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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
COMO RESOLVER UM QUADRADO MÁGICO DE ORDEM N
Catarina Maria Tataccioli - 195603 AM091 - Atividades de Matemática I
Prof. Dr. Ricardo Miranda Martins
CAMPINAS
2020
Introdução
O presente trabalho, apresentado à disciplina AM091 - Atividades de Matemática I,
do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica da UNICAMP, tem como
objetivo apresentar uma breve história sobre os quadrados mágicos, bem como um pouco da
matemática por trás dos mesmos. Entretanto, a maior parte deste trabalho é dedicada a
apresentar técnicas de resolução de um quadrado mágico de ordem n - tendo em vista que são
estratégias diferentes se n é um número par ou ímpar - de modo mais lúdico possível.
A disciplina AM091 foi criada no primeiro semestre de 2020 em decorrência da
pandemia mundial de COVID-19, quandos escolas, faculdades, e comércios em geral tiveram
que ser fechados e o mundo entrar em quarentena. O mesmo ocorreu em 1665 quando a
Grande Praga de Londres, mais conhecida como peste bubônica, atingiu a Inglaterra e, na
tentativa de conter o avanço da epidemia, governos, escolas e pequenos comércios foram
fechados.
Quadrado mágico
Imagine uma tabela quadrada com um certo número n de linhas e colunas, preenchida
com números naturais que não se repetem e que a soma dos algarismos de cada linha, cada
coluna e das diagonais é sempre o mesmo valor. Imaginou?! Pois bem, esse é um quadrado
mágico, e o resultado da soma é chamado de constante mágica.
O número n é chamado de ordem e indica quantas linhas e colunas o quadrado tem.
Um quadrado de ordem 3, por exemplo, possui três linhas e três colunas.
Figura 1: Quadrado mágico de ordem 3 e constante mágica 15
História do quadrado mágico
Ainda que a origem do quadrado mágico não
seja precisa, há relatos de que tenha surgido da China e
da Índia.
Conta-se que cerca de 2200 a.c., o
imperador-engenheiro Yu, o Grande, estava observando
o rio Amarelo quando avistou uma tartaruga sagrada e
que em seu casco estava representado nós que podiam
ser transformados nos números de 1 a 9 e que somavam
15 em todas as direções. O símbolo que atualmente é conhecido pelo nome de Lo shu recebeu
esse nome pois na época acreditava-se que esses tipos de quadrado tivessem poderes, sendo
muitas vezes gravados em metais ou pedra e usados como amuletos ou talismãs e
acreditava-se que quem possuísse um quadrado mágico teria sorte e felicidade para toda a
vida.
Durante o século XV os quadrados mágicos foram ficando conhecidos e se
propagando, até chegar à Europa. Relacionados com alquimia e astrologia eram gravados em
placas de prata e usados como amuleto contra a peste.
Ainda hoje os quadrados mágicos servem de amuleto
no Tibete, na Índia e em grande parte do sudeste da
Ásia.
Existem muitas crenças sobre os quadrados
mágicos: acredita-se que o símbolo reúne os
princípios básicos que formam o universo Yin e Yang,
onde os números pares simbolizam o princípio
feminino, Yin, e os números ímpares simbolizam o
princípio masculino, Yang. O número 5 representa a
Terra e ao seu redor estão distribuídos os quatro elementos
principais, a água 1 e 6, o fogo 2 e 7, a madeira 3 e 8 e os metais 4 e 9.
O físico e teologista alemão Heinrich Cornelius Agrippa escreveu “De Occulta
Philosophia”, onde falava de quadrados mágicos de ordem 3 até à ordem 9, associando cada
ordem à um planeta, atribuindo, assim, um significado astronômico a esses quadrados que
representavam simbolicamente os sete planetas conhecidos por Cornelius, incluindo o Sol e a
Lua (Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter, Saturno, o Sol e a Lua)
Também há registros do quadrado mágico na arte: Albrecht Dürer, famoso artista e
matemático alemão, apresentou pela primeira vez na Europa, em 1514, uma gravura de nome
"Melancolia" que, representado no canto superior direito da gravura, pode-se ver um
quadrado mágico de ordem 4x4 e constante mágica 34.
