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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO SIMONE NAVAS BARREIRO
SUPERFÍCIES ESFÉRICAS: UMA ABORDAGEM ENVOLVENDO CONVERSÕES DE REGISTROS
SEMIÓTICOS, COM O AUXÍLIO DO SOFTWARE CABRI-GÉOMÈTRE 3D
SÃO PAULO 2012
SIMONE NAVAS BARREIRO MESTRADO EM EDUCAÇAO MATEMÁTICA
SUPERFÍCIES ESFÉRICAS: UMA ABORDAGEM ENVOLVENDO CONVERSÕES DE REGISTROS
SEMIÓTICOS, COM O AUXÍLIO DO SOFTWARE CABRI- GÉOMÈTRE 3D
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da UNIBAN- Universidade Bandeirante de São Paulo, como exigência parcial para a obtenção do título de Mestre em Educação Matemática, sob a orientação da Professora Doutora Mônica Karrer.
SÃO PAULO 2012
B255s Barreiro, Simone Navas
Superfícies esféricas: uma abordagem envolvendo conversões de registros semióticos, com o auxilio do software Cabri-Geometré 3D/ Simone Navas Barreiro – São Paulo : [s.n.], 2012.
242f.; il. ; 30 cm.
Dissertação de Mestrado - Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São Paulo, Curso de Educação Matemática. Orientadora: Profª Drª. Mônica Karrer.
1. Superfícies Esféricas 2. Cabri 3D 3 Design Experiment 4. Registros de Representações Semióticas I.Título.
CDD: 512.9434
BANCA EXAMINADORA
/ )
N~~-Profa. Ora. Monica Karrer (Presidente - Orientadora)
Profa. Ora. Veronica Gitiranal {]omes-Ferreira (1° Membro Titular - UFPE)
('10l.iJ,~ ') 'OYvJ0v\r( Profa. Ora. Maria Elisa Esteves Lopes Gal~ao (2° Membro Titular - UNIBAN)
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura:____________________________
Local e data:___________________________
Ninguém é tão grande que não possa aprender, nem tão pequeno que não possa ensinar. Esopo
DEDICATÓRIA Dedico este trabalho a todos os professores e pesquisadores da área de Matemática, em especial aos professores que fizeram parte da minha formação do meu mestrado.
AGRADECIMENTOS
À Professora Doutora Mônica Karrer, pela dedicação, amizade, paciência e
empenho em toda essa jornada de trabalho. Tornei-me uma grande admiradora de
seu trabalho, da sua capacidade e, acima de tudo, da grande pessoa, que não mede
esforços para ajudar e ensinar.
Às Professoras Doutoras Maria Elisa Esteves Lopes Galvão e Verônica Gitirana
Gomes Ferreira, pelas sugestões, críticas e comentários que tanto contribuiram para
a conclusão dessa dissertação.
Aos professores Luis Gonzaga Xavier de Barros, Siobhan Victoria Healy, Verônica
Yumi Kataoka, Vincenzo Bongiovanni que foram grandes incentivadores e
mostraram-se sempre dispostos a cooperar para que se torna-se possível a
realização desse trabalho
Aos professores que participaram da primeira fase do experimento, contribuindo por
demasiado para o enriquecimento das atividades.
Aos voluntários da segunda fase, queridos amigos, que participaram sem reservas
contribuindo no desenvolvimento do Design Experiment.
A CAPES, pela bolsa de estudos que possibilitou o meu acesso e conclusão do
Mestrado em Educação Matemática
Aos meus filhos, Rodrigo, Flávio, Paulo e Elizabeth, que acreditaram no meu
trabalho e dedicação e foram companheiros, respeitando as inúmeras horas de
estudo e retraimento. Sonhamos juntos e tornamos realidade.
À minha querida e amada mãe que sempre acreditou e apoiou a minha opção e
dedicação como professora, amparando-me na condução desse trabalho.
Em especial ao meu grande amor, Jaime, que foi o grande incentivador da
realização do meu mestrado. Seu carinho, dedicação, apoio e palavras de otimisto
possibilitaram que eu começasse a ver a vida de uma maneira diferente.
RESUMO
Este trabalho tem por objetivo apresentar a análise da aplicação de um experimento
de ensino sobre superfícies esféricas, desenvolvido segundo uma abordagem
gráfica no Cabri 3D. O estudo foi fundamentado na teoria dos registros de
representações semióticas de Duval (2003, 2006, 2009) e teve a metodologia de
Design Experiment de Cobb et al. (2003) como norteadora da construção e da
aplicação das situações de ensino. Estas foram elaboradas de modo a explorar os
diversos registros do objeto matemático superfícies esféricas, com foco no registro
gráfico. A abordagem partiu da experimentação gráfica no software Cabri 3D,
visando à construção dos conceitos que posteriormente seriam validados no
ambiente papel e lápis. O estudo compreendeu três fases, representadas pela
construção do experimento preliminar pelo professor-pesquisador, pela aplicação
das situações a pesquisadores da área de Educação Matemática e pela aplicação
das atividades redesenhadas para duas duplas de estudantes. A primeira fase
objetivou a elaboração de um desenho inicial do experimento, a segunda fase visou
coletar as contribuições dos pesquisadores para a reformulação das atividades e a
terceira fase pretendeu avaliar as produções dos estudantes, a fim de investigar
quais contribuições a abordagem proposta poderia trazer ao processo de
aprendizagem desse conteúdo. Os resultados apontaram que os sujeitos
construíram, de forma independente, o objeto matemático a partir da
experimentação. Além disso, eles perceberam as características inerentes a cada
tipo de registro e estabeleceram satisfatoriamente as relações entre as
representações simbólico-algébrica, gráfica, da língua natural e numérica. Salienta-
se que tais relações foram extremamente favorecidas pela utilização do recurso
computacional adotado. A despeito das dificuldades locais detectadas no uso do
registro da língua natural e em tratamentos no registro simbólico-algébrico,
consideramos que houve avanços significativos na compreensão do conceito de
superfícies esféricas. Desta forma, esperamos que este trabalho represente uma
contribuição para o estudo deste objeto matemático.
Palavras-chave: Superfícies Esféricas. Cabri 3D. Design Experiment. Registros de
Representações Semióticas.
ABSTRACT
This paper aims to present the analysis of the implementation of a teaching
experiment on spherical surfaces, developed under the graphic approach in Cabri
3D. The study was based on Duval (2003, 2006, 2009) semiotic registers
representations theory, and had the Cobb‟s et al. (2003) Design Experiment
methodology as a guiding to the construction and application of teaching situations.
These were prepared in order to explore the various registers of the mathematical
object spherical surface, focusing on the graphic register. The approach was based
on the graphic experimentation in Cabri 3D software, aiming the construction of
concepts that would later be validated in the paper and pencil environment. The
study consisted of three phases represented: by the construction of the preliminary
experiment by the teacher-researcher; by the application of the situations to
researchers in mathematics education; and by the implementation of redesigned
activities for two pairs of students. The first phase aimed to draw up an initial design
of the experiment. The second phase aimed the collecting contributions from
researchers in reshaping the activities. And the third phase was to assess the
students' productions in order to investigate what contributions the proposed
approach could bring to the process of learning that content. The results showed that
subjects built independently, the mathematical object from the trial. Moreover, they
realized the inherent characteristics of each type of register and established a
satisfactory relations between the symbolic and algebraic representations, graphic,
natural language and numerical. Please note that these relations were highly favored
by the use of computer resources adopted. Despite the difficulties observed in the
usage of natural language register and handling the algebraic and symbolic registers,
we believe that significant advances in understanding the concept of spherical
surfaces. Thus, we expect that this paper represents a contribution to the study of
this mathematical object.
Keywords: Spherical Surface. Cabri 3D. Design Experiment. Semiotic Register Representation.
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - Exercício 24-5 (adaptado), pag.376 ........................................................ 27
Quadro 2 - Quadro de classificação dos registros de representação semiótica ........ 29
Quadro 3 - Classificação dos registros de representação semiótica ......................... 29
Quadro 4 - Exemplo de economia de tratamento ...................................................... 31
Quadro 5 - 5° Postulado de Euclides ....................................................................... 31
Quadro 6 - Registros e representações (Vetores) .................................................... 46
Quadro 7 - Quadro de Registros e representações - objeto superfície esférica ........ 63
Quadro 8 - Proposição 24-1 ...................................................................................... 64
Quadro 9 - Proposição 24-8 ...................................................................................... 65
Quadro 10 - Atividade 1 ............................................................................................ 87
Quadro 11 - Atividade 2 ............................................................................................ 92
Quadro 12 - Atividade 3 ............................................................................................ 94
Quadro 13 - Atividade 4 ............................................................................................ 96
Quadro 14 - Atividade 5 .......................................................................................... 102
Quadro 15 - Atividade 6 .......................................................................................... 103
Quadro 16 - Atividade 7 .......................................................................................... 105
Quadro 17 - Atividade 8 .......................................................................................... 109
Quadro 18 - Atividade 9 .......................................................................................... 110
Quadro 19 - Atividade 10 ........................................................................................ 111
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Representação do 5° postulado de Euclides ............................................ 32
Figura 2 - Exemplo de conversão .............................................................................. 36
Figura 3 - Registros de Representação do Objeto Vetor no Espaço. ........................ 39
Figura 4 - Dados da tarefa c da quarta atividade sobre produto de vetores .............. 42
Figura 5 - Fonte: Candido (2009, p.180) .................................................................. 43
Figura 6 - Fonte: Lemke (2011, p. 161) .................................................................... 44
Figura 7 - Extraída de Lemke (2011, p. 162) ............................................................. 45
Figura 8 - Representação de um quadrado e de uma pirâmide de base quadrada.
Fonte: PARZYSZ (1988, p. 82) ................................................................................. 56
Figura 9 - Superfície Esférica - Construção No Cabri 3D .......................................... 58
Figura 10 - Superfície Esférica, Construção no Cabri 3D .......................................... 59
Figura 11 - Superfície Esférica: construção no Cabri 3D .......................................... 61
Figura 12 - Exercício Resolvido 24-13 ...................................................................... 66
Figura 13 - Exercício Resolvido 24-14 ...................................................................... 67
Figura 14 - Duas Telas feitas no software Geogebra ................................................ 72
Figura 15 - Duas telas criadas no software Graphmática .......................................... 72
Figura 16 - Imagem inicial do software Winplot ......................................................... 73
Figura 17 - Imagem do software MATLAB Fonte:
http://www.sai.msu.su/sal/A/MATLAB.html................................................................ 74
Figura 18 - Software Maple ....................................................................................... 75
Figura 19 - Software Mathematica ............................................................................ 76
Figura 20 - Exemplo do dinamismo do Cabri 3D em duas telas................................ 77
Figura 21 - Imagem extraída do manual do Cabri 3D .............................................. 78
Figura 22 - Imagem extraída do manual do Cabri 3D ............................................... 78
Figura 23 - Imagem extraída do manual do Cabri 3D ............................................... 79
Figura 24 - Superfície Esférica construída do software Cabri 3D .............................. 79
Figura 25 - Tarefa a da Atividade 1: construção no Cabri 3D ................................... 88
Figura 26 - Tarefa b da Atividade 1: construção no Cabri 3D ................................... 89
Figura 27 - Tarefa d da Atividade 1: construção no Cabri 3D ................................... 90
Figura 28 - Tarefa d da Atividade 1: construção no Cabri 3D ................................... 90
Figura 29 - Tarefa d da Atividade 1: construção no Cabri 3D ................................... 91
Figura 30 - Tarefa d da Atividade 1: construção no Cabri 3D ................................... 91
Figura 31 - Tarefa a da Atividade 4 - construção no Cabri 3D .................................. 98
Figura 32 - Tarefa b da Atividade 4 - construção no Cabri 3D .................................. 98
Figura 33 - Tarefa c da Atividade 4 - construção no Cabri 3D................................... 99
Figura 34 - Tarefa d da Atividade 4 - construção no Cabri 3D .................................. 99
Figura 35 - Tarefa d da Atividade 4 - construção no Cabri 3D ................................ 100
Figura 36 - Tarefa g da Atividade 4 - construção no Cabri 3D ................................ 101
Figura 33 - Tarefa a da Atividade 7 - construção no Cabri 3D ................................ 106
Figura 37 - Tarefa a da Atividade 7 - construção no Cabri 3D ................................ 107
Figura 38 - Tarefa b da Atividade 7 - construção no Cabri 3D ................................ 108
Figura 39 - Arquivo no Cabri 3D da tarefa d da Atividade 7 .................................... 123
Figura 40 - Produção da Dupla 1 na Tarefa a da Atividade 1 ................................. 123
Figura 41 - Produção da Dupla 1 nas Tarefas a e b da Atividade 1 ....................... 125
Figura 42 - Produção da Dupla 2 nas Tarefas a e b da Atividade 1 ...................... 126
Figura 43 - Produção da Dupla 1 na Tarefa d da Atividade 1 ................................ 127
Figura 44 - Produção da Dupla 2 na Tarefa d da Atividade 1 ................................ 127
Figura 45 - Figura apresentada aos estudantes pelo Cabri 3D .............................. 129
Figura 46 - Produção da Dupla 1 na Tarefa g da Atividade 1 ................................ 130
Figura 47 - Produção da Dupla D1 na Tarefa h da Atividade 1 .............................. 132
Figura 48 - Produção da Dupla D1 na Tarefa h da Atividade 1 .............................. 132
Figura 49 - Produção da Dupla D2 na Tarefa h da Atividade 1 .............................. 133
Figura 50 - Produção da Dupla D2 na Tarefa h da Atividade 1 .............................. 135
Figura 51 - Produção da Dupla D2 na Tarefa i da Atividade 1 ............................... 136
Figura 52 - Produção da Dupla D1 na Tarefa a da Atividade 2 .............................. 140
Figura 53 - Produção da Dupla D1 na Tarefa a da Atividade 2 .............................. 141
Figura 54 - Produção da Dupla D2 na Tarefa a da Atividade 2 .............................. 142
Figura 55 - Produção da Dupla D2 na Tarefa a da Atividade 2 .............................. 143
Figura 56 - Produção da Dupla D1 na Tarefa a da Atividade 2 .............................. 143
Figura 57 - Produção da Dupla D2 na Tarefa a da Atividade 2 .............................. 144
Figura 58 - Produção da Dupla D1 na Tarefa b da Atividade 2 .............................. 145
Figura 59 - Produção da Dupla D2 na Tarefa b da Atividade 2 .............................. 146
Figura 60 - Produção da Dupla D1 na Tarefa c da Atividade 2 .............................. 147
Figura 61 - Produção da Dupla D2 na Tarefa c da Atividade 2 .............................. 148
Figura 62 - Produção da Dupla D2 na Tarefa c da Atividade 2 .............................. 150
Figura 63 - Produção da Dupla D1 da Atividade 3 ................................................. 152
Figura 64 - Produção da Dupla D1 nas Tarefas a,b e c da Atividade 3 no ambiente
do Cabri 3D ............................................................................................................. 152
Figura 65 - Produção da Dupla D2 nas Tarefas a,b e c da Atividade 3 ................... 153
Figura 66 - Produção da Dupla D1 da Atividade 4 no ambiente papel & lápis. ....... 155
Figura 67 - Produção da Dupla D1 da Atividade 4 no ambiente do Cabri 3D. ........ 156
Figura 68 - Produção da Dupla D2 da Atividade 4 no ambiente papel & lápis ....... 157
Figura 69 - Produção da Dupla D2 da Atividade 4 no ambiente do Cabri 3D ......... 157
Figura 70 - Figura apresentada aos estudantes pelo Cabri 3D ............................... 159
Figura 71 - Tela utilizada por D1 na Atividade 5 ...................................................... 159
Figura 72 - Tela utilizada por D2 na Atividade 5 ...................................................... 160
Figura 73 - Produção da Dupla D1 da Atividade 5 ................................................. 160
Figura 74 - Produção da Dupla D2 da Atividade 5 ................................................. 160
Figura 75 - Produção da Dupla D2 da Atividade 5 ................................................. 161
Figura 76 - Produção da Dupla D1da Atividade 6 ................................................... 162
Figura 77 - Produção da Dupla D2 da Atividade 6 ................................................. 163
Figura 78 - Produção da Dupla D1 da tarefa b da Atividade 6 .............................. 163
Figura 79 - Produção da Dupla D2 da tarefa b da Atividade 6 .............................. 164
Figura 80 - Rascunho produzido por D1 na Tarefa a da Atividade 7 ....................... 166
Figura 81 - Produção da Dupla D2 da tarefa a da Atividade 7 .............................. 167
Figura 82 - Produção de D1 nas Tarefas a e b da Atividade 7 ................................ 167
Figura 83 - Produção da Dupla D1 da tarefa a da Atividade 8 .............................. 170
Figura 84 - Produção da Dupla D2 da tarefa a da Atividade 8 .............................. 170
Figura 85 - Produção da Dupla D2 da tarefa a da Atividade 7 .............................. 172
Figura 86 - Produção da Dupla D2 da tarefa a da Atividade 7 .............................. 173
Figura 87 - Produção de D1 após intervenção nas Tarefas da Atividade 7 e 8 ...... 175
Figura 88 - Produção da Dupla D1 da tarefa a da Atividade 9 ............................... 176
Figura 89 - Produção da Dupla D1 da tarefa a da Atividade 9 .............................. 176
Figura 90 - Produção da Dupla D2 da tarefa a da Atividade 9 .............................. 178
Figura 91 - Produção da Dupla D2 da tarefa a da Atividade 9 .............................. 178
Figura 92 - Produção da Dupla D1 da tarefa a da Atividade 10 ............................ 180
Figura 93 - Produção da Dupla D1 da tarefa a da Atividade 10 ............................ 181
Figura 94 - Produção da Dupla D2 da tarefa a da Atividade 10 ............................ 183
Figura 95 - Produção da Dupla D2 da tarefa a da Atividade 10 ............................ 183
Figura 96 - Produção da Dupla D2 da tarefa a da Atividade 10 ............................ 184
Figura 97 - Produção da Dupla D2 da tarefa a da Atividade 10 ............................ 184
Figura 98 - Produção da Dupla D2 da tarefa a da Atividade 7 .............................. 185
Figura 99 - Produção da Dupla D2 da tarefa a da Atividade 7 .............................. 186
Figura 100 - Produção da Dupla D2 da tarefa a da Atividade 7 ............................ 186
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1 - Tabulação de exercícios resolvidos e exemplos...................................... 69
Gráfico 2 - Exercícios propostos ............................................................................... 69
SUMÁRIO:
LISTA DE QUADROS ............................................................................................... 12
LISTA DE FIGURAS ................................................................................................. 12
LISTA DE GRÁFICOS ............................................................................................... 15
1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 19
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ............................ 25
2.1. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ...................................................................... 25
3. APRESENTAÇÃO DO OBJETO MATEMÁTICO, ANÁLISE DE UM LIVRO
DIDÁTICO DE GEOMETRIA ANALÍTICA E DESCRIÇÃO DE SOFTWARES
DINÂMICOS .............................................................................................................. 58
3.1. APRESENTAÇÃO DO OBJETO MATEMÁTICO ............................................ 58
3.2. ANÁLISE DE OBRAS DE GEOMETRIA ANALÍTICA ..................................... 62
4. METODOLOGIA DA PESQUISA .......................................................................... 80
4.1. A METODOLOGIA DOS DESIGN EXPERIMENTS ........................................ 80
4.2. RELAÇÃO DE NOSSO ESTUDO COM A METODOLOGIA DOS DESIGNS
EXPERIMENTS ..................................................................................................... 83
4.2.1. Sujeitos .................................................................................................... 84
4.2.2. Papel do Professor-Pesquisador .............................................................. 84
4.2.3. Material e Ambiente de Trabalho ............................................................. 85
4.2.4. Hipóteses iniciais...................................................................................... 85
5.1. APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE 1.............................................................. 86
5.3. APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE 3.............................................................. 94
5.4. APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE 4.............................................................. 96
5.5 - APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE 5 .......................................................... 101
5.8 - APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE 8 .......................................................... 108
5.9 - APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE 9 .......................................................... 110
5.10 - APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE 10 ...................................................... 110
6. DESCRIÇÃO DA FASE 2 - APLICAÇÃO DO EXPERIMENTO A UM GRUPO DE
PESQUISADORES ................................................................................................. 112
7. DESCRIÇÃO DA FASE 3 - APLICAÇÃO DO EXPERIMENTO A DUAS DUPLAS
DE GRADUADOS EM LICENCIATURA EM MATEMÁTICA ................................... 121
7. 1. ANÁLISE DA APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES DE FAMILIARIZAÇÃO NO
CABRI 3D ............................................................................................................ 121
7.2 - ANÁLISE DA APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES ........................................... 122
7.2.1 - Análise da ATIVIDADE 1 ...................................................................... 122
7.2.1.1 - Conclusões da Atividade 1 ................................................................. 137
7.2.2 - Análise da ATIVIDADE 2 ...................................................................... 139
7.2.2.1 - Conclusões da Atividade 2 ................................................................. 150
7.2.3 - Análise da ATIVIDADE 3 ...................................................................... 151
7.2.3.1 - Conclusões da Atividade 3 ................................................................. 154
7.2.4 - Análise da ATIVIDADE 4 ...................................................................... 155
7.2.4.1 - Conclusões da Atividade 4 ................................................................. 158
7.2.5 - Análise da ATIVIDADE 5 ...................................................................... 158
7.2.5.1 - Conclusões da Atividade 5 ................................................................. 161
7.2.6 - Análise da ATIVIDADE 6 ...................................................................... 162
7.2.6.1 - Conclusões da Atividade 6 ................................................................. 164
7.2.7 - Análise da ATIVIDADE 7 ...................................................................... 164
7.2.7.1 - Conclusões da Atividade 7 ................................................................. 167
7.2.8 - Análise da ATIVIDADE 8 ...................................................................... 169
7.2.8.1 - Conclusões da Atividade 8 ................................................................. 172
7.2.9. Recondução das Atividades 7 e 8 com a dupla D1 ................................ 173
7.2.10 - Análise da ATIVIDADE 9 .................................................................... 175
7.2.9.1 - Conclusões da Atividade 9 ................................................................. 178
7.2.10 - Análise da ATIVIDADE 10 .................................................................. 179
8. CONCLUSÃO ...................................................................................................... 189
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................ 196
ANEXO I .................................................................................................................. 202
FAMILIARIZAÇÃO NO CABRI 3D ........................................................................... 202
ANEXO II ................................................................................................................. 207
ATIVIDADES APÓS REDESIGN ............................................................................ 207
ANEXO III ................................................................................................................ 221
QUESTIONÁRIO DE LEVANTAMENTO DE PERFIL (FASE II) .............................. 221
ANEXO IV ............................................................................................................... 223
TERMOS DE CONSENTIMENTOS DO GRUPO DE PESQUISADORES (FASE II)
................................................................................................................................ 223
ANEXO V ................................................................................................................ 237
TERMOS DE CONSENTIMENTOS DAS DUAS DUPLAS DE GRADUADOS EM
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA ( FASE III ) ..................................................... 237
19
1. INTRODUÇÃO
A motivação para o desenvolvimento de um projeto de pesquisa sobre
superfícies esféricas em Geometria Analítica e Cálculo Vetorial, disciplina presente
nos currículos dos cursos superiores de ciências exatas, seguindo a teoria dos
Registros de Representação Semiótica de Duval (1995, 2000, 2003, 2006), surgiu
após ter participado como auxiliar no projeto de pesquisa “Vetores, retas e planos no
R3: uma abordagem envolvendo conversões de registros semióticos com auxílio do
software Cabri-Géomètre 3D”. Neste projeto participei como aluna de Iniciação
Científica, atividade proporcionada pela Universidade Bandeirante (UNIBAN) para
alunos que cursam as graduações na instituição. Quando ingressei no projeto, eu já
cursava o último ano de Licenciatura em Matemática.
Na ocasião, a proposta do projeto me envolveu e despertou o meu interesse
em investigar os fatores que poderiam gerar dificuldades nos estudantes em
conteúdos da Geometria Analítica, especificamente no tópico de vetores, o qual
representava o objeto de estudo na atividade de iniciação científica.
Neste projeto, coube a mim tanto a análise do conteúdo introdutório de
vetores presente em três livros didáticos, como a elaboração de tarefas desse tópico
no ambiente Cabri 3D, uma vez que esse software, pelo seu caráter dinâmico, pôde
proporcionar uma apreensão diferenciada do objeto matemático vetor. Os três livros
selecionados, sendo dois deles os mais utilizados em uma amostra de instituições
de ensino superior nacionais, foram analisados com base na teoria dos registros de
representação semiótica de Duval (2006). Teve-se a intenção de detectar os
registros mais presentes e as conversões mais requeridas no conteúdo introdutório
de vetores desses livros, tendo assim um parâmetro para fazer as análises e chegar
à conclusão da problemática levantada com relação aos mesmos.
O contato com este projeto também proporcionou mudanças em relação ao
exercício de minha profissão, preocupando-me mais com a minha abordagem em
sala de aula ao apresentar determinado conteúdo. Diversificar e relacionar os
diferentes registros passou a ser uma preocupação que assumi, elaborando
exercícios e exemplos que englobaram a atividade de conversão de registros do
objeto em estudo.
20
Por fim, as conclusões obtidas no trabalho de iniciação científica, as quais
evidenciaram que os livros didáticos avaliados pouco integram o registro gráfico e
que tal fato provavelmente intensifique as dificuldades dos estudantes no
estabelecimento de relações entre questões geométricas e algébricas, também
serviram de motivação para prosseguir neste tipo de temática. Ressalta-se que
dificuldades dos estudantes dessa natureza foram detectadas por pesquisadores,
em especial, Pavlopoulou (1993) e Karrer (2006).
Outro fato observado foi a inexistência de integração de recursos
computacionais no desenvolvimento dos tópicos de Geometria Analítica nos livros
analisados. Os resultados desse trabalho de iniciação foram divulgados em dois
encontros, sendo que vários pesquisadores demonstraram interesse pela temática.
Com isso, ao concluir este trabalho em dezembro de 2008, tive a certeza de
continuar a pesquisar nesta mesma direção, participando da linha de pesquisa de
Tecnologias e Educação Matemática.
O objetivo desse trabalho de mestrado consistiu em elaborar, aplicar e avaliar
um experimento de ensino sobre superfícies esféricas, o qual integrou o software
Cabri 3D como ferramenta de auxílio nas atividades que envolveram o registro
gráfico. Teve-se por meta ressaltar as influências que uma abordagem desse tipo
promoveria na aprendizagem desse objeto matemático.
Este trabalho fez parte de um projeto maior, que visou construir este mesmo
tipo de abordagem em outros conteúdos de Geometria Analítica. Desta forma, a
presente pesquisa teve por foco complementar este projeto, explorando o conteúdo
de superfícies esféricas neste mesmo cenário. Teve-se o objetivo de elaborar um
estudo com vistas a favorecer o estabelecimento de relações entre questões
geométricas e algébricas no conteúdo selecionado. Foi constatado que pesquisas
que tratam do ensino e da aprendizagem do tema escolhido não são freqüentes. A
superfície esférica, que é, por definição, o lugar geométrico dos pontos do espaço
que estão à mesma distância de certo ponto fixo, teria sua construção gráfica
provavelmente favorecida com o auxílio de recursos de imagens.
A Geometria Analítica estabelece relações entre situações geométricas e
algébricas. Lidar apenas com o registro simbólico-algébrico no tratamento de
conteúdos desta disciplina pode gerar dificuldades aos estudantes.
Vários pesquisadores observaram que os estudantes apresentaram uma
maior dificuldade em situações que requeriam conversões envolvendo o registro
21
gráfico, dentre eles Pavlopoulou (1993), Karrer (2006), Bittar (1998) e Castro (2001),
cujos trabalhos estão descritos em nossa revisão bibliográfica.
Seguindo a mesma dinâmica da pesquisa de Karrer (2006), especificamente
no estudo de superfícies esféricas, e considerando a importância do papel das
representações na construção do conceito, seria provável que a visualização e a
manipulação dinâmica da representação gráfica deste lugar geométrico
proporcionaria certa facilidade para relacionar aspectos do objeto dado na sua
representação algébrica com aspectos pertinentes de sua representação gráfica.
Procurar fornecer novas formas de contato com este objeto matemático foi o que
sustentou este projeto de pesquisa.
Sendo o livro didático uma ferramenta do processo de ensino-aprendizagem,
tivemos a preocupação quanto à sua abordagem. Desta forma, também investiga-
mos, com base na teoria de Duval (2006), como as obras de Geometria Analítica
tratavam das relações entre aspectos gráficos e algébricos no estudo de superfícies
esféricas. Partindo do levantamento realizado por Karrer e Barreiro (2009), o qual
indicou a presença significativa das obras Boulos e Camargo (2005) e Steinbruch e
Winterle (1987) nas referências bibliográficas da disciplina de Geometria Analítica de
universidades do país, avaliamos como essas obras abordavam o conteúdo de
superfícies esféricas. Constamos que Steinbruch (2003) não apresenta este
conteúdo em um capítulo específico, mas trata-o como um caso particular do
elipsóide, cujos valores reais e positivos a,b,c da equação
= 1, que
representam as medidas dos semi-eixos do elipsóide, são iguais, ou seja, a=b=c,
obtendo assim a seguinte equação:
=1 ou . tendo
a mesma dinâmica para o caso em que o centro da superfície esférica não coincide
com a origem do sistema de coordenadas. Ressalta-se que no ensino superior
também são utilizados textos traduzidos para o português, nos quais conteúdos de
Geometria Analítica são usualmente incorporados aos livros de Cálculo Diferencial e
Integral.
Dada a constatação de que o registro gráfico é pouco explorado e que não
há recomendação do uso de ferramenta computacional na obra analisada, foi
elaborado um experimento de ensino inserindo efetivamente este registro, bem
22
como as conversões entre ele e os demais e, para isso, foi adotada como ferramenta
de apoio o software Cabri 3D.
O presente estudo compreendeu três fases. A primeira foi representada pela
construção do experimento preliminar pelo professor-pesquisador, com base na
problemática evidenciada no ensino de Geometria Analítica. A segunda fase foi
representada pela aplicação das situações a pesquisadores da área de Educação
Matemática, a fim de coletar suas impressões a avaliações diante de um
experimento de ensino diferenciado sobre superfícies esféricas. As contribuições
fornecidas por este grupo foram incorporadas à primeira versão, promovendo o
redesign das atividades, sendo que esta readequação está descrita no presente
trabalho. A terceira fase consistiu na aplicação das atividades redesenhadas a duas
duplas de estudantes, a fim de avaliar suas produções e investigar em que aspectos
a abordagem construída influenciaria na construção do conceito.
Para a concepção e condução do design, foi utilizada a metodologia de
Design Experiment de Cobb et al. (2003), que é voltada para a Educação
Matemática e tem por objetivo analisar os processos de aprendizagem de domínios
específicos. Nesta metodologia, o pesquisador tem como meta a construção de
novas representações de matemática, provenientes das produções reveladas pelos
sujeitos durante a execução do experimento. Com isso, pretendeu-se ir além das
questões propostas aos sujeitos, fazendo uma relação entre as normas, ferramentas
e materiais utilizados em todo o processo.
Além de analisar o impacto que uma abordagem que valoriza o registro
gráfico e suas relações proporcionaria aos sujeitos, investigamos também questões
relacionadas ao uso do recurso computacional Cabri 3D no ensino de superfícies
esféricas, ou seja, avaliamos quais aspectos poderiam ser favorecidos pela utilização
dessa ferramenta no estabelecimento de relações entre representações algébricas e
gráficas no conteúdo proposto. Sendo o dispositivo informático um elemento do
universo do aluno, seria provável a viabilidade da utilização deste ambiente. A
preocupação de integrar um recurso de geometria dinâmica vem de encontro com os
estudos de Balacheff & Kaput (1996), Borba (2001) e Noss e Hoyles (1996, 2009),
que demonstraram a necessidade da elaboração de pesquisas e novas abordagens
que inserissem ferramentas computacionais no ensino de Matemática, visando
ganhos pedagógicos.
23
Partindo dessa problemática, procuramos responder a seguinte questão de
pesquisa:
Em quais aspectos uma abordagem inovadora sobre superfícies esféricas,
que envolveu conversões de registros semióticos e um software de geometria
dinâmica, influenciaria na aprendizagem desse objeto matemático?
Teve-se por hipótese que tal abordagem influenciaria a construção desse
conhecimento pelo estudante nos seguintes aspectos: na percepção das
características do objeto matemático em cada registro utilizado, no estabelecimento
de relações entre representações dos registros presentes no experimento, na
determinação de análises partindo do registro gráfico e em compreensões
diferenciadas das obtidas nas intervenções realizadas exclusivamente no ambiente
papel&lápis, decorrentes do aspecto dinâmico da ferramenta utilizada. Ainda, teve-
se por hipótese que o dinamismo do Cabri 3D favoreceria ao aluno observar com
mais detalhes as relações entre os registros, tendo em vista a possibilidade de
visualização simultânea dessas relações.
Para a realização de um experimento baseado na metodologia adotada, as
situações iniciais de ensino podem ser readequadas de acordo com os resultados
das avaliações fornecidas pelos sujeitos de pesquisa durante a aplicação das
tarefas.
Esperava-se que o experimento permitisse um contato diferenciado com o
objeto matemático, favorecendo a análise das relações entre suas diversas
representações, o levantamento de conjecturas e o trabalho de validação.
Diante do fato de o processo de ensino e aprendizagem do conteúdo de
superfícies esféricas ser pouco pesquisado, objetivamos colaborar na busca de
novas abordagens sobre essa temática que pudessem complementar as práticas
usualmente estabelecidas.
