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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO
VICTOR MARCELO ROJAS SANTANDER
Elaboração de um Objeto para Aprendizagem - OPA:
Aplicações na Matemática Financeira
“Capitalização, Financiamento e Desvalorização”.
São Paulo
2010
VICTOR MARCELO ROJAS SANTANDER
MESTRADO ACADÊMICO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Elaboração de um Objeto para Aprendizagem - OPA:
Aplicações na Matemática Financeira
“Capitalização, Financiamento e Desvalorização”.
São Paulo
2010
Dissertação apresentada à banca examinadora da Universidade Bandeirante de São Paulo -
UNIBAN, como exigência parcial para obtenção do título de
Mestre em Educação Matemática,
sob a orientação da
Profª. Dra. Janete Bolite Frant.
R645e Rojas-Santander, Victor Marcelo
Elaboração de um Objeto de Aprendizagem – OPA: Aplicações na Matemática Financeira “Capitalização, Financiamento e Des- valorização”. / Victor Marcelo Rojas Santander – São Paulo : [s.n.], 2010.
112f.; il. ; 30 cm.+ 1 CD-ROM
Dissertação de Mestrado - Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São Paulo,
Curso de Educação Matemática. Orientadora: Profª Drª . Janete Bolite Frant.
1. Semiótica 2. Progressões geométricas 3. Matemática financeira 4.Aprendizagem - matemática - I. Título.
CDD: 372.7
Banca Examinadora
UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO
VICTOR MARCELO ROJAS SANTANDER
Elaboração de um Objeto Para Aprendizagem – OPA
Aplicações na Matemática Financeira
“Capitalização, Financiamento e Desvalorização”
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, na Universidade Bandeirante de São Paulo – UNIBAN, à seguinte banca examinadora:
UNIBAN
SÃO PAULO
Autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Tese por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos. Assinatura: __________________________________
Local e Data: __________________________________
Dedico este trabalho a todos os meus familiares desde meus avós até os meus netos, pela paciência, perseverança carinho e compreensão, elementos necessários que me permitem colaborar com este grão de areia e assim poder retribuir a carinhosa acolhida que sempre tive aqui no Brasil.
AGRADECIMENTOS
Agradezco a mi familia chilena, Chelita (mamá), Loreto y Carlos (mis hermanos),
Carlitos, Paulita, Danielita y Javierita (mis sobrinos) y a mis sobrinos nietos,
porque siempre pensaron en mi bienestar y de los míos. A Toquito (papá),
abuelitos, tíos, Tachito y Luchín (primos) que desde arriba vigilan por nosotros.
Aos Professores Doutores Tânia Maria Mendonça Campos, pelo grande espírito
incentivador, Ruy Pietropaolo e toda a equipe de professores desse magnífico
Programa de Pós-Graduação pelos ensinamentos que foram, são e serão úteis na
vida profissional.
Às Professoras Doutoras Janete Bolite Frant, pelo trabalho de orientação e a
confiança que depositou em mim no desenvolvimento desta dissertação, Monica
Karrer, pelas valiosas informações prestadas e Rosana Giaretta Sguerra Miskulin
pela grande colaboração durante as Bancas de Qualificação e Defesa.
Aos colegas, amigos e companheiros até nos momentos de apuros do Programa
de Pós-Graduação, com quem tive o prazer de conviver, e em especial àqueles
que participaram nesta pesquisa.
Aos funcionários do Programa de Pós-Graduação, que sempre foram prestativos
e atenciosos para comigo.
Aos meus amigos Antonio Paschoal de Caroli e Alberto Schiesari, que sempre
estiveram presentes nos momentos da minha vida.
À minha família, Cynthia (esposa), Ana Paula, Ana Cláudia e Eduardo, Victor
Marcelo e Andrea, Júlio César e Cláudia (filhos e cônjuges), e meus maravilhosos
netos Rachel, Sarah e Marcelo Miguel, pelo amor, compreensão, paciência e
tolerância que sempre tiveram.
A todos meu Muito Obrigado.
Sumário
LISTA DE FIGURAS ........................................................................................ x
LISTA DE GRÁFICOS .................................................................................... xi
LISTA DE QUADROS .....................................................................................xii
LISTA DE TABELAS .....................................................................................xiv
RESUMO .......................................................................................................xv
ABSTRACT...................................................................................................xvi
INTRODUÇÃO ................................................................................................ 1
Capítulo 1 – Fundamentação Teórico-Metodológica ...................................... 8
1.1. Teoria dos Registros de Representação Semiótica ........................ 8
1.2. Design Instrucional e Construtivismo ............................................20
1.3. Impacto da Tecnologia no Processo de Ensino e Aprendizagem ..23
1.4. Metodologia do Design-based research .........................................25
Capítulo 2 – Objetos Para Aprendizagem ......................................................29
2.1. De Objetos de Aprendizagem para Objetos Para Aprendizagem ...30
2.2. Elaboração do OPA ........................................................................34
2.2.1. Funcionalidades Esperadas ...........................................................37
Capítulo 3 – Fase Preparatória ......................................................................41
3.1. Análise dos Livros Didáticos .........................................................42
3.1.1. Matemática – Dante – Volume Único ..............................................43
3.1.2. Kátia Stocco Smole et al. Matemática ............................................47
3.1.3. Márcio Cintra Goulart - Matemática ................................................47
3.2. Análise de Dissertações e Livros Didáticos Especializados ..........50
3.2.1. Análise das Dissertações ...............................................................50
3.2.2. Análise de Livros Didáticos Especializados...................................54
3.3. Análise do Caderno do Professor ..................................................55
3.4. As Entrevistas e as Atividades.......................................................65
3.5. Elaboração da 1ª Versão do OPA ...................................................78
Capítulo 4 – Fase Implementação .................................................................87
4.1. A Atividade Avaliativa da 1ª Versão do OPA ..................................88
4.2. A Versão Final do OPA...................................................................99
Capítulo 5 – Considerações Finais.............................................................. 103
BIBLIOGRAFIA ............................................................................................ 110
ANEXO I – Termo de Consentimento .......................................................... 113
x
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Mapa Conceitual da Fundamentação Teórica - Metodológica....................... 8
Figura 2 - Esquema de Organização Semiótica e do Funcionamento das
Representações Gráficas. ................................................................................. 16
Figura 3 - Mapa Conceitual dos Aspectos do Objeto Para Aprendizagem .................. 29
Figura 4 - Mapa Conceitual da Fase Preparatória ........................................................... 41
Figura 5 - Registros utilizados na 2ª Atividade para o Montante ................................... 75
Figura 6 - Representação gráfica de uma Capitalização ................................................ 76
Figura 7 - Associação das parcelas com os termos da P.G. .......................................... 76
Figura 8 - Associação de P2 a P6 com os termos da P.G. .............................................. 77
Figura 9 - Procedimento sugerido com calculadora simples .......................................... 79
Figura 10 - Mapa Conceitual da Fase Implementação .................................................... 87
Figura 11 - 1ª Tela de Visualização para Financiamento - Juros Compostos ............. 89
Figura 12 – Resposta do Grupo “A” - 1ª Tela de Visualização ...................................... 90
Figura 13 - Tela para o Cálculo do Valor das Parcelas Financiamento a Juros
Compostos ......................................................................................................... 90
Figura 14 – Resposta do Grupo “A” - Tela para o Cálculo das Parcelas ..................... 91
Figura 15 - Resposta do Grupo “B” - Tela para o Cálculo das Parcelas ...................... 92
Figura 16 - Área do Valor da Geladeira ............................................................................. 93
Figura 17 - Tela Reduzida do Cálculo do Valor das Parcelas Financiamento a Juros
Compostos ......................................................................................................... 94
Figura 18 – Resposta de ordem geral – Grupo A............................................................. 94
Figura 19 - Resposta de ordem geral – Grupo B.............................................................. 95
Figura 20 - Resposta de ordem geral – Grupo C ............................................................. 95
Figura 21 – Menu Principal da 1ª Proposta do OPA ........................................................ 96
Figura 22 – Menu Principal da versão final ....................................................................... 99
Figura 23 - Tela de Visualização para Financiamento - Juros Compostos ................ 100
Figura 24 – Áreas laterais da Tela de Visualização. ...................................................... 100
Figura 25 - Tela para o Cálculo do Valor das Parcelas Financiamento...................... 101
Figura 26 – Área de cálculo preenchida .......................................................................... 102
Figura 27 – Área de ajuda preenchida ............................................................................. 102
xi
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1 - Representação de uma Sequência Uniforme Diferida – p. 116 ................. 54
Gráfico 2 - Registro gráfico proposto para o problema no 4 ........................................... 61
Gráfico 3 - Correspondência das parcelas aos termos da P.G...................................... 62
Gráfico 4 - Representação Gráfica do problema analisado ............................................ 64
Gráfico 5 - Representação Gráfica do VP x VF ................................................................ 70
Gráfico 6 - Representação Gráfica da evolução do VP................................................... 71
Gráfico 7 - Representação Gráfica do 1o termo da PG ................................................... 71
Gráfico 8 - Representação Gráfica do 2o termo da PG ................................................... 72
Gráfico 9 - Representação Gráfica da PG ......................................................................... 72
Gráfico 10 - Comparação entre Juros Simples e Juros Compostos ............................. 79
xii
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - Processo de produção dos módulos e objetos de aprendizagem ............. 35
Quadro 2 - Interface do OPA ............................................................................................... 38
Quadro 3 - Resumo das noções de Matemática Financeira - Dante ............................ 43
Quadro 4 – Exemplo no 1 Vunesp ....................................................................................... 43
Quadro 5 - Exemplo no 3....................................................................................................... 44
Quadro 6 - Fórmula do Montante a Juros Compostos...................................................... 45
Quadro 7 - Juros e Funções ................................................................................................. 45
Quadro 8 - Juros Simples - Montante em função do tempo............................................. 46
Quadro 9 - Juros Compostos - Montante em função do tempo ..................................... 46
Quadro 10 - Resumo da Unidade 6: - Sequência, P.A. e P.G. - Smole ....................... 47
Quadro 11 - Resumo das Noções básicas de Matemática Financeira - Goulart ........ 47
Quadro 12 - Juros Simples – Juros em função do tempo ................................................ 48
Quadro 13 - Juros Simples - Montante em função do tempo .......................................... 48
Quadro 14 - Uso da calculadora financeira HP 12C ........................................................ 49
Quadro 15 - Análise da Atividade 2 – Juros Simples Financiamento .......................... 51
Quadro 16 - Análise da Atividade 5 – Juros Simples Capitalização (p. 71) ................. 51
Quadro 17 - Análise da Atividade 12 – Juros Compostos Capitalização ..................... 52
Quadro 18 - Resultados verificados.................................................................................... 53
Quadro 19 - Comparativo da Evolução de um Capital .................................................... 56
Quadro 20 - Tabela de Capitalização – Juros Simples ................................................... 57
Quadro 21 - Tabela de Capitalização – Juros Compostos ............................................. 57
Quadro 22 - Parcela associada ao tempo ......................................................................... 58
Quadro 23 - 1º Aspecto gerador de dúvidas ..................................................................... 60
Quadro 24 - 2º Aspecto gerador de dúvidas ..................................................................... 60
Quadro 25 - Enunciado e Solução problema no 4 ............................................................ 60
Quadro 26 - Representação tabular de um registro de tabelas ..................................... 64
Quadro 27 - Primeira Questão da Primeira Atividade ...................................................... 67
Quadro 28 - Segunda Questão da Primeira Atividade .................................................... 68
Quadro 29 - Terceira Questão da Primeira Atividade ...................................................... 69
Quadro 30 – Enunciado de uma operação de Financiamento ....................................... 70
Quadro 31 - Enunciado do problema no 5 ......................................................................... 75
xiii
Quadro 32 - Mudança para o período n = 0 ...................................................................... 77
Quadro 33 - Primeira questão da 1ª Atividade.................................................................. 78
Quadro 34 – Evolução dos Capitais - Juros Simples e Juros Compostos ................... 79
Quadro 35 - Resposta do grupo 1 folha 1.......................................................................... 80
Quadro 36 - Resposta do grupo 1 folha 2.......................................................................... 81
Quadro 37 - Resposta do grupo 2 folha 1.......................................................................... 81
Quadro 38 - Resposta do grupo 2 folha 2.......................................................................... 81
Quadro 39 - Resposta do grupo 2 folha 3.......................................................................... 82
Quadro 40 - Resposta do grupo 2 folha 4.......................................................................... 82
Quadro 41 - Problema enfatizando o uso do fator de atualização de Capitais ........... 83
Quadro 42 - Resposta do Problema 1 da Atividade 2 do grupo 1 folha 1 .................... 83
Quadro 43 - Resposta do Problema 1 da Atividade 2 do grupo 1 folha 2 .................... 84
Quadro 44 - Resposta do Problema 1 da Atividade 2 do grupo 2 folha 1 .................... 84
Quadro 45 - Resposta do Problema 1 da Atividade 2 do grupo 2 folha 2 .................... 84
xiv
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Tipos e funções de representações ................................................................. 10
Tabela 2 - Classificação dos Registros Mobilizáveis na Atividade Matemática .......... 12
Tabela 3 - Exemplo de análise da Congruência da atividade de Conversão .............. 15
Tabela 4 - Classificação dos Registros de Representação Semiótica.......................... 18
xv
RESUMO
O objetivo desta pesquisa é construir um Objeto Para Aprendizagem1- OPA a respeito das operações financeiras de Capitalização, Financiamento e Desvalorização, por meio de investigação e análise de processos envolvidos na elaboração de atividades educacionais referentes às progressões aritméticas e geométricas, aplicadas à Matemática Financeira para o Ensino Médio. Este estudo abrange o design deste OPA levantando os aspectos que podem favorecer o
processo de ensino e aprendizagem.
A fundamentação teórica se baseia na Teoria dos Registros de Representação Semiótica (RRS) de DUVAL (1995, 2000, 2003, 2006). Exploramos as representações dos registros semióticos e suas conversões sobre o objeto matemático de operações financeiras cotidianas, sob uma perspectiva construtivista para o design instrucional segundo ARCAVI (2000), e com um enfoque tecnológico
de BOLITE FRANT et al (2003); buscamos destacar as potencialidades didáticas e pedagógicas que esses objetos oferecem. A metodologia utilizada foi a de Design Experiment (COBB et al., 2003) que é caracterizada por ser pragmática e teórica, iterativa, trazendo ainda a possibilidade que os experimentos realizados conduzam ao desenvolvimento de teorias.
O trabalho foi organizado em duas fases. A “Fase Preparatória” foi composta pela revisão bibliográfica dos livros didáticos do catálogo do Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio PNLEM/2009, Caderno do Professor de Matemática (2009) da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo, dissertações e livros didáticos especializados em Matemática Financeira, entrevistas, e análise das atividades do objeto matemático em estudo com professores/alunos do Mestrado Acadêmico em Educação Matemática, atuantes no Ensino Médio e em Universidades. Estas ações nos levaram a elaborar um design que permitiu a
transposição informática das representações dos registros semióticos, e a desenvolver a 1ª versão do Objeto Para Aprendizagem – OPA.
A segunda fase deste estudo, que designamos como “Fase de Implementação”, foi composta pelo ciclo de interações com os professores/alunos participantes da pesquisa através de atividades exploratórias com as representações semióticas incorporadas no OPA, objetivando depurar suas funcionalidades até a construção de sua versão final.
Como resultado oferecemos uma versão do Objeto Para Aprendizagem intitulada “Capitalização, Financiamento e Desvalorização”, e referências às suas potencialidades de uso.
Palavras-Chave: Registros de Representação Semiótica. Objetos Para Aprendiza-
gem. Noções de Matemática Financeira. Capitalização, Financiamento e Desvalori-zação. Uso das Progressões Geométricas e Aritméticas em Matemática Financeira.
1 Financiado parcialmente pelo projeto Learning Object Virtual Enviroment Mathematics Education
/Tidia Ae/Fapesp Projeto # 05/60655-4
xvi
ABSTRACT
The objective of this research is to build an Object For Learning – OPA about the financial operations of Capitalization, Financing and Devaluation, by means of investigation and analysis of the processes involved in carrying out educational activities on arithmetic and geometric progressions applied to financial mathematics for high school. This study covers the design of this OPA including the aspects that can facilitate the process of teaching and learning.
The theoretical framework is based on the Theory of the Semiotic Representation Registers (RRS) of Duval (1995, 2000, 2003, 2006). We explore the representations of semiotic registers and their conversions on the mathematical object of daily financial transactions, under a constructivist approach to instructional design as per Arcavi (2000), with a focus on technology of Bolite Frant et al (2003), we highlight the didactic and pedagogical potential these objects offer.
The methodology used was the Design Experiment (COBB et al., 2003) which is characterized by being pragmatic and theoretical, iterative, bringing the possibility that the experiments lead to the development of theories.
The work was organized in two phases. A "Preparatory Phase" was composed by bibliographic review of textbooks from the catalog of the National Book Program for High School PNLEM/2009, Professor Notebook of Mathematics (2009) of the Education Department of the State of São Paulo, dissertations and textbooks specialized in Financial Mathematics, interviews, and analysis of the activities of the mathematical object studied with teachers / students of Academic Master in Mathematics Education, acting in high school and universities. These actions have led us to build a design that allowed the implementation of the computational transposition of semiotic representations, and thus to develop the 1st version of Object For Learning - OPA.
The second phase of this study we call the "Implementation Phase", was composed by the cycle of interactions with teachers / students participating in the survey through exploratory activities with the semiotic representations incorporated into the OPA, in order to debug the features until its final version.
As a result we offer a version of Object For Learning entitled "Capitalization, Financing and Devaluation" and references to its potential use.
Keywords: Registers of Semiotic Representation. Learning Object. Basics of Finan-
cial Mathematics. Capitalization, Financing and Devaluation. Use of Arithmetic and Geometric Progressions.
1
INTRODUÇÃO
Nos dias atuais somos constantemente bombardeados com informações a
respeito de conceitos de Matemática Financeira nas diferentes mídias, como por
exemplo, “para começar a pagar daqui a 90 dias”, “em 10 vezes sem juros” e assim
por diante. Informações que requerem conhecimento básico desses conceitos.
Deste modo, para que nossos alunos exerçam seus direitos de cidadãos é
importante que aprendam na escola como interpretar estes conceitos.
As tecnologias digitais exigem novas habilidades para interpretar,
compreender e expressar o nosso dia-a-dia; várias são as pesquisas acerca da
utilização de softwares educacionais na sala de aula, que reforçam o uso deste tipo
de recurso como potencializador do processo de ensino e aprendizagem,
proporcionando estratégias didáticas e atividades mais ricas e variadas. Segundo
Wiley (2000), as inovações tecnológicas atuam como um agente de mudanças que
afetam paradigmas, provocam novos designs e formas de desenvolvimento dos
materiais educacionais.
Segundo Bolite Frant et al (2003), a tecnologia pode ser vista como prótese.
Os autores caracterizam esta prótese como algo que vai além de reparar um objeto
perdido ou faltante; assim, um sujeito cognoscente munido de uma prótese poderá
fazer coisas que não faria sem ela; não apenas de forma mais rápida, mas
principalmente de maneira diferente. Citam como exemplo o caso do cego, para o
qual é difícil dizer onde se localiza o tato: na sua mão, nos dedos ou na bengala. A
bengala oferece uma percepção que auxilia a falta de visão, mas é distinta da
própria visão e complementa o próprio tato.
Desta forma, o objetivo desta pesquisa é investigar e analisar os processos
envolvidos na elaboração de atividades educacionais a respeito de Aplicações à
Matemática Financeira, além de evidenciar diversas formas de registros semióticos
de conceitos matemáticos usados nesse campo de conhecimento, a partir da
tecnologia, e sua influência no trabalho e na forma de pensar dos professores.
2
Nesse sentido, ela transcende as ideias de Wiley a respeito de objetos de
aprendizagem, ampliando os princípios instrucionais associados ao construtivismo
de Arcavi e as ferramentas propostas por DiSessa, como será detalhado a posteriori.
Explora as transformações dos Registros de Representações Semiótica de
DUVAL para adequá-las na transposição informática de questões relativas à
Matemática Financeira abordadas no 1º bimestre da 1ª série do Ensino Médio. A
ideia é a convergência de todos esses recursos para a construção de um objeto
digital educacional que designamos por Objeto Para Aprendizagem – OPA -
intitulado “Capitalização, Financiamento e Desvalorização”, evidenciando as
potencialidades didáticas e pedagógicas desses objetos.
O objetivo inicial da pesquisa, até meados do 1º semestre de 2009, era
investigar e analisar os processos envolvidos no design de atividades educacionais,
também com o intuito de desenvolver um objeto digital educacional de conteúdo
matemático relacionado à questão do infinito.
Ao avançar na pesquisa bibliográfica foram encontrados diversos tópicos
onde o conceito de infinito apareceu como parte integrante dos textos do ensino
médio; um deles foi no estudo das sequências, particularmente aquelas conhecidas
como progressões aritméticas (PA) e progressões geométricas (PG).
Aprofundando a pesquisa relativa a progressões aritméticas e geométricas foi
encontrado o Caderno do Professor de Matemática da Secretaria de Educação do
Estado de São Paulo - Ensino Médio - 1ª Série - Volume 1 – 2009, que doravante
passa a ser citado como o “Caderno do Professor”. Essa obra é distribuída para toda
a rede estadual de escolas de ensino fundamental (ciclo 2) e médio. Nela são
abordadas quatro situações de aprendizagem (ibid. p. 9-10), a saber:
1. Conjuntos numéricos; regularidades numéricas e/ou geométricas;
2. Progressões aritméticas ou progressões geométricas;
3. Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita; aplicações à
Matemática Financeira;
4. Limite da soma dos infinitos termos de uma PG infinita.
Na situação de aprendizagem 3 etapa 2 (ibid. p. 43-50), para o tópico de
aplicações à Matemática Financeira, são introduzidos os seguintes tópicos:
3
1 Conceitos financeiros envolvidos em processos de capitalização e
financiamento;
2 Cálculos para as parcelas e valores de resgate ou empréstimos.
Ressaltamos que a contextualização utilizada apresenta enunciados de
situações cotidianas de financiamento, poupança com o cálculo das parcelas, ou
vice-versa, que são resolvidos pela soma de um número finito de termos de uma PA
ou de uma PG.
Na análise efetuada neste conteúdo verificamos que o procedimento de
cálculo para os parâmetros das operações financeiras, ou seja, o algoritmo utilizado,
dispensava o uso de tabelas e/ou fórmulas financeiras mais rebuscadas, o que
propicia um material didático adequado às competências e habilidades dos alunos
da 1ª série do Ensino Médio. Verificamos também que para o cálculo dos
parâmetros nas operações de financiamento, alguns dos exemplos propostos
apresentavam distorções que podem acarretar futuros problemas para o aprendiz na
compreensão de conceitos da matemática financeira.
Sendo assim, vi criada a oportunidade para mudar o objeto matemático da
pesquisa e também poder contribuir para melhoria da Situação de Aprendizagem na
aplicação à Matemática Financeira.
A motivação pessoal decorre da prática docente desta disciplina como
professor universitário por mais de 30 anos, quando houve a constatação das
dificuldades dos alunos referentes tanto à interpretação dos enunciados quanto à
compreensão dos conceitos matemáticos nas operações financeiras.
Além disso, minha experiência profissional no mercado corporativo, na área
de informática, sempre me incentivou a usar recursos tecnológicos cabíveis e
disponíveis da época em sala de aula, tais como calculadoras, microcomputadores,
softwares, redes e plataforma voltada para Ensino a Distância “TelEduc”; este
casamento avaliza e reforça a minha confiança do uso desses recursos no processo
de ensino e aprendizagem para objetos matemáticos.
Nessa linha, os primeiros passos desta investigação foram à procura de
bibliografias, softwares educacionais e sites específicos que tratassem do cálculo de
montante ou de parcelas, recorrendo à soma dos termos finitos de uma progressão
4
aritmética ou geométrica; procuramos também em livros didáticos especializados em
matemática financeira para cursos universitários.
