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FA CUL DA DE DE ENGENHA RIA MECÂ NICA

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1o Semestre de 2002

Engrenagens Helicoidais

A U T O R :

P R O F . D R . A U T E L I A N O A N T U N E S D O S S A N T O S J Ú N I O R

D E P A R T A M E N T O D E P R O J E T O ME C Â N I C O - FEM - UNICAMP

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1

1. Introdução e Relações Geométr icas

Engrenagens cilíndricas de dentes inclinados, ou helicoidais, são construídas com

dentes que não são alinhados com a direção axial dos elementos de transmissão. São

utilizadas quando é necessário construir reduções que ocupem menor espaço axial e que

gerem menor ruído. A primeira característica vem do fato de que a largura efetiva dos dentes

é maior do que a de engrenagens cilíndricas de dentes retos e a segunda é devida ao

engrenamento gradual dos dentes.

A figura 1 mostra um conjunto de redução com esse tipo de engrenamento. As

engrenagens têm os dentes inclinados em sentido oposto uma da outra, para permitir o

engrenamento sem que os dentes se cruzem. Se imaginarmos o conjunto em movimento, é

fácil observar o engrenamento gradual. Considere a engrenagem da direita movendo a da

esquerda: a parte do dente mais próxima da face frontal das engrenagens entra em contato

primeiro e o restante do dente vai gradualmente entrando em contato com o resto do dente

conjugado. Também é possível observar que o rolamento entre os dentes ocorre num plano

inclinado em relação à face do conjunto. Assim, o perfil envolvente deve ser gerado em torno

de um cilindro que também está inclinado em relação aos eixos das engrenagens.

Engrenagens de dentes inclinados geram esforços axiais, já que o contato ocorre em

um plano inclinado em relação ao eixo dos elementos. Para suportar esses esforços deve-se

prever a utilização de mancais de escora ou mancais radiais, como os rolamentos de contato

Figura 1. Engrenagens Cilíndricas de Dentes Inclinados (Helicoidais)

2

angular. Uma providência de projeto bastante comum é a montagem de uma redução com dois

pares de engrenagens, cada conjunto gerando esforços axiais em uma direção. Com

engrenagens semelhantes, os esforços axiais resultantes serão mínimos. A figura 2 mostra

esse tipo de montagem.

Um esquema dos dentes e das variáveis envolvidas no estudo das engrenagens

helicoidais é mostrado na figura 3. Nessa figura, � é o ângulo de hélice, que define a

inclinação dos dentes em relação ao eixo das engrenagens; p é o passo; pn é o passo normal ou

ortogonal; pa é o passo axial e b é a largura da engrenagem. A variável b’ , não mostrada, é

utilizada para a largura efetiva dos dentes, que em engrenagens helicoidais depende do ângulo

de hélice.

A figura 3 também mostra os planos ��� e ��� . O primeiro é o plano perpendicular ao

eixo da engrenagem e o segundo é perpendicular aos dentes. A visão dos dentes em cada

plano é diferente. A figura 4 mostra os dentes em ambos os planos. Nessa figura, � n é o

Figura 2. Montagem de um Par de Engrenagens Helicoidais para evitar Esforço Axial

Figura 3. Vista Superior de uma Engrenagem Helicoidal mostrando as designações mais importantes

3

�cos.ppn �

�cos.tantan n

�cos.mmn �

ângulo de pressão normal ou ortogonal e � é o ângulo de pressão. Pode-se notar que os

ângulos são diferentes. O ângulo normal é o que realmente está no plano de rolamento e é

normalizado. Embora o perfil dos dentes deva ser envolvental nesse plano, dificuldades de

fabricação impedem que isso ocorra. Pequenas diferenças são levadas em conta no

dimensionamento através da modificação dos fatores geométricos.

Com as figuras 3 e 4 é possível descrever as relações entre as diversas variáveis.

Assim, o passo normal pode ser calculado por:

[ 1 ]

O ângulo de pressão normal é dado por:

[ 2 ]

E o módulo normal, que é diretamente proporcional ao passo normal, é dado por:

[ 3 ]

2. Análise de Forças em Engrenagens Helicoidais

Conforme já mencionado, o contato entre os dentes ocorre no plano inclinado � � .

Assim, a força de contato F, que é normal à superfície de ambos os dentes, também deve estar

nesse plano. Devido à essa inclinação, três componentes de força são geradas. As

componentes radial (Fr) e axial (Fa) não causam torque nos eixos de transmissão. A primeira

Figura 4. Visualização dos Dentes de Engrenagens Helicoidais. À esquerda, corte no Plano ��� da figura 3; à direita, corte no Plano ��� .

