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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE
JANEIRO
Instituto de Matemática
Departamento de Métodos Matemáticos
Controlabilidade Aproximada e Controle Hierárquico para a
Equação do Movimento Moderado de Fluídos de Oldroyd
Alexandro Marinho Oliveira
Tese de Doutorado apresentadaao Instituto de Matemática daUniversidade Federal do Rio deJaneiro, como parte dos requisi-tos necessários à obtenção do tí-tulo de Doutor em Matemática
Orientador: Luis Adauto da Justa Medeiros
Rio de JaneiroSetembro de 2008
Controlabilidade Aproximada e Controle Hierárquico para a
Equação do Movimento Moderado de Fluídos de Oldroyd
Alexandro Marinho OliveiraTese submetida ao Programa de Pós-gradução em Matemática da Universidade Federaldo Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do título de
Doutor em Matemática.
Aprovada por:
Luis Adauto da Justa Medeiros (Orientador). —————————————————D.Sc. - IM/UFRJ.
Haroldo Rodrigues Clark. —————————————————D.Sc. - IM/UFF
Juan Límaco. —————————————————D.Sc. - IM/UFF.
Silvano Bezerra de Meneses. —————————————————D.Sc. - IM/UFPA.
Gladson Octaviano Antunes. —————————————————D.Sc. - IME/UERJ.
Helvécio Rubens Crippa. —————————————————D.Sc. - IM/UFRJ.
Rio de Janeiro
Outubro de 2008
ii
Ficha Catalográfica
Oliveira, Alexandro Marinho.
Controlabilidade Aproximada e Controle Hierárquico
para a Equação do Movimento Moderado de Fluidos
de Oldroyd/
Alexandro Marinho Oliveira.
Rio de Janeiro:
UFRJ/ IM,2008
v, 87.: il. 7cm;
Orientador: Luis Adauto da Justa Medeiros
Tese - UFRJ/ IM/ Programa de Pós-graduação em
Matemática, 2008
Referências Bibliográficas: f. 99-103.
1. Introdução. 2. O Modelo de Oldroyd.
3. Continuação Única para o Modelo de Oldroyd.
4. Controlabilidade Aproximada.
5. Controle Hierárquico. 6. Apêndice.
iii
Dedicatória
À minha Mãe:Sebastiana Paulo Marinho
À minha Esposa:Francisca Jankárita Pereira Marinho
iv
Tudo depende de mim
Charles Chaplin
Hoje levantei cedo pensando no que eu tenho a fazer antes que o relógio marque meia-noite. É minha função escolher que tipo de dia vou ter hoje.
Posso reclamar porque está chovendo ou agradecer às águas por lavarem a poluição.
Posso ficar triste por não ter dinheiro ou me sentir encorajado para administrar minhasfinanças, evitando desperdício.
Posso reclamar sobre minha saúde ou dar graças por estar vivo.
Posso me queixar dos meus pais por não terem me dado tudo o que eu queria ou possoser grato por ter nascido.
Posso reclamar por ter que ir trabalhar ou agradecer por ter trabalho.
Posso sentir tédio com as tarefas da casa ou agradecer a Deus por ter um teto para morar.
Posso lamentar decepções com amigos ou me entusiasmar com a possibilidade de fazernovas amizades.
Se as coisas não saíram como planejei, posso ficar feliz por ter hoje para recomeçar.
O dia está na minha frente, esperando para ser o que eu quiser.
E aqui estou eu, o escultor que pode dar forma.
Tudo depende só de mim.
v
Agradecimentos
Primeiramente a Deus, por ter me dado forças durante todo o tempo em que fiz estecurso e poder ampliar meus conhecimentos.
Ao professor Luis Adauto da Justa Medeiros por ter me concedido esta honrosa opor-tunidade e sobretudo pela confiança depositada em mim, que levou-me à realização daconclusão com sucesso do presente trabalho.
A minha família por ter me ajudado e incentivado a completar mais esta etapa emminha vida. Quero aqui ressaltar um agradecimento especial a minha mãe, fonte cons-tante de conselhos e exemplos de vida que motivou-me a sair do meu estado por umfuturo melhor.
A minha Esposa, fonte constante de apoio durante a realização deste trabalho.Aos meus amigos do doutorado: Aldo, Cleverson, Nilza, Paulo e especialmente à
Fabiana pelo diálogo agradável.Ao amigo Gildário Dias Lima pelas valiosas sugestões físicas e pelo incentivo.Ao Professor Haroldo Clark pelo apoio dado a mim durante todo o andamento do
curso de doutorado.Ao Professor Marcondes Rodrigues Clark, agradeço em especial, pois sem o mesmo
eu não teria atingido os meus objetivos.Ao Professor Osmundo Alves Lima pelo apoio e principalmente no que diz respeito
ao ato de publicar.Aos professores que fizeram parte da minha formação acadêmica durante toda minha
vida universitária, tanto na Universidade Federal do Piauí como na Universidade Federalda Paraíba no curso de Mestrado. Agradeço em especial o Professor Nelson Nery deOliveira Castro.
Ao CNPq pelo apoio financeiro.A todos que de certa forma me ajudaram.
vi
Resumo
Neste trabalho objetiva-se estudar a controlabilidade aproximada e controle hirárquicodo mo-delo que descreve o movimento moderado de fluidos de Oldroyd. Na parte queversa sobre o controle hierárquico apresenta-se um sistema de otimalidade que ajuda aencontrar o melhor controle para o modelo.
vii
Abstract
The main purpose is to study the approximated controllability and hierarchic controlof the model that describes the moderated motion of Oldroyd fluid. In the part that turnson hierarchic control it is presents an optimality system that helps to find a optimumcontrol for the model.
viii
Sumário
1 Introdução 1
1.1 O Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 O Propósito do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 O Modelo de Oldroyd 15
2.1 Notações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Lemas Técnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Existência e Unicidade de Soluções para (1.25) . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.1 Soluções Fracas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.2 Soluções Fortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Continuação Única para o Modelo de Oldroyd 33
3.1 Uma revisão do Teorema de Continuação de C. Fabre . . . . . . . . . . . 343.2 Demonstração do Teorema 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Controlabilidade Aproximada 42
4.1 Construção da sequência (vj)j∈N em (L2(O × (0, T )))n . . . . . . . . . . . 47
5 Controle Hierárquico 56
5.1 Sistema de Otimalidade para os Seguidores . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.2 Controlabilidade Aproximada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3 Existência e unicidade do equilíbrio de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . 665.4 Sistema de Otimatimalidade para o Líder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6 Apêndice 78
6.1 Existência de soluções para os sistemas (5.14) e (5.17) . . . . . . . . . . . 80
Bibliografia 90
ix
Capítulo 1
Introdução
Quando em 1990, durante as Jornadas Hispano-Francesas sobre Controle de SistemasDistribuídos, Jacques Louis Lions1 introduziu, pela primeira vez, o conceito de contro-labilidade aproximada para equação do calor [28], criou-se assim uma imensa família deproblemas aproximadamente controláveis.
Neste encontro, J.L. Lions mostrou que a controlabilidade aproximada era uma conse-quência do Teorema de Hahn Banach quando se trabalha com um funcional que representaos custos para obter tal tipo de controlabilidade. Além disso, deu uma caracterização doscontroles que aproximam o estado ideal do sistema por meio das soluções de um sistemade otimalidade.
Neste mesmo encontro, disse que o método poderia ser aplicado ao Sistema de Navier-Stokes linearizado e na bibliografia do trabalho [28] mencionou que a prova estava contidaem suas notas de aulas do College de France 1990/1991. Ele não as pulblicou, sendodemonstrado por L. A Medeiros por meio do Teorema de Mizohata [33] e C. Fabre [9] nocaso geral.
O fator essencial no estudo desta teoria é o que se denomina de Teoremas de Conti-nuação Única, pois é comum em problemas de controlabilidade aproximada saber:
"se a solução da equação de estado é nula em um cilindro ωcontido no cilidro Q do Rn+1, então o princípio da continuação
única afirma que ela é nula no cilindro Q."
Isto é essencial, porque permite concluir exatamente se o sistema é aproximadamente con-trolável. A questão é que, os teoremas de continuação única dependem da natureza doproblema em questão. Para tal, muitos autores tem conseguido teoremas de continuação
1J.L.Lions 1928-2001
1
única para diversos problemas, entre as quais pode-se citar, teorema da continuação deMizohata [33], quando os coeficientes do operador que aparece no sistema são analíticos.Quando os coeficientes do operador são funções limitadas e mensuráveis, a controlabili-dade aproximada foi investigada, entre outros autores, por C. Fabre [9], onde ela provoua propriedade da continuação única para esse caso geral relativo ao sistema de Navier-Stokes. A mesma generalização da continuação unica de Mizohata pode ser encontradasem Saut-Scheurer [46]. No presente trabalho utiliza-se o resultado de continuação únicada C. Fabre [9].
Desde a pulblicação do artigo [28], a controlabilidade aproximada tem sido motivo deestudo de muitos autores, entre as quais pode-se citar entre outros: Lebeau [10] no casolinear, Fernandez-Zuazua [12], Fabre-Puel-Zuazua [11], Zuazua [58], Fabre [9] caso nãolinear.
Para o caso de sistema distribuídos com as semilinearidades do tipo f(u) e f(u,∇u)a situção é mais complicada, veja por exemplo Zuazua [58], [12] respectivamente, ondeo autor exige que as semilinearidade tenham algumas restrições afim de linearizá-las eem seguida aplicar o teorema do ponto fixo de Schauder. Apartir daí, a controlabilidadeaproximada é obtida como no caso linear. Isto representou um passo importante nestateoria, pois é possível obter resultado de controle aproximado para sistema distribuídossemilineares. Outros autores deram outras contribuições, mostrando ser possível obterresultados semelhantes em domínios não cilíndricos e até mesmo não limitados, como sepode ver em; Medeiros-Límaco [31] e Silvano [47], Solimar [48] respectivamente.
Quando quase tudo desta teoria ja tinha sido feito, a menos de problemas que aindaencontram-se em aberto, Jacques Louis Lions dar uma de suas geniais idéias: o ControleHierárquico.
Tudo começa no artigo [25] de 1994, onde ele introduz o significado de controle hi-erárquico na estrutura de controlabilidade por meio da controlabilidade de sistemas dis-tribuídos, no caso da equação de calor com o controle agindo numa parte da fronteira.
Controles distribuídos são aplicados naturalmente aos modelos de sistemas governadospelas equações de evolução parabólicas. Considera-se situações onde há duas funçõescustos, onde um possível modo de ver isto, é dividir o controle em duas partes, umque é pensado como o líder e o outro como o seguidor. Esta situação foi estudada nesteartigo de Lions, com uma das funções custos sendo o tipo de controlabilidade. Também, aexistencia e unicidade para o sistema estudado foram provados e o sistema de otimalidadepara o seguidor e o líder foi dado.
2
Ainda em 1994, no artigo [30], ele trabalha melhor esta questão, mesclando a teoriado controle hierárquico junto com otimização de Stackelberg por meio de um sistemadistribuído governado por uma equação parabólica. Não mudou muito, o que ele fez em[25].
O artigo mais completo sobre controle hierárquico, aparece em 2005. Díaz-Lions [26],consideram novamente um sistema distribuído, isto é, um sistema no qual o estado édefinido pela solução de uma equação de difusão. Eles admitem que se pode agir sobreo sistema por uma hierarquia de controles. Existe um controle global v, o qual é o lídere existem N controles locais w1, ...., wN que são os seguidores. Os seguidores, assumindoque o líder líder fez a escolha de sua política, procuram um equilíbrio de Nash de suasfunções custos e então o líder v faz sua escolha final para todo o sistema, procurandoatingir um estado ideal uT num tempo T por meio de um controle aproximado. Essa é aestratégia de Stackelberg-Nash.
Em resumo, este artigo diz que, se os seguidores, admitindo que o líder fez uma escolhav, eles tentam achar funções w1, ...., wN que satisfaçam a condição de mínimo das funçõescustos Ji, isto é,
Ji(v, w1, ..., wN) ≤ Ji(v, w1, ..., wi, ..., wN), ∀ wi.
Assim, diz-se que estas funções são denominadas equilíbrio de Nash. Esta foi a questãocentral deste trabalho, pois mostraram que, admitindo-se que exista o equilíbrio de Nash,o sistema pode ser controlado aproximadamente, e aliás, deram condições necessárias esuficientes para que exista tal equilíbrio.
O que faz-se neste trabalho é utilizar as técnicas desenvolvidas por Lions e Díaz, tantoa controlabilidade aproximada quanto o controle hierárquico, para estudar um tipo defluido especial: O fluido de Oldroyd ou fluidos elásticos com modelo linearizado.
1.1 O Modelo
Considere uma região do R3 ocupada por um fluido em movimento. Suponha-se queesta região seja um aberto limitado Ω, cuja fronteira representa-se por Γ, a qual admite-se bem regular. Assim, Γ é fronteira de uma parte aberta, conexa, limitada Ω do R3
contendo o fluido. A normal externa à Γ representa-se por η. Entende-se por fluxo dofluido através de Γ a massa de fluido que atravessa Γ na direção da normal η na unidadede tempo. Considere um elemento dΓ de Γ e seja u o vetor velocidade das partículas,
3
isto é, u(x, t) = (u1(x, t), u2(x, t), u3(x, t)) onde x = (x1, x2, x3) ∈ R3. Representando porρ(x, t) a densidade do fluido, resulta que o fluxo de fluido através de Γ na direção danormal é ∫
Γ
ρ(x, t)u(x, t)η dΓ.
A massa de fluido no interior de Ω é dada por
M(t) =
∫Ω
ρ(x, t) dx.
A variação da massa M(t) é dada por
dM
dt=
∫Ω
∂ρ
∂tdx.
O fluxo de fluido que entra em Ω através de Γ é
−∫
Γ
ρ(x, t)u(x, t)η dΓ,
na unidade de tempo. Assim, do princípio da conservação da massa, obtém-se∫Ω
∂ρ
∂tdx+
∫Γ
ρ(x, t)u(x, t)η dΓ = 0
em cada instante. Do teroema da divergência, obtém-se∫Ω
∂ρ
∂t+ div(ρu)
dx = 0
para cada aberto limitado. Logo, tem-se a equação de continuidade
∂ρ
∂t+ div(ρu) = 0.
Supondo que x(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) tem-se
dρ
dt=∂ρ
∂t+ (∇ρ, u).
Sendo div(ρu) = ρ div(u) + (∇ρ, u), tem-se da equação da continuidade que
dρ
dt+ ρ div(u) = 0 em Ω.
Sendo ρ uma constante, porque supõe-se o fluido imcompressível, obtém-se
div(u) = 0 em Ω.
4
O momentum de Ω, supondo-se ρ = 1, é
m(t) =
∫Ω
u(x, t) dx.
A variação do momentum com o tempo é
dm
dt=
∫Ω
du
dtdx.
Esta variação deve ser igual a resultantes das forças aplicadas em Ω, elas são de duasespécies
(i) Volumétricas aplicadas em Ω de densidade f(x, t) = (f1(x, t), f2(x, t), f3(x, t)).
(ii) Tensões internas e viscosidades na fronteira Γ de Ω cujas componentes supôe-se daforma
Fi(x, t) =3∑j=1
ξij(x, t)ηj, i = 1, 2, 3,
onde ηj representa as componentes do vetor unitário−→η a normal externa à fronteiraΓ e ξij(x, t) tensor de tensões de Cauchy.
Do equilíbrio entre as forças e variação do momentum (Lei de Newton), resulta que∫Ω
du
dtdx =
∫Ω
f(x, t)dx+
∫Γ
F (x, t)dΓ. (1.1)
Observação 1.1. Alterações nas propriedades de um fluido em movimento podem sermedida de duas maneiras diferentes. Pode-se medir uma determinada propriedade, querpela realização da medição em um ponto fixo no espaço onde as partículas do fluidopassam, ou seguindo uma porção de fluido ao longo da sua trajetória. A derivada deum campo no que diz respeito a uma posição fixa no espaço é chamado de derivada
Euleriana enquanto a derivada segundo o movimento de uma porção do fluido é chamadade derivada convectiva.
A derivada convectiva é definida como
du
dt:=
∂u
∂t+ u.∇u. (1.2)
O primeiro termo do lado direito da equação acima é a derivada Euleriana ordinária, istoé, a derivada sobre uma referência fixa, representando mudanças em um ponto em relaçãoao tempo. Enquanto que o segundo termo representa uma quantidade de alterações noque diz respeito à posição. Esta derivada "especial" é, na realidade, a derivada ordinária
5
de uma função de muitas variáveis ao longo de um percurso na sequência do movimentode fluidos, que pode ser obtido facilmente através da aplicação da regra da cadeia.
Por exemplo, a medição das mudanças na velocidade do vento na atmosfera pode serobtida com a ajuda de uma anemometer em uma estação meteorológica ou montá-lo emum balão meteorológico. O anemometer no primeiro caso é a medição da velocidade detodas as partículas que se deslocam a passar por um ponto fixo no espaço, enquanto queno segundo caso, o instrumento está medindo mudanças na velocidade em que se movecom o fluido.
Substituindo (1.2) em (1.1) tem-se que∫Ω
∂u
∂t+ u.∇u
dx =
∫Ω
f(x, t)dx+
∫Γ
F (x, t)dΓ. (1.3)
Passando às componentes obtém-se:∫Ω
∂ui∂t
+3∑j=1
∂ui∂xj
uj
dx =
∫Ω
fi(x, t)dx+
∫Γ
3∑j=1
ξij(x, t)ηjdΓ, (1.4)
i = 1, 2, 3.
Do Lema de Gauss, segue-se que
3∑j=1
∫Γ
ξij(x, t)ηjdΓ =3∑j=1
∫Ω
∂
∂xjξij(x, t)dx. (1.5)
Substituindo (1.5) em (1.4) obtém-se∫Ω
∂ui∂t
+ u.∇uidx =
∫Ω
fi(x, t)dx+3∑j=1
∫Ω
∂
∂xjξij(x, t)dx (1.6)
para i = 1, 2, 3 em cada instante t e para cada Ω. Daí, resulta que
∂ui∂t
+ u.∇ui = fi(x, t) +3∑j=1
∂
∂xjξij(x, t) (1.7)
para i = 1, 2, 3.A equação (1.7) é chamada de equação do momentum de Cauchy. O princípio
da tensão de Cauchy afirma que, quando sobre um meio contínuo agem forças, isto é,forças na superfície e no interior, existem reações internas (forças), ao longo de todo omeio, agindo entre os pontos do material. Com base neste princípio, Cauchy demonstrou
6
que o estado de tensão em um ponto no meio está completamente definido pelas novecomponentes de um tensor cartesiano de segunda ordem chamada de tensor de tensõesde Cauchy, dado por
ξij =
ξxx τxy τxz
τyx ξyy τyz
τzx τzy ξzz
onde o ξ é a tensão normal e τ é a tensão de corte. Este tensor é dividido em dois
ξij =
−p 0 0
0 −p 0
0 0 −p
+
ξxx + p τxy τxz
τyx ξyy + p τyz
τzx τzy ξzz + p
= −pδijI + σij
onde I é matriz identidade 3×3, δij = 0 se i 6= j e δij = 1 se i = j, p = −13(ξxx + ξyy + ξzz)
é a pressão do fluido e o σij na equação acima é chamado de tensor de tensões de
desvio. Mais detalhes, podem ser vistos em Batchelor [2].Logo,
3∑j=1
∂
∂xjξij = − ∂p
∂xi+
3∑j=1
∂σij∂xj
Assim, a equação (1.7) pode ser escrita como
∂ui∂t
+ u.∇ui = fi(x, t)−∂p
∂xi+ div(σi)
para i = 1, 2, 3.Escrevendo de modo compacto a equação acima obtém-se
∂u
∂t+ u.∇u = f(x, t)−∇p+ div(σ)
Portanto o movimento de fluidos imcompressíveis é descrito pelo sistema de equações
∂u
∂t+ u.∇u+∇p = div(σ) + f(x, t), x ∈ Ω, t > 0,
div(u) = 0, x ∈ Ω, t > 0,
(1.8)
onde σ = (σik) é o tensor de tensões de desvio, trσ = 0, p é a pressão do fluido e f é aforça externa. A equação acima ainda está incompleta. Para a conclusão, é necessárioformular hipóteses sobre a forma de σ, ou seja, necessita-se de uma lei constitutiva parao tensor tensões, que pode ser obtido para uma família de fluidos específicos.
A introdução em (1.8) da variação no tensor de tensões σ tem o propósito de con-siderar reações que surgem no fluido durante seu movimento. Estabelecendo, por meio
7
da Lei de Hooke, a relação entre σ e o tensor de deformações linearizado D = (Dik) =1
2(uixk
+ ukxi) e suas derivadas, tem-se assim o tipo de fluido. Uma tal relação entre
σ e D é o que chama-se de equação reológica ou uma equação de estado veja porexemplo Serrin [15] e Clifford [5]. O exemplo mais simples de uma equação reológicacorrespondendo a um fluido incompressível ideal é a equação σ = 0, e neste caso, omovimento de um fluido incompressível ideal é descrito pela equação de Euler∣∣∣∣∣∣∣
∂u
∂t+ u.∇u+∇p = f
div(u) = 0.
(1.9)
O axioma de Stokes, veja Serrin [15] e Ladyzhenskaya [22], constitui o sistema maispopular entre todos os axiomas que descrevem o movimento de fluidos viscosos. Umfluido o qual é definido pela equação que satisfaz o axioma de Stokes são ditos fluidos deStokes. Para tais fluidos incompressíveis a equação definida tem a forma (veja [15]-[22])
σ = αD + βD2, (1.10)
onde α e β são funções específicas.Se em (1.10) α ≡ constante ≡ 2ν > 0 e β ≡ 0 tem-se a lei de Newton
σ = 2νD. (1.11)
Um fluido definido pela equação (1.11) é dito um fluido Newtoniano. Substituindo(1.11) em (1.8) obtém-se a equação de movimento de um fluido Newtoniano, o qual échamada de equação de Navier-Stokes:∣∣∣∣∣∣∣
∂u
∂t+ u.∇u− ν∆u+∇p = f
div(u) = 0.
(1.12)
A constante ν é chamada de coeficiente de viscosidade cinemática.Em mais de um século e meio o modelo de fluido Newtoniano tem sido o modelo básico
de um fluido incompressível e viscoso tornando-se possível descrever fluxos de velocidadesmoderadas para fluidos incompressíveis e viscosos encontrados na prática. Entretanto,até mesmo antes do século dezenove era conhecido que existiam fluidos incompressíveis eviscosos não sujeitos às equações Newtonianas definidas em (1.11), como vê-se a seguir.