Dada a escassez de material digital e bibliográfico com esta especificidade,
vimos reforçada a necessidade de elaborar um objeto para aprendizagem que
permitisse a manipulação e a visualização dos parâmetros financeiros, objetivando
facilitar o entendimento dos conceitos envolvidos, utilizando o computador.
Buscamos compreender os processos matemáticos sob a ótica da teoria dos
Registros de Representação Semiótica, para utilizá-los na elaboração do objeto para
aprendizagem. Segundo Duval (2006) são as transformações dessas
representações semióticas que são importantes para o discernimento e apreensão
conceitual de um objeto ou para a compreensão de uma inferência, e não as
próprias representações. Desta forma a interação dos professores de matemática
pesquisados é analisada prioritariamente segundo essa teoria.
Convém lembrar que a formulação das perguntas que orientaram a pesquisa
passou por diversas reavaliações. Sempre houve o cuidado e a preocupação de
tornar as perguntas o mais explicitas possíveis, para ressaltar o aspecto principal da
pesquisa dentro do contexto das potencialidades didáticas e pedagógicas dos
objetos de aprendizagem; do foco dado ao ensino de matemática financeira no
ensino médio; do como é feito o ensino de matemática; das inter-relações entre os
processos de ensino e aprendizagem da matemática financeira e a tecnologia; e das
possibilidades da tecnologia no ensino da matemática financeira.
Em concordância com o objetivo desta pesquisa, que é investigar e analisar
os processos envolvidos no design de atividades educacionais e as interações dos
professores pesquisados, e objetivando colher subsídios para o desenvolvimento do
OPA, as perguntas formuladas foram as que destacam as potencialidades didáticas
e pedagógicas de objetos para aprendizagem no ensino da Matemática Financeira.
a) Qual a abordagem metodológica e recursos tecnológicos utilizados em sala
de aula pelos professores pesquisados quando ensinam noções de
Matemática Financeira?
5
b) 1 - Que aspectos do OPA podem favorecer no processo de ensino e
aprendizagem de noções de Matemática Financeira?
2 - Como os professores desenvolveram diferentes registros semióticos ao
interagir com o OPA?
Investigar essas questões significou pesquisar a importância dos registros de
representações semióticas, nos aspectos de visualização, interpretação e
compreensão de conceitos matemáticos, especificamente progressões aritméticas e
geométricas atreladas a parâmetros financeiros.
No processo de definição da questão investigativa surgem outras questões,
concernentes ao conhecimento de Matemática Financeira pelo professor do Ensino
Médio. Segundo Farias (2007, p. 3) “é de fundamental importância que o professor
adquira um conhecimento profundo acerca do conhecimento matemático, pois o tipo
de compreensão a ser desenvolvida não se refere à memorização de fórmulas e à
execução de procedimentos”. Em nosso caso a forma de ensinar deve privilegiar o
entendimento da relação entre as operações financeiras nas diversas modalidades e
os conceitos de PA e PG associados à linha do tempo, notadamente o nexo entre as
parcelas e os termos das progressões.
Como o objetivo principal é a elaboração de um objeto digital de acordo com o
até aqui estabelecido, a transposição informática a ser desenvolvida no Objeto para
Aprendizagem “Capitalização, Financiamento e Desvalorização” está alicerçada nas
atividades de aprendizagem propostas no Caderno do Professor e fundamentada na
Teoria de Registros de Representações Semióticas.
Sendo assim, no capítulo 1 intitulado “Fundamentação Teórica -
Metodológica”, apresentamos os pressupostos teóricos de DUVAL (1995, 2000,
2003, 2006) a respeito dos registros de representação semiótica que representam o
principal referencial teórico desta pesquisa. No processo de ensino e aprendizagem
dos conceitos matemáticos, DUVAL (2003) busca compreender as dificuldades que
muitos alunos têm na compreensão das matemáticas, como é a sua natureza e onde
se encontram. Para responder a essas questões não se pode fazer uma análise tão
somente do ponto de vista matemático e epistemológico, é necessário também do
ponto vista cognitivo, pois “o objetivo do ensino da matemática [...] é contribuir para
6
o desenvolvimento geral da capacidade de raciocínio, de análise e de visualização
(ibid. p.11)”.
Nesse sentido, a aprendizagem das matemáticas constitui, por um lado, um
campo de estudo privilegiado para análise das atividades cognitivas fundamentais,
como a conceptualização, o raciocínio, a resolução de problemas e a compreensão
de textos; por outro lado, considera que essas atividades cognitivas requerem a
utilização de sistemas de expressão e de representação além da língua natural ou
das imagens, como várias escritas para os números, notações simbólicas para os
objetos, figuras geométricas, representações em perspectivas, diagramas,
esquemas e outros. O autor também ressalta a importância das propriedades
específicas de cada registro e a conversão de uma representação de um tipo de
registro para outra representação de outro tipo de registro distinto, como, por
exemplo, de língua natural escrita para a representação simbólica algébrica.
Além disso, neste capítulo será descrita a perspectiva construtivista para o
desenho instrucional segundo Arcavi (2000). Como reforço teórico para utilização de
tecnologia em sala de aula, é utilizado Bolite Frant (2001). Observar também que a
estreita relação e afinidade dos objetivos deste trabalho com a metodologia do
Design Experiment, Cobb et al (2003), levou à sua adoção.
No capítulo seguinte observamos os padrões da Rede Interativa Virtual de
Educação2 (RIVED), adotada pela Secretaria de Educação à Distância – SEED /
MEC para a produção de conteúdos pedagógicos digitais, designados por Objetos
de Aprendizagem (OA), que tem por objetivo melhorar o processo de ensino e
aprendizagem das disciplinas da educação básica e a formação cidadã do aluno.
Desta forma, as preocupações e equipes envolvidas nas fases do desenvolvimento
preconizadas por esta metodologia servem de base para a caracterização e
elaboração do software educacional que chamamos de Objeto Para Aprendizagem.
Com o objetivo de analisar os registros semióticos, as conversões realizadas
e as relações entre os diversos registros de representação semiótica, referentes ao
conteúdo de matemática que norteia este estudo, no terceiro capítulo é feita revisão
bibliográfica nos livros didáticos do catálogo do Programa Nacional do Livro para o
Ensino Médio PNLEM/2009 e no Caderno do Professor. Também foi feita pesquisa
2 Um projeto de colaboração Internacional na América Latina DEIED/SEED/MEC
7
em sites de entidades nacionais, dissertações, teses, textos, objetos de
aprendizagem, webquest e outros, relativos à Matemática Financeira.
No mesmo capítulo (Fase Preparatória) e no quarto (Fase Implementação),
são abordados a metodologia utilizada, os procedimentos metodológicos de coleta
de dados, as entrevistas e depoimentos. Foram incorporados tanto uma descrição
das atividades realizadas quanto um comparativo entre as evidências obtidas e os
resultados das pesquisas, objetivando a construção do OPA. A Análise dos Dados
das atividades exploratório-investigativas, observações e entrevistas de cada fase,
foi fundamentada sob a ótica da teoria dos registros de representação semiótica.
Resumidamente, as análises obtidas nas pesquisas com os professores
participantes apontaram que estes não possuem uma apreensão satisfatória das
diversas representações, nem o domínio da coordenação entre os diversos registros
apresentados. Diante desta situação, reforçamos a perspectiva de elaboração de um
objeto para aprendizagem voltado para o ensino das noções de Matemática
Financeira, abrangendo um trabalho de exploração dos diversos registros, das
possíveis conversões, com ênfase na manipulação de registro gráfico.
Para concluir, são apresentadas as Considerações Finais, e as Referências
Bibliográficas adotadas.
8
Capítulo 1 – Fundamentação Teórico-Metodológica
Neste capítulo apresentamos a fundamentação teórica desta pesquisa. Para
dar suporte ao nosso problema utilizaremos os registros de representação semiótica
segundo Duval, articulando-os com as ideias de Arcavi sobre Design Instrucional e
Construtivismo, e a noção de tecnologia como prótese de Bolite Frant, conforme
Figura 1. E por fim apresentamos a metodologia escolhida de Design Research.
Figura 1 - Mapa Conceitual da Fundamentação Teórica - Metodológica
1.1. Teoria dos Registros de Representação Semiótica
Este trabalho não pretende descrever a complexidade do funcionamento
cognitivo da compreensão em matemática que esta teoria nos apresenta, mas sim
9
analisar e destacar alguns pressupostos teóricos de Raymond DUVAL (1995, 2000,
2003, 2006) e suas implicações no processo de ensino e aprendizagem para os
conceitos específicos de Matemática Financeira, objeto dessa pesquisa. Essa
abordagem torna-se necessária na medida em que os registros de representação
semióticos impactam na construção do Objeto Para Aprendizagem.
Diferentemente das outras ciências tais como a astronomia, por exemplo,
onde há a possibilidade de observar seus objetos de estudo através de instrumentos
como o telescópio, na Matemática é essencial a utilização de vários sistemas
semióticos de expressão e representação, além da língua natural ou das imagens.
DUVAL trata da importância das representações dos objetos matemáticos no
processo ensino-aprendizagem, as quais podem ser simbólicas, notações
algébricas, escritas na língua natural, gráficos, figuras geométricas e outros registros
que possibilitam a comunicação entre os sujeitos e as atividades cognitivas do
pensamento, que representam a base de sua teoria. Para o autor, a maneira
matemática de raciocinar e de visualizar está diretamente relacionada ao uso das
representações semióticas, e à forma de comunicação em Matemática está baseada
nessas representações.
DUVAL aborda a noção de representação recorrendo à oposição
consciente/não consciente e externo-interna; tal caracterização é encontrada nos
trabalhos dos seguintes autores: Le Ny, 1985; Paivo, 1986; Larkin et Simon, 1987
(apud DUVAL 1995, p. 40). A oposição consciente/não consciente é a oposição
entre o que aparece a um sujeito, o que ele nota, e o que lhe escapa
completamente, o que ele não pode notar.
Nesse sentido DUVAL (ibid, p.40-43) define que a consciência se caracteriza
pela intenção do sujeito quando “qualquer coisa” passar a ter a condição de objeto,
desde que exista a intenção de efetuar este propósito. A ponte entre o estado de
não consciente ao consciente é um processo de objetivação para o sujeito que toma
consciência, a descoberta pelo próprio sujeito. As representações conscientes têm
um caráter intencional, essencial do ponto de vista cognitivo para a significação do
sujeito, e completam a função de objetivação. É através da significação que se faz a
apreensão perceptiva ou conceitual de um objeto. Sendo assim, a significação é a
10
condição necessária de objetivação para o sujeito, isto é, da possibilidade de tomar
consciência.
A oposição externo-interna é a oposição entre o visível e/ou observável e
aquilo que não o é, seja de um indivíduo, de um organismo ou de um sistema. As
representações "externas" são representações semióticas que podem ser
produzidas por um sujeito ou por um sistema, e se efetuam através da
operacionalização de um sistema semiótico. DUVAL (1995, p.42) cita como
contraexemplo a expressão das emoções que se percebem nas faces, as define
como sintomas e não se caracterizam como representações externas. As
representações externas exercem a função de comunicação e duas funções
cognitivas: de objetivação e de tratamento. Por outro lado, uma representação
interna pode ser consciente ou não consciente, e uma representação consciente
pode ser, ou não, exteriorizada. No quadro seguinte são apresentados os três tipos
de representações.
Tabela 1 - Tipos e funções de representações
Interna Externa
Consciente Mental
Função de Objetivação
Semiótica Função de Objetivação Função de Expressão
Função de Tratamento Intencional
Não-Consciente Computacional
Função de Tratamento automático ou quase instantâneo.
Fonte: SEMIÓSIS E PENSAMENTO HUMANO, 1995, p.43
Segundo Santaella (1983, p.7) o nome semiótica vem da raiz grega semeion,
que quer dizer signo. "Semiótica, portanto, é a ciência dos signos, é a ciência de
toda e qualquer linguagem." (ibid, p.13) "A Semiótica é a ciência que tem por objeto
de investigação todas as linguagens possíveis, ou seja, que tem por objetivo o
exame dos modos de constituição de todo e qualquer fenômeno de produção de
significação e de sentido.".
Segundo DUVAL (2003, p.13) é suficiente observar a história do
desenvolvimento da matemática para constatar que o desenvolvimento das
representações semióticas constitui a essência para a evolução do pensamento
matemático, e esta evolução se deve a duas razões fundamentais. Primeiramente,
11
existe o fato de que as possibilidades de tratamento matemático dependem do
sistema de representação utilizado. Ele cita como exemplo as operações de cálculo
com o sistema de numeração decimal, que apesar de oferecer mais possibilidade
que o sistema grego ou romano de numeração, somente um terço dos alunos no
início do collège (11–12 anos) parecem ter compreendido o funcionamento do
sistema decimal, de acordo com as pesquisas realizadas na França pelo Ministério
de Educação (1992, 1997 apud DUVAL 2003, p.13).
A seguir existe a grande variedade de representações semióticas utilizadas
em matemática citadas anteriormente. Para o autor dessa teoria o uso de sistemas
semióticos de representação e expressão é essencial na aprendizagem da
Matemática. Nesse sentido, para DUVAL, o uso de sistemas semióticos ultrapassa o
domínio das matemáticas e sua aprendizagem. Passa a ser a própria natureza do
funcionamento cognitivo do pensamento humano em suas atividades de apreensão
conceitual, de raciocínio ou de compreensão de enunciados, que na aprendizagem
das matemáticas sobressai das outras aprendizagens. Dois aspectos devem ser
observados: - não se pode ter compreensão em matemática se não se diferencia o
objeto da sua representação, porque um mesmo objeto pode ter várias
representações. “É o objeto representado que importa não as suas diversas
representações semióticas possíveis” (Deledicq 1979 apud DUVAL 1995, p. 14); - o
segundo argumento é mais global e psicológico, e diz respeito às representações
mentais, quer dizer, a totalidade de imagens e de conceituações que o sujeito pode
construir sobre o objeto matemático. Para DUVAL as representações semióticas tais
como fórmula algébrica, gráficos e outros, parecem ser o meio de que o sujeito
dispõe para expressar suas representações mentais; sendo assim, elas seriam
subordinadas às representações mentais e exerceriam somente a função de
comunicação.
Segundo DUVAL (2006, p. 3) a mobilização de pelo menos dois registros de
representação ou a possibilidade de mudar em qualquer momento de um para o
outro é a principal característica da atividade matemática, ou seja, a coordenação de
dois registros.
A tabela 2 contém a classificação dos registros mobilizáveis na atividade
Matemática, classificados como multifuncionais ou monofuncionais com relação à
sua natureza, e suas representações podem ser discursivas ou não discursivas. Os
12
Registros Multifuncionais são aqueles usados na função de comunicação como
tratamento, mas não são algoritmizáveis; como exemplos temos a língua natural,
deduções válidas a partir de definição ou de teoremas, apreensão operatória e não
somente perceptiva, dentre outros. Os Registros Monofuncionais têm tratamento
específico e são algoritmizáveis; como exemplos temos os sistemas numéricos, as
notações algébricas, os gráficos cartesianos, dentre outros.
Tabela 2 - Classificação dos Registros Mobilizáveis na Atividade Matemática
Representação
Discursiva
Representação
Não - Discursiva
REGISTROS MULTIFUNCIONAIS
Os tratamentos não são algoritmizáveis
Língua natural Associações verbais (conceituais)
Formas de raciocinar: - argumentação a partir de
observações, de crenças, ....; - dedução válida a partir de
definição ou de teoremas.
Figuras geométricas planas ou em perspectiva (configurações em dimen- são 0, 1, 2 ou 3 ) - apreensão operatória e não
somente perceptiva; - construção com instrumentos.
REGISTROS MONOFUNCIONAIS
Os tratamentos são algoritmizáveis
Sistemas de escritas - numéricas (binária, decimal,
fracionária); - algébricas; - simbólicas (línguas formais).
Cálculo
Gráficos cartesianos. - mudança de sistema de
coordenadas; - interpolação, extrapolação.
Fonte: DUVAL, 2003, p.14
Sendo assim, o pesquisador defende que, para o entendimento matemático, é importante estabelecer a coordenação entre pelo menos dois registros, em que um é multifuncional e o outro monofuncional, afirmando que “...se nós considerarmos os níveis mais avançados de ensino, a predominância de registros discursivos monofuncionais tende a aumentar” (DUVAL, 2000,
p.66 apud Karrer, 2006, p.22).
No processo de aprendizagem de um domínio específico de matemática o
autor parte da asseveração resumida na afirmação: não há noésis sem semiósis.
Chama de semiósis a apreensão ou produção de uma representação semiótica, e
noésis os atos cognitivos como a apreensão conceitual de um objeto, a identificação
de uma diferença ou a compreensão de uma inferência. Sendo assim, o
desenvolvimento das representações mentais efetua-se como uma interiorização
das representações semióticas, não se contrapondo a elas, e nem podendo ser visto
como domínio diferente.
13
A identificação de vários sistemas semióticos que representam um mesmo
objeto aumenta a capacidade cognitiva dos sujeitos, e em seguida as suas
representações mentais (Beneviste,1974; Bresson, 1987, apud DUVAL, 2003).
Duval define os registros de representação semiótica ou sistemas semióticos como
produções constituídas com a utilização de signos pertencentes a um sistema de
representação, os quais têm suas próprias dificuldades de significância e de
funcionamento. Por outro lado, para um sistema semiótico ser um registro de
representação tem que englobar as atividades cognitivas de formação, de
tratamento e de conversão.
As atividades cognitivas de formação ou de identificação de um registro
semiótico específico requerem que se saiba qual é o objeto matemático
referenciado, e o conhecimento das regras de conformidade ou de funcionamento
próprias do sistema semiótico utilizado, ou seja: - ser uma representação que possa
ser identificada pelo sujeito, determinada por um enunciado compreensivo numa
língua específica, num gráfico, numa figura geométrica, numa expressão simbólica e
outros, equivalente a um programa computacional que obedece e respeita as regras
já estabelecidas, não cabendo ao programador criá-las, mas utilizá-las para
reconhecer as representações.
São dois os tipos de transformações de representação semiótica, a atividade
cognitiva de tratamento e de conversão, que são muito diferentes; por isso, quando
elaboramos uma atividade matemática com uma resolução de problema ou quando
analisamos a produção dos alunos devemos ter especial cuidado para distinguir uma
da outra.
A atividade cognitiva de tratamento ocorre quando podemos modificar a
representação do objeto dentro de um mesmo registro, ou seja, uma transformação
interna a um registro, o qual possui regras próprias a cada registro. A atividade
cognitiva de conversão se caracteriza quando mudamos o sistema, conservando a
referência do mesmo objeto.
Segundo DUVAL (2003, p.16), do ponto de vista matemático, a conversão
não exerce nenhum papel essencial nos processos de justificação ou prova, pois se
procura utilizar o melhor registro de representação nos quais os tratamentos a ser
efetuados sejam mais econômicos, mais potentes, ou para obter um registro
14
servindo de suporte ou de guia aos tratamentos que se efetuam no outro registro.
Mas, do ponto de vista cognitivo, a conversão constitui uma atividade de
transformação representacional fundamental, que conduz aos mecanismos
subjacentes à compreensão. Ele nos alerta que a conversão não é operação simples
que pode ser descrita como uma associação preestabelecida entre nomes e figuras
como em geometria, ou reduzida a uma codificação; isso é uma visão superficial do
ponto de vista teórico e da aprendizagem. Na conversão entre gráficos e funções,
tem que se levar em conta as variáveis cognitivas próprias dos gráficos como
inclinação, concavidade, intersecções, dentre outros, e das funções como os
coeficientes, valores escalares; caso contrário há uma leitura pontual não permitindo
uma apreensão global e qualitativa. Portanto, para Duval (ibid, p. 17) "a conversão
das representações, quaisquer que sejam os registros considerados, é irredutível a
um tratamento".
A atividade cognitiva de conversão realiza uma transformação da
representação que requer a percepção da diferença entre representante e
representado, uma vez que é uma transformação externa ao registro da
representação de partida, que reorganiza os elementos significantes num outro
registro de chegada. Um dos dois fenômenos característicos diz respeito ao nível de
proximidade ou afastamento entre os registros de partida e chegada, e às variações
de congruência e não congruência, definidos por DUVAL (1995, p.18) a partir de três
fatores, quais sejam:
- Correspondência semântica na compreensão das unidades de significado à
conversão nos dois registros;
- Unicidade semântica para que cada unidade significante do registro de
partida corresponda a apenas uma unidade significante no registro de
chegada;
- Conservação da ordem em que aparecem as unidades de significado em
cada um dos registros de representação.
Se um desses fatores não é verificado, as conversões são classificadas como
não congruentes. Vários são os fatores que delimitam as situações intermediárias de
15
congruência ou não congruência de uma conversão, e estão diretamente
correlacionadas às variações de sucesso ou fracasso nas operações de conversão.
A seguir, um exemplo de variação de congruência ou não congruência de
uma conversão.
Tabela 3 - Exemplo de análise da Congruência da atividade de Conversão
Correspondência
semântica das unidades
de significação.
A unicidade semântica terminal.
Conservação da ordem
das unidades. O conjunto de pontos cuja
ordenada é superior à abscissa. y > x
Sim
Sim
Sim
O conjunto de pontos que tem
uma abscissa positiva.
x > 0
Não
“Maior que zero” é uma perífrase ( um só signifi-cado para várias pala-
vras)
Sim
Sim
O conjunto de pontos cuja abscissa e cuja ordenada têm o
mesmo sinal. xy > 0
O produto da abscissa e da ordenada é maior que zero.
Não
Não
Não Globalização
descritiva. (dois casos)
Fonte: DUVAL, 2003, p. 14
Se acontecer que a conversão seja congruente em um sentido e não
congruente no outro sentido, caracteriza-se o segundo fenômeno, denominado
fenômeno da heterogeneidade dos dois sentidos de conversão, pois a
reversibilidade dos registros de partida e chegada, apesar de possível, não é tão
óbvia.
A coordenação entre representações ressaltando sistemas semióticos diferentes não tem nada de espontâneo. Sua colocação não resulta automaticamente de aprendizagem clássicas muito diretamente centradas sobre conteúdos de ensino. Um trabalho de aprendizagem específico centrado sobre a diversidade de sistemas de representação, sobre a utilização de suas possibilidades próprias, sobre sua comparação por
colocar correspondência e sobre suas “traduções” mútuas uma dentro da outra, parece necessário para favorecê-la. [...] Não tem simplesmente sucesso, mas modificações de produções. Esse salto qualitativo no desenvolvimento das competências e das performances aparece ligado à coordenação de sistemas semióticos nos alunos. A compreensão conceitual, a diferenciação e o domínio de diferentes
formas de raciocínio, as interpretações hermenêuticas e heurísticas dos enunciados são intimamente ligadas à mobilização e à articulação quase imediata de muitos registros de representação semiótica. A conversão de representações depende desta coordenação. (DUVAL, 1995, p.19)
16
O esquema de organização semiótica e do funcionamento das
representações gráficas, a seguir, apresentado por DUVAL (ibid, p.18) servirá como
base à nossa pesquisa, uma vez que pretendemos utilizá-los como sendo um dos
registros de representação na transposição informática. Acreditamos que esses
registros de representação gráfica permitirão visualizar melhor o enunciado do
problema, proposto no registro da língua natural, para posteriormente usar outros
registros no processo de cálculo na resolução de problemas.
Figura 2 - Esquema de Organização Semiótica e do Funcionamento das Representações Gráficas.
Fonte: DUVAL, 2003, p.18
A organização semiótica do exemplo apresentado torna possíveis três tipos
de transformações, uma atividade de tratamento que diz respeito às operações
internas ao(s) gráfico(s) e dois tipos de atividade de conversão com o registro
simbólico. Observe que as ligações “A e A’ ” dão uma visão pontual do(s) gráfico(s)
e somente a coordenação “B” permite uma apreensão global qualitativa. Como
atividade cognitiva esse exemplo é um dos casos mais elementares, pelo fato dos
dois registros serem monofuncionais. Quando um dos registros é multifuncional, no
caso da língua natural, a organização semiótica se torna mais difícil, tanto pela
compreensão do enunciado como do conjunto complexo de operações para
designar os objetos.
