tiempo. Tambi�en hemosveri� ado num�eri amente que la an hura del kink medio en sG, al igual que en el asosobreamortiguado, re e al aumentar la temperatura. Por otra parte, esto no signi� aque la an hura del kink aumente en las realiza iones individuales [60℄; y, al igual que enel r�egimen sobreamortiguado, la deforma i�on del kink medio se debe a la dispersi�on deX(t).Aunque en la siguiente se i�on se omparan los resultados obtenidos para la e ua i�onde sG en los reg��menes sobreamortiguado y amortiguado, es onveniente men ionar lasdi� ultades que se nos han presentado a la hora de veri� ar los resultados te�ori os de lae ua i�on de sG mediante las simula iones num�eri as. En primer lugar, de las e ua iones15Se ha observado el mismo omportamiento para las temperaturas kbT = 0;2; 0;6; 0;8.

4.5 Generaliza i�on de los resultados obtenidos para la e ua i�on de sG bajoflu tua iones t�ermi as 99

−100 −60 −20 20 60 100x

−2

0

2

4

6

8

<Φ

(x,t

fix)>

Figura 4.7: Junto on el kink de sG en reposo |l��nea ontinua gruesa|, presentamos losvalores medios de la fun i�on de onda para t = 100; 300, obtenidos simulando num�eri a-mente la e ua i�on de sG on � = 0;1 y kbT = 0;6 (l��neas ontinuas �nas) y los al uladosa partir de (4.5.17) |puntos| para los mismos tiempos.(4.5.16) y (4.5.13) se dedu e que si disminuimos � o aumentamos la temperatura ladispersi�on del kink aumenta; y, si la dispersi�on del kink aumenta �este se mueve en unaregi�on mu ho mayor y por tanto hay que tener uidado al es oger L, pues pueden apare erefe tos de dimensi�on �nita si es ogemos 2L = 100, omo en el aso de la e ua i�on de sGsobreamortiguada; por tanto, para � = 0;1 y variando kbT entre 0;2 y 0;8 hemos tomado2L = 200. In luso para este valor de L, ya apare en estos efe tos uando kbT = 0;8,por lo que para esta temperatura se ha tomado 2L = 400. Al aumentar la dimensi�ondel sistema tambi�en hemos aumentado el paso espa ial �x = 0;2 on el objetivo de quelas simula iones no fuesen a�un m�as largas de lo que ya son. Por esta raz�on, y aunquehemos tomado �t = 0;001, los resultados num�eri os de la e ua i�on de sG amortiguadason menos pre isos que los obtenidos para la e ua i�on de sG sobreamortiguada. A estohay que a~nadir que las e ua iones (4.5.16) y (4.5.13) han sido obtenidas para tiemposlargos, t � ��1, y si es ogemos � muy peque~no este tiempo es muy grande. Tomando,por ejemplo, � = 0;1, estos resultados son v�alidos s�olo para t� 10 y por ello el tiempo�nal de las simula iones ha sido tfinal = 400. Tiempos m�as largos nos forzar��an a tomarL mayores y las simula iones ser��an prohibitivamente \lentas".