O trabalho está estruturado da seguinte forma. No capítulo 1, referente à
introdução, foram apresentados os elementos fundamentais do estudo. No capítulo 2
são apresentadas a fundamentação teórica e a revisão de literatura. No capítulo 3 é
apresentada a descrição do objeto matemático “Superfícies esféricas”, a análise
desse conteúdo em um livro didático e a descrição de softwares dinâmicos. No
capítulo 4, descreve-se a metodologia de Design Experiment de Cobb et al. (2003) e
24
a sua relação com o presente estudo. No capítulo 5, é apresentada a primeira fase
do experimento, composta das atividades elaboradas pelo professor-pesquisador,
acompanhadas de uma análise preliminar. No capítulo 6, é descrita a segunda fase
do experimento, representada pelos resultados da aplicação do design a um grupo
de pesquisadores, ressaltando suas contribuições para o redesign. No capítulo 7,
apresentam-se os resultados da aplicação do experimento redesenhado a duas
duplas de sujeitos e o capítulo 8 contém a conclusão do presente estudo.
25
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Neste capítulo serão apresentadas a teoria dos registros de representações
semióticas de Duval (1995, 2003, 2006) e as pesquisas que fundamentaram a
elaboração deste estudo.
O presente trabalho de pesquisa baseia-se principalmente na teoria dos
registros de representações semióticas de Raymond Duval (1995, 2003, 2006),
filósofo e psicólogo francês e professor emérito na Universidade Du Littoral Côte
d‟Opale da França, que desenvolveu um modelo de funcionamento cognitivo do
pensamento considerando as mudanças de registros de representação semiótica,
que levou à publicação de diversos trabalhos, dentre os quais Sémiosis et penseé
humaine: registres sémiotiques et apprentissages intellectuels, publicado em 1995.
As dificuldades na aprendizagem matemática, de acordo com Duval, estão
ligadas ao fato de os objetos matemáticos não serem “concretos”, não estando
disponíveis para o acesso via percepção, observação ou por meio de um
instrumento. Com isso, o estudante tem que reconhecer uma representação do
objeto matemático que exprima ideias para que ele consiga ter atitudes
representativas.
Logo, estes objetos matemáticos dependem de um sistema de representação
para que sejam devidamente designados, ou seja, o acesso a um determinado
objeto matemático depende de suas representações semióticas.
De acordo com Duval (1995), existem três tipos de representações: as
mentais, as representações internas ou computacionais e as representações
semióticas.
As representações mentais são as concepções que uma pessoa pode ter
sobre um objeto ou sobre uma situação. As representações internas ou
computacionais são caracterizadas pela execução automática de uma tarefa. As
representações semióticas são produções constituídas pelo emprego de signos
pertencentes a um sistema de representação, os quais têm suas dificuldades
próprias de significado e de funcionamento.
26
Para que se tenha melhor entendimento de sua teoria, optou-se por
esclarecer de maneira bem sucinta a origem e a definição de semiótica.
Semiótica é ciência geral de todas as linguagens. Na concepção de Santaella
(1983) “A Semiótica é a ciência que tem por objeto de investigação todas as
linguagens possíveis, ou seja, que tem por objetivo o exame dos modos de
constituição de todo e qualquer fenômeno como fenômeno de produção de
significação e de sentido”. (SANTAELLA, 1983, p. 13)
A semiótica teve suas origens quase que de maneira simultânea nos Estados
Unidos e União Soviética. O pai desta ciência nos Estados Unidos foi Charles
Sanders Peirce (1839-1914), sendo que a teoria peirciana coloca as ideias, ou até
mesmo o homem, como entidades semióticas.
Contudo, para Duval, nem todo sistema de signos constitui um registro de
representação semiótica. Em um registro, há a possibilidade de transformar um
elemento em outro.
“Por exemplo, as placas de trânsito das estradas são significantes (triângulo → perigo, vermelho → proibição,...)... e não podem se caracterizar como um registro no sentido de Duval, uma vez que não há a possibilidade de transformar um elemento em outro, diferentemente do que ocorre com todo elemento de um registro...” (SILVA e FIGUEIREDO, 2003, p.8)
Segundo Duval (2004), para que um sistema de signos seja considerado um
registro de representação, ele deve permitir três atividades cognitivas: a formação de
uma representação identificável, o tratamento de um registro de representação e a
conversão de um registro de representação para outro.
Quanto à formação de uma representação, levam-se em conta as regras que
são inerentes a um determinado registro. Deve-se, quanto à formação, conhecer
como determinada representação se “apresenta”, como, por exemplo, a
representação de números fracionários, a representação trigonométrica de um
número complexo, dentre outros.
Os tratamentos são as transformações entre representações que ocorrem no
interior de um mesmo registro. Um exemplo seria a resolução de uma equação
polinomial de primeiro grau, na qual todo o processo de resolução para encontrar o
valor da incógnita se mantém no mesmo registro de representação. Com relação ao
27
objeto matemático “superfícies esféricas”, o exemplo seguinte ilustra uma seqüência
de tratamentos no interior do registro simbólico-algébrico.
Já as conversões são transformações entre representações que ocorrem com
mudanças de registros inerentes ao objeto em questão. Por exemplo, quando se
representa graficamente uma função que é fornecida no registro simbólico-
algébrico, estabelecemos uma conversão. Com relação ao objeto matemático
“superfícies esféricas”, o exemplo seguinte ilustra uma operação de conversão.
Registro simbólico-algébrico Registro gráfico
Quadro 1 - Exercício 24-5 (adaptado), pag.376 Fonte: BOULOS (2005)
Duval (2003) também propõe uma abordagem cognitiva não só para
compreender as dificuldades dos alunos na compreensão da Matemática, mas a
natureza dessas dificuldades.
“... A originalidade da abordagem cognitiva está em procurar inicialmente descrever o funcionamento cognitivo que possibilite a um aluno compreender, efetuar e controlar ele próprio a diversidade
28
dos processos matemáticos que lhes são propostos em situação de ensino...”. (DUVAL,1993,p.12)
Segundo Duval (2003), apesar das diferentes representações que os objetos
matemáticos podem ser apresentados, torna-se comum confundir um objeto com
uma de suas representações. Isto porque, segundo o autor, o ensino de Matemática
privilegia um determinado registro em detrimento de outros, tornando, assim, a
associação do objeto matemático exclusivamente com uma de suas representações.
Duval também classifica os registros em discursivos ou não discursivos e em
mono ou multifuncionais, elucidando assim os diferentes registros mobilizáveis em
uma determinada atividade matemática.
Os registros multifuncionais, que são utilizados em diferentes domínios do
conhecimento e cujos tratamentos não são algoritmizáveis, possuem dois tipos de
representação: a representação discursiva e a não discursiva.
Um exemplo de registro multifuncional discursivo é o da língua natural. Já os
registros multifuncionais não-discursivos têm como representantes as figuras
geométricas planas ou em perspectivas.
Os registros monofuncionais são aqueles com tratamentos algoritmizáveis.
Também tendo representação do tipo discursiva e não-discursiva, estes se
apresentam como sistemas de escritas e gráficos cartesianos, respectivamente.
Representações do registro da língua natural podem ser tratadas de diversas
maneiras e utilizadas em outras áreas de conhecimento além da Matemática. Por
este motivo, o registro da língua natural é classificado como multifuncional. Em
contrapartida, representações do registro simbólico, além de terem sua
funcionalidade afixada principalmente a alguma área específica da Matemática, têm
uma forma procedimental de tratamento. Basta avaliar a resolução de uma equação
do tipo " ", por exemplo. É possível estabelecer etapas pré-fixadas de
resolução e, conseqüentemente, este registro tem um caráter monofuncional. Para
Duval, o modelo geométrico é determinado pelo registro figural, classificado como
multifuncional não discursivo e pelo registro gráfico, classificado como
monofuncional não discursivo.
Esta classificação permite que os registros matemáticos sejam reconhecidos.
A seguir, apresenta-se o quadro desta classificação:
29
Representação Discursiva Representação Não Discursiva
Registros
Multifuncionais
Os tratamentos não
são algoritmizáveis.
Língua natural
Associações verbais (conceituais).
Formas de raciocinar:
argumentação a partir de observações, de crenças...;
dedução válida a partir de definição ou de teoremas.
Figuras geométricas planas ou em perspectivas (configurações em dimensão 0, 1 , 2 ou 3).
apreensão operatória e não somente perceptiva;
construção com instrumentos.
Registros
Monofuncionais
Os tratamentos são
principalmente
algoritmos.
Sistemas de escritas
numéricas (binária, decimal, fracionária ...);
algébricas;
simbólicas (línguas formais).
Cálculo
Gráficos cartesianos
mudanças de sistemas de coordenadas;
interpolação, extrapolação.
Quadro 2 - Quadro de classificação dos registros de representação semiótica Fonte: MACHADO (2003), p.14
Relacionando o objeto Superfícies esféricas ao quadro 2, apresentamos o
seguinte quadro:
Representações discursivas Representações não-
discursivas
Registros
multifuncionais
“ a superfície esférica é obtida
pela revolução de uma
circunferência em torno de um
dos seus diâmetros”
Registros
monofuncionais
Quadro 3 - Classificação dos registros de representação semiótica
30
De acordo com Duval (2003), a originalidade da atividade matemática está
justamente na mobilização simultânea de ao menos dois registros de representação
ou na possibilidade de uma mudança de registro.
“A originalidade da atividade matemática está na mobilização simultânea de ao menos dois registros de representação ao mesmo tempo, ou na possibilidade de trocar a todo momento de registro de representação”. (DUVAL, 2003,p.14)
Conclui-se então que a possibilidade de mudança de registro sempre deve
existir, já que, segundo Duval (1996), para que o saber matemático seja colocado
em “funcionamento”, deve-se ter a apreensão de, pelo menos, dois registros de
representação.
De acordo com Duval, “não há noesis sem semiósis”, ou seja, não é possível
a apreensão conceitual de um objeto sem a apreensão ou produção de uma
representação semiótica relativa a esse mesmo objeto.
Duval (1996) apresenta três argumentos para explicar a necessidade de uma
diversidade de registros de representação dos objetos matemáticos: a economia de
tratamento, a complementaridade dos registros e a compreensão de um conteúdo na
coordenação de pelo menos dois registros de representação.
O primeiro argumento ressalta que, ao se conhecer os registros inerentes a
um objeto matemático, podemos optar pelo que torne a resolução de um
determinado problema de modo mais prático, objetivo, com menos passagens, se
assim a atividade proposta permitir e caso não seja estipulado o tipo de registro na
resolução.
Como exemplo, apresenta-se a operação com três vetores do R3 no registro
numérico e no registro gráfico, mostrando que no numérico há uma economia de
tratamento.
31
Registro numérico Registro gráfico
Base (
,
,
)
1 = ( -2, 0, 3 ) 2 = ( 3, 1, 4 ) 3 = ( 4, -3, 2 )
1 + 3 2 - 3= ( 1 , 4, -5 )
1 , , 1 + 3 2 - 3
Quadro 4 - Exemplo de economia de tratamento
O segundo argumento de Duval tem apoio nos trabalhos de Bresson (1987).
“A natureza do registro de representação que é escolhido para representar um conteúdo (objeto, conceito ou situação) impõe uma seleção de elementos significativos ou de elementos que dão as informações sobre aquilo que se representa. Esta seleção é feita em função das possibilidades e das limitações do registro escolhido. A linguagem não oferece as mesmas possibilidades de representação que uma figura ou um diagrama. Isto quer dizer que toda representação é cognitivamente parcial em relação àquilo que ela representa e que de um registro a outro não são os mesmos aspectos do conteúdo de uma situação que são representados.” (BRESSON,1987, p.943-950)
Como exemplo do segundo argumento, podemos ilustrá-lo com um dos
postulados primitivos da geometria, o 5º postulado de Euclides:
Registro da língua natural
"Se uma linha reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois ângulos
internos de um mesmo lado seja menor do que dois retos, então essas duas retas,
quando suficientemente prolongadas, cruzam-se do mesmo lado em que estão esses dois
ângulos." (5º postulado de Euclides)
Quadro 5 - 5° Postulado de Euclides
Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/quintoposteucl/index.htm
32
Fazendo então uma representação do 5º postulado de Euclides no registro
figural obtemos a situação a seguir.
Figura 1 - Representação do 5° postulado de Euclides
Podemos observar neste exemplo que os registros se completam. Tanto a
representação em língua natural como a representação figural, ao serem analisadas
simultaneamente, facilitam a interpretação do 5° postulado.
Quanto ao terceiro argumento, as pesquisas de Duval (1996) indicam que a
compreensão de um objeto matemático faz-se justamente na capacidade de
coordenar as mudanças de registros.
Segundo o autor, o segundo tipo de transformação é essencial na atividade
de ensino de Matemática.
“...Do ponto de vista cognitivo, é uma atividade de conversão que, ao contrário, aparece como atividade de transformação representacional fundamental aquela que conduz aos mecanismos subjacentes à compreensão”. (DUVAL, 2003, p.22)
Entende-se, então, que a compreensão de um objeto matemático se deve à
capacidade de mudar de registros, o que nos leva à necessidade de pesquisar
novos meios que favoreçam os processos de ensino e de aprendizagem.
É importante destacar que a conversão, segundo Duval, enfrenta dois tipos de
fenômenos característicos: os de “congruência” e “não-congruência”.
Ressalta-se que o autor utiliza o termo congruência não no sentido
matemático, mas sim no sentido de compatibilidade entre representações de
diferentes registros de um mesmo objeto matemático.
33
Segundo Duval (1995), a congruência na conversão entre representações de
dois registros distintos só ocorre quando três condições são satisfeitas:
correspondência semântica entre as unidades significantes que as constituem, uma
mesma ordem possível de apreensão das unidades das duas representações e
conversão de uma unidade significante de representação de partida para uma
unidade significante correspondente no registro de chegada.
Quando alguma dessas condições não ocorre, tem-se uma conversão não-
congruente.
Observamos no exemplo da tabela a seguir os dois tipos de conversão:
TABELA 1– EXEMPLO DE ANÁLISE DA CONGRUÊNCIA DA ATIVIDADE DE
CONVERSÃO
TIPO DE
CONVERSÃO
SISTEMA OU REGISTRO
DA ESCRITA NATURAL
SISTEMA
SIMBÓLICO-
ALGÉBRICO
Conversão
congruente
Conjunto de pontos com
ordenada maior que abscissa. y>x
Conversão
não congruente
Conjunto de pontos cujas
ordenadas e abscissas têm o
mesmo sinal.
x.y>0
FONTE: DUVAL, 2000, p. 63
Quando se tem a conversão do tipo não congruente, vários pesquisadores,
tais como Pavlopoulou (1993), Bittar (1998), Castro (2001) e Karrer(2006),
apontaram que normalmente os alunos não reconhecem o objeto matemático
inerente a essas representações, ou seja, não associam os representantes ao
mesmo objeto.
“É comum descrever a conversão como uma associação preestabelecida entre nomes e figuras (como, por exemplo, em geometria) ou reduzi-la a uma codificação. Passar de uma equação à sua representação gráfica constituiria uma codificação em que seria suficiente aplicar a regra segundo a qual um ponto está associado a um par de números sobre um plano quadriculado por dois eixos graduados. Ou ainda, passar de uma expressão em português - como “o conjunto dos pontos cuja ordenada é superior à abscissa” - à escrita simbólica - no caso, “x>y”, seria igualmente uma
34
codificação, como toda escrita literal de relações entre os números.” (Duval, 2003 p.17)
Segundo Duval (2003) o entendimento matemático ocorre quando o
estudante consegue transcorrer por vários registros, apreendendo o objeto
matemático de uma forma mais global.
“Descartar a importância da pluralidade dos registros de representação leva a crer que todas as representações de um mesmo objeto matemático têm o mesmo conteúdo ou que seus conteúdos respectivos se deixam perceber uns nos outros como por transparência”. (Duval, 2003, p.14)
Poderíamos inferir que a representação de um objeto assume determinado
significado de acordo com o contexto em que está sendo empregado. E quanto mais
diversificada possa vir a ser a visualização destes diferentes contextos, mais
registros poderão ser aplicados e maior será a compreensão deste objeto.
Considerando este referencial teórico apropriado para o presente trabalho,
uma vez que se pretende elaborar um experimento de ensino sobre superfícies
esféricas explorando as diversas representações, em especial a gráfica, o mesmo foi
adotado para fundamentar tanto a concepção das atividades como a análise dos
dados.
Seguimos então com a revisão bibliográfica, na qual citaremos pesquisadores
que contribuíram para a construção deste trabalho.
35
2.2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Serão descritos, a seguir, os estudos que contribuíram e alicerçaram o
desenvolvimento deste trabalho de pesquisa.
Os trabalhos que referenciamos a seguir reforçam a necessidade de buscar
novos meios além do ambiente papel e lápis, que favoreçam a aprendizagem de
determinado objeto matemático, especificamente em Geometria Analítica, em que o
estabelecimento de relações geométricas e algébricas é impreterivelmente
necessário.
A importância de se efetuar essas relações é evidenciada no trabalho de
Pavlopoulou (1993) sobre vetores, que também teve como base a teoria dos
registros de representação semiótica de Duval.
Neste trabalho de pesquisa, Pavlopoulou pôde observar a dificuldade dos
alunos no conteúdo de vetores em Geometria Analítica. Em seu estudo, não só fica
evidenciada a problemática da conversão de um registro para outro, mas também
que o sentido dessa conversão também influencia no desempenho dos estudantes.
A pesquisadora, ao apresentar uma atividade para cento e quarenta e quatro alunos
do primeiro ano universitário do sistema educacional francês, cuja conversão partia
do registro tabular para o registro gráfico, constatou que a dificuldade encontrada
pelos estudantes foi relativamente pequena, uma vez que 83% dos alunos
conseguiram resolver a situação que envolvia tal conversão. Já quando propôs a
mesma atividade no outro sentido de conversão, ou seja, do registro gráfico para o
tabular, apenas 34 % obtiveram sucesso na resolução.
A autora também investigou a forma como algumas obras lidavam com os
registros e conversões no conteúdo de vetores, tais como PATTERSON E. M.
Solving Problems in vector álgebra, Oliver and Boyd, University of Edinburgh, p.144,
1968, FORSYTHE G. & MOLER C.,Computer Solution of Linear Algebraic Systems,
Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs. New Jersy, 1967 e CAMPBELL H.G. Linear
Algebra with applications, edition, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New
Jersey, 1987.
Pavlopoulou detectou que os mesmos não trabalhavam propriamente com
conversões, o que poderia levar o estudante a trabalhar em um tipo específico de
registro inerente ao objeto matemático, podendo confundi-lo com o seu registro.
36
Apresentamos a seguir o quadro com os dados desta pesquisa extraído do
trabalho de Pavlopoulou (1993).
Figura 2 - Exemplo de conversão Fonte:PAVLOPOULOU (1993, apud MACHADO, 2003, p. 84)
Citamos também a pesquisa feita por Bittar (1998) na França a respeito do
ensino e da aprendizagem de vetores. A pesquisadora teve como objetivos
investigar a forma como se dava o ensino de vetores, caracterizar as dificuldades
dos alunos na aprendizagem desse conceito e introduzir uma abordagem com o
auxílio de um novo ambiente para o ensino deste conteúdo.
Ela analisou a forma como este tópico era ensinado por meio da análise dos
livros didáticos utilizados na França nos anos de 1994 a 1998. Bittar observou que
sua introdução era feita na penúltima série do Ensino Fundamental e que não havia
grandes diferenças nos livros analisados quanto à abordagem desse tópico, cuja
apresentação dava-se exclusivamente para resolver problemas de geometria.
A partir de sua análise de livros didáticos, a autora mostrou que o ensino de
vetores no secundário, tanto para alunos franceses como para brasileiros, estava
intimamente ligado aos registros de representação semiótica no que diz respeito à
resolução de exercícios.
Na visão da pesquisadora, se um novo registro de representação deste objeto
fosse apresentado ao aluno distante das propriedades geométricas ensinadas no
ensino fundamental, poderiam surgir dificuldades, ressaltando que a abordagem
vetorial que vincula a origem do vetor exclusivamente à origem dos sistemas de
37
coordenadas, provavelmente limitaria a compreensão deste objeto matemático. Após
a análise dos livros didáticos, Bittar enunciou um invariante sobre o qual se baseia
todo o estudo sobre vetores no secundário: “Um vetor é definido por direção, sentido
e comprimento.” Este invariante não aparece de modo explicito nos livros didáticos,
mas está de modo implícito nas definições por eles apresentadas.
Segundo a pesquisadora, o significado de vetores com mesma direção
equivaleria à interpretação de representantes que pertenceriam a retas paralelas
distintas ou coincidentes, mas a interpretação do significado de “mesmo sentido”
ficaria por conta do estudante, o que provavelmente o levaria à associação com a
interpretação de “sentido de percurso”, outrora presente nos livros didáticos dos
anos 40 a 60. Bittar(1998) ainda destacou a importância da utilização da língua
natural como tendo papel fundamental e provável provocadora de dificuldades para
os estudantes, pois, de acordo com a pesquisadora, o termo "sentido", na linguagem
cotidiana, pode trazer confusões. Os estudantes, por exemplo, poderiam construir
equivocadamente o invariante de que o sentido de um vetor pode ser determinado
independente de sua direção, ou seja, se a representação figural de representantes
de dois vetores apontam para a mesma região, estes vetores teriam o mesmo
sentido. Neste caso, os vetores apresentados a seguir poderiam ser considerados
equivocadamente como tendo o mesmo sentido.
A autora, para investigar as compreensões dos estudantes a respeito do
objeto matemático “vetor”, aplicou uma experimentação em dois grupos: uma sala do
segundo ano do ensino médio e uma sala do primeiro ano do Ensino Universitário,
ambos na França.
A escolha teve por critério o distanciamento dos alunos em um determinado
intervalo de tempo com relação ao contato com o objeto vetor. A experimentação foi
feita em duas etapas, sendo que na primeira foi apresentada a proposta de dois
exercícios aplicados de forma individual. Foram realizadas entrevistas individuais
38
com alguns alunos versando sobre o ensino de vetores numa busca de identificar as
dificuldades em suas resoluções escritas.
A autora, ao aplicar as atividades, pôde constatar que os estudantes achavam
que a posição ocupada por um vetor, qualquer que fosse, sempre deveria partir da
origem do sistema de coordenadas.
Ela também constatou que os alunos apresentavam dificuldades semelhantes
na aprendizagem do objeto matemático vetor, quando eram propostas atividades
que requeriam o estabelecimento de coordenações de registros de representação
semiótica.
Na segunda fase, Bittar(1998) utilizou um software dinâmico, o Cabri-
Gèomètre II, realizando assim uma avaliação quanto à utilização desta ferramenta
no ensino de vetores, sendo que pôde constatar que este ambiente computacional
minimizou as dificuldades dos alunos com relação aos conceitos de direção e
sentido de um vetor como também na distinção entre as coordenadas de um ponto e
as coordenadas de um vetor. Os alunos, por meio da utilização deste software,
conseguiram perceber, também, que as coordenadas de um vetor independem de
sua posição no plano.
Ficou evidenciado na pesquisa de Bittar que os tratamentos não são
explorados significativamente no ensino de vetores e as conversões são realizadas
de forma mecanizada, o que pôde ser observado nos livros didáticos analisados e
evidenciados na seqüência de ensino. Conseqüentemente, o processo de
coordenação entre os registros torna-se falho, prejudicando a visão integrada do
objeto matemático “vetor”. Destacamos, avaliando os resultados do trabalho de
Bittar, que as conjecturas dos alunos podem ser favorecidas quando um software
dinâmico é utilizado como ferramenta complementar no estudo dos vetores. Sua
pesquisa também revelou que se faz necessária a elaboração de atividades que
enfatizem dois aspectos de uma noção, o aspecto objeto e o aspecto ferramenta.
Como outro referencial, citamos Castro (2001), que também utilizou como
fonte teórica os registros de representação semiótica de Duval (1995). Em sua
pesquisa, ela apresentou uma seqüência didática sobre o conteúdo de vetores no
plano e no espaço. Castro trabalhou três categorias de registros apresentadas nos
quadros a seguir:
39
Figura 3 - Registros de Representação do Objeto Vetor no Espaço. Fonte: CASTRO (2001, p. 22)
Castro teve como sujeitos de sua pesquisa, quarenta e dois alunos
provenientes de três escolas de Engenharia. Sua seqüência didática foi realizada em
duas sessões, cujo objetivo era verificar a possibilidade de realizar atividades que
propiciassem a aprendizagem da conversão entre os registros gráficos e das n-uplas
de vetores no espaço, como também descaracterizar a ideia de que um
representante de um vetor precisa ter origem na origem do sistema de coordenadas.
Os alunos trabalharam em duplas e as duas sessões foram aplicadas pela
pesquisadora. A sessão 1 fazia a relação entre coordenadas de um ponto no espaço
e coordenadas de um vetor no espaço. Este trabalho foi realizado primeiramente
com pontos pertencentes aos eixos coordenados, depois com pontos não
pertencentes aos eixos coordenados, mas pertencentes aos planos coordenados e,
por fim, com pontos não pertencentes aos planos coordenados, mas todos com
coordenadas positivas. A pesquisadora esperava que o aluno fosse capaz de fazer
conversões entre os registros gráficos e das n-uplas de vetores, com representantes
cujo ponto extremidade pertencesse ao primeiro octante e a origem em O (origem do
40
sistema de coordenadas). A Sessão I teve cinco atividades, com tempo de
realização de aproximadamente cinqüenta minutos cada. Formaram-se vinte e uma
duplas. Segundo Castro (2001), houve uma evolução, porém o resultado não foi
satisfatório, tendo em vista que na atividade que se referia à conversão dos registros
das n-uplas para o registro gráfico de vetores com representantes de extremidade no
1º octante e origem em O, os alunos obtiveram menos sucesso.
O que Castro (2001) pôde observar foi que houve evolução por parte dos
alunos na conversão do registro das n-uplas para o registro gráfico como também foi
descaracterizado o fato de que o representante gráfico de um vetor devesse ter
origem na origem do sistema usual de coordenadas cartesianas ortonormais.
Castro constatou que os alunos investigados tinham dificuldades em lidar com
as representações do objeto vetor, dificuldades reveladas nos testes de conversões
de registros tanto no conteúdo de vetores do plano como no de vetores do espaço.
Ficou evidenciado também por Castro (2001) que a maior dificuldade dos estudantes
encontrava-se na conversão em que o registro envolvido era o gráfico e que esta
dificuldade era maior quando este registro era o de chegada.
Outra pesquisa em Geometria Analítica que utilizou a teoria dos registros de
representação semiótica foi a de Cândido (2010) , que realizou um estudo sobre o
ensino e a aprendizagem de produtos de vetores, conteúdo aplicado em Geometria
Analítica nos cursos superiores de ciências exatas. Com base nas evidências dos
trabalhos de Pavloupoulou (1993), Karrer (2006) e Castro (2001), principalmente
quanto à dificuldade das conversões envolvendo o registro gráfico, o pesquisador
elaborou um experimento de ensino composto de nove atividades que procuraram
explorar esse tipo de conversão. O objetivo do pesquisador foi elaborar e aplicar um
experimento sobre o conteúdo relativo a produto de vetores (escalar e vetorial), o
qual explorasse a relação entre os diversos registros, tendo como ponto principal o
registro gráfico.
Os ambientes utilizados na resolução das atividades foram o papel e lápis e o
software de geometria dinâmica Cabri 3D. A seleção dessa ferramenta se deu por
ela proporcionar uma visualização simultânea dos registros gráfico e simbólico,
favorecendo assim o estabelecimento de conversões entre esses tipos de registros.
A metodologia que norteou tanto a construção como a condução desse
experimento foi a do Design Experiments de Cobb et al. (2003), o qual foi aplicado a
41
dois alunos voluntários de Licenciatura em Matemática de uma instituição particular
do estado de São Paulo.
Em seu trabalho, Cândido (2010) propôs inicialmente atividades exploratórias
no Cabri 3D e, partindo das conjecturas elaboradas pelos estudantes, procurou
formalizar no registro simbólico-algébrico as situações inicialmente propostas no
registro gráfico.
Temos como exemplo a quarta atividade do produto vetorial , cujo objetivo era
de que a dupla observasse , primeiramente em caráter experimental, que o valor do
módulo do produto vetorial de dois vetores coincidia com o valor da área do
paralelogramo determinado por eles. Dividida em três tarefas, os estudantes primeiro
realizaram a construção de representantes de dois vetores no ambiente do Cabri 3D,
com origem na origem do sistema e, a partir desses, construíram um paralelogramo.
Pediu-se também que determinassem a área do mesmo por meio dos recursos do
software. Na tarefa b, foi pedido à dupla que, por meio dos recursos do software,
determinasse o representante, de origem na origem do sistema, do vetor resultante
do produto vetorial dos dois vetores e, em seguida, o seu módulo. O pesquisador
pôde constatar que o dinamismo e a facilidade dos recursos oferecidos pelo software
facilitaram a realização da tarefa c. Nessa tarefa, tendo no ambiente do software as
representações gráficas do paralelogramo e do produto vetorial e os valores da área
do paralelogramo e do módulo do produto vetorial, Candido (2010) pôde notar que
as manipulações realizadas experimentalmente no software permitiram que os
estudantes concluíssem que os valores numéricos obtidos eram iguais.
Apresentamos a seguir a tabela preenchida pela dupla.
42
Figura 4 - Dados da tarefa c da quarta atividade sobre produto de vetores Fonte:Candido (2009, p.180)
Segundo Candido (2009), a visualização simultânea e o dinamismo do
software abrandaram a problemática evidenciada por Pavloupolou (1993) e Karrer
(2006), mormente quanto à dificuldade das conversões que partem do registro
gráfico.
Podemos observar na figura seguinte a visualização simultânea e o
dinamismo no ambiente trabalhado pela dupla na tarefa c da quarta atividade
proposta por Cândido (2009).
43
Figura 5 - Fonte: Candido (2009, p.180)
O pesquisador afirmou que as manipulações realizadas no software
fundamentaram as conclusões da dupla, o que considerou como ponto positivo na
utilização de um ambiente dinâmico no processo de ensino e aprendizagem do
produto de vetores, porém, ele observou que os estudantes apresentavam muita
dificuldade em formalizar o que concluíram no registro simbólico-algébrico. Apesar
disso, em suas conclusões, ele afirmou que, a despeito das dificuldades
apresentadas pelos estudantes em lidar com questões formais que exigiam o
tratamento no registro simbólico-algébrico, eles obtiveram uma evolução significativa
diante da abordagem proposta, sendo o dinamismo do software fundamental na
exploração simultânea das representações gráfica, numérica e algébrica, o que
estabeleceu um ambiente favorável para a elaboração de conjecturas e para a
análise experimental das propriedades dos produtos escalar e vetorial.
Avultamos às nossas referências o trabalho de Lemke (2011), que participou
do mesmo projeto de pesquisa de Cândido (2010), porém abordando o processo de
ensino e aprendizagem de outro objeto matemático, no caso, retas e planos no R³
segundo uma abordagem vetorial. O referencial utilizado por Lemke (2011) foi o dos
44
registros de representação semiótica de Duval (2000,2003,2006) e ela também
partiu da problemática das conversões envolvendo o registro gráfico evidenciadas
por Pavloupolou (1993), Karrer (2006) e Cândido (2010).
Lemke (2011) utilizou em suas atividades o software dinâmico Cabri 3D como
recurso computacional nas atividades que envolviam o registro gráfico. Cabe-nos
ressaltar que a metodologia norteadora da elaboração e execução de seu
experimento foi a de Design Experiment de Cobb et al.(2003).
A pesquisadora expôs, baseada em suas referências bibliográficas, a
necessidade de um trabalho que efetivamente integrasse o registro gráfico no ensino
de conteúdos inerentes à Geometria Analítica.
Seu experimento foi composto por cinco atividades que exploraram
principalmente as posições relativas entre duas retas, entre reta e plano e entre dois
planos. Os sujeitos de pesquisa foram três duplas de estudantes voluntários do
ensino superior de uma faculdade particular de São José dos Campos, no estado de
São Paulo. A pesquisadora propôs, em cada atividade, situações relacionando os
registros gráfico, simbólico-algébrico e da língua natural nos ambientes papel & lápis
e Cabri 3D, obtendo um trabalho de integração entre esses registros semióticos.
Apresentamos as tarefas a, b e c da atividade quatro do experimento
elaborado por Lemke(2011) que trabalharam com a conversão entre os registros
gráfico, simbólico-algébrico e da língua natural.
Figura 6 - Fonte: Lemke (2011, p. 161)
45
No ambiente do software Cabri 3D, os estudantes obtiveram as seguintes
telas, que propiciaram a visualização dos registros gráfico e simbólico-algébrico de
maneira simultânea.
Figura 7 - Extraída de Lemke (2011, p. 162)
Lemke (2011) relatou que a abordagem proposta promoveu ganhos no
aprendizado dos estudantes, tais como a autonomia por parte dos estudantes no
desenvolvimento das atividades , a interação entre os ambientes papel e lapis e o
ambiente computacional e a relação entre os registros de representação
apresentados aos sujeitos no experimento, o que ressalta a importância de
elaboração de abordagens que procurem explorar a relação entre as diversas
representações e o uso de um software de geometria dinâmica em outros tópicos da
Geometria Analítica. Lemke (2011) sugere ainda, em suas perspectivas para novas
investigações, a execução de pesquisas voltadas ao uso desses recursos pelos
docentes, tendo em vista a importância de preparar o professor para o uso dessas
tecnologias.
Karrer e Barreiro (2009) realizaram um levantamento relativo aos registros
mais evidenciados e as conversões inerentes ao conteúdo de Geometria Analítica,
especificamente no estudo de vetores no R³, por meio da análise de dois livros de
46
Geometria Analítica mais utilizados em uma amostra de cursos de licenciatura em
Matemática no Brasil. Os livros avaliados foram os de Boulos e Camargo (2005) e
Steinbruch e Winterle (1987).
Para essa análise, elas classificaram os registros em gráfico, figural,
numérico, simbólico-algébrico e língua natural, de acordo com a teoria de Registros
de Representação Semiótica de Raymond Duval. Esta classificação é apresentada
no quadro a seguir.
