UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TRIESTE

FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI

Tesi di laurea in

FISICA

Simulazione di sciami elettromagnetici in cristalli di PbWO4

Relatore:Dott. Giuseppe Della RiccaCorrelatore: Laureando:Dott. Fabio Cossutti Marco Szalay

Indice

1 Processi elettromagnetici 11.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 I rivelatori dell'esperimento Compact Muon Solenoid . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Il calorimetro elettromagnetico (ECAL) nel dettaglio . . . . . . . . . . . . . 21.3 Principali processi di perdita di energia per elettroni e fotoni . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 Bremsstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1.1 E�etto Landau-Pomeranchuk-Migdal . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.2 Ionizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.3 E�etto Cherenkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.4 E�etto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.5 Produzione di coppie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.6 Radiazione di sincrotrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 La simulazione 122.1 Il framework GEANT4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.1 Il metodo Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 L'esempio di apparato calorimetrico composto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Le liste di �sica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.1 Le liste elettromagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 L'elaborazione dei risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Analisi dati 173.1 I programmi utilizzati per l'analisi dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1 ROOT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.2 Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.1 Elettroni monocromatici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.2 Elettroni a varie energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.3 Energia depositata al variare della particella incidente . . . . . . . . . . . . . 263.2.4 Energia depositata in presenza di campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . 27

Capitolo 1

Processi elettromagnetici

1.1 Introduzione

Per investigare la struttura della materia, la �sica delle alte energie fa largo uso degli acceleratori diparticelle, macchine costruite con l'obbiettivo di produrre fasci di ioni o di particelle subatomichecon un'elevata energia cinetica, che vengono poi fatti collidere. Attorno agli acceleratori vengonoallestiti gli esperimenti, formati da vari tipi di rivelatori che lavorano in sinergia per ricostruirele interazioni avvenute tra le particelle costituenti ciascun fascio. I rivelatori principali, per unmoderno esperimento di �sica, sono i tracciatori e i calorimetri. I primi si occupano di identi�careil momento e la traiettoria di ciascuna particella in modo da poterla associare al vertice dal qualeè stata generata, mentre i secondi danno una misura molto accurata dell'energia delle particelle.Alcuni rivelatori, inoltre, in aggiunta alle loro mansioni, permettono di usare parte dei dati raccoltiin tempo reale per agire da trigger. I trigger servono a �ltrare gli eventi che, a una prima veloceanalisi, sembrano interessanti, dall'enorme quantità di eventi di scarso interesse in modo da teneresotto controllo la mole di dati prodotti e archiviati. Il con�ne i vari tipi di rivelatori, tuttavia, nonè netto: capita spesso che il medesimo strumento svolga più mansioni. Come vedremo in seguito,un calorimetro segmentato permette di avere informazioni sulla posizione e la forma di un jet diparticelle, così come il suo veloce tempo di risposta permette di selezionare rapidamente gli eventiinteressanti basandosi sulle relazioni tra le energie depositate in ciascun segmento.

Esistono due tipi di calorimetri: quelli elettromagnetici e quelli adronici[1]. Come suggerisce ilnome, il calorimetro elettromagnetico è progettato per misurare l'energia delle particelle leggere lacui interazione principale è di tipo elettromagnetico (i.e. elettroni e fotoni), mentre quello adronicomisura l'energia delle particelle governate dalla forza nucleare forte (i.e. adroni).

I calorimetri hanno una densità e uno spessore tali da farli interagire con le particelle che liattraversano. Queste, nell'interazione, generano a cascata una serie di particelle secondarie che de-positano, in una situazione ideale, tutta la loro energia all'interno del volume del calorimetro stesso.La maggior parte di questa energia si trasforma rapidamente in calore, radiazione ultravioletta ocontribuisce a ionizzare parte dei nuclei del materiale attraversato, risultando di��cilmente mis-urabile, ma una frazione dell'energia depositata si manifesta in maniere che possono essere rivelate(e.g. luce Cherenkov, scintillazione o ionizzazione) e trasformate in segnali elettrici proporzionaliall'energia iniziale.

In questa tesi si studierà, mediante varie simulazioni computerizzate, la risposta dei cristalli ditungstato di piombo (PbWO4) - principale costituente dei calorimetri elettromagnetici di CMS[2]

1

e ALICE[3] - al passaggio di elettroni e fotoni ad alta energia, e le caratteristiche peculiari diciascuna simulazione rispetto alle altre.

1.2 I rivelatori dell'esperimento Compact Muon Solenoid

L'esperimento CMS (Compact Muon Solenoid), costruito in uno dei quattro punti di intersezionedei fasci dell'acceleratore LHC[4] presso il CERN[5], è uno dei due esperimenti, assieme ad ATLAS[6],progettati per studiare il maggior numero possibile di fenomeni legati alle collisioni protone-protonee a quelle tra ioni pesanti. I rivelatori di questo esperimento, costruiti a strati, sono (dal centro diinterazione verso l'esterno): il tracciatore a microstrip di silicio, il calorimetro elettromagnetico,quello adronico e in�ne, una volta superato il magnete da 3.8 T, il rivelatore per muoni. Per inostri studi, concentreremo l'attenzione sui calorimetri. Il calorimetro elettromagnetico (ECAL)[7]è di tipo omogeneo, questo signi�ca che l'intero volume del calorimetro è sensibile e contribuiscea generare il segnale che viene successivamente letto da dei fotodiodi a valanga. Il materiale atti-vo di questo calorimetro è il tungstato di piombo. I cristalli prodotti con questo materiale sonodisposti attorno al punto di interazione, secondo una geometria che sarà spiegata in dettaglio nelprossimo paragrafo, ed è qui che i fenomeni elettromagnetici di nostro interesse hanno luogo; perquesto motivo sarà il rivelatore su cui maggiormente concentreremo la nostra analisi. Il calorimetroadronico (HCAL), invece, è di tipo a campionamento, ovvero composto da strati di diverso spessoredi materiale molto denso, in questo caso ottone, usato come assorbitore, intervallati da strati dimateriale attivo, ovvero scintillatori plastici di 7 mm di spessore. In tutto, il calorimetro adronicoconsta di 19 strati cilindrici di materiale assorbitore (18 negli endcap, le due basi circolari chesigillano il cilindro) che si estendono per circa un metro di spessore. Le particelle leggere coninterazione elettromagnetica, e in particolare elettroni e fotoni, di�cilmente superano la barrieradel calorimetro elettromagnetico e, quindi, per i nostri studi, il deposito di energia in HCAL èpraticamente nullo. Ne consegue che, per la nostra analisi, l'HCAL non riveste un fondamentaleinteresse, ma, essendo posizionato immediatamente a ridosso di ECAL, può comunque essere utilecontrollare l'energia depositata al suo interno come strumento di veri�ca dei dati provenienti dalcalorimetro elettromagnetico.

La nostra simulazione terrà quindi conto di entrambi i calorimetri, che verranno adeguatamenteriprodotti nel modello simulato.