Um fato interessante sobre essa obra é que o número 34 não aparece somente na soma
das linhas, colunas e diagonais como se espera de um quadrado mágico, mas em outras
ordens também:
Figura 5: Dividindo o quadrado em outros quatro quadrados, a soma dos números de cada um é 34 e a soma dos quatro números
centrais é 34
Figura 6: A soma dos extremos do quadrado é 34
Figura 7: A soma dos números entre os extremos é 34
Figura 8: A soma dos números que formam um “círculo” ao redor dos números centrais é 34
Também é possível observar o número 1514 no quadrado mágico presente na obra de
Albrecht Dürer, ano em que a obra foi criada.
Muitos acreditavam que no quadrado mágico de Dürer havia uma certa dose de
misticismo. Os astrólogos consideravam estes quadrados como amuletos protetores,
principalmente contra a melancolia.
Um pouco da matemática do jogo
Matematicamente um quadrado mágico é uma matriz quadrada nxn cujos elementos,
que variam de 1 a n² sem repetições, formam um arranjo de modo que a soma de cada linha,
cada coluna e das diagonais principal e secundária é sempre uma constante.
Por exemplo, em um quadrado de ordem 3 dispomos de números de 1 a 9 para
preencher as células de modo que, em qualquer direção, a soma de 3 números seja sempre a
mesma.
Nesse caso precisamos saber quantos arranjos de três números podemos formar
dispondo desses 9 números, ou seja:
04A39 = 9!
(9−3)! = 6!9! = 5
A ordem dos números não é importante para a soma, mas é importante no quadrado
mágico, pois um número no lugar errado faz com que a soma das linhas, colunas ou diagonais
já não seja a constante mágica. Por isso calculamos uma combinação dos 9 números, 3 a 3:
4C39 = 9!
(9−3)!3! = 9!6!3! = 8
Se desconsiderarmos a permutação entre linhas e colunas - que totalizam um total de
12 possibilidades - teremos 72 possibilidades de montar um quadrado mágico de ordem 3.
Quanto maior a ordem, maiores as possibilidades e, como consequência, maior a
dificuldade.
Quadrados mágicos que são formados por uma sequência de números naturais que se
inicia com o número 1 são chamados de elementares, mas existem os quadrados mágicos não
elementares também, que são formados por uma sequência de números cujo primeiro termo é
diferente de 1, por exemplo a sequência dos números que irão formar o quadrado mágico
pode iniciar-se a partir do 12. Falaremos um pouco sobre estes mais adiante.
Solução matemática.
O processo de criação de um quadrado mágico do início, ou seja, quando nenhum
número está fixado, será dividido em duas partes: quadrados mágicos de ordem ímpar e
quadrados mágicos de ordem par.
Quadrados mágicos de ordem ímpar
Antes de começarmos de fato a resolver um quadrado mágico precisamos saber o
valor da constante mágica para não nos limitarmos a várias tentativas e erros, ou seja,
precisamos saber qual o valor da soma dos números de cada linha, coluna e diagonais.
Primeiramente vamos considerar um quadrado mágico de ordem 3 totalmente em
branco. Lá no começo do texto foi apresentado esse mesmo quadrado mágico e vimos que a
constante mágica é 15, mas como podemos descobrir qual será a constante mágica em um
quadrado mágico qualquer?
Bom, no nosso exemplo o quadrado mágico é de ordem 3, então ele será preenchido
com a sequência de números de 1 a 9. Sendo assim, se somarmos os números de 1 a 9
estaremos somando todos os números que compõem o quadrado mágico. Esse é exatamente
esse o primeiro passo para resolver um quadrado mágico seja ele de ordem ímpar ou par:
saber qual é a soma de todas os números que o preenchem.
Somar número por número pode ser um processo longo e exaustivo dependendo da
ordem do quadrado mágico, mas existe uma fórmula para somar todos esses termos de um 1
modo mais rápido, que é dada por:
1 Essa fórmula é conhecida como soma de Gauss, e muito usada em progressões aritméticas.
S = 2n (n+1)
Onde n é a quantidade de números da sequência. Nesse caso n = 9 pois dispomos dos
números de 1 a 9 para preencher o quadrado.