Os primeiros modelos de tais fluidos que levam em conta a prehistória dos fluxose subsequentemente chamado de fluidos de viscosidade linear, foi proposto no século
8
dezenove por Maxwell [13] e [14], Kelvin [20], Voigt [54] e [55] e foi desenvolvida nametade do século vinte para uma extensão considerável por Oldroyd [34]-[37].
O primeiro a encontrar uma relação entre o tensor σ e a deformação D foi Maxwell,onde ele afirma ser possível contruir uma teoria invariante não linear de fluido baseado emmolas e amortecedores. De fato, uma elemento de Maxwell é uma mola e um amortecedorem série, conforme figura abaixo:
Figure 1.1: Elemento de Maxwell
A constante da mola é chamada de G e a força σ1 na mola é Gγ1 onde γ1 é o
deslocamento da mola. A força σ2 no amortecedor é η(∂γ2
∂t
)onde η é a viscosidade e(
∂γ2
∂t
)é a velocidade, a unidade de tempo da mudança de γ2, e σ1 = σ2 = σ porque
elas estão em série. A variação da unidade de tempo do total deslocado é(∂γ
∂t
)=
(∂γ1
∂t
)+
(∂γ2
∂t
)=∂σ1/∂t
G+σ2
η=∂σ/∂t
G+σ
η.
Assim,λ∂σ
∂t+ σ = η
∂γ
∂t(1.13)
onde λ =η
Gé o tempo de relaxamento.
Uma outra expressão para σ é
σ =η
λ
∫ t
−∞e−(t−τ)
λ∂γ(τ)
∂τdτ. (1.14)
Naturalmente (1.13) é um modelo de equação diferencial para a relação entre força edeformação e (1.14) é um modelo integral, mostrando que o valor presente da força σ(t)
9
é determinado pela história de γ. No caso unidimensional, se∂ξ(x, t)
∂xé uma deformação,
onde∂ξ(x, t)
∂t= u é a velocidade, então
∂γ
∂t=∂u(x, t)
∂x.
Logo, de (1.13) obtém-se
λ∂σ
∂t+ σ = η
∂u
∂x.
Resolvendo esta equação diferencial para σ e substituindo em (1.8) temos o fluido deMaxwell.
Um outro modelo interessante é o modelo proposto por Kelvin-Voigt onde a mola eo amortecedor estão em paralelo, como mostra a figura abaixo:
Figure 1.2: Elemento de Voigt
A força no elemento elástico é Gγ e a força no elemento viscoso é η∂γ
∂t. Como elas
estão em paralelo tem-seσ = Gγ + η
∂γ
∂t. (1.15)
Esse elemento é instantaneamente viscoso, porque, pelo desenho a deformação γ e a taxade deformação
∂γ
∂tda mola e do amortecedor ocorrem simultaneamente. O amortecedor
deve trabalhar em cada e toda deformação. Se uma força constante for aplicada, adeformação será amortecida pela viscosidade e o sistema chegará ao equilíbrio com σ =
Gγ, como no corpo elástico. O modelo de Kelvin-Voigt é bom para sólidos viscoelásticose não para fluidos. Pensando nisso Oldroyd-Jeffreys propuseram um modelo em queconsidera um amortecedor e um modelo de Kelvin-Voigt em série, conforme figura abaixo:
10
Figure 1.3: Elemento de Oldroyd-Jeffreys
O deslocamento total γ no elemento de Oldroyd-Jeffreys é a soma da deformação noamortecedor η1 e no elemento de Kelvin-Voigt. Logo,
∂γ
∂t=∂γ1
∂t+∂γ2
∂t(1.16)
As forças em ambos os elementos são as mesmas, logo
σ = η1∂γ1
∂te σ = Gγ1 + η2∂γ2
∂t(1.17)
As equações (1.16) e (1.17) são três equações para σ, γ, γ1 e γ2. Após eliminar γ1 e γ2
obtém-seη1 + η2
G
∂σ
∂t+ σ = η1
(∂γ
∂t+η2
G
∂2γ
∂t2
)(1.18)
O modelo de Oldroyd-Jeffrey é viscoso por que é puramente de deformação elástica doelemento. O elemento de Oldroyd-Jeffrey não pode sustentar uma força constante noequilíbrio, a força deve relaxar. A viscosidade está ativa em toda deformação. Estemodelo é bom para fluidos e não para sólidos.
Definindo-se o relaxamento no tempo, como
λ1 =η1 + η2
G
e um retardamento no tempo, como
λ2 =η2
G,
11
então, após trocar nossa interpretação de força e deformação, como no caso do fluido deMaxwell tem-se
λ1∂σ
∂t+ σ = η1
(∂u
∂x+ λ2
∂2u
∂x∂t
)(1.19)
O modelo do fluido de Oldroyd-Jeffrey(veja [1], [34], [57]) pode predizer o relaxamentodas tensões bem como o retardamento de deformação, e portanto, este modelo populari-zou a descrição de suspensões de polímeros. De fato, para modelar o comportamento deuma solução diluida de polímero em um solvente Newtoniano, o tensor de tensões extraé frequentemente dividido em duas componentes: viscoelástico e puramente viscoso.
Neste sentido, em 1950 Oldroyd [34]-[37] propôs um modelo de um fluido incom-pressível e viscosos que obedecia relação (1.19) na forma(
1 + λ∂
∂t
)σ = 2ν
(1 + kν−1 ∂
∂t
)D, (1.20)
onde λ, ν, k são constantes positivas com ν − kλ> 0. Aqui, ν denota a viscosidade
cinemática, λ é o relaxamento do tempo, k representa o retardamento do tempo e D =
(Dik) =1
2(uixk
+ ukxi) é tensor de deformações linearizado.
Resolvendo (1.20) com dados σ(0) = D(0) = 0 escreve-se a relação definida em (1.20)
na forma de uma equação integral
σ(x, t) = 2kλ−1D(x, t) + 2λ−1(ν − kλ−1)
∫ t
0
e−(t−ξ)
λ D(x, ξ)dξ. (1.21)
Substituindo a igualdade (1.21) em (1.8) tem-se a equação de movimento de um fluidode Oldroyd dada pelo sistema de equações integro-diferenciais
∂u
∂t+ (u.∇)u− µ∆u−
∫ t
0
β(t− ξ)∆u(x, ξ)dξ +∇p = f, x ∈ Ω, t > 0 (1.22)
com condição de incompressibilidade
div(u) = 0, x ∈ Ω, t > 0 (1.23)
e com as condições inicial e de fronteira
u(x, 0) = u0, x ∈ Ω, and u(x, t) = 0 x ∈ Γ, t ≥ 0, (1.24)
onde, µ = kλ−1 > 0 e β(t) = γe−δt onde γ = λ−1 (ν − kλ−1) > 0 com δ = λ−1. Paradetalhes físicos e modelagem matemática consulte [1], [34], [39] e [57].
12
Observação 1.2. Como a teoria dos fluidos viscoelásticos, por definição, descreve fluxoscom velocidades moderadas, o modêlo (1.22) admite um simplificação razoável. Isto é,negligencia-se (como usual na mecânica) em (1.22) a parte conectiva da velocidade:
(u.∇)u
Existem muitos fluidos com esta microestrutura complexa, tais como fluidos biológi-cos, fluidos poliméricos, suspensões e cristais líquidos, na qual são usados frequentementeem processos industriais e mostram um comportamento viscoelástico que não pode serdescrito pelo modelo Newtoniano clássico. Existem muitos autores trabalhando com estetipo de fluido, entre os principais, citamos Oskolkov [39], [40], [41], [42], Kim [21] e Pani[43], sendo que este último trabalha mais com o estudo númerico deste modelo.
Os problema de valores iniciais e o problema de Cauchy para equações clássicas dahidrodinâmica de fluidos ideal e viscoso, isto é, a equação de Euler (1.9) e a equação deNavier-Stokes (1.12) tem sido estudada por um século e meio por diversos matemáticosfamosos. Os trabalhos de Leray [16]-[18], Leray-Schauder [19], Sobolev [49], Hopf [7], [8],Tartar, Teman, Lions, Prodi e Ladyzhenskaya [22], [23] abriu a presente fase ao estudo dasequações da hidrodinâmica para um fluido viscoso. Esses matemáticos criaram métodosfuncionais para resolver problemas da Física Matemática.
A característica deses métodos é a passagem a uma formulação generalizada do pro-blema para qual o teorema de existência e unicidade (se o último vale em uma formulaçãoclássica) pode ser provado de forma mais simples, e o largo uso na prova do teorema deexistência de idéias e métodos da análise funcional e a teoria das imersões dos espaçosde funções.
1.2 O Propósito do Trabalho
Apesar de muitos avanços feitos, ainda não há trabalhos sobre a controlabilidadee controle hierárquico para este tipo de modelo mesmo linear e pensa-se que esta é acontribuição dada por este trabalho.
O que propôe-se neste trabalho é obter a controlabilidade aproximada e o controle
13
hierárquico para o sistema:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂u
∂t− µ∆u+ au+
−→b .∇u−
∫ t
0
g(t− σ)∆u(σ)dσ +∇p = f em Q
div(u) = 0 em Q,
u = 0 em Σ,
u(x, 0) = u0(x) em Ω,
(1.25)
onde u(x, t) = (u1(x, t), ....., un(x, t)) é o vetor velocidade do fluido moderado avaliadono ponto (x, t), x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, p = p(x, t) é a pressão do fluido avaliado no ponto(x, t), µ representa uma constante, u0(x) é a velocidade inicial, a, ~b são os potenciais emL∞(Q) e L∞(Q)n respectivamente e g : [0,∞) → [0,∞) é dada por
g(t) = γe−αt,
onde µ = kλ−1 > 0, γ = λ−1 (ν − kλ−1) > 0 com α = λ−1.
A função f assumirá a seguinte forma:
• No Capítulo 2, f será apenas uma função dada em algum espaço adequado.
• No Capítulo 3, f = vχO, onde v será a função controle distribuída em O.
• No Capítulo 4, f = vχO +∑N
i=1wiχOi, onde v é a função controle distribuída em
O e wi são as funções controles distribuídas em Oi com O ∩ Oi vazia e Oi ∩ Oj
vazia, i 6= j, i, j = 1, 2, ...., N.
Este trabalho divide-se em: No Capítulo 2 estuda-se a existência, unicidade e regulari-dade de soluções forte e fraca, necessárias para o estudo da controlabilidade. No Capítulo3, mostra-se que o teorema de continuação única da C. Fabre não se aplica diretamente,dando um versão consequente deste teorema. No Capítulo 4 assumindo a existência eunicidade de soluções, caracterizar-se-á o estudo da controlabilidade aproximada parao sistema (1.25). No Capítulo 5, admitindo que o v é dado, mostra-se a existência doscontroles wi por meio de um sistema de otimalidade, também mostra-se que o v podeser obtido por de um sistema de otimalidade. No Capítulo 6, mostra-se a existência,unicidade e regularidade de soluções para os sistemas de otimalidade que aparecem noCapítulo 4.
14
Capítulo 2
O Modelo de Oldroyd
O objetivo deste Capítulo é encontrar existência e unicidade de soluções fortes efracas para o sistema (1.25), pois este estudo é pré-requisito ao estudo da controlabilidadeaproximada.
2.1 Notações
Denota-se por Ω um aberto, conexo, limitado do Rn com fronteira Γ de classe C2, Qé o cilindro Ω × (0, T ) com fronteira lateral Σ = Γ × (0, T ), T > 0. Considra-se O umsubconjunto aberto de Ω e χO a função característica de O. Sejam a = a(x, t) e
−→b =
−→b (x, t) =
(−→b i(x, t)
)1≤i≤n
funções reias definidas para todo (x, t) ∈ Q, respectivamente.
Além disso, supô-se os potenciaisa,−→b∈ L∞(Q)n+1. Para v ∈ (L2(O × (0, T )))
n
considera-se a função vχO. Note que v = (v1, ...., vn) é um vetor com vi ∈ L2(O× (0, T )),para i = 1, 2, ..., n.
No espaço Euclidiano Rn denota-se por e1 = (1, 0, · · · , 0), e2 = (0, 1, · · · , 0), .......
....., en = (0, · · · , 0, 1) a base canônica do Rn e x = (x1, · · · , xn) pontos deste espaço.O operador diferencial
∂
∂xi(1 ≤ i ≤ n)
será denotado por Di e se α = (α1, ......, αn) é um multi-índice, αi números inteiros nãonegativos, Dα será o operador diferencial
Dα = Dα11 · · ·Dαn
n =∂[α]
∂xα11 · · · ∂xαn
n
onde [α] = α1+· · ·+αn, em particular, se [α] = 0 segue-se queD0 é o operador identidade.
15
Denota-se por Lp(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞ o espaço das funções reais definidas sobre Ω coma p−ésima potência integrável segundo Lebesgue dx = dx1 · · · dxn. Este, é um espaço deBanach com a norma
||u||Lp(Ω) =
(∫Ω
|u(x)|pdx) 1
p
ou ||u||L∞(Ω) = ess. supΩ|u(x)|.
Para p = 2, L2(Ω) é um espaço de Hilbert com o produto escalar
(u,w) =
∫Ω
u(x)w(x)dx.
O espaço de Sobolev Wm,p(Ω) é o espaço das funções pertencentes a Lp(Ω) comderivadas, no sentido das distribuições, de todas as ordens menor ou igual a m perten-centes a Lp(Ω)(m um inteiro não negativo e 1 ≤ p ≤ ∞). Este, é um espaço de Banachcom a norma
||u||Wm,p(Ω) =
(∑j=α
||Dαu||pLp(Ω)
) 1p
.
Quando p = 2, Wm,2(Ω) = Hm(Ω) é um espaço de Hilbert com o produto escalar
((u, ν))Hm(Ω) =∑
j=α≤m
(Dαu,Dαν).
Seja D(Ω) o espaço das funções C∞ com suporte compacto contido em Ω. O fechode D(Ω) em Wm,p(Ω) será denotado por Wm,p
0 (Ω) ou Hm0 (Ω) quando p = 2.
Relembra-se, quando necessário, algumas propriedades clásicas desses espaços. Porconveniência, devido ao uso frequente de funções com n componentes, deve-se usar asseguintes notações no texto:
D(Ω) = D(Ω)n, Hm0 (Ω) = Hm
0 (Ω)n
Hm(Ω) = Hm(Ω)n, L2(Ω) = L2(Ω)n.
Todos esses espaços são equipados com a norma natural do produto de espaços ouuma equivalente, exceto em D(Ω), o qual não é espaço normado.
Relembra-se que, se Ω é limitada em alguma direção, então vale a desigualdade dePoincaré:
|u|L2(Ω) ≤ c(Ω)|Du|L2(Ω), ∀ u ∈ H10(Ω),
onde D é a derivada em alguma direção e c(Ω) é uma constante dependendo somente deΩ. Nesse caso a norma sobre H1
0(Ω) é equivalente à norma:
||u|| =[ n∑i=1
|Diu|2L2(Ω)
] 12
.
16
com a norma associada ao produto escalar:
((u, v)) =n∑i=1
(Diu,Div),
para a qual o espaços H10(Ω) é m espaço de Hilbert. Assim, equipa-se o espaço H1
0(Ω)
com produto escalar ((, ., )) e norma ||.||. Também L2(Ω) será equipado com produtointerno e norma respectivamente
(u, v)L2(Ω) =n∑i=1
(ui, vi)L2(Ω) , |v| =
(n∑i=1
|vi|2L2(Ω)
) 12
.
Seja V o espaço(sem toplogia)
V = u ∈ D(Ω), div(u) = 0.
O fecho de V em L2(Ω) e H10(Ω) serão representados por H e V . Em Lions [27] e
Teman [51], caracteriza-se H e V como
H = u ∈ L2(Ω), div(u) = 0, u.ν|Γ = 0 e V = u ∈ H10(Ω), div(u) = 0.
O espaço V está contido em H com imersão contínua e densa. Denota-se por H ′ eV ′ os duais fortes de V e H respectivamente. Seja τ a imersão de V em H. O operadoradjunto σ∗ é linear, um a um e contínuo de H ′ em V ′, pois τ(V ) = V é denso em H eτ ∗(H ′) é denso em V ′. Portanto H ′ pode ser identificado com um subespaço denso deV ′. Por outro lado, pelo Teorema da Representação de Riesz, pode-se identificar H e H ′
e chegar às seguintes inclusões
V → H ≡ H ′ → V ′, (2.1)
onde as inclusões são densas e contínuas.
2.2 Lemas Técnicos
Nesta seção apresentaremos alguns Lemas técnicos necessários para o prosseguimentodeste trabalho.
Lemma 2.2.1. Seja 1 ≤ p < ∞. Quando h ∈ Lp(Q), Q = Ω × (0, T ), e g ∈ L1(0,∞)
tem-se que‖g ∗ h‖Lp(Q) ≤ ‖g‖L1(0,∞)‖h‖Lp(Q)
onde ∗ a convolução em t.
17
Demonstração:
Considere a função F (x, t, σ) = g(t− σ)h(x, σ). Para p = 1 tem-se∫ t
0
|F (x, s, σ)|R ds ≤ |h(x, σ)|R∫ t
0
g(s− σ) ds ≤ ‖g‖L1(0,∞)|h(x, σ)|R,
donde ∫Q
∫ t
0
|F (x, s, σ)|R ds dQ ≤ ‖g‖L1(0,∞)‖h‖L1(Q).
Assim F ∈ L1(Q× R+) e
‖g ∗ h‖L1(Q) =
∫Q
|g ∗ ξ(x, t)|R dQ ≤∫Q
∫ t
0
|F (x, s, σ)|R ds dQ ≤ ‖g‖L1(0,∞)‖h‖L1(Q).
Para 1 < p <∞, basta considerar a função σ 7→ |g(t−σ)|R|h(x, σ)|pR e proceder comoanteriormente.
Lemma 2.2.2. Seja g : [0,∞) → [0,∞) uma função de L1(0,∞) e sejam y, ζ ∈L2(0, T ;L2(Ω)). Então∫
Ω×(0,T )
[∫ t
0
g(t− σ)y(σ) dσ
]ζ(t) dtdx =
∫Ω×(0,T )
[∫ T
t
g(η − t)ζ(η) dη
]y(t) dtdx
Demonstração:
Considere
y =
∣∣∣∣∣ y em [0, T ]
0 fora de [0, T ],ζ =
∣∣∣∣∣ ζ em [0, T ]
0 fora de [0, T ],
g(s) =
∣∣∣∣∣ g(s) se s ≥ 0
0 se s < 0.e g ∗ y =
∣∣∣∣∣ g ∗ y em [0, T ]
0 fora de [0, T ].
Assim, y ∈ L2(R;L2(Ω)), ζ ∈ L2(R;L2(Ω)), g ∈ L1(R) e pelo Lema 2.2.1 segue-se queg ∗ y ∈ L2(R;H). Portanto,∫
Ω×(0,T )
∫ t
0
[g(t− σ)y(σ)dσ] ζ(t)dt =
∫Ω×(0,T )
g ∗ y(t)ζ(t) dt =
∫Ω×R
g ∗ y(t)ζ(t) dt :=
∫Ω×R
g ∗ y(t)ζ(t) dt =
∫Ω×R
y(t)˜g ∗ ζ(t) dt =
∫Ω×R
[∫R
˜g(t− η)ζ(η)dη
]y(t) dt =
∫Ω×R
[∫Rg(η − t)ζ(η)dη
]y(t) dt =
∫Ω×(0,T )
∫ T
t
[g(η − t)ζ(η)dη] y(t)dt,
18
onde por g, denotou-se ˜g(x) = g(−x).
Lemma 2.2.3. Para arbitrários α, T ∈ R com α > 0, T > 0 e h ∈ L2(0, T ;L2(Ω)) ≡L2(Q) tem-se
I :=
∫Ω×(0,T )
[∫ t
0
e−α(t−s)h(x, s) ds
]h(x, t) dtdx ≥ 0.
Demonstração: Do Lema 2.2.2 tem-se que
I =
∫Ω×(0,T )
[∫ T
t
e−α(η−t) h(x, η) dη
]h(x, t) dtdx.
Logo,
I =1
2
∫Ω×(0,T )
[∫ T
0
e−α|t−η|R h(x, η) dη
]h(x, t) dtdx.
Observe desta identidade que, para α = 0, o Lema é verdadeiro. Por outro lado, paraα 6= 0, seja h∗(x, t) = h(x, t) em Ω × (0, T ) e h∗(x, t) = 0 fora de Ω × (0, T ). Então, daindentidade acima segue-se que
I =1
2
∫Rn×R
[∫Re−α|t−η|R h∗(x, η) dη
]h∗(x, t) dtdx.
Faz-se a mundança de variáveis, t− η = ξ, para obter
I =1
2
∫Rn×R
[∫Re−α|ξ|R h∗(x, t− ξ) dξ
]h∗(x, t) dtdx.
A idéia agora é se utilizar da Tranformada inversa de Fourier de h∗(x, t). De fato,
I =1
2√
2π
∫Rn×R
h∗(x, t)
[∫Re−α|ξ|
∫Rn×R
ei(x,t−ξ).(y,η)h∗(y, η) dη dy
dξ
]dt dx =
1
2√
2π
∫Rn×R
h∗(x, t)
[∫Rn×R
ei(x,t).(y,η)h∗(y, η)
∫Re−iξηe−α|ξ| dξ
dη dy
]dt dx =
1
2√
2π
∫Rn×R
h∗(x, t)
[∫Rn×R
ei(x,t).(y,η)h∗(y, η)e−α|η|R dη dy
]dt dx =
1
2√
2π
∫Rn×R
e−α|η|R h∗(y, η)
[∫Rn×R
ei(x,t).(y,η)h∗(x, t) dt dx
]dη dy =
19
1
2√
2π
∫Rn×R
e−α|η|R h∗(y, η)
[∫Rn×R
ei(x,t).(y,η)h∗(x, t) dt dx
]dη dy =
1
2√
2π
∫Rn×R
e−α|η|R h∗(y, η)
[∫Rn×R
e−i(x,t).(y,η)h∗(x, t) dt dx
]dη dy =
1
2√
2π
∫Rn×R
e−α|η|R h∗(y, η)h∗(y, η) dη dy =
1
2√
2π
∫Rn×R
e−α|η|R∣∣∣h∗(y, η)∣∣∣2
Rdη dy.
PortantoI =
1
2√
2π
∫Rn×R
e−α|η|R∣∣∣h∗(y, η)∣∣∣2
Rdη dy.
Sendoe−α|η|R =
2α√2π(α2 + η2)
,
tem-se queI =
α
2π
∫Rn×R
(α2 + η2
)−1∣∣∣h∗(y, η)∣∣∣2
Rdη dy ≥ 0,
onde por h∗ e h∗ denotou-se a Tranformada de Fourier e o conjugado de h∗ respectiva-mente. Logo o Lema está demonstrado.