100 sG y �4 bajo flu tua iones t�ermi as: reg��menes sobreamortiguado yamortiguado4.6. Compara i�on entre los modelos de sG y �4.Las u tua iones t�ermi as en las e ua iones de sG y �4 en el r�egimen sobreamor-tiguado ha en posible que el kink se mueva en ambas dire iones. Este movimiento seprodu e de tal forma que el valor medio del entro del kink es ero y su dispersi�on,h[X(t)℄2i = Dkt; (4.6.1)es lineal en el tiempo. En esta e ua i�on, Dk es el oe� iente de difusi�on del entro delkink y satisfa e la rela i�on (4.2.17) para el sistema sG sobreamortiguado o bien es iguala D(2)k = 3kbT2� n1 + 1;81kbTo; (4.6.2)para la e ua i�on de �4 sobreamortiguada16. Vemos as�� que la difusi�on del kink en ambossistemas es similar, puesto que no s�olo la varianza de su entro es lineal en t, sino queel oe� iente de difusi�on es lineal en kbT para temperaturas bajas (kbT � E0, E0 = 8para sG y E0 = 4=3 para �4) y lineal y uadr�ati o en kbT a partir de temperaturas querepresentan un 3� 4% de E0. Sin embargo, la ontribu i�on a orden dos en el oe� ientede difusi�on en �4 (4.6.2) es un orden de magnitud mayor que la orrespondiente de sG(4.2.17), lo ual se debe |en su mayor parte| a la intera i�on entre el modo internoy los modos de trasla i�on y de radia i�on, respe tivamente, mientras que en sG, omo elmodo interno no existe, el orden uadr�ati o en la temperatura se obtiene en su totalidadde la intera i�on entre el modo de trasla i�on y los fonones.En uanto a la an hura del kink en su movimiento difusivo, nosotros hemos demos-trado en la se i�on 4.4 y 4.5 que el kink, en el sistema de sG, se mueve sin variar suan hura. La deforma i�on que vemos en la onda media (ver �gura 4.1 y 4.7) es debidaa que al ulamos el valor medio de �(x; t) promediando sobre todas las realiza iones,que en general son ondas uyos entros se en uentran en una regi�on omprendida entre��d = ph[X(t)℄2i � hX(t)i2; por ello la an hura del kink medio es propor ional a pty a pkbT . En �4, podr��amos pensar que la an hura del kink individual, al igual que ensG, no ambia y que s�olo la dispersi�on de X(t) ha e que veamos un alargamiento en elkink medio; sin embargo, en [34℄ los autores a�rman que en sus simula iones num�eri asel kink de �4 sobreamortiguado se alarga [32℄; y, aunque en nuestra opini�on no lo de-muestran, ierto es que, en este aso, la an hura del kink a tiempos largos podr��a variarsi las u tua iones t�ermi as ex itan el modo interno, por lo que esta uesti�on permane eabierta. Observemos, sin embargo, que en [5℄ se estudi�o un sistema similar, pero onruido multipli ativo, y se vio que los kinks no se deformaban.Por �ultimo es interesante darse uenta de que en los sistemas de sG y �4, uandoel oe� iente de disipa i�on es peque~no hay una gran diferen ia entre la difusi�on quetiene lugar a tiempos ortos (t � ��1) y a tiempos largos. De los resultados que se16Este oe� iente est�a al ulado en [34℄ partiendo de un poten ial U(�) = (1� �2)2=2. Para estepoten ial la energ��a del kink en reposo es igual a 4=3.

4.6 Compara i�on entre los modelos de sG y �4. 101obtienen a orden uno, tenemos que si t� ��1, la varianza de X(t) es propor ional D ya t3. Este omportamiento dura menos a medida que aumenta �, por eso en el r�egimensobreamortiguado no existe ese r�egimen transitorio. Si t � ��1, h[X(t)℄2i veri� a larela i�on (4.6.1) on un oe� iente de difusi�on igual a D(1)k = 2kbTE0� . A pesar de que notengamos una expresi�on anal��ti a para el orden dos en kbT de la onstante de difusi�ondel entro del kink en �4, esperamos que esta fun i�on tambi�en tenga un omportamientolineal y uadr�ati o en kbT . Esta orre i�on17 [51℄ no deber��a ser mu ho mayor que elorden dos que se obtiene en el r�egimen sobreamortiguado, pues es muy probable que, aligual que en la e ua i�on de sG, la difusi�on del kink en el r�egimen amortiguado a tiemposlargos sea pare ida a la difusi�on del kink en el r�egimen sobreamortiguado.

17El orden dos podr��a obtenerse num�eri amente, utilizando por ejemplo el m�etodo propuesto en [33℄para al ular el entro del kink.

102 sG y �4 bajo flu tua iones t�ermi as: reg��menes sobreamortiguado yamortiguado