17
De acordo com o exposto, Duval formula o paradoxo para a compreensão em
matemática e destaca que tal problema não ocorre em outros domínios de
conhecimento científico, ao menos em etapas menos avançadas:
Como podemos “não” confundir um objeto e sua representação se não temos acesso a esse objeto a não ser por meio de sua representação? [...]
A dificuldade se deve ao fato de que o objeto representado não pode ser identificado como o conteúdo da representação que o torna acessível. Frege (1971, pp. 89 e 102 e 103), distinguindo, para os signos matemáticos, a significação e a denotação, insistiu sobre essa diferença, como condição para o progresso dos conhecimentos. (ibid, p.21)
Frege (1978, apud Karrer 2006, p. 14) introduz a distinção da “significação e a
denotação” como “sentido e referência” para as expressões singulares. Enquanto a
“referência” é o objeto por ele designado, no “sentido” está introduzido um valor
cognitivo, e é aquilo no qual está contido o modo em que o objeto é dado pelo nome.
Cita como exemplo, as expressões “4” e “8/2” que têm a mesma referência, mas
expressam diferentes sentidos, ou seja, diferentes modos de conceber o mesmo
número. É a diferenciação entre a significação e a denotação ou a referência e o
sentido respectivamente, que segundo Duval (2003, p. 22) é o ponto decisivo,
raramente observado, para responder ao paradoxo para a compreensão em
matemática: “o conteúdo de uma representação depende mais do registro de
representação do que o objeto representado”. Pelo fato de que em razão da
passagem de um registro a outro, não se trata de tão somente mudar a forma de
fazer o tratamento, há necessidade de explicitar as propriedades do novo registro ou
dar uma visão diferente do mesmo objeto; portanto não terão o mesmo conteúdo,
sendo assim, passa a ser a mobilização desses registros a base que dará as
condições à compreensão em Matemática.
A atividade cognitiva do exemplo anterior realiza uma transformação da
representação que requer a percepção da diferença entre representante e
representado, uma vez que é uma transformação externa à representação do
registro de partida, que reorganiza os elementos significantes numa outra
representação de registro de chegada.
É apresentada na tabela 4 a classificação dos tipos de registros que
pretendemos utilizar para a análise e o design do nosso estudo.
18
Tabela 4 - Classificação dos Registros de Representação Semiótica
TIPO DE REGISTRO REPRESENTAÇÕES (Exemplos)
Registro da língua natural
Representação da língua natural em emprego comum
Uma geladeira cujo preço à vista é de R$ 1.500,00 será financiada em seis parcelas mensais fixas. Se os juros compostos cobrados no financiamento dessa geladeira são de 3% ao mês, qual o valor da parcela mensal?
Registro gráfico
Representação gráfica
Registro simbólico
Representação simbólico-algébrica
Vf = Vp ( 1 + i )n
Registro numérico Representação fracionária
Registro de Tabelas
Representação tabular
Segundo Pavlopoulou3 um ensino sobre os vetores da Geometria Analítica
deve contemplar explicitamente a coordenação de três registros de representação,
da escrita simbólica, de tabelas e do gráfico. As diferentes representações do
mesmo objeto devem constituir uma abordagem para a conceptualização do objeto
matemático, e na conceptualização a conversão desempenha um papel essencial.
Essa abordagem proposta para chegar à conceptualização de um objeto segue o
3 Tradução do autor da dissertação.
19
modelo cognitivo da representação, proposto por DUVAL em sua conferência
“Semiósis e Noésis” em 1992 (DUVAL, 1992, p.15 apud Pavlopoulou, 1994, p.40).
Acreditamos também, que essa estrutura da representação em função da
conceptualização adaptada ao nosso objeto matemático permitirá facilitar a
conceptualização tanto dos conceitos financeiros como do processo de cálculo dos
valores monetários.
Para DUVAL (1995, p. 80), a importância da diversificação dos registros de
representação semiótica para o funcionamento do pensamento é explicada pelas
diferenças de custo ou de limitação dos registros para a função de tratamento, e
pelas facilidades existentes nos registros para a função comunicação.
Em efeito, um registro pode permitir efetuar certos tratamentos de uma maneira muito mais econômica e mais possante que outro registro. Pelo cálculo, numérico ou algébrico, a escritura decimal dos números e as notações literais constituem um registro incrivelmente mais econômico e mais possante que a linguagem natural (Condillac, 1981). Da mesma
maneira, o recurso a registros analógicos (figuras, esquemas, diagramas...) pode igualmente se revelar mais simples e mais possante que o recurso a registros de linguagem (texto descritivo, lista de fórmulas ou de relações...) para a resolução de problemas físicos ou geométricos. Porque as figuras e os esquemas permitem representar a totalidade das relações entre os elementos, constituindo um objeto ou uma situação (Bresson, 1987, p. 940-
943; Larkin e Simon, 1987 apud DUVAL, 1995, p.80-81)
A conversão constitui uma variável cognitiva importante em didática ao
facilitar a aprendizagem ou oferecer procedimentos de interpretação. A questão
colocada por DUVAL é “a atividade conceitual implica na atividade semiótica ou é
independente desta?”. A resposta comumente adotada considera que não depende,
por três razões:
A primeira diz respeito à diversidade de registros de representação, mas se
opta por aquele que é o mais econômico ou mais potente;
A segunda diz respeito ao funcionamento do pensamento que parece
mobilizar um só registro de cada vez. O reconhecimento de muitos
registros justifica-se apenas nas situações onde uma mudança de registro
se confirma necessária, para questões de custo de tratamento.
A terceira diz respeito à estrutura da representação ligando o representante
ao representado; a compreensão de uma representação no registro
determinado implica diretamente na compreensão do conteúdo conceitual
20
representado, sobretudo quando o registro de representação é a língua
natural.
Dessa forma a relação entre a atividade semiótica e a atividade conceitual
pode ser considerada de dois pontos de vista: quando a mudança de registro
pressupõe uma coordenação de registro, então a atividade conceitual não pode ser
isolada da atividade semiótica; e quando a mudança de registro se revela econômica
e/ou potente no tratamento das representações; neste caso. “Pode-se, então,
manter a independência e a prioridade da atividade conceitual sobre a atividade
semiótica. Este ponto de vista, que privilegia a função de expressão, é um modelo
essencialmente linguístico. É o modelo mais frequentemente retido.” (Duval, 1995, p.
83).
Dadas as características do objeto matemático da nossa pesquisa, que requer
mudanças de registros para efetuar as contas, facilitar a compreensão, fazer a
organização semiótica focando a transposição informática, a ênfase será nas
atividades de conversão e de coordenação entre representações, por aparentar ser
um dos aspectos críticos do nosso estudo. Sendo assim, acreditamos que a escolha
cuidadosa, especificamente, no trabalho de conversão permitirá ao aluno o contato
com o objeto matemático de diversas formas, favorecendo a coordenação entre
representações de registros distintos.
1.2. Design Instrucional e Construtivismo
A adoção para uma perspectiva de um “Design Instrucional e Construtivismo”
está baseada em Arcavi (2000) que sugere alguns princípios básicos que levem em
conta a capacidade do aluno de raciocinar, de construir significados, de
compreender uma ideia ou um conceito, de conectar o significado desta ideia com o
significado de outra ideia em outro campo do conhecimento. E também preconiza
um planejamento do ensino de matemática onde o aprendiz possa usar sua
experiência prévia e o senso comum, que seja a formulação de uma argumentação,
uma ideia, uma conexão entre conceitos e uma tradução entre diferentes
representações, dentre outras.
21
Sendo assim, a perspectiva que utilizaremos é focada na observação
sistemática das atitudes dos professores participantes durante a resolução de
situações. Objetivando mudanças nas estruturas cognitivas dos participantes
propomos a utilização da Teoria dos Registros de Representação Semióticos, para
promover um processo de construção e reconstrução progressivo de ideias e
concepções sobre os conceitos financeiros, tais como, taxa de juros, fator de
atualização, capital, financiamento, parcelas e outros. Nossa proposta de mudança
nas estruturas cognitivas de cada participante da pesquisa, não objetiva findar as
existentes, e sim acrescentá-las através de novos registros semióticos que permitam
proporcionar outra visualização do mesmo objeto matemático, e assim, ter uma nova
compreensão desses conceitos financeiros.
Na postura instrucional clássica, a preocupação fundamental com as
atividades é baseada na decomposição lógica do domínio matemático especifico
(Gagné 1979, apud Arcavi 2000). Esta decomposição estabelece conexões
hierárquicas ordenadas pelo grau de dificuldade do conhecimento, por proposições
gerais e destrezas de cálculos, cuja soma total descreveria o que significa ser
competente no domínio matemático especificado. Este procedimento demarcaria o
planejamento que serviria à elaboração de sequências de exercícios e problemas a
ser percorrido ordenadamente. A postura instrucionista caracteriza-se, portanto,
em ser um treinamento, o que leva os aprendizes a um desempenho competente,
mas sem gerar explicitamente compreensão e significado do aprendizado. Além
disso, a decomposição lógica e objetiva que exclui a possibilidade de acesso ao
conhecimento ou aos domínios de consenso se baseia em experiências subjetivas
e/ou negociações intersubjetivas dos significados.
No entanto, adotaremos algumas premissas adicionais à postura instrucional
clássica, como: - atuar para que o aprendiz comece a gerar suas próprias
perguntas; - fazer o uso do Objeto Para Aprendizagem cujo domínio matemático é
específico, não significa necessariamente que enfatizaremos procedimentos
algorítmicos, mas, sobretudo, estratégias de pensamento; - e propor aos alunos
modelos de práticas de trabalho como as que atuam profissionais no campo
(Schoenfeld 1992b, apud Arcavi, 2000); na opinião de Arcavi, “essa estruturação é
fundamental para o que entendemos por planejamento de ensino”.
22
Provavelmente qualquer vertente do construtivismo está de acordo com a seguinte afirmação: o objetivo da educação em Matemática é que o aluno gere e construa significados. Mas o que significa compreender Matemática? Bishop (1985), entre outros, sustenta que em Matemática compreender uma ideia (ou uma expressão, ou um conceito) é conectar o significado desta
ideia com o significado de outra ideia em Matemática ou ainda em outro campo do conhecimento. Bettencourt (1991), Schoenfeld (1992b), e outros acrescentaram que compreender implica também em inserir essas ideias e inserir-se numa determinada comunidade com suas práticas, seus instrumentos de pensamento, suas crenças, seus modos de discurso e ação (ARCAVI, 2000, p. 88)
Se adotadas as implicações acima num planejamento do ensino de
matemática, passaremos a ter a postura construtivista preconizada. A
atividade ou o problema a ser planejado tem que promover a construção
desse tipo de compreensão e estimular interações similares às que
ocor rer iam numa comunidade de especialistas.
Um primeiro princípio para eleição de problemas apropriados descartaria a
mera análise lógica, que focaliza o tipo e o número de operações a aplicar
na resolução de um problema. A partir desse ponto de vista, muitos
problemas podem ser similares, e sem dúvida seu potencial educativo é
radicalmente diferente. A eleição de um problema deveria levar em conta:
- que o aprendiz possa usar sua experiência prévia, e que haja
um convite implícito para aplicar o senso comum;
- que seja possível resolver o problema de mais de uma maneira
para gerar um diálogo, que conduza à conexão de formas diferentes
de pensar;
- que se chegue à resposta, não apenas através de aplicações
mecânicas de algum procedimento de cálculo;
- que o problema leve à elaboração de novas perguntas, isto é,
que a solução do mesmo desperte a curiosidade e o aluno, por si
próprio, em grupo ou com a ajuda do professor, abra a possibilidade
de seguir explorando a situação;
- que nem sempre haja uma única resposta ao problema;
- que a resposta não seja sempre o resultado de uma operação,
mas seja a formulação de uma argumentação, uma comparação, uma
ideia, uma conexão entre conceitos, uma tradução entre diferentes
representações;
- que o problema convide o aluno a rever uma ideia, um conceito
ou uma operação numa nova representação, para tratar de isolar, na
medida do possível, o conceito e separá-lo de suas representações
típicas ou usuais;
- que haja problemas da vida real, para os quais o uso de
ferramentas matemáticas ajude a compreender melhor os fenômenos
que nos rodeiam;
- que haja micromundos planejados por experts para que o aluno
que trabalhe neles seja quem decida e reformule que tipo de problema
irá resolver. (ibid. p. 89)
23
1.3. Impacto da Tecnologia no Processo de Ensino e Aprendizagem
Segundo Bolite Frant et al (2003) a tecnologia é vista como prótese que gera
novos textos e pode, portanto, permitir através da linguagem (oral, gestual, escrita,
pictórica) a constituição de objetos matemáticos. Para os autores, entretanto a
prótese permite um fazer diferente do fazer sem a prótese; aponta como exemplo o
caso do cego, no qual é difícil dizer onde se localiza seu tato, nos dedos ou na
bengala. Aponta também que a utilização da tecnologia em sala de aula de
matemática, pode ser vista como uma ferramenta facilitadora do processo de
aprendizagem, mas esta ideia pode trazer implícita uma noção simplista de que o
computador faz a ligação direta entre o sujeito cognoscente e o que deve ser
“aprendido”, o conhecimento. Esta visão, segundo os autores, não é ruim nem boa,
mas nem sempre dá conta da aprendizagem, observando-se, em geral, que a
ferramenta é construída por outro que não o sujeito cognoscente. Poderíamos
pensar na calculadora como ferramenta auxiliar e facilitadora no fazer operações
aritméticas, mas os alunos nem sempre sabem utilizá-la para calcular, por exemplo,
10% a mais de um determinado valor.
Esta citação torna-se crucial e passa a ser um dos pontos de alerta, uma vez
que na matemática financeira a relação entre duas grandezas atreladas ao tempo, é
a ferramenta inicial à introdução de todos os aspectos conceituais desta disciplina,
aplicável nas capitalizações, financiamentos e nos outros tópicos. Um exemplo
típico: se o capital inicial for aplicado por um mês a uma taxa de juros de 8% ao
mês, qual o montante? Como teremos um acréscimo de 8%, o fator de atualização
de capitais é “1,08”, isto é, multiplicaremos esse fator pelo capital inicial para obter o
montante, comparado com o exemplo anterior dos autores, em nosso caso há ainda
mais operações a serem realizadas, uma vez que temos que calcular os 8% do
capital inicial e somá-lo a ele mesmo, daí o fator de atualização de capitais ser
“1,08”, que serve de base para novas correções.
Nesta pesquisa será adotada a ideia de Bolite Frant (2003), segundo a qual
um sujeito cognoscente munido de uma prótese poderá fazer coisas que não faria
sem ela, de forma diferente.
Na análise do impacto da tecnologia no processo de ensino e aprendizagem,
Balachef e Kaput (1996, apud Karrer, 2006) ampliam a noção de transposição
24
didática de Chevallard4 com um novo foco para a transposição informática; segundo
os autores, o projeto para um software educacional requer decisões como as
escolhas de uma estrutura de conhecimento e de representação, dos algoritmos a
serem aplicados, ou da origem para a descrição dos objetos, aspectos
contemplados em nosso trabalho no processo de transposição informática, cujas
consequências no conhecimento são tão cruciais como as da já conhecida
transposição didática.
Outro conceito importante que ajuda a pensar na elaboração do OPA é o de
micromundo matemático; nesse sentido, Karrer (2006) assinala que através do
micromundo os alunos podem explorar problemas, elaborar novas construções e
evoluir de acordo com a ampliação do seu conhecimento. Isto se deve ao fato de
que a resposta dada pelo micromundo é fruto direto das ações e decisões tomadas
pelo usuário, resultando num vasto e rico conjunto de experiências. Ressalta, porém,
que só a interação com a máquina não é suficiente para garantir que a
aprendizagem matemática ocorra. Neste contexto, a análise e a compreensão das
interpretações do estudante frente à resolução de um problema matemático são
necessárias.
NOSS e HOYLES (1996) ressaltam que os softwares de ensino de
Matemática que trazem aplicações novas e promovem novas formas de expressão
matemática, além de apresentar mais vantagens pedagógicas, oferecem ao aluno
novas formas de pensamento no processo de aprendizagem de conceitos
matemáticos, comparados com os softwares que reproduzem o conhecimento
presente nos livros. Assim, um software educacional não deve apenas ser um
simulador, deve estabelecer um ambiente favorável à expressão de ideias num
processo de aprendizagem.
Observar que apesar de algumas referências serem de 1996, são validas até
os dias de hoje, mais de uma década depois, pois vão além de considerações
técnicas.
4 CHEVALLARD, Y. La transposition didactique. Editions la Pensée Sauvage: Grenoble,1985
25
1.4. Metodologia do Design-based research
Cabe inicialmente dar uma definição ao termo “design” uma vez que segundo
Drisostes (2005, p. 62) não tem uma tradução ao português. “O design envolve
atividades como planejar, delinear, desenhar, esboçar, projetar, esquematizar, criar,
inventar e executar”. O design é um “banco de prova” por isso envolve ciclos, onde
se levantam conjecturas, se implementa uma primeira versão, faz-se uma análise
parcial, levantam-se outras conjecturas que são novamente testadas. A atividade de
design na procura de uma solução, deve passar por ciclos de idas e vindas de
discussões com os envolvidos, utilizar heurísticas de como usar os recursos de
forma diferente, saber aproveitar-se do inesperado, usar vários níveis de descrição
do problema.
A nossa pesquisa que se caracteriza pelo desenvolvimento de software
educacional, mas objetivando diminuir as prováveis complicações na transposição
informática do Objeto Para Aprendizagem, precisa reunir alguns quesitos
fundamentais como: análise e reanálise dos processos de ensino e aprendizagem
do objeto matemático, definição e redefinição dos elementos críticos significantes no
domínio matemático, ter liberdade para sistematizar as opiniões recebidas e poder
pô-las em prática objetivando buscar novas opiniões. Nesse sentido, o Design
Experiment decorrente dessa metodologia se adequa às condições na elaboração
do OPA.
Segundo COBB et al. (2003), a característica pragmática e teórica, aspecto
central desta metodologia, possibilita que os experimentos realizados conduzam ao
desenvolvimento de teorias, permite explicar a teoria desenvolvida, seu
funcionamento, sua adaptabilidade a novas situações, e através das iterações dos
componentes e/ou participantes da pesquisa redesenhar novas hipóteses. Não tão
somente preocupados com “como funciona” como também com a busca das ideias-
chave do processo de aprendizagem em domínios específicos. Essa ênfase nas
teorias reflete no sentido de que as explicações e entendimentos inerentes perfazem
o processo gerador ou o ponto de partida essencial à melhoria da qualidade do
ensino. O resultado é um melhor entendimento da ecologia da aprendizagem; os
autores utilizam essa metáfora para enfatizar que os contextos desenhados são
concebidos como uma iteração de sistemas acima de uma lista de atividades ou de
26
fatores que influenciam o processo de aprendizagem. Elementos típicos de uma
ecologia de aprendizagem dizem respeito às tarefas ou problemas sobre os quais os
aprendizes são questionados, ao tipo de discurso para o qual são provocados, às
regras de participação estabelecidas, às ferramentas e materiais fornecidos, e à
prática do professor para orquestrar estes elementos.
Tentando uma definição para o conceito de “Crosscutting Features” utilizado
pelos autores desta metodologia, fomos buscá-la na engenharia de software,
partindo da estrutura Orientada a Objetos que deve ser entendida como uma
unidade conceitual isolada; surge como um paradigma o conceito de “crosscutting”
ou “transversalidade”, para promover a modularização efetiva das características
que estão espalhadas e entrelaçadas em um sistema, isto é, as chamadas
características transversais na estrutura Orientada a Aspectos. As características do
conceito de “Crosscutting Features”, são as cinco a seguir, conforme identificadas
por seus autores:
A primeira característica transversal desta teoria consiste em desenvolver
uma classe de teorias acerca do processo de aprendizagem e dos meios
que são projetados para suportar essa aprendizagem. Segundo COBB et
al. (2003) interpretam processos da aprendizagem em geral para abranger
o que normalmente é pensado como conhecimento, mas também a
evolução da aprendizagem-relevante para as práticas sociais e as
construções mentais simples que servem de exemplificação na descrição
de uma teoria. Cabe lembrar que os meios para suportar a aprendizagem
englobam as capacidades e limitações dos artefatos materiais, práticas
pedagógicas, políticas normativas e instrumentais.
No caso do desenvolvimento de uma experiência de professores em
atividade, a equipe de pesquisa pode-se concentrar simultaneamente sobre as
normas e práticas, raciocínio didático e prática instrucional dos professores
participantes em um determinado domínio de conteúdo. Um desafio que se coloca
nesses casos é, portanto, o de coordenar os vários níveis de análise.
A natureza altamente intervencionista é a segunda característica
transversal relevante deste tipo de metodologia. Os estudos de Design
27
Experiments são tipicamente “test-bed5” plataforma de experimentação de
desenvolvimento de projetos com proteções a riscos, objetivando investigar
a possibilidade de melhorias educacionais através de novas formas de
aprendizagem. Para isto, na elaboração do design devem-se distinguir os
elementos centrais objeto da pesquisa dos pré-requisitos e dos
subjacentes. Nessa linha, o objetivo central da nossa pesquisa é o uso da
soma finita dos termos das progressões e como cada termo está associado
ao(s) parâmetro(s) na resolução de problemas cotidianos de operações
financeiras nas diferentes modalidades.
Além disso, na busca de novas formas específicas de aprendizagem, o
pesquisador está mais focado em encontrar fatores que contribuem para o
aparecimento destas novas formas e tomar consciência de suas inter-relações.
Neste sentido, o OPA permite visualizar e relacionar a mudança no valor monetário
procurado quando da alteração nos outros parâmetros como taxa de juros,
quantidade de parcelas sucessivas, data do início do pagamento da 1ª parcela,
dentre outros.
A terceira característica transversal forma-se a partir das anteriores, e
caracteriza-se pelas fases “prospectiva” e “reflexiva” familiares dos
cientistas empíricos, com as quais se cria as condições para o
desenvolvimento de teorias, as quais devem ser objeto de testes de
condições de erro. No lado prospectivo o design é implantado como um
processo de aprendizado hipotetizado o que requer ter sempre em mente
os níveis de controle e a contínua vigilância; e, não menos importante, criar
situações de contingência que possam surgir no desenvolvimento do
sistema. No lado reflexivo, criam-se conjecturas que devem ser testadas
em vários níveis. O projeto inicial é uma conjectura sobre os significados
que sustentam essa forma particular de aprendizagem, a qual será testada.
Durante a condução do estudo do experimento, conjecturas mais
especializadas são elaboradas e testadas; no caso de conjecturas
refutadas, alternativas podem ser criadas e testadas.
5 Traduzimos como “banco de provas”.
28
Juntos, os aspectos prospectivos e reflexivos do Design Experiments
resultam na quarta característica transversal; num design iterativo,
conjecturas são geradas, talvez refutadas, novas conjecturas são
elaboradas e testadas, novo ciclo e assim sucessivamente.
As raízes pragmáticas compõem a quinta característica transversal desta
metodologia; sendo assim, as teorias desenvolvidas são moderadas pelo
domínio específico do processo de aprendizagem, por serem responsáveis
pela atividade de design e devem fazer um trabalho real.
A adoção desta metodologia no que diz respeito às características
transversais, e à forma como conduzimos a nossa pesquisa, nos leva a optar por
duas fases, uma preparatória no sentido de explorar as ideias, objetivando a sua
materialização, e outra de implementação, também para explorar as ideias, mas com
um Objeto Para Aprendizagem materializado. Iniciamos com a revisão bibliográfica,
pesquisas em sites educacionais que contém softwares ou material referente ao
tópico de Matemática Financeira; entretanto, dada a sua especificidade optamos por
incluí-la nesta dissertação em um capítulo próprio.