1.2.1 Il calorimetro elettromagnetico (ECAL) nel dettaglio

Per coprire il più ampio angolo solido possibile, il calorimetro elettromagnetico di CMS, ECAL[7]è formato da un corpo centrale cilindrico terminante in due endcap circolari. L'intero strumento ècostituito da 68524 cristalli di tungstato di piombo (di cui 61200 nel cilindro e i rimanenti 7324 neidue endcap) a forma di tronco di piramide a base quadrata in cui il lato della faccia rivolta verso ilcentro dell'esperimento misura 20.5 mm, quello dell'altra faccia 23.8 mm. La lunghezza dei cristalliè di 23 cm, sono montati su torri di 5x5 cristalli, isolati otticamente uno dall'altro da una matricein �bra di carbonio e terminanti con dei fotodiodi a valanga in silicio per la conversione del segnalein impulso elettrico. Il segnale è prodotto per scintillazione sfruttando l'elevata trasparenza otticae il fenomeno di luminescenza nei cristalli di PbWO4.

La segmentazione del calorimetro in cristalli otticamente isolati l'uno dall'altro, permette diavere un'informazione spaziale sulla distribuzione dell'energia attorno al punto di impatto che

2

aumenta la precisione con cui possono essere ricostruite le tracce dei leptoni leggeri e dei fotoni.I vantaggi degli scintillatori basati su tungstato di piombo rispetto ad altri tipi di scintillatoriinorganici sono: l'alta densità (≈ 8.28 g/cm3), che conferisce a questi cristalli una lunghezza diradiazione di soli 0.89 cm (la lunghezza dei cristalli è, quindi, pari a 25.8 lunghezze di radiazione)e un tempo di risposta estremamente breve (l'80% della luce di scintillazione è rilasciato in menodi 25 ns: il tempo che intercorre tra una collisione e la successiva).

Figura 1.1: Spaccato del rivelatore CMS. Si possono notare, evidenziati in verde e in blu, il calorimetroelettromagnetico ECAL e quello adronico HCAL.

1.3 Principali processi di perdita di energia per elettroni e fotoni

Al passaggio nella materia le particelle manifestano vari comportamenti: il decadimento in par-ticelle più leggere, l'interazione inelastica con il materiale del rivelatore o la perdita di partedell'energia cinetica, secondo vari fenomeni �sici. Questi variano al variare del tipo di particellae la rilevanza di ciascun processo di perdita di energia è legato all'energia cinetica della particellapresa in esame.

Gli elettroni molto energetici, ad esempio, perdono energia principalmente a causa della ra-diazione di frenamento (Bremsstrahlung)[8]. Il meccanismo dominante per i fotoni è, invece, laproduzione di coppie e+ − e−. I fotoni e le coppie elettrone-positrone risultanti possono, a lorovolta, dare il via ai medesimi fenomeni, producendo un vero e proprio sciame di particelle a cascata.

3

Man mano che l'energia cinetica delle particelle che costituiscono questo sciame diminuisce, altriprocessi, come l'eccitazione e la ionizzazione, prendono il sopravvento.

Questo paragrafo è dedicato alla trattazione di tutti questi fenomeni ma, prima di cominciare,è necessario introdurre alcune de�nizioni di base.

• Lunghezza di radiazione (X0)[8]: è la grandezza associata alla quantità di materia che unelettrone deve attraversare perché la sua energia si riduca di un fattore e. Rappresenta anchei 7/9 del cammino libero medio che un fotone ad alta energia percorre prima di generare unacoppia e+ − e−. La lunghezza di radiazione è funzione delle proprietà del materiale che laparticella attraversa, secondo la seguente formula:

1

X0

= 4αr2eNA

A

{Z2 [Lrad − f (Z)] + Z L′rad

}(1.1)

dove α è la costante di associazione �ne, re il raggio classico dell'elettrone, NA il numerodi Avogadro, A e Z la massa atomica e il numero atomico dell'assorbitore, Lrad e L′rad sonoparametri dipendenti dalle proprietà dei gusci elettronici dell'assorbitore e f (Z) una somma-toria in�nita che può essere rappresentata con una precisione del per mille, per elementi �no

all'uranio, da: f (Z) = a2[

1(1+a)2

+ 0.20206− 0.0369 a2 + 0.0083 a4 − 0.002 a6]. Una buona

approssimazione dell'equazione 1.1 è data dall'espressione di Dahl[8]:

X0 = 716.4g

cm2

A

Z (Z + 1) ln(

287√Z

) . (1.2)

• Energia critica (ε)[8]: come abbiamo già detto, la rilevanza di un fenomeno di frenamentoè funzione dell'energia della particella. L'energia critica stabilisce quale deve essere la sogliadell'energia cinetica, oltre la quale il processo dominante è quello di radiazione di frenamen-to. Esistono due de�nizioni di energia critica che di�eriscono leggermente dal punto di vistanumerico (come mostrato in �gura 1.2): nella prima la soglia è de�nita come l'energia perla quale la forza di frenamento radiativo è uguale a quella per ionizzazione ed eccitazione,mentre nella seconda - conosciuta come de�nizione di Rossi - l'energia dell'elettrone è pariall'energia persa per ionizzazione per lunghezza di radiazione. Le due si equivalgono accettan-do l'approssimazione |dE

dx|brems = E

X0. Quest'ultima de�nizione descrive lo sviluppo trasverso

dello sciame più accuratamente.

• Raggio di Moliere (RM)[8]: è una costante caratteristica di ciascun materiale e rappresenta ladimensione trasversa di un cilindro contenente il 90% del deposito di energia di uno sciame diparticelle iniziato da un singolo elettrone o fotone incidente. Questo parametro è intimamentelegato a X0 dalla relazione (approssimata):

RM = 0.0265X0 (Z + 1.2) (1.3)

4

Figura 1.2: Due de�nizioni per l'energia critica ε. Si possono notare le intersezioni per le due di�erenti de�nizioni:quella classica a destra (linea continua) e quella di Rossi a sinistra (linea tratteggiata). La de�nizione di Rossi portaa una descrizione più accurata dello sviluppo trasverso dello sciame.

• Lunghezza di formazione (lf )[8]: dalla teoria emerge, inaspettatamente, che all'elettrone serveun tempo relativamente lungo (e, di conseguenza, anche una distanza considerevole) perprodurre un fotone. Le interazioni dell'elettrone in questa �zona di formazione� possonomodi�care sensibilmente lo spettro dei fotoni prodotti. La lunghezza di formazione stabiliscela dimensione di questa zona ed è de�nita come la distanza percorsa dall'elettrone nel tempoimpiegato dal fotone per avanzare di una lunghezza d'onda ridotta λ

2π. Quantitativamente:

lf =2γ2c

ω∗(1.4)

dove γ è il fattore di Lorentz legato all'energia dell'elettrone. Tenendo in considerazione anchegli e�etti quantistici, ω∗ = ω E

E−~ω con ~ω l'energia del fotone.

5

A partire da queste de�nizioni, è conveniente de�nire due variabili di scala:

t =x

X0

, y =E

ε(1.5)

così da misurare le distanze in unità di lunghezza di radiazione e le energie in unità di energiacritica. Questo permette, ad esempio, di descrivere il pro�lo longitudinale tipico del deposito dienergia per uno sciame elettromagnetico in funzione di t (�gura 1.3). Esso è approssimato inmaniera accettabile da una distribuzione gamma:

dE

dt= E0b

(bt)a−1 e−bt

Γ (a)(1.6)

dove il parametro a e il fattore di scala b (in prima approssimazione ≈ 0.5) hanno valori distintiper ciascun materiale.