Cap��tulo 5Con lusiones.5.1. Con lusionesEn este ap��tulo re ogemos las on lusiones m�as importantes de esta tesis, y tam-bi�en planteamos algunas de las uestiones que quedan a�un sin resolver; algunas de ellasse derivan de los problemas que hemos estudiado, y otras podr��an estudiarse sobre labase de los resultados que hemos obtenido.Las on lusiones fundamentales, re ogidas por ap��tulos, son:En el ap��tulo 2 se ha analizado la din�ami a del kink de �4 y sG bajo fuerzasperi�odi as, f(t) = � sin(Æt + Æ0) y disipa i�on. Las ideas de las uales parti-mos evolu ionan a lo largo de las se iones que omprende: as��, omenzamosanalizando estos sistemas mediante el m�etodo perturbativo de M Laughlin yS ott y demostramos que en la mayor��a de los asos la evolu i�on del entrodel kink, X(t), que predi e este m�etodo des ribe perfe tamente la din�ami adel kink. Sin embargo, uando la fre uen ia de la fuerza externa Æ es aproxi-madamente igual a la mitad de la del modo interno i, en las simula ionesnum�eri as del sistema de �4 observamos un re imiento en la energ��a del sis-tema (fen�omenos de resonan ias) que no expli an las predi iones anal��ti as.Por tanto, retomamos el estudio de nuestras EDPs a trav�es de un m�etodom�as general que el anterior, el Generalized Traveling Wave Ansatz (GTWA),que des ribe la evolu i�on del kink tomando dos oordenadas ole tivas: la po-si i�on del entro del kink, X(t), y su an hura, l(t), rela ionada on el modointerno (o modo de Ri e) en �4 o on el modo de Ri e en sG. Este nuevom�etodo, adem�as de expli ar los fen�omenos de resonan ia que tienen lugaren �4 debido a la ex ita i�on del modo interno, tambi�en predi e resonan iassimilares en la e ua i�on de sG rela ionadas on la fre uen ia de Ri e, pero eneste aso demostramos num�eri amente que estas resonan ias est�an rela io-

104 Con lusiones.nadas on la ex ita i�on de los modos de radia i�on de fre uen ias m�as bajasy no on la existen ia de alg�un \ uasimodo interno" [15℄. Adem�as, en lassimula iones num�eri as de la e ua i�on de sG hemos en ontrado eviden iasde un nuevo modo interno que podr��a apare er debido a la dis retiza i�on delsistema [62, 65℄.Por otra parte, el estudio de estos sistemas bajo fuerzas onstantes y la om-para i�on que se presenta en el ap��tulo 3 entre los resultados de las oorde-nadas ole tivas y de las simula iones para sG y �4 nos permiten a�rmar queen este aso el modo interno de �4 puede ex itarse y provo ar os ila ionesen la an hura del kink omo predi en las oordenadas ole tivas, mientrasque en sG estas os ila iones otra vez est�an rela ionadas on las fre uen iasm�as bajas de los fonones. Para este tipo de fuerzas externas, determinamosla importan ia de las ondi iones ini iales del sistema y on luimos que tantola fuerza externa omo la disipa i�on amortiguan las posibles os ila iones quepuedan existir en la an hura del kink. En este ap��tulo hemos estable idoadem�as que el GTWA es equivalente a variar la energ��a y el momento endi hos sistemas; por tanto, las din�ami as del entro del kink y de su an huraest�an pr�a ti amente determinadas por la energ��a y el momento del sistema.Si en los ap��tulos 2 y 3 hemos visto b�asi amente la importan ia de los modosde trasla i�on de sG y �4 y del modo interno de �4, en el ap��tulo 4 hemosinvestigado la difusi�on del kink de sG en los reg��menes amortiguado y so-breamortiguado, donde se ha demostrado que los modos de radia i�on y suintera i�on on el modo de trasla i�on juegan un papel muy importante enlas orre iones que apare en a segundo orden en el oe� iente de difusi�ony en la varianza de la posi i�on uando aumenta la temperatura del sistema.En primer lugar, estable emos que el kink est�ati o (situado ini ialmente en elorigen) se difunde en estos sistemas ha iendo que su entro se despla e ha iala izquierda y ha ia la dere ha, de tal modo que el valor medio de la posi- i�on es ero, y la varianza, lineal en el tiempo. Por otra parte, el oe� ientede difusi�on re e lineal y uadr�ati amente on la temperatura. El m�etodoperturbativo que hemos empleado nos ha servido para demostrar que la des-via i�on lineal de la temperatura proviene de la intera i�on entre los modosde radia i�on y el modo de trasla i�on y que estos pro esos o urren a segundoorden y son apre iables a partir de temperaturas que representan un 3%-4%de la energ��a en reposo del kink. Tanto para el r�egimen sobreamortiguado o-mo para el amortiguado, se obtienen las expresiones anal��ti as del oe� ientede difusi�on y de la varianza del entro del kink de sG para tiempos largos.Comparando estas antidades en los dos reg��menes (amortiguado y sobrea-mortiguado) llegamos a la on lusi�on de que, a tiempos largos, la difusi�ondel kink en sG amortiguado no es muy diferente a la difusi�on del kink desG sobreamortiguado. Por otra parte si omparamos los resultados obtenidospara la e ua i�on de �4 sobreamortiguada [34℄ on los nuestros, vemos queen ambos sistemas se obtienen resultados similares; sin embargo, la segunda