4

causa flexão e a segunda apenas tensão axial. Embora sejam importantes no dimensionamento

da transmissão com um todo (eixos, engrenagens, selos, mancais, ...) aparecem apenas

indiretamente nos cálculos das tensões nos dentes. De fato, uma vez que os ângulos de hélice

e pressão para um conjunto de redução são fixos e definem a relação entre as forças, o efeito

de cada uma pode ser incluído na força tangencial (F t), que é a que define o torque que está

sendo transmitido.

A figura 5 permite determinar as relações entre as forças. Nessa figura é mostrada uma

vista superior da engrenagem helicoidal e os dentes nos planos ��� e ��� .

A força tangencial pode ser obtida a partir dos dados de entrada do problema.

Normalmente esses dados são a potência (ou torque) e a rotação da fonte de acionamento

(motor). Para calcular a força é necessário que se conheça o raio da engrenagem, que não está

disponível no início de um projeto. Uma estimativa inicial do raio pode ser obtida levando-se

em conta as recomendações de projeto descritas na apostila para engrenagens cilíndricas de

dentes retos, que relacionam a distância entre centros e a redução desejada com as dimensões.

Figura 5. Esquema para a determinação das relações entre as Forças em Engrenagens Helicoidais

5

V

WFt

.

�

�tan.ta FF �

n

t

n

b FFF ���

cos.coscos��

Supondo o raio conhecido, pode-se obter a velocidade e, com a potência, calcular a força

tangencial conforme a equação:

[ 4 ]

A figura 5 mostra que a relação entre F t e Fr é dada por:

[ 5 ]

A força axial Fa, gerada pela inclinação dos dentes e pelo contato no plano inclinado,

depende do ângulo de hélice conforme a equação 5. A relação mostrada nessa equação pode

ser vista no esquema de forças no centro da figura. Nesse esquema também pode ser vista a

força que causa flexão no pé do dente, cujo símbolo é Fb e cuja relação com a força tangencial

é mostrada na equação 7.

[ 6 ]

[ 7 ]

A força no contato entre os dentes é composta das componentes axial, tangencial e

radial e pode ser obtida por:

[ 8 ]

3. Tensões e Resistência em Engrenagens Helicoidais

Da mesma forma que para engrenagens cilíndricas de dentes retos, as tensões

relevantes para o dimensionamento dos dentes são geradas pela força a ser transmitida. A

figura 6 mostra um modelo foto-elástico de um dente em pexiglass em contato com outro de

um material metálico. Por essa técnica é possível visualizar as linhas de deformação (ou

tensão) geradas pelos esforços. A diminuição do espaçamento dessas linhas significa uma

maior concentração de tensões. Observando a figura é possível identificar a raiz do dente e o

�tan.tr FF �

�cost

b

FF �

6

).93,0.(.... moVt KKKJmb

F��

ponto de contato entre os dentes como os pontos de maior tensão, conforme já visto no estudo

de engrenagens de dentes retos.

3.1. Tensões e Resistência na Raiz do Dente

A equação 9 mostra o cálculo das tensões no pé do dente em engrenagens helicoidais,

conforme recomendado pela Associação Americana dos Fabricantes de Engrenagens

(AGMA), órgão regulador nessa matéria na América do Norte. Consiste basicamente na

mesma equação apresentada para dentes retos e, portanto, valem as mesmas considerações, a

menos de duas pequenas modificações. Engrenagens Helicoidais, devido ao formato dos

dentes, não são tão sensíveis ao desalinhamento, principalmente se houver uma sobreposição

de dentes em contato, isto é, mais de um dente estiver em contato em cada momento, o que é

o esperado. Assim, o fator que leva em consideração a montagem, Km, não precisa ter os

valores recomendados pela tabela 2 do texto sobre engrenagens cilíndricas de dentes retos. A

AGMA recomenda um valor 7 % menor, ou seja, recomenda a inclusão de um multiplicador

de valor 0,93 na equação.