Figura 1.3: Pro�lo longitudinale per il deposito di energia di uno sciame indotto da un e− da 30 GeV in unasimulazione di EGS4. L'istogramma mostra la frazione di energia depositata per lunghezza di radiazione. I cer-chi indicano il numero di e− con E > 1.5MeV attraversanti piani posti a intervalli di X0

2 (scala a destra) e iquadrati il numero di fotoni con E > 1.5MeV attraversanti i medesimi piani (riscalati per avere la stessa area delladistribuzione di elettroni). La curva è una funzione gamma che approssima molto bene la distribuzione.

6

1.3.1 Bremsstrahlung

Seguendo le equazioni di Maxwell, quando una particella dotata di carica elettrica viene accelerata,questa emette energia sotto forma di radiazione elettromagnetica. Nel nostro caso, un elettrone cheattraversa il materiale assorbitore può interagire con il campo coulombiano di un atomo, suben-do una de�essione. Questo provoca l'emissione di un fotone (i.e. la radiazione di frenamento oBremsstrahlung)[8] la cui energia è funzione dell'angolo di di�usione e dell'energia cinetica inizialedell'elettrone. Ne consegue che i fotoni prodotti hanno uno spettro continuo. Al di sopra dell'en-ergia critica ε (che nei materiali pesanti è dell'ordine delle decine di MeV, vedi �gure 1.2 e 1.4),questo è il fenomeno dominante.

La perdita di energia per Bremsstrahlung può essere approssimata mediante l'equazione diBethe-Heitler:

−⟨dE

dx

⟩' 4NAZ

2α3 (~c)2

m2ec

4E ln

(1833√Z

)(1.7)

Da notare il fatto che la forza frenante scala linearmente con l'energia della particella incidente equadraticamente con il numero atomico dell'assorbitore.

Figura 1.4: Meccanismi di deposito di energia in funzione dell'energia della particella incidente per lunghezza diradiazione. Il gra�co è riferito al Piombo con lunghezza di radiazione X0 (Pb) = 6.37 g/cm2.

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1.3.1.1 E�etto Landau-Pomeranchuk-Migdal

L'e�etto LPM (Landau-Pomeranchuk-Migdal) [9] si manifesta ad altissime energie con la riduzionesempre più marcata della Bremsstrahlung da parte degli elettroni e della produzione di coppie daifotoni. È stato mostrato infatti che l'equazione di Bethe-Heitler (1.7) non si applica a energieultra relativistiche. Gli e�etti della di�usione coulombiana multipla da parte degli atomi vicini,infatti, riducono sensibilmente la sezione d'urto per la produzione e+ − e− e per la radiazione difrenamento.

La distanza che una particella percorre, in media, prima di de�ettere di una angolo 1γa causa

dello scattering Coulombiano multiplo è (in un mezzo amorfo):

lγ =α

4πXo (1.8)

dove α è la costante di struttura �ne e X0 la lunghezza di radiazione. Siccome la maggior partedell'emissione radiativa si manifesta in un cono con apertura angolare 1

γrispetto alla direzione

dell'elettrone, fenomeni di interferenza distruttiva sono possibili se gli elettroni di�ondono al di fuoridi questa zona. Quindi se il rapporto tra lγ e la lunghezza di formazione (1.4) è tale che lf > 2lγ,la probabilità di emissione decresce sensibilmente. Nei solidi cristallini, come nel nostro caso,l'avvento di fenomeni come la di�usione coerente, rendono ancora più complessa l'analisi dell'e�ettoLPM, che dovrà tener conto, tra i vari parametri, anche del passo reticolare e dell'orientazione delreticolo rispetto all'angolo di incidenza dell'elettrone.

Nelle nostre simulazioni proveremo a non tener conto di questo e�etto per vedere quali sono ibene�ci in termini di tempo computazionale e quali gli errori apportati ai risultati.

1.3.2 Ionizzazione

Al di sotto dell'energia critica aumenta la probabilità che la particella incidente ionizzi o ecciti glielettroni dei gusci esterni degli atomi dell'assorbitore, perdendo parte della propria energia cineticadurante il processo. La formula di Bethe-Bloch[8] descrive bene il fenomeno:

−⟨dE

dx

⟩= 4π

NAZρ

Ar2emec

2 z2

β2

[ln

(2mec

2β2γ2

I

)− β2 − δ (γ)

2

](1.9)

dove I è il potenziale medio di ionizzazione dell'assorbitore, δ (γ) la correzione di densità, che tendea limitare, per alti valori di γ, la crescita logaritmica delle perdite di energia e ρ la densità delmateriale.

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Figura 1.5: Perdita di energia per ionizzazione per particelle cariche in funzione del rapporto momento su massaper vari materiali calcolata con la formula di Bethe-Bloch.

1.3.3 E�etto Cherenkov

Quando la velocità di una particella carica in un mezzo è superiore alla velocità della luce in quelmezzo, la particella emette fotoni detti luce Cherenkov . Il fenomeno può essere spiegato con glie�etti di polarizzazione e depolarizzazione del mezzo, al passaggio della carica. Si forma quindiun fronte d'onda conico di onde elettromagnetiche con conseguente rallentamento della carica at-traversante il mezzo.

A energie ancora più basse, la perdita di energia per gli elettroni è dovuta anche ad altri processi,come lo scattering Møller/Bhabha (�gura 1.4), ma questi questi fenomeni sono assolutamentesecondari per la nostra trattazione.

1.3.4 E�etto Compton

Il fenomeno di di�usione Compton è interpretabile come un urto tra un fotone incidente e unelettrone del materiale che sta attraversando. La conseguenza è una perdita di energia da partedel fotone, che viene trasferita all'elettrone. Il fotone degradato viene de�esso e l'elettrone spintonella direzione opposta per conservare la quantità di moto.

Come si può notare in �gura 1.6, l'e�etto Compton si manifesta in maniera percettibile �no auna decina di GeV in un materiale con densità paragonabile al piombo.

9

1.3.5 Produzione di coppie

Quando Eγ > 2mec2, per il fotone è possibile la produzione di coppie e+ − e−[8]. La creazione di

queste coppie rappresenta la manifestazione sperimentale della teoria di Dirac. Questo fenomenoavviene esclusivamente in un mezzo, perché la produzione di queste coppie richiede la presenza diun elemento massivo (i.e. uno dei nuclei del materiale) che assorba il momento in eccesso dovutoalla di�erenza tra la massa invariante iniziale e lo stato �nale. Anche gli elettroni del mezzo possonofare le veci dei nuclei e assorbire l'energia in eccesso sotto forma di momento, ma in questo casol'energia assorbita è molto maggiore e la soglia di l'energia per la produzione di coppie si alza(notare il rapporto tra κnuc e κe in �gura 1.6).

Ad alte energie, la sezione d'urto per la produzione di coppie è proporzionale a Z2 ln(

1833√Z

)e

può essere, quindi, scritta come:

σpair '7

9

A

X0ρNA

. (1.10)

1.3.6 Radiazione di sincrotrone

La radiazione di sincrotrone è una radiazione elettromagnetica generata dall'accelerazione di caricheultra relativistiche in movimento in un campo magnetico. Lo spettro di questa radiazione è con-tinuo. Come detto, il calorimetro elettromagnetico di CMS, ECAL, è situato all'interno di unmagnete solenoidale da 3.8 T ed è, quindi, interessante vedere quale sia il contributo al deposito dienergia degli elettroni incidenti dovuto all'emissione di luce di sincrotrone prodotta da tale campo.