5.2 Problemas abiertos 105 orre i�on en la varianza del entro del kink o en su oe� iente de difusi�on enla e ua i�on de �4 sobreamortiguada es un orden de magnitud mayor que la ontribu i�on a orden 2 que obtenemos en sG sobreamortiguada. Ello se debea que la orre i�on de segundo orden en �4 proviene en su mayor parte de laintera i�on entre el modo interno y el modo de trasla i�on y los de radia i�on,mientras que en sG, omo el modo interno no existe, esta orre i�on se obtieneintegramente de la intera i�on entre el modo de trasla i�on y los de radia i�on.En este ap��tulo tambi�en hemos demostrado que la an hura del kink medioen sG re e on la temperatura y on el tiempo debido a la dispersi�on quesufre el entro del kink en su movimiento difusivo, y no porque la an hura delos kinks individuales ambie a ausa de las u tua iones t�ermi as.Ya desde un punto de vista m�as general, los resultados que se obtienen en esta me-moria puede servir una vez m�as para mostrar la poten ia y validez de los m�etodos de oordenadas ole tivas en los kinks de sG y �4 sometidos a perturba iones deterministasy esto �asti as; siempre teniendo uidado a la hora de es oger el m�etodo perturbativo.Esta ele i�on, sin lugar a dudas, depender�a del problema en uesti�on que se pretendaestudiar y de los fen�omenos que enton es aparez an.5.2. Problemas abiertosEn esta memoria hemos tratado de estudiar todos los problemas que se han deri-vado de los que partimos en un prin ipio, sin embargo, a medida que hemos avanzado enlos trabajos y a medida que hemos dado solu i�on a mu hos de ellos, han surgido otros,que no hemos resuelto y que in luimos a ontinua i�on.Cuando la e ua i�on de sG se perturba on una fuerza peri�odi a hemos observadonum�eri amente resonan ias que est�an rela ionadas on la ex ita i�on de los modos delos fonones de fre uen ias m�as bajas. Sin embargo, ser��a interesante estudiar este pro-blema desde un punto de vista anal��ti o, puesto que por una parte omprobar��amos losresultados obtenidos num�eri amente y por la otra es posible que podamos estable eruna rela i�on entre los modos de radia i�on y la fre uen ia de Ri e en la e ua i�on de sG.Aparte, ser��a interesante investigar si existen o no resonan ias uando la fre uen ia dela fuerza externa es igual a la de los modos de radia i�on, pues re ordemos que las quehemos en ontrado se en uentran en la mitad de las fre uen ias de estos modos. Adem�as,si hemos en ontrado estas resonan ias en la e ua i�on de sG, tambi�en abe esperar queexistan en �4, de he ho hemos en ontrado num�eri amente que la energ��a de este sistema re e uando la fre uen ia de la fuerza externa peri�odi a Æ � p2=2. Con respe to alas resonan ias num�eri as en ontradas en sG reemos que, el primer pi o que vemos enla �gura 2.13 podr��a estar rela ionado on la mitad de la fre uen ia del nuevo modointerno que apare e en la e ua i�on de sG dis retizada, ya que este nuevo modo internona e a partir de los modos de radia i�on de fre uen ia m�as baja. Ser��a interesante om-probar anal��ti amente que la fre uen ia de este nuevo modo interno para la e ua i�on