29
Capítulo 2 – Objetos Para Aprendizagem
Neste capítulo buscamos os aspectos relevantes dos softwares educacionais
e conteúdos pedagógicos digitais, nas organizações nacionais e internacionais que
fizeram uma padronização desses objetos como nas teorias especializadas,
objetivando compreender suas características, atributos, processo de produção
dentre outros.
Não pretendemos criar um padrão para o Objeto Para Aprendizagem, e sim
usufruir dos aspectos relevantes dessas teorias e dos objetos existentes, que nos
dias de hoje são amplamente utilizados e em constante crescimento, mantidos por
entidades nacionais especializadas em repositórios; para desta forma, poder
caracterizá-lo dentro de nossas condições de viabilidade.
Figura 3 - Mapa Conceitual dos Aspectos do Objeto Para Aprendizagem
30
2.1. De Objetos de Aprendizagem para Objetos Para Aprendizagem
Uma primeira abordagem aos Objetos de Aprendizagem inicia-se na Ciência
da Computação baseada no paradigma de “Orientação a Objeto”, valorizando a
criação de componentes, denominados objetos, que podem ser reutilizados em
múltiplos contextos (Dahl & Nygaard, 1966, apud Wiley 2000). Este conceito surge
da possibilidade de minimizar os custos para elaborar um sistema, principalmente
com os custos de manutenção corretiva responsáveis por uma grande fatia do custo
total.
Segundo Wiley (2000), a ideia fundamental dos objetos de aprendizagem é
que podem ser construídos como pequenos componentes instrucionais passíveis de
ser reusados em diferentes contextos de aprendizagem e entendidos como
entidades digitais disponíveis na Internet, podendo ser acessados simultaneamente
por qualquer número de pessoas.
Existe uma gama de olhares para os Objetos de Aprendizagem, a saber:
David Merrill que usa o termo “Objetos de Conhecimentos” (Merrill, Li, and
Jones, 1991, apud Wiley 2000);
O projeto ARIADNE - “Alliance of Remote Instructional Authoring and
Distribution Networks for Europe” - (ARIADNE, 2000), usa o termo
“documento pedagógico”;
O projeto ESCOT (ESCOT 2000, apud Wiley 2000) se refere a
“Componentes de Softwares Educacionais de Amanhã”;
O projeto “Recursos Educacionais de Multimídia para Aprendizagem e
Ensino On-Line” utiliza o termo “materiais de aprendizagem on- line” -
MERLOT 2000;
A Apple Intercâmbio de Aprendizagem simplesmente se refere como
“recurso” (ALI 2000, apud Wiley 2000).
Segundo Assis (2005) não há uma única definição para um objeto de
aprendizagem, mas apesar de diversas definições existem características
semelhantes. De acordo com as visões de (WILEY 2000, GIBBONS et al 2000,
31
LONGMIRE 2000, MERRILL 1998, apud Assis 2005), os principais atributos de um
objeto de aprendizagem, são:
Interatividade ou interação;
Granularidade, no sentido de poder ser agrupado com conjuntos maiores
de conteúdos, incluindo estruturas tradicionais de cursos;
Reusabilidade, como capacidade de ser usado e reusado em diferentes
contextos, diferentes propósitos, não exclusivamente para o qual foi
concebido;
Interoperabilidade, para funcionar em diferentes plataformas;
Conceituação do conteúdo que se pretende abordar, ao utilizá-lo como
ferramenta em um processo de aprendizagem;
Identificação por Metadados, permitindo a localização por mecanismos de
busca padronizados.
No Brasil, o programa RIVED (Rede Interativa Virtual de Educação 6) da
Secretaria de Educação a Distância – SEED / MEC, propõe que objeto de
aprendizagem é qualquer recurso que possa ser reutilizado para dar suporte ao
aprendizado, e tem por objetivo a produção de conteúdos pedagógicos digitais,
buscando melhorar a aprendizagem das disciplinas da educação básica e a
formação cidadã do aluno. Defende que a principal ideia dos OA’s é "quebrar" o
conteúdo educacional disciplinar em pequenos trechos que podem ser reutilizados
em vários ambientes de aprendizagem.
A seguir, fazemos uma breve caracterização dos objetos educacionais em
entidades nacionais com esse tipo de recursos disponível, e ressaltamos a
diversidade de padrões e softwares utilizados:
1. CINTED – UFRGS –– Projeto CESTA - Coletânea de Entidades de Suporte
ao uso de Tecnologia na Aprendizagem - idealizado com vistas a
sistematizar e organizar o registro dos “objetos educacionais”,
padronização IEEE (1484.12.1 Standard for Learning Object Metadata),
desenvolvidos pela equipe da Pós-Graduação de Informática na Educação
6 http://rived.mec.gov.br
32
e do CINTED - Centro Interdisciplinar de Novas Tecnologias na Educação
da UFRGS, para cursos de capacitação em Gerência de Redes,
Videoconferência e na Pós-Graduação Lato-sensu Informática na
Educação. http://www.cinted.ufrgs.br/; (último acesso em 15 de outubro
2010).
2. LABVIRT – USP - Laboratório Didático Virtual da Universidade de São
Paulo - USP, coordenado pela Faculdade de Educação. Nele se encontram
simulações feitas pela equipe do LabVirt a partir de roteiros de alunos de
ensino médio das escolas da rede pública; links para simulações e sites
interessantes encontrados na Internet; exemplos de projetos na seção
"projetos educacionais" e respostas de especialistas para questões
enviadas através do site. http://www.labvirt.fe.usp.br/; (último acesso em 15
de outubro 2010).
3. MEC - Portal do Professor - Coleção de recursos multimídia publicados
para todos os níveis de ensino e em diversos formatos.
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/index.html/. Todos os recursos publicados
no Portal do Professor podem ser copiados e distribuídos, armazenados no
Banco Internacional de Objetos Educacionais. Este Repositório possui
objetos educacionais de acesso público, em vários formatos e para todos
os níveis de ensino. Nesse momento o Banco possui 11.114 objetos
publicados, 3.022 sendo avaliados ou aguardando autorização dos autores
para a publicação e um total de 1.710.066 visitas de 163 países
http://objetoseducacionais.mec.gov.br/; (último acesso em 15 de outubro
2010).
4. LUME - Repositório Digital da UFRGS - Tem por objetivo reunir, preservar,
divulgar e garantir o acesso confiável e permanente aos documentos
acadêmicos, científicos, artísticos e administrativos gerados na
Universidade. O Lume usa o DSpace, software livre desenvolvido pelo MIT
e HP, compatível com o protocolo de Arquivos Abertos (OAI), permitindo
que os documentos sejam facilmente recuperados por serviços de busca
disponíveis na internet. Utiliza também o Manakin, que é uma interface
amigável do DSpace baseada em XML e desenvolvida pela Universidade
33
Texas A&M. Os metadados utilizados para descrição dos documentos
digitais seguem o padrão Dublin Core e o sistema CNRI Handle é usado
para designar identificadores permanentes para cada documento
disponível no Repositório. http://www.lume.ufrgs.br/handle/10183/12730;
(último acesso em 15 de outubro 2010).
5. PROATIVA – UFC - Grupo de Pesquisa e Produção de Ambientes
Interativos e Objetos de Aprendizagem - teve início em 2001 com o projeto
álgebra interativa; o grupo conta com a participação de alunos das mais
diversas áreas e tem por objetivo desenvolver objetos de aprendizagem
(atividades multimídia, interativas, na forma de animações e simulações
que têm a ideia de quebrar o conteúdo educacional disciplinar em
pequenos trechos que podem ser reutilizados em vários ambientes de
aprendizagem), bem como realizar pesquisas sobre a utilização desses
objetos na escola, como forma de melhorar o aprendizado dos conteúdos
escolares. http://www.proativa.vdl.ufc.br/oa.php; (último acesso em 15 de
outubro 2010).
DiSessa7 em 1987 já introduzia, explicava e advogava um novo gênero de
software educacional, o conjunto de Ferramentas Abertas, que, segundo ele, “[...]
envolve um grande número de pequenas unidades ao invés de aplicações
educacionais convencionais. As unidades devem ser altamente modificáveis,
expandíveis e combináveis entre si.”. Apesar de aparentar uma redundância quando
se refere ao conjunto de Ferramentas Abertas, no sentido que a ferramenta já
denota um grau de abertura, ele quer enfatizar que o conjunto de ferramentas nunca
poderá ser acabado e completo, sempre poderá ser substituído ou adicionado.
Sendo assim, o foco é que os componentes do conjunto tenham uma boa sinergia
entre eles, sejam interconectáveis e combináveis com outros conjuntos. Portanto, o
conjunto de ferramentas abertas deve ser flexível e pequeno, que cresce e pode
continuar a crescer se restrições; assim, tanto os professores como os alunos
poderão ser envolvidos nas alterações, inclusões ou substituições do conjunto de
ferramentas abertas para adequá-las ao seu contexto. Esta propriedade pode ajudar
7 Open toolsets: New ends and new means in learning mathematics and science with computers.
34
com a tarefa crítica dos professores de apropriação de tecnologia, e passar a fazer
parte de sua prática profissional no cotidiano.
A visão tecnológica de DiSessa dos conjuntos de ferramentas abertas está
baseada em poder elaborar um novo aplicativo a partir dos recursos fornecidos por
várias aplicações existentes, portanto, têm que ser compatíveis com os atuais
sistemas computacionais e não podem ser aplicações porque tendem a ser grandes
e complexas.
Em relação à parte técnica do design, o Learning Technology Standards
Committee (LTSC) do Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE)
promoveu um padrão (LTSC, 2000a) para garantir a interoperabilidade entre as
universidades, corporações e outra organizações ao redor do mundo. O projeto
ARIADNE, com o mesmo objetivo, foi instituído na Europa.
Atualmente existem no mundo computacional alguns movimentos
relacionados a esse assunto tais como: o padrão OLE (Object Linking and
Embedding) da empresa Microsoft Corporation; o padrão "applet" utilizados em
aplicações de rede, da linguagem de programação Java da empresa Sun
Microsystems, é um software aplicativo com funções especificas que roda em uma
página de um navegador de rede. Nesse sentido, DiSessa, Abelson e Ploger, em
1991, concebem um software, intitulado de “Boxer” -
http://www.soe.berkeley.edu/boxer/index.html , com uma linguagem de programação
simples, na Universidade da Califórnia.
Como a entidade digital predominante no Brasil são os Objetos de
Aprendizagem, com seus padrões definidos através da Secretaria de Educação à
Distância do Ministério de Educação, e como nossa entidade digital foi construída
sob os alicerces de funções modulares, para permitir seu uso seletivo e/ou
combinado, poder ser agrupada com conjuntos maiores de conteúdos em estruturas
convencionais de cursos, ser uma ferramenta aberta orientada aos professores de
fácil operação, modificação e/ou expansão, objetivando contribuir para o processo
de ensino e aprendizagem de noções cotidianas de operações financeiras, optamos
por designá-la como Objeto Para Aprendizagem – OPA, para diferenciá-lo dos OA’s.
2.2. Elaboração do OPA
Tecnicamente foi necessário tomar como base alguns dos padrões
anteriormente referenciados para a elaboração do OPA; nessa linha optamos pelo
35
modelo do programa do RIVED adaptado à situação deste estudo nas fases de
Design e Desenvolvimento do processo de produção de objetos de aprendizagem.
O Quadro 1 apresenta as fases, as preocupações e equipes envolvidas no
desenvolvimento de objetos de aprendizagem, com base nos padrões da RIVED.
Esses objetos de aprendizagem são programas que podem ser simulações, jogos ou
animações. É importante observar a quantidade de profissionais envolvidos nas
diferentes especializações nas várias fases dos processos de design,
desenvolvimento e produção dos objetos de aprendizagem. Inicia-se com a
participação dos especialistas das áreas disciplinares que selecionam o tópico, a
seguir a equipe pedagógica define os objetivos educacionais para estabelecer o que
se espera que os alunos aprendam. No próximo passo o designer instrucional
interage com os especialistas buscando a sequência instrucional, para elaborar uma
primeira documentação intitulada General Design.
Quadro 1 - Processo de produção dos módulos e objetos de aprendizagem
Fonte: FASES DE DESIGN E DESENVOLVIMENTO - RIVED
Fase 1 – Os especialistas das áreas disciplinares consultam o mapeamento de conteúdos e selecionam o tópico do novo
módulo. A equipe pedagógica define os
objetivos educacionais e elabora as respectivas estratégias educacionais. O designer instrucional interage com os
especialistas a fim de guiar sobre a sequência instrucional e o nível cognitivo requerido nas atividades. Os objetivos e as atividades são descritas no documento
intitulado General Design (GD).
Fase 2 – O documento, General Design elaborado é submetido às outras equipes
para obter críticas e feedback. A revisão do GD pelas demais equipes consiste em comentários sobre: a) o design do programa e a abordagem pedagógica; b) questões
referentes ao uso apropriado da tecnologia;
c) sugestões para diferentes atividades ou mídia; d) chamar a atenção para materiais similares existentes; e) adequação do
módulo às variadas audiências
Fase 3 – Os especialistas de conteúdo revisam o design original após receber feedback das outras
equipes. Passam a descrever as especificações para cada objeto de
aprendizagem, na forma de scripts e roteiros de tela, para o grupo de
técnicos desenvolver os produtos desejados.
Fase 4 – O grupo de técnicos produz os objetos de aprendizagem. Durante esta fase, os especialistas de conteúdo, o designer instrucional, e
os técnicos interagem bastante para evitar erros.
Fase 5 – Os especialistas em
conteúdo criam os guias do professor para cada objeto de aprendizagem.
Fase 6 – Os objetos de aprendizagem são organizados nos módulos e publicados na Web.
Design
Instrucional
General Design
dos módulos
Interação
das Equipes
Script e
Storyboard
s
Produção de
objetos para
Aprendizagem
Guia do
Professor
Módulos
Web
36
Como esta metodologia trata de processos produtivos em série, este
documento é repassado às outras equipes para críticas e comentários quanto à
abordagem pedagógica, ao uso apropriado da tecnologia, às audiências, aos
materiais similares, design do programa e outros. Neste instante, forma-se uma
equipe para descrever as especificações na forma de scripts indicando roteiros de
telas, como exemplo referente a uma tela: “T 1 – um ícone de uma operação
financeira na parte superior da tela para exibir os hiperlinks explicativos”. Ela é
encaminhada para o grupo de informática responsável pelo desenvolvimento do
objeto de aprendizagem. Após os testes de funcionalidade, os especialistas em
conteúdo elaboram os guias dos professores e organizam os módulos para
publicação na Web. Lembramos que em nosso trabalho os módulos para a
publicação na Web não serão contemplados.
Ressaltamos que procuramos aproveitar o produto do trabalho da equipe de
profissionais da Secretaria da Educação para manter os objetivos educacionais
definidos no Caderno do Professor. Desta forma, analisamos o trabalho da referida
equipe relacionados ao tema central deste estudo, qual seja, os aspectos do OPA
que podem favorecer no processo de ensino e aprendizado de noções de
Matemática Financeira.
No entanto, apesar das potencialidades previstas para os OA, pesquisas
apontam que poucos professores poderiam fazer qualquer tipo de atualização e/ou
modificação nos objetos de aprendizagem, a seguir:
Sobre o primeiro contato e a frequência de utilização de recursos tecnológicos durante sua formação, os três professores entrevistados
descreveram unanimemente que durante a graduação, não tiveram nenhum contato marcante ou relevante, em suas opiniões. Entretanto, o Professor 1 e o Professor 2 comentaram que no Mestrado Profissional que cursam, existem diversas disciplinas relacionadas ao uso de tecnologia no ensino da Matemática e que por isso, o contato deles com recursos tecnológicos se tornou bem mais frequente (ASSIS, 2005, p. 97).
Dessa forma, o desenvolvimento do OPA teria que utilizar uma linguagem de
programação simples e conhecida, que permitisse aos futuros usuários poder
realizar qualquer tipo de customização e inclusão de novas funcionalidades;
portanto, optamos por desenvolver o OPA em uma planilha eletrônica onde foram
aproveitadas as potencialidades de suas funções básicas, que acopladas ao
37
software de nossa autoria permite visualizar de forma dinâmica as alterações que
ocorrem quando da mudança de um de seus parâmetros, a saber:
Pela habilidade para realizar várias operações sejam matemáticas,
financeiras, estatísticas, dentre outras;
Por ter recursos próprios de busca de textos, de classificação, de
referencia, de comparação, dentre outros;
Por ter recurso gráfico com resposta quase que instantânea às alterações,
em nosso caso modificações nos parâmetros financeiros, e assim poder
visualizá-las, permitindo a análise comportamental.
Por ter recurso de linguagem de programação “Visual Basic” e de Macros
que geram o mesmo código de programação.
Dentro das poucas opções existentes, mas com grande divulgação e de
conhecimento dos professores de Matemática, a opção foi pela planilha eletrônica
“Excel” da Microsoft Corporation.
2.2.1. Funcionalidades Esperadas
Juntando nossa experiência em sala de aula desta disciplina e no mercado
corporativo elaboramos as funcionalidades que serviram como proposta inicial ao
design a ser elaborado.
Em função disso, segue a relação de funcionalidades do software:
Permitir a manipulação de dados que representem qualitativa e
quantitativamente as variáveis usadas em fórmulas da Matemática
Financeira;
Permitir a exibição e apresentação de processos e resultados, de forma
estática e dinâmica, com recursos destinados à facilitação da
aprendizagem, como por exemplo, o uso de movimento e o
estabelecimento de associação entre os objetos envolvidos em um
processo;
Permitir a intervenção do usuário para controlar aspectos da apresentação
(por exemplo, avanço, retrocesso), que possam, no que se refere ao
38
educador, enriquecer os recursos didático-pedagógicos dos quais se utiliza
em paralelo ao OPA e, do lado do aluno, possibilitar compatibilidade com
seu ritmo de raciocínio, reflexão e compreensão;
E, por fim, mas não menos importante, efetuar os cálculos de maneira
correta e apropriada, recebendo informações do usuário e apresentando os
resultados.
A interface básica com o usuário apresenta o aspecto a seguir:
Quadro 2 - Interface do OPA
Em relação à área de exibição de dados, temos que:
É a área da tela em que são exibidas as informações numéricas que
compõem o problema (capital, prestação, taxa de juros, etc.).
Além disso, o usuário poderá informar a modalidade de cálculo (juros
simples, compostos), as operações financeiras (capitalização,
financiamento ou desvalorização), e indicar o tipo de variação que os
parâmetros devem ter (discreta ou contínua).
No que se refere à área de exibição de linha de tempo e períodos:
Nesta área são exibidas as linhas do tempo e a linha dos períodos
envolvidos na operação, sobrepondo-se, e podendo ser ajustados, de
forma contínua (via controles deslizantes) pelo usuário, a fim de
acompanhar de forma dinâmica o que acontece quando da variação dos
parâmetros financeiros envolvidos.
Observar que a linha de tempo e a linha indicativa dos períodos constituem
objetos fundamentais, pois, por meio deles podem-se relacionar diversas
variáveis, observando sua associação.
Área de exibição de dados
(variáveis e constantes do problema)
Área de exibição
de linha do tempo e períodos
Área de exibição de gráficos
39
A respeito da área de exibição de gráficos:
Aqui o usuário irá visualizar a variação dos parâmetros associados aos
valores envolvidos. Além disso, haverá opção para visualização de
calendário (que também poderá ser usado para entrada de dados). Este
último é ferramenta importante para destacar e confrontar as variáveis de
tempo que indicam os períodos em que os atores da operação financeira
estão em crédito, débito ou em nenhuma dessas situações.
Nossa proposta é que o OPA seja desenvolvido com estrutura modular e
parametrizada, que se caracterize pela sua interatividade, aspectos que objetivam
permitir que pessoas com diferentes perfis cognitivos possam apreender os
conceitos e aplicações da Matemática Financeira, e possam aplicá-los nas mais
diversas questões cotidianas. Como exemplo dessa pretendida flexibilidade,
podemos citar:
Permitir a conceptualização das operações financeiras de forma dinâmica e
com diferentes tipos de representações;
A exibição opcional dos cálculos envolvidos num financiamento ou numa
aplicação financeira, em complementação à simples exibição de
resultados, o que ocorre, por exemplo, com o uso de calculadoras
financeiras;
Facilidade de o usuário visualizar a interferência de cada parâmetro no
comportamento geral, por exemplo, dado um valor de financiamento, possa
ver o crescimento das parcelas com o aumento da taxa de juros;
Permitir a correta associação entre os elementos matemáticos,
notadamente os termos de PA e de PG e sua variação no tempo;
Focado no domínio matemático específico: “Capitalização, Financiamento e
Desvalorização”, podendo ser integrado com outros tópicos do conteúdo
matemático, como por exemplo Funções, dando significado em um
contexto cotidiano;
Um objeto com o qual o professor que o utilize se sinta confortável, em nosso
caso, o OPA: - pretende auxiliar o professor em sua prática pedagógica; - e ser
40
capaz de suscitar nos alunos uma experiência pedagógica significativa nas noções
de Matemática Financeira, alinhada com as operações financeiras do cotidiano.
41
Capítulo 3 – Fase Preparatória
Iniciamos a “Fase Preparatória” com a revisão bibliográfica que tem por
objetivo analisar de que modo a Matemática Financeira é apresentada nos livros
didáticos. A análise é feita numa perspectiva dos sistemas de representação
semióticos, para as seguintes fontes: livros didáticos do catálogo do Programa
Nacional do Livro para o Ensino Médio PNLEM/2009, livros didáticos para o ensino
superior, dissertações e teses, sites de entidades nacionais, objetos de
aprendizagem outros, e, inclusive o Caderno do Professor. Passa pelo design inicial,
tendo como base as entrevistas e as primeiras atividades, para, em seguida,
desenvolver a primeira versão do Objeto Para Aprendizagem - OPA.
Figura 4 - Mapa Conceitual da Fase Preparatória
Classificamos esta etapa da pesquisa como a fase mais crítica dentro do
estudo, merecedora de foco específico e de cuidados especiais no sentido do que
“pinçar” das leituras, das análises efetuadas, da fundamentação teórico-
metodológica, procurando entender a compreensão dos professores pesquisados no
processo de elaboração das suas atividades educacionais para a Matemática
Financeira, concordamos que todos esses aspectos nos ajudaram a balizar, mas
42
essas preocupações tornavam-se necessárias porque passávamos a materializar o
conjunto de ideias, pois nosso propósito era e é a elaboração de um software
educacional, e impreterivelmente íamos ao encontro da etapa de “Transposição
Informática” do nosso design.
Observar que especificamente em relação ao Caderno do Professor, fizemos
uma análise mais aprofundada, por se tratar do material didático que proporciona
nossa referência para efetuar a transposição informática que constituiu o OPA.
Procuramos preservar o trabalho realizado pela equipe pedagógica que produziu o
Caderno do Professor, bem como a estratégia por ele utilizada.
Cabe lembrar que as questões referentes aos livros didáticos a seguir,
também estão presentes nas demais atividades desta Revisão Bibliográfica com
suas devidas adaptações.
3.1. Análise dos Livros Didáticos
Iniciamos analisando os livros didáticos do catálogo do Programa Nacional do
Livro para o Ensino Médio PNLEM/2009. Dada a importância do tema, levantamos
as seguintes questões:
1. De que modo a Matemática Financeira é apresentada nesses livros
didáticos?
2. Quais registros semióticos são mobilizados pelos autores na
apresentação da Matemática Financeira?
3. A coordenação dos registros de representação é explorada pelos
autores na apresentação da Matemática Financeira?
4. Exploram a visualização dos conceitos financeiros atrelados a linha do
tempo?
5. Se sim, quais são os conceitos financeiros explorados?
43
3.1.1. Matemática – Dante – Volume Único
Quadro 3 - Resumo das noções de Matemática Financeira - Dante
Capítulo 27: - “Noções de Matemática Financeira”
Na introdução é destacada a resolução de problemas de ordem financeira, como cálculo de prestações, pagamentos de impostos, rendimento de poupança e outros; a seguir, são tratados os Números proporcionais, Porcentagens (fator de atualização, aumentos e descontos sucessivos), Termos financeiros (capital, tempo e taxa de juros), Juros simples, Juros compostos (fórmulas), Juros e funções (equivalência de capitais).