Então, substituindo n por 25 na fórmula ali em cima concluímos que a soma é
5S = 29 (9+1) = 4
Encontramos a soma de todos os números que irão preencher o quadrado mágico, mas
ainda precisamos encontrar a soma de cada linha, cada coluna e das diagonais. Como são 3
linhas e 3 colunas, ou seja, a ordem do quadrado mágico, ao dividirmos o valor da soma total
por 3, teremos a soma de cada linha e cada coluna, e as diagonais sairão como consequência!
Sendo assim:
5345 = 1
Esse é o processo para encontrar a constante mágica! Ele vale para qualquer quadrado
mágico e é essencial para a resolução do mesmo.
Agora precisamos encaixar os números de 1 a 9 nas linhas e colunas que satisfazem
essa condição. Mas como fazemos isso?
A técnica que será mostrada a seguir é uma técnica descoberta por de La Loubére em
1687 que consiste em preencher um quadrado mágico de ordem n, com n ímpar, através de
dois movimentos: ↑ →
● 1º passo: fixamos o número 1 na célula central da primeira linha e a partir do número
1 fixado iremos utilizar o movimento para colocar os próximos números da ↑ →
sequência.
● 2º passo: O primeiro movimento é de subir uma célula e deslizar para a direita e
colocar o número 2, mas ao realizar esse movimento estaremos fora dos limites do
quadrado, (figura 10), então apenas deslizamos para a célula da direita e colocamos o
próximo número, no caso o 2, na última linha e na mesma coluna para onde
deslizamos inicialmente (figura 11)
● 3º passo: prosseguimos de modo análogo ao 2º passo. Novamente o próximo número
da sequência, no caso o 3 , estará fora dos limites do quadrado (figura 12), então
permanecemos na mesma linha, porém deslocamos o número para a primeira coluna
(figura 13)
● 4º passo: Note que se continuarmos seguindo esses mesmos movimentos, algum
momento números deverão ser colocados em células já ocupadas. Nesse caso apenas
colocamos o número abaixo do seu antecessor, como é o exemplo do 4. O mesmo
acontece quando um número não se encaixa em nenhuma linha e nenhuma coluna, ou
seja, faça parte da diagonal.
● 5º passo: Continuamos o procedimento de subir uma célula e deslocar-se para a direita
e completamos o quadrado! Se você verificar verá que a soma de cada linha, cada
coluna e das diagonais é sempre 15.
Usando essa mesma técnica podemos construir um quadrado mágico de ordem 5, 7, 9
e assim por diante, desde que seja de ordem ímpar.
Quadrado mágico de ordem par
Dividiremos a solução de um quadrado mágico de ordem par em duas partes: quando
a ordem do quadrado é múltipla de 4 e quando não é.
Começando com um quadrado mágico de ordem 4. Nesse caso ele será preenchido
com números de 1 a 16 sem que nenhum número se repita.
O procedimento para encontrar a constante mágica é o mesmo de um quadrado
mágico de ordem ímpar. Somando todos os termos do quadrado mágico temos:
36S = 216 (16+1) = 1
Como são 4 linhas e 4 colunas, ou seja, a ordem do quadrado mágico, dividimos o
valor da soma total por quatro, e encontramos a soma de cada linha, cada coluna, e das
diagonais. Logo:
44136 = 3
Descobrimos que a constante mágica de um quadrado mágico de ordem 4 será sempre
34, agora basta encaixarmos os números de 1 a 16 nas linhas e colunas que satisfazem essa
condição.
A técnica para completar quadrados mágicos de ordem 4 ou de ordem múltipla de 4
está relacionada com as diagonais.
● 1º passo: Completamos o quadrado com os números de 1 a 16 em sequência, no caso
do quadrado de ordem 4, e destacamos as diagonais.
● 2ª passo: trocamos a posição dos números opostos nas diagonais, ou seja, trocam-se as
posições entre os números 1 e 16 e entre os números 6 e 11 na diagonal verde. De
modo análogo, na diagonal rosa, trocam-se as posições entre os números 13 e 4 e
entre 10 e 7.