106 Con lusiones.de sG ( on una fuerza peri�odi a) dis retizada mediante el esquema de Strauss-V�azquezes aproximadamente igual a i = 0;9998. Si nuestra suposi i�on fuese ierta, las fuerzasperi�odi as en otros sistemas no lineales (DsG, e ua i�on de S hr�odinger no lineal), paralos que tambi�en se han en ontrado estos nuevos modos internos, podr��an ex itar di hosmodos y provo ar fen�omenos de resonan ias en los mismos.Una vez que se ha estable ido la importan ia del modo interno en la e ua i�on de �4 uando se perturba on una fuerza peri�odi a, podr��amos investigar la ex ita i�on de losmodos internos de la e ua i�on Double sine-Gordon (DsG) bajo este tipo de perturba io-nes. Como DsG es otra de las e ua iones no lineales de Klein-Gordon, podemos extenderel estudio anal��ti o que se ha desarrollado en el ap��tulo 3, de tal modo que variandola energ��a y el momento del sistema onsigamos informa i�on sobre los fen�omenos quepueden o urrir, que, posiblemente, ser�an m�as ompli ados que los en ontrados en �4debido a que este sistema presenta varios modos internos.El an�alisis te�ori o y num�eri o de la difusi�on del kink en el sistema de �4 amortiguado,nos ayudar��a a ompletar la idea que tenemos sobre la difusi�on del kink en los modelosde sG y �4. Los resultados que propor ionar��a el estudio de este problema ser��an lavespara entender si la an hura del kink de �4 var��a en su movimiento difusivo.En uanto a la interpreta i�on f��si a que propor ionamos en el ap��tulo 3 del GTWA, esde ir, la equivalen ia que estable emos entre este m�etodo y las varia iones de la energ��ay el momento abe preguntarse si on las dem�as antidades onservadas de la e ua i�onde sG obtendr��amos la misma informa i�on sobre las oordenadas ole tivas en problemasrela ionados on m�as de un kink (o un antikink). Por otra parte, estas mismas antidades onservadas nos podr��an servir en la onstru i�on de nuevos algoritmos num�eri os quesean m�as e� a es y ventajosos a la hora de obtener las solu iones num�eri as en lase ua iones de Klein-Gordon no lineales.En los sistemas de sG y �4 se han estudiado anal��ti amente las diferentes manifes-ta iones del kink ante perturba iones deterministas y esto �asti as. Los uatro m�etodoste�ori os des ritos redu en la din�ami a del kink de los sistemas de sG y �4 perturbados(EDPs) a e ua iones diferen iales ordinarias para las oordenadas ole tivas que, unasve es des riben perfe tamente la evolu i�on del kink, pero otras no. Es de ir que, a pesarde que existen numerosos m�etodos de oordenadas ole tivas, are emos de un \teore-ma" que nos diga ual de estos m�etodos debemos apli ar en ada problema en on reto.Si planteamos esta uesti�on de otra manera: >podr��a existir un m�etodo perturbativomu ho m�as general que los que se ono en, que \ ontenga" a todos los que existen y quese pudiese emplear para obtener la solu i�on aproximada en estos sistemas perturbados?En esta memoria hemos estudiado algunas perturba iones en los sistemas de sG y �4desde un punto de vista te�ori o, sin embargo, en la introdu i�on nos hemos referido a lasapli a iones de estas e ua iones en sistemas f��si os, biol�ogi os, et . Por tanto, esperamosque el estudio aqu�� presentado pueda ser �util en los problemas pr�a ti os rela ionados on di hos modelos y que sirvan tambi�en de referen ia a mu hos otros.

Referen ias b�asi asGran parte de los resultados originales de esta tesis se en uentran en las siguientesreferen ias:Cap��tulo 2 � N. R. Quintero and A. S�an hez, \d motion of a driven sine-Gordonsolitons". Phys. Lett. A 247, 161 (1998).� N. R. Quintero and A. S�an hez, \a driven sine-Gordon solitons: dyna-mi s and stability". Eur. Phys. J. B 6, 133 (1998).� N. R. Quintero, A. S�an hez, and F. Mertens, \Anomalous resonan ephenomena of solitary waves with internal modes". Phys. Rev. Lett. 84,871 (2000).� N. R. Quintero, A. S�an hez, and F. G. Mertens, \Resonan es in the �4system perturbed by a for e". Phys. Rev. E 62, 1 (2000).Cap��tulo 3 � N. R. Quintero, A. S�an hez, and F. G. Mertens, \On the existen e ofinternal modes in the sG equation". Phys. Rev. E, Rapid Communi a-tions, 62, 1 (2000).� N. R. Quintero, A. S�an hez, and F. G. Mertens, \Internal mode ex ita-tions in the sG and �4 systems, perturbed by d for e". The EuropeanPhysi al Journal B. (enviado).Cap��tulo 4 � N. R. Quintero, A. S�an hez, and F. G. Mertens, \Overdamped sine-Gordon kink in a thermal bath". Phys. Rev. E, 60, 222 (1999).� N. R. Quintero, Angel S�an hez, and Franz Mertens, \Thermal di�usionof sine-Gordon solitons". Eur. Phys. J. B., 16, 361 (2000).