No referido capítulo 27 o Fator de Atualização é definido pelo autor como a
razão entre dois valores de uma grandeza em tempos diferentes. Citamos alguns
exemplos apresentados no livro didático para realizar nossa análise.
Quadro 4 – Exemplo no 1 Vunesp
Se a taxa de inflação de janeiro é de 6% e a de fevereiro é de 5%, então a taxa de
inflação no bimestre janeiro/fevereiro é de:
a) 11% b) 11,1% c) 11,2% d) 11,3% e) 11,4%
Solução f1 = 1 + 0,06 = 1,06 f2 = 1 + 0,05 = 1,05
facumulado = 1,06 1,05 = 1,113 = 11,3%
Fonte: DANTE, p. 335
Neste caso, a conversão é de um registro da linguagem natural como registro
de partida para um registro simbólico algébrico como registro de chegada onde se
faz o tratamento para o cálculo do percentual acumulado.
O exemplo apresentado dá como resultado o fator acumulado igual a 11,3%,
para isto foi necessário transformar o percentual de inflação correspondente a cada
mês em fatores de atualização de capitais do tipo ( 1 + i ), realizar a operação de
multiplicação entre eles, e voltar para valor acumulado em percentual. Este fator
acumulado pode ser utilizado para fazer uma desvalorização ou uma correção da
moeda. Portanto, focando o aluno, torna-se necessário uma representação que
permita visualizar o ponto de partida e de chegada das taxas apresentadas e como
44
influenciam no valor do dinheiro no mesmo período. Nossa sugestão é uma
representação gráfica que mostre se o dinheiro se equipara ou se desvaloriza com
respeito à data imediatamente anterior a esse período de inflação.
Quadro 5 - Exemplo no 3
A tabela abaixo mostra a variação do preço do dólar durante uma semana
qualquer, em termos percentuais. No valor acumulado desses 5 dias, o que
aconteceu com o preço do dólar? (subiu? caiu? quanto por cento?)
Sugestão do livro: → Precisamos compor as 5 variações para poder emitir um
julgamento. Para isso, precisamos dos fatores de atualização de cada variação.
Tabela - Variação do dólar - Dante
Dia Variação Fator de Atualização
2ª feira -2,35% f1 = 1 – 0,0235 = 0,9765
3ª feira 1,37% f2 = 1 + 0,0137 = 1,0137
4ª feira 1,05% f3 = 1 + 0,0105 = 1,0105
5ª feira -0,13% f4 = 1 – 0,0013 = 0,9987
6ª feira 0,21% f5 = 1 + 0,0021 = 1,0021
facumulado = f1 f2 f3 f4 f5
facumulado = 1,00107
“O dólar teve uma pequena alta de 0,107 %”
Fonte: DANTE, p. 335
Neste caso, há várias conversões; o autor inicia com um registro da
linguagem natural para um registro de tabela composto por colunas e linhas. Na
referida tabela a 1ª coluna representa a escala do tempo em dias-calendário, e cada
linha após o rótulo representa um dia da semana. A 2ª coluna representa a variação
diária do preço do dólar em termos percentuais, e em cada linha o percentual
correspondente. A tabela ao lado representa a conversão para uma representação
simbólica algébrica, ou seja, o fator de atualização de cada variação/dia para efetuar
a operação de multiplicação dos fatores (tratamento), e em seguida retirar o valor 1
do fator de atualização (1 + i ) para obter a variação percentual solicitada
(tratamento).
45
Quadro 6 - Fórmula do Montante a Juros Compostos
A dedução da fórmula do
Montante a Juros Compostos está
representada numa tabela onde:
1ª col. : períodos;
2ª col. : valor do montante* no
início de cada período;
3ª col. : valor dos juros de cada
período;
4ª col. : é a dedução da fórmula;
Fonte: DANTE, p. 338
Neste ponto, minha experiência em sala de aula mostrou que este
procedimento algébrico, para a dedução da fórmula, era entendido por um número
reduzido de alunos. Nesse sentido, acreditamos que uma representação gráfica antes
da representação tabular, que permita visualizar o crescimento do fator de
atualização, e como influencia no valor do dinheiro para períodos distintos, e
posteriormente fazer a generalização, em nossa opinião, poderá facilitar a
compreensão pelo aluno.
Quadro 7 - Juros e Funções
Fonte: DANTE, p. 339
46
Quadro 8 - Juros Simples - Montante em função do tempo
Fonte: DANTE, p. 339
Quadro 9 - Juros Compostos - Montante em função do tempo
Fonte: DANTE, p. 340
Nos Quadros acima de nos 7,8 e 9, o autor inicia com um registro da língua
natural; a seguir um registro simbólico com uma representação simbólica algébrica
onde estão as fórmulas correspondentes, continua com um registro de tabela, onde
se quantificam os valores dos Juros o do Montante, de acordo com o tipo de taxa de
juros; e termina com um registro gráfico onde se representa a função especificada
em função do tempo. Efetua-se a coordenação de quatro registros, mobilizando três
registros monofuncionais, sendo dois discursivos (tabular e algébrico) e um
multifuncional discursivo (língua natural).
Complementando as respostas das questões colocadas no início do capítulo,
ressaltamos que:
Quanto ao Fator de Atualização definido como a razão entre dois valores de
uma grandeza em tempos diferentes com um registro de partida e descrito
como (1 + i ) como registro de chegada, será bastante utilizado pelo OPA por
se tratar de um conceito básico e primordial do objeto matemático, mas será
acrescentado de um registro gráfico, que sirva de suporte para visualizar a
47
escala do tempo onde estão situados os valores ou os referidos capitais, por
isso está designado de “Fator de Atualização de Capitais”;
Quanto à dedução da fórmula do Montante a Juros Compostos referente ao
Quadro 6, nosso design vai em sentido contrário ao apresentado, uma vez
que não pretendemos recorrer às fórmulas financeiras como ponto de
partida para realizar os cálculos dos parâmetros financeiros, e sim, utilizar
representações gráficas para chegar em elas se necessário for.
3.1.2. Kátia Stocco Smole et al. Matemática
Quadro 10 - Resumo da Unidade 6: - Sequência, P.A. e P.G. - Smole
Matemática Ensino Médio
Unidade 6: - “Sequência, P.A. e P.G.”
O livro não faz referência à Matemática Financeira.
3.1.3. Márcio Cintra Goulart - Matemática
Quadro 11 - Resumo das Noções básicas de Matemática Financeira - Goulart
“Matemática Financeira”
“Na vida, como cidadão, você é objeto e agente, possivelmente, dos efeitos das implicações da Matemática Financeira” e finaliza “O conhecimento pensado, construído, dessas noções básicas de Matemática Financeira pode orientar o posicionamento e a tomada de decisões pessoais”.
Os itens abordados são: Porcentagens, Juros simples (capital, montante), Juros compostos e o uso da Calculadora financeira HP 12C.
Não há referência ao cálculo de prestações.
48
O autor, no tópico de Juros Simples, utilizando o registro da língua natural,
além de dar a definição, também esclarece os outros conceitos financeiros tais
como, capital inicial, valor principal, taxa de juros ao período, observando a
compatibilidade entre a taxa e o período; cita como exemplo a taxa semestral,
considerando t o número de semestres, e obtém a seguinte representação gráfica do
registro de chegada, que indica o comportamento dos Juros em função do tempo:
Quadro 12 - Juros Simples – Juros em função do tempo
Fonte: GOULART p. 257
Para o tópico do Montante, de acordo com a figura a seguir, a abordagem do
autor começa com uma definição de Montante como registro de partida em língua
natural; em seguida faz uma conversão para um registro de passagem algébrico, e o
registro de chegada é uma conversão para a representação gráfica do Montante em
função do tempo.
Quadro 13 - Juros Simples - Montante em função do tempo
Fonte: GOULART p. 257
49
No tópico Juros Compostos, em poucas etapas o autor chega à fórmula do
Montante; em seguida explica a operação da HP 12C para o cálculo, considerando
diversas variáveis, conforme indicado a seguir.
Quadro 14 - Uso da calculadora financeira HP 12C
Fonte: GOULART p. 261
Quanto ao uso de calculadoras específicas como a apresentada pelo autor –
HP 12C, pelo seu alto custo e especificidade para o aluno de Ensino Médio é mais
difícil de ser contemplada. No entanto as usuais calculadoras científicas ou aquelas
que possuem as operações básicas, nelas incluímos as simulações nos celulares,
as incentivamos para fazer a comprovação dos resultados do OPA, e assim o sujeito
poder analisar a transação comercial numa situação da vida real. Fazendo um
comparativo com o OPA, nesse sentido, o usuário indicará o termo inicial e final da
progressão numa das telas, e o cálculo será feito pelo software, permitindo ao
usuário dedicar mais tempo para refletir, explorar o problema e elaborar novas
construções.
50
3.2. Análise de Dissertações e Livros Didáticos Especializados
A análise das dissertações e livros didáticos especializados também se
reporta de forma semelhante às questões levantadas no item anterior deste estudo,
a seguir:
1. De que modo a Matemática Financeira é apresentada?
2. Quais registros semióticos são mobilizados pelos autores na
apresentação da Matemática Financeira?
3. A coordenação dos registros de representação é explorada pelos
autores na apresentação da Matemática Financeira?
4. Exploram a visualização dos conceitos financeiros atrelados à linha do
tempo, quais?
5. Que aspectos relevantes são citados pelos autores no contorno da
Matemática Financeira?
3.2.1. Análise das Dissertações
Dissertação de Nelson Dias Leme
A dissertação de Nelson Dias Leme (2007) intitulada “O Ensino-
Aprendizagem de Matemática Financeira utilizando ferramentas computacionais:
uma abordagem construcionista” elabora um experimento de ensino envolvendo os
alunos na construção de suas próprias fórmulas, usando planilhas para o cálculo de
juros e montantes nas modalidades de juros simples e compostos.
Os quadros a seguir apresentam a proposta de trabalho, utilizando planilhas
eletrônicas, para resolver alguns dos principais problemas inerentes a certas
movimentações financeiras.
Esta atividade é uma primeira tentativa de levar o aluno-aprendiz a utilizar as
operações básicas da aritmética e de suas propriedades estruturais, indicando as
células onde os cálculos dos Juros e Montante deveriam ser efetuados. A tarefa do
aluno é usar a Barra de fórmulas e efetuar os cálculos nas células correspondentes.
51
Quadro 15 - Análise da Atividade 2 – Juros Simples Financiamento
Fonte: DISSERTAÇÃO 2007, LEME, p. 67
Nesta Atividade tem-se uma capitalização de R$ 5.000,00, no regime de juros
simples, por cinco meses, a uma taxa de juros de 2% ao mês. Pede-se o cálculo dos
juros e do montante ao final do primeiro mês (1° período). A intenção é levar o
aprendiz a construir noções, formar conceitos próprios, calculando o juro mês a mês.
Quadro 16 - Análise da Atividade 5 – Juros Simples Capitalização (p. 71)
Fonte: DISSERTAÇÃO 2007, LEME, p. 71
Nesta atividade de no12 é solicitado o cálculo dos juros, mês a mês de uma
capitalização a juros compostos, o aluno aprendiz deverá calcular os juros e
52
adicionar ao saldo anterior para obter o saldo atual ou montante correspondente, e
assim, deduzir a Fórmula do Montante.
Quadro 17 - Análise da Atividade 12 – Juros Compostos Capitalização
Fonte: DISSERTAÇÃO 2007, LEME, p. 137
Segundo Leme (2007), o principal objetivo desta proposta de trabalho,
utilizando planilhas eletrônicas, é suprir uma lacuna pela inexistência de material
didático voltado para o nível de ensino abordado, de acordo com a constatação a
partir da análise de diversos livros didáticos.
Quanto ao uso da planilha eletrônica, as atividades iniciam no sentido de dar
desenvoltura ao aluno-aprendiz nesta ferramenta para chegar às deduções das
diferentes fórmulas financeiras, diferentemente da nossa proposta de trabalho que
faz uso das planilhas eletrônicas para aproveitar os recursos gráficos e aptidão que
elas possuem para efetuar cálculos.
Dissertação de Pedro Lopes Nascimento
O trabalho de Pedro Lopes Nascimento (2004) em sua dissertação intitulada
“A formação do aluno e a visão do professor do Ensino Médio em relação à
Matemática Financeira”, procurou investigar a formação de 80 alunos cursando ou
egressos do Ensino Médio em relação à Matemática Financeira e a visão do
professor dessa etapa da escolaridade a respeito desse tópico. Ele constata que o
discurso dos alunos, de certa forma já incorporado à fala dos professores, destaca
que o aluno do Ensino Médio, de modo geral, não recebe informação nem formação
53
suficiente, relativamente à Matemática Financeira, que lhes permita resolver
problemas, mesmo os que envolvem conceitos ou procedimentos elementares.
Ele considera esse fato preocupante dada a importância que Matemática
Financeira tem para qualquer cidadão e constatou que as dificuldades são muito
grandes tanto em relação aos aspectos conceituais que envolvem a noção de
proporcionalidade e, em particular, a porcentagem, como em relação aos aspectos
procedimentais que envolvem interpretação de uma resposta ou a estimativa de um
resultado. Este fato pode ser visto no quadro seguinte do resumo que ele faz dos
resultados.
Quadro 18 - Resultados verificados
Fonte: DISSERTAÇÃO 2004, NASCIMENTO, p. 69
Para Nascimento, as dificuldades reveladas podem ser atribuídas aos
professores, pela ausência desse tópico no seu planejamento; constata, também,
um desencontro na opinião dos professores de Matemática, que consideram a
Matemática Financeira como um tema importante para a formação dos alunos, mas
por um motivo qualquer não a ensinam em sala de aula.
54
3.2.2. Análise de Livros Didáticos Especializados
Apresentamos o Livro Didático de Hazzan e Pompeu
especializado em Matemática Financeira como o
representante dos demais livros utilizados nesta disciplina
para fazer nossa análise, uma vez que, além de
consagrado no mercado por vários anos, se caracteriza
pela excelência do conteúdo e a competência dos autores,
por outro lado, e em nossa opinião é bastante
representativo dos demais pelos aspectos de
conceptualização e nos procedimentos de cálculos de
operações financeiras.
O item escolhido para nossa análise diz respeito as “Sequências Uniformes
Diferidas”; os autores conceituam este tópico como um financiamento com parcelas
fixas que iniciam com o pagamento da 1ª parcela distante da data do ato da
transação comercial, para isto, tem como registro de partida a língua natural; a
seguir um registro gráfico que permite visualizar este tipo de sequência de forma
generalizada:
Gráfico 1 - Representação de uma Sequência Uniforme Diferida – p. 116
Fonte: MATEMÁTICA FINANCEIRA, S. HAZZAN E NICOLAU POMPEO, p. 116
E termina com registro simbólico com o procedimento de cálculo para o Valor
Atual, a seguir:
1º ) Calculamos o capital único equivalente à sequência na data m (Vm). Para
isso, basta notar que:
55
2º ) Calculamos o capital V (na data 0) equivalente a Vm. Isto é:
Tendo em conta que
, segue-se que:
Diferentemente da abordagem deste livro didático para este tópico em
análise, como para os demais, onde o registro de chegada é um registro simbólico
com uma representação simbólica algébrica para acomodar as fórmulas, que por
sua vez estão baseadas em tabelas financeiras. Nosso OPA pretende ter como foco
o registro gráfico onde o aluno possa visualizar as mudanças dos parâmetros
financeiros através de um clique na tela, e o opcionalmente os cálculos detalhados
de forma simultânea.
3.3. Análise do Caderno do Professor
Como dito anteriormente, a análise efetuada nas aplicações à matemática
financeira do “Caderno do Professor” recebe um aprofundamento devido a ser o
referencial adotado e é a partir desta análise que são estipuladas as premissas
iniciais relativas aos aspectos de representação semiótica, de procedimento de
cálculo e de conceituação das operações financeiras na elaboração do OPA.
O Caderno do Professor começa definindo a operação financeira de
capitalização como um “crescimento de um capital, a uma taxa constante de juros
simples, caracteriza-se por envolver uma série de termos que formam uma
progressão aritmética. Por outro lado, no cálculo do crescimento de um capital a
uma taxa constante de juros compostos, aparece uma progressão geométrica” (ibid,
56
p. 43). Utiliza-se de uma tabela comparativa entre juros simples e compostos a uma
taxa de juros de 5% ao mês, a seguir:
Quadro 19 - Comparativo da Evolução de um Capital
Fonte: CADERNO DO PROFESSOR, p. 43
A tabela apresenta na 1ª coluna os tempos dos eventos do crescimento de
capital, inicia com a data da transação da operação financeira de capitalização como
“Inicial”, e segue com sua evolução para o 1º mês como “Depois de um mês”, e
assim sucessivamente. As 2ª e 3ª colunas correspondem aos termos das
progressões a uma taxa de 5% a.m. (ao mês), multiplicados pelo capital inicial
aplicado, para os casos de juros simples e compostos, respectivamente. Este
sistema semiótico permite visualizar a correspondência de cada termo das
progressões com o respectivo período; cada termo das progressões é o próprio
conceito do “fator de atualização de capitais”, dado por “(1 + in) ou (1 + i )n ” para
Juros Simples ou Compostos respectivamente, que indica o crescimento ou
evolução do capital inicial designado por “C”.
Sendo assim, para a capitalização com uma única parcela podemos observar
que dentro do registro de tabelas as células descritivas tanto na horizontal como na
vertical utilizam-se da língua natural escrita como “Evolução do capital a juros
compostos” e “Depois de dois meses” respectivamente, o que facilita visualizar e
compreender o registro simbólico correspondente, que para este exemplo equivale a
“1,10 ∙ C ou 1,052 ∙ C”. Se o aprendiz se propõe a efetuar a conta apresentada
poderá verificar qual dos Juros oferece uma melhor rentabilidade.
Em seguida são apresentadas duas tabelas comparativas de uma
capitalização a juros simples e compostos, supondo uma aplicação mensal durante
57
8 meses de uma quantia fixa de R$ 200,00 à taxa de juros de 5% ao mês, conforme
apresentado a seguir:
Quadro 20 - Tabela de Capitalização – Juros Simples
Fonte: CADERNO DO PROFESSOR, p. 44
Quadro 21 - Tabela de Capitalização – Juros Compostos
Fonte: CADERNO DO PROFESSOR, p. 45
Ao fazer o comparativo entre as evoluções de capitais aplicados
mensalmente, aparece o primeiro aspecto gerador de dúvida, as células descritivas
da 1ª linha horizontal designada por “Mês” não discriminam se as parcelas são
depositadas no início ou no fim do período; esta duvida é dirimida quando o aprendiz
deduz, porque no final da linha aparece uma célula designada por “Final”, e na
coluna correspondente há um acréscimo do capital com respeito à anterior
designada por “8º”. Nossa sugestão é atrelar as parcelas à linha do tempo em linhas
separadas, a seguir:
58
Quadro 22 - Parcela associada ao tempo
Após o (mês)
Início 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º
Parcela 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª Final Valor
C A P I T A
L
200 200 ∙ 1,05 200 ∙ 1,10 200 ∙ 1,15 200 ∙ 1,20 200 ∙ 1,25 200 ∙ 1,30 200 ∙ 1,35 200 ∙ 1,40 280
200 200 ∙ 1,05 200 ∙ 1,10 200 ∙ 1,15 200 ∙ 1,20 200 ∙ 1,25 200 ∙ 1,30 200 ∙ 1,35 270
200 200 ∙ 1,05 200 ∙ 1,10 200 ∙ 1,15 200 ∙ 1,20 200 ∙ 1,25 200 ∙ 1,30 260
200 200 ∙ 1,05 200 ∙ 1,10 200 ∙ 1,15 200 ∙ 1,20 200 ∙ 1,25 250
200 200 ∙ 1,05 200 ∙ 1,10 200 ∙ 1,15 200 ∙ 1,20 240
200 200 ∙ 1,05 200 ∙ 1,10 200 ∙ 1,15 230
200 200 ∙ 1,05 200 ∙ 1,10 220
200 200 ∙ 1,05 210
Total 1.960
Para o cálculo do valor acumulado a juros simples o autor utiliza a fórmula a
seguir:
E para o cálculo do valor acumulado a juros compostos
Fazendo 1,058 = 1,48
Desta forma, os autores concluíram com um comparativo dos resultados
obtidos por ambas as operações financeiras de capitalização, realçando que o
processo a juros compostos conduz a valor final maior.
Ainda na etapa 2 da Situação de Aprendizagem 3 – Soma dos Termos de
uma PA ou de uma PG Finita; Aplicações na Matemática Financeira – o Caderno do
Professor propõe:
59
Outra aplicação importante das somas das progressões diz respeito ao cálculo da parcela fixa de um financiamento a taxa constante de juros. De fato, trata-se de um problema inverso ao que foi analisado há pouco8, isto é, conhece-se o montante final e deseja-se calcular a parcela mensal do investimento, (ibid, p. 46).
Para tanto, o “Caderno do Professor” explica as duas situações descritas a
seguir:
1º) Com taxa de juros simples
Como o financiamento parcelado com juros simples não é uma prática de
mercado, para contextualizar esta modalidade haveria necessidade de entender a
mesma situação, mas com uma única parcela. Esta modalidade é chamada de
desconto, e é utilizada para resgatar títulos, podendo ser “por fora” (também
denominada bancária), onde a taxa é aplicada ao valor de face do título, ou “por
dentro”, na qual a taxa é aplicada ao valor de resgate. Após este entendimento
teríamos que optar qual destas duas modalidades seria utilizada para compor a
sequência progressiva, dos termos da progressão atrelada ao tempo.
Dada a complexidade conceitual de um financiamento a juros simples tanto do
ponto de vista financeiro como do matemático, é fora de propósito para alunos do
Ensino Médio, visto que sua base conceitual matemática não dá suporte para o
entendimento adequado. Portanto não será contemplada neste trabalho.
2º) Com taxa de juros compostos
Diferentemente do financiamento citado anteriormente, esta operação
financeira é a prática comum de mercado. O processo de cálculo explica a resolução
baseado num financiamento de R$ 10.000,00, corrigido de acordo com a quantidade
de meses do financiamento, isto é, se a taxa de juros é 5% ao mês, e o prazo do
financiamento é de 24 meses, o fator de correção será de 1,0524, e a soma dos
termos da progressão geométrica (1,05 + 1,052 + 1,053 + ......+ 1,0524) é usada para
fazer o cálculo da parcela.
8 Saldo final de uma capitalização a taxa de juros simples e compostos.
60
Na análise que o Caderno do Professor faz deste tipo de financiamento,
enfatiza dois aspectos geradores de dúvidas:
Quadro 23 - 1º Aspecto gerador de dúvidas
Refere-se à necessidade de corrigir o valor financiado de acordo com o
exemplo acima, multiplicando-o pelo fator de correção de “1,0524 ”, pois o bem
financiado será considerado quitado quando a última parcela for paga.
Fonte: CADERNO DO PROFESSOR, p. 47 Quadro 24 - 2º Aspecto gerador de dúvidas
“A segunda dúvida que costuma ocorrer refere-se à necessidade de calcular o valor futuro de cada parcela que vai sendo pago, o que conduz ao cálculo da soma da PG. É comum os alunos fazerem, equivocadamente, a simples divisão do resultado
do produto 10000 • 1,0524 para determinar o valor de cada parcela. O professor deve chamar a atenção dos alunos para o fato de que as parcelas não são todas pagas ao final do financiamento, mas sim em tempos diferentes, e que, por isso mesmo, o valor futuro de uma parcela não é igual ao da outra.”
Exemplificando este aspecto gerador de dúvidas, o valor da parcela corresponderia a:
o que é errado.
Fonte: CADERNO DO PROFESSOR, p. 47
A análise de operações de financiamento é feita tendo como base o problema
de no 4 da página 49, por ser um procedimento padrão. Para isto apresentamos o
enunciado e a solução proposta pelo caderno no quadro abaixo.
