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Aula 01 – Teoria das Tensões
Eng. Civil Augusto Romanini
Sinop - MT
2017/1
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGIAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
MECÂNICA DOS SÓLIDOS II
v1.3
Mecânica dos Sólidos II
Aula 01 – Teoria das Tensões
Aula 05 – Flambagem de Colunas
Aula 06 – Torção Simples/Pura
13/04/2017 2
AULAS
Aula 00 – Apresentação/Revisão
Aula 02 – Critérios de Resistência
Aula 04 – Teoria das Deformações
Aula 03 – Vasos de Pressão de Paredes Finas
Mecânica dos Sólidos II13/04/2017 3
Objetivos
Conceitos
Equações
Circulo de Mohr
Exemplos
Mecânica dos Sólidos II13/04/2017 4
Objetivos
Objetivo Geral: Apresentar a teoria das tensões aplicadas em estruturas civis usuais e afins.
Objetivo Especifico:
• Definir e aplicar o estado plano de tensões em quaisquer direções.
• Mostrar como transformar as componentes de tensão, associados a um sistema de coordenadas particular, em
componentes associadas a um sistema de orientação diferente.
• Estabelecer as equações de transformação e obter as tensões normal máxima e de cisalhamento máxima determinando a
orientação dos elementos sobre os quais atuam.
Mecânica dos Sólidos II13/04/2017 5
Conceitos
O conceito de tensão se origina do conceito elementar de pressão,
como, por exemplo, a hidrostática que consiste numa força normal por
unidade de área. Por tensão, entende-se uma extensão dessa ideia
para os casos em que a força por unidade de área pode não ser,
necessariamente, normal.
Definição (1) : A relação entre a força infinitesimal aplicada em uma
área infinitesimal é denominada tensão.
𝜎𝑎 =𝑅𝛼𝐴
𝜏𝑎 =𝑇𝛼𝐴
Definição (2) : Os esforços aplicados em uma massa infinitesimal
podem apresentar duas resultantes na direção normal (𝑅𝛼 ) e
Tangencial (𝑇𝛼 ), a partir das quais definem – se os estados de
tensões normais e cisalhante, 𝜎𝑎 e 𝜏𝑎.
Tensão
Mecânica dos Sólidos II13/04/2017 6
Conceitos Tensor de tensões
A partir das tensões obtidas da relação anterior pode – se definir “o estado de tensão em um ponto". O estado de tensão
de um ponto pode ser caracterizado a partir do conhecimento dos componentes normal e tangencial do vetor de tensão em
relação a três planos mutuamente ortogonais (geralmente são empregadas as direções do sistema de coordenadas de
referência do corpo).
Assim como foi feito para os esforços internos solicitantes,
define-se uma orientação desses componentes em relação à
porção do corpo analisada. Normalmente x,y e z. Os
componentes do vetor de tensão em relação aos três planos
mutuamente ortogonais serão organizados para formar o
denominado tensor de tensão.
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Conceitos Tensor de tensões
Atenção: Apesar desta visão
volumétrica do estado de tensão, o
mesmo corresponde às informações
de um ponto do sólido analisado.
Índices dos componentes:
O 1º índice indica a direção normal à face de atuação
e o 2º índice indica a direção do componente.
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Conceitos Tensor de tensões
Tensão Uniaxial Tensão bi-axial Tensão tri-axial
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Conceitos Tensor de tensões
Estado Geral de Tensão Estado Plano de Tensão
𝜎𝑥𝑥 = 𝜎𝑥
𝜎𝑦𝑦 = 𝜎𝑦
𝜎𝑧𝑧 = 𝜎𝑧
Tensões Normais
Tensões Cisalhantes
𝜏𝑥𝑦; 𝜏𝑥𝑧 Plano YZ
𝜏𝑦𝑧; 𝜏𝑦𝑥 Plano XZ
𝜏𝑧𝑦; 𝜏𝑧𝑥 Plano XY
OBSERVAÇÃO: Conforme o teorema de Cauchy ( 1798 – 1857) , também conhecido como Teorema do Tetraedro
que a partir do equilíbrio de um elemento cúbico infinitesimal , tem – se que 𝝉𝒙𝒚 e 𝝉𝒚𝒙. O mesmo ocorre com os
outros planos que compõem o tensor de tensões.