2
Para quadrados mágicos de ordem múltipla de 4 fazemos o mesmo
procedimento, invertendo os opostos das diagonais, mas nesse caso subdividimos o
quadrado em outros quadrados de ordem 4, ou ao meio, e realizamos o processo de
inverter as diagonais. No exemplo abaixo um quadrado de ordem 8 foi dividido em 4
quadrados de ordem 4 e preenchido com números de 1 a 64 em sequência. Vale
lembrar que a constante mágica nesse caso é 260.
2 Perceba que se permutarmos as duas colunas centrais a soma não se altera, e teremos o quadrado mágico da obra “Melancolia” de Dürer.
Agora, dentro de cada quadrado destacamos as diagonais:
De como análogo ao quadrado de ordem 4 trocamos as posições dos números opostos
das diagonais principal e secundária. Por exemplo, começando com a diagonal rosa, trocamos
de posição o 8 com o 57, o 15 com o 50, o 22 com o 43 e o 29 com o 36. E no caso da
diagonal verde, trocamos o 1 com o 64, o 10 com o 55, o 19 com o 46 e o 28 com o 37.
Se pudéssemos conectar as duas diagonais menores rosa, destacadas na figura x,
poderíamos ver que elas formam na verdade uma única diagonal, cujos elementos são: 25, 18,
11, 4, 61, 54, 47, 40, o mesmo acontece com as duas diagonais menores verdes: 33, 42, 51,
60, 5 14, 23, 32.
Sendo assim, podemos trocar as posições do mesmo modo que fizemos anteriormente:
para a diagonal rosa trocamos o 4 com o 61, o 11 com o 54, o 18 com o 47 e o 25 com o 40.
Para a diagonal verde, trocamos: o 5 com o 60, o 14 com o 51, o 23 com o 42 e o 32 com o
33.
A construção de quadrados mágicos de ordem par não múltiplos de 4, que são da
forma 4m+2, onde m é um número natural (como 6, 10, 14, 18, etc.), parece ser mais
complicada, mas assim que você entende o processo se torna fácil. Usaremos um pouco das
duas técnicas apresentadas anteriormente: o movimento de subir e deslocar uma célula para a
direita e a troca de posições.
Vamos considerar um quadrado mágico de ordem 6 e cuja constante mágica é 111. 3
Nesse caso, temos 6 = 4m + 2 ⇒ m = 1.
● 1º passo: dividimos o quadrado ao meio na horizontal e na vertical, assim teremos 4
quadrados de ordem 3. Cada quadrado será preenchido como se fosse um único
quadrado de ordem ímpar na ordem mostrada na figura 24
3 Esse resultado vem da fórmula apresentada nas páginas anteriores.
● 2º passo: começamos a preencher cada quadrado utilizando o método mostrado nas
páginas anteriores: subimos uma célula e deslocamos para a direita. O primeiro
quadrado será preenchido com números de 1 a 9, isso significa que o segundo
quadrado será preenchido com números de 10 a 18, o terceiro com números de 19 a
27 e o quarto com números de 28 a 36. O processo de preenchimento de cada
quadrado será sempre o mesmo: fixamos o primeiro número na célula central da
primeira coluna e vamos colocando os próximos números da sequência. Por exemplo,
no segundo quadrado fixamos o número 10, já que no primeiro quadrado foram
utilizados os números de 1 a 9.
Se somarmos os termos das linhas e das colunas podemos perceber que somente a
soma das colunas é 111 e a soma das linhas não (figura 26). Porém, se alterarmos a ordem
dos termos nas colunas ainda teremos a mesma soma, mas esse processo fará com que a soma
das linhas também seja 111. Para a troca de posição utilizaremos um tipo de “pirâmide” que
depende daquele m que mencionado na página anterior e que está relacionado com a ordem
do quadrado mágico.
Num quadrado de ordem 6, m = 1, então a troca de posição dos termos será na
primeira coluna da esquerda e em um termo da segunda coluna apenas.
