Université de Sherbrooke GCB245 : Modélisation

Pierre Proulx, ing. professeurGCB245 Page 1

génie chimique et génie biotechnologiqueUniversité de Sherbrooke

GCB245 : Modélisation mathématique en génie des procédés



Qu'est-ce que la modélisation mathématique ?

Une représentation en termes mathématiques du comportement d'objets ou d'appareils réels.

● Q=UA(T-TA) pour calculer la puissance d'un échangeur thermique

● Concevoir un réacteur ou bioréacteur (dimension, agitation, etc...)● Estimation de la cinétique d'absorption d'un médicament.● Déterminer la stratégie d'utilisation des instruments de mesure dans une unité de procédé (position, précision, temps de réponse, interprétation des mesures...)

● Concevoir un système d'injection dans seringue ('hypo-spray')● Déterminer la surface d'échange nécessaire pour un échangeur de chaleur.

● Déterminer la taille et la configuration d'une colonne d'épuration, d'un filtre.



Qu'est-ce que la modélisation mathématique ?



Quelle utilité ont les modèles mathématiques :

En résumé : ce sont des outils qui, souvent combinés aux méthodes expérimentales, permettent de prédire le comportement des appareils utilisés à plusieurs fins :➔Conception➔Optimisation➔Estimation➔Explication➔Planification



Quelles parties de la formation en génie sont utiles, nécessaires ou utilisent couramment la modélisation ?

➔Thermodynamique et phénomènes d'échanges➔Opération unitaires➔Chimie➔Physique➔Mathématiques➔Programmation et exploitation des ordinateurs➔...

Vue sous cet angle, la modélisation mathématique est une intégration des différents aspects scientifiques et technologiques de la formation d'ingénieur.

En génie des procédés



La modélisation est donc la mise en place d'un modèle mathématique à partir des lois physico-chimiques et de techniques d'analyse mathématique. Le modèle peut avoir une solution analytique, comme on le voit souvent dans les textes comme Transport Phenomena. Lorsque la solution analytique n'est pas possible, on doit recourir à des méthodes approximatives (méthodes numériques), des méthodes utilisant la vitesse des ordinateurs. Un ordinateur est , en grande partie, « un idiot qui peut calculer très rapidement » .L'ordinateur ne fait que faire les opérations qu'on lui demande…

Les méthodes numériques de solution sont maintenant une partie importante des mathématiques et permettent d'exploiter de façon efficace l'outil de calcul que représente l'ordinateur.



Quelle sera la nouveauté dans ce cours par rapport aux compétences déjà acquises ? Autrement dit, quelles nouvelles compétences sont nécessaires pour solutionner ces modèles.

➔Techniques numériques pour trouver la solution (les zéros) d'équations algébriques lorsqu'il n'existe pas de méthode analytique simple.➔Techniques d'interpolation et d'approximation de données expérimentales existant sous forme de points discrets.➔ Méthodes numériques pour intégrer ou dériver des fonctions ou des données expérimentales existant sous forme de points discrets.➔Méthodes numériques pour solutionner des équations différentielles ordinaires ou des équations aux dérivées partielles.



Premier exemple : recherche des zéros d'une fonction

ON CHERCHE UNE RACINE TELLE QUE f(Exemple 1 : je cherche à déterminer la vitesse terminale de chute libre d'une particule dans un lit fluidisé afin de calculer la zone de dégagement nécessaire au-dessus du lit. La modélisation du phénomène nous amène à poser un bilan des forces globale sur la particule d'un côté, et à calculer les forces de friction exercées par le fluide sur la surface. Le résultat de ces deux analyse consiste en deux équations dans lesquelles apparaît la vitesse de la particule:

43gD

v2

Δρρ =(√ 24μ

ρ v D+0.5407)

2

ou43gD

v2Δρρ −(√ 24μ

ρv D+0.5407)

2

=0

Exemple 2 : je cherche à déterminer le facteur de friction dans une conduite. L'équation de Colebrook et White est probablement le modèle empirique le plus utilisé :

1√ f

=−2 log10 ( ϵ/D3.7 +2.51ReD

√ f ) ou1

√ f+2 log10 ( ϵ/D3.7 +

2.51ReD

√ f )=0



Deuxième exemple : interpolation et/ou approximation

Exemple 1 : Les propriétés de la substance que vous traitez sont connues à 0, 20, 40 et 60 degrés alors que vous devez l'utiliser à 28 degrés.

Vous utilisez une interpolation ? Si oui, une interpolation polynomiale ?De quel degré ?Vous préférez utiliser un lissage ?Polynomial, logarithmique, etc... ?Quelle la qualité du lissage ?Le coefficient R2 a quelle signification ?

Exemple 2 : Vous avez effectué des mesures expérimentales et vous avez une série de données que vous voulez présenter sous forme graphique.

Mêmes questions.



Troisième exemple : Intégration

Exemple : Vous avez effectué un échantillonnage dans la cheminée d'une usine afin de déterminer les émissions en particules. Les résultats sont montrés dans la figure ci-dessous en m/sec, le diamètre de la cheminée est de 1.5 m. Vous avez sur les mêmes points d'échantillonnage les températures et les concentrations de particules en PPM. Vous devez déterminer le débit massique de gaz sortant de la cheminée et le nombre de particules (en kg/h et particules/h).

1.2

2.5

4.0

4.3

4.0

3.2

4.0

4.1

3.9

3.3

3.8

4.0

3.9

1.3

1.5

2.3

1.4

1.11.21.2

1.3

1.6

2.4

1.5

2.43.1 3.1 1.31.3

1.3 1.2

Vitesses mesuréesen m/sec.



Quatrième exemple : Solution d'équations différentielles ordinaires (EDO) ( à condition initiale)

Les modèles compartimentaux sont utilisés en pharmaco-cinétique pour analyser, prédire et optimiser les doses de médicaments ou, comme dans le cas de l'exemple 23.1-4 de « Transport Phenomena », pages 733-726, pour évaluer le processus d'hémo-dialyse.



Cinquième exemple : Solution d'équations différentielles partielles (EDP) ( et EDO à conditions aux limites)La modélisation d'une unité impliquant des phénomènes de transport de quantité de mouvement, de chaleur, ou d'espèce chimique implique rapidement, si on veut représenter fidèlement la situation, des équations aux dérivées partielles complexes dont la solution exacte est limitée à des cas très peu représentatifs de la réalité. On doit souvent utiliser des méthodes numériques pour approximer la solution de ces équations. L'exemple ci-dessous montre le mélange de deux écoulements dans un réservoir. L'équation suivante est solutionnée par la méthode des différences finies :

v x

∂ X a

∂ x=D AB(∂

2 X a

∂ x2+

∂2 X a

∂ y2 )

Avec les conditions aux limites appropriées.



Principales raisons d'utiliser les méthodes de solution par calcul numérique

● Pour traiter le problème de façon plus réaliste (Si on veut avoir une solution analytique simple il faut souvent faire des hypothèses qui simplifient le problème au point ou sa solution ne nous donne que peu d'information pertinente)

● Pour pouvoir explorer rapidement plusieurs alternatives (La puissance de calcul d'un simple petit ordinateur portable moderne permet de simuler des problèmes très complexes rapidement)

● Pour rendre plus accessible les résultats (le partage des résultats sous forme graphique avancée peut aider un groupe à interpréter les résultats de façon beaucoup plus complète)

● Pour assister le travail expérimental et diminuer l'investissement nécessaire au développement des technologies des procédés. Par exemple, un modèle fidèle permettra de diminuer au minimum les besoins de pilotage (bench, pilote, démonstration, etc.)

● ...

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