Quadro 25 - Enunciado e Solução problema no 4
Uma geladeira cujo preço à vista é de R$ 1.500,00 será financiada em seis
parcelas mensais fixas. Se os juros compostos cobrados no financiamento dessa
geladeira são de 3% ao mês, qual o valor da parcela mensal? (Dado: 1,036 = 1,19)
Solução proposta
O valor futuro da geladeira, em seis meses, será igual a 1.500 ∙ 1,036 = 1.500 ∙
1,19 = 1.785. A soma das parcelas fixas, a 3% de juros compostos ao mês, recai
em: , onde P é o valor da
parcela fixa mensal. Como S = 1.785,00, tem-se:
61
1.785
1.785
Fonte: CADERNO DO PROFESSOR, p. 49
Nossa análise é feita em etapas objetivando especificar as representações
utilizadas em cada passo.
O caderno diz: O valor futuro da geladeira, em seis meses, será igual a
Uma definição simples de Matemática Financeira é a matemática que trata o
valor do dinheiro no tempo; então ao corrigir o valor da geladeira em “1,036” o
Caderno do Professor optou pela data do final do financiamento para fazer a
igualdade matemática entre o valor da geladeira e as seis prestações, a taxa de
juros na modalidade de juros compostos. Ressaltamos que não significa que a
geladeira irá custar esse valor após seis meses, esse valor é o valor corrigido da
mesma para efeito de cálculo.
Como elemento facilitador da aprendizagem do significado do valor corrigido
(e não futuro – como consta no “Caderno do Professor”, cujo conceito é diverso), da
geladeira, sugerimos, via OPA, a utilização de um sistema semiótico de registro
gráfico com a visualização da escala do tempo para representar os seis meses, sem
a data calendário, e sim como quantidade de períodos (de zero “0” a seis “6”).
Gráfico 2 - Registro gráfico proposto para o problema no 4
O valor corrigido (e não futuro)
corrigido da geladeira, em seis meses,
será igual a
Este registro permite visualizar a data da transação comercial no momento “0”
(zero) no eixo que representa o tempo, dito de outra forma corresponde ao 1º dia do
1º mês. Por outro lado, também representa a data onde é feita a equivalência entre o
valor da geladeira e as seis parcelas, que corresponde ao último dia do 6º mês.
62
O caderno diz: A soma das parcelas fixas, a 3% de juros compostos ao mês,
recai em: , onde P é o valor da
parcela fixa mensal.
Como S = 1.785,00, tem-se:
1.785
1.785
Neste caso a conversão indicada é de um registro da linguagem natural para
um registro simbólico algébrico que contém o registro numérico da progressão
geométrica; por sua vez, esse registro numérico tem uma atividade de tratamento
operatória, para obter o resultado da soma de cada termo da progressão, e a seguir
outra atividade de tratamento operatória para calcular o valor da parcela. Como a
data do pagamento da 1ª parcela não foi explicitada no enunciado do problema, se
no ato da transação comercial ou no final do 1º mês (pagamento antecipado ou
postecipado), é necessário descobrir a correspondência de cada termo da P.G. com
a posição de cada parcela na linha (eixo) do tempo. Para isso, utilizaremos o mesmo
registro gráfico, primeiramente focando o valor da geladeira corrigido (R$ 1.785,00)
em “6”, e a seguir fazer a correspondência de cada parcela, designadas de P1 para a
1ª parcela, e assim sucessivamente até P6 que representa a 6ª parcela e última.
Observe que na representação gráfica abaixo, P6 sofre uma correção para se
posicionar em “6”, onde o valor da geladeira corrigido se encontra, portanto, o termo
da P.G. correspondente é “1,03”. Para P4 são necessárias “3” correções, portanto, o
termo da P.G. é “1,033”, assim para P1 → “1, 036”, P2 → “1, 035”, P3 → “1, 034” e P5
→ “1, 032”.
Gráfico 3 - Correspondência das parcelas aos termos da P.G.
63
Na abordagem dos financiamentos não há nenhuma referência a respeito de
qual é a data de pagamento da primeira prestação, ou seja, se é antecipada ou
postecipada. O enunciado em análise apresenta sempre o caso de pagamento
antecipado, modalidade obtida pela associação dos termos da PG utilizada,
considerando-o como única forma de cálculo das prestações. Em outras palavras, a
data de pagamento da primeira prestação não é colocada como dado variável para o
cálculo das prestações. A matemática financeira contempla o fato de o primeiro
pagamento ser antecipado (quando se paga a primeira parcela no ato do
financiamento ou da transação comercial, o que equivale a dizer no início do
primeiro período), ou postecipado (pagar a primeira parcela, por exemplo, 30 dias
após a data de financiamento ou da transação comercial, o que equivale a dizer no
final do primeiro período). Para os dois casos as calculadoras e os programas
financeiros destacam essa situação utilizando os conceitos “Begin” ou “End”, pois
isso implica mudança de valores de prestação, e principalmente de prazos de
liquidação do financiamento. A Matemática Financeira usa essa data como variável
para os cálculos nos casos de início de pagamento diferido, pois há situações como:
“pague a primeira prestação daqui a 60, 90, 120... dias”, ou “após o recebimento do
13º salário”.
Parece-nos que para os alunos do Ensino Médio, foco do objeto Matemático
do nosso estudo, esta associação está fora do propósito, sobretudo, numa iniciação
a Matemática Financeira, portanto nosso OPA sempre contemplará a data do 1º
pagamento.
Resultados de exponenciações são apresentados (e usados nos cálculos)
com duas casas decimais. Essa prática está em desacordo com o que o mercado
financeiro utiliza e aceita; normalmente os números exponenciados são obtidos e
trabalhados com pelo menos quatro casas decimais, ou mais, dependendo da ordem
de grandeza dos valores envolvidos no cálculo.
A comprovar tal procedimento, as calculadoras financeiras ou planilhas
eletrônicas, ao efetuar tais cálculos, fazem-no com o máximo de casas decimais
possíveis para sua arquitetura, exibindo conforme configurado pelo usuário, a fim de
obter o máximo possível de precisão. Observar ainda que o Caderno do Professor
julga fundamental que os alunos disponham de calculadora para o aprendizado e
prática da matéria.
64
Observamos que se utilizássemos a representação tabular de um registro de
tabelas, usada como recurso semiótico do “Caderno do Professor”, para interpretar a
sequência dos termos da PG no sentido de identificar quando ocorre o pagamento
da 1a parcela, sua construção seria complexa.
.
Quadro 26 - Representação tabular de um registro de tabelas
Por outro lado, a representação ou as representações que utilizaremos no OPA
têm que ser de construção simples e dinâmicas, sendo assim poderemos visualizar
o deslocamento do pagamento das parcelas de acordo com o contrato de
financiamento.
Gráfico 4 - Representação Gráfica do problema analisado
A representação gráfica acima é utilizada comumente pelos livros específicos
de Matemática Financeira, pois permite visualizar também o fluxo de caixa de
acordo com o sentido da seta.
Na análise da revisão bibliográfica encontramos no Caderno do Professor
uma das premissas fundamentais para nosso objeto matemático, e ressaltamos que
65
o conjunto de atividades realizadas está de acordo com a “Orientação Geral Sobre
Os Cadernos”, subitem “Conteúdos básicos do bimestre” que propõe:
[...] problemas clássicos de cálculos de juros e de montantes envolvidos em processos de capitalização ou amortização componham o contexto possível para o tratamento da soma de um número finito de termos de uma PA ou de uma PG (Caderno do Professor, 2009, p. 9)
A proposição de recorrer à soma de um número finito de termos de uma
Progressão Aritmética e/ou Geométrica para o cálculo de parâmetros financeiros é o
principal aspecto diferenciador dos livros didáticos, textos e dissertações publicadas;
esta orientação é plausível de ser seguida, e o Objeto Para Aprendizagem - OPA -
terá como referência a sequência didática e o conteúdo programático do Caderno do
Professor.
Como já dito, a Matemática Financeira é a matemática que trata do valor do
dinheiro no tempo; sendo assim, uma das principais características do OPA é
permitir a visualização desta característica e fazer corresponder cada termo da
progressão aritmética e/ou geométrica com o procedimento de resolução de
problema adotado. Lembramos que o procedimento de cálculo do caderno do
professor para financiamentos contempla o pagamento da 1ª parcela somente no ato
da aquisição, mas não nos casos em que a 1ª parcela deve ser paga “daqui a 90
dias” ou “no Carnaval”, etc., como ocorre com freqüência nas divulgações feitas
pelos meios de comunicação.
Como a questão fundamental é “Que aspectos do OPA podem favorecer no
processo de ensino e aprendizado de noções de Matemática Financeira?”, a
pesquisa foi focada buscando encontrar e favorecer os aspectos principais dos
conceitos financeiros e matemáticos, e verificar dentro das modalidades financeiras
do objeto matemático “Capitalização, Financiamento e Desvalorização” quais os
aspectos, representações semióticas e conversões de registros provocadores de
visíveis perturbações nos participantes que poderiam ser compensadas pelas
funcionalidades do OPA.
3.4. As Entrevistas e as Atividades
Os pressupostos estabelecidos para as entrevistas eram no sentido de que
fosse semi estruturada, pois me permitiria fazer questionamentos de acordo com a
66
explanação dos professores entrevistados, e por outro lado, que eles atendessem as
premissas a seguir:
Que o professor usasse como instrumento pedagógico o Caderno do
Professor, uma vez que o foco da pesquisa está baseado na situação de
aprendizagem das aplicações à Matemática Financeira, assim poderia
questionar os aspectos levantados na análise do Caderno do Professor;
Que o professor tivesse ministrado o conteúdo “Números e Sequências” no
1º bimestre da 1ª série do ensino médio no ano de 2009, uma vez que no
ano anterior (2008) não constavam as aplicações à matemática financeira.
Assim se poderia verificar a abordagem por eles adotada, para isto, qualquer
problema com respeito a financiamento poderia ser utilizado.
Dentre os professores que foram contatados, poucos atendiam as premissas
acima, principalmente, porque não lecionavam as aplicações de matemática
financeira por uma questão de tempo, a carga horária prevista não era suficiente
durante o ano letivo, ou deixava este tópico para lecionar nas últimas aulas
utilizando-se das funções linear, exponencial e logarítmica.
Desta forma, dos professores que concordaram em serem entrevistados,
somente duas professoras cumpriam com os requisitos fixados, lecionam na mesma
escola da zona sul da cidade de São Paulo no bairro do Campo Belo. As entrevistas
foram realizadas em separado em uma sala de aula, sem alunos, no local de
trabalho dos professores e fora do horário de funcionamento da escola. A data das
entrevistas foi no dia 19 de maio de 2009, e cada entrevista demorou em torno de 30
minutos.
No intuito de não contaminar as explicações dos professores entrevistados, o
enunciado do problema de financiamento utilizado foi apresentado numa folha do
tipo A4. Tanto o professor 1 como o professor 2 expuseram a resolução do mesmo
modo como exposto no Caderno do Professor, sem observarem que esta situação
se aplica somente aos casos em que o pagamento da 1ª parcela seja efetuado no
ato da compra, aspecto não especificado pelo Caderno do Professor o que ao nosso
modo de ver compromete a resolução do problema.
Apesar do questionamento quanto à utilização de somente duas casas
decimais, a resposta dos sujeitos pesquisados é no sentido de que não podemos
67
complicar as contas para os alunos. Quanto às provocações efetuadas para que as
professoras reconsiderassem os casos em que o pagamento da 1ª parcela pode ser
efetuado de forma postergada, não houve nenhum comentário adicional que
modificasse sua interpretação da resolução do problema. Sendo assim as
professoras reforçam suas explicações recomendando o procedimento de cálculo do
caderno para as operações de financiamento e de capitalização.
Três dias depois, no dia 22 de maio de 2009 iniciamos a primeira atividade
com nove (9) alunos professores da Pós Graduação do Mestrado Acadêmico em
Educação Matemática de uma universidade particular situada em São Paulo Capital,
professores atuantes no Ensino Fundamental e Médio tanto da rede pública e
particular como em universidades. O local utilizado foi uma das salas de aula da Pós
Graduação, aparelhada com recursos tecnológicos de última geração e realizado em
duas sessões de duas horas aulas cada, dentro da disciplina de Seminário de
Pesquisa.
Na sessão inicial da atividade, o experimento buscava avaliar as dificuldades
encontradas pelos colegas nas operações financeiras, desenvolvido por meio de
fichas que exigiram não somente a resolução do problema, como também o
levantamento dos elementos significantes e a abordagem da solução; houve
concordância em que o trabalho fosse desenvolvido em duplas de livre escolha.
Na segunda sessão foi feita uma apresentação, pelo autor desta pesquisa,
das operações financeiras e dos recursos tecnológicos utilizados. Assim, ao
revisarmos as questões da sessão anterior, criou-se uma interação entre todos os
participantes da atividade gerando novas propostas.
Quadro 27 - Primeira Questão da Primeira Atividade
Nessa dinâmica, da 1ª questão da atividade,
“Se você tivesse que fazer um empréstimo, o
faria a taxas constantes de juros simples ou
juros compostos?”, são sugeridos elementos
que devem ser observados na elaboração do
protótipo, tais como: Resposta:
- buscar as diferenças entre uma PA e uma
PG (Lima, 1997);
68
- como isso poderá ou não trazer vantagens e os termos de negociação e
pagamento;
- Analisar graficamente as variações de cada progressão e como o estudante
poderia utilizar na Matemática Financeira
Quadro 28 - Segunda Questão da Primeira Atividade
O enunciado deste problema “Um comprador
mal-intencionado da empresa “alpha”
pretende fazer uma falcatrua numa compra
no valor de R$ 130.000,00. Pede para
superfaturar essa compra em 25%, e para
não ficar tão evidente, pede para fazer um
desconto de 20%. Calcule quanto ele
pretende ficar?”, Resposta:
Mostrar como o mercado/Empresas fazem
para burlar o Fisco. De que formas isso
poderá ocorrer.
As vantagens e desvantagens dessas
operações.
Cálculo de porcentagens, onde não será feito a operação aritmética ou geométrica.
Este problema traz um componente forte da relação que existe entre uma
valorização com o desconto correspondente em termos percentuais, ou seja, uma
valorização de 25% deixa o fator de acumulação de capitais ( 1 + i ) igual a ( 1 +
0,25) ou 1,25. Como o desconto é de 20% este fator é ( 1 – i ) é igual a ( 1 - 0,20 )
ou 0,80, ao efetuar o produto de 1,25 • 0,80 = 1, voltamos à situação original
independente do valor do capital. De outra forma, se o objeto “A” é maior que “B” em
25%, “B” corresponde a 80% de “A” ou 20% a menos. Este conceito serve para
evidenciar a ida e volta de um capital (valor presente e valor futuro). As sugestões
apresentadas fogem do escopo de PA e PG, não tendo uma aplicabilidade imediata
no OPA.
69
Quadro 29 - Terceira Questão da Primeira Atividade
O Problema 3 “Uma geladeira cujo preço
à vista é de R$ 1.500,00 será financiada
em seis parcelas mensais fixas. Se os
juros compostos cobrados no
financiamento dessa geladeira são de
3% ao mês (a.m.), qual o valor da
parcela mensal? (Fonte: Caderno do Professor)
Resposta
-Introdução dos conceitos de PG,
-demonstração da linha do tempo,
-comparação entre a compra a prazo e à vista. -Vantagem desvantagem.
- Necessidade da compra, possibilidade de investimento, o custo de oportunidade.
Observe que a data da 1ª parcela não é explicitada, pode ser (0, 30, 60,...)
dias a posteriori em relação à data da compra da geladeira, na medida em que
aumenta esta diferença maior é o valor da parcela, daí a importância deste
parâmetro, modificando também a sequência dos termos da PG para o cálculo da
mensalidade. A sugestão da dupla 1 de professores é de “Introdução dos conceitos
de PG demonstração da linha do tempo” para essa observação.
Independente da exiguidade do tempo para esta atividade, verificamos a
dificuldade dos professores participantes em relacionar cada termo da progressão
com a parcela correspondente na linha do tempo.
A partir dos resultados das interações dos professores iniciamos a elaboração
do design com foco inicial exclusivamente para uma situação de financiamento com
taxa de juros compostos, atrelando cada termo da progressão geométrica à parcela
correspondente (incluindo seu sub-índice para identificar a localização no tempo da
1ª, 2ª, 3ª, .... parcela ) na linha do tempo. Para isto, fizemos uso da análise realizada
do problema de no 4 da página 49 por ser um procedimento padrão utilizado pelo
Caderno do Professor. Nossa proposta é apresentar um registro gráfico que suporte
a visualização dos termos da P.G., a seguir:
70
Quadro 30 – Enunciado de uma operação de Financiamento
Enunciado: “Uma geladeira cujo preço à vista é de R$ 1.500,00 será financiada
em seis parcelas mensais fixas. Se os juros compostos cobrados no
financiamento dessa geladeira são de 3% ao mês (a.m.), qual o valor da
parcela mensal?”
Resolução: (Dado: 1,036 = 1,19) O valor futuro da geladeira, em seis meses,
será igual 1.500 • 1,036 = 1.500 • 1,19 = 1.785.
As soma das parcelas fixas, a 3% de juros compostos ao mês, recai em:
, onde P é o valor da
parcela fixa mensal. Como S = 1785, tem-se:
Fonte: CADERNO DO PROFESSOR, p. 49
A resolução pretendida será apresentada passo a passo de forma a elucidar
esta situação de financiamento:
O valor futuro da geladeira, em seis meses, será igual 1.500 • 1,036 = 1.500 •
1,19 = 1.785
Gráfico 5 - Representação Gráfica do VP x VF
A representação gráfica acima representa o procedimento utilizado no
Caderno do Professor para deslocar, em seis meses, o valor atual (VP) da geladeira
de R$ 1.500,00, para o valor futuro (VF), que se converte em R$ 1.785,00. Este
procedimento de deslocar o valor da geladeira é realizado para efetuar a soma das
prestações numa mesma data, neste caso seis meses após a transação comercial.
71
Gráfico 6 - Representação Gráfica da evolução do VP
O fator de atualização é de 1,19, o que corresponde a uma taxa de juros
compostos de 3% a.m nos seis meses; tem-se então:
Dado 1,036 = 1,19 O valor futuro é 1.500 • 1,19 = 1.785.
A soma das parcelas fixas, a 3% de juros compostos ao mês, recai em:
, onde P é o valor da
parcela fixa mensal.
O procedimento adotado é levar todos os valores para o sexto mês; para tal,
também são somadas as parcelas do financiamento nesse mês. Como o 1º termo da
PG é igual a “1,03”, tem-se que o acréscimo ou correção de 3% em um mês, a
parcela que sofre menos correções uma vez que a equivalência é no 6º mês,
corresponde à 6ª parcela ou P6, a seguir:
Gráfico 7 - Representação Gráfica do 1o termo da PG
O 2º termo da PG é igual a “1,032”; significa que temos dois acréscimos ou
duas correções de 3%, como a taxa de juros para esta situação é a.m. (ao mês)
corresponde a dois meses, portanto trata-se da 5ª parcela. O fato do 2º termo da PG
estar elevado ao quadrado (igual a “1,032”) é por ser juros compostos, i.e., os juros
incidem na situação anterior, a seguir:
72
Gráfico 8 - Representação Gráfica do 2o termo da PG
Consequentemente, a interpretação de
, será:
Gráfico 9 - Representação Gráfica da PG
Observe que a data do pagamento da primeira parcela do financiamento
coincide com a data da transação comercial, parcela P1 localizada em “0”; então
tem-se um financiamento com modalidade antecipada (begin) ou “1 + 5” prestações.
Como a 1ª parcela é paga no ato da compra, pode-se entender que o financiamento
refere-se ao valor da mercadoria menos o valor da 1ª parcela e esta transação será
liquidada em cinco meses.
Desta forma, quando a data não está explícita, o mercado financeiro
pressupõe que a transação será realizada de forma postecipada, no final do 1º
período; caso contrário explicita-se como “1 + 5” prestações para esta situação, ou,
se tiver um prazo maior, seria daqui a, por exemplo, 60, 90 ou 120 dias. Esta
correspondência dinâmica dos termos da PG com as parcelas do financiamento é
outro aspecto a ser destacado, pois se o pagamento da 1º parcela é a 30 dias da
73
data da transação, a última parcela P6 se sobrepõe no tempo com o valor da
geladeira corrigido, portanto deslocando a sequência de termos da PG.
Cabe lembrar que a sequência instrucional do caderno do professor para a
operação de financiamento parte de uma representação na língua natural escrita
para uma representação simbólico-algébrica de forma direta; em nosso modo de ver,
este procedimento sugestionou os professores pesquisados, pois somente
procuraram raciocinar com representações simbólico-algébricas, evidenciando a
dificuldade em achar novas representações.
Sendo assim, nossa proposta para o OPA com foco no domínio matemático
específico “Capitalização, Financiamento e Desvalorização”, é caracterizá-lo pela
sua “interatividade”, isto é, os usuários poderão interagir com o OPA mudando com
facilidade, por exemplo, o valor da operação financeira e visualizar o comportamento
dos demais parâmetros. Ressaltamos novamente que procuramos aproveitar o
produto do trabalho da equipe de profissionais da Secretaria da Educação para
manter os objetivos educacionais definidos no Caderno do Professor.
Assim, acrescentamos no OPA registros gráficos e de tabelas dos conceitos
de valor do dinheiro através do tempo, do comportamento da taxa de juros nas
modalidades de juros simples e compostos, de uma operação de financiamento, de
capitalização e de desvalorização. Para isto fizemos uso da escala do tempo
associada à data calendário e períodos, que por sua vez fica relacionado com os
valores de resgate ou aplicação e as parcelas correspondentes, podendo assim
diferenciar os valores procurados de acordo com a quantidade e início das parcelas.
Complementamos esta fase de design com os comentários dos professores
pesquisados (oriundos de suas experiências na elaboração de atividades
educacionais) que ressaltam os aspectos de visualização e dinamismo com valores
não rebuscados como taxas de juros (1% a.m., 5% a.m., 10% a.m.) e
financiamentos/aplicações/parcelas de (R$ 50,00, R$ 100,00, R$ 500,00) das
operações financeiras.
O passo seguinte é a atividade realizada no dia 21 de agosto de 2009 com
oito (8) alunos professores da Pós Graduação do Mestrado Acadêmico em
Educação Matemática de uma universidade particular situada em São Paulo Capital,
dos quais 6 participaram da 1ª atividade, professores atuantes no Ensino
74
Fundamental e Médio tanto da rede pública e particular como em universidades. O
local utilizado foi uma das salas de aula da Pós Graduação, aparelhada com
recursos tecnológicos de última geração e realizado em duas sessões de duas horas
aulas cada, dentro da disciplina de Seminário de Pesquisa.
O objetivo da atividade referenciada no parágrafo anterior foi avaliar se as
representações gráficas do nosso 1º esboço do design auxiliariam os professores
pesquisados a construir uma nova forma de compreensão deste objeto Matemático.
Para isto, foram apresentadas as representações gráficas anteriormente descritas
da operação de financiamento e de uma operação de capitalização. Para isto, e de
acordo com as sugestões obtidas, todos os parâmetros circundavam em torno à
linha do tempo, por isso: - a linha do tempo podia representar maior ou menor
número de períodos, consequentemente alterando os termos da sequência da
progressão; - a linha do tempo podia ficar atrelada à data do calendário, o que
permitia visualizar a correspondência entre o valor no período e esta data; - a linha
do tempo podia avançar ou retroceder junto com a data calendário.
Iniciamos com uma capitalização fazendo uma comparação entre o
comportamento com taxa de juros simples e juros compostos, utilizando o mesmo
valor do capital para as duas situações, e com a mesma taxa de juros ao mês. Para
continuar com uma operação de financiamento a partir do resgate desta
capitalização de forma a provocar a mudança de períodos.