10

Figura 1.6: Sezione d'urto totale per fotoni incidenti su carbonio e piombo. Sono esplicitati i contributi di di�erentiprocessi: ρp.e. =E�etto fotoelettrico atomico, ρRayleigh =Di�usione Rayleigh, ρCompton =Di�usione Compton,κnuc, κe =Produzione di coppie in campo nucleare e in campo elettronico, ρg.d.r. =Interazione fotonucleare.

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Capitolo 2

La simulazione

2.1 Il framework GEANT4

GEANT[10] (acronimo di GEometry ANd Tracking) è un software progettato per la simulazione delpassaggio di particelle elementari attraverso la materia, basato su simulazioni Monte Carlo. La suaversione più recente, GEANT4, è una piattaforma, sviluppata da una collaborazione internazionaledi cui il CERN è membro, fondata sul linguaggio di programmazione C++[11] e, quindi, strutturataa oggetti.

Il software permette di costruire velocemente un esperimento simulato tenendo conto dellageometria, del tracciamento e della risposta dei rivelatori. Vengono parametrizzate le proprietàdei materiali che compongono il setup sperimentale, le proprietà delle particelle e tutti i processi�sici che descrivono la loro interazione. Il programma, inoltre, gestisce e registra i dettagli diciascun run di simulazione e permette anche di interagire con quest'ultimo grazie a un'interfacciautente a riga di comando, che permette di controllare gli aspetti principali della simulazione. Unvisualizzatore di eventi permette, in�ne, di seguire il percorso di ogni singola particella prodotta(vedi �gura 2.1).

L'intero framework è rilasciato con licenza open source; ciò signi�ca che il codice può essereliberamente distribuito e modi�cato per le proprie necessità da chiunque, rendendo anche molto piùsemplice e veloce la correzione di errori di programmazione o di implementazione delle interazioni�siche. Oltre che per gli esperimenti di �sica delle alte energie, GEANT trova impiego negli studinucleari, in campo medico e in astro�sica.

2.1.1 Il metodo Monte Carlo

Il metodo Monte Carlo è il perno principale delle simulazioni di GEANT: è opportuno, quindi, anal-izzare le caratteristiche essenziali di questo metodo statistico. Questo metodo è di fondamentaleimportanza quando si ha a che fare con la modellizzazione di sistemi �sici o matematici. Si trattadi un metodo non parametrico; questo signi�ca che non necessita di ipotesi sulle caratteristichedella popolazione statistica che si va a osservare.

L'algoritmo si basa sulla produzione di una grande quantità di realizzazioni casuali (o pseudoca-suali) che seguono la medesima distribuzione di probabilità del fenomeno da investigare. La bassacorrelazione dei numeri così generati è veri�cata con un test sul valore di χ2. Una volta generato ilcampione casuale in maniera da coprire densamente lo spazio dei parametri, si derivano da questo

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le grandezze �siche da studiare, proprio come si farebbe su un campione di misure prodotte daun esperimento reale. Nel nostro caso il metodo Monte Carlo stabilisce se e in quale maniera unaparticella debba depositare energia lungo la sua traiettoria. L'alto numero di ripetizioni permettedi avere a disposizione un campione signi�cativo, che rendere accettabile l'errore statistico.

2.2 L'esempio di apparato calorimetrico composto

Il programma Composite Calorimeter[12] è uno degli esempi avanzati incorporati nel pacchetto disoftware GEANT4. Esso riproduce con precisione una porzione dei calorimetri di CMS e il codicesorgente di questo esempio può essere agevolmente modi�cato per servire agli scopi di questo lavoro.È stato realizzato dalla collaborazione CMS per studiare in dettaglio la risposta del calorimetroed è stato utilizzato per validare i risultati di Geant4 con dati reali provenienti da misure su fascidi prova.

Figura 2.1: La geometria dell'esempio Composite Calorimeter. A sinistra una sezione di 7x7 cristalli di ECAL, adestra il calorimetro adronico. La sottile linea rossa rappresenta l'asse di incidenza della particella di prova, mentrei segmenti verdi sono le traccie delle particelle secondarie.

La geometria dell'esempio consiste in una torre di 7x7 cristalli di PbWO4 (nel rivelatore realele torri sono di 5x5 cristalli) a costituire il calorimetro elettromagnetico e 28 strati da 64 cmdi lato di rame (materiale assorbitore sostituito dall'ottone nel rivelatore reale) inframezzato dascintillatori plastici attivi per simulare il calorimetro adronico. Il numero di strati di questoprototipo di calorimetro adronico è maggiore rispetto a quello del calorimetro reale (che conta18 strati) per meglio studiare il fenomeno del contenimento. Il diverso spessore degli assorbitori

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di rame garantisce, tuttavia, uno spessore totale di circa 171 cm, paragonabile all'estensione delcalorimetro reale. La matrice di cristalli della parte elettromagnetica è molto simile a quella deicristalli presenti in ECAL, illustrata nel paragrafo 1.2.1.

Per tenere sotto controllo il numero di parametri della simulazione, sono stati tralasciati alcuniaspetti legati ai dati provenienti dal fascio di test come il pro�lo, il rumore, la contaminazione e ladigitizzazione, non rilevanti ai �ni dello studio condotto in questa tesi. È stato invece riprodottocon precisione il campo magnetico prodotto dal solenoide superconduttore di CMS ed è possibileregolare, da 0 a 3 T, l'intensità di questo campo, normale alla traiettoria con cui le particelleincidono sui cristalli del calorimetro elettromagnetico. La presenza di un campo magnetico, capacedi curvare considerevolmente la traiettoria delle particelle cariche, ci permetterà di analizzare anchegli e�etti della radiazione di sincrotrone.

Sfruttando le librerie iAIDA[13], il software è in grado di produrre un output nel formatoROOT[14], che può essere successivamente elaborato con l'omonimo software di analisi dati. Nel�le vengono salvati, per ciascun evento:

• l'energia e la posizione iniziale della particella incidente

• l'energia depositata in ciascuno dei 49 cristalli dell'ECAL

• l'energia depositata in ciascuno strato di HCAL

• l'energia totale depositata nelle parti sensibili di entrambi i calorimetri

• il pro�lo di energia (vedi �gura 1.3) come funzione della distanza radiale dall'asse di incidenzadella particella

Da notare che quest'ultima quantità non può essere misurata sperimentalmente e quindi la simu-lazione mediante metodo di Monte Carlo è l'unico strumento di indagine.

