UNIVERSIDADE GAMA FILHO PROCET – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CONTROLE E AUTOMAÇÃO

UNIVERSIDADE GAMA FILHOPROCET – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CONTROLE E

AUTOMAÇÃO

Professor Leonardo Gonsioroski


Definição

O termo “resposta em frequência” significa resposta em regime estacionário de

um sistema com entrada senoidal.

Um sistema LIT sujeito a uma entrada senoidal, produzirá em regime

estacionário uma saída senoidal com a mesma frequência da entrada, mas sua

amplitude e fase serão diferentes do sinal senoidal de entrada.


Definição

Podemos verificar essa afirmação, aplicando transformadas de Laplace.

sXsGsY

jsjs

AsG

sAsGsY

22

Aplicando Frações parciais

js

b

js

asY

j

jGAjs

s

AsGa

js 222

Então:

j

jGAjs

s

AsGb

js 222

Frações Parciais – Rever Aula 3 – Transformadas de Laplace e Equações Diferenciais


jsjjGA

jsjjGA

sY

22Fazendo:

j

j

ejGjG

ejGjG

jsj

ejGA

jsj

ejGA

sY

jj

22

Aplicando transformada inversa teremos:

tjj

tjj

ej

ejGAe

j

ejGAty

22

tsenjGAty

j

eejGAty

tjtj

2


Diagrama de Bode

Os Diagramas de Bode são 2 gráficos traçados em relação à frequência em

escala logarítmica:

Um gráfico do Módulo em dB da Função de Transferência Um gráfico do ângulo de fase da Função de Transferência


Ganho em Decibel

Frequência em Escala Logarítimica

Fase em Graus


Diagrama de Bode

Uma Função de Transferência normalmente é composta por um ou mais dos

fatores básicos mencionados abaixo:

• Ganho K• Fatores puramente integral e derivativo (jω)±1

• Fatores de primeira ordem (1+jωT)±1

• Fatores quadráticos [1+2ξ (jω / ωn)+(jω / ωn)2]±1


Ganho K

Quando o Ganho é um número maior que uma unidade, ele irá possuir um

valor positivo em decibéis.

Quando o Ganho for um número menor que uma unidade, ele irá possuir um

valor negativo em decibéis.

A curva de módulo em dB de um ganho constante K é uma reta horizontal

de valor 20 log K decibéis.

O ângulo de fase do ganho K é zero.

Por Exemplo: A representação em Diagramde de Bode de um Ganho K = 3



Fator Integral e Fator Derivativo

O valor do Módulo em dB do fator Integral é:

O ângulo de fase do fator integral é:


Fator Integral

Módulo do fator Integral em dB

Ângulo de fase do fator integral


Fator Derivativo

Como é de se esperar o Módulo

e a fase do fator derivativo serão:

Módulo do fator derivativo em dB

Ângulo de fase do fator derivativo


Fator de primeira ordem tipo integral

O módulo em dB para o fator de primeira ordem 1/(1+jT) é:



Analisando o módulo para o fator de primeira ordem 1/(1+jT) temos:

Para baixas freqüências, como w << 1/T

Para altas freqüências, como w >>1/T





A fase para o fator de primeira ordem 1/(1+jT) é:

Parte Imaginária

Parte Real




Para a freqüências, igua a zero, w = 0

Para freqüência de canto w = 1/T

Para altas freqüências


Para a freqüências, igua a zero, w = 0

Para freqüência de canto w = 1/T

Para altas freqüências




Frequência de Corte

Vamos Relembrar …


Função de Transferência de um Filtro RC passa baixa

vin voutFiltro RC Passa Baixa

Função de Transferência do

Filtro

Vamos Relembrar …


Função de Transferência de um Filtro RC passa baixa

vin voutFiltro RC Passa Baixa

Onde:


Fator de primeira ordem tipo derivativo

O módulo em dB para o fator de primeira ordem (1+jT) é:



Fator de primeira ordem tipo derivativo

Fazendo a mesma análise, chegamos a conclusão de que o Diagrama de Bode será:


Funções de Transferência com Fatores de 2a. Ordem

As funções de Transferência frequentemente possuem fatores quadráticos.

Quando os pólos de uma função de transferência de 2a. Ordem são reais, podemos considerar que a função de transferência é composta de dois fatores de primeira ordem.

Agora como fazer se os pólos forem complexos??


Fator quadrático do tipo integral

Para baixas freqüências, como << n

Para altas freqüências, como >>n














Frequência de Ressonância

g()










Procedimento Geral para Construção de um Diagrama de Bode

Revisar os diagramas de bode de todos os fatores básicos. (Escrever no

quadro)

Para escrever o diagrama de bode de uma função de transferência qualquer

temos que primeiramente expandí-la em seus fatores básicos.

Depois desenharemos os diagramas de bode de cada fator básico

separadamente

E por último realizamos a soma das contribuições de cada diagrama de bode

de cada fator básico.

Fazer Exemplo no Quadro


Determinação Experimental de Função de Transferência

de Fase Mínima.

1) O primeiro passo é traçar retas assintotas as curvas de módulo do

diagrama de bode. AS assíntotas devem ter inclinações múltiplas de + ou –

20 dB/década.

2) Nas baixas frequências a inclinação de 0 dB, -20 dB/dec ou -40 dB/dec,

indica a existência de nenhum, um ou dois pólos na origem do sistema,

respectivamente.

3) Nas altas frequências, observar as mudanças na inclinação das curvas de

módulo. Se a curva mudar em -20 dB/década é porque existe um fator de

primeira ordem na frequência em que ocorreu a mudança.

Se a mudança for de -40 dB/decada é porque existe um fator quadrático

nesta frequência.


Determinação Experimental de Função de Transferência

de Fase Mínima.

4) Os ângulos de fase nas frequências muito altas para sistemas de fase

mínima são -90º (q – p), isso nos dá uma noção da diferença do grau do

numerador para o denominador da função de transferência.


Exemplo:

Sistemas de Fase Mínima e Sistemas de Fase não Mínima

As funções de Transferência que não possuem pólos nem zeros no semi-

plano direito do plano complexo, são ditas de fase mínima.

As funções de transferência que possuem pólos e/ou zeros no semi plano

direito do plano complexo, são ditas de fase não mínima.



Para um sistema de fase mínima o ângulo de fase, quando a frequência

tende ao infinito, vale:

Num sistema de fase não mínima, a fase do sistema quando a frequência

tende ao infinito, difere desse valor.

Em ambos os casos a curva de módulo em dB, quando a frequencia tende

ao infinito, vale:


Margem de Fase

A Margem de fase é o atrase de fase adicional, na frequência de

cruzamento de ganho, necessária para que o sistema atinja o limiar de

instabilidade.

A frequência de cruzamento de ganho é a frequência na qual o módulo da

função de transferência de malha aberta é unitário.

A margem de fase é 180 graus mais o ângulo de fase da função de

transferência de malha aberta na frequência de cruzamento de ganho.

Para que um sistema de fase mínima seja estável a margem de fase

deve ser positiva.


Margem de Ganho

A Margem de ganho é a diferença de 0 dB e o valor do módulo, na

frequência de cruzamento de fase.

A frequência de cruzamento de fase é a frequência na qual a fase da

função de transferência de malha aberta é -180 graus.

Se a margem de ganho for positiva, o sitema será estável.

Se a margem de ganho for negativa, o sitema será instável.


Num sistema de fase não mínima, para termos estabilidade as

margens de fase e ganho devem ser negativas.


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