2.3 Existência e Unicidade de Soluções para (1.25)
Sejam V e H os dois espaços de Hilbert da seção anterior, com produtos internos( , ), (( , )) e normas | . |, || . || respectivamente.
Investiga-se nesta seção, a existência, unicidade e regularidade das soluções do pro-blema (1.25) com f(x, t) = v(x, t)χO para (x, t) ∈ Q.
Para tal, necessita-se obter uma base apropriada para o espaço funcional V . De fato,em Temam [51] é conhecido que, se Ω é um aberto limitado de classe C2, as seguintesasserções são equivalentes:
[i ] Existe uma única u ∈ V satisfazendo
ν ((u, v)) = (f, v), ∀ v ∈ V.
20
[ii ] Existem u ∈ H10(Ω), p ∈ L2(Ω) satisfazendo∣∣∣∣∣∣∣∣
−ν∆u+∇p = f em Ω
div(u) = 0 em Ω
u = 0 sobre Γ,
no sentiddo das distribuições em Ω, onde f é dada em L2(Ω).
Esta caracterização do problema de Stokes motiva definir o operador
Φ : L2(Ω) −→ V
f −→ Φf = u,
onde u é uma função satisfazendo [i] para cada f.Faz-se notar que Φ está bem definida, é linear, contínua de L2(Ω) em V e portanto
contínua de L2(Ω) em H10(Ω).
Tem-se que H10(Ω) ⊂ L2(Ω) com imersão densa, contínua e compacta. Portanto Φ
considerado como um operador de L2(Ω) é compacto, além disso, Φ é auto adjunto.Portanto, esse operador Φ possui uma sequência ortonormal de auto-funções wjj≥1,
Φwj = λjwj, λj > 0, λj →∞ quando j →∞. Além disso, tem-se
wj ∈ V, ((wj, v)) = λj(wj, v) ∀ v ∈ V. (2.2)
Como usual, tem-se
(wj, wk) = δjk e ((wj, wk)) = λjδjk ∀ j, k.
2.3.1 Soluções Fracas
Nesta seção, procura-se uma função que resolva o problema (1.25) em algum sentido.No entanto, precisa-se definir o conceito de solução, uma vez que a função a ser procuradavai ser uma solução no sentido fraco, isto é, caracteriza-se o conceito de solução a serprocurada por:
Definição 2.1. Diz-se queu : Q −→ Rn
é solução fraca de (1.25), quando
u ∈ L∞(0, T ;V ), u′ ∈ L2(0, T ;V ′)
21
e satisfaz
d
dt(u(t), v) + µ((u(t), v)) + (a(t)u(t), v) + (
−→b (t).∇u(t), v)−∫ t
0
g(t− σ) ((u(σ), v)) dσ = (f(t), v) ∀ v ∈ V no sentido de D′(0, T )
(2.3)
comu(0) = u0.
Observação 2.1. A princípio, é estranho não aparecer nesta definição nada relacionadoa pressão p. No entanto, após achar uma função u satisfazendo esta definição é queencontra-se a função p satisfazendo o problema (1.25) em algum sentido.
A definição acima permite enunciar um dos principais resultados desta seção
Teorema 2.1. Se f ∈ L2(0, T ;H) e u0 ∈ H, o problema misto (1.25) tem uma únicasolução fraca u, além disso
u ∈ C0([0, T ];H).
Demonstração:
Emprega-se o método de Faedo-Galerkin com uma base para o espaço V . De fato,considere a sequência (wj)j∈N construída em (2.2). Seja Vm = [w1, · · · , wm] o subespaçode V gerado pelos m−primeiros vetores de wjj≥1. Então o problema aproximado de(1.25), consiste em∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Encontrar um(t) =m∑i=1
him(t)wi ∈ Vm tal que
(u′m(t), v) + µ ((um(t), v)) + (a(t)um(t), v) +∫ t
0
g(t− σ) ((um(σ), v)) dσ + (−→b (t).∇um(t), v) = (f(t), v) ∀ v ∈ Vm
um(0) = u0m → u0 em H, m→ +∞.
(2.4)
O sistema linear de equações diferenciais ordinárias (2.4) tem uma solução definida em[0, T ]. Busca-se, a seguir, estimativas sobre um que permitirão tomar o limite m → ∞.De fato,
Estimativas
22
Considerando-se na equação aproximada (2.4)2 v = um(t) ∈ Vm obtém-se
1
2
d
dt|um(t)|2 + µ||um(t)||2 +
∫Ω
∇um(x, t)
(∫ t
0
g(t− σ)∇um(x, σ)dσ
)dx ≤
‖a‖L∞(Q)|um(t)|2 + ‖~b‖L∞(Q)n||um(t)|| |um(t)|+ |f(t)| |um(t)|.
Portanto, integrando de 0 a t segue-se que
|um(t)|2 + 2µ
∫ t
0
||um(s)||2 ds+
2
∫Ω×(0,t)
∇um(x, s)
(∫ s
0
g(s− σ)∇um(x, σ)dσ
)dxds ≤
(2a0 +
b20µ
+ 1
)∫ t
0
|um(s)|2 ds+ µ
∫ t
0
‖um(s)‖2 ds+
∫ T
0
|f(s)|2 ds+ |u0m|2,
(2.5)
sendo a0 = ‖a‖L∞(Q) e b0 = ‖~b‖L∞(Q)n .
Por meio do Lema 2.2.3 resulta
2
∫Ω×(0,t)
∇um(x, s)
(∫ s
0
g(s− σ)∇um(x, σ)dσ
)dxds ≥ 0.
Logo, de (2.5), tem-se que
|um(t)|2 + µ
∫ t
0
||um(s)||2 ds ≤(2a0 +
b20µ
+ 1
)∫ t
0
|um(s)|2 ds +
∫ T
0
|f(s)|2 ds+ |u0m|2.(2.6)
Pondo C0 = a0 +b20µ
+ 1, segue-se de (2.6) que
|um(t)|2 ≤ C0
∫ t
0
|um(s)|2 ds+
∫ T
0
|f(s)|2 ds+ |u0m|2. (2.7)
Assim, por meio da desigualdade de Grownall, obtém-se
|um(t)|2 ≤ eC0T
(|u0m|2 +
∫ T
0
|f(t)|2 dt). (2.8)
De (2.4)4, (2.8), (2.6) e sendo f ∈ L2(0, T ;H) tem-se que∣∣∣ (um)m∈N é limitada em L∞(0, T ;H); (2.9)∣∣∣ (um)m∈N é limitada em L2(0, T ;V ). (2.10)
23
Passagem ao Limite
De (2.9) e (2.10), extrai-se uma subseqência de (um)m∈N, ainda denotada pelo mesmonome, tal que
um∗ u em L∞(0, T ;H); (2.11)
um u em L2(0, T ;V ). (2.12)
Da propriedade das funções a,−→b obtem-se
aum∗ au em L∞(0, T ;H); (2.13)
−→b .∇um
−→b .∇u em L2(0, T ;H). (2.14)
Das convergências (2.10), (2.12) e (2.13) obtém-se∫ T
0
(um(t), w)dt −→∫ T
0
(um(t), w)dt, ∀ w ∈ L2(0, T ;H), (2.15)
∫ T
0
(a(t)um(t), w)dt −→∫ T
0
(a(t)um(t), w)dt, ∀ w ∈ L2(0, T ;H) (2.16)
e ∫ T
0
(−→b .∇um(t), w)dt −→
∫ T
0
(−→b .∇um(t), w)dt, ∀ w ∈ L2(0, T ;H). (2.17)
Da convergência (2.12) tem-se em particular∫ T
0
((um(t), w))dt −→∫ T
0
((um(t), w))dt, ∀ w ∈ L2(0, T ;V ). (2.18)
Sejam um, w as extensões em t de um, w pondo-se zero fora de [0, T ] e g(ξ) igual ag(ξ) se ξ ≥ 0 e zero se ξ < 0. Logo, ∇um ∈ L2(R;H), w ∈ L2(R;V ) e g ∈ L1(R), dondesegue-se que∫ T
0
∫ t
0
g(t− σ) ((um(σ), w(t))) dσ dt =
∫R
∫Rg(t− σ)
∫Ω
∇um(x, σ)∇w(x, t)dxdσdt =∫R
∫Ω
g ∗ ∇um(x, t)∇w(x, t)dxdt =
∫R
∫Ω
∇um(x, σ)˜g ∗ ∇w(x, σ) dxdσ,
onde ˜g(x) = g(−x).Do Lema 2.2.1 tem-se que g ∗ w ∈ L2(R;V ), ∀w ∈ L2(R;V ). Logo, da convergência
(2.18) tem-se, em particular, que∫R
(∇um(σ), ˜g ∗ ∇w(σ)
)dt→
∫R
(∇u(σ), ˜g ∗ ∇w(σ)
)dt.
24
Note que ∫R
(∇u(σ), ˜g ∗ ∇w(σ)
)dt =
∫R
(g ∗ ∇u(σ),∇w(σ)) dt =∫Ω
∫R
∫Rg(t− σ)∇u(x, σ)dσ∇w(x, t)dσ dt dx =
∫ T
0
∫ t
0
g(t− σ) ((u(σ), w(t))) dσdt.
Assim,∫ T
0
∫ t
0
g(t− σ) ((um(σ), w(t))) dσ dt→∫ T
0
∫ t
0
g(t− σ) ((u(σ), w(t))) dσdt, (2.19)
para todo w ∈ L2(0, T ;V ).
Tomando em (2.15), w = vθ com v ∈ V e θ ∈ D(0, T ), tem-se∫ T
0
(u′m(t), w)dt = −∫ T
0
(um(t), w′)dt −→ −∫ T
0
(u(t), w′)dt. (2.20)
Utilizando-se as convergências (2.15)−(2.20), a densidade da união dos Vm em V, pode-sepassar o limite na equação aproximada (2.4) quando m→∞ e obter
−∫ T
0
(u(t), v)θ′(t)dt+ µ
∫ T
0
((u(t), v))θ(t)dt+
∫ T
0
(a(t)u(t), v)θ(t)dt+∫ T
0
(−→b .∇u(t), v)θ(t)dt−
∫ T
0
∫ t
0
g(t− σ) ((u(σ)), v) dσθ(t)dt =∫ T
0
(f(t), v)θ(t)dt, ∀ v ∈ V, θ ∈ D(0, T ).
(2.21)
Dessa igualdade obtém-se∣∣∣∣∣∣∣∣d
dt(u(t), v) + µ((u(t), v)) + (a(t)u(t), v) + (
−→b (t).∇u(t), v)−∫ t
0
g(t− σ) ((u(σ), v)) dσ = (f(t), v) ∀v ∈ V, no sentido de D′(0, T ).
Sendo u ∈ L2(0, T ;V ), V ⊂ H ⊂ V ′ e obervando que
µ ((u(t), v)) = 〈−µ∆u(t), v〉V ′×V ,
−∫ t
0
g(t− σ) ((u(σ), v)) dσ =
⟨∫ t
0
g(t− σ)∆u(σ)dσ, v
⟩V ′×V
obtém-sed
dt〈u(t), v〉 = 〈h(t), v〉 ∀ v ∈ V, (2.22)
25
onde 〈., .〉 representa a dualidade entre V ′ e V e
h(t) = µ∆u(t)− a(t)u(t)−~b(t).∇u(t) +
∫ t
0
g(t− σ)∆u(σ) dσ + f(t).
Note que h ∈ L2(0, T ;V ′), logo conforme Temam [51] pp. 261, segue-se que u′(t) = h(t)
quase sempre em [0, T ] e portanto
u′ ∈ L2(0, T ;V ′). (2.23)
eu′ − µ∆u+ au+~b.∇u+ g ∗∆u = f, no sentido de L2(0, T ;V ′), (2.24)
Sendo u ∈ L2(0, T ;V ) e V → H → V ′ segue-se, conforme Temam [51], que
u ∈ C0([0, T ];H).
Daí faz sentido calcular u(0) e por cálculos padrões mostra-se que u(0) = u0.
Unicidade.
Sejam u, v duas soluções do problema (1.25), logo w = u− v satisfaz
w′ − µ∆w + aw +−→b .∇w +
∫ t
0
g(t− σ)∆w(σ) dσ = 0, w(0) = 0. (2.25)
Tomando o produto escalar da primeira igualdade (2.25) com w(t), tem-se como nasestimativas
〈w′(t), w(t)〉+ µ||w(t)||2 +
∫ t
0
g(t− σ)((w(σ), w(t)))dσ ≤ a0|w(t)|2 + b0||w(t)|| |w(t)|.
Conforme Temam [51] pp. 261, tem-se que 〈w′(t), w(t)〉 =1
2
d
dt|w(t)|2 e integrando de
0 a t obtém-se
|w(t)|2+µ∫ t
0
||w(s)||2 ds+∫ t
0
∫ s
0
g(s−σ)((w(σ), w(s)))dσ ds ≤(a0 +
b202µ
)∫ t
0
|w(s)|2 ds.
Donde, do Lema 2.2.3, tem-se que
|w(t)|2 + µ
∫ t
0
||w(s)||2 ds ≤(a0 +
b202µ
)∫ t
0
|w(s)|2 ds.
Portanto, w(t) = 0 para todo t ∈ [0, T ].
26
Observação 2.2. Apesar do que já foi feito, deve-se precisar em que sentido a funçãou definida pelo Teorema 2.1 é a solução do problema de valor inicial (1.25).
De fato, o resultado a seguir não só vai dizer isto, como acha-se uma função p satis-fazendo o problema (1.25) em algum sentido.
Proposição 2.1. Sobre as hipóteses do Teorema 2.1, existe uma distribuição p : Q→ R,tal que a função u definida no Teorema 2.1 e p satifazem o problema (1.25) no sentidodas distribuições em Q, além disso, p ∈ L2(0, T ;L2(Ω)).
Demonstração:As igualdades (1.25)2 e (1.25)4 do problema (1.25) são uma consequência de u ∈ L2(0, T ;V )
e do Teorema 2.1. A igualdade (1.25)3 é consequência de u ∈ L2(0, T ;H10(Ω)).
Para introduzir a pressão, como u′(t) = h(t) em V ′, h(t) definida anteriormente,tem-se que⟨
u′(t)− µ∆u(t) + a(t)u(t) +~b(t).∇u(t) +
∫ t
0
g(t− σ)∆u(σ) dσ − f(t), v
⟩= 0
(2.26)para todo v ∈ V quase sempre [0, T ].
Em particular, pois V ⊂ V , tem-se⟨u′(t)− µ∆u(t) + a(t)u(t) +~b(t).∇u(t) +
∫ t
0
g(t− σ)∆u(σ) dσ − f(t), v
⟩= 0,
(2.27)para todo v ∈ V quase sempre [0, T ]. Logo, conforme Proposição 6.1 do Apêndice, existep(t) ∈ D′(Ω) tal que
−∇p(t) = u′(t)− µ∆u(t) + a(t)u(t) +~b(t).∇u(t) +
∫ t
0
g(t− σ)∆u(σ) dσ − f(t). (2.28)
Daí conclui-se que∇p(t) ∈ H−1(Ω). (2.29)
Isto diz que cada∂p(t)
∂xi∈ H−1(Ω) para cada i = 1, 2, ...., n. Logo, da Proposição 6.2 item
(ii) do Apêndice, tem-se que
p(t) ∈ L2(Ω) e |p(t)|L2(Ω) ≤ C||∇p(t)||H−1(Ω).
Sendo, por (2.28), ∇p ∈ L2(0, T ;[H−1(Ω)
]n), obtem-se
p ∈ L2(0, T ;L2(Ω)). (2.30)
27
Observação 2.3. Não se tem em geral alguma informação sobre p além de (2.29) e(2.30). No entanto, mostra-se-á que p terá mais regularidade quando pôe-se mais regu-laridade nos dados.
2.3.2 Soluções Fortes
Nesta seção mostra-se que, exigindo mais regularidade sobre u0, obtém-se mais regu-laridade na solução.
Definição 2.2. Diz-se queu : Q −→ Rn
é uma solução forte de (1.25), quando
u ∈ L2(0, T ;V ∩H2(Ω)), u′ ∈ L2(0, T ;H), p ∈ L2(0, T ;H1(Ω))
e satisfazu′ − µ∆u+ au+
−→b .∇u+ g ∗∆u = f −∇p em L2(Q), (2.31)
u(0) = u0.
O resultado abaixo garante a existência, unicidade e regularidade de soluções.
Teorema 2.2. Se f ∈ L2(0, T ;H) e u0 ∈ V , o problema misto (1.25) tem uma únicasolução forte u, além disso
u ∈ C0([0, T ];V ).
Demonstração:
Seja v = ∆um(t) ∈ Vm em (2.4), logo
((u′m(t), um(t))) + µ(∆um(t),∆um(t)) − (a(t)um(t),∆um(t)) −∫ t
0
g(t− σ) (∆um(σ),∆um(t))) dσ − (−→b (t).∇um(t),∆um(t)) = −(f(t),∆um(t)).
(2.32)Assim, tem-se que
d
dt||um(t)||2 + 2µ|∆um(t)|2 +
∫ t
0
g(t− σ)(∆um(σ),∆um(t)) dσ ≤(4c20‖a‖2
L∞(Q)
µ+
4‖~b‖2L∞(Q)
µ
)||um(t)||2 +
3µ
2|∆um(t)|2 +
1
µ|f(t)|2,
(2.33)
28
onde c0 é a constante que aparece na desigualdade de Poincaré.Integrando (2.33) tem-se que
||um(t)||2 +µ
2
∫ t
0
|∆um(s)|2 ds+
∫ t
0
∫ s
0
g(s− σ)(∆um(σ),∆um(s)) dσ ds ≤
K0
∫ t
0
||um(s)||2 ds+1
µ
∫ T
0
|f(t)|2 dt+ ‖u0m‖2,
(2.34)
onde K0 =c20‖a‖2
L∞(Q)
µ+‖~b‖2
L∞(Q)
µ.
Do Lema 2.2.3 e escolhendo u0m ∈ Vm de modo que u0m → u0 em V , f ∈ L2(0, T ;H),obtém-se
||um(t)||2 +µ
2
∫ t
0
|∆um(s)|2 ds ≤ C +K0
∫ t
0
||um(s)||2 ds. (2.35)
Daí, via desigualdade de Gronwall, tem-se que
||um(t)||2 ≤ CeK0T . (2.36)
Portanto,(um)m∈N é limitada em L∞(0, T ;V ), (2.37)
(∆um)m∈N é limitada em L2(0, T ;L2(Ω)). (2.38)
Da densidade da união dos Vm em V , pode-se ter v ∈ V no problema aproximado(2.4). Portanto,
(u′m(t), v)− µ (∆um(t), v) + (a(t)um(t), v) +(∫ t
0
g(t− σ)∆um(σ)dσ, v
)+ (
−→b (t).∇um(t), v) = (f(t), v), ∀ v ∈ V.
Logo, em particular, tem-se⟨u′m(t)− µ∆um(t) + a(t)um(t) +~b(t).∇um(t) +
∫ t
0
g(t− σ)∆um(σ) dσ − f(t), v
⟩= 0,
(2.39)para todo v ∈ V quase sempre [0, T ]. Assim, comforme Proposição 6.1 do Apêndice,existe pm(t) ∈ D′(Ω) tal que
−∇pm(t) = u′m(t)− µ∆um(t) + a(t)um(t) +~b(t).∇um(t) +
∫ t
0
g(t− σ)∆um(σ) dσ − f(t).
(2.40)
29
Considere o problema de Stokes∣∣∣∣∣∣∣∣−µ∆um(t) +∇pm(t) = ϕm(t) ∈ L2(Ω)
div(um(t)) = 0 em Ω
um(t) = 0 sobre Γ,
(2.41)
onde ϕm(t) = −u′m(t)− a(t)um(t)−~b(t).∇um(t)−∫ t
0
g(t− σ)∆um(σ) dσ + f(t).
De (2.40), tem-se que∂pm(t)
∂xi∈ L2(Ω), donde
pm(t) ∈ H1(Ω). (2.42)
De (2.38) tem-se ∣∣∣∣∣ ∆um(t) = ξ ∈ L2(Ω)
um(t) ∈ H10(Ω),
logo, da regularidade de problemas elíticos, segue-se que
um(t) ∈ H2(Ω). (2.43)
De (2.41), (2.42), (2.42) e a Proposição 6.3 do Apêndice obtém-se
‖um(t)‖H2(Ω) ≤ C0|ϕm(t)|2.
Como ϕm é limitada em L2(0, T ;L2(Ω)), segue-se que
(um)m∈N é limitada em L2(0, T ;H2(Ω)). (2.44)
De (2.37) e (2.44), extrai-se uma subseqência de (um)m∈N, ainda denotada pelo mesmonome, tal que
um∗ u em L∞(0, T ;V ); (2.45)
um u em L2(0, T ;H2(Ω)). (2.46)
Da propriedade das funções a,−→b obtém-se
aum∗ au em L∞(0, T ;V ); (2.47)
−→b .∇um
−→b .∇u em L2(0, T ;H). (2.48)
Por argumentos similares aos do Teorema 2.1, obtém-se via convergências (2.45) a (2.48),que u satisfaz:
d
dt(u(t), v)− µ(∆u(t), v) + (a(t)u(t), v) + (
−→b (t).∇u(t), v)−(∫ t
0
g(t− σ)∆u(σ)dσ, v
)= (f(t), v) ∀v ∈ V no sentido de D′(0, T ).
(2.49)
30
Daí, como no Teorema 2.1, tem-se que
u′ ∈ L2(0, T ;L2(Ω)) (2.50)
u′ − µ∆u+ au+~b.∇u+ g ∗∆u = f, no sentido de L2(0, T ;L2(Ω)). (2.51)
De (2.51) tem-se em particular que⟨u′(t)− µ∆u(t) + a(t)u(t) +~b(t).∇u(t) +
∫ t
0
g(t− σ)∆u(σ) dσ − f(t), v
⟩= 0,
(2.52)para todo v ∈ V . Portanto, a Proposição 6.1 do Apêndice, garante a existência de p(t) ∈D′(Ω) tal que
−∇p(t) = u′(t)− µ∆u(t) + a(t)u(t) +−→b (t).∇u(t)+∫ t
0
g(t− σ)∆u(σ) dσ − f(t) ∈ L2(Ω), q.s. [0, T ].(2.53)
Daí conclui-se que∇p(t) ∈ L2(Ω). (2.54)
Isto diz que cada∂p(t)
∂xi∈ L2(Ω) para cada i = 1, 2, ...., n. Logo, da Proposição 6.2 item
(i) do Apêndice, obtém-sep(t) ∈ L2(Ω),
e portantop(t) ∈ H1(Ω), quase sempre em [0, T ].