2.3 Le liste di �sica

Nello sviluppo di un'applicazione per GEANT4, quale è l'esempio Composite Calorimeter, il frame-work permette di far scegliere all'utente quale è la �sica di cui tener conto, ovvero quali sono iprocessi �sici richiesti al �ne di ottenere una simulazione realistica. L'insieme di questi processie il loro mutuo rapporto sono contenuti in un elemento fondamentale del codice: la lista di �si-

ca[15]. Accade quasi sempre che la simulazione debba tener conto di molti tipi di interazione traparticelle; di conseguenza, la lista di �sica associata può diventare lunga e complicata. Per questomotivo il gruppo di GEANT4 ha sviluppato e mantiene un numero consistente di liste, ciascunaspecializzata in un particolare ambito, che possono essere copiate nel proprio codice o usate comebase per la realizzazione di una lista personalizzata. Nella versione di Geant4 utilizzata per questolavoro (4.9.2.p02) ci sono in tutto 32 liste di �sica, divise in 8 famiglie secondo una convenzioneper i nomi. Le sigle convenzionali delle principali sono:

QGS - Quark Gluon String model, insieme di liste basato sull'omonimo modello per l'analisi diinterazioni adroniche. Tra le varie liste che compongono questa famiglia, è interessantemenzionare la lista QGSP_BERT, che implementa il modello di Bertini per gli sciamiadronici ed è spesso usata negli esperimenti di �sica.

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FTF - FriTioF model, una lista basata sul metodo Monte Carlo Fritiof, che implementa ilmodello Lund-string per modellizzare le dinamiche di collisioni di tipo adrone-adrone,adrone-nucleo e nucleo-nucleo.

LHEP - Low & High Energy Parametrization model, la più veloce lista di �sica adronica, scendea compromessi sulla precisione dei risultati per garantire il minimo tempo di calcolo.

BIC - BInary Cascade model, si basa sull'omonimo modello per calcolare le proprietà dellecascate intranucleari. Questo modello usa una parametrizzazione tridimensionale moltodettagliata del nucleo e utilizza esclusivamente lo scattering binario tra i nucleoni e leparticelle che formano la cascata per calcolare i risultati.

HP - High Precision neutron model, contiene un modello molto dettagliato per le interazionineutroniche sotto i 20 MeV.

QEL - QElastic model, descrive con particolare accuratezza interazioni adroniche di tipo quasi-elastico, dove l'energia cinetica della particella incidente varia di una quantità così bassada non essere misurabile sperimentalmente.

EM - pacchetto elettromagnetico standard. È la lista che restituisce i risultati più fedeli aidati sperimentali in termini di interazioni elettromagnetiche, ma richiede una notevolepotenza di calcolo a disposizione.

EMV(X) - variazioni del pacchetto EM standard, si occupano della simulazione di eventi elettro-magnetici usando diverse approssimazioni per migliorare la velocità di calcolo.

Trattando, tra i vari fenomeni di deposito di energia, anche quelli che avvengono nei cristallidi PbWO4, queste ultime liste saranno al centro dell'analisi di questo lavoro, unitamente a dueliste personalizzate in modo da non tener conto dell'e�etto LPM (paragrafo 1.3.1.1) o tenendo inconsiderazione la radiazione di sincrotrone (paragrafo 1.3.6).

2.3.1 Le liste elettromagnetiche

Contrariamente alla �sica adronica, in cui esistono vari modelli concorrenti per spiegare gli stessifenomeni, le leggi �siche che regolano le interazioni elettromagnetiche sono ben comprese e sonostate formalizzate a partire dagli anni '20 del secolo scorso nell'elettrodinamica quantistica. Questabranca della �sica teorica permette di descrivere tutti i fenomeni che vedono coinvolte particellecariche che interagiscono elettromagneticamente con uno straordinario accordo con i dati speri-mentali. Ci si aspetta quindi di poter implementare tutte le formule ricavate matematicamentenell'ambito di questa teoria all'interno di un algoritmo di simulazione estremamente preciso...Purtroppo un algoritmo così fatto risulterebbe troppo gravoso in termini di risorse di calcolo,rendendo, di fatto, impraticabile l'esecuzione di una simulazione basata su di esso per l'analisi diuno sciame elettromagnetico. La soluzione è, quindi, un compromesso tra precisione e velocitàdi esecuzione, basato su alcune approssimazioni delle formule esatte (e.g. l'espressione 1.3). Ap-prossimazioni i cui parametri vengono a�nati e veri�cati utilizzando dati reali provenienti da varifasci sperimentali.

Per studiare le liste di �sica di GEANT4 sono stati usati:

• muoni da 225 GeV (per la calibrazione)

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• elettroni nello spettro da 10 a 300 GeV

• pioni da 10 a 300 GeV.

Il termine di riferimento, in questo lavoro, nelle simulazioni con liste di �sica personalizzate, saràdatto dalle liste di �sica standard EM, EMV ed EMX contenute in GEANT4.

2.4 L'elaborazione dei risultati

Le simulazioni di Monte Carlo di qualsiasi tipo sono un compito estremamente gravoso per leunità di calcolo. Applicate alle decine di migliaia di particelle necessarie per avere una buona basestatistica, rendono la simulazione impossibile su un singolo processore. Fortunatamente questotipo di simulazione, basato sull'analisi di una singola particella incidente sui calorimetri, permetteun alto grado di parallelizzazione. Sono stati quindi usati svariati computer del Dipartimento diFisica dell'Università di Trieste per svolgere le operazioni di simulazione per un totale di oltre 3000ore di tempo macchina. I risultati sono stati poi trasferiti a una singola unità per l'analisi dei dati.

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Capitolo 3

Analisi dati

3.1 I programmi utilizzati per l'analisi dati

3.1.1 ROOT

L'analisi dati è il punto nodale di qualsiasi esperimento scienti�co. Data l'enorme mole di datiprodotti nei vari esperimenti che si sono susseguiti al CERN, sviluppare internamente un softwaredi analisi, invece che basarsi su alternative di terze parti, è sembrata da subito la strategia migliore.Fino al 2003 il CERN ha sviluppato e mantenuto una libreria FORTRAN[16] contenente le routinenecessarie per programmare i propri software di analisi dati. Questa libreria è stata dismessain favore di ROOT[14], un programma orientato ad oggetti, comprensivo delle librerie necessarieper l'elaborazione, scritto in C++. Lo sviluppo è iniziato nel 1994 dal lavoro di René Brune Fons Rademakers, con l'intenzione di fornire uno strumento per l'analisi dei dati provenientida esperimenti di �sica delle particelle, ma ben presto ha trovato impiego anche in campi comel'astro�sica e il data-mining .

Il software garantisce la totale astrazione dalle caratteristiche hardware e dal sistema operativodel computer su cui viene eseguito grazie all'interfaccia gra�ca, alle classi contenitore e all'interpretea linea di comando CINT[17]. Quest'ultimo unisce la velocità di esecuzione tipica del linguaggioC/C++ alla �essibilità di un linguaggio interpretato.

Le principali caratteristiche di ROOT permettono di:

• rappresentare e analizzare distribuzioni e funzioni per mezzo di istogrammi e gra�ci

• fare il �t e la minimizzazione di funzioni

• operare con algebre matriciali e tensoriali

• accedere a database di dati

• manipolare immagini

• analizzare i dati in parallelo su più elaboratori.

In questa tesi, l'analisi delle simulazioni prodotte consiste nella manipolazione di svariate decine dimigliaia di eventi, ottenuti dalle simulazioni Monte Carlo. Il software ROOT, con la sua capacità digestire velocemente centinaia di migliaia di dati, risulta, quindi, un ottimo candidato per l'analisidegli eventi prodotti.