Registros Representações
Figural
(Livro 2, p.10)
Gráfico
(Livro 2, p. 27)
Simbólico
Simbólico-algébrico
Seja
(Livro 3, p. 104)
Simbólico: (A,B)(B,A) (Livro 1, p. 3)
Língua natural
Emprego comum ... Portanto, com origem em cada ponto do espaço...
(Livro 2, p. 5)
Emprego especializado Prove que se o vetor AB é igual ao vetor CD , então o vetor AC é
igual ao vetor BD (Livro X, p. Y) Quaisquer que sejam os segmentos orientados (A,B), (C,D) e (E,F)
: (A,B) ~ (C,D) (C,D) ~ (A,B) (Propriedade Simétrica) (Livro 1, p.3)
Numérico 4(1, -2) = (4(1), 4(-2)) = (4,-8)
(Livro 3, p. 103)
Quadro 6 - Registros e representações (Vetores) Fonte: Adaptado de KARRER e BARREIRO (2009, p. 491)
47
Nesse quadro de registros, ressalta-se a existência da diferença entre os
registros gráfico e figural . A representação figural independe do sistema de
coordenadas, ou seja, apresenta o objeto matemático como uma figura. Já o registro
gráfico, relacionado a um sistema de coordenadas, permite a determinação de
coordenadas.
As autoras concluíram que as abordagens feitas nos livros didáticos
analisados não auxiliam os estudantes no estabelecimento de relações entre
questões gráficas e algébricas, o que pode ser considerado como um dos problemas
encontrados no processo de aprendizagem de conteúdos inerentes à Geometria
Analítica.
Em uma das obras, foi constatado na exposição teórica, que há
predominância dos registros simbólico e da língua natural especializada. Faz-se a
exploração do registro figural, mas não do registro gráfico. Os exercícios propostos
desta obra utilizam-se da língua natural especializada, do registro simbólico como
também do registro figural.
Na outra obra analisada, a abordagem do conteúdo de vetores é feita em dois
capítulos, sendo que no primeiro, ao apresentar conceitos e as operações inerentes
ao objeto vetores, são enfatizados os registros da língua natural, simbólico e figural.
Nos exercícios propostos há predominância de conversões entre os registros
simbólico-algébrico e o numérico. No segundo capítulo, utiliza-se o registro gráfico,
uma vez que vetores são associados aos sistemas de coordenadas cartesianas.
Apesar disso, nos exercícios propostos, este registro é abandonado, sendo
privilegiados os registros simbólico-algébrico e numérico.
Diante da revisão bibliográfica apresentada, concluímos que há necessidade
de novas pesquisas e a busca de novos meios que facilitem e proporcionem
condições para que os alunos tenham condições de apreender determinado
conteúdo matemático. Neste contexto, a utilização da informática na educação vem
ganhando espaço, sendo uma ferramenta que pode complementar o trabalho
usualmente realizado no ambiente papel e lápis.
A utilização das tecnologias no ensino da Matemática ganha destaque nas
pesquisas voltadas à Educação. Citamos a obra de Borba (2001), que traz alguns
pontos que reforçam a utilização de novas abordagens em prol de uma
aprendizagem mais efetiva.
48
Borba (2001) apontou que o dinamismo, a apresentação oferecida e mesmo a
importância dada à informática do ponto de vista social são argumentos motivadores
da sua utilização. Não objetivando fazer uma retrospectiva histórica da informática,
Borba relembra que ela se tornou um fenômeno cultural na segunda metade do
século XX, tornando-se cada vez mais próxima à realidade de todos. Em sua obra,
Borba (2001) faz uma breve síntese de diversos programas governamentais feitos
no Brasil na área educativa. O apoio governamental na área da educação quanto à
utilização de tecnologia no processo de ensino e aprendizagem favorece o
surgimento de novas pesquisas. Quanto à inserção da informática em situações de
ensino e aprendizagem, o autor cita alguns softwares e exemplos de atividades e os
resultados obtidos. Relata a experiência das atividades desenvolvidas em uma
escola estadual da cidade de Rio Claro-SP que possuía turmas da 5ª a 8ª séries do
ensino fundamental. Nessa experiência, os sujeitos utilizaram inicialmente
calculadoras comuns e posteriormente a calculadora CBR (Calculator Based
Ranger), que é um detector sônico de movimento que mede distância, velocidade e
aceleração. Segundo Borba, “... Esse sensor é um exemplo de como uma interface,
que pode ser entendida como um canal de comunicação entre máquina e o ser
humano, modifica a tecnologia e as potencialidades pedagógicas.” (BORBA,
2001,.p.31).
No seu livro há o relato de uma experiência de dois alunos com relação à
utilização do CBR. Na atividade, pediu para que um dos alunos se movimentasse
com o aparelho e depois interpretasse a imagem presente na tela da calculadora.
Surgiram grandes discussões, pois inicialmente os alunos pensavam que o gráfico
seria de forma circular, pois este foi o movimento feito por um dos estudantes. Ao
olharem o gráfico exibido na calculadora, eles começaram a discutir a respeito do
motivo da diferença entre o que estava exposto e o que haviam imaginado. Surgiram
várias conjecturas, observações quanto ao espaço no qual o movimento foi feito,
sendo o conhecimento construído pelos alunos. Nesse exemplo, Borba (2001)
mostra que associar a representação cartesiana com o movimento do próprio corpo
é difícil, porém possível e relevante. O autor ainda comenta que essa coordenação
permitiu aos alunos verem o gráfico não como um desenho do movimento, mas sim
como a reprodução da distância a um alvo.
Em sua obra, Borba (2001), relata outros exemplos que deixam claro o
aproveitamento de uma abordagem tecnológica na aprendizagem de Matemática.
49
Cita um grupo que, por meio da calculadora gráfica, experimentou seu potencial,
gerou conjecturas verbais e escritas e debateu seus resultados. Um dos grupos
conjecturou que se o „b‟ da função polinomial de 2° grau dada por f(x)=ax2+bx+c
fosse maior que zero, a parábola iria cortar o eixo „y‟ com sua parte crescente, e se o
„b‟ fosse menor que zero, a parábola iria cortar o eixo „y‟ com sua parte decrescente.
Ele buscou no software as respostas para essa suposição. Isso mostra que o meio
tecnológico permitiu aos alunos que tivessem outras possibilidades de observação
de um determinado objeto matemático, diferentes das trabalhadas no ensino
convencional.
Segundo Borba (2001), a conjectura desse grupo é um fruto experimental-
com-tecnologias, pois surgiu de investigações feitas em conjunto com a mídia em
questão.
“Ao utilizar a tecnologia de uma forma que estimule a formulação de conjecturas e a coordenação de diversas representações de um conceito, é possível que novos aspectos de um tema tão “estável”, como funções quadráticas, apareçam em uma sala de aula de não especialistas em matemática.” (Borba, 2001, p.38)
Encontram-se neste livro de Borba (2001) exemplos da utilização de
softwares que possibilitam interpretações diferenciadas de um conteúdo matemático.
Borba (2001) ainda destaca que:
“A experimentação se torna algo fundamental, invertendo a ordem de exposição oral da teoria, exemplos e exercícios bastante usuais no ensino tradicional, e permitindo uma nova ordem: investigação e, então, a teorização.” (BORBA, 2001, p. 41)
O nosso trabalho adotou essa estratégia para a construção do experimento,
ou seja, as situações foram elaboradas de tal forma a fazer com que o estudante
primeiramente investigue e faça conjecturas no ambiente Cabri 3D, para depois
teorizar no ambiente papel e lápis.
Segundo o autor, a utilização de novas mídias abre possibilidades positivas
no processo da construção do conhecimento, buscando superar práticas antigas,
privilegiando o processo e não o produto-resultado da sala de aula.
Borba entende:
“a informática como uma nova extensão da memória, com diferenças qualitativas em relação às outras tecnologias da
50
inteligência e permite que a linearidade de raciocínios seja desafiada por modos de pensar, baseados na simulação, na experimentação e em uma “nova linguagem” que envolve escrita, oralidade, imagens e comunicação instantânea.” (BORBA, 2001, p. 41)
Um software de geometria dinâmica citado por Borba (2001) é o
Geometricks, o qual será apresentado posteriormente na seção de relato sobre
softwares dinâmicos.
Para Borba (2001) a utilização da informática propicia o aprofundamento de
alguns temas específicos do cotidiano das aulas de matemática e sua obra procura
incentivar a utilização de novas abordagens em prol de uma melhoria no processo
de ensino e aprendizagem da Matemática.
Noss e Hoyles (1996,2009) apresentaram uma avaliação do papel das
tecnologias no ensino da Matemática e em que medida o conhecimento matemático
e a pedagogia aplicada estão ligados às ferramentas físicas, virtuais e culturais em
que são expressas.
Os autores destacaram que as tecnologias digitais têm por novidade oferecer
uma oportunidade para repensar as maneiras das representações das formas de
aprendizagem. Noss e Hoyles (1996, 2009) sublinharam a importância central do
design, tanto das próprias ferramentas como nas atividades em que serão inseridas
e nos significados matemáticos que os alunos desenvolvem. Nessas obras, os
autores justificam a utilização das ferramentas digitais também pela sua infinita
maleabilidade, que tem incentivado os pesquisadores a considerar não só a melhor
forma de adaptação das ferramentas para a aprendizagem matemática, mas sim de
como adaptar a matemática para que seja aprendida em função de novas
“possibilidades de trabalho”. Os pesquisadores têm por foco como a cognição
matemática evolui em paralelo com o uso fluente das ferramentas digitais
direcionadas a situações de aprendizagem, fato que gera os seguintes
questionamentos: A cognição vai além do contexto no qual foi desenvolvido? Como
isso ocorre?
Uma das categorias que os pesquisadores apresentaram a respeito do uso
dos recursos digitais refere-se às ferramentas dinâmicas e gráficas, que conforme a
utilização, permitem ganhos pedagógicos.
A seguir, será apresentada uma amostra de pesquisas que evidenciaram
evoluções nas aprendizagens dos estudantes com o uso de recursos
51
computacionais. A opção por aquelas que utilizaram software de geometria dinâmica
foi realizada dado que o presente trabalho engloba uma ferramenta desse tipo.
Costa (2005) apresenta um estudo no qual o software Cabri-Géometre é a
ferramenta utilizada no estudo de frisos. Quanto ao termo “friso”, Pastor (1996)
define como “...o ladrilhamento de uma região plana limitada por duas retas
paralelas, sendo o ladrilhamento o conjunto de figuras geométricas que podem ser
colocadas de tal maneira que todo ponto da região pertença a uma destas figuras”
Em seu trabalho, Costa (2005) fez o estudo de algumas transformações
geométricas no plano euclidiano a partir da dimensão artística dos frisos. O objetivo
de seu trabalho consistiu em avaliar o quanto a utilização de frisos (faixas) com o
auxílio do software dinâmico Cabri-Gèometre II poderia colaborar para a articulação
e para dar significado aos conceitos de translação, simetria axial e simetria central.
Os sujeitos da pesquisa de Costa (2005) foram alunos do primeiro ano do
ensino médio de uma escola pública de Santos. O pesquisador enfatizou a utilização
de softwares de geometria dinâmica, os quais, segundo ele, possibilitam que os
desenhos sejam feitos rapidamente como também com muita precisão. Ainda, estes
recursos possibilitam a construção de figuras geométricas e a manipulação das
mesmas, ou seja, podem-se alterar medidas, formas e até a sua posição. Ele
também destaca que uma abordagem diferenciada do papel e lápis permite uma
visualização como também a reconstrução de conceitos da geometria pelo estudo
das propriedades dos desenhos. Quando são alterados no ambiente do Cabri-
Gèometre, as propriedades se transformam e o usuário consegue observá-las com
mais clareza. Costa (2005) também afirma que tanto o software Cabri-Gèometre II
como os demais softwares de geometria dinâmica completaram as ligações entre a
geometria e o seu campo de representação.
Reforçando a utilização de softwares de geometria dinâmica, Costa cita Healy
(2002b):
“... as ferramentas de construção e de criação possibilitam aos estudantes produzir um diagrama que seja simultaneamente um desenho e uma figura (Laborde,1993); -as ferramentas de arrastar permitem aos estudantes examinar suas construções, para identificar os relacionamentos que permanecem invariantes e para impor visualmente relacionamentos adicionais (Hölz,1996; Micheletti, Olivero e Robutti,1998); -ferramentas de verificação de propriedades que permitem que os estudantes considerem o domínio da validade de propriedades visualmente identificáveis de suas construções (Laborde e Laborde, 1995) -ferramentas de medição que permitem aos estudantes considerar casos particulares e fornecer meios
52
diferentes de facilitar em relacionamentos invariantes” (COSTA, 2005 apud HEALY, 2002 a, p. 1-2)
Costa (2005) concluiu em seu trabalho de pesquisa que a utilização do
software de geometria dinâmica Cabri-Gèometre II favoreceu tanto a visualização
como a apreensão de aspectos fundamentais das transformações geométricas do
ponto de vista pontual.
Araújo (2007) realizou um trabalho inserido na temática do uso de tecnologias
digitais e teve por objetivo investigar uma abordagem para a prova em geometria,
sendo que as construções geométricas foram realizadas no ambiente do software
dinâmico do Cabri-Gèometre.
Os sujeitos de sua pesquisa foram alunos da sétima série do Ensino
Fundamental da rede pública estadual de São Paulo, sendo o experimento
desenvolvido em duas fases, que foram o design e a análise das atividades.
Araújo (2007) inspirou as suas atividades na geometria do compasso
(MASCHERONI,1980) e suas análises apoiaram-se na teoria de Balacheff
(1987,1988).
O pesquisador trabalhou no ambiente papel e lápis e no ambiente Cabri-
Géometre. Um dado importante como resultado apresentado por Araújo (2007)
refere-se à dificuldade que os alunos apresentaram em relação à noção de
“construção robusta”, construção esta que preserva, quando da manipulação, as
propriedades ligadas ao objeto representado. No caso, houve conflito entre o que foi
obtido na tela do Cabri com a produção no ambiente do papel e lápis.
O pesquisador comenta que, apesar de o software Cabri estar disponível nas
escolas estaduais há cerca de dez anos, ele ainda era pouco conhecido até o
período de sua pesquisa e pouco utilizado pelos professores.
Araújo (2007) concluiu em sua pesquisa que a utilização do software como
recurso de prova foi tido como o motor inicial das provas matemáticas propriamente
ditas e cita que sua pesquisa não objetivou apenas explorar o dinamismo do
software, mas introduzir os estudantes na complexidade das provas existentes na
Geometria. Ele também explicitou a falta de contato dos estudantes com o software
como também o pouco conhecimento quanto aos conceitos da Geometria
Euclidiana, o que pode ter interferido em alguns resultados. Fica também, de acordo
com Araújo (2007), que a escolha do Cabri não foi feita somente pela flexibilidade do
53
mesmo ou por ser um bom suporte didático para ensinar geometria elementar, mas
por ser um elemento mediador da ideia de prova matemática.
Podemos observar, por essas pesquisas, que a tecnologia desempenhou um
papel importante, que foi além de simplesmente aprimorar a apresentação de
determinado conteúdo.
Para que nos utilizemos da tecnologia, necessitamos então “aprender” como
trabalhar com essas ferramentas.
Laborde (2003, p.26) cita que “...executar tarefas matemáticas em ambiente
informático requer dois tipos de conhecimento, o matemático e o instrumental”.
Concluímos então, que a aplicação de meios tecnológicos nos processos de
ensino e de aprendizagem depende da “compreensão” do professor com relação ao
trabalho com a tecnologia escolhida, o que se reflete na própria elaboração de
atividades complementares a serem aplicadas, satisfazendo assim os objetivos do
educador com relação à aprendizagem dos alunos. Neste processo o professor
assume o papel de mediador entre o ambiente de aprendizagem e o conteúdo
específico.
No trabalho de Salazar (2009), evidenciou-se que a utilização do ambiente de
Geometria Dinâmica Cabri 3D facilitou a apreensão perceptiva das figuras como
também a dinamização das mesmas. Ela teve como sujeitos de pesquisa, alunos do
segundo ano do Ensino Médio e objetivou observar como eles se apropriavam das
transformações geométricas no espaço quando interagiam com o ambiente Cabri
3D.
Outros pesquisadores que trataram do uso da geometria dinâmica no ensino
foram Valente (2003), Chaauchoa (2007), Veloso (2000), Healy (2000) e Gravina
(2001), cujas perspectivas quanto à utilização de ambientes computacionais são
diversificadas.
Segundo Valente (1993), as tecnologias digitais podem ser úteis tanto no
ensino como na aprendizagem. Para o autor, o ambiente computacional educativo
pode estar inserido em uma das seguintes categorias: os tutoriais, os sistemas de
exercícios e práticas, as simulações e os jogos educacionais.
Chaachoua (1997) assinalou que muitas das propriedades do objeto
geométrico (tridimensional) não podem ser traduzidas no ambiente papel e lápis
(ambiente bidimensional) fazendo-se necessária a utilização de códigos e
convenções de representação. Ela afirma que:
54
Alguns ambientes computacionais oferecem ao desenho um domínio de funcionamento importante como também um meio para desqualificar certas interpretações ilícitas, dependendo de como este ambiente computacional foi construído.” (CHAACHOUA, 1997, p.44)
Chaachoua em referência ao Cabri 3D, fez uma alusão que ele permite a
criação de uma “realidade espacial” de objetos geométricos, tendo-se a liberdade de
manipulação dos objetos, a alteração do que está sendo feito, como também a
função “desfazer” permitida pelo software. Constata então que este ambiente ajuda
no ensino e na aprendizagem, pois possibilita a validação de situações geométricas
de uma maneira dinâmica.
Reforçando ainda a associação das tecnologias digitais, especificamente de
ambientes computacionais como instrumentos complementares na aprendizagem
Matemática, a constatação de Veloso (2000) quanto à utilização de ambientes de
Geometria Dinâmica, denota a importância desta interação no ensino e na
aprendizagem. Veloso destaca que a Geometria Dinâmica está transformando a
visão de ensino de Matemática, pois proporciona aos alunos outras possibilidades
de compreensão de conceitos matemáticos, as quais não seriam possíveis no
método tradicional de ensino. Também confirma, como outros pesquisadores, que a
potencialidade proporcionada pelos ambientes de Geometria Dinâmica abre novos
caminhos para a exploração e resolução de problemas ou mesmo no
estabelecimento de conjecturas.
A utilização da Geometria Dinâmica na construção de uma figura, segundo
Healy (2000), acontece por meio da utilização da definição explícita do objeto
geométrico e de suas propriedades matemáticas.
Outra pesquisa que enfatiza a importância da utilização de ambientes de
Geometria Dinâmica é a de Gravina (2001).
“Os ambientes de Geometria Dinâmica também incentivam o espírito de investigação Matemática: sua interface interativa, aberta à exploração e à experimentação, disponibiliza os experimentos do pensamento. Manipulando diretamente os objetos na tela do computador, e com realimentação imediata, os alunos questionam o resultado de suas ações/operações, conjecturam e testam a validade das conjecturas inicialmente através dos recursos de natureza empírica (GRAVINA, 2001, p.89-90)”
55
Quando procuramos representar um objeto espacial no plano, é inevitável a
perda de informações. A representação bidimensional de um objeto espacial é feita
por meio de projeções, que podem não preservar todas as suas propriedades. De
acordo com Parzysz (1998), os alunos acreditam que podem fazer a representação
de um objeto espacial sem ambigüidades através de um desenho semelhante a ele
e tendem a considerar as propriedades desse desenho como aquelas inerentes ao
próprio objeto. Parzysz diferencia quatro níveis no desenvolvimento do pensamento
geométrico. O Nível 0, relacionado à geometria concreta, ou seja, os objetos
materializados; o Nivel 1 à geometria espaço-gráfica, que seriam os objetos
representados através de instrumentos ( régua, compasso, etc.), o Nível 2 que seria
a geometria proto-axiomática, ou seja, cujas demonstrações são feitas através de
premissas aceitas pelos alunos de forma intuitiva; o nível 3 à geometria axiomática,
cujas demonstrações são feitas através de axiomas. Parzysz preconiza que os
Níveis 0 e 1 correspondem à geometria empírica, que se apóia basicamente em
critérios perceptivos.
De acordo com Parzysz (1998), a figura seria o objeto geométrico que é
definido pelo texto que o descreve, com isso, chama de desenho as representações
materiais e assim define as representações do objeto geométrico em dois níveis. O
Nível 1, que seria relacionado às representações próximas, ou seja, as de objetos
planos e os modelos de objetos tridimensionais, como por exemplo, as maquetes. O
Nivel 2, que seria relacionado às representações distantes, ou seja, objetos
tridimensionais representados em figuras planas, por exemplo, o desenho de um
cubo em perspectiva cavaleira. Quanto ao Nível 1 e ao Nível 2, Parzysz apresenta a
seguinte ilustração, na qual a figura 1A ilustra o nível 1 e a figura 1B ilustra o nível 2:
56
Figura 8 - Representação de um quadrado e de uma pirâmide de base quadrada. Fonte: PARZYSZ (1988, p. 82)
De acordo com Parzysz (1988), os desenhos que representam os objetos
espaciais têm relação a um objeto geométrico e a sua representação na geometria
plana, tornando difícil a percepção de algumas propriedades inerentes ao próprio
objeto em 3D.
Neste caso, segundo o autor, surgem dois problemas: a codificação
(elaboração de uma representação gráfica) e a decodificação (a interpretação de
uma representação gráfica). Ressalta-se que nem tudo pode ser representado, ou
seja, algumas das propriedades “aparecerão” de acordo com a vontade e
interpretação do receptor, quando este faz a restituição do significado. O problema
da codificação de um objeto 3D em um único desenho, segundo Parzysz (1988),
surge pela impossibilidade de oferecer uma representação que seja próxima a esse
objeto, havendo assim a perda adicional de informação. Para o autor, o pólo do
sabido entra em conflito com o pólo do visto, ou seja, um conflito entre o que se
conhece e o que se vê. O pólo do sabido consiste na representação das
propriedades e relações do objeto que o sujeito considera importante, já o pólo do
visto, consiste na representação de um objeto do mesmo modo que é visto,
baseando-se na sua observação. Segundo Parzysz e Colmez (1993), a dificuldade
de tornar esses dois pólos “interligados”, ultrapassando as dificuldades entre eles,
depende de vários fatores, como por exemplo, do conhecimento geométrico e da
natureza da tarefa.
A representação gráfica de objetos 3D em um software dinâmico é favorecida
por seu aspecto dinâmico, o que pode permitir ao leitor uma interpretação mais
57
próxima do objeto representado. Esse ponto de vista aparece em Rosalves (2006),
que tratou das relações entre os pólos do visto e do sabido no Cabri 3D. No seu
trabalho a autora apresentou as relações entre o objeto geométrico da geometria
espacial e a sua representação plana. Com base em Parzysz (1988;1993), ela expôs
as dificuldades de representação de objetos tridimensionais no que se refere à
codificação e decodificação, como também o conflito gerado entre os pólos do visto
e do sabido. Ressalta-se que, enquanto Parzysz realizou seu estudo com base em
atividades no ambiente papel e lápis, a autora fez suas análises em atividades
desenvolvidas no ambiente computacional.
Rosalves (2006), ao considerar a limitação do ambiente papel & lápis por ser
estático, optou pela utilização de um software de geometria dinâmica, no caso o
Cabri 3D, a fim de analisar as possibilidades de gestão dos pólos do visto e do
sabido nas interações dos sujeitos com as ferramentas e representações nesse
ambiente de trabalho. A autora aplicou seu experimento a alunos do ensino médio
de uma escola pública da cidade de São Paulo e os resultados mostraram que, em
determinadas situações, as perdas de informações no Cabri 3D são menores que no
ambiente papel&lápis. Segundo Rosalves (2006) a utilização de um software
dinâmico possui um aspecto positivo, tendo em vista tanto o seu aspecto dinâmico,
que permite ao sujeito que manipule a figura mudando assim o seu ponto de vista
com relação ao objeto em análise, como também com o aspecto de “tratamento”.
Isto porque a possibilidade do enriquecimento da representação no uso das
ferramentas de construção pode vir a auxiliar no processo de decodificação,
favorecendo assim uma interpretação mais complexa do desenho, o que pode gerar
um melhor aproveitamento das interferências perceptivas.
A seguir, apresentaremos uma breve descrição do objeto matemático
Superfícies Esféricas e como ele é abordado em um livro didático. Em seguida,
apresentaremos a descrição de softwares de geometria dinâmica, justificando a
nossa opção pelo Cabri 3D.
58
3. APRESENTAÇÃO DO OBJETO MATEMÁTICO, ANÁLISE DE UM LIVRO
DIDÁTICO DE GEOMETRIA ANALÍTICA E DESCRIÇÃO DE SOFTWARES
DINÂMICOS
3.1. APRESENTAÇÃO DO OBJETO MATEMÁTICO
Será apresentada uma breve descrição do objeto matemático superfície
esférica, nas formas convencionais que provavelmente são apresentadas aos
estudantes. Serão destacadas algumas representações inerentes a esse objeto
matemático, tais como a simbólico-algébrica, a figural, a gráfica e a da língua
natural, objetivando explicitar as possíveis relações entre elas.
Superfície Esférica é definida, no registro da língua natural, o qual é
considerado como um registro multifuncional discursivo, como o lugar geométrico
dos pontos do , cuja distância a um ponto fixo que chamamos de centro é sempre
constante.
Em Boulos e Camargo (2005, p.292), encontra-se a seguinte definição:
“...dados um ponto C e um número real positivo , a superfície esférica S de centro
C e raio é o lugar geométrico dos pontos X de tais que , ou,
equivalentemente, .”
É provável que a primeira “construção mental” do objeto superfície esférica
seja equivalente à representação figural inerente a ele, ou seja, nessa “construção
mental” associam-se as propriedades do objeto matemático com a sua “imagem”. A
associação a objetos do cotidiano, como uma bola de futebol, por exemplo, remete à
visão de uma esfera e, conseqüentemente, à sua superfície.
A seguir, será apresentada a representação do registro figural, considerado
como multifuncional não discursivo, de uma superfície esférica, realizada com o
auxílio do Cabri 3D.
Figura 9 - Superfície Esférica - Construção No Cabri 3D
59
A apresentação dos diferentes registros inerentes a um objeto matemático
permite uma visão global do mesmo, favorecendo o estabelecimento de relações e
associações entre eles.
Têm-se também as representações dos registros simbólico-algébrico e gráfico
de uma superfície esférica, classificados como monofuncional discursivo e
monofuncional não discursivo, respectivamente. Para tanto, fixa-se o sistema de
coordenadas ortonormais no , representado por ), sendo C o centro (o
ponto fixo) , tal que e um ponto qualquer da Superfície
Esférica e o raio.
Analiticamente tem-se a equação reduzida da superfície esférica, dada por
A representação gráfica pode ser facilmente obtida por conversão partindo de
seu registro simbólico-algébrico, quando a equação se apresenta na forma reduzida.
A seguir, apresenta-se, a título de ilustração, a representação gráfica de uma
superfície esférica com centro e raio .
Figura 10 - Superfície Esférica, Construção no Cabri 3D
60
Algumas observações com relação à estrutura da representação simbólico-
algébrica de superfícies esféricas podem auxiliar o estudante a diferenciar a
equação de uma superfície esférica de equações de outros objetos matemáticos da
Geometria Analítica.
Observar que uma equação do 2° grau nas variáveis até então usadas x,y,z
representarão uma superfície esférica se:
-
Os coeficientes de forem iguais e não nulos;
-
A equação não apresentar termos como ;
-
O raio deve ser maior que zero;
Quanto ao estudo do objeto superfície esférica, saber determinar o seu centro
e o seu raio é parte notória e básica.
Para tanto, partindo da equação geral da superfície esférica apresentada
anteriormente, pode-se organizá-la da seguinte maneira:
-
Esse tipo de associação para que se obtenha o centro C= e o raio
é trabalhada no registro simbólico algébrico da seguinte forma:
61
-
O centro da superfície esférica é C=
e o seu raio
é dado por =
.
Quando a Superfície esférica tem centro na origem do sistema, os valores de
assumem os valores (0,0,0) e, portanto, a representação simbólico
algébrica desta superfície é dada por .
Tem-se a seguinte representação gráfica:
Figura 11 - Superfície Esférica: construção no Cabri 3D
Quando a superfície esférica passa pela origem, não se tem termo
independente. Através da equação geral da circunferência, tem-se que:
-
Da terna (x,y,z)=(0,0,0), substituindo na equação geral tem-se que:
-
=
A seguir, apresenta-se uma análise da forma como este objeto matemático é
tratado em uma obra de Geometria Analítica, em termos de explorações de
registros.
62
3.2. ANÁLISE DE OBRAS DE GEOMETRIA ANALÍTICA
Esta seção trata da análise do conteúdo de superfícies esféricas presente em
obras de Geometria Analítica, fundamentada na teoria dos registros de
representações semióticas de Duval (1995). Primeiramente selecionamos as obras
que seriam avaliadas e, em seguida, classificamos os registros e representações
inerentes ao conteúdo estudado. Como terceira etapa de investigação, tratamos da
análise da exposição teórica, evidenciando as representações, tratamentos e
conversões mais requeridas na abordagem desse tópico.
Por fim, realizamos uma tabulação dos registros mais presentes nos
exercícios propostos, com o intuito de mapear as representações mais valorizadas
na abordagem de superfícies esféricas nestas obras.
A primeira etapa, referente à seleção dos livros que seriam analisados, partiu
dos resultados da pesquisa realizada por Karrer e Barreiro (2009), a qual indicou a
frequente presença das obras de Boulos e Camargo (2005) e o de Steinbruch e
Winterle (2005) nas referências da disciplina de Geometria Analítica de cursos de
exatas de universidades brasileiras. Ressalta-se que no ensino superior também são
utilizados textos traduzidos para o português, nos quais conteúdos de Geometria
Analítica são usualmente incorporados aos livros de Cálculo Diferencial e Integral,
tratando a superfície esférica normalmente como um caso particular do elipsoide.
Dentre essas obras citamos Leithold (1994), Swokowski (1989) e Stewart (2009).
Apesar disso, limitamos a nossa análise às obras mais indicadas nas referências
bibliográficas da disciplina de Geometria Analítica de universidades brasileiras, uma
vez que, apesar de não ser a única fonte de consulta, o livro didático representa uma
ferramenta de apoio para a elaboração de aulas. Com isso, consideramos que esta
análise provavelmente fornecerá indícios da forma como o conteúdo de superfície
esférica está sendo abordado no ensino superior, em termos de registros e
conversões, e temos o interesse de acrescentar ao nosso trabalho de pesquisa
dados que possam nortear a construção de nossas atividades.
Para a análise dessas obras, classificamos os registros inerentes ao objeto
matemático “superfícies esféricas. Apresentamos, no Quadro 7, uma tabela
63
relacionando os registros de representação detectados nessa análise e exemplos de
representações deste registro em relação ao objeto matemático superfície esférica.
Registros Exemplos de representações
Língua Natural
“A superfície esférica S de centro C e
raio r > 0 é o lugar geométrico dos
pontos do espaço que mantém a
distância r de C “
Simbólico-algébrico
Numérico C= , r=4
Figural
Gráfico
Quadro 7 - Quadro de Registros e representações - objeto superfície esférica
Cabe salientar que no registro figural, a superfície esférica é apresentada
como uma figura, enquanto que no registro gráfico, ela é determinada em relação ao
sistema .
O tema “Superfícies Esféricas” é abordado no livro de Boulos e Camargo
(2005) no capítulo 24. Inicia-se com a apresentação da equação de uma superfície
esférica, utilizando três tipos de representação para o objeto matemático: a lingua
natural escrita, a simbólico-algébrica e a figural. Fica explicitada neste capítulo a
utilização do sistema ortogonal .
A primeira apresentação do registro simbólico-algébrico é a equação
reduzida da Superfície Esférica. Os elementos “centro” e “raio” são identificados por
64
meio de um exemplo no qual se faz uma “relação” dos registros numérico e
simbólico-algébrico.
No decorrer desta introdução, faz-se um tratamento do registro simbólico-
algébrico da equação reduzida para a equação geral da superfície esférica:
( I )
Faz-se então a comparação com a forma da equação geral da superfície
esférica na sua forma:
( II )
Deste modo, por meio de tratamentos no registro simbólico-algébrico,
apresenta-se o fato de que a equação (II) representa uma superfície esférica se os
coeficientes a,b,c,d são tais que , sendo o centro
e o raio
.
Observamos, neste início de apresentação, o predomínio do registro
simbólico-algébrico. O registro gráfico é apresentado como uma ilustração do objeto
matemático superfície esférica.
Nos exemplos seguintes, apresentados após a parte introdutória,
encontramos os registros da lingua natural e simbólico-algébrico. Normalmente, a
resolução requer tratamentos neste último registro. Observa-se que há o predomínio
do registro simbólico-algébrico na interpretação da proposição (24 - 1), conforme
pode ser observado a seguir.
Quadro 8 - Proposição 24-1 Fonte: Boulos e Camargo (2005)
65
Nota-se que não se utiliza outro tipo de registro além dele para essa
resolução. Seguido do exercício resolvido, são propostos ao estudante onze
exercícios. Neles, encontramos os registros da lingua natural, o simbólico- algébrico
e o numérico, ou seja, não se encontra o registro gráfico nem como registro de
partida nem como registro requerido para as resoluções dos exemplos.
Decorre-se a apresentação de mais um exercício resolvido que requeria a
equação reduzida e a equação geral da superfície esférica, dado o centro e o raio,
seguido de uma tarefa na qual era dada a equação geral de uma superfície esférica,
solicitando seu raio e o seu centro. No terceiro item do exercício, pede-se o conjunto
descrito por uma equação geral. Neste exercício resolvido, apresentam-se os
registros da língua natural e numérico e dois modos de resolução, ambos no registro
simbólico-algébrico.