Na apresentação dos tipos de registros semióticos utilizados nesta atividade
(fig. 7), citamos que as fórmulas para a resolução de problemas não serão um
registro intermediário do OPA, uma vez que a idéia é utilizar outros registros que
estão presentes na apresentação por ser um pedido generalizado da parte dos
professores, por isso, a colocação de uma escrita simbólica contendo as fórmulas
entre o registro da língua natural e o registro gráfico. Um aspecto a ser destacado na
representação gráfica destas capitalizações, é que todo início de uma operação
financeira deve começar com a data igual a zero que corresponde ao início do
período, isto é, para “n = 0”, assim as fórmulas obedecem à igualdade do M
(montante) com o C (capital).
75
Figura 5 - Registros utilizados na 2ª Atividade para o Montante
A similaridade das cores para os parâmetros financeiros tanto na língua
natural como na escrita simbólica foi o ponto alto para os participantes da pesquisa.
Outro aspecto a ser destacado é a correspondência dos termos da sequência
da progressão geométrica com as parcelas das prestações do financiamento. Para
isto, utilizamos o enunciado do quadro seguinte.
Quadro 31 - Enunciado do problema no 5
Julia guardou, mensalmente, R$ 200,00 em um banco que remunerou seu
dinheiro à base de 4% ao mês de juros compostos. Ao final de oito meses de
aplicação, Julia usou o dinheiro que havia guardado para dar de entrada em um
pacote de viagem, que custava, à vista, R$ 5 000,00. O saldo devedor Julia
pretende financiar em cinco vezes, em parcelas iguais e fixas, à taxa de 2% ao mês.
(Dados 1,048 ≈ 1,37; 1,025 ≈ 1,10.):
a) Quanto Julia deu de entrada no pacote de viagem?
b) Qual o valor da parcela mensal fixa do financiamento do saldo do pacote
de viagem?
Fonte: CADERNO DO PROFESSOR, p. 49
Sendo assim, apresentamos na figura seguinte o registro gráfico das parcelas
da capitalização, atreladas à data atual (da época) e aos “n” períodos
correspondentes. Na parte superior encontra-se a sequência dos termos da PG que
serão associados às parcelas.
76
Figura 6 - Representação gráfica de uma Capitalização
Fonte: CADERNO DO PROFESSOR, p. 49
Como o resgate será em 21 de abril, a parcela do mês anterior passa a ter 1
correção, ou seja, a parcela de março é igual a R$ 200,00 • (1,04) = R$ 208,00. Na
figura a seguir já foi feito o deslocamento desta parcela com o acréscimo para o
local da soma, e a seta aponta para o termo correspondente da P.G.
Figura 7 - Associação das parcelas com os termos da P.G.
Fonte: CADERNO DO PROFESSOR, p. 49
E assim sucessivamente para as demais parcelas, de acordo com a figura
seguinte; neste caso, visualizamos o deslocamento de cinco parcelas, de P2 a P6,
para o local da soma, atreladas aos termos da P.G.
77
Figura 8 - Associação de P2 a P6 com os termos da P.G.
Fonte: CADERNO DO PROFESSOR, p. 49
Obtido o resgate que corresponde a R$ 1.924,00, calcula-se o valor a
financiar, sendo que para efeito de cálculo há necessidade da mudança dos
períodos. Agora evidenciamos a mudança para o período n = 0, início do
financiamento.
Quadro 32 - Mudança para o período n = 0
Fonte: CADERNO DO PROFESSOR, p. 49
Reconhecemos que esta atividade em termos de interação não foi produtiva
por ter-se transformado praticamente em uma aula, devido aos poucos comentários
dos pesquisados no sentido de aportar com suas contribuições para fortalecer o
design, mas por outro lado, percebemos que os participantes tiveram uma boa
compreensão da nossa proposta, uma vez que a associação dos termos das
progressões geométricas com as parcelas das operações financeiras de
capitalização e de financiamento ficou entendida. Este comportamento, de certa
forma, estava previsto na medida em que pretendemos contribuir com outra visão,
78
fortemente apoiada nos registros gráficos atrelados aos termos das progressões,
para a resolução de problemas com operações financeiras.
3.5. Elaboração da 1ª Versão do OPA
Para a elaboração da 1ª versão do OPA foram realizadas duas atividades nos
dias 02 e 16 de outubro de 2009 respectivamente, com alunos da Pós Graduação do
Mestrado Acadêmico em Educação Matemática, professores atuantes no Ensino
Fundamental e Médio tanto da rede pública e particular como em universidades, de
uma universidade particular situada em São Paulo Capital.
Na 1ª atividade contamos com a participação de nove (9) professores
pesquisados, e na 2ª atividade contamos com a participação de dez (10)
participantes; a metodologia adotada foi de realizá-las em duas sessões de duas
horas aulas cada atividade, dentro da disciplina de Seminário de Pesquisa. Por sua
vez cada sessão foi dividida em duas partes, sendo a primeira parte para trabalhar
em grupo na resolução da atividade proposta e a segunda parte para apresentação
do trabalho efetuado. Desta forma, os participantes optaram por se dividir em dois e
três grupos de trabalhos, respectivamente.
A seguir, apresentamos os aspectos mais representativos das duas
atividades. Na primeira atividade foi colocada uma situação problema de
Capitalização, e solicitamos descrever detalhadamente a abordagem que adotaria
em sala de aula, conforme o quadro a seguir:
Quadro 33 - Primeira questão da 1ª Atividade
“O gerente do Banco Standard, no dia de hoje, me ofereceu duas alternativas
de capitalização caso deposite os R$ 60.000,00 por seis meses, a seguir: - Uma
taxa de 4,0% ao mês a juros simples; ou - uma taxa de 3,7% ao mês a juros
compostos”.
Citamos os aspectos relevantes a serem observados pelos professores
pesquisados, - primeiramente a evolução dos capitais através do tempo; - o uso da
escala do tempo seja horizontal ou vertical, em registro gráfico ou de tabela; - o fator
79
de atualização que permite corrigir o capital inicial período a período tanto nos juros
simples quanto compostos.
Apresentamos a seguir alguns exemplos das representações que serviram de
base para realizar nossa análise:
Quadro 34 – Evolução dos Capitais - Juros Simples e Juros Compostos
Gráfico 10 - Comparação entre Juros Simples e Juros Compostos
Como o procedimento de cálculo dos parâmetros utilizado pelo Caderno do
Professor, que é nosso referencial, faz uso das quatro operações básicas e os
temos das progressões sem expoente negativo, podemos recorrer às calculadoras
simples comumente chamadas de calculadoras de R$ 1,99, que disponibilizamos
aos participantes para efetuar os cálculos; a figura a seguir apresenta um
procedimento com este tipo de recurso.
Figura 9 - Procedimento sugerido com calculadora simples
80
Para estas atividades reformulamos as perguntas fundamentais do nosso
objeto matemático para nortear nossa análise:
1. De que modo a Matemática Financeira é abordada pelos professores
pesquisados simulando uma situação de aula?
2. Quais registros semióticos são mobilizados pelos professores
pesquisados na apresentação da Matemática Financeira?
3. A coordenação dos registros de representação é explorada pelos
professores pesquisados na apresentação da Matemática Financeira?
4. Exploram a visualização dos conceitos financeiros atrelados à linha do
tempo?
5. Se sim, quais são os conceitos financeiros explorados?
A seguir, apresentamos material escrito (respostas) pelos professores
pesquisados para efeito de análise.
Quadro 35 - Resposta do grupo 1 folha 1
Juros Simples : Linear
Composto : Exponencial.
Definir as diferenças entre as duas formas de capitalização e sua simbologia.
M = montante / C = capital
i = taxa de juros / t = tempo
j = Juros* / Porcentagem * Quando tratado isoladamente.
Deduzir as fórmulas apresentado e demonstrando seus conceitos básicos.
Exemplificar situações mais simples antes de
atacar o problema.
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Quadro 36 - Resposta do grupo 1 folha 2
Ex: Um capital de R$ 100, 00 aplicado por um mês, a uma taxa de 1% resultará em qual montante ao final do período? Demonstra as variáveis do problema: C= 100 – i = 1% (ou 0,01) – m = ? Porque 1% = 0,01 => demonstrar a origem da
razão aos estudantes. 100 + 100 (0,001) => 101 => R$ 101,00 Utilizar este exemplo (juros simp.) para períodos de tempos diferentes. Analogamente, demonstrar o problema utilizando juros compostos, para os mesmos
períodos trabalhados anteriormente. M = 100 + 100 (0,01) M1= 100(1+0,01) M2= 100(1+0,01) + 100(1+0,01)0,01 M2= 100(1+0,01) (1+0,01)=> M2= 100(1+0,01)
2
Mm= 100(1+0,01)m
C = 100 0,01 = 1% = i Taxa
m = t (tempo)
M = montante.
Conceitualizar o problema e analisar as duas formas de capitalização para que os estudantes possam formar suas próprias conjecturas e conclusões.
Quadro 37 - Resposta do grupo 2 folha 1
Capitalização simples: Sobre o valor inicial
2400 2400 60000 2400 1440 2400 2400
2400
60000• 0,04 = 2400
60000 + 14400 74400
Quadro 38 - Resposta do grupo 2 folha 2
Capitalização composta
→ sobre o valor anterior
→ juro sobre juro
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Quadro 39 - Resposta do grupo 2 folha 3
Hoje: 60000
1º mês: 60000•0,037=2220 60000 + 2220 = 62220
2º mês: 62220•0,037=2302
6220 + 2302,14 = 64522,14
3º mês: 64522,14•0,037=2387,32 64522,14 + 2387,32 = 66909,46
4º mês: 66909,46•0,037=2475,65
66909,46 + 2475,65= 69385,41
Quadro 40 - Resposta do grupo 2 folha 4
5º mês: 69385,41•0,037=2567,25 69385,41 + 2567,25 = 71952,36
6º mês: 71952,36•0,037=2662,24
71952,36 + 2662,24 = 74614,60 M = 74614,60 Capitalização composta
A abordagem adotada pelos grupos se caracteriza pela utilização do registro
simbólico com uma representação simbólico-algébrica, onde se encontra a fórmula
ou é deduzida para a solução da atividade. Outro aspecto importante a ser
destacado diz respeito à observação dos participantes do registro numérico com
representações numéricas “descomplicadas” tanto para os capitais como para as
taxa de juros, mesmo que se faça uso de calculadoras cuja função é facilitar as
contas.
Para a atividade do dia 16 de outubro de 2009, um de seus propósitos se
refere ao tratamento dado pelos pesquisados para o fator de atualização de capitais;
este fato se prende à característica deste fator, que quando utilizado em operações
financeiras com parcelas fixas em operações de capitalização e financiamento, se
transforma em um dos termos da progressão geométrica ou aritmética a ser somado
para o cálculo do montante ou das parcelas.
83
Quadro 41 - Problema enfatizando o uso do fator de atualização de Capitais
De acordo com a figura, pede-se: descrever detalhadamente a abordagem que
adotaria em sala de aula para o cálculo dos montantes?
Observar que a forma como é apresentada a atividade força a uma análise
gráfica; isto se deve ao fato de que o design neste momento, apesar de não ser o
definitivo ou aquele que seria adotado, já apontava para ser um software com
característica de registros gráficos.
A relação feita na atividade entre 450 e 600, que é igual a 0,75, serve para
observar que esta relação (isto é, o fator de atualização de capitais) é idêntica em
situações de juros compostos, pois se trata de multiplicar ou dividir pela mesma
relação para chegar a um montante a partir do outro. Diferentemente das situações
com juros simples, a ida para um montante não é igual à volta, ou seja, como na
relação está embutida a taxa de juros, o percentual depende do montante de
referência.
Quadro 42 - Resposta do Problema 1 da Atividade 2 do grupo 1 folha 1
Na situação de JS. encontramos que
houve um aumento de 75,00 por período
M3 = 450 + 75 = 525 M5 = 600 + 75
= 675 e M0 = 450 – 2• 75 = 300
Em JC. como o fator de atualização esta
sendo multiplicado duas vezes, extraí-
mos a raiz quadrada para encontrar este
por período. Encontrado este fator exe-
cutamos sucessivas multip. e div. Para
chegar aos termos desejados
84
Quadro 43 - Resposta do Problema 1 da Atividade 2 do grupo 1 folha 2
A partir do ponto 2, verificar a fator de aumento para se chegar em 4 600/450 = 1,33... => JS. = 33%
M3 em JS => (450• 0,33/2) + 450
74,25 M = 524,25 em M3 Obs: Existe uma diferença nas parcelas da PA. Quando calculado o problema com a calculadora. Em JS. M0 =300 M5 em JS = 675 M3 em JC = 519,61 M5 em JC = 692,81 M0 em JC = 337,49
Quadro 44 - Resposta do Problema 1 da Atividade 2 do grupo 2 folha 1
Objetivo do Professor? Resolver do menor p/maior e vice-versa? 450 x2 = 600 x2 = 600/450 =1,333 = 60/45 = 12/9 = 4/3
x = 1, 154 =
M3 = 519,61
600 x2 = 450 M5 = 692,82 x2 = 450/600 =3/4 M0 = 337,50
x =
M3 = 519,61
Quadro 45 - Resposta do Problema 1 da Atividade 2 do grupo 2 folha 2
Representação gráfica da resposta.
85
Destacamos algumas respostas para análise: os professores do grupo 1
(quadro 41) escrevem “Em JC. como o fator de atualização esta sendo multiplicado
duas vezes, extraímos a raiz quadrada para encontrar este por período. Encontrado
este fator executamos sucessivas multip. e div. Para chegar aos termos desejados”.
O grupo verificou a facilidade para achar os montantes 1º achar a relação por
período e 2º basta multiplicar o dividir. Este pensamento matemático aplicado a
vários pequenos montantes (ou seja, as parcelas) é a idéia fundamental a ser
seguida pelo design para o cálculo dos parâmetros financeiro associado a um
registro gráfico para efeito de visualização.
Os professores do grupo 1 (quadro 42) escrevem: “Obs: Existe uma diferença
nas parcelas da PA. quando calculado o problema com a calculadora.”. Nossa
interpretação desta frase parece seguir a referência que fizemos dos juros simples
“Diferentemente das situações com juros simples, a ida para um montante não é
igual volta, ou seja, como na relação está embutida a taxa de juros, o percentual
depende do montante de referência.”.
Os professores do grupo 2 (quadro 43) escrevem: “Objetivo do Professor?
Resolver do menor p/maior e vice-versa”. A partir daí são feitos os cálculos para a
relação de
e para a relação inversa
; neste caso não é
necessário dividir para ir de um montante para o outro, basta multiplicar pela relação
correspondente, outra forma de raciocínio para obter o mesmo resultado.
Os professores do grupo 2 (quadro 44) fazem uma representação gráfica da
situação, destacando que dentro do período referenciado ( 2 e 4) o crescimento dos
Juros Simples passa a ser maior que dos Juros Compostos, aspecto tratado pela
Matemática Financeira para períodos não inteiros, onde se faz a diferença do
montante pela convenção linear ou exponencial.
O objetivo deste trabalho até este ponto da pesquisa foi envolver os alunos
professores interessados em participar do desenvolvimento de um software
educacional, aportando suas críticas, ideias e resolução de atividades dentre outros
aspectos; do nosso lado, como desde o início, o projeto pedagógico do Caderno do
Professor para o objeto matemático em estudo é nosso referencial, para tanto,
fazemos a transposição informática incluindo registros semióticos para visualizarção
dos acontecimentos quando das mudanças de parâmetros, e assim, utilizar o
86
processo de cálculo do próprio Caderno do Professor. Por sua vez, os registros
transpostos pretendem substituir aos registros simbólicos com representações do
tipo simbólico-algébricos comumente utilizados nas práticas pedagógicas. Esta
substituição busca aportar com uma forma diferente de pensar matematicamente,
que ajudem ao sujeito na construção do seu conhecimento e que torne mais simples
a resolução de problemas cotidianos.
Sendo assim, faremos uma breve apresentação da 1ª versão do OPA usando
as telas do próprio módulo, dando ênfase ao objeto Matemático em estudo e com
uma síntese dos subprodutos que o acompanham.
87
Capítulo 4 – Fase Implementação
A segunda fase objetiva construir a versão final do OPA, partindo da 1ª versão
do OPA, e das atividades realizadas com professores/alunos de um programa de
Mestrado Acadêmico em Educação Matemática.
Figura 10 - Mapa Conceitual da Fase Implementação
A 1ª versão do OPA passa por um novo ciclo de críticas e comentários
objetivando elaborar a versão final deste estudo, buscando uma forma diferente de
pensar matematicamente, que ajude ao sujeito na construção do seu conhecimento,
tornando mais simples a resolução de problemas cotidianos, e quebrando um pouco
a idéia de resolução de problemas somente com utilização de fórmulas.
Cabe ressaltar que nos dias de hoje não faz mais sentido focar apenas na
aplicação de fórmulas, já que existem planilhas eletrônicas que se encarregam do
trabalho de cálculos, permitindo que o foco do sujeito possa ser direcionado em
atividades de observação e análise dos registros gráficos e numéricos.
88
4.1. A Atividade Avaliativa da 1ª Versão do OPA
Iniciamos a atividade com sete (7) professores/alunos da Pós Graduação do
Mestrado Acadêmico em Educação Matemática de uma Universidade particular
situada em São Paulo Capital. São professores atuantes no Ensino Fundamental e
Médio da rede pública e particular e em Universidades. O local utilizado foi uma sala
de aula aparelhada com recursos tecnológicos de última geração, e foram realizadas
duas sessões de duas horas aulas cada; os professores participantes da pesquisa
optaram por realizar a atividade em três grupos que designamos por Grupos “A”, “B”
e “C”.
Na sessão inicial da atividade, foi feita uma apresentação sucinta da primeira
versão do OPA, mostrando seus recursos. O procedimento adotado teve como
premissa a exibição de duas telas para cada transação financeira: a primeira para a
especificação dos parâmetros da transação, e a segunda para o cálculo dos valores
monetários nela envolvidos.
Sendo assim, a primeira tela permite a modificação e a visualização dinâmica
das alterações realizadas. A partir do instante em que os valores ficam
estabelecidos o usuário se dirige à segunda tela para selecionar os termos
correspondentes da progressão para que, consequentemente, o cálculo seja
efetuado.
Concentramo-nos em um problema de financiamento com os seguintes
parâmetros: V.F. = 1.500,00; taxa a.m. = 3,50%; parcelas (n) = 6; pagamento da 1ª
parcela em 120 dias. Para tal, utiliza-se inicialmente a tela “Visualização para
financiamento a juros compostos”, na qual são informados os parâmetros citados
(Fig.11):
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Figura 11 - 1ª Tela de Visualização para Financiamento - Juros Compostos
Para iniciar, objetivando avaliar a visualização do comportamento do valor da
parcela, pedi que modificassem os parâmetros da operação financeira como:
número de parcelas fixas; taxa de juros%; e data do pagamento da 1ª parcela;
permanecendo fixo o valor do financiamento. No processo de fazer uma avaliação
geral solicitei a colaboração dos professores para tecerem seus comentários a
respeito dos seguintes quatro aspectos:
1. forma como o conteúdo foi percebido;
2. compreensão e à conexão entre os componentes das operações
financeiras;
3. representações semióticas do OPA para a apreensão do conteúdo
apresentado;
4. outros aspectos.
Apresentamos na Figura 12 uma das respostas, que destacamos pelo
conteúdo da mensagem, que diz: “Mágico – como foi calculado?”; obviamente este
tipo de colocação nos conduz a mostrar o processo de cálculo utilizado pelo OPA,
que será analisado posteriormente, e também no item 4.2 “A Versão Final do OPA”,
onde poderá ser visualizado o layout definitivo da tela.
90
Figura 12 – Resposta do Grupo “A” - 1ª Tela de Visualização
Na segunda sessão, utilizando a “Tela para o Cálculo do Valor das Parcelas -
Financiamento a Juros Compostos” (Fig.13), foi solicitado aos professores que
realizassem o cálculo do valor da parcela utilizando a régua de cálculo do OPA, para
as alternativas: a) na data da transação financeira e; b) na data após um ano da
mesma. Cabe lembrar que ambos os resultados devem ser iguais, devido ao
conceito de equivalência, que diz que os cálculos referentes a qualquer período,
para obter o valor das parcelas ou o valor do financiamento, devem resultar em
valores iguais, desde que seja obedecido o fator de atualização de capitais (termos
das progressões) para cada parcela e para o financiamento.
Figura 13 - Tela para o Cálculo do Valor das Parcelas Financiamento a Juros Compostos
91
Observar que as telas do OPA exibem a representação da linha do tempo
para permitir a associação entre a data da transação e os períodos. Considerando o
exemplo em que a data da transação comercial tenha sido 06/11, o próximo período,
indicado na linha do tempo, é 06/12, correspondente a um período, independente da
quantidade de dias. É raciocínio análogo ao cotidiano, quando se indaga qual o dia
de vencimento das prestações mensais de um empréstimo.
Primeiramente apresentamos as respostas dos grupos “A” e “B” (Fig.14-15)
com sua transcrição para tecer nossa análise de aspectos específicos, e
posteriormente fazer uma análise geral da atividade.
Figura 14 – Resposta do Grupo “A” - Tela para o Cálculo das Parcelas
Transcrição (da esquerda para direita e de cima para baixo): - Qual é o
problema - Isso não é bem valor da geladeira é o valor projetado de preço original
imaginando que o dinheiro continua crescendo com a mesma taxa - O que é este
valor – É o preço original imaginando que o dinheiro com a linha crescendo com a
mesma taxa. - O que acho que ainda não entendo é como calcular as parcelas é
porque ....até agora posso fazer usando a PG, mas será que meu pensamento é
apenas procedimental – Essa relação tem que ser mais clara.
92
Figura 15 - Resposta do Grupo “B” - Tela para o Cálculo das Parcelas
A transcrição segue a própria numeração dada pelo grupo “B”: - 1. Relacionar
régua com parcelas; - 2. Daqui a 12 meses o valor da geladeira é 2.266,60. Vou
pagar em 6 parcelas iguais a partir do 4º mês. Quanto vale cada parcela?; - 3.
Explicitar a fórmula matemática: P•1,0358 + P•1,0357 + P•1,0356 + P•1,0355 +
P•1,0354 + P•1,0353 = 2.266,60.
Uma observação importante foi relativa à alternativa “b”, em que foi solicitado
aos professores para que realizassem o cálculo do valor da parcela na data após 1
ano da transação comercial. O objetivo era avaliar o grau de dificuldade ou de
facilidade da compreensão dos professores participantes para o conceito de
equivalência. De nossa parte, para efetuar essa equivalência em qualquer período
diferente das datas da transação financeira, foi feita a opção pelo período de um ano
após a data desta transação, diferentemente do Caderno do Professor, que opta
pela equivalência ao final da transação financeira. As respostas indicam que tal
conceito (equivalência) é um ponto crítico para o entendimento e resolução das
situações-problema.
A área da tela anterior referente ao valor da geladeira (Fig.16) é uma área de
ajuda opcional onde é apresentado o cálculo com o valor da mesma a ser utilizado
na equivalência; procuramos fazer a transposição informática seguindo textualmente
a forma como o Caderno do Professor apresenta esta situação.
93
Figura 16 - Área do Valor da Geladeira
Ficou evidente que o conceito de equivalência é um elemento perturbador na
medida em que as respostas dos grupos procuram conceituar esse valor, a saber:
Resposta do grupo A: “Isso não é bem valor da geladeira é o valor projetado de
preço original imaginando que o dinheiro continua crescendo com a mesma taxa - O
que é este valor – É o preço original imaginando que o dinheiro com a linha
crescendo com a mesma taxa”. Resposta do grupo B: “Daqui a 12 meses o valor da
geladeira é 2.266,60”.
Como se trata do período onde se faz a equivalência, lembramos que a
alternativa “a” desta atividade solicitava o cálculo da parcela na data da transação
financeira. Na oportunidade fomos questionados como foi calculado o “valor mágico”
que aparece na tela; explicamos que é realizado levando as parcelas ao encontro do
valor do financiamento na linha do tempo, significando que os termos da progressão
geométrica (fator de atualização de capitais) são registros numéricos com
representação exponencial negativa, ou uma operação de divisão, ou o inverso de
(1+i) com expoente positivo.
A explicação foi tão consistente que o questionamento versou no sentido de
qual é a representação numérica mais adequada para esta situação; devido a este
fato, optamos por ter uma única forma para o processo de cálculo, qual seja, a data
da transação comercial, a mesma utilizada pelo OPA em suas representações
gráficas. Lembrar que esta opção nos afasta do procedimento do Caderno do
Professor.
Na Figura 17 reapresentamos de forma reduzida a “Tela para o Cálculo do
Valor das Parcelas Financiamento a Juros Compostos (Fig.11)”, que serve para
exemplificar a alternativa “a” da atividade. Para isto, de acordo com a representação
gráfica basta selecionar a régua de cálculo nas posições “-4” e “-9”; o OPA destaca
os termos da progressão em números decimais com 4 casas decimais que passam
94
a ser somados, cálculo necessário para obter o valor da parcela ou do
financiamento.
Figura 17 - Tela Reduzida do Cálculo do Valor das Parcelas Financiamento a Juros Compostos
Apresentamos nas Figuras 18, 19 e 20 as respostas de ordem geral dos
grupos:
Figura 18 – Resposta de ordem geral – Grupo A
Transcrição Sugestão Incluir na tela a representação algébrica (p/ fazer
a conexão entre a régua, o gráfico e a PG)
95
Figura 19 - Resposta de ordem geral – Grupo B
Transcrição É preciso deixar + claro: 2 Os dados do problema e o que está sendo pedido, 3 O cálculo matemático para se chegar ao valor das parcelas 1 Relacionar Régua e Gráficos
Figura 20 - Resposta de ordem geral – Grupo C
Transcrição Sugestão: Aparecer na tela as operações que
estão sendo realizadas.
Victor: Você tem toda razão na Matemática Financeira não é ne-
cessário o uso de fórmulas. Basta PG e/ou função exponencial.
A análise das respostas foi realizada segundo a preocupação inicial para esta
atividade quanto aos quatro aspectos anteriormente citados:
Aspecto 1 - A forma como o conteúdo foi percebido.
O aspecto dinâmico da “Tela de Visualização para Financiamento - Juros
Compostos”, que permite mudar os parâmetros da operação financeira, e visualizar
na representação gráfica as mudanças que ocorrem, foi avaliado pelos participantes
96
como um recurso importante no processo de ensino e aprendizado, principalmente
pelas abordagens que podem ser utilizadas; exemplificando: manter fixo o valor do
financiamento, a quantidade de parcelas e a data do 1º pagamento, para visualizar o
aumento do valor das parcelas quando se aumenta a taxa de juros ao mês.
Entretanto ficou claro que há necessidade de incluir outras representações
que permitam visualizar o processo de cálculo; para isto, acrescentamos duas áreas
na tela de visualização, com exibição opcional de dados relativos à transação
financeira em questão, a critério do usuário. Uma das áreas é uma tabela com os
valores dos termos da progressão de acordo com a situação proposta e soma deles;
a outra contém o cálculo executado. Estas áreas serão apresentadas e descritas no
item 4.2 “A versão final do OPA”.
Aspecto 2 - A compreensão e a conexão entre os componentes das
operações financeiras.
Estes aspectos foram abordados por meio das seguintes questões: “Qual o
problema”, “É preciso deixar mais claro os dados do problema e o que está sendo
pedido”, “É preciso deixar + claro”.
A análise das respostas foi efetuada em duas vertentes:
1. O menu principal do OPA apresentado na figura seguinte (Fig. 21), que
conduz o usuário a uma operação de financiamento, tem uma nomenclatura
para especialista da área financeira, uma vez que está citado “Parcelas
Diferidas”, e também contém muitos subprodutos que nos pareciam
adequados para complementar os conceitos de noções financeiras, mas na
realidade terminaram confundindo os professores participantes da pesquisa, a
saber:
Figura 21 – Menu Principal da 1ª Proposta do OPA
97
Este fato evidencia que devemos eliminar os subprodutos inseridos e elaborar
uma tela de menu que conduza os usuários a aspectos específicos, como
cálculo das parcelas mensais de um financiamento.
2. A “Tela para o Cálculo do Valor das Parcelas Financiamento a Juros
Compostos (Fig. 12)”, também contém muita informação, o que desvia a
atenção do usuário do propósito a realizar, que é selecionar os termos das
progressões para realizar o cálculo solicitado.
Esta tela foi redesenhada com três áreas bem definidas; a primeira traz a
representação gráfica e os dados da operação financeira estabelecida; a
seguir a régua para selecionar os termos da progressão; e a última com a
representação simbólico-algébrica do cálculo, caso o usuário precisar da
ajuda do OPA.
O redesenho vem ao encontro das solicitações dos participantes no sentido
de: “Incluir na tela a representação algébrica (p/ fazer a conexão entre a
régua, o gráfico e a PG)”, “Aparecer na tela as operações que estão sendo
realizadas”, “Explicitar a fórmula matemática: P•1,0358 + P•1,0357 + P•1,0356
+ P•1,0355 + P•1,0354 + P•1,0353 = 2.266,60”, “O cálculo matemático para
se chegar ao valor das parcelas”, “ Relacionar Régua e Gráficos”.
Aspecto 3 - As representações semióticas do OPA para a apreensão do
conteúdo apresentado.
Desde o início desta pesquisa uma das principais preocupações foi de
esclarecer o conceito de equivalência.
A partir do instante em que foi detectada a dificuldade de resposta adequada
para a alternativa “b”, referente à solicitação da equivalência para um ano após a
transação comercial, quando foi abandonada a idéia de realizar o cálculo de
equivalência em qualquer período, nossa preocupação foi associar o registro de
partida cuja representação é a língua natural em emprego comum, com o registro de
chegada cuja representação gráfica deve caracterizar perfeitamente a operação
financeira em questão, isto é, a quantidade de parcelas mensais e a data de início
do pagamento da 1ª parcela.
98
Sendo assim, esta representação gráfica passa a ser o registro de partida, e é
através desta representação que realizamos a associação de cada termo da
progressão onde está embutida a taxa de juros, com os deslocamentos que as
parcelas têm que efetuar para ir ao encontro do valor financiado ou do valor de
resgate. Desta forma, o registro de chegada é um registro numérico que permite
fazer a atividade de tratamento para a realização do cálculo do valor monetário
solicitado.
Aspecto 4 - Outros
Nossa questão de pesquisa é “Que aspectos do OPA podem favorecer no
processo de ensino e aprendizagem de noções de Matemática Financeira?”.
Uma das premissas para a elaboração do OPA, incluída no design inicial, foi
que o OPA deveria ajudar aos usuários a pensar matematicamente de forma
diferente, realçar a simplicidade das progressões aritmética ou geométrica em
relação às fórmulas mais rebuscadas usadas nos livros didáticos especializados, e
quebrar um pouco a idéia de resolução de problemas através de fórmulas ou
procedimentos.
A frase “Victor: Você tem toda razão; na Matemática Financeira não é
necessário o uso de fórmulas. Basta PG e/ou função exponencial” – Figura 20, pode
ser entendida como o atingimento de tal premissa do OPA.
Outra frase - “O que acho que ainda não entendo é como calcular as parcelas
é porque ....até agora posso fazer usando a PG, mas será que meu pensamento é
apenas procedimental” – Figura 14, apresenta uma reflexão que inequivocamente
indica intenção de mudança de estrutura de pensamento.
99
4.2. A Versão Final do OPA
A versão final do OPA foi elaborada em concordância com os pressupostos
estabelecidos, baseados na fundamentação teórico–metodológica, na revisão
bibliográfica e na análise das atividades efetuadas; se concentra exclusivamente nas
operações financeiras com a utilização das progressões aritméticas ou geométricas.
Para isto foram retirados os módulos adicionais que buscavam dar subsídio a outros
aspectos da matemática financeira.
A interface de entrada do OPA, ou Menu Principal, da versão final (Fig.22),
permite o acesso para as operações de Capitalização, Financiamento e
Desvalorização e Valorização de forma separada, e trata especificamente cada
cálculo, ou seja, se precisamos conhecer o valor monetário do montante numa
operação financeira de capitalização existe uma entrada para este processo, e
assim sucessivamente para os outros cálculos, a seguir:
Figura 22 – Menu Principal da versão final
Dando sequência à apresentação das telas, usaremos o mesmo exemplo
utilizado nas atividades anteriores, a saber: V.F. = 1.500,00; taxa a.m. = 3,50%;
parcelas (n) = 6; pagamento da 1ª parcela em 120 dias. Pede-se para calcular o
valor monetário de cada parcela. Lembramos que cada processo manteve as duas
telas originais, uma para definição e visualização dos parâmetros especificados e a
outra para realização do cálculo solicitado. Dessa forma, apresentamos na Figura 23
a Tela de Visualização e de Modificação para esta operação financeira.
100
Figura 23 - Tela de Visualização para Financiamento - Juros Compostos
Com respeito à 1ª Versão do OPA foram modificados os seguintes
parâmetros: - número de parcelas de 6 para 12; - diminuída a taxa de juros de 20%
para 10%, - e o valor financiado máximo passou a ser R$ 5.000,00. Estas alterações
foram efetuadas para que os valores pudessem contemplar aqueles usados nas
situações problema do Caderno do Professor. Ressaltamos que estas alterações
são facilmente customizadas se necessário.
Figura 24 – Áreas laterais da Tela de Visualização.
A figura ao lado mostra as áreas laterais
preenchidas da “Tela de Visualização”. Observe
que cada termo da progressão está atrelado à
parcela correspondente com o valor da soma
respectiva; este valor é utilizado para efetuar o
cálculo. A outra área apresenta o cálculo do valor
monetário da parcela, solicitado para esta
operação de financiamento. O acionamento
dessas áreas fica a critério do usuário.
A tela para efetuar o cálculo da parcela pelo usuário (Fig. 25) ficou dividida
em três áreas, a saber:
101
Figura 25 - Tela para o Cálculo do Valor das Parcelas Financiamento
i. Apresenta o espelho da representação gráfica, a taxa de juros a.m., e o valor
monetário da parcela que foi calculado pelo OPA na situação do problema
proposto;
ii. A área de cálculo onde o usuário faz o cálculo solicitado através da régua.
Observe que os termos apresentados estão associados a valores negativos
que correspondem às correções que as parcelas sofrem quando vão ao
encontro do valor financiado. A partir do momento que o usuário seleciona a
régua, o OPA apresenta a soma dos termos selecionados, e se quiser pode
acionar o cálculo do valor da parcela;
iii. A área de ajuda.
102
Figura 26 – Área de cálculo preenchida
Figura 27 – Área de ajuda preenchida
Buscando atender aos colegas professores participantes desta pesquisa em
relação às solicitações de relacionar os objetos e apresentar a equação algébrica do
cálculo, entre outras, as Figuras 26 e 27 acima sintetizam a transposição informática
que utilizamos para atendê-los.
103
Capítulo 5 – Considerações Finais
A essência da pesquisa
Nosso propósito ao iniciar este trabalho era investigar e analisar os processos
envolvidos na elaboração de atividades educacionais a respeito de Aplicações à
Matemática Financeira, além de evidenciar diversas formas de registros semióticos
de conceitos matemáticos usados nesse campo de conhecimento, a partir da
tecnologia, e sua influência no trabalho e na forma de pensar dos professores.
A exploração das transformações dos Registros de Representações
Semiótica associada à transposição informática possibilitou a formalização e criação
de um software educacional que designamos por Objeto para Aprendizagem – OPA
- intitulado “Capitalização, Financiamento e Desvalorização”.
A escolha pela Teoria dos Registros de Representação Semiótica como
nosso referencial teórico nos permitiu utilizá-la como ferramenta de análise para
investigar quais e como são utilizados os registros semióticos nas aplicações à
Matemática Financeira pelos professores participantes do estudo, nos livros
didáticos de Matemática para o Ensino Médio, nos livros especializados para o 3º
grau, nos objetos educacionais, dentre outros. Permitiu também a análise e
avaliação da atividade de coordenação dos registros semióticos.
Dentre os trabalhos encontrados referentes ao processo de ensino e
aprendizagem da Matemática Financeira, os quais não foram numerosos, o Caderno
do Professor de Matemática do 1º bimestre para a 1ª série do Ensino Médio da
Secretaria de Educação do Estado de São Paulo (2009) foi o que mais nos chamou
a atenção e nos inspirou a elaborar este trabalho, com o objetivo de buscar
alternativas de ensino que pudessem oferecer níveis de compreensão adequados
para o público a quem o curso era destinado.
O referido material embasava a explanação dos conceitos de Matemática
Financeira com base na utilização de Progressões Aritméticas e Geométricas,
diferentemente dos livros didáticos mais tradicionais (representados pelo livro de
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Hazzan e Pompeu, conforme análise do item 3.2.2), nos quais a abordagem de
ensino não é baseada nas progressões e sim em cálculos de maior complexidade.
Como procedimento metodológico, optamos inicialmente por entrevistas semi-
estruturadas e atividades que se caracterizaram por serem abertas o suficiente,
objetivando analisar o uso dado às progressões nas operações financeiras. Para
isto, utilizamos como referência os problemas padrões, principalmente os de
financiamento do Caderno de Professor, por ser uma operação financeira frequente
no cotidiano, apresentar maior complexidade, e uma variedade de situações como
diferentes taxa de juros, número de parcelas, pagamento da 1ª parcela em 30, 60 ou
90 dias, dentre outras.
As entrevistas foram realizadas separadamente com duas professoras da
rede pública atuantes no Ensino Médio que tinham ministrado recentemente este
tópico em sala de aula, e as atividades foram aplicadas a professores/alunos do
Mestrado Acadêmico em Educação Matemática de uma Universidade particular da
cidade de São Paulo, na disciplina de Seminários de Pesquisa, os quais atuam tanto
no Ensino Fundamental e Médio como na rede pública e particular. O fato de estes
participantes serem alunos da disciplina de Seminário de Pesquisa facilitou nosso
contato com os mesmos nesta fase e nas posteriores de nossa investigação; eles se
mostraram prestativos, com vontade em colaborar com o trabalho, ficaram
disponíveis para responder com maiores detalhes aspectos das atividades em
horários diferentes da disciplina de Seminários de Pesquisa, o que foi de grande
valia para a elaboração do nosso trabalho.
A opção por questões abertas foi intencional, com o intuito de permitir
abordagens mais abertas nas respostas a essas questões. Citamos como exemplo a
1ª questão da 1ª atividade, onde solicitávamos descrever detalhadamente a
abordagem que adotaria em sala de aula, no caso do problema de capitalização
exposto. De modo geral, observamos uma forte tendência ao uso de fórmulas
financeiras ou da dedução das mesmas; quanto à comparação da evolução do
capital entre a modalidade de juros simples e compostos, também ficou evidente que
o tratamento dado foi de forma isolada para cada modalidade e no final dos cálculos
fazer a comparação ou deixar o aluno perceber esta evolução, o uso de números
descomplicados e apresentação das fórmulas correspondentes.
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A partir das contribuições dos professores, e da análise de como são
utilizados os registros semióticos nos livros didáticos, tendo como foco a estratégia
adotada pelo Caderno do Professor, foi efetuado um processo cíclico de construção
e reconstrução de design do OPA.
Optou-se por segmentar o objeto matemático da pesquisa para permitir
interação mais produtiva com os professores participantes da pesquisa e facilitar a
análise das respostas obtidas em relação aos resultados esperados. Isto conduziu à
redução do escopo inicial, para viabilizar foco nas questões mais críticas.
Exemplificando, uma tela com dados relativos a conceitos complementares de
Matemática Financeira (Menu principal da primeira versão do OPA) foi eliminada.
Além disso, algumas funcionalidades foram acrescidas, como a associação da linha
do tempo à data calendário, que por sua vez é atrelada à disposição das parcelas de
acordo com o início do pagamento. A visualização das alterações é reproduzida de
forma instantânea. Esse processo participativo de desenvolvimento faz crer que o
produto resultante possa trazer contribuição para a tarefa do docente.
Nossa proposta de utilizar no OPA a soma dos termos de uma progressão
para o cálculo de valores monetários, aspecto pouco explorado nos livros didáticos,
principalmente no que diz respeito ao aspecto dinâmico, vai ao encontro da idéia de
Bolite Frant (2003), no sentido de que a utilização da tecnologia em sala de aula de
Matemática pode ser vista como uma ferramenta facilitadora do processo de
aprendizagem, segundo a qual um sujeito cognoscente munido de uma prótese
poderá fazer coisas que não faria sem ela, de forma diferente.
A fase designada como “Fase Preparatória” teve seu objetivo atingido com o
desenvolvimento da 1ª versão do Objeto Para Aprendizagem - OPA. Ele pronto, foi
possível passar ao início da fase seguinte, de experimentações com registros
semióticos diferenciados, requeridas para a continuidade do estudo.
Concluída esta etapa, e seguindo o mesmo procedimento da anterior no que
diz respeito ao processo cíclico de construção e reconstrução a partir das
contribuições dos professores, demos início à próxima etapa, que designamos como
“Fase de Implementação”, que se caracterizou por atividades com a utilização da 1ª
versão do OPA. O foco era avaliar se a transposição informática realizada e se as
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telas apresentadas pelo OPA traziam consigo aspectos que favorecessem o
processo de ensino e aprendizagem.
Um dos aspectos considerados foi o procedimento de cálculo do Caderno do
Professor levando o valor do bem objeto da operação financeira para a data de
vencimento da última prestação, para efetuar a equivalência com as parcelas; este
procedimento teve que ser retirado do OPA, pois deixou os professores pesquisados
confusos, motivo pelo qual optamos por utilizar um único processo de cálculo, no
qual o valor das parcelas a serem pagas vai ao encontro do valor financiamento,
para efetuar a equivalência. Consequentemente, os termos correspondentes às
parcelas na progressão geométrica têm expoente negativo. Este fato também é
refletido no OPA, uma vez que na tela de cálculo os termos da progressão são
valores com expoentes negativos.
Conclusões
Inicialmente, em relação às questões colocadas como objeto da pesquisa,
temos que:
A - Qual a abordagem metodológica e recursos tecnológicos utilizados em
sala de aula pelos professores pesquisados quando ensinam noções de Matemática
Financeira?
A pesquisa efetuada antes do desenvolvimento do OPA mostrou que os
professores utilizam abordagem clássica para o tema Matemática Financeira, qual
seja, o uso de fórmulas e sua aplicação para o entendimento pelos alunos dos
diversos conceitos necessários para a compreensão dos problemas e decorrente
solução. Os professores fazem uso de tabelas, para passar o conceito, por exemplo,
de crescimento do montante de capitalização. Quanto aos recursos tecnológicos,
utilizam: quadro-negro, lápis, papel, calculadora.
Nossa pesquisa detectou a importância da visualização dos conceitos e
objetos de ensino; mais do que isso, da interação visual como ferramenta cognitiva.
Neste aspecto, constatamos que os professores, em sala de aula, usam abordagem
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com visualização baseada em tabelas, diagramas, setas indicativas do fluxo
monetário. A interação visual é limitada aos recursos tecnológicos utilizados.
Isso nos incentivou a refletir na possibilidade de o OPA dispor de recursos
que pudessem explorar os aspectos de visualização e interação como fatores
básicos de operação; estes recursos foram incorporados desde a primeira versão.
Outra característica agregada ao OPA foi a dinâmica e rapidez de apresentação dos
vários registros semióticos, que permite ao aprendiz exercitar diversas alternativas
em pequeno espaço de tempo, trazendo possibilidades mais ricas do despertar do
conhecimento; isso foi possível devido ao uso da tecnologia informática disponível.
B1 - Que aspectos do OPA podem favorecer no processo de ensino e
aprendizagem de noções de Matemática Financeira?
- Visualização das relações entre os parâmetros financeiros, e visualização
simultânea de diversos registros semióticos de conceitos e objetos matemáticos
sendo estudados. No que se refere à visualização do atrelamento das parcelas com
cada termo da progressão, a falta deste aspecto foi uma das principais questões
detectadas que nos motivou a elaborar esse objeto. A interação permitida pelo OPA,
por meio da qual se pode alterar qualquer parâmetro, facilita e agiliza o processo de
cálculo e visualização de resultados de uma operação financeira, permitindo
diversidade e rapidez em simulações de alternativas de valores e parâmetros, o que
traz novas perspectivas ao ensino e à aprendizagem.
- O fato de o OPA evidenciar as diversas formas de registros de conceitos
matemáticos e seu impacto na forma de pensar dos professores, devido ao processo
interativo que caracteriza o OPA. Nesse aspecto, o OPA possibilita o entendimento
dos objetos matemáticos por meio de diversas representações semióticas, de forma
integrada, o que permite a compreensão conceitual mais ampla dos conceitos e de
como eles estão interligados.
- Apresentação de mudanças de estado dos parâmetros de forma dinâmica,
permitindo compreensão de como tais mudanças evoluem. A apresentação estática
de eventos que possuem dinamismo é fator limitante do processo de cognição. À
medida que as mudanças de estado de uma sequência de eventos podem ser
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visualizadas, a compreensão do processo como um todo ocorre de forma a
colaborar com o processo cognitivo, ou seja, a utilização de uma sequência de
registros semióticos, na linha do tempo, com velocidade adequada, é ferramenta útil
para o ensino e aprendizagem. O OPA, com os recursos de apresentação de que
dispõe, permite a exploração da exibição da sequência com as características
citadas.
- Exploração das relações dos diversos registros semióticos, de forma
seletiva. O OPA possibilita a interação com o usuário, para fins de escolha de
informações para exibição ou não, conforme sua preferência de momento, o que
permite o ensaio e experimentação de diversos caminhos e alternativas, na tentativa
de obter compreensão e solução dos problemas. Além disso, a apresentação de
registros semióticos relativos aos resultados/solução dos problemas e de sua forma
de obtenção, traz reforço significativo para a sua compreensão. Isso também
permite a validação de resultados obtidos anteriormente, em tentativas nas quais o
usuário havia optado pela não exibição de registros semióticos.
B2 - Como os professores desenvolveram diferentes registros semióticos ao
interagir com o OPA?
O contexto de interatividade do OPA permitiu que os professores, ao serem
serem apresentados a um registro semiótico, pudessem obter feedback de seu nível
de compreensão; caso necessário algum complemento ou alguma alternativa com
maior clareza, eles dispunham de recursos interativos para exercitar no mesmo
instante, de forma a criar um fluxo de eventos que o conduzissem a efetivo
aprendizado e exploração de resultados de diversas características de abordagem
da matéria.
Aliado ao manuseio simples e dinâmico, e por dispor de recursos
operacionais inéditos, acima citados, para o ensino e aprendizagem de Matemática
Financeira, o OPA pode ser amplamente utilizado pelos professores da rede
estadual, por exemplo como ferramenta complementar e auxiliar do Caderno do
Professor.
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Além disso, o OPA pode ser integrado a outros tópicos do conteúdo
matemático, como por exemplo Funções, dando novo significado e novas
abordagens ao tema, vinculando-o ao contexto cotidiano e enriquecendo a
compreensão de suas aplicações práticas.
Ser aprendiz podendo contar com o OPA como ferramenta permite o foco nas
questões essenciais, conceituais e importantes da Matemática Financeira.
Ser aprendiz na elaboração de um objeto para aprendizagem através da
metodologia do design, além das reflexões e aprendizados, trouxe uma mudança de
postura na construção de atividades educacionais utilizando a informática e as
opiniões dos colegas professores participantes da pesquisa.
Tendo em vista os resultados já obtidos junto àqueles que tiveram
participação em atividades com o OPA, relacionados ao despertar de novos
caminhos de ensino e aprendizagem, sugerimos novas pesquisas envolvendo um
maior número de professores, para identificar novas possibilidades práticas
decorrentes do uso do OPA, e também novos pontos que possam ser ajustados
para que o referido despertar possa ser catalisado.
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ANEXO I – Termo de Consentimento
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