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3.1.2 Mathematica

Per alcuni gra�ci è stato usato il software Mathematica, della Wolfram[18], per la sua estremaversatilità e per la facilità di manipolare velocemente ed eseguire operazioni su insiemi di dati.I dati sono stati esportati da ROOT in un formato compatibile con Mathematica, processati neigra�ci e, in alcuni casi, reimportati in ROOT per un'ulteriore analisi. Questo ha permesso divelocizzare enormemente il processo di analisi, permettendo di ottenere un feedback pressochèimmediato sui gra�ci prodotti. In ogni caso, tutte le operazioni di una certa importanza, comei �t e il calcolo degli errori dei relativi parametri, sono state eseguite con ROOT, eventualmentesovrapponendo i risultati ai gra�ci prodotti da Mathematica.

3.2 Risultati

3.2.1 Elettroni monocromatici

Per prima cosa sono stati utilizzati elettroni da 100 GeV con posizione iniziale variabile lungo l'asseZ (a passi di 2 mm) per veri�care la risposta, nota, della lista EM in modo da controllare che lasimulazione funzionasse a dovere (Figura 3.1).

Figura 3.1: Energia depositata nel cristallo centralo (in blu) e nei due cristalli adiacenti lungo l'asse z (in rossoquello di sinistra e in verde quello di destra) per elettroni a 100 GeV in funzione della posizione iniziale sull'asseZ. Gli errori statistici, presenti lungo l'asse y, sono interamente contenuti nelle dimensioni dei punti. Per produrreil gra�co sono stati generati 30000 eventi.

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Avendo veri�cato l'uguale risposta per il cristallo centrale del calorimetro elettromagnetico eper i due cristalli adiacenti, si è passati all'analisi dell'energia depositata nelle matrici 3x3 e 5x5 dicristalli, formate rispettivamente da blocchi con basi quadrate di 9 e 25 cristalli e costruite usandocome cristallo centrale della matrice quello in cui il deposito di energia è risultato massimo per letre liste EM, EMV e EMX.

(a)

(b)

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(c)

Figura 3.2: Energia depositata nelle matrici 5x5 (triangoli in verde), 3x3 (quadrati in rosso) e 1x1 (cerchi in blu)centrate sul cristallo in cui è stata depositata l'energia maggiore. Sono stati usati elettroni a 100 GeV in funzionedella posizione iniziale lungo l'asse Z. Gli errori statistici, presenti lungo l'asse y, sono interamente contenuti nelledimensioni dei punti. Per produrre i gra�ci sono stati generati 65000 eventi per ciascuna lista.

Per studiare le di�erenze tra queste tre liste non è su�ciente sovrapporre i gra�ci, dato che ledimensioni dei punti non permetterebbero di apprezzarne le di�erenze. Si è deciso quindi di usarela lista EM, la più vicina ai dati reali tra le tre, come termine di paragone per le altre due liste.Tenendo conto della propagazione degli errori, è stato calcolato lo scarto percentuale tra la listaEM e le altre due. In questo modo è stato possibile stabilire l'entità dell'errore introdotto dalleapprossimazioni sui modelli �sici che descrivono le interazioni elettromagnetiche.

In �gura 3.3 si può notare come, anche con la lista meno precisa, l'errore non superi mai il2%. L'errore massimo sarebbe stato molto più basso (di molto inferiore all'1%), se non fosse per idue picchi nelle regioni -10 e +10 mm. Questi possono essere interpretati nella maniera seguente:come ricordato nella sezione 1.2.1, i cristalli di PbWO4 hanno una estensione laterale di circa20 mm. Le regioni attorno ai -10 e +10 mm sono, quindi, corrispondenti alle giunzioni tra duecristalli adiacenti, nelle quali la particella incidente si trova a interagire con la matrice in �bradi carbonio che costituisce il supporto meccanico dei cristalli. Le liste implementano i processielettromagnetici, e in particolare la di�usione multipla, in maniere diverse, rendendo gli sciami piùo meno estesi lateralmente, a seconda della lista considerata. In questo modo la presenza di unadiscontinuità è più marcata per le liste in cui lo sciame ha dimensioni trasverse minori, portandoa di�erenze misurabili tra una lista e l'altra.

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Figura 3.3: Errore percentuale prodotto con le liste EMV (in blu) e EMX (in rosso) rispetto alla lista EM generatea partire dai dati delle matrici 1x1 della �gura 3.1

Confrontando anche le matrici 3x3 (�gura 3.4(a)) e 5x5 (�gura 3.4(b)), questo aspetto riveste,come è ragionevole aspettarsi meno importanza, a causa dell'e�etto di diluizione otttenuto som-mando l'energia depositata su più cristalli.

(a)

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(b)

Figura 3.4: Errore percentuale prodotto con le liste EMV (in blu) e EMX (in rosso) rispetto alla lista EM generatea partire dai dati delle matrici 3x3 e 5x5 delle �gure 3.1(b) e 3.1(c)

In questi due casi, l'errore commesso con le liste EMV e EMX è ancora più piccolo, non su-perando mai lo 0.4% e restituendo, un gran numero di volte, valori compatibili con la lista EMentro l'errore statistico complessivo.

(a) (b)

Figura 3.5: Di�erenza percentuale dei rapporti di energia depositata nel cristallo più energetico e nella matrice 3x3che lo contiene per varie liste (in ordinata) in funzione della posizione iniziale della particella incidente (in ascissa).In (a) è rappresentata la di�erenza dei rapporti tra le liste EMV e EM; in (b) quella tra le liste EMX e EM. Perprodurre i gra�ci sono stati utilizzati 65000 eventi per ciascuna lista.

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È interessante andare ad analizzare il rapporto tra le energie depositate nel cristallo più en-ergetico e nella matrice 3x3 di cui è il centro, e successivamente calcolare la di�erenza di questovalore tra le varie liste di �sica (Figura 3.5). In questo modo si può confrontare la dimensionetrasversa dello sciame e come sia diversamente implementato la di�usione multiplo tra le varieliste. Similmente si può analizzare il rapporto di energia tra il cristallo più energetico e la matrice5x5 che lo circonda (�gura 3.6). Come si può notare in �gura 3.5, la quota dei �t per entrambi iconfronti, seppur molto piccola, è negativa e non compatibile con 0. Questo signi�ca che sia perla lista EMV, sia, in maniera più marcata, per la lista EMX, il rapporto tra l'energia depositatanel cristallo centrale e la matrice 3x3 è maggiore che nella lista EM. Di conseguenza lo sciame èpiù concentrato nel centro, diminuendo le dimensioni trasverse dello sciame, condizione generatada una minore di�usione multipla in queste due liste e che porta a un errore dell'ordine dell'1hper la lista EMV e del 6h per la lista EMX. Da notare, inoltre, che i punti più critici sono semprequelli relativi all'impatto nel supporto in �bra di carbonio, dove lo sciame sembra penetrare ancorapiù in profondità nelle due liste EMV e EMX, rispetto alla lista EM, prima di interagire con lamateria, portando a errori superiori all'1% per entrambe le liste.