Como prática desse exemplo apresentado, segue-se um exercício proposto, o
qual solicitou a equação de quatro superfícies esféricas, partindo de quatro pontos
pertencentes a cada uma. O registro de partida é o numérico que se converterá no
registro simbólico- algébrico. A partir daí, são realizados tratamentos nesse registro.
Observamos nos exercícios resolvidos e propostos até a proposição 24 -8,
que há ausência do registro gráfico. Nessa proposição, faz-se a relação entre
segmento e superfície esférica, conforme pode ser observado a seguir:
Quadro 9 - Proposição 24-8 Fonte: Boulos e Camargo (2005)
Observa-se, na exposição dessa proposição, a presença dos registros da
língua natural, o simbólico-algébrico e o figural. Na sequência, tanto no exercício
resolvido como no proposto não se faz a utilização de registros gráfico e figural,
tendo, tanto no enunciado como na resolução, os registros simbólico-algébrico, da
língua natural e numérico. Podemos observar que o registro simbólico-algébrico, até
esta parte do capítulo referente à superfícies esféricas, predomina em relação aos
outros.
66
Seguimos para a subseção “Intersecção e posição relativa de reta e superfície
esférica”. Na parte teórica, os conceitos são apresentados por meio dos registros da
língua natural, simbólico-algébrico, figural e gráfico. Nos exercícios resolvidos, que
são três, dois apresentam o registro figural, além do simbólico-algébrico e da língua
natural nas resoluções. Na figura 12, apresentamos esses dois exercícios.
Figura 12 - Exercício Resolvido 24-13 Fonte: Boulos e Camargo (2005)
67
Figura 13 - Exercício Resolvido 24-14 Fonte: Boulos e Camargo (2005)
No total de nove exercícios propostos, encontramos os registros numérico,
simbólico-algébrico e da língua natural.
Na próxima subseção, temos “Intersecção e posição relativa de plano e
superfície esférica.” Na parte conceitual, encontramos os registros da língua natural,
o simbólico-algébrico e o gráfico. São apresentados três exercícios resolvidos e vinte
exercícios propostos. Nos exercícios resolvidos faz-se a utilização dos registros da
68
língua natural, do numérico e do simbólico algébrico, tanto nos enunciados, como
nas resoluções.
Não encontramos diferenças nos exercícios propostos com relação aos
registros privilegiados, sendo que as respostas dos mesmos são apresentadas nos
registros simbólico-algébrico ou numérico.
Após os exercícios, temos a apresentação do conceito de circunferências no
espaço e a superfície esférica. Faz-se a utilização dos registros da língua natural, do
gráfico e do simbólico-algébrico.
Nos exemplos decorrentes, temos a utilização dos registros numérico, da
lingua natural e do simbólico-algébrico. Nos dois exercícios resolvidos e nos nove
exercícios propostos, não há a utilização do registro gráfico, nem nos enunciados,
nem nas resoluções. A análise quantitativa referente à presença de representações
de determinado registro nas seções de exercícios resolvidos e propostos é
sintetizada no quadro a seguir.
Representações Quantidade presente nos
exercícios resolvidos
Quantidade presente nos
exercícios propostos
Simbólico-algébrica 15 40
Língua natural 15 52
Figural 3 0
Gráfica 0 0
Numérica 5 29
Faremos, a seguir, a apresentação dos dados por meio de gráficos,
organizando as informações em exercícios resolvidos e exercícios propostos
69
Gráfico 1 - Tabulação de exercícios resolvidos e exemplos Total: 15 exercícios
Gráfico 2 - Exercícios propostos Total: 52 exercícios
Novamente observa-se o predomíno dos registros simbólico-algébrico e da
língua natural, seguidos do numérico. Podemos observar que os registros figural e
gráfico não são explorados nos exercícios.
Avaliando a parte teórica, observamos que, apesar do predomínio dos
registros simbólico-algébrico e da lingua natural, os registros gráfico e figural são
explorados.
0
10
20
30
40
50
60
simbólico algébrico
lingua natural figural gráfico numérico
Exercícios propostos
70
Tal fato aponta um descompasso entre os registros explorados na parte
teórica e na seção de exercícios resolvidos e propostos. Como ela é apenas
explicitada no enunciado dos exercícios propostos, é provável que tal fato implique
nas dificuldades de interpretação de problemas de superfícies esféricas, levando os
sujeitos a realizarem apenas tratamentos algoritmizados.
Confirma-se então que a abordagem sobre superfície esférica feita neste livro
de Geometria Analítica não auxilia os estudantes no estabelecimento de relações
entre questões geométricas e algébricas. É provável que tal fato se caracterize como
um dos problemas no processo de aprendizagem de conteúdos inerentes à
Geometria Analítica.
Na obra de Steinbruch e Winterle (1987), na qual a superfície esférica é
tratada como um caso particular do elipsóide, pudemos observar que na parte
teórica, na qual se apresentam três exemplos, são utilizados os registros da lingua
natural, o numérico e o simbólico-algébrico. No exemplo 1, a solução é apresentada
no registro simbólico-algébrico. No exemplo 2 a solução aparece no registro
simbólico-algébrico e no registro numérico. Por fim, o exemplo 3, utiliza-se do
registro simbólico-algébrico na forma de uma equação geral de uma superfície
esférica, o registro numérico e a língua natural. Na resolução são utilizados os
registros da língua natural, o registro simbólico-algébrico, o figural e o numérico.
Quanto aos exercícios propostos, que são doze, o objeto superfície esférica aparece
em nove deles, sendo que três são específicos para este objeto matemático nos
quais o registro predominante é o simbólico-algébrico. As representações utilizadas
nos exercícios são o registro da língua natural e o registro simbólico-algébrico. A
resolução para quatro deles é pedida nos registro simbólico-algébrico, identificação
na língua natural e a representação gráfica. Não há exercícios que se utilizem do
registro gráfico como registro de partida. A seguir, apresenta-se uma análise
quantitativa referente ao levantamento da presença de representações de
determinado registro tanto nos exercícios resolvidos como nos propostos.
Representações Quantidade presente nos
exercícios resolvidos
Quantidade presente nos
exercícios propostos
Simbólico-algébrica 33 58
Língua natural 41 68
71
Figural 2 0
Gráfica 0 0
Numérica 19 36
Partindo dessa problemática, nossa proposta pretende efetivamente integrar o
registro gráfico e sua conversão para os demais registros, por meio do auxílio do
ambiente Cabri 3D.
Na próxima seção, apresentaremos a descrição de alguns softwares de
geometria dinâmica, a fim de justificar a opção pelo Cabri 3D.
3.3. DESCRIÇÃO DE SOFTWARES
Este capítulo trata da descrição de softwares que podem ser utilizados no
ensino de Matemática, com o intuito de justificar o motivo da seleção do Cabri 3D no
presente trabalho. Primeiramente, realizamos a descrição de uma amostra de
ferramentas, destacando suas potencialidades, especificidades e suas
características em relação ao trabalho com registros e conversões. Em seguida,
destacamos em que aspectos o software selecionado se mostrou mais coerente e
adequado com a nossa abordagem.
Observamos a grande quantidade de softwares voltados ao processo de
ensino e aprendizagem da Matemática, destacando os de geometria dinâmica. O
termo geometria dinâmica (GD) surge com o objetivo de diferenciar este tipo de
software dos demais softwares geométricos, uma vez que ele permite a manipulação
de figuras geométricas a partir de suas propriedades.
Como exemplos de softwares livres de geometria temos o Geogebra e o
Graphmática. O Geogebra é um software de geometria dinâmica, desenvolvido pelo
professor Markus Hobewarter ( Flórida- Atlantic University). Neste software podem
ser feitas construções com pontos, vetores, segmentos, retas, seções cônicas e
funções, podendo ser alteradas posteriormente de maneira dinâmica.
O Geogebra foi criado para o estudo e aprendizagem de Álgebra, Cálculo,
Geometria Plana e Geometria Analítica. O tutorial do Geogebra, como também
alguns trabalhos com a utilização deste software, estão no site
www.geogebra.org/en/upload.
A seguir apresentamos duas telas demonstrativas do ambiente do Geogebra:
72
Figura 14 - Duas Telas feitas no software Geogebra
Este software é 2D, portanto não permite que se trabalhe com objetos
matemáticos no espaço, como superfícies esféricas.
Outro software geométrico é o Graphmática, que foi criado por Keith Hertzer,
um bacharel em Engenharia Elétrica e Ciência da Computação. Tem por
característica trabalhar em 2D (duas dimensões) e nele pode-se representar
funções, situações de Cálculo Diferencial e Integral, de Geometria Plana e de
Trigonometria. Ele permite que parâmetros sejam construídos, e também trabalha
ângulos em graus ou radianos, representa coordenadas cartesianas ou polares,
dentre outras explorações.
No quadro a seguir apresentamos duas telas deste ambiente de Geometria
Dinâmica.
Figura 15 - Duas telas criadas no software Graphmática
73
Por trabalhar em 2D, não possibilita o trabalho com o objeto matemático
Superfície Esférica, portanto não auxilia na exploração do objeto matemático do
presente estudo.
Citamos também o software Winplot, gratuito, desenvolvido pelo professor
Richard Parris da Philips Exeter Academy, por volta de 1985. Pode ser encontrado
em versões em mais de seis idiomas, inclusive em português-Brasil.
É um software “leve”, ou seja, adapta-se a sistemas operacionais mais
antigos como também roda em computadores com configurações mais “modestas”.
É um “plotador” de gráficos e possui uma boa interface gráfica
No conteúdo de superfícies esféricas, este software explora os registros
gráfico, algébrico e numérico. Apesar de o Winplot ser bastante utilizado, não o
classificamos como dinâmico por não possuir a manipulação das figuras que
permita conversões no sentido do gráfico para o algébrico ou para o numérico. Este
software realiza mudanças nas representações gráficas apenas quando alteramos
os elementos nas representações numéricas (coordenadas) ou mesmo nas
representações algébricas. O Winplot não permite manipulação e alterações quando
o objeto é o próprio gráfico. Não estamos com isso desvalorizando o software que
possui muitos recursos que podem realmente auxiliar e favorecer o ensino de várias
áreas da Matemática. Ele somente não é o mais adequado para a proposta do
presente estudo.Apresentamos a seguir a tela inicial do Winplot.
Figura 16 - Imagem inicial do software Winplot
Como exemplos de softwares do tipo CAS (Computer Algebra System),
apresentamos O Mathematica, o Maple e o Mathlab.
O software Matlab ( MATrix LABoratory) é interativo de alta performance e
voltado para o cálculo numérico. Integra a análise numérica, cálculo com matrizes,
processamento de sinais e construção de gráficos em um ambiente fácil de usar.
74
Tem como elemento básico de informação uma matriz que não requer
dimensionamento.
Figura 17 - Imagem do software MATLAB Fonte: http://www.sai.msu.su/sal/A/MATLAB.html
O Maple é uma linguagem de computação que possui quatro aspectos gerais
que são a computação algébrica, a computação numérica, a computação gráfica e a
programação. Este software possui esses aspectos de modo integrado, ou seja,
trabalha de maneira simultânea com eles. O sistema Maple é um sistema
matemático simbólico interativo, o qual possui recursos para resolver questões de
cálculo algébrico, para interpretação de conceitos e visualização gráfica.
75
Figura 18 - Software Maple
No conteúdo de superfícies esféricas, o software apresenta os registros
gráfico, simbólico-algébrico e numérico, porém denota que o usuário tenha domínio
de uma linguagem específica do software, cuja familiarização seria mais complexa.
Mathematica é um software que surgiu na década de 60 e, já nesse período,
destacou-se por permitir a um único sistema tratar os diferentes aspectos de
computação técnica de uma forma coerente e unificada. A versão 1.0 do
Mathematica teve grande impacto na Física, Engenharia e Matemática. Com o
passar dos anos, o Mathemática tornou-se uma ferramenta importante em vários
campos, sendo eles técnicos ou não. Atualmente é usado na Física, Biologia, em
Ciências Sociais, além de outros. Possui uma diversidade de usuários. Em nível
técnico, o Mathematica é considerado como um dos grandes feitos em engenharia
de software. Este software foi criado por uma equipe de nível mundial na Wolfarm
Reserarch, liderados pelo fundador Stephen Wolfram.
76
Figura 19 - Software Mathematica
No conteúdo de superfícies esféricas, observando algumas construções e
informações apresentadas no site do software, são explorados os registros gráfico,
simbólico-algébrico e numérico, porém, por não obtermos acesso ao programa, dado
o alto custo de aquisição, não temos considerações quanto à facilidade de
manuseio, como também quanto ao aspecto dinâmico desse software.
A seguir faremos a apresentação do software “eleito” como ferramenta em
nosso trabalho de pesquisa, o Cabri 3D. Ele foi considerado o mais adequado em
relação aos nossos objetivos e à nossa proposta de trabalho, que visou a integração
entre registros semióticos em um ambiente dinâmico. Não poderíamos utilizar, por
exemplo, o Geogebra e o Graphmática que, apesar de serem softwares de
geometria dinâmica, trabalham no plano e não no espaço. O Winplot,mesmo
trabalhando no espaço, não é um software de geometria dinâmica, portanto não
caberia a sua utilização em nosso trabalho de pesquisa. Os softwares Maple e
Mathematica são ferramentas de alto custo e, com isso, suas aquisições são
inviáveis para a maioria das instituições de ensino.
O Cabri 3D surgiu em 2004, desenvolvido por Cabrilog, companhia de
ambientes de Geometria Dinâmica Cabri II e Cabri 3D. Esta tecnologia nasceu nos
laboratórios do Centre National de La Recherche Scientifique (CNRS) na França e
na Universidade Joseph Fourier em Grenoble.
Este software permite que o usuário construa, visualize a manipule vários
tipos de objetos tridimensionais. Estas construções são dinâmicas, podendo ser
simples ou mais complexas.
77
Neste ambiente encontramos registros de representação do objeto
matemático em coordenação simultânea, ou seja, ao manipularmos uma das
representações do objeto, todas as outras representações expostas no ambiente
também acompanham as mudanças referentes ao seu tipo de representação,
conforme ilustrado a seguir.
Figura 20 - Exemplo do dinamismo do Cabri 3D em duas telas
78
No manual do software Cabri 3D, também disponível através de download no
site da equipe CABRILOG, são detalhadas as ferramentas, funções, exemplos que
descrevem com mais precisão o que o software oferece.
Atualmente o Cabri 3D encontra-se na sua segunda versão, a qual possui
novas ferramentas como produto vetorial, produto escalar, soma de vetores,
coordenadas e equações, homotetia e inversão.
Apresentaremos, a seguir, figuras do software mostrando algumas de suas
ferramentas. Em função de nosso objeto de estudo, optamos pela apresentação dos
comandos relacionados às superfícies esféricas:
Figura 21 - Imagem extraída do manual do Cabri 3D
Figura 22 - Imagem extraída do manual do Cabri 3D
79
Figura 23 - Imagem extraída do manual do Cabri 3D
Figura 24 - Superfície Esférica construída do software Cabri 3D
80
4. METODOLOGIA DA PESQUISA
4.1. A METODOLOGIA DOS DESIGN EXPERIMENTS
Tendo em vista que este estudo se caracteriza como uma pesquisa
qualitativa, na qual objetivamos interpretar os fenômenos que serão observados,
descrevendo-os, compreendendo-os e dando o seu significado neste processo,
adotaremos a Metodologia do Design Experiments de Cobb et al. (2003).
Essa metodologia possui cinco características. Primeiramente podemos
caracterizar um Design Experiment pelo seu caráter pragmático. O seu propósito é
desenvolver um experimento que possibilite a aprendizagem dos estudantes, através
de meios elaborados nesse processo de aprendizagem. Apesar de teorias serem
desenvolvidas durante todo o processo, estas são modestas, pois já estão
relacionadas a um domínio específico do processo de aprendizagem.
A segunda característica do Design Experiment é a intervenção do professor-
pesquisador. Segundo Cobb et al. (2003), a intenção é investigar possibilidades de
melhoria na Educação Matemática, favorecendo novas formas de aprendizagem.
Para a preparação do Design Experiment utilizam-se inúmeras pesquisas
realizadas na área. Estudam-se os resultados e teorias. Neste processo de criação
de formas de aprendizagem, ocorrem inter-relações com outras pesquisas, por
estarem relacionadas a fatores pertinentes encontrados pelo pesquisador.
Como terceira característica do Design Experiment temos a condição de
desenvolver modelos a partir de uma hipótese. Segundo Cobb et al. (2003), esta
teria uma face prospectiva e outra reflexiva. A prospectiva é posta em prática, de
forma expositiva, com suposições sobre processos de aprendizagem e de como
estas podem possibilitar a aprendizagem. Com isso, abrem-se novas possibilidades
para o surgimento de caminhos que facilitem esta aprendizagem. Quanto à face
reflexiva, esta pretende testar frequentemente conjecturas do experimento.
Design Experiment é justamente uma conjectura sobre os meios que
possibilitam uma forma particular de aprendizagem e, durante a aplicação do
experimento, as conjecturas elaboradas podem ser reformuladas e testadas.
Portanto, os aspectos prospectivo e reflexivo do Design Experiment revelam
sua quarta característica, que é seu aspecto cíclico. As novas conjecturas que
81
podem surgir devem ser submetidas a novos testes, o que resulta num processo
cíclico de elaboração e revisão.
Deve-se levar em conta que a preparação e organização dos ciclos denotam
uma atenção sistemática para que se comprove a aprendizagem, como também se
faz necessário um desenvolvimento paralelo, a fim de colaborar neste processo de
aprendizagem. Este resultado da aprendizagem torna-se o foco da investigação
durante este processo cíclico, sendo que estas mudanças objetivam a melhoria do
projeto inicial (COBB et al.,2003).
A quinta característica do Design Experiment, segundo Cobb et al. (2003),
reflete seu caráter pragmático, novamente levando em conta que as teorias e
modelos desenvolvidos em todo o processo de experimentação são relativamente
modestos, pois se preocupam com os processos de aprendizagem de domínios
específicos aos quais já estão relacionados.
A estruturação do trabalho de pesquisa neste tipo de metodologia necessita
que estabeleçamos algumas etapas que a orientarão. Primeiro apresentando a
questão de pesquisa, em seguida fazendo a identificação e a descrição de modelos
sucessivos do pensamento do estudante com base no levantamento bibliográfico de
pesquisas já existentes, respaldando e delimitando o objetivo desta investigação.
Cria-se um experimento inicial, o qual poderá sofrer alterações e a inserção
de novos elementos, sempre objetivando a melhoria do processo de aprendizagem.
Estas mudanças ocorrem ao analisarmos a produção dos sujeitos ao conduzirmos o
experimento. O experimento deve, então, ser adaptável à produção dos mesmos
(característica inerente à metodologia do Design Experiment), isto porque não
podemos prever todos os passos dos sujeitos, como também como cada um se
comporta perante o processo de participação no experimento.
Em todo o processo do trabalho de pesquisa, o pesquisador deve fazer
análises retrospectivas, objetivando melhorar o modelo anteriormente aplicado. A
análise final e geral do projeto deve ser crítica e clara, propiciando estudos
posteriores que deem continuidade à sua pesquisa.
Essa metodologia voltada à Educação Matemática , que teve sua origem na
década de setenta nos Estados Unidos, buscando preencher a intermitência
existente entre a prática de pesquisa e a prática de ensino, como também a
necessidade de uma metodologia voltada à aprendizagem da Matemática, já que os
modelos utilizados até então eram adaptados de outras áreas, abrange diversos
82
elementos de aprendizagem como também permite sua adaptação e reconstrução
durante todo o processo, por meio da análise e da interação da teoria e prática do
pensamento matemático.
Este tipo de metodologia tem como objetivo analisar os processos de ensino e
aprendizagem de domínios específicos, prevendo adaptações de acordo com os
comportamentos apresentados pelos sujeitos durante a participação no design.
Por ser uma metodologia mais complexa e interativa que abrange diversos
elementos de aprendizagem e permite sua adaptação e reconstrução durante todo o
processo, é considerada uma ecologia de aprendizagem. Essa reconstrução é feita
através da interação entre objetos e indivíduos e da modelagem desses elementos,
como também a antecipação de como esses elementos funcionam quando em
conjunto, sendo um apoio neste processo de aprendizagem.
Quando se utiliza, portanto, a metodologia do Design Experiments, o
pesquisador objetiva a construção de modelos de Matemática dos sujeitos, ou seja,
o pesquisador procura enxergar o que há por trás de suas produções, procurando
compreender as “suas realidades matemáticas”. Mas, em sendo considerada uma
ecologia da aprendizagem, vai-se além de questões propostas aos sujeitos, levando-
se em consideração possíveis desenvolvimentos, organização e normas a serem
seguidas em todo o processo, ferramentas e materiais a serem utilizados como
também o significado das relações entre esses elementos.
É importante citar que o Design Experiment, ao colocar a análise do
pesquisador de maneira proeminente, é reputado como método científico, já que
constitui uma estratégia para a produção de conhecimento.
O Design Experiment pode incluir um ou mais sujeitos, uma testemunha em
todo o processo de ensino, o professor-pesquisador, como agente pedagógico, um
observador e um método para que sejam registrados todos os acontecimentos
durante a aplicação das atividades. Estes registros serão de total importância na
seqüência destas atividades como também no direcionamento das mesmas de
acordo com a análise conceitual do Design Experiment. (Steffe; Thompson, 2000).
Para a obtenção destes registros, pode-se fazer, na aplicação das atividades,
a utilização de diferentes recursos de coleta, tais como softwares próprios de
recuperação de dados, máquinas fotográficas, gravadores, filmadoras, dentre outros.
A escolha dos recursos deve ser feita visando que o pesquisador tenha um bom
material para análise das atividades propostas aos sujeitos.
83
Nesta metodologia, por muitas vezes os papéis são redistribuídos, de tal
forma que o papel de professor é atribuído ao pesquisador. Desta forma, ao
desenvolver um trabalho no qual o papel é duplo, tem-se o professor-pesquisador.
A seguir faremos a relação do nosso estudo no contexto desta metodologia.
4.2. RELAÇÃO DE NOSSO ESTUDO COM A METODOLOGIA DOS DESIGNS
EXPERIMENTS
Adotamos a Metodologia do Design Experiments por ser complexa e
interativa, por abranger diversos elementos de aprendizagem e permitir posteriores
adaptações e reconstruções das atividades, conforme análises da produção dos
sujeitos.
Tivemos por objetivo propor um experimento de ensino diferenciado sobre
superfícies esféricas, elaborado de forma a integrar os diversos registros de
representação semiótica, em especial o gráfico, no ambiente Cabri 3D. Esperava-se,
com sua aplicação, levantar as possíveis contribuições dos sujeitos, sendo que estas
foram incorporadas ao design, dadas as características iterativa e cíclica deste tipo
de metodologia.
Ao adotarmos esta metodologia, acreditávamos na produção de um processo
de ensino significativo, com a possibilidade de futuras inovações.
O design foi composto de três fases. A primeira foi representada pela
construção do experimento preliminar pelo professor-pesquisador, com base na
problemática evidenciada no ensino de Geometria Analítica. A segunda fase foi
representada pela aplicação das situações a pesquisadores da área de Educação
Matemática, a fim de coletar suas impressões a avaliações diante de um
experimento de ensino diferenciado sobre superfícies esféricas. As contribuições
fornecidas por este grupo foram incorporadas à primeira versão, promovendo o
redesign das atividades. A terceira fase consistiu na aplicação das atividades
redesenhadas a duas duplas de estudantes, a fim de avaliar suas produções e
investigar em que aspectos a abordagem construída influenciaria na construção do
conceito.
84
4.2.1. Sujeitos
Como o design foi composto de duas fases de experimentação, tivemos dois
grupos de sujeitos. Um deles, referente à primeira fase, foi um grupo de treze
indivíduos que atuavam como professores e pesquisadores na área de Educação
Matemática. Destes, sete sujeitos atuavam no ensino superior e os demais apenas
no ensino médio. Apenas seis conheciam o software Cabri 3D. O segundo grupo,
referente à segunda fase do experimento, foi composto por quatro sujeitos que já
havia estudado Geometria Analítica, mas não o conteúdo de superfícies esféricas.
Salienta-se que estes não conheciam o Cabri 3D.
4.2.2. Papel do Professor-Pesquisador
Para definir o papel do professor neste tipo de metodologia, coube-nos citar
que o objetivo principal do professor-pesquisador era, sem dúvida, estabelecer
modelos vivos da atividade matemática dos estudantes. Coube então ao professor
proporcionar e criar meios que encorajassem mudanças no modo de pensar dos
estudantes.
O professor deveria reconhecer a linguagem matemática como também as
ações dos estudantes por meio de uma comunicação que deveria ser estabelecida,
ocorrendo assim uma interação.
Nesse processo, o professor poderia deparar-se com os sujeitos operando de
modo inesperado, o que deveria direcioná-lo a uma interpretação alternativa, a qual
poderia ser proporcionada por outro observador que o auxiliaria na aplicação das
atividades. Isto porque, por estar envolvido nesta interação com os sujeitos, talvez
pudesse encontrar dificuldades para refletir e tomar alguma atitude. Dado que
exercer essas duas funções, de interagir e atuar fora dela, pode realmente ser muito
difícil ao professor-pesquisador, sugere-se a participação de um observador na
aplicação das atividades.
Para que haja uma conclusão eficaz do trabalho de pesquisa por meio da
metodologia do Design Experiments, o professor-pesquisador deveria refletir quanto
às contribuições feitas pelos sujeitos, e não abster-se ao que eles responderam ou
fizeram em determinado momento.
85
O professor-pesquisador então deveria procurar auxiliar os participantes,
fazendo intervenções quando necessário, na forma de novos questionamentos e
situações.
4.2.3. Material e Ambiente de Trabalho
Foram elaboradas dez atividades propostas em dois ambientes: papel e lápis
e o ambiente do Cabri 3D. Estas foram organizadas em fichas individuais que foram
entregues aos elementos do grupo. Como trabalhamos com o software Cabri 3D,
utilizamos uma sala com computadores com o programa já instalado. Também
utilizamos um software de captura das telas do computador e áudio-gravação tanto
da fala dos estudantes como do professor-pesquisador, complementando assim a
nossa coleta de dados.
4.2.4. Hipóteses iniciais
Tivemos por hipótese que o experimento permitiria um contato diferenciado
com o objeto matemático, favorecendo a análise das relações entre suas diversas
representações, permitindo o levantamento de conjecturas e o trabalho de validação.
Ainda, teve-se por hipótese que o dinamismo do Cabri 3D favoreceria ao aluno
observar com mais detalhes as relações entre os registros, tendo em vista a
possibilidade de visualização simultânea dessas relações.
No próximo capítulo, apresentaremos as atividades que compuseram a
primeira fase do design.
86
5. APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DO EXPERIMENTO DE ENSINO
Serão apresentadas, neste capítulo, as dez atividades elaboradas pelo
professor-pesquisador, que envolveram tanto tarefas que exploraram tratamentos no
interior do registro simbólico-algébrico, como conversões entre os registros gráfico,
simbólico-algébrico, numérico e da lingua natural inerentes às Superfícies Esféricas.
Será apresentada a descrição de cada atividade, juntamente com seus objetivos
gerais e específicos. Serão ressaltadas, também, as possíveis dificuldades
esperadas por parte dos estudantes, de acordo com as observações das pesquisas
relacionadas na revisão bibliográfica do presente trabalho. As análises preliminares
serão realizadas do ponto de vista do estudante, visando avaliar se os professores,
sujeitos de uma das fases da presente pesquisa, confirmam nossas hipóteses.
Antes dessas atividades, será realizada uma atividade de familiarização,
conforme exposto no Anexo I.
5.1. APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE 1
A Atividade 1, apresentada no quadro 11, tem por objetivo fornecer um
ambiente de experimentação no software que proporcione ao estudante a
observação de que a superfície esférica é o lugar geométrico cujos pontos
eqüidistam de um ponto fixo denominado centro. Além do tratamento experimental,
pretende-se que o estudante, por meio da conversão do registro gráfico para o
simbólico-algébrico, determine a equação reduzida da superfície esférica observada,
que tem centro no ponto C=(0,0,0) e raio igual ao módulo do vetor construído.
ATIVIDADE 1: SUPERFÍCIES ESFÉRICAS COM CENTRO NA ORIGEM DO
SISTEMA
Considere o sistema de coordenadas ortonormais
Tarefa a) Construa um vetor com origem na origem do sistema e determine o
seu módulo. Em seguida, construa uma superfície esférica com centro
na origem e raio igual à medida do vetor. Altere o estilo da superfície
esférica, para large dots.
Tarefa b) Determine, no software, a distância do centro (0,0,0) à qualquer ponto
87
ATIVIDADE 1: SUPERFÍCIES ESFÉRICAS COM CENTRO NA ORIGEM DO
SISTEMA
da superfície esférica. O que você observa?
Tarefa c) Partindo dessa constatação, determine, no ambiente papel e lápis, a
equação da superfície esférica com centro na origem (0,0,0) e raio
numericamente igual ao módulo do vetor obtido na tela. Compare sua
resposta com a apresentada pelo software.
Tarefa d) Alterando o raio, por meio de manipulações na extremidade do vetor
construído, o que ocorre com a equação da superfície esférica?
Quadro 10 - Atividade 1
A Tarefa a é desenvolvida no Cabri 3D e visa à construção de um vetor e o
cálculo de seu módulo, bem como a determinação da superfície esférica com centro
na origem e raio igual à medida do vetor. Ela envolve uma conversão da língua
natural escrita para o registro gráfico.
Na Tarefa b, também desenvolvida no ambiente computacional, pretende-se
que, utilizando o comando de distância presente no software, o estudante observe
que a distância entre o ponto (0,0,0) e qualquer ponto da superfície esférica se
mantém. Nesta tarefa, pretende-se que o estudante realize uma interpretação do
gráfico para a língua natural escrita. Nestas duas últimas tarefas, não são esperadas
dificuldades por parte dos estudantes, uma vez que envolvem o trabalho com
comandos do software.
A Tarefa c requer a determinação da equação da superfície esférica no
ambiente papel e lápis, envolvendo uma conversão do registro gráfico para o
simbólico-algébrico. É provável que o estudante apresente dificuldades para iniciar a
tarefa, uma vez que ela demanda a relação entre a situação proposta e a
determinação de distância entre dois pontos, sendo um deles a origem e o outro um
ponto genérico da superfície esférica. Além disso, de acordo com algumas
pesquisas que citamos em nossa referência bibliográfica, tais como Pavlopoulou
(1993) e Bittar (1998), as mesmas mostraram que os estudantes apresentam
dificuldades no registros simbólico-algébrico e na conversão do mesmo para o
registro gráfico. Caso essa dificuldade ocorra, o professor-pesquisador lançará
88
outros questionamentos ou atividades adicionais que tratem do cálculo de distância
entre dois pontos, a fim de favorecer ao estudante a compreensão da situação.
Na Tarefa d pretende-se que o estudante coordene as representações gráfica
e simbólico-algébrica, observando que, ao alterar a distância d, a qual equivale ao
raio da superfície esférica, somente o termo do segundo membro da equação
reduzida é alterado. Tal fato é possível pela característica dinâmica do software
adotado, uma vez que todas as representações se adaptam à alteração realizada.
Neste caso, será realizada uma conversão entre os registros gráfico, numérico e
simbólico-algébrico. Não são esperadas dificuldades nesta tarefa, tendo em vista
que ela consiste na observação, no ambiente computacional, da relação entre o
registro gráfico e o algébrico.
A seguir, será apresentado um exemplo da resolução esperada para cada
Tarefa da Atividade 1.
Na Tarefa a, espera-se que o estudante realize a seguinte construção:
Figura 25 - Tarefa a da Atividade 1: construção no Cabri 3D
Na Tarefa b, por meio dos recursos do Cabri, espera-se que o estudante se
depare com a seguinte representação:
89
Figura 26 - Tarefa b da Atividade 1: construção no Cabri 3D
Espera-se que o estudante relate que a distância é a mesma. Ao interpretar
que esta distância é constante, espera-se que consiga expressar sua compreensão
sobre Superfície Esférica, concluindo que a distância entre qualquer ponto dessa
superfície e seu centro se mantém.
Na Tarefa c, realizada no ambiente papel e lápis, espera-se que o estudante
observe que o centro está na origem (0,0,0), portanto, a distância entre qualquer
ponto (x,y,z) da superfície esférica e a origem é constante e igual a 3,1.
Acreditamos que o estudante relacione a determinação da distância entre dois
pontos para chegar assim à equação da superfície esférica.
Espera-se que o estudante desenvolva a seguinte relação:
E, sendo a origem o centro da superfície esférica, a terna ( ) assume
os valores (0,0,0), logo tem-se:
Na Tarefa d, o estudante poderá verificar, via comando do software, se a
equação por ele determinada no ambiente papel e lápis está correta.
90
Figura 27 - Tarefa d da Atividade 1: construção no Cabri 3D
Avaliando o resultado da atividade c, caso as equações sejam diferentes, o
professor-pesquisador fará questionamentos do tipo: “Como poderíamos explicar o
valor obtido na atividade b, cuja distância entre o centro e qualquer ponto da
superfície esférica sempre resultou no valor de 3,1?” ou a inserção de outras
atividades que tratem dessa questão.
Na Tarefa d, trabalhar-se-á com o dinamismo do ambiente Cabri 3D. Espera-
se que o estudante, ao alterar o valor da distância d, observe que há alteração
somente no raio da Superfície Esférica e que este equivale ao termo do segundo
membro de sua equação reduzida. As figuras seguintes ilustram esse tipo de
manipulação no software.
exemplo de movimentação: deslocamento do ponto
Figura 28 - Tarefa d da Atividade 1: construção no Cabri 3D
91
exemplo de movimentação: redução da distância d
Figura 29 - Tarefa d da Atividade 1: construção no Cabri 3D
exemplo de movimentação: aumento da distância d
Figura 30 - Tarefa d da Atividade 1: construção no Cabri 3D
92
5.2. APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE 2
A atividade 2, proposta no ambiente papel e lápis, tem por objetivo avaliar em
que medida o trabalho anterior no software permitiu ao estudante detectar o centro e
o raio da superfície esférica com centro na origem, em situações propostas no
registro simbólico-algébrico, sem o auxílio do recurso computacional.