Tem-se, para quase todo t ∈ [0, T ], que∣∣∣∣∣∣∣∣−µ∆u(t) +∇p(t) = χ(t) ∈ L2(Ω);
div(u(t)) = 0 em Ω
u(t) = 0 sobre Γ,
onde χ(t) = f(t)− u′(t)− a(t)u(t)−−→b (t).∇u(t)−
∫ t
0
g(t− σ)∆u(σ) dσ.
Portanto, invocando a Proposição 6.3 do Apêndice, com α = 2, m = 0, g = 0, φ = 0,tem-se que a aplicação
χ(t) 7→ u(t), p(t)
é linear contínua do L2(Ω) em H2(Ω)×H1(Ω). Além disso, tem-se que
‖u(t)‖H2(Ω) + ‖p(t)‖H1(Ω) ≤ c0|χ(t))|,
31
donde por ser χ ∈ L2(0, T ;L2(Ω))
p ∈ L2(0, T ;H1(Ω)).
Comou ∈ L2(0, T ;H1
0(Ω) ∩H2(Ω)) e u′ ∈ L2(0, T ;L2(Ω)),
tem-se queu ∈ C0
([0, T ];
[H1
0(Ω) ∩H2(Ω),L2(Ω)]
12
).
Mas,[H1
0(Ω) ∩H2(Ω),L2(Ω)]
12
= H10(Ω) e div(u) = 0. Assim,
u ∈ C0([0, T ];V ).
Para mostrar que u(0) = u0 e a unicidade, faz-se exatamente como no Teorema 2.1.Portanto, a prova do Teorema 2.2 está concluída.
32
Capítulo 3
Continuação Única para o Modelo de
Oldroyd
O objetivo central desta seção é apresentar um teorema de continuação única para aequação que descreve o movimento moderado do fluido de Oldroyd. Mostra-se-á, por meiode uma conveniente mudança nos termos da equação, que o mesmo será uma consequênciado teorema de continuação única apresentado por C. Fabre em [9].
Em síntese, o que se quer saber é:
Teorema 3.1. Se Ω é um conexo, a,−→b em L∞(Q) e L∞(Q)n respectivamente e (ϕ, p) ∈
L2(0, T ;V )× L2(0, T ;H) for uma solução do problema∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ
∂t−∆ϕ+ aϕ+
−→b .∇ϕ−
∫ t
0
g(t− σ)∆ϕ(σ) dσ +∇p = 0 em Q
div(ϕ) = 0 em Q,
ϕ = 0 sobre Σ,
ϕ(x, 0) = ϕ0 em Ω,
ϕ ≡ 0 em O × (0, T ) ⊂ Q.
(3.1)
Então ϕ = 0 em Q e p é constante, O aberto conexo de Ω.
Antes de provar este teorema, mostra-se que o teorema de continuação única de C.Fabre não aplica-se diretamente ao modelo em questão.
33
3.1 Uma revisão do Teorema de Continuação de C.
Fabre
Para fluidos Newtonianos, C. Fabre [9] estabeleceu um resultado de continuação únicapara as soluções do sistema de Navier-Stokes quando os potenciais a, ~b não são regulares,precisamente:
Teorema 3.2. Se Ω é um conexo, a,−→b em L∞(Q) e L∞(Q)n respectivamente e (u, p) ∈
L2(0, T ;V )× L2(0, T ;H) for uma solução do problema∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ
∂t−∆ϕ+ aϕ+
−→b .∇ϕ+∇p = 0 em Q
div(ϕ) = 0 em Q,
ϕ = 0 sobre Σ,
ϕ(x, 0) = ϕ0 em Ω,
ϕ ≡ 0 em O × (0, T ) ⊂ Q.
(3.2)
Então ϕ = 0 em Q e p é constante.
Observação 3.1. Note também, que este Teorema é equivalente a mostrar que ϕ0 ≡ 0
em Ω.
Acontece que, para fluidos não Newtonianos o termo de viscoelasticidade do fluidoimpede que o Teorema 3.2 seja aplicado diretamente.
Comenta-se a seguir a idéia da demonstração do Teorema 3.2, mostrando os principaispontos da mesma e salientando-se os pontos onde não funciona para o modelo de Oldroyd.
Seja Em o espaço dos operadores pseudo-diferenciais de ordem m como em SaintRaymond [44]. Considere φ ∈ C∞
0 (Rn+1) e seja p(t) ∈ E2 dado por
p(t)(x,∆, β) = −β2eφβ ∆ e−
φβ
com parte principal p0(t)(x, ξ) = −n∑j=1
(ξj + i
∂φ
∂xj
)2
.
Escreve-se p(t) = a(t) + ib(t) onde
a(t) =p(t) + p∗(t)
2∈ L∞(0, T ;E2)
eb(t) =
p(t)− p∗(t)
2i∈ L∞(0, T ;E1)
34
sendo p∗ o adjunto de p com a0(t) = Rep0(t) e b0(t) = Imp0(t).No artigo [10], para um aberto limitado U0 do Rn, Fabre mostra que φ(0) ≡ φ0 satisfaz
∃ C0 > 0, (x, ξ) ∈ U0 × Rn, a0(0)(x, ξ) = b0(0)(x, ξ) = 0 ⇒ a0(0), b0(0) ≥ C0,
(3.3)onde ., . é o colchete de Poisson.
Além disso, existe ρ0 > 0 tal que para |t| ≤ ρ0 φ(t, x) satisfaz
(x, ξ) ∈ U0 × Rn, a0(t)(x, ξ) = b0(0)(x, ξ)0 ⇒ a0(t), b0(t) ≥ C0
2, (3.4)
onde a0, b0 =∂a0
∂ξ
∂b0∂x
− ∂a0
∂x
∂b0∂ξ
.
Por meio de (3.3) e (3.4), ela mostra os seguintes lemas
Lemma 3.1.1. Suponha que φ verifica (3.3). Então existe ρ0 > 0 tal que, para todocompacto K contido em U0 existem h1, d > 0 e c > 0 tais que para todo h ∈ (0, h1) epara todo (ψ, f) ∈ H1
0 (U0)× L2(U0)n com ∆ψ − divf ∈ L2(U) tem-se∫
K
|ψ|2e2φhdx+ h2
∫K
|∇ψ|2e2φhdx ≤
hc
∫K
|f |2e2φhdx+ dh3
∫K
|∆ψ − divf |2e2φhdx
para todo t ∈ [0, ρ0].
Observação 3.2. Este lema exige que (ψ, f) ∈ H10 (U0)× L2(U0)
n e ∆u− divf ∈ L2(U)
tenha suporte contido em K.
Lemma 3.1.2. Suponha que φ verifica (3.3). Então existe ρ0 > 0 tal que, para todocompacto K contido em U0 existem h1 e c > 0 tais que para todo h ∈ (0, h1) e para todoz ∈ L2(0, ρ0;H
20 (K) ∩H1
0 (0, ρ0;L2(K))n com z′ −∆z ∈ L2(U0 × (0, ρ0)) tem-se∫
K×(0,ρ0)
|z|2e2φhdx+ h2
∫K×(0,ρ0)
|∇z|2e2φhdx ≤ ch3
∫K×(0,ρ0)
|z′ −∆z|2e2φhdx
Para demonstrar o Teorema 3.2, Fabre toma inicialmente uma bola B(1) do Rn+1
centrada na origem com raio 1, exige que os potenciais a,−→b sejam pequenos, considera
W = (t, x); t < 1, |x|Rn < 1
e escolhe φ tal queφ(t, x) =
(xn + |x′|2Rn−1 + t2 − δ
)2χ
onde δ > 0 é escolhido e χ ∈ C∞0 (Rn+1) com χ = 1 sobre W . Em seguida, mostra que
35
Lemma 3.1.3. Existe δ > 0 e r0 > 0 tal que φ verifica (3.3) sobre U0 = x; |x|Rn < r0com C0 = δ2.
Este resultado permite mostrar localmente o Teorema 3.2 com os potenciais a,−→b
pequenos, isto é,
Proposição 3.1. Se exite M > 0 tal que para todo (a,−→b , p, ϕ) ∈L∞(W ) × L∞(W )n ×
L2(W )× L2 (0, T ;H1(|x|Rn < 1)) satisfazendo∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ
∂t−∆ϕ+ aϕ+
−→b .∇ϕ+∇p = 0 em Q
div(ϕ) = 0 em Q,
sup(‖a‖L∞(W ), ‖~b‖L∞(W )n) ≤M
ϕ = 0 em W ∩ xn +M(|x′|Rn−1 + t) < 0.
Então ϕ = 0 numa vizinhaça (0, 0) do Rn+1.
Com efeito, com δ e r0, obtidos por meio do Lema 3.1.3, obtém-se dos Lemas 3.1.1 e3.1.2 um ρ0 > 0. Fixa-se então r1 > 0 pequeno diante de δ2, r0 e ρ0 de forma que
B(4r1) ⊂ (t, x); t < ρ0, |x|Rn < r0.
Escolhe-seζ ∈ C∞
0 (B(r1)) tal que ζ = 1 sobre B(3r14
) (3.5)
eΠ = supp [∇x,tζ] ∩ xn +M(|x′|Rn−1 + t) ≥ 0.
Existe M0 > 0 tal que para todo M ∈ [0,M0] obtém-se
sup(t,x)∈Π
φ(t, x) < φ(0, 0) = δ2. (3.6)
Como ∇p = 0 sobre W ∩ xn +M(|x′|Rn−1 + t) < 0 pode sempre supor p = 0.
ATENÇÃO ! É a partir daqui que ocorrem os problemas de se aplicar o teorema deFabre ao modelo de Oldroyd.
Pondo-se z = ζϕ e q = ζp obtém-se
[i ] ∆q + div[(−→b .∇)z − az − (
−→b .∇ζ)ϕ− 2∇ζp
]= G, onde G ∈ L2 tem suporte
contido em Π.
36
[ii ] z′ −∆z = −∇q −(−→b .∇z
)− az + F , onde F ∈ L2 tem suporte contido em Π.
De [i] e [ii], com ρ1 =ρ0
2e K = |x|Rn <
ρ0
2, tem-se que
q ∈ L2(0, ρ1;H10 (K))
e ∣∣∣∣∣∣∣∣z′ −∆z ∈ L2((0, ρ1)×K)
z = 0 sobre ∂K × (0, ρ1) =⇒ z ∈ L2(0, ρ1;H20 (K)) ∩H1
0 (0, ρ1;L2(K)).
z = 0 em K
(3.7)
Assim,
(I)- com relação a q tem-se
q ∈ L2(0, ρ1;H10 (K));
∆q + div[(−→b .∇)z − az − (
−→b .∇ζ)ϕ− 2∇ζp
]= G,
onde G = au∇ζ +∇ζ.(−→b .∇ϕ)− p∆ζ ∈ L2(K × (0, ρ1)) e tem suporte contido em
Π.
Portanto, aplicando o Lema 3.1.1 com ψ = q e
f = 2p∇ζ +−→b .∇z − az − (
−→b .∇ζ)ϕ,
segue-se que existem h1 > 0, d > 0 e c > 0 tal que∫K×(0,ρ1)
|q|2e2φhdxdt+ h2
∫K×(0,ρ1)
|∇q|2e2φhdxdt ≤
ch
∫K×(0,ρ1)
|f |2e2φhdxdt+ dh3
∫K×(0,ρ1)
|G|2e2φhdxdt
(3.8)
para todo h ∈ (0, h1).
(II)- Com relação a z tem-se
z ∈ L2(0, ρ1;H20 (K)) ∩H1
0 (0, ρ1;L2(K))
z′ −∆z = −∇q −−→b .∇z − az + F
ondeF = ϕ(
−→b .∇ζ) + p∇ζ + ϕζ ′ − 2∇ζ.∇ϕ− ϕ∆ζ.
pertence L2(K × (0, ρ1)) e tem suporte contido em Π.
37
Aplicando o Lema 3.2 a z, existem h1 > 0 e c > 0 tal que∫K×(0,ρ1)
|z|2e2φhdxdt+ h2
∫K×(0,ρ1)
|∇z|2e2φhdxdt ≤
ch3
∫K×(0,ρ1)
|z′ −∇z|2e2φhdxdt
(3.9)
para todo h ∈ (0, h1).
Combinando as desigualdades (3.8) e (3.9), utilizando-se de (I) e (II) , obtém-se∫K×(0,ρ1)
|z|2e2φh dxdt+ h2
∫K×(0,ρ1)
|∇z|2e2φhdxdt ≤
4c2h2
∫K×(0,ρ1)
|2p∇ζ dxdt+ (−→b .∇ζ)ϕ|2e2
φhdxdt +
(4c2 + 2ch
)h2‖~b‖2
L∞(W )n
∫K×(0,ρ1)
|∇z|2e2φh dxdt +
(c2 + ch
)h2‖a‖2
L∞(W )
∫K×(0,ρ1)
|z|2e2φh dxdt+ ch3
∫K×(0,ρ1)
(|F |2 + 2dh|G|2
)e2
φh dxdt
para todo h ∈ (0, h1).
Assim, (1− (c2 + ch)‖a‖2
L∞(W )h2) ∫
K×(0,1)
|z|2e2φh dxdt +
(1− (4c2 + 2ch)‖~b‖2
L∞(W2)nh2)∫
K×(0,ρ1)
|∇z|2e2φhdxdt ≤
4c2h2
∫K×(0,ρ1)
|2p∇ζ dxdt+ (−→b .∇ζ)ϕ|2e2
φhdxdt +
ch3
∫K×(0,ρ1)
(|F |2 + 2dh|G|2
)e2
φh dxdt
(3.10)
para todo h ∈ (0, h1).
Escolhendo M > 0 tal que 4c2M < 1 tem-se que
1− (4c2 + 2ch)‖~b‖2L∞(W )n > 0 e 1− (c2 + ch)‖a‖2
L∞(W ) > 0
para ‖a‖2L∞(W ) ≤M , ‖~b‖2
L∞(W2)n ≤M e h suficientemente pequeno. Portanto, como
H2 =(|F |2 + 2dh|G|2
)+ |2p∇ζ + (
−→b .∇ζ)ϕ|2 ∈ L1(K × (0, 1))
obtém-se, de (3.10), que∫K×(0,1)
|z|2e2φh dxdt ≤
∫K×(0,ρ1)
H2e2φh dxdt (3.11)
38
para h suficientemente pequeno e
supp(H) ⊂ Π.
Usando (3.6) e fazendo h → 0 em (3.11) segue-se que z é nula numa vizinhança daorigem. Como ζ = 1 nesta vizinhança, tem-se que ϕ se anula numa vizinhança da origem.Provando a Proposição.
Por meio de uma troca de escala ela mostra ser possível trazer qualquer ponto de Qpara esta vizinhança da origem, concluindo assim a prova do Teorema 3.2.
3.2 Demonstração do Teorema 3.1
A dificuldade de aplicar o Teorema 3.2 ao modelo de Oldroyd está exatamente em(3.7), uma vez que não conseguimos obter uma regularização daquela forma.
De fato, com a notação do item anterior, suponha que existaM > 0 e (a,−→b , p, ϕ) ∈L∞(W )×
L∞(W )n × L2(W )× L2 (0, T ;H1(|x|Rn < 1)) solução de∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ
∂t−∆ϕ+ aϕ+
−→b .∇ϕ−
∫ t
0
g(t− σ)∆ϕ(σ) dσ +∇p = 0 em Q
div(ϕ) = 0 em Q,
sup(‖a‖L∞(W ), ‖~b‖L∞(W )n) ≤M
ϕ = 0 em W ∩ xn +M(|x′|Rn−1 + t) < 0.
Considere ζ como em (3.5) e seja z = ζϕ. Então
z′ −∆z = ζ(ϕ′ −∆ϕ) + ζ ′ϕ− 2∇ζ∇ϕ−∆ζϕ.
Comoϕ′ −∆ϕ = −
−→b .∇ϕ+
∫ t
0
g(t− σ)∆ϕ(σ) dσ − aϕ−∇p
obtém-se
z′ −∆z = −ζ(−→b .∇ϕ
)+ ζ
∫ t
0
g(t− σ)∆ϕ(σ) dσ + ζ ′ϕ −
2∇ζ∇ϕ−∆ζϕ−∇q −∇ζp− aζϕ,
onde o q foi obtido em (I) na etapa anterior.Portanto, como
−ζ(−→b .∇ϕ
)+ ζ ′ϕ− 2∇ζ∇ϕ−∆ζϕ−∇q −∇ζp− aζϕ ∈ L2(0, T ;L2(K))
39
eζ
∫ t
0
g(t− σ)∆ϕ(σ) dσ ∈ L2(0, T ;H−1(K))
obtém-se ∣∣∣∣∣∣∣∣z′ −∆z ∈ L2(0, T ;H−1(K))
z = 0 sobre ∂K × (0, ρ1)
z(0, x) = 0 em K.
Daí, não dar para concluir que z ∈ L2(0, ρ1;H20 (K)) ∩H1
0 (0, ρ1;L2(K)). Outra maneira
é tentar argumentar da seguinte maneira
z′ −∆z −∫ t
0
g(t− σ)∆z(σ)dσ = ζ(ϕ′ −∆ϕ) + ζ ′ϕ− 2∇ζ∇ϕ−∆ζϕ−
−∫ t
0
g(t− σ)ζ(σ)∆ϕ(σ)dσ − 2
∫ t
0
g(t− σ)∇ζ(σ)∇ϕ(σ)dσ −∫ t
0
g(t− σ)∆ζ(σ)ϕ(σ)dσ.
Assim, novamente não dar para livrar-se do ∆ϕ, e portanto não dar para obter umaregularidade para z de forma a aplicar o Lema 4.2.
Conclusão: O grande problema é o termo∫ t
0
g(t − σ)∆ϕ(σ)dσ, já que ele impede a
obtenção de uma regularidade maior para z = ζϕ onde ϕ ∈ L2(0, T ;V ). Esta regularidadeé essencial para a demonstração do Teorema 3.2 da C. Fabre uma vez que ela se utilizado Lema 3.2.
Com a ϕ ∈ L2(0, T ;V ) solução do problema (3.1) considere
f = g ∗∆ϕ e p = p+ q
onde f(t) = g ∗∆ϕ(t) =
∫ t
0
g(t− σ)∆ϕ(σ) dσ. Da regularidade da ϕ tem-se que
f ∈ L2(0, T ;V ′).
Com a f e ϕ0 ∈ H considere θ e η soluções dos problemas∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂θ
∂t−∆θ + aθ +
−→b .∇θ +∇p = 0 em Q
div(θ) = 0 em Q,
θ = 0 sobre Σ,
θ(x, 0) = ϕ0 em Ω,
θ ≡ 0 em O × (0, T ) ⊂ Q.
(3.12)
40
e ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂η
∂t−∆η + aη +
−→b .∇η +∇q = f em Q
div(η) = 0 em Q,
η = 0 sobre Σ,
η(x, 0) = 0 em Ω,
η ≡ 0 em O × (0, T ) ⊂ Q.
(3.13)
Observe que os problemas (3.12) e (3.13) tem de fato soluções, pois, trata-se de equaçõesde Navier-Stokes onde f ∈ L2(0, T ;V ′). Além disso
θ, η ∈ C0([0, T ], H).
Observe que a solução ϕ do problema (3.1), com dado ϕ0 é dada por
ϕ = θ + η
onde θ e η são as soluções dos problema (3.12) e (3.13) respectivamente. Portanto, oTeorema 4.2 de C. Fabre aplicado ao problema (3.12), garante que
θ ≡ 0 em Q.
Sendo, θ ∈ C0([0, T ];H), tem-se que θ(0) = 0 em Ω, isto é,
ϕ0 = 0 em Ω.
Sendo ϕ0 = 0 em (3.1) tem-se que ϕ ≡ 0 e p é uma constante em Q, pois ϕ ≡ 0 e pconstante são as únicas soluções do problema (3.1) com dado inicial ϕ0 = 0 em Ω.
Assim fica provado o Teorema 3.2
41
Capítulo 4
Controlabilidade Aproximada
Este Capítulo é devotado a estudar a controlabilidade aproximada do problema∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂u
∂t− µ∆u+ au+
−→b .∇u−
∫ t
0
g(t− σ)∆u(σ)dσ +∇p = vχO em Q
div(u) = 0 em Q,
u = 0 em Σ,
u(x, 0) = u0(x) em Ω,
(4.1)
onde u(x, t) = (u1(x, t), ....., un(x, t)) é o vetor velocidade do fluido moderado avaliadono ponto (x, t), x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, p = p(x, t) é a pressão do fluido avaliado no ponto(x, t), µ representa uma constante, u0(x) é a velocidade inicial, a, ~b são os potenciais emL∞(Q) e L∞(Q)n respectivamente e g : [0,∞) → [0,∞) é uma função dada por
g(t) = γe−αt,
onde µ = kλ−1, γ = λ−1(ν − kλ−1) > 0 e α = λ−1 todos constantes.A função v ∈ (L2(O × (0, T )))
n que aparece no lado direito de (4.1) é denominadocontrole. Note que, quando v varia em (L2(O × (0, T )))
n a solução u de (4.1) dependede (x, t) ∈ Q e v a qual representa-se por
u(x, t, v).
Observação 4.1. Pode-se supor u0 = 0, pois sendo (4.1) linear, considera-se z soluçãode ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂z
∂t− µ∆z + az +
−→b .∇z −
∫ t
0
g(t− σ)∆z(σ) dσ +∇p0 = 0 em Q
div(z) = 0 em Q,
z = 0 sobre Σ,
z(x, 0) = u0 em Ω.
42
Logo, pode-se decompor u = ξ + z, onde ξ resolve∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂ξ
∂t− µ∆ξ + aξ +
−→b .∇ξ −
∫ t
0
g(t− σ)∆ξ(σ) dσ +∇p1 = vχO em Q
div(ξ) = 0 em Q,
ξ = 0 sobre Σ,
ξ(x, 0) = 0 em Ω,
com p = p0 + p1.
Portanto se f(x, t) = v(x, t)χO tem-se f ∈ L2(0, T ;H). Sendo u0 = 0, segue-se doTeorema 2.2, que a solução forte u(., ., v) do problema (4.1)1 pertence a C0([0, T ];V ) ouseja u(., t, v) ∈ V ⊂ H porque V ⊂ H ⊂ V ′.
Assim, dado uma função uT em H não é possível obter v ∈ (L2(O × (0, T )))n tal que
a correspondente solução u(., t, v) ∈ V satisfaça
u(x, T, v) = uT (x).
Por este motivo indaga-se:
Existe uma sequência (vj)j∈N de objetos de (L2(O × (0, T )))n
tal que a correspondente solução u(., t, vj) ∈ V é tal queu(., T, vj) → uT (.)
forte em H quando j →∞. ?
Na verdade é isso que tem-se de provar. Pois isto é o que caracteriza a controlabilidadeaproximada, conforme Lions [28].