[ 9 ]

Uma segunda diferença leva em consideração o fato de que o perfil dos dentes no

plano ortogonal não é exatamente envolvental. O fator J para engrenagens helicoidais inclui

essa diferença. Esse fator é obtido do gráfico da figura 7 para uma engrenagem cuja

conjugada tenha 75 dentes. Para engrenagens cuja conjugada tenha qualquer outro número de

Figura 6 - Modelo Foto-elástico da Distribuição de Tensões em Dentes de Engrenagens

7

dentes, a figura 8 mostra o fator de correção que deve ser utilizado. Os dados de entrada na

figura 7 são o número de dentes na engrenagem onde se quer conhecer a tensão e o ângulo de

hélice. Para a figura 8 é necessário utilizar também o número de dentes da engrenagem

conjugada.

Figura 7 - Fator Geométrico J para Engrenagens Helicoidas com Conjugada de 75 dentes

Figura 8 - Multiplicador para Correção do Fator Geométrico da figura 7 para Conjugadas de Número de

Dentes diferente de 75

1,05

1,00

0,95

0,90

0º 5º 10º 15º 20º 25º 30º

Angulo de helice

Mul

tiplic

ador

do

fato

r ge

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rico

J

50

30

20

Num

ero

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eng

rena

gem

35º

75

150

500

0,70

0,60

0,50

0,40

0,30

0º 5º 10º 15º 20º 25º 30º

Angulo de helice

Fat

or g

eom

etric

o J

500150

60

30

2018161412 N

umer

o de

den

tes

8

mstrSGLnn kkkCCCSS ......'�

A resistência à flexão no pé do dente é calculada exatamente da mesma maneira que

para engrenagens de dentes retos. A equação 5 da apostila que trata desse tipo de engrenagem

é repetida aqui, na equação 10. Todos os fatores e variáveis estão descritos na apostila citada.

[ 10 ]

3.2. Tensões e Resistência no Contato entre os Dentes

As tensões no contato entre os dentes de engrenagens helicoidais também são

calculadas basicamente da mesma forma que para dentes retos. Novamente, a recomendação

da AGMA para o fator montagem deve ser incluída. Uma segunda recomendação leva em

consideração o número médio de dentes em contato, representado pelo valor CR na equação.

O valor de CR é chamado também de razão de contato e pode ser calculado pela equação 11.

[ 11 ]

O termo r ij na equação anterior representa um raio: quando i é substituído por a,

representa o raio da cabeça do dente; quando i é substituído por b, representa o raio de base;

quando j é substituído por p, representa o pinhão; quando j é substituído por c, representa a

coroa. Assim, rap é o raio da cabeça do dente do pinhão, e assim por diante. O termo C é a

distância entre centros, ou a soma dos raios primitivos dos dois elementos. O passo da base pb

é dado pela equação 12.

���cos.

cos..p

N

dpb [ 12 ]

No cálculo da tensão no contato também deve ser incluída a largura real b’ , já que o

contato ocorre no plano normal, ao longo de toda a largura. Essa largura pode ser calculada

dividindo a largura do denteado b pelo cosseno do ângulo de hélice. Assim, a equação para o

cálculo da tensão fica:

b

bcacbpap

p

CrrrrCR

]sen.)()[( 222222 !""#"$

9

2

1

)].93,0.(.)..95,0

cos.(

...[ mov

P

tPH KKK

CRIdb

FC %& '

[ 13 ]

Da mesma forma que para as tensões na raiz do dente, não há modificação para a

forma de calcular a resistência à fadiga no contato. A equação 8 da apostila de engrenagens

cilíndricas de dentes retos é repetida abaixo para facilitar o uso desta apostila. Os fatores

multiplicadores foram definidos na apostila citada.

[ 14 ]

4. Considerações Finais

Engrenagens helicoidais são as mais utilizadas na construção de caixas de câmbio

automotivas e redutores industriais atualmente. O custo total um pouco mais elevado é

suplantado pela sua simplicidade de fabricação e pelas vantagens sobre as de dentes retos.

Algumas características de suas variáveis principais devem ser ressaltadas:

(O ângulo de pressão normalizado é o ângulo normal ) n e não o ângulo ) ; O

valor do primeiro é, normalmente, 20o.

(O módulo normal mn também deve seguir os valores recomendados para o

módulo m, conforme a apostila de engrenagens de dentes retos, embora seja

possível encontrar uma grande quantidade de conjuntos de redução não

normalizados.

(Da mesma forma que para engrenagens de dentes retos, é sempre

recomendável procurar valores reais para as resistências ao invés de usar as

estimativas propostas nas equações 10 e 13

(O ângulo de hélice, embora possa ter valor de até 30o, assume muito

comumente o valor de 15o.

RLIfeH CCSS ..*