ATIVIDADE 2: DETERMINAÇÃO DE CENTRO E RAIO DE SUPERFÍCIE
ESFÉRICA COM CENTRO NA ORIGEM
Considere o sistema de coordenadas ortonormais Determine, nas
equações abaixo, o centro e o raio da superfície esférica:
a)
b)
c)
d)
Quadro 11 - Atividade 2
Nas tarefas a e b, espera-se que o estudante reconheça o centro e o raio de
uma superfície esférica dada na sua equação reduzida. A tarefa envolve uma
conversão da língua natural escrita em seu enunciado e a representação simbólico
algébrica nas equações propostas para o registro numérico. Não são esperadas
dificuldades por parte dos estudantes nestas duas tarefas, dada que a necessidade
da interpretação do registro simbólico-algébrico em relação ao objeto matemático foi
explorada na atividade anteriormente proposta no ambiente computacional. Caso
ocorram dificuldades, o professor-pesquisador lançará outros questionamentos ou
relembrará o estudante da atividade anteriormente proposta, solicitando, assim,
experimentações adicionais no software.
Já nas tarefas c e d, pretende-se observar se o estudante nota que, para
determinar o centro e o raio por comparação com as equações fornecidas no
software, os coeficientes de x2, y2 e z2 devem ser iguais a um. Logo esta equação
deve ser simplificada pelo valor 2 antes da determinação do centro e do raio.
Serão apresentados, a seguir, exemplos de resoluções esperadas para cada
tarefa da Atividade 2:
93
Na tarefa a da atividade 2, espera-se que o estudante estabeleça uma
conversão do registro simbólico-algébrico para o registro numérico, partindo da
equação para determinar o centro e o raio da superfície esférica.
a)
b)
c)
d) 3x2+3y
2+3z
2=17
94
5.3. APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE 3
A atividade 3 tem por objetivo trabalhar com o reconhecimento de equações
de superfícies esféricas, diferenciando-as, no registro simbólico-algébrico, de outros
objetos matemáticos da Geometria Analítica.
ATIVIDADE 3: RECONHECIMENTO DE EQUAÇÕES DE SUPERFÍCIES
ESFÉRICAS
Considere o sistema de coordenadas ortonormais Entre as
equações seguintes, identifique as que representam uma superfície
esférica. Justifique.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Quadro 12 - Atividade 3
A atividade 3 é desenvolvida no ambiente papel e lápis e visa o
reconhecimento, no registro simbólico algébrico, do objeto matemático Superfície
Esférica. As tarefas envolvem relações entre os registros da língua natural e
simbólico-algébrico, conversões entre este e o registro numérico e tratamentos no
registro simbólico-algébrico. Espera-se que as atividades anteriores sejam
suficientes para que o estudante identifique as equações de superfícies esféricas.
Caso ocorram dificuldades, o professor-pesquisador questionará o estudante com
relação às características observadas nas atividades anteriores. Pretende-se, neste
experimento, que o mesmo consiga reconhecer o objeto matemático independente
da representação que lhe é apresentada.
A seguir, apresenta-se um exemplo de resolução esperada para as tarefas
desta atividade:
95
a)
Ao determinar r = , verifica-se que não é possível
b)
Sim, ela representa uma superfície esférica de centro C=(0,0,0) e raio=
c)
Não representa uma superfície esférica, pois y não está elevado ao quadrado.
d)
Não representa uma superfície esférica, pois os coeficientes de x2, y2 e z2 não
são iguais.
e)
Representa uma superficie esférica. Fazendo tratamentos na equação temos:
Portanto o centro da superfície: é C=(0,0,0) e o raio r= =3
f)
Não representa uma superfície esférica, pois não tem o z2.
g)
Não representa uma superfície esférica, pois não tem z2 e o y não está
elevado ao quadrado.
h) Não representa uma superfície esférica.
96
5.4. APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE 4
A atividade 4 tem por objetivo explorar, de forma experimental, superfícies
esféricas com centro fora da origem do sistema S=(0, i,j,k).
ATIVIDADE 4: SUPERFÍCIES ESFÉRICAS COM CENTRO FORA DA ORIGEM
DO SISTEMA
Considere o sistema de coordenadas ortonormais
Tarefa a) Crie um ponto no espaço, fora do plano de referência, e determine as
suas coordenadas;
Tarefa b) Crie um vetor com origem neste ponto e extremidade em outro ponto
fora do plano de referência. Determine o seu módulo;
Tarefa c) Crie uma superfície esférica com centro na origem do vetor e raio
numericamente igual ao módulo deste vetor;
Tarefa d) Expresse a equação desta superfície esférica por meio do software;
Tarefa e) Com o botão esquerdo, selecione o vetor (não as extremidades) para
deslocar a esfera. Descreva o que você observa no gráfico e na
equação.
Tarefa f) Agora altere a extremidade do vetor e descreva o que você observa no
gráfico e na equação.
Tarefa g) Determine o comprimento do vetor e altere a sua extremidade.
Tarefa h) Relate o que ocorre na equação
Quadro 13 - Atividade 4
A Tarefa a é desenvolvida no Cabri 3D e visa a criação de um ponto fora do
plano de referência e a determinação de suas coordenadas. Ela envolve uma
conversão da língua natural escrita para os registros gráfico e numérico.
Na Tarefa b, também desenvolvida no ambiente computacional, tem-se por
objetivo a criação de um vetor cuja origem seja o ponto criado na Tarefa a e cuja
extremidade também esteja fora do plano de referência. Temos nesta tarefa a
conversão da língua natural para os registros gráfico e numérico. Ainda nesta tarefa,
o estudante poderá utilizar-se dos recursos do software para a determinação do
97
módulo do vetor, obtendo na tela do computador a apresentação simultânea dos
dois tipos de registro: o registro gráfico e o numérico.
Tanto na Tarefa a como na Tarefa b não são esperadas dificuldades por parte
dos estudantes, pois as mesmas envolvem um trabalho com os comandos do
software.
Na Tarefa c pretende-se que o estudante crie, por meio dos recursos
oferecidos pelo software, uma superfície esférica que tenha como centro o ponto da
Tarefa a e medida de raio igual ao módulo do vetor criado na Tarefa b.
Provavelmente os estudantes não apresentarão dificuldades na execução
dessa tarefa, por ser trabalhada com os recursos do Cabri 3D explorados em tarefas
anteriores. Tem-se neste caso, uma conversão da língua natural para o registro
gráfico.
Na tarefa d, o sujeito determinará a equação da superfície esférica. Nas
tarefas e, f, g e h, pretende-se que o estudante observe as relações entre as
representações gráfica e algébrica do objeto matemático superfície esférica.
Isto é possível devido ao aspecto dinâmico do software, pois, por exemplo,
quando o raio da superfície esférica é alterado, pode-se observar o impacto que isso
causa nos registros gráfico e simbólico-algébrico.
Com isso, pretende-se fornecer ao estudante um ambiente de
experimentação que permita coordenar esses dois registros. Provavelmente esta
tarefa será realizada sem dificuldades, já que consiste na utilização de comandos do
software.
Caso o estudante não relate satisfatoriamente as relações observadas, o
professor-pesquisador intervirá no processo, por meio de questionamentos.
A seguir, apresenta-se a resolução de cada tarefa desta atividade.
Tarefa a) Crie um ponto fora do plano de referência, no espaço e determine as suas
coordenadas;
Espera-se que o estudante crie a seguinte representação no ambiente do Cabri 3D:
98
Figura 31 - Tarefa a da Atividade 4 - construção no Cabri 3D
Tarefa b) Crie um vetor com origem neste ponto e extremidade fora do plano de
referência e determine o seu módulo;
Figura 32 - Tarefa b da Atividade 4 - construção no Cabri 3D
Tarefa c) Crie uma superfície esférica com centro na origem do vetor e raio igual ao
módulo deste vetor;
99
Figura 33 - Tarefa c da Atividade 4 - construção no Cabri 3D
Tarefa d)Expresse a equação desta superfície esférica por meio do software;
Figura 34 - Tarefa d da Atividade 4 - construção no Cabri 3D
100
Tarefa e)Com o botão esquerdo, selecione o vetor para deslocar a esfera.
Figura 35 - Tarefa d da Atividade 4 - construção no Cabri 3D
Tarefa f) O que você observa?
Podemos observar que, com o deslocamento realizado, a figura apenas se desloca,
alterando o centro, mas não o raio. Na equação, é possível observar que os valores
que representam o centro da superfície esférica mudam a cada movimento do objeto
matemático, mas o valor do segundo membro se mantém.
Tarefa g) Determine o comprimento do vetor e altere a sua extremidade.
101
Figura 36 - Tarefa g da Atividade 4 - construção no Cabri 3D
Tarefa h) relate o que ocorre na equação:
Podemos observar que há mudança no raio e, conseqüentemente, apenas o
segundo membro da equação altera.
5.5 - APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE 5
Na Atividade 5, pretende-se avaliar se o trabalho experimental no software
forneceu ao estudante condições de determinar o centro e o raio de uma superfície
esférica a partir do registro simbólico-algébrico.
102
ATIVIDADE 5 - DETERMINAÇÃO DO CENTRO E RAIO DE UMA SUPERFÍCIE
ESFÉRICA A PARTIR DO REGISTRO SIMBÓLICO-ALGÉBRICO
Considere o sistema de coordenadas ortonormais . Determine nas
equações abaixo, o centro e o raio da superfície esférica:
a)
b)
c)
Quadro 14 - Atividade 5
Na Atividade 5, tem-se por objetivo determinar o centro e o raio de uma
superfície esférica a partir do registro simbólico-algébrico. As três tarefas envolvem
relações entre os registros da língua natural e simbólico algébrico e uma conversão
deste para o registro numérico, para a determinação das coordenadas do centro da
superfície esférica e do raio da mesma. Espera-se que os estudantes não
apresentem dificuldades nas tarefas a e b, uma vez que observaram anteriormente
no software, as relações entre os registros gráfico e simbólico-algébrico. Já na tarefa
c, talvez o estudante apresente dificuldades, caso não observe a necessidade de
simplificar toda a equação pelo valor 3. Caso haja a necessidade de intervenção do
professor-pesquisador, este solicitará aos estudantes a análise de novas situações
no software, para que os estudantes observem novamente as relações entre os
registros gráfico e simbólico-algébrico.
A seguir, são apresentadas as resoluções esperadas nestas tarefas.
Tarefa a
103
Tarefa b
Tarefa c.
5.6 – APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE 6
Da mesma forma que a Atividade 3, esta atividade tem por objetivo
trabalhar com o reconhecimento de equações de superfícies esféricas, porém,
incluindo os casos em que a superfície esférica tem centro fora da origem.
ATIVIDADE 6 - RECONHECIMENTO DE EQUAÇÕES DE SUPERFÍCIES
ESFÉRICAS
Considere o sistema de coordenadas ortonormais
Das equações seguintes, identifique as que representam uma superfície esférica e
justifique:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Quadro 15 - Atividade 6
A Atividade 6 é desenvolvida no ambiente papel e lápis e visa o
reconhecimento, no registro simbólico-algébrico, do objeto matemático superfície
104
esférica, porém, englobando também os casos em que a superfície esférica não tem
centro na origem. Todas as tarefas envolvem relações entre os registros da língua
natural e simbólico-algébrico, conversões entre este último e o registro numérico,
além de tratamentos no registro simbólico-algébrico. Espera-se que as atividades
anteriores sejam suficientes para que o estudante identifique as equações de
superfícies esféricas. Caso ocorram dificuldades, o professor-pesquisador
questionará o estudante com relação às características observadas nas atividades
anteriores, propondo novas análises no software.
Espera-se que o estudante reconheça a representação algébrica de uma
superfície esférica, identificando que apenas as equações (x-1)² +( y+2)²+(z-1)²=8 e
(x+0,2)² +y2+(z-1)²=16 representam superfícies esféricas.
É esperado que o aluno apresente justificativas semelhantes às apresentadas
a seguir.
Tarefa a)
Os coeficientes de x2, y2 e z2 não são iguais, então não é uma superfície esférica.
Tarefa b)
Espera-se que o estudante observe que é uma superfície esférica de centro
C=(1,-2,1) e raio 8
Tarefa c)
A justificativa que provavelmente seja apresentada pelo estudante é que a equação
não representa uma superfície esférica pois o segundo membro é negativo, não
podendo então ser associado ao
Tarefa d)
Espera-se que o estudante observe que não é uma superfície esférica pois y não
está ao quadrado.
Tarefa e)
Espera-se que o estudante observe que não é uma superfície esférica pois aparece
o termo .
105
Tarefa f)
Espera-se que o estudante, por comparação com a equação da superfície esférica
obtida, observe que a equação dada apresenta apenas duas variáveis, logo não
pode representar uma superfície esférica
Tarefa g) Nessa tarefa, espera-se que o estudante reconheça que a equação dada é
de uma superfície esférica com centro e raio 4.
5.7 - APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE 7
A Atividade 7 tem por objetivo observar se os estudantes detectam os
elementos necessários para a determinação da equação de uma superfície esférica
partindo de seu registro gráfico. Nesta atividade, não serão apresentados o centro e
o raio da mesma, cabendo ao estudante determinar estes dados no software para a
posterior construção da equação.
ATIVIDADE 7 - DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA
PARTINDO DO REGISTRO GRÁFICO
Considere o sistema de coordenadas ortonormais
Tarefa a) Abra o arquivo 1. Dada a superfície esférica na tela do Cabri, determine
sua equação no ambiente papel&lápis. Você pode utilizar qualquer comando do
software, exceto o comando de equação.
T Tarefa b) Verifique no software se a equação encontrada está correta. Relate se
está correta e, caso não esteja, registre no espaço abaixo as duas equações
obtidas. Em seguida, reflita sobre sua produção.
Quadro 16 - Atividade 7
A Atividade 7 tem como ambientes de trabalho o Cabri 3D e o papel e lápis e
visa a determinação da equação da superfície esférica partindo do registro gráfico.
Na Tarefa a, que envolve conversões entre os registros gráfico, da língua natural e
106
simbólico-algébrico, pretende-se que o estudante detecte os elementos necessários
no registro gráfico para a construção da equação da superfície esférica. Neste caso,
espera-se que ele busque a determinação do centro e, por meio da distância entre o
centro e um ponto qualquer da superfície esférica, determine o seu raio. Espera-se
que o estudante, partindo dos conhecimentos construídos nas atividades realizadas
anteriormente, consiga representar a superfície esférica algebricamente sem que
haja intervenção do professor-pesquisador. Na Tarefa b, pretende-se que o
estudante avalie e valide sua produção utilizando o comando de determinação de
equação existente no software.
A seguir, apresenta-se a resolução esperada para estas tarefas.
Tarefa a) Dada a superfície esférica na tela do Cabri, determine sua
representação algébrica no ambiente papel e lápis. Você pode utilizar qualquer
comando do software, exceto o comando de equação.
O estudante encontrará a seguinte representação no Cabri 3D
Figura 33 - Tarefa a da Atividade 7 - construção no Cabri 3D
107
Primeiro espera-se que o estudante determine as coordenadas do centro e,
em seguida, crie um ponto qualquer na superfície. Depois determine a distância
entre o centro e esse ponto, como apresentado no quadro a seguir.
Figura 37 - Tarefa a da Atividade 7 - construção no Cabri 3D
Com o centro e o raio, espera-se que, no ambiente papel e lápis, o estudante
construa a seguinte resolução.
Tarefa b) Verifique no software se a equação encontrada está correta.
O estudante, no ambiente do Cabri, acionará o comando equações existente
na barra de ferramentas e clicará sobre a superfície, obtendo a equação da
superfície, como apresentado na figura a seguir:
108
Figura 38 - Tarefa b da Atividade 7 - construção no Cabri 3D
Poderá então comparar se a equação feita na Tarefa a coincide com a
apresentada pelo software Cabri 3D.
Caso não tenha acertado, o professor-pesquisador poderá questionar o
estudante com relação às atividades anteriores.
5.8 - APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE 8
Esta atividade tem por objetivo investigar se o sujeito é capaz de fornecer a
equação genérica da superfície esférica, tanto na sua forma reduzida como na geral.
Ela envolve conversões da língua natural para o registro simbólico-algébrico e
tratamentos no registro simbólico-algébrico.
ATIVIDADE 8 - ATIVIDADE DE GENERALIZAÇÃO NO REGISTRO SIMBÓLICO-
ALGÉBRICO
a) Considere o sistema de coordenadas ortonormais
b) Tarefa a) Como você representaria a equação da superfície esférica de centro
C=(a,b,c) e raio r?
c) Tarefa b) Esta forma de representar a equação é denominada equação reduzida
109
de uma superfície esférica. Ao desenvolvê-la, obtém-se a equação geral da
superfície esférica.
Partindo disso, determine a equação geral da superfície esférica de centro
C=(a,b,c) e raio r.
Quadro 17 - Atividade 8
Por meio da Atividade 8, pretende-se avaliar se o estudante, após o contato
com as atividades anteriores, determina a equação genérica do objeto superfície
esférica, tanto na forma reduzida como na geral. Esta atividade será realizada no
ambiente papel e lápis. Como alguns autores, tais como Karrer (2006) e Pavlopoulou
(1993), relataram as dificuldades dos estudantes com questões que envolvem este
tipo de tratamento no registro simbólico-algébrico,acreditamos que possam surgir
dificuldades na resolução da atividade. Se isso ocorrer, o professor pesquisador
lançará novos questionamentos, solicitando comparações com as tarefas anteriores,
a fim de auxiliar os estudantes nessa construção. A Tarefa b envolve tratamentos no
registro simbólico-algébrico. É provável que os estudantes não apresentem
dificuldades nesta tarefa.
Apresentamos a seguir a resolução das tarefas a e b da atividade 8.
Tarefa a) Considere o sistema de coordenadas ortonormais
Como você representaria a equação da superfície esférica de centro C=(a,b,c) e raio
r?
Espera-se que o estudante trabalhe do mesmo modo que na atividade 7.
Tarefa b) Determine a equação geral da superfície esférica, desenvolvendo a
equação anterior
Espera-se que o estudante faça o tratamento no registro simbólico algébrico:
110
5.9 - APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE 9
A Atividade 9 tem por objetivo observar se os estudantes determinam o centro
e o raio de uma superfície esférica, partindo de sua equação geral. Para isso, farão
tratamentos no registro simbólico-algébrico no ambiente papel e lápis.
ATIVIDADE 9 - DETERMINAÇÃO DE CENTRO E RAIO PARTINDO DA
EQUAÇÃO GERAL
Considere o sistema de coordenadas ortonormais . Determine
nas equações abaixo, o centro e o raio da superfície esférica. Para isso,
estabeleça uma comparação entre cada equação apresentada a seguir com a
equação geral desenvolvida na atividade anterior.
Tarefa a)
Tarefa b)
Tarefa c)
Quadro 18 - Atividade 9
Na Tarefa a, espera-se que o estudante determine que o centro da superfície
esférica é e o raio é 4. Na Tarefa b, espera-se que o estudante
determine que o centro da superfície esférica é e o raio é . Na
Tarefa c, espera-se que o estudante determine que o centro é e o raio é 3.
5.10 - APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE 10
A Atividade 10 tem por objetivo observar se os estudantes reconhecem e
diferenciam uma equação de superfície esférica dentre uma amostra de equações
de diversos objetos matemáticos.
111
ATIVIDADE 10 - RECONHECIMENTO DA EQUAÇÃO DE UMA SUPERFÍCIE
ESFÉRICA
Considere o sistema de coordenadas ortonormais . Das equações
seguintes, identifique as que representam uma superfície esférica, determinando
seu centro e seu raio. Se a equação não representar uma superfície esférica,
apresente justificativas.
Tarefa a)
Tarefa b)
Tarefa c)
Tarefa d)
Tarefa e)
Quadro 19 - Atividade 10
Espera-se que o estudante reconheça que apenas as tarefas a e d
representam superfícies esféricas e que justifique, de alguma forma, o motivo de as
demais não representarem esse objeto matemático.
112
6. DESCRIÇÃO DA FASE 2 - APLICAÇÃO DO EXPERIMENTO A UM GRUPO DE
PESQUISADORES
O experimento elaborado pelo professor-pesquisador, apresentado no
capítulo anterior, foi aplicado a um grupo de treze sujeitos, os quais eram
professores e pesquisadores, todos atuantes na área de Educação Matemática.
Essa aplicação foi realizada organizando os indivíduos em cinco duplas e um trio e,
ao final da seção, foi realizada uma discussão com todos os participantes.
Foi aplicado um questionário para levantamento de perfil (conforme Anexo III),
o qual revelou que sete sujeitos atuam no ensino superior e os demais apenas no
ensino médio. Daqueles que atuam no ensino superior, nenhum ministra a disciplina
de Geometria Analítica. Nove utilizam ferramentas computacionais em suas
atividades docentes e apenas seis já conheciam o software Cabri 3D. Do grupo,
nove já haviam tido contato com a teoria dos registros de representações semióticas
de Duval.
O papel dos participantes da fase 2 foi fundamental para que fizéssemos o
redesign no experimento, uma vez que eles o avaliaram fornecendo sugestões após
a análise de cada atividade.
A seguir, serão apresentadas as principais contribuições desse grupo e as
atividades remodeladas a partir das mesmas.
Na atividade de familiarização, foram solicitadas alterações de escrita,
visando favorecer a compreensão dos estudantes. Essa atividade remodelada
encontra-se no Anexo II.
Uma primeira sugestão do grupo consistiu na reformulação da primeira
atividade, inserindo o comando de “rastro”, para que o estudante pudesse
conjecturar que, movimentando a extremidade de um vetor com origem fixa e
módulo fixo, são encontrados pontos que constituirão uma superfície esférica. Foi
solicitada a junção em uma única atividade dos casos em que a superfície esférica
tem centro na origem com os que o centro está fora da origem do sistema de
coordenadas cartesianas . Outro ponto destacado por todos os
presentes foi referente ao fato de incluir, no enunciado, a solicitação da
movimentação do plano de referência, para obter novas vistas do objeto. Além disso,
teve-se como sugestão a inserção de questões no registro da língua natural, a fim
de observar se os estudantes conseguem apresentar, neste registro, suas
113
compreensões a respeito da superfície esférica. Nesta situação, pretende-se
verificar se os alunos relatam de alguma forma, a manutenção da distância entre o
ponto fixo e os pontos obtidos no rastro, antes da solicitação da formulação da
equação da superfície esférica.
Desta forma, o redesign do experimento, a partir dessas contribuições, é
apresentado a seguir.
Com essa reformulação, a atividade 1 teve por objetivo proporcionar aos
participantes, através do ambiente de experimentação Cabri 3D, a observação de
que uma superfície esférica é o lugar geométrico cujos pontos equidistam de um
ponto fixo denominado centro, sendo a língua natural o registro de partida nos
enunciados apresentados. Ao depararem com a tela do software, esperava-se, por
parte dos participantes, que fizessem tratamentos no registro gráfico, fornecendo em
seguida suas conclusões no registro da língua natural. Ainda nesta atividade,
esperava-se que o estudante, na interação com o software, observasse as relações
entre representações dos registros algébrico e gráfico.
ATIVIDADE 1 - EXPERIMENTAÇÃO NO CABRI 3D
Considere o sistema de coordenadas ortonormais
Tarefa a) Abra o arquivo ATIVIDADE_4a do Cabri 3D. Na tela é dado um vetor
cuja origem coincide com a origem do sistema. Este vetor tem módulo igual a 3
cm. Usando o comando trajetória do software, mexa na extremidade do vetor.
Com o botão direito, mude a posição do plano de referência, para obter várias
vistas do objeto e continue mexendo no vetor e observando a trajetória. Que
objeto gráfico você acha que os pontos obtidos pela movimentação dessa
extremidade definem? Ao realizar estas alterações na extremidade do vetor, houve
mudança no valor de seu módulo?
Tarefa b) Utilizando um comando do Cabri, construa o objeto gráfico que você
acha que esta trajetória define.
Tarefa c) Verifique se o objeto gráfico fornecido pelo software coincide com o
objeto que você achou que os pontos da trajetória definiriam. Para isso, na barra
de menu, em “exibir”, acione o comando “mostrar objetos escondidos”. Escreva
suas conclusões.
114
Tarefa d) Registre, com suas palavras, o que pôde ser observado e como você
definiria uma superfície esférica.
Tarefa e) Denominando qualquer um dos pontos obtidos na trajetória por (x,y,z),
qual seria a equação algébrica dessa superfície esférica?
Tarefa f) Expresse a equação desta superfície esférica por meio do software e
verifique se coincide com o que você obteve no item anterior. Como você relaciona
a equação dessa superfície com a sua representação gráfica? O que você
observa?
Tarefa g) Abra o arquivo ATIVIDADE_4b do Cabri 3D. Na tela é dado um vetor
cuja origem coincide com a origem do sistema. Construa a superfície esférica com
raio igual ao módulo deste vetor e solicite sua equação. Altere a extremidade dele
e observe o que ocorre no gráfico e na equação.
Tarefa h) Abra o arquivo ATIVIDADE_4c do Cabri 3D. Na tela é dado um vetor
cuja origem não coincide com a origem do sistema. Peça as coordenadas da
origem desse vetor. Construa a superfície esférica com raio igual ao módulo deste
vetor e centro na origem desse vetor. Mude o estilo da superfície para o estilo
“pequenos discos”. Solicite sua equação. Comparando a equação obtida com o
centro da superfície e com a equação , o que você observa?
Tarefa i) Com o botão esquerdo, selecione a superfície esférica para deslocá-la.
Descreva o que você observa no gráfico e na equação.
Tarefa j) Agora altere o módulo do vetor esticando-o pela sua extremidade. O que
ocorre com o gráfico e com a equação?
A atividade 2 teve por objetivo avaliar se as tarefas anteriores foram
suficientes para que os participantes pudessem reconhecer a equação reduzida de
uma superfície esférica, determinando o seu centro e o seu raio. Os registros
presentes nos enunciados foram o da língua natural e o registro simbólico-algébrico
e as conversões requeridas foram do registro gráfico para o simbólico-algébrico, do
simbólico-algébrico para os registros numérico e gráfico e do simbólico-algébrico
para a língua natural escrita.
115
ATIVIDADE 2 _ RECONHECIMENTO DA EQUAÇÃO REDUZIDA DE UMA
SUPERFÍCIE ESFÉRICA E DETERMINAÇÃO DE SEU CENTRO E RAIO
(SITUAÇÕES COM CENTRO NA ORIGEM)
Tarefa a. No Cabri, construa um vetor com origem coincidente com a origem do
sistema Construa uma superfície esférica com centro igual ao
módulo desse vetor. Solicite sua equação. Altere a extremidade do vetor e
preencha a tabela seguinte.
Equação da superfície
esférica
Módulo do vetor Coordenadas de e
O que você conclui?
Tarefa b) Considere o sistema de coordenadas ortonormais .
Determine, nas equações abaixo, o centro e o raio da superfície esférica:
a) b) c) d)
Tarefa c). Considere o sistema de coordenadas ortonormais .
Das equações seguintes, determine no ambiente do Cabri 3D a representação
gráfica, identifique as que representam uma superfície esférica e justifique:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
116
A atividade 3 teve por objetivo a identificação do centro e do raio de
superfícies esféricas com centro fora da origem do sistema, envolvendo conversões
do registro simbólico-algébrico para o registro numérico.
ATIVIDADE 3 _ DETERMINAÇÃO DO CENTRO E DO RAIO DE UMA
SUPERFÍCIE ESFÉRICA A PARTIR DA EQUAÇÃO REDUZIDA (SITUAÇÕES
COM CENTRO FORA DA ORIGEM)
Considere o sistema de coordenadas ortonormais .
Determine nas equações abaixo, o centro e o raio da superfície esférica:
Tarefa a.
Tarefa b.
Tarefa c.
A atividade 4 teve por objetivo o reconhecimento do objeto matemático
superfície esférica no registro simbólico-algébrico. No enunciado utilizamo-nos do
registro da língua natural e do registro simbólico-algébrico. Esperávamos que os
participantes reconhecessem o objeto e que fizessem a conversão para o registro
numérico, seguida da conversão para o registro gráfico.
ATIVIDADE 4 _ RECONHECIMENTO DE EQUAÇÕES REDUZIDAS DE
SUPERFÍCIES ESFÉRICAS (SITUAÇÕES COM CENTRO FORA DA ORIGEM)
Considere o sistema de coordenadas ortonormais
Das equações seguintes, identifique e construa no ambente do Cabri 3D as que
representam uma superfície esférica e justifique:
Tarefa a)
Tarefa b)
Tarefa c)
Tarefa d)
Tarefa e)
Tarefa f)
Tarefa g)
117
A atividade 5 teve por objetivo a exploração da conversão partindo da
representação gráfica do objeto matemático superfície esférica. Esperava-se que os
estudantes identificassem, no ambiente de experimentação Cabri 3D, os elementos
necessários para a determinação da representação no registro simbólico-algébrico.
No enunciado utilizamo-nos dos registros da língua natural. Criamos um arquivo no
Cabri 3D que continha a representação gráfica de uma dada superfície esférica,
para que o estudante determinasse o seu centro e raio, para então fazer a
conversão para o registro simbólico-algébrico.
ATIVIDADE 5 _ DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA
PARTINDO DO REGISTRO GRÁFICO
Considere o sistema de coordenadas ortonormais .
Tarefa a) Dada a superfície esférica, na tela do Cabri, determine sua
representação algébrica no ambiente papel e lápis. Você pode utilizar qualquer
comando do software, exceto o comando de equação.
Tarefa b) Verifique no software se a equação encontrada está correta. Relate se
está correta e, caso não esteja, registre no espaço abaixo as duas equações
obtidas. Em seguida, reflita sobre sua produção.
A atividade 6 teve por objetivo a generalização do objeto superfície esférica
no registro simbólico-algébrico. Esperávamos que os participantes interpretassem o
enunciado dado na língua natural, construíssem a equação reduzida da superfície
esférica e efetuassem tratamentos no registro simbólico-algébrico para a obtenção
da equação geral.
ATIVIDADE 6 _ ATIVIDADE DE GENERALIZAÇÃO NO REGISTRO
SIMBÓLICO-ALGÉBRICO
Considere o sistema de coordenadas ortonormais .
d) Tarefa a) Como você representaria a equação da superfície esférica de centro
e raio ?
e) Tarefa b) Esta forma de representar a equação é denominada equação reduzida
de uma superfície esférica. Ao desenvolvê-la e igualá-la a zero, obtém-se a
equação geral da superfície esférica.
118
f) Partindo disso, determine a equação geral da superfície esférica de centro
e raio .
A atividade 7 teve por objetivo a obtenção do centro e do raio das superfícies
esféricas representadas na forma da sua equação geral. No enunciado, utilizamo-
nos do registro da língua natural e do registro simbólico-algébrico. Esperávamos que
os participantes comparassem a equação obtida na Atividade 6 com as propostas na
Atividade 7 para a realização desta tarefa.
ATIVIDADE 7 - DETERMINAÇÃO DE CENTRO E RAIO PARTINDO DA
EQUAÇÃO GERAL
Considere o sistema de coordenadas ortonormais . Determine nas
equações abaixo, o centro e o raio da superfície esférica. Para isso, estabeleça
uma comparação entre cada equação apresentada a seguir com a equação geral
desenvolvida na atividade anterior.
Tarefa a)
Tarefa b)
Tarefa c)
A atividade 8 teve por objetivo o reconhecimento da superfície esférica na
forma da sua equação geral. Nos enunciados utilizamos os registros da língua
natural e simbólico-algébrico. Esperamos por parte dos participantes que
reconheçam o objeto de estudo nessa forma de representação como também
utilizem-se do registro da língua natural para expressar o entendimento da atividade.
Espera-se que, partindo da equação geral, obtenham o centro e o raio das
superfícies .
ATIVIDADE 8 - RECONHECIMENTO DA EQUAÇÃO GERAL DE UMA
SUPERFÍCIE ESFÉRICA
Considere o sistema de coordenadas ortonormais . Das equações
seguintes, identifique as que representam uma superfície esférica, determinando
seu centro e seu raio. Se a equação não representar uma superfície esférica,
119
apresente justificativas.
Tarefa a)
Tarefa b)
Tarefa c)
Tarefa d)
Tarefa e)
A atividade 9 teve por objetivo propor uma introdução à análise da intersecção
entre uma superfície esférica e um plano secante a esta, na qual o ambiente de
experimentação Cabri 3D tem aspecto fundamental pelo seu caráter dinâmico. Nos
enunciados utilizamo-nos do registro da língua natural. Esperamos que os
participantes reconheçam a curva gerada pela intersecção, efetuando uma
conversão do registro gráfico para o registro simbólico-algébrico.
ATIVIDADE 9 - INTERSECÇÃO ENTRE PLANO E SUPERFÍCIE ESFÉRICA
Considere o sistema de coordenadas ortonormais .
Tarefa a) Crie no ambiente do Cabri 3D uma superfície esférica com centro na
origem do sistema (0,0,0). Crie a curva de intersecção entre o plano e a superfície
esférica. Como você representaria algebricamente esta curva? Justifique a sua
resposta apresentando esta representação e utilizando os recursos do software,
explicitando cada etapa desenvolvida.
( Sugestão: utilize a opção NOVA VISTA do software).
A atividade 10 teve por objetivo avaliar se os participantes conseguiriam
reconhecer o tipo de curva gerada pela intersecção entre a superfície esférica e o
plano como também saber quais elementos comprovam e validam a sua conclusão.
Utilizamos nos enunciados representações do registro da língua natural e, no
ambiente do Cabri 3D, um arquivo com representação do registro gráfico para a
realização da atividade. Espera-se que os participantes primeiramente reconheçam
a intersecção entre a superfície e o plano secante a ela, como também estabeleçam
uma estratégia para comprovar que a curva gerada entre a superfície esférica e um
plano secante a ela é sempre uma circunferência. Como estratégias de resolução,
120
esperava-se ou a busca da resolução do sistema constituído pelas equações da
superfície esférica e do plano, ou a exploração dos recursos oferecidos pelo
ambiente do Cabri 3D.