Define-se
R(T ) =
u(x, T, v), v ∈ (L2(O × (0, T )))
n onde u(x, t, v) éuma solução forte de (4.1) com f = vχO e u0 = 0
Teorema 4.1. O conjunto R(T ) é denso em H.
Demonstração: Para provar tal resultado, utiliza-se o teorema de Hahn-Banach ou oteorema da projeção em um espaço de Hilbert. Deve-se provar que,
se f ∈ H e (u(., T, v), f)H = 0 ∀ v ∈ (L2(O × (0, T )))n então f ≡ 0.
43
De fato, dado f ∈ H existe ψ(x, t) = (ψ1(x, t), ...., ψn(x, t)) ∈ Q e p ∈ L2(0, T ;L2(Ω))
solução fraca de∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−∂ψ∂t
− µ∆ψ + aψ − div(−→b .ψ)−
∫ T
t
g(η − t)∆ψ(η) dη +∇p = 0 em Q
div(ψ) = 0 em Q,
ψ = 0 sobre Σ,
ψ(x, T ) = f(x) em Ω.
(4.2)
Com efeito, para ver isto, basta que no lugar de t se considere T − t, isto é, fazendo amudança de variáveis τ = T − t com ϕ(x, τ) = ψ(x, t), tem-se
ϕ′(x, τ) = −ψ′(x, t).
Logo, o sistema (4.2) é equivalente a∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ
∂t− µ∆ϕ+ aϕ− div(
−→b .ϕ)−
∫ T−t
0
g((T − t)− τ)∆ϕ(τ) dτ +∇p = 0 em Q
div(ϕ) = 0 em Q,
ϕ = 0 sobre Σ,
ϕ(x, 0) = f(x) em Ω.
(4.3)com ϕ sendo a incógnita.
Como o lado direito de (4.3)1 é igual a função nula e f ∈ H, segue-se do Teorema 2.1,do Capítulo 2, que (4.3) tem uma única solução fraca. Isto é, ψ é tal que
−∂ψ∂t
− µ∆ψ + aψ − div(−→b .ψ)−
∫ T
t
g(η − t)∆ψ(η) dη +∇p = 0
no sentido de L2(0, T ;V ′).
Se u(x, t, v) é solução forte de (4.1) então do Teorema 3.2
u(., ., v) ∈ C0([0, T ];V ) ∩ L2(0, T ;V ∩H2(Ω)).
Portanto, faz sentido avaliar
L(ψ) = −∂ψ∂t
− µ∆ψ + aψ − div(−→b .ψ)−
∫ T
t
g(τ − t)∆ψ(τ) dτ +∇p
em u(x, t, v) na dualidade L2(0, T ;V ′), L2(0, T ;V ).
Observação 4.2. Daqui em diante, denota-se
(y, z)(L2(O×(0,T )))n =
∫Q
yz dxdt e |z|2(L2(O×(0,T )))n =
∫O×(0,T )
z2(x, t)dxdt
44
Formalmente, pode-se operar como se segue. Multiplica-se ambos os lados de (4.2)
por u(x, t, v) solução forte de (1.25), integra-se em Q e notando que
(i) sendo div(−→b ψu) = udiv(
−→b .ψ) +
−→b .∇uψ, segue-se, do teorema de Gauss, que∫
Q
div(−→b .ψu) dxdt =
∫Σ
−→b ψuηdΣ = 0,
pois ψ = 0 sobre Σ. Logo
−∫Q
div(−→b .ψ)u dxdt =
∫Q
−→b .∇uψdxdt
(ii) u(x, 0, v) = 0,
tem-se:
− (u(., T, v), f)H +
∫Q
ψ
∂u
∂t− µ∆u+ au+
−→b .∇u
dxdt +
∫ T
0
〈∇p(t), u(t)〉H−1×H10dt−
∫ T
0
⟨∫ T
t
g(η − t)∆ψ(η)dη, u(t)
⟩V ′×V
dt = 0
para todo v ∈ (L2(O × (0, T )))n.
De (4.1) tem-se uma solução forte, isto é,
∂u
∂t− µ∆u+ au+
−→b .∇u = vχO −∇p+
∫ t
0
g(t− σ)∆u(σ) dσ, q.s. em Q.
Logo,
− (u(., T, v), f)H +
∫Q
ψvχOdxdt−∫ T
0
(∇p(t), ψ(t)) dt +
∫ T
0
〈∇p(t), u(t)〉(H−1)n×(H10 )n dt +
∫ T
0
(∫ t
0
g(t− σ)∆u(σ) dσ, ψ(t)
)dt−∫ T
0
⟨∫ T
t
g(η − t)∆ψ(η)dη, u(t)
⟩V ′×V
dt = 0
(4.4)
para todo v ∈ (L2(O × (0, T )))n.
Observação 4.3. Note que,
〈∇p(t), u(t)〉(H−1)n×(H10 )n = 〈(D1p(t), · · · , Dnp(t), ) , (u1(t), · · · , un(t))〉(H−1)n×(H1
0 )n =
n∑i=1
〈Dip(t), ui〉H−1×H10
= −n∑i=1
(p(t), Diui)L2 = −
(p(t),
n∑i=1
Diui
)L2
=
− (p(t), divu(t))L2 = 0,
45
pois u(t) ∈ V e portanto div(u(t)) = 0.
Observação 4.4. Do Lema 2.2.2 do Capítulo 2, tem-se∫Ω×(0,T )
∫ t
0
g(t− σ)y(σ)ζ(t)dσdt =
∫Ω×(0,T )
∫ T
t
g(η − t)ζ(η)y(t)dσdt. (4.5)
Note, para todo u, ψ ∈ L2(0, T ;V ), que
•∫ T
0
⟨∫ t
0
g(t− σ)∆u(σ) dσ, ψ(t)
⟩V ′×V
dt = −∫ T
0
(∫ t
0
g(t− σ)∇u(σ) dσ,∇ψ(t)
)dt
•∫ T
0
⟨∫ T
t
g(η − t)∆ψ(η)dη, u(t)
⟩V ′×V
dt =−∫ T
0
(∫ T
t
g(η − t)∇ψ(η)dη,∇u(t))dt.
Assim de (4.5), segue-se que∫ T
0
(∫ t
0
g(t− σ)∇u(σ) dσ,∇ψ(t)
)dt =
∫ T
0
(∫ T
t
g(η − t)∇ψ(η)dη,∇u(t))dt.
E portanto∫ T
0
(∫ t
0
g(t− σ)∆u(σ) dσ, ψ(t)
)dt−
∫ T
0
⟨∫ T
t
g(η − t)∆ψ(η)dη, u(t)
⟩V ′×V
dt = 0.
Das Observções 4.3 e 4.4, a identidade em (4.4) toma a forma
− (u(., T, v), f)H +
∫Q
ψvχOdxdt = 0
para todo v ∈ (L2(O × (0, T )))n.
Por hipótese, f ∈ H é tal que
(u(., T, v), f)H = 0 para todo v ∈(L2(O × (0, T ))
)n.
Então, ∫Q
ψvχOdxdt = 0 para todo v ∈(L2(O × (0, T ))
)n.
Isso implica queψ(x, t) = 0 em O × (0, T ) q.s.
46
Mas O × (0, T ) é um cilindro contido em Q e a,−→b ∈ [L∞(Q)]n+1, sendo O ⊂ Ω.
Logo, pelo Teorema 4.1 de continuação única, segue-se que
ψ(x, t) = 0 q.s. em Q.
Note que ψ é uma solução fraca de (4.2), então da regularidade, conforme Teorema2.1 de existência, tem-se
ψ ∈ C0([0, T ];H).
Assim, ψ(x, T ) = 0. Portanto, de (4.2)1 implica que f = 0 e o Teorema 4.1 estáprovado.
Observação 4.5. Dado T > 0 seja uT ∈ H. Como R(T ) é denso em H existe umasequência vj ∈ (L2(O × (0, T )))
n tal que as soluções fortes u(., T, vj) de (4.1) convergepara uT forte em H. Logo, quando j →∞, temos
u(., T, vj) → uT (.)
forte em H.Diz-se, portanto, que se tem uma controlabilidade aproximada.
O próximo passo é a construção das (vj)j∈N.
4.1 Construção da sequência (vj)j∈N em(L2(O × (0, T ))
)nConstrói-se uma sequência (vj)j∈N para cada uT ∈ H seguindo as idéias de Lions [28].
De fato, dado uT ∈ H, deseja-se aproximar uT por soluções de (4.1), isto é, quandovariar v ∈ (L2(O × (0, T )))
n quer-se obter aproximações de uT .Note que, cada v ∈ (L2(O × (0, T )))
n representa os gastos do problema. Sendo ocusto a soma de todos os gastos, tem-se que
Custo → 1
2|v|2(L2(O×(0,T )))n .
Quer-se obter custo mínimo de forma que o estado, u(x, T, v), do sistema (4.1) fiqueo mais próximo possível do estado ideal uT .
47
Isto motiva definir o funcional custo
Jk(v) =1
2|v|2(L2(O×(0,T )))n +
k
2
∣∣u(., T, v)− uT (.)∣∣2H, (4.6)
onde uT é dado, v varia em (L2(O × (0, T )))n e u(x, T, v) é uma solução forte de (4.1)
associada a v com u0 = 0.
Considere-se o seguinte problema de minimização:∣∣∣∣∣ Min Jk(v)v ∈ (L2(O × (0, T )))
n.
(4.7)
O Jk(v) deve ter para cada k ∈ N, as propriedades:
• Semicontínuo inferiormente;
• Coercivo;
• Estritamente convexo,
para que o problema (4.7) tenha uma única solução vk.Antes de mostrar que o funcional Jk satisfaz estas propriedades, note-se que
Jk(v + λξ) =1
2(v + λξ, v + λξ)(L2(O×(0,T )))n +
k
2
(u(., T, v + λξ)− uT (.), u(., T, v + λξ)− uT (.)
)H.
(4.8)
Por outro lado, para v, v ∈ (L2(O × (0, T )))n no lado direito de (4.1) tem-se u(x, t, v) e
u(x, t, v) soluções fortes de (4.1) com u0 = 0, isto é,
∂u(x, t, v)
∂t− µ∆u(x, t, v) + a(x, t)u(x, t, v) +
−→b (x, t).∇u(x, t, v) +
∫ t
0
g(t− σ)∆u(x, σ, v)dσ +∇p = vχO, q.s. em Q
e∂u(x, t, v)
∂t− µ∆u(x, t, v) + a(x, t)u(x, t, v) +
−→b (x, t).∇u(x, t, v) +
∫ t
0
g(t− σ)∆u(x, σ, v)dσ +∇p = vχO, q.s. em Q
Somando-se e representando-se por z = u(x, t, v) + u(x, t, v), tem-se que
∂z
∂t− µ∆z + a(x, t)z +
−→b (x, t).∇z+∫ t
0
g(t− σ)∆z(σ)dσ + 2∇p = [v + v]χO, q.s. em Q.
48
Assim L(v + v) = L(v) + L(v), e aliás, tem-se que L(βv) = βL(v), β > 0. Portanto háuma correspondência linear
L :(L2(O × (0, T ))
)n → L2(0, T ;V )
dada por Lv = u(., ., v) onde u é a solução forte de (4.1) associada a v com u0(x) = 0.
Observação 4.6. L é contínuo. Com efeito, seja vm → v em (L2(O × (0, T )))n quando
m→∞, deve-se mostrar que L(vm) → L(v) em L2(0, T ;V ).
Considere-se as soluções fortes de (4.1) associadas a vm e v respectivamente. Logo,representando-se por zm = u(x, t, vm)− u(x, t, v), obtem-se
∂
∂tz − µ∆z + a(x, t)z +
−→b (x, t).∇z+∫ t
0
g(t− σ)∆z(σ)dσ + 2∇p = [vm − v]χO, q.s. em Q.
Daí, por uma estimativa, obtém-se
|u(., t, vm)− u(., t, v)|2H + µ
∫ t
0
‖u(., s, vm)− u(., s, v)‖V ds ≤∫ T
0
|vm − v|2L2(O)ds+
∫ t
0
|u(., s, vm)− u(., s, v)|2Hds,
donde, pela desigualdade de Gronwall, obtém-se
|u(., t, vm)− u(., t, v)|2H + µ
∫ T
0
‖u(., s, vm)− u(., s, v)‖2V ds ≤ |vm − v|2(L2(O)×(0,T ))neT .
Como por hipótese vm → v em (L2(O × (0, T )))n quando m→∞, tem-se
L(vm) → L(v), quando m→∞,
forte em L2(0, T ;V ).
Afirmação 01. Jk é semicontínuo inferiormente.
Demonstração: De fato, seja vm → v forte em (L2(O × (0, T )))n. Então
vm v fraco em(L2(O × (0, T ))
)n. (4.9)
Da Observação 4.6 segue-se que
u(., T, vm) → u(., T, v) forte em V.
49
Como V ⊂ H com imersão contínua, tem-se
u(., T, vm) → u(., T, v) forte em H.
Em particular,u(., T, vm) u(., T, v) fraco em H.
Logo,u(., T, vm)− uT (.) u(., T, v)− uT (.) fraco em H. (4.10)
De (4.9) e (4.10), tem-se que
lim infm→∞
Jk(vm) = lim infm→∞
1
2|vm|2(L2(O×(0,T )))n +
k
2
∣∣u(., T, vm)− uT (.)∣∣2H,
≥
lim infm→∞
1
2|vm|2(L2(O×(0,T )))n
+ lim inf
m→∞
k
2
∣∣u(., T, vm)− uT (.)∣∣2H,
≥
1
2|v|2(L2(O×(0,T )))n +
k
2
∣∣u(., T, v)− uT (.)∣∣2H
= Jk(v).
Entãolim infm→∞
Jk(vm) ≥ Jk(v),
o que caracteriza a semicontinuidade inferior de Jk.
Afirmação 02. Jk é coercivo.Demonstração: De fato, deve-se mostrar que
lim inf|v|2HO→∞
Jk(v)
|v|HO= ∞,
onde HO = (L2(O × (0, T )))n.
De (4.6), tem-seJk(v)
|v|HO=
1
2|v|HO +
k
2
|u(., T, v)− uT (.)|2H|v|HO
,
logo
lim inf|v|2HO→∞
Jk(v)
|v|HO≥ 1
2lim inf|v|2HO→∞
|v|HO +k
2lim inf|v|HO→∞
|u(., T, v)− uT (.)|2H|v|HO
. (4.11)
Como L é linear contínuo e uT ∈ H é dado, segue-se que
|L(v)− uT (.)|H = |u(., T, v)− uT (.)|H
50
é limitado. Logo,k
2lim inf|v|HO→∞
|u(., T, v)− uT (.)|2H|v|HO
= 0
para cada k ∈ N.Portanto, para cada k ∈ N, segue-se, de (4.11), que
lim inf|v|2HO→∞
Jk(v)
|v|HO= ∞.
Observação 4.7. Derivada de Gateaux segundo o vetor ξ ∈ (L2(O × (0, T )))n.
Por definição, a derivada de Gateaux é dada por
〈J ′k(v), ξ〉 = J ′k(v).ξ = limλ→0
1
λ[Jk(v + λξ)− Jk(v)] =
d
dλJk(v + λξ) |λ=0,
para λ 6= 0.De (4.8), tem-se
Jk(v + λξ) =1
2(v + λξ, v + λξ)(L2(O×(0,T )))n +
k
2
(L(v + λξ)− uT (.), L(v + λξ)− uT (.)
)H.
(4.12)
Tomando a derivada de Jk(v + λξ) com respeito a λ, em (4.12), obtem-se para λ = 0 :
d
dλJk(v + λξ) |λ=0= (v, ξ)(L2(O×(0,T )))n + k(Lv − uT (.), Lξ)H
Cálculo
Observe qued
dλL = L
d
dλpela linearidade de L. Então
d
dλ
[k
2
(L(v + λξ)− uT (.), L(v + λξ)− uT (.)
)H
]λ=0
=[k
2
(Lξ, L(v + λξ)− uT (.)
)H
+k
2
(L(v + λξ)− uT (.), Lξ
)H
]λ=0
=
k
2
[ (L(v + λξ)− uT (.), Lξ
)H
+(Lξ, L(v + λξ)− uT (.)
)H
]λ=0
=
k(L(v)− uT (.), Lξ
)H.
Da Observação 4.7, tem-se
J ′k(v).ξ = (v, ξ)(L2(O×(0,T )))n + k(Lv − uT (.), Lξ)H , (4.13)
51
para todo ξ ∈ (L2(O × (0, T )))n.
Afirmação 03. Para cada k ∈ N, Jk é estritamente convexo.Demonstração: Deve-se mostrar, para cada 0 ≤ λ ≤ 1, que
Jk(λv + (1− λ)ξ) < λJ(v) + (1− λ)Jk(ξ),
para ξ 6= v.
De fato, como |v|(L2(O×(0,T )))n é uma norma em (L2(O × (0, T )))n, tem-se que
1
2|λv + (1− λ)ξ|2(L2(O×(0,T )))n <
λ
2|v|2(L2(O×(0,T )))n +
(1− λ)
2|ξ|2(L2(O×(0,T )))n .
Portanto, se Tk é o funcional dado por Tk(v) =1
2|v|2L2(O×(0,T )), segue-se que
Tk(λv + (1− λ)ξ) < λTk(v) + (1− λ)Tk(ξ). (4.14)
Por outro lado, considere o fncional Jk(v) definido por Jk(v) = k2|u(., T, v)− uT (.)|2H .
Logo, de (4.13) tem-se
d
dρJk(v + ρξ) |ρ=0= k(Lv − uT (.), Lξ)H . (4.15)
ComoJk(v) =
k
2(Lv − uT (.), Lv − uT (.))H
e
Jk(v+ξ) =k
2(L(v+ξ)−uT (.), L(v+ξ)−uT (.))H =
k
2(Lv+Lξ−uT (.), Lv+Lξ−uT (.))H ,
segue-se que
Jk(v + ξ)− Jk(v) =k
2
(Lv − uT + Lξ, Lv − uT + Lξ
)H− k
2(Lv − uT (.), Lv − uT (.))H =
k
2|Lξ|2H + k
(Lv − uT , Lξ
)H≥ k
(Lv − uT , Lξ
)H
=d
dρJk(v + ρξ) |ρ=0 .
Portanto,Jk(v + ξ)− Jk(v) ≥
d
dρJk(v + ρξ) |ρ=0 . (4.16)
52
Observação 4.8. A desigualdade (4.16) garante que Jk é convexo. De fato, para todov, ξ ∈ (L2(O × (0, T )))
n e λ ∈ [0, 1] seja w = λv + (1− λ)ξ. Portanto
d
dρJk(v + ρh1) |ρ=0≤ Jk(ξ)− Jk(w)
ed
dρJk(v + ρh2) |ρ=0≤ Jk(v)− Jk(w),
onde h1 = λ(ξ − v) e h2 = (1− λ)(v − ξ).
Assim,
1
λ
[Jk(ξ)− Jk(w)
]≥ d
dρJk(w + ρ(ξ − v)) |ρ=0≥
1
1− λ
[Jk(w)− Jk(v)
],
dondeJk(w) ≤ λJk(v) + (1− λ)Jk(ξ).
Como, Jk(v) = Tk(v) + Jk(v), tem-se de (4.14) e da Observação 4.8 que, para todov, ξ ∈ (L2(O × (0, T )))
n e λ ∈ [0, 1]
Jk(λv + (1− λ)ξ) < λJk(v) + (1− λ)Jk(ξ).
O que prova a afirmação.
Assim, do que foi provado acima, segue-se, para cada k ∈ N, que existe uma soluçãovk de (4.7).
Portanto, conclui-se que, se vk é a única solução do problema de minimização (4.7), elaé uma solução da equação de Euler-Lagrange J ′k(vk).ξ = 0 para todo ξ ∈ (L2(O × (0, T )))
n.
Isto é,(vk, ξ)(L2(O×(0,T )))n + k
(u(., T, vk)− uT , u(., T, ξ)
)H
= 0 (4.17)
para todo ξ ∈ (L2(O × (0, T )))n, conforme (4.13).
O próximo passo agora é mostrar que a sequência (uk)k∈N, uk(x, T ) = u(x, T, vk)
pertencente a V ⊂ H é tal que
uk −→ uT forte em H.
Como vk é mínimo, tem-se que
Jk(vk) ≤ Jk(0) =k
2|uT (.)|H ,
53
pois (4.1) tem uma única solução para vk, k ∈ N, e v = 0 no lado direito de (4.1) comu0 = 0 tem uma única solução u = 0. Como
Jk(vk) =1
2|vk|(L2(O×(0,T )))n +
k
2|u(., T, vk)− uT (.)|2H ,
tem-se que1
k|vk|2(L2(O×(0,T )))n + |u(., T, vk)− uT (.)|2H ≤ |uT (.)|2H . (4.18)
Logo de (4.18) tem-se:(1√kvk
)k∈N
é limitada em(L2(O × (0, T ))
)n (4.19)
(u(., T, vk)− uT (.)
)k∈N é limitada em H. (4.20)
Portanto, existe uma subsequência, ainda denotada por u(., T, vk), tal que
u(., T, vk)− uT (.) φ fraco em H. (4.21)
Da equação de Euler (4.17) obtem-se:
1
k(vk, ξ)(L2(O×(0,T )))n +
(uk(., T )− uT (.), u(., T, ξ)
)H
= 0 (4.22)
para todo ξ ∈ (L2(O × (0, T )))n e k ∈ N.
Note-se, de (4.19), que
1
k|(vk, ξ)(L2(O×(0,T )))n| ≤ 1√
k
(1√k|vk|(L2(O×(0,T )))n
)|ξ|(L2(O×(0,T )))n ≤
C√k
(1√k|vk|(L2(O×(0,T )))n
),
converge para zero, quando k →∞, para todo ξ ∈ (L2(O × (0, T )))n.
Além disso, como(u(., T, vk)− uT (.), u(., T, ξ)
)H−→ (φ, u(., T, ξ))H
quando k →∞, tem-se que(φ, u(., T, ξ))H = 0
para todo ξ ∈ (L2(O × (0, T )))n, quando k →∞.
Por outro lado, da densidade de R(T ) em H, segue-se que
(φ, h)H = 0
54
para todo h ∈ H. Logo,φ = 0,
donde, de (4.21), segue-se
u(., T, vk) uT (.) fraco em H.
Prova-se agora, que esta convergência é de fato, forte em H.
