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Universidade Nova de LisboaFaculdade de Economia
Universidade Nova de LisboaSemestre de Primavera 2011/2012
Cálculo I
Caderno de exercícios Três
Faculdade de EconomiaUniversidade Nova de Lisboa
Semestre de Inverno 2011/2012
Cálculo I
Caderno de exercícios Três
Sucessões
Faculdade de EconomiaUniversidade Nova de Lisboa
Semestre de Inverno 2011/2012
Cálculo I
Caderno de exercícios Dois
Sucessões
Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa
Semestre de Primavera 2010/2011
Cálculo I
Caderno de exercícios Três
Sucessões
Todos os exercicios não resolvidos nas aulas são considerados trabalhos de casa, endo os alunos convidados a resolverem-nos com o apoio dos docentes, se necessário.
José António Pinheiro Ernesto Freitas Claudia Alves
Todos os exercicios não resolvidos nas aulas são considerados trabalhos de casa, endo os alunos convidados a resolverem-nos com o apoio dos docentes, se necessário.
Maria Helena AlmeidaClaudia Andrade
Guilherme PereiraErnesto FreitasClaudia Alves
Todos os exercicios não resolvidos nas aulas são considerados trabalhos de casa, endo os alunos convidados a resolverem-nos com o apoio dos docentes, se necessário.
Maria Helena AlmeidaClaudia Andrade
Guilherme PereiraErnesto FreitasClaudia Alves
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JJ
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4. SÉRIES
Exercícios Resolvidos:
1- Averigúe se as seguintes séries numéricas são séries geométricas. Em caso afirmativo, calcule a sua razão e, sempre que possível, a soma da série.
a) !"1 21
nn
Resolução:
...641...
81
41
21
21
1+++++=!
"nn
Trata-se de uma série geométrica de razão:!!21
22
2121
1
11 ==== +
++
n
n
n
n
n
n
uur $!!
Significa que a constante pela qual temos de multiplicar um termo para obter o
seguinte é 21 , ou seja, o termo seguinte é sempre metade do anterior.!
Como ] [1;121 !"=r , a série geométrica é convergente e é possível calcular a sua
soma pela fórmula: 1
211
21
11 =
!=
!=
ruS
b) !"
=1
1n n
Resolução:
...101...
31
21
111
1
+++++=!"
=n n
! "%!
Para a série ser geométrica, teremos de encontrar a respectiva razão, que será a
constante resultante da seguinte fórmula: 11
11
1
+=+== +
nn
n
nuurn
n . Como se
obteve uma expressão que depende de n não se trata de uma constante, logo não é uma série geométrica. O número pelo qual multiplicamos um termo para obter o seguinte não é sempre o mesmo, não é fixo!
c) ( )[ ]!"
##1
2.4n
n
Resolução:
( )[ ] ( )[ ][ ] ...81...
41
2112
21.42.42.4
11
1
1+!!+!+!=
""#
$
%%&
'()*+
,-!=!=! ...
//
!
/
!
n
n
n
n
n
n
Se a série for geométrica a razão resultará da fórmula:
( )( )
( )212
2.42.4 )(1
)1(1 !=!=
!!== !!!!
!
+!+ nn
n
n
n
n
uur !
Trata-se de uma série geométrica de razão 21! $ Como ] [1;1
21 !"!=r , a série
geométrica é convergente e é possível calcular a sua soma:
34
232
211
21
1 !=!="#$%
&'!!
!=!
=r
uS
d) ( )[ ]!"
#1
1.7n
n
Resolução:
( )[ ] ...7...777771.71
+!+!+!+!=!"#n
n
Se a série for geométrica a razão (constante) resultará da fórmula:
( )( )
( ) 111.71.7 1
11 !=!=
!!== !+
++ nn
n
n
n
n
uur !
! "&!
Trata-se de uma série geométrica de razão 1! $ Como ] [1;11 !"!=r , a série geométrica é divergente e não é possível calcular a sua soma (não terá soma finita).
Nota: pelo Critério Geral de Convergência via-se logo que esta série numérica não era convergente pois o termo geral ( )nnu 1.7 != não tem limite 0.
2- Indique, justificando, quais das seguintes séries numéricas são séries geométricas convergentes.
a) n
n nn 2
1 21!
"#$%&
'(
++
Resolução: Antes de estudar se a série é geométrica, verifiquemos à partida se o Critério Geral de Convergência é respeitado. Parece ser uma boa ideia! Se não for respeitado temos o trabalho facilitado pois podemos imediatamente concluir que a série não é convergente. Estudemos assim o limite do termo geral.