ATIVIDADE 10 - ATIVIDADE DESAFIO
Considere o sistema de coordenadas ortonormais .
Tarefa a) Abra o arquivo da atividade 10, denominado Fig 10, criado no Cabri 3D.
Observe a intersecção entre o plano e a superfície esférica a este ponto. Como
você explicaria a um colega que a intersecção entre esta superfície esférica e o
plano dado secante a ela é uma circunferência? Determine a equação desta
circunferência.
Tarefa b) Movimente o plano ( pelo ponto B ou pelo E) mantendo-o secante à
superfície esférica e observe a equação do plano e o que acontece na secção. O
que se observa na secção? Houve alteração na distância do centro ao ponto A?
Justifique a sua resposta.
Tarefa c) Generalizando a secção de um plano π qualquer secante a uma
superfície esférica α, qual figura geométrica será obtida?
No capítulo seguinte, serão apresentados os resultados da aplicação desse
experimento.
121
7. DESCRIÇÃO DA FASE 3 - APLICAÇÃO DO EXPERIMENTO A DUAS DUPLAS
DE GRADUADOS EM LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Nessa terceira fase, foi aplicado o experimento remodelado pelo professor-
pesquisador após analisar e adaptar as contribuições do grupo de pesquisadores da
fase 2 e da banca de qualificação. Os sujeitos trabalharam em duplas e em dias
diferenciados, o que permitiu uma análise mais aprofundada de suas produções.
Apesar de todos os sujeitos terem se graduado em Licenciatura em Matemática,
nenhum deles teve contato anterior com o tema "Superfícies Esféricas" na disciplina
de Geometria Analítica.
O experimento foi aplicado em uma sala equipada com um computador com o
software Cabri 3D instalado. Para a captura das produções dos sujeitos, foram
utilizados o programa de captura Camtasia, uma câmera e um microfone acoplados
ao computador, papel, lápis e as atividades devidamente impressas.
Apresentaremos as descrições de cada dupla, identificando-as como Dupla
1(D1),composta pelos Participante 1 (P1) e Participante 2 (P2), e como Dupla 2 (D2),
composta pelos Participante 3 (P3) e Participante 4 (P4)
7. 1. ANÁLISE DA APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES DE FAMILIARIZAÇÃO NO
CABRI 3D
No primeiro encontro com cada dupla, fez-se a atividade de familiarização,
tendo em vista que nenhum dos participantes havia tido contato anterior com o
software Cabri 3D. Os participantes não tiveram dificuldade em realizar a
familiarização proposta. Eles apresentaram muito interesse em explorar o software e
os recursos proporcionados por ele. Nesse primeiro encontro discutimos de forma
breve sobre a utilização de um ambiente computacional de representação em 3D,
sendo que os participantes apresentaram comentários que reforçaram alguns pontos
apontados por outros pesquisadores presentes em nossa revisão de literatura, como
por exemplo:
P4: “Nossa, é muito mais fácil “desenhar” um vetor, um cubo, ou figuras no
“espaço” em um programa desse tipo do que se tivéssemos que fazer isso no papel!
Fora que é mais rápido também... até para começar a construção novamente.”
122
Podemos relacionar esse comentário com o trabalho de Chaachoa (1997),
quando ela faz referência ao Cabri 3D, estabelecendo uma alusão ao fato de que ele
permite uma realidade espacial de objetos geométricos, favorecendo manipulá-los,
alterá-los ou desfazê-los.
As duplas não demonstraram dificuldades ao seguir a familiarização proposta
e fizeram-na sem a necessidade de intervenção do professor-pesquisador.
7.2 - ANÁLISE DA APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES
No segundo encontro com cada dupla, fez-se a aplicação do experimento
remodelado, composto por nove atividades.
O professor-pesquisador fez uma breve introdução à Geometria Analítica,
recordando com os participantes os elementos básicos dessa disciplina, a fim de
favorecer a condução do experimento. Em uma breve reminiscência da designação
da Geometria Analítica, o professor-pesquisador recordou com as duplas que, por
meio dela, faz-se a relação entre a álgebra e a geometria, o que possibilita um
estudo mais aprofundado de objetos geométricos. Enfatizou nesta introdução a
importância de se fazer uma conexão entre os registros inerentes a um objeto
matemático, observando suas propriedades em cada registro, ressaltando que a
observação e a análise das propriedades de cada objeto matemático representado
em um determinado registro, bem como a articulação entre representações do
mesmo objeto em outros registros, seria fundamental no decorrer do experimento.
Reforçou, também, que estavam trabalhando no espaço, adotando o sistema
de coordenadas ortonormais, , e discutiu sobre a diferença entre sólido
e superfície de sólido.
7.2.1 - Análise da ATIVIDADE 1
De início, foi proposta uma atividade de experimentação no Cabri 3D,
organizada em dez tarefas intitulada Atividade 1.
123
Na tarefa a, teve-se por objetivo, através do ambiente de experimentação
Cabri 3D, propiciar aos estudantes a observação de que a superfície esférica é o
lugar geométrico cujos pontos eqüidistam de um ponto fixo denominado centro.
Os participantes utilizaram um arquivo previamente criado no ambiente do
Cabri 3D, que apresentaria o representante de um vetor de módulo 3, com origem na
origem do sistema, conforme apresentado na figura a seguir:
Figura 39 - Arquivo no Cabri 3D da tarefa d da Atividade 7
Pediu-se então que eles utilizassem o comando trajetória do Cabri 3D na
extremidade desse representante e, em seguida o movimentasse, obtendo um
rastro, formando assim uma representação de um lugar geométrico nesse ambiente,
conforme pode ser observado na figura 40.
Figura 40 - Produção da Dupla 1 na Tarefa a da Atividade 1
124
Explorando o recurso do software, pediu-se também que os participantes
movimentassem o plano, obtendo novas vistas do objeto gráfico. Após realizarem
essa primeira etapa da Tarefa a, eles começaram a responder os questionamentos
propostos: “Que objeto gráfico você acha que os pontos obtidos pela movimentação
dessa extremidade definem? Ao realizar estas alterações na extremidade do
representante do vetor, houve mudança no valor de seu módulo?”
Um dos participantes da D1, em um primeiro momento, após movimentar o
plano, comentou com o colega que parecia uma semi-esfera. P2 pegou o mouse,
movimentou mais o plano e comentou:
P2: “Não... presta atenção... a gente não mexeu pra (sic) esse lado... parece
uma bola! (dá um sorriso)... isso é uma superfície esférica?”
Ele olhou para o professor-pesquisador a fim de buscar uma confirmação de
sua observação. Neste momento, o professor-pesquisador solicitou que eles
continuassem manipulando o software.
A partir daí, ambos relataram que o objeto formado pela trajetória seria uma
superfície esférica.
Com relação à D2, houve uma resposta quase que automática do Participante
3, o qual afirmou ter obtido uma superfície esférica. Mesmo não discordando, o
Participante 4 moveu mais uma vez o plano e comentou que eles “desenharam”
apenas uma parte de uma superfície. Ambos observaram, movimentando mais uma
vez a extremidade do representante do vetor, que seu módulo não sofreu alteração.
Podemos observar que o dinamismo do software favoreceu as duplas quanto
à análise do objeto em estudo, possibilitando que obtivessem a visão dessa
representação gráfica em outras perspectivas. Tanto D1 como D2 comentaram num
primeiro momento sobre a observação de uma semi- superfície esférica. Isto porque,
ao movimentarem o representante do vetor com o comando rastro, conseguiram
“construir” um rastro de pontos sempre na visão frontal do objeto mas, com a
possibilidade de movimentação do plano de referência, puderam completar a
superfície, observando assim que o objeto obtido era uma superfície esférica.
Salienta-se que para obter a visão total da superfície esférica no software, é
necessário manipular o plano e continuar com a construção da trajetória. Caso esse
movimento não seja realizado, tem-se apenas a visão da superfície de uma semi-
esfera.
125
Na tarefa b, foi proposto que eles criassem no ambiente do Cabri 3D o objeto
gráfico que a trajetória da atividade 1 formou.
Obtivemos nessa tarefa duas construções distintas das duplas, uma pela
observação do objeto quanto à sua forma e outra considerando o seu centro e raio.
A D1 abriu no Cabri 3D nova tela para construir o objeto que teria observado,
considerando nessa construção que o centro da superfície esférica estava na origem
do sistema e que o comprimento do raio dessa superfície era de 3 cm, obtendo a
seguinte construção.
Figura 41 - Produção da Dupla 1 nas Tarefas a e b da Atividade 1
A D2 criou um objeto apenas considerando sua forma, na mesma tela da
tarefa proposta, ou seja, não construiu uma superfície respeitando o raio e o centro
do exemplo dado no ambiente do Cabri 3D.
126
A seguir apresentamos a construção dessa dupla.
Figura 42 - Produção da Dupla 2 nas Tarefas a e b da Atividade 1
Na tarefa c, pediu-se aos participantes que verificassem se o objeto fornecido
pelo software coincidia com o objeto por eles construído. No software, a superfície
estava oculta, então se pediu que eles exibissem os objetos escondidos. As duplas
ficaram satisfeitas com a confirmação de que identificaram corretamente o objeto
gráfico; a D1, quanto à reprodução exata do objeto gráfico, já a D2, quanto à sua
forma.
Nas conclusões, D1 registra que o objeto construído por eles coincidia com o
primeiro proposto na atividade. D2 registra que havia acertado o reconhecimento do
tipo de superfície.
Na tarefa d, foi pedido que registrassem, na língua natural, o que puderam
observar nessa atividade e como definiriam uma superfície esférica.
127
A D1 apresentou uma definição de superfície esférica influenciada pela
representação da trajetória, conforme apresentado na figura 43.
Figura 43 - Produção da Dupla 1 na Tarefa d da Atividade 1
Podemos observar que, apesar da compreensão da propriedade do objeto
matemático, os estudantes da dupla não se utilizaram do registro da língua natural
de maneira apropriada. Isto porque, eles definiram o centro da superfície esférica
como a origem do sistema, provavelmente influenciados pela situação particular
proposta, na qual o centro da superfície coincidia com a origem do sistema.
A D2 registrou na língua natural a definição de superfície esférica tendo por
base o conhecimento da definição de circunferência, ou seja, definiu a superfície
esférica como o lugar geométrico cujos pontos eqüidistam de um ponto de referência
no espaço.
Figura 44 - Produção da Dupla 2 na Tarefa d da Atividade 1
Pode-se notar certa segurança dos dois participantes ao utilizar a palavra
eqüidistância dos pontos da superfície e o seu centro.
128
Observou-se também a influência positiva do software para esta
compreensão. Isto porque o comando trajetória se utiliza da representação de
pontos para desenhar o rastro, ou seja, favorece a observação de que o objeto
geométrico é formado por infinitos pontos e que o valor do módulo do vetor
permanece constante mesmo quando é movimentado.
Na tarefa seguinte pediu-se aos participantes que registrassem
algebricamente a equação da superfície esférica dessa atividade, considerando um
ponto de coordenadas (x,y,z).
Não se observou dificuldade por parte das duplas nessa atividade, pois os
participantes relembraram da equação reduzida da circunferência e expressaram a
equação da superfície esférica da seguinte maneira :
Na Tarefa f, solicitou-se aos sujeitos a utilização do recurso do software para
obter a equação dessa superfície e conferir se a equação desenvolvida por eles na
tarefa anterior era igual. Aproveitando a possibilidade de obter no software
representações dos registros gráfico, numérico e algébrico, a tarefa propôs aos
participantes que relacionassem os registros.
Antes da resolução dessa tarefa,o professor-pesquisador solicitou que
manipulassem a figura, para que pudessem observar os registros apresentados na
tela, visando que o software se constituísse em uma ferramenta de apoio à
elaboração de conjecturas dos alunos.
As duplas,após alguns instantes, chegaram à conclusão de que o módulo do
vetor representava o raio da superfície esférica e que as coordenadas do centro
eram (0,0,0).
Seguiu-se então com a Tarefa g, cuja representação no Cabri 3D já estava
previamente construída e intitulada como ATIVIDADE_1c. Foi dado o representante
de um vetor com origem coincidente com a origem do sistema , o qual apresentamos
na figura a seguir.
129
Figura 45 - Figura apresentada aos estudantes pelo Cabri 3D
Pediu-se aos participantes que criassem uma superfície esférica com raio
igual ao módulo do vetor e que explicitassem a equação dessa superfície por meio
do software. Objetivando que a dupla explorasse os recursos dinâmicos desse
software, solicitou-se que alterassem a extremidade desse representante e
observassem o que ocorria na equação. Tanto na construção quanto na observação
os estudantes não apresentaram dificuldades. Notaram que apenas o termo
independente da equação, que representava o raio, sofria alterações.
Na figura a seguir apresentamos a visualização obtida pela dupla 1 e como o
dinamismo do software possibilitou a diferenciação na equação reduzida da
superfície esférica quando a extremidade do representante do vetor era alterado.
130
Figura 46 - Produção da Dupla 1 na Tarefa g da Atividade 1
Constatou-se nessa etapa da Atividade 1, que a utilização do software, pelo
seu aspecto dinâmico, favoreceu a relação entre os registros gráfico e algébrico,
131
permitindo ao estudante a observação das características e propriedades do objeto
superfície esférica em cada um desses registros.
Na Tarefa h, cujo centro da superfície esférica não coincidia com a origem do
sistema, observamos diferentes estratégias das duplas na observação do objeto
matemático apresentado.
A D1, ao construir a superfície esférica com centro na origem do
representante do vetor apresentado e raio de mesmo módulo que o vetor, foi
executando a tarefa, movimentou o plano, observando o objeto matemático e
comentou que a mudança estava justamente nos valores do centro, já que a
superfície esférica não tinha mais o centro coincidente com a origem do sistema.
Logo P2 comenta...
P2: “Tá (sic) vendo? Olha aqui... estes valores. Os valores aqui do centro
aparecem na equação com o sinal trocado! Na atividade 1, como os valores eram
(0,0,0) não apareciam aqui (aponta para a equação) na equação.”
P1 concorda e pergunta ao professor-pesquisador como a obter a
confirmação... “É isso mesmo, não é?”
Neste momento, o professor-pesquisador relembrou a importância da
observação das propriedades do objeto matemático nas suas diferentes
representações. Apresentamos a seguir a tela trabalhada pela D1.
132
Figura 47 - Produção da Dupla D1 na Tarefa h da Atividade 1
Neste contexto, o dinamismo da ferramenta permitiu que os alunos
conjecturassem sobre essa situação. O professor-pesquisador pediu à dupla que
registrasse com suas palavras o que observaram. Constatamos que, ao se utilizarem
do registro da língua natural, embora tivessem a compreensão da relação entre o
registro gráfico e o registro simbólico algébrico, os membros da D1 confundiram
novamente o centro da superfície esférica com a origem do sistema. Apresentamos
a seguir a resposta da D1 na tarefa h
Figura 48 - Produção da Dupla D1 na Tarefa h da Atividade 1
133
Constatamos que a dupla compreendeu a situação, porém, apresentou
dificuldades em relatá-la na língua natural escrita.
Nesta Tarefa, para a D2, o elemento que gerou dúvidas estava ligado à
representação gráfica do objeto. Seguiram as orientações da tarefa, primeiro
apresentando as coordenadas da origem do representante do vetor presente na tela
do Cabri 3D, construindo uma superfície com raio igual ao módulo desse vetor e
centro com mesma origem. Mudaram o estilo de superfície esférica, que foi proposto
para que tivessem melhor visualização de cada aspecto do objeto gráfico. Ao
solicitarem a equação da superfície esférica, num primeiro momento o Participante 3
questionou, influenciado pela imagem da tela, a coordenada do centro da superfície
esférica em relação ao plano z.
A figura da Tarefa h, utilizada pela dupla D2 está representada a seguir.
Figura 49 - Produção da Dupla D2 na Tarefa h da Atividade 1
P3 deixava claro em suas colocações que a figura não condizia com a
equação da superfície esférica, pois a origem do representante do vetor “parecia”
estar afixada no plano de referência xOy, ou seja, para ele, o centro dessa superfície
deveria possuir valor de z igual a zero. Ele afirmou que não conseguia “visualizar” a
relação entre esses dois registros representantes desse objeto matemático. P4,
pediu para o colega que esperasse e olhasse para a tela. Partiu para a utilização
dos recursos do software quanto à possibilidade de visualizar o objeto gráfico em
134
outras perspectivas. Ao visualizar o objeto gráfico em outra perspectiva, P3 se
convenceu de que a equação era a representação algébrica daquela superfície
esférica, ou seja, ele fez a associação entre os registros gráfico e algébrico.
Fica evidenciado que o dinamismo do software proporcionou ao aluno o
reforço de suas conjecturas, o que possivelmente não aconteceria se tivéssemos
apresentado esta tela em mídia impressa. As associações feitas entre os registros
seria influenciada pelo que se “vê” e como se interpreta essa imagem, como
aconteceu com a D2, que, em um primeiro momento, enxergava o representante do
vetor como tendo extremidade no plano xOy e só movimentando a imagem e
mudando o seu “ângulo de visão”, em uma nova perspectiva do objeto gráfico, pôde
observar que realmente a primeira imagem não apresentava as características do
objeto de maneira clara e direta.
Observamos no comentário de P3, a dificuldade de interpretação das
coordenadas do centro da superfície em relação à sua representação gráfica
apresentada inicialmente:
P3: “De acordo com o que está aqui, alterou as coordenadas x e y, mas de
acordo com essa figura, o centro dessa esfera, ele está no mesmo plano aqui ó ... se
estivesse no mesmo plano, não alteraria a coordenada z, somente x e y...”
A seguir apresentamos a imagem produzida pelos participantes da D2, após
movimentação do plano.
135
Figura 50 - Produção da Dupla D2 na Tarefa h da Atividade 1
Após a movimentação do plano e mudança da perspectiva, P3 comentou:
P3: “Ahhh, agora sim... “
P3 justificou a dificuldade de interpretação no primeiro momento ao valor das
coordenadas.
O professor-pesquisador indagou aos participantes que o fato de terem
mexido no plano facilitou a análise e a observação do objeto matemático e obteve
como resposta do participantes o comentário apresentado a seguir:
P3: "Nesse o centro ficou mais difícil de ver na maneira que estava, em
perspectiva... é assim, por que o valor da coordenada é muito baixo, por exemplo, se
fosse z igual a 30 aí seria mais fácil do cara visualizar."
A dupla continuou essa tarefa, primeiro deslocando a superfície, depois
alterando o módulo do vetor e observando o que ocorria com a equação, o raio e o
centro da superfície esférica. Fizeram as associações e relações entre as
representações gráfica e algébrica sem dificuldades. Na figura seguinte, a dupla
observou a relação entre as representações na mesma tela, e identificou o raio como
raiz quadrada do termo independente e as coordenadas do centro que se
apresentavam com sinal trocado na equação.
136
Conseguimos evidenciar com esta atividade que realmente a representação
gráfica em 3D pode distorcer enquanto registro de partida, ou melhor, a
interpretação do registro gráfico pode confundir o estudante de acordo com o modo
que esteja apresentado. Segundo Parzysz(1988), na representação de objetos
espaciais, necessariamente há perda de informações. Como a representação de um
objeto geométrico espacial em um suporte de desenho bidimensional é feita através
de projeções que não conservam todas as suas propriedades, isso levaria o aluno a
acreditar ou ter um palpite que pode, através de um desenho que não propicie
informações suficientes das propriedades do objeto em estudo, distorcer e confundir
esse objeto matemático com outro que apresente características e propriedades de
acordo com as suas observações e conjecturas.
Na Tarefa i pediu-se aos participantes que deslocassem a superfície esférica
e observassem a representação gráfica e a representação simbólico-algébrica. Os
estudantes da Dupla 2 relataram, na língua natural, que o centro não estava na
origem do sistema de coordenadas ortonormais e que, ao movimentarem a
superfície, alteravam-se "os valores de dentro dos parênteses", que determinariam o
centro dessa superfície esférica.
D1 demonstrou ter observado o que ocorria, mas ao utilizar-se da língua
natural, mais uma vez confundiu o centro com a origem, o que tornou a sua escrita
equivocada. Do jeito que explicitaram suas observações, fica clara a confusão
desses dois termos.
Figura 51 - Produção da Dupla D2 na Tarefa i da Atividade 1
Mesmo com uma diferenciação evidente entre as duplas, a atividade atingiu
os objetivos, primeiro nas conjecturas do objeto matemático superfície esférica e sua
representações numérica, gráfica e algébrica, como a confirmação de que a
utilização de um software dinâmico como ferramenta na apresentação e associação
dos registros inerentes ao objeto matemático é um facilitador nesse processo de
137
ensino e aprendizagem, no momento em que a manipulação do objeto matemático
pode levar o estudante a reavaliar suas observações e a retomar novas relações e
propriedades do objeto em estudo.
7.2.1.1 - Conclusões da Atividade 1
De acordo com os nossos objetivos nessa atividade, primeiramente pudemos
observar que a utilização de um ambiente computacional, no caso o Cabri 3D,
propiciou aos estudantes a observação das relações do objeto quanto as suas
formas gráfica, algébrica e numérica. O software foi um ambiente de experimentação
e validação. Em cada tarefa, a utilização do software contribuiu para as análises e
conclusões das duplas. Como também colocado por Bittar (1998), Silva (1999) e
Borba (2001), concluímos que um software pode favorecer a elaboração de
conjecturas pelos alunos e auxiliar no processo de construção matemática e, com
base em Healy (2000), constatamos que um ambiente dinâmico permite a
exploração explicita do objeto e de suas propriedades matemáticas.
Pudemos observar que as tarefas possibilitaram a cada dupla a avaliação da
definição do objeto matemático superfície esférica, seguindo-se da análise de suas
propriedades nos registros gráfico, numérico e simbólico-algébrico, o que vem de
encontro com os pressupostos teóricos de Duval (2006).
Salientamos que as duplas apresentaram duas análises diferenciadas do
objeto a ser reconhecido na tarefa a, pois uma dupla o analisou somente quanto à
sua forma, enquanto a outra reproduziu o objeto quanto à sua forma e também
quanto às propriedades do modelo proposto, respeitando o centro e o raio da
superfície esférica. Neste caso, na visão de Parzysz (1988), enquanto uma delas
respondeu a questão com base apenas no pólo do visto, a outra, que se preocupou
com as propriedades do objeto, tratou da situação no pólo do sabido.
Vale destacar que, na representação da língua natural, encontramos
dificuldades por parte de D1. Essa dificuldade provavelmente pode ser atribuída ao
fato de que, de acordo com Duval (2000), há no ensino uma tendência à utilização
dos registros monofuncionais em detrimento dos registros multifuncionais. A
utilização incorreta da língua natural demonstra que, apesar da compreensão dos
138
participantes quanto ao objeto matemático nos registro numérico, algébrico e gráfico,
eles não conseguiram relatar suas ideias corretamente nesse registro.
Para o estabelecimento das relações entre os registros gráfico e algébrico da
superfície esférica, o dinamismo do software foi um elemento de grande importância,
pois possibilitou a observação simultânea desses dois registros de representação,
uma vez que, a cada alteração em um dos representantes, automaticamente podia-
se notar a mudança na representação do outro registro, favorecendo a construção
do objeto e a análise de suas propriedades nas diferentes representações.
Ressaltamos também que o software adotado possibilitou o trabalho com
conversões que partiam do registro gráfico, o que é pouco usual, conforme constado
por Pavloupolou (1993), Karrer (2006) e Karrer e Barreiro (2009).
Ainda nessa atividade destacamos a importância da representação de objetos
3D em 2D. Mesmo com o dinamismo do software, a sua representação sempre está
num plano, ou seja, o que podemos observar são diferentes vistas de sua
representação. Na Tarefa h, ficou evidenciado que a representação de um objeto
tridimensional pode dificultar a interpretação e entendimento do aprendiz quanto ao
objeto em estudo. Chegamos à problemática apresentada por Parzysz (1988),
quando este afirma que o aspecto perceptivo de um objeto tal qual ele se apresenta
aos olhos pode levar a interpretações erradas e, consequentemente, a informações
distorcidas.
Reparamos que um dos membros da dupla D2 possuía uma grande
habilidade no tratamento algébrico, o que o levou ao questionamento da
representação gráfica visualizada na tela do software. Apesar de a ferramenta
desencadear inicialmente a confusão com relação à representação gráfica de
objetos tridimensionais, o seu dinamismo permitiu a mudança da visão do objeto,
favorecendo a reavaliação do questionamento. Ressaltamos que, neste momento de
conflito, os alunos buscaram reavaliar a situação de forma independente,
manipulando o plano de referência sem qualquer indicação do professor-
pesquisador.
Destacamos ainda, que apesar da limitação do software enquanto
representação tridimensional, acreditamos que se a representação estivesse
expressa em mídia estática ( livro, papel, lousa), a dificuldade de apresentação de
uma nova vista que fosse conveniente para a apresentação do objeto matemático
seria bem maior.
139
7.2.2 - Análise da ATIVIDADE 2
Na Atividade 2, teve-se por objetivo avaliar se as tarefas anteriores foram
suficientes para que os alunos pudessem reconhecer a equação reduzida de uma
superfície esférica, determinando seu centro e raio. Esta atividade continha três
tarefas. A Tarefa a teve início com a utilização da representação gráfica do
representante de um vetor no ambiente do Cabri 3D e de uma superfície esférica
com centro na origem desse representante e raio igual ao módulo deste vetor.
As duplas não apresentaram dificuldade para preencher a tabela que
solicitava a equação da superfície, o módulo do vetor e os números que
multiplicavam x², y² e z².
Apresentamos a seguir as imagens das representações construídas no
ambiente Cabri 3D seguidas das tabelas elaboradas pelas duplas no ambiente papel
e lápis.
140
Figura 52 - Produção da Dupla D1 na Tarefa a da Atividade 2
A estratégia da dupla 1 consistiu em alterar o comprimento do vetor, criando
assim as novas superfícies esféricas. Pôde-se observar a limitação do software
quando o raio da superfície esférica construída pela dupla foi igual a 9,1 cm,
141
gerando uma representação gráfica que não cabia nas áreas delimitadas na tela do
Cabri 3D.
Figura 53 - Produção da Dupla D1 na Tarefa a da Atividade 2
142
Figura 54 - Produção da Dupla D2 na Tarefa a da Atividade 2
A dupla 2 também teve por estratégia a alteração da extremidade do
representante do vetor para a obtenção de novas superfícies, sem que se fizesse
necessária a abertura de novas telas para a execução da atividade. Pode-se
143
observar, mais uma vez, a limitação do software quando o raio da superfície esférica
construída pela dupla foi igual a 11,3 cm.
Figura 55 - Produção da Dupla D2 na Tarefa a da Atividade 2
Pediu-se então para que as duplas registrassem suas conclusões a respeito
das relações entre os registros numérico, gráfico e algébrico das superfícies
registradas na tabela anterior, bem como nos arquivos salvos no ambiente do Cabri
3D. Pudemos observar, também nessa atividade, que D1, apesar de entender as
propriedades do objeto matemático, ao explicitar suas conclusões na língua natural,
confundiu novamente origem com centro.
Figura 56 - Produção da Dupla D1 na Tarefa a da Atividade 2
Coube ao professor-pesquisador intervir nesse segundo momento
questionando a dupla quanto à diferenciação entre a origem do sistema e o centro
da superfície esférica. Os participantes demonstraram que não haviam percebido o
engano quando se utilizaram do registro da língua natural e, só após a intervenção
do professor-pesquisador, relataram que a alteração então foi no tamanho do vetor
que representaria o raio da superfície e não no seu centro.
A D2 apresentou uma conclusão com um bom domínio no registro da língua
natural. Observamos que as duas duplas relacionaram o módulo do vetor com o raio
144
da superfície esférica, mas apenas D2 registrou suas observações quanto aos
coeficientes das variáveis x²,y² e z² . No quadro seguinte apresentamos a resposta
da dupla nessa etapa do experimento.
Figura 57 - Produção da Dupla D2 na Tarefa a da Atividade 2
Na Tarefa b, a dupla deveria, a partir da análise do registro simbólico
algébrico, apresentar o centro e o raio da superfície esférica e depois construir no
ambiente do Cabri 3D as representações gráficas das quatro superfícies propostas.
As duplas não tiveram dificuldades tanto no ambiente papel e lápis como no
ambiente do Cabri 3D. Apresentaremos no quadro seguinte as produções das
duplas D1 e D2 da atividade desenvolvida tanto no ambiente papel e lápis como no
Cabri 3D.
145
Figura 58 - Produção da Dupla D1 na Tarefa b da Atividade 2
146
Figura 59 - Produção da Dupla D2 na Tarefa b da Atividade 2
Salienta-se que D2 realizou a tarefa b em uma folha de rascunho, passando a
limpo na ficha entregue pelo professor-pesquisador
A Tarefa c pedia para que se identificassem as superfícies esféricas
existentes entre as oito equações apresentadas e que se fizesse a representação
gráfica das mesmas no ambiente do Cabri 3D. Se a dupla não reconhecesse a
equação como uma superfície esférica, ela deveria justificar a sua resposta. As
produções escritas são apresentadas a seguir.
147
Figura 60 - Produção da Dupla D1 na Tarefa c da Atividade 2
Pudemos observar também nessa atividade o equívoco cometido por D1 no
registro da língua natural. Os estudantes dessa dupla relataram que não existia raio
negativo, enquanto que o correto seria relatar que, nos reais, não existe raiz
quadrada de número negativo. A utilização incorreta da língua natural como
representante de um objeto matemático provavelmente demonstre por parte da
dupla a falta de domínio de certos conceitos matemáticos, ou mesmo, a dificuldade
de conversão para esse registro. A seguir, apresenta-se a produção da dupla 2.
148
Figura 61 - Produção da Dupla D2 na Tarefa c da Atividade 2
149
Os participantes das duplas D1 e D2 conseguiram, de modo geral, reconhecer
as superfícies esféricas, mas pudemos constatar que ambas, mesmo trabalhando no
ambiente 3D, interpretaram a equação do item "h" como se estivessem analisando-a
no plano e não no espaço. Isto porque garantiram que era a equação de uma reta e
não a de um plano. A intervenção do professor-pesquisador, naquele momento,
ficou limitada apenas a um comentário a respeito de a análise ter que ser realizada
no espaço.
Apesar disso, as duplas reconheceram as duas superfícies esféricas e,
através da determinação do raio e do centro, conseguiram construir as superfícies
no Cabri 3D, conforme ilustramos a seguir, com a produção fornecida pela dupla 2.
150
Figura 62 - Produção da Dupla D2 na Tarefa c da Atividade 2
Dessa forma, a despeito das observações realizadas anteriormente,
concluímos que o objetivo dessa atividade, que era justamente verificar se o
estudante conseguiria, após a atividades 1 e 2, reconhecer na representação
simbólico-algébrica o objeto matemático superfície esférica de centro na origem do
sistema de coordenadas cartesianas ortogonal, foi atingido.
7.2.2.1 - Conclusões da Atividade 2
Podemos concluir, segundo o objetivo dessa atividade, que as tarefas da
Atividade 1 possibilitaram aos participantes o reconhecimento da equação reduzida
da superfície esférica, determinando assim o seu centro e o seu raio. Destacamos
também a importância central do design, pois as atividades devem propiciar aos
estudantes o desenvolvimento de novos significados matemáticos. Com relação ao
papel do ambiente dinâmico Cabri 3D, pudemos observar ganhos por parte dos
estudantes quanto à observação e à relação das unidades significativas dos
registros gráfico e algébrico. Desta forma, em consonância com Noss e Hoyles
(1996,2009), constatamos que essa ferramenta permitiu vantagens pedagógicas.
151
Esse aspecto positivo salientado nessa atividade também está de acordo com Costa
(2005), quando afirma que um software dinâmico favorece tanto a visualização como
a apreensão de aspectos fundamentais de determinado objeto matemático.
Pudemos constatar, por parte da dupla 1, certa dificuldade de expressão no registro
da língua natural. Talvez essa problemática tenha ocorrido pela dificuldade dos
alunos em atribuir corretamente os significados de um objeto matemático neste tipo
de registro. Segundo Duval (1985), a distância entre a organização proposta ao
conteúdo cognitivo do texto e a organização redacional é um fator que deve ser
considerado. Ainda, ele relata que nos níveis mais avançados de ensino, os
registros monofuncionais são privilegiados. Isso pode acarretar nos estudantes
dificuldades de interpretação e de reconhecimento do objeto no registro da língua
natural, classificado como multifuncional discursivo.
Houve por parte dos estudantes a confusão na análise das equações
incompletas de planos, quando reconheceram a equação x + 3y = 1 como sendo
uma equação de reta, apesar de saberem que o trabalho era no R³. Estas
dificuldades também apareceram destacadas no trabalho de Lemke (2011), quando
ela citou que este tipo de confusão também ocorreu nas pesquisas de Sackur et al.
(2005), Schneider (1998) e Lebeau e Schneider (2010), em situações nas quais era
solicitado dos estudantes o reconhecimento das equações.
7.2.3 - Análise da ATIVIDADE 3
A atividade 3 propôs às duplas a determinação do centro e do raio de uma
superfície esférica a partir da sua equação reduzida, cujo centro não estava na
origem do sistema de coordenadas. Da mesma forma que o proposto na atividade
anterior, o registro de partida seria o algébrico e o de chegada o gráfico, com a
construção do objeto no ambiente do Cabri 3D.
As duplas não demonstraram dificuldades quanto à determinação do centro e
do raio de cada superfície. Com essas informações também tiveram facilidade na
construção no ambiente do Cabri 3D.
Apresentamos a seguir a produção das duplas tanto no ambiente papel e
lápis como no ambiente do Cabri 3D.