Com efeito, quando v varia em (L2(O × (0, T )))n a família u(x, T, v) de soluções fortes
de (4.1) com u0 = 0 é denso em H. Portanto, para todo ε > 0, seja v ∈ (L2(O × (0, T )))n
a correspondente solução u(x, T, v) que satisfaz
|u(., T, v)− uT (.)|H < ε. (4.23)
Do problema (4.7), tem-seJk(vk) ≤ Jk(v),
donde segue-se que
1
2|vk|2(L2(O×(0,T )))n +
k
2|u(., T, vk)− uT (.)|2H ≤ 1
2|v|2(L2(O×(0,T )))n +
k
2|u(., T, v)− uT (.)|2H .
Dividindo por k2
segue-se
0 < |uk(., T )− uT (.)|2H ≤ 1
k|vk|2(L2(O×(0,T )))n + |u(., T, vk)− uT (.)|2H ≤
1
k|v|2(L2(O×(0,T )))n + |u(., T, v)− uT (.)|2H ,
logo, de (4.23) tem-se que
limk→∞
|u(., T, vk)− uT (.)|2H = 0,
quando k →∞. Provando que
u(., T, vk) → uT (.) forte em H.
55
Capítulo 5
Controle Hierárquico
Por Ω, denota-se um aberto conexo limitado do Rn com fronteira Γ de classe C2,representa-se por Q o cilindro Ω× (0, T ) contido no Rn+1 com fronteira lateral Σ = Γ×(0, T ), T > 0, e por O,O1, ......,ON subconjuntos abertos conexos não vazios, todos con-tidos em Ω. Além disso, considera-se que O∩Oi é vazia para todo i = 1, 2, ..., N e Oi∩Oj
é vazia para i 6= j com i, j = 1, 2, ....., N. Por χO e χOidenotam-se as funções caracterís-
ticas de O e Oi repectivamente, para todo i = 1, 2, ...., N. Para v, wi ∈ (L2(O × (0, T )))n
considera-se as funções vχO e wiχOi. Nota-se que v = (v1, ....., vn) e wi = (w1i, ....., wni)
são vetores, com vj ∈ (L2(O × (0, T ))) e wij ∈ (L2(Oi × (0, T ))), para j = 1, 2, ...., n ei = 1, 2, ....., N.
Deseja-se nesta seção estudar o problema:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂u
∂t− µ∆u+ au +
−→b .∇u −
∫ t
0
g(t− σ)∆u(σ)dσ +∇p =
vχO +N∑i=1
wiχOiem Q,
div(u) = 0 in Q,
u = 0 em Σ,
u(x, 0) = u0(x) in Ω,
(5.1)
onde u(x, t) = (u1(x, t), ....., un(x, t)) é o vetor velocidade do fluido avaliado no ponto(x, t), x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, p = p(x, t) é a pressão do fluido avaliado no ponto (x, t),µ = kλ−1 uma constante, u0(x) é a velocidade inicial, a, ~b são potenciais em L∞(Q) e[L∞(Q)]n respectivamente, g : [0,∞) → [0,∞) é uma função dada por g(t) = γe−αt e
v é a função controle do líder, distribuida em O,wi são as funções controle denominadas seguidores, distribuidas em Oi, i = 1, 2, ...., N.
56
Introduz-se funções ρi tais que
ρi ∈ L∞(Ω), ρi ≥ 0,
ρi = 1 em um domínio Gi ⊂ Ω.(5.2)
Observação 5.1. Por Gi denotou-se a região de Ω onde os seguidores estão atuando.
Quando v varia em (L2(O × (0, T )))n e wi varia em (L2(Oi × (0, T )))
n, i = 1, 2, ....., N ,a solução u de (5.1) depende de (x, t) ∈ Q, v ∈ (L2(O × (0, T )))
n e wi ∈ (L2(Oi × (0, T )))n.
e representa-se poru(x, t, v, w1, w2, ...., wN).
Observação 5.2. Da linearidade do sistema, pode-se assumir que u0 = 0 e então pode-se assumir que o sistema (5.1) admita uma única solução u(x, t, v, w1, ..., wN), quando
f = vχO +N∑i=1
wiχOipertence a um certo espaço.
A idéia central, é que, se a situação do fenômeno governado pelo sistema (5.1) notempo t = 0 não é satisfatória, o líder deve escolher uma estratégia v que permita levaro sistema a um tempo T > 0 o mais próximo possível de uma situação ideal, denotadapor uT . Cada seguidor, tem essencialmente a mesma função, só que neste caso eles estãoparticularmente interressados na região Gi onde eles atuam, isto é, eles tentarão escolherum estratégia wi tal que o estado no tempo T, u(x, T ), deva estar o mais próximo possívelde ρiuT com custo mínimo, em função da escolha v do líder
Isto motiva definir os funcionais custos, como segue-se
Ji(v,w) =1
2|wi|2(L2(Oi×(0,T )))n +
αi2
∣∣ρiu(., T, v,w)− ρiuT (.)
∣∣2H, (5.3)
onde uT é dado, αi > 0, w = w1, ...., wN, v varia em (L2(O × (0, T )))n, wi varia em
(L2(Oi × (0, T )))n e u(x, T, v) é uma solução forte de (5.1) associada a v, wi com u0 = 0.
Observação 5.3. Está se denotando o produto interno e norma em (L2(O × (0, T )))n
por(y, z)(L2(O×(0,T )))n =
∫Q
yz dxdt e |z|2(L2(O×(0,T )))n =
∫O×(0,T )
v2(x, t)dxdt
57
Os seguidores assumindo que o líder faz uma escolha v de sua estratégia, procuramum equilíbrio de Nash de seus funcionais custos, isto é, eles buscam w1, ...., wN tais que
Ji(v, w1, ..., wN) ≤ Ji(v, wi, ..., wi−1, wi, wi+1, ...., wN), ∀ wi, i = 1, ..., N. (5.4)
Depois disto, o líder quer levar o estado global do sistema (5.1), u(., T ), o mais próximopossível do estado ideal uT . No entanto, será visto, que isto só será possível para algumafunção uT ∈ H, se o problema for aproximadamente controlável, como será visto adiante.
Observação 5.4. A estratégia anterior é do tipo Stackelberg. Essa estratégia foi intro-duzida por Stackelberg [50] em 1934 para problemas que surgem na área econômica. Estetipo estratégia foi usada em problemas de sistemas distribuídos em Lions [30] sem refer-ência a questões de controlabilidade e em Lions [29] em uma formulação diferente sem aequuilíbrio de Nash. Portanto, neste caso, diz-se que a estratégia a ser seguida é do tipoStackelberg-Nash.
Observação 5.5. Se w = w1, ....., wN satisfaz (5.4) se diz que ele é um equilíbrio deNash. Além disso, a desigualdade em (5.4) nos diz que os w′is dependem de v, neste caso,escreve-se w(v) = w1(v), ....., wN(v).
Aqui, todos os controles wi, dos seguidores, concordam em trabalhar numa estratégiaonde v é o líder, eles concordam em trabalhar no contexto de um equilíbrio de Nash. Seusinteresses pessoais são expressos nos funcionais custos Ji como veremos adiante.
Se v ∈ (L2(O × (0, T )))n e wi ∈ (L2(Oi × (0, T )))
n então, foi visto no Capítulo 2, queexistem u(x, t, v,w(v)) e p(x, t) soluções do problema (5.1).
Dado v ∈ (L2(O × (0, T )))n, assume-se que
Existe um equilíbrio de Nash para os funcionais custosJ1, ..., JN dados por (5.3), a ser demonstrado na Seção 5.3.
(5.5)
Observação 5.6. Inicialmente, supôe-se que exista um equilíbrio de Nash para os custos,somente depois é que se demonstra a existência de tal equilíbrio.
5.1 Sistema de Otimalidade para os Seguidores
O principal objetivo desta Seção, assumindo que existam os wi satisfazendo (5.4), éexpressar tais wi como função de uma solução fraca de algum problema.
58
Admite-se que existe um equilíbrio de Nash para os funcionais custos, isto é, supôe-seque existam w1, · · · , wN tais que
Ji(v, w1, ..., wN) ≤ Ji(v, wi, ..., wi−1, wi, wi+1, ...., wN), ∀ wi, i = 1, ..., N.
Isto representa uma condição de mínimo para os funcionais Ji, portanto, ele é carac-terizado pela equação de Euler-Lagrange:
J ′i(v,w(v)).wi = 0 ∀ wi ∈ L2(Oi × (0, T ))n, (5.6)
ondeJ ′i(v,w(v)).wi =
d
dλJi (v, w1, ..., wi + λwi, ..., wN) |λ=0 .
A equação de Euler-Lagrange (5.6) permitirá atingir o objetivo desta seção. Comefeito, tem-se de (5.3) que
Ji(v, w1, .., wi + λwi, ..., wN) =1
2(wi + λwi, wi + λwi)(L2(Oi×(0,T )))n +
αi2
(ρiu(., T, v, w1, .., wi + λwi, .., wN)− ρiu
T (.),
ρiu(., T, v, w1, .., wi + λwi, .., wN)− ρiuT (.)
)H
.
Viu-se no Capítulo 4 que a solução u de (5.1) é uma função linear contínua L doscontroles. Isto diz que u(., T, v, w1, .., wi + λwi, .., wN) = L(wi + λwi), donde a igualdadeacima escreve-se:
Ji(v, w1, .., wi + λwi, ..., wN) =1
2(wi + λwi, wi + λwi)(L2(Oi×(0,T )))n +
αi2
(ρiL(wi + λwi)− ρiu
T (.), ρiL(wi + λwi)− ρiuT (.)
)H
.
(5.7)
Derivando (5.7) com respeito a λ, tem-se:d
dλJi(v, w1, .., wi + λwi, ..., wN) |λ=0= (wi, wi)(L2(Oi×(0,T )))n +
αi
(ρ2i
[u(., T, v, w1, .., wi, .., wN)− uT (.)
], L(wi)
)H
,
para todo wi ∈ L2(Oi × (0, T ))n, onde Lwi = ui(., T, wi) e ui, i = 1, 2, ...., N , é a únicasolução forte de∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂ui∂t
− µ∆ui + aui +−→b .∇ui +
∫ t
0
g(t− σ)∆ui(σ)dσ +1
N∇p = wiχOi
em Q
div(ui) = 0 em Q,
ui = 0 sobre Σ,
ui(x, 0) = 0 em Ω,
(5.8)
59
associada a wi com N > 0 dado.Assim, admitindo-se que haja um equilíbrio de Nash (5.4) para os funcionais custos
obtém-se a seguinte caracterização
(wi, wi)(L2(Oi×(0,T )))n + αi
(ρ2i
[u(., T, v, w1, .., wi, .., wN)− uT (.)
], ui(., T ))
)H
= 0
(5.9)para todo wi ∈ (L2(Oi × (0, T )))
n.
No intuito de achar um sistema de otimalidade para os seguidores, representa-se porψi(x, t) = (ψi1(x, t), ..., ψin(x, t)), (x, t) ∈ Q e p = p(x, t) ∈ L2(0, T ;L2(Ω)) a soluçãofraca do adjunto de (5.8)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−∂ψi∂t
− µ∆ψi + aψi − div(−→b .ψi)−
∫ T
t
g(η − t)∆ψi(η)dη +∇p = 0 em Q
div(ψi) = 0 em Q,
ψ = 0 sobre Σ,
ψi(x, T ) = ρ2i
[u(x, T, v,w(v))− uT (x)
]em Ω,
(5.10)
onde a condição ψi(x, T ) é motivada por (5.9).Note que ρ2
i
[u(., T, v,w(v))− uT (.)
]∈ H. Logo, para ver que (5.10) tem de fato uma
solução, pôe-se no lugar de t, T − t, isto é, faz-se a mudança de variáveis τ = T − t comϕi(x, τ) = ψi(x, t), para obter
ϕ′i(x, τ) = −ψ′i(x, t).
Assim, o sistema (5.10) é equivalente a∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕi∂t
− µ∆ϕi + aϕi − div(−→b .ϕi)−
∫ T−t
0
g((T − t)− τ)∆ϕ(τ)dτ +∇p = 0 em Q
div(ϕi) = 0 em Q,
ϕi = 0 sobre Σ,
ϕi(x, 0) = ρ2i
[u(., T, v,w(v))− uT (.)
]em Ω.
(5.11)com ϕi desconhecido. Mas, como o membro da direita de (5.11) é igual a função nulae ρ2
i
[u(., T, v,w(v))− uT (.)
]∈ H, segue-se do Teorema 3.1, Capítulo 2, que (5.11) tem
uma única solução fraca. Isto é, ψi é tal que
−∂ψi∂t
− µ∆ψi + aψi − div(−→b .ψi)−
∫ T
t
g(η − t)∆ψi(η)dη +∇p = 0
no sentido de L2(0, T ;V ′).
60
Do Teorema 2.2 do Capítulo 2, temos que a solução ui de (5.8) satisfaz
ui(., ., wi) ∈ L2(0, T ;V ) ∩ L2(0, T ;V ∩H2(Ω)).
Portanto, faz sentido avaliar
L(ψi) = −∂ψi∂t
− µ∆ψi + aψi − div(−→b .ψi)−
∫ T
t
g(η − t)∆ψi(η)dη +∇p
em ui(x, t, wi) na dualidade L2(0, T ;V ′), L2(0, T ;V ).
Daí, pode-se operar como o seguinte processo. Multiplica-se ambos os membros de(5.10) por ui(x, t, wi) solução forte de (5.8), integra-se em Q para obter
− (ψi(., T ), ui(T ))H +
∫Q
ψi
∂ui∂t
− µ∆ui + aui +−→b .∇ui
dxdt+
∫ T
0
〈∇p(t), ui(t)〉H−1×H10dt−
∫ T
0
⟨∫ T
t
g(η − t)∆ψi(η)dη, ui(t)
⟩dt = 0.
De (5.8) tem-se uma solução forte, isto é,
∂ui∂t
− µ∆ui + aui +−→b .∇ui = wiχOi
− 1
N∇p−
∫ t
0
g(t− σ)∆ui(σ)dσ q.s. em Q.
Logo,
−(ρ2i
[u(., T, v,w(v))− uT (.)
], ui(., T )
)H
+
∫Q
ψiwiχOidxdt+
∫ T
0
〈∇p(t), ui(t)〉(H−1)n×(H10 )n dt +
∫ T
0
(∫ t
0
g(t− σ)∆ui(σ) dσ, ψi(t)
)dt−∫ T
0
⟨∫ T
t
g(η − t)∆ψi(η)dη, ui(t)
⟩V×V
dt− 1
N
∫ T
0
(∇p(t), ψi(t)) dt = 0
(5.12)
para todo wi ∈ (L2(Oi × (0, T )))n.
Das Observações 4.3 e 4.4, (5.12) assume a forma(ρ2i
[u(., T, v,w(v))− uT (.)
], ui(., T )
)H
=
∫Q
ψiwiχOidxdt
para todo wi ∈ (L2(Oi × (0, T )))n, isto é,(
ρ2i
[u(., T, v,w(v))− uT (.)
], ui)
)H
=
∫Q
ψiwiχOidxdt
Logo, de (5.9) obtem-se
(wi, wi)(L2(Oi×(0,T )))n = − (αiψi, wi)(L2(Oi×(0,T )))n
61
para todo wi ∈ (L2(Oi × (0, T )))n. Assim,
(wi + αiψi, wi)(L2(Oi×(0,T )))n = 0
para todo wi ∈ (L2(Oi × (0, T )))n. Daí, obtém-se
wi = −αiψi em Oi × (0, T ). (5.13)
Observação 5.7. A relação (5.13) é importante, porque diz como encontrar as funçõescontrole dos seguidores como função da solução fraca do sistema (5.10).
A razão principal de expressar as funções controles dos seguidores em função de umasolução fraca, é para encontrar um sistema de otimalidade para tais controles, uma vezque, deste, pode-se derivar algoritimos numéricos.
A igualdade (5.13) permite obter um Sistema de Otimalidade para os seguidorespor meio do sistema (5.1) e do sistema adjunto (5.10). De fato, basta substituir aswi = −αiψi, ψi solução do sistema (5.10), no sistema (5.1) para obter o sistema acopladoque denomina-se Sistema de Otminalidade.
Portanto os melhores wi satisfazendo (5.4), são dadas por wi = −αiψi, onde ψi é umadas únicas soluções do seguinte Sistema de Otimalidade∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂u
∂t− µ∆u+ au+
−→b .∇u−
∫ t
0
g(t− σ)∆u(σ)dσ +∇p+
N∑i=1
αiψiχOi= vχO em Q,
−∂ψi∂t
− µ∆ψi + aψi − div(−→b .ψi)−
∫ T
t
g(η − t)∆ψi(η)dη+
∇p = 0 em Q,
div(u) = 0, div(ψi) = 0 em Q,
u = 0, ψ = 0 sobre Σ,
u(x, 0) = 0, ψi(x, T ) = ρ2i
[u(x, T, v,w(v))− uT (x)
]em Ω.
(5.14)
Mostra-se no Apêndice(Capítulo 6), que o sistema de otimalidade (5.14) tem uma única
quadrupla de soluções u, p, ψi, p na classe
C0([0, T ];V )× L2(0, T ;H1(Ω))× C0([0, T ];H)× L2([0, T ], L2(Ω)).
62
5.2 Controlabilidade Aproximada
Define-se
R(T ) =
u(x, T, v,w(v)), v ∈ (L2(O × (0, T )))
n onde u(x, t, v,w(v)) é umasolução forte de (5.1) com f = vχO +
∑Ni=1wi(v)χOi
e u0 = 0
.
Teorema 5.1. Suponha que exista um equilíbrio de Nash conforme (5.4). Então o con-junto R(T ) é denso em H.
Observação 5.8. Em outras palavras, este Teorema, diz que; se a estratégia de Stackelberg-Nash é seguida então o sistema é aproximadamente controlável.
Demonstração: Por argumentos de translação pode-se supor uT ≡ 0.Prova-se que, se f ∈ H satisfaz
(u(., T, v,w(v)), f)H = 0
para todo v ∈ (L2(O × (0, T )))n, então f é o vetor nulo de H.
De fato, multiplica-se (5.14)1 por ϕ e (5.14)2 por ξi, integra-se em Q para obter
(u(., T, v,w(v)), ϕ(T ))H +
∫Q
u
−∂ϕ∂t
− µ∆ϕ+ aϕ− div(−→b .ϕ)
dxdt +
∫ T
0
(∇p(t), ϕ(t))dt −∫ T
0
(∫ t
0
g(t− σ)∆u(σ) dσ, ϕ(t)
)dt+
∫Q
ϕ
N∑i=1
αiψiχOidxdt =
∫Q
ϕvχOdxdt
(5.15)
e ∫Q
ψi
∂ξi∂t
− µ∆ξi + aξi +−→b .∇ξi
dxdt + (ψi(0), ξi(0))H +
∫ T
0
〈∇p(t), ξi〉 dt
−∫ T
0
⟨∫ T
t
g(η − t)∆ψi(η)dη, ξi(t)
⟩dt+ (ψi(T ), ξi(T ))H = 0,
(5.16)onde i = 1, 2, ...., N.
63
Logo, fixa-se as seguintes condições∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−∂ϕ∂t
− µ∆ϕ+ aϕ− div(−→b .ϕ)−
∫ T
t
g(η − t)∆ϕ(η)dη = 0 em Q,
∂ξi∂t
− µ∆ξi + aξi +−→b .∇ξi −
∫ t
0
g(t− σ)∆ξi(σ)dσ = −αiϕχOiem Q,
div(ϕ) = 0, div(ξi) = 0 em Q,
ϕ = 0, ξi = 0 sobre Σ,
ξi(x, 0) = 0, ϕ(x, T ) = f(x) +∑N
i=1 ρ2i [ξi(x, T )] em Ω,
(5.17)
para obter:
(I) De (5.17)1 a equação (5.15) toma a forma
(u(., T, v,w(v)), ϕ(T ))H −∫ T
0
(∫ t
0
g(t− σ)∆u(σ) dσ, ϕ(t)
)dt+
∫ T
0
(∇p(t), ϕ(t)) dt+
∫Q
N∑i=1
ϕαiψiχOidxdt+
∫ T
0
⟨∫ T
t
g(η − t)∆ϕ(η)dη, u(t)
⟩dt =
∫Q
ϕvχOdxdt.
(5.18)
(II) De (5.17)2 a equação (5.16) toma a forma
− (ψi(T ), ξi(T ))H −∫Q
ψiαiϕχOidxdt+
∫ T
0
〈∇p(t), ξi〉 dt−∫ T
0
⟨∫ T
t
g(η − t)∆ψi(η)dη, ξi(t)
⟩dt+
∫ T
0
(∫ t
0
g(t− σ)∆ξi(σ)dσ, ψi(t)
)dt = 0,
(5.19)onde i = 1, 2, ...., N.
Observação 5.9. Mostra-se no Apêndice que o sistema (5.17) tem um único par desoluções ξi, ϕ na classe C0([0, T ];V ) × C0([0, T ];H). Portanto, ficará justicado oprocesso em (5.15) e (5.16).
De (5.18) e (5.19) e das Observações 4.3 e 4.4 resulta:
(I) a equação (5.18) toma a forma
(u(., T, v,w(v)), ϕ(T ))H +
∫Q
N∑i=1
ϕαiψiχOidxdt =
∫Q
ϕvχOdxdt. (5.20)
64
(II) a equação (5.19) toma a forma
− (ψi(T ), ξi(T ))H −∫Q
ψiαiϕχOidxdt = 0, (5.21)
onde i = 1, 2, ...., N.
Somando (5.21) de 1 a N , obtém-se
N∑i=1
(−ψi(T ), ξi(T ))H =
∫Q
N∑i=1
ϕψiαiχOiϕdxdt. (5.22)
Logo, substituindo (5.22) em (5.20) obtém-se
(u(., T, v,w(v)), ϕ(T ))H +N∑i=1
(−ψi(T ), ξi(T ))H =
∫Q
ϕvχOdxdt. (5.23)
Sendo, por (5.17)5 e (5.14)5
ϕ(T ) = f +N∑i=1
ρ2i ξi(T ), ψi(T ) = ρ2
iu(T ),
segue-se, por uma substituição em (5.23), que
(u(T ), f)H +
(u(T ),
N∑i=1
ρ2i ξi(T )
)H
−N∑i=1
(ρ2iu(T ), ξi(T )
)H
=
∫Q
ϕvχOdxdt.
Logo,
(u(T ), f)H =
∫Q
ϕvχOdxdt (5.24)
para todo v ∈ (L2(O × (0, T )))n.
Como por hipótese (u(T ), f)H = 0, segue-se que∫Q
ϕvχOdxdt = 0
para todo v ∈ (L2(O × (0, T )))n.
Portanto,ϕ = 0 sobre O × (0, T ).
Mas O × (0, T ) é um cilindro contido em Q e a,−→b ∈ [L∞(Q)]n+1. Logo, pelo
Teorema 4.1 de continuação única segue-se que
ϕ(x, t) = 0 q.s. em Q.