Mecânica dos Sólidos II13/04/2017 10
Conceitos Convenção de sinalTensor de tensões
Tensão Normal Tensão Cisalhante Ângulo de rotação
Tração ( + )
Compressão ( - )
Vertical para cima face direita (+)
Vertical para baixo face direita (-)
Anti-horário (+)
Horário (-)
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Conceitos Transformação de tensão
Definição (2) : O estado plano de tensão em um ponto é representado
exclusivamente por três componentes que agem sobre um elemento
que uma orientação especifica neste ponto.
Estado Plano de Tensão
Tensor de tensões
Definição (1) : O estado plano de
tensão em um ponto é representado
exclusivamente por três
componentes que agem sobre um
elemento que uma orientação
especifica neste ponto.
Importante(1): Para transformar as
tensões são necessários duas
condições. A primeira é que o equilíbrio
do elemento cúbico infinitesimal
naquele ponto e as tensões normais e
cisalhantes conhecidas.
Importante(2): A transformação dos
componentes de tensão é diferente pois
lembre – se que tensão leva em conta o
valor e a direção ( vetorização), além da
orientação da área sobre este
componente age.
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Conceitos Transformação de tensãoTensor de tensões
Definição (3) : Estado plano de tensão ocorre em uma
placa fina submetida a forças que atuam no plano médio
da espessura da placa.
Definição (4) : O estado plano de tensão também ocorre na
superfície livre de um elemento estrutural ou componente
de máquina, ou seja, em qualquer ponto da superfície que
não esteja submetido a uma força externa.
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Conceitos Transformação de tensãoTensor de tensões
senAsenAsen
AsenAAF
AsensenAsen
senAAAF
xyy
xyxyxy
xyy
xyxxx
cos
coscoscos0
cos
coscoscos0
Considerando as condições para o equilíbrio de um elemento prismático com faces
perpendicular aos eixos x, y, e x’.
2cos22
22cos22
22cos22
xyyx
yx
xyyxyx
y
xyyxyx
x
sen
sen
sen
As equações podem ser reescritas para produzir
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Equações Tensor de tensões Transformação de tensão
𝜎𝑥′ =𝜎𝑥+𝜎𝑦
2+
𝜎𝑥−𝜎𝑦
2∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃 (1)
𝜎𝑦′ =𝜎𝑥+𝜎𝑦
2−
𝜎𝑥−𝜎𝑦
2∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃 (2)
𝜏𝑥𝑦′ =𝜎𝑥−𝜎𝑦
2∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 (4)
Equações Gerais de tensões
𝜏𝑥𝑦′ = −𝜎𝑥−𝜎𝑦
2∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 (3)
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Tensor de tensões Transformação de tensão
Tensões (normais) Principais
𝜎1,2 =𝜎𝑥+𝜎𝑦
2±
𝜎𝑥−𝜎𝑦
2
2+ 𝜏𝑥𝑦
2 (5)
As tensões principais ocorrem nos planos principais e tem tensão
cisalhante igual a zero. Apresentam a maior e menor tensão normal
que atuam em determinado ponto de análise.
Planos Principais
𝑇𝑔2𝜃1,2 =2∙𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥−𝜎𝑦(6)
Importante:
• Sempre é valido: 𝝈𝟏 ≥ 𝝈𝟐• A soma das tensões é invariante entre si:𝝈𝟏 + 𝝈𝟐 = 𝝈𝒙 + 𝝈𝒚 = 𝝈𝒙′ + 𝝈𝒚′• 𝜽𝟐 = 𝜽𝟏 + 𝟗𝟎º
Equações
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Tensor de tensões Transformação de tensão
Tensões de cisalhamento máxima e mínima
Planos Principais
Importante:
• 𝜽𝟑 é o ângulo de inclinação da tensão normal
associada (𝝈𝒄) a tensão de cisalhamento máxima
• 𝜽𝟒 é o ângulo de inclinação da tensão normal
associada (𝝈𝒄) a tensão de cisalhamento mínima
• Aplicando os valores de 𝜽𝟑 e 𝜽𝟒 na equação (3)
pode – se encontrar o valor das cisalhantes
máximas e mínimas.