152
Figura 63 - Produção da Dupla D1 da Atividade 3
Figura 64 - Produção da Dupla D1 nas Tarefas a,b e c da Atividade 3 no ambiente do Cabri 3D
153
Construção do Cabri 3D
Figura 65 - Produção da Dupla D2 nas Tarefas a,b e c da Atividade 3
Pode-se observar que as duplas, na realização da Atividade 3 no ambiente do
Cabri 3D, utilizaram estratégias diferentes. D1 primeiro construiu cada vetor
representante do raio da superfície esférica e obteve o centro de cada superfície
movimentando o representante do vetor até conseguir os números obtidos no
ambiente papel e lápis.
154
D2, apresentando maior domínio na manipulação do software, primeiro criou o
representante de um vetor qualquer e, através dos comandos “coordenadas e
equações” e “manipulação”, abriu a caixa coordenadas que permite a alteração das
coordenadas dos pontos especificados pelo usuário, o que facilitou a resolução da
tarefa. Depois apenas alterou o comprimento do vetor para o tamanho especificado
em cada equação.
7.2.3.1 - Conclusões da Atividade 3
Pudemos observar, de acordo com os objetivos dessa atividade, que as
duplas conseguiram reconhecer o centro e o raio na equação reduzida. Pudemos
notar que a conversão do registro algébrico para o gráfico foi favorecida pela
utilização do ambiente do Cabri 3D, considerando a praticidade que este recurso
ofereceu. Concluímos, também, que as atividades 1 e 2 propiciaram uma influência
positiva na Atividade 3, já que também trabalharam com os registros gráfico e
algébrico de uma superfície esférica. Além isso, constatamos que o dinamismo do
software Cabri 3D facilitou o estabelecimento de conjecturas e de observações
quanto às propriedades da equação reduzida. Os participantes obtiveram êxito no
trabalho de conversão do registro algébrico para o registro gráfico e, da mesma
forma que Cândido (2010), a associação dos ambientes papel e lápis e Cabri 3D
constituiu um recurso positivo de trabalho. Cabe ressaltar que cada dupla utilizou
uma estratégia diferente no software, sendo que a D2 soube explorar melhor as suas
potencialidades.
Seguindo as indicações de Lemke (2011) com relação à importância da
elaboração de abordagens que averigúem a relação entre as diversas
representações e o uso de um software de geometria dinâmica, consideramos que a
atividade proposta propiciou aos participantes contatos diferenciados com o objeto
matemático “superfícies esféricas”.
155
7.2.4 - Análise da ATIVIDADE 4
Na Atividade 4, foram apresentadas às duplas algumas equações e pediu-se
o reconhecimento das que representavam superfícies esféricas. As duplas
analisaram cada uma das equações e apresentaram justificativas para aquelas que
não representavam superfícies esféricas.
As análises dos coeficientes, dos expoentes e do sinal do raio foram os
argumentos utilizados pelos estudantes, cujas produções são mostradas a seguir.
Figura 66 - Produção da Dupla D1 da Atividade 4 no ambiente papel & lápis.
156
Figura 67 - Produção da Dupla D1 da Atividade 4 no ambiente do Cabri 3D.
157
Figura 68 - Produção da Dupla D2 da Atividade 4 no ambiente papel & lápis
Figura 69 - Produção da Dupla D2 da Atividade 4 no ambiente do Cabri 3D
158
No geral, os alunos demonstraram autonomia e segurança na resolução da
tarefa proposta, uma vez que sabiam justificar suas conclusões. Destaca-se, neste
contexto, que a observação das propriedades inerentes ao tipo de equação faz parte
da apropriação e do reconhecimento do objeto em um de seus representantes.
Pudemos observar, como equívoco, que a análise da equação do item "f" foi feita em
relação ao plano, uma vez os alunos das duas duplas a classificaram como a
equação de uma parábola. Ainda, a dupla 1, na tarefa c, não soube justificar
corretamente na língua natural o motivo da equação não representar uma superfície
esférica.
7.2.4.1 - Conclusões da Atividade 4
Podemos evidenciar que o objetivo da atividade quanto ao reconhecimento do
objeto superfície esférica na sua representação no registro simbólico algébrico foi
atingido. As duplas conseguiram reconhecer as superfícies esféricas, através de
suas conjecturas no decorrer das atividades, o que denota que a abordagem
proposta nas atividades anteriores possibilitou a construção desse reconhecimento.
Destacamos que, para que o saber matemático seja colocado em funcionamento,
segundo Duval (2003), deve-se ter a apreensão de, pelo menos, dois registros de
representação. Isto ocorreu nessa atividade, ao passo que a cada superfície
devidamente reconhecida pelas duplas, houve a conversão do registro simbólico-
algébrico para o gráfico. Apesar disso, conforme já relatado, houve confusão por
parte das duas duplas no reconhecimento do objeto matemático relativo ao item f.
7.2.5 - Análise da ATIVIDADE 5
Na atividade 5, esperava-se que a dupla representasse o objeto superfície
esférica na sua representação algébrica, tendo como registro de partida o registro
gráfico.
A representação gráfica foi apresentada no Cabri 3D, conforme a figura a
seguir.
159
Figura 70 - Figura apresentada aos estudantes pelo Cabri 3D
Para a obtenção da equação, as duplas, de acordo com o enunciado,
poderiam usar qualquer recurso oferecido pelo software, menos o comando de
obtenção da equação.
Tanto D1 como D2, primeiramente pediram a coordenada do centro e o
comprimento do raio. Também optaram pela movimentação do plano, confirmando
visualmente que o centro não pertencia ao plano de referência.
As telas utilizadas por D1 e por D2 são apresentadas a seguir.
Figura 71 - Tela utilizada por D1 na Atividade 5
160
Figura 72 - Tela utilizada por D2 na Atividade 5
Após a observação e manipulação do objeto gráfico no software, as duplas
fizeram o registro da equação dessa superfície esférica no ambiente papel e lápis na
Tarefa a.
Figura 73 - Produção da Dupla D1 da Atividade 5
Figura 74 - Produção da Dupla D2 da Atividade 5
161
Salienta-se que houve um equívoco no cálculo do quadrado do raio na
produção de D1 e outro problema na produção de D2, quando atribuiu o valor 2,9 no
lugar de -2,9. Com relação a esse equívocos, caracterizamos tal fato como um erro
de distração. Por exemplo, D2, no seu rascunho, atribuiu o valor correto, conforme
pode ser observado a seguir.
Figura 75 - Produção da Dupla D2 da Atividade 5
Na Tarefa b da atividade 5, pediu-se então que as duplas verificassem se a
equação que eles escreveram como representante dessa superfície esférica estava
de acordo com a equação obtida através do software.
Por meio dessa atividade, pudemos observar que tanto D1 como D2
conseguiram associar os registros, ou seja, fizeram a conversão do registro gráfico
para o algébrico sem maiores dificuldades, sendo os equívocos presentes
caracterizados como erros de distração.
7.2.5.1 - Conclusões da Atividade 5
As duplas conseguiram realizar a conversão do registro gráfico apresentado
no ambiente do Cabri 3D para o registro simbólico algébrico sem maiores
dificuldades. Ficou evidenciado que as duplas perceberam que os elementos
162
necessários numa conversão do registro gráfico para o registro simbólico algébrico
seriam as coordenadas do centro dessa superfície e a distância desse centro a
algum ponto pertencente a este lugar geométrico. Constatamos, a despeito dos
erros nos cálculos, que a atividade possibilitou aos estudantes a coordenação entre
os registros gráfico e simbólico algébrico. Concluímos que a associação das mídias
papel e lápis e Cabri 3D favoreceu a produção das duplas, o que também foi
evidenciado no trabalho de Borba (2001), que descreveu a utilização de novas
mídias como uma abertura para possibilidades positivas no processo da construção
do conhecimento.
7.2.6 - Análise da ATIVIDADE 6
A atividade 6 era uma atividade de generalização no registro simbólico
algébrico de uma superfície esférica.
Tanto D1 como D2 não tiveram dificuldades na Tarefa a, que propôs a
representação da equação reduzida da superfície esférica de centro C=(a,b,c) e raio
r. Pudemos observar que essa tarefa foi beneficiada por decorrência das atividades
anteriores, que propiciaram aos estudantes o desenvolvimento de casos particulares
de superfícies esféricas. Neste caso, quando reconhecemos em um objeto certas
propriedades que lhe são particulares, poder-se-á ter mais facilidade para
representá-lo genericamente.
Figura 76 - Produção da Dupla D1da Atividade 6
163
Figura 77 - Produção da Dupla D2 da Atividade 6
A Tarefa b teve como objetivo a apresentação da equação geral da superfície
esférica, complementando assim o reconhecimento do objeto matemático na sua
representação no registro simbólico algébrico como também o tratamento desse
objeto nesse registro. Tanto D1 como D2, ao desenvolverem a equação reduzida da
superfície esférica, consideraram conveniente organizar a equação, mas podemos
observar que D1 e D2 não organizaram os termos em “grupos” semelhantes, tal que
x,y e z são variáveis e a,b e c são valores reais.
Figura 78 - Produção da Dupla D1 da tarefa b da Atividade 6
164
Figura 79 - Produção da Dupla D2 da tarefa b da Atividade 6
7.2.6.1 - Conclusões da Atividade 6
Através das produções das duplas, pudemos observar que os estudantes
tiveram êxito na determinação genérica da equação reduzida da superfície esférica e
conseguiram obter a equação geral, apesar de não apresentarem a mesma da forma
usualmente organizada nos livros didáticos.
7.2.7 - Análise da ATIVIDADE 7
Para resolver a Atividade 7, esperávamos que os estudantes estabelecessem
relações entre esta atividade e a atividade 6 para a determinação do centro e do
raio, porém, mesmo obtendo a equação geral da superfície esférica na tarefa b da
Atividade 6, eles não determinaram esses elementos por meio da comparação entre
a equação geral e as equações particulares apresentadas nesta atividade. Como a
representação da equação geral da superfície esférica não é dada no ambiente
Cabri 3D, os estudantes simplesmente não observaram as características dessa
forma de representação, considerando que apenas fizeram o tratamento da equação
reduzida da tarefa a da Atividade 6.
Evidenciamos, então, caso este experimento seja reutilizado para outros
sujeitos, que o registro simbólico-algébrico referente à equação geral da superfície
esférica poderá ser melhor explorado, uma vez que não foi natural aos estudantes
estabelecer a comparação esperada.
165
A estratégia utilizada pelas duas duplas foi a de completamento de
quadrados, a fim de transformar a equação geral na reduzida, porém, somente a
dupla 2 obteve sucesso nesta situação.
Os estudantes da D1, em um primeiro momento, pediram ao professor-
pesquisador que “explicasse” o que deveriam fazer. Ao notar que o processo havia
bloqueado, o professor-pesquisador questionou se não conseguiriam fazer a
associação da atividade 6 com o que lhes era proposto. P1 voltou a olhar a
Atividade 6, comparou com as tarefas da Atividade 7, perguntou para P2 o que ele
achava. Ambos demonstraram muita dificuldade na continuidade dessa estratégia. O
professor-pesquisador interveio propondo que organizassem a equação geral da
Atividade 6 em grupos semelhantes. P2 argumentou: “Mas (pausa), está
organizado... (mais uma pausa ), não está?”
O professor-pesquisador fez a distinção entre as variáveis e os coeficientes
reais, que estavam representados pelas letras a,b e c.
P1, em um primeiro momento, tentou fazer uma associação, sendo que não
solicitou qualquer auxílio nem ao seu colega nem ao professor-pesquisador.
Reescreveu a equação reduzida e a desenvolveu. Copiou a equação reduzida
abaixo da equação da tarefa a. Perguntou ao professor-pesquisador se “o quadrado
de uma soma era igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro pelo
segundo mais o quadrado do segundo". O professor-pesquisador relatou que estava
correto. Ele interveio perguntando a P1 o que as equações tinham em comum. P1
marcou o que achava igual ou semelhante. Comentou com P2 que se tivesse, por
exemplo, o valor 1 perto do x² -2x, eles teriam o quadrado da diferença (x-1)².
Discutiram e concordaram que fariam esse complemento nos dois termos, assim não
estariam alterando a equação. P1 comentou: “o que se faz de um lado, se faz de
outro”. P1 mostrou a P2 o que poderiam fazer e determinou o centro e o raio da
primeira equação corretamente, isso utilizando também o processo de
completamento de quadrados. O professor-pesquisador questionou se não seria
mais fácil utilizar como estratégia a comparação com a equação geral. D1 comentou
que não conseguiram associar os elementos da equação geral com a reduzida e que
talvez se praticassem e tivessem mais tempo poderiam “se habituar” a fazer isso.
Sem mais intervenções, o professor-pesquisador deixou a dupla resolver os
exercícios. Em um primeiro momento, os estudantes da dupla pareciam ter
segurança na resolução.
166
Figura 80 - Rascunho produzido por D1 na Tarefa a da Atividade 7
Pode-se observar na figura apresentada que D1 cometeu erros no tratamento
da equação da superfície esférica, enquanto tentava coordenar suas idéias a fim de
executar o processo de completamento de quadrados nessa atividade.
Com D2, o processo de completamento de quadrados escolhido pelos
participantes foi automático. O professor-pesquisador, a fim de entender a escolha
dessa estratégia e não a da técnica de comparação para a resolução dessa
atividade, perguntou aos estudantes da D2 sobre o motivo de resolverem as tarefas
por esse método. P3 e P4 responderam que aprenderam esta estratégia na 3ª série
do ensino médio, em Geometria Analítica, e que achavam mais fácil fazer o
“caminho contrário” do desenvolvimento da equação reduzida. Apesar de não
relatarem, intuímos que a estratégia utilizada no ensino médio era relativa à
circunferência. Quando questionados sobre o motivo de não utilizarem a equação
geral que desenvolveram na atividade 6b, responderam que achavam mais prático o
método do completamento de quadrados.
167
Figura 81 - Produção da Dupla D2 da tarefa a da Atividade 7
Nas demais tarefas da atividade 7, os alunos da D2 tiveram sucesso, porém,
os estudantes da D1 continuaram cometendo equívocos, não conseguindo obter
corretamente o centro e o raio de uma superfície esférica dada na sua equação
geral, conforme apresentado a seguir.
Figura 82 - Produção de D1 nas Tarefas a e b da Atividade 7
7.2.7.1 - Conclusões da Atividade 7
Na tarefa b da atividade 6, na qual foi pedida a apresentação da equação
geral da superfície esférica, pôde-se observar que as duplas trabalharam de modo
mecanizado, não estabelecendo relações e conjecturas a respeito das
168
especificidades do objeto matemático neste tipo de representação, ou seja, não
houve por parte das duplas a preocupação em tornar esse representante associável
às outras formas de representação de uma superfície esférica. Elas demonstraram
apenas saber fazer o tratamento algébrico sem que houvesse alguma razão para a
sua execução. Isto pôde ser observado no momento em que as duplas não
utilizaram a comparação entre a fórmula da equação geral e o exercício proposto
para a determinação do centro e do raio. A estratégia das duas duplas consistiu em
trabalhar com a análise de completamento de quadrados. Tal fato e a falta de pré-
requisito por parte de D1 geraram, para esta dupla, dificuldades na resolução dessa
atividade. Observamos a presença de comportamentos automatizados dos
estudantes nas suas produções, como uma maneira de serem mais eficientes nos
resultados do que lhes é proposto sem que se tenha algum objetivo nesse
procedimento.
Considerando que a representação de um objeto é passível de determinado
significado de acordo com o contexto na qual está sendo empregada, o trabalho de
tratamento em um registro específico e um bom desempenho no uso das técnicas
podem tornar uma determinada representação “alheia” às demais. Seguindo a teoria
de Duval (2003), esse procedimento talvez possa ser explicado pelo fato de o ensino
superior priorizar o registro monofuncional discursivo, levando o estudante a uma
compreensão limitada do objeto matemático.
Fazendo uma análise crítica da atividade, ficou evidenciado que o software,
por não apresentar a equação geral da superfície esférica, não favoreceu aos
participantes o estabelecimento da relação dessa forma de representação com
representantes de outros registros do objeto matemático em estudo. Como o
software apresenta uma limitação quanto à representação algébrica do objeto
superfície esférica, concluímos que uma nova estratégia de atividade ou outro
recurso informático poderão ser incorporados, caso o experimento seja reutilizado
em outros sujeitos. Notamos, nesta fase, a necessidade de uma abordagem que
possa favorecer aos estudantes a observação e a relação das unidades
significativas da equação geral do objeto matemático com representações dos
demais registros, possibilitando a associação e a coordenação entre eles. Estando
de acordo com Laborde (2003), a estratégia por parte do professor-pesquisador
depende da sua percepção do trabalho e da tecnologia escolhida, o que reverbera
169
na elaboração de atividades a serem aplicadas de acordo com os objetivos do
educador.
7.2.8 - Análise da ATIVIDADE 8
A Atividade 8 teve por objetivo o reconhecimento do objeto matemático
superfície esférica na forma de sua equação geral. Constatamos que as duas duplas
procuraram observar a equação geral por eles desenvolvida na atividade 6,
buscando reconhecer o objeto nessa forma de representação
Os participantes da D1 primeiramente olharam toda a atividade e recorreram
ao professor-pesquisador para a resolução da mesma, sendo que este pediu para
que retornassem à atividade 6, uma vez que nela eles tiveram contato com essa
forma de representação.
Os estudantes da D2 pegaram as fichas e separaram a atividade 6, na qual
determinaram a equação geral da superfície esférica. Realizaram a atividade 8 sem
dificuldades seguindo o critério das características da equação que utilizaram por
modelo.
Já os estudantes da dupla D1, apesar de reconhecerem as superfícies
esféricas, não obtiveram sucesso quando lhes foi pedido para que fizessem a
representação gráfica da superfície esférica, já que teriam que determinar o centro e
o raio da mesma. O problema não residia no objeto matemático, mas sim, no pré-
requisito algébrico de fatoração.
As duas duplas seguiram os seguintes critérios para as suas análises:
observaram que na equação geral da superfície esférica da Tarefa b da atividade 6
não existia produto entre as variáveis xy,yz ou zy e que x,y e z deveriam estar ao
quadrado.
Nos quadros seguintes, foram apresentadas as justificativas dadas por D1 e
D2 com relação às equações que não representavam superfícies esféricas.
170
Figura 83 - Produção da Dupla D1 da tarefa a da Atividade 8
Figura 84 - Produção da Dupla D2 da tarefa a da Atividade 8
Como a atividade pedia aos participantes que, ao reconhecer uma superfície
esférica, fizessem a sua representação gráfica no Cabri 3D, novamente as duplas
171
optaram pelo método do completamento de quadrados. Os estudantes da D1
continuaram cometendo o mesmo tipo de equívoco presente na atividade 7.
Os sujeitos da D2, em um rascunho e no ambiente do Cabri 3D,
determinaram o centro e o raio das equações da tarefa a e da tarefa d e, sem
demonstrarem dificuldades, construíram as superfícies esféricas no ambiente do
Cabri 3D conforme apresentamos no quadro a seguir.
172
Figura 85 - Produção da Dupla D2 da tarefa a da Atividade 7
P3 ainda ressaltou que as equações representavam a mesma superfície, já
que a segunda equação era o triplo da primeira e, desta forma, não teriam que
construir duas superfícies na resolução dessas tarefas.
7.2.8.1 - Conclusões da Atividade 8
Constatamos que as duas duplas conseguiram reconhecer as superfícies
esféricas apresentadas na atividade 8, sendo que ambas buscaram na atividade 6
um modelo para que pudessem fazer as suas avaliações. Consideramos como ponto
positivo dessa atividade a análise por parte das duas duplas quanto aos critérios que
adotaram no reconhecimento do objeto em estudo na sua representação da
equação geral. Ficou evidenciado que os participantes utilizaram como estratégia a
observação das características do objeto nessa forma de representação. Apesar
disso, a dupla 1 cometeu o mesmo tipo de erro da atividade anterior e, desta forma,
o professor-pesquisador, em consonância com o proposto na metodologia de Design
Experiment, resolveu retomar o processo com essa dupla. A seguir, é apresentada a
recondução dessa atividade pelo professor-pesquisador.
173
7.2.9. Recondução das Atividades 7 e 8 com a dupla D1
Após observar a dificuldade dos estudantes da dupla D1, o professor-
pesquisador fez uma intervenção, que consistiu em solicitar aos sujeitos que,
partindo do centro e do raio obtidos na atividade 7, determinassem a equação geral
da referida superfície esférica. Em seguida, eles deveriam comparar o resultado
obtido com a equação inicial. Pôde-se observar por parte dos participantes um certo
desapontamento seguido de uma euforia para saber o que haviam errado. Em um
primeiro momento o professor-pesquisador comentou que um objeto matemático tem
várias formas de representação e as propriedades que ele tem em cada uma delas
estão interligadas, ou seja, o objeto, independente de suas representação, é o
mesmo, o que permite que se faça a conversão entre os registros. Desta forma,
pediu à dupla que fizesse a conversão dos resultados obtidos por eles na primeira
tarefa apresentados no registro numérico para o registro simbólico algébrico. Se
estivesse correto, voltariam para a equação proposta na tarefa b da atividade 7.
D1 apenas comentou:
"Você quer que a gente volte desse resultado para essa equação?" E aponta para a
equação da Atividade 7 que lhes foi entregue. Em um primeiro momento, D1
determinou algebricamente a equação reduzida através dos resultados por eles
produzidos no encontro anterior. Após terem realizado a atividade proposta pelo
professor-pesquisador, concluíram que realmente o centro e o raio não coincidia
com a equação da atividade b. A produção da dupla é apresentada a seguir.
Figura 86 - Produção da Dupla D2 da tarefa a da Atividade 7
174
Nesse momento o professor-pesquisador relembrou aos participantes a
resolução e expansão do quadrado de uma diferença. Executou com a dupla o
desenvolvimento do quadrado da soma e do quadrado da diferença e percebeu que
a dupla entendeu o engano que havia cometido. Na resolução das atividades, P2
assumiu a tarefa pois parecia estar mais ansioso para demonstrar um resultado
positivo para o professor-pesquisador.
Apresentamos a seguir as produções de D1 após a intervenção.
175
Figura 87 - Produção de D1 após intervenção nas Tarefas da Atividade 7 e 8
Após essa retomada, os participantes demonstraram segurança nas
resoluções, entregando as fichas ao professor-pesquisador e comentando que
realmente haviam cometido um equívoco no processo de completamento de
quadrados.
Estando de acordo com a metodologia de Design Experiment, a intervenção
do professor-pesquisador ocorreu quando necessária, na forma de novos
questionamentos e situações, tentando contornar as dificuldades e confusões dos
participantes, direcionando-os a uma nova interpretação das situações e à
construção de estratégias que efetivamente conduziram ao sucesso na resolução
das tarefas.
7.2.10 - Análise da ATIVIDADE 9
Na tarefa 9, foi proposto à dupla que criasse no ambiente do Cabri 3D uma
superfície esférica com centro na origem (0,0,0) e que determinasse a curva de
intersecção entre o plano de referência e a superfície esférica.
As duplas seguiram as orientações do enunciado e reconheceram o arco da
intersecção do plano com a superfície esférica como sendo uma circunferência.
D1 não apresentou dificuldades nessa atividade e enfatizou que a
possibilidade de obter várias vistas do objeto matemático ajudava muito na
observação e interpretação da intersecção do plano com a superfície esférica. P2
ainda comentou que o próprio software avisava que a intersecção era uma
circunferência quando encostava o mouse sobre o arco, o que auxiliou a dupla a
176
validar a sua conjectura inicial. Apesar disso, a dupla não apresentou a equação da
circunferência por eles criada, mas sim a equação genérica de uma circunferência.
A seguir, apresentamos as produções de D1 nos ambientes do Cabri 3D e do
papel e lápis.
Figura 88 - Produção da Dupla D1 da tarefa a da Atividade 9
Figura 89 - Produção da Dupla D1 da tarefa a da Atividade 9
D2 também seguiu as orientações do enunciado e, ao reconhecer o arco
como sendo uma circunferência, também representou a equação geral de uma
circunferência e não da circunferência específica criada no ambiente do Cabri 3D.
177
Para justificar o reconhecimento da circunferência como sendo o arco formado por
um plano e uma superfície esférica, os estudantes utilizaram-se dos recursos do
software, mostrando que o representante do vetor de origem no centro da superfície
esférica e extremidade no arco de intersecção, ao ser manipulado mantinha o
mesmo módulo, ou seja, cada ponto pertencente a este arco possuía a mesma
distância de um ponto fixo chamado de centro. Mesmo tendo observado que o
software reconhecia a intersecção como sendo uma circunferência, em suas
justificativas, os estudantes procuraram apresentar as propriedades inerentes ao
objeto circunferência. D2 também utilizou o recurso “NOVA VISTA” do software,
obtendo duas VISTAS do mesmo objeto, o que possibilitou a observação da secção
em outras perspectivas.
Sem apresentar qualquer dificuldade, P3 comentou com o outro membro da
dupla que a tarefa estava pedindo a equação daquela circunferência que acabaram
de desenhar. P4 colocou o cursor do mouse sobre a intersecção e mostrou para P3
o objeto que eles deveriam descrever algebricamente. Ao fazer o rascunho da
equação, P3 pediu ao colega que determinasse o raio da superfície esférica no
software para poder completar a equação.
Apesar de concordarem na representação algébrica, registraram a curva de
intersecção como sendo um círculo, estabelecendo uma confusão entre
circunferência e círculo. Apresentamos a seguir a produção de D2 nessa atividade.
178
Figura 90 - Produção da Dupla D2 da tarefa a da Atividade 9
Figura 91 - Produção da Dupla D2 da tarefa a da Atividade 9
7.2.9.1 - Conclusões da Atividade 9
Podemos observar que as duplas conseguiram concluir satisfatoriamente a
atividade 9, apresentando estratégias diferenciadas no ambiente do Cabri 3D.
Destacamos também que a confusão por parte dos estudantes de D2 na descrição
179
do objeto circunferência como sendo um círculo não ocorreu devido ao fato de não
reconhecerem esses objetos, mas sim, por um equívoco na representação da língua
natural.
Ressaltamos que há obras que diferenciam círculo e circunferência e outras
que consideram estes dois termos como sinônimos, como na apostila “Geogebra,
aplicações ao Ensino da Matemática" da Universidade Federal do Paraná. Em
alguns casos, o uso desses dois termos como sinônimos é decorrente de problemas
de tradução, como por exemplo, na tradução portuguesa da versão latina de
Frederico Commandino impressa na Universidade de Coimbra da obra “Elementos
de Euclides”, que apresenta na proposição 10, do livro III : “ Um círculo não corta
outro círculo em mais que dois pontos”. Tais evidências mostram a necessidade, na
apresentação dos objetos matemáticos, de uma normatização na representação da
língua natural, evitando, assim, este tipo de confusão.
Concluímos que o software teve um papel fundamental no desenvolvimento
dessa atividade e que o seu dinamismo propiciou aos participantes que
enxergassem e definissem a intersecção de um plano com uma superfície esférica
como sendo uma circunferência. Destacamos que esse favorecimento por parte de
um software dinâmico também foi evidenciado nos trabalhos de Bittar (1998),
Cândido (2010), Lemke (2011) e Borba (2001).
Da mesma forma que Borba (2001), observamos também a exploração do
software na busca de validação de conjecturas e a possibilidade de realizar uma
inversão na ordem tradicional de ensino, uma vez que os estudantes puderam iniciar
o processo pela investigação e experimentação para posteriormente partir para a
teorização.
7.2.10 - Análise da ATIVIDADE 10
Na atividade 10, denominada como atividade desafio, teve-se por objetivo que
as duplas pudessem avaliar o tipo de curva gerada pela intersecção entre uma
superfície esférica e um plano secante a esta superfície. D1 abriu o arquivo já criado
no Cabri 3D denominado figura 10, o qual é apresentado a seguir.
180
Figura 92 - Produção da Dupla D1 da tarefa a da Atividade 10
D1, seguindo as orientações da Tarefa a, foi discutindo cada passo e
manipulando a figura. Ao se pedir que justificasse para um colega que a intersecção
entre esta superfície esférica e o plano secante a ela era uma circunferência, P2
então registrou que a figura representaria uma circunferência pois a distância do
centro era sempre a mesma. Nesse momento o professor-pesquisador interveio
questionando a que distância eles se referiam. P1 indicou na tela do Cabri 3D o raio
da superfície esférica. O professor-pesquisador indagou sobre como essa
constatação justificaria que a intersecção entre o plano e a superfície esférica era
uma circunferência e qual seria a equação desta circunferência.
P2 respondeu: "Olha... essa medida é sempre igual certo? Essa extremidade
desse raio está fixada aqui nesse plano (começa a esboçar a representação
geométrica de um cone de revolução) Esse raio é uma geratriz! Se rodarmos ele
(fez o movimento com o dedo), ele desenha nesse plano uma circunferência e
teríamos um cone!”
P2, através do reconhecimento das propriedades inerentes ao objeto, relatou
na língua natural que sempre seria possível obter um cone, e assim conseguiria
explicar a um colega que a intersecção era uma circunferência. Observa-se que
181
essa dupla não evidenciou o caso de intersecção entre uma superfície esférica e um
plano secante a ela passando pelo seu centro. A dupla utilizou o ambiente papel e
lápis para representar geometricamente, embora já tivesse essa representação no
ambiente do Cabri 3D. Os alunos de D1, mesmo quando estimulados pelo professor-
pesquisador a determinarem a equação da circunferência presente na tela, somente
comentaram, naquele momento, que essa seria x² + y² = r².
Figura 93 - Produção da Dupla D1 da tarefa a da Atividade 10
D2, nessa tarefa, também seguiu as instruções apresentadas e quando foi
proposto que explicassem a um colega que a intersecção entre essa superfície
esférica e o plano era uma circunferência, houve uma certa discussão entre a dupla.
182
P3 apresentou grande preocupação em comprovar tal fato algebricamente enquanto
P4 tentava justificar por meios geométricos utilizando o Cabri 3D.
P3 demonstrou um certo desapontamento, pois queria uma resposta algébrica
e realmente não conjecturou como estratégia a resolução de um sistema com as
equações desse plano e dessa superfície esférica.
P4, por meio dos recursos do software, traçou uma perpendicular ao plano
passando pelo centro da superfície esférica, determinou o ponto de intersecção
entre o plano e essa perpendicular, obtendo o centro da circunferência. Construiu o
representante de um vetor que partiu desse ponto de intersecção até a
circunferência e, movimentando esse representante, observou que a sua medida
não mudava, ou seja, a figura era uma circunferência.
Nos quadros a seguir apresentamos o rascunho produzido pelos participantes
em busca de uma solução para a tarefa proposta e a produção no ambiente do Cabri
3D.
183
Figura 94 - Produção da Dupla D2 da tarefa a da Atividade 10
Figura 95 - Produção da Dupla D2 da tarefa a da Atividade 10
184
Figura 96 - Produção da Dupla D2 da tarefa a da Atividade 10
Figura 97 - Produção da Dupla D2 da tarefa a da Atividade 10
185
Figura 98 - Produção da Dupla D2 da tarefa a da Atividade 7
P3 comentou que não saberia como expressar algebricamente que a
intersecção entre aquele plano e aquela superfície representava uma circunferência.
Mesmo com a intervenção do professor-pesquisador recordando que essa
intersecção representaria os pontos em comum tanto ao plano como à superfície
esférica, eles não pensaram em utilizar como estratégia a resolução de um sistema
com as equações do plano e da superfície esférica. P4 argumentou que, por meio do
software, conseguiu mostrar que aquele representante do vetor com origem na
intersecção entre o plano e a perpendicular que passava pelo centro da superfície
esférica e extremidade na curva de intersecção era o raio da circunferência. Os
alunos da dupla decidiram partir para a Tarefa b, a qual pedia que movimentassem o
plano, levantando suas observações quanto à intersecção. Ambos concordaram que
ao mover o plano, mantendo-o secante à superfície esférica, a todo momento a
intersecção continuava sendo uma circunferência. Na generalização proposta na
Tarefa c, na qual se perguntava que curva era obtida na intersecção entre um plano
π qualquer e uma superfície esférica α, sendo o plano secante à superfície esférica,
D1 respondeu que sempre seria obtida uma circunferência como intersecção.
186
Na Tarefa b pediu-se para que os estudantes movimentassem o plano a e
observassem o que se alterava na secção entre o plano e a superfície esférica. D1
observou que, mesmo com o movimento, havia a manutenção da distância entre o
centro (da circunferência) e o ponto A (que pertencia à circunferência), ou seja, que
sempre teriam uma circunferência como intersecção. Ainda, a dupla observou que o
tamanho da circunferência se alterava e, conseqüentemente, os valores de seu raio.
Figura 99 - Produção da Dupla D2 da tarefa a da Atividade 7
D2 apenas registra que sempre haveria um circulo como intersecção.
Figura 100 - Produção da Dupla D2 da tarefa a da Atividade 7
Mesmo não apresentando dificuldades quanto ao objeto circunferência e suas
propriedades, D2 definiu que a intersecção do plano com a superfície esférica
apresentada no exercício era um círculo, o que demonstra, da mesma forma que o
ocorrido na atividade 9, problemas na representação da língua natural.
Na Tarefa c pediu-se para que o estudante generalizasse a intersecção entre
um plano π e uma superfície esférica α, sendo o plano secante à superfície esférica.
D1 respondeu que seria uma circunferência, tendo por base a manutenção da
distância entre qualquer ponto da secção e de seu centro.
187
7.2.10.1 - Conclusões da Atividade 10
De acordo com a proposta da atividade, pudemos observar êxito tanto na
tarefa a como na tarefa b. Tivemos como resultados estratégias diferentes por parte
das duplas, que buscaram métodos para que suas conjecturas e afirmações quanto
à intersecção do plano e da superfície esférica ser uma circunferência tivessem
fundamento.