● 3º passo: Selecionamos a primeira coluna de cada quadrado do lado esquerdo sem os
termos centrais de cada um deles e o termo central da segunda coluna em cada
quadrado, como na figura 26, e no primeiro e no quarto quadrados iremos trocar a
posição de células correspondentes, ou seja, trocamos o 8 com o 35, 4 com 35 e 5 com
32. Ao realizarmos tal troca, a soma de cada linha, cada coluna e das diagonais passa
a ser 111, a constante mágica.
Essa técnica é válida para qualquer quadrado mágico de ordem par que não seja
múltiplo de 4. A diferença será apenas na inversão dos números de células correspondentes.
Como um quadrado de ordem par e não múltiplo de 4 é da forma 4m+2, dependemos
de m para definir quantas colunas serão alteradas. Após dividir o quadrado ao meio
verticalmente, as colunas alteradas na esquerda será m e na direita m-1, por esse motivo a
coluna da direita não é alterada em um quadrado mágico de ordem 6, pois
se m=1 ⇒ m-1=0.
O exemplo abaixo mostra um quadrado mágico de ordem 10. Note que nesse caso
m = 2, então na parte esquerda iremos alterar 2 colunas e na da direita 1, pois 2-1 = 1.
Quadrados mágicos não elementares
Quadrados mágicos não elementares são, basicamente, quadrados mágicos
elementares em que foi somado um número a cada um de seus termos.
Nesse caso, dispomos de n² números para dispor em n² células, entretanto a sequência
de números não começa com 1.
Para resolver problemas de Quadrados Mágicos não elementares basta construir um
Quadrado Mágico elementar - depois disso somar elemento por elemento a diferença entre o
menor valor do Quadrado Mágico pretendido com 1.
Por exemplo, podemos montar um quadrado mágico de ordem 4 com números de 12 a
28. Claro que, ao dispormos de outra sequência, a constante mágica também será outra.
Para construir um quadrado de ordem 4 com a sequência de números de 12 a 28,
montamos o quadrado de ordem 4 com os números de 1 a 16 e somamos 11 a cada termo, que
é a diferença entre o menor valor dos números disponíveis com 1 (12 - 1 = 11).
Quadrado mágico de ordem 3 e o jogo da velha
Se você conhece o jogo da velha pode perceber que há uma certa semelhança com um
quadrado mágico de ordem 3. Não consegue imaginar? Vamos ilustrar a situação: no jogo da
velha você precisa preencher uma tabela 3x3 com X e O. O objetivo do jogo é ser o primeiro
a formar, uma linha, coluna ou diagonal somente com X ou O e impedir o oponente de
conseguir fazer o mesmo.
Já no quadrado mágico de ordem 3 precisamos preencher linhas, colunas e diagonais
de modo que cada uma delas some 15. Existem 8 maneiras de somar números de 1 a 9 de
modo que a soma seja 15:
1 + 5 + 9 = 15 2 + 4 + 9 = 15 2 + 6 + 7 = 15 3 + 5 + 7 = 15
1 + 6 + 8 = 15 1 + 5 + 8 = 15 3 + 4 + 8 = 15 4 + 5 + 6 = 15
Tentar impedir que o oponente forme uma tripla no jogo da velha seria equivalente a
tentar impedi-lo de somar 15 no quadrado mágico!
Se na próxima jogada do jogo da velha a bolinha não for colocada na coluna do meio
da primeira linha, ela será preenchida com X, formando uma tripla. Equivalentemente, se o
jogador do quadrado mágico permitir que seja colocado o número 1 na coluna do meio da
primeira linha a soma será 15.
A estratégia para vencer ou pelo menos empatar o jogo da velha é imaginá-lo como
um quadrado mágico de ordem 3 e tentar ser o primeiro a somar 15 em uma das colunas,
linhas ou diagonais e impedir que seu oponente o faça primeiro.
Se o primeiro jogador, geralmente X,
preencher três cantos suas chances de vencer ou
empatar são maiores, já que terá três
possibilidades de colocar mais um X e formar uma
tripla, pois a bolinha teve menos jogadas e
independente da posição colocada, que podem ser
colocadas em duas células amarelas para impedir a
tripla, X ainda está em vantagem.