( ) 2
212
2222 1
211lim
211lim
21limlim
ee
nnnnu
nn
nnn
n ==!!"
#
$$%
&'()*
+,
+-+='
()*
+,
+-='
()*
+,
++= -
++
Como 01lim 2 !=e
un , a série não é convergente. Logo nunca será uma série
geométrica convergente. Não são necessários cálculos adicionais de modo a perceber se a série é, ou não, geométrica.
b) !"
+1
8n nn
Resolução:
Verifiquemos à partida se o Critério Geral de Convergência é respeitado.
181lim8limlim =!"#$
%& +=+=
nnnun
Como 01lim !=nu , a série não é convergente. Logo nunca será uma série
geométrica convergente.
! "'!
c) !" +1 )2(
1n nn
Resolução:
Verifiquemos à partida se o Critério Geral de Convergência é respeitado.
01)2(
1limlim =!+
=+
=nn
un
Como o limite do termo geral é 0 o critério é respeitado, logo nada podemos concluir à partida sobre a natureza da série. Tanto pode ser convergente ou divergente. Verifiquemos então se a série é geométrica.
( )( ) )3(1
)2(
)2(1
)21(11
1
+++=
+
+++== +
nnnn
nn
nnuurn
n !
Não é série geométrica. A expressão depende de n . Logo é falso que esta série numérica seja uma série geométrica convergente.
d) ( )!"
#
15.7
n
n
Resolução:
Verifiquemos à partida se o Critério Geral de Convergência é respeitado.
( ) 0575lim5.7limlim =
!+=== "
nn
nu , logo a série tanto pode ser convergente
como divergente. Não foi muito conclusiva a aplicação do Critério Geral de Convergência, mas poderia ter sido!
Verifiquemos se é série geométrica.
717
77
7575
)1(1
11 ===== +!
+
++ nn
n
n
n
n
n
n
uur
Trata-se de uma série geométrica de razão 71$! Como ] [1;1
71 !"=r , a série
geométrica é convergente. Seria até possível calcular a sua soma, mas tal não é pedido no exercício.
! "(!
Exercícios Propostos:
1- Averigúe se as seguintes séries numéricas são séries geométricas. Em caso afirmativo, calcule a sua razão e, sempre que possível, a soma da série.
a) !"
#
12
n
n
b) !"1 43
nn
n
c) !+"
=
#
$%&'
()2
1
52
n
n
d) !=
"6
1
13k
k
e) !"
=12
1k n
f) !"
+1
161
nn
g) !"
+0
455
nn
n
h) !"
#
1n
nne $
i) !"
+#1
1)1(n
n
j) !+"
=
+#
1
)1(
74
n
n
k) !"
##1
1
32)1(
nn
nn
l) !+"
=
#
1
2n
nn e
m) !+"
=1338
nn
n
n) !+"
=
#1
2
8)1(5
nn
nn
o) !+"
=
#
12
1
35
nn
n
p) ( )!+"
=+##
###1
)12(1
1
352
nnn
n
! #)!
q) ( ) inteiro,com,cos0
kkn
n !"" #$%
r) !"0 2n
n
n xsen
s) ( )!"1
cosn
n#
t) !"
#$%&
'( ++
1 32
cos4
nn
n n))
2- Considere as seguintes séries. Determine os valores de x para os quais as séries são convergentes.
a) !"
=1 4nn
nx
b) ( )!"
=
+1 3
12n
n
nx
c) ( )!"
=#
#1
123
nn
nx
d) !"
=
+
1
25n
nn x
e) ( )!"
##1 2
0,n
n xxtg$
f) ( )!"
=
#0
21n
nn x
3- Será possível garantir que as séries são convergentes? Se sim, indique as suas somas.
a) !+"
=
+1 7
52n
n
nn
b) ( )
!"+
=
+
12
2
329
nn
n
c) !"+
=
+ +1
21 92n
n
nn
e
! #*!
4- Mostre que as seguintes séries divergem.
a) !+"
= +1
3
152
nn
n
b) !+"
= +#
1 462
n nn
c) !"+
=#$%&
'(1
1
3
1n
n
n
d) !+"
=2 )ln(n nn
e) !+"
= +#
1
5n enen
$
5- Sendo ! na e ! nb duas séries convergentes de termos positivos, mostre
porque razão se pode afirmar que a série ! ""#
$%%&
'+
nn ba11 diverge.
!
! "#!
!"#$%$&'()*+,-$&./0,-$!"#$%&%'()*)
12 &./0,$3,'4.5/0617$/8!!$7$9':;,/3,:5,7$&'418#$
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