(a) (b)

Figura 3.6: Di�erenza percentuale dei rapporti di energia depositata nel cristallo più energetico e nella matrice 5x5che lo contiene per varie liste (in ordinata) in funzione della posizione iniziale della particella incidente (in ascissa).In (a) è rappresentata la di�erenza dei rapporti tra le liste EMV e EM; in (b) quella tra le liste EMX e EM. Perprodurre i gra�ci sono stati utilizzati 65000 eventi per ciascuna lista.

I risultati per le matrici 5x5 sono paragonabili, anche se leggermente peggiori, a quelli per lematrici 3x3 (�gura 3.6). In particolare in questo caso gli errori medi sono dell'1h per la lista EMVe del 7h per la lista EMX e lo scarto percentuale massimo supera l'1.5%.

Giunti a questo punto risulta naturale chiedersi perchè mantenere tre liste di �sica quandoè noto che la lista EM standard restituisce i risultati più vicini ai dati sperimentali. La rispostarisulta ovvia quando si analizzano i tempi di elaborazione necessari per simulare il medesimo eventocon le varie liste, come mostrato in �gura 3.7.

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Figura 3.7: Tempo di calcolo necessario per simulare 10 eventi elettronici a varie energie. La lista EM standard(quadrati rossi) richiede il doppio della potenza di calcolo della lista EMX (triangoli verdi). La lista EMV (cerchiblu) rappresenta un compromesso tra le due. I tempi aumentano linearmente con l'energia della particella inci-dente e sono stati misurati su un processore AMD Sempron 3400+ da 2 GHz a 32bit del Dipartimento di Fisicadell'Università di Trieste.

La presenza di più liste permette quindi di operare una scelta sul grado di precisione desiderato,in funzione del tempo di elaborazione a disposizione. Per produrre i precedenti gra�ci (Figure 3.2,3.5 e 3.6), sono state necessarie più di 700 ore di calcolo per le simulazioni della lista EM, mentrela lista EMX ne ha richieste meno di 400. Di seguito analizzeremo il rapporto tra precisione evelocità di esecuzione a varie energie (da 10 a 150 GeV), studiando alcuni e�etti �sici secondari.

3.2.2 Elettroni a varie energie

Nel paragrafo precedente sono state analizzate le di�erenze delle varie liste di �sica per elettronimonoenergetici; ora vedremo di quanto si discostano le varie liste in funzione dell'energia deglielettroni incidenti. Per mantenere le simulazioni entro tempi contenuti, sono stati presi in consid-erazioni elettroni di energia non superiore ai 150 GeV, a passi di 10 GeV. Questa volta, alle treliste usate �nora, è stata aggiunta una lista personalizzata, realizzata a partire dalla EMX, chenon tiene conto dell'e�etto LPM (paragrafo 1.3.1.1).

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Figura 3.8: Energia depositata nel cristallo centrale (ecal24) in funzione del momento della particella incidente.Le di�erenze tra le varie liste (EM, EMV, EMX e EMX senza e�etto LPM), così come gli errori statistici, sonointeramente contenute nella dimensione dei punti. Per produrre questo gra�co, sono stati generati 35000 eventi perciascuna lista.

Le di�erenze tra le liste, come è avvenuto in precedenza in �gura 3.2, non sono apprezzabili nelgra�co in �gura 3.8. Anche in questo caso è stato necessario confrontare lo scarto percentuale diciascuna lista rispetto alla lista EM per ottenere delle informazioni.Come si può notare in �gura3.9, l'errore introdotto dalla lista EMV, rispetto alla EM, è inferiore all'1h, mentre le liste EMXe EMX senza e�etto LPM, presentano un errore più marcato, poco inferiore all'1%. La lista EMXpersonalizzata in modo da non tener conto dell'e�etto LPM, inoltre, è compatibile con la lista EMXentro gli errori statistici e permette di guadagnare un paio di punti percentuali sulla velocità dicalcolo. Per energie �no a 150 GeV quindi si può non tener conto dell'e�etto LPM. Essendo, però,questo e�etto legato all'energia della particella incidente, da questi dati non è possibile estrapolareun andamento a energie maggiori, dove è probabile che l'e�etto LPM si manifesti più visibilmente,rendendo poco interessanti i risultati prodotti dalla lista EMX personalizzata ad alte energie.

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Figura 3.9: Di�erenza di energia depositata nel cristallo centrale per varie liste rispetto alla lista EM. La lista EMV(in verde) è, ancora una volta, la più vicina alla EM. La lista EMX (in rosso) e la lista personalizzata a partiredalla EMX (in blu), che non tiene conto dell'e�etto LPM (paragrafo 1.3.1.1), hanno un errore maggiore, ma sonoconfrontabili fra loro. Le bande di errore, infatti, si sovrappongono per tutti i dati. Inoltre i parametri Q e M dei�t, che rappresentano la quota e il coe�ciente angolare delle rette di regressione, sono compatibili fra loro. Perprodurre il gra�co sono stati generati 35000 eventi per ciascuna lista.

3.2.3 Energia depositata al variare della particella incidente

Come abbiamo già visto nel paragrafo 1.2.1, il calorimetro elettromagnetico non misura soltantol'energia depositata dagli elettroni, ma di tutte le particelle con interazioni elettromagnetiche,come ad esempio i positroni e i fotoni. Proprio questi due tipi di particelle sono stati utilizzaticome proiettile nella successiva simulazione, per veri�care la di�erente risposta della lista EMXai tre tipi di particelle (e+,e− e γ).La �gura 3.10 conferma questa ipotesi. Essendo gli sciamigenerati da queste particelle più o meno uguali, ci si aspetta che i dati siano compatibili a tuttele energie e che, con l'aumentare dell'energia della particella incidente, anche le piccole di�erenzesi a�evoliscano. Quest'ultimo aspetto, in e�etti si veri�ca e quasi tutti i punti sono compatibilicon 0. La presenza di una misura non compatibile a 30 GeV di energia, più marcata per i fotoni,che non supera comunque uno scostamento del 2h, non preoccupa: un test χ2 sulle due serie didati mostra che le curve di �t sono compatibili con l'ascissa con un buon livello di con�denza.L'unica di�erenza che ci si poteva aspettare è nel pro�lo longitudinale per il deposito di energia aseconda che lo sciame sia generato da un elettrone o da un fotone, a causa del di�erente camminolibero medio di queste due particelle nella materia (�gura 1.3). Questa variazione non potrebbecomunque essere vista in termini di energia depositata nel cristallo di PbWO4 dato che questo hauna lunghezza di quasi 26 X0.

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Figura 3.10: Di�erenza di energia depositata nel cristallo centrale per positroni (quadrati in rosso) e fotoni (cerchiin blu) rispetto agli elettroni in funzione dell'energia della particella incidente. Per produrre il gra�co sono statigenerati 20000 eventi per ciascun tipo di particella.

3.2.4 Energia depositata in presenza di campo magnetico

In quest'ultima parte è stato introdotto un campo magnetico simile alle condizioni reali in cui operail calorimetro elettromagnetico. È stato usato il valore massimo di campo magnetico permesso dalprogramma Composite Calorimeter (3 T), per avvicinarsi quanto più possibile al valore del magnetedi CMS (3.8 T). Prima di tutto è stata confrontata la variazione di deposito di energia per la listaEMX a campo spento e acceso.