65
De (5.17)1, (5.17)2 e sendo ξi = 0 sobre Σ, segue-se que
ξi = 0 em Q, ∀ i = 1, 2, ....., N.
Logo, como ϕ, ξi são soluções de (5.17), segue-se que
ϕ ∈ C0([0, T ];H) e ξi ∈ C0([0, T ];V ),
donde, ξi(x, T ) = 0 e ϕ(x, T ) = 0.Portanto, de (5.17)5, implica que f = 0 e o Teorema 5.1 está provado.
5.3 Existência e unicidade do equilíbrio de Nash
O principal objetivo desta seção é fixar condições para a existência de um equilíbrio deNash para os funcionais custos Ji. Isto é importante, pois desde o início tem-se admitidoque tal equilíbrio exista. Assim, o Equilíbrio de Nash para (5.3), é obtido por meio doseguinte resultado
Proposição 5.1. Suponha, para cada i = 1, 2, ..., N , que ρi ∈ L∞(Ω), α = αi e
β0 = C20α max
i,j=1,...,N‖ρi − ρj‖L∞(Ω) max
i=1,..,N‖ρi‖L∞(Ω)
seja suficientemente pequeno de forma que (1− β0) > 0. Então existe um equilíbrio deNash w = w1, · · · , wN para os funcionais Ji definidos em (5.3).
Demonstração: Sejam Hi = (L2(Oi × (0, T )))n e H =
N∏i=1
Hi espaços de Hilbert e
considere-se, para cada i = 1, 2, .., N , os funcionais definidos em (5.3) e operador
Li :(L2(Oi × (0, T ))
)n → V
tal que Liwi = ui(T ), onde ui é a única solução forte do sistema (5.8).
Os funcionais Li são lineares e estão bem definidos. Com efeito, a linearidade segue-seda linearidade do sistema e como ui é solução forte do sistema (5.8) com wi, segue-se que
ui ∈ C0([0, T ];V ),
donde ui(T ) ∈ V.
66
Com argumentos semelhantes aos utilizados no Teorema 3.2, seção 3, tem-se que
‖ui‖C0([0,T ];V ) ≤ CT‖wi‖Hi,
assim,‖ui(T )‖V ≤ CT‖wi‖Hi
,
ou seja,‖Liwi‖V ≤ CT‖wi‖Hi
.
Isto implica que Li ∈ L(Hi, V ), donde em particular Li ∈ L(Hi, H), porque, sendoV ⊂ H com imersão contínua e densa, segue-se que
|Liwi|H ≤ C0‖Liwi‖V ≤ C0‖wi‖Hi,
onde C0 = C0CT .
Seja u uma solução forte do problema∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂u
∂t− µ∆u+ au +
−→b .∇u −
∫ t
0
g(t− σ)∆u(σ)dσ +∇p =
vχO +N∑i=1
wi(v)χOiin Q,
div(u) = 0 in Q,
u = 0 em Σ,
u(x, 0) = 0 in Ω,
(5.25)
De (5.8) com wi, tem-se∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
N∑i=1
∂ui∂t
−N∑i=1
µ∆ui +N∑i=1
a(x, t)ui +N∑i=1
−→b (x, t).∇ui−
∫ t
0
g(t− σ)N∑i=1
∆ui(σ)dσ +N∑i=1
1
N∇p =
N∑i=1
wi(v)χOiem Q,
N∑i=1
div(ui) = 0 em Q,
N∑i=1
ui = 0 sobre Σ,
N∑i=1
ui(x, 0) = 0 em Ω.
(5.26)
67
Logo, como v ∈ (L2(O × (0, T )))n é dado, compara-se (5.25) com (5.26) e conclui-se que
u = z +N∑i=1
ui,
onde ui é a solução de (5.8) com wi = wi e z é fixado dependendo apenas de v.Sendo u ∈ C0([0, T ];V ), segue-se que
u(x, T, v,w(v)) = zT +N∑i=1
Liwi,
zT fixado.Esta notação permite reescrever os funcionais Ji em (5.3) na forma
Ji(v,w) =1
2|wi|2Hi
+αi2
∣∣∣∣∣ρi(
N∑j=1
Ljwj − ηT (.)
)∣∣∣∣∣2
H
, (5.27)
onde ηT = zT − uT .
Então, para w = w1, ..., wN ∈ H ser um equlíbrio de Nash para os funcionaisconvexos Ji dados em (5.3), deve-se mostrar que sua derivada de Gateaux é nula emalguma direção wi, isto é, de (5.8) e (5.9), deve-se mostrar que w ∈ H satisfaz
(wi, wi)Hi+ αi
(ρi
[N∑j=1
Ljwj − ηT (.)
], ρiLiwi)
)H
= 0
para todo wi ∈ Hi. Daí, tem-se que
(wi, wi)Hi+ αi
(ρ2i
N∑j=1
Ljwj, Liwi
)H
− αi(ρ2i ηT , Liwi
)H
= 0
para todo wi ∈ Hi, ou seja,
(wi, wi)Hi+ αi
(L∗i
[ρ2i
N∑j=1
Ljwj
], wi
)H
− αi(L∗i(ρ2i ηT), wi)H
= 0
para todo wi ∈ Hi, onde L∗i ∈ L(H,Hi) é o operador adjunto de Li ∈ L(Hi, H). Logo,
wi + L∗i
[ρ2i
N∑j=1
Ljwj
]= αiL
∗i
(ρ2i ηT)∀ i = 1, 2, ......, N em Hi. (5.28)
Como αiL∗i(ρ2i ηT)∈ Hi, pode-se pensar, quando i = 1, 2, ...., N, no vetor(
α1L∗1
(ρ2
1ηT), ....., αNL
∗N
(ρ2Nη
T))
68
em H e definir, por (5.28), a transformação
A : H → H,
tal que(Aw, w)H = (f, w)H , ∀ f ∈ H, ∀ w ∈ H.
onde A ∈ L(H,H) é dado por
(Aw)i = wi + L∗i
[ρ2i
N∑j=1
Ljwj
].
Em seguida indaga-se:
Dado f ∈ H existe um única w ∈ Htal que (Aw, w)H = (f, w)H ∀ w ∈ H?.
A resposta a esta questão é positiva. De fato, note-se que
(Aw,w)H =N∑i=1
|wi|2Hi+
N∑i=1
αi
(ρi
N∑j=1
Ljwj, ρiLiwi
)H
=N∑i=1
|wi|2Hi+
N∑i=1
αi
(N∑j=1
ρjLjwj −N∑j=1
ρjLjwj + ρi
N∑j=1
Ljwj, ρiLiwi
)H
=N∑i=1
|wi|2Hi+
N∑i=1
αi
(N∑j=1
ρjLjwj, ρiLiwi
)H
+N∑
i,j=1
αi ((ρi − ρj)Ljwj, ρiLiwi)H .
Portanto, fazendo a hipótese α = αi ∀ i = 1, 2, ...., N , obtém-se
(Aw,w)H =N∑i=1
|wi|2Hi+ α
(N∑j=1
ρjLjwj,N∑i=1
ρiLiwi
)H
+
αN∑
i,j=1
((ρi − ρj)Ljwj, ρiLiwi)H = α
∣∣∣∣∣N∑i=1
ρiLiwi
∣∣∣∣∣2
H
+N∑i=1
|wi|2Hi+
N∑i,j=1
((ρi − ρj)Ljwj, ρiLiwi)H .
(5.29)
Observe que
α
∣∣∣∣∣N∑
i,j=1
((ρi − ρj)Ljwj, ρiLiwi)H
∣∣∣∣∣R
≤ α‖ρi − ρj‖L∞(Ω)‖ρi‖L∞(Ω)|Ljwj|H |Liwi|H ≤
C20α max
i,j=1,...,N‖ρi − ρj‖L∞(Ω) max
i=1,..,N‖ρi‖L∞(Ω)|wj|Hj
|wi|Hi≤
C20α max
i,j=1,...,N‖ρi − ρj‖L∞(Ω) max
i=1,..,N‖ρi‖L∞(Ω)|w|2H.
69
Logo, de (5.29), obtém-se
(Aw,w)H ≥ α
∣∣∣∣∣N∑i=1
ρiLiwi
∣∣∣∣∣2
H
+N∑i=1
|wi|2Hi−
C20α max
i,j=1,...,N‖ρi − ρj‖L∞(Ω) max
i=1,..,N‖ρi‖L∞(Ω)|w|2H ≥
|w|2H − β0|w|2H = (1− β0)|w|2H,
(5.30)
onde β0 = C20α max
i,j=1,...,N‖ρi − ρj‖L∞(Ω) max
i=1,..,N‖ρi‖L∞(Ω).
Logo, sendo β0 suficientemente pequeno por hipótese tem-se que (1 − β0) > 0. Por-tanto de (5.30), segue-se que
(Aw,w)H ≥ γ0|w|2H.
onde γ0 = (1− β0).Sendo A ∈ L(H,H) e (Aw,w)H ≥ γ0|w|2H, segue-se, do teorema de Lax-Milgram, que,
dado f ∈ H existe uma única w ∈ H tal que Aw = f .Em particular, para f =
(α1L
∗1
(ρ2
1ηT), ....., αNL
∗N
(ρ2Nη
T))
∈ H, tem-se que existeuma única w ∈ H, o qual é o equilíbrio de Nash para os Ji, tal que
(Aw)i = αiL∗i
(ρ2i ηT), ∀ i = 1, 2, · · · , N,
ou melhor
wi + L∗i
[ρ2i
N∑j=1
Ljwj
]= αiL
∗i
(ρ2i ηT)∀ i = 1, 2, ......, N em Hi.
Isto, é exatamente o que desejava-se.
5.4 Sistema de Otimatimalidade para o Líder
Viu-se que apartir de qualquer estratégia v que o líder assuma, os seguidores fazemsuas escolhas w1, · · · , wN que satisfazem o equílibrio de Nash, aliás, esta escolha pode serfeita por meio de um sistema de otimalidade. Seria natural indagar, pela arbitrariedadeda estratégia do líder, escolher a estratégia que seja ótima para ele, isto é, obter a funçãocontrole v do líder como função de um sistema de otimalidade. Este será o principalobjetivo desta seção.
70
Nas seções anteriores os seguidores escolheram estratégias w1, · · · , wN tal que o estadodo sistema, u(., T ) no tempo T > 0, esteja o mais próximo possível do estado ideal, ρiuT ,nas regiões Gi onde eles atuam e fizeram isto com custo mínimo. O líder quer agora,que o estado global do sistema, u(., T, v,w(v)) no tempo T > 0, esteja o mais próximopossível do estado ideal uT em todo domínio Ω e ainda ter custo minímo. Para tal, sejao funcional
J(v) =1
2
∫O×(0,T )
v2 dt dx,
e então considera-se o problema de minimização
(P )
inf J(v)
sujeito a u(T, v) ∈ uT + εB,(5.31)
onde ε > 0 é um número real dado, B ≡ B(0, 1) é bola unitária de H e u(v) é uma dasunicas soluções do sistema de otimalidade definidas em (5.14).
Observação 5.10. Pode-se provar que o funcional J possui propriedades de modo aobter diretamente uma solução de (5.31), sem no entanto expressar explicitamente talsolução. Assim, este caminho não serve aqui, pois deseja-se expressar exatamente asolução de (5.31). A ídéia é transformar o problema primal P em um problema adjuntoP ∗, e por meio deste tentar expressar a solução de (5.31) como função de um sistema deotimalidade.
Introduz-se duas funções convexas próprias como segue-se:
• A primeira definida sobre (L2(O × (0, T )))n por
F1(v) =1
2
∫O×(0,T )
v2 dt dx. (5.32)
• A segunda definida sobre H por
F2(f) =
0 se f ∈ uT + εB,
+∞ fora.(5.33)
Com estas notações o problema (5.31) torna-se equivalente a
infvF1(v) + F2(L(v)) , (5.34)
onde L(v) = u(., T, v), o qual define um operador L ∈ L([L2(O × (0, T ))]
n, H).
71
Note-se que, existe ao menos um v ∈ (L2(O × (0, T )))n, tal que F1 é finita e F2 é
finita e contínua em L(v). Assim, graças a Rockafellar [45], Teorema 1 pp. 175, tem-seque o problema P é estável, e portanto, devido a Rockafellar [45] Teorema 3 pp. 178,conclui-se que
infv
(F1(v) + F2(Lv)) = − inff
(F ∗1 (L∗f) + F ∗2 (−f)) , (5.35)
onde L∗ denota o adjunto de L e F ∗i representa a função conjugada de Fi, isto é, F ∗i (ϕ) =
supϕ(ϕ, ϕ)− Fi(ϕ) . Assim, representou-se o problema primal P por um problema dual
equivalente.O próximo passo agora, é obter a função controle ótima do líder. De fato, usando
(5.24) tem-se para f ∈ H, que
(u(T, v), f)H =
∫Q
ϕvχOdxdt,
para todo v ∈ (L2(O × (0, T )))n, isto é,
(L(v), f)H =
∫Q
ϕvχOdxdt,
para todo v ∈ (L2(O × (0, T )))n. Daí, conclui-se que
L∗f = ϕχO, (5.36)
onde ϕ é uma das soluções de (5.17).
Seja α, α∗ ∈ (1,∞) tais que1
α+
1
α∗= 1, então as funções reais
m(t) =1
α|t|α, m∗(t) =
1
α∗|t|α∗
são conjugadas uma da outra. Por meio dests identificações, tem-se que
F ∗1 (v) = F1(v). (5.37)
Observação 5.11. Os detalhes desta afirmação, podem ser vistos em Temam-Ekeland[52], Proposição 4.2 pp. 19.
Por outro lado, para toda f ∈ H, tem-se
F ∗2 (f) = supϕ∈H
(f, ϕ)H − F2(ϕ) ,
72
donde, em particular para toda ϕ ∈ uT + εB obtém-se
F ∗2 (f) = supϕ∈uT +εB
(f, ϕ)H ,
pois F2(ϕ) = 0 para toda ϕ ∈ uT + εB. Portanto, escrevendo-se ϕ = uT + εg para todag ∈ B, obtém-se
F ∗2 (f) = (f, uT )H + ε supg∈B
(f, g)H ,
isto é,F ∗2 (f) =
(f, uT
)H
+ ε‖f‖, (5.38)
onde ‖.‖ denota a norma de H.Por meio de (5.36), (5.37) e (5.38) pode-se escrever (5.35) na forma
O problema P = − inff
(1
2
∫O×(0,T )
ϕ2 dx dt+ ε‖f‖ −(f, uT
)). (5.39)
Como o problema P é estável, tem-se, devido a Rockafellar [45] Teorema 4 pp. 179,que P tem uma única solução. E consequentemente o problema dual também tem umaúnica solução, conforme Rockafellar [45] Teorema 5 pp. 179.
Seja F o funcional de H definido por
F (f) =1
2
∫O×(0,T )
(L∗f)2 dx dt+ ε‖f‖ −(f, uT
),
onde L∗f = ϕχO.
Seja f a única solução do problema dual (5.39), então, conforme Temam [52] Proposição2.1 pp. 35, ela é caracterizada por⟨
F ′(f), f − f⟩≥ 0 ∀ f ∈ H, (5.40)
onde F ′ representa a derivada de Gateaux de F .
Cálculo de F ′(f)
Tem-se que
F (f + λ(f − f)) =(L∗(f + λ(f − f)), L∗(f + λ(f − f))
)(L2(O×(0,T )))n
+
ε‖f + λ(f − f)‖ −(f + λ(f − f), uT
)H,
logo,d
dλF (f + λ(f − f)) |λ=0=
∫O×(0,T )
L∗f(L∗f − L∗f) dx dt+
ε
‖f‖
(f, f)H− ε‖f‖ −
(f − f, uT
)H,
73
ou melhor
d
dλF (f + λ(f − f)) |λ=0=
∫O×(0,T )
ϕ(ϕ− ϕ) dx dt+
ε
‖f‖
(f, f)H− ε‖f‖ −
(f − f, uT
)H.
Nota-se que∫O×(0,T )
ϕ(ϕ− ϕ) dx dt + ε‖f‖ − ε‖f‖ −(f − f, uT
)H≥
d
dλF (f + λ(f − f)) |λ=0=
⟨F ′(f), f − f
⟩∀ f ∈ H,
portanto∫O×(0,T )
ϕ(ϕ− ϕ) dx dt + ε‖f‖ − ε‖f‖ −(f − f, uT
)H≥ 0 ∀ f ∈ H. (5.41)
Para cada f ∈ H considere-se ϕ uma solução de (5.17). Por meio desta ϕ, introduz-seu e ψi, i = 1, 2, · · · , N como as únicas soluções do sistema
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂u
∂t− µ∆u+ au+
−→b .∇u−
∫ t
0
g(t− σ)∆u(σ)dσ +∇p+
N∑i=1
αiψiχOi= ϕχO em Q
−∂ψi∂t
− µ∆ψi + aψi − div(−→b .ψi)−
∫ T
t
g(η − t)∆ψi(η)dη+
∇p = 0 em Q
div(u) = 0, div(ψi) = 0 em Q,
u = 0, ψ = 0 sobre Σ,
u(x, 0) = 0, ψi(x, T ) = ρ2i [u(x, T, v)] em Ω.
(5.42)
Multiplica-se (5.42)1 por ϕ−ϕ e (5.42)2 por ξi−ξi, integra-se em Q e depois integra-se
74
por partes para obter
(u(., T ), ϕ(T )− ϕ(T ))H +
∫ T
0
(∇p(t), (ϕ− ϕ)) dt +∫Q
u
−∂ (ϕ− ϕ)
∂t− µ∆ (ϕ− ϕ) + a (ϕ− ϕ) − div
(−→b . (ϕ− ϕ)
)dxdt −
∫ T
0
⟨u(t),
∫ T
t
g(η − t)∆ (ϕ− ϕ) (η) dη
⟩dt+
∫Q
(ϕ− ϕ)N∑i=1
αiψiχOidxdt =
∫Q
ϕ (ϕ− ϕ)χOdxdt
(5.43)
e (ψi(0),
(ξi(0)− ξi(0)
))H
+
∫ T
0
⟨∇p(t),
(ξi − ξi
)⟩dt+
∫Q
ψi
∂(ξi − ξi
)∂t
− µ∆(ξi − ξi
)+ a
(ξi − ξi
)+−→b .∇
(ξi − ξi
) dxdt −
∫ T
0
(ψi(t),
∫ t
0
g(t− σ)∆(ξi − ξi
)(σ)dσ
)dt+
(ψi(T ), ξi(T )− ξi(T )
)H
= 0,
(5.44)
onde i = 1, 2, ...., N.
Poêm-se ϕ = ϕ− ϕ, ξi = ξi − ξ e fixa-se as seguintes condições∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−∂ϕ∂t
− µ∆ϕ+ aϕ− div(−→b .ϕ)−
∫ T
t
g(η − t)∆ϕ(η)dη = 0 em Q
∂ξi∂t
− µ∆ξi + aξi +−→b .∇ξi −
∫ t
0
g(t− σ)∆ξi(σ)dσ = −αiϕχOiem Q
div(ϕ) = 0, div(ξi) = 0 em Q,
ϕ = 0, ξi = 0 sobre Σ,
ξi(x, 0) = 0, ϕ(x, T ) = f(x)− f(x) +∑N
i=1 ρ2i
[ξi(x, T )
]em Ω,
(5.45)
para obter:
(I)
(u(., T ), ϕ(T )− ϕ(T ))H +
∫ T
0
(∇p(t), ϕ(t)− ϕ(t)) dt+
∫Q
N∑i=1
(ϕ(t)− ϕ(t))αiψiχOidxdt =
∫Q
ϕ (ϕ− ϕ)χOdxdt.
(5.46)
75
(II)
−(ψi(T ), ξi(T )− ξi(T )
)H−∫Q
ψiαi (ϕ(t)− ϕ(t))χOidxdt+
∫ T
0
⟨∇p(t), ξi − ξi
⟩dt = 0, onde i = 1, 2, ...., N.
(5.47)
Observação 5.12. O sistema (5.45) é equivalente ao sitema (5.17), portanto, tem umúnico par de soluções ξi, ϕ na classe C0([0, T ];V )×C0([0, T ];H). Justicando as contasobtidas acima
Das Observações 4.2 e de (5.12), as equações (5.46) e (5.47) assuma a forma
(u(., T ), ϕ(T )− ϕ(T ))H +
∫Q
N∑i=1
(ϕ(t)− ϕ(t))αiψiχOidxdt =
∫Q
ϕ (ϕ− ϕ)χOdxdt;
(5.48)
−(ψi(T ), ξi(T )− ξi(T )
)H−∫Q
ψiαi (ϕ(t)− ϕ(t))χOidxdt = 0, onde i = 1, 2, ...., N.
(5.49)Somando-se (5.49) de 1 até N e substituindo-se em (5.48), obtém-se
(u(., T ), ϕ(T )− ϕ(T ))H +N∑i=1
(−ψi(T ), ξi(T )− ξi(T )
)H
=
∫Q
ϕ (ϕ− ϕ)χOdxdt.
(5.50)Sendo, por (5.42)5 e (5.45)5,
ϕ(T )− ϕ(T ) = f − f +N∑i=1
ρ2i
(ξi(T )− ξi(T )
), ψi(T ) = ρ2
iu(., T ),
tém-se, por uma substituição em (5.50), que(u(., T ), f − f
)H
=
∫Q
ϕ (ϕ− ϕ)χOdxdt,
isto é, (u(., T ), f − f
)H
=
∫O×(0,T )
ϕ (ϕ− ϕ) dxdt. (5.51)
Substituindo (5.51) em (5.41) obtém-se(u(., T )− uT , f − f
)H
+ ε‖f‖ − ε‖f‖ ≥ 0, ∀ f ∈ H. (5.52)
Conclui-se portanto:
76
Teorema 5.2. A melhor função controle v do Líder, isto é, aquela que minimiza
1
2
∫O×(0,T )
v2 dxdt
sujeito a u(., T, v,w(v)) ∈ uT + εB é dada por
v = ϕχO,
onde ϕ é uma das soluções u, ψi, ϕ, ξi do Sistema de Otimalidade∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂u
∂t− µ∆u+ au+
−→b .∇u−
∫ t
0
g(t− σ)∆u(σ)dσ +∇pN∑i=1
αiψiχOi= ϕχO em Q,
−∂ψi∂t
− µ∆ψi + aψi − div(−→b .ψi)−
∫ T
t
g(η − t)∆ψi(η)dη +∇p = 0 em Q,
−∂ϕ∂t
− µ∆ϕ+ aϕ− div(−→b .ϕ)−
∫ T
t
g(η − t)∆ϕ(η)dη = 0 em Q,
∂ξi∂t
− µ∆ξi + aξi +−→b .∇ξi −
∫ t
0
g(t− σ)∆ξi(σ)dσ = −αiϕχOiem Q,
div(ϕ) = 0, div(ξi) = 0 em Q,
div(u) = 0, div(ψi) = 0 em Q,
ϕ = 0, ξi = 0, u = 0, ψ = 0 sobre Σ,
ξi(x, 0) = 0, ϕ(x, T ) = f(x) +∑N
i=1 ρ2i [ξi(x, T )] em Ω,
u(x, 0) = 0, ψi(x, T ) = ρ2i [u(x, T, v)] em Ω,
onde f é unicamente determinada pela desigualdade variacional
(u(., T, f)− uT , f − f
)H
+ ε‖f‖ − ε‖f‖ ≥ 0, ∀ f ∈ H. (5.53)
Observação 5.13. Em (5.53) escreve-se u(., T, f) para deixar claro que as soluções,u, ψi, ϕ, ξi, do Sistema de Otimalidade dependem agora de f.