𝜏𝑚á𝑥,𝑚í𝑛 = ±𝜎𝑥−𝜎𝑦
2
2+ 𝜏𝑥𝑦
2 (7)
𝑇𝑔2𝜃3,4 = −𝜎𝑥−𝜎𝑦
2∙𝜏𝑥𝑦(8)
Os planos para tensão de cisalhamento máxima (mínima)
podem ser determinados orientando um elemento a 45º em
relação á posição de um elemento que define os planos da
tensão principal.
Tensão Associada
𝜎𝑐 =𝜎𝑥+𝜎𝑦
2(9)
Equações
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Conceitos Tensor de tensões Transformação de tensão
Tração Pura Compressão Pura Cisalhante pura
Estado duplo Compressão Hidrostática
Estado tri-axial
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Círculo de Mohr
Com o significado físico do círculo de Mohr para tensão
plana estabelecida, ele pode ser aplicado com simples
considerações geométricas. Valores críticos são estimados
graficamente ou calculados.
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Círculo de Mohr
Círculo de Mohr para carga axial centrada:
0, xyyxA
P A
Pxyyx
2
Círculo de Mohr para carga torcional:
J
Tcxyyx 0 0 xyyx
J
Tc
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Círculo de Mohr
I. Defina o eixo das tensões normais conforme o eixo
x(+) e eixo das tensões cisalhantes de acordo com o
eixo y(+) , vertical para cima.
II. A partir do sistema cartesiano definido, o primeiro
ponto, que é denominado POLO (P), utilizando o par
de tensões da face “direita” do EPT.
III. No mesmo sistema cartesiano, deve se plotar os
demais pontos que são 𝑻𝒙 , 𝑻𝒚𝟏 ,𝑻𝒚𝟐 . 𝑻𝒙 é por de
tensões da face esquerda; 𝑻𝒚𝟏 𝒆 𝑻𝒚𝟐 são os pares de
tensões nas faces superior e inferior do EPT.
IV. Unir os pontos opostos, 𝑻𝒙 𝒆 𝑻𝒚𝟐 , diretamente
opostos determinando o centro do círculo.
V. Determinar o raio do círculo. O raio pode ser
determinado ligando o centro determinado no item
anterior ao POLO.
VI. Extrair as informações do círculo que são as tensões
principais, tensões cisalhantes e planos de atuação.
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Círculo de Mohr
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Referências
GERE, J. M. Mecânica dos Materiais. Tradução de Luiz Fernando de Castro Paiva, Revisão Técnica de Marco Lucio Bittencourt. 5 ed.
São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. 689 p.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. Tradução de Arlete Simille Marques; Revisão Técnica de S. S.da Cunha Junior.7 ed. São
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 641 p.
Mecânica dos Sólidos II
Obrigado pela atenção.
Perguntas?
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Mecânica dos Sólidos II13/04/2017 24
Exemplos
Exemplo 01 – Para o Estado Plano de Tensão ( EPT) de um determinado ponto é apresentado na figura
abaixo. Determine o que é solicitado.
a) Tensões Principais e os Planos Principais
b) Tensão de Cisalhamento máxima e Tensão associada.
c) Tensões normais e Tensão de Cisalhante para um plano orientado a +45,00º
EPT
𝜎𝑥 = 50,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚²𝜎𝑦
𝜎𝑥
𝜎𝑦 = −10,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚²𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑦′ = 40,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
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Exemplos
Exemplo 02 – Para o Estado Plano de Tensão ( EPT) de um determinado ponto é apresentado na figura
abaixo. Apresente o circulo de Mohr.