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Ap�endi esA. Notas hist�ori as sobre la e ua i�on de Ermakov-PinneyLa e ua i�on de Ermakov �y + p(t)y = y3 ; = onst; (A.1)apare e en algunos problemas de Me �ani a Cu�anti a, �opti a y elasti idad, en el an�alisisde las ondas viajeras de la e ua i�on de S hr�odinger [6, 106℄ y, adem�as, se ha rela ionado on la longitud del kink en los sistemas de Klein-Gordon perturbados [79℄.Por sus numerosas apli a iones no es de extra~nar que haya sido objeto de estudiodurante m�as de un siglo por matem�ati os y f��si os. As�� pues, ya en 1880, Ermakov [38℄demostr�o que la solu i�on de la e ua i�on no lineal (A.1) era igual aC1 Z dt�2(t) + C2 = sC1 y2�2(t) � ; (A.2)donde �(t) es una solu i�on parti ular de la e ua i�on lineal orrespondiente a (A.1),�y + p(t)y = 0; (A.3)y C1 y C2 dos onstantes arbitrarias. Unos a~nos m�as tarde, Chini, analizando una e ua- i�on m�as general que (A.1) [99℄, obtuvo una forma de expresar expl�� itamente la solu i�onde (A.1), que es ribi�o omo una superposi i�on no lineal de dos solu iones independientesv1(t) y v2(t) de (A.3)1, es de ir,y2(t) = Av21(t) +Bv22(t) + 2Cv1(t)v2(t); (A.4)AB � C2 = W 2 ; (A.5)1Este prin ipio de superposi i�on no lineal puede obtenerse tambi�en a partir de las simetr��as de Liede la e ua i�on de Ermakov [97, 106℄.

118 Ap�endi esdonde el WronskianoW = v1 _v2�v2 _v1 = onst. Ambas solu iones, (A.2) y (A.4), puedenutilizarse para en ontrar la solu i�on del problema de valor ini ial (PVI) de (A.1), quefue investigado por Milne, en 1930, y por Pinney, en 1950. Ellos llegaron a la on lusi�onde que la solu i�on del PVI de (A.1) era igual ay(t)2 = v21 + W 2v22; (A.6)donde v1(0) = y(0) 6= 0, _v1 = _y(0), v2(0) = 0 y _v2(0) = onst 6= 0 [94℄. Despu�es dealgunas transforma iones en (A.2), (A.4) y (A.6) [11, 99℄ puede demostrarse que las tressolu iones del PVI de la e ua i�on de Ermakov (A.2), (A.4) y (A.6) son equivalentes.�Estas no son las �uni as expresiones que se han obtenido para el PVI de la e ua i�on deErmakov. Las diferentes formas en que puede es ribirse la solu i�on de este PVI dependende las onstantes A, B y C presentes en el prin ipio de superposi i�on no lineal2, y de losvalores ini iales v1(0), v2(0), _v1(0) y _v2(0) [99℄.Cono er la solu i�on de (A.1) no s�olo ha sido �util en los problemas donde apare eesta e ua i�on, sino tambi�en ha permitido en ontrar las solu iones de otras e ua ionesno lineales [67℄. In luso en esta d�e ada los sistemas del tipo Ermakov han ontinuadosus itando un gran inter�es desde el punto de vista matem�ati o [12℄ y f��si o [79℄. Si aesto se a~nade que hay e ua iones omo las que apare en en el ap��tulo 2, que no se hanlogrado resolver, podemos �nalizar esta se i�on on la esperanza de que la historia deeste tipo de e ua iones no haya on luido a�un3.