77
Capítulo 6
Apêndice
Neste apêndice apresentaremos alguns resultados básicos que achamos pertinentespara seguimento deste trabalho. Para alguns não apresentaremos a demonstração, apenascitaremos a referência de onde se encontra. Apresenta-se também, a existência, unicidadede soluções fracas e fortes para o sistema (5.17) e de tabela ganha-se também a existênciade soluções fortes e fracas para o sistema de otimalidade (5.14).
Com efeito, temosV = u ∈ D(Ω), div(u) = 0,H = o fecho de V em L2(Ω),
V = o fecho de V em H10(Ω).
Considera-se Ω um aberto do Rn e p uma distribuição sobre Ω, p ∈ D′(Ω). Logo,para algum ν ∈ V , temos
< grad(p), ν >=n∑i=1
< Di, νi >= −n∑i=1
< p,Diνi >= − < p, div(ν) >= 0, (6.1)
porque, ν ∈ V .Nota-se também que a recíproca desse resultado é verdadeira, isto é,
Proposição 6.1. Sejam Ω um aberto do Rn e f = f1, · · · , fn, fi ∈ D′(Ω), i =
1, 2, · · · , n. Uma condição necessária e suficiente para
f = grad(p), p ∈ D′(Ω)
é que< f, ν >= 0, ∀ ν ∈ V .
78
Este resultado foi provado por De Rham em [51]. Em situações práticas ele é muitoimportante, pois, graças a este, pode-se recuperar a pressão nas equações de Navier-Stokes.
Apesar da Proposição 6.1 ser uma boa forma de caracterizar a gradiente da pressão,deve-se obter mais propriedades para fins práticos. De fato, seja
L20(Ω) :=
p ∈ L2(Ω),
∫Ω
p(x)dx = 0
,
as seguintes proposição dão caraceterísticas melhores para a pressão.
Proposição 6.2. Seja Ω uma aberto limitado Lipschitziano do Rn.
(i) Se a distribuição p tem todas as derivadas de primeira ordem Dip, 1 ≤ i ≤ n, emL2(Ω), então p ∈ L2(Ω) e
||p||L20(Ω) ≤ c(Ω)||grad(p)||L2(Ω). (6.2)
(ii) Se a distribuição p tem todas as derivadas de primeira ordem Dip, 1 ≤ i ≤ n, emH−1(Ω), então p ∈ L2(Ω) e
||p||L20(Ω) ≤ c(Ω)||grad(p)||H−1(Ω). (6.3)
(iii) Em ambos os casos, se Ω é apenas um aberto do Rn, p ∈ L2loc(Ω).
Demonstração: Veja Temam [51].
Observação 6.1. Seja Ω apenas um aberto do Rn, então, combinando as proposiçõesA.1 e A.2, vemos que, se f ∈ H−1(Ω) (ou f ∈ L2
loc(Ω)) e (f, ν) = 0, ∀ ν ∈ V, entãof = grad(p) com p ∈ L2
loc(Ω). Entretanto, se Ω for um aberto limitado Lipschtziano,então p ∈ L2(Ω) (ou p ∈ H1(Ω)).
Observação 6.2. A parte (ii) da proposição 6.2 implica que o operador gradiente é umisomorfismo de L2
0(Ω) em H−1(Ω); portanto a imagem desse operador linear é fechada.
Denotaremos o expoente de Sobolev por α para que não haja confusão com a pressãop.
Proposição 6.3. Sejam Ω um aberto limitado de classe Cr, r = max(m + 2, 2), m
inteiro positivo. Vamos supor que
u ∈ W2,α(Ω), p ∈ W 1,α(Ω), 1 < α <∞,
79
são soluções do problema de Stokes:∣∣∣∣∣∣∣∣−η∆(u) + grad(p) = f em Ω
div(u) = g em Ω
γ0u = φ isto é u = φ sobre Γ.
Se f ∈ Wm,α(Ω), g ∈ Wm+1,α(Ω) e φ ∈ Wm+2− 1α,α(Γ), então
u ∈ Wm+2,α(Ω), p ∈ Wm+1,α(Ω)
e existe uma constante c0(α, ν,m,Ω) tal que
||u||Wm+2,α(Ω) + ||p||Wm+1,α(Ω)\R ≤≤ c0
||f ||Wm,α(Ω) + ||g||Wm+1,α(Ω)+
+||φ||Wm+2− 1
α ,α(Γ)+ dα||u||Lα(Ω)
,
onde dα = 0 para α ≥ 2, dα = 1 para 1 < α < 2 e Wm+2− 1α,α(Γ) = γ0Wm+2,α(Ω) está
equipado com a norma
||ψ||Wm+2− 1
α ,α(Γ)= inf
γ0u=ψ||u||Wm+2,α(Ω).
Observação 6.3. Faz-se notar que a Proposição 6.3 não é um teorema de existênciapara uma solução regular (u, p) do problema de Stokes, ela dar somente um resultadosobre a regularidade de uma eventual solução.
6.1 Existência de soluções para os sistemas (5.14) e
(5.17)
Estabelece-se nesta Seção a existência, unicidade e regularidade de soluções fracas efortes para o sistema (5.17). De fato, através da mudança de variável φ(x, t) = ϕ(x, T−t)
80
em (5.17)1 obtém-se∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂φ
∂t− µ∆φ+ aφ− div(
−→b .φ) +
∫ t
0
g(t− η)∆φ(η)dη = 0 em Q,
∂ξi∂t
− µ∆ξi + aξi +−→b .∇ξi +
∫ t
0
g(t− σ)∆ξi(σ)dσ = −αiφχOiem Q,
div(φ) = 0, div(ξi) = 0 em Q,
φ = 0, ξ = 0 sobre Σ,
ξi(x, 0) = 0, φ(x, 0) = f(x) +N∑i=1
ρ2i [ξi(x, T )] em Ω,
(6.4)
onde f é uma dada função em H.Assim, a existência, unicidade e regularidade de soluções fortes e fracas ficam estab-
elecidas por meio do seguinte Teorema
Teorema 6.1. Suponha , para cada i = 1, 2, ..., N , que ρi ∈ L∞(Ω), f ∈ H,N∑i=1
αi seja
suficientemente pequeno e g : [0,∞) → [0,∞) é uma função dada por
g(t) = γe−αt,
onde µ = kλ−1, γ = λ−1(ν − kλ−1) > 0 e α = λ−1 todos constantes. Então o sistema(6.4) tem um único par de soluções φ, ξi tal que
φ, ξi ∈ C0([0, T ];H)×[C0([0, T ];V )
]Nφ′ − µ∆φ+ aφ− div(~bφ)− g ∗∆φ = 0 no sentido de L2(0, T ;V ′)
ξi − µ∆ξi + aξi +~b.∇ξi − g ∗∆ξi = −αiφχOino sentido de L2(0, T ;H)
ξi(0) = 0 e φ(0) = f +∑N
i=1 ρ2i [ξi(T )] em Ω,
onde i = 1, ...., N , ∗ significa a convolução em t e por XN denotou-se X ×X × ......×X
produto cartesiano N vezes.
Demonstração: Provar-se o Teorema 6.1 usando o método de Faedo-Galerkin com abase especial wjj∈N de auto funções para o problema de Stokes construída no Capítulo2.
81
Sistema Aproximado.
Para cada m, se Vm = [w1, · · · , wm] é o subespaço de V gerado pelos m primeirosvetores da base wjj∈N, então define-se as soluções aproximadas de (6.4) como segue-se
φm(x, t) =m∑λ=1
qλm(t)wj(x) e ξim(x, t) =m∑λ=1
hiλm(t)wj(x)
onde as funções qλm, hiλm são funções reais definidas em [0, T ]. Logo, o sistema aproxi-mado de (6.4) consiste em:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Encontrar φm(t) e ξim(t) tal que(φ′m(t), wj) + µ ((φm(t), wj)) + (a(t)φm(t), wj) −(div[
−→b φm(t)], wj
)+
∫ t
0
g(t− η) ((φm(η), wj)) dη = 0
(ξ′im(t), wj) + µ ((ξim(t), wj)) + (a(t)ξim(t), wj) +(−→b (t).∇ξim(t), wj
)+∫ t
0
g(t− σ) ((ξim(σ), wj)) dσ = −αi (φm(t)χOi, wj)
ξim(0) = 0, φm(0)−N∑i=1
ρ2i ξim(T ) =
m∑i=1
(f, wj)wj, ∀wj ∈ Vm.
(6.5)
Da definição de φm(t), ξim(t) e da caracterização da base (wj)j∈N obtém-se∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
q′jm(t) + µλjqjm(t) +m∑λ=1
qλm(t) (a(t)wλ, wj) +
∫ t
0
g(t− η)λjqjm(η)dη +m∑λ=1
qλm(t)(−→b (t).∇wλ, wj
)= 0
h′ijm(t) + µλjh
ijm(t) +
m∑λ=1
hiλm(t) (a(t)wλ, wj) +
∫ t
0
g(t− σ)λjhijm(σ)dσ +
m∑λ=1
hiλm(t)(−→b (t).∇wλ, wj
)= −αiqjm(t)
hiλm(0) = 0, qλm(0)−N∑i=1
(ρ2i ξim(T ), wj
)= (f, wj) ,
(6.6)
com j = 1, 2, .....,m.
Considere as notações
82
Y = [qjm(t)]m×1, Zi =[hijm(t)
]m×1
, A(t) =[νλj + (a(t)wλ, wj) + (
−→b (t).∇wλ, wj)
]m×m
,
C =
[N∑i=1
(ρ2i ξim(T ), wj)
]m×1
, F =
[−∫ t
0
g(η − t)λjqjm(η)dη
]m×1
, B = [(f, wj)]m×1 e
Gi =
[−∫ t
0
g(t− σ)λjhijm(σ)dσ
]m×1
.
Estas notaçõs nos permite reescrever o sistema (6.6) na forma∣∣∣∣∣∣∣∣Y ′(t) + A(t)Y (t) = F (Y (t))
Z ′i(t) + A(t)Zi(t) = −αiY (t) +Gi(Zi(t))
Zi(0) = 0, Y (0) = Y0,
(6.7)
com i = 1, 2, ....., N e Y0 = B + C.
Através da mudança
W (t) =
[Y (t)
Zi(t)
], H(t,W (t)) =
[F (Y (t))− A(t)Y (t)
−αiY (t) +Gi(Zi(t))− A(t)Zi(t)
],
o sistema (6.7) reescreve-se comoW ′(t) = H(t,W (t))
W (0) = W0,(6.8)
onde i = 1, 2, ..., N .O sistema de equações (6.8) é linear sob forma normal. Portanto possui uma única
solução W (t) definida em [0, T ]. Para passar o limite vem as estimativas.Estimativas I.
Multiplicando (6.5)1,2 por qjm(t) e somando em j de 1 até m, temos, como na Esti-
mativa do Teorema 2.1 do Capítulo 2, que
d
dt|φm(t)|2 + µ||φm(t)||2 +
∫ t
0
g(t− σ)((φm(σ), φm(t)))dσ ≤(2a0 +
b20µ
+ 1
)|φm(t)|2.
(6.9)
Assim por meio do Lema 2.2.3 do Capítulo 2.2.3 e da desigualdade de Gronwall segue-seque
|φm(t)|2 ≤ C(T )|φm(0)|2 para todo m, t ∈ [0, T ]. (6.10)
83
Multiplicando (6.4)2 por λj e hijm(t) e somando em j de 1 até m, temos, como naEstimativa do Teorema 2.2 do Capítulo 2, que
d
dt||ξim(t)||2 +
µ
2|∆ξim(t)|2 +
∫ t
0
g(t− σ)(∆ξm(σ),∆ξm(t)))dσ ≤
K0||ξim(t)||2 + C(T )α2i
µ|φm(t)|2,
(6.11)
onde K0 =c20‖a‖2
L∞(Q)
µ+‖~b‖2
L∞(Q)
µ.
Usa-se (6.10) para obter
d
dt||ξim(t)||2 +
µ
2|∆ξim(t)|2 +
∫ t
0
g(t− σ)(∆ξm(σ),∆ξm(t)))dσ ≤
K0||ξim(t)||2 +α2i
µ|φm(0)|2,
(6.12)
donde integrando de 0 a t, utilizando-se o Lema 2.2.3 do Capítulo 2 e a Desigualdade deGronwall, obtém-se
‖ξim(t)‖2 ≤ C(T )α2i
µ|φm(0)|2 para todo m, t ∈ [0, T ]. (6.13)
Seja t = T em (6.13), então
‖ξim(T )‖2 ≤ α2i
µ|φm(0)|2 para todo m. (6.14)
Da definição de φm(0) obtém-se
|φm(0)|2 ≤
∣∣∣∣∣N∑i=1
ρ2i ξim(T )
∣∣∣∣∣2
+
∣∣∣∣∣m∑λ=1
(f, wλ)wλ
∣∣∣∣∣2
≤
C1(N)
(N∑i=1
|ξim(T )|2)(
N∑i=1
|ρi|4L∞(Ω)
)+ |f |2 ≤
c0C1(N)
(N∑i=1
|ρi|4L∞(Ω)
)(N∑i=1
‖ξim(T )‖2
)+ |f |2,
(6.15)
onde c0 é a constante de imersão de V em H.
De (6.14) e (6.15) pode-se concluir que(1− c0C1(N)C
(N∑i=1
|ρi|4L∞(Ω)
)N∑i=1
α2i
µ
)N∑i=1
‖ξim(T )‖2 ≤ CN∑i=1
α2i
µ|f |2. (6.16)
84
Supôe-se∑N
i=1 α2i suficientemente pequeno para que
β = 1− c0C1(N)C
(N∑i=1
|ρi|4L∞(Ω)
)N∑i=1
α2i
µ> 0.
Logo,N∑i=1
‖ξim(T )‖2 ≤ 1
βµ
N∑i=1
α2i |f |2. (6.17)
Substituindo (6.17) em (6.15), obtém-se
|φm(0)|2 ≤
[c0C1(N)
(N∑i=1
|ρi|4L∞(Ω)
)C
βµ
N∑i=1
α2i + 1
)|f |2, ∀ m. (6.18)
Como f ∈ H é um dado, segue-se de (6.10), (6.9) e (6.13), (6.11), que
(φm)m∈N é limitada em L2(0, T ;V );
(φm)m∈N é limitada em L∞(0, T ;H);
(ξim)m∈N é limitada em L∞(0, T ;V );
(∆ξim)m∈N é limitada em L2(0, T ;H),
(6.19)
para i = 1, 2, 3, ....., N.
De (6.19)4, conclui-se como na prova do Teorema 2.2 do Capítulo 2, que
(ξim)m∈N é limitada em L2(0, T ;H2(Ω)). (6.20)
De (6.19)1 a (6.19)3 e (6.20), extraem-se subseqências de (φm)m∈N e de (ξim)m∈N, aindadenotada pelo mesmo nome, tal que
φm φ em L2(0, T ;V );
φm∗ φ em L∞(0, T ;H);
ξim∗ ξi em L∞(0, T ;V );
ξim ξi em L2(0, T ;H2(Ω)),
(6.21)
onde i = 1, 2, ...., N.
Por meio das convergências (6.21), tem-se que
d
dt(φ(t), v) + µ((φ(t), v)) + (a(t)φ(t), v) + (
−→b (t).∇φ(t), v)−∫ t
0
g(t− σ) ((φ(σ), v)) dσ = 0 ∀ v ∈ V no sentido de D′(0, T ),
(6.22)
85
d
dt(ξi(t), v) + µ((ξi(t), v)) + (a(t)ξi(t), v)−
∫ t
0
g(t− σ) ((ξi(σ), v)) dσ+
(−→b (t).∇ξi(t), v) = −αi(φχOi
, v) ∀ v ∈ V no sentido de D′(0, T )
(6.23)
Daí, conclui-se que
φ′, ξ′i ∈ L2(0, T ;V ′)×[L2(0, T ;H)
]Nφ′ − µ∆φ+ aφ− div(~bφ)− g ∗∆φ = 0
no sentido de L2(0, T ;V ′),
ξ′i − µ∆ξi + aξi +~bξi − g ∗∆ξi = −αiφχOi
no sentido de L2(0, T ;H)
(6.24)
onde i = 1, 2, ......, N .Como
φ′, ξ′i ∈ L2(0, T ;V ′)× [L2(0, T ;H)]N
φ, ξi ∈ L2(0, T ;V )×[L2(0, T ;V ∩H2(Ω))
]N (6.25)
tem-se que
φ ∈ C0([0, T ]; [V, V ′] 12) e ξi ∈ C0([0, T ]; [V ∩H2(Ω), V ] 1
2),
i = 1, 2, ...., N .Assim,
φ ∈ C0([0, T ];H) e ξi ∈ C0([0, T ];V ),
i = 1, 2, ...., N .Portanto faz sentido calcular ξi(0), ξi(T ) e φ(0).
Dados Iniciais
Das convergências (6.21)3 e (6.21)2 conclui-se que ξi(0) = 0 e que
ρ2i ξim(T ) ρ2
i ξi(T ) em H. (6.26)
φm(0) φ(0) em H. (6.27)
Como
φm(0)−N∑i=1
ρ2i ξim(T ) =
m∑λ=1
(f, wj)wj,
86
segue-se que
(φm(0), wj)−
(N∑i=1
ρ2i ξim(T ), wj
)= (f, wj) .
Da densidade da união dos V ′ms em H tem-se
(φm(0), v)−
(N∑i=1
ρ2i ξim(T ), v
)= (f, v) , ∀ v ∈ H.
Então, quando m→∞, as convergências (6.26) e (6.27) nos garante que
(φ(0), v)−
(N∑i=1
ρ2i ξi(T ), v
)= (f, v) , ∀ v ∈ H.
Portanto,
φ(0)−N∑i=1
ρ2i ξi(T ) = f, q.s. em Ω.
Para completar a demonstração do Teorema 6.1 falta apenas mostrar a unicidade.
Unicidade
Sejam φ, φ, ξi e ξi soluções do Teorema 6.1 então φ = φ− φ e ξi − ξi satisfazem
φ′ − µ∆φ+ aφ− div(~bφ)− g ∗∆φ = 0
ξ′i − µ∆ξi + aξi +~bξi − g ∗∆ξi = −αiφχOi
ξi(0) = 0, e φ(0) =∑N
i=1 ρ2i ξi(T ).
Multiplicando ambas a igualdades acima por φ e ξi respectivamente, tém-se, por umaestimativa e a desigualdade de Gronwall, que
|φ(t)|2 ≤ C(T )|φ(0)|2
‖ξi(t)‖2 ≤ C(T )αiµ|φ(0)|2
(6.28)
Daí, procede-se como em (6.14), (6.15), (6.16) e (6.17) com f = 0, para obter
|φ(0)| ≤ 0,
donde φ(0) = 0.Portanto, de (6.28), segue-se a unicidade das soluções.
87
Observe de (6.24) que⟨φ′(t)− µ∆φ(t) + a(t)φ(t)− div(~b(t)φ(t))− g ∗∆φ(t), v
⟩= 0,⟨
ξ′i(t)− µ∆ξi(t) + a(t)ξi(t) +~b(t).∇ξi(t)− g ∗∆ξi(t) + αiφχOi, v⟩
= 0
(6.29)
para todo v ∈ V quase sempre [0, T ]. Logo, conforme Proposições 6.1 e 6.2 desteApêndice, existem p(t) e p(t) em L2(Ω) tal que
|p(t)|L2(Ω) ≤ C||∇p(t)||H−1(Ω) e |p(t)|L2(Ω) ≤ C||∇p(t)||H−1(Ω) (6.30)
e
−∇p(t) = φ′(t)− µ∆φ(t) + a(t)φ(t)− div(~b(t)φ(t))− g ∗∆φ(t)
−∇p(t) = ξ′i(t)− µ∆ξi(t) + a(t)ξi(t) +~b(t).∇ξi(t))− g ∗∆ξi(t) + αiφχOi
(6.31)
Daí e da regularide de φ e ξi, conclui-se que
∇p ∈ L2(0, T ;H−1(Ω)) e ∇p ∈ L2(0, T ;L2(Ω)). (6.32)
Logo, de (6.30) tem-se que
p ∈ L2(0, T ;L2(Ω)) e p ∈ L2(0, T ;H1(Ω)). (6.33)
Portanto de (6.31) segue-se que
φ′ − µ∆φ+ aφ− div(~bφ)− g ∗∆φ+∇p = 0
no sentido de L2(0, T ;H),(6.34)
ξ′i − µ∆ξi + aξi +~b.∇ξi − g ∗∆ξi +∇p = −αiφχOi,
no sentido de L2(0, T ;H)(6.35)
Com isto fica provado um Teorema mais bem comportado do que o Teorema 6.1.
Teorema 6.2. Com as mesmas hipóteses do Teorema 6.1, o problema∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂φ
∂t− µ∆φ+ aφ− div(
−→b .φ) +
∫ t
0
g(t− η)∆φ(η)dη +∇p = 0 em Q
∂ξi∂t
− µ∆ξi + aξi +−→b .∇ξi +
∫ t
0
g(t− σ)∆ξi(σ)dσ +∇p = −αiφχOiem Q
div(φ) = 0, div(ξi) = 0 em Q,
φ = 0, ξ = 0 sobre Σ,
ξi(x, 0) = 0, φ(x, 0) = f(x) +N∑i=1
ρ2i [ξi(x, T )] em Ω,
(6.36)
88
tem uma única quadrúpla de soluções φ, ξi, p, p na classe C0([0, T ];H)×C0([0, T ];V )×L2(0, T ;L2(Ω))× L2(0, T ;H1(Ω)) satisfazendo (6.36) no sentido de (6.34) e (6.35).
Observação 6.4. A demonstração da existência, unicidade e regularidade de soluçõespara o sistema (5.14) é análogo ao Teorema 6.2, com as devidas adaptações é claro.
89
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