Neste trabalho foram apresentadas três maneiras de construir quadrados mágicos do
zero, ou seja, sem nenhum número, mas será que é possível resolver quadrados mágicos onde
já existem alguns números fixos? A resposta é sim, porém, quanto maior for a ordem do
quadrado mágico, mais difícil é esse processo, já que as possibilidade de soma são cada vez
maiores.
Você pode acessar o jogo do quadrado mágico de ordem 4, elementar ou não, e o jogo
da velha, através dos QR Codes abaixo, ou através dos links. Para utilizar o QR Code basta 4
abrir a câmera do seu celular e apontar para a imagem que você será redirecionado para o site
dos Clubes de Matemática da OBMEP - Quadrado mágico ou para o Jogo da velha do
Google.
4Quadrado mágico: http://clubes.obmep.org.br/blog/jogo-quadrado-magico/ Jogo da velha: https://www.google.com/search?q=jogo+da+velha&source=lmns&bih=657&biw=1349&hl=pt-BR&sa=X&ved=2ahUKEwjD-a3o_PLqAhXDCbkGHacnAFoQ_AUoAHoECAEQAA
Referências bibliográficas
Jogo: Quadrado mágico. Clubes de Matemática da OBMEP. Disponível em:
<http://clubes.obmep.org.br/blog/jogo-quadrado-magico/>
LOPES, Tânia Isabel Duarte; Silva Jaime Carvalho e. A História dos Quadrados Mágicos.
Disponível em:
<http://www.mat.uc.pt/~mat0717/public_html/Cadeiras/1Semestre/O%20que%20%C3%A9
%20um%20quadrado%20m%C3%A1gico.pdf>
An Introduction to Magic Squares. NRICH. Disponível em:
<https://nrich.maths.org/magic-square-intro>
CADERNOS, P. D. E. Os desafios da escola pública paranaense na perspectiva do
professor PDE. 2013. Disponível em:
<http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2013/2
013_unioeste_mat_pdp_marcel_medeiros.pdf>
Histórias e conceitos do Quadrado Mágico. Matemática é fácil. Disponível em:
<https://www.matematicaefacil.com.br/2017/11/historias-conceitos-quadrado-magico.html>
Anais do VIII ENEM. Quadrado mágico: Recurso didático para equação de grau 1.
Disponível em: <http://www.sbembrasil.org.br/files/viii/pdf/05/MC02708804456.pdf>
XI Encontro Nacional de Educação Matemática. Quadrados mágicos. Disponível em:
<http://sbem.iuri0094.hospedagemdesites.ws/anais/XIENEM/pdf/2187_1954_ID.pdf>
Quadrados mágicos. Ciência de garagem. Disponível em:
<https://cienciadegaragem.blogspot.com/2015/09/quadrados-magicos.html>
SANTINHO, Miriam Sampieri; MACHADO, Rosa Maria. Os fascinantes quadrados
mágicos. Disponível em: <http://www.ime.ufg.br/bienal/2006/mini/miriam.rosa.pdf>
Matemática multimídia. Amuleto mágico, guia do professor. Disponível em:
<https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1049>
MARTINS, Ricardo Miranda. Quadrados mágicos ou matemágicos?. Disponível em:
<https://rmiranda99.github.io/talks/>
Atividade do PIBID. Quadrados mágicos - Atividade dos bolsistas do
PIBID/Matemática/FEUC. Youtube, 30 de maio de 2015. Disponível em:
<https://www.youtube.com/watch?v=6oO1UGbXxXw>
Betão Ensina. Quadrado mágico. Youtube, 23 de abril de 2020. Disponível em:
<https://www.youtube.com/watch?v=s9HJ8vwdCpk>
TV Escola. Matemática em toda parte | Artes - Quadrado Mágico. Youtube, 30 de out. de
2009. Disponível em: < https://www.youtube.com/watch?v=Z_5f_ubjBT8>
Matema SamPa. Quadrado Mágico de ordem ímpar (5×5) Resolução do exercício
proposto. Youtube, 15 de dez. de 2017. Disponível em:
<https://www.youtube.com/watch?v=h5AnXn2ERkg>