2Estas onstantes est�an rela ionadas s�olo mediante (A.5).3Los trabajos m�as re ientes sobre est�a e ua i�on pueden en ontrarse en [12℄.

Ap�endi es 119B. Espe tro de sG y �4En este ap�endi e demostramos omo ambia el espe tro orrespondiente a los modosde radia i�on y al modo interno en los sistemas de �4 y sG uando variamos la velo idadini ial.Para ello, rees ribimos las fun iones (1.5.5), (1.5.7) y (1.5.8) en el sistema de referen ia(x; t), on respe to al ual el kink se mueve on una velo idad ini ial u(0) y adem�as enlugar de �1(x0; t0) = exp(i!t0) 1(x0); (B.1) onsideramos la solu i�on de (1.5.2) omo��1(x; t) = A exp[i 0 (!t� u(0)x)℄ 1[ 0(x� u(0) t)℄ + : :; (B.2)donde A = (a+b i)=2 es una onstante ompleja y a y b son onstantes reales. Si sustitui-mos las expresiones (1.5.5), (1.5.7) y (1.5.8) en las variables (x; t), �estas se transformanen ��1(x; t) = a k � b tanh[ 0(x� u(0)t)=l0℄p2 � os[�!k t + 0(k=l0 � !ku(0))x℄��a tanh[ 0(x� u(0)t)=l0℄ + b kp2 � sin[�!k t+ 0(k=l0 � !ku(0))x℄; (B.3)rela ionada on los modos de radia i�on de sG, y en��1(x; t) = tanh[ 0(x� u(0)t)=l0℄ se h[ 0(x� u(0)t)=l0℄��fa os[�i t� �iu(0)x℄� b sin[�i t� �iu(0)x℄g; (B.4)��1(x; t) = fa(3tanh2[ 0(x� u(0)t)=l0℄� 1� k2) + 3kbtanh[ 0(x� u(0)t)=l0℄g�� os(�!kt + 0[k=l0 � !ku(0)℄x)��fb(3tanh2[ 0(x� u(0)t)=l0℄� 1� k2) + 3katanh[ 0(x� u(0)t)=l0℄g�� sin(�!kt+ 0[k=l0 � !ku(0)℄x); (B.5)que orresponden a los modos interno y de radia i�on de �4 respe tivamente en el sistemade referen ia (x; t). De las e ua iones (B.3) y (B.5) tenemos que la fre uen ia de os ila i�onde estos modos es igual a �!k = 0(!k � ku(0)=l0), es de ir,�!k = 0(p1 + k2 � ku(0)=l0); (B.6)para sG y �!k = 0(p2 + k2=2� ku(0)=l0); (B.7)

120 Ap�endi espara �4. Del mismo modo, la fre uen ia del modo interno de �4 (B.4) es igual a�i = 0i = 0r32 ; (B.8)Notemos, adem�as, que la fre uen ia del modo de trasla i�on en el sistema de referen ia(x; t) sigue siendo la misma (!T = 0) para ambos sistemas.En la �gura 5.1 (dere ha) hemos representado la dependen ia de las fre uen ias dedos modos de radia i�on y del modo interno de �4 para un sistema de longitud 2L = 100,k = �=L. En ella podemos apre iar que uando la velo idad ini ial es distinta de eroel modo interno de �4 puede estar dentro de la banda de fre uen ias de los fonones, porlo tanto, en estos asos seguramente no se podr�an separar los modos de radia i�on de �4de su modo interno.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0u(0)

0.8

1.2

1.8

2.2

2.8

3.2

ωk[

u(0)

]

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0u(0)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5ω

k[u(

0)]

Figura 5.1: Dependen ia de la fre uen ia de los fonones de la velo idad ini ial u(0),para un sistema de longitud 2L = 100. En las �guras se representan las fre uen ias!1 ( l��neas ontinuas) y !10 (lineas dis ontinuas) para el sistema �4 (izquierda) y parasG (dere ha). Adem�as en la �gura de la izquierda tambi�en representamos on l��nea depuntos la fre uen ia del modo interno de �4 (B.8).