EPT
𝜎𝑥 = 50,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚²𝜎𝑦
𝜎𝑥
𝜎𝑦 = −10,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚²𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑦′ = 40,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
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Exemplos
Exemplo 03 – Uma viga de madeira foi construída para vencer determinado vão e suportar um respectivo
carregamento. Deseja – se obter algumas informações sobre como se comporta o elemento estrutural e
sua seção, para que assim se possa determinar imposições executivas. A seção de análise está a 4,00
metros do apoio fixo. O ponto de análise da seção está indicado como “P”.
a) Tensões Normais Principais
b) Tensões Cisalhantes
c) Plano de atuação das tensões
d) Tensões atuantes no ponto , sabendo que as fibras da madeira
estão inclinadas com um ângulo de +23º, com a horizontal.
e) Círculo de Mohr para o EPT
45
15 15
12
38
10
P
cm
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Exemplos
Exemplo 04 – A construção de uma passarela utilizara diversos elementos de aço. Devido ao tamanho do
vão a ser vencido será necessário soldar estes elementos para confeccionar a viga principal. A viga principal
será composta por duas vigas de 6,00 metros soldadas no meio do vão. Foi escolhido utilizar uma viga de
formato “T” robusta pois a mesa superior da viga já servirá como um tabuleiro. O plano de carregamento
ficará situado no meio da mesa. O esquema de carregamento e a seção geométrica são apresentadas
abaixo, assim como os pontos de análise. São solicitada duas seções de análise:
I. Seção no meio do vão ( 4,00 metros do apoio móvel)
II. Seção imediatamente a direita do apoio móvel
45
20 20
5
5 cm
A
B
.
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Exemplos
Exemplo 04 – Solicita – se para a situação anterior.
a) EPT atuante no ponto
b) Tensões principais e plano de atuação.
c) Tensões cisalhante e plano de atuação.
d) Circulo de Mohr para cada EPT
e) Para a Seção “I” – Qual o EPT atuante para um plano inclinado a 30º
f) Para a Seção “II” – Qual o EPT atuante para um plano situado a 60º
g) Analise as características das tensões nos pontos e seções para o carregamento apresentado. Qual a
situação mais crítica?
Sugestão de Exercício Continuado: Analise a Seção imediatamente a esquerda do Apoio móvel. Analise a
seção imediatamente a direita do Apoio fixo.
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Exercícios Sugeridos
Hibeller 7ed – Capitulo 9 – Pag.321 – Disponível na biblioteca.
9.10, 9.11, 9.16, 9.25, 9.26, 9.43, 9.77
James Gere – 5ed – Capitulo 7 – Pag.351 – Disponível na biblioteca
7.2-1; 7.2-2; 7.2-3; 7.2-4; 7.2-9; 7.3-9; 7.4-16 a 7.4-23
1,0 kN/cm² 1450,4 psi ou 1,0 N/cm² 1,45 psi
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Circulo de Mohr Eixos
Mecânica dos Sólidos II13/04/2017 31
Circulo de Mohr Escala e Polo
Mecânica dos Sólidos II13/04/2017 32
Circulo de Mohr Tx e Ty’s
Mecânica dos Sólidos II13/04/2017 33
Circulo de Mohr Centro do Circulo
Mecânica dos Sólidos II13/04/2017 34
Circulo de Mohr Raio
Mecânica dos Sólidos II13/04/2017 35
Circulo de Mohr Traçar Circulo
Mecânica dos Sólidos II13/04/2017 36
Circulo de Mohr Traçar Circulo
Mecânica dos Sólidos II13/04/2017 37
Circulo de Mohr Traçar Circulo
Mecânica dos Sólidos II13/04/2017 38
Circulo de Mohr Tensões Principais
Mecânica dos Sólidos II13/04/2017 39
Circulo de Mohr Tensões Principais
Mecânica dos Sólidos II13/04/2017 40
Circulo de Mohr Tensões Principais
Mecânica dos Sólidos II13/04/2017 41
Circulo de Mohr Planos Principais
Mecânica dos Sólidos II13/04/2017 42
Circulo de Mohr Planos Principais
Mecânica dos Sólidos II13/04/2017 43
Circulo de Mohr Planos Principais
Mecânica dos Sólidos II13/04/2017 44
Circulo de Mohr Planos Principais
Mecânica dos Sólidos II13/04/2017 45
Circulo de Mohr Planos Principais