Figura 3.11: Di�erenza di energia depositata nel cristallo centrale per la lista EMX a campo magnetico acceso espento. Le linee di campo magnetico sono parallele alle facce dei cristalli. Per produrre il gra�co sono stati generati25000 eventi a campo spento e altrettanti a 3 Tesla.

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Come si può notare in �gura 3.11, quasi tutti i punti sono compatibili con 0. Questo signi�cache non ci sono sostanziali di�erenze di deposito di energia, a campo magnetico acceso e spento,per particelle che incidono nel centro del cristallo. Il comportamento è quello previsto: infatti,pur muovendosi lungo traiettorie curve dovute all'interazione tra la carica elettrica e il campomagnetico, la distanza da percorrere per uscire dal cristallo, impattando sul centro, è, più o meno,la stessa e questo porta a valori comparabili di energia depositata.

A campo magnetico spento, lo sciame ha simmetria cilindrica lungo l'asse di incidenza dellaparticella che lo ha generato. La presenza di un campo magnetico, invece, separa le particelleneutre da quelle con carica positiva o negativa. La forza di Lorentz, infatti, è esercitata solo sulleparticelle cariche, che vengono de�esse su traiettorie curvilinee. Inoltre le particelle con caricapositiva sono separate da quelle a carica negativa dato che la forza risulta attrattiva per una speciee repulsiva per l'altra. La simmetria cilindrica viene quindi cancellata, dato che le particelle carichetendono a diporsi sul piano perpendicolare alle linee di campo magnetico, come mostrato in �gura3.12.

(a) (b)

Figura 3.12: Pro�lo trasverso dello sciame a campo magnetico spento (a) e acceso (b). La griglia in entrambele �gure rappresenta la matrice di cristalli, le immagini sono quindi proiettate sul piano perpendicolare all'assedi incidenza della particella generatrice dello sciame. Si noti come in a campo magnetico spento è mantenuta lasimmetria cilindrica, mentre a campo magnetico acceso questa venga cancellata.

Figura 3.13: Ellitticità dello sciame elettromagnetico a campo magnetico spento (cerchi blu) e a 3 Tesla (quadratirossi). Per produrre il gra�co sono stati generati 25000 eventi a campo magnetico spento e altrettanti a 3 Tesla.

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Se si va a misurare il rapporto tra l'energia depositata nella striscia 3x1 orizzontale formata daicristalli centrali con quella depositata nella striscia 1x3 verticale, quello che si ottiene è l'ellitticitàdello sciame. Ci si aspetta che questo valore sia 1 a campo magnetico spento e si allontani via viada questo valore all'aumentare di intensità del campo magnetico. In �gura 3.13 sono illustrati ivalori di ellitticità a varie energie a campo magnetico spento e acceso.

Sebbene in �gura 3.13 le bande di errore dei punti siano compatibili, come pure le quote deidue �t, si può notare una certa regolarità nello scarto tra i �t. Questo porta a ipotizzare che,con una statistica maggiore, solo il �t a campo magnetico spento sarebbe stato compatibile con1. Purtroppo le simulazioni a campo magnetico acceso sono molto esigenti dal punto di vistacomputazionale, richiedendo molto tempo macchina per produrre risultati. Con la statistica adisposizione non è stato, quindi, possibile dare un giudizio de�nitivo su questa ipotesi.

Un aspetto interessante da tenere in considerazione a campo magnetico acceso è la forza difrenamento prodotta dalla radiazione di sincrotrone (paragrafo 1.3.6). Questo processo di perditadi energia è normalmente trascurato nelle simulazioni; abbiamo quindi modi�cato ancora una voltala lista EMX per tener conto di tale interazione e confrontato i risultati con quelli prodotti dallalista EMX standard in presenza di un campo di 3 T.

Figura 3.14: Di�erenza di energia depositata nel cristallo centrale tra la lista EMX standard e quella modi�cataper tener conto della radiazione di sincrotrone in funzione dell'energia della particella incidente in un campo di 3Tesla. Per produrre il gra�co sono stati generati 25000 punti per ciascuna lista.

I risultati esposti in �gura 3.14 mostrano come non ci siano di�erenze apprezzabili nel tenerconto o meno della radiazione di sincrotrone. Anche questo processo può essere trascurato durantele simulazioni nell'intervallo di energie 10-150 GeV. In questo modo il guadagno in termini di tempocomputazionale si attesta tra l'1 e il 2%.

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Conclusioni

Questa tesi ha analizzato la risposta di una porzione del calorimetro elettromagnetico di CMSall'impatto con elettroni, positroni e fotoni. Per le simulazioni, prodotte per mezzo del softwareGeant4, è stata utilizzata una matrice quadrata di 49 cristalli di tungstato di piombo per simulareECAL, la cui geometria è parametrizzata nel programma Composite Calorimeter. Si è fatto, inoltre,uso di varie implementazioni (le liste di �sica) per l'approssimazione dei fenomeni elettromagneticinelle simulazioni degli eventi �sici prodotti dal software Geant4. In tutto sono stati generati quasi500000 eventi da 10 a 150 GeV per un totale di circa 3000 ore di tempo macchina.

Sono state confrontate prima le varie liste elettromagnetiche disponibili (EM, EMV e EMX)tra di loro in termini di precisione e tempo di calcolo, mostrando che le liste producono risultaticompatibili tra loro entro l'1%, a fronte di un costo computazionale assai variegato: la lista EMXsi è dimostrata �no al 50% più veloce rispetto alla EM. È stata poi aggiunta una lista, costruitaa partire dalla EMX, che non tenesse conto dell'e�etto LPM, guadagnando ancora il 2% circa inprestazioni rispetto alla lista EMX e ottenendo risultati compatibili con questa lista entro gli erroristatistici nell'intervallo di energie preso in esame.

In�ne, la simulazione in presenza di campo magnetico ha mostrato come gli e�etti dovuti allaradiazione di sincrotrone nei risultati siano minimi, e, anche con un campo di 3 T, le eventualidi�erenze fossero sempre contenute nell'errore statistico.

Avendo avuto a disposizione elaboratori più performanti per le simulazioni, si sarebbe potutagenerare una statistica maggiore. Questa avrebbe probabilmente permesso di separare con mag-giore dettaglio i diversi comportamenti delle varie liste, facendo emergere dagli errori statisticile di�erenze tra di esse. Questo avrebbe giovato soprattutto alla parte di simulazione a campomagnetico acceso, estremamente dispendiosa in termini di risorse di calcolo, per la quale questolavoro ha solamente suggerito un andamento, che deve essere però corroborato da un campionestatistico più signi�cativo.

Una maggiore potenza di calcolo avrebbe permesso inoltre di estendere l'intervallo di energiaesplorato a valori più alti, utili soprattutto nell'analisi dell'e�etto LPM, i cui e�etti sono tanto piùmarcati quanto più alta è l'energia presa in esame.

Con le risorse a disposizione è stato comunque possibile notare che serve una certa �cautela�nella simulazione delle regioni di con�ne tra due cristalli, a seconda di come la di�usione multiplaè stata implementata e che, per ottenere risultati compatibili entro l'1% tra di loro, è su�cienteusare la lista EMX, eliminando il contributo dell'e�etto LPM, in una con�gurazione che permettedi dimezzare i tempi di calcolo rispetto alla soluzione - la lista EM - più largamente usata.

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