Ap�endi es 121C. Perturba iones sobre el modelo de sG sobreamor-tiguado: modos de trasla i�on y de radia i�on.En esta parte se demuestra que las perturba iones sobre el kink est�ati o de la e ua i�onde sG sobreamortiguada pueden interpretarse en t�erminos del modo de trasla i�on (fT (x),!T ) y de los modos de radia i�on (fk(x), !k).Para ello, ha emos notar que el kink on velo idad ini ial ero,�0(x; t) = 4 ar tan[exp(x)℄; (C.1)es solu i�on de la e ua i�on (4.1.1)-(4.1.2) on � = 0 y D = 0. Si � 6= 0 y D 6= 0 en (4.1.1)-(4.1.2), pero son par�ametros peque~nos, la disipa i�on y la a i�on de las u tua ionest�ermi as sobre el sistema pueden onsiderarse omo perturba iones sobre la solu i�onest�ati a tipo kink (C.1), por tanto, la solu i�on general de la e ua i�on perturbada de sG(sobreamortiguada) se supone igual a�(x; t) = �0(x) + (x; t); j (x; t)j � �0(x): (C.2)Si sustituimos (C.2) en (4.1.1) imponiendo � = 0 y f(x; t; :::) = 0 y linealizamos lae ua i�on resultante en torno a �0(x), obtenemos que (x; t) veri� a� t = xx � �1� 2 osh2(x)� ; (C.3) uya solu i�on, utilizando el prin ipio de separa i�on de variables, puede es ribirse omo (x; t) = fk(x) exp��!2k t� �, donde fk(x) satisfa e el problema de autovalores,��2fk�x2 + �1� 2 osh2(x)� fk = !2kfk; (C.4)que tiene omo solu i�on fT (x) = 2 osh(x) ; !2T = 0; (C.5)fk(x) = exp(ikx) [k + itanh(x)℄p2� !k ; !2k = 1 + k2: (C.6)Estas dos autofun iones, fT (x) y fk(x), forman un espa io ompleto y satisfa en lassiguientes rela iones de ortogonalidadZ +1�1 f 2T (x) dx = 8; Z +1�1 fT (x)fk(x) dx = 0; (C.7)Z +1�1 fk(x)f �k0(x) dx = Æ(k � k0): (C.8)

122 Ap�endi esD. IntegralesEn este ap�endi e se de�nen las integrales que hemos utilizado en las se iones 4.2 y4.5. Tambi�en se al ulan algunas de ellas, ne esarias a la hora de en ontrar las fun ionesde orrela i�on del ap��tulo 4.I1(k) = Z +1�1 �fk�� fT (�)d� = i�!kp2� osh��k2 � ;I2(k) = Z +1�1 �2fk��2 fT (�)d�;R3(k; k0) = Z +1�1 fT (�)�fT�� fk(�)f �k0(�)d� = � i(!2k � !2k0)24!k!k0 sinh���k2 � ; �k = k0 � k;I3(k; k0) = Z +1�1 �fk�� f �k0(�)d�;R4(k; k0) = Z +1�1 [f �k0(�)℄2�fT�� fk(�)d�; R4(k; k) = 3i!k8p2� osh ��k2 � ;R6(k; k1; k2) = Z +1�1 �2fT��2 fk(�)f �k1(�)fk2(�)d�;R7(k; k0; k1; k2) = Z +1�1 os(�0)f �k0(�)fk(�)f �k1(�)fk2(�)d�: (D.1)

Ap�endi es 123E. Tabla omparativa: par�ametros de sG y �4Par�ametros sG �4U(�) 1� os(�) �4 (�2 � 1)2l0 1 r 2�ls l(0) � l0 0 l(0) � l0 0�k;A 4 artan exp"� x� u(0)tl0p1� u2(0)#! � tanh exp"� x� u(0)tl0p1� u2(0)#!M0 8l0 43l0q 2� 2fT (x0) 2 � osh�x0l0���1 se h2�x0l0�!T 0 0fI(x0) | tanh�x0l0�se h�x0l0�i | r32fk(x0) 1p2� exp� ikx0l0 ��k + i tanh�x0l0�� exp� ikx0l0 � �3 tanh2�x0l0���3ik tanh�x0l0�� 1� k2�!k p1 + k2 r2 + k22� �212 �2 � 612R 1p�ls 1p�ls