Pudemos observar que D1 utilizou-se de outro objeto matemático, no caso a
superfície de um cone, formado pela movimentação do segmento que unia o centro
da superfície esférica a um ponto do arco gerado pela intersecção dela com o
plano. D2, através dos recursos do software, conseguiu mostrar que a intersecção
entre um plano e uma superfície esférica seria uma circunferência, por meio da
determinação do seu centro e da análise da distância entre ele e qualquer ponto da
curva. Estando de acordo com Duval (1996), concluímos que no processo de
construção do conhecimento matemático, há a necessidade de uma diversidade de
registros de representação dos objetos. Ao se conhecer os registros inerentes a um
objeto matemático, pode-se optar pelo que simplifica a resolução de um determinado
problema. A opção por determinado tipo de resolução pode evidenciar por parte dos
sujeitos um domínio maior em determinado tipo de registro, uma vez que não lhes foi
proposta uma representação específica na resolução, haja vista o interesse por parte
do professor-pesquisador em avaliar que tipo de estratégia os participantes
escolheriam, tendo como uma hipótese que a resolução de um sistema entre as
equações da superfície esférica e do plano seria o caminho escolhido.
Constatou-se que o ambiente do Cabri 3D teve um papel fundamental nessa
atividade e que seus recursos foram explorados por parte dos estudantes, tornando-
o uma ferramenta de construção de conjecturas e conhecimento, sendo assim uma
forma particular de aprendizagem. Apesar disso, notamos que nenhuma dupla
conseguiu determinar a equação da circunferência presente na tela do Cabri. Não foi
natural para esses estudantes a busca pela resolução de um sistema de equações,
considerando o fato de que as equações do plano e da superfície esférica poderiam
ser obtidas automaticamente por comandos do software. Com isso, não houve,
nesta atividade em particular, a coordenação efetiva entre os registros, cuja
necessidade é apontada por Duval (2006). Dessa forma, em consonância com o
188
proposto pela metodologia de Design Experiment, sugerimos, para futuras
aplicações dessa atividade, que reajustes ou complementações sejam realizados,
para proporcionar ao estudante novos meios de busca da coordenação entre os
registros gráfico e algébrico.
189
8. CONCLUSÃO
Antes de apresentar a conclusão desse estudo, faremos uma retomada dos
principais aspectos que o caracterizaram, com a finalidade de fornecer ao leitor uma
visão global da presente pesquisa.
O objetivo desse trabalho consistiu em elaborar, aplicar e avaliar um
experimento de ensino sobre superfícies esféricas com a utilização do software
Cabri 3D. Ele teve como alicerce a teoria dos registros de Representações
Semióticas de Raymond Duval (1995, 2003, 2006) e tomou por base outros
trabalhos que observaram tanto as dificuldades dos estudantes em situações que
requeriam conversões envolvendo o registro gráfico, tais como os estudos de
Pavloupoulou (1993), Bittar (1998), Castro (2001) e Karrer (2009), como trabalhos
que destacaram a necessidade de novas abordagens inserindo ferramentas
computacionais no processo de ensino e aprendizagem, tais como os de Borba
(2001), Araújo (2007), Karrer (2006), Cândido (2009) e Lemke (2010).
Objetivando colaborar na busca de novas abordagens no processo de ensino
e aprendizagem do conteúdo superfícies esféricas que pudessem complementar as
práticas usualmente estabelecidas, arquitetamos nosso projeto, delimitando a nossa
questão de pesquisa e as hipóteses iniciais que se constituíram como preâmbulo do
nosso experimento.
Desta forma, foi definida a seguinte questão:
“Em quais aspectos uma abordagem inovadora sobre superfícies esféricas,
que envolvem conversões de registros semióticos e um software de geometria
dinâmica influenciaria na aprendizagem desse objeto matemático?”
O experimento foi elaborado com base na Metodologia de Design
Experiments de Cobb et al. (2003), que nos permitiu a readequação das atividades
de acordo com as produções fornecidas pelos estudantes durante sua execução.
Seguiremos a nossa conclusão avaliando se as hipóteses previstas foram
validadas, descrevendo as dificuldades e as evoluções apresentadas pelos
estudantes, como também a influência do software nesse processo.
Primeira Hipótese: A abordagem proposta influenciará a construção desse
conhecimento pelo estudante nos seguintes aspectos:
190
Hipótese a) na percepção das características do objeto matemático em cada
registro utilizado;
Hipótese b) no estabelecimento de relações entre representações dos
registros presentes no experimento;
Hipótese c) na determinação de análises partindo do registro gráfico e
Hipótese d) em compreensões diferenciadas das obtidas nas intervenções
realizadas exclusivamente no ambiente papel&lápis, decorrentes do aspecto
dinâmico da ferramenta utilizada.
Com relação às hipóteses "a" e "b", consideramos que essa abordagem
influenciou positivamente os participantes quanto à percepção das características do
objeto matemático superfície esférica nos registros apresentados em cada tarefa e
quanto ao estabelecimento de relações entre eles. Cabe-nos reforçar que a
facilidade de construir o objeto superfície esférica na sua representação gráfica
através do ambiente de um software dinâmico apresentou-se como ponto positivo
nesse tipo de abordagem.
Constatamos também que o ambiente de experimentação do Cabri 3D,
associado ao ambiente papel e lápis, favoreceu o trabalho de conversão e de
tratamento nos registros algébrico, gráfico e numérico. Ficou evidenciado que a
apresentação simultânea e a manipulação dos registros inerentes ao objeto
superfície esférica possibilitou aos estudantes que fizessem a relação entre os
registros apresentados nas atividades. Por exemplo, na atividade 1, eles construíram
o objeto superfície esférica partindo da experimentação, observando as
características desse objeto nos registros gráfico e algébrico. Nas atividades 2 e 3,
eles reconheceram equações de superfícies esféricas dadas na forma reduzida,
demonstrando segurança na determinação do centro e do raio e, na atividade 7,
eles reconheceram as superfícies esféricas a partir de suas equações gerais.
Em particular, na atividade 2, eles puderam escrever as equações reduzidas
de superfícies esféricas, relacionar o módulo do vetor com a medida do raio da
superfície esférica e observar as características dos coeficientes de x²,y² e z². Tal
fato favoreceu a análise da especificidade da representação algébrica desse objeto
matemático e o sucesso na conversão posterior para o registro gráfico demonstrou
que os estudantes conseguiram associar e relacionar o objeto nos registros que
foram trabalhados nas atividades.
191
Pudemos observar que nas tarefas que requeriam relações entre
representações dos registros algébrico, gráfico e numérico, como por exemplo nas
atividades 1,3,9 e 10, a abordagem favoreceu este tipo de relação. As duas duplas
conseguiram estabelecer essas relações com êxito na maioria das tarefas.
Apesar dos estudantes, na maioria das atividades do experimento, terem
obtido resultados satisfatórios, temos alguns aspectos que merecem uma análise
especial quanto ao registro da língua natural e quanto à equação geral da superfície
esférica. Notamos que D1 apresentou dificuldade em relatar corretamente o objeto
matemático na língua natural, ou seja, dificuldade em descrever as características
inerentes ao objeto superfície esférica, confundindo, por exemplo, o centro da
superfície com a origem do sistema. Ainda, a utilização da palavra "círculo" no
sentido de "circunferência" e "esfera" no sentido de "superfície esférica" foi uma
constante nas atividades da D2. Consideramos que o registro da língua natural
devesse ser mais empregado quando se apresenta determinado objeto matemático
no processo de ensino e aprendizagem. Ponderando que a língua natural tem
aspecto fundamental uma vez que expressa o “entendimento” e o “reconhecimento”
do contexto, este tipo de registro deve representar as características do objeto
matemático corretamente, sem que haja a possibilidade de interpretações
distorcidas ou dúbias. Ressalta-se que essa dificuldade acaba por prejudicar a
atividade de conversão da língua natural para uma representação de outro registro
do mesmo objeto matemático.
Relatamos também a dificuldade por parte da dupla 1 na obtenção do centro
e do raio partindo da equação geral. Pudemos observar que tal dificuldade ocorreu
por falta de pré-requisitos dos participantes, tornando necessária uma intervenção
por parte do professor pesquisador, que é prevista na metodologia de Design
Experiment.
Por fim, a confusão por parte dos estudantes na análise de equações
incompletas de planos quando lhes foi solicitado o reconhecimento do objeto
matemático representado é evidenciada em outros trabalhos de pesquisa, como
Sackur et al. (2005), Schneider (1998) e Lebeau e Schneider (2010), destacados por
Lemke (2011).
Com isso, concluímos que as hipóteses "a" e "b" foram parcialmente
confirmadas.
192
Quanto à determinação de análises partindo do registro gráfico, referente à
hipótese "c", o que pudemos constatar é que na maioria das atividades os
participantes tiveram êxito neste tipo de solicitação. Por exemplo, na atividade 5, aos
estudantes foi apresentada uma representação gráfica de uma superfície esférica,
solicitando sua equação reduzida. As duplas conseguiram evidenciar as informações
necessárias que deveriam destacar no registro gráfico para a determinação da
equação no ambiente papel e lápis. Nas atividades 9 e 10, elas conseguiram avaliar
a curva de intersecção entre uma superfície esférica e um plano secante a ela.
Apesar disso, pudemos observar na tarefa h da atividade 1, que a
representação de objetos tridimensionais no plano gera dificuldades, e que um
software de geometria dinâmica, por permitir a manipulação do objeto matemático,
pode ser uma ferramenta útil na busca da solução dessa problemática. Uma outra
dificuldade observada por parte dos sujeitos aparece na atividade 10, cuja análise
que partiu do gráfico ficou incompleta. Eles conseguiram fazer a análise gráfica,
porém não conseguiram determinar a equação representante da intersecção entre o
plano e a superfície esférica. Isso confirma a dificuldade quando o registro de partida
é o gráfico, que é evidenciado em outros trabalhos de pesquisa citados em nossas
referências bibliográficas. Evidenciamos que a relação entre os registros requer por
parte dos estudantes que saibam fazer o tratamento em determinado registro
objetivando determinado resultado, ou seja, além de saber reconhecer o objeto
representado, há necessariamente a familiarização quanto aos tratamento inerentes
aos registro de representação semiótica.
Desta forma, concluímos que a hipótese "c" foi parcialmente confirmada.
Quanto às compreensões diferenciadas das obtidas nas intervenções
realizadas exclusivamente no ambiente papel e lápis, referente à hipótese "d",
seguindo a problemática levantada pelos trabalhos de Pavloupolou (1993) e Karrer
(2006), o experimento teve como característica inicial apresentar o objeto
matemático de maneira diferenciada da tradicional. Isto porque ele foi concebido de
modo a proporcionar inicialmente aos estudantes o reconhecimento experimental
das características do objeto superfície esférica, ou seja, foi possível realizar uma
inversão da abordagem usual, uma vez que se partiu da experimentação no
ambiente computacional. O aspecto positivo, tanto pela facilidade de representação
de um objeto e a interação entre as suas representações como também a utilização
de um meio que na atualidade faz parte do cotidiano dos estudantes, está de acordo
193
com Borba (2001) que reforça a inserção de ferramentas computacionais no
processo de ensino e aprendizagem. As atividades que transcorreram foram
elaboradas de modo a relacionar representações dos registros gráfico, simbólico-
algébrico e da língua natural.
Ainda, o experimento permitiu a elaboração de conjeturas e o trabalho de
validação por parte das duplas. Por exemplo, toda a construção inicial culminou na
atividade 6, a qual propunha que os estudantes determinassem genericamente a
equação reduzida da superfície esférica e a equação geral. As duplas tiveram êxito,
o que confirma que este tipo diferenciado de abordagem operou oportunamente.
Outro ponto a destacar no experimento refere-se aos resultados obtidos na
atividade 9. Nela foi possível evidenciar que a abordagem proposta trouxe aos
estudantes uma independência para conjecturar, analisar suas conjecturas e
posteriormente apresentar suas conclusões. Este tipo de abordagem provavelmente
atua como base no processo de ensino e aprendizagem de modo substancial.
Desta forma, consideramos que a hipótese "d" foi confirmada.
Segunda Hipótese: O dinamismo do Cabri 3D favorecerá ao aluno observar
com mais detalhes as relações entre os registros, tendo em vista a possibilidade de
visualização simultânea dessas relações.
Concluímos que o dinamismo do software Cabri 3D reverte-o em uma
ferramenta oportuna para novas abordagens no processo de ensino e
aprendizagem, uma vez que ele permite aos estudantes o estabelecimento de
relações entre representações dos registros gráfico, numérico e simbólico-algébrico
de maneira simultânea. Ainda, é possível a observação, em tempo real, das
conseqüências que uma alteração em uma representação de um registro ocasiona
em outros, dada a possibilidade de manipulação da representação do objeto.
Pode-se constatar que o software atuou de maneira fundamental,
representando um suporte para que os sujeitos conseguissem construir e consolidar
as suas conjecturas no decorrer das atividades propostas neste experimento. Cabe-
nos ressaltar que a ferramenta adotada apresenta algumas limitações. Por exemplo,
pudemos observar que o software não apresenta a representação simbólico-
algébrica da intersecção entre a superfície esférica e um plano secante a ela e
também não apresenta a equação geral da superfície esférica. Isso nos levou a
194
conjecturar sobre a necessidade da busca de um outro alicerce que apresentasse as
representações que o software não oferece.
Esta conclusão nos vem decorrente da análise das atividades 7 e 8, por
exemplo, nas quais o software não teve nenhuma influência quanto às conjecturas e
desempenho das duplas.
O fato de o software apresentar a equação da superfície esférica somente na
sua forma reduzida não propiciou aos estudantes a observação simultânea da
equação geral da superfície esférica e os registros gráfico e numérico. Como
conseqüência, tivemos por parte dos estudantes um desempenho parcial, uma vez
que fizeram tratamentos nas representações algébricas de modo mecanizado, sem
que objetivassem a organização da equação de uma maneira a facilitar o
reconhecimento do objeto matemático e suas características.
Esse desempenho talvez seja decorrente do modo como trabalharam com
equações gerais de circunferência no ensino médio, já que as duas duplas optaram
pelo processo de completamento de quadrados e não pela análise da equação
geral. Isso nos leva, mesmo que tenham obtido resultado satisfatório, a um
questionamento quanto à observação e apropriação parcial em determinado registro
de um objeto matemático. Notamos que as duplas conseguiram observar quando
uma equação geral representa uma superfície esférica, porém não demonstraram
reconhecer o centro e o raio de um superfície sem que fizessem o tratamento via
completamento de quadrados, mesmo quando o professor-pesquisador os
questionou sobre isso.
Quanto às atividades 9 e 10, que trataram da intersecção entre plano e
superfície esférica, sendo o plano secante à superfície esférica, o software ofereceu
apenas a apresentação da circunferência no registro figural, descartando uma
confirmação, por exemplo, dos estudantes, quanto à representação simbólico-
algébrica da circunferência.
Desta forma, concluímos que a segunda hipótese foi parcialmente
confirmada.
Retomando a nossa questão de pesquisa, dada por “Em quais aspectos uma
abordagem inovadora sobre superfícies esféricas, que envolveu conversões de
registros semióticos e um software de geometria dinâmica, influenciaria na
aprendizagem desse objeto matemático?”, concluímos que, apesar das dificuldades
citadas em alguns episódios do experimento, a abordagem proposta permitiu a
195
construção do objeto matemático por meio de uma entrada experimental, favoreceu
a avaliação das especificidades de representações de diferentes registros e a
análise de suas relações, forneceu condições para o reconhecimento de equações
de superfícies esféricas e análises partindo do registro gráfico e trouxe aos
estudantes um modo mais independente de construção do conhecimento.
Concluímos, pela análise de nosso experimento, que novas abordagens que
reforcem a utilização do registro gráfico em atividades de conversões podem
oferecer aos estudantes novas possibilidades de acesso e conseqüentemente
compreensões diferenciadas do objeto matemático. Concebemos que a utilização de
meios computacionais voltados ao ensino de Matemática é um caminho promissor
para que muitas das dificuldades neste processo de ensino e aprendizagem sejam
amenizadas.
Esperamos que o presente estudo possa contribuir para a área de Educação
Matemática, constituindo um material de apoio para o ensino de Geometria Analítica.
De acordo com os resultados obtidos na abordagem proposta nesse trabalho
de pesquisa, no qual evidenciamos um aproveitamento significativo por parte dos
estudantes no aprendizado do objeto de estudo superfície esférica, destacamos,
como perspectiva para novas investigações, a elaboração de abordagens que
procurem explorar a relação entre as diversas representações em outros tópicos de
Geometria Analítica e a utilização de um software de geometria dinâmica que
favoreça a interação entre os representantes do objeto de estudo.
Neste desenvolvimento observamos que há campo para novos trabalhos que
reforcem a utilização do registro da língua natural, com o intuito de amenizar as
dificuldades na utilização desse registro. Ainda, notamos a necessidade de
pesquisas que tratem do reconhecimento de objetos matemáticos por meio de suas
equações. Por fim, sugerimos a realização de estudos que abordem a análise de
intersecções entre cônicas e planos com auxílio de um recurso de geometria
dinâmica,
196
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202
ANEXO I
FAMILIARIZAÇÃO NO CABRI 3D
203
FAMILIARIZAÇÃO NO CABRI 3D
1. Construção do vetor no sistema e obtenção de suas coordenadas e de seu módulo:
a) Construção do vetor no sistema
Na Barra de Ferramentas, vá com o cursor do mouse até o terceiro botão,
pressione o botão esquerdo do mouse, arraste-o e selecione o comando
“VETOR” dando um clique com o botão esquerdo sobre ele. Vá com o cursor
até a origem do sistema e dê um clique com o botão esquerdo do mouse
sobre ela. Determine a extremidade do vetor dando um clique com o botão
esquerdo do mouse em alguma região no sistema .
Obs: Caso o usuário queira nomear o vetor construído, basta que , ao
construí-lo, digite uma letra.
Para uma nova construção ou mesmo manipulação do vetor construído, vá
até o primeiro botão da barra de ferramentas e selecione “MANIPULAÇÃO”.
Importante: Na construção de um vetor no ambiente do Cabri 3D, ele
automaticamente permanecerá ao plano de referência. Para construí-lo fora
desse plano, é necessário apartar a tecla “shift” no momento da construção
de seu ponto de extremidade.
b. Como obter as coordenadas de um vetor:
Para a obtenção das coordenadas de um vetor que já foi construído, vá com o
cursor do mouse até o ultimo botão da barra de ferramentas e clique com o
botão esquerdo. Acione o comando “coordenadas e equação” clicando com o
botão esquerdo do mouse. Clique no ponto extremo do vetor construído,
obtendo assim as suas coordenadas. Caso se queira mudar as coordenadas,
clique com o botão esquerdo do mouse no primeiro botão da barra de
ferramentas acionando assim o comando “MANIPULAÇÃO”.
Basta clicar com o botão esquerdo ( duplo clique ) do mouse sobre as
coordenadas do vetor que aparecerá uma janela que permite a alteração das
coordenadas.
204
c. Módulo ( ou comprimento) do vetor
Vá com o cursor do mouse até o ultimo botão da barra de ferramentas e
acione o comando “ COMPRIMENTO”. Clique sobre o vetor que será
determinado o comprimento, obtendo assim o seu módulo.
2. Distância entre dois pontos
Clique com o botão esquerdo do mouse sobre o ultimo botão da barra de
ferramentas e acione o comando “DISTÂNCIA”. Basta clicar com o botão
esquerdo do mouse sobre os dois pontos para determinar a distância entre
eles.
3. Criar um ponto fora do plano de referência
Com o cursor do mouse, clique com o botão esquerdo sobre o segundo botão
da barra de ferramentas e acione o comando “ PONTO”. Pressione a tecla
“Shift”. Clique com o mouse no local onde se pretende criar o ponto. Solte a
tecla “Shift”. A tecla “Shift” “libera” os pontos do plano de referência, caso
contrário todos os pontos automaticamente pertencerão a este plano.
4. Coordenadas de ponto e vetor
Vá com o cursor do mouse no ultimo botão da barra de ferramentas e clique
sobre ele com botão esquerdo. Acione o comando “ COORDENADAS E
EQUAÇÕES”. Clique sobre o ponto e sobre o vetor previamente construído.
As coordenadas serão exibidas na tela.
5. Construção de plano
Para a construção de um plano, clique com o botão direito do mouse no
quarto botão da barra de ferramentas e acione o comando “PLANO”. Deverão
ser determinados dois pontos que pertençam a este plano.
Clique em algum lugar do plano de referência, aperte a tecla “shift” para que
este segundo ponto não pertença ao plano de referência. Aparecerá então o
plano que poderá ficar posicionado de acordo com o clique de um terceiro
ponto fixando-se assim a imagem.
205
6. Determinação de equação no software
Vá com o cursor do mouse sobre o ultimo botão da barra de ferramentas e
clique com o botão esquerdo. Acione o comando “ COORDENADAS E
EQUAÇÕES”. Vá com o cursor do mouse no objeto que se pretende
determinar a equação ( Superfície Esférica, reta, plano). Aparecerá a
equação. Caso a posição da equação não esteja favorável para leitura, basta
primeiro ir com o cursor do mouse ao primeiro botão da barra de ferramentas
e acionar o comando “MANIPULAÇÃO”. Pressione com o botão esquerdo do
mouse, arraste a equação pra um local que esteja mais visível e solte o botão.
7. Curva de intersecção entre superfície esférica e plano
Clique no terceiro botão da barra de ferramentas e acione o comando
“CURVA DE INTERSECÇÃO”. Vá com o cursor do mouse na intersecção
entre o plano e a superfície esférica que já foi construída anteriormente e
clique com o botão direito do mouse.
8. Visão superior
Para que se obtenha a vista superior, vá com o cursor do mouse e clique no
botão “DOCUMENTO” na barra de menu e acione o comando “NOVA VISTA”.
Aparecerá na tela uma nova janela com botões para se obter perspectivas.
Vá com o mouse no botão em perspectiva paralela, desenho técnico e clique
no botão “SUPERIOR”.Aparecerá a imagem da visão superior. O usuário
pode mexer na figura por essa perspectiva.
9. Movimentação do plano de referência
Posicione o cursor do mouse no plano de referência e pressione o botão
direito. Movimente o mouse. O plano de referência se movimentará,
permitindo que se tenha uma visualização do ambiente em outra perspectiva
10. Calculadora
Clique no último botão da barra de ferramentas e acione o comando
“CALCULADORA”. Aparecerá na tela uma janela intitulada calculadora que
permite que se façam as operações usando o teclado ou mesmo
206
selecionando valores presentes na tela.É possível arrastar o resultado para a
tela.
11. Redefinição
Considere o vetor construído fora do plano de referência. Para redefini-lo no
plano de referência, clique com o ponteiro do mouse no primeiro botão da
barra de ferramentas e selecione o comando “REDEFINIÇÃO”. Clique então
na extremidade do vetor a qual se pretende redefinir no plano de referência
e, em seguida, no plano de referência.
12. Como editar (formatar) os objetos do Cabri 3D (cor, espessura, etc)
Para alterar a cor, espessura, enfim, para que se modifiquem os objetos
apresentados no Cabri 3D, basta colocar o ponteiro do mouse sobre o objeto
a ser alterado e clicar o botão direito do mouse.
Serão apresentadas opções para alteração do objeto, como por exemplo, cor,
espessura, estilo, bloquear, esconder, etc.
207
ANEXO II
ATIVIDADES APÓS REDESIGN
208
ATIVIDADE 1 - EXPERIMENTAÇÃO NO CABRI 3D
Considere o sistema de coordenadas ortonormais
Tarefa a) Abra o arquivo ATIVIDADE_1a do Cabri 3D. Na tela é dado um vetor
cuja origem coincide com a origem do sistema. Este vetor tem módulo igual a
3 cm. Usando o comando trajetória do software, mexa na extremidade do
vetor. Com o botão direito, mude a posição do plano de referência, para obter
várias vistas do objeto e continue mexendo no vetor e observando a trajetória.
Que objeto gráfico você acha que os pontos obtidos pela movimentação dessa
extremidade definem? Ao realizar estas alterações na extremidade do vetor,
houve mudança no valor de seu módulo?
Tarefa b) Utilizando um comando do Cabri, construa o objeto gráfico que você
acha que esta trajetória define.
Tarefa c) Verifique se o objeto gráfico fornecido pelo software coincide com o
objeto que você achou que os pontos da trajetória definiriam. Para isso, na
barra de menu, em “exibir”, acione o comando “mostrar objetos escondidos”.
Escreva suas conclusões.
Tarefa d) Registre, com suas palavras, o que pôde ser observado e como
você definiria uma superfície esférica.
Tarefa e) Denominando qualquer um dos pontos obtidos na trajetória por
(x,y,z), qual seria a equação algébrica dessa superfície esférica?
Tarefa f) Expresse a equação desta superfície esférica por meio do software e
verifique se coincide com o que você obteve no item anterior. Como você
relaciona a equação dessa superfície com a sua representação gráfica? O que
você observa?
Tarefa g) Abra o arquivo ATIVIDADE_1b do Cabri 3D. Na tela é dado um vetor
cuja origem coincide com a origem do sistema. Construa a superfície esférica
com raio igual ao módulo deste vetor e solicite sua equação. Altere a
extremidade dele e observe o que ocorre no gráfico e na equação.
Tarefa h) Abra o arquivo ATIVIDADE_1c do Cabri 3D. Na tela é dado um vetor
cuja origem não coincide com a origem do sistema. Peça as coordenadas da
origem desse vetor. Construa a superfície esférica com raio igual ao módulo
deste vetor e centro na origem desse vetor. Mude o estilo da superfície para o
209
estilo “pequenos discos”. Solicite sua equação. Comparando a equação obtida
com o centro da superfície e com a equação x2+y2+z2=r2, o que você observa?
Tarefa i) Com o botão esquerdo, selecione a superfície esférica para deslocá-
la. Descreva o que você observa no gráfico e na equação.
Tarefa j) Agora altere o módulo do vetor esticando-o pela sua extremidade. O
que ocorre com o gráfico e com a equação?
ATIVIDADE 1 - ORGANIZE SUAS RESPOSTAS
210
ATIVIDADE 2 _ RECONHECIMENTO DA EQUAÇÃO REDUZIDA DE UMA
SUPERFÍCIE ESFÉRICA E DETERMINAÇÃO DE SEU CENTRO E RAIO
(SITUAÇÕES COM CENTRO NA ORIGEM)
Tarefa a. No Cabri, construa um vetor com origem coincidente com a origem do
sistema Construa uma superfície esférica com centro igual ao módulo
desse vetor. Solicite sua equação. Altere a extremidade do vetor e preencha a
tabela seguinte.
Equação da superfície
esférica
Módulo do vetor Números que multiplicam x²
x2, y2 e z2
O que você conclui?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_______________________________________________
Tarefa b) Considere o sistema de coordenadas ortonormais .
Determine, nas equações abaixo, o centro e o raio da superfície esférica:
e) x² + y² +z² =9
f) x² + y²+ z² =7
211
g) 2x² +2y²+ 2z² =32
h) 3x2+3y2+3z2=17
Tarefa c). Considere o sistema de coordenadas ortonormais .
Das equações seguintes, identifique e determine no ambiente do Cabri 3D a
representação gráfica ( salve no software e registre o nome do arquivo por você
salvo) as que representam uma superfície esférica e justifique:
a) x² + y²+ z²= -9
b) x² + y²+ z²= 10
c) x² + y+ z² = 9
212
d) 5x² +4 y² + 7z² =9
e) 7x² +7y²+7z²=63
f) x² + y²=16
g) x² + y=7
h) x + 3y = 1
213
ATIVIDADE 3 _ DETERMINAÇÃO DO CENTRO E DO RAIO DE UMA
SUPERFÍCIE ESFÉRICA A PARTIR DA EQUAÇÃO REDUZIDA
(SITUAÇÕES COM CENTRO FORA DA ORIGEM)
Considere o sistema de coordenadas ortonormais .
Determine nas equações abaixo, o centro e o raio da superfície esférica e
represente graficamente cada uma no ambiente do Cabri 3D( salve no
software e registre o nome do arquivo criado):
Tarefa a. (x-1)² +( y+2)²+(z-3)²=16
Tarefa b. (x- 1/2)² +y²+(z+3/4)²=7
Tarefa c. 3(x-0,2)² +3( y-1)²+3(z+0,7)²=27
214
ATIVIDADE 4 _ RECONHECIMENTO DE EQUAÇÕES REDUZIDAS DE
SUPERFÍCIES ESFÉRICAS (SITUAÇÕES COM CENTRO FORA DA
ORIGEM)
Considere o sistema de coordenadas ortonormais S=(0, i,j,k),
Das equações seguintes, identifique as que representam uma superfície
esférica e justifique apresentando no ambiente do Cabri 3D a sua
representação gráfica( salve e registre o nome do arquivo):
Tarefa a) x² + 3y² + z² = 7
Tarefa b) (x-1)² +( y+2)²+(z-1)²=8
Tarefa c) x² +( y-3)²+(z+1)²=-9
Tarefa d)x² + y +z² = 8
Tarefa e) (x-4)² +( y²+2)²+(z-1)²=25
Tarefa f) x² +( y-1)=36
Tarefa g) (x+0,2)² +y2+(z-1)²=16
215
ATIVIDADE 5 _ DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DA SUPERFÍCIE
ESFÉRICA PARTINDO DO REGISTRO GRÁFICO
Considere o sistema de coordenadas ortonormais .
Tarefa a) Dada a superfície esférica,na tela do Cabri, determine sua
representação algébrica no ambiente papel e lápis. Você pode utilizar
qualquer comando do software, exceto o comando de equação.
Tarefa b) Verifique no software se a equação encontrada está correta. Relate
se está correta e, caso não esteja, registre no espaço abaixo as duas
equações obtidas. Em seguida, reflita sobre sua produção.
216
ATIVIDADE 6 _ ATIVIDADE DE GENERALIZAÇÃO NO REGISTRO
SIMBÓLICO-ALGÉBRICO
Considere o sistema de coordenadas ortonormais .
g) Tarefa a) Como você representaria a equação da superfície esférica de centro
C=(a,b,c) e raio r?
h) Tarefa b) Esta forma de representar a equação é denominada equação
reduzida de uma superfície esférica. Ao desenvolvê-la e igualá-la a zero,
obtém-se a equação geral da superfície esférica.
i) Partindo disso, determine a equação geral da superfície esférica de centro
C=(a,b,c) e raio r.
217
ATIVIDADE 7 - DETERMINAÇÃO DE CENTRO E RAIO PARTINDO DA
EQUAÇÃO GERAL
Considere o sistema de coordenadas ortonormais . Determine
nas equações abaixo, o centro e o raio da superfície esférica. Para isso,
estabeleça uma comparação entre cada equação apresentada a seguir com a
equação geral desenvolvida na atividade anterior.
Tarefa a) x2+y2+z2-2x+4y-6z-2=0
Tarefa b) x2+y2+z2-10x+2y-4z+23=0
Tarefa c) x2+y2+z2-2y+4z-4=0
218
ATIVIDADE 8 - RECONHECIMENTO DA EQUAÇÃO GERAL DE UMA
SUPERFÍCIE ESFÉRICA
Considere o sistema de coordenadas ortonormais . Das
equações seguintes, identifique as que representam uma superfície esférica,
determinando seu centro e seu raio. Se a equação não representar uma
superfície esférica, apresente justificativas.
Tarefa a) x2+y2+z2 - 2x + 6y - 8z +18=0
Tarefa b) x2+3y2+z2-6x+2y-3z+10=0
Tarefa c) x2+y2+z2-2xy+5z+3=0
Tarefa d) 3x2+3y2+3z2 - 6x +18y- 24z +54=0
Tarefa e) x2+y+z2-2x+6y-3z-10=0
219
ATIVIDADE 9 - INTERSECÇÃO ENTRE PLANO E SUPERFÍCIE ESFÉRICA
Considere o sistema de coordenadas ortonormais .
Tarefa a) Crie no ambiente do Cabri 3d uma superfície esférica com centro na
origem do sistema (0,0,0). Crie a cruva de intersecção entre o plano e a superfície
esférica. Como você representaria algebricamente esta curva? Justifique a sua
resposta apresentando esta representação e utilizando os recursos do software,
explicitando cada etapa desenvolvida.
( Sugestão: utilize a opção NOVA VISTA do software).
220
ATIVIDADE 10 - ATIVIDADE DESAFIO
Considere o sistema de coordenadas ortonormais .
Tarefa a) Abra o arquivo da atividade 10, denominado Fig 10, criado no Cabri 3D.
Observe a intersecção entre o plano e a superfície esférica a este ponto. Como
você explicaria a um colega que a intersecção entre esta superfície esférica e o
plano dado secante a ela é uma circunferência? Determine a equação desta
circunferência.
Tarefa b)Movimente o plano ( pelo ponto B ou pelo E) mantendo-o secante à
superfície esférica e observe a equação do plano e o que acontece na secção. O
que se observa na secção? Houve alteração na distância do centro ao ponto A?
Justifique a sua resposta.
Tarefa c)Generalizando a secção de um plano π qualquer secante a uma
superfície esférica α, qual figura geométrica será obtida?
221
ANEXO III
QUESTIONÁRIO DE LEVANTAMENTO DE PERFIL (FASE II)
222
QUESTIONÁRIO
1 . Você é professor? Do ensino médio ou do ensino superior?
2. Você já deu aula de Geometria Analítica no ensino superior? Em
caso positivo, você já deu conteúdo de superfícies esféricas?
3. Em sua atividade docente, você costuma utilizar recursos
computacionais? Se sim, já utilizou software de geometria
dinâmica?
4. Você conhece o Cabri 3D?
5. Você conhece a teoria de Duval? Se sim, escreva uma breve
compreensão dessa teoria.
223
ANEXO IV
TERMOS DE CONSENTIMENTOS DO GRUPO DE PESQUISADORES (FASE II)
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
ANEXO V
TERMOS DE CONSENTIMENTOS DAS DUAS DUPLAS DE GRADUADOS EM
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA ( FASE